И. Г. Петровский
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. Д. МЫШКИСА, О. А. ОЛЕИНИК
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве
учебника для студентов механико-математических
специальностей университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1984

УДК 517.91/4@75.8)
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений / Под ред. А. Д. Мышкиса, О. А. Олейиик. —
М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с.
Книга представляет собой учебник по курсу обыкновенных
дифференциальных уравнений. Тщательно продуманное изложение
дало возможность в небольшом объеме вместить обширный мате-
материал. Более детально и строго, чем в других руководствах, рас-
рассмотрены уравнения простых типов. Подробно изложены общие
теоремы о разрешимости уравнений и систем уравнений с непре-
непрерывными правыми частими. Теория линейных уравнений сопровож-
сопровождается оригинальным изложением канонической формы систем.
Книга включает главу об автономных системах и добавление, со-
содержащее теорию линейных и нелинейных уравнений с частными
производными 1-го порядка. Большое количество задач значитель-
значительно расширяет содержание книги.
Ил. 41.
1702050000-26*-- .,,
077@2)—84
© Издательство Московского университета, 1984 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов к 8
Предисловие к пятому изданию . 9
Предисловие к первому изданию 9
ЧАСТЬ Г
ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
1-го ПОРЯДКА С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
Глава I. Общие понятии ¦ . . . . 10
>§ 1. Определения, примеры ......... 10
§ 2. Геометрическая интерпретация. Обобщение задачи 12
Глава II. Простевшие дифференциальные уравнения ... 18
§ 3. Уравнения вида-^р- =/(дг). ..... 18
dy
§ 4. Уравнении вида ——.— f(y) . . . ... . 21
§ 5. Уравнения с разделяющимися переменными . . 23
§ 6. Однородные уравнения ........ 27
§ 7. Линейные' уравнения . 29
§ 8. Уравнении в полных дифференциалах . . . . 32
Глава III. Общая теория уравнений 37
§ 9. Ломаные Эйлера ......... 38
§ 10. Теорема Арцели ......... 39
§ 11. Доказательство существования решения диффе-
дифференциального уравнения Y=*f(x, у) методом Пеано 42
§ 12. Теорема Осгуда. о единственности ; 51
§ 13. Дополнение о ломаных Эйлера 66
§ 14. Метод последовательных приближений ... 57
§ 15. Принцип'сжатых отображений . . . . . 65
§ 16. Геометрическая интерпретация' принципа сжатых
Отображений . . . .....",. 71
§ 17. Теорема "Кошн о дифференциальном уравнения
'д;, у) с голоморфной правой частью . . 73

§ 18. О степени гладкости решений дифференциальных
уравнений .Г 78
§ 19. Зависимость решения от начальных данных и от
правой части уравнения 79
§ 20. Лемма Адамара 86
§ 21. Теорема о зависимости решения от параметров . 88
§ 22. Особые точки 93
§ 23. Особые линии .100
§ 24. О поведении интегральных линий в целом . . 101
§ 25. Уравнения, не разрешенные относительно произ-
производной ... . ....;... 104
§ 26. Огибающие . . ч. 115
ЧАСТЬ II
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Глава IV. Общая теория систем ...... . . 119
§ 27. Сведение любой ягетемы к системе уравнений 1-го
порядка 119
§ 28. Геометрическая интерпретация. Определении . 120
§ 29. Формулировка основных теорем 124
§ 30. Принцип сжатых отображений для систем опера-
операторных уравнений 132
§ 31. Приложение принципа сжатых отображений к
системе дифференциальных уравнений . . . 136
Глава V. Общая теория линейных систем 14'0
§ 32. Определения. Следствия из общей теории систем
дифференциальных уравнений 140
§ 33. Основные теоремы для однородных систем 1-го
порядка 142
§ 34. Выражение для определителя Вронского . . 149
§ 35. Составление однородной линейной системы диф-
дифференциальных уравнений по данной фундамен-
фундаментальной системе ее решений 150
§ 36. Следствия для дифференциального уравнения п-го
поридка 152
§ 37. Понижение порядка линейного однородного диф-
дифференциального уравнения 155
§ 38. О нулях решений линейных однородных уравне-
уравнений 2-го порядка 157
§ 39. Система неоднородных линейных уравнений 1-го
порядка . 161
§ 40. Следствие для линейного неоднородного уравнения
п-го порядка . 164
Глава VI. Линейные системы с постоянными коэффициентами 166
§ 41. Преобразование системы 166
§ 42. Теорема о приведении к каноническому виду . 172
§ 43. Инварианты линейного преобразования . , . 178
§ 44. Элементарные делители . . . . . < . 180
§ 45. Отыскание фундаментальной системы решений для
однородной системы уравнений ..... 183

§ 46. Применение к однородному дифференциальному
уравнению п-го порядка 188
§ 47. Разыскание частных решений неоднородных систем 191.
§ 48. Приведение к каноническому виду уравнении
Л±Ь
195
dx cx+dy
§ 49. Устойчивость решений по Ляпунову .... 197
§ 50. Один физический пример 20J
Глава VII. Автономные системы ... .- 212
§ 51. Общие понятия 212
§ 52. Три вида траекторий 216
§ 53. Предельное поведение траекторий .... 218
§ 54. Функция последования . 222
§ 55. Теорема Бендиксона 226
§ 56. Окрестность точки покоя на плоскости. I . . 228
§ 57. Окрестность точки покоя на плоскости. II . . 233
§ 58. Теория индексов . 242
§ 59. Теорема Брауэра о неподвижной точке . . . 247
. § 60. Приложения теоремы Брауэра 250
ДОПОЛНЕНИЕ
Глава VIII. Уравнении с частными производными 1-го порид-
ка от одной неизвестной функции 253
§ 61. Полулинейные уравнения 253
§ 62. Первые интегралы системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений 262
§ 63. Квазилинейные уравнения 267
§ 64. Обобщенные решения линейных и квазилинейных
уравнений 271
§ 65. Нелинейные уравнения 280
§ 66. Уравнение Пфаффа 291

ОТ РЕДАКТОРОВ
Иван Георгиевич Петровский A901—1973) был выдаю-
выдающимся математиком и выдающимся человеком. В мате-
математике ему принадлежит ряд основополагающих ре-
результатов, прежде всего, в теории дифференциальных
уравнений, теории вероятностей и в алгебраической гео-
геометрии. Его общественная деятельность также широко
известна. Достаточно сказать, что с 1951 г. и до конца
своей жизни он был ректором Московского государст-
государственного университета. Подробную биографию И. Г. Пет-
Петровского и описание его научных достижений можно
найти в- «Трудах семинара имени И. Г. Петровской»
(Изд-во МГУ, 1982, т. 8, с. 3—20), а также в журнале
«Успехи математических наук>, 1971, т. 26, № 2,
с. 3—24.
И. Г. Петровский был также автором трех учебни-
учебников для университетов — по теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений F изданий в 1939—1970 гг.),
интегральных уравнений C издания в 1948—1968 гг.) и
уравнений с частными производными C издания
в 1950—1961 гг.). Эти глубоко оригинальные книги пе-
переведены fia многие языки и полностью сохранили свое
виачение в настоящее время; более того, во многих .уни-
.университетах преподавание указанных дисциплин в зна-
значительной степени сложилось под воздействием этих
книг. Однако они давно уже стали библиографической
редкостью. Поэтому их переиздание не только является
данью памяти их замечательного автора, но и принесет
несомненную пользу многим студентам-математикам и
преподавателям.
Настоящее издание книги «Лекции по теории обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений» печатается
с последнего прижизненного издания 1970 г. Нами вне-
внесены некоторые редакционные поправки. Заново напи*
саны § 54—57.
А. Д. Мышкис, О. А. О лепнин

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Большую работу по подготовке этого издания выполнил А. Д. Мыш-
кис. В частности, он написал новую главу об автономных системах.
Параграф 64 написала О. А. Олейник, С. А. Гальперн, Е. М Лан-
дис и А. Д. Мышкис добавили новые задачи. Эти задачи, как и
прежние, не являются простыми упражнениями. В значительной сво-
своей части они расширяют основное содержание книги и могут быть
использованы для курсовых работ.
1964 г.
И. Петровский
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эти лекции я читал в 1936/37 учебном году в Саратовском государ-
государственном университете и (с небольшими изменениями) в Москов-
Московском государственном университете. Я не стремился изложить
возможно больше методов интегрирования, применимых для
различных частных типов дифференциальных уравнений; на
русском языке уже имеются курсы, где эти методы достаточно полно
изложены. Я не старался также рассказать о всех отделах теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Из всей этой
теории я выбрал лишь несколько вопросов, но их я старался изложить
по возможности цельно и строго — так, как теперь излагается
большинство математических дисциплин. Я не предполагал у моих
слушателей знакомства с теорией аналитических функций, и потому
необходимые для моего курса сведении из этой теории или разъяснял, или
точно указывал, где их можно найти,
Я должен выразить благодарность А. И. Барабанову, записки
которого легли в основу изложения § 1—21, В. В. Степанову,
С. А. Гальперну А Д. Мышкису, которые просмотрели всю мою
рукопись и сделали ряд ценных указаний. 1939 г.
И. Петровский

Часть /
ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА
С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
ГЛАВА!
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Определения, примеры
Обыкновенным дифференциальным, уравнением п-го по-
порядка называется соотношение вида
между независимым переменным х, его функцией у
и производными у', у", ..., #(п). Функция у=у(х) назы-
называется решением этого дифференциального уравнения,
«ели после замены у на <р(#), у' на <р'(#), .... yin) на
tp<n>(*) оно обращается в тождество. Всюду, где нет
особой оговорки, мы будем считать, что рассматривае-
рассматриваемые величины принимают только действительные (ко-
(конечные) значения, а рассматриваемые функции одно-
однозначны.
Таким образом, в обыкновенных дифференциальных
уравнениях неизвестная функция зависит только от од-
одного аргумента. В противоположность этому в уравне-
уравнениях с частными производными неизвестные функции
зависят от нескольких независимых переменных. В даль-
дальнейшем, говоря о дифференциальных уравнениях, мы
всюду, кроме Дополнения, будем иметь в виду только
обыкновенные дифференциальные уравнения.
К обыкновенным дифференциальным уравнениям
приводят многие вопросы естествознания. В качестве
иллюстрации рассмотрим два следующих примера.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ 1J
Пример 1. Допустим, что в каждый момент вре-
времени известна скорость точки, движущейся по оси Ох;
пусть она равна f(t), где f(t) непрерывна. Будем счи-
считать, кроме того, что известна абсцисса Хо этой точки
в некоторый определенный момент t=U. Требуется най-
тн закон движения точки, т. е. зависимость абсциссы
движущейся точки от времени.
Задача сводится к нахождению того решения диф-
дифференциального уравнения
—
dt
которое при t=to обращается в xq. Из интегрального
исчисления известно, что такое решение дается фор-
формулой
Пример 2. Известно, что скорость распада радия
прямо пропорциональна наличному количеству радия.
Допустим, что в момент t0 имелось Rq г радия. Требует-
Требуется определить количество R г радия в любой момент t.
Если коэффициент пропорциональности обозначить
с(с>0), то задача сводится к нахождению того реше-
решения дифференциального уравнения
которое при t—to обращается в Ro- Таким решением бу-
будет функция
Из рассмотренных примеров видно, что одному и то-
тому же дифференциальному уравнению могут удовлеТ'
ворять очень многие функции. Именно поэтому для опре-
определения искомой функции задавалось не только диффе-
дифференциальное уравнение, которому она должна удов-
удовлетворять, но также и ее начальное значение, т. е.
значение при каком-нибудь определенном значении аргу-
аргумента. В рассмотренных нами примерах начальные

12 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ Пя. I
значения определяли единственным образом соответст-
соответствующие им решения дифференциальных уравнений.
Основной задачей теории дифференциальных урав-
уравнений является изучение свойств решений дифферен-
дифференциальных уравнений. Нахождение решений дифферен*
циального уравнения-называют интегрированием этого
уравнения.
§ 2. Геометрическая интерпретация.
Обобщение задачи
Будем рассматривать дифференциальное уравнение
вида
У'Ч(*,У)> A.1)
где функция f (x, у) определена в некоторой области G *>
плоскости (х, у). Это уравнение задает в каждой точке
области значение углового коэффициента касательной
к проходящему через эту точку графику решения урав-
уравнения A.1). Если в каждой точке (х, у) области G
представить с помощью некоторого отрезка 2> направле-
направление касательной, определяемое значением f(x,y), то по-
получится поле направлений. Тогда поставленную преж-
прежде задачу нахождения решения дифференциального
уравнения можно сформулировать так: требуется найти
кривую у—у(х), которая в каждой еЬоей точке имеет
заданную уравнением A.1) касательную или, как часто
говорят, заданное уравнением A.1) направление.
С геометрической точки зрения в такой постановке
задачи представляются мало естественными следующие
обстоятельства:
*> Областью называется непустое множество G точек, обладаю-
обладающее следующими двумя свойствами: 1) каждая точка G — внутрен-
внутренняя, т. е. она имеет окрестность, целиком принадлежащую G;
2) множество G связно, т. е. любые две его точки можно соеди-
соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежа-
лежащей внутри G.
Граничными точками области называются те точки, которые яв-
являются предельными для точек области, но не принадлежат обла-
области. Совокупность всех граничных точек называется границей об-
области. _
Замкнутой областью G (замыканием области G) называется
область G вместе с ее границей.
*' Оба направления этого отрезка для нас безразличны.

§ 21 ГЕОМЕТР. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ, ОБОБЩЕНИЕ "ЗАДАЧИ 13
1) требуя, чтобы угловой коэффициент заданного
в любой точке (х, у) области G направления рав-
равнялся f(x, у), мы тем самым исключаем направ-
направления, параллельные оси Оу;
2) рассматривая только кривые, служащие графика-
графиками функций от х, мы тем самым исключаем из
рассмотрения те линии, которые некоторыми пер-
перпендикулярами к оси Ох пересекаются больше
одного раза.
Поэтому мы несколько обобщим предыдущую поста-
постановку задачи. Именно, будем допускать, что поле на-
направлений в некоторых точках параллельно оси Оу.
И в таких точках, где угловой коэффициент по отноше-
отношению к оси Ох не имеет смысла, будем пользоваться
угловым коэффициентам по отношению к оси Оу. Соот-
Соответственно этому будем наряду с дифференциальным
уравнением A.1) рассматривать уравнение
причем fi(x,y) = -—- всюду, где обе эти функции
. д*» У)
имеют смысл. При этом мы считаем, что в каждой точ-
точке G по крайней мере одна из функций / и /t имеет
смысл; /ч=0 там и только там,, где f не имеет смысла,
a f=0 там и только там, где /i не имеет смысла. Задачу
же интегрирования дифференциальных уравнений A.1),
A.Г) мы поставим так: в области G найти все линиих\
*> Линией (или кривой) будем называть множество точек (х, у),
задаваемых уравнениями: x=y(t), y*ty(t), когда t пробегает значе-
значения некоторого интервала (а, Ь); в частности, может быть а=—оо
ь Б ф (<) yi(t)
р ираа (а, ); в частности, можт ь а
и ь= + оо. Будем предполагать, что функции <р(<) н yi(t) имеют не-
непрерывные производные и что всегда <p'*(f)+^'i(t)>Q. Каждая
точка хо=<р(*о), уо—фСо) такой линии лежит на некотором куске
«е, который служит графиком' или непрерывно дифференцируемой,
т. е. имеющей непрерывную производную, функциональной зависи-
зависимости у от х, или непрерывно дифференцируемой функциональной
зависимости х. от у. Действительно, по крайней мере одно нз двух
чисел <р'(*о) и-ф'^о) отлично от нуля. Пусть, например, tf.{tt\?>Q.
Тогда в силу непрерывности <р'@ она сохраняет, знак на некотором
интервале значений t от U—к до /о+е. Поэтому при этих значениях
t уравнение x=q>(t) можно разрешить относительно /. Получим t=
—Х(*)- Подставляя это значение t в уравнение yty(t),' получим
(х)], т. е! у есть функция от х:

|4 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ [гл. I
имеющие в каждой точке направление, заданное урав-
уравнениями A.1) и A.Г) •>. Эти линии мы будем называть
интегральными линиями (интегральными кривыми)
уравнений A.1), A.Г) или поля направлений, задавае-
задаваемого этими уравнениями. Вместо множественного чи^-
ла: «уравнения A.1), A.1')», мы часто будем употреб-
употреблять единственное число: «уравнение A.1), A.1')».
Ясно, что график всякого решения уравнения A.1)
является интегральной линией уравнения A.1), (Ы7),
но не всякая интегральная линия уравнения A.1), (l-.l'j
есть график решения уравнения A.1). В дальнейшем,
если будет явно указано, что
М '*' Щх.у) '
то мы, наряду с уравнением
dy _ М{х,у)
dx N(x, у)'
не будем выписывать уравнение
f(xu\ (I 2\
Иногда же мы будем такие уравнения записывать
в более симметричной относительно х и у форме:
— Ndy=Q. A.3)
При этом поле направлений определено всюду, где
обе функции М(х, у) и N(x, у) имеют смысл и по край-
крайней мере одна из них отлична от нуля.
Пример 1. Уравнение
-*=!• A.4)
dx я ч '
При таком определении понятия линии мы заранее требуем от
решения не только дифференцируемое™, но даже непрерывной днф-
ференЦнруемостн. В этой книге будут рассматриваться только такие
решения.
*' Иногда поле направлений бывает задано не, только внутри
области G, но и на некоторой части ее границы или даже на всей
границе. В таком случае может быть, что и интегральные линии про-
проходят не только внутри G, но и по некоторой части ее границы.

§ 2]
ГЕОМЕТР. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ, ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ
15
задает поле направлений всюду, за исключением нача-
начала координат. Схематически это поле изображено на
рис. 1. Все определяемые им направления проходят че-
через начало координат. Ясно, что при любом k функции
y=kx
A.5)
являются решениями уравнения A.4). Совокупность же
всех интегральных линий этого уравнения дается соот-
соотношением
ах+Ьу=0, A.6)
где а и Ъ — любые постоянные,-не равные нулю одно-
одновременно. Ось Оу является его интегральной линией,
ио не служит графиком его решения.
Так как уравнение A.4) не определяет поля направ-
направлений в начале координат, то линии A.5) и A.6) яв-
i
Рис. 1
I 11 I
х
Рис. 2
ляются интегральными всюду, за исключением начала
координат. Поэтому правильнее говорить, что инте-
интегральными линиями уравнения A.4) являются не пря-
прямые, проходящие через начало координат, а полупря-
полупрямые, выходящие из начала координат (к этим полупря-
полупрямым само начало не причисляется).
Пример 2. Уравнение
dy х_
dx у
A.7)
задает поле направлений всюду, за исключением начала
координат. Схематически это поле изображено на

1в ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ [гл. I
рис. 2; Направления, задаваемые в точке (х, у) уравне-
уравнениями A.4) и A,7), взаимно перпендикулярны. Ясно,
что все окружности, имеющие центр в начале коордш
нат, будут интегральными кривыми уравнения A.7).
Решениями же этого уравнения будут функции
Условимся о следующей терминологии:
1. Функцию q>(x, Си Сз, ..., Сп) будем называть об-
общим решением1) дифференциального уравнения A.1)
в области G, если при соответствующем выборе постоян-
постоянных Си С% .... С„ функция <р обращается в любое ре-
решение этого уравнения, график которого лежит в' G.
В дальнейшем мы увидим, что обычно бывает я=1.
2. Уравнение Ф(х, у)=0 интегральной линии урав-
уравнения A.1), A.1') будем называть интегралом диффе-
дифференциального уравнения A.1), A.Г').
3. Уравнение
Ф{х.у. Си С2 Сп)=0 A.8)
будем называть общим интегралом}) дифференциально-
дифференциального уравнениями), A.1') в области .G, если при соот-
соответствующем выборе постоянных Си Cz, ..., С„ урав-
уравнение A.8) дает любую интегральную линию нашего
дифференциального уравнения, проходящую в обла-
области G.
Так, например, в первом из разобранных примеров
соотношение A.5) давало общее решение уравнения
A.4) во всей плоскости (лг, у), за исключением оси Оу,
а уравнение A.6) давало общий интеграл этого урав-
уравнения во всей плоскости (х, у), за исключением начала
координат. Во втором же примере уравнение
у =
давало общее решение во всей полуплоскости y>0t
*) В литературе встречаются и другие определения понятий об-
общего решения н общего интеграла.

S 21 ГЕОМЕТР. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ, ОБОБЩЕНИЕ'ЗАДАЧИ tt
а уравнение
х2+у2=Д* A.9).
давало общий интеграл нашего дифференциального
уравнения во всей плоскости (х, у), за исключением на-
начала координат. Что у уравнения A.4), соответственно-
AJ), нет других интегральных линий кроме линий
A.6), соответственно A.9), будет доказано в § 5.
ЗАДАЧИ
1. У какой области на плоскости граница не содержит ин од-
одной точки?
2. Начертите интегральные линии уравнений:
4у _ ху dy ^ \х+у.\ dy_ _ х+\х\
I dx \ху\ ' dx х+у '' BJ их = у+\у\ ;
dy (Опркуфх, dy Aпрнуфх,
г) —-—= < д; ——==¦[„
dx [i при у=х; dx [0 при у=х.
Укажите те области, где эти уравнения определяют поле направ-
направлений.
3. Пусть дана линия x=<p(fj, y=^{t), a<t<b, где <p(f) л
ty(t) удовлетворяют указанным в сноске на с. 13 условиям, rtycjb-
a<.<f<b'<gb. Докажите тогда следующие утверждения:
а) отрезок a'^t^b' можно разбить на конечное число таких
примыкающих друг к другу отрезков, -что соответствующие-
частн рассматриваемой линии являются графиками либо од-
однозначных непрерывно дифференцируемых функций у—у{х),
либо функций х=х(у) с такими же свойствами;
б) существует такое постоянное е>0, что при всяком f (a'^
^.f-s^b') участок рассматриваемой линии, соответствующий'
отрезку /'<*<г'+е, не имеет точек самопересечения;
в) отношение длины любого учйстка линия с концами, соот-
соответствующими t=ti и t=tt (er^i <**<*>') к U—h, ограни-
ограничено и превосходит некоторую положительную постоянную.
4. Как связаны между собой требования:
а) чтобы поле направлений не содержало направлений, парал-
параллельных оси О у;
б) чтобы все интегральные линии были графиками функций
от х?
б. Найдите уравнение геометрического места точек, которое
заведомо содержит все точки максимума и минимума решений
уравнения A.1). Тот же вопрос для точек перегиба, если функ-
функция /(*, у) дифференцируема.

18 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. II
6. Проверьте, что определение области перейдет в равносиль-
равносильное, если вместо ломаных пользоваться линиями или только неса-
мопересекающимися линиями.
7. Кривые часто задают уравнением f(x, #)=0. Пусть функция
f задана н непрерывно дифференцируема на всей плоскости, причем
а множество f(x, t/)=0 непустое. Проверьте, что при указанных
условиях это множество состоит из конечного числа или последова-
последовательности линий, попарно не имеющих общих точек, причем -каж-
-каждая конечная часть плоскости пересекается только с конечным чнс-
.лом из этих линий. При этом каждая из линий либо замкнута,
либо уходит обоими концами в4бесконечность, не имея самопере-
самопересечений. Каким может быть множество f(x, y)=0, если не требо-
лать выполнения условия (*)? Как изменятся эти утверждения,
•если функция f задана на некоторой области G?
ГЛАВА II
ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 3. Уравнения вида -^- = / (х)
Случай 1. f(x) непрерывна при а<х<Ь. Как из-
известно, одним нз решений рассматриваемого дифферен-
дифференциального уравнения будет функция
{xq и х принадлежат интервалу (а, &)); все же другие
решения будут отличаться от этого лишь аддитивной
постоянной. Значит, все интегральные кривые полу-
получаются из одной сдвигом, параллельным оси Оу. Общим
решением здесь будет функция
]
х„
Как только в полосе а<х<Ь зададим точку (х0, у0),

§ 31
УРАВНЕНИЯ ВИДА dy/dx =
1»
через которую должна лроходить интегральная кривая,
постоянная С определится единственным образом: С=уо.
Значит, через каждую точку (х0, у0) этой полосы про-
х-Ь
х-а х*с х=Ь
Рис. 3
ходит одна и только одна интегральная криваяу
а именно
Случай 2. f(x)-*~oo при х-*>с(а<с<Ь), оставаясь,
в остальных точках интервала (а, Ь) непрерывной. За-
Зададим при х—с поле направлений уравнением =0..
(*у
В этом случае при приближении к прямой х—с по-
поле направлений становится все круче и круче. Однако,
на открытых полосках а<х<с и
с<х<Ь дело будет обстоять так
же, как и в предыдущем случае:
если точка (х0, у0) лежит, напри-
например, на" первой из этих полос, то
через нее проходит одна и только
одна интегральная линия, лежащая
в этой полосе. Она будет даваться
уравнением
S
0 ¦—1
1
Ш
/ 1
'\\
А
Ik
х=а
Рис.4

30 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. II
Если при х-** с—0 интеграл f f(g)dg сходится, то
эта линия при х-*-с—0 будет приближаться к некото-
некоторой определенной точке прямой х—с (рис. 3,а). В про-
противном случае линия у^у(х) будет при -х-*-с—0 асимп-
асимптотически приближаться к прямой х = с (рис. 4).
Аналогичным образом можно исследовать поведение
интегральных кривых на полоске с<х<Ь. Два из воз-
возможных здесь случаев изображены на рис. 3, а и 4, ко-
которые сделаны в предположении, что если интеграл
, а<хо<с, B.1)
«сходится (расходится) при х->с—0, то сходится (соот-
(соответственно расходится) и интеграл
B.2)
эдри х-^с+0, и что /(х)г*-+оо при дс-»-с.
Прямая х — с 'также есть интегральная линия.
Пусть мы рассматриваем все- кривые только в поло-
полосе"а<,х<Ь. Тогда в случае сходимости при х^- с инте-
интегралов B.1) и B.2) через одну и ту же точку А(хо,уо)
.всегда проходит бесконечное множество интегральных
кривых нашего уравнения. Действительно, пусть, напри-
:Мер< а<,ха<с. Тогда любая линия вида ABCD (рис. 3, а)
сбудет интегральной.
В случае, когда интегралы B.1) и B.2) сходятся при
лс«фс±0, но
f (х) —-> -fee,-/ {х).—> — оо,
Ч0 х~*с—0
поведение интегральных линий схематически изображе-
изображено на рис. 3,6. Тогда через каждую точку Л прямой
х~ с проходит бесконечное множество интегральных ли-
линий АА\, АВВ\, АСС\, ... Через каждую же точку, ле-
лежащую внутри полосы а<х<с или с<х<Ь, например
через точку В\, в этом случае проходит только одна
интегральная линия В\ВА% Кривые вида ВхВВъ, имею-

* 4] УРАВНЕНИЯ ВИДА <?*/<*» = f@> 21
щйе излом в точке В, мы не .считаем интегральными
линиями в соответствии со сноской на с, 13.
В случае расходимости интегралов B.1) и {2.2)'че-
{2.2)'через каждую точку полосы а<х<Ь проходит одна и
только .одна интегральная линия.
Случай сходимости только одного из интегралов B.1)
и ,B.2) мы предоставим разобрать читателю.
ЗАДАЧИ
1. Какие случаи возможны, еслн^(дг)= ¦ , <р(с)=О н <р'(с)
Ф(*)
существует? Предполагается, что <р(х) всюду непрерывна и <р(х)Ф_
ф 0 при хф с. „
2. Представьте картину поведения интегральных линий-урав-
линий-уравнений:
¦dy 1 dy I dy — dy 1
dx ' dx ± •
dy — 1 dy 1
—-— =e* sin ——— ^J^sin'
1 dy 1
e* sin —, —— ^J^sin'—-при различных а.
dx x « dx x
В частности, установите картину поведения этих интегральных
линий при X-+Q.
8. Может ли уравнение y'=>f(x) иметь решение, существующее
яа всей оси х, если функция f(x) ие является всюду непрерывной?
§ 4. Уравнения вида -~ — f(y)
Это уравнение в сущности отличается от предыдуще-
предыдущего только тем, что х и у поменялись ролями. Если f(y)
«епрерывна при а<у<Ь и не обращается в нуль в этом
интервале, то уравнение можно ' переписать в виде
— Отсюда видно, что тогда, во-первых, через
-А) . f(y) -
каждую точку (х0, уо) полосы а<у<Ь проходит един^
«твенная интегральная линия
x = xo+$
i
Ун

22 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. It
и, во-вторых, все интегральные линии получаются иэ
одной сдвигом, параллельным оси Ох.
Пусть теперь f(y), оставаясь непрерывной, обра-
обращается в нуль при каком-нибудь, притом единственном,
значении у=с из интервала (а, Ь). Тогда:
у
1) если I ¦—- при у-*-с±0 расходится, то через
у»
каждую точку полосы, расположенной между прямыми
у=а и у=Ь, проходит одна и только одна интеграль-
интегральная линия; прямая у —с, которая сама есть интеграль-
интегральная линия, является асимптотой всех интегральных кри-
кривых;
у
2) если \—— ПрИ у~->с±0 сходится и при пере-
J, /От)
Во ¦
ходе у через у—с функция f(y) не меняет знака, то че-
через каждую точку указанной полосы проходит беско-
бесконечное множество интегральных линий;
J /(Ч)
,3) если \-—— при у-*~с±О сходится и при пере-
J /(п)
ходе у через у=с функция f(y) меняет знак, то через
каждую точку прямой у=с проходит бесконечное мно-
множество интегральных линий, в то время как через каж-
каждую точку полос а<.у<Сс и с<у<.Ь проходит одна и
только одна интегральная кривая.
Эти выводы следуют из § 3. Представление о гео-
геометрической картине для этого случая могут дать рис. 3
и 4, если в них поменять ролями оси координат.
ЗАДАЧИ
1. Какие случаи из разобранных в Этом параграфе возможны,
если р (с) существует?
2. Представьте картиву поведения интегральных линий урав-
уравнении:
.,,,. тЛ„

§ 5] УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 23
3. Пусть f(c)=O и сколь угодно близко от у=с, как при у<с,
так н при у>с, найдутся значения у, при которых f(y)>0, и най-
найдутся'значения у, при которых f(y)<0. Докажите, что тогда через r
любую точку х=хо, У=с проходит единственное решение у^с
уравнения y'=f(y).
4. Докажите, что все решения уравнения if=f(y) монотонны.
5. Пусть f(y) непрерывна прн а<у<Ь и q>(x)-»-c при х-»-+оо
(а<$с<Ь) для некоторого решения у=у(х) уравнения y'=f(y).
Докажите, что тогда у^с также является решением.
6. Пусть f(y) непрерывна и положительна при уо^У<°°- Най-
Найдите необходимое и достаточное условие наличия асимптот у ре-
решений уравнения y'='f(y). Рассмотрите, р частности, случай
Р(у)
f(y) = . , где Р и Q — многочлены.
7. Приведите пример уравнения i/—f(y) с непрерывной правой
частью, среди решений которого найдутся два, обладающих сле-
следующими свойствами: они определены для всех х, монотонно воз-
возрастают, а их графики имеют единственную общую точку.
Указание. В качестве множества нулей функции f(y) вос-
воспользуйтесь так называемым совершенным нигде не плотным мно-
множеством.
8. Постройте пример двух уравнений y'=fi(y)^O и t/^hiy)^
^0 с непрерыиными правыми частями, для которых через каждую
точку плоскости проходит единстиенная интегральная линия, н при-
притом таких, что для уравнения y'=max{fi(y), /г(^)} эта единствен-
единственность не гарантируется. Продумайте варианты этой задачи.
§ 5. Уравнения .
с разделяющимися переменными
Дифференциальными уравнениями с разделяющими-
разделяющимися переменными называются уравнения вида
-^•=Ы*)Ш. B.3)
Теорегма. Пусть при а<х<Ь, c<y<d функции
f{(x) и f2 (у) непрерывны, причем f2 (у) нигде не обра-
обращается в нуль. Тогда через каждую точку (х0, г/о) пря-
прямоугольника Q:
а<х<Ь, c<y<d
проходит одна и только одна интегральная линия урав-
уравнения, B.3). . -
Доказательство. Заметим, прежде всего, что
интегральная линия уравнения B.3), как и любого урав-

24 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. II
неиии вида A.1) с непрерывной правой частью, обяза-
обязательно имеет уравнение вида у=у\х). Допустим снача-
сначала, что существует функция <р (х), которая удовлетво-
удовлетворяет уравнению B.3) и при х=хо обращается в уц. Тог-
Тогда имеем тождество
которое, поскольку fs(y)?zO, можно представить так:
Проинтегрируем обе части последнего равенства по х.
в пределах от х0 до х. Получим
Г
3
Пусть Fi(y)—какая-нибудь первообразная от
и F\(x) —какая-нибудь первообразная от f\(x); тогда
равенство можем переписать так:
B.4)
В силу того, что F^iy) есть монотонная функция
(так как F'2(y) = фО), последнее равенство можг
Ыу)
но однозначно разрешить относительно <р (а:) :
Ф(х) =Ff [Fa(y0) +Fx(x) -FjM»). B.5>
Таким образом, допустив существование такого ре-
решения уравнения B.3), у которого у—уа при х=Хо, мы
представили это решение в форме B.5) и тем самым.-
установили, что такое решение единственно: все функт
_ции, входящие в правую часть этого равенства, были
определены только на основании данного уравнения и
начальных условий.
С другой стороны, легко проверить, что функция
<р(*), определяемая равенством B.5), действительно
') Через F%-* обозначена функция, обратная Fz--

< 5] УРАВНЕНИЯ^ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 2S
дает (в некоторой окрестности значения, хо) решение
уравнения B.3), обращающееся в z/o при х=*хо. В самом
деле, дифференцируя равенство B.4) по х, получаем
отсюда
Значит, дифференциальное уравнение B,3) удовлет-
удовлетворяется. Начальные' же условия удовлетворяются по-
потому, что
В заключение заметим, что в случае обращения h(y)
в одной какой-нибудь точке у=У\ в нуль. Может нару-
нарушиться единственность. Это зависит от того, сходится
или расходится интеграл
у»
B.6)
когда у приближается к у у В первом случае через не-
некоторые точки прямоугольника Q проходит бесконечное
множество интегральных кривых; все они касаются ин-
интегральной прямой у=уи на которой f2{y) = 0; в случае
же расходимости интеграла B.6) при у->у\±0 прохо-
проходящая через точку {х0, у0) интегральная кривая всегда
единственна •>. При этом предполагается, что fi(x) не
равно нулю тождественно. В противном случае через
каждую точку Q всегда проходит одна и только одна
интегральная линия.
') Единственность может нарушиться только тогда, когда ка-
какая-нибудь интегральная кривая у=у(х) коснется интегральной
прямой у=с в некоторой внутренней точке (*ь j/i) прямоугольника
Q. Но этого ие может быть, если интеграл B.6) расходитси при
у-*-уъ Действительно, в этом случае прн x-^xi левая часть равен-
равенства B.4) бесконечно растет, тогда как правая остаетси ограни-
ограниченной.

26 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. II
ЗАДАЧИ
1. Представьте картину поведения интегральных кривых урав-
уравнений:
dy _ sin* dy sin у dy J/ x_
dx siny ' dx sinx ' dx V У '
3 I 3 3 J
dy _ / _?_ dy / sin* dy _ 1 / sin у
dx ~ у x ' dx ~ у siny ' dx ~ у sinx '
2. Рассмотрим уравнение
dy __ f(y)
dx ф(дг) *
где функции f(y) и ф(х) определены н непрерывны прн всех неот-
неотрицательных значениях их аргументов; <р@)=/@)=0.
А. Пусть в области G @<х<оо, 0<у<$ао) <p(x)f(y)<0. Ис-
Исследуйте поведение интегральных кривых этого уравнения прн х-*-
-*-оо, а также при у-*-о° в зависимости от сходимости или расходи-
расходимости интегралов
dx
Б. Пусть в области G @<x<oo, 0<y<oo) <f>(x)f(y)>0. По-
Покажите, что прн этих условиих всякая интегральная линия, прохо-
проходящая через какую-нибудь точку области G, прн своем продолже-
продолжении в сторону уменьшения х неограниченно приближается К нача-
началу координат (быть может, частично проходя по границе G); най-
найдите критерий наличия асимптоты у решении.
Если дополнительно потребовать, чтобы ф'@)=5^0 и f'(Q)=?Ot
a <f"{t) и f"(t) были непрерывны прн 0</<е (где е>0), то каж-
каждая интегральная линия подходит к началу координат по опреде-
определенному направлению. Если ф'@)=5*:/'@), то все они касаются при
х=0 одной из координатных осей (какой?). Если же ф'@)=/'@1«
то интегральные линии подходят- к началу координат по всем вд»
правлениям (как прямые y=kx).
Проведите аналогичное рассмотрение решений уравнений
при тех,же предположениях.
3. Пусть функции ф(х) и [(у) непрерывны и положительны
при а<х<Ь, c<y<d, причем <f(x) (соответственно /(</)) стре-
стремится к нулю или бесконечности при х-+а и х-**Ь (у-+с и y-+d).
Рассмотрите все случаи расположения интегральных кривых урав-

§ 6) ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 27
нения yr=<f(x)f(y) в прямоугольнике а<.х<Ь, c<y<d. Опираясь
яа это, проведите полное исследование расположения интегральных
Р(Х) 6(у) >
линий уравнении у'=— ——, где Р, Q, R и S — многочлены.
Щх) S(y)
% 6. Однородные уравнения
Однородными дифференциальными уравнениями на-
называют уравнения вида
Если функция f(u) определена при а<и<6, то
функция / ( ) будет определена в углах, образован-
образованных такими точками (х, у), для которых а<— < Ь.
X
Области, составленные этими двумя углами, мы будем
обозначать G.
Теорема. Если функция f(u) непрерывна при
а<и<Ь и всюду на этом интервале ${и)фи, то через
каждую точку (х0, г/о) из G проходит одна и только
одна интегральная линия уравнения B.7).
Доказательство. Положим у=их; тогда урав-
уравнение B.7) перепишется так:
Отсюда получаем уравнение с разделяющимися пе-
переменными
28)
dx х v '
к которому применима предыдущая теорема, что и до-'
казывает наше утверждение.
Из уравнения B.8) находим
du
ИИ-
и, следовательно,
\-С, B.9)

28 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. «
где Ф(и) есть некоторая первообразная от . Из.
/(а)—а
формулы B.9) видно, что при наших предположениях
все интегральные кривые однородного дифференциаль-
дифференциального уравнения между собой по-
подобны, и центром подобия сЛу»
с^жит начало координат. Дей-
Действительно, при подходящем вы»
„ ^. боре постоянной С\ замена х и#
Ц/ ^^-^ х->8* соответственно на С\х и С\у пе-
переводит кривую
Рис. 5
в любую кривую семейства B.9).
Исключительный случай f(u)&su мы имели в приме-
примере 1 § 2. Если же f(u)=u в отдельных точках «ь щ, ...
..., ы„, то через некоторые точки (х0, г/о) из G може?
проходить много интегральных кривых. Это будет, если
и
интеграл Г—*— сходится, когда и приближается
к одному из чисел «ь Иг, ..., ип, например к щ.
На рис. 5 схематически изображено возможное по-
поведение интегральных кривых в этом случае. Через
точку А будут, например, йроходить интегральные ли-
линии АВ\С\, АВ1В2С2, АВ\В%С%, ... Все они касаются
прямой
ЗАДАЧИ
I. Представьте картину поведения интегральных кривых урав-
уравнений
dx ~e ' dx.~B ' dx ~Щ x •
2. Докажите, что если все интегральные кривые некоторого
дифференциального уравнения подобны между собой с центром
подобия в начале координат, то это уравнение однородно.
8. Пусть функция f(u) непрерывна при 0==Си<Ио, причем /@) =
»=0, f(a)=^tt @<a<«o). Разберите все случаи расположения ни-

§ 7] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 29»
тегралышх линий уравнения B.7) в секторе
Опираясь на это, проведите полное исследование расположении шь
dy P(sinq), cosq))
тегральных линии уравнения—;— = ——: —, где Р и Q —
* dx Q(sin<p, cosq>)_
многочлены от двух аргументов, a q> — полярный угол.
4. Наиболее общее однородное уравнение, заданное на все&>
плоскости х, у (кроме начала координат), имеет вид
-?-*(»>. О
где 7?(ф+2я)"?(ф). Пусть функция F(<p) задана для всех ф ш
«непрерывна, но может обращаться в бесконечности» в смысле»
аналогичном § 2 (уточните это условие! J. В каком случае можна-
dy fi(*f)
перейти к уравнению = — , где функции fi н fa непрерыв-
dx /2(ф)
ны (в обычном смысле), периодичны с периодом 2я и не обраща-
обращаются одновременно в нуль?
5. Уравнение (*) задачи 4 после перехода к полярным коор-
координатам приобретает вид
где функция Ф(ф) обладает свойствами, указанными в задаче 4
для функции ^(ф). Этот последний вид наиболее удобен для ис-
исследования решений. Пусть, в частности, функция Ф(<р) всюду ко-
конечна. Выясните поведение интегральных кривых уравнении (*)
прн их безграничном продолжении в зависимости от знака инте-
2я
грала I Ф(ф)йф. Что будет, «ели этот интеграл равен нулю?
о
dy I ax-^-by-^-c \
в. Найдите общее решение уравнения —— =f ——¦— ь
dx \ сцх+ЬгУ+Ci Т
при соответствующих предположениях, а также выясните картину
поведения интегральных линий.
§ 7. Линейные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида

30 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. И
Теорема. Пусть функции а(х)_и Ь(х) непрерывны
в интервале а<х<Ь. Тогда через каждую точку
{хо,уо) полосы, определенной неравенствами а<*<6,
—oo<i/<oo, проходит одна и только одна интегральная
линия этого уравнения, определенная при всех х на ин-
интервале (а, Ь).
Доказательство. Разберем прежде всего более
простой случай — линейное однородное уравнение
•%=а(х)у. B.11)
Это уравнение получается из предыдущего при
&(*)===iO и является уравнением с разделяющимися пе-
У
ременными. Поэтому, замечая, что I —— расходится
J "Л
с
при у-*-0, заключаем, что уравнение B.11) имеет един-
единственное решение, проходящее через точку (хо, уй). Лег-
Легко видеть, что это решение дается формулой
X
(expose"),
Вернемся теперь к уравнению B.10). Применим так
называемый метод вариации постоянной. Будем искать
решение этого уравнения в виде
B.12)
где z есть некоторая функция от х. Несложными вы-
вычислениями можно пбказать, что для того, чтобы B.12)
было решением уравнения B.10), необходимо и доста-
достаточно, чтобы функция z(x) была дифференцируема и
удовлетворяла уравнению
Для выполнения условия у(хо)=уо, очевидно, необ-
необходимо и достаточно, чтобы г(х0) также равнялось уо.

§ 7] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31
Поэтому из последнего уравнения находим
Следовательно, функция
X X
у = г{х) ехр[ Ja(?) dgj = r/oexp[. Ja(?) dg]
+ J6(s)exp[Ja(|)d|]ds
является единственным решением уравнения B.10), ко-
которое обращается в у0 при х=*о.
ЗАДАЧИ
1. Покажнте, что уравнение
(уравнение Бериуллн), если пф\, при помощи подстановки z=y*r
где k соответственно подобрано, прнводитси к линейному уравне-
уравнению относительно г. (При нецелом п считаем, что у>0).
2. (О. А. Олейник.) Пусть на отрезке а^х<6 даны непрерыв-
непрерывные функции р(х), q(x) и г (х), причем
p(a)=p(fo)=0, p(x)>0 (а<х<Ь),
q(x)>0
0+8 Ь
J Р(х) J
dy
. PW =+o°
fr-8
Тогда все решения уравнения
Р(х) —
существующие на интервале a<*<b, стремятся к — при х-* 6.
Среди этих решений одно стремится к при х —» а; другие же прв
q(a)
х-+а стремятся к -f- оо или к — оо.

32 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
§ 8. Уравнения
в полных дифференциалах
Мы уже говорили (§ 2), что часто бывает удобно
записывать дифференциальные уравнеиия в следующей
«форме:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=O B.13)
(N в этом уравнении и N в уравнении A.3) обратны
по знаку). Может случиться, что левая часть этого урав-*
нения представляет полный дифференциал некоторой
•функции переменных х и у. В таком случае дифферен-
дифференциальное уравнение B.13) называется уравнением
в полных дифференциалах.
Предположим, что функции М(х, у) и N(x,y) непре-
дМ 6N
рывны и имеют непрерывные лроизводные и .
ду дх
Тогда, как известно из курса анализа, необходимым и
„достаточным условием, чтобы левая часть уравнения
B.13) была полным дифференциалом, является усло-
условие
-«ели только область G, в которой заданы М и N, одно-
-связна; это означает, что все точки, лежащие внутри
любой замкнутой, не имеющей самопересечений лома-
ломаной, расположенной в G, также должны принадле-
принадлежать G.
Для таких уравнений имеет место следующая
Теорема. Пусть в прямоугольнике Q:
a<x<b, c<y<d,
-функции М(х,у) и N{x,y) непрерывны вместе с их
, дм 6N ал
частными производными и , причем всюду в Q
ду дх
выполняется условие B.14) и N(x,y) не обращается
в нуль. Тогда через каждую точку {ха,уо) прямоуголь-
прямоугольника Q проходит одна и только одна интегральная ли-
лилия уравнения B.13) 1>.
*> Так как из уравнения" B.13) следует, что при сделанных от-

§ 8] УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. 33
Доказательство. Как было только что указано,
в прямоугольнике Q существует функция z(x, у), пол-
полный дифференциал которой равен левой части B.13)
(неизменность знака N при этом несущественна).' Но
так как ЯфО, то уравнение B.13) можно переписать
в эквивалентном виде:
M(x,y)+N(x,y)y' = 0,
или с учетом равенств М = , # = так:
дх ду
dz(x,y(x)) _q
dx
Поэтому функция у(х) является решением уравнения
B.13) тогда и только тогда, когда
z(x, y(x)) = C (C = const). B.15)
Этому уравнению, если Сфг(хо, у0), не может удовле-
удовлетворять линия, проходящая через точку (хо, уо). (По-
(Почему?) Если же C = z(xq,уо), то из теоремы о неявной
функции следует, что уравнение B.15) определяет ли-
линию, проходящую через точку (хо, г/о), и притом только
одну. Итак, теорема доказана. Заодно мы показали, что
искомое решение определяется при помощи формулы
z{Xi-y)=z{xo,yo)- B.16)
Разыскание функции z(x, у) сводится, как известно из
курса анализа, к выполнению двух квадратур.
Пример. Пусть поле направлений задано уравне-
уравнением
в области G, ограниченной сторонами двух квадратов,
у которых центром служит начало координат, стороны
параллельны координатным осям и имеют длину соот-
соотносительно М и N предположениях никогда не обращается в
dy
нуль в прямоугольнике Q, то все проходящие внутри Q интеграль-
интегральные линии уравнения B.13) должны быть графиками функций от х.
2 И. Г. Петровский

84 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гЛ. II
ветственно 2 и 4. Только что доказанную теорему нель-
нельзя применить сразу ко всей области G потому, что
N(x, у) = у обращается в нуль на оси Ох. Но эту тео-
теорему можно применять отдельно к прямоугольникам:
Ку<2,
Q2: — 2<х<2, — 2<у<—1,
Q3: 1<х<2, —2<у<2,
Q4: — 2<х<—1, —2<г/<2.
В последних двух случаях надо применять предыдущую
теорему, поменяв в ее формулировке роли х и у. Тогда,
соединяя вместе результаты, полученные отдсугьно
в каждом случае, мы докажем, что через каждую точку
области G проходит одна и только одна интегральная
кривая нашего уравнения. Такой кривой будет проходя-
проходящая через эту точку окружность с центром- в начале
координат или часть этой окружности.
Когда тождество B.14) не выполнено, иногда удает-
удается сравнительно легко привести дифференциальное урав-
уравнение B.13) к виду уравнения в полных дифференциа-
дифференциалах. Это приведение выполняется с помощью интегри-
интегрирующего множителя \i(x,y) — такой функции от х и у,
после" умножения на которую левая часть уравнения
B.13) обращается в полный дифференциал. Если функ-
функции М(х,у), N(x,y) и \l(x,у) имеют непрерывные про-
производные, то интегрирующий множитель \х(х,у) должеи
удовлетворять условию
д(цМ) _
ду ~ дх '
или в раскрытом виде
ду дх г \ дх ду ] v
Последнее есть линейное дифференциальное уравне-
уравнение с частными производными 1-го порядка. Для при-
приведения левой части B.13) к виду полного дифферен-
дифференциала достаточно знать-. какое-нибудь одно частное
решение уравнения B.17) '>; однако, как мы увидим
*) Очевидно, тривиальное рйцеиие уравнения B.17), равное тож-
тождественно нулю, не представляет интереса*

5 8] УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 36
в Дополнении, задача об отыскании такого частного
решения ничуть не проще задачи о нахождении общего
решения уравнения B.13).
ЗАДАЧИ
1. Будет ли во всей рассмотренной в примере области G
xdx+ydy
полным дифференциалом некоторой функции?
2. Тот же вопрос для
ydx—xdy
3. Докажите, что если уравнение B.13) с непрерывно диффе-
дифференцируемыми функциями М(х, у), N{x, у), удовлетворяющими
условию B.14)'я заданными в одиосвязиой области, обладает за-
замкнутой интегральной кривой, то внутри этой кривой найдется по
крайней мере одна точка (х0, уа), для которой М(ха, уц\ =
{ У)
4. Пусть условие B.14) выполнено в m-евязиой (т—2, 3,...)
юбласти, т. е. в области cm — 1 «дырами». (Дайте точное опреде-
определение m-связности.) Пусть, кроме того, функции М(х, у) и N(x, у)
непрерывно дифференцируемы и не обращаются одновременно в
1Нуль. Докажите," что при этих условиях уравнение интегральной
.линий, проходящей через точку (хя, уа) области, можно предста-
представить в виде B.16), где, однако, функция г(х, у) неоднозначная,
'Определенная с точностью до слагаемого niC^f... -f nm-iCm_[.
Здесь Ci Cm_i —вполне определенные постоянные (периоды),
¦& яь ".,ят_1 — произвольные целые числа. При каком условии
функция z(xr у) будет однозначной? Что будет при т=2? Чем
[различаются случаи соизмеримых и несоизмеримых периодов при
</п>2? Что будет для бесконечносвязНой области?
5. Пусть уравнение B.13) имеет -интегрирующий множитель
!fi(x, у), после умножения на который его левая часть обращается
¦в полный дифференциал некоторой функции z(x, у). Докажите, что
три этих условиях функция щ(г(х, у)), где f(z)—любая непре-
непрерывная функция от z, будет также интегрирующим множителем
уравнения B.13). Покажите также, что если все рассматриваемые
(функции непрерывны и |ЛГ(дсо, jto)| + |W(*o. Jfo)|>0, ц(*о, Уа)ФО,
то любой интегрирующий множитель уравнения B.13) в некоторой
'окрестности точки (дсо, Уа) можно представить в таком виде. (Од-
щако при рассмотрении области в целом последнее утверждение,
)вообще говоря, неверно.)

36 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. II
6. Пусть в некоторой области G функции Zi(x, у) и z2(x, у)
непрерывно дифференцируемы и
дх
ду
дх
дх
dzt
ду
dz2
~ду~
= 0.
Докажите, что тогда в некоторой окрестности любой точки G (но
не обязательно во всей области Gl) z2 будет функцией от zt.
7. Найдите интегрирующий множитель для линейного уравне-
уравнения, записанного в виде
dy— [a(x)y+b(x)]dx=Q.
8. Пусть М(х, у) и JV(jc, у) дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемы в прямоугольнике Q, причем ЫФО. Докажите, что при этом
условии для существования в Q непрерывного интегрирующего
множителя \хфО [лЛя уравнения B.13)], зависящего только от х,
необходимо и достаточно, чтобы в Q
N
[ дхду
ду*
ду [ дх
дМ
ду
}'
На этом мы закончим изложение элементарных прие-
приемов нахождения решений дифференциальных уравне-
уравнений 1-го порядка. Другие элементарные методы инте-
интегрирования дифференциальных уравнений изложены,
например, в книгах: В. В. Степанов. Курс диффе-
дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1959;
Н. М. Г юн тер, Р. О. Кузьмин. Сборник задач по
высшей математике. — М.: Физматгиз, 1958. Т. 2;
A. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциаль-
дифференциальным .уравнениям.—¦ М.: Наука, 1979. В основном эти
методы сводят различные дифференциальные уравне-
уравнения к уже разобранным нами типам 1).
Отметим здесь также некоторые курсы теории обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, вышедшие
в последние годы: В. И. Арнольд. Обыкновенные
дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971;
B. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обык-
¦' См. также Э. Камке. Справочник по обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.

§ 8] УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 37
новенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука,
1978; Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974; А. Н. Тихо-
Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. Диф-
Дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1979;
М. В. Федор ю'к. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. — М.: Наука, 1980; Ф. Хартман. Обык-
Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир,
1970.
ГЛАВА III
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальных уравнений, интегралы которых
находятся элементарными приемами, немного. Уже ин-
интегрирование дифференциальных уравнений типа Рик-
кати, т. е. уравнений вида
-J- =а2{х)у* + al{x)y + ao(x),
как показал в 1841 г. Лиувилль, не сводится к квадра-
квадратурам '\ т.. е. к конечной последовательности элементар-
элементарных действий над известными функциями и интегриро-
интегрирований этих функций (подобно тому как это делалось
в § 3—8). Поэтому большое значение приобретают прие-
приемы приближенного решения дифференциальных уравне-
уравнений, применимые к очень широким классам таких урав-
уравнений. Но прежде чем приступить к приближенному на-
нахождению решений, надо быть уверенными в том, что
они существуют, т. е. существует то, что будем прибли-
приближенно вычислять. Начало настоящей главы и посвяще-
посвящено таким теоремам существования. К тому же доказа-
доказательства этих теорем часто указывают и методы при-
приближенного нахождения решений (см., например,
§ 9, 13, Ни 17).
*> Вопросы интегрируемости в квадратурах рассмотрены, напри-
например, в кн.: И. Капланскнй,- Введение в дифференциальную ал-
алгебру. — М.: ИЛ, 1959.

№ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. lit
§ 9. Ломаные Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение
У'Ч(х, У). C.1)
Область задания функции f(x,y) назовем G. Как
мы уже знаем, уравнение C.1) определяет в G поле
направлений, которые должны иметь интегральные ли-
линии.
Возьмем в области G какую-нибудь точку (хо,уо).
Ей будет соответствовать проходящая через эту точку
прямая с угловым кбэффициентом f(xo,yo). На этой
прямой в области G возьмем точку (xuyi) (на рис. 6
обозначена цифрой 1). Через точку (хиУ\) проведем
прямую с угловым коэффициентом f(x\,yi), на которой
мы отметим-принадлежащую G точку (х2, г/г) (на рис.6
обозначена цифрой 2). Затем на прямой, соответствую-
соответствующей точке (хг.гуг), отмечаем точку (х3,Уз) и т. д. Пусть
при этом Хо<.х{<Х2<Хз... (это построение можно вы-
выполнять и в сторону убывающих значений х). Получим
ломаные линии, которые назы-
называют ломаными Эйлера. Естест-
Естественно ожидать, что каждая из
ломаных Эйлера с достаточно
короткими звеньями дает некото-
некоторое представление об интеграль-
интегральной кривой, проходящей через
* точку (хо, уо), и что при умеяьше-
Рис. 6 нии длин звеньев ломаные Эйле-
Эйлера приближаются к этой инте-
интегральной кривой; при этом предполагается, что такая
интегральная кривая существует. В самом деле, ниже
мы покажем, что при непрерывнее™ f(x,y) можно вы-
выбрать такую последовательность ломаных Эйлера, кото-
которая будет сходиться к интегральной кривой. Однако
при этом вообще не будет единственности, т. е. могут
существовать различные интегральные кривые, прохо-
проходящие через одну и ту же точку (х0> г/о) • М. А. Лаврен-
Лаврентьев построил пример такого дифференциального урав-
уравнения вида C.1), у которого хотя f{x,y) и непрерывна,
однако в любой окрестности каждой точки области G
через эту точку проходит не одна, а по крайней мере

§ 10] ТЕОРЕМА АРЦЕЛЯ 39-
две интегральные кривые •>. Чтобы через точку (хо, г/о)
проходила только одна интегральная кривая, необходи-
необходимы дополнительные предположения о функции f{x, у).
Доказательство существования проходящей .через
точку (хо, г/о) интегральной кривой дифференциального
уравнения C.1), которое мы .здесь изложим, основано
на теореме Арцеля и принадлежит в основном Пеано.
Очевидно, каждая из таких кривых будет служить гра-
графиком некоторого решения дифференциального уравне-
уравнения C.1).
ЗАДАЧА
Пусть функция f(x, у) задана иа полосе
(а<~а'\,
где она непрерывна и ограничена. Покажите, что для уравнения
C.1) совокупность всех ломаных Эйлера, выходящих из точки
(а, 6), заполняет' множество Е, ограниченное сверху линией у—
—<Pi(x), a^x^ef, выпуклость которой обращена вниз, снизу линией
«/=ф2(х), a^x^cf, выпуклость которой* обращена вверх, а справа
прямой х=а'. При этом
[=<p'2(a)=f(a, Ь);
в каждой точке х правая и левая производные q>i(x) не меньше
f(x, (pi(x)), а правая и левая производные щ{х) ие больше f(x,
4>*(х)). Сами линии y=±<pi(x) и у=фг{дс) могут частично илн це-
целиком принадлежать Е.
§ 10. Теорема Арцеля
Пусть на точечном интервале (а, Ь) 2> дано семей-
семейство {f (x)}, состоящее из бесконечного множества функ-
функций f(x), равномерно ограниченных и равностепенно не-
непрерывных. Тогда из этого семейства можно выбрать
равномерно сходящуюся на (а, Ь) бесконечную после-
последовательность функций.
*> Sut une equation differentielle du premier ordre. — Math, Zeit-
schrift, B. 23^1925), 197—209.
2) Безразлично, замкнут этот интервал или открыт, т. е. присое-
присоединены к нему его концы илн нет.

40
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ
[гл. III
Равномерная ограниченность здесь означает, что су-
существует такая постоянная М, что
\f(x)\<M,
где f(x) — любая функция семейства их — любое чис-
число из интервала (а, Ь). Выражение «функции семейства
равностепенно непрерывны» означает следующее: како-
каково бы ни было наперед заданное число е>0, найдется
такое число т)>0, зависящее только, от е, что
\f(x")-f(x')\<s
для всякой функции f(x) рассматриваемого семейства
при любых х" и х' из интервала (а, Ь), если только,
\х" — х'\<ц.
Доказательство1). В силу равномерной ограни-
ограниченности семейства все графики принадлежащих ему
функций будут расположены в прямоугольнике ABCD
(рис. 7) со сторонами 2М и Ъ—а.
Составим бесконечную последовательность чисел
е, =¦
М
м
М
ВТ Ж
а
щ
W/A
W/y.
WA
W//,
Ш
щ
ш
'Ш,
'Щ
р
ж
Ж
ш.
ь
)х
г
1
где а — какое-нибудь целое
положительное число или
нуль. По определению равно-
равностепенной непрерывности каж-
каждому числу Sk будет соответ-
соответствовать т)* = т)(е*).
Разобьем вертикальную
сторону прямоугольника
ABCD на отрезки длиной еь
горизонтальную же сторону
этого прямоугольника разобь-
разобьем на отрезки, длина каждо-
каждого из которых н& превышает щ. Через получен-
полученные точки проведем прямые, параллельные координат-
координатным осям. Таким образом, весь прямоугольник ABCD
разобьется на меньшие прямоугольники. Вертикальные
¦' Это доказательство мне сообщил Л. А. Люстериик.
Рис. 7

§ 10] ТЕОРЕМА АРЦЕЛЯ 41
полосы, составленные из таких прямоугольников, будем
обозначать римскими цифрами: I, II, ... Так как
\f(x") — f(x') |<8i при \х"~х'|<гц, то график каждой
функции семейства {f(x)} может проходить не больше
чем по двум соседним прямоугольникам каждой поло-
полосы, в частности полосы I. Но таких пар прямоугольни-
прямоугольников из полосы I имеется только конечное число; следо-
следовательно, по крайней мере по одной такой паре прохо-
проходит бесконечное множество графиков функций рассмат-
рассматриваемого семейства. Эта пара прямоугольников на
рис. 7 (где положено а=1) заштрихована. Будем те-
теперь рассматривать те функции семейства, графики ко-
которых в, полосе I проходят только по заштрихованным
прямоугольникам. Таких функций, как мы уже говори-
говорили, бесконечное множество. В полосе II, как легко ви-
видеть, все их графики могут проходить лишь по четырем
прямоугольникам этой полосы, график же каждой та-
такой функции может проходить только по двум сосед-
соседним из них.
Следовательно, существуют два таких соседних пря-
прямоугольника на полосе II, по которым проходит беско-
бесконечное множество графиков функций данного семейства,
и притом таких, которые и на полосе I проходят только
по заштрихованным прямоугольникам. Эти прямоуголь-
прямоугольники полосы II у нас также заштрихованы. Рассуждая
и дальше таким же образом, мы найдем целую полосу,
расположенную над всем интервалом (а, Ь), шириной
2еь по которой проходит бесконечное множество гра-
графиков семейства {f(x)}. Эта полоска st у нас заштрихо-
заштрихована. Возьмем из этих графиков один какой-нибудь;
пусть это будет график функции fl (x). Семейство
оставшихся функций, графики которых проходят по sj,
обозначим через {Ji(x)}.
С семейством функций {fi{x)} проделаем то же, что
мы проделали с семейством (f{x)}, с той только разни:
цей, что теперь вместо ej возьмем ег и вместо tji возь-
возьмем т]2- Тогда получим полоску S2 шириной 2е2, по ко-
которой проходят графики бесконечного множества функ-
функций из семейства {fi(x)}. Одну из этих функций обо-
обозначим через /г (х), а семейство всех остальных таких
функций обозначим через {/г(х)}. Продолжая эти рас-
рассуждения, мы получим, таким образом, бесконечную

42 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ (гЛ. Ш
последовательность функций
Графики всех этих функций, начиная с fk (х), лежат
М „
в полоске Sk шириной —к+а_^ . Следовательно, эта по-
последовательность равномерно сходится, что и требова-
требовалось доказать.
ЗАДАЧИ
1. Покажите на примерах, что как условие равномерной огра-
ограниченности, так н условие равностепенной непрерывности являются
существенными в формулировке теоремы Арцеля: если отказаться
хотя бы от одного из них, то утверждение может быть неверным.
2. Сформулируйте и докажите теорему Арцеля для функций
нескольких независимых переменных.
3. Останется ли верной теорема Арцеля, если в ее формулиров-
формулировке допустить, что рассматриваемые функции заданы на бесконеч-
бесконечном интервале?
4. Покажите, что в формулировке теоремы Арцеля вместо рав-
равномерной ограниченности функций на "всем рассматриваемом интер-
интервале достаточно потребовать ограниченность всего семейства функ-
функций в одной только точке.
§11. Доказательство существования решения
дифференциального уравнения y'—f(x, у)' методом
Пеано
Пусть дано дифференциальное уравнение
У'Ч{х,у). C.2)
Теорема 1. Если функция f(x,y) ограничена и не-
непрерывна в области G, то через каждую точку (х0, г/о)
этой области проходит по крайней мере одна интеграль-
интегральная линия уравнения C.2).
Доказательство. Пусть
\f(x,y)\<M.
Через точку (хо,уо) области G проведем прямые
с угловыми коэффициентами М и ¦—М. Проведем далее
две прямые х=а и х=Ъ (а<хо<Ь), параллельные оси
Оу, так, чтобы образуемые ими два равнобедренных
треугольника с общей вершиной в точке (хо, у0) лежали
внутри области G (рис. 8).

§ 11]
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ У'=К*, У) 43
Построим теперь указанным в § 9 способом беско-
бесконечную последовательность ломаных Эйлера Lu L2, ...
..., Lk, ..., проходящих через точку (х0, уо),. таким об-
образом, чтобы наибольшее из
звеньев линии Lk стремилось
к нулю, когда ?->-оо. Каждая
из этих ломаных будет пере-
пересекаться прямой, параллель-
параллельной оси Оу, только в одной
точке и будет поэтому графи- „
ком некоторой непрерывной
функции от х. Пусть Lk явля-
является графиком функции Рис- 8
<pk(x). Функции
обладают следующими свойствами:
1) Они определены на одном и том же конечном
замкнутом интервале [а, &]¦>. В самом деле, функция
(fk(x) могла бы не быть определенной на всем этом ин-
интервале только в том случае, если бы соответствующая
ей ломаная Эйлера вышла из области G где-нибудь над
замкнутым интервалом [а, Ь]. Но этого не может быть
потому, что ломаные Эйлера не могут выйти из тре-
треугольников ABC и ADE через стороны BE или DC, так
как угловые коэффициенты их звеньев по абсолютному
значению не больше М.
2) Они равномерно ограничены, так как все их гра-
графики располагаются в треугольниках ABC и ADE.
3) Оценивая разность
по абсолютной величине, имеем
\щ(х")-щ{х')\<.М\х" -х'\.
Отсюда следует, что семейство C.3) равностепенно
непрерывно. Поэтому на основании теоремы Арцеля из
*' Мы обозначаем замкнутый интервал квадратными скобками,
сохраняя круглые скобки для обозначения открытых интервалов.

44 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. Ш
семейства функций C.3) можно выбрать равномерно
сходящуюся на всем замкнутом интервале {а, Ь] подпо-
подпоследовательность. Пусть это будут функции
Предельную функцию обозначим через <р (х).
Ясно, что начальное условие ц>(хо)=уо удовлетво-
удовлетворяется.
Докажем теперь, что функция у(х) удовлетворяет
данному дифференциальному уравнению C.2) внутри
интервала (*о, Ь) (аналогичные рассуждения примени-
применимы к интервалу (а, Хо)). Для этого возьмем внутри ин-
интервала (х0, Ь) произвольную точку х' и покажем, что
при любом положительном е
;-е, C.4)
х"—х'
если только \х" — х'\ достаточно мало. Для того же,
чтобы доказать C.4), достаточно показать, что если
\х" — х'\ достаточно мало» то при достаточно боль-
больших k
X —X
так как при k -* оо
В силу непрерывности f(x,y) в области G любому
е>0 будет соответствовать такое т]>0, что всегда
f(x',y')-E<f(X,y)<f(x',y')+B 0/' = ф(*')) '>,
как только
, \у — у'
Совокупность точек (х, у) области G, удовлетворяю-
удовлетворяющих последним неравенствам, образует (при достаточно
малом ti) прямоугольник Q (рис. 9). Выберем теперь К
" Конечно, здесь у' — не производная, з значение у.

§ 111
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ У'=К*> У) 45
настолько большим, чтобы для всех k>K на интервале
(а, Ь) было
и чтобы все звенья линии Lh были короче ц. Из послед-
последнего неравенства следует, что все ломаные Эйлера
при &•>/( и U-—
—х'|<2т] будут целиком со- т
держаться в Q.
С другой стороны,
их.
их
Согласно предыдущему
Ах
Рис. 9
всюду, где она суще-
существует, заключена между f(x',y') — & и / (х\ у') + е, если
\х" — х'\<1}1\ Отсюда,-считая для определенности, что
х">х', получим
[/ (х', у') - е] (*" - х') <>ф<*>(х") - ср<« {*)<
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Предыдущие рассуждения, будучи
проведены для интервала (#о, Ь) и х'=хо, показывают,
что «правая» производная от у(х) при х=х0, т. е.
)—ф(ДГо)
lim
х"—х0
равна f(x0, ф(о))
Точно так же предыдущие рассуждения, будучи про-
проведены для интервала (х0, Ь) и х'=Ь, показывают, что
>) Мы взяли прямоугольник Q, для которого I*—*'! меньше 2т),
а не просто т), затем, чтобы иметь возможность оценить угловой ко-
коэффициент крайнего левого звена ломаной Эйлера, проходящей меж-
между прямыми х—х'—г) и *=*'+т], если ее начальная точка лежит ле-
левее точки (х', у'). Начало этого звена может не находиться в этой
полоске, но при достаточной малости этого звена оно ^ обязательно
находится в полосе между прямыми х—х'—2т) и х—х'.

46 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
«левая» производная от ц>(х) при x=k, т. е.
Urn (p(*")-(p(fe),
х'^.Ь-0 Х"—Ъ
равна f(b, (p(b)). Аналогичные утверждения получают-
получаются для концов интервала (а, Хо).
Замечание 2. Теорема 1 остается справедливой,
если требовать от f(x, у) только непрерывность в G.
В самом деле, выберем какую-либо ограниченную об-
область G', содержащую точку (хо, Уо) и содержащуюся
в G вместе со своим замыканием. Тогда функция f(x,y)
ограничена на G' (почему?), и, заменив G на G', можно
применить все предыдущие рассуждения.
Изложенными рассуждениями мы построили функ-
функцию <р(х), которая при х—хо обращается в у0 и удов-
удовлетворяет уравнению C.2) только на замкнутом интер-
интервале [(I, b]. Рассмотрим один из концов, например пра-
правый, построенного куска линии у=у(х). Так как по
построению он лежит внутри G, то, взяв вместо (хо, у0)
точку (b, <p(b)), можно применить теорему 1, ограни-
ограничившись построением решения в сторону х>>Ь. Таким
образом, мы получим решение <р(дс) уже на интервале
[a, b{\ (,fei>6), т. е. получим продолжение первоначаль-
первоначально построенного куска интегральной линии. Затем мож-
можно, взяв вместо (хо, уо) точку (b\, q>(bi)), вновь приме-
применить теорему 1 и получить продолжение решения на
интервал [a, b2] (&2>&i) и т. д. Аналогично можно про-
продолжать решения" влево, т. е. в сторону убывания х.
Возникает вопрос о том, что мы можем получить
в результате такого продолжения.
Решение ц>{х) какого-либо дифференциального урав-
уравнения, заданное на отрезке a<x*s.fi, назовем продол-
продолжаемым вправо (влево), если существует решение <pi (x)
того же уравнения, заданное на отрезке a<:x<Pi
(ai<.*:<:р), причем Pi>{$ (ai<a) и '<f\ {x) = <р(х) при
а<х<:р. Решение, не продолжаемое ни вправо, ни вле-
влево, называется непродолжаемым. Аналогично опреде-
определяется продолжаемость и непродолжаемость решения,
заданного на открытом или полуоткрытом интервалах.
Из рассуждений, приведенных после замечаний 2,
вытекает, что если правая часть уравнения C.2) опре-
определена и непрерывна в области G, то любое его. реше-

§ И1
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ V'4<*> У) 47
ние, определенное на замкнутом или полуоткрытом ин-.
тервале, всегда продолжаемо. Непродолжаемые реше-
решения можно охарактеризовать следующим образом.
Теорема 2. Пусть функция f{x,y) определена и
непрерывна в области G. Тогда для непродолжаемости
решения <р(х) (а<х<р) уравнения C.2) вправо {влево)
необходимо и достаточно выполнения по крайней мере
одного из трех условий:
1) р=+оо (а =—оо);
2) \у(х)\-- + оо при х->р—0 (*->а+0);
3) расстояние от точки (х, <р (х)) до границы G
стремится к нулю при х->-р—0 (х-*-а+0).
Доказательство. Будем для определенности рас-
рассматривать продолжаемость вправо. Если решение <р(х)
(а<х<р) продолжаемо вправо хотя бы на полуоткры-
полуоткрытый интервал a<x*g.$, то продолженная функция <р
должна быть непрерывной, а точка (р, <р(Р)) должна
находиться в области G. Но это невозможно при вы-
выполнении хотя бы одного из условий 1).—3), т. е. до-
достаточность каждого из них для непродолжаемости ре-
решения доказана.
Для доказательства необходимости допустим, что ни
одно из условий 1)-^3) не выполнено, и докажем, что.
тогда решение можно продолжить. Обозначим
р= lim
q= lim <
ж—Р— 0
(-
и докажем, что p = q. В самом «,
деле, пусть p<q. Все точки ин-
интервала (*=Р, р<У<я) явля-
являются предельными точками для
графика решения и потому пре-
предельными для G. Если бы все .
они принадлежали границе G, то
было бы выполнено условие 3),
что невозможно; значит, имеется
точка (р, г) (p<r<q), принад-
принадлежащая G. Выберем е>0 так,
чтобы прямоугольник П: р—е<
г—e<i/<:r+e, целиком
г+е
содержался в G, причем р<г—е, °
r-j-e<<7- Тогда функция / на П
Рис. 10

48 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
ограничена, max|f| = #< + оо1 а график функции <р(л;)
при х->-$—0 бесконечно много раз переходит от верхней
стороны П к нижней и обратно (рис. 10). Но в силу
уравнения C.2) и формулы конечных приращений каж-
каждый такой переход совершается на интервале оси х,
длина которого не меньше 2e/N, тем самым переходов
на интервале В—e<*<jB может.быть не больше NJ2, и
мы пришли к противоречию
Итак, p=q. Так как условие 2) не выполнено, то это
значение конечно, т. е. предел lim <р(л:) существует.
*-»&—0
Положив значение <р(Р) равным этому пределу, мы ви-
видим, что точка (р, <р(В)) принадлежит G, так как усло-
условие 3) не выполнено. Но в силу уравнения C.2), предел
Птф'(л;) существует и равен /(В, ф(В)). Значит,
дс-»Р—0
при <х<л:<р по формуле конечных приращений
= / (Е. Ф (?)) - / (Р. Ф (Р))
при *->-р—0, а потому функция (р(х) удовлетворяет
уравнению C.2) и при * = р, т.. е. является продолже-
продолжением исходного решения на полуоткрытый интервал
<х<х<В. Теорема 2 доказана.
Замечание. Если область G ограничена, то слу-
случаи 1) и 2) отпадают, и потому всякое непродолжаемое
решение удовлетворяет условию 3). Если, кроме того,
функция / на G ограничена, то при хи *2-*-В—0
(x2<xi)
Ф (*i) — <Р (*г) = (Xi — х2) ф'
а потому по известному общему критерию Крши суще-
существования предела получаем, что для непродолжаемого
решения w(x) (a<x<&) существует lim ф(*). С дру-
де-.р-0
гой стороны, если область G содержит полуплоскость
х>х0 (х<.х0) (a<xo<iP), то отпадает'случай 3).
Теорема 3. Пусть функция f(x,y) определена и
непрерывна в области G., Тогда через каждую точку
(хо, Уо) этой области проходит график по крййней мере
одного непродолжаемого решения уравнения C.2).

§ 111 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ У' — / (*. у) 49
Доказательство. Будем строить решение толь-
только в направлении возрастания х. Обозначим через /Со
прямоугольник *о<*-<*о + Го, [у — Уо)<-го, где го равно
половине кратчайшего расстояния от точки (л;0, г/о) до
границы G, если G не совпадает со всей плоскостью,
и го=1, если G есть вся плоскость х, у. Пусть
Afo=.max|/|; тогда по методу, примененному при до-
казательстве теоремы 1, решение ф(я), удовлетворяю-
удовлетворяющее заданному начальному условию, будет построено
на интервале xo<.x*?.XQ + ho, где Ао = min I г0, —^-1. Те-
перь обозначим xi = , y p(), {
\У—yilo'^.rpfi Г\ определено аналогично г0, продолжим
решение на интервал h
= min |rlt -^-J, M1=max\f\ \
и т. д. Этот процесс можно продолжать неограниченно,
в результате чего решение <р(л:) будет построено при
р где р= limxn<+оо.
п-ю»
Докажем, что построенное решение непродолжае-
мо вправо. Это ясно, если р=+оо, или р< + оо,
|ф(лс)| —> + оо, или lim ф(л;)< lim ср(х), так
как в каждом из этих случаев функцию <р(х) нельзя
доопределить при я = р с сохранением непрерывности.
Значит, остается случай, когда р< + оо и у(х) при
*->-{$—0 имеет предел уш. Но тогда д;п->р, <р(хпУ-*-уа.
(п^-<х>), и потому если точка (Р, уа) принадлежит G,
то гп-+гш, Мп^-Мш, ftn->A«>, где ги, Мш, К определены
для этой точки так же, как го, М<ь ho для точки (хо, уо);
но тогда все /in>const>0, т. е. лГ„-> + оо, и мы прихо-
приходим к противоречию. Значит, точка (р, уа) принадле-
принадлежит границе G, а потому решение q>(x) непродолжаемо
вправо.
Аналогично рассматривается продолжение решения
в сторону убывания х. Теорема 3 доказана.

общая Теория уравнений [гл. ш
ЗАДАЧИ
1. Пусть функция {(х, у) определена и непрерывна в замкну-
замкнутой области G. Докажите, что тогда утверждение теоремы 3
остается справедливым, утверждение же теоремы 2 приобретает
следующий вид: если решение <р{х) уравнения C.2) непродолжае-
мо вправо, то либо область определения функции <$(х) содержит
некоторый полуоткрытый интервал #osC*<p\ причем р= + °° или
|ф(*I— > +оо, либо же эта область содержит отрезок'#o<#<Pi
Ж-+Р-0
причем точка (f$, q>({5)). принадлежит границе области G. (Анало-
(Аналогично формулируются необходимые условия непродолжаемости
влево.)
2. Докажите, что' если область G ограничена, а функция f на
G ограничена сверху или снизу, то для непродолжаемого решения*
ф(#)(а<лг<Р) существует lim ф(х).
. де->р—о
3. Пусть область G представляет собой полосу а<х<а', при-
причем /' непрерывна и ограничена на G. Может быть, что через неко-
некоторую точку {хо, уо) этой области проходит более чем одна ин-
интегральная лнння уравнения C.2). Докажите, что тогда найдутся
две интегральные линии y=q>i(x) н г/=фг(#) этого уравнения (наи-
(наибольшее и наименьшее решения (Монтель)), причем q>i(Xo) =
—ф2(*о)=0о1 ф2(#)^ф1(#). а<.х<а', и вся часть полосы G меж-
между линиями y=(fi(x) и у=^(х) целиком заполнена интегральными
линиями, проходящими через (х<>, у а), а вне этой части нет ни од-
одной интегральной линнн, проходящей через эту точку.
4. Докажите теорему о существовании решения уравнения
C.2) следующим образом (метод Перрона). Назовем верхней
функцией на интервале (х0, Ь) (см.. рис. 8) всякую непрерывно
дифференцируемую функцию ^=ф(#), график которой проходит
целиком по С в для которой
Тогда: а) верхние функции существуют; б) нижняя грань всех
верхних функций является решением уравнения C.2), график ко-
которого проходит через точку (хо, г/о) (именно наибольшим реше-
решением, см. задачу 3). Аналогично можно было бы определить ниж-
нижние функции и взять их верхнюю грань. То же можно сделать и
для х<х0.
5. Пусть на области G заданы две ограниченные функции
t(x, у) и F{x, у), причем всюду
F(x, y}>f(x, у).
Предполагается, что функция F(x, у) полунепрерывна сверху, а
функция f{x, у) полунепрерывна снизу. Это значит, что
F(x,y)=HmF(t,s),

§ 12] ТЕОРЕМА ОСГУДА О ЕДИНСТВЕННОСТИ 51
соответственно
f{x,y)=\lmf(t,s).
t-*x,
s-*y
Тогда через любую точку (хо, г/о) рассматриваемой области прохо-
проходит по крайней мере одна линия у=<р(х), для любой точки кото-
которой при Дх-»-0 все предельные значения отношения
Длг
заключены между F(x, у) н f(x, у). Вообще говоря, через каждую
точку (хо, уо) ¦ проходит много таких кривых; среди ннх сущест-
существует наибольшая и наименьшая в смысле, указанном в задаче 3.
§ 12. Теорема Осгуда
о единственности
Теорема. Если функция f(x,y) для любой пары
точек (х, г/i) и (х, у2) области G удовлетворяет усло-
условию
\f(x, У2)Ч(х, yi)l«S>{\y*-yi\), C.5)
где Ф(ы)>0 при 0<ы<с, непрерывна и такова, что
с
Г *~°о, когда е->0, то через каждую точку
J Ф(«)
в
(х0, уо) области G проходит не больше одной интеграль-
интегральной линии уравнения C.2).
Такими функциями Ф(ы) могут быть, в частности,
следующие функции:
Ки, Кы|1пы|, #и|1пи|-1п|1пи|,
/Си|1пи|.1п|1пи|-1п1п|1пи|
и т. д. (К означает некоторую положительную постоян-
постоянную) .
Особенно часто применяют теорему о единственно-
единственности, полагая Ф(и)=Ки. В этом случае условие .C.5)
перепишется так:
-yil C.6)
Условие C.6) называется условием Липшица по у.

52 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
В частности, если область G выпукла по у!), то этому
условию удовлетворяют функции, имеющие ограничен-
ограниченную в G частную производную . по у. Действительно,
применяя в этом случае теорему Лагранжа, мы получим
Здесь К означает верхнюю грань значений \fy\.
Доказательство. Пусть существуют два таких
решения yi(x) и у2(х), что
Будем считать хо = О, так как мы всегда можем до-
достичь этого заменой х на х+х0. Положим
Так как У2(х)Фу\{х), то найдется такое х\, что
г{х{)Ф0. Можно всегда считать z(xi)>0, так как про-
противоположный случай сведется к этому, если вместо
разности #2(#) — yi(x) обозначить через z(x) разность
У\{х)—уг(х). Точно так же, не ограничивая общности,
можно считать, что Х\>0, так как противоположный
случай сводится к этому заменой-х на —х.
Заметим далее, что
<2Щуг~У1\), C.7)
если
\Уг — У\\>0.
Построим теперь решение у(х) уравнения
которое при x=Xi обращается в z(x\)—Z\. Такое реше-
решение существует и единственно (см. § 4). График этого
*> Мы называем область G выпуклой по у, если параллельный
оси у отрезок АВ, соединяющий две какие-нибудь точки Л, и В
этой рбласти,~целиком лежит внутри этой области.

12]
ТЕОРЕМА ОСГУДА О ЕДИНСТВЕННОСТИ
53
решения будет асимптотически приближаться к отрица-
отрицательной части оси Ох и нигде ее не пересечет (рис. 11).
В точке (хи Zi) кривые z{x) и у(х) пересекутся. Из
неравенства
г'(х1)<2Ф(г1)=2Ф(у(х1))=у'(х1)
непосредственно следует существование такого интер-
интервала (xi — 8, х\), 8>0, на котором
г(х)>у(х).
Но это же неравенство
имеет место, прн всяком б, ес-
если 0<б<Хь так как в против-
противном случае, взяв для б его
наибольшее возможное значе-
,ние, мы немедленно пришли
бы к противоречию. Действи-
тельно, тогда при х=Х\—е = х2
мы имели бы
р с 11
так как правее точки х2
г(х)>у(х).
С другой стороны, проводя рассуждения, аналогич-
аналогичные тем, которые привели нас к C.7), получим
г'(х2)<2Ф(г(х2)),
что противоречит предыдущему.
Значит, при всяком х, если только 0<х^хи
г(х)>у(х)>0,
в частности z@)>0, а это противоречит нашему перво-
первоначальному предположению.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что если Ф@)=0 и AУ@)=0, то функция f(x, у),
удовлетворяющая условию C.5), обязана быть постоянной по у,
если область G выпукла по у. Так будет, в частности, если Ф(и) =
1
р
2. Докажите, что если в условии теоремы в качестве Ф (и)
взять непрерывную функцию (Ф(и)>0 при 0<w^c), график ко-

54 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
СХО-
u
торой обращен выпуклостью вверх, причем интеграл \ ¦
о
дится, то утверждение теоремы несправедливо, т. е. существует
функция f(x, у), удовлетворяющая условию C.5), и притом такая,
что через некоторую точку области G проходит более одной инте-
. тральной линии уравнения C.2).
3. Докажите, что если Ф@)=0 и Ф'@) существует, то
е
Г du
\ = оо, т. е. функция Ф(м) удовлетворяет условиям теоре-
о
мы Осгуда.
4. Если в теореме Осгуда за Ф(и) бр'ать функции Ки,
Ки\1пи\ и т. д., то мы будем получать.все более слабые огра-
ограничения на функции f(x, у), т. е. все более сильные теоремы. До-
Докажите, что нельзя получить <самой сильной» теоремы этого рода.
Иначе говоря, докажите, что если Ф(и) удовлетворяет упомянутым
в формулировке Теоремы условиям, то всегда существует функция
Ф[(и), удовлетворяющая тем же условиям, для которой
при и->-0.
5. Как известно из анализа, если функция f(x, у), заданная в
некоторой области G, непрерывна по каждому из переменных х и
у в отдельности, то она может не быть непрерывной по совокуп-
совокупности [х, у). Докажите, что если / непрерывна по х и удовлетво-
удовлетворяет условию C.5), где Ф(«) —* 0, то / непрерывна в области G
ц->ю
по совокупности (х, у). Справедливо ли это утверждение для
функции, заданной на квадрате, круге, треугольнике вместе с их
границами?
6. Докажите, что если -—— непрерывна в области G, то имеет
место единственность решения, график которого проходит через
заданную точку области G. Достаточно ли требовать только су-
существования этой производной?
7. Пусть при Хо^х<Ь заданы непрерывно дифференцируемые
функции у{х), г(х), и(х), причем
у (х0) = 2 (Хо) = и (*о) = Уо,
где точка (х0, у„) лежит в некоторой области G, иа которой опре-
определена непрерывная функции f(x, у). Пусть всюду на этом интер-
интервале
VW-H*. У); *(x)>f(x, z), u'(x)>f(x, и).
Докажите, что тогда при х>х0 всюду z(x)>y(x). Если до-
дополнительно потребовать, чтобы через каждую точку (х, у(х)) (при
x^x<b) проходила только одна интегральнаи линия у=у\х)

«12] ТЕОРЕМА ОСГУДА О ЕДИНСТВЕННОСТИ 55
уравнения C.2), то и(х)^у(х) при всех Ate[x0, 6). Покажите, что
это дополнительное требование является существенным.
Распространите утверждение на случай, когда от функций z (At)
и и{х) требуется только непрерывность и существование правой
(или левой) производной.
8. Пусть функция f(x, у) в полосе a^x^ib, —оо<г/<оо непре-
непрерывна и удовлетворяет оценке \{(х, у)\^Ф(\у\), где функция
4r(z)>0 непрерывна и I m/js" = .oo для любого Л'>0. Докажи-
N
те, что тогда при любых начальных условиях решение можно про-
продолжить на весь отрезок а^х^Ь. (Это верно и для 4?(z)^sO.)
Приведите пример непрерывной функции Чг(г)>0 @^г<оо), для
9
С dz С dz
которой \ = об, но \ ц,/ I' "^ ^ для лкNого е>0. Что от-
о , о
сюда следует для продолжения решений? Возможен ли такой при-
пример для монотонной функции *Р(г)?
9. Пусть y=Y{x) (a^x^Lb) есть наибольшее решение уравне-
уравнения C.2) с непрерывной правой частью при начальных условиях:
х=Хь F(a;o)=J/o, причем кривая y=Y(x) целиком лежит внутри G.
Пусть, далее, Кп (х) есть наибольшее решение уравнения C.2) при
начальных условиях х=хп, Уп(хп)=Уп, причем yn^Y(xn) и
хп-+-Хо, Уп~>-Уо при п-*-оо. Покажите, что тогда Yn(x) прн доста-
достаточно большом п будет существовать на всем отрезке [о, Ь] и при
я-»-оо Yn(x) будет равномерно на этом отрезке сходиться к Y(x).
Ср. задачу 3 § П.
10. Пусть уп(х) есть решение уравнения
dy
где <рп(х, ?/)>0 и верхняя грань, значений <рп(х, у) иа G стре-
стремится к 0 при я->оо, с начальными условиями у(хо)=у0. Точка
(хд, j/o)eG, f(x, у) и <fn{x, у) считаются непрерывными. Пусть
y=Y(x) определено, как в предыдущей задаче. Докажите, что при
этих условиях уп {х) при я->оо будет равномерно сходиться на от-
отрезке [х0, Ь] кУ(х).
11. Докажите теорему о единственности решения в более об-
общих предположениях, если C.5) заменено .на неравенство
\f(x, У*)-Пх, У1)\<Ъ(х)Ф(\у2-у1\),
которое должно выполняться всюду в G, кроме конечного числа
значений х (впрочем, в этом пункте возможно существенное обоб-
обобщение). При этом функция Ф та же, что в теореме Осгуда, а функ-
функция 1)>(л:)>0 непрерывна всюду, кроме, 'быть может, указанных
ь
значений х, причем |ij)(x)cte<oo на любом конечном, интервале
^ а
(а, Ь). (Существенно ли последнее условие?}

56 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
§ 13. Дополнение
о ломаных Эйлера
Теорема. Если существует только одно проходя-
проходящее через точку (хо,уо) решение q(x) уравнения C.2)
с непрерывной правой частью, то всякая последователь-
последовательность выходящих из точки (х0, г/о) ломаных Эйлера
(точнее, последовательность функций, графиками кото-
которых служат эти ломаные), у которых длина наиболь-
наибольшего из звеньев стремится к нулю, равномерно прибли-
приближается на замкнутом интервале [а, Ь], о котором шла
речь в теореме 1 § 11, к этому единственному решению.
Доказательство. Для доказательства теоремы,
очевидно, достаточно показать, что при любом положи-
положительном б существует только конечное число ломаных
Эйлера из рассматриваемой последовательности, не
расположенных целиком между линиями z/=<p(x)+e
и у = <р(х) — б при a<x<ft. Последнее утверждение лег-
легко доказать от противного. В самом деле, допустив про-
противное, мы получим бесконечную' последовательность
проходящих через точку (х0, г/о) ломаных Эйлера, у ко-
которых длина наибольшего из звеньев стремится к нулю
с возрастанием номера и ни одна из которых не лежит
целиком между линиями y = q>(x)±E. Тогда, применяя
к этой последовательности рассуждения, проведенные
при доказательстве теоремы 1 § 11, мы найдем после-
последовательность ломаных Эйлера, которая равномерно
схбдится к интегральной линии, проходящей через точ-
точку (хо,Уо) и отличной от линии y = q(x). А этого быть
не может в силу предполагаемой единственности инте-
интегральной кривой уравнения C.2), проходящей через
точку (хо,уо).
Отметим в заключение, что многие методы числен-
численного интегрирования дифференциальных уравнений
представляют собой то или иное непосредственное уточ-
уточнение (улучшающее скорость аппроксимации) метода
ломаных Эйлера.
ЗАДАЧИ
1. Приведите пример уравнения C.2) с непрерывной правой
частью и для него последовательность проходящих через точку (х0,
г/о) ломаных Эйлера со стремящейся к нулю длиной наибольшего

§ 14] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 57
из звеньев, причем последовательность функций, графически пред-
представленных этими ломаными, ие сходится ни при одном значении
х, кроме х=х0.
2. Приведите пример уравнения C.2) с непрерывной правой
частью, для которого предел любой последовательности ломаных
Эйлера, начинающихся в произвольной точке, при стремлении к
нулю длины наибольшего из звеньев существует, и в то же время
через некоторые точки области проходит более одной интегральной
линии.
Возможность этого связана с тем, что, вообще говоря, не каж-
каждое решение уравнения C.2), проходящее через точку [х0, у0), мо-
может быть получено как предел последовательности ломаных Эйле-
Эйлера, начинающихся в этой точке.
3. Пусть функция f(x, у) удовлетворяет условию Липшица
как по у, так н по х. Докажите, что тогда в обозначениях, при-
примененных при доказательстве теоремы 1 § 11, max |()
<
f()\^k< где 1к — наибольшая из длин звеньев ломаной Lk, а
постоянная С зависит только от постоянной в условии Липшица и
от Ь—о. При доказательстве можно воспользоваться задачей 7 § 12.
4. Если ломаная Эйлера строится с постоянным шагом /г* по
х, то координаты вершин ломаной определяются формулами Xi+\ =
*=Xi+hk, !/,+i = !/|+f(*f, yi)hk (i=0, 1,...). В одном из распростра-
распространенных уточнений метода Эйлера ординаты определяются форму-
формуУкажите геометрический смысл этого уточнения н докажите, что
если функция / дважды непрерывно дифференцируема, то
max \y{—ф(*;)| <Ch\ (hk-*0),
где (f(x)—решение уравнения C.2), такое, что (f(xo)=yo.
§ 14. Метод последовательных
приближений
Теорема. Пусть в области G на плоскости (х,у)
функция f (x, у) непрерывна по х и удовлетворяет усло-
условию Липшица по у
') Так как функция f непрерывна по я и удовлетворяет усло-
условию Липшица по у, то она непрерывна по совокупности х и у в
области G. Действительно,
f(xz, Уг)Ч( O[f(

58 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
в любой замкнутой ограниченной области О', содержа-
содержащейся в G (постоянная К может зависеть от выбора
G'). Тогда для любой точки (х0, у0) из G можно ука-
указать такой заключающий внутри себя х0 замкнутый ин-
интервал [а, Ь] на оси Qx, на котором существует единст-
единственное решение дифференциального уравнения C.2),
обращающееся в у0 при х — х0.
Заметим прежде всего, что если заранее предполо-
предположить существование такого решения, то, интегрируя
тождество
в пределах от х0 до х, получим
(hy(Z))dt C.8)
При этом под знаком интеграла стоит непрерывная
функция от g, так как уA) была дифференцируема,
а потому и непрерывна.
. Соотношения вида C.8), где неизвестная функция
у(%) входит под знак интеграла, называются йнтеграль-
ными уравнениями.
Таким образом, всякое решение уравнения C.2), об-
обращающееся в г/о при х=х*. удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению C.8). Обратно, всякое непрерывное
решение у(х) интегрального уравнения C.8) удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению C.2) и начально-
начальному условию у(хо)=уо. Последнее видно непосредствен-
непосредственно. То обстоятельство, что всякая непрерывная'> функ-
функция, удовлетворяющая уравнению C.8), обязательно
удовлетворяет и уравнению C.2), легко доказывается
дифференцированием обеих частей уравнения C.8) по х.
По условию Липшица первая из разностей, стоящих в правой части
этого равенства, по абсолютной величине не больше К\уг—yi\. По-
Поэтому она как угодно мала, если точка (хг, уг) достаточно близка к
(xi, t/i). А вторая из этих разностей при этом как угодно мала в
силу предполагаемой непрерывности функции f(x, у) по х в точке
(хи У\).
') Мы говорим здесь о непрерывных решениях интегрального
уравнения C.8) только затем, чтобы избежать трудностей, вознн-
каюйих прн интегрировании разрывных фудкцнй.

§ 14] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 59
Что дифференцирование здесь законно, видно из сле-
следующих соображений. Допустим, что в обе ча^ти урав-
уравнения C.8) вместо у поставлено некоторо.е непрерывное
решение этого уравнения. Тогда правая часть получен-
полученного тождества имеет производную по х. Следователь-
Следовательно, и левая его часть, т. е. функция у (х), также имеет
производную по х.
Поэтому, вместо того чтобы доказывать, что на не-
некотором отрезке [a, b] (a<xo<b) существует -одно и
только одно обращающееся в у0 при х=хо решение диф-
дифференциального уравнения C.2), мы будем доказывать,
что на этом отрезке существует одно и только одно,не-
одно,непрерывное решение интегрального уравнения C.8).
Возьмем какую-либо замкнутую ограниченную об-
область G', содержащуюся в G и содержащую (х0, у0) как
внутреннюю точку, и* пусть М есть верхняя грань зна-
значений \f(x, у) | в G'. Проведем через точку (хо,уо) две
прямые DC и BE соответственно с угловыми коэффи-
коэффициентами +М и —М. Проведем, далее, две прямые, па-
параллельные оси Оу, так, чтобы они образовали вместе
с прямыми DC и BE два равнобедренных треугольника,
целиком лежащих в G' (рис. 8). Пусть уравнением пря-
прямой ED будет х—а, а уравнением прямой СВ будет
х = Ь. Несколько позже мы предположим, что числа
а и Ь достаточно близки к х0.
Возьмем теперь совершенно произвольно на отрезке
[а, Ь] непрерывную функцию <ро(*),_лишь бы только ее
график не выходил из области G'. Подставим, щ{х)
в правую часть уравнения C.8). После этого правая
часть станет некоторой вполне определенной функцией
от х. Обозначим ее <pi (x):
Ясно, что функция <pi(x) определена при а<л;<6,
непрерывна и обращается в у0 при x = xq. Легко пока-
показать, что ее график не выходит из треугольников EAD
и ABC при а<^<6. Для этого достаточно заметить,
что

60
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ
(гл. Ш
и потому
Положим далее
В силу указанных выше свойств функции <$i(x) ин-
интеграл в правой части равенства существует. Функция
ф2 (х) также определена на [а, Ь] и обладает всеми теми
свойствами, которые мы отметили у qpi (x). Поэтому
можно построить функции
C.9)
Этот процесс построения функций ц>п(х), которые
мы будем называть последовательными приближениями
решенияХ), можно продолжать без конца. Таким обра-
образом, мы получим бесконечную последовательность функ-
функций
C.10)
Установим теперь, что на отрезке {а, Ь] эта последо-
последовательность сходится равномерно к непрерывному ре-
решению уравнения C.8). Действительно, фп(#) можно
представить так:
*> Метод последовательных приближений был предложен Пика-
ром. Этот метод оказался применимым к решению самых разнооб-
разнообразных математических задач.

§ 14] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 61
Поэтому для доказательства равномерной сходимо-
сходимости последовательности C.9) достаточно показать рав-
равномерную сходимость бесконечного ряда
<pi+(q>2 —q>i) + (фз — ф2)+-
+ (<Рп —q>n-i)+... C.11)
Для этого оценим разность q>n+i(x)— ц>п(х). Исполь-
Используя условие Липшица, можно написать
<Ктах
Поэтому, если постоянное с таково, что |ф](л:)|<с
и |фг(х) |<с, и если положить К.(Ь — а)=т, то по абсо-
абсолютной величине члены ряда C.11) не будут превосхо-
превосходить соответствующих членов ряда
с+2с+2ст+2ст2+2ст3 + ...,
который сходится, если т<1. Будем считать интервал
(а, Ь) настолько малым, что К(Ь — а)—т<\. Тогда ряд
C.11) сходится равномерно, и его сумма q>(x) есть не-
непрерывная на отрезке [а, Ь] функция. Ее график не вы-
выходит из треугольников EAD и ABC. Следовательно, ин-
X
теграл \ /(|, ф (?)) d? имеет смысл. Так как
то в равенствах C.9) можно переходить к пределу при
П-Г+- оо не только слева, но и справа, а потому функ-
функция ф(х) удовлетворяет уравнению C.8).

62 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. Ill
Чтобы доказать, что интегральное уравнение C.8)
имеет единственное непрерывное на замкнутом интер-
интервале [а, Ь] решение, предположим, что кроме построен-
построенного выше решения ф(х) имеется отличное от него ре-
решение г|з(х). Легко доказать, что его график также не
выходит из треугольников EAD и ABC при Ь
Тогда
Отсюда
ж,
< К (Ь — a) max | ^ (х) — ф (х) I.
Поэтому
max |г|з(х) — ф(х) |< /С(й — a) max | \|?(х) — ф(л;)].
Так как /С(Ь — а)<1. то это может быть лишь при
условии, что max|i|)(x) — ф(х)|=0, т. е. что §(х) совпа-
совпадает с ф(х), вопреки нашему предположению.
Замечание 1. Как бы мы ни выбрали исходную
при построении последовательности C.10) функцию
фо(Зс), лишь бы только она была непрерывна и ее гра-
график проходил по G'', последовательность C.10) всегда
будет сходиться на отрезке, [а, Ь] к одной и той же функ-
функции. Действительно, по доказанному прежде эта после-
последовательность будет при любой такой функции <ро(х)
сходиться к непрерывному и ограниченному решению
уравнения C.8), а такое решение, как мы только что
доказали, единственно.
Замечание 2. Замечание 1 к теореме 1 § 11
остается в силе и теперь. Построенное решение можно
лродолжать, как это описано в § 11.
Замечание 3.v Производя несколько точнее оцен-
оценку q>n+i(x) — (fn(x), можно показать, что ряд C.11) схо-
сходится не только на отрезке [а, Ь]. Именно, допустим, что

§ 14]
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ
63
последовательные приближения <ро(*), <pi(*), ••• су-
существуют на некотором отрезке [с, d] (так будет,
в частности, если область G содержит полосу c<x<d,
—оо<(/<оо). Кроме того, допустим, что функция f(x,y)
удовлетворяет в пересечении области G с полосой c<x<d
(—оо<(/<оо) условию Липшица по у с единой кон-
константой К. Тогда и последовательные приближения рав-
равномерно сходятся на отрезке [с, d] к решению задачи.
При этом условие ограниченности функции f, а также
указанное выше ограничение на длину интервала,. на
котором строится решение, оказываются несуществен-
. ными.
В самом деле, пусть на отрезке [с, d] максимум функ-
функции j фх (л:)-— <р0 (•«) I равен ./V. Тогда аналогично нера-
неравенствам C.12) получаем
Фа (*) - ъ (х) | = I Г [/ (|,
^ / (|, Фо (|
<K
X
<K
If
*0
Вообще, для любого п
I Ф„+1 W - % (x)
Ряд же
NK +
I — «Pi I
n (c<X<d). C.13)
]x~Xo]n
NKn
сходится при всех значениях | х — Хо |. Поэтому и ряд
C.11) равномерно сходится.
Пользуясь соотношением
+ [фт+2 (*) — фт+1 (X) } + .„

64 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
и применяя оценки C.13), получим
, y2 \X-X0\* +
(m+2)!
Это дает возможность оценить отклонение /п-го прибли-
приближения от точного, еще неизвестного решения.
Замечание 4. Иногда дифференциальное уравне-
уравнение оказывается заданным в области с полностью или
частично присоединенной границей. Тогда, если точка
(хо,Уо) внутренняя, то рассмотрение не меняется. Если
же точка (х0, у0) граничная, то существование решения
гарантируется далеко не всегда (хотя, например, если
область имеет вид полосы хо<х<Ь, то решение обяза-
обязательно существует). Однако доказательство того, что не
может существовать двух различных решений при оди-
одинаковых начальных данных, полностью остается в силе.
ЗАДАЧИ
1. Пусть f(x, у) k раз непрерывно дифференцируема в G. До-
Докажите, что тогда ф*-м(*), ф*+2(*),... обладают (?+1)-й непре-
непрерывной производной и последовательность производных от (fn{x)
до (?+1)-го порядка включительно равномерно сходится к соот-
соответствующей производной от ф(дс) на всяком конечном интервале,
где существуют все уп(х) (и все графики у = уп(х) проходят
по G').
2. Пусть
| ф1 (X) —ф0 (X) |<С | Х—Хо | d
-Покажите, что при этом условии для решения у—(р(х) выполнено
неравенство
если только график любой_ функции ф(х), удовлетворяющей этому
неравенству, проходит по G'. Эта оценка дает возможность пере-
переходить от (п+1)-го приближения к точному решению, если это
(п+1)-е приближение мало отличается от п-го.
3. Докажите, что для уравнения у'—х2+у2 при начальном ус-
условии i/@) =0 иа отрезке 0^д;^1 справедлива оценка

§ 15] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 65
Указание. Примените результат предыдущей задачи, рас-
рассматривая заданное дифференциальное уравнение в замкнутой об-
области O^Jc^l, |#|^./V прн соответственно подобранном N>0 и
взяв Фо(*)= — я3.
3
4. Переход к уравнению C.8) дает одну из возможностей вве-
ввести понятие обобщенного решения уравнения C.2) в случае, когда
функция f(x, у) разрывна. Допустим, что функция / в G' непре-
непрерывна по совокупности *, у всюду, за исключением, быть может,
конечного числа особых значений х; кроме того, она ограничена и
удовлетворяет для неособых значений х неравенству
6
где функция i|)(*) для этих х непрерывна и \ i|)(x)dx< оо((а, Ь) ¦—
а
любой конечный интервал). Тогда обобщенным решением уравне-
уравнения C.2) при начальном услойин у(хо)=уо, по определению, назы-
называется непрерывное решение уравнения C.8). Докажите существо-
существование и единственность этого решения.
Замечание. Множество особых значений х может быть н
бесконечным, но тогда требуются некоторые дополнительные пре-
предосторожности (это «обобщенное решение по Каратеодори»; см.,
например, кн.: Д ж. С а н с о н е. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. — М.: ИЛ, 1954, т. 2).
5. Как ведут себя последовательные приближения для урав-
уравнения у'=уг при начальном условии #@) = 1 на отрезке 0^*^2,
если принять <ро0*) = 1? То же, если уравнение заменить на «'=</?
§ 15. Принцип
сжатых отображений
Изложенный в предыдущем^ параграфе метод после-
последовательных приближений находит применение не толь-
только при доказательстве существования решений диффе-
дифференциальных уравнений, но и во многих других вопро-
вопросах анализа. Поэтому интересно выяснить возможно
более широкие условия его применимости. Тогда не при-
придется в каждом отдельном случае заново приводить весь
этот метод, а достаточно будет только убедиться, что
выполнены условия его применимости.
Принцип сжатых отображений. Пусть
имеется непустое семейство {<р} функций, определенных
на одном и том же множестве (безразлично, каком) SW
и обладающих следующими свойствами:
3 Я. Г. Петровский

вб ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. Ill
1. Каждая функция <р ограничена (быть может, своей
константой)
|
2. Предел всякой равномерно сходящейся последова-
последовательности функций семейства также есть функция этого
семейства.
3. На данном семействе {ф} определен оператор
Л (го), который каждую функцию этого семейства пере-
переводит в функцию того же семейства.
4. 'Для любой пары функций <pi и <р2 семейства
|А (<р2) — A (<pi) | «m sup |<j>2 — Ф11,
где 0<m<l, sup|<f2 — Ф;|—верхняя грань значений
|ф2 — ф]| на множестве ?й.
Тогда уравнение
Ф=Л(<р) C.14)
имеет одно и только одно решение среди функций рас-
рассматриваемого семейства.
Прежде чем переходить к доказательству сформули-
сформулированной теоремы, укажем несколько примеров ее при-
применения.
Пример 1. Покажем прежде всего, как применить
принцип сжатых отображений к доказательству сущест-
существования и единственности непрерывного решения инте-
интегрального уравнения C.8) или, что все равно, к доказа-
доказательству существования и единственности принимающе-
принимающего при х=х0 значение у0 решения дифференциального
уравнения C.2).
За множество Ш примем отрезок а«л;<:&, о котором
шла речь в предыдущем параграфе. За семейство функ-
функций {ф} примем семейство непрерывных функций, гра-
графики которых проходят в замкнутой области О' между
прямыми х=а и х=Ь (рис. 8). Такие функции удовлет-
удовлетворяют, очевидно, условиям 1 и 2 принципа сжатых ото-
отображений [). Положим далее
1> Мы рассматриваем здесь замкнутую область G' только затем,
чтобы удовлетворить условию 2.

$ 16] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ 67
В предыдущем параграфе мы видели, что этот опе-
оператор удовлетворяет условиям 3 и 4, если отрезок {а, Ь]
достаточно мал. Значит, на .основании принципа сжа-
сжатых отображений уравнение C.8) имеет одно и только
одно решение в классе функций {<р}, а следовательно,
вообще только одно непрерывное решение при &
Пример 2. Интегральное уравнение
где f(x) непрерывна при а<:л:«&, функция К(х, |)
(ядро) непрерывна при а<х<& и а<|<&, при доста-
достаточно малом X (X — некоторое постоянное) имеет одно
и только одно непрерывное на отрезке а<?.х^:Ь реше-
решение ф(х).
Чтобы применить здесь принцип сжатых отображе-
отображений, 'за множество ?й примем отрезок {а, Ь], за семей-
семейство {ф} — семейство всех непрерывных на этом интер-
интервале функций. Тогда, очевидно, условия 1 и 2 принципа
сжатых отображений выполнены. Оператор А опреде-
определим так:
а
Для него, очевидно, выполняется условие 3. Так как
то условие 4 выполняется, если (Ь — а)\%\М<\. Здесь
М есть верхняя грань значений \К(х, |) |.
П р и м е р .3. Уравнение
имеет единственное решение, если функция f(x) опре-
определена при всех действительных х и удовлетворяет ус-
условию Липшица с константой /С<1.
3*

68 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ [гл. III
Чтобы применить здесь принцип сжатых отображе-
отображений, будем считать множество ?й состоящим из одной
точки. Тогда каждая функция на ?й принимает только
одно значение. Рассмотрим семейство {<р} всех таких
функций. Тогда, очевидно, условия 1 и 2 принципа сжа-
сжатых отображений будут выполнены. За оператор А при-
примем функцию f. По условию она определена при всех
действительных значениях аргумента х; каждое дейст-
действительное число она переводит в некоторое действитель-
действительное же число; следовательно, условие 3 выполнено. Усло-
Условие 4 выполнено потому, что
ЩХ2)-ПХ1)\<К\Х2-Х1\.
Пример 4. (Теорема о неявной функции.) Пусть
функция f{х, у) определена при a<.x*s.b и любых дей-
действительных значениях у, непрерывна по х и всюду
имеет производную по у, которая ограничена и всегда
превосходит некоторое постоянное /п>0. Тогда урав-
уравнение
f(x,y)=O C.15)
имеет на замкнутом интервале a<x*cb одно и только
одно непрерывное решение у (х),
Чтобы примейить принцип сжатых отображений, за
множество ЗИ примем отрезок [а,Ь], за семейство {<р} —
семейство всех непрерывных на этом отрезке функций.
Тогда, очевидно, условия 1 и 2 принципа сжатых ото-
отображений будут выполнены. Положим далее
Л (фMНф—-?-/(*, ф),
м
где М есть верхняя грань значений f'y (x, у). Такой опе-
оператор, очевидно, удовлетворяет условию 3. С другой
стороны, так как
- АЫ I = | Ф2 - ±7 (х, <ра) - (фх- ~ f(x, ф1)) |=
(Фа—фг) .(ф2— Ф1)

5 15] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 6S
то и условие 4 выполнено. Значит, уравнение
Ф=Ф~ -^-/(х,<р),
или, что все равно, уравнение C.15), имеет одно и толь-
только одно непрерывное решение.
Доказательство принципа сжатых отоб-
отображений. Возьмем какую-либо функцию <ро данного
семейства и построим функцию
которую будем называть «первым приближением» иско-
искомого решения уравнения C.14). По свойству 3 операто-
оператора. <pi принадлежит {ф}, и потому можно построить «вто«
рое приближение», положив
Функция ф2 также принадлежит семейству {ф}. Сле-
Следовательно, этот процесс можно продолжить бесконечно.
Таким образом, получим последовательность функций
фО, ФЬ ф2, -. фя, -, C.16J
где фп=Л(фп-1) при любом «>1. Докажем, что последо-
последовательность C.16) сходится равномерно. Для этого рас-
рассмотрим ряд (ср. § 14)
Фо+(ф1—фо) + (<р2—фО+- C.17)
Если |<ро|<Мо и |ф![<М1 (свойство 1), то
Применяя свойство 4 оператора Л(ф), мы найдем
|фл+1—фл| = \А(фп)— A(<pn-i) | -<тsup|fn—ф„_11.
Следовательно, члены ряда C.17) по абсолютной ве-
величине не превосходят соответствующих членов сходя-
сходящегося ряда с постоянными положительными членами;
М0+М + Мт+Мт2+...
Поэтому последовательность C.16), члены которой
являются частичными суммами ряда C.17), равномерно
сходится к некоторой функции у. По свойству 2 эта пре-

70 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
дельная функция принадлежит семейству {<р}, и потому
оператор А (<р) имеет смысл. Заметим далее, что
| Л (ф) —А (<р„_1) | < т sup | <р—ф„_, |.
А так как |q>—ф„_1|-»-0 равномерно при я->-оо, то
Л(фп-1) при этом равномерно сходится к Л(ф). Поэтому
в равенстве фя=Л(фп-1) можно перейти к пределу при
п~*- оо, и мы получим
Ф=Л(Ф).
Если бы уравнение C.14) имело в семействе {ф} два
решения ф! и ф2, то было бы
|ф2—Ф11 = | Л (ф2) —Л (ф,) | <:m sup |ф2-нф11
и, следовательно,
sup 1 ф2—Ф11 <т sup | ф2—Ф11,
что возможно только при ф22=ф!, так как т<1')'.
*> Для читателей, знакомых с понятием метрического пространст-
пространства, сделаем следующее добавление. Пусть задано отображение А
метрического пространства U с метрикой р в себя; это отображе-
отображение называется сжатым (точнее, сжимающим), если существует по-
постоянная /п, 0^/п<1, для которой р(Ак, Ау)^тр{х, у) при любых
* и у из U. Тогда принцип сжатых отображений формулируют так:
/жатое отображение полного метрического пространства в себя име-
имеет одну и только одну неподвижную точку, т. е. в U существует
один и только один элемент х, для которого Ах—х. (Напомним, что
метрическое пространство называется полным, если в ием любая по-
последовательна"^ *•• хо для которой p(*n, *я)-*0, стремится к
пределу.) Доказательство принципа в такой формулировке повто-
повторяет его доказательство, проведенное выше: начиная от любого эле-
элемента Хо из U, строят последовательные приближения по формуле
xn+i=Axn (п=0, 1, 2, ...); тогда p(xM+i, *nXmnp(*i, х0) (п=1,
2, ...),'следовательно, р(*и> #я)->-0 при п, ?-мх>, поэтому полученная
последовательность сходится к элементу, который и является един-
единственной неподвижной точкой отображения. Справедливость прин-
принципа, приведенного в начале параграфа, следует из этого более об-
общего предложения, если под пространством U понимать семейство
{ф} с метрикой р(фь <p2)=suplq>i—ф2|; условие 2 равносильно тре-
бованию полноты полученного пространства.

$ 16] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 71
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что условие 1 можно заменить иа следующее бо-
более слабое; разность любых двух функций из «к ограничена.
2. Покажите иа примерах существенность каждого из четырех
условий теоремы этого параграфа для ее справедливости. Проверь-
Проверьте также, что нельзя полагать /п=1.
§ 16. Геометрическая интерпретация принципа
сжатых отображений
Будем рассматривать функции семейства {<р} как
точки некоторого множества Ф. За «расстояние» между
«точками» <pi и ф2 будем принимать sup|<p2—4>i|- Тогда
условие 2 можно интерпретировать
так, что всякая «предельная точка»
для бесконечной последовательно-
последовательности «точек» множества Ф. принад-
принадлежит Ф, т. е. что множество Ф
замкнуто. Условие 3 состоит в том,
что оператор А переводит «точку»
Ф, принадлежащую Ф, в некоторую
«точку», также принадлежащую Ф.
Наконец, условие 4 состоит в том, Рис- 12
что если оператор А переводит
«точку» ф1 в «точку» <р! и «точку» ф2 в «точку» ф2, то
«расстояние» между ц>'\ и "<рг сокращается по сравнению
с «расстоянием» между «точками» ф! и фг не менее чем
в 1/т раз.
Найти решение уравнения C.14) в классе функций
{ф} — это значит найти такую «точку» множества Ф,
которая остается неподвижной при действии операто-
оператора А.
Необходимость существорания такой «точки» геомет-
геометрически очевидна, если допустить, что множество Ф ог-
ограничено. Тогда существует верхняя грань «расстояний»
между ее «точками». Эту верхнюю грань мы будем на«
зывать диаметром множества Ф. Пусть этот диаметр
равен d. Изобразим тогда множество Ф в виде некото-
некоторой замкнутой области (рис. 12), которая ограничена
линией /. После действия оператора А на все «точки»
этого множества мы получим множество Фь которое,
согласно условию 3, целиком заключено в Ф. На рис. 12

72 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
Ф[ ограничено линией U. По условию 4 диаметр dh не
больше md. Применим теперь оператор А к «точкам>
множества Фь Получим множество Фг, целиком заклю-
заключенное в Фь потому что уже при действии этого опера-
оператора на Ф получаются только «точки» Фь при действии
же А на Фь т. е. на часть Ф, конечно, не может полу-
получиться ничего, кроме «точек» из Фг. По условию 4 диа-
диаметр Ф2 не больше чем m2d. На рис. 12 Ф2 ограничено
линией 12. Продолжая этот процесс, получим бесконеч-
бесконечную последовательность вложенных друг в друга замк-
замкнутых множеств Ф, Фь Ф2, Фз, ..., диаметры которых
стремятся к нулю. Поэтому общая часть всех этих мно-
множеств будет состоять только из одной точки, которая,
очевидно, будет оставаться неподвижной при действии
оператора А.
Двух «точек», которые оставались бы неподвижны-
неподвижными при действии оператора А, быть не может, потому
что тогда «расстояние» между ними оставалось бы неиз-
неизменным и положительным после операции А, а это про-
противоречит условию 4.
ЗАДАЧИ
1. Пусть F — замкнутая ограниченная часть л-мерного про-
пространства отображается в себя посредством оператора А так,
что всегда при рфц
p[A(p),A(q)]<p[p,q]. (*]
Здесь р[р, q]—расстояние между* точками р и q. Докажите, что
при этом только одна точка остается неподвижной. Верно ли это
для незамкнутых ограниченных множеств? Для замкнутых неогра-
неограниченных множеств?
2. Докажите, что если неравенство (*) заменить неравенством
р[Л(р), A(q)]^mp[p, q] @<m<l),
то теорема о существовании неподвижной точки верна для любых
замкнутых множеств (даже неограниченных). Верна ли она для
незамкнутых ограниченных множеств?
3. Пусть неравенство (*) заменено неравенством
р[Л(р), Л(</Жр[р, q] (**J
Докажите, что тогда теорема о существовании неподвижной точки
верна для случая, когда F~ отрезок прямой нли контур равнобед-

§ 17] ТЕОРЕМА КОШИ 73
ренного прямоугольного треугольника, и неверна, если F — окруж-
окружность. Если р означает наименьшее расстояние, измеренное по кон-
контуру, то теорема не будет верна н для контура прямоугольного
равнобедренного треугольника.
Теорема при предположеинн (**) верна также для любого
выпуклого замкнутого ограниченного множества (для доказатель-
доказательства надо рассмотреть вспомогательное преобразование подобия).
Приведите пример замкнутого ограниченного множества, для кото-
которого возможно отображение, удовлетворяющее неравенству (**),
не имеющее неподвижных точек и не снодящееся к движению; мо-
может лн быть таким множеством окружность?
4. Пусть ф(х)—непрерывная функция, заданная на отрезке
a<Jt<T&, причем а<лр(х)<:&. Докажите, что тогда найдется значе-
значение Хй (o^xa^Jb), для которого <р(Хо)=*о- Эта теорема может
быть выражена так: при непрерывном отображении отрезка в себя
существует по крайней мере одна неподвижная точка. Отметим,
что аналогичная теорема справедлива и для л-мерного шара (см.
§ 59).
5. (О. А. Олейинк.) Пусть функция f(x, у) (—оо<х<оо,
—оо<у<са) непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по У,
причем f(x+T, y)s*f(x, у) для некоторого положительного Г и
Д*. yi)f(*> й)<0 (—оо<#^оо) для некоторых у{ и у* Используя
задачу 4, докажите, что тогда уравнение C.2) имеет по крайней
мере одно периодическое решение с перяодом Т. Примените эту
теорему к уравнению у'^а(х)у+Ь{х), если а(х) и Ь(х)— непре-
непрерывные периодические функции с периодом Т, причем а(х)Ф0.
§ 17. Теорема Коши о дифференциальном уравнении
y' = f(x, у) с голоморфной правой частью
Если функция f(x, у) голоморфна в окрестности точ-
точки (хо, Уо), то существует, и притом только одно, реше-
решение дифференциального уравнения
-|-=/(*-У), C.18)
голоморфное в окрестности точки х0 и удовлетворяю-
удовлетворяющее условию
Функция ?(*ь ..., хп) называется голоморфной по
всем своим аргументам в окрестности
\Xi—X°i\<r (t=l, ..., П)
точки (х°, ..., Хп)> если в этой окрестности она разла-
разлагается в степенной ряд по

74 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. Ш
Как ее аргументы, так и сама функция могут прини-
принимать при этом не только действительные значения, но и
комплексные. Производной от голоморфной функции
F(x\, ..., хп) по комплексному аргументу Хк называется
функция, представляемая рядом», который получается
почленным дифференцированием ряда, представляюще-
представляющего F(xit ..., Хп)- Так полученный ряд имеет по крайней
мере такой же радиус сходимости, как и ряд, которым
представляется F(xu...., х„) (см., например, Г. М. Фих-
тенгольц. Курс дифференциального и интегрально-
интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969, т. 2, с. 450). Если
F(xit ..., хп) и х\, ..., хп принимают только действитель-
действительные значения, то определенная так производная совпа-
совпадает с обычной. Все обычные правила дифференцирова-
дифференцирования суммы, произведения, функции от функции и т. д.
цри этом сохраняются.
Во всех рассуждениях настоящего параграфа совер-
совершенно безразлично, принимают ли рассматриваемые ве-
величины только действительные значения или они прини-
принимают также и комплексные значения.
Исторически доказательство теоремы Коши было
первым доказательством существования и единственно-
единственности решения, принимающего при х=х0 заданное значе-
значение уо, для дифференциального уравнения довольно об-
общего вида. Ограничиться только этим доказательством
нельзя было потому, что требование голоморфности
рассматриваемых функций часто бывает весьма искус-
искусственным. Очень многие вопросы физики приводят к
дифференциальным уравнениям, правые части которых
неголоморфны.
Доказательство теоремы Коши. Предвари-
Предварительно заметим, что без ограничения общности можно
считать Хо=у0 = 0, так как общий случай можно приве-
привести к этому, полагая х—хо=х* и у—уо=у*.
Допустим сначала, что данное уравнение имеет го-
голоморфное решение, обращающееся в нуль при *=0.
Пусть оно представляется рядом
y = C0+Cix+C2x2+...
Тогда, очевидно, должно быть С0=у@)=0. Подстав-
Подставляя этот ряд в уравнение C.18) вместо у, дифференци-
дифференцируя полученное тождество по х один, два, три и т. д. раз

§ 17]
ТЕОРЕМА КОШИ
75
и сравнивая значения обеих "частей полученных тож-
тождеств при х—у=0, замечаем, что коэффициенты С* бу-
будут последовательно, вычисляться следующим образом?
С1 = у'@)=/@,0),
2са = у @) = /; (о.о) + /; (о, о>у (О) =
C.19)
и т. д.
Отсюда видно, что коэффициенты С,- определяются
однозначно и, следовательно, голоморфных решений на-
нашего уравнения, обращающихся в нуль при х=0, не мо-
может быть больше одного. Кроме того, для дальнейшего
важно отметить, что коэффициент С,- разложения в ряд
по степеням х решения у(х) выражается через коэффи-
коэффициенты разложения в ряд по степеням хну функции
f{x, у) и Си С2, ..., Ci-u и притом только при помощи
действий сложения и умножения.
Чтобы доказать существование решения уравнения
C.18), составим формально ряд по степеням х с коэф-
коэффициентами С/, определяемыми равенствами C.19).Если
этот ряд, который мы будем обозначать римской циф-
цифрой I, сходится, то он и будет, очевидно, представлять
требуемое решение. Действительно, тогда при подста-
подстановке вместо у в_уравнение C.18) этого ряда при разло-
разложении правой части в степенной ряд по х1) коэффициен-
коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях будут
одинаковым». Для доказательства сходимости составим
вспомогательное уравнение
-JL = F{x,z), C.20)
') Здесь. мы пользуемся теоремой о возможности подстановки
ряда в ряд (см., например, Г. М. Фихтенгольц. Там же, с. 485—
487).

76 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. Ш
правая часть которого также голоморфна в окрестности
{О, 0), причем все коэффициенты разложения F(x, z)
неотрицательны и не меньше по абсолютной величине
соответствующих коэффициентов в разложении f{x, у).
Уравнение C.20) называется мажорирующим для урав-
уравнения C.18), а функция F(x, z) называется мажори-
мажорирующей (или мажорантой) для /(*, у). Если /(*, у) го-
голоморфна в окрестности @, 0)"
\х\<г, \у\<г,
можно, например, положить
F(*,z)- M
где 0<г'<г, а М — некоторое положительное постоян-
постоянное (см., например, Г. М. Фихтенгольц. Там же,
с. 502).
Если нам удастся получить голоморфное решение
г(х) этого уравнения, которое при *=0 принимает зна-
.чение, равное нулю, то отсюда будет следовать сходи-
сходимость ряда I во всяком случае всюду, где сходится ряд
для z(x). Действительно, как уже отмечалось выше в
аналогичном случае, коэффициент С, при t-й степени
разложения z(x) по степеням х получается только при
помощи действий сложения и умножения над коэффици-
коэффициентами разложения F (x, z) по степеням х и z и Си С*2 ,
..., C'i-i- Поэтому
это сразу вытекает из возможности перехода от i—Л к
г, т. е. при помощи метода полной индукции.
Очевидно, при построении z(x) достаточно рассмат-
рассматривать только действительные значения х. Если же х
действительное, то уравнение
_dz_ __ М
dx

5 17] ТЕОРЕМА КОШИ 77
легко интегрируется разделением переменных:
Отсюда
Это квадратное уравнение имеет решение.
которое обращается в нуль при х=0 и является голо-
голоморфной функцией от х при достаточно малых значе-
значениях |*|, а именно при
Следовательно, при достаточно малом |дс| утвержде-
утверждение о сходимости формально построенного для у(х) ря-
ряда доказано. Его сумма и будет голоморфным решени-
решением дифференциального уравнения C.18).
Следствие. Если правая часть дифференциально-
дифференциального уравнения C.2) голоморфна и действительна при
действительных значениях х и у, изменяющихся в неко-
некоторой области2^, то все действительные решения этого
уравнения, графики которых проходят в этой области,
голоморфны.
В самом деле, раз правая часть этого уравнения го-
голоморфна в некоторой области, то для каждой точки
(*о> Уо) этой области существует окрестность, где она
удовлетворяет условию Липшица по у. А тогда в этой
окрестности есть только одно решение, которое при х—
=х0 обращается в г/о- Следовательно, оно совпадает с
только что построенным голоморфным.
4 См. сноску на с. 75.
2) функция называется голоморфной в некоторой области G, ес-
если она голоморфна в некоторой окрестности каждой точки G.

78 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. Ш
Заме-чание. Если правая часть уравнения C.18)
линейная относительно у, то для области существования"
решения этого уравнения можно дать лучшие оценки,,
чем в общем случае. В самом деле, пусть наше уравне-
уравнение имеет вид B.10), где а(х) и Ь(х) — голоморфные
функции от х при |*|<г. Тогда за мажорирующее
уравнение можно принять уравнение
-?¦=.—~-(z-+I) (°<r'<r)>
1-7-
здесь коэффициент при (z+1) является общей мажо-
мажорантой для а(х) и Ь{х). Это последнее уравнение имеет
голоморфное при |*|<г' решение
обращающееся в нуль при *=0.
Отсюда, так же как это прежде было показано для
общего случая, следует, что наше линейное уравнение
имеет голоморфное при ]*|<г решение, обращающееся
в нуль при *=0.
ЗАДАЧА
Найдите первые четыре члена разложения решения уравнении
у'=ех* (у@)=О) в ряд по степеням х. Оцените остаточный член
и радиус сходимости ряда сверху и снизу.
§ 18. О степени гладкости решений
дифференциальных уравнений
Теорема. Если f(x, у) имеет непрерывные произ-
производные по х и у до р-го (р>0) порядка г\ то всякое
решение уравнения C.2) имеет непрерывные производ-
производные по х до (р+ \)-го порядка.
Доказательство. Пусть у(х) есть какое-нибудь
решение дифференциального уравнения C.2). Тогда
*' Под производной 0-го порядка всюду понимается сама функ-
функция,

S 19J ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 79
должно иметь место тождество
У'(х)=Пх,у{х)). C.21)
Раз функция у(х) удовлетворяет дифференциально-
дифференциальному уравнению C.2), то она всюду имеет производную
по х и потому непрерывна. Поэтому, если /(*, у) непре-
непрерывна по х и у, то правая часть C.21) непрерывна по х.
Значит, у'{х) также непрерывна.
Допустим теперь, что р»1. Тогда правая часть
C.21) имеет непрерывную производную по х. Значит, и
левая часть этого тождества имеет непрерывную произ-
производную по х. Следовательно, функция у(х) имеет не-
непрерывную производную 2-го порядка. Продифференци-
Продифференцировав C.21), поде, получим у"(х) =/'*(*, у (х)) +
+f'y(x,y(x))t/(x).
Применяя к этому тождеству те же рассуждения, ка-
какие мы применили к тождеству C.21), если р>2, най-
найдем, что у(х) имеет непрерывную производную 3-го по-
порядка и т. д.
ЗАДАЧА
Приведите пример уравнения C.2) с непрерывной, но не всюду
дифференцируемой правой частью, все решения которого аналн-
тичны.
•§19. Зависимость решения
от начальных данных
и от правой части уравнения
До сих пор мы исследовали решение дифференци-
дифференциального уравнения, удовлетворяющее фиксированному
начальному условию у{хо)=уо- Если изменять х0 и у0,
то будет меняться и решение. Возникает важный в при-
приложениях вопрос: как оно будет при этом меняться. Этот
вопрос, как указал Адамар, имеет и большое принци-
принципиальное значение. Действительно, если какая-нибудь
физическая задача приводит к нахождению удовлетво-
удовлетворяющего некоторым начальным условиям решения диф-
дифференциального уравнения, то эти начальные условия

80 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. Ш
обычно находятся измерением из опыта. Но за абсолют-
абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И найденное
из условия, что оно обращается в у0 при х = х0, решение
дифференциального уравнения представляло бы очень ма-
мало интереса для приложений, если бы даже незначитель-
незначительные, погрешности в измерении г/о могли привести к силь-
сильному изменению решения дифференциального урав-
уравнения.
К сказанному надо добавить, что при изучении ре-
реального процесса с помощью дифференциального урав-
уравнения мы производим некоторую идеализацию, которая
позволяет выделить в этом процессе его наиболее суще-
существенные стороны. Например, в примере 2 § 1 мы отвле-
отвлекались от молекулярного строения вещества и т. п. По-
Поэтому реальный процесс описывается дифференциальным
уравнением и начальным условием лишь приближенно.
Можно с равным основанием говорить об удовлетворе-
удовлетворении всех достаточно близких между собой уравнений
или начальных условий, если эта близость не выходит за
рамки точности, учитываемой при данной идеализации
процесса; скажем, в примере 2 § 1 с равным правом
можно говорить об удовлетворении начальных условий,
если они отличаются друг от друга на величину, мень-
меньшую веса атома радия. Поэтому решения таких близких
уравнений при близких начальных данных должны
быть также достаточно близки между собой (неотличи-
(неотличимы друг от друга в рамках данной идеализации), что-
чтобы применение данного дифференциального уравнения
к изучению рассматриваемого процесса было законным.
Мы покажем, что при некоторых предположениях ре-
решение дифференциального уравнения зависит непрерыв-
непрерывным образом от самого уравнения и от начальных дан-
данных.
Теорема. Если функция f(x, у), заданная в обла-
области G, непрерывна, ограничена и если через као/сдую
внутреннюю точку (х0, у0) этой области проходит гра-
график только одного решения дифференциального уравне-
уравнения
y'=f(x,y), C.2)
то это решение непрерывно зависит от правой части

§ 19] ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 81
f(x, у) и от точки (хо, у о) !). Более точно, пусть через
точку (хо, у о) проходит график решения Уа(х) уравне-
уравнения C.2), определенного на отрезке [а, $](а<ха<$).
Тогда для любого е>0 найдется такое б>0, что при
\х0—хо\ <б, \Уо—Уо\ <Ь, \Цх, у)—{(х, У)
(Пх< у) — непрерывная функция, заданная в G) реше-
решение iH(x) уравнения
У'-Ч(х, У), C.22)
график которого проходит через точку (хо, г/о) , сущест-
существует на отрезке [а, р] и отличается там от уа{х) мень-
меньше чем на е.
Доказательство. Пусть наше утверждение не-
неверно. Тогда найдутся г.>0 и последовательность {у()}
решений уравнений
y' = fk(x, у)
при начальном условии у(Хк) ~Ун, где
хк~+Хф Ук-+У; sup| /А — /|-»-0 (
в
причем при продолжении решения ук{х) на весь отрезок
[а, |3] неравенство
\У>Лх)~У0(х)\<е0 C.23)
нарушается.
Пусть М — какое-нибудь число, большее верхней
грани значений \{{х, у)\ в области G. Рассмотрим тре-
треугольник
\х—хй\<и, \у—уо\<Ма,
лежащий целиком в области G. Тогда при достаточно
больших k функции уо(х) и уц(х) будут определены па
всем отрезке \х—хо|<а. (Почему?)
Покажем, что при всяком положительном е на всем
этом отрезке
\ук{х)-у0(х)\<г,
если k достаточно велико. В самом деле, допустим, что
это утверждение пе верно. Тогда существует такое по-
'• В § 22 при более сильных предположениях непрерывная за-
зависимость решения от начальных данных доказывается независимо
01 доказательства только что сформулированной теоремы. Читатель
может пропустить приведенное ниже доказательство.

¦$2 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
ложительное е и такая бесконечная последовательность
номеров ki<k2<..., что при всяком />1 и при некото-
некотором xi из отрезка \х—хо|<а будет
\уфд~Уо^)\>г. C.24)
Последовательность функций ук(х) (k = \, 2, ...) рав-
равностепенно непрерывна, так как производная каждой
функции с достаточно большим индексом нигде не пре-
превышает по абсолютной величине М и, следовательно,
для таких k
\yk{x")-yk{x')\<M\x"-x'\.
Поэтому из последовательности функций уь( (х)
можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность у\ (х), у2 (х), ..., yl (х), ... Рассуждая ана-
аналогично тому, как это делалось в § 11, найдем, что эта
последовательность сходится к решению уравнения
C.2), график которого проходит через точку (*o, (/о),
т. е. к решению уо{х), так как мы предполагаем, что
такое решение единственно. Но равномерная сходи-
сходимость последовательности yk (х) к Уо(х) на отрезке
'|*—%o|«a противоречит неравенству C.24). Таким об-
образом предположение C.24) привело нас к противо-
противоречию.
Итак, показано, что на отрезке \х—%o|<:a величина
\уи{х)—г/о(*)| становится как угодно малой, если k до-
достаточно велико.
Построим прямоугольник Qi
\х—х'0\<аи \у—yi
целиком лежащий в области G; здесь
По доказанному выше, если k достаточно велико, то
точка (*о. У к (*о)) становится как угодно близкой к точке
(¦«ю, Уо): Поэтому, применяя к решениям Уо(х) и tjk(x)
на отрезке \х—хо|<а| все те рассуждения, какие мы
провели прежде для отрезка \х—хо|«:а, найдем, что и
на отрезке \х—xoj-^a! при каком угодно положитель-

§ 19] ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 83
ном е
\Ук(х)—уо(х)\<г,
если k достаточно велико.
Пусть [а, р] — такой отрезок, что кривая у = Уо{х)
при скжр проходит строго внутри области G. Строя
тогда достаточно большие прямоугольники Qk, лежащие
целиком в области G и определяемые неравенствами
где
и повторяя для них тс же рассуждения, какие мы про-
провели для Qi, докажем, что неравенство C.23) выполня-
выполняется па отрезке [а, р] для всех достаточно больших k.
А это противоречит предположению, сделанному в на-
начале доказательства. Отсюда и следует наша теорема.
Замечание. Если функция f(x, у), заданная в об-
области G, непрерывна, ограничена и если через некото-
некоторую внутреннюю точку (х0, у0) этой области проходит
график только одного решения уравнения C.2), то к
этому решению равномерно сходится всякое решение
уравнения C.22), график которого проходит через
точку (х0, г/о), когда х0->х0, уо^Уо и supjf—f|->-0. Дей-
Действительно, по существу только это использовалось при
доказательстве теоремы.
Иногда бывает важно не только установить непре-
непрерывную зависимость решения от начальных данных, но
и доказать существование производных от решения по
начальным данным.
Для этого прежде всего заметим следующее. Пусть
начальные данные будут: у==у0 при х=х0. 'Обозначим
соответствующее им решение дифференциального урав-
уравнения
через у(х, х%, г/о) и введем новую функцию z, положив
z=y(x, x0, г/о)— У о,
и новую независимую переменную t, положив

84 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
Тогда значениям х—хо, у=уо будут соответствовать
значения ^ = 0, 2 = 0. Функция z запишется так:
z=y(t+xa, х0, уо)—уо,
а дифференциальное уравнение C.2) преобразуется в
уравнение
~- = /(<+хо,2+уо). C.25)
Следовательно, изучение зависимости решения диф-
дифференциального уравнения C.2) от начальных данных
свелось к исследованию зависимости решения диффе-
дифференциального уравнения C.25) от параметров, входя-
входящих в его правую часть. Этой задачей занимался Пуан-
Пуанкаре. При решении ее мы будем опираться на лемму
Адам ар а, которую и докажем в следующем параграфе.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что если в формулировку теоремы этого пара-
параграфа ие_вводить уравнение C.22), а предположить просто, что
функция уо(х) удовлетворяет неравенству \y'—f(x, t/)|<8, то функ-
функцию уо(х) можно считать кусочно-гладкой. Докажите также, что
при таком обобщении теорема § 13 является следствием данной
теоремы.
2. Пусть непрерывные функции у(х), z(x), u(x)
удовлетворяют соотношениям
X X
=уо+ Jfts, y(s))ds, z(x)>y0 + J/(s, z(s))ds,
>Уо + §f(s, u(s))ds.
где функция f(x, у) непрерывна в области, содержащей графики
всех трех функций, и не убывает по у. Докажите, что тогда г(#)>
>г/(я) (хо^х^Ь), а если к тому же решение уравнения C.2) при
начальном условии у(хо)=уо единственно, то и(х)^у(х) (хо^х^.6).
(Если единственности нет, то в правой части надо взять наимень-
наименьшее решение уравнения C.2) при условии у(хо)—Уо, определение
-наименьшего решения см. в задаче 3 § 11.) Распространите ре-

§ 191 ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 85
зультат на неравенства противоположного смысла. Существенно
ли требование иеубывания функции }(х, у)}
3. (Лемма Гронуолла.) Если непрерывная функция у(х) (х0^.
^Ь) удовлетворяет неравенству
у(х)< A
где фуикция В(х)>0 непрерывна, то имеет место оценка:
X
у(х)<А exp f B(s)ds
(При х<хо надо в условии и в утверждении леммы рассматривать
интеграл от х до Хо.) Распространите этот результат на случай,
когда функция В(х) разрывна и даже не ограничена. Получите
(в соответствующих предположениях) аналогичную оценку для
функции у(х), удовлетворяющей неравенству
у(х)<А(х) + J B(s)y(s)ds.
С помощью леммы Гроиуолла получите достаточные условия
единственности решения уравнения t/'=/(x, у).
4. Найдите оценку для непрерывной функции у(х), удовлетво-
удовлетворяющей неравенству
X
у(х)<А + j"fi(s)cp(t/(s))<fc (xo<x),
где А = const, ф(и)^0 — неубывающая функция, В(х)~^0, непре-
X
рывна и I ts(s)ds< оо.
Х„
Получите с помощью этой оценки достаточные условия един-
единственности решения уравнения у'=}(х, у). Сравните с условием
Осгуда.
5. Опираясь на результаты задачи 3, получите явную оценку
отклонения уо(х) от уо(х) в теореме § 19, если функция f(x, у)
удовлетворяет по у условию Липшица.
Из полученной оценки в свою очередь выведите явную оцен-
оценку отклонения ломаной Эйлера, с заданным наибольшим звеном
от точного решения, если функция f удовлетворяет условию Лип-
Липшица по обеим переменным.
6. Докажите, что непрерывная зависимость, о которой гово-
говорится в теореме § 19, равномерна по х0, t/o, если точка с коорди-
координатами Хо, Уа находится в достаточно малой окрестности линии

86 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
7. Рассмотрим уравнение
где h постоянно. Такие уравнения при А>0 называются дифферен*
циальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Будем рас-
рассматривать решения этого уравнения, определенные при всех дей-
действительных х. Легко видеть, что знание такого решения на ка-
каком-нибудь отрезке длины h определяет его всюду.
Докажите, что если ft>0, то для любых Л>0 и е>0 найдется
такое б>0, что если \у(х)\<6 при —Л<х<0, то \у(х)\<в при
0<<Л
Если же ft<0,- то для любого Л>0 существует последователь-
последовательность решений уп{х), равномерно сходящаяся к нулю при —°о<з
<*<оо, для которой, однако, при 0<х<А будет
sup \Уп(х)\ —» оо.
X п-*оо
(При доказательстве последнего утверждения в качестве решений
рассмотрите функции вида
i/=ea*sin fix,
где аир — соответственно подобранные постоянные.)
8. Пусть дано семейство непрерывных функций на отрезке
[а, Ь\, причем через каждую точку А полосы w^x^b, —oo<jr<oo
проходит одни и только один график функции Ja (x) данного се-
семейства. Докажите, что тогда при фиксированном А и при А'-*-А
(А' — точка той же полосы) /U'(x)-*f,4(*) равномерно на отрезке
[а, Ь].
Сформулируйте аналогичное утверждение, заменив полосу на
произвольную область. Это свойство, грубо говоря, состоит в том,
что непрерывная зависимость от начальных даииых следует из су-
существования и единственности, а то обстоятельство, что рассмат-
рассматриваемые функции являются решениями дифференциального урав-
уравнения, несущественно.
§ 20. Лемма Адамара
Пусть функция F(xu ..., хп; zu ..., zm) имеет в неко-
некоторой выпуклой по хь ..., хп области^ G пространства
(xt, ..., хп; Z\, ..., zm) непрерывные производные по хи ...
..., хп до некоторого порядка р>0 включительно.
Тогда мооюно найти п таких функций
ф,(хь -.., Хп, У и ».. Уп, ZU ..., Zm) {l=\, 2, ..., П),
¦ *> Мы называем область G выпуклой по х\. .... хп, если, каковы
бы ни были точки (*,*,!../, **; гх zm) и (х", ... .^zj zm),
принадлежащие G, весь отрезок прямой, соединяющий эти точкн„
также принадлежит G.

§ 20] ЛЕММА АДАМАРА 87
имеющих непрерывные производные по Х\, •••> хп, уи ...
..., уп до порядка р—1 включительно, что
, ... ,уп; zlt ... , zm) — F\xlt ... х„; zlf ... , zm) =s
Pi(*i. ••• -V. Ун •¦¦ >Уп> zv ¦¦¦ ,*nd(yi—xi)- C-26)
Доказательство1*. Исходим из очевидного ра-
равенства
¦ • • . Уп> zi- • • • > zm) ~ F (хг, ... ,xn,zlt ... ,zm) —
справедливого в силу предполагаемой выпуклости по
хи ..., хп области G. Выражая Ft через производные от
F по
i—Xi), x2+t{y2—x2), ..., xn+t{yn—xn),
которые мы обозначим соответственно Fl7 F^, ..., Fn, по-
получим
Р iVl Уп> Zl. • • • - 2m) — Р(ХЪ . . . , Хп] Zx Zm) =
^ + t(yi~xi) *«
Стоящие в правой части этого равенства интегралы
можно принять за функции <p,-, о которых гдворилось в
лемме Адамара; они обладают всеми свойствами, тре-
требуемыми этой леммой.
ЗАДАЧИ
1. Однозначно ли представление функции F, гарантируемое
леммой Адамара?
2. Докажите, что если приращение функции F представлено в
виде C.26), где функции ф/ имеют непрерывные производные по
О Это доказательство принадлежит М. А. Крейнесу.

$8 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
Хи,.., хп, Уи...»Уп ДО А-го (?>0) порядка включительно, то функ-
иия F (дсь ..., дсп> Z\,..., гт) имеет в G непрерывные производные по
х\,,..,Хп до порядка А+1 включительно. Это утверждение до неко-
некоторой степени обратно лемме Адамара.
§ 21. Теорема о зависимости решения
от*"параметров
Пусть дано дифференциальное уравнение
-^¦ = /(x,^|i1,|*,,...,lin). C.27)
Предположим, что Gxy есть_ некоторая замкнутая-об-
замкнутая-область на плоскости (х, у), а G — множество таких то-
точек (х, у, (ль ..., (л„), что:
a) точки (х, у) принадлежат Gxy,
b) \\ii\<\i°i (t = l, 2, ..., п), где [г? — некоторые по-
положительные постоянные.
Тогда:
1) Если f(x, у, ци ..., (лп) непрерывна в G по совокуп-
совокупности всех своих аргументов, ограничена и удовлетворя-
удовлетворяет там условию Липшица по у.
|f(*. 2/2, ць -, \in)—f{x, yu (ль .... Цп)\<К\уг—у\\
(К не зависит от переменных х, у и и), то для каждой
точки (х0,уо), лежащей внутри 6ху, можно указать на
оси Ох такой замкнутый интервал [а, Ь], заключающий
внутри себя точку х0, на котором решение дифференци-
дифференциального уравнения C.27) обращающееся в у0 при х — Хо,
непрерывно по совокупности переменных х, jxi, [Лг, ••¦, Ц/>-
2) Если f и ее производные до р-го (р>1) порядка
по у и всем (л внутри G непрерывны по совокупности
х, у, ни •••> И« и ограничены, то решение
у(х, (ль ..-, И«)
имеет по параметрам (л непрерывные по совокупности
х, (ль ..., (Лп производные такоюе до р-го порядка, когда х
принадлежит замкнутому интервалу [а, Ь], о котором
говорилось в предыдущем пункте, а |(л;|<[л? (t = l, 2, ...
.... п).

$ 21] ТЕОРЕМА О ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ ОТ ПАРАМЕТРОВ 89
При доказательстве высказанных предложений мы
ограничимся случаем уравнения
-?- = f(x,y>V), C.28)
dx
правая часть которого содержит только один параметр.
В общем случае рассуждения проводятся аналогично.
1. Будем искать решение уравнения C.28), обра-
обращающееся в у0 при х = Хо, методом последовательных
приближений. Последовательные приближения здесь
имеют вид
«Pi (*.!*)= 0о
ф2 (X, |Х) = уа + J / (I,
и т. д.
Легко видеть, что все функции цц{х, \i) непрерывны
по совокупности обоих аргументов, когда х изменяется
в некотором замкнутом интервале [а, Ь] (о котором го-
говорилось в § 14) и когда |(л|<цо- Повторяя те же рас-
рассуждения, что и в § 14, мы убедимся, что последователь-
последовательность <р»(х, jx) сходится равномерно по х и jx, если х из-
изменяется в замкнутом интервале [а, Ь], содержащем
внутри себя точку х0, и если |(х|<(хо- Следовательно,
предельная функция ф(х, [х) — единственное решение,
график которого проходит через точку (х0, у0), — не-
непрерывна по совокупности переменных х и ц при а<х<с
<6 и ||л|<ц0-
2. Если в соответствии с п. 2 теоремы допустить, что
/ имеет непрерывные производные 1-го порядка по у и
(х, то решение ц>(х, \х) имеет непрерывную производную
по \i при тех же значениях х и jx, что и в предыдущем
пункте.
В самом деле, пусть функции q>.(x, fi) и ф(х3 \i+A\i)
обращаются в у0 при x = xq, и пусть первая из них удов-
удовлетворяет уравнению C.28), а вторая — уравнению
^ C.29)

gO ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. Ш
Подставив эти функции в соответствующие им диф-
дифференциальные уравнения C.28) и C.29) и вычитая по-
получившиеся тождества, имеем
. I*)] = ; ( (х>
Применяя к правой части лемму Адамара и полагая
ф(лс, ц+Дц)—ф(лс, ц)=Дф, перепишем последнее равен-
равенство так:
где Oi и Фг — непрерывные функции от х, ц(х, ц,).,
ф(лс, ц+Дц.), ц и (х+Аи- и, следовательно, по доказанно-
доказанному в п. 1, непрерывны по х и Дц (ц считаем фиксиро-
фиксированным). Разделим последнее равенство на Дц; тогда
Дф
для определения —— мы получаем линейное уравнение
Ар,
dx Дц
<3-30>
Функция—5Е_ дО сих ПОр была определена только
Дц
при Aji^O. Определим ее при Дц = 0 так, чтобы она
удовлетворяла уравнению C.30) и при х=хй обраща-
обращалась в нуль. Правая часть уравнения C.30) непрерыв-
непрерывна по х и Дц,.(которые входят в <Di и Ф2) и имеет огра-
ограниченную производную по ——. Последнее следует из
Дц
того, что, как было показано в предыдущем параграфе,
<Di равно интегралу от значений ——, а —— ограничена.
ду dyj
Кроме того, —г-— 0 для всякого A[i при х=х0. Поэто-
Поэтому из доказанного в п. 1 настоящего параграфа следу-
следует, что решение ~- уравнения C.30) непрерывно по Ац
при всех достаточно малых по абсолютному значению

$ 21] ТЕОРЕМА О ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ ОТ ПАРАМЕТРОВ 91
Ли. Поэтому при Ац^-0 величина —— стремится к опре-
определенному пределу. А это означает существование про-
производной ПО [I ОТ (р(х, \i).
Кроме того, так как в силу леммы Адамара при Дц-*
0
то производная —— удовлетворяет дифференциальному
дц
уравнению
_ Рф °1 _|_ »/ /С 31)
dx 5(i
= 0.
при начальном условии ——
д[х, л=о
Поэтому, применяя к этому уравнению первую часть
теоремы, мы найдем, что ~j~ непрерывна по совокупно-
совокупности переменных хиц.
3. Если / имеет непрерывные производные по у и р,
до р-го порядка, где р>2, то, применив к уравнению
C.31) те же рассуждения, что и для уравнения C.28)
в п. 2 настоящего параграфа, и взяв —^- вместо <р,
найдем, что —^- существует и непрерывна по совокуп-
совокупности х и [I. Продолжая эти рассуждения, мы полно-
полностью докажем сформулированную в начале этого пара-
параграфа теорему.
Замечание 1. Подобно тому как это мы сделали
в § 19, можно было бы доказать непрерывную зависи-
зависимость от иь ..., [in решения дифференциального уравне-
уравнения C.27) или дифференцируемость его по этим пара-
параметрам при значениях х не только на отрезке [а, Ь],
но и на любом отрезке, для которого график решения
проходит внутри &ху.

92 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ (гл. III
Замечание 2. Если известно некоторое решение,
соответствующее значению параметра ц, = цо> то произ-
производная по параметру при ц = ц0 и при значениях хну,
связанных уравнением данного решения, получается при
цдмощи квадратур без нахождения прочих решений.
Действительно, при таких предположениях эта произ-
производная находится из линейного уравнения C.31) с изве-
известными коэффициентами.
Следствие. Применяя только что доказанную для
уравнения C.28) теорему к уравнению C.25) § 19, мы
получим:
Если правая часть уравнения
y' = f(x. У) C-2)
имеет по х и у непрерывные производные до р-го поряд-
порядка, то функция у(х, х0, у0), которая удовлетворяет это-
этому уравнению и при х = х0 обращается в у0, имеет не-
непрерывные производные по х0 и у0 также до р-го поряд-
порядка (р>1).
ЗАДАЧИ
1. Дано уравнение y'=s\n(xy) и начальное условие хо = О,
ду ду
t/0=0. Найдите (пр.и любом х) —— и ——, используя уравие-
"хо дуо
ние C.31).
2. Дано уравнение у'=хг+у2 и начальное условие #о=0, ?/о=О.
Ф
Найдите с точностью до 0,0001, чему равно —;— при х=1. При
вычислении у(х) можно пользоваться, например, методом последо-
последовательных приближений.
3. Докажите, что если / в уравнении C.2) непрерывно диффе-
дифференцируема, то
дх0
ду(х.,х,>, у0)
х„
X
У
Хо
L(t, y{t))dt.
4. Пусть М и N в уравнении B.13) непрерывно дифферент*»
руемы и М2(х0, уо)+№(хо, уо)ФО, (х0, у„) — точка в области G.

§ 22] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 93
Докажите, что тогда в некоторой окрестности этой точки уравне-
уравнение B.13) имеет непрерывный интегрирующий множитель.
5. Пусть функция f(x, у) непрерывна и удовлетворяет по у ус-
условию Липшица а^х^Ь, —оо<г/<оо, причем f(x, у)>0 для
y<F(x) и f(x, y)<0 для y>F(x) (F(x) — некоторая непрерыв-
непрерывная функция на отрезке [а, Ь\). Тогда при (х>0 решение у(х, (х)
уравнения
*-2-=«*.*>
для начальных данных у(хо)=уо [здесь a<.Xo<b, yo>F(x<>)] не-
непрерывно зависит от (х, ц) и определено при a^xs^b. Докажи-
Докажите, что
lim у(х, ц)= + оо (a*zx<xo), lim у(х, \х) = F(x) (xo<x<b),
ц40 И-»+0
причем последнее соотношение выполняется равномерно по х на
каждом отрезке [с, Ь] (хо<с<6).
Таким образом, поведение решения уравнения при изменении
малого сомножителя у производной существенно отличается от по-
поведения решения уравнения с малым параметром, входящим в пра-
правую часть уравнения C.2).
Приведенное выше утверждение является частным случаем
значительно более общей теоремы А. Н. Тихонова [Матем. сборник,
1948, т. 22, с. 193—204].
6. Докажите, что в условиях задачи 5 при любом е из интер-
интервала @, у—F(xo)) значение Л=А(и,), для которого y(xo+h, \i) =
=F(xo+h) +e, \y(x, (i)— .F(x)|<e та интервале xo+h<x<ib, имеет
при ц-»-+0 порядок ц. (Интервал xo^x^xo+h(\i) называется по-
пограничным слоем.)
§ 22. Особые точки
Определение. Пусть точка Р лежит внутри об-
области G, где мы рассматриваем дифференциальное урав-
уравнение
^- = f(x,y) C.2)
ах
и соответственно
(см. § 2), или на ее границе, где уравнения C.2) и
C.2') также могут быть заданы.

94 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
Если можно указать такую окрестность 91 точки Р '>,
что через каждую точку этой окрестности проходит од-
одна и только одна интегральная линия и, кроме того, по
крайней мере одна из функций f(x, у) и f\\x, у) в % не-
непрерывна, то точку Р мы будем называть обыкновенной
точкой уравнения C.2) или C.2').
Чтобы точка Р была обыкновенной, достаточно, чтобы в
Ш функция f(x,y) была непрерывна пол; и удовлетворяла
условию Липшица по у или чтобы функция fi(x, у) бы-
была непрерывна по у и удовлетворяла условию Липшица
по х. (Вместо условия Липшица достаточно потребовать
ограниченности соответствующей частной производной.)
Однако эти условия не необходимы, что видно на при-
примере уравнения
= j y\n\y\ при уфО,
\ 0 при у—О.
Хотя в точках оси х условие Липшица нарушается, но
все точки плоскости обыкновенные.
Если точка Р не обыкновенная, то она называется
особой точкой для уравнения C.2) или C.2'). Мы ви-
видим, что точка Р может быть особой в трех случаях:
a) Точка Р лежит на границе области G; всякая та-
такая граничная точка является особой. Так, для уравне-
уравнений A.4) и A.7) начало координат служит граничной
особой точкой, так как область G в этих примерах —
это вся плоскость, за исключением начала координат.
b) Может оказаться, что точка Р является точкой
неединственности, т. е. такой точкой, что в любой ее ок-
окрестности через нее проходит более одной интегральной
линии. Точка Р может также быть предельной для то-
точек неединственности.
c) Наконец, само заданное поле направлений может
иметь в точке Р разрыв (этот случай в примерах встре-
встречается редко).
Конечно, возможна и комбинация этих случаев
(граничная точка неединственности и т. д.).
*) Под окрестностью точки Р мы всюду понимаем полную ок-
окрестность точки Р, а не только ту ее часть, которая принадлежит G.
Такую окрестность можно представлять себе в виде достаточно ма-
малого круга с центром в точке Р.

22]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
95
Изолированные особые точки (т. е. такие особые
точки в некоторой окрестности которых нет других осо-
особых точек) в приложениях чаще всего встречаются при
исследовании уравнений вида
dy М (х, у)
~1х~~ N(x,y) '
где М(х, у) и N (х, у) — функции, имеющие непрерыв-
непрерывные частные производные по х и у высоких порядков.
Легко видеть, что для таких уравнений все внутренние
точки рассматриваемой области, где М(х, у)фЬ или
N(х, у)=/=0, являются обыкновенными точками.
Рассмотрим теперь какую-нибудь внутреннюю точку
(хо, г/о), где и М(х, у)=0, и N(x, у) = 0. Для упрощения
записи будем предполагать, что д;0 = 0 и г/0 = 0. Разла-
Разлагая тогда М (х, у) и N(x, у) по степеням х и у и ограни-
ограничиваясь при этом членами второго порядка, получим в
окрестности точки @, 0)
dy
C.32)
—У-
Это уравнение не определяет —У- при х = 0 и м=0.
dx
Но если
М'х@,0) М'у @,0)
N'x@,0) N'y@, 0)
то, как бы мы ни задали
——
dx
в начале координат, это
начало координат будет точкой разрыва для значений.
dy
¦—-и потому особой точкой для нашего дифференциаль-
дифференциального уравнения.
Перрон2) показал, что на характер поведения интег-
интегральных линий около изолированной особой точки (у
нас — начала координат) члены О(х5+у2), стоящие в
Ч О(х2+у2) означает величину, отношение которой к х2+у2 ос-
остается ограниченным.
*> Math. Zeitschrift, Bd 15 A922) и Bd 16 A923). См. § 56<
и 57.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ
[гл. III
числителе и знаменателе, не оказывают существенного
влияния, если только действительные части обоих кор-
корней уравнения
— М'у@, 0) —М'х@,0)
— N'„@,0) % — N'x@,0)
= 0
-отличны от нуля. Поэтому, чтобы составить себе пред-
представление об этом поведении, изучим поведение около
начала координат интегральных линий уравнения
_йу_ _ ах + Ьу
их
для которого
ex -\- dy
Ф0.
C.33)
Можно показать, что линейным неособым преобра-
преобразованием
.1
где kij действительны, это уравнение приводится к од-
одному из следующих трех типов (см. дальше, § 48):
в)
d%
Е+Ч
C.34)
Рассмотрим подробно каждый из этих трех случаев.
Заметим предварительно следующее. Если оси Ох и Оу
были взаимно перпендикулярными, то оси О| и Ог\ не
будут уже, вообще говоря, образовывать между собой
прямой угол. Но для упрощения выполнения рисунков
мы будем изображать Og и Оц взаимно перпендикуляр-
яыми.

22]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ.
97
1-й случай. Общим интегралом служит уравнение
Щ+ \bl\k = 0. Поведение интегральных линий в этом
случае схематически изображено на рис. 13, 1, 14 и 15.
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 13 относится к случаю, когда k>\. Здесь все
интегральные линии касаются в О оси 01, за исключе-
исключением только обеих половин-оси Ок\. Сами оси О| и Ог\
являются интегральными линиями всюду, за исключе-
исключением, конечно, самой точки О, где уравнение C.34,а) не
определяет никакого нап-
направления.
¦Случай, когда k — \, был
разобран нами во введении
(рис. 1).
LLLL
W
Рис. 15
Рис. 16
При 0<&<1 (рис. 14) все интегральные линии, за
исключением только обеих половин оси О|, касаются
Оси Оц.
Во всех случаях, когда ?>0, всякая интегральная
линия подходит к О по определенному направлению,
т. е. имеет в О определенную касательную. Вообще, ког-
когда всякая интегральная линия, имеющая точки, доста-
4 И. Г, Петровский

98 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. Ш
точно близкие к О, приближается к О как угодно близ-
близко, и притом по определенному направлению, то точку
О называют узлом. Значит, при k>0 точка О есть узел
для интегральных линий уравнения C.34,а).
Поведение интегральных линий ri|||-* = c, когда k<
<D7 изображено на рис. 15. В этом случае к точке О
подходят как угодно близко только четыре интеграль-
интегральные линии: две полуоси О| и две полуоси Оц. Всякая же
другая интегральная линия, приблизившись достаточно
близко к точке О, потом начинает от нее удаляться. Та-
Такие точки называются седлами. Именно такой вид име-
имеют на карте линии уровня перевала между двумя гора-
горами (седловины).
2-й случай. Общим интегралом служит уравнение
bi\ — ?,(a-rb 1п|||) (рис. 16). Все интегральные линии
касаются в точке О оси Оц. Из координатных осей толь-
только ось Оц является интегральной линией. Точка О в
этом случае есть также узел, как и при ?>0 в первом
случае.
3-й случай. Уравнение C.34,в) легче всего проин-
проинтегрировать, если перейти к полярным координатам. По-
Положим
g = pcoscp, ri = p sin ф.
Тогда после вычислений получим
dtp
и, следовательно,
Если k>0, все интегральные кривые приближаются
к О, бесконечно навиваясь на эту точку, когда ср-»—оо
(рис. 17). При k<0 то же самое происходит, когда qp->
-> + оо. В этих случаях точку О называют фокусом. Ес-
Если же k = 0, семейство интегральных кривых уравнения
C.34,в) состоит из окружностей с центром в О. Вооб-
Вообще, если некоторая окрестность точки О целиком запол-
заполнена замкнутыми интегральными линиями, содержащи-
содержащими внутри себя О, то такую точку называют центром.
Центр может легко перейти в фокус, если' к чиелтелю
и знаменателю правой части уравнения C.32) припи-

22]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
сать члены какого угодно высокого порядка; следова-
следовательно, в этом случае поведение интегральных кривых
вблизи О не определяется членами 1-го порядка. Позже,
в §48, мы увидим, что k обращается в
нуль только тогда, когда действитель-
действительная часть корней к детерминанта
к — Ъ —.
— d к —
обращается в нуль. Ни в каких дру-
других из рассмотренных выше случаев
эта действительная часть в нуль не
обращается.
Изложенная в этом параграфе классификация осо-
особых точек принадлежит Пуанкаре.
Рис. 17
ЗАДАЧИ
1. Представьте поведение интегральных кривых вблизи особых
точек для следующих уравнений:
У >х. х2 . У2
х2 ' у2 у2 х2 '
(тип — целые).
2. Представьте поведение интегральных кривых для уравнений
у' = (sin -
sin
1 \±i
f)
(четыре случая).
3. Как расположены интегральные линии уравнения C.33), если
a b
с d
= 0?
4. Приведите пример особой точки, в некоторой окрестности ко-
которой через каждую точку проходит единственная интегральная
кривая.
5. При каких а, Ь, с, d уравнение C.33) переходит в себя прн
всех аффинных однородных преобразованиях? При всех вращениях?
4*

100 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
§ 23. Особые линии
Определения: 1. Линию, все точки которой явля-
являются особыми для уравнения C.2) или C.2'), будем на-
называть особой.
2. Если особая линия является в то же время интег-
интегральной для уравнения C.2) или C.2'), то ее будем
называть особой интегральной, линией этого уравнения.
Примеры. Примером особой, но не интегральной
линии может служить всякая неинтегральная линия
уравнения
где f(x, у) — функция, построенная М. А. Лаврентье-
Лаврентьевым (ср. § 9).
Ось Ох является особой интегральной линией для
уравнения
п21Н есш
0, если у~ 0;
это интегральная линия неединственности.
В конкретных примерах обычно наибольший интерес
представляет разыскание именно интегральных линий
неединственности, так как их знание помогает предста-
представить картину интегральных линий в целом.
Всякая линия, являющаяся частью границы области
G, где определена одна из функций f{x, у) и fi{x, у) в
уравнении C.2) или C.2'), является особой линией для
этого уравнения. Может случиться, что эта линия явля-
является также интегральной, если уравнение C.2) или
C.2') задано и на границе G (тогда это будет «гранич-
«граничная интегральная линия»).
В качестве примера интегральной линии, на которой
поле направлений терпит разрыв, можно взять ось х
для уравнения
1, если у > 0,
о, если г/ = 0,
— 1, если у < 0.

5 24] о Поведении интегральных ЛйнИй в целом 161
§ 24. О поведении
интегральных линий в целом
Иногда бывает важно построить схему поведения ин-
интегральных линий во всей области задания поля на-
направлений «в целом», не заботясь при этом о сохране-
сохранении масштаба. На рис. 13—17 мы строили подобные
схемы для поведения интегральных линий в окрестности
изолированной особой точки. Если все точки односвяз-
ной области G, где задана правая часть дифференци-
дифференциального, уравнения C.2), обыкновенные, ~то семейство
интегральных линий~ можно схематически изобразить
семейством отрезков параллельных прямых, так как в
этом случае через каждую точку области G проходит од-
одна интегральная.линия и никакие две интегральные ли-
линии не пересекаются.
Для уравнения же более общего вида C.2) или
C.2'), которое к тому же имеет особые точки или ли-
линии, структура интегральных линий может быть значи-
значительно сложнее1'. Одной из самых фундаментальных
задач теории дифференциальных уравнений является
задача — найти по возможности более простой способ
построения схемы поведения семейства интегральных
линий заданного дифференциального уравнения на всей
области его определения, -т. е. изучение поведения ин-
интегральных линий этого уравнения «в целом». Эта за-
задача, относящаяся к так называемой качественной тео-
теории дифференциальных уравнений, еще очень далека
от своего разрешения даже для уравнений вида
йу _М(х,у)
dx N (х, у) '
где М(х, у) и N(x,y) — многочлены выше 1-й степени.
В связи с нею скажем несколько слов о так называемых
«предельных циклах».^
*> См. В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. Качественная
теория дифференциальных уравнений-. — М.: Гостехиздат, 1949;
С. Л.ефшец. Геометрическая теория дифференциальных уравне-
уравнений. — М.: ИЛ, .1961; Э. Коддннгтон; Н. Левинсон. Тео-
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958;
В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —
М.: Наука, 1971; В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.

№
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ
[гл. Ill
Рассмотрим для примера дифференциальное уравне-
уравнение
C.35)
где р и ф — полярные координаты на плоскости (х, у) 1К
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
где С — .произвольная постоянная; чтобы р было неот-
неотрицательным, надо, чтобы ф принимало значения, не
большие чем —1п|С|', если С<0. Семейство интеграль-
интегральных линий состоит (рис. 18) из:
1) окружности р=1 (С = 0);
2) спиралей, выходящих из
начала координат О, которые из-
изнутри • приближаются к окружно-
окружности р=1 при ф—>-—оо (О<?0);
3) бесконечных спиралей, ко-
которые приближаются извне к ок-
окружности р.= 1, когда <р->—оо
(С0)
)
рис is Окружность р= 1 называ-
называется предельным циклом для урав-
уравнения C.35). Вообще замкнутая интегральная линия -L
называется предельным циклом, если все ее точки
обыкновенные и к ней асимптотически приближается
некоторая другая интегральная линия2~>. Разыскание
предельных циклов представляет большой интерес для
приложений 3>.
Заметим, что все точки окружности р=1 являются
обыкновенными для уравнения C.35).-В этом можно
убедиться, если от полярных координат перейти к де-
4> Значит,
_dy_
dx
2> Иногда применяются другие определения предельного цикла,
например, вместо последнего условия требуется, чтобы в некоторой
окрестности линии L не было других замкнутых интегральных ли-
линий.
3> См., например, А. А. Андронов, А. А. В и т т, С. Э. X а й -
к и н. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959.

§ 24] О ПОВЕДЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В ЦЕЛОМ ЮЗ
картовым. Значит, малая окрестность любой точки пре-
предельного цикла ничем не отличается от малой окрестно-
окрестности всякой другой неособой точки.
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что, для того чтобы поле направлений в облас-
области G можно, было представить уравнениями A.2) и A.2'), где М
и N непрерывны и не обращаются в нуль одновременно, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы каждую точку области G можно было
бы снабдить таким ортом (т. е, единичным вектором), который
всюду указывает направление поля и непрерывно зависит от точки
поля. Направление поля в каждой точке мы задаем отрезком пря-
прямой, оба направления которой для нас безразличны. Здесь же тре-
требуется в каждой точке выбрать одно из этих направлений, и это
направление должно непрерывно зависеть от точки.
2. Постройте пример поля направлений на плоском кольце, ко-
которое нельзя представить иа всем этом кольце уравнением B.13) с
непрерывными М и N, причем М и N не обращаются в нуль одно-
одновременно, и которое тем не менее непрерывно на всем кольце. Как
обычно, поле направлений задается в каждой точке отрезком пря-
прямой,, оба направления которой мы не выделяем. Когда мы говорим
здесь, что поле направлений непрерывно на кольце, это значит, что
эта прямая изменяется непрерывно. Можно ли построить аналогич-
аналогичный пример для односвязной области на плоскости?
3. Пусть интегральные линии уравнения A2) или (l.^) имеют
дг2 уъ
уравнения. + ~77= 1 (с>° фиксировано, параметр b прини-
С —J~O О
мает значения 0<6< + <х>). Докажите,что если М и N непрерывны,
то они всюду на отрезке •—е^я^е, у=0 обязательно равны нулю.
4. Докажите, что в изолированную, особую точку уравне-
уравнения A.2) или A.2') может входить только четное или бесконечное
число интегральных линии. Если какая-нибудь интегральная линия
подходит к этой точке бесконечно навивающейся спиралью, то и
всякая другая линия, входящая в эту точку, подходит к ней также
бесконечно навивающейся спиралью. Может ли входить в изолиро-
изолированную особую точку ровно две такие спяралн?
5. Начертите схему поведения на всей плоскости интегральных
линий уравнения
+W1.
ах у
Покажите, что оно имеет фокус в начале координат и предель-
предельный цикл

104 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. III
Указание. Сравните наклон интегральных линий этого урав-
уравнения с наклоном в той же точке интегральных линий уравнения
dy х
dx у
6. Начертите схему поведения иа всей плоскости интегральных
линий уравнения
Докажите, что оно имеет две особые точки: -седло @,0) и фо-
фокус A,1).
Указание. Сравните наклон>интегральной линии этого урав-
уравнения с наклоном в той же точке интегральной линии уравнения
dy у—хг
dx у—х
которое легко интегрируется в квадратурах.
7. Докажите, что если замкнутую интегральную линию L, все
точки которой обыкновенные, можно заключить в полосу, ие содер-
содержащую других замкнутых интегральных линий, то- L — предельный
цикл.
8.- Докажите, что если к некоторой замкнутой ^интегральной ли-
линии L без особых точек асимптотически приближаются извне и
изнутри две интегральные линии, то L можно заключить в полосу,
целиком заполненную интегральными линиями, асимптотически при-
приближающимися к L.
9. Постройте пример замкнутой интегральной линии Lj без осо-
особых точек, не являющейся предельным циклом, причем никакая ок-
окрестность L не заполнена сплошь замкнутыми интегральными ли-
линиями.
10. Докажите, что если внутри и на самой замкнутой кривой V.
с непрерывно вращающейся касательной нет особых точек поля, то
в точках на линии L направление поля по крайней мере два раза
совпадает с направлением касательной к L и по крайней мере два
раза с направлением нормали к L. (Отсюда, в частности, следует
теорема Бендиксона о том, что внутри замкнутой интегральной ли-
линии должна быть по крайней мере одна особая точка поля.)
11. Докажите, что каждая интегральная линия уравнения
г/=хг—уг имеет но крайней мере одну точку перегиба и хотя бы
одни раз пересекается с прямой у=х.
Указание. Используйте задачу 5 § 2.
§ 25. Уравнения, не разрешенные
относительно производной
Примером таких уравнений может служить уравне-
уравнение
(А)'-1-0. C.36,

25]
УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ,
105
Как легко видеть, оно эквивалентно уравнениям
dy
dx
= 1
dy
dx
= —1.
C.37a)
C.376)
Первое из этих уравнений представляет поле направ-
направлений, наклоненных к Ох под углом 45°, а второе-—
поле направлений, наклоненных к Ох под углом 135°.
Уравнению же C.36) соответствует*
поле направлений, полученное нало-
наложением полей C.37а) и C.376). Че-
Через каждую точку плоскости (х, у)
проходит одна и только одна интег-'
ральная линия уравнения C.37а) —
прямая, наклоненная к Ох под углом
в 45°, и одна и только одна интеграль-
интегральная линия уравнения C.376)'— пря-
прямая, наклоненная к Ох под углом
1359. Значит, через каждую точку плоскости (х, у) про-
проходят две и только две интегральные линии уравнения
C.36) (рис. 19) ».
Можно доказать следующую общую теорему.
Теорема. Пусть дано уравнение
Рис. 19
F(x,y,y')=0,
C.38)
где функция F{x, у, у') обладает следующими тремя
свойствами:
1. F(x, у, у') определена на замкнутой и ограни-
ограниченной области G в пространстве (х, у, у'), где она не-
непрерывна.
•> В анализе (см., например, Г. М. Ф и х т е и г о л ь ц. Курс диф-
дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969,
т. 1, с. 224) доказывается, что если на некотором интервале (а,
Ь) функция Ф(х) всюду имеет производную, равную <р(дс), и если
ф(лс) в двух точках Xi и лс* (a<Xi<Xi<b) принимает значения yi
и уг, то на интервале (xi, Хг) функция ф(дс) принимает все проме-
промежуточные значения между yi и у2. Поэтому не существует
функции у(х), которая при всяком х имела бы производную, при-
принимающую значения, равные только ± 1, причем в одних точках
эта производная равнялась бы +1, а в других —1.

106 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. III
2. Для некоторой точки (хо, Уо), лежащей на плоско-
плоскости (х, у), число различных решений уравнения C.38)
относительно у' конечно и равно т. Пусть этими реше-
решениями будут числа
bu b2 bm (m>0).
3. Каждая из точек (хо, уо, bi) (t=l, ..., tri) лежит
внутри G, и в некоторой окрестности RP каждой из
этих точек функция F(x, у, у') имеет непрерывную про-
производную по у и непрерывную производную по у', кото-
которая по абсолютной величине всюду в Ri превосходит не-
некоторое постоянное положительное число.
Тогда существует окрестность St точки (xq, уо), рас-
расположенная в плоскости (х, у), причем через каждую
точку St проходит m и только пг графиков решений
уравнения C.38).
Доказательство. При сделанных предположени-
предположениях, согласно теореме о неявной функции, у каждой из
точек (х0, уо, bi) в пространстве (х, у, у') существует
такая окрестность Ri, в которой уравнение C.38) имеет
одно и только одно решение вида
</'=/<(*, У) (i=l m); C.39)
каждая функция /(•(*> у) непрерывна по х и имеет про-
производную по у, равную
Fy {х, у, fi)
В силу сделанных предположений о функции F эта про-
производная ограничена. Все окрестности Ri (i—\, ..., m)
можно представлять себе в виде цилиндров с образую-
образующими, параллельными оси Оу', и с основаниями, проек-
проектирующимися на одну и ту же лежащую в плоскости
(х, у) окрестность точки (xq, г/о) (на рис. 20 т = 2). Эту
окрестность % можно выбрать настолько малой, чтобы
ни над ней, ни под ней не было ни одной точки (х, у, у')
поверхности C.38), не принадлежащей какой-нибудь из
поверхностей C.39). Действительно, если такие точки
•) Под окрестностью Ri мы понимаем полную окрестность точки
(*о, у о, bi) в пространстве (х, у, у').

§ 25]
УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО у' 107
существуют, то по предыдущему они лежат вне цилинд-
цилиндров Ri (i=l т). Поэтому, если бы такие точки
существовали при как угодно малой % то в силу огра-
ограниченности и замкнутости О и непрерывности функции
F(x, у, у') они были бы и на прямой
х=х0, у=у0
вне цилиндров Яг, значит, уравнение Е{х0, уо, у')=0
имело бы, больше чем т решений относительно у', что
противоречит нашему предполо-
предположению.
итак, мы нашли, что при сде-
лацных предположениях относи-
относительно F(x, у, у') у точки (хо, уо)
на плоскости (х, у) существует та-
такая окрестность U, в которой урав-
уравнение C.38) имеет т и только т
различных решений C.39). Функции
fi(x, у) непрерывны по л; и имеют
ограниченную производную по у.
Поэтому для каждой точки Р из II
каждое из уравнений C.39)) имеет
в области U одну и только одну ин-
интегральную линию, проходящую че-
через точку Р. Так как все у в каж-
каждой точке области U различны, то
все эти интегральные линии различны и между собой
не касаются. А потому через каждую, точку области %
проходит т и только т интегральных линий уравне-
уравнения C.38)}), что и требовалось доказать.
Очевидно, ни одно из направлений поля, задаваемо-
задаваемого уравнением C.38), не параллельно оси Оу. Следова-
Следовательно, ни одна из интегральных линий этого уравнения
не имеет касательных, параллельных оси Оу. Чтобы не
исключать направлений, параллельных оси Оу, анало-
аналогично тому, как это делалось для уравнений, разрешен-
разрешенных относительно производных, мы будем иногда наря-
наряду с уравнением
U ^H C.40а)
Рис. 20
,U,y,
') См. сноску на с, 105.

108 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ 1гл. III
рассматривать уравнение
fH" C0б)
При этом функция Fx (х, у, 1 выбрана так, что
V fy }
уравнения C.40а) и C.406) нигде не противоречат од-
одно другому; другими словами, если для некоторых х, у
и афЪ значения F (х, у, а) и Ft (х, у, —). определены
и одно из них равно нулю, то и другое тоже равно нулю.
Иногда бывает удобнее объединять уравнения
C.40а) и C.406) в одно, написанное в дифференциалах
(см. дальше пример 1). Мы будем наряду с решениями
уравнений вида C.38) рассматривать интегральные ли-
линии уравнений C.40) (ср. § 2).
Определения. Пусть функция F(x, у, у') [соот-
[соответственно Fi(x, у, х')] определена на некоторой обла-
области GXyy' (соответственно GXyX') в простраистве (х, у, у')
[соответственно (х, у, *')] и на некоторой части ее гра-
границы. Пусть точка Р{х0, уо) лежит внутри той области
GXy плоскости (х, у), где уравнения C.40а), C.406)
определяют некоторые направления, или на границе
этой области.
1. Будем называть эту точку Р обыкновенной точкой
уравнений C.40а), C.406), если для нее можно указать
такую окрестность к в плоскости (х, у), через каждую
точку которой проходит в этой окрестности одно и
то же постоянное для этой окрестности конечное число
интегральных,линий, равное числу направлений, зада-
задаваемых в точке Р уравнениями C.40а) и C.406); при
этом эти линии должны получаться в результате нало-
наложения друг на друга семейств интегральных линий урав-
уравнений C.2) или C.2') с непрерывными правыми ча-
частями.
В силу сказанного выше для этого достаточно, чтобы
выполнялись следующие-условия:
а) У точки Р(хо, #о)_на плоскости (х, у)_есть такая
замкнутая окрестность %ху, что множество G*W' (либо
GXyx') точек, в которых определена функция F(x, у, у')
[соответственно F\(x, у, х')] и проекции которых на

§ 25] УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО у' 109
плоскость (х, у) не выходят из этой окрестности, обра-
образует ограниченную и замкнутую область, а функция
F(x, у, у') [соответственно F\(x, у, х')] на этом множе-
множестве непрерывна. Чтобы множество GXyy' ' (соответст-
(соответственно Gxyx' не получалось неограниченным оттого, что
рассматриваются как угодно большие значения у' (соот-
(соответственно х'), условимся, например, пользоваться
уравнением C.40а) [соответственно C.406)] только
тогда, когда \у'\ (соответственно \х'\) не больше неко-
некоторой константы, которая не должна равняться абсо-
абсолютной величине никакого корня у' (соответственно х')
уравнения F(x0, уо, у') =0 [соответственно F\ (х0, уо, х') =
= 0].
b) Число направлений интегральных линий, задавае-
задаваемых уравнениями C40а) и C.406) в точке Р(х0, г/о),
конечно.
c) Для каждого из направлений, задаваемых C.40а)
[соответственно C.406)], для функции F(x, у, у') [соот-
[соответственно Fi(x, у, х')] в точке (х®, уо) выполняется ус-
условие 3 только что доказанной теоремы [для Fi (x, у, х')
условие 3 выполняется, если в формулировке теоремы
поменять ролями х и у, у' и х'].
2. Если точка Р(хо, г/о) не является обыкновенной, то
будем- называть эту точку особой.
3. Пользуясь этим определением, мы определим осо-
особые линии и особые интегральные линии совершенно
так же, как при помощи понятия об особой точке такие
линии определялись в § 23. Заметим, что в силу п. 1
особые точки уравнения C.40а) или C.406) с достаточ-
достаточно гладкими левыми частями либо являются граничны-
граничными, либо удовлетворяют системе уравнений
| F (х, у, у') =0, или f Fx (х, у, х') = 0,
I /у (х, у, у') = 0 \ F'lx, (х, у, х') = 0
(предполагается, что "условия а) и Ь) выполнены).
Примеры особых точек, линий и интегральных ли-
линий, которые мы привели в § 22 и 23, пригодны и теперь.
Кроме того, мы разберем еще следующие два примера.
Пример 1.
г//2A— х2)— *2=0, C.41а)

НО ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. ИХ
A—х8)—хУ'-О, C.416)
или в более симметричном виде
A — х2) dy2—x2dx2 = 0. C.41)
Уравнение C.41) определяет поле направлений толь-
только на полосе |д:|<1- Левая часть уравнения C.41а) не-
непрерывна всюду на этой полосе и имеет непрерывные
производные по у и у'. Производная по у' от нее равна
2у'(\~х2).
Отсюда видно, что эта производная обращается в
нуль, если: 1) *=±1, 2) у'—О. В силу уравнения C.41а)
последнее происходит только на прямой х=0. Производ-
Производная по xf от левой части C.416) обращается в нуль на
этих же прямых. Значит, для уравнения C.41) особыми
могут быть только точки трех линий
*= + 1, х——1, х = 0.
Так как прямые *=±1 образуют границу той обла-
области, где уравнения задают некоторые направления, то
они являются особыми линиями. Из уравнения C.416)
видно, далее, что они являются интегральными линиями.
Покажем, что прямая х=0 является также особой
(но неинтегральной) линией. Заметим прежде всего сле-
следующее. Из уравнения C.41) получаем, что
Отсюда следует, что интегральными линиями урав-
уравнения C.41) будут окружности радиуса 1, центры кото-
которых лежат на оси Оу. Все они касаются прямых л:=±1.
Теперь уже легко видеть, что прямая х—0 является
особой. Действительно, на этой прямой из уравнения
C.41а) мы находим.для у' только одно значение нуль,
уравнение же C-416) не дает для хг здесь никакого зна-
значения. Но ни у какой точки В, лежащей на оси Оу, не-
нельзя указать такой окрестности, через каждую точку ко-
которой проходила бы в этой окрестности одна и только
одна интегральная линия; действительно, уже через эту
самую точку Б, очевидно, проходят в этой окрестности

S 25]
УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО у' \\\
четыре интегральные линии: A\BAit A2BAS, A2BA4 и
А{ВА% (рис. 21). Значит, ось Оу будет особой, ио, оче-
очевидно, неинтегральной линией. У каждой же точки по-
полосы — 1<jc< + 1, если только эта
точка не лежит на оси Оу, есть
такая окрестность, через каждую
точку которой в этой окрестности
проходят две и только' две инте-
интегральные линии.
Заметим, что кроме указанных
уже интегральных линий у нашего
уравнения будут еще интегральные
линии :вида
PiBiPiPsB^Pu PlBlPiBP3OP6BPl
и др. Отсюда видно, что в любой
окрестности любой точки х—±1 че-
через эту точку проходит бесконечное
число интегральных линий; стало
быть, эти прямые являются гранич-
граничными интегральными линиями Рис-2'
неединственности.
Пример 2. Уравнение Клеро. Уравнением Клеро на-
называется уравнение вида
F(x, у,
C.42)
Мы будем предполагать, что f(yf) определена на
замкнутом интервале a<.y'<cb, непрерывна вместе со
своими первыми двумя производными и что иа этом ин-
интервале /"((/') всюду сохраняет знак, например, отри-
отрицательна.
Тогда при всяких хну уравнение C.42) имеет ие
больше двух корней относительно у'. (Почему?) Поэто-
Поэтому, как легко видеть, для этого уравнения будет обык-
обыкновенной всякая точка (хо, уо), для которой
1. Уравнение
Уо-ХоУ'-Ну') =0 C.43)
не удовлетворяется ни при у' = а, ни при у'=Ь, ио оио
удовлетворяется по крайней мере при одном значении у'
из интервала (а, Ь).

112 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ-УРАВНЕНИЙ [гл. III
2. Для каждого из корней у' уравнения C.43)
F'y (*0. Л. У') = — «0-Г (
Точки, не удовлетворяющие
второму из этих условий, об-
образуют некоторую линию. Ес-
Если принять у' за параметр и
обозначить его через р, урав-
уравнение этой линии можно на-
напасать так:
y=xp+f{p), x=-f'(p) C.44)
или
у=-Г(р)-р+Нр),
Эти уравнения определяют у как функцию от х.
В этом можно убедиться, если второе из уравнений
разрешить относительно р (что возможно, так как f"{p)
сохраняет знак) и найденное значение р подставить в
первое из них. Легко видеть, что линия C.45) является
интегральной. Действительно, из уравнений C.45) на-
находим
dy=[—!"(p) -p—f'ip) +П
dx = -f"(p)dp.
Следовательно,
и потому для линии C.45) или, что все равно, для ли-
линии C.44) уравнение C.42) удовлетворяется.
Так как —— = р, то при возрастании р величина
— также возрастает. Уравнение C.45) показывает, что
dx
если
}"(р)<0,
то —— > 0. Поэтому выпуклость кривой C.45) обраще-
обращена вниз (рис. 22, кривая C.45) изображается линией
AQB).

§ 25] УРАВНЕНИЯ, HE РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО у' ИЗ
Легко проверить, что при любом постоянном с
Ь) прямая
f() C.45')
является интегральной. Эта .прямая, очевидно, касается
линии C.45) в точке
y=-f'(c)-C+f(c),
x=-f'(c).
Обратно, каждая касательная к линии C.45)- имеет вид
C.45')- (Почему?) Поэтому уравнение C.43) имеет
столько корней относительно у', сколько касательных к
дуге AQB можно провести через точку (х0, уо)-
Проведем касательные прямые MACD и NBCE в
концах А и В линии C.45). Они вместе с кривой C.45)
разобьют всю плоскость (х, у) на следующие пять обла-
областей:
MACE, NBCD, AQBCA, ECD, MAQBN.
Через каждую точку, лежащую внутри углов МАСЕ и
NBCD, проходит одна и только одна касательная к дуге
АВ, и потому для этих точек уравнение C.43) имеет
один и только один коренк относительно (/', и притом от-
отличный от а и Ь. Эти точки .поэтому являются обыкно-
обыкновенными точками уравнения C.42). Значит, для каждой
такой точки модно указать окрестность, в которой че-
через каждую точку проходит столько интегральных ли-
линий этого уравнения, сколько оно имеет в этой точке
корней относительно у', т. е. одна; этой единственной
интегральной линией будет бтрезок касательной к ду-
дуге АВ, проведенной через эту точку. Таким же образом
найдем, что каждая точка, лежащая внутри области
AQBCA, также является обыкновенной точкой уравне-
уравнения C.42); для нее можно указать такую окрестность,
через каждую точку которой проходят две и только две
интегральные линии; они будут отрезками касательных
к АВ, проведенных через эту точку- Через каждую же
внутреннюю точку областей MAQBN и ECD не проходит
ни одна интегральная линия уравнения C.42). Эти точ-
точки не входят в нашу классификацию обыкновенных и
особых точек.

114 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. Ш
Из всех точек плоскости (х, у), в которых уравнение
C.42) имеет корни относительно у, условию 1 (с. .111)
не будут удовлетворять только точки прямых MACD,
NBCE, а условию 2 — точки линии AQB. Легко видеть,
что эти линии будут особыми интегральными линиями
для уравнения C.42).
Заметим в заключение, что, кроме тех интегральных
линий, о которых уже шла речь, уравнение C.42) будет
иметь еще интегральные линии такого типа, как линия
SQBN; они составлены из кусков дуги АВ и кусков ка-
касательных к ней.
ЗАДАЧИ
1. Определите вид интегральных линий следующих уравнений:
sin у' = 0, &ту'=х.
2. Рассмотрим уравнение
F(x,y')=0.
Докажите, что если кривая F(x, z)—Q при х=хо, z=zB имеет
вертикальную касательную, ие пересекающую кривую, то через лю-
любую точку (хо, у) проходит интегральная линия рассматриваемого
уравнения, имеющая там точку возврата. Что соответствует в этом
смысле точкам максимума кривой F(x, z)=0? Точкам возврата?
Точкам самопересечения? Вертикальным асимптотам? Разберите
уравнения
3. Решите уравнение Клеро у—ху'—у'=0. Почему семейство ин-
интегральных линий расположено иначе, чем на рис. 22?
4. Исследуйте семейство решений уравнения C.42), если /"(О
t^b) обращается в нуль конечное число раз.
dy
5. Один из методов решения системы уравнений #=/(')."~j~" =
= ф (t) (t — параметр) состоит в дифференцировании по t пер-
первого из уравнений, откуда
_ ПГУ)
J !ф(')
это равенство вместе с соотношением y=f(t) и дает параметриче-
параметрическое представление семейства искомых решений. Приведите доста-
достаточные условия для применимости этого метода.

§ 26] ОГИБАЮЩИЕ Ш
§ 26. Огибающие
Допустим, что нам известно для некоторого диффе-
дифференциального уравнения C.38) семейство
F(x,y,C)=0 C.46)
интегральных линий^ которое покрывает некоторую
замкнутую область G плоскости (х, у) так, что через
каждую точку такой области проходит по крайней мере
одна, но не более конечного числа линий этого семейст-
семейства. Требуется найти такую проходящую по О линию L,
которая в каждой своей точке касается некоторой линии
семейства C.46) и каждого куска которой касается бес-
бесконечное множество линий этого семейства !>. Такая ли-
линия L называется огибающей семейства C.46). Очевид-
Очевидно, огибающая семейства интегральных линий будет так-
также интегральной линией уравнения C.38), так как в
каждой ее точке она касается некоторой интегральной
линии и, следовательно, имеет направление поля. Отно-
Относительно функции F(x, у, С) нам придется предполо-
предположить, что она имеет непрерывные производные по всем
своим аргументам, и сделать еще некоторые другие
предположения, о которых будет сказано несколько
позже и которые напечатаны курсивом.
Допустим, что искомая линия L существует. Так как
она в каждой своей точке (х, у) касается некоторой ли-
линии Lc [значок С указывает то значение параметра С,
при котором уравнение этой линии получается из обще-
общего уравнения C.46)], то координаты ее точек удовлет-
удовлетворяют уравнению F(x, у, С(х, у))—0, где теперь С не
постоянно, но в каждой точке линии L принимает свое
значение (именно равное тому С, которое соответствует
линии Lc). Будем рассматривать только такой кусок ли-
линии L, где у есть дифференцируемая функция от х (точ-
(точно так же можно исследовать куски, где х есть диффе-
дифференцируемая функция от у). Тогда можно считать С в
*) Считаются различными те линии семейства C.46), которым
соответствуют различные С. Отметим, что две линии семейства мо-
могут геометрически совпадать на некотором куске, однако в силу
сделанных предположений ни на каком куске огибающей не могут
геометрически совпадать все линии семейства, касающиеся этого
куска.

Ив ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. Ш
предыдущем уравнении зависящим только от х и пере-
переписать это уравнение в следующем виде:
F(x, у, С(х))=0. C.47)
Допустим, что функция С(х) дифференцируема, не
постоянна ни в каком интервале рассматриваемых зна-
значений х и нам известна. Найдем тогда из уравнения
C-47) значение у' для, удовлетворяющей этому уравне-
уравнению функции у от х. Продифференцируем для этого
уравнение C.47) по х, считая у функцией от х. Полу-
Получим
С другой стороны, если бы мы нашли у' для прохо-
проходящей через ту же точку (х, у) линии Lc семейства
C.46), мы получили бы
К + F'yy> = 0.
Чтобы определяемые из обоих уравнений значения
у' (определить у' из этих уравнений можно, если- Р'УФ
=7^=0) были одинаковы (т. е. чтобы в этой точке линия
C.46) и линия C.47) имели общую касательную), необ-
необходимо, чтобы было
FcC=0.
Чтобы это произведение было равно нулю, надо, что-
чтобы по крайней мере один из его множителей обращал-
обращался в нуль. Если С'х =0 на некотором интервале, это бу-
будет означать, что С постоянно, что противоречит пред-
предположению. Поэтому для огибающей должно быть
Fg=0. C.48)
Легко видеть и обратное: именно, что если при со-
сохранении всех сделанных допущений относительно
F(x, у, С) уравнения {3.47) и C.48) определяют у(х) и
С(х) как дифференцируемые функции от х, причем С(х)
ни в' каком интервале рассматриваемых значений х не
постоянна, то у=у(х) будет огибающей семейст-
семейства'C,46).
Замечание 1. Так как в постановке задачи х и у
были совершенно равноправны, то в ее решении р.оли
х и у можно поменять.

§ 26] ОГИБАЮЩИЕ 117
Замечание 2. Огибающая семейства интеграль-
интегральных линий некоторого дифференциального уравнения
1-го порядка всегда является особой интегральной ли-
линией для этого уравнения, так как она является интег-
интегральной линией'и все ее точ/ш особые; более точно,, на
любом ее куске найдутся точки, через которые в как
угодно малой окрестности проходит бесконечное количе-
количество интегральных линий.
Пример 1. На всей плоскости (х, у) .дано семейст-
семейство кривых
F(x, y,C) = y-(x+Cy = 0. C.49)
Оно состоит из кубических парабол, полученных, из
одной «/=.л;3 сдвигом,"параллельным оси Ох.
Приравнивая F'c нулю, получим —3(л:+СJ=0.
Отсюда С=—х. Подставляя это в уравнение семей-
семейства, получим линию у=0, которая, очевидно, является
огибающей семейства C.49) (рис. 23).
Замечание. Если бы мы написали уравнение на-
нашего семейства в виде
F(x, у, С)=#Ч3-(л;+С)=0,
то было бы F'c ——1 и наш метод не дал бы огибаю-
огибающей, которая на самом деле существует. Это происходит
потому, что теперь /•' не существует при г/ = 0.
Пример 2. На всей плоскости (х, у) задано семей-
семейство кривых
F (х, у,' С) = г/5- (х+ СK = 0. C.50)
Приравнивая F' нулю, получим —3(л;+СJ=0. Отсюда
С——х. Подставляя это в уравнение C.50), получим
г/=0.
Но легко видеть, что ось Ох не-является огибающей
семейства C.50) (рис. 24). Это происходит только пото-
потому, что при у = 0
Пример 3. Семейство кругов
F(x, у, С)=л;2+((/+СJ-1 = 0. C.51)
покрывает полоску между прямыми х = ±1- Приравни-
Приравнивая нулю Fy(x, у, С), получим 2(у + С) =0. Отсюда С=

118
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ
(гл. III
=—у. Подставляя это вместо С в уравнение семейства,
получим х = ±\.
Каждая из этих прямых является огибающей семей-
семейства C.51) (см. рис. 21).
Пример 4. Уравнение
у—С3х2 + 2С2х—С = 0,
которое при СфО можно переписать так:
определяет семейство парабол, оси которых параллель-
параллельны Оу, а вершины находятся на Ох. Очевидно, для них
ггг
Г Г
Рис. 23
Рис. 24
Ох является огибающей, хотя она в то же время при-
принадлежит самому рассматриваемому семейству: она по-
получается из уравнения этого семейства при С = 0-
ЗАДАЧА
Найдите по общему методу огибающую в примере 4; какой
геометрический смысл имеет гипербола, входящая в эту огибаю-
огибающую?

Часть II
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА IV
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ
§ 27. Сведение любой системы
к системе уравнений 1-го порядка
Пусть дана система
dxm'
t=l n.
В каждое уравнение этой системы входят независи-
независимое переменное х, его п искомых функций уи у2, ..., уп
и их производные по х; при этом производные от г/(- вхо-
входят до некоторого порядка т,-.
Чтобы свести систему D.1) к системе уравнений
1-го порядка, положим yi—y(u(K
* = 0,Г m,-2. D.2)
dx
Тогда систему D.1) можно переписать так:
t>. (x, y\°K
Ф1 v ч\и' (/(') nimt
i \ •*> Hi > Hi . • • ¦ > ill
dx
= О, t = 1 п.
D.3)

120 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IV
Таким образом, имея п функций yi(x), i—l, ..., п,
удовлетворяющих системе D.1), мы получим функции
У^*Цх), удовлетворяющие системе дифференциальных
уравнений 1-го порядка, состоящей из уравнений D.2)
и D.3). Обратно-, если имеем функции yi(h)(x), удовлет-
удовлетворяющие уравнениям D.2) и D.3), то легко показать,
что функции у@/(х), i=l, ..., п, удовлетворяют системе
D.1). Действительно, -полагая в уравнении D.2) k по-
последовательно равным 0, 1, .... т,-—2, найдем, что
(*+i) __
а потому уравнения D.3) эквивалентны уравнениям
D.1).
В дальнейшем мы будем заниматься главным обра-
образом только системами дифференциальных уравнений
1-го порядка, и притом разрешенными относительно про-
производных.
ЗАДАЧА
Докажите, что систему дифференциальных уравнений 1-го по-
порядка вида
fi(x> J/i> •• • . Уп> У\> •• • i Уп )==0> *=1 > • •« • "'
при помощи последовательных дифференцирований и исключения
всех неизвестных функций, кроме одной, можно, «вообще говоря»,
привести к одному дифференциальному уравнению n-го порядка
с одной неизвестной функцией, причем так, что, решив это уравне-
уравнение, мы другие неизвестные функции найдем без дальнейших интег-
интегрирований. .Выражение' «вообще говоря» означает, что допускается
возможность разрешения всех нужных систем конечных (ие диффе-
дифференциальных) уравнений, "в которых число уравнений равно числу
неизвестных. Предполагается, что функции fi обладают непрерывны-
непрерывными производными всех нужных порядков.
§ 28. Геометрическая интерпретация.
Определения
Пусть мы имеем систему дифференциальных урав-
уравнений
у' = fi (х, ух, у2, ... , у,), i = 1, ... » п. D.4)

§ 28] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 121.
где функции ft(x, уь у2, ..., уп)- определены в некоторой
области G пространства (х, уи у2, .... Уп}. Совокупность
функций
У\(х), у2(х) уп{х), D.5)
удовлетворяющих уравнениям D.4), будем называть ре-
решением этой системы. Уравнения
У1=Ус(х), t=l, .-., п, D.6)
определяют в пространстве (я, у\, ..., уп) линию, кото-
которая называется интегральной, линией системы D.4). Вме-
Вместо того чтобы говорить, что yi(xo)=y°l, f=l, .-., п> мы
будем часто говорить, что линия D.6) проходит через
точку {хо,у<>, у] у°п).
Тот факт, что функции yi(x) удовлетворяют при~л; =
=дс0 системе D.4), можно геометрически интерпретиро-
интерпретировать так: касательной прямой к интегральной линии D.6)
в точке (лго, yi{xo), ..., уп(хо)) является прямая L:
=Ъ(хо,У1(хо),...,уп(хо)), t=l п;
X
здесь х и t/i означают текущие координаты точки, лежа-
лежащей на прямой L. Поэтому задачу нахождения решения
системы D.4) можно геометрически интерпретировать
следующим образом.
В некоторой области G пространства .(лс, у\, ..., уп)
задано «поле направлений», т. е. в каждой точке этой
области задано некоторое направление, которое можно
представлять себе, подобно тому как это мы делали в
первой части курса для одного дифференциального урав-
уравнения, в виде небольшого отрезка прямой, проходящей
через эту точку (оба направления этого отрезка нам без-
безразличны). Найти интегральную линию системы D.4) —
это значит найти такую линию, у которой касательная в
каждой точке имеет заданное направление.
Совокупность функций
yi = yi{x, СХ Cm), t==l, ..., П,
будем называть общим решением системы D.4) в обла-
области G, если, выбирая соответствующим образом посто-
постоянные С\ Cm, мы сможем получить любое решение,

122 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IV
график которого проходит в этой области. Чаще всего
бывает т=п.
Если поле направлений задается системой D.4), то
ни одно из этих направлений не лежит в плоскости, па-
параллельной плоскости х = 0. Это ограничение часто бы-
бывает совершенно искусственным. Можно рассматривать
любое поле направлений и искать кривые, у которых на-
направление касательной в каждой точке совпадает с на-
направлением поля в этой точке. Такие линии мы будем
называть интегральными линиями этого поля. Их урав-
уравнения, вообще говоря, уже нельзя написать в форме
D.6) уравнений, разрешенных относительно г/,-, ?=1,..
..., п, потому что плоскости, перпендикулярные к оси- Ох,
могут пересекать эти линии несколько раз и даже со-
содержать целые их куски. Дифференциальные уравнения
таких линий (или, что все равно, соответствующего им
поля направлений) можно написать, считая х и г/,- вдоль
этих линий достаточно гладкими, например непрерывны-
непрерывными вместе с их производными функциями некоторого па-
параметра t, скажем, длины дуги интегральной кривой
или времени, нужного для передвижения по интеграль-
интегральной кривой от какой-то фиксированной на ней точки до
произвольной точки (а:, уи ..., уп)\ на отдельных участ-
участках кривой за параметр можно брать какую-нибудь из
координат у, или х. Тогда получим
J-= ft(x, Ух, ¦¦¦ ,Уп),. » = 1 я,
dx D7)
ИХ г* / \
— = / (х, Ух, ... ,Уп).
Здесь функции ]\ и f не должны все обращаться в
нуль в одной и той же точке (х, уь ..., уп). Поле на-
направлений в пространстве (х, у\., ..., уп), задаваемое
уравнениями D.7), можно задать еще следующими
уравнениями:
dyi dyn
f'(x, ух, .... ,Уп) f*n{x, Уи,... , Уп)
= Г и у^ у) • <4'8)
/ \* 1 {/1> • • • 1 Уп)

§ 28] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ- ОПРЕДЕЛЕНИЯ 123
Если f* (х, г/1, ..., уп) отлична от нуля в некоторой
области G, то эти уравнения можно там разрешить от-
относительно——, i=l,..., k—l, k+l,..., п, и ; значит,
dyk dyk
здесь за параметр можно взять'«/s. Если в области G
функция f*(x, y\, ..., уп) всюду отличается от нуля, то
уравнения D.8) можно разрешить относительно _ ;
здесь х играет роль параметра.
Система уравнений
Фг(л;, ух, ..., уп) = 0, /=1, ..., п,
называется интегралом системы D.8), если определяе-
определяемая ими линия является интегральной для этой системы.
Система уравнений
Ф;(лг, г/ь ..., уп, Сь .... Ст) =0, i=l, .... п,
называется общим интегралом системы D.8) в некото-
некоторой области G пространства
(*, У\ Уп),
если, выбирая соответствующим образом постоянные
С], ..., Cm,
можно получить любую интегральную линию этой си-
системы, проходящую в G.
Так как системагD.7) есть частный случай системы
вида D.4), где только-число неизвестных на 1 больше,
то мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением систем
вида D.4). Для таких систем справедливы многие тео-
теоремы, совершенно аналогичные доказанным в главе III
первой части нашего курса; доказываются эти теоремы
такими же методами, как и там. Поэтому мы не будем
все эти теоремы заново подробно доказывать. Докажем
лишь теорему Осгуда и принцип сжатых отображений,
остальные же теоремы только сформулируем.

124 общая теорий систем {гл. iv
ЗАДАЧИ
1. Составьте систему двух дифференциальных уравнений
1-го порядка с искомыми функциями у ж г вида D.4) так, чтобы
ее интегральными линиями были все винтовые линии- с правой на-
нарезкой, данным шагом h и осью Ох. Как можно обобщить эту за-
задачу на случай большего числа измерений? -
2. Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы поле
направлений в области G можно было представить уравнениями
D.8), где все знаменатели непрерывны и не обращаются в нуль
одновременно? В каких областях всякое непрерывное поле направ-
направлений может быть представлено в таком виде?
§ 29. Формулировка
основных теорем
Теорема существования. Если функции
fi(x, yu .... уп) непрерывны в некоторой области G про-
пространства (x,_yi, ..., уп), то через каждую точку этой об-
области проходит по крайней мере одна интегральная ли-
линия системы D.4).
Для доказательства этой теоремы сначала строятся
ломаные Эйлера так же, как это делалось в § 9, потом
переходят к пределу, используя теорему Арцеля.
Теорема единственности (Осгуд). Пусть
функции fi(x, у и ..., уп) в области G удовлетворяют со-
соотношениям
iJC-?|U t = i;...,n. D.9).
где (р(«) — непрерывная функция, которая
1) принимает положительные значения при положи-
положительных и;
2)
I
>оо при е->0 (с>0).
Ф(и)
?
Тогда существует не больше одной интегральной ли-
линии системы D.4), проходящей через любую заданную
внутреннюю точку области G.

§ 291 ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 125
В частности, можно считать
где К — некоторая положительная постоянная. Тогда
условие D.9) принимает вид
1М*-</Г. ••• .fi)-ftix.vl у'п)\<
v=l
Это условие называется условием Липшица по уи ...
..., уп для функций /,-. Если принять это условие » счи-
считать функции fi непрерывными по всем аргументам, то
теоремы существования и единственности можно "дока-
"доказать методом последовательных приближений (см. § 30
и 31J.
Теорема Осгуда о единственности доказывается для
систем дифференциальных уравнений несколько слож-
сложнее, чем для одного дифференциального уравнения. По-
Поэтому мы изложим подробно это доказательство.
Будем опять вести доказательство от противного.
Допустим, что существуют два таких решения:
У\(х)\ »., У*п(х)
У"(х),.:,у\-{х)
системы D.4), что
У'Мо)=у"(Хо), i=l,..., п.
Так как мы предполагаем, что решения у' (х) и
у"(х) различны, то найдется такое Х\, что
Не ограничивая общности, можно считать
так как~противоположный случай сводится к этому за-
заменой х на —х.
Несмотря на то, что функции у*(х) и у *(х), а сле-
следовательно, и разности у" (х) —у* (х) всюду имеют

12в ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ (гл. IV
производные, абсолютные величины этих разностей мо-
могут в некоторых точках не иметь производных. Так бу-
будет во всех точках, где
уУ(х)-у-.(х) = 0, но -^г\у\'{х)-у\{х)\ф0.
Поэтому вместо производных от этих разностей мы
будем рассматривать их «правые» или «левые» произ-
производные. Правой (сбответственно левой) производной
от функции z(x) в точке х называется предел отноше-
отношения
-z(x)
взятый при условии, что Л->0, принимая только положи-
положительные (соответственно отрицательные) значения. Пра-
Правую (соответственно левую) производную от функции
z(x) в точке х мы будем обозначать DnPz(x) [соответ-
[соответственно Daz(x)]. Если для нас неважно, о какой имен-
именно из этих двух производных идет речь, то мы будем
опускать значки у D. Легко видеть, что если функция
z(x) имеет всюду производную, то существуют также
Dnp\z(x\\ и D*\z(x) |, причем всегда
или, как мы будем писать для краткости,
\D\z(x)\\ = \z>(x)\.
Принимая это все во внимание, из тождеств
dy\{*)
dx
), ... , у'п(х)),
мы на основании D.9) получаем
\О\уГ(х)-у](х)\\ =

§ 29] ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 127
v=l
Отсюда
n
(
v=l
Последний переход можно сделать только если
v=>l
В частности, в силу указанного выше предположе-
предположения его можно сделать при х~х\.
Положим
Построим график того решения уравнения
которое при х = Х\ обращается в z\.
Такое решение существует и единственно (§ 4). Этот
график будет асимптотически приближаться к отрица-
отрицательной части оси Ох, нигде ее не пересекая. В точке
{х\, z{) кривые z(x) и у(х) пересекутся. Из неравенства
непосредственно следует существование такого интерва-
интервала (*i—е, *i), e>0, на котором
z(x)>y(x).
Но мы утверждаем, что это же неравенство имеет ме-
место при всяком е>0 (e<Xi—х0), так как в противном
случае, беря для р его наибольшее возможное значение,

128 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IV
мы немедленно пришли бы к противоречию. Действи-
Действительно, тогда при x=Xi—г = х2, с одной стороны, име-
имели бы
DBPz{x2) >-yr {х2) = (п+1)<р(у (х2)) - (п+1) ф (z (x2)),
так как правее точки х2
z(x)>y(x).
А с другой стороны, из D.10) мы получим, так как
z(x2) > О,
Dz(x2)<(n+l)(f(z(X2)),
что противоречит предыдущему. Значит, при всех
но не больших Х\,
в частности, z(xq)>0, а это противоречит нашему пер-
первоначальному предположению.
Следствие для систем уравнений выс-
высших порядков. Пусть мы имеем систему дифферен-
дифференциальных уравнений
= fl\X, Ух,
dx "
D.11)
разрешенных относительно старших производных от
каждой неизвестной функции. Если функции f,- непре-
непрерывны в .некоторой окрестности точки
и удовлетворяют в ней по всем своим аргументам, начи-
начиная со второго, условию Липшица, то на некотором ин-
интервале (а, Ь), содержащем точку Хо, существует одна
и только одна совокупность функций
У\{х), .... уп(х),

§ 29] ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 129
удовлетворяющих системе D.11) и принимающих при
х=Ха вместе с их соответствующими производными зна-
значения
М'~ ,ю l d"" Уп \
m i
dx «
Это следствие получается непосредственно из выше
сформулированных теорем, если принять во внимание
§ 27. Полученное на интервале (а, Ъ) решение можно
продолжить в обе стороны так, как это мы делали в
§11-
Теорема Кош и. Если функции ft(x, уи'—,Уп) го-
голоморфны по всем своим аргументам в области G, то
для любой точки (хо, у\ у °п ) этой области сущест-
существует одно и только одно голоморфное . (т. е. состоящее
из голоморфных функций) по х решение системы D.4),
для которого yi(xoi=y0., /=1 п.
Следствие. Все действительные решения системы
D.4)., у которой правые части голоморфны-по'всем сво-
своим аргументам и принимают действительные значения
при действительных значениях всех их аргументов, го-
голоморфны.
Теорема о гладкости р е ш е н и й. Если функ-
функции fi {x, уи ..., уп) имеют непрерывные производные по
х и yk до р-го порядка (р>0), то все решения системы
D.4) имеют непрерывные производные по х до (р+1)-го
порядка.
Теорема о зависимости решений от
параметров. Пусть дана система
= fl(x:y1,...,yn,Vi1,.:.,Hm)J = ^---,n. D.12)
dx
Если функции fi и все их частные производные до р-го
(р>1) порядка по всем yi и \ik непрерывны по всем их
аргументам и ограничены, когда точка (х, у\, ..., уп) на-
находится в области G, а
\\ik\<\i°k k'-l, ..., m,
где \JL°k—некоторые положительные числа, то для каждой
точки (хо, #у, ..., у° ) области G можно указать такой
5 И. Г. Петровский

130 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IV
интервал (а, Ь), заключающий внутри себя точку Хог
что при всех рассматриваемых \ik на нем существует
одна и только одна совокупность функций
yi = <f>i(X, Ць ...,Jim), 1=1, .... П,
которые удовлетворяют системе D.12), имеют непрерыв-
непрерывные производные до р-го порядка по всем.\и,к и при х=хо
обращаются, соответственно в у° (t=l, ..., п). Эта тео-
теорема остается верной и для р = 0, если функции ft удов-
удовлетворяют условию Липшица по уч с коэффициентом,
не зависящим от \i.
Следствие. Если правые части системы, D.4) име-
имеют по х и всем yi непрерывные производные до. р-го по-
порядка, то функции yi(x, Хо, у\, .... yl) (i=l, 2, .... п),
которые удовлетворяют системе D.4) и при x=Xq обра-
обращаются соответственно в y°t , имеют непрерывные произ-
производные по Хо и y°i до р-го порядка (р>1). Это утверж-
утверждение остается в силе и для р — 0, если функции f» тако-
таковы, что они обеспечивают единственность решения, для
которого у? (х0) — y°[t i= I, ..., п (ср. теорему § 19 и за-
замечание к ней).
ЗАДАЧИ
1. .Проведите подробные доказательства теорем Пеано, Коши и
теоремы о зависимости решения от параметров и начальных усло-
условий. Сформулируйте следствия для систем высших порядков. Пере-'
несите на системы уравнений результаты § 13, 19; задачи 8 и 11
§ 12; 4 § 14; 4 и 5 § 19.
2. Распространите теорему 2 и теорему 3 § 11 на системы урав-
уравнений 1-го порядка. При этом в формулировке теоремы 2 взамен
случаев 2 и 3 должно быть
) }»0 при *-»р-0 (*-»а + 0),
где р(х) есть расстояние от точки (х, yi(x), ..., уп(х)) до границы;
Q (р(*)=1, если С совпадает со всем пространством х, yi, ..., уп).
Изменение формулировки вызвано тем, чтр при л^2 и ($< + оо воз-
возможны примеры (постройте нх1), когда ни условие р(*)-<-0, ни
*-»Э—о
условие У \yi(x)\ —> со не выполнены.
ft *-*~°
3. Дoкaжиfe, что утверждение задачи 8 § 19 не переносится

§ 29] ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 131
на линии в n-мериом (га3*3) пространстве, но переносится на по-
поверхности вида y=f{Xt,...,xn-i).
4. Пусть все решения системы D.4) при непрерывных правых
частях и определенных начальных условиях при продолжении на
отрезок о^х^б (где а^Хо^Ь), остаются в области С. Докажите
тогда, что если начальные условия и правые части системы изме-
изменить достаточно, мало, то измененное решение может быть продол-
продолжено на весь отрезок [а, Ь], причем это решение равномерно как
угодно мало отличается от одного из решений системы D.4), удов-
удовлетворяющих исходным начальным данным.
5. (Кнезер.) Докажите, что в условиях задачи 4 пересечение
плоскости x=c(as?:cs?:6) с интегральной воронкой (совокупностью
всех интегральных линий, удовлетворяющих данным начальным ус-
условиям) непусто, замкнуто, ограничено н связно (т. е. не может
быть представлено в виде объединения двух непустых замкнутых
непересекающихся множеств).
Указание. Рассмотрите пересечение плоскости х=с с сово-
совокупностью всех ломаных Эйлера для систем с близкими правыми
частями при данных начальных условиях и одинаковой длине проек-
проекций звеньев на Ось х.
Постройте примеры, в которых п—2 и указанное пересечение
представляет собой: а) круг, б) окружность.
• 6. Перенесите задачу 5 § 11 иа случай систем вида D.4). Дай-
Дайте геометрическое истолкование (поле конусов направлений, причем
конусов специального вида, вместо поля направлений). Перейдите
от конусов специального вида к любым выпуклым конусам. Пере-
Перенесите результаты двух предыдущих задач на системы этого вида.
Описанное обобщение связано ест следующим полезным-поня-
полезным-понятием контингенции. Пусть М — какое-либо множество точек в
л-мерном пространстве и Л — одна из предельных точек М. Тогда
контннгенцией Ка (М) множества М в точке А называется совокуп-
совокупность всех предельных положений лучей с вершиной в точке А,
проходящих через любую точку В множества М, при В-*-А. (Рас-
(Рассмотрите, какова контингенция простых линий, поверхностей и тел
в пространстве в различных их точках.) Интегральная линия для
поля конусов —. это непрерывная линия yt=yt\.x) (хц^х^Ь;
i=A,...,n), контннгенция участка [х, Ь] которой в точке (х, у,(х),...
,..,уп(х)) принадлежит заданному в этой точке конусу при любом
7. Пусть правая часть уравнения yim)=f(x, у, у',..., «/<»"-¦>) не-
непрерывна для всех значений своих аргументов и удовлетворяет для
некоторого е>0 оценке \f(x, у, у' #<«»-*)) | <Ф(х, у) X
Г .— —е — — е — е 1
XI 1 + | У \' +\у"\2 + • • • + I y(m~X) Г~Х Jc непрерывной
Ф(х, у). Пусть это уравнение обладает непродолжимым вправо ре-
решением <р(х) (*o«s;x<iP<°°). Тогда <q{x) при х->-$—0 не может
быть- ограниченным. Для е=0, пг=2 утверждение также справедли-
справедливо (С. Н. Бернштейн), для е=0, лг>2 — несправедливо.
8. Предложите какие-либо достаточные условия для существо-
существования и для. единственности решения бесконечной системы уравне-
уравнений с бесконечным числом нскомых функций
dytldx=ft(x, yi, уь~.), *=1, 2, „.
5*

132 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IV
§ 30. Принцип сжатрх отображений
для систем операторных уравнений
Теорема. Пусть имеется непустое семейство S век-
вектор-функций
Ф= (фь —» фл),
определенных на одном и том же множестве Ш. Эти
вектор-функции ц> обладают следующими свойствами:
1) Каждая функция <р* ограничена (быть может, сво-
своей константой).
2. Предел всякой равномерно сходящейся последо-
последовательности вектор-функций ф, принадлежащих S, так-
также принадлежит S.
Мы говорим, что последовательность вектор-функций
ф(*)в(ф1*>, ... >ф(*>), Л= 1,2
сходится равномерно к вектор-фуикции
ф= (фь —. <рл).
если каждая, из последовательностей функций <p(f, i=
= 1, ..., п, равномерно сходится к функции <pj.
3. Для рассматриваемого множества S вектор-функ-
вектор-функций ф определен оператор А, переводящий каждую век-
вектор-функцию ф= (фь ..., фп) из множества S в вектор-
функцию Л<р= (Л1ф, ..., Л„ф) из того же множества.
4. Для всяких двух вектор-функций ц>* — (ф*, ..., ф*)
Иф**=(ф*Г.-.Ф*я) U3S
sup|Atф* —Ai.q>M|<m? sup|ф* —ф;*|,
где m — постоянное число, причем 0</и<1.
Тогда в семействе S существует одна и только одна
вектор-функция
ф= (фь —. фп),
такая, что
или, в более развернутой записи,
ф;=Лгф, j = l, ..., п. D.13)

§ 30] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 133
Доказательство. Выберем в S какую-нибудь
вектор-функцию
Ф° = (Ф?. • • • . «ДО-
Проделаем над ней операцию А. Положим
фA)=Лф°.
По свойству 3 9<!)eS >> и потому над вектор-функцией
которую мы будем называть «первым приближением>
решения системы D.13), можно производить операцию
А. Произведя ее, получим «второе приближение»
Опять по свойству 3 имеем <pB>eS. Этот процесс, оче-
очевидно, можно продолжать бесконечно. Таким образом
мы получим бесконечную последовательность вектор-
функций
Покажем, что при &->-оо последовательность вектор-
функций ф(й) сходится равномерно на множестве SR. Для
этого, очевидно достаточно (ср. § 14) показать, что при
каждом i ряд
фо + (фA, _ ф@)) + (фB) _ ф(
сходится на 9R равномерно. Если
(свойство 1), то
*) Запись qpsS означает, что ф принадлежит семейству S.

134 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IT
Пользуясь же свойством 4, мы найдем при всех k>-\
? sup | ф^1' — ф<*> 1 = J sup | At ф<*> — At ф(*-1} I <
t=i t=i
Поэтому члены ряда D.14) по абсолютной величине
не больше соответствующих членов следующего ряда с
постоянными неотрицательными членами:
М+М+тМ+т?М+ тъМ+...
п
Здесь М = V Mt. Так как предполагаем, что ш<\,
t=i
то этот последний ряд сходится, а "потому равномерно
на множестве 9Й сходится и.ряд D.14) при t'=l, ..., п, а
следовательно, также равномерно сходятся на^этом мно-
множестве и последовательности ф^ (t = l, ..., п).
Положим
ф<*) = ф/, t = l п.
По условию 2
(
Следовательно, оператор Лф имеет смысл. Пока-
Покажем, что
Для этого заметим, что по свойству 4
а
| Л, ф<*> — А{ ф | < m ? sup | ф<*>'—
А так как q><f) при. &-»-оо равномерно сходятся к
то, следовательно, в обеих частях равенств
можно переходить к пределу, а потому уравнения D.13)
удовлетворяются.

i 30j ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 135
Покажем теперь, что в S существует только одна
вектор-функция <р=(фь •». <Рп),, удовлетворяющая урав-
уравнениям D.13). Действительно, допустим, что сущест-
существуют два таких решения:
Ф=(фь ...,фл),
Ф=(ч1>1 $п).
Тогда должны иметь место равенства
i=l л,
Вычитая почленно соответствующие равенства, полу-
получим в силу свойства 4
п п п
SUP | ф^ — % | =
Так как /п<1, то последнее соотношение может
иметь место только, когда
п
? sup | ф, — у{ | = О,
и, следовательно,
Ф,==т}>г, t=l я».
Замечание. Положения настоящего параграфа
можно интерпретировать геометрически совершенно так
же, как это делалось в § 16 для л=1, если только под
«точкой» понимать вектор-функцию ф, а под «расстоя-
«расстоянием» между двумя «точками» .<p=(<pt, ..., ф„)" н tJj =
= (ijjj, ..., г|)л) понимать
') Доказанную теорему можно получить как следствие общего
утверждения, приведенного в сноске на с. 70. Для этого надо се-
семейство 5 превратить в метрическое пространство, введя метрику
р по формуле
п
р((ф1. .... i ФпЬ (фГ» ••• ¦ Фп*))=?

136 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IV
ЗАДАЧА
Докажите, что свойство 4" можно обобщить так:
F(sup | Л1ф*—Л1ф** | sup [ Л„ф*—Л„ф« |) <
<mF(sup-|q>J—<р"|, ... ,sup| ф*—ф**1),
где F(tt,...,tn) — однородная функция первой степени, определенная
прн ti^-0,...,tn^0, неотрицательная, непрерывная и равная нулю
только в начале координат. Приведите несколько примеров таких
функций.
§ 31. Приложение принципа
сжатых отображений
к системе дифференциальных уравнении
Теорема. Пусть в некоторой области G простран-
пространства (х, уи ..., уп) функции fi(x, ух, ..., уп) (i=l, ..., п)
непрерывны по х и удовлетворяют условию Липшица
по всем yk в каждой замкнутой ограниченной области
G', содержащейся в G. Тогда для любой точки
|*о, у°, ..., у°) области G можно указать такой содер-
содержащий внутри себя точку х0 замкнутый интервал [а, Ъ],
на котором существует единственное решение системы
D.4), график которого проходит через точку
(*о, У\, .-, У°п). D.15);
Доказательство: 1. Заметим прежде всего, что
если заранее предположить существование такого реше-
решения, то, интегрируя от % до х тождества х)
получим
D.16)
Таким образом, всякое решение системы D.4), гра-
график которого проходит через точку (х0, yi°,...,yn°) удов-
удовлетворяет также системе интегральных уравнений
:Di6)
') Возможность интегрирования получается аналогично § 14.

S 31] ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 137
Обратно, допустим, что существуют я непрерывных1)
функций yi{x), ..., уп{х), удовлетворяющих системе
(D.16). Подставим в обе части каждого нз уравнений
D.16) эти функции и продифференцируем каждое из по-
полученных тождеств2'. Мы получим, что функции yi(x)
удовлетворяют дифференциальным уравнениям D.4)',
С другой стороны, очевидно, что если функции yt(x)
удовлетворяют уравнениям D.16), то
yi{xo)=y°, i=l, .... я.
Поэтому, вместо того чтобы доказывать, что на некото-
некотором замкнутом интервале [а, Ь] существует одно и толь-
только одно решение системы D.4), график которого прохо-
проходит через точку (хо, у°, ..., у%), достаточно доказать,
что на этом интервале существует одно н только одно
непрерывное решение системы интегральных уравне-
уравнений D.16).
2. Для доказательства же этого последнего утверж-
утверждения мы применим принцип сжатых отображений.
Именно, будем считать, что вектор-функция <р=(фь ...
..., <р„) определена на замкнутом интервале a<#<6
{a<Xo<b) так, что:
1) все функции (pi непрерывны и
2) линии
yi = q>i(x), i=l я, a<cx*cb,
не выходят из некоторой, ограниченной замкнутой об-
области G', содержащейся в G и* содержащей D.15) как
внутреннюю точку. Тогда, очевидно, удовлетворяются
первые два из условий применимости принципа сжатых
отображений. Замкнутость G' нужна для того, чтобы
выполнялось условие 2. Положим далее
D.17)
Покажем, что определенные таким образом операторы
¦' См. сноску на с. 58.
2> Возможность дифференцирования получается аналогично § 14.

138 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ [гл. IV
удовлетворяют условию 3, если интервал [о, Ь] доста-
достаточно мал.
Пусть М есть верхняя грань значений \fi{x, уи —
—» Уп)\, t=l, »., п, в G'. Проведем через точку
|$о, у\, -, У°п) 2л плоскостей
У{-У°< = ±М(х-х*), i = l,...,«. D.18)
Построим далее две плоскости
х=а и х=Ь
так, чтобы эти плоскости вместе с плоскостями D.18J
образовывали две пирамиды Р\ и Р% с вершиной в точке
.(*о, у\, —, yl), целиком лежащие в б'. Несколько поз-
позже нам придется предположитьГчто числа а и Ъ доста-
достаточно близки к #о. Возьмем теперь совершенно произ-
произвольно п непрерывных на [о, Ь\ функций
<>(*), ...,<р<°>(*), D.191
лишь бы только линия
целиком лежала в О'. Подставим функции D.19) в пра-
правые части уравнений D.16), после чего эти правые ча-
части будут некоторыми вполне определенными непрерыв-
непрерывными функциями от х на интервале а<#<6. Положим
«9
1 = 1, ... , п.
Ясно, что эти функции определены опять на интервале
а<х<Ьи
Мы утверждаем далее, что линия
|/»=фф (х), i= 1,.... п,
не выходит из пирамид Pi и Р2 и, следовательно, не вы-
выходит из О'. Действительно,

S 31] ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 139
и потому
Покажем, наконец, что если функции ft удовлетво-
удовлетворяют по yi уп условию Липшица и если интервал
[а, Ь] достаточно мал, то для определенного равенства-
равенствами D.17) оператора Лф выполняется н последнее, чет-
четвертое, условие применимости принципа сжатых отобра-
отображений. Действительно,
\(y°t+
Хо
= | J I/* d. фГ О фГ <©) —
'о
v=l v=l
где т=Кф—а) п. Следовательно, если Ь—а достаточно
мало, то т<1.
Замечания 1 и 2 к § 14~и теперь сохраняют силу.
Аналогично замечанию 3 к § 14 легко показать, что
последовательность приближений равномерно сходится
не только на выбранном выше интервале [а, Ь], но ц на
любом конечном интервале [с, d], где все эти прибли-
приближения существуют^ если в пересечении области G с по-
полосой c*cx<.d, —6o<«/i<oo, i=l п, все функции fi
удовлетворяют условию Липшица по уи ..., уп.
Мы йе будем заниматься изучением особых точек,

140
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[гл. V
линий, поверхностей для систем дифференциальных
уравнений, как это делалось для одного уравнения в
первой части курса, а перейдем к изучению систем ли-
линейных уравнений.
ГЛАВА V
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 32. Определения.
Следствия из общей теории систем
дифференциальных уравнений
Линейной системой дифференциальных уравнений
называется система таких уравнений, в которые неиз"
вестные функции и их производные входят линейно.
В § 27 было показано, что всякая система дифферент
циальных уравнений эквивалентна некоторой системе,
содержащей только производные 1-го порядка; поэтому
мы будем заниматься главным образом системами урав-
уравнений 1-го порядка, причем ограничимся случаем, когда
эти системы разрешены относительно производных. Об-
Общий вид такой системы следующий:
dx
п.
E.1)
Эта запись становится значительно проще, если вос-
воспользоваться матричными обозначениями. Введем квад-
квадратную, порядка п матрицу коэффициентов
и вектор-функции, которые мы будем в дальнейшем
записывать в виде матриц-столбцов
/(*) =
ш
У(х) =
УгМ

§ 32] ОПРЕДЕЛЕНИЯ 141
Такие матрицы подчиняются естественным правилам
действий, известным из курса линейной алгебры, прави-
правилам предельного перехода и дифференцирования.
В частности, отметим, что при дифференцировании мат-
матрицы надо просто продифференцировать все ее элемен-
элементы. Поэтому систему E.1)- можно переписать в виде
уравнения
¦%=A(x)y + f(x) E.2)
(проверьте это, раскрыв правую часть по правилу
произведения матриц).
В дальнейшем мы всюду будем предполагать, что
uij{x) и fi(x) непрерывны на некотором интервале
аКх<Ь. Может оказаться, что этот интервал не ограни-
ограничен с одной какой-нибудь стороны или с обеих сторон.
Правые части таких систем имеют ограниченные произ-
производные • по всем Уг и потому удовлетворяют условию
Липшица на всяком отрезке [fli, 61], целиком лежащем
внутри {а, Ь). Поэтому из доказанной в § 31 теоремы
следует, что через каждую точку (лго, у±°,..., Уп°) в полосе
а<х-СЬ пространства (х, Уи—,Уп) проходит одна и
только одна интегральная линия системы E.1).
Действительно, при любых конечных а и Ь эту тео-
теорему можно непосредственно применить ко всякому па-
параллелепипеду:
—е, — M*cyi*g.M, 1=1,..., п,
где е — как угодно малое положительное число, а М —
как угодно большое положительное число. А отсюда уже
эта теорема следует и для всей полосы а<х<Ь.
Каждое решение системы E.1) можно продолжить
на весь интервал (а, Ъ). Действительно, если коэффи-
коэффициенты ац(х) и неоднородные члены fi{x) непрерывны
на отрезке [аи Ui],,to существование решения, удовле-
удовлетворяющего заданным начальным условиям, на всем
этом интервале следует из рассуждения, приведенного
в предпоследнем абзаце § 31.
Если же коэффициенты и неоднородные члены не-
непрерывны в открытом интервале {а, Ь), то только что
доказанное утверждение можно применить к любому от-

142 ОБЩАЯ ТЕОРИ» ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
резку {fli, &i], лежащему внутри (а, Ъ). Таким образом,
функции
составляющие решение системы E.1), могут стать не-
неограниченными, только если х-*-а или х-+Ь.
Если все fi(xy=Q, то мы будем называть систе-
систему E.1) однородной (в этом случае в уравнении E.2)
имеем f(Jc)=O), в противном случае — неоднородной.
ЗАДАЧИ
1. Назовем нормой квадратной или прямоугольной матрицы
сумму абсолютных величин всех ее элементов; норму матрицы А
обозначим ||Л||. Докажите, что
|1сЛЦ=|с|||ЛЦ (с-число),
Покажите также, что если элементы матрицы А зависят от х и
имеют нравую (левую) производную, то и ||Д(х) II имеет правую
(левую) производную, причем |/>пр(|Л(дг)|1К1|?|йрЛ(дг)||.
2. Используя предыдущую задачу, оцените |?>пр11#(*I1 |, где
У(х) — решение уравнения E.2); используя полученный результат
и задачу 7 § 12, оцените скорость возможного возрастания решения
при х-*-а или *->й; например, при ^b
Jllf(s)||exp[J [ЛFЖ] ds.
Хо Х„ S
3. Докажите, что если все ац{х) и ft(x) разлагаются в ряды
Маклорена с радиусом сходимости, не меньшим R>0, то и всякое
решение системы E.1) разлагается в ряд Маклорена с радиусом
сходимости, не меньшим R. Это утверждение доказывается так же,
как аналогичное утверждение доказывалось в замечании к § 17.
Для всех atj(x) и'М*) выберите одну и ту же мажорирующую
функцию.
§ 33. Основные теоремы
для однородных систем 1-го порядка
Пусть мы имеем- т решений однородной линейной сис-
системы

§ 33] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ 143
yil)
№ (*)
ylm)(x)
E.3)
Их линейной комбинацией мы будем называть век-
вектор-функцию
где Ci, Са ..., Ст —, некоторые постоянные. В частности,
если все Съ.= 1, мы будем говорить о сумме решений;
если Ci=l, Сг=—1 и т = 2, будем говорить о разности
решений у^1){х) и у{гЦх).
Теорема 1. Линейная комбинация решений одно-
однородной линейной системы является также решением,
этой системы.
Доказательство. Пусть мы имеем m реше-
решений E.3) однородной линейной системы
dx
~ Л (*)</ = 0,
т. е.
dx
E.4)
= 0, i = l, ,.. ,п. E.4')
Подставим в нее S\'Ck
левой части
k=i
d
dx
jc) вместо у. Тогда получим в
fc=i

144
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[гл. V
Так как функции E.3), по предположению, удовле-
удовлетворяют системе E.4), то при всяком k
dx
а следовательно,
d
dx
ft=i
что и требовалось доказать.
Определение. Вектор-фунщии E.3) называют-
называются линейно зависимыми на интервале (а, Ь), если
существуют такие постоянные Ci,..., Cm, среди которых
есть по крайней мере одна отличная" от нуля, что имеет
место следующее тождество:
= 0 {а<х<Ь).
у\2Цх)...у\"Цх)
(х) ... у™ (х)
Определитель
W(x) =
называется определителем Вронского для сидгемы век-
вектор-функций
У\1) (x)
У[2) (x)
y?) (x)

S 33] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ 145
у\») (х
... , «/(«>(*)= У*П)}Х/ . E.5>
Теорема 2. Если вектор-функции E.5) линейно
зависимы, то их определитель Вронского тождественна
равен нулю.
Эта теорема является непосредственным следствием
известной теоремы алгебры.
Теорема 3. Если определитель Вронского W(x)
для системы, вектор-функций E.5), являющихся реше-
решениями системы E.4), равен нулю хотя бы в одной точ-
точке х=хо, а<Хо<Ь, то эти вектор-функции линейно за-
зависимы.
Доказательство. Если W(хо) = 0, то векторы
уЩх0),..., у(п)(#о) линейно зависимы, и потому найдутся
чиела С*,,.., С*п, не все равные нулю, для которых
Составим вектор-функцию
По теореме 1 эта вектор-функция у*(х) удовлетво-
удовлетворяет системе E.4). При х=х0 она обращается в нуль-
вектор. Но по теореме единственности существует
только одна удовлетворяющая системе E.4) вектор-
функция у(л;)=О, которая при х=хо обращается в нуль.
Поэтому
л
1 = 0,
что н требовалось доказать.
Следствие. Если определитель Вронского, со-
составленный для решений E.5) системы. E.4), равен
нулю в одной точке, то он тождественно равен нулю.

f46 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ - СИСТЕМ [гл. V
Действительно, если этот определитель равен нулю
а одной точке, то потолько что доказанной теореме ре-
решения E.5) линейно зависимы и по теореме 2 их опре-
определитель Вронского тождественно равен нулю.
Замечание. Если вектор-функции E.5) не яв-
являются решениями системы вида E.4) с непрерывными
коэффициентами, то для них нельзя высказать утверж-
утверждение, подобное сделанному в теореме 3. Это показывает
«следующий пример. Для вектор-функций
Ни
II О И II О
детерминант Вронского тождественно равен нулю, и тем
не менее они линейно независимы.
Определение. Совокупность п линейно незави-
независимых решений системы E.4) называется ее фундамен-
фундаментальной системой решений.
Теорема 4. Фундаментальные системы решений
•существуют.
Доказательство. Возьмем лг таких чисел b(f,
что
b\l)b\2) ... Ь[п)
ФО.
Этому условию мы удовлетворим, например, если по-
положим
0 при iz?k,
1 при i = k.
Составим теперь т = п решений E.3) системы E.4),
которые удовлетворяют условиям
где Хо есть какое-нибудь число из интервала (а, Ъ).
Тогда детерминант Вронского для этих решений отличён
от нуля при х=х0, и потому на основании теоремы 2 эти
решения линейно независимы.

§ 33] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ МТ
Теорема 5. Если вектор-функции E.5) состав-
составляют п линейно независимых решений системы E.4), то
всякое решение этой.системы морено представить как ли-
нейную комбинацию этих решений с соответствующим
образом подобранными постоянными коэффициентами,
т. е. в виде
Пользуясь определениями общего решения и фунда-
фундаментальной системы решений теорему 5 можно сформу-
сформулировать еще и так:
Общее решение линейной однородной системы диф-
дифференциальных уравнений есть линейная комбинация с
произвольными постоянными коэффициентами из реше-
решений, составляющих фундаментальную систему.
Доказательство теорёмы 5. Возьмем какое-
нибудь решение у\х) системы E.4). Пусть при некото-
некотором значении х, равном Хо, эта вектор-фуикция прини-
принимает значение у(хо). Этот вектор можно разложить по
векторам уМ(хо),..., У(п)(*о), так как по предыдущим
теоремам W(xo)^O я потому последняя система векто-
векторов линейно независима. Получим
У (*о)=?.С; «/<*>(*„) E.6>
Составим теперь вектор-функцию
*;=•
По теореме 1 она удовлетворяет системе E.4). С дру-
другой стороны, при х—хо эта вектор-функция принимает
такое же значение, как и вектор-функция у(х). Значит,.
по теореме единственности «/(*)—#*(*), т. е.
что и требовалось доказать.

148 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
Теоремы 1, 4 и 5 вместе можно кратко сформулиро-
сформулировать так: совокупность решений системы. E.4) образует
п-мерное линейное пространство. Фундаментальная сис-
система решений — это базис в этом пространстве.
ЗАДАЧИ
1. Пусть столбцами квадратной матрицы Y(x) служат какие-ли-
«бо я решений системы E.4). Покажите, что такая матрица удовле-
удовлетворяет уравнению
Прн этом либо detK(*)=O, либо detK(*)=^O; в последнем случае
У (л:) называется фундаментальной матрицей системы E.4). Покажи-
Покажите, что если Y(x) — фундаментальная матрица, то общее решение
системы E.4) имеет вид y—Y(x)c, где с — произвольный постоян-
постоянный вектор; решение системы E.4) при начальном условии
:у{х0)=у° имеет вид y=Y(x)[Y(xo)]-ly<>
2. Найдите все решения системы
Покажите, что если начальные условия задаются при *о?=О, то
•решение существует и единственно на всей оси; если же #о=О, то
решение существует, только если 2у\—у\=Ч, причем в этом случае
«е единственно. Покажите, что у всяких двух линейно независимых
решений определитель Вронского равен Сх, где СфО. Как согласо-
согласовать со следствием из теоремы 3 то обстоятельство, что здесь опре-
определитель Вронского равен нулю только в одной точке?
3. Найдите решения системы
Докажите, что решение, определяемое начальными данными, сущест-
существует на всей оси тогда и только тогда, когда </? —2у2 • Прн этом
такое решение всегда единственно.
4. Найдите фундаментальную систему решений и определитель
Вронского для системы уравнений
/=•1
где все функции п](х) непрерывны иа интервале (а, Ь).

S 34]
ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВРОНСКОГО
14»
§ 34. Выражение
для определителя Вронского
Если вектор-функции E.5) представляют собой п ре-
решений однородной линейной системы E:4), то между
значениями в точках х и х0 их детерминанта Вронского
W существует следующая зависимость:
W(x)-W (x0) exp j [an (?) + «ц, (?) + ... + апп ф] d g »>.
«о
E.7)
Доказательство. По правилу дифференциро-
дифференцирования определителей имеем
+
В силу E.4')
х) =
у[1
..+
У\2)
dx
У?
у\1)
dx
dx
У(п2)
У\2)
dx
...
у[п)
dx
... 4
а
Уп
+
,ln)
dx
dyf
dx
*> Получена в 1827 г. Н. Абелем для уравнений второго порядка
в в 1838 г. Ж< Лиувиллем и М. В. ретроградским в общем случае.

150
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. V
Подставляя всюду в правую часть выражения для
dy\k)
—-— и пользуясь тем, что определитель не меняется,
ах
если к элементам какой-либо его строки прибавить ве-
величины, пропорциональные элементам других строк,
получим
y\n) ¦
У\Х) У[2)
"nnWn" "п
ИЛИ
i—l
Интегрируя это дифференциальное уравнение для W,
получим E.7).
Следствие. Из уравнения E.7) мы еще раз ви-
видим, что если определитель Вронского, составленный
для решений E.5) системы. E.4), обращается в нуль
в одной точке, то он равен нулю тождественно.
§ 35. Составление однородной линейной системы
дифференциальных уравнений по данной
фундаментальной системе ее решении
Заметим прежде всего, что не всякие п вектор-функ-
вектор-функций «/(й)(*)> имеющие непрерывные первые производные,
являются фундаментальной системой решений некоторой
системы вида E.4) с непрерывными коэффициентами.
По теореме 3 для этого необходимо, чтобы их детерми-
детерминант Вронского нигде не обращался в нуль. Покажем,
что это условие является в то же время и достаточным,
если эти вектор-функции непрерывны вместе с их произ-
производными.

§ 35] СОСТАВЛЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 151
Действительно, составим тогда следующие п линей-
линейных однородных- дифференциальных уравнений относи-
относительно функций yi(x), ...,уп(х):
«/1 У\1) , ... У\п)
Уз f/o1' • • • ?/'"'
= 0, t = l п.
Уп
dx dx dx
Легко видеть, что этим уравнениям удовлетворяют
вектор-функции E.5). Кроме того, так как, по предпо-
предположению, определитель, составленный из вектор-функций
E.5), нигде не обращается в нуль, то все эти уравнения
можно разрешить относительно --^ (t = 1,..., п). Полу-
Полученная система обладает всеми требуемыми свойствами.
Покажем еще, что существует только одна система
вида E.4), имеющая данную фундаментальную систему
решений. Действительно, по теореме 5 из § 33 все реше-
решения такой системы определяются ее фундаментальной
системой решений. Но заданием всех интегральных кри-
кривых системы E.4) эта система, очевидно, вполне опреде-
определяется, так как тем самым вполне определяется соответ-
соответствующее ей поле направлений; знание поля направле-
направлений однозначно дает нам значение правых частей сис-
системы, а коэффициенты линейной формы однозначно
определяются ее значениями.
ЗАДАЧА
Г усть дана система непрерывно дифференцируемых функций
E.3), причем т<п. Докажите, что ее можно расширить (добавле-
(добавлением новых функций) до фундаментальной системы решений E.5)
некоторой системы уравнений E.4) с непрерывными коэффициента-
коэффициентами, тогда л только тогда, когда ранг матрицы E.3) равен т в
каждой точке интервала (а, Ь).
Указание. Искомую систему E.4) стройте сначала в ок-
окрестности любой точки интервала (а, Ь).

152 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
§ 36. Следствия для дифференциального уравнения
гс-го порядка
На основании сказанного в § 27 линейное однородное
дифференциальное уравнение
—f- = а„-1 (х) J + gn- *
dxn *
... + ^i (х) —• + а0 (х)^ E.8)
эквивалентно линейной однородной системе
ах
Уп~и
(х) у%+... +an-i (х) уп-и
E.9)
Здесь через уо обозначено прежнее у, уь. означает
k-ю производную от у.
1. Из § 32 мы заключаем поэтому, что если коэффи-
коэффициенты ui(x) непрерывны на интервале a<x<bt то для
каждого xq из этого интервала и любой системы чисел
#о> У\>—>Уп~1 существует одно и только одно решение
уравнения E.8), у которого при х—Хъ производная
i-го порядка A=0, 1,..., п-^1) обращается в $. Это ре-
решение существует на всем интервале (а, Ь).
2. Очевидно, если функции у^Цх) у№.(х) *> удов-
удовлетворяют уравнению E.8), то любая их линейная ком-
комбинация с постоянными коэффициентами
m
также удовлетворяет этому уравнению.
•> Здесь у&Цх) — скалярные (обычные) функции, а не вектор-
функции, как в § 32—35.

f 361
СЛЕДСТВИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ п-го~ПОРЯДКА
153
3. Заметим далее следующее. Пусть мы имеем т ре-
решений системы E.9):
(х)
, k — 1, ... , т.
Если существуют такие постоянные
всех а; на интервале (а, Ь)
,, Ст, что при
E.11)
то обязательно будут иметь место и следующие тож-
тождества:
Поэтому мы будем называть решения ^Ц) Ц)
уравнения E.8) линейно зависимыми, если существуют
такие постоянные С и..., Ст, среди которых по крайней
мере одно отлично от нуля, что имеет место следующее
тождество:
4. Если принять во внимание, что у%{х) есть произ-
производная 1-го порядка от у(х), то детерминант Вронского
для системы E.9) можно записать так:
E.12)
dx
dx
dx

154 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
Теоремы 2, 3,-4 и 5 из § 33, а также следствие из
теоремы 3 полностью сохраняются для уравнения E.8),
если в них под линейной комбинацией решений подразу-
подразумевать суммы вида E.10), а детерминантом Вронского
называть детерминант E.12).
5.-На главной диагонали в правой части систе-
системы E.9) стоит только один коэффициент, который
может отличаться от нуля; это коэффициент an-i. По-
Поэтому формула E.7) теперь примет такой вид:
Замечание. Если определитель E.12; для функ-
функций yi(x), Уг(х),..., Уп(х),р которых не сказано, что они
удовлетворяют уравнению вида E.8) с непрерывными
коэффициентами, тождественно равен нулю, то отсюда
не следует, что эти функции линейно зависимы, т. е. что
для них имеет место тождество вида E.11), причем по
крайней мере одно из d отлично от нуля. Это показы-
показывает следующий пример. Пусть
yi(x)=x\ y2(x)~x[x\ (— 1
Легко видеть, что эти функции линейно независимы
и тем не менее их определитель Вронского тождественно
равен нулю.
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что если
то построенная в § 35 система эквивалентна одному уравнению
n-го порядка.
2. Пусть a<ai<6i<6 и решение у(х) уравнения E.8) имеет
иа [ai, bi\ бесконечное множество нулей. Докажите, что тогда
()^0 на (а, Ъ).
3. Решите уравнение
у"+ху=0.

§ 37] ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ОДНОРОДНОГО* УРАВНЕНИЯ 155
разложив у в ряд Маклорена. Докажите сходимость этого рида.
(Ср. задачу 3 § 32.)
4. Если для аналитических функций ^Цх), #<**(*), заданных
иа интервале (а, 6), определитель E.12) тождественно равен нулю,
то эти функции линейно зависимы.
5. (Дж. Асколн.) Пусть дана система п раз непрерывно диффе-
дифференцируемых линейно независимых на интервале (а, 6) функций
4ГA>(*). -. У1тЧх) (т^п). Докажите, что для существования урав-
уравнения E.8) с непрерывными коэффициентами, для которого задан-
заданные функции будут частными решениями, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы!—ГТ~I @<&<Л—1; l^r'^m) равнялся т
и, dxk \
в каждой точке интервала (а, 6) (ср. задачу § 35).
6. Докажите, что для того, чтобы функции уР>(х),...,у1т)(х),
непрерывные при а^х^Ь, были линейно зависимыми на этом интер-
интервале, необходимо и достаточно равенство нулю определителя Грама
ъ
aef|(W)jr<fe>(x)rf*j
§ 37. Понижение порядка линейного однородного
дифференциального уравнения
Допустим, что нам известно т линейно независимых
решений уравнения E.8) с непрерывными коэффициен-
коэффициентами на интервале (а, Ь)
уЫ(х),..,У(тЧх). E.13)
Из линейной независимости функций следует, что ни
одна из них не равна тождественно нулю. Пусть #о есть
какая-нибудь точка этого интервала, где у№(х)фО: Так
как у^Цх) непрерывна, то существует некоторый интер-
интервал (аи bi), заключающий внутри себя точку-яо, в кото-
котором
\у«Чх)\>о.
Сделаем замену неизвестной функции в уравне-
уравнении E.8), положив
Легко видеть тогда, что функция z(x) удовлетворяет
уравнению вида

156 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
... +аи*)-зг+«;<*) *.
где коэффициенты а*{(х) непрерывны на интервале
(fli, bi). Так как уравнению E.8) удовлетворяла функ-
функция у\{х), то последнему уравнению должна удовлетво-
удовлетворять функция
z(x) = U
поэтому должно быть а*0(х)==0. Положим теперь
dx i
Тогда функция у* удовлетворяет линейному однород-
однородному уравнению (п—1)-го порядка с непрерывными
коэффициентами
an-2(x) -gj- + ... + a\ (x)y\ E.14)
Этому уравнению должны удовлетворять на интер-
интервале (аь Ь\) функции
}
Покажем, что они линейно независимы. Действитель-
Действительно, допустим, что существуют такие постоянные С и
С2,..., Ст-и среди которых по крайней мере одна не рав-
равна нулю, что на интервале (ai, bi) имеет место тождест-
тождество
Тогда на этом интервале должно быть

§ 38] О НУЛЯХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ 2-го ПОРЯДКА 1ST
где С — некоторая новая постоянная. Следовательно,,
функции E.13) линейно зависимы на интервале (ai, bi).
Отсюда вытекает, что некоторая нетривиальная линей-
линейная комбинация E.10) тождественно равна нулю на ин-
интервале (аь bi), а потому (по теореме единственности)
и на интервале (а, Ь), т. е. эти функции зависимы на
всем интервале (а, Ь). Но это противоречит исхбдному
предположению о том, что функции yi{x) линейно не-
независимы на (а, Ь).
Имея т—1 линейно независимых решений уравнения
E.14), мы можем с ним проделать все то, что мы только
что проделали с уравнением E.8). Тогда получим на
некотором интервале (йг, Ь2), заключенном в (at, bi),
некоторое уравнение (т—2)-го порядка. Рассуждая
таким же образом дальше, мы, наконец, придем к ли-
линейному однородному уравнению (п—т)-го порядка на
некотором интервале (ат, Ьт).
ЗАДАЧИ
1. Покажите,, что в условиях данного параграфа из любого ин-
интервала (а, Ь), где а<а<.Ь<Ь, можно выбросить конечное число»
точек так, что на каждом из полученных интервалов порядок урав-
уравнения понижается до (и—т)-го.
2. Найдите общее решение-уравнения
Bх—Зх3)у"+4у'+6ху=0;
известно, что одним из его решений служит многочлен по х.
3. Укажите простой способ понижения числа уравнений в сне-
теме E.4) при известном ненулевом частном решении.
§ 38. О нулях решений линейных однородных
уравнений 2-го порядка
В этом параграфе мы будем рассматривать уравне-
уравнения вида
у"+а{х)у+Ь(х)у = О E.16)
с непрерывными а{х), а'(х), Ь(х). Нас будет интересо-
интересовать имеющий большое значение в приложениях вопрос
б том, как часто решение такого уравнения может обра-
обращаться в нуль. Каждое значение х, при котором у(х) =0,.

158 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл.
будем называть нулем функции у. Подстановкой
уравнение E.16) приводится к виду.
z"+B(x)z=0, E.17)
где
т, следовательно, непрерывно.
В силу непрерывности а(х) функции z(x) и у{х)
•обращаются в нуль одновременно.
Основной является следующая
Теорема Штурма. Пусть даны два уравнения
z'x(x)+Bi{x)zi(x)=O и z'2
причем на всём рассматриваемом замкнутом интервйле
¦а<х<& функции Bi(x) и В%(х) непрерывны и
В2(*) >#!(*). E.18)
Тогда между каждыми двумя соседними *) нулями Xi и
*г, a<.Xi<xz<b, не тождественно равного нулю решения
jZi(jc) первого из этих уравнений заключен пд крайней
мере один нуль любого решения zz(x) второго уравне-
мия, если zz(x) не обращается в нуль при x=Xi или
х—Хг. Короче в таких случаях говорят, что решения
второго уравнения колеблются не реже, чем решения
первого.
Доказательство. Подставим оба сравнивае-
сравниваемых решения Z\(x) и z2(x) в соответствующие уравне-
уравнения. Первое из полученных тождеств умножим на zz(x),
а второе на zi(x) н вычтем почленно из первого тож-
тождества второе. Получим
jt't(xJ2 {х) -гх {х)г(х) = [В2(х) -В^х)] гг (x)z^(x). E.19)
*' Нетрудно показать, что если бы Zi(x) имело бесконечно мно-
много нулей на отрезке {а, 6], то иа нем обязательно нашлась бы точ-
точка, в которой обратилось бы в нуль как z{(x), так и z' (х),я потому'
4>ыло бы Zi(x)ssQ. (Ср. задачу 2 к § 36.)

§ 38] О НУЛЯХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ 2-го ПОРЯДКА 159»
Так как
*\ (*) г2 (х) — г1 (х) г\ (х) = | [z\ (x) г2 (x) — гх (х) г'2;(*)];,
то, интегрируя тождество E.19) от xt до Хг и пользуясь*
тем, что по условию
получим.
z\ (*2) 22 (Х8) — г\
= ] [В, (х) -Вг Щ гг (х) г2 (х) dx. E.20)
Поскольку мы предполагаем, что xi и х% являются сосед-
соседними нулями Z\ (x), то между #i и х% функция Z\ (x) со-
сохраняет знак. Так как Zi(x) удовлетворяет линейному
однородному уравнению и, следовательно,—z±(x) также
является решением того же уравнения, то, не ограничи-
ограничивая общности, мы можем предположить, что Zi(x) поло-
положительно между *i н xz. Так как ни z\-(x'i), ни z\ (Хг);
не могут быть нулями, иначе Zi(x) тождественно равня-
равнялось бы нулю, то из положительности zi(x) на интер-
интервале (*i, хг) следует, что z[ (xi)>0, a z\ (x2)<Qi
Согласно E.18)
Bi(x)—B2(x)<0.
Если бы доказываемая нами теорема была неверна, то
существовало бы решение zz(x), которое не обращается
в нуль на открытом интервале (Xi, Xz) и по крайней
мере на одном из его концов. Без ограничения общности
мы можем считать zz(x) на этом интервале всюду поло-
положительным. Но тогда левая часть равенства E.20)
была бы отрицательной, а правая неотрицательной. Та*
ким образом, мы пришли к противоречию, допустив, что
наша теорема неверна.
Следствия. 1. Никакое не тождественно равное:
нулю решение уравнения E.17) не'может обратиться
на каком-нибудь интервале (а, Ь) в нуль больше одного»
раза, если всюду на этом интервале В(д;)<0.

160 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
В самом деле, если бы какое-нибудь решение z(x)
этого уравнения обратилось в нуль при x=Xi и x=Xz
(а<*1<*2<Ь), то по доказанной только что теореме на
замкнутом интервале [#i, Хг\ должно было бы обра-
обратиться в нуль, по крайней мере один раз, всякое реше-
решение уравнения z"(x)=0, что, очевидно, неверно.
2. Если Xt и х-2. — два последовательных нуля какого-
нибудь решения уравнения E.16), то всякое другое ре-
решение этого уравнения имеет на интервале (xit xz) ровно
один нуль, если отношение этих двух решений не по-
постоянно. Для доказательства этого утверждения надо
воспользоваться теоремой Штурма, считая Si (x) =В2(х).
ЗАДАЧИ
1. Сравнивая решение уравнения
¦(преобразованное уравнение Бесселя) с решениями уравнения
¦у"+У=0 или уравнения jr"+(l+e2)jr=0, покажите, что при 0<л<
<1/2 расстояние между соседними нулями г(х)(Ф0) меньше п и
•яри достаточно больших х как угодно близко к Я. Как расположе-
«ьгнули z(x) при и>1/2?
2. Покажите, что при неограниченном возрастании х последо-
последовательные нули всякого ненулевого решения уравнения
«неограниченно сближаются.
3. Покажите для теоремы Штурма, что если хотя бы в одной
точке интервала (хи Хц) соотношение E.18) выполняется со знаком
:> и если zis(xi)=0, то следующий за xi нуль Zz{x) лежит левее хъ.
4. Пусть ( имеет место неравенство E.18), причем Zi(Xi) =
=22(^1) = 0, 2j(^i) > 22(xi)>0. Докажите, что тогда на интервале от
Xi до первого следующего за Xi нуля функции г%(х) выполнено не-
неравенство Zi(x)~^Z2(x); если же такого нуля нет, то это неравенст-
неравенство имеет место при всех рассматриваемых значениях х~^Ху
Указание. Предположите сначала, что г, (хх) >г2 (ofi).
б. (Киезер.) Пусть в уравнении E.17) функция В(х), опреде-
определенная при 0<а^д;<оо, удовлетворяет неравенству

§ 39] СИСТЕМА НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ 1-го ПОРЯДКА 161
(e=const>0). Докажите, что тогда любое решение этого уравнения
имеет бесконечное число нулей. Если же В(х)^.Dх2)-1, то любое
нетривиальное решение имеет не более одного нуля. (При доказа-
доказательстве этого следует предварительно сделать замену х=еК) От-
Отметим, что многие 'теоремы о колебаниях решения содержатся в
книге: Р. Беллман. Теория устойчивости решений дифферен-
дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1954.
6. Рассмотрим уравнение
у"+В(х, *,)S"=0 (a<x<6, Л*<Л<Л**)
с коэффициентом, зависящим от параметра \. Пусть функция
В(х, л) непрерывна по совокупности х, X, возрастает по .А, и для
любого N>0 существует X, для которого В{х, %)<Ы-г(а^.х^Ь),
и X, для которого В(х, %)>N (ai<x<&i; a^ai<bi^b; а4 и Ъх
фиксированы). Докажите, что тогда найдется такая последователь-
последовательность Л*<Я,1< ... <;ЯП<..., стремящаяся к Л**, что при значениях
A,=A,i, X,2,... и только при иих рассматриваемое уравнение имеет не-
нетривиальное решение, равное нулю при х=а и х=Ь; при этом для
Х=Хп это решение имеет между а и Ь ровно п—1 нулей.
§ 39. Система неоднородных линейных уравнений
1-го порядка
Теорема. Пусть вектор-функция <р(х) представ-
представляет собой одно какое-нибудь частное решение неодно-
неоднородной системы E.2). Тогда всякое решение этой систе-
системы можно, представить в виде
l/(x)=v{x)+<f(x),
где вектор-функция v(x) удовлетворяет однородной
системе E.4). Обратно, всякая вектор-функция у(х)
такого вида удовлетворяет системе E.2).
Докажем прямое утверждение:
что и требовалось доказать. Обратное предложение до-
доказывается аналогично.
Следствие. Всякое решение неоднородной линей-
линейной системы можно представить в виде
6 И. Г. Петровский

162 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
где вектор-функции #(ft> образуют фундаментальную
систему решений соответствующей однородной системы,
а Сь — некоторые однозначно определяемые для этого
решения постоянные. Обратно, при произвольных
Ci,..., Сп вектор-функция <р + J]Cfr</<*> удовлетворяет
k
системе E.2).
Иначе то же самое можно нескрлько короче сказать
так: общее решение неоднородной линейной системы
есть -сумма частного решения этой системы и общего ре-
решения соответствующей однородной системы. Значит,
задача нахождения общего решения неоднородной ли-
линейной системы сводится к нахождению одного частного
решения этой системы, если фундаментальная система
решений соответствующей однородной системы нам из-
известна. Для решения этой задачи применим, как и в
случае одного линейного уравнения 1-го порядка
(ср. § 7), метод вариации постоянных.
Метод вариации постоянных. Пусть вектор-функции
у(кЦх) (k=l,...,n) образуют фундаментальную систему
решений системы (&.4). Попытаемся удовлетворить сис-
системе E.2), положив
</(*)=? С* (*)</<*>(*), E.21)
где Сй (х) не обязательно постоянны, как было прежде,
а какие-то дифференцируемые функции от х. Подстав-
Подставляя это выражение у в E<2), найдем, что должно вы-
выполняться следующее равенство:
j; (х) у•» (х) +;? Ck {х).</<*>' (х) - ? А (х) Ck (x) #*> (х) =
Записывая это векторное равенство для компонент,
получим
%'к(х)$>(х)=?({х), i = l, ... ,Ф E.22)

§ 3&] СИСТЕМА НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ 1-го ПОРЯДКА 163
т. е. линейную неоднородную систему алгебраических
уравнений относительно неизвестных €^(х). Детерми-
Детерминант, составленный из коэффициентов при этих неиз-
неизвестных, является детерминантом Вронского для век-
вектор-функций у{к)(х) и потому отличен от нуля. Значит,
из системы E.22) можно едннственным образом опреде-
определить C'k(x). Пусть
Отсюда интегрированием получаем
+Ck, E.23)
где Сь — произвольные постоянные. Так как наи доста-
достаточно найти только одно частное решение системы E.1),
то эти постоянные можно считать, например, нулями.
Тогда получим для искомого частного решения выра*
жение
Если же оставить Сь произвольными, то после под-
подстановки E.23) в E.21) получим общее решение систе-
системы'E.1).
ЗАДАЧИ
1. (Теорема Коши.) Пусть функции
Ур(х,1)> t,k*=l п,
при всяком фиксированном к удовлетворяют по х системе E.4), а
при х=| удовлетворяют следующим условиям:
#(?.?)= f1'
Требуется доказать, что функции

164 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [гл. V
удовлетворяют системе E.1) и нулевому начальному условию
у{Хо)=О: здесь Хо — любое значение х из того интервала, где мы
рассматриваем наши уравнения E.1). С помощью фундаментальной
матрицы Y(x) (см. задачу 1 к § 33) это решение можно предста-
представить в виде
2. До сих пор мы выделяли частное решение из общего с по-
помощью зйдания начальных условий, т. е. с помощью задания всех
искомых функций, составляющих решение, при одном каком-то зна-
значении независимого переменного х. Однако применяются и более
общие дополнительные условия к системе дифференциальных урав-
уравнений (например, можно задавать различные искомые функции при
различных значениях х, можно задавать комбинации значений иско-
искомых функций при различных хит. д.). Рассмотрим общие линей-
линейные дополнительные условия к системе E.2), которые мы коротко
запишем в виде
Lk [(/]=«*, k=l,...,n,
где ал — заданные числа, a is — ладанные комбинации значений
искомого решения у(х) при фиксированных значениях х, удовле-
удовлетворяющие условию линейности:- Lft[Ci(/<1)+C2^B)]=CiLft[i/(i)]+
+Сг?ь[</<2)]. Докажите, что в зависимости от матрицы коэффициен-
коэффициентов А(х) и от вида функционалов ?ь могут быть два случая: ос-
основной, когда поставленная задача имеет ровно одно решение при
любой (непрерывной) вектор-функции f(x) и прн любых значениях
чисел as, и особый. В особом случае при произвольном выборе f(x)
и as поставленная задача, как правило, не имеет ни одного реше-
решения; если же такое решение имеется, то их бесконечное множество.
Чтобы имел место, основной случай, необходимо и достаточно, чтобы
соответствущая однородная задача (при f(x)=O и всех ctft=O)
имела только тождественно нулевое решение. Для системы E.2) с
начальными условиями всегда имеет место основной случай. При-
Приведите примеры на особый случай. Покажите на примерах, что ана-
аналогичная задача для нелинейных систем может также иметь лю-
любое конечное или счетное число решений.
§ 40. Следствие для линейного неоднородного
уравнения я-го порядка
Неоднородное линейное уравнение
dny , , Ап~хи , , ч
+а1(х) * +ао(х)у+Нх) E.24)

§ 40] СЛЕДСТВИЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 165
эквивалентно линейной системе
~1ьГ~ у*'
Уп-1>
ао(х)уо + а1(х)у1 + а2(х)у2 + ...
... + с„_! (х) #„_1 + / (х).
Система E.22) обращается в систему
С\ W» (х) + С'з (х) г/<2> (х) + ... + Сп (х) у& (х) = 0,
Из функций tji теперь, очевидно, представляет
интерес только ya(x)s=y(x), и потому найденные Ci(x)
надо подставлять только в равенство
ЗАДАЧИ
1. Сформулируйте условие и докажите утверждения задачи 2
§ 39 применительно к уравнению E.24). Разберите, в частности, так
называемую краевую задачу
), y{a)=ai,
а также аналогичную задачу, в которой уравнение имеет вид
2. (Аналог задачи 1 § 39.) Покажите, что решение уравне-
уравнения E.24) при нулевом начальном условии у (Хо)=у'(Хо) •=...•=

166 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
_j/(n-i)(jjo)_o (здесь н в задаче 3 верхний индекс в скобках,озна-
скобках,означает порядок производной) имеет вид
где функция -G(x, |) при каждом фиксированном | удовлетворяет
по х соответствующему однородному уравнению E.8) и начальным
условиям #(S)=0'(S)=-=#(n-2)(S)=0, &«-»&) = 1.
3. Опираясь на результат задачи 2, докажите следующую обоб-
обобщенную теорему С. А. Чаплыгина. Для любого дсо.иа интервале не-
непрерывности коэффициентов уравнения E.24) найдутся положитель-
положительные числа Ло, Л»,..., Лп-i, зависящие лишь от Хо и от коэффициен-
коэффициентов ао{х), aj(jc),..., an-i(x) и обладающие следующим свойством:
если даио решение у(х) уравнения E.24), причем f(*)^0, у(хъ) =
=#'(*<>)= ... =0<»-Ч(дсв)=О, ^"-'>(дсв)>0, то ^\»(*)Х> (*о^*<*о+Г
+Л*; /8=0, 1,...,п—1); если же дополнительно дано, что f(x)>0
(*о<*<*о+Лк), то «^*>(дс)>0 (дсв<лс<*в+А*).' Укажите верхнюю
грань для возможных значений чисел Л* в терминах свойств функ-
функции G задачи 2. (Можно ли положить fe=n?) Рассмотрите в качест-
качестве примера неравенство у"+у>0 при условиях у@)=0, у'@)>0.
На каком, интервале гарантируется положительность его решений?
Положительность производной от его решений? Докажите, что если
задана оценка |оо(дс)|, |fli(x)|,..., \an-i(x) \ сверху, то можно по-
получить оценку всех ii% снизу положительным -числом. Приведите,
опираясь на лемму Адамара, достаточные условия справедливости
теоремы Чаплыгина'для нелинейных уравнений.
ГЛАВА VI
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
с постоянными коэффициентами
§ 41. Преобразование системы
В настоящей главе мы будем рассматривать линей-
линейные системы дифференциальных уравнений, у которых
неизвестные функции, свободные члены и коэффициенты
комплексны; независимое же переменное будем считать
действительным. Пусть
* •*
где <р.(лс) и <p(jc) действительны. Тогда, по определению,
ф' {х) = нт Ф<« + Д«>-Ф{*> = Пт Ф(^ + Д4-Ф(х) +
АХ-+Х) Д* ДДГ-*О Д*

§ 41] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ 167
+ I lift,
lft,
Ддг-»О Д * •
Здесь, конечно, предполагается, что <f'(x) и у'(х)
существуют. Отсюда видно, что при комплексных Cj и
{)
точно так же как и при действительных Cj и q>j (x). Ана-
Аналогично можно показать, что и для производной произ-
произведения комплексных функций сохраняется обычное
правило.
Согласно §-32 линейную систему с постоянными
коэффициентами можно записать в матричном виде
—-^Ау + Пх), F.1)
где А — квадратная матрица коэффициентов, a f(x) и
у{х) — заданная та искомая матрицы-столбцы (иначе
говоря, векторы). Основная идея решения системы
F.1) состоит в том, чтобы с помощью линейного преоб-
преобразования искомого вектора привести эту систему к наи-
наиболее простому виду.
Линейное преобразование
можно коротко записать в виде
где 2 (х) — новая искомая матрица-столбец, а К —
квадратная матрица преобразования. Так как нас инте-
интересуют только неособые (невырожденные) преобразова-
преобразования, то det/C#O и у=/С~12. Подставляя это в F.1),
получим

168 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
откуда
dz
dx
или окончательно
F.2)
где
**КАК-*, g(x)=Kf(x).
F.3)
Система F.2) имеет тот же вид, что и система F.1),
но матрица коэффициентов изменилась по первой фор-
формуле F.3). Естественно попытаться при заданной мат-
матрице Л подобрать матрицу К так, чтобы матрица В
приобрела по возможности более простой вид. В курсах
линейной алгебры доказывается, что матрицу преобра-
преобразования — ее мы обозначим через R — всегда можно
подобрать так, что матрица B = RAR~l имеет так назы-
называемую жорданову нормальную форму. Эта форма тако-
такова: вдоль диагонали матрицы В стоят жордановы клетки
IIi Щ A<&<п), а остальные элементы матрицы В
равны нулю:
п.
Каждая клетка П^ представляет собой квадратную
матрицу некоторого порядка щ {\<.щ^.п) вида
П,
1 А/ ^
O'i\
Здесь на главной диагонали стоит один из корней ха-
характеристического уравнения матрицы А:

§41] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ 169
(? — единичная матрица), на соседней диагонали сни-
снизу Ч стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
При этом щ равно степени так называемого элементар-
элементарного делителя . (К — "kjfi, отвечающего корню Kj. Если
некоторому корню отвечает несколько элементарных де-
делителей-, то и соответствующее количество клеток в жор-
дановой -форме имеет на главной диагонали один и тот
же элемент. В наиболее простом случае, когда все эле-
элементарные делители первой степени (так будет, в част-
частности, если все корни характеристического уравнения
различные), все клетки имеют первый порядок, т. е. мат-
матрица В будет иметь чисто диагональный вид.
Если обозначить z=Ky, g(x)=Rf(x), то для z(x)
получится система уравнений-д?- = Вг +g(x) (см. F.2)).
Если перейти от матричной записи системы к обычной,
скалярной записи, то получится k групп уравнений, от-
отвечающих k жордановым клеткам матрицы В; напри-
например, первая группа имеет вид
%-^^ + Xx?, + ?,(*).
Znt-l + h2n1 + 'Snl(x),
F.4)
Для дальнейшего введем «растяжение» каждой из
неизвестных функций с произвольным коэффициентом,
т. е. сделаем замену этих функций по формулам
Zi=aizu z2 = a2z2, ... , zni = antzni, F.5)
где все aj — произвольно выбранные отличные от нуля
числа. Тогда уравнения F.4) переходят в уравнения
*> В жордаиовых клетках, применяемых в линейной алгебре, еди-
единицы обычно стоят непосредственно выше главной диагонали, а не
ниже ее, как показано здесь. Однако если перенумеровать новые пе-
переменные в обратном порядке, то матрицы П* транспонируются, и
мы придем к этой более удобной нам форме.

системы с Постоянными Коэффициентами [гл.
(проверьте!)
(х) =¦ Mi
где обозначено
OCj t * • * у Оь/ij—j.
+
n, (дс),
= Olgl (X), • • • . g/K-<*> = bbgfh (X).
Отметим, что, подбирая коэффициенты аи,..,ап, можно
сделать с^,..., an,_! любыми наперед заданными отлич-
отличными от нуля числами: для этого достаточно, например,
положить ai"=l и последовательно находить a2 — ait
03=0202 а„, = ctni-i ani_i .
Преобразование вида F.5) ¦, совершенное над каждой
группой искомых функций, можно коротко записать в
виде z=Lz, где L — соответствующая матрица коэффи-
коэффициентов. В итоге мы получаем
г= Lz=LKy = Ky, где K^LK.
Если совершить такую замену переменных, то мы пе-
перейдем к системе F.2), которая в скалярной записи в
силу сказанного выше имеет вид
dx
dx
dx
= a,

§ 4Ц ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ 171
dx
dx
2 2 +Я,22„1+3
F.6)
dx
n~nk+l (X),
"~"fe+2 = «^„^ +1 + W2 + gn-«ft+2 (ДС),
dzn
Здесь числа щ, Pi,..., он можно выбирать произволь-
произвольно, лишь бы только они не равнялись нулю; в част-
частности, можно считать их произвольно малыми по абсо-
абсолютной величине. Числа же А.г\ вполне определяются
данной системой. Система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая
вид F.6), называется канонической.
После приведения системы к каноническому виду ее
легко проинтегрировать. Действительно, в первое урав-
уравнение канонической системы входит только одна неиз-
неизвестная функция zi(x). Определив ее из этого уравне-
уравнения и подставив во второе уравнение, мы опять получим
линейное уравнение только с одной неизвестной функ-
функцией" Zz(x) и т. д.

172 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
Интегрирование линейных систем с постоянными
коэффициентами подробно рассмотрено в § 45 и далее.
В § 42—44 мы изложим независимую от курсов линей-
линейной алгебры теорию приведения линейных систем к ка-
каноническому виду, читатель может по своему усмотре-
усмотрению прочитать или пропустить эти параграфы.
ЗАДАЧА
Докажите, что формула Лаграижа конечных приращений для
комплексных функций действительного переменного уже не обязана
выполняться. Однако для дифференцируемой на а^х<Ь функции
/(*) справедлива формула Я[до)—f(a)]=nf'(|), где a<|<&, а X
и (х —' некоторые действительные числа, вообще говоря, зависящие
от а, Ь, t, причем №гф0
§ 42. Теорема о приведении
к каноническому виду
Теорема. Пусть дана линейная система уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами
J / I ~Ч& i НИ"/' * I . * . j .1. @./)
Всегда существует линейное преобразование
у которого коэффициенты cij постоянны, detllc,-,!! =5^=0 и которое
приводит систему F.7) к каноническому виду F.6). Функции gi(x)
в новой системе суть линейные комбинации с постоянными коэффи-
коэффициентами из функций ft(x).
Доказательство. При п= 1 теорема, очевидно, верна. До-
Допустим, что оиа верна для числа уравнений, равного п—1; докажем,
что тогда оиа верна и для числа уравиеннй, равного п.
Помножим i-e уравнение системы F.7) на kt, где ft, — неко-
некоторые постоянные, которые точнее будут определены позже. Полу-
Полученные уравнения просуммируем. Получим
L =V ацкан + У. kih{x).
Определим теперь kt так, чтобы тождественно по ys было

§ 42] ТЕОРЕМА О ПРИВЕДЕНИИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 17
ч /
где X — некоторое постоянное, действительное или комплексное.
Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты
при одинаковых у} в обеих частях этого равенства были одинако-
одинаковы, т. е. чтобы было
/=1, .... п.
Таким образом, для определения ki мы получили- систему п
линейных однородных уравнений с п неизвестными. Чтобы эта сис-
система имела нетривиальное решение, которое только и будет пред-
представлять для нас интерес, необходимо и достаточно, чтобы детерми-
детерминант, составленный из ее коэффициентов, бьи* равен нулю. Это ус-
условие можно записать так:
detdlM-bE)- (-I)«det(A?-0a«0)-O, F.8У
где Е — единичная матрица. Уравнение F.8) называется еще веко-
вековым уравнением и играет важную роль во многих вопросах мате-
математики, физики и астрономии. Матрица же (%Е—||a<j||) называется
характеристической матрицей системы F.7).
Пусть %i — одни из корней уравнения F.8): Обозначим буква-
буквами ku (i=l,..., я) какую-нибудь систему чисел, не состоящую из
одних нулей, которая удовлетворяет системе уравнений
= bikii (/=1 л).
Для определенности положим, что кцфО. Очевидно, это нисколько
не ограничивает общности, так как мы всегда можем достигнуть
этого изменением нумерации у у„ что сводится к неособому преоб-
преобразованию. Положим далее
Эта функция удовлетворяет уравнению
— = %
где
t
Запишем это уравнение вместо первого уравнения системы F.7).
Все же остальные уравнения этой системы перепишем, заменив в
иих yi его выражением, полученным из F.9). Это выражение можно
найти, так' как, по предположению,, ЫцфЬ. Полученную систему

174 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
будем обозначать номером F.7'). Она будет иметь следующий вид:
dx
"У* • i * i
— = a2X Zi + a22y2 +
ft(x),
F.7')
dx "" '
Мы допустили, что доказываемая теорема верна для (я—1)
уравнений.
Применим ее к системе, полученной из F.7') выбрасыванием
первого уравнения. При этом будем zj(x) рассматривать как не-
некоторую известную функцию наравне с /;(*), Тогда существует
такое лннейиое иеособое преобразование:
У{
hi У,-, «'=2 п,
/=2
которое приводит систему F.7') к "следующему виду:
1х~
dy'z
dx
dx
dx

$ 42] ТЕОРЕМА О ПРИВЕДЕНИИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 175
f), —{- J
7— =b
*Уп-пь
dx
dx
_1
F.7")
Чтобы Привести систему к каноническому виду, нам остается
теперь только освободиться от некоторых Ьи Так как все группы
уравнений от 2-го до (nt+l)-ro, от (л4+2)-го до (я4+П2+1)-гр, ...
..., от (п—я»+1)-го-до я-го находятся в совершенно одинаковом
положении, то мы покажем только, как освободиться от некоторых
из ?>2, Ьз,.... ЬП1 +4. Нам придется при этом различать два случая,
смотря по тому, равны Л* и %г, или нет.
1-й случай, когда JU^ta. Положим Zf=yt*+Kzt. Тогда
(x).
Здесь gzix) есть некоторая лянейиая комбинация из gi(x) я h(x).
Выберем X так, чтобы было

176 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
Это возможно, так как, по предположению, %i=^'kz. -Тогда получим
dx
Значит, во втором уравнении, мы уже освободились от
Положим теперь Z3=y3*+KiZi. Тогда
dz3 dyl dZl
dx ~ dx *Kl dx
= (b3 ~ ai К + Ki Xj — Кi k2) zi + a! z2 + Я2z3 + g3 {x).
Здесь ?з(*) есть некоторая линейная комбинация из gi(x) и /з(*).
Выберем К\ так, чтобы было b3—Ka.\ = Ki(k2—^i). Так как
%%и то это возможно. Тогда получим
dz4
Совершенно так же можно уничтожить fej и в других уравне-
уравнениях первой группы.
2-й случай, когда Xt=k2. Положим
где ап —любое число, отличное от нуля. Последнее уравнение можно
разрешить относительно (/* и гп , так как а'^0 и ani__! ^= 0.
Тогда (пх + 1 )-е н пх-е уравнения можно переписать так:
} * , "— • "I Zj
dx an% dx an
» + —7—
= —^-i zx + —n> . "' Zi + —-—r^
- a_
¦ + gni (x) = {
"''"

§ 42J ТЕОРЕМА О ПРИВЕДЕНИИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 177
Положим
«V-l V1 =
где ant_! — любое число, отличное от нуля. Тогда пх-г уравнение
перепишется так:
dzn
Аналогично мы поступаем и с другими уравнениями первой
группы. Таким образом мы избавимся от 6ni+i, &n, ,..., *Ч, ba. От
&2 нам не удастся избавиться, если оно не равно нулю, но это пой
Я(=Я2 н не требуется для приведения системы к каноническому-
виду. Однако если 62=^=0, то подстановкой Zt.—K.Zi* его можно сде-
сделать каким угодно отличным от нуля числом. Через gt (x) мы всюду
здесь обозначали некоторые линейные комбинации /,¦(•*) и gi(*).
Пусть кроме к2 есть еще какое-нибудь Я, например Яз, равное
А.1. Тогда таким же способом мы сможем освободиться от ^,+3»
^л,-И' ••• • ^л,-1-л2+1' Чтобы не вводить новых обозначений, мы
будем считать, что уже в уравнениях" F.7")
Ь3 = bt. - ... = 6„1+1 = 6„1+3 = &„1+4 = • •. = Ьп%+Па+1 = 0.
Но Ьг и 6ni+2 могут быть отличными от нуля. Если 62™О, то
можно поменять местами группы уравнений, соответствующие ta и
%з, и тогда для приведения системы к каноническому виду не надо
будет освобождаться от Ьп+2, если оно =^=0. Если же &2=5^0 и
*лн-2^, то, предполагая, что ni>n2> чего всегда можно достигнуть
переменой мест групп уравнений, соответствующих Яг н Я3, поло-
положим г„1+ 2 = у*п i+2 -f Kt tfl. Тогда получим
Я3
Так как, по предположению, ЬгФО, то Ki можно выбрать так,
чтобы fei 62 = — ^,+2-^ СИЛУ того чт0 ^=»Я3> мы получим тогда
dzn _|
2^

178 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
Подставляя же2П1_|_2—К1У2 вместо УПг^.% в следующее уравнение, мы
получим
Уп?* : ;p ^ \+;pi ч+г+и У'П1+3+т <)
В этом уравнении можно освободнться от члена с уг* подстановкой
znt+3 ==^n1+3+ ^2^2- Продолжая подобные преобразования, мы
приведем систему к каноническому виду.
Заметим в заключение, что все линейные преобразования, кото-
которыми мы пользовались для приведения системы к каноническому
виду, были всегда однозначно обратимыми, т. е. новые переменные
всегда связывались со старыми такими линейными соотношениями,
что из «их вполне однозначна-выражались как новые переменные
через старые, так и старые через новые. Поэтому и преобразование
tji в zt будет также линейным и обратимым, а потому неособым.
Описанный только что способ приведения системы дифферен-
дифференциальных уравнений F.7) к каноническому виду на практике очень
громоздок. Поэтому желательно найти методы, которые быстрее
давали бы строение канонической системы: числа fa и числа урав-
уравнений, соответствующих каждому Я;. Целью ближайших параграфов
является указание таких методов.
§ 43. Инварианты
линейного преобразования
Пуств линейная система с постоянными коэффициентами
'¦ = ! «- (В)
= I л, (А)
получается из системы
dyt _
dx ~
/=«
линейным неособым преобразованием
О Чтобы не усложнять записи, мы в этом параграфе говорим
всюду только об однородных системах, но доказываемые здесь тео-
теоремы справедливы, конечно, и для неоднородных систем.

§ 43] ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 170
Тогда имеют место две следующие теоремы.
Теорема 1. Положим
Через Е обозначим единичную матрицу п-го порядка. Тогда
Доказательство. Подставим в систему (В) вместо Zt их
выражения через yi yn- Тогда
Пользуясь системой (А), мы получим отсюда
п п п п
1=1 s=I /,s=l s,/=l
Так как эти соотношения должны выполняться тождественно по
у>, то при всех i и s должно быть
а это значит, что
К4=В^нлн В
Это последнее "равенство в точности эквивалентно F.10), потому
что
Е=КЕК~1
Теорем-а 2. Общие наибольшие делатели всех миноров 1-го
порфка (/4=1, -,;л) ^-матриц1) %Е—А и ХЕ—В совпадают с точ-
точностью до Постоянных множителей2).
.О?еюда-Непосредственно следует,, что детерминанты матриц
%Е—А н, ЬЕ—В должны совпадать.
До-казательство. Достаточно доказать, что общий наи-
наибольший деянтель всех миноров /-го порядка матрицы %Е—А яв-
является также делителем общего наибольшего делителя всех миноров
/-го порядка матрицы %Е—В. В силу равноправия перехода от- (В)
к (А) и от (А) к (В) отсюда будет уже следовать, что эти общие
наибольшие делители.просто совпадают (с точностью до постоянно-
постоянного сомножителя).
Для доказательства нашего утверждения отметим, что все ми-
миноры /-го .порядка у~ матрицы К(%Е—А) суть суммы произведений
¦> Х-матрицами называются матрицы, у которых элементы явля-
являются многочленами от X. -
2> Эти наибольшие делители миноров /-го порядка находят, как
у многочленов от Я.

180
СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
на элементы матрицы К некоторых мнноров 1-го порядка Я-матрнцы
ХЕ—А. Поэтому все общие множители этих последних будут также
общими множителями миноров 1-го порядка матрицы К(кЕ—А),
а отсюда уже прямо следует, что общий наибольший делитель всех
миноров /-го порядка матрицы К(%Е—А) делится на общий наи-
наибольший делитель всех мнноров 7-го порядка матрицы %Е—А. Ана-
Аналогично совершается переход от К(ХЕ—А) к К(кЕ—А)К~г=кЕ—В,
что н требовалось доказать.
ЗАДАЧА
(Сильвестр.) Докажите, что каждая матрица удовлетворяет
своему характеристическому уравнению, т. е. если вместо X подста-
подставить эту матрицу в левую часть характеристического уравнения, то
получится нулевая матрица.
§ 44. Элементарные делители
Лемма. Если квадратная матрица Р порядка п содержит
сплошь заполненный нулями прямоугольник Q, у которого сумма
высоты а и ширины Ь больше п, то детерминант этой матрицы ра-
равен нулю *).
Доказате.льство. Мы всегда можем, не меняя абсолютной
величины интересующего нас детерминанта, переместить прямо-
Q а<
R '
Рис. 25
Рис. 26
угольник Q в левый верхний угол матрицы Р. Схематически тогда
строение матрицы Р изображается рис. 25. По теореме Лапласа
детерминант матрицы Р равен алгебраической сумме произведений
детерминантов 6-го порядка D, составленных из элементов, находя-
находящихся в прямоугольниках Qi и Q, иа соответствующие им детерми-
детерминанты, составленные из элементов, находящихся в прямоугсшьни-
*) На эту лемму мне указал С. Л. Соболев.

44J
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
181
ках R и /?i. Так как я—а<Ь, то всякий детерминант D содержит
по крайней мере одну строчку, составленную сплошь из нулей, и
потому равен нулю. Следовательно, н весь 'детерминант матрицы Р
равен нулю.
Применим только что доказанную лемму к нахождению общего
наибольшего делителя всех миноров /-го порядка матрицы
где
Ms
8S2 Я — >
я-я5
8Srts-2 Я —
«sn.-l Я —
Здесь всюду элементы вне квадратов Ми Мг Мк, а также все
не выписанные явно элементы матрицы М, равны нулю, числа
8si, 8s2. • • • » 8sns-i все отличны^от нуля, некоторые нз чисел Xi Хк
могут быть между собой равными. Матрица М с точностью до обо-
обозначений околодиагональных элемеитов является характеристической
матрицей для приведенной к каноническому виду F.6) системы
дифференциальных уравнений F.7).
Проведем сначала все вычисления для / = л = V ns, т. е. най-
s=l
дем сначала детерминант матрицы М. Очевидно, он равен произве-
произведению детерминантов всех матриц ЛЬ, т. е.
det М = (Я - Л*)"» (Я - Х2)п* ... (Я - Я*I*-
Так как по теореме предыдущего параграфа det Af должен сов-
совпадать с детерминантом матрицы ЯЯ—А, то отсюда получается
Следствие. Все числа hi,...,Яя в уравнениях F.6) долж-
должны быть корнями характеристического уравнения матрицы систе-
системы F.7).
Перейдем теперь к нахождению обще|р наибольшего делителя
всех миноров (л—1)-го порядка матрицы М. Для этого нам будет

182 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
удобнее прежде всего явно выписать, какие значения принимают
%i,..., Xh. Пусть это будут различные между собой числа
Заметим далее следующее: общий делитель всех мнноров
1-го порядка должен также быть делителем детерминанта всей мат-
матрицы Ж Поэтому общий наибольший делитель, всех миноров 1-го по-
порядка матрицы М, которой мы будем обозначать Dt(Я), должен
иметь с точностью до постоянного множителя следующий вид:
Di (Я) = (Я- ЯA))Р1 ... (к- Я(т) )"т ,
где р< — некоторые неотрицательные целые числа. Выбросим теперь
из матрицы М какую-нибудь строчку и какой-нибудь" столбец, кото-
которые пересекаются вне квадратов М,, например так, как это схема-
схематически показано на рнс. 26. Тогда останется матрица (л—1)-го по-
порядка. М', имеющая заполненный одними нулями прямоугольник Q,
у которого сумма ширины и высоты равна л (этот прямоугольник
на нашем рисунке заштрихован). Поэтому, согласно .предыдущей
лемме, детерминант матрицы М' равен нулю. Следовательно, при
-нахождении общего" "наибольшего делителя ?>П-1(Я) всех миноров
(я—1)-№ порядка матрицы М нам достаточно рассматривать опре-
определители только таких матриц М', которые получились из М вы-
вычеркиванием строк н столбцов, пересекающихся внутри одного из
квадратов Ms, например AfSi. Очевидно, для получения детерми-
детерминанта такой матрицы М' надо детерминант матрицы MSj, получен-
полученной нз MSi вычеркиванием одной строки и одного столбца, помно-
помножить на детерминанты всех остальных матриц Ms. Прн нахождении
общего наибольшего делителя всех мниоров (л—1)-го порядка
"detM' для нас, очевидно, наибольший интерес будут представлять
миноры, содержащие наименьшие степени
(к—Я<«)),..., (Я—Л<).
Чтобы получить наименьшую степень Я—Я5^ у детерминанта
матрицыMs^, нам, очевидно, надо вычеркнуть в AfS( первую стро-
строку и последний столбец. После этого полученный определитель
будет равен произведению
es,l ^,2 ••• es,rtSl —1'
которое 'отлично от нуля потому, что все eS]i отличны от нуля.
Тогда (Я—Я5>) входит в минор - det М' в степени, на я8< единиц
меньшей, чем в det Af. Поэтому наименьшая степень (Я—Я<г>), кото-
которая входит во все миноры det M', равна
A)
где через пц обозначена сумма порядков всех матриц М,,'у кото-

§ 4*1 отыскание Фундаментальной системы решений
рых на диагонали стоит %—Я<'>, а через т^ обозначен наибольший
из этих порядков. Следовательно,
т A)
Пт-т'
Совершенно так же мы найдем, что
где т?Ъ есть следующий по величине за т^) порядок Матриц М,,
у которых на диагонали стоит %—Я<'), н т. д. Степени
называются элементарными делителями к-матрщы- М.
Так как общие наибольшие делители у всех миноров матри-
матрицы М, соответствующей каноническому виду системы дифферен-
дифференциальных уравнений, и у матрицы %Е—А, соответствующей систе-
системе F.7), по 2-й теореме § 43 с точностью до постоянного множите-
множителя одинаковы, то и элементарные делители у этих матриц также
одинаковы; прн этом, если какой-нибудь элементарный делитель у
матрицы hE—А встречается несколько раз, то столько же раз он
встречается и у матрицы М. Поэтому знание элементарных делите-
делителей матрицы КЕ—А- и кратности каждого из них дает возможность
указать, к какому каноническому, виду она может быть приведена.
При этом остаются только неопределенными околодиагональные
члены у квадратов Мг. Как мы видели в § 42, их можно выбирать
как угодно, лишь бы только онн были отличными от нуля.
§ 45, Отыскание фундаментальной системы
решений для однородной системы уравнений
Лемма. Если m вектор-функций гРЦх), ...,г<тЦх)
линейно независимы, a z=Ky — линейное невырожден-
невырожденное преобразование, то вектор-функции у^1Цх) =
= К^&'Цх) (/=1, ..., т) также линейно независимы.
Доказательство. Допустим противное, * т. е.
предположим, что существуют постоянные С%, Сг,.... Ст,
не все равные нулю, и такие, что

184 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
Тогда
т. е.
т т
что противоречит линейной независимости функций
Мы видели, что элементарному делителю (Я—ЯаУр«
матрицы %Е—А соответствует в канонической системе
следующая группа однородных уравнений:
dx
dzk+з
dx
6iz/H-i
где ei, 82,..., 8ps-i — некоторые отличные от нуля числа.
Сделаем здесь замену неизвестных, положив
гьгж = Zk+ie*-*x, I = 1, ... , ps.
Если %s комплексно и равно
где Я* и %" действительны, то мы будем понимать под
е^х выражение
*
е *s* (cos %Гх + i sin ll*x)

S 45] ОТЫСКАНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ 185
(формула Эйлера). Производная по х от этого выраже-
выражения равна
К* е *$х (cos kl'x + i sin K*s'x) +
+ е *s* (— С sin С* + i%T cos Kl'x) =
= (%'s. + t'C) e Xs* (cos Я5"л; + t sin K*s*x) = Я5Л*.
Поэтому после указанной подстановки получим
^ =0,
dx
dzl
Из первого нз этих уравнений находим
Подставляя это во второе и интегрируя его, находим
2 *+2 = Cieix+С2=С<% + С^2».
Подставляя zft_j_2 B третье уравнение и интегрируя его,
находим
и т. д. Наконец,
Через С с различными индексами мы здесь всюду обо-
обозначали некоторые постоянные, действительные или
комплексные.

Ш СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
Возвращаясь отсюда к Zk+i, Zk+2,..., Zk+щ , мы по-
получим
F.
Zk+Ps = е v (cjlj х"»-1 ¦+ с
Эти равенства дают общее решение рассматриваемой
группы дифференциальных уравнений. Применяя теоре-
теорему 4 из § 33 к этой группе, мы найдем, что у нее есть ps
линейно независимых между собой решений вида F.11).
Мы удовлетворим всей однородной канонической систе-
системе, .если будем считать все zi, креме F.11), тождествен-
тождественно равными нулю. Так как г/г(г=1,..., п) выражаются
линейно через гг{i =1,..., п), то отсюда на основании
доказанной в этом параграфе леммы получается, что
каждому элементарному делителю (%—ks)Ps матрицы
%Е—А соответствует ps линейно независимых между
собой решений вида
/=0
Легко видеть, что в первом из этих решений можно
считать равными нулю все Cj(i) при />0, в то время
п
как J* \С*0(С)\ > 0. оно соответствует г^1=..
= 0; во втором — все CJW = 0 при />1, в то время как
п
V | С\{С) | > 0, оно соответствует zk+\ еэ ... = Zk+Ps-2 = 0,
и т. д.
Если матрица %Е—А имеет несколько элементарных
делителей, которые являются некоторыми степенями
(А,—Я{1)); например
A), (Я—i2)к

§ 45] отыскание фундаментальной системы решений 187
То система
т. е.
^^riyhi^\,....,n, F.12)
/=»
имеет m<1>+/n<2)+ ... + /n(ft> линейно независимых -между
собой,решений вида
М—1
yi = ^*^Cfxf, F.13)
/=о
где М есть наиболынее~~иЗ чисел /nA), /п<2>,..., m(k\ Чтобы
найти эти решения, надо только определить коэффициен-
коэффициенты Cf. Это можно сделать методом неопределенных
коэффициентов, подставляя в F.12) вместо у% выраже-
выражение вида F.Ш), сокращая получившиеся уравнения на
ех{1)х и сравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
степенях х. Эти решения будут линейно независимыми с
теми решениями, которые таким же образом будут со-
составлены для элементарных делителей, представляемых
степенями других (X—Я(р))> потому что этим делителям
будут соответствовать другие группы уравнений в кано-
канонической системе.
3 а м е ч а н и е. Если все коэффициенты в рассмат-
рассматриваемой однородной системе действительны, то дейст-
действительная и мнимая части каждого комплексного реше-
решения этой системы в отдельности являются решениями
однородной системы. Мы называем действительной
(соответственно мнимой) частью решения у* (х) +
+iy**(x) функцию у*(х) (соответственно у**{х)).
Если мы имеем п линейно независимых вектор-
функций
то среди 2п функций y*(h){x), #**<*>(*), k—l, ...;n, обяза-
обязательно найдется п линейно независимых между собой.
(Почему?) Поэтому для системы линейных дифферен-

188
СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
циальных уравнений с постоянными действительными
коэффициентами всегда можно составить фундаменталь-
фундаментальную систему иа действительных решений.
ЗАДАЧИ
1. Если А
лению
— квадратная матрица порядка п, то по опреде-
опредееА =
1!
.2!
1
n!
Докажите, что этот* ряд всегда сходится и что матрица еА обла-
обладает следующими свойствами: eXlA е**л = e(XlAl~x*)A; e°=?; е~А =
= (eA)-1. Покажите, что матрица ехА дифференцируема по х и
(е*А)'=Ле*А. Докажите, что если А=К-1ВК, то еА=-К~1евК. По-
Получите выражение для е в степени матрицы, имеющей (обычную)
нормальную жорданову форму. Докажите, что если вещественные
части всех корней характеристического уравнения матрицы А
меньше некоторого числа — а<0, то \ехА\^.Ме~а* при х^О (см.
задачу 1 § 32), где постоянная Af>0 зависит от выбора матрицы Д.-
2. Докажите, что общее решение системы F.12) имеет вид
у=е*АС,
где С — произвольный постоянный вектор; решение системы F.12)
при начальном условии </(*о)=2/° имеет вид
§ 46. Применение к однородному дифференциальному
уравнению я-го порядка
Характеристической матрицей для системы E.9) с
постоянными коэффициентами, которая эквивалентна
этому уравнению E.8), является матрица
X —1
X -1 О
% —1
О
% -1
fln-2 " &П
. F.14)

§ 46] ПРИМЕНЕНИЕ К ОДНОРОДНОМУ УРАВНЕНИЮ 189
Теперь мы будем считать все ai постоянными. Де-
Детерминант этой матрицы, как легко подсчитать, равен
$
Вычеркивая же первый столбец и последнюю строку,
мы получим матрицу, у которой определитель равен +1
или —1. Следовательно, если многочлен М(К) имеет
корень %, кратности ps, то матрица ,F.14) имеет элемен-
элементарный делитель (К — Ks)Ps. Никаких других элементар-
элементарных делителей, которые представлялись бы некоторой
степенью (К—is), у этой матрицы нет. Поэтому корню К
кратности ра соответствует ps линейно независимых
между собой (и с решениями, отвечающими другим кор-
корням М(X)) решений вида
(Со + ClX + С2х* + ... + Ср^х"*-*) е V . F.15)
Легко проверить, что такими решениями могут слу-
служить
е**х , хе V
Действительно, если бы между этими функциями сущест-
существовала линейная зависимость, то выражение вида F.15),
у которого по крайней мере одно из С^О, тождественно
равнялось бы нулю. Но так как es* никогда не обра-
обращается в нуль и многочлен, у которого не все коэффи-
коэффициенты равны нулю, не" может тождественно равняться
нулю, то это невозможно.
Если все ui действительны, то каждому комплексно-
комплексному элементарному делителю (Я, — Ks)p* матрицы F.14)
соответствует сопряженный с ним элементарный дели-
делитель {% — %s)Pi той же матрицы. Тогда каждому реше-
решению
ух (х) = xke^x = х*е"«я (cos $,х + i ski $sx)
уравнения E.8) с постоянными коэффициентами соответ-
соответствует решение
~ух (х) = xkeXs* = x*eas*(cos $sx — i sin §sx)

190 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
того же уравнения (ks — as+i$s). Поэтому тому же урав-
уравнению будут удовлетворять действительные функции
Я
Таким образом, мы получим л действительных ли^-
нейно независимых между собой (почему?) решений
уравнения E.8) с постоянными коэффициентами.
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что указанное выше (напечатано курсивом) стро-
строение элементарных делителей в случае системы уравнений 1-го
порядка является также достаточным условием для того, чтобы
эта система после совершения неособого преобразования своди-
сводилась к" системе E.9) с постоянными коэффициентами, эквивалент-
эквивалентной одному уравнению n-го порядка. Таким образом, мы имеем
необходимое н достаточное условие для того, чтобы система п
линейных уравнений 1-го порядка с постоянными, коэффициентами
была эквивалентна (в только что указанном смысле) одному
линейному уравнению п-го порядка с постоянными коэффициен-
коэффициентами.
2. Найдите общее решение уравнения Эйлера
dn~l у dy
где все ai постоянны. (Для этого от независимого переменного
х надо перейти к независимому переменному t, положив д:=±е'.)
Здесь вместо степеней д: могут стоять также степени двучлена
ах+b (а и Ь постоянны).
3. Найдите все решения уравнения
у'{х)=ау(х)+Ьу{с—х),
существующие прн —оо<д:<оо (a, b и с постоянны).
4. Выведите все основные свойства функций sinx и cos*,
рассматривая нх как решения уравнения у"+у—О прн начальных
условиях соответственно у\х=0=0, у'\х=о=1 н у]х~о=1, 2/'|«=о=
=0..
5. Обозначим

§ 47] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ 191
Выведите формулу
11 dx
Получите отсюда общее решение уравнения E.8) с постоянными
коэффициентами.
§ 47, Разыскание частных решений
неоднородных систем
Мы сейчас будем разбирать только тот, случай, когда
в системе F.7)
причем «й и С\к) здесь могут быть как действительными,
так и комплексными, a pft — целые неотрицательные
Числа. Очевидно, достаточно разобрать только случай,
когда т=1, потому что в общем случае частное решение
является суммой решений, составленных для этого част-
частного случая. Итак, положим, что
Выпишем rp>^iiy уравнений системы F.6), соответ-
соответствующих одному какому-нибудь элементарному дели-
делителю (Я, — Ks)p* матрицы %Е—А:
Здесь Ct — некоторые новые постоянные. Введем новые
неизвестные функции 2%*, положив

192
СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
Тогда получим
F 16)
При интеграции этой системы нам придется разли-
различать два случая, смотря по тому, равны ли а и Ks или
нет.
1-й случай, когда Xs=?a. Интегрируя уравнения
F.16) последовательно, начиная с первого, мы получим,
что
)*, i = ft+l,..., k+ps,
где Mf}(x) — некоторые многочлены по х не выше
р-й степени *>. Отсюда
г1~М?*{х)е°*, i=k+\,..., k+ps,
Если ни одно из Кв не равно а, то все Zi, (i=l п)
будут иметь внд
F.17)
а потому и частное решение у будет Тшеть вид
*с(®(
Коэффициенты многочленов М*с(®(х) можно найти
сравнением коэффициентов при одинаковых степенях х
в уравнениях* F.7) после подстановки в них вместо yt,
выражений F.17) и сокращения полученных уравнений
на еах.
') В теории аналитических функций показывается, что те форму-
формулы, которые получаются при интегрировании x^e'a~V*B случае дей-
действительной разности а—Я,», справедливы также и в случае комплек-
комплексных ее значений. Это можно проверить и непосредственно.

5 47] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ftl
2-й случай, когда Ха=<?. Тогда система FЛ6) при*
нимает вид
2*+2 — в ¦}* Л- Г* vb
Интегрируя последовательно Эта уравнения, мы най-
найдем частное решение вида
где А1 ?>.. есть многочлен не выше t-й степени по х. От*
сюда
гш(х) = д*Д1 ^ (дс) в**, »= 1,.... р..
Следовательно, система F.7) имеет частное решение
yi(x)=M*S^(x)e«*i\ j=i, ..., ps.
где М*1®+р>(х) — многонлены не выше (§+р)-й степе-
степени по х, а р есть наивысший показатель степени у эле*
ментарных делителей КЕ—А, которые имеют вид (А—а)а.
Следствие для одного уравнения и-гопо-
р яд к а. Если для многочлена
а есть корень кратности р(р»0), то уравнение
') Выло бы неправильно думать, что у системы F.7) обязательно
имеется частное решение вида У( =х$М]&> (х)еах, так как, кроме
рассматриваемой группы уравнений, для которых соответствующее
Х,=а, могут быть другие группы, для которых Я,=И=а.
71/2 И. Г. Перовский

184 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
имеет частное решение вида
где ЛЦр-№>(х) есть многочлен не выше (/И-($)-й степени.
Вычитая отсюда решение вида F.15) однородного урав-
уравнения, мы получим частное решение неоднородного
уравнения в виде
ЗАДАЧИ
1. Получите вид частного решения уравнения, приведенного
в следствии, используя результат задачи 5 § 46.
2. Докажите, что общее решение системы F.1) имеет вид
у=е*АС + f e<-?
где С — произвольный постоянный вектор. Решение системы F.1)
при начальном условии у(хо)—у° имеет внд
X
у = в(*-*.И уО + j е(*-*)А f(s)ds
«о
" 3. Опираясь на последний результат н на задачу 3 § 19, до-
докажите, что если каждое .решение системы F.12) ограничено
нри ж->-+оо, то и каждое решение системы -
y'-[A+B(x)]y+f(x),
где
Хо
J |/<х)|Лг«х>
(матрица В(х) н вектор f(x) непрерывные), также ограничено при
х->-+оо. Если же, кроме того, все решения первой системы стре-
стремятся к нулю при дг-^+оо, то и всё решения второй системы стре-
стремятся к нулю при х-»-+оо. Найдите условия, прн которых анало-
аналогичные утверждения справедливы для линейных систем с пере-
переменными коэффициентами.
Большое количество подобных результатов содержится в ука-
указанной в § 38 книге Р. Беллмана.

§ 481 ПРИВИДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Ш
§ 48. Приведение к каноническому виду
dy ax + by
уравнения —*- — !——
dx cx-{-dy
Уравнение i
dy ax-\-by /c , Q\
—— = —— (b.lo)
dx cx+dy
эквивалентно системе
dx i f dU ¦ 1 m i f\\
Q% Л- fly y Q% -4- QU (O.19)
dt dt
где t — некоторое вспомогательное переменное. Коэффи-
Коэффициенты а, Ь, с и d мы будем считать теперь действитель-
действительными. В зависимости от элементарных делителей Х-мат-
рицы
F.20)
а %—Ь ||
при приведении системы F.19) к каноническому виду
могут быть следующие случаи.
1-й случай. Элементарные делители первой степени
действительны. Тогда из доказательства теоремы о при*
ведении к каноническому виду 'следует, что существует
такое линейное неособое преобразование с действитель-
действительными коэффициентами:
F.21)
которое приводит систему F.19) к виду
= Ть-уХ , = А%у . F.22)
Если
F.23)
то ни одно из чисел К± и Аи не равно нулю и уравне*
ние F.18) после совершения преобразования F.21) при*
водится к виду
dy* __ Х2у*
dx* %lX* '

ДО СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
2-й случай. Элементарные делители (Я—Х±) и
(Я—Яг) матрицы F.20) комплексны. Если считать а, Ь,
end действительными, как это мы теперь делаем, то
Я1 и Яг будут взаимно сопряженными. Тогда преобразо-
преобразование F.21) также приводит систему F.19) к виду
F.22). Коэффициенты ku и k& можно считать при этом
сопряженными соответственно с &ц и ka. Действитель-
Действительно, так как Яг=А^, то х* удовлетворяет тогда уравнению
dt
и мы можем принять
Пусть
Положим
Тогда система F.22) после разделения действительной
и мнимой частей дает следующее:
Отсюда
d4 _
Заметим, что лилейное преобразование, переводящее
х и у в \ и т), неособое, так как иначе было бы
ku
= 0.
3-й с л у ч а й. Матрица F.20) илеег один элементар-
элементарный делитель (Я—ЯО^Тогда существует (ср. § 44) такое
неоеобое линейное преобразование F.21) с действитель-
действительными коэффициентами, которое переводит систему
F.19) в систему
^ = Ях*-, - &- = гх: + КУ'. F.24)
dt dt

§ 49] УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШВНИИ ПО ЛЯПУНОВУ WI
Если детерминант F.23) отличен от нуля, то
Так как а, Ь, с и d действительны, то Xi также действи-
действительно. Здесь е -- какое-нибудь отличное от нуля чис-
число; если его считать действительным, то коэффициенты
kij можно считать действительными, как это следует из
рассмотрений §.42. Положим, например, е=Яь Тогда из
уравнений F.24) получаем
dy* hx*+hy* x*+y
*
dx* Xxx* я*
ЗАДАЧИ
1. Пусть начало координат для уравнения F.18) является фо-
фокусом. Выясните, при каких соотношениях между коэффициентами
спирали входят в особую точку, • закручиваясь против ¦ часовой
стрелки, при каких соотношениях — закручиваясь по часовой
стрелке. Решите аналогичный вопрос для. узла (типа, изображен-
изображенного иа рис. 16).
2. Пусть начало координат для уравнения F.18) является сед-
седлом или узлом. Выясните, по каким направлениям интегральные
линии входя? в начало (а в случае узла — и по какому направ-
направлению входит бесконечное количество линий). Если начало коор-
координат является центром, выясните, как расположены главные оси
эллипсов и какая из иих больше.-
§ 49. Устойчивость решений
по Ляпунову
Мы-будем применять векторную запись и для нели-
нелинейных систем уравнений и, таким образом, систему
dyi г / \ ' * 1 /А Л\
будем записывать более коротко в виде
где у — вектор-функция» составленная из искомых
функций yi, a f — вектор-функция, составленная из
правых частей fi. Евклидову норму вектора будем обо-
7 И. Г. Петровский

198 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
зиачать вертикальными черточками:
Пусть начальные данные задаются, при x=xq. Ре-
Решение
у=У>{х) F.25)
системы D.4) называется устойчивым по Ляпунову
при х->-+оо, если для каждого е>0 можно указать
такое т)(е)>0, что при х~>х0 для любого решения у(х)
этой системы
\у(х)-у°(х)\<е,
если
\у{хо)-у°(хо)\<ч(г).
Если, кроме того,
lim (y(x)-y°(x))=0,
Н
при достаточно малых \у{хо)—у°(хо) \, то решение F.25)
называется асимптотически устойчивым при х->-+оо.
(В дальнейшем для краткости вместо «решение устойчи-
устойчиво по Ляпунову при х->-+оо:» будем говорить «решение
устойчиво».)
При этом мы считаем, естественно, что функция у°(х)
определена для всех х>*о, а система D.4) определена
в некоторой окрестности линии У—У°{х) вида
\У—У°(х)\<М, x>*o. . . ¦
Очевидно, мы всегда можем свести исследование к
случаю
У°(х)=0,
взяв вместо у(х) за новую неизвестную вектор-функцию
у{х)-у°(х).
Функции fi, все yi и х мы считаем действительными.
Фундаментальные исследования устойчивости реше-
решений дифференциальных уравнений принадлежат знаме-
знаменитому русскому математику А. М. Ляпунову1'.
*> См.: А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движе-
движения.—М.: ОНТИ, 1950.

§ 49] УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИИ ПО ЛЯПУНОВУ 199
Лемма Ляпунова. Пусть для некоторого ео>О
правые части системы D.4) определены и непрерывны
при ха<сх<оо, \у\<ъо, и f(x, 0)н=0. Пусть при |#|<ев
существует непрерывно дифференцируемая- «функция
Ляпунова* V(y)>>0, равная нулю лишь в начале коорди-
координат, и притом такая, что
~-//«в. F.26)
Тогда нулевое решение t/(x)=G системы D.4) устойчи-
устойчиво.
Если, кроме того, при \y\<.zo
п
¦r-fi<-W{v). F-27>
где W(y)>-0 — некоторая непрерывная функция, рав-
равная нулю лишь в начале координат, то нулевое решение
асимптотически устойчиво.
Доказательство. Пусть 0<|е<?о. Обозначим че-
через Кг сферу \у\ =е и пусть Ve = minV; ясно, что V,>0.
Выберем теперь ri>0, r\<e столь малым, чтобы на /С„ н
всюду внутри Кч было V< Vt. Такое т) существует,, пото»
му что функция V непрерывна и обращается в нуль в
начале координат. Тогда нетрудно проверить, 'что все
интегральные линии, начинающиеся при х=х0 внутри
К,,, никогда при увеличении х не могут достичь Kt, от-
откуда и вытекает устойчивость. Для проверки этого свой-
свойства интегральных линий заметим, что вдоль каждой
такой линии величина V становится сложной функцией
х и в силу уравнений D.4) получаем
я п
dV тл dV dy\ 1П дУ ,
~dx~ ~ 2j ду} ~dx~ ~ Li dyj '
и условие F.26) означает, что вдоль любой интеграль-
интегральной линии значение V не возрастает. Если такая линия,

200
СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
начавшаяся прн x=Xq внутри /С„, при увеличении х в
первый раз достигнет /С. прн некотором x=xi, то вдоль
ЭТОЙ ЛИНИИ V |х=*„ < Уе < V |*=*,. " И МЫ ПрИХОДИМ. В ПрО-
тиворечие с невозрастанием V.
Пусть теперь выполнено' более сильное условие
F.27). Выберем ц по е так же, как это было сделано
выше. Тогда, как было показано, все интегральные ли-
линии, начинающиеся при хо внут-
внутри Кп, при увеличении х остают-
остаются внутри К,- Покажем, что лю-
любая такая интегральная линия /
при увеличении х стремится к
началу координат. Мы доказали,
^чтр при возрастании х значение V
вдоль / не возрастает. Достаточно
проверить, что это значение стре-
стремится к нулю (так как легко до-
Рис. 27 казать, что если У->-0, то и |t/|->-
->-0). Пусть это не так, и значе-
значение V вдоль / превосходит некоторое положитель-
положительное постоянное. Тогда / целиком расположена вне неко-
некоторого шара К» с достаточно" малым 6>0 и из F.27)
получаем, что! вдоль I
так как вне Къ функция W>-a>0 (d —const)'.
Интегрируя это неравенство, получаем
У(х)<У(х0) — а {х-
что противоречит определению V. Лемма доказана.
Эта лемма имеет простой геометрический смысл. Рас-
Рассмотрим частный случай. Пусть л — 2, и пусть линии
V=C (G=const) — замкнутые линии, содержащие на-
начало координат, причем линия с меньшим значением С
лежит внутри линии с большим значением С (рис. 27).
Тогда условие F.26) означает, чт"о интегральные линии,
имеющие общую точку с линией V= С, не выходят из
области, ограниченной этой линией, откуда и следует
устойчивость нулевого решения #i=0, yz^0.

§ 49) УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИИ ПО ЛЯПУНОВУ 201
При выполнении более сильного условия F.27) ин-
интегральные линии пересекают линию V—C снаружи
внутрь, так как
v=c |v«=c
кроме того, доказано, что limV = 0. Следовательно,
все интегральные линии стремятся при х-+-f=oo к началу
координат, что означает асимптотическую устойчивость
нулевого решения.
Замечание. Подчеркнем, что, как видно из дока-
доказательства леммы, левая часть неравенств F.26) или
F.27) представляет собой' производную—- от функции
ах
V, взятую вдоль интегральных линий системы D.4) (как
иначе говорят, производную, взятую в силу систе-
системы D.4)).
Теорема. Решение
системы D.4)- асимптотически устойчиво, если
f(x,y)=Ay+F(x,y),
где матрица А постоянна, действительные части всех
корней К уравнения
\ХЕ—Л |=0 F.28)
отрицательны и при всех х<>хв и \у\ достаточно малом
\F(x,y)[<M\y\v*, F.29)
функции Ft (t=l,..., п) непрерывны по совокупности ар-
аргументов, а а и М — положительные постоянные.
В частности, условия этой теоремы удовлетворяются,
если функции f,-, стоящие в правых частях системы D.4),
не зависят от х, обращаются в нуль прн у=0 и в неко-
некоторой окрестности начала координат имеют непрерыв-
непрерывные производные до 2-го порядка включительно, а дей-
действительные части всех корней уравнения F.28) отрица-
отрицательны. В самом деле, тогда к этим функциям можно

202 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
применить формулу Тейлора, и мы получим
Доказательство. Заметим, что для самого прос-
простого скалярного уравнения —^- = —ay (a=const>0)
, dx
имеем = 2//—=—2ауг и тем самым, если положить
ах dx
V{y)~y2, W(y)=2ay2, условие F.27) и остальные усло-
условия леммы Ляпунова будут выполнены. Это наводит на
мысль, в случае системы D.4), сделав неособое линейное
преобразование z^=Ky, приводящее линейную часть си-
системы к каноническому виду, принять за функцию Ля-
Ляпунова V сумму квадратов модулей новых искомых
функций. Для этого применим к системе D.4) такое Не-
Неособое линейное преобразование с постоянными (вооб-
(вообще говоря, комплексными) коэффициентами, которое
приводит к каноническому виду систему
при этом мы будем рассматривать только такие
(вообще говоря, комплексные) значения zi,..., zn, для
которых соответствующие значения уи ..., уп веществен-
вещественны.
Положим теперь
(конечно, в правую часть надо подставить выражение z
через у). Тогда
+*
%
)¦
Для подсчета этих производных рассмотрим одну из
групп полученных уравнений, соответствующую одному
какому-нибудь элементарному делителю, например (X —
'> См. сноску1 иа с. 95.

§ 49J УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИИ ПО ЛЯПУНОВУ 203
— Кх)п> матрицы ХЕ—А
dx
= Я,121
1 \х> z)>
\
dx K1 1
dx
w*ni{x,z).
F.30)
Здесь %i равно одному из корней уравнения F.28), а
Pi можно выбрать произвольно, лишь бы оно не равня-
равнялось нулю,
Если функции Ft удовлетворяют условию F.29), то
функции F*{ удовлетворяют неравенству
1 F* (х ?\\ <г М* 1 у!'+« /fi 31 ¦>
где М* — некоторая новая постоянная. Действительно,
все F* (x, z) являются линейными комбинациями функ-
функций Fr [x, у),..., Fn (x, у) с постоянными коэффициента-
коэффициентами. Следовательно,
|F)(х,2)|<М,?|Fj(х, у)\< М
/
Так как y = K~1z, то при всяком t
(max
1 z \'+«,
где M\, Mz, M3 — постоянные, a max|Zj| означает наи-
наибольшее из чисел | zi |,..., | zn |.
1^з уравнений F.30) находим при i>l
+ P12,-12;+2"fF'+2fF;. F.32)
При i= 1 получаем такое же равенство, только в нем
отсутствуют члены с fr и J3i.
Из F.32) находим, полагая

204 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
и пользуясь оценками F.31),
/-112] +¦ 2ЛГ | zf* ,
i = 2, ... ,«х, F.33')
< % |гх I + 2ЛГ1212+« . F.33")
dx
Поэтому, суммируя неравенства F.33") и F.33') по
всем t от 1 до п и обозначая через — а наибольшую из
действительных частей всех 1ц, которая, по нашему
предположению, отрицательна, получим
— 2aV 4- 2BV + 2М*п*У1+а'2, F.34)
¦
dx dx
где р есть наибольшее 'из чисел |pi1- Так как числа pi
мы можем выбирать произвольно, лишь бы они отлича-
отличались от нуля, то мы можем их выбрать так, что
Будем, кроме того, предполагать, что все рассматривае-
рассматриваемые г/i и, следовательно, z, настолько малы по абсо-
абсолютной величине, что
уа/2 <—2—. F.35)
Тогда
%<-*. F.34')
Полагая W=aV, мы видим, что условие {6.27) и осталь-
остальные условия леммы Ляпунова выполнены, и наша тео^
рема доказана.
Замечание. Если Для системы D.4) имеет место
единственность решения, проходящего через любую точ-
точку кривой у=у°(х), joxo, то свойство устойчивости не
зависит от конкретного выбора х0. Иначе говоря, если
задавать начальные данные при любом фиксированном
Хо >*о, то решение у=у°(х) системы D.4) будет устой-
устойчивым тогда -и только тогда, когда оно было устойчи-

§ 49] УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИИ ПО ЛЯПУНОВУ 205-
вым при задании начальных данных для х=х0. Дей-
Действительно, это ^разу следует из непрерывной зависи-
зависимости решения от начальных данных на конечном ин-
интервале дсо^ЖХо' (см. § 19 и 29, в частности, замеча-
замечание к теореме § 19)..
ЗАДАЧИ
1. Докажите следующую лемму о неустойчивости. Пусть в;
условиях леммы об устойчивости от функции V вместо неотри-
неотрицательности требуется, чтобы она принимала положительные зна-
значения в любой близости от начала координат и, кроме того, чтобы-
где непрерывная функция U положительна во всех точках поло-
положительности V. Тогда нулевое решение системы D.4) неустойчиво.
Покажите на примерах, что леммы об устойчивости и о не-
неустойчивости становятся несправедливыми, если функция V зави-
зависит также и от х. Укажите дополнительные требования, при кото-
которых леммы остаются справедливыми.
2. С помощью леммы о неустойчивости докажите, что если'
в условиях теоремы хотя бы один корень уравнения F.28) имеег
положительную вещественную часть, то нулевое решение иеус-
т п
тойчиво. Для этого положите V {у) =V | Zj |2— \] j z^ |a, где-
ги ..., гт — это те канонические переменные, которым отвечают
корнн с положительной вещественной частью.
3. Постройте пример системы D.4) только с одним устойчивым
решением, для которой, однако, решение с любыми 'начальными'
данными существует, единственно и ограничено при всех х.
4. Пусть решение системы D.4) с любыми начальными дан-
данными стремится к нулю при х-*~+ оо и i/saO является решением
системы D.4). Тогда решение у=0 может не быть устойчивым'
(постройте пример). Пусть дополнительно известно, что решение-
!/=0 устойчиво. Обязаны ли тогда все решения с достаточно-
близкими к нулю начальными данными тоже быть устойчивыми?
Отдельно разберите случаи п—\ и п>\.
5. Покажите, что если все решейия, для которых
\у(хо)\<М, (*).
равномерно стремятся -к нулю при д:-*+оо, то все решения, дл*
которых выполняется неравенство (*), устойчивы.

СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1гл. VI
6. (Е. А. Барбашив, Н. Н. Красовский.) Пусть в условиях
первой части леммы Ляпунова дополнительно дано, что функция
f не зависит от х и непрерывно дифференцируема. Докажите,
что тогда для асимптотической устойчивости решения j/згО необ-
необходимо и достаточно, чтобы в некотором цилиндре —оо<х<+оо,
\у\<е (е>0) множество точек, wV——f/ = 0, не содержало
:целиком никакой интегральной линии системы D.4), за исключе-
исключением у(х)^0. Если, кроме того, дано, что функции f и V облада-
гют указанными свойствами при всех у nV (у) * + оо, то име-
\у\-нп
-ет место асимптотическая устойчивость в целом, т. е. тривиальное
решение устойчиво и все остальные решения стремятся к нему
при дг*->+оо.
7. Докажите, что в теореме настоящего параграфа и в задаче
 условие F.29) можно заменить на следующее, более слабое:
.\F(*. У)\=о(\у\), т. е.
\F(x,y)\ o
\У\ -
'(равномерно по х), когда y-*Q.
8. Пусть я=1 и два решения, удовлетворяющие, начальным
„данным у(хв)=у°1 и у(хо)=^О2></01, стремятся к одному и тому же
(конечному) пределу при дг-»-+оо. Тогда, если имеет место един-
единственность решения, определяемого начальными условиями, то
каждое решение у(х), для которого уО1<у{х0)<уВ2, устойчиво.
9. Найдите необходимое и достаточное условие устойчивости
яуленого решения системы линейных однородных диффереициаль-
дых уравнений с постоянными коэффициентами.
10. Докажите, что, для того чтобы нулевое решение системы
линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерыв-
непрерывными коэффициентами было устойчивым, необходимо и достаточно,
-чтобы каждое решение этой системы было ограниченным.
11. Рассмотрим линейную систему
•с непрерывными периодическими коэффициентами, т. е. А(х+а) =
^4(x)(a=const>0). Пусть Y{x) ¦— фундаментальная матрица
этой системы (см. задачу 1 § 33). Дркажите, что тогда Y(x+a)ss
sbTY(x), где Т — некоторая постоянная матрица. Как изменяется
эта матрица при замене фундаментальной матрицы? Найдите усло-
условия устойчивости и асимптотической устойчивости решений рас-
рассматриваемой системы, выраженные в терминах свойств матри-
матрицы Т.
12. (М. А. Красносельский и С. Г. Крейн.) Пусть правые
части системы D.4) определены н непрерывны всюду при jci^jj<oo,
—°o<yi<oo, i=i, ..„ п. Пусть существуют непрерывно дифферен-
дифференцируемая функция V(y), определенная при всех уи ..., у„, причем

§ 60] ОДИН ФИЗИЧЕСКИЙ ПРИМЕР 207
Hm V(y)— +00, и непрерывная функция Ф(У)>0, определенная
при Vo^V<oo, для которых
Покажите, что тогда любое решение, заданное при х=х0,
< 00,'можно продолжить в сторону возрастания х на интервал
Пусть правые части системы D.4) определены и непрерывны
всюду при ^!<jc<oo, |уКео, ео>О, причем f(x, 0)=0. Сформули-
Сформулируйте аналогичную теорему, обеспечивающую невозможность для
интегральной линии, начинающейся при х=х0 (jci^o<°°) вне на-
начала координат пространства у, прийти при некотором конечном
х в начало координат. (Тем самым, эта теорема дает достаточ-
достаточные условия для единственности решения, начинающегося в точ-
точках осн х.) Попробуйте объединить обе теоремы — о неограни-
неограниченной продолжимости и о единственности решения — в одну
общую теорему о невозможности интегральной линии покинуть
ярн конечном х некоторую область пространства у.
§ 50. Один физический пример
Пусть материальная точка массы /и>0 движется по
оси Ох. Обозначим через х ее абсциссу. Пусть при этом
на точку действует сила сопротивления среды, пропор-
пропорциональная скорости,
и сила
-Ьх,
притягивающая ее к началу координат. Коэффициен-
Коэффициенты а и Ь постоянны, а>0, 6>0. Такое движение можно
представить себе физически как движение материаль-
материальной точки в сопротивляющейся среде, например в жид-
костц или газе, под влиянием упругой силы пружины,
действующей по закону Гука. Этот закон состоит в том,.
что упругая сила действует в сторону положения рав-
равновесия точки и пропорциональна уклонению от поло-
положения равновесия. Допустим еще, что на рассматривав-,
мую материальную точку действует направленная по
оси Ох периодическая сила, в момент t равная
A cos (ot,

208 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
где А и ю—действительные постоянные (ю>0). Тогда
дифференциальное уравнение движения запишется в
виде
+a +&к Леов<о*. F.36)
at" at
Изучим сначала случай, когда А=0, т. е. когда на
движущуюся точку совсем не действует внешняя сила.
Такие движения точки называются ее собственными ко-
колебаниями. Общее решение однородного уравнения
при
где
т. е
условии,
<Ai и Х2 —
ЧТО Ху
корни
d*x dx
\-а
dt% dt
ф%2, дается
х = С1(Н +
уравнения
тК2+а1+
+ bx=0
формулой
С2еЧ
f ± L .
4ms ¦ т.
F.37)
F.38)
F.39)
Если а>0, то действительные части Xj и Л,2 отрицатель-
отрицательны. Всякое решение уравнения F.37) тогда стремится к
нулю при t—*--f-90. Точно так же всякое решение (x(t),
X\(t)) системы
?-
dt
F.40)
tn —- = — ахх — Ьх,
соответствующей уравнению F.37), также стремится
при f-v+oo к решению x(t)z3=0, *i(f)=0 этой системы.
Легко видеть, кроме того, что решение x(t)s=Q, Xi(t)=sO
этой системы является асимптотически устойчивым.
Если а = 0, то всякое действительное решение урав-
уравнения F.37) дается формулой
х (t) = Сх sin \[±-1 +C2cos л/Л-1 = Csin ( l/—' + v),
V m f m \rm/

§ 50] ОДИН ФИЗИЧЕСКИЙ ПРИМЕР 209
где
С =. Кс? + ci , Сг -=С cos», С% = С sin».
Отсюда
Xl (t) =^L = С l/—cosf l/±t ¦+ »).
Следовательно, точка (x@, *i@) на плоскости {x, xy)
движется "по эллипсу, у которого направление главных
осей совпадает с направлением координатных осей, а
отношение длин полуосей для всех решений одно и то
же: оно равно "I/ r—. Начало координат для системы
г ж •
F.40) является центром. Решение x(t) имеет период
i
"V/— 2я, одинаковый для всех решений уравнения
F.37).
Изучим подробнее движение, когда я>0. Здесь воз-
возможны следующие случаи.
Случай 1. а2>4Ьт. Оба корня характеристическо-
характеристического уравнения F:39) действительны и отрицательны. На-
Начало координат для системы F.40) является узлом (ср.
§ 22, рис. J3 и 14). Функция x(t)=?Q, определяемая фор-
формулой F.38) (и ее производная), в случае действитель-
действительных С] и С2 не более чем при одном значении i обра-
обращается в нуль. Следовательно, функция x(t) имеет не
больше одного максимума или минимума.
Случай 2. а2—АЬт. Тогда общее решение уравне-
уравнения F.37) дается Мк
Функции х{р)Ф0 и х^ЦфО могут обратиться в нуль
не больше чем при одном L Начало координат на плос-
плоскости (х, Xi) является узлом (ср. рис. 16) для системы
F.40).
Случай 3. а?<.4Ьт. Корни характеристического
уравнения F.39) имеют не равную нулю мнимую часть.
Пусть
Х1B=—౫р; аГ>0,

210 СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [гл. VI
Тогда начало координат на плоскости (х, Х\) для систе-
системы F.40) является фокусом. Действительные решения
уравнения F.37) даются формулой
x=e~at (С, sin fit+C2 cos fit) = C<rat sin {$t+v).
Точка х совершает периодические затухающие колеба-
колебания по оси Ох с неизменным периодом , одинако-
Р
вым для всех решений уравнения F.37), и затухающей
амплитудой Ce~at.
Разберем теперь случай, когда в уравнении F.36)
АфО. Нам будет удобнее вместо уравнения F.36) рас-
рассматривать уравнение
т—^+а—+Ь? = Аеш. F-41)
Действительная часть всякого решения этого уравнения
будет удовлетворять уравнению F.36), и обратно, вся-
всякое решение уравнения F.36) есть действительная
часть некоторого решения уравнения F.41). (Почему?)
Если оба корня уравнения F.39) отличны от i&, об-
общее решение уравнения F.41) дается формулой
г — CxeW + C«eV -|
если К\ф%2, и формулой
если Ai=A2=A. Первые два члена в этих формулах дают
общее решение однородного уравнения F.37). Это ре-
решение при любых С\, С% ограничено при t>t0. Послед-
Последнее слагаемое дает частное решение уравнения F.41),
найденное по правилу, указанному в конце § 47. Если
а>0, первые два слагаемых в этих формулах стремятся
к нулю при t-y-j-oo и решение уравнения F.41) прибли-
приближается к
АеШ
m(ia>)*-\-a(ia>)-\-b

§ 50] ОДИН ФИЗИЧЕСКИЙ ПРИМЕР 211"
При неизменном А модуль этой функции будет тем
больше, чем меньше модуль m(i<uJ4-a(i<o)+b.
Если т(/<оJ+я(цо)+&=0, что может быть только
при а —0, то общим решением уравнения F.41) будет
г = Сгеш* + С2е~ш + ¦
Первые два члена этой суммы, дающие общее решение
однородного уравнения F.37), остаются всегда ограни-
ограниченными, а последнее слагаемое, дающее частное реше-
решение уравнения F.41), найденное согласно § 47, беско*
нечно растет по модулю при f-H-oo. Функция x(t)r
дающая решение уравнения F.36), в этом случае ко-
колеблется, и лдоплитуда ее колебаний бесконечно растет.
Это явление называется в физике резонансом между
собственными колебаниями рассматриваемой матери-
материальной точки, и внешней силой. Как видно из предыду-
предыдущего, он наступает, если периоды собственных колеба-
колебаний материальной точки и внешней силы совпадут.
В физической действительности в случае наступления
резонанса размахи, делаемые материальной точкой, ча-
часто становятся в определенный момент настолько боль-
большими, что система разрушается. Поэтому бывает важ-
важно предусмотреть возможность наступления резонанса.
ЗАДАЧИ
1. Разберите подробно случай а<0 — колебаний с «отрица-
«отрицательным трением>, которое осуществляется в целом ряде физиче-
физических схем при подаче энергии извне.
2. Докажите устойчивость нулевого решения системы F.40)
при помощи изучения производной по времени от так называемого
интеграла энергии, равного
' т

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
1гл. VII
ГЛАВА VII
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
-§ 51. Общие понятия
Если .в правые части системы D.4) не входит неза-
независимая переменная х, то такая система называется ав-
автономной. В теории автономных систем принято истол-
истолковывать независимую переменную как время; поэтому
сбудем записывать такую систему в виде
i*L = f (х х х) i=l
di l *' s> "' ' !
. я.
G.1)
или, в более короткой векторной записи,
dx
dt
где
= /(*),
/=
G.2)
h
h
Впрочем, под х можно понимать и точку с координата-
координатами (хи x2,...,xn).
Для дростоты будем считать, что правые части си-
чстемы G.1) определены во всем пространстве х и удов-
удовлетворяют условию Липшица по всем своим аргумен-
аргументам в каждой ограниченной части пространства. Тогда
лри начальном условии х@) —х° существует решение
jc=x(t; x°) системы G.1) (или, что все равно, G.2)),
определенное в некоторой окрестности значения t=0.
Это решение можно рассматривать как закон дви-
движения точки в пространстве х, т. е. закон изменения во
времени координат этой точки; при этом движении точ-
точка д: описывает некоторую траекторию 1Х°> зависящую
•от выбора начальной точки х° (не следует путать эту
траекторию с интегральной линией системы G.1), так
как интегральная линия расположена в n-f-1'Мерном4
лространстве х, t).

§51] ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ 21$
Так.как при законе движения x=x(t) вектор скоро-
скорости выражается по формуле v — , то автономная си-
¦ dt
стема G.2) задает поле скоростей в пространстве х, т. е.
в каждой точке х задается вектор v=f(x). Решением
же служит такой закон движения точки, при котором
эта точка в цроцессе движения имеет в каждом поло-
положении заданную скорость.' Специфика автономной си-
системы G.2), у которой в правые части не входит t, со-
состоит в том, что заданное поле скоростей не меняется с
течением времени или, как говорят, является стационар-
стационарным. Моделью системы G.2) может служить стационар-
стационарный поток газа в пространстве х; тогда решения опре-
определяют закон движения его частиц.
Как мы знаем, при продолжении решения x(t; x°) в
сторону возрастания t (аналогично в сторону убывания
t) может представиться два случая: либо решение бу-
будет продолжено на всю полуось 0<?<оо, либо же при
приближении к конечному t = T точка x(t; x°) «уходит
на бесконечность». Мы будем для простоты предпола-
предполагать, что обязательно имеет место первый случай. Легко
проверить, что при изучении совокупности траекторий
системы G-2) это предположение не ограничивает общ-
общности. В самом деле, рассмотрим автономную систему
-^=ы*1>...,*>(*!,:..,**), /=i....,«.¦ G.3)
где функция г>0 и удовлетворяет тем же требованиям,
что и fi. Эта система обладает теми же траекториями,
что и G.1), хотя скорости прохождения этих траекторий
для систем G.1) и G.3) различны. (Почему?) В?о же
время легко подобрать функцию г так, чтобы скорость
движения, определяемая системой G.3), была ограни-
ограниченной, и потому движущаяся точка не могла бы -в ко-
конечное время уйти на бесконечность. Для этого доста-
достаточно положить
Итак, мы будем считать, что1 вектор-функция
x=x(t; xf>) G.4)

214 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
определена для всех точек х° пространства х и для всех
значений t, —оо<?<оо. Для каждого х° она дает реше-
решение системы G.1); образно говоря, x(t; x°)—это та
точка, в которую переместится точка х° через время t.
Вектор-функция G.4) обладает следующими простыми
свойствами:
1° она непрерывна по совокупности переменных;
2° х@; х°) —х°й
3° x(h; x(t1; xo))=x(t1+t2; х°). {
Первое из этих свойств вытекает из теоремы о непре-
непрерывной зависимости решения от начальных данных.
Второе — из определения решения x(t; x°). Наконец,
третье (групповое) свойство можно доказать так. Преж-
Прежде всего, из того, что в правые части системы G.2) не
входит t, нетрудно вывести (сделайте это!), что эта си-
система наряду с решением x = q>(t) всегда обладает ре-
решением x = q>(t-\-t0) при любом постоянном t0. (Второе
решение определяет ту же траекторию, что первое, но
закон движения по ней сдвинут на tQ назад во време-
времени.) Поэтому две функции
x=x(t; x(tu х0)) и x=x(t+tx; *°)
определяют решения системы G.2). Однако при ?=0
оба выражения дают одну и ту же точку x(t\\ x°). По-
Поэтому в силу теоремы единственности для систем диф-
дифференциальных уравнений
x(t;x(tl;x*))=x(t+t1;x<>).
Полагая t=t2* получаем требуемое свойство 3°. На-
Наглядный смысл свойства 3° состоит в следующем: что-
чтобы выяснить, куда точка х° переместится за время tx-\-
+^2, надо посмотреть, в какую точку она перейдет за
время t\, а затем, куда эта вторая точка перейдет за
время t%-
Свойства 1°—3° настолько существенны, что часто
под автономной системой (иначе, потоком) понимают
семейство отображений G.4) любого множества (на ко-
котором можно определить непрерывность этого отобра-
отображения) в себя, если выполняются условия 1°—3°, даже
когда никаких дифференциальных уравнений не задано.
Из свойств 2° и 3°, в частности, вытекает, что при

§ 61] ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ 215
каждом фиксированном t отображения
x=x(t; х°) и x=x(—t; x°)
пространства х в себя являются взаимно обратными.
В самом деле, точка х° в результате последовательного
применення этих отображений переходит в
x(-t; x(t; x°)) =x(-4+t; x°) =x@; *°) =*°;
применение этих отображеннй в обратном порядке тоже
дает х°.
Проверим еще следующее свойство: если две траек-
траектории имеют общую точку, то они совпадают, а соот-
соответствующие решения различаются лишь постоянным
сдвигом во времени. В самом деле, если x(tl\ xl)—x(t2\
х2), то x(t; xl)s=x(t-\-(t2 — tl); х2); это вытекает из
теоремы единственности, так как оба решения при t^t1
совпадают.
В заключение отметим, что в механике часто рас-
рассматриваются системы второго порядка вида
• ••••*«• ~J' •••'-?")' * = !> •••'"•
G.5)
Такая система после введения переменных /п,—=- =
dt
= pt (так называемых импульсов) приобретает вид
dxt =_?l
dt mi '
dpi __
dt
fly Г -?i- P" \
\ Ml tnn ]
2я-мерное пространство х\,...,хп, р\,..-,Рп называется
фазовым пространством координат-импульсов. Таким
образом, система G.5) (получающаяся при исследова-
исследовании механической системы с п степенями свободы)'
определяет автономную систему в 2/г-мерном фазовом
пространстве.

2jft АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VH
ЗАДАЧИ
1. Пусть в л-мерном пространстве х задана вектор-функция
G.4), удовлетворяющая условиям 1°—3° и непрерывно дифферен-
дифференцируемая по t. Докажите, что эта вектор-функция определяется
автономной системой G.2) с непрерывными правыми частями.
2. Пусть в пространстве х-задана непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая функция р(дс)>0. Эта функция называется плотностью интег-
интегрального инварианта 'для системы. G.2), если для любой конечной
области G с непрерывно дифференцируемой границей интеграл
| ••• \ Р (*) dxi ... «Ьг„не зависит от t; здесь под Gt понимается
область, состоящая из всех точек x(t; хь) (*oSG). (Эту плотность
можно истолковать как плотность газа, движущегося в соответст-
соответствии с заданным полем скоростей с сохранением масс.) Докажите,
что если вектор-функция f непрерывно дифференцируема, то для
того чтобы функция р (х)' была плотностью интегрального иивари-
Sdifip)
=0. Докажите,
dxj
что в важном частном случае гамильтоновой системы в 2/г-мерном
пространстве х, у
dxj- дН dyc _ дН
dt ~ dyi ' dt ~ дх{ llt= ' ••' • >'
где Н(хи ...', хп, уь ..., уп) — дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая функция (функция Гамильтона), функция р(х, })э1 служит
плотностью интегрального инварианта, т/ е. объем области Gt не
зависит от t (теорема Лнувилля).
Системы с интегральным инвариантом, или, как их еще назы-
называют, с инвариантной мерой, обладают многими замечательными
свойствами; см., например, книгу: П. X а л м о ш. Лекции по эр-
годической теории. М.: ИЛ, 1959.
§ 52. Три вида траекторий
Теорем а. Решение x(t) автономной системы G.2)
может быть только одного из следующих трех типов:
а) непериодическое, для которого x(ti)=/=x(i2) при
б) периодическое, для которого найдется такое по-
постоянное 7>0 (период), что x(t+T)=x(t), a x{tx)=?
фх(Ц) при 0<ti<t2<T;
в) постоянное, для которого x(t)=x°.

§ 52] ТРИ ВИДА ТРАЕКТОРИЙ 217
Траектории, отвечающие решениям указанных выше
типов, называются соответственно незамкнутой, замкну-
замкнутой и точкой покоя. Замкнутая траектория иначе назы-
называется циклом. Отметим, что траектория, отличная от
точки покоя, представляет собой ориентированную ли-
линию, т. е. линию, вдоль которой указано направление,
принятое за положительное.
Доказательство. Пусть рассматриваемое реше-
решение x(t) не принадлежит к типу а), т. е. пусть x\tx) =
=x(h) для некоторых U, t%, причем ti^t2. Если обозна-
обозначить t2-^ti=r, то легко проверить, что
x(t+x)^x(t), •*' G.6)
так как решения x(t-\-x) и x(t) совпадают при t=tx.
Рассмотрим множество К тех чисел х, для которых
удовлетво'ряется тождество G.6). Нетрудно убедиться,
что К вместе с каждым числом т содержит и —т (для
этого надо в тождество G.6) подставить t — т вместо
t) и вместе с числами х\ и %2 содержит и Ti+тг (так как
x(t-\-xi-\-xz)s=zX(t+xi)s=x(t)). (Как говорят-в алгебре,
множество К представляет собой группу относительно
сложения.) Отсюда следует, что вместе с числами хх и
т2 множество К содержит и xi—Тг-
Возможны два случая: 1) Множество К может об-
обладать наименьшим положительным . числом Т. Тогда
'x(t-\-T)ssx{t), а х(^)фх(г2) при 0<<i<<2<7\ в этом
случае т*раектория является периодической, т. е. имеет
место случай б). (Нетрудно проверить, что в этом слу-
случае множество К состоит из всех чисел, кратных перио-
периоду Т.) 2) Если наименьшего положительного числа в
множестве К нет, то в К имеются как угодно малые по-
положительные числа. (Почему?) Следовательно, имеется
последовательность положительных чисел из К таких,
что tft->-f 0 при ?-Уоо. Тогда при любом фиксирован-
фиксированном t . - '
где квадратными скобками обозначена целая часть чис-
числа. Отсюда в силу непрерывности решения x{t)
& И. Г. .Петровский

21S АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
т. е. x(t)=x@) при всех t, и мы имеем решение, отно-
относящееся к типу в). (В этом случае множество К содер-
содержит всю ось t.)
Теорема доказана.
Отметим для дальнейшего, что точка покоя х° назы-
называется устойчивой (соответственно асимптотически
устойчивой, неустойчивой), если решение x(t)=.x° си-
системы G.2) является устойчивым (асимптотически
устойчивым, неустойчивым) (§ 49).
§ 53. Предельное поведение
траекторий
Рассмотрим какое-либо решение x(t) системы G.2)
и соответствующую траекторию /.
Точка х называется предельной точкой решения x(t)
(или траектории I) при t-+—|-oo, если существует после-
последовательность моментов 4->-+°°, такая, что x(tk)-*-x.
Совокупность всех таких точек на-
называется предельным множеством
\при t-*-+oo для рассматриваемого
решения. Аналогично вводятся по-
понятия предельной точки и предель-
предельного множества при t-*—оо. (Пре-
(Предельные точки при /-»- + оо и при
t~*—оо называются также соответ-
' ственно а-предельными « а-пре-
g дельными точками; аналогично на-
ис' зываются соответствующие множе-
множества.)
Приведем некоторые примеры. Пусть при /->-foo
траектория I «спиралевидно» приближается к циклу /
(рис. 28); тогда нетрудно видеть, что этот цикл и слу-
служит предельным множеством для / при t—>-\-<x>. В са-
самом деле, выбрав любую точку х на /, а точки ai = x(tl),
a2=x(t2), a3=x(t3),..., так, как показано на рисунке, мы
получим, что ak=x(tk)^>-x, тогда как tk-y-\-oo. (Поче-
(Почему?)
Если какой-либо цикл служит предельным множест-
множеством при /-»-+00 или t—»—с» для некоторой отличной от
него траектории, то он называется предельным циклом
(ср. §24).

$ S3] ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ 219
Легко видеть, что точка покоя является своей един-
единственной предельной точкой как при t-*~boo, так и при
t-*-—оо. Замкнутая траектория является - своим соб-
собственным предельным множеством как при f->—|-оо, так
и при ?->¦—оо. Предельные множества для незамкнутых
траекторий представляют, больший интерес, так как они
определяют характер поведения, траектории при боль-
больших |/|. Рассмотрим простые свойства предельных мно-
множеств, причем для определенности мы будем иметь в
виду предельное множество при /->--)-оо, хотя теми же
свойствами обладает предельное множество при t-*
—»—оо.
Г. Предельное множество замкнуто как точечное
множество в п-мерном пространстве (т. е. содержит все
свои предельные точки). В самом деле, пусть / — пре-
предельное множество для траектории I с_уравнением х—
=x(t), и пусть последовательность а^е/, а^—^х (\k->-oo).
Тогда, по определению I, при любом k найдется после-
последовательность моментов 4у.-*-+°°, для которых х (tk.),-*•¦
->• afe (n->-оо). Выберем такой момент 1^, для которого
k, а расстояние р(д:(?ft), а*)<1/й'>. Тогда ясно, что
>—|-oo (,&_>-оо)-, в то же время
р (х (Q, х)<р (x(t~l), ak) + р (ak, J)< -\- + р (ak, x)->0
k
(k-*-oo).
Значит, х является предельной точкой при /->--)-оо, что
и требовалось доказать.
2°. Предельное множество состоит из целых траекто-
траекторий; другими словами, если л:е/, то и вся траектория
Гх принадлежит /. Для доказательства заметим, что если
исходная траектория /имеет уравнение G.4) и x(tn;
х°)-*-х(п-*~оо), причем >*„->—|-оо, то при любом фикси-
фиксированном t
x(tn+t; xQ)=x(t; x(tn; x°))^-x(t; x),
т. е. и x(t; x)^l.
*' Под p(a,' b) мы понимаем, как обычно, расстояние между то-
точками а и Ь.

2gO АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
Свойство 2° можно сформулировать так: предельное
множество является инвариантным относительно отоб-
отображения xo-+x(t;^Xo), определяемого системой G.2) в
пространстве х при каждом t.
3°. Для того чтобы предельное множество было пу-
пустым, необходимо и достаточно, чтобы линия x(t) при
?->-{-°° «уходила в бесконечность», т. е. чтобы
|*(*Жоо (*-И-оо).
В самом деле, если это условие выполнено, то предель-
предельное множество, очевидно, пустое. Если «условие не вы-
выполнено, то найдется шар /С:'|я| <#, внутри которого
траектория x(t) содержит точки нри как угодно боль-
больших t. Таким образом, существует последовательность
?т-*-+'°° (m-voo), для которой последовательность то-
точек x(tm) принадлежит К- Выбрав из этой ограничен-
ограниченной последовательности сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность, получим в пределе при f->~f оо предельную точку
решения x(t).
4°. Для того чтобы предельное множество состояло
из единственной точки х, необходимо и достаточно, что-
чтобы траектория x(t) входила в эту точку при t-*-\-oo,
т. е.
В самом деле, если это условие выполнено, то утвер-
утверждение очевидно.
Обратно, пусть дано, что предельная точка х един-
единственная. Зададим произвольное е>0; тогда нам надо
проверить, что для всех достаточно больших t будет
p(x(t), х)<г. Предположим, что это не так; тогда най-
найдется последовательность tk-*~\-ool для которой
р(х(tk), *)>e; но по определению предельной точки
найдется другая последовательность ^-»-f-oo, для ко-
которой p(x(tk), *)'<|в. Отсюда в силу непрерывности
функции x(t) следует, что найдется третья последова-
последовательность tk-*-\-oo, для которой р(х(tk), х)=г. Выби-
Выбирая из ограниченной последовательности- х (tk) сходя-
сходящуюся подпоследовательность, получим в пределе точку
х, для которой р(х, Зс)=8. Значит, кроме х имеется еще
по крайней мере одна предельная точка, вопреки пред-
предположению.

s 53) ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ 221
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что если предельное множество / не пусто н ог-
ограничено, то оно связно, т. е. не может быть представлено в эн-
де объединения двух непустых непёр.есекающихся_замкиутых мно-
множеств. (Отсюда, в частности, следует, что если I состоит более
чем из одной точки, то оно содержит бесконечное множество то-
точек.) Покажите также, что есля I не ограничено, то оно может
не быть связным (приведите пример); но оно становится связным,
если к нему добавить «бесконечно удаленную точку пространства
х», т. е. точку, к которой как бы сходятся все уходящие на бес-
бесконечность последовательности точек х.
2. Докажите, что в достаточно малой окрестности асимптоти-
асимптотически устойчивой точки покоя не может полностью содержаться
нн одна траектория, отличная от этой точки.
3. Пусть система G.2) такова, что существует ограниченная
область Оо, Для которой: а) если *°е<2о и t>0, то x(t; x°)^Q0;
б) если х° не принадлежит Qo, то существует значение t>0, для
которого x(t; ж°)е<2о. Обозначим через Q*(fe=l, 2, ...) множество
всех точек вида x(k; лс°), x°eQo, а через Q — пересечение всех
Ьтих множеств. Множество Q называется аттрактором систе-
системы G.2) и играет важную роль в разнообразных приложениях
теории дифференциальных уравнений. (Впрочем, имеются н другие
определения понятия аттрактора, ие равносильные приведенному).
Докажите, что:
- a) Q не зависит от конкретного выбора области Qo, обладаю-
обладающей указанными выше свойствами;
б) множество Q — непустое, замкнутое, ограниченное, связ-
связное, оио содержит ш-предельные множества всех траекто-
траекторий системы- . G.2) н состоит из целых траекторий этой
системы;
в) любая ограниченная траектория системы G.2) целиком
принадлежит Q (свойства б) н в) дают возможность опре-
определить Q как объединение всех ограниченных траекторий
системы G.2));
г) Q обладает свойством асимптотической устойчивости при
t~++oo (дайте точное определение по аналогии с § 49).
При п<2 аттрактор имеет, как правило, довольно простой
вид. В последние годы обнаружилось, что прн п^З, даже для не-
несложных правых частей, аттрактор может иметь сложную струк-
структуру, например, обладать чертами совершенного нигде не плотного
множества. Такие «странные аттракторы» были обнаружены, в
частности, у так называемой системы Лоренца

222
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
1гл. VII
(а, г, Э — положительные параметры), описывающей развитие теп-
тепловой конвекции в жидкости, и сейчас активно изучаются.
§ 54. Функция последования
Понятие функции последования, введенное А. Пуан-
Пуанкаре, полезно при исследовании окрестности цикла и в
некоторых, других задачах. Рассмотрим для простоты
автономную систему G.2), на плоскости, т. е. при п — %
и допустим, что нам даны цикл I, точка аое/ и прохо-
проходящая через а0 трансверсаль (говорят также — линия
без контакта) L, т. е. линия, ни в какой своей точке не
касающаяся траекторий системы G.2) (рис. 29). Пусть
положение точки на L определяет-
определяется значением параметра х, т. е.
о=о(т)е1, причем для определен-
определенности будем считать, что а@)=ао.
Проведем через точку а(т) траек-
траекторию системы G.2) в направлении
возрастания t и продолжим эту
траекторию до первого пересечения
с L, если оно состоится. Тогда точ-
точке пересечения отвечает значение
параметра ip(t), зависящее от т;
функция i|) называется функцией
последования. Ясно, что если tf (т) = т, то через точку
а(х) проходит цикл системы, G.2).
Совокупность траекторий вблизи по, как вблизи лю-
любой точки, не являющейся точкой покоя, имеет вид
мало искривленного семейства параллельных отрезков,
по которым движение происходит с почти постоянной
скоростью. Из теоремы о непрерывной зависимости ре-
решения от начальных данных и из трансверсальности L
следует, что функция ^ определена, во всяком случае,
на некотором достаточно малом отрезке [а, р], где а<
<0<р, и непрерывна, причем -ф @) =0.
Траектория с началом внутри (вне) цикла / вся це-
целиком расположена внутри (соответственно вне) I; по-
поэтому •§ (т) имеет знак т.
Докажем, что функция •§ — возрастающая. Для это-
этого предположим противное, что i|)(ti)>i|)(t2) для неко-
Рис. 29

54J ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ 223
торых ть Т2^[а, р], причем п<Т2. Тогда из сказанного
в предыдущем абзаце следует, что ti и тг отличны от
нуля и имеют одинаковый знак — для определенности,
оба положительны. Из неравенств if(O)<^(t2), ^(ti)»
>ij)(T2) и теоремы о промежуточном значении непре-
непрерывной функции следует, что существует значение ts^
е@, ti], для которого ^(тз) =ф(тг). Но Чз<тг, и мы,
тем самым, приходим в противоречие с единственностью
траектории, проведенной через точку а(ф(т2)) в на-
направлении убывания t. Это противоречие и доказывает
наше утверждение о возрастании функции *ф на отрезке
[а, р].
Рассмотрим поведение траекторий с наружной
(внешней) стороны цикла /, причем сначала предполо-
предположим, что в достаточно узкой его окрестности других
циклов нет. Тогда, считая р достаточно малым, полу-
получаем, что уравнение г|;(т)=т при 0<т<р не имеет ре-
решений и поэтому либо 1р(т)<т@<т<Р), либо \|)(т)>т
@<т<Р). Предположим, что имеет место первый
случай. _
Выберем произвольно тое@, р] и определим %\ =
= ^(то), Г2=$Ы), ••• • Из предположения о ф(т) выте-
вытекает, что последовательность to, Хи T2, ••• положительная
и убывающая и потому она имеет Предел т°о>0. Пере-
Переходя в равенстве Xi+i=^{xi) к пределу при t-»-oo и
пользуясь непрерывностью функции я|э, получаем равен-
равенство t<x)=i1;'(t<x)), из которого следует, что т<х) = 0.
Итак, в наших предположениях траектория, прохо-
проходящая через точку а(то) (т. е. произвольную точку дуги
трансверсали с концами по, а(р)),при своем продолже-
продолжении в направлении возрастания /, пересекает L в точ-
точках a(xi), расстояния которых от Оо стремятся к нулю
при i—yoo. Теперь применим теорему о непрерывной за-
зависимости решения от начальных данных к решениям
системы G.2), удовлетворяющим начальным условиям
л:| г=0 = «(*Гг), на интервале 0<?<6, где 9 — любое зна-
значение, большее периода цикла I. Из нее следует, что и
вся траектория /а(То) стремится к I при ?-»--)-оо (бес-
(бесконечное число раз обходя вокруг ¦/), т. е. расстояние
от точки x(t; a(xo)) до / при t-*--\-°° стремится к нулю.
Говорят, что /а(т0) при t-^-^oo спиралевидно прибли-
приближается к I или навивается на I. Таким образом, в при-

224 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. Vll
веденных предположениях вся наружная полуокрест-
полуокрестность / целиком заполнена траекториями, навивающи-
навивающимися на / при t-*-\-<x>. (При продолжении же в сторо-
сторону убывания i все эти траектории покидают рассматри-
рассматриваемую полуокрестность.) В этом случае цикл / назы-
называется устойчивым снаружи.
Мы считали, что 1}>(т) <т @<т<р). Нетрудно про-
проверить, что если ф(т)>т @<т«:р), то любая траекто-
траектория /а(т.) (О<гго<Э) навивается на / при t-*- оо.
Тогда говорят, что цикл / неустойчив снаружи.
Аналогично исследуется поведение траекторий с вну-
внутренней стороны I, т. е. при а<т<0. Здесь возможна
устойчивость изнутри или неустойчивость изнутри; мы
предоставляем читателю рассмотреть эти случаи. Цикл,
устойчивый с обеих сторон ^снаружи д изнутри)., назы-
в б
Рис. 30
вается устойчивым; леустойчивый с обеих сторон — не-
неустойчивым; устойчивый* с одной стороны и неустойчи-
неустойчивый с другой— полуустойчивым. Эти три случая схема-
схематически показаны на рис. 30. Напомним, что приведен-
приведенная классификация относится к изолированным циклам,
т. е. таким, в достаточно узкой окрестности которых нет
других циклов.
Скажем коротко о неизолированных циклах. Если
цикл / не изолированный, то уравнение 1|з(т)=т (а<л<
<р) имеет бесконечное число корней в любой близости
от т=0. Множество Е этих корней замкнуто, как мно-
множество нулей непрерывной функции "ф(т) —т. Каждому
те? отвечает цикл /ом. проходящий через точку а(т).
Поэтому, если 4|)(t)s=t, то у I имеется окрестность, це-
целиком заполненная циклами. Если же в любой близо-
близости от т=0 имеются интервалы вида у<г<8, где
(— У> ф(в)=6| ty(r)?=r (y<t<6), to каждому тако-

§ 54] ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ 228»
му интервалу отвечает кольцо, ограниченное циклами
/а») и /а(«) и заполненное траекториями, которые при
продолжении в одну сторону спиралевидно приближа-
приближаются к 1аA), а при продолжении в другую . сторону — к
1ф). Это утверждение получается из рассмотрения
функции последования ¦§ на интервале (у, б), и его до-
доказательство мы предоставляем читателю.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что если в системе G.1) при и=2 функции f\ «¦
/2 непрерывно дифференцируемы, то и функция последоваиия г|>
непрерывно дифференцируема.
Указание. Опирайтесь на теорему о дифференцируемое™-
решения по начальным данным и теорему о неявной функции.
2. Докажите, что если в условиях задачи 1 т|/(О)=й=1, то цикл,
для которого построена функция ty, изолированный, причем устой-
устойчивый, если t|)'@)<l, и неустойчивый, если tj»'(O)>l.
3. Докажите, что в условиях- задачи 1 значение t|/@) ие за-
зависит от выбора точки аоё1 и траисверсали L; именно
¦¦¦<•»—{[(-?-+-?-)•}
(/ — исследуемый цикл). ,
Значение 'ф'(О) называетсн мультипликатором цикла /; оно
характеризует скорость приближения к I (в расчете на один обо-
оборот) соседних траекторий при t-*-+oo (М—ое), если t|)'@)<l
(соответственно tp'@) > 1).
4. Покажите на примере, что устойчивый предельный цикл мо-
может быть неустойчивым по Ляпунову. При. каких дополнительных
условиях устойчивость по Ляпунову нее же будет иметь место?
. 5. Докажите, что если система G.2) имеет устойчивый (неус-
(неустойчивый) предельный цикл /, то для любого е>0 существует
такое б>0, что если правые части системы G.2) изменятся мень-
меньше чем на б, то в е-окрестности цикла / существует по крайней
мере одни цикл измененной системы. Если таких циклов конечное
число, то число устойчивых на единицу больше (меньше) числа
неустойчивых. Полуустойчивый предельный цикл может пропасть-,
при как угодно малом изменении правых частей системы.
в. Рассмотрите структуру достаточной узкой окрестности ие-.
изолированного цикла. Докажите, что в случае аналитических
правых частей системы эта окрестность целиком заполнена цик-
циклами или нх частями.
7. Определите понятие функции последоваиня на гладкой»
(л—I)-мерной поверхности без контакта, если автономная систе-
система G.2) задана в и-мерном пространстве, н установите связь этой

226 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
¦функции с циклами. Допустив, что отображение, определяющее
функцию последовання, имеет в окрестности неподвижной точки
главную линейную часть, сформулируйте достаточные условия ус-
устойчивости соответствующего цикла.
8. Покажите, что в я-мерном пространстве при я^З (но не
при я=2!) траектория может иметь как в качестве ш-предельного
множества, так и в качестве, а-предельного множества одни и тот
же цикл. Траектории, обладающие этим свойством, называются
гомоклиническими.
§ 55. Теорема Бендиксона
Для разыскания предельных,циклов при п=2 полез-
полезной оказывается следующая теорема И. Бендиксона,
которую мы приведем здесь в несколько ослабленной
•форме (см. задачу 1).
Теорема. Пусть в некоторой ограниченной замк-
замкнутой области G нет точек покоя заданной системы
{7.2). Пусть все траектории, начинающиеся при /=0 в
О, остаются там и при t>0. Тогда в G имеется по край-
крайней мере один цикл.
-Доказательство. Выберем произвольно точку
#eG; тогда по условию и вся положительная полу тра-
траектория /о+, т. е. линия x=x(t; a) @<?.t<oo), содер-
содержится в G. Значит, ю-предельное множество со/а траек-
траектории 1а непусто и содержится в G; возьмем какую-либо
точку АеЫв- Если 1ь цикл, то получаем утверждение
теоремы. Предположим теперь, что траектория 1Ь не-
незамкнутая, и приведем это предположение к противоре-
противоречию. Для этого возьмем какую-либо ю-предельную точ-
точку с траектории /& и проведем через с трансверсаль L;
тогда Чь должна бесконечное число раз пересекать L
(почему?). Возьмем две последовательные точки пере-
пересечения d и е. Дуга de траектории /& и дуга ed транс-
версали L вместе ограничивают некоторую область Я
(«мешок Бендиксона», заштрихованный на рис. 31),
причем траектории, проходящие черезх точки Дуги ed
трансверсали, либо все входят в Я, либо все выходят
язЯ. -
Если траектории через дугу ed входят в Я, как на
рис. 31, то никакая траектория, попавшая при каком-то
значении t в Я, не может при возрастании ^покинуть
Я. Так как точка е, как и каждая точка /&, ю-предель-
ная для 1а, то траектория 1а, начиная с некоторого t,

§ 55) ТЕОРЕМА БЕНДИКСОНА 227
принадлежит Н. Но тогда, взяв на 1ь какую-либо точку
g, предшествующую d (рис. 31) и потому не принадле-
принадлежащую Я, мы получаем, что g не может быть ю-пре-
дельной для 1а, вопреки свойству 2° из § 53.
Случай, когда1 через дугу ed трансверсали L траек-
траектории выходят из Я, мы'предлагаем читателю привести
к противоречию самостоятельно с помощью рис. 32. Та-
Рис. 31 Рис. 82
ким образом, предположение, что траектория k не-
незамкнутая, приводит тс противоречию, нто и завершает
доказательство теоремы.
Приведенное доказательство существенно опиралось
на то, что замкнутая линия на плоскости делит эту
плоскость на две части. Оказывается, что при /г>3 в
условиях доказанной теоремы область G может не со-
содержать ни одного цикла.
ЗАДАЧИ
1. Докажите теорему Бенднксона в более' полной формулиров^
ке: в условиях теоремы этого параграфа для любой точки a^G
полутраекторня /+ либо представляет собой цикл, либо спирале-
спиралевидно приближается к некоторому циклу.
2. Докажите, что система
Т = Х\ + х* ¦*!• j,
= — Х1 + *2 —
имеет по крайней мере один предельный цикл. Обобщите этот
результат иа системы вида

228 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
Указание. Рассмотрите производную от функции х\ + х\
по t в силу заданной системы.
3. Докажите, что если при п=2 некоторая траектория содер-.
жи? по крайней мере одну свою ш- или а-предельную точку, то
эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.
Покажите на примере, что пря я>3 это утверждение несправед-
несправедливо.
Указание. При п—2 используйте «мешок Бенднксона».
4. (Тун Цзиньчжу.)г Рассмотрите автономную систему при
,я=2
, = h (*ii xi)> ~Z — /» (xl> хг)г G-7)
правые части которой представляют собоЯ многочлены не выше
второй степени- Докажите сначала, что никакая неинтегральная
прямая не может касаться поля направлений, определенного сис-
системой G.7), более чем в двух точках. Выведите отсюда, что вся-
всякая замкнутая траектория" этой системы выпуклая и что движение
по двум замкнутым траекториям происходит в противоположных
(одинаковых) направлениях, если эти траектории находятся одна
вне (внутри) другой. Докажите, что внутри замкнутой траектории
не может быть более одной точки покоя. (Можно проверить, хотя
и не просто, что точка покоя, лежащая внутри замкнутой траек-
траектории, представляет собой фокус '>.)
5. (Беиднксон.) Пусть правые части системы G.?) непрерывно
дифференцируемы. Тогда внутри каждого цикла разность
d/j о/а ,
: принимает значения обоих знаков.
Зхг dxt
dxx
6. Покажите, что система уравнений—-—==дг2,
at at
с непрерывно дифференцируемой функцией /, порождаемая урав-
д?х
неннем —гт- — f (х), является гамнльтоновой (см. задачу 2 § 51).
Такая система может иметь -циклы (приведите пример), но не
может иметь предельные циклы.
7. Опишите типы траекторий системы уравнений колебаний
математического маятника —^='ф| = — sin ф (ср— угол
at at
отклонения маятника, от нижнего положения равновесия), укажи»,
те физический смысл этих типов.
§ 56. Окрестность точки покоя
на плоскости. I
Нетрудно получить необходимое и достаточное усло-
условие того, чтобы точка х=хР была точкой покоя для ав-
автономной системы G.2): так как постоянная x(t)=sx°
*) См. «Математика. Сборник переводов», 6:2 A962), 150—168.

§ 56] ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. I 229
должна служить решением этой системы, то, подстав-
подставляя х° в G.2), получим
Если записать это векторное равенство в проекциях, то
получим систему п уравнений с п неизвестными коорди-
координатами точки покоя.
Рассмотрим, в частности, автономную систему на
плоскости, заданную системой уравнений
~ = /i(*.*>). -^f =/*(*!. *2). G-8)
Тогда координаты точки покоя находятся из системы
уравнений
М*?,лс°) = 0, /,(*»,*§) = 0. G.9)
Так как из уравнений ,G-8) следует, что. траектории ав-
автономной системы удовлетворяют дифференциальному
уравнению
IQ4
то из равенства G.9) видно, что точка.покоя — это осо-
особая точка для уравнения G.10) в смысле § 22. Как сле-
следует из § 22, совокупность траекторий в окрестности
точки покоя может иметь сложный вид. Здесь и в § 57
мы проведем рассмотрение такой окрестности в случае,
когда функции ft имеют в точке покоя невырожденную,
линейную часть, т. е. система G.8) имеет вид
~^ = ах1+Ьх2 + fc (xt x2), i? = сь + dx2 +. *|>г (д^, xa),
at at
GЛ1)
где
|) (при lzi| + |*2|-»-0), i=l, 2
ad — ЬсфО. G.12)
Мы приняли за точку покоя начало координат, чего
всегда можно достичь с помощью переноса осей коор-

230 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
динат. Условие G.12) исключает некоторые более слож-
сложные случаи; отметим, что в § 22 мы также требовали
его выполнения.
Для исследования системы G.11) удобно перейти к
полярной системе координат по формулам
Х\ =|р cos <р, х2=р sin ф,
откуда при р>0 получаем
dx2)]+o(p),
?) ~
— x2 (axx + bx2)]
J^ = ± (Xl*?l_ Щ =±[Xl(cx1+dx2) -
dt p^ I x dt dt о2 2
т. e.
¦dt dt
где для краткости обозначено
Q (ф) = a cos2 ф+ (й+с) cos ф sin ф+rf sin2 ф,
G.14)
R (ф) = с cos2 ф+ (d — a) cos ф sin ф — Ь siti2 ф.
В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда
(d — оJ+4сй<0. G.15)
Для линейной системы, т. е. при •^гг'фг^О, в § 48 и 22
было показано, что в случае G.15) начало координат
является фокусом (при a-{-dфЩ или центром (при а-\-
+d = 0). Здесь мы докажем, что и для полной системы
G.11) при выполнении неравенств G.15) и a-j-d=/=0 точ-
точка покоя @, 0) представляет собой фокус, а также
рассмотрим, какие варианты могут представиться при
Для этой цели заметим, что, как это следует из § 48,
в случае G.15) систему G.11) можно с помощью ли-
линейного неособого преобразования плоскости привести

§ 56] ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. I 23t
к виду
л G16>
-=г Р1Ы1
где
Если под р, ф понимать полярные координаты в плос-
плоскости |ь |2> то в силу формул G.13) и G.14), приме-
примененных к системе G.16), получаем
a
Из второго уравнения следует, что в достаточно малом
круге К = {р, ф|р«р*}(р*>0) выполняется неравенство
—— ^ —. Таким образом, вдоль любой траектории »
К (за исключением самой точки покоя, что всегда в-
дальнейшее будет подразумеваться) функция <p(t) воз-
возрастающая и потому ф можно принять за независимую,
переменную.
Из G.17) получаем
1 dp _ а+оA)
Р dtp P+o(l)
и потому для любой дуги траектории, расположенной в;
К и начинающейся при ф=0, р=ро, зависимость р от ф
имеет вид
Ро) = Роехр
Значит, если р0 достаточно мало, то эта траектория;
при своем продолжении в направлении возрастания t
(а потому и ф) совершит по крайней мере один оборот
вокруг точки покоя, не выходя из К. Тем самым, каж-
каждому такому ро соответствует значение ф (р0) =р Bя; ро)
и функция -ф играет для рассматриваемой точки покоя

232 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
ту же роль, что функция последования (§ 54) для цик-
цикла. Рассуждая, как в § 54, мы получаем, что если
•ф(р) <р"для всех достаточно малах р, то р(ф)-*-0 при
«<p->-f-oo, т. е. точка покоя представляет собой устойчи-
устойчивый фокус; из G.18) видно, что для этого достаточно^
*чтобы было а<0. Если ^(р)>р для всех достаточно
малых р, то р(ф)-*-0 при <р->-—оо и точка покоя пред-
представляет собой неустойчивый фокус; так происходит в
-случае а>0. Если ^(pjssp для всех достаточно малых
р, то точка покоя представляет собой центр. Наконец,
если в любой близости от р = 0 найдутся как значения
,р, для которых "ф (р) =Р> так и значения, для которых
ф(р)=5&р, то в любой близости от точки покоя найдутся
как окружающие ее циклы, так и расположенные меж-
между ними незамкнутые, траектории, спиралевидно при-
приближающиеся к этим циклам; такую точку покоя будем
зазывать точкой смешанного типа:
Итак, при условии G.15), если а-\-ёфО, система
G.11) имеет при р = 0 фокус (устойчивый, если a-\-d<0,
и неустойчивый, если o+d>0); если же a-\-d=0, то точ-
ла р = 0 может быть для системы G.11) центром, фоку-
фокусом или точкой смешанного типа. Какая из этих воз-
возможностей представится,- можно узнать, только привле-
привлекая к рассмотрению в системе G.11) члены if* высшего
порядка малости; мы не будем рассматривать здесь
.этот сложный вопрос.
ЗАДАЧИ
1. Приведите пример автономной системы с точкой покоя
•смешанного типа. Рассмотрите строение окрестности точки покоя
-смешанного типа в общем случае.
2. Докажите непосредственно, что при выполнении условия
5)
и сделайте отсюда выводы о характере особой точки в начале
координат.

§ 57J ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. II 233
3. Рассмотрите систему общего вида
-~ = Pi(*i.*i) +*!(*„ лг,), i = l,2,
где Pi — однородные многочлены степени m^l, a
i|>,(*i, Je2)=o{lxi|m+|x2|m) (при |xi| + |*2K0).
Обозначив
Q(q>)=cos ф-Р^соэф, sin ф)+81Пф-Р2(соз(р, этф)>
/?(ф)=СО5ф-Р2(СО8ф, втф) — Sin ф-Pi (COS ф, 8Шф),
докажите, что если /?(ф)#0@<ф<я), то начало координат явля-
является для рассматриваемой системы фокусом, центром или точкой
я
С <2(ф)
смешанного типа, причем если I—;—^фт^О.то последние два
¦) Жф)
случая невозможны.
§ 57. Окрестность точки покоя
на плоскости. II
В этом параграфе рассматривается возмущение ли-
линейной системы с точкой покоя типа седло или узел
членами высшего порядка малости. Доказано, что в оп-
определенных предположениях ^семейство траекторий воз-
возмущенной системы в достаточно малой окрестности точ-
точки покоя остается почти таким же, как у невозмущен-
невозмущенной, линейной системы. Сходство семейств траекторий
двух систем в окрестности точки покоя можно опреде-
определять по-разному. Во-первых, эти еемёйства можно счи-
считать сходными,-если в некоторой окрестности точки по-
покоя существует замена координат, переводящая траек-
траектории одной системы в траектории другой. Во-вторых,
эти семейства можно считать сходными, если у них со-
совпадают какие-нибудь существенные геометрические ха-
характеристики. Мы будем придерживаться последней
точки зрения; в частности, мы докажем, что траектории
возмущенной системы, стремящиеся к, точке покоя при
t-y-{-<» или t-*~—со, входят в нее по тем же направле-
направлениям, что и траектории невозмущенной, линейной си-
системы.
9 И. Г. Петровский

234 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
Перейдем к подробному изложению. Напомним, что
в силу § 48 и 22 для системы G.11) при*я1I=г{J=0 точ-
точка покоя типа седло или узел получается, если (d—
— аJ+4с6>0. Рассмотрим сначала «грубый» случай,
когда для системы G.11) выполнено условие G.12) и
(d — a)*+4cb>0.
В этом случае из § 48 следует, что систему G.11) мож-
можно с помощью линейного неособого преобразования
привести к виду
G.19)
где
I =JL(a + d) + —V(d — aJ + Acb ,
2 2
% = JL (a + d) —,X Y(d — af + Acb .
Перейдя к полярным координатам р, ф в плоскости
Ц, получаем
= (кг cos2 ф + Lj sin2 ф) р + о (р),
G.20)
-4г- = (^2— ^i) cos ф sin ф + о A).
at
Теорема 1. Любая траектория системы G.19),
входящая в точку покоя |i='^2 = 0 при t~>—f-oo или при
t->—оо, касается в этой точке какой-либо из коорди-
координатных осей.
Доказательство. Будем изображать траектории
на вспомогательной плоскости р, ф (рис. 33). (Такой
переход переводит точку покоя в прямую и потому об-
облегчает детальное исследование окрестности этой точ-
точки.) Будем считать для определенности, что рассматри-
рассматриваемая траектория 1а входит в точку покоя при f-*~j-oo.

§ 57]
ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. II
235
Тогда 1а, начиная с некоторого момента, содержится в
полосе 0<ip<p*, где р*—любое заданное положитель-
положительное число. Выберем произвольно малое е>0 и проведем
прямые ф = — йя±е, где k — любое целое число.
Рассуждая, как при анализе формулы G.18), получаем,
что если р* достаточно мало и тра-
траектория 1а при некотором t попада-
попадает в какой-либо из незаштрихован-
ных прямоугольников (рис. 33), то fa
через конечный промежуток време- j
ни она окажется в том из соседних з_\
заштрихованных прямоугольников 2^
П, на горизонтальных сторонах ко- я
торого поле направлено внутрь П,
и потому 1а при больших t уже не
сможет покинуть П. Таким образом, я^с
в любом случае 1а, начиная с неко- г х
торого t, находится в одном из за- „ т
штрихованных прямоугольников, f" "
Поскольку е можно взять как угод-
угодно малым, ф при р-»-0 стремится
к одному из значений —kn, что
и требовалось доказать.
Теорема 2. Предположим до-
дополнительно, что функции ф в си-
системе G.11) непрерывно дифференцируемы. Тогда:
если A,iA,2>0, то точка покоя (О, 0) для системы
G.19) представляет собой узел (устойчивый, если A,i<0,
>,2<0, и неустойчивый, если li>0, Хг>0), причем в до-
достаточно малой окрестности этой точки все траектории
входят в нее, касаясь одной из осей координат, за ис-
исключением- двух траекторий, входящих по взаимно про-
противоположным направлениям, касаясь другой из осей;
если Xi?i2<0, то точка покоя @, 0) для системы G.19)
представляет собой седло, в которое входят две траек-
траектории при t-*—{г°° по взаимно противоположным на-
направлениям, касаясь одной из осей координат, и две —
при t-+—оо по взаимно противоположным направле-
направлениям, касаясь другой из осей.
Доказательство. Рассмотрим подробно случай,
Рис. 33

236 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
когда Хг<Я,1<0. Тогда в силу первого из уравнении
G.20) для всех достаточно малых р получаем
¦— < — Ъч, откуда р @ < р @) е 2 =
р at Л
= р@)/~ 2 ' (/>0). G.21)
Возвращаясь к плоскости |j, 1г. видим, что все траекто-
траектории, начинающиеся в любом достаточно малом круге К
с центром в точке покоя, при увеличении t остаются в
К и при t-*—f-00 входят в- точку покоя, имея там. з силу
теоремы 1 направление одной из осей координат. Таким
образом, точка покоя представляет собой устойчивый
узел.
Для более детального описания поведения траекто-
траекторий в рассматриваемом случае заметим, прежде всего,
что, рассуждая как при доказательстве теоремы 1, по-
/ 1 \
лучаем, что для любого ее@,—я 1 существует такое
р*>0, что все траектории, начинающиеся в секторе 0<
<<р<р*, |ф — ifert;|<8 (k — любое целое, но достаточно
рассматривать & = 0 или 1), в дальнейшем не покидают
его и входят в точку покоя с направлением у=кл.
Проверим теперь, что по каждому направлению ф =
=kn + —n в точку покоя входит ровно одна траектория;
для определенности примем k = 0. Для этого проследим
за траекториями, начинающимися на стороне АВ пря-
прямоугольника IIi{0<p<p*, |ф—я/2|<е} в плоскости р,
Ф (рис. 33). На этой стороне (кроме концов) траекто-
траектории входят в Пь а на горизонтальных сторонах они вы-
выходят из Пь Из теоремы о непрерывной зависимости
решения от начальных данных следует, что если какая-
либо траектория /<, (celli) выходит из ITi через верх-
верхнюю (нижнюю) сторону, то так же ведут себя и все
траектории, выходящие из достаточно малой окрестно-
окрестности точки а. Но тогда, взяв верхнюю грань С точек от-
отрезка АВ, через которые проходят траектории, выходя-
выходящие из IIi через нижнюю сторону, получаем, что траек-
траектория, проходящая через С, вообще не может выйти из

S 571 ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. II 237
П» (почему?). Из G.21) следует, что эта траектория
входит в точку покоя, причем в силу теоремы 1, по
направлению ф = —я. Итак, существование искомой
траектории доказано.
Докажем, наконец, что такая траектория только од-
одна. Для этого заметим, что после перехода к перемен-
переменным li, g2 система G.11) примет, вид
где функции gi непрерывно дифференцируемы и
h)=o(\li\ + \l2\) при |ii|+b|-*-0. а потому их произ-
производные при ii = |2 = 0 равны нулю. Перейдя к полярным
координатам, получим
dtp (Яг — Xi)cos фsinф-|-cosф-ga(рcosф, рsinф) —
dp (Я1 cosaф + Яаsin»ф)р
-»8пд>.й(рсо.ф.
-t-sin ф-ga (р cos ф,
Непосредственное вычисление, которое мы предостав-
предоставляем читателю, показывает, что функция U имеет в III
при р>0 непрерывную производную по <р, как угодно
близкую к (hi — Ав)Аь если е и р* достаточно малы.
Допустим, что по направлению <р = —я в точку по-
покоя входят две траектории. Подставим их уравнения
<p=<pi(p) и <р=<рг(р) в G.22), вычтем почленно одно из
полученных равенств из другого и заметим, что в силу
леммы Адамара
U(р, Ф2) — U(р, фО = (ф2—Ф1)/?(р, Фь Фг),
где, как видно из § 20, функция F непрерывна при
0<р<р*-,
я
при р-+0, фг-»- -^-п С =

238 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
Мы приходим к равенству
<*(Ф*-Ф1) = ( ._
dp
= А (р) (Ф, - Ф1> @ < р < р"), G.23)
где функция Л(р) непрерывна и стремится к (Xi—Л2)/
г/Л1<0 при р->-0. Интегрируя G.23) как линейное одно-
однородное уравнение, получим
р
Однако при р-»-0 последний интеграл стремится к +оо,
и значит, чтобы левая часть оставалась конечной, дол-
должно быть Сб=0, т. е.- ф!(р)^ф2(р), что и требовалось
доказать.
Итак, случай /,2<^i<0 полностью разобран. Случай
сводится к разобранному заменой t на —t. Мы
предоставляем читателю по образцу приведенных здесь
рассуждений рассмотреть случай Xi^2<0 и тем самым
завершить доказательство теоремы 2.
Рассмотрим теперь более тонкий случай системы G.11), для
которой выполнено условие G.12) и
(d—aJ+4c6=0, G.24)
т. е. характеристическое уравнение матрицы коэффициентов при
линейных членах имеет кратный корень Xi = — (a-\-d).
Теорема 3. Пусть корню Xi соответствует элементарный
делитель второй степени и
|л) (при l*il + |x!il-*O);-i= 1, 2;
Тогда точка покоя @,0) является узлом с единственной парой
взаимно противоположных направлений входа траекторий.
Доказательство. Из § 48 следует, что в рассматривае-
рассматриваемых предположениях систему G.11) можно привести к виду

57] ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИ. II 28»
где а — любое не равное нулю число; мы положим а=%>. Перей-
Перейдя к полярным координатам в плоскости ?ь ?г с помощью формул
G.13)—G.14), получим
= я, (i + 4-)
V 2 / G.25)
Допустим, что Я[<0. Тогда нз первого уравнения G.25) сле-
ар
дует, что если р* достаточно мало, то < 0 при 0<р^р*,
at
причем р(/)-*-0 прн /-v+oo для любой траектории из этой поло-
полосы. Из второго уравнения G.25), рассуждая аналогично тому,
как при доказательстве теоремы 1, получаем, что для любой та-
такой траектории при /-»-+оо либо <р(<)-*-—я.+ Ая (т. е. эта тра-
траектория в плоскости |i, |2 входит в точку покоя, касаясь осн |г)»
либо ф(/)->—оо (т. е. эта траектория входит в точку покоя как
спираль). При этом из невозможности пересечения различных тра-
траекторий следует, что либо для всех траекторий имеет место первый
случай, либо для всех — второй.
Докажем, что по каждому направлению <р =~Г" я + foi в точку
Z
покоя входит бесконечное число траекторий, откуда в силу только
что сказанного и вытекает утверждение теоремы при Я]<0. Для
определенности положим й=0 и рассмотрим направление поля на
границе «криволинейного треугольника:»
ABC |о<р<р*. — я + рА < <р <-j-я-)-р*А|
(рнс. 34) при р>0, где Л>0 будет вскоре указано, а р* достаточно
мало. Через сторону ВС (кроме, быть может, точки С), очевидно,
траектории входят внутрь треугольника. В точках же стороны АС,
при р>0, наклон траекторий в плоскости р, <р' определен формулой
я, (l+ys^
1l 0A) =

240
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. VII
тогда как наклон самой стороны —;—) = ftp". Значит, если
V dp /и .
принять h<i\—1, то в точках стороны АС при достаточно малом р*.
dp
а потому и Через эту сторону траектории входят внутрь треуголь-
треугольника. Таким образом, все траектории, начинающиеся при р>0
в треугольнике ABC, при увеличении t не могут
его покинуть и потому прн <->-+°° входят в точ-
точку А, что и требовалось доказать.
Случай Я]>0 приводится к случаю Xi<0 с по-
помощью замены t на —t. Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Пусть корню %i соответствуют
два элементарных делителя первой степени и
функции tyt имеют непрерывные производные пер-
первых двух порядков. Тогда точка покоя @, 0) яв-
является узлом, причем по каждому направлению
в нее входит только одна траектория.
Доказательство. В рассматриваемом
случае система G.11). имеет вид
dt
-1. 2),
н после перехода к полярным координатам полу-
получаем уравнение
'costp-ij^pcosq), psinqQ—
[p[Xip+ cosq> -^
— sin<p-4|>i (pcosq), psinq))
, Psin<p)]
, psintp)-)-
G.26)
Функция V первоначально определена в полосе 0<р^р*. Однако,
разлагая функции тр.- по формуле Тейлора с точностью до членов
второго порядка малости, видим, что V имеет предел
1
• [cos ф• (агп cos2 ф -)- 2а212 cos ф sin ф + аг2г sin2 ф) —
— sin ф • (аш cosa ф 4- 2ацг cos ф sin ф 4- ат sina ф)]
; ат = •
\ailk =
при p-vO, так что ее можно считать определенной и непрерывной
на полосе 0<р<р*. Кроме того, нетрудно непосредственно прове-

^ 571 ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ НА ПЛОСКбСТИ. II 241
рнть, что функция V имеет ограниченную производную по <р.
Поэтому утверждение теоремы 4 вытекает нз теоремы § 14 о су-
существовании и- единственности решения, примененной к уравнению
G.26) с начальным условием <р@)=фо, где ф0 — любое заданное
число. Теорема доказана.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите систему общего вида, приведенного в задаче
3 § 56, если, введенная там функция #(ф) имеет нули. Докажите,
что:
а) если какая-либо траектория входит в точку покоя р=0
_(при р-у+оо или при *-»—оо) с определенного направления
Ф, то #(ф)=0;
б) если R(q>) принимает значения обоих знаков, то любая
траектория, входящая в точку покоя, имеет там опреде-
определенное направление;
в) -если /?(ф)=0; Q(q)?=0 н при переходе ф через ф функ-
функция #(ф) меняет знак, то в точку покоя по направлению
Ф=Ф входит по крайней мере одна траектория; прн этом,
если /?(ф)<Э(ф) меняет знак с — на +, то по направлению
Ф входят все траектории из некоторого сектора
г) если #(ф)=0, #'(<p)Q(<p)<° и функции \|),- имеют непре-
непрерывные производные первого порядка, равные о(рт-') при
р-Ч), то по направлению ф в точку покоя входит только
одна траектория; _ _
д) если #(ф)^=0, #(ф)=0, Q(<p)?=O, при переходе Ф через
Ф функция #(ф) не меняет_ знака н ¦ф* = О(рЧ) (»=1, 2;
1\>т), то по направлению ф в точку покоя входит беско-"
нечио» множество траекторий;
е) если #(фM=0, Q((p)=^=o и функции ф<.можно представить
в виде суммы однородных многочленов степени т+1 в
членов высшего порядка малости, то по каждому направ-
направлению ф, для которого Q((p)?=Q, в точку покоя входит по
крайней мере одна траектория; если дополнительно дано,
что функции tpt имеют непрерывные производные первого
порядка, равные о{рт) прн р-»-0, то по направлению ф
входит только одна траектории;
ж) если функции я|>| равны o(J.*ijm+>|*2|m) при fxi| + |xj|-*0
и. аналитнчны, то для них выполняются все добавочные
предположения,1 приведенные в этой задаче. Отметим, что
это справедливо и для основного текста книги, где надо
положить /л=1. "
2. Докажите, что для системы, рассмотренной в задаче. 6 § 55,
особые точки типа центр или седло возможны, а узел и фокус

242 ABTOHQMHbfE СИСТЕМЫ [гл. VII
(как н для любой системы с интегральным инвариантом) — не-
невозможны.
3. Проведите классификацию изолированных точек покоя
автономной системы при п=3 в случае линейных правых частей
и различных корней характеристического уравнения; изобразите
геометрическую картину пяти возможных типов точек. Проведите
аналогичную классификацию для любого п. Какие из точек явля-
являются «грубыми», т. е. не меняют своего типа при достаточно ма-
малом изменении коэффициентов системы? Отметим, что точки покоя
для нелинейных автономных систем в случае любого п рассмотре-
рассмотрены в указанной в § 24 книге В. В. Немыцкого и В. В. Степанова.
§ 58. Теория индексов
Пуанкаре с успехом применил, к исследованию авто-
автономных систем на плоскости понятие вращения вектор-
векторного поля. Пусть на плоскости задйна автономная си-
система G.2) и дана гладкая или кусочно-гладкая ориен-
ориентированная линия L (замкнутая линия или дуга, содер-
содержащая свои концы), не проходящая через точки покоя
системы.
Вращением векторного поля, определенного систе-
системой G.2), вдоль линии L называется деленное на 2я
приращение угла, составляемого вектором поля в точке
A^L с некоторой фиксированной осью /, когда эта точ-
точка А проходит линию L в заданном на L направлении
обхода. Подразумевается, что при подсчете прирдщения
угла мы следим за его определенной ветвью,- т. е. счи-
считаем угол изменяющимся непрерывно. Например, на
рис. 35 приращение угла равно 2я, и потому вращение
поля вдоль L равно 1 независимо от того, примем ли
мы в исходной точке Ло указанный угол равным
5я / 5я . п \ /5я о\
или ( V 2я I или ( 2я ]
12 \ 12 } \ 12 )
и т. д. Кроме того, нетрудно видеть, что вращение за-
заданного поля вдоль заданной линии не зависит от вы-
выбора оси /, а если линия L замкнутая, то не зависит и
от выбора начала обхода Ао.
Нетрудно получить явную формулу для вращения
поля
f(*)=fi(*i, x2)e1+f2(xh x2)e2,

58]
ТЕОРИЯ ИНДЕКСОВ
243
где в\ и бг — единичные векторы осей координат. При-
Приняв за / ось Х\, получим угол наклона поля к оси
^-,
откуда вращение и*,поля вдоль L равно
-'¦¦?)-*]
(при этом мы считаем функции /2 и J2 непрерывно диф-
дифференцируемыми).
Укажем некоторые свойства вращения.
1. При перемене ориентации линии L на противопо
ложную вращение меняет только знак.
Рис. 35
Рис. 36
2. Если линия L разбита на конечное число частей,
то вращение поля вдоль. L равно сумме вращений поля
вдоль этих частей.
Эти два свойства почти очевидны.
3. Если линия L замкнутая, то вращение равно4 цело-
целому числу. В самом деле, тогда вектор Поля в начале и в
конце пути один и тот же, т. е. он мог повернуться
лишь на целое число оборотов.

244 АВТОНОМНЫЕ - СИСТЕМЫ [гл. VII
4. Если замкнутая линия L непрерывно деформи-
деформируется, причем в процессе деформации она не проходит
через точки покоя системы, то вращение поля вдоль нее
остается постоянным. Действительно, при такой дефор-
деформации поле вдоль линии, а потому и вращение поля ме-
меняются непрерывно. Поэтому в силу свойства 3 полу-
получаем наше утверждение.
5. Если внутри замкнутой линии L без самопересече-
самопересечений нет точек покоя системы, то вращение поля вдоль
L равно нулю. В самом деле, непрерывно стянем ли-
линию к какой-нибудь точке, не являющейся точкой по-
покоя; при этом на основании свойства 4 вращение поля
в процессе деформации не изменится. Но ясно, что если
замкнутая линия находится в достаточной близости от
точки,.не являющейся точкой покоя, то при обходе этой
линии вектор поля не может сделать полного оборота,
т. е. вращение поля вдоль такой линии равно нулю.-
Значит, вращение и вдоль исходной линии L равно
нулю.
Следствие. Внутри любой замкнутой траектории
системы G.2) (на плоскости) находится по крайней
мере- одна точка покоя этой системы. Действительно,
если такую траекторию обходить в положительном на-
направлении (против часовой стрелки), то вектор поля,
направленный все время вперед или назад по касатель-
касательной, сделает'полный оборот в положительном направле-
направлении '). Значит, вращение поля вдоль замкнутой траек-
траектории равно 1, ипотому наше утверждение вытекает из
свойства 5.
Рассмотрим изолированную точку покоя л:0, т. е. точ-
точку покоя, обладающую окрестностью, в которой нет дру-
других точек покоя. Выберем какую-либо^ линию L, окру-
окружающую х°, и будем проходить ее в направлении про-
против часовой стрелки. Тогда вращение поля вдоль линии
L называется индексом точки покоя х°. В силу свой-
свойства 4 индекс точки покоя не зависит от конкретного
выбора линии L. Если выбрать, например, в качестве
такой линии малую окружность с центром в точке по-
*> Это утверждение, наглядно очевидное, может быть доказано
без всякой ссылки на наглядность; см., например, указанную в § 24
книгу С. Лёфшеца.

§ 58] ТЕОРИЯ ИНДЕКСОВ 245
коя и проследить за изменением вектора поля при об-
обходе этой окружности, то легко проверить (проделайте
это!), что индексы узла, центра и фокуса равны 1, то-
тогда как индекс седла равен —1.
Теорема. Если на замкнутой линии L без само-
самопересечений нет точек покоя системы, а внутри L
имеется лишь конечное число таких точек, то вращение
поля вдоль линии L, проходимей в направлении против
часовой стрелки, равно сумме индексов всех точек по-
покоя, содержащихся внутри L.
Доказательство., Проведем внутри L дополни-
дополнительные линии так, чтобы область, содержащаяся вну-
внутри L, разбилась на части, каждая из которых' содер-
содержит лишь одну точку покоя (рис. 36). Ориентируем
контур Lft каждой из частичных областей в направле-
направлении против часовой стрелки; тогда
*. G-27>
В самом деле, в этой сумме каждое слагаемое можно
разделить на части, отвечающие отдельным дугам раз-
разбиения; после этого в силу свойства 1 слагаемые, отве-
отвечающие внутренним дугам, взаимно уничтожатся (по-
(почему?), тогда как слагаемые, отвечающие дугам, лежа-
лежащим на L, сложатся и дадут в сумме левую часть фор-
формулы G.27). Из формулы G.27) на основании опреде-
определения индекса точки покоя и вытекает утверждение
теоремы. ..- . . - ""V '
Следствие. Пусть внутри замкнутой траектории
имеются точки покоя только простейшего типа, именно
центры, фокусы, узлы и седла. Тогда общее число этих
точек нечетно, причем число седел на единицу меньше
общего числа всех остальных точек покоя. В самом
деле, это вытекает из приведенных перед формулиров-
формулировкой теоремы значений индексов указанных точек покоя,
Подробное изложение теории и приложений понятия
вращения векторного поля даны в книге: М. А. Крас-
Красносельский, А. И. Перрв, А, И. Поволоцкий,
П; П. Забрейко. Векторные поля на плоскости.-—М.:
Физматгиз, 1963.

246 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
ЗАДАЧИ
1. Пусть Р(г) — многочлен от г—x+iy не менее, первой сте-
степени. Обозначив P=Q+iR и рассмотрев вращение векторного поля
Qei+Re2 по окружности достаточно большого радиуса с центром
в начале коррдинат, докажите, что,P(z) имеет по крайней мере
один нуль.
2. Можно доказать, что у изолированной точки покоя о, не
типа центр и не смешанного типа (см. § 56) существует окрест-
окрестность U следующей структуры. В О имеется конечное число «элт
лнптических областей», целиком заполненных траекториями, входя-
входящими обоими концами в о; конечное число «гиперболических об-
областей», целиком заполненных траекториями, выходящими обоими
концами на границу U; те и другие области простираются от а
до границы U и отделены друг от друга «зоиамн параболичности»,
целиком заполненными траекториями, одним концом входящими
во, а другим выходящими на границу U. Пусть число областей
каждого типа известно; чему равен индекс точки покоя?
3. Понятие вращения векторного поля можно ввести и в п-
мерном пространстве. Пусть дана замкнутая гладкая или кусочно-
гладкая ориентированная (т.. е. с указанием наружной стороны)
(п—1)-мерная поверхность S или поверхность с краем, удовлет-
удовлетворяющая аналогичным требованиям. Пусть в окрестности S за-
задано непрерывно дифференцируемое векторное поле
где et — единичный вектор по оси xt. Тогда вращением поля а(х)
на noeepXHociii S называется интеграл
даг
X
$ dS,
'=1
где <йп-1 — (п—1)-мерная мера единичной (п—1)-мерной сферы,
а п — орт внешней Нормали к S. Рассмотрите какие-лнбо приме-
примеры вращения поля в трехмерном и я-мерном пространствах, выяс-
выясните геометрический смысл вращения, докажите какие-либо свой-
свойства вращения.
; 4. Дайте определения индекса изолированной точки покоя ав-
автономной системы в л-мерном пространстве. Докажите, что для
случая линейных праных частей этот индекс равен ±1. (В зави-

§ 59] ТЕОРЕМА БРАУЭРА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 247
симости от чего?) Сформулируйте следствие об индексе точки по-
покоя для нелинейной системы с линейной главной частью.
5. Рассмотрите непрерывно дифференцируемое поле касатель-
касательных векторов на сфере R в трехмерном пространстве' н соответ-
соответствующую автономную систему на R. Определите понятие индекса
точки покоя и докажите, что если точек покоя конечное число, то
сумма их индексов равна 2. Докажите отсюда с помощью аппрок-
аппроксимации, что всякое непрерывное поле касательных векторов на R
имеет по крайней мере один нуль-вектор. Рассмотрите также слу-
случаи, когда R представляет собой поверхность тора или «кренделя»
{сферы с двумя ручками).
§ 59. Теорема Брауэра
о неподвижной точке
Следующая теорема широко применяется в теории
дифференциальных уравнений и в других разделах ма-
математики. Она была впервые сформулирована и дока-
доказана голландским математиком Л. Брауэром в 1910 г.;
равносильное утверждение было доказано и применено
к теории дифференциальных уравнений латвийским ма-
математиком П. Г. Болем в 1904 г.
Теорема. Пусть ,п-мерный (л>1) замкнутый шар
К непрерывно отображен в себя, т. е. каждой точке хе
е/С отвечает точка f(x)^K, причем функция f(x) не-
непрерывна. Тогда по крайней мере одна точка хо^К при
этом отображении переходит в себя, т. е. f(xo)=xo.
Перед доказательством теоремы выскажем несколь-
несколько общих соображений. Пусть в л-мерном пространстве
даны два множества /Ci и /Сг. Онн называются гомео-
морфными друг другу, если между ними можно устано-
установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соот-
соответствие, другими словами, если существует такое не-
непрерывное отображение x2=q>(xl)^K.2(xl^Ki) множе-
множества К\ на множество Кг, что обратное, отображение
х1 = Ц/(х2) будет непрерывным отображением Ki на К\.
Так, нетрудно проверить, что л-мерный шар гомеомрр-
фен л-мерному кубу или л-мерному тетраэдру (и даже
любому л-мерному выпуклому телу), но не гомеомор-
фен, например, множеству, состоящему из двух шаров
без общих точек }>
') Свойства, общие для всех гомедморфных друг другу множеств,
изучает область математики, называемая топологией. С точки зре-;
яия топологии гомеоморфные множества считаются эквивалентными

248 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
Нетрудно проверить топологический характер теоре-
теоремы Брауэра, другими словами, проверить, что если не-
некоторое множество Ki обладает по крайней мере одной
неподвижной точкой при непрерывном отображении в
себя, то этим свойством обладает н любое множество
К.2, гомеоморфное Ki- В самом деле, пусть f — непре-
непрерывное отображение множества /Сг в себя, а ф — гомео-
гомеоморфное отображение /Ci на Кг. Тогда ф/хр представляет
собой непрерывное отображение К\ в себя, и потому су-
существует точка а'е/Сь для которой ф(/,(ф(а'))) =fll-
Но тогда / (ф(а1)) =<P(fllb T- е- точка ф(а1)е/С2 перехо-
переходит при отображении f в себя.
При п=1 теорема Брауэра сразу вытекает из теоре-
теоремы о промежуточном значении Непрерывной функции
(проверьте это). Мы докажем эту теорему для п=2,
предоставив случай произвольного п читателю.
Лемма. (Шпернер.) Пусть треугольник ABC раз-
разбит на конечное число треугольников так, что любые
два треугольника разбиения либо не имеют друг с дру-
другом общих точек, либо имеют общую вершину, либо об-
общую сторону. Пусть, далее, каждая из вершин тре-
треугольников разбиения обозначена одной из букв А, В,
С, причем так, что на стороне АВ (соответственно ВС,
АС) основного треугольника употребляются только бук-
буквы А и В (соответственно В и С, А и С). Тогда най-
найдется по крайней мере один треугольник разбиения, все
вершины которого обозначены различными буквами.
Доказательство начнем со следующего просто-
простого замечания. Пусть некоторый отрезок АВ разбит на
конечное число отрезков, причем каждая из точек деле-
деления обозначена одной из букв А или В. Тогда число от-
отрезков разбиения, концы которых обозначены различ-
различными буквами, нечетно. В самом деле, обозначим через
Раа и рАв число отрезков разбиения, имеющих указан-
указанный набор концов, а через р'А —^ число точек деления,
обозначенных буквой А. Тогда, подсчитывая число кон-
(так же, как, например, в элементарной геометрии конгруэнтные
фигуры считаются эквивалентными), поэтому такие понятия, как
угол, длина, прямолинейность и т. д., не являются топологическими.
Топологическими являийси наиболее «грубые» свойства тел, такие
как связность, размерность и т. д., хотя проверка этого бывает да-
далеко не проста. .

§ S9J ТЕОРЕМА БРАУЭРА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ
цов А у всех отрезков разбиения, пояучнм 2рАА+рАВ~
=2рл +1, откуда и вытекает нечетность числа рАв-
Пусть теперь выполнены условия леммы; докажем,,
что число треугольников разбиения, все вершины кото-
которых обозначены различными. буквами, нечетно, откуда
и будет следовать утверждение леммы. Для этого обо-
обозначим через рААВ, Равв и рАВс количества треугольни-
треугольников разбиения, имеющих указанный набор вершин, а>
через Рав Л Рав количества сторон треугольников^
разбиения, обозначенных буквами А, В я расположен-
расположенных внутри или соответственно на границе основного-
треугольника. Выпишем теперь подряд все стороны всех,
треугольников разбиения независимо один от другого. и
подсчитаем, сколько раз при этом встретится сторона
АВ. С одной стороны, это количество равно 2рААВ+
+2рАВВ-\-рАВС (почему?). Но оно же равно 2р'АвЛ-
"ЬРлв. так как каждая «внутренняя» сторона АВ под-
считывается дважды. Итак,
= 2р'ав-\-Рав- G.28)
Однако «граничные» стороны АВ могут располагаться;
только на стороне АВ основного треугольника, и пото-
потому по доказанному в предыдущем абзаце число Рлв
нечетное. Поэтому из G.28) мы получаем, что и число
Равс нечетное. Лемма, доказана.
Доказательство теоремы. В силу сказанно-
сказанного перед формулировкой леммы, теорему достаточно до-
доказать для какого-либо из множеств, гомеоморфных
кругу. Поэтому предположим, что дано непрерывное
отображение / треугольника ABC в себя. Зададим про-
произвольное число 8i>0 и произведем «триангуляцию» за-
заданного треугольника, т. е. разбиение его на треуголь-
треугольники, обладающие указанными в лемме свойствами, и
притом такое, что сторона каждого из треугольников
разбиения Меньше ei- Мы предположим, что при отоб-
отображении / нн одна точка не переходит в себя, н обозна-
обозначим любую из вершин треугольника разбиения буквой
А (соответственно В, С), если эта вершина при отобра-
отображении / приближается к стороне ВС (соответственно-
АС, АВ) основного треугольника. Если же точка нри
отображении приближается сразу к двум сторонам ос-

250 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
новного треугольника, например ВС и Л С, то ее обо-
обозначаем по произволу буквой А или В. Тогда легко ftpo-
верить, что при этом выполняются условия леммы и
потому найдется треугольник разбиения, вершины кото:
рого обозначены различными буквами; обозначим его
(ЛВС),.
Выберем теперь последовательность еь..., еп, ...-»-+0
:и осуществим указанную конструкцию для каждого еп-
Если перейти к подпоследовательности, то можно без
-ограничения общности предполагать, что"чтоследователь-
ность вершин соответствующих треугольников (АВС)п
сходится к некоторой точке а (почему?). Так как точка
а при отображении f не остается на месте, то она уда-
удалится от какой-либо из сторон основного треугольника.
Но тогда и все точки треугольника (АВС)п при доста-
достаточно больших п в результате отображения / удалятся
от этой стороны, что противоречит построению. Теорема
доказана.
ЗАДАЧИ
1. Докажите теорему Брауэра для n-мерного шара; при этом
¦ладо усилить формулировку леммы Шпернера (доказать наличие
¦нечетного числа искомых тетраэдров разбиения) и применить метод
индукции.
2. Проведите доказательство теоремы Брауэра при любом п
:иным способом: для достаточно гладкого отображения — на осно-
основе теории вращения (§ 58), а для любого непрерывного отобра-
отображения — с помощью его аппроксимации гладкими отображениями.
3. Докажите с помощью теоремы Брауэра, что никакое замк-
замкнутое ограниченное множество и-мерного пространства, обладаю-
обладающее внутренними точками, нельзя непрерывно отобразить на свою
¦ границу так, чтобы при этом каждая точка границы перешла
в себя.
§ 60. Приложения
теоремы Брауэра
Первое приложение обобщает теорему § 58 о точке
покоя внутри замкнутой траектории.
Теорема 1. Пусть в п-мерном пространстве зада-
задала автономная система G.2) и дано множество К, го-
меоморфное замкнутому шару, и притом такое, что тра-
траектории, начинающиеся на К, при увеличении t никогда

§ 60J ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА 25*
К не покидают. Тогда в К имеется по крайней мере
одна точка покоя.
Доказательство. Зададим произвольно значе-
значение Ti>0 и поставим каждой точке х°<=/( в соответствие
точку х(ть х°). По условию этим определяется отобра-
отображение К в себя, которое будет непрерывным, и потому
по теореме Брауэра найдется точка х'е/С, для которой
х(п; хг)=х1 (т. е. траектория, начавшаяся в х1, через
время Ti вновь попадет в х1). ~"
Выберем теперь последовательность значений ti, тг, ...
..., тт, ...->-+0; тогда для каждого хт существует точка
хт^К, для которой х(хт:, хт) =хт. После перехода к.
подпоследовательности можно считать без ограничения
общности, что последовательность {х™} сходится к неко-
некоторой точке Зсе/С; проверим, что х— точка покоя. В са-
самом деле, зафиксируем любое t; тогда
Если переходить в этом равенстве к пределу при m->oov
то в левой части получим x(t; х) (почему?), а в правой
х, т. е. x(t; х)—х при всех t. Теорема 1 доказана.
Второе приложение примыкает к теореме Бендиксо-
на (§ 55) о Тциклах. Чтобы продемонстрировать методи-
методику применения теоремы Брауэра, мы приведем форму-
формулировку в довольно специальном виде, в частности:
только в трехмерном пространстве, предоставив обоб-
обобщения читателю.
Теорема 2. Пусть в трехмерном пространстве за-
задана автономная система G.2) и, кроме того, задан тор
Т, обладающий тем свойством, что траектории, начи-
начинающиеся в нем, при увеличении t не могут покинуть Т.
Пусть далее все точки, движущиеся в торе в силу си-
системы G.2), обладают положительной скоростью вра-
вращения вокруг оси тора. Тогда в Т имеется по крайней
мере один цикл.
Отметим, что если выбрать ось х3 по оси тора, то-
требование на скорость вращения можно записать так:
Х
5Г Х2
or at
2t X3J
Доказательство. Проведем поперечное круговое-
сечение К тора (рис. 37) и проследим за траекторией

252 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VII
4fje», начинающейся в некоторой точке х°^К. По усло-
условию эта траектория при возрастании t остается в торе.
Но угловая скорость вращения точек вокруг оси тора,
будучи непрерывной, имеет положительный минимум, и
лотому траектория /*> через некоторый (конечный) про-
промежуток времени вновь пересечет К
в какой-то точке х1, зависящей от
х°, xl=q> (x0),. Таким образом, опре-
определено отображение К в себя, игра-
играющее роль функции последования
(§ 54). Но из непрерывной зависи-
1 мости решения от начальных усло-
Рис. 37 вий вытекает, что отображение <р не-
непрерывное; поэтому в силу теоремы
Брауэра существует точка х^К, для которой ф(Зс) =х.
Таким образом, через х проходит цикл. Теорема 2 до-
доказана.
ЗАДАЧИ
1. "Пусть в n-мерном пространстве задана автономная система
<7.2) и дано множество л, гомеомррфное шару, 'с границей Г.
Пусть для каждой точки аеГ олределен нрямой круговой п-мер-
дый конус Ра с вершиной в о, целиком содержащийся в К, при-
причем конусы Ра конгруэнтны друг другу и непрерывно зависят от о.
Пусть в каждой точке оенГ вектор —f(o), приложенный к точке
¦а, не направлен в Ро. Тогда в ТС имеется по крайней мере одна
точка покоя. Докажите это и выведите отсюда, в частности, что
¦если множество К ограничено гладкой поверхностью, на которой
поле скоростей нигде ие направлено по внешней нормали, то в К
•имеется по крайней мере одна точка покоя.
2. Пусть даиа система уравнений- в Векторной записи
-~
где матричная функция A (t) непрерывна прн всех t, а вектор-
•функция f(t, x) непрерывна н ограничена во всем пространстве
t, х и удовлетворяет условию Липшица по х, причем A{t+T) =
=зЛ(/), f(t+T, x)^f(t, x) для ,некоторого Г>0. Докажите с по-
помощью теоремы Брауэра и результатов задач 1 § 39 и 1L § 49,
их
что если нулевое решение системы —— = A (t) x асимптотически
at
устойчивое, то система (•) имеет по крайней мере одно Г-перио-
ляческое решение.

Дополнение
ГЛАВА VIII
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ 1-ГО ПОРЯДКА
ОТ ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ
Основным фактом теории этих уравнений является
то, что нахождение всех их решений сводится к инте-
интегрированию обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. В следующих параграфах орисано это сведение,
§ 61.. Полулинейные уравнения
Мы будем рассматривать в этом параграфе уравне-
уравнения несколько более общего вида, чем линейные, а
именно уравнения
Ь(х,и) = 0, (8.1)
где под х понимается точка с координатами Xi,...,xn.
При этом мы допускаем, что искомая функция «входит
в b (x, и), вообще говоря, нелинейно. Пусть коэффициен-
коэффициенты пи{х) имеют в рассматриваемой обласщ 6 про-
пространства х непрерывные частные производные 1-го по-
порядка по всем их аргументам, и пусть в этой области
Относительно b(x, и) мы будем предполагать, что эта
функция определена при |ы|<М, когда точка х нахо-
находится в области G, и имеет по всем своим аргументам
непрерывные первые производные. Сделанные относи-
относительно b(xt и) предположения выполняются, в частно-
частности, в том случае, когда Ь(х, и) есть линейная, функция
от и (в этом случае уравнение (8.1) называется линей-
линейным) с коэффициентами, которые имеют непрерывные
первые производные по всем xk.

254 УРАВНЕНИЯ. С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
Напишем автономную систему обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений:
= ак(х), * = 1, ... ,п. (8.2)
dt
В силу сделанных относительно а^ предположений
правые части этих уравнений имеют непрерывные про:
изводные по всем хг. Поэтому через каждую точку об-
области G проходит одна и только одна траектория этой
системы. Эти линии называются характеристиками
уравнения (8.1).
Теорема единственности. Если функция
и(х\ хп) удовлетворяет в области G уравнению (8.1)
и имеет непрерывные первые производные, то все зна-
значения этой функции на дуге любой характеристики Я,
где \и\<М, вполне определяются ее значением,в одной
какой-нибудь точке х°= (xi0,.,.,xn°) этой дуги.
Доказательство. Принимая во внимание урав-
уравнения (8.1) н (8.2), получим
dxk л-i dxk dt
ft k
= -fJL + 6 = o. (8.3)
Замена у —- — на —— возможна в силу
*шЛ dxk dt dt
k
предполагаемой непрерывности первых производных от
и (Г. М. Фихтейгольц. Курс дифференциального и
интегрального исчисления.— М.: Наука, 1969, т. 1,
с. 387). Пусть характеристика Я проходит через неко-
некоторую точку х° области G, н пусть |ы(х°)|<М. Вдоль
этой характеристнии
Xh=w(t, x°), k = \,...,n, (8.4)
где фй вместе с нх первыми производными суть непре-
непрерывные функции от t и х°. Подставляя этн выражения
Хи в Ь, мы получим, что вдоль Я функция u(x(t)) удов-
удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциаль-

§ 61) ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 256
ному уравнению:
где ф имеет непрерывные первые производные по всем
ее аргументам. Поэтому значение и во всякой точке
дуги Н, на которой |«|<М, вполне определяется зна-
значением в какой-нибудь одной точке этой дуги, в частно—
сти в точке х°.
Теорема существования. Допустим, что S
есть какая-нибудь (я—I)-мерная поверхность 1\ содер-
содержащаяся в области G и имеющая непрерывно вращаю-
вращающуюся касательную плоскость. Допустим, кроме того,
что S не касается ни одной из характеристик уравне-
уравнения (8.1).
Пусть на S задана произвольная функция f, обла-
обладающая следующими свойствами:
1) ее значения по абсолютной величине меньше М;
2) у каждой точки поверхности S существует такая
окрестность, где f можно представить как функцию ка-
каких-нибудь (п—1)-« из координат хи...,хп, имеющую
непрерывные первые производные по этим (п— 1)-« ко-
координатам.
Допустим, наконец, что имеется окрестность RQ по-
поверхности S, обладающая следующими свойствами:
1) Ro содержится в G;
2) характеристика, проходящая через любую точку
поверхности S, при своем продолжении в обе стороны
внутри Rq не встречает S; при этом через каждую точ-
точку Ro проходит одна из таких дуг характеристик;
3) для любой точки х° поверхности S решение урав-
уравнения (8.5) при начальном условии м@) =f (x°J> воз-
возможно продолжить вдоль всей дуги характеристики, со-
содержащейся внутри Ro, причем это решение остается по
абсолютной величине меньше М.
Тогда в Ro существует функция и(х), обладающая
следующими свойствами:
1) имеет непрерывные первые производные по
всем xh,
J> Ее можно считать либо замкнутой, либо поверхностью с кра-
краем; в последнем случае ее край к ней не причисляется.
2> Мы считаем f=0 на поверхности S.

266
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
2) удовлетворяет уравнению (8.1),
3) на S совпадает с f.-
Задача нахождения функции и(х), удовлетворяющей
этим условиям, называется задачей Коши Для уравне-
уравнения (8.1).
Доказательство существования реше-
решения задачи Коши для уравнения (8.1 У~. Для
простоты мы проведем доказательство для случая двух
независимых переменных, предоставив читателю рас-
рассмотреть по той же схеме случай любого числа пере-
переменных. Чтобы не пользоваться индексами, запишем за-
заданное уравнение в виде
дх
i-f- + c(x,y,z)=O. (8.6)
ду
Тогда уравнения (8.2) — (8.5) примут соответственно
вид
J!L=a(x,y), М- =
at at
at
dz
dt
+ с (х, у, z) = О,
°, У0),
dz
dt
= %(t,z,x*,tf>).
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Рис. 38
Многообразием S, на котором
задается искомая функция
z(x,y), служит линия в пло-
плоскости х, у. Таким образом,
геометрический смысл постав-
поставленной задачи Коши состоит
в том, что надо провести по-
у верхность z=z(x,у), удовлет-
удовлетворяющую уравнению (8.6), че-:
рез заданную в пространстве
линию S, проектирующуюся на
S (рис. 38). Так как значе-
значение z вдоль каждой характе-
характеристики Н полностью опреде-

S 61] ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 257
ляется значением z в точке Ао пересечения Н с S,
то, взяв все такие характеристики, получим искомое
решение. Проведем это построение подробнее. Опре-
Определим иа каждой пересекающей S характеристике Н
функцию z так, чтобы она удовлетворяла на ней
уравнению (8.10) и в точке пересечения этой ха-
характеристики с линией S принимала значение за-
заданной функции /. Функцию z, вообще говоря, нельзя
определить таким образом на всей характеристике Н,
так как мы можем при продолжении г по Я выйти из
области тех значений г, при которых определена функ-
функция с{х, у, z), или пересечь 5 вторично. Однако в силу
условия теоремы мы можем определить и на всей
окрестности Ro линии S. После этого остается только
показать, что построенная нами функция z(x, у) имеет
непрерывные частные производные по х, у; тогда на Ro
справедливо соотношение
dz dx dz dy dz
дх Ш ду dt ~ dt '
и потому функция z удовлетворяет не только уравне-
уравнению (8.10), или, что все равно, уравнению (8.8),, но и
уравнению (8:6).
Прежде чем доказывать существование и. непрерыв-
непрерывность частных производных от z по х, у в какой-нибудь
точке А (х, у) области Ro, мы введем в окрестности этой
точки новые криволинейные координаты следующим об-
образом.
Пусть характеристика Н, проведенная через А, пере-
пересекает S в точке А0(х°, у0). Допустим для определенно-
определенности, что касательная в точке Ло к линии 5 не парал-
параллельна оси Оу (все наши " последующие рассуждения
сохраняют силу и в том случае, если вместо оси Оу
взять ось Ох). Тогда кусок линии S вблизи точки Ао
можно представить уравнением
где функция F имеет непрерывную производную. С дру-
другой стороны, так как функции ф(?, х°, у0) и ^(t, x°, у°)
имеют непрерывные производные по t и по х°, у0 (§ 29)',

258 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
то функции
Ф(t, х°, F (х°))^ф(t, x°), г|>(t, до, F(х°))s$(/, х°) -
имеют непрерывные производные по t и х°. Выберем t
и х° за новые координаты. Докажем, что якобиан систе-
системы функций x=<${t, x°), y=ty(t, x°) всегда отличен от
нуля. Для этого заметим, что эти функции удовлетво-
удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений (8.7). Подставим сюда вместо х функцию ф, а
вместо у — функцию ф. Тогда получим следующие тож-
тождества по t, x°:
(8.11)
Так как функции ф, -ф, а и Ъ имеют непрерывные част-
частные производные по всем их аргументам, то правые ча-
части этих тождеств имеют непрерывные производные по
t и х°. Значит, и левые части имеют непрерывные про-
производные по этим аргументам. Поэтому, дифференци-
дифференцируя обе части каждого из равенств (8.11) по t, x° и по-
полагая
получим '>
a n_ m Ля ~ да
= 0, 1).
*> Мы опираемся на следующую теорему, доказываемую в кур-
курсах анализа. Пусть в области G на плоскости (х, у) задана функ-
функция /, имеющая непрерывные fx,fy и f"xy. Тогда f' всюду в G
существует и равна fxy (Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц. Курс дифферен-
дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. Т. 1,
с. 407).

§61]
ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
259
о , , да дЬ
Здесь коэффициенты —=-, ... , - ~
д ф 3 л|>
не зависят от р.
Таким образом, мы находим, что функции Dpqp и Dpty
удовлетворяют при р = 0, 1 одной и той же системе ли-
линейных однородных уравнений. Поэтому, чтобы детер-
детерминант Вронского
<Эф Зф
дх<>
~д
дх« dt
был отличен от нуля на всей дуге Н, необходимо и до-
достаточно, чтобы он был отличен от нуля в точке Ло, где
эта характеристика пересекается с линией 5. Но в этой
точке
1
dF
дГ
dt
dF
дГ
dtp
дх« dt
Последнее выражение равно косинусу угла между нор-
нормалью в точке AQ к линии S и касательной к характе-
характеристике Н, проведенной в той же точке Ао, умноженно-
умноженному на отличный от нуля сомножитель. (Почему?) Этот
косинус по условию отличен от нуля. Значит, якобиан
W всюду на Н отличен от нуля.
Следовательно, по теореме о неявной функции мы
найдем, что в окрестности Н система уравнений
может быть однозначно разрешена относительно t, x°.
При этом, так как функции <р, ф имеют непрерывные
производные по их аргументам, то величины t, x° будут
также иметь непрерывные частные производные по х, у.
Отсюда, чтобы доказать, что построенная нами прежде
на области RQ функция z имеет непрерывные частные
производные по х, у, достаточно доказать, что если ее
рассматривать в окрестности Н как функцию от t, x°,
то она имеет непрерывные частные производные по t, x°.
А для этого заметим следующее.

260 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
Подставляя в правую часть уравнения (8.10) вместо
у0 функцию F(x°), мы найдем, что функция z удовле-
удовлетворяет уравнению вида
где функция зс имеет непрерывные частные производные
по всем ее аргументам. Кроме того, начальные значе-
значения функции z при t = 0 (на линии S), по предположе-
предположению, имеют непрерывную производную по х°. Поэтому,
применяя известную теорему (§ 21), мы найдем, что в
окрестности Н построенная нами функция z действи-
действительно имеет непрерывные частные производные по
t,x°. ' ' '
Замеч-ание 1. Пусть поверхность S и функция f
на ней удовлетворяют условиям теоремы существова-
существования. Тогда легко проверить, что окрестность Ro, удов-
удовлетворяющая условиям этой теоремы, существует. Для
этого надо принять Ro составленной из достаточно ма-
малых дуг характеристик, проходящих через точки S. Та-
Таким образом, можно гарантировать существование ре-
решения задачи Коши в достаточно «тонкой» окрестно-
окрестности S.
Замечание 2. Если не предполагать, что функции
ah и Ь, входящие в левую часть уравнения (8.1), имеют
непрерывные производные, то это уравнение может не
иметь ни одного решения с непрерывными частными
производными. Таким примером (Н. М. Понтер) может
служить уравнение
+ »,,^,, ,8Л2)
где Ь(ш)—непрерывная функция Вейерштрасса, нигде
не имеющая производной по ш. Чтобы доказать это,
введем вместо х и -у новые независимые переменные v
и w, положив x+y = v их — y=w, z(x, y)=u(v, w).
Допустим, что в некоторой области на плоскости (х,
у) существует решение z(x, у) !> уравнения (8.12), имею-
'> Решением уравнения (8.12) мы называем функцию z(x, у),
которая имеет всюду в рассматриваемой области частные производ-
производные по л и .у, удовлетворяющие этому уравнению.

§ 61] ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 28S
щее непрерывные производные по х и у. Тогда, выразив
по обычным формулам производные от z по х и у через;
производные от и по v a w, получим
-*L = -L&(o,).
dv 2 V '
Все решения этого уравнения даются формулой
u(v, w) = — b(w)v + с(w),
где c(w) —любая функция от до. Значит,
*(*. У) = ~!г(х+У)Ь(х-у) + с(х-у). (8.13)*
Но легко показать, что нет такой области на плос-
плоскости (х, у), где даваемая этой формулой функция z
имеет производные по х и у. Для этого заметим сле-
следующее: если бы эти производные существовали в точ-
точках {х,у) и (х+е, у+в), то существовали бы также-
производные в точке (я, у) у функции
z(x+e, y+E) — z(x,y)=eb(x — y),
что невозможно. Значит, функция z(x, у) не может
удовлетворять уравнению (8.12), и наше первоначаль-
первоначальное предположение было неверно.
Можно показать'), что всякое непрерывное решение
уравнения (8.12) имеет вид (8.13), если даже не тре-
требовать, чтобы это решение имело непрерывные произ-
производные. Тогда мы придем к выводу, что уравнение (8.12)
ни в какой области не имеет непрерывного решения.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что если начальные данные задаются на харак-
характеристике, то уравнение (8.6) или ие имеет ии одного решения,,
или имеет бесконечно много решеиийГ Когда имеет место первые-
случаи и когда второй?
*) В a i г е. Sur les fonctions dp variables reeles. — Annali dfc
mathematica C), t. 3 A899), 101—121.

262 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
2. Покажите, что если п=2 и область G односвязна, то реше-
решение линейного уравнения можно продолжить на любую облаеть.
состоящую из точек характеристик, проведенных через S. Если
•область не односвязна, то это не всегда возможно (постройте при-
пример). Заметим, что при п>2 это не всегда возможно и для одно-
связной области.
3. Теория существенно упрощается, если рассматривать обоб-
обобщенные решения уравнения (8.1), под которыми здесь следует
понимать непрерывные функции, удовлетворяющие вдоль каждой
характеристики уравнению (8.3). Рассмотрите обобщенные реше-
дг
дня уравнения —— = 0 в некоторой области G плоскости х, у, если
условие Коши задано на некоторой кусочно-гладкой линии S, ле-
лежащей в G. Найдите условия существования (обобщенного) ре-
решения задачи Коши, условия существования единственного реше-
решения. Найдите условие того, что нулевым данным Коши отвечает
лишь тождественно нулевое решение. (В чем отличие этого требо-
требования от предыдущего?) Всегда ли из единственности решения
задачи Коши в большей области R следует единственность в мень-
меньшей области, содержащейся в первой? Попробуйте перенести ка-
какие-либо из этих результатов на уравнение
а(х,у)^ + Ь(х,у)^=0 (а+
дх ду
с непрерывно дифференцируемыми функциями а и 6. Приведите
пример такого уравнения в некоторой области R, все решения
которого обязательно постоянны.
4. Рассмотрите примеры, в которых через некоторые точки
проходит более одной характеристики. Пусть уравнение (*)
рассматривается в полуплоскости х^О, а условие Коши задается
на оси х=0 с непрерывной начальной функцией, причем коэффи'
циеиты а и 6 считаются непрерывными, афО и для простоты
sup|6/a|<oo. Докажите, что (обобщенное) решение, если сущест-
существует, то обязательно единственно. Если характеристики продол-
продолжаются в сторону убывания х однозначно, то решение сущест-
существует, в противном случае может и не существовать. Каково необ-
необходимое н достаточное условие существования, решения задачи
Коши? Какие новые моменты появятся, если не требовать ограни-
ограниченности 6/а?
§ 62. Первые интегралы системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
Из предыдущего изложения следует, что автономная
система, состоящая из обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений (8.2) и уравнения

i 62)
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
26ЭГ
определяет в пространстве (х, и) семейство траекторий,
из которых состоят интегральные поверхности и = и(х),
т. е. графики решений- уравнения (8.1) (/"рассматри-
(/"рассматривается как параметр). Запишем эти обыкновенные диф-
дифференциальные уравнения в симметрической форме так:
dx2
а2
dxn
du
— 6
(8.14).
Иногда бывает легко найти не равные ни в какой
области тождественно постоянному функции ц>(х, и),
которые сохраняют постоянные значения на всякой ин-
интегральной линии системы (8.14). Такие функции назы-
называются первыми интегралами этой системы. Приведен-
Приведенное определение, очевидно, равносильно такому: при
любом постоянном С множество ф=С не содержит внут-
внутренних точек и целиком состоит из интегральных линий'
системы (8.14). (Последнее свойство выражают сло-
словами: множество ф=С есть интегральное многообразие
Системы (8.14).)
Рассмотрим вновь уравнение (8.6) с двумя незави-
независимыми переменными. Для этого уравнения интеграль-
интегральные линии, из которых состоят интегральные поверхно-
поверхности, определяются системой
dx
dy
dz
— с
Пусть ,каким-то образом мы нашли два !) таких пер-
первых интеграла системы (8.15)
ф(х, y,z), ${х,у,г),
что в каждой точке рассматриваемой области Gz прост-
пространства (х, у, z) по крайней мере одни из миноров 2-го
порядка матрицы
дф
дх
ду
дх ду
дф
дг
~дГ
*> В случае системы (8.14) для получения результатов, аналогич-
аналогичных приведенным ниже, требуется знание п первых интегралов; рас-
рассмотрение этого случая мы предоставляем читателю.

¦264 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
отличен от нуля. Тогда система уравнений
0,г0),
(8.16)
f°)
определяет в области Gz некоторую линию L, так как
в окрестности каждой точки, в которой оба уравнения
удовлетворяются, эта система по теореме о неявной
функции определяет две какие-то координаты как функ-
функции третьей координаты. Эта линия, вообще говоря, мо-
может состоять из нескольких кусков. Будем предпола-
предполагать, что в рассматриваемой области Gz каждая из ли-
линий (8.16) состоит только из одного куска. По опреде-
определению первого интеграла каждая из функций <р(#, у, z)
и $(х, у, z) принимает одно и то же значение <р(*°, у0, г°)
и соответственно г|> (*°, у0, г°) вдоль проходящей через
точку (х°, у°, г°) интегральной линии системы (8.15).
Следовательно, эта интегральная линия целиком совпа-
совпадает в области Gz с линией (8.16). Отсюда следует, что
система уравнений
<p(x;y,z)=Cu q(x,y,z)=C2 (8.17)
представляет собой интеграл системы {8.15) в области
Gz, так как, выбирая за~ постоянные С\, C2 значения
<р(х°, у9, z°), ^(хо,у°,г°), получим интегральную линию
системы (8.15), проходящую через любую точку
(х°, у0,2°) области Gz, т. е. получим любую интеграль-
интегральную линию этой системы.
Пусть теперь требуется найти интегральную поверх-
поверхность уравнения (8.6), проходящую через линию
*=а(о),у=р.(Ь), z=y(o). (8Л8)
При этом предполагается, что
1) функции а, р, у имеют непрерывную производную
по v,
2) детерминант
-?-•<-.»
¦2- ><"•»

§ 62] ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 26Б
всегда отличен от нуля. Геометрически это последнее
условие можно интерпретировать как требование того,
чтобы лежащая в плоскости (х, у) линия
x=a(v), г/=р(и)
нигде не касалась характеристик уравнения (8.6).
Тогда, согласно основным теоремам § 61, в некото-
некоторой окрестности линии (8.18) существует одна и только
одна интегральная поверхность уравнения (8.6), прохо-
проходящая через линию (8.18). Так как по предыдущему
эта интегральная поверхность состоит из интегральных
линий системы (8.15), проходящих через точки линии
(8.18), то уравнение искомой интегральной поверхности
можно получить, подставляя в правые части уравнения
(8.16) вместо х°, у0, z° соответственно а (и), Р(и)> y{v),
что дает
, у, z) =<р(а, р, y) =Ф(").
и исключая из этих двух равенств параметр и.
Замечание. Всякий первый интеграл %(х, у, z) си-
системы (8.15) на области Gz есть функция от ц>(х, у, z)
и -ф (х, у, z). Действительно, по определению первого
интеграла %{х,y,z) должно сохранять постоянные зна-
значения на каждой интегральной линии этой системы.
А каждая такая линия, согласно предыдущему, вполне
определяется значениями на ней функций ф.(х, у, z) и
ip{x,y,z): ¦ .
Пример. Найти интегральную поверхность урав-
уравнения
2-^- + 3—+ 5=0, (8.6')
дх ду
проходящую через линию
x=a}v, у = ачр, z = a,bv;
при этом постоянные а.\, а2, 'а% выбраны так, что детер-
детерминант
2
ФО. (8.19)
И. Г. Петровский

гее
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
Система уравнений (8.15) теперь принимает вид
dx dy I dz
Интегрируя уравнения
— 5
(8.15')
dx
2
dx
dy
3
dz
мы получим следующие первые интегралы системы
(8.15'):
Ф==3х — 2у и t|) =
Так как детерминант.
Эф
Эф
дх
~дх~
ду
3 — 2
5 .0
то уравнения
Зх — 2у=С{ и 5x+2z=C2
(8.17')
дают общий интеграл системы (8.15') во всем простран-
пространстве (х, у, г). При любых значениях постоянных С\ и С2
система (8.17') определяет некоторую линию (прямую),
состоящую только из одного куска. Поэтому уравнение
искомой интегральной поверхности уравнения (8.6').
можно написать так:
Zx — 2y=
— 2a2v,
Из этих уравнений можно исключить v. Для этого
достаточно решить первое из них относительно v, что
возможно в силу условия (8.19), и найденное значение и
подставить во второе уравнение.

§ 631 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 267
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что знание к функционально независимых пер-
первых интегралов системы D.4) позволяет, вообще говоря, понизить
число "искомых функций в этой системе на к.
2. В задачах с физическим содержанием первые интегралы
часто выражают те или иные законы сохранения. Получите пер-
первый интеграл для системы
dx dv
— = tu m— + fcx = 0,
равносильной уравнению
свободных колебаний материальной точки без трения, исходя из
закона сохранения полной энергии точки.
§ 63. Квазилинейные уравнения
Квазилинейными мы называем уравнения вида
=O,x = (xl,..:, хп). (8.20)
i=\
Это уравнение линейно относительно производных от и,
но не относительно самого и. Мы будем предполагать,
что ui{x,u) и Ь(х, и) имеют непрерывные частные про-
производные по всем аргументам в некоторой области про-
пространства (х, и) и что
с$(х,и)>0.
1=1
Предположим, что нам известно,какое-нибудь реше-
решение и(х) этого уравнения, имеющее непрерывные пер-
первые частные производные. Составим вспомогательную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
= а, (х, и (д)), t = l,... //I, (8.2.1)
где t — некоторый параметр. Подставим это решение
и(х) в уравнение (8.20). Тогда получим тождество
10*

268 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
-2-
г- + Мх.^-0. (8-22)
Задача Коши для уравнения (8.20) формулируется
так же, как и для уравнения (8.1): требуется найти та-
такое решение уравнения (8.20), которое на некоторой
(п—1) -мерной поверхности S пространства х прини-
принимает заданные значения. Более общая постановка: че-
через заданную в пространстве (х, и) {п—1) -мерную по-
поверхность S требуется провести п-мерную интегральную
поверхность Т уравнения (8.20) 1\
Докажем единственность этого решения в достаточ-
достаточной близости S в предположении, что решение непре-
непрерывно дифференцируемо и поверхность S нигде не имеет
касательных прямых, проекции которых на плоскость
и = 0 имеют направляющие косинусы, пропорциональные
значениям правых частей уравнений (8.21) в точке ка-
касания. Для этого мы укажем процесс, который единст-
единственным'способом определяет решение задачи Коши в
предположении, что такое решение существует. Этот
процесс позволяет практически решать задачу Коши
для квазилинейных уравнений. Мы уже доказали, что
для всякого непрерывно дифференцируемого решения
уравнения (8.20) удовлетворяются также следующие
уравнения:
-^- =at(x,u), i = 1, ... , п,
at
(8.23)
') При этом Т уже может представлять неоднозначную функцию
х, т. е. каждому рассматриваемому набору значений xi, .... хп может
отвечать некоторое множество значений и. Однако в достаточной
близости от любой своей точки Т должна представлять однозначную
функцию и(х), удовлетворяющую (8.20). Например, 7" может иметь
вид геликоида с осью Ои, рассматриваемого вне некоторой окрестно-
окрестности этой оси.

§ 631 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2ЙЙ
Начальные значения (при ?=0) Xi и ив каждой точке
(х°, м°) поверхности 5 нам известны. По этим началь-
начальным данным система (8.23) единственным образом опре-
определяет и и все Xt как функции от t.
Соответствующая линия в пространстве х, и
u = u(t,x°,u°)
называется характеристикой уравнения (8.20) '>. Таким
образом, для любого достаточно малого куска S мы
однозначно определили и в той окрестности проекции
этого куска на плоскость х, которую покрывают проек-
проекции пересекающих S характеристик. «Ширина» этой
окрестности нигде не сузится до нуля. В самом деле:
1) 5 не имеет касательных прямых, параллельных
оси Ои. Действительно это сразу следует из конечности
—— (t = 1,..., п) на поверхности Т, существующих по
дхс
предположению.
2) S не имеет касательных прямых, проекции кото-
которых на плоскость м=0 имеют направляющие косинусы,
пропорциональные правым частям уравнений (8.21).
Действительно, это было оговорено особо.
Итак, любые две интегральные поверхности, прохо-
проходящие через S, совпадают в некоторой окрестности каж-
каждой точки 5] объединяя эти окрестности, получаем, что
указанные поверхности совпадают в некоторой окрест-
окрестности S.
При доказательстве существования решения задачи
Коши для уравнения (8.20) мы будем, как и в § 61 и 62,
рассматривать случай двух независимых переменных
х, у и обозначать искомую функцию z—z{x,y). Тогда
•> Так как полулинейные уравнений являются частным случаем
квазилинейных, то для полулинейных уравнений имеются два поня-
понятия характеристик: в смысле § 61 и в смысле § 63. Легко проверить,
что характеристики в первом смысле представляют собой проекции
характеристик во втором смысле на пространство х.

270 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
дифференциальное уравнение имеет вид
=0 (а* +
(8.24)
а(х,у,г)-?-+Ь(х,у,г) -^-+ с(х, у,г) =0
ах ду
система уравнений характеристик принимает внд
±- = a(x,y,z), JjL = b{x,y,z), ± = ~с(х, у, г);
(8.25)
сами характеристики имеют уравнения
y
(8.26)
г=хA.х*,у°,*>),
а линия 5 — уравнения
jc° = a(o), y° = $(v), z° = y(v)
(8.27)
2
где v — параметр, изменяющийся п некотором замкну-
замкнутом интервале. Мы будем предполагать все заданные
функции непрерывно дифференцируемыми, а линию 5
лежащей в области определения коэффициентов урав-
уравнения (8.20). Кроме того, если ставится задача не о про-
проведении интегральной поверхности, а о нахождении
однозначного решения задачи Коши, то надо требовать,
чтобы проекция 5 линии 5 на плоскость г = 0 не имела
самопересечений.
Тогда условия 1) и 2), напечатанные выше курси-
курсивом, означают:
а'8+р'2->0, a'b-р'афО (вдоль 5). (8.28)
В силу сказанного выше искомая интегральная по-
поверхность Т состоит из характеристик, проведенных че-
через все точки линии 5 (рис. 39); значит, уравнения
характеристик (8.26) и линии 5 (8.27) надо рассмотреть
совместно. Проверим, что уравнения (8.26) и (8.27)
определяют в пространстве в некоторой окрестности ли-
линии 5 поверхность Т, которая вблизи каждой своей
точки имеет уравнение z = z(x,y) с непрерывно диффе-

64]
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
271
ренцируемой правой частью. Тогда то, что уравнение
(8.24) удовлетворяется, вытекает сразу из равенств
(8.25), а выполнение начального условия очевидно.
В силу теоремы о неявной функ-
функции достаточно проверить, что в точ-
точках линии 5
D(t,y)
Рис. 39
D{s,v)
так как тогда в окрестности каж-
каждой точки 5 можно два первых
уравнения (8.26) разрешить относи-
относительно t и v и подставить резуль-
результат в третье. (Непрерывная диффе-
ренцируемость функций ср, -ф и % вы-
вытекает из теоремы о зависимости решения системы, (8.25)
от начальных данных.) ЧЭднако на S, т. е. при t=0,
имеем x=:^i(v)i y=fi(v), и потому в силу равенств (8.25)
Р{х,у)
дф
dt
Эф
dv
Эф
dt
Эф
dv
=
а
а'(о)
b
У (v)
D(t,v)
Существование решения задачи Коши доказано.
Подчеркнем, что существование решения гаранти-
гарантируется только в некоторой,- достаточно узкой, заранее
не фиксированной окрестности линии 5. То, что это
объясняется существом дела, будет ясно из следующего
параграфа.
§ 64. Обобщенные решения линейных
и квазилинейных уравнений
В § 61 для линейного уравнения с частными произ-
производными первого порядка было построено решение за-
задачи Коши и доказана его единственность. При этом
предполагалось, что поверхность S, заданная на ней
функция / и все коэффициенты уравнения являются
достаточно гладкими. Примеры показывают, что если

272 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
ослабить эти предположения, то решения задачи Коши
может не существовать. Один из таких примеров при-
приведен в конце § 61.
В связи с различными физическими задачами пред-
представляет интерес так расширить понятие решения зада-
задачи Коши, чтобы оно существовало при меньших требо-
требованиях гладкости на / и коэффициенты уравнения и
при этом имела место теорема единственности.
Ниже мы изложим один из возможных подходов
к решению этого вопроса •>. Будем для простоты рас-
рассматривать случай двух независимых переменных t и х
и линейные уравнения вида
L(u) = JjL+a(t,x)-^r + b(t,x)u = c(t, x), (8.29)
где а, Ь, с являются непрерывно дифференцируемыми
функциями t и х. Будем рассматривать задачу Коши
с условием на отрезке прямой f=0:
«@, *)=/(*), (8.30)
которое будем называть начальным условием. Очевид-
Очевидно, что прямая ?=0 не касается характеристик урав-
уравнения (8.29). Если в некоторой области G функция
u(t,x) удовлетворяет уравнению (8.29), то, очевидно,
при любой непрерывно дифференцируемой функции F,
равной нулю в окрестности границы G,
JJ [!(«)— c]Fdtdx = 0. (8.31)
G
Обратно, если для некоторой непрерывно дифференци-
дифференцируемой в G функции u(t, x) равенство (8.31) выпол-
выполняется при любой указанной выше функции F, то
L(u)—c, т. е. u(t,x) является решением уравнения
(8.29) в G. Действительно, если Ь{и)фс в точке (/°, х°),
'» С основными фактами теории обобщенных решений линейных
и квазилинейных уравнений 1-го порядка можно познакомиться в
книге: Р. Курант. Уравнения с частными производными. — М.:
Мир, 1964, приложение 2 к гл. II, а также гл. V, § 9; в статье:
О. А. О л е й н и к. Разрывные решения нелинейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. — УМН, 12, № 3 A957), с. Зг-73; см. также:
И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными произ-
производными. — М.: Физматгиз, 1961, с. 141—144.

§ 641 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 273
то L(u)—с сохраняет знак в некоторой окрестности Q
этой точки. Взяв F положительной в Q и равной нулю
вне Q, мы получим противоречие в равенством (8.31).
Равенство (8.31) мы можем записать в другом виде.
Для этого преобразуем его левую часть. Очевидно, что
справедливо тождество
L (и) F = L'(F)u + — (uF) + — (auF), (8.32)
dt дх
где, по определению,
Проинтегрируем (8.32) по G и для преобразования по-
последнего интеграла воспользуемся формулой Грина. Учи-
Учитывая, что F равна нулю в окрестности границы G, по-
получим
f f L (u)F dtdx=\(U (F) и dt dx.
в а
Равенство
( j [V (F) u — cF\dtdx = 0 (8.33)
о
положим в основу определения обобщенного решения
уравнения (8.29). Отметим, что^ оно имеет смысл также
и для недифференцируемых и даже разрывных функций
u(t,x).
Мы ограничимся рассмотрением только таких функ-
функций u(t,x), которые сами и их производные 1-го поряд-
порядка имеют разрывы лишь на конечном числе попарно не
пересекающихся или имеющих лишь общие концы ли-
линий вида x=<p{t), где <р(/) непрерывно дифференцируе-
дифференцируема; при- этом для каждой дуги такой линии при
е->-+0 существуют равномерные пределы u(t, y(t) — в),
u(t, ф(д+е) и аналогично для —— и ——. Такие функ-
функции и (t, x) будем называть кусочно-гладкими.
Кусочно-гладкую функцию u(t,x) будем называть
обобщенным решением уравнения (8.29) в области G,
если при любой непрерывно дифференцируемой функ-

2?4 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (гл. V1I1
ции. F, равной нулю в окрестности границы G, выпол-
выполняется равенство (8.33).
Легко проверить, что обобщенное решение u(t,x)
уравнения (8.29) может иметь разрывы только вдоль
характеристик. Действительно, пусть x=y(t) — линия
разрыва u(t,x) и пусть F(t,x) — любая непрерывно
дифференцируемая функция, равная нулю вне доста-
достаточно малой окрестности й кривой х=ср(/). Мы можем
предположить, что в каждой .из областей Q\ и Ог, на
которые кривая x=q>{t) разбивает Q, функция u(t,x)
непрерывно дифференцируема, а поэтому в Й[ и й2 она
удовлетворяет уравнению (8.29). Пользуясь равенством
(8.33), получим
О = ff [V(F)u — cF]dtdx = [UV{F)u — cF\dtdx+-
,o я,
+ JJ [L* {F)u — cF]dtdx = JJ [L(u) — c] Fdtdx +
\a, a,
+ JJ[L(h)— c]Fdtdx+ f [ujfdr—[u]aFd< =
где последние два интеграла.взяты вдоль кривой x=q>(t)
и [u]=u(t, q>(t)—Q)—u(t, (f(t)+O). Так как F — произ-
произвольная функция на кривой x—(p(t), то из равенства
dtp л
нулю последнего интеграла следует, что —-—а = О,
dt
т. е. кривая x—y(t) является характеристикой уравне-
уравнения (8.29).
Нетрудно проверить, что '-^- и —^- также могут
dt дх
иметь разрывы лишь вдоль характеристик. Действи-
Действительно, пусть решение u(t, x) непрерывно вдоль линии
x=q>(t), не являющейся характеристикой. Тогда в силу
теоремы единственности оно, как в Qi, так и в Q2, сов-
совпадает с обычным, непрерывно дифференцируемым ре-
решением, равным u(t, ср(/)) на линии ^=ф(^). Значит-,
ди ди
—- и -—- не могут иметь на ней разрывов. Точно так
же легко проверить, что всякая кусочно-гладкая функ-

5 64] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 275
ция u(t,x), удовлетворяющая, уравнению (8.29) в точ-
точках непрерывной дифференцируемое™ и имеющая раз-
разрывы только вдоль характеристик, является обобщен-
лым решением уравнения (8.29).
Обобщенным решением задачи Коши в области G
для уравнения (8.29) с условием (8.30) будем называть
такое обобщенное решение u(t,x) уравнения (8.29), ко-
которое в точках непрерывности при t=0 совпадает с за-
заданной функцией'/ (х). Легко проверить, что такая функ-
функция u(t, x) для любой непрерывно . дифференцируемой
в G функции F, равной нулю в некоторой окрестности
границы G, удовлетворяет равенству
J J [Г (F) и - cF] dt dx - j2 F @, x) f (x) dx = 0,
G
где Gi — пересечение G с полуплоскостью ?>0, а отре-
отрезок [ai, a2] — пересечение замыкания G с прямой t — 0.
¦Это равенство можно взять за определение обобщенного
решения задачи Коши в области G\, для уравнения
(8.29) с начальным условием (8.30).
Отметим одно важное свойство линейных уравнений
с частными производными первого порядка, вытекающее
из § 61. Окрестность Ro поверхности S, в которой га-
гарантируется существование решения задачи Коши, не
зависит от заданной на S функции /. Можно доказать,
что обобщенное решение задачи Коши для уравнения
(8.29) с условием (8.30) существует в такой же окрест-
'ности интервала (аи а^) прямой /=0, если f(x) непре-
непрерывно дифференцируема всюду, за исключением конеч-
конечного числа точек, где она и ее производная имеют раз-
разрывы первого рода, и это решение единственно. Этот
факт можно установить таким же путем, как в § 61
доказаны теоремы существования и единственности ре-
решения задачи Коши.
Рассмотрим теперь квазилинейные уравнения 1-го
порядка. Для квазилинейных уравнений с частными
производными 1-го порядка, как это легко видеть на
примерах, в отличие от линейных уравнений, область,,
в которой определяется решение задачи Коши, зависит
от величины функции f. и ее производных. Так, напри-
например, для уравнения

276 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ. ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
-*L + M_*L = o (8.34)
dt дх
решение задачи Коши, удовлетворяющее условию
и@,*) = -Ш—, 8>0,
8
определяется только при t<s, ибо, как легко проверить,
проекции характеристик на плоскость (t, х), соответст-
соответствующих начальной функции —th(x/s), пересекаются
при ?>е и приносят в. эти точки разные значения и.
По аналогии с линейными уравнениями мы можем
ввести понятие обобщенного решения для квазилиней-
квазилинейных уравнений 1-го порядка, записанных в виде
Ju_ + da(t.x,u) + ь {t> х и) = Q (g 35)
dt дх s
Уравнения такого вида иногда называются законами
сохранения. Понятие обобщенного решения квазилиней-
квазилинейного уравнения играет важную роль в задачах газовой
динамики и других разделов механики и физики!).;
Под обобщенным решением уравнения (8.35) в об-
области G будем понимать кусочно-гладкую функцию
u{t,x) такую, что при любой непрерывно дифференци-
дифференцируемой функции F(t,x), равной нулю в окрестности
границы G, выполняется равенство
¦ и + Л- a (t, х,"и) — Ъ (t'x, и) F\ dt dx = 0. (8.36)
Обобщенное решение уравнения (8.35), удовлетворяю-
удовлетворяющее условию (8.30) в точках непрерывности, называет-
называется решением задачи Коши (8.35), (8.30).
Точно так же, как и для уравнения (8.29), можно по-
показать, что на линиях разрыва *=<р(?) обобщенного ре-
решения и (t, x) уравнения (8.35) выполняется условие
_ а(/, х, u((,x+'0))—a(t'x, u(t, х — 0)) /Я „„,
dt u(t,
Легко видеть, что линия разрыва u(t,x), вообще гово-
') См. литературу, указанную в сноске на с. 272.

S 64] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 277
ря, не является проекцией характеристики уравнения
(8.35).
В отличие от линейного уравнения, равенство (8.36)
не определяет единственного обобщенного решения урав-
уравнения (8.35), принимающего при ?=0 заданные значе-
значения f(x) во всех точках непрерывности u(t,х). Так, на-
например, обобщенным решением задачи Коши в полу-
полуплоскости t>Q для уравнения (8.34)
ди
удовлетворяющим начальному условию.
(8.38)
— 1 при х > 0.
является при любом а>1 фун^-ция ua(t, x), определен-
определенная равенствами:
1, если х^——^-Л'
Z
-а, если -Lz?L*<x<0,
ua{t,x)= (8.39)
а, если 0 < х < -^— t,
1, если -1 < х.
(Проекции характеристик ыа (f, x) на плоскость (А *)
изображены на рис. 40.)
- Таким образом, для определения единственного обоб-
обобщенного решения задачи Коши для уравнения (8.35)
с условием (8.30) нужны дополнительные условия. Для
случая —- >0 таким дополнительным условием для
дФ
уравнения (8.35) в области G, лежащей в полуплоско-
полуплоскости t>0, является выполнение на линиях разрыва соот-
соотношения !)
u(t, x — 0)>u(t, x+0). (8.40)
*> Доказательство этого утверждения содержится в укячаниой
выше статье О, Д. Олейнив,

278
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
Это соотношение, как легко видеть, выделяет из всех
функций (8.39) только одно обобщенное решение
u<x(t,x) при а=1. Согласно (8.39) имеем: Ui(t,x) = l
при х<0 и ui(t, х)=—1 при л>0.
В отличие от линейных уравнений, обобщенное ре-
решение задачи Коши для квазилинейного уравнения
(8.35), вообще говоря, не может быть построено с по-
Рис. 40
Рис. 41
мощью характеристик, проходящих через точки
(О, х, и@,х)). В качестве примера рассмотрим снова
задачу Коши для уравнения (8.34) с начальным усло-
условием (8.38). Легко видеть, что обобщенное решение
этой задачи Коши не определяется однозначно с помо-
помощью характеристик даже в сколь угодно малой окрест-
окрестности прямой t=0. Действительно, проведем в про-
пространстве (t, х, и) через точки @, х, «(О,х)), .где
—^оо<*< + оо, характеристики уравнения (8.34), т. е.
решения системы уравнений
dt
dt
Поверхность, составленная из этих характеристик, в слу-
случае гладкой функции ы@, х) определяет решение за-
-дачи Коши в окрестности прямой ?=0, причем эта ок-
окрестность зависит от начальной функции м@, х).
Если ы@, x)=f(x), где f(x) определена условием
(8,38), чо проекции этих характеристик на плоскость

§ 64] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 279
(t, x) дважды покрывают точки, лежащие при t>0 меж-
между прямыми л: — ?=0 и *+?=0, и притом с различными
значениями и, и не покрывают точки, лежащие между
этими прямыми при ?<0 (рис. 41). Существуют другие
методы построения обобщенных решений квазилинейных
уравнений. Важное значение имеет так называемый ме-
метод введения «малой вязкости», который ведет свое на-
начало от задач газовой динамики1*.
Вопросы о продолжении решения для всех значений
t>0, о построении обобщенных решений квазилинейных
уравнений и об условиях единственности обобщенного
решения задачи Коши представляют большой интерес
для газовой динамики и некоторых других разделов ме-
механики.
Условие на разрывах (8.37), которые в мех-анике на-
называют ударными волнами, соответствует в газовой ди-
намике законам сохранения массы, энергии и импульса
при переходе через ударную волну, а условие (8.40)
соответствует закону неубывания энтропии.
ЗАДАЧИ
1. Определите обобщенное решение задачи Коша для линей-
линейного уравнения с частными производными 1-го порядка со мно-
многими независимыми переменными. При предположении, что f —
кусочио-гладкая функция, докажите теорему существования и
единственности, а также выведите соотношение, которому удов-
удовлетворяют поверхности разрыва обобщенных решений.
2. Для уравнения (8.12) из § 61 определите с помощью соот-
соотношения (8.33) непрерывное обобщенное решение задачи Коши
с непрерывной начальной функцией f(x). Докажите его существо-
существование и единственность.
3. Постройте обобщенное решение задачи Коши для уравне-
уравнения (8.34) в области t>0, удовлетворяющее условию (8.40), если
f(x) — кусочно-постоянная функция с конечным числом разрывов
(рассмотрите сначала случай, когда f (x)' имеет один или "два раз-
рцва). Докажите единственность этого решения.
4. Докажите, что условие (8.40) определяет единственное
обобщенное решение задачи Коши для уравнения (8.34J в полу-
полуплоскости f^O
*> Подробное описание этого метода можно найти в указанной
иа с. 272 литературе.

280 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
§ 65. Нелинейные уравнения
Мы рассмотрим уравнение
F(x,u, -^-, ... , -^-) = 0, x=(Xl, ... ,*„),, (8.41)
Л дхх дхп 1
и предположим, что функция F по всем своим аргу-
аргументам в некоторой области Bгс+1)-мерного простран-
пространства имеет непрерывные частные производные" до 2-го
порядка включительно и что
~|2
(8.42)
Для сокращения записи положим
Xt. U,pt, Р,
дх{ ' ди dxt И' dpi
Задача Коши для уравнения (8.41) ставится аналогич-
аналогично тому, как и для уравнения (8.20); ниже мы уточним
эту постановку.
Допустим, что и(х) есть какое-нибудь решение урав-
уравнения (8.41), имеющее непрерывные частные производ-
производные 2-го порядка. Подставим это решение в уравнение
(8.41) и полученное тождество продифференцируем по
каждому Xk, k=\,:.., п. Получим
i=\
(8.43)
Эти уравнения квазилинейны относительно ръ.. По-
Построим в пространстве х траектории автономной си-
системы
4jL = Pt. t=l,..:.n, (8.44)
где в правых частях вместо и и ps подставлено рассмат-
рассматриваемое решение и(х) и его соответствующие произ-
производные. Тогда уравнения (8.43) можно переписать

> 65]
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
281
в виде
dpi
dt
i = 1, ... , п.
(8.45)
Найдем, наконец, производную от и(х) по параметру t.
Получим
du
dt
ди dxt
дХ[ dt
(8.46)
Система, состоящая из уравнений (8.44), (8.45) и (8.46),
определяет однозначно *,-, pi и • и как функции от t,
если задать их начальные значения. Траектории этой
автономной системы в пространстве (х, и, р\,..., рп) на-
называются характеристиками уравнения (S.41); они зави-
зависят только от этого уравнения J).
Пусть поверхность S, на которой заданы значения и,
не имеет самопересечений и задается уравнениями *; =
— Xi(vi,...,vn-i), i=i,...,n. Тогда заданную на S функ-
функцию и можно также рассматривать как функцию от
VU...,Vn-i.
Мы будем предполагать, что функции Xt(v\,..., vn-i)
и u(vu ..., vn-i) непрерывны вместе с их частными про-
производными по v\,..., vn-i до 2-го порядка включительно
и в каждой точке поверхности S отличен от нуля по
крайней мере один из миноров (п — 1) -го порядка мат-
матрицы
dxi \дхп
'дхп
Рассмотрим вопрос о том, как задание и на 5 опре-
определяет значения р,- на S. Если в равенство и = и{х) под-
подставить выражения и и % через v, то оно обратится
в тождество. Дифференцируя это тождество, получим
л —1
(8.47)
') Проекции этих линий на пространство х или Яространство
(х, и) также иногда называются характеристиками.

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
(здесь pi берутся, конечно, на S), С другой стороны,
на S должно иметь место равенство (8.41). Оно дает
F(x, и, ри ...,>„) = О,
(8.48)
где вместо х, и следует подставить их выражения че-
через v. Соотношения (8.47) и (8.48) представляют собой
систему п уравнений с неизвестными функциями
ри ..., рп от аргументов v\,...,vn-i* Поэтому для приме-
применения теоремы о неявных функциях необходимо, чтобы
дх2
* я
дхп
dvi
dvn
(8.49)
при всех рассматриваемых значениях V\ vn-u т. е.
всюду на S.
Исходя из этого, впредь при постановке задачи Ко-
ши для уравнения (8.41) мы будем считать, что на S
не только дано и{и\,..., vn-\), но также выбраны зна-
значения Р\,...,Рп, непрерывно зависящие от v\,..., vn-\,
причем, так, чтобы удовлетворялись соотношения
(8.47) — (8.49). Тогда"из теоремы о неявных функциях
¦следует, что р\ рп имеют непрерывные производные
по vu ..., vn~\.
, Следует отметить, что в силу нелинейности уравне- •
ния (8.48) при заданной и на S значения р,- на S опре-
определяются, вообще говоря, неоднозначно. Однако если
выполняются условия, сформулированные в предыду-
предыдущем абзаце, и если" pll)(A) =pf\A), i=l,...,n, в ка-
какой-нибудь точке А поверхности S, то ptl)=pP, i —
= 1,..., л, всюду на S; это следует из теоремы о неяв-
неявных функциях в силу условия (8.49).
Геометрически условие (8.49) означает, что в каж-
каждой точке х° поверхности S проекция на пространство х
характеристики, проходящей через точку (х°, и°, р\, ...
¦¦•'Рп) (и0, Pi,...,pn определяются из начальных усло-
условий), не касается S. (Проверьте!).

§ 65] НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 283.
Из единственности решения системы (8.44) — (8.46)
следует единственность решения задачи Коши. Действи-
Действительно, так как мы предположили, что функция F имеет
непрерывные производные по всем ее аргументам до
2-го порядка, то в силу условия (8.42) правые части
уравнений (8.44) имеют непрерывные производные 1-го,
порядка по всем их аргументам, что обеспечивает един-
единственность решения системы (8.44) — (8.46).
Переходя к доказательству существования решения
задачи Коши в некоторой окрестности поверхности S,
мы предположим, что S и заданная на ней функция и
удовлетворяют условию, напечатанному на с. 281 кур-
курсивом, и что, кроме того, на S выбраны р\,...,рп так,
что всюду на S выполняются условия . (8.47) — (8.49).
Как в § 61—63, мы будем проводить доказательство
для случая двух независимых переменных. Тогда урав-
уравнение имеет вид
F(x, у,'г, р, q) = 0, р = &-, q = -|-; (8.50)
с.истема уравнений характеристик (в пятимерном про?
странстве) (х,у,z,p,q)имеет вид
±-Р;. ± = Qt (8.5D
-^- = -X — pZ, JL^^y — qZ, , (8.52)
dt dt 4 v '
(8.53)
ш
где
dF
дх
P--
dt
- =
У:
dF
dp
pP +
dF
*y
СУ.
qQ,
7
dF
do
dF
dz
Начальные условия определяются соотношениями х=
=x(v), y=y{v), z=z(v), p=p{v), q = q{v), причем пер-
первые три функции дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемы
три функции дважды непрерывно диффере
и (—A +(-7-f~) >°>а последние две функции

284 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
рывно дифференцируемы и удовлетворяют соотноше-
соотношениям (8.50),
P-f + ^ = p-f (8.54)
dv dv idv
P Q
dx_ r_dy_
dv" dv
Ф0. (8.55)
Чтобы доказать существование решения при этих
предположениях, достаточно проверить, что построенные
согласно системе (8.51) — (8.53) по начальным данным
решения
x(t, v), y(t, v), z(t, v), p(t, v), q(t, v) (8.56)
(мы считаем /=0 на S) обладают следующими свой-
свойствами:
1. Система уравнений x=x(t, v), y=y(t,v) может
быть однозначно разрешена относительно t, v в неко-
некоторой окрестности линии S, причем решения имеют не-
непрерывные производные по х, у. Тогда в этой окрест-
окрестности линии S величины t, v могут быть приняты за
криволинейные координаты. Так как мы предполагаем,
что функции x(v),.... q{v), заданные на линии S, имеют
непрерывные производные по v, и так как правые части
уравнений (8.51) — (8.53) имеют непрерывные производ-
производные по всем их аргументам, то построенные нами реше-
решения (8.56) имеют непрерывные производные по t, v.
Поэтому, если в полученное нами выражение для z
через t, v подставить вместо t, v их выражения через
х, у, мы получим 2 как функцию от х, у, имеющую
непрерывные первые производные по х, у.
2. Функции (8.56) всюду в рассматриваемой окрест-
окрестности S удовлетворяют уравнению (8.50).
Чтобы доказать первое из этих утверждений, нам
достаточно доказать, что при всех достаточно малых

§65]
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
285
значениях \t\
детерминант
дх
dt
'дх
dv
ду
dt
М.
dvl
(8.58)
отличен от нуля. Так как элементы детерминанта не-
непрерывны по t, v, то нам достаточно доказать, что этот
детерминант отличен от нуля на .самой линии S, а это
последнее следует из (8.55) и (8.51).
Утверждение второе, очевидно, справедливо на са-
самой линии S; начальные значения р, q мы выбираем
так, чтобы они удовлетворяли уравнению (8.50). Чтобы
доказать, что не только на линии S, т. е. при ?=0, но
и при всех достаточно малых |/| выполняется это соот-
соотношение, покажем, что если в левую часть уравнения
(8.50) подставить вместо х, у, z, р, q решение (8.56)
системы (8.51) — (8.53), то результат подставки не бу-
будет зависеть от t. Действительно,
dF
dt
dt
dt
dp
dt
dz
dt '
Подставляя вместо—, ... , правые части уравне-
dt dt
ний (8.51) — (8.53), получим нуль.
Вместо того чтобы доказывать третье утверждение,
т. е. (8.57), покажем сначала, что во всей рассматри-
рассматриваемой нами окрестности линии S
dv
dv
dv
dt
dt
dt
<8.59)
Справедливость второго равенства следует из того, что
dt
-^-= 0
dt *
в силу уравнений (8.51) и потому соответствующее
уравнение (8.59) совпадает с уравнением (8.53). О пер-
первом уравнении (8.59) нам известно пока только, что оно

286 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
справедливо при ?=0: начальные значения для р, q на
линии S мы выбрали так, чтобы соотношение (8.54)
удовлетворялось.
Чтобы доказать, что это уравнение удовлетворяется
и при других t, положим и s р а -3- и
dv dv dv
dU
найдем .
dt
Дифференцирование U no t возможно. Это следует
из того, что построенные нами решения системы (8.51) —
(8.53) имеют непрерывные производные по t, v, как мы
уже отмечали. Если подставить эти решения в уравне-
уравнения (8.51) — (8.53), то правые части полученных тож-
тождеств будут иметь непрерывные производные по t, v.
Значит, и левые части также имеют непрерывные произ-
производные по этим аргументам, т. е. существуют непрерыв-
д2х д*у дгг „
ные производные , —— , .Итак,
dt dv dtdv dtdv
dU ' dzz dp dx da dy d*x dzy
dt dvdt dt dv' dt dv dvdt dvdt '
(8.60)
Продифференцируем теперь по и справедливое, как мы
только что показали, при всех рассматриваемых значе-
значениях t, v тождество
dt dt v dt
Получим
dH dp dx dq dy d4 d2y _^~
dtdv dv ~d~t dv~ ~ЬТ dtdv dtdv ~
(8.61
Вычитая почленно (8.61) из (8.60), находим
_ dp dx dq dy dp dx dq dy
~ .dv dt dv dt dt dv dt dv '
Если воспользоваться равенствами (8.51) и (8.52), то
полученное только что соотношение можно переписать

§ 6&1 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЙ 28?
так:
dt do do do
(8.62)
Дифференцируя доказанное прежде тождество
F(x,y, z,p, q)=Q
по, v, находим
X-*L + уЛИ- + Р JL + Q Л + Z— - 0.
dv dv dv do dv
Вычитая это соотношение из (8.62), получим
Zf dz dx dy \ rjr,
\- p— q-л- \ = ~ZU.
Z ( р q
dt. \ dv dv 7 dv
Следовательно,
It
f/(/) - f/@) exp [— j
[ j
о
Так как f/@)=0, то при всех других t величина
?/@о
Итак, мы доказали, что во всей рассматриваемой
окрестности линии 5
dz ¦ дх , dy dz dx dy
~dv~~P~dv~ q~do~' dt ^РЩГ q~dT'
Докажем теперь справедливость равенства (8.57). Для
этого заметим, что
dz _ dz dv dz dt dz dz do dz dt
dx dv dx dt dx ' dy ¦ dv dy dt dy
Подставляя сюда значения , из предыдущих
dv dt
тождеств, получим
dz / dx dy \ dv . I dx dy \ dt
~dx~ ~ V ~^o" ^ ~dv~) ~dx \ ~dT + 4~dT) dx ~
dx dx

288 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ'ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
дх « ди п < dz
так как —¦= 1, —— = 0. Аналогично находим ——.
дх дх о и
Пример. Найти решение уравнения
(¦?¦)¦+(S-)'-1-"- (8'63)
график которого проходит через окружность х2+у2=1,
2 = 0.
Введя параметр о, запишем уравнение этой окруж-
окружности
x=s'mv, y — cosv, 2=0. (8.64)
Уравнения (8.51) — (8.53) принимают вид
dx _ dy_ _ dz] _ _dp_ _ Jq_ _ ^ ,g gg^
2p 2? L2(P2 + ?2) " 0 0
Из последних двух уравнений находим р = С\ и q=C2,
где С\ и С2 — некоторые постоянные. Подставляя най-
найденные р и q в первые уравнения, получаем
где С3, С4, Сб — некоторые постоянные.
Чтобы удовлетворялось данное дифференциальное
уравнение, должно быть
Cf+C|=l. (8.66)
Поэтому z=2t+C5.
Чтобы при /=0 линия
x=2Cit+d,
y=2C2t+Ci,
z=2t+C5
проходила через точку, определяемую параметром v на
окружности (8.64), надо, чтобы было
C3 = sin v,

§ 65] НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 289
Тогда уравнение интегральной поверхности уравнения
(8.63), проходящей через окружность (8.64), запишется
в виде x = 2Ci/+sino, t/=2C2^+cos v, z=2t, где/ и о —
параметры. Чтобы при / = 0 выполнялось соотношение
дг дх , " ди
= о У- а ——
dv Н dv Ч dv '
надо, чтобы 0 = pcoso — qsinv или Cicos o = C2sino.
Принимая во внимание (8.66), находим отсюда
Ci = esino, C2=ecoso, где е=±1.
Из соображений непрерывности следует, что е по-
постоянно вдоль всей кривой.. Следовательно, оконча-
окончательно мы поЛучаем такие параметрические уравне-
уравнения интегральной поверхности: х=B/е+1) sin о; у=
— Bte+l)cosv; z=2t. .Исключая отсюда t и о, най-
найдем
(8.67)
Таким образом, мы нашли две интегральные поверх-
поверхности уравнения (8.63), проходящие через окружность
(8.64). Это два круглых конуса в пространстве (x,y,'z),
у которых в основании лежит окружность (8.64) и об-
общая ось совпадает с осью Oz.
Замечание. Из рассмотренного примера видно,
что сделанная нами на с. 284—285 оговорка о том, что
детерминант (8.58) отличен от нуля только вблизи ли-1
нии S, вызывается существом дела. Нельзя думать, что
проходящие через линию 5 (сохраняя обозначения § 63)
проекции
*=*(*, х°, t/°), y=y(t,xP,y°), z=z{t,xPyy*)
траекторий системы (8.51) — (8.53) на пространство
(х, у, z) образуют гладкую поверхность при как угодно
больших значениях параметра t. Несмотря на то что
траектории системы (8.65) определяются этой системой
при как угодно больших t, нельзя как угодно далеко
продолжать интегральные поверхности уравнения (8.63),

290 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ {гл. VIH
проходящие через окружность (8.64), не попадая на
особые точки. Такими особыми точками являются вер-
вершины конусов (8.67).
Для квазилинейных уравнений особенностей такого
типа не может быть, так как для таких уравнений ха-
характеристики в пространстве Х\ хп, и не пересе-
пересекаются.
ЗАДАЧИ
1. Выясните связь характеристик, введенных в этом парагра-
параграфе, с характеристиками, введенными в § 61 н 63.
2. Характеристику можно представить себе как линию в про-
пространстве хи ..., хп, и, через каждую точку которой проходит
плоскость с угловыми коэффициентами pi р„; докажите, что
в каждой точке линии эта плоскость касается самой линии.
3. (Хаар.) Пусть пирамида G с основанием М в пространст-
пространстве Х\, ..., хп (я>2) определена неравенствами
0<xn<a, max{|*i|, ..., |xn-i|}<a—х„ (а>0).
Пусть иа G задана дифференцируемая функция «(ж), удовлетво-
удовлетворяющая неравенству
да
n-1
дхп
ди
дх(
Докажите, что тогда всюду в G
X X
min {min и, 0} е " — б (е " —¦ 1) < и (х) <
< max {max «, 0} А + б (А — 1).
м
Указание. Рассмотрите точку максимума функции
v {х; Я) = е~(Х+'-%)хп [и (х) - б (А - 1)] (Я >0).
Докажите, пользуясь этим утверждением н леммой Адамара,
в соответствующих предположениях, теоремы о единственности
решения уравнения (8.41) и о непрерывной зависимости этого
решения от начальных условий и от вида самого уравнения. При
этом дли простоты можно сначала предположить, что начальные
условия задаются при хп = 0.

§ 66J УРАВНЬЛЙЕ ПФАФФА 291
§ 66. Уравнение Пфаффа
Уравнением Пфаффа в пространстве {х, у, г) назы-
называется уравнение вида
Pdx+Qdy+Rdz=O, (8.68)
где Р, Q и R — функции от х, у, г. .
Существуют две трактовки этого уравнения. В пер-
первой х, у и z считаются функциями одного какого-либо
параметра t. Задавая две из величин х, у, z как функ-
функции этого параметра, мы придем к обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению для определения третьей
величины. Можно произвольно задать некоторое соотно-
соотношение между х, у и z
Ф(х,у г)=0. (8.69)
Рассматривая здесь х, у и z как функции некоторого
параметра t и дифференцируя (8.69) по t, получим
¦dx-\ dy ~\ dz = 0. (8.70)
дх ду dz
При весьма общих предположениях относительно функ-
функций Ф, Р, Q, R два уравнения (8.68) и (8.70) можно
разрешить относительно отношений двух из дифферен-
дифференциалов dx, dy, dz к третьему, например относительно
— и ——. Тогда получим систему двух обыкновенных
dx dx
дифференциальных уравнений для определения z и у
как функций от х. Условие (8.69) оставит, вообще гово-
говоря, одну произвольную постоянную в общем решении.
В другой трактовке уравнения Пфаффа одна из ве-
величин," например z, рассматривается как функция двух
других. Будем предполагать, что в рассматриваемой об-
области
Тогда из уравнения (8.68) получаем
dz^Ptdx+Qtdy, (8.71)
где

292 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. VIII
Отсюда
-|-=P1(x,y,ai), (8.71')
¦^r = Q1(x,y,z). (8.71")
Будем считать, что z имеет непрерывные частные произ-
производные второго порядка по х и у, a Pi и Q\ — первые
непрерывные производные по своим аргументам. Тогда
(8.72)
дх ду дудх
При дифференцировании Pi и Qi no x и у мы учли
их зависимость и от г, которое, по предположению, есть
функция от х и у. Условие (8.72) можно записать так:
т. е.
так как
дРг .
ду '
ду
ДОЛЖНО
dPJ
дг
дг
быть
dz
ду
dQi
дх
дх
дЧ
+
dQi
дх
dz
dz
дх
~>
ду дх
(8.73)
Допустим, что условие (8.73), или, что все равно,
условие (8.72) выполняется тождественно в рассматри-
рассматриваемой области G пространства (х, у, г) и что функции
Р\ и Q\ имеют непрерывные производные по всем их
аргументам до 2-го порядка включительно. Тогда через
каждую точку G проходит одна и только одна инте-
интегральная поверхность системы (8.7Г), (8.71") или, что
все равно, уравнения (8.68).
Доказательство. Докажем прежде всего един-
единственность решения системы (8.71), проходящего через
заданную точку А(хо, уо, z0). Для этого заметим еле-

S 66] УРАВНЕНИЕ ПФАФФА 293
дующее. Уравнение (8.71'), в котором у постоянно рав-
равно г/о. определяет единственную интегральную линию L,
проходящую через точку А(хо, уо, zq) в плоскости г/ = г/о.
Уравнение же (8.71"), в котором х сохраняет некоторое
постоянное значение х0, определяет единственную инте-
интегральную кривую t(xo), проходящую в плоскости х=ха
через лежащую в этой плоскости точку кривой L. Сово-
Совокупность линий 1(х), построенных для всех точек ли-
линии L, единственным образом определяет интегральную
поверхность S системы (8.71), проходящую через точку
(*о, Уо, 2о).
Докажем теперь, что построенная только что по-
поверхность действительно есть интегральная поверхность
системы (8.7Г), (8.71"). Прежде всего, непрерывность
поверхности вытекает из непрерывной зависимости ре-
решения уравнения (8.71") от параметра х и начального
условия. Из самого построения этой поверхности оче-
очевидно, что для всех ее точек удовлетворяется уравнение
(8.71"). Остается доказать, что для всех ее точек удов-
удовлетворяется и уравнение (8.7Г)- Что построенная нами
функция z=z(x, у) действительно всюду имеет непре-
непрерывную производную по х, следует из дифференцируе-
мости решения по параметру и начальным данным.
Остается доказать, что удовлетворяет уравнению
(8.71'). Для этого заметим, что, согласно самому по-
построению поверхности S, это уравнение удовлетворяется
при у—уо. Чтобы доказать, что оно удовлетворяется и
при других значениях у, положим
P1(x,y,2) F
и найдем (тот факт, что у функции z существует
дЧ ,
производная , следует из того, что эта функция
дхду
удовлетворяет уравнению (8.71"), правая часть кото-
которого имеет непрерывные производные по х, у и z):
dF
ду
д
ду
1дг\ д
\ дх ) с
'Pi dPi
>У дг
дг
дч

294 уравнений & частными Производными [гл. viii
dx dz dx % dz . dy
*b J9 JRZJEJE. (8.74)
дх дх dz dy dz
Мы преобразовали {—— |, пользуясь тем, что
ду \ дх )
д ( дг \ _ д /fe\ 'dz __ -
ду \ дх j дх \ dy J' dy
При дифференцировании Qi по у мы учли, что и z за-
зависит от у. Пользуясь тождеством (8.72), мы можем
равенство (8.74) переписать в виде =——F. Отсю д
ду dz
У»
Следовательно, F(x,y) равно нулю при всех рассмат-
рассматриваемых у, поскольку оно равно нулю при у = уо, что
и требовалось доказать.
Геометрически решение уравнения Пфаффа в первой
его трактовке означает построение кривых, ортогональ-
ортогональных заданному полю направлений в пространстве
(в каждой точке (х, у, z), направление задается векто-
вектором с проекциями Р, Q, R). При второй трактовке
строятся поверхности, ортогональные тому же полю
(или, что то же, имеющие в каждой точке пространства
заданную касательную плоскость).
ЗАДАЧИ
п
1. Рассмотрите уравнение Пфаффа V % (х) dxk — 0 в я-мер-
ном пространстве при соответствующих предположениях о коэффи-
коэффициентах. Сколько трактовок допускает такое уравнение? Разберите
наиболее подробно ту трактовку, в которой «интегральными мно-
многообразиями» считаются (я—1)-мерные поверхности; при этом

§ 66] УРАВНЕНИЕ ПФАФФА 295
уравнение целесообразно переписать в форме системы («=*„):
ди
-?- = bk(*i, ... , хп-1, и), k = 1, ... , п — 1.
2. Уравнения и системы уравнений Пфаффа рассматривают
также в виде уравнений с многомерным-временем
т
dxt = ^ аЧ Vi {т> *i хп) dtjt i~= I, ... » п.
/=l
Напишите аналогичные (8.73) условия совместности такой системы,
обеспечивающие существование и единственность решения при
начальных условиях дг,- (t®, ... , <?,) =Jff, i=il п. Укажите, в ча-
частности, вид этих условий и общего решения для линейной авто-
m
номной системы dx = jTAjxdtj, где * — вектор, а А; — постоян-
/=1
ныё квадратные матрицы. Рассмотрите линейные автономные систе-
системы при n=3, m=2 и укажите все 4 грубых (сохраняющих основ-
основные свойства прн малом изменении коэффициентов) типа особых
точек в начале координат.