/
Автор: Муратов М.А. Пашкова Ю.С. Смолич В.П.
Теги: математический анализ высшая математика
Год: 2021
Текст
Министерство науки и высшего образования
Крымский федеральный университет имени
В.И.Вернадского
Таврическая академия
Факультет математики и информатики
М. А. Муратов
Ю. С. Пашкова
В. П. Смолич
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть II
Симферополь - 2021
Оглавление
1 Неопределенный интеграл
1.1 Лекция №1
Первообразная и неопределенный интеграл . . . . . . . . . .
1.1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Понятие первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Основные свойства неопределенного интеграла . . . .
1.1.5 Таблица основных неопределенных интегралов . . . .
1.1.6 Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Лекция №2
Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Непосредственное интегрирование. . . . . . . . . . . .
1.2.2 Метод замены переменной или метод
подстановки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Метод интегрированияZ по частям. . . . . . . . . . . .
dx
1.2.4 Интегралы вида Kn =
. . . . . . . . . . .
(x2 + a2 )n
1.3 Лекция №3
Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Простые дроби и их интегрирование . . . . . . . . . .
1.3.3 Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование правильной рациональной
дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Лекция №4
Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Выделения рациональной части интеграла . . . . . . .
2
9
9
9
10
13
15
17
21
26
26
27
32
36
39
39
41
46
55
55
1.5
1.6
1.7
1.4.2 Вычисление многочленов P1 (x) и P2 (x). . . . . . . . .
Лекция №5
Интегрирование некоторых иррациональных выражений . .
1.5.1 Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
1.5.2 Интегрированием квадратичных иррациональностей.
Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция №6
Интегрирование иррациональных выражений (продолжение)
1.6.1 Геометрическая интерпретация
подстановок Эйлера .
Z
Pn (x)
√
dx . . . . . . . . . . .
1.6.2 Интегралы вида
ax2 + bx + c
Лекция №7
Интегрирование биномиальных дифференциалов. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений . . . . .
1.7.1 Интегрирование биномиальных дифференциалов. Теорема Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Интегрирование некоторых тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
R(sh x, ch x)dx . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Интегралы вида
2 Определенный интеграл
2.1 Лекция №8
Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу . . . . . .
2.1.1 Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . .
2.1.2 Верхняя и нижняя суммы Дарбу и их свойства . . .
2.2 Лекция №9
Условия существования определенного интеграла. Равномерная непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Лемма Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Равномерная непрерывность функции . . . . . . . .
2.3 Лекция №10
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Некоторые разрывные функции. . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
60
65
65
69
78
78
82
92
92
96
106
108
. 108
. 108
. 115
. 127
. 127
. 129
. 135
.
.
.
.
145
145
145
153
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Лекция №11
Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . .
2.4.1 Свойства, выражаемые равенствами . . . . . . . . . .
2.4.2 Свойства интегрируемых функций . . . . . . . . . . .
2.4.3 Аддитивность интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Свойства, связанные с неравенствами . . . . . . . . . .
Лекция №12
Формулы среднего значения. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . .
2.5.1 Формулы среднего значения . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция №13
Основные методы интегрирования. Формулы Бонне . . . . .
2.6.1 Замена переменной под знаком определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Формула интегрирования по частям в определенном
интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Формулы Бонне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция №14
Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Понятие плоской кривой по Жордану . . . . . . . . .
2.7.2 Понятие длины плоской кривой. Спрямляемость . . .
2.7.3 Достаточные условия спрямляемости дуги кривой . .
2.7.4 Дифференциал дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.5 Частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция №15
Геометрические и физические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Понятие площади плоской фигуры. Квадрируемость .
2.8.2 Площадь криволинейной трапеции . . . . . . . . . . .
2.8.3 Площадь криволинейной трапеции, когда кривая задана параметрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Площадь криволинейного сектора . . . . . . . . . . . .
4
155
155
156
159
163
169
169
177
181
184
184
187
190
202
202
206
209
210
214
218
218
230
235
238
2.9
Лекция №16
Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения. Масса и центр тяжести неоднородного стержня . . . 245
2.9.1 Понятие объема пространственного тела. Кубируемость245
2.9.2 Объем тела вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2.9.3 Площадь поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . 261
2.9.4 Масса и центр тяжести неоднородного стержня . . . . 267
3 Несобственные интегралы
270
3.1 Лекция №17
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.1.1 Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования . . . . . . . . . . . . 270
3.1.2 Применение основной формулы интегрального исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.1.3 Простейшие теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
3.2 Лекция №18
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.2.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования от неотрицательных функций. Признаки сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.2.2 Общий признак сходимости НИ-1. Абсолютная и условная сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
3.2.3 Признаки Абеля и Дирихле сходимости НИ-1 . . . . . 300
3.3 Лекция №19
Несобственные интегралы от неограниченных функций НИ-2 305
3.3.1 Определение несобственных интегралов от неограниченных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.3.2 Применение основной формулы интегрального исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
3.3.3 Свойства сходящихся НИ-2. . . . . . . . . . . . . . . . 312
3.4 Лекция №20
Несобственные интегралы от неограниченных функций НИ2 (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
5
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
Несобственные интегралы от неограниченных функций. НИ-2 от неотрицательных функций. Признаки
сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Общий признак сходимости НИ-2. Абсолютная и условная сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Признаки Абеля и Дирихле сходимости НИ-2 . . . . .
Главные значения расходящихся несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320
326
334
338
4 Числовые ряды
343
4.1 Лекция №21
Понятие числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.1.1 Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.1.2 Свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . 349
4.1.3 Необходимое условие сходимости ряда. . . . . . . . . . 354
4.2 Лекция №22
Ряды с неотрицательными членами . . . . . . . . . . . . . . . 358
4.2.1 Сходимость рядов с неотрицательными членами. Признаки сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
4.2.2 Признаки Даламбера и Коши . . . . . . . . . . . . . . 366
4.2.3 Интегральный признак Коши-Маклорена . . . . . . . 374
4.3 Лекция №23
Ряды с произвольными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
4.3.1 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . . . . . 380
4.3.2 Признаки Абеля и Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . 383
4.3.3 Абсолютно и условно сходящиеся ряды. . . . . . . . . 391
4.4 Лекция №24
Группировка и перестановка членов ряда. Произведение рядов396
4.4.1 Группировка членов ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
4.4.2 Перестановка членов ряда. Теорема Римана . . . . . . 398
4.4.3 Произведение рядов. Теорема Коши . . . . . . . . . . . 412
5 Функциональные последовательности и ряды
416
5.1 Лекция №25
Функциональные последовательности. Равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
5.1.1 Понятие функциональной последовательности. Сходимость. Предельная функция . . . . . . . . . . . . . . 416
6
5.1.2
5.2
5.3
5.4
Равномерная сходимость функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Критерий равномерной сходимости функциональной
последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Простейшие свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей . . . . . . . . . . . .
Лекция №26
Функциональные ряды. Равномерная сходимость . . . . . . .
5.2.1 Понятие функционального ряда. Сходимость. Сумма
ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Равномерная сходимость функционального ряда . . .
5.2.3 Простейшие свойства равномерно сходящихся функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда
Лекция №27
Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и функциональных рядов . . . . . . . . . . .
5.3.1 Признак Дини равномерной сходимости функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости
функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция №28
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и функциональных рядов . . . . . . . . . . .
5.4.1 Почленный переход к пределу в функциональной последовательности и функциональном ряде . . . . . . .
5.4.2 Непрерывность предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального
ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Почленное интегрирование функциональной последовательности и функционального ряда . . . . . . . . . .
5.4.4 Почленное дифференцирование функциональной последовательности и функционального ряда . . . . . .
6 Степенные ряды
420
424
427
431
431
435
439
443
447
447
449
451
458
458
463
465
469
475
7
6.1
Лекция №29
Понятие степенного ряда. Область сходимости. Равномерная
сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
6.1.1 Определение степенного ряда. Общие замечания . . . 475
6.1.2 Интервал сходимости степенного ряда . . . . . . . . . 476
6.1.3 Вычисление радиуса сходимости степенного ряда . . . 483
6.1.4 Равномерная сходимость степенного ряда . . . . . . . 488
6.1.5 Дифференцирование и интегрирование степенного ряда490
6.1.6 Арифметические операции над степенными рядами . 494
8
Глава 1
Неопределенный интеграл
1.1
1.1.1
Лекция №1
Первообразная и неопределенный интеграл
Введение
Интегральное исчисление непосредственно вытекает из дифференциального. Неопределенный интеграл наряду с производной является основным понятием математического анализа. Приведем список литературы,
которым мы будем пользоваться.
1. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2, 3.
2. В. А. Ильин, Э. Г. Поздняк. Основы математического анализа. Части
I и II.
3. А. М. Тер-Крикоров, М. Н. Шабунин. Курс математического анализа
4. Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов под
редакцией Б. П. Демидовича.
5. Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа.
9
1.1.2
Понятие первообразной
Одной из основных задач дифференциального исчисления является
отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа с его многочисленными приложениями в геометрии,
механике, физике и технике приводят к решению обратной задачи: по данной функции f (x) найти такую функцию F (x), производная которой была
бы равна функции f (x), т.е. выполнялось бы равенство:
[F (x)]0 = F 0 (x) = f (x).
Восстановление функции F (x) по известной производной f (x) этой
функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1.1.1. Функция F (x) называется первообразной функцией
(или просто первообразной) для функции f (x) на некотором интервале
(a, b) (или на некотором множестве X), если в любой точке x ∈ (a, b) этого
интервала функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство
[F (x)]0 = F 0 (x) = f (x).
Примеры 1.1.2.
1o Функция
F (x) = sin x
является первообразной для функции
f (x) = cos x
на всей прямой R, так как при любом значении x ∈ R выполняется
равенство:
(sin x)0 = cos x.
2o Функция
F (x) = x3
является первообразной для функции
f (x) = 3x2
на всей прямой R, так как в каждой точке x ∈ R, так как при любом
значении x ∈ R выполняется равенство:
(x3 )0 = 3x2 .
10
3o Функция
F (x) =
√
1 − x2
является первообразной для функции
x
f (x) = − √
1 − x2
на интервале (−1, +1), так как в любой точке x ∈ (−1, +1) выполняется равенство:
√
x
.
( 1 − x2 ) 0 = − √
1 − x2
4o Функция
F (x) = ln x
является первообразной для функции
f (x) =
1
x
на интервале (0, +∞), так как в любой точке x ∈ (0, +∞) выполняется равенство:
1
(ln x)0 = .
x
Замечание 1.1.3. Задача отыскания по данной функции f (x) её первообразной решается неоднозначно. Действительно, если F (x) — первообразная для функции f (x) на некотором интервале (a, b), т.е.
(F (x))0 = f (x),
то функция F (x) + C, где C – произвольная постоянная, также будет первообразной для f (x) на том же интервале (a, b), так как
[F (x) + C]0 = f (x)
(для произвольного постоянного числа C).
Например, для функции f (x) = cos x первообразной функцией является не только функция sin x, но и функция sin x + C, так как
(sin x + C)0 = cos x.
11
Покажем, что множество функций F (x) + C, где F (x) — некоторая
первообразная для функции f (x), а C — произвольная постоянная, исчерпывает множество всех первообразных для функции f (x).
Напомним важное следствие теоремы Лагранжа, которое мы сформулируем в виде леммы.
Лемма 1.1.4. Если функция y = f (x) дифференцируема на интервале
(a, b), и
f 0 (x) = 0
в любой точке x ∈ (a, b), то функция f (x) постоянна на интервале (a, b).
Доказательство. Пусть x0 ∈ (a, b) — фиксированная точка интервала.
Рассмотрим произвольную точку x ∈ (a, b).
1). Пусть сначала x0 < x < b.
Так как функция y = f (x) непрерывна и дифференцируема на интервале (a, b), то она непрерывна и дифференцируема на отрезке [x0 , x] ⊂ (a, b).
Тогда на отрезке [x0 , x] функция f (x) удовлетворяет теореме Лагранжа. Поэтому существует точка c ∈ (x0 , x), что
f (x) − f (x0 ) = f 0 (c)(x − x0 ).
Так как
f 0 (x) = 0
в любой точке x ∈ (a, b) и c ∈ (a, b), то
f 0 (c) = 0,
и потому
f (x) − f (x0 ) = f 0 (c)(x − x0 ) = 0,
откуда
f (x) = f (x0 ) = const
для любой точки x ∈ (a, b), x ≥ x0 .
2). Случай a < x < x0 рассматривается аналогично.
Теорема 1.1.5. Если F1 (x) и F2 (x) — две первообразные для функции
f (x) на некотором интервале (a, b), то всюду на этом интервале имеет
место равенство
F1 (x) − F2 (x) = C,
где C — некоторая постоянная.
12
Доказательство. Так как
F10 (x) = f (x)
и
F20 (x) = f (x),
то для любого x ∈ (a, b) выполняется равенство
(F1 (x) − F2 (x))0 = F10 (x) − F20 (x) = f (x) − f (x) = 0.
Тогда по лемме 1.1.4,
F1 (x) − F2 (x) = C.
Следствие 1.1.6. Если F (x) — первообразная для функции f (x) на некотором промежутке (a, b), то любая другая первообразная Φ(x) для f (x)
на том же промежутке имеет вид
Φ(x) = F (x) + C,
где C — некоторая постоянная.
1.1.3
Неопределенный интеграл
Определение 1.1.7. Совокупность всех первообразных функций для функции f (x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от
функции f (x) на этом интервале и обозначается символом
Z
f (x)dx.
Z
При этом символ
называется знаком интеграла, функция f (x) называ-
ется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, а переменная x – переменной интегрирования.
13
Замечание 1.1.8. Если функция F (x) — некоторая первообразная для
функции f (x) на интервале (a, b), то
Z
f (x)dx = F (x) + C.
Замечание 1.1.9. Если функция F (x) — некоторая первообразная для
функции f (x) на интервале (a, b), то
dF (x) = F 0 (x)dx = f (x)dx.
Определение 1.1.10.
Z Операция нахождения первообразной F (x) или неопределенного интеграла
f (x)dx называется интегрированием функции f (x).
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом
подынтегральную функцию.
Примеры 1.1.11.
1o На R = (−∞, +∞)
Z
3x2 dx = x3 + C,
так как
(x3 + C)0 = 3x2 ;
2o На R = (−∞, +∞)
Z
cos x dx = sin x + C,
так как
(sin x + C)0 = cos x;
3o На (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
Z
1
dx = ln |x| + C,
x
так как
(ln |x| + C)0 =
14
1
;
x
4o На R = (−∞, +∞)
Z
так как
0
1 −2x
− e
+ C = e−2x .
2
5o На (−1, +1)
√
−x
√
dx = 1 − x2 + C,
1 − x2
Z
так как
1.1.4
1
e−2x dx = − e−2x + C,
2
√
−x
.
( 1 − x2 + C)0 = √
1 − x2
Основные свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают
следующие его свойства.
Свойство 1.
• Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Z
0
f (x)dx
= f (x).
• Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Z
d
f (x)dx = f (x)dx.
Действительно,
Z
0
f (x)dx
и
Z
d
= (F (x) + C)0 = (F (x))0 = f (x)
f (x)dx
0
Z
=
f (x)dx
15
dx = f (x)dx.
Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Z
dF (x) = F (x) + C.
Действительно, обозначим F 0 (x) = f (x). Тогда как
dF (x) = (F (x))0 dx = f (x)dx.
Поэтому
Z
Z
dF (x) =
f (x)dx = F (x) + C.
Свойство 3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е. если k = const 6= 0, то
Z
Z
kf (x)dx = k f (x)dx.
Действительно, пусть F (x) — первообразная для функции f (x), т.е.
(F (x))0 = f (x).
Тогда
(kF (x))0 = k(F (x))0 = kf (x).
Таким образом, kF (x) — первообразная для функции kf (x).
Замечание 1.1.12. Из определения следует, что
Z
Z
k f (x)dx = k[F (x) + C] = kF (x) + C1 = kf (x)dx,
где C1 = kC.
Однако такие рассуждения чаще всего опускают, имея ввиду, что равенство двух неопределенных интегралов представляет собой равенство
двух множеств функций.
Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих
функций в отдельности, т.е.
Z
Z
Z
[f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx.
16
Действительно, пусть F (x) и G(x) — первообразные для функций f (x) и
g(x) соответственно. Тогда
(F (x))0 = f (x)
и
(G(x))0 = g(x).
Следовательно,
(F (x) ± G(x))0 = F 0 (x) ± G0 (x) = f (x) ± g(x),
т.е. функции F (x) ± G(x) будут первообразными для функций f (x) ± g(x).
Таким образом,
Z
Z
f (x)dx ± g(x)dx = [F (x) + C1 ] ± [G(x) + C2 ] = [F (x) ± G(x)] +
Z
+[C1 ± C2 ] = [F (x) ± G(x)] + C = [f (x) ± g(x)]dx.
Легко видеть, что это свойство справедливо для любого конечного числа
слагаемых функций.
1.1.5
Таблица основных неопределенных интегралов
Приведем таблицу так называемых основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость остальных формул легко, проверить дифференцированием.
10 . Если C = const, то C 0 = 0. Поэтому
Z
0 dx = C.
20 . Так как x0 = 1, то
Z
1 dx = x + C.
17
30 . Так как (ln |x|)0 =
1
, то
x
Z
1
dx = ln |x| + C.
x
40 . Так как при α 6= −1
xα+1
α+1
0
то
Z
= xα ,
xα dx =
xα+1
+ C.
α+1
xn dx =
xn+1
+ C.
n+1
В частности, при n ∈ N
Z
50 . Так как
то
Z
ax
ln a
0
ax dx =
= ax ,
ax
+ C.
ln a
В частности,
Z
ex dx = ex + C.
60 . Так как
(cos x)0 = − sin x,
то
Z
sin x dx = − cos x + C.
70 . Так как
(sin x)0 = cos x,
то
Z
cos x dx = sin x + C.
18
80 . Так как
(tg x)0 =
то
Z
1
,
cos2 x
1
dx = tg x + C.
cos2 x
90 . Так как
(ctg x)0 = −
то
Z
1
,
sin2 x
1
dx = − ctg x + C.
sin2 x
100 . Так как
(arcsin x)0 = √
то
Z
√
1
,
1 − x2
1
dx = arcsin x + C.
1 − x2
110 . Так как
(arccos x)0 = − √
то
Z
√
1
dx = − arccos x + C.
1 − x2
120 . Так как
(arctg x)0 =
то
Z
1
,
1 + x2
1
dx = arctg x + C.
1 + x2
130 . Так как
(arcctg x)0 = −
то
Z
1
,
1 − x2
1
,
1 + x2
1
dx = − arcctg x + C.
1 + x2
19
140 . Так как
(sh x)0 = ch x,
то
Z
ch x dx = sh x + C.
150 . Так как
(ch x)0 = sh x,
то
Z
sh x dx = ch x + C.
160 . Так как
(th x)0 =
то
Z
1
,
ch2 x
1
dx = th x + C.
ch2 x
170 . Так как
(cth x)0 = −
то
Z
1
dx = − cth x + C.
sh2 x
180 . Так как
(ln |x +
то
Z
√
190 . Так как
то
1
x2 − 1
1
,
sh2 x
√
1
x2 − 1|)0 = √
,
2
x −1
dx = ln |x +
1
x−1
ln
2
x+1
Z
x2
√
x2 − 1| + C.
0
=
x2
1
,
−1
1
1
x−1
dx = ln
+ C.
−1
2
x+1
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.
20
Замечание 1.1.13. Следует отметить, что в отличии от операции дифференцирования, операция интегрирования может выводить за пределы
элементарных функций.
Например следующие интегралы от некоторых элементарных функций
не являются элементарными.
• Интеграл Пуассона
Z
2
e−x dx.
• Интегралы Френеля
Z
и
sin(x2 )dx
Z
cos(x2 )dx.
• Интегральный логарифм
Z
dx
.
ln x
• Интегральные синус
Z
sin x
dx
x
Z
cos x
dx.
x
и интегральный косинус
Такие интегралы называются не берущимися.
1.1.6
Независимость вида неопределенного интеграла
от выбора аргумента
В таблице основных неопределенных интегралов предполагается, что
x — независимая переменная. Однако эта таблица полностью сохранится,
если под x понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию.
1). Пусть сначала x — независимая переменная, f (x) — некоторая
функция на (a, b) и
Z
f (x)dx = F (x) + C.
21
Заменив переменную x на переменную u, мы получим аналогичное равенство:
Z
f (u)du = F (u) + C.
2). Пусть теперь u = ϕ(x) — непрерывно дифференцируемая функция.
Рассмотрим интеграл
Z
Z
f (u)du = f (u(x))u0 (x)dx.
В этом случае функция
F (u) = F (u(x)) = F (ϕ(x))
является первообразной функции f (u) = f (u(x)). Действительно,
[F (ϕ(x))]0 = F 0 (ϕ(x))ϕ0 (x),
или
dF (u) = F 0 (u)u0 (x)dx = F 0 (u)du.
Следовательно,
Z
Z
dF (u) =
0
Z
0
F (u)u (x)dx =
f (u)du.
Итак, если
Z
f (x)dx = F (x) + C,
то
Z
f (u)du = F (u) + C
для любой непрерывно дифференцируемой функции u = ϕ(x).
Примеры 1.1.14.
то
1). Так как
Z
x2 dx =
x3
+ C,
3
sin3 x
+ C.
3
Таким образом, мы получаем еще один интеграл
Z
sin3 x
2
sin x cos x dx =
+ C.
3
Z
sin2 x d sin x =
22
2). Так как
Z
x dx =
x2
+ C,
2
то
ln2 x
+ C.
2
В частности, мы получаем еще один интеграл
Z
ln x
ln2 x
dx =
+ C.
x
2
Z
ln x d ln x =
Замечание 1.1.15. Последний пример показывает, что для вычисления
интеграла
Z
ln x
dx
x
мы можем провести следующие рассуждения:
Z
Z
Z
ln x
u2
ln2 x
dx = ln x d ln x = |u = ln x| = u du =
+C =
+ C.
x
2
2
Другими словами, мы получили представление
Z
Z
f (x)dx = g(u)du
при соответствующем выборе функции u = ϕ(x), где второй интеграл более простой, чем первый.
При этом, удобно использовать следующие полезные преобразования.
(1).
dx = d(x + b), b = const .
(2).
1
1
dx = d(ax) = d(ax + b), a 6= 0, b = const .
a
a
(3).
1
1
xdx = d(x2 ) = d(x2 + b), b = const .
2
2
(4).
sin xdx = −d(cos x).
23
(5).
cos xdx = d(sin x).
(6). Для любой непрерывно дифференцируемой функции ϕ(x)
ϕ0 (x)dx = dϕ(x).
Примеры 1.1.16.
Z
1).
1
x dx
=
2
x +1
2
Z
d(x2 + 1)
1
= ln(x2 + 1) + C.
2
x +1
2
2).
Z
Z
tg x dx =
sin x dx
=−
cos x
Z
d(cos x)
= − ln | cos x| + C.
cos x
3).
Z
Z
ctg x dx =
cos x dx
=
sin x
Z
d(sin x)
= ln | sin x| + C.
sin x
4).
Z
dx
=
+4
Z
dx
√
=
9 − x2
Z
x2
dx
1
=
x 2
2
4
+1
2
Z
dx
s
=
x 2
9 1−
3
Z
x
d
1
x
= arctg + C.
x 22
2
2
+1
2
5).
Z
d
x
r
1−
x
3
=
arcsin
+ C.
x 2
3
3
6). При x > 1
1
Z
Z
Z
d
dx
dx
1
x
√
s
s
=
=
−
=
−
arcsin
+C.
2
2
x
x x2 − 1
1
1
x2 1 −
1−
x
x
24
7). При x < −1
1
Z
Z
Z
d
dx
dx
1
x
√
s
s
=−
=
= arcsin + C.
2
2
2
x
x x −1
1
1
x2 1 −
1−
x
x
8).
Z
1
xe dx =
2
x2
Z
1 2
2
ex d(x2 ) = ex + C.
2
25
1.2
Лекция №2
Основные методы интегрирования
1.2.1
Непосредственное интегрирование.
Вычисление интегралов путем непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называют непосредственным интегрированием.
Замечание 1.2.1. Если
f (x) = k1 f1 (x) + k2 f2 (x) + . . . + kn fn (x) ,
то
Z
Z
f (x)dx = k1
Примеры 1.2.2.
Z
f1 (x)dx + k2
Z
f2 (x)dx + . . . + kn
1).
Z
fn (x)dx .
1
4
5 cos x + 2 − 3x + − 2
dx =
x x +1
Z
Z
Z
Z
Z
dx
dx
2
−4
=
= 5 cos xdx + 2 dx − 3 x dx +
2
x
x +1
2
= 5 sin x + 2x − x3 + ln |x| − 4 arctg x + C.
2).
Z
Z
x
x 2
x
x
x
x
sin + cos
dx =
sin2 + 2 sin cos + cos2
dx =
2
2
2
2
2
2
Z
Z
Z
= (1 + sin x)dx = dx + sin x dx = x − cos x + C.
3).
Z
2
tg x dx =
Z
Z
Z
1 − cos2 x
1
sin2 x
dx =
dx =
− 1 dx =
cos2 x
cos2 x
cos2 x
Z
Z
dx
=
− dx = tg x − x + C.
cos2 x
26
4).
Z
(1 −
√
2
Z
x) dx =
Z
=
√
(1 − 2 x + x)dx =
Z
dx − 2
Z
Z
dx − 2
√
xdx +
Z
xdx =
1
x 2 +1
+ x2 + C =
x dx + xdx = x − 2 1
+
1
2
√
4
= x − x x + x2 + C.
3
1
2
Z
5).
x4 − 6x3 − 8x2 + 9x − 5
dx =
x2
Z
Z
Z
Z
Z
dx
dx
2
= x dx − 6 xdx − 8 dx + 9
−5
=
x
x2
x3
5
=
− 3x2 − 8x + 9 ln |x| + + C.
3
x
Z
1.2.2
Метод замены переменной или метод
подстановки.
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению более простого
интеграла или даже табличного интеграла, т. е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки, или
методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема 1.2.3. Пусть t = ϕ(x) — строго монотонная функция, дифференцируемая на некотором промежутке X, и пусть на множестве
T = ϕ(X) значений этой функции определена функция f (t).
Если на множестве T функция f (t) имеет первообразную F (t):
Z
f (t)dt = F (t) + C ,
то на множестве X функция f [ϕ(x)]ϕ0 (x) имеет первообразную и имеет
место равенство
Z
f [ϕ(x)]ϕ0 (x)dx = F (ϕ(x)) + C .
27
Доказательство.
Z
Z
0
f [ϕ(x)]ϕ (x)dx = |t = ϕ(x)| = f (t)dt = F (t) + C = F (ϕ(x)) + C.
• Пусть нам необходимо вычислить интеграл
Z
f (x)dx.
Замечание 1.2.4.
Выберем такую функцию x = ϕ(t), что
g(t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t),
где функция g(t) легко интегрируема и
Z
g(t)dt = G(t) + C.
Тогда
Z
Z
f (x)dx = |x = ϕ(t)| = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt =
Z
= g(t)dt = G(t) + C = G(ϕ(x)) + C.
Формула
Z
Z
f (x)dx = |x = ϕ(t)| =
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
(1.2.1)
называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
• При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более
удобно задавать не x как функцию t, а, наоборот, задавать t как
функцию от x. Теоретически оба способа равнозначны, так как из
монотонности функции x = ϕ(t) вытекает существование обратной
функции t = ψ(x).
Пусть нам необходимо вычислить интеграл
Z
g(x)dx.
28
Выберем такую функцию t = ϕ(x), что
g(x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x) ,
где функция f (t) легко интегрируема и
Z
f (t)dt = F (t) + C.
Тогда
Z
Z
g(x)dx =
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx = |t = ϕ(x)| =
Z
=
f (t)dt = F (t) + C = F (ϕ(x)) + C.
Формула
Z
Z
g(x)dx = |t = ϕ(x)| =
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx
(1.2.2)
называется формулой подстановки в неопределенном интеграле.
Примеры 1.2.5.
1). Вычислим интеграл
Z
x3
dx.
(x − 1)2
Применим формулу замены переменной:
Z
x3
dx =
(x − 1)2
x−1=t
x=t+1
dx = dt
Z
=
(t + 1)3
dt =
t2
Z
t3 + 3t2 + 3t + 1
dt =
t2
Z
3
1
1
1
=
t + 3 + + 2 dt = t2 + 3t + 3 ln |t| − + C.
t t
2
t
Возвращаясь к переменной x, окончательно получим
Z
x3
1
1
2
dx
=
(x
−
1)
+
3(x
−
1)
+
3
ln
|x
−
1|
−
+ C.
(x − 1)2
2
x−1
29
2). Вычислим интеграл
Z
x4 dx
.
x5 + 7
Применим формулу подстановки:
Z
Z
x4 dx
dt
1
1
x5 + 7 = t
=
= ln |t| + C,
=
4
5
dt = 5x dx
x +7
5
t
5
так что
Z
x4 dx
1
= ln |x5 + 7| + C.
5
x +7
5
Замечание 1.2.6. Необходимо заметить, что удачный выбор подстановки
обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования и твердо
знать табличные интегралы.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Примеры 1.2.7.
3). Вычислим интеграл
Z
dx
√
.
x2 + a
Положим
√
x2 + a + x = t.
Тогда
dt =
√
x
x + x2 + a
t
√
+ 1 dx = √
dx = √
dx.
2
2
2
x +a
x +a
x +a
Таким образом,
√
dx
dt
= .
t
x2 + a
Следовательно,
Z
Z
√
dx
dt
√
=
= ln |t| + C = ln | x2 + a + x| + C.
t
x2 + a
30
4). Вычислим интеграл
Z
Z
sinn x cos xdx.
n
sin x · cos xdx =
t = sin x
dt = cos xdx
Z
=
tn dt.
• Если n = −1, то
Z
Z
n
t dt =
dt
= ln |t| + C.
t
Поэтому
Z
sinn x cos xdx = ln |t| + C = ln | sin x| + C.
• Если n 6= −1, то
Z
tn dt =
tn+1
+ C.
n+1
Поэтому
Z
sinn x cos xdx =
sinn+1 x
+ C.
n+1
5). Вычислим интеграл
Z
xdx
, n 6= 1.
+ 1)n
(x2
Z
1
=
2
Z
xdx
=
(x2 + 1)n
t−n dt =
x2 + 1 = t
2xdx = dt
1
xdx = dt
2
1
=
2
Z
dt
=
tn
1 t−n+1
1
1
·
+C =−
· n−1 + C =
2 −n + 1
2(n − 1) t
=−
1
1
· 2
+ C.
2(n − 1) (x + 1)n−1
При n = 1 аналогично получим
Z
1
xdx
= ln(x2 + 1) + C.
2
x +1
2
31
6). Вычислим интеграл
Z
cos 2x dx.
Z
cos 2x dx =
2x = t
dt = 2dx
1
dx = dt
2
1
=
2
Z
cos t dt =
1
1
sin t + C = sin 2x + C.
2
2
7). Вычислим интеграл
Z
Z
cos x
e
ecos x sin x dx.
cos x = t
dt = − sin x dx
sin x dx =
Z
=−
et dt = −et +C = −ecos x +C.
8). Вычислим интеграл
Z
(arctg x)2020
dx =
1 + x2
Z
=
1.2.3
(arctg x)2020
dx.
1 + x2
arctg x = t
1
dt =
dx
1 + x2
Z
=
t2020 dt =
t2021
(arctg x)2021
+C =
+ C.
2021
2021
Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы
дифференцирования произведения двух функций.
Теорема 1.2.8. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы, на некотором промежутке X и пусть функция u0 (x)v(x) интегрируема на этом промежутке. Тогда на промежутке X функция u(x)v 0 (x)
также интегрируема и справедлива формула
Z
Z
0
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −
32
v(x)u0 (x)dx .
(1.2.3)
Доказательство. Из равенства
[u(x)v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x)
следует
u(x)v 0 (x) = [u(x)v(x)]0 − u0 (x)v(x).
Первообразной функции [u(x)v(x)]0 является функция u(x)v(x). Функция
u0 (x)v(x) интегрируема по условию теоремы. Следовательно, и функция
u(x)v 0 (x) интегрируема как разность интегрируемых функций. Интегрируя последнее равенство, получим формулу (1.2.3).
Формула (1.2.3) называется формулой интегрирования по частям.
Замечание 1.2.9. Так как
v 0 (x)dx = dv, u0 (x)dx = du,
то формулу интегрирования по частям можно записать в виде
Z
Z
u dv = uv − v du .
Z
Она позволяет свести вычисление
Z
u dv к вычислению интеграла
v du,
который может оказаться более простым для интегрирования.
Замечание 1.2.10. Практика показывает что большую часть интегралов,
берущихся методом интегрирования по частям, можно условно разбить на
три группы:
• Подинтегральная функция содержит в качестве множителя одну из
следующих функций:
f (x) : ln x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, . . .
или сложные выражения от этих функций. Тогда в формуле интегрирования по частям обозначают
u = f (x) .
33
• Один из множителей представляет собой степенное выражение относительно переменной x, т.е. интегралы вида
Z
Z
n
(ax + b) cos(cx + d)dx,
Z
n
(ax + b) sin(cx + d)dx,
(ax + b)n ecx+d dx, . . .
где n ∈ N. Тогда в формуле интегрирования по частям обозначают
u = (ax + b)n .
• Интегралы вида
Z
Z
ax
e cos(bx)dx,
ax
Z
e sin(bx)dx,
cos(ln x)dx, . . .
Обозначая такой интеграл через I, и проводя дважды интегрирование по частям, получают линейное относительно I уравнение, решая
которое и находят выражение для интеграла.
Примеры 1.2.11.
Z
arctg x dx =
1).
u = arctg x, dv =Zdx
dx
, v = dx = x
du =
1 + x2
1
= x arctg x −
2
Z
Z
= x arctg x−
x dx
=
1 + x2
1
d(x2 + 1)
= x arctg x − ln(1 + x2 ) + C.
2
1+x
2
2).
Z
ln x dx =
Z
u = ln x,
dvZ = dx
x dx
dx
= x ln x −
=
du =
, v = dx = x
x
x
Z
= x ln x − dx = x ln x − x + C.
34
3).
u = ln x,
dx
x ln x dx =
,
du =
x
Z
x
x2
ln x −
dx =
=
2
2
Z
Примеры 1.2.12.
x2
x2
ln x −
+ C.
2
4
x
dv
Z = e dx
du = dx, v = ex dx = ex
x
xe dx =
=
4).
u = x,
Z
dv =Zx dx
x2
v = xdx =
2
Z
= xe − ex dx = xex −ex +C.
x
5).
Z
u = x2 ,
2
x cos 3x dx =
dv = cos 3x dx
1
du = 2xdx, v = sin 3x
3
u = x,
=
dv = sin 3x dx
1
du = dx, v = − cos 3x
3
1
= x2 sin 3x +
3
1
2
= x2 sin 3x−
3
3
Z
x sin 3x dx =
Z
1 2
2
1
1
= x sin 3x− − x cos 3x +
cos 3x dx =
3
3
3
3
2
2
x cos 3x −
sin 3x + C.
9
27
Пример 1.2.13.
Z
I=
u = eax ,
ax
e cos(bx)dx =
dv = cos(bx)dx
1
du = aeax dx, v = sin(bx)
b
=
u = eax ,
dv = sin(bx)dx
1
du = aeax dx, v = − cos(bx)
b
Z
1 ax
a
1 ax
a
ax
= e sin(bx) −
− e cos(bx) +
e cos(bx)dx =
b
b
b
b
1
a
= eax sin(bx) −
b
b
Z
ax
e sin(bx)dx =
1 ax
a ax
a2
= e sin(bx) + 2 e cos(bx) − 2 I.
b
b
b
35
=
Таким образом, мы получили линейное уравнение
a
a2
1
I = eax sin(bx) + 2 eax cos(bx) − 2 I.
b
b
b
Следовательно
I+
a2
a
1
I = eax sin(bx) + 2 eax cos(bx).
2
b
b
b
Откуда
a2 + b 2
eax [b sin(bx) + a cos(bx)]
I
=
.
b2
b2
Наконец,
I=
eax [b sin(bx) + a cos(bx)]
+ C.
a2 + b 2
Z
1.2.4
Интегралы вида Kn =
dx
(x2 + a2 )n
Покажем, что при вычислении интеграла
Z
dx
Kn =
(x2 + a2 )n
(n – целое положительное число), который играет большое значение при
интегрировании рациональных дробей, тоже используется метод интегрирования по частям.
1). При n = 1 имеем
Z
Z d x
Z
1
dx
1
x
dx
=
=
= arctg + C.
K1 =
x 2a
2
2
2
x
x +a
a
a
a
+1
a2
+1
a
a
Итак,
Z
K1 =
x2
dx
1
x
= arctg + C .
2
+a
a
a
2). Пусть теперь n > 1. Заменим в числителе 1 разностью
1=
1
[(x2 + a2 ) − x2 ].
2
a
36
(1.2.4)
Тогда имеем:
Z
dx
[(x2 + a2 ) − x2 ]dx
1
Kn =
=
=
(x2 + a2 )n
a2
(x2 + a2 )n
Z
Z
Z
dx
x2 dx
x2 dx
1
1
1
1
= 2
−
= 2 Kn−1 − 2
.
a
(x2 + a2 )n−1 a2
(x2 + a2 )n
a
a
(x2 + a2 )n
Z
Вычислим второй интеграл интегрированием по частям:
Z
Z
Z
x · xdx
1
xd(x2 + a2 )
x2 dx
1
2
2
d(x
+
a
)
=
=
=
xdx
=
=
(x2 + a2 )n
(x2 + a2 )n
2
2
(x2 + a2 )n
d(x2 + a2 )
(x2 + a2 )n
=
=
1
1
du = dx, v = −
·
n − 1 (x2 + a2 )n−1
Z
1
x
1
1
dx
=
·
+
−
=
2
n − 1 (x2 + a2 )n−1 n − 1
(x2 + a2 )n−1
u = x,
=−
dv =
x
1
1
· 2
+
Kn−1 .
2
n−1
2(n − 1) (x + a )
2(n − 1)
поэтому
1
1
x
1
1
Kn = 2 Kn−1 − 2 −
·
+
Kn−1 =
a
a
2(n − 1) (x2 + a2 )n−1 2(n − 1)
1
1
x
1
Kn−1 + 2
· 2
− 2
Kn−1 =
2
2
n−1
a
2a (n − 1) (x + a )
2a (n − 1)
1
x
1
1
·
+ 2− 2
Kn−1 =
= 2
2a (n − 1) (x2 + a2 )n−1
a
2a (n − 1)
=
=
1
x
2n − 3
·
+
Kn−1 .
2a2 (n − 1) (x2 + a2 )n−1 2a2 (n − 1)
Таким образом, при n > 1 мы получили рекуррентную формулу для вычисления Kn :
Kn =
1
2a2 (n
− 1)
·
(x2
x
2n − 3
+ 2
Kn−1
2
n−1
+a )
2a (n − 1)
Формулы вида (1.2.5) называются формулами приведения.
37
(1.2.5)
Пример 1.2.14. Вычислим K2 :
K2 =
=
1
2a2 (2
− 1)
·
(x2
x
2·2−3
K2−1 =
+ 2
2
2−1
+a )
2a (2 − 1)
1
x
x
1
1
· 2
+ 2 K1 = K1 = arctg + C =
2
2
2a x + a
2a
a
a
1
x
1
x
· 2
+ 3 arctg + C.
2
2
2a x + a
2a
a
Таким образом, мы получили формулу для вычисления K2 :
=
x
1
x
1
· 2
+ 3 arctg + C .
2
2
2a x + a
2a
a
K2 =
(1.2.6)
Пример 1.2.15. Вычислим K3 :
K3 =
1
2a2 (3
− 1)
·
(x2
x
2·3−3
+ 2
K3−1 =
2
3−1
+a )
2a (3 − 1)
1
x
3
· 2
+ 2 K2 =
2
2
2
4a (x + a )
4a
1
x
3
x
1
x
1
= 2· 2
+
·
+
arctg
+C =
4a (x + a2 )2 4a2 2a2 x2 + a2 2a3
a
=
=
1
x
3
x
3
x
· 2
+ 4· 2
+ 5 arctg + C.
2
2
2
2
4a (x + a )
8a x + a
8a
a
Таким образом, мы получили формулу для вычисления K3 :
K3 =
1
x
3
x
3
x
· 2
+ 4· 2
+ 5 arctg + C .
2
2
2
2
4a (x + a )
8a x + a
8a
a
В частности, при a = 1 имеем:
Z
(x2
dx
x
3x
3
=
+
+ arctg x + C .
3
2
2
2
+ 1)
4(x + 1)
8(x + 1) 8
38
(1.2.7)
1.3
1.3.1
Лекция №3
Интегрирование рациональных дробей
Постановка задачи
Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, т. е. функции, которые можно представить в виде дроби
R(x) =
Pm (x)
,
Qn (x)
где Pm (x) и Qn (x) — многочлены степени m и n соответственно:
Pm (x) = am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 ,
Qn (x) = bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 .
Замечание 1.3.1. Если степень многочлена m многочлена Pm (x) в числителе больше или равна степени n многочлена Qn (x), стоящего в знаменателе, то, выполнив деление, получим
Tk (x)
Pm (x)
= W (x) +
,
Qn (x)
Qn (x)
где W (x) — некоторый многочлен, а Tk (x) – многочлен степени k меньше
чем степень n многочлена Qn (x). Эта операция называется выделением
целой части рациональной дроби
R(x) =
Pm (x)
.
Qn (x)
В этом случае
Z
Pm (x)
dx =
Qn (x)
Z
Z
W (x)dx +
39
Tk (x)
dx .
Qn (x)
Так как первый из интегралов, стоящих в правой части этого равенства,
представляет собой интеграл от многочлена, то он легко вычисляется. Поэтому вычисление интеграла
Z
Z
Pm (x)
dx
R(x)dx =
Qn (x)
сводится к вычислению интеграла
Z
Tk (x)
dx,
Qn (x)
т.е. от правильной рациональной дроби (у которой степень числителя меньше степени знаменателя).
Иногда выделение целой части позволяет решить задачу интегрирования рациональной дроби до конца.
Пример 1.3.2. Вычислим интеграл
Z 3
x +x+1
dx.
x2 + 1
Так как
то
x3 + x + 1
1
=
x
+
.
x2 + 1
x2 + 1
Z 3
Z
Z
x +x+1
1
x2
dx
=
xdx
+
dx
=
+ arctg x + C.
x2 + 1
x2 + 1
2
В общем случае интегрирование нужно продолжить.
Пример 1.3.3. Для вычисления интеграла
Z 5
x + x3 − x2 + 1
dx
x3 − 2x + 1
выделим целую часть подинтегральной функции:
x5 + x3 − x2 + 1
2x2 − 6x + 2
2
=
x
+
3
−
.
x3 − 2x + 1
x3 − 2x + 1
40
Следовательно,
Z
Z
Z 5
2x2 − 6x + 2
x + x3 − x2 + 1
2
dx
=
(x
+
3)dx
−
dx =
x3 − 2x + 1
x3 − 2x + 1
Z
2x2 − 6x + 2
x3
=
+ 3x −
dx.
3
x3 − 2x + 1
Последний интеграл представляет собой интеграл от правильной рациональной дроби.
Замечание 1.3.4. В дальнейшем мы будем рассматривать правильные
рациональные дроби
Pm (x)
,
R(x) =
Qn (x)
т.е. считать, что степень m многочлена Pm (x) меньше, чем степень n многочлена Qn (x)
m < n.
1.3.2
Простые дроби и их интегрирование
Определение 1.3.5. Рациональные дроби следующих четырех типов называются простейшими:
(I).
A
,
x−a
где A и a — некоторые постоянные.
(II).
A
,
(x − a)n
где A и a — некоторые постоянные, а n — натуральное число, n > 1.
(III).
Mx + N
,
+ px + q
x2
где M , N , p и q — некоторые постоянные, причем p2 − 4q < 0, т.е.
знаменатель дроби не раскладывается на линейные множители.
41
(IV).
Mx + N
,
(x2 + px + q)n
где M , N , p и q — некоторые постоянные, p2 − 4q < 0, и n — натуральное число, n > 1.
Рассмотрим интегрирование каждой из этих дробей в отдельности.
(I).
Z
A
dx = |dx = d(x − a)| = A
x−a
Z
d(x − a)
= A ln |x − a| + C.
x−a
Следовательно,
Z
A
dx = A ln |x − a| + C .
x−a
(1.3.1)
Пример 1.3.6.
Z
Z
5
d(x − 3)
dx = |dx = d(x − 3)| = 5
= 5 ln |x − 3| + C.
x−3
x−3
(II).
Z
A
d(x − a)
dx
=
|dx
=
d(x
−
a)|
=
A
=
(x − a)n
(x − a)n
Z
(x − a)−n+1
A
= A (x − a)−n d(x − a) = A
+C =−
+ C.
−n + 1
(n − 1)(x − a)n−1
Следовательно,
Z
A
A
dx = −
+C .
(1.3.2)
n
(x − a)
(n − 1)(x − a)n−1
Z
Пример 1.3.7.
Z
Z
=3
3
dx = |dx = d(x − 2)| = 3
(x − 2)5
Z
d(x − 2)
=
(x − 2)5
(x − 2)−5+1
3
+C =−
+C =
−5 + 1
(5 − 1)(x − 2)5−1
3
+ C.
=−
4(x − 2)4
(x − 2)−5 d(x − 2) = 3
42
(III).
Z
Mx + N
p 2
p2
2
dx
=
x
+
px
+
q
=
x
+
+
q
−
.
x2 + px + q
2
4
Обозначим
p2
= a2 ⇒ a =
q−
4
p
4q − p2
.
4
Следовательно,
Z
Z
Mx + N
dx =
p 2
2
x+
+a
2
p
p
⇒ dx = dt
Замена x + = t ⇒ x = t −
2
2
p 2
2
2
2
2
=
= x + px + q = x + 2 + a = t + a
p
Mp
Mx + N = M t −
+ N = Mt + N −
2
2
Mp
Z Mt + N −
2
=
dt =
2
2
t +a
Z
Z
tdt
Mp
dt
=M
+ N−
=
2
2
2
t +a
2
t + a2
Z
Z
tdt
1
d(t2 + a2 )
1
=
=
ln(t2 + a2 ) + C
t2 + a2
2
t 2 + a2
2
=
= Z
1
t
dt
= K1 = arctg + C
2
2
t +a
a
a
M
1
Mp
t
2
2
=
ln(t + a ) +
N−
arctg + C =
2
a
2
a
M
2N − M p
2x + p
=
ln(x2 + px + q) + p
arctg p
+ C.
2
4q − p2
4q − p2
Mx + N
dx =
x2 + px + q
Следовательно,
Z
Mx + N
M
2N − M p
2x + p
dx =
ln(x2 + px + q) + p
arctg p
+C .
2
+ px + q
2
4q − p
4q − p2
(1.3.3)
x2
43
Пример 1.3.8.
Z
x2
5x + 1
dx = x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 =
+ 2x + 3
Z
5x + 1
=
dx =
(x + 1)2 + 2
Замена x + 1 = t ⇒ x = t − 1 ⇒ dx = dt
=
x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 = t2 + 2
=
5x + 1 = 5 (t − 1) + 1 = 5t − 4
Z
Z
Z
tdt
dt
5t − 4
dt = 5
−4
=
=
2
2
2
t +2
t +2
t +2
Z
Z
1
1
tdt
d(t2 + 2)
=
= ln(t2 + 2) + C
2
2
t +2
2
t +2
2
= Z
dt
1
t
√
√
=
K
=
arctg
+C
1
t2 + 2
2
2
5
4
t
= ln(t2 + 2) − √ arctg √ + C =
2
2
2
4
5
x+1
= ln(x2 + 2x + 3) − √ arctg √ + C.
2
2
2
=
(IV ).
Z
Mx + N
dx =
(x2 + px + q)n
p
p
Замена x + = t ⇒ x = t −
⇒ dx = dt
2
2
=
p 2
x2 + px + q = x +
+ a2 = t2 + a2 , где a =
2
p
Mp
Mx + N = M t −
+ N = Mt + N −
2
2
Mp
Z Mt + N −
2
=
dt =
2
2
n
(t + a )
44
p
4q − p2
2
=
Z
tdt
dt
Mp
=M
+ N−
=
2
2
n
2
(t + a )
2
(t + a2 )n
Z
Z
dt
M
d(t2 + a2 )
Mp
=
+ N−
=
2
2
n
2
2
(t + a )
2
(t + a2 )n
1
Mp
M
Kn .
+ N−
=−
2(n − 1) (t2 + a2 )n−1
2
Z
Таким образом,
Z
Mx + N
1
M
Mp
Kn . (1.3.4)
dx = −
+ N−
(x2 + px + q)n
2(n − 1) (t2 + a2 )n−1
2
Вычисляя интеграл Kn по формуле (1.2.5) и производя обратную замену,
вычисляем окончательно интеграл
Z
Mx + N
dx.
2
(x + px + q)n
Пример 1.3.9.
Z
(x2
2x + 3
dx = x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 =
+ 4x + 5)3
Z
2x + 3
=
dx =
[(x + 2)2 + 1]3
Замена x + 2 = t ⇒ x = t − 2 ⇒ dx = dt
x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 = t2 + 1
=
=
2x + 3 = 2 (t − 2) + 3 = 2t − 1
Z
=
Z
2t − 1
dt =
(t2 + 1)3
2tdt
=
2
(t + 1)3
Z
Z
2tdt
−
2
(t + 1)3
Z
(t2
dt
=
+ 1)3
d(t2 + 1)
1
=− 2
+C
2
3
(t + 1)
2(t + 1)2
=
=
Z
(t2
dt
t
3t
3
= K3 =
+
+ arctg t + C
3
2
2
2
+ 1)
4(t + 1)
8(t + 1) 8
45
=−
=−
1
3
t
3t
−
arctg t + C =
−
−
2(t2 + 1)2 4(t2 + 1)2 8(t2 + 1) 8
3
1
x+2
3(x + 2)
−
arctg(x + 2) + C =
−
−
2(x2 + 4x + 5)2 4(x2 + 4x + 5)2 8(x2 + 4x + 5) 8
=−
4(x2
x+4
3
3(x + 2)
− arctg(x + 2) + C.
−
2
2
+ 4x + 5)
8(x + 4x + 5) 8
Замечание 1.3.10. Каждая из простейших дробей интегрируема в квадратурах, т.е. ее интеграл выражается через элементарные функции.
1.3.3
Разложение правильной рациональной дроби на
простейшие. Интегрирование правильной рациональной дроби
Определение 1.3.11. Рациональная дробь
R(x) =
Pm (x)
Qn (x)
называется правильной, если степень m многочлена Pm (x) меньше, чем
степень n многочлена Qn (x):
m < n.
В дальнейшем нам будут необходимы несколько теорем из теории многочленов, доказательство которых мы опускаем. Один из результатов связан с разложением многочлена на неприводимые множители.
Пусть старший член многочлена Qn (x) равен единице, т.е.
Qn (x) = xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .
Теорема 1.3.12. Любой многочлен n-й степени со старшим коэффициентом, равным единице
Qn (x) = xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0
46
может быть представлен в виде
Qn (x) = (x − a1 )α1 · . . . · (x − ak )αk · (x2 + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl ,
(1.3.5)
где
(α1 + . . . + αk ) + 2(β1 + . . . + βl ) = n ,
p2i − 4qi < 0
для любого i = 1, 2, . . . , l,
a1 , a2 , . . . , ak
различные действительные корни многочлена Qn (x) кратности α1 , . . . , αk
соответственно, а квадратные трехчлены
(x2 + p1 x + q1 ), . . . , (x2 + pl x + ql )
отвечают парам комплексно сопряженных корней многочлена Qn (x) кратности β1 , . . . , βl .
Теорема 1.3.13. Если многочлен Qn представим в виде
Qn (x) = (x − a1 )α1 · Q(x) ,
(1.3.6)
где x = a1 действительный корень многочлена Qn (x) кратности α1 ≥ 1
(т.е. Q(a1 ) 6= 0), то рациональная дробь
R(x) =
Pm (x)
Qn (x)
представима в виде:
Pm (x)
A1α1
P (x)
=
+
.
α
α
1
1
(x − a1 )
(x − a1 ) · Q(x)
(x − a1 )α1 −1 · Q(x)
47
(1.3.7)
Следствие 1.3.14. Если многочлен Qn представим в виде
Qn (x) = (x − a1 )α1 · Q(x) ,
(1.3.8)
где x = a1 действительный корень многочлена Qn (x) кратности α1 ≥ 2
(т.е. Q(a1 ) 6= 0), то рациональная дробь
R(x) =
Pm (x)
Qn (x)
представима в виде:
Pm (x)
A1α1
P (x)
A11
=
+
.
+ ... +
α
α
1
(x − a1 )
(x − a1 ) Q(x)
(x − a1 ) 1 · Q(x)
(1.3.9)
Замечание 1.3.15.
• Дробь
P (x)
Q(x)
правильная.
• Аналогичное разложение имеет место для любого другого действительного корня ai многочлена Qn (x) кратности αi .
Теорема 1.3.16. Если многочлен Qn представим в виде
e
Qn (x) = (x + p1 x + q1 )β1 · Q(x)
,
(1.3.10)
p21 − 4q1 < 0 ,
где квадратные трехчлен
(x2 + p1 x + q1 )
отвечает паре комплексно сопряженных корней многочлена Qn (x) кратности β1 ≥ 1, то рациональная дробь
R(x) =
Pm (x)
Qn (x)
48
представима в виде:
Pm (x)
e
(x + p1 x + q1 )β1 · Q(x)
=
M1β1 x + N1β1
Pe(x)
+
.
e
(x + p1 x + q1 )β1 (x + p1 x + q1 )β1 −1 · Q(x)
(1.3.11)
Следствие 1.3.17. Если многочлен Qn представим в виде
e
Qn (x) = (x + p1 x + q1 )β1 · Q(x)
,
(1.3.12)
p21 − 4q1 < 0,
где квадратные трехчлен
(x2 + p1 x + q1 )
отвечает паре комплексно сопряженных корней многочлена Qn (x) кратности β1 ≥ 2, то рациональная дробь
R(x) =
Pm (x)
Qn (x)
представима в виде:
Pm (x)
e
(x + p1 x + q1 )β1 · Q(x)
=
e
M1β1 x + N1β1
M11 x + N11
Pe(x)
.
+
+
.
.
.
+
e
(x + p1 x + q1 )β1
(x + p1 x + q1 ) Q(x)
Замечание 1.3.18.
• Дробь
e
Pe(x)
e
Q(x)
правильная.
• Аналогичное разложение имеет место для любой другой пары комплексно сопряженных корней многочлена Qn (x) кратности βi .
49
Теорема 1.3.19. Если многочлен Qn представим в виде
Qn (x) = (x − a1 )α1 · . . . · (x − ak )αk · (x2 + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl ,
(1.3.13)
где
(α1 + . . . + αk ) + 2(β1 + . . . + βl ) = n,
p2i − 4qi < 0 для любого i = 1, 2, . . . , l,
a1 , a2 , . . . , ak —
различные действительные корни многочлена Qn (x) кратности α1 , . . . , αk
соответственно, а квадратные трехчлены
(x2 + p1 x + q1 ), . . . , (x2 + pl x + ql )
отвечают парам комплексно сопряженных корней многочлена Qn (x) кратности β1 , . . . , βl , то правильная рациональная дробь
R(x) =
Pm (x)
Qn (x)
представима в виде:
Pm (x)
Pm (x)
=
=
α
α
2
Qn (x)
(x − a1 ) 1 · . . . · (x − ak ) k · (x + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl
=
A1α1
A11
+
+
.
.
.
+
α
(x − a1 ) 1
(x − a1 )
A2α2
A21
+
+ ... +
α
2
(x − a2 )
(x − a2 )
..............................
Ak1
Akαk
+
+
.
.
.
+
+
(x − a2 )αk
(x − ak )
+
+
M1β1 x + N1β1
M11 x + N11
+
.
.
.
+
+
(x + p1 x + q1 )β1
(x + p1 x + q1 )
M2β2 x + N2β2
M21 x + N21
+
.
.
.
+
+
(x + p2 x + q2 )β2
(x + p2 x + q2 )
..............................
Mlβl x + Nlβl
Ml1 x + Nl1
+
+ ... +
.
β
l
(x + pl x + ql )
(x + pl x + ql )
+
50
(1.3.14)
Следствие 1.3.20. Любая правильная рациональная дробь представима
в виде линейной комбинации простейших дробей рассмотренных четырех
типов.
Следствие 1.3.21. Если правильная рациональная дробь
R(x)x =
Pm (x)
Qn (x)
представима в виде (1.4.3), то
Z
Z
Pm (x)
Pm (x)
dx =
dx =
α
α
2
Qn (x)
(x − a1 ) 1 · . . . · (x − ak ) k · (x + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl
Z
Z
A1α1
A11
=
dx+
dx + . . . +
α
1
(x − a1 )
(x − a1 )
Z
Z
A2α2
A21
+
dx+
dx + . . . +
α
2
(x − a2 )
(x − a2 )
..............................
Z
Z
Ak1
Akαk
dx
+
.
.
.
+
dx+
+
(x − a2 )αk
(x − ak )
Z
Z
M1β1 x + N1β1
M11 x + N11
+
dx+
dx + . . . +
β
1
(x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )
Z
Z
M2β2 x + N2β2
M21 x + N21
+
dx+
(1.3.15)
dx + . . . +
β
2
(x + p2 x + q2 )
(x + p2 x + q2 )
..............................
Z
Z
Mlβl x + Nlβl
Ml1 x + Nl1
+
dx
+
.
.
.
+
dx.
(x + pl x + ql )βl
(x + pl x + ql )
Пример 1.3.22. Вычислим интеграл
Z
2x − 1
dx.
x2 − 5x + 6
Сначала разложим рациональную функцию
2x − 1
x2 − 5x + 6
51
на простейшие дроби.
Так как
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2),
то по формуле (1.4.3) имеем
x2
2x − 1
A
B
2x − 1
=
=
+
.
− 5x + 6
(x − 3)(x − 2)
x−3 x−2
Числа A и B найдем методом неопределенных коэффициентов. Для этого
приведем к общему знаменателю выражение, стоящее в равенстве справа
и приравняем числитель полученных дробей:
A(x − 2) + B(x − 3)
2x − 1
=
⇒
(x − 3)(x − 2)
(x − 3)(x − 2)
2x − 1 = A(x − 2) + B(x − 3) ⇒
поэтому
2x − 1 = (A + B)x − (2A + 3B).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений первой степени:
(
A + B = 2,
2A + 3B = 1,
откуда
(
A = 5,
B = −3,
Таким образом,
x2
2x − 1
5
3
=
−
.
− 5x + 6
x−3 x−2
Следовательно,
Z
Z
Z
Z
2x − 1
2x − 1
5
3
dx =
dx =
dx −
dx =
2
2
x − 5x + 6
x − 5x + 6
x−3
x−2
= 5 ln |x − 3| − 3 ln |x − 2| + C.
52
Пример 1.3.23. Вычислим интеграл
Z
2x2 + 2x + 13
dx.
(x − 2)(x2 + 1)2
Разложим рациональную функцию
2x2 + 2x + 13
(x − 2)(x2 + 1)2
на простейшие дроби.
По формуле (1.4.3) имеем
A
Bx + C
Dx + E
2x2 + 2x + 13
=
+ 2
+ 2
.
2
2
(x − 2)(x + 1)
x−2
x +1
(x + 1)2
Числа A, B, C, D, E найдем методом неопределенных коэффициентов. Для
этого приведем к общему знаменателю выражение, стоящее в равенстве
справа и приравняем числитель полученных дробей:
A(x2 + 1)2 + (Bx + C)(x − 2)(x2 + 1) + (Dx + E)(x − 2)
2x2 + 2x + 13
=
.
(x − 2)(x2 + 1)2
(x − 2)(x2 + 1)2
2x2 + 2x + 13 = A(x2 + 1)2 + (Bx + C)(x − 2)(x2 + 1) + (Dx + E)(x − 2) ⇒
поэтому
2x2 + 2x + 13 = A(x4 + 2x4 + 2) + B(x4 − 2x3 + x2 − 2x) + C(x3 − 2x2 + x − 2)+
+D(x2 − 2x) + E(x − 2) ⇒
2x2 + 2x + 13 = (A + B)x4 + (−2B + C)x3 + (2A + B − 2C + D)x2 +
(−2B + C − 2D + E)x + (A − 2C − 2E) ⇒
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений первой степени:
A + B = 0,
−2B + C = 0,
2A + B − 2C + D = 2,
−2B + C − 2D + E = 2,
A − 2C − 2E = 13
53
откуда
A = 1,
B = −1,
C = −2,
D = −3,
E = −4.
Таким образом,
x+2
3x + 4
1
2x2 + 2x + 13
− 2
− 2
=
.
2
2
(x − 2)(x + 1)
x − 2 x + 1 (x + 1)2
Следовательно,
Z
Z
Z
Z
1
x+2
3x + 4
2x2 + 2x + 13
dx
=
dx
−
dx
−
dx =
(x − 2)(x2 + 1)2
x−2
x2 + 1
(x2 + 1)2
Z
Z
1
d(x2 + 1)
3
d(x2 + 1)
= ln |x − 2| −
−
2
arctg
x
−
− 4K2 =
2
x2 + 1
2
(x2 + 1)2
1
3
ln(x2 + 1) − 2 arctg x +
−
2
2(x2 + 1)
x
1
1 (x − 2)2
3 − 4x
−4
+
arctg
x
=
ln
−
4
arctg
x
+
+ C.
2(x2 + 1) 2
2
x2 + 1
2(x2 + 1)
= ln |x − 2| −
54
1.4
1.4.1
Лекция №4
Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла
Выделения рациональной части интеграла
Метод Остроградского позволяет чисто алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла от дробно рационального выражения.
Пусть
P (x)
R(x) =
Q(x)
правильная рациональная дробь, и пусть многочлен Q(x) представим в
виде
Q(x) = (x − a1 )α1 · . . . · (x − ak )αk · (x2 + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl ,
(1.4.1)
где
(α1 + . . . + αk ) + 2(β1 + . . . + βl ) = n,
p2i − 4qi < 0
для любого i = 1, 2, . . . , l,
a1 , a2 , . . . , ak
различные действительные корни многочлена Q(x) кратности α1 , . . . , αk
соответственно, а квадратные трехчлены
(x2 + p1 x + q1 ), . . . , (x2 + pl x + ql )
отвечают парам комплексно сопряженных корней многочлена Q(x) кратности β1 , . . . , βl . Тогда дробь
R(x) =
P (x)
Q(x)
представима в виде:
P (x)
P (x)
=
=
α
α
2
1
k
Q(x)
(x − a1 ) · . . . · (x − ak ) · (x + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl
55
A11
A1α1
+ ... +
+
(x − a1 )
(x − a1 )α1
A2α2
A21
+ ... +
+
+
(x − a2 )
(x − a2 )α2
..............................
Ak1
Akαk
+
+ ... +
+
(x − ak )
(x − a2 )αk
M1β1 x + N1β1
M11 x + N11
+ ... +
+
+
(x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )β1
M21 x + N21
M2β2 x + N2β2
+
+ ... +
+
(x + p2 x + q2 )
(x + p2 x + q2 )β2
..............................
Mlβl x + Nlβl
Ml1 x + Nl1
+ ... +
.
+
(x + pl x + ql )
(x + pl x + ql )βl
=
(1.4.2)
Следовательно,
Z
Z
P (x)
P (x)
dx =
dx =
Q(x)
(x − a1 )α1 · . . . · (x − ak )αk · (x2 + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl
Z
Z
A1α1
A11
dx + . . . +
=
dx+
(x − a1 )
(x − a1 )α1
Z
Z
A21
A2α2
+
dx + . . . +
dx+
(x − a2 )
(x − a2 )α2
Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Z. . . . . . . . . . .
Akαk
Ak1
dx + . . . +
dx+
+
(x − ak )
(x − a2 )αk
Z
Z
M11 x + N11
M1β1 x + N1β1
+
dx + . . . +
dx+
(x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )β1
Z
Z
M2β2 x + N2β2
M21 x + N21
+
dx + . . . +
dx+
(1.4.3)
(x + p2 x + q2 )
(x + p2 x + q2 )β2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Z. . . . . . . . . . . .
Z
Ml1 x + Nl1
Mlβl x + Nlβl
dx = .
+
dx + . . . +
(x + pl x + ql )
(x + pl x + ql )βl
αk Z
α1 Z
X
X
A1i
Aki
=
dx
+
.
.
.
+
dx+
i
i
(x
−
a
)
(x
−
a
)
1
k
i=1
i=1
+
β1 Z
X
i=1
β
l
X
M1i x + N1i
dx
+
.
.
.
+
(x + p1 x + q1 )i
i=1
56
Z
Mli x + Nli
dx.
(x + pl x + ql )i
Замечание 1.4.1. (I) Дроби
Am1
dx, m = 1, . . . , k,
x − am
первого типа:
Z
Am1
dx = Am1 ln |x − am | + C .
x − am
(II) Дроби
Ami
, m = 1, . . . , k, i = 2, . . . , αm
(x − am )i
второго типа:
Z
Ami
Ami
dx = −
+C
i
(x − am )
(i − 1)(x − am )i−1
(III) Дроби
Mm1 x + Nm1
, m = 1, . . . , l, i = 2, . . . , βm
x2 + p m x + q m
третьего типа:
Z
2x + pm
Mm1
2Nm1 − Mm1 pm
Mm1 x + Nm1
arctg p
+C .
=−
ln(x2 + pm x + qm ) + p
2
x + pm x + qm
2
4qm − p2m
4qm − p2m
(IV ) Дроби
Mmi x + Nmi
, m = 1, . . . , l, i = 2, . . . , βm
+ pm x + qm )i
(x2
четвертого типа:
Z
Mmi pm
Mmi x + Nmi
Mmi
dx = −
+ Nmi −
Km,i ,
(x2 + pm x + qm )i
2(i − 1)(x2 + pm x + qm )i−1
2
где, в свою очередь,
Km,i =
2
x
2(2i − 3)
· 2
+
Km,i−1 .
2
i−1
(4qm − pm )(i − 1) (x + pm x + qm )
(4qm − p2m )(i − 1)
57
Вычисляя последовательно Km,i−1 , Km,i−2 и т.д., пока не получим
Z
dx
2
2x + pm
=p
arctg p
+ C.
Km,1 =
2
2
x + p m x + qm
4qm − pm
4qm − p2m
Объединяя все рациональные слагаемые правой части, получим
Z
Mmi x + Nmi
Pmi (x)
dx = 2
+ λmi
2
i
(x + pm x + qm )
(x + pm x + qm )i−1
Z
x2
dx
,
+ pm x + qm
где Pmi (x) — многочлен степени, меньшей степени знаменателя, а λmi —
некоторая константа.
Теорема 1.4.2. Пусть
R(x) =
P (x)
Q(x)
правильная рациональная дробь, и пусть многочлен Q(x) представим в
виде
Q(x) = (x − a1 )α1 · . . . · (x − ak )αk · (x2 + p1 x + q1 )β1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl ,
(1.4.4)
где
(α1 + . . . + αk ) + 2(β1 + . . . + βl ) = n,
p2i − 4qi < 0
для любого i = 1, 2, . . . , l,
a1 , a2 , . . . , ak
различные действительные корни многочлена Q(x) кратности α1 , . . . , αk
соответственно, а квадратные трехчлены
(x2 + p1 x + q1 ), . . . , (x2 + pl x + ql )
отвечают парам комплексно сопряженных корней многочлена Q(x) кратности β1 , . . . , βl . Тогда
Z
P (x)
P1 (x)
dx =
+
Q(x)
Q1 (x)
58
Z
P2 (x)
dx ,
Q2 (x)
где
P1 (x)
P2 (x)
и
— правильные рациональные дроби,
Q1 (x) Q2 (x)
Q1 (x) = (x − a1 )α1 −1 · . . . · (x − ak )αk −1 · (x2 + p1 x + q1 )β1 −1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl −1 ,
(1.4.5)
и
Q2 (x) = (x − a1 ) · . . . · (x − ak ) · (x2 + p1 x + q1 ) · . . . · (x2 + pl x + ql ) .
(1.4.6)
Доказательство.
Z
+
α
1
X
P (x)
dx =
Q(x)
i=1
Z
α
k
X
A1i
dx
+
.
.
.
+
(x − a1 )i
i=1
Z
Aki
dx+
(x − ak )i
βl Z
X
Mli x + Nli
M1i x + N1i
dx + . . . +
dx =
i
i
(x + p1 x + q1 )
(x
+
p
x
+
q
)
l
l
i=1
Z
A11
A21
Ak1
=
+
+ ... +
dx+
x − a1 x − a2
x − ak
Z
M11 x + N11
Ml1 x + Nl1
+
+ ... +
dx+
x + p1 x + q1
x + pl x + ql
αk Z
α1 Z
X
X
Aki
A1i
dx + . . . +
dx+
+
i
(x − a1 )
(x − ak )i
i=2
i=2
β1 Z
X
i=1
β1 Z
X
βl Z
X
M1i x + N1i
Mli x + Nli
+
dx + . . . +
dx =
i
(x + p1 x + q1 )
(x + pl x + ql )i
i=2
i=2
Z
A11
A21
Ak1
=
+
+ ... +
dx+
x − a1 x − a2
x − ak
Z
M11 x + N11
Ml1 x + Nl1
+
+ ... +
dx+
x + p1 x + q1
x + pl x + ql
αk
α1
X
X
A1i
Aki
+
−
+ ... +
−
+
(i − 1)(x − a1 )i−1
(i − 1)(x − ak )i−1
i=2
i=2
+
β1
X
i=2
P1i (x)
+ λ1i
2
(x + p1 x + q1 )i−1
59
Z
dx
+ ...+
x2 + p 1 x + q 1
+
βl
X
i=2
Pli (x)
+ λli
2
(x + pl x + ql )i−1
Z
dx
.
x2 + p l x + q l
Обозначим
αk
α1
X
P1 (x) X
A1i
Aki
−
=
−
+ ... +
+
Q1 (x)
(i − 1)(x − a1 )i−1
(i − 1)(x − ak )i−1
i=2
i=2
+
βl
X
Pli (x)
P1i (x)
+
.
.
.
+
,
2 + p x + q )i−1
2 + p x + q )i−1
(x
(x
1
1
l
l
i=2
i=2
A21
Ak1
A11
P2 (x)
+
+ ... +
=
+
Q2 (x)
x − a1 x − a2
x − ak
Ml1 x + Nl1
M11 x + N11
+ ... +
+
+
x + p1 x + q1
x + pl x + ql
β1
X
+
β1
X
i=2
β
l
X
λli
λ1i
+ ... +
.
2
2
x + p 1 x + q1
x + pl x + q l
i=2
Тогда
Z
где
P1 (x)
P (x)
dx =
+
Q(x)
Q1 (x)
Z
P2 (x)
dx,
Q2 (x)
P1 (x)
P2 (x)
и
— правильные рациональные дроби,
Q1 (x) Q2 (x)
Q1 (x) = (x − a1 )α1 −1 · . . . · (x − ak )αk −1 · (x2 + p1 x + q1 )β1 −1 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl −1 ,
и
Q2 (x) = (x − a1 ) · . . . · (x − ak ) · (x2 + p1 x + q1 ) · . . . · (x2 + pl x + ql ) .
1.4.2
Вычисление многочленов P1 (x) и P2 (x).
Пусть
Z
P (x)
P1 (x)
dx =
+
Q(x)
Q1 (x)
60
Z
P2 (x)
dx .
Q2 (x)
Процесс нахождения многочленов P1 (x) и P2 (x) можно значительно упростить.
Действительно, дифференцируя предыдущее равенство, имеем:
0
P (x)
P1 (x)
P2 (x)
=
+
.
Q(x)
Q1 (x)
Q2 (x)
Замечание 1.4.3. Если
Q(x) = (x − a1 )α1 · (x − a2 )α2 · . . . · (x − ak )αk ·
·(x2 + p1 x + q1 )β1 · (x2 + p2 x + q2 )β2 · . . . · (x2 + pl x + ql )βl ,
то
Q0 (x) = α1 (x−a1 )α1 −1 ·(x−a2 )α2 ·. . .·(x−ak )αk ·(x2 +p1 x+q1 )β1 ·. . .·(x2 +pl x+ql )βl +
+α2 (x−a1 )α1 ·(x−a2 )α2 −1 ·. . .·(x−ak )αk ·(x2 +p1 x+q1 )β1 ·. . .·(x2 +pl x+ql )βl +. . . +
+αk (x−a1 )α1 ·(x−a2 )α2 ·. . .·(x−ak )αk −1 ·(x2 +p1 x+q1 )β1 ·. . .·(x2 +pl x+ql )βl +
+(x−a1 )α1 ·. . .·(x−ak )αk ·β1 (2x+p1 )(x2 +p1 x+q1 )β1 −1 ·. . .·(x2 +pl x+ql )βl +. . . +
+(x − a1 )α1 · . . . · (x − ak )αk · (x2 + p1 x + q1 )β1 · . . . · βl (2x + pl )(x2 + pl x + ql )βl −1 .
Поэтому
Q1 (x) = НОД[Q(x), Q0 (x)]
и
Q2 (x) =
Q(x)
.
Q1 (x)
Ясно, что эти рассуждения остаются справедливыми и в случае, когда
разложение на множитель многочлена Q(x) не дано. Тогда
Q1 (x) = НОД[Q(x), Q0 (x)].
можно найти, например, с помощью алгоритма Евклида.
Итак, считаем, что Q1 (x) и Q2 (x) найдены.
61
Имеем
P (x)
P 0 (x)Q1 (x) − P1 (x)Q01 (x) P2 (x)
+
= 1
.
Q(x)
Q21 (x)
Q2 (x)
Если степень многочлена Q(x) равна n, степень многочлена Q1 (x) равна
n1 и степень многочлена Q2 (x) равна n2 , то
n = n1 + n2 .
Преобразуем последнее равенство:
P10 (x)Q1 (x) − P1 (x)Q01 (x)
P (x) P2 (x)
=
−
=
Q(x) Q2 (x)
Q21 (x)
= |для упрощения преобразований пока не будем рассматривать аргумент| =
Q01
0
P1 − P 1
P 0 Q1 − P1 Q01
Q1
= 1
=
=
Q21
Q1
= |умножим числитель и знаменатель дроби на Q2 | =
Q0 Q2
Q0 Q2
P10 Q2 − P1 1
P10 Q2 − P1 1
Q1
Q1
=
.
=
Q1 Q2
Q
Обозначим
Q0 Q2
H = P1 1
.
Q1
Так как Q1 (x) и Q2 (x) найдены, то найден и многочлен H(x).
Имеем
P 0 Q2 − P1 H
P
P2
−
= 1
⇒
Q Q2
Q
P (x) = P2 (x)Q1 (x) + P10 (x)Q2 (x) − P1 (x)H(x) .
(1.4.7)
Полагая в этом тождестве
P1 (x) = bn1 −1 xn1 −1 + bn1 −2 xn1 −2 + . . . + b1 x + b0 ,
P2 (x) = cn2 −1 xn2 −1 + cn2 −2 xn2 −2 + . . . + c1 x + c0 ,
и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему
n линейных уравнений с n неизвестными. Решая эту систему, находим
многочлены P1 (x) и P2 (x).
62
Пример 1.4.4. Рассмотрим интеграл
Z
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8
dx.
(x + 1)2 (x2 + 1)2
Вычислим этот интеграл, используя выделение рациональной части.
Имеем:
Q(x) = (x + 1)2 (x2 + 1)2 ,
Q1 (x) = (x + 1)(x2 + 1),
Q2 (x) = (x + 1)(x2 + 1).
Полагаем:
P1 (x) = b2 x2 + b1 x + b0 ,
P2 (x) = c2 x2 + c1 x + c0 .
Тогда равенство
Z
P (x)
P1 (x)
dx =
+
Q(x)
Q1 (x)
Z
P2 (x)
dx
Q2 (x)
имеет вид:
Z
Z
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8
b 2 x 2 + b1 x + b0
c2 x 2 + c1 x + c0
dx =
+
dx.
(x + 1)2 (x2 + 1)2
(x + 1)(x2 + 1)
(x + 1)(x2 + 1)
Дифференцируя это равенство, получаем
0
b2 x 2 + b1 x + b0
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8
c2 x 2 + c1 x + c0
=
.
+
(x + 1)2 (x2 + 1)2
(x + 1)(x2 + 1)
(x + 1)(x2 + 1)
или
0
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8
b2 x 2 + b1 x + b0
c2 x 2 + c1 x + c0
=
.
+
(x3 + x2 + x + 1)2
x3 + x2 + x + 1
x3 + x2 + x + 1
Получаем следующее равенство:
4x4 +4x3 +16x2 +12x+8 = (2b2 x+b1 )(x3 +x2 +x+1)−(b2 x2 +b1 x+b0 )(3x2 +2x+1)+
+(c2 x2 + c1 x + c0 )(x3 + x2 + x + 1).
Раскрываем скобки:
4x4 +4x3 +16x2 +12x+8 = [2b2 x4 +(2b2 +b1 )x3 +(2b2 +b1 )x2 +(2b2 +b1 )x+b1 ]−
63
−[3b2 x4 + (2b2 + 3b1 )x3 + (b2 + 2b1 + 3b0 )x2 + (b1 + 2b0 )x + b0 ]+
+[c2 x5 + (c2 + c1 )x4 + (c2 + c1 + c0 )x3 + (c2 + c1 + c0 )x2 + (c1 + c0 )x + c0 ] ⇒
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8 = c2 x5 + (−b2 + c2 + c1 )x4 + (−2b1 + c2 + c1 + c0 )x3 +
+(b2 − b1 − 3b0 + c2 + c1 + c0 )x2 + (2b2 − 2b0 + c1 + c0 )x + (b1 − b0 + c0 ) ⇒
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему линейных уравнений:
c2 = 0,
−b2 + c2 + c1 = 4,
−2b + c + c + c = 4,
1
2
1
0
⇒
b
2 − b1 − 3b0 + c2 + c1 + c0 = 16,
2b2 − 2b0 + c1 + c0 = 12,
b 1 − b0 + c 0 = 8
c2 = 0,
−b2 + c1 = 4,
−2b + c + c = 4,
1
1
0
b2 − b1 − 3b0 + c1 + c0 = 16,
2b2 − 2b0 + c1 + c0 = 12,
b1 − b0 + c 0 = 8
b 2
b1
b
0
⇒
c2
c1
c0
= −1,
= 1,
= −4,
= 0,
= 3,
=3
⇒
Таким образом,
Z
Z
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 8
x2 − x + 4
3x + 3
dx = −
+
dx =
2
2
2
2
(x + 1) (x + 1)
(x + 1)(x + 1)
(x + 1)(x2 + 1)
Z
x2 − x + 4
1
x2 − x + 4
=−
+
3
dx
=
−
+ 3 arctg x + C.
(x + 1)(x2 + 1)
x2 + 1
(x + 1)(x2 + 1)
64
1.5
Лекция №5
Интегрирование некоторых иррациональных выражений
Выше мы показали, что любая рациональная функция интегрируема в
конечном виде, т.е. выражается через элементарные функции. В дальнейшем основным приемом интегрирования тех или иных классов функций,
т.е. нахождения интегралов
Z
f (x)dx
будет разыскание таких подстановок
t = ϕ(x),
которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду, что дало бы возможность представить интеграл в конечном виде как
функции от t. Возвращаясь к переменно x, мы получаем окончательное
представление интеграла
Z
f (x)dx.
Этот прием называется методом рационализации подынтегрального выражения. В дальнейшем рациональную функцию от своих аргументов мы
будем обозначать
R(x), R(x, y), . . . .
1.5.1
Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
1). Рассмотрим сначала интеграл вида
r
Z
R x,
n
ax + b
cx + d
!
dx .
где n ∈ N, n ≥ 2, a, b, c, d — некоторые постоянные, причем
ad − bc 6= 0.
65
r
Z
R x,
r
Подстановка t =
n
n
ax + b
cx + d
!
dx =
ax + b
ax + b
⇒ tn =
⇒
cx + d
cx + d
⇒ tn (cx + d) = ax + b ⇒ d · tn − b = (a − c · tn )x ⇒
=
x=
d · tn − b
⇒
a − c · tn
dx =
nd · tn−1 (a − c · tn ) + (d · tn − b)nc · tn−1
dt ⇒
(a − c · tn )2
dx =
n(ad − bc)tn−1
dt
(a − c · tn )2
Z
=
R
=
d · tn − b
,t
a − c · tn
n(ad − bc)tn−1
dt.
(a − c · tn )2
Очевидно, что подынтегральное выражение
R
d · tn − b
,t
a − c · tn
n(ad − bc)tn−1
e
= R(t)
(a − c · tn )2
является рациональной функцией от t и потому интегрируется в квадратурах.
Пример 1.5.1. Вычислим интеграл
Z r
1+x
dx
·
.
1−x 1−x
66
Используя приведенные выше рассуждения, имеем
r
Подстановка t =
1+x
1+x
⇒ t2 =
⇒
1−x
1−x
⇒ t2 (1 − x) = 1 + x ⇒ t2 − 1 = (t2 + 1)x ⇒
Z r
1+x
dx
·
=
1−x 1−x
x=
t2 − 1
t2 + 1
dx =
dx =
Z
=
=2
(t2
r
=2
t2
Z
2t2 dt
=
t2 + 1
Z
[2(t2 + 1) − 2]dt
=
t2 + 1
dt
= 2t − 2 arctg t + C =
+1
1+x
− 2 arctg
1−x
r
1+x
+ C.
1−x
2). Рассмотрим частный случай
Z
√
n
R x, ax + b dx .
где n ∈ N, n ≥ 2, a, b — некоторые постоянные.
Z
2
+1
4t
dt
+ 1)2
Z
dt − 2
t2
2t(t2 + 1) − (t2 − 1)2t
dt ⇒
(t2 + 1)2
t
4t
dt =
2
2 (t + 1)2
t2 + 1
Z
⇒ 1−x=
√
n
R x, ax + b dx =
67
=
Подстановка t =
√
n
ax + b ⇒ tn = ax + b ⇒
⇒ tn − b = ax ⇒
=
x=
tn − b
⇒
a
dx =
=
ntn−1
dt
a
n
n−1
Z
t −b
nt
= R
,t
dt.
a
a
Очевидно, что и в этом случае подынтегральное выражение
R
tn − b
,t
a
ntn−1
e
= R(t)
a
является рациональной функцией от t и потому интегрируется в квадратурах.
3). К рассмотренным выше интегралам относятся интегралы вида
Z
R x,
ax + b
cx + d
!
α
β
γ
ax + b
ax + b
,
,
, . . . dx ,
cx + d
cx + d
где α, β, γ, . . . рациональные числа. В этом случае нужно привести эти
рациональные числа к общему знаменателю:
α=
m1
m2
m3
, β=
, γ=
,...,
n
n
n
где m1 , m2 , m3 , . . . ∈ N.
Тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
r
1
ax + b n
n ax + b
t=
=
.
cx + d
cx + d
68
1.5.2
Интегрированием квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера
Рассмотрим интегралы вида
Z
R(x,
√
ax2 + bx + c)dx ,
где дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c не равен нулю:
D = b2 − 4ac 6= 0.
Вычисление таких интегралов производится с помощью подстановок Эйлера.
1.5.2.1. Первая подстановка Эйлера
Эта подстановка применима при
a>0.
Z
I=
R(x,
√
Подстановка:
ax2 + bx + c)dx =
t=
√
√
ax2 + bx + c = t − ax ⇒
√
√
ax2 + bx + c + ax
Возведем в квадрат обе части равенства
√
√
ax2 + bx + c = t − ax :
√
ax2 + bx + c = t2 − 2tx a + ax2 ⇒
√
bx + c = t2 − 2tx a ⇒
√
(b + 2t a)x = t2 − c.
Следовательно,
x=
t2 − c
√ .
b + 2t a
69
Тогда
√
√
√
√
√
√
2
2
2
2
√
t
−
c
a
−
t
a
+
c
a
t
a
+
bt
+
c
a
bt
+
2t
√ =
√
√
ax2 + bx + c = t− a
=
b + 2t a
b + 2t a
b + 2t a
и
√
√
√
√
2t(b + 2t a) − (t2 − c)2 a
t2 a + bt + c a
√
√
dx =
dt = 2
dt .
(b + 2t a)2
(b + 2t a)2
Таким образом, интеграл I примет вид:
Z
2R
I=
√
√ √
√
t2 − c t2 a + bt + c a t2 a + bt + c a
√ ,
√
√
dt .
b + 2t a
b + 2t a
(b + 2t a)2
Очевидно, что подынтегральное выражение
2R
√ √
√
√
t2 − c t2 a + bt + c a t2 a + bt + c a
e
√ ,
√
√
= R(t)
b + 2t a
b + 2t a
(b + 2t a)2
является рациональной функцией от t и потому интегрируется в квадратурах.
Пример 1.5.2. Вычислим интеграл
Подстановка:
√
x 2 + a2 = t − x ⇒ t = x +
√
x 2 + a2
x2 + a2 = t2 − 2tx + x2 ⇒ 2tx = t2 − a2 ⇒
Z
√
dx
dx =
+ a2
x2
x=
√
t 2 − a2
2t · t − (t2 − a2 ) · 1
t2 + a2
⇒ dx =
dt
=
dt
2t
2t2
2t2
t2 − a2
t 2 + a2
=
2t
2t
Z
Z
1
t2 + a2
dt
dt =
= ln |t| + C =
2
2 ·
2
t +a
2t
t
2t
√
= ln |x + x2 + a2 | + C.
x2 + a2 = t −
70
=
Замечание 1.5.3. Вместо подстановки
√
√
ax2 + bx + c = t − ax
можно было рассматривать подстановку
√
ax2 + bx + c = t +
√
ax .
1.5.2.2. Вторая подстановка Эйлера
Эта подстановка применима при
c>0.
Подстановка:
√
√
ax2 + bx + c = tx + c ⇒
√
ax2 + bx + c = t2 x2 + 2tx c + c ⇒
√
ax2 + bx = t2 x2 + 2tx c ⇒
Z
I=
R(x,
√
ax2
+ bx + c)dx =
√
(ax + b)x = (t2 x + 2t c)x
√
ax + b = t2 x + 2t c
√
(a − t2 )x = 2t c − b
√
2t c − b
x=
a − t2
Тогда
√
ax2
√
√
√
√
√
√
2t c − b √
2t2 c − bt + a c − t2 c
t2 c − bt + a c
+ c=
=
+ bx + c = t
a − t2
a − t2
a − t2
и
√
√
√
√
√
2 c(a − t2 ) + (2t c − b)2t
2a c − 2t2 c + 4t2 c − 2bt
dx =
dt =
dt =
(a − t2 )2
(a − t2 )2
71
√
√
t2 c − bt + a c
= 2·
dt .
(a − t2 )2
Таким образом, интеграл I примет вид:
Z
I=
√
√ √
√
√
2t c − b t2 c − bt + a c t2 c − bt + a c
2R
,
dt .
a − t2
a − t2
(a − t2 )2
Очевидно, что подынтегральное выражение
√
√
√ √
√
2t c − b t2 c − bt + a c t2 c − bt + a c
e
2R
,
= R(t)
a − t2
a − t2
(a − t2 )2
является рациональной функцией от t и потому интегрируется в квадратурах.
Пример 1.5.4. Вычислим интеграл
Подстановка:
√
1 + x + x2 = tx + 1 ⇒
1 + x + x2 = t2 x2 + 2tx + 1 ⇒
Z
√
1 − 1 + x + x2
√
dx =
x 1 + x + x2
x + x2 = t2 x2 + 2tx ⇒
1 + x = t2 x + 2t
x=
2t − 1
1 − t2
Далее находим:
dx =
2(1 − t2 ) − (2t − 1)(−2t)
2t2 − 2t + 2
t2 − t + 1
dt
=
dt
=
2
dt
(1 − t2 )2
(1 − t2 )2
(1 − t2 )2
√
1 + x + x2 = t ·
и
1−
2t − 1
t2 − t + 1
+
1
=
1 − t2
1 − t2
√
2t − 1
1 + x + x2 = −t ·
.
1 − t2
72
Следовательно,
Z
I=−
t2 − t + 1
Z
dt
−2t
2t − 1
(1 − t2 )2
=
t·
dt =
2
2
1 − t 2t − 1 t − t + 1
1 − t2
·
1 − t2
1 − t2
Z
d(1 − t2 )
= ln |1 − t2 | + C.
=
2
1−t
2
Вычислим t:
√
1 + x + x2 = tx + 1 ⇒ t =
√
1 + x + x2 − 1
.
x
Таким образом,
I = ln 1 −
!2
√
1 + x + x2 − 1
+ C.
x
Замечание 1.5.5. Вместо подстановки
√
√
ax2 + bx + c = xt + c
можно было рассматривать подстановку
√
√
ax2 + bx + c = xt − c .
1.5.2.3. Третья подстановка Эйлера
Эта подстановка применима, если квадратный трехчлен ax2 + bx + c
имеет корни x1 и x2 . При этом
D = b2 − 4ac > 0 .
т.е. x1 6= x2 . Таким образом
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) .
73
Подстановка:
√
ax2 + bx + c = t(x − x1 ) ⇒
a(x − x1 )(x − x2 ) = t2 (x − x1 )2 ⇒
Z
I=
R(x,
√
a(x − x2 ) = t2 (x − x1 ) ⇒
ax2 + bx + c)dx =
ax − ax2 = t2 x − t2 x1 ⇒
t2 x1 − ax2 = (t2 − a)x
x=
t2 x1 − ax2
t2 − a
Тогда
√
2
t
x
−
ax
at(x1 − x2 )
t2 x1 − ax2 − t2 x1 + ax1
1
2
2
ax + bx + c = t·
− x1 = t·
=
2
2
t −a
t −a
t2 − a
и
dx =
2tx1 (t2 − a) − (t2 x1 − ax2 )2t
2at(x2 − x1 )
dt =
dt .
2
2
(t − a)
(t2 − a)2
Таким образом, интеграл I примет вид:
Z
I=
2R
t2 x1 − ax2 at(x1 − x2 )
,
t2 − a
t2 − a
2at(x2 − x1 )
dt .
(t2 − a)2
Очевидно, что подынтегральное выражение
2R
t2 x1 − ax2 at(x1 − x2 )
,
t2 − a
t2 − a
2at(x2 − x1 )
e
= R(t)
(t2 − a)2
является рациональной функцией от t и потому интегрируется в квадратурах.
74
Пример 1.5.6. Вычислим интеграл
Так как x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2),
√
то подстановка:
x2 + 3x + 2 = t(x + 1) ⇒
(x − x1 )(x − x2 ) = t2 (x − x1 )2 ⇒
Z √ 2
x + 3x + 2 − x
√
dx =
I=
x2 + 3x + 2 + x
(x + 1)(x + 2) = t2 (x + 1)2 ⇒
x + 2 = t2 x + t2 ⇒
−t2 + 2 = (t2 − 1)x
x=
2 − t2
t2 − 1
Далее находим:
−2t(t2 − 1) − (2 − t2 )(2t)
−2t
dt = 2
dt
2
2
(t − 1)
(t − 1)2
2
√
t
2
−
t
+1 = 2
,
x2 + 3x + 2 = t · 2
t −1
t −1
dx =
√
и
x2
2 − t2
t2 + t − 2
t
−
=
+ 3x + 2 − x = 2
t − 1 t2 − 1
t2 − 1
√
x2 + 3x + 2 + x =
t
2 − t2
−t2 + t + 2
+
=
.
t2 − 1 t2 − 1
t2 − 1
Следовательно,
Z
I =
Z
t2 + t − 2
2t
dt =
2
2
t − t − 2 (t − 1)2
Z
t2 + t − 2
−2t
t2 − 1
dt =
2
2
−t + t + 2 (t − 1)2
t2 − 1
(t + 2)(t − 1)
2t
dt = 2
2
(t − 2)(t + 1) (t − 1)2
Z
t(t + 2)
dt .
(t − 1)(t − 2)(t + 1)3
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
t2 + 2t
A
B
C
D
E
=
+
+
+
+
⇒
3
2
(t − 1)(t − 2)(t + 1)
t − 1 t − 2 t + 1 (t + 1)
(t + 1)3
75
t2 + 2t = A(t − 2)(t + 1)3 +
+B(t − 1)(t + 1)3 +
+C(t − 1)(t − 2)(t + 1)2 +
+D(t − 1)(t − 2)(t + 1)+
+E(t − 1)(t − 2) =
= A(t4 + t3 − 3t2 − 5t − 2)+
+B(t4 + 2t2 − 2t − 1)+
+C(t4 − t3 − 3t2 + t + 2)+
+D(t3 − 2t2 − t + 2)+
+E(t2 − 3t + 2).
Приравнивая коэффициенты при равных степенях, имеем:
A+B+C =0
A
+ 2B − C + D = 0
−3A − 3C − 2D + E = 1
−5A − 2B + C − D − 3E = 2
−2A − B + 2C + 2D + 2E = 0.
Решая систему, получаем:
3
A=−
8
8
B=
27
17
C=
216
5
D=−
36
1
E=− .
6
Следовательно,
t2 + 2t
3 1
8 1
17 1
5
1
1
1
=−
+
+
−
−
.
3
2
(t − 1)(t − 2)(t + 1)
8 t − 1 27 t − 2 216 t + 1 36 (t + 1)
6 (t + 1)3
76
Таким образом,
Z
Z
Z
Z
t(t + 2)
1
16
1
17
1
3
dt+
dt+
dt−
I=2
dt
=
−
(t − 1)(t − 2)(t + 1)3
4
t−1
27
t−2
108
t+1
Z
Z
5
1
1
1
−
dt −
dt =
2
18
(t + 1)
3
(t + 1)3
16
17
5
1
1
1
3
ln |t − 2| +
ln |t + 1| +
+
= − ln |t − 1| +
+ C.
4
27
108
18 (t + 1) 6 (t + 1)2
Осталось подставить вместо t выражение
√
x2 + 3x + 2
t=
.
x+1
77
1.6
1.6.1
Лекция №6
Интегрирование иррациональных выражений (продолжение)
Геометрическая интерпретация подстановок Эйлера
Рассмотрим на плоскости кривую второго порядка γ, заданную уравнением
γ : y 2 = ax2 + bx + c ,
(1.6.1)
или уравнением
√
y = ± ax2 + bx + c .
Предположим, что точка M1 (x1 , y1 ) лежит на кривой γ, т.е. выполняется
равенство
y12 = ax21 + bx1 + c .
(1.6.2)
Проведем через точку M1 (x1 , y1 ) прямую l = (M1 N ) с угловым коэффициентом, равным t:
l : y − y1 = t(x − x1 ) .
(1.6.3)
Прямая (M1 N ) может пересечь кривую γ еще в одной точке M2 (x2 , y2 ),
отличной от M1 (x1 , y1 ), или быть касательной к γ.
Допустим,
M2 (x2 , y2 ) = γ ∩ l .
78
Тогда имеем систему:
y22 = ax22 + bx2 + c
y2 − y1 = t(x2 − x1 )
Из второго уравнения системы имеем:
y2 = y1 + t(x2 − x1 ) .
(1.6.4)
Подставляем (1.6.4) в первое уравнение системы:
[y1 + t(x2 − x1 )]2 = ax22 + bx2 + c ⇒
y12 + 2y1 t(x2 − x1 ) + t2 (x2 − x1 )2 = ax22 + bx2 + c ⇒
|в силу равенства (1.6.2)|
ax21 + bx1 + c + 2y1 t(x2 − x1 ) + t2 (x2 − x1 )2 = ax22 + bx2 + c ⇒
2y1 t(x2 − x1 ) + t2 (x2 − x1 )2 = a(x22 − x21 ) + b(x2 − x1 ) ⇒
|Считаем, что точки разные: M1 (x1 , y1 ) 6= M2 (x2 , y2 ) ⇒ x1 6= x2 |
2y1 t + t2 (x2 − x1 ) = a(x2 + x1 ) + b ⇒
2y1 t + t2 x2 − t2 x1 = ax2 + ax1 + b ⇒
(t2 − a)x2 = ax1 + b − 2y1 t + t2 x1 ⇒
x2 =
ax1 + b − 2y1 t + t2 x1
= R1 (t) .
t2 − a
Подставляя (1.6.5)в (1.6.4), получим
ax1 + b − 2y1 t + t2 x1
y2 = y1 + t
− x1 = R2 (t) .
t2 − a
(1.6.5)
(1.6.6)
Так как числа a, b, c и координаты точки M1 (x1 , y1 ) считаются заданными,
то координаты точки M2 (x2 , y2 ) выражаются рациональными функциями
от t:
x2 = R1 (t)
y2 = R2 (t).
Изменяя соответствующим образом параметр t, мы можем заставить точку M2 (x2 , y2 ) описать всю кривую γ. Поэтому отождествляя точку M2 (x2 , y2 )
с произвольной точкой M (x, y) кривой γ, имеем (в силу (1.6.4)) равенство:
√
ax2 + bx + c = y1 + t(x − x1 ) .
79
Рассмотрим три различных случая:
(I). Допустим, что D = b2 − 4ac > 0 , т.е. кривая пересекает ось (Ox)
в двух точках, одна из которых имеет координаты (x1 , 0). Рассматривая
эту точку в качестве M1 (x1 , y1 ), где y1 = 0, получим:
√
ax2 + bx + c = t(x − x1 ) ,
т.е. третью подстановку Эйлера.
(II). Допустим, что c √
> 0 и что √
кривая пересекает ось (Oy) в двух
симметричных точках (0, c) и (0, − c). Рассматривая
каждую из этих
√
точек в качестве M1 (x1 , y1 ), где x1 = 0 и y1 = ± c, получим:
√
√
ax2 + bx + c = tx ± c ,
т.е. вторую подстановку Эйлера.
80
(III). Допустим теперь, что a > 0 и что γ — гипербола, имеющая
асимптоты
√
y = ± ax .
Считаем M1 (x1 , y1 ) бесконечно удаленной точкой и рассматриваем произвольные прямые lt , параллельные асимптотам:
lt : y = t ±
Тогда получаем
√
√
ax .
ax2 + bx + c = t ±
т.е. первую подстановку Эйлера.
81
√
ax ,
Z
1.6.2
Интегралы вида
Рассмотрим интегралы вида
Z
√
√
Pn (x)
dx
ax2 + bx + c
Pn (x)
dx ,
ax2 + bx + c
где Pn (x) — многочлен n-й степени, а дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c отличен от нуля:
D = b2 − 4ac 6= 0.
Замечание 1.6.1. Интегралы вида
Z
Pn (x)
√
dx
ax2 + bx + c
могут быть вычислены с помощью подстановок Эйлера. Однако, чаще всего, подстановки Эйлера приводят к громоздким вычислениям. Поэтому
естественно рассматривать и другие методы интегрирования. Один из них
и представлен в доказываемой ниже теореме 1.6.4.
Z
1.6.2.1. Интегралы вида
√
ax2
1
dx
+ bx + c
Рассмотрим два случая.
1). Пусть a > 0 . Тогда
b
c
b
b2
b2
c
2
2
2
ax + bx + c = a x + x +
= a x + 2x ·
+
−
+
=
a
a
2a 4a2 4a2 a
"
#
2
b
4ac − b2
=a x+
+
.
2a
4a2
Следовательно,
Z
Z
1
1
√
v "
dx =
# dx =
u
2
ax2 + bx + c
2
u
4ac − b
ta x + b
+
2a
4a2
82
b
Z
Z
d x+
1
1
1
2a
s
s
=√
dx = √
=
2
2
a
a
b
b
4ac − b2
4ac − b2
x+
x+
+
+
2a
4a2
2a
4a2
r
1
b
b
c
= √ ln x +
+ x2 + x + + C .
2a
a
a
a
2). Пусть теперь a < 0 . Тогда
b
c
b2
b2
c
b
2
2
2
ax +bx+c = −a −x − x −
−
+
−
= −a −x − 2x ·
=
a
a
2a 4a2 4a2 a
"
#
2
b2 − 4ac
b
+
= −a − x +
.
2a
4a2
Если
D = b2 − 4ac < 0,
то область определения подинтегральной функции пуста и такая задача
интереса не представляет.
Следовательно,
D = b2 − 4ac > 0 ,
и потому
b2 − 4ac
>0.
4a2
Таким образом,
Z
1
√
dx =
2
ax + bx + c
1
=√
−a
Z
Z
1
v "
# dx =
u
2
2
u
b − 4ac
t−a − x + b
+
2a
4a2
b
x+
1
2a
s
2 dx = √−a arcsin r b2 − 4ac =
2
b
b − 4ac
− x+
2
4a2
4a
2a
1
83
√
=
4a2 = 2|a| = −2a =
b
x+
1
2a + C = − √1 arcsin √2ax + b + C .
=√
arcsin √
2
−a
−a
b − 4ac
b2 − 4ac
−2a
Пример 1.6.2. Вычислим интеграл
Z
dx
√
.
I=
2x2 + 3x + 7
Так как a = 2 > 0 и
3
7
9
9
7
3
2
2
2x + 3x + 7 = 2 x + x +
−
+
= 2 x + 2x · +
=
2
2
4 16 16 2
2
"
=2
3
x+
4
2
#
47
,
+
16
то
Z
1
√
dx =
2
2x + 3x + 7
Z
1
v "
# dx =
u
2
u
t2 x + 3 + 47
4
16
3
Z
Z
d x+
1
1
1
4
s
√
s
=√
dx
=
=
2
2
2
2
3
47
3
47
x+
+
x+
+
4
16
4
16
1
3
= √ ln x + +
4
2
r
3
7
x2 + x + + C =
2
2
r
1
= √ ln
2
3
7
4x + 3 + 4 x2 + x +
2
2
+C =
4
84
1
= √ ln
2
s
7
3
2
4x + 3 + 2 4 x + x +
2
2
4
+C =
p
1
1
= √ ln 4x + 3 + 2 2 (2x2 + 3x + 7) − √ ln 4 + C =
2
2
p
1
= √ ln 4x + 3 + 2 2 (2x2 + 3x + 7) + C1 .
2
Мы положили
1
C1 = − √ ln 4 + C.
2
Пример 1.6.3. Вычислим интеграл
Z
dx
√
I=
.
5 + 7x − 3x2
Так как a = −3 < 0 , D = 49 + 60 = 109 > 0 и
7
5
7 49 49 5
2
2
2
5 + 7x − 3x = −3 x − x −
= −3 x − 2x · +
−
−
=
3
3
6 36 36 3
"
#
"
2
2 #
7
109
109
7
= −3 x −
−
=3
− x−
,
6
36
36
6
то
Z
1
√
dx =
5 + 7x − 3x2
Z
1
v "
dx =
u
2 #
u 109
7
t3
− x−
36
6
7
Z
Z
d x−
1
1
1
6
s
s
=√
dx = √
2 =
2
3
3
7
7
109
109
− x−
− x−
36
6
36
6
85
7
x
−
1
1
6x − 7
= √ arcsin √ 6 + C = √ arcsin √
+ C.
3
109
3
109
6
Z
1.6.2.2. Интегралы вида
Pn (x)
√
dx
ax2 + bx + c
Теорема 1.6.4.
Z
√
Pn (x)
dx
2
√
dx = Pn−1 (x) ax + bx + c + λ √
,
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
(1.6.7)
где Pn (x) и Pn−1 (x) — многочлены n-й и (n − 1)-й степени соответственно.
Z
Доказательство. Обозначим
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
и
Pn−1 (x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .
Доказательство теоремы сводится к нахождению неизвестных коэффициентов
bn−1 , bn−2 , . . . , b0 , λ.
Дифференцируя равенство (1.6.7), получим:
h
i0
√
Pn (x)
λ
√
= Pn−1 (x) ax2 + bx + c + √
⇒
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
√
Pn (x)
Pn−1 (x)(2ax + b)
λ
0
√
= Pn−1
(x) ax2 + bx + c+ √
+√
⇒
ax2 + bx + c
2 ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
0
2Pn−1
(x)(ax2 + bx + c) + Pn−1 (x)(2ax + b) + 2λ
Pn (x)
√
√
=
⇒
ax2 + bx + c
2 ax2 + bx + c
0
2Pn (x) = 2Pn−1
(x)(ax2 + bx + c) + Pn−1 (x)(2ax + b) + 2λ .
86
Подставляя в это равенство
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,
Pn−1 (x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0
и
0
Pn−1
(x) = (n − 1)bn−1 xn−2 + (n − 2)bn−2 xn−3 + . . . + 2b2 x + b1 ,
получим:
2(an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ) =
= 2 (n − 1)bn−1 xn−2 + (n − 2)bn−2 xn−3 + . . . + 2b2 x + b1 (ax2 + bx + c)+
+ bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 (2ax + b)+
+2λ
Перемножая выражения в правой части равенства, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему:
2an = 2(n − 1)bn−1 a + 2abn−1
2an−1 = 2(n − 2)bn−2 a + 2(n − 1)bn−1 b + 2bn−2 a + bn−1 b
..................
2ak = 2(k − 1)bk−1 a + 2kbk b + 2bk−1 a + bk b + 2(k + 1)bk+1 c
..................
2a = 2b1 b + 4b2 c + 2b0 a + b1 b
1
2a0 = 2b1 c + b0 b + 2λ.
Из первого уравнения системы имеем:
2an = (2n − 2 + 2)bn−1 a = 2abn−1 ⇒ bn−1 =
an
na
Из второго уравнения системы имеем:
2an−1 = 2(n − 1)bn−2 a + (2n − 1)bn−1 b ⇒ bn−2 =
2an−1 − (2n − 1)bn−1 b
.
2a(n − 1)
Продолжая процесс, получаем
λ=
2a0 − 2b1 c − b0 b
.
2
Таким образом, все неизвестные коэффициенты bn−1 , bn−2 , . . . , b0 , λ будут
найдены. что завершает конструктивное доказательство этой теоремы.
87
Пример 1.6.5. Вычислим интеграл
Z
3x3 + 5x2 − 7x + 9
√
dx .
I=
2x2 + 5x + 7
Так как
P3 (x) = 3x3 + 5x2 − 7x + 9,
то обозначим
P2 x = ax2 + bx + c.
Тогда по формуле (1.6.7) имеем:
Z
Z
√
dx
3x3 + 5x2 − 7x + 9
2
2
√
dx = (ax +bx+c) 2x + 5x + 7+λ √
⇒
I=
2
2
2x + 5x + 7
2x + 5x + 7
3x3 + 5x2 − 7x + 9
(2ax + b)(2x2 + 5x + 7) (ax2 + bx + c)(4x + 5)
λ
√
√
√
=
+
+√
⇒
2x2 + 5x + 7
2x2 + 5x + 7
2 2x2 + 5x + 7
2x2 + 5x + 7
2(3x3 + 5x2 − 7x + 9) = 2(2ax + b)(2x2 + 5x + 7) + (ax2 + bx + c)(4x + 5) + 2λ ⇒
6x3 + 10x2 − 14x + 18 = 8ax3 + 4bx2 + 20ax2 + 10bx + 28ax + 14b+
+4ax3 + 4bx2 + 4cx + 5ax2 + 5bx + 5c + 2λ ⇒
6 = 12a
10 = 25a + 8b
⇒
−14 = 28a + 15b + 4c
18 = 14b + 5c + 2λ
1
a=
2
1
25
5
b = 8 10 − 2 = − 16
⇒
1
75
373
c
=
−14
−
14
+
=
−
4
16
64
1
35
1865
3297
λ=
18 +
+
=
2
8
64
128
Z
1 2
3297
dx
5
373 √ 2
√
I=
x − x−
2x + 5x + 7 +
=
2
2
16
64
128
2x + 5x + 7
"
#
2
5
5
7
11
= 2x2 + 5x + 7 = 2 x2 + x +
=2 x+
−
=
2
2
4
4
r
√
1
3297
5
2x2 + 5x + 7
2
√ ln x + +
= (32x −20x−373) 2x2 + 5x + 7+
+C.
64
4
2
128 2
88
Z
Mx + N
√
dx
ax2 + bx + c
В силу теоремы (1.6.7) имеем равенство
1.6.2.3. Интегралы вида
Z
I=
Z
√
Mx + N
dx
2
√
dx = A ax + bx + c + λ √
⇒
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
Mx + N
A(2ax + b)
λ
√
= √
+√
⇒
ax2 + bx + c
2 ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
2(M x + N ) = A(2ax + b) + 2λ ⇒
A= M
2M = 2aA
a
⇒
Mb ⇒
2N = Ab + 2λ
λ=N−
2a
Z
Z
Mb
Mx + N
M√ 2
dx
√
√
I=
ax + bx + c + N −
.
dx =
a
2a
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
(1.6.8)
Пример 1.6.6. Вычислим интеграл
Z
3x − 7
√
I=
dx.
5x2 + 8x + 1
В силу формулы (1.6.8),
Z
Z
3x − 7
3√ 2
3·8
dx
√
√
5x + 8x + 1+ −7 −
I=
dx =
=
5
2·5
5x2 + 8x + 1
5x2 + 8x + 1
Z
3√ 2
47
dx
√
5x + 8x + 1 −
=
.
2
5
5
5x + 8x + 1
Выделяем полный квадрат:
8
1
4 16 16 1
2
2
2
5x + 8x + 1 = 5 x + x +
=5 x +2·x· +
−
+
=
5
5
5 25 25 5
"
#
2
4
11
=5 x+
−
.
5
25
89
Следовательно,
47
3√ 2
5x + 8x + 1 − √
I=
5
5 5
Z
s
dx
=
2
11
4
−
x+
5
25
s
2
4
11
47
4
=
x+
−
5x2 + 8x + 1 − √ ln x + +
+C =
5
5
5
25
5 5
3√
=
p
47
3√ 2
5x + 8x + 1 − √ ln 5x + 4 + 5(5x2 + 8x + 1) + C1
5
5 5
Z
1.6.2.4. Интегралы вида
dx
√
, k∈N
(x − α)k ax2 + bx + c
Обозначим x − α =
Z
I=
(x −
α)k
dx
√
=
ax2 + bx + c
x=
1
⇒
t
1
1 + αt
+α=
⇒
t
t
=
1
dx = − 2 dt
t
Z
Z
tk−2 dt
tk dt
s
r
=−
=
−
=
2
2 2
a(1
+
2tα
+
α
t
)
b(1
+
αt)
1
1
+
+c
t2 a
+α +b
+α +c
t2
t
t
t
Z
=−
tk−1 dt
Z
p
= −
(aα2 + bα + c)t2 + (2aα + b)t + a
√
tk−1 dt
,
At2 + Bt + C
где
A = aα2 + bα + c
B = 2aα + b
C = a.
Таким образом, вы свели интегрирование к уже рассмотренному случаю.
90
Пример 1.6.7. Вычислим интеграл
Z
dx
√
.
I=
(x − 1) 1 + x − x2
Обозначим x − 1 =
Z
I=
dx
√
=
(x − 1) 1 + x − x2
Z
=−
s
t2
1+
Z
=−
x=
1
1
⇒t=
t
x−1
1
1+t
+1=
⇒
t
t
1
dx = − 2 dt
t
Z
r
=−
tdt
1
1
+1 −
+1
t
t
=
dt
1 + 2t + t2 1 + t
t −
+
+1
t2
t
2
Z
dt
dt
p
= − √
.
2
2
2
t −t−1
−(1 + 2t + t ) + t(1 + t) + t
2
2
1
1
1
5
2
t −t−1= t−
− −1= t−
− .
2
4
2
4
Следовательно,
Z
I=−
s
2
1
dt
1
5
s
= − ln t − +
t−
− +C =
2
2
2
4
5
1
−
t−
2
4
1
1
− +
= − ln
x−1 2
s
1
1
−
x−1 2
2
−
5
+C =
4
√
3 − x + 2 1 + x − x2
= − ln
+ C.
2(x − 1)
91
=
1.7
1.7.1
Лекция №7
Интегрирование биномиальных дифференциалов. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
Интегрирование биномиальных дифференциалов.
Теорема Чебышева
Рассмотрим интеграл вида
Z
I = xm (axn + b)p dx ,
где a, b — действительные числа, m, n, p — рациональные числа, причем
a 6= 0, b 6= 0, n 6= 0 и p 6= 0. Такие интегралы называются интегралами от
биномиальных дифференциалов.
Разберем случаи, когда данный интеграл вычисляется в элементарных
функциях.
Предварительно сделаем в интеграле замену:
Замена: xn = t ⇒
Z
I=
xm (axn + b)p dx =
1
dx =
Z
=
m
tn
1 1
1
· (at + b) · t n −1 dt =
n
n
p
= Обозначим q =
1
=
n
Z
m
x = t n ⇒ xm = t n
1 1 −1
t n dt
n
Z
t
m+1
−1
n
· (at + b)p dt =
m+1
−1 =
n
tq · (at + b)p dt
Таким образом, мы преобразовали данный итеграл к виду
Z
1
I=
tq · (at + b)p dt .
n
92
=
1). Пусть p − целое число .
Число q — рациональное. Обозначим
q=
r
, где r ∈ Z, s ∈ N.
s
Тогда
1
⇒
Замена: z = t s
I=
1
n
Z
tq · (at + b)p dt =
1
n
Z
r
t s ·(at+b)p
r
dt =
t = z s ⇒ tq = t s = z r
=
dt = s z s−1 dz
1
=
n
Z
r
s
p
z · (az + b) s z
s−1
s
dz =
n
Z
(az s + b)p z r+s−1 dz =
Z
= |Так как p, r ∈ Z, s ∈ N| =
R(z)dz .
Мы получили интеграл от рациональной функции. Поэтому в этом случае
данный интеграл вычисляется в элементарных функциях.
2). Пусть q =
m+1
− 1 − целое число .
n
Число p — рациональное. Обозначим
p=
r
, где r ∈ Z, s ∈ N.
s
Тогда
1
Замена: z = (at + b) s
1
I=
n
Z
1
t · (at + b) dt =
n
q
p
Z
r
tq ·(at+b) s dt =
at + b = z s ⇒ t =
s s−1
z dz
a
q
q
Z s
Z s
1
z −b
s
z −b
r s s−1
=
· z z dz =
z r+s−1 dz =
n
a
a
na
a
dt =
93
r
⇒ z r = (at + b) s
zs − b
⇒
a
=
s
=
naq+1
Z
s
q
(z − b) z
r+s−1
Z
dz = |Так как q, r ∈ Z, s ∈ N| =
R(z)dz .
Так как мы получили интеграл от рациональной функции, то и в этом
случае данный интеграл вычисляется в элементарных функциях.
3). Пусть p + q − целое число .
Число p — рациональное, поэтому, как и выше, обозначим
p=
r
, где r ∈ Z, s ∈ N.
s
Преобразуем интеграл:
p
Z
Z
1
1
at + b
q
p
p+q
I=
t · (at + b) dt =
t
·
dt =
n
n
t
Замена: z =
1
=
n
Z
p+q
r
at + b s
·
dt =
t
at + b
t
1
s
r
⇒ z =
at + b
t
r
b
at + b
= zs ⇒ t = s
⇒
t
z −a
bsz s−1
dt = − s
dz
(z − a)2
p+q
Z
Z
bs
b
bp+q+1 s
z r+s−1
z s−1
r
=−
,
dz
=
dz =
z
−
n
zs − a
(z s − a)2
n
(z s − a)p+q+2
Z
= |Так как p + q, r ∈ Z, s ∈ N| =
R(z)dz .
t
И в этом случае данный интеграл вычисляется в элементарных функциях.
Следующая теорема Чебышева утверждает, что других случаев интегрируемости в квадратурах интегралов от биномиальных дифференциалов нет.
Теорема 1.7.1. Интеграл
Z
I=
xm (axn + b)p dx
выражается в конечном виде лишь в следующих трех случаях:
94
s
=
1o
p − целое число ;
2o
q=
3o
p+q =
m+1
− 1 − целое число ;
n
m+1
+ p − 1 − целое число .
n
Замечание 1.7.2. Так как
q=
m+1
m+1
− 1 − целое число ⇔
− целое число ,
n
n
то в условиях 2o и 3o часто пишут только дробь
m+1
.
n
Пример 1.7.3. Вычислим интеграл
√
Z p
3
1+ 4x
√
dx .
I=
x
Преобразуем интеграл к виду
Z
1
1
1
I = x− 2 (x 4 + 1) 3 dx .
Так как
1
m
=
−
1
2
− +1
1
m
+
1
n=
⇒ q=
−1= 2
− 1 = 1 − целое число,
4
1
n
4
p= 1
3
то интеграл выражается в квадратурах. Следовательно
p
√
√
Замена: 3 1 + 4 x = t ⇒ 1 + 4 x = t3
√
√
√
Z p
4
3
x = t3 − 1 ⇒ x = (t3 − 1)2
1+ 4x
√
dx =
I=
x
x = (t3 − 1)4
dx = 12t2 (t3 − 1)3 dt
95
=
Z
=
1.7.2
Z
t
12 7 12 4
2 3
3
3 3
t − t +C =
12t
(t
−
1)
dt
=
12
t
(t
−
1)dt
=
(t3 − 1)2
7
4
q
7
q
4
√
√
12 3
3
4
4
=
1+ x −3
1 + x + C.
7
Интегрирование некоторых тригонометрических
выражений
Рассмотрим интегралы вида
Z
I=
R(sin x, cos x)dx
Рассмотрим некоторые методы интегрирования такого рода интегралов.
1.7.2.1. Универсальная подстановка
Рассмотрим подстановку, с помощью которой любой интеграл
Z
I=
R(sin x, cos x)dx
сводится к интегралу от рациональной функции, т.е. интегрируется в квадратурах. Подстановка диктуется следующими известными формулами тригонометрии:
x
x
x
2 sin cos
2 tg
2
2 =
2
sin x =
x
x
2 x
2
cos
+ sin
1 + tg2
2
2
2
и
x
x
− sin2
1 − tg2
2
2 =
cos x =
x
2 x
2
cos
+ sin
1 + tg2
2
2
cos2
96
x
2
x .
2
Замена: t = tg
x
⇒
2
x
= arctg t ⇒
2
x = 2 arctg t ⇒
Z
I=
R(sin x, cos x)dx =
2
dt
1 + t2
2t
sin x =
1 + t2
1 − t2
cos x =
1 + t2
Z
Z
1 − t2
2t
2
e
=
,
dt = R(t)dt
R
.
1 + t2 1 + t2 1 + t2
=
dx =
Таким образом, наш интеграл сводится к интегралу от рациональной функции
2
2t
1
−
t
2
e =R
R(t)
,
,
2
2
1+t 1+t
1 + t2
т.е. интегрируется в квадратурах.
Пример 1.7.4. Вычислим интеграл
Z
I=
dx
.
sin3 x
Используем универсальную подстановку:
Замена: t = tg
Z
I=
x = 2 arctg t ⇒
dx
=
sin3 x
x
⇒
2
Z
2
1 + t2 dt =
8t3
(1 + t2 )3
=
2
dt
1 + t2
2t
sin x =
1 + t2
Z
Z
(1 + t2 )2
1
1
1
2
1
1
t2
=
dt =
+ + t dt =
− 2 + +2 ln |t| +
+C =
4
t3
4
t3
t
4
2t
2
dx =
97
=−
1
1 2
1
1
x
1
1 2x
ln
|t|
+
t
+
C
=
−
+
ln
tg
tg
+ C.
+
+
x
8t2 2
8
2
2
8
2
8 tg2
2
1.7.2.2. Частные случаи.
Замечание 1.7.5.
равенству:
• Пусть подинтегральная функция удовлетворяет
R(−u, v) = R(u, v) .
Тогда
R(u, v) = R1 (u2 , v)
для некоторой рациональной функции R1 .
• Пусть подинтегральная функция удовлетворяет равенству:
R(−u, v) = −R(u, v) .
Тогда
R(u, v) = R2 (u2 , v)u
для некоторой рациональной функции R2 .
Действительно, рассматривая рациональную функцию
e v) = R(u, v)
R(u,
u
имеем:
R(−u, v)
−R(u, v)
R(u, v)
e
e v).
R(−u,
v) =
=
=
= R(u,
−u
−u
u
Следовательно,
e v) = R(u, v) = R2 (u2 , v)
R(u,
u
и потому
R(u, v) = R2 (u2 , v)u.
98
• Пусть подинтегральная функция удовлетворяет равенству:
R(−u, −v) = R(u, v) .
Тогда для функции
R(u, v) = R
u
v, v = R∗
,v
v
v
u
имеем:
−u
∗ u
∗
∗ u
R
, −v = R
, −v = R(−u, −v) = R(u, v) = R
,v .
v
−v
v
Следовательно,
R(u, v) = R∗
u
u
, v = R1∗
, v2 .
v
v
1). Пусть подинтегральная функция удовлетворяет равенству:
R(−u, v) = −R(u, v) .
Тогда
R(u, v) = R2 (u2 , v)u
для некоторой рациональной функции R2 .
В этом случае имеем:
Z
Z
I = R(sin x, cos x)dx = R2 (sin2 x, cos x) sin xdx =
Z
=−
R2 (1 − cos2 x, cos x)d(cos x) = Замена: t = cos x =
Z
=−
Z
2
R2 (1 − t , t)dt =
e
R(t)dt
,
где
e = −R2 (1 − t2 , t) .
R(t)
99
Пример 1.7.6. Вычислим интеграл
Z
sin5 x
dx.
I=
cos4 x
Так как
R(u, v) =
u5
−u5
⇒
R(−u,
v)
=
= −R(u, v).
v4
v4
Следовательно,
Z
Z
Z
sin4 x
sin4 x
sin5 x
dx
=
sin
xdx
=
−
d(cos x) = |Замена: t = cos x| =
I=
cos4 x
cos4 x
cos4 x
Z
Z
Z
1 − 2t2 + t4
1
2
(1 − t2 )2
dt = −
dt = −
− + 1 dt =
=−
t4
t4
t4 t2
2
1
2
1
−
− cos x + C.
= 3 − −t+C =
3
3t
t
3 cos x cos x
2). Пусть подинтегральная функция удовлетворяет равенству:
R(u, −v) = −R(u, v) .
Тогда
R(u, v) = R3 (u, v 2 )v
для некоторой рациональной функции R3 .
В этом случае имеем:
Z
Z
I = R(sin x, cos x)dx = R3 (sin x, cos2 x) cos xdx =
Z
=
R3 (sin x, 1 − sin2 x)d(sin x) = Замена: t = sin x =
Z
=
2
R3 (t, 1 − t )dt =
Z
e
R(t)dt
,
где
e = R3 (t, 1 − t2 ) .
R(t)
100
Пример 1.7.7. Вычислим интеграл
Z
I = sin2 x cos3 xdx.
Так как
R(u, v) = u2 v 3 ⇒ R(u, −v) = −u2 v 3 = −R(u, v).
Следовательно,
Z
Z
Z
2
3
2
2
I = sin x cos xdx = sin x cos x cos xdx = sin2 x cos2 xd(sin x) =
Z
= |Замена: t = sin x| =
2
Z
2
t (1 − t )dt =
(t2 − t4 )dt =
sin3 x sin5 x
t3 t5
−
+ C.
= − +C =
3
5
3
5
3). Пусть подинтегральная функция удовлетворяет равенству:
R(−u, −v) = R(u, v) .
Тогда
R(u, v) = R1∗
u
v
, v2
для некоторой рациональной функции R1∗ .
В этом случае имеем:
Z
Z
I = R(sin x, cos x)dx = R1∗ (tg x, cos2 x)dx =
Замена: t = tg x ⇒
x = arctg t ⇒
Z
1
∗
= R1 tg x,
dx = dx = 1 dt
1 + tg2 x
1 + t2
1
cos2 x =
1 + t2
Z
Z
1
1
∗
e
= R1 t,
dt =
R(t)dt
,
1 + t2 1 + t2
101
=
где
e =
R(t)
R1∗
1
t,
1 + t2
1
.
1 + t2
Пример 1.7.8. Вычислим интеграл
Z
dx
I=
dx.
2
3 sin x + 5 cos2 x
Так как
R(u, v) =
3u2
1
⇒ R(−u, −v) = R(u, v).
+ 5v 2
Следовательно,
Z
Z
Z
dx
dx
d(tg x)
I=
dx =
dx =
= |Замена: t = tg x| =
2
2
2
2
cos x(3 tg x + 5)
3 tg2 x + 5
3 sin x + 5 cos x
Z
Z
1
1
dt
dt =
dt =
=
2
5
3t + 5
3
t2 +
3
√
1
3 tg x
tg x
1
= r arctg r + C = √ arctg √
+ C.
15
5
5
5
3
3
3
Как показывает следующая теорема, рассмотренные частные случаи
описывают все возможные свойства рациональных функций двух переменных.
Теорема 1.7.9. Любую рациональную функцию R(u, v) можно представить в виде
R(u, v) = R1 (u, v) + R2 (u, v) + R3 (u, v) ,
где
1). R1 (−u, v) = −R1 (u, v) ;
2). R2 (u, −v) = −R2 (u, v) ;
3). R3 (−u, −v) = R3 (u, v) .
102
Доказательство. Легко видеть, что имеет место равенство
R(u, v) =
R(u, v) − R(−u, v) R(−u, v) − R(−u, −v) R(−u, −v) + R(u, v)
+
+
.
2
2
2
Обозначим
R(u, v) − R(−u, v)
R
(u,
v)
=
1
2
R(−u, v) − R(−u, −v)
R2 (u, v) =
2
R3 (u, v) = R(−u, −v) + R(u, v) .
2
Тогда
1).
R1 (−u, v) =
R(−u, v) − R(u, v)
= −R1 (u, v).
2
2).
R2 (u, −v) =
R(−u, −v) − R(−u, v)
= −R2 (u, v).
2
3).
R3 (−u, −v) =
R(u, v) + R(−u, −v)
= R3 (u, v).
2
Z
1.7.2.3. Интегралы вида
sinν x cosµ xdx .
Z
Рассмотрим интегралы вида
ν и µ — рациональные числа.
Z
I=
1
sin x cos xdx =
2
ν
µ
=
Z
sinν x cosµ xdx, где показатели степени
sinν−1 x cosµ−1 x(2 sin x cos x)dx =
Замена: t = sin2 x ⇒
1 − t = 1 − sin2 x = cos2 x
dt = 2 sin x cos x dx
103
=
1
=
2
Z
2
(sin x)
ν−1
2
2
(cos x)
µ−1
2
1
d(sin x) =
2
2
Z
t
ν−1
2
(1 − t)
µ−1
2
dt .
Мы получили интеграл от биномиального дифференциала, где
p= µ−1
2
ν−1
q=
.
2
По теореме Чебышева интеграл от биномиального дифференциала интегрируется в квадратурах в следующих случаях:
1).
p=
µ−1
− целое число . Обозначим
2
p=
µ−1
= k ⇒ µ = 2k + 1, k ∈ Z.
2
Таким образом, µ должно быть нечетным целым числом.
2).
q=
ν−1
− целое число . Обозначим
2
p=
ν−1
= k ⇒ ν = 2k + 1, k ∈ Z.
2
Таким образом, ν тоже должно быть нечетным целым числом.
3).
p+q =
µ+ν−2
µ+ν
µ−1 ν−1
+
=
=
−1
2
2
2
2
— целое число. Обозначим
µ+ν
− 1 = k ⇒ µ + ν = 2(k + 1), k ∈ Z.
2
Таким образом, µ + ν должно быть четным целым числом.
Пример 1.7.10. Вычислим интеграл
Z
dx
√
I=
.
3
sin x cos5 x
104
Преобразуем интеграл к виду:
Z
5
3
sin− 2 x cos− 2 xdx =
I=
3
2
5
µ=−
2
ν=−
=
1
=
2
Z
5
sin− 2
=
3 5
µ + ν = − − = −4 четное целое число
2 2
Z
7
5
1
− 27
x cos x(2 sin x cos x)dx =
(sin2 x)− 4 (cos2 x)− 4 d(sin2 x) =
2
= |Замена: t = sin2 x| =
1
=
2
Z
− 45
t
− 47
(1 − t)
1
dt =
2
Z
t
−3
1−t
t
− 74
dt =
r
1−t
1−t
1
⇒ z4 =
= −1
t
t
t
1
−3
4 3
t=
⇒ t = (1 + z )
1 + z4
4z 3
dt = −
dz
(1 + z 4 )2
z=
=
1
=−
2
Z
4
1
4z 3
(1 + z ) 7
dz = −2
z (1 + z 4 )2
4 3
Z
1 + z4
dz = −2
z4
=
Z
1
+ 1 dz =
z4
s
r
2
√
1
1
−
t
4 1 − sin x
4
= −2 − 3 + z + C = z =
=
= ctg x =
2
3z
t
sin x
=
√
2p 3
tg x − 2 ctg x + C.
3
105
Z
1.7.2.4. Интегралы вида
Z
sin αx cos βxdx ,
Z
sin αx sin βxdx и
cos αx cos βxdx .
Интегралы указанных типов интегрируются с использованием тригонометрических формул
1
sin αx cos βx = [sin(α + β)x + sin(α − β)x] ,
2
1
sin αx sin βx = [cos(α − β)x − cos(α + β)x] ,
2
1
cos αx cos βx = [cos(α − β)x + cos(α + β)x] .
2
Z
1.7.3
Интегралы вида
R(sh x, ch x)dx .
Эти интегралы интегрируются с использованием соответствующих формул:
ch2 x − sh2 x = 1 ,
ch2 x + sh2 x = ch 2x ,
1 − th2 x =
1
,
ch2 x
cth2 x − 1 =
1
,
sh2 x
x x
2 sh ch
2
2 = 2 th x ,
sh x =
x
x
1 − th2 x
ch2 − sh2
2
2
x
x
+ sh2
1 + th2
2
2 =
ch x =
2 x
2 x
ch
− sh
1 − th2
2
2
ch2
106
x
2
x .
2
В качестве примера покажем, как эти интегралы интегрируются с помощью универсальной подстановки.
Замена: t = th
x
⇒
2
x
= th−1 t ⇒
2
x = 2 th−1 t ⇒
Z
=
2
dt
1 − t2
2t
sh x =
1 − t2
1 + t2
ch x =
1 − t2
Z
Z
2t
1 + t2
2
e
= R
R(t)dt
,
dt =
.
1 − t2 1 − t2 1 − t2
I=
R(sh x, ch x)dx =
dx =
Таким образом, наш интеграл сводится к интегралу от рациональной функции
2t
1 + t2
2
e
R(t) = R
,
,
2
2
1 − t 1 − t 1 − +t2
т.е. интегрируется в квадратурах.
107
Глава 2
Определенный интеграл
2.1
2.1.1
Лекция №8
Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу
Понятие определенного интеграла
2.1.1.1. Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b], a < b.
Считаем, для определенности, что функция f (x) неотрицательна на
[a, b]. Обозначим:
A(a, 0), M (a, f (a)), N (b, f (b)), B(b, 0) .
Вычислим площадь криволинейной трапеции
AM N B
108
Один из приближенных методов вычисления заключается в следующем.
Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn так,
чтобы
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b
и обозначим
X0 (a, 0) = A, Xi (xi , 0), i = 1, 2, . . . , n − 1, Xn (b, 0) = B .
и
M0 = M (a, f (a)), Mi (xi , f (xi )), i = 1, 2, . . . .n − 1, Mn = N (b, f (b)) .
109
В каждом из полученных частичных отрезков [xi−1 , xi ] выберем произвольную точку ξi :
ξi ∈ [xi−1 , xi ] .
Заменим площадь криволинейной трапеции Xi−1 Mi−1 Mi Xi на площадь прямоугольника с тем же основанием Xi−1 Xi и высотой hi = f (ξi ):
Xi−1 Ni−1 , Ni Xi , где Ni−1 (xi−1 , f (ξi )), Ni (xi , f (ξi )),
т.е. приближенно считаем, что
SXi−1 Mi−1 Mi Xi ≈ SXi−1 Ni−1 ,Ni Xi = (xi − xi−1 )hi = ∆xi f (ξi ) .
Тогда получим:
SAM N B ≈
n
X
i=1
110
f (ξi )∆xi .
Замечание 2.1.1. Ясно, что вычисление будет тем точнее, чем меньше
длина каждого из отрезков [Xi−1 , X1 ], т.е.
∆xi = xi − xi−1 .
Обозначим через λ длину наибольшего из отрезков [Xi−1 , X1 ], т.е.
λ = max ∆xi = max (xi − xi−1 ) .
1≤i≤n
1≤i≤n
Тогда можно считать, что
S = SAM N B = lim
λ→0
n
X
f (ξi )∆xi .
i=1
2.1.1.2. Основные определения.
Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b], a < b.
Рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b] точками x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn
так, чтобы
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b :
111
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b} .
В каждом из полученных частичных отрезков [xi−1 , xi ], как и выше, выберем произвольную точку ξi :
ξi ∈ [xi−1 , xi ] :
xi−1 ≤ ξi ≤ xi ,
и обозначим
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } , ∆xi = xi−1 − xi .
Определение 2.1.2. Число
σ(τ, ξ, f ) =
n
X
f (ξi )∆xi = f (ξ1 )∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + ... + f (ξn )∆xn
i=1
называется интегральной суммой функции f (x) , соответствующей данному разбиению τ отрезка [a, b] и данному выбору промежуточных точек
ξi ∈ [xi−1 , xi ],
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } .
Определение 2.1.3. Число
λ = λτ = max ∆xi = max (xi − xi−1 ) .
1≤i≤n
1≤i≤n
называется шагом разбиения τ .
Определение 2.1.4. Число I называется пределом интегральных сумм
σ(τ, ξ, f ) при λ → 0, если для любого ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0,
что для любого разбиения τ с шагом разбиения λτ < δ независимо от
выбора точек ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } выполняется неравенство
|σ(τ, ξ, f ) − I| < ε .
При этом записывают
I = lim σ(τ, ξ, f ) .
λ→0
112
Определение 2.1.5. Если существует конечный предел
I = lim σ(τ, ξ, f ) ,
λ→0
то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) на
отрезке [a, b] и обозначается:
Zb
I=
f (x)dx ,
(2.1.1)
a
или
Zb
I=
f (x)dx = lim
λ→0
a
n
X
f (ξi )∆xi .
i=1
В этом случае функция f (x) называется интегрируемой по Риману на
отрезке [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, x –
переменной интегрирования.
Замечание 2.1.6. В определении предела интегральных сумм вместо
λ → 0 было бы неправильно писать n → ∞, так как существуют примеры, когда увеличение числа точек разбиения отрезка [a, b] не обязательно
означает убывание к нулю ∆xi . В то же время, если λ → 0, то очевидно
все ∆xi → 0 и потому n → ∞.
Пример 2.1.7. Рассмотрим функцию
f (x) = C = const
на произвольном отрезке [a, b]. Так как для любого разбиения
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}
и любого выбора точек ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } имеет место равенство
σ(τ, ξ, f ) =
n
X
f (ξi )∆xi = C
i=1
n
X
i=1
113
∆xi = C(b − a),
то
lim σ(τ, ξ, f ) = lim
λ→0
n
X
λ→0
f (ξi )∆xi = C(b − a).
i=1
Поэтому функция f (x) = C интегрируема на любом отрезке [a, b] и
Zb
Zb
Cdx = C(b − a).
f (x)dx =
a
a
Замечание 2.1.8. Очевидно, что неограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) не может быть интегрируемой, так как для любого разбиения
τ с помощью соответствующего выбора точек ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой по модулю. Таким
образом, ограниченность является необходимым условием интегрируемости. Однако ограниченность функции не является достаточным условием интегрируемости, так как существуют ограниченные неинтегрируемые
функции.
Пример 2.1.9. Рассмотрим функцию Дирихле D(x) на отрезке [0, 1]:
1, если x ∈ [0, 1] рациональное число
D(x) =
0, если x ∈ [0, 1] иррациональное число.
Функция Дирихле D(x), очевидно, ограничена на [0, 1].
Для любого разбиения τ рассмотрим два выбора точек:
ξ 0 = {ξ10 , ξ20 , . . . , ξn0 }, где все ξi0 рациональные числа,
и
ξ 00 = {ξ100 , ξ200 , . . . , ξn00 }, где все ξi00 иррациональные числа.
Тогда для любого i = 1, 2, . . . , n
D(ξi0 ) = 1 и D(ξi00 ) = 0.
Поэтому
0
σ(τ, ξ , f ) =
n
X
D(ξi0 )∆xi
=
n
X
i=1
i=1
114
1 · ∆xi = 1
и
00
σ(τ, ξ , f ) =
n
X
D(ξi00 )∆xi
=
n
X
i=1
0 · ∆xi = 0.
i=1
Поэтому не существует предела
lim σ(τ, ξ, f ),
λ→0
и потому функция Дирихле D(x) не интегрируема на [0, 1].
2.1.2
Верхняя и нижняя суммы Дарбу и их свойства
2.1.2.1. Определение сумм Дарбу
Пусть функция f (x) определена и ограничена на отрезке [a, b] и пусть
τ — разбиение этого отрезка точками
a = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b.
Обозначим через m и M точную нижнюю и точную верхнюю грани функции f (x) на отрезке [a, b], а через mi и Mi соответственно точную нижнюю
и точную верхнюю грани этой функции на отрезке [xi−1 , xi ]:
m = inf f (x),
[a,b]
M = sup f (x),
[a,b]
mi =
inf f (x),
[xi−1 ,xi ]
Mi = sup f (x).
[xi−1 ,xi ]
Определение 2.1.10. Суммы
S(τ, f ) = M1 ∆x1 + M2 ∆x2 + ... + Mn ∆xn =
n
X
i=1
115
Mi ∆xi
(2.1.2)
и
s(τ, f ) = m1 ∆x1 + m2 ∆x2 + ... + mn ∆xn =
n
X
mi ∆xi .
(2.1.3)
i=1
называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции
f (x) для данного разбиения τ отрезка [a, b].
Замечание 2.1.11. Суммы Дарбу имеют простой геометрический смысл.
Для простоты рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f (x)
на [a, b] и криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции
f (x), двумя вертикальными прямыми, проведенными через точки a и b
оси Ox, и осью Ox.
Поскольку функция f (x) непрерывна на [a, b], то она будет непрерывной на каждом отрезке [xi−1 , xi ].
По второй теореме Вейерштрасса f (x) достигает на [xi−1 , xi ] своих точных граней и, следовательно, числа mi и Mi представляют собой наименьшее и наибольшее значения функции на [xi−1 , xi ]:
mi = min f (x),
[xi−1 ,xi ]
Mi = max f (x).
[xi−1 ,xi ]
116
Поэтому верхняя сумма Дарбу S(τ, f ) равна площади ступенчатой фигуры, описанной около криволинейной трапеции, а нижняя сумма Дарбу
s(τ, f ) равна площади ступенчатой фигуры, вписанной в данную криволинейную трапецию.
Замечание 2.1.12. Следует особо подчеркнуть, что суммы Дарбу S(τ, f )
и s(τ, f ) функции f (x) зависят только от разбиения отрезка [a, b], в то
время как интегральная сумма σ(τ, ξ, f ) зависит еще и от выбора точек ξi
на частичных отрезках [xi−1 , xi ].
При фиксированном разбиении отрезка [a, b] суммы S(τ, f ) и s(τ, f )
будут некоторыми числами, в то время как интегральная сумма σ(τ, ξ, f )
является переменной величиной ввиду произвольности точек ξi .
2.1.2.2. Свойства сумм Дарбу
Суммы Дарбу обладают следующими свойствами.
Свойство 1.
117
Утверждение 2.1.13. Для любого фиксированного разбиения τ и для любого выбора точек ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } имеет место неравенство
s(τ, f ) ≤ σ(τ, ξ, f ) ≤ S(τ, f ) .
(2.1.4)
Доказательство. Из определения нижней и верхней граней (i = 1, 2, . . . , n)
имеем
mi ≤ f (ξi ) ≤ Mi
при ξi ∈ [xi−1 , xi ].
Поэтому
mi ∆xi ≤ f (ξi )∆xi ≤ Mi ∆xi ,
n
X
i=1
mi ∆xi ≤
n
X
f (ξi )∆xi ≤
i=1
n
X
Mi ∆xi ,
i=1
т. е. интегральная сумма и суммы Дарбу связаны неравенствами
s(τ, f ) ≤ σ(τ, ξ, f ) ≤ S(τ, f ).
118
Свойство 2.
Утверждение 2.1.14. Для любого фиксированного разбиения τ
S(τ, f ) = sup σ(τ, ξ, f )
(2.1.5)
ξ
и
s(τ, f ) = inf σ(τ, ξ, f ) .
(2.1.6)
ξ
Доказательство. Докажем первое равенство (2.1.5) Пусть τ — разбиение
отрезка [a, b] точками
a = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b
и ε > 0. Так как для любого i = 1, 2, . . . , n
Mi = sup f (x),
[xi−1 ,xi ]
то для данного ε > 0 на каждом отрезке [xi−1 , xi ] можно указать такую
точку ξi что
ε
, i = 1, 2, ..., n.
0 ≤ Mi − f (ξi ) <
b−a
Умножая каждое из этих неравенств на соответствующее ∆xi и затем
складывая, получим:
0 ≤ [Mi − f (ξi )]∆xi <
0≤
n
X
i=1
Mi ∆xi −
ε
∆xi ,
b−a
n
X
f (ξi )∆xi <
i=1
i = 1, 2, ..., n ⇒
n
X
i=1
ε
∆xi .
b−a
Обозначая ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }, получим
0 ≤ S(τ, f ) − σ(τ, ξ, f ) < ε.
Таким образом,
S(τ, f ) = sup σ(τ, ξ, f ).
ξ
Аналогично доказывается второе равенство (2.1.6).
119
Свойство 3. Суммы Дарбу обладают свойством монотонности по разбиению в следующем смысле: от добавления к данному разбиению τ отрезка [a, b] новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу может разве лишь
увеличится (не уменьшается), а верхняя — разве лишь уменьшится (не
увеличивается).
Для формулировки этого свойства сумм Дарбу нам удобно ввести следующее определение.
Определение 2.1.15. Разбиение
τ 0 = {a = x00 , x01 , x02 , . . . , x0n−1 , x0n = b}
называется измельчением разбиения
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b},
если
τ ⊂ τ 0 как множества точек.
В этом случае будем писать
τ ≺ τ 0.
Таким образом,
τ ≺ τ0 ⇔ τ ⊂ τ0 .
120
Утверждение 2.1.16. Если τ и τ 0 два разбиения отрезка [a, b] такие,
что
τ ≺ τ0 .
Тогда имеют место неравенства
S(τ, f ) ≥ S(τ 0 , f )
(2.1.7)
s(τ, f ) ≤ s(τ 0 , f ) .
(2.1.8)
и
Доказательство. Пусть τ и τ 0 два разбиения отрезка [a, b] такие, что
τ ≺ τ 0.
Докажем сначала неравенство (2.1.7). Считаем сначала, что к данному
разбиению
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b},
добавлена одна точки x0 :
τ 0 = τ ∪ {x0 }.
Предположим, что эта новая точка x0 попала на отрезок [xi−1 , xi ], т.е.
xi−1 < x0 < xi .
Тогда
∆xi = xi − xi−1 = (xi − x0 ) + (x0 − xi−1 ) = ∆x0i + ∆x00i .
Обозначим
Mi0 = sup f (x)
[xi−1 ,x0 ]
и
Mi00 = sup f (x)
[x0 ,xi−1 ]
Легко видеть, что
Mi0 ≤ Mi и Mi00 ≤ Mi .
Верхние суммы Дарбу S(τ, f ) и S(τ 0 , f ) можно записать в виде:
S(τ, f ) = M1 ∆x1 + ... + Mi−1 ∆xi−1 + Mi ∆xi + Mi+1 ∆xi+1 + . . . + Mn ∆xn
и
S(τ 0 , f ) = M1 ∆x1 +...+Mi−1 ∆xi−1 +Mi0 ∆x0i +Mi00 ∆x00i +Mi+1 ∆xi+1 +. . .+Mn ∆xn .
121
Следовательно,
S(τ, f ) − S(τ 0 , f ) = Mi ∆xi − [Mi0 ∆x0i + Mi00 ∆x00i ] =
= Mi [∆x0i + ∆x00i ] − [Mi0 ∆x0i + Mi00 ∆x00i ] =
= [Mi − Mi0 ]∆x0i + [Mi − Mi00 ]∆x00i ≥ 0.
Это означает, что
S(τ, f ) ≥ S(τ 0 , f ).
Заметим, что в общем случае, добавление нескольких точек к разбиению
τ можно провести, добавляя их по одной. Таким образом, неравенство
(2.1.7) доказано.
Неравенство (2.1.8) доказывается аналогично.
Свойство 4.
122
Утверждение 2.1.17. Пусть τ и τ1 два произвольных разбиения отрезка
[a, b]. Тогда имеют место неравенства
s(τ, f ) ≤ S(τ1 , f )
(2.1.9)
s(τ1 , f ) ≤ S(τ, f ) .
(2.1.10)
и
Доказательство. Рассмотрим разбиение
τ 0 = τ ∪ τ1 .
Тогда
τ ≺ τ0
и
τ1 ≺ τ 0 .
Следовательно, в силу неравенств (2.1.7) и (2.1.7) имеем:
s(τ, f ) ≤ s(τ 0 , f ) ≤ S(τ 0 , f ) ≤ S(τ1 , f ).
Аналогично доказывается второе неравенство.
Свойство 5.
Утверждение 2.1.18.
1). Множество {S(τ, f )}τ ограничено снизу.
2). Множество {s(τ, f )}τ ограничено сверху.
Доказательство. Зафиксируем какое то разбиение τ1 отрезка [a, b]. Тогда
для любого разбиения τ , в силу неравенств (2.1.9) и (2.1.10) имеем:
S(τ, f ) ≥ s(τ1 , f )
и
s(τ, f ) ≤ S(τ1 , f ).
Таким образом, множество {S(τ, f )}τ ограничено снизу, а множество {s(τ, f )}τ
ограничено сверху.
123
Так как множество {S(τ, f )}τ ограничено снизу, то существует число
I = I(f ) = inf {S(τ, f )}
τ
(2.1.11)
Аналогично, так как множество {s(τ, f )}τ ограничено сверху, то существует число
I = I(f ) = sup{s(τ, f )} .
(2.1.12)
τ
Определение 2.1.19. Числа I и I называются верхним и нижним интегралами Дарбу функции f (x) на отрезке [a, b].
Утверждение 2.1.20. Верхний и нижний интегралы Дарбу функции
f (x) на отрезке [a, b] удовлетворяют неравенствам
s(τ, f ) ≤ I ≤ I ≤ S(τ, f ) .
(2.1.13)
Доказательство. Так как для любого разбиения τ отрезка [a, b]
s(τ, f ) ≤ S(τ, f ),
то S(τ, f ) — верхняя граница множества {s(τ, f )}τ . Поэтому
s(τ, f ) ≤ I ≤ S(τ, f ).
Следовательно, I — нижняя граница множества {S(τ, f )}τ . Но тогда
s(τ, f ) ≤ I ≤ I ≤ S(τ, f ).
Свойство 6.
Уточним, на сколько может изменяться верхняя или нижняя суммы
Дарбу от добавления к данному разбиению определенного количества точек.
124
Утверждение 2.1.21. Если разбиение τp получено из разбиения τ добавлением p точек:
τp = τ ∪ {x01 , x02 , . . . , x0p } ,
то имеют место неравенства
0 ≤ S(τ, f ) − S(τp , f ) ≤ (M − m)pλ
(2.1.14)
0 ≤ s(τp , f ) − s(τ, f ) ≤ (M − m)pλ ,
(2.1.15)
где
M = sup f (x), m = inf f (x),
[a,b]
[a,b]
и λ = λτ шаг разбиения τ .
Доказательство. 1). Как и при доказательстве неравенства (2.1.7), считаем сначала, что к данному разбиению
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b},
добавлена одна точки x0 , т.е. p = 1 и
τ1 = τ ∪ {x0 }.
Предположим как и выше, что эта новая точка x0 попала на отрезок
[xi−1 , xi ], т.е.
xi−1 < x0 < xi .
Тогда
∆xi = xi − xi−1 = (xi − x0 ) + (x0 − xi−1 ) = ∆x0i + ∆x00i .
Обозначим опять
Mi0 = sup f (x)
[xi−1 ,x0 ]
и
Mi00 = sup f (x)
[x0 ,xi−1 ]
Ясно, что
m ≤ Mi0 ≤ Mi ≤ M и m ≤ Mi00 ≤ Mi ≤ M.
Тогда
S(τ, f ) − S(τ1 , f ) = Mi ∆xi − [Mi0 ∆x0i + Mi00 ∆x00i ] =
= Mi [∆x0i + ∆x00i ] − [Mi0 ∆x0i + Mi00 ∆x00i ] =
125
= (Mi − Mi0 )∆x0i + (Mi − Mi00 )∆x00i ≤
= (M − m)∆x0i + (M − m)∆x00i = (M − m)(∆x0i + ∆x00i ) =
= (M − m)∆xi ≤ (M − m)λ.
2). Пусть теперь p = 2 и
τ2 = τ ∪ {x0 , x00 } = τ1 ∪ {x00 }.
Ясно, что
λτ1 ≤ λτ = λ.
Тогда
S(τ1 , f ) − S(τ2 , f ) ≤ (M − m)λτ1 ≤ (M − m)λ.
Следовательно,
S(τ, f ) − S(τ2 , f ) = [S(τ, f ) − S(τ1 , f )] + [S(τ1 , f ) − S(τ2 , f )] ≤
≤ (M − m)λ + (M − m)λ = (M − m)2λ.
Продолжая процесс, добавляя к предыдущему разбиению по одной точке,
получим неравенство (2.1.14).
Неравенство (2.1.15) доказывается аналогично.
126
2.2
Лекция №9
Условия существования определенного интеграла. Равномерная непрерывность функции
2.2.1
Лемма Дарбу
Выше были определены верхний и нижний интегралы Дарбу функции
f (x):
I = I(f ) = inf {S(τ, f )}
τ
и
I = I(f ) = sup{s(τ, f )} .
τ
Лемма Дарбу уточняет эти равенства.
Лемма 2.2.1. (Дарбу) Имеют место равенства:
I = I(f ) = lim S(τ, f )
(2.2.1)
I = I(f ) = lim s(τ, f ) .
(2.2.2)
λτ →0
λτ →0
Доказательство. Докажем равенство (2.2.1).
1). Пусть сначала m = M . Тогда функция f (x) постоянна на отрезке
[a, b]. Следовательно для любого разбиения τ
s(τ, f ) = S(τ, f ) = M (b − a).
Поэтому
s(τ, f ) = I = I = S(τ, f ) = M (b − a)
и равенства (2.2.1) и (2.2.2) очевидны.
2). Пусть теперь m < M .
2.1). Так как
I = inf {S(τ, f )} ,
τ
127
то для любого ε > 0 существует такое разбиение τ ∗ отрезка [a, b], что
ε
I ≤ S(τ ∗ , f ) < I + ,
2
откуда
S(τ ∗ , f ) − I <
ε
.
2
(2.2.3)
2.2). Пусть разбиение τ ∗ имеет вид
τ ∗ = {a, x1 , x2 , . . . , xp , b} .
Пусть
δ=
ε
.
2(M − m)p
Рассмотрим произвольное разбиение τ отрезка [a, b] с шагом
λτ < δ.
Рассмотрим такое разбиение τ 0 отрезка [a, b], что
τ0 = τ ∪ τ∗ .
Тогда
τ ≺ τ 0,
причем разбиение τ 0 получается из разбиения τ добавлением p точек
разбиения τ ∗ .
Тогда, в силу неравенства (2.1.14),
S(τ, f ) − S(τ 0 , f ) ≤ (M − m)pλτ < (M − m)pδ =
= (M − m)p
ε
ε
= ,
2(M − m)p
2
т.е.
S(τ, f ) − S(τ 0 , f ) <
2.3). Так как
τ 0 = τ ∪ τ ∗,
то
τ ∗ ≺ τ 0.
128
ε
.
2
(2.2.4)
Поэтому, в силу неравенства (2.2.3), имеем:
ε
I ≤ S(τ 0 , f ) ≤ S(τ ∗ , f ) < I + ,
2
откуда
S(τ 0 , f ) − I <
ε
.
2
(2.2.5)
2.4). Наконец, используя неравенства (2.2.4) и (2.2.6), получаем:
S(τ, f ) − I = [S(τ, f ) − S(τ 0 , f )] + [S(τ 0 , f ) − I] <
ε ε
+ = ε,
2 2
т.е.
S(τ, f ) − I < ε .
(2.2.6)
ε
>0
2(M − m)p
что для любого разбиения τ отрезка [a, b] с шагом λτ < δ выполняется
неравенство
S(τ, f ) − I < ε.
Таким образом, мы для любого ε > 0 нашли такое δ =
Но это и означает, что
lim S(τ, f ) = I.
λτ →0
Равенство (2.2.2) проверяется аналогично.
2.2.2
Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции.
2.2.2.1. Критерий интегрируемости функции.
Докажем критерий интегрируемости функции f (x) на отрезке [a, b].
Теорема 2.2.2. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция
f (x) была интегрируемой на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для
любого положительного числа ε > 0 существовало разбиение τ такое,
что
S(τ, f ) − s(τ, f ) < ε .
(2.2.7)
129
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) интегрируема
на [a, b]. Тогда существует конечный предел
I = lim σ(τ, ξ, f ) .
λ→0
.
Следовательно, для любого числа ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0,
что для любого разбиения τ с шагом разбиения λ = λτ < δ независимо от
выбора точек ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } выполняется неравенство
|σ(τ, ξ, f ) − I| <
ε
.
4
(2.2.8)
Зафиксируем такое разбиение τ .
Так как, в силу равенства (2.1.5),
S(τ, f ) = sup σ(τ, ξ, f ),
ξ
то для данного ε > 0 существует такой выбор точек
ξ 0 = {ξi0 },
что
S(τ, f ) − σ(τ, ξ 0 , f ) <
ε
.
4
(2.2.9)
При этом, очевидно, σ(τ, ξ 0 , f ) удовлетворяет неравенству (2.2.8), т.е.
|σ(τ, ξ 0 , f ) − I| <
ε
.
4
(2.2.10)
Аналогично, так как, в силу равенства (2.1.6),
s(τ, f ) = inf σ(τ, ξ, f ),
ξ
то для данного ε > 0 существует такой выбор точек
ξ 00 = {ξi00 },
что
σ(τ, ξ 00 , f ) − s(τ, f ) <
130
ε
.
4
(2.2.11)
При этом, также очевидно, что σ(τ, ξ 00 , f ) удовлетворяет неравенству (2.2.8),
т.е.
ε
|σ(τ, ξ 00 , f ) − I| < .
(2.2.12)
4
Наконец, в силу неравенств (2.2.9), (2.2.10), (2.2.11) и (2.2.12) имеем:
S(τ, f ) − s(τ, f ) = [S(τ, f ) − σ(τ, ξ 0 , f )] + [σ(τ, ξ 0 , f ) − I]+
+[I − σ(τ, ξ 00 , f )] + [σ(τ, ξ 00 , f ) − s(τ, f )] <
ε ε ε ε
+ + + = ε,
4 4 4 4
т.е. неравенство (2.2.7) доказано.
Достаточность. Путь теперь для любого положительного числа ε > 0
существует разбиение τ такое, что
S(τ, f ) − s(τ, f ) < ε .
Так как, в силу (2.1.13),
s(τ, f ) ≤ I ≤ I ≤ S(τ, f ) ,
то для любого положительного числа ε > 0 выполняется неравенство
I − I < ε.
Но это означает, что
I=I=I .
Поэтому, по лемме Дарбу,
lim s(τ, f ) = I = lim S(τ, f ) .
λ→0
λ→0
Так как, кроме того,
s(τ, f ) ≤ σ(τ, ξ, f ) ≤ S(τ, f ) ,
то существует предел
lim σ(τ, ξ, f ) = I,
λ→0
т.е. функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
131
Замечание 2.2.3. Легко видеть, что условие критерия интегрируемости
равносильно следующему:
lim [S(τ, f ) − s(τ, f )] = 0 .
λ→0
Три графика, изображенные ниже, иллюстрируют уменьшение разности S(τ, f ) − s(τ, f ) при измельчении разбиения отрезка [a, b].
132
2.2.2.2. Колебание функции на интервале
Пусть функция f (x) определена и ограничена на интервале [a, b]. Как
и выше, для разбиения
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}
положим
Mi = sup f (x)
[xi−1 ,xi ]
и
mi =
inf f (x).
[xi−1 ,xi ]
Определение 2.2.4. Число
ωi = ω([xi−1 , xi ]) = Mi − mi
называется колебанием функции f (x) на интервале [xi−1 , xi ].
Замечание 2.2.5. Ясно, что для любого i = 1, 2, . . . , n
ωi ≥ 0.
133
Так как
S(τ, f ) − s(τ, f ) =
n
X
i=1
Mi ∆xi −
n
X
mi ∆xi =
i=1
n
n
X
X
(Mi − mi )∆xi =
ωi ∆xi ,
i=1
i=1
то имеет место следующее следствие теоремы 2.2.2:
Следствие 2.2.6. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) была интегрируемой на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы
для любого положительного числа ε > 0 существовало разбиение τ такое, что
n
X
(2.2.13)
ωi ∆xi < ε .
i=1
2.2.2.3. Необходимые и достаточные условия интегрируемости
ограниченной функции на интервале
В этом пункте мы соберем вместе все условия, каждое из которых
можно считать необходимым и достаточным условием интегрируемости
(включая определение).
Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) была интегрируемой на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы было выполнено
одно из следующих эквивалентных условий:
1o Существует конечный предел
I = lim σ(τ, ξ, f ) ,
λ→0
т.е. для любого числа ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0, что для
любого разбиения τ с шагом разбиения λ = λτ < δ независимо от
выбора точек ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } выполняется неравенство
|σ(τ, ξ, f ) − I| < ε .
2o Для любого положительного числа ε > 0 существует разбиение τ
такое, что
S(τ, f ) − s(τ, f ) < ε .
134
3o
lim [S(τ, f ) − s(τ, f )] = 0 .
λτ →0
4o Нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают:
I=I=I .
5o Для любого положительного числа ε > 0 существует разбиение τ
такое, что
n
X
ωi ∆xi < ε .
i=1
6o
lim
λτ →0
2.2.3
n
X
ωi ∆xi = 0 .
i=1
Равномерная непрерывность функции
2.2.3.1. Понятие равномерной непрерывности функции. Примеры
Определение 2.2.7. Функция f (x) называется равномерно непрерывной
на множестве E, если для любого числа ε > 0 существует такое число
δ = δ(ε) > 0, что для любых x0 , x00 ∈ E, таких, что
|x00 − x0 | < δ ,
выполняется неравенство
|f (x00 ) − f (x0 )| < ε .
Замечание 2.2.8. Равномерная непрерывность функции f (x) в точке не
определяется.
135
Утверждение 2.2.9. Если функция f (x) равномерно непрерывна на множестве E, то она непрерывна на множестве E, т.е. непрерывна в каждой точке x0 множества E.
Доказательство. Пусть функция f (x) равномерно непрерывна на множестве E и x0 ∈ E. Тогда для любого ε > 0 существует такое число
δ = δ(ε) > 0, что для любого x ∈ E, такого, что
|x − x0 | < δ,
выполняется неравенство
|f (x) − f (x0 )| < ε.
Но это и доказывает, что функция f (x) непрерывна в каждой точке x0 ,
т.е.
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Пример 2.2.10. Рассмотрим функцию
f (x) =
√
x
и покажем, что эта функция равномерно непрерывна на множестве
E = [1, +∞).
Действительно, пусть x0 , x00 ∈ E такие, что
1 ≤ x0 < x00 .
√
Функция f (x) = x удовлетворяет на отрезке [x0 , x00 ] теореме Лагранжа.
Поэтому существует такая точка ξ, что
1 ≤ x0 < ξ < x00
и
f (x00 ) − f (x0 ) = f 0 (ξ)(x00 − x0 ).
Так как
√
1
f 0 (x) = ( x)0 = √ ,
2 x
136
то
1
1
|f (x00 ) − f (x0 )| = √ |x00 − x0 | < |x00 − x0 |.
2
2 ξ
Пусть теперь задано произвольное ε > 0. Полагаем δ = 2ε. Тогда для
любых x0 , x00 ∈ E таких, что
|x00 − x0 | < δ = 2ε
получим:
1
1
1
|f (x00 ) − f (x0 )| < |x00 − x0 | < δ = 2 ε = ε.
2
2
2
Замечание 2.2.11. Сформулируем условие, при выполнении которого
функция f (x) не является равномерно непрерывной на множестве E.
Функция f (x) не является равномерно непрерывной на множестве E,
если существует такое число ε > 0, что для любого числа δ > 0 существуют
точки x0δ , x00δ ∈ E такие, что
|x00δ − x0δ | < δ ,
но
|f (x00δ ) − f (x0δ )| ≥ ε .
Пример 2.2.12. Рассмотрим функцию
f (x) = x2
и покажем, что эта функция не является равномерно непрерывна на множестве
E = [1, +∞).
Рассмотрим число
ε=1
и произвольное число
0 < δ < 1.
Положим
1
δ
1 δ
x00δ = + .
δ 2
x0δ =
137
Тогда
|x00δ
−
x0δ |
=
1 δ
+
δ 2
−
1
δ
= < δ,
δ
2
в то время как
|f (x00δ )
=
−
f (x0δ )|
=
1 δ
+
δ 2
2
2
1
−
=
δ
1
1
δ2
δ2
−
≥ 1 = ε.
+
1
+
=
1
+
δ2
4
δ2
4
Приведем еще один пример.
Пример 2.2.13. Рассмотрим функцию
f (x) = sin
1
x
и покажем, что эта функция не является равномерно непрерывной на множестве
E = (0, +∞).
Рассмотрим две последовательности
1
x0n = π
+ 2πn
2
1
00
.
xn =
3π
+ 2πn
2
Так как
lim x0n = lim x00n = 0,
n→∞
n→∞
то разность
x00n − x0n → 0
и потому может быть сделана сколь угодно малой.
С другой стороны
π
3π
00
0
|f (xn ) − f (xn )| = sin
+ 2πn − sin
+ 2πn = 2
2
2
и не может быть сделана меньше ε, если например ε < 2 .
138
2.2.3.2. Достаточные условия равномерной непрерывности функции
Теорема 2.2.14. Если функция f (x)
1o ). Определена на интервале (a, b);
2o ). Дифференцируема на (a, b);
3o ). Производная f 0 (x) ограничена на (a, b), т.е. существует такая константа C > 0, что для любого x ∈ (a, b) выполняется неравенство
|f 0 (x)| ≤ C.
Тогда функция f (x) равномерно непрерывна на (a, b).
Доказательство. Для любого числа ε > 0 рассмотрим такое число
δ=
ε
> 0.
C
Пусть произвольные x0 , x00 ∈ (a, b) такие, что
|x00 − x0 | < δ.
Функция f (x) удовлетворяет на отрезке [x0 , x00 ] теореме Лагранжа. Поэтому существует такая точка ξ, что
x0 < ξ < x00
и
f (x00 ) − f (x0 ) = f 0 (ξ)(x00 − x0 ).
Поэтому
|f (x00 ) − f (x0 )| = |f 0 (ξ)||x00 − x0 | ≤ C|x00 − x0 | < Cδ = C
т.е. функция f (x) равномерно непрерывна на (a, b).
139
ε
= ε,
C
Замечание 2.2.15. Условие равномерной непрерывности функции f (x)
означает, что можно выбрать прямоугольник
Π=δ×ε
и двигать его центр вдоль графика
Γf = {(x, f (x)) : x ∈ (a, b)}
так, чтобы его стороны оставались параллельными осям координат, а сама
кривая Γf пересекала бы боковые стороны этого прямоугольника.
Если же получаются другие случаи, т.е. если кривая пересекает либо
верхнее, либо нижнее основание прямоугольника, то либо мы выбрали не
те параметры прямоугольника Π = δ × ε, либо функция f (x) не является
равномерно непрерывной.
Одной из известных теорем, в которых сформулированы достаточные
условия равномерной непрерывности функции, является теорема Кантора.
Теорема 2.2.16. (Кантора) Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[a, b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке [a, b].
Доказательство. Допустим, что функция f (x) непрерывна на отрезке
[a, b], но не является равномерно непрерывной на [a, b]. Это означает, что
существует такое число ε > 0, что для любого числа δ > 0 существуют
точки x0δ , x00δ ∈ [a, b] такие, что
|x00δ − x0δ | < δ,
но
|f (x00δ ) − f (x0δ )| ≥ ε.
Рассмотрим δn =
1
и обозначим
n
x0δn = x0n
и
x00δn = x00n .
Тогда имеем:
|x00n − x0n | < δn =
140
1
,
n
в то время как
|f (x00n ) − f (x0n )| ≥ ε.
Так как x0n ∈ [a, b], то последовательность {x0n }∞
n=1 ограничена. Тогда
по теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность {x0nk }∞
k=1 .
Пусть
lim x0nk = c.
k→∞
Отметим, что c ∈ [a, b]. Так как
|x00nk − x0nk | < δnk =
1
→ 0,
nk
то
lim (x00nk − x0nk ) = 0.
k→∞
Следовательно, последовательность {x00nk }∞
k=1 тоже сходится и имеет тот
же предел:
lim x00nk = c.
k→∞
Функция f (x) непрерывна на [a, b], в частности, она непрерывна в точке
c ∈ [a, b]. Поэтому
lim f (x0nk ) = lim f (x00nk ) = f (c).
k→∞
k→∞
С другой стороны,
|f (x00nk ) − f (x0nk )| ≥ ε.
Полученное противоречие показывает, что наше допущение неверно. Таким образом, функция f (x) является равномерно непрерывной на [a, b].
Следствие 2.2.17. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для любого отрезка
[c, d] ⊂ [a, b], длина которого
d−c<δ ,
колебание функции f (x) на отрезке [c, d] меньше ε:
ω([c, d]) < ε .
141
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
она равномерно непрерывна на этом отрезке [a, b]. Поэтому для любого
числа ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для любых x0 , x00 ∈
[a, b], таких, что
|x00 − x0 | < δ,
выполняется неравенство
|f (x00 ) − f (x0 )| < ε.
Пусть отрезок [c, d] ⊂ [a, b] такой, что его длина
d − c < δ.
Обозначим через
M[c,d] = sup f (x)
[c,d]
и
m[c,d] = inf f (x).
[c,d]
Так как функция f (x) непрерывна на [a, b], то она непрерывна на [c, d]. Поэтому по второй теореме Вейерштрасса, числа M[c,d] и m[c,d] достигаются,
т.е. существуют такие x1 , x2 ∈ [c, d], что
M[c,d] = f (x1 )
и
m[c,d] = f (x2 ).
Так как
d − c < δ,
то
|x1 − x2 | < δ.
Поэтому
ω([c, d]) = M[c,d] − m[c,d] = |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.
142
Следствие 2.2.18. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для любого разбиения
τ = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b] с шагом разбиения
λτ < δ ,
выполняется неравенство:
n
X
ωi ∆xi < ε(b − a) .
i=1
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то,
в силу следствия 2.2.17, для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что
для любого отрезка [c, d] ⊂ [a, b], длина которого
d − c < δ,
колебание функции f (x) на отрезке [c, d] меньше ε:
ω([c, d]) < ε.
Пусть
τ = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
произвольное разбиение отрезка [a, b] с шагом разбиения
λτ < δ.
Тогда для любого i = 1, 2, . . . , n
ω1 = ω([xi−1 , i]) < ε
и потому
n
X
i=1
ωi ∆xi <
n
X
ε∆xi = ε
i=1
n
X
i=1
143
∆xi = ε(b − a).
Замечание 2.2.19. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для любого разбиения
τ = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b] с шагом разбиения
λτ < δ ,
выполняется неравенство:
n
X
ωi ∆xi < ε .
i=1
Действительно, в силу следствия 2.2.18 для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для любого разбиения
τ = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b] с шагом разбиения
λτ < δ
выполняется неравенство
n
X
ωi ∆xi <
i=1
n
X
ε∆xi = ε
i=1
n
X
∆xi = ε(b − a).
i=1
Рассмотрим
ε
b−a
По этому ε0 > 0 можно указать такое δ 0 > 0, что для любого разбиения
ε0 =
τ 0 = {a = x00 , x01 , . . . , x0n = b}
отрезка [a, b] с шагом разбиения
λτ 0 < δ 0 ,
выполняется неравенство:
n
X
ωi ∆x0i < ε0 (b − a) =
i=1
144
ε
(b − a) = ε .
b−a
2.3
2.3.1
Лекция №10
Классы интегрируемых функций
Непрерывные функции
Теорема 2.3.1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она
интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
по теореме Кантора 2.2.16, функция f (x) равномерно непрерывна на этом
отрезке. Тогда в силу замечания 2.2.19 для любого ε > 0 можно указать
такое δ > 0, что для любого разбиения
τ = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b] с шагом разбиения
λτ < δ ,
выполняется неравенство:
n
X
ωi ∆xi < ε .
i=1
Но это означает, что функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
2.3.2
Некоторые разрывные функции.
Замечание 2.3.2. Как следует из теоремы 2.3.1, условие непрерывности
функции f (x) на отрезке [a, b] является достаточным условием интегрируемости функции. Но это еще не значит, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций
этим не ограничивается. Так, например, существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва.
Теорема 2.3.3. Если функция f (x) ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема
на этом отрезке.
145
Доказательство. Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда функция f (x) имеет на отрезке [a, b] единственную точку разрыва c:
c ∈ (a, b).
Пусть
M = sup f (x),
[a,b]
m = inf f (x).
[a,b]
Считаем, что f (x) 6= const, т.е. M − m > 0 .
Рассмотрим такое ε > 0, чтобы
a<c−
ε
ε
<c+
<b.
8(M − m)
8(M − m)
На каждом из отрезков
ε
a, c −
8(M − m)
и
c+
ε
,b
8(M − m)
функция f (x) непрерывна. Следовательно, для
ε0 =
ε
,
2(b − a)
в силу следствия 2.2.17, найдется δ 0 > 0 такое, что для любых разбиений
τ
a, c −
0
ε
8(M − m)
и τ
c+
00
ε
,b
8(M − m)
этих отрезков на частичные отрезки [x0j−1 , x0j ] и [x0k−1 , x0k ] с шагами разбиения
λτ 0 < δ 0 и λτ 00 < δ 0 ,
т.е. с длинами ∆x0j < δ 0 и ∆xk < δ 0 все колебания ωj0 и ωk00 будут меньше
ε
:
2(b − a)
ε
ε
ωj0 <
и ωk00 <
.
2(b − a)
2(b − a)
146
Пусть
ε
δ = min δ ,
8(M − m)
0
.
Рассмотрим теперь произвольное разбиение τ отрезка [a, b]
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
на частичные отрезки [xi−1 , xi ] с шагом разбиения
λτ < δ ,
т.е. с длинами
∆xi < δ.
Для этого разбиения τ сумму
S(τ, f ) − s(τ, f ) =
n
X
ωi ∆xi ,
ωi = Mi − mi
i=1
разобьем на два слагаемых:
n
X
ωi ∆xi =
X
0
ωi ∆xi +
X
00
ωi ∆xi ,
i=1
где в первую сумму входят частичные отрезки [xi−1 , xi ], лежащие целиком
вне интервала
ε
ε
c−
,c +
,
8(M − m)
8(M − m)
а во вторую — частичные отрезки, либо лежащие целиком внутри
ε
ε
c−
,c +
,
8(M − m)
8(M − m)
либо имеющие с ним общие точки.
Для первой суммы, в силу того, что δ < δ 0 , для соответствующих значений i
ε
ωi <
.
2(b − a)
147
Поэтому
X
0
X0
ε
ε
ε
∆xi <
(b − a) = .
2(b − a)
2(b − a)
2
ωi ∆xi <
С другой стороны, длины отрезков [xi−1 , xi ], целиком попавших внутрь
интервала
ε
ε
c−
,c +
,
8(M − m)
8(M − m)
в сумме меньше или равны
c+
ε
ε
ε
−c+
=
.
8(M − m)
8(M − m)
4(M − m)
Число же отрезков, лишь частично попавших в
ε
ε
c−
,c +
,
8(M − m)
8(M − m)
может быть не больше двух, и сумма их длин меньше
2δ ≤
ε
.
4(M − m)
Следовательно, для второй суммы имеем:
X
00
ωi ∆xi < (M − m)
X
00
∆xi < (M − m)
= (M − m)
ε
ε
+
4(M − m) 4(M − m)
=
ε
ε
= .
2(M − m)
2
Таким образом, окончательно имеем
S(τ, f ) − s(τ, f ) =
n
X
ωi ∆xi =
i=1
=
X
0
ωi ∆xi +
X
00
ωi ∆xi <
ε ε
+ =ε.
2 2
Таким образом, в силу теоремы 2.2.2 (критерия интегрируемости), функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
Общий случай, когда функция f (x) имеет на отрезке [a, b] конечное
число точек, рассматривается аналогично.
148
Замечание 2.3.4. Так как кусочно-непрерывная на отрезке [a, b] функция
f (x) имеет конечное число точек разрыва, то такая функция интегрируема
на [a, b].
Рассмотрим обобщение теоремы 2.3.3.
Определение 2.3.5. Если
x ∈ (α, β),
то говорят, что точка x "покрыта" интервалом (α, β).
Определение 2.3.6. Говорят, что множество интервалов
{(αj , βj )}j∈J
покрывает множество F , если
F ⊂
[
(αj , βj ).
j∈J
Определение 2.3.7. Говорят, что множество F имеет меру ноль, если
для любого ε > 0 существует конечное число интервалов
{(αj , βj )}kj=1 ,
покрывающих множество F , суммарная длина которых меньше ε, т.е.
F ⊂
k
[
(αj , βj )
j=1
и
k
X
(βj − αj ) < ε .
j=1
Теорема 2.3.8. Если функция f (x) ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме множества точек F меры ноль, то она интегрируема на этом отрезке.
149
Доказательство. Пусть, как и выше,
M = sup f (x),
[a,b]
m = inf f (x).
[a,b]
Считаем, что f (x) 6= const, т.е. M − m > 0.
Пусть ε > 0. Так как множества F точек разрыва функции f (x) имеет
меру ноль, то существует конечное число интервалов
{(αj , βj )}kj=1 ,
ε
покрывающих множество F , суммарная длина которых меньше
,
2(M − m)
т.е.
k
[
F ⊂
(αj , βj )
j=1
и
k
X
(βj − αj ) <
j=1
ε
.
2(M − m)
Обозначим
E = (α1 , β1 ) ∪ (α2 , β2 ) ∪ . . . ∪ (αk , βk ) .
Без ограничения общности. можно считать, что интервалы {(αj , βj )}kj=1 не
пересекаются, так как если два из них пересекаются, то эти два отрезка
могут быть заменены на их объединение.
Таким образом, можно считать, что
a < α1 < β1 < α2 < β2 < . . . < αk < βk < b.
Рассмотрим множество
D = [a, b] \ E = [a, α1 ] ∪ [β1 , α2 ] ∪ . . . ∪ [βk , b] .
Обозначим
[a, α1 ] = [a1 , b1 ],
[β1 , α2 ] = [a2 , b2 ],
...............
150
[βk , b] = [ak+1 , bk+1 ].
На каждом из этих отрезков {[aj , bj ]}k+1
j=1 функция f (x) непрерывна, и потому равномерно непрерывна.
Разобьем каждый из этих отрезков так, чтобы колебание ωi функции
ε
на любом частичном интервале [xi−1 , xi ] было меньше
:
2(b − a)
ωi <
ε
.
2(b − a)
Пусть τj — соответствующие разбиения отрезка [aj , bj ], j = 1, 2, . . . , k + 1.
Рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b]:
τ=
k+1
[
τj ∪ {α1 , β1 , α2 , β2 , . . . , αk , βk } .
j=1
Пусть
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xN = b} .
Рассмотрим
S(τ, f ) − s(τ, f ) =
N
X
ωi ∆xi .
i=1
P 00
0
Эта сумма разбиваетсяPна две части:
ωi ∆xi и
ωi ∆xi .
0
1). Первая сумма
ωi ∆xi отвечает объединению разбиений τj
P
k+1
[
τj
j=1
отрезков [aj , bj ]. Тогда
X
0
ωi ∆xi <
X0
ε
ε
ε
∆xi <
(b − a) = .
2(b − a)
2(b − a)
2
P 00
2). Вторая сумма
ωi ∆xi отвечает объединению E интервалов, накрывающих множество F точек разрыва функции f (x). Так как
ωi ≤ M − m ,
151
то
X
00
ωi ∆xi ≤ (M − m)
X
0
< (M − m)
∆xi = (M − m)
X
0
(βi − αi ) <
ε
ε
= .
2(M − m)
2
Таким образом,
S(τ, f ) − s(τ, f ) =
X
0
ωi ∆xi +
X
00
ωi ∆xi <
ε ε
+ =ε.
2 2
Таким образом, в силу критерия интегрируемости, функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
Замечание 2.3.9. Если функции f (x) и g(x) определены и ограничены
на отрезке [a, b], f (x) интегрируема на [a, b] и множество точек
F = {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g(x)}
имеет меру ноль, то функция g(x) тоже интегрируема на [a, b] и
Z
b
Z
b
f (x)dx =
a
g(x)dx .
a
Пример 2.3.10. Рассмотрим на отрезке [0, 1] функцию
1
1
1,
если x ∈
,
, n = 1, 2, . . .
2n 2n − 1
1
1
f (x) =
−1, если x ∈
,
, n = 1, 2, . . .
2n + 1 2n
0,
если x = 0.
Функция f (x) имеет разрывы 1-го рода в каждой точке
xn =
152
1
.
n
ε ε
Пусть ε > 0. Покроем точку x = 0 интервалом (α0 , β0 ) = − , :
4 4
ε ε
x∈ − ,
.
4 4
Вне этого интервала лежит лишь конечное число точек разрыва функции
f (x). Пусть их p:
ε
4
4
1
< ⇒n> ⇒p=
.
n
4
ε
ε
Каждую из этих p точек разрыва покроем интервалом (αi , βi ), i = 1, 2, . . . , p,
ε
:
длина которого меньше чем
2p
βi − α i <
ε
.
2p
Тогда суммарная длина всех интервалов, покрывающих множество точек
разрыва функции f (x)
p
X
ε
ε ε
ε
· p = + = ε.
(βi − αi ) < +
2 2p
2 2
i=0
Следовательно, множество точек разрыва функции f (x) имеет меру ноль
и потому f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
2.3.3
Монотонные функции
Как показывает следующая теорема, классу интегрируемых на отрезке
[a, b] принадлежит любая монотонная функция, ограниченная на [a, b].
.
Теорема 2.3.11. Если ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) монотонна на [a, b], то она интегрируема на [a, b].
Доказательство. Без ограничения общности, считаем, что функция f (x)
строго возрастает на [a, b]. Поэтому
f (b) − f (a) > 0 .
153
Для любого ε > 0 рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b]
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
с шагом
λτ <
ε
=δ.
f (b) − f (a)
Тогда
ωi = Mi − mi = f (xi ) − f (xi−1 ) .
Поэтому
S(τ, f ) − s(τ, f ) =
n
X
i=1
n
X
ε
ωi ∆xi <
ωi =
f (b) − f (a) i=1
ε
[(f (x1 ) − f (a)) + (f (x2 ) − f (x1 )) + . . . +
f (b) − f (a)
ε
+(f (xn−1 ) − f (xn−2 )) + (f (b) − f (xn−1 ))] =
(f (b) − f (a)) = ε .
f (b) − f (a)
=
Таким образом, в силу критерия интегрируемости, функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
Замечание 2.3.12.
• Если функция f (x) = const на [a, b], то утверждение теоремы 2.3.11 очевидно.
• Для неубывающей (отличной от постоянной) на отрезке [a, b] функции f (x) доказательство теоремы 2.3.11 повторяет доказательство
для возрастающей функции.
• Для строго убывающей и для невозрастающей (отличной от постоянной) на отрезке [a, b] функции f (x) для любого ε > 0 достаточно
рассмотреть разбиение τ отрезка [a, b]
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
с шагом
λτ <
ε
=δ.
f (a) − f (b)
154
2.4
2.4.1
Лекция №11
Основные свойства определенного интеграла
Свойства, выражаемые равенствами
2.4.1.1. Свойство 1o
Z
a
f (x)dx = 0.
(2.4.1)
a
Эта формула обобщает понятие определенного интеграла на случай,
когда a = b.
Если a = b то по определению полагаем
Z
a
f (x)dx = 0,
a
рассматривая эту формулу как естественное распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.
2.4.1.2. Свойство 2o
Z
b
Z
f (x)dx = −
a
a
f (x)dx.
(2.4.2)
b
Мы рассматриваем формулу (2.4.2) как естественное обобщение понятия определенного интеграла на случай, когда отрезок [a, b] при a < b
пробегается в направлении от b к a.
В этом случае точки разбиения xi отрезка [a, b] будут занумерованы в
обратном порядке и в интегральной сумме все разности ∆xi = xi − xi−1
имеют отрицательный знак.
155
2.4.2
Свойства интегрируемых функций
2.4.2.1. Свойство 3o
Утверждение 2.4.1. Если функция f (x) интегрируема на [a, b], то для
любого постоянного числа k функция kf (x) интегрируема на [a, b] и имеет место равенство
b
Z
Z
b
kf (x)dx = k
a
f (x)dx,
(2.4.3)
a
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла.
Доказательство. Действительно, для любого разбиения
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b] и любого выбора точек
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }
имеем:
σ(τ, ξ, kf ) =
n
X
kf (ξi )∆xi = k
i=1
n
X
f (ξi )∆xi = kσ(τ, ξ, f ).
i=1
Переходя к пределу при λ → 0, получаем
Z
b
kf (x)dx = lim σ(τ, ξ, kf ) = lim
a
= lim k
λ→0
n
X
i=1
λ→0
f (ξi )∆xi = k lim
λ→0
n
X
λ→0
n
X
kf (ξi )∆xi =
i=1
Z
f (ξi )∆xi = k lim σ(τ, ξ, f ) = k
λ→0
i=1
т.е. получим равенство (2.4.3).
156
b
f (x)dx,
a
2.4.2.2. Свойство 4o
Утверждение 2.4.2. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на [a, b],
то функция f (x) ± g(x) тоже интегрируемы на [a, b] и имеет место
равенство
Z
Z
Z
b
b
[f (x) ± g(x)]dx =
b
f (x)dx ±
a
g(x)dx,
a
(2.4.4)
a
т.е. интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен
алгебраической сумме интегралов от каждой функции в отдельности.
Доказательство. Действительно, для любого разбиения
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b] и любого выбора точек
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }
имеем:
n
X
σ(τ, ξ, f ± g) =
[f (ξi ) ± g(ξi )]∆xi =
i=1
=
n
X
f (ξi )∆xi ±
i=1
n
X
g(ξi )∆xi = σ(τ, ξ, f ) ± σ(τ, ξ, g).
i=1
Так как существуют пределы
lim σ(τ, ξ, f ) = lim
λ→0
λ→0
и
lim σ(τ, ξ, g) = lim
λ→0
λ→0
n
X
f (x)dx
f (ξi )∆xi =
a
i=1
n
X
b
Z
Z
g(ξi )∆xi =
b
g(x)dx,
a
i=1
то получаем
Z b
[f (x) ± g(x)]dx = lim σ(τ, ξ, f ± g)] = lim [σ(τ, ξ, f ) ± σ(τ, ξ, g)] =
λ→0
a
λ→0
Z
= lim σ(τ, ξ, f ) ± lim σ(τ, ξ, g) =
λ→0
λ→0
Z
f (x)dx ±
a
157
b
b
g(x)dx.
a
Замечание 2.4.3. Свойство 4o имеет место для любого конечного числа
слагаемых:
Z b
Z b
Z b
Z b
[f1 (x)±f2 (x)±. . .±fm (x)]dx =
f1 (x)dx±
f2 (x)dx±. . .±
fm (x)dx.
a
a
a
a
(2.4.5)
Таким образом, для любых постоянных k1 , k2 , . . . , km имеем:
#
Z b "X
Z b
m
m
X
ki fi (x) dx =
ki
fi (x)dx.
a
i=1
i=1
(2.4.6)
a
2.4.2.3. Свойство 5o
Утверждение 2.4.4. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на [a, b],
то функция f (x) · g(x) тоже интегрируема на [a, b].
Доказательство. Так как функции f (x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то
они ограничены на [a, b]. Поэтому существуют такие положительные числа
A > 0 и B > 0. что для любого x ∈ [a, b] имеют место неравенства
|f (x)| ≤ A
и
|g(x)| ≤ B.
Функции f (x) и g(x) интегрируемы на [a, b]. Следовательно, для любого
ε > 0 найдется такое разбиение
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b], что выполняются неравенства
n
X
ωif ∆xi <
ε
2B
ωig ∆xi <
ε
,
2A
i=1
и
n
X
i=1
где ωif и ωig колебания функций f и g на [xi−1 , xi ] соответственно.
158
Пусть x0 , x00 ∈ [xi−1 , xi ]. Тогда имеем:
f (x00 )g(x00 ) − f (x0 )g(x0 ) = [f (x00 ) − f (x0 )]g(x00 ) + [g(x00 ) − g(x0 )]f (x0 ).
Поэтому
|f (x00 )g(x00 ) − f (x0 )g(x0 )| ≤ |f (x00 ) − f (x0 )||g(x00 )| + |g(x00 ) − g(x0 )||f (x0 )| ≤
≤ |f (x00 ) − f (x0 )|B + |g(x00 ) − g(x0 )|A ≤ Bωif + Aωig .
Обозначим колебание функции f g на отрезке [xi−1 , xi ] через ωif g . Тогда в
силу последнего неравенства, имеем:
ωif g ≤ Bωif + Aωig .
Умножая каждое из этих неравенств на ∆xi и суммируя по i = 1, 2, . . . , n,
то получим
n
X
ωif g ∆xi
i=i
≤
n
X
Bωif ∆xi
i=i
Aωig ∆xi
=B
i=i
≤B·
2.4.3
+
n
X
n
X
ωif ∆xi
i=i
+A
n
X
ωig ∆xi ≤
i=i
ε
ε ε
ε
+A·
= + = ε.
2B
2A
2 2
Аддитивность интеграла
2.4.3.1. Свойство 6o
Утверждение 2.4.5. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b]
и [c, d] ⊂ [a, b], то функция f (x) интегрируема на отрезке [c, d].
Доказательство. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то
для любого ε > 0 существует разбиение
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b], что выполняется неравенство
S(τ, f ) − s(τ, f ) < ε.
159
Пусть [c, d] ⊂ [a, b]. Добавим к разбиению τ точки c и d. Подучим разбиение
τ 0 = τ ∪ {c, d},
которое является измельчение разбиения τ :
τ ≺ τ 0.
Тогда
s(τ, f ) ≤ s(τ 0 , f ) ≤ S(τ 0 , f ) ≤ S(τ, f )
и потому
S(τ 0 , f ) − s(τ 0 , f ) < ε.
Обозначим через
τ ∗ = τ[c,d]
разбиение отрезка [c, d], состоящее из точек разбиения τ 0 , попавших в отрезок [c, d], а через
f[c,d]
сужение функции f (x) на отрезок [c, d]. Отметим, что интегрируемость
функции f (x) на отрезке [c, d] означает, что на отрезке [c, d] интегрируема
функция f[c,d] .
Имеем:
n
X
X
0
0
S(τ , f ) − s(τ , f ) =
ωi ∆xi =
ωi ∆xi =
i=i
=
X
[a,c]
ωi ∆xi +
X
ωi ∆xi +
[c,d]
[a,b]
X
ωi ∆xi < ε.
[d,b]
Следовательно,
X
ωi ∆xi < ε.
[c,d]
Это означает, что
S(τ ∗ , f[c,d] ) − s(τ ∗ , f[c,d] ) =
X
ωi ∆xi < ε.
[c,d]
Таким образом. функция f[c,d] интегрируема на [c, d].
160
Следствие 2.4.6. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и
c ∈ [a, b], то функция f (x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b] и имеет
место равенство
Z b
Z c
Z b
f (x)dx,
(2.4.7)
f (x)dx +
f (x)dx =
c
a
a
Доказательство. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и c ∈
[a, b], то по свойству 6o функция f (x) интегрируема на отрезках [a, c] и
[c, b].
Пусть τ разбиение отрезка [a, b] и
τ 0 = τ ∪ {c}.
Обозначим через τ1 = τ[a,c] и τ2 = τ[c,b] разбиения отрезков [a, c] и [c, b]
соответственно, состоящие из точек разбиения τ 0 , попавших на отрезки
[a, c] и [c, b]. Тогда
τ 0 = τ1 ∪ τ2 .
Легко видеть, что λτ 0 → 0 тогда и только тогда, когда одновременно λτ1 →
0 и λτ2 → 0. Тогда переходя к пределу при λτ 0 → 0 в равенстве
S(τ 0 , f ) = S(τ1 , f ) + S(τ2 , f )
получим:
Z
b
f (x)dx = lim S(τ, f ) = lim S(τ1 , f ) + lim S(τ2 , f ) =
λτ 0 →0
a
λτ 0 →0
Z
=
c
Z
f (x)dx +
a
λτ 0 →0
b
f (x)dx.
c
2.4.3.2. Свойство 70
Утверждение 2.4.7. Если функция f (x) интегрируема на отрезках [a, c]
и [c, b], то функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и имеет место
равенство
Z
Z
Z
c
b
f (x)dx +
a
b
f (x)dx =
c
f (x)dx.
a
161
(2.4.8)
Доказательство. 1). Пусть сначала
a < c < b.
Если функция f (x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то для любого
ε > 0 существуют разбиения τ1 = τ[a,c] и τ2 = τ[c,b] отрезков [a, c] и [c, b]
такие, что выполняются неравенства
S(τ1 , f[a,c] ) − s(τ1 , f[a,c] ) <
и
ε
2
ε
S(τ2 , f[c,b] ) − s(τ2 , f[c,b] ) < .
2
Рассмотрим разбиение
τ = τ1 ∪ τ2 .
отрезка [a, b].
Тогда
S(τ, f ) = S(τ1 , f[a,c] ) + S(τ2 , f[c,b] )
и
s(τ, f ) = s(τ1 , f[a,c] ) + s(τ2 , f[c,b] ).
Следовательно,
S(τ, f ) − s(τ, f ) = [S(τ1 , f[a,c] ) + S(τ2 , f[c,b] )] − [s(τ1 , f[a,c] ) + s(τ2 , f[c,b] )] =
ε ε
+ = ε.
2 2
Следовательно, функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
Наконец, как и выше, переходя к пределу при λ → 0 в равенстве
= [S(τ1 , f[a,c] ) − s(τ1 , f[a,c] )] + [S(τ2 , f[c,b] ) − s(τ2 , f[c,b] )] <
S(τ1 , f[a,c] ) + S(τ2 , f[c,b] ) = S(τ, f )
или в равенстве
s(τ1 , f[a,c] ) + s(τ2 , f[c,b] ) = s(τ, f ),
получим:
Z
c
Z
f (x)dx +
a
b
Z
f (x)dx =
c
b
f (x)dx.
a
2). Пусть теперь c — внешняя точка отрезка [a, b]. Например,
a < b < c.
162
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, c], то по свойству 60 , функция f (x) интегрируема на отрезках [a, b] и [b, c] и выполняется равенство
Z b
Z c
Z c
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx.
a
b
a
Тогда, в силу свойства 20 ,
Z b
Z c
Z c
Z c
Z b
f (x)dx.
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx −
f (x)dx =
a
a
b
a
c
Случай
c<a<b
рассматривается аналогично.
2.4.4
Свойства, связанные с неравенствами
2.4.4.1. Свойство 8o
Утверждение 2.4.8. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b]
и всюду на этом отрезке
f (x) ≥ 0,
то
Z
b
f (x)dx ≥ 0.
a
Доказательство. Для произвольного разбиения
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
отрезка [a, b] и произвольного выбора точек
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }
интегральная сумма для функции f (x) на [a, b] неотрицательна:
σ(τ, ξ, f ) =
n
X
f (ξi )∆xi ≥ 0
i=1
неотрицательна, так как
f (ξi ) ≥ 0, ∆xi = xi − xi−1 > 0, i = 1, 2, ..., n.
163
(2.4.9)
Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, получаем, что
Z b
f (x)dx ≥ 0.
a
Замечание 2.4.9. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и
всюду на этом отрезке
f (x) ≤ 0,
то
b
Z
f (x)dx ≤ 0.
(2.4.10)
a
2.4.4.2. Свойство 9o
Утверждение 2.4.10. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b] и всюду на этом отрезке
f (x) ≤ g(x),
то
b
Z
Z
f (x)dx ≤
a
b
g(x)dx.
a
Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) − f (x). Так как
f (x) ≤ g(x),
то
g(x) − f (x) ≥ 0.
0
Тогда, в силу свойства 8 , получим
Z b
[g(x) − f (x)]dx ≥ 0.
a
Следовательно, в силу аддитивности интеграла,
Z b
Z b
Z b
[g(x) − f (x)]dx =
g(x)dx −
f (x)dx ≥ 0,
a
a
откуда получаем неравенство (2.4.11).
164
a
(2.4.11)
2.4.4.3. Свойство 10o
Утверждение 2.4.11. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b], всюду на этом отрезке
m ≤ f (x) ≤ M,
и
g(x) ≥ 0,
то
b
Z
Z
b
g(x)dx ≤
m
a
Z
b
f (x)g(x)dx ≤ M
a
g(x)dx.
(2.4.12)
a
Доказательство. По условию для любого x ∈ [a, b] имеет место неравенство:
m ≤ f (x) ≤ M.
Так как для любого x ∈ [a, b]
g(x) ≥ 0,
то
mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x).
Тогда, в силу свойства 9o , получим
Z
b
b
Z
Z
g(x)dx ≤
m
a
f (x)g(x)dx ≤ M
b
g(x)dx.
a
a
Следствие 2.4.12. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и
всюду на этом отрезке
m ≤ f (x) ≤ M,
то
Z
m(b − a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b − a).
a
165
(2.4.13)
Доказательство. Полагая в условии утверждения 2.4.11
g(x) = 1
для любого x ∈ [a, b], получим:
Z b
Z b
Z b
1 · dx ≤
f (x)dx ≤ M
1 · dx.
m
a
a
a
Отсюда, так как
b
Z
1 · dx = b − a,
a
получаем неравенство (2.4.13).
2.4.4.4. Свойство 11o
Утверждение 2.4.13. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b],
то функция |f (x)| тоже интегрируема на этом отрезке и имеет место
неравенство
Z
Z
b
b
|f (x)|dx.
f (x)dx ≤
(2.4.14)
a
a
Доказательство. Обозначим
g(x) = |f (x)|.
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то для любого ε > 0
существует разбиение τ отрезка [a, b]
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
такое, что
n
X
ωif ∆xi < ε.
i=1
0
00
Пусть x , x ∈ [xi−1 , xi ]. Тогда
|g(x00 ) − g(x0 )| = | |f |(x00 ) − |f |(x0 ) | ≤ |f (x00 ) − f (x0 )|.
Поэтому колебания ωig и ωif функций g(x) и f (x) на отрезке [xi−1 , xi ] связаны неравенством:
ωig ≤ ωif .
166
Следовательно
n
X
ωig ∆x≤
i=1
n
X
ωif ∆xi < ε.
i=1
Поэтому функция g(x) = |f (x)| интегрируема на отрезке [a, b].
Докажем теперь неравенство (2.4.14).
Для данного разбиения τ и произвольного выбора точек
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }
имеем:
|σ(τ, ξ, f )| =
n
X
f (ξi )∆xi ≤
n
X
i=1
|f (ξi )|∆xi = σ(τ, ξ, |f |).
i=1
Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, получим требуемое
неравенство
Z b
Z b
|f (x)|dx.
f (x)dx ≤
a
a
2.4.4.5. Свойство 12o
Утверждение 2.4.14. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b],
для любого x ∈ [a, b]
f (x) ≥ 0,
и f (x) 6≡ 0, то существует такое число m > 0, что
Z
b
f (x)dx ≥ m > 0.
(2.4.15)
a
Доказательство. Так как f (x) ≥ 0 и f (x) 6≡ 0, то существует такая точка
c ∈ [a, b], что
f (c) = 2k > 0.
1). Допустим сначала, что c ∈ (a, b):
a < c < b.
167
Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и поэтому непрерывна в точке
c. Поэтому для числа k > 0 существует такое δ > 0, что
(c − δ, c + δ) ⊂ [a, b]
и для любого x ∈ (c − δ, c + δ) выполняется неравенство
|f (x) − f (c)| = |f (x) − 2k| < k ⇔ −k < f (x) − 2k < k ⇔ k < f (x) < 3k.
Зафиксируем какой-нибудь отрезок
[p, q] ⊂ (c − δ, c + δ), p < q.
Тогда f (x) интегрируема на [p, q] и f (x) > k > 0 для любой точки x ∈ [p, q].
Следовательно,
Z
q
f (x)dx ≥ k(p − q).
p
Наконец,
Z
Z b
f (x)dx =
a
p
Z
Z
b
Z
q
p
q
f (x)dx ≥ k(p−q) > 0.
f (x)dx ≥
f (x)dx+
f (x)dx+
a
q
p
Осталось обозначить
m = k(p − q).
2). Допустим теперь, что c = a. Тогда функция f (x) непрерывна в
точке c = a справа. Поэтому для числа k > 0 существует такое δ > 0, что
c=a<a+δ <b
и мы рассматриваем отрезок
[p, q] ⊂ (a, a + δ), p < q.
3). Если теперь c = b, то функция f (x) непрерывна в точке c = b слева.
Поэтому для числа k > 0 существует такое δ > 0, что
a<b−δ <b=c
и мы рассматриваем отрезок
[p, q] ⊂ (b − δ, b), p < q.
168
2.5
2.5.1
Лекция №12
Формулы среднего значения. Интеграл с
переменным верхним пределом. Формула
Ньютона-Лейбница
Формулы среднего значения
2.5.1.1. Свойство 13o . Первая формула среднего значения
Теорема 2.5.1. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b],
m = inf f (x)
[a,b]
и
M = sup f (x),
[a,b]
то существует такое число µ ∈ [m, M ], что
Z
b
f (x)dx = µ(b − a).
a
Доказательство. Так как
inf f (x) = m ≤ f (x) ≤ M = sup f (x),
[a,b]
[a,b]
то в силу свойства 4o имеем:
b
Z
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a).
a
Следовательно,
b
Z
f (x)dx
a
m≤
b−a
Обозначим
Z
≤ M.
b
f (x)dx
a
b−a
169
= µ.
(2.5.1)
Тогда
Z
b
f (x)dx = µ(b − a),
a
причем µ ∈ [m, M ].
Определение 2.5.2. Равенство (2.5.1) называется первой формулой среднего значения, а величина
Z b
f (x)dx
a
.
µ=
b−a
средним значением интегрируемой функции f (x) на отрезке [a, b].
Замечание 2.5.3. Первая теорема о среднем значении имеет следующий
геометрический смысл: величина определённого интеграла при f (x) ≥ 0
(площадь SaABb криволинейной трапеции aABb) равна площади SaM N b
прямоугольника aM N b, имеющего высоту µ и основание b − a.
170
2.5.1.2. Свойство 14o . Вторая формула среднего значения
Теорема 2.5.4. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то на
этом отрезке существует точка ξ такая, что
b
Z
f (x)dx = f (ξ)(b − a).
(2.5.2)
a
Доказательство. Так как f (x) непрерывна на [a, b], то она интегрируема
на [a, b] и по второй теореме Вейерштрасса существуют числа m и M такие,
что
inf f (x) = min f (x) = m ≤ f (x) ≤ M = max f (x) = sup f (x).
[a,b]
[a,b]
[a,b]
[a,b]
Поэтому, в силу свойства 13o существует такое число µ ∈ [m, M ], что
b
Z
f (x)dx = µ(b − a).
a
Так как µ ∈ [m, M ] и функция f (x) непрерывна на [a, b], то по второй
теореме Больцано-Коши о промежуточном значении существует такая ξ ∈
[a, b], что
f (ξ) = µ.
Поэтому
Z
b
f (x)dx = f (ξ)(b − a),
a
т.е. имеет место равенство 2.5.2.
Определение 2.5.5. Равенство (2.5.2) называется второй формулой среднего значения, а величина f (ξ) — средним значением непрерывной функции f (x) на отрезке [a, b].
Замечание 2.5.6. Вторая теорема о среднем значении имеет следующий
геометрический смысл: величина определённого интеграла при f (x) ≥ 0
(площадь SaABb криволинейной трапеции aABb) равна площади SaM N b
прямоугольника aM N b, имеющего высоту f (ξ) и основание b − a.
171
2.5.1.3. Свойство 15o . Первая формула среднего значения в обобщенном виде
Теорема 2.5.7. Если
1). Функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b];
2). Для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство
m ≤ f (x) ≤ M ;
3). Для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство
g(x) ≥ 0
(или g(x) ≤ 0).
тогда существует такое число µ ∈ [m, M ], что
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = µ
a
g(x)dx.
a
172
b
(2.5.3)
Доказательство. Пусть сначала для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство
g(x) ≥ 0.
Так как
m ≤ f (x) ≤ M,
то
mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x).
Поэтому в силу свойства 4o имеем:
Z b
Z b
Z b
m
g(x)dx ≤
f (x)g(x)dx ≤ M
g(x)dx,
a
a
(2.5.4)
a
при этом, по свойству 8o ,
b
Z
g(x)dx ≥ 0.
a
(I). Если
b
Z
g(x)dx = 0,
a
то, в силу неравенства (2.5.4),
Z b
f (x)g(x)dx = 0,
a
и потому в качестве числа µ можно рассматривать любое число из отрезка
[m, M ].
(II). Если
b
Z
g(x)dx > 0,
a
то, разделив все части неравенства (2.5.4) на
Z b
g(x)dx > 0,
a
получим
Z
b
f (x)g(x)dx
m≤
a
Z
≤ M.
b
g(x)dx
a
173
Обозначим
b
Z
f (x)g(x)dx
a
Z
= µ.
b
g(x)dx
a
Тогда
Z
b
Z
b
g(x)dx,
f (x)g(x)dx = µ
a
a
причем µ ∈ [m, M ].
Случай g(x) ≤ 0 рассматривается аналогично.
2.5.1.4. Свойство 16o . Вторая формула среднего значения в обобщенном виде
Теорема 2.5.8. Пусть
1). Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и
m = inf f (x), M = sup f (x);
[a,b]
[a,b]
2). Функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b];
3). Для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство
g(x) ≥ 0
(или g(x) ≤ 0).
Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = f (ξ)
g(x)dx.
a
a
Доказательство. Так как
m ≤ f (x) ≤ M,
то по свойству 15o существует такое число µ ∈ [m, M ], что
Z b
Z b
f (x)g(x)dx = µ
g(x)dx.
a
a
174
(2.5.5)
Так как µ ∈ [m, M ] и функция f (x) непрерывна на [a, b], то по второй теореме Больцано-Коши о промежуточном значении существует такая
точка ξ ∈ [a, b], что
f (ξ) = µ.
Поэтому
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = f (ξ)
a
b
g(x)dx,
a
т.е. имеет место равенство (2.5.5).
Замечание 2.5.9. Если функция f (x) не является непрерывной на отрезке [a, b], то утверждение теоремы 2.5.8 может оказаться неверным, т.е.
значение µ в формуле (2.4.7) функцией f (x) может не достигаться.
Пример 2.5.10. Рассмотрим на отрезке [0, 1] две функции f (x) и g(x):
1
1
, если x ∈ 0,
2
2
f (x) =
1
,1
1, если x ∈
2
175
и
g(x) =
1,
1
если x ∈ 0,
2
1
1
,1 .
, если x ∈
2
2
Функции f (x) и g(x) удовлетворяют условиям теоремы 2.5.7. Найдем
функцию f (x)g(x)
f (x)g(x) =
1
1
, если x ∈ 0,
2
2
1
1
,1 ,
, если x ∈
2
2
т.е.
f (x)g(x) =
176
1
2
для любого x ∈ [0, 1]. Тогда
Z 1
1
f (x)g(x)dx
2
µ = 0Z 1
= 2 = .
3
3
g(x)dx
4
0
Таким образом, не существует такой точки ξ ∈ [0, 1], чтобы выполнялось
равенство
2
f (ξ) = .
3
т.е. значение µ в формуле (2.5.3) функцией f (x) не достигается.
2.5.2
Определенный интеграл с переменным верхним
пределом и его свойства
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными
пределами интегрирования a и b.
Пусть функция f (x) интегрируема на [a, b]. Тогда она интегрируема на
любом отрезке [a, t], содержащемся в [a, b]. Таким образом, на отрезке [a, b]
определена функция
Z t
F (t) =
f (x)dx (a ≤ t ≤ b).
a
177
Определение 2.5.11. Функция
Z
t
f (x)dx
F (t) =
(2.5.6)
a
называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Замечание 2.5.12. Геометрически при f (x) > 0 функция
Z t
f (x)dx
F (t) =
a
представляет собой площадь SaAT t заштрихованной криволинейной трапеции aAT t.
Рассмотрим свойства интеграла с переменным верхним пределом.
2.5.2.1. Непрерывность F (t)
Теорема 2.5.13. Если функция f (x) интегрируема на [a, b], то функция
Z t
F (t) =
f (x)dx
a
непрерывна на [a, b].
178
Доказательство. Пусть t ∈ [a, b] и ∆t такое приращение, что t+∆t ∈ [a, b].
Рассмотрим приращение функции F (t):
t+∆t
Z
Z
f (x)dx −
∆F (t) = F (t + ∆t) − F (t) =
f (x)dx =
a
a
t
Z
Z
t+∆t
a
t
Z
Z
f (x)dx −
f (x)dx +
=
t
t
f (x)dx =
a
t+∆t
f (x)dx.
t
Пусть
m0 = inf f (x),
[t,t+∆t]
M 0 = sup f (x).
[t,t+∆t]
Тогда по первой теореме о среднем значении 2.5.1 существует такое число
µ ∈ [m0 , M 0 ], что выполняется равенство:
Z
t+∆t
∆F (t) = F (t + ∆t) − F (t) =
f (x)dx = µ∆t.
t
Пусть
m = inf f (x),
[a,b]
M = sup f (x).
[a,b]
Тогда
m ≤ m0 ≤ µ ≤ M 0 ≤ M
и поэтому
lim ∆F (t) = lim [µ∆t] = 0.
∆t→0
∆t→0
Следовательно, функция F (t) непрерывна в произвольной точке t ∈ [a, b],
а потому непрерывна на [a, b].
Замечание 2.5.14. При t = a и t = b предполагается односторонняя
непрерывность.
179
2.5.2.2. Дифференцируемость F (t)
Теорема 2.5.15. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то функция
Z t
f (x)dx
F (t) =
a
дифференцируема на [a, b] и ее производная равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе, т.е.
Z t
0
0
F (t) =
f (x)dx = f (t).
(2.5.7)
a
t
Доказательство. Рассмотрим произвольное значение t ∈ [a, b] и придадим ему приращение ∆t 6= 0 такое, чтобы t + ∆t ∈ [a, b], т.е.
a ≤ t + ∆t ≤ b.
Тогда, как и в доказательстве теоремы 2.5.13,
Z t+∆t
∆F (t) = F (t + ∆t) − F (t) =
f (x)dx.
t
По второй теореме о среднем значении 2.5.4 существует такая точка ξ ∈
[t, t + ∆t], что
Z t+∆t
∆F (t) = F (t + ∆t) − F (t) =
f (x)dx = f (ξ)∆t.
t
Рассмотрим разностное отношение
∆F (t)
F (t + ∆t) − F (t)
1
=
=
f (ξ)∆t = f (ξ).
∆t
∆t
∆t
Так как ξ → t при ∆t → 0, и функция f (x) непрерывна в точке t, то
существует
∆F (t)
lim
= lim f (ξ) = lim f (ξ) = f (t).
∆t→0
∆t→0
ξ→t
∆t
Это означает, что функция F (t) дифференцируема на [a, b] и ее производная равна
F 0 (t) = f (t).
180
Следствие 2.5.16. Для непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x) всегда существует первообразная. Примером первообразной служит интеграл с переменным верхним пределом
Z t
f (x)dx.
F (t) =
a
Замечание 2.5.17. Интеграл с переменным верхним пределом часто записываю в виде
Z x
F (x) =
f (t)dt,
a
предполагая, что F (x) — функция переменной x ∈ [a, b], а t — переменная
интегрирования.
2.5.3
Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 2.5.18 (Основная теорема интегрального исчисления).
Пусть
1). Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b];
2). Φ(x) — какая-то первообразная функции f (x) на отрезке [a, b].
Тогда имеет место равенство
Z b
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).
(2.5.8)
a
Доказательство. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и Φ(x)
— какая-то первообразная функции f (x) на отрезке [a, b].
В силу теоремы 2.5.7, интеграл с переменным пределом
Z x
F (x) =
f (t)dt
a
тоже является первообразной функции f (x) на отрезке [a, b]. Так как две
первообразные функции f (x) отличаются на константу, то существует такая константа
C = const,
181
что для любого x ∈ [a, b] выполняется равенство
F (x) = Φ(x) + C,
т.е.
Z
x
f (t)dt = Φ(x) + C.
a
для любого x ∈ [a, b].
Подставляя x = a, получаем:
Z a
0=
f (t)dt = Φ(a) + C,
a
откуда
C = −Φ(a).
Подставляя x = b, получаем:
Z b
f (t)dt = Φ(b) + C = Φ(b) − Φ(a).
a
Определение 2.5.19. Формула
Z b
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a)
a
называется Формулой Ньютона-Лейбница.
Замечание 2.5.20. Часто используют следующую запись:
Z b
b
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a) = Φ(x) .
a
a
Рассмотрим несколько примеров применения формулы Ньютона-Лейбница.
Пример 2.5.21. Вычислим интеграл
Z 1
Z
x4
x4
3
x dx =
x3 dx =
+C =
4
4
0
182
1
=
0
1
1
−0= .
4
4
Пример 2.5.22. Вычислим интеграл
Z
Z π
cos xdx =
cos xdx = sin x + C = sin x
π
= sin π − sin 0 = 0 − 0 = 0.
0
0
Пример 2.5.23. Вычислим интеграл
Z
0
π
4
dx
=
1 + x2
Z
1
dx = arctg x + C = arctg x
1 + x2
= arctg
π
4
=
0
π
− arctg 0 = 1 − 0 = 1.
4
Определение 2.5.24. Формула Ньютона-Лейбница
Z b
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a)
a
устанавливает связь между теоремами о среднем в интегральном и дифференциальном исчислении.
Действительно, функция Φ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] теореме
Лагранжа. Поэтому существует такая точка ξ ∈ (a, b), что выполняется
равенство
Φ(b) − Φ(a) = Φ0 (ξ)(b − a) = f (ξ)(b − a).
С другой стороны, по второй теореме о среднем для непрерывной на
отрезке [a, b] функции f (x) существует такая точка ξ ∈ [a, b], что выполняется равенство
Z b
f (x)dx = f (ξ)(b − a).
a
183
2.6
2.6.1
Лекция №13
Основные методы интегрирования. Формулы Бонне
Замена переменной под знаком определенного
интеграла
Теорема 2.6.1. Пусть
1). Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b];
2). Функция x = ϕ(t) непрерывна на [α, β] и имеет на [α, β] непрерывную производную ϕ0 (t);
3). ϕ(α) = a, ϕ(β) = b и множество значений функции x = ϕ(t) совпадает с [a, b].
Тогда справедлива формула
Z
Z b
f (x)dx =
β
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt .
(2.6.1)
α
a
Доказательство. Пусть Φ(x) — первообразная функции f (x) на [a, b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
Z b
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).
a
Рассмотрим сложную функцию от переменной
F (t) = Φ(ϕ(t)).
Так как функции Φ(x) и ϕ(t) непрерывно дифференцируемы, то согласно
правилу дифференцирования сложной функции находим:
[F (t)]0 = [Φ(ϕ(t))]0 = Φ0 (ϕ(t))ϕ0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t).
Следовательно, функция F (t) = Φ(ϕ(t)) является первообразной для функции f (ϕ(t))ϕ0 (t), непрерывной на отрезке [α, β]. Поэтому по формуле НьютонаЛейбница получаем:
Z β
Z b
0
f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F (β)−F (α) = Φ(ϕ(β))−Φ(ϕ(α)) = Φ(b)−Φ(a) =
f (x)dx.
α
a
Формула (2.6.1) доказана.
184
Определение 2.6.2. Формула (2.6.1) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.
Замечание 2.6.3. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной мы должны были от новой переменной t возвращаться к старой переменной x, то при вычислении определенного интеграла этого можно не делать.
Замечание 2.6.4. Формулу (2.6.1) можно переписать в виде
b
Z
Z
β
f (x)dx =
a
Z
0
β
f (ϕ(t))ϕ (t)dt =
α
f (ϕ(t))dϕ(t) .
(2.6.2)
α
Пример 2.6.5. Вычислим интеграл
Z 1√
1 − x2 dx.
0
Рассмотрим подстановку
x = sin t, 0 ≤ t ≤
π
.
2
Проверим законность такой
подстановки.
√
1). Функция f (x) = 1 − x2 непрерывна на отрезке [0,
h 1];
πi
2). Функция x = sin t дифференцируема на отрезке 0,
и ее произ2
h πi
водная x0 = cos t непрерывна на 0, ;
2
π
3). При изменении t от 0 до функция x = sin t возрастает от 0 до 1.
2
π
При этом, ϕ(0) = 0 и ϕ
= 1.
2
Таким образом, данная подстановка удовлетворяет всем условиям теоремы 2.6.1. Применяя формулу (2.6.1), получаем
Z 1√
Z πp
Z π
2
2
2
2
1 − x dx =
1 − sin t cos tdt =
cos2 tdt =
0
0
1
=
2
Z
0
π
2
0
1
1
(1 + cos 2t)dt =
t + sin 2t
2
2
185
π
2
=
0
π
.
4
Замечание 2.6.6. При использовании формулы (2.6.1) необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия
нарушаются, замена переменной по указанной формуле может привести к
неверному результату.
Пример 2.6.7. Рассмотрим интеграл
Z π
dx.
0
С одной стороны,
Z
π
π
dx = x
= π.
0
0
С другой стороны, этот интеграл можно записать в виде
Z π
Z π
Z π
dx
dx
.
=
dx =
2
2
2
2
0 cos x(1 + tg x)
0
0 sin x + cos x
Подстановка
tg x = t
формально приводит к следующему результату:
Z π
Z π
Z π
Z 0
dx
d(tg x)
dt
dx =
=
=
= 0,
2
2
2
2
0
0 cos x(1 + tg x)
0 1 + tg x
0 1+t
что конечно неверно. Это произошло потому, что функция
t = tg x
разрывна при x =
π
и не удовлетворяет условиям теоремы 2.6.1.
2
Если же условия теоремы очевидны, то вычисление интеграла можно
проводить более лаконично.
Пример 2.6.8. Вычислим интеграл
Z
1
2
dx
ln x
=
x
x = et ,
t = ln x
x = 1,
t=0
x = 2,
t = ln 2
t
dx = e dt
=
t2
2
ln 2
=
0
186
Z
=
0
1 2
ln 2.
2
ln 2
et dt
t t =
e
Z
ln 2
tdt =
0
2.6.2
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Теорема 2.6.9. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то имеет место формула
b
Z
b
Z
u(x)dv(x) = [u(x)v(x)] −
a
a
b
v(x)du(x) .
(2.6.3)
a
Доказательство. Так как
[u(x)v(x)]0 = u(x)v 0 (x) + v(x)u0 (x),
то по формуле Ньютона-Лейбница:
Z b
b
[u(x)v 0 (x) + v(x)u0 (x)]dx = [u(x)v(x)]
.
a
a
Отсюда, используя свойства определенного интеграла, получим
Z b
Z b
b
0
u(x)v (x)dx +
v(x)u0 (x)dx = [u(x)v(x)]
a
a
a
или
Z
b
Z
b
a
b
v(x)du(x) = [u(x)v(x)] ,
u(x)dv(x) +
a
a
откуда и следует формула (2.6.3).
Определение 2.6.10. Формула (2.6.3) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример 2.6.11. Вычислим интеграл
Z 2
ln xdx.
1
Z
2
ln xdx =
1
u = ln x,
dv = dx
1
du = dx, v = x
x
= 2 ln 2 − 1.
1
187
−
= [x ln x]
2
= 2 ln 2 − x
Z
2
1
2
x·
1
1
· dx =
x
Пример 2.6.12. Вычислим интеграл
2
Z
xex dx.
1
Z
2
u = x,
dv = ex dx
du = dx, v = ex
x
xe dx =
1
2
= 2e2 − e − ex
x
Z
2
2
ex dx =
−
= [xe ]
1
1
= 2e2 − e − e2 + e = e2 .
1
Пример 2.6.13. Вычислим интеграл
Z
1
arctg xdx.
0
Z
1
arctg xdx =
0
1
Z
1
−
= x arctg x
0
0
u = arctg x, dv = dx
dx
du =
, v=x
1 + x2
1
xdx
2
= x arctg x − ln(1 + x )
1 + x2
2
Пример 2.6.14. Вычислим интеграл
Z
π
2
Jm =
sinm xdx, m = 0, 1, 2, . . . .
0
Если m = 0, то
π
2
Z
J0 =
dx =
0
π
.
2
Если m = 1, то
Z
J1 =
π
2
sin xdx = (− cos x)
π
2
0
0
188
= 1.
=
1
=
0
√
π
− ln 2.
4
Для m ∈ N, m ≥ 2 имеем:
Z
Z π
2
m
sin xdx =
Jm =
0
π
2
sinm−1 x sin xdx =
0
u = sinm−1 x,
dv = sin xdx
=
du = (m − 1) sinm−2 x cos xdx, v = − cos x
Z π
π
2
2
m−1
sinm−2 x cos2 xdx =
= [sin
x(− cos x)] + (m − 1)
=
0
Z
= (m − 1)
π
2
0
sinm−2 x(1 − sin2 x)dx =
0
Z
= (m − 1)
π
2
m−2
sin
Z
xdx − (m − 1)
0
π
2
sinm xdx =
0
= (m − 1)Jm−2 − (m − 1)Jm .
Следовательно,
mJm = (m − 1)Jm−2 ,
откуда получаем рекуррентную формулу
Jm =
m−1
Jm−2 .
m
1). Если m = 2n — четное число, то
J2n =
2n − 1 2n − 3
2n − 1 2n − 3
3 1
2n − 1
·J2n−2 =
·
·J2n−4 = . . . =
·
·. . .· · ·J0 .
2n
2n 2n − 2
2n 2n − 2
4 2
Так как
π
2
Z
J0 =
dx =
0
π
,
2
то
J2n =
2n − 1 2n − 3
3 1 π
(2n − 1)!! π
(m − 1)!! π
·
· ... · · · =
· =
· .
2n
2n − 2
4 2 2
(2n)!!
2
(m)!!
2
2). Если m = 2n + 1 — нечетное число, m ≥ 3, то
J2n+1 =
2n
2n 2n − 2
2n 2n − 2
2
·J2n−1 =
·
·J2n−3 = . . . =
·
·. . .· ·J1 .
2n + 1
2n − 1 2n − 1
2n + 1 2n − 1
3
Так как
J1 = 1,
189
то
J2n+1 =
2n − 2
2
(2n)!!
(m − 1)!!
2n
·
· ... · · 1 =
=
.
2n + 1 2n − 1
3
(2n + 1)!!
(m)!!
Таким образом,
π
,
если
2
1,
если
Jm =
(m − 1)!! π
· , если
(m)!!
2
(m − 1)!!
,
если
(m)!!
m = 0,
m = 1,
m = 2, 4, . . .
m = 3, 5, . . . .
Упражнение 2.6.15. Вычислить интеграл
Z
π
2
Im =
cosm xdx, m ∈ N.
0
2.6.3
Формулы Бонне.
Рассмотрим еще несколько свойств определенного интеграла.
2.6.3.1. Свойство 17o . Первая формула Бонне
Теорема 2.6.16. Если
1). Функция f (x) ≥ 0 и невозрастает на отрезке [a, b];
2). Функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b].
Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = f (a)
a
g(x)dx .
a
190
ξ
(2.6.4)
Доказательство. Так как функция f (x) монотонна на отрезке [a, b], то
она интегрируема на [a, b] и потому функция f (x)g(x) интегрируема на
[a, b].
(I). Рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b]
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}.
Тогда
Z b
Z
I=
f (x)g(x)dx =
n Z
X
i=1
Z
f (x)g(x)dx+
xi
f (x)g(x)dx =
xi−1
=
i=1
=
n Z
X
i=1
n Z
X
i=1
n Z xi
X
x2
Z
f (x)g(x)dx+. . .+
xn
f (x)g(x)dx =
xn−1
x1
x0
a
=
x1
xi
[f (x)g(x) − f (xi−1 )g(x) + f (xi−1 )g(x)]dx =
xi−1
n Z
X
[f (x) − f (xi−1 )]g(x)dx +
xi−1
i=1
xi
n
X
[f (x) − f (xi−1 )]g(x)dx +
xi−1
xi
f (xi−1 )g(x)dx =
xi−1
Z
xi
g(x)dx =
f (xi−1 )
xi−1
i=1
= σ1 (τ, f, g) + σ2 (τ, f, g),
где
σ1 (τ, f, g) =
n Z
X
σ2 (τ, f, g) =
[f (x) − f (xi−1 )]g(x)dx
xi−1
i=1
и
xi
n
X
Z
xi
g(x)dx.
f (xi−1 )
xi−1
i=1
(II). Так как функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на [a, b]. Пусть
L = sup |g(x)|.
[a,b]
Обозначим, как и раньше, через ωif колебание функции f (x) на отрезке
[xi−1 , xi ]. Тогда
|σ1 (τ, f, g)| =
n Z
X
i=1
xi
[f (x) − f (xi−1 )]g(x)dx ≤
xi−1
191
≤
n Z
X
i=1
n Z
X
xi
|f (x) − f (xi−1 )||g(x)|dx ≤
xi−1
i=1
xi
ωif Ldx = L
xi−1
n
X
ωif ∆xi .
i=1
Так как функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то
n
X
lim
λτ →0
ωif ∆xi = 0.
i=1
Поэтому
lim σ1 (τ, f, g) = 0
λτ →0
и потому
I = lim σ1 (τ, f, g) + lim σ2 (τ, f, g) = lim σ2 (τ, f, g) =
λτ →0
λτ →0
= lim
n
X
λτ →0
λτ →0
Z
xi
f (xi−1 )
g(x)dx.
xi−1
i=1
(III). Обозначим
Z
x
g(t)dt, x ∈ [a, b].
G(x) =
a
Тогда
Z xi
Z
g(x)dx =
xi−1
xi
Z
xi−1
g(x)dx −
g(x)dx = G(xi ) − G(xi−1 ), i = 1, 2, . . . , n.
a
a
Заметим, что
Z
G(x0 ) = G(a) =
a
g(t)dt = 0.
a
Тогда
σ2 (τ, f, g) =
n
X
i=1
Z
xi
f (xi−1 )
g(x)dx =
xi−1
n
X
f (xi−1 )[G(xi ) − G(xi−1 )] =
i=1
= f (x0 )[G(x1 ) − G(x0 )]+
+f (x1 )[G(x2 ) − G(x1 )]+
+f (x2 )[G(x3 ) − G(x2 )]+
.....................
192
+f (xn−2 )[G(xn−1 ) − G(xn−2 )]+
+f (xn−1 )[G(xn ) − G(xn−1 )] =
= f (x0 )G(x1 )+
+f (x1 )G(x2 ) − f (x1 )G(x1 )+
+f (x2 )G(x3 ) − f (x2 )G(x2 )+
.....................
+f (xn−2 )G(xn−1 ) − f (xn−2 )G(xn−2 )+
+f (xn−1 )G(xn ) − f (xn−1 )G(xn−1 ) =
= G(x1 )[f (x0 ) − f (x1 )]+
+G(x2 )[f (x1 ) − f (x2 )]+
.....................
+G(xn−1 )[f (xn−2 ) − f (xn−1 )]+
+G(xn )f (xn−1 ) =
=
n−1
X
G(xi )[f (xi−1 ) − f (xi )] + G(b)f (xn−1 ).
i=1
(IV ). Так как функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b], то функция
G(x), как интеграл с переменным верхним пределом, непрерывна на [a, b].
Поэтому по второй теореме Вейерштрасса существуют
mG = min G(x)
[a,b]
и
M G = max G(x).
[a,b]
Функция f (x) ≥ 0 и невозрастает на отрезке [a, b]. Поэтому
f (xi−1 ) ≥ f (xi ) ⇒ f (xi−1 ) − f (xi ) ≥ 0.
Следовательно, из неравенства
mG ≤ G(x) ≤ M G
193
следует, что
mG [f (xi−1 ) − f (xi )] ≤ G(xi )[f (xi−1 ) − f (xi )] ≤ M G [f (xi−1 ) − f (xi )]
и
mG f (xn−1 ) ≤ G(b)f (xn−1 ) ≤ M G f (xn−1 ).
Поэтому, с одной стороны,
σ2 (τ, f, g) =
n−1
X
G(xi )[f (xi−1 ) − f (xi )] + G(b)f (xn−1 ) ≤
i=1
" n−1
#
X
≤ MG
[f (xi−1 ) − f (xi )] + f (xn−1 ) =
i=1
= M G [f (x0 ) − f (x1 )+
+f (x1 ) − f (x2 )+
f (x2 ) − f (x3 )+
............
f (xn−2 ) − f (xn−1 )+
+f (xn−1 )] =
= M G f (x0 ) = M G f (a).
С другой стороны,
σ2 (τ, f, g) =
n−1
X
G(xi )[f (xi−1 ) − f (xi )] + G(b)f (xn−1 ) ≥
i=1
≥ mG
" n−1
X
#
[f (xi−1 ) − f (xi )] + f (xn−1 ) = mG f (a).
i=1
Таким образом,
mG f (a) ≤ σ2 (τ, f, g) ≤ M G f (a).
Переходя к пределу при λτ → 0, получим:
mG f (a) ≤ I ≤ M G f (a).
194
Таким образом, существует число
µG ∈ [mG , M G ]
такое, что
I = µG f (a).
Как уже отмечалось, функция G(x), как интеграл с переменным верхним пределом, непрерывна на [a, b]. Поэтому по второй теореме БольцаноКоши о промежуточном значении существует точка ξ ∈ [a, b] такая, что
µG = G(ξ).
Следовательно,
Z
G
I = µ f (a) = G(ξ)f (a) = f (a)
ξ
g(x)dx,
a
т.е. мы получили формулу (2.6.4).
2.6.3.2. Свойство 18o . Вторая формула Бонне
Теорема 2.6.17. Если
1). Функция f (x) ≥ 0 и неубывает на отрезке [a, b];
2). Функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b].
Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что
Z
b
Z
b
f (x)g(x)dx = f (b)
a
g(x)dx .
(2.6.5)
ξ
Доказательство. Доказательство этой теоремы в основном повторяет доказательство теоремы 2.6.16. Действительно, функция f (x) монотонна на
отрезке [a, b] и потому интегрируема на [a, b]. Аналогично, функция f (x)g(x)
интегрируема на [a, b].
(I). Рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b]
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = b}.
195
Тогда, как и выше,
b
Z
f (x)g(x)dx = σ10 (τ, f, g) + σ20 (τ, f, g),
I=
a
где
σ10 (τ, f, g)
n Z
X
=
[f (x) − f (xi )]g(x)dx
xi−1
i=1
и
σ20 (τ, f, g)
xi
n
X
=
Z
xi
f (xi )
g(x)dx.
xi−1
i=1
(II).
lim σ10 (τ, f, g) = 0
λτ →0
и потому
I = lim
λτ →0
σ20 (τ, f, g)
n
X
= lim
λτ →0
Z
xi
g(x)dx.
f (xi )
xi−1
i=1
(III). Обозначим
Z
b
g(t)dt, x ∈ [a, b].
F (x) =
x
Тогда
Z xi
Z
b
b
g(x)dx −
g(x)dx =
xi−1
Z
xi−1
g(x)dx = F (xi−1 ) − F (xi ), i = 1, 2, . . . , n.
xi
Заметим, что
b
Z
g(t)dt = I
F (x0 ) = F (a) =
a
и
Z
F (xn ) = F (b) =
b
g(t)dt = 0.
b
Тогда
σ20 (τ, f, g)
=
n
X
i=1
Z
xi
f (xi )
g(x)dx =
xi−1
n
X
f (xi )[F (xi−1 ) − F (xi )] =
i=1
= f (x1 )[F (x0 ) − F (x1 )]+
196
+f (x2 )[F (x1 ) − F (x2 )]+
+f (x3 )[F (x2 ) − F (x3 )]+
.....................
+f (xn−1 )[F (xn−2 ) − F (xn−1 )]+
+f (xn )[F (xn−1 ) − F (xn )] =
= f (x1 )F (x0 ) − f (x1 )F (x1 )+
+f (x2 )F (x1 ) − f (x2 )F (x2 )+
+f (x3 )F (x2 ) − f (x3 )F (x3 )+
.....................
+f (xn−1 )F (xn−2 ) − f (xn−1 )F (xn−1 )+
+f (xn )F (xn−1 ) − f (xn )F (xn ) =
= f (x1 )F (x0 )+
+F (x1 )[f (x2 ) − f (x1 )]+
+F (x2 )[f (x3 ) − f (x2 )]+
.....................
+F (xn−1 )[f (xn ) − f (xn−1 )] =
= f (x1 )F (x0 ) +
n−1
X
F (xi )[f (xi+1 ) − f (xi )].
i=1
(IV ). Так как функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b], то функция
F (x), как интеграл с переменным нижним пределом, непрерывна на [a, b].
Поэтому по второй теореме Вейерштрасса существуют
mF = min F (x)
[a,b]
и
M F = max F (x).
[a,b]
197
Функция f (x) ≥ 0 и неубывает на отрезке [a, b]. Поэтому
f (xi+1 ) ≥ f (xi ) ⇒ f (xi+1 ) − f (xi ) ≥ 0.
Следовательно, из неравенства
mF ≤ F (x) ≤ M F
следует, что
mF [f (xi+1 ) − f (xi )] ≤ F (xi )[f (xi+1 ) − f (xi )] ≤ M F [f (xi+1 ) − f (xi )]
и
mF f (x1 ) ≤ F (a)f (x1 ) ≤ M F f (x1 ).
Поэтому, с одной стороны,
σ20 (τ, f, g)
= f (x1 )F (a) +
n−1
X
F (xi )[f (xi+1 ) − f (xi )] ≤
i=1
"
≤ M F f (x1 ) +
n−1
X
#
[f (xi+1 ) − f (xi )] =
i=1
= M F [f (x1 )+
+f (x2 ) − f (x1 )+
f (x3 ) − f (x2 )+
............
+f (xn ) − f (xn−1 ) =
= M F f (xn ) = M F f (b).
С другой стороны,
σ20 (τ, f, g) ≥ mF f (b).
Таким образом,
mF f (b) ≤ σ20 (τ, f, g) ≤ M F f (b).
Переходя к пределу при λτ → 0, получим:
mF f (b) ≤ I ≤ M F f (b).
198
Таким образом, существует число
µF ∈ [mF , M F ]
такое, что
I = µF f (b).
Как уже отмечалось, функция F (x), как интеграл с переменным нижним пределом, непрерывна на [a, b]. Поэтому по второй теореме БольцаноКоши о промежуточном значении существует точка ξ ∈ [a, b] такая, что
µF = F (ξ).
Следовательно,
b
Z
F
I = µ f (b) = F (ξ)f (b) = f (b)
g(x)dx,
ξ
т.е. мы получили формулу (2.6.5).
2.6.3.3. Свойство 19o . Третья формула Бонне
Теорема 2.6.18. Если
1). Функция f (x) неубывает на отрезке [a, b];
2). Функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b].
Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = f (a)
ξ
Z
a
a
b
g(x)dx .
g(x)dx + f (b)
(2.6.6)
ξ
Доказательство. Рассмотрим функцию
f1 (x) = f (b) − f (x).
Так как функция f (x) неубывает на отрезке [a, b], то функция f1 (x) ≥ 0 и
невозрастает на отрезке [a, b]. Поэтому по теореме 2.6.16, существует такая
точка ξ ∈ [a, b], что
Z b
Z ξ
f1 (x)g(x)dx = f1 (a)
g(x)dx.
a
a
199
Значит
Z
b
Z
ξ
[f (b) − f (x)]g(x)dx = [f (b) − f (a)]
g(x)dx.
a
a
Следовательно,
Z b
Z b
Z ξ
Z ξ
f (b)
g(x)dx −
f (x)g(x)dx = f (b)
g(x)dx − f (a)
g(x)dx.
a
a
a
a
Таким образом
Z b
Z b
Z ξ
Z ξ
f (x)g(x)dx = f (b)
g(x)dx − f (b)
g(x)dx + f (a)
g(x)dx =
a
a
a
Z
b
= f (b)
a
Z
ξ
g(x)dx + f (a)
ξ
g(x)dx,
a
т.е. формула (2.6.6) доказана.
Теорема 2.6.19. Если
1). Функция f (x) невозрастает на отрезке [a, b];
2). Функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b].
Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = f (a)
a
ξ
Z
g(x)dx + f (b)
a
b
g(x)dx .
(2.6.7)
ξ
Доказательство. Рассмотрим функцию
f2 (x) = f (x) − f (b).
Так как функция f (x) невозрастает на отрезке [a, b], то функция f2 (x) ≥ 0
и невозрастает на отрезке [a, b]. Поэтому по теореме 2.6.16, существует
такая точка ξ ∈ [a, b], что
Z b
Z ξ
f2 (x)g(x)dx = f2 (a)
g(x)dx.
a
Значит
Z
a
b
Z
[f (x) − f (b)]g(x)dx = [f (a) − f (b)]
a
g(x)dx.
a
200
ξ
Следовательно,
Z b
Z ξ
Z ξ
Z b
f (x)g(x)dx − f (b)
g(x)dx = f (a)
g(x)dx − f (b)
g(x)dx.
a
a
a
a
Таким образом
Z b
Z b
Z ξ
Z ξ
f (x)g(x)dx = f (b)
g(x)dx − f (b)
g(x)dx + f (a)
g(x)dx =
a
a
a
Z
b
= f (b)
a
Z
ξ
g(x)dx + f (a)
ξ
g(x)dx,
a
т.е. формула (2.6.7) доказана.
Объединяя теоремы 2.6.18 и 2.6.19, получаем следующее следствие.
Следствие 2.6.20. Если
1). Функция f (x) монотонна на отрезке [a, b];
2). Функция g(x) интегрируема на отрезке [a, b].
Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = f (a)
a
ξ
Z
g(x)dx + f (b)
a
g(x)dx .
ξ
201
b
(2.6.8)
2.7
2.7.1
Лекция №14
Геометрические и физические приложения
определенного интеграла. Длина дуги кривой
Понятие плоской кривой по Жордану
Пусть на отрезке [α, β] заданы две непрерывные функции
x = ϕ(t)
y = ψ(t).
Определение 2.7.1. Множество точек плоскости
L = {A(x, y) = A(t) : x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β]}
(2.7.1)
называется плоской кривой или линией Жордана (или по Жордану).
Замечание 2.7.2. Плоскую кривую Жордана можно рассматривать как
график функции, заданной параметрически уравнениями
x = ϕ(t)
y = ψ(t),
t ∈ [α, β] .
Пример 2.7.3. Плоской кривой Жордана является эллипс, заданный параметрически уравнениями
x = a cos t
y = b sin t,
202
t ∈ [0, 2π] .
Пример 2.7.4. Плоской кривой Жордана является график L = Γf непрерывной на отрезке [a, b] функции
y = f (x).
В этом случае параметрическое задание кривой имеет вид
x=t
t ∈ [a, b] .
y = f (t),
203
Пример 2.7.5. Плоской кривой Жордана является график L функции,
заданной в полярной системе координат уравнением
r = r(θ), θ ∈ [α, β].
В этом случае параметрическое задание кривой имеет вид
x = r(θ) cos θ
θ ∈ [α, β] .
y = r(θ) sin θ,
Замечание 2.7.6. Интуитивно кривая Жордана L представляется как
некоторая линия на плоскости. Однако есть примеры, которые расходятся
с таким представлением.
Пеано построил пример "кривой", для которой множество точек
L = {A(x, y) : x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β]}
представляет собой квадрат.
Определение 2.7.7. Говорят, что кривая Жордана L
x = ϕ(t)
t ∈ [α, β]
y = ψ(t),
имеет кратные точки, если существуют такие t1 , t2 ∈ [α, β], t1 6= t2 , что
A(t1 ) = A(t2 ).
204
Определение 2.7.8. Кривая Жордана L называется простой, если она
не имеет кратных точек.
Определение 2.7.9. Кривая Жордана L называется замкнутой, если
A(α) = A(β).
В дальнейшем мы будем предполагать, что L — простая кривая Жордана, замкнутая или не замкнутая.
205
2.7.2
Понятие длины плоской кривой. Спрямляемость
Пусть AB
x = ϕ(t)
y = ψ(t),
t ∈ [α, β]
простая незамкнутая кривая Жордана.
Рассмотрим разбиение отрезка [α, β]:
τ = {α = t0 , t1 , t2 , . . . , tn = β}
и точки на кривой
Ai = Ai (ϕ(ti ), ψ(ti )), i = 1, 2, . . . , n − 1
и
A = A0 (ϕ(α), ψ(α)), B = An (ϕ(β), ψ(β)).
Кривая AB разбивается на n произвольных частей точками
A = A0 , A1 , A2 , ..., Ai−1 , Ai , ..., An = B
в направлении от A к B.
Соединив эти точки хордами, получим ломаную линию
A0 A1 A2 ...An .
Определение 2.7.10. Ломаная
A0 A1 A2 ...An
называется вписанной в кривую L, отвечающей разбиению τ отрезка [α, β].
206
Найдем длину (периметр) этой ломаной
A0 A1 A2 ...An :
l(τ ) =
n
X
|Ai−1 Ai |.
i=1
Так как
|Ai−1 Ai | =
p
p
(xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 = (ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ))2 + (ψ(ti ) − ψ(ti−1 ))2 ,
то
l(τ ) =
n
X
p
(ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ))2 + (ψ(ti ) − ψ(ti−1 ))2 .
(2.7.2)
i=1
Замечание 2.7.11. Каждому разбиению τ отрезка [α, β] отвечает своя
ломаная
A0 A1 A2 ...An
с длиной l(τ ), и мы получаем множество
{l(τ )}τ .
207
Определение 2.7.12. Если множество
{l(τ )}τ
ограничено, то кривая L называется спрямляемой, а число
l = l(^ AB) = sup l(τ )
(2.7.3)
τ
называется длиной кривой L, или, более точно, длиной дуги кривой L.
Замечание 2.7.13. Легко видеть, что понятие длины дуги спрямляемой
кривой обладает следующими свойствами:
1o . Если τ ≺ τ 0 , то
l(τ ) ≤ l(τ 0 ).
2o . Для любого разбиения τ отрезка [α, β] имеет место неравенство:
l(τ ) ≤ l.
3o . Так как l(τ ) ≥ 0 для любого разбиения τ отрезка [α, β] (как периметр
ломаной), то
l ≥ 0.
4o . Кривая ^ AB спрямляема тогда и только тогда, когда для любой
точки M , лежащей на ^ AB, кривые ^ AM и ^ M B тоже спрямляемы. При этом
l(^ AB) = l(^ AM ) + l(^ M B).
208
2.7.3
Достаточные условия спрямляемости дуги кривой
Теорема 2.7.14. Пусть простая незамкнутая кривая Жордана L = AB
задана уравнениями
x = ϕ(t)
t ∈ [α, β].
y = ψ(t),
Если функции ϕ(t) и ψ(t) непрерывно дифференцируемы на [α, β], то кривая L является спрямляемой.
Доказательство. Пусть
τ = {α = t0 , t1 , t2 , . . . , tn = β}
разбиение отрезка [α, β]. Если функции ϕ(t) и ψ(t) непрерывно дифференцируемы на [α, β], то по теореме Вейерштрасса производные ϕ0 (t) и ψ 0 (t)
ограничены на [α, β]. Обозначим
Mϕ = sup |ϕ0 (t)| ,
[α,β]
и
Mψ = sup |ψ 0 (t)| .
[α,β]
Функции ϕ(t) и ψ(t) на каждом отрезке разбиения [ti−1 , ti ], i = 1, 2, . . . , n,
удовлетворяют теореме Лагранжа. Поэтому для любого i = 1, 2, . . . , n существуют ξi , ξ i ∈ [ti−1 , ti ] такие, что
xi − xi−1 = ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (ξi )(ti − ti−1 ) = ϕ0 (ξi )∆ti
и
yi − yi−1 = ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ 0 (ξ i )(ti − ti−1 ) = ψ 0 (ξ i )∆ti .
Следовательно,
n
X
p
l(τ ) =
(ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ))2 + (ψ(ti ) − ψ(ti−1 ))2 = .
i=1
=
n q
X
(ϕ0 (ξi )∆ti )2 + (ψ 0 (ξ i )∆ti )2 =
i=1
209
=
n q
X
[ϕ0 (ξi )]2 + [ψ 0 (ξ i )]2 ∆ti ≤
i=1
n q
X
[Mϕ ]2 + [Mψ ]2 ∆ti =
i=1
n
q
q
X
= [Mϕ ]2 + [Mψ ]2
∆ti = [Mϕ ]2 + [Mψ ]2 (β − α).
i=1
p
Так как [Mϕ ]2 + [Mψ ]2 (β − α) не зависит от разбиения τ , то множество
{l(τ )}τ ограничено сверху, и потому кривая L спрямляема.
Замечание 2.7.15. Если
mϕ = inf |ϕ0 (t)|
[α,β]
и
mψ = inf |ϕ0 (t)| ,
[α,β]
то нетрудно показать, что
q
q
2
2
[mϕ ] + [mψ ] (β − α) ≤ l(τ ) ≤ [Mϕ ]2 + [Mψ ]2 (β − α) .
Таким образом,
q
q
[mϕ ]2 + [mψ ]2 (β − α) ≤ l ≤ [Mϕ ]2 + [Mψ ]2 (β − α) .
2.7.4
(2.7.4)
Дифференциал дуги кривой
Пусть простая незамкнутая кривая Жордана L =^ AB задана уравнениями
x = ϕ(t)
t ∈ [α, β]
y = ψ(t),
и функции ϕ(t) и ψ(t) непрерывно дифференцируемы на [α, β]. В силу
теоремы 2.7.14, кривая ^ AB спрямляема. Поэтому для любой точки M ,
лежащей на ^ AB, кривая ^ AM тоже спрямляема.
Пусть
M = M (t) = M (ϕ(t), ψ(t)).
Обозначим через l(t) длину дуги ^ AM . Меняя параметр t, мы видим,
что l(t) является функцией, определенной на отрезке [α, β]. При этом,
l(α) = 0, l(β) = l.
210
В следующей теореме приводится основное свойство функции l(t).
Теорема 2.7.16. Функция l(t) дифференцируема на отрезке [α, β] и
∆l p 0 2
= [ϕ (t)] + [ψ 0 (t)]2 .
∆t→0 ∆t
l0 (t) = lim
(2.7.5)
Доказательство. По определению, l(t) — длина дуги ^ AM , где
M = M (t) = M (ϕ(t), ψ(t)).
Придадим параметру t приращение ∆t такое, чтобы точка
M1 = M1 (t + ∆t) = M1 (ϕ(t + ∆t), ψ(t + ∆t))
оставалась на дуге ^ AB.
Итак,
l(t) = l(^ AM ),
l(t + ∆t) = l(^ AM1 ).
и
∆l = l(t + ∆t) − l(t) = l(^ M M1 ),
т.е. приращение функции l(t) представляет собой длину дуги ^ M M1 .
211
Рассмотрим функцию l(t) на отрезке [t, t + ∆t].
Обозначим:
M ϕ = sup |ϕ0 (t)|,
[t,t+∆t]
M ψ = sup |ψ 0 (t)|,
[t,t+∆t]
mϕ = inf |ϕ0 (t)|,
[t,t+∆t]
mψ = inf |ψ 0 (t)|.
[t,t+∆t]
Тогда, в силу неравенства (2.7.4) имеем:
q
q
2
2
[mϕ ] + [mψ ] ∆t ≤ ∆l ≤ [M ϕ ]2 + [M ψ ]2 ∆t,
откуда
q
q
∆l
[mϕ ]2 + [mψ ]2 ≤
≤ [M ϕ ]2 + [M ψ ]2 .
∆t
Функции ϕ(t) и ψ(t) непрерывно дифференцируемы на [α, β]. Поэтому при
∆t → 0 ⇒ t + ∆t → t
212
мы имеем:
2
lim M ϕ = lim m2ϕ = [ϕ0 (t)]2
∆t→0
∆t→0
и
2
lim M ψ = lim m2ψ = [ψ 0 (t)]2 .
∆t→0
∆t→0
Таким образом, существует предел
p
∆l
= l0 (t) = [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 .
∆t→0 ∆t
lim
Замечание 2.7.17. Так как
p
p
l0 (t) = [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 = [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 ,
то дифференциал дуги кривой имеет вид:
p
p
dl(t) = [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt = [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt .
Поэтому,
dl2 = dx2 + dy 2 .
213
(2.7.6)
Следствие 2.7.18. Функция l(t) является первообразной для функции
p
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 .
Так как l(α) = 0, l(β) = l, то
Z
β
p
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt.
l = l(β) − l(α) =
(2.7.7)
α
Пример 2.7.19. Вычислим длину дуги одной арки циклоиды:
x = a(t − sin t)
, t ∈ [0, 2π]
y = a(1 − cos t),
Так как функции
ϕ0 (t) = a(1 − cos t),
ψ 0 (t) = a sin t,
непрерывны на [0, 2π], то кривая спрямляема и длина дуги равна
Z 2π q
Z 2π p
ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt =
a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 tdt =
l=
0
0
Z
=
2π
0
p
1 − 2 cos t + cos2 t + sin2 tdt =
0
Z
=a
2π
p
2(1 − cos t)dt = 2a
0
2.7.5
2π
Z
q
2
2
a (1 − cos t) + sin tdt = a
Z
2π
0
t
t
sin dt = −4a cos
2
2
2π
= 8a.
0
Частные случаи
1). Пусть кривая представляет собой график непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b] функции
y = f (x).
В этом случае параметрическое задание кривой имеет вид
x = ϕ(t) = t
t ∈ [a, b].
y = ψ(t) = f (t),
214
Тогда
ϕ0 (t) = 1
ψ 0 (t) = f 0 (t),
t ∈ [a, b],
при этом функция f 0 (t) неперерывна. Поэтому
p
p
l0 (t) = [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 = 1 + [f 0 (t)]2 .
Следовательно,
l=
Z bp
Z bp
1 + [f 0 (t)]2 dt =
1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
(2.7.8)
a
Пример 2.7.20. Вычислим длину дуги полукубической параболы
3
y = x 2 , x ∈ [0, 5].
Так как
3 1
y0 = x 2
2
непрерывна на отрезке [0, 5], то по формуле 2.7.8 получим
Z
l=
5
p
1 + y 02 dx =
0
Z
0
5
r
9x
8
1 + dx =
4
27
9x
1+
4
32
5
=
0
335
.
27
2). Пусть кривая L является графиком функции, заданной в полярной
системе координат уравнением
r = r(θ), θ ∈ [α, β],
где функция r(θ) непрерывно дифференцируема на [α, β]. В этом случае
параметрическое задание кривой имеет вид
x = r(θ) cos θ
t ∈ [α, β].
y = r(θ) sin θ,
Тогда
x0 = [r(θ) cos θ]0 = r0 (θ) cos θ − r(θ) sin θ
y 0 = [r(θ) sin θ]0 = r0 (θ) sin θ + r(θ) cos θ.
215
Вычислим
[x0 ]2 + [y 0 ]2 = [r0 (θ) cos θ − r(θ) sin θ]2 + [r0 (θ) sin θ + r(θ) cos θ]2 =
= [r0 (θ)]2 cos2 θ − 2r0 (θ) cos θ r(θ) sin θ + [r(θ)]2 sin2 θ+
+[r0 (θ)]2 sin2 θ + 2r0 (θ) sin θ r(θ) cos θ + [r(θ)]2 cos2 θ =
= [r0 (θ)]2 + [r(θ)]2 .
Поэтому
l0 (t) =
p
[r0 (θ)]2 + [r(θ)]2 .
Следовательно,
Z
β
l=
p
[r0 (θ)]2 + [r(θ)]2 dθ.
(2.7.9)
α
Пример 2.7.21. Вычислим длину первого витка архимедовой спирали
ρ = aϕ.
Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного
угла ϕ от 0 до 2π.
Поэтому по формуле 2.7.9 искомая длина дуги равна
Z 2π p
Z 2π p
l=
a2 ϕ2 + a2 dϕ = a
ϕ2 + 1dϕ.
0
0
Вычислим сначала интеграл
Z
Z
Z p
Z
ϕ2
1
ϕ2 + 1
2
p
p
ϕ + 1dϕ =
dϕ =
dϕ + p
dϕ =
I=
ϕ2 + 1
ϕ2 + 1
ϕ2 + 1
Z
Z
ϕ
1
= ϕp
dϕ + p
dϕ =
2
ϕ +1
ϕ2 + 1
Z
Z
p
1
2
= ϕd( ϕ + 1) + p
dϕ =
ϕ2 + 1
Z p
Z
p
1
2
2
=ϕ ϕ +1−
ϕ + 1dϕ + p
dϕ =
ϕ2 + 1
p
p
= ϕ ϕ2 + 1 − I + ln |ϕ + ϕ2 + 1|.
216
Следовательно,
p
1
1 p
I = ϕ ϕ2 + 1 + ln |ϕ + ϕ2 + 1|.
2
2
Таким образом,
Z
l=a
0
2π
p
ϕ2
p
1 p 2
1
2
+ 1dϕ = a ϕ ϕ + 1 + ln |ϕ + ϕ + 1|
2
2
√
√
1
= a π 4π 2 + 1 + ln 2π + 4π 2 + 1
2
217
.
2π
0
2.8
2.8.1
Лекция №15
Геометрические и физические приложения
определенного интеграла: площадь плоской фигуры
Понятие площади плоской фигуры. Квадрируемость
Определение 2.8.1. Плоской фигурой F будем называть произвольное
ограниченное множество плоскости.
Определение 2.8.2. Прямоугольником (замкнутым) называется множество
K = {M (x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]} = [a, b] × [c, d] .
Определение 2.8.3. Множество
∂K = {M (x, y) ∈ K : (x = a) ∨ (x = b) ∨ (y = c) ∨ (y = d)} =
= ({a} × [c, d]) ∪ ({b} × [c, d]) ∪ ([a, b] × {c}) ∪ ([a, b] × {d})
называется границей прямоугольника K.
218
Замечание 2.8.4. Прямоугольником (незамкнутым) мы будем называть
и любое множество, которое получается из замкнутого прямоугольника
K = {M (x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]} = [a, b] × [c, d]
219
удалением какого-то подмножества E ⊆ ∂K множества граничных точек
(или всей границы). В дальнейшем будем обозначать прямоугольник (замкнутый или не замкнутый) через K.
Определение 2.8.5. Точки
K\∂K
называются внутренними точками прямоугольника K (и прямоугольника
K). Множество внутренних точек прямоугольника K называется внутренностью прямоугольника K и обозначается
Int(K).
Замечание 2.8.6. Точка
M0 (x0 , y0 ) ∈ K
является внутренней точкой прямоугольника K, если существует открытый круг Ur (M0 ) радиуса r с центром в точке M0 , целиком лежащий в
K.
220
Определение 2.8.7. Клеточной фигурой называется плоская фигура G,
которую можно представить как объединение конечного числа прямоугольников, не имеющих общих внутренних точек:
G=
n
[
Ki , Int(Ki ) ∩ Int(Kj ) = ∅ при i 6= j.
i=1
Внутренностью клеточной фигуры G называется множество
Int(G) =
n
[
Int(Ki ) .
i=1
Определение 2.8.8. Площадью прямоугольника K называется число
S(K) = (b − a)(d − c) .
Определение 2.8.9. Пусть клеточная фигура G имеет вид
G=
n
[
i=1
221
Ki .
(2.8.1)
Тогда площадью этой клеточной фигуры называется число
S(G) =
n
X
S(Ki ) =
i=1
n
X
(bi − ai )(di − ci ) .
(2.8.2)
i=1
Обозначим через K множество всех клеточных фигур плоскости.
Мы получили отображение
K 3 G 7→ S(G) ∈ R ,
которое ставит в соответствие каждой клеточной фигуре ее площадь. Это
отображение обладает следующими свойствами:
1o Для любой клеточной фигуры G ∈ K имеет место неравенство:
S(G) ≥ 0 .
2o Если G ∈ K и
G=
n
[
Ki
i=1
и
G=
m
[
Ki0
j=1
два ее представления, то
S(G) =
n
X
S(Ki ) =
i=1
m
X
S(Kj0 ) ,
j=1
т.е. площадь S(G) клеточной фигуры G не зависит от представления
ее в виде объединения прямоугольников, не имеющих общих внутренних точек.
222
3o Аддитивность. Если G1 , G2 ∈ K и
Int(G1 ) ∩ Int(G2 ) = ∅,
то G1 ∪ G2 ∈ K и
S(G1 ∪ G2 ) = S(G1 ) + S(G2 ) .
4o Монотонность. Если G1 , G2 ∈ K и
G1 ⊆ G2 ,
то
S(G1 ) ≤ S(G2 ) .
5o Инвариантность. Если G1 , G2 ∈ K и существует движение плоскости f , такое что
f (G1 ) = G2 ,
то
S(G1 ) = S(G2 ) .
Определение 2.8.10. Пусть F — произвольная плоская фигура.
• Число
S∗ (F ) = sup{S(G) : G ∈ K, G ⊆ F }
называется внутренней площадью фигуры F .
• Число
S ∗ (F ) = inf{S(G) : G ∈ K, F ⊆ G}
называется внешней площадью фигуры F .
Определение 2.8.11. Плоская фигура F называется квадрируемой (имеющей площадь), если ее внутренняя и внешняя площади совпадают:
S∗ (F ) = S ∗ (F ) .
В этом случае число
S(F ) = S∗ (F ) = S ∗ (F )
называется площадью плоской фигуры F .
223
Замечание 2.8.12. Ясно, что не всякая плоская фигура F является квадрируемой. Следующая теорема предоставляет необходимые и достаточные
условия квадрируемости.
Теорема 2.8.13 (Критерий квадрируемости). Для того, чтобы плоская фигура F была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для
любого ε > 0 существовали клеточные фигуры G1 , G2 ∈ K такие, что
1).
G1 ⊆ F ⊆ G2 ;
2).
S(G2 ) − S(G1 ) < ε .
Доказательство. Необходимость. Пусть плоская фигура F квадрируема.
Тогда ее внутренняя и внешняя площади совпадают:
S(F ) = S∗ (F ) = S ∗ (F ).
Так как
S∗ (F ) = sup{S(G) : G ∈ K, G ⊆ F },
то для любого ε > 0 существует клеточная фигура G1 ∈ K такая, что
G1 ⊆ F
и
ε
S(F ) − S(G1 ) = S∗ (F ) − S(G1 ) < .
2
Аналогично, так как
S ∗ (F ) = inf{S(G) : G ∈ K, F ⊆ G}
то для любого ε > 0 существует клеточная фигура G2 ∈ K такая, что
F ⊆ G2
и
ε
S(G2 ) − S(F ) = S(G2 ) − S ∗ (F ) < .
2
Таким образом, для любого ε > 0 существуют клеточные фигуры
G1 , G2 ∈ K такие, что
G1 ⊆ F ⊆ G2
224
и
S(G2 ) − S(G1 ) = [S(G2 ) − S(F )] + [S(F ) − S(G1 ] <
ε ε
+ = ε.
2 2
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть F — такая плоская фигура, что для любого
ε > 0 существуют клеточные фигуры G1 , G2 ∈ K такие, что
G1 ⊆ F ⊆ G2
и
S(G2 ) − S(G1 ) < ε.
Так как
S(G1 ) ≤ S∗ (F ) ≤ S ∗ (F ) ≤ S(G2 ),
то
S ∗ (F ) − S∗ (F ) ≤ S(G2 ) − S(G1 ) < ε
для любого ε > 0. Но это возможно лишь при
S ∗ (F ) − S∗ (F ) = 0 ⇒ S ∗ (F ) = S∗ (F ).
Следовательно, плоская фигура F — квадрируема.
Обозначим через KS множество всех квадрируемых фигур плоскости.
Мы получили отображение
KS 3 F 7→ S(F ) ∈ R+ = [0, +∞) ,
которое ставит в соответствие каждой квадрируемой фигуре ее площадь.
Это отображение обладает свойствами аддитивности, монотонности и инвариантности. Более того, имеет место утверждение:
Утверждение 2.8.14. Для того, чтобы плоская фигура F была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовали
квадрируемые фигуры F1 , F2 ∈ KS такие, что
1). F1 ⊆ F ⊆ F2 ;
2). S(F2 ) − S(F1 ) < ε.
225
Доказательство. Необходимость очевидна, так как если плоская фигура
F квадрируема, то достаточно положить
F1 = F2 = F.
Достаточность. Пусть для плоской фигуры F для любого ε > 0 существуют квадрируемые фигуры F1 , F2 ∈ KS такие, что
F1 ⊆ F ⊆ F2
и
ε
S(F2 ) − S(F1 ) < .
2
Так как F1 , F2 ∈ KS, то существуют клеточные фигуры G01 , G02 , G001 , G002 ∈
K такие, что
G01 ⊆ F1 ⊆ G02 ⇒ S(G01 ) ≤ S(F1 ) ≤ S(G02 ),
ε
ε
⇒ S(F1 ) − S(G01 ) < ,
4
4
00
00
00
00
G1 ⊆ F2 ⊆ G2 ⇒ S(G1 ) ≤ S(F2 ) ≤ S(G2 )
S(G02 ) − S(G01 ) <
и
S(G002 ) − S(G001 ) <
ε
ε
⇒ S(G002 ) − S(F2 ) < .
4
4
Следовательно,
G01 ⊆ F1 ⊆ F ⊆ F2 ⊆ G002
и
S(G002 ) − S(G01 ) = [S(G002 ) − S(F2 )] + [S(F2 ) − S(F1 )] + [S(F1 ) − S(G01 )] <
<
ε ε ε
+ + = ε.
4 2 4
Замечание 2.8.15. Напомним примеры известных квадрируемых (имеющих площади) плоских фигур.
1o F — квадрат ABCD со стороной a:
S(F ) = a2 .
226
2o F — прямоугольник ABCD со сторонами a и b:
S(F ) = ab .
3o F — параллелограмм ABCD со стороной a и проведенной к ней
высотой h:
S(F ) = ah .
227
4o F — треугольник ABC со стороной a и проведенной к ней высотой
h:
1
S(F ) = ah .
2
5o F — трапеция ABCD с основаниями a и b и высотой h:
S(F ) =
228
a+b
h.
2
6o F — круг радиуса r:
S(F ) = πr2 .
7o F — круговой сектор радиуса r, отвечающий центральному углу θ
радиан:
1
S(F ) = r2 θ .
2
229
2.8.2
Площадь криволинейной трапеции
Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, как уже отмечалось выше, является задача о нахождении площади
криволинейной трапеции.
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и f (x) ≥ 0 для любой
точки x ∈ [a, b].
Под криволинейной трапецией мы понимаем множество на плоскости
вида
F = {M (x, y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} .
230
Теорема 2.8.16. Криволинейная трапеция F является квадрируемой фигурой и ее площадь вычисляется по формуле
b
Z
S(F ) =
f (x) dx .
(2.8.3)
a
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
она интегрируема на [a, b]. Поэтому она удовлетворяет критерию интегрируемости, т.е. для любого ε > 0 существует такое разбиение
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b},
что
S(τ, f ) − s(τ, f ) < ε.
Пусть
Mi = sup f (x),
[xi−1 ,xi ]
mi =
inf f (x).
[xi−1 ,xi ]
Обозначим через
n
[
G1 =
Ki
i=1
и
G2 =
n
[
Ki0 ,
i=1
Ki0
— прямоугольники с основаниями [xi−1 , xi ] и высотами mi и
где Ki и
Mi соответственно. Ясно, что G1 и G2 — клеточные фигуры и
G1 ⊆ F ⊆ G2 .
Кроме того,
S(G1 ) =
n
X
S(Ki ) =
i=1
и
S(G2 ) =
n
X
i=1
n
X
mi ∆xi = s(τ, f )
i=1
S(Ki0 )
=
n
X
i=1
231
Mi ∆xi = S(τ, f ).
Поэтому
S(G2 ) − S(G1 ) = S(τ, f ) − s(τ, f ) < ε.
Следовательно, криволинейная трапеция F квадрируема.
Осталось заметить, что
Z b
S(F ) = lim S(τ, f ) = lim s(τ, f ) =
f (x) dx.
λτ →0
λτ →0
a
Замечание 2.8.17.
• Пусть функция g(x) непрерывна на отрезке [a, b]
и g(x) ≤ 0 для любой точки x ∈ [a, b].
Рассмотрим криволинейную трапецию
F = {M (x, y) : x ∈ [a, b], g(x) ≤ y ≤ 0}.
Тогда
Z
S(F ) = −
b
g(x) dx .
(2.8.4)
a
• Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и существует точка
c ∈ [a, b] такая, что f (c) = 0, f (x) ≥ 0 на [a, c] и f (x) ≤ 0 на [c, b].
Рассмотрим две криволинейные трапеции
F1 = {M (x, y) : x ∈ [a, c], 0 ≤ y ≤ f (x)}
232
и
F2 = {M (x, y) : x ∈ [c, b], f (x) ≤ y ≤ 0}.
Тогда
Z
c
f (x) dx,
S(F1 ) =
a
Z
S(F2 ) = −
b
f (x) dx,
c
и поэтому
Z
b
f (x) dx = S(F1 ) − S(F2 ) .
(2.8.5)
a
• Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], g(x) ≥ f (x)
для любой точки x ∈ [a, b] и область F , ограниченная сверху и снизу
графиками этих функций: линиями
F = {M (x, y) : x ∈ [a, b], f (x) ≤ y ≤ g(x)}.
Тогда
Z
b
[g(x) − f (x)]dx .
S(F ) =
a
233
(2.8.6)
Пример 2.8.18. Вычислим площадь фигуры F , ограниченной эллипсом
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
Уравнения линий, ограничивающих эллипс сверху и снизу, имеют вид
y=±
b√ 2
a − x2 .
a
234
Рассмотрим функции
f (x) =
b√ 2
a − x2
a
и
g(x) = −
b√ 2
a − x2 .
a
Тогда
b√ 2
b
2
[f (x) − g(x)]dx =
a − x2 dx = 2
S(F ) =
a
−a a
−a
a
Z
Z
a
Так как функция
f (x) =
Z
a
√
a2 − x2 dx.
−a
b√ 2
a − x2
a
четная, то
b
S(F ) = 2
a
Z
a
√
a2
−
x2 dx
−a
b
=4
a
Z
a
√
a2 − x2 dx =
0
x = a cos t, dx = −a sin tdt
π
=
a = a cos 0, 0 = a cos
2
π
Z 0
Z
√
√
2
b
b
=4
a sin t a2 − a cos2 tdt =
[−a sin t] a2 − a cos2 tdt = 4
a π2
a 0
=
Z
= 4ab
0
π
2
sin2 tdt = 4ab
Z
0
π
2
1
1
1 − cos 2t
dt = 4ab t − sin 2t
2
2
4
= 4ab ·
2.8.3
π
2
=
0
π
= πab.
4
Площадь криволинейной трапеции, когда кривая задана параметрически
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], f (x) ≥ 0 для любой
точки x ∈ [a, b] и
F = {M (x, y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)}.
235
соответствующая криволинейная трапеция. Тогда, как было показано выше,
Z b
f (x) dx.
S(F ) =
a
Пусть кривая AB задана параметрически уравнениями
x = ϕ(t)
t ∈ [α, β],
y = ψ(t),
при этом,
ϕ(α) = a
ψ(β) = b.
Тогда
Z
S(F ) =
b
f (x) dx =
a
x = ϕ(t)
dx = ϕ0 (t)dt
y = f (x) = ψ(t)
Z
β
=
ψ(t)ϕ0 (t)dt.
α
Таким образом, в этом случае площадь криволинейной трапеции можно
вычислить по формуле
Z
β
ψ(t)ϕ0 (t)dt .
S(F ) =
α
236
(2.8.7)
Пример 2.8.19. Вычислить площадь области F , ограниченной сверху
первой аркой циклоиды
x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t),
t ∈ [0, 2π],
а снизу осью Ox.
По формуле (2.8.7) имеем:
Z
β
Z
0
S(F ) =
a(1 − cos t)a(1 − cos t)dt =
α
=a
2
0
2π
Z
2π
ψ(t)ϕ (t)dt =
2
(1 − cos t) dt = a
2
2π
Z
(1 − 2 cos t + cos2 t)dt =
0
0
2
2π
= a [t − 2 sin 2t]
+a
2
0
0
a2
1
= 2πa +
t − sin 2t
2
2
2
2π
Z
2π
0
237
1 − cos 2t
dt =
2
= 2πa2 + πa2 = 3πa2 .
2.8.4
Площадь криволинейного сектора
Пусть кривая L является графиком функции, заданной в полярной
системе координат уравнением
ρ = ρ(θ), θ ∈ [α, β],
где ρ = ρ(θ) — неотрицательная, непрерывная на отрезке [α, β] функция.
Определение 2.8.20. Под криволинейным сектором F мы будем понимать плоскую фигуру, ограниченную кривой L и (возможно) отрезками
двух лучей, составляющих с полярной осью углы α и β соответственно:
F = {M (θ, r) : 0 ≤ r ≤ ρ(θ), α ≤ θ ≤ β} .
238
Теорема 2.8.21. Пусть криволинейный сектор
F = AOB = {M (θ, r) : 0 ≤ r ≤ ρ(θ), α ≤ θ ≤ β}
ограничен графиком неотрицательной, непрерывной на отрезке [α, β] функции
ρ = ρ(θ), θ ∈ [α, β]
и отрезками двух лучей θ = α и θ = β.
Тогда криволинейный сектор F — квадрируемая фигура и
1
S(F ) =
2
Z
β
ρ2 (θ)dθ .
α
Доказательство. Рассмотрим разбиение τ отрезка [α, β]:
τ = {α = θ0 , θ1 , θ2 , . . . , θn = β}.
239
(2.8.8)
Обозначим
ri = min ρ(θ)
[θi−1 ,θi ]
и
Ri = max ρ(θ).
[θi−1 ,θi ]
Лучи
θ = θ0 = α
θ = θ1
θ = θ2
.........
θ = θn = β
разбивают криволинейный сектор F на "узкие" криволинейные сектора
Fi
Fi = {M (θ, r) : 0 ≤ r ≤ ρ(θ), θi−1 ≤ θ ≤ θi }.
Впишем в каждый из них круговой сектор
Ei = {M (θ, r) : 0 ≤ r ≤ ri , θi−1 ≤ θ ≤ θi }
и опишем круговой сектор
Ei0 = {M (θ, r) : 0 ≤ r ≤ Ri , θi−1 ≤ θ ≤ θi }.
240
Каждая из полученных "веерных" фигур
E=
n
[
Ei
i=1
и
E0 =
n
[
Ei0
i=1
квадрируема и
n
[
n
n
[
n
1X 2
r ∆θi
S(E) =
S(Ei ) =
2 i=1 i
i=1
и
1X 2
S(E ) =
S(Ei ) =
Ri ∆θi .
2
i=1
i=1
0
Рассмотрим функцию
1
g(θ) = ρ2 (θ).
2
Легко видеть, что
n
1X 2
S(τ, g) =
Ri ∆θi = S(E 0 )
2 i=1
и
n
1X 2
s(τ, g) =
r ∆θi = S(E).
2 i=1 i
Так как функция ρ(θ) непрерывна на [α, β], то функция g(θ) интегрируема
на [α, β], и поэтому разность
S(τ, g) − s(τ, g) = S(E 0 ) − S(E)
может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому криволинейный сектор
F — квадрируемая фигура и
n
1X 2
1
S(F ) = lim
Ri ∆θi =
λτ →0 2
2
i=1
241
Z
β
α
ρ2 (θ)dθ.
Пример 2.8.22. Найдем площадь фигуры F , ограниченной кардиоидой,
которая задается уравнением
ρ = a(1 + cos θ), θ ∈ [0, 2π].
Так как
cos(2π − θ) = cos θ,
то F — симметричная относительно полярной оси фигура. Поэтому
Z π
Z
Z
1 2π 2
1
1 β 2
2
2
2
S(F ) =
ρ (θ)dθ =
a (1 + cos θ) dθ = 2
a (1 + cos θ) dθ =
2 α
2 0
2 0
Z π
Z π
π
1 + cos 2θ
2
2
2
2
(1 + 2 cos θ + cos θ)dθ = a [θ + 2 sin θ] + a
=a
dθ =
2
0
0
0
π
a2
1
3πa2
2
= πa +
θ + sin 2θ
=
.
2
2
2
0
Замечание 2.8.23. Пусть криволинейный сектор
F = {M (θ, r) : 0 ≤ r ≤ ρ(θ), α ≤ θ ≤ β}
242
ограничен кривой L, заданной неотрицательной, непрерывной на отрезке
[α, β] функцией
ρ = ρ(θ), θ ∈ [α, β]
и отрезками двух лучей θ = α и θ = β. Без ограничения общности будем
считать, что
−π < α < β < π.
Площадь F выражается формулой
1
S(F ) =
2
Z
β
ρ2 (θ)dθ.
α
Предположим, что кривая L задана параметрически
x = ϕ(t)
t ∈ [t0 , T ].
y = ψ(t),
При этом
θ = θ(t) : [t0 , T ] 7→ [α, β]
— дифференцируемая функция и θ(t0 ) = α, θ(T ) = β. Таким образом,
x = ρ(θ) cos θ = ϕ(t)
y = ρ(θ) sin θ = ψ(t).
Тогда
ρ2 = x2 + y 2 = ϕ2 (t) + ψ 2 (t)
и
tg θ =
y
ψ(t)
=
.
x
ϕ(t)
Следовательно,
θ = arctg
ψ(t)
y
= arctg
.
x
ϕ(t)
Тогда
0
ψ(t)
dθ = arctg
dt =
ϕ(t)
=
ψ 0 (t)ϕ(t) − ψ(t)ϕ0 (t)
1
dt =
ψ 2 (t)
ϕ2 (t)
1+ 2
ϕ (t)
ψ 0 (t)ϕ(t) − ψ(t)ϕ0 (t)
dt.
ϕ2 (t) + ψ 2 (t)
243
Следовательно,
Z
Z
1 β 2
ψ 0 (t)ϕ(t) − ψ(t)ϕ0 (t)
1 β 2
ρ (θ)dθ =
[ϕ (t) + ψ 2 (t)]
dt,
S(F ) =
2 α
2 α
ϕ2 (t) + ψ 2 (t)
откуда
1
S(F ) =
2
Z
β
[ψ 0 (t)ϕ(t) − ψ(t)ϕ0 (t)]dt .
(2.8.9)
α
Пример 2.8.24. Вычислим еще раз площадь фигуры F , ограниченной
эллипсом
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
используя его параметрическое выражение
x = a cos t
t ∈ [0, 2π].
y = b sin t,
По формуле (2.8.9), получим:
Z
Z 2π
1
1 2π
[b cos t a cos t + a sin t b sin t]dt = ab
[cos2 t + sin2 t]dt =
S(F ) =
2 0
2
0
Z 2π
2π
1
1
= ab
dt = ab · t = πab.
2
2
0
0
244
2.9
2.9.1
Лекция №16
Геометрические и физические приложения
определенного интеграла. Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения.
Масса и центр тяжести неоднородного стержня
Понятие объема пространственного тела. Кубируемость
Определение 2.9.1. Пространственным телом T будем называть произвольное ограниченное множество пространства.
Определение 2.9.2. Прямоугольным (замкнутым) параллелепипедом называется множество
Π = {M (x, y, z) : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ], z ∈ [a3 , b3 ]} = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] .
Определение 2.9.3. Множество
∂Π = {M (x, y, z) ∈ Π : (x = a1 )∨(x = b1 )∨(y = a2 )∨(y = b2 )∨(z = a3 )∨(z = b3 )}
называется границей прямоугольного параллелепипеда Π.
Замечание 2.9.4. Прямоугольным параллелепипедом (незамкнутым) мы
будем называть и любое множество, которое получается из замкнутого параллелепипеда Π удалением какого-то подмножества E ⊆ ∂Π множества
граничных точек (или всей границы). В дальнейшем будем обозначать
прямоугольник (замкнутый или не замкнутый) через Π.
Определение 2.9.5. Точки
Π\∂Π
245
называются внутренними точками прямоугольного параллелепипеда Π (и
прямоугольного параллелепипеда Π). Множество внутренних точек прямоугольного параллелепипеда Π называется внутренностью прямоугольного параллелепипеда Π и обозначается
Int(Π) .
Замечание 2.9.6. Точка
M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Π
является внутренней точкой прямоугольного параллелепипеда Π, если существует открытый шар Ur (M0 ) радиуса r с центром в точке M0 , целиком
лежащий в Π.
Определение 2.9.7. Клеточным телом (как и в плоском случае) называется пространственное тело G, которое можно представить как объединение конечного числа прямоугольных параллелепипедов, не имеющих общих внутренних точек:
G=
n
[
Πi , Int(Πi ) ∩ Int(Πj ) = ∅ при i 6= j.
i=1
Внутренностью клеточного тела G называется множество
Int(G) =
n
[
Int(Πi ) .
i=1
Определение 2.9.8. Объемом прямоугольного параллелепипеда Π называется число
V (Π) = (b1 − a1 )(b2 − a2 )(b3 − a3 ) .
(2.9.1)
246
Определение 2.9.9. Пусть клеточное тело G имеет вид
G=
n
[
Πi .
i=1
Тогда объемом этого клеточного тела называется число
V (G) =
n
X
V (Πi ) .
(2.9.2)
i=1
Обозначим через T множество всех клеточных тел пространства.
Мы получили отображение
T 3 G 7→ V (G) ∈ R ,
которое ставит в соответствие каждому клеточному телу его объем. Это
отображение обладает следующими свойствами:
1o Для любого клеточного тела G ∈ T имеет место неравенство:
V (G) ≥ 0 .
2o Если G ∈ T и
G=
n
[
Πi
i=1
и
G=
m
[
Π0j
j=1
два ее представления, то
V (G) =
n
X
V (Πi ) =
i=1
m
X
V (Π0j ) ,
j=1
т.е. объем V (G) клеточного тела G не зависит от представления его
в виде объединения прямоугольных параллелепипедов, не имеющих
общих внутренних точек.
247
3o Аддитивность. Если G1 , G2 ∈ T и
Int(G1 ) ∩ Int(G2 ) = ∅,
то G1 ∪ G2 ∈ T и
V (G1 ∪ G2 ) = V (G1 ) + V (G2 ) .
4o Монотонность. Если G1 , G2 ∈ T и
G1 ⊆ G2 ,
то
V (G1 ) ≤ V (G2 ) .
5o Инвариантность. Если G1 , G2 ∈ T и существует движение пространства f , такое что
f (G1 ) = G2 ,
то
V (G1 ) = V (G2 ) .
Определение 2.9.10. Пусть T — произвольное пространственное тело.
• Число
V∗ (T ) = sup{V (G) : G ∈ T , G ⊆ T }
называется внутренним объемом тела T .
• Число
V ∗ (T ) = inf{V (G) : G ∈ T , T ⊆ G}
называется внешним объемом тела T .
Определение 2.9.11. Пространственное тело T называется кубируемым
(имеющим объем), если его внутренний и внешний объемы совпадают:
V∗ (T ) = V ∗ (T ) .
В этом случае число
V (T ) = V∗ (T ) = V ∗ (T )
называется объемом пространственного тела T .
248
Замечание 2.9.12. Ясно, что не всякое пространственное тело T является кубируемым. Следующая теорема предоставляет собой необходимые и
достаточные условия кубируемости.
Теорема 2.9.13 (Критерий кубируемости). Для того, чтобы пространственное тело T было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовали клеточные тела G1 , G2 ∈ T такие,
что
1).
G1 ⊆ T ⊆ G2 ;
2).
V (G2 ) − V (G1 ) < ε .
Доказательство. Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 2.8.13.
Обозначим через T V множество всех кубируемых тел пространства.
Мы получили отображение
T V 3 T 7→ V (T ) ∈ R+ = [0, +∞) ,
которое ставит в соответствие каждому кубируемому телу его объем. Это
отображение обладает свойствами аддитивности, монотонности и инвариантности. Более того, также как и для плоского случая, имеет место
утверждение:
Утверждение 2.9.14. Для того, чтобы пространственное тело T было
кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовали кубируемые тела T1 , T2 ∈ T V такие, что
1). T1 ⊆ T ⊆ T2 ;
2). V (T2 ) − V (T1 ) < ε.
Замечание 2.9.15. Напомним примеры известных кубируемых пространственных тел.
1o T — куб ABCDA1 B1 C1 D1 со стороной a:
V (T ) = a3 .
249
2o T — прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1 со сторонами
a, b и c:
V (T ) = abc .
3o T — прямая призма ABCA1 B1 C1 с площадью основания S и высотой
H:
V (T ) = SH .
250
4o T — пирамида ABCD с вершиной A и основанием BCD. Если площадь основания равна
S(ABC) = S
и высота AK = H, то
1
V (T ) = SH .
3
251
5o T — цилиндр с радиусом основания R и высотой H:
V (T ) = πR2 H .
6o T — конус с радиусом основания R и высотой H:
1
V (T ) = πR2 H .
3
252
Рассмотрим еще один класс кубируемых тел. Напомним общее определение цилиндра.
Определение 2.9.16. Пусть даны две параллельные плоскости
α k α0 .
Пусть в плоскости α задана произвольная плоская фигура (не лежащая
на одной прямой)
F ⊂ α.
Пусть из фиксированной точки A ∈ α проведена прямая, пересекающая
плоскость α0 в точке A0 . Из каждой точки X ∈ F проведем прямую, параллельную (AA0 ) и пересекающая плоскость α0 в точке X 0 . Ясно, что
XX 0 k AA0 и |AA0 | = |XX 0 |.
Пространственное тело T , образованное всеми отрезками XX 0 , называется
цилиндром. Фигура F называется основанием цилиндра, а отрезки XX 0
его образующими.
Если XX 0 ⊥ α, то цилиндр T называется прямым, а длина отрезка
XX 0 — его высотой.
Теорема 2.9.17. Пусть фигура T — прямой цилиндр. Если основание F
цилиндра является квадрируемой фигурой, то цилиндр T — кубируемое
тело и
V (T ) = S(F )H,
253
где H = |XX 0 | — высота цилиндра.
Доказательство. Если F — квадрируемая фигура, то в силу критерия
кубируемости 2.9.13, для любого ε > 0 существуют клеточные фигуры
G1 , G2 ∈ K такие, что
1). G1 ⊆ F ⊆ G2 ;
ε
.
H
Рассмотрим клеточные тела G1 , G2 ∈ T с основаниями G1 и G2 и высотами H такие, что
G1 ⊆ T ⊆ G2 .
2). S(G2 ) − S(G1 ) <
Так как
V (G2 ) − V (G1 ) = S(G2 )H − S(G1 )H = [S(G2 ) − S(G1 )]H <
ε
· H = ε,
H
то цилиндр T — кубируемое тело и
V (T ) = sup{V (G1 ) : G1 ∈ T , G1 ⊆ T } =
= H sup{S(G1 ) : G1 ∈ K, G1 ⊆ F } = S(F )H
Замечание 2.9.18. Кубируемыми являются и пространственные тела, составленные из конечного числа цилиндров указанного вида, в частности,
"ступенчатые" тела, представляющие собой "столбики" из таких цилиндров.
254
2.9.2
Объем тела вращения.
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и f (x) ≥ 0 для любой
точки x ∈ [a, b] и
F = {M (x, y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)}
соответствующая криволинейная трапеция.
Определение 2.9.19. Пространственное тело T , образованное вращением криволинейной трапеции F вокруг оси Ox, называется телом вращения.
Теорема 2.9.20. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и
f (x) ≥ 0 для любой точки x ∈ [a, b] и пространственное тело T образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции
F = {M (x, y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} .
Тогда тело T — кубируемо и
Z
b
V (T ) = π
a
255
f 2 (x) dx .
(2.9.3)
Доказательство. Рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b]:
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}.
Прямые
x=a
x = x1
x = x2
.........
x = xn−1
x=b
разбивает криволинейную трапецию
F = {M (x, y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} .
на "узкие" криволинейные трапеции
Fi = {M (x, y) : x ∈ [xi−1 , xi ], 0 ≤ y ≤ f (x)} .
Обозначим
Mi = sup f (x),
[xi−1 ,xi ]
mi =
inf f (x).
[xi−1 ,xi ]
На каждом частичном отрезке [xi−1 , xi ] построим два прямоугольника:
1). Прямоугольник Ki с высотой mi , вписанный в криволинейную трапецию Fi ;
2). Прямоугольник Ki0 с высотой Mi , описанный около криволинейной
трапеции Fi .
Рассмотрим фигуры
G1 =
n
[
Ki
i=1
и
G2 =
n
[
i=1
256
Ki0 .
Ясно, что G1 и G2 — клеточные фигуры и
G1 ⊆ F ⊆ G2 .
При вращении вокруг оси Ox фигур G1 , F и G2 мы получим три тела
вращения: T1 , T и T2 . При этом
T1 ⊆ T ⊆ T2 .
257
Тела T1 и T2 представляют собой объединения цилиндров, и потому
кубируемы. Кроме того
V (T1 ) =
n
X
πm2i ∆xi
=π
n
X
i=1
m2i ∆xi
i=1
и
V (T2 ) =
n
X
πMi2 ∆xi
i=1
=π
n
X
Mi2 ∆xi .
i=1
Рассмотрим функцию
g(x) = πf 2 (x) .
Легко видеть, что
S(τ, g) = π
n
X
Mi2 ∆xi = V (T2 )
i=1
и
s(τ, g) = π
n
X
m2i ∆xi = V (T1 ).
i=1
258
Так как функция f (x) непрерывна на [a, b], то функция g(x) интегрируема
на [a, b], и поэтому разность
S(τ, g) − s(τ, g) = V (T2 ) − V (T1 )
может быть сделана сколь угодно малой.
Следовательно, тело вращения T кубируемо и
Z b
n
X
2
f 2 (x) dx.
V (T ) = lim S(τ, g) = lim π
Mi ∆xi = π
λτ →0
λτ →0
i=1
a
Замечание 2.9.21. Рассмотрим сечение рассмотренного в теореме 2.9.20
тела вращения T плоскостью, перпендикулярной оси Ox и проходящей
через точку x ∈ [a, b]. Тогда площадь сечения имеет вид
S(x) = πf 2 (x)
и потому формулу (2.9.3) можно переписать в виде
Z b
V (T ) =
S(x)dx .
a
Это замечание позволяет обобщить теорему 2.9.20.
Теорема 2.9.22. Если сечение пространственного тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку x ∈ [a, b], квадрируемо
и его площадь S(x) — интегрируемая на отрезке [a, b] функция, то тело
T кубируемо и
Z b
V (T ) =
S(x)dx .
(2.9.4)
a
259
Пример 2.9.23. Вычислим объем тела T , полученного при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной астроидой
x2/3 + y 2/3 = a2/3 .
Уравнения линии, ограничивающей криволинейную трапецию сверху, имеет вид
y = f (x) = (a2/3 − x2/3 )3/2 .
Поэтому
Z a
Z a
2/3
2/3 3
V (T ) = π
(a − x ) dx = π
[a2 − 3a4/3 x2/3 + 3a2/3 x4/3 − x2 ]dx =
−a
−a
Z
= 2π
a
[a2 − 3a4/3 x2/3 + 3a2/3 x4/3 − x2 ]dx =
0
a
9
9
1
= 2π a2 x − a4/3 x5/3 + a2/3 x7/3 − x3
=
5
7
3
0
9
9
1
105 − 189 + 135 − 35 2
32 3
= 2π a3 − a3 + a3 − a3 = 2π
a =
πa .
5
7
3
105
105
260
Пример 2.9.24. Вычислим объем тела T , полученного при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной синусоидой
y = sin x, x ∈ [0, π].
Z
π
Z
2
V (T ) = π
0
0
1
1
= π x − sin 2x
2
4
2.9.3
π
sin xdx = π
1 − cos 2x
dx =
2
π
=
0
π2
.
2
Площадь поверхности вращения
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], f (x) ≥ 0 для любой
точки x ∈ [a, b]. Рассмотрим поверхность
Π = Π(f ) ,
полученную при вращении вокруг оси Ox графика
Γf =^ AB = {M (x, y) : x ∈ [a, b], y = f (x)}
функции f (x).
Рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b]:
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}
и точки на кривой
Ai = Ai (xi , f (xi )), i = 1, 2, . . . , n − 1
и
A = A0 (a, f (a)), B = An (b, f (b)).
Кривая ^ AB точками
A = A0 , A1 , A2 , ..., Ai−1 , Ai , ..., An = B
разбивается на n частей в направлении от A к B.
261
Соединив эти точки хордами, получим ломаную линию
A0 A1 A2 ...An ,
вписанную в ^ AB.
При вращении этой ломаной вокруг оси Ox мы получим поверхность
Π(τ ), состоящую из боковых поверхностей конусов или усеченных конусов.
Обозначим через S(τ ) площадь поверхности Π(τ ). Вычисляя эту площадь, получим:
S(τ ) =
n
X
2πf (xi−1 ) + 2πf (xi )
i=1
2
= 2π
|Ai−1 Ai | = 2π
n
X
f (xi−1 ) + f (xi )
i=1
n
X
yi−1 + yi
i=1
2
2
|Ai−1 Ai | =
n
X
li = π
[yi−1 + yi ]li .
i=1
Определение 2.9.25. Число S называется пределом площадей S(τ ) при
λτ → 0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого
разбиения τ с шагом разбиения λτ < δ выполняется неравенство
|S(τ ) − S| < ε.
В этом случае пишут:
S = lim S(τ ).
λτ →0
262
Определение 2.9.26. Поверхность вращения
Π = Π(f )
называется квадрируемой, если существует конечный предел
S = lim S(τ ).
λτ →0
В этом случае число
S = S(Π) = S(Π(f ))
называется площадью поверхности вращения Π = Π(f ).
Теорема 2.9.27. Если
1). Функция f (x) определена и непрерывна на [a, b];
2). f (x) ≥ 0 для любого x ∈ [a, b];
3). Существует f 0 (x), непрерывная на [a, b].
Тогда поверхность
Π = Π(f ),
полученную при вращении вокруг оси Ox графика Γf =^ AB функции
f (x), квадрируема и
Z
S = S(Π) = 2π
b
f (x)
p
1 + [f 0 (x)]2 dx .
a
Доказательство. 1). Рассмотрим разбиение τ отрезка [a, b]:
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b},
точки на кривой
Ai = Ai (xi , f (xi )) = Ai (xi , yi ), i = 1, 2, . . . , n − 1
и
A = A0 (a, f (a)), B = An (b, f (b)),
и ломаную линию
A0 A1 A2 ...An ,
263
(2.9.5)
вписанную в ^ AB.
Тогда площадь поверхности Π(τ ), полученной при вращении этой ломаной вокруг оси Ox, вычисляется по формуле
S(τ ) = 2π
n
X
yi−1 + yi
i=1
2
li ,
где
p
(xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 .
li =
На каждом частичном отрезке разбиения [xi−1 , xi ] функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Поэтому существует точка ξi ∈
(xi−1 , xi ) такая, что
yi − yi−1 = f (xi ) − f (xi−1 ) = f 0 (ξi )(xi − xi−1 ).
Поэтому
li =
p
p
(xi − xi−1 )2 + [f 0 (ξi )]2 (xi − xi−1 )2 = 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi .
Преобразуем выражение для площади S(τ ):
S(τ ) = 2π
= 2π
n
X
yi−1 + yi
2
i=1
= 2π
n
X
i=1
n
X
yi−1 + yi p
1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi =
2
i=1
p
− f (ξi ) + f (ξi )
1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi =
n
X
p
p
y
+
y
i−1
i
f (ξi ) 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi +2π
− f (ξi )
1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi =
2
i=1
= 2π
n
X
p
f (ξi ) 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi +
i=1
+2π
n
X
i=1
yi−1 + yi − 2f (ξi ) p
1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi =
2
= 2π
n
X
p
f (ξi ) 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi +
i=1
+π
n
X
p
[yi−1 − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi +
i=1
264
+π
n
X
p
[yi − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi
i=1
2). Первая из этих сумм
2π
n
X
p
f (ξi ) 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi
i=1
представляет собой интегральную сумму σ(τ, ξ, g) функции
p
g(x) = 2πf (x) 1 + [f 0 (x)]2 .
Функция g(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Поэтому она интегрируема на
[a, b] и
Z b
n
X
p
p
0
2
f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx.
lim σ(τ, ξ, g) = lim 2π
f (ξi ) 1 + [f (ξi )] ∆xi = 2π
λτ →0
λτ →0
a
i=1
p
3). Производная f 0 (x), непрерывная на [a, b]. Поэтому функция 1 + [f 0 (x)]2
тоже непрерывна на [a, b]. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, существует
p
M = max 1 + [f 0 (x)]2 .
[a,b]
Далее, функция f (x) непрерывна на [a, b]. Поэтому, по теореме Кантора, она равномерно непрерывна на [a, b]. Следовательно, для любого ε > 0
существует такое δ > 0, что для любого разбиения τ с шагом разбиения
λτ < δ для любого i = 1, 2, . . . , n выполняется неравенство
ωi <
ε
.
M (b − a)
Предположим, что первоначальное разбиение τ соответствующее. Тогда
|yi−1 − f (ξi )| ≤ ωi <
|yi − f (ξi )| ≤ ωi <
ε
,
M (b − a)
ε
,
M (b − a)
поэтому
n
X
i=1
n
p
[yi−1 − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi <
X
ε
ε
·M
∆xi =
·(b−a) = ε
(b − a)
M (b − a)
i=1
265
и
n
X
n
p
[yi − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi <
i=1
X
ε
ε
·M
·(b−a) = ε.
∆xi =
(b − a)
M (b − a)
i=1
Следовательно,
lim
λτ →0
и
n
X
p
[yi−1 − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi = 0
i=1
n
X
p
lim
[yi − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi = 0.
λτ →0
i=1
4). Наконец получаем:
lim S(τ ) =
λτ →0
= lim 2π
λτ →0
+π lim
λτ →0
n
X
p
f (ξi ) 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi +
i=1
n
X
p
[yi−1 − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi +
i=1
n
X
p
+π lim
[yi − f (ξi )] 1 + [f 0 (ξi )]2 ∆xi =
λτ →0
i=1
b
Z
f (x)
= 2π
p
1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
Замечание 2.9.28. Если функция f (x) задана параметрически уравнениями
x = ϕ(t)
y = ψ(t)
t ∈ [α, β], ψ(t) > 0, ϕ0 (t) > 0,
то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле
Z
β
S(Π) = 2π
ψ(t)
p
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt .
α
266
Действительно,
b
Z
f (x)
S(Π) = 2π
p
1 + [f 0 (x)]2 dx =
a
Z
ψ(t)
=
α
2.9.4
s
β
ψ 0 (t)
1+
ϕ0 (t)
2
Z
0
x = ϕ(t)
dx = ϕ0 (t)dt
y = f (x) = ψ(t)
ψ 0 (t)
f 0 (x) = 0
ϕ (t)
=
β
ϕ (t)dt = 2π
p
ψ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt.
α
Масса и центр тяжести неоднородного стержня
2.9.4.1. Масса неоднородного стержня
Рассмотрим неоднородный стержень, расположенный на отрезке [a, b]
оси Ox. Предположим, что линейная плотность масс этого стержня вычисляется по формуле ρ(x), где функция ρ(x) непрерывна на отрезке [a, b].
Рассмотрим разбиение τ отрезке [a, b]:
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}.
На каждом отрезке разбиения [xi−1 , xi ] выберем точку ξi и, как и выше,
обозначим
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }.
Полагаем, что на отрезке [xi−1 , xi ] стержень однородный, и для любого
x ∈ [xi−1 , xi ]
ρ(x) = ρ(ξi ).
267
Тогда приближенное значение массы данного стержня выражается суммой
n
X
σ(τ, ξ, ρ) =
ρ(ξi )∆xi .
i=1
Наконец, точное значение массы стержня есть
M = lim σ(τ, ξ, ρ) = lim
λτ →0
λτ →0
n
X
Z
b
ρ(x)dx .
ρ(ξi )∆xi =
(2.9.6)
a
i=1
2.9.4.2. Центр тяжести неоднородного стержня
1). Пусть на оси Ox расположена система материальных точек A(xi , mi ),
то есть точек с координатами xi , в каждой из которых сосредоточена масса
mi .
Тогда координата xc центра тяжести (масс) вычисляется по формуле
n
P
xc =
mi xi
i=1
n
P
.
(2.9.7)
mi
i=1
2). Рассмотрим теперь, как и в предыдущем пункте, неоднородный
стержень, расположенный на отрезке [a, b] оси Ox с линейной плотностью
масс ρ(x), где ρ(x) — непрерывная на отрезке [a, b] функция.
Рассмотрим разбиение τ отрезке [a, b]:
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b}.
Тогда масса mi , сосредоточенная на отрезке [xi−1 , xi ], вычисляется по формуле
Z
xi
mi =
ρ(x)dx.
xi−1
268
Так как ρ(x) — непрерывная на отрезке [a, b] функция, то по второй формуле о среднем значении, на каждом отрезке разбиения [xi−1 , xi ] существует
точка ξi такая, что
Z xi
mi =
ρ(x)dx = ρ(ξi )(xi − xi−1 ) = ρ(ξi )∆xi .
xi−1
Обозначим
ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }.
Неоднородный стержень можно рассматривать как систему материальных
точек A(mi , ξi ) с массами mi , сосредоточенными в точках ξ1 , ξ2 , . . . , ξn .
Тогда
M=
n
X
mi =
n Z
X
i=1
i=1
и
n
P
xc ≈
xi
b
ρ(x)dx,
ρ(x)dx =
a
xi−1
n
P
ξi mi
i=1
n
P
Z
=
ξi ρ(ξi )∆xi
i=1
mi
M
.
i=1
Легко видеть, что
n
X
ξi ρ(ξi )∆xi = σ(τ, ξ, g)
i=1
является интегральной суммой функции
g(x) = xρ(x) ,
интегрируемой на отрезке [a, b]. Поэтому, переходя к пределу при λτ → 0,
получим
Z b
n
P
Z b
ξi ρ(ξi )∆xi
xρ(x)dx
1
i=1
a
xc = lim
=
xρ(x)dx = Z b
.
(2.9.8)
λτ →0
M
M a
ρ(x)dx
a
269
Глава 3
Несобственные интегралы
Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не
выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет
смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования нельзя разбить
отрезок на n частей конечной длины, а в случае неограниченной функции
интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и в этих случаях
удается обобщить понятие определенного интеграла. В результате такого
обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.
3.1
3.1.1
Лекция №17
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция f (x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема
при любом A ≥ a на отрезке [a, A], т.е. при любом A ≥ a существует
определенный интеграл
Z
A
F (A) =
f (x)dx .
a
270
Определение 3.1.1. Несобственным интегралом первого рода (НИ-1) от
функции f (x) на бесконечном промежутке [a, +∞) называется
Z
+∞
Z
f (x)dx .
f (x)dx = lim F (A) = lim
A→+∞
a
A
A→+∞
(3.1.1)
a
В случае, когда предел в (3.1.1) существует и конечен, то несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
называют сходящимся, а функцию f (x) — интегрируемой на [a, +∞).
В случае, когда предел в (3.1.1) не существует или бесконечен, то несобственный интеграл
Z
+∞
f (x)dx
a
называют расходящимся, а функцию f (x) — не интегрируемой на [a, +∞).
Замечание 3.1.2.
• Аналогично интегралу (3.1.1) вводится несобственный интеграл вида
Z a
Z a
f (x)dx = 0lim
f (x)dx .
(3.1.2)
A →−∞
−∞
A0
• Наконец, можно определить несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами равенством
Z +∞
Z a
Z +∞
(3.1.3)
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−∞
−∞
a
где a — некоторое число, при условии существования обоих интегралов справа.
Замечание 3.1.3. Установим геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. Пусть функция f (x) ≥ 0. Тогда определенный интеграл
Z
A
f (x)dx
a
выражает площадь криволинейной трапеции, т.е. области, ограниченной
сверху графиком функции f (x), снизу осью Ox, слева прямой x = a, справа прямой x = A.
271
Естественно считать, что несобственный интеграл (в случае сходимости)
Z +∞
f (x)dx = S(Φ)
a
выражает конечную площадь бесконечной области
Φ = {M (x, y) : x ∈ [a, +∞), 0 ≤ y ≤ f (x)},
ограниченной снизу осью Ox, сверху графиком функции f (x), слева прямой x = a.
Аналогичные рассуждения имеют место для интегралов
Z a
f (x)dx
−∞
272
и
+∞
Z
f (x)dx
−∞
Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов первого рода.
Пример 3.1.4. Функция
1
1 + x2
интегрируема на любом отрезке [0, A] при A > 0 и
Z A
A
dx
=
arctg
x
= arctg A.
2
0
0 1+x
f (x) =
Тогда
Z +∞
0
dx
= lim
1 + x2 A→+∞
Z
A
0
dx
= lim arctg x
1 + x2 A→+∞
A
= lim arctg A =
0
A→+∞
т.е. несобственный интеграл
Z
+∞
0
сходится и
Z
+∞
0
dx
1 + x2
dx
π
=
.
1 + x2
2
Пример 3.1.5. Функция
f (x) = cos x
интегрируема на любом отрезке [0, A] при A > 0 и
Z A
A
cos xdx = sin x = sin A.
0
0
Однако несобственный интеграл
Z +∞
cos xdx
0
расходится, так как не существует предел
Z +∞
Z +∞
cos xdx = lim
cos xdx = lim sin x
0
A→+∞
A→+∞
0
273
A
= lim sin A.
0
A→+∞
π
,
2
Пример 3.1.6. Функция
f (x) = ex
интегрируема на любом отрезке [0, A] при A > 0 и
Z A
A
ex dx = ex = eA − 1.
0
0
Однако несобственный интеграл
Z
+∞
ex dx
0
расходится, так соответствующий предел бесконечен:
Z +∞
Z A
A
x
e dx = lim
ex dx = lim ex 0 = lim (eA − 1) = +∞.
A→+∞
0
A→+∞
0
A→+∞
Рассмотрим еще один пример, носящий теоретический характер.
Пример 3.1.7. Рассмотрим интеграл
Z +∞
1
dx
,
xλ
(3.1.4)
и изучим вопрос, при каких λ > 0 этот интеграл существует, т.е. при каких
λ > 0 этот интеграл сходится, а при каких — расходится.
1). Пусть сначала λ 6= 1. Тогда для любого A > 0
A
Z
1
x1−λ
dx
=
xλ
1−λ
A
=
1
A1−λ − 1
.
1−λ
Поэтому
1
, λ>1
dx
A1−λ − 1 λ − 1
=
lim
=
xλ A→+∞ 1 − λ
∞, λ < 1.
Z
1
+∞
dx
= lim
xλ A→+∞
Z
1
A
2). Пусть теперь λ = 1. Тогда для любого A > 0
Z A
A
dx
= ln x = ln A.
x
1
1
274
Поэтому
Z
+∞
1
dx
= lim
xλ A→+∞
A
Z
1
dx
= lim ln A = +∞.
A→+∞
x
Таким образом, интеграл (3.1.4) сходится при λ > 1 и расходится при
0 < λ ≤ 1:
Z +∞
dx
сходится при λ > 1
−
λ
расходится при 0 < λ ≤ 1.
x
1
• Если λ = 0, то
Замечание 3.1.8.
Z
1
+∞
Z
dx
=
xλ
+∞
h i
A
dx = lim x 1 = lim [A − 1] = +∞.
A→+∞
1
A→+∞
Если λ < 0, то
Z
+∞
1
dx
A1−λ − 1
=
lim
= +∞.
xλ A→+∞ 1 − λ
Таким образом,
Z
+∞
1
dx
−
xλ
сходится при λ > 1
расходится при λ ≤ 1.
• Аналогично ведет себя интеграл
Z
+∞
a
dx
xλ
при любом a > 0. Т.е.
Z
a
+∞
dx
−
xλ
сходится при λ > 1
расходится при λ ≤ 1.
275
3.1.2
Применение основной формулы интегрального
исчисления
Пусть функция f (x) определена в промежутке [a, +∞), интегрируема
при любом A ≥ a на отрезке [a, A], и на всем промежутке [a, +∞) существует первообразная функции f (x), равная Φ(x). Тогда при любом A ≥ a
по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Z A
A
f (x)dx = Φ(x) = Φ(A) − Φ(a).
a
a
Таким образом, несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел
lim Φ(A) = Φ(+∞).
A→+∞
В этом случае можно писать
Z
+∞
+∞
= Φ(+∞) − Φ(a) .
f (x)dx = Φ(x)
a
a
Пример 3.1.9. Вычислим интеграл
Z +∞
1
1
sin dx
2
2
x
x
π
Так как функция
1
1
f (x) = 2 sin
x
x
2
на всем промежутке
, +∞ имеет первообразную
π
1
Φ(x) = cos ,
x
то
Z
+∞
2
π
1
1
1
sin
dx
=
cos
x2
x
x
+∞
= lim cos
2
π
276
x→+∞
1
π
− cos = 1.
x
2
(3.1.5)
Пример 3.1.10. Вычислим при a > 0 и любом b 6= 0 интеграл
Z +∞
e−ax sin(bx)dx
0
Так как функция
f (x) = e−ax sin(bx)
на всем промежутке [0, +∞) имеет первообразную
Φ(x) = −
то
a sin(bx) + b cos(bx) −ax
e ,
a2 + b 2
+∞
a sin(bx) + b cos(bx) −ax
e
=
e
sin(bx)dx = −
a2 + b 2
0
0
b
a sin(bx) + b cos(bx) −ax
b
e
=
.
= lim −
+
x→+∞
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2
Z
+∞
−ax
Замечание 3.1.11.
• Пусть функция f (x) определена в промежутке
(−∞, a], интегрируема при любом A0 ≤ a на отрезке [A0 , a], и на
всем промежутке (−∞, a] существует первообразная функции f (x),
равная Φ(x). Тогда при любом A0 ≤ a по формуле Ньютона-Лейбница
имеем:
Z a
a
f (x)dx = Φ(x) = Φ(a) − Φ(A0 ).
A0
A0
Таким образом, несобственный интеграл
Z a
f (x)dx
−∞
сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел
lim Φ(A0 ) = Φ(−∞).
A0 →−∞
В этом случае можно писать
Z
a
a
= Φ(a) − Φ(−∞) .
f (x)dx = Φ(x)
−∞
−∞
277
(3.1.6)
• Пусть функция f (x) определена в промежутке (−∞, +∞), интегрируема при любых A0 < A на отрезке [A0 , A], и на всем промежутке
(−∞, +∞) существует первообразная функции f (x), равная Φ(x).
Тогда при любых A0 < A по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Z A
A
f (x)dx = Φ(x) = Φ(A) − Φ(A0 ).
A0
A0
Таким образом, несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
−∞
сходится тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
lim Φ(A) = Φ(+∞)
A→+∞
и
lim Φ(A0 ) = Φ(−∞).
A0 →−∞
В этом случае можно писать
Z +∞
+∞
f (x)dx = Φ(x)
= Φ(+∞) − Φ(−∞) .
a
(3.1.7)
−∞
Замечание 3.1.12. В дальнейшем мы будем в основном рассматривать
несобственные интегралы вида
Z +∞
f (x)dx,
a
так как рассмотрение остальных типов интегралов с бесконечными пределами интегрирования аналогично.
Замечание 3.1.13. Для несобственных интегралов имеет место формула
интегрирования по частям:
Z +∞
Z +∞
+∞
u(x)dv(x) = [u(x)v(x)]
−
v(x)du(x)
a
a
a
при условии, что существует конечный предел
lim u(x)v(x) = u(+∞)v(+∞).
x→+∞
В этом случае из сходимости одного из интегралов следует сходимость
второго.
278
3.1.3
Простейшие теоремы.
Пусть функция f (x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема
на отрезке [a, A0 ] при любом A0 ≥ a.
Теорема 3.1.14. Если сходится несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx,
a
то сходится и любой интеграл
Z
+∞
f (x)dx
A0
при любом A0 ≥ a и имеет место равенство
+∞
Z
A0
Z
Z
+∞
f (x)dx .
f (x)dx +
f (x)dx =
A0
a
a
Доказательство. Пусть несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится. Тогда существует конечный предел
Z A
f (x)dx = I.
lim
A→+∞
a
Пусть A0 ≥ a фиксировано и A ≥ A0 . Тогда
Z A
Z A0
Z
f (x)dx =
f (x)dx +
a
A
f (x)dx.
A0
a
Следовательно,
Z
A
Z
Z
f (x)dx −
f (x)dx =
A0
A
a
A0
f (x)dx
a
и поэтому существует конечный предел
Z A
Z A
Z
lim
f (x)dx = lim
f (x)dx −
A→+∞
A0
A→+∞
a
279
a
A0
f (x)dx =
(3.1.8)
A0
Z
=I−
f (x)dx.
a
Таким образом, интеграл
+∞
Z
f (x)dx
A0
сходится и выполняется равенство
+∞
Z
+∞
Z
A0
f (x)dx −
f (x)dx =
A0
Z
f (x)dx,
a
a
откуда следует, что
Z
+∞
A0
Z
Z
f (x)dx =
a
+∞
f (x)dx +
f (x)dx.
A0
a
Замечание 3.1.15.
• Имеет место обратное утверждение, т.е. если несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
A0
при некотором A0 ≥ a сходится, то сходится и интеграл
+∞
Z
f (x)dx.
a
• Интегралы
+∞
Z
f (x)dx
a
и
Z
+∞
f (x)dx
A0
ведут себя одинаково, т.е. одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
280
Теорема 3.1.16. Если несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится, и A ≥ a, то
Z
+∞
f (x)dx = 0 .
lim
A→+∞
(3.1.9)
A
Доказательство. Если несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится, то существует конечный предел
Z +∞
Z A
f (x)dx.
f (x)dx =
lim
A→+∞
a
a
Поэтому
+∞
Z
f (x)dx −
lim
A→+∞
Так как
Z
Z
a
+∞
f (x)dx = 0.
a
A
Z
f (x)dx −
Z
+∞
f (x)dx =
a
a
то
A
Z
f (x)dx,
A
+∞
lim
f (x)dx = 0.
A→+∞
A
Теорема 3.1.17. Если несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится, то для любого числа k несобственный интеграл
Z +∞
kf (x)dx
a
тоже сходится и имеет место равенство
Z +∞
Z +∞
kf (x)dx = k
f (x)dx .
a
a
281
(3.1.10)
Доказательство. Если несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится, то существует конечный предел
Z +∞
Z A
f (x)dx =
f (x)dx.
lim
A→+∞
a
a
Поэтому существует конечный предел
Z +∞
Z A
Z
kf (x)dx = lim
kf (x)dx = k lim
A→+∞
a
A→+∞
a
A
Z
f (x)dx = k
a
+∞
f (x)dx.
a
Пусть функция g(x), также как и функция f (x), определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема на отрезке [a, A] при любом A ≥ a.
Теорема 3.1.18. Если несобственные интегралы
Z +∞
f (x)dx
a
и
Z
+∞
g(x)dx
a
сходятся, то несобственные интегралы
Z +∞
[f (x) ± g(x)]dx
a
тоже сходятся и имеют место равенства
Z
+∞
Z
[f (x) ± g(x)]dx =
a
+∞
Z
+∞
f (x)dx ±
a
g(x)dx .
a
Доказательство. Если несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
282
(3.1.11)
сходится, то существует конечный предел
Z +∞
Z A
f (x)dx.
f (x)dx =
lim
A→+∞
a
a
Аналогично, если несобственный интеграл
Z +∞
g(x)dx
a
сходится, то существует конечный предел
Z A
Z +∞
lim
g(x)dx =
g(x)dx.
A→+∞
a
a
Поэтому существуют конечные пределы
Z
Z A
Z A
f (x)dx ± lim
[f (x) ± g(x)]dx = lim
lim
A→+∞
A→+∞
a
Z
A→+∞
a
+∞
Z
f (x)dx ±
=
a
A
g(x)dx =
a
+∞
g(x)dx.
a
Таким образом, несобственные интегралы
Z +∞
[f (x) ± g(x)]dx
a
тоже сходятся и имеют место равенства
Z +∞
Z +∞
Z
[f (x) ± g(x)]dx =
f (x)dx ±
a
a
283
a
+∞
g(x)dx.
3.2
3.2.1
Лекция №18
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (продолжение)
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования от неотрицательных функций. Признаки сравнения
3.2.1.1. Критерий сходимости
Пусть неотрицательная функция f (x) определена в промежутке [a, +∞)
и интегрируема на отрезке [a, A] при любом A ≥ a.
Тогда функция
Z
A
f (x)dx
F (A) =
a
является монотонно неубывающей на [a, +∞). Поэтому имеет место следующий критерий сходимости несобственного интеграла
Z +∞
f (x)dx.
a
Теорема 3.2.1 (Критерий сходимости). Для того, чтобы НИ-1
Z +∞
f (x)dx
a
от неотрицательной функции f (x) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы функция
Z A
F (A) =
f (x)dx
a
была ограничена, т.е. существует такое число L > 0, что
Z A
F (A) =
f (x)dx ≤ L
a
284
для любого A ≥ a.
При этом,
Z
+∞
Z
f (x)dx =
f (x)dx.
A∈[a,+∞)
a
A
sup
Доказательство. Так как функция
Z
F (A) =
a
A
f (x)dx
a
является неубывающей, то в силу теоремы Вейерштрасса для монотонно
неубывающей функции имеем:
Z +∞
f (x)dx сходится ⇔
a
Z
⇔ существует конечный предел
A→+∞
A→+∞
⇔ функция F (A) ограничена.
Очевидно, что в этом случае
Z +∞
f (x)dx =
Z
sup
f (x)dx.
A∈[a,+∞)
a
A
a
Замечание 3.2.2. Если функция
Z
A
f (x)dx
F (A) =
a
неограничена, то
Z
lim F (A) = lim
A→+∞
A→+∞
A
f (x)dx = +∞,
a
и потому интеграл
Z
+∞
f (x)dx = +∞,
a
т.е. расходится.
285
A
f (x)dx ⇔
lim F (A) = lim
a
3.2.1.2. Первый признак сравнения
Теорема 3.2.3 (Первый признак сравнения). Пусть функции f (x) и
g(x) определены в промежутке [a, +∞), интегрируемы на отрезке [a, A]
при любом A ≥ a, и удовлетворяют неравенству
0 ≤ f (x) ≤ g(x).
1). Если интеграл
+∞
Z
g(x)dx
a
сходится, то интеграл
+∞
Z
f (x)dx
a
тоже сходится и имеет место неравенство:
Z
+∞
+∞
Z
f (x)dx ≤
g(x)dx.
a
a
2). Если интеграл
+∞
Z
f (x)dx
a
расходится, то интеграл
+∞
Z
g(x)dx
a
тоже расходится.
Доказательство. Так как
0 ≤ f (x) ≤ g(x),
то для любого A ≥ a имеет место неравенство
Z
0 ≤ F (A) =
A
Z
f (x) ≤
a
g(x) = G(A).
a
286
A
1). Если интеграл
+∞
Z
g(x)dx
a
сходится, то функция
A
Z
g(x)
G(A) =
a
ограничена, т.е. существует такое L > 0, что
Z A
g(x)dx ≤ L.
G(A) =
a
Тогда
Z
A
A
Z
f (x) ≤
F (A) =
a
g(x) = G(A) ≤ L.
a
Поэтому по критерию сходимости интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
тоже сходится и имеет место неравенство:
Z +∞
Z +∞
f (x)dx ≤
g(x)dx.
a
a
2). Если интеграл
+∞
Z
f (x)dx
a
расходится, то
A
Z
lim F (A) = lim
A→+∞
A→+∞
f (x)dx = +∞.
a
Поэтому
Z
lim G(A) = lim
A→+∞
A→+∞
A
g(x)dx = +∞,
a
и следовательно интеграл
+∞
Z
g(x)dx
a
тоже расходится.
287
3.2.1.3. Второй признак сравнения
Теорема 3.2.4 (Второй признак сравнения). Пусть функции f (x) и
g(x) определены в промежутке [a, +∞), интегрируемы на отрезке [a, A]
при любом A ≥ a и удовлетворяют неравенствам f (x) ≥ 0 и g(x) > 0 для
любого x ∈ [a, +∞). Пусть существует предел
f (x)
= K,
x→+∞ g(x)
lim
возможно, бесконечный, т.е. 0 ≤ K ≤ +∞.
1). Если 0 ≤ K < +∞ и интеграл
Z +∞
g(x)dx
a
сходится, то интеграл
+∞
Z
f (x)dx
a
тоже сходится.
2). Если 0 < K ≤ +∞ и интеграл
Z +∞
g(x)dx
a
расходится, то интеграл
+∞
Z
f (x)dx
a
тоже расходится.
Доказательство.
1). Пусть
f (x)
= K < +∞.
x→+∞ g(x)
lim
Следовательно, для любого ε > 0 существует такое A > a, что для
любого x ≥ A выполняется неравенство
f (x)
− K < ε.
g(x)
288
Следовательно,
−ε <
f (x)
f (x)
−K <ε⇒
<K +ε⇒
g(x)
g(x)
0 ≤ f (x) < (K + ε)g(x)
для любого x ≥ A.
Если интеграл
+∞
Z
g(x)dx
a
сходится, то интеграл
+∞
Z
g(x)dx
A
сходится. Поэтому интеграл
Z +∞
(K + ε)g(x)dx
A
тоже сходится. Следовательно, по первому признаку сравнения, интеграл
Z +∞
f (x)dx
A
тоже сходится, и потому сходится интеграл
Z +∞
f (x)dx.
a
2). Пусть
f (x)
= K > 0.
x→+∞ g(x)
lim
Следовательно, существует такое A > a, что для любого x ≥ A выполняется неравенство
f (x)
> 0.
g(x)
g(x)
Поэтому для любого x ≥ A определено отношение
и существует
f (x)
предел
g(x)
1
lim
=
< +∞.
x→+∞ f (x)
K
289
Пусть интеграл
+∞
Z
g(x)dx
a
расходится. Если бы интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
был сходящимся, то по первой части доказательства интеграл
Z +∞
g(x)dx
a
должен был сходиться, вопреки предположению. Следовательно, интеграл
Z
+∞
f (x)dx
a
тоже расходится.
Замечание 3.2.5.
• Если
0 < K < +∞,
то интегралы
+∞
Z
f (x)dx
a
и
+∞
Z
g(x)dx
a
ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.
• Если функция f (x) определена на промежутке [1, +∞) и интегрируема на любом отрезке [1, A] при любом A ≥ 1, то удобно в качестве
функции g(x) рассматривать функцию
g(x) =
1
.
xλ
В этом случае
f (x)
= xλ f (x).
g(x)
290
Следствие 3.2.6. Пусть существует
lim xλ f (x) = K.
x→+∞
1). Если 0 ≤ K < +∞, то при λ > 1 интеграл
Z +∞
f (x)dx
1
сходится.
2). Если 0 < K ≤ +∞, то при λ ≤ 1
Z +∞
f (x)dx
1
расходится.
Замечание 3.2.7. Пусть функция f (x) определена на промежутке [1, +∞)
и интегрируема на любом отрезке [1, A] при любом A ≥ 1, и пусть a ≥ 1.
Тогда интегралы
Z
+∞
f (x)dx
1
и
Z
+∞
f (x)dx
a
ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.
Последнее замечание позволяет переформулировать следствие 3.2.6 для
любого a ≥ 1.
Следствие 3.2.8. Пусть существует
lim xλ f (x) = K.
x→+∞
1). Если 0 ≤ K < +∞, то при λ > 1 интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится.
291
2). Если 0 < K ≤ +∞, то при λ ≤ 1
+∞
Z
f (x)dx
a
расходится.
3.2.1.4. Примеры.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 3.2.9. Исследуем на сходимость интеграл
+∞
Z
+∞
Z
f (x)dx =
1
1
x3/2
dx.
1 + x2
Рассмотрим функцию
1
1
g(x) = √ = 1/2 .
x
x
Вычислим предел
f (x)
x3/2 x1/2
x2
= lim
·
=
lim
= 1 < +∞.
x→+∞ g(x)
x→+∞ 1 + x2
x→+∞ 1 + x2
1
lim
Так как интеграл
Z
+∞
Z
g(x)dx =
1
расходится (λ =
1
+∞
1
x1/2
dx
1
< 1), то данный интеграл
2
Z +∞
Z +∞ 3/2
x
f (x)dx =
dx
1 + x2
1
1
расходится.
292
Пример 3.2.10. Исследуем на сходимость интеграл
Z +∞
Z +∞
1
√
f (x)dx =
dx.
x 1 + x2
1
1
Рассмотрим функцию
g(x) =
1
.
x2
Вычислим предел
1
x2
f (x)
x2
= lim √
= lim √
·
= 1 < +∞.
x→+∞ x 1 + x2
x→+∞ x 1 + x2
x→+∞ g(x)
1
lim
Так как интеграл
Z
+∞
Z
+∞
g(x)dx =
1
1
1
dx
x2
сходится (λ = 2 > 1), то данный интеграл
Z +∞
Z +∞
1
√
f (x)dx =
dx
x 1 + x2
1
1
тоже сходится.
3.2.2
Общий признак сходимости НИ-1. Абсолютная
и условная сходимости.
3.2.2.1. Критерий Коши.
Пусть функция f (x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема
при любом A ≥ a на отрезке [a, A]. В этом разделе мы не будем предполагать, что функция f (x) неотрицательна. Пусть, как и выше.
Z
A
F (A) =
f (x)dx .
a
Несобственный интеграл
Z
+∞
f (x)dx
a
293
будет сходящимся, если существует конечный предел
Z A
lim F (A) = lim
f (x)dx.
A→+∞
A→+∞
a
Используя общий признак Больцано-Коши существования конечного предела функции, получим следующую теорему:
Теорема 3.2.11 (Критерий Коши). Для того, чтобы несобственный
интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое A0 ≥ a, что для любых A00 ≥ A0 > A0 выполняется
неравенство
Z
A00
Z
A0
f (x)dx −
a
Z
A00
f (x)dx =
f (x)dx < ε.
A0
a
3.2.2.2. Абсолютная сходимость НИ-1
Определение 3.2.12. Если несобственный интеграл
Z +∞
|f (x)|dx
a
сходится, то интеграл
Z
+∞
f (x)dx
a
называется абсолютно сходящимся, а функция f (x) абсолютно интегрируемой на [a, +∞).
Теорема 3.2.13. Если интеграл
Z +∞
|f (x)|dx
a
294
сходится, то интеграл
Z
+∞
f (x)dx
a
тоже сходится, т.е. из абсолютной сходимости несобственного интеграла следует обычная сходимость.
Доказательство. Пусть сходится интеграл
Z +∞
|f (x)|dx.
a
Тогда по критерию Коши для любого ε > 0 существует такое A0 ≥ a, что
для любых A00 ≥ A0 > A0 выполняется неравенство
Z A00
Z A00
Z A0
Z A00
|f (x)|dx < ε.
|f (x)|dx =
|f (x)|dx =
|f (x)|dx −
a
A0
A0
a
Но тогда
Z
A00
Z
A00
f (x)dx ≤
A0
|f (x)|dx < ε,
A0
и потому, в силу того же критерия Коши, интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится.
Следствие 3.2.14. Если функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке [a, +∞), а функция g(x) ограничена на [a, +∞) и интегрируема
на отрезке [a, A] при любом A ≥ a, то функция f (x)g(x) абсолютно интегрируема на [a, +∞).
Доказательство. Так как функция g(x) ограничена на [a, +∞), то существует такое L > 0, что
|g(x)| < L
для любого x ∈ [a, +∞). Следовательно,
|f (x)g(x)| < L|f (x)|.
Если функция f (x) абсолютно интегрируема на [a, +∞), то функция L|f (x)|
интегрируема на [a, +∞). Поэтому функция |f (x)g(x)| интегрируема на
[a, +∞), т.е. функция f (x)g(x) абсолютно интегрируема на [a, +∞).
295
Пример 3.2.15. Исследуем на абсолютную сходимость интеграл
Z +∞
cos(αx)
dx, k > 0.
k 2 + x2
0
Обозначим
f (x) =
k2
1
+ x2
и
g(x) = cos αx.
Так как
f (x) =
k2
1
≥0
+ x2
и
Z
+∞
Z
+∞
1
x
1
dx = arctg
2
2
k +x
k
k
f (x)dx =
0
0
+∞
=
0
π
,
2k
а
|g(x)| = | cos(αx)| ≤ 1,
то интеграл
+∞
Z
0
cos(αx)
dx
k 2 + x2
сходится абсолютно.
3.2.2.3. Условная сходимость НИ-1. Пример условно сходящегося
НИ-1
Определение 3.2.16. Если несобственный интеграл
Z +∞
f (x)dx
a
сходится, а интеграл
+∞
Z
|f (x)|dx
a
расходится, то интеграл
Z
+∞
f (x)dx
a
называется условно сходящимся на [a, +∞).
296
Пример 3.2.17. Рассмотрим интеграл
Z +∞
sin x
dx.
x
1
1). Покажем, что интеграл
Z
+∞
1
sin x
dx.
x
сходится.
Действительно,
Z
+∞
1
sin x
dx = −
x
= − lim
x→+∞
Z
1
+∞
1
1
d cos x = −
cos x
x
x
+∞
Z
+
1
1
+∞
cos x
dx =
x2
Z +∞
Z +∞
1
cos x
cos x
cos x + cos 1 +
dx = cos 1 +
dx.
2
x
x
x2
1
1
Рассмотрим интеграл
+∞
Z
cos x
dx.
x2
1
Так как
cos x
1
,
≤
x2
x2
и интеграл
Z +∞
1
dx
x2
1
сходится, то по первому признаку сравнения интеграл
Z +∞
cos x
dx
x2
1
тоже сходится. Поэтому интеграл
Z +∞
1
cos x
dx
x2
сходится абсолютно и потому сходится.
Наконец, отсюда следует, что интеграл
Z +∞
sin x
dx
x
1
297
сходится.
2). Покажем, что интеграл
+∞
Z
1
sin x
dx.
x
расходится.
Действительно, так как
1 − cos 2x
,
2
| sin x| ≥ sin2 x =
то для любого A > 1 имеем:
Z
1
A
1
=
2
A
Z
sin x
dx =
x
1
A
Z
1
| sin x|
dx ≥
x
1
1
dx −
x
2
A
Z
1
A
Z
1 − cos 2x
dx =
2x
1
cos 2x
dx.
x
Рассмотрим каждый из этих интегралов.
2.1)
Z
1
A
1
dx = [ln x]
x
A
= ln A.
1
Так как
lim ln A = +∞,
A→+∞
то интеграл
Z
+∞
1
1
dx
x
расходится.
2.2)
Z
1
A
cos 2x
1
dx =
x
2
Z
1
A
1
1 1
d(sin 2x) =
sin 2x
x
2 x
1
1
1
=
sin 2A − sin 2 +
2A
2
2
298
Z
1
A
A
1
1
+
2
sin 2x
dx.
x2
Z
1
A
sin 2x
dx =
x2
Так как
sin 2x
1
≤ 2,
2
x
x
и интеграл
+∞
Z
1
1
dx
x2
сходится, то, как и выше, по первому признаку сравнения интеграл
+∞
Z
1
sin 2x
dx
x2
тоже сходится. Поэтому интеграл
Z
+∞
1
sin 2x
dx
x2
сходится абсолютно и потому сходится. Следовательно, сходится интеграл
Z A
Z +∞
cos 2x
cos 2x
dx = lim
dx =
A→+∞
x
x
1
1
Z
1
1 A sin 2x
1
sin 2A − sin 2 +
dx =
= lim
A→+∞ 2A
2
2 1
x2
Z
sin 2 1 +∞ sin 2x
=−
+
dx.
2
2 1
x2
Таким образом, интеграл
Z
+∞
sin x
dx.
x
1
расходится, и потому интеграл
Z
1
+∞
sin x
dx
x
сходится условно.
299
3.2.3
Признаки Абеля и Дирихле сходимости НИ-1
3.2.3.1. Признак Абеля
Теорема 3.2.18. Пусть функции f (x) и g(x) определены в промежутке
[a, +∞) и интегрируемы на отрезке [a, A] при любом A ≥ a.
Если
1). Интеграл
+∞
Z
f (x)dx
a
сходится;
2). Функция g(x) монотонна и ограничена на [a, +∞),
то интеграл
+∞
Z
f (x)g(x)dx
a
сходится.
Доказательство. 1). Так как функция g(x) ограничена на [a, +∞), то
существует такая константа L > 0, что
|g(x)| ≤ L
для любого x ∈ [0, +∞).
2). Интеграл
+∞
Z
f (x)dx
a
сходится, поэтому для любого ε > 0 существует такое A0 ≥ a, что для
любых
A2 > A1 > A0 ≥ a
выполняется неравенство
Z
A2
f (x)dx <
A1
ε
.
2L
3). Пусть
A00 > A0 > A0 .
300
Функции f (x) и g(x) на отрезке [A0 , A00 ] удовлетворяют третьей формуле
Бонне, т.е. существует такая точка ξ ∈ [A0 , A00 ], что
Z
A00
0
ξ
Z
00
A00
Z
f (x)dx.
f (x)dx + g(A )
f (x)g(x)dx = g(A )
A0
A0
ξ
При A1 = A0 и A2 = ξ получим неравенство
Z ξ
ε
f (x)dx <
.
2L
A0
Аналогично, при A1 = ξ и A2 = A00 получим неравенство
A00
Z
f (x)dx <
ξ
ε
.
2L
Поэтому
Z
A00
Z
0
ξ
00
f (x)g(x)dx ≤ |g(A )|
A0
Z
A00
f (x)dx + |g(A )|
A0
f (x)dx <
ξ
ε
ε
+L·
= ε.
2L
2L
Следовательно, по критерию сходимости Коши, интеграл
Z +∞
f (x)g(x)dx
<L·
a
сходится.
3.2.3.2. Признак Дирихле
Теорема 3.2.19. Пусть функции f (x) и g(x) определены в промежутке
[a, +∞) и интегрируемы на отрезке [a, A] при любом A ≥ a.
Если
1). Функция
Z
F (A) =
f (x)dx
a
ограничена на [a, +∞);
301
A
2). Функция g(x) монотонна и
lim g(x) = 0,
x→+∞
то интеграл
+∞
Z
f (x)g(x)dx
a
сходится.
Доказательство. 1). Так как функция
A
Z
F (A) =
f (x)dx
a
ограничена на [a, +∞), то существует такая константа K > 0, что
A
Z
|F (A)| =
f (x)dx ≤ K
a
для любого A ≥ a.
2). Так как
lim g(x) = 0,
x→+∞
то для любого ε > 0 существует такое A0 ≥ a, что для любого x > A0
выполняется неравенство
ε
.
|g(x)| <
4K
3). Пусть
A00 > A0 > A0 .
Функции f (x) и g(x) на отрезке [A0 , A00 ] удовлетворяют третьей формуле
Бонне, т.е. существует такая точка ξ ∈ [A0 , A00 ], что
Z
A00
Z
0
ξ
00
f (x)g(x)dx = g(A )
Z
f (x)dx + g(A )
A0
A0
A00
f (x)dx.
ξ
Имеют место следующие неравенства:
Z
ξ
Z
Z
f (x)dx −
f (x)dx =
A0
ξ
a
f (x)dx ≤
a
302
A0
ξ
Z
≤
A0
Z
f (x)dx ≤ K + K = 2K
f (x)dx +
a
и
a
A00
Z
Z
A00
Z
f (x)dx −
f (x)dx =
a
ξ
Z
≤
A00
ξ
f (x)dx ≤
a
ξ
Z
f (x)dx ≤ K + K = 2K.
f (x)dx +
a
a
Таким образом,
Z
A00
ξ
Z
0
00
f (x)g(x)dx ≤ |g(A )|
Z
A00
f (x)dx + |g(A )|
A0
A0
f (x)dx <
ξ
ε
ε
· 2K +
· 2K = ε.
4K
4K
Следовательно, по критерию сходимости Коши, интеграл
Z +∞
f (x)g(x)dx
<
a
сходится.
Примеры 3.2.20.
• Исследуем на сходимость интеграл
Z +∞
sin x
dx,
xλ
a
где a > 0 и λ > 0. Обозначим
f (x) = sin x
и
g(x) =
Так как
Z
1
.
xλ
A
|F (A)| =
sin xdx = | cos A − cos a| ≤ 2,
a
функция g(x) монотонна и
1
= 0,
x→+∞ xλ
lim g(x) = lim
x→+∞
303
то по признаку Дирихле, интеграл
Z +∞
sin x
dx,
xλ
a
сходится.
• Аналогично доказывается сходимость интеграла
Z +∞
cos x
dx,
xλ
a
где a > 0 и λ > 0.
• При λ = 1 получаем, что интегралы
Z +∞
sin x
dx,
x
a
и
Z
+∞
a
где a > 0, тоже сходятся.
304
cos x
dx,
x
3.3
3.3.1
Лекция №19
Несобственные интегралы от неограниченных функций НИ-2
Определение несобственных интегралов от неограниченных функций
В этом разделе мы обобщим понятие определенного интеграла на случай неограниченных функций.
Пусть функция f (x) определена и неограничена в полуинтервале [a, b)
слева от точки b, причем она ограничена и интегрируема на любом отрезке [a, η] при любом a ≤ η < b, т.е. при любом a ≤ η < b существует
определенный интеграл
Z
η
f (x)dx .
F (η) =
a
Определение 3.3.1. Несобственным интегралом второго рода (НИ-2) от
неограниченной функции f (x) на промежутке [a, b] называется
Z
b
Z
f (x)dx .
f (x)dx = lim F (η) = lim
a
η→b−0
η→b−0
η
(3.3.1)
a
В случае, когда предел в (3.3.1) существует и конечен, то несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
называют сходящимся, а неограниченную функцию f (x) — интегрируемой на [a, b] (в несобственном смысле).
В случае, когда предел в (3.3.1) не существует или бесконечен, то несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
называют расходящимся, а функцию f (x) — не интегрируемой на [a, b].
305
Замечание 3.3.2.
• Пусть функция f (x) определена и неограничена
в полуинтервале (a, b] справа от точки a, причем она ограничена и
интегрируема на любом отрезке [ξ, b] при любом a < ξ ≤ b, т.е. при
любом a < ξ ≤ b существует определенный интеграл
b
Z
f (x)dx .
ξ
Аналогично интегралу (3.3.1) вводится несобственный интеграл вида
b
Z
b
Z
f (x)dx = lim
f (x)dx .
ξ→a+0
a
(3.3.2)
ξ
• Пусть теперь функция f (x) определена и неограничена в интервале
(a, b) справа от точки a и слева от точки b, причем существует точка
c такая, что существуют несобственные интегралы
Z c
Z c
f (x)dx = lim
f (x)dx
ξ→a+0
a
и
Z
b
ξ
Z
η
f (x)dx = lim
η→b−0
c
f (x)dx.
c
Тогда можно определить несобственный интеграл от функции f (x)
на [a, b] равенством
Z
b
Z
f (x)dx =
a
c
Z
f (x)dx +
a
b
f (x)dx ,
(3.3.3)
c
где c — некоторое число, при условии существования обоих интегралов справа.
• Наконец, пусть функция f (x) неограничена в точках
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b
и пусть существуют несобственные интегралы
Z xi
f (x)dx
xi−1
306
на каждом частичном отрезке [xi−1 , xi ]. Тогда можно определить
несобственный интеграл от функции f (x) на [a, b] равенством
b
Z
f (x)dx =
n Z
X
a
i=1
xi
f (x)dx .
(3.3.4)
xi−1
Замечание 3.3.3. Обозначая в определении 3.3.1
b − ε = η,
можно определение НИ-2 записать в виде
Z b
Z b−ε
f (x)dx = lim
f (x)dx.
ε→+0
a
a
Замечание 3.3.4. Установим геометрический смысл несобственного интеграла второго рода. Пусть функция f (x) ≥ 0. Тогда определенный интеграл
Z
η
f (x)dx
a
выражает площадь криволинейной трапеции Gη , т.е. области, ограниченной сверху графиком функции f (x), снизу осью Ox, слева прямой x = a,
справа прямой x = η.
Естественно считать, что в случае сходимости несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
выражает конечную площадь бесконечной области G:
G = {M (x, y) : x ∈ [a, b), 0 ≤ y ≤ f (x)},
ограниченной снизу осью Ox, сверху графиком функции f (x), слева прямой x = a и справа прямой x = b.
Если η ∈ [a, b) и
Gη = {M (x, y) : x ∈ [a, η], 0 ≤ y ≤ f (x)},
то
S(G) = lim S(Gη ).
η→b−0
307
Аналогичные рассуждения имеют место для других видов несобственных интегралов второго рода.
Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов второго рода.
Пример 3.3.5. Рассмотрим функцию
1
f (x) = √
x
на полуинтервале (0, 1]. Эта функция интегрируема на любом отрезке [ξ, 1]
при 0 < ξ ≤ 1 и
Z 1
p
√ 1
dx
√ = 2 x
= 2 − 2 ξ.
x
ξ
ξ
Тогда
Z
0
1
dx
√ = lim
x ξ→+0
Z
ξ
1
h
p i
dx
√ = lim 2 − 2 ξ = 2
x ξ→+0
т.е. данный несобственный интеграл
Z 1
0
dx
√
x
308
сходится и
1
Z
0
dx
√ = 2.
x
Пример 3.3.6. Рассмотрим функцию
f (x) =
1
x
на полуинтервале (0, 1]. Эта функция интегрируема на любом отрезке [ξ, 1]
при 0 < ξ ≤ 1 и
Z 1
1
dx
= [ln x] = − ln ξ.
x
ξ
ξ
Тогда
Z
0
1
dx
= lim
ξ→+0
x
1
Z
dx
= lim [− ln ξ] = +∞
ξ→+0
x
ξ
т.е. данный несобственный интеграл
1
Z
0
dx
x
расходится.
Рассмотрим еще одни пример, носящий теоретический характер.
Пример 3.3.7. Рассмотрим интеграл
Z
a
b
dx
,
(b − x)λ
(3.3.5)
и изучим вопрос, при каких λ этот интеграл сходится, а при каких —
расходится.
1). Пусть сначала λ 6= 1. Тогда для любого η ∈ [a, b)
Z
a
η
dx
(b − x)1−λ
= −
(b − x)λ
1−λ
η
=
a
309
(b − η)1−λ − (b − a)1−λ
.
λ−1
Поэтому
b
Z
a
dx
= lim
(b − x)λ η→b−0
η
Z
a
dx
(b − η)1−λ − (b − a)1−λ
=
=
lim
(b − x)λ η→b−0
λ−1
(b − a)1−λ
, λ<1
1−λ
=
+∞, λ > 1.
2). Пусть теперь λ = 1. Тогда для любого η ∈ [a, b)
Z η
η
dx
= [− ln |b − x|] = ln |b − a| − ln |b − η|
a
a b−x
Поэтому
Z
a
b
dx
= lim
(b − x)λ η→b−0
Z
a
η
dx
= lim [ln |b − a| − ln |b − η|] = +∞.
b − x η→b−0
Таким образом, интеграл (3.3.5) сходится при λ < 1 и расходится при
λ ≥ 1:
Z b
dx
сходится при λ < 1
−
λ
расходится при λ ≥ 1.
a (b − x)
3.3.2
Применение основной формулы интегрального
исчисления
Пусть функция f (x) определена в полуинтервале [a, b), интегрируема при любом η ∈ [a, b) на отрезке [a, η], и на всем полуинтервале [a, b)
существует первообразная функции f (x), равная Φ(x). Тогда при любом
η ∈ [a, b) по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Z
η
η
= Φ(η) − Φ(a).
f (x)dx = Φ(x)
a
a
310
Таким образом, несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел
lim Φ(η) = Φ(b − 0).
η→b−0
В этом случае можно писать
b−0
b
Z
= Φ(b − 0) − Φ(a) .
f (x)dx = Φ(x)
a
(3.3.6)
a
Замечание 3.3.8. Эту формулу нельзя применять формально.
Пример 3.3.9. Рассмотрим интеграл
Z +1
1
dx
2
−1 x
Функция
f (x) =
1
x2
имеет первообразную
Φ(x) = −
1
x
всюду не [−1, 1], кроме точки 0.
Если формально пользоваться формулой Ньютона Лейбница, то получим
1
Z +1
1
1
dx = −
= −2.
2
x
−1 x
−1
С другой стороны
Z 0
Z +1
1
1
1
dx =
dx +
dx =
2
2
x2
−1 x
−1 x
0
Z η
Z +1
1
1
= lim
dx + lim
dx =
η→−0 −1 x2
ξ→+0 ξ
x2
Z
+1
311
= lim
η→−0
1
−
x
η
−1
1
+ lim −
ξ→+0
x
1
ξ
1
1
= lim − − 1 + lim −1 +
= +∞,
η→−0
ξ→+0
η
ξ
т.е. интеграл
+1
Z
−1
1
dx
x2
расходится.
3.3.3
Свойства сходящихся НИ-2.
Пусть функции f (x) и g(x) определены в полуинтервале [a, b) и интегрируемы при любом η ∈ [a, b) на отрезке [a, η].
Теорема 3.3.10. Если сходится несобственный интеграл
Z b
f (x)dx,
a
то сходится и любой интеграл
b
Z
f (x)dx
a0
при любом a < a0 < b и имеет место равенство
Z
b
a0
Z
f (x)dx =
a
Z
b
f (x)dx +
f (x)dx .
a0
a
Доказательство. Пусть несобственный интеграл
Z b
f (x)dx,
a
сходится. Тогда существует конечный предел
Z η
lim
f (x)dx = I.
η→b−0
a
Пусть a0 ∈ [a, b) фиксировано и η ∈ [a0 , b). Тогда
Z η
Z a0
Z η
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a0
a
312
(3.3.7)
Следовательно,
Z
η
η
Z
a0
Z
f (x)dx −
f (x)dx =
a0
f (x)dx
a
a
и поэтому существует конечный предел
Z
Z η
Z η
lim
f (x)dx = lim
f (x)dx −
η→b−0
a0
η→b−0
a
Z
a0
=I−
a0
f (x)dx =
a
f (x)dx.
a
Таким образом, интеграл
Z
b
f (x)dx
a0
сходится и выполняется равенство
Z
Z b
Z b
f (x)dx −
f (x)dx =
a0
откуда следует, что
Z
Z
f (x)dx =
a
f (x)dx,
a
a
b
a0
a0
Z
b
f (x)dx +
f (x)dx.
a0
a
Замечание 3.3.11.
• Имеет место обратное утверждение, т.е. если несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a0
0
при некотором a ∈ [a, b) сходится, то сходится и интеграл
Z b
f (x)dx.
a
• Интегралы
Z
b
f (x)dx
a
и
Z
b
f (x)dx
a0
ведут себя одинаково, т.е. одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
313
Теорема 3.3.12. Если несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
сходится, и η ∈ [a, b), то
b
Z
lim
f (x)dx = 0 .
η→b−0
(3.3.8)
η
Доказательство. Если несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
сходится, то существует конечный предел
Z b
Z η
f (x)dx.
f (x)dx =
lim
η→b−0
a
a
Поэтому
b
Z
Z
η
f (x)dx −
lim
η→b−0
Так как
Z
f (x)dx = 0.
a
a
b
η
Z
f (x)dx −
Z
f (x)dx,
η
a
a
b
f (x)dx =
то
Z
b
f (x)dx = 0.
lim
η→b−0
η
Теорема 3.3.13. Если несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
сходится, то для любого числа k несобственный интеграл
Z b
kf (x)dx
a
тоже сходится и имеет место равенство
Z b
Z b
kf (x)dx = k
f (x)dx .
a
a
314
(3.3.9)
Доказательство. Если несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
сходится, то существует конечный предел
Z η
Z b
lim
f (x)dx =
f (x)dx.
η→b−0
a
a
Поэтому существует конечный предел
Z b
Z η
Z
kf (x)dx = lim
kf (x)dx = k lim
η→b
a
η→b
a
η
Z
f (x)dx = k
a
b
f (x)dx.
a
Теорема 3.3.14. Если несобственные интегралы
Z b
f (x)dx
a
и
Z
b
g(x)dx
a
сходятся, то несобственные интегралы
Z b
[f (x) ± g(x)]dx
a
тоже сходятся и имеют место равенства
Z
b
Z
[f (x) ± g(x)]dx =
a
b
Z
f (x)dx ±
a
b
g(x)dx .
a
Доказательство. Если несобственный интеграл
Z b
f (x)dx
a
сходится, то существует конечный предел
Z η
Z b
lim
f (x)dx =
f (x)dx.
η→b−0
a
a
315
(3.3.10)
Аналогично, если несобственный интеграл
Z b
g(x)dx
a
сходится, то существует конечный предел
Z η
Z b
lim
g(x)dx =
g(x)dx.
η→b−0
a
a
Поэтому существуют конечные пределы
Z η
Z η
Z
lim
[f (x) ± g(x)]dx = lim
f (x)dx ± lim
η→b−0
η→b−0
a
b
Z
η→b−0
a
g(x)dx =
a
b
Z
f (x)dx ±
=
η
g(x)dx.
a
a
Таким образом, несобственные интегралы
Z b
[f (x) ± g(x)]dx
a
тоже сходятся и имеют место равенства
Z b
Z b
Z b
g(x)dx.
f (x)dx ±
[f (x) ± g(x)]dx =
a
a
a
Замечание 3.3.15. Для несобственных интегралов второго рода при определенных условиях имеют место формулы замены переменных и интегрирования по частям. Мы ограничимся только приведением соответствующих формул.
• Формула замены переменной.
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на [a, b), функция
ϕ(x) определена и непрерывна и строго возрастает на [α, β), причем
ϕ(α) = a,
lim ϕ(t) = b
t→β−0
0
и существует ϕ (x), интегрируемая на [α, β).
Тогда
Z
b
Z
β
f (x)dx =
a
α
316
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt;
• Формула интегрирования по частям.
Z b
Z b
b−0
v(x)du(x).
−
u(x)dv(x) = [u(x)v(x)]
a
a
a
Если функция f (x) имеет особенность не в точке b, а в точке a, то
последнюю формулу можно переписать в виде
Z b
Z b
b
v(x)du(x).
−
u(x)dv(x) = [u(x)v(x)]
a+0
a
a
Пример 3.3.16. Вычислим интеграл
Z b
dx
p
.
(x − a)(b − x)
a
Применим формулу замены переменной
Z b
dx
p
=
(x − a)(b − x)
a
π
2
x − a = (b − a) sin t,
t ∈ 0,
2
= x = a + (b − a) sin2 t,
b − x = (b − a) cos2 t
=
dx = 2(b − a) sin t cos tdt
Z
π
2
2(b − a) sin t cos tdt
=
p
0
2
(b − a) sin t(b − a) cos2 t
π
2
Z
=2
dt = 2 ·
0
π
= π.
2
Пример 3.3.17. Вычислим интеграл
π
2
Z
I=
ln(sin x)dx.
0
Применим формулу замены переменной
Z
I=
π
2
ln(sin x)dx =
0
x = 2t
dx = 2dt
317
Z
=2
π
4
ln(sin 2t)dt =
0
Z
π
4
=2
Z
ln(2 sin t cos t)dt = 2
0
π
4
[ln 2 + ln(sin t) + ln(cos t)]dt =
0
π
= ln 2 + 2
2
Вычисляя
Z π
4
ln(cos t)dt =
0
π
4
Z
ln(sin t)dt + 2
ln(cos t)dt.
0
0
π
−z
2
dt = −dz
t=
получим:
π
I = ln 2 + 2
2
π
4
Z
Z
π
4
Z
=−
ln(sin z)dz =
π
4
π
4
π
2
Z
ln(sin t)dt + 2
Таким образом,
Z
I=
0
ln(sin t)dt,
π
2
ln(sin t)dt =
π
4
0
π
= ln 2 + 2
2
π
2
Z
π
2
Z
ln(sin t)dt =
0
π
2
π
ln 2 + 2I.
2
π
ln(sin t)dt = − ln 2.
2
Пример 3.3.18. Вычислим интеграл
Z 1
In =
(ln x)n dx, n ∈ N.
0
Применим формулу интегрирования по частям:
Z
1
n
(ln x) dx =
0
u = (ln x)n ,
dv = dx
n−1
n(ln x)
du =
dx, v = x
x
n
Z
1
−n
= [x(ln x) ]
0+0
1
(ln x)n−1 dx
0
Так как
n
lim x(ln x)n = lim
x→0+0
x→0+0
(ln x)
∞
=
= lim
1
x→0+0
∞
x
n(ln x)n−1
−
1
x2
1
n−1
x = lim −n(ln x)
=
1
x→0+0
x
n(n − 1)(ln x)n−2
n!(−1)n
= . . . = lim
= lim n!(−1)n x = 0,
1
1
x→0+0
x→0+0
x→0+0
x
x
= lim
318
то получаем рекуррентную формулу
In = −nIn−1 = (−1)n n!I0 .
Вычислим
Z
1
0
Z
0
0
Таким образом,
In = (−1)n n!.
319
1
dx = 1.
(ln x) dx =
I0 =
3.4
3.4.1
Лекция №20
Несобственные интегралы от неограниченных функций НИ-2 (продолжение)
Несобственные интегралы от неограниченных функций. НИ-2 от неотрицательных функций. Признаки сравнения
3.4.1.1. Критерий сходимости
Пусть неотрицательная функция f (x) определена в полуинтервале [a, b),
неограничена слева от точки b, и ограничена и интегрируема на любом отрезке [a, η] при η ∈ [a, b).
Тогда функция
Z
η
F (η) =
f (x)dx
a
неотрицательна и является монотонно неубывающей на [a, b). Поэтому
имеет место следующий критерий сходимости НИ-2:
Z b
f (x)dx.
a
Теорема 3.4.1 (Критерий сходимости). Для того, чтобы НИ-2
Z b
f (x)dx
a
от неотрицательной функции f (x) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы функция
Z η
F (η) =
f (x)dx
a
была ограничена, т.е. существует такое число L > 0, что
Z η
F (η) =
f (x)dx ≤ L
a
для любого η ∈ [a, b).
320
При этом,
Z
b
Z
η
f (x)dx = sup
f (x)dx.
η∈[a,b)
a
Доказательство. Так как функция
Z
F (η) =
a
η
f (x)dx
a
является неубывающей, то в силу теоремы Вейерштрасса для монотонно
неубывающей функции имеем:
Z b
f (x)dx сходится ⇔
a
Z
⇔ существует конечный предел lim F (η) = lim
η→b
η→b−0
⇔ функция F (η) ограничена.
Очевидно, что в этом случае
Z b
Z
f (x)dx = sup
η∈[a,b)
a
η
f (x)dx.
a
Замечание 3.4.2. Если функция
η
Z
F (η) =
f (x)dx
a
неограничена, то
Z
lim F (η) = lim
η→b−0
η→b−0
η
f (x)dx = +∞,
a
и потому интеграл
Z
b
f (x)dx = +∞,
a
т.е. расходится.
321
η
f (x)dx ⇔
a
3.4.1.2. Первый признак сравнения
Теорема 3.4.3 (Первый признак сравнения). Пусть неотрицательные функции f (x) и g(x) определены в полуинтервале [a, b), неограничены
слева от точки b, ограничены и интегрируемы на любом отрезке [a, η]
при η ∈ [a, b) и при любом x ∈ [a, b) удовлетворяют неравенству
0 ≤ f (x) ≤ g(x).
1). Если интеграл
Z
b
g(x)dx
a
сходится, то интеграл
b
Z
f (x)dx
a
тоже сходится и имеет место неравенство:
Z b
Z b
f (x)dx ≤
g(x)dx.
a
a
2). Если интеграл
b
Z
f (x)dx
a
расходится, то интеграл
Z
b
g(x)dx
a
тоже расходится.
Доказательство. Доказательство повторяет доказательство соответствующей теоремы 3.2.3 для НИ-1.
3.4.1.3. Второй признак сравнения
Теорема 3.4.4 (Второй признак сравнения). Пусть функции f (x)
и g(x) определены в полуинтервале [a, b), неограничены слева от точки
b, ограничены и интегрируемы на любом отрезке [a, η] при η ∈ [a, b) и
322
удовлетворяют неравенствам f (x) ≥ 0 и g(x) > 0 для любого x ∈ [a, +∞).
Пусть существует предел
f (x)
= K,
x→b−0 g(x)
lim
возможно, бесконечный, т.е. 0 ≤ K ≤ +∞.
1). Если 0 ≤ K < +∞ и интеграл
Z b
g(x)dx
a
сходится, то интеграл
b
Z
f (x)dx
a
тоже сходится.
2). Если 0 < K ≤ +∞ и интеграл
Z b
g(x)dx
a
расходится, то интеграл
b
Z
f (x)dx
a
тоже расходится.
Доказательство. Доказательство повторяет доказательство соответствующей теоремы 3.2.4 для НИ-1.
Замечание 3.4.5.
• Если
0 < K < +∞,
то интегралы
b
Z
f (x)dx
a
и
Z
b
g(x)dx
a
ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.
323
• Иногда удобно в качестве функции g(x) рассматривать функцию
g(x) =
1
,
(b − x)λ
которую называют функцией сравнения.
В этом случае
f (x)
= (b − x)λ f (x).
g(x)
Следствие 3.4.6. Пусть существует
lim (b − x)λ f (x) = K.
x→b−0
1). Если 0 ≤ K < +∞, то при λ < 1 интеграл
Z b
f (x)dx
a
сходится.
2). Если 0 < K ≤ +∞, то при λ ≥ 1
Z b
f (x)dx
a
расходится.
Замечание 3.4.7. Пусть функция f (x) определена в полуинтервале [a, b),
неограничена слева от точки b, ограничена и интегрируема на любом отрезке [a, η] при η ∈ [a, b) и пусть a < a0 < b. Тогда интегралы
Z b
f (x)dx
a
и
Z
b
f (x)dx
a0
ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.
324
3.4.1.4. Примеры.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 3.4.8. Исследуем на сходимость интеграл
Z 1
Z 1
dx
√
f (x)dx =
.
4
1 − x4
0
0
Рассмотрим функцию
g(x) = √
4
1
1
=
.
(1 − x)1/4
1−x
Вычислим предел
dx
f (x)
= lim √
·
lim
4
x→1−0
x→1−0 g(x)
1 − x4
√
4
√
4
1−x
1−x
p
= lim √
=
x→1−0 4 1 − x 4 (1 + x)(1 + x2 )
1
1
1
1
√
√
=
< +∞.
= lim p
=
4
x→1−0 4 (1 + x)(1 + x2 )
4
2
Так как интеграл
Z
1
Z
1
g(x)dx =
0
0
1
dx
(1 − x)1/4
1
сходится (λ = < 1), то данный интеграл
4
Z 1
Z 1
dx
√
f (x)dx =
4
1 − x4
0
0
сходится.
Пример 3.4.9. Исследуем на сходимость интеграл
Z 1
Z 1
ln x
√
f (x)dx =
dx.
1 − x2
0
0
Так как
1
√
ln(x)
0
1 − x2
x
lim √
=
= lim
= lim −
= 0,
2
−x
x→1−0
x→1−0
x→1−0
0
x
1 − x2
√
1 − x2
325
то функция f (x) ограничена в окрестности точки x = 1. Следовательно,
особая точка у функции
ln x
f (x) = √
1 − x2
только одна: x = 0.
Рассмотрим функцию
1
g(x) = √ .
x
Вычислим предел
√
√
ln x
x
x ln x
f (x)
= lim √
·
= lim √
=
lim
x→0+0
x→0+0
x→0+0 g(x)
1 − x2 1
1 − x2
ln x
ln x
∞
1
= lim −1/2 =
=
lim √
2
x→0+0 1 x→0+0
x→0+0 x
∞
1
−
x
√
x
1
√
x3/2
x
= −2 lim
= lim
= −2 lim
x = 0.
1
x→0+0 x
x→0+0
x→0+0
− x−3/2
2
Так как интеграл
Z 1
Z 1
1
√ dx
g(x)dx =
x
0
0
1
сходится (λ = < 1), то данный интеграл
2
Z 1
Z 1
ln x
√
f (x)dx =
dx.
1 − x2
0
0
= lim
тоже сходится.
3.4.2
Общий признак сходимости НИ-2. Абсолютная
и условная сходимости
3.4.2.1. Критерий Коши
Пусть функция f (x) определена в полуинтервале [a, b), неограничена
слева от точки b, ограничена и интегрируема на любом отрезке [a, η] при
326
η ∈ [a, b). В этом разделе мы не будем предполагать, что функция f (x)
неотрицательна.
Пусть, как и выше.
Z η
f (x)dx .
F (η) =
a
Несобственный интеграл
b
Z
f (x)dx
a
будет сходящимся, если существует конечный предел
Z η
f (x)dx.
lim F (η) = lim
η→b−0
η→b−0
a
Используя общий признак Больцано-Коши существования конечного предела функции, получим следующую теорему:
Теорема 3.4.10 (Критерий Коши). Для того, чтобы несобственный
интеграл
Z b
f (x)dx
a
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое δ > 0, что для любых η 0 , η 00 ∈ (b − δ, b), таких что
η 0 < η 00 , выполняется неравенство
Z
η 00
Z
f (x)dx −
a
η0
Z
η 00
f (x)dx < ε.
f (x)dx =
η0
a
3.4.2.2. Абсолютная сходимость НИ-1
Определение 3.4.11. Если несобственный интеграл
Z
b
|f (x)|dx
a
327
сходится, то интеграл
b
Z
f (x)dx
a
называется абсолютно сходящимся, а функция f (x) абсолютно интегрируемой на [a, b].
Теорема 3.4.12. Если интеграл
b
Z
|f (x)|dx
a
сходится, то интеграл
b
Z
f (x)dx
a
тоже сходится, т.е. из абсолютной сходимости НИ-2 следует обычная
сходимость.
Доказательство. Пусть сходится интеграл
b
Z
|f (x)|dx.
a
Тогда по критерию Коши для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что
для любых η 0 , η 00 ∈ (b − δ, b), таких что η 0 < η 00 , выполняется неравенство
Z
η 00
η0
Z
|f (x)|dx −
a
η 00
Z
|f (x)|dx =
Z
|f (x)|dx =
η0
a
η 00
Z
η 00
f (x)dx ≤
η0
|f (x)|dx < ε,
η0
и потому, в силу того же критерия Коши, интеграл
Z
b
f (x)dx
a
сходится.
328
|f (x)|dx < ε.
η0
Но тогда
Z
η 00
Следствие 3.4.13. Если функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке [a, b], а функция g(x) определена и ограничена в полуинтервале
[a, b), интегрируема на любом отрезке [a, η] при η ∈ [a, b), то функция
f (x)g(x) абсолютно интегрируема на [a, b].
Доказательство. Так как функция g(x) ограничена на [a, b), то существует такое L > 0, что
|g(x)| < L
для любого x ∈ [a, b). Следовательно,
|f (x)g(x)| < L|f (x)|.
Если функция f (x) абсолютно интегрируема на [a, b], то функция L|f (x)|
интегрируема на [a, b]. Поэтому функция |f (x)g(x)| интегрируема на [a, b],
т.е. функция f (x)g(x) абсолютно интегрируема на [a, b].
С помощью признаков сходимости НИ-2 от неотрицательных функций
можно доказывать абсолютную сходимость, а значит и обычную сходимость НИ-2.
Пример 3.4.14. Исследуем на сходимость интеграл
Z
0
1
1
sin
√ x dx.
1−x
Обозначим
1
sin
f (x) = √ x
1−x
и рассмотрим неотрицательную функцию
g(x) = √
Так как
1
.
1−x
1
sin
1
|f (x)| = √ x ≤ √
= g(x)
1−x
1−x
и
Z
1
Z
g(x)dx =
0
0
1
√
√
1
dx = −2 1 − x
1−x
329
1−0
=2
0
то интеграл
1
Z
g(x)dx
0
сходится, потому интеграл
1
sin
√ x dx
1−x
1
Z
0
сходится абсолютно.
3.4.2.3. Условная сходимость НИ-1. Пример условно сходящегося
НИ-1
Определение 3.4.15. Если несобственный интеграл второго рода
Z b
f (x)dx
a
сходится, а интеграл
b
Z
|f (x)|dx
a
расходится, то интеграл
Z
b
f (x)dx
a
называется условно сходящимся на [a, b].
Пример 3.4.16. Рассмотрим интеграл
Z 2
π
2π
π
2x sin 2 −
cos 2 dx.
x
x
x
0
1). Покажем, что этот интеграл сходится.
Действительно, рассмотрим функцию
Φ(x) = x2 sin
π
, x ∈ (0, 2].
x2
Так как
π
π
Φ (x) = 2x sin 2 + x2 cos 2
x
x
0
2π
π
2π
π
− 3 = 2x sin 2 −
cos 2 ,
x
x
x
x
330
то функция Φ(x) является первообразной функции
f (x) = 2x sin
π
π
2π
cos 2
−
2
x
x
x
на (0, 2].
Кроме того,
lim Φ(x) = lim x2 sin
x→0+0
x→0+0
π
= 0.
x2
Поэтому интеграл
Z
0
2
π
π
2π
cos 2 dx.
2x sin 2 −
x
x
x
сходится и
Z 2
h
π
2π
π
πi
2x sin 2 −
cos 2 dx = x2 sin 2
x
x
x
x
0
2
= 4 sin
0+0
√
π
= 2 2.
4
2). Покажем, что интеграл
Z 2
π
2π
π
2x sin 2 −
cos 2 dx.
x
x
x
0
расходится.
π
2.1) Если 2 лежит во второй четверти:
x
π
π
∈
,π ,
x2
2
то
π
sin x2 > 0
π
2π
π
⇒ f (x) = 2x sin 2 −
cos 2 > 0.
x
x
x
cos π < 0
2
x
π
2.2) Если 2 лежит в четвертой четверти:
x
π
3π
∈
, 2π ,
x2
2
то
π
sin x2 < 0
π
2π
π
⇒ f (x) = 2x sin 2 −
cos 2 < 0.
x
x
x
cos π > 0
2
x
331
2.3) Решим уравнение
π
π
= k, x ∈ (0, 2], k ∈ N.
2
x
2
Имеем
r
2
2
x = ⇒x=
.
k
k
Обозначим соответствующие решения через
r
2
ak =
.
k
2
Точки
√
a0 = 2, a1 = 2, a2 = 1, a3 =
r
2
,...
3
разбивает полуинтервал (0, 2] на бесконечное число отрезков [ak , ak−1 ].
2.4) Рассмотрим функцию
f (x) = 2x sin
π
2π
π
−
cos 2
2
x
x
x
на каждом из таких отрезков
π
√
π
и знак
• k = 1 Если x ∈ (a1 , a0 ) = ( 2, 2), то 2 ∈ 0,
x
2
функции
π
2π
π
f (x) = 2x sin 2 −
cos 2
x
x
x
неопределен.
π
√
π
• k = 2 Если x ∈ (a2 , a1 ) = (1, 2), то 2 ∈
,π и
x
2
π
2π
π
−
cos 2 > 0.
2
x
x
x
!
r
2
π
3π
• k = 3 Если x ∈ (a3 , a2 ) =
, 1 , то 2 ∈ π,
и знак
3
x
2
функции
π
2π
π
f (x) = 2x sin 2 −
cos 2
x
x
x
неопределен.
f (x) = 2x sin
332
r
1
,
2
• k = 4 Если x ∈ (a4 , a3 ) =
f (x) = 2x sin
r !
π
2
3π
, то 2 ∈
, 2π и
3
x
2
π
π
2π
cos 2 < 0.
−
2
x
x
x
Продолжая процесс, видим, что на интервалах вида (a2k , a2k−1 )
функция
π
π
2π
cos 2
f (x) = 2x sin 2 −
x
x
x
имеет определенный знак, а на остальных — неопределенный.
2.5)
Z
0
2
∞
X
π
2π
π
2x sin 2 −
cos 2 dx =
x
x
x
k=1
Z
ak−1
2x sin
ak
π
2π
π
−
cos 2 dx ≥ (∗)
2
x
x
x
Оставим только те слагаемые, которые соответствуют определенному знаку функции f (x)
∞ Z a2k−1
X
2π
π
π
cos 2 dx = (∗∗)
(∗) ≥
2x sin 2 −
x
x
x
k=1 a2k
Так как
Z a2k−1
Z a2k−1
π
2π
π
2π
π
π
cos 2 dx =
cos 2 dx ,
2x sin 2 −
2x sin 2 −
x
x
x
x
x
x
a2k
a2k
то
∞ Z a2k−1
X
π
2π
π
2x sin 2 −
(∗∗) =
cos 2 dx =
x
x
x
a
2k
k=1
=
∞ h
X
k=1
πi
x sin 2
x
a2k−1
2
∞
X
=
a2k
∞
X
a22k−1 sin
k=1
π
a22k−1
− a22k sin
π
2
π
−
sin
=
2
2
2k
k=1
2k − 1
2k
∞
∞
X
X
π(2k − 1) 1
π(2k − 1)
2
2
=
sin
− sin(πk) =
sin
=
2k
−
1
2
k
2k
−
1
2
k=1
k=1
=
=
∞
X
k=1
2
sin
2k − 1
π
=
a22k
∞
∞
X 2
X1
2
>
=
= +∞.
2k − 1 k=1 2k
k
k=1
333
Следовательно, интеграл
Z 2
π
π
2π
2x sin 2 −
cos 2 dx
x
x
x
0
расходится и потому интеграл
Z 2
π
π
2π
cos 2 dx
2x sin 2 −
x
x
x
0
сходится условно.
Замечание 3.4.17. Мы использовали некоторые факты из теории бесконечных числовых рядов, которые будут рассмотрены чуть позднее. В
частности, тот факт, что гармонический ряд
∞
X
1
k=1
k
является расходящимся (имеет бесконечную сумму).
3.4.3
Признаки Абеля и Дирихле сходимости НИ-2
3.4.3.1. Признак Абеля
Теорема 3.4.18. Пусть функции f (x) и g(x) определены в промежутке
[a, b), неограничены слева от точки b, ограничены и интегрируемы на
любом отрезке [a, η] при η ∈ [a, b).
Если
1). Интеграл
Z
b
f (x)dx
a
сходится;
2). Функция g(x) монотонна и ограничена на [a, b),
то интеграл
Z
b
f (x)g(x)dx
a
сходится.
334
Доказательство. 1). Так как функция g(x) ограничена на [a, b), то существует такая константа L > 0, что
|g(x)| ≤ L
для любого x ∈ [a, b).
2). Интеграл
b
Z
f (x)dx
a
сходится, поэтому для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых
η1 , η2 ∈ (b − δ, b), η1 < η2 ,
выполняется неравенство
η2
Z
f (x)dx <
η1
ε
.
2L
3). Пусть
η 0 , η 00 ∈ (b − δ, b), η 0 < η 00 .
Функции f (x) и g(x) на отрезке [η 0 , η 00 ] удовлетворяют третьей формуле
Бонне, т.е. существует такая точка ξ ∈ [η 0 , η 00 ], что
Z η00
Z ξ
Z η00
0
00
f (x)g(x)dx = g(η )
f (x)dx + g(η )
f (x)dx.
η0
η0
ξ
При η1 = η 0 и η2 = ξ получим неравенство
Z ξ
ε
.
f (x)dx <
2L
η0
Аналогично, при η1 = ξ и η2 = η 00 получим неравенство
η 00
Z
f (x)dx <
ξ
ε
.
2L
Поэтому
Z
η 00
0
Z
ξ
f (x)g(x)dx ≤ |g(η )|
η0
00
Z
f (x)dx + |g(η )|
η0
f (x)dx <
ξ
335
η 00
ε
ε
+L·
= ε.
2L
2L
Следовательно, по критерию сходимости Коши, интеграл
Z b
f (x)g(x)dx
<L·
a
сходится.
3.4.3.2. Признак Дирихле.
Теорема 3.4.19. Пусть функции f (x) и g(x) определены в промежутке
[a, b), неограничены слева от точки b, ограничены и интегрируемы на
любом отрезке [a, η] при η ∈ [a, b).
Если
1). Функция
Z
η
f (x)dx
F (η) =
a
ограничена на [a, b);
2). Функция g(x) монотонна и
lim g(x) = 0,
x→b−0
то интеграл
Z
b
f (x)g(x)dx
a
сходится.
Доказательство. 1). Так как функция
Z η
F (η) =
f (x)dx
a
ограничена на [a, b), то существует такая константа K > 0, что
Z η
|F (η)| =
f (x)dx ≤ K
a
для любого η ∈ [a, b).
336
2). Так как
lim g(x) = 0,
x→b−0
то для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x ∈ (b − δ, b)
выполняется неравенство
ε
.
|g(x)| <
4K
3). Пусть
η 0 , η 00 ∈ (b − 0, b), η 0 < η 00 .
Функции f (x) и g(x) на отрезке [η 0 , η 00 ] удовлетворяют третьей формуле
Бонне, т.е. существует такая точка ξ ∈ [η 0 , η 00 ], что
Z η00
Z ξ
Z η00
00
0
f (x)dx.
f (x)dx + g(η )
f (x)g(x)dx = g(η )
η0
η0
ξ
Имеют место следующие неравенства:
Z ξ
Z ξ
Z
f (x)dx =
f (x)dx −
η0
a
ξ
Z
≤
η0
f (x)dx ≤ K + K = 2K
f (x)dx +
a
η 00
Z
Z
η 00
Z
f (x)dx −
f (x)dx =
ξ
a
Z
≤
f (x)dx ≤
a
Z
a
и
η0
η 00
f (x)dx ≤
a
ξ
Z
f (x)dx ≤ K + K = 2K.
f (x)dx +
a
ξ
a
Таким образом,
Z η00
Z ξ
Z
0
00
f (x)g(x)dx ≤ |g(η )|
f (x)dx + |g(η )|
η0
η0
η 00
ξ
ε
ε
· 2K +
· 2K = ε.
4K
4K
Следовательно, по критерию сходимости Коши, интеграл
Z b
f (x)g(x)dx
<
a
сходится.
337
f (x)dx <
3.4.4
Главные значения расходящихся несобственных
интегралов
3.4.4.1.Главное значение расходящегося несобственного интеграла первого рода
По определению, интеграл с бесконечными пределами интегрирования,
есть
Z +∞
Z a
Z +∞
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx ,
−∞
−∞
a
где a — некоторое число, при условии существования обоих интегралов
справа, т.е.
Z +∞
Z a
Z A
f (x)dx = 0lim
f (x)dx + lim
f (x)dx.
−∞
A →−∞
A0
Z
+∞
A→+∞
a
Допустим, что интеграл
f (x)dx
−∞
расходится. Следовательно, один из пределов в определении этого интеграла не существует. Полагая a = 0, имеем, что либо не существует предел
Z 0
lim
f (x)dx,
0
A →−∞
A0
либо не существует предел
A
Z
lim
A→+∞
f (x)dx.
0
Отметим, что оба предела не зависят друг от друга. Если же положить
A0 = −A, то предел
Z A
lim
f (x)dx
A→+∞
−A
может существовать.
Определение 3.4.20. Если существует предел
Z A
lim
f (x)dx
A→+∞
−A
338
то его называют главным значением НИ-1 и обозначают
Z A
Z +∞
f (x)dx.
f (x)dx = lim
V.p.
A→+∞
−∞
−A
Замечание 3.4.21.
• Обозначение главного значения расходящегося
несобственного интеграла связано с переводом фразы:
Valeur principale = главное значение.
При вычислении главного значения расходящегося несобственного
интеграла удобно пользоваться четностью или нечетностью подинтегральной функции.
• Если функция f (x) нечетная, то
Z A
f (x)dx = 0
−A
и
Z
+∞
Z
A→+∞
−∞
• Если функция f (x) четная, то
Z A
Z
f (x)dx = 2
−A
Z
−A
A
f (x)dx
0
+∞
V.p.
f (x)dx = 0.
f (x)dx = lim
V.p.
и
A
Z
A
f (x)dx = 2 lim
A→+∞
−∞
Z
f (x)dx = 2
0
Пример 3.4.22. Несобственный интеграл
Z +∞
sin x dx
−∞
расходится. В то же время, так как функция
f (x) = sin x
нечетная, то
Z
+∞
V.p.
sin x dx = 0.
−∞
339
+∞
f (x)dx.
0
Теорема 3.4.23. Если функция f (x) определена на симметричном относительно начала координат 0 множестве D:
x ∈ D ⇔ −x ∈ D,
то функция f (x) однозначно представима в виде суммы двух функций
f (x) = ϕ(x) + ψ(x),
таких что ϕ(x) — четная функция, а ψ(x) — нечетная.
Доказательство. 1). Обозначим
ϕ(x) =
f (x) + f (−x)
2
ψ(x) =
f (x) − f (−x)
.
2
и
Ясно, что
f (x) =
f (x) + f (−x) f (x) − f (−x)
+
= ϕ(x) + ψ(x).
2
2
Кроме того,
ϕ(−x) =
f (x) + f (−x)
f (−x) + f (x)
=
= ϕ(x)
2
2
и
f (−x) − f (x)
f (x) − f (−x)
=−
= −ψ(x),
2
2
т.е. ϕ(x) — четная функция, а ψ(x) — нечетная.
2). Докажем единственность такого представления.
Пусть
f (x) = ϕ1 (x) + ψ1 (x)
ψ(−x) =
такое представление, что ϕ(x) — четная функция, а ψ(x) — нечетная. Тогда
f (−x) = ϕ1 (−x) + ψ1 (−x) = ϕ1 (x) − ψ1 (x).
Поэтому
ϕ1 (x) =
f (x) + f (−x)
= ϕ(x)
2
ψ1 (x =
f (x) − f (−x)
= ψ(x).
2
и
340
Пример 3.4.24. Вычислим главное значение расходящегося несобственного интеграла
Z +∞
1+x
dx.
2
−∞ 1 + x
Имеет место разложение
f (x) =
1+x
1
x
=
+
= ϕ(x) + ψ(x).
2
2
1+x
1+x
1 + x2
Тогда
Z
+∞
V.p.
−∞
1+x
dx = 2
1 + x2
Z
+∞
0
1
dx = 2 arctg x
1 + x2
+∞
=2·
0
π
= π.
2
3.4.4.2. Главное значение расходящегося несобственного интеграла второго рода
Допустим, что функция f (x) внутри отрезка [a, b] имеет одну особую
точку c, вблизи которой она является неограниченной. Пусть функция
f (x) интегрируема на любом отрезке [a, c − η 0 ] и [c + η 00 , b] для η 0 ∈ (0, c − a)
и η 00 ∈ (0, b − c). Тогда по определению НИ-2
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx =
Z
= 0lim
η →+0
c
a
a
a
c−η 0
Z
f (x)dx + 00lim
η →+0
b
f (x)dx.
c+η 00
Сходимость этого интеграла зависит от существования двух пределов, стоящих справа:
Z c−η0
lim
f (x)dx
0
η →+0
a
и
Z
lim
00
η →+0
b
f (x)dx.
c+η 00
Отметим, что оба предела не зависят друг от друга. В некоторых случаях,
когда интеграл расходится, можно рассматривать случай, когда
η 0 = η 00 = η.
341
Определение 3.4.25. Если существует предел
Z c−η
Z b
lim
f (x)dx +
f (x)dx ,
η→0+0
a
c+η
то его называют главным значением НИ-2 и обозначают
Z c−η
Z b
Z b
V.p.
f (x)dx = lim
f (x)dx +
f (x)dx .
η→0+0
a
a
c+η
Пример 3.4.26. Рассмотрим интеграл
Z b
dx
, a < c < b.
a x−c
1). Покажем, что этот НИ-2 расходится. Действительно
b
Z
a
dx
= lim
x − c η0 →+0
c−η 0
Z
a
dx
+ lim
x − c η00 →+0
Z
b
c+η 00
c−η 0
dx
=
x−c
b
+ 00lim [ln |c − x|]
= 0lim [ln |c − x|]
η →+0
η →+0
=
c+η 00
a
= 0lim ln η 0 − ln |c − a| + ln |c − b| − 00lim ln η 00 =
η →+0
= ln
η →+0
b−c
+ 0lim ln η 0 − 00lim ln η 00 .
η →+0
η →+0
c−a
Так как η 0 → +0 и η 00 → +0 независимо друг от друга, то данный НИ-2
расходится.
2). Если η 0 = η 00 = η, в смысле главного значения мы имеем:
Z
V.p.
a
b
dx
b−c
= ln
.
x−c
c−a
342
Глава 4
Числовые ряды
4.1
4.1.1
Лекция №21
Понятие числового ряда
Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды
Определение 4.1.1. Пусть дана бесконечная числовая последовательность
a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . . .
Составленное из элементов этой последовательности выражение
a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . .
(4.1.1)
называется бесконечным числовым рядом или просто рядом. Числа a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
называются членами ряда.
Пользуясь знаком суммы пишут
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + ak + . . . .
k=1
Определение 4.1.2. Суммы конечного числа членов ряда:
S1 = a1 ,
S2 = a1 + a2 ,
343
S3 = a1 + a2 + a3 ,
...............
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an
называются частичными суммами данного ряда. Итак, n-я частичная
сумма ряда имеет вид
Sn =
n
X
= a1 + a2 + a3 + . . . + an .
k=1
Замечание 4.1.3.
• Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм {Sn }∞
n=1 :
S1 , S2 , S3 , . . . , Sn , . . .
Таким образом, каждому бесконечному числовому ряду соответствует последовательность {Sn }∞
n=1 его частичных сумм.
• Верно обратное утверждение. Каждой бесконечной числовой последовательности {Sn }∞
n=1 однозначно соответствует бесконечный числовой ряд, для которого эта последовательность {Sn }∞
n=1 является
последовательностью частичных сумм.
А именно,
a1 = S1 ,
ak = Sk − Sk−1 , k ≥ 2.
Тогда
a1 +a2 +a3 +. . .+an = S1 +(S2 −S1 )+(S3 −S2 )+. . .+(Sn −Sn−1 ) = Sn .
Определение 4.1.4. Если существует конечный или бесконечный предел
последовательности частичных сумм ряда (4.1.1)
lim Sn = S,
n→∞
(4.1.2)
то этот предел называется суммой данного ряда (4.1.1). В этом случае
пишут
∞
X
S=
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + ak + . . . .
k=1
344
Определение 4.1.5. Если числовой ряд (4.1.1) имеет конечную сумму,
то он называется сходящимся. В противном случае, если предел последовательности частичных сумм (4.1.2) не существует или бесконечен, то ряд
(4.1.1) называется расходящимся.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4.1.6. Покажем, что ряд
∞
X
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
+ ...
k(k + 1)
1·2 2·3 3·4
k(k + 1)
k=1
сходится. Рассмотрим сумму Sn первых n членов этого ряда:
Sn =
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
.
1·2 2·3 3·4
n(n + 1)
Так как
1
1
1
= −
,
k(k + 1)
k k+1
то
Sn =
1
1−
2
+
1 1
−
2 3
+
1 1
−
3 4
+ ··· +
1
1
−
n n+1
=1−
1
.
n+1
Следовательно, предел последовательности частичных сумм этого ряда
равен единице:
1
1
= 1.
= 1 − lim
lim Sn = lim 1 −
n→∞
n→∞
n→∞ n + 1
n+1
Таким образом, данный ряд сходится, и его сумма S равна 1:
∞
X
k=1
1
= 1.
k(k + 1)
Пример 4.1.7. Рассмотрим ряд
∞
X
(−1)k−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + (−1)k−1 + . . . .
k=1
345
Поскольку последовательность его частичных сумм имеет вид
S1 = 1,
S2 = 0,
S3 = 1,
S4 = 0 . . . ,
т.е.
S2k = 0, S2k+1 = 1,
то последовательность частичных сумм {Sn }∞
n=1 предела не имеет. Следовательно, ряд
∞
X
(−1)k−1
k=1
расходится.
Пример 4.1.8. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии:
∞
X
aq k−1 = a + aq + aq 2 + . . . + aq k−1 + . . . , q 6= 0.
(4.1.3)
k=1
При q 6= 1 n-я частичная сумма Sn этого ряда имеет вид
Sn = a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 =
a − aq n
a
aq n
=
−
.
1−q
1−q 1−q
При q = 1
Sn = a + a + . . . + a = na.
Рассмотрим различные случаи.
1). Пусть сначала |q| < 1. Тогда
lim q n = 0.
n→∞
Следовательно, существует конечный предел
a
aq n
a
− lim
=
,
n→∞ 1 − q
n→∞ 1 − q
1−q
lim Sn = lim
n→∞
т.е. в этом случае данный ряд сходится и
∞
X
aq k−1 = a + aq + aq 2 + . . . + aq k−1 + . . . =
k=1
346
a
.
1−q
В частности, при a = 1 и q =
1
имеем:
2
∞
X
1
1
1
1
= 1 + + 2 + · · · + k−1 + · · · = 2.
k−1
2
2 2
2
k=1
2). Пусть теперь |q| > 1. Тогда
lim q n = +∞.
n→∞
Следовательно,
aq n
a
− lim
= ∞,
n→∞ 1 − q
n→∞ 1 − q
lim Sn = lim
n→∞
т.е. в этом случае данный ряд расходится.
3). При q = 1 ряд (4.1.3) принимает вид
∞
X
a = a + a + a + ... + a + ....
k=1
Следовательно,
lim Sn = lim na = ∞,
n→∞
n→∞
т.е. в этом случае ряд (4.1.3) расходится.
4). При q = −1 ряд (4.1.3) принимает вид
∞
X
a = a − a + a − a + ....
k=1
Следовательно, не существует
lim Sn ,
n→∞
т.е. и в этом случае ряд (4.1.3) расходится.
Таким образом, ряд (4.1.3) сходится при |q| < 1 и расходится при всех
остальных значениях q.
347
Пример 4.1.9. Рассмотрим ряд
∞
X
1
1
1
1
= ln (2) + ln 1 +
+ ln 1 +
. . . + ln 1 +
+ ....
ln 1 +
k
2
3
k
k=1
Так как
k+1
1
= ln
= ln(k + 1) − ln k,
ln 1 +
k
k
то
Sn = (ln 2−ln 1)+(ln 3−ln 2)+(ln 4−ln 3)+. . .+(ln(n+1)−ln n) = ln(n+1).
Следовательно,
lim Sn = lim ln(n + 1) = ∞.
n→∞
Поэтому, ряд
n→∞
∞
X
1
ln 1 +
k
k=1
расходится.
Пример 4.1.10. Рассмотрим ряд
1+
∞
X
1
1
1
1
1
= 1 + + + + ... + + ...
k!
1! 2! 3!
k!
k=1
Так как по определению 0! = 1, то данный ряд можно записать в виде
∞
X
1
1
1
1
1
= 1 + + + + ... + + ...
k!
1! 2! 3!
k!
k=0
Тогда n-я частичная сумма этого ряда имеет вид
Sn = 1 +
1
1
1
1
+ + + ... +
.
1! 2! 3!
(n − 1)!
Рассмотрим функцию
f (x) = ex
и разложим ее по формуле Маклорена с остаточным членом в форме
Лагранжа:
ex = 1 +
1
1
1
eθx n
1
x + x2 + x3 + . . . +
xn−1 +
x
1!
2!
3!
(n − 1)!
n!
348
где 0 < θ < 1.
Тогда при x = 1 имеем:
1
1
1
1
eθ
e = 1 + + + + ... +
+
1! 2! 3!
(n − 1)! n!
Следовательно,
eθ
→ 0 при n → ∞.
n!
|Sn − e| =
Таким образом,
lim Sn = e.
n→∞
Значит, данный ряд сходится и
∞
X
1
= e.
k!
k=0
4.1.2
Свойства сходящихся рядов
Теорема 4.1.11. Если сходится ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + am−1 + am + am+1 + . . . + ak−1 + ak + . . . , (4.1.4)
k=1
то сходится и ряд
∞
X
ak = am+1 + . . . + ak−1 + ak + . . . .
(4.1.5)
k=m+1
и, обратно, если сходится ряд (4.1.5), то сходится и ряд (4.1.4).
Доказательство. 1). Пусть ряд (4.1.4) сходится и имеет сумму S, т. е.
lim Sn = S.
n→∞
Пусть m — фиксировано. Тогда
Sm = a1 + a2 + a3 + . . . + am−1 + am .
349
Обозначим через σn n-ю частичную сумму ряда (4.1.5):
σn = am+1 + am+2 + . . . + am+n .
Тогда
Sm + σn = a1 + a2 + a3 + . . . + am−1 + am + am+1 + am+2 + . . . + am+n = Sm+n .
Так как
lim Sm+n = lim Sn = S,
n→∞
n→∞
то
lim σn = lim (Sm+n − Sm ) = lim Sn+m − lim Sm = S − Sm .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Следовательно, ряд (4.1.5) сходится и его сумма σ равна
σ = S − Sm .
2). Пусть теперь ряд (4.1.5) сходится и имеет сумму σ:
∞
X
ak = am+1 + . . . + ak−1 + ak + · · · = σ.
k=m+1
Пусть n > m. Тогда n-я сумма ряда (4.1.4) равна
Sn = a1 + a2 + . . . + am + am+1 + am+2 + . . . + an = Sm + σn−m .
Так как
lim σn = lim σn−m = σ,
n→∞
n→∞
то
lim Sn = lim (Sm + σn−m ) = lim Sm + lim σn−m = Sm + σ.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Следовательно, ряд (4.1.4) сходится и его сумма S равна
S = Sm + σ.
Замечание 4.1.12. Отбрасывание любого конечного числа начальных
членов ряда и присоединение в начале его нескольких новых членов не
влияет на сходимость ряда.
350
Определение 4.1.13. Ряд (4.1.5) называется m-м остатком ряда (4.1.4)
и обозначается
rm =
∞
X
ak = am+1 + . . . + ak−1 + ak + . . . .
k=m+1
Если ряд (4.1.4) сходится и S — его сумма, то
S = Sm + rm =
m
X
ak +
k=1
∞
X
ak .
k=m+1
Замечание 4.1.14. Если ряд (4.1.4) сходится, то последовательность {rm }∞
m=1
его m-х остатков является бесконечно малой последовательностью, т.е.
lim rm = 0.
m→∞
Действительно,
S = Sm + rm ⇒ rm = S − Sm ⇒ lim rm = S − lim Sm = S − S = 0.
m→∞
m→∞
Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические
действия.
Теорема 4.1.15. Если ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
сходится и его сумма равна S, то для любого числа c ряд
∞
X
cak = ca1 + ca2 + . . . + cak + . . .
k=1
тоже сходится, и его сумма равна cS.
Доказательство. Пусть
S n = a1 + a2 + . . . + an
351
— n-я частичная сумма ряда
∞
P
an , a
n=1
σn = ca1 + ca2 + . . . + can
— n-я частичная сумма ряда
∞
P
can .
n=1
Тогда
σn = ca1 + ca2 + ca3 + · · · + can = c(a1 + a2 + a3 + · · · + an ) = cSn .
Поэтому, переходя к пределу при n → ∞, получаем
lim σn = lim cSn = c lim Sn = cS,
n→∞
n→∞
n→∞
т. е. последовательность частичных сумм {σn }∞
n=1 ряда
cS. Следовательно, ряд
∞
P
∞
P
cak сходится к
n=1
cak сходится и
k=1
σ=
∞
X
cak = c
k=1
∞
X
ak = cS.
k=1
Определение 4.1.16. Если даны ряды
∞
P
k=1
∞
X
ak и
∞
P
bk , то ряд
k=1
(ak + bk ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + . . . + (ak + bk ) + . . .
k=1
называется их суммой, а ряд
∞
X
(ak − bk ) = (a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) + . . . + (ak − bk ) + . . .
k=1
называется их разностью.
352
Теорема 4.1.17. Если ряды
∞
P
ak и
k=1
ветственно равны A и B, то и ряды
bk сходятся и их суммы соот-
k=1
∞
P
(ak ± bk ) тоже сходятся и их
n=1
суммы равны A ± B:
∞
X
∞
P
(ak ± bk ) = (a1 ± b1 ) + (a2 ± b2 ) + . . . + (ak ± bk ) + . . . = A ± B.
k=1
Доказательство. Пусть
A n = a1 + a2 + . . . + an
∞
P
ak , a
— n-я частичная сумма ряда
k=1
Bn = b1 + b2 + . . . + bn
∞
P
bk . Если
— n-я частичная сумма ряда
k=1
τn = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + . . . + (an + bn )
— n-я частичная сумма ряда
∞
P
(ak + bk ), то
k=1
τn = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + . . . + (an + bn ) =
= (a1 + a2 + . . . + an ) + (b1 + b2 + · · · + bn ) = An + Bn
Отсюда, переходя к пределу при n → ∞, получаем
lim τn = lim (An + Bn ) = lim An + lim Bn = A + B,
n→∞
n→∞
n→∞
т. е. последовательность частичных сумм {τn }∞
n=1 ряда
∞
P
(ak +bk ), сходится
k=1
к A + B.
Следовательно,
∞
X
(ak + bk ) =
k=1
∞
X
ak +
k=1
∞
X
bk = A + B.
k=1
Аналогично доказывается, что
∞
X
k=1
(ak − bk ) =
∞
X
ak −
k=1
353
∞
X
k=1
bk = A − B.
Замечание 4.1.18. Сходящиеся ряды можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать так же, как это обычно делается с конечными
суммами.
4.1.3
Необходимое условие сходимости ряда.
При изучении рядов возникают две задачи:
1). Исследовать ряд на сходимость.
2). Зная, что ряд сходится, найти его сумму.
Мы будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический
характер. Начнем с необходимого условия сходимости рядов. Предварительно, приведем несколько замечаний.
Замечание 4.1.19.
• Для того, чтобы числовой ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы числовая последовательность {Sn }∞
n=1 была сходящейся.
• Для того, чтобы числовая последовательность {Sn }∞
n=1 была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
• Для того, чтобы числовой ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы числовая последовательность {Sn }∞
n=1 была фундаментальной.
Сформулируем критерий Коши сходимости ряда.
354
Теорема 4.1.20 (Критерий Коши). Для того, чтобы числовой ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N , что для любого n ≥ N и любого натурального
числа p ∈ N выполнялось неравенство
|Sn+p − Sn | < ε
или
n+p
X
ak < ε.
k=n+1
Из критерия Коши непосредственно следует необходимое условие сходимости ряда.
∞
P
Теорема 4.1.21. Если ряд
ak сходится, то его общий член стремится
n=1
к нулю, т. е.
lim an = 0.
(4.1.6)
a→∞
Доказательство. Если числовой ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
сходится, то по критерию Коши для любого ε > 0 существует такой номер
N , что для любого n ≥ N и любого натурального числа p ∈ N выполняется
неравенство
|Sn+p − Sn | < ε.
Полагая p = 1, получим, что любого n ≥ N
|Sn+1 − Sn | = |an+1 | < ε.
Но это означает, что
lim an = lim an+1 = 0.
n→∞
n→∞
355
Замечание 4.1.22. Приведем еще одно доказательство необходимого условия сходимости ряда.
Пусть ряд
∞
X
ak
n=1
сходится и S его сумма. Рассмотрим частичные суммы ряда
Sn = a1 + a2 + · · · + an−1 + an
и
Sn−1 = a1 + a2 + · · · + an−1 .
Тогда
an = Sn − Sn−1 .
Так как
lim Sn = lim Sn−1 = S,
n→∞
n→∞
то
lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Заметим, что условие (4.1.6) не является достаточным условием сходимости.
Пример 4.1.23. Рассмотрим ряд
∞
X
1
k=1
k
=1+
1 1
1
+ + ··· + + ...,
2 3
k
который обычно называют гармоническим рядом.
Очевидно, что для этого ряда выполнено необходимое условие сходимости:
1
lim an = lim = 0.
n→∞
n→∞ n
Однако, этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился,
то по критерию Коши мы бы для любого ε > 0 имели бы такой номер
N = N (ε), что для любого n ≥ N и любого натурального числа p ∈ N
выполнялось бы неравенство
|Sn+p − Sn | < ε.
356
1
Пусть ε = и n ≥ N = N
2
S2n − Sn =
1
. Полагая p = n, имеем:
2
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
≥
+
+ ... +
=n·
= ,
n+1 n+2
2n
2n 2n
2n
2n
2
т.е.
1
= ε,
2
вопреки предположению. Следовательно, гармонический ряд расходится.
S2n − Sn ≥
Замечание 4.1.24.
• Если общий член ряда стремится к нулю, то о
сходимости ряда ничего еще сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (или признаков) сходимости ряда.
• Если для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то
можно сразу сказать, что такой ряд расходится.
357
4.2
4.2.1
Лекция №22
Ряды с неотрицательными членами
Сходимость рядов с неотрицательными членами.
Признаки сравнения
Пусть члены ряда
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
n=1
неотрицательны:
ak ≥ 0.
Очевидно, что в этом случае
Sn+1 = a1 + a2 + . . . + an + an+1 ≥ a1 + a2 + . . . + an = Sn ,
т.е. последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей.
Поэтому для рядов с неотрицательными членами имеет место следующая теорема.
4.2.1.1. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами
Теорема 4.2.1. Для того чтобы ряд
∞
X
ak
n=1
с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {Sn }∞
n=1 частичных сумм этого ряда была ограничена (сверху).
Доказательство. Необходимость. Пусть
∞
X
ak
n=1
358
с неотрицательными членами сходится. Следовательно, существует конечный предел
lim Sn = S.
n→∞
Так как сходящаяся последовательность является ограниченной, то последовательность {Sn }∞
n=1 ограничена.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм {Sn } ря∞
∞
P
P
да
an ограничена. Так как члены ряда
an неотрицательны, то поn=1
n=1
следовательность {Sn } неубывающая. Поэтому, по теореме Вейерштрасса,
∞
P
она сходится, т. е. сходится ряд
an .
n=1
Замечание 4.2.2. Для того чтобы ряд
∞
X
ak
n=1
с неотрицательными членами расходился, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность частичных {Sn }∞
n=1 частичных сумм этого ряда была
неограничена, т.е чтобы
lim Sn = +∞.
n→∞
4.2.1.2. Первый признак сравнения
Теорема 4.2.3. Пусть
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
и
∞
X
b k = b1 + b2 + . . . + bk + . . .
k=1
два ряда с неотрицательными членами и пусть
ak ≤ bk , k = 1, 2, 3, . . . .
Тогда
359
1). Если ряд
∞
P
bk сходится, то сходится и ряд
k=1
2). Если ряд
∞
P
∞
P
ak .
k=1
ak расходится, то ряд
k=1
∞
P
bk тоже расходится.
k=1
Доказательство. Пусть
A n = a1 + a2 + . . . + an
и
Bn = b1 + b2 + . . . + bn
∞
∞
P
P
n-е частичные суммы рядов
ak и
bk соответственно.
k=1
k=1
Из неравенства ak ≤ bk следует, что
An ≤ Bn .
1). Если ряд
∞
P
bk сходится, то последовательность его частичных
k=1
сумм {Bn }∞
n=1 ограничена. Следовательно, существует такое число L, что
для любого n ∈ N выполняется неравенство
Bn ≤ L.
Следовательно,
An ≤ Bn ≤ L ⇒ An ≤ L,
∞
P
ak ограничена,
т.е. последовательность частичных сумм {An }∞
ряда
n=1
k=1
и потому этот ряд сходится.
∞
P
2). Если ряд
ak расходится, то последовательность его частичных
k=1
сумм {An } неограничена и
lim An = +∞.
n→∞
Следовательно,
An ≤ Bn ⇒ lim Bn = +∞
n→∞
и потому ряд
∞
P
bk расходится.
k=1
360
Замечание 4.2.4. Теорема 4.2.3 остается справедливой, если неравенство
ak ≤ b k
выполняется начиная с некоторого N , т.е. не для любого натурального
k ∈ N, а для любого k ≥ N .
Замечание 4.2.5. Теорема 4.2.3 остается справедливой, если вместо неравенства
ak ≤ b k
выполняется неравенство
ak ≤ c bk
для некоторого числа c > 0.
4.2.1.3. Второй признак сравнения
Теорема 4.2.6. Пусть
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
и
∞
X
bk = b1 + b2 + . . . + bk + . . .
k=1
два ряда с неотрицательными членами, причем bk > 0 для любого k ∈ N,
и пусть существует (конечный или бесконечный) предел
ak
= L, 0 ≤ L ≤ +∞.
k→∞ bk
lim
Тогда
1). Если 0 ≤ L < +∞ и ряд
∞
P
bk сходится, то сходится и ряд
k=1
2). Если 0 < L ≤ +∞ и ряд
∞
P
ak .
k=1
∞
P
bk расходится, то ряд
k=1
расходится.
361
∞
P
k=1
ak тоже
Доказательство. 1). Пусть 0 ≤ L < +∞ и ряд
предел
ak
=L
lim
k→∞ bk
∞
P
bk сходится. Так как
k=1
конечен, то для любого ε > 0 существует номер N такой, что для любого
k ≥ N выполняется неравенство
ak
− L < ε.
bk
Следовательно,
ak
ak
−L<ε⇒
< L + ε ⇒ ak < (L + ε)bk
bk
bk
для любого k ≥ N . Так как ряд
∞
P
сравнения, ряд
∞
P
bk сходится, то, по первому признаку
k=1
ak тоже сходится.
k=1
2). Пусть 0 < L ≤ +∞ и ряд
∞
P
bk расходится. Так как
k=1
ak
= L > 0,
k→∞ bk
lim
то начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
bk
>0
ak
и существует предел
bk
1
= < ∞.
k→∞ ak
L
lim
Если бы ряд
∞
P
ak сходился, то по пункту 1) ряд
k=1
∞
P
bk тоже должен был
k=1
сходиться, вопреки предположению. Следовательно, ряд
∞
P
k=1
362
ak расходится.
4.2.1.4. Третий признак сравнения
Теорема 4.2.7. Пусть
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
и
∞
X
b k = b1 + b2 + . . . + bk + . . .
k=1
два ряда с положительными членами, т.е. ak > 0 и bk > 0 для любого
k ∈ N, и пусть выполняется неравенство
bk+1
ak+1
≤
.
ak
bk
Тогда
1). Если ряд
∞
P
bk сходится, то сходится и ряд
k=1
2). Если ряд
∞
P
∞
P
ak .
k=1
∞
P
ak расходится, то ряд
bk тоже расходится.
k=1
k=1
Доказательство. Подставляя в неравенство
ak+1
bk+1
≤
ak
bk
последовательно k = 1, k = 2, . . ., k = n−1, получим систему неравенств
a
b
2 ≤ 2
a1
b1
a3
b3
≤
a2
b2
............
an−1 ≤ bn−1
an−2
bn−2
bn
an
≤
.
an−1
bn−1
Перемножив эти неравенства почленно, получим
an
bn
≤ .
a1
b1
363
Следовательно,
a1
bn .
b1
Поэтому утверждение теоремы 4.2.7 следует из теоремы 4.2.3.
an ≤
4.2.1.5. Примеры
Пример 4.2.8. Рассмотрим ряд
∞
X
k=1
1
, a > 0.
1 + ak
1). Если 0 < a ≤ 1, то
1
lim an = lim
=
n→∞
n→∞ 1 + an
( 1
, если a = 1
2
1, если 0 < a < 1.
Следовательно,
lim an 6= 0
n→∞
и потому ряд
∞
X
k=1
1
1 + ak
расходится.
2). Если a > 1, то
1
= 0.
n→∞ 1 + an
lim an = lim
n→∞
Кроме того,
1
1
< n =
n
1+a
a
Обозначим
Так как ряд
n
1
.
a
n
1
bn =
.
a
∞
X
bk =
k=1
∞ k
X
1
k=1
364
a
сходится при a > 1 (как геометрическая прогрессия), то по первому
признаку сравнения 4.2.3, ряд
∞
X
k=1
1
1 + ak
сходится.
Пример 4.2.9. рассмотрим ряд
∞
X
2k sin
k=1
x
, 0 < x < 3π.
3k
Так как при 0 < t < π имеет место неравенство
0 < sin t < t,
то при 0 < x < 3π имеет место неравенство
x
x
0 < 2 sin k < 2k k = x
3
3
k
Обозначим
2k
3k
k
2
.
=x
3
n
2
bn = x
.
3
Так как ряд
∞
X
∞
X
k
2
bk =
x
3
k=1
k=1
сходится
2
< 1 , то по признаку сравнения 4.2.7, ряд
3
∞
X
2k sin
k=1
сходится.
365
x
3k
4.2.2
Признаки Даламбера и Коши
Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно делать заключение о сходимости (или расходимости) данного ряда, не
сравнивая его с другим рядом. К таким признакам относятся признаки
Даламбера и Коши.
4.2.2.1. Признак Даламбера
Теорема 4.2.10 (Признак Даламбера). Пусть
тельными членами.
∞
P
ak — ряд с положи-
k=1
1). Если начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
an+1
≤ q < 1, 0 < q < 1,
an
то ряд
∞
P
ak сходится.
k=1
2). Если начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
an+1
≥ 1,
an
то ряд
∞
P
ak расходится.
k=1
Доказательство. 1). Пусть начиная с некоторого номера N выполняется
неравенство
an+1
≤ q < 1.
an
Рассмотрим ряд
∞
X
k=1
bk =
∞
X
qk .
k=1
Так как 0 < q < 1, то этот ряд сходится. Кроме того, для любого n ≥ N
выполняется неравенство
an+1
q n+1
bn+1
≤q= n =
.
an
q
bn
366
Следовательно, по третьему признаку сравнения 4.2.7, ряд
∞
P
ak сходится.
k=1
2). Пусть начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
an+1
≥ 1.
an
Рассмотрим расходящийся ряд
∞
X
bk =
k=1
∞
X
1 = 1 + 1 + 1 + ....
k=1
Так как для любого n ≥ N выполняется неравенство
an+1
bn+1
=1≤
,
bn
an
то по третьему признаку сравнения 4.2.7 ряд
∞
P
ak расходится.
k=1
Замечание 4.2.11. Условие
an+1
≤ q < 1, 0 < q < 1,
an
заменить на условие
an+1
<1
an
нельзя.
Пример 4.2.12. Рассмотрим расходящийся гармонический ряд
∞
X
k=1
ak =
∞
X
1
k=1
k
=1+
1 1
+ + ....
2 3
Для этого ряда выполняется условие
1
n
an+1
= n+1 =
< 1.
1
an
n+1
n
Следовательно, условие
an+1
<1
an
не гарантирует сходимость ряда.
367
4.2.2.2. Признак Даламбера в предельной форме
Теорема 4.2.13 (Признак Даламбера в предельной форме). Пусть
∞
P
ak — ряд с положительными членами и существует предел
k=1
an+1
= L.
n→∞ an
∞
P
1). Если 0 ≤ L < 1, то ряд
ak сходится.
lim
k=1
∞
P
2). Если L > 1, то ряд
ak расходится.
k=1
Доказательство. Так как
an+1
= L,
n→∞ an
lim
то для любого ε > 0 существует номер N = N (ε) такой, что для любого
n ≥ N выполняется неравенство
an+1
an+1
an+1
− L < ε ⇒ −ε <
−L<ε⇒L−ε<
< L + ε.
an
an
an
1). Пусть 0 ≤ L < 1 и ε > 0 такое, что
L + ε < 1.
Тогда для любого n ≥ N (ε) выполняется неравенство
an+1
< L + ε < 1.
an
∞
P
Следовательно, по признаку Даламбера 4.2.10, ряд
ak сходится.
k=1
2). Пусть теперь L > 1 и ε > 0 такое, что
L − ε > 1.
Тогда для любого n ≥ N (ε) выполняется неравенство
an+1
.
1<L−ε<
an
∞
P
Следовательно, по признаку Даламбера 4.2.10, ряд
ak расходится.
k=1
368
Замечание 4.2.14. При
an+1
=L=1
n→∞ an
lim
признак Даламбера в предельной форме ответа на вопрос о сходимости
∞
P
ряда
ak не дает.
k=1
Пример 4.2.15. Рассмотрим расходящийся гармонический ряд
∞
X
ak =
∞
X
1
k=1
k=1
k
=1+
1 1
+ + ....
2 3
Для этого ряда
lim
n→∞
an+1
an
1
n
= lim n + 1 = lim
= 1,
1
n→∞
n→∞ n + 1
n
т.е. L = 1 и ряд расходится.
Пример 4.2.16. Рассмотрим сходящийся обобщенный гармонический ряд
∞
X
∞
X
1
1
1
ak =
= 1 + 2 + 2 + ....
2
k
2
3
k=1
k=1
Для этого ряда
an+1
n→∞ an
lim
1
n2
(n + 1)2
= lim
= lim
= 1,
1
n→∞
n→∞ (n + 1)2
n2
т.е. L = 1 и ряд сходится.
369
4.2.2.3. Признак Коши
Теорема 4.2.17 (Признак Коши). Пусть
ными членами.
∞
P
ak — ряд с положитель-
k=1
1). Если начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
√
n a ≤ q < 1, 0 < q < 1,
n
то ряд
∞
P
ak сходится.
k=1
2). Если начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
√
n a ≥ 1,
n
то ряд
∞
P
ak расходится.
k=1
Доказательство. 1). Пусть начиная с некоторого номера N выполняется
неравенство
√
n a ≤ q < 1.
n
Тогда
an ≤ q n .
Рассмотрим ряд
∞
X
k=1
bk =
∞
X
qk .
k=1
Так как 0 < q < 1, то этот ряд сходится. Кроме того, для любого n ≥ N
выполняется неравенство
an ≤ q n = b n .
∞
P
Поэтому по первому признаку сравнения 4.2.3 ряд
ak сходится.
k=1
2). Пусть начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
√
n a ≥ 1.
n
Следовательно,
an ≥ 1 ⇒ an 6→ 0.
Поэтому ряд
∞
P
ak не удовлетворяет необходимому условию сходимости.
k=1
Таким образом, ряд
∞
P
ak расходится.
k=1
370
Замечание 4.2.18. Условие
√
n a ≤ q < 1
n
заменить на условие
√
n
an < 1
нельзя.
Пример 4.2.19. Рассмотрим расходящийся гармонический ряд
∞
X
ak =
k=1
∞
X
1
k=1
=1+
k
1 1
+ + ....
2 3
Для этого ряда выполняется условие
r
√
1
n a = n
< 1.
n
n
Следовательно, условие
√
n
an < 1
не гарантирует сходимость ряда.
4.2.2.4. Признак Коши в предельной форме
Теорема 4.2.20 (Признак Коши в предельной форме). Пусть
∞
P
k=1
— ряд с положительными членами и существует предел
lim
n→∞
1). Если 0 ≤ K < 1, то ряд
∞
P
√
n
an = K.
ak сходится.
k=1
2). Если K > 1, то ряд
∞
P
ak расходится.
k=1
371
ak
Доказательство. Так как
lim
√
n
n→∞
an = K,
то для любого ε > 0 существует номер N = N (ε) такой, что для любого
n ≥ N выполняется неравенство
√
√
√
| n an − K| < ε ⇒ −ε < n an − K < ε ⇒ K − ε < n an < K + ε.
1). Пусть 0 ≤ K < 1 и ε > 0 такое, что
K + ε < 1.
Тогда для любого n ≥ N (ε) выполняется неравенство
√
n
an < K + ε < 1 ⇒ an < (K + ε)n < 1.
Тогда по признаку Коши 4.2.17 ряд
∞
P
ak сходится.
k=1
2). Пусть теперь K > 1 и ε > 0 такое, что
K − ε > 1.
Тогда для любого n ≥ N (ε) выполняется неравенство
1<K −ε<
√
n a ⇒ 1 < (K − ε)n < a .
n
n
Тогда по признаку Коши 4.2.10 ряд
∞
P
ak расходится.
k=1
Замечание 4.2.21. При
lim
n→∞
√
n
an = K = 1
признак Коши в предельной форме ответа на вопрос о сходимости ряда
∞
P
ak не дает.
k=1
372
Пример 4.2.22. Рассмотрим расходящийся гармонический ряд
∞
X
ak =
k=1
∞
X
1
k=1
k
=1+
1 1
+ + ....
2 3
Для этого ряда
√
lim n an = lim
n→∞
r
n
n→∞
1
= 1,
n
т.е. K = 1 и ряд расходится.
Пример 4.2.23. Рассмотрим сходящийся обобщенный гармонический ряд
∞
X
k=1
ak =
∞
X
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + ....
2
k
2
3
k=1
Для этого ряда
√
lim n an = lim
n→∞
n→∞
r
n
1
= 1,
n2
т.е. в этом случае K = 1 и ряд сходится.
Замечание 4.2.24. Как показывают некоторые примеры, признак Коши
является более эффективным, чем признак Даламбера.
Пример 4.2.25. Рассмотрим ряд
∞
X
(−1)k + 3
k=1
2k+1
.
1). Рассмотрим отношение
an+1
an
(−1)n+1 + 3
(
n+1
1, если n = 2k + 1
n+2
1
(−1)
+
3
2
1
=
=
·
=
(−1)n + 3
, если n = 2k.
2 (−1)n + 3
4
n+1
2
Следовательно, с помощью признака Даламбера исследовать этот ряд на
сходимость нельзя.
373
2). Рассмотрим теперь
r
r
√
(−1)n + 3
1
1 n (−1)n + 3
n a = n
=
bn ,
=
n
2n+1
2
2
2
где
r
n
bn =
(−1)n + 3
.
2
Так как
2 ≤ (−1)n + 3 ≤ 4,
то
1≤
(−1)n + 3
≤ 2.
2
Следовательно,
r
1 ≤ bn =
n
√
(−1)n + 3
n
≤ 2.
2
Так как
√
n
lim
n→∞
2 = 1,
то существует предел
lim bn = 1.
n→∞
Поэтому существует предел
lim an =
n→∞
1
1
lim bn = .
2 n→∞
2
Таким образом, по признаку Коши в предельной форме 4.2.20 ряд
∞
X
(−1)k + 3
k=1
2k+1
является сходящимся.
4.2.3
Интегральный признак Коши-Маклорена
Теорема 4.2.26 (Интегральный признак Коши-Маклорена). Пусть
функция f (x)
1). Определена на [1, +∞);
374
2). Неотрицательна на [1, +∞);
3). Невозрастает на [1, +∞).
Ряд
∞
X
f (k) = f (1) + f (2) + . . . + f (k) + . . .
k=1
сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл
Z +∞
f (x) dx.
1
Доказательство. Разобьем луч [1, +∞) точками
xk = k, k = 1, 2, 3, . . .
на отрезки [xk , xk+1 ] единичной длины. Так как функция f (x) невозрастает на [1, +∞), то она интегрируема на любом отрезке [a, b] ⊂ [1, +∞).
Следовательно, для любого x ∈ [xk , xk+1 ] имеем:
f (k + 1) = f (xk+1 ) ≤ f (x) ≤ f (xk ) = f (k)
и
Z
k+1
Z
k+1
Z
f (x)dx ≤
f (k + 1)dx ≤
f (k)dx.
k
k
k
k+1
Так как f (k) и f (k + 1) постоянные, то
Z
k+1
f (x)dx ≤ f (k), k = 1, 2, 3, . . . .
f (k + 1) ≤
k
Полагая k = 1, 2, 3, . . . , n − 1, получим систему неравенств
Z 2
f (2) ≤
f (x)dx ≤ f (1),
1
Z
3
f
(3)
≤
f (x)dx ≤ f (2),
2
............,
Z n−1
f (n − 1) ≤
f (x)dx ≤ f (n − 2),
n−2
Z
n
f (x)dx ≤ f (n − 1).
f (n) ≤
n−1
375
Сложим полученные неравенства:
Z n
f (x)dx ≤ f (1) + f (2) + . . . + f (n − 1).
f (2) + f (3) + . . . + f (n) ≤
1
Обозначим через
Sn = f (1) + f (2) + . . . + f (n)
∞
P
f (k). Тогда имеем:
n-ю частичную сумму ряда
k=1
n
Z
Sn − f (1) ≤
f (x)dx ≤ Sn−1 , n ≥ 2.
1
1). Если ряд
∞
X
f (k) = f (1) + f (2) + . . . + f (k) + . . .
k=1
сходится, то существует конечный предел
lim Sn = lim Sn−1 = S.
n→∞
n→∞
Так как функция f (x) неотрицательная, то существует предел
Z +∞
Z n
lim
f (x)dx ≤ lim Sn−1 = S,
f (x)dx =
n→∞
n→∞
1
1
и потому несобственный интеграл
Z +∞
f (x) dx
1
сходится.
2). Если несобственный интеграл
Z +∞
f (x) dx
1
сходится, то существует конечный предел
Z n
Z +∞
lim
f (x)dx =
f (x)dx = I.
n→∞
1
1
376
При этом
Z
1
n
xZ
f (x)dx
+∞
f (x)dx = I.
1
∞
P
n-х
частичных
сумм
ряда
f (k) ограТогда последовательность {Sn }∞
n=1
k=1
ничена сверху:
Sn ≤ f (1) + I.
Следовательно, существует конечный предел
Z
lim Sn = S ≤ f (1) + I = f (1) +
n→∞
+∞
f (x)dx.
1
Таким образом, ряд
∞
X
f (k) = f (1) + f (2) + . . . + f (k) + . . .
k=1
сходится.
Замечание 4.2.27. Утверждение теоремы 4.2.26 остается справедливым,
если вместо луча [1, +∞) рассматривать луч [m, +∞) для некоторого натурального m ∈ N, рассматривая таким образом, ряд
∞
X
f (k) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + . . .
k=m
и несобственный интеграл
Z
+∞
f (x) dx.
m
Пример 4.2.28. Рассмотрим ряд
∞
X
1
1
1
1
= 1 + α + α + ··· + α + ....
α
k
2
3
k
k=1
С помощью интегрального признака выясним вопрос о поведении данного ряда при α > 0.
377
Рассмотрим на луче [1, +∞) функцию
f (x) =
1
.
xα
Так как функция f (x) определена, неотрицательна и убывает на [1, +∞),
то она удовлетворяет условиям теоремы 4.2.26.
Несобственный интеграл
Z+∞
dx
xα
1
при α > 1 сходится, и расходится при 0 < α ≤ 1. Следовательно, и данный
ряд сходится при α > 1 и расходится при 0 < α ≤ 1.
Заметим, что при α < 0 такие ряды также расходятся, так как их
общий член не стремится к нулю при n → ∞, т. е. нарушается необходимое
условие сходимости ряда.
Рассмотрим несколько частных случаев.
При α = 2 мы получаем сходящийся ряд
∞
X
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + ....
2
k
2
3
k=1
При α = 1 мы получаем расходящийся гармонический ряд
∞
X
1
k=1
k
=1+
1 1
+ + ....
2 3
При α = 1/2 мы получаем расходящийся ряд
∞
X
1
1
1
√ = 1 + √ + √ + ....
2
3
k
k=1
Пример 4.2.29. Исследуем на сходимость ряд
∞
X
k=3
1
.
k · ln k · ln(ln k)
378
Рассмотрим на луче [3, +∞) функцию
f (x) =
1
.
x · ln x · ln(ln x)
Так как при x ≥ 3 имеем:
x ≥ 3 ⇒ x > e ⇒ ln x > 1 ⇒ ln(ln x) > 0 ⇒ x · ln x · ln(ln x) > 0,
и функция f (x) убывает, то f (x) удовлетворяет условиям теоремы 4.2.26.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
Z +∞
1
dx.
x · ln x · ln(ln x)
3
На луче [3, +∞) функция имеет первообразную
Φ(x) = ln(ln(ln x)).
Так как
lim Φ(x) = lim ln(ln(ln x)) = +∞,
x→+∞
x→+∞
то интеграл расходится. Таким образом, данный ряд
∞
X
k=3
1
k · ln k · ln(ln k)
тоже расходится.
379
4.3
Лекция №23
Ряды с произвольными членами
4.3.1
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
До сих пор мы изучали ряды с неотрицательными членами. Что касается рядов с неположительными членами, то они отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем −1,
вследствие чего ведут себя относительно сходимости аналогичным образом.
Теперь перейдем к рассмотрению так называемых знакочередующихся
рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем
считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде
∞
X
(−1)k+1 uk = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)k+1 uk + . . . ,
k=1
где uk > 0.
Определение 4.3.1. Ряд, который можно записать в виде
∞
X
(−1)k+1 uk = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)k+1 uk + . . . ,
(4.3.1)
k=1
где uk > 0 для любого k ∈ N, называется знакочередующимся.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный
признак сходимости.
Теорема 4.3.2 (Признак Лейбница). Пусть
∞
X
(−1)k+1 uk = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)k+1 uk + . . .
k=1
знакочередующийся ряд. Если
1).
un ≥ un+1 > 0,
т.е. последовательность {un }∞
n=1 является невозрастающей;
380
2).
lim un = 0.
n→∞
Тогда ряд
∞
X
(−1)k+1 uk
k=1
сходится.
Доказательство. Пусть знакочередующийся ряд
∞
X
(−1)k+1 uk = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)k+1 uk + . . .
k=1
удовлетворяет условиям теоремы.
Рассмотрим сначала частичные суммы этого ряда с четным числом
членов:
S2n = u1 −u2 +u3 −u4 +· · ·+u2n−1 −u2n = (u1 −u2 )+(u3 −u4 )+· · ·+(u2n−1 −u2n ).
Так как все разности в скобках в силу первого условия положительны,
то последовательность частичных сумм {S2n } — неубывающая:
S2(n+1) = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + · · · + (u2n−1 − u2n ) + (u2n+1 − u2n+2 ) ≥
≥ (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + · · · + (u2n−1 − u2n ) = S2n ..
Кроме того
S2n = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + u2n−1 − u2n =
= u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − · · · − (u2n−2 − u2n−1 ) − u2n ≤ u1 .
Таким образом, последовательность S2n ограничена сверху.
Итак, последовательность {S2n } монотонно неубывающая и ограниченная сверху. Следовательно, существует предел:
lim S2n = sup S2n .
n→∞
n
Рассмотрим теперь частичные суммы этого ряда с нечетным числом
членов:
S2n+1 = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + u2n−1 − u2n + u2n+1 = S2n + u2n+1 .
381
Переходя в этом равенстве к пределу при n → ∞ и используя второе
условие (un → 0 при n → ∞), получаем
lim S2n+1 = lim (S2n + u2n+1 ) = lim S2n + lim u2n+1 = S + 0 = S.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Таким образом, последовательность частичных сумм {Sn } знакочередующегося ряда
∞
X
(−1)k+1 uk = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)k+1 uk + . . .
k=1
сходится к S. Это означает, что этот ряд сходится.
Следствие 4.3.3. Пусть
∞
X
(−1)k+1 uk = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)k+1 uk + . . .
k=1
знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница
4.3.2 и
Sn = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + un−1 − un
последовательность его n-х частичных сумм. Тогда сумма S этого ряда
удовлетворяет неравенствам:
1).
S2n ≤ S ≤ S2n+1 ,
2).
|S − Sn | ≤ un+1 .
Доказательство. 1). Как уже было установлено,
S2n+2 = S2n + (u2n+1 − u2n+2 ) ≥ S2n ,
и
x
S2n S.
С другой стороны,
S2n+1 = S2n−1 − (u2n − u2n+1 ) ≤ S2n−1 ,
382
и поэтому
S2n+1 yS.
Таким образом,
x
S2n S,
S2n+1 yS.
В частности,
S2n ≤ S ≤ S2n+1 .
2). Перепишем последнее неравенство в виде
S2n−1 − u2n = S2n ≤ S ≤ S2n+1 = S2n + u2n+1 .
Следовательно,
S2n−1 − S ≤ u2n
и
S − S2n ≤ u2n+1 .
Это и означает, что для любого n ∈ N имеет место неравенство
|S − Sn | ≤ un+1 .
Пример 4.3.4. Рассмотрим ряд
∞
X
(−1)k+1
k=1
k
=1−
1 1 1
1
+ − + . . . + (−1)k+1 + . . .
2 3 4
k
Так как
1>
1
1
> > ...
2
3
и
1
= 0,
n→∞ n
то по признаку Лейбница 4.3.2, этот ряд сходится.
lim
4.3.2
Признаки Абеля и Дирихле
Рассмотрим достаточные признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов
вида
∞
X
uk vk = u1 v1 + u2 v2 + . . . + uk vk + . . . .
k=1
383
4.3.2.1. Преобразование Абеля
Рассмотрим преобразование Абеля. которое играет большую роль при
доказательстве признаков сходимости Абеля и Дирихле.
Теорема 4.3.5 (Преобразование Абеля). Пусть
∞
X
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . .
k=1
и
∞
X
vk = v1 + v2 + . . . + vk + . . .
k=1
два произвольных ряда и пусть
Sn =
n
X
uk = u1 + u2 + . . . + un
k=1
n-я частичная сумма первого ряда. Тогда для любого натурального числа
p ∈ N имеет место равенство
n+p
X
n+p−1
uk vk =
k=n
X
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn−1 vn .
k=n
Доказательство. Так как
uk = Sk − Sk−1 , k ≥ 2,
то
n+p
X
n+p
n+p
n+p
X
X
X
uk vk =
(Sk − Sk−1 )vk =
Sk vk −
Sk−1 vk =
k=n
n+p
=
X
k=n
k=n
n+p−1
Sk vk −
X
k=n
n+p−1
Sk vk+1 =
k=n−1
X
k=n
n+p−1
Sk vk + Sn+p vn+p −
k=n
X
Sk vk+1 − Sn−1 vn =
k=n
n+p−1
=
X
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn−1 vn .
k=n
384
Определение 4.3.6. Равенство
n+p
X
n+p−1
uk vk =
k=n
X
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn−1 vn .
(4.3.2)
k=n
называется тождеством Абеля.
4.3.2.2. Признак Дирихле
Теорема 4.3.7 (Признак Дирихле). Пусть
∞
X
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . .
k=1
и
∞
X
vk = v1 + v2 + . . . + vk + . . .
k=1
два произвольных ряда,
Sn =
n
X
uk = u1 + u2 + . . . + un
k=1
n-я частичная сумма первого ряда.
Рассмотрим ряд
∞
X
uk vk = u1 v1 + u2 v2 + . . . + uk vk + . . . .
k=1
Если
1). Последовательность {Sn } ограничена,
2). Последовательность {vn } монотонно стремится к нулю,
то ряд (4.3.3) сходится.
385
(4.3.3)
Доказательство. Запишем тождество Абеля для этих рядов:
n+p
X
n+p−1
X
uk vk =
k=n
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn−1 vn .
k=n
Так как последовательность {Sn } ограничена, то существует такое число
M > 0, что
|Sn | ≤ M
для любого n ∈ N. Тогда
n+p
X
n+p−1
X
uk vk =
k=n
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn−1 vn ≤
k=n
n+p−1
≤
X
Sk (vk − vk+1 ) + |Sn+p vn+p − Sn−1 vn | ≤
k=n
n+p−1
≤
X
|Sk ||vk − vk+1 | + |Sn+p ||vn+p | + |Sn−1 ||vn | ≤
k=n
n+p−1
≤M
X
|vk − vk+1 | + M |vn+p | + M |vn | =
k=n
=M
"n+p−1
X
#
|vk − vk+1 | + |vn+p | + |vn | .
k=n
(1). Если последовательность {vn } монотонно неубывает и стремится
к нулю, то
vk ≤ vk+1 ≤ 0,
и
|vk − vk+1 | = vk+1 − vk ,
|vn+p | = −vn+p ,
|vn | = −vn .
Поэтому
n+p−1
X
n+p−1
|vk − vk+1 | + |vn+p | + |vn | =
k=n
X
k=n
386
(vk+1 − vk ) − vn+p − vn =
= (vn+1 −vn )+(vn+2 −vn+1 )+(vn+3 −vn+2 )+. . .+(vn+p −vn+p−1 )−vn+p −vn =
= −2vn
Следовательно,
n+p
X
uk vk ≤ 2M |vn | → 0
k=n
при n → ∞. Следовательно, по критерию Коши, ряд
∞
X
uk vk = u1 v1 + u2 v2 + . . . + uk vk + . . .
k=1
сходится.
(2). Если последовательность {vn } монотонно невозрастает и стремится к нулю, то
vk ≥ vk+1 ≥ 0,
и
|vk − vk+1 | = vk − vk+1 ,
|vn+p | = vn+p ,
|vn | = vn .
Поэтому
n+p−1
X
n+p−1
|vk − vk+1 | + |vn+p | + |vn | =
k=n
X
(vk − vk+1 ) + vn+p + vn =
k=n
= (vn −vn+1 )+(vn+1 −vn+2 )+(vn+2 −vn+3 )+. . .+(vn+p−1 −vn+p )+vn+p +vn =
= 2vn .
Следовательно,
n+p
X
uk vk ≤ 2M |vn | = 2M vn → 0
k=n
при n → ∞. Следовательно, по критерию Коши и в этом случае ряд
∞
X
uk vk = u1 v1 + u2 v2 + . . . + uk vk + . . .
k=1
сходится.
387
4.3.2.3. Признак Абеля
Теорема 4.3.8 (Признак Абеля). Пусть
∞
X
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . .
k=1
и
∞
X
vk = v1 + v2 + . . . + vk + . . .
k=1
два произвольных ряда.
Рассмотрим ряд
∞
X
uk vk = u1 v1 + u2 v2 + . . . + uk vk + . . .
(4.3.4)
k=1
Если
1). Ряд
∞
X
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . .
k=1
сходится,
2). Последовательность {vn } монотонна и ограничена,
то ряд (4.3.4) сходится.
Доказательство. (1). Последовательность {vn } монотонна и ограничена,
следовательно, она сходится. Поэтому существует конечный предел
lim vn = v ⇒ lim (vn − v) = 0,
n→∞
n→∞
причем либо (vn − v) ↑ 0, либо (vn − v) ↓ 0.
(2). Так как ряд
∞
X
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . .
k=1
сходится, то последовательность
Sn =
n
X
uk = u1 + u2 + . . . + un
k=1
388
n-х частичных сумм этого ряда сходится к конечному пределу и потому
ограничена.
Поэтому, по признаку Дирихле 5.3.8, ряд
∞
X
uk (vk − v)
k=1
сходится.
(3). Так как ряд
∞
X
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . .
k=1
сходится, то сходится и ряд
∞
X
vuk = vu1 + vu2 + . . . + vuk + . . . .
k=1
(4). Так как имеет место равенство
uk vk = uk (vk − v) + vuk ,
ряды
∞
P
uk (vk − v) и
k=1
∞
P
vuk сходятся, то сходится и ряд
k=1
∞
X
uk vk = u1 v1 + u2 v2 + . . . + uk vk + . . . .
k=1
Пример 4.3.9. Рассмотрим ряд
∞
X
sin kα
k
k=1
.
Обозначим
uk = sin kα
и
vk =
1
.
k
389
1). Пусть α = πn, n ∈ N. Тогда
sin(kα) = sin(πkn) = 0.
Поэтому, в этом случае ряд сходится.
2). Пусть теперь α 6= πn, n ∈ N.
2.1). Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда
∞
X
uk =
k=1
∞
X
sin kα :
k=1
Sn = sin α + sin 2α + . . . + sin nα.
α
Умножим обе части этого равенства на 2 sin 6= 0:
2
2Sn sin
α
α
α
α
= 2 sin α sin + 2 sin 2α sin + . . . + 2 sin nα sin .
2
2
2
2
Так как
2 sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y),
то
α
α
3α
2 sin α sin = cos − cos ,
2
2
2
3α
5α
α
2 sin 2α sin = cos
− cos ,
2
2
2
.....................,
1
1
α
2 sin nα sin = cos n −
α − cos n +
α.
2
2
2
Поэтому
α
α
1
n+1
n
2Sn sin = cos − cos n +
α = 2 sin
α sin α.
2
2
2
2
2
Следовательно,
sin
Sn =
n+1
n
α sin α
2
2 .
α
sin
2
390
Таким образом,
sin
|Sn | =
n+1
n
α sin α
1
2
2 ≤
α
α ,
sin
sin
2
2
т.е. последовательность {Sn } частичных сумм ряда
∞
X
uk =
k=1
∞
X
sin kα
k=1
ограничена.
2.2). Последовательность
1
n
монотонно убывает и стремится к нулю.
Следовательно, по признаку Дирихле, ряд
vn =
∞
X
sin kα
k=1
k
сходится.
4.3.3
Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Теперь рассмотрим ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды
называются знакопеременными рядами.
Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . . ,
(4.3.5)
k=1
где числа a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . . могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных
членов в ряде совершенно произвольно. Одновременно рассмотрим ряд,
составленный из абсолютных величин членов ряда (4.3.5):
∞
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |ak | + . . . .
k=1
391
(4.3.6)
Определение 4.3.10. Ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + ak + . . .
k=1
называется абсолютно сходящимся. если сходится ряд
∞
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + · · · + |ak | + . . . .
k=1
Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимости.
Теорема 4.3.11. Если ряд
∞
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |ak | + . . .
k=1
сходится, то сходится и ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + ak + . . . .
k=1
Доказательство. Пусть ряд
∞
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |ak | + . . .
k=1
сходится. Обозначим через Sn частичную сумму ряда (4.3.5), а через Snabs
— частичную сумму ряда (4.3.6)):
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an ;
Snabs = |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |an |.
Так как ряд (4.3.6) сходится, то по критерию Коши для любого ε > 0
существует такой номер N , что для любого n ≥ N и любого натурального
числа p ∈ N выполняется неравенство
abs
Sn+p
−
Snabs
n+p
X
=
k=n+1
392
|ak | < ε.
Но тогда, для любого n ≥ N и любого натурального числа p ∈ N выполняется неравенство
n+p
X
|Sn+p − Sn | =
ak ≤
k=n+1
n+p
X
|ak | < ε.
k=n+1
Следовательно, ряд (4.3.5) удовлетворяет критерию Коши, и потому сходится.
Определение 4.3.12. Если ряд (4.3.5)
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + ak + . . .
k=1
сходится, а ряд (4.3.6)
∞
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + · · · + |ak | + . . .
k=1
расходится, то ряд (4.3.5) называется сходящимся условно.
Рассмотрим примеры.
Пример 4.3.13. Ряд
∞
X
(−1)k−1
k=1
k2
=1−
1
1
1
+
−
+ ...
22 32 42
сходится абсолютно.
Пример 4.3.14. Ряд
∞
X
(−1)k−1
k=1
2k−1
=1−
сходится абсолютно.
393
1 1 1
+ − + ...
2 4 8
Пример 4.3.15. Ряд
∞
X
1
(−1)k−1
1
1
√
= 1 − √ + √ − √ + ...
2
3
4
k
k=1
сходится условно, так как он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин:
∞
X
1
1
1
1
√ = 1 + √ + √ + √ + ...
2
3
4
k
k=1
расходится.
Пример 4.3.16. Ряд
∞
X
(−1)k−1
k
k=1
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
=1−
сходится условно, так как он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, представляет собой расходящийся
гармонический ряд
∞
X
1
k=1
k
=1+
1 1 1
+ + + ....
2 3 4
Вычислим сумму ряда
∞
X
(−1)k−1
k
k=1
=1−
1 1 1
+ − + ....
2 3 4
Для этого рассмотрим функцию
f (x) = ln(1 + x), x ∈ [0, 1],
и разложим ее по формуле Маклорена:
ln(1 + x) = x −
x 2 x3 x4
xn
+
−
+ . . . + (−1)n−1 + Rn (x).
2
3
4
n
Подставляя x = 1, получим
ln 2 = 1 −
1 1 1
1
+ − + . . . + (−1)n−1 + Rn (1).
2 3 4
n
394
Так как по следствию из признака Лейбница
|Sn − S| < un+1 ,
то
|Rn (1)| = ln 2 −
n
X
(−1)k−1
k=1
k
и
lim Rn (1) = 0.
n→∞
Следовательно,
lim Sn = ln 2,
n→∞
т.е.
∞
X
(−1)k−1
k=1
k
395
= ln 2.
<
1
n+1
4.4
Лекция №24
Группировка и перестановка членов ряда.
Произведение рядов
Для конечных сумм имеют место два закона сложения (свойства):
• Группировка: при любой расстановке скобок сумма не меняется;
• Перестановка: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Исследуем эти свойства для бесконечных сумм, т.е. для рядов
4.4.1
Группировка членов ряда
Пусть дан ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . .
k=1
и строго возрастающая последовательность {kj }∞
j=1 натуральных чисел.
Рассмотрим числовую последовательность {bj }∞
j=1 , определяемую следующим образом:
b 1 = a1 + a2 + · · · + ak 1 ,
b2 = ak1 +1 + ak1 +2 + · · · + ak2 ,
b3 = ak2 +1 + ak2 +2 + · · · + ak3 ,
...........................................
bj = akj−1 +1 + akj−1 +2 + · · · + akj .
Определение 4.4.1. Ряд
∞
X
bj = b 1 + b2 + b3 + · · · + bj + · · · =
j=1
= (a1 +a2 +· · ·+ak1 )+(ak1 +1 +ak1 +2 +· · ·+ak2 )+. . .+(akj−1 +1 +akj−1 +2 +· · ·+akj )+. . .
называется рядом, полученным из ряда
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . .
k=1
группировкой его членов без изменения порядка их следования.
396
Теорема 4.4.2. Если ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . .
k=1
сходится, то ряд
∞
X
bj = b1 + b2 + b3 + · · · + bj + . . . ,
j=1
полученный из первоначального ряда группировкой его членов без изменения порядка их следования, тоже сходится и имеет ту же сумму.
Доказательство. Пусть ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . .
k=1
сходится и ряд
∞
X
bj = b1 + b2 + b3 + · · · + bj + . . . ,
j=1
полученный из первоначального ряда группировкой его членов без изменения порядка их следования, т.е.
bj = akj−1 +1 + akj−1 +2 + · · · + akj .
Обозначим частичные суммы этих рядов через
Sn =
n
X
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an
k=1
и
σm =
m
X
bj = b1 + b 2 + b3 + · · · + bm .
j=1
Тогда
σm = (a1 + a2 + · · · + ak1 ) + (ak1 +1 + ak1 +2 + · · · + +ak2 )
+ . . . + (akm−1 +1 + akm−1 +2 + · · · + akm ) = Skm .
397
Так как существует конечный предел последовательности {Sn }∞
n=1 :
lim Sn = S,
n→∞
то любая ее подпоследовательность тоже сходится и имеет тот же предел.
Поэтому существует предел
lim σm = lim Skm = S.
m→∞
m→∞
Таким образом, ряд
∞
X
bj
j=1
тоже сходится и имеет ту же сумму.
Замечание 4.4.3. Обратное утверждение неверно.
Пример 4.4.4. Рассмотрим расходящийся ряд
∞
X
(−1)k−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . . .
k=1
Группируя члены этого ряда попарно, получим ряд
∞
X
bj = (1 − 1) + (1 − 1) + . . . + (1 − 1) + . . . ,
j=1
который, очевидно, сходится и имеет сумму S = 0.
4.4.2
Перестановка членов ряда. Теорема Римана
Исследуем вопрос о возможности перестановки членов ряда. Сначала
рассмотрим пример.
398
Пример 4.4.5. Рассмотрим ряд
∞
X
(−1)k−1
k
k=1
=1−
1 1 1
+ − + ....
2 3 4
Выше было показано, что этот ряд сходится условно и имеет сумму, равную
∞
X
1 1 1
(−1)k−1
= 1 − + − + . . . = ln 2.
k
2 3 4
k=1
1). Сначала сгруппируем члены ряда попарно, не меняя порядок их
следования:
1
1 1
1
1
1−
+
−
+ ... +
−
+ ....
2
3 4
2k − 1 2k
В силу теоремы 4.4.2, получим:
∞
X
k=1
1
1
−
2k − 1 2k
= S = ln 2.
Обозначим n-ю частичную сумму этого ряда через Sn .
2). Теперь переставим члены ряда так, чтобы после каждого положительного слагаемого следовали два отрицательных, и затем сгруппируем
члены ряда по три:
1
1
1 1 1
1
1 1
+
− −
+ ... +
−
−
+ ....
1− −
2 4
3 6 8
2k − 1 4k − 2 4k
0
Обозначим m-ю частичную сумму этого ряда через Sm
. Тогда
0
S3m
=
m
X
k=1
=
1
1
1
−
−
2k − 1 4k − 2 4k
m
X
k=1
=
=
1
2
k=1
1
−
(2k − 1)(4k − 2)
4k
k=1
2k − 1
1
−
(2k − 1)(4k − 2) 4k
m
X
m
X
(4k − 2) − (2k − 1)
=
1
1
−
2k − 1 2k
399
m
X
k=1
1
1
−
4k − 2 4k
1
= S2m .
2
=
=
Следовательно,
1
0
S3m
= S2m .
2
Далее,
0
0
S3m−1
= S3m
+
и
0
0
S3m−2
= S3m
+
1
1
1
= S2m +
4m
2
4m
1
1
1
1
1
+
= S2m +
+
.
4m − 2 4m
2
4m − 2 4m
Таким образом,
1
1
0
lim S3m
= lim S2m = S,
m→∞
m→∞ 2
2
1
1
1
0
lim S3m−1 = lim
S2m +
= S
m→∞
m→∞ 2
4m
2
и
lim
m→∞
0
S3m−2
= lim
m→∞
1
1
1
1
S2m +
+
= S.
2
4m − 2 4m
2
Отсюда сумма переставленного ряда равна
m
X
k=1
1
1
1
−
−
2k − 1 4k − 2 4k
1
1
= S = ln 2.
2
2
Следовательно, сумма переставленного ряда оказалась другой. Таким образом, этот условно сходящийся ряд перестановочным свойством не обладает.
Замечание 4.4.6. Результат, полученный в примере, не случаен. Имеет
место следующая теорема Римана.
Теорема 4.4.7 (Теорема Римана). Если ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + · · · + ak + . . .
(4.4.1)
k=1
сходится условно, то для любого наперед заданного числа L можно так
переставить члены данного ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к
L (т.е. имел сумму, равную L).
400
Доказательство. Пусть ряд (4.4.1) сходится условно. Обозначим через
Sn =
n
X
ak = a1 + a2 + · · · + an
k=1
n-ю частичную сумму данного ряда, а через
Snabs
=
n
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + · · · + |an |
k=1
n-ю частичную сумму расходящегося ряда
∞
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + · · · + |ak | + . . . .
k=1
1). Обозначим через
p1 , p2 , . . . , pk , . . .
последовательность положительных членов ряда (4.4.1), взятых в том же
порядке, в котором они входят в данный ряда, а через
q1 , q2 , . . . , qk , . . .
соответствующую последовательность модулей отрицательных членов этого ряда.
Покажем, что обе последовательности {pk } и {qk } бесконечные.
1.1). Допустим, что последовательность {pk } конечная и содержит K членов. Тогда
p K = aN
для некоторого номера N . Следовательно, все члены ряда (4.4.1) с
большими номерами
aN +1 , aN +2 , aN +3 , . . .
отрицательны. Но тогда ряд
∞
X
ak = aN +1 + aN +2 + . . .
k=N +1
401
содержит только отрицательные члены. Следовательно,
∞
X
|ak | = −aN +1 − aN +2 − . . . = −
k=N +1
Так как ряд
∞
P
∞
X
ak .
k=N +1
ak сходится, то сходится и его N -й остаток
k=1
∞
P
ak .
k=N +1
Но тогда сходится ряд
∞
X
−
ak =
k=N +1
∞
P
|ak |.
k=N +1
∞
P
Поэтому должен сходится ряд
сходимости ряда
∞
X
|ak |. Но это противоречит условной
k=1
ak .
k=1
Таким образом, последовательность {pk } — бесконечная.
1.2). Аналогично доказывается, что последовательность {qk } тоже бесконечная.
2). Таким образом, с данным рядом
∞
P
ak связаны два бесконечных ря-
k=1
∞
∞
P
P
да
pk и
qk с положительными членами, причем, в силу необходимого
k=1
k=1
признака сходимости ряда,
lim pk = lim qk = 0.
k→∞
Покажем, что оба ряда
∞
P
k=1
pk и
k→∞
∞
P
qk расходящиеся. Действительно, обо-
k=1
значим через Pn сумму всех pi , входящих в n-ю сумму Sn ряда
∞
P
k=1
через Qn — сумму всех qj , входящих в Sn . Тогда
Sn = Pn − Qn
и
Snabs = Pn + Qn .
Так как
lim Sn = S и
n→∞
lim Snabs = +∞,
n→∞
402
ak , а
то
Snabs + Sn
= +∞
n→∞
2
lim Pn = lim
n→∞
и
Snabs − Sn
= +∞.
n→∞
2
lim Qn = lim
n→∞
Поэтому
∞
X
pk = +∞ и
k=1
∞
X
qk = +∞.
k=1
Причем, так как
pk > 0 и qk > 0,
то для любого натурального m
∞
X
pk = +∞ и
k=m
∞
X
qk = +∞.
k=m
Поэтому для любого положительного числа M > 0 существуют такие m1
и m2 , что
m1
m2
X
X
pk > M и
qk > M.
k=m
k=m
3). Пусть теперь L — произвольное фиксированное число. Без ограничения общности, считаем, что L > 0.
3.1) Пусть k1 такое число, что
p1 + p2 + . . . + pk1 −1 =
kX
1 −1
pk ≤ L
k=1
и
p1 + p2 + . . . + pk1 −1 + pk1 =
k1
X
k=1
Легко видеть, что
k1
X
pk − L < pk1 .
k=1
403
pk > L.
3.2) Пусть k2 такое число, что
k1
X
pk − q1 − q2 − . . . − qk2 −1 =
k=1
k1
X
pk −
kX
2 −1
qk ≥ L
k=1
k=1
и
k1
X
pk − q1 − q2 − . . . − qk2 −1 − qk2 =
k=1
k1
X
pk −
k=1
k2
X
qk < L.
k=1
При этом,
"
k1
X
k=1
pk −
l
X
#
qk − L < pk1 , при 1 ≤ l ≤ k2 − 1
k=1
и
"
L−
k1
X
pk −
k=1
k2
X
k=1
404
#
qk < qk2 .
3.3) Пусть k3 такое число, что
k1
X
=
pk −
k=1
k=1
k1
X
k2
X
pk −
k=1
и
k1
X
qk + pk1 +1 + pk1 +2 + . . . + pk3 −1 =
pk −
k2
X
kX
3 −1
qk +
k=1
k=1
=
k2
X
pk =
k=k1 +1
kX
3 −1
pk −
k=1
k2
X
qk ≤ L
k=1
qk + pk1 +1 + pk1 +2 + . . . + pk3 −1 + pk3 =
k=1
k1
X
pk −
k=1
k2
X
k3
X
qk +
k=1
pk =
k=k1 +1
k3
X
pk −
k=1
k2
X
qk > L.
k=1
При этом,
"
L−
l
X
k=1
и
pk −
l
X
#
qk < qk2 , при k1 + 1 ≤ l ≤ k3 − 1
k=1
"
k3
X
pk −
k=1
k2
X
#
qk < pk3 .
k=1
Продолжая процесс, получим ряд
p1 + p2 + . . . + pk1 − q1 − q2 − . . . − qk2 +
405
+pk1 +1 + pk1 +2 + . . . + pk3 − qk2 +1 − qk2 +2 − . . . − qk4 + . . . ,
который, после группировки членов, выглядит так:
(p1 + p2 + . . . + pk1 ) − (q1 + q2 + . . . + qk2 )+
+(pk1 +1 + pk1 +2 + . . . + pk3 ) − (qk2 +1 + qk2 +2 + . . . + qk4 ) + . . . .
Покажем, что построенный ряд сходится и сумма его равна L.
Обозначим
K2m−1 = k1 + k2 + . . . + k2m−1
и
K2m = k1 + k2 + . . . + k2m .
Пусть σn — n-я сумма построенного ряда. Возможны следующие случаи:
• Если n = K2m−1 , то
σn − L < pn = pK2m−1 .
• Если K2m−1 < n < K2m , то
σn − L < pK2m−1 .
• Если n = K2m , то
L − σn < qn = qK2m .
406
• Если K2m < n < K2m+1 , то
L − σn < qK2m .
Так как
lim pK2m−1 = lim qK2m = 0,
m→∞
m→∞
то
lim σn = L,
n→∞
т.е. построенный ряд сходится и сумма его равна L.
Следствие 4.4.8. Условно сходящийся ряд перестановочным свойством
не обладает. Другими словами, от перестановки мест слагаемых бесконечной суммы эта сумма может меняться.
Иначе обстоят дела с абсолютно сходящимися рядами. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 4.4.9 (Теорема Коши). Если ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
407
(4.4.2)
сходится абсолютно, то ряд
∞
X
a0k = a01 + a02 + . . . + a0k + . . . ,
(4.4.3)
k=1
полученный из ряда 4.4.2 перестановкой его членов, тоже сходится абсолютно и имеет ту же сумму.
Доказательство. Пусть ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
сходится абсолютно и
∞
X
ak = A.
k=1
1). Допустим сначала, что
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
ряд с неотрицательными членами и
Sn =
n
X
ak
k=1
его n-я частичная сумма. Тогда последовательность {Sn } неубывающая,
ограниченная сверху и
Sn ↑ A при n → ∞.
Пусть
Sn0
=
n
X
a0k
k=1
n-я частичная сумма переставленного ряда
∞
X
a0k = a01 + a02 + . . . + a0k + . . . .
k=1
408
Тогда
0
a = ak1
01
a2 = ak2
.........
0
an = akn .
Обозначим
m = max{k1 , k2 , . . . , kn }.
Ясно, что n ≤ m. Поэтому
Sn0 ≤ Sm ≤ A,
т.е. последовательность {Sn0 } n-х частичных сумм ряда
∞
P
a0k с неотрица-
k=1
тельными членами ограничена сверху. Следовательно, эта последователь∞
P
ность сходится, а потому сходится и ряд
a0k . Пусть
k=1
∞
X
a0k = A0 .
k=1
Так как
Sn0 ≤ Sm ≤ A,
то
A0 ≤ A,
∞
P
т.е. сумма переставленного ряда
a0k не превосходит суммы данного ряда
∞
P
k=1
ak .
k=1
Так как, в свою очередь, ряд
∞
P
ak может быть получен из ряда
k=1
перестановкой его членов, то должно выполняться неравенство
A ≤ A0 .
Поэтому
A = A0 .
2). Пусть теперь
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
409
∞
P
k=1
a0k
произвольный абсолютно сходящийся ряд и
Sn =
n
X
ak
k=1
его n-я частичная сумма. Тогда ряд
∞
X
|ak | = |a1 | + |a2 | + . . . + |ak | + . . .
(4.4.4)
k=1
сходится. Обозначим через
n
X
Snabs =
|ak |
k=1
n-ю частичную сумму ряда (4.4.4).
Пусть
∞
n
X
X
ak = S
ak =
lim Sn = lim
n→∞
n→∞
и
lim
n→∞
Snabs
= lim
n→∞
k=1
k=1
n
X
|ak | =
k=1
∞
X
|ak | = S abs .
k=1
Рассмотрим, как и в доказательстве теоремы Римана, последовательность
{pk } положительных членов ряда (4.4.2):
p1 , p2 , . . . , pk , . . .
взятых в том же порядке, в котором они входят в данный ряда, последовательность {qk } модулей отрицательных членов этого ряда:
q1 , q2 , . . . , qk , . . . ,
и соответствующие ряды
∞
P
pk и
k=1
∞
P
qk . Аналогично, обозначим через Pn
k=1
сумму всех pi , входящих в n-ю сумму Sn ряда
∞
P
k=1
всех qj , входящих в Sn . Тогда
Sn = Pn − Qn
410
ak , а через Qn — сумму
и
Snabs = Pn + Qn .
Так как
lim Sn = S и
n→∞
lim Snabs = S abs ,
n→∞
то существуют пределы
S abs + S
Snabs + Sn
=
=P
lim Pn = lim
n→∞
n→∞
2
2
и
Snabs − Sn
S abs − S
=
= Q.
n→∞
n→∞
2
2
∞
∞
P
P
Поэтому оба ряда
pk и
qk сходятся и
lim Qn = lim
k=1
k=1
∞
X
pk = P и
k=1
∞
X
qk = Q.
k=1
Так как ряд (4.4.4) сходится, то, по пункту 1), сходится ряд
∞
X
|a0k | = |a01 | + |a02 | + . . . + |a0k | + . . . ,
(4.4.5)
k=1
полученный из ряда (4.4.4) перестановкой его членов, и имеет ту же сумму
S abs . Но тогда ряд
∞
X
a0k = a01 + a02 + . . . + a0k + . . .
k=1
сходится абсолютно. Ясно, что этот ряд представляет собой ряд, полученный из ряда (4.4.2) перестановкой его членов. Пусть, как и выше, {Sn0 } —
∞
P
последовательность n-х частичных сумм ряда
a0k .
Перестановка членов ряда
∞
P
k=1
ak приводит к перестановке членов рядов
k=1
∞
P
∞
∞
∞
P
P
P
pk и
qk . Как было показано выше, ряды
p0k и
qk0 тоже сходятся
k=1
k=1
k=1
k=1
и имеют те же суммы
∞
X
p0k
=P и
k=1
∞
X
k=1
411
qk0 = Q.
Но тогда для суммы ряда
∞
P
a0k имеем:
k=1
S 0 = lim Sn0 = lim [Pn0 − Q0n ] = P − Q = S,
n→∞
n→∞
т.е. переставленный ряд
∞
P
a0k имеет ту же сумму, что и ряд
∞
P
ak .
k=1
k=1
Следствие 4.4.10. Абсолютно сходящиеся ряды перестановочным свойством обладают. Другими словами, от перестановки мест слагаемых
абсолютно сходящегося ряда его сумма не меняется.
4.4.3
Произведение рядов. Теорема Коши
Рассмотрим два числовых ряда
∞
X
uk = u1 + u2 + . . . + uk + . . .
k=1
и
∞
X
vk = v1 + v2 + . . . + vk + . . . .
k=1
Определение 4.4.11. Ряд составленный из всех произведений вида
uk vl , k = 1, 2, . . . , l = 1, 2, . . . ,
называется произведением рядов
∞
P
uk и
k=1
Замечание 4.4.12. Произведение рядов
∞
P
vk .
k=1
∞
P
uk и
k=1
∞
P
vk можно рассматри-
k=1
вать как сумму элементов бесконечной матрицы следующего вида:
v1
v2
v3
...
u1
u1 v1
u1 v2
u1 v3
...
u2
u2 v1
u2 v2
u2 v3
...
412
u3
u3 v1
u3 v2
u3 v3
...
...
...
...
...
...
∞
P
Замечание 4.4.13. Ясно, что произведение рядов
k=1
uk и
∞
P
vk зависит
k=1
от того, в какой последовательности мы будем рассматривать сумму элементов этой бесконечной матрицы.
Имеет место следующая замечательная теорема, которую часто называют теоремой Коши.
∞
P
Теорема 4.4.14. Если ряды
∞
P
uk и
k=1
∞
X
vk сходятся абсолютно, причем
k=1
∞
X
uk = U и
k=1
vk = V,
k=1
то ряд, составленный из всех произведений вида
uk vl , k = 1, 2, . . . , l = 1, 2, . . . ,
занумерованных в каком угодно порядке, тоже сходится и его сумма
равна U V .
Доказательство. Обозначим
n
X
uk = Un ,
n
X
|uk | =
vk = Vn ,
k=1
k=1
и
n
X
Unabs
n
X
и
k=1
|vk | = Vnabs ,
k=1
1). Пусть
∞
X
wm
m=1
ряд, составленный из всех произведений вида
uk vl , k = 1, 2, . . . , l = 1, 2, . . . ,
занумерованных в каком угодно порядке. Докажем, что этот ряд сходится
абсолютно, т.е., что сходится ряд
∞
X
|wm |.
m=1
413
Обозначим
Wn =
n
X
wm
m=1
и
Wnabs
=
n
X
|wm |.
m=1
Каждый элемент wm , входящий в Wn , имеет вид
wm = ukm vlm , m = 1, 2, . . . , n.
Среди всех индексов km и lm выберем наибольший:
N = max{k1 , k2 , . . . , kn , l1 , l2 , . . . , ln }.
Тогда
Wnabs ≤ (|u1 | + |u2 | + . . . + |uN |)(|v1 | + |v2 | + . . . + |vN |) = UNabs VNabs .
∞
P
Так как ряд
|uk | сходится, то последовательность {Unabs } неубывающая,
k=1
ограниченная сверху и
Unabs ↑ U abs при n → ∞.
Аналогично, так как ряд
∞
P
|vk | сходится, то последовательность {Vnabs }
k=1
неубывающая, ограниченная сверху и
Vnabs ↑ V abs при n → ∞.
Следовательно,
abs
Un ≤ U abs
⇒ Unabs Vnabs ≤ U abs V abs для любого n ∈ N.
Vnabs ≤ V abs
Таким образом,
Wnabs ≤ UNabs VNabs ≤ U abs V abs ,
т.е. последовательность {Wnabs } неубывающая, ограниченная сверху, и по∞
∞
P
P
тому сходится. Следовательно, ряд
|wm | сходится, а потому ряд
wm
m=1
сходится абсолютно.
414
m=1
Пусть
∞
X
wm = W и
m=1
∞
X
|wm | = W abs .
m=1
2). Покажем, что
W = U V.
∞
P
Так как ряд
wm сходится абсолютно, то по теореме 4.4.9 члены этоm=1
го ряда можно как угодно переставлять, сохраняя при этом сумму ряда.
Поэтому для любого порядка слагаемых
lim Wn = W.
n→∞
Тогда и любая подпоследовательность {Wnk } тоже сходится и имеет тот
же предел W .
Пусть {WN } — такая подпоследовательность частичных сумм ряда
∞
P
wm , что
m=1
WN = (u1 + u2 + . . . + uN )(v1 + v2 + . . . + vN ) = UN VN .
Тогда
W = lim WN = lim [UN VN ] = U V.
N →∞
N →∞
415
Глава 5
Функциональные
последовательности и ряды
5.1
5.1.1
Лекция №25
Функциональные последовательности. Равномерная сходимость
Понятие функциональной последовательности.
Сходимость. Предельная функция
Определение 5.1.1. Последовательность функций
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fn (x), . . . ,
определенных на одном и том же множестве D (D может быть, например, отрезком [a, b]), называется функциональной последовательностью и
обозначается
∞
{fn (x)}∞
n=1 , (fn (x))n=1 и {fn (x)}.
Замечание 5.1.2. Если зафиксировать x0 ∈ D, то функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 превратится в числовую последовательность
∞
{fn (x0 )}n=1 :
f1 (x0 ), f2 (x0 ), f3 (x0 ), . . . , fn (x0 ), . . .
416
Определение 5.1.3.
• Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1
называется сходящейся в точке x0 ∈ D, если числовая последовательность {fn (x0 )}∞
n=1 сходится. В этом случае точку x0 ∈ D называют
точкой сходимости функциональной последовательности {fn (x)}∞
n=1 .
• Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 называется расходящейся в точке x0 ∈ D, если числовая последовательность {fn (x0 )}∞
n=1
расходится. В этом случае точку x0 ∈ D называют точкой расходимости функциональной последовательности {fn (x)}∞
n=1 .
Определение 5.1.4. Множество Df ⊆ D всех точек сходимости функциональной последовательности {fn (x)}∞
n=1 называется областью сходимости
этой последовательности.
Замечание 5.1.5. В различных случаях множество Df всех точек сходимости функциональной последовательности {fn (x)}∞
n=1 может быть следующим:
• Совпадать с D:
Df = D;
• Быть собственным подмножеством D:
Df ⊂ D;
• Быть пустым:
Df = ∅.
Если Df 6= ∅, то на Df может быть следующим образом определена
такая функция f :
f
Df →
− R,
что
f (x0 ) = lim fn (x0 ) для любого x0 ∈ Df .
n→∞
Определение 5.1.6. Функция f (x) называется предельной функцией функциональной последовательности {fn (x)}∞
n=1 или пределом функциональной последовательности {fn (x)}∞
при
n
→ ∞ и обозначается
n=1
f (x) = lim fn (x) для любого x ∈ Df .
n→∞
417
Пример 5.1.7. Рассмотрим функциональную последовательность
1 − nx, если 0 ≤ x ≤ 1
n
fn (x) =
1
0,
если < x ≤ 1.
n
Покажем, что функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится на всем отрезке [0, 1] (т.е. Df = [0, 1] = D), и найдем предельную функцию f (x).
1). Легко видеть, что
fn (0) = 1
для любого n ∈ N. Поэтому
f (0) = lim fn (0) = 1.
n→∞
2). Если 0 < x0 ≤ 1, то в силу того, что
1
= 0,
n→∞ n
lim
найдется такой номер n0 , что
1
< x0 .
n0
Но тогда
fn0 (x0 ) = 0 и fn (x0 ) = 0 для любого n > n0 .
Таким образом,
lim fn (x0 ) = 0,
n→∞
418
т.е.
f (x0 ) = 0 для любого 0 < x0 ≤ 1.
Следовательно, функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится
на всем отрезке [0, 1] и предельная функция f (x) равна
1, если x = 0
f (x) =
0, если 0 < x ≤ 1.
Определение 5.1.8. Если
lim fn (x) = f (x)
n→∞
на Df , то функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 называется сходящейся на Df . Символически эту сходимость обозначают так:
fn (x) −→ f (x).
Определение 5.1.8 можно переформулировать следующим образом.
Определение 5.1.9. Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 называется сходящейся к функции f (x) на Df , если для любого ε > 0 и для
любого фиксированного x ∈ Df существует такой номер N = N (ε, x), что
для любого n ≥ N выполняется неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε.
419
5.1.2
Равномерная сходимость функциональной последовательности
Среди всех сходящихся функциональных последовательностей особое
внимание заслуживают так называемые равномерно сходящиеся последовательности.
Определение 5.1.10. Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 называется равномерно сходящейся к функции f (x) на D ⊆ Df , если для
любого ε > 0 существует такой номер N = N (ε), что для любого n ≥ N
выполняется неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε
(одновременно для любого x ∈ D). Символически эту сходимость обозначают так:
fn (x) ⇒ f (x) при n → +∞ на D.
Замечание 5.1.11. Из сходимости функциональной последовательности
{fn (x)}∞
n=1 к функции f (x) на Df не следует, что она равномерно сходится.
Пример 5.1.12. Рассмотрим опять функциональную последовательность
1 − nx, если 0 ≤ x ≤ 1
n
fn (x) =
1
0,
если < x ≤ 1.
n
Мы показали, что эта последовательность сходится к функции
1, если x = 0
f (x) =
0, если 0 < x ≤ 1.
Покажем, что функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится к
функции f (x) неравномерно на [0, 1].
Рассмотрим последовательность {xn } такую, что
xn =
1
∈ [0, 1].
2n
420
Легко видеть, что
1
1
n
=1− = ,
2n
2
2
1
f (xn ) = f
= 0,
2n
fn (xn ) = 1 −
в то время как
так как
1
6= 0. Поэтому
2n
|fn (xn ) − f (xn )| =
Следовательно, при ε <
1
1
−0 = .
2
2
1
имеет место неравенство
2
|fn (xn ) − f (xn )| =
1
>ε
2
для любого натурального n ∈ N. Поэтому не существует такого номера
N = N (ε), чтобы для любого n ≥ N выполнялось неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε
(одновременно для любого x ∈ [0, 1]). Таким образом,
fn (x) 6⇒ f (x) на [0, 1].
Теорема 5.1.13. Пусть функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1
сходится к функции f (x) на D. Если существует числовая последовательность {an }∞
n=1 такая, что
1).
lim an = 0;
n→∞
2). Существует номер n0 такой, что для любого n ≥ n0 выполняется
неравенство
|fn (x) − f (x)| ≤ an для любого x ∈ D.
Тогда
fn (x) ⇒ f (x) на D.
421
Доказательство. Так как
lim an = 0,
n→∞
то для любого ε > 0 существует номер N = N (ε) ≥ n0 , что для любого
n ≥ N ≥ n0 выполняется неравенство
an < ε.
Тогда
|fn (x) − f (x)| ≤ an < ε
для любого n ≥ N ≥ n0 и для любого x ∈ D. Следовательно,
fn (x) ⇒ f (x) на D.
Пример 5.1.14. Рассмотрим функциональную последовательность
fn (x) =
n+1
на D = [−1, 1].
n + x2
Так как
n+1
= 1 для любого x ∈ [−1, 1],
n→∞ n + x2
lim fn (x) = lim
n→∞
то
f (x) ≡ 1 на D = [−1, 1].
Поэтому
|fn (x) − f (x)| =
n+1
1 − x2
1 − x2
−
1
=
=
.
n + x2
n + x2
n + x2
Покажем, что при x ∈ [−1, 1]
1 − x2
1
≤
.
n + x2
n
Действительно,
1 − x2
1
≤
⇔ n − nx2 ≤ n + x2 ⇔ x2 (n + 1) ≥ 0.
n + x2
n
422
Таким образом
|fn (x) − f (x)| ≤
Положим
an =
Так как
1
.
n
1
.
n
1
= 0,
n→∞ n
lim an = lim
n→∞
то
fn (x) ⇒ f (x) на [−1, 1].
Пример 5.1.15. Рассмотрим функциональную последовательность
arctg n2 x
fn (x) = √
на D = [0, +∞).
3
n + x2
Так как
0 ≤ arctg n2 x <
и
π
2
√
√
3
n + x2 ≥ 3 n,
то
arctg n2 x
π
0 ≤ fn (x) = √
≤ √
.
3
2
23n
n+x
Кроме того,
lim
n→∞
π
√
= 0.
23n
Поэтому
lim fn (x) = 0 для любого x ∈ [−1, 1].
n→∞
Следовательно,
f (x) ≡ 0 на D = [0, +∞).
Таким образом
Положим
π
|fn (x) − f (x)| ≤ √
.
23n
π
an = √
.
23n
423
Так как
π
√
= 0,
n→∞ 2 3 n
lim an = lim
n→∞
то
fn (x) ⇒ f (x) на [0, +∞).
5.1.3
Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
Теорема 5.1.16. Для того чтобы функциональная последовательность
{fn (x)}∞
n=1 сходилась равномерно к функции f (x) на D, необходимо и достаточно, чтобы
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n→∞ x∈D
Доказательство. Обозначим
σn = sup |fn (x) − f (x)|.
x∈D
Необходимость Пусть
fn (x) ⇒ f (x) на D.
Тогда для любого ε > 0 существует такой номер N = N (ε), что для любого
n ≥ N выполняется неравенство
ε
|fn (x) − f (x)| < .
2
одновременно для любого x ∈ D. Тогда
σn = sup |fn (x) − f (x)| ≤
x∈D
ε
< ε.
2
Следовательно,
lim σn = lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n→∞
n→∞ x∈D
Достаточность. Пусть выполнено условие теоремы:
lim sup |fn (x) − f (x)| = lim σn = 0.
n→∞ x∈D
n→∞
424
Так как
|fn (x) − f (x)| ≤ sup |fn (x) − f (x)| = σn ,
x∈D
то
fn (x) ⇒ f (x) на D.
Замечание 5.1.17. Опишем понятие равномерной сходимости с геометрической точки зрения.
Рассмотрим для любого ε > 0 ε-полосу, окружающую график функции
y = f (x):
f (x) − ε < y < f (x) + ε
x ∈ [a, b].
Если
fn (x) ⇒ f (x) на [a, b],
то для этого ε > 0 существует такой номер N = N (ε), что для любого
n ≥ N выполняется неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε для любого x ∈ [a, b].
Следовательно, для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство
f (x) − ε < fn (x) < f (x) + ε.
Следовательно, графики всех функций y = fn (x) начиная с номера N =
N (ε) целиком лежат в ε-полосе, окружающей график функции y = f (x).
425
Пример 5.1.18. Рассмотрим опять функциональную последовательность
1 − nx, если 0 ≤ x ≤ 1
n
fn (x) =
1
0,
если < x ≤ 1.
n
Мы показали, что эта последовательность сходится к функции
1, если x = 0
f (x) =
0, если 0 < x ≤ 1.
1
графики всех функций y = fn (x) выходят за
2
пределы ε-полосы графика функции y = f (x).
Очевидно, что при ε <
Замечание 5.1.19. Если функциональная последовательность {fn (x)}
сходится к функции f (x) неравномерно на D, то она может сходиться к
функции f (x) равномерно на некотором меньшем подмножестве D1 ⊂ D.
426
Пример 5.1.20. Рассмотрим функциональную последовательность
fn (x) = xn на [0, 1].
Эта последовательность сходится к функции
0, если 0 ≤ x < 1
f (x) =
1, если x = 1.
Ясно, что
fn (x) → f (x) неравномерно на [0, 1].
Пусть теперь
0 < δ < 1.
Рассмотрим функциональную последовательность
fn (x) = xn на [0, 1 − δ].
На этом отрезке
fn (x) → f (x) ≡ 0.
Кроме того,
|fn (x) − f (x)| ≤ (1 − δ)n → 0 при n → ∞.
Таким образом,
fn (x) ⇒ f (x) на [0, 1 − δ].
5.1.4
Простейшие свойства равномерно сходящихся
функциональных последовательностей
Для функциональных последовательностей можно определить их сумму, разность и умножение на фиксированную функцию.
Определение 5.1.21. Если даны функциональные последовательности
∞
{fn (x)}∞
n=1 и {gn (x)}n=1 ), где все функции fn (x) и gn (x) определены на
одном и том же множестве D, то функциональная последовательность
{fn (x) + gn (x)}∞
n=1
f1 (x) + g1 (x), f2 (x) + g2 (x), . . . , fn (x) + gn (x) + . . .
427
называется их суммой, а последовательность {fn (x) − gn (x)}∞
n=1
f1 (x) − g1 (x), f2 (x) − g2 (x), . . . , fn (x) − gn (x) + . . .
называется их разностью.
Определение 5.1.22. Если функции
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fn (x), . . .
и фиксированная функция ϕ(x) определены на одном и том же множестве
D, то функциональная последовательность {ϕ(x)fn (x))}∞
n=1
ϕ(x)f1 (x), ϕ(x)f2 (x), . . . , ϕ(x)fn (x) + . . .
называется произведением функциональной последовательности {fn (x)}∞
n=1
на функцию ϕ(x).
Теорема 5.1.23. Если функциональные последовательности {fn (x)}∞
n=1
и {gn (x)}∞
,
сходятся
равномерно
на
множестве
D
к
функциям
f
(x)
и
n=1
g(x) соответственно, то
1) Последовательность {fk (x) + gk (x)}∞
k=1
f1 (x) + g1 (x), f2 (x) + g2 (x), . . . , fn (x) + gn (x) + . . .
сходится равномерно на D к функции f (x) + g(x);
2). Последовательность {fn (x) − gn (x)}∞
n=1
f1 (x) − g1 (x), f2 (x) − g2 (x), . . . , fn (x) − gn (x) + . . .
сходится равномерно на D к функции f (x) − g(x).
Доказательство. 1). Пусть
fn (x) ⇒ f (x) при n → +∞ на D,
и
gn (x) ⇒ g(x) при n → +∞ на D.
428
Тогда для любого x ∈ D
lim [fn (x) + gn (x)] = f (x) + g(x).
n→∞
Кроме того, для любого ε > 0 существует такой номер N1 = N1 (ε), что
для любого n ≥ N1 выполняется неравенство
|fn (x) − f (x)| <
ε
2
(одновременно для любого x ∈ D) и для этого же ε > 0 существует такой
номер N2 = N2 (ε), что для любого n ≥ N1 выполняется неравенство
|gn (x) − g(x)| <
ε
2
(одновременно для любого x ∈ D).
Пусть n = max{N1 , N2 }. Тогда для любого n ≥ N выполняется неравенство:
|(fn (x) + gn (x)) − (f (x) + g(x))| = |[fn (x) − f (x)] + [gn (x) − g(x)]| ≤
≤ |fn (x) − f (x)| + |gn (x) − g(x)| <
ε ε
+ =ε
2 2
для любого x ∈ D.
Следовательно, функциональная последовательность {fn (x)+gn (x)}∞
n=1
сходится равномерно на D к функции f (x) + g(x).
2). Доказывается аналогично.
Следствие 5.1.24.
• Сумма конечного числа функциональных последовательностей, равномерно сходящихся на одном и том же множестве D, является равномерно сходящейся функциональной последовательностью.
• Алгебраическая сумма конечного числа функциональных последовательностей, равномерно сходящихся на одном и том же множестве D, является равномерно сходящейся функциональной последовательностью.
429
Теорема 5.1.25. Если функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1
сходится равномерно на множестве D к функции f (x), и функция ϕ(x)
определена и ограничена на D, то функциональная последовательность
{ϕ(x)fn (x))}∞
n=1
ϕ(x)f1 (x), ϕ(x)f2 (x), . . . , ϕ(x)fn (x) + . . .
сходится равномерно на D к функции ϕ(x)f (x).
Доказательство. Пусть функциональная последовательность {fn (x)}∞
k=1
сходится равномерно на множестве D к функции f (x). Тогда
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n→∞ x∈D
Если функция ϕ(x) определена и ограничена на D, то существует такое
C > 0, что для любого x ∈ D выполняется неравенство:
|ϕ(x)| ≤ C.
Так как
sup |ϕ(x)[fn (x) − f (x)]| ≤ C sup |fn (x) − f (x)|,
x∈D
x∈D
то
lim sup |ϕ(x)fn (x) − ϕ(x)f (x)| = 0.
n→∞ x∈D
Таким образом,
ϕ(x)fn (x) ⇒ ϕ(x)f (x) на D,
т.е. функциональная последовательность {ϕ(x)fn (x)}∞
n=1 сходится равномерно на множестве D.
Следствие 5.1.26. Если функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1
сходится равномерно на множестве D к функции f (x), то для любого
числа c функциональная последовательность{c fn (x))}∞
k=1
c f1 (x), c f2 (x), . . . , c fn (x) + . . .
сходится равномерно на D к функции c f (x).
430
5.2
5.2.1
Лекция №26
Функциональные ряды. Равномерная сходимость
Понятие функционального ряда. Сходимость.
Сумма ряда
Определение 5.2.1. Пусть задана функциональная последовательность
функций
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fk (x), . . . ,
определенных на одном и том же множестве D. Выражение
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . .
k=1
называется функциональным рядом.
Определение 5.2.2. Пусть задан функциональный ряд
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . . .
k=1
Сумма вида
Sn (x) =
n
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fn (x)
k=1
называется n-й частичной суммой функционального ряда.
Замечание 5.2.3. Изучение функциональных рядов аналогично изучению функциональных последовательностей, так как каждому функциональному ряду
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . . .
k=1
431
соответствует функциональная последовательность его частичных сумм
∞
{Sn (x)}∞
n=1 и каждой функциональной последовательности {Sn (x)}n=1 соответствует функциональный ряд
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . . ,
k=1
последовательностью частичных сумм которого она является.
Замечание 5.2.4. Если зафиксировать x0 ∈ D, то функциональный ряд
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . .
k=1
превратится в числовой ряд
∞
X
fk (x0 ) = f1 (x0 ) + f2 (x0 ) + f3 (x0 ) + . . . + fk (x0 ) + . . .
k=1
Определение 5.2.5.
∞
X
• Функциональный ряд
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . . .
k=1
называется сходящимся в точке x0 ∈ D, если числовой ряд
∞
X
fk (x0 ) = f1 (x0 ) + f2 (x0 ) + f3 (x0 ) + . . . + fk (x0 ) + . . .
k=1
сходится. В этом случае точку x0 ∈ D называют точкой сходимости
данного функционального ряда.
• Функциональный ряд
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . .
k=1
называется расходящимся в точке x0 ∈ D, если числовой ряд
∞
X
fk (x0 ) = f1 (x0 ) + f2 (x0 ) + f3 (x0 ) + . . . + fk (x0 ) + . . .
k=1
расходится. В этом случае точку x0 ∈ D называют точкой расходимости данного функционального ряда.
432
Определение 5.2.6. Множество Df ⊆ D всех точек сходимости функционального ряда
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . .
k=1
называется областью сходимости этого ряда.
Замечание 5.2.7. Так же как для функциональных последовательностей,
в различных случаях множество Df всех точек сходимости функционального ряда может быть следующим:
• Совпадать с D:
Df = D;
• Быть собственным подмножеством D:
Df ⊂ D;
• Быть пустым:
Df = ∅.
Если Df 6= ∅, то на Df может быть следующим образом определена
такая функция S(x):
S
→ R,
Df −
что
S(x0 ) = lim Sn (x0 ) для любого x0 ∈ Df .
n→∞
Определение 5.2.8. Функция S(x) называется суммой функционального
∞
P
ряда
fk (x) и обозначается
k=1
S(x) = lim Sn (x) для любого x ∈ Df
n→∞
или
S(x) =
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fk (x) + . . . .
k=1
433
Пример 5.2.9. Рассмотрим функциональный ряд
∞
X
k=1
fk (x) =
∞
X
xk−1 = 1 + x + x2 + . . . + xk + . . . , на D = [−q, q], 0 < q < 1.
k=1
Частичная сумма этого функционального ряда имеет вид
n
X
1 − xn
.
1−x
xk−1 = 1 + x + x2 + . . . + xn =
k=1
Так как для любого x ∈ [−q, q]
1 − xn
1
=
,
n→∞ 1 − x
1−x
lim Sn (x) = lim
n→∞
то функциональный ряд сходится и его сумма
S(x) = lim Sn (x) =
n→∞
1
.
1−x
Определение 5.2.10. Если
lim Sn (x) = S(x)
n→∞
на Df , то функциональный ряд
∞
P
fk (x) называется сходящимся на Df к
k=1
S(x). Символически эту сходимость обозначают так:
Sn (x) −→ S(x).
Определение 5.2.10 можно переформулировать следующим образом.
Определение 5.2.11. Функциональный ряд
∞
P
fk (x) называется сходя-
k=1
щимся к сумме S(x) на Df , если для любого ε > 0 и для любого фиксированного x ∈ Df существует такой номер N = N (ε, x), что для любого
n ≥ N выполняется неравенство
|Sn (x) − S(x)| < ε.
434
5.2.2
Равномерная сходимость функционального ряда
Среди всех сходящихся функциональных рядов, так же как и для функциональных последовательностей, особое внимание заслуживают так называемые равномерно сходящиеся функциональные ряды.
Определение 5.2.12. Функциональный ряд
∞
P
fk (x) называется равно-
k=1
мерно сходящимся к своей сумме S(x) на D ⊆ Df , если для любого ε > 0
существует такой номер N = N (ε), что для любого n ≥ N выполняется
неравенство
|Sn (x) − S(x)| < ε
(одновременно для любого x ∈ D). Символически эту сходимость обозначают так:
Sn (x) ⇒ S(x) при n → +∞ на D.
или
n
X
fk (x) ⇒ S(x).
k=1
Замечание 5.2.13. Так же как для функциональных последовательностей, имеет место следующее достаточное условие равномерной сходимо∞
P
сти функционального ряда. Пусть функциональный ряд
fk (x) имеет
k=1
сумму S(x) на D. Если существует числовая последовательность {an }∞
n=1
такая, что
1).
lim an = 0;
n→∞
2). Существует номер n0 такой, что для любого n ≥ n0 выполняется
неравенство
|Sn (x) − S(x)| ≤ an для любого x ∈ D.
Тогда
Sn (x) ⇒ S(x) на D,
т.е. этот функциональный ряд сходится к S(x) равномерно на D.
435
Обозначим через
∞
X
rn (x) = S(x) − Sn (x) =
fk (x)
k=n+1
n-й остаток функционального ряда
∞
P
fk (x). Тогда следующим образом
k=1
можно сформулировать критерий равномерной сходимости функционального ряда.
Теорема 5.2.14. Для того чтобы функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходился
k=1
равномерно к своей сумме S(x) на D, необходимо и достаточно, чтобы
lim sup |rn (x)| = 0.
n→∞ x∈D
Доказательство. Обозначим
σn = sup |Sn (x) − S(x)| = sup |rn (x)|.
x∈D
x∈D
Необходимость. Пусть функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится равно-
k=1
мерно к своей сумме S(x) на D, т.е.
Sn (x) ⇒ S(x) на D.
Тогда для любого ε > 0 существует такой номер N = N (ε), что для любого
n ≥ N выполняется неравенство
ε
|rn (x)| = |Sn (x) − S(x)| < .
2
одновременно для любого x ∈ D. Тогда
σn = sup |rn (x)| ≤
x∈D
ε
< ε.
2
Следовательно,
lim σn = lim sup |rn (x)| = 0.
n→∞
n→∞ x∈D
Достаточность. Пусть выполнено условие теоремы:
lim sup |rn (x)| = lim σn = 0.
n→∞ x∈D
n→∞
436
Так как
|Sn (x) − S(x)| ≤ sup |Sn (x) − S(x)| = sup |rn (x)| = σn ,
x∈D
x∈D
то
Sn (x) ⇒ S(x) на D.
Пример 5.2.15. Рассмотрим еще раз функциональный ряд
∞
X
xk−1 = 1 + x + x2 + . . . + xk + . . . , на D = [−q, q], 0 < q < 1.
k=1
Частичная сумма этого функционального ряда имеет вид
n
X
xk−1 = 1 + x + x2 + . . . + xn =
k=1
1 − xn
.
1−x
и для любого x ∈ [−q, q]
S(x) = lim Sn (x) =
n→∞
1
.
1−x
Оценим остаток rn (x) этого ряда:
|rn (x)| = |S(x) − Sn (x)| =
1 − xn
1
xn
−
=
.
1−x
1−x
1−x
Покажем, что
|rn (x)| =
xn
qn
≤
.
1−x
1−q
Для доказательства этого неравенства рассмотрим функцию
ϕ(t) =
tn
, t ∈ (−1, 1).
1−t
Так как
tn
ϕ/(t) =
1−t
0
=
ntn−1 (1 − t) + tn
tn−1 [n − (n − 1)t]
=
≥ 0.
(1 − t)2
(1 − t)2
437
Поэтому функция
tn
ϕ(t) =
1−t
возрастает на (−1, 1) и потому
qn
max ϕ(t) = ϕ(q) =
.
[−q,q]
1−q
Таким образом,
|rn (x)| =
xn
qn
→ 0 при n → ∞.
≤
1−x
1−q
Поэтому
lim sup |rn (x)| = 0,
n→∞ x∈D
откуда следует, что функциональный ряд
∞
X
xk−1 = 1 + x + x2 + . . . + xk + . . .
k=1
сходится к своей сумме
S(x) =
1
1−x
равномерно на D = [−q, q] при 0 < q < 1.
Пример 5.2.16. Рассмотрим функциональный ряд
∞
X
xk−1 = 1 + x + x2 + . . . + xk + . . . , на D = [−1, 1].
k=1
Так как в точках x = ±1 данный ряд расходится, то область сходимости
этого ряда равна
Df = (−1, 1).
Ясно, что для любого x ∈ (−1, 1)
S(x) = lim Sn (x) =
n→∞
438
1
.
1−x
Покажем, что функциональный ряд
∞
P
xk−1 сходится на интервале (−1, 1)
k=1
неравномерно. Для этого рассмотрим последовательность {xn }, заданную
формулой общего члена
xn = 1 −
1
, n ∈ N.
n
Вычислим
n
1
n
1−
xnn
1
n
=n 1−
=
.
rn (xn ) =
1
1 − xn
n
1− 1−
n
Так как
"
n
−n #−1
1
1
−1
lim 1 −
= lim
= e−1 = ,
1+
n→∞
n→∞
n
n
e
то
1
lim rn (xn ) = lim n 1 −
n→∞
n→∞
n
n
= ∞.
Поэтому
lim sup |rn (x)| =
6 0.
n→∞ x∈D
Таким образом, функциональный ряд
∞
P
xk−1 сходится на интервале (−1, 1)
k=1
неравномерно.
5.2.3
Простейшие свойства равномерно сходящихся
функциональных рядов
Для функциональных рядов можно определить их сумму, разность и
умножение на фиксированную функцию.
Определение 5.2.17. Если даны функциональные ряды
∞
P
k=1
fk (x) и
∞
P
gk (x),
k=1
где все функции fk (x) и gk (x) определены на одном и том же множестве
D, то ряд
∞
X
(fk (x)+gk (x)) = (f1 (x)+g1 (x))+(f2 (x)+g2 (x))+. . .+(fk (x)+gk (x))+. . .
k=1
439
называется их суммой, а ряд
∞
X
(fk (x)−gk (x)) = (f1 (x)−g1 (x))+(f2 (x)−g2 (x))+. . .+(fk (x)−gk (x))+. . .
k=1
называется их разностью.
Определение 5.2.18. Если функции
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fn (x), . . .
и фиксированная функция ϕ(x) определены на одном и том же множестве
D, то функциональный ряд
∞
X
ϕ(x)fk (x) = ϕ(x)f1 (x) + ϕ(x)f2 (x) + . . . + ϕ(x)fk (x) + . . .
k=1
называется произведением функционального ряда
∞
P
fk (x) на функцию
k=1
ϕ(x).
Теорема 5.2.19. Если функциональные ряды
∞
P
k=1
∞
P
fk (x) и
gk (x) сходят-
k=1
ся равномерно на множестве D к своим суммам F (x) и G(x) соответственно, то
1) Ряд
∞
X
(fk (x)+gk (x)) = (f1 (x)+g1 (x))+(f2 (x)+g2 (x))+. . .+(fk (x)+gk (x))+. . .
k=1
сходится равномерно на D к функции F (x) + G(x);
2). Ряд
∞
X
(fk (x)−gk (x)) = (f1 (x)−g1 (x))+(f2 (x)−g2 (x))+. . .+(fk (x)−gk (x))+. . .
k=1
сходится равномерно на D к функции F (x) − G(x).
440
Доказательство. 1). Пусть
Fn (x) =
n
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x)
k=1
и
lim Fn (x) = F (x).
n→∞
Аналогично, пусть
Gn (x) =
n
X
gk (x) = g1 (x) + g2 (x) + . . . + gn (x)
k=1
и
lim Gn (x) = G(x).
n→∞
Тогда для суммы функциональных рядов
∞
P
fk (x) и
k=1
∞
X
∞
P
gk (x)
k=1
(fk (x)+gk (x)) = (f1 (x)+g1 (x))+(f2 (x)+g2 (x))+. . .+(fk (x)+gk (x))+. . .
k=1
имеем:
Sn (x) =
n
X
(fk (x)+gk (x)) = (f1 (x)+g1 (x))+(f2 (x)+g2 (x))+. . .+(fn (x)+gn (x)) =
k=1
=
n
X
fk (x) +
k=1
n
X
gk (x) = Fn (x) + Gn (x)
k=1
и
lim Sn (x) = lim [Fn (x) + Gn (x)] = F (x) + G(x).
n→∞
n→∞
Так как
Fn (x) ⇒ F (x) при n → +∞ на D,
то для любого ε > 0 существует такой номер N1 = N1 (ε), что для любого
n ≥ N1 выполняется неравенство
|Fn (x) − F (x)| <
(одновременно для любого x ∈ D).
441
ε
2
Аналогично, так как
Gn (x) ⇒ G(x) при n → +∞ на D,
то для этого же ε > 0 существует такой номер N2 = N2 (ε), что для любого
n ≥ N1 выполняется неравенство
ε
|Gn (x) − G(x)| <
2
(одновременно для любого x ∈ D).
Пусть n = max{N1 , N2 }. Тогда для любого n ≥ N выполняется неравенство:
|Sn (x) − S(x)| = |[Fn (x) + Gn (x)] − [F (x) + G(x)]| =
= |[Fn (x) − F (x)] + [Gn (x) − G(x)]| ≤ |Fn (x) − F (x)| + |Gn (x) − G(x)| <
ε ε
< + =ε
2 2
для любого x ∈ D.
∞
P
Следовательно, функциональный ряд
(fk (x) + gk (x)) сходится равk=1
номерно на D к функции F (x) + G(x).
2). Доказывается аналогично.
Следствие 5.2.20.
• Сумма конечного числа функциональных рядов,
равномерно сходящихся на одном и том же множестве D, является равномерно сходящимся функциональным рядом.
• Алгебраическая сумма конечного числа функциональных рядов, равномерно сходящихся на одном и том же множестве D, является
равномерно сходящимся функциональным рядом.
Теорема 5.2.21. Если функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится равномер-
k=1
но на множестве D к своей сумме S(x), и функция ϕ(x) определена и
ограничена на D, то ряд
∞
X
ϕ(x)fk (x) = ϕ(x)f1 (x) + ϕ(x)f2 (x) + . . . + ϕ(x)fk (x) + . . .
k=1
сходится равномерно на D к своей сумме ϕ(x)S(x).
442
∞
P
Доказательство. Пусть функциональный ряд
fk (x) сходится равно-
k=1
мерно на множестве D и пусть
Sn (x) =
n
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x) ⇒ S(x) на D.
k=1
Тогда
lim sup |rn (x)| = lim sup |S(x) − Sn (x)| = 0.
n→∞ x∈D
n→∞ x∈D
Если функция ϕ(x) определена и ограничена на D, то существует такое
C > 0, что для любого x ∈ D выполняется неравенство:
|ϕ(x)| ≤ C.
Так как
sup |ϕ(x)rn (x)| ≤ C sup |rn (x)|,
x∈D
x∈D
то
lim sup |ϕ(x)rn (x)| = 0.
n→∞ x∈D
Таким образом,
ϕ(x)Sn (x) ⇒ ϕ(x)S(x) на D,
∞
P
т.е. функциональный ряд
ϕ(x)fk (x) сходится равномерно на множестве
k=1
D к своей сумме ϕ(x)S(x).
5.2.4
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда
Теорема 5.2.22 (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности). Для того, чтобы функциональная
последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходилась равномерно на отрезке [a, b],
необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер
N = N (ε), что для любого n ≥ N и любого натурального p ∈ N выполнялось неравенство
|fn+p (x) − fn (x)| < ε
для всех x ∈ [a, b].
443
Доказательство. Необходимость. Пусть функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится равномерно на отрезке [a, b] к функции f (x). Тогда для любого ε > 0 существует номер N = N (ε), что для любого n ≥ N
выполняется неравенство
|fn (x) − f (x)| <
ε
2
для всех x ∈ [a, b]. Тогда для любого натурально p ∈ N имеет место
n+p>n≥N
и потому
ε
|fn+p (x) − f (x)| < .
2
Поэтому
|fn+p (x)−fn (x)| = |fn+p (x)−f (x)+f (x)−fn (x)| ≤ |fn+p (x)−f (x)|+|f (x)−fn (x)| <
ε ε
+ = ε.
2 2
Достаточность. Пусть для любого ε > 0 существует номер N = N (ε), что
<
для любого n ≥ N и любого натурального p ∈ N выполняется неравенство
|fn+p (x) − fn (x)| < ε
для всех x ∈ [a, b] одновременно. В частности, для любого фиксированного
x0 ∈ [a, b]
|fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < ε.
Следовательно, числовая последовательность {fn (x0 )}∞
n=1 является фундаментальной (удовлетворяет критерию Коши) и поэтому сходится. Обозначая
f (x0 ) = lim fn (x0 ),
n→∞
получим, что функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится к
предельной функции f (x):
f (x) = lim fn (x), x ∈ [a, b].
n→∞
Переходя к пределу при p → ∞ в неравенстве
|fn+p (x) − fn (x)| < ε,
444
получим
|f (x) − fn (x)| ≤ ε
для всех x ∈ [a, b] одновременно. Таким образом,
fn (x) ⇒ f (x) на [a, b].
Замечание 5.2.23. Сформулируем условия, при выполнении которых
функциональная последовательность не является равномерно сходящейся на [a, b] (или множестве D ⊂ Df ).
А именно, функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится к
предельной функции f (x) неравномерно на отрезке [a, b], если существует
такое ε0 > 0, что для любого натурального числа n ∈ N существует такая
точка xn ∈ [a, b], для которой выполняется неравенство
|f (xn ) − fn (xn )| ≥ ε0 .
Теорема 5.2.24 (Критерий Коши равномерной сходимости функ∞
P
ционального ряда). Для того, чтобы функциональный ряд
fk (x)
k=1
сходился равномерно на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер N = N (ε), что для любого n ≥ N
и любого натурального p ∈ N выполнялось неравенство
|Sn+p (x) − Sn (x)| =
n+p
X
fk (x) < ε
(5.2.1)
k=n+1
для всех x ∈ [a, b].
Доказательство. Для того, чтобы функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходил-
k=1
ся равномерно на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы
Sn (x) ⇒ S(x) на [a, b].
В силу теоремы 5.2.22, последнее утверждение равносильно тому, что для
любого ε > 0 существует номер N = N (ε), что для любого n ≥ N и любого
натурального p ∈ N выполняется неравенство
|Sn+p (x) − Sn (x)| =
n+p
X
k=n+1
для всех x ∈ [a, b].
445
fk (x) < ε
Замечание 5.2.25.
• Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда остается справедливым, если вместо неравенства
(5.2.1) имеет место неравенство
|Sn+p (x) − Sn (x)| =
n+p
X
fk (x) < Kε
(5.2.2)
k=n+1
для некоторого числа K > 0.
• Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда иногда бывает удобно использовать в следующей формулировке:
∞
P
fk (x) сходился равномерно
Для того, чтобы функциональный ряд
k=1
на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовал номер N = N (ε), что для любого n ≥ N и любого натурального p ∈ N выполнялось неравенство
|Sn+p (x) − Sn−1 (x)| =
n+p
X
fk (x) < ε.
(5.2.3)
k=n
для всех x ∈ [a, b].
Замечание 5.2.26. Теоремы 5.2.22 и 5.2.24 остаются справедливыми, если рассматривать равномерную сходимость функциональной последовательности и функционального ряда не на отрезке [a, b], а на произвольном
множестве D ⊂ Df .
446
5.3
5.3.1
Лекция №27
Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и функциональных рядов
Признак Дини равномерной сходимости функциональной последовательности
Теорема 5.3.1 (Признак Дини). Пусть на отрезке [a, b] задана неубывающая функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 . Если
1). Функции fn (x) для любого n ∈ N определены и непрерывны на отрезке [a, b];
2). Существует
lim fn (x) = f (x), x ∈ [a, b];
n→∞
3). Функция f (x) непрерывна на [a, b].
Тогда функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится к функции f (x) равномерно на [a, b]:
fn (x) ⇒ f (x) на [a, b].
Доказательство. Так как функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1
неубывает на [a, b] и
fn (x) → f (x) на [a, b],
то
fn (x) ≤ fn+1 (x) ≤ f (x).
Обозначим
rn (x) = f (x) − fn (x).
Ясно, что
0 ≤ rn (x) → 0 при n → ∞ для любого x ∈ [a, b].
Докажем, что
rn (x) ⇒ 0 при n → ∞ на [a, b].
447
Допустим, что это не так. Тогда в силу замечания 5.2.23, существует такое ε0 > 0, что для любого натурального n ∈ N найдется такая точка
xn ∈ [a, b], что
rn (xn ) ≥ ε0 .
Так как все элементы последовательности {xn }∞
n=1 лежат на отрезке [a, b],
то она ограничена. Поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее
можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk }∞
k=1 . Пусть
lim xnk = x0 ∈ [a, b].
k→∞
По условию, функции f (x) и fn (x) для любого n ∈ N непрерывны на
отрезке [a, b], и потому непрерывны в точке x0 . Следовательно, для любого
фиксированного натурального числа m ∈ N имеем:
lim rm (xnk ) = lim [f (xnk ) − fm (xnk )] = f (x0 ) − fm (x0 ) = rm (x0 ).
k→∞
k→∞
Последовательность {nk } — бесконечно большая. Поэтому для любого натурального числа m ∈ N можно найти номер nk (m) такой, что
nk = nk (m) > m.
Поэтому, в силу не возрастания последовательности {rn (x)}, имеем:
rm (xnk ) ≥ rnk (xnk ) ≥ ε0 .
Переходя к пределу при k → ∞, получаем:
rm (x0 ) ≥ ε0 .
Но, с другой сторон, должно выполняться следующее предельное соотношение:
rm (x0 ) → 0 при m → ∞.
Противоречие показывает, что
rn (x) ⇒ 0 при n → ∞ на [a, b].
Поэтому
fn (x) ⇒ f (x) на [a, b].
448
5.3.2
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда
Определение 5.3.2. Числовой ряд с неотрицательными членами
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . .
k=1
называется мажорирующим функциональный ряд
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fk (x) + . . .
k=1
на D, если для любого x ∈ D и любого k ∈ N имеет место неравенство
|fk (x)| ≤ ak .
Теорема 5.3.3 (Признак Вейерштрасса). Если для функционального
ряда
∞
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fk (x) + . . .
k=1
существует мажорирующий его на D сходящийся числовой ряд
∞
X
ak = a1 + a2 + . . . + ak + . . . ,
k=1
то этот функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится равномерно и абсолют-
k=1
но на D.
Доказательство. Так как мажорирующий числовой ряд
∞
P
ak сходится,
k=1
то он удовлетворяет критерию Коши. То есть, для любого ε > 0 существует
номер N = N (ε) такой, что для любого n ≥ N и любого натурального
p ∈ N выполняется неравенство
n+p
X
ak < ε.
k=n+1
449
Следовательно, для любого x ∈ D
n+p
X
fk (x) ≤
k=n+1
n+p
X
n+p
X
|fk (x)| ≤
k=n+1
ak < ε.
k=n+1
∞
P
Таким образом, функциональный ряд
fk (x) удовлетворяет критерию
k=1
Коши равномерной сходимости и потому сходится равномерно и абсолютно на D.
Пример 5.3.4. Рассмотрим функциональный ряд
∞
X
fk (x) =
k=1
∞
X
sin nx
n2
k=1
на R.
Так как для любого x ∈ R
1
sin nx
≤ 2
2
n
n
и числовой ряд
∞
X
1
n2
k=1
сходится, то функциональный ряд
∞ sin nx
P
сходится равномерно и абсоn2
k=1
лютно на R.
Пример 5.3.5. Рассмотрим функциональный ряд
∞
X
fk (x) =
k=1
k=1
Так как
max
x∈R+
то функциональный ряд
∞
X
(−1)n
x+n
на R+ .
(−1)n
1
= ,
x+n
n
∞
X
fk (x)
k=1
450
сходящейся мажоранты не имеет.
Покажем, что тем не менее, этот функциональный ряд сходится равномерно на R.
Действительно, так как для любого фиксированного x ∈ R
1
↓ 0,
un (x) =
x+n
то ряд
∞
X
(−1)n
x+n
k=1
является рядом Лейбница. Поэтому этот функциональный ряд сходится к
некоторой функции S(x) на R. Кроме того
∞
X
(−1)n
1
1
|rn (x)| = |S(x) − Sn (x)| =
≤ un+1 =
≤
.
x+n
x+n+1
n+1
k=n+1
Следовательно,
lim sup |rn (x)| = 0.
n→∞ R+
Таким образом, ряд
5.3.3
∞ (−1)n
P
сходится равномерно на R.
k=1 x + n
Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов
Пусть
∞
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + uk (x) + . . .
k=1
и
∞
X
vk (x) = v1 (x) + v2 (x) + . . . + vk (x) + . . .
k=1
два произвольных функциональных ряда, определенных на одном и том
же множестве D.
Рассмотрим достаточные признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости рядов вида
∞
X
uk (x)vk (x) = u1 (x)v1 (x) + u2 (x)v2 (x) + . . . + uk (x)vk (x) + . . . .
k=1
451
4.3.2.1. Преобразование Абеля.
Для функциональных рядов, также как и для числовых, имеет место
преобразование Абеля.
Теорема 5.3.6 (Преобразование Абеля). Пусть
∞
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + uk (x) + . . .
k=1
и
∞
X
vk (x) = v1 (x) + v2 (x) + . . . + vk (x) + . . .
k=1
два произвольных функциональных ряда, определенных на одном и том
же множестве D, и пусть
Sn (x) =
n
X
uk (x) = u1 (x) + u( x) + . . . + un (x)
k=1
n-я частичная сумма первого ряда. Тогда для любого натурального числа
p ∈ N и для любого x ∈ D имеет место равенство
n+p
X
n+p−1
uk (x)vk (x) =
k=n
X
Sk (x)(vk (x)−vk+1 (x))+Sn+p (x)vn+p (x)−Sn−1 (x)vn (x).
k=n
Доказательство. Доказательство повторяет доказательство теоремы 4.3.5
с соответствующей заменой элементов числовых рядов на элементы функциональных.
Определение 5.3.7. Равенство
n+p
X
k=n
n+p−1
uk (x)vk (x) =
X
Sk (x)(vk (x)−vk+1 (x))+Sn+p (x)vn+p (x)−Sn−1 (x)vn (x).
k=n
(5.3.1)
называется тождеством Абеля.
452
4.3.2.2. Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
Теорема 5.3.8 (Признак Дирихле). Пусть
∞
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + uk (x) + . . .
k=1
и
∞
X
vk (x) = v1 (x) + v2 (x) + . . . + vk (x) + . . .
k=1
два произвольных функциональных ряда, определенных на одном и том
же множестве D, и пусть
Sn (x) =
n
X
uk (x) = u1 (x) + u( x) + . . . + un (x)
k=1
n-я частичная сумма первого ряда.
Рассмотрим ряд
∞
X
uk (x)vk (x) = u1 (x)v1 (x) + u2 (x)v2 (x) + . . . + uk (x)vk (x) + . . . . (5.3.2)
k=1
Если
1). Последовательность {Sn (x)} равномерно ограничена на D, т.е. для
любого x ∈ D имеет место неравенство
|Sn (x)| ≤ M ;
2). Последовательность {vn (x)} монотонна для любого x ∈ D и равномерно стремится к нулю,
то функциональный ряд (5.3.2) сходится равномерно на D.
Доказательство. Запишем тождество Абеля для этих функциональных
рядов:
n+p
X
k=n
n+p−1
uk (x)vk (x) =
X
Sk (x)(vk (x)−vk+1 (x))+Sn+p (x)vn+p (x)−Sn−1 (x)vn (x).
k=n
453
Так как для любого x ∈ D и для любого n ∈ N имеет место неравенство
|Sn (x)| ≤ M,
то
n+p
X
n+p−1
X
uk (x)vk (x) =
k=n
Sk (x)(vk (x) − vk+1(x) ) + Sn+p (x)vn+p (x) − Sn−1 (x)vn (x) ≤
k=n
n+p−1
≤
X
Sk (x)(vk (x) − vk+1 (x)) + Sn+p (x)vn+p (x) − Sn−1 (x)vn (x) ≤
k=n
n+p−1
≤
X
|Sk (x)||vk (x) − vk+1 (x)| + |Sn+p (x)||vn+p (x)| + |Sn−1 (x)||vn (x)| ≤
k=n
n+p−1
≤M
X
|vk (x) − vk+1 (x)| + M |vn+p (x)| + M |vn (x)| =
k=n
=M
"n+p−1
X
#
|vk (x) − vk+1 (x)| + |vn+p (x)| + |vn (x)| .
k=n
(1). Если функциональная последовательность {vn (x)} монотонно неубывает для любого x ∈ D и стремится к нулю, то
vk (x) ≤ vk+1 (x) ≤ 0,
и
|vk (x) − vk+1 (x)| = vk+1 (x) − vk (x),
|vn+p (x)| = −vn+p (x),
|vn (x)| = −vn (x).
Поэтому
n+p−1
X
n+p−1
|vk (x)−vk+1 (x)|+|vn+p (x)|+|vn (x)| =
k=n
X
(vk+1 (x)−vk (x))−vn+p (x)−vn (x) =
k=n
= (vn+1 (x) − vn (x)) + (vn+2 (x) − vn+1 (x)) + (vn+3 (x) − vn+2 (x)) + . . .
. . . + (vn+p (x) − vn+p−1 (x)) − vn+p (x) − vn (x) =
= −2vn (x).
454
Следовательно,
n+p
X
uk (x)vk (x) ≤ 2M |vn (x)|.
k=n
(2). Если функциональная последовательность {vn (x)} монотонно невозрастает для любого x ∈ D и стремится к нулю, то
vk (x) ≥ vk+1 (x) ≥ 0,
и
|vk (x) − vk+1 (x)| = vk (x) − vk+1 (x),
|vn+p (x)| = vn+p (x),
|vn (x)| = vn (x).
Поэтому
n+p−1
X
n+p−1
|vk (x)−vk+1 (x)|+|vn+p (x)|+|vn (x)| =
k=n
X
(vk (x)−vk+1 (x))+vn+p (x)+vn (x) =
k=n
= (vn (x) − vn+1 (x)) + (vn+1 (x) − vn+2 (x)) + (vn+2 (x) − vn+3 (x)) + . . .
. . . + (vn+p−1 (x) − vn+p (x)) + vn+p (x) + vn (x) =
= 2vn (x).
Следовательно, и в этом случае
n+p
X
uk (x)vk (x) ≤ 2M |vn (x)| = 2M vn (x).
k=n
(3). Так как
vn (x) ⇒ 0 на D
при n → ∞, то для любого ε > 0 существует номер N = N (ε) такой, что
для любого n ≥ N и любого x ∈ D имеет место неравенство
|vn (x)| <
ε
.
2M
Поэтому, для любого n ≥ N и любого x ∈ D получаем неравенство
n+p
X
uk (x)vk (x) ≤ 2M |vn (x)| < 2M
k=n
455
ε
= ε.
2M
Следовательно, по критерию Коши, функциональный ряд
∞
X
uk (x)vk (x) = u1 (x)v1 (x) + u2 (x)v2 (x) + . . . + uk (x)vk (x) + . . .
k=1
сходится равномерно на D.
4.3.2.3. Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда
Теорема 5.3.9 (Признак Абеля). Пусть
∞
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + uk (x) + . . .
k=1
и
∞
X
vk (x) = v1 (x) + v2 (x) + . . . + vk (x) + . . .
k=1
два произвольных функциональных ряда, определенных на одном и том
же множестве D.
Рассмотрим ряд
∞
X
uk (x)vk (x) = u1 (x)v1 (x) + u2 (x)v2 (x) + . . . + uk (x)vk (x) + . . .
(5.3.3)
k=1
Если
1). Ряд
∞
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + uk (x) + . . .
k=1
сходится равномерно на D;
2). Последовательность {vn (x)} монотонна для любого x ∈ D и равномерно ограничена на D,
то ряд (5.3.3) сходится равномерно на D.
456
Доказательство. (1). Так как ряд
∞
X
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + uk (x) + . . .
k=1
сходится равномерно на D, то для любого ε > 0 существует номер N =
N (ε) такой что для любого n ≥ N , любого натурального p ∈ N и любого
x ∈ D выполняется неравенство
n+p
X
uk (x) < ε.
k=n
Следовательно, последовательность {Sn (x)}∞
n=N n-х частичных сумм этого
ряда равномерно ограничена на D:
|Sn (x)| ≤ ε, n ≥ N.
(2). Запишем тождество Абеля для этих функциональных рядов:
n+p
X
n+p−1
X
uk (x)vk (x) =
k=n
Sk (x)(vk (x)−vk+1 (x))+Sn+p (x)vn+p (x)−Sn−1 (x)vn (x).
k=n
Тогда
n+p
X
n+p−1
uk (x)vk (x) =
X
Sk (x)(vk (x) − vk+1(x) ) + Sn+p (x)vn+p (x) − Sn−1 (x)vn (x) ≤
k=n
k=n
=ε
"n+p−1
X
#
|vk (x) − vk+1 (x)| + |vn+p (x)| + |vn (x)| .
k=n
(3). Так как последовательность {vn (x)} монотонна для любого x ∈ D
и равномерно ограничена на D, то
n+p−1
X
|vk (x) − vk+1 (x)| + |vn+p (x)| + |vn (x)| = 2|vn (x)| ≤ 2K.
k=n
(4). Следовательно,
n+p
X
uk (x)vk (x) < 2Kε.
k=n
Таким образом, ряд (5.3.3) сходится равномерно на D.
457
5.4
5.4.1
Лекция №28
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и функциональных рядов
Почленный переход к пределу в функциональной последовательности и функциональном ряде
5.4.1.1. Почленный переход к пределу в функциональной последовательности
Пусть функции
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fk (x), . . .
определены на одном и том же множестве D и пусть a — предельная точка
множества D.
Теорема 5.4.1. Пусть
1). Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится равномерно к предельной функции f (x) на D;
2). Для любого натурального n ∈ N существует конечный предел
lim fn (x) = bn .
x→a
Тогда существует конечный предел
lim f (x),
x→a
причем выполняется равенство:
lim f (x) = lim lim fn (x) = lim lim fn (x) = lim bn .
x→a
x→a n→∞
n→∞ x→a
458
n→∞
Доказательство. (1). Докажем сначала, что числовая последовательность {bn }∞
n=1 сходится.
Так как
fn (x) ⇒ f (x) на D,
то по критерию равномерной сходимости Коши функциональной последовательности для любого ε > 0 существует такой номер N = N (ε), что для
любого n ≥ N , любого натурального p ∈ N и каждого x ∈ D выполняется
неравенство
|fn+p (x) − fn (x)| < ε.
Переходя в этом неравенстве к пределу при x → a, получим:
|bn+p − bn | ≤ ε.
Следовательно, числовая последовательность {bn }∞
n=1 удовлетворяет критерию сходимости Коши, и потому сходится.
(2). Обозначим
lim bn = b.
n→∞
Тогда для любого ε > 0 существует такой номер N1 = N1 (ε), что для
любого n ≥ N1 выполняется неравенство
ε
|bn − b| < .
3
(5.4.1)
(3). Так как функциональная последовательность {fn }∞
n=1 ) сходится
равномерно к предельной функции f (x) на D, то для этого ε > 0 существует такой номер N2 = N2 (ε), что для любого n ≥ N2 выполняется
неравенство
ε
|fn (x) − f (x)| <
для любого x ∈ D.
(5.4.2)
3
(4). Зафиксируем n0 ≥ max{N1 , N2 } и рассмотрим функцию fn0 (x).
По условию, существует конечный предел
lim fn0 (x) = bn0 .
x→a
По определению предела для этого ε > 0 существует такое δ > 0, что для
любого x ∈ D, такого что
0 < |x − a| < δ
459
выполняется неравенство
ε
|fn0 (x) − bn0 | < .
3
(5.4.3)
(5). Теперь для любого x ∈ D, такого что
0 < |x − a| < δ,
учитывая неравенства (5.4.1), (5.4.2) и (5.4.3), получаем:
|f (x) − b| = [f (x) − fn0 (x)] + [fn0 (x) − bn0 ] + [bn0 − b] =
≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − bn0 | + |bn0 − b| <
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
Это означает, что существует предел
lim f (x) = b,
x→a
т.е.
lim f (x) = lim lim fn (x) = lim lim fn (x) = lim bn .
x→a
x→a n→∞
n→∞ x→a
n→∞
5.4.1.2. Почленный переход к пределу в функциональном ряде
Пусть функции
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fk (x), . . .
определены на одном и том же множестве D и пусть a — предельная точка
множества D.
Теорема 5.4.2. Пусть
1). Функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится равномерно к своей сумме
k=1
S(x) на D;
460
2). Для любого натурального k ∈ N существует конечный предел
lim fk (x) = bk .
x→a
Тогда существует конечный предел
lim S(x),
x→a
причем выполняется равенство:
lim S(x) = lim
x→a
∞
X
x→a
fk (x) =
k=1
∞
X
k=1
lim fk (x) =
x→a
∞
X
bk .
k=1
Доказательство. (1). Докажем сначала, что числовой ряд
∞
P
bk сходится.
k=1
Так как
∞
X
fk (x) ⇒ S(x) на D,
k=1
то по критерию равномерной сходимости Коши функционального ряда
для любого ε > 0 существует такой номер N = N (ε), что для любого n ≥
N , любого натурального p ∈ N и каждого x ∈ D выполняется неравенство
n+p
X
fk (x) = |Sn+p (x) − Sn (x)| = |fn+1 (x) + fn+2 (x) + . . . + fn+p (x)| < ε.
k=n+1
Переходя в этом неравенстве к пределу при x → a, получим:
n+p
X
bk = |bn+1 + bn+2 + . . . + bn+p | ≤ ε.
k=n+1
Следовательно, числовой ряд
∞
P
bk удовлетворяет критерию сходимости
k=1
Коши, и потому сходится.
(2). Так как числовой ряд
∞
P
bk сходится, то для любого ε > 0 су-
k=1
ществует такой номер N1 = N1 (ε), что для любого n ≥ N1 выполняется
неравенство
∞
X
ε
(5.4.4)
bk < .
3
k=n+1
461
(3). Так как функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится равномерно в
k=1
своей сумме S(x) на D, то для этого ε > 0 существует такой номер N2 =
N2 (ε), что для любого n ≥ N2 выполняется неравенство
∞
X
fk (x) <
k=n+1
ε
для любого x ∈ D.
3
(5.4.5)
(4). Зафиксируем n0 ≥ max{N1 , N2 } и рассмотрим функцию
Sn0 (x) =
n
X
fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn0 (x).
k=1
По условию, для любого натурального k ∈ N существует конечный предел
lim fk (x) = bk .
x→a
Поэтому существует предел
lim Sn0 (x) = lim
x→a
x→a
n0
X
fk (x) = lim [f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn0 (x)] =
x→a
k=1
= b1 + b2 + . . . + bn0 =
n0
X
bk .
k=1
По определению предела для этого ε > 0 существует такое δ > 0, что для
любого x ∈ D, такого что
0 < |x − a| < δ
выполняется неравенство
n0
X
k=1
fk (x) −
n0
X
ε
bk < .
3
k=1
(5). Теперь для любого x ∈ D, такого что
0 < |x − a| < δ,
462
(5.4.6)
учитывая неравенства (5.4.4), (5.4.5) и (5.4.6), получаем:
S(x) −
∞
X
bk =
k=1
=
n0
X
fk (x) +
k=1
n0
X
fk (x) −
n0
X
fk (x) −
n0
X
n0
X
bk +
k=1
bk +
∞
X
n0
X
fk (x) −
k=n0 +1
∞
X
fk (x) +
∞
X
bk −
k=1
bk =
k=n0 +1
∞
X
bk ≤
k=n0 +1
∞
X
bk <
k=n0 +1
k=n0 +1
k=1
k=1
fk (x) −
k=n0 +1
k=1
≤
∞
X
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
Это означает, что существует предел
lim S(x) =
x→a
т.е.
lim S(x) = lim
x→a
5.4.2
x→a
∞
X
∞
X
bk ,
k=1
fk (x) =
∞
X
k=1
k=1
lim fk (x) =
x→a
∞
X
bk .
k=1
Непрерывность предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда
5.4.2.1. Непрерывность предельной функции функциональной
последовательности
Теорема 5.4.3. Пусть
1). Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится равномерно к предельной функции f (x) на окрестности Uδ (x0 );
2). Для любого натурального n ∈ N функции fn (x) непрерывны в точке
x0 :
lim fn (x) = fn (x0 ).
x→x0
463
Тогда предельная функция f (x) непрерывна в точке x0 :
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Доказательство. Полагая в доказательстве теоремы 5.4.1 о предельном
переходе
lim fn (x) = fn (x0 ) = bn ,
x→x0
получим, что существует предел
lim f (x) = lim lim fn (x) = lim lim fn (x) = lim fn (x0 ) = f (x0 ).
x→x0
x→x0 n→∞
n→∞ x→x0
n→∞
Замечание 5.4.4. Условие равномерной сходимости существенно, так как
функциональная последовательность {fn (x)} непрерывных функций может сходится неравномерно к функции f (x), которая разрывна на D.
Пример 5.4.5. Рассмотрим опять функциональную последовательность
непрерывных функций
1 − nx, если 0 ≤ x ≤ 1
n
fn (x) =
1
0,
если < x ≤ 1.
n
Мы показали, что эта последовательность сходится к функции
1, если x = 0
f (x) =
0, если 0 < x ≤ 1,
которая разрывна в точке x = 0.
Замечание 5.4.6. Вместо предела (непрерывности) в точке x = a можно
рассматривать предел (непрерывность) слева или справа.
464
5.4.2.2. Непрерывность суммы функционального ряда
Теорема 5.4.7. Пусть
∞
P
1). Функциональный ряд
fk (x) сходится равномерно к своей сумме
k=1
S(x) на окрестности Uδ (x0 );
2). Для любого натурального k ∈ N функции fk (x) непрерывны в точке
x0 :
lim fk (x) = fk (x0 ).
x→x0
Тогда сумма ряда непрерывна в точке x0 :
lim S(x) = S(x0 ),
x→x0
причем выполняется равенство:
lim S(x) = lim
x→x0
x→x0
∞
X
fk (x) =
∞
X
k=1
k=1
lim fk (x) =
x→x0
∞
X
fk (x0 ) = S(x0 ).
k=1
Доказательство. Так как для любого натурального k ∈ N функции fk (x)
непрерывны в точке x0 :
lim fk (x) = fk (x0 ) = bk ,
x→x0
то в силу теоремы о предельном переходе 5.4.2 имеем:
lim S(x) =
x→x0
5.4.3
∞
X
k=1
bk =
∞
X
fk (x0 ) = S(x0 ).
k=1
Почленное интегрирование функциональной последовательности и функционального ряда
Пусть функции
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fk (x), . . .
определены на отрезке [a, b].
465
5.4.3.1. Почленное интегрирование функциональной последовательности
Теорема 5.4.8. Пусть
1). Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится равномерно к предельной функции f (x) на [a, b];
2). Для любого натурального n ∈ N функции fn (x) интегрируемы на
[a, b].
Тогда предельная функция f (x) интегрируема на [a, b] и имеет место
равенство:
Z b
Z bh
Z b
i
f (x) dx =
lim fn (x) dx = lim
fn (x) dx.
a
a
n→∞
n→∞
a
Доказательство. Так как функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1
сходится равномерно к предельной функции f (x) на [a, b], то для любого
ε > 0 существует номер N = N (ε) такой, что для любого n ≥ N и любого
x ∈ [a, b] выполняется неравенство
|fn (x) − f (x)| <
ε
.
2(b − a)
Пусть номер n ≥ N .
(1). Докажем интегрируемость предельной функции f (x) на [a, b].
(1.1). Так как функция fn (x) интегрируема на [a, b], то для этого ε > 0
найдется такое разбиение
τ = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xm = b}
отрезка [a, b], что
S(τ, fn ) − S(τ, fn ) < ε,
где S(τ, fn ) и S(τ, fn ) верхняя и нижняя суммы Дарбу функции fn (x).
(1.2). Обозначим через ωi (f ) и ωi (fn ) колебания функций f (x) и fn (x)
на частичном отрезке [xi−1 , xi ] разбиения τ , i = 1, 2, . . . , m.
Пусть x0 , x00 ∈ [xi−1 , xi ]. Тогда
|f (x0 ) − f (x00 )| = |f (x0 ) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − fn (x00 ) + fn (x00 ) − f (x00 )| ≤
≤ |f (x0 ) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − fn (x00 )| + |fn (x00 ) − f (x00 )| ≤
466
≤
ε
ε
ε
+ |fn (x0 ) − fn (x00 )| +
= |fn (x0 ) − fn (x00 )| +
.
2(b − a)
2(b − a)
b−a
Так как x0 , x00 ∈ [xi−1 , xi ] произвольные, то
ωi (f ) ≤ ωi (fn ) +
ε
.
b−a
Умножая обе части этого неравенства на ∆xi = xi − xi−1 , получим:
ωi (f )∆xi ≤ ωi (fn )∆xi +
ε
∆xi .
b−a
Наконец, суммируя по всем i = 1, 2, . . . , m, имеем:
m
X
ωi (f )∆xi ≤
i=1
m
X
ωi (fn )∆xi +
i=1
m
X
i=1
m
X
ε
∆xi =
ωi (fn )∆xi + ε.
b−a
i=1
Обозначим через S(τ, f ) и S(τ, f ) верхнюю и нижнюю суммы Дарбу функции f (x). Тогда получим:
S(τ, f ) − S(τ, f ) ≤ S(τ, fn ) − S(τ, fn ) + ε < 2ε.
Так как ε > 0 — произвольное, то функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
(2). Пусть, как и выше, n ≥ N = n(ε). Рассмотрим разность
b
Z
Z
fn (x) dx −
a
b
Z
Z
≤
a
b
[fn (x) dx − f (x)] dx ≤
f (x) dx =
a
b
a
ε
|fn (x) dx − f (x)| dx ≤
2(b − a)
Z
b
dx =
a
ε
< ε.
2
Следовательно,
Z
lim
n→∞
b
Z
fn (x) dx =
a
b
f (x) dx =
a
Z bh
a
467
i
lim fn (x) dx.
n→∞
5.4.3.2. Почленное интегрирование функционального ряда
Теорема 5.4.9. Пусть
∞
P
1). Функциональный ряд
fk (x) сходится равномерно к своей сумме
k=1
S(x) на [a, b];
2). Для любого натурального k ∈ N функции fk (x) интегрируемы на
[a, b].
Тогда сумма ряда S(x) интегрируема на [a, b] и имеет место равенство:
#
Z b "X
Z b
∞
∞ Z b
X
fk (x) dx.
fk (x) dx =
S(x) dx =
a
a
k=1
k=1
a
∞
P
Доказательство. Так как функциональный ряд
fk (x) сходится равно-
k=1
мерно к своей сумме S(x) на [a, b], то
Sn (x) =
n
X
fk (x) ⇒ S(x) на [a, b].
k=1
Кроме того, так как все функции f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) интегрируемы на
[a, b], то функции Sn (x) функциональной последовательности {Sn (x)}∞
n=1
интегрируемы на [a, b], как конечные суммы интегрируемых функций. Поэтому, по теореме 5.4.8, функция S(x) интегрируема на [a, b] и имеет место
равенство:
Z
lim
n→∞
b
Z
b
Sn (x) dx =
a
S(x) dx =
a
Z bh
a
i
lim Sn (x) dx,
n→∞
откуда следует, что
Z
b
S(x) dx =
a
Z b "X
∞
a
#
fk (x) dx =
k=1
∞ Z
X
k=1
468
a
b
fk (x) dx.
5.4.4
Почленное дифференцирование функциональной
последовательности и функционального ряда
Пусть функции
f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fk (x), . . .
определены на отрезке [a, b].
5.4.4.1. Почленное дифференцирование функциональной последовательности
Теорема 5.4.10. Пусть
1). Для любого натурального n ∈ N функции fn (x) дифференцируемы
на [a, b].
1). Функциональная последовательность {fn0 (x)}∞
n=1 сходится равномерно на [a, b];
3). Функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится хотя бы
в одной точке x0 ∈ [a, b].
Тогда функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится равномерно к предельной функции f (x) на [a, b], причем f (x) дифференцируема на [a, b] и имеет место равенство:
h
i0
0
f (x) = lim fn (x) = lim fn0 (x).
n→∞
n→∞
Доказательство. (1). Докажем сначала, что функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 сходится равномерно на [a, b] к некоторой предельной
функции f (x).
(1.1). Так как функциональная последовательность {fn0 (x)}∞
n=1 сходится равномерно на [a, b], то для любого ε > 0 существует такой номер
N1 = N1 (ε), что для любого n ≥ N1 и любого натурального p ∈ N выполняется неравенство
0
|fn+p
(x) − fn0 (x)| <
одновременно для всех x ∈ [a, b].
469
ε
2(b − a)
(5.4.7)
(1.2). Так как числовая последовательность {fn (x0 )}∞
n=1 сходится, то
она фундаментальная, т.е. для этого ε > 0 существует такой номер N2 =
N2 (ε), что для любого n ≥ N2 и любого натурального p ∈ N выполняется
неравенство
ε
(5.4.8)
|fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < .
2
(1.3). Пусть
n ≥ N = max{N1 , N2 }.
и пусть точка x ∈ [a, b] произвольная. Рассмотрим на отрезке [x0 , x] (или
на [x, x0 ]) функцию
g(t) = fn+p (t) − fn (t).
Эта функция удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x0 , x] (или на
[x, x0 ]). Поэтому существует такая точка ξ ∈ (x − 0, x), что
g(x) − g(x0 ) = g 0 (ξ)(x − x0 ),
т.е.
0
[fn+p (x) − fn (x)] − [fn+p (x0 ) − fn (x0 )] = [fn+p
(ξ) − fn0 (ξ)](x − x0 ).
Тогда, в силу (5.4.7) и (5.4.8), для любого x ∈ [a, b] имеем:
0
|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| + |fn+p
(ξ) − fn0 (ξ)||x − x0 | <
<
ε
ε
ε ε
+
|x − x0 | < + = ε,
2 2(b − a)
2 2
так как
|x − x0 | < b − a.
Таким образом, функциональная последовательность {fn (x)}∞
n=1 удовлетворяет на отрезке [a, b] критерию Коши равномерной сходимости, поэтому существует такая функция f (x), что
fn (x) ⇒ f (x) на [a, b].
(2). Докажем , что предельная функция f (x) функциональной последовательности {fn (x)}∞
n=1 дифференцируема в каждой точке x ∈ [a, b] и
что
f 0 (x) = lim fn0 (x).
n→∞
470
По определению производной это означает, что если ∆x — такое приращение x, что x + ∆x ∈ (a, b), то
fn (x + ∆x) − fn (x)
f (x + ∆x) − f (x)
= lim lim
=
∆x→0 n→∞
∆x→0
∆x
∆x
lim
fn (x + ∆x) − fn (x)
.
n→∞ ∆x→0
∆x
= lim lim
(2.1). Зафиксируем точку x0 ∈ [a, b]. Обозначим приращение ∆x через
t:
t = ∆x.
◦
Рассмотрим выколотую окрестность (или полуокрестность) U δ (x0 ) ⊂ (a, b):
если x0 = a
(a, a + δ),
◦
(x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ), если x0 ∈ (a, b)
U δ (x0 ) =
(b − δ, b),
если x0 = b.
Обозначим
◦
D = D(x0 ) = {t : x0 + t ∈ U δ (x0 )}.
Ясно, что
если x = a
(0, δ),
(−δ, 0) ∪ (0, δ), если x ∈ (a, b)
D = D(x0 ) =
(−δ, 0),
если x = b.
(2.2). На множестве D = D(x0 ) рассмотрим функциональную последовательность
fn (x0 + t) − fn (x0 )
ϕn (t) =
t
Так как любого x ∈ [a, b]
lim fn (x) = f (x),
n→∞
то для любого t ∈ D существует предел
lim ϕn (t) = lim
n→∞
n→∞
fn (x0 + t) − fn (x0 )
f (x0 + t) − f (x0 )
=
= ϕ(t).
t
t
(2.3). Покажем, что
ϕn (t) ⇒ ϕ(t) при n → ∞
471
на множестве D = D(x0 ).
(2.3.1). Так как функциональная последовательность {fn0 (x)}∞
n=1 сходится равномерно на [a, b], то для любого ε > 0 существует такой номер
N = N (ε), что для любого n ≥ N , любого натурального p ∈ N и любого
x ∈ [a, b] выполняется неравенство
0
|fn+p
(x) − fn0 (x)| < ε.
(2.3.2). Пусть n ≥ N и пусть точка t ∈ D фиксирована. Рассмотрим
на отрезке [x0 , x0 + t], как и выше, функцию
g(t) = fn+p (t) − fn (t).
Эта функция удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x0 , x0 + t]. Поэтому существует такая точка ξ ∈ (x0 , x0 + t), что
g(x0 + t) − g(x0 ) = g 0 (ξ)t,
т.е.
0
[fn+p (x0 + t) − fn (x0 + t)] − [fn+p (x0 ) − fn (x0 )] = [fn+p
(ξ) − fn0 (ξ)]t.
Тогда
fn+p (x0 + t) − fn+p (x0 ) fn (x0 + t) − fn (x0 )
0
−
= fn+p
(ξ) − fn0 (ξ),
t
t
т.е.
0
ϕn+p (t) − ϕn (t) = fn+p
(ξ) − fn0 (ξ).
Следовательно,
0
|ϕn+p (t) − ϕn (t)| < |fn+p
(ξ) − fn0 (ξ)| < ε.
Таким образом, функциональная последовательность {ϕn (t)}∞
n=1 удовлетворяет на множестве D критерию Коши равномерной сходимости. Поэтому
ϕn (t) ⇒ ϕ(t) при n → ∞
на множестве D = D(x0 ).
(2.4). Для функциональная последовательность {ϕn (t)}∞
n=1 имеем:
ϕn (t) ⇒ ϕ(t) при n → ∞.
472
Кроме того, для любого n ∈ N существует конечный предел
lim ϕn (t) = lim
t→0
t→0
fn (x0 + t) − fn (x0 )
= fn0 (x0 ).
t
Тогда по теореме о предельном переходе 5.4.1 существует предел
f (x0 + t) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
t→0
t
lim ϕ(t) = lim
t→0
и
f 0 (x0 ) = lim ϕ(t) = lim lim ϕn (t) = lim lim ϕn (t) = lim fn0 (x0 ).
t→0
t→0 n→∞
n→∞ t→0
n→∞
Таким образом, в силу произвольности точки x0 ∈ [a, b], предельная
функция f (x) дифференцируема на [a, b] и имеет место равенство:
h
i0
f 0 (x) = lim fn (x) = lim fn0 (x).
n→∞
n→∞
5.4.4.2. Почленное дифференцирование функционального ряда
Теорема 5.4.11. Пусть
1). Для любого натурального k ∈ N функции fk (x) дифференцируемы
на [a, b].
1). Функциональный ряд
∞
P
fk0 (x) сходится равномерно на [a, b];
k=1
3). Функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится хотя бы в одной точке x0 ∈
k=1
[a, b].
Тогда функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится равномерно к своей сум-
k=1
ме S(x) на [a, b], причем S(x) дифференцируема на [a, b] и имеет место
равенство:
"∞
#0
∞
X
X
S 0 (x) =
fk (x) =
fk0 (x).
k=1
k=1
473
Доказательство. Рассмотрим функциональную последовательность {Sn (x)}∞
n=1
∞
P
n-х частичных сумм функционального ряда
fk (x):
k=1
Sn (x) =
n
X
fk (x).
k=1
(1). Для любого натурального k ∈ N функции fk (x) дифференцируемы
на [a, b], поэтому для любого натурального n ∈ N функции Sn (x)
дифференцируемы на [a, b]. При этом,
Sn0 (x)
n
X
=
fk0 (x),
k=1
т.е. функциональная последовательность {Sn0 (x)}∞
n=1 является после∞
P
довательностью n-х частичных сумм функционального ряда
fk0 (x).
k=1
(2). Функциональный ряд
∞
P
fk0 (x) сходится равномерно на [a, b], поэтому
k=1
функциональная последовательность {Sn0 (x)}∞
n=1 сходится равномерно на [a, b];
(3). Функциональный ряд
∞
P
fk (x) сходится хотя бы в одной точке x0 ∈ [a, b],
k=1
поэтому функциональная последовательность {Sn (x)}∞
n=1 сходится
хотя бы в одной точке x0 ∈ [a, b].
Тогда, по теореме 5.4.10, функциональная последовательность {Sn (x)}∞
n=1
сходится равномерно к предельной функции S(x), т.е. функциональный
∞
P
ряд
fk (x) сходится равномерно к своей сумме S(x) на [a, b].
k=1
Причем S(x) дифференцируема на [a, b] и имеет место равенство:
h
i0
0
S (x) = lim Sn (x) = lim Sn0 (x),
n→∞
n→∞
т.е.
"
0
S (x) =
∞
X
#0
fk (x)
k=1
=
∞
X
k=1
474
fk0 (x).
Глава 6
Степенные ряды
6.1
6.1.1
Лекция №29
Понятие степенного ряда. Область сходимости. Равномерная сходимость
Определение степенного ряда. Общие замечания
Определение 6.1.1. Функциональный ряд вида
∞
X
ak x k = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n + . . .
(6.1.1)
k=0
называется степенным рядом.
Постоянные числа a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . называются коэффициентами
степенного ряда (6.1.1).
Замечание 6.1.2. Также как и для общих функциональных рядов, задавая определенные числовые значения для x, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.
Совокупность тех значений x, при которых ряд (6.1.1) сходится, является
его областью сходимости, и как и выше, обозначается через Df .
Замечание 6.1.3. Область сходимости Df степенного ряде (6.1.1) имеет
специальный вид. Ясно, что x = 0 ∈ Df , и потому Df 6= ∅.
475
Замечание 6.1.4. Очевидно, что частичная n-я сумма степенного ряда
(6.1.1)
Sn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
является функцией от переменной x. Кроме этого, в области сходимости
Df степенного ряда его сумма S также является некоторой функцией от
переменной x. Поэтому пишут
S = S(x) =
∞
X
an x n ,
n=0
или
f (x) =
∞
X
an x n .
n=0
Замечание 6.1.5. Сделав замену в степенном ряде (6.1.1)
x 7→ x − x0 ,
мы получим функциональный ряд
∞
X
ak (x − x0 )k = a0 + a1 (x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n + . . . , (6.1.2)
k=0
который тоже называется степенным.
6.1.2
Интервал сходимости степенного ряда
Представление об области сходимости степенного ряда дает следующая
теорема.
Теорема 6.1.6 (Теорема Абеля).
∞
X
1). Если степенной ряд (6.1.1)
ak x k = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n + . . .
k=0
сходится при некотором x = x 6= 0, то он сходится, и притом
абсолютно при каждом x, удовлетворяющем неравенству
|x| < |x|.
476
2). Если ряд (6.1.1) расходится при x = x1 , то он расходится для всех
x, удовлетворяющих условию
|x| > |x1 |.
Доказательство. 1). По условию, числовой ряд
∞
X
ak x k = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n + . . .
k=0
сходится. Поэтому по необходимому условию сходимости ряда,
lim an xn = 0,
n→∞
т.е. числовая последовательность {an xn }∞
n=1 сходится и потому ограничена.
Следовательно, существует такое число M > 0, что для любого натурального числа n ∈ N выполняется неравенство:
|an xn | ≤ M.
Пусть теперь |x| ≤ |x|. Перепишем ряд (6.1.1) в виде
∞
X
ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . . =
k=0
= a0 + a1 x
x
+ a2 x2
x 2
+ . . . + an x n
x n
x
x
x
и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:
∞
X
|ak xk | = |a0 | + |a1 x|
k=0
x
x
+ |a2 x2 |
x
x
2
+ . . . + |an xn |
x
x
+ ...
n
+ ....
(6.1.3)
Так как
x k
x k
≤M
,
x
x
то члены ряда (6.1.3) мажорируются членами ряда
|ak xk | = |ak xk |
M +M
x
x
+M
x
x
2
+ ... + M
x
x
n
+ ...
(6.1.4)
При |x| < |x| ряд (6.1.4) представляет собой геометрическую прогрессию
со знаменателем
x
q=
<1
x
477
и потому сходится. Поэтому, по признаку сравнения рядов с положительными членами, ряд (6.1.3) тоже сходится.
Следовательно, при |x| < |x| ряд (6.1.1) сходится абсолютно.
2). Докажем вторую часть теоремы. По условию в некоторой точке x1 ,
ряд (6.1.1) расходится. Покажем что он расходится для всех x, удовлетворяющих условию |x| > |x1 |.
Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении x0
таком, что |x0 | > |x1 |, ряд (6.1.1) сходится. Тогда, в силу неравенства
|x1 | < |x0 |,
по доказанному выше, ряд (6.1.1) должен сходиться в точке x1 , и притом
абсолютно, что противоречит условию расходимости этого ряда в точке
x1 .
P
k
Замечание 6.1.7. Если степенной ряд ∞
k=0 ak x сходится при некотором
x = x 6= 0, то он сходится абсолютно при каждом x, удовлетворяющем
неравенству
−|x| < |x| < |x|.
В частности, если он сходится на [0, +∞), то он сходится на R =
(−∞, +∞).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 6.1.8. Ряд
∞
X
k!xk = 1 + x + 2x2 + . . . + n!xn + . . .
k=0
сходится лишь при x = 0.
Действительно, пусть x0 6= 0 фиксировано. Применяя к числовому ряду
∞
X
k!|x0 |k = 1 + |x0 | + 2|x0 |2 + . . . + n!|x0 |n + . . .
k=0
признак сходимости Даламбера в предельной форме, получим:
(n + 1)!|x0 |n+1
= lim (n + 1)|x0 | = ∞.
n→∞
n→∞
n!|x0 |n
lim
478
Пример 6.1.9. Ряд
∞
X
xk
k=0
k!
=1+x+
x2
xn
+ ... +
+ ...
2
n!
сходится при любом x ∈ R = (−∞, +∞).
Действительно, пусть x0 ∈ R = (−∞, +∞) фиксировано. Применяя к
числовому ряду
∞
X
|x0 |k
k=0
k!
= 1 + |x0 | +
|x0 |2
|x0 |n
+ ... +
+ ...
2
n!
тот же признак сходимости Даламбера в предельной форме, получим:
|x0 |n+1
|x0 |
(n + 1)!
lim
= 0.
= lim
n
n→∞
n→∞ n + 1
|x0 |
n!
Пример 6.1.10. Ряд
∞
X
xk = 1 + x + x2 + . . . + xn + . . .
k=0
сходится при любом x ∈ (−1, +1) и расходится при любом |x| ≥ 1.
Теорема 6.1.11. Если область сходимости Df степенного ряда
∞
X
ak x k = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n + . . .
k=0
такая, что Df 6= {0} и Df 6= R = (−∞, +∞), то существует такое
число R > 0, что
• при x ∈ (−R, +R) ряд сходится абсолютно;
479
• при x 6∈ [−R, +R] ряд расходится.
Доказательство. 1). Покажем сначала, что область сходимости Df сте∞
P
пенного ряда
ak xk ограничена.
k=0
Действительно, так как Df 6= {0} и Df 6= R = (−∞, +∞), то существу∞
P
ет точка x1 , в которой ряд
ak xk расходится. Тогда по теореме Абеля
k=0
6.1.6, для любой точки x ∈ Df выполняется неравенство
|x| < |x1 |.
Следовательно, множество Df ограничено.
Следовательно, по теореме о существовании супремума непустого ограниченного сверху множества, существует число
R = sup{|x| : x ∈ Df } > 0.
2). Пусть теперь x такое, что
|x| < R.
По свойству точной верхней грани найдется x ∈ Df такое, что
|x| < |x| < R.
∞
P
Тогда по теореме Абеля 6.1.6 степенной ряд
ak xk сходится абсолютk=0
ную при данном x.
3). Так как
R = sup{|x| : x ∈ Df },
∞
P
то при x 6∈ [−R, +R] степенной ряд
ak xk расходится.
k=0
Определение 6.1.12. Интервал (−R, +R) называется интервалом сходи∞
P
мости, а R — радиусом сходимости степенного ряда
ak x k .
k=0
480
Замечание 6.1.13.
• Если область сходимость степенного ряда Df =
{0}, то полагают
R = 0.
• Если область сходимость степенного ряда Df = R = (−∞, +∞), то
полагают
R = +∞.
Замечание 6.1.14. В концах интервала сходимости (−R, +R) степенной
∞
P
ряд
ak xk может вести себя по разному.
k=0
Примеры 6.1.15.
1). Интервал сходимости степенного ряда
∞
X
ak x k = 1 + x + x 2 + . . . + x n + . . .
k=0
равен (−1, 1). При x = 1 и x = −1 ряд расходится.
Следовательно,
Df = (−R, R) = (−1, +1).
2). Интервал сходимости степенного ряда
∞
X
n
x2
nx
ak x = 1 − x +
+ . . . + (−1)
+ ...
2
n
k=0
k
равен (−1, 1).
При x = −1 мы получаем расходящийся гармонический ряд:
1+1+
1
1
+ ... + + ....
2
n
При x = 1 мы имеем сходящийся ряд Лейбница:
1−1+
1
1
+ . . . + (−1)n + . . . .
2
n
Следовательно,
Df = (−R, R] = (−1, +1].
481
3). Интервал сходимости степенного ряда
∞
X
xn
x2
+ ... +
+ ...
ak x = 1 + x +
2
n
k=0
k
равен (−1, 1).
При x = −1 мы имеем сходящийся ряд Лейбница:
1−1+
1
1
+ . . . + (−1)n + . . . .
2
n
При x = +1 мы получаем расходящийся гармонический ряд:
1+1+
1
1
+ ... + + ....
2
n
Следовательно,
Df = [−R, R) = [−1, +1).
4). Интервал сходимости степенного ряда
∞
X
ak x k = 1 + x +
k=0
x2
xn
+
.
.
.
+
+ ...
22
n2
равен (−1, 1).
При x = −1 мы имеем сходящийся ряд Лейбница:
1−1+
1
n 1
+
.
.
.
+
(−1)
+ ....
22
n2
При x = +1 мы получаем сходящийся обобщенный гармонический
ряд:
1
1
1 + 1 + 2 + ... + 2 + ....
2
n
Следовательно,
Df = [−R, R] = [−1, +1].
482
6.1.3
Вычисление радиуса сходимости степенного ряда
Теорема 6.1.16. Пусть дан степенной ряд
∞
P
ak x k .
k=0
Если существует конечный предел
|an+1 |
= l,
n→∞ |an |
lim
(6.1.5)
где 0 ≤ l ≤ +∞, то радиус сходимости R этого ряда вычисляется по
формуле
|an |
1
.
(6.1.6)
R = = lim
n→∞ |an+1 |
l
При этом полагают, что R = 0 при l = +∞ и R = +∞ при l = 0.
∞
P
Доказательство. Используя признак Даламбера для степенного ряда
|ak xk |,
k=0
имеем:
n+1
|an+1 x |
|an+1 |
lim
= |x| lim
= |x|l.
n
n→∞
n→∞ |an |
|an x |
1). Если l = 0, то ряд
∞
P
ak xk сходится абсолютно при любом x ∈ R =
k=0
(−∞, +∞). Следовательно, R = +∞.
∞
P
2). Если l = +∞, то ряд
ak xk сходится лишь при x = 0. Следоваk=0
тельно, R = 0.
3). Если 0 < l < +∞, то ряд
∞
P
ak xk сходится абсолютно при
k=0
1
1
|x|l < 1 ⇔ − < x < ,
l
l
и расходится при
1
|x|l > 1 ⇔ |x| > .
l
1
Следовательно, R = .
l
Используя признак Коши, получаем аналогичную теорему.
483
Теорема 6.1.17. Пусть дан степенной ряд
∞
P
ak x k .
k=0
Если существует конечный предел
p
lim n |an | = l,
(6.1.7)
n→∞
где 0 ≤ l ≤ +∞, то радиусом сходимости R этого ряда вычисляется по
формуле
1
1
.
(6.1.8)
R = = lim p
n→∞ n |a |
l
n
При этом полагают, что R = 0 при l = +∞ и R = +∞ при l = 0.
Замечание 6.1.18. Отметим, что формулы (6.1.6) и (6.1.8) применимы
лишь при условии существования соответствующих пределов (6.1.5) и (6.1.7).
Имеет место более общая теорема.
Теорема 6.1.19 (Теорема Коши-Адамара). Радиус сходимости R сте∞
P
ak xk вычисляется по формуле
пенного ряда
k=0
1
R= ,
l
(6.1.9)
где
l = lim
n→∞
p
n
|an |.
(6.1.10)
При этом полагают, что R = 0 при l = +∞ и R = +∞ при l = 0.
p
Доказательство. 1). Предположим сначала, что последовательность { n |an |}∞
n=1
неограничена, т.е.
p
l = lim n |an | = +∞.
n→∞
Тогда для любого x 6= 0 последовательность
p
p
n
|an xn | = |x| n |an |, n = 1, 2, . . .
тоже неограничена. Следовательно, для любого натурального числа N существует номер nN ≥ N такой, что
p
nN
|anN xnN | > 1.
484
Следовательно,
|anN xnN | > 1
для любого элемента бесконечной последовательности {nN }∞
N =1 . Таким образом, для числового ряда
∞
X
ak xk , x 6= 0
k=0
не выполняется необходимое условие сходимости, т.е. этот ряд расходится
при любом x 6= 0. Следовательно, ряд
∞
X
ak x k
k=0
сходится лишь при x = 0. Итак, в этом случае,
R = 0.
p
n
2). Пусть теперь последовательность { |an |}∞
n=1 ограничена и
0 < l = lim
n→∞
p
n
|an | < ∞.
Докажем, что в этом случае ряд
∞
X
ak xk
k=0
1
1
и расходится при |x| > .
l
l
1
2.1). Зафиксируем произвольное |x| < . Рассмотрим такое ε > 0, что
l
сходится абсолютно при |x| <
|x| <
1
1
< .
l+ε
l
Так как
l = lim
n→∞
p
n
|an |,
то существует такой номер N , что для любого натурального числа n ≥ N
выполняется неравенство
p
ε
n
|an | < l + .
2
485
Следовательно, для любого n ≥ N выполняется неравенство
ε
l+
p
p
n
2 < 1.
|an xn | = |x| n |an | <
l+ε
Поэтому, в силу признака Коши, ряд
∞
X
ak x k
k=0
1
сходится абсолютно при любом при |x| < .
l
1
и рассмотрим такое
2.2). Зафиксируем теперь произвольное |x| >
l
ε > 0, что
1
1
<
< |x|.
l
l−ε
Так как
p
l = lim n |an |,
n→∞
то,pпо определению верхнего предела,
существует подпоследовательность
p
n
nk
∞
{ |ank |}k=1 последовательности { |an |}∞
n=1 , которая сходится к l:
lim
k→∞
q
|ank | = l.
nk
Следовательно, для данного ε > 0 существует такое натуральное K, что
для любого k ≥ K выполняется неравенство
q
nk
| |ank | − l| < ε,
т.е.
q
q
nk
−ε <
|ank | − l < ε ⇒ l − ε <
|ank | < l + ε.
nk
Таким образом, для любого k ≥ K выполняется неравенство
q
q
l−ε
nk
nk
n
k
|ank x | = |x| |ank | >
= 1,
l−ε
т.е. для любого k ≥ K выполняется неравенство
|ank xnk | > 1.
486
Поэтому, для ряда
∞
X
ak x k
k=0
не выполняется необходимое условие сходимости, т.е. этот ряд расходится
1
при любом при |x| > .
l
1
Итак, если 0 < l < ∞, то R = .
l
3). Пусть теперь l = 0.
Докажем, что в этом случае ряд
∞
X
ak x k
k=0
сходится абсолютно при любом x. Так как для x = 0 это утверждение
очевидно, то зафиксируем x 6= 0.
Так как
p
l = lim n |an | = 0,
n→∞
p
то l = 0 — единственная предельная точка последовательности { n |an |}∞
n=1 ,
т.е.
p
lim n |an | = 0.
n→∞
Рассмотрим
1
.
2|x|
Для этого ε > 0 найдется такое N , что для любого n ≥ N выполняется
неравенство
p
1
n
|an | <
.
2|x|
Следовательно, для любого n ≥ N выполняется неравенство
p
p
1
1
n
|an xn | = |x| n |an | < |x|
= < 1.
2|x|
2
ε=
Следовательно, по признаку Коши, ряд
∞
X
ak x k
k=0
сходится абсолютно при любом x.
Итак, в этом случае, R = +∞.
487
6.1.4
Равномерная сходимость степенного ряда
Теорема 6.1.20. Степенной ряд
∞
P
ak xk сходится равномерно на любом
k=0
интервале [α, β] ⊂ (−R, +R).
Доказательство. Пусть
−R < α ≤ x ≤ β < +R,
где (−R, +R) — интервал сходимости степенного ряда
∞
P
ak x k .
k=0
Обозначим
x0 = max{|α|, |β|}.
Ясно, что x0 ∈ (−R, +R) и для любого x ∈ [α, β] выполняется неравенство:
|x| ≤ |x0 |. Следовательно,
|ak xk | = |ak ||xk | ≤ |ak |xk0 .
Числовой ряд
∞
P
|ak |xk0 сходится и потому степенной ряд
k=0
∞
P
ak xk сходится
k=0
равномерно на интервале [α, β].
Замечание 6.1.21. На всем интервале сходимости (−R, +R) степенной
∞
P
ряд
ak xk может сходиться неравномерно.
k=0
Пример 6.1.22. Рассмотрим степенной ряд
∞
X
xk = 1 + x + x2 + . . . .
k=0
Этот ряд сходиться на интервале (−1, 1) к сумме
S(x) =
1
.
1−x
488
Рассмотрим
S(x) − Sn (x) = (1 + x + x2 + . . .) − (1 + x + x2 + . . . + xn−1 ) = xn + xn+1 + . . . =
=
xn
.
1−x
Так как
xn
= +∞,
x→+1
x→+1 1 − x
то эта разность не может быть сделана меньше никакого достаточно малого ε > 0. Поэтому данный степенной ряд не сходится равномерно на
(−1, +1).
lim |S(x) − Sn (x)| = lim
Теорема 6.1.23. Если степенной ряд
∞
P
ak xk с интервалом сходимости
k=0
(−R, R) сходится в точке x = R, то он сходится равномерно на [0, R].
Доказательство. Представим степенной ряд в виде
∞
X
k
ak x =
k=0
∞
X
k=0
ak R
k
x k
R
и применим к нему признак Абеля равномерной сходимости функциональ x k
∞
P
k
ного ряда 5.3.9, взяв uk (x) = ak R , vk (x) =
. Ряд
ak Rk сходится
R
k=0
равномерно по x ∈ D = [0, R], т.к. не зависит от x. Последовательность
x k
, очевидно, монотонна по k и ограничена на D = [0, R].
R
Следствие 6.1.24.
• Если степенной ряд
∞
P
ak xk сходится в точке
k=0
x = −R, то он сходится равномерно на [−R, 0].
• Если степенной ряд
∞
P
ak xk сходится в точках x = R и x = −R,
k=0
то он сходится равномерно на [−R, +R].
• Если степенной ряд
∞
P
ak xk расходится в точке x = R, то он не
k=0
может сходится равномерно на (−R, +R).
489
Теорема 6.1.25. Сумма S(x) степенного ряда
∞
P
ak xk непрерывна в каж-
k=0
дой внутренней точке x интервала сходимости (−R, +R).
Доказательство. Пусть x ∈ (−R, +R). Рассмотрим отрезок [α, β] ⊂ (−R, +R)
такой, что
−R < α ≤ x ≤ β < +R.
∞
P
Тогда на [α, β] степенной ряд
ak xk сходится равномерно. Поэтому, в
k=0
силу теоремы 5.4.7, сумма S(x) степенного ряда
∞
P
ak xk непрерывна на
k=0
[α, β] и потому непрерывна в точке x.
6.1.5
Дифференцирование и интегрирование степенного ряда
Теорема 6.1.26. Если S(x) — сумма степенного ряда
∞
P
ak x k :
k=0
S(x) =
∞
X
ak x k ,
k=0
то в каждой точке x интервала сходимости (−R, +R)
10 . Функция S(x) дифференцируема;
20 .
0
S (x) =
∞
X
kak xk−1 ,
k=1
причем интервал сходимости этого ряда тот же, что и исходного.
Доказательство. 1). Пусть R и R0 — радиусы сходимости рядов
и
∞
P
∞
P
k=0
kak xk−1 соответственно. Покажем, что
k=1
R = R0 .
490
ak x k
1.1). Пусть x ∈ (−R0 , R0 ), x 6= 0. Следовательно, ряд
∞
X
k|ak ||x|k−1
k=1
сходится. Тогда сходится и ряд, полученный из данного ряда умножением
на |x|:
∞
X
k|ak ||x|k .
k=1
Так как для любого натурального k имеет место неравенство
|ak ||x|k ≤ k|ak ||x|k ,
то сходится и ряд
∞
X
|ak ||x|k .
k=0
Таким образом, x ∈ (−R, R) и потому
R0 ≤ R.
(6.1.11)
1.2). Пусть теперь x ∈ (−R, R). Тогда найдется такое x0 ∈ (−R, R),
что x0 6= 0 и
|x| < |x0 |.
∞
P
ak xk0 сходится и потому, в силу необходимого признака
Числовой ряд
k=0
сходимости числового ряда,
lim ak xk0 = 0.
k→∞
Поэтому существует такое M > 0, что для любого натурального k ∈ N
выполняется неравенство
|ak xk0 | ≤ M.
Отсюда для любого натурального k ∈ N выполняется неравенство
|kak xk−1 | =
Рассмотрим ряд
1
x
k|ak xk0 |
|x0 |
x0
∞
X
M
x
k
|x0 | x0
k=0
491
k−1
≤
k−1
.
M
x
k
|x0 | x0
k−1
.
Так как
x
< 1, то
x0
lim
k→∞
x
M
(k + 1)
|x0 |
x0
M
x
k
|x0 | x0
k
x
k+1 x
=
< 1.
k→∞
k
x0
x0
= lim
k−1
Поэтому, по признаку Даламбера в предельной форме, ряд
∞
X
x
M
k
|x0 | x0
k=0
k−1
.
сходится. Но тогда по признаку сравнения, сходится и ряд
∞
X
|kak xk−1 |.
k=
Следовательно, x ∈ (−R0 , R0 ) и потому
R ≤ R0 .
(6.1.12)
Объединяя неравенства (6.1.11) и (6.1.12), получаем, что
R = R0 .
2). Пусть x ∈ (−R, +R). Рассмотрим отрезок [α, β] ⊂ (−R, +R) такой,
что
−R < α ≤ x ≤ β < +R.
∞
∞
P
P
На отрезке [α, β] оба степенных ряда
ak x k и
kak xk−1 сходятся равk=0
k=1
номерно, члены этих рядов непрерывны и дифференцируемы. Поэтому, в
силу теоремы 5.4.11, функция
S(x) =
∞
X
ak xk
k=0
дифференцируема и
0
S (x) =
∞
X
k=1
492
kak xk−1 .
∞
P
Следствие 6.1.27. Если S(x) — сумма степенного ряда
ak x k :
k=0
S(x) =
∞
X
ak x k ,
k=0
то в каждой точке x интервала сходимости (−R, +R)
10 . Функция S(x) имеет производную S (n) (x) любого порядка n ∈ N;
20 .
S
(n)
(x) =
∞
X
k(k − 1) . . . (k − n + 1)ak xk−n ,
k=n
причем интервалы сходимости каждого их этих рядов те же, что
и исходного.
Используя теорему 5.4.9, можно сформулировать следующую теорему:
Теорема 6.1.28. Если S(x) — сумма степенного ряда
∞
P
ak xk :
k=0
S(x) =
∞
X
ak x k ,
k=0
то на любом отрезке [α, β] ⊂ (−R, +R)
10 . Функция S(x) интегрируема;
20 .
Z
β
Z
β
S(x)dx =
α
α
"
∞
X
#
ak x
k=0
k
dx =
∞ Z
X
k=0
β
ak xk dx.
α
В частности, для любого x ∈ (−R, +R)
#
Z x
Z x "X
∞
∞
X
xk+1
k
S(z)dz =
ak z dz =
ak
.
k
+
1
0
0
k=0
k=0
493
6.1.6
Арифметические операции над степенными рядами
Рассмотрим два степенных ряда
∞
X
ak x k = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + ak x k + . . .
k=0
и
∞
X
bk x k = b0 + b1 x + b 2 x 2 + . . . + bk x k + . . . .
k=0
Пусть радиусы сходимости этих рядов равны R1 и R2 соответственно. Тогда при |x| < min{R1 , R2 } определены степенные ряды
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
k
k
(ak ± bk )xk
ak x ±
bk x =
k=0
и
∞
X
k=0
!
ak x
k
·
k=0
k=0
∞
X
k=0
!
bk x
k
=
∞
X
(a0 bk + a1 bk−1 + . . . + ak b0 )xk ,
k=0
Замечание 6.1.29. Если радиусы сходимости этих степенных рядов не
равны нулю: R1 > 0, R2 > 0, и b0 6= 0, то можно представить в виде
степенного ряда частное этих рядов:
∞
P
ak x k
a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + ak x k + . . .
k=0
=
= c0 +c1 x+c2 x2 +. . .+ck xk +. . . ,
∞
2
k
P
b0 + b1 x + b2 x + . . . + b k x + . . .
bk x k
k=0
где коэффициенты c0 , c1 , c2 , . . . могут быть найдены по рекуррентным формулам, полученным при умножении рядов
a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + ak x k + . . . ≡
≡ (b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bk xk + . . .) · (c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + ck xk + . . .) :
a0 = b 0 c 0 ,
a1 = b 0 c 1 + b 1 c 0 ,
a2 = b 0 c 2 + b 1 c 1 + b 2 c 0 ,
..................
a = b0 ck + b1 ck−1 + . . . + bk c0 ,
k
..................
.
494