Автор: Архипов Г.И. Садовничий В.А. Чубариков В.Н.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 5-211-03433-3
Год: 1995
Текст
ГИ.Архипов, В.А.Садовничий,
В.Н.Чубариков
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
часть!
т
IWWNS
v\>vV>C4\Lv\SVVVVV\>V\>V\>v\V
Г.И. Архипов, В.А. Садовничий,
В.Н. Чубариков
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть 1
Рекомендовано Государственным комитетом Рос¬
сийской Федерации по высшему образованию в каче¬
стве учебника для студентов физико-математичес¬
ких специальностей высших учебных заведений
Издательство Московского университета
1995
ББК 22.161
А87
УДК 517
Рецензенты:
отдел теории чисел
Математического института им. В.А. Стеклова,
академик С.М. Никольский
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н.
А87 Лекции по математическому анализу. Ч. 1: Учебник. —
М.: Изд-во МГУ, 1995. — 172 с.
ISBN 5-211-03433-3 (4.1).
ISBN 5-211-03434-1.
Книга является учебником по университетскому курсу матема¬
тического анализа, охватывающим программу первого семестра, т.е.
дифференциальное исчисление функций одной переменной. Текст кни¬
ги представляет собой лекции, прочитанные авторами на механико¬
математическом факультете МГУ. Он дает представление об объеме
материала, который удается вместить в рамки курса, включая пред¬
варительные разъяснения, доказательства утверждений, примеры и
комментарии.
В книге предложен новый подход к изложению ряда основных
понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.
Для студентов университетов, педагогических и технических вузов.
д 1602070000(4309000000)-06Э „ ^ мт_
А Ц Без объявл. БВК 22.161
077(02)-95
ISBN 5-211-03433-3 (4.1) © Архипов Г.И., Садовничий В.А.,
ISBN 5-211-03434-1 Чубариков В.Н., 1995
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 6
Глава I. ВВЕДЕНИЕ 9
Лекция 1 9
§ 1. Множества. Операции над множествами. Декар¬
тово произведение. Отображения. Функции 9
Лекция 2 16
§ 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные
множества. Мощность континуума 16
Лекция 3 21
§ 3. Вещественные числа 21
Лекция 4 24
§ 4. Полнота множества вещественных чисел 24
§ 5. Леммы об отделимости множеств, о системе вло¬
женных отрезков и последовательности стягива¬
ющихся отрезков 28
Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 30
Лекция 5 30
§ 1. Метод математической индукции. Бином Нью¬
тона и неравенство Бернулли 30
§ 2. Числовые последовательности. Бесконечно ма¬
лые и бесконечно большие последовательности
и их свойства 32
Лекция 6 37
§ 3. Предел последовательности 37
§ 4. Предельный переход в неравенствах 39
Лекция 7 42
§ 5. Монотонные последовательности. Теорема Вей-
ерштрасса. Число “е” 42
Лекция 8 47
§ 6. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существова¬
нии частичного предела у ограниченной после¬
довательности 47
§ 7. Критерий Коши для сходимости последователь¬
ности 48
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 51
Лекция 9 51
§ 1. База множеств. Предел функции по базе 53
Лекция 10 58
§ 2. Свойство монотонности предела функции 58
§ 3. Критерий Коши существования предела функции
по базе 59
з
Лекция 11 61
§ 4. Эквивалентность определений' сходимости по Ко¬
ши и по Гейне 61
§ 5. Теоремы о пределе сложной функции 62
§ 6. Порядок бесконечно малой функции 64
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. 65
Лекция 12 66
§ 1. Непрерывность элементарных функций 67
Лекция 13 71
§ 2. Замечательные пределы 71
§ 3. Непрерывность функции на множестве 74
Лекция 14 79
§ 4. Общие свойства функций, непрерывных на от¬
резке 79
Лекция 15 82
§ 5. Понятие равномерной непрерывности 82
§ 6. Свойства замкнутых и открытых множеств.
Компакт. Функции, непрерывные на компакте... 83
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОД¬
НОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 87
Лекция 16 87
§ 1. Приращение функции. Дифференциал и произ¬
водная функции 87
Лекция 17 92
§ 2. Дифференцирование сложной функции 92
§ 3. Правила дифференцирования 97
Лекция 18 100
§ 4. Производные и дифференциалы высших поряд¬
ков 100
§ 5. Возрастание и убывание функции в точке 102
Лекция 19 105
§ 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа 105
Лекция 20 111
§ 7. Следствия из теоремы Лагранжа 111
§ 8. Некоторые неравенства 112
§ 9. Производная функции, заданной параметрически 114
Лекция 21 116
§ 10. Раскрытие неопределенностей 116
Лекция 22 123
§ 11. Приложение первого правила Лопиталя 123
§ 12. Формула Тейлора 124
Лекция 23 с 128
§ 13. Применение формулы Тейлора к некоторым
функциям 128
4
Лекция 24 131
§ 14. Применение дифференциального исчисления к
задачам исследования поведения функций 131
Лекция 25 135
§ 15. Точки перегиба 135
Лекция 26 141
§ 16. Интерполирование 141
Лекция 27 145
§ 17. Метод хорд и метод касательных (метод Нью¬
тона). Быстрые вычисления 145
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .... 152
Лекция 28 152
§ 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции 152
Лекция 29 156
§ 2. Свойства неопределенного интеграла 156
Лекция 30 161
Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне
на функции, сходящиеся по базе множеств 161
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 170
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 172
ПРЕДИСЛОВИЕ
Изложение предмета математического анализа ставит перед лек¬
тором задачу определения содержания курса в объеме, допускаю¬
щем усвоение аудиторией основных его элементов. Многое здесь
зависит от формы, в которой преподносится материал курса, ибо
слово, идущее от ощущений к представлениям, от представлений к
понятиям, от понятий к суждениям, от суждений к умозаключени¬
ям будет гораздо интереснее, доступнее и удобнее для восприятия,
нежели изложение, опирающееся на сухие суждения и отвлеченные
умозаключения.
Эта книга представляет собой запись лекций первого из четырех
семестров основного курса математического анализа, читаемого
авторами в течение последних лет на механико-математическом
факультете Московского университета. Фактически, мы опуска¬
ем только отдельные замечания и комментарии по ходу лекций.
Здесь следует обратить внимание на существенное различие между
стилем изложения в учебнике и конспекте лекций. Дело в том,
что в учебнике, как правило, доказательство утверждений подго¬
тавливается предварительными разъяснениями и примерами, в то
время как конспект в основном включает в себя формулировки и
доказательства.
В связи с этим при подготовке курса лекций среди прочих
решается и задача выделения необходимого минимума сопутствую¬
щего материала, обеспечивающего усвоение основного содержания.
Мы стремились соединить доступность изложения, свойственную
учебнику, с краткостью конспекта.
С математического анализа как учебной дисциплины начинается
процесс обучения высшей математике в вузе. Обилие и сложность
новых понятий при этом часто подавляют творческое восприятие
содержания курса. Для того чтобы правильно сориентировать
читателя, мы сознательно допускаем определенную категоричность
в суждениях, имея в виду, что в процессе дальнейшего обучения
он сам в состоянии будет разобраться во всем многообразии связей
между различными аспектами предмета.
- Преподавание математического анализа в Московском универси¬
тете подчинено особым требованиям, обусловленным необходимо¬
стью подготовки высококвалифицированных специалистов, способ¬
ных в будущем не только получать новые научные результаты, но
6
и в значительной степени определять мировое развитие математи¬
ки. В силу этого курс математического анализа, как основа всего
математического образования, должен характеризоваться широтой
охвата материала, строгостью и полнотой доказательств. Он дол¬
жен сочетать учет современных тенденций развития математики с
определенным консерватизмом, продолжением традиций преподава¬
ния, которые обеспечивают преемственность в сохранении передо¬
вых позиций отечественной математической школы. Курс анализа
призван подготовить учащихся к восприятию более глубоких мате¬
матических понятий для скорейшего их выхода на передний край
науки и самостоятельной научной деятельности. На решение этих
задач должны быть направлены, на наш взгляд, поиски в совер¬
шенствовании изложения университетского курса математического
анализа. Отметим еще, что в этой части курса мы учитываем
многолетний опыт преподавания начальных понятий анализа в
математических школах.
В нашей книге мы стремились прежде всего облегчить про¬
цесс усвоения знаний учащимися за счет доступного изложения и
упрощения доказательств. Здесь следует заметить, что краткость
доказательства не всегда говорит о его простоте. Иногда бо¬
лее короткое доказательство бывает малодоступно и, по существу,
затрудняет усвоение. В то же время мы исходим из того, что дока¬
зательство утверждений и примеры должны отличаться живостью,
интересом, силою убедительности и особенно краткостью.
Заметим, кстати, что с целью более короткой записи рассу¬
ждений и утверждений часто используют символику кванторов.
Однако она затрудняет непосредственное восприятие материала и
ограничивает возможности следить за логикой рассуждений. Мы
стараемся не злоупотреблять этой символикой, чтобы упростить
сопоставление отвлеченных понятий со сходными явлениями из
внешнего, доступного нашим чувствам, мира, сделать эти понятия
наглядными, удобоприемлемыми даже для малоподготовленного
читателя.
В заключение хотелось бы обратить внимание на одно несколь¬
ко курьезное обстоятельство. Дело в том, что первые одна-две
лекции по каждому из предметов, с которых начинается препо¬
давание высшей математики на первом курсе университета (как
правило, это математический анализ, алгебра и аналитическая гео¬
метрия), посвящены изложению основ теории множеств. Подобный
параллелизм создает у части студентов неверное впечатление о
7
предмете математики в целом и затрудняет восприятие материала.
К тому же положение усугубляется непривычной абстрактностью
этих новых понятий. К сожалению, выделение их в рамки одного
предмета представляется нецелесообразным, поскольку в каждой
дисциплине факты из теории множеств приводятся в расчете на
излагаемый материал. Обычно мы в той или иной форме обращаем
внимание студентов на эту особенность.
Мы весьма признательны Т.Я. Кушниковой за помощь в под¬
готовке рукописи к печати и К.Е. Панкратьеву за техническое
редактирование и подготовку оригинала-макета.
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Лекция 1
§ 1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ. ОТОБРАЖЕНИЯ. ФУНКЦИИ
1. Мы приступаем к изучению курса математического анализа.
Под термином “математический анализ” подразумевается прежде
всего дифференциальное и интегральное исчисление, созданное
Ньютоном и Лейбницем в XVII в., хотя некоторые основные по¬
нятия анализа сформировались гораздо раньше. Сейчас его в
значительной степени рассматривают как устоявшуюся учебную
дисциплину. Однако из сказанного не следует делать вывод, что
в математическом анализе не осталось тем для научных иссле¬
дований и глубоких открытий. Дело в том, что составные части
математического анализа настолько разрослись, что давно превра¬
тились в отдельные математические дисциплины, такие, как теория
функций действительного переменного (ТФДП), теория функций
комплексного переменного (ТФКП), теория вероятностей, диффе¬
ренциальные уравнения, математическая статистика, уравнения в
частных производных, уравнения математической физики, вычи¬
слительная математика и т.д. В широком смысле математический
анализ включает в себя все эти области, т.е. почти всю математику.
В узком же смысле, как учебная дисциплина, математический
анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую до¬
лю той части математического знания, которая сейчас является
общей для всех современных математических дисциплин. И пото¬
му понятна та совершенно исключительная роль, которую играет
математический анализ в математическом образовании. Он, по
существу, является фундаментом математических знаний.
2. Не будет преувеличением сказать, что стержневое понятие
всего курса анализа — это понятие предела во всевозможных его
проявлениях. В общих чертах Вы с ним уже знакомы из школьной
математики. Тем не менее получить совершенно ясное и отчетливое
представление о пределе составляет самую большую трудность
при изучении всего курса анализа и является самым важным его
моментом. Так как понятие предела является начальным понятием
анализа, то к его изучению мы приступим очень скоро.
Каждый должен и может этим понятием овладеть. Тот, кто этого
не сделает, освоить курс не сможет, так как вся оставшаяся часть
9
анализа будет представлять собой использование понятия предела
в различных ситуациях. Для тех, кто овладеет этим понятием, в
дальнейшем при изучении основного курса потребуется в большей
степени усердие, чем способности.
3. Понятие предела является главным, но, разумеется, не един¬
ственным понятием анализа. Оно само опирается на понятия
множества, отображения и функции. Наше изучение мы и начнем
с этих понятий.
Определение 1. Множество — это совокупность объектов лю¬
бой природы.
Посмотрим на это определение внимательно. На первый взгляд,
оно никуда не годится, поскольку вводимое нами понятие, т.е.
“множество”, определяется через 4 (!) других понятия, никак
нами не определенных. Однако это не совсем так. Дело в том,
что назначение определений — это вовсе не наведение логической
строгости как таковой. Устанавливать логическую строгость тре¬
буется только там, где нестрого введенные понятия приводят к
недоразумениям.
А как решить, что ведет к недоразумениям, а что нет? У
современной математики есть только такие средства: логический
анализ, практика и интуиция.
Имеется два типа определений: 1) логически строгое сведение
определяемого объекта к уже введенным понятиям; 2) описательное
определение с помощью слов разговорного языка.
Наше определение множества есть определение второго типа.
В математике предпочитается, конечно, первый тип определений,
но, увы, начальные понятия, к которым и относится понятие
множества, приходится вводить описательно. Это плохо по многим
причинам, и в основном потому, что приводит к противоречиям
(есть так называемые парадоксы теории множеств), однако иного
подхода не найдено и приходится доверяться интуиции. Пока
здравый смысл подсказывает, что по-другому и вообще нельзя
сделать (см. книгу: Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 352-403).
Определение 2. Объекты, образующие в своей совокупности
данное множество, называются его элементами или точками.
Для обозначения различных множеств мы чаще всего будем
использовать заглавные, т.е. прописные, буквы латинского алфа¬
вита, а для обозначения элементов этих множеств — малые, т.е.
строчные, буквы.
Определение 3. Два множества X и Y называются равными,
если они состоят из одних и тех же элементов.
10
В этом случае будем писать
X = Y или У = Х.
Если элемент а принадлежит множеству А, то этот факт запи¬
сывают так:
а £ А (или А Э а).
Если а не принадлежит Л, то будем писать
а £ А (или аЁЛ).
Определение 4. Если все элементы множества В принадлежат
множеству Л, то В называется подмножеством множества Л.
Этот факт записывается так:
В С А (или Л Э В).
Очевидно, что если В С А и А С В, то А = В. Обычно удобнее
рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассу¬
ждении, как подмножества некоторого фиксированного множества
Е, которое мы будем называть универсальным.
Таким образом,
А С Е для любого множества Л.
Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо мно¬
жестве Л (являющемся, как мы договорились, подмножеством Е))
мы должны иметь четкий критерий, правило, условие, свойство,
которое дает возможность установить, какие именно элементы вхо¬
дят в Л. Если обозначить это условие через а, то тот факт, что
условие а порождает множество Л, будем записывать следующим
образом:
Л = {о G .£/|о}.
Читается это так: множество Л совпадает с множеством тех
элементов (из множества Е), которые удовлетворяют условию а.
Может оказаться, что для некоторого свойства а во всем мно¬
жестве Е вообще нет элементов, ему удовлетворяющих. Для
единообразия считают, что и в этом случае запись
А = {а Е Е\а}
определяет особое множество, называемое пустым множеством.
Пустое множество не содержит ни одного элемента. Оно обо¬
значается символом 0. В наших обозначениях можно записать,
например,
0 = {а е Е\а ф а}.
11
(Здесь а — это свойство, что а ф а.)
Для сокращения записи вместо некоторых часто употребляе¬
мых выражений общепринято использовать особые математические
значки, называемые кванторами:
3 — означает выражение “существует”;
3! — “существует строго одно” или “существует единственный
элемент”;
V — “для всякого”, “для всех”;
=> — “справедливо”, “следует”, “имеет место”.
В качестве примера в этих обозначениях запишем следующее
утверждение:
УЛ С Е => 0 С Л.
Другими словами, здесь утверждается, что пустое множество явля¬
ется подмножеством любого множества из Е.
Это утверждение следует из наших определений, так как оно
означает, что если элемент принадлежит 0, то он принадлежит Л,
что действительно так, поскольку в пустом множестве 0 вообще
нет ни одного элемента и для доказательства справедливости этого
условия его не надо проверять ни для одного элемента.
Определение 5. Множество С называется объединением (или
суммой) множеств Л и 5, если оно состоит из тех и только тех
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных
множеств.
Объединение С множеств Л и В обозначается так:
С = A U В.
Свойства: Л U В = В U Л, Л U (В U С) = (Л U В) U С.
Определение 6. Пересечением множеств Л и В называется мно¬
жество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно
и Л, и В) т.е. элементов, общих для этих множеств.
Свойства: АПВ = Я П Л, АП (В П С) = (А Г\ В) Г) С.
Заметим, что доказать равенство двух множеств — это значит
доказать, что всякий элемент х, принадлежащий правой части,
принадлежит и левой, и наоборот.
Для произвольной совокупности множеств Ла, где а пробегает
все элементы некоторого множества /, пишут
с = u^ = UA«>
a£l а
если С есть объединение всех множеств Л.
Аналогично, С = р|а Аа, если С есть пересечение всех мно¬
жеств Ла.
12
Определение 7. Разностью С = А\ В двух множеств А и В
называется множество, состоящее из элементов А, не принадлежа¬
щих #
Множество А' = Е \ А называется дополнением А или допол¬
нением до Е множества А. Если I — множество индексов —
есть просто множество натуральных чисел, т.е. натуральный ряд
1 2 3 ..то его обозначают I = N, а вместо |Ja Аа и f]a Аа пишут
(XLl Ап И Пп = 1^‘
Определение 8. Симметрической разностью С = ААВ двух
множеств А и В назовем множество
С = (АиВ)\(АПВ).
Свойства операций над множествами
1. АС А.
2. Если Ас В, В С А, то А = В.
3. Если А С В, В С С, то А С С.
А. 0 С А VА.
5- (и<Иа)пв = иа(Л>пв).
6. (Г\аАа)иВ = Г)а(АаиВ).
7. АсВ => Al)B = B, АГ\В = А.
8. A U А! = Е, АПЛ' = 0.
9. 0' = Е, Е' = 0.
ю. (u«^), = naА'а.
П- (na^y = Ua^-
12. A&B = (A\B)U(B\A).
Все эти свойства доказываются весьма просто. Покажем для
примера, каким образом доказывается последнее свойство. Нам
надо доказать, что если
Ci = (A U В) \ (А П В)
и
С2 — (А \ В) I) (В \ А),
то Ci = С2.
Это значит, что надо доказать утверждения:
1) Va £ Ci => a G С2, откуда имеем Ci С С2;
2) Va G C2 =*> a G Ci, т.е. C2 С Ci.
13
Мы ограничимся только доказательством утверждения 1, т.е.
что С\ С С*2.
Пусть а £ С\. Тогда а £ A U В, но а £ А (Л В. Но если а £ A U £,
то или а £ А, или а £ В. Рассмотрим первый случай, т.е. а £ А. В
этом случае а £ В, так как иначе было бы а £ АГ)В, что неверно.
Тогда а £ А\В, откуда а £ С2 = (А\В)и(В\А), что и требовалось
доказать. В первом случае справедливость соотношения С\ С С2
мы доказали. Второй случай разбирается точно так же, только А
и В меняются местами. Поэтому всегда имеем С\ С Сг-
4. Следующим после множества и тоже важнейшим понятием
математики является понятие отображения, а также эквивалентное
ему понятие функции. Но сначала мы дадиц определение декартова
произведения множеств.
Определение 9. Декартовым произведением С = А х В мно¬
жеств А и В называют множество всех возможных пар (х, у),
где первый элемент каждой пары х принадлежит А, а второй ее
элемент у принадлежит В.
Определение 10. Подмножество F декартова произведения
двух множеств А х В называется отображением множества А
в множество В, если выполнено следующее условие:
Ух £ А 3! пара (х, у) £ F.
Пусть А = {1,2,3}, В = {2,3,4,5}. Тогда подмножество
F = {(1, 3), (2, 2), (3, 3)} множества Ах В является отображением,
а подмножество Ф = {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (3,4)} не является отобра¬
жением.
Понятия “отображение” и “функция” — синонимы. Они несколь¬
ко отличаются только буквенной символикой и сферами употре¬
бления. Мы будем гораздо чаще употреблять термин “функция”.
Тот факт, что F является отображением А ъ В, записывают так:
F : А —► В или А В.
Определение 11. Пусть отображение F : А —> В определяется
следующим образом: Ух £ А 3! у £ В, такое, что (х,у) £ F. Тогда
элемент у £ В называется образом х при отображении F и это
записывается следующим образом:
У = F(x).
Элемент х называется прообразом (одним из возможных) эле¬
мента у.
14
Множество F(A) всех элементов F(x) Ух £ А называется образом
множества А при отображении F, т.е.
F(A) = {у € В\у = F(x), хеЛ}.
Для множества С = F(A) само множество А при отображении F
называется (полным) прообразом множества С.
Как уже говорилось, термины “отображение” и “функция” —
синонимы, но при употреблении слова “функция” вся терминология
обычно меняется. Множество А называется областью определения,
а множество F(A) С В — множеством (или областью) значений.
Каждый элемент х £ А называется значением аргумента (или
просто аргументом), а элемент у — F(x) — значением функции в
точке х.
Для того чтобы конкретно задать какое-либо отображение, т.е.
функцию, надо, вообще говоря, определить способ (правило), как
из всего декартова произведения А х В выбрать множество F с
нужными свойствами. Указание этого способа, по существу, и
задает функцию. Поэтому для функции очень часто дается такое
определение:
Функцией F называется правило, по которому каждому элементу
х £ А ставится в соответствие строго один элемент множества
у £ В. При этом пищут у = F(x).
Недостатком этого определения является тот факт, что функцией
оказывается правило, а не множество, как в предыдущем случае,
что неестественно.
Некоторые типы отображений. Обратная функция.
Взаимно однозначное соответствие
1. Отображение F называется сюръективным или отображением
“на” (т.е. отображением А на В), накрытием, если F(A) = В.
2. Отображение F называется инъективным или вложением,
если у каждой точки у — F(x) существует строго один прообраз,
т.е. из условия у = F(xi) = F(x2) следует, что х\ = £2.
3. Отображение F называется биективным или взаимно одно¬
значным, если оно является накрытием и вложением одновременно.
В этом случае отображению F : А —► В можно поставить в соответ¬
ствие обратное отображение F-1 : В —► А по правилу: вместо пар
(ж, у) в декартовом произведении Ах В надо рассмотреть соответ¬
ствующие пары (у, х) из В х А, поменяв х и у местами. Очевидно,
что F~l — это также отображение. Кроме того, F~l(F(x)) = х
Ухе А и F(F~l(y)) = у Уу е в.
Биективное отображение называется еще взаимно однозначным
соответствием или биективным соответствием.
15
Лекция 2
§ 2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА. СЧЕТНЫЕ И
НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА. МОЩНОСТЬ КОНТИНУУМА
Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую
роль при перенесении представления о “количестве” элементов
множества с конечных множеств на бесконечные. Это нам не¬
обходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными
множествами. Таковыми (т.е. бесконечными), например, являются
следующие:
N — множество чисел натурального ряда,
Z — множество целых чисел (положительные, отрицательные
целые числа и нуль),
R — множество вещественных чисел на прямой,
R х 1 — множество точек на координатной плоскости.
О количестве точек множества можно говорить только для ко¬
нечных множеств, а для бесконечных — нельзя. В этом случае
говорят о мощности множества. Таким образом, мощность мно¬
жества — это понятие, которое обобщает понятие “количество
элементов” на случай бесконечных множеств. Если же множе¬
ство конечно, то термины “мощность множества” и “количество
элементов множества” — синонимы.
Определение 1. Множества А и В называются эквивалентны¬
ми или равномощными, если между ними можно установить взаим¬
но однозначное соответствие. Это обозначается так: А ~ В. Свой¬
ства: 1) А ~ А, 2) А ~ В => В ~ А, 3) А ~ В, В ~ С А ~ С.
Другими словами, можно биективно отобразить одно множество на
другое. Если А и В эквивалентны, то говорят еще, что они имеют
одинаковую мощность.
Приведем важный пример эквивалентности бесконечных мно¬
жеств.
Утверждение 1. Множество N (натуральных чисел) и множе¬
ство Q (рациональных чисел, т.е. всех дробей &•, m £ Z, п £ N,
(т, тг) = 1) эквивалентны.
Здесь символом (т, п) обозначен наибольший общий делитель
чисел тип.
Доказательство. Нам достаточно показать, как присвоить соб¬
ственный номер каждому рациональному числу. Для этого пред¬
16
ставим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:
r=~, р G Z, g 6 N, (p,<jf) = l.
Я
Такое представление единственно. Высотой рационального числа
г = p/q назовем величину |р| + q = h. Эта высота сама является
натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3, ... и т.д.
При фиксированном h > 1 существует не более 2h различных
несократимых дробей, так как тогда q может принимать значения
1,2,..., Л— 1 (число которых равно Л — 1), а для данного q числитель
р числа г может принимать не более двух значений: ±(Л — q)
(точнее, либо два, если дробь p/q получается несократимой, либо
ноль, если она — сократима, так как тогда она имеет другое
значение q в представлении в виде несократимой дроби). Таким
образом, с данной высотой h число рациональных чисел не более
2(ft - 1) < 2Л.
Будем нумеровать дроби в порядке возрастания Л; при фикси¬
рованном Л в порядке возрастания д, а при фиксированных h и
q — в порядке возрастания р. Тогда получим
Г1 = Y = о (ft = 1),
Г2 = -р = -1, Г3 = Y = 1 (/» = 2),
-2 2
г4 = — = -2, г5 = - = 2,
-1 1 1
►(Л = 3),
Г6=Т = _2’ Г7=2
"3 -г 3 **
га = — = -3, г9 = - = 3,
-1 1 1
г10 = т = --, гп = -
(/i = 4)
и т.д.
Ясно, что каждое число когда-нибудь получит свой номер по
порядку и у разных чисел номера будут разные. Тем самым
показано существование взаимно однозначного соответствия, что и
требовалось доказать. 1
Определение 2. Всякое множество, эквивалентное (равномощ¬
ное) множеству натуральных чисел, называется счетным множе¬
ством.
Таким будет, как мы показали, множество рациональных чисел.
17
Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного мно¬
жества конечно или счетно.
Доказательство. Занумеруем элементы счетного множества и
перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания
этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном
шаге, то оно конечно, иначе — счетно.
Утверждение 3. Сумма конечного или счетного числа счетных
множеств счетна:
i4i:=(an, ai2>—*<*13, .••)>
I / / /
^2:= (<*21, a 22, <*23, •••),
/ / /
Лз‘=(азь аз2> <*33) ...),
1 >/
и т.д. (при этом пропускаем уже встречавшиеся элементы). За 2г2
шагов будут заведомо занумерованы все элементы a*,/, k 1 < г).
Но не все бесконечные множества равномощны.
Теорема 1. Совокупность Z = Г2(Х) всех подмножеств любого
множества X сама образует множество, не эквивалентное X.
Эта теорема (точнее, ее модификация: N ^ М) была доказана
Георгом Кантором (1845-1918) в 1874 г.
Доказательство будем вести от противного. Пусть Z ~ X. Зна-
F
чит, имеется биективное соответствие X —► Z. Тогда, если а Е X,
то ему однозначно соответствует А Е Z, т.е. F(a) = A, F"1(A) = а.
Рассмотрим теперь особое множество В, которое является подмно¬
жеством X, т.е. В С X, и
ЬЕВ & Ь<£ F(b),
или
B = {bEX\b<£F(b)}.
Ввиду биекции F : X —► Z 3 с Е X такое, что
F~l(B) = с, F(c) = B.
Возможны два случая: 1) с Е В, 2) с £ В. Рассмотрим их.
Пользуясь сначала тем, что В = {b Е X\b £ F(b)}, а затем свойством
F(c) = В, имеем:
1) с Е В => с £ F(c) = В (противоречие);
2) с £ В => с Е F(c) = В (противоречие).
Таким образом, предположение о существовании биекции ме¬
жду Z и X ведет к противоречию, т.е. Z ^ X. Доказательство
закончено.
18
Определение 3. Бесконечное множество называется несчет¬
ным, если оно не эквивалентно N.
По теореме 1 несчетным множеством, например, является мно¬
жество подмножеств N, а значит, множество последовательностей,
составленных из 0 и 1 (к-й член последовательности равен 1 или
О, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит число
подмножеству).
Прием, с помощью которого мы доказали теорему 1, называ¬
ется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен
Г. Кантором в 1874 г. при доказательстве несчетности точек на
отрезке. Почему процесс называется диагональным? Потому что
если в теореме 1 в качестве X взять натуральный ряд N, то
получится, что множество подмножеств, т.е. совокупность после¬
довательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно
X. Доказательству теоремы 1 в этом случае можно придать такой
вид.
Пусть N ~ Z = ft(N). Тогда имеем взаимно однозначное соот¬
ветствие
1 <-► #i = (/in, ^12, /*13, • • •)>
2 Я2 = (^21,^22,^23, • •)
и т.д. (здесь символами #i,#2,... обозначены некоторые различ¬
ные последовательности из нулей и единиц).
Возьмем последовательность, составленную из диагональных эле¬
ментов:
(Ли, /122, Лзз, • • •)
и поменяем все разряды на противоположные, т.е. единицы заменим
на нули, а нули — на единицы. Получим
Я = (Ли, h22, Л33, ...).
Этот элемент не совпадает ни с одним из Яш, т.е. он не зануме¬
рован. Противоречие.
Определение 4. Мощность множеств, эквивалентных множе¬
ству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц,
называется мощностью континуума.
Утверждение 4. Множество I точек отрезка [0,1] имеет мощ¬
ность континуума.
Доказательство. В двоичной записи каждая точка единичного
отрезка [0,1] может быть записана в виде
о, hih2h3,../г* = { °, *=1,2,3,...
19
Такая запись единственна, за исключением чисел вида п/2*, к, тг Е
N. А числам такого вида соответствуют в точности две записи
(у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны 0, а у
другой — все единицы). Для всех точек, за исключением точек
вида п/2*, установим соответствие так:
х - (а?1,ж2, •••)♦"*■ 0,*1,я2, • • •
А поскольку множество точек вида п/2* счетно, то счетным
множеством является также множество последовательностей, им
соответствующих. Следовательно, между ними можно установить
взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено
взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0,1] и
множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц,
т.е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.
Лекщ1я 3
§ 3. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
1. В этом семестре и далее чаще всего мы будем иметь дело с
числовыми функциями, областью определения которых являются
числовая ось, отрезки, интервалы, промежутки на этой оси или
какие-нибудь другие ее подмножества. При зтом нам потребуется
более глубокое представление о вещественных числах, чем то, с
которым имеет дело школьная программа по математике. Подчерк¬
нем, однако, что мы будем целиком на нее опираться и уточним
только то, что действительно требует от нас большей ясности.
В отношении рациональных чисел мы ничего уточнять не будем.
Рациональные числа — это обыкновенные дроби. Вещественные
числа, которые рациональными не являются, как известно, назы¬
ваются иррациональными.
Следует сказать, что вещественные числа — как рациональные,
так и иррациональные — в природе не существуют. Они — аб¬
стракция и придуманы для практических нужд, о чем нам говорит
здравый смысл. Можно сказать, что они породили саму матема¬
тику, а в дальнейшем она предъявила к числам свои требования.
И оказалось, в частности, что одни только рациональные числа
этим требованиям не отвечают.
2. Самое простое и естественное назначение чисел в математи¬
ке — измерение длин отрезков. Это означает, что длина каждого
отрезка должна измеряться вещественным числом. С другий сто¬
роны, заметим, например, что диагональ единичного квадрата не
может измеряться рациональным числом а.
Действительно, если это число рациональное, то а = (т, п) =
1, и по теореме Пифагора имеем
Следовательно, т2 = 2п2. Возможны случаи: 1) т нечетно; 2) т
четно. Рассмотрим эти случаи.
1. Если т нечетно, то т = 2k + 1, т2 = 4к2 -h 4А: + 1 нечетно и
не равно 2п2, что невозможно.
2. Если т четно, то т = 2к, т2 — 4к2 и 2к2 ~ п2.
Аналогично получаем, что п четно, но тогда (т, п) > 2, так как
21 т, 2|п.
Получено противоречие. Значит, а — не рациональное число,
что и требовалось доказать.
21
Как вы знаете из школьной программы, задача измерения длины
отрезка (относительно заранее заданного “эталонного” единичного
отрезка) решается полностью с помощью бесконечных десятичных
дробей. Их-то мы и будем называть вещественными (действитель¬
ными) числами.
Итак, вещественное число — это бесконечная десятичная дробь,
взятая со знаком «плюс» или «минус».
Замечания. а) Знак «плюс» в записи можно опустить.
б) Десятично-рациональные числа, т.е. числа вида Л/10* имеют
при этом два представления, которые нами отождествляются, и
мы можем считать, что нет десятичных дробей, имеющих цифру
9 на всех местах, начиная с некоторого.
в) Мы отождествляем вещественные числа и точки вещественной
числовой оси, служащей изображением множества вещественных
чисел.
г) Множество всех вещественных чисел обозначается буквой М.
3. В целях систематизации приведем перечень известных основ¬
ных свойств вещественных чисел.
1. Va,6 имеем:
или a = 6, 6 = a,
или а > 6, 6 < а,
или а < 6, 6 > а.
2. Если а > 6, 6 > с, то а > с. Если а = 6, 6 = с, то а = с.
3. Va, 6 £ М 3! число с £ М, такое, что а + 6 = с.
4. Va, 6, с £ М имеем (а + 6) + с = а + (6 4- с).
5. Va, 6 £ М имеем а + 6 = 6 -f а.
6. 3! число 0 £ М, такое, что a-f0 = 0 + a = a.
7. Va £ М 3! (—a) £ М, такое, что а + (—а) = 0.
8. Va, 6 £ М 3! с £ М, такое, что ab = с.
9. Va,6, с£Е имеем (аб)с = а(6с).
10. Va, 6 £ Ж имеем ab = Ьа.
11. 3! число 1^0, такое, что a • 1 = 1 • a = a.
12. Va ф 0 3! а"1, такое, что aa*"1 = 1.
13. (a + 6)с = ас + 6с.
14. Если a > 6, то a + с > 6 + с.
15. Если a > 6, с > 0, то ас > 6с.
Есть еще несколько важных свойств вещественных чисел. К
ним прежде всего относится так называемая аксиома Архимеда
(287-212 гг. до н.э., он сформулировал ее для отрезков):
16. Va £ R, а > 0 3 п £ N, такое, что ап > 1.
Доказательство. Если а > 1, то доказывать нечего. Если
0 < а < 1, то
a = 0,0,.. .,ajfcdfc+i,..., <*! = •••=: dfc_i = 0, ^ а* ф 0.
22
Тогда
10*а = a*, ajfc+i, •• • > at > 1,
Ч.Т.Д.
Свойство 17 сформулируем и докажем позже.
4. Рассмотрим теперь только неотрицательные числа. Дого¬
воримся, что для десятично-рациональных чисел рассматривается
только запись, заканчивающаяся нулями. Число, стоящее перед
запятой в десятичной записи числа х, будет целым, и оно называ¬
ется целой частью х или антье от х. Пишется так: [х]. Число,
стоящее после запятой, называется дробной частью х. Пишется
так: {х}. Очевидно, [х] + {х} = х. Имеем, что [х] есть наиболь¬
шее целое, не превосходящее х. Это свойство берется в качестве
определения значения символа [х] при отрицательных х. Примеры:
[1,5]= 1; [0,3] = 0; [-0,7] = -1; [-3,5] = -4.
Далее, при х < 0 символу {х} мы приписываем значение
{я} = х — [х].
Таким образом, при всех х значение символа {х} удовлетворяет
условию
0< {х} < 1.
5. Определим модуль, или абсолютную величину, числа х:
{х, если х > 0;
—я, если х < 0
(|х| выражает расстояние от нуля до точки х на вещественной оси).
Имеет место следующее неравенство (неравенство треугольника):
\а 4- b\ < |a| Н- |6|.
Докажем его:
1) если ab > 0, то \а + 6| = |а| + |6|;
2) если ab < 0, то |а + 6| < |а| + |6|.
Множество точек х, удовлетворяющих неравенствам
a < х < 6, называется интервалом;
a < х < 6 или а < х < b — полуинтервалом;
a < х < b — отрезком или сегментом;
каждое из них называется промежутком.
Множество точек х, определяемое соответствующим условием,
носит название:
х < а или х > а — открытый луч;
х < а или х > а — замкнутый луч,
а — вершина луча.
23
Лекция 4
§ 4. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Определение 1. Непустое множество А С М называется огра¬
ниченным сверху, если 3 6 £ R, такое, что
Va £ А =£• а < Ь.
Число 6 называется верхней гранью множества А. У ограничен¬
ного сверху множества существует много верхних граней, например
6+1.
Аналогично определяется нижняя грань Ь непустого множества
А:
Va £ А => 6 < а.
Непустое множество А называется ограниченным, если 3 6 > О,
такое, что
Va £ А ^ |а| < 6.
Множество В всех верхних граней 6 непустого ограниченного сверху
множества А является ограниченным снизу: имеем V6 £ В Va £
А => a < 6, т.е. a — нижняя грань для В.
Сформулируем теперь свойство полноты множества веществен¬
ных чисел М — свойство 17, упомянутое в лекции 3.
17. Для всякого непустого ограниченного сверху множества А
множество В его верхних граней 6 содержит минимальный элемент
6', т.е. 3! 6' £ такой, что:
1) Va £ А => 6' > а (6' — верхняя грань);
2) V6 £ В => b' < Ь (6' — наименьший элемент в 5).
Элемент 6' называется точной верхней гранью или супремумом
множества А. Обозначение: 6' = sup А.
Прежде чем доказывать это свойство, следует сказать, что
точно так же обстоит дело и с множеством нижних граней D
ограниченного снизу множества А:
3! df £ D, такой, что: 1) Va £ А d! < a, 2) Vd £ D =>• d! > d]
d' = infA (точная нижняя грань, или инфимум).
Доказательство. Мы построим число 6' конструктивно. Мож¬
но считать 0 £ А. Отсюда следует, что V6 £ В имеем 6 > 0.
Действительно, возьмем какое-нибудь ai £ А. Тогда
V6 £ В ^ b > а\ => b — ai > 0.
24
Теперь вместо множества А будем рассматривать множество
д! чисел а — а\. Если нам удастся доказать, что существует
sUp М = то тогда очевидно, что sup Л = 6', причем
6' = Ь" + аг.
Договоримся десятично-рациональные числа записывать только с
нулями на бесконечности. Заметим, что справедливо правило
сравнения чисел между собой. Если а > 6, то выполнено одно из
двух условий:
1) м > м.
2) [а] = [Ь], {а} > {6},
причем, если {а} = 0, а\й2,..а* ... и {6} = 0,6,62,..., 6* ..., то
3 к Е N, такое, что
а\ = 6Ь ... ,а*_1 = 6]ь_1,ад. > 6*.
В множестве А возьмем подмножество До, состоящее из всех
a Е А с условием а > 0, т.е.
.До — {п G Д | п ^ 0}.
Для каждого из чисел a Е До рассмотрим его целую часть [а] =
п0(а).
Поскольку 0 < [а] < а < 6, то функция [а] при a Е До принимает
лишь конечное число значений. Наибольшее из этих значений
обозначим через хо- Рассмотрим множество А\ С До, состоящее
только из тех чисел a Е До, для которых [a] = xq. Заметим
попутно, что для всех а £ А\ имеем неравенство а < хо.
На множестве Д определим функцию пДа), равную числовому
значению первого десятичного знака после запятой у числа а.
Всего она принимает не более 10 значений. Наибольшее из них
обозначим через х\. Образуем множество Д2, состоящее из чисел,
принадлежащих Дi, у которых ni(a) = х\. Обозначим через
si(a) число, получаемое из а заменой всех, начиная со второго,
Десятичных знаков числа а нулями, т.е.
если a = no, Hi ..., то si(a.) = no,ni.
Тогда Va Е Д2 имеем si(a) = хо,х\ и Va ^ А^ имеем а < хо,х\. Для
всех а Е А2 определим функцию П2(а), равную значению ее 2-го
Досятичного знака. Наибольшее его значение выразим через а?2.
Образуем множество Дз С Дг, такое, что Va Е Дз по(а) = Х2- Тогда
25
для 52(a)? т.е. для числа, полученного заменой всех, начиная с
третьего, десятичных знаков числа а нулями, получим
s2(a) = x0,xiz2 Va Е Л3;
а < хо, xix2 Va £ Л3.
Продолжая этот процесс далее, на fc-м шаге, будем иметь
sk(a) = x0,x1x2...xk Va€i4fc+i;
а<х0,Х1Х2...хк 4a£Ak+i.
Таким образом, мы получим последовательность знаков, которые
определяют число имеющее десятичную запись вида
У — Хо, xix2 ...
Докажем, что У = sup Л. Для этого надо проверить условия:
1) Va Е А a < У;
2) если Ь < 6', то 3 a Е А, такое, что а > 6.
Докажем условие 1. Допустим противное. Тогда 3 a Е Л, такое,
что а > V. Из правила сравнения чисел имеем, что 3 номер к,
такой, что
Sfc(a) > 0, xi.. .ж* = sk(b'),
но это противоречит построению числа У.
Теперь докажем условие 2. Если Ь < У, то по правилу сравнения
вещественных чисел 3 номер к Е N, такой, что
О, &1 . . .6* = 5*(6) < Sk(b‘) = OXi . . .Xfc.
Но по построению 3 а Е такое, что s*(a) = 5^(6').
Отсюда имеем Sjb(fr) < 5jb(a), 6 < а, ч.т.д.
Определение 2. Функции sjb(a) будем называть округлением
числа а до к-го знака после запятой.
Число У = sup А может принадлежать Л, а может и не принад¬
лежать.
Свойство точной верхней грани. Если 6 = sup Л, то
Ve > 0 3 a Е Л, такое, что а > Ь — е.
Доказательство проведем от противного. Предположим, что
3 е > 0, такое, что Va Е Л => Ь — а > е. Это значит, что
У = Ь — е — верхняя грань множества Л, а это противоречит тому,
что 6 есть наименьшая из верхних граней.
26
Докажем еще одно свой гво вещественных чисел.
Лемма 1. Vx,y G М, х < у, существует рациональное число
тп £ (Q), такое, что
п m
Х<-<у. (1)
п
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
для числа х выполнено условие
О < х < 1.
Для этого вместо неравенства (1) следует рассмотреть эквива¬
лентное ему неравенство
771
х -[х] < [х\ < у — [х]
п
и вместо х и у — числа х — [я] и у — [х]. Итак, считаем, что
0<х< 1. Если у > 1, то полагаем ~ = 1.
Если же 0 < я < у < 1, то запишем а: и у в виде бесконечной
десятичной дроби. Тогда
х = 0, xix2x3 ..., у = О, У1У2У3 • •.
и при этом для любого k G N имеем
X < 0,Х1Х2х3 .. ,хк + 10~*\ у> 0,2/12/22/3 • • -Ук-
Но по правилу сравнения десятичных дробей 3 к £ N, такое, что
£к < Ук> но xi = у\, / = 1,..., к — 1. Это значит, что
0,xi...xk + КГ* < 0,г/1.. .ук.
Если выполняется строгое неравенство, то полагаем
г = 0,ii. ..Хк + 10“*,
если же имеет место равенство, то
г = 0,xi.. .XkXk+i ■ -.Хк+i + 10-(*+,\
где
&к+1 = • • • = ijt+i-i = 9, хк+, < 9.
Отсюда получаем, что г удовлетворяет условию х < г < у, ч.т.д.
§ 5. ЛЕММЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ МНОЖЕСТВ, О СИСТЕМЕ
ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
СТЯГИВАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ
Лемма 1 (об отделимости множеств). Пусть А и В — непусты<
множества на вещественной прямой, т.е. А ф 0, В ф 0, Л С 1,
В С М. Пусть Va Е A, V6 Е В выполнено неравенство a < Ь.
Тогда 3 х, такое, что Va Е A, V6 Е В справедливо неравенство
a < х < Ь.
Доказательство. Из определения множества В следует, чтс
каждая его точка является верхней гранью для А. Поло¬
жим х = sup А. Тогда, поскольку х — это верхняя грань, тс
Va Е A => a < х, и так как х — точная верхняя грань для А, тс
х < b V6 G В,
т.е. Va G A, V6 G В имеем а < х < Ь. Доказательство закончено.
Определение 1. Системой вложенных отрезков называете*
множество М, элементами которого являются отрезки, причем дл*
VAi, Д2 Е М выполнено одно из условий: Ai С А2 или Д2 С А г
т.е. все точки одного отрезка принадлежат другому отрезку.
Лемма 2 (о системе вложенных отрезков). Пусть М — системе
вложенных отрезков. Тогда 3 х, такое, что VA G М имеем х Е А
Доказательство. Пусть А — множество левых концов отрезков
принадлежащих М, В — множество их правых концов. Тогда
Va G М, V6 G М имеем а < Ь. Пусть а — левый конец отрезка
[а,.6х] G Му Ъ — правый конец отрезка [а', 6] Е М.
Возможны два случая:
1) к&кмг
2) [а',Ъ)э[а,Ь1
В случае 1 имеем а<а'<6<6',ав случае 2 — a'<a<6'<6
Тогда в силу леммы об отделимости 3 я, такое, что V отрезка
[а, 6] Е М имеем а < х < 6, ч.т.д.
Замечание. Из леммы 2 (о системе вложенных отрезков) следует
несчетность множества точек отрезка. (Указание. Предполагаем
что все точки пересчитаны. Отрезок делим на три части. Тогда
точка с номером один не принадлежит одному из этих отрезков
Делим его на три части. Точка с номером два не принадлежит
одному из получившихся отрезков деления и т.д. По лемме 5
3 х Е всем отрезкам, но эта точка не занумерована.)
28
Определение 2. Система М вложенных отрезков называется
последовательностью вложенных отрезков, если все эти отрезки
занумерованы, причем отрезки с большими номерами содержатся
в отрезке с меньшим номером.
Определение 3. Последовательность вложенных отрезков на¬
зывается стягивающейся, если среди отрезков, в нее входящих,
имеются отрезки сколь угодно малой длины. Другими словами,
каково бы ни было положительное число е, в последовательно¬
сти стягивающихся отрезков содержится и такой отрезок, длина
которого меньше е.
Лемма 3. Последовательность стягивающихся отрезков: I) со¬
держит общ}гю точку, 2) притом только одну.
Доказательство. 1. Следует из леммы 2.
2. Если бы все отрезки содержали одновременно две различные
точки а и 6 (где а < 6), то тогда длина каждого отрезка из М
была бы больше, чем 6 — а > 0, но это не так, поскольку по
определению в М есть отрезки и меньшей длины. Утверждение 2
леммы 3 доказано.
Глава II
, ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Лекция 5
§ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. БИНОМ
НЬЮТОНА И НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ
1. Для обоснования метода математической индукции мы будем
использовать следующее свойство натуральных чисел: в любом
подмножестве множества натуральных чисел существует наи¬
меньшее число.
Метод математической индукции состоит в следующем: для
справедливости любого утверждения, высказанного для всех нату¬
ральных чисел п > 1, достаточно:
1) доказать это утверждение для п — 1;
2) предположить его справедливость при п = к и к > 1;
3) доказать, что оно верно при п = к-f 1.
Действительно, отсюда следует, что высказанное утверждение
верно для Vn G N. Допустим противное. Тогда множество тех п,
для которых утверждение неверно, содержит наименьший элемент
т. Число 771 ф 1, поскольку утверждение верно для 71 = 1. Число
т не может быть больше 1, так как утверждение в этом случае
было бы верно для ттг — 1 и в силу п. 3 оно было бы справедливо
и для т. Противоречие.
Замечание. Методом математической индукции можно доказы¬
вать утверждения, справедливые и при п > т, где т > 1. В ходе
доказательства надо заменить первый шаг:
1) доказать утверждение при п = ттг,
а все остальное оставить, как и прежде, при необходимости поль¬
зуясь тем, что тг > ттг.
2. Перейдем к рассмотрению формулы бинома Ньютона. Сначала
определим величину
п! = п(тг — 1)... 2 * 1, 0! = 1
(читается: тг-факториал). В частности, имеем
О! = 1, 1! = 1, 2! = 2 • 1 = 2, 3! = 3 • 2 • 1 = 6 и т.д.
30
Теорема 1. Имеет место равенство (формула бинома Ньютона)
(1 + х)п = С° + С\х + • • • + + • • • + С"тп.
(Коротко эту формулу можно записать так:
(1 + *)» = £с**‘,
к=О
п!
где С„ = (£) = — биномиальный коэффициент.)
Доказательство проведем методом математической индукции.
1. При n = 1 формула верна: 1 + х = 1 + я, поскольку
GM0-
2. Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n =t, t > 1.
3. Докажем, что она верна при n = t +1.
Сначала докажем вспомогательное утверждение о биномиальном
коэффициенте: при 0 < k < п — 1 имеем
Действительно,
СМ*:0=С::>
п! п\
fc!(n — fc)! (A: -f 1)!(п — Аг — 1)!
п! /1 1 \ _ /п + 1\
= к\(п-к-1)1 \п — к + fc + 1) = U + l|
Имеем
(1 + z)t+1 = (1 + х)‘(1 + х) =
=С)+G)i+■,+С)*'+Q1 + ■+(--1)*'+C)i’+1=
“C^1)+Ct1)x+-+Ctiy+Ct1>
Н.т.д.
При изложении теории предела последовательности нам потре¬
буется приводимое далее неравенство Бернулли.
31
Теорема 2. При х > — 1, х ^ О и при п > 2 справедливо
неравенство (неравенство Бернулли)
(1 + х)п > 1 + хп.
Доказательство (по индукции). Сначала убедимся, что при п =
2 оно верно. Действительно,
(1 + х)2 = 1 + 2х + х2 > 1 + 2х.
Предположим, что для номера n = к оказалось, что утверждение
справедливо, т.е.
(1 + х)к >1-1- кх, где к > 2.
Докажем его при п = к + 1. Имеем
(1 + z)*+1 = (1 + з)*(1 + *)>(! + **)(1 + *) =
= 1 + (к + 1)г + ж2 > 1 + (к + 1)х,
ч.т.д.
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
Определение 1. Функция, определенная на множестве нату¬
ральных чисел N и принимающая числовые значения, называется
числовой последовательностью или просто последовательностью.
Обозначения: xi,..., хг,..., или, коротко, {хп}, или, если это
не вносит путаницы, просто хп.
Примеры. 1. Последовательность 6п длин вложенных отрезков
{Д„}, Д„ С к, Д„+1 С д„ V п € N.
2. in = с V n ЕМ — постоянная последовательность.
Определение 2. Если {хп} и {уп} — две числовые последова¬
тельности, то {хп+Уп} называется суммой двух числовых после¬
довательностей (ч.п.), {хп — уп} — разностью двух ч.п., {хпуп} —
произведением двух ч.п., {хп/уп} — частным двух ч.п.
Последовательности бывают:
1) ограниченными сверху, если 3 а, такое, что хп < а V n £ N;
2) ограниченными снизу, если 3 6, такое, что хп > b V п 6 N;
3) ограниченными, если 3 с, такое, что |хп| < с V п G N.
32
Определение 3. Последовательность {яп} называется бесконеч¬
но большой (б.б.п.), если для любого с > 0 множество тех члено^
последовательности, которые удовлетворяют неравенству
ы < с,
конечно.
Другими словами, это значит, что для всякого с > 0 существует
номер по = по (с), такой, что все члены последовательности {хп} с
номерами, большими чем по, удовлетворяют неравенству
|*п| > С.
Коротко это определение записывается так:
¥ с > 0 3 по = но(с), такое, что V п > по имеем |жп| > с.
Пример. Последовательности {уп = и}, {zn = — и} — бесконеч¬
но большие последовательности.
Определение 4. Последовательность {хп} называется бесконеч¬
но малой (б.м.п.), если V е > О множество членов последователь¬
ности {яп}, удовлетворяющих неравенству
1*п| > е,
конечно.
Коротко:
V б > 0 3 п0 = п0(£), такое, что V п > по => |хп| < е.
Примеры. 1. Длины отрезков из последовательности стягива¬
ющихся отрезков образуют б.м.п.
2. хп = 1 /п — б.м.п.
Чтобы это доказать, надо V е > 0 найти хотя бы одно натуральное
число по = по(е), такое, что
V п > по имеем |хп| < е.
В качестве такого по = по(е) возьмем число [1/е:] + 1. Тогда V п с
Условием
п > п0(е) =
имеем ^ < еу ч.т.д.
И вообще, если надо доказать, что {хп} — бесконечно малая
последовательность, то, по существу, требуется найти хотя бы
°дно по(е) с нужными свойствами, т.е. такое, что если п > по(е),
т° выполняется неравенство |хп| < е, или хотя бы каким-либо
°бразом доказать его существование.
Г. Архипов и др. 33
+ 1 > -
е
Теорема 1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть {хп} — б.м.п. Тогда, например, не¬
равенству |х„| > 1 удовлетворяет лишь конечное множество ее
членов. Сумму модулей таких членов обозначим через со. При
этом считаем, что со = 0, если таких членов вообще нет. Очевидно,
тогда для каждого члена хп имеем неравенство
Следовательно, б.м.п. {яп} ограничена, ч.т.д.
Теорема 2. Если {хп} — б.б.я. и хп ф 0, то {1 /хп} — б.м.п.,
и наоборот, если {х„} — б.м.п. и хпф 0, то {1/хп} — б.б.п.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением только прямого
утверждения. В этом случае при любом е > 0 неравенство |1/х*| > е
равносильно неравенству |хп| < с = 1/с, которому, в свою очередь,
удовлетворяет лишь конечное множество членов, поскольку {х„} —
б.б.п. Это значит, что {1/яп} — б.м.п. Теорема доказана.
Теорема 3. 1. Если {хп} — б.м.п., то {|тп|} — б.м.п., и
наоборот.
2. Сумма (разность) двух б.м.п. есть б.м.п.
Доказательство. Первое утверждение теоремы прямо следует
из определения б.м.п. Докажем второе утверждение.
Пусть {х„} и {уп} — б.м.п. Тогда для любого е > 0 существуют
номера ni(с/2) и П2(с/2), такие, что
Следовательно, {хп±уп} — б.м.п. Теорема доказана.
Следствие. Алгебраическая сумма лЫюго конечного числа
б.м.п. есть б.м.п.
Доказательство очевидно.
|#fc| < с = Со + 1.
Тогда, полагая no = max(ni(c/2),п2(с/2)), имеем
34
Теорема 4. Произведение б.м.п. на ограниченную последова¬
тельность есть б.м.п.
Доказательство. Пусть {г*} — б.м.п., {у*} ограничена. Тогда
при некотором с > 0 имеем |уп| < с для всех тг Е N. Далее,
поскольку {х*} — б.м.п., то Ve > 0 существует номер ni(£i) с
условием, что |х„| < е\ = е/с для всех n > ni(ei). Поэтому,
полагая п0(£) = пДе/с), будем иметь
Vn > по(с) => \хп - уп\<\хп\-с < - - с = е.
с
Другими словами, {хпуп} есть б.м.п. Теорема доказана.
Следствие 1. Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.
Доказательство. Согласно теореме 1 одну из двух б.м.п. мы
можем рассматривать как ограниченную последовательность. То¬
гда их произведение будет б.м.п. в силу предыдущей теоремы.
Следствие доказано.
Следствие 2. Произведение любого конечного числа б.м.п. есть
б.м.п.
Доказательство получается очевидным последовательным при¬
менением предыдущего утверждения. Следствие доказано.
Теорема 5. Если {хп} — постоянная и б.м.п., то хп = 0.
Действительно, если хп = с ф 0, то в |с|/2-окрестности нуля нет
ни одной точки нашей последовательности, и это значит, что {хп}
не является б.м.
Примеры. 1. {gn} — б.м.п. при \q\ < 1.
Действительно, если 0 < q < 1, то при h > 0 имеем q = В
1 + h
силу неравенства Бернулли
(1 -b h)n > 1 + nh при п > 2.
Отсюда имеем
чп < —-— < —•
1 + nh nh
Зададим теперь е > 0. Нам надо выбрать по = по(£) так, чтобы
^ п > п0 выполнялось неравенство
q < е.
35
Для этого достаточно, чтобы было справедливо такое неравен¬
ство:
1 * 1 1
—Г<€ О nh > — <=> п>—.
nh е he
Положим
п0 = п0(е) =
+ 1.
Покажем, что V п > по имеем gn < е. Это следует из цепочки
неравенств
" 1 1 1
^ ^ nh + 1 ^ noh < l//i£ • h
следовательно, {gn} есть б.м.п.
2. n<jn — б.м.п. при \q\ < 1.
1
Рассмотрим случай 0 < q < 1, q = -, где h > 0.
1 + h
Из формулы бинома Ньютона имеем
(1 4- h)n > П^11'- ^ h2 при п > 2.
Отсюда получим
п 2 .2 2
= -/1 ; iVn < 7~ ттГ?<£> П>7Г¥ + 1-
(1 + Л)" (п — 1)Л2
Положим
По =
eh2'
еЛ2
eh2
+ 2.
Тогда V п > по будем иметь nqn < е.
Лекция 6
§ 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Последовательность {ап} называется сходя¬
щейся, если существует число / Е R, такое, что последовательность
ап = ап — I является б.м.п.
В этом случае говорят, что {ап} сходится или что {ап} имеет
предел и этот предел равен /. Записывают это так:
lim ап = I или ап —► / при п —► оо.
п—►оо
Это определение на “£-языке” можно записать следующим обра¬
зом:
Vs > 0 3 по = по(е), такое, что Vn > по имеем \ап — /| < е.
Утверждение 1. Если {ап} сходится, то она имеет единствен¬
ный предел.
Доказательство. Пусть это не так. Тогда 3 /1^/2, такие, что
последовательности ап = ап — и /Зп = ап — /2 обе являются б.м.п.
Но тогда ап + /1 = ап = /Зп + /2, откуда /1 - /2 = /Зп - ап — б.м.п.
Следовательно, по теореме 5 § 2 имеем /1 — /2 = 0, т.е. /1 = /2.
Утверждение 2. Если {ап} — б.м.п., то lima_>oo =0.
Доказательство. Действительно, при / = 0 имеем ап — 0 = ап —
б.м.п., т.е. предел {ап} при п —► оо равен 0.
Утверждение 3. Если {ап} сходится, то она ограничена.
Доказательство. Если {ап} сходится, то 3 /, такое, что ап =
a>n — I — б.м.п. Значит, 3 с > 0, такое, что Vn Е N имеем |оп| < с.
Но тогда an = I + ап, откуда
\ап\ = |/ + <*п\ < |/| + \<*п\ < И + с = ci,
т.е. {ап} — ограниченная последовательность, ч.т.д.
Утверждение 4. Если limn—oo ап = / и I ф 0, то 3 no Е N,
такое, что при Vn > по имеем |ап| > |/|/2 (или, что то же самое,
V|an| < 2/|/|j, т.е. последовательность {1/ап} — ограниченная.
Доказательство. В силу условия 3 /, такое, что ап = an — I —
б.м.п. Тогда вне |/|/2-окрестности нуля лежит только конечное
37
число членов последовательности {ап}. Пусть по — самое большое
значение номера таких членов; тогда Vn > по имеем
м<И
Отсюда при этих п получим (I = ап — ап)
|/| = |ап - а„| < |а„| + | - а„| = |а„| + |а„|.
Следовательно,
Ы>|/|-К1>|/|-^ = ^,
Ч.т.д.
Утверждение 5. Если ап —► l\t bn —► /2 при п —► оо, то сп =
ап ± Ъп —* ± /2 при п —► оо.
Доказательство. Из условия имеем
Qn — an ~ ^
А = К - h / “ б'м'п'
Следовательно,
сп - (h ± h) = («п ± Ьп) - (h ± h) = <Хп+0п=7п — б.м.п.
Значит, из определения предела имеем
lim с„ = /1 ± /2,
п—*-оо
Ч.Т.Д.
Утверждение 6. Если ап —► /1, Ъп —► /2 при п —► оо, то сп =
о.пЬп —► /1/2 лри п —» оо.
Доказательство. Имеем ап = /1 + ап, 6П = /2 + /?п, сп = ап6п =
M2 + an/2 + /?rJi+<*n/?n = Мг+Тп- Но 7„ — б.м.п., так как она есть
сумма трех последовательностей, каждая из которых есть б.м.п.
Отсюда
lim сп - h/2,
п—*>оо
Ч.Т.Д.
38
Утверждение 7. Пусть limn_oo ап — /ь limn_oo bn = /2, h ф 0.
|. ап ^1
Тогда. limn—оо т~ = у
bn h
Доказательство. Рассмотрим сп — уп = сп — ^ —
h Ьп
j- = Имеем: а„ = + <*„, Ьп = (2 + /?„, 7„ =
(/i 4* — (Ь + /?n)/i &nl2 — Prth 1 ^
= — — это б.м.п., посколь-
ип12 ‘2
ку 1 /bfi ограничена в силу утверждения 4. Таким образом,
/1
НШп—►оо — | > Ч.Т.Д.
•2
§ 4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ
Утверждение 1. Пусть lim„—oo ап = /; тогда, если Vn ап > с
(или ап > с), то I > с.
Доказательство. Из условия имеем, что ап = ап — / — б.м.п.,
причем
а„ = ап — / > с —
_ , с — /
Если допустить, что с — / > 0, то тогда при е = ■ получим,
что е-окрестность нуля вообще не содержит ни одной точки после¬
довательности {ап}. Это противоречит тому, что {<*п} есть б.м.п.
Значит, с — / < 0, / > с, ч.т.д.
Утверждение 2. Пусть linin—oo а„ = тогда, если Vn ап < с
(или ап < с), то / < с.
Доказательство. Если 6П = — ап, то 6П —► —/ при п —* оо, Ьп > —с
(или Ьп > —с). Тогда из утверждения 1 имеем, что —/ > —с, т.е.
I < с, ч.т.д.
Утверждение 3. Пусть limn_oo ап = /1, lim^oo 6П = /2. Тогда:
1) для ап < Ьп имеем 1\ < /2;
2) для ап < Ьп имеем l\ <h-
Доказательство. Рассмотрим сп = Ьп — ап. По условию сп > 0
Vn (или сп > 0 Vn) и сп —► <5 — /2 — 1\ при п —► оо.
По утверждению 1 в обоих случаях имеем 6 > 0, т.е. /2 > /1,
ч.т.д.
39
Утверждение 4. Если {а„} — б.м.п. и Vn Е N имеем \/Зп \ < ап,
то рп — тоже б.м.п.
Доказательство. Из условия следует, что любая ^-окрестность
нуля вместе с точкой ап содержит и точку /?п, так что вне этой
е-окрестности могут находиться /Зп только с такими номерами, для
которых |ап| > е. Но так как {<*п} — б.м.п., то их число конечно,
и потому {/?„} — тоже б.м.п. Доказательство закончено.
Утверждение 5. Пусть an < cn < bn Vn Е N, ПгПп—оо
limn —bfi — /. Тогда 3 lim^—.qq cn — I.
Доказательство. Из условия следует, что 0 < сп — ап < Ьп — ап.
Но {6П — ап} —* 0, т.е. bn—an есть б.м.п. Но тогда по утверждению 4
{сп — ап} — тоже б.м.п., т.е. {сп — ап} —* 0. Следовательно,
сп = (сп - ап) + ап -* 0 -I- / = / при п —► оо, ч.т.д.
Примеры. 1. Если а > 1, то limn_>oo у/а = 1.
Действительно, <£/а = 1 + ап, > 0. Тогда
По утверждению 5 limn_>oo &п — 0, откуда следует, что
По утверждению 5 limn_*oo ап = 0, откуда следует, что
limn_>oo tfn — 1.
3. Пусть limri_oo ап — а. Тогда
а = (1 + an)n > 1 + паП1 0 < ап <
а- 1
п
lirrin^oo у/а = 1.
2. limn —► оо у/П— 1.
Действительно, у/а = 1 И- с*п,
Действительно, пусть Ьп = ап — а. Тогда
lim bn = 0,
и достаточно доказать, что
Поскольку {6n} — б.м.п., то имеем
|6П| < с при всех п.
Кроме того, Ve > 0 3 по = По(£), такое, что Vn > по справедливо
неравенство
I Ьп\<е.
Следовательно,
6l + • • • + ЬПо + ^По + 1 + Ь Ьп
< дц + (" - "°>е < 2е
п п
если только ^ < е, п > т.е. п > max^no,^^. Отсюда уже
легко следует требуемый результат. Доказательство закончено.
Лекция 7
§ 5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ТЕОРЕМА
ВЕЙЕРШТРАССА. ЧИСЛО “е”
Определение 1. Последовательность называется невозрастаю¬
щей, если хп+\ < хп Vn Е N (хп |); неубывающей, если zn+i > Vn
Т); убывающей, если жп+1 < яп Vn Е N (хп Ц); возрастающей,
если xn+i > я„ (г„ tt)-
Теорема 1 (теорема Вейерштрасса). Пусть {ап} — неубывающая
и ограниченная сверху последовательность. Тогда {ап} сходится
и lirrWoo а„ = sup{an}.
Доказательство. Так как {an} ограничена, то она ограничена
сверху и 3sup{an}. Пусть / = sup{an}. Покажем, что limn_>oo an = I.
Другими словами, требуется доказать, что
осп — ап /
есть б.м.п., т.е. что \/е > 0 3 щ = п0(£), такое, что при Vn > п0
имеем |an| < е. Но sup{an} = 0. Это значит, что:
1) an < 0 Vn Е N;
2) Ve > 0 3 к, такое, что —е<ак< 0* Но а* |, поэтому при
Vn > £ имеем
-е < ак < ап < 0, |ап| < |а*| < 5.
Таким образом, в качестве по = по(£) можно взять указанное выше
число к.
Теорема 2. Невозрастающая, ограниченная снизу последова¬
тельность имеет предел, равный inf{an}.
Доказательство. Вместо {an} рассмотрим последовательность
{6П}, Ьп = — ап. Тогда inf{an} = — sup{6n} и теорема 2 следует из
теоремы 1.
Примеры.
1. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Пусть
sn = а + aq + Ь aqn~l. Тогда
_i a — aqn
qsn = aq-\ Ь aqn -fagn, sn = — r.
1 - q
42
Поскольку при |qr| < 1 имеем {gn} — б.м.п., то
а
= lim sn =
1 -q'
Доказательство закончено.
2. Итерационная формула Герона.
Пусть
\ ( а
= 2^“ + Z
где а — фиксированное положительное число, х\ — любое по¬
ложительное число, Предположим вначале, что х\ > у/а, т.е.
х\ > а. Докажем, что {яп} — убывающая последовательность,
ограниченная снизу величиной у/а, и что limn_oo хп = у/а.
Действительно, имеем:
1) хп - *n+i = хп - \ (хп + > 0;
2) xn+i - V® = | (*„ + ^-) ~ у/а = {'Хп2^ ' >
Поскольку х\ > у/а, то из предыдущих формул получим
xi > Х2 > • • • > хп > у/а.
В силу теоремы Вейерштрасса 3 limn_*oo хп = х. Тогда справед¬
ливо равенство
lim zn+i = lim xn + —
***** n I ***** ~ Tl I 1 •
n—■ oo z \ П—>-oo Iimn_oo
т.е.
x=Kx+*): x=v/“-
При вычислении квадратного корня из положительного числа
по итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков
быстро растет. Важно отметить, что если в процессе вычислений
будет допущена ошибка, то в дальнейшем она будет автоматически
исправлена (саморегулирующийся итерационный процесс).
Дадим другое доказательство того, что хп —► у/а при п —> оо.
Из п. 1 и из равенства
, /г _ (*n + Va)2
Zn+i + у а - ^
имеем
^n+i у/a, /хп \Zn\
хп+\ + у/а \хп + у/а)
43
Положим
Х\ - у/а
I ~Г~ ^"
Х\ + у/а
При xi > 0 имеем \q\ < 1. Далее получим
Хп ~ у/в- _ 2П'"1
Хп 4- у/а q
откуда
0п~1
-1 + q~
Vп — у/я
^ 2п~1
хп — у/а = тг—гу/а (скорость сходимости).
1 - Г
Поскольку q2n 1 — б.м.п., то limn_oo хп — у/а.
Число “е” Рассмотрим последовательность
ап — ( 1 Ч
п
Заметим, что при к > 1
к\ — к(к — 1) ... 2 * 1 > 2к~1.
По формуле бинома Ньютона получим
an_ i + lQ + ^(")+---+^(”) - 2 + = сг;
In 71—1 71 — к + I
<т = 2 +> ... —.
f—' к\ п п п
к = 1
Но тогда
ап < 2 + ^ -дзу = 3 - — < 3.
Кроме того, в выражении а при к > 2 &-й член суммы с ростом
71 возрастает и число членов всякий раз увеличивается на единицу,
т.е. ап | и {ап} ограничена.
По теореме Вейерштрасса {ап} сходится. Следуя Эйлеру, предел
этой последовательности обозначают через е. Известно, что
е = 2,7 1828 1828 4590 45...
44
Рассмотрим далее последовательность
п +1
ьп — ( 1 +
IV
п)
lim 6„ = lim (1 + —^ • lim (1 4- —^ = е.
п — оо гг —ос V П J п —оо у fl J
Последовательность {Ьп} убывает. Действительно, из неравен¬
ства Бернулли имеем при п > 1
_ (1+"Г‘ =f1+ > v+,.ii±i>
^п+1 Л , 1 \n+ V n2 + nl п + 2
(1+^)
> 1 +
п -1-1 \ п 4- 1 _ (п 4- I)2 ^
ti(ti -|- 1) / тх 4” 2 т\{т1 4" 2)
Следовательно, Ьп > е.
Но тогда, так как Ьп > е > ап, то
/ 1 \п 1 з
О < гп = е — ап < Ьп — ап = ( 1 Ч— )
у п J п п
Величина гп характеризует скорость сходимости последователь¬
ности {ап}.
Поскольку число е играет важную роль в анализе, то дадим
другое выражение для него. Пусть
1 1 1
Cn-i + n+2! + "+^.
Тогда limn_oo сп = е.
Доказательство. Последовательность {сп} монотонно возрастает
и ограничена:
, , 11 1 О 1
с„<1 + 1 + - + 22+--+^гт-3--<3.
Следовательно, существует
lim сп — е 1.
п —оо
Так
как
ап = ^1 + ^ = сг < сп,
45
то е < е\.
Далее при фиксированном s < п имеем
п = 2 4 7 к = 2
Отсюда
е = lim ап > lim ds(n) — cs,
п—►оо п—*оо
т.е. е — верхняя грань для {с5}. Но так как
lim cs — sup{c5} = еь
5 — 00 s
то е > е\.
Следовательно, е = е\, ч.т.д.
Заметим еще, что если e = cn+rn, то
°°^ 11/1 1 \
1 1 п + 2 1
<
(п + 1)! 1 — 1/(п + 2) (п + 1)(п + 1)! тг - п\
Утверждение 1. Число е — иррациональное.
Доказательство. Допустим противное. Тогда e — pjq, (р, q) — 1,
О < е — ся < —.
q-q\
Домножая обе части неравенства на </!, получим А = q\(e — cq) —
целое число и 0 < А < l/q, что невозможно. Доказательство
закончено.
Лекция 8
§ 6. ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА
О СУЩЕСТВОВАНИИ ЧАСТИЧНОГО ПРЕДЕЛА
У ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Пусть {ап} — некоторая последовательность и
пусть {кп} — некоторая строго возрастающая последовательность,
состоящая из натуральных чисел. Тогда последовательность
Ьп — СЦсп
называется подпоследовательностью последовательности ап.
Определение 2. Если 3 Итп__юо bn = /, то / называется ча¬
стичным пределом последовательности {ап}.
Теорема 1 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой огра¬
ниченной последовательности {ап} можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. По условию имеем, что 3 с > 0, такое, что
|а„| < с V п. Разделим отрезок Д = [—с, с] пополам. Один
из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов
последовательности. Назовем его Див качестве первого члена в
искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент аП1 Е
Д, т.е. положим Ь\ = аП1. Затем отрезок Д снова разобьем на
два и обозначим через I2 ту его половину, которая содержит
бесконечно много членов последовательности {ап}. Среди них
выберем такой член аП2, номер которого п2 превосходит число ?ii, и
положим &2 = аП2. Повторяя описанную процедуру применительно
к отрезку Д, получим отрезок /3 С Д и член 63 = аПз с условием
пз > П2. Далее таким же образом найдем 64 = а„4 Е Д С Д,
Н = а„5 Е Д С Д и т.д. В результате мы получим числовую
последовательность {bk} и последовательность вложенных отрезков
{Д}, причем bk Е Д, bk = аПк, пк < rik+i Vfc С N. Другими словами,
{bk} будет подпоследовательностью для {а*}.
Осталось показать, что {Вк} сходится. Для этого заметим,
пто длина 6к отрезка Д равна с • 2“*, откуда 6* —► 0 при к —►
оо. Это значит, что последовательность вложенных отрезков {Д}
стягивается и все отрезки Д имеют единственную общую точку I.
Именно это число / и будет пределом для {Ьк}. Действительно,
если Д = [sk, Д], то sk < I < Д, Д. - sk = Д, ак = I - sk < 6к,
0к = Д — / < Д. Но так как Д —> 0 при & —► оо, то —► 0 и
47
/?*: —► 0, откуда s* = / -f а* —►/, = / + /?*—► /. И поскольку
Ьк = Sk < аПк < tky то Ьк = аПк —> I при к —► оо, ч.т.д.
Очевидно, что из теоремы 1 прямо вытекает следующее необхо¬
димое и достаточное условие сходимости последовательности.
§ 7. КРИТЕРИЙ КОШИ ДЛЯ СХОДИМОСТИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Последовательность {ап} называется фунда¬
ментальной или последовательностью Коши, если выполнено
условие:
V е > 0 3 по = по(^), такое, что V ш, п > щ имеем \ат — ап\ < е.
Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы последователь¬
ность {ап} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Если limn_>oo = I, то
V е > 0 3 п0 = по(е), такое, что V п > п0 имеем \ап — /| < е/2.
Следовательно, V m, п > по
|ап ~ ат | — |(°п ~' 0 ~ (ат ~ 01 — 1ап ^1 Н“ |ат — ^ ==
Поэтому {ап} — фундаментальная последовательность.
Достаточность. Последовательность {ап} фундаментальная.
1. Докажем, что {ап} ограничена. Действительно, возьмем е = I.
Тогда 3 по = по(1), такое, что V п > по имеем |а„ — аПо| < 1. Но
тогда
Ы < |Яп “ Яп0| + |«По1 < 1 + |Яп0| = Л-
Отсюда
|яп| < max(|ai|,..., |a„0|,/i) = с.
2. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует сходя¬
щаяся подпоследовательность ani,...,anfc, ► а при к —► оо.
Условие ее сходимости можно записать так:
Ve > 0 3 к\ = fcifc), такое, что V fc > fci имеем |anfc — a| <
Пусть
Ni = , ЛГ = шах ^п0 , iVi
Тогда V n> N, nk> N
|а„ -а| = |а„ - a„k + a„t - а| < |а„ - a„fc| + |a„k - а| < | + | = г,
т.е. последовательность {а„} сходится, ч.т.д.
48
Теорема 2« Для расходимости последовательности {ап} необ¬
ходимо и достаточно, чтобы она не была фундаментальной, т.е. 3
число е > 0, такое, что Упо Е N найдутся номера m > щ и п > по,
для которых выполняется неравенство
|<*т - <Jn| > е.
Примеры. 1. а„ = 1 + ! + |- £. Возьмем е = 1/2. Тогда при
любом тп имеем неравенство
1 1ml
x2m — J 7 “Ь * * ’ 4“ 7> ^ о — о *
m + 1 2?n 2m 2
Последовательность {an} расходится (здесь мы полагаем m = ho,
n = 2m).
2. Для решения уравнения Кеплера
х - a sin x = у (0 < a < 1)
используют метод последовательных приближений:
Хо = у, Xi = y + asinx0,..., хп = у + asinxn«i.
Докажем, что 3 £ = limn^ooXn и х = £ является единственным
корнем уравнения Кеплера.
Согласно критерию Коши
V е > 0 3 по = по(е),такое, что
Уп>поиУр>1 имеем |хп+р — хп \ < е.
Оценим модуль разности
|хг»+р - хп\ = a|sinxn+p.i — sinxn«i| < a|xn+p_i -xn_i| <
< art|xp - xo| = an+1|sinxp_i| < an+1.
Так как {an+1} — б.м.п., то У е > 0 3 п\ = п\(е), такое, что
V п > 77-1 имеем |an+1| < е.
Положим по = п\. Тогда указанное выше условие будет вы¬
полнено, и потому последовательность {хп} сходится к некото¬
рому числу £. Переходя к пределу при п —► оо в равенстве
хп = у -f a sin xn_i, получим £ = у + asin£, т.е. х = £ есть решение
уравнения Кеплера. Далее, если £i — другое решение, то тогда
|£i — £| = a|sin£i — sin£| < a|£i — £|, и если £i ф £, то отсюда
имеем 1 < а, что не так по условию. Другими словами, х = £ —
единственный корень уравнения, ч.т.д.
Это уравнение возникает при изучении движения планет по
эллиптической орбите (задача двух тел).
49
Теорема 3 (теорема Штольца). Пусть: 1) уп+1 > Уп,
2) limn—оо Уп = +оо, 3) 3 limn_oo = t. Тогда существует
предел
lim — = /.
п-*°° Уп
Доказательство. Имеем f1~Гп- — / _j_ а Хак как последова-
Уп. + 1~Уп.
тельнос.ть {ап} является бесконечно малой, toVe>03N = N(e),
такое, что V тг > N имеем |ап| < е/2.
Полагая значение номера равным последовательно TV, . ..,п, бу¬
дем иметь следующую систему равенств:
%П+1 ^Уп-fl 1уп “Ь &п[Уп+\ Уп):
ХК+1 - /t/AT+l = ZN - lyN + 0см{ум+1 - 2/Лг).
Сложим эти равенства:
*п+1 - 1уп+1 — Хм - 1ум + ап(уп+1 — 2/n) Н h ^лг(улг+1 “ 2/лг)-
Преобразуем это равенство и перейдем к неравенствам. Получим
•Efl + 1
-/
2/n+i
< кдг - g Уп + 1 ~ УЛГ
Уп+1 2 Уп+1
Поскольку limn_oo уп = +оо, то существует ni = rci(£), такое, что
для всех п> п\ справедливо неравенство
клг - /удН
Уп + 1
<2-
Положим п0 = max(ni, ./V)- Тогда для любого п > п\ будем иметь
хп +1
Уп + 1
— I
< g,
ч.т.д.
50
Глава III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 9
Мы познакомились с понятием предела последовательности и
изучили основные свойства последовательностей, имеющих предел:
Последовательность, как мы помним, — это функция, определенная
на натуральных числах. Но еще большую роль в анализе играет
понятие предела функции, определенной на всей числовой оси или
на каком-либо ее промежутке либо луче. В дальнейшем мы будем
рассматривать целый ряд понятий подобного рода. Эти понятия по
своему духу близки как между собой, так и с уже рассмотренным
нами понятием предела последовательности. Перечислим наиболее
важные из них:
1) / = limx—Хо /(х) — предел функции f(x) в точке xq;
2) / = limr_+ro+ /(х) — правый предел функции /(х) в точке xq\
3) / = lirrix—xo- f(x) — левый предел функции f(x) в точке xq;
4) / = limx_^oo f(x) — предел функции /(х) при х —► оо;
5) I = linix—+оо /(х) — предел функции /(х) при х —► +оо;
6) / = limx—-оо f(x) — предел функции f(x) при х —» —оо.
Будем считать, что функция /(х), о пределе которой будем го¬
ворить, определена на всей числовой прямой Ш или на некотором
множестве А) являющемся его подмножеством, т.е. Л С М. Этим
множеством А, например, может быть интервал, отрезок, совокуп¬
ность промежутков и вообще какое угодно бесконечное множество.
Важно только, чтобы точка хо, к которой устремляется аргумент
функции /(х) (т.е. х —► хо), являлась предельной точкой для мно¬
жества А. В случае х —► оо или х —► =Ьоо это означает, что
множество А должно быть:
не ограничено при х —► оо,
не ограничено сверху при х —* +оо,
не ограничено снизу при х —+ —оо.
В дальнейшем нам понадобится следующее определение.
Определение. Множество точек х, принадлежащих А и удовле¬
творяющих неравенству 0 < |х — xq| < <5, называется проколотой
8-окрестностью точки хо (относительно множества А).
При А = Ш проколотая 6-окрестность точки хо состоит из двух
интервалов:
(х0 - 6, Xq) U (Xо, Xо Н- 6).
51
Определения предела (эквивалентность будет доказана позже).
Обозначения
По Коши
По Гейне
/ = lim /(х)
Х—*Хо
ИЛИ
f(x) -* 1
при X Хо
Число / называется i
при х -
Ve > 0 3 6 = 6(e) > 0,
такое, что Vx:
(х Е Л, 0 < \х — х0| < (5)
=Ч/(*)-/|<е
пределом функции /(х)
-► хо, если
V последовательности
{хп}: хп ф х0 Vn Е N
xn Е Л и хп —+ х0
при п —► оо имеем /(хп) —► /
1 — lim /(х)
Х-+ <г0 +
ИЛИ
/(*) /
при х —* хо+
Число / называется прав
при х -
Ve > 0 3 <5 = «(g) > 0,
такое, что Vx:
(х Е Л, 0 < х — х0 < 6)
=► 1/И ~‘\<е
,ым пределом функции /(х)
-► хо, если
V последовательности
{хп}: хп > х0 Vn Е N
xn Е Л и хп —> х0
при п —» оо имеем f(xn) —► /
/ = lim f(x)
X—►Хо —
ИЛИ
/(*) - /
при X —► Xq —
Число 1 называется лев]
при х -
Убг >036 = 6(e) > 0,
такое, что Vx:
(х £ Л, —6 < х — х0 < 0)
=> 1 /И -1\<е
ым пределом функции /(х)
хо, если
V последовательности
{хп}: хп < х0 Vn Е N
xn Е Л и х„ —► х0
при п —► оо имеем /(хп) —► /
/ = lim f(x)
х—юо
Число / называется ]
при х -
Уе > 0 3 с = с(е) > 0,
такое, что Vx:
(х е л, |х| > с)
=> 1/(*) ~1\<е
пределом функции /(х)
-*• оо, если
V бесконечно большой
последовательности {хп}:
хп € Л,
при п —► оо имеем /(хп) —► /
I = lim f(x)
X—*--f ОО
Число / называется :
при х —
Уе > 0 3 с = с(е) > 0,
такое, что Vx:
(х Е Л, х > с)
пределом функции /(х)
► -f-оо, если
V бесконечно большой пос¬
ледовательности хп > 0:
хп G Л,
при п —► оо имеем /(хп) —» /
/ = lim fix)
X—► — oo
Число / называется
при х —
Ve > 0 3 с = с(е) < 0,
такое, что Vx:
(х Е Л, х < с)
=> 1/(*) - /| < е
пределом функции /(х)
* —оо, если
V бесконечно большой пос¬
ледовательности хп < 0:
хп G Л,
при п —► оо имеем /(хп) —► /
52
Для всех этих видов пределов справедливы теоремы, аналогич¬
ные теоремам о пределах последовательности. Например, если
f\(x) —* /1, /г(я) —► h (при одном и том же виде стремления
аргумента ж), то:
1) fl(x) ± h{x) —► /1 ± /2)
2) h{x)h{x)^hh,
3) Ш h при h ± °-
Если с(ж) — постоянная, т.е. с(х) = / для любого х Е А, то
с(х) -W.
Доказательства этих теорем, по существу, повторяют доказа¬
тельство утверждений для сходящихся последовательностей. Но
тем не менее их надо провести, а это заняло бы у нас очень много
времени. Для того чтобы этого избежать, мы дадим общее опре¬
деление предела, под которое будут подходить все рассмотренные
нами пределы, в том числе и предел последовательности. Речь
идет о так называемом пределе по базе множеств.
§ 1. БАЗА МНОЖЕСТВ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Определение 1. Пусть А есть область определения функции
/(ж). Тогда совокупность множеств {6} = В, где 6 С А, называется
базой для множества А, если для ее элементов выполняются
следующие условия:
1) В состоит из бесконечного числа непустых множеств {6};
2) V 61,62 £ В 3 63 G В, такое, что 63 С &i П 62.
(Здесь надо помнить, что Ь\> 62, 63 суть подмножества множе¬
ства А.)
Элементы множества В называются окончаниями базы В.
Определение 2. Число / называется пределом функции f(x) по
базе В, если V е > 0 3 окончание 6 Е В, такое, что V х Е Ъ имеем
неравенство |/(ж) — /| < е.
Обозначение:
lim/(ж) = / или /(ж) —► I (по базе В).
В этом случае еще говорят, что /(ж) сходится к / по базе В.
Аналогично определяются следующие пределы:
lim /(ж) = оо (±оо).
в
53
Примеры баз.
0. Л = N. База В о (обозначение: п —* оо) состоит из множеств 6 =
s > 1, где Ns — множество натуральных чисел {s, s-f 1, s-f2,... }.
Тогда предел по базе Во — это предел последовательности {ап}:
х = п, /(х) = ап и lim/(x) = lim ап.
В0 п-ооо
1. Л = М. База Bi состоит из всех проколотых (5-окрестностей
точки хо, <5 > 0 (обозначение: х —► хо). Тогда limBi/(х) — это
предел при х —► хо, т.е.
lim/(x) = lim /(х).
Bi х—хо
2. Л = К. База #2 (я —► ^о+) состоит из всех интервалов вида
(х0,х0 + (5), где 6 > 0.
Пш/(а:)= lim /(я).
D2 X—►Го +
3. Л = М. База Вз (х —► хо—) состоит из всех интервалов вида
(х0 - й,*о), где 6 > 0.
lim/(x) = lim /(х).
В з х1—►Хо —
4. Л = М. База В4 (х —► оо) состоит из всех множеств {6}, где
6 есть объединение двух лучей: (—оо, — с) U (с, +оо), с > 0.
lim/(x) = lim /(х).
В4 х —► оо 4 7
5. Л = М. База В5 (х —> +оо) состоит из всех лучей вида
(с,+оо), где с > 0.
lim/(ж) = lim f{x).
Bs х—►+00
6. Л = Е. База Bq (х —► — оо) состоит из всех лучей вида
(—оо, с), где с < 0.
lim/(x) = lim /(х).
в е х —►—оо ^
Легко убедиться в том, что все эти совокупности множеств
Bo,Bi,...,B6 действительно удовлетворяют определению базы.
Определение 3. Пусть D С Л (где Л — область определения
/(х)) и пусть 3 с > 0, такое, что |/(х)| < с V х Е В. Тогда функция
/(х) называется ограниченной (числом с) на множестве D.
Аналогично определяется ограниченность функции /(х) на мно¬
жестве D сверху и снизу.
Определение 4. Функция, ограниченная (ограниченная сверху,
снизу) на каком-либо окончании базы В, называется финально
ограниченной (относительно этой базы).
54
Утверждение 1. а) Пусть /(х) — с V х £ b — некоторому
окончанию базы В. Тогда lim# /(х) = с.
Если предел функции по базе В существует, то он единственен.
Доказательство, а) V 5 > 0 возьмем окончание 6 Е В. Тогда
V х Е 6 имеем |/(х) — с| = 0 < е.
б) Допустим обратное, т.е. что 3 /] ф /2, такие, что
lim/(x) = /1, lim/(x) = /2.
в в
Возьмем е — -у-. Тогда
3 61 = bi(e) Е такое, что V х Е 61 имеем |/(х) — /i| < е\
3 />2 = 62(e) € такое, что V х Е 62 имеем |/(х) — Ы < е.
Пусть 63 С Ь\ П 62 — окончание базы В. Тогда V х Е 63
\h-h\ = \(f(x)-l2)-(f(x)-h)\ < + < 2е = |/г-/2|.
Противоречие. Следовательно, предел единственен.
Утверждение 2. а) Если lim# /(х) = /, то функция /(х) фи¬
нально ограничена числом |/|+1.
б) Если \\тв f(x) = / и / ф 0, то функция д(х) = 1//(х) финально
ограничена числом 2/|/| на окончании 6(|/|/2), а функция /(х) на
том же окончании имеет знак, совпадающий с I.
Доказательство.
Для 5i (х —► х0)
В общем случае
а) Возьмем е = 1. Тогда 3 6 = 6(1),
такое, что Vr Е проколотой
^-окрестности имеем
1/(*)-/|< 1.
Отсюда Vx: 0 < |х — хо| < <5 имеем
|Дх)| = |(Дх) - /) + /| <
< |/(х) - /| + |/| < 1 + |/|, Ч.Т.Д.
а) Возьмем е = 1. Тогда
3 6 = 6(1) — окончание базы
В, такое, что Vx Е b имеем
|/(х) - /| < 1.
Отсюда Vx Е Ь получим
|Дх)| = |(Дх)-/)+/|<
< |Да;) - /| + \Ц < 1 + |/|, Ч.т.д.
б) Разберем только случай / > 0
(второй случай аналогичен).
Возьмем £ = 1/2. Тогда
3 6 = 6(5) > 0, такое, что
Vx: 0 < |х — хо| < 6 имеем
1/(х) - /| < е = 1/2.
Следовательно, справедливы
неравенства
Дх) - / > -1/2,
f{x) > 1/2 > 0,
0 < g(x) = 1 /Дх) < 2/1, ч.х.д.
б) Разберем только случай / > 0
(второй случай аналогичен).
Возьмем е = 1/2. Тогда
3 6 = Ь(е) >0 — окончание,
такое, что Vx Е 6 имеем
| Дх) - /| < £ = 1/2.
Следовательно, справедливы
неравенства
Дх) - 1 > -1/2,
f(x) > 1/2 > 0,
0 < g(x) = 1/fix) < 2/1, ч.т.д.
55
Утверждение 3. Пусть liтв f(x) = /ь lim# д(х) = /2. Тогда
Ит(/(х)+д(х))+1! +12.
В
Доказательство.
х —► х0
В общем случае
В качестве радиуса искомой
6-окрестности возьмем
6 = тт(61(е/2),62(е/2)).
Здесь 6i(e/2) — это радиус
проколотой <5-окрестности точки
хо, в которой
|/(*)-/i|<e/2,
а 62 — это радиус проколотой
62-окрестности точки хо, где
\g(x)-l2\ < е/2.
Тогда проколотая 6-окрестность точки
хо содержится и в 61-окрестности,
и в 62-окрестности ТОЧКИ Хо-
Поэтому имеем Vx : 0 < |х — хо| < 6
\(f(x) + g(x))-(h + l2)\<
< \f(x)-h\ + \g(x)-l2\ < е,
ч.т.д.
В качестве окончания Ь(е)
возьмем одно какое-либо
окончание 63, такое, что
63 С 61 (е/2) Пбг(е/2),
где bi(s/2) — окончание,
на котором
\f(x)-h\<e/2,
а 62^/2) — это окончание,
на котором
\д(х) - 121 < е/2.
Тогда Vx G 63 имеем
!(/(*) + д(х)) - (h + h)\ <
< I/(*) - (ll + |<к*) - Ы < е,
ч.т.д.
Утверждение 4. Пусть /(х) = д(х) У х Е 6 — некоторому
окончанию базы В и lim^ f(x) = I. Тогда lim^ g(x) = I.
Доказательство. Имеем
g{x) = /(х) + (</(x) - /(x)).
Поскольку
lim/(x) = l и g(x) — f(x) = 0 V x £ 6,
в
то по утверждениям la и 3 имеем lim# g(x) = I.
Определение 5. Если lim# a(x) = 0, то a(x) называется веско-'
нечно малой по базе В (б.м.).
Замечание. Из утверждений 1а и 3 следует, что условие
Urn# /(х) = / эквивалентно условию а(х) — /(х) — / — б.м. по
базе В.
56
Утверждение 5. Пусть а(х) — б.м., /(х) финально ограничена,
|/?(х)| < |а(х)/(х)|.
Тогда /?(х) — б.м.
Доказательство.
х—►Хо
В общем случае
V£>0 надо указать
<5=<5(£)>0, такое, что
Vx: 0<|х—х0|<6 => |/?(х)|<е
(6 — радиус проколотой
(5-окрестности).
В силу финальной
ограниченности /(х) имеем
3 <5i>0, такое, что Vx:
0<|х—x0|<(5i => |/(х)|<С.
V^i>0 3 <52=<52(£i)>0, такое,
что Vx: 0<|х-х0|<(52 => |a(x)|<£i.
Положим е\ =е/С,
<5=min(<5i,<52(£)).
Тогда Vx: 0<|х—х0|<<5 имеем
|/?(х)|<|а(х)М/(х)|<
<е/с-с=е, ч.т.д.
V£>0 надо указать окончание
Ь=Ь(е). такое, что
VxE& => \/3(х)\<е.
В силу финальной
ограниченности /(х)
3 окончание 61, такое, что
VxE&i => |/(х)|<С.
V£i>0 3 62=62(£)Е^, такое,
что VxE62 => |a(x)|<£i.
Положим ei=e/C.
В качестве Ь(е) возьмем
окончание &3C6in62(£i).
Тогда УхЕЬ(е) имеем
|/?(х)|<|а(х)|-|/(х)|<
<е/с-с—е, ч.т.д.
Утверждение 6. Пусть lim# f{x) = 11, limg^r) = In. Тогда
l\mf(x)g(x) = /i/2.
В
Доказательство. Имеем f(x) = l\ + ct(x), g(x) = /2 + P(x): где
c*(x), (3(x) — б.м. Тогда получим
f(x)g(x) - /i/2 = or(x)/2 + 0(z)/i + ar(x)/?(x) — 6.м.,
ч.т.д.
Утверждение 7. Пусть limв/(x) = /1, lim^ <jr(x) = /2, h Ф 0.
Тогда
1ш®4.
В (f(z) /2
Доказательство. Имеем
/(*) *i _ /i+<*(*) /1 _ a(z)/2 -/?(x)/i 1 _
яЫ h ~ h + 0Ы h~ I, ' o(x) “ 7 W'
y(x) l2 h+P(x) /2 /2 5(z)
a(x)/2 - P(x)li
> ——— — б.м
h
поэтому 7(x) есть б.м., ч.т.д.
Здесь — б.м., 1 /д{х) — ограниченная функция,
h
57
Лекция 10
§ 2. СВОЙСТВО МОНОТОННОСТИ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Утверждение 1. Пусть с £ М, Ишв /(я) = /(я) > с (или
/(х) > с). Тогда I > с.
Доказательство. По условию с*(х) = /(х) — / — б.м.,
а(х) = /(х) — / > с — /.
Допустим, что с — / > 0. Тогда при £ = получим, что V b £ J9
и Vx £ Ь имеет место неравенство
а(х) > с — I — 2е > е.
Это противоречит тому, что а(х) — б.м. Значит, с — / < 0, т.е.
с < /, Ч.Т.Д.
Утверждение 2. Пусть
lim f(x) = /ь limg(x) = /2, f(x) < g{x).
В в
Тогда < /2.
Доказательство. Рассмотрим /i(x) = </(х) — /(х). По условию
А(х) > О, lim# А(х) = I = 12 — 1\. Из утверждения 1 имеем / > 0, т.е.
/2 > /1, ч.т.д.
Утверждение 3. Пусть /(х) < д(х) < А(х),
lim/(x) = /, limA(x) = /.
в в
Тогда существует lim# g(x) = /.
Доказательство. Из условия имеем
о < д(х) - /(*) < Л(х) - /(*),
а(х) = h(x) — /(х) —» 0 (по базе В))
т.е. а(х) — б.м.
Но так как |<;(х) — /(х)| < а(х), то по утверждению 5 § 1
д(х) — /(х) — б.м. Тогда
limy(x) = lim(g(x) - /(х)) + lim/(x) = 0 + / = /,
в в в
Ч.т.д.
58
§ 3. КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Теорема. Для существования предела функции f(x) по базе В
необходимо и достаточно, чтобы V О 0 существовало окончание
Ь = Ь(е), такое, что V х,у Е 6 было справедливо неравенство
|/(*)-/(у)| <£.
Доказательство. Необходимость. Пусть lim# f(x) = I. Тогда
V е > 0 3 fci = ЬДе/2) Е В, такое, что V х,у Е Ь\ имеем
I/оот-ц<£^
Отсюда V x,y£b\
If(x) - f(y)| < \f(x) -l\ + If(y) - /| < | | = £.
Достаточность. Докажем, что f(x) финально ограничена.
Действительно, возьмем е = 1. Тогда 3 6(1) Е В, такое, что
V х,у Е 6(1) имеем |/(х) — f(y)\ < 1. Зафиксируем у. Тогда
V х Е 6(1)
l/(*)l < l/(x) - f(y)\ + 1/Ы1 < 1 + I/Ml-
В силу условия Коши V е > 0 3 b(e) Е В, такое, что V х,у Е Ь(е)
имеем |/(х) - f(y)\ < е.
Но это значит, что е есть верхняя грань по множеству Ь(е)
значений величины |f(x) — f(y)\. Используя также финальную
ограниченность /(х), получим
т(£) = inf /(х) Е R, М(е) = sup /(х) Е R,
*€»(0 г€Ь(е)
е> sup |/(х) - /(у)| = sup (/(х) - /(у)) =
х,у€б(£) *»У€КО
= sup /(х) - inf /(у) = М(е) - ш(е).
х€Ь(0 уеЦО
Положим £ = £п = Тогда можно считать, что б(^) С б(~)
Vn2 > n 1. Действительно, если, например, б(|) ^ 6(1), то вместо
59
б(^) МОЖНО ВЗЯТЬ &3 из условия 63 С 6(1)П6(^) и т.д. В силу
этого имеем т(£) < т(£), М(£) > М(£).
Кроме того, V х Е Ь(е)
М(£)]. Вся совокупность отрезков 1п образует систему стягиваю¬
щихся вложенных отрезков, так как при еп > es
т.е. 1т С 1п.
По лемме о системе стягивающихся вложенных отрезков суще¬
ствует точка /, такая, что V е > 0 имеем / Е /(г).
Докажем, что
Для этого нам надо доказать, что V So > 0 3 bi(so) £ 5, такое,
что V х Е bi(e) справедливо неравенство
Определение. Две базы В\ и В2 называются эквивалентными,
если любое окончание базы В\ содержится в некотором окончании
базы В2 , и наоборот.
Заметим, что для эквивалентных баз утверждения о пределах
будут выполняться одновременно.
т(с) < f(x) < М(е).
Каждому s = еп > 0 соответствует свой отрезок 1п = [ш(п)>
т(еп) < m{ss) < M(es) < М(еп),
limf(x) = /.
Таким образом, V х Е 61 (so) имеем
Кроме того, / Е !(£)■ Это значит, что
Отсюда
Ч.т.д.
60
Лекция 11
§ 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СХОДИМОСТИ ПО
КОШИ И ПО ГЕЙНЕ
Теорема. Сходимости функции f(x) по Коши и по Гейне при
х —► х0 эквивалентны.
Доказательство. 1. Пусть существует limX-+XQ f(x) по Коши.
Докажем, что существует предел по Гейне.
Действительно, из условия имеем, что
V е > 0 3 6 = 6(e) > 0, такое, что V х : 0 < \х — яо| < 6
выполняется неравенство \f(x) — 1\ < е.
Пусть {хп} — произвольная последовательность, стремящаяся
к xq при п —► оо и хп ф хо V n Е N. Тогда V 6 > 0 3 N\ — N\(6),
такое, что при n > N\
О < \хп - х0\ < 6.
Так как 6 можно взять любым, то и для 6 = 6(e) справедливо то
же утверждение.
Нам надо доказать, что V е > 0 3 N(e), такое, что
V n > N(e) имеем |f(xn) — /| < е.
Положим N(e) = (<5(£г)). Тогда, ввиду того, что
О < \xn - Xq | < 6(e),
имеем |f(xn) — /| < е, ч.т.д.
2. Пусть V {яп}, Хп —► х0 при п —► оо, хп Ф Xq имеем f(xn) —> /
при п —► оо.
От противного. Пусть / не является пределом функции f(x)
по Коши. Это значит, что 3 е > 0, такое, что
V 6 > 0 3 х : 0 < \х — яо| < 6,
для которого выполняется неравенство | f(x) — /| > е.
Рассмотрим последовательность 6п = V тг 3 хп, такое, что:
1) хп Ф х0, 2) \хп Хо| < но 3) |/(жп) -/| > г. Тогда {zn} —
сходящаяся последовательность. Кроме того, имеем, что / не
является пределом для {/(яп)}, а это противоречит тому, что /
61
есть предел /(х) по Гейне. Следовательно, / является пределом
функции /(х) по Коши, ч.т.д.
§ 5. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Напомним, что сложной функцией Л(х) называют функцию вида
h(x) = f(g(x)),
где /(у) и у(х) — некоторые функции, такие, что область опре¬
деления /(у) содержит все множество значений, принимаемых
функцией д(х). Функцию h(x) еще называют композицией (или
суперпозицией) функций / и д. Символически это записывается
так: h = / о д.
Следовало бы ожидать, что справедлива следующая теорема:
“Пусть limx—Го у(х) = у0, limy_^yo/(у) = /. Тогда имеем
lim /(</(*)) = Г.
Х—*Хо
Такое утверждение справедливо, например, для непрерывных
функций. Однако в общем случае эта теорема неверна.
Пример.
/о, если х Ф О,
/(*) = , п 9{х) = 0.
1^ 1, если х = 0,
Тогда
lim у(х) = 0, lim/(x)=0,
г—►О г—0
f(g(x)) = 1 v х € га,
Пт/(5(х)) = 1.
х —► 0
Тем не менее справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть limx_l0 д(х) = у0, limy_yo f(y) = f(y0). Тогда
имеем
lim f(g(x)) = f(y0).
X * Г о
Доказательство. Нам надо доказать, что V е > 0 3 6 = 6(e) > 0,
такое, что V х: 0 < |х — хо| < 6 имеем |/(у(х)) — /(уо)| < £. По
62
условию для любого заданного е > 0 3 61 = 61(5:) > 0, такое, что
V 2/- 12/ — У о | < ^1 имеем |/(у) — /(уо)| < £• Для этого существует
6 = 6(6\) > 0, такое, что
№(*) - Уо| < h-
Полученное 6 нам и требовалось найти.
Действительно, V х: 0 < |х — хо| < <5 имеем |д(х) — уо| < <$1-
Следовательно, \f(g{x)) - f(yo)\ < е, ч.т.д.
Теорема 2. Пусть limn_oo^n = a, limу^а f(y) = /(а)- Тогда
имеем
lim f(xn) = /(а).
п —*■ со
г
Доказательство. Надо доказать, что V е > 0 3 по = по(е),
такое, что V п > по выполняется неравенство |f(xn) — f(a)\ < е. По
условию имеем:
1) V е'> 0 3 6\ = бДе) > 0, такое, что V у: \у — а\ < Si
выполняется неравенство \f(y) — /(a)| < е\
2) 3 no = no(<$i), такое, что V п > по выполняется неравенство
\хп - а\ < Si.
Положим no = no(^i(e)). Тогда V п п0 имеем
\хп -a\<Si и If(xn) - f(a)\ < £,
ч.т.д.
Теорема 3. Пусть limr__>ro д(х) = уо, причем в некоторой про¬
колотой окрестности точки xq имеем д(х) ф уо, и пусть
lim /(у) = /.
У-+У О
Тогда
lim f(g(x)) = I.
х —► X о
Доказательство. Нам надо доказать, что V £>0 3 6 = <5(бг) > 0,
такое, что V ж: 0 < |х — хо|<5 выполняется неравенство
I f(g(x)) -1\<е.
Из условия теоремы имеем, что V е > 0 3 = йДе) > 0, такое,
что V у: 0 < |у — уо | < Si выполняется неравенство
63
Для заданного <$i > 0 имеем также: 3 62 = > 0, такое, что
Vx: 0 < |х — хо| < £2 выполняется неравенство |<7(х) — уо\ < 6\. И,
кроме того, по условию 3 63 > 0, такое, что V х: 0 < |х — хо| < 63
справедливо неравенство д{х) ф у$. Тогда возьмем
6 = min(^3,«52(<5i(e))).
Получим, что при этом 6 выполняется требуемое неравенство,
ч.т:д.
Доказанные нами теоремы применяются при вычислении преде¬
лов функций.
§ б. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИИ
Определение 1. Пусть а(х), /?(х), у(х) б.м. по базе В. Тогда,
если а(х) представлена в виде
а(х) = 0(х)у(х),
то говорят, что а(х) имеет больший (или более высокий) порядок
малости, чем /3(х) или у(х).
Определение 2. Б.м. а(х) и /3(х) называются эквивалентными
(по базе В), если разность
<5(х) = с*(х) — (3{х)
имеет более высокий порядок малости, чем а(х) (или /3(х)).
Утверждение 1. Если а и /3 — эквивалентные б.м., то ^ —* 1
(по базе В), д —)► 1 (по базе В).
Доказательство. По условию 6 = а — /3 имеет более высокий
порядок малости, чем а, т.е. <5 = 07, где у — б.м. Следовательно,
имеем /3 = а — <5,
Р _ <*-$ _ а(1 ~7) _ 1 _ 1
а а а
Определение 3. Пусть д(х) — положительная функция.
1. Если функция /г(х) = финально ограничена (по базе В),
тогда пишут
/(х) = 0(д(х)).
64
Читается: / есть О большое от д. Или пишут так:
/(*) < я{х).
2. Если h(x) — б.м., то пишут /(х) = о(у(х)).
Читается: / есть о малое от д.
3. Если 3 6 > 0 и 3 {хп} —* хо (при п —► оо), такие, что
|Л(х„)| > 6 > 0, то пишут
/(х) = П(<Кх)).
Читается: / есть омега от д.
4. 0(хт) при х —► 0 — бесконечно малая порядка т.
Примеры. 1. При х —► оо
X + 1
х + 2
= 0(1).
2. При х —► оо
smx
= 0(1),
х
sin
3. При х —► О
4. При х —♦ оо
“£ = o(i).
X \х/
SHi = n(i).
X \х/
\/х — X ~
л/х — X ~ —х.
3 - Г. Архипов и др.
Глава IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 12
Определение 1. Функция /(х) называется непрерывной в точке
хо, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
1)V£>036 = 6(e) > О V х: |х — х0| < 6 => |/(х) - /(х 0)| < £;
2) Нтх_Го /(х) = }{хо);
4) /(ж) = /(х0) + а(х), где а(ж) — б.м. при х —► х0, <*(ж0) = 0;
5) V е > 0 имеем: ^-окрестность точки /(хо) содержит образ
(при отображении /) некоторой окрестности точки хо-
Эквивалентность этих определений следует из доказанных ранее
теорем о пределах.
Определение 2. Функция называется непрерывной справа, если
Утверждение 1. Для того чтобы /(х) была непрерывной в
точке хо, необходимо и достаточно, чтобы /(х) была одновременно
непрерывна справа и слева.
Доказательство. Необходимость. Если /(х) непрерывна, то
/(х) —► /(хо) при х —► Хо• Это значит, что V е > 0 3 <5 = 6(e) > 0,
такое, что V х: |х — хо| < 6 =$> |/(х) —/(хо)| < е. Но тогда V х:
—6 < х — хо < 0 имеем |/(х) —/(хо)| < £, т.е. f(x) непрерывна слева.
Непрерывность справа устанавливается аналогично.
Достаточность. Функция /(х) непрерывна справа и слева при
х —► Хо. Тогда
V е>0 3 6i=6i(e)>0 V х: 0<x-x0<6i => \f(z)—f(xo)\<£]
3 62=62(£)>0 V х: -62<х-х0<0 =» \f(x)-f(x0)\<e.
Возьмем 6 = min(6i,62). Тогда \/£>036>0, такое, что V х:
|х — Хо| < 6 |/(^) ~ f(xo)\ < £, т.е. /(х) непрерывна в точке хо,
Ч.т.д.
lim /(х) = /(х0);
Г—*-Го +
непрерывной слева, если
lim /(ж) = /(х0).
X —Го-
66
Пример. Пусть /(х) непрерывна в каждой точке отрезка [а, 6].
Тогда функция
F(x)= ) Y2 Сп
а<п<х а<п<х
непрерывна на отрезке [а, 6].
Действительно, имеем: F(x) непрерывна при х — хо, где хо —
нецелое число, поскольку в некоторой окрестности этой точки
G(x) = Еа<п<1С»ЯП)1 А(Х) = Еа<п<1С» “ ПОСТОЯННЫе. Пу.СТЬ
хо — целое число. Тогда
F(xo+) = cnf(u)-f(x о) ^2 cn = F(x о),
а<п<го а<п<хо
F(xo-) = °nf(n) ~ f(xо) Сп = F(x°)-
а<п<х o — l а<п<лг0 —1
В силу предыдущего утверждения F(x) непрерывна в точке х = хо.
Свойства непрерывных функций вытекают из соответствующих
свойств пределов.
Пусть /, д непрерывны в точке хо. Тогда в точке хо имеем:
а) c\f + C2g непрерывна V С1,сг€М;
б) fg непрерывна;
в) f/g непрерывна, если ^(хо) ф 0;
г) если f(xо) ф 0, то 3 6 > 0 такое, что
f(x)f(x0) >0 V х е (®0 - (5, хо + Я)
(т.е. f(x) сохраняет знак);
д) /(х) ограничена в некоторой окрестности точки хо-
е) если /(х) непрерывна в точке хо, д(у) непрерывна в точке
у0 = /(хо), то h(x) = g(f(x)) непрерывна в точке хо.
§ 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Перечислим элементарные функции.
1. Р(х) — многочлен, Р(х) = аохп -f 1- ап.
2. Рациональная функция /(х) = P(x)/Q(x), где Р(х), Q{x) —
многочлены.
67
3. Показательная функция /(х) = ах.
4. Степенная функция /(х) = ха = ealogx.
5. Логарифмическая функция f(x) = loga х, а > О, а ф 1.
6. Все тригонометрические функции.
7. Всевозможные суперпозиции всех этих функций.
Все эти элементарные функции непрерывны на своих областях
определения.
Докажем непрерывность показательной функции и функции
f(x) = sinx.
Утверждение 1. V хо £ К функция у = ах — непрерывная.
Доказательство. Пусть сначала а > 1. Тогда надо доказать,
что
В качестве 6(e) мы возьмем число 6i = 6i(ei) >0, такое, что из
неравенства
V е > 0 3 6 = 6(e) > 0,
такое, что Vx: |х — Хо| < 6 имеем
|ах - аХо \ < е,
(1)
или, что то же самое,
\ах-хо _ 1| < £а-*0
\х -Я0| <
(2)
следует неравенство
,*-*0
- 1| < ^1-
(3)
Тогда будет выполняться и (1). Для этого положим
Покажем, что в этом сл>чае из (2) следует (3).
Действительно, (2) можно записать так:
-61 < х - х0 < 6\.
68
Так как а > 1, то
a-*i < а*-*о < aii^
a~il - 1 < ах~х° - 1 < а6' - 1.
Сначала докажем, что as1 — 1 < si-
Положим
N =
1 /«X
CL -f- 1
>
'a + ei'
а
а
~
—
+ 1 > —
. *1 .
. *1 .
.£i.
£l
Тогда l/6i > N, т.е. 61 < l/N.
Поскольку
TO
l + £i > a1/N > a*1.
Отсюда следует, что
aSl - 1 < £ь
a~s‘ > —1— = 1 - —^— > 1 - ei.
1 + £i 1 H~ £1
Окончательно имеем
-ei < a~Sl - 1 < ax~x° - 1 < a(l - 1 < eb
а следовательно,
„Х-Xq
Тем самым доказана справедливость (1) и непрерывность /(я) = ах
в точке xq. Доказательство закончено.
Утверждение 2. Функция /(я) = sin я непрерывна в точке xq.
Доказательство. Вспомним, что |sinx|< |я|. Имеем тогда
| sin я — sin Яо | =
я — яо я + Яо
2 sin —-— • cos —-—
< 2
х - я0
= я - Яо
69
Таким образом, V е > О положим 6(e) — е и получим
| sinх — sin хо| < е V х: \х — хо\ < е.
Следовательно, функция f(x) = sin х непрерывна. Эти утверждения
можно записать так:
sin х = sin xq + а(х), ах = ах° -f /?(х), где а(х), /?(х) — б.м.
При х —► 0, т.е. при xq = 0, имеют место более точные соотношения,
которые носят название замечательных пределов:
1) sin х ~ х,
2) ег - 1 - х.
Лекция 13
§ 2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Утверждение 1. a) limr_> 00 (l + *) _е-
б) limx_0(l + х)1!х = е.
в) limx_o = 1-
г) limx_0 -f1 = 1.
Доказательство. а) Рассмотрим сначала случай х —► +оо. Име-
О+иЫЧ+И-нГ
Но мы знаем, что
Игл (l + iV=e.
п-+оо у П )
Отсюда
ем
lim
п—+00
1+4-)"=,, Iim(i+iy+,=
П + 1J п-+оо у п J
т.е. справедливы утверждения
V е > 0 3 Ni = Nxie) : V п > Nx
3 N2 = N2(e) : V n > N2
При n > max(Ai, N2) имеем
n + l
n + l
— e
< e\
1 + -) -e
Tl
< e.
t — € < ( 1 4“
e — e <
1
K)
n+l
n + l
< e + e\
< e + £.
Если x > 1 + max(Ni, N2) = N, to [x] > max(Ni, N2) = N — 1.
Следовательно, при x > N справедливы неравенства
e — e <
(•♦нЫм<К)Ч**Г<~
71
Таким образом, получим
V е>0 3 N : V х> N =>
НУ-
< е.
Рассмотрим теперь случай х —► — оо. Положим у = —ж. Тогда
НУ-ЫГ-Ш’Л'+ЯУ
Поскольку t/ —* +оо, то
lim (l + -L.y=e,
у—1-00 у у — I )
т.е.
0*^тУ-
V оО 3 У >0: V у > У =
Но так как х = —у, то, положив X = —У, получим
У£>03Х<0: V х < X
Это означает, что
НУ-
< £.
lim ( 1 + — ] — е.
г—-оо V х .
Следовательно, для обоих случаев имеем
lim
х—*оо
О ♦=)’«•
б) Из п. а имеем
V О0 3 1 = Х(е) > 0 : V х : |х| > X =>
1 + - -е
х
< е.
Обозначим у — 1/х, <5 = 1/Х. Тогда последнее утверждение экви¬
валентно следующему:
\/£>036>0, такое, что Чу: |у| < 6 => |(1 4- у)1^у — е\ < е,
т.е.
lim(l -h у)1!у — е.
у—о
72
в) Поскольку
(1 + *)1/г = е (*+ } —► е при х —► О,
то из непрерывности и монотонности функции у = ех следует, что
Пт !н<!±£> = 1.
х —*■ 0 х
г) Воспользуемся здесь теоремой о пределе сложной функции.
Положим
д(х) = ех — 1 —► 0 при х —►О,
f(y) = 1п^ + ^ -*• 1 при у -* О,
причем /(0) = 1.
Тогда f(g(x)) — ef_^ —»■ 1 при х —► 0. Отсюда следует утвержде¬
ние г , ч.т.д.
Утверждение 2. limx_o = 1-
Доказательство. При 0 < х < 7г/2 рассмотрим сектор единичного
круга, отвечающего дуге длины х, и два треугольника, один из
которых вписан в сектор, а второй, прямоугольный, содержит его,
имея с ним общий угол и сторону на оси абсцисс. Сравнивая
площади этих фигур, имеем
sin х х tg х
< - < —.
2 2 2
Отсюда получим
sinx
cos х < < 1.
х
Последние неравенства связывают четные функции, поэтому они
имеют место при 0 < |х| < 7г/2. Поскольку cosx — непрерывная
функция, то по теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем
sinx
lim = 1.
г—*-0 X
Доказательство закончено.
73
Примеры вычисления пределов.
1. limx_0 = о.
(1 + х)<* _ 1 _ еа1п(1+») _ Х ^ е<хх+о(х) _ j ^
XXX
1 + ах + о(х) — 1
= = а + о(1) —*■ а при х —► 0.
X
Этот прием называется заменой б.м. на эквивалентную ей.
1 - cosх _ 2sin2 I 2(f+o(x))2 ad + o(x2) 1
x2 x2 x2 x2 2
Таким образом:
1) (1 + x)a = 1 -f ax + o(x) при x —► 0;
2) cos x = 1 — y" + o(x2) при x —► 0;
3) limn_oo ^1 + — ex. Положим xn = ^ 0 при тг —► oo.
Тогда по теореме о пределе сложной функции имеем
lim (l + — \ = lim ((1-f-ж*)1/37*)* =
п—+оо V п J п —► оо 7
xlimn_„ 15^±£л1 _
е — е .
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ
Определение 1. Функция /(ж) называется непрерывной на мно¬
жестве А, если она непрерывна во всякой точке х Е А.
Если в качестве множества А взять отрезок, то это определение
чуть-чуть меняется, а именно:
Определение 1а. Функция f(x) называется непрерывной на
отрезке I = [а, 6], если она непрерывна V хо с условием а < хо < Ь,
непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке 6.
Определение 2. Функция /(ж) на множестве А V а, 6, а < 6,
называется
а) неубывающей (/ | на А), если /(а) < /(6);
б) невозрастающей (/ | на А), если /(а) > /(&);
в) (строго) возрастающей (/ |j), если /(а) < /(6);
г) (строго) убывающей (/ ||), если /(а) > /(6).
Если / |, или / |, или /II, или / || на А, то функция /(я)
называется монотонной на А.
74
Определение 3. Если /(х) не является непрерывной в точке
хо, то она называется разрывной в точке хо. Точка хо называется
точкой разрыва f(x).
Определение 4. Точка хо называется точкой разрыва 1-го
рода функции /(ж), если 3 конечные пределы НгПд.-^Хо+ /(х) и
limr_ro_ f(x). В противном случае точка разрыва функции /(х)
называется точкой разрыва 2-го рода.
Примеры. 1. у = {х} имеет разрывы 1-го рода в целых точках.
2. у = sin 1/х в точке хо = О имеет разрыв 2-го рода. (Рассмотреть
две последовательности хп = —■, уп = rfz+vn •)
Определение 5. Разрыв 1-го рода в точке хо называется устра¬
нимым, если 3 /(х) = /, но / ф /(хо).
Этот разрыв устраняется, если по-новому определить /(х) в
точке х = хо, положив /(хо) = limX-+X0f(x). Если /(х) —► / при
х —* хо, но /(х) не определена при х = хо, то говорят также, что
имеет место устранимый разрыв. В противном случае разрыв 1-го
рода называется неустранимым.
Теорема 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрез¬
ке). Пусть функция /(х) — монотонная на отрезке [а, 6]. Тогда
она может иметь на этом отрезке разрывы только 1-го рода. Более
того, V хо Е [a,b] имеем
lim /(х) = inf /(х)
Т-+ТО+ х>х0 v '
lim /(х) = sup /(х)
х—х0- х<х0
h < /(*о) <
если /(х) не убывает. Если же функция /(х) не возрастает, то
lim /(х) = sup /(х) = /i,
Г—*>Го + Г>Го
lim /(х) = inf /(х) = /2,
X—►Го — Г<Хо
h < /(жо) < Ь-
Доказательство. Рассмотрим только один случай, когда / j на
[а, 6]. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Докажем
это:
lim /(х) = inf fix) = li.
X—►Г о -f- 4 7 r>r0
75
Совершенно аналогично доказывается, что
lim /(х) = sup f(x) = /2.
X —r0- X<X0
Поскольку /i — точная нижняя грань множества значений f(x)
при х > хо, то:
1) fix) > /1 V х > х0,
2) V е > 0 3 xi > х0, такое, что /(х 1) < /1 + е.
В силу / |
Vx : х0 < х < xi => /1 < /(х) < /1 + е,
следовательно, /1 = limг_>Го+/(х).
Имеем еще, что число /(хо) есть нижняя грань для {/(х)} при
х > х0, откуда /(х0) < /1.
Аналогично /(хо) > /2, откуда /2 < /(^о) < ч.т.д.
Теорема 2 (критерий непрерывности монотонной функции).
Пусть /(х) определена и монотонна на отрезке [а, 6]. Тогда для
непрерывности ее на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы
V / Е [/(а),/(b)] 3 х0 Е [а, 6], такое, что /(х0) = /.
Доказательство. Рассмотрим только случай неубывающей
функции / на [а, 6].
Необходимость. Возьмем любое / Е [/(<*)»/(&)]• Рассмотрим
множество А = {х} С [а, 6], для которых /(х) > /, и пусть хо =
inf А. Тогда, ввиду того что / j, имеем
lim /(х) = inf /(х) = > /.
Х—*Х о -f- 4 7 Х>Х0 “
При х < хо (если хо 7^ а) /(х) < /. Отсюда
lim /(х) = /2 < /,
X—*>Хо —
т.е.
/2 </</ь
Если /(х) непрерывна на [а,6], то /(х) непрерывна в точке хо, т.е.
/2 = /1 = /(хо). Следовательно,
I = /2 = /х = /(хо).
Если же хо = а, то
/(а) </</1,
76
но в силу непрерывности функции /(х) в точке а слева следует,
что /(а) = /1, а значит, / = f(a) = /1, ч.т.д.
Достаточность. Докажем от противного. Пусть /(х) имеет
разрыв в точке хо и / | на [а, 6]. Тогда для l\ = limx_> *0+ /(*)»
/2 = limx_*Xo_ /(х) выполняются неравенства
/2 < /1 и h<f(x0)<li.
Возьмем / £ (h)h) и / ф /(хо). Имеем
/ > /(х) при х < х0,
/ < /(х) при х > х0,
/ ^ /(х) при х = х0,
т.е. функция не принимает значение / на [а,6].
Противоречие. Теорема полностью доказана.
Теорема 3 (об обратной функции). Пусть функция у = /(х)
монотонно возрастает и непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда 3
функция х = у (у), у ||, определенная на отрезке [/(а), /(6)] и
непрерывная на нем, такая, что ^(/(х)) = х, т.е. g = f~l.
Доказательство. 1. Отображение [а, 6]—► [/(а), /(&)], гДе [се, 6] =
/1, [/(а),/(&)] = ^2 инъективно, т.е. является вложением: V х\фх^
=> /(* 1) ^ /(*2).
2. Отображение / сюръективно, т.е. является накрытием. Это
имеет место по условию, так как
V / €[/(<*),/(6)] 3 х0€[а,6],
такое, что /(хо) = /.
Следовательно, / есть биекция, т.е. / устанавливает взаимно
однозначное соответствие между 1\ и /2.
Тогда 3 обратное отображение g, т.е. обратная функция х = <7(2/).
1. Эта функция монотонно возрастает, так как если 2/1 > 2/2? то
</(yi) = xi и </(у2) = х2, причем /(х,) = у\ а /(х2) = у2. Отсюда
XI > х2, поскольку / ||.
2. Эта функция д(у) принимает все значения из [а, 6], так как
V х 3 2/^ такое, что <7(1/) = х, и этим 2/ является число /(х).
3. <7(2/) непрерывна в силу теоремы 2, так как она монотонна и
принимает все промежуточные значения.
Теорема полностью доказана.
77
Примеры. 1. Функции у = 1пх, у — arcsinx, у = arccosx, у —
arctg х — непрерывные на всей области своего определения.
2. 3! х = х(у) (—оо < у < Н-оо), удовлетворяющая уравнению
Кеплера
х — еsinx = у (0 < е < 1).
Действительно: 1) функция у(х) монотонно возрастает, так как
при xi > Х2 имеем
/ . -ч о • *1-Х2 *1+Х2
У\ —У2—Х\ —Х2—£(sin Xi— Sin Х2)—хi —Х2 — 2,6 sin г COS ■
. X1-X2 X1+X2
2e sin —-— cos —-—
<2e
X\—X2
2 2
-e(x1-x2),
!/i—2/2>(1-е)(*1—*г)>0;
2) y(x) — x — € sin x — функция непрерывная.
По теореме 3 отсюда следует, что на любом отрезке а < у < b
существует единственная непрерывная функция х(у), удовлетворя¬
ющая уравнению Кеплера.
Лекция 14
§ 4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА
ОТРЕЗКЕ
Теорема Коши (1) (об обращении функции в нуль). Пусть
функция Дх) определена и непрерывна на [а, 6] и на концах этого
отрезка она принимает значения разных знаков, т.е. Да)Д6) < 0.
Тогда существует с Е (а, Ь), такое, что
/(с) = 0.
Доказательство проведем методом Больцано. Отрезок Jo = [а, 6]
разделим пополам точкой xi = Если /(xi) = 0, то все
доказано. Если нет, то f(xi) имеет знак, отличный либо от /(а),
либо от /(6). Обозначим через Jх тот из двух отрезков [a,xi]
или [хх,6], на концах которого Дх) принимает значения разных
знаков. Теперь разделим Ji пополам точкой Х2 и выберем отрезок
J2 так, чтобы на концах его Дх) имела значения разных знаков.
Поступая так и далее, получим последовательность вложенных
отрезков
Jo Э Ji D </2 D • •.
Это последовательность стягивающихся отрезков, так как дли¬
на Jn = 6П = |£ —► 0 при п —► оо. Пусть хо — общая точка всех
отрезков. Тогда, если Jn = [an,bn], то ап —► хо и 6П —► хо при
п —оо, и отсюда
Д«п) —► /(*о) и Д6П) Дх о) при п -► оо.
Так как f(an)f(bn) < 0, то limn—то f(an)f(bn) = /2(х0) < 0.
Следовательно, Дхо) = 0, ч.т.д.
Теорема Коши (2) (о промежуточном значении непрерывной
функции). Пусть Дх) непрерывна на [а, 6], /(а) = а, ДЬ) = /3 и
пусть с — любое число, удовлетворяющее условию
a £ с < Pi если a < /?,
/3 < с < а, если /? < а.
Тогда существует точка хо G [а, Ь], такая, что /(хо) = с.
Доказательство. Рассмотрим функцию Дх) = Дх) — с. Если
Да) или Д6) = 0, то тогда хо = а или хо = 6. Если же Да)Д6) ^ 0,
то Да) и g(b) имеют значения разных знаков. По теореме Коши (1)
существует точка хо G [а, 6], такая, что Дхо) = 0, откуда /(хо) = с,
ч.т.д.
79
Теорема Вейерштрасса (1). Функция, непрерывная на [а, Ь],
ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Проведем доказательство методом Больцано.
Предположим противное, т.е. пусть /(х) не ограничена. Тогда
делим Jo = [я, 6] пополам. В качестве J\ выберем ту половину,
где f(x) не ограничена. Снова делим пополам J\ и выбираем в
качестве J2 ту половину, на которой f(x) не ограничена. Имеем
Jo О Ji О h Э • • О Jn D ...
Получили последовательность стягивающихся отрезков. Пусть
хо — их общая точка. В ней /(х) непрерывна. Возьмем 6(1) —
окрестность точки хо, в которой |/(х) —/(хо)| < 1. Тогда
|/(*)| = |(/(*) - /(*о)) + /Ы1 < 1/М - /М)| + |/(*о)| < 1 + 1/Ы1
и /(х) ограничена в 6(1)-окрестности точки хо. Поскольку 6(1) > О,
то в ней целиком содержится всякий отрезок Jn, если только его
длина 6П = 6о/2п < 6(1). Но тогда /(х) будет ограничена и на Jn,
что противоречит построению {Jn}- Теорема доказана.
Теорема Вейерштрасса (2). Функция, непрерывная на отрез¬
ке, достигает своей точной верхней грани и точной нижней грани,
т.е.
3 xi G [а, 6], такое, что sup /(х) = /(х 1),
гб[а,6]
3 Х2 6 [а, Ь], такое, что inf /(х) = /(хг).
*€[а,Ч
Доказательство. Докажем теорему только для sup/(x), так как
для случая inf /(х) можно рассмотреть функцию Д(х) = — /(х).
От противного. Пусть А = supr ем] /(*). А Ф f(x) Vie [а,Ь].
Тогда А > /(х) Vx. Но тогда А — /(х) — непрерывная функция и
А - /(х) > О V х £ [а, 6].
Следовательно, д(х) = а-~Дх) тоже непрерывна. Поэтому ^г(х)
ограничена по теореме Вейерштрасса (1) и, значит, 3 В > 0, такое,
что
ТГЩ<В-
Отсюда
80
т.е. число А — ^ есть верхняя грань, которая меньше, чем А, но
это противоречит тому, что А — наименьшая верхняя грань.
Теорема доказана.
Так как для непрерывной функции /(х) на отрезке точная
верхняя грань и точная нижняя грань достижимы, то А = sup /(х)
называют максимальным значением /(х), а В = inf f(x) — мини¬
мальным значением /(х) и пишут
Лекция 15
§ 5. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Запишем определение функции, заданной на множестве X и
непрерывной в точке яо С X: V е > 0 3 6 = 6(e) > 0, такое, что
V х е X и \х — я01 < 6 имеем |/(я) - /(я0)| < е.
Вообще говоря, при фиксированных е > 0 у каждой точки xq
будет свое значение величины 6(e), т.е. 6(e) зависит от xq и это
можно символически записать так:
6(e) = 6(е,х0).
Если оказалось, что У£>0иУяоЕХ величина 6(e) не зависит
от яо, то функция /(я) называется равномерно непрерывной на
множестве X.
Запишем это определение более четко в эквивалентной форме.
Определение. Функция /(я) называется равномерно непрерыв¬
ной на X, если
V £ > 0 3 6 = 6(e) > 0, такое, что
Vxi,x2GX: |*1-я2|<6 =» |/(*i) “ /(«2)1 < £•
Теорема (теорема Гейне, Кантора). Функция, непрерывная на
отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. От противного. Пусть /(я) непрерывна, но
не является равномерно непрерывной на [а, 6]. Тогда
3е>0: V 6 > 0 : За,реХ: \а - 0\ < 6 и |/(а) - Д/?)| > 5.
Рассмотрим последовательность 6 = 6п = 1/п. Каждому п тогда
соответствует пара точек otn,(3n, такая, что
\ап- 0„\<1/п, |/(а„) - /(/?„)| > £•
Последовательности {Q п} и {/?„} ограничены. По теореме
Больцано-Вейерштрасса из нее можно выбрать сходящуюся подпо¬
следовательность {c*nfc}, т.е. аПк —► яо £ X при к —► оо. Далее
|ап* Рпк | < 1/ пк)
82
следовательно, уПк = аПк — /3Пк есть б.м.п. и {3Пк —► xq при к —► оо.
Но тогда ук = f(c*nk) -► f(xо), zk = f(/3nk) -► /(х0) при к оо, т.е.
—► 0 при к —► оо. Но это противоречит тому, что
tk - \Ук ~ zk\ > е,
так как, переходя к пределу при к —► оо в этом неравенстве,
получим 0 > е, что неверно.
Доказательство закончено.
Доказательство теоремы Кантора проходит без изменений и
для множества X, которое не обязательно является отрезком.
Достаточно, чтобы множество X было ограниченным и содержало
все свои предельные точки.
§ б. СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ.
КОМПАКТ. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА КОМПАКТЕ
Определение 1. Множество точек (на вещественной прямой)
называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные
точки.
Напомним, что хо — предельная точка множества А, если во
всякой окрестности точки э?о находится бесконечно много точек,
принадлежащих А (а сама точка хо может принадлежать или не
принадлежать А).
Определение 2. Множество называется открытым, если ка¬
ждая его точка содержит 6-окрестность, целиком состоящую из
точек этого множества.
Пример. Интервал — открытое множество, а отрезок — за¬
мкнутое множество.
Определение 3. Ограниченное замкнутое множество (на веще¬
ственной прямой) называется компактом.
Утверждение 1. а) Если А — замкнутое множество, то А\ =
Ш\А открыто.
б) Если В открыто, то В\ = Ш\В замкнуто.
Доказательство, а) От противного. Если существует а£А\, у
которой нет окрестности, целиком состоящей из точек множества
А\, то во всякой 6-окрестности точки а есть хотя бы одна точка
из А, отличная от а, а следовательно, и бесконечно много точек
из А. Но тогда а есть предельная точка множества А, и ввиду
замкнутости А имеем, что а Е А, но а Е А\. Противоречие.
83
б) Пусть /3 — предельная точка для В\ и /3 £ В. Тогда в любой
ее окрестности есть точки В\, а это противоречит тому, что у
любой точки множества В есть окрестность, состоящая из одних
только точек множества В. Это значит, что (3 ^ 5, т.е. /3 £ В\,
следовательно, В\ замкнуто, ч.т.д.
Утверждение 2. а) Любое объединение открытых множеств от¬
крыто, конечное пересечение открытых множеств — тоже открытое
множество.
б) Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто, конечное
объединение замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство. Пусть а Е (JаАа. Тогда существует номер <*о,
такой, что а Е Аао и существует 6-окрестность точки а, целиком
принадлежащая Аа. Обозначим ее ОДа). Тогда ОДа) С [JaAa, т.е.
\JaAa открыто. Пусть теперь а Е Пь=1 ТогДа 3 Osm(a) С Ат
Уши при 6 = min(6i,..., 6m) имеем
п п
Ot(a)= П^к(а)С П Ak.
k=l k=l
Таким образом, утверждение а доказано, а б следует из утвер¬
ждения 1 б, ч.т.д.
Определение 4. Пусть заданы множество А и система множеств
{В}. Будем говорить, что В есть покрытие А) если V а Е А
3 В £ {В}, такое, что а £ В.
Следующее утверждение обычно берут за определение компакта.
Утверждение 3 (лемма Бореля). Из любого покрытия компакта
открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
Доказательство. От противного. Пусть А — компакт, тогда 3
отрезок Jo, такой, что А С Jo (поскольку А ограничено). Делением
отрезка пополам строим систему стягивающихся отрезков Jo Э
Ji D • • О Jk Э • • • с условием, что множества AOJk не допускают
конечного покрытия Vк. Пусть хо — их общая точка.
Поскольку JfcП^4 не допускает конечного покрытия, то в каждом
отрезке Jk есть точки из А. Это значит, что точка хо £ А, так
как А замкнуто. Всякая точка множества А покрыта некоторым
множеством из системы множеств {В}, т.е. существует множество
В, такое, что хо £ В. Далее, существует номер к, такой, что
Jk С В, поскольку длина Jk —► 0, а В открыто. Тем самым В
покрывает Jk и А Г\ Jk допускает конечное покрытие.
Противоречие. Лемма доказана.
84
Теорема 1 (обобщение теоремы Кантора). Функция, непрерывная
на компактеу равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Возьмем любое е > 0 и зафиксируем его. Ка¬
ждую точку а £ К накроем 6-окрестностью радиуса ^6(|,хо),
где 6(|,хо) = 6 определяется из условия: V х Е К с условием
|х — хо| < 6 имеем |f(x) — f(xо)| < е/2. Каждая 6-окрестность —
это открытое множество. По лемме Бореля выберем конечное
подпокрытие для К. Пусть оно состоит из интервалов Ji
с длинами соответственно 6i,...,6fc и центрами ai,...,a*. По¬
ложим 6(e) = min(6i,..., 6*). Если теперь xi и Х2 таковы, что
\х2 — si| < <$(£), тогда при некотором а имеем, что точка х\ при¬
надлежит ^б(|, а)-окрестности точки а, т.е. \х\ — а I < ^(§><0- н°
6(e) < i6(|,a), поэтому
1*2 - а| = |(х2 - *1) + (х\ — а)| < |х2 - *i| + |xi - а| <
Отсюда
|/(х2)-/(а)| <
Но поскольку
|/(х1)-/(а)|<|,
то
|/(хх) - /(х2)| = |(/(xi) - /(а)) + (/(а) - /(хх))| <
< |/(*i) - /(а)| + |/(х2) - /(а)| < е.
Это и ознат*ает, что /(х) равномерно непрерывна на К. Доказа¬
тельство закончено.
Примеры. 1. Функция у = у/х равномерно непрерывна при
х > 1.
Действительно, V xi,x2 > 1 имеем неравенство
I пг /г-1- 1*1-*2| ^ 1*1 - *2| ( ^ 6 _ „
j- (Cj-s
Отсюда V е > 0 получим, что при 6 = 2е
V xiyx2 £ (1,+оо) : |хх - х2| < 6 => |л/£Г-л/5^| < бг.
2. Функция у = х2 не является равномерно непрерывной на М,
поскольку при е = 1 разность у(п + £■) — y(n) = (n -f — (гг)2 =
2 + Ду > 1 = е при всех натуральных гг, а это означает, что 6(1)
не существует.
Ради полноты приведем позитивную формулировку свойства
функции /(х) не быть равномерно непрерывной на множестве А.
85
Определение 5. Функция f(x) не является равномерно непре¬
рывной на множестве А, если можно указать такое е > 0, что при
всяком 6 > 0 найдутся числа а\ = аДб) £ А и а2 = а2(6) £ А с
условием |ai — аг| < для которых имеем
l/(ai) - /(а2)| > £•
Заметим, что в данном определении вместо всех 6 > 0 достаточно
ограничиться только числами 6 вида
s = sn = -.
П
Глава V
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Лекция 16
§ 1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ И
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Свойство функции /(х) быть непрерывной в точке х — а равно¬
сильно тому, что разность
<*(*) = /(*) - /(а)
является бесконечно малой при х —► а.
Другими словами, это означает, что
/(*) = /(<0 +<*(*),
где а(х) — бесконечно малая при х —► а.
Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке х — а
имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т.е. форму-
лу)
а(х) = /(*) - /(а).
Это выражение называется приращением функции /(х) в точке
х = а. Оно обозначается
а(х) = А/(я).
Данное обозначение используется даже и в том случае, когда /(х)
не является непрерывной функцией в точке х = а.
Итак, если A/(х) —► 0 при х —► а, то функция f(x) непрерывна
в точке х = а, и наоборот.
Для простейшей функции f(x) = х приращение а(ж) = х —
а называется приращением аргумента (поскольку при f(x) = х
значение функции f(x) равно значению аргумента). Это выражение
имеет специальное обозначение: а(х) = Ах. Имеем Ах —► 0 при
х —► а.
Аргумент можно выразить через его приращение Ах. Действи¬
тельно, х = a -f Ах. Следовательно, приращение Af(x) можно
рассматривать как функцию от Ах, т.е.
а(х) = А/(х) = f(x) - /(а) = /(а + Ах) - /(а) = 0{Ах).
87
Когда хотят подчеркнуть, что значение A/(х) равно с при х = а
и Ах = 6, то пишут
Д6/(а) = с или A/(х) | г=а = с.
Дг=6
Пример. f(x) — х2, х = 1, Дх = 2,
Д(х2) | «1 = 8.
Дг=2
Теперь рассмотрим более подробно приращение Д/(х) как функ¬
цию от приращения аргумента Дх. Очень важным для построения
всего курса математического анализа является случай, когда Д/(х)
бесконечно мала и при этом эквивалентна еще и линейной функции
вида сДх, где с — некоторая вещественная постоянная, т.е. с Е R.
В этом случае говорят, что приращение Д/(х) имеет линейную
часть, называемую дифференциалом функции /(х) в точке х = а,
а функция /(х) называется дифференцируемой в точке х = а.
Другими словами, мы приходим к следующему определению.
Пусть /(х) определена в некоторой 6-окрестности точки х — а.
Определение 1. Линейная функция д(Ах) = с Ах называется
дифференциалом приращения А/(х) (или дифференциалом самой
функции /(х) в точке х = а), если
Д/(х) ~ сАх при Ах —► О,
т.е.
Д/(х) = сАх + 7(Дх)Дх,
где с Е М и 7(Дх) —► 0 при Дх —► 0.
Дифференциал функции /(х) обозначается df(x) или просто df.
Из определения вытекает, что
Дг—*-0 Дх
Если при этом с ф 0, то
А/ , А
——► 1 при Дх —► 0.
df
Отметим, что функция 7(Дх) определена в проколотой окрест¬
ности точки х = а, а все остальные функции в некоторой
6-окрестности этой точки. Доопределим 7(Axj, полагая 7(0) = 0,
и тогда df будет определен в то it же 6-окрестности точки х = а.
Далее, легко видеть, что Дх = dx.
88
Определение 2. Число с = Щр называется производной функ¬
ции f(x) в точке х = а. Для производной используются следующие
общепринятые обозначения:
с=/'(а) = ^г u=e= Df{x) |х=а-
Если df(x) существует, то, исходя из определений 1 и 2, мы также
можем написать
,<(„) = Um Шй = с>
х—*-а х — а
т.е.
/(я) — /(а) ~ /;(а)(ж — а) при ж —* а.
Чем обусловлена необходимость введения понятий дифферен¬
циала и производной функции? Оказывается, они имеют вполне
определенный физический, точнее, механический и геометрический
смысл.
Введем понятие касательной к кривой.
Определение 3. Касательная к кривой у = /(ж) в точке коор¬
динатной плоскости с координатами ж = а, у = /(а) — это такая
прямая, которая проходит через точку (а,/(а)) и имеет угловой
коэффициент к, т.е. тангенс угла ее наклона равен пределу углового
коэффициента к(Аж) “секущей” прямой, проходящей через точки
(а, /(а)) и (а +Аж,/(а +Аж)) при Дж —> 0.
Поэтому говорят, что касательная — это предельное положение
секущей.
Геометрический смысл производной раскрывается следующим
ее свойством: число f'(a) есть тангенс угла наклона касательной
к кривой, задаваемой уравнением у =/(ж), на координатной плос¬
кости хОу в точке (а,/(а)).
Механическая интерпретация. Если t — текущее время;
s(t) — путь, пройденный телом за отрезок времени t — to, где to —
начало отсчета, то
Дв(<) \t=a
есть путь, пройденный телом за время от t = а до t = а + А/, т.е.
As(t) = s(a -h At) — s(a).
Отношение
As(t) ,
”~дГ
есть средняя скорость на отрезке времени [a,a + A*], а предел этой
скорости при At —► 0 — мгновенная скорость тела в момент времени
i — а. Именно эту величину показывает спидометр автомобиля
при его движении.
89
Утверждение 1. Если функция f(x) дифференцируема в точке
х = а, то она непрерывна в этой точке.
Действительно, тогда А/ ~ df = с Ах, поэтому А/ бесконечно
мала при Ах —► 0, а значит, f(x) непрерывна в точке х — а.
Примеры. 1. Пусть /(х) — х2, а — 2,5. Тогда
Д/(х) = (а -f Ах)2 — а2 — 2аАх + (Ах)2, А/(2 • 5) = 5Дх + (Ах)2,
Ах = dx, df(x) = 2 adx, df( 2,5) = 5 dx.
2. Пусть /(x) = 3x — 1, a — 2. Тогда
A/(x) |r=2 = /(2 + Ax) - /(2) = 3Ax = df(2) = 3rfx.
Дифференциал функции, если он существует, является линейной
функцией приращения аргумента, поэтому его называют линейной
частью приращения аргумента. Если /'(а) ф 0, то дифференциал
в точке х — а называется еще главной частью приращения. Это
название отражает свойство разности
/?(Д*) = Д f-df,
которая есть о(Дх), а следовательно, и o(df), т.е.
Af-df = o(df).
Таким образом, эта разность является бесконечно малой более
высокого порядка, чем df, и поэтому дифференциал df вносит при
малых Ах главный вклад в значение приращения А/.
Легко привести пример функции /(х), непрерывной в точке
х — 0, но не дифференцируемой в этой точке (т.е. /(х) не имеет
дифференциала и производной в этой точке). Действительно, для
функции
Г х, если х > О,
f(x) = |х| = <
L —х, если х < О,
имеем А(|х|) = |х + Дх| — |^|-
Отсюда при х = 0 получим
Д(|х|) |1=0= |Д*|-
Тогда отношение
»■ 1 при Дх —> 0+,
Да:
—<• —1 при Да: —> О-,
Ах
90
т.е. Нтдг_*о не существует.
Но все же правый и левый пределы в этом случае существуют.
Они называются правой и левой производной функции.
Приведенный пример показывает, что непрерывная функция мо¬
жет и не иметь дифференциала. Для некоторого класса таких
функций вводится более общее понятие односторонних производ¬
ных.
Определение 4. Конечные пределы (если они существуют)
Ах-* 0— Ах х—*а— х — а
называются соответственно правой и левой производной функции
f(x) в точке х — а.
В рассмотренном выше случае у — \х\ односторонние производ¬
ные в точке х = 0 существуют, при этом правая производная в
этой точке равна +1, а левая —1. Связь понятий односторон¬
них и обычной производных между собой выражается следующим
очевидным утверждением.
Утверждение 2. Функция f(x) имеет производную в точке
х — а тогда и только тогда, когда существуют левая и правая
производные и они равны между собой.
lim = lim
/(*)-/(«)
Ах—-0+ Ах х—‘•a-f-
х — a
и
Лекция 17
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Прежде чем перейти к доказательству теоремы о дифференциро¬
вании сложной функции, зададимся следующим вопросом. Пусть
f(x) имеет предел по базе В. В каком случае сложная функция
h(t) = f(g(t)) по некоторой другой базе D имеет тот же предел?
Другими словами, когда в функции, стоящей под знаком предела,
разрешается делать замену переменной х на новую переменную t
с соответствующей заменой базы В на новую базу D1
Здесь имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть lim# f(x) = /. Тогда для того, чтобы суще¬
ствовал
достаточно, чтобы при отображении х = g(t) каждое окончание b
базы В содержало (целиком !) образ некоторого окончания d базы
Доказательство. В силу определения предела функции по базе
В имеем, что V е > 0 3 окончание 6 = b(e) £ Н, такое, что V х £ 6
имеем | f(x) — /| < е.
Из условия теоремы следует, что существует окончание d £ Dy
такое, что g(d) С 6, и, следовательно, для любого t £ d
lim f(g(t)) = I,
D.
что и означает справедливость утверждения теоремы.
Доказательство закончено.
Примеры. 1. Пусть
lim f(x) = /, х — -
Тогда
Действительно, любое окончание
6 = {я | \х\> с}
92
базы В (х —► оо) содержит целиком образ окончания
базы D (t 0).
2. Пусть
если х = 0,
если х ф 0,
и g(t) = 0. Тогда
Yimf(x) = 0, но lim f{g{t)) = 1,
т.е. сложная функция имеет другой предел. В этом случае окон¬
чания bs £ В (х —► 0) имеют вид 0 < \х\ < 6, но образ любого
окончания d £ D, d = {t \ 0 < \t\ < <$i}, имеет вид х = 0, т.е. в
окончании bs базы В не содержится образ ни одного окончания
базы D, т.е. не выполнены условия теоремы 1.
3. Пусть f(x) —► / при х —► а и g(t) —► а при t —► 6, причем
<;(£) фа в некоторой проколотой окрестности точки 6. Тогда для
сложной функции h(t) имеем h(t) = f(g(t)) —*■ I при t —> b.
Действительно, каждое окончание базы х —► а представляет
собой некоторую проколотую окрестность точки z = а. Но в
силу условия g(t) —► а и ф а при t b эта окрестность
содержит образ некоторой проколотой окрестности точки t = b при
отображении х = g(t). Таким образом, здесь выполнены условия
теоремы 1, и поэтому h(t) —► / при t —» 6, ч.т.д.
Теорема 2. Пусть функция <p(t) дифференцируема в точке
t = а, причем <р(а) = 6, <^Ча) = а. Далее, пусть функция f(x)
дифференцируема в точке х = Ь, причем /'(6) = /?. Тогда сложная
функция
Доказательство. В силу дифференцируемости фун::ций fp(t) и
f(x) имеем
g'(t) = 0 ■ а.
Ду>(0 = a Ai + сц(Д i)At, cti(0) = 0;
Af(x) = 0Ax + Pi(Ax)Ax, /?i(0) = 0.
93
Здесь qi(A<) и /?i(A.t) определены в некоторых окрестностях точек
At ■= 0 и Ах — 0 соответственно и стремятся к нулю при At —► О
и при Ах —► 0.
Возьмем во втором равенстве величину Аа: равной A<p(t). Тогда
получим
A f(x) = (ЗА<p(t) + A(p(t)(3i (A<p(t)) =
= /3aAt + At(a(3i(A(p(t)) 4- ai(At)0i(A<p(t))).
Кроме того, имеем, что Af(x) = Ag(t), т.е.
Ag(t) = (3aAt 4- Aty(At),
где
т(Аt) = af3l(A<f>(t)) 4- ai(At)0i(A(p(t)).
Но A(p(t) —у 0 как функция At при At —► 0, поскольку функция
ip(t) дифференцируема в точке t — а.
Отсюда по теореме о пределе сложной функции имеем, что
/?i(Ay?(tf)) и qi(A^) есть бесконечно малые при At0.
Следовательно, функция y{At) — тоже бесконечно малая при
At — 0. А это означает, что j3aAt есть дифференциал функции
g(t) в точке t — а, т.е.
dg(t) = 0а At = 0adt, ЩР = 0а.
at
Теорема доказана.
Замечание. Область определения функций ai(Atf) и (3i(Ax) —
некоторые проколотые окрестности точек At = 0 ч Ах = 0:
А (р = a At 4- ai(A<)A<,
Af — (ЗАх 4- (3\{Ах)Ах]
где (3\(Ах) не определена в нуле, но функция (3i(Ax) —► 0 при
Аа: —> 0. Эту функцию необходимо доопределить в нуле, полагая
3(0) = 0, иначе наши рассуждения при доказательстве теоремы о
дифференцируемости сложной функции будут ошибочны, так как
cti(A£) может принимать значение, равное 0, даже тогда, когда
At ф 0 для некоторых At, принадлежащих той окрестности точки
0, в которой была определена функция.
Заметим также, что мы говорим о производной функции f(x) в
точке х — а только в том случае, когда эта точка — внутренняя
точка области определения f(x). Если же мы говорим только о
94
правой производной ff(a-f), то область определения Дх) должна
содержать промежуток (а, а + <5), а если о левой — то (—6 + а, а).
Дифференциал df(x) функции f(x) в любой точке х — xq от¬
резка [а, 6] является линейной функцией сАх от аргумента Ах.
Здесь для каждого значения производная /'(хо) = с имеет свое
собственное значение. Таким образом, процедура взятия диф¬
ференциала порождает отображение отрезка [а, 6] в множество
линейных функций. Это отображение не является числовой функ¬
цией, так как его образ состоит не из чисел, а из функций. . За
такими отображениями утвердилось название “оператор”, в данном
случае — дифференциальный оператор. А сама процедура отыска¬
ния дифференциала или производной функции в точке называется
операцией дифференцирования или просто дифференцированием.
Функция, для которой существует производная в точке хо, назы¬
вается дифференцируемой в этой точке.
Пример. Пусть Дх) = х2 при 0 < х < 1. Тогда имеем
/'(х) = 2х при 0 < х < 1,
/40+) = О,
/'(1-) = 2.
Докажем теперь теорему о производной обратной функции. Вооб¬
ще говоря, правило дифференцирования обратной функции просто
следует из теоремы о производной сложной функции, но мы до¬
кажем его при более слабых предположениях, не требуя заранее
существования производной обратной функции.
Теорема 3 (о производной обратной функции). Пусть функция
Дх), определенная и непрерывная на отрезке [а, 6], имеет обратную
функцию д(у), определенную на отрезке I, концами которого
являются точки f{a) и f(b). Пусть хо — внутренняя точка
отрезка [а, 6], а уо — внутренняя точка I, причем /(хо) = уо и
д(уо) — хо- Пусть в точке х — хо функция Дх) имеет производную,
отличную от нуля, т.е. Д(хо) ф 0.
Тогда в точке уо функция д(у) имеет производную д'(уо), причем
д,(уо) = Ты = ТОО |г=з(!'о)'
Доказательство. Если известно, что д'(уо) существует, то мы
можем воспользоваться предыдущей теоремой. Получим
g(f(x))=x, (</(/(*)))',. = 1,
95
но
(у(/(*)))г = 9'(yo)f'(x0).
Следовательно,
Я'Ы)=тЬ
Если существование производной заранее не предполагается, то
доказательство проведем так. Заметим, что f(x) строго монотонна
на [о, 6], следовательно, д(у) непрерывна на I и строго монотонна
на нем.
По определению производной
/Ы = um &ZJM,
У-У о у-уо
если этот предел существует.
В силу непрерывности f(x) в точке i = i0 и теоремы о пределе
обратной функции имеем, что д(у) </(i/o) = при у —* уо-
Определим непрерывную на I функцию
f(x) - f(xо) '
Поскольку F(x) непрерывна в точке х = Хо, то
F(xо) — lim 77-т—77—с = lim
*-*of(x)-f(x0) *-*0 Г(хо)'
Сделаем замену переменной вида х = д(у):
_ у(у) ~УЫ _ я{у) -g(ife)
Ду(у)) - Ду(Уо)) У~Уо
Применяя теорему о пределе сложной функции, получим, что
существует предел
Дгп F(g(y)) = F(x0) = |*=,(,с)
Но, с другой стороны,
lim F(g(y)) - lim = д'(у0).
у—у О У—Уо у — Уо
Тем самым доказательство теоремы закончено.
96
Теорема 4 (об инвариантности формы первого дифференци¬
ала). Если вместо дифференциала независимой переменной х в
формулу для дифференциала df(x) функции f(x) подставить диф¬
ференциал некоторой функции х = <p(t), то полученное выражение
окажется дифференциалом сложной функции g(t) = /(<£>(/)).
Другими словами, пусть df = c\dx — дифференциал функции
/(х) в точке х = a, d<p = С2Л — дифференциал t) в точке
t = а, причем <?(<*) = а- Тогда функция C\d<p = c^dt является
дифференциалом функции </(<) = /(<^(0) в точке t = а.
Доказательство. Эта теорема является прямым следствием те¬
оремы о дифференцируемости сложной функции, так как согласно
последней
dg(t) = g\t)dt = cic2dt = cid<p(t),
ч.т.д.
Смысл этой очень простой и, казалось бы, “пустой” теоремы
станет понятным позже, когда мы увидим, что дифференциалы
высших порядков уже не обладают свойством инвариантности.
Пример. Решение уравнения Кеплера х = х(у): х — esinx = у,
О < s < 1, — дифференцируемая функция в силу теоремы о
производной обратной функции.
Замечание. Если h(x) = /(у(х)), то символы f'x(g(x)) и /'(у(х))
определяются равенствами /'(у(х) = f'(x), fg(g(x)) = /1 (у(дг)), где
fi(x) = f'(x).
§ 3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть /(х), у(х) дифференцируемы, с £ Ш. Тогда имеем:
1. (с/(х))' = с/'(х).
2. Если /(х) = const, то /'(х) = 0.
3. (/(х) + g(x)Y = /'(х) + ^(х).
Эти утверждения следуют из определения производной. Дока¬
жем, например, 3. Имеем Д(/ + д) = Д/ + Ад. Откуда
4. (f(x)g(x)Y = f(x)g(x) + f(x)g'(x).
4-Г. Архипов и др. 97
Доказательство. Имеем
A(fg) _ f(x + Ах)д{х + Ах) - f(x)g(x) _
Ах Ах
_ /(ж + Ах)д(х -f Aar) - f(x)g(x + Ад) + f(x)g{x + Ах) - f(x)g(x) _
Ад
_ _/_ . »_ч/(* + Ад)-/(*) , ,,_^д(х + Ах)-д(х)
~ 9(* + Ад) ^ + /(Д) ^ >
—► g(x)f'(x) + f(x)g'(x) при Ад -*■ О,
так как
д(х + Ад) —► д(х), -> /'(д), ^ —*■ д'(х) при Ад —► О.
Лд Лх
5- (jpy) ="Ш-
Доказательство. Имеем
А(1 /д) _ у(»+лх) ~ ф) _ д(х) — д{х + Ад) при Да, Q
Ах Ах Ах • д(х)д(х + Ах) д2
поскольку
1 1 л
► д , —; ;—г —► —^ при Ах —► 0.
Ах д(х + Ах) д(х)
Следствия:
6. (ffi • • • • • дпу = ELi 91- ■ 9'k - ■ ■ ■ ■ 9п-
7. (*) = V*-
Производные элементарных функций:
а) х' = 1;
б) (хп)' = пд"-1;
в) (ех)' = НшДг_о = е* НтД1^0 = ех;
г) (sin х)' = Нтд^о sin(r+l?-sinr = Итд.-о ^ -cos (д + ^) =
cosx; 2
д) (cosx)' = —sinх, так как cosх = sin — х^;
е) (1п*У = = ТтЬг = Тттгг = /(*) = 1пх, у(х) = е* —
обратная функция;
ж) у = ха, а ^ 0 — степенная функция,
(ха)' = (ealnxY = (alnx)' • еа 1плг = ах*"1;
98
з) (tgs)' = (g£f)' = =_^_ = 42x + l.
И) (ctg*)' = (tg(f-x)) = cos^/2-r) (f ~ X) =-a^7!
к) (arcsina:)' = cos(ar^r) = = ТтЬ^
л) (arccosa:)' = — arcsina:^ = —-^-1—j;
и) (arctgar)' = ^(агс^г)+1 =
н) (arcctgx)' = -
Из теоремы 2 о дифференцировании сложной функции и из
правил дифференцирования следует:
о) (ах)' = (ех1па)' = exlna(zlna)' = ах In а;
П) (lofc«y=(fef)' = nf;-i
р) (In/(*))' =
с) (u*)' = (ev ,n и)' = е"ln и (w In и)' = uv (г/ In и + v • £).
4 *
Лекция 18
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
Пусть f(x) является дифференцируемой в каждой точке ин¬
тервала (а, Ь). Тогда каждой точке х Е (а, 6) можно поставить в
соответствие число — производную Д{х) в этой точке. Полученная
функция называется функцией, производной от данной, и обозна¬
чается также Г(х). Может случиться, что она сама тоже имеет
производную. Тогда эта производная называется 2-й производной
функции f{x) и обозначается так:
Подобным образом определяются 3-я, 4-я и все последующие
производные:
Теорема (формула Лейбница). Пусть и, v имеют п-е производ¬
ные. Тогда справедлива формула
/"'(*) = (Пх)У, /<">(*) = (/("-^(х))'.
Пример. (*3)" = ((я3)')' = (Зх2)' = 6х.
= U^n^V + nt/n + П(П — ц(п
2
v" + h =
где u(°) = u, t/°) = v.
Доказательство. По индукции. При n = 1 утверждение теоремы
справедливо. Предположим, что оно верно при n = s > 1. Докажем
его при тг = s -|-1. Имеем
-t+i) _
= it, (s)«(m+i)^(i_m)+^2 fs^u(m)t/*-
m=0 m=0
= S (* * i) «(0”(,-t+1) + (*) u(0l,(''
= Qu<°M*+1> + +1V°) +£((*) + (,* =
= E(sti)“(%(,"<+1)’
поскольку
Теорема доказана.
Имеется еще одно обозначение для n-й производной, а именно:
(/хГ
Последнее обозначение связано с понятием дифференциала
высшего порядка, к определению которого мы приступаем.
Пусть функция /(х) дифференцируема на (а, 6). Тогда суще¬
ствует ее дифференциал
df(x) = f'(x)dx.
Зафиксируем значение приращения аргумента dx = Ах = h. Тогда
df(x) можно будет рассматривать как функцию от х, заданную
на том же интервале (а, 6). Если она дифференцируема, то
дифференциал имеет вид
d(f(x)h) = /"(х)ЛДх.
Если мы в этом случае значение Дх возьмем снова равным Л, то
получим
d(f(x)h) = f"{x)h2 = f"(x)dx2.
Это выражение называется вторым дифференциалом и обознача¬
ется через d2/(x), т.е.
drf(x) = f"(x)dx2.
101
Аналогично определим
d3f(x) = d(d2f(x)) = f"'(x)dx3,
dnf(x) = </(</"-*/(*)) = f(n\x)dxn.
Очевидно, в силу такого определения можно записать
/■>w=^i.
Целесообразность введения понятия n-го дифференциала будет
ясна позднее. Например, далее мы увидим, что приращение Д/(х)
во многих случаях можно представить в виде
Af-Jl + £L + £l+... + £l +
1! 2! 3! п!
(формула Бернулли). Смысл этого равенства мы уточним тогда,
когда будем его доказывать.
Заметим, что уже второй дифференциал не обладает свойством
инвариантности. Действительно, если
/'(*) = /l (*) и f"(x) = f2(x),
то
(f(9(x)))rr = (h(9(x))g'(x)yx = f2(g(x)) • (д'{х))2 + fi(g(x))g"(x).
Отсюда получим
d2f(g(x)) = fg'g(g(x))(dg(x))2 + fg(g(x))d2 д(х),
в то время как
d2f(x) = fjx(x)dx2,
и, следовательно, свойство инвариантности для второго дифферен¬
циала не имеет места.
§ 5. ВОЗРАСТАНИЕ II УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть хо — внутренняя точка области определения /(х).
102
Определение. 1. Функция /(х) возрастает в точке х — хо,
если существует некоторая окрестность этой точки, в которой:
а) f(x) > /(х0) при х > х0,
б) /(х) < /(хо) при х < х0.
Ясно, что точка х = хо является точкой возрастания функции
/(х), если
Д/(х) ,
■ > 0 при Дх ф О
Дх
в некоторой окрестности точки х = хо-
2. Функция /(х) убывает в точке х = хо, если существует
некоторая окрестность этой точки, в которой:
а) /(х) < /(х0) при х > х0,
б) /(х) > /(х0) при х < х0.
Точка х = хо является точкой убывания функции /(х), если в
некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство
< 0 при Дх ф 0.
Дх
3. Функция имеет в точке локальный максимум (локальный
минимум), если в некоторой проколотой окрестности этой точки
выполняется неравенство /(хо) > /(х) (соответственно /(хо) <
/(*))■
4. Функция /(х) имеет локальный экстремум в точке х = хо,
если в этой точке она имеет или локальный максимум, или
локальный минимум.
ЧГеорема (достаточное условие возрастания или убывания функ¬
ции в точке). 1. Если /'(хо) = с > 0, то точка х = xq — точка
возрастания функции /(х).
2. Если /'(хо) = с < 0, то функция /(х) убывает в точке х = хо-
Доказательство. 1. Поскольку
/'(х0) = lim
Дх) - Дх0)
г—Го X — Хо
то существует число <5 = Ь(с/2) > 0, такое, что неравенство
Дх) - Дх0)
— С
с
<2
х - х0
выполняется для всех точек проколотой 6-окрестности точки х = xq.
юз
В этой окрестности имеем
о < - < /И-Я*0) <
2 х — хо 2
Следовательно, Д/ имеет тот же знак, что и Дх, т.е. хо — точка
возрастания. Случай 2 сводится к случаю 1 заменой /(х) на
-/(*)•
Эта теорема носит название леммы Дарбу.
Лекция 19
§ б. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, КОШИ И ЛАГРАНЖА
Теорема 1 (теорема Ролля). Пусть f(x) непрерывна на [а, 6]
и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Пусть
/(а) = /(6). Тогда существует точка £ Е (а, 6), такая, что /'(£) = 0.
Доказательство. Если хо — внутренняя точка и точка локаль¬
ного экстремума, то f\xо) = 0; иначе х0 — точка возрастания
или точка убывания f(x). Поскольку f(x) непрерывна на [а, 6], то
существуют х\ — точка шах и Х2 — точка min. Если х\ — х%,
то f(x) = const на [а, 6] и ff(x) = 0 на [а,Ь]. Если х\ ф хп, то
либо f(xi), либо /(хч) не равна /(а) = f(b). Тогда по крайней
мере одна из точек: х\ или х2 — внутренняя точка. Обозначим
ее через £. Имеем /'(£) = 0.
Доказательство закончено.
Теорема 2 (теорема Коши). Пусть f(x) и д(х) непрерывны на
отрезке [а, 6] и дифференцируемы внутри него. Пусть д'(х) ф 0
V х Е [а, 6]. Тогда 3 сЕ [а,6], такая, что
f(a) -m = Г (С)
9(a) -9(b) д'(с)
Доказательство. Преобразуя эквивалентным образом требуемое
равенство с учетом того, что д'(с) ф 0, имеем
(/(а) - f(b))g'(c) - (д(а) - g(b))f'(c) = 0.
Заметим, что слева в последнем равенстве стоит значение про¬
изводной функции Н(х) в точке х = с, где
Н(х) = g(x)(f(a) - f(b)) - f(x)(g(a) - g(b)).
Таким образом, нам достаточно доказать существование точки
с, в которой Я'(с) = 0. Но функция Н(х) дифференцируема во
внутренних точках отрезка [а, 6] и
Н(а) = Н(Ъ) = —g(a)f(b) + f(a)g(b).
Поэтому по теореме Ролля существует точка сЕ (а,&), такая, что
Я'(с) = 0, ч.т.д.
105
Следствие (теорема Лагранжа). Пусть /(х) непрерывна на от¬
резке [а, 6] и дифференцируема на интервале (а, 6). Тогда имеет
место формула
/(а) — f(b) = f'(c)(a — 6),
где с — некоторая внутренняя точка этого отрезка.
Доказательство. Утверждение следствия есть частный случай
теоремы Коши при д(х) = х.
Это следствие называется также формулой конечных прираще¬
ний.
Замечания. 1. О схеме доказательства леммы Дарбу. Эта лемма
утверждает, что если /'(х о) > 0, то в точке х0 функция f(x) возра¬
стает. С другой стороны, ее возрастание означает, что приращение
функции А/(х) = /(х) —/(хо) и приращение аргумента Ах = х —хо
имеют одинаковый знак и А/(х) ф 0 при Ах ф 0 в некоторой
окрестности точки хо- Доказательство этого факта, по существу,
основано на свойстве функции, имеющей положительный предел,
быть положительной на некотором окончании базы. В данном
случае
гы = ЦШ ШИ > о,
х—«-Го X — Хо
и поэтому в некоторой проколотой окрестности точки хо мы имеем
неравенство
/(ж) - /(го) >0
X - х0
Это и означает, что в данной проколотой окрестности точки хо
значения А/(х) и Ах имеют одинаковый знак и А/(х) ф 0 при
Ах ф 0.
2. а) По поводу теоремы Коши. Для справедливости утверждения
теоремы, в частности, требуется, чтобы д\х) ф 0 для любого х,
принадлежащего отрезку [а, 6]. Отсюда следует, что д(а) — д(Ь) ф
О, т.е. в знаменателе отношения в формулировке теоремы стоит
ненулевое число. Действительно, если мы предположим, что
д(а) = д(Ь), то по теореме Ролля существует число с такое, что
gf(c) — 0, но по условию теоремы это не так.
б) Геометрическая интерпретация теоремы Коши. Пусть при
a <t < Ь имеем
Г ж = /(<),
I У =</(<)•
Тогда в некоторой точке с тангенс угла наклона касательной к
этой кривой равен тангенсу угла наклона хорды:
tr,_ т _ /(g)-
д'{с) - д(а)-д(ьу
106
3. По поводу теоремы Рол ля. Доказательство этой теоремы
основано на том, что если точка глобального экстремума явля¬
ется внутренней, то она не может быть точкой возрастания или
убывания, а отсюда уже следует, что производная в этой точке
обращается в нуль.
Докажем на этот счет несколько более, общую теорему, а именно
теорему Ферма. Пусть, как и раньше, /(х) непрерывна на [а, 6].
Определение 1. 1. Внутренняя точка х0 называется точкой
несобственного локального максимума (или локального максимума
в широком смысле), если существует проколотая 6-окрестность
точки хо, в которой
2. По аналогии определим, что такое точка несобственного
локального минимума: /(х) имеет несобственный локальный ми¬
нимум (локальный минимум в широком смысле) в точке хо, если
существует проколотая 6-окрестность, в которой
3. Точки несобственного локального минимума и максимума
называются точками несобственного локального экстремума.
Ясно, что экстремальные точки можно рассматривать и как
несобственные экстремальные точки, но не наоборот.
Теорема 3 (теорема Ферма). Пусть внутренняя точка хо отрезка
[а, 6], на котором определена и непрерывна функция /(х), является
точкой экстремума (в широком смысле) этой функции и пусть
3 /'(хо). Тогда имеем f'(xo) = 0.
Доказательство. Точка хо не может быть точкой возрастания
(убывания), так как тогда в некоторой проколотой 6-окрестности
этой точки
Но тогда неравенства /'(хо) > 0 (/'(хо) < 0) невозможны. Оста¬
ется принять, что /;(хо) = 0, ч.т.д.
Докажем еще одну теорему об обращении в нуль производной.
Д/(*о) = f(x) - f{xо) > 0.
Д/(*о) = f(x) - f(xо) < 0.
107
Теорема 4. Пусть f(x) дифференцируема на (а, 6), a < а\ <
Ь\ < b и Г(а\) • f'(b\) < 0. Тогда существует точка £ Е (ai,&i),
такая, что /'(£) = 0.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай /'(ai) > 0. Пусть
£ — точка максимума на [ai,fti]. Тогда она является внутренней
для [ai,6i], так как а\ — точка возрастания, а 6i — точка
убывания. Но тогда имеем /'(£) = 0. Второй случай, /'(ai) < 0,
сводится к первому с помощью замены функции /(х) на д(х) =
-/(*)•
Следствие (теорема Дарбу). Пусть /(х) дифференцируема на
(а, 6) и для некоторых a\,bi Е (а, 6)
f'(a1) = a, /'(6i) = /?.
Тогда для всякого числа £, лежащего между а и найдется
точка хо Е [ai, fri], такая, что /'(хо) =
Доказательство. Рассмотр! м функцию ^(х) = /(х) — х£. Тогда
flf'(a1) = a-^, g'(bi) = P-Z.
Но так как £ лежит между а и /? , то a — £ и (3 — £ имеют
разные знаки. Тогда по предыдущей теореме имеем, что 3 точка
хо, такая, что </'(хо) = 0. Отсюда следует, что
/'(*о) ~ £ = 0, Т.е. /'(го) = С
Доказательство закончено.
Теорема 5. Функция д(х) = /'(х) не может иметь разрывов
первого рода.
Доказательство. Пусть
/'(х) —► о при х -> х0+,
/'(х) —► 6 при х —► Хо — .
Докажем, что а = 6. Предположим, что это не так. Тогда а ф Ь.
Пусть
1
Яп — хо Н ► яо“К
п
1
Уп — х0 * х0 1
71
108
тогда
f'(xn) —> а при п —► оо,
/'(Уп) -»■ Ь при п -> оо.
Поскольку а фЬ, го или а ф /'(хо), или 6 ^ /'(хо).
Допустим, что имеет место случай а ф f\xо).
Поскольку число (х°) находится между /;(хп) и /'(хо),
то в силу теоремы Дарбу 3 сп, хп < сп < хо, с условием
f'(r ч _ /Ч*п) + /'Ы
7 Iе"' “ 2 •
Поскольку сп —► хо, то согласно определению правого предела по
Гейне имеем
/'(с„) — а.
Отсюда
__ а + /Чхо)
а" 2
т.е.
а = /'(«о),
а это противоречит тому, что /'(хо) ^ а.
Следовательно, предположение, что а ф 6, неверно и а = 6. А
это значит, что функция /'(х) не может иметь разрывов первого
рода, ч.т.д.
Попутно мы доказали, что если /'(х) —► Zq при х —► хо+ (или
х —>• х0-), то z0 = /'(х0).
Пример точки разрыва производной. Положим
/<«> = { ^
если х ф О,
если х = 0.
При х ф 0
/'(х) = 2х cos —Ь sin —,
X X
а при х = 0 по определению производной получим
т = ton /<^)-/(») = ,im = 0.
Дх—»о Дх Дх-*0 Дх
В точке х = 0 не существует ни правого, ни левого предела /'(х).
109
Определение 2. Если —* + оо при х —* Хо, то говорят,
что /(х) в точке xq имеет бесконечную производную, и пишут:
/Ч*о) = (+)°°*
То же самое говорят и пишут о правой и левой производных.
Пример, /(х) = у/х. При х ф 0 имеем ff(x) = 77-^7=. Тогда
2у/х
Лекция 20
§ 7. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА
Теорема 1. Пусть f'(x) = О V х 6 (а, Ь). Тогда f(x) = const =
>(ЧЬ-У
Доказательство. Имеем по теореме Лагранжа
A/(^) = /W-/(^)=rw(«-^)=o.
Отсюда
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть f(x) дифференцируема на (а, 6). Тогда для
того, чтобы f(x) | на (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы
f(x) >0 V х Е (а, 6).
Доказательство. Необходимость. Условие /(х) f эквивалентно
тому, что
Mf)>0.
Ах
Переходя к пределу в неравенствах, получим
/'(*)= Нт
V ' Дх—о Дх -
Достаточность. Если f{x) > 0, хо по теореме Лагранжа
при некотором числе сЕ(а,6), т.е. /(х) не убывает на (а, 6).
Теорема доказана.
Теорема 3. Если f'(x) > 0 на интервале (а, 6), то функция /(х)
монотонно возрастает на (а, 6).
Доказательство. По теореме Лагранжа имеем
Д/(х) = /'(с)Ах > 0 при Ах > О,
ч.т.д.
ill
Теорема 4. Пусть /(х) дифференцируема на отрезке [а, 6]. То¬
гда для того, чтобы функция /(х) возрастала, необходимо и
достаточно, чтобы /'(х) > 0 на интервале (а, 6) и /'(х) не обраща¬
лась в нуль тождественно ни на каком отрезке [a\,bi], лежащем
внутри отрезка [а, 6].
Доказательство. Необходимость (от противного). Если усло¬
вие теоремы не выполнено, то или /;(хо) < 0 для некоторой точки
хо Е (а,Ь), или /'(х) = О V х Е [ai,6i]. Тогда в 1-м случае хо —
точка убывания функции /(х), а во 2-м — /(х) = const на [ai,6i].
Это противоречит условию возрастания функции /(х).
Достаточность. Так как по условию /'(х) > 0, то при любых
о>1 < Ь\ , где а\,Ь\ Е [а,Ь], имеем
/(6Х) - ДаО = /'(c)(6i - а0 > О,
т.е. /(х) не убывает.
Докажем, что /(х) возрастает.
Пусть это не так, и /(ai) = f(bi) при 6i > а\. Но тогда в силу
неубывания /(х) на отрезке [ai,6i] имеем, что /(х) = const на нем,
и, следовательно, /'(х) = О на (ai,&i), что противоречит условию
теоремы.
Тем самым теорема полностью доказана.
§ 8. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Теорема (неравенство Юнга). Пусть а,/3 > 0, a + /? = 1. Тогда
при х > 0 имеем
х° < ах + /3.
Доказательство. Рассмотрим функцию
/(х) = ха — ах — /?.
Заметим, что /(1) = 1 — о: — /? = 0. Далее, поскольку
/'(х) = a(xa_1 - 1) < 0 при х > 1,
то при х > 1 функция /(х) убывает. Следовательно, при х > 1
выполнено неравенство /(х) < Д1) = 0.
Если же 0 < х < 1, то имеем
/'(х) = a^x01”1 — 1) > 0.
112
Отсюда получим, что /(х) < /(1) = 0 при 0 < х < 1. Таким
образом, для всех х > 0 выполнено неравенство ха — ах — /? < О,
откуда следует справедливость теоремы.
Положим х = а/6 > 0. Из неравенства Юнга имеем
aQbР < аа + /?6.
Это неравенство справедливо из любых а,6> 0.
Положим теперь
ul/a vl/(3
а=~п"м1/а> Ь= Vv — 0>
2^ = 1 uv l^v-1
и просуммируем по и от 1 до п. Получим
п / 1/а \ а / 1 //3 \ (3
-1,
т.е.
п /п \а/п \&
м Eui/a) (Ё^) .
V — 1 'l/ = 1 'i/ = l
Это неравенство носит название неравенство Гельдера.
Теперь докажем неравенство Минковского.
Пусть
р>1; а*,,6„>0, v—\ ,,..,п.
Тогда
(n \ i/p / n \ i/p / n \ i/p
+*•)') s(E“i) +(Е1г) ■
V-1 ' ' 1/ = 1 ' Ч1/ = 1 '
Доказательство. Сначала введем обозначение 1/р + 1/</ = 1.
Имеем
п п п
Л ~t~ 6//)р = ~f 6t/)p 1 + ^ ^ bv(al/ -f bu)p 1 = В + С,
z/=i t/=i i/=i
n / n \ l/P / n \1/я
B^a^+b^'1 < (Ea0 (£K+M’(p_1)) ’
i/=i 'i/=i ' ^i/=i '
n ( " \1/p / " \ l!q
c=^6,k+<>,)p'1 < (E6?) •
i/=i l i
5-Г. Архипов и др.
113
Поскольку q(p — 1) = р, то
^((±-сГ + (£н)>.
откуда, ввиду того что 1 — 1/q = 1/р, следует неравенство
/ п \l/p / п \ 1/р
^ = + (Е*0 ■
\„=i / 4=1 7
ч.т.д.
§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Пусть <p(t) и — две функции, заданные и дифференцируемые
на [0,1], и для всех t € [0,1] имеет место неравенство <p'(t) > 0 (или
< 0). Тогда <p(t) || (^(0 || при (pf < 0) и эта функция имеет
обратную t = д(х). Совокупности пар ((p(t)}\p(t)) задают функцию
у = /(х), такую, что
(х,у) = (x,f(x)) = (у?(<),^(0)>
где
х = <p(t), t = д(х), f(x) = ф(д(х)).
Найдем ее производную. Имеем
ib*(g(x))
Г(Х) = ^(,(,)У(,) = ___,
поскольку
аЧх) = .
9 { } <?№*))
Это равенство для /'(х) можно записать по-другому, в следую¬
щем виде:
/>«»=%
что дает нам правило нахождения производной функции, заданной
параметрически. Таким же образом можно вычислить производ¬
ные любого порядка. Найдем, например, формулу для второй
производной. Имеем
л*) = /;'>(*))•
114
С одной стороны, справедливо равенство
(Ш0)){ = СМ0) VW-
С другой стороны, имеем
r(W(t)-nW(ty
(vp'(<))2
Следовательно,
/^(vKO) / ,ч3
фП <Р* — ф* <рП
W)3
Лекция 21
§ 10. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Теорема 1 (первое правило Лопиталя; неопределенность вида
0 ч гг
- при х а—). Пусть:
1) f(x) и д(х) определены и дифференцируемы в некотором
интервале вида (а — 6\,а), 6\ > 0;
2) limr_*a_ f(x) - g(x) = 0;
3) ff(x),g'(x) ^ 0 V x £ (a — 62, а) при некотором 62 > 0;
4) существует конечный или бесконечный предел при х —► а—
отношения т.е. Птг_*а_ Sy$.
Тогда существует предел отношения и имеет место равенство
Пт lim m
д(х) г—а- д'(х)
Доказательство. Можно считать, что предел при х —»► а—
является конечным числом и равен /, поскольку если это не так,
то можно рассмотреть отношение
Доопределим f(x) и д(х) в точке х = а, полагая /(а) = д(а) = 0.
Тогда функции f(x) и д(х) непрерывны в точке а слева.
Поскольку jpj^j —► / при х —г а—, то V е > 0 3 63 = ^з(^) > 0,
такое, что V х £ 1(63) = (а — 63, а) имеем
/'(*)
д'(х)
I
< е.
Положим 6 = min(6i, 60, 63). Тогда V х £ 1(6), используя теорему
Коши, получим
/(*)
9(х)
f(x) - /(а)
д(х) - д(а)
-I
т
д'(с)
< е,
где с € (х, а) С (а — ^ а).
Таким образом, по определению предела
lim = /,
х~*а~ д(х)
Ч.т.д.
116
Следствие 1. В теореме 1 можно заменить условие х —► а— и
интервал (a — 6, а) на условие х —► a-f и интервал (а, а + 6).
Для доказательства этого факта достаточно сделать замену
переменной у = 2а — х и применить теорему 1 к функциям
Л(у) = /(*) и gi(y) = g{x).
Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям теоремы, причем
у — 2а — х а— при х —* a-f.
Следствие 2 (первое правило Лопиталя; неопределенность вида
- при х —► а). Пусть:
1) /(х) и д(х) определены на некотором интервале (а — <5, а + 6)
я дифференцируемы на нем, за исключением, быть может, точки
х = а;
2) linTr—a /(я) = limr_*a д(х) = 0;
3) /'(х)> ^(х) / 0 ПРИ х G (а - 6, а + б), х ф а;
4) существует конечный или бесконечный предел:
Ш.Ш.
х—а ^'(х)
/(х)
Тогда существует limr_^a : и имеет место равенство
9(х)
л«) , /'<*)
=J™.P5)'
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 1 и след¬
ствия 1.
Похожая теорема имеет место для предела отношения и
в том случае, когда /(х) и д(х) стремятся к оо при х —* а
(неопределенность вида ^).
Однако доказательство в этом случае усложняется по причине,
которая будет ясна дальше.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2 (второе правило Лопиталя; неопределенность вида
— при х —► а—). Пусть:
оо
1) /(х) и д(х) определены и дифференцируемы в интервале вида
(а — Л, a), h > 0;
2) f'{x), д'(х) ф 0 V х е(а- h, а);
117
3) f(x) —► оо, g(x) —> оо при х —► а—;
4) существует конечный или бесконечный предел отношения
производных limx_*a_ 77©-
9 к*)
Тогда предел отношения функций также существует и имеет
место равенство
Ит Щ = lim Ш.
g(x) х—*а— д'^х)
Доказательство. Очевидно, что можно считать
lim Ш = К,
т.е. предел конечен. Действительно, если
и-ОЙ
lim Щ = оо.
то имеем
lim Щ = 0.
х-а- f'(x)
II вместо того чтобы доказывать, что
lim 44 = 00,
*—а- ^(х)
достаточно доказать, что
lim = 0.
х-а- f(x)
Одновременно это будет означать, что
lim № nn
11m ■■■■ - = 00.
г—а- д{х)
Как и при доказательстве теоремы 1, мы будем пользоваться
формулой Коши. Но здесь ситуация сложнее, так как мы не можем
сразу отношение заменить на . Тем не менее это можно
сделать с малой погрешностью, которая, по существу, стремится к
нулю. Будем считать, что в некоторой полуокрестности (a — hi, а)
точки а выполняется неравенство /(х) ф 0 и <7(2) ф 0. Это
возможно ввиду того, что f(x) —► 00, д(х) —► оо при х —► а—.
118
Пусть еi — любое число с условием 0 < £\ < 1/2. Возьмем
6\ = 6i(£i) > 0 так, чтобы неравенство
/'(*)
д'(х)
-/
< £\, 6i < min(A,hi),
выполнялось для всех х из интервала (a —6i,a). Это возможно,
так как
lim = / € К
д'{х)
существует по условию.
Пусть хо — некоторая точка из этой окрестности. Поскольку
limx-^a_ /(х) = оо, то найдется 62 = ^2(^1) > 0, такое, что
|/(*)|> 1&Л V х £ (а — 62, а).
Аналогично найдется 63 = 63(^1) > 0, такое, что
|у(х)| > V х € (а — 63, а).
Пусть
64 = min(<5i, 62,63), I4 = {х | х Е (а - 64, а)}.
Тогда для любого х Е /4 в силу теоремы Коши имеем
Д/(*о)
Aff(xo)
-/
/(*) - /(*0)
д(х) - д(хо)
/'(с)
5'(с)
< £1,
где с € (х,х0) С Д.
Отсюда получим
Д/(*о)
Ад(х0)
< £1 + |/| < 1 + I
Далее для тех же значений х будем иметь цепочку неравенств:
/(*)
$(*)
-I
f(x) Af(x0) + Af(x0) _ (
д(х) Ад(х0) Ад{х0)
Д/(*о)
<
/(*)
Д/(х0)
1
$(*)
Aff(xo)
Д<К*о)
Д/(*о)
М*°)
9(*)
АЛ*о1
/(*)
- 1
А/
А?
119
Но так как
— = 1 - iipl = 1 + а, где |а| < еь
9 9(х)
~Т ~ 1 ” ~ 1 + Р' где 1^1< £1’
J Пх)
ТО
А =
1 + а
1 + /3
Следовательно, получим
- 1
|а-^<^ = 4е,
/(*)
9(х)
-I
^ (И + 1)4^1 + £i — £i(4|/| + 5) — е.
Положим
Тогда для любого € е ^0, ^(4|/| + 5)^ найдено 6 = <$(£) = £4 (4]/j+5),
такое, что для любого х Е (а — <$, а) выполняется неравенство
< е. Это значит, что
®-<
lim М=(,
х-+а- д[х)
Ч.т.д.
Следствие 1. Если в теореме 2 условия х —► а— и х Е (а — Л, а)
заменить на условия х —* а+ и х Е (а, а + Л) , то утверждение
теоремы остается в силе.
Для доказательства достаточно применить теорему 2 к функ¬
циям
fi(y) = /i(2a - х) = /(*), gi(y) = gi(2a - х) = g(x).
Следствие 2 (второе правило Лопиталя; неопределенность вида
— при х —► а). Пусть:
оо
1) /(х), д(х) определены и дифференцируемы в проколотой
h-окрестности точки а;
2) /;(х),у'(х) / 0 в той же окрестности точки а;
3) f(x) —► 00, ^(х) оо при х —► а;
120
4) существует предел отношения производных
г—о д'(х)
Тогда предел отношения функций существует и равен
,im М = lim Ш.
г-а д(х) д'(Х)
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из
утверждений теоремы 2 и следствия 1.
Замечания. 1. В теоремах 1 и 2 условие х —► а— можно заменить
на условие х —► +оо или х —> —оо, а во вторых следствиях теорем 1
и 2 — на х —♦ оо.
Доказательство проводится посредством подходящей замены пе¬
ременной. Например, в случае limr_,+оо надо положить х = — |.
Тогда
/ч*)
ГЛ-\)!Ь _т
c=-i/t 9\{f)
9'{x)
Отсюда следует существование предела
lim 4Й = U
t-o- <,'(*)
и затем по теореме 1 имеем
Urn Щ = 1= lim Щ,
*-0- г^+оо у(х)
Ч.т.д.
2. Применение теоремы Штольца о пределе отношения двух
последовательностей позволяет существенно упростить довольно
громоздкий вывод второго правила Лопиталя. Далее мы приве¬
дем еще один вариант доказательства теоремы 2, основанный на
указанной выше идее.
Доказательство теоремы 2. В силу определения предела по
Гейне мы имеем, что условие —» / при х —► а— означает
выполнение условия —► / для любой возрастающей последо¬
вательности {хл}> сходящейся к а, хп ф а. Но так как по условию
теоремы д(х) —► оо при х —► а—, то и <7(хп) —*• оо при п —► оо, а это
значит, что к отношению можно применить теорему Штольца.
Поэтому, используя еще и теорему Коши, мы будем иметь
1 i„ £Ц= lim /(«■■»>-/(«■>„ lim ф|=1,
п-оо д(хп) П-оо </(xn + i) - <7(х„) n-оо ^'(сп)
так как здесь xn < cn < хп+ь откуда следует, что сп —► а при
п —► оо. Таким образом, теорема 2 полностью доказана.
121
Примеры.
Имеем
1. Птх_*о+ хх = 1.
In хх = х In х =
In х
ф'
In® .. 1/х /
lim 77- = lim - ■■■ = lim (-x) = 0,
X—0+ 1/x x—►()+ —1/x2 x—>04-
. „* lim In j x n
lim x* = lim e = e*~°+ = e = 1.
x—>0+ x—*0+
2i: x—sinx 1: 1-cosx 1: sin x 1
. limx_>0 —p— — limx^o 3ra ■ — Hmx—o — g •
Лекция 22
§ 11. ПРИЛОЖЕНИЕ ПЕРВОГО ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ
В качестве приложения докажем формулу Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано.
Мы видим, что дифференциал df приближает приращение А/ с
точностью до бесконечно малой порядка, большего 1. Это означает
также, что А/(а) — df(x)\x-a = о(Дх), т.е. имеем
/(х) — /(а) — /'(а)(х — а) = о(\х — а|) при х —► а.
Правило Лопиталя позволяет обобщить это утверждение.
Рассмотрим многочлен Тейлора степени п:
?(*) = fn(a, х) = /(а) + ^jp^x + + • • • + --Ja\Ax)n,
где Ах — х — а.
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеа¬
но). Пусть /(х) дифференцируема п— 1 раз в некоторой окрестности
точки х = а и существует f(n\a). Тогда
г(х) = /(х) — /п(а, х) = о((Дх)п) при Ах —► 0.
Доказательство. Применим 1-е правило Лопиталя п — 1 раз при
х —► а к отношению
Получим
г(х)
а(х) = —
(х — а)п
— n\n~ 1
x—a (x — a)n x->a n(x — a)
= iim pp =' Um
x —► a n!(x — a) Tl\ a x — a
Далее имеем
<7(n_1)(x) = f<n~lXa) + /(n)(a)(x - a).
123
Отсюда
r^n“^(x)
lim a(x) = lim
*a x—a ((# — a)n )(n--1)
= 1 .in, r4a)) =
Til X—a \ X — a J
= i(/(n)(«)-/(n)(«)) = 0.
n\
Другими словами, a(x) есть б.м. при х —► а.
Следовательно, г(а) = (х — а)па(х), где а(х) — б.м., т.е.
г(х) = о((х — а)"),
ч.т.д.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано приме¬
няется в основном для вычисления пределов.
Действительно, при х —► 0 имеем, например,
х3 х5
sin х = х—— + -7 + о(х5).
о! о!
Отсюда
sinx —хН-х3/б х5/120 + о(х5) 1
lim ^ = lim = = ——.
х—о х° г—о х5 120
§ 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
в окрестности точки^мы можем записать приближенное равенство
f(z) W fn(a,x).
Оказывается, что многочлен /п(а,х) может хорошо приближать
/(х) и в некоторой, иногда весьма большой, окрестности точки
а. Более того, знание всех чисел f(n\a), соответствующих только
одной точке а, часто позволяет вычислить /(х) при любом х с
любой требуемой степенью точности.
Этот факт важен не столько для вычислений, сколько для
построения теории. Выражаясь более точно, мы сейчас докажем
одну из важнейших теорем анализа, центральную теорему курса в
этом семестре, а именно формулу Тейлора с остаточным членом
в общей форме (или в форме Шлемильха-Роша).
124
Теорема (формула Тейлора). Пусть f(x) — (n+l) раз диффе¬
ренцируемая функция на интервале (xo,xi). Пусть a < b — любые
две точки из этого интервала.
Тогда для любого положительного a > 0 существует точка с,
лежащая между а и 6, такая, что
Г„(6) = Д6) - /„(а, 6) = ^±1 “ • (6 - с)
п + 1 /(П+1)(с)
(п + 1)!
Напомним, что
/„(в, 6) = /(в) + ^(6 -<.) + ••• + ^^(6 - в)".
Доказательство. Самое главное для доказательства — это за¬
помнить саму форму остаточного члена. Определим число Н
равенством
„_№-/п(а,Ь)
11 — — .
(6 — а)а
По существу, нам надо доказать, что на интервале (а, 6) найдется
точка с, такая, что
н = 6 - с)п+1-а •/(п+1)(с).
Q (п + 1)!
Мы докажем это, опираясь на теорему Ролля. Равенство,
определяющее число Я, можно записать так:
/(Ь)-/п(а,Ь)-Я(6-а)° = 0.
Рассмотрим функцию <p(t), определенную на [а, 6] соотношением
Дt) = №-fn(t,b)-H(b-t)*.
Тогда, очевидно, <р(а) = 0.
Кроме того, имеем, что <p(t) дифференцируема на (а, 6) и не¬
прерывна на [а, 6].
Далее, поскольку справедливо равенство
/п(М) = /(*),
125
т = т-т-щъ-ъ)° = о.
Следовательно, по теореме Ролля на интервале (а, Ь) производная
обращается в нуль в некоторой точке с, т.е.
(p'(t) = 0 при / = с, где с£(а,6).
Запишем <p'(t) в развернутой форме:
Vl(t) = -fn(t,b) + aH(b-ty-1 =
= (/(О + ^уг(* -*) + ■■• + ^г-(Ь ~ <)n) t + *Я(6 - 0е"1.
Так как при s = 1,..., п имеем
(^<* “1)’)'= - trtrryrC* - О—.
то
/(О = ^Я(6 - 0 - 1 n,u(6 - 0".
Отсюда при < = с получаем
/(с) = аН(Ь - с)а~1 - /("+1)(с)^~ с)Г> = 0.
71!
С ледовател ьно,
Я= ^-^(6 -с)71
" + 1/fc ^n+1-o /(П + 1)(с)
' (п + 1)! ’
Ч.т.д.
Следствие. Формула Тейлора с остаточным членом в форме
Шлемильха-Роша верна и при а >Ь.
Доказательство. 1. Если 6 = а, то /п(а,6) = /(а), гп(6) = 0 и
формула имеет место.
2. Если 6 < а, то применим теорему к функции £(х) = /(2а —х),
&i = 2а — 6. Тогда &i > а и справедливо равенство
= ?п(а> Ы + #„(6i).
126
Но легко убедиться, что
9(h) = f(b), gn(a,bi) = /„(а,6), Rn(h) = гп(Ь).
Действительно, имеем
(6,-а)* = (а-Ьу =(-\у(Ь-а)’;
9п{а 1 &i) = </(<*) + — а) Н \- -—r—^(bi — а)ГА =
1! п\
= /И + -«) + ••• + ^^(6 - а)" = /п(а, 6).
1! П\
Далее при некотором с\, а < с\ < 6, справедливо равенство
Положим с = 2а — ci. Тогда 6 < с < а,
Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме
Шлемильха-Роша в случае а > 6 имеет тот же вид, что и при
а <6.
Следствие доказано.
Частные случаи формулы Тейлора.
1. Остаточный член в форме Лагранжа (q = п + 1).
В этом случае
г 1 (>>-•'У*'п /<"+ч W _ /<’"и)(с)
^-irrrU^J -ргт5)Г--pmir1 ’ '
2. Остаток в форме Коши (а = 1):
г (б) - ц±2^. (ь _ сГ-ц/(п+1)(с)
r"W- 1 Ь — с {Ь С) (п +1)!
6 — С
с = а + 0(Ь — а), 0 < 0 < 1, 1 — в =
b а *
гп(6) = (6 - а)"+1(1 - 0)" /(п+1)(д + ^(6-а))
П!
Замечание. Формула Тейлора (с остаточным членом в любой
форме) в частном случае а = 0 обычно называется формулой
Маклорена.
127
Лекция 23
§ 13. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА К НЕКОТОРЫМ
ФУНКЦИЯМ
1. Показательная функция: f(x) = ех. Имеем
/(0) = /'(0) = - • = /<")(0) = 1, /<"+1Ч*) = е*.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа примет
вид
_ х х2 хп хп+1 вт
‘ =1+П+2!+" +^+(ГЙ)!е ■ 0<#<1'
При любом фиксированном х остаток в ней стремится к 0, по¬
скольку
хп+1
lim 7 777 = 0.
П — ОО (п -f 1)!
2. Функция /(x)=sinx. Имеем
/(п)(х) = sin ^Х + 71,
f(2k+1\6x) = sin (вх + (2к + 1)^ = (—l)fc cos Qx-
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа дает
a:3 xs к_ x2t_1 x2fc+1
«"* = *- 3f+5!-" +(“1) ',(2i^T)i + (-1) РГП)!е“‘’'-
3. Функция /(x) = cosx. Имеем
/(n)(x) = cos^x + n|^,
f(2k\$x) = cos ^$x + 2к ■ = (—1)* cos Ox.
Тогда
4. Функция /(х) = ln(l -f x). Имеем
/'(*) = T~ 1 f{n)(x) = (-I)**-1 • -
v ’ 1 + x w v ’ (i + l)n
Следовательно,
ln(l + X) = X~\ + \ + (-I)""1 — + Дп,
16 Tl
д" = (-1)”^тт(тт?г)
n+1
Заметим, что если |х| <1, то Rn —► 0 при п —► оо. Кроме того,
а) если 0 < х < 1, то \Rn\ <
б) если —1 < -г < х < 0, то |ЯП| < где
_ (-1)" *n+1 ( 1-о \
^ п 1+вх\1+вх)
(остаток в форме Коши).
5. Функция /(х) = (1 + х)а. Имеем
/<">(*) = о(а - 1).. .(а - п + 1)(1 +
а потому
/1 , _чо , __ , <*(<*-!)_2 , а(а “ 1)(а ~ 2) _з ,
(1 т xj = 1 + ахН х Н — х + ...
а(а — 1) ... (а — n + 1)
Н j я +яп,
п\
где
Д„ = а(°~1) ~Tt)Xn+1(l + (?ix)tt-"-1, О<0!<1
(п+ 1)!
(остаток в форме Лагранжа),
_ а(а-1)...(а-п) +1 ,/ 1-0а \" а^й .
я"- (^ТТЯ 1 (1+<ад UTmJ ’ 0<|,!<1
(остаток в форме Коши).
Если |х| < 1, то Rn —► 0 при п —► оо.
Мы видим, что во всех этих случаях Rn —+ 0 при п —► оо.
Другими словами,
lim /„(О,*) = f(x).
п—* ОО
Это предельное выражение символически записывается так:
/(*) = /(<*) + -<») + ••• + “г^(х -<*)" + •••
и называется рядом Тейлора функции /(х) в точке х = а.
Замечание. Ряд Тейлора не всегда сходится к породившей его
функции.
129
Пример.
_ Г е~^, если хфО]
[ 0, если х = О.
Тогда при любом натуральном к имеем
/<*>(0) = 0.
Таким образом, мы видим, что ряд Тейлора нулевой, а поро¬
дившая его функция отлична от тождественного нуля.
Лекция 24
§ 14. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Наша дальнейшая цель — применение построенной теории к
решению задач, связанных с изучением поведения функций. Од¬
ной из них является задача отыскания локальных и глобальных
экстремумов функций. Ею мы сейчас и будем заниматься. Ранее
мы уже доказали ряд утверждений подобного типа. Напомним их,
а заодно и некоторые понятия, которые далее потребуются.
1. Точки х, в которых ff(x) = 0, называются стационарными.
2. Критерий возрастания (в широком смысле) на интервале (а, 6)
дифференцируемой функции.
Для того чтобы /(х) | на (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы
f'(x) > 0 на (а, 6).
3. Критерий возрастания в строгом смысле.
Для того чтобы /(х) на (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы
f'(x) > 0 на (а, 6) и, кроме того, /'(х) ^ 0 ни на каком интервале
(<И,М Э (а,Ь).
Отсюда имеем достаточное условие строгого возрастания: для
того чтобы /(х) ||, достаточно, чтобы /'(х) > 0 Vx Е (<*,&)•
4. Теорема Ферма. Если в точке хо Е (а, Ь) имеется несобствен¬
ный локальный экстремум функции /(х), то Хо — стационарная
точка. Далее мы выведем несколько достаточных условий дости¬
жения функцией локального экстремума в заданной точке.
Теорема 1. Пусть /(х) дифференцируем а в некоторой окрест¬
ности стационарной точки хо (т.е. в этой точке /'(хо) = 0).
Тогда:
1а) если /'(х) > 0 слева от хо и f'(x) < 0 справа от хо, то хо —
точка строгого локального максимума функции f(x);
16) если ^(х) < 0 слева от хо и f(x) > 0 справа от Хо, то хо —
точка строгого локального минимума f(x);
2) если f'(x) имеет справа и слева от точки хо один и тот же
знак, то хо не является точкой экстремума ни в широком, ни
в строгом смысле.
Доказательство. 1а. По теореме Лагранжа имеем
/(*) = f(xо) + f(c)(x - Хо),
где точка с находится на интервале с концами Хо и х.
131
Из условия следует, что /'(с)(х — хо) < 0. Действительно, если
х — хо > 0, то с > хо и, значит, /'(с) <0, (х — хо)/'(с) < 0; если же
х — х0 < 0, то /'(с) >0 и (х — хо)Г{с) < 0. Отсюда получим, что
/(х) < /(хо), что и требовалось доказать. Доказательство п. 16
проводится аналогично.
2. Если /'(х) > 0 справа и слева от хо, то /'(с)(х —хо) < 0 слева
и > 0 справа. Отсюда
f(xl) < f(xо) < f(x2) при *1 < *0 < Х2,
ч.т.д. Случай f'(x) < 0 разбирается аналогично.
Доказанная нами теорема позволяет сформулировать следующее
правило исследования стационарной точки на экстремум. Если при
переходе через стационарную точку слева направо производная
меняет знак “+” на знак ”, то функция имеет локальный
максимум в этой точке, если меняется знак ” на знак то
функция имеет локальный минимум, и если она не меняет знак,
то локального экстремума нет.
Теорема 1а. Пусть /(х) непрерывна в некоторой окрестности
точки и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки.
Если /;(х) меняет знак “-f ” на знак при переходе через точку
хо слева направо, то /(х) имеет локальный максимум, если знак
” на знак “-f то локальный минимум, и если не меняет знак,
то локального экстремума нет.
Доказательство совершенно аналогично доказательству теоре¬
мы 1, так как там мы нигде не пользовались существованием
производной функции /(х) в точке х = хо.
Общее правило отыскания (локального и глобального) экс¬
тремума функции /(х) на отрезке в случае, когда /(х) непрерывна
и кусочно-дифференцируема (т.е. дифференцируема всюду, за ис¬
ключением, быть может, конечного числа точек).
Находим все стационарные точки и точки, в которых /'(х) не
существует, и проверяем их на экстремальность. Затем, добавляя
концевые точки и выбирая наибольшее и наименьшее из значений
функции в этих точках, находим ее глобальные экстремумы.
Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть
/;(хо) = 0 и существует /"(хо). Тогда:
1) если /"(хо) < 0, то точка хо есть точка (строгого) локального
максимума;
2) если /"(х0) > 0, то точка хо — точка (строгого) локального
минимума.
Доказательство. 1. Так как /"(хо) < 0, то /;(х) убывает в точке
х = хо, и поскольку /'(хо) = 0, то /'(х) меняет знак с на ”
132
при переходе через хо слева направо. Поэтому по теореме 1 точка
хо является локальным максимумом.
2. f,f(xо) > 0, поэтому f'(x) возрастает в точке х = xq.
Из теоремы 1 тогда следует, что хо — точка локального мини¬
мума.
Доказательство закончено.
Теорема 3 (третье достаточное условие экстремума). Пусть
/'(хо) = • • • = Рк-1\хо) = о, /2t)(x0) ф 0.
Тогда:
1) если f(2k\xо) < 0, то хо — точка локального максимума;
2) если f(2k\xо) > 0, то хо — точка локального минимума.
Доказательство. 1. При k = 1 утверждение следует из теоре¬
мы 2. Пусть к > 1. Выразим /'(х) по формуле Тейлора:
/'(*) =/'(*<>) + - |*°-(х - х0) + • • • +
/(2*~2)(х о) _ 2к_3 /(2fc-l)(c) ^ 2
(2к - 3)! ( (2к - 2)! * о)
Отсюда
Поскольку /(2fc)(xo) < 0, то Д2к~1\х) убывает и, следовательно,
/(2А?""1)(х) меняет знак на ” при переходе через точку аго,
а значит, и /'(х) меняет знак на Поэтому хо — точка
локального максимума. Случай 2 рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
Определение 1. Функция /(х) называется выпуклой вверх на
интервале (а, 6), если график функции лежит под касательной для
любой точки данного интервала.
Это значит, что если хо — произвольная фиксированная точка
из (а,6) и
Л(*) = f(xо) + f'{xо)(х - Хо),
то
fi(x)>f(x) Vx £ (а,6).
Поясним, что график линейной функции /i(x) является касатель-
ной к графику /(х) в точке xq.
133
Определение 2. Функция /(х) называется выпуклой вниз на
(а, 6), если график ее лежит над касательной, т.е.
/i(x)</(x) VxE(M).
Теорема 4. I. Если /"(ж) < 0 на (а, 6), то /(х) выпукла вверх
на (а, 6).
2. Если /''(ж) > 0 яа (а, Ь), то f(x) выпукла вниз на (а, 6).
Доказательство. 1. Из формулы Тейлора имеем
/(*) = /(*о) + /,(го)(* - ха) + ^-^-(х - Ха)2,
где с Е (а, Ь).
Поскольку /"(с) < 0, то /(х) < /i(x) Vx Е (я, 6), ч.т.д. Случай 2
доказывается аналогично.
Теорема 4а. Если /"(хо) < 0 и /;/(х) непрерывна в хо, то
3 6-окрестность точки Хо, в которой /(х) выпукла вверх.
Доказательство. Поскольку /;/(х) непрерывна в точке хо и
/"(хо) < 0, то существует число <$i > 0, такое, что /"(х) < 0 в
6\-окрестности точки хо, и в ней по теореме 4 /(х) выпукла вверх,
Ч.т.д.
Замечание. Если в определениях 1 и 2 имеют место строгие не¬
равенства, то функция /(х) называется строго выпуклой. Строгие
знаки неравенства в теоремах 4 и 4а влекут за собой строгую
выпуклость функции /(х).
Лекция 25
§ 15. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Определение 1. Точку хо из интервала (а, 6) будем называть
точкой перегиба дифференцируемой функции /(х) (или ее графи¬
ка), если существует проколотая 6-окрестность точки хо, такая,
что и в правой, и в левой ее полуокрестностях функция /(х)
имеет выпуклый график, но направление выпуклости справа и
слева разное.
Лемма 1. Если xq — точка перегиба функции f(x) и f'(x) не¬
прерывна на (а, 6), то в некоторой 6-окрестности точки Xq разность
г(х) = f(x) - (f(x о) + f(x0)(x - Хо))
является неубывающей или невозрастающей функцией в точке хо
(в зависимости от изменения направления выпуклости).
Доказательство. Возьмем проколотую 6-окрестность точки хо,
в правой и левой частях которой /(х) имеет разные направления
выпуклости. Пусть для определенности при хо — 6 < х < хо
функция /(х) выпукла вверх, а при хо < х < хо -f 6 — выпукла
вниз. Докажем, что в этой 6-окрестности 7*(х) не убывает.
Действительно, в силу выпуклости вверх /(х) в левой части для
любой фиксированной точки х\ при всех х выполняется неравенство
9(xi) = /(*) - (/(*i) + /'(*i)(* “ *i)) < О-
Но д(хt) — непрерывная функция, так как /(хД и Д(х\) непре¬
рывны, поэтому при х 1 —► Хо тоже имеем
д(х0) = г(х) = /(х) - (/(хо) -I- /'(хо)(х - х0)) < 0.
Аналогично получаем, что в правой части при любых х^ и х в
силу выпуклости вниз /(х) справедливо неравенство
h(x2) = f(x) - (f(x2) + f(x2)(x - x2)) > 0.
Отсюда ввиду непрерывности h(x,2) при X2 —•* хо
/l(x0) = r(x) = f(x) - (/(xo) + f'(xo)(x - Xo)) > 0.
Это значит, что r(x) не убывает в точке х = хо, ч.т.д.
135
Теорема 1 (необходимое условие перегиба). Если /(х) в точке
х — хо имеет вторую производную и точка xq — точка перегиба,
то /"(хо) = 0.
Доказательство. От противного. Допустим, что /"(хо) ф 0.
Легко видеть, что r"(x) = /"(х). Поэтому
г"(* о) = /"О о) Ф 0.
Но поскольку
г'(*о) = /'(*о) - /'(*о) = 0,
то по 2-му достаточному признаку экстремума функция г(а;) имеет
строгий локальный экстремум. Это противоречит утверждению
леммы, по которому г(х) f или г (я) |.
Отсюда следует, что /"(хо) = 0, ч.т.д.
Далее мы будем говорить о перегибе только в строгом смысле,
имея в виду, что в определении точки перегиба имеет место строгая
выпуклость в обеих полуокрестностях.
Теорема 2 (первое достаточное условие строгого переги¬
ба). Пусть /(х) дважды дифференцируема в проколотой окрестно¬
сти точки х = хо и /"(х) имеет в ней разные знаки при х < хо и
х > хо.
Тогда, если /"(хо) = 0 или /"(xq) не существует, то xq — точка
строгого перегиба графика функции /(х).
Доказательство. Так как fn(x) сохраняет знак при х < xq и
х > хо в некоторой проколотой ^-окрестности, то f(x) имеет разные
направления строгой выпуклости в этих частях 6-окрестности. По
определению это означает, что хо — точка строгого перегиба.
Теорема доказана.
Эту теорему можно сформулировать так: если /"(хо) = 0 и
/"(х) в точке хо, то хо — точка строгого перегиба (то же и в
случае /"(х0) = 0, /"(*) II)-
Теорема 3 (второе достаточное условие строгого переги¬
ба). Пусть /(х) дважды дифференцируема на (а, 6), /"(хо) = 0
и существует /"'(х0) ф 0.
Тогда хо — точка строгого перегиба.
Доказательство. Поскольку /^3\xq) ф 0, то либо /^(хо) > 0,
либо /(3)(хо) < 0. В первом случае имеем /"(х) ft в точке хо, а
во втором — ///(х) II в точке хо. Поэтому из теоремы 2 в обоих
случаях следует, что хо — точка строгого перегиба.
Теорема доказана.
136
Теорема 4 (третье достаточное условие строгого переги¬
ба). Пусть xq 6 (а, 6) и пусть f(x) дифференцируема 2к раз на
[а,Ь]. Пусть существует f^2k^(x0) ф 0 и f(2\x0) = /(3)(х0) = • • • =
/(2*)(* о) = О,
Тогда xq — точка строгого перегиба.
Доказательство. Заметим, что хо в силу условия /*2*+1)(хо) Ф О
является точкой возрастания или убывания для f(2k)(x).
Рассмотрим проколотую 6-окрестность U точки хо, в которой
f(2*)(х) меняет знак при переходе через хо и сохраняет знак внутри
каждой из двух ее полуокрестностей.
Далее можно считать, что к > 2, так как при к = 1 теорема 4
следует из теоремы 3. Пусть х £ U. По формуле Тейлора имеем
_ С) _ \2fc-2
~Щ^у{х~Хо) ’
где с = с(х) € U и (х — хо)с(х) > 0. Но (х — хо)2*-2 сохраняет
знак при х £ U, a f(2k\c) меняет знак. Поэтому и /^(х) меняет
знак, а следовательно, по теореме 2 точка хо — точка строгого
перегиба.
Теорема 4 доказана.
Примеры. 1. у = х3: точка 0 — точка перегиба (строгого).
2. у = х2к+1: точка 0 — точка перегиба (строгого).
Определение 2. Прямая х = а на плоскости хОу называется
вертикальной асимптотой функции /(х), если один из пределов
lim f(x) или lim fix)
х —► <2 — 4 х —a-f
равен ±oo.
Пример, у = 1/х. Здесь прямая х = 0 — это вертикальная
асимптота.
Определение 3. Прямая у = fcx + fe называется наклонной асим¬
птотой функции /(х) (или, точнее, графика функции у = /(х))
при х —► -f оо, если
a(x) = /(х) — &х — 6 —► 0 при х —► +оо.
Аналогично определяется асимптота при х —> — оо.
137
Теорема 5. Для существования наклонной асимптоты у = kx + b
при х —► -fоо у функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы при
х —* + оо (одновременно) выполнялись два условия:
1) limr_*_|_оо = к, к G М,
2) limx_+00(/(x) - кх) = 6, 6 G М.
Доказательство. Необходимость. Пусть у = кх+b — асимптота,
тогда
а(х) = f(x) — кх — b —> 0 при х —► -f оо.
Следовательно,
f(x) — кх — b
► 0 при х —► -hoc,
х
откуда
lim 4f)=t.
г—+оо X
Далее,
lim (/(х) — кх) = lim ((/(х) — кх — 6) + 6) = 6.
х—»4-оо г—»оо
Тем самым первая часть теоремы доказана.
Достаточность. Так как Птх_*+оо(/(х) — кх) = 6, то
lim а(х) = lim (/(х) — кх — b) = lim ((/(х) — &х) — 6) = b — 6 = 0.
х —-foo х—*-}-оо х—оо
Теорема доказана полностью.
Если для функции /(х) выполнено условие 1 теоремы 5, то
мы будем говорить, что прямая у — кх задает асимптотическое
направление.
Пример нахождения наклонных асимптот в случае функции,
заданной неявно.
Рассмотрим уравнение кривой
х3 4-у3 — 3аху = 0.
Зададим ее параметризацию, полагая у = tx. Тогда получим
*3(1-И3) - Зах2< = О,
з За< „ За*
1-И3 = 0, х =
х ’ 1 + <3
Отсюда имеем:
— —t — t(x)
х
138
есть ограниченная величина при i-^oo и t(x) —► — 1.
Следовательно, t = — 1, т.е. прямая у = — х задает асимпто¬
тическое направление. Найдем теперь значение параметра Ь в
уравнении касательной у = — х + 6. Имеем
У= -х + 6 + о(1),
х3 + (—х 4- Ь)3 — 3ах(—х + 6) = о(х2),
откуда
Зх (6 + а) + Зх(а6 — 6“) + 6 = о(х ),
ab — 62 Ь3
ь+а + —— +
Переходя в последнем равенстве к пределу при х —► оо для по¬
стоянного 6, получим равенство b + а = 0, откуда 6 = — а, и,
следовательно, искомое уравнение* асимптоты при х —► оо имеет
вид у — —х — а.
Краевой экстремум. Пусть /(х) задана на отрезке [а, 6].
Определение 4. Точка а называется точкой краевого локаль¬
ного максимума (минимума), если существует интервал (а,а + 6) Е
[а, 6], для всех точек х которого справедливо неравенство
/(а) > /(х) (соответственно /(х) > /(а))-
При /(а) > /(х) имеет место несобственный (локальный) максимум;
при /(а) < /(х) — несобственный (локальный) минимум.
То же самое можно определить и для точки 6, только интервал
(а, а+ 6) надо заменить на интервал (6 — 6,6).
Краевые max и min называются краевыми экстремумами.
Лемма 2. Для существования (собственного) краевого экстрему¬
ма в точке а (или Ь) достаточно, чтобы в этой точке существовала
отличная от нуля односторонняя производная функции /(х).
Доказательство аналогично доказательству леммы Дарбу.
Например, если /'(х) > 0 при х Е (а, а + 6), то а — краевой
минимум, поскольку при х Е (а, а + 6) существует с Е (а, а+ 6),
такое, что
/(х) - Да) = /'(с)(х - а) > 0, т.е. /(х) > Да),
ч.т.д.
139
Общая схема построения графика функции f(x)
1. Найти область определения функции /(х).
2. Учесть особенности функции (четность, периодичность, зна-
копеременность). Найти пересечения графика с осями координат.
3. Отметить значения функции на границе области определения
и в точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
4. Найти наклонные асимптоты.
5. Определить участки монотонности. Определить локальные и
краевые экстремумы.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
7. Отразить перечисленные особенности функции при построении
ее графика.
Лек дня 26
§ 16. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Целью интерполирования, или интерполяции, является прибли¬
женное нахождение функции по известным значениям этой функ¬
ции и ее производных в некоторых заданных точках области ее
определения. Эта задача становится определенной, если задан вид
функции и число неизвестных параметров не превышает количества
заданных значений функции и ее производных. Так, например,
многочлен n-й степени имеет п + 1 параметров (его коэффициенты)
и может быть определен по значениям его в п + 1 различных
точках.
Пусть в точках xi,...,xn многочлен Р(х) принимает соответ¬
ственно значения f(xi),..., f(xn).
Теорема 1. Существует единственный многочлен Р(х) степени
п - 1, такой, что P(xic) = f(xk), к = 1,..., п.
Доказательство. Имеем
( 1, если х = Xk,
Qk(*) = ’
L 0, если х = xi,...,Xk-i,xk+i,.-.,xn,
где
Q , ч _ (х - Jl) ... (х - Xk-l)(x - xk+i) ,..{х-хп)
k (Xk - an) • ..{xk - xk-i)(xk - an+i)... (xk - xn)'
Тогда P(x) можно записать в виде
Р(х) = /(xi)Qi(x) + • • • + f(xn)Qn(x).
Докажем, что многочлен Р(х) единственен. Действительно, допу¬
стим, что существует еще один многочлен с указанными свойствами,
т.е. Q{xk) = /(xfc).
Отсюда получим, что многочлен п — 1-й степени
F(x) = Р{х) - Q(x)
Имеет п корней, а именно:
F(xk) =0,
141
Следовательно,
Fix) = О,
т.е. многочлены Р(х) и Q(x) тождественно совпадают.
Формула, задающая многочлен Р(х), называется интерполяци¬
онной формулой Лагранжа. При этом точки х\,...,хп называют
узлами интерполяции.
Пусть Дх) — некоторая функция. Обозначим через Рк(х) мно¬
гочлен к — 1-й степени, принимающий в точках xi значения
/(zi)> • • •»/(xfc)* Тогда интерполяционную формулу можно записать
в виде
п
Р(х) = Р,(х) + £(Р*(х) - Pfc-l(x)) = Рп(х).
к=2
Многочлен Рк{х) — Pk-i{x) степени к — 1 в силу определения
обращается в 0 в точках х\>..., xjt-i. Следовательно, он имеет
вид
Ак(х - х0) ...(х - хк-1).
Коэффициент Ак совпадает со старшим коэффициентом мно¬
гочлена Рк(х) и в силу интерполяционной формулы Лагранжа
равен
Ак= - + - ^ -
(xi - х2)... (xi - хк) (х2 - Xi)(x2 - Х3)... (х2 - Хк)
/(**)
+
(xjb - Xi) . . .(xjt - Хк-1)
Таким образом, коэффициент Ак является некоторой функцией
от £i ,...,£*. Обозначим ее
Ак = /t(xi,...,Xjfc).
Тогда интерполяционный многочлен Р(х) можно записать так:
P(x)=fl(*l)+(*-*l)/2(*l> ®2) + * • -+(x-£i) . . . (r~£n.i)/n(xi, . . . , Хп),
где, очевидно, полагая х = xi, имеем /i(xi) = /(^l)-
Эта формула носит название интерполяционной формулы Нью¬
тона. Функции fk(x\,..., Хк), к = 1,..., п, называются интерполи¬
рующими функциями.
Положим в формуле Ньютона х = хп. Получим
f(xn) = Р(хп) =f(x1) + (xn -xi)f2{xux2) + ...
-I- (хп - Xi) . . .(хп - Хц — 1 )fn(x\,.. .,£„).
142
Здесь узел интерполяции хп — произвольное число, поэтому,
заменяя хп на х, будем иметь
/(х) = f(xi)-j-(x-xi)f2(xi,X2) + - • + (x-xi) • . .(x-x„_i)/„(aг,,..., x).
Уменьшим количество узлов интерполяции на один, исключив
точку £n_i, запишем эту формулу для узлов интерполяции
XI,..., £п-2, х и вычтем получившееся тождество из предыдущего.
Тогда получим
^ ^ ^ ^ fn — 1 1 > • • • 1 %п — 2) *р) /n-l(«l, • • • > — 1)
Ы*Ь---» хп - Ь х) — •
Z “ *»-1
Таким образом, при н. = 2,3,... имеют место соотношения
г /_ .4 _ Я*) - Я* О f и _ /а(*1.*) - /2(*1.*з)
/2(^1 > *^2i — ?
ж — а: 1 Х*1 — Хо
которые позволяют с помощью простого алгоритма вычислить ин¬
терполирующие функции. Для определения всех коэффициентов
интерполяционного многочлена Ньютона п— 1-й степени достаточно
вычислить значения интерполирующих функций в n^n0~^ точках
(с учетом кратности). Здесь существенно, что при добавлении
новой точки интерполяции интерполирующие функции, вычислен¬
ные ранее, сохраняются и надо только добавить к ним значения
интерполирующих функций в этой точке.
Теорема 2. Пусть f(x) имеет п-ю производную на отрезке [а, 6],
а < x*i < Х‘2 < • • • < хп < Ь. Тогда имеет место формула
№ = Pn(b) + R(b),
где
f{n)(c)
Л(Ь) = i—
77!
причем с — некоторая точка, принадлежащая (а, Ь).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
R(x) = f(x) - Р„(х) - (х - х 1). ..(х - хн)Н,
Где Н — некоторое число, значение которого мы выберем ниже.
Имеем
R(x{) = • • • = R(xn) = 0.
143
Величину Н найдем из соотношения
Д(6) = 0.
Отсюда по теореме Ролл я, примененной п раз, получим, что
существует число с £(«,&), для которого
Я(п)(с) = 0,
откуда
Следовательно,
ч.т.д.
/(п)(с) -п'.н = 0.
/(п)(<0
11 =
Леки^я 27
§ 17. МЕТОД ХОРД И МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (МЕТОД
НЬЮТОНА). БЫСТРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пусть функция f(x) дифференцируема на [а, 6]. Тогда f(x)
непрерывна на [а, 6] и по теореме Коши о промежуточном значении
для любого а С- 1К, лежащего между числами f(a) и /(6). внутри
отрезка [а, 6] найдется точка с, такая, что
Дс)=а.
Естественной и важной задачей и в теоретическом, и в практиче¬
ском смысле является задача вычисления приближенного значения
числа с с наперед заданной точностью. Например, можно поста¬
вить вопрос о нахождении корня уравнения х2 = 2 с точностью
до десяти знаков после запятой, т.е. для у/2 найти приближенное
значение со, такое, чтобы имело место неравенство
|л/2 - с0| < Ю“10 , и т.н.
Сейчас мы рассмотрим два естественных метода нахождения
таких приближенных значений, а именно: метод хорд и метод
касательных, который еще называют методом Ньютона, поскольку
Ньютон первым его применил. Эти методы важны не столько
сами по себе, сколько тем, что они являются простейшей моделью
многих вычислительных процессов, применяемых в гораздо более
сложных ситуациях.
Оба метода итерационные, т.е. они состоят в последовательном
вычислении некоторых чисел х\, Х2, ..., хп,... При этом разность
\с — хп| —► 0 при п оо, и поэтому , начиная с некоторого
номера по, она должна стать меньше наперед заданного значения,
называемого заданной точностью или погрешностью вычисления.
Рассмотрим метод хорд. Число х\ мы определим как абсцис¬
су точки пересечения горизонтальной прямой у = а с “хордой”
графика функции у = f(x), т.е. с отрезком, соединяющим точки
(а, Да)) и (6, /(*))-
Обозначим отрезок [а, 6] через Iq.
Полагая А = f(a) и В — /(6), исходя из подобия соответствующих
треугольников имеем уравнения для нахождения величины х\:
а — А _ В — а ct — В
х\ - a b — X] х\ — Ъ
б-Г. Архипов и др.
145
Отсюда находим
х\(а - А) — Ь(а — А) — xi(a - В) — а(а — В),
—а(а - В) + Ь(а — А)
хх -
В-А
Затем в качестве /] берем один из отрезков [а,хi] или [xi,6] так,
чтобы число о вновь находилось между значениями f(x) на его
концах, т.е. на концах отрезка [\ функция f(x) — a имеет значения
разных знаков. По тому же правилу находим U и т.д. Получим
систему вложенных отрезков: /о Э 1\ Э • • О 1п О • • • Как известно,
они содержат общую точку с.
Если, например, /'(х) > 0, то f(x) не убывает, и тогда из
непрерывности /(х) следует, что /(с) = а, поскольку на концах
каждого из отрезков 1п функция д(х) — f(x) — а имеет значения
разных знаков.
Второй метод — метод касательных — состоит в следующем.
Пусть для простоты а = 0. (Если это не так, то вместо уравнения
f(x) = а рассмотрим уравнение д(х) = 0, где д(х) = /(х) — а.)
Величину xi определим из соотношения
W = /46). X,. Х1=6-^
При n > 1 имеем далее х„+\ = хп — ■
В обоих методах надо еще уметь определить момент, когда сле¬
дует оборвать процесс вычислений. Чтобы упростить решение этого
вопроса и сократить объем вычислений, применяют комбинирован¬
ный методу именуемый методом хорд и касательных. Сущность
этого метода состоит в нахождении пар точек xn,yn, подчиненных
условию хп < с < уп. Схема вычисления величин хп и уп такова.
Пусть /"(х) >0 на /о = [а, 6]. Определим xi по методу хорд, a
yi по методу касательных. Тогда имеем х\ < с < у\< и далее за
1\ принимаем отрезок [х\}у\]. Точно так же, находя Х2 по методуг
хорд, а у2 по методу касательных, получим отрезок /2 = [^2^2] и
т.д. Как только окажется, что |хп — уп\ < <5, то на этом процесс
вычисления с с точностью до 6 мы обрываем.
Примеры. 1. Пусть /(х) = х2 — а, а = 0, а — 2.
146
Применим метод касательных. Для определенности положим
xq — 1. Величина хп+\ определяется по формуле
Я*") _ г Хп ~а
Xn + l — Хп fl, ч — Хп 0
f'(xn) 2хп
х„ a If а
~Хп 2 2х„ ~ 2 \Хп +
Для того чтобы выяснить, как быстро сходится этот вычисли¬
тельный процесс, проведем оценку погрешности на п + 1-м шаге.
С этой целью обозначим через гп величину
гп = \у/а-хп\.
Тогда
ГП = (%/а - хп)2 = а - 2хпу/а + а:2,
откуда
2хп ~ 2 (жп Хп ^
Из неравенства
а. + 6
2
получаем, что при п > 1
> \/ab
'"+i=К*”+йг ^
С ледовател ьно,
9 2
Г“ Г„
гп+1 < 7ГТ= < так как а = 2-
LyJ а 2
Отсюда мы можем заключить, что если хп приближает у/а с
точностью до к десятичных знаков после запятой, т.е.
Гп < 10-*,
то приближает у/а уже с точностью до 2к знаков, т.е.
гп+1 < l(T2fc.
147
Если мы за хо возьмем, например, число 1,4, которое, как известно,
приближает у/2 с точностью до одного знака, т.е.
|>/2- 1,4| < КГ1,
то получим
Г! < 10~2, Г2 < 10-4, гп < К)-2",
Мы видим, что за п шагов точность составит величину, не меньшую
чем к знаков, где к = 2П.
Так что для вычисления числа /2 с заданной точностью в к
знаков достаточно выполнить п итераций, где
п = [log2 к] 4- 1.
Такого же типа оценки для метода Ньютона имеют место и в общем-
случае решения уравнения f(x) = 0, если начальное приближение
взято достаточно “хорошим”. Доказательство этого утверждения
основано на применении формулы Тейлора с разложением до
второго члена, но мы его проводить не будем.
Обратим внимание на другой факт. Он состоит в том, что при
оценке эффективности вычислительного алгоритма надо обращать
внимание не только на количество итераций, но и на количество
арифметических операций в каждой итерации. Например, при
вычислении у/а количество арифметических операций в каждой
итерации равно 3: одно деление, одно сложение и одно умножение.
Следовательно, для вычисления у/а с точностью до к знаков надо
сделать 3[log2fc] + 3 арифметических операций.
Но и это еще не все. Во-первых, надо иметь в виду, что
нет нужды в начальных итерациях учитывать все к знаков, так
как точность приближения от этого не возрастает; во-вторых,
проводить деление в столбик гораздо труднее, чем умножать числа,
а умножать труднее, чем складывать.
По второму пункту надо сказать, что метод Ньютона дает
возможность заменить деление умножением.
Действительно, имеем
f(x) = - - а, хо = 1.
х
148
Тогда
/Ы
/'(*»)
= Хп -
1/хп - а
-Ф1
= 2я„ ~
Как и раньше, имеем
Гп -
1
Хг
а
2хп
2 — '*i &
Гп “Г2 I ^
а
= (2хп + ах;) = rn+1.
а
Теперь, например, при а < 1 и го < 10“1 для величины п — ко¬
личества итераций — при вычислении с точностью до к десятичных
знаков после запятой имеем
71 < [bg2 к] + 1.
Еще более строгий подход к вопросу об эффективности вычи¬
слительного алгоритма состоит в учете операций над цифрами, с
помощью которых записывается число. Тогда можно сказать, что,
например, сложение двух n-значных натуральных чисел требует
не более 3п операций, а “школьный” способ умножения чисел в
столбик требует порядка тг2 поразрядных умножений и порядка
п2 сложений. Поэтому кажется очень естественным, что быстрее
чем за 0(тг2) операций умножить два n-значных числа нельзя. В
50-х гг. академик А.Н. Колмогоров поставил задачу доказать это,
на первый взгляд, правильное утверждение. Но оказалось, что это
не так.
В 1961 г. А.А. Карацуба, тогда еще аспирант, а ныне профессор
кафедры математического анализа МГУ, доказал замечательную
теорему, которая положила начало совершенно новому направле¬
нию в вычислительной математике теории быстрых вычислений.
Он доказал, что два n-значных числа можно умножить не
за 0(п2), а за 0(nlog23) операций. Надо сказать, что метод
доказательства очень прост.
149
Теорема А. А. Карану бы. Существует алгоритм, позволяющий
умножить два n-значных числа за O(nlog2 3) операций.
Доказательство. Представим числа в двоичной записи:
я — ап ... cl 1, b — ... 6^.
Заметим, что
ab = i((a + 6)2 - (a - b)2).
Для деления числа на 4 достаточно сдвинуть его на 2 разряда
вправо, это займет только 0(п) операций. Так что достаточно
доказать, что возведение в квадрат n-значного числа потребует
указанного числа операций. Доказательство проведем по индукции.
Пусть для простоты п = 2* и пусть
a = 2"'2 • a + /?,
где а и /3 — n/2-значные числа. Тогда имеет место тождество
а2 = а2(2" - 2"/2) + (а + /З)22n'2 - 01{2П!2 - 1).
Если число операций для возведения в квадрат n-значного числа
мы обозначим через К(п), то
К(п) < ЗК(п/2) + сп,
К(п/2) < ЗК(п/4) + сп/2,
/1(2) <3*(1) + с,
K(n) < 3* 4- с(п + 3— + З2— + • • • + 3*),
где k = log2 п.
Отсюда имеем
К(п)<3*(Зс+1),
ч.т.д.
В заключение укажем на одно соображение общего характера,
лежащее в основе многих итерационных вычислительных алгорит¬
мов.
150
Пусть нам требуется вычислить значение функции в точке xq,
т.е. вычислить /о = f(xо). Обозначим через /„ приближение к /о
с точностью 6п (до п десятичных знаков):
Дп = |/»-/о|.
Допустим, нам известна функция G(x) со следующим свойством:
G(fo) = /о, G'(*)U=/0 = О-
Тогда имеем
СШ = G(fo) + G'(fo){fn - /о) + ^й(/. - /о)2,
откуда
|/о-С(Д)|<сД’,
где
| G"
с — шах —-—.
Теперь, полагая 1 = G(/n), мы получим приближение к /о
с точностью порядка 2п десятичных знаков после запятой. Тем
самым мы имеем быстросходящийся алгоритм для приближенного
вычисления значения /о. Заметим, что разобранный выше алгоритм
вычисления корня квадратного из числа xq является частным
случаем данного при f(x0) = у/Щ и G(fn) = |(/п + •
Глава VI
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекция 28
§ 1. ТОЧНАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ФУНКЦИИ
Определение 1. Функция F(x) называется точной первообраз¬
ной для функции f(x) на (а, 6), если при любом х£ (а, 6) имеем
F'(x) = Дя), т.е. в каждой точке х интервала (а, 6) значение
функции f(x) является производной для функции F(x).
Теорема 1. Пусть Дх) определена на (а, 6) и ГЦх), Г2(х) —
две ее точные первообразные. Тогда существует число с £ М, такое,
что при любом х £ (а, 6)
Fi(x) - Г2(х) = с.
Доказательство. Пусть функция
G(x) = Fi(x)-F2(x).
Тогда G(x) — дифференцируемая функция, причем всюду на (а,Ь)
G\x) = F[{x) - F'(x) = /(х) - Дх) = 0.
Положим хо = Тогда по формуле Лагранжа конечных
приращений имеем
G(x) - G(x0) = G\i){x - хо) = 0,
т.е.
G(x) = G(x0) V х £ (а, 6).
Но, полагая с = G(x0), получим, что G(x) = с для всех точек х
интервала (а, 6), ч.т.д.
Замечание. Из теоремы 1 следует такое утверждение: любые
две первообразные F(x) и G(x) функций Дх) и д(х) отличаются на
152
константу тогда и только тогда, когда их производные совпадают,
т.е. когда F' = / = д = G'. Ранее мы видели, что далеко не
все функции, заданные на каком-либо интервале (а, 6), имеют
производную.
Так же обстоит дело и с первообразной, т.е. не все функции
обязаны ее иметь. Но если функция /(я), определенная на (а, 6),
имеет первообразную, то она называется интегрируемой. Прежде
чем перейти к изучению класса интегрируемых функций, несколько
обобщим понятие точной первообразной.
Определение 2. Непрерывная функция F(x) называется пер-
вообразной для функции /(х) на интервале (а, 6), если в каждой
его точке х за исключением, быть может, конечного их числа
выполняется равенство F'(x) = f(x).
Теорема 2. Пусть F\(x) и /^(х) — первообразные для функции
/(х) на (а, 6). Тогда найдется число с, такое, что всюду на этом
интервале
Доказательство. Пусть xi,...,xn — конечное множество точек,
на котором не существует F[(x) или ^(х). Тогда множество (а, Ь)
состоит из конечного числа интервалов /*, на которых производные
обеих функций существуют. Следовательно, по теореме 1 их
разность постоянна на каждом таком интервале. Кроме того,
эта разность является непрерывной функцией на всей области
определения. Отсюда следует, что в общей граничной точке любых
двух смежных интервалов ее значение равно одновременно пределу
справа и слева. Эти значения, в свою очередь, совпадают с ее
значениями на смежных интервалах. А это значит, что функция на
смежных интервалах, включая точку их общей границы, постоянна.
Следовательно, она постоянна на всем интервале (а, 6), что и
требовалось доказать.
Определение 3. Совокупность всех первообразных функций для
какой-либо одной функции /(х) на интервале называется неопре¬
деленным интегралом от функции /(х). Эта совокупность обозна¬
чается символом
(читается: интеграл от f(x)dx).
Из теоремы 2 следует, что все функции этой совокупности
отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому, если F(x) —
Fi(z) - F2(x) = с.
153
какая-нибудь одна первообразная, то можно записать равенство
J f(x)dx = F{x) + c, (1)
где с — произвольное число.
Это равенство надо понимать как равенство двух множеств,
состоящих из функций, определенных на (а, 6), причем слева стоит
совокупность, образующая неопределенный интеграл от /(х), а
справа — совокупность функций, отличающаяся от функции F(x)
на функцию, значение которой равно числу с для всех точек х
этого интервала.
Примеры.
1. f 1 • dx = х + с, так как х' = 1.
2. f 0 dx = с,
3. /cos х dx = sin х -f с, так как (sin х)'= cosx.
Для доказательства этих равенств надо продифференцировать
правую часть и убедиться, что ее производная равна функции,
записанной слева между знаком f и символом dx. Она называется
подынтегральной функцией. Знак / называется знаком интеграла,
а выражение, записываемое справа от него — подынтегральным
выражением.
Легко видеть, что подынтегральное выражение есть не что
иное, как дифференциал любой первообразной функции для /(х).
Действительно, если F(x) — первообразная для /(х), т.е. F'(x) =
/(х), то по определению дифференциала
dF[x) = f(x)dx.
А так как
J f(x)dx = F(x) + с, d(F(x) + с) = dF(x),
то можно записать равенства
Jmr) = FM + c, ,((//(.)*) =rfF(.) = /(.)<(., (2)
причем знак равенства в последнем соотношении означает, что все
функции, входящие в совокупность f f(x)dx, имеют один и тот же
дифференциал dF(x). Имеем также
(У f{x)dxj =/(*). (3)
154
Определение 4. Нахождение неопределенного интеграла от
функции /(х), заданной на (а, Ь), называется интегрированием
этой функции. Саму задачу нахождения неопределенного инте¬
грала можно рассматривать как обратную к задаче нахождения
дифференциала функции.
Лекция 29
§ 2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Из правил дифференцирования функции и теоремы 2 следует
ряд свойств неопределенного интеграла. Вот некоторые из них,
которые задаются равенствами и доказываются с помощью диффе¬
ренцирования обеих частей этих равенств. Прежде всего докажем,
что равенство
которые имеют место V х £ (а, 6), за исключением, быть может,
конечного числа точек.
В силу приведенных выше свойств (1)-(3) равенства а-г дей¬
ствительно эквивалентны. А равенство (4) означает лишь то, что
любые две первообразные F, G для функций / и <7 отличаются
между собой на константу. Но ввиду замечания к теореме 1 для
этого необходимо и достаточно, чтобы f = д, т.е. равенство (4)
равносильно в.
Доказательство закончено.
Замечание. Свойство (4) дает критерий равенства двух неопре¬
деленных интегралов: они совпадают тогда и только тогда, когда
совпадают их производные или дифференциалы. Докажем теперь
свойство
Эти равенства надо понимать как совпадение двух совокупностей
функций, стоящих в этих равенствах справа и слева. (Напомним,
что два множества равны, когда они состоят из одних и тех же
элементов.) Надо пояснить, что совокупность
эквивалентно одному из четырех равенств:
а
О (/ = (/ g(x)dr} ;
в) f(x) = д(х)\
г) f(x)dx = g(x)dx,
156
состоит из всевозможных функций, образованных суммами функций
F(x) + G(x), где
т.е.
где
F(x) € J f(x)dx, G(x) € Jg(x)dx,
j f(x)dx + J g(x)dx = {F(x) +G(x)},
{F{x)} = J f(x)dx, {G(x)} = J g(x)dx.
Теперь для доказательства (5) в силу свойства (4) достаточно
продифференцировать эти равенства.
Доказательство закончено.
Следует заметить, что для простоты применения на символы
f f(x)dx и f g(x)dx удобно смотреть, как на обычные функции,
подразумевая под ними некоторые первообразные для функций
f(x) и д(х) соответственно, а равенство между выражениями, в ко¬
торые они входят линейно, понимать с “точностью до постоянной”,
имея в виду, что правая и левая части отличаются на функцию,
постоянную на (а, 6).
С помощью свойства (4) мы легко можем установить еще два
свойства неопределенных интегралов, важных для непосредствен¬
ного интегрирования:
правило интегрирования по частям
u(x)v(x) — J u(x)dv(x) = J v(x)du(x), (6)
правило замены переменной
J f{x)dx = J f{ip(t))<p'(t)dt, (7)
где x = <p(t) — дифференцируемая функция от t) определенная на
интервале (а,/?), причем множество значений {<£>(0) принадлежит
интервалу (а, 6).
Мы предполагаем, что в обоих равенствах интегралы в левых
частях действительно существуют; из этого следует существование
интегралов и в правых частях этих равенств. Докажем сначала (6).
Так как по условию интеграл в левой части равенства существует,
то ее дифференциал равен
d— J и dv'j = и dv -f v du — и dv = v du.
157
Отсюда в силу свойства (4) следует справедливость свойства (6).
Для доказательства свойства (7) заметим, что по правилу диф¬
ференцирования сложной функции и свойству (3) при х = <p(t)
имеем
( [ f{x)dx^J = [J f(x)dxj
d<p(t)
di
Следовательно, по свойству (4) интеграл f f(x)dx при x = <p(t)
есть в то же время и неопределенный интеграл от функции
/(?(<)V(*)> т.е.
J f(x)dx = J f(<p(t)d<p(t) = j f(ip(t))<p'(t)dt,
Ч.Т.Д.
С помощью дифференцирования легко убедиться в том, что
справедлива следующая таблица неопределенных интегралов от
простейших элементарных функций (см. [1, с. 294-295]):
“Ь с, xi "ф- 1,
1)
/
хп dx =
2)
I
J3
II
■81*
3)
I
II
4)
I
dx
1 — г 2
5)
I
dx _
y/l — X2
6)
I
dx _
7^±i
*+1
1+г
1—г
+ с;
arcsin х + с;
х + у/х2 ± 1
+ с;
7) / azdx =5+ с, а > 0, а ф 1,
f exdx = ех + с]
8) / sin х dx = — cos х 4- с;
9) / cos х dx = sin x + с;
10) f = — ctg x + c;
n) I ^7 = tsx + c;
12) f Inxdx = x lnx — x -f c.
Как мы уже говорили, не всякая функция имеет точную пер¬
вообразную, потому что не всякая функция является производной
от другой функции. Например, рассмотрим функцию
1, если х G (0,1),
/(х) = 2, если х — 1,
3, если х Е (1, 2).
158
Эта функция определена на (0,2) и не может являться про¬
изводной какой-либо функции F(x) на (0,2), так как по теореме
Дарбу производная принимает все свои промежуточные значения,
a f(x) — всего три значения: 1, 2, 3.
В дальнейшем мы докажем формулу Ньютона-Лейбница, из
которой следует, что функция, непрерывная на интервале, имеет
первообразную, т.е. интегрируема. Поэтому все элементарные
функции интегрируемы на всех интервалах, входящих в их области
определения. Однако в результате интегрирования далеко не всегда
получаются снова элементарные функции, т.е. дело обстоит не так,
как при дифференцировании. Например, можно доказать (чего мы
делать не будем), что функции
не являются элементарными.
Функции, сами не являющиеся элементарными, но определяемые
через них с помощью аналитических соотношений типа интегри¬
рования и дифференцирования, обычно называют специальными
функциями.
Однако следует отдавать себе отчет в том, что, например, с вы¬
числительной точки зрения специальные функции, вообще говоря,
ничуть не хуже, чем элементарные, а иногда и лучше. Но все же
простейшие элементарные функции имеют преимущество, состоя¬
щее в простоте тех функциональных соотношений, которым они
удовлетворяют. Поэтому на семинарских занятиях Вы в основном
будете изучать случай, когда f(x) и f f(x)dx — элементарные
функции.
Еще раз подчеркнем, что единого метода интегрирования эле¬
ментарных функций существовать не может, так как первообразная
может и не быть элементарной функцией. Но для нахождения
первообразной в явном виде имеется несколько приемов.
Говоря о методах интегрирования, снова напомним, что для
выяснения того, является ли известная нам функция F(x) пер¬
вообразной для /(ж), нет необходимости “брать интеграл”, т.е.
вычислять f f(x)dxy здесь надо просто найти F'(x) и сравнить ее
Примеры. 1. Пусть f(x) имеет непрерывную производную на
(интегральный логарифм),
(интегральный синус)
с f(x) .
а<п<х
159
Действительно, если ж — не целое число, то, поскольку С(х)
и Yla<n<rcn кусочно-постоянны на интервалах, не содержащих
целых точек,
F'(x) = -C(x)f'(x).
Ранее мы убедились, что F(x) непрерывна на (а, 6). Так что F(x)
есть первообразная для функции С(ж)/'(ж).
2. Пусть /(ж) имеет непрерывную производную на (а, 6), р(х) =
| — {ж}. Тогда имеет место формула
F(x) - ~ p(x)f(x)+p(a)f(a) = /(/(*) - p(x)f(x))dx■
a<n<x J
Действительно, если x — не целое число, то
FXx) = (-p(x)f{x)Y = /(*) - p(x)f'(x)-
Далее, поскольку F(x) — непрерывная функция, то F(x) —
первообразная для функции /(ж) — p(x)ff(x).
Иногда дифференцирование ответа оказывается очень громозд¬
кой процедурой, так что целесообразно с помощью различных
приемов сводить процесс вычисления к табличным интегралам.
Для того чтобы уверенно и быстро вычислять интегралы, не¬
обходим определенный навык в применении стандартных приемов
интегрирования. Самые простые и самые общие из этих приемов —
это метод замены переменной и метод интегрирования по частям
(см. свойства (5) и (6)). На семинарских занятиях Вы изучите
еще несколько специальных приемов вычисления неопределенных
интегралов.
Подробнее с различными методами интегрирования можно по¬
знакомиться, например, в [1, 2, 4, 7].
На этом мы заканчиваем изучение неопределенных интегралов.
Лекция 30
ДОПОЛНЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ПО
ГЕЙНЕ НА ФУНКЦИИ, СХОДЯЩИЕСЯ ПО БАЗЕ МНОЖЕСТВ
Предметом настоящей лекции является распространение клас¬
сического понятия предела функции по Гейне на общий случай
сходимости по базе множеств. Как известно, построение курса ма¬
тематического анализа основано на двух эквивалентных понятиях
сходимости: пределах по Коши и по Гейне. Одновременное ис¬
пользование обоих понятий в курсе мотивируется его содержанием.
В частности, это позволяет унифицировать и сделать значительно
яснее использование пределов во всем их разнообразии, включая
теорию интегрирования, функции многих переменных и др.
Необходимо отметить, что понятие сходимости по базе множеств
было впервые сформулировано А. Крыжановским (в несколько от¬
личающейся терминологии). В 1937 г. В.И. Гливенко использовал
это понятие для общего определения интеграла. Позже, как отме¬
чал А.Н. Колмогоров, французская математическая школа пришла
к тому же понятию в рамках теории фильтров.
В связи с успешным развитием теории сходимости по Коши
возникла неотложная необходимость в соответствующем обобще¬
нии понятия предела функции по Гейне. Здесь мы решаем эту
задачу. Мы вводим понятие Я-предела по базе, которое совпада¬
ет с классическим определением предела по Гейне в простейших
конкретных случаях. Затем мы устанавливаем эквивалентность
понятия Я-предела по базе, введенного нами, и общепринятого
определения предела функции по Коши. Наконец, как нетриви¬
альный пример понятия Я-сходимости по базе, введенного нами,
мы демонстрируем новый подход к определению и исследованию
верхнего и нижнего пределов функции по базе.
1. Пусть А — основное множество элементов х, А = {х}, и
пусть Я — база его подмножеств, которая состоит из бесконечного
числа окончаний 6, т.е. 6 С А, 6 6 Я, удовлетворяющих следующим
условиям:
1) каждое окончание является непустым множеством;
2) для любых двух окончаний &i, 62 существует окончание 63,
такое, что 63 С 61 П 62-
Определение 1. Мы называем последовательность {хп}, хп £ А,
фундаментальной по базе Я, если для любого окончания 6 су¬
ществует только лишь конечное число членов последовательности,
которые не принадлежат Ь.
161
Определение 2. Фундаментальная последовательность называ¬
ется монотонной (по базе В), если условие хп Е 6 влечет условие
£п+1 £ Ь для каждого окончания 6.
Далее мы ограничимся базами В, удовлетворяющими также
следующим условиям:
3) для любых двух окончаний 6i, 62 имеем, что либо 61 С 62,
либо 62 С 61;
4) существует по крайней мере одна монотонная последователь¬
ность по базе В;
Пб€В & =
2. Докажем несколько свойств монотонных последовательностей
по базе.
Лемма 1. Пусть {яп} — монотонная последовательность по базе
В. Тогда существуют ее подпоследовательность {у*}, Ук — £пк, и
последовательность окончаний Ьп Е В, зависящая от {у*} , такие,
что xnk Е Ьк, но хПк £ 6*+ь bk+1 С 6*.
Доказательство. В качестве 61 выберем произвольное окончание
из В. Существует только конечное число членов последователь¬
ности, которые не принадлежат 61. Пусть хПх Е 61, тогда для
любого к > О имеем Ящ+fc € bi (по свойству монотонности {яп}).
В качестве 62 выберем некоторое окончание, которому не принад¬
лежит хП1. Такое 62 существует, поскольку Нв = Г\ьев^ = 0*
Действительно, если xni € b для любого окончания 6, то хП1 Е Я#.
Но тогда Я# не будет пустым множеством. В качестве хП2 выбе¬
рем член последовательности с минимальным индексом, начиная с
которого все последующие члены последовательности принадлежат
62, и т.д.
Таким образом, мы получаем две последовательности: элементов
Уз = *п, и окончаний {6,}, 6, Е Я, таких, что хПв Е bs, хПш £ 65+1
и С Ь9 для каждого s > 1.
Лемма доказана.
Заметим, что последовательность {у5}, очевидно, является мо¬
нотонной по базе В. Последовательность {6П} назовем основной
последовательностью окончаний.
Лемма 2. Пусть {&п} — основная последовательность оконча¬
ний. Тогда для каждого окончания b Е В существует окончание
bn Е В, такое, что Ьп С Ь.
Доказательство. Предположим противное.
Пусть 6* будет такое окончание, что для всех п имеем bn <$_
6*. Тогда в соответствии со свойством 3 базы В выполняется
следующее условие: Ьп Э 6* для всякого n > 1, т.е. Ь* С Пп = D.
162
Из леммы 1 имеем, что уп £ 6n+i- Следовательно, уп £ p|n bn = D,
т.е. бесконечно много, даже все члены последовательности {уГ1}
не принадлежат D. Далее, так как Ь* С D, то окончанию 6*не
принадлежит бесконечно много членов последовательности {t/n}.
Это противоречит тому, что последовательность является фун¬
даментальной.
Лемма доказана.
3. Пусть /(х) будет вещественной функцией, определенной на
А. Мы называем число / С-пределом функции /(х) по базе Я,
если для всякого е > 0 существует окончание b = 6(e), такое, что
для всех х Е Ь имеем | f(x) — /| < е.
Обозначение: / = C-lim# f(x) или просто / = lim в /(*)•
Это соответствует определению предела функции по Коши. Да¬
дим теперь аналогичное определение предела по Гейне.
Число / мы будем называть Ят-пределом функции f(x) по базе
Я, если для каждой монотонной последовательности {яп} по базе
В имеем, что
lim f(xn) = /.
п—оо
Обозначение: I = Ят-Нтв /(я)-
Теорема 1. Для того чтобы существовал C-lim# /(х), необхо¬
димо и достаточно, чтобы существовал Ят-Нт# /(х); более того,
имеем
Hm-limf(x) = C-lim/(x).
в в
Другими словами, понятия Ят-предела и С-предела функции
по базе В являются эквивалентными.
Доказательство. Необходимость. Пусть С-предел существует,
т.е. С-Итв f(x) = /. Тогда по определению V е > 0 3 6 = 6(f),
такое, что V х Е Ь справедливо неравенство |/(х) — /| < е.
Рассмотрим произвольную последовательность {хп}, монотонную
по базе Я. Из условия монотонности следует, что существует по,
такое, что для всех п > по имеет место соотношение х„ Е 6.
Следовательно,
If(x„) -l\<£ V п > По,
т.е.
lim f(xn) = I.
n—•> ОО
Достаточность. Предположим противное. Пусть
Яш-Птв /(х) = /, но С-предел не существует или не равен /.
Это означает, что существует 1 е > 0, такое, что для каждого
окончания Ь £ Я найдется х Е 6, для которого |/(х) — /| > е.
163
Рассмотрим основную последовательность окончаний {6П}. Пусть
z\ € bi и \f(zi)j- /| > е. Так как Нв = Пьев ^ = 0> то существует
окончание Е -В, такое, что z\ £ b^l\ В силу леммы 2 при
некотором п\ имеем 6П1 С Следовательно, z\ 0 bni.
Далее, существует точка z2 Е 6П1, такая, что \f(z2) — /| > е. Как
и выше, мы находим окончание 6П2, удовлетворяющее условию
-2 0 &п2- Затем выбираем 23 Е &П2, такое, что |/(гз) — /| > е, и т.д.
Таким образом, мы получаем последовательность {гп}, которая
удовлетворяет условиям
*к G ЬПк_ 1, Zk (£ ЬПк,
и последовательность окончаний
^1 = ^Мо ^ Э ^п2 Э ...
Покажем, что последовательность {zn} является фундаменталь¬
ной и монотонной по базе В.
Фундаментальность. Возьмем любое окончание 6* Е В. По
лемме 2 существует окончание 6*, такое, что 6* С 6*. Если
п5 > то 6Пв С bk С 6*. Окончанию ЬПв не принадлежат только
элементы zi,...,zs последовательности {гп}, и для любого n >s
имеем zn Е ЬПд С 6*. Значит, последовательность {zn} является
фундаментальной.
Монотонность. От противного. Предположим, что существует
окончание b* Е Ву такое, что для некоторого к имеем
Zk Е 6*, 2jfc + i ^ 6*.
Из построения последовательности {zn} получим, что Zk+i Е ЬПк.
Следовательно, ЬПк Э Ь* (по свойству 3 базы). Так как Zk Е б*, то
Zk Е ЬПк. Однако это противоречит тому факту, что по построению
последовательности {zk} справедливо условие Zk ЬПк. Таким
образом, последовательность {z*} является монотонной.
Далее из того, что
Нт- lim f(x) = /,
имеем
lim f(zn) = I.
П-—00
Следовательно, мы можем перейти к пределу в неравенстве
|/(*»)-/|>е>0.
164
Получим 0 > е > 0, что невозможно.
Теорема доказана.
Будем говорить, что число / называется //-пределом функции
f(x) по базе В, если для любой фундаментальной последователь¬
ности {хп} по базе В выполнено условие
lim /(х„) = /.
п —► СЮ
Обозначение: / = Я-Пт# /(х).
Теорема 2. Следующие три понятия предела эквивалентны:
1) limB f(x) = I;
2) Н-Итв f(x) = I;
3) Нт-Мтв f(x) = /.
Доказательство. Имеет место следующая цепочка утверждений:
1 => 2 => 3 => 1. Первые два из них очевидны, а третье следует
из теоремы 1.
4. Теперь мы докажем несколько свойств верхнего и нижнего
предела по базе.
Пусть {хп} — монотонная последовательность по базе В и пусть
существует
lim f(xn) = /.
tl —► оо
Тогда / называется частичным пределом по базе В. Наибольший
из частичных пределов (если он существует) называется верхним
пределом функции f(x) по базе В и обозначается Ишв/(х); подоб¬
ным образом наименьший частичный предел называется нижним
пределом по базе В и обозначается limBf(x).
Число /1 называется верхним предельным числом, если
/х = inf sup/(х),
Ь^В х£Ь
а число /2 — нижним предельным числом, если
/2 = sup inf f(x).
Ъ£В x^b
Теорема 3. Пусть f(x) финально ограничена. Тогда верхний
и нижний пределы f(x) по базе В существуют и
lim/(г) = inf sup/(х),
В b£B X£b
lim/(x) = sup inf f(x).
в ъев*£ь
165
Доказательство. Для любых двух окончаний 61, 62 базы В
имеем
inf /(х) < sup /(х).
х€Ъ2
Действительно, если 63 — окончание базы В и 63 С i>i П 62, то
inf /(х) < inf /(х) < sup /(х) < sup /(х).
^€61 *еь з x€j2
Следовательно, в силу финальной ограниченности /(х) по базе В
существует такое число А, что
А = inf sup f(x).
ьевх/ь
Докажем, что
lim /(х) = А.
Шаг 1. Мы можем найти окончание Ь* Е В, для которого
/(х) < А Н- 1 V х Е 6*. Из леммы 2 следует, что существует
окончание bni Е В с условием 6П1 С 6*. Покажем, что можно
найти элемент х\ Е ЬП1 с условием
А + 1 > /(хх) > А — 1.
Достаточно показать, что
sup /(х) > /(х 1) > А - 1.
Если бы такого элемента xi не было, то V х Е ЬП1 выполнялось
неравенство /(х) < А — 1. Следовательно,
sup /(х) < А — 1,
*€ЬП1
откуда имеем
А = inf sup f(x) < А — 1.
bzBxeVK ~
Противоречие.
Далее мы можем найти окончание Ь^\ такое, что х\ £ 6^.
(Такое окончание существует, поскольку Нв = Пьев ^ = 0 )
Шаг 2. Выберем окончание ЪЕ В, подчиненное условию
/(*)<*+5 Vx€6(2).
166
Рассмотрим окончание 6^ С &(2) П 6^. Окончанию Е В не
принадлежит х\. Далее, как и в шаге 1, существует окончание
ЬП2 С Ь^\ которое содержит точку х? ф х\, такую, что
а-^</(*2)<а + 1
И Т.Д.
Наконец мы получаем последовательность {я,}, которая удовле¬
творяет условиям
ХзеЬПв, хв£ЪП'_х, А - - < f(x8) < А +
S S
Как и при доказательстве теоремы 1, устанавливаем, что {гп} —
монотонная последовательность по базе В. К тому же при п —► оо
справедливо равенство
lim f(xn) = А,
п—►оо
т.е. А — частичный предел по базе В.
Шаг 3. Покажем, что любой частичный предел функции f(x)
по базе В не превосходит А.
Из определения величины А имеем, что для любого е > О
существует окончание 6 с условием
sup f(x) < А + е.
х£Ь
Пусть {хп} — произвольная монотонная последовательность по
базе Н, для которой существует limn—oo /(®п)- В силу фунда¬
ментальности последовательности {яп} только конечное число ее
членов не принадлежат 6, т.е. существует номер по, такой, что
для всех номеров п, больших по, имеем f(xn) < A-f е. Переходя к
пределу при п —► оо, получим
lim f(xn) < А + е.
п—► оо
Ввиду произвольности € > 0 имеем
lim f(xn) < А.
п—►оо
Теорема доказана.
167
Пусть /i и /2 будут, как и прежде, верхнее и нижнее предельные
числа соответственно. Мы назовем число h — h > 0 колебанием
функции f(x) по базе В и обозначим
osc f(x) = /2 — /1 .
в
Критерий Коши в этих обозначениях формулируется следующим
образом.
Для существования предела функции f(x) по базе В необходимо
и достаточно, чтобы osc в f(x) = 0.
Отметим еще, что из теоремы 3, в частности, следует, что:
1) limx_+Co f(x) = infT>0 supx>T f(x);
2) limjioo f(x) = infT>osup|I|>T/(a?);
3) Нтс^Го f(x) = infj>0 sup0<|r_I.o|<{ f(x).
Замечания. 1. Теорема 1 даже в простейших случаях несколько
сильнее, чем классическая теорема, утверждающая . эквивалент¬
ность поточечной сходимости по Коши и Гейне, поскольку требу¬
ются только монотонные последовательности. Это, в свою очередь,
иногда удобно в приложениях.
С другой стороны, можно рассматривать базы, для которых
каждая фундаментальная последовательность не является моно¬
тонной. В этом случае, конечно, Ят-сходимость не определена,
тем не менее теорема 2, утверждающая эквивалентность Я- и
С-сходимости, остается справедливой, так как ее доказательство,
по существу, тождественно с выводом теоремы 1 при очевидной
подстановке просто фундаментальной последовательности вместо
монотонной.
2. Необходимо подчеркнуть, что понятия Яш-, Я-сходимости
могут быть определены в том случае, если существует по крайней
мере одна монотонная фундаментальная последовательность по
базе. Кроме того, как показано в лемме 1, для такой базы
всегда существует основная последовательность окончаний, которая
сама является счетной базой, кофинальной к первоначальной. На
языке теории фильтров это означает, что проблема обобщения
теоремы Гейне об эквивалентности Я- и С-сходимости может
рассматриваться только для фильтров со счетной базой.
3. Здесь мы ограничиваемся рассмотрением понятия сходимости
только для числовых функций. Однако результат теоремы 2 без
труда может быть распространен на общий случай отображений
двух баз тогда и только тогда, когда они допускают существование
монотонных или просто фундаментальных последовательностей.
4. Условие 3, налагаемое нами на базу Я, иногда оказывается
невыполненным. Обычно в этих случаях можно вместо базы В
168
рассматривать базу £), удовлетворяющую этому условию, заданную
на том же основном множестве и эквивалентную базе В в том
смысле, что сходимость любой функции по одной из этих баз
влечет за собой ее сходимость и по другой базе к тому же самому
значению.
Примером эквивалентных баз являются база В и основная
последовательность окончаний {6П} из леммы 1.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Декартово произведение множеств. Отображение, функция,
обратная функция. Эквивалентность множеств. Счетность множе¬
ства рациональных чисел. Теорема Кантора о неэквивалентности
множества и множества всех его подмножеств. Несчетность кон¬
тинуума.
2. Десятичная запись вещественного числа. Аксиома Архимеда.
Теорема о существовании точной верхней грани у ограниченного
сверху числового множества.
3. Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных от¬
резков, о последовательности стягивающихся отрезков.
4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
и их свойства. Арифметические свойства сходящихся последова¬
тельностей. Предел последовательности средних арифметических
членов сходящейся последовательности. Теорема Штольца. Пре¬
дельные соотношения: limn_+oo \/а = 1, а > 0; limn_>oo — 1-
5. Предельный переход в неравенствах. Теорема Вейерштрасса о
существовании предела у ограниченной монотонной последователь¬
ности. Число “е”и его иррациональность. Постоянная Л. Эйлера.
6. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного
предела у ограниченной числовой последовательности. Критерий
Коши сходимости последовательности.
7. Предел функции в точке. Функции, бесконечно малые в
точке. Финальная ограниченность функций, имеющих предел в
точке. Арифметические операции над функциями, имеющими
предел. Свойство монотонности предела функции.
8. База множеств. Критерий Коши существования предела
функции по базе.
9. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по
Гейне. Теоремы о пределе сложной функции по базам множеств.
10. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерыв¬
ность. Арифметические операции над непрерывными функциями.
Непрерывность синуса и показательной функции.
11. Замечательные пределы.
12. Теоремы о точках разрыва монотонной функции. Критерий
непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности
обратной функции. Непрерывность элементарных функций.
13. Теоремы Коши о промежуточных значениях функций, непре¬
рывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о
достижении точной верхней и точной нижней граней непрерывными
на отрезке функциями.
170
14. Свойства открытых и замкнутых множеств на числовой
оси. Лемма Бореля о конечном покрытии компакта открытыми
множествами. Теорема Кантора о равномерной непрерывности
функции на компакте.
15. Понятия дифференциала и производной функции. Геоме¬
трический смысл производной и дифференциала. Односторонние
производные. Производная суммы, произведения и частного двух
функций.
16. Производная сложной и обратной функций. Инвариант¬
ность формы первого дифференциала. Производные элементарных
функций.
17. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Лейбница.
18. Лемма Дарбу о возрастании или убывании функции в точке.
Теорема Ролля о нуле производной. Теоремы Коши и Лагранжа
о конечных приращениях. Критерии постоянства, монотонности и
строгой монотонности функции на интервале.
19. Теорема Ферма об экстремуме функции. Теорема Дарбу о
промежуточном значении производной. Теорема о точках разрыва
производной на интервале.
20. Первое и второе правила Лопиталя. Формула Тейлора с
остаточным членом в форме Пеано.
21. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-
Роша. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
22. Необходимое и три достаточных условия локального экстре¬
мума.
23. Необходимое и три достаточных условия точки перегиба.
24. Метод хорд и метод касательных.
25. Неопределенный интеграл и первообразная. Формулы ин¬
тегрирования по частям и замены переменной в неопределенном
интеграле.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический
анализ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
2. Валле-Пуссен Ш. Курс анализа бесконечно малых. JL; М.:
ГТТИ, 1933.
3. Уиттекер Е.Т. Ватсон PH. Курс современного анализа. Л.;
М.: ГТТИ, 1933.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс математического анализа. М.:
Физматгиз, 1962.
5. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
6. Дьедонне Ж. Основы математического анализа. М.: Мир,
1964.
7. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,
1990.
8. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая
школа, 1981.
9. Гелбаум Б.} Олмстед Дэю. Контрпримеры в анализе. М.:
Мир, 1967.
Учебное издание
Архипов Геннадий Иванович
Садовничий Виктор Антонович
Чубариков Владимир Николаевич
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 1
Редактор Т.В. Властовская
Корректор Т.И, Алейникова
Компьютерная верстка К.Е. Панкратьев
ИБ № 7309
ЛР № 040414 от 27.03.92
Подписано в печать 15.11.95
Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура литературная. Офсетная печать.
Уел. печ. л. 11,0. Уч.-изд. л. 9,21.
Тираж 3000 экз. Заказ № 1156. Изд. № 5993.
Оригинал-макет подготовлен
с использованием издательской системы Т^Х
в ЛВМ механико-математического факультета МГУ.
Отпечатано в Московской типографии № 6
Комитета Российской Федерации по печати,
109088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24.
ДЛЯ ЗАМЕТОК
V 1