Составители: А.И.Гречихин, А.Б.Зуев
УДК 621.372
Временная дискретизация и восстановление непрерывных
сигналов: Метод, указания к лабораторкой работе .$ 2 по дис-
циплине "Радиотехнические цепи я сигналы** для студентов
специальности 2301 / Никегород. гос. техн, ун-т; Гост.:
А.И.Гречихин, А.Б.Зуев. И. Новгород, 1996 16 с.
Краткие сведения
по теории и способам дискретизации.
причинам ошибок при восстановлении и мерам их уменьшения.
Задания и --------- Л	,	-<$ даборатор-
Работе > 2
ВРЕМЕННАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Цель работы: изучение способов и результатов дискретизации,
а также влияния характеристик сигнала, параметров
дискретизации и интерполяционного фильтра на по-
грешности восстановления сигнала.
Креткие сведения из теории
1. Временная дискретизация - это представление непрерывного
сигнала хсг) в виде последовательности выборок отдельных значений
сигнала, взятых в дискретные моменты времени. Если интервалы At ме-
жду соседними выборками одинаковы. дискретизацию называют равномер-
ной.
Временная дискретизация и восстановление непрерывных сигналов
- очень важные операции в ряде радиотехнических процессов, в том
числе таких известных и распространённых, как многоканальная пере-
дача сообщений с временным уплотнением и цифровая обработка сигна-
лов.
2. Согласно теореме Котельникова (1933 г. II]). если спект-
ральная плотность Х'(со) сигнала дг(1) финитна, т.е. существует такое
значение что Х(о>)=О при. |w|>wB, то такой сигнал можно точно
восстановить (интерполировать) по его значениям (отсчётам), взятым
в моменты t =nbt> где п=...,-2.-1,0г1.2,..., a At=n/wB=1/(2/B):
ес
Т(£)= £ Х(пАТ)
П=-пл
Sin (i)B(t-nAt)
(1)
Отсчеты сигнала x(nAt) являются спектральными коэффициентами
разложения сигнала x(t) по ортогональной системе базисных функций:
sin b^(t-nAt)
фл(Т)= --------------
Up(t-nAt)
(2)
-»3
X(t)
Функциональный
перемножитель
pu(t)=ac(t)p(t)
p(t)
Рис.1
3. Практически, дискретизацию непрерывного сигнала можно осуще-
ствить, например, в устройстве на основе функционального перемножи-
теля по схеме рис.1, на один вход которого поступает сигнал, а на
другой - несущая последовательность
p(t)« 2 po(t-nAi),
П=-ч»
где po(t) - отдельный импульс последовательности, имеющий спект-
ральную плотность Ро(<|)). Спектральная плотность такой последова-
тельности
со
Р(ш)= П 2 Р^лП) С(инпП);
П=~оа
2%
Q » — .
л:
В результате перемножения получим .модулированную сигналом
последовательность pM(t)= p(t) x(t), спектральная плотность которой
имеет вад свёртки
£/<•))=--- Г W P(i^) da = — У R(nQ) Л(о-лП).
_	At Л °
(3)
На рис.2 приведены осциллограммы и спектрограммы сигнала, не-
сущей и модулированной последовательностей. Огибающей спектра
?мМ является спектральная плотность одиночного импульса PQ(w),
причём спектр Р/ш) получается суммированием сдвинутых по частоте и
умноженных на соответствующий коэффициент .спектральных плотностей
сигнала Замечательно, что в результате участок спектра в ин-
тервале от -ь)в до является, с точностью до постоянного множите-
4
ля, копией спектра сигнала x(t).
его восстановления.
что существенно упрощает задачу
-ив 0 <*>в	и
-“в 0 "в
(1)
Рис.2
4.	Параметры несущей последовательности по-разному влияют на
характеристики сигнала после импульсного модулятора.
При уменьтении интервала дискретизации At увеличивается час-
тотный интервал между сдвинутыми повторами спектра сигнала в
и, следовательно, защитный промежуток между ними, что упроща-
ет задачу выделения спектра сигнала при восстановлении. При этом,
как видно из (3), спектральная плотность увеличивается. Если же
5
&t>ic/wB, то соседние повторы сдвинутся в область спектра полезного
сигнала, и его точное восстановление станет невозможным (рис.З).
Рис.З
6
Если увеличивать длительность т импульса po(t). то сжимается
огибающая спектра ^(и), при этом спектральная плотность в полезной
области без искажения увеличивается. Когда же требуется уменьшить
т, например, для передачи большего числа сигналов с временным уп-
лотнением в одном канале, то снижение спектральной плотности можно
скомпенсировать увеличением пикового значения импульса po(t).
Замечательно, что, как следует из (3), вид необходимой для
восстановления сигнала части спектра Р/ш) не зависит при рассмот-
ренном виде импульсной модуляции' от формы импульса po(t). Такая мо-
дуляция называется амплитудно-импульсной модуляцией 1-го рода, или
АММ-1.
5.	Выражение (1) указывает способ восстановления исходного
сигнала z(t) по его дискретным выборкам, заключающийся в выделении
идеальным фильтром нижних частот с АЧХ ^(ш) (рис.2) участка
спектра ^(w) от -шв до +qb, являющегося копией спектра сигнала.
Процесс восстановления непрерывного сигнала полезно рассмо-
треть с временных позиций (рис.4).
Рис. 4
Импульсная характеристика идеального восстанавливающего фильт-
ра нижних частот с граничной частотой ов совпадает по форме с ба-
зисной функцией Котельникова (2). Пусть длительность выборки стре-
мится к нулю, а сама выборка - к б-функции. На каждую выборку дис-
кретного сигнала восстанавливающий фильтр даст отклик в виде соот-
ветственно сдвинутой базисной функции Котельникова с соответствую-
щим максимальным значением. Нули всех базисных функций находятся в
точках взятия выборок t=nit. Сумма всех откликов фильтра будет рев-
на значению только одной выборки в атих точках, а между выборками -
точно интерполировать исходный непрерывный сигнал согласно (1).
7
6.	Проблема практического восстановления’ исходного сигнала
по его дискретным выборкам встречает целый рад трудностей.
Одна из них - в практической нереализуемости идеального фильт-
ра. Даже теоретически фильтр с финитной АЧХ и линейной ФЧХ должен
был бы иметь бесконечную задержку, если даже отбросить требование
бесконечной крутизны среза АЧХ. Реальные фильтры имеют небесконеч-
ное затухание в полосе'задерживания и нелинейную ФЧХ, что приводит
к засорению выделенного сигнала спектральными составляющими сосед-
них повторов и фазовым искажениям его формы.
Трудность принципиального характера заключается и в том, что
функция с финитным спектром сама финитной, т.е. конечной во време-
ни, быть не может. А для точного, однозначного восстановления необ-
ходимо задать г(пД1) при всех п, от -« до +«. В то же время реаль-
ные сигналы имеют, как правило, начало и конец, следовательно, о
строгом ограничении спектра какой-либо конечной частотой ив речи
быть не может. Пользуясь тем, что спектральные плотности реальных
сигналов быстро убывают с повышением частота, можно условно принять
в качестве qb частоту, выше которой находится лишь какая-то весьма
малая доля энергии сигнала. В результате даже при идеальном фильт-
ре восстановление было бы с частотными искажениями и с помехой за
счёт перекрытия спектров повторов, т.е. как при At>ic/wB.
7.	Принципиальные погрешности восстановления сигнала, причины
которых указаны выше, полностью неустранимы. Другие причины ошибок
могут быть связаны с несоответствующим выбором вида АИМ (об этом
см.п.9), интервала дискретизации или характеристик интерполяционно-
го фильтра.
Вообще, ошибки воспроизведения можно рассматривать как сумму
линейных (частотных и/или феровых) искажений формы сигнала и помех
за счёт наложения спектральных составляющих, которых не было в ис-
ходном спектре.
Неправильный выбор At>icA^ приводит к появлению помех за счёт
наложения соседних повторов спектра, даже при идеальном фильтре.
Условием неискажающего воспроизведения, как известно, является
равномерность АЧХ и линейность «41 фильтра в области от -ив’до +и>в.
Если обеспечить это при at=VwB в реальном фильтре, то за счёт ко-
нечной переходной полосы получим также помеху из-зй наложения пов-
торов (рис.ба).
Если же сделать полосу фильтра такой, чтобы он практически не
пропускал частот выше Ы&, 70 помех не будет, но произойдет
8
ослабление верхних частот спектра сигнала, при атом сигнал сглажи-
вается (рис. 56), а при нелинейной ФЧХ получает дополнительные фазо-
вые искажения формы (рис.бв).
Рис.5: At » «/Wg
8.	Для уменьшения искажений и помех в восстановленном сигнале
следует ограничивать спектр сигнала перед дискретизацией фильтром
нижних частот с разумно выбранной верхней частотой wQ и выбирать
интервал дискретизации с запасом по отношению к величине х/й^. Этот
запас определяется шириной необходимей защитной полосы частот меж-
ду повторами спектра, которая завися. от качества фильтра и крутиз-
ны среза его АЧХ.
Если полоса восстанавливающего фильтра больше ыв, но меньше,
чем 2ic/At-uB, то непрерывный сигнал восстанавливается из дискрет-
ного без существенных искажений (рис.ба).
Если полоса пропускания фильтра захватывает соседний повтор
спектра, т.е. больше, чем 2ic/At-u>B, то восстановленный сигнал
получается сильно изрезанным (рис.66).
о
IL(w)
а) помех и искажений
практически нет
Рис.6: At < ж/ов
б) помехи, нет искажений
9.	Для цифровых систем передачи информации и устройств цифро-
вой обработки сигналов наиболее характерна амплитудно-импульсная
модуляция второго рода {51, при которой мгновенные значения выборок
на интервале т остаются постоянными и равными мгновенным значениям
сигнала в моменты взятия выборок (рис.7а). Такой дискретный сигнал
ухе не является ‘ произведением двух сигналов, как рассмотрено в
п.З. Для нахождения его спектра можно рассмотреть сигнал по рис.7а
как реакцию линейной цепи с прямоугольной импульсной характеристи-
кой длительностью ч (рис.76) на модулированный сигнал, показанный
на рис.7в. Последний есть произведение непрерывного сигнала x(t)
и периодической последовательности d-импульсов с периодом At,
и его спектр равен свертке спектров сомножителей. Таким образом,
дискретный сигнал по рис.7а есть свёртка сигналов рис.7б и 7в,
поэтому спектр этого сигнала есть произведение спектра, представ-
ленного на рис.7е, и частотной характеристики фильтра рис.7д.
Результат показан на рис.7г.
В этом спектре полезный участок от -ыв до +шв умножен теперь
не на коэффициент» а на функцию частоты, зависящую от формы импуль-
са выборки, и, в принципе, подвергнут искажениям. Точное восстенов-
ление можно осуществить только при условии коррекции, частотных
искажений.
10
Если длительность выборки т совпадает с интервалом it (рис.
бе), то сигнал будет соответствовать выходу простейшего цифроанало-
гового преобразователя (ШД) без учёта квантования по уровню, к
спектр его будет иметь вад. показанный на рте.86.
Рис.8
Литература
1.	Котельников В.А. О пропускной способности ’эфира” и прово-
локи в электросвязи. Материалы к первому Всесоюзному съезду
П
по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной
промышленности (изд-во "Рад. связи РККА"» 1933). - Радио-
техника. 1995, Л 4-5, с.42-55.
2.	Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Ра-
дио и связь, 1966. с.59-67.
2.	Баскаков 0.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая
школа, 1968, с.113-120.
4.	винк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки... - М.: Связь, 1978.
5.	Глушков В.Д., Зуев А.Б. Временная дискретизация и восстано-
вление непрерывных сигналов. Методич. указания к лаборатор-
ной работе М3. - Горький» 1968.
Описание лабораторной установки
Работа выполняется на специализированном макете при помощи
приборов и оборудования в лаборатории 5408.
функциональная схема установки приведена на рис.9.
РИС.9
12
В состав макета входят: генератор прямоугольного импульса сиг-
нала (регулируемой! длительности; формирующий фильтр нижних частот;
импульсный модулятор; генератор немодулированной несущей последова-
тельности с регуляторами длительности и периода следования выборок;
интерполирующий фильтр. Имеется возможность непосредственной подачи
сигнала на импульсный модулятор,минуя формирующий фильтр. Оба филь-
тра - активные RC-фильтры Баттерворта 4-го порядка с частотой среза
около 3400 Гц. В некоторых макетах требуется подача сигнала от
внешнего источника.
Импульсный модулятор построен по схеме функционального пере-
множите ля.
Для наблюдения процессов в различных точках макета во времен-
ной и частотней областях потребуются осциллограф (желательно два
или двухлучевой) и‘анализатор спектра. Измерительные приборы под-
ключаются высокоомным входом к соответствующим клеммам макета.
Задания для домашней подготовки
1.	Внимательно изучите необходимый теоретический материал и
ответьте на контрольные вопросы.
2.	Для одного из приведённых ниже вариантов рассчитайте спек-
тральную плотность сигнала и сделайте обоснованный выбор верхней
граничной частоты для расчёта частоты дискретизации без формирующе-
го 'фильтра. Рассчитайте максимально допустимый интервал дискретиза-
ции при наличии формирующего фильтра.
> варианта	1	2	3	4	5	6
Длительность прямоугольного импульса, мс	0,8	1.2	1.6	2,0	2.5	3.0
3.	В предположении о том, что длительность прямоугольных
импульсов генератора выборок равна 1/4 интераала дискретизации,
рассчитанного для случая без формирующего фильтра, получите выра-
жения для спектральной плотности немодулированных и модулирован-
ных выборок в этом случае. Постройте временные и спектральные диаг-
раммы по аналогии с рис.2.
13
4.	Ознакомьтесь с описанием лабораторной установки. Сделай-
те необходимую подготовку для составления отчета (цель работы,
схема установки, результаты расчётов).
Задания для выполнения в лаборатории
1.	Снимите АЧХ формирующего и восстанавливающего фильтров.
2.	Снимите и изобразите в одном масштабе осциллограммы нап-
ряжений на входах'и на выходе импульсного модулятора для условий
п.З домашних заданий (формирующий фильтр обведён). В этих же
точках и для этих же условий снимите и изобразите в одном масштабе
спектрограммы. Сравните подученные результаты с расчётными. Сде-
лайте вывод о возможности точного восстановления исходного сигнала
(или о причинах невозможности).
3.	Установите интервал дискретизации, рассчитанный по п.2
домашних заданий для случая с формирующим фильтром. Длительность
импульса выборки установите равной примерно 1/4 интервала дис-
кретизации.
При включённом формирующем фильтре снимите и изобразите в
одинаковых масштабах соответственно осциллограммы и спектрограммы
напряжений: на входе формирующего фильтра; на выходе формирующего
фильтра; на выходе генератора немодулированнных выборок; на выходе
де импульсного модулятора; на выходе интерполяционного фильтра ниж-
них частот. Сравните формы сигналов на входе импульсного модулятора
и на выходе восстанавливающего фильтра. Сделайте выводы.
Замечание: Обратите внимание на временные задержки в фильтрах.
Постарайтесь их оценить.
4.	в условиях предыдущего пункта обведите формирующий фильтр,
отметьте характер искажений восстановленного сигнала и укажите их
главную причину.
5.	Исследуйте влияние на форму напряжений и спектры в точках
после импульсного модулятора и после восстанавливающего фильтра па-
раметров импульсов «смодулированных выборок: а) периода следования
At; б) длительности т.
Сделайте выводы-
6.	Составьте отчет по работе.
14
Контрольные вопросы
1.	В чём сущность временной дискретизацией где она может
применяться, с какой целью?
2.	Что утверждает теорема Котельникова?
3.	Как получить спектральные коэффициенты разложения сигна-
ла в Оазисе Котельникова?
л. Как можно осуществить процесс дискретизации?
5.	Какие требования предъявляются к параметрам несущей пос-
ледовательности импульсов?
6.	Как восстановить исходный сигнал по его отсчётам?
7.	В чём состоят условия точного восстановления сигнала по
его отсчётам?
8.	В чём принципиальные трудности восстановления после дис-
кретизации в реальных условиях?
9.	Какие Вы знаете основные погрешности восстановленного
. сигнала, от чего они могут зависеть?
10.	Каковы основные способы уменьшения погрешностей восста-
новления?
11.	В чём существенные отличия способа дискретизации, реа-
лизуемого при цифровой обработке непрерывных сигналов?