/
Автор: Гоноровский И.С.
Теги: электротехника электроника радиотехника сигналы электрические цепи издательство советское радио
Год: 1977
Текст
И. С. ГОНОРОВСКИЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Издание третье, переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебника для студентов
радиотехнических специальностей вузов
МОСКВА «СОВЕТСКОЕ РАДИО» 1977
6Ф2
Г65
УДК 621.391.1(075)
Гоиоровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов.
Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Сов. радио», 1977, 608 с.
Книга является учебником по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»
для вузов радиотехнической специальности. В связи с введением новой
программы этого курса данное издание коренным образом переработано и
дополнено следующими новыми разделами: дискретная и цифровая обработка
сигналов; аппроксимация процессов и характеристик функциями Уолша; синтез
радиотехнических цепей.
Особое внимание уделено разделам, посвященным статистическим
явлениям в радиотехнических цепях. Методически переработаны разделы по
спектральному и корреляционному анализу детерминированных и случайных
сигналов, а также по теории их преобразования в линейных, параметрических и
нелинейных устройствах.
Хотя книга предназначена для студентов радиотехнических факультетов
вузов, она может быть также полезна широкому кругу специалистов,
работающих в области радиоэлектроники и в смежных областях науки и техники.
Рис. 399, табл. 7, библ. 47 назв.
Рецензенты: кафедра основ радиотехники Московского энергетического
института
Редакция радиотехнической литературы
Г 30401-066
046(01)-77 2'77
© Издательство «Советское радио», 1977 г,
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Общая направленность учебника по курсу «Радиотехнические
цепи и сигналы», положенная в основу первых двух изданий,
сохранена и в настоящем издании. Однако книга коренным образом
переработана в связи с необходимостью введения новых разделов,
отображающих современное развитие техники радиоцепей и
сигналов.
Широкое распространение дискретных и цифровых
радиоэлектронных систем не позволяет более ограничивать курс РТЦиС
рамками только аналоговых цепей и сигналов.
Развитие техники интегральных микросхем, основанное на
широком применении методов синтеза цепей, не позволяет
ограничивать курс РТЦиС изучением только методов анализа цепей.
Наконец, стремительное проникновение статистических методов
во все отрасли радиотехники и электроники требует более
обстоятельного изучения свойств случайных сигналов и преобразования
их е радиоцепях.
В свете этих требований и в соответствии с новой программой
курса РТЦиС в учебник включены новые главы: «Основные
характеристики случайных сигналов» (гл. 4), «Прохождение
случайных колебаний через линейные цепи с постоянными параметрами»
(гл. 7), «Дискретная обработка сигналов. Цифровые фильтры» (гл.
13), «Представление колебаний некоторыми специальными
функциями», включая функций Уолша (гл. 14), «Элементы синтеза
линейных радиоцепей» (гл. 15). Заново написана гл. 5, посвященная
теории линейных активных цепей с обратной связью.
Все остальные главы предыдущего издания подверглись
методической переработке с учетом опыта преподавания курса РТЦиС и
многочисленных замечаний, сделанных преподавателями
радиотехнических специальностей вузов, а также многими радиоспециалнс-
тами.
Общепризнано, что наряду g усвоением необходимых знаний
первостепенное значение имеет развитие у студентов навыков
к самостоятельной творческой работе. В^соответствии с решениями
XXV съезда КПСС о развитии научно-исследовательской работы
в высших учебных заведениях все шире практикуется приобщение
студентов к научной работе. Поэтому автор стремился сочетать
изложение основных сведений, рассчитанных на первоначальное
изучение и обязательных для всех студентов радиотехнической
специальности, с изложением некоторых дополнительных, более
сложных материалов, рассчитанных на студентов с повышенной
подготовкой. Такие разделы выделены петитом. Незначительные со-
кращения, которые могут потребоваться в зависимости от уровня
общетеоретической подготовки студентов, нетрудно осуществить без
нарушения последовательности и целостности изучения настоящего
курса.
Автор выражает искреннюю благодарность преподавателям
кафедры ОРТ Московского энергетического института проф.
Федорову Н. Н., доцентам Баскакову С. И., Белоусовой И. В.,
ассистенту Богаткину В. И., доценту Жукову В. П., старшему
преподавателю Ивановой Н. Н., доцентам Карташеву В. Г.,
Николаеву А. М., Поллаку Б. П., старшему преподавателю Штыкову В. В.
за высококвалифицированное и подробное рецензирование
рукописи этой книги. Большое число критических замечаний и
ценных советов помогло существенно улучшить изложение всех глав
учебника.
Автор выражает также свою благодарность зав. кафедрой ТПС
Новосибирского электротехнического института связи доценту
Чиненкову Л. А. за многочисленные ценные замечания по
предыдущему изданию учебника.
Неоценимую помощь в работе над рукописью оказали
преподаватели, сотрудники и аспиранты кафедры радиотехники МАИ.
Всем им автор выражает глубокую благодарность.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. ОСНОВНЫЕ ОБЛАСТИ
ПРИМЕНЕНИЯ РАДИОТЕХНИКИ
Современная радиотехника является мощным средством
технического прогресса. Радиотехника проникла во все области народного
хозяйства, в науку, технику, культуру и быт.
Одна из важнейших задач радиотехники заключается в
осуществлении связи на большие расстояния с помощью излучения
электромагнитных волн. С развитием различных направлений
радиотехники повсеместное распространение получили
радиовещание и служебная радиосвязь, все большие районы обслуживает
телевидение, осуществляется устойчивая связь с судами,
самолетами и космическими кораблями. Средства радиотехники
позволяют осуществлять межпланетную связь, а также обеспечивать
дистанционное управление с Земли сложными аппаратами,
предназначенными для исследования других планет. Такие области
применения радиотехники, как радиолокация, радионавигация,
радиотелеметрия, радиоуправление и др., еще недавно казавшиеся
новейшими, стали совершенно обычными.
Однако это далеко не исчерпывает всех возможностей
современной радиотехники. С проникновением радиометодов в давно
существующие науки качественно изменился характер последних.
Возникли такие науки, как радиофизика, радиоастрономия
и др.
Неоценимую помощь оказывает применение радиотехнических
приборов и методов в экспериментальной физике, в том числе
ядерной, в технике измерения любых быстропротекающих процессов и
различных неэлектрических величин (давления, вибраций,
небольших смещений и т. д.), при изучении физики ионосферы, в
службе времени.
Широкое применение радиотехнических методов для решения
задач, не связанных с излучением, привело к появлению новой
области, включающей в себя радиотехнику и электронику, р а-
Диоэлектроники.
Большим достижением радиоэлектроники является все
расширяющееся применение быстродействующих электронных счетных
машин — вычислительных, управляющих, информационных.
Решающую роль в автоматизации и комплексной механизации
производственных процессов призваны сыграть кибернетические машины,
создание которых немыслимо без радиоэлектроники. Радиоэлект-
ронная аппаратура широко применяется и в медицинских
исследованиях (для диагностики), а также для возмещения частично или
даже полностью утраченных функций человеческого организма.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что применения
радиоэлектроники очень разносторонни и ее роль в дальнейшем
человеческом прогрессе будет всемерно возрастать.
Значение развития теоретических и экспериментальных
исследований в области радиофизики и электроники для ускорения
научно-технического прогресса отмечено в решениях XXV съезда
КПСС.
Со времени изобретения радио А. С. Поповым (1895 г.) и до
настоящего времени все многочисленные области применения
радиотехники объединяет одна существенная особенность,
заключающаяся в том, что во всех применениях радиотехники имеет место
передача информации с помощью электромагнитных волн. Это
принципиально отличает радиотехнику от электротехники. Последняя
также использует передачу на расстояние (например, по
высоковольтным линиям), однако в отличие от радиотехники объектом
транспортировки является не информация, а энергия.
1.2. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ НА РАССТОЯНИЕ.
ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАДИОТЕХНИКЕ ЧАСТОТЫ
Итак, задачей радиотехники является передача сообщения
о каком-либо событии на расстояние. Расстояние разделяет
отправителя и адресата, датчик команд и исполнительное устройство,
исследуемый процесс и измерительный механизм, источник
космического радиоизлучения и регистрирующий прибор
радиотелескопа, различные блоки ЭВМ—словом, источник и потребитель
информации.
Расстояние, на которое передается сигнал, может быть очень
незначительным (передача команд в счетной машине от одного блока
. к другому) или огромным (межконтинентальная или космическая
связь). Передача сообщений осуществляется с помощью проводных,
кабельных, волноводных линий или в свободном пространстве.
Естественно, что для передачи сигналов целесообразно
использовать те физические процессы, которые имеют свойство перемещаться
в пространстве. К числу таких- процессов относятся применяемые
в радиотехнике электромагнитные колебания — радиоволны.
Любой физический процесс, используемый в качестве агента
(посредника, переносчика) для передачи информации, должен обладать
свойством принимать всю совокупность состояний, по которым
можно было бы однозначно установить соответствующее состояние
объекта или процесса, являющегося источником информации.
Для этого радиоволны подвергают модуляции. Процесс
модуляции заключается в том, что высокочастотное колебание,
способное распространяться на большие расстояния, наделяется
признаками, характеризующими полезное сообщение. Таким
образом это колебание используется как переносчик сообщения,
подлежащего передаче. Для этого один или несколько параметров
высокочастотного колебания изменяют по закону, совпадающему с
законом изменения передаваемого сообщения. В зависимости от
изменяемого параметра (амплитуды, частоты или фазы колебания)
различают три основных вида модуляции — амплитудную,
частотную и фазовую1. Обратное преобразование электромагнитных
колебаний в исходный сигнал, осуществляемое на приемной стороне,
называется демодуляцией или детектированием
(соответственно амплитудным, частотным и фазовым).
Модуляция, как правило, не оказывает влияния на способность
высокочастотных колебаний распространяться в пространстве.
Однако выбор длины волны (или, как говорят, несущей частоты
или рабочего диапазона) высокочастотного колебания является
весьма существенным для обеспечения устойчивой и надежной-
связи. На выбор того или иного диапазона волн для каждой
конкретной системы связи оказывают влияние следующие факторы.
1. Особенности распространения электромагнитных волн
данного диапазона и влияние времени года, суток, состояния
атмосферы, солнечной радиации и ряда других причин.
2. Технические возможности: направленное излучение,
применение антенной системы соответствующих размеров, генерирование
мощных колебаний и управление ими (модуляция), построение
схемы приемного устройства и т. д.
3. Характер шумов и помех в данном диапазоне.
4. Характер сообщения, или, как говорят, «ширина спектра»
модулирующих частот и желательный способ модуляции
(амплитуды, частоты и т. д.).
Практически для использования оказываются пригодными те
участки диапазона, в которых обеспечиваются благоприятные
условия распространения радиоволн и в приемлемой степени
удовлетворяются остальные перечисленные условия.
Для современной радиотехники характерно интенсивное
изучение малоисследованных диапазонов волн и стремление к
расширению диапазона используемых частот в сторону освоения как
весьма низких, так и сверхвысоких частот, вплоть до световых волн.
Последнее не должно казаться странным, так как радиоволны и
световые волны имеют одинаковую природу (электромагнитные
волны).
Подразделение радиоволн на диапазоны, вошедшее в практику,
дано в табл. 1.1.
Связь на мириаметровых и километре вых волнах,
применявшаяся на первом этапе развития радиотелеграфии, имеет два
больших недостатка:
1 Существуют также разнообразные методы импульсной модуляции,
основанные на изменении параметров импульсной последовательности.
Таблица 1.1
Волны
Декамегаметровые
Мегаметровые
Гектокилометровые .
Мириаметровые
Километровые
Гектометровые
Декаметровке
Метровые
Дециметровые
Сантиметровые
Миллиметровые
Децимиллиметровые
Световые
Диапазон
радиоволн
100 000—10 000 км
10 000—1 000 км
1 000—100 км
100—10 км
10—1 км
1 000—100 м
100—10 м
10—1 м
100—10 см
10—1 см
10—1 мм
I—0,1 мм
Менее 0,1 мм
Диапазон
радиочастот
3—30 Гц
30—300 Гц
300—3 000 Гц
3—30 кГц
30—300 кГц
300—3 000 кГц
3—30 МГц
30—300 МГц
300—3 000 МГц
3—30 ГГц
30—300 ГГц
300—3 000 ГГц
Выше 3 ТГц
Нерекомендуемые
термины
Сверхдлинные
Длинные
Средние
Короткие
Субмилли-
метровые
Примечание. Длина волны К связана с периодом колебания Т или с
частотой f=\/T соотношением] Я = cT=c/f, где с=3-108 м/с— скорость
распространения электромагнитных волн в вакууме.
— необходимость большой мощности передатчика ввиду
сильного поглощения поверхностной волны при ее распространении над
земной поверхностью;
— невозможность передачи сложных сигналов из-за слишком
большого отношения ширины спектра сигнала к несущей частоте.
Гектометровые волны получили широкое применение в
радиовещании. Основным преимуществом связи на волнах длиннее 1000 м
является устойчивость приема, недостатком — трудность
обеспечения большой дальности действия ввиду значительного
поглощения поверхностной волны. Поэтому на этих волнах осуществляется
преимущественно местное радиовещание, рассчитанное на зоны с
радиусом в несколько сотен километров. Лишь небольшое число
сверхмощных гектометровых радиостанций обслуживает большие
районы. В СССР, имеющем огромную территорию, существуют
наиболее мощные в мире радиовещательные станции этого
диапазона.
Главные преимущества декаметровых волн—возможность
получения большой дальности действия при относительно малой мощности
передатчика и возможность осуществления направленного
излучения. Основным недостатком связи на этих волнах является
колебание уровня принимаемого сигнала (замирание), часто
сопровождающееся сильными искажениями передачи при сложной
структуре сигнала, состоящего из большого числа составляющих с
различными частотами. Условия интерференции, зависящие от
частоты, могут оказаться неодинаковыми для различных составляющих
спектра сигнала. Это явление, называемое избирательным (или
селективным) замиранием, приводит к временным > выпадениям
из спектра сигнала отдельных составляющих или, наоборот, к уси-
8
лёнию амплитуд этих составляющих. Таким образом, в точке приема
нарушается правильное соотношение между отдельными
спектральными компонентами сигнала, в результате чего искажаются его
тембр и чистота. Так как явление избирательного замирания
проявляется тем сильнее, чем шире спектр сигнала, то на коротких
волнах осуществлять передачу таких сложных сигналов, как,
например, телевизионные, практически невозможно.
Накопление большого экспериментального материала по
распространению декаметровых волн позволило установить
оптимальные длины волн для различных часов суток и времени года, что
открыло путь к чрезвычайно широкому развитию коротковолнового
радиовещания.
В настоящее время короткие волны исключительно широко
применяются также для радиотелеграфии на магистральных линиях
связи, в морской и авиационной радионавигации.
В результате освоения диапазонов метровых, ультракоротких
волн (УКВ) появились новые области радиовещания — в
частности телевизионное вещание. В диапазоне метровых волн удачно
сочетаются два фактора. Применение очень высокой частоты
излучения позволяет соответственно расширить полосу частот
передаваемого сообщения, так как условия передачи и усиления сиг-
налоБ е радиоаппаратуре определяются в основном относительной
шириной спектра сигнала. Особенности же распространения
метровых волн (в пределах прямой видимости) почти полностью
исключают искажения сигнала из-за интерференции волн,
распространяющихся по разным путям.
То обстоятельство, что на метровых волнах регулярный прием
возможен только в пределах прямой видимости, является,
конечно, существенным ограничением. Для увеличения дальности связи
обычно применяют высокоподнятые антенны. Последние
десятилетия характеризуются развитием так называемых радиорелейных
линий, представляющих собой цепочку приемопередающих
радиостанций метрового диапазона расположенных вдоль линии связи
через несколько десятков километров. Подобные линии позволяют
осуществлять многоканальную связь, а также обмен
телевизионными программами между пунктами, удаленными на весьма
значительное расстояние.
Все шире применяются на практике миллиметровые и более
короткие волны.
Из приведенного краткого обзора видно.что развитие
радиотехники характеризуется непрерывным расширением используемых
волновых диапазонов.
Из курса физики известно, что эффективное излучение
электромагнитной энергии можно осуществить лишь при условии, что
геометрические размеры излучающей системы соизмеримы с дли-
Ной волны. В связи с этим применение мириаметровых волн
затруднено. Напротив, использование световых волн позволяет
получить малогабаритные излучатели с чрезвычайно высокой направ-
ленностью и огромной концентрацией энергии в луче. Так,
например, луч, посланный с Земли, образует на поверхности Луны
пятно диаметром всего лишь в несколько сотен метров. Однако
применение световых волн для передачи сообщений связано с
трудностями модуляции, приема, с влиянием погодных условий т. д.
За последнее время намечается ряд перспективных направлений
в радиосвязи, которые, по-видимому, позволят избежать
недостатков, связанных с особенностями распространения волн уже
освоенных диапазонов. К числу этих направлений следует отнести
использование метеорных следов (отражение от участков с повышенной
ионизацией, образующихся при вхождении метеоров в верхние слои
атмосферы), использование поверхности Луны в качестве
пассивного отражателя радиоволн, ретрансляцию сигналов с помощью
искусственных спутников Земли. Последнее направление является
особо важным и перспективным для связи, радио- и
телевизионного вещания. Можно предполагать, что подобные методы
приведут к возможности осуществления связи, сочетающей в себе
преимущества, присущие различным диапазонам.
1.3. ОСНОВНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Из предыдущего видно, сколь разнообразным преобразованиям
подвергается сигнал в процессе передачи по каналу связи.
Некоторые из этих процессов являются обязательными для большинства
радиотехнических систем независимо от их назначения, а также
от характера передаваемых сообщений. Перечислим эти
фундаментальные процессы и попутно отметим их основные черты
применительно к обобщенной схеме радиотехнического канала,
представленной на рис. 1.1.
Преобразование исходного сообщения в электрический сигнал
и кодирование. При передаче речи и музыки такое преобразование
осуществляется с помощью микрофона, при передаче изображений
(телевидение) — с помощью передающих трубок (например, супер-
ортикона). При передаче письменного сообщения (радиотелеграфия)
сначала осуществляют кодирование, заключающееся в том, что
каждая буква текста заменяется комбинацией стандартных
символов (например, точек, тире и пауз в коде Морзе), которые затем
преобразуют в стандартные электрические сигналы (например,
импульсы разной длительности или разной полярности).
Следует отметить, что схема на рис. 1.1 соответствует случаю,
когда информация вводится «в начале» канала связи, т. е.
непосредственно в передатчике. Несколько иначе обстоит дело, например,
в радиолокационном канале, где информация о цели (дальность,
высота, скорость и т. д.) вводится в результате отражения
радиоволны от цели в свободном пространстве.
Генерация высокочастотных колебаний. Высокочастотный
генератор является источником колебаний несущей частоты. В зависи-
мости от назначения радиоканала связи мощность колебаний
изменяется от тысячных долей ватта до миллионов ватт. Естественно,
что конструктивные формы и размеры этих генераторов различны —
от простейшего малогабаритного элемента до грандиозного
технического сооружения.
Основными характеристиками высокочастотного генератора
являются частота и диапазонность (возможность быстрой
перестройки с одной рабочей частоты на другую), мощность и коэффици-
Иепечник
7О0Щ<
та
ПреофвгеЗа/ще
б ЗЛвК/ПричеС-
кий сигнал
Кодирующее
рстрвйство
П'вредшпш/Гк ш/тегма \лф<
~1
Мофлятср
Генератор
несущей
частот/
Регистрирующее
устройстве
ДегтЗариющее
устройстве
Ли.чейьш
Детектор !«*Ц vucmcm/is-as&'pa
—&*
I
J
J ^елблш усалил/сяо j i
PpUC/ZHL'/f
emstm
Рис. 1.1. Радиотехнический капал связи.
ент полезного действия. Особенно важное значение имеет
стабильность частоты колебаний. Радиотехника в этом отношении
находится в исключительном положении. Условия распространения
радиоволн и широкий спектр частот сигналов диктуют применение
очень высоких несущих частот. Условия же обработки сигналов
на фоне помех и необходимость ослабления взаимных помех между
различными радиоканалами заставляют добиваться максимально
возможного уменьшения абсолютных изменений частоты. Это
приводит к чрезвычайно жестким требованиям к относительной
стабильности частоты.
Управление колебаниями (модуляция). Процесс модуляции
заключается в изменении одного или нескольких параметров
высокочастотного колебания по закону передаваемого сообщения.
Частоты модулирующего сигнала, как правило, малы по сравнению
с несущей частотой генератора. Для осуществления модуляции
используются различные приемы, обычно основанные на изменении
потенциала электродов электронных приборов, входящих в схему
Радиопередающего устройства. Основная характеристика
процесса модуляции — степень соответствия между изменением пара-
Метра высокочастотного колебания и модулирующим сигналом.
Усиление слабых сигналов в приемнике. Антенна приемника
улавливает ничтожную долю энергии, излучаемой антенной
передатчика. В зависимости от расстояния между передающей и приемной
станциями от степени направленности излучения антенн и
условий распространения радиоволн мощность на входе приемника
10-ю __ ю~14Вт. На выходе же приемника для надежной
регистрации сигнала требуется мощность порядка милливатт, единиц ватт
и более. Отсюда видно, что усиление в приемнике должно
достигать 107 ... Ю14 по мощности или 10* ... 107 по напряжению.
В современных приемниках уверенная регистрация сигнала
обеспечивается при напряжениях на входе порядка микровольта..
Решение этой сложной задачи оказывается возможным благодаря
достижениям современной электроники. Большую роль играют
также специальные методы построения схем приемников,
обеспечивающие большое усиление при сохранении устойчивости работы
приемника. К таким методам относится преобразование
(понижение) частоты колебания в тракте приемника, осуществляемое так,
что при этом сохраняется структура передаваемого сигнала
(в схеме на рис. 1.1 процесс преобразования частоты не обозначен).
Помимо приемных устройств, процесс преобразования частоты
широко используется в различных радиотехнических и
радиоизмерительных устройствах.
Проблема усиления в приемнике неотделима от проблемы
выделения сигнала на фоне помех. Поэтому одним из основных
параметров приемника является избирательность, под которой
подразумевается способность выделять полезные сигналы из совокупности
сигнала и посторонних воздействий (помех), отличающихся от
сигнала частотой. Частотная избирательность осуществляется с
помощью резонансных колебательных цепей.
Выделение сообщения из высокочастотного колебания
(детектирование и декодирование). Детектирование является процессом,
обратным по отношению к модуляции. В результате
детектирования должно быть получено напряжение (ток), изменяющееся во
времени так же, как изменяется один из параметров (амплитуда, частота
или фаза) модулированного колебания. Иными словами, должно
быть восстановлено передаваемое сообщение. Детектор, как
правило, включается на выходе приемника, следовательно, к нему
подводится модулированное колебание, уже усиленное
предыдущими ступенями приемника. Основное требование к детектору —
точное воспроизведение формы сигнала.
После детектирования осуществляется декодирование сигнала,
т. е. процесс, обратный кодированию. В ряде радиотехнических
каналов кодирование и декодирование не используются.'
Помимо перечисленных процессов, так или иначе связанных
с преобразованием частотных спектров, в радиотехнических
устройствах широкое применение находит усиление колебаний без
трансформации частоты, осуществляемое в различных усилителях.
К таким усилителям относятся:
.— низкочастотные усилители управляющих сигналов,
используемые перед модулятором передатчика, а также на выходе
приемника;
усилители коротких импульсов, применяемые в
телевизионной и радиолокационной технике, а также в импульсных системах
радиосвязи;
высокочастотные усилители большой мощности,
используемые в радиопередающих устройствах;
высокочастотные усилители слабых сигналов, применяемые
в радиоприемных и измерительных устройствах.
Кроме упомянутых процессов, присущих, как уже отмечалось,
любой радиотехнической линии, в ряде специальных случаев
широко применяются многие другие процессы: умножение и
деление частоты, генерация коротких импульсов, различные виды
импульсной модуляции и т. д.
1.4. АНАЛОГОВЫЕ, ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИГНАЛЫ
И ЦЕПИ
Представленная на рис. 1.1 и описанная выше структурная
схема канала связи не содержит указаний о виде используемого
для передачи сообщения сигнала и структуре отдельных устройств.
Применяемые в современной радиоэлектронике сигналы можно
разделить на следующие классы:
— сигнялы, произвольные по величине и непрерывные по
времени (рис. 1.2, а);
— сигналы, произвольные по величине и дискретные по
времени (рис. 1.2, б);
— сигналы, квантованные по величине и непрерывные по
времени (рис. 1.2, в);
— сигналы, квантованные по величине и дискретные по
времени (рис. 1.2, г).
Сигналы первого класса (рис. 1.2,а) иногда называют
аналоговыми (так как их можно толковать как электрические
модели физических величин) или непрерывными (так как они
задаются по оси времени на несчетном множестве точек). При этом
по оси ординат они могут принимать любое значение в
определенном интервале. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы
непрерывности, как на рис. 1.2,а, то, чтобы избежать
некорректности при описании, лучше такие сигналы обозначать термином
континуальный сигнал.
На рис. 1.2, б представлен сигнал, заданный при дискретных
значениях времени t (на счетном множестве точек); величина же
сигнала в этих точках может принимать любое значение в
определенном интервале по оси ординат (как и на рис, 1.2, а). Таким
образом, термин «дискретный» характеризует не сам сигнал, а
способ задания его на временной оси.
Из рис. 1.2, в видно, что сигнал задан на всей временной оси,
однако величина сигнала может принимать лишь дискретные
значения. В подобных случаях говорят о сигнале, квантованном по
Уровню,
В -дальнейшем термин дискретный будет применяться
только по отношению к дискретизации по времени; дискретность же
по уровню будет обозначаться термином квантование.
Квантование используют при представлении сигналов в
цифровой форме с помощью цифрового кодирования, поскольку уровни
можно пронумеровать числами с конечным числом разрядов.
Поэтому дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал
(рис. 1.2, г) в дальнейшем часто будет называться цифровым"
сигналом.
4
л
S)
т
~ттт -
г
г)
Рис. 1.2. Сигналы, произвольные по величине и по времени (а), произвольные
по величине и дискретные по времени (б), квантованные по величине и
непрерывные по времени (е), квантованные по величине и дискретные по
времени (г).
Таким образом, можно различать континуальные (рис, 1.2, а),
дискретные (рис. 1.2, б), квантованные (рис. 1.2, в) и цифровые
(рис. 1.2, г) сигналы.
Каждому из этих классов сигналов можно поставить в
соответствие аналоговую, дискретную или цифровую цепи. Связь между
видом сигнала и видом цепи показана на функциональной схеме
(рис. 1.3)1.
При обработке континуального сигнала с помощью аналоговой
цепи не требуется дополнительных преобразований сигнала. При
обработке же континуального сигнала с помощью дискретной цепи
необходимы два преобразования: а) дискретизация сигнала по
времени на входе Дискретной цепи и б) обратное преобразование,
т. е. восстановление континуальной структуры сигнала на выходе
1 Указанное уточнение терминологии и классификации сигналов и цепей
в соответствии со схемой на рис, 1.3 было предложено А, М. Трахтманом.
дискретной цепи. Наконец, при цифровой обработке континуального
сигнала требуются еще два дополнительных преобразования:
а) аналог — цифра, т. е. квантование и цифровое кодирование
на входе цифровой цепи и б) обратное преобразование цифра—
аналог, т. е. декодирование на выходе цифровой цепи.
Следует указать, что в настоящее время цифровая обработка
сигналов получает все более широкое применение, что связано
не только с ее универсальностью и точностью, но и с возможностью
использования достижений микроэлектроники.
j Аналоговая
цепь
*Вти;танс8-\
<--■{ ление по \-
^Времени j
-ЗвЮ
о-«-
Континуальный сигнал
-=*<5
Рнс. 1.3. Виды сигнала и соответствующие им цепи.
Дискретным и цифровым сигналам и цепям посвящена гл. 13.
1.5. РАДИОЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Радиотехнические преобразования осуществляются с помощью
большого числа линейных и нелинейных элементов
и цепей. Линейные цепи, в свою очередь, подразделяются на цепи
с постоянными и цепи с переменными
параметрами. Последние часто называют параметрическими
цепями.
• Каждый из перечисленных классов цепей подразделяется,
кроме того, на цепи с сосредоточенными и с распределенными
параметрами. К первым относятся цепи, составленные из катушек
индуктивности, конденсаторов и резисторов, а ко вторым — цепи,
содержащие линии, волноводы, излучающие системы.
В данном курсе изучаются в основном цепи с сосредоточенными
параметрами. Для выявления основных свойств указанных цепей
необходимо напомнить свойства описывающих эти цепи
дифференциальных уравнений. Имея в виду цепи с сосредоточенными пара-
метрами, выпишем три следующих уравнения;
а°^+">М^+°^+---+"»-4+°»»=ПП. 0.3)
Уравнение (1.1)—линейное, с постоянными коэффициентами
ао> й1» о2, ..., ап — характеризует линейную цепь с постоянными
параметрами. Уравнение (1.2), в котором по крайней мере один
из коэффициентов, (в данном случае ах (t)) является функцией
времени (но не зависит от у), представляет собой линейное уравнение
с переменным коэффициентом (или переменными коэффициентами)
и описывает линейную цепь с переменными параметрами. Наконец,
уравнение (1.3), один или несколько коэффициентов которого
(в данном случае аг (у)) являются функциями у, представляет собой
нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее
нелинейную цепь.
Обратимся сначала к свойствам линейного уравнения с
постоянными коэффициентами. Для большей наглядности заменим
общее уравнение (1.1) более простым уравнением второго порядка,
описывающим, например, последовательный колебательный
контур L, С, г, в который вводится э. д. с. е (t).
Для тока в контуре I (t) можно написать следующее интегродиф-
ференциальное уравнение:
L^+ri + -L§idt = e(t). (1.4)
Продифференцировав это уравнение по t и обозначив е' (t) =
= / (/). придем к уравнению типа (1.1).
Уравнение (1.4) является линейным, если коэффициенты L,
г и МС не зависят от величины тока i или, что то же самое, от
величины внешней силы е (t). При выполнении этого условия
напряжения на каждом из элементов контура линейно связаны с током.
Действительно, обозначая эти напряжения соответственно через
ur, lil и ис, можем написать
ur=ri; uL=L~- uc=—[idt. (1.5)
dt С )
Так как дифференцирование и интегрирование являются
операциями линейными, можно утверждать, что ul и ис линейно
связаны с током i при любом законе изменения последнего во
времени. Относительно иТ это утверждение еще более очевидно.
Одним из проявлений линейности цепи является
независимость соотношения между входными и выходными напряжениями
роками) от уровня входного напряжений (тока).
В частности, при изменении тока по закону i = 1 sin со/
получим
ur=rl sinatf; uL— coL/coscof; ыс= /coscof. (1.6)
toC
Изменение амплитуды тока I в п раз дает такое же изменение
амплитуды напряжения на элементах г, L и С. Это свойство
линейных элементов можно толковать как результат линейности их вольт-
амперных характеристик. Вольт-амперная характеристика для
элемента г представлена на рис. 1.4, на котором по осям координат
можно откладывать как мгновенные, так и амплитудные значения
щ. и I, а для элементов L и С — на рис. 1.5, где по осям отложены
Рис. \ 4. вольт-амперная
характеристика линейного резистора.
1//.Л
Рис. 1.5. Вольт-амперная (амплитудная)
характеристика линейного элемента (L
или С).
соответственно амплитуды Ul, I или Ue, I. Заметим, что вольт-
амперные характеристики учитывают только связь между
амплитудами Ul, Uc и / и не учитывают зависимость от частоты. Для
элемента г функции I (t) и ит (/), как известно, могут отличаться
только постоянным коэффициентом \1г, который численно равен
(см. рис. 1.4) угловому коэффициенту вольт-амперной
характеристики:
tg a = Nilur = N/r*
Для вольт-амперных характеристик / (Ul) и / (Uc),
построенных'при какой-либо фиксированной частоте со, угловые
коэффициенты
tg a = NI/Ul = N/aL
■— для индуктивности и
tg a = NIlUc = NaO
■— для емкости.
В этих выражениях коэффициент N о размерностью
сопротивления зависит от масштабов по осям абсцисс и ординат. Если
напряжения, токи и сопротивления выражены соответственно в вольтах,
амперах и омах, то N = 1 Ом,
Другим важным свойством линейных цепей, также вытекающим
из линейности дифференциального уравнения, описывающего
поведение (ток, напряжение) цепи, является справедливость
принципа независимости или наложения (суперпозиции). Суть этого
принципа может быть сформулирована следующим образом: при действии
на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток,
напряжение) можно определять путем наложения (суперпозиции)
решений, найденных для каждой из сил в отдельности. Можно
использовать еще и такую формулировку: в линейной цепи сумма
эффектов от различных воздействий совпадает с эффектом от суммы
воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от
начальных запасов энергии.
Принцип наложения лежит в основе спектрального и
операторного метода анализа переходных процессов в линейных цепях,
а также метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля).
Применяя принцип наложения, любые сложные сигналы при передаче
их через линейные цепи можно разложить на простые, более
удобные для анализа (например, синусоидальные).
Остановимся еще на одном фундаментальном свойстве
линейной цепи, прямо вытекающем из теории интегрирования линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Разложив е (t) в правой части уравнения (1.4) с помощью ряда или
интеграла Фурье на простейшие гармонические составляющие,
действующие при —оо <; t <C оо, мы получим для каждой
составляющей с частотой сод решение уравнения (1.4) в виде
гармонического колебания той же частоты:
in (0 = 1п cos (con^ + 0n),
где In и 0n — постоянные амплитуда и фаза.
Отсюда следует, что при любом сколь угодно сложном воздействии
в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает новых
частот. Это означает, что ни одно из преобразований сигналов,
сопровождающихся появлением новых частот (т. е. частот,
отсутствующих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть
осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами.
Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач,
не связанных с трансформацией спектра, таких, как линейное
усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т. д.'
Рассмотрим теперь свойства линейных цепей с переменными
параметрами, вытекающие из свойств общего уравнения (1.2).
Как и в предыдущем случае, принцип наложения
(суперпозиции) остается в силе. Это означает, что правую часть уравнения (1.2),
т. е, внешнюю силу / (t), можно разложить на гармонические
составляющие, действующие при —сю < t <. оо, после чего решение
уравнения (1.2) будет представляться в виде суммы независимых
частных решений, соответствующих каждой из составляющих
правой части. (Как и ранее, предполагается, что в цепи начальный
запас энергии отсутствует.) Однако в отличие от предыдущего слу-
чая в цепи с переменными параметрами эти частные решения
являются не гармоническими, а более сложными функциями. Иными
словами, даже простейшее гармоническое воздействие создает в
линейной цепи с переменными параметрами сложное колебание,
имеющее спектр частот. Это можно пояснить на следующем простейшем
примере. Пусть к резистору, сопротивление которого изменяется
во времени по закону
R (0 = /?о/(1 + М cos Ш),
приложена гармоническая э. д. с.
е (/) = E0 cos cot.
Ток через сопротивление
i(t)=e {t)/R (t) = (E0/R0) (\ + M cos Qt) cos al =
= (Eo/R0) [cos со* + (M/2) cos (со + Q)t + (M/2) cos (со — Q)/].
(1.7)
Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами
со ± Q, которых нет в е (0- Даже из этой простейшей модели ясно,
что, изменяя во времени сопротивление, можно осуществить
преобразование спектра входного сигнала.
Аналогичный результат, хотя и с более сложными
математическими выкладками, можно получить для цепи с переменными
параметрами, содержащей реактивные элементы — индуктивности и
емкости. Этот вопрос рассматривается в гл. 10. Здесь лишь
отметим, что линейная цепь с переменными параметрами преобразует
частотный спектр воздействия и, следовательно, может быть
использована для некоторых преобразований сигналов,
сопровождающихся трансформацией спектра. Из дальнейшего будет также
видно, что периодическое изменение во времени индуктивности или
емкости колебательной цепи позволяет при некоторых условиях
осуществить «накачку» энергии от вспомогательного устройства,
изменяющего параметр («параметрические усилители» и
«параметрические генераторы», гл. 10).
Теория дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами значительно более сложна, нежели уравнений с
постоянными коэффициентами. Даже при гармонической правой части
решение уравнений порядка выше первого можно найти лишь в
некоторых частных случаях. Поэтому ясно, что, хотя к линейным цепям
с переменными параметрами и применим принцип наложения,
спектральный подход к анализу прохождения сигналов через такие цепи
не всегда оказывается эффективным. Более подробно этот вопрос
освещен в гл. 10.
Рассмотрим, наконец, общие свойства нелинейных цепей.
Из теории нелинейных дифференциальных уравнений известно, что
при решении этих уравнений принцип наложения неприменим.
Это означает, что если уравнение типа (1.3) (для случая, например,
п = 1) при правой части f1 (t)
at
приводит к решению в виде функции ух (t), а аналогичное уравнение
при правой части /2 (О
aAy)~ + a0y=f2(t)
at
приводит к решению у2 (f), то уравнение
at
имеет своим решением функцию уй ((), которая не равна сумме
Ух (0 и у2 (/):
Уь (t) Ф Уг (0 + Уз (О-
Таким образом, основным свойством нелинейных элементов и
цепей является то, что для их анализа принцип наложения
(суперпозиции) неприменим. Это свойство нелинейных цепей тесно
связано с кривизной вольт-амперных (или иных аналогичных)
характеристик нелинейных элементов (рис. 1.6). В отличие от вольт-
амперной характеристики линейного резистора (рис. 1.4) в данном
Ч
случае между током и
напряжением нет прямой
пропорциональности. Если напряжению иг
соответствует ток ilt а
напряжению «2 —ток l'ai TO
суммарному напряжению us = иг + и2
будет соответствовать ток is,
отличный от суммы i1 + i2
(рис. 1.6).
Из этого простого примера
видно, что при анализе
воздействия сложного сигнала на
нелинейную цепь этот сигнал
нельзя разлагать на более простые;
необходимо искать отклик цепи
на результирующий сигнал.
Неприменимость для нелинейных цепей принципа наложения
делает непригодными спектральный и иные методы анализа,
основанные на разложении сложного сигнала на составляющие.
Другим важным свойством нелинейной цепи является
преобразование спектра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь
простейшего гармонического сигнала в цепи, помимо основной
частоты, возникают гармоники с частотами, кратными основной
частоте (а в некоторых случаях и постоянная составляющая тока
Рис. 1.6. Вольт амперная
характеристика нелинейного элемента (диода).
или напряжения). В дальнейшем будет показано, что при сложной
форме сигнала в нелинейной цепи, помимо гармоник, возникают
еще и комбинационные частоты, являющиеся результатом
взаимодействия отдельных частот, входящих в состав сигнала.
С точки зрения преобразования спектра сигнала следует
подчеркнуть принципиальное различие между линейными
параметрическими и нелинейными цепями. В нелинейной цепи структура
спектра на выходе зависит не только от формы входного сигнала,
но и от его амплитуды. В линейной параметрической цепи
структура спектра от амплитуды сигнала не зависит.
Особенный интерес для радиотехники представляют свободные
колебания в нелинейных цепях. Подобные колебания называются
автоколебаниями, поскольку они возникают и могут устойчиво
существовать в отсутствие внешнего периодического воздействия,
Расход энергии при колебаниях в подобных цепях компенсируется
источником энергии постоянного тока.
Основные радиотехнические процессы: генерация, модуляция,
детектирование и преобразование частоты — сопровождаются
трансформацией частотного спектра. Поэтому эти процессы можно
осуществить с помощью либо нелинейных цепей, либо линейных, но
с изменяющимися параметрами. В некоторых случаях
используются одновременно как нелинейные, так нелинейные параметрические
цепи. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элементы
работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющими
выделение полезных компонентов преобразованного спектра. В
связи с этим деление цепей на линейные, нелинейные и параметрические
является весьма условным. При анализе реальных
радиотехнических цепей, содержащих нелинейные элементы, обычно для
описания поведения различных узлов одного и того же устройства
приходится применять разнообразные математические методы —
линейные и нелинейные.
Следует, кроме того, отметить, что даже в пределах линейного
рассмотрения цепи методы анализа зависят от типа линейной
цепи — с сосредоточенными или с распределенными параметрами.
Применение тех или иных цепей определяется рабочим диапазоном
частот. Отсюда ясно, что полная классификация радиотехнических
цепей не может быть проведена в отрыве от используемых
диапазонов частот.
1.6. ПРОБЛЕМА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ КАНАЛА СВЯЗИ
Ранее уже отмечалось, что радиотехника занимается передачей
информации. Комплекс устройств, используемых для передачи
информации от ее источника до получателя (а также разделяющая
их среда), образует канал связи. От канала связи требуется по
возможности полная передача информации. Потери информации
могут вызываться искажениями сигналов из-за несовершенства
отдельных элементов" канала, а также из-за помех.
Помехи возникают во всех элементах канала связи: как в среде,
используемой для передачи сигнала от передатчика к приемнику,
так и в технических устройствах, выполняющих необходимые
преобразования сигнала. В первом случае помехи называются
внешними, во втором — внутренними.
Внешние помехи образуются из-за различных атмосферных
явлений (молниевые разряды, электризация частиц за счет грения их
друг о друга и об антенну и т. д.) и шумов космического
происхождения (радиоизлучение Солнца и звезд) или являются
индустриальными (искрение в токосъемных механизмах, при электросварке,
при включении и выключении агрегатов и сетей, при работе
систем зажигания в двигателях внутреннего сгорания и т. д.).
Помехи радиоприему создает работа медицинского
оборудования — рентгеновских установок, физиотерапевтических
устройств. Помехи образуются сигналами от радиоустройств,
работающих на близких частотах. Помехи могут быть также умышленными,
создаваемыми средствами радиопротиводействия.
Внутренние (или собственные) шумы, обязанные своим
возникновением дискретной природе заряженных частиц, образуются
из-за теплового движения этих частиц в элементах электрических
цепей, из-за дробового эффекта в электронных приборах и ряда
других явлений, имеющих место при работе радиетехнических
устройств. Особенно сильно действие внутренних шумов
проявляется при большом усилении сигнала, что имеет место при приеме
слабых сигналов. Одновременно с полезным сигналом усиливаются
и шумы, которые могут по интенсивности оказаться соизмеримыми
с сигналом, в результате чего последний окажется частично или
полностью замаскированным.
Наиболее радикальным средством борьбы с помехами является
их уничтожение или ослабление в месте возникновения. Для
этого (применительно к источникам индустриальных помех) следует
улучшать состояние контактов, использовать экранирование,
включение искрогасящих устройств, специальных фильтров и т. д.
Помехи от радиоустройств устраняют рациональным размещением
(распределением) частот, регламентируемым специальными
международными соглашениями, улучшением качества передачи в
результате уменьшения нежелательного (паразитного) излучения,-
увеличением стабильности несущей частоты, применением
направленных антенн и т. д. Все это позволяет в какой-то мере разрешить
проблему «тесноты в эфире». Следует также по возможности
выбирать частотный диапазон, в котором шумы минимальны.
Принципиально наиболее сложной является задача ослабления
собственных шумов, но и здесь можно существенно уменьшать их
интенсивность, применяя усилительные устройства, работающие
в режиме глубокого (например, до температуры жидкого гелия)
охлаждения, в результате чего снижается интенсивность теплового
движения частиц. Тем не менее, несмотря на все эти меры, полностью
избавиться от помех невозможно. Всегда остаются собственные
шумы той или иной интенсивности, шумы Галактики и других
источников космического радиоизлучения, атмосферные помехи
и т. п. Опасность искажений сигнала из-за наличия помех
заключается в том, что из-за случайного характера помех однозначное
соответствие принятого сигнала и посланного сообщения
нарушается и становится лишь более или менее вероятным. Возникают ошибки
при приеме: замена одного сообщения (того, которое в
действительности передано) другим возможным, которое в этом случае будет
доставлять ложную информацию. Таким образом, у получателя
сообщений отсутствует полная уверенность в достоверности
принятого сообщения, прием становится ненадежным. Поэтому
центральной проблемой радиотехники была и остается проблема
помехоустойчивости связи. Система связи должна быть спроектирована
так, чтобы она обладала способностью наилучшим образом
противостоять мешающему действию помех. Проблема
помехоустойчивости радиосвязи включает в себя большое число других проблем,
охватывающих все разделы радиотехники: генерирование мощных
колебаний, освоение и выбор волн, обеспечивающих благоприятные
условия распространения, использование антенн направленного
действия, поиски новых видов радиосигналов и новых способов их
обработки на фоне помех и т. д.
В связи с тем, что любые помехи, как правило, представляют
собой случайные процессы, успешное решение проблемы
помехоустойчивости немыслимо без привлечения методов теории
вероятностей и теории случайных функций. Значение этих методов для
радиотехники особенно возросло после создания общей теории
связи, которая, по существу, есть статистическая теория.
1.7. ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Основной задачей курса является изучение физических
процессов в радиотехнических устройствах и овладение методами
математического описания этих процессов.
В соответствии с такой постановкой задачи курс включает
в себя:
1) анализ детерминированных колебаний и случайных
процессов — сигналов и помех;
2) анализ радиотехнических цепей — линейных, нелинейных
и параметрических;
3) анализ прохождения сигналов через радиотехнические цепи;
4) теорию основных радиотехнических преобразований —
генерирование колебаний, модуляция, детектирование,
преобразование частоты, умножение частоты;
5) основные положения теории синтеза линейных радиоцепей;
6) введение в анализ и синтез дискретных и цифровых цепей.
В данной книге материал расположен в следующем порядке.
В гл. 2 и 3 изучаются характеристики детерминированных
колебаний — управляющих и высокочастотных модулированных
колебаний, а в гл. 4 — основные, характеристики случайных
сигналов. В гл. 5 рассматриваются линейные цепи, содержащие
активные элементы, а также цепи с обратной связью и вопросы их
устойчивости. Гл. 6 и 7 посвящены прохождению сигналов —
детерминированных и случайных — через линейные радиоцепи с
постоянными параметрами. Гл. 8и9 посвящены нелинейным цепям и
автоколебательным системам, а гл. 10 — параметрическим цепям.
В гл. 11 рассматривается воздействие случайных процессов на
нелинейные и параметрические цепи. Гл. 12 посвящена согласованной
фильтрации сигналов на фоне помех, а гл. 13—дискретной и
цифровой обработке сигналов. В гл. 14 приводятся краткие сведения
по наиболее распространенным методам аппроксимации
характеристик и процессов.
Вопросы, связанные с синтезом аналоговых и цифровых
фильтров, рассматриваются в гл. 15.
Глава 2
СИГНАЛЫ
2.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими
сигналами, которые связаны с передаваемыми сообщениями принятым
способом кодирования.
Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой
физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию.
Количество информации, которое можно передать с помощью
некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности,
полосы частот, мощности и некоторых других характеристик.
Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем
меньше этот уровень, тем большее количество информации можно
передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем
говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо
ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно
рассмотреть отдельно детерминированные и
случайные сигналы.
Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное
значение которого в любой момент времени можно предсказать с ве'
роятностью единица. Примерами детерминированных сигналов
могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина
и положение во времени которых известны, а также непрерывный
сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями
внутри его спектра. Детерминированные сигналы можно подразделить
на периодические и непериодические,
Периодическим называется любой сигнал, для которого
выполняется условие s (t) = s (t + kT), где период Т является конечным
отрезком, a k — любое целое число.
Простейшим периодическим детерминированным сигналом
является гармоническое колебание (ток, напряжение, заряд,
напряженность поля), определяемое законом
s (/) = A cos (2nt/T -f 6) = A cos (со* + 6),
—oo<f<oo, (2.1)
где А, Т, со и 6 — постоянные амплитуда, период, угловая частота
и начальная фаза колебания.
Строго гармоническое колебание называют
монохроматическим. Этот заимствованный из оптики термин
подчеркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной
спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец,
спектр неизбежно «размывается». Поэтому строго
монохроматического колебания в природе не существует. В дальнейшем под
гармоническим и монохроматическим сигналом условно будет
подразумеваться колебание, определяемое функцией, совпадающей
с выражением (2.1) в интервале хотя и конечном, но достаточно
большом, чтобы можно было не учитывать влияния «концов».
Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно
представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами,
кратными основной частоте со = 2п/Т. Основной характеристикой
сложного периодического сигнала является его спектральная
функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах
отдельных гармоник.
Непериодическим детерминированным сигналом называется
любой детерминированный сигнал, для которого не выполняется
условие
s (0==s (* +ЪТ).
Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени.
Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся
импульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колебаний
и т. д. Непериодические сигналы представляют основной интерес,
так как именно они преимущественно используются в практике.
Основной характеристикой непериодического, как и
периодического сигнала, является его спектральная функция; однако
структура спектра непериодического сигнала имеет некоторые
особенности, которые будут подробно рассмотрены далее в настоящей
главе.
К случайным сигналам относят сигналы, значения которых
заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой
вероятностью, меньшей единицы. Такими функциями являются,
Например, электрическое напряжение, соответствующее речи,
мУзыке, последовательности знаков телеграфного кода при переда-
че неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится
также последовательность радиоимпульсов на входе
радиолокационного приемника, когда амплитуды импульсов и фазы их высо-,
кочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий
распространения, положения цели и некоторых других причин.
Можно привести большое число других примеров случайных
сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию,
должен рассматриваться как случайный. Перечисленные
детерминированные сигналы, «полностью известные», информации уже
не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто будут обозначаться
термином «колебание».
Для характеристики и анализа случайных сигналов
применяется статистический подход. В качестве основных характеристик
случайных сигналов принимают: а) закон распределения
вероятностей и б) спектральное распределение мощности сигнала.
На основе первой характеристики можно найти относительное
время пребывания величины сигнала в определенном интервале
уровней, отношение максимальных значений к
среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая
характеристика дает лишь распределение по частотам средней мощности
сигнала. Более подробной информации относительно отдельных
составляющих спектра — об их амплитудах и фазах — спектральная
характеристика случайного процесса не дает.
Наряду с полезными случайными сигналами в теории и
практике приходится иметь дело со случайными помехами — шумами.
Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным
фактором, ограничивающим скорость передачи информации при
заданном сигнале. Поэтому изучение случайных сигналов
неотделимо от изучения шумов. Эти вопросы рассматриваются в гл. 4,
2.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА
ПО ЗАДАННОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Для теории, а также для техники формирования и обработки
сигналов важное значение имеет разложение заданной функции
по различным ортогональным системам функций. Напомним
основные определения, относящиеся к свойствам ортогональных
систем.
Бесконечная система действительных функций
ФоМ. <PiW, ФаМ. '••> <Рп(х), ... (2.2)
называется ортогональной на отрезке la, b], если
ь
§Фп(*)Фт(х)^х=0 при пфт. (2.3)
При этом предполагается, что
ь
S<pji (*)</*=£ 0, (2.4)
а
т. е. что никакая из функций рассматриваемой системы (2.2) не
равна тождественно нулю.
Условие (2.3) выражает попарную ортогональность функций
системы (2.2). Величина
I<pJ= у \чп{>
{х) dx (2.5)
называется нормой функций фп (х).
Функция ф„ (х), для которой выполняется условие
ь
»4>nf=$<P«Md*=l, (2-6)
а
называется нормированной функцией, а система
нормированных функций ф! (х), ф2 (х), ..., в которой каждые две
различные функции взаимно ортогональны, называется о р т о н о р-
мированной системой.
В математике доказывается, что если функции фп (х)
непрерывны, то произвольная кусочно-непрерывная функция / (х), для
которой выполняется условие
l\f(x)\4x<oo, (2.7)
может быть представлена в виде суммы ряда
f{x) = с0ф0 (х) + Схф! (х) + ,„ + с„фп (х) 4- ... (2.8)
Интеграл в выражении (2.7) вычисляется по области
определения / (х).
Умножим обе части уравнения (2.8) на фп (х) и проинтегрируем
• ь
'в пределах а, Ь. Все слагаемые вида |стфт (х) фп (х) dx при тФ п
а
обращаются в нуль в силу ортогональности функций фт (х) и фп (х).
В правой части остается одно слагаемое
ъ ь
\ сп Фп (*) Фп {х) dx=cn\ ц?п (х) dx=сп || фп ||2,
а а
что позволяет написать
\ f М ф„ (х) dx=cn I фп f,
о
откуда следует важное соотношение
сп = 71т\Пх)^п(х)йх. (2.9)
Ряд (2.8), в котором коэффициенты сп определены по формуле
(2.9), называется обобщенным рядом Фурье по
данной системе срп (х). Обобщенный ряд Фурье обладает следующим
важным свойством: при заданной системе функций фп (х) и при
фиксированном числе слагаемых ряда (2.8) он обеспечивает наилучшую
аппроксимацию (в смысле минимума среднеквадратической
ошибки) данной функции / (х). Это означает, что среднеквадрэтическая
ошибка, под которой подразумевается величина
m=S /(*)-2Хфп(*)
п = 0
dx,
достигает минимума, когда коэффициенты ряда оп — сп.
Действительно, подставив в предыдущее выражение ап — сп +
+ Ьп и использовав равенства (2.3), (2.5) и (2.9), получим
ь n n "*
M=lf*(x)dx-. 2 сД||фп||2+ 2&Д|Ф„р.
Отсюда следует, что М достигает минимума при Ьп — 0, т. е.
при ап = сп. Таким образом,
Ь N
MM„H=S/»(x)dx-2^l4>nf- (2-10)
а п = О
Так как величина
\p(x)dx=\ff
является квадратом нормы функции / (х), а М„ан > 0, то на
основании (2.10) можно написать следующее неравенство:
i ^1ЫР <ш2. (2.11)
Это основное неравенство, назывемое неравенством
Б е с с е л я, справедливо для любой ортогональной системы.
Ортогональная система называется полной, если
увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку М можно
сделать сколь угодно малой.
Условие полноты можно записать в виде соотношения
2^«ФпГН1ЛР. (2-12)
При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8)
сходится в среднем, т. е.
N
Игл f
N->oo
/(*) — 2 с„ф„(*)
dx = 0.
(2.13)
Из этого, однако, еще не следует, что Jjcn(pn (х) сходится к / (а-),
п = 0
т. е.
max
/(*)— 2 СпЧп(х)
п=0
= 0
при любых значениях х. В п. 1 § 2.4 будет приведен пример, ппка-
зывающий, что в отдельных точках на оси х ряд 2спфпМ может
отличаться от / (х), хотя равенство (2.13) имеет место.
Для системы функций, принимающих комплексные значения,
приведенные выше определения обобщаются следующим образом:
— условие ортогональности
ь
^ Фп (х) ф„ (х) dx=0 при пфт\
а
— квадрат нормы функции
ъ ь
I Фпf = \ Фп (*) 4>п (х) dx=z 11 фп (х) |2 dx;
о а
— коэффициенты Фурье
1 с
с«=■;—^ \ f М ч>* W dx-
11фп112 •>
(2.3')
(2.5')
(2.9')
В этих выражениях ф* (х) обозначает функцию, комплексно-
сопряженную функции ф (х).
Применительно к сигналам s (t), являющимся функциями
времени, выражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме
s(0= 2 спФп(0-
я = 0
(2.14)
Соотношение (2.12) приобретает при этом энергетический смысл.
Действительно, входящую в это выражение величину ||/|р при
замене / (х) на s (t) можно записать в форме
||sf= f s2(t)dt=9. (2.15)
Если под s {f) подразумевается электрическое колебание (ток,
напряжение), то Э есть не что иное, как энергия сигнала в
промежутке /2 — tx (при условии, что сопротивление, в котором
выделяется энергия, равно 1 Ом).
Таким образом, в соответствии с формулой (2,12) энергия
сигнала
00
Э= 2^|Ф„Г, (2.16)
а при использовании ортонормированной системы функций q>n(t)
Э= 2 с%. (2.16')
/1 = 0
При этом имеется в виду, что промежуток времени 1% — tx,
в котором определяется энергия Э, является интервалом
ортогональности для системы функций фп (f).
Очевидно, что средняя за время t2 — tx мощность сигнала
а « °°
*®=-г-7=-г-г У, olbnf- (2.17)
Выбор наиболее рациональной ортогональной системы
функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной
функции в ряд. Среди разнообразных задач, требующих
разложения сложного сигнала, наиболее важными являются: 1) точное
разложение на простейшие ортогональные функции, 2)
аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, когда требуется
свести к минимуму число членов ряда (при заданной допустимой
погрешности).
При первой постановке задачи наибольшее распространение
получила ортогональная система основных тригонометрических
функций — синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин.
Во-первых, гармоническое колебание является единственной
функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении
колебания через любую линейную цепь (с постоянными параметрами).
Изменяется лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых,
разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет
использовать символический метод, разработанный для анализа передачи
гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и
некоторым другим причинам гармонический анализ получил
широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники.
При второй постановке задачи — приближенном разложении
функций — применяются разнообразные ортогональные системы
функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и
многие другие. Некоторые из этих систем функций будут
рассмотрены в гл, 14.
2.3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
При разложении периодического колебания g (i) <в ряд Фурье
по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной
системы берут
1, cos к»]/, sin co^, cos2co1^, sin 2&J, ,.., cos naj, sin n<s>xt, .,,
(2.18)
или
...е-/2<0'', е-'и'«, 1, e''«. *, e'2<°' *, ... (2.19)
Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с
периодом Т = 2л/сог функции s (/).
Система функций (2.18) приводит к тригонометрической форме
ряда Фурье, а система (2.19) — к комплексной форме. Между
этими двумя формами существует простая связь.
Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда
ряд Фурье должен быть записан в форме
s (/) = ... с^е-'^'+с^е-110'1 +c0 + c1e'B>it +
со
+ с.г е'2^ '+...= S сп ег"и1«. (2.20)
ч= —-со
Коэффициенты Фурье с„ легко определяют с помощью формул,
приведенных в предыдущем параграфе.
Из формулы (2^5') следует, что
Г/2
||Фп(01Г= J Qino.te-lrm, tdt = T. (2.21)
-Т/2
Таким образом, независимо от п норма || фп|| = VT.
Используя формулу (2.9'), получаем
. г/2
cn= — f s(t) e-<*»« « dt. (2.22)
т -г/а
В выражениях (2,21) и (2.22) учтено, что функции e",(0»'
соответствует комплексно-сопряженная функция е-'""1'.
Коэффициенты сп в общем случае являются комплексными
величинами. Подставив в (2.22) e_'nc01' =s cos nco^ — i sin ncox/,
получим
, Т/2
сп = — f s (tf) cos n o^ frft—
т
-Г/2
j Г/2
—г— f s(/)sinncoiM/=crio —гс„8. (2.23)
-Г/2
Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части
коэффициента с„ определяются формулами
cnc=-L f s (t) cos n<uxtdt, cns=—- f я(/)81п/мМЛ.
Г -Г/2 Г -*/»
(2.24)
Коэффициенты сп часто бывает удобно записывать в форме
оп=\оп\ е'Ч (2.25)
где
\ont=Vckc + rts, (2.26)
en=_arctg-^i. (2.27)
Модуль \сп\ является функцией, четной относительно п, а
аргумент 9„ — нечетной (последнее вытекает непосредственно из
выражений (2.24), показывающих, что спс является четной, -а с„а
нечетной функциями п).
Общее выражение (2.20) можно привести к виду
s{t)= 2 |cje'("<0,/+en). (2.28)
/1= —оо
0>
Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда
Фурье. Выделив из ряда (2.28) пару слагаемых, соответствующую
какому-либо заданному значению \п\, например, |п|=2, и учтя
соотношения 6_2 =— 62, |с_2|—|с2|, получим для суммы этих
слагаемых
1о_2|е'<-2<°1'+зе_а> -f |с2|е'<2 ш> <+е*> =
е= \сг\ [е—i(8m,*+e,)_j_ea2a)1*-f-e,)]_=
=» 21 с21 cos (2 С5Х t + 62). (2.29)
Отсюда видно,что при переходе к тригонометрической форме
ряд (2.28) необходимо записать следующим образом:
s (0 = «о + 2 21 «» I cos (л©! * + вп). (2-3°)
Смысл удвоения коэффициентов Фурье сп в тригонометрическом
ряду при п ^ 1 становится ясным из рассмотрения векторной
диаграммы (рис. 2.1), соответствующей (2.29) при |п|—2.
Вещественная функция 2 \сп\ cos (nco^ + 6П) получается как сумма
проекций на горизонтальную ось ОБ двух векторов длиной | сп |,
вращающихся с угловой частотой | п \ &1 во взаимно противоположных
направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки,
соответствует положительной частаге, а вектор, вращающийся
по часовой стрелке, — отрицательной. После перехода к
тригонометрической форме понятие «отрицательная частота» теряет
смысл. Коэффициент с0 не удваивается, так как в спектре
периодического сигнала составляющая с нулевой частотой не имеет
«дублера».
Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической
литературе часто встречается следующая форма записи:
s(0 = -7e- + Т (оп cos пщ t—bn sin no»! t) =
со
= -?+ 2 Л» cos (шМ + 0«).
(2.31)
Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что
амплитуда n-й гармоники А„ связана с коэффициентом \сп\ ряда (2.28)
соотношением
"и =s 2|cn|, а оп = 2спс,
Таким образом, для всех
положительных значений п (включая
и п = 0)
2 7/,2
а„= —г I s (0 cos nwl tdt.
— Г/2
Г/2
&„ = ■
f s(0sinnfi>i^. (2.32)
-772
У-\пЩ
Рис. 2.1. Представление
гармонического колебания в виде двух
комплексных составляющих: с
положительной и отрицательной
частотами.
Если колебание представляет
собой функцию, четную
относительно t, т. е. s (f) = s (—t), в
тригонометрической записи ряда
остаются только косинусоидальные
члены, так как коэффициенты Ьп
в соответствий с формулой (2.32) обращаются в нуль. Для
нечетной относительно t функции s 00, наоборот, в нуль обращаются
коэффициенты Ьп и ряд состоит только из синусоидальных членов.
Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е. модули и
аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью
определяют структуру частотного спектра периодического
колебания. Наглядное представление о «ширине» спектра дает графическое
изображение спектра амплитуд. В качестве примера на рис. 2.2, а
построен спектр коэффициентов \сп\, з на рис. 2.2, б — спектр
амплитуд Л„ = 2 |б'„| для одного и того же периодического
колебания. Для исчерпывающей характеристики спектра подобные
построения должны быть дополнены заданием начальных фаз
отдельных гармоник.
Спектр периодической функции называется линейчатым
или дискретным, так как состоит из отдельных линий,
соответствующих дискретным частотам 0. coj, со2 ~ 2юь со3 = Зс»! и т. д.
Использование для гармонического анализа сложных
периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом
наложения представляет собой эффективное средство для изучения
влияния линейных систем на прохождение сигналов. Следует, правда,
отметить, что определение колебания на выходе системы по сумме
гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой
г А
С-2 у
1 I I
1
Л
-2й>, D 2щ
-|/7|(У/ -Of Of
в)
Л61/
ы
Ак*
ав/2-
А,
--
О Щ nof
Б)
Рис. 2.2. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б)
Фурье периодической функции времени.
ряда
задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда
Фурье, представляющего колебание. Наиболее распространенные
в радиотехнике сигналы не отвечают этому условию, и для
удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо
суммировать большое число гармоник. Поэтому следует считать',
что в случае сложных периодических сигналов метод ряда Фурье
удобнее применять для анализа сигналов, нежели для их синтеза.
2.4. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний,
часто используемых в различных радиотехнических устройствах.
*"'" 1. Прямоугольное колебание (рис. 2.3)
Подобное колебание, часто называемое меандром1,
находит широкое применение в измерительной технике.
При выборе начала отсчета времени по рис. 2.3, а функция
является нечетной, а по рис. 2.3, б — четной. Применяя формулы
Меандр — греческое сливо, обозначающее ориамен'1.
(2 24), находим для колебания, изображенного на рис. 2.3, а,
^1-Г Г (— l)sinmMd/ + j sinnco^ =_^-fl-cos^j.
Учитывая, что Тщ = 2я, получаем
сП8=— (1 — cosmt) =
-(
О при п=0, 2, 4, ....
яп (Zfc'/пя при я=1, 3, 5, ...
Начальные фазы Ьп в соответствии с (2.27) равны —я/2 для всех
гармоник.
*к
ю
-А-т/ц-А \ шА
Рис. 2.3. Периодическое колебание
прямоугольной формы (меандр). -
Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме
е(0= 2 2|cnB|cosfi«B1/--^-)==
п=\, 3, 5, ... \ L '
=— ( sin сог t -\ sin Зс»! t-\ sin 5©! / + ...). (2.33)
л \ 3 5 /
Спектр коэффициентов \с„\ комплексного ряда Фурье показан
на рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда — на рис. 2.4, б.
2
kill
Ank т
г
Sir Z
5п X
T In
. I . Т
3/r
7л
~6Uf -Uo>f -faf D Zo>i t/0f 6u)f 6J P 2id] tta>f 6<Of a
~7o>f -5qj -3af -o)f Uf Jay 5a>f 7a'/ fy 3a>f Sty 7o)j
a)
B)
Рис. 2.4. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда
Фурье колебания, показанного на рис. 2.3.
При отсчете времени от середины импульса (рис* 2.3,6)
функция является четной относительно t и для нее
e(t) = — (cos ©I t ~cos 3co, t + 4" cos 5coi > — -) (2.34)
Графики 1-й (n = 1) и 3-й (n = 3) гармоник и их суммы
изображены на рис. 2.5, а. На рис. 2.5, б эта сумма дополнена пятой
гармоникой, а на рис. 2.5, в — седьмой.
С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда при-
ближается к функции е (I) всюду, кроме точек разрыва функции,
Рис. 2.5. Суммирование 1-й и 3-й гармоник (а), I, 3 и 5-й гармоник (б), I, 3, 5
и 7-й гармоник (в) колебания, показанного на рис. 2.3.
где образуется выброс. При n-^-оо величина этого выброса равна
1,18 Е, т. е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18%.
Этот дефект сходимости в математике получил название
явления Гиббса. Несмотря на то, что в рассматриваемом случае
ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции е (f) в точках ее
разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при п-><х> выбросы
являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в
величину интеграла (2.13).
2. Пилообразное колебание (рис. 2.6)
С подобными функциями часто приходится иметь дело в
устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так какэта
функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только
синусоидальные члены. С помощью формул (2.24)—(2.31) нетрудно
определить коэффициенты ряда Фурье, Опуская эти выкладки,
Рис. 2.7. Сумма первых пяти
гармоник колебания, показанного на
рис. 2.6S
Рис. 2.6. Периодическое колебание
пилообразной формы.
ч
-т/z
^ы
^
£
т/г
напишем окончательное выражение для ряда
е
1
2£ / 1
(/) = — I sin <0j t sin 2 coj / -f
H sin 3fi>, t sin 4co, / -f ... |.
3 4 /
(2.35)
Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону 1/п, где
п --= 1, 2, 3, ... На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти
гармоник (в увеличенном масштабе).
3. Последовательность униполярных треугольных импульсов
(рис. 2.8)
Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:
Е \ п 4 /
е{0=— cosc^/! +
л [ 2 л \
•f — cos 300^ + -^-cos5со^ -J- ...)]. (2.36)
З2 59 J ]
п
-т/z о т/z t
Рис. 2.8. Сумма трех первых гармоник периодической функции.
На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов зтого ряда.
В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд
гармоник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутствием
разрывов (скачков) в функции.
4. Последовательность униполярных прямоугольных импульсоо
(рис. 2.9)
Применяя формулы (2.32), находим среднее значение
(постоянную составляющую)
2
-т Т е(/)Л=т
-*„/2
(2.37)
и коэффициент п-й гармоники
/>*.
7*
-г
-ъЛ'о ч/z.
т
Рис. 2.9, Периодическая последовательность прямоугольных импульсов с
большой скважностью.
н
z
-KAz
\
\
\
ЬугГТТТГки-
г.
Da,Zc)f 2л Ьп_ ы
Рис. 2.10. Спектр импульсной последовательности, показанной на рис. 2.9.
V2
an = — Г e (t) cos «ю, tdt=— sin ^-Sa. (2.38)
/ j/ JT/2 ^
Так как функция е (t) четная, bn = 0 и Л„ = ап. Таким образом,
е(0 = £|^- + — V -Lsin-^i-^ co^nco,/). (2.39)
V7" л ,^. " 2 /
Величина N = 77ти называется скважностью импульсной
последовательности. При больших значениях N спектр сигнала
содержит очень большое число медленно убывающих по амплитуде
гармоник (рис, 2.10). Расстояние между спектральными линиями
очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине.
Это наглядно вытекает из формулы (2.38), которую в данном
случае удобно представить в несколько измененном виде
Kl = ^fjsin(n^)|.
При малых значениях п можно считать
А & Ж JEhL = £ !ls. (2.40)
Постоянная составляющая, равная а0/2 = E%JT, вдвое меньше
амплитуды первой гармоники. При построении спектра
коэффициентов \сп\ величина с0 приближенно равнялась бы IcJ.
2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
КОЛЕБАНИЯ
Пусть колебание s(f) (ток, напряжение) представляет собой
сложную периодическую функцию времени о периодом Т.
Энергия такого колебания, длящегося от t = —<х> до t = то,
бесконечно велика. Основной интерес представляет средняя
мощность периодического колебания и распределение этой мощности
между отдельными гармониками. Очевидно, что средняя мощность
колебания, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает
с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно
воспользоваться формулой (2.17), в которой под коэффициентами сп
следует подразумевать коэффициенты ряда (2.20), под интервалом
ортогональности t2 — tx — величину периода Т, а под нормой
1|фп|| — величину VT [см. формулу (2.21)],
Таким образом, средняя мощность периодического колебания
ю=7 2 \нп= 2 ic»ia- <2-41)
п— —со
Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая,
что с0 = а0/2 и |cn'| = A„/2, получаем
*w-(f )'+2 2(f) -(f)' +т |* (2-42)
Если s (0 представляет собой ток i (t), то при прохождении его
через сопротивление г выделяется мощность (средняя)
где /0 = aJ2 — постоянная составляющая, а /„ = /4П — ампли-
* туда n-й гармоники тока <{■).
Итак, полная мощность равна сумме средних мощностей,
выделяемых отдельно постоянной составляющей /„ и гармониками
с амплитудами /ь /2, ... Это означает, что средняя мощность не
зависит от фаз отдельных гармоник.
2.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Изложенный в § 2.3 гармонический анализ периодических
колебаний можно распространить на непериодические колебания.
Пусть такое колебание s (t) задано в ^иде некоторой функции,
отличной от нуля в промежутке (tt, tf2) (рис. 2.11).
Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя
промежуток (tlt t2), мы можем представить заданное колебание
в виде ряда Фурье
00
*(0 = 2 ene'"<°i', 0<f<7\ (2.43)
П— —00
где к»! == 2п/Т, а коэффициенты с„ в соответствий с формулой (2.22)
сп=— is(t)e-m^ldt. (2.44)
t.
Подставив (2.44) в (2.43), получим.
» (и \
s(t)= V Г s(x)e-inv>' Kdx е'™- ' 3, 0</<7\ (2.45)
-оо \<,
Здесь учтено, что 71 = 2^/©!.
Вне отрезка (О, Т) ряд (2.43) определяет функцию s (/) = s (t±
± /еТ), где £ — целое число, т. е. периодическую функцию,
полученную повторением s (*) вправо и влево с периодом Т. Для того
чтобы вне отрезка (О, Т) функция равнялась нулю, величина Т
должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Т, вы-
бранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты сп.
Устремляя Т к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые
амплитуды гармонических составляющих, сумма которых
изображает исходную непериодическую функцию s (0, заданную в
интервале tx <T t <Г t2 (рис. 2.11). Число гармонических составляющих,
входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так
как при Т-> <х> основная частота функции с^ = 2л/Т -> 0. Иными
словами, расстояние между
спектральными линиями (см. рис. 2.2),
равное основной частоте щ,
становится бесконечно малым, а
спектр — сплошным.
Поэтому можно в выражении
(2.45) заменить coj на dco, псо, на
текущую частоту со, а операцию
суммирования — операцией
интегрирования.
4
-т
Рис. 2.11. Одиночный импульс.
Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье
ос 1г
s(0=— \ eIU)/ С s(x)e~i(i>xdx
tico.
Внутренний интеграл, являющийся функцией со,
h
S(co) = §s(t)e~ atdt,
(2.46)
(2.47)
t,
называется спектральной плотностью или
спектральной характеристикой функции s (f).
В общем случае, когда пределы tx и t2 не уточнены, спектральная
плотность записывается в форме
S(co)
j s(t)e-
i,Mdt.
(2.48)
После подстановки (2.48) в выражение (2.46) получаем
ОС
s (/) = _!_ Г S (со) е«"' dco. (2.49)
2л J
— оо
Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно
прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Выражение (2.48) отличается от (2.22) только отсутствием
множителя 1/7\ Следовательно, спектральная плотность S (со)
обладает всеми основными свойствами коэффициентов с„ комплексного ряда
Фурье. По аналогии с (2.23) и (2.24) можно написать
S |ы; = А {Щ—ib ico) = S(co) е'ь *>\ (2.50)
где
СО ОО
Л(со)= J" s(f) cos aidt;. B(co) = J" s(t)smufdt. (2.51)
— oo —oo
Модуль и аргумент спектральной плотности определяются
выражениями
S (со) = 1/[Л(сй)1г-ИЗИ12, (2-52)
е(со) = — arctg|S (со)/Л (to)]. (2.53)
Первое из этих выражений можно рассматривать как а м п л и-
VyflHo-4acTOTHyro, а второе — как фазочастот-
ную характеристику сплошного спектра
непериодического колебания s (t).
Как и в случае ряда Фурье, S (со) является четной, а Э (со) —
нечетной функцией частоты со.
На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное
преобразование (2.49) к тригонометрической форме. Имеем
Х> ЭО
s(/) = — Г S(cu)e'^+e>cico= — Г S(co)cos(cor-r-e)c(co +
2л, J 2я J
— си — со
1 °°
+ 1 йГ I s (с0) sin (tt)<£ + 0) da-
Из четности модуля и нечетности фазы следует, что
подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором —
нечетной относительно со. Следовательно, второй интеграл равен
нулю, и окончательно
s{t) = — Г 5 (со) cos (Grf + e)dco=
2я J
— oo
= — fS(cu)coMco/+e)dco. (2.54)
я J
о
Переход от комплексной формы (2..4Э) к тригонометрической
(2.54) обычно целесообразен в конце анализа; все промежуточные
выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще
производить на основании комплексной формы (2.49).
Из сопоставления выражений (2.49) и (2.20) видно, что величина
2^S(co) cfco = S(co) df имеет смысл коэффициента с„ (бесконечно
малого) комплексного ряда Фурье при частоте со = 2я/.
Соответственно из сопоставления выражений (2.54) и (2.31) видно, что
величина —5(со) dco = 25(co) df имеет смысл амплитуды Ап
(бесконечно малой) гармонической составляющей частоты со = 2л/,
Из этих сопоставлений становится ясным смысл термина
«спектральная плотность»: 2S (to) есгь амплитуда колебания,
приходящаяся на I Гц в бесконечно узкой полосе частот, включающей
в себя рассматриваемую частоту со.
На основании приведенных выше рассуждений нетрудно
установить соотношение между спектрами одиночного импульса и
периодической последовательности импульсов.
Пусть задан спектр Sx (со) одиночного импульса s, (t) и период
повторения Т. Как уже отмечалось выше, спектральная плотность
S! (со) 1см. (2.48)] отличается от коэффициента сп ряда Фурье
периодической последовательности только отсутствием множителя 1/Т
[см. формулу (2.22)]. Отсюда следует, что при повторении импульса
бй (/) с периодом Т коэффициенты с„ ряда Фурье для полученной
периодической последовательности равны
сп = Sx (со)/Т, (2.55)
причем аргумент «о спектральной плотности S, (со) следует
приравнять частоте ncoj соответствующей гармоники.
Таким образом,
Ап = 2сп = **£»!» = "1 §1 (пач). (2.56)
Т п
Итак, модуль спектральной плотности одиночного импульса и
огибающая линейчатого спектра периодической последовательности,
полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по
форме и отличаются только масштабом.
2 7. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Между колебанием s (t) и его спектром S (со) существует
однозначное соответствие. Для практических приложений важно
установить связь между преобразованием колебания и
соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из
многочисленных возможных преобразований колебания рассмотрим следующие
наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг колебания во
времени, изменение масштаба времени, сдвиг спектра колебания
по частоте, дифференцирование и интегрирование колебания.
Кроме того, будут рассмотрены сложение колебаний, произведение
и свертка двух колебаний, а также свойства взаимной обратимости
со и / в преобразованиях Фурье
1. Сдвиг колебания во времени
Пусть колебание st (t) произвольной формы существует на
интервале времени от ^ до t2 и обладает спектральной плотностью
Si (со). При задержке этого колебания на величину t0 (при сохране-
нии его формы) получим новую функцию времени
s2 (0 = sx (t — t0),
существующую на интервале от tx + t0 до t2 + t0.
Спектральная плотность колебания s2 (t) в соответствии с (2.48)
* S2 (со) = f s2 (t) е-ш dt= f s, (/ —t0)e~ш dt.
—X Ь + tg
Вводя новую переменную интегрирования т = t — tn, получаем
ос
Sa((o)=e-''otf» f s, (т)е-'иМт = е-йв(»81((й). (2.57)
— в
Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции
s (t) на величину ±t0 приводит к изменению фазовой
характеристики спектра S (ю) на величину ±ш£0. Очевидно и обратное
положение: если всем составляющим спектра функции s (t) дать
фазовый сдвиг 0 (со) = ±о)^о, линейно связанный с частотой ю, то
функция сдвигается во времени на величину ±^0-
Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. модуль
спектральной плотности) от положения колебания на оси времени
не зависит,
щ
2. Изменение масштаба времени
Пусть колебание sa (Q, изображенное на рис. 2.12 сплошной
линией, подверглось сжатию во времени. Новое сжатое колебание
s3 (0 (штриховая кривая на рис. 2.12) связано с исходным
колебанием соотношением s2 (t) = st (nf), n > 1.
Длительность импульса s2 (t) в п раз меньше, чем у исходного
импульса, и равна ти/п.
Спектральная плотность сжатого
импульса
о
Рис. 2.12. Сжатие сигнала при со- хи/"
хранении его формы и амплитуды. = Г sI(tlt)e~itN di.
о
Вводя новую переменную интегрирования т = nt, получаем
— I — X
1 р — t — x
S2(co)=— Si(x)e " dx.
n J
о
Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное,
как спектральная плотность исходного колебания sx (t) при частоте
со/n, т. е. Sx (co/n),
Таким образом,
S2 (со) = (l/n) S, (со/л).
Итак, при сжатии колебания в п раз на временной оси во
столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль
спектральной плотности при этом уменьшается в п раз. Очевидно, что
при растягивании колебаний во времени (т. е. при п < 1) имеет
место сужение спектра и увеличение модуля спектральной
плотности.
3. Смещение спектра колебания
Применим преобразование Фурье (2.48) к произведению
s(/)cos(uy + 60):
со
Г s (/) cos (со0/ + 90) е-•■»' dt =
— СО
= J s(0rj_e^+e„, + l.e-'(a,»'+eo,le-^d/=
— СО
Первый интеграл в правой части есть не что" иное, как
спектральная плотность функции s (t) при частоте со — со0, а второй
интеграл — при частоте со + со0. Поэтому полученное выше
соотношение можно записать в форме
ОС
J «(OcosKZ+e^e—«df=-i-ie««S(a—cD„)+e-*»S(fl) + e)0)],
(2.58)
где S (со) — спектральная плотность колебания s (t).
Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра S (со)
на две части, смещенные соответственно на +со„ и —со0,
эквивалентно умножению функции s (f) на гармоническое колебание cos со,/
(при е0 = 0).
Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при
изучении модулированных колебаний.
4. Дифференцирование и интегрирование колебания
Опуская строгие доказательства, ограничимся простыми
рассуждениями. Дифференцирование колебания % (/) можно
рассматривать как почленное дифференцирование всех гармонических
составляющих, входящих в его спектр. Общий вид гармонической
составляющей колебания sx (t) при частоте со можно представить
в форме
L 2л ,
Sx (со) dco
Ш1
е .
Заключенную в квадратные скобки величину можно
рассматривать как амплитуду колебания в полосе dco. [Сравнить последнее
выражение с (2.49).]
Дифференцирование по времени t дает
гсо
— S, (со) rfco
2я
а(ГО<
Следовательно, спектральная плотность производной ds^fy/dt равна
S2 (со) = mSt (со). (2.59)
Аналогично спектральная плотность интеграла j s (t) dt равна
S2 (со) =» (Via) S^co), * - (2.60)
5. Сложение колебании
Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную
плотность заданной функции времени, является линейным
преобразованием, то очевидно, что при сложении колебаний sx (t),s2 (t).
..., обладающих спектрами S, (со), S2 (со) суммарному
колебанию s (Е) — &у (0 + s2 (0 + ... соответствует спектр S (со) — S! (со) -+•
+ S2 (со) + ...
6. Произведение двух колебаний
Пусть рассматриваемое колебание s (t) является произведением
двух функций времени / (t) и g (t).
Используя общую формулу (2.48), определяем спектр
колебания s (t):
оо оо
S(co)= ( s(i)e~UB'dt= Г f(t)g(f)t-«»'dtc (2.61)
— оо — оо
Каждую из функций / (/) и g (f) можно представить в виде
интеграла Фурье
f(f) = -7r- f F (со) е'ю< dco; g (t) = — f G (со) е«» dco.
Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем
оо оо
S (со) = — f / (t) е- ш dt Г G (х) eixi dx=
оо Г оо
— оо L — а
/(Ое-'^-^'Л
dx.
Заключенный в квадратные скобки интеграл представляет
собой спектральную плотность функции / (t) при частоте со — х,
т. е. F (ю — х). Следовательно,
S(co)=— f G(x)F(co — x)dx. (2-62)
— оо
Итак, спектр произведения двух функций времени / (f) и g (f)
равен (с коэффициентом 1/2я) свертке их спектров F (со) и G (со).
Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае со = 0вытекает
следующее равенство:
оо оо
Г / (0 g (t) dt^-— f G (x) F (—jc) dx.
— ОО —ОС
Заменяя в последнем выражении х на ю, получаем
оо оо ос
\i(t)g{t)dt=-~- fG(co)F(—w)du>=--L f G(co)F*(co)rfco, (2.63*
— оо — оо —оо
где F*(co) = F(—со) — спектральная функция,
комплексно-сопряженная функции F (со).
Совершенно аналогично можно показать, что произведению
двух спектров F (со) G (со) = S (со) соответствует функция времени
s (/), являющаяся сверткой функций / (t) и g (t):
оо оо
s(0= j" f(y)g(t-y)dy= j f(t-y)g(y)dy=
-co — oo
1 °°
= — f F (со) G (со) еш da. (2.64)
— or
Последнее выражение особенно широко используется при
анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае
функции времени / (/) и g (t) имеют смысл соответственно входного
сигнала и импульсной характеристики цепи (см. § 6.3), a F (со) и G (со) —
спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.
7. Взаимная заменяемость со и t в преобразованиях Фурье
Обратимся к общему выражению (2.48) и выясним характер
функции S(co) для различных функций s(t).
а. Пусть s (0 есть функция, четная относительно t.
Переписывая выражение (2.48) в виде
оо оо
S(co) = Г s(t) cos atdt — i Г s (f) sin atdt,
OO 00
убеждаемся, что при четности s (t) второй интеграл равен нулю,
так как произведение s (t) sin со? является функцией, нечетной
относительно t, а пределы интегрирования симметричны.
Таким образом, при s (/), четной относительно /, функция S (со),
определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и
четная относительно со.
б. Если s (t) нечетна относительно t, то в нуль обращается
первый интеграл и
ос
S (со) =; — i Г s (/) sin со/ dt.
— оо
В этом случае S (со) — нечетная и чисто мнимая функция со.
в. Если, наконец, s (t) не является четной или нечетной
функцией относительно /, то ее можно разложить на две функции: четную
st (t) и нечетную s2 (t). При этом S (со) представляет комплексную
функцию, причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетна
относительно со.
Из п. а вытекает, что при четной функции s (t) можно
произвольно выбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье
[формула (2.49)]; выберем знак минус и запишем формулу (2.49)
в виде
1
s(0=— f S(co)e-'™dco.
2я J
Произведем теперь в последнем интеграле замену переменной
интегрирования со на t и параметра t на со. Тогда левая часть должна
быть записана в виде функции от аргумента со
1 °°
s («)=:— Г S(f)e-™>dt.
2зх J
Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как
спектральную плотность новой функции S (/), полученной путем
замены со на t в выражении спектральной плотности колебания
s it).
Обозначим эту новую спектральную плотность через S' (со).
Тогда
S' (со) = 2ns (со). (2.65)
Этот результат показывает, что переменные со и t в преобразованиях
Фурье взаимно заменимы: если колебанию (четному) s (t)
соответствует спектр S (со), то колебанию S (/) соответствует спектр 2ns (со).
Пример применения этого правила приводится в п. 3, § 2.9.
2.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ
НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ
Для получения выражения, аналогичного (2.42), можно идти
двумя путями: исходя из (2.42) совершить предельный переход
Т -»- оо или воспользоваться результатами предыдущего параграфа.
Рассмотрим второй путь. Для этого воспользуемся выражением
(2.63).
Если f (t) и g (t) представляют собой одно и то ж<е колеоаиие.
/ (0 = 8 (0 = s (О,
то интеграл
оо оо
f f(ftg(f)dt= j s*(f)dt=9
— оо —оо
представляет собой полную энергию колебания s (f), а
произведение спектральных плотностей
G (со) F* (со) = S (со) S* (со) = | S (со) | 2 = S2 (со),
где S (со) — спектр колебания s (t), a S (со) — модуль этого спектра.
Таким образом, приходим к окончательному результату
оо оо оо
3= Г s2 (t) dt = — Г | S (со) р dco= — Г S2 (со) dco. (2.66)
— ос —оо О
Это важное соотношение, устанавливающее связь между
энергией колебания (при сопротивлении 1 Ом) и модулем его
спектральной плотности, известно под названием равенства
Парсеваля.
Между выражениями (2.42) и (2.66) имеется существенное
различие. В § 2.5 речь шла о средней мощности периодического
колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии
отрезка колебания за один период на величину Т. В случае же
непериодического колебания конечной длительности усреднение
энергии за бесконечно большой период дает нуль, и, следовательно,
средняя мощность такого колебания равна нулю.
Из выражения (2.66) видно, что величину |S(w)|2, имеющую
смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот, можко
рассматривать как спектральную плотность энергии колебания.
2.9. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ
НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Основной задачей настоящего параграфа является пояснение
свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих
параграфах, на примерах, важных для практики.
1. Импульс прямоугольной формы
Простейшее колебание, определяемое выражением
sj(0 =
л при ^<г<^,
О при t<— -^ и t>^-
(2.67)
и представленное на рис. 2.13, получило широкое
распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя
формулу (2.48), находим спектральную плотность (рис. 2.14)
З^со^Л Г е-шМ=-^~ 1е 2 — е 2 ) =
J _ —(0)
-V2
2А
со
СОТи л
81П-^-=Лтв
sin (соти/2)
соти/2
(2.68)
Заметим, что произведение Лтп, равное площади импульса,
определяет значение спектральной плотности импульса при со = О,
т. е. Sj (0) = Лти. Этот вывод можно распространить на импульс
произвольной формы.
-П,/?
D
Рис. 2.13. Импульс прямоугольной Рис. 2.14. Спектральная плотность
формы, прямоугольного импульса.
Действительно, из общего выражения (2.48) следует, что
оо оо
Si (0)=- j s, (Ое-'-о-'Л^ j s, (/)Л. (2.69)
Правая часть этого выражения есть не что иное, как площадь
импульса s, (/). Таким образом, выражение (2.68) можно записать
в форме
S, (№)=£, (0)
соти/2
(2.68')
Здесь через sine (соти/2) обозначена функция
sine (л:) = (sin*)/*.
(2.70)
При удлинении (растягивании) импульса расстояние между
нулями функции Sj (со) сокращается, что равносильно сужению
спектра. Значение S, (0) при этом возрастает. При укорочении
(сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции
S, (со) увеличивается (расширение спектра), а значение S, (0J
уменьшается. В пределе при тв-+0 (А = const) точки со, = ±
Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б)
спектральной плотности прямоугольного
импульса.
Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета
времени с фронтом прямоугольного импульса.
I
№)-&>г„/г-
±2я/ти, соответствующие двум первым нулям функции S, (со),
Удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно
малая по величине, становится равномерной в полосе частот от —со
до со.
На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля S, (со),
отнесенного к величине S, (0), и аргумента 6 (со) спектральной плотности.
Первый из этих графиков можно рассматривать как
амплитудную, а второй — как фазовую характеристику спектра
прямоугольного импульса. Каждая перемена знака S, (со) учитывается
на рис. 2.15, б приращением фазы на я.
При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2.13),
а от фронта (рис. 2.16) фазовая характеристика спектра импульса
должна быть дополнена слагаемым соти/2, учитывающим сдвиг
импульса на время ти/2 (в сторону запаздывания). Результирующая
фазовая характеристика принимает при этом вид, показанный
на рис. 2.15, б штриховой линией.
Рассмотрим вопрос о распределении энергии в спектре
импульса. В соответствии с § 2.8 и формулой (2.68') спектральная
плотность энергии прямоугольного импульса
5*(o)) = S»(0)s-i^^^=S*(0)fsinc (^-)]\ (2.71)
С помощью равенства Парсеваля нетрудно вычислить энергию
в заданной полосе частот.
Пусть нас интересует полоса Дсо от —к>1 до со,. Тогда по формуле
(2.66) находим энергию в указанной полосе
со, го,
3Дсо = ^ rS»«D)d«D = ^»Ti-Lf riril <«"*"> «to-,
л J "J (шти/2)2
о о
„^■xS-LJ.1? ^dx=A^a4(^\
о
12,
где Л2ти = Э есть полная энергия импульса, а функция
(Ws_\± V 3lt±dx (2J2)
V 2 ,/ п J ■ к1
О
определяет относительную долю энергии в полосе частот от 0 до щ.
Интеграл, входящий в выражение (2.72), с помощью
интегрирования по частям может быть приведен к виду
2 sin х COS х
С sin* л , sin'2 x С
0 0 0
_-sin!(coLM21+ j- jing»^ -2 8in»(a,1xaZ2L+sia)i
и1 ТИ/2 J f Ш!ТИ
D
Здесь si y= I dx—интегральный синус.
о
Таким образом,
4f J^b-UJ. [sico^- g"tf(".W2)1 (2.73)
График функции т] (сол/2) изображен на рис. 2.17. Из этого
рисунка видно, что при со^/г = л, т. е. при /:,ти = 1, в полосе
частот от 0 до Д = 1/ти сосредоточено около 90% всей энергии
импульса. На основе формулы (2.73) можно выбирать полосу
пропускания цепи (фильтра) по заданному коэффициенту
использования энергии импульса. Следует, однако, подчеркнуть, что в тех
Рис. 2.17. Доля энергии
прямоугольного импульса в
полосе частот 0, И].
Рис. 2.18. Колоколообразный (гауссов)
импульс (а) и его спектральная
плотность (б).
случаях, когда требуется получить на выходе фильтра форму
импульса, близкую к прямоугольной, величина произведения
Дтц должна быть гораздо больше единицы.
2. Колоколообразный (гауссов) импульс (рис. 2.18, а)
Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется
выражением
s2(t)=Ae-r/2a\ — oo<*<oo. (2.74)
Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального
(гауссова) закона распределения вероятностей, называется также
«гауссовым импульсом». Постоянная а имеет смысл половины
длительности импульса, определяемой на уровне е—,/ = 1/е1/* =
= 0,606 от амплитуды импульса. Таким образом, полная
длительность импульса ти равна 2а.
Применяя выражение (2.48), получаем
&
а(ю) = Л Г
— f-/2a' —tat ,,
е е at.
(2.75)
Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции
Дополнить показатель степени до квадрата суммы
где величина d определяется из условия
i(ot = 2{t/V2a)d,
откуда
d=ma/V2. (2-76)
Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду
Sa(to) = /4e I e dt.
— ос
Переходя к новой переменной х — (t/V2a) + d, получаем
ос
S2(4>)=Aec" Л/2а Г e~x*dx.
— ОС
Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен у п.
окончательно получаем
S2 (co) = А УЪ1а&-а*а*Г1=Ве-ш*г2Ь\ (2-77)
где Ь=1/с, B — VbiaA
График этой функции изображен на рис. 2.18, 5.
Полученный результат имеет важное значение для теории
сигналов. Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются
одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для
получения одной из них по заданной другой достаточно заменить
t на со. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне
е-'/2 от максимального значения, равна 2Ь = 21а — 2 • 2/ти =
= 4/ти, а коэффициент В = У2лаА.
Гауссову спектру
S2(co) = Be-<B/2fc2 (2.78)
соответствует гауссов импульс
52(^=Ле-М2/2=-^=е-6"г/2 (2.79)
у2п
с длительностью 2/fc и амплитудой А = ВЫЛ/2п.
Очевидно, что чем меньше длительность импульса т„, тем шире
спектральная полоса 2Ь.
Вычислим энергию, содержащуюся в полосе частот Дсо от —сох
до о»!. Основываясь на формуле (2.77), находим
(О, СО,
3Дш=^_ Г [^V^ae-e'e,,/2]*d© = >l,'2flsfe-olffl,da) =
-а, О
=Л*2а*— Ге-**Лс=УяЛ*а-4= Г e-*2d*== УпЛ;аФ(асо.),
с J |/л J
2 c
где Ф (z) = —/=■ \ е~х* dx — интеграл вероятности, а УлА2а = Э —
уп о
полная энергия колоколообразного импульса.
Таким образом, отношение энергии в полосе частот от —о^
до сох к полной энергии гауссова импульса равно Ф (acoj).
Ф
0,2 0,1/ 0,6 0,8 1,0 (2 аш1
Рис. 2.19. Доля энергии гауссова импульса в полосе частот 0, ац.
Функция Ф (г) табулирована, график ее показан на рис. 2.19.
Для получения 90% энергии импульса требуется г = ащ cm 1,16
или произведение полной длительности импульса 2а на 2/х, равное
2а • 2/j = г/я = 1,16/я & 0,4.
3. Импульс вида sine (х)
На рис. 2.20, а изображен импульс, определяемый
выражением
sa(t)=sinc((»mt)--
slnnw sin2ir/mJ
(2.81)
Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48)
воспользуемся результатами примера 1 данного параграфа и
свойством взаимной заменимости со и t в преобразованиях Фурье для
четных функций времени (см. п. 7, § 2.7).
znfm ы
Рис. 2.20. Импульс вида sine (comO (а) и его спектральная плотность (б).
Из рисунков 2.13 и 2.14 очевидно, что после замены со на t
и г1 на со заданной функции sa(t) будет соответствовать спектр
прямоугольной формы. Для применения преобразования (2.65)
нужно сначала пронормировать функцию SxCo на рис. 2.14 таким
образом, чтобы максимальное ее значение SL (0) равнялось
единице (как и ss(t)=s3(0) на рис. 2.20, а). Приравняв Лти = 1,
получим амплитуду импульса sl(t) на рис. 2.13, равную 1/ти.
Заменив далее t на со, ти/2 на сот и амплитуду импульса 1/х„
на 1/2 сот, получим спектральную функцию
Мсо)
1/2сотпри|соКсот,
0 при |со|>сот.
Применяя формулу (2.65), находим искомую спектральную
плотность
S3 (со) = 2л. ь^со) = л/сот = 1/2 /т при | со | ^ сот. (2.82)
График S3 (со) представлен на рис. 2.20, б.
4. Группа одинаковых и равноотстоящих импульсов
Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.21)
обозначим через Sx (со). Тогда для второго импульса, сдвинутого
относительно первого на время Т (в сторону запаздывания),
спектральную плотность можно на основании (2.57) представить
выражением S2 (со) = Sj (со) е~шт, для третьего импульса S3 (со) =
= Sx (со) e-/2ft>7" и т. д.
*11
О
,
1
г
*
г
• • • •
(N-1)T
*""
и
t
Рис. 2.21. Пачка одинаковых, равноотстоящих импульсов.
Для группы из N импульсов в соответствии с принципом
линейного суммирования спектров при сложении сигналов получим
спектральную плотность
S(co) = S1(co)ll+e-'B)7+e-'2ft>r+... + e-'(W-1to7-). ^.83)
При частотах, отвечающих условию со = k2nlT, где k — целое
число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице
и, следовательно,
S [Юя/Т1 = NSj. [Ft2n/Tl (2,84).
Таким образом, при частотах со = k2n/T модуль спектральной
плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного
импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие
различных импульсов с указанными выше частотами складываются
со сдвигами фаз, кратными 2я.
При частотах же а> = (1/N) (2я/Т), а также при некоторых
других частотах, для которых сумма векторов e~ikr обращается в нуль,
суммарная спектральная плотность равна нулю. При
промежуточных значениях частот модуль S (со) определяется как
геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.
Рис. 2.22. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (б)
импульсов.
В качестве иллюстрации на рис. 2.22, а изображен спектр
(модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.22, б
— из четырех, при интервале между соседними импульсами
Т = 3ти. Штриховыми линиями показана спектральная плотность
одиночного импульса. С увеличением числа* импульсов в пачке
спектральная плотность все более расщепляется и в пределе
при N -> со принимает линейчатую структуру спектра
периодической функции.
2.10. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА
И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА
Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше
длительность сигнала, тем шире его спектр.
Это фундаментальное положение теории сигналов можно
установить в общем виде на основе преобразования Фурье
оо =0 °°
S (со) = Г s (t) е -' wt dt — f s (t) cos со/ dt — i f s {() sin wtdt. (2.85)
Рассмотрим поведение каждого из интегралов при
увеличении со.
Существует лемма Римана, утверждающая, что если функция
s (t) абсолютно интегрируема в некотором конечном промежутке
[а, Ь], то
lim \s(t)cobwtdt=]\m С s(t)sinatdt=0. (2.86)
Графически смысл этого утверждения поясняется рис 2.23, а,
на котором изображены некоторый произвольно выбранный
сигнал s (t) и гармоническое колебание с частотой со, и рис. 2.23, б,
на котором показано произведение s(f)cos Ш [или s(/)sincof]r
При достаточно высокой частоте со каждая положительная
полуволна на рис. 2.23, б почти полностью компенсируется
ближайшей к ней отрицательной полуволной и суммарная площадь
s (t) cos со/ [или s (t) sin a>t] близка к нулю. Под «достаточно высокой
0
0
cos6>t(slnat)
Рис. 2.23. К вопросу о
соотношении между
длительностью сигнала и
шириной его спектра.
частотой» следует подразумевать частоту со = 2л/Т, при которой
период Т достаточно мал по сравнению с длительностью сигнала
МО-
Очевидно, что чем короче сигнал, тем меньше и период Т,
соответствующий этому условию. Иными словами,чем короче сигнал,
тем выше граничная частота спектра сигнала. Так как нижняя
граница спектра примыкает к нулевой частоте (имеются в
виду сигналы без высокочастотного заполнения, как, например,
на рис. 2.23, а), то спектр получается тем шире, чем короче сигнал.
При этом оказывается, что произведение длительности сигнала
на ширину его спектра не может быть меньше некоторой постоянной
величины. Определение этой величины приводится в приложении I.
'2.И. БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С ЕДИНИЧНОЙ
ПЛОЩАДЬЮ (ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ)
Некоторые из возможных моделей импульса, площадь которого
равна единице, изображены на рис. 2.24. Амплитуды всех этих
импульсов обратно пропорциональны соответствующим образом
определенной длительности импульса. При стремлении
длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь
импульса остается неизменной и равной единице.
Амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять
величине 1/я, (рио. 2.24, а), где х1 — длительность импульса.
ЧА
Ч
I
-**&*/№*
о>
я
Рис. 2.2-i. Импульсы, обращающиеся в дельта-функиию при стремлении
длительности к нулю.
При гауссовом импульсе (рио. 2,24, б) амплитуда должна быть
приравнена поскольку
DO
Наконец, для импульса вида sin (2nfmx)lnx (рис. 2.24, в),
площадь которого равна единице, амплитуда равна 2/т (при к = 0).
Длительность импульса (главного лепестка) обратно
пропорциональна параметру fm.
При устремлении параметров xt и а к нулю, а \т к
бесконечности все три изображенные на рис. 2.24 функции можно определить
следующим образом:
6( Гоо пРи*==0, {287)
[ 0 при кфО'
при одновременном условии
00
J б (х) dx — площадь импулься = I, (2.88)
—ос
Функция б (х), обладающая указанными свойствами,
называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта-
Функцией (а также функцией Дирака).
Применительно к исходным функциям, изображенным на
на рис. 2.24, бив, дельта-функция должна быть определена
выражениями
б(л:)= Mm [sin(2я/гах)/лх\. (2.90)
6(*)=lim^e-*!/2D!, <2S9)
а-*о \/2па
Возможны и другие многочисленные определения б (х).
При сдвиге импульса по оси х на величину х0 определения
(2.87)—(2.90) должны быть записаны в более общей форме
Ь{х-х0) = { °° "РИ *=*» (2.87')
[ 0 при хфх0,
J Ь(х-х0).1х=1, (288')
_.1Й
6(jc—x0) = lim-7~ e~ *-*•>•'*''. (2.89')
■г-,.0 v9.RO ,
0(jc —х„) = lim . {Z.yv )
Функция б {х) обладает важными свойствами, благодаря
которым она получила широкое распространение в математике, физике
и технике.
Из определений (2.87'), (2.88') вытекает основное соотношение
со jo
j 6(x—x0)f(x)dx=t{x0) j 6(x—x0)dx=t(x0). {2.
91)
Так как по определению функция 6 (х — х0) равна нулю на всей
оси х, кроме точки х = х0 (где она бесконечно велика), то
промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы
он включал в себя точку х0. В этом промежутке функции f (x)
принимает постоянное значение / (л:0), которое можно вынести за знак
интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной
функции / (х) на 6 (х — х0) позволяет приравнять интеграл
произведения значению / (х) в точке х = х0.
В математике соотношение (2.91) называется фильтрующим
свойством дельта-функции1.
В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функциями
от аргументов t или со, в зависимости от того, в какой области
рассматривается функция — во временной или частотной.
1 На языке техники более подходящим по смыслу являлся бы гермин
апробирующее свойство.
Рассмотрим сначала свойства функции j5 (t). В этом случае
основное значение имеет спектральная характеристика дельта-
функции. В § 2.9 было установлено, что при сокращении
длительности ти прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина
основного лепестка спектральной плотности увеличивается, а
величина S (0) быстро уменьшается. В данном же случае, когда
сокращение длительности импульса сопровождается одновременным
увеличением его амплитуды, величина спектральной плотности
остается неизменной и равной величине S (0) = 1 для всех частот
—оо < со < оо.- То же самое имеет место при укорочении любого
из дельтообразных импульсов.
Следовательно, спектральная плотность дельта-функции
вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также
вытекает, что фазовая характеристика спектра дельта-функции б(/)
равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические
составляющие единичного импульса при нулевых начальных фазах,
суммируясь, образуют пик бесконечно большой величины в момент
времени t = 0.
Аналогично функция б (/ — t0), определяющая единичный
импульс в момент to, обладает спектральной плотностью S (со) =
= е-"0'-. Модуль этой функции по-прежнему равен единице,
а фазовая характеристика 6 (со) = Ш0.
Найденная ранее величина спектральной плотности дельта-
функции может быть получена и формально с помощью
преобразования Фурье:
S(co)= f b(t—t0)e-imdt.
— со
Используя свойство (2.91), находим
S(o)=e—««• Г б(f—/0)df=e-*»'«. (2.92)
— от
В частном случае (t0 = 0) S(to) = 1.
Можно, очевидно, и б (/ — tn) представить в виде обратного
преобразования Фурье от S(to) =e~"°'":
6(*—/„)=— Г S(co)e'№'dco=— Г е"*('-'°Мсо. (2.93)
— оо —оо
Энергия единичного импульса бесконечно велика. При
спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см.
(2.66)], которое при S (со) = 1 обращается в бесконечность. При
временном рассмотрении это следует из того, что энергия импульса,
пропорциональная квадрату его амплитуды (т. е. величине 1/т«)
и первой степени длительности та, с укорочением импульса растет
как 1/ти. При тц -*■ 0 энергия бесконечно велика.
Понятие единичного импульса особенно широко используется
при исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи.
При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса
была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала.
Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравненю с
постоянной времени исследуемой цепи (или по сравнению с периодом
собственного колебания цепи).
Рассмотрим теперь свойства б (со). Все, что ранее было сказано
относительно свойств б (f), можно распространить на б (со) при
замене t на со и со на t.
По аналогии с выражением (2.93) можем написать
ос ос
б(со)=— Г е1е*сК=— Г e-ia"dt.
2л J 2л J
(2.94)
(Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет
на величину интеграла, см. § 2,7, п. 7, а.)
Соответственно
СО 00
6 (со — со0) = -i- Г е«<в-<в»>' dt = — Г е-«ш -и»>' dt.
2л J 2л J
(2.94')
2.12. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Одним из условий применимости преобразования Фурье к
функции является ее абсолютная интегрируемость
j \f{t)\dt <оо.
(2.95)
Это условие существенно ограничивает класс функций, для
которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными
функциями. Например, такие важные для теории сигналов и цепей функции,
как единичный скачок (рис. 2.25, а) или включаемое в некоторый
момент времени гармоническое колебание (рис. 2.25, б), не
отвечают условию (2.95). Это затруднение можно преодолеть, так обоб-
Ч
т
ю
Рис. 2.25. Примеры функций, не отвечающих условию абсолютной
интегрируемости.
щая преобразование Фурье, чтобы при этом.обеспечивалась
интегрируемость некоторой вспомогательной функции.
На протяжении длительного периода широко применялся
способ, основанный на введении «множителя сходимости». Согласно
этому способу единичный скачок сначала заменяется
экспоненциальным импульсом е-d, с > О, для которого условие (2.95)
выполняется и спектральная плотность
легко определяется
S(co)
■Je_*
e--^dt =
1
С -j-KO
р — (r+rtD)f loo .
c l<=0"
1
(2.96)
C-j-to
Представив S (со) в форме (2.50),
получим
S(co) = S(co)e''e«B>=
__ __L__ q— ' arctg а/с
Vc2+ 0)2
— oo<co<oo. (2.96') Рис. 2.26. Модуль н аргумент
спектральной плотности экспоненииаль-
Графики модуля S(co) = ного импульса.
= IfV с2 + со2
(амплитудно-частотная характеристика) и аргумента 0 (со) = —arctg (со/с) (фазо-
частотная характеристика) спектральной плотности
экспоненциального импульса s (0 = е~с' изображены на рис. 2.26 (штриховыми
линиями).
Устремляя с к нулю, в пределе получаем следующие выражения
для спектральной плотности единичного скачка:
S(co)=lim
1
1
1Л/2
C->,Q с + мв to
со
1
|со.
е (©)=--
при со > О,
е'л'2, 6(со) = +— при со<0.
(2.97)
Графики S (со) и 0 (со), вычисленные по этим формулам,
изображены на рис. 2.26 сплошными линиями. Следует, однако,
предупредить, что в некоторых случаях формула (2.97) может приводить
к недоразумениям. При применении множителя сходимости для
получения правильного результата необходимо в интеграл Фурье
подставлять спектральную плотность, вычисленную при с Ф О,
а предельный переход с -> О совершать только в окончательном
результате, после вычисления интеграла Фурье. Подобная
^процедура эквивалентна переходу от переменной со к комплексной
переменной р = 0 -f t'co с соответствующим выбором пути
интегрирования на плоскости р. Такой прием, приводящий к преобразованиям
Лапласа, будет использован в § 2.13. В тех же случаях, когда
требуется применение непосредственно фурье-спектра, введение
множителя сходимости е_с' нежелательно. Значительно
эффективнее оказывается применение так называемых «обобщенных
функций», к которым принадлежит и дельта-функция.
Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства
дельта-функции позволяют, в частности, распространить понятие
спектральной плотности на гармоническое и вообще на любое периодическое
колебание.
Рассмотрим, например, гармоническое колебание s(f) =
= А0 cos (со0/ 4- 60) и, не обращая ввимания на то, что такой сигнал
не является абсолютно интегрируемым, выражение для
спектральной плотности запишем в форме (2.48):
30 00
S(co)= f s(f)e-"°'d*=/l0 [ cos(co0^+eo)e-to'^=
—oo —oo
oo
— _doe'" С ._,1в_в,иЛ1 A0e
2
— OO
f c— flm—В.ИД ] A"e Г е_Дш + Ша,'<#
На основании формулы (2.94') получаем
S (со) = -^- [2ле'н« 6 (со— со0) + 2ле-*'в" б (со + со0)] =
= Л0л|е-'н« fi(co—co0)+e-'e«fi(co + co0)|. (2.98)
Эта функция равна нулю для всех частот, кроме го = со0 и
со = —со0, при которых S (со) обращается в бесконечность. Как и
следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной
амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность
при дискретных частотах со0 и —со0.
В частности, приравнивая со0 нулю, получаем спектральную
плотность сигнала в виде постоянного напряжения А0:
S"(co) = Л0 • 2зт(5 (со), (2.99)
Распространив соотношение (2.98) на все гармоники любого
периодического сигнала
8{f)=A0+ J AncoHni.o t+6n),
ц^1
мы можем ввести понятие спектральной плотности периодического
сигнала в виде суммы дельта-функций:
5(со)==Л0*2яб (со) +Л, л |е'°» б (со—coj -f е-й« б (со 4-coj] -j-
-j- Л2 я [е'е* б (со — 2со.) + е-'е« б (со + 2co,)J +... + Ап л х
(2.100)
у [е н" 6 (со — ncot) +е й« 6 (со+ «%)] -f ..
Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси
импульсного сигнала и монохроматических колебаний.
Пусть, например, отыскивается спектр суммы двух сигналов:
импульсного st(0 и монохроматического s2 (t) — Л0 cosco0*
■h
s,
7 nA0d(cs-a0)
s2
*»
-(Oq
0>0
6)
6)
Рис. 2.27. Импульсный и монохроматический сигналы (а) и их спектральные
плотности (б).
(рис. 2.27, а). Применяя выражение (2.48) к Sj (t), находим
обычную спектральную плотность S, (со), определяющую сплошной
спектр (на рис. 2.27, б заштриховано). Применение же (2.48)
ks2 (t) дает спектр, определяемый выражением (2.98). На рис. 2.27, б
этот спектр изображается двумя спектральными линиями,
уходящими в бесконечность.
01ышем теперь спектр единичного скачка. Для чтого представим эту
функцию в виде прямоугольного импульса, фронт которого расположен
в точке/ = 0, а срез" — в точке Т. стремящейся к бесконечности (рис. 2.28. а).
В соответствии с таким представлением спектральную плотность единичного
скачка можно определить выражением
S(co)
7-*оо J
е~'ш dt=l\m
Г— oo
{^
з — tat
= lim
1-е
— каТ
T-*-oo {
sin со Г 1—cos oT
Но в соответствии с формулой (2.90)
sin (oT
lim
= яб (со).
Следовательно, спектр единичного скачка
S(co)=n6(co) + (1 — lim cosco7Vi'co.
Г-wo
(2.101)
(2.102)
(2.103)
Первое слчгаемое в правой части этого выражения определяет спектр
постоянного напряжения Л0 = Vg [см. (2.99){, показанного на рис. 2.28, б,
а второе слагаемое — спектр функции, показанной на рис. 2.28, в. Сумма
этих двух функций образует единичный скачок в момент времени = О
(рис. 2.28, а).
Рассмотрим свойства функции
y. (со) = lim cos со7\
Т-*оо
(2.104)
При любых значениях со, отличных от нуля, эта функция неопределенна
и может принимать любые значения в пределах ( — 1, -j~ 1). В точке же со = О
указанная функция имеет определенное значение, которое легко найти. Так
Рис. 2.28. К определению спектра единичного скачка.
как мы приняли, что операция предельного перехода совершается в
последнюю очередь, получаем, что при со= О к (0) = 1 независимо от величины Т.
Другое очевидное свойство к (со) заключается в том, что интеграл от
к (со), взятый по любому конечному промежутку (а, Ь), равен нулю:
Ь Ь II,
С Г sjn соГ \„
I x(co)dco = lim \ cos соГ da> — lim —=0.
J Т->О0 J Т-*00 Т
Более того, в силу леммы Римана, упомянутой в § 2.10, для любой
функции g (со), абсолютно интегрируемой в конечном промежутке (и, Ь),
справедливы тождества
urn
$&И
cos (£>Td(u -
lim Cg(co)
sin соГс!со=0.
Аналогично тому, как это принято в теории обобщенных функций,
можно положить, что быстро осциллирующая функция к (со) равна нулю для
всех со Ф 0.
Таким образом можно ввести следующее определение:
х (со) = lim cos &Т — [ 1 (со)]
Т-юо
\0 п
ри со —0,
при со =5^=0.
(2.105)
Определенную таким образом, функцию к (со) = pg
= [1 (и)] можно назвать игольчатой функцией ~* »
(рис. 2.29).
Применив указанные выше обозначения, за- ^
пишем формулу (2.103) в виде
S(co) = rt6(co) + ' -|1((0)] . (2.105)
vj
— - и ы
Из этого выражения видно, что при и = 0 вто-
рое слагаемое равно нулю (так как при со = ™ис- 2.29. Игольчатая
■= 0 [1(ы)] = I) и весь вклад в спектр дает слагав- функция,
мое зхб (со), соответствующее постоянной
составляющей1/^- При часготах же со, отличных от нуля, первое слагаемое равно нулю,
а второе слагаемое 1/ш (так как при со ф 0 [1 (со)] = 0) [9].
Отсюда следует, что при рассмотрении воздействия единичного скачка
на цепи, передаточная функция которых при и = 0 равна нулю (т. е. на
цепи, не пропускающие постоянный ток), спектральную плотность
единичного скачка можно представлять в форме (2.97).
2.13. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ЦА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Анализ прохождения сигналов через линейные цепи,
описываемые комплексной передаточной функцией, значительно
облегчается при использовании методов контурного интегрирования на
плоскости комплексной частоты р = а + ко.
Переход от действительной переменной со к р = а + «о позволяет
также полностью устранить ограничения, вытекающие из
требования абсолютной интегрируемости функции s (t). '
Представим функцию s (t), в общем случае существующую при
—сю <; t <C оо, в виде суммы двух функций
S (0 = S+ (0 + SL (0,
из которых s+ (t) задана при 0 < t < оо, a s_ (t) при —оо <; t < 0.
Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.48), (2.49),
совершим переход от со к р сначала для функции s+(t). Для этого домно-
жим s+ (t) на е~а»', где ot > 0 выберем таким образом, чтобы
обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции e-°«'s+(f) в
пределах 0 < t <. оо. Тогда после подстановки р = ol + m
выражение (2.49) можно привести к виду
е-°>« s+ (t) = — Г S+ [-£ii£l ] в»-°«« dp
oi—ino
ИЛИ
О, -J- /оо
М0=~ j Ls+(p)eP'dp, (2.107)
где
оо оо
^s+ (/») = S+ (-£=р-) = Г s+ (0 е-««» е-«* Л = Г s+ (0 е-"' Л
о °
(2.108)
называется преобразованием Лапласа функции s+ (/).
Соотношение (2.107) по аналогии с выражением (2.49) часто
называют обратным преобразованием Лапмиса.
Ш i
\
0
,£l-
ffj+Ш
р
6,-iu
а
а)
Рис. 2.30. Путь интегрирования по прямой Oi—гоо, ai + ioo на /^-плоскости
(о); образование замкнутого контура добавлением дуги ABC при /?->■ и° (б).
Из сравнения выражений (2.107) и (2.49) видно, что переход
от со к р означает изменение пути интегрирования. В выражении
(2.49) интегрирование ведется по действительной оси со, а в
выражении (2.107) — по прямой, проходящей параллельно мнимой оси
/со на расстоянии ох вправо от этой оси (рис. 2.30, а). Величина
постоянной ог определяется характером подынтегральной функции
в (2.107): путь интегрирования должен проходить правее полюсов
этой функции.
Добавлением к прямой о1 — /оо, at + гоо дуги бесконечно
большого радиуса можно образовать замкнутый контур
интегрирования (рис. 2.30, б). Для того чтобы добавление этой дуги
не изменяло величины интеграла, нужно руководствоваться
следующим правилом: при положительных значениях t контур
должен быть расположен в левой полуплоскости переменного р, а при
отрицательных t — в правой.
Тогда в первом случае при-f ~> 0 [при проведении дуги в левой
полуплоскости (рис. 2.31, а)] контур интегрирования охватывает
все полюса подынтегральной функции (лежащие левее прямой
Oj — itoo, 0j + j'oo) и в соответствии'с теорией вычетов интеграл
(2.107) определяется как
О, 4- х-
.(0=-^- Г Ls+(p)^dp=-~- Ф Ls+(p)ep'dp = 2 res,
ЛВС*
(2.109)
где 2 res — сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.
При проведении же дуги в правой полуплоскости, т. е. при
l < 0 (рис. 2.31, б), полюса функции Ls+ (p) ept оказываются вне
ш1к
В/
(
р?х
\
Pi
РяУ
Ю
Рис. 2.31. Замыкание контура интегрирования для представления функции
s+{t):
а — при t> 0; б — при /<0,
контура интегрирования, и в соответствии с теоремой Коши
интеграл по замкнутому контуру равен нулю.
Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура
интегрирования получим
при i> 0 (контур по рис.. 2.31, а)
О, 4- ос
s+(t)=-^— f LsAP) ерг dP=^~ & Ls+(p)e>* dp = Zres;
(2.110)
при J < 0 (контур по рис» 2.31, 6)
s+ 4) = -z-r f Ls+ (p) eP' dp = -±r ф Ls+ (p) e"' dp=0.
(2.111)
Напомним важное свойство контурных интегралов: величина
интеграла не зависит от формы замкнутого контура, по которому,
производится интегрирование, если только полюса подынтегральной
функции остаются внутри контура. На основании этого свойства
контур, образованный добавлением дуги ABC бесконечно
большого радиуса (рис, 2.31, а) к прямой at — г°о, о^ + ioo, можно
произвольно деформировать при соблюдении условия, что все
полюса, расположенные левее прямой о, — ioo, о1 + /оо.
остаются внутри контура.
Итак, вычисление интеграла (2.109) сводится к определению
вычетов в полюсах подынтегральной функции.
Рис. 2.32. Замыкание конту- Рис. 2.33. Области сходимости при двусторон-
ра интегрирования для пред- нем преобразовании Лапласа,
ставления функции s_(/)
при i<0.
Рассуждения, аналогичные предыдущим, можно провести для
функции s_ (t), заданной при —-оо < / < 0. Домножив s_ (t) на
е-<м, ПрИ 0а < о, выбранной таким образом, чтобы
обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции e_°*'s_ (/) в пределах
—сю < t < 0, можем написать
о о
L6_(p)= \ s_(0e-°»'e-"B'^= С s-(t)e-p,dt, (2.112)
— ос — ос
s_(Q = —— Ls_ (p) в* dp. (2.113)
2зхг J
Контур интегрирования для данного случая показан на рис. 2.32.
Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции Ls_ (p) eptt
расположенных в правой полуплоскости р. Эту сумму следует взять
со знаком минус, поскольку при t <. 0 контур обходится по
часовой стрелке.
Выражения (2.108), (2.112) и (2.107), (2.113) можно объединить
следующим образом:
в(0='
2л/
L, {р) = L,+ (р) + Ls_ (p)\
■ 01 -f- ft» O-j -f- /oo
f L8+ (p) е"' dp + f L^(p)eP'dp
(2.114)
(2.115)
называется двусторонним преобразова-
Соотношение (2. i 14)
наем Лапласа
Области сходимости функций Ls+ (р) и ЛЛ. (р) на плоскости р
показаны на рис, 2.33. Для Ls+ (p) эта область расположена
справа от прямой о = —оь на которой
расположены полюса
(комплексно-сопряженные), а для Ls_ (р)—слева
от прямой о с= |о2|. Область
сходимости для La (p) имеет вид полосы
шириной а3 + (о2| (рис, 2.33).
Путь интегрирования должен
проходить по прямой, расположенной
внутри этой полосы и параллельной
оси ко, а также по замыкающей дуге,
расположенной в левой полуплоскости
для />0и соответственно в правой
полуплоскости для t <. 0.
Одностороннее пребразование Лапласа получило особенно
широкое распространение при анализе переходных процессов,
связанных с действием на цепь внешней силы, когда начале отсчета
времени совмещают с началом воздействия. Двустороннее
преобразование Лапласа находит все большее распространение при анализе
процессов и функций времени, двусторонних по самой своей сути
(например, корреляционные функции, рассматриваемые в 2.16)).
При рассмотрении четных функций s (t) ~ s (—t), когда можно
считать s+ (О Г~ s_ (—/), имеет место следующее соотношение:
Рис. 2.34. Пример функдни
времени требующей применения
двустороннего преобразования
Лапласа,
1/ ии
_И.-Ой? =
= f s(t)e<"dt=Lt+( —p).
(2.116)
Поясним применение выражений (2.114)—(2 116) на примере
функции времени (рис, 2,34) при % > 0 и ее.
0:
sit) —
eia-K при t^O,
е-а>* при />0.
График колебания s(i)
Определение функции *(О
6(0
Ч
s(0 =
] при ( > Oj
о при г<о.
в (О
-I
е-ш при / > О,
О при ?<0.
а>0
iff
S(l)
-{
е,сс '' при « < О,
О при />0.
а<0
s
в (О
е'"*1' при ; <0,
е-"1' при г > 0.
Ю2<0, ai>0.
47!
Л/и*т
8(0 =
е ш cosgV при < > и,
,0 при f<0.
ct>0
в(0 =
е ш sin соо/ при / > О,
О
при I < 0.
а>0
5
t,ff
в(0 =
[ cos co0/ при > > О
[О при г<0
iff
а
VU
>(0 = {
sin co0 t при f > О
О
при г<0.
Таблица 2.1
Спектральная
Изебражевие по Лапласу плотность S (toi
Графив модуля S.«s>)
■**
_1_
Р
яб (со) +
i-lUcoji
ICO
(см. § 2.12)
Sk
—»-
а + р
1
а + г'со
Ч
1/а
~*3-
а+Р
I
а+ '<*>
, т
У.
«г—«1
(p+ai)(p+a2)
«2 — «1
(MO+ai)0'co+a2)
р + а
(p + a)2+coji
«со+а
(cog —соа)+ f'2aco+a2
-Н
А1А
-% # coo a
со0
(р+а)2+сй2
со0
(cog—со2) + «2асо+а2
кЛЛ
-Щ О (до О
р* + а*
cog—со2
J*
JL_ А
-% # й,^ в
СОо
Р2+со„2
со0
А 1 А
-5V
-Ыц О щ й)
По формулам (2.112) и (2.108) находим
о
Ls.(p)= Г e~a*te-lxdt= '
— оо
полюс рп = — а2 ==| eta |;
оо
'^+ (Р)= Г е~а'' е-" Л= -J—,
Мр) =
о
ПОЛЮС Ра— —«i-,
1 1 а3—at
аг+Р о-1+Р (P + ai)(P + a2)
|a2|+ai
p2 + (ai—I a2 I) P—ai I a21
В частном случае [ a21 = at получаем
(2.117)
Ls_ (,o) = Ls+ (—p) = , Ls {p) =
1 T ,_4 1 , 1 __ 1ал
(2.118)
Отметим, что для перехода от изображения Лапласа к фурье-
спектру S (со) достаточно в выражении вида (2.118) заменить р
на tco.
Таким образом, в рассматриваемом примере
S (со) = ада? — со2). (2.119)
Изображение по Лапласу и соответствующие им фурье-спектры
некоторых распространенных в теории сигналов функций
приведены в табл. 2.1.
2.14. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ
ПОЛОСОЙ В ВИДЕ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА
В теории и технике сигналов широко используется теорема
Котельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре
функции s (t) меньше чем /т, то функция s (t) полностью определяется
последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг
от друга не более чем на 1/2 fm секунд.
В соответствии с этой теоремой сигнал s(t), ограниченный по
по спектру наивысшей частотой сот = 2я/т, можно представить
р ядом
£(Л_ "V s( П \ SW(i>m(t — n/2fm) ^
fi= ОО
ОО
«= 2 «(лД/)Ф„(0. (2.120)
В этом выражении l/2/m = At обозначает интервал между двумя
отсчетными точками на оси времени, a s (n/2fm) = s (nAf) —
выборки функции s (t) в моменты времени t — nAt.
Представление заданной функции s (t) рядом (2.120)
иллюстрируется рис. 2.35.
Функция вида
sin ют (/— пМ) .g j2j
шм(<—яАО" '
«Р»(0 =
уже встречавшаяся ранее (см. § 2.9, рис. 2.20, а), обладает
следующими свойствами:
а) в точке t = nA t yn(nAt) = 1, а в точках t = kAt, где k —
любое целое положительное или отрицательное число, отличное от
п, фп (kAl) = 0;
б) спектральная плотность функции ф0 {t) равномерна в полосе
частот | со J < tom и равна 1/2/т = л/сот [см. (2.82) и рис. 2.20, б].
I* "~П t°(n+f)At
Рис. 2.35. Представление сигнала рядом Котельникова.
Так как функция фп (t) отличается от ф0 (t) только сдвигом на оси
времени на величину nAt, то спектральная плотность функции
Фп (/)
( —— е-'пД'ш=Д/е-'"ПД'ш при — сот < со < сот,
Ф»Н= 2/т (2.122)
( 0 при со<—сот и со>сот.
Модуль этой функции изображен в нижней части рис. 2.36
(сплошной линией).
То, что ряд (2.120) точно определяет заданный сигнал s (t) в
точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку
коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, т. е.
величины s (nAt). Можно доказать, что ряд (2.120) определяет функ-
цию s (t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t ~ n&i.
Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции
по ортогональной системе, изложенными в § 2.2. В данном случае
разложение производится по функциям вида (2.121), для которых
интервал ортогональности равен бесконечности, а норма ||фп||
в соответствии с (2.5)
II ф» 11-= Г sin?r(<-^} at = J- \«¥<ь =JLe д,.
OO oO
(2.123)
He предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.120),
применим для их определения общую формулу (2.9), справедливую
для обобщенного ряда Фурье:
оо
Сп = — Г S(/)tpn
(t) dt.
(2.124)
При этом мы исходим из условия, что s (t) — квадратично
интегрируемая функция (энергия сигнала конечна).
At =
kSttaf)
Рис. 2.36. Связь между спектром сигнала s{t) и спектром базисной функции
Фп (0-
Для вычисления интеграла в выражении (2.124) воспользуемся
формулой (2.63), согласно которой
j s(0«PnW
dt--
l 1
Щт 2л
Г S (со) е'лД'ю dco. (2.125)
Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с
заданной граничной частотой tom = 2эт/т в спектре сигнала, а также
в спектре функции ф„ (/),
Интеграл в правой части (2.125) с коэффициентом 1/2л. есть
не что иное, как значение s (t) в момент t = nAt. Таким образом,
f s{t)q>n{f)dt=-Ats(nAt).
Подставляя этот результат в (2.124), получаем окончательное
выражение
сп-= s (nAt),
из которого следует, что коэффициентами ряда (2.120) являются
выборки функции s (/) в точках t = nAt.
Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой
обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд (2.120) сходится
к функции s (*) при любом значении t.
Если взять интервал между выборками At' меньшим, чем At =
= l/2/m, то ширина 2/'т спектра Ф„ (со) функции ср„ будет больше,
чем у спектра S (со) сигнала s (t) (рис. 2.36), но это не отразится
на величине коэффициента сп. Модуль функции Ф' (со) изображен
на рис. 2.36 штриховой линий.
При увеличении же At" по сравнению с At спектр Ф.^ (со) функции
у'п (t) (на рис. 2.36 показан штрих-пунктиром) становится уже,
чем спектр сигнала s (t), и при вычислении интеграла в выражении
(2.125) пределы интегрирования должны быть —2nf'm, 2nf"m вместо
—2л/т; 2nfm. Коэффициенты сп при этом являются уже выборками
не заданного сигнала s (f), а некоторой другой функции ^ (t), спектр
которой ограничен наивысшей частотой f'm.
Итак, сокращение интервалов между выборками по сравнению с
величиной 1/2 fm допустимо, но бесполезно. Увеличение же
интервала сверх величины 1/2 fm недопустимо.
Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s (t)
конечна и равна Тс, а полоса частот по-прежнему равна fm. Эти
условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной
длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром.
Практически, однако, всегда можно определить наивысшую частоту
спектра /т так, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные
отсеканием частот, превышающих fm, содержали пренебрежимо
малую долю энергии по сравнению с энергией заданного сигнала
s (/). При таком допущении, если имеется сигнал длительностью
Тс с полосой частот /т, общее число независимых параметров [т. е.
значений s (nAt)], которое необходимо для полного задания
сигнала, очевидно, будет, равно
N=TcIAt = 2fmTc. (2.126)
При этом выражение (2.120) принимает следующий вид (при
отсчете времени от первой выборки):
2/ Т
s(/)= Vs(nAt) s^^((~nAt) . (2.127)
Число N иногда называют числом степеней
свободы сигнала s (/), так как даже при произвольном выборе
значений s (n&f) сумма вида (2.127) определяет функцию,
удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности
сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала
Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через
заданную последовательность временных выборок.
Используя формулы (2.16) и (2.123), получаем
2f T "if T
Э= §СИпЛг)Н1фп11й=Л' \e[s{nU)f; (2.128)
п = 0 п — й
«"(О^Н^ У [8{пЫ)Г=-±- У ls(nM)]\ (2.129)
Из последнего выражения видно, что средняя за время Т0
мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки.
Усреднение производится по всем интервалам, число которых
равно 2fmTc.
2.15. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Иногда сигнал необходимо представить е помощью
частотных выборок спектральной функции S (со), а не временных
выборок функции s (t). Для функции S '(со) можно составить ряд,
аналогичный выражению (2.120). Это нетрудно сделать на
основании взаимной заменяемости переменных t и со в преобразованиях
Фурье. Применительно к выражению (2.120) это означает, что
/следует поменять на со, 2сот на Тс, 2/т на Тс/2п и Д/= 1/2/т на
Дсо == 2п/Тс.
Таким образом, получаем
'т * о
S(oo)= V S(nAco)
Т
sin—— (со — пАсо)
—!тТс -у-(со-иАсо)
f Т . * с
'т о sin —
/ 2п \
со—п
(„*U_Li b_L. (2 130)
Расстановка частотных выборок иллюстрируется рис. 2.37,
Если ранее временной интервал между двумя соседними
выборками не должен был превышать 2я/2сот, то теперь частотный
интервал не должен превышать 2п/Тс. При ширине спектра 2сот,
охватывающей область частот —сото <Г со < сот, число выборок
равно 2сот/Дсо = 2/тГс, как и при представлении сигнала рядом
(2.127).
В общем случае выборки S (п2п'1Тс) являются
комплексными числами и в каждой отсчетнои точке на оси частот должны быть
заданы два параметра — действительная и мнимая части S (п2п/Тс)
(или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров
получается вдвое большим, чем при временном представлении
сигнала, когда выборки s(nl2fm) —действительные числа. Избыточность
представления сигнала в частотной области легко устраняется,
если учесть, что S (п2п/Тс) и S (—п2п1Тс) являются
комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них
однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала
-2Да -Аы О Аы ZAco SAo • • am о
Рис. 2.37. Дискретизация спектра сигнала по Котельникову,
полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок,
взятых только в области положительных частот, и число независимых
параметров или степеней свободы сигнала равно 2fmTc, как и при
представлении сигнала во временной области.
2.16. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
СИГНАЛОВ
Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто
на практике оказывается необходимой характеристика, которая
давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в
частности о скорости изменения во времени, а также о длительности
сигнала без разложения его на гармонические составляющие.
В качестве такой временной характеристики широко
используется корреляционная функция сигнала.
Для детерминированного сигнала s (t) конечной длительности
корреляционная функция определяется следующим выражением:
Д,(т)= J s{t)s*(t + r)dt, (2.131)
— оо
где т — величина временного сдвига сигнала.
В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся
вещественной функцией времени, и обозначение комплексного сопряжения
можно опустить:
8.W= J s(f)s(f+x)dt.
(2.132)
-fa-ty о fe-t,)
Рис. 2.38. Построение
корреляционной функции для
прямоугольного импульса.
Рис. 2.39. Построение корреляционной
функции для треугольного импульса.
Из выражения (2.132) видно, что Bs (т) характеризует степень
связи (корреляции) сигнала s (/) со своей копией, сдвинутой на
величину т по оси времени. Ясно, что функция Bs (х) достигает
максимума при т = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован
с самим собой. При этом
В,(0)= J s*{t)dt=3,
(2.133)
т. е. максимальное значение корреляционной функции равно
энергии сигнала.
С увеличением т функция Bs (т) убывает (не обязательно
монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s (t) и s (t -f- т) на
величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.
На рис. 2.38 показано построение корреляционной функции
для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса
(рис. 2.38, а). Сдвинутый на т (в сторону опережения) сигнал
s (t + х) показан на рис. 2.38, б, а произведение s (/) s (t + х) —
на рис. 2.-38, в. График функции Bs (х) изображен на рис. 2.38, г.
Каждому значению т соответствует свое произведение s (t) s {t + т)
и площадь под графиком функции s (f) s (t + т). Численные
значения таких площадей для соответствующих т и дают ординаты
функции Bs {%).
Аналогичное построение для треугольного импульса изображено
на рис. 2.39. Из общего определения корреляционной функции,
а также из приведенных примеров видно, что безразлично, вправо
№
О гк
п п п
.^/й /У
В)
зт,
-ST,
-Я/
-ч от* rf
Ал
Рис. 2.40. Пачка из четырех прямоугольных импульсов (а) и корреляционная
функция (б).
или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину
т. Поэтому выражение (2.132) можно обобщить следующим образом:
оо со
Вв(т)= Г s(t)s(t+x)dt= Г s(t)s(t—x)dt. (2.132')
— оо —ос
Это равносильно утверждению, что Bs (т) является четной
функцией т.
На рис. 2.40, а показан сигнал в виде пачки из четырех
одинаковых импульсов, сдвинутых один относительно другого на время
Ти а на рис. 2.40, б—соответствующая этому сигналу
корреляционная функция. Вблизи значений т, равных 0, ±7\, ±27\ и
±37^, эта функция имеет такой же вид, как и для одиночного
импульса (см. рис. 2.38, г). Максимальное значение корреляционной
функции (при т = 0) равно учетверенной энергии одного импульса.
Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно
велика, определение корреляционной функции с помощью
выражений (2.132) или (2.132') неприемлемо. В этом случае исходят
из следующего определения:
Г/2
Я.пч>(*) = Нтi-^- j s(t)s(t+t)dt=
— 77'
= lim
Jl_
т
T[2
\ s{t—t)s{t)dt.
(2.134)
— 7/2
При таком определении корреляционная функция приобретает
размерность мощности, причем Bsnep (0) равна средней мощности
периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала s (t)
усреднение произведения s (/) s (t + т) или s (t — i) s (t) по бесконечно
большому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду
7\. Поэтому выражение (2.134) можно заменить выражением
7\/2 Л/2
BSnepfr) = jr J s(i)(t+t)eU=-±- j s(t-x)s(f)dt. (2.135)
-Г./2 -T-,/2
Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как
корреляционная функция сигнала на интервале Тх. Обозначая ее
через BsT^ (т), приходим к соотношению
£iBep(T)=fi.7-.(T)/7\. (2.136)
Из (2.135) вытекает также очевидное утверждение:
периодическому сигналу s (/) соответствует и периодическая корреляционная
функция Bsnev(x). Период функции Bs riep (т) совпадает с периодом
7\ исходного сигнала s (f). Так, например, для простейшего
(гармонического) сигнала s {f) = Л0 cos (co0/ + 0О) корреляционная
функция
£.nep(T) = -^- J COS((00^-fe0)COSK(^+T)+ejrf/ =
-Л/2
=—А1со$,(й0г; аи=—. (2.137)
2 Т\
При т = 0 5SDep (0) = 4%Al есть средняя мощность
гармонического колебания с амплитудой А0. Важно отметить, что
корреляционная функция Bsnep (т) не зависит от начальной фазы
колебания 0О.
На рис. 2.41, б изображена корреляционная функция сигнала,
представляющего собой периодическую последовательность
прямоугольных импульсов (рис. 2.41, а). Каждый из импульсов
функции Bsuep (т) совпадает по форме с корреляционной
функцией одиночного импульса из периодической
последовательности s (/). Однако в данном случае максимальные ординаты
Bsmp (т) равны не энергии (как на рис. 2.40), а средней мощности
сигнала s (t), т. е. величине s2 (t).
Для оценки степени связи между двумя различными сигналами
Sj (t) и s2 (/) используется в з а и м н о-к орреляционная
функция, определяемая общим выражением
со
B*i*.№ = f hit)sl{t+ x)dt. (2.138)
SA
П—CL__P
-т, ~т{+гн
Ъ П
Рис. 2.41. Периодическая последовательность импульсов (а) и ее
корреляционная функция (б).
Для вещественных функций s1 (t) и sa (t)
ос
B,lH(x)= $ sj, (t) s2 (t +1) dt.
(2.139)
Рассмотренная выше корреляционная функция Bs (т) является
частным случаем функции В,, Si (т), когда sl (f) = s2 (f).
Построение взаимно-корреляционной функции для двух
сигналов sl (f) и sa (t) приведено на рис. 2.42. Исходное положение
сигналов (т = 0) показано на рис. 2.42, а. При сдвиге сигнала
s2 (f) влево (т>0, рис. 2.42, б) корреляционная функция
сначала возрастает, затем убывает до нуля при т = Т, При сдвиге
S
. /
1 в)
1
I
i
Гт Г
V
Рис 2.42. Построение взаимно-корреляиион-
ной функции:
.а — исходное положение сигналов; б — сдвиг
* сигнала Si(t) на т; в — взаимно-корреляциоиная
функция.
вправо (т. <С 0) корреляционная функция сразу убывает. В
результате получается асимметричная относительно оси ординат
функция Bs,s. (рис. 2.42, в).
Очевидно, что значение BSlS! не изменится, если вместо
упреждения сигнала s2 (t) дать задержку сигналу s1 (f). Поэтому
выражение (2.139) можно обобщить следующим образом:
Я», ».(*)== j sl{f)si(t + x)dt= J S!tf—T)s,(t)dt.
(2.140)
Следует, однако, различать выражения (2.132') и (2.140). В
отличие от Bs (т) взаимно-корреляционная функция не обязательно
является четной относительно т. Кроме того,
взаимно-корреляционная функция не обязательно достигает максимума при т = 0. Оба
эти свойства функции В-,~. (т) иллюстрируются рис. 2.42.
2.17. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ
И СПЕКТРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ СИГНАЛА
Воспользуемся выражением (2.63), в котором положим / (f) =
= s (0, g (t) = s (t + т) и соответственно F (to) = S (to); G (со) =
= S (со) e/on. Тогда получим
oo oo
Г s(t)s(t+T)dt = — Г S((o)S*(to)e-"OTdce=fig(t).
— oo —oo
Учитывая, что S (со) S* (со) = S2 (со), приходим к искомому
соотношению
оо
£ЛТ) = — Г S2 (со) е-'шх dto. (2.141)
2л J
— С»
На основании известных свойств преобразований Фурье можно
также написать1
оо
S2(co)= Г Ba{x)e^dT. (2.142)
— с»
Итак, прямое преобразование Фурье (2.142) корреляционной
функции Bs (т) дает спектральную плотность энергии (см.
замечание в конце § 2.8), а преобразование (2.141) дает корреляционную
функцию Bs (т).
Из выражений (2.141) и (2.142) вытекают свойства, аналогичные
отмеченным в § 2.10: чем шире спектр S (со) сигнала, тем меньше
интервал корреляции, т. е. величина сдвига т, в пределах которого
1 Ввиду четности функции Bs (т) знак перед сот в показателе степени
может быть произвольным. То же относится к (2.141).
корреляционная функция отлична от нуля. Соответственно чем
больше интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его спектр.
Из выражений (2.141) и (2.142) также видно, что
корреляционная функция Bs (т) не зависит от фазовой характеристики спектра
сигнала. Так как при заданном амплитудном спектре S (со) форма
функции s (f) существенно зависит от фазового спектра, то можно
сделать следующее заключение: различным по форме сигналам s (t),
обладающим одинаковыми амплитудными спектрами,
соответствуют одинаковые корреляционные функции Bs (т).
2.18. КОГЕРЕНТНОСТЬ
В физике, где впервые был применен термин «когерентные
колебания», под когерентностью подразумевалось совпадение фаз
суммируемых гармонических колебаний. В настоящее время в
радиотехнике и теории информации когерентность трактуется более
широко: под когерентностью обычно подразумевается связь между
фазами сигналов.
Степень когерентности сигналов можно оценивать с помощью
сопоставления энергии суммы сигналов с суммой энергий
отдельных слагаемых сигналов.
Пусть, например, рассматриваются два сигнала Sj (t) и s2 (t).
Энергия их суммы в общем случае
оо ос ею
3=1 [«г (О + «2 W dt = $ 1st (/)]* dt + J - [s, (t)f dt +
— oo —oo — oo
OO
+ 2 \ s, (/) s2 (0 <#- (2.143)
ОС
Первые два интеграла в правой части этого выражения
определяют энергии Эг и Э2 сигналов sx it) и s2 (t), взятых отдельно, а
последний определяет «энергию взаимодействия» Э12 между
рассматриваемыми сигналами.
В обозначениях, используемых при корреляционном анализе
сигналов (см. § 2.16 и 2.17), выражение (2.143) принимает вид
Э=ВЬ <0)+ б, (0) +2BS, ,. (0). (2.144)
Таким образом, введенная в §2.16 взаимно-корреляционная
функция [см. (2.139)] £,,„, (т) при т = 0 может служить мерой
энергии взаимодействия Э12.
Чем большую долю от суммы 3, + Э2 составляет энергия
взаимодействия Э12, тем выше когерентность сигналов Sj (t) и s2 (i).
В качестве меры когерентности иногда принимают иной
критерий, а именно отношение
К = 2 $" Sl(t)sAt)dt 2 $" I МО II *(*)!#• (2-145)
Числитель этого отношения представляет собой энергию
взаимодействия 312, а величина отношения может принимать любые
значения, заключенные между —I и +1-
Рассмотрим в качестве примера два одинаковых сигнала с
равными энергиями 3, = 32. При сложении этих сигналов «в фазе»
суммарная энергия Э = 43х = 432, а 312 = 2ЭХ = 232.
Знаменатель дроби в правой части (2.145) при этом равен 3, +32 (так же,
как и числитель) и К = +1.
При сложении в противофазе (т. е. при вычитании) 3 = 0,
а К == — I. В обоих случаях сигналы полностью когерентны.
Для того чтобы сигналы были некогерентны (т. е. чтобы К = 0),
должно выполняться условие
ос
\ s1(t)s2(t)dt = 0. (2.146)
— ос
Но это условие есть не что иное, как условие ортогональности
рассматриваемых сигналов.
Таким образом, приходим к выводу, что некогерентные сигналы
обязательно являются ортогональными. Из ортогональности
некогерентных сигналов следует, что при линейном их сложении энер-
гия суммы сигналов равна сумме энергий отдельных слагаемых.
Глава 3"
РАДИОСИГНАЛЫ
3.1. ОБШИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Для передачи информации на расстояние применяются сигналы,
эффективно излучаемые с помощью антенных устройств,
обладающие способностью распространяться в виде свободных радиоволн
в среде, разделяющей отправителя и получателя информации.
Такими сигналами являются высокочастотные колеба-
п и я. Передаваемая информация должна быть тем или иным
способом заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим.
Частота (о0 этого колебания выбирается в зависимости от
расстояния, на которое должна передаваться информация, от условий
распространения радиоволн и ряда других технических и
экономических факторов. Но в любом случае частота а>0 должна быть
велика по сравнению с наивысшей частотой спектра передаваемого
сообщения.
Это объясняется тем, что для неискаженной передачи
сообщения через радиотехнические цепи, а также для. устранения
искажений, обусловленных распространением радиоволн, необходимо,
чтобы ширина спектра сообщения ют была мала по сравнению с ю0;
чем меньше отношение o)m/(on, тем меньше проявляется
несовершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая скорость
передачи информации, и, следовательно, шире спектр сообщения
(йт, тем выше должна быть несущая частота радиосигнала. Как
правило, выполняется неравенство (от/а>0 <С 1-
Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как
«узкополосный» процесс даже при передаче «широкополосных» сообщений.
Приведем следующие примеры. При передаче речи или музыки
спектр сообщения обычно ограничивают полосой от FMKH = 30—
— 50Гцдо^макс = 3000—10 000 Гц. Даже на самой длинной волне
вещательного диапазона К = 2000 м при несущей частоте /0 =
= 150 кГц, отношение FWSiKIS/f0 < 10*/i,5 • 105 да 0,06. При
передаче тех же сообщений на коротких волнах (при частотах 15—
20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента. При
передаче подвижных изображений (телевидение) полоса частот
сообщения весьма широка и достигает 5—6 МГц, однако и несущая
частота выбирается не менее 50—60 МГц, так что отношение
^мак(//о не превышает 10%.
В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию,
можно представить в виде
о (/) = А (0 cos [<в„ t + 0 (f)] = A (t) cosiJj (i), (3.1)
в котором амплитуда А или фаза 0 изменяются по закону
передаваемого сообщения.
Если А и 0 — постоянные величины, то выражение (3.1)
описывает простое гармоническое колебание, не содержащее в себе
никакой информации. Если А и 0 (следовательно, и ty) подвергаются
принудительному изменению для передачи сообщения, то
колебание становится модулированным.
В зависимости от того, какой из двух параметров изменяется —
амплитуда А или угол 0 — различают два основных вида
модуляции: амплитудную и угловую. Угловая модуляция, в свою очередь,
подразделяется на два вида: частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ).
Эти два вида модуляции между собой тесно связаны, и различие
между ними проявляется лишь в характере изменения во времени
угла ty при одной и той же модулирующей функции.
Модулированное колебание имеет спектр, структура которого
зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от вида
модуляции. То обстоятельство, что ширина спектра модулирующего
сообщения мала по сравнению с несущей частотой (о0, позволяет
считать A (t) и 0 (f) медленными функциями времени. Это
означает, что относительные изменения А (/) и 0 (t) за один период
несущего колебания малы по сравнению с единицей.
Рассмотрим сначала вопрос об изменении амплитуды. При
скорости изменения амплитуды dA/dt приращение амплитуды за один
период Т0 можно приближенно приравнять (dA/df) T0. Следова-
тел ьно, относительное изменение за период равно
йА
dt
Jo
А
йА
d<
А (%
Можно считать, что условие медленности функции Л (/)
выполняется, если
2л
со,,
d/
1
<^ 1 ИЛИ
йА
di
2л
(3.2)
Аналогичным образом можно установить условие медленности
функции 0.
Так как мгновенная частота колебания равна скорости изменения
фазы (об этом подробнее будет сказано в следующих параграфах),
то, дифференцируя аргумент выражения (3.1), находим
">(0 =
ОФ (()
d'
= оз„
dO
dt
Производная dQ/dt определяет отклонение частоты со (t) от
частоты со0. Это отклонение может быть быстрым или медленным. Для
того чтобы колебание a (t) можно было считать близким к
гармоническому, нужно потребовать, чтобы изменение частоты за один цикл
Т0 = 2эх/со0 было мало по сравнению с частотой со (t) в
рассматриваемый момент времени.
Таким образом, условие медленности функции 0 (t) можно
записать в виде следующего неравенства: ■
d I rf6 \
dt { di I
и (О
<<S: 1 или
d*e
<^
№(<)
Так как обычно со (t) очень мало отличается oi co0, можно
исходить из условия
d*0
dfl
1
2л
cog.
(3.3)
Для большинства используемых в радиотехнике сигналов
неравенства (3.2) и (3.3) обычно выполняются. Это означает, что при
любом виде модуляции параметры радиосигнала: амплитуда, фаза
и частота — изменяются настолько медленно, что в пределах одного
периода Т0 колебание можно считать гармоническим.
Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего
рассмотрения свойств радиосигналов и их спектров.
3.2. РАДИОСИГНАЛЫ С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Амплитудная модуляция является наиболее простым и очень
распространенным в радиотехнике способом заложения
информации в высокочастотное колебание. При амплитудной модуляции
огибающая амплитуд несущего колебания изменяется по закону, сов-
падающему с законом изменения передаваемого сообщения, частота
же и начальная фаза колебания поддерживаются неизменными.
Поэтому для амплитудно-модулированного радиосигнала общее
выражение (3.1) можно заменить следующим:
а (0 = А (0 cos (со,/ + Go). (3.4)
Характер огибающей A (t) определяется видом передаваемого
сообщения.
При непрерывном сообщении (рис. 3.1, а) модулированное
колебание приобретает вид, показанный на рис. 3.1, б. Огибающая
A (t) изменяется по закону,
воспроизводящему сообщение
s (/). Рис. 3.1, б построен в
предположении, что постоянная
составляющая функции s (t)
равна нулю . (в противоположном
случае амплитуда несущего
колебания А0 может не совпадать с
амплитудой немодулированного
колебания). Наибольшее
изменение A (t) «вниз» не может быть
больше А0. Изменение же
«вверх» может быть в принципе
и больше А0.
Основным параметром
амплитудно-модулированного
колебания является глубина
модуляции.
Определение этого понятия
особенно наглядно для
тональной модуляции, когда модулирующая функция является
гармоническим1 колебанием:
s (0 = S„ cos (Ш + v).
Огибающую модулированного колебания при этом можно
представить в виде
A (t) = А0 + kaMs (t) = А0 + АА т cos (Ш + у), (3.5)
где Q — частота модуляции; у — начальная фаза огибающей; kam —
коэффициент пропорциональности; ДЛт = &aMS0 — амплитуда
изменения огибающей (рис, 3.2).
Отношение
М = AAJA0
называется коэффициентом модуляпии.
Рис. 3.1. Модулирующая функция (а)
и амплитудно-модулированное
колебание (б).
1 В данной главе а используется для обозначения частоты
модулирующей функции.
Таким образом, мгновенное значение модулированного
колебания можно записать в форме
a (t) =- А0 [1 + М cos (Ш -г Y)J cos (©„* + 0О). (3.6)
При неискаженной модуляции (М < 1) амплитуда колебания
изменяется в пределах от минимальной Лмви = Л0 (1 — М) до
максимальной Лмакс — А0 (1 + М).
В соответствии с изменением амплитуды изменяется и средняя
за период высокой частоты мощность модулированного колебания.
Пикам огибающей соответствует мощность, в (1 + М)г раз большая
Рис. 3.2. Колебание, модулированное Рис. 3.3. Колебание, модулированное
по амплитуде гармонической функ- по амплитуде импульсной последова-
цией. тельностью
мощности несущего колебания. Средняя же за период модуляции
мощность пропорциональна среднему1 квадрату амплитуды A {i):
АЩ = Л б [\+Mcos(Qt + y)]2=Al (1 + 0.5ЛР)- (3.7)
Эта мощность превышает мощность несущего колебания qpero
лишь в (1 -+- 0,5УИ2) раз. Таким образом, при 100%-ной модуляции
(М = I) пиковая мощность равна 4Р0, а средняя мощность 1,5Я0
(через Р0 — 112АЬ обозначена мощность несущего колебания).
Отсюда видно, что обусловленное модуляцией приращение мощности
колебания, которое в основном и определяет условия выделения
сообщения при приеме, даже при предельной глубине модуляции не
превышает половины мощности несущего колебания.
При передаче дискретных сообщений, представляющих собой
чередование импульсов и пауз (рис. 3.3, а), модулированное
колебание имеет вид последовательности радиоимпульсов, изображенных
на рис. 3.3, б.
При этом имеется в виду, что фазы высокочастотного заполнения
в каждом из импульсов такие же, как и при «нарезании» их из
одного непрерывного гармонического колебания. Только при этом
условии показанную на рис. 3.3, б последовательность радиоим-
1 Среднее значение со> (Ot^-^) за период модулирующей частоты равно
нулю, а среднее значение cos2 (Q/-J-Y) равно Vg- Черта над функцией означаем
операцию усреднения по времени.
пульсов можно трактовать как колебание, модулированное лишь
по амплитуде. Если от импульса к импульсу фаза изменяется, то
следует говорить о смешанной, амплитудно-угловой модуляции.
3.3. ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО
СИГНАЛА
Пусть задано высокочастотное модулированное колебание,
относительно которого известно, что частота со0 и начальная фаза 0О —
величины постоянные, а огибающая A (t) содержит в себе
передаваемое сообщение s (t). Аналитически такое колебание можно
представить с помощью выражения (3.4).
Требуется установить связь между спектром модулированного
колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром
исходного сообщения s (.f). Проще и нагляднее всего это можно
сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая
A {t) = А „И +М cos (fi* -f v)J,
а модулированное колебание определяется выражением (3.6).
Перепишем выражение (3.6) в форме
а{1) -= А0 tcos (со„/ + 60) + М cos (Q* + у) cos (a>0t +
+ 60)J.
Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся
продуктом модуляции, можно привести к виду
М cos, $il -J- у) cos (co„ i + Й8)=y cos {(co0 + Q) t + (0O + y>j +
+ ^- cos I (cou—Q) / + (%—T)L
после чего развернутое выражение колебания a (f) принимает вид
а^=Лисо5(а>^ + Ч0)-Ь-^со5((со. + Q) t + % -+- у] +
+ — cos |(co0 -Й)t + Q0— у]. (3.8)
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное
немодулированное колебание с частотой со0. Второе и третье
слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим),
появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих колебаний
со0 -+■ Q и со„ — Q называются верхней и нижней боковыми
частотами модуляции.
Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от
амплитуды немодулированного колебания долю, равную М/2, а их
фазы симметричны относительно фазы несущего колебания. Это
иллюстрируется векторной диаграммой, представленной на рис, 3.4.
Рис. 3.4. Векторное
представление амплитудно-модули-
рованного колебания.
На этой диаграмме ось времени вращается по часовой стрелке с
угловой частотой со0, причем отсчет угла о>0/ ведется от линии ОВ
Поэтому несущее колебание Л0 cos (co0/ + 60) изображается на
этой диаграмме в виде неподвижного вектора 0D длиной А0,
составляющего с горизонталью угол 0О. Мгновенное значение
несущего колебания в момент t равно проекции вектора Л0 на ось времени
(отрезок ОК).
Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой
со0 + Q, превышающей угловую частоту вращения оси времени на
величину Q, необходимо
воспользоваться вектором, вращающимся с
угловой частотой Q против часовой
стрелки (вектор DCX). Для изображения
колебания с частотой со0 — Q
потребуется вектор, вращающийся с такой
же частотой Q по часовой стрелке
(вектор DC2). Поэтому колебания
боковых частот — верхней и нижней —
изображаются двумя векторами длиной
МА0/2, вращающимися во взаимно
противоположных направлениях. Фазиров-
ка этих векторов симметрична
относительно вектора несущего колебания А0.
Это следует из выражения (3.8),
которое для большей наглядности целесообразно записать в несколько
видоизмененной форме
с (0 = Л0 cos (со,, t + 0О) + -^ cos | (со,, t + 0„) + № + у)} +
+ ^2- cos | (со,, / + 80)—(Q* + У)\-
Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе
огибающей у векторы DCi и DC%, соответствующие колебаниям
верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное относительно
вектора 0D положение, причем векторы колебаний боковых частот
образуют с вектором несущего колебания углы, равные ± (Qt -(- у)-
На рис. 3.4 начала этих векторов перенесены из точки О в точку D.
Равнодействующий вектор DF, являющийся геометрической суммой
векторов DCy и DC2 и называемый вектором модуляции, всегда
располагается на линии 0D, вследствие чего сумму всех трех
колебаний — несущей и двух боковых частот — можно рассматривать
как колебание с постоянными начальной фазой и частотой, но с
модулированной амплитудой.
Попутно заметим, что если в результате прохождения через
электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковых
частот или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания,
то возникает качание вектора, представляющего результирующее
cJe-Q
f
Л\
ft
cf
o€+Q
\
Qty
\0
колебание, относительно направления
OD. Это равносильно возникновению
паразитной фазовой модуляции.
Остановимся на вопросе о фазе
огибающей амплитуд при чисто
амплитудной модуляции. Допустим, что
начальная фаза высокочастотного колебания
0О == 90°. Тогда векторная диаграмма
примет вид, показанный на рис. 3.5.
Если при Qt — 0 векторы боковых
частот DCx и DC2 направлены вверх
(положение / на рис. 3.6), то огибающая
амплитуд проходит в этот момент через
свое максимальное значение А0 (1 + М).
Этот случай соответствует начальной
фазе огибающей у = 0 ([см. (3.6)], а
уравнение огибающей будет
А (f) = A0(l + M cos Qt).
Если же в момент Qt = 0 векторы
DCX и DC2 занимают горизонтальное
положение, то равнодействующая
проходит через значение, равное А0. В этом случае начальная фаза
огибающей у = — л/2, и уравнение для огибающей будет
Л (0 = А0 (1 + М sin Qt). '
■О
Рис. 3.5. Векторная
диаграмма амплитудной
модуляции при начальной фазе
несущего колебания 60=90°.
Рис. 3.6. Фазировка колебаний боковых частот в различные моменты времени.
Au
Положение векторов боковых частот DCX и DC2 при Q/ = л/2,
я и Зп/2 для у = 0 обозначено на рис. 3,6 соответственно цифрами
//, /// и IV.
Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции
показана на рис. 3.7. Ширина спектра в этом случае равна
удвоенной частоте модуляции 2Й, а амплитуды колебаний боковых
частот не могут превышать половины амплитуды немодулированного
колебания (при М ^ 1).
Аналогичные результаты можно получить при модуляции любым
сложным сигналом. Картину образования спектра амплитудно-
модулированного колебания
проще всего пояснить сначала на
примере, когда модулирующее
сообщение s (t) является суммой
колебаний двух тонов:
~Г -J^ s(f) = Sy cos QJ + S2 cos Q2t.
C4s . 1 *- По аналогии с выражением (3.5)
•«H?|t %^р? «Г ПОЛучаем
D о7 г к A(f) = А0 + ААт, cos Qjt +
Рис 3.7. Спектр колебания при то- ал г» и
кальной (гармонической) AM.. + A/4ms cos Q2t = A0 [I +
+ Mx COS Qj + M2 cos Q2t].
Подставляя это выражение в уравнение (3.4) и используя
тригонометрические преобразования, аналогичные тем, которые были
проведены при получении уравнения (3.8), придем к следующему
результату (начальная фаза несущего и модулирующих колебаний
здесь для упрощения опущены);
с (0 = A0cos co01 + -^s- cos (©„ + Й,) t + -^«L cos (©„ - QJ /b+
- cos (co0 + Qa) / + r 2 "° cos (co0—Q2) t.
Из полученного выражения следует, что каждая из частот Qx
и Q2 образует свою тональную модуляцию, сопровождающуюся
возникновением пары боковых частот, причем этот процесс является
линейным в том смысле, что амплитуды и фазы боковых частот от
различных модулирующих напряжений взаимно независимы
(последнее свойство сохраняется при условии, что суммарное изменение
огибающей «вниз» не превышает 100%).
Из приведенного примера нетрудно вывести правило построения
спектральной диаграммы амплитудно-модулированного
колебания a (t) по заданному спектру модулирующей функции s (t). Пусть
последний имеет вид, представленный на рис. 3.8, с. Через S,,
S2, ..., Sn, ... обозначены амплитуды гармонических колебаний,
входящих в спектр сообщения s (t), а через QMHH и QMaKC —
граничные частоты спектра.
Спектральная диаграмма высокочастотного колебания, промо-
дулированного по амплитуде сообщением s (t), изображена на
рис. 3.8, б. Коэффициенты модуляции Mlt M2, ..., Мп
пропорциональны амплитудам Su S2, ..., Sn соответствующих тонов, входящих
в сложное сообщение ч (/).
Перейдем к общему случаю, когда спектр сообщения s (t) не
обязательно дискретный. Будем исходить из общего выражения
(3.4). -Передаваемое сообщение s (О содержится в законе изменения
огибающей A (t). He предрешая вида функции s (f), составим
выражение для спектральной
плотности Sa (со) высокочастотного
колебания a(f), рассматриваемого как
произведение огибающей A (i) на а)
гармоническое колебание cos (co0/ -f-
+ в0).
Основываясь на соотношении
(2.58), в котором положим
s(t) — A ((), получаем
Ч Л
Hi}
О $1
ти
Г
"jtaKi
Q
S)
Sa(co)= J A(f)cos(a0t + e0)X
/V
tf„Ag M,A0
Mi Ад tfflA0
X е~ш dt— — e'e° SA (co-
-<°o)+
toB
0
+ JLe-*'S„((D + a>0). (3.9)
-a
1
^
cs
1
s,
3 -
Ci
+
«3
а
a
+
<a
3*
Рис. З.8. Дискретные спектры:
a — сложной модулирующей функции;
б — модулированного по амплитуде
колебания.
В этом выражении %А обозначает
спектральную плотность
огибающей, т.е. модулирующей функции.
Следует подчеркнуть, что спектр медленно меняющейся
функции времени A (t) группируется в области относительно низких
частот. Поэтому функция Sa (to — со0) существенно отличается от
нуля лишь при частотах со, близких к со0, т. е. когда разность со —
— со0 = Q относительно мала. Аналогично слагаемое S^ (со + со0)
существует при частотах, близких к — cofl.
Таким образом, спектральная плотность модулированного
колебания S„ (со) образует два всплеска: вблизи со = со0 и вблизи со =
= — со0. Поэтому для узкополосного сигнала можно считать, что
в области положительных частот
Sa(a>);
e,0'S4(co—co0),
(3.10)
а в области отрицательных частот
1
Su И
e-'e°S4(oH Ч)-
(3.10')
Поясним правило построения спектра Sa (со) на следующем
примере. Пусть огибающая высокочастотного колебания имеет вид
А (() = Л0П + 4?,м*(/)1, (3.11)
гце s (t) — передаваемое сообщение, имеющее спектральную
плотность S (й), а коэффициент кйм имеет тот же смысл, что и в
выражении (3.5).
Спектральная плотность огибающей A (t) изображена на
рис. 3.9, а. Дискретная часть этого спектра, равная 2яЛ(,б (й),
соответствует постоянной величине А0, а сплошная часть kaMA0S (й)
передаваемому сообщению s (/).
Спектральная плотность Sa (со) модулированного колебания
а (0 показана на рис. 3.9, б. В данном случае дискретные
составляющие лА08 (со -+- о)0) отображаютнесущее колебание Аи cos(ay +
+ 0()), а сплошной спектр — колебания боковых частот модуляции.
Если радиосигнал не содержит несущего колебания (с
конечной амплитудой), например, при передаче одиночного
радиоимпульса, дискретная часть в спектре отсутствует.
Рассмотрим спектр радиоимпульса прямоугольной формы
(рис. 3.10, б), определяемого выражением
а{()={ kauA0Bcos(u0t при — тп/2 < f < тв/2. (3 12)
I 0 при K.—XJ2 и t>xj2.
В данном примере под сообщением р (i) следует подразумевать
видеоимпульс (рис. 3.10, а). Спектральная плотность подобного
сообщения [см. (2.68)]
S(Q) = fi ™&»'* . (3.13)
Q/2 *
Следовательно, огибающая амплитуд колебания а (i)
А(0 = камАф (/),
а спектральная плотность этой огибающей
S„ (Q)=kaM A0 S (Q) = k.dM A0 В -(sin^'/2) .
Так как в данном случае 0О = 0 (рис. 3.10, б), то по формуле
(3.9)
Sa(co) =
#ам ^о В
2
. (со— соп) ти
sin
со— со0
2
sin 1ш+ш«'т« ]
, 2
со+ со0
2
(3.14)
Графики спектральных плотностей модулирующей функцки s (t) и
радиоимпульса a(t) изображены на рис. 3.11, а и б.
ta
гjywv. диаггитшгштниаа
ZtcA0$№
й) «°
то<?(о+б>о) \ Ыо*(а-о>о)
11 г
Sf^? I -%^~^
I £
ш
"Щ
Рис. 3.9. Спектральные плотности:
а — модулирующего импульса; 6 — AM колебания.
G
а
Рис. 3.10. Импульс прямоугольной формы (а) и тот же импульс с
высокочастотным заполнением ш0 (б\.
&
ч
SaW^^SHM.)
а
Рис. 3.11. Спектральные плотности функций, представленных на рис. 3.10.
3.4. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ. ФАЗА И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА
КОЛЕБАНИЯ
В случае простого гармонического колебания
a (t) = Л0 cos (со0г + 0О) = А0 cosxJj (/)
набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t — tt
до t = t2 будет равен
Ф (h) — Ф Vi) = («Ms + ео) — (Ю<А + б0) = Щ (tt —
-Q. (3.15)
Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за
какой-либо промежуток времени пропорционален длительности
этого промежутка.
С другой стороны, если известно, что набег фазы за время
t2 — tx равен \\> (t2) — т|) (tt), то угловую частоту можно определить
как отношение
«>о = Ы> (Q -ч> ими - У. (3-16>
если, конечно, имеется уверенность, что в течение
рассматриваемого промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.
Из (3.16) видно, что угловая частота есть не что иное, как
скорость изменения фазы колебания.
Переходя к сложному колебанию, у которого частота может
изменяться во времени, необходимо равенства (3.15), (3.16)
заменить интегральным и дифференциальным соотношениями
h
* №&)—1>(*i) = J«>(*)dfi (3.17)
'• *
о«)= *Р(0 . (3 18)
d'
В этих выражениях со (t) — 2nf (t) — мгновенная угловая частота
колебания; / (t) — мгновенная частота, Гц.
Согласно выражениям (3.17), (3.18) полную фазу
высокочастотного колебания в момент t можно определить как
i
*(o=5«>w^+6o. <3-19>
о
где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за
время от начала отсчета до рассматриваемого момента t, а 0О —
начальная фаза колебания (в момент I — 0).
При таком подходе фазу т|> (t) = со0/ + 0 (t), фигурирующую в
выражении (3.1), следует заменить на
Ф (0 = «>о t + б (0 + ©о. /
Итак, общее выражение для высокочастотного колебания,
амплитуда которого постоянна, т. е. A (t) = Л0, а аргумент я|> (t)
модулирован, можно представить в форме
с (о = л0 cos [©„* + е (о + е0]. (3.20)
Соотношения (3.18), (3.19), устанавливающие связь между
изменениями частоты и фазы, указывают на общность двух
разновидностей угловой модуляции — частотной и фазовой.
Поясним соотношения (3.18)—(3.20) на примере простейшей
гармонической частотной модуляции, когда мгновенная частота
колебания определяется выражением
со (t) = со0 + сол cos Qt, (3.21)
где сэп = 2п/д представляет собой амплитуду частотного
отклонения. Для краткости соп в дальнейшем будем называть
девиацией частоты или просто девиацией. Через со0 и Q,
как и при амплитудной модуляции, обозначены несущая частота
и модулирующая частота.
Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока
или напряжения), частота которого изменяется по закону (3.21).
а амплитуда постоянна.
Подставляя в (3.19) со (t) из уравнения (3.21), получаем
t
•ф (t) = f (co0 4- Год cos Of) dt+0o.
о
Выполнив интегрирование, найдем
г|? (t) = «у + ((Од/Q) sin Ш + б0. (3.22)
Таким образом, ,.
а (0 = Л0 cos [су + (сод/Q) sin Ш + 60]. (3.23)
Фаза колебания a (i) наряду с линейно возрастающим слагаемым
со0 t содержит еще периодическое слагаемое (сод/£3) sin Q^. Это
позволяет рассматривать a (t) как колебание, модулированное по фазе.
Закон этой модуляции является интегральным по отношению к
исходной частотной модуляции. Именно модуляция частоты по закону
сод cos Q/ приводит к модуляции фазы по закону (сод/£Э) sin Ш.
Амплитуду изменения фазы
бмакс = ©д/Q = т (3.24)
часто называют индексом угловой модуляции.
Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от
средней (немодулированной) частоты со0. а определяется исключительно
величиной девиации сод и модулирующей частотой Q.
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабильное
по частоте и фазе колебание пропускается через устройство, осу-
ществляющее периодическую модуляцию фазы по закону G (t) —
= бмакс sin Qt, так что колебание на выходе устройства имеет вид
a (0 = А0 cos [со0/ + 6макс sin Qt + 601. (3.23')
Какова частота этого колебания? Используя выражение (3.18),
находим
ю(9=4 K^+eMaKCsin^+e0)=co0+eMaKCQcosfi^ (3.2Г)
Учитывая соотношение (3.24), приходим к выводу, что 6MaKOfi —
= сод. Таким образом, гармоническая модуляция фазы с индексом
бмакс эквивалентна частотной
модуляции с девиацией сод =
Из приведенного примера
видно, что при гармонической
угловой модуляции по характеру
колебания нельзя заключить, с
какой модуляцией мы имеем
дело — с частотной или фазовой.
о В обоих случаях вектор ОА,
Рис. 3.12. Представление высокочас- изображающий на векторной
тотного колебания при угловой моду- диаграмме модулированное ко-
ляции в виде качающегося вектора, лебание, качается относительно
своего исходного положения
таким образом, что угол 0 (рис. 3.12) изменяется во времени по
закону 0 = 6мако sin Qt при фазовой модуляции, 0 = (coH/Q) sin Qt =
= 6Макс sin Qt при частотной модуляции (когда Дсо = con cos Qt).
Цифрами /, If, III к IV отмечено положение вектора ОА при
Qt = 0, я/2, л и Зл/2.
Различие между частотной и фазовой модуляцией проявляется
при изменении частоты модуляции.
При частотной модуляции величина девиации сод
пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты
модуляции Q.
При фазовой модуляции величина 0макс пропорциональна
амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты
модуляции Q.
Эти положения поясняются рис. 3.13 и 3.14, на которых
показаны частотные характеристики величин а>д и 0макс при частотной
и фазовой модуляции. В обоих случаях предполагается, что на вход
модулятора подается модулирующее напряжение с неизменной
амплитудой U, а частота Q изменяется от QMmi до QManc-
В первом случае, т. е. при частотной модуляции, величина а>я,
зависящая , как указывалось выше, только от амплитуды U, будет
постоянной величиной. Величина же индекса модуляции т =
= Юд/Q = 0макс с увеличением частоты будет убывать (рис. 3.13).
Во втором случае, т. е, при фазовой модуляции, 0ыакС не зависит
от £2, а Од = 6MaKCQ = mQ изменяется пропорционально частоте
модуляции (рис. 3.14).
Если на вход модулятора подается не гармоническое, а сложное
напряжение, то структура модулированного колебания различна при
ЧМ и ФМ. В первом случае медленным изменениям сигнала, т. е.
низким частотам, соответствуют очень большие значения Эыакс
(рис. 3.13), а во втором — очень малые значения сод (рис. 3.14).
Поясним это на примере. Пусть на вход частотного и фазового
модуляторов подается одинаковое синусоидальное напряжение,
частота которого изменяется от FMmt — 200 Гц до FuaKC — 2000 Гц.
При частотной модуляции зададим /д = 20 кГц, а при фазовой моду-
Рис. 3.13. Зависимость девиации сод
и индекса т от модулирующей
частоты при ЧМ.
Рис. 3.14. Зависимость индекса т и
девиации Юд от модулирующей
частоты при ФМ.
ляции 6макс = 0,5 рад, Причем эти величины при заданной и
неизменной амплитуде U остаются неизменными в полосе от 200 до 2000
Гц. Тогда при ЧМ максимальное значение фазового отклонения при
^мин будет равно
е.
= Шь
20 000/200 = 100 рад,
минимальное же значение фазового отклонения при FMaKC
составит
6мин = /д/^макс = Ю РЯД-
При фазовой модуляции минимальная девиация, равная
/цмии= бмакс^мин = 10° Гц, будет при нижней частоте
модуляции ^мин- Максимальная же девиация, равная fn ыакс =
~ бмакс^макс = Ю00 Гц, будет при верхней частоте модуляции.
Помимо различия в структуре колебания (при модуляции
сложным сигналом), частотная и фазовая модуляции различаются по
способу осуществления. В первом случае обычно применяется
прямое воздействие на частоту колебаний генератора. При фазовой
модуляции генератор дает стабильную частоту, а фаза колебания
модулируется в одном из последующих элементов устройства.
3.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ.
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть задано колебание
a (t) = Л0 cos [&0t + 6 {t)}, (3.25)
относительно которого известно, что передаваемое сообщение s (t)
заложено в функцию 6 (t). Если колебание a (t) получено с помощью
фазовой модуляции, то 6 (t) и s (t) полностью совпадают по форме
и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом,
очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры
функций Э (/) и s (/). В случае же частотной модуляции функция
6 (/) является интегралом от передаваемого сообщения s (/)• Это
вытекает из выражений (3.19) и (3.20). Так как интегрирование
является линейным преобразованием, то при частотной модуляции спектр
функции 0 (t) состоит из тех же компонентов, что и спектр
сообщения s (t), но с измененными амплитудами и фазами.
Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции —
фазовой или частотной и считая известным и заданным спектр
функции 6 (t), найдем спектр модулированного колебания a (t). Для этого
выражение (3.25) преобразуем к виду
a (t) = Л0 Cos 0 (t) cos co0/ — А0 sin 6 (f) sin о>0^ =
= 00(0—0.(0. (3.26)
Из (3.26) следует, что модулированное по углу колебание можно
рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний;
косинусного ас (t)—A0 cos Э (t) cos ю0t и синусного as {t) — A0 sin 6 (f) X
X sin u>0t, каждое из которых модулировано только по амплитуде;
для косинусного колебания закон амплитудной модуляции
определяется медленной функцией cos 6 (/), а для синусного — функцией
sin 6 (t). Но в § 3.3 было установлено, что для определения спектра
амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на
частоту со0 спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для
нахождения спектра колебания а (I), определяемого выражением (3.26),
необходимо сначала найти спектры функций cos 6 (t) и sin 6 (t),
т. е. спектры огибающих квадратурных колебаний. Перенос этих
спектров на частоту сос можно затем осуществить таким же образом,
как и при обычной амплитудной модуляции.
Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же
передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по
углу, значительно сложнее, чем модулированного по амплитуде.
Действительно, так как cos 6 (t) и sin 0 ({) являются нелинейными
функциями своего аргумента 0 (/), то спектры этих функций могут
существенно отличаться от спектра функции 0 (t): возможно
возникновение кратных и комбинационных частот, как это имеет место при
обычных нелинейных преобразованиях спектра.
Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных
слагаемых показывает, что при угловой модуляции спектр модулирован-
ного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра
сообщения на величину несущей частоты со0, как это имеет место при
амплитудной модуляции. Связь между спектрами сообщения и
модулированного колебания оказывается при угловой модуляции более
сложной.
3.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ
МОДУЛЯЦИИ
Используем полученные выше результаты для анализа
колебания вида
а (0 = Л0 cos (<V + m sin Qt). (3.25')
Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23') при модуляции
частоты по закону со (t) = со0 -J- <вд cos Qt. Начальная фаза 60,
а также начальная фаза модулирующей функции у опущены для
упрощения выкладок. В случае необходимости они легко могут быть
введены в окончательные выражения.
В данном случае 6 (t) = tn sin Ш. Подставляя 6 (/) в выражение
(3.26), получаем
a (t) = Л0 cos (tn sin Qt) cos co0f — Л0 sin (tn sin Qftsin a0t. (3.27)
Учитывая, что множители cos (tn sin Qf) и sin (tn sin Qt)
являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд
Фурье.
В теории бесселевых функций доказываются следующие
соотношения:
sin (tn sin Qt) = 2Jl (m) sin Qt + 2J3 (tn) sin 3Q/ -f-
+ 2Jb (tn) sin bQt +..., (3.28)
cos (m sin Qt) — J0 (tn) + 2JZ (tn) cos 2Q/ + 2Jt (tn) X
X cos 4Qt + ..., (3.29)
sin (tn cos Qt) = 2JX (m) cos Qt — 2J 3 (tn) cos 3Qt 4-
+ 2JR (m) cos 5Ш — .... (3.28')
cos (tn cos Qt) — J0 (tn) — 2J2 (tn) cos 2Qt-\- 2J4 (tn) x
x cos 4Q* — ... (3.29')
Здесь Jn (tn) — бесселева функция первого рода «-го порядка от
аргумента т.
С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27)
можно привести к виду
a (f) = Лп [J0 (tn) cos u>0t — 2JX (tn) sin Qt sin w0f +
+ 2J2 (tn) cos 2Ш cos gV — 2^3 (m) sin 3&* sin roo* + ••]. (3-30)
или в более развернутой форме
а (0 = А0 cos (<o0t + т sin Qt) •= А0 {J0 (m) cos ю0/ +
+ Jx (m) tcos (со о + Q) t — cos (co0 — Q) t] + J2 (m) [cos (co0 -f*
+ 2Q) t + cos (co0 — 2Q) t] + Js (m) [cos (co0 + 3fi) t —
— cos (co0 — 3Q) i\ + ...} (3.31)
Таким образом, при частотной и фазовой модуляции спектр
колебания состоит из бесконечного числа боковых частот,
расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты со0 и
отличающихся от последней на nQ, где п — любое целое число.
Амплитуда я-й боковой составляющей равна Ап = Jn {m) А0,
где Л0 — амплитуда смодулированного колебания, а т —
индекс модуляции. Отсюда следует, что удельный вес различных
боковых частот определяется величиной т.
Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших
значениях т. Если т « 1, так что имеют место приближенные
равенства
sin (m sin Qt) та т sin Qt, cos (m sin Qt) та 1,
то выражение (3.27) переходит в следующее:
a (t) » A0 (cos co01—m sin Qt sin co0 /) =
= A0 cos co01 + — cos (co0 + Q) t —— cos (% — Q) t . (3.32)
Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-модули-
рованного колебания, у которого модулирующая функция (т. е.
передаваемое сообщение) такая же, как и при частотной модуляции.
Так как выражение (3.32) получено из (3.25') для модуляции'
частоты по закону со (f) = со0 + юд cos Qt, то для удобства сравнения
зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону A (t) =
= А0 (1 + М cos Qt). Тогда амплитудно-модулированное
колебание запишется в форме
°ам (0 = ^0 (* + М COS Qt) COS Ю0 t =
"«= А0Гcosco01 + — cos(©„ + Q)t +— cos(co0 — Q)t\ . (3.33)
Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значениях m
спектр колебания, как и в случае амплитудной модуляции, состоит
из несущей частоты со0 и двух боковых частот: верхней со0 + &
и нижней со0 — Q. Единственное отличие заключается в фазировке
колебаний боковых частот относительно несущего колебания. При
AM фазы колебаний боковых частот симметричны относительно
несущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней
боковой частоты сдвинута на 180° [знак минус перед последним
слагаемым в (3.32)]. Это положение иллюстрируется векторной диа-
граммой, показанной на рис. 3.15, а. Направление вектора DC2
при амплитудной модуляции обозначено штриховой линией.
Изменение направления этого вектора на 180° приводит к тому, что
вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к направлению
вектора OD, изображающего несущее колебание (рис. 3.15, а). Вектор
OF, изображающий результирующее колебание, изменяется как по
фазе, так и по амплитуде; однако при т = 6макс << 1 амплитудные
изменения настолько малы, что ими можно пренебрегать и
модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто
фазовую.
/А
Ли
eon-Scf
1
П1пв
Z
тА0
щ
Off+Q a
0
Рис. 3.15. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой мо-
' дуляции с индексом т<\.
Спектральная диаграмма угловой модуляции при /тг << 1
показана на рис.3.15, б. Симметрия амплитуд колебаний боковых
частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на
180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны тЛ0/2 и поэтому
в данном случае индекс модуляции т совпадает по величине с
коэффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды
при амплитудной модуляции. Заметим, что ширина спектра при
т<^\ равна 2Q, как и при AM. Этот результат показывает, что
при очень малых девиациях сод (по сравнению с Q) ширина спектра
от величины'Од не зависит.
При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании
величины т, уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают
правильного представления о действительной картине явлений при
частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с
помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары
боковых частот невозможно представить колебание, частота или фаза
которого изменяются в широких пределах, а амплитуда остается
строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо
учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с
выражением (3,31),
0,8 С-
т*=1
in<*2
_L
«*
• При значениях индексов т от 0,5 до 1 приобретает некоторое
значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра
должна быть приравнена 4Й. Далее, при 1 < т. < 2 приходится
учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т. д.
Спектрограммы для т = 1 и т = 2 приведены на рис. 3.16. Фазы
колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду,
что при четных п симметрия фаз
сохраняется, а при нечетных п
амплитуды нижних боковых частот
следует брать со знаком минус.
Амплитуды всех составляющих
спектра представлены на этих
рисунках в виде вертикальных
отрезков, длины которых равны Jn (m),
а расстояния от отрезка J0(m),
соответствующего амплитуде
колебания несущей частоты, равны nQ,
где Q — частота модуляции, а п —
порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего
колебания принята за 100%, т. е. Л0 = 1; обозначенные на
рисунках величины Jn (m) дают амплитуды колебаний соответствующих
частот в долях от амплитуды результирующего колебания.
О
JLi_*
Г
Л,
ZEE
Ь>0 Од
Ю &
Рис. 3.16. Спектры колебания при
угловой модуляции:
а — при m=l; б —при /я=2.
а)
?Jz(m)
Jg(m)
■ZJz[w)
№=гг Qt~5/Ztf
Y..
2jzm
Join?)
Ц(т)
В)
Рис. 3.17. Фазировка колебаний боковых частот в различные моменты времени.
Векторные диаграммы для моментов Ш = 0, n/2, n и Зя/2 при
т = 1, построенные по выражению (3.30), представленные на
рис. 3.17, а, б, в и г.
Рассмотрим теперь случай больших значений т. Вопрос
сводится к выяснению зависимости бесселевой функции Jn (m) от
порядкового номера п при больших значениях аргумента т.
Оказывается, что при т >> 1 величина | Jn (m) | более или менее
равномерна при всех целых значениях \п\, меньших, чем аргумент т. При
1 п |, близких к т, \Jn (m) | образует всплеск, а при дальнейшем
увеличении | n | функция | Jn (m) | быстро убывает до нуля. Общий
характер этой зависимости показан на рис. 3.J8 для т = 100. Из
рисунка видно, что наивысший номер п боковой частоты, которую
еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен
индексу модуляции т (в данном случае
п = ЮО).
Приравнивая это
максимальное значение nMaKc величине т,
приходим к выводу, что полная
ширина спектра модулированного
колебания равна
2|имакс|0 « 2mQ.
Но т = сод/Q, следовательно,
при больших индексах модуляции
ширина спектра модулированного
колебания близка к удвоенной
девиации частоты
1
N
1
!
/
V
\ш\
ч
и,/и
о)й
0,08
Ofiit
\
-
/
_•<£
'
V
-100
учи мотни г—
~%2кс ^^-<Уд
О
100 п
О гУд'вЛииюЯ
2 j «макс| ^ К, 2(йл
(3.34)
Рис. 3.18. Ширина спектра ЧМ
колебания при больших значениях
индекса модуляции т.
Эта полоса частот обозначена в
нижней части рис. 3.18.
Заметим, что в соответствии с определением т [см. (3.24)],
выражение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению
«быстрая модуляция», а выражение «модуляция с большим
индексом» эквивалентна выражению «медленная модуляция». Поэтому
можно сформулировать следующее положение: при быстрой
угловой модуляции (когда юд << Q) ширина спектра модулированного
колебания близка к величине 2Q; при медленной угловой модуляции
(когда Юд ^> Q) ширина спектра близка к величине 2сол.
3.7. СПЕКТР РАДИО ИМ ПУЛЬСА С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ
ЗАПОЛНЕНИЕМ
При модуляции частоты колебания по закону, отличающемуся от
гармонического, нахождение спектра колебания усложняется.
Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от характера
модулирующей функции. Поясним один из возможных методов на
примере широко распространенного сигнала, так называемого ЛЧМ
импульса, т. е. импульса с линейной частотной модуляцией.
Подобный сигнал изображен на рис. 3.19, а, а закон изменения
частоты заполнения импульса — на рис. 3.19, б.
Мгновенную частоту заполнения со (0 = 2л/ (t) можно
определить выражением
где
<»(0 = ©0 + р/, |*|<7У2,
рэ = 2сод/Тс - 2 • 2л/д/Гс
(3.35)
(3.36)
cA
ущт
есть скорость линейного изменения
частоты внутри импульса. Тогда
мгновенное значение колебания,
представленного на рис. 3.19, а,
можно записать в виде
a (t) = Л0 cos (\ to (t) dt\ =
= А0 cos
(..<+-*).
_А</<-А. (3.37)
Произведение полной девиации
частоты на длительность импульса
Рис. 3.19. ЛЧМ импульс (а) и
изменение частоты его заполне
ния (б).
2/д^с
т
(3.38)
является основным параметром
ЛЧМ сигнала. Сопоставление
выражения (3.38) с (2.126) указывает на возможность трактовки т как
базы ЛЧМ сигнала.
С учетом (3.38) выражение (3.36) можно записать в форме
Р = 2лт/Т1.
При этом сигнал a (t) определяется выражением
a (t) = А0 cos (со01
)■-
2 2
(3.39)
(3.40)
Определим спектральную плотность этого сигнала с помощью
общего выражения (2.48):
V2
S(w) = /40 Г cos [co0^-
пт&
С"
I еХР{''
А
2
X
-(со — co0)*
V2
+ А J exp{_,J_™-*._j_(co + a>o)f
Й.
(3.41)
Первое слагаемое в правой части полученного выражения
определяет всплеск спектральной плотности вблизи частоты со = со0'
а второе — вблизи частоты со = — со0.
При определении S (со) в области положительных частот второе
слагаемое можно отбросить [см. формулу (ЗЛО)]. В первом же ела-
гаемом показатель степени в подынтегральной функции
целесообразно дополнить до квадрата разности ф считаем положительной
величиной)
пггф
-(со—ад*=
ппф
С
[ Т° 1
(со—(o0)t+d2
d -d\
— d*
где
Подставляя выражение (3.42) в (3,41) и переходя к новой пере>
менной
получаем
S(co)=^S-e-«*
d=((.o—со0) Тс/2~]/пт
те (3.42) в (3,41) i
y—VnmtlTc—d,
J 6XP
(3.42)
(3.43)
nepe-
(3.44)
-V2
~~J± ^c
dt = -^- —^ X
2 ~\/ zwi
x exp -
if nm /i_m~ Ю<Л
|/ -4—\ »n ;
-fi2^-] _J e-»-^. (3.45)
Введем следующие обозначения:
(3.46)
(3.47)
В этих обозначениях выражение для S (со) принимает следующий
вид:
S(co) = -^-exp
2 yum -
. (со—со0)а
2Р
"i «2 -1
je*2dt/ + je^dt/ . (3.48)
•о о J
Используем известное из математики соотношение
о о
х
X Jsin y2dy=C (х) + iS (х),
Г)
где С (х) и S (х) — интегралы Френеля.
■5(a)
АоТс
Ь-л
о
to
0,5
гп-Ю
N
Г
\S\,
С помощью этого соотношения
выражение (3.48) можно привести
к виду
я
2
/(со— со0)2
S (со) = ——=■
ZVnm
X
хехр
«У
2Р
{С("0 +
г^ V
Л7=(Й7
+С (и.) + / [ S (Ul) + S (щ)]} (3.49)
Из (3.49) следует, что модуль
спектральной плотности
рассматриваемого сигнала равен
ТСА0 1
S(co)=-
X
i]/m Т/2
\Ш хVfC{uJ+C(iQ]'+lS(uJ+S(u2)\\
2j (3.50)
а фазовая характеристика спектра
при со > 0
V
+ arctg
2Р
S(ut)+ S(a2)
nm
Рис. 3.20. Спектральная плотность
ЛЧМ импульса при различных
значениях базы т=2}лТс.
С(и1)+С{щ)
X
X
(a—co0)s
«2
• arctg
S (Mi)+S(«2)
С («0 + С (us)
(3.51)
Графики зависимости (2Ут?Л0Гс) S (со) от (со — <о0)/сод
(рис. 3.20, а, б и в) показывают, что при больших значениях jn
форма S (со) приближается к прямоугольной и ширина спектра
близка к величине 2сод. При этом фазовая характеристика |я]з (со) 1
принимает вид квадратичной параболы (рис. 3.20, е). Второе
слагаемое в (3.51), стремящееся к постоянной величине л/4, опущено.
При со = со0 их — ы2 = ]Atm/4, так что при больших значениях
m и со = <в0, когда
С (u^i яй С (ы2) ж 0,5 и S (%) л; S (ыг) л; 0,5,
квадратный корень в выражении (3.50) обращается в V2, a S (га) ->
-* AQTc/2l/7n.
3.8. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ СМЕШАННОЙ АМПЛИТУДНО-
ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Обобщим выражения (3.25), (3.26), заменив в них постоянную
амплитуду Л8 функцией времени A (t):
a(t) = A (t) cos lco0/ + 6 (t)] = A (t) cos 6 it) cos co02 —
—Aif) sin Щ sincy = ac (0 — as (t), (3,52)
Как и в § 3.5, 3.6, определение спектра сводится к нахождению
спектров функций Ас (t) = A (t) cos 0 (f) и As (t) =* A (t) sin 0 (t),
т. е. огибающих квадратурных колебаний, и к последующему
сдвигу этих спектров на величину со0.
Обозначим спектральные плотности функций Лс (t) и As(t)
символами Sac (со) и Sas (со). Тогда
S/o(fi>).= J Ac(f)e-**dt= j A(t)cosQ{f)e~мdt, (3.63)
— oo —cc
oo oo
Sa, (to) = f A. (t) е-''ю< dt = Г Л (*) sin 0 (f) е~'ю' dt.
— cc —oo
Спектральная плотность квадратурного колебания ас (t) =
= -4 с (/) cos m0t в соответствии с выражением (2.58) (при 0О = 0)
будет
SQc («) = '/2{8лс (со - со0) + S„0 (со + со0)}. (3.54)
При определении спектра синусного квадратурного колебания
фазовый угол 0О в (2.58) следует приравнять —90°. Следовательно,
S„8 (со) ^ L {SAs (to - со0) + Блз (со + со0)}. (3.54')
В области положительных частот можно считать
8лс (со + со0) ж 0; S.4S (со + со,,) ta 0.
Таким образом, окончательно спектральная плотность
колебания a (t) — ас (t) — аа (t) определяется выражением
Sa (со)=Sac (со) -SQb (со) = V2 (Sac (со - со0) + iSA& (со- со0)}, со > 0.
(3.55)
Переходя к переменной Q = со — со0, получаем
8Ц (со0 + Q)=-i- (S«, (Q) + iSA, (Q)]. (3.56)
Структура спектра колебания a (t) при смешанной амплитудно-
частотной модуляции зависит от соотношения и вида функций
Л (0 и 6 (/).
При чисто амплитудной модуляции спектр колебания a (t)
характеризуется полной симметрией амплитуд и фаз колебаний
боковых частот относительно несущего колебания; при чисто угловой
модуляции [А (/) = Л0 = const] симметричны только амплитуды,
фазы же колебаний боковых частот со0 ± n.Q при нечетных п
несимметричны относительно частоты со0 (см. § 3.6). Одновременная
модуляция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях
между Л (t) и 0 (0 приводить к асимметрии спектра Sa (co0 -f Q)
относительно со0 не только по фазам, но и по амплитудам. В
частности, если 0 (t) является нечетной функцией t, то при любой функции
A (t) спектр колебания a (t) несимметричен.
Действительно, пусть A (t) — четная функция. Тогда
произведение А (0 cos 0 (0 = Лс (0 — четная, a A (t) sin 0 {f) = As (/) —
нечетная функция t, и в соответствии со свойствами преобразования
Фурье, перечисленными в § 2.7, п. 6, функция Sac (£2) является
вещественной и четной относительно £1, а $а (£2) — мнимой и
нечетной. С учетом множителя i второе слагаемое в (3.56) становится
также вещественной, но нечетной функцией Q и, следовательно, спек-
JA
5(a) \
-а0
О
Рис. 3.21. Пример асимметричного
спектра при смешанной амплитудной
и частотной модуляции.
тральная плотность Sa (со)
оказывается вещественной
функцией, несимметричной
относительно точки со = со0. Пример
подобного спектра представлен
на рис. 3.21. (По отношению к
точке со = 0 модуль
спектральной плотности симметричен при
любых условиях.)
Аналогичный результат
получается и при нечетной
функции A (t). В этом случае
Sd (Q) — нечетная, мнимая
функция Q, a Sas (&) — четная
вещественная функция. Слагаемое iS& (Q) в выражении (3.56)
становится мнимым, и сумма S^ (Q) + t'S^ (Q) становится
функцией несимметричной (по модулю) относительно точки со = со0.
С помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что
для симметрии спектра Sa (со) требуется четность функции 8^
при одновременном условии, чтобы функция A (t) была либо
четной, либо нечетной функцией L Если функция A (t) может быть
представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих, то
спектр Sa (со) несимметричен даже при четной функции 8 (t).
Например, импульс с линейной частотной модуляцией, рассмотренный
в § 3.7, имеет симметричный спектр. В этом случае прямоугольная
огибающая при надлежащем выборе точки отсчета времени
является функцией, четной относительно t, как и функция'0 {[) — V2p72.
Наглядное представление о деформации спектра колебания при
двойной модуляции — амплитудной и угловой — можно получить,
рассмотрев случай, когда оба вида модуляции осуществляются одной
и той же модулирующей функцией. Для упрощения анализа
зададим эту функцию в виде гармонического колебания cos Ш для
угловой модуляции и в виде cos Ш или sin Ш для амплитудной.
1. Обе функции, как A (t), так и 0 (t), четные относительно t:
А (0 = А0 (1 + М cos Ш); 8 (*) = т cos Q, М^\, т<^ 1,
Выражение (3.52) принимает вид
a (t) = А0 (1 + М cos Ш) cos [(x>0t + т cos Ш].
Полагая, как в § 3.3, справедливыми приближенные равенства
cos (m cos Qt) « 1, sin (tn cos Ш) « m cos Ш, приводим это
выражение к виду, аналогичному (3.32):
a (t) = Л0 [(1 + М cos Q/) cos <м01 —
—m( \-cosQ/-) cos2Qnsin co01\ —
= Л0 icos co0H [cos (co0 +Й) t-\- cos (co0—Q) 7] —
— m —sinco0H- —sin(co0 + Q)H sin(co0—Q)n —
—— {sin (co0 + 2Q) ^+ sin (co0— 2Q) f]j.
Суммируя квадратурные составляющие cos a0th (mM/2) sin со0?,
получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте
со0 следующее выражение: "j/l -\- (тМ/2)2 при Л0 = 1.
Аналогичным обрядом находим амплитуду 1/^гМ2 -)- т2 для колебаний с ча-
И*
t^f
#Ю
^рг+тг
Т
X
«#-/# ^-й
%*# й#%?# 0 <ЦГ#? Og-U
А.
-_
,
#/
тМ
Т
?
ш
0
т f ,
ю
ai+Q oB+ZQ а
Рис. 3.22. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и
частоты гармонической функцией.
стотами ш0 ± Q и тМ/4 для частот со0 ± 2Q. Спектр колебания
а (/) представлен на рис. 3.22, а. Амплитудный спектр
симметричен.
2. Функция 0 (0 — четная, a A (f) — сумма четной и нечетной
составляющих:
A (t) = Ай (1 + М sin Ш); 6 (0 = т cos Ш, М^1;т<1.
Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим
амплитудам: к 1 при частоте а>0; к Ч2 (М — т) при частоте со0 + Q;
к V2 (М Н- т) при частоте со0 — Q; к mMIA при частотах со0 ± 2Q.
Спектральная диаграмма представлена на рис, 3.22, б.
Симметрия спектра нарушается в данном примере из-за
неодинаковых амплитуд колебаний верхней и нижней боковых частот
со0 ± Q.
Нарушение симметрии спектра при смешанной амплитудно-
частотной модуляции иногда используется как показатель
неправильности работы устройства, осуществляющего амплитудную
модуляцию; перекос спектра указывает на то, что полезная
амплитудная модуляция сопровождается паразитной угловой
модуляцией.
3.9. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА
Современное состояние радиотехники характеризуется
непрерывным усовершенствованием способов передачи информации. Это
развитие идет по линии изыскания новых видов сигналов и новых
способов их обработки.
Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные
колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто
приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в
результате одновременной модуляции амплитуды и частоты (или фазы)
колебания по весьма сложному закону.
В любом случае предполагается, что заданный сигнал a (t)
представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все
спектральные составляющие сигнала группируются в относительно
узкой по сравнению с некоторой центральной частотой со0 полосе.
При представлении подобных сигналов в форме
a (t) = A (f) cos гр (f) (3.57)
возникает неоднозначность в выборе функций A (t) и ty 0D. так как
при любой функции ty (t) всегда можно удовлетворить уравнению
(3.52) надлежащим выбором функции A (t).
Так, например, при желании простейшее (гармоническое)
колебание
a (t) = Л0 cos су (3.58)
можно представить в форме
а (0 = А (0 cos at, (3.58')
где со = со0 + Лео.
В выражении (3.58') огибающая А (/) в отличие от Л0 является
функцией времени, которую можно определить из условия
А0 cos су = A (t) cos (co0 -f Дсо) t,
откуда
А /Л _ ^qCOSCOq? _ Л о COSC0u I __
cos (щ-f-Лео) t cos Дсо.' cos щ1— sin Дсо.' sin co0'
= ^ . (3.59)
cos Аш' — sin Дш* ig со0г
Из этого примера видно, что при нерациональном выборе
аргумента if (t) (at вместо <м0/) очень усложнилось выражение для
А (/), причем эта новая функция A (t) по существу не является
«огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать
кривую a (t) (вместо касания в точках, где a (t) имеет максимальное
значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а
в некоторых случаях и
недопустимо, так как может привести к
ошибочным практическим выводам
(например, при рассмотрении
работы амплитудного детектора).
Неопределенности можно
избежать при представлении A (t) и
■ф (0 с помощью следующих
соотношений:
А (/) = Л/а2 (f) + а] (/), (3.60)
iH0 = arctgK(0/«tf)]- (3.61)
где ах (t) — новая функция, связанная с исходной функцией
соотношениями
00
a (f)= — ±. Г BQdT, (3.62)
эх J т—t
a(f)=— Г ^JlLrf-c. (3.63)
зх J т—t
Эти соотношений называются преобразованиями Гильберта,
а функция ох (0 — функцией, сопряженной (по Гильберту) функции
а (О-
В соответствии с выражениями (3.60), (3.61) рассматриваемая
функция a (t) представлена в виде проекции вектора A (t) на ось
абсцисс, относительно которой отсчитывается угол \]з (f) (рис. 3.23).
Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также
требования, чтобы а± (t) являлась функцией, сопряженной по
Гильберту исходной функции a (t), рассмотрим сначала некоторые свойства
Л (t), вытекающие непосредственно из выражения (3.60) и
справедливые При ЛЮбоЙ фуНКЦИИ Оу (/),
Прежде всего мы видим, что в точках, где функция ах (t) равна
йулю, имеет место равенство А (/) = a (f).
Дифференцируя (3.60), получаем
Рис. 3.23. К определению
огибающей амплитуд высокочастотного
колебания по Гильберту.
Отсюда видно, что при ах = 0, когда А (г) = a (t), имеет место
дополнительное равенство
dA __ da
dt ~~ dt
Следовательно, в точках, в которых ах (t) — 0, кривые A (t)
и a (f) имеют общие касательные.
Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно
было рассматривать A (t) как «простейшую» огибающую быстро
осциллирующей функции a (t). Необходимо потребовать, чтобы
кривая A (t) касалась кривой a (t) в точках, в которых последняя имеет
амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Иными
словами, в точках, где ах (t) обращается в нуль, функция a (i) должна
принимать значения, близкие к амплитудным. Это условие как раз
и обеспечивается, если функция ах (t) является сопряженной по
Гильберту функции a (t). Это свойство преобразований Гильберта
нагляднее всего иллюстрируется на примере гармонического
сигнала.
Пусть a {t) — cos <м0/. Найдем сопряженную функцию а± (f).
Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной
х = т — t, находим,
оо со
M0==__L f^l2LdT = —L Г cos нот dT_
JT J Т ' Л J Т—'
—оо , — ос
оо оо
1 , С cos Мп* . , 1 _ Г sin (Во* .
= cos со,/ \ — йх-\ sin ну I — ах.
я J л J х
— со —со
Известно, что
оо
dx^O
С cos л:
(в смысле главного значения) и
sin я
J
dx — n.
Следовательно, функции а (/) = cos a0t соответствует
сопряженная функция
ах (t) = sin m0t,
которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция
проходит через максимум. Аналогичным образом нетрудно
убедиться, что функции a (f) = sin <м0/ соответствует сопряженная
функция
«х (О = — cos a0t,
Подставляя а (/),= cos со0/ и «i (О = sin со0/ в выражение
(3.60), получаем для огибающей гармонического колебания
общепринятое выражение
A (t) = У cos2 со0/ + sin2 со0/ = 1.
Аналогичный результат получается и для a (t) — sinco0/,
ах (t) = — cos (x>0t.
Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде
линии, касательной к точкам максимума исходной функции, и в
случае гармонического колебания соединяющей два соседних
максимума кратчайшим путем — прямой линией. Таким образом,
выражение (3.60) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство
выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если
выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь
идет об узкополосном сигнале [см. выражения (3.2), (3.3)].
Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных
составляющих
a it) = 2 (ап cos con t+bn si n con t), (3.64)
n
то сопряженная функция
Qi (t) =2 lan sin ®J—bn cos con0- (3-65)
n
Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64).
Если сигнал a (t) представлен не рядом (3.64),.а интегралом
Фурье
a (t) = — ( [а (со) cos со/ + Ь (со) sin со/] rfco, (3.66)
п J
о
то функция ах (t) может быть представлена в виде интеграла
ох (0=— Г [а (со) sin Ш—b (со) cos Ш] da, (3.67)
зт J
о
сопряженного интегралу (3.66).
Нетрудно установить связь между спектрами функций a (f)
и «х (/). Так как при преобразовании гармонического колебания по
Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по
модулю спектральная плотность Sx (со) сопряженной функции ах (t)
не может отличаться от спектральной плотности S (со) исходной
функции a (t). Фазовая же характеристика спектра Sx (со) отличается от
фазовой характеристики спектра S (со). Из сопоставления выражений
"(3.67) и (3.66) непосредственно вытекает, что все спектральные
составляющие функции «! (О отстают по фазе на 90° от
соответствующих составляющих функции a (f). Следовательно, при со > 0
спектральные плотности Sx (со) и S (со) связаны соотношением
S2 (со) = — Й (со), со > 0, (3.68)
В области отрицательных частот соответственно получается
Sx (со) = iS (со), © < 0. (3.69)
Вследствие изменения фазовой характеристики сопряженная
функция ах (t) по своей форме может сильно отличаться от исходной
функции a (t).
Нетрудно, наконец, заметить, что если исходный сигнал записан
в форме
а (0 = A (t) cos^ (t) = A (t) cos W + 6 (0 + eol (3J0)
где огибающая A (t) определена соотношением (3.60), то
сопряженную функцию можно записать в аналогичной форме
аг (f) = А (0 sin ф (t) = A (t) sin [co0/ + В (t) + в0]. (3.71)
Это вытекает непосредственно из определения (3.61) и рис. 3.23.
После того как найдена сопряженная функция ах (t), нетрудно
с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую A (t), полную
фазу i)> (t) и, наконец, мгновенную частоту узкополосного сигнала
,„ dxlHfl = d Г _cto ах(01 а(/)аП0—ai(0g'(0 (372)
d' dt'[ ' e a (ft ] o?(0 + a?(0
Выделив в найденной таким образом частоте со (/) постоянную
часть со0, можно написать выражение для -ф (t):
ф (/) = со0* + 0 (0 + 0О> (3.73)
в котором 6 (t) не содержит слагаемого, линейно зависящего от
времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней
частоты» сигнала со0 и соответственно функции 0 (f).
Поясним применение преобразования Гильберта для
определения огибающей фазы и мгновенной частоты сигнала на
следующем примере.
Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических
колебаний с близкими частотами сох и со2;
a (t) = Л1 cos co1/ + Л2 cos co2f, (3.74)
и требуется a (t) представить в форме
a(f) = A (i) cos [со0г + 0 (D + 0„1. (3.75)
Расстройка | Асо | = ] со2 — сох| полагается настолько малой
по сравнению с (сох + со2)/2, что колебание.а (/) можно считать
узкополосным.
Что следует в данном случае подразумевать под A (f), co0 и 0 (0?
Непосредственно из выражения (3.74) трудно выявить структуру
огибающей и фазы результирующего колебания а (/)• Используем
поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция
«! (0 = Лх sin со^ + Л2 sin co2£.
Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала a (t)t
A (f) = ViAi cos cox t+Л2 cos <V)2+(^i sin а>^+Ая sin co2 tf =
= Л1У l + /e2+2ftcosAorf, (3.76)
где ft = A J Ax, Aco = ша — оь
причем для определенности считается, что k < 1 и Дсо >- 0.
Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61)t
ф it) = arctg ^^-^arctg sin^+ftsinm,^ (3J7)
u(7) COSC0l^+fecOSu)2<
Применяя далее формулу (3.72), после несложных
алгебраических и тригонометрических преобразований приходим к
следующему выражению для мгновенной частоты:
со (Л = со, + ДюА ft+cosAc°' = o>i + Асот] (/), (3.781
' \+h?-\-2k cos Доз.'
/j\ I Й + COS ДйЗ/ /Q 7П\
t]<f) — k ! . (З./У)
1 + fca + 2k cos Дш/
Так как постоянная составляющая функции т](^). равна нулю,
то входящие в выражение (3.73) средняя частота <м0 и функция
6(0 будут
©о = ^. (3-8°)
t
в (0 = ^0 ^ Л (/) d/. (3.81)
Итак, на основании (3.76), (3.78) и (3.80)—(3.81) выражение
(3.75) приводится к виду
a(t) = AlV\ -f k2 + 2k cos Ш x
X cos
ш^+ДЦ т) (0 dt
(3.82)
Где т] (f) определяется выражением (3.79).
При этом исключается произвол и неопределенность в выборе
огибающей и фазы суммарного колебания.
Графики функции rj характеризующие изменение частоты
Приведены на рис. 3.24 для некоторых значений к. При k -*■ 1
Получаются выбросы, описываемые дельта-функциями. Это соот-
ветствует производным скачкообразно изменяющейся фазы (на
180°) в моменты времени, когда огибающая биений обращается в
нуль. При &<С 1, т. е. при наложении слабого колебания Л2 cos a2t
на сильное Лх cos aj, выражения (3.76) — (3.79) значительно
упрощаются:
A (t) як Лх (1 + k cos ДсоО» ffio = №i;
(3.83)
со (/) яг: сйх + Мсо cos А со?;
■ф (f) як ш^ + & sin Лсо£.
В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного
колебания изменяются по гармоническому закону с частотой | Дсо| = | со2 —
— сох! относительно своих средних значений соответственно Ль
tux И (х>^.
Формулы (3.76)—(3.83) имеют большое прикладное значение, так
как в радиотехнической практике часто приходится иметь дело с
биениями двух гармонических колебаний.
Рис. 3.24. Мгновенная частота колебания, являющегося суммой двух
гармонических колебаний.
В заключение следует отметить, что в некоторых специальных
случаях выражения (3.60)—(3.69) используют также и для
широкополосных сигналов, когда понятие «огибающая» амплитуд теряет
свой обычный смысл. При этом отказываются от требования, чтобы
огибающая Л (t) касалась кривой a (t) вблизи точек, в которых а (0
имеет амплитудное значение.
3.10. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ
В электротехнике принято представлять гармоническое
колебание (ток, напряжение) в форме
a {t) = Л0 cos (су + во) = Ао Re [e<w+e<,)] = Re [ А0 е""°'] (3.84)
или
a (t) = A0 sin (ю0/ + 90)=А0 Im [e«o«'+e»>]=Im [A0 eto°'], (3.84')
где А0 = Л0ег'е0 — комплексная амплитуда.
Часто символы Re или Im опускают и пишут просто
a {t) = A0 еЯо„(+е„] = до ешу (3.85)
подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.
В современной радиотехнике представление колебаний в
комплексной форме получило дальнейшее развитие и распространено
на негармонические колебания.
Если задан физический сигнал в виде действительной функции
a (t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется
в форме
z (0 = а (0 + Ш] (0, (3.86)
где щ (0 — функция, сопряженная по Гильберту сигналу a (t).
Определенная таким образом комплексная функция z (f)
называется комплексным или аналитическим сигналом,
соответствующим физическому сигналу a (t). Заметим, что и в выражении
(3.85) мнимая часть комплексной функции является функцией,
сопряженной по Гильберту действительной части.
При представлении a (t) и ах (f) в форме выражений (3.70), (3.71)
аналитический сигнал можно записать следующим образом:
г(/)=Л (/)е^«==Л(/) e*B»'+e<»+e«l = A (fie0*', (3.8?)
где
А(0 = Л(/)е'Рт+е.] (3.88)
представляет собой комплексную огибающую узкополосного
сигнала. Модуль комплексной огибающей, равный A (t) [поскольку
|е' [°(') + е0]| = J ПрИ ЛЮбом законе изменения 6 (/)], содержит
информацию только об амплитудной модуляции колебания, а
фазовый множитель e'ef(> — только об угловой модуляции. В целом же
произведение А (/)е/8('> содержит полную информацию о сигнале
a (t) (за исключением несущей частоты со0, которая предполагается
известной).
Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при
анализе узкополосных сигналов исключать из рассмотрения частоту со0,
придает важное значение понятию «аналитический сигнал».
Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и
комплексной огибающей.
1. Произведение аналитического сигнала za(t) на сопряженный
ему сигнал zl (t) равно квадрату огибающей исходного (физического)
сигнала a(t).
Действительно,
■ Za (/) zl (f) = [a (t) + lat (t)] la (t) — to, (t)] = a2 (t) +
+ c? (/) = Л2 (О- (3-89)
Таким образом, модуль аналитического сигнала га (t) равен
просто огибающей сигнала za (f): \za (t) | = Л (t).
2. Спектр аналитического
Z;,(6»=2Sa(a) сигнала содержит только
положительные частоты.
Из выражения
k W
" v
\
V
ч. „
Sak
JL
za (t) = a (t) + юх (0
вытекает, что спектральная плот-
_^ # ~^0 ~q~ ность Z (со) аналитического
сигнала га (О определяется сум-
Рис. 3.25. Соотношение между спек- МОЙ
трйли физического и аналитического
сигналов. Za (со) = Sa (СО) + tS0. (к>).
Но согласно (3.68), (3.69) при со > 0 Sa, (05)
со <С 0 Sa, (со) = t'Sa (со). Следовательно,
Za НЧ
2Sa (со)
I 0
при со>0,
при со <; 0.
tSa (coj, а при
(3.90)
Так, например, если узкополосному сигналу a (f) соответствует
спектральная плотность Sa (со), модуль которой изображен на
рис, 3.25 штриховой линией, то аналитическому сигналу za If) =
= a (f) + ш3 (t) соответствуют спектральная плотность Za (со),
модуль которой изображен на том же рисунке сплошной линией.
Интеграл Фурье для- аналитического сигнала za (f) принимает1
следующий вид:
za-(0 =
00
-Ч
2л J
Za(co)e«°(dco =
00
•Is-
(со) еш da.
(3.91)
где Sa (со) — спектральная плотность исходного (физического)
сигнала a (t).
3. Спектральная плотность комплексной огибающей A (f)
совпадает со смещенной на величину со0 влево спектральной плотностью
аналитического сигнала za (t).
1 Отсюда проясняется смысл термина «аналитический сигнал».
Действительно, при переходе к комплексному t интеграл (3.91) сходится в верхней
пелуплоскости и является аналитической функцией при Imt > 0, поскольку
при со -* оо множитель е~~ialmt обеспечивает сходимость. В случае же
физического сигнала, содержащего как положительные, так и отрицатель.
ныв частоты, множитель е~(0 бесконечно возрастает либо при co-»-+°°t
либо при со -* — оо .
Основываясь на общей" формуле (2.48), можем написать
— оо
Подставляя в это выражение za (t) = A (t) еш°*9 получаем
Za(ea)= f А(0е-«ш-«в»»Л=«д(ю—ю0), со>0. (3.92)
— оо
Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на
случай комплексной функции времени A (t), умножаемой на е'40»'
(вместо cos a>()/ в § 2.7, п. 3). Выражение (3.9), выведенное для
вещественной огибающей A (t)
(при чисто амплитудной
модуляции), является частным
случаем общего выражения (3.92).
Вводя обозначение со —
— со0 = Q, перепишем (3.92) в
несколько иной форме
Za(a>0 + Q) = SA(Q) =
= 2Se (o)0 + Q) (3.93)
{см. формулу (3.90)].
Соотношение между
спектрами Syi(Q) и Za (co0 + Q)
иллюстрируется рис. 3.26.
Особо следует отметить, что
спектр Sa (fi) комплексной
огибающей A (t) не обязательно
симметричен относительно
нулевой частоты (см. рис. 3.26). Если
спектр Sa (со) физического
колебания a (t) несимметричен относительно со = к>0, как это может иметь
место, например, при смешанной амплитудно-угловой модуляции
(см. § 3.8), то и функция Za (со) = 2Sa (со), со > 0, несимметрична;
после сдвига Za (со) на величину со0 влево спектр комплексной
огибающей Sa(Q) будет несимметричен относительно частоты Q — 0.
Поскольку при таком сдвиге функция S^ (Q) отлична от нуля в
области частот Q < 0, комплексная функция А (0 не является
аналитическим сигналом. Это объясняется тем, что действительная и
мнимая части A (t) не являются функциями, сопряженными по
Гильберту.
4. Корреляционная функция аналитического сигнала,
определяемая выражением
Рис. 3.26. Соотношение между
спектрами аналитического сигнала и
комплексной огибающей исходного
сигнала.
оо
dt,
(3.94)
связана с корреляционной функцией исходного физического сигнала
(узкополосного)
В.(т)= § a(t)a(t + r)
dt
(3.95)
соотноше/-шеж
Ва (г) = V8 Re Вг (т). (3.96)
Действительно, подставив в (3.94) za (t) = a if) + iar (t),
получим
^ (х) = ^ t« (0 + '«1 (*) 1 [о (/ + т)—m, (t + т)] Л =
оо
= f a (0 а (Н- т) *#+ Г ах (0 аг (t + т) d" +
+ «
t a^ait + ^dt— fa(0aj(/ + T)
Л
В § 2.17 было установлено, что корреляционная функция
физического сигнала зависит только от модуля его спектральной
плотности. Так как модули спектров функций a (t) и ar (f) одинаковы
(см. § 3.9), то первые два интеграла равны и суммируются, а
вторые два взаимно уничтожаются из чего и следует соотношение
(3.96). Подставив теперь в (3.94) za (t) = A (f) eia°l и zt (t) =
= А* (/)е~"°°(, получим
Bz (т) = е- <'«>•* Г А (О A* {t + т) dt,
— оо
откуда вытекает важное соотношение [см. (3.96)]
е-'и"х 7 A{t)A*(t + T)dt \.
Ba(T)=-^-Re
(3.97)
(3.98)
Входящий в выражение (3.98) интеграл есть корреляционная
функция комплексной огибающей А (/). Поэтому выражение (3.98)
можно переписать в форме
£aM = yRele-'a^(t)].
В частности, при т = 0 получаем
ор
Я„(0)=-\ |ла(*)Я = -1-Вг(0).
(3.99)
(3.100)
Из этого выражения видно, что поскольку Ва (0) == Э, энергия
аналитического сигнала равна удвоенной энергии исходного
физического сигнала.
Следует указать, что применение понятия энергии к
комплексной функции имеет не только формальный смысл. В гл. 12 будет
показано, что в некоторых устройствах обработки сигналов
приходится иметь дело с совокупностью, двух функций времени,
сопряженных по Гильберту, т. е. с аналитическим сигналом как с
физическим процессом.
Преимущества аналитического сигнала при анализе
узкополосных процессов будут видны из дальнейших глав.
3.11. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ МОДУЛИРОВАННОГО
КОЛЕБАНИЯ
При нахождении корреляционной функции модулированного
колебания a (t) — A (f) cosi|> (/) будем исходить из условия
абсолютной интегрируемости (конечной энергии) колебания a (t), что
позволяет применять определение (см. §2.16)
Ва (т) = J a (t) a(t + i) dt. (3.101)
— оо
Вычисление интеграла для сложных сигналов требует
громоздких выкладок. Задача существенно упрощается при переходе от
колебания a (f) к аналитическому сигналу га (t) — А (/) е1'"»'.
Основываясь на соотношениях, выведенных в предыдущем
параграфе, рассмотрим сначала чисто амплитудную модуляцию, когда
a (t) = A (t) cos со0 t, 6 (t) = 0 и, следовательно, А (/) — A* (t) =
= A (f).
Тогда формула (3.98) принимает вид
Ba(T) = -^-Re
е-ло„г С A(t)A(t + x)dt
— оо
оо
cos со0 т Г A(t)A tf+ т) dt. (3.102)
Обозначив, как и в выражении (3.99), интегральный множитель
через В а (т), окончательно получим
Ва (т) = ВА (т) (V, cos со0т). (3.103)
Второй множитель (У2 cos ю0т) есть корреляционная функция
гармонического колебания с частотой со0 и единичной амплитудой.
Итак, корреляционная функция амплитудно-модулированного
радиосигнала равна произведению корреляционных функций
огибающей и высокочастотного заполнения.
В качестве примера на рис. 3.27, а показан радиоимпульс с
прямоугольной огибающей, а на рис. 3.27, б — соответствующая этому
импульсу корреляционная функция. Следует отметить, что эта
функция не зависит от начальной фазы заполнения радиоимпульса,
а ее огибающая совпадает с корреляционной функцией
прямоугольного видеоимпульса (см. §2.16, рис. 2.38, г).
Для иллюстрации применения общего .выражения (3.99) к
амплитудно-частотной модуляции найдем корреляционную функцию
импульса, изображенного на рис, 3.19, а.
Рис. 3.27. Импульс с
высокочастотным заполнением (а) и
корреляционная функция (б).
Рнс. 3.28. К построению
корреляционной функции ЛЧМ импульса.
При обозначениях формулы (3.37) и рис. 3.19 аналитический
сигнал запишется в виде
za(t) = A0e<V'*e<»°t, -7у2</<7У2. (3.104)
Применяя формулы (3.94) и (3.99), получаем
Гс/2-т
Ba(r)=^°-Re Г e'[ft)o'-l-P'V2]e-/|<flII«+x)+p«+x)V2i^. (3.105)
Пределы интегрирования взяты с учетом условия одновременного
существования функций a (t) и a (t + т) (рис. 3.28).
С помощью несложных преобразований выражение (3,105)
приводится к виду
Я„(т) =
Л В sin[ ^S- т— — jcosco0x
Рт
при hK-f' (злоб)
2
0 при |т|>7у2.
Используя введенный в § 3.7 параметр т [см. формулу (3.38)]
и учитывая, что рт,
2<йвТс
2пт, приведем выражение (3,106)
к несколько более общему виду
ВаМ=±А1Та
S1Л Я/Я
ihiJ
cos со,,т. (3.106')
Множитель ЧгАоТс — Ва (0) = Э равен полной энергии
рассматриваемого радиоимпульса (как и при импульсе с постоянной
частотой заполнения, см. рис. 3.27, б).
-$%k
г/т0
Рис. 3 29. Корреляционная функция ЛЧМ импульса.
Таким образом,
Ва(Г) Ba(T)
Ва{0)
Г nrm ( х V
э
ятт
(3.107)
График этой функции построен на рис. 3.29 для параметра
*п = 100 в предположении, что ш0Тс очень велико (на рис. 3.29
масштаб выбран произвольно). Огибающая корреляционной
функции образует весьма острый пик (при т » 1), а частота заполнения
постоянна и равна центральной частоте со0 исходного радиоимпульса.
Рассмотренный здесь сигнал и его корреляционная функция
представляют большой практический интерес для современной
радиотехники.
3.12. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА
Пусть задан сигнал
a (t) = А (0 cos-ф (0 = A (f) cos lco0/ г+- в (01, (3.108)
спектр которого заключен в узкой полосе частот от аг до со2, так
что модуль спектральной плотности Sa (со) имеет вид,
представленный на рис, 3.30, а, причем в пределах полосы Дсо0 спектр не обя-
г z
В)
Рнс. 3.30. Спектр узкополосного радиосигнала (а) и комплексной огибающей
этого сигнала (б).
зательно симметричен относительно центральной частоты со0 =
= (coj + со2)/2. Под узкополосностью сигнала подразумевается
условие
Дсй0/сй0 = Д/0//0«1,
где Д/0 = Дсо0/2л = /2 — /i — полоса частот, Гц.
Предполагается, что функция A (t) является простейшей
огибающей, т. е. что Л (0 и -ф (0 отвечают соотношениям (3.60) и (3.61).
Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда
(2.120), то интервал между выборками должен быть не больше чем
1/2/2, где /2 — наивысшая частота в спектре сигнала, Нецелесооб-
разность такого подхода очевидна, так как информация о сигнале
заложена не в частоту /а (или ft), а в огибающую A (t) или в фазу
Э (t), которые изменяются во времени медленно, с относительно
низкими частотами модуляции. Желательно поэтому так преобразовать
выражение (2.120), чтобы интервалы между выборками определялись
фактической шириной спектра, т. е. величиной Л/0, а не верхней
частотой /2.
Для этого перейдем к аналитическому сигналу,
соответствующему заданной функции a (t):
га(0 = Л(0е'*(" = Л(0е'°(('е'а>" =А(/)еа>°г, (3.109)
где комплексная огибающая A (f) = A (t) е'6(() представляет
собой низкочастотную функцию, спектр которой Sa (£2) примыкает
к нулевой частоте (рис. 3.30, б). Разложим комплексную функцию
A (t) = A (t) e'ew по ортогональной системе
Aw= S спф„(о, (злю)
Г2— —со
где базисная функция срп (t) определяется выражением (2,121).
Подставив этот ряд в (3.109), получим
го(0 =
2 СпФп(0
е'и°(г (3.111)
после чего исходное колебание a (t) определим как' действительную
часть функции га (t):
а (/) = Re
S ОцФп(0
*=j
е'ш«'1. (3.112)
Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания
свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей A (f).
При определении наибольшего допустимого интервала между
выборками в разложении (3.110) необходимо исходить из наивысшей
частоты в спектре функции A (t). Из определения со0 как средней
частоты в полосе Лсо0 очевидно, что эта частота, отсчитываемая от
£2 = 0, равна Аю0/2, или в герцах А/0/2. Следовательно, интервал
между выборками не должен превышать
Л* - 1/2 (Д/0/2) = 1/Д/0, (3,113)
а функция фп (f) должна иметь вид
.. sin (Acoq/2) (г—пМ)_ sin nAjF0 (t — nM) (3 114)
Фпи— (Дшо/2)(<—яДО пЦ0 (t-ntbf) '
От аналогичной функции, использованной в § 2.14, ф„ (f)
отличается только заменой сот на Лсо0/2. Следовательно, спектральная
плотность Ф0 (Q) функции ф0 (0 равна 2л/Лсо0 = 1/А/0 в полосе
частот |Q|< Дсо0/2 (рис. 3.30), а спектральная плотность
функции фп (О
<Dn(Q) =
^-inMi^A-e-inAtQ при |Q|<-i^°,
> Л f * ' 9
Дсоо/2" Ц0 ~ 2 (ЗЛ15)
0 при | Ь21 >
2 '
Квадрат нормы функции ц>п (t) по аналогии с выражением (2.123)
II Фп 1Г = я/0,5 Дсо0 = 1/А/о. (3-116)
Далее по формуле (2.9) с учетом (3.116)
оо оо
сп=^Ч f А(ОФпи)*=Д/о f Л(0Ч>П(0Я. (3.117)
Используя формулу (2.63), в которой заменяем ш на Q1, получаем
Дгас/2
-Дсо0/2
ДС0о/2
= А/0 — f SA (й) — е"гЛ'£2 dfi = А (пА/) = А (/гАО е'"е<"д'\
— Дь)о/2
(3.118)
В выражении (3.118) Sa— спектр комплексной огибающей
А (0, а А (пДО — ее значение в отсчетной точке t = nAt.
Итак, коэффициенты ряда (3.110) являются выборками функции
А (0, взятыми через интервалы At = 1/А/0.
Подставляя (3.118) в (3.111), получаем
оо
2о(0= 2 ^("А0фп(0е'1Ши'+е(пА')]
П= —оо
и по формуле (3.112) определяем
оо
a(t)= ^ A(nAt)ifn(t)cos[aat + 6(nAt)] =
И= — оо
^ЛМ"££Г*~1«+»№ (3119)
И = —оо
При заданной длительности сигнала Тс число отсчетных точек
TJAt = ТсД/0, причем в каждой точке должны быть заданы два
параметра: A (nAt) и Э (пАО-
1 Поскольку здесь рассматривается спектр огибающей.
Следует иметь в виду, что при несимметричном (в полосе Асо0)
спектре введенная в данном параграфе частота со0 = (coj + со2)/2
может не совпадать со «средней частотой» в выражении (3.73).
Иными словами, фаза 6 (t) может содержать слагаемое, линейно
зависящее от времени.
Проиллюстрируем выражение (3.119) на примерах колебания,
промодулированного по амплитуде или по частоте.
При AM исходим из колебания a (t) = A (t) cos со0 t, в котором
A (t) — вещественная функция со спектром Sa («), ограниченным
наивысшей частотой Qm = 2nFm. В этом случае ширина спектра
модулированного колебания а (/) равна А/ам = 2Fm, причем в
пределах этой полосы спектральная плотность Sa (со) симметрична
относительно со0. Интервал между выборками в соответствии с
формулой (3.113) должен быть не больше чем At = 1/А/ам = M2Fm, т. е.
таким же как и при дискретизации исходного сообщения
(модулирующего напряжения).
Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто
амплитудной модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимости.
Отсюда вытекает очевидный результат: амплитудно-модулированное
колебание вполне определяется значениями своих амплитуд, взятыми
через интервал l/2Fm, где Fm — верхняя частота в спектре
модулирующей функции (т. е. в спектре передаваемого сообщения).
Иными словами, при чисто амплитудной модуляции число
степеней свободы модулированного колебания-та кое же, как и число
степеней свободы модулирующей функции.
Рассмотрим теперь частотно-модулированное колебание
a (t) = A0 cos [о,,* + в (01,
когда мгновенная частота со (t) = со0 + dQ/dt модулирована тем же
сообщением, что и в предыдущем случае, причем максимальная
девиация частоты /д велика по сравнению с Fm, так что ширину
А/чм полосы частот модулированного колебания можно
приравнять к 2/д [случай «широкополосной» частотной модуляции, (3.34)1.
Интервал' между выборками должен быть взят At ^ 1/А/чм =
= 1/2/д. Так как при ЧМ амплитуда колебания неизменна, то
передавать ее нет необходимости. Следовательно, для однозначного
представления частотно-модулированного колебания достаточно
задавать фазу 6 (nAt) этого колебания в отсчетных точках, отстоящих
одна от другой на время А/ ^ 1/2/д. При одной и той же
длительности сообщения Тс число выборок фазы при ЧМ равно Af4MTc =
=2/д Тс, а число выборок огибающей при AM равно А/амТс = 2FmTc.
Отсюда видно, что при одинаковом передаваемом сообщении (при
одинаковом количестве информации) частотно-модулированный
сигнал обладает числом степеней свободы в fa/Fm = m раз большим,
чем амплитудно-модулированный сигнал. Это является
результатом расширения спектра сигнала при ЧМ. На приемной стороне
канала связи после частотного детектирования модулированного
колебания выделяется напряжение, которое имеет спектр и число
степеней свободы такие же, как и исходное сообщение.
Из приведенного примера видно, что при одной и той же ширине
спектра информационная емкость радиосигнала различна в
зависимости от вида модуляции.
При смешанной модуляции — амплитудной и угловой — в
каждой отсчетной точке нужно брать две выборки: амплитуды и фазы.
Гл а в а 4
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
СИГНАЛОВ
О
I iffy)
4.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая
в результате измерения, заключена в сигнале.
До приема сообщения (до испытания) сигнал следует
рассматривать как случайный процесс, представляющий собой
совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой
общей для них статистической закономерности. Одна из этих
функций, ставшая полностью
известной после приема сообщения,
называется реализацией
случайного процесса. Эта
реализация является уже не
случайной, а детерминированной
функцией времени.
Важной, но не
исчерпывающей характеристикой
случайного процесса является
присущий ему одномерный закон
распределения вероятностей.
На рис. 4.1 изображена
совокупность функций хх (f), (х2 (/), ...,
образующих случайный процесс
X (J). Значения, которые могут
принимать отдельные функции в момент времени / = tx,
образуют совокупность случайных величин хг (tx), x2 (tx), ...
Вероятность того, что величина xh {tx) при измерении попадает
в какой-либо заданный интервал (а, Ь) (рис. 4.1), определяется
выражением
ь
Ptl{a<x<tb)==\)p{x\ tx) dx. (4.1)
Рис. 4.1. Совокупность функций,
образующих случайный процесс.
Функция р (х; t±) представляет собой дифференциальный закон
распределения для случайной величины х (*х); р (х; tt) называется
одномерной плотностью вероятности, a Pt, — интегральной
вероятностью.
Функция р (х; tx) имеет смысл для случайных х непрерывного
типа, могущих принимать любое значение в некотором интервале.
При любом характере функции р (х; tj должно выполняться
равенство
■"макс
- J p(x; t^dx=\, (4.2)
*мин
где хиая и л:макс — границы возможных значений х (tj.
Если же х является случайной величиной дискретного типа
и может принимать лишь одно из конечного числа дискретных
значений, то (4.2) следует заменить суммой
21 ^i = l, (4.2')
f
где Р{ — вероятность, соответствующая величине х{.
Задание одномерной плотности вероятности р (х; t±) позволяет
произвести статистическое усреднение как самой величины х, так
и любой функции / (х). Под статистическим усреднением
подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо
«сечении» процесса, т. е. в фиксированный момент времени.-
Для практических приложений наибольшее значение имеют
следующие параметры случайного процесса:
— среднее значение (математическое ожидание, первый момент)
00
<*(*i)>= jj xp{x; tjdx, (4.3)
— 00
— средний квадрат (второй момент)
ею
<*"(*!»= 5 х*р(х; tjdx, (4.4)
— оо
— средний квадрат флуктуации (дисперсия)
о% (к) = <(х~< х»2> = <х2> — «л;»2. (4.5)
В выражениях (4.3)—(4.5) угловые скобки означают операцию
усреднения по множеству (ансамблю).
Одномерная плотность вероятности недостаточна для полной
характеристики случайного процесса, так как она дает
вероятностное представление о случайном процессе X (f) только в отдельные
фиксированные моменты времени. Более полной характеристикой
является двумерная плотность вероятности1 р (хъ х2; tu t.2),
позволяющая учитывать связь значений хх ях2, принимаемых случайной
функцией в произвольно выбранные моменты времени tx и t2.
Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного
процесса является n-мерная плотность вероятности при
достаточно больших п. Однако большое число задач, связанных с описанием
случайных сигналов, удается решать на основе двумерной
плотности вероятности.
Задание двумерной плотности вероятности р (хъ х2\ 1Ъ t2)
позволяет, в частности, определить важную характеристику
случайного процесса — корреляционную функцию (второй смешанный
момент)
Bx(tu 4)= <* (У *(*«)>. (4-6)
Согласно этому определению корреляционная функция
случайного процесса X (t) представляет собой статистически усредненное
произведение значений случайной функции X (/) в моменты tx
и t2.
Для каждой реализации случайного процесса произведение
х (tj) х (t2) является некоторым числом. Совокупность реализаций
образует множество случайных чисел, распределение которых
характеризуется двумерной плотностью вероятности р (xlt x2; 1Ъ t2).
При заданной функции р (хъ х2\ tlt t2) операция усреднения по
множеству, обозначенная в выражении (4.6) угловыми скобками,
осуществляется по формуле
оо оо
B%(tvt2)= ^ ^ xlx2p(x1, x2, flf t2)dx1dx2. (4.7)
— оо — ос
При t2 = /х двумерная случайная величина ххх2 вырождается
в одномерную величину х\=-х\. Можно поэтому в соответствии
с выражением (4.4) написать
ос
fi*('i. h)= 5 х\р(хц /1)rfjf, = <^f>. (4.8)
— оо
Таким образом, при нулевом интервале между моментами
времени /х и /2 корреляционная функция определяет величину
среднего квадрата случайного процесса в момент t = tx.
Исследование случайного процесса, а также воздействия его
на радиоцепи существенно упрощается при его стационарности.
Случайный процесс называется строго стационарным, если его
плотность вероятности р (хъ х2, .... хп\ tx, t2, ..., tn) произвольного
1 Здесь и в дальнейшем одной и той же буквой р обозначаются плотности
вероятности различных случайных функций. В некоторых разделах, если
это необходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы,
уточняющие параметр, к которому относится данное распределение. Например,
при рассмотрении случайного процесса х (t) = A (t) cos 6 (t) будут
применяться обозначения рх (х), рА (А) и рв (6).
порядка п зависит только от интервалов t2 — tu ta—Hlt ..., tn — ?x
и не зависит от положения этих интервалов в области изменения
аргумента t.
В радиотехнических приложениях теории случайных
процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием
независимости от времени только одномерной и двумерной
плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком
смысле.) Выполнение этого условия позволяет считать, что среднее
значение (первый момент), средний квадрат и дисперсия случайного
процесса не зависят от времени, а корреляционная функция
зависит не от самих моментов времени £, и t2, а только от интервала
между ними т = t2 — tx.
Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать
как стационарность в рамках корреляционной теории (для моментов
не выше второго порядка).
Таким образом, для случайного процесса, стационарного в
широком смысле, выражения (4.3)—(4.5) и (4.7) можно записать без
обозначения фиксированных моментов времени:
оо
<-*;>= Л xp(x)dx; (4.9)
— оо
оо
<х2}= \ x*p(x)dx; (4.10)
— оо
а!==<х2>-«х»г; (4.11)
оо оо
Bx(r)= t S. xlx2p(xv x2, x)dx1dx2. (4-12)
— оо — оо
Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов
достигается при использовании условия эргодичности процесса.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если
усреднение любой его вероятностной характеристики по множеству
реализаций эквивалентно усреднению по времени одной
теоретически бесконечно длинной реализации.
Условие эргодичности случайного процесса включает в себя
и условие его стационарности. В соответствии с определением эрго-
дического процесса соотношения (4.9)—(4.12) эквивалентны
следующим выражениям, в которых операция усреднения по времени
обозначена прямой чертой:
Г/2
Щ=Ит — f x{f)dt; (4.13)
Г->оо Т J
— Г/2
Г/2
I
— Т/2
F(*j= Iim-jr f *(f)dt\ (4.14)
Г-»оо ' J
ol=x*(t)-[x(f))'; (4.15)
Г/2
Bx(%)r=x(t) xIt+ x) = l\m — \ x(t)x(t + x)dt. (4.16)
Г->сх> Т J
— 772
Если л; (f) представляет собой электрический сигнал (ток,
напряжение), то х (0 — постоянная составляющая случайного сигнала,
х2 (t) — средняя мощность, ol — средняя мощность^ флуктуации
сигнала [относительно постоянной составляющей х (t)].
Выражение (4.16) внешне совпадает с определением (2.134)
корреляционной функции детерминированного сигнала
(периодического). Непосредственно из (4.16) вытекает четность функции
Вх (т) относительно сдвига т.
Очевидно также, что
Г/2
fix(0) = lim 4г Г x*(f)dt=x*{f) = (xf + al, (4.17)
-Т/2
т. е. значение корреляционной функции при т = 0 равно полной
средней мощности случайного сигнала.
При анализе случайных процессов часто основной интерес
представляет его флуктуационная составляющая. В таких случаях
применяется ковариационная функция
Р*(т)=Г*(')-*(<)] \x(t + x)—x(f)] = Bx(т) —(*)*. (4.18)
Наконец, вводится нормированная корреляционная
функция
/?x(t)=PiW=^=^.. (4.19)
Функция Rx (т) характеризует связь (корреляцию) между
значениями [х U) — х], разделенными промежутком т. Чем медленнее,
плавнее изменяется во времени х (f), тем больше промежуток т, в
пределах которого наблюдается статистическая связь между
мгновенными значениями случайной функции.
При экспериментальном исследовании случайных процессов
используются временные корреляционные характеристики процесса
(4.13)—(4.19), поскольку, как правило, экспериментатору доступно
наблюдение одной реализации сигнала, а не множества его
реализаций. Интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных
пределах, а на конечном интервале Т, длина которого должна быть
тем больше, чем выше требование к точности результатов измерения.
4.2. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ
Применение общих определений, приведенных в предыдущем
параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных
случайных процессах.
Наряду с обозначением случайного процесса символом X (t)
будет применяться в том же смысле обозначение х (t), под которым
подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, xh (t)
обозначает k-ю реализацию случайной функции х (t).
1. Сигнал в виде постоянного напряжения случайного уровня
Пусть уровень А сигнала может с равной вероятностью
принимать любое значение в интервале от — Амакс до /4макс (рис. 4.2.)
Стационарность этого процесса очевидна. Одномерную плотность
вероятности легко получить из выражения (4.2):
Р \Х) = /гамаке» "макс ^ X "^ "макс (Ч.Ли)
Подстановка (4.20) в выражения (4.3)—(4.5) дает
макс
<х>=—-— f хйх=(У,
чмакс .
д
— макс
макс
^лмакс «J
1 Г -Чх = ±
3
-А.
макс
А.1
0
1
. ,_!• '
—"/(i
.... ^
.
При определении корреляционной Рис. 4.2. Совокупность посто-
функции по формуле (4.6) следует янных напр™™ слУчайного
учитывать, что для любой
реализации, независимо от временного
сдвига т, выполняется равенство xh (tt) = xh (tz). Следовательно,
xk (ti) xh (t2) = xl, и усреднение этого произведения по множеству
можно выполнить без использования двумерной плотности
вероятности, непосредственно по формуле (4.8). Таким образом,
Вх (Т) = <Х2> = УаЛмакс = Ох.
Рассматриваемый процесс не эргодичен. Это видно из того, что
Вх{х) = х1ф1/8АЪакс,
т. е. первые два момента и корреляционная функция, определенные
усреднением по времени (вдоль реализаций), не совпадают с
результатом усреднения по множеству.
2. Гармоническое колебание со случайной амплитудой
Пусть в выражении, определяющем сигнал
х (0 = Л cos (<о0г + 60) = Л cosi]; (t), (4.21)
частота со0 и начальная фаза 60 являются детерминированными
и постоянными величинами, а амплитуда А — случайная,
равновероятная в интервале от 0 до Аыакс величина (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Совокупность гармонических колебаний со случайной амплитудой.
Найдем одномерную плотность вероятности р (х; tj) для
фиксированного момента времени tx. Мгновенное значение х (1Х) может
принимать любые значения в интервале от 0 до Лманс cosч^ (^),
причем будем считать, что cos -ф (^,) >0. Следовательно,
р (х; tY) = 1/Лманс cos^ {tt), 0< х<Лманс cosij) (У
и математическое ожидание
<x(h)>--
1
^макс costK/!)
с
1
xdx=—■ А
cos Ч) (t,).
Далее,
<*'&)> =
1
Лмаке со^ «О
Лткс cos l|> (1г)
Наконец, дисперсия
I
X2dX = — Л макс COS2!^).
Ol (У-^ &)>-«* (^)»2 = -^- Л = аКс COS«4> (*,)-
Л^акс COS2l]j (/г) = — Лмакс COS* ^ (tj).
Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и не
вргодический,
3. Гармоническое колебание со случайной фазой
Пусть амплитуда Л0 и частота со0 гармонического сигнала
заранее достоверно известны, а начальная фаза 0 — случайная
величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое
значение в интервале от — к до к. Это означает, что плотность
вероятности начальной фазы *
рв (0) = 1/2эт, — л < 0 < л. (4.22)
Одну из реализаций случайного процесса х It), образуемого
совокупностью гармонических колебаний со случайными фазами
(рис. 4.4), можно определить
выражением . /~+х/
xh (t) = Л0 cos (co0* + 6h) = ^/\ Л
= /40cosi]jfe (t). (4.23)
Полная фаза колебания
г]) {t) = со0£ + 0 является
случайной величиной,
равновероятной в интервале от
со0£ — л до со0^ + п,
следовательно,
Ра, (гр) = 1/2я,
со0^ — л <Z -ф < ш0^ + зх.
(4.24)
Найдем одномерную
плотность вероятности рх (х)
случайного процесса X (t).
Выделим интервал х, х + dx
(рис, 4.5) и определим вероятность того, что при измерении
величины сигнала, проведенном в промежутке времени от tx до t± + dt,
мгновенное значение сигнала окажется в. интервале х, х + dx. Эту
вероятность можно записать в виде рх (х) dx, где рх (х) —
искомая плотность вероятности... Очевидно, что вероятность рх (х) d*
совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний ■ф в
один из двух заштрихованных на. рис. 4.5 фазовых интервалов.
Эта последняя вероятность равна 2рф (ф) dty. Следовательно,
рх (х) dx = 2py (ijs) Ар = (2/2п) Жр,
откуда искомая функция1
Рис. 4.4. Совокупность гармонических
колебаний со случайными фазами.
РхМ = -
_1_
dx
-Ло<х<Л0.
1 Абсолютное значение производной берется на том основании, что
плотность вероятности является неотрицательной функцией.
Но
их
ri-ф
= A,|sini|)| = A)Vl— со%г^ = УА1 — л:2'
Таким образом, окончательно
рх (Х) = 1/п VAI—х2. — Д, <л:< Л0.
График этой функции изображен на рис. 4.6.
(4.25)
Рис. 4.5. К определению плотности вероят- Рис. 4.6. Плотность вероятности
ности гармонического колебания со случай- гармонического колебания со
ной фазой. случайной фазой.
Существенно, что одномерная плотность вероятности рх (х)
не зависит от выбора момента времени t, а среднее по множеству
(см. (2.271.7) в 110])
<*(*)>= \ xpx(x)dx=— \ ■ * - dx = 0
J n J VAI— хг
(4.26)
-Ад «о
совпадает со средним по времени
Г/2 Г/2
Щ=[\т — Г x(f)dt=\im— Г Д, cos (со0/+6)^=0.
Г-*оо Т J Г-»-со Г J
—Г/2 —Г/2
(Это справедливо для любой реализации рассматриваемого
случайного процесса.)
Корреляционную функцию в данном случае можно получить
усреднением произведения х (^) х (£2) по множеству без обращения
к двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4,7)],
Действительно, подставляя в (4.6)
х (tj) х (t2) = Ао cos (©о^ + 6) cos (со0*2 -f 6) =
*= У2АЬ{ cos co0 (t2 — tx) + cos [co0 (2X + Q + 26]}
и учитывая, что первое слагаемое cos co0 (f2 — tj является
детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом
усреднении с помощью одномерной плотности вероятности р« (6) =
= 1/2зх [см (4.22)] обращается в нуль, получаем
Вх &, Q = <х (у х (д> = VHo cos со0т, (4.27)
Такой же результат получается и при усреднении произведения
%k (0 хп it + т) по времени для любой реализации процесса.
Независимость среднего значения от tt и корреляционной
функции от положения интервала т = /2 — ^ на оси времени позволяет
считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпадение же
результатов усреднения по множеству и времени (для любой
реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным
образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной
амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не
эргодический процесс (различные реализации обладают
неодинаковой дисперсией).
4. Нормальный случайный процесс
Нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин
чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно
характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа.
Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком
сильно отличается от
нормального, часто заменяют
нормальным процессом.
Одномерная плотность
вероятности нормального процесса
определяется выражением
р(х) =
У2л
ехр
(x-xf
2al
(4.28)
х-х
Рис. 4.7. Одномерная плотность
вероятности нормального распределения.
В данном параграфе
рассматривается стационарный и
эргодический нормальный процесс. Поэтому под х и c'i можно
подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность
флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной)
реализации случайного процесса.
Графики плотности вероятности при нормальном законе для
некоторых значений ах изображены на рис. 4.7. Функция р (х)
симметрична относительно среднего значения. Чем больше ож, тем
меньше величина максимума, а кривая становится более пологой
[площадь под кривой р (х) равна единице при любых значениях
од.
На основе функции р (х) можно найти относительное время
пребывания величины сигнала х (t) в определенном интервале уровней,
отношение максимальных значений к среднеквадратическому (пик-
фактор) и ряд других важных для практики параметров случайного
сигнала. Поясним это на примере одной из_реализаций нормального
шума, изображенной на рис. 4.8, а для х = 0. Эта функция вре-
мени соответствует шумовой помехе, спектр которой простирается
от нулевой частоты до некоторой граничной частоты. Вероятность
пребывания значения х if) в интервале от а до Ъ определяется
выражением (4.1). Подставляя в это выражение (4.28), при л; = 0
получаем
P(g<x<6) = —4:— Г<
е-*2/2°; dx=
V
' 2л а^ J
У2пая J У 2л Ox J
6/о. а/о„
-x»/2oi
dx-
1/2п
Г &-«*'* dy L_ f е-«ш''Ч1у=
J l/2n J
О о
Функция
Ф(«) =
ys
:л J
(4.29)
(4.30)
называется интегралом вероятностей. В любом математическом
справочнике приводятся таблицы этой функции.
Подставив в (4.29) Ыах — 1, 2, 3 и соответственно а/ох = — 1,
— 2, и — 3, нетрудно найти вероятности пребывания х (t) в полосах
шириной 2ох, Аах и 6ох, симметричных относительно оси t.
В рассматриваемом частном случае (\а\ = Ь) формулу
(4.29) можно упростить на основании симметрии функции р (х)
относительно оси ординат (рис. 4.7).
Таким образом,
ь/ох
P{—b<x<b)=2-~ Г е-*'/Чы=2ф(—).
v о
Результаты вычислений сведены в табл. 4.1. В последней графе
приведены величины, равные 1 — 2Ф (Ь/ох), Из этой таблицы сле-
Та б л и ца 4.1
Интервал значений
(—Ох, ох)
(— 2ах, 2ах)
(—Ъах, Зох)
Вероятность пребывания
в интервале
2-0,3413=0,6826
2-0,4772=0,9544
2 0,49865=0,9973
Вероятность пребывани я
рне интервала
~0,317=31,7%
~0,046=4,6%
~0,003=0,3%
дует, что ширину шумовой дорожки (рис, 4.8, а) нормального шума
можно приравнять (4 — 5) ах. Если принимать во внимание пики
функции х (/), вероятность которых не менее 1%, то пикфактср
шума можно оценить величиной ~3 (отношение пикакож).
Напомним, что для гармонического колебания пикфактор равен Vz
Отношение времени пребывания х (t) в заданном интервале к
общему времени наблюдения (достаточно большому для эффектив-
Рис 4.8. Случайные функции с одинаковым распределением (нормальным), но
с различными частотными спектрами.
ного усреднения) можно трактовать как вероятность попадания
х (/) в указанный интервал. На такой трактовке основан принцип
построения различных приборов, используемых для
экспериментального нахождения одномерной плотности вероятности
случайного процесса.
Можно отметить, что приведенные выше данные о
распределении вероятностей не дают никаких представлений о поведении
функции к (0 во времени. На рис. 4.8, б, показана реализация
нормального шума со спектром, сосредоточенным в узкой полосе
частот с центральной частотой щ. По_своей плотности вероятности
р (х) и, следовательно, по значениям х и сх, этот шум не отличается
от низкочастотного шума, показанного на рис. 4.8, а.
Для описания временных характеристик функции х (/)
необходимо привлечь двумерную плотность вероятности, позволяющую
найти корреляционную функцию. Другой способ — нахождение
спектра мощности случайного процесса. Он рассматривается в
следующем параграфе.
4.3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО
ПРОЦЕССА
Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль)
реализаций, необходимо иметь в виду, что реализациям,
обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные
характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности,
введенной в §2.6 или § 2.12, по всем реализациям приводит к
нулевому спектру процесса (при х = 0) из-за случайности и
независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.
Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего
квадрата случайной функции, поскольку величина среднего
квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если
под случайной функцией х (/) подразумевается электрическое
напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно
рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом.
Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе,
зависящей от механизма образования случайного процесса.
Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю
мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте со. Введенную
таким образом спектральную плотность W (со) в дальнейшем будем
называть энергетическим спектром функции х (f). Смысл такого
названия определяется размерностью функции W (со), являющейся
отношением мощности к полосе частот:
[\? (со)) = ощностъ— = [Мощность х время]=[Энергия].
L Полоса частот J
Энергетический спектр можно найти, если известен механизм
образования случайного процесса. Применительно к шумам,
связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта
задача будет рассмотрена в § 7.2. Здесь же мы ограничимся
несколькими определениями общего характера.
Выделив из ансамбля какую-либо реализацию xh (t) и
ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней
обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность
Xhr (со). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации
можно вычислить с помощью формулы (2.66):
Т/2 оо
3kT= f xh(f)dt=-±- Г |Xftr(®)Pd«o. (4.31)
Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность k-й
реализации на отрезке Т:
ОС
При увеличении Т энергия Экт возрастает, однако отношение
Экт/Т стремится к некоторому пределу. Для перехода к
стационарному случайному процессу необходимо длительность Т каждой
реализации устремить к бесконечности. При этом возникает
формальная трудность, связанная с тем, что преобразование Фурье
существует только для сигналов с конечной энергией (условие абсолютной
интегрируемости сигнала). Это препятствие можно обойти с
помощью различных приемов [8]. В данном случае ограничимся
наложением условия, что Г сколь угодно велико, но конечно. Имея в виду
это условие, запишем последнее выражение для средней мощности
&-й реализации в форме
оо
*Ш = -^- j Wh(e>)da, (4.32)
где
Wh(a) = |Xfer(co)|2/r, (4.33)
представляет собой спектральную плотность средней мощности
рассматриваемой k-й реализации (при достаточно большом Т).
В общем случае величина Wh (со) должна быть усреднена по
множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае
рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что
найденная усреднением по одной реализации функция Ц7Й (со)
характеризует весь процесс в целом. Опуская индекс k, получаем
окончательное выражение для средней мощности случайного процесса:
оо
^Щ=Л- Г W((o)d(». (4.34)
Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним
значением х (t), то энергетический спектр следует представлять
в форме
Wx((o)MW)f-2nb(a)+W^(w), (4.35)
где W^ (со) — сплошная часть спектра, соответствующая флуктуа-
ционной составляющей л;, а б (со) — дельта-функция.
При интегрировании по / = со/2л первое слагаемое в правой
части дает [л- (^)Р, т. е. мощность постоянной составляющей, а
второе — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию
оо
о? = — Г №-(co)dco. (4 .36)
2я J
— ОО
Для процесса с нулевым средним
оо
]?(/) = о* = — f Wx(a>)du>. (4.37)
2л J
— ОО
Из определения энергетического спектра (4.33) очевидно, что
W (со) является четной и неотрицательной функцией со
4.4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СПЕКТРОМ
И КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Чем медленнее изменяется во времени х (t), тем уже
энергетический спектр. С другой стороны, скорость изменения х (t) определяет
ход корреляционной функции. Очевидно, что между Wx (со) и Ва (т)
имеется тесная связь.
Существует теорема Винера—Хинчина, утверждающая, что
Вх (т) и Wx (т) связаны между собой преобразованиями Фурье;
W
ж(со)= С Bx(x)e~iendx, (4.38)
Вх(х) = — Г Wx (со) е'01Мсо. (4.39)
2я J
— ос
Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам
преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для
детерминированных сигналов: чем шире энергетический спектр случайного
процесса, тем меньше интервал корреляции, и, соответственно, чем больше
интервал корреляции, тем уже спектр процесса.
Большой интерес представляет белый шум, когда
энергетический спектр равномерен на всех частотах — оо <С со <С оо.
Если в выражение (4.39) подставить Wx (со) = W0 — const, то
получим [см. (2.93)]
оо
Bjx) = W0~ J е"^оо = 1Уи8(т), (4.40)
где б (т) — дельта-функция.
Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром
корреляционная функция равна нулю для всех значений т, кроме т = О,
при котором Вх (0) обращается в бесконечность. Подобный шум,
имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными
выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом.
Дисперсия белого шума бесконечно велика.
Поясним применение приведенных выше соотношений на
примерах.
1. Пусть заданы следующие параметры напряжения шума
(нормальный стационарный процесс с нулевым средним): средне-
-Ч-^Ь) ^ о я, ^щ и0
0>,
Рис. 4.9. Широкополосный и узкополосный энергетический спектры
(примеры 1, 2, 3).
квадрэтическое значение ыек = 2В, энергетический спектр WY (со)
равномерен в полосе частот от 0 до /х = 10 МГц (сплошная линия на
рис. 4.9).
Шум с подобным спектром обычно называют широкополосным,
В данном случае
Wx (оо) = uSJ2ft = (2)2/2 . 10» = 2 • 10-' В2/Гц.
Корреляционная функция рассматриваемого процесса [см. (4.39)]
Bt(x)=^ — Г W! ((о) eia,x d® = ~ Г Wl (со) cos coteto ==
—w,
_7 1 2sino)iT
= 210-
2п т
Дисперсия шума
— ш,
;2.10-72/ Я"°>1* =pf Sin^X
Cl>! Т СОх I
(4.41)
а? = и\к = Вг (0) = 4 В2.
Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, а)
Ri (т) = Вг (x)/af = sin (Ojx/ait. (4.42)
2. Вырежем из спектра исходного шума полосу от со = — Qi =
= — 2Я/7, до со = Qj = 2nFlt обозначенную на рис. 4.9
штриховкой, и найдем Б2 (т), R2 (т) и а!, соответствующие этому шуму.
При Fj = 2 МГц получим
а| = 2/;'1\^1(со) = 2-2.106-2-10-7=0,8В2;
B8(T) = 2.10-'.2^-s!2i^-=0,8-S|i^-1
fii Т
fiiT
tf2 (т)=В8 (x)/al = (sin fin т)/Й! т.
Сужение спектра привело к растяжению графика #2 (т) по оси
т (рис, 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в f1lF1 = Б раз.
Рис. 4.10. Нормированная корреляционная функция случайного процесса
с энергетическим спектром, равномерным в полосе:
a) |(0|< W, и |w! < Q, = cui/5; б) ш0 — Q/2 <ю < W0 + Q/2.
3. Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр ш>
торого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой; От
предыдущего этот случай отличается положением спектральной полосы на оси
частот. Шум с подобным спектром называют узкополосным (при
fii/o>o « !)•
Дисперсия этого шума а§, очевидно, не отличается от а\.
Корреляционная функция
— ;ю„—й,/2)
Ол + £3,/2
В8(т) =
— ((й0 + й»/2)
j" H71(co)e'^dco + -i- Г W1(a>)e'««dd) =
fflj/2) ю„ —Й./2
— — \ ^i С*0) cos toxdco—
Wo —Ki/2
1_ Г sin(co0+Q1/2)T sin (cop—Qt/2) т 1
XT [ T T J
= 2-10-'-L -2 sin Д1 cos co() т=2-10"'. 2^ sinQ*T/2 cos ш0 т. (4.43)
=2 10-»
Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, б)
ID . . sin (Qt т/2)
1#з (т)= n ' cos со0 т.
(4.44)
Огибающая функции R3 (т) (штриховая линия) совпадает по форме
с функцией Rz (т), однако эта функция имеет вдвое большую
протяженность. Высокочастотное заполнение функции R3 (т) имеет
частоту ш0, равную центральной частоте спектра шума (см. рис. 4.9).
График нормированной
корреляционной функции,
показанный на рис. 4.10, б,
позволяет составить
представление о характере
шумового колебания с
узкополосным спектром.
Осцилляции ' корреляционной
функции с частотой со0
указывают на то, что и
мгновенное значение шумового
колебания изменяется в
аЛеднем с частотой со0.
Напомним, что
корреляционная функция
гармонического колебания является также гармонической функцией той же
частоты (см. § 2.16). Изменение же огибающей корреляционной функции
по закону о/о указывает на то, что огибающая шумового
колебания, являющаяся случайной величиной, изменяется во времени
относительно медленно, подобно функции времени, спектр которой
ограничен наивысшей частотой Q2. Примерный вид шумового
колебания, соответствующего корреляционной функции (4.44),
представлен на рис. 4.1 J (в измененном масштабе времени по оси
абсцисс).
Рис. 4.11. Примерный вид реализации
случайного процесса, корреляционная функция
которого показана на рис. 4.10,6
(масштабы по осям hit разные).
Итак, шумовое колебание с узкополосным спектром следует
представлять себе как высокочастотное колебание с медленно (по
сравнению с частотой со„) изменяющимися амплитудой и фазой:
х (С) = U (t) cos la0t + в (*)], (4.45)
где со0 — центральная частота спектра шума.
Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания:
амплитуда, фаза и частота — являются случайными функциями
времени. Статистические характеристики этих параметров
рассматриваются в § 4.6.
4.5. ВЗАИМНО КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНЫЙ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Связь между двумя стационарными процессами х (t)uy (f)
оценивается с помощью взаимно-корреляционной функции,
определяемой выражениями1
ВхУ (т) = <х (t) y(t + т)>,
Byx(x)=<y(f)x(t+x)>. (4.46)
В данном параграфе рассматриваются эргодические процессы
поэтому вместо (4.46) можно применять временное усреднение
Г/2
Bxv(x) = x(t)y(t + x) = Wm -1' f x(t)y(t+x)dt, (4.47)
— Г/2
Т/2
B4x(T) = y(f)x(t + T) = \\m 4" ( y(()x(t + r)dt. (4.48)
— Г/2
Как и для детерминированных колебаний,
взаимно-корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на т одной из функций
х (t) или у (t) заменить на сдвиг в обратном направлении другой
функции. Поэтому можно написать следующие равенства:
Bxu(x) = x(l)y(t + x)=x(t — i)y(t), (4.49)
Вух (т) = y(l)x(t + x)=y(t-x)x(t). (4.50)
Из последних выражений вытекают следующие соотношения
между Вху (т) и ВУх (т):
Вху (т) = Вих (— т); Вух (т) --= Вху (— т). (4.51)
Соотношения (4.49)—(4.51) не следует смешивать с условиями
четности функций.. Каждая из функций ВхУ (т) и Вух (т) не
обязательна четна относительно т (см. §2.16). -
1 Подразумевается, что не только сами процессы х (i) и у [t), но и связи
между ними стационарны.
В итоге корреляция между значениями функций х (Т) и у (f)
в два различных момента времени, разделенных интервалом т,
задается корреляционной матрицей
В(т)=
Вху{х)
Вуу (Т)
(4.52)
где Вхх (т) и Bj,j, (т) — корреляционные функции соответственно
процессов х (f) и у (t).
Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических
процессов х (0 и у (t) с нулевыми средними (л; = у — 0) и требуется
определить корреляционную функцию случайного процесса s (/) =
= х (t) 4- у (t) (при условии, что взаимно-корреляционные функции
стационарны).
Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.49), (4.50),
получаем
B8(T)=s(t)s(t + t)=[x(f) + y(t))[x(t + t) + y(t + T)] =
=x(t)x(t + x) + x (I)y(t + x)+ у if)x(t + i)+y(f)y(t + T)=*
== Sxx (x) + Bxv (t) + Bvx (т) + Byv (т). (4.53)
При t = 0 Bxx (0) = ol и Buy (0) = o|, a Bxy (0) = б„я (0).
Следовательно,
al-
--Bs (0) = al + al + BXU (0)+Byt (0) = o? +o* +26xb (0). (4.53')
ли;
i
^
T
—3»
/r
Если процессы х (t) и у (f) независимы, то дисперсия (средняя
мощность) суммы будет о? = о? + огу.
В противном случае в зависимости от знака Вху (0) мощность
процесса s (0 может быть
больше или меньше суммы
дисперсий о* и о£.
Для разности s (f) =
~ х (f) — у (t) получается
выражение, аналогичное
(4.53'). Необходимо лишь
знак плюс перед членом
2ВХ11 заменить минусом.
При независимости
процессов x(t)Ky(t) дисперсия процесса s (/), как и при
суммировании, будет а! = ol + а\.
В практике часто встречается случай суммирования процесса
х (t) с процессом Кх (t — Т), т. е. с тем же процессом, задержанным
на время Т и усиленным в К раз (рис. 4.12).
Рис. 4.12. К определению корреляционной
функции суммы двух случайных процессов
с одинаковыми энергетическими спектрами.
Составим матрицу (4.52) для процессов х (/) и у = Кх (t — Т),
В обозначениях (4.52) получаем
Вхх(х)=Вх(х);
Вху (т) = * (/) у {t + т) = Кх (t) х (t-T + т) = КВХ (т—7);
Вух {i)=y{t)x{t + i) = Kx{t—T)x(t + x) = КВХ (т + 7);
Bvy{x)=By (т) = y(t)y(t + x) = K2x{t —T)x(t—7 + т) = Ка В, (т).
Таким образом, корреляционная матрица процессов х (t)uy (i) =
= Кх (t — 7) принимает вид
В(г) =
Вх(т) КВх(т-Т)
КВх(х + Т) К2Вх(т)
Найдем теперь корреляционную функцию процесса s (t) — х (t) +
+ у (f) на выходе сумматора (рис. 4.12). Подставив в (4.53) элементы
матрицы В (т), получим
Bs (х) = Вх (т) + КВХ (т - 7) + КВХ (т + Т) + К2ВХ (т).
Приравнивая т = 0, находим дисперсию процесса
а% = ol + КВХ (— Т) + КВХ (Т) + /Ра* = (1 + К2) о\ +
+ 2КВХ (Т) = olll + К* + 2KRX (T)],
где Rx (7) = Вж {Т)1а% — нормированная корреляционная
функция процесса х (t) (напомним, что в данном примере положено
T(t) = 0).
При замене сумматора вычитающим устройством знак плюс
перед слагаемым 2KRX (7) должен быть заменен минусом.
Если задержка 7 значительно больше интервала корреляции
процесса х (/), то Rx (Т).-+ 0 и а! = а2х (I + К2).
Применим теперь к Bs (т) соотношение Винера—Хинчина (4.38):
оо
— оо
(4.54)
В этом выражении
оо оо
^eW= j Bxy(x)e~l™dv, Wyx(w) = j Byx(x)e-'^dx
— oo —oo
(4.55)
имеют смысл взаимных энергетических спектров случайных
процессов х (t) и у (f).
Обратные преобразования Фурье, примененные к Wxil (со)
и WUx (to), принимают вид
оо
В™[х)==~к J ^Ие'^со;
— оо
оо
Вух (т)= -L J И7ВЖ (со) е'^ Л». (4.56)
В отличие от энергетического спектра Wx (со) или Wv (со),
являющегося действительной функцией со и не могущего принимать
отрицательные значения, взаимные спектральные плотности WxV (о>)
и WVx (со) могут быть комплексными функциями. Это имеет место
при нечетных относительно т функциях ВхУ (т) и ВУх (т).
Подстановка в (4.ij)5) соотношения (4.51) приводит к равенству
Wxv (со) = WU (со), (4.57)
откуда следует, что
Wxy (со) + И7Уж (со) = 2Re [Wxv (со)] = 2 Re \Wyx (со)]. (4.58)
Таким образом, выражение (4.54) можно записать в форме
Ws (со) = Wx (со) + Wv (со) + 2Re [Wxv (со)]. (4.59)
Это выражение поясняет физический смысл взаимного
энергетического спектра Wxy (со). Если случайные процессы х (/) и у (/)
статистически независимы, то WxV (со) = 0 и энергетический спектр
суммы s (t) = х (t) + у (/) равен сумме энергетических спектров
Wx (со) и Wy (со) и, следовательно, мощность процесса s (t) равна
сумме мощностей процессов х (f) к у (/).
Если действительная часть взаимного энергетического спектра
положительна, то Ws (со) > Wx (со) + Wy (со) и, следовательно,
корреляция между процессами приводит к возрастанию средней
мощности суммы of > al -\- of,. Очевидно, что при отрицательной
действительной части Wxv (со) мощность суммарного процесса
меньше, чем al 4- а%.
Если al = al + al, то процессы x(t) и у (t) являются
некогерентными, аддитивными (см. §2.18).
4.6. УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Краткое описание свойств нормального шума, сформированного
из белого шума вырезанием относительно узкой полосы частот, было
дано в § 4.4. Там, отмечалось, что каждая из реализаций подобного
случайного процесса имеет вид почти гармонического колебания
x(f) = A (t) cos [co0* + 6 (t)] = A (0 cos^ (0, (4.60)
все параметры которого — огибающая A (t), фаза 6 (t) и частота
со (f) — являются случайными, медленно меняющимися функциями
времени.
При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что
огибающая A (t) отвечает соотношению
A(t)=Vx*(t)+y2(t),
(4.61)
где у (/) — функция, сопряженная по Гильберту исходной
функции х (t) (см. § 3.9), а со0 выбрана таким образом, что не содержит
слагаемого, линейно зависящего от t.
Рис. 4.13. Энергетические спектры:
а — узкополосного процесса с центральной частотой ю 0: б — косинусной составляющей
комплексной огибающей.
Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что
энергетический спектр шума х (t) сконцентрирован в узкой по сравнению
с величиной со0 полосе, причем функция Wx (со) в указанной
полосе симметрична относительно точки со0 (рис. 4.13, а).
Рассмотрим стационарный эргодический процесс с нормальным
законом распределения вероятностей. Здесь необходимо
подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое
колебание х (t), т. е. мгновенное значение колебания (в любой момент
времени t). Параметры же колебания: A (t), 6 (t) и со (i) = dty/dt —
обладают законами распределения, существенно отличающимися
от нормального1. Для полного описания свойств узкополосного
процесса требуется знание законов распределения, а также
корреляционных функций всех параметров колебания.
1 Это вытекает из нелинейного характера зависимости параметров А,
6 и со от х и у.
1. Огибающая
Представим высокочастотное колебание х (i), определяемое
выражением (4.60), в виде суммы двух квадратурных колебаний;
х (t) = A (f) cos\6 (t) cos ю0 t — A (t) sin 6 (t) sin w0t =
= Ac (t) cos w0t — As (t) sin w0t. (4.6C)
Здесь, как и в § 3.5,
Ac(i) = A (t)cosB; As (/) = A (fl sin 0 (4.62)
представляют собой амплитуды соответственно косинусной и
синусной составляющих колебания х (t), причем
A (t) = УЛе2 (/) + Л1 (t); в (0 = - arctg Л8/Лс. (4.63)
Для отыскания плотности вероятности р4 (Л) и ре (6) требуется
знание соответствующих плотностей р (Лс) и р (Л8), а также
совместной плотности вероятности р (Лс, Л8).
Плотности р (Л с) и р (Л8) можно определить, сопоставив
случайную функцию Лс (/) Гили Л, (<)] с функцией л: (t):
x(t) = Л (/) cos [(V+ 6 (01; А с (0 = Л (0 cos 6 (0.
Отличие Лс (/) от лс (^) заключается в исключении слагаемого
(£>0t из аргумента косинуса. Как и в случае детерминированного
колебания, это означает сдвиг спектра каждой из реализаций
случайного процесса на величину ю0 (в направлении к нулевой частоте,
при сохранении структуры спектра). При этом сохраняется и
закон распределения случайной функции х (t). Поэтому, если
процесс х (i) нормальный, то и процесс Лс (t) нормальный-(оба
процесса с нулевым средним).
Энергетический спектр W\ (Q) случайной функции Лс (t\
можно получить из энергетического спектра функции х (t) сдвигом
на со0 левого лепестка и на — ю0 правого лепестка спектра Wa (со)
(рис. 4.13).
В результате получается энергетический спектр
W&c (Q) = 2WX (co0 + Q), (4.64)
группирующийся вблизи нулевой частоты. Коэффициент 2
учитывает1 сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка Wx (ю).
1 В случае детерминированного AM колебания (рис. 3.9) при переходе
от спектра Sa (со) к спектру SA (со) удваивается спектральная плотность
напряжения (или тока), что приводит к учетверению спектральной плотности
энергии, пропорциональной S| (со). В данном случае мощность всего лишь
удваивается из-за некогерентного суммирования энергетических спектров
от обоих лепестков Wx (со).
Аналогичные рассуждения используем для случайного процесса
As (t) и его энергетического спектра
WAs(Q) = 2Wx(w0 + Q).
Из этого выражения и рис. 4.13 вытекает, что площадь под
кривой Wx (ю) (в двух лепестках) совпадает с площадью под
кривой WA (Q) [или Wa (Я)]. Следовательно, дисперсии случайных
функций Лс (О, As (t) и х (t) одинаковы: а%с = aj8 = о\.
При учете первого выражения (4.63), из которого вытекает
равенство Л2 (/) — А% (t) 4- Ai (t), приходим к следующему
выражению для среднего квадрата огибающей:
<Л2> = ~АЩ = о%с+ o%s = 2a\. (4.65)
Итак, одномерные плотности вероятности случайных функций
Лс (t) и Л8 (t) можно определить выражениями
Р(Лс) = ~-^-ехр ( £L); p{Aj=-±r-exp (--£-).
У2пах \ *>1 } У2псх \ ^o\ J
(4.66)
Кроме того, взаимная корреляция между функциями Лс (i)
и As (t) равна нулю при т = 0. Действительно, возводя выражение
(4.60') в квадрат и усредняя по множеству, получаем
<х2 (0> = <[АВ (0 cos co0 t—As (t) sin ю0 tfy = <Лсг (ф cos2 ю01 +
+ (Al (0> sin2 ю0 t—2(Ac (t) As (ф sin ю01 cos co01.
Но левая часть этого выражения равна Вх (0) = о%; кроме того,
<Al(t)> = <Л| (0> = а? = ВАс (0) = В^ (0), а <ЛС (О X
X Л8 (/)> = Bacas (0) является взаимнокорреляционной функцией
случайных процессов Лс (t) и Л8 (/) при т = 0. Следовательно,
предыдущее равенство приводится к виду
Вх (0) = ВДс (0)-ВАо л& (0) sin 2co0 tt (4.67)
из которого вытекает, что Bacas (0) = 0 1поскольку процессы
х (f) и Л с (0 стационарны, равенство (4.67) должно выполняться
в любой момент времени].
Итак, Л с (f) и Л3 (0, отсчитываемые в один и тот же момент
времени, — независимые величины.1 Поэтому совместную плотность'
х Это положение вытекает также из соотношения (4.65), показывающего,
что средний квадрат огибающей A (t), т. е. сД, является аддитивной суммой
средних квадратов функций Ас (t) и As (t).
вероятности р (Лс, Л„) можно определить выражением
1 . / -AZ-A* \
p{A07As) = P(Ac)p(AB)--
2nal
exp
2а?
2пс\
■exp
2al
(4.68)
Вероятность того, что конец вектора A (f) лежит в элементарном
прямоугольнике dAcdAs (рис. 4.14) равна произведению
вероятностей пребывания Ас в интервале dA0 и Л8 в интервале dAa:
p(Ac)dAcp{AB)dAa
2пс\
exp
i Wx )
dAc dAs.
Рис. 4.14. К определению двумерной
плотности вероятности квадратурных
составляющих комплексной
огибающей узкополосного процесса.
Рис. 4.15. К определению двумерной
плотности вероятностей модуля и
аргумента комплексной огибающей.
При переходе от прямоугольных координат к полярным
площадь заштрихованного на рис. 4.15 элемента будет AdQdA, а
вероятность пребывания конца вектора в этом элементе равна
23Toi
exp
Ла ■ \ AdUA.
Щ J
Из этого выражения следует, что двумерная плотность
р(Л,6) =
ехр
41Л
°1)
(4.69)
2яо-2 " \ 2о\
Интегрируя по переменной 6, получаем одномерную плотность
Л2
ра(А)= Г р(Л,е)йе=4ехР
2d
><Л<оо. (4.70)
Обоснование пределов интеграла приводится в следующем
пункте данного параграфа.
Распределение огибающей, характеризуемое этой плотностью
вероятности, называется распределением Релея (рис. 4.16), Макси-
мальное значение функции рА (А) получается при А = аж. Это
означает, что А = ох является наивероятнейшим значением
огибающей.
Среднее же значение (математическое ожидание) огибающей
оо оо у
<Л> = j ApA(A)dA=-L^A4xp^-^dA= у fox.
(4.71)
Аналогично средний квадрат огибающей
оо
-iJ"4~£)
dA-.
= 2ai
(4.72)
Рис. 4.16. Плотность вероятности ре
леевского распределения.
Этот результат совпадает с (4.65).
Таким образом, средняя
мощность огибающей равна
удвоенной дисперсии шума. Это аналогично соотношению между квадратом
амплитуды А0 и средней мощностью гармонического колебания
a (t) = A0 cos w0t, равной a2 (t) = 1/2Ло.
Вероятность того, что огибающая A (t) превысит некоторый
заданный уровень С, определяется формулой
оо оо
Р(Л>С)=|рл(Л)Л4= ±. Глехр(--||г)л4 =
с х с
—), (4-73)
=ехр
а вероятность того, что огибающая Л (f) будет ниже уровня С, —
формулой
Р (Л < С) = 1 — ехр (— CV&xI). (4.74)
Из этих формул видно, что уже при С = Зо% вероятность
превышения уровня С составляет всего лишь ~ 1%. Поэтому можно
считать, что ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой,
например, на экране осциллографа (рис. 4.17), не превышает
(5-6) ох.
Этот результат, естественно, близок к данным, приведенным
в § 4.2 для шумовой дорожки широкополосного нормального
процесса (со спектром примыкающим к нулевой частоте .
Корреляционная функция огибающей узкополосного
нормального шума [6] определяется по формуле, которую приводим без
вывода:
(4.75)
Рис. 4.i7. Ширина шумовой дорожки узкополосного нормального шума
при вероятности превышения границ ~1%.
Здесь /?0 (т) представляет собой огибающую нормированной
корреляционной функции шума х (t), т. е. функции, определяемой
выражением (при х = 0)
Rx (т) = Вх {x)lol = /?„ (т) cos ю0т. (4.76)
Так как R0 <I 1, то ряд (4.75) быстро сходится. Поэтому можно
ограничиться первыми двумя членами:
Вд(т)«-^-[1 +-1т?§(т)].
(4.77)
Применяя к Ва (т) преобразование Фурье [см. (4.38)], находим
энергетический спектр огибающей
оо
WA (Q) = -^ 2п8 (Q) + ^- — Г Я § (т) е-я* йт. (4.78)
2 2 4 J
— оо
Из выражения (4.78) видно, что энергетический спектр
огибающей примыкает к нулевой частоте. Первое слагаемое в
правой части (4.78) соответствует постоянной составляющей
огибающей, а второе — сплошной части спектра.
Примеры применения формул (4,75)—(4,78) приводятся в
§11.3—11.5.
2. Фаза
Интегрирование двумерной плотности р (А, 0), определяемой
выражением (4.69), по переменной А дает одномерную плотность
вероятности фазы
оо
2па%
о
Этот результат согласуется с пределами интегрирования в (4.70).
Заметим, что из представления р (А, 0) [см. (4.69)] в виде
произведения
А
непосредственно вытекает независимость случайных величин А и 0,
Как и в отношении Ас (t) и Ав (t), это справедливо при отсчете
А (Г) и G (i) в один и тот же момент времени [см. замечание к (4.67)].
Соотношения (4.70) и (4-79) позволяют сделать следующее общее
заключение: произведение вида к = A cos 6, в котором А и G —
независимые случайные величины, причем А распределена по Ре-
лею, а 6 — равновероятна в интервале (— я, я), обладает
нормальной плотностью вероятности.
Условие узкополосности процесса х (t) не обязательно;
необходимо лишь, чтобы Л и 6 были связаны соотношениями (4.63).
Корреляционная функция фазы 0 (0 определяется выражением
[6]
■Be (т) = у^„(т) + | RI (т) + -^ /?8 (т) + ... (4.80)
При т = 0 ряд сходится к я2/3, т. е. дисперсия фазы равна я2/3.
Действительно, при распределении (4.79)
1-j *»*>*-tffl_-?. («I)
3. Частота
Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шума
можно записать в форме
откуда видно, что закон распределения мгновенной частоты
определяется распределением производной фазы 6.
Приведем без вывода [6, 73 выражение для плотности
вероятности случайной величины В
P(e)-i/Ao.,„(i+14r)S"- <4'82>
где А«Экв — эквивалентная ширина спектра узкополосного
процесса, определяемая выражением
о / о
Последнее выражение эквивалентно формуле
т=0
(4.83)
(4.83')
где R0 (т) — огибающая нормированной корреляционной
функции процесса, обладающего энергетическим спектром W (to)
[симметричным относительно центральной частоты щ\.
Аы^ьР(В)
jOfi
1 о,ъ
/ 0,1
^/ 0,1
*—*Г I -
- \
\
I I —
г ё/АызуЯ
Рис. 4.18. Плотность вероятности производной фазы нормального случайного
процесса.
График функции р (в) изображен на рис. 4.18. Среднее значение
абсолютной величины 161 равно Д<о8кВ.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда энергетический
спектр W (а) равномерен в полосе частот ± Д« при центральной
частоте со0.
Нормированная корреляционная функция в соответствии с
выражением (4.44)
„ . . sin Дсоп т
Rx т = ——°— cos ц, т,
P (r) _^ S'" AC°° T — Si" У
Дважды дифференцируя последнее выражение по т, находим
Rb (т) = Д«§ -y^rny-2^cosy+2VSmv _
t
При т-»-0 и у-*-0 получаем
,#о(0)= ЬД(0§
и
ДюЭКБ=У-#й(0) = Д<»0/УЗ. (4.83")
Итак, в случае шума с энергетическим спектром, равномерным
в полосе (— Д«0, Д«„) (см. рис. 4.9), среднее значение величины
/ё| равно Д«0/УЗ.,
4.7. КОЛЕБАНИЕ, МОДУЛИРОВАННОЕ ПО АМПЛИТУДЕ
СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ
Вернемся к выражению (3.4) и рассмотрим его с вероятностной
точки зрения, учитывая, что передаваемое сообщение содержится
в огибающей A (t).
Пусть огибающая A (t) — стационарный, эргодический
случайный процесс. Связь между изменением огибающей и модулирующей
функцией s (/) определяется, как и в § 3.2, соотношением АА (i) =
= ^ам s (t), где kaM имеет смысл крутизны характеристики
амплитудного модулятора.
Закон распределения вероятностей передаваемого сообщения
зададим нормальным с нулевым средним. Таким образом, плотность
вероятности величины s (t)
Р (s) =г4г- ехр I —£г ) • (4-84)
Т/2яо8
Соответственно и плотность вероятности огибающей А при
линейной модуляции может быть принята нормальной:
У 2П Од
2о5
(4.85)
где оА = kaMos.
Выражение (4.85) справедливо и имеет смысл, если среднеквад-
ратическое значение глубины модуляции не настолько велико4
чтобы проявлялось ограничение огибающей при модуляции вниз.
Под среднеквадратической глубиной мод ляции в данном ел чае
можно подразумевать1 отношение Мск — оА/А0. Нужно, чтобы
вероятность уменьшения А {[) до нулевого значения была
пренебрежимо мала. Это требование выполняется, если Мск ^ 0,3 — 0,4
(см. § 4.2, п. 4), т. е. если ширина шумовой дорожки (по огибающей),
равная — 5аА, не превышает удвоенной амплитуды А0. Примерный
вид одной из реализаций модулированного колебания a (i),
соответствующего поставленному условию, изображен на рис. 4.19.
Рис. 4.Ш. Примерный вид высокочастотного колебания, модулированного по
амплитуде нормальным случайным процессом.
Выберем произвольный момент времени t = tx и запишем для
этого момента выражение (3.4):
a(tx) = A (tx) cos (ю,Л + во). (4.86)
Умножение случайной величины А (^) с одномерной плотностью
р (А) (не зависящей от выбора момента времени) на
детерминированный множитель costco,)^ + 60) приводит к изменению
математического ожидания и дисперсии в зависимости от выбора tv
Случайный процесс a (t), определяемый выражением (4.86),
остается нормальным, но нестационарным, а следовательно, и неэрго-
дическим (см. § 4.2, п. 2, где рассматривался аналогичный случайный
процесс, но при ином распределении огибающей).
Для полного описания случайного процесса a (t) найдем его
корреляционную функцию и энергетический спектр. Поскольку
процесс нестационарен, корреляционная функция зависит не только
от интервала х, но и от времени t:
Ba(t, т) = <а (/) a (t+ т)>=< A (t) A(t + т)> cos (св01 +60) X
X cos (a0t +co0 т-f- 60) = <Л (/) A(t + ф— [cos co0 т +
+ cos(2«0/+260 + {00T)].
(4.87)
1 Заметим, что при модуляции по гармоническому закону A (t) = А0 х
X (1+THcosQO среднеквадратическое значение МСц определяется из
соотношения М|к = (Mcos Q/)2 = МУ2, откуда Мск — М/у2.
Так как A (f) — стационарный процесс, то первый множитель
в (4.87)
<А (/) A(t + т)> = ВА(т) (4.88)
представляет собой корреляционную функцию огибающей А (т), не
зависящую от t.
Зависящая от * величина cos (2со0 t+ 260+ <в0т) является быстро-
осциллирующей (с частотой 2«0) функцией. В подобных случаях
вводят усредненную по времени корреляционную функцию
Т/2
Вв(т)=ВЛ^)= Mm-L f Ba(t,x)dt. (4.89)
Г-юо Т J
-Г/2
При таком усреднении слагаемое cos (2a>0t -f- 29„ 4- со0т)
в (4.87) можно отбросить. Таким образом, в рассматриваемом
примере
. ■ . ■ Ва (т) = ЧжВА(т) cos ю0т. (4.90)
Этот результат совпадает с выражением (3.103), выведенным
для детерминированного колебания. Отличие заключается лишь
в способе определения В а (т). В §3.11 В а (0) имело размерность
энергии, а в данном случае Ва (0) имеет смысл средней мощности
случайного процесса.
Применяя выражение (4.38) к усредненной по времени функции
Ва (т), находим энергетический спектр модулированного колебания:
оо оо
№а(ю)= Г £а(т)е- юМт=— Г B^(T)cos{u0Te-'t0Xdx =
— оо —оо
оо оо
= — Г В/,(т)е-'«0-°>«"dx + — Г б^(т)е-'<ш+ю»>тс(х. (4.91)
— оо —оо
Учитывая, что среднее значение Л (t) равно А0, представим Ва(т)
в форме выражения (4.18), заменив в нем х на Л0, ря (т) на р^(т)
и Вх (т) на Ва(т):
Ва(т) - А1 + р„(т), (4.92)
где рл(т) — ковариационная функция огибающей.
Подставив (4.92) в (4.91) и учтя выражение (2.94'), получим
Wa (со) = 3- 2л [б (со_«0) + в (ш +«о)1 +
+ -~ [WA (<о— ч>о) + WA(a> +©»)]. (4.93)
ад
о
Щ(а)<
•fAJjff(o-e>e)-
^WA{a-a0)
Wa(&>)
-Щ
О
6)
щ
Рис. 4.20. Энергетические спектры:
о — огибающей амплитуд при модуляции нормальным случайным процессом; б—мгно-
венного значения модулированного колебания.
В этом выражении Wa (<л — (л0) — Wa (й) — энергетический
спектр флуктуационной части огибающей A (f), связанный с
энергетическим спектром Ws (Q) модулирующей функции s (/)
очевидным соотношением Wa(Q) = k'LWs (Q). Связь между Wa(Q)
и Wa (а) иллюстрируется рис. 4.20.
4.8. КОЛЕБАНИЕ, МОДУЛИРОВАННОЕ ПО ФАЗЕ СЛУЧАЙНЫМ
ПРОЦЕССОМ. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
Модулированное колебание представим в форме
a (f) = Л0 cos [oV + в (0 + 60].
(4.94)
Как и в предыдущем параграфе, зададим нормальное вероятностное
распределение модулирующей функции s (t) [см. (4.84)1.
При линейной характеристике фазового модулятора с
крутизной кфм [рад/В] мгновенное значение фазы определяется
выражением
е«)=*фм-(0, (4.95)
а плотность вероятности случайной величины 0 выражением
р{Ь) = -7=—ехр
г ' У 2л ое
1 2oJ ]
(4.96)
где
оо
-V>
b2 (t) = m,
ск : "фм ^s
(4.97)
можно рассматривать как среднеквадратическое значение индекса
угловой модуляции.
Заметим, что при гармонической модуляции фазы по закону
6 (/) = т sin Qt, очевидно,
- Щ£=т*12, т. е. mCK<m/V2. (4.98)
При определении плотности вероятности функции a (t) следует
различать два случая: а) детерминированная начальная фаза 60;
б) случайная начальная фаза 60.
Рис. 4.21. К определению плотности вероятности высокочастотного колебания
при модуляции фазы случайным процессом.
Остановимся на рассмотрении первого случая. При измерении
напряжения а (/) в какой-либо фиксированной момент времени tt
значение a (t) отличается от детерминированного значения
Ап cos (ю0/+60) только из-за наличия случайного фазового сдвига 6,
обусловленного модуляцией. Задание плотности вероятности 6
позволяет найти плотность вероятности а с помощью рассуждений,
использованных при выводе формулы (4.25). Отличие заключается
лишь в том, что в рассматриваемой задаче величина 6 не ограничена
интервалом (— л, л) и, кроме -юго, неравновероятна в любом
интервале.
При подсчете вероятности пребывания a (t) в заданном
интервале (с, а + da) следует учитывать все фазовые интервалы, в которых
плотность вероятности р (6) отлична от нуля. Так, например, если
начальная фаза 60 = 0, расположение этих интервалов соответствует
указанному на рис. 4.21. В этом частном случае плотность
вероятности р (а) (по аналогии с (4.25) и с учетом (4,96)) принимает еле-
дующий вид:
р(а) =
2
рф)1
1- у
ехр
(- — )
da
d6
Vai
У2яайулг_а2
+ ехр
(ехр (-
(2п + BxF 1
2°8 J
в!
2ч8
+ехр
(2л — бхР
2ag
+
+ ехр
(4л — ег)2
2а*
+
— Л0<а<Л0.
(4.99
В этом выражении 6Х = arccos (о/Л0), причем 0<! | Э] | ^ л. Число
существенных слагаемых в (4.99) зависит от среднеквадратиче-
ского значения индекса угловой модуляции ое. При относительно
малых значениях ае, не превышающих 1—2 рад, можно
ограничиться первым слагаемым. Графики р (а) при нескольких значениях 0е
представлены на рис. 4.22,
Рис. 4.22. Плотность вероятности высокочастотного колебания при модуляции
фазы случайным процессом.
Видно, что при 0е -> 0 распределение приближается к р (а) ->•
-> 6 (а — Л0), что соответствует- 100%-ной вероятности
амплитудного значения a (t) в момент t = 0. При относительно больших
значениях 0о (свыше 3 рад) распределение случайной величины а
мало отличается от распределения, соответствующего
гармоническому колебанию с равновероятной в интервале (0, 2л) фазой.
График р (а) в этом случае почти совпадаете графиком, построенным
по формуле (4.25) (штриховая кривая).
Существенно иная картина получается в случае, когда
начальная фаза колебания 90 (в отсутствие модуляции) равна п/2. Соот-
ssf*
-(Zx-fff) -fr+Sf) 0 6f n-Bf
2ii+ei
Рис. 4.23. To же, что на рис. 4.21, но при иной начальной фазе несущего
колебания.
ношение между интервалами значений a if), соответствующими им
фазовыми интервалами и плотностью вероятности р (8) представлено
на рис. 4.23, При 60 = лУ2 формула, аналогичная (4.99), принимает
вид
' - >(в)==4 1~ lexp(-JL) +
.(2Я+в!)»'
+
+ ...
}■
e^arcsin (— V, | 6 К jt/2.
(4.100)
Графики р (а) при нескольких значениях ав представлены на
рис. 4.24.
При малых значениях <г(, распределение a (i) приближается
к нормальному, а при больших — к распределению (4.25).
^ Из сопоставления двух характерных режимов 60 = 0 и 00 =
— п/2 видно, что плотность вероятности р (а) зависит от начальной,
фазы или, что то же, от момента отсчета tx. Таким образом, при
детерминированной начальной фазе 0О a t) является нестационарным
Рис. 4.24. То же, что на рис. 4.22, но
при иной начальной фазе несущего
колебания.
процессом. Можно, однако,
отметить, что с увеличением ое
влияние 60 на р {а) ослабевает.
При достаточно больших Ое
процесс приближается к
стационарному.
Закон распределения a (t)
при фазовой модуляции и
случайной начальной фазе 0О здесь
не рассматривается. Отметим
лишь, что при достаточно медленной модуляции, отвечающей
условию (3.3), т. е. когда колебание a (t) сохраняет форму, близкую
к гармоническому колебанию, плотность вероятности р (а)
совпадает с (4.25).
Корреляционная функция и энергетический спектр при угловой
модуляции случайным процессом здесь не рассматриваются (см. [6]).
Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
5.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данной главе приводятся основные сведения о линейных
активных цепях. Рассматриваются частотные характеристики
избирательных цепей, используемых для различных лг-нейных
преобразований сигналов (усиления, фильтрации и т. д.). Особое внимание
уделяется изучению линейных активных цепей с обратной связью,
используемых в большинстве современных радиоэлектронных
устройств.
Изложение ведется на базе уже знакомого студентам курса
«Основы теории цепей».
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АКТИВНОЙ ЦЕПИ
В общей теории цепей под активной подразумевается цепь,
содержащая наряду с пассивными элементами (катушками
индуктивности, конденсаторами и резисторами) также и источники энергии
(генераторы э. д. с. или генераторы тока).
Активный характер цепей радиоэлектронных устройств
обусловлен применением в них усилительных элементов: транзисторов,
I/
—*-
\г
\г
электронных ламп, ламп бегущей волны и т. д. При этом
предполагается, что энергия сигнала на выходе активной цепи больше, чем
на входе. Для большей определенности видоизменим формулировку
следующим образом: цепь активна, если при гармоническом
возбуждении средняя мощность сигнала на выходе больше мощности на
входе, т. е. коэффициент усиления по мощности больше единицы.
Из такого определения. ясно, что цепь, осуществляющая усиление
напряжения, например, с помощью повышающего трансформатора
без усиления мощности является пассивной, даже если в нее входят
активные элементы со своими
источниками питания.
При построении схем
замещения активных цепей источники
постоянного тока или напряжения
опускаются. На этих схемах
активные элементы (транзисторы, лампы
и др.) отображаются с помощью
эквивалентных параметров, которые зависят от режима работы
активного элемента и в конечном счете от источников энергии,
питающих активный элемент. При этих допущениях любой (как активный,
так и пассивный) линейный четырехполюсник можно представить
схемой, изображенной на рис. 5.1. На этом рисунке Ех, Е2, \г
и 12 обозначают комплексные амплитуды гармонических напряжений
и токов независимых источников при фиксированной частоте а.
Четырехполюсник полностью характеризуется соотношениями
между напряжениями и токами на его входе и выходе. Вид этих
соотношений зависит от выбора исходных величин.
Напомним вкратце основные формы представления
четырехполюсников.
Если исходными являются напряжения Ег и Е2, то уравнения
для определения токов \1 и 12 записываются в форме
Рис. 5.1. Схема замещения
линейного четырехполюсника.
li—^ii Ei+Fig Е2,
•г"'ai Ei-f-1 22 E2
(5.1)
или в матричной форме
= IY]
Ei
(5.2)
где
[Y]
*11 *12
'21 '22 J
(5.3)
является матрицей параметров, имеющих смысл и размерность про-
водимостей.
Если уравнение (5.1) решить относительно Ех и Еа, то получатся
системы уравнений
Ei—Zn 'i + ^is I2, |
E -7 1-4-7 I (54)
L-2 — ^21 M "t" ^-22 »2> J
где
L ^21 ^22 J
(5-5)
(5.6)
является мятрицей параметров, имеющих размерность
сопротивлений.
Исходным уравнениям четырехполюсника, записанным в форме
#llIl+#12E2
'12 E2, 1
22 Ег, J
соответствует матрица параметров
#11 ^lsl
#21 ^aaj
(5.7)
(5.8)
в которой Ни имеет размерность сопротивления, //а2 —
проводимости, а Н1й и //21 — безразмерные параметры.
Приведем еще уравнения в форме
Ix = Gu Ег -f G1212, 1 „ д.
1 т"гг »2> )
: Gal E,
которой соответствует матрица
G.
G,
}
(5.10)
21 и22_
сопротивление, a G]2 и G2i — без-
где Gu — проводимость; G22
размерные параметры,
В теории усилителей наибольшее распространение получили
матрицы Z-, Y- и //-параметров. Связь между одними и теми же
величинами, выраженными через различные системы параметров,
представлена в табл, 5,1. В этой таблице определители ЛУ, AZ и
ЛЯ соответствующих матриц определяются выражениями
А/—Yи Yw—'12 ' 2i>
(5.И)
A/S — ^И ^22 12 ^21»
А// = //х1 //32 #12 #21*
Уравнения (5.1), (5.4), (5.7) и аналогичные им другие уравнения
позволяют, построить эквивалентные схемы замещения
четырехполюсников.
Таблица 5.1
Исходная
система
параметров
Уи
у if
Уа
У%2
Связь с другими
системами
параметров
Zaa '
AZ Я„
zl2 я1а
М Яи
Zai Я21
~AZ Hu
Zu ДЯ
AZ Яп
Исходная
система
параметров
Zu
Z\t
Zg]-
Za?
Связь с другими
системами
параметров
Кга ДЯ
ДК Я2г
У\% Ни
ДК Я2г
^21 Яг1
ДК Ни
Уи 1
АК Я2г
Исходная
система
параметров
Яц
я]?
Я 21
Я2г
Связь о другими
системами
пар аметров
дг 1
Za2 Уц
Zia У is
Z28 Уи
_Zjv У 21
Zaa ^11
1 ДК
Z29 К и
На рис. 5.2, а изображена схема замещения1, построенная в
соответствии с уравнением (5.1). На этой схеме оба напряжения Ех и
Е2 рассматриваются как напряжения от внешних источников.
Генератор тока К12Е2 учитывает
влияние напряжения Е2 на
входной ток 1Х, а генератор тока
Y2l Ei — влияние входного
напряжения Ех на величину тока
12. Оба генератора можно
рассматривать как «зависимые
источники», так как
обеспечиваемые ими токи пропорциональны
напряжениям внешних
источников. Параметр Y2i имеет смысл
взаимной проводимости от входа
к выходу, а У12 — от выхода
к выходу. Очевидно также, что
Yu есть входная проводимость
четырехполюсника при Е2=0,
т. е. при коротком замыкании
выхода, а К22 — входная
проводимость при возбуждении
четырехполюсника от источника Е2
при коротком замыкании входа.
Эквивалентная схема четырехполюсника, соответствующая
уравнениям (5.4) и (5.5), изображена на рис. 5.2, б. На этой схеме
зависимые источники напряжения Z12I2 и ZslIj учитывают влияние
1 Наличие обшей шины на рис. 5.2 и последующих аналогичных схемах
позволяет говорить о трехполюснике. Это не оказывает влияния на
уравнения цепи.
Рис. 5.2. Схемы замещения четырех
полюсника, основанные на матрице:
а) У-параметров; б) Z-параметров; в) Н-
параметров.
12 на Ех и It на E2 соответственно. Уравнениям (5.7), (5,8)
соответствует схема замещения, показанная на рис. 5.2, в.
Здесь необходимо отметить следующую особенность активного
четырехполюсника: как правило, Yn Ф У12 или Z21 Ф Z12, H21 Ф
ф #12. Это означает, что активные четырехполюсники необратимы
и, следовательно, принцип взаимности к активным
четырехполюсникам неприменим.
Взаимные проводимости или сопротивления пассивных
четырехполюсников, как известно, равны (теорема взаимности). Это
позволяет схемы замещения, показанные, например, на рис. 5.2, а и б,
упростить для пассивного четырехполюсника и привести их к виду,
при котором зависимые источники отсутствуют (рис. 5.3).
° 1 " 1 *
a.
Рис. 5.3. Преобразование схем замещения, изображенных на рис. 5.2, а к б,
справедливое только для пассивного четырехполюсника.
При анализе радиотехнических цепей особенно часто приходится
иметь дело с четырехполюсниками, возбуждаемыми только со стороны
входа; под выходным напряжением при этом подразумевается
падение напряжения на сопротивлении нагрузки ZH = 1/GH, т. е. Е2 =
= — I2ZH. В подобных случаях нагрузочный элемент
целесообразно вводить внутрь четырехполюсника.
При представлении четырехполюсника с помощью У-матрицы
получается схема замещения, показанная на рис. 5.4, о, которая
отличается от схемы на рис. 5.2, а только тем, что нагрузочная
проводимость G„ добавлена к У22. Это позволяет рассматривать новый
четырехполюсник как разомкнутый, у которого ток на выходе
Ц — 0. Матрица параметров этого нового четырехполюсника
[У]'-
Yn Y™ I, (5.12)
Yn y:
-1
82 J
где Y'22 = Уи + GH.
Второе уравнение (5.1) принимает при этом вид
Is - Yn^ + К22Е2 - О,
откуда следует важное соотношение
Е2 == _ Vji == ^а
Ех Уаг K22+GB '
(5.13)
Исключив с помощью этого соотношения Ех из первого
уравнения (5,1), а также учитывая, что Е2 = — I2ZH, получим отношение
токов
h У и <?н
У 21 Он
(5.13')
li У11У22-У12У11 AV" '
где ДУ = Ya (Ym + G„) — Y12Y21— определитель матрицы (5.12).
о-
f—
I/
-|" " у
)№
__. 1г~0
'х X А Ч"8"?
«?
1г
-I | ■■ ■ ■ г t*T II-
т*-
Qztzh Q^/t/
E,"tf
0
l,~ff
Qwz ф*1> П% И
t*
Рис. 5.4. Введение нагрузочного элемента в состав четырехполюсника.
При использовании Z-матрицы схема замещения принимает вид,
показанный на рис. 5.4, б. В данном случае выходные зажимы
замкнуты накоротко (Ег = 0), а матрица параметров
Zu Zj2
[Z]' =
L*l сгг
где l'ii = Z22 + ZH.
Второе уравнение (5.4) при этом приводит к соотношению
U ^21 ^21
ll Z22 222-j-ZH
а первое уравнение к соотношению
Еа ^21 ^н Z21 ZH
(5.14)
2ц Zjs — Z12 Z21
дг' '
(5.14')
где AZ — ZX1 (Z22 + Zh) — Z12Z21 — определитель матрицы [Z]',
Наконец, второе уравнение (5,7) при подстановке Н'п = Н22 -\т
+ GH и Е2 = — I2ZH (рис. 5.4, в) дает
0 = НпЪ + Я£8ЕЯ - Н^ -W2ZJ,,
откуда следует соотношение
U _ #21
Н,
21
#21
•l #2 2 ZH (#22+GH)ZH ZBHW+l'
Исключив с помощью этого соотношения 1х из первого уравнения
(5,7), получим
Ег #21 #2i
Ej #11 #2 2-#12 #21 Д#' '
где ЛЯ' = Ни (Я22 + СУ - Я12Я21.
Общие уравнения (5.1), (5.4) и (5.7) можно преобразовать
таким образом, что соответствующие им схемы замещения
четырехполюсника будут содержать только по одному зависимому источнику.
Viz
Уп-Ъ
jWzrWf
а)
Zjf~Z/2
Z11
■о
Z£Z
-©-
(Zfl-Ztfjlf
ю
Рис. 5.5. Схемы замещения с одним зависимым источником тока (а)
или напряжения (б).
Так, например, записав второе уравнение (5.1) в форме
h = У 1^1 + К„Е8 + (^21 - ^Ех, (5.16)
приходим к схеме замещения (рис, 5.5, а), содержащей один
зависимый источник тока (У21 — У12) Е1#
Аналогично записав второе уравнение (5.4) в форме
^12 'i т ^22 'г "г" (^-21 — ^и) *ii
(5.16')
приходим к схеме с одним зависимым источником напряжения (Z21 —
ziz) *i (рис 5.5, б).
Б.З. АКТИВНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК КАК ЛИНЕЙНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Приведенные в предыдущем параграфе выражения (5.13) —
(5.16), записанные в форме
Ej2 —^81 Ztl Zg #21
Ei
Кя
Yw+<3„ Zu (Z22+ Zh)—Z12 Zai
Уп Он
li V'11(ya2+GH)-ylaK21
#ll(#22 + G„)-#i2#21
(5.17)
Z2I #21 "Н /С 1 Q\
Z22 + Zr #22 + Gh
можно рассматривать как коэффициенты усиления
соответственно по напряжению и по току в активном
четырехполюснике.
В широкополосных усилителях, как правило, усилительные
приборы (транзисторы, лампы и др.) обеспечивают (при
правильном выборе нагрузки) выполнение следующих неравенств:
GH>r22; Za<£Z22. (5.19)
Поэтому при грубой оценке усилительной способности
четырехполюсника можно исходить из приближенных равенств
IK*
IK,
Z22
(5.20)
(5.21)
Отсюда следует, что коэффициент усиления по мощности
(выраженной в вольтамперах)
Кр = |Кв| 1К,|:
^21
Z22
__ |Уд 1г
I Он Yu |
(5.22)
(Здесь использованы соотношения между Z21-, Z22- и У-параметра-
ми из табл. 5.1.)
Из (5.22) очевидна решающая роль параметра У21
(соответственно Z21 и #21) в усилении мощности колебания в активном
четырехполюснике. Физический смысл этого
Zj 1 | 1 z параметра раскрывается в следующих^
Хр—1~°— tyf %iz ~° pi параграфах на примерах некоторых'
Q )ес е/ Ег %я усилительных приборов,
т- ft- hi %п ~g?— При анализе активного
четырехполюсника как усилителя важное
значение имеют такие его параметры, как
входное и выходное
сопротивления. На рис. 5.6 представлена
обобщенная схема, содержащая
источник сигнала Ес, активный
четырехполюсник и сопротивление нагрузки ZH.
Входное сопротивление (между зажимами / —/') легко
определить с помощью уравнений (5.4) в сочетании с (5.14).
Подставив 12 из (5.14) в первое уравнение (5.4), получим
E1-=I1(zu-^i) = I1ZB
Рис. 5.6. Обобщенная
схема активного
четырехполюсника с учетом
параметров источника
сигнала и нагрузки.
^вх»
откуда
^вх—'и'
^12 £21 7
—- ^—^11 —
^12 ^21
(5.23)
"2 2 ^22+Zh
Под выходным сопротивлением четырехполюсника
подразумевается сопротивление между зажимами 2—2' при Е0 == 0 (но с учетом
внутреннего сопротивления источника сигнала Zj). Сопротивление
Zi рассматривается при этом как нагрузка.
По аналогии с (5,23) при замене Zu на Z22 и ZH на Zt получаем
^вых==^22 г~Т~- (5.24)
Zn-t-zj
При учете внутреннего сопротивления Zt источника сигнала
под коэффициентом усиления следует подразумевать отношение
Е2/Е0 = Ке. Этот коэффициент можно найти с помощью
соответствующих формул (5,17), (5,18) добавлением Zt к Zu или Нп. Таким
образом,
Ег Z2i ZH
Kf
Ее (Zji+Zj) (Z22+2H)—Z12 Z21
(ffu+Zi) (fftB+GB)-//u Ям
Яи (5.25)
При использовании У-матрицы нетрудно получить выражение
K£ = J^- = ^ ^—. (5.26)
Ее Zj+ZBX У22 + Он
Это выражение совпадает с обычным определением
передаточной функции линейного четырехполюсника.
Из приведенных общих соотношений видно, что структура
передаточной функции активного четырехполюсника и характер
частотной зависимости этой функции определяются частотными
свойствами параметров Z или Y. В этом отношении между линейными
активным и пассивным четырехполюсниками нет никакого различия.
Задание Z (со) и Y (со) однозначно определяет и временные
характеристики линейной активной цепи: импульсную характеристику и
переходную функцию.
Определяемая формулами (5.17), (5.18) безразмерная, в общем
случае комплексная функция является важнейшей
характеристикой четырехполюсника. Она определяется в стационарном режиме
при гармоническом возбуждении четырехполюсника.
Передаточную функцию часто удобно представлять в форме
К(Н = КИе,фМ|. (5.27)
Модуль К (со) иногда называют
.амплитудно-частотной или просто частотной характеристикой
четырехполюсника. Аргумент ф (со) коэффициента передачи называют ф а з о -
частотной (или просто фазовой) характеристикой
четырехполюсника.
Для активных линейных цепей, как и для пассивных, под
импульсной характеристикой цепи g (t) подразумевается отклик,
реакция цепи на воздействие, имеющее вид единичного импульса
(дельта-функции). Связь между g (i) и К (t'co) нетрудно установить
с помощью интеграла Фурье.
Если на входе четырехполюсника действует единичный импульс
э. д. с, обладающий спектральной плотностью, равной единице
для всех частот, то спектральная плотность выходного напряжения
равна просто К («о). Следовательно, отклик на единичный импульс,
т. е. импульсная характеристика цепи, легко определяется с
помощью обратного преобразования Фурье [см, (2,49)], примененного
к передаточной функции К (/со):
"вых(0=»е(')=-^- jK(fc>)e™<to. (5.28)
— 00
В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать
функцией g (t), под которой можно подразумевать не только
напряжение, но и любую другую электрическую величину, являющуюся
откликом на воздействие в виде дельта-функции.
Если передаточная функция задана в виде функции К (р), т. е.
в виде преобразования Лапласа от функции g (t), то выражение
(5.28) можно записать1 в форме обратного преобразования Лапласа
С+ /со
gV)=-~ J K(p)e*dp. (5.29)
с—/оо
Переходная функция цепи h (t) представляет собой отклик,
реакцию цепи на воздейстие, имеющее вид «единичного скачка».
Так как такое воздействие является интегралом от единичного
импульса (т. е. дельта-функции), то и между h (t) и g {i) существует
интегральное соотношение
h{f)=tg(x)dx. (5.30)
о
В последующих главах при анализе передачи сигналов через
радиоцепи чаще всего будет применяться импульсная
характеристика g (t),
Б.4. ТРАНЗИСТОРНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Не вникая в физику явлений в транзисторе, схематически
изображенном на рис. 5.7, будем трактовать его как линейный
четырехполюсник (или трехполюсник), который в режиме слабых входных
воздействий (и при относительно низких частотах) обладает
следующими свойствами.
а. Ток эмиттера распределяется между базой и коллектором,
причем отношение тока коллектора iK к току эмиттера iB для дан-
*) Здесь и в дальнейшем обозначения передаточной функции цепи,
рассматриваемой как преобразование Фурье или Лапласа от импульсной
характеристики g (/), будут различаться только аргументом: К (Щ или К (р)
(см. § 2.13).
ного транзистора является практически постоянной величиной,
близкой к единице: а = ijia = 0,98 — 0,998, Соответственно ток базы
k = (1 — а) г'э, (5.31)
tKH6 = а/ (1 — а) = р > 1, (5.32)
б. Ток эмиттера определяется в основном напряжением база —
эммиттер и очень слабо зависит от напряжения на коллекторе.
Отсюда следует, что и ток коллектора
iK л; сй3 очень слабо зависит от напряже- £ _. £
ния коллектор — эмиттер. °ЭтттерЛ$Ь-Кшетрt
Указанные особенности транзистора Т^^ш
позволяют представить его схему замеще- °ff
ния так, как это показано на рис. 5, 8, а. рис 5.7. Транзистор в ви-
На этой схеме зависимый источник тока де трехполюсника.
а/э учитывает влияние эмиттерного тока на
цепь коллектора, а сопротивления гэ, гб и гк определяются по
заданному семейству характеристик транзистора.
Следует подчеркнуть, что гя, гб и гк являются
дифференциальными сопротивлениями для переменных
составляющих токов, амплитуды которых достаточно малы, чтобы
оправдывалось .допущение о линейности используемых участков
соответствующих вольт-амперных характеристик транзистора. Иными
словами, подразумевается режим усиления слабых сигналов.
ш$
к ,? ъ '/* е^-тЧ
-сгн—»
а)
Рис. 5.8. Схемы замещения транзистора:
а — с зависимым источником тока и 6 — с зависимым источником напряжения.
Сопротивления /■„ и гб относительно малы (/■„— единицы и
десятки ом, гб — до нескольких сотен ом). Сопротивление же гк очень
велико (сотни килоом и мегомы)).
На схеме замещения, представленной на рис. 5.8, б, зависимый
источник тока сйэ с шунтом гк заменен эквивалентным источником
напряжения с внутренним сопротивлением гк. Напряжение этого
источника
Зжв = rKais = rmis, (5.33)
где обозначено гт = агк.
Направление <?экв согласовано с направлением напряжения,
которое в схеме рис, 5,8, а создает ток ais при прохождении через гк
(в режиме разомкнутой внешней цепи коллектора).
Усиление сигнала в транзисторе обусловлено тем, что мощность,
выделяемая в высокоомном сопротивлении нагрузки (в цепи
коллектора) переменной составляющей коллекторного тока, значительно
больше мощности источника сигнала, затрачиваемой в цепи база —
эмиттер для управления величиной тока. Увеличение мощности
усиленного сигнала происходит за счет источника постоянного тока,
питающего цепь коллектора.
**
Рис. 5.9. Схема замещения
транзисторного усилителя с общей базой
Рис. 5.10. Схема замещения
транзисторного усилителя с общим
эмиттером.
В дальнейшем изложении имеется в виду гармоническое
колебание на входе усилителя, в связи с чем токи и напряжения будут
записываться в форме I и Е, под которыми подразумеваются
амплитуды (в общем случае комплексные).
В зависимости от выбора зажимов для входа и выхода
различают три возможные схемы усилителя: с общей базой (ОБ), с общим
эмиттером (ОЭ) и с общим коллектором (ОК) (рис. 5.9, 5.10 и 5.11).
В первой из этих схем (рис, 5.9)
зажим Б является общим для
входной и выходной цепей. В
схемах на рис. 5.10 и 5. И общим
зажимом является соответственно
зажим Э и зажим К-
Составим уравнения для
напряжений и токов в указанных
трех схемах. Для упрощения
задачи исключим из рассмотрения
межэлектродные емкости
транзистора, что допустимо при частотах,
не превышающих нескольких
мегагерц. Тогда ввиду чисто активных
сопротивлений гэ, гб и гк комплексные амплитуды I и Е можно
заменить их модулями / и Е. В дальнейшем, при введении в
рассмотрение комплексных сопротивлений и проводимостей внешних
цепей, можно будет совершить переход к комплексным амплитудам.
Для схемы с общей базой (рис. 5.9) действительны следующие
два уравнения:
Рис. 5.11. Схема замещения
транзисторного усилителя с общим
коллектором.
Ei = (Л, -f re) /х + гъ1ъ .Еа
'в Л + (гк + гб) 12.
Подставляя £экв = гт1э = гт1х во второе из этих уравнений,
получаем следующую систему уравнений:
Ei = (г + гб) /х + гб/2,
^2 = (Гт + Гб) /j + (Гк + Гб) /2.
Этим уравнениям соответствует Z-матрица с параметрами
^Ц == ГЭ ~Ь ''б» ^12 == ''б!
^21 ~ Гт "Т" ''б» ^22 == ГК ~Г гб>
Схеме с общим эмиттером (рис. 5.10) соответствуют следующие
уравнения:
Е1 = ('б + Гэ) /х + Г J 2,
£2 = ('э — Гт) /х + (Гк — Гт+ 7"э) /а.
Здесь учтено, что £экв = т-т/э = гт (/х + /а), причем
направления £экВ и £2 совпадают. В данном случае
Zu = /"б + /"э» ^12 == ''а»
^21 = ^э ^т> ^22 = ^к ^т ~г Гэ»
Наконец, схеме с общим коллектором (рис. 5.11) соответствуют
Z-параметры:
Zu — /"б ~Г гк ^ ^к> Z12 == ^к — гт\
Z2i Л? Гк; Z22 — Г к гт ~Г Гэ«
Итак, элементы Z-матриц для всех трех схем усилителя можно
выразить через физические пераметры транзистора
По найденным Z-параметрам можно с помощью табл. 5.1
определить также У- и //-параметры. Приведем эти параметры для
наиболее распространенной схемы с общим эмиттером. Для этой схемы
определитель Z-матрицы
AZ = ZUZU2 — Z12Za = [(1— о) гв + rj rK +>„/■„ »
« [/■„ + (1 + P) гэ] rj(l + P). (5.34)
Здесь использовано соотношение а = р/ (1 + Р), вытекающее из
выражения (6.32), а также отброшено rtfsl
Таким образом,
Yu = ZJAZ = 1/ lr0 + (1 + р) rj;
Ya = - Z12/AZ = — (1 + P) rj \r0 + (1 + P) rB] rK;
У2i = - ZJbZ = P/ l^o + (1 + P) ^];
F22 = Zn/AZ = | (l + p) (r6 + ra)V Irc + (1 + P) rs] rb;
//u = AZ/Zg2 = 1/FU = r6 + (1 + P) r8;
яи = z12/z22« (i + p) /-э//-к;
Г/21 == Zgj/Z 22 ^ Pi
Я22 = 1/Z„ « (1 + P)/rK.
При составлении этих выражений использовано условие
гэ << (1 — а) т-к.
Особенностью работы транзистора в схеме ОЭ является
управление током коллектора с помощью воздействия на ток базы. Кроме
того, необходимо учитывать обратное воздействие выходного
напряжения на входную цепь. Эти свойства транзистора удобно
описываются уравнениями четырехполюсника (5.7). В связи с этим
в теории и технике транзисторных усилителей в настоящее время
общепринята матрица //-параметров.
В § 5.3 было показано, что усилительная способность активного
четырехполюсника в основном определяется параметром Я21
(соответственно К21 и Z21). Для усилителя ОЭ этот параметр, как
показано выше, совпадает с коэффициентом р [см. (5.32)]. Он входит в
паспортные данные биполярного транзистора и обозначается
символом /г21э.
В соответствии с новыми обозначениями формулы (5,17), (5.18)
запишутся в виде
Kfi=-^- = ^ , (5.35)
Ei Лц (Й22+GH)—h2i8 /I12
10 = -^-= йдэ0и . (5.36)
•l hii + Ga
Напомним, что hxl имеет смысл входного сопротивления база —
эмиттер (при коротком замыкании выходной цепи), /г12 —
коэффициент обратной связи по напряжению (при разомкнутой входной.
цепи) и й22 — выходная проводимость транзистора (при
разомкнутой входной цепи).
В новых обозначениях второе уравнение (5.7) принимает
следующий вид:
•к = йгм'б + ^МЕЪ = hilal6 — /г22 ивыи (5.37)
ГДе Мцых = 'rZh = — Е2 — напряжение, развиваемое на
нагрузочном импедансе ZH = 1/GH.
Далее, ток базы 1е можно представить в виде отношения Ej/ZBX,
где ZBI — входное сопротивление транзистора (между
зажимами база — эмиттер), определяемое формулой (5.23).
Таким образом, при активных сопротивлениях, когда ZBX == /?вх,
•к « (h2l3/RBJ t1-h2iVBblK = SEl-h22VBbtx = SE1 + h22Eu. (5.37')
Параметр S = h213/RBK можно трактовать как крутизну
характеристики iK (ы6э) в точке ыб8 = ивэо.
На основании выражения (5.37') можно построить схему
замещения выходной цепи усилителя, показанную на рис. 5.12, а.
Символом Ri на рис. 5.12, а обозначено внутреннее сопротивление
источника тока. Для транзистора в усилителе ОЭ Rt = 1//г22.
Л'.
'к А
-ч
Рис. 5.12. Схема замещения коллекторной цепи (а) и режим линейного
усиления колебаний в усилителе ОЭ (б).
Из сравнения уравнения (5.37') с (5.1) следует, что введенный
выше параметр S совпадает с параметром У21 (для схемы ОЭ).
Подставив в (5.37') 1к = — GHE2 и разделив полученное уравнение на
Еь приходим к следующей формуле:
Ке « — S/(/t22 + GH) = - Ли,//?,* (fc22 + GH), (5.35')
которая отличается от (5.35) лишь внешне.
В тех случаях, когда проводимость h22 мала по сравнению с
проводимостью нагрузки GH, можно пользоваться приближенными
формулами
К£ « — S/Ga = — SZa, (5.38)
К/ « /!„,. (5.39)
Работа транзисторного усилителя ОЭ в режиме малого сигнала
иллюстрируется рис. 5.12, б. Амплитуда переменного тока
коллектора 1к во много раз меньше постоянного тока /ко, соответствующего
напряжению смещения {Убэо .
По своим свойствам представленные на рис. 5.9—5.11 три вида
усилителей, существенно различаются.
Сопоставление схем ОЭ и ОБ приводит к следующим
заключениям:
— по усилению напряжения обе схемы равноценны;
— в схеме ОЭ имеет место усиление тока приблизительно в h2l3
раз [см. (5.39)] при Ь.гг < G„, а в схеме ОБ некоторое ослабление
(незначительное, поскольку /2//i = IJh = a » 1);
следовательно, усиление по мощности в схеме ОЭ приблизительно в h21a раз
больше, чем в схеме ОБ;
— дополнительным преимуществом схемы ОЭ является
относительно большое входное сопротивление; это объясняется тем, что
управление током коллектора в схеме ОЭ достигается воздействием
на ток базы, во много раз меньший тока эмиттера;
— в схеме ОБ напряжение на выходе в фазе, а в схеме ОЭ —
в противофазе с напряжением на входе.
Несколько особняком стоит усилитель с общим коллектором.
Напряжение на зажимах Б — Э (см. рис. 5.11) является разностью
напряжений Et и Ег. Падение напряжения на сопротивлении
нагрузки Z„, создаваемое током /э, всегда меньше Ег; следовательно,
коэффициент усиления напряжения в схеме ОК меньше единицы.
Усиление же по току близко к величине /i2l3. Поэтому усилитель ОК
можно рассматривать как усилитель тока при неизменном напряжении.
Сопротивление нагрузки ZH, включенной в цепь эмиттера, можно
выбрать весьма небольшим, гораздо меньшим, чем при включении
его в цепь коллектора (как в схемах на рис. 5.9 и 5.10). Это является
большим преимуществом, так как сводит к минимуму влияние
емкости нагрузки, шунтирующей выход усилителя, на его частотную
характеристику. Существенно также, что выходное напряжение,
отсчитываемое относительно общей точки (земли), совпадает по
фазе (полярности) с входным напряжением. Таким образом,
усилитель ОК «повторяет» сигнал, не изменяя ни его формы, ни
амплитуды (напряжения), ни полярности, но переводя его с высокоомного
входного сопротивления на низкоомное ZH. Поэтому усилитель ОК
часто называют эмиттерным повторителем. Благодаря этим
свойствам эмиттерный повторитель находит широкое применение в
качестве зависимого источника напряжения, управляемого напряжением
(в идеальном случае подобный источник должен обладать
бесконечно большим входным и нулевым выходным сопротивлениями).
С этой точки зрения усилитель ОЭ, обладающий относительно
большим входным и очень большим выходным сопротивлением,
можно рассматривать как зависимый источник тока, управляемый
напряжением (в идеальном случае оба сопротивления должны быть
бесконечно большими).
Наконец, усилитель ОБ, обладающий малым входным и
большим выходным сопротивлениями, по своим свойствам приближается
к зависимому источнику тока, управляемому током.
В заключение следует отметить, что приведенные схемы
замещения транзисторных усилителей справедливы при частотах, не
превышающих несколько мегагерц. При более высоких частотах
необходимо учитывать зависимость коэффициента а от частоты, а также
влияние некоторых внутриэлектродных емкостей, опущенных при
построении эквивалентных схем (рис. 5.8—5.12). Эти вопросы
рассматриваются в курсе «Усилительные устройства».
5.5. УСИЛИТЕЛЬ НА ЭЛЕКТРОННОЙ ЛАМПЕ
Схема простейшего усилителя на пентоде изображена на
рис. 5.13, а. При малом сигнале (режим линейного усиления) связь
между анодным током и напряжениями сетка — катод, анод —
катод определяется соотношением
где
ta = S uCK + (VRi) ыак = S (ыск + D иак),
при ыск = £с0, ыак=£а0;
(5.40)
S=
яг я
du.
1
ск
di*
dua
ПРИ "ск — ^со> "ак = £ао'»
D = l/SRi — проницаемость по управляющей сетке (соотношение
справедливо при работе без сеточного тока).
Крутизна S характеристики ia (uCK) и внутреннее сопротивление
лентода Rt являются дифференциальными параметрами,
определенными при незначительных отклонениях тока ia от исходного
значения ta0 в рабочей точке на вольт-амперной характеристике пентода.
Хётка,
о .
к
f&moff
&ъ\
м
В)
Рис. 5.13. Простейший усилитель на пентоде (а) и схема замещения анодной
цепи (б).
Знак плюс перед вторым слагаемым в выражении (5.40) выбран
в связи с тем, что ияк в данном случае рассматривается как
напряжение независимого источника.
Для тока цепи сетки можно составить выражение, аналогичное
(5.40):
*о = (1/ЯоЛ "ck + S(
(5.40')
где RCR — сопротивление сетка — катод, a Sca — крутизна
характеристики /с (ыан)"
Переходя к комплексным амплитудам и имея в виду общую
схему замещения активного четырехполюсника (рис. 5.2),
заменим ыск амплитудой Ег входного гармонического сигнала, ток
»с в цепи сетки — амплитудой Ilf а ток /а — амплитудой 12 =
== 1а. Как и в предыдущем параграфе (см. рис, 5Л2, а), полагаем
E2 = — IaZH = — UDbIx. Тогда уравнения (5.1) и (5.3) запишутся
так:
h=~z— E1 + ScaE2, 12—SEj+ —E2;
Иск Кг
[YV-
S 1/Я,
(5.41)
При усилении слабых сигналов рабочая точка на
характеристике ia (uCK), как правило, устанавливается в области
отрицательных напряжений иск. В этом случае ток сетки отсутствует,
входная проводимость сетка — катод практически равна нулю (RCK->
-> оо ), и матрица проводимостей принимает вид
О О
1П =
S 1/Д,_
(5.4Г)
Таким образом, Yu = Y12 = 0; Y21 = S; Y22 = l/Rt,
Матрице (5.41') соответствует схема замещения
четырехполюсника (трехполюсника), представленная на рис. 5.13, б.
Используя формулу (5.17), находим коэффициент усиления
напряжения
г/ _ *^2 °' ZR Ц/н /К 42)
Ei "" l/R|+l/fB— Ri+Zh Rt+ZB
где p, = S^j = l/D — коэффициент усиления лампы.
Из выражения (5.42) видно, что усилительная способность
лампы р, используется тем полнее, чем больше отношение ZH/Rt.
В холостом режиме (ZH -*■ оо ) коэффициент усиления каскада
max Kb -> — р = — Sfl£ = — S/Gj.
Помимо рассмотренной здесь схемы с общим катодом,
возможны также схемы с общей сеткой и с общим анодом. Эти три схемы
являются аналогами соответствующих схем транзисторных
усилителей (с общим эмиттером,. общей базой и общим коллектором).
5.6. АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Схема замещения простейшего апериодического резистивного
усилителя представлена на рис. 5.14, а. Усилительный прибор
обозначен в виде зависимого источника тока SEX с внутренней
проводимостью Gj = l/Rt. Емкость С0 включает в себя
межэлектродную емкость активного элемента, а также емкость
внешней цепи, шунтирующей нагрузочный резистор R = 1/G. Схема
на рис. 5.14, а является обобщенной, применимой к любому
активному элементу.
В случае транзисторного усилителя под крутизной S следует
подразумевать величину h21s/RB]L (см. §5.4), а подСг—параметр йаа.
Подставив в формулу (5.35') проводимость Gt вместо hi2, а
также G = 1/R + т С0 — G -{- /wG0, получим передаточную
функцию усилителя
S _ S/(Gj+G) _
Кв (/©) = ■
Gi+G + iaCD l + iaC0/(Gi+G)
Лмавс
l+iaCoHGi+G) '
где
^маКс = 5/(Сг+С)
максимальный коэффициент усиления (при о
Модуль передаточной функции
0).
КМ =КМанс/К П + [»Q/(G, +С)]а.
(6.43)
(5.44)
(5.45)
При изменении частоты ю получается амплитудно-частотная
характеристика, изображенная на рис. 5.14, б.
В апериодических усилителях, работающих на пентодах, часто
применяется схема, представленная на рис." 5.15, а. От схемы на
рис. 5.13, а, эта схема отличается дополнительной цепью Rlt Cv
Ю
0,5 1,0 1,S 2,0 О^
6) Gi+e
Рис. 5.14. Апериодический транзисторный усилитель ОЭ:
а — схема замещения коллекторной цепи; б — частотная характеристика.
назначение которой заключается в защите выходных цепей
усилителя от источника постоянного напряжения £а0. Резистор Rl7
как правило, обладает высокоомным сопротивлением, очень
большим по сравнению с R. Величина же последнего выбирается из
условия обеспечения достаточно широкой полосы пропускания
усилителя. Схема замещения анодной цепи усилителя представлена
на рис. 5.15, б. f ч
Определим сначала напряжение на зажимах /—/' (рис. 5.15, б),
создаваемое током SEt; очевидно, что
SE,
SE,
-1-1'
Gi + iwC0+G+
1
jRi + 1/иаС!
Gi+fwCo+G +
(oCi Gi
(5.46)
Тогда напряжение на выходе усилителя (зажимы 2—2')
ивых = Е1 — 1'
Ri
где
К,=
fli+1/KoCi
= Е1_1 - Кц
Ri+l/toCj 0,+ tcoCi
— передаточная функция разделительной цепи Rlt Сг.
(5.47)
Рис. 5.15. Апериодический ламповый усилитель с разделительной цепью RiCi
на выходе (а) и схема замещения анодной цепи (б).
На основании выражений (5.46) и (5.47) получаем
ин„,
Ке (ш) '
tcoCi
Gi+№C0+G+= [G1(oC1l(G1+i(oC1)] (d+tcoCi)
S
(5.48)
где Gz = Gj + G + Gx (слагаемое С1Си/Сл отброшено ввиду того,
что С0/С, < 1).
Рассмотрим частотную, характеристику усилителя» На
участке, примыкающем к w = 0, т. е. при частотах, на которых
сопротивление разделительного конденсатора 1/юС1 больше или,
соизмеримо с сопротивлением Rlt влиянием проводимости №>С0|
а также проводимости 1/ (Rx + 1/mCj) в (5.46) можно пренебречь,
благодаря чему выражение (5.48) принимает вид
Ке {Щ ;
tcoCi
Gi+G d+iaCx'
Модуль этого выражения
S ю/?1 Cj
Ке И =
Gt+G Vl+^RiCtf '
w<T-
RiCi
(5.49)
На среднем участке характеристики, на частотах, при которых
1/oCi <^ Rx, а проводимость юС0 все еще пренебрежимо мала по
сравнению с проводимостью G, формула (5.49) еще более упрощается:
к£((о)=4-=^
при
Rib
<о«
Со
(5.49')
Наконец, при относительно высоких частотах, когда
проводимость а>С0 соизмерима с Gj;, получается
Ке И:
Кк
VG|+(coC0)a Vl + iaCdGjy*
«С0 > Gx. (5.49")
При изменении частоты ю получаем частотную
характеристику, изображенную на рис. 5.16, а.
icon
¥г
<-)=G$fig а -1/т0
Б)
Рис. 5.16. Частотная характеристика (а) усилителя, показанного на рис. 5.15,
и полюса его передаточной функции (б).
Обычно выполняются следующие неравенства: Ri^>R, Rx^>R.
Поэтому можно пренебречь проводимостями Gt и Gx по сравнению
с G, что позволяет считать G? ж G m I/R.
При этом выражение (5.48) упрощается:
Кв (*ю);
SR
Кы
1—«<1/g>/?iCi—юЯС„)
1 + М»Т0+ l/«CBTi
(5.50)
где т0 = RC0 — постоянная времени цепи R, С„; тх = R^Cx —
постоянная времени разделительной цепи Rlt Ct;
Кы
—SR
(5.51)
— коэффициент усиления (приближенное значение) в области
частот \IRxCx < ш < l/RC0.
Переходя к комплексной переменной р = о + ш, запишем
выражение (5.50) в форме
КвДО =
Къ
Амакс Р
l + Pto+l/pT!
ToPa+P+l/ti
(5.52)
Полюса передаточной функции К (р) (корни уравнения т0р2 +
+ р + 1/т, = 0):
p12=K__i_±1/_L_._L_ = _-LfiTl/i_ib).
l0 г ^lo
Так как т0 <С "Ч, то
Pl ~ 2т0 [ I t! j] ~ ч
1
2т0
JL. (5.53)
т0
Расположение полюсов рх и р2 на плоскости р показано на
рис. 5.16, б.
Заметим, что при Ct -> оо (при конечном и неизменном /?г)
формула (5.48) переходит в
KB(fo) = —= —— / ! ) = Кмакг- , (5.51')
совпадающую с (5.43) при замене в последней Gt + G на Gd. При
этом полюс (единственный) передаточной функции
будет в точке pt = — Gj;/C0.
Соотношения (5.44) — (5.53) будут использованы в следующей
главе при анализе прохождения сигналов через апериодический
усилитель. Там же определим импульсную характеристику
рассматриваемого усилителя.
5.7. РЕЗОНАНСНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Схема одноконтурного резонансного усилителя на транзисторе
(с общим эмиттером) (рис. 5.17, а) отличается от рассмотренных
в предыдущем параграфе только нагрузочной цепью. В данном
случае нагрузкой является резистор Rm, шунтирующий
параллельный колебательный контур. Как правило, потерями мощности в
катушке индуктивности L и конденсаторе С можно пренебрегать по
сравнению с мощностью, выделяемой в резисторе Rm. При этом
условии полная проводимость нагрузки (между зажимами /—2)
GH = Gm + mC-
ia>L
1 + /Яш(соС-~)]. (5.54)
С помощью соотношений юр = 1/J/Z.C, р = J/Z./C = (opL =
= 1/(0рС, в которых сор — резонансная частота, ар — характеры-
стическое сопротивление контура, выражение (5.54) приводится
к виду
При достаточно большой добротности контура Q — Яш/р
основное значение имеет величина передаточной функции усилителя
Рис. 5.17, Резонансный усилитель (о) и схема замещения коллекторной
цепи (6)t
вблизи резонансной частоты, т. е. при малых отклонениях
частоты to от частоты юр. Можно поэтому наложить условие малой
относительной расстройки:
lm— ир1 _- 1Ди1 <г 1
(5.56)
Тогда, подставляя со = сор + Асо, получаем
Ч1 + — )-т
\ Юр / 1-
2Дш
i+Дш/Шр к
и выражение (5.55) можно записать в форме
GH=Cffl (l+ ' — <?)== 0Ш(1 + ш).
где
a=(2Aco/cop)Q
(5.57)
(5.58)
(5.59)
имеет смысл обобщенной расстройки контура.
Составим выражение для передаточной функции (по
напряжению) резонансного усилителя. При схеме замещения, показанной
на рис. 5.17, б, по аналогии с формулой (5.43) можем написать
K£(fa)=— ■
Ci+GH
Gi + Ga+iaC + lJkaL
(5.60)
Подставив в это выражение GH по формуле (5.58), выразим
передаточную функцию через обобщенную расстройку а:
КЕ (т) = К (ia) = — SI (Gt + Gm + la Сш). (5.60')
Заметим, что при резонансе (а = 0) коэффициент усиления
Ямакс = SI (G, + Gm). (5.61)
Поэтому (5.60') можно записать в несколько иной форме
Амакс
К(ш) =
1 + «оОш/(С4+-Ош)
(5.62)
Вводя новое обозначение
обобщенной расстройки (с учетом
влияния внутренней
проводимости G,)
oGir, 2Дю п
Gf¥ Gu
сэкв>
(5.63)
Рис. 5.18. АЧХ и ФЧХ
одноконтурного резонансного усилителя.
приходим к окончательному
выражению для передаточной функции
усилителя
1 (шэкЬ)— . ,
1 + ^экв
= Кмаиг е' [Ф (°эке)+я] . (5.64)
утт
2
ОЭКЕ
Слагаемое л в показателе степени учитывает знак минус в
правой части (5.62).
Отношение модулей
пЧ(а3кв) [
" Ккв) :
А'и
]А +
(5.65)
<ЗЭКЕ
можно рассматривать как нормированную амплитудно-частотную
характеристику одноконтурного усилителя, а аргумент
Ф (о8кв) = — arctga8KE (5.66)
— как фазочастотную характеристику (без учета не зависящего
от частоты сдвига я).
Характеристики п (яЭке) и <р (ОаКп) (рис. 5.18) ничем не
отличаются от характеристик пассивного колебательного контура
с той же добротностью.
Относительная полоса пропускания резонансного усилителя,
определяемая по ослаблению амплитуды на границах полосы до
\IV~2 от максимального уровня (при аэкв = 0) и выраженная
через обобщенную расстройку о,кв, равна 2 (см. рис. 5.18). Для
перехода от безразмерной относительной полосы пропускания 2
к размерной полосе 2 А(о0 положим в (5.63) \аакВ{ = 1, а | А<ч [ =»
= Асо0. Тогда полоса пропускания
2 Аш0 = соя/(2ЭкВ, (5.67)
где Q3„b, как это следует из (5.63), добротность нагруженного
контура.
Во многих случаях на практике внутренняя проводимость
усилительного прибора С; мала по сравнению с проводимостью
нагрузки Gn, ~ (соответственно Rt Э> Rm)- Для грубых расчетов
формулы (5.61), (5.62) можно упростить:
'<макс» ~; к (ia)« - JL _1_. (5.68)
Ош Ош 1 + IG
В Чех случаях, когда нагрузка усилителя учитывается
сопротивлением гЕИ, вносимым внутрь контура, резистор RU1 в
предыдущих формулах должен быть заменен эквивалентным
сопротивлением Z8p колебательного контура (параллельного) при резонансе:
При этом
й'
SZ..
зр>
K(te,«-szBP(-r±;-).
(5.69)
5.8. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ В АКТИВНОМ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКЕ
При анализе линейных усилителей в § 5.4—5.7 на базе матриц
параметров эквивалентных четырехполюсников основное
внимание уделялось параметрам У21, Z21, #2l, поскольку именно эти
параметры определяют усилительную способность активного
четырехполюсника. В реальных, не
полностью однонаправленных
активных четырехполюсниках
приходится считаться с
воздействием выходного колебания на
вход усилителя.
Пусть в рабочем режиме
усилителя, представленного на рис. 5.19,
напряжение и ток на
выходе будут Е2 и 12. Рассматривая
теперь эти величины как
результат внешнего воздействия со стороны выхода, можно
определить 1{ и Е[ на входе с помощью схемы замещения (рис. 5.19).
На этой схеме зажимы /—/', к которым подключён входной
источник сигнала, условно замкнуты накоротко, а под
напряжением, действующим на зажимах 2—2', подразумевается Е[ =
=—Zil'lt т. е. падение напряжения на внутреннем сопротивлении
источника Zu создаваемое током lj.
Рис. 5.19. К учету обратной
реакции в усилителе.
Уравнения (5.4) при обозначениях рис. 5.19 записываются
в форме EJ = — Zil{ = Znl\ + Z12I2, E2 = Z21/If + Z22I2,
откуда нетрудно получить соотношение
Zl Zr2 _Zl , ■ (5.70)
Е2
2ц Z22—Zi2 Z2i + Z22 Zj
Д2 + Z22 Z/
Напряжение EJ часто называют напряжением обратной
реакции или напряжением обратной связи. Элементом обратной связи
является Z12. При представлении эквивалентной схемы четырех-
I/
—*"
Е;
1/5
—^
^
Ъ
Уос
У/г
Yzz
(trtf)Va
1г
^
1г
*7
''
а)
Рис. 5.20. Схема усилителей с обратной связью:
а — по напряжению; б — по току.
полюсника с помощью У-или //-матрицы элементами обратной
связи являются соответственно параметры У12 и HVi.
Рассмотренную обратную связь, обусловленную физическими
параметрами усилительного прибора, можно назвать
внутренней обратной связью. Как правило, она приводит к нежелательным
явлениям — зависимости параметров входной цепи усилителя от
элементов нагрузки, к опасности нарушения устойчивости при
некоторых условиях и т. д.
Рассмотрим основные понятия, касающиеся применения в
усилителях внешней обратной связи. Наиболее простым способом
ее осуществления является соединение выхода усилителя со
входом при помощи двухполюсника (рис. 5.20).
При соединении выхода со входом с помощью двухполюсника
обратной связи Уос по схеме на рис. 5.20, а основной
четырехполюсник целесообразно описывать с помощью У-матрицы.
Учитывая очевидные равенства 1Х = If — Уос (Е2 — Ех), а также
соотношения между 1(, 1£ и Е1( Е2 в виде уравнений (5.1), приходим
к новой системе уравнений
h=(Yu + Yoc) Ex + (У12- Уос) Е2,
U=(Уи - Yoc) Ех + (У22 + Уос) Е2.
(5.71)
Таким образом, четырехполюснику с обратной связью по схеме
на рис. 5.20, а соответствует матрица проводимостей
[Y]'
'11 ~Ь *ос *12 'е
'21 'ос '22Т'о
(5.72)
из которой следует, что подключение двухполюсника Yoc
изменяет все элементы матрицы, в том числе и элемент обратной связи
(К12 — Кое вместо К12).
Рис. 5.21. Пример схемы замещения усилителя ОЭ с внешней обратной связью.
Аналогичным образом можно показать, что включение
двухполюсника Zoc по схеме на рис. 5.20, б приводит к матрице
[Z]' =
Zu+Z0
^21 ~Г Z0C ^22 ~Ь Z0
^12 "Г ^OC
(5.73)
В схеме на рис. 5.20, а дополнительный ток, поступающий с
выхода на вход по цепи обратной связи, равен (Е2 — EJ Кос; так
как в усилителях обычно Е2 » Еъ то величина этого тока
приближенно равна Е2К0С, т. е. пропорциональна выходному
напряжению. Поэтому схему на рис. 5.20, а можно называть схемой с
обратной связью по напряжению. В схеме на рис. 5.20, б, в которой
напряжение обратной связи пропорционально выходному току,
осуществляется обратная связь по току. Можно, очевидно,
осуществить комбинированную обратную связь — по напряжению
и по току одновременно.
Различают два вида обратной связи: отрицательную
и положительную.
Если введение обратной связи увеличивает коэффициент
усиления цепи (по модулю), то обратная связь положительна, в
противном случае — отрицательна.
Поясним применение выражений (5.71), (5.72) для схемы
транзисторного усилителя с общим эмиттером при Кос = l/R00
(рис. 5.21).
Основываясь на формуле (5.17), в которой К21 заменяем
величиной К21 — Кос. а К22 — величиной К22 + Кос [см. (5.72)],
определяем коэффициент усиления напряжения выражением
К£=
(V»+ У0о)+ Он
(5.74)
в которое подставим параметры F21 и У22, выраженные через
параметры транзистора й21э, гб, гя, г„ (см. § 5.4):
\7 _. ^213 V О + ^аэН'б + 'э) '
21
'6+(l+'W'-9
['■б+(1+/г21Э)'-э]'"н
(5.75)
1
■
:Н„с
*>
<
D
Рис. 5.22. Структурная схема
усилителя с обратной связью.
Обе эти проводимости — вещественные и положительные
величины. То же самое относится и к Yoc — l/R0C, GH = VR„.
Очевидно, что вычитание из числителя и добавление к знаменателю дроби
в (5.74) Yot. приводит к
уменьшению коэффициента усиления (по
модулю), т. е, в рассматриваемом
случае обратная связь отрицательна. Это
объясняется противофазностью
выходного и входного напряжений в ре-
зистивной схеме с общим эмиттером
(см. §5.4); ток через Roc,
направленный с выхода на.вход (« Е2//?ос=
= —l^RdR ос), уменьшает ток 16 и,
следовательно, Е2.
Можно показать, что аналогичное подключение
двухполюсника Yoc = l/Roc к усилителю, работающему по схеме с общей
базой, когда напряжения Е2 и Е1 совпадают по фазе, приводит
к положительной обратной связи.
■ На рис. 5.22 изображена структурная схема усилителя с
внешней обратной связью по напряжению, осуществляемой с помощью
вспомогательного четырехполюсника Кос (tfi))-
Как усилитель Ку (ш), так и четырехполюсник Кое (*ю)
предполагаются полностью однонаправленными. Подобное
представление имеет смысл в тех случаях, когда входное сопротивление
четырехполюсника Кос (tfi)) достаточно велико, чтобы не
нагружать усилитель Ку (ш); выходное сопротивление
четырехполюсника Кос (гсо) должно быть достаточно малым по сравнению с
входным сопротивлением усилителя Ку (ш). При этих допущениях
передаточную функцию системы в целом
Ко (ш) = U/E
(5.76)
можно найти с помощью следующих очевидных соотношений.
Напряжение на выходе четырехполюсника обратной связи
Uoc = Koc('«>)U.
(5 77)
Напряжение на входе усилителя Ку (ш) равно сумме входной
э. д. с. Е и напряжения обратной связи Uoc.
Следовательно, напряжение на выходе всей цепи
U = Ку (ш) (Е + Uoc) = Ку (Ш) IE + Koc(tco)U].
Решая это уравнение относительно U, получаем
U = ^ Е.
1 — К, («о) Кос (ta)
откуда следует, что
Ко (и = iL=—!№>— (5;78)
Это выражение является основным для системы с обратной
связью. Ко (ш) иногда называют общей передаточной
функцией, или предаточной функцией
замкнутой системы. Произведение же Ку(ш)К0с(*«>),
имеющее смысл передаточной функции каскадного соединения
четырехполюсников Ку (ш) и Кос ('<»), называют
передаточной функцией разомкнутой системы.
При замене т на р получаем операторную форму передаточной
функции замкнутой цепи
Ко (р) = Ку (р)/ [1 - Ку (р) Кое (р)1. (5.79)
Сопоставление К0 (ш) с Ку (ш) позволяет определить знак
обратной связи в общем случае, когда эти функции являются
комплексными. Если на какой-нибудь частоте имеет место неравенство
Д*о (ю) < А*у (ю), т. е. если введение обратной связи приводит
к уменьшению усиления, то обратная связь на данной частоте
отрицательна, в противном случае — положительна.
При Ку (ш) Кос (гсо ) = 1 усиление К0 (ш) становится
бесконечно большим. Это означает, что цепь становится
неустойчивой и для исследования ее поведения необходимо использовать
другие методы, так как выражения (5.67) — (5.78), относящиеся
к стационарным режимам, теряют свой смысл.
Случай неустойчивого состояния покоя (при изучении свойств
автоколебательных систем) рассматривается в гл. 9. В данной
главе изучаются только устойчивые цепи. Условия устойчивости
будут сформулированы в § 5.10 после изложения основ теории
устойчивости линейных цепей с обратной связью.
5.9. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК УСИЛИТЕЛЯ
Рассмотрим влияние обратной связи на следующие
параметры усилителя:
— стабильность коэффициента усиления,
— уровень нелинейных искажений сигнала, обусловленных
кривизной вольт-амперной характеристики усилительных
приборов,
— равномерность частотной характеристики в заданной
полосе частот.
Пусть в линейной цепи, находящейся под действием
гармонической э. д. с. и охваченной обратной связью, произошло
изменение какого-либо параметра: модуля или аргумента коэффициентов
усиления Ку (to) или Кос (ш). Причинами этого изменения могут
быть непостоянство напряжений источников питания усилителя,
изменение температуры окружающей среды, механические
вибрации, приводящие к изменению электрических параметров
устройства и т. д. Выясним, как влияет обратная связь на относительное
изменение выходного сигнала. Сначала рассмотрим случай, когда
нестабильность имеется в цепи прямого усилителя. Для упрощения
анализа исходим из условия, что до изменения режима работы
коэффициенты передачи Ку (to) и Кос ('<*>) являлись чисто
действительными величинами Ку и Koci так чт0 коэффициент передачи
замкнутой цепи определялся выражением
/<о= Ку/(1 -КуКое). (5.80)
Пусть обусловленное нестабильностью изменение заключается
в том, что величина коэффициента Ку изменилась на малую
величину Д/<Су. В отсутствие обратной связи это привело бы к
относительному изменению амплитуды выходного напряжения,
равному АКу/Ку (амплитуда э. д. с. на входе считается неизменной).
Для определения относительного изменения амплитуды при
наличии обратной связи продифференцируем выражение (5.80)
по Я у:
dK0 _ 1 ^ /<у 1 1_
dKy (1-КуКос)2 (1-КуК0с) (1-КуКос) Ку
откуда
dKp _ l dKy (5 81)
Ко 1 Ку Кос Ку
Из этого выражения видно, что относительное изменение
выходного напряжения при наличии обратной связи (т. е. величина
dKJKo) может сильно отличаться от изменения, которое имело бы
место в отсутствие обратной связи.
Если обратная связь отрицательна (КУК0С < 0), имеет место
ослабление нестабильности системы
rfflo I dKy
Ко ~ 1 + 1 Ку /Cod ~Ky"
При положительной обратной связи нестабильность
увеличивается:
dK0_^ 1 dKy
Ко 1-1 Ку Кос I Ку '
Отсюда следует, что для повышения стабильности усиления
цепи целесообразно вводить отрицательную обратную связь. Этим
приемом широко пользуются в современной радиоэлектронике.
Абсолютную величину |/<у/<ос| в зависимости от требований к
стабильности системы доводят до 100 и более. При этом, естественно,
в (1 + | /С у/С о с I) раз уменьшается и усиление цепи Ко- Это
уменьшение может быть скомпенсировано увеличением Ку (например,
увеличением числа каскадов в кольце, охваченном обратной
связью).
' Введем в рассмотрение нестабильность в цепи обратной связи.
Для этого продифференцируем выражение (5.80) по Кос-
dKp /Су (— /Су) /Су ш/
dK0i~ (1-/Су/Сое)2 ~" 1-КуКос °*
откуда
ri/Co __ /Су Кос dKpc
К 1 — Ку /Сое /Сое
В случае отрицательной связи, при |/Су/С0с1> 1. получаем
ЛКй /^/ (Шос
—— s^s — ——^ •
/Со Кос
Из этого соотношения видно, что влияние на Ко нестабильности
в самой цепи Кос не ослабляется обратной связью: относительная
нестабильность замкнутой цепи с отрицательной обратной связью
при | /С у/С о о 1 ^" 1 равна относительной нестабильности
величины Кос-
Отсюда следует, что при 'применении отрицательной обратной
связи особое внимание следует обратить на повышение
стабильности четырехполюсника Кос- Это требование
распространяется как на модуль, так и на аргумент (т. е. на фазовую
характеристику) передаточной функции цепи. В практике осуществление
этого требования облегчается тем, что основные
дестабилизирующие факторы имеются в прямом усилителе Ку, содержащем
активные элементы и элементы нагрузки; четырехполюсник же
/<ос» обычно представляющий собой простую пассивную цепь,
может быть сделан достаточно стабильным.
Выясним влияние отрицательной обратной связи на нелинейные
искажения, которые возникают в основном усилителе из-за
кривизны характеристик активных элементов. При гармоническом
напряжении на входе эти искажения проявляются в виде высших
гармонических составляющих усиливаемого сигнала. Допустим,
что в отсутствие обратной связи, при подаче на вход амплитуды
э- д. с. Еи на выходе усилителя амплитуда напряжения основной
частоты равна Ult а амплитуда напряжения одной из гармоник
Un- Усилитель с искажениями можно представить в виде
идеального линейного усилителя, на входе которого действует «генератор
гармоник» (рис. 5.23).
При этом отношения Еп1Е1 и UJUi одинаковы, так как
коэффициент усиления/Су (со) считается одинаковым как для основной
частоты, так и для частоты п-й гармоники. Таким образом,
амплитуда э. д. с. эквивалентного генератора Еп должна быть равна
ип/ку.
При введении отрицательной обратной связи для получения
на выходе прежней амплитуды 1)г входную э. д. с. Ег необходимо
увеличить в (1 + \КУК0С\) раз, как это вытекает из формулы
(5.80). Это отражено на рис. 5.24 в виде дополнительного
усилителя с коэффициентом усиления (1 + | КУК0С |). Следует, однако,
иметь в виду, что напряжение основной частоты, действующее не-
Лу(й9
>'« Ег
1'
H«M
-Kwfy;-Kwi/n
lL_
3
-aw=>i
г
~~~
кГ д
I
-I
/(•;,(&>;
W6»
Г
ш„
Рис. 5.23. Учет нелинейных
искажений в усилителе с
помощью эквивалентного
генератора гармоник.
Рис. 5.24. К объяснению эффекта снижения
уровня побочных гармоник в усилителе с
отрицательной обратной связью.
посредственно на зажимах 3—3', остается таким же, как и в схеме
без отрицательной обратной связи, представленной на рис. 5.23.
Действительно, рассматриваемое напряжение является разностью
между э. д. с. Ez = Ег (1 + \КуК0с\), действующей на зажимах
2—2' (рис. 5.24), и напряжением обратной связи \K0c\Uv T- е-
Е3 = £2 - KooU, = Е1 (1 + \КУ\ |/Cool) - 1/СосI £/i-
Но Е1 \КУ\ есть не что иное, как U1 (см. рис.-5.23). Следовательно,
£3=£1 + £1|/Cy||/<oc|-|Kocl^i= Ei-
Напряжение же п-й гармоники на входе усилителя с учетом
напряжения обратной связи —UnK0c будет равно разности Еп —
— \Koc\Un, а на выходе усилителя
Un = \Ky\(En-\Koc\Un),
откуда
Un = \Ky\EJ{l + \КУК00\).
Таким образом, отношение
Un
I К, I Е-п
Еп1Ег
Vi (l+Uy/Cocl)l%|£i l + \KyKoo\
(5.82)
получается в (1 + \КуК0с\) Раз меньшим, чем в отсутствие
обратной связи. Правда, это улучшение достигается ценой увеличения
в (1 + | /С у/С о с I) раз напряжения, подводимого к зажимам 2—2'
(рис. 5.24).
Относительное ослабление напряжения высших гармоник
можно пояснить еще и следующим образом: введение отрицательной
обратной связи приводит к уменьшению усиления в(1 + \КУК0С\)
раз в одинаковой мере для полезного сигнала и для гармоник,
однако это уменьшение усиления компенсируется только лишь для
полезного сигнала [увеличением в (1 + \КуК0с I) раз входного
напряжения].
Проведенное выше рассуждение может быть распространено
на все гармоники усиливаемого напряжения.
Г "
п 1
Ж7'
i
1
л>
кг
Кос
Лл
1
1
1 с
_|
к
Рис. 5.25. Многокаскадный усилитель с отрицательной обратной связью.
Применение отрицательной обратной связи позволяет помимо
ослабления нелинейных искажений понизить при некоторых
условиях и уровень фона, создаваемого пульсацией питающих
напряжений.
Итак, все побочные колебания, возникающие в самом
усилителе из-за нелинейности характеристик усилительных приборов и
из-за несовершенства источников питания, ослабляются
отрицательной обратной связью в (1 + \КуКос\) Раз-
Если усилитель состоит из нескольких каскадов, стремятся
охватить обратной связью весь усилитель в целом, как это
показано, например, на рис. 5.25. При этом-, однако, усложняется
обеспечение устойчивости усилителя из-за возрастания суммарного
фазового сдвига в кольце, особенно при наличии трансформаторов,
обладающих индуктивностью рассеяния.
В тех случаях, когда удается построить многокаскадный
усилитель без трансформаторов, а также при небольших паразитных
емкостях можно реализовать схему, изображенную на рис. 5.25.
Такие условия встречаются, например, в транзисторных
усилителях акустического диапазона часгот.
Рассмотрим в заключение влияние отрицательной обратной
связи на частотную характеристику усилителя. Непосредственно
1/Кос («>)■ (5-83>
из выражения (5.78) следует, что при |КУ (ш) Кос (*со)
Если в заданной полосе частот обеспечивается постоянство
Ясс («), то и Ко (со) = const. Таким образом, задача сводится к
выравниванию частотной характеристики пассивного четырехполюс-
ника обратной связи, что значительно легче, чем устранение
неравномерности частотной характеристики усилителя /Су (со).
В промежуточных случаях, когда КуКос имеет величину,
измеряемую несколькими единицами, предельное соотношение (5.83)
не достигается, однако частотная характеристика Ко (<»)
становится значительно равномернее, чем Ку (to). Это иллюстрируется
рис. 5.26.
| Ко/Kgтт
ho
#сшкс
Рис. 5.26. Частотные (а) и импульсные (б) характеристики усилителя с
отрицательной обратной связью.
На рис. 5.26, а штриховой линией воспроизведена частотная
характеристика апериодического усилителя, рассмотренного в § 5.6
(рис. 5.14, б). При введении отрицательной обратной связи с
вещественным коэффициентом К0Ь передаточная функция усилителя
в соответствии с (5.78) и (5.44) будет
Ко (i to)=
К? (ieo)
4 у макс
1 --Кос Ку (ко) (1 + 1 Кос Ку макс l)-H'coC0/(G,4-G)'
(5.84)
а модуль, т. е. амплитудно-частотная характеристика
,7 , . ^У макс
К0 (И) =
/ (1+1/foe ^у макс
показана на рис. 5.26, а сплошной линией. Построение
характеристики выполнено при следующих данных: КуМакс = 50,
\Кос\ = 0.05.
Таким образом,
К„(ю)= , 5° -•
V(l + 2,5)2+ [eoC0/(Gi+G)]«
Как и следовало ожидать, кривая /(<, (со) расположена ниже,
чем /Су (со) (на всех частотах). Это является результатом подачи
напряжения с выхода усилителя на его вход в противофазе с
входным напряжением. На частотах, близких к нулю,
j, Кумаис 50 ^ 1
А0Иакс= 1 + |^осКу«аКс»""Т+2^""-3^АуМВИС'
т. е. усиление уменьшается в 3,5 раза.
Однако характеристика Ко (со) значительно равномернее, чем
Ку (со). Это видно из нормированной частотной характеристики,
т. е. функции Ко (ю)/^омакс (Рис- 5.26, а, штрих-пунктирная
линия). Итак, введение отрицательной обратной связи для
стабилизации коэффициента усиления и ослабления нелинейных
искажений одновременно расширяет амплитудно-частотную
характеристику усилителя.
Заметим, что требуемую полосу пропускания можно получить
и без отрицательной обратной связи, соответствующим образом
уменьшая сопротивление нагрузки R. Однако при этом остальные
параметры усилителя — стабильность и линейность усиления
были бы ухудшены.
Соответственно новой характеристике К0 («со) изменяется и
импульсная характеристика усилителя. Действительно, записав
выражение (5.84) в форме, совпадающей с (5.43),
Ку макс К у макс
„ .. . 1 + 1 Кос *у макс I макс I
К0 («СО) = = : : •
toC0 1 14-штЭкв
Gi + G 1 -f- | K0c Ку макс I
мы видим, что обратная связь приводит к изменению
эквивалентной постоянной времени: вместо С J (Gt + G) получаем
1
1+1 Кос Ку макс!
При | Кос Ку маяс | = 2,5
1 G0
" 3,5 С)+ G
Заметим, что максимальное значение усиления (при о = 0)
уменьшается в такое же число раз. Таким образом, если в
отсутствие обратной связи импульсная характеристика
рассматриваемого усилителя запишется в виде
... Ау макс
g(t) = - ехр
Co/{Gi + G)
{Gt + G)t
Со
то при введении отрицательной обратной связи
,,ч *V? маис
8oV)= — ехр
C0/(Gj-t-G)
(1+l^oc^y макс I) t
C0/(G( + G)
Нормированная импульсная характеристика g0 (t) при
нескольких значениях параметра |/Соу^Умако1 изображена на рис. 5.26, б.
Как и следовало ожидать, введение отрицательной обратной
связи (/(осКу макс < 0), расширяющее полосу пропускания цепи,
приводит к более быстрому убыванию импульсной
характеристики. При положительной обратной связи (КосКу макс > 0)
убывание g0 (/) замедляется. Штриховой линией на рис. 5.26, б показана
импульсная характеристика при /(осЛумаКс> Ь соответствующая
неустойчивому режиму (см. § 5.10).
5.10. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ С ОБРАТНОЙ
СВЯЗЬЮ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегда имеются
реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в
усилителе на резисторах имеются такие элементы (паразитные емкости
схемы и усилительных приборов, индуктивности проводов и т. д.).
Реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги.
Если па какой-либо частоте эти сдвиги дают в сумме
дополнительный угол в 180°, то обратная связь из отрицательной превращается
в положительную и создаются условия, при которых возникает
паразитная генерация.
Это обстоятельство во многих случаях существенно
ограничивает эффективность применения обратной связи, так как при
больших значениях \КуК0с\ Для устранения паразитной генерации
требуются специальные фазокомпенсаторы и другие устройства
для уменьшения крутизны фазовой характеристики в кольце
обратной связи. Однако часто оказывается, что введение в схему
новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной
генерации в область очень низких или очень высоких частот.
Итак, применение обратной связи тесно связано с проблемой
обеспечения устойчивости цепи.
Для правильного построения цепи и выбора ее параметров
большое значение приобретают методы определения устойчивости
цепи. В настоящее время известно несколько критериев,
различающихся больше по форме, нежели по существу. В основе
большинства этих критериев лежит критерий устойчивости решений
дифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.
Пусть линейное однородное уравнение для цепи с
сосредоточенными (и постоянными) параметрами задано в форме
^+^+^ + "- + **-i % + *>**=<>• <5-85>
где х — ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты
b0, bt, b2, ..., bn — действительные числа, зависящие от параметров
цепи.
Решение уравнения (5.85), как известно, имеет вид
i = \
где At — постоянные, apt — корни характеристического уравнения
b„Pn + blP"-l + b2p"-2+... + bn_1p + bn = 0. (5.86?
Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том,
что после прекращения действия внешних возмущений цепь
возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы
возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные
(переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою
очередь, означает, что корни ри р2, ••■■> Рп уравнения (5.86) должны
быть либо отрицательными действительными величинами, либо
комплексными величинами с отрицательными действительными
частями. Из этих простых физических представлений вытекает
следующий фундаментальный критерий устойчивости любых
линейных систем1: система устойчива, если действительные части
всех корней характеристического уравнения отрицательны.
Заметим, что левая часть характеристического уравнения (5.86)
представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной
функции цепи, записанной в форме
К (р) = ——, п^т, (5.87)
Таким образом, корни характеристического уравнения цепи
являются полюсами передаточной функции К (р) этой цепи.
1 Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым,
который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости.
Рассматриваемый вопрос об устойчивости состояния покоя системы является
частным случаем обшей теории устойчивости Ляпунова.
Отсюда следует, что сформулированные выше условия
отрицательности действительных частей корней равносильны следующему
положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы
передаточная функция К (р) не имела полюсов в правой полуплоскости
комплексной переменной р.
Это хорошо известное из теории цепей положение можно
распространить и на передаточную функцию К0 (р) цепи с обратной
связью.
Поясним это на примере резонансного усилителя с обратной
связью (рис. 5.27).
Рис. 5.27. К примеру определения
устойчивости усилителя с обратной связью.
Передаточную функцию (по напряжению) усилителя определим
по формуле (5.60) при допущении, что Gt <C Ga:
Ку(ко)= —
(1/ко!+шС+1/Дш) '
а передаточную функцию обратной связи приравняем К0о (t£°) =
= ± MIL. Заменяя т на р, приведем Ку (ш) к виду
Ку(р)~-
Sp
Sp
С(р*+ p/RmC + l/LC)
C(p2+2aKp+a)g)'
где обозначено aK = l/2RmC, &l = \ILC. Тогда передаточная
функция усилителя, охваченного обратной связью,
Ко(Р)=-
Ку(р)
1-Ку(р)К0С С p2+(2aK+K0cS/C)P+Wn2
Находим корни уравнения р2 + (2 ак + K0CS/C) р + ч>1 = 0:
Pl.2:
KocS
2С
±*
(/<-(»«+ ■%s)'
Рассмотрим два возможных случая: отрицательной и
положительной обратной связи.
Для создания отрицательной обратной связи произведение
КуКос Должно быть отрицательной величиной.
Поскольку Ку (/со) при со = ю0| т- е. при резонансе, является
отрицательной величиной, то коэффициент Кос должен быть поло-
жительной величиной: К00 = + MIL. При этом действительные
части обоих корней рх и р2
Re К 2) = — («н + MS 12 LC)
— отрицательны при любом значении М.
При положительной обратной связи К00 = — MIL;
\ 2LC//j>0 при MS/2LC>aK.
Итак, при отрицательной обратной связи рассматриваемая цепь
устойчива при любой величине М, а при положительной
обратной связи только при выполнении условия
(5.88)
|KnJ = ^-<
2Са„
1
S"in Ау макс
S Rm = 5/0ш — коэффициент усиления на резонанс-
L " S
где Ку Макс _
ной частоте [см. (5.68)1.
В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным
уравнением высокого порядка, исследование корней
характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об
устойчивости системы, является сложной задачей.
Оказывается, что эту же задачу можно решить, анализируя
соотношения между коэффициентами уравнения без определения
самих корней уравнения. Это можно выполнить с помощью теоремы
Гурвица1, которая утверждает, что для того, чтобы действительные
части всех корней уравнения
Ь0х*+Ь1Х"-1 + Ьа*п-* + ... +bm_lX + bm = 0
с действительными коэффициентами и 6„>0 были отрицательными,
необходимо и достаточно, чтобы были положительными все
определители Aj, Д2, ..., Дт, составленные из коэффициентов уравнения
b0, bu ..., bn, по следующей схеме:
Ьх Ь3
Ai = bx\
Аз =
Ьг Ь3 Ьъ
Ьи 62 bt
О Ъх bs
А2 =
А4 =
к Ьо.
Ьг
ь0
0
0
ь3
ь.
Ьг
ь0
bs
h
bs
ь,
b7
b6
bb
h
A6=
bx bs bb b7 b9
b0 bt .
0 bt b3
bi b6 bs
b,b7
b2 bt be
0 ba
и т. д.
1 Доказательство этой теоремы см., например.
%рс высшей алгебры. М., ГИФМЛ, 1972.
в книге Курош А. Г.
Сформулированный алгебраический критерий устойчивости
часто называют критерием Рауса — Гурвица. При составлении
определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом,
превышающим степень характеристического уравнения, заменяются
нулями.
Поэтому, например, для уравнения четвертой степени
получаются следующие определители:
h b3
дя=
Д1=^1; Д2 =
h ь9 о
и0 и2 ий
о к ь3
\=
ь„ к
6, Ь3 О О
ь0 ь2 к о
О 6, bs О
о к к ь.
Нетрудно видеть, что все последовательные определители
являются главными диагональными минорами определителя Ат. Так
как последний столбец определителя Дт содержит лишь один
отличный от нуля элемент Ьт, расположенный на главной
диагонали, то выполняется равенство
Дщ == отДт_ 1#
Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия
устойчивости можно сформулировать в виде следующих
неравенств:
Л, > О, Д2 = О, ..., Дт_х > 0, Ьт> 0.
Так, например, для характеристического уравнения второй
степени получаем
Д, = Ьх > 0, Ь2 > 0, (5.89)
для уравнения третьей степени
Ai=A > 0,
д.=
ьа ь,
■■=b1b2—bBbn>0. b3->0.
(5.90)
т. е. Ьг > 0, btb2 > b9b0, b9> 0. Так как b0, by и b3
положительны, то и 62 > 0.
Для уравнения четвертой степени
I. Д,= 61>0,
II. Д2 = 6,6,— Ь3Ь0>0,
ш. д3 - ь3 (6Л- ь3ь0) - бгл > о,
IV. bi > 0.
Из условия III на основании условий IV и I вытекает
неравенство
bs{b,b2 — bQb3) > Ь\Ьь > 0.
Поэтому второе условие можно заменить условием baz>0.
Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются
следующие условия устойчивости:
fci>0, 6S>0, b3 (fcA — b0b3) — tfbt > 0, b4 > 0. (5.91)
Поясним применение критерия Рауса — Гурвица на простом
примере рассмотренного резонансного усилителя с обратной связью
(рис. 5.27). Характеристическое уравнение этой цепи при /С0и =
= MIL (отрицательная обратная связь)
р^+{2ак+~ |-)р + ©? = 0.
. Сформулированные для уравнения второй степени условия
устойчивости (5.89) в данном случае принимают вид
А1=:Ь1 = 2ак+ ~~>0, &* = coj>>0.
Первое условие выполняется при любой величине М, а второе—
от М не зависит.
При положительной обратной связи (Ков = — MIL) цепь
устойчива при выполнении условия 2ак — (MIL)(SIC) > 0,
совпадающего с (5.88).
Критерий Рауса — Гурвица особенно удобен для проверки
устойчивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффициентами
дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться
при экспериментах, так как обычно бывают известны не
коэффициенты уравнения, а передаточная функция разомкнутой цепи
К у (р) Кос (р) Кроме того, критерий Рауса—Гурвица не дает
ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой.
5.11. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Требование, чтобы передаточная функция
Ко (р) = Ку (р)1 [1 - Ку (р)Кос (р)] (5.92)
не имела полюсов в правой полуплоскости р = о 4- i(o, т. е. в
области, ограниченной полуокружностью бесконечно большого
радиуса R и осью to (рис. 5.28, а), равносильно1 условию, что
знаменатель выражения (5.92) не должен иметь нулей в указанной
области или, что то же самое, функция
Н(р) = Ку (р)К0С(р) (5-93)
1 Предполагается, что прямой усилитель устойчив, т. е. Ку [р) не имеет
полюсов в правой полуплоскости р.
не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой
полуплоскости р. Но Н (р) представляет собой передаточную функцию
разомкнутого кольца обратной связи, т. е. отношение напряжения
на зажимах 2—2 к напряжению на зажимах 1—1 при разомкнутом
кольце, как это показано на рис. 5.29. Следовательно, об
устойчивости системы с обратной связью можно судить по
характеристикам разомкнутого тракта.
Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоскости
р = о + т к плоскости Н (р) = и + iv (рис. 5.28, б).
в) Ю
Рис. 5.28. Замкнутый контур на р-шюскости (а) и годограф функции И (to)
на плоскости u+iv (б).
Каждой точке р из плоскости о, tco соответствует определенное
значение Н на плоскости ы, iv. Любой замкнутый контур на
плоскости р преобразуется с помощью выражения (5.93) в некоторый
(также замкнутый) контур на плоскости Н.
Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура на
рис. 5.28, а, соответствующий ему контур на плоскости Н
называется годографом функции Н.
Показанный на рис. 5.28, а контур С можно разбить на два
участка: 1) прямая /со при изменении со от оо до — со и 2)
полуокружность бесконечно большого радиуса R.
На первом участке, где о = 0, р — т, функция Н (р)
обращается в функцию Н (tco). В соответствии с выражением (5.93) этот
участок преобразуется на плоскости Н в линию, определяемую
следующим соотношением:
Н (/со) - Ку («о) Кос (*<») = Ку (со) К00 (со) е'(фУ+^ =
= и (со) + iv (ю), (5.94)
откуда
и (со) = Ks (со) Кос М cos (фу+ фос), (5.95)
v (со) ш= К у (со) Кос (со) sin (фу + фос).
В этих выражениях фу и ср00 — аргументы передаточных
функций соответственно четырехполюсников Ку (/со) и Кое (/со).
На втором участке контура С (рис. 5.28, а) при R ~> оо
функция1 Н (р) ->■ 0. Это вытекает из общего выражения (5.87), которое
можно записать в форме
К; /р\ = в (Р—Рм) (Р—Рог) — (Р —Роп)
(р—Рш) (р—Рпг) — (Р—Рпт) '
(5.96)
Рис. 5.29. К определению
передаточной функции
разомкнутого тракта
усилитель —
четырехполюсник обратной связи.
где В — постоянный коэффициент, а ро1 и рп, —соответственно
нули и полюса функции К (р). При | р | -*- оо величинами рог- и
рп у можно пренебречь и функцию К (р) можно представить в виде
Вр(п~т). Совершенно аналогично и
функцию Н (р) при р -*■ оо можно представить
в форме
Н (р) = Ар^~т\
где л и /п — числа соответственно "нулей
и полюсов функции Н (р).
При п<. т и | р J ->- оо модуль
функции Н (р) на полуокружности R ->- оо
равен нулю. Таким образом,
полуокружность бесконечно большого радиуса R на
плоскости р преобразуется в точку,
лежащую в начале координат на плоскости Н,
и для построения годографа Н в виде замкнутого'контура
достаточно знать поведение Н (р) на оси /со, т. е. знать
амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики цепи Ку (/со) Кос ('<»)•
Обходу контура С в положительном направлении (против
часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении
частоты от оо до — оо.
Вся правая полуплоскость р преобразуется на плоскости
Н во внутреннюю область годографа. Следовательно, если
годограф передаточной функции разомкнутого тракта не охватывает
точку 1, Ю, то при замкнутой цепи обратной связи система
устойчива, в противном случае система неустойчива.
Это условие называется критерием устойчивости
Найквиста.
Показанная на рис. 5.28, б диаграмма соответствует
устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку
U /0. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая
положительным частотам 0 > со > со , а штриховой кривой —
отрицательным частотам. Так как функция и (со) четная, a v (со)
нечетная относительно со, то оба участка годографа симметричны
относительно действительной оси,
1 Имеются в виду наиболее распространенные в практике
четырехполюсники с передаточной функцией, у которой степень числителя п меньше
степени знаменателя т.
Следует также отметить, что рис. 5.28, б построен для случая,
когда при со = 0 передаточная функция Н (/со) отлична от нуля (это
возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых
отсутствуют разделительные конденсаторы).
При сложной схеме цепи форма годографа иногда бывает
настолько усложненной, что по нейтрудно судить о том, охватывается
или не охватывается годографом точка 1, Ю. В подобных случаях
оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Най-
квиста, основанный на подсчете числа пересечений оси и (со) на
участке 1, сю . Для устойчивости цепи необходимо, чтобы годограф
либо вообще не пересекал этот отрезок (как на рис. 5.28, б), либо
пересекал его в положительном и отрицательном направлениях
одинаковое число раз.
Критерий Найквиста получил наибольшее распространение
в радиоэлектронике, автоматике и других смежных областях.
Основное его преимущество: удобство оперирования с амплитудно-
частотной и фазочастотной характеристиками разомкнутой цепи.
В некоторых системах, например, содержащих линии, этот метод
по существу является единственно приемлемым.
Вместо полярных диаграмм (годографов), изображенных на
рис. 6.38, при применении критерия Найквиста можно
использовать обычные амплитудно-частотную и фазочастотную
характеристики разомкнутой цепи.
Действительно, длина вектора Н(ш) , как это ясно из
выражения (5.94), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи
разомкнутой цепи КуКос, т- е- частотная характеристика этой
цепи, а аргумент фн (рис. 6.30), равный
ун=arctg -^-=фу (со) + фос (со), (6.97)
и (со)
есть фазовая характеристика цепи КуКоо-
Совместив на общем графике амплитудно-частотную и фазовую
характеристики, нетрудно ответить на вопрос об устойчивости
цепи.
Если при изменении со от 0 до оо фаза ф^ не достигает величины
п 2зх, где п — целое число, то замкнутая цепь устойчива при
любой величине КуКоо- С другой стороны, если КуК0с ПРИ любой
частоте меньше единицы, то цепь устойчива при любой фазовой
характеристике. Цепь неустойчива, если имеются частоты, при
которых одновременно выполняются два условия:
Фу + Фос = п2п, п — целое число, Н = КуК0о ^ 1- (5-98)
По существу эти два условия необходимы для обращения в нуль
знаменателя в выражении (5.78), определяющем передаточную
функцию замкнутой цепи.
Пример амплитудно-частотной и фазовой характеристик
устойчивой цепи с обратной связью показан на рис. 5.30, а неустойчи-
вой— на рис. 5.31. В первом случае (рис 5.30) на частоте со0,
соответствующей фу + фое=2л, модуль Ж 1. Во втором же
случае (рис. 5.31) шг — частота паразитной генерации. На рис. 5.30
и 5.31 отложены абсолютные значения фу -+- фое- При учете
знака реальных фу и фос наклон фазовых характеристик будет
отрицательным.
При построении этих характеристик учтено, что при со = 0 и
со = оо величина КуК0о обращается в нуль. При со -> 0 это обус-
" %Кт\<1 1- а0 а а \/fsKn\>1 «г а
Рис. 5.30. Пример АЧХ и ФЧХ устой- Рис. 5.31. То же для неустойчивого
чнвого усилителя с обратной связью. усилителя,
ловлено влиянием последовательно включенных конденсаторов в
канале Ку или /Сот а при со -*• сю —влиянием шунтирующих
емкостей (межэлектродные емкости, емкость монтажа и т. д.).
Полное изменение фазы при изменении со от 0 до со зависит от
характера и числа звеньев в усилителе и в цепи обратной связи.
Глава 6
ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
КОЛЕБАНИИ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными
сигналами и разнообразными (в основном с инерционными) цепями.
При передаче сигналов по таким цепям возникают переходные
процессы. Эти процессы оказывают влияние на форму сигналов и
в конечном счете на содержащуюся в них информацию. В гл. 1
отмечалось, что большинство радиотехнических устройств
представляет собой сочетание линейных и нелинейных элементов. Это
обстоятельство усложняет задачу строгого рассмотрения переходных
процессов в радиоцепях, так как классические методы анализа,
основанные на использовании принципа суперпозиции, являются
линейными. Поэтому в радиотехнике широкое распространение
получили приближенные методы анализа воздействия сигналов на
реальные устройства. Во-первых, выделяются линейные цепи,
которые рассматриваются изолированно от нелинейных элементов;
во-вторых, при рассмотрении прохождения сигналов через
колебательные цепи, обладающие высокой частотной избирательностью,
удается существенно упростить сам метод анализа допущением
о «медленности изменения амплитуд».
Несмотря на перечисленные ограничения, имеется широкий
круг практических задач, которые можно успешно решать
линейными методами. Такие задачи встречаются прежде всего при
прохождении сигналов через линейные усилители с апериодическими
и колебательными цепями. Из дальнейшего будет видно, что слабо
выраженная при воздействии малых сигналов нелинейность
усилительных элементов (ламп, транзисторов и т. д.) позволяет
использовать линейные методы при анализе прохождения импульсов
и модулированных колебаний через усилители. Даже для
существенно нелинейных устройств на основе линейного рассмотрения
отдельных узлов этих устройств часто удается пол-учать полезные
для практики результаты.
Напомним основные методы, с которыми приходится иметь дело
при анализе прохождения сигналов через радиотехнические цепи.
Для простейших цепей, описываемых дифференциальными
уравнениями не выше второго порядка, задачу обычно нетрудно решить
классическим методом дифференциальных уравнений.
Для сложных цепей значительно более удобными оказываются
методы, основанные на спектральном представлении сигнала.
К этим методам относятся метод интеграла Фурье и тесно с ним
связанный операторный метод (преобразования Лапласа). Наряду
со спектральным методом в радиоэлектронике часто используется
также метод интеграла наложения, основанный на представлении
сигнала в виде суммы импульсов (или скачков).
Кроме перечисленных строгих методов, применяются
упомянутые выше приближенные методы, приспособленные к специфике
рассматриваемых цепей и сигналов.
В данной главе излагаются основные положения теории передачи
детерминированных сигналов через линейные цепи с постоянными
параметрами.
6.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД
В основе этого метода лежит использование введенной в
предыдущей главе передаточной функции цепи К (т) (см. § 5.3).
Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал
произвольной формы в виде э. д. с. е (f), то, применяя спектральный
метод, следует определить спектральную плотность входного
сигнала Е (со). Эта операция легко осуществляется с помощью
выражения (2.38). Умножением Е (со) на К (т) получаем
спектральную плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец,
применяя к произведению Е (со) К (to) обратное преобразование
Фурье 1см. выражение (2.49)], определяем выходной сигнал в виде
функции времени.
Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла
1
е (/)=— f Е (со) еш dco,
(6.1)
Лолюса
Функции
Полюса
функции
£(Р)
то выходной сигнал можно представить в аналогичной форме
u(t)=— f E (со) К(to)e«°' dco. (6.2)
— оо
Сравнение выражения (6.2) с (6.1) показывает, что сигнал на
выходе линейной цепи можно получить суммированием спектра
Е (а) входного сигнала с весом К (to). Иными словами,
передаточная функция цепи К (to) является
весовой функцией,
определяющей относительный вклад
различных составляющих спектра
Е (со) в сигнал и (t).
В § 2.13 отмечалось, что
анализ переходных процессов
значительно упрощается при
представлении как внешней силы, так
и передаточной функции цепи в
виде преобразований Лапласа.
При этом обозначение
передаточной функции можно сохранить
прежним, а изменить только
аргумент, так что К («со) перейдет в
К (р). функция же Е (со)
переходит в Le (p) (см. § 2.13). Для упрощения записи преобразование
Лапласа от функции времени е (t) в дальнейшем обозначается
символом Е (р). При этом выражение (6.2) приводится к виду
[см. §2.13]
е+оо_
u(t)=~ f Е(р)К(р)е*с1р. (6.3)
С—/оо
При />0 замкнутый контур интегрирования, образованный
Добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой
полуплоскости (рис. 6.1), охватывает все полюса подынтегральной
функции какЁ (р), так и К (р), благодаря чему имеет место соотношение
Ионтур оштегриродатя
Рис. 6.1
Контур интегрирования
при ОО.
и (/)=— & Е (р) К (Р)ePt dP= 2 res, t > 0.
Здесь 2 res — сумма вычетов в указанных полюсах.
(6.4)
При t <. О контур интегрирования лежит в правой
полуплоскости, не содержит полюсов и интеграл равен нулю. _
Показанное на рис. 6.1 расположение полюсов функции Е (р)
(на мнимой оси) соответствует э. д. с. вида е (f) = E0 cos co0 t,
существующей при t > 0.
Итак, вычисление интеграла (6.4) сводится к определению
вычетов в полюсах подынтегральной функции. Представим
подынтегральную функцию выражения (6.4) в виде
Ё (р) К (р)еР' = U (р)еР' = Р (p)/Q (p). (6.5)
Тогда вычет функции Р (p)IQ (p), имеющей в точке рг простой
полюс (первой кратности), определяется формулой
Если функция Р {p)/Q (p) имеет в точке рх полюс кратности
т (т — целое положительное число), то
res,
(6.6)
res,
l
dm~l
(m—l)\ dpm~i
-^-(P-ftH .
Q (P) \p=Pi
(6.7)
Методика применения контурных интегралов для определения
некоторых функций, играющих большую, роль в теории
переходных процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах.
6.3. МЕТОД ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ
Вместо разложения сложного сигнала на гармонические
составляющие (спектральный метод) можно воспользоваться
разбиением сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 6.2).
Если в основе спектрального метода лежит передаточная
функция цепи К(ш), то метод интеграла наложения базируется на
импульсной характеристике цепи
g (/), введенной в § 5.3.
Пусть требуется найти сигнал
«вых (0 на выходе цепи, если задан
сигнал s (f) на входе цепи и
известна ее импульсная характеристика
g (t). Для уяснения сути метода
интеграла наложения поступим
следующим образом. Разобьем
произвольный сигнал s (х) на
элементарные импульсы, как это
показано на рис. 6.2, и найдем
отклик цепи в момент t на элементарный импульс (на рис. 6.2
заштрихован), действующий на входе в момент х. Если бы площадь
этого импульса равнялась единице, то импульс можно было бы
рассматривать как дельта-функцию, возникшую в момент х. Пр;:
импульсной характеристике цепи g (х) отклик в момент / был бы;
х \х+Дх
Рис. 6.2. Пояснение метода
интеграла наложения.
очевидно, равен g (t—х). Поскольку, однако, заштрихованная
на рис. 6.2 площадь импульса равна & (х) Ах (а не единице),
величина отклика в момент t будет s (x) Axg (t — х).
Для определения полного значения выходного сигнала в
момент t нужно просуммировать действие всех импульсов в
промежутке от х — О до х — t. При Ах -*■ 0 суммирование сводится к
интегрированию.
Следовательно,
t
W СО = f s(x) g(t—x) dx. (6.8)
В общем случае, если начало сигнала s (x) не совпадает с
началом отсчета времени х, последнее выражение можно записать
в форме
t
«вьгх#)= J S(x)g(t — X)dx. (6.9)
— оо
Для реальных цепей всегда выполняется условие
g у — х) = 0 при t<Z х, (6.10)
т. е. при отрицательном аргументе функция g (t — х) должна
обращаться в нуль, так как отклик не может опережать
воздействие. Поэтому выражение (6.8) можно заменить выражением
sBHX(0= j" s(x)g(t—x)dx ' (6.11)
—-оо
(при этом имеется в виду, что для х > t подынтегральное
выражение обращается в нуль).
Приведем, наконец, еще одну форму записи, которая получается
из выражения (6.8) при замене х на t — xi
t
sBm(t) = §s(t—x)g(x)dx. (6.12)
о
Интеграл, стоящий в правой части выражения (6.8), в математике
называется сверткой функций s (t) и g (t) (см. § 2.7). Таким образом,
приходим к следующему важному положению: сигнал sBtJX (t) на
выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала s (t)
с импульсной характеристикой цепи g (t).
Из выражения (6.11) видно, что сигнал на выходе цепи sBbrx (t)
в момент t получается суммированием мгновенных значений
входного сигнала s (f) с весом g (t — я) за все предыдущее время.
В § 6.2 при суммировании спектра входного сигнала весовой
Функцией являлась передаточная функция цепи К(ш). В данном
случае при суммировании мгновенных значений входного сигнала
s (0 весовой функцией является импульсная характеристика цепи,
взятая с аргументом (t — х), т. е. функция g (t — х).
G.4. ПРОХОЖДЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ
АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Дискретные сообщения обычно представляют собой
последовательности импульсов. При передаче таких последовательностей
через инерционные цепи форма импульсов претерпевает изменения,
которые приводят к частичной или полной потере передаваемой
информации. В связи с этим одной из наиболее типичных задач,
с которыми сталкивается радио-
*|.
в)
ю
0
С
шш
т
\\Е
*
■
f
W
t
t
инженер и исследователь в своей
практической деятельности,
является анализ искажения формы
импульсов.
Из всего многообразия
возможных форм импульсов
наибольший интерес для анализа
представляет прямоугольный
импульс. Это связано с простотой
формирования, а также с его
широким применением в
системах с двоичным кодом и во
многих других радиотехнических
устройствах. При работе с
прямоугольными импульсами
основное внимание обычно уделяется
передаче фронта и среза
импульса. Этот вопрос особенно важен,
Рис. 6.3. Искажение формы импульса
в резистивном усилителе:
а — импульс на входе; 6 — представление
импульса в виде суммы двух скачков; в —
деформация скачков на выходе; г —
результирующий импульс на выходе; д —
импульс на выходе усилителя при
устранении разделительной цепи /?iCt
когда передаваемая или извлекаемая информация содержится
в положении переднего (или заднего) перепада импульсов на оси
Бремени (например, в некоторых радиолокационных системах).
Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса через
апериодический усилитель, изученный в § 5.6. Сначала рассмотрим
схему с разделительной цепью Rlt Сх (рис. 5.15, а). Передаточная
функция этого усилителя определяется выражениями (5.50) —
(5.52). Затем, положив Сг->- оо , перейдем к схеме рис. 5.14,о
характерной для транзисторного усилителя. Пусть в момент t = 0
на вход усилителя подается прямоугольный импульс э. д. с. е (t)
с амплитудой Е и длительностью Т (рис. 6.3, а). На протяжении
времени от t — 0 до t = Т напряжение на выходе усилителя
можно рассматривать как результат включения при t = 0 постоян-
ной э. д. с. ег (/) = £. В момент t = Т включается дополнительная
э. д. с. е2 {f) = — Е, компенсирующая первую э. д. с. (рис. 6.3, б).
Суперпозиция выходных напряжений щ (/) и иъ {/), обусловленных
действием ех (f) и е.г (t), образует импульс на выходе усилителя.
Таким образом, задачу можно свести к рассмотрению процессов
установления в усилителе при включении на входе постоянной
э д. с.
В соответствии с формулой (2.108) при включении в момент
= 0 э. д. с. ех (t) = E изображение
— °° 1
E1Go)=fe1(Oe-*d/?=.E-i-.
о р
Тогда по формуле (6.3) выходное напряжение
С-Ноо
M0 = lir J -jEK(p)&*dp=-KmisaEx
С— /оо
еР' dp
2П! J P2
2я? J ps-io+p+l/i!
с—/оо
Полюса подынтегральной функции были определены в § 5.6
[см. формулы (5.53)3:
Pi = — 1/Тл; р2 = — 1/т0, т0 << т1#
Находим вычеты по формуле (6.6)
ер»' е-''''1'
res1= = we-"T',
l ар jp=o, \ tt /
[ dp Jp=Ps ° \ т0 J
ерг< e— '/tn
res2= = = —e~"T».
Итак,
Ul </) = -КмакС£[е-'^.-е-'^1. (6.13)
Графики ыг (/) и ы2 (0 = — Uy (t — T) изображены на
рис. 6.3, б, а результирующее напряжение на выходе усилителя
и (f) = щ (/) + ы2 (0 — на Рис- б-3» г-
Из формулы (6.13) и рис. 6.3, г видно, что при малых временах,
т. е. при t, соизмеримых с т0, первая экспонента в выражении
(6.13) близка к единице и основное влияние на фронт импульса
оказывает вторая экспонента. Когда же / становится соизмеримым
с тъ характер функции иг {t) определяется в основном первой экс-
понентой. То же самое относится к функции и2 (f) при отсчете вре-
мени с момента t—T. Прямоугольный импульс с амплитудой
/(макс £> который имел бы место в идеальном усилителе с
равномерной частотной характеристикой, изображен на рис. 6.3, г
штриховой линией.
Искажение формы реального импульса проявляется: а) в
конечной крутизне фронта и среза, б) в спаде вершины импульса.
Первый из этих факторов выражен тем сильнее, чем больше
постоянная времени т0 = RC0 (и, следовательно, чем сильнее завал
частотной характеристики в области верхних частот).
Второй фактор (спад вершины импульса), наоборот, выражен
тем сильнее, чем меньше постоянная времени тх разделительной
цепи Rlt Ci (и, следовательно, чем сильнее завал частотной
характеристики в области нижних частот).
Выбор постоянных времени т0 и хг зависит от требований,
предъявляемых к форме импульса на выходе усилителя. Если
требуется, чтобы за время Т амплитуда достигала лишь своего
максимально возможного значения КМакс £> то постоянная времени т0
может иметь величину, близкую к Т. Форма импульса при этом
далека от прямоугольной.
В тех случаях, когда требуется удовлетворительное
воспроизведение формы импульса, постоянная времени т0 должна
сопоставляться со временем, отводимым на длительность фронта выходного
импульса, а постоянная времени тх должна быть велика по
сравнению с длительностью импульса Т. Этот результат имеет важное
значение для правильного выбора параметров системы передачи
дискретных сообщений, так как он указывает минимальное
время, необходимое для перехода от одного дискретного уровня
к другому.
Следует отметить, что в случае усиления импульсной
последовательности проведенное выше рассмотрение справедливо при
достаточно длительном интервале между импульсами, так что на-"
ложение переходных процессов от соседних импульсов не имеет
места.
Продифференцировав (6.13) по t и приравняв Е к единице,
получим выражение для импульсной характеристики
апериодического усилителя
o(t)= dui(l) = — Кмакс (е~*'ъ ^- е-'/'Л «
6 ' А т„ V ч J
я}—3-[е-иъ_Л°-е-1/х,\ (6.14)
представленной на рис. 6.4, а.
Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса через
транзисторный апериодический усилитель, схема которого представлена
на рис. 5.14, а. Как указывалось в § 5.6, для этого достаточно
устремить емкость Сг к бесконечности, т. е. закоротить конденсатор Си
<//^№№ i I
-Ofi-W
{/ftmmk
8ft IZft t/vB
О
f)
\& Bfi K,Q Щ
4>
Рис. 6.4. Импульсная характеристика резистивного усилителя:
О—о разделительной цепью Л, Ct (-
-Хо=Ю е. <с, = 10"
То/Т, = 10 8; г0=
= 10" о. т;1=10~4 о, T0/Tj=10_ ); б — без разделительной цепи.
а проводимость Gx — \/Rt включить в G. При этом формула (6.13)
переходит в
М0 = —/Смвкс£(1-е-'А.) (6.13')
(так как тг -»- оо ), а импульсная характеристика — в
£(0 = -(КмакС/т0)е-"К
(6; 14')
Импульс на выходе рассматриваемого усилителя изображен
на рис. 6.3, д, а импульсная характеристика — на рис. 6.4, б.
6.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ
В радиоэлектронике часто требуется осуществлять
преобразование сигнала, имеющее характер дифференцирования или
интегрирования.
На вход линейного устройства, осуществляющего
дифференцирование, подается сигнал s (t); с выхода должен сниматься
сигнал вида
ds(t)
SBbi"x (') — Т0 '
dl
В интегрирующем устройстве связь между выходным sBbIX (/) и
входным s (f) сигналами должна иметь следующий вид:
:(*)=— fs(/)
dt.
В этих выражениях т0'—постоянная величина, имеющая
размерность времени.
Дифференцирование и интегрирование являются линейными
математическими операциями. Следовательно, для
дифференциального или интегрального преобразования сигнала следует применять
линейные цепи и элементы, обладающие требуемыми
соотношениями между входными и выходными величинами. Этим требова-
ниям отвечают в принципе такие элементы, как обычные
конденсаторы или катушки индуктивности в сочетании с резистором при
надлежащем съеме выходного сигнала.
Рассмотрим сначала цепь, изображенную на рис. 6.5, а.
Подразумевая под входным сигналом s (f) электродвижущую
силу, составим уравнение для тока в цепи i (/)
Ri(t)+±\i(t)dt=s(t). (6.15)
Умножим это уравнение на С и обозначим постоянную времени
цепи т0 = RC. Тогда получим уравнение
T0i(t) + ty(f)dt^Cs{t). (6.16)
Характер функциональной связи между током I (/) и входным
сигналом s (/) зависит от величины постоянной времени т0.
Рассмотрим два крайних случая: очень малого и очень большого т0. В пер-
о н—« о
№
Щ Ш s№) \\r shlK(t) s(t) =}= sibKW
с 1 о————i —о o-
Ю б) в)
Рис. 6.5. Цепь, используемая для осуществления дифференцирования или
интегрирования (а), дифференцирующая (б) и интегрирующая (в) RC-uem.
вом случае, т. е. при очень малом т0, первым слагаемым в левой
части уравнения (6.16) можно пренебречь. Продифференцировав
оставшееся после отбрасывания этого слагаемого уравнение по
t, получим
*(0«С Л(0-
dt
Отсюда видно, что напряжение на резисторе R, совпадающее
по форме с i (f), пропорционально производной входного сигнала
dt di
Таким образом, приходим к схеме дифференцирующего
четырехполюсника, показанной на рис. 6.5, б, в которой выходной
сигнал снимается с резистора R.
Во втором случае, т. е. при очень больших значениях т0)
второе слагаемое в левой части уравнения (6.16) можно отбросить.
При этом ток
То Н
совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение на
конденсаторе С, равное
ис=-1р(/)Л« J^JsWdf,
пропорционально интегралу от входного сигнала s (f). Отсюда
следует, что для осуществления интегрирования RC-цепъ должна бшь
использована в соответствии со схемой, показанной на рис. 6.5. в.
Аналогичные результаты можно
получить с помощью /^L-цепи о—г i—® о о—/"vv»_« ^
(рис. 6.6). , R \ П
В дифференцирующей цепи s® L < s0w® s® R [J %*^
постоянная времени т0 = LIR 0 f о Г—-о
должна быть достаточно мала, щ g)
а в интегрирующей —
достаточно велика. Принцип ДифсЬерен- Рис. 6.6. Дифференцирующая (а) и
цирования в первой схеме интегрирующая (б) RL-иеш.
(рис. 6.6, а) можно представить
следующим образом. При достаточно большой величине
сопротивления R ток через T^L-цепь почти не зависит от величины L и
совпадает по форме с входным сигналом ь (t). Выходной же сигнал
*вых (0> снимаемый с индуктивности L,
:<в-^|-«^|.»[
ds(t)
d/
В схеме, показанной на рис. 6.6, б, наоборот, ток в основном
определяется индуктивностью L (так как R весьма мало):
t(f)t&— fsCOdfc
выходной же сигнал, снимаемый с резистора R,
sBM (0 = ^(0 «— [s(t)dt.
ч J
Уточним теперь использованные выше понятия «малое» и
«большое» т0. Это проще всего сделать на основе спектрального
рассмотрения. Если входной сигнал s (t) обладает спектральной плотностью
S (оз), то при точном дифференцировании выходной сигнал sBbIX (t) =
= т0 -^р- должен обладать спектральной плотностью «(ot0S (ш),
а при точном интегрировании — плотностью (1/шт0) S (оз) [см.
выражения (2.59) и (2.60)j. Это означает, что для точного
дифференцирования требуется четырехполюсник с коэффициентом передачи
К (ш) = т0йо, (6.17)
а для точного интегрирования
К (ш) = 1/т0ш. (6.18)
Показанные на рис. 6.5, бив четырехполюсники обладают
передаточными функциями соответственно
К(йв) = - =RC * = То'(й , (6.19)
v ' R+ 1/t'eoC 1 + RC/co 1+т0ш
K(to)= '//coC =_1 1 __( 1 (62()
7 R+ 1/iaC mRCl+(l/iuRC) т„ to 1 + (1/т0 ив)
Из сравнения выражений (6.17) и (6.19) видно, что для
удовлетворительного дифференцирования требуется, чтобы выполнялось
условие
т0со < 1. (6.21)
Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот
спектра входного сигнала, в том числе и для самой верхней.
Из сравнения же выражений (6.18) и (6.20) видно, что для
удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия
т0со>-1. (6.22;
Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот
спектра входного сигнала, в том числе и для самой нижней.
Из неравенств (6.21) и (6.22) следует, что при заданной цепи
дифференцирование тем точнее, чем ниже частоты, на которых
концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование тем
точнее, чем выше эти частоты.
Из этих неравенств вытекает также следующее принципиальное
положение: чем точнее дифференцирование или интегрирование,
тем меньше (по модулю) передаточная функция К (ш) цепи,
осуществляющей это преобразование сигнала. Сказанное относится
к простейшим RC-или RL-цепям, представленным на рис, 6.5 и
6.6. В пределе, при идеальном преобразовании, К (со ) -*- 0.
Таким образом, простые RC- или RL-цепи пригодны лишь для
приближенного дифференцирования сигналов. Точность
дифференцирования можно в принципе повысить с помощью усилителя на
выходе дифференцирующей цепи. Однако неизбежная
нестабильность усиления и нелинейные искажения в простом усилителе
делают такой способ практически неприемлемым. В связи с этим
в прецизионных дифференцирующих устройствах применяют
усилитель с отрицательной обратной связью по схеме, представленной
на рис. 6.7, а.
Напряжение обратной связи, снимаемое с резистора R2,
вводится в цепь резистора R. На рис. 6.7, б построена схема замещения
для цепи, расположенной справа от зажимов 2—2'. Усилитель
/Су, обладающий большим входным сопротивлением,
рассматривается здесь как зависимый источник напряжения, управляемый
напряжением. Четырехполюсник обратной связи соответствует
делителю напряжения Rlt R2; передаточная функция /Сос = #2/(^i+^г)-
Ток в цепи резистора R определяется очевидным выпажением
Ir = (Ut — Uo0)t R- Учитывая, что Uov = /<0С£УВЫХ и £УВЫХ =
= KyUlt получаем
/д = (UJR) (1 - КуКос) = ВДэкв,
где R№B = R/ (1 — КуКое) — эквивалентное сопротивление между
зажимами 2—2'.
При отрицательной обратной связи выполняется условие
/СуКОс<0- В рассматриваемой схеме i<ос — положительная (ве-
Рис. 6.7. Дифференцирующая цепь с применением отрицательной обратной
связи (о) и схема замещения (б).
щественная) величина, а /<у—отрицательная (например, при
использовании транзисторного усилителя с общим эмиттером,
см. § 5.4).
Таким образом, постоянная времени цепи С, R9KB, определяющая
качество дифференцирования, будет
Ъив = СЯэив = CRI (1 + |/СуКос|) = V (I + l/C^Cool).
Передаточная же функция устройства в целом
и„чх __ ивых Ui Ку шх0
Ко («»)=-
и,
!СОТэкв
Так как величину тВИв можно уменьшить во много раз по
сравнению с т0, влияние слагаемого ia>i3KB в знаменателе второй дроби
можно свести практически к нулю (без уменьшения модуля
К0 (т))- Так, например, при Ку — — 100 и /Сос = 0,1, т8вв =
= т0/ (1 + 10) и /(утэкв = 100 т„/ (1 + 10). В результате
Ко (to) =9-
!0)ТС
1+йвто/Н
В современных прецизионных дифференцирующих устройствах
применяются операционные усилители с очень большим усилением,
позволяющие осуществить любое требуемое приближение переда-
точной функции к виду К (ею) = kmx0 (k — постоянный
коэффициент).
В рассмотренной выше схеме (рис. 6.7, а) при IKyKocl^ 1
передаточная функция
1С, (ко) ft
Кос 1 +«»тэив
почти не зависит от /Су. Вытекающие из этого преимущества в
отношении стабильности усиления и ослабления нелинейных
искажений были объяснены в § 5.9.
Рис. 6.8. Единичный им- Рис. 6.9. К определению Рис. 6.10. Сигнал на вхо-
пульс (а) и импульсная импульсной характери- де (о) и выходе (б) диф-
характеристика идеаль- стики идеальной диффе- ференцирующей цепи,
ной интегрирующей це- рейдирующей цепи,
пи (б).
В заключение найдем импульсные характеристики
дифференцирующей и интегрирующей цепей и приведем некоторые примеры
прохождения импульсных сигналов через эти цепи. Проще всего
определяется импульсная характеристика интегрирующей цепи.
Исходя из соотношения
сю
to J
*
и подставляя вместо s (t) дельта-функцию б (/), получаем для
sblix (0> т- е- в данном случае для импульсной характеристики
идеального интегрирующего устройства, следующее выражение:
со
g(0 = — Г б (*)#= —при 0<;
to J т0
< оо.
(6.23)
Единичный импульс и импульсная характеристика
интегрирующей цепи изображены на рис. 6.8.
Для простой интегрирующей RC-тпи (рис. 6.5, в) импульсная
характеристика
8(f)-
. е-'/то.
То
(6.23')
Нахождение импульсной характеристики дифференцирующей
цепи затрудняется определением производной от
дельта-функции. Это затруднение можно избежать, если короткий импульс,
обращающийся в б (/) при устремлении его длительности т к нулю
(см. § 2.11), продифференцировать до перехода к пределу. На
рис. 6,9, а показан исходный импульс с виде треугольника с
основанием 2т и высотой 1/т. Площадь импульса равна единице.
О Т
оо В)
! _
0 а) Т\ t
ю
Рис. 6.11. Сигнал на входе (о) и
выходе (б) дифференцирующей цепи.
Рис. 6.12. Сигнал на входе (а) и
выходе (б) интегрирующей цепи.
Производная подобной функции изображена на рис. 6.9, б. При
т-> 0 треугольный импульс обращается в дельта-функцию б (t),
а сдвоенный биполярный импульс (рис. 6.9, б) — в производную
дельта-функции, т. е. в б' (/).
Итак, импульсная характеристика идеального
дифференцирующего устройства, получаемая из общего выражения sBbIX (f) = x0s' (t)
заменой s (0 на б (t) и sBbIX (f) на g (/), определяется выражением
g (0 = т0б' (f) при X t<L оо . Она имеет вид, показанный на
рис. 6.9, б при т -> 0.
Рис. 6.10 иллюстрирует прохождение трапецеидального импульса
через дифференцирующую RC-цепь. Штриховыми линиями показан
сигнал на выходе идеального дифференцирующего устройства.
На рис. 6.11 аналогичные построения сделаны для входного
сигнала, представляющего собой прямоугольный импульс
(рис. 6.11, а). При точном дифференцировании выходной сигнал
Должен представлять собой два единичных импульса: б (/) и
— б (t — Т). В действительности же получаются два
экспоненциальных импульса (на рис. 6.11, б заштрихованы).
Приведенные на рис 6.10 и 6.11 примеры показывают, что чем
медленнее во времени изменяется входной сигнал, тем лучше
дифференцирование.
Рис. 6.12 иллюстрирует работу интегрирующей RC-u.enn, когда
на вход подан прямоугольный импульс. Чем больше постоянная
времени цепи, тем ближе реальный выходной сигнал (сплошная
линия) к идеальному (штриховая линия).
6.6. ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА РАДИОСИГНАЛОВ
В ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ЦЕПЯХ. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ
МЕТОД
Рассмотренные в предыдущей главе задачи характерны тем,
что в них мы имели дело с сигналами, которые по своей форме
совпадали с формой передаваемого сообщения. При передаче подобных
сигналов задача сохранения информации тесно связана с задачей
сохранения формы сигналов.
Иначе обстоит дело с радиосигналом, в котором информация
заключена в одном из нескольких параметров высокочастотного
колебания. Не обязательно сохранять полностью структуру этого
колебания; достаточно лишь сохранить закон изменения того
параметра, в котором заключена информация. Так, в случае амплитуд-
но-модулированного колебания важно точно передать огибающею
амплитуд, между тем как некоторое изменение частоты или фазы
заполнения, не имеющее существенного значения, при анализе
можно не учитывать. При передаче радиосигналов с угловой
модуляцией, наоборот, основное внимание следует уделить точному
воспроизведению закона изменения частоты и фазы.
Эти особенности радиосигналов открывают путь к некоторому
упрощению методов анализа, их передачи через линейные цепи.
Возможность упрощения особенно существенна, когда радиосигнал
представляет собой узкополосный процесс, а цепь —
узкополосную систему. Это как раз и характерно для реальных
радиосигналов и реальных избирательных цепей. В §3.1 уже отмечалось, что
даже для «широкополосных» сигналов ширина спектра
радиосигнала мала по сравнению с несущей частотой сигнала. Соответственно
и полоса прозрачности цепи обычно мала по сравнению с ее
резонансной частотой
Спектральная плотность Sa (ю) высокочастотного
модулированного колебания а (/) образует два всплеска вблизи частот а>„ и
— (о0. а передаточная функция К (ко) — вблизи частот юр и
— (ор (рис. 6.13). Для общности здесь принято, что резонансная
частота цепи юр не совпадает с центральной частотой сигнала
ю0> т. е. имеет место расстройка. При этом предполагается, что
расстройка
Лео = со0 — Юр (6.24)
является величиной того же порядка, что и полоса пропускания
цепи.
Составим выражение для сигнала на выходе цепи. Если сигнал
на входе цепи можно представить в форме a (t) — A (f) cos lwu* -f-
+ 6 (f)], выкладки значительно упростятся при использовании
аналитического сигнала [см. § 3.10, формулы (3.87) и (3.88)]
г(/)=А(/)е
too*
(6.25)
Спектральная плотность [модуль Z (со)] этого сигнала изображена
на рис. 6.13 жирной линией (сравнить с' рис. 3.25). Так как
функция Z (со) существует только в области положительных частот,
сор еов
I I
-Щ
-Аа 0
Q=a-o)g
Рис. 6.13 Спектральная плотность модулированного колебания и передаточная
функция узкополосной цепи.
то при определении аналитического сигнала на выходе цепи
следует исходить из выражения
(t)=— Г Z (to) К (/«) еш dco.
2л J
(6.26)
В § 3.10 было показано, что Z (со) = 2 Sa (со) при со > 0, причем
в области положительных частот Sa (со) = V2 Sa (to — со0) 1см.
формулу (3.10), выведенную для частного случая 6 (/) = 6
о! при
использовании комплексной огибающей последняя включает в себя
е №
Следовательно, Z (со) = Sa (со — со0). Подставляя это
выражение в (6.26), получаем
ЛП
2л
оо
Г S^ (со—а>0) К («'(о) е' °* dco. (6.27)
Перейдем к ноеой переменной Q = а> — со0. Тогда:
W0 = U- f S^(Q)K[«K + fi)]e«*dQU'W. (6.28)
-Wo
Из сопоставления этого выражения с (6.25) сразу видно, что
выражение, стоящее в фигурных скобках, соответствует комплексной
огибающей выходного колебания
оо
AmiW = 4(0№xe«W(, = JL j SA(Q)K\i^0 + ^)\e^dQ. (6.29)
— Шо
Дальнейшее упрощение анализа вытекает из свойств
передаточной функции резонансных цепей, обладающих сильно
выраженной частотной избирательностью. Модуль коэффициента передачи
К (ш) быстро убывает при удалении а> от резонансной частоты.
Поэтому передаточную функцию целесообразно выражать
в виде функции расстройки частоты а> относительно резонансной
частоты сор:
К (т) = К U (<й„ + Q)J = К И (<ар + Лю -+- fi)f = К! U (Доз +
+ Q)J, (6.30)
где постоянный параметр расстройки Лю = ю0 — <вр.
Так как при Q = — оз0 коэффициент передачи Кх U (Ло> +
+ Q)] практически равен нулю, нижний предел интеграла в
выражении (6.29) можно заменить на — оо . При этом выражение
(6.29) принимает следующий вид:
оо
АвыХ(0=^- f S4(Q)Ki[f(Ae>+G)lelQfdQ. (6.31)
— ОО
Это выражение ничем не отличается от обычного интеграла
Фурье, определяющего оригинал по заданной спектральной
плотности огибающей S» (Q) и передаточной функции Кх U (Доз + й]).
Заменив iQ, на р, получим выражение в форме обратного
преобразования Лапласа:
C-f- ;0о
АвыЛ0 = -^т J ^(p)K[«Ao + pJe^d/7. (6.32)
С— юо
Таким образом, анализ передачи узкополосного
высокочастотного колебания через избирательную цепь по существу сводится
к анализу изменений, претерпеваемых комплексной огибающей
входного сигнала. После нахождения Авых (f) и 6ВЫХ (/) для вы-
ходного сигнала (аналитического) можно написать следующее
выражение:
W (0 = Лвых (0 е'[ю''+евь,х<^ , (6 зз)
откуда
«вых (0 = ^вых (О cOS [<»</ + 6вьге (/)]. (6.34)
Вычисления, связанные с определением Авых (0 по формуле
(6.32), значительно проще, чем при непосредственном определении
оВых (О С помощью обратного преобразования Лапласа, так как
переход от Sa (со) к Sa (Q) и от К (р) к Kt (/Асо + р) сокращает
число особых точек подынтегральной функции.
6.7. УПРОЩЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ
(МЕТОД ОГИБАЮЩЕЙ)
В предыдущем параграфе упрощение спектрального метода
достигалось упрощение передаточной функции избирательной цепи
К (ш). Аналогично метод интеграла наложения можно упростить
укорочением импульсной характеристики g (t), тесно связанной
с передаточной функцией К (ко).
Основываясь на общем выражении (5.28)
оо
g(f)=— Г К («») еш da,
2я J
— ОО
и переходя к аналитическому сигналу zg (t), соответствующему
физической функции g (t)y можем написать [см. (3.91)]
оо
zg (f) = — Г К (/со) е'ю' da. (6.35)
о
Как и в предыдущем параграфе, заменим переменную
интегрирования со = со0 + &■ Тогда с учетом формулы (6.30) и после
замены нижнего предела — со0 на — оо получим
zg(t) = l-~ Г Ktinba+m^dQ 1е*-«. (6.36)
С другой стороны, представив искомую импульсную
характеристику в форме
g(f) = G(f) cos lco0^ + ys (01,
имеем
z (f)=G(0е,[ш,н"т*т =G(f)e'VW=G(t)e'°>°<. (6.37)
Из сравнения выражений (6.36) и (6.37) непосредственно
вытекает равенство, определяющее комплексную огибающую импульсной
характеристики g (f)
оо
G (t)= G (t) e'V>=2 — f Ki [i (&® + &)] *iQt dQ. (6.38)
Как будет видно из приводимых далее примеров, применение
этого выражения упрощает вычисление импульсной
характеристики g (t).
Обращаясь теперь к выражению (6.31) и применяя правило
(2.64), мы можем определить Авых (t) в виде свертки двух функций
времени, соответствующих спектральным функциям S^ (О) и
К! It (Aco + Q)].
Первой из этих спектральных функций соответствует A (t),
а второй, как это следует из (6.38), — функция V2 G (f).
Следовательно,
"вых W =
оо оо
= ~ Г А (х) G (t—х) dx=-±- {A{x)G (t—x) emx)+V<~ x4x. (6.39)
— oo — oo
Это выражение является общим, пригодным для любых
избирательных цепей и любых узкополосных сигналов. В тех случаях,
когда свободные колебания характеризуются постоянной частотой
заполнения, как, например, в одиночном контуре, ys (f)
вырождается в постоянную фазу и выражение (6.39) существенно упрощается.
То же самое относится и к сигналам с немодулированной частотой
заполнения, когда 6 (f) обращается в постоянную величину.
Метод интеграла наложения более эффективен в тех случаях,
когда временные характеристики сигналов или цепей (или тех и
других) оказываются более простыми, чем спектральные. Такое
положение имеет место, в частности, при некоторых
частотно-модулированных сигналах. Примеры применения метода огибающей
приводятся в § 6.10.
6.8. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНЫЙ
УСИЛИТЕЛЬ
Имея в виду радиоимпульс с прямоугольной огибающей и не-
модулированным высокочастотным заполнением, рассмотрим
сначала явления в цепи при передаче фронта импульса, т. е. при
включении в момент t = 0 гармонической э. д. с. е (f) = Е0 cos (co01 + 60).
Г. качестве выходной величины 'примем напряжение на
колебательном контуре усилителя, схематически показанного на
pi:c. 5.I7.
Выведем сначала точное выражение для выходного напряжения.
Основываясь на общей формуле (5.60), домножим числитель и
знаменатель входящей б нее дроби на to/C:
К (№>)=— StolC
tm<°'+°-> + (tof +-L1.
f-i LC J
Воспользуемся известными соотношениями: \IVlC = cop —
резонансная частота контура; (G, + GW)/2C = aK = 1/тк, где
тк — постоянная времени контура; аи — затухание.
Кроме того, воспользуемся выражением (5.61) для резонансного
коэффициента усиления /СмакС- Тогда передаточную функцию
усилителя можно привести к виду
К(to)= _2ав К^{^+^ш+ы,. (6.40)
Таким образом, в операторной форме
К(р)=— Ч^ммс ,,■/-, «• <б-41)
Изображение по Лапласу для колебания Е0 cos (со0/ + 0о) имеет
следующий вид:
Ё (р) = — е'е» —^ h —в-ю« £° . (6.42)
2 р—«cor, 2 Р+;'сос
Напряжение на выходе усилителя [см. формулу (6.3)]
с+1<
u(t\=—2a К Ei—e^— ' ' 4-
pepf dp
(р—too) (Р2+2аи p-f со*)
I С—'С
+_L е-*. _L Т £^? 1. (6.43)
2 2д/ J (р+'"шо)(Р*+2аиР+^)
Вычислив вычеты в четырех аолюсах, после весьма
громоздких выкладок получим следующее окончательное выражение:
u(t)= —U cos (со0 ^ + 60—ф) +^е~'/т« Icos (60 — ф) cos юив {t)—
< ... . . ан
-Е— sin (60—ф) + -^ cos (60— ф)
ш0 а»св юср
Sin ©св / L (6.44)
где сосв = {/"©с — с^ — частота свободных колебаний, а ф =
*= arctg (со„ — шр) тн — фазовый сдвиг (в стационарном режиме).
Первое слагаемое в (6.44) определяет стационарное, а второе —
свободное колебание.
Воспользуемся теперь приближенным выражением (6.32).
Передаточную функцию определим по формуле (5.64), в которой под
величиной figKB в данном случае подразумеваем
^^2(0^) гццо+ц-цр] q3kb_(Acu + q)Tk)
Шр СОр
гДе <Ээкв = юр/2ан = сортк/2 — добротность контура с учетом
проводимости Gt активного элемента.
Таким образом,
Кх [/ (Асо +Q)] = - *ма"° , (6.45)
Kj (/Д© + р) = ^^ (6.46)
1 + (1'Дсо+р)тк
Составим теперь укороченное выражение для Sa (р). В
данном случае (при немодулированном высокочастотном заполнении),
огибающая A (t) является вещественной функцией и имеет вид
скачка £■„. Спектральная плотность этой огибающей
SA (Q) = E0/iQ.
С учетом начальной фазы колебаний 00 спектральную плотность
комплексной огибающей A (f) можно представить в форме
SA (Q) = eie°Eo/iQ,
а ее изображение по Лапласу
~Sa (р) = е'е°£0/р. _ (6 47)
Подставив формулы (6.46) и (6.47) в (6.32), определим
комплексную огибающую на выходе усилителя
с-f--оо
Авы*(0 = -^7 j S4(p)K1[iA©+p]eP'dp=
с—zoo
= — ^макс^ое'6"-^- f ^ . (6.48)
макс ° 2ш J р[1 + (/Дш+Р)тк]
С—/оо
Подынтегральная функция имеет всего лишь два полюса:
Pi = 0, р2 = — (1 + (АсотнУтк. (6.49)
Вычеты в этих полюсах
1
res2 =
resx =
е"'
1 + (ДсоТк^- 2тк р
е"
I + i/
\сотк+2ткр
р=р2
JP=Pl 1 + «Acotk*
1 + гДсотк
(6.50)
(6.51)
Таким образом, сумма вычетов
res1-[-res2 = ■■■■ = — =*
1 + (Дсотк Vl -j-Дсо2 т* е"»
У1 + Асо2т2
где
Ф = arctgAcoTK (6.53)
есть фазовый сдвиг напряжения на контуре относительно входной
э. д. с. в стационарном режиме, а
— tlx
■с /л 4. e K sin Лсо<
6 (0 = — arctg — (6.54)
1—е HcosAco<
Итак, комплексная огибающая выходного напряжения
Амане ^0
1/1+Аш2т{|
Авнх(0 = .^макс£°. х
х"|Л—2e~'/T«cosAco/ + e-2'/tK е''[1 ОТ+ео-ф], _ (6.55)
а мгновенное значение этого напряжения
u{t)= /Смакс£о х
У1+Лшат*
х 1/~1 — 2e_(/x"cosAco/+e_2'/x«cos!a t + Ba —q>A-l(t)]. (6.56)
Для сравнения полученного результата с точным выражением
(6.44) приведем и (f) к виду суммы двух колебаний —
вынужденного и свободного. Для этого вернемся к формулам (6.48) — (6.55) и
составим выражение для аналитического сигнала, соответствующего
напряжению и (t):
zu (f) - Авьи Ме*М =■
I -(1/тк+ Лш)'
К F е -— е': (ffl» '+flJ =
— Амакс£0 1 + /дИТк
епю„ *+е0)_е-'/тке'[(ш„-дю)г+е„]
Чмак0^0' 1+«Дштк
-К £л- • (6.57)
После приведения к тригонометрической форме с учетом
соотношения (6.53), а также равенства со0 — Асо = сор получим
u(t) =
Кк
^—[cos(ftU+ef, — ф)—е~'/т«со5(су+60-ср)].
Чш/к*
1/1 + Асо2т2
(6.58)
При аи/сор С 1 шс1Г->-сор и выражения (6.44) и (6.58) практически
совпадают.
Рассмотрим важные для практики следствия, вытекающие^ из
выражения (6.56). Остановимся сначала на случае точной настройки
контура на частоту возбуждающей э. д. с. Приравнивая сор к
частоте со0) получим Асо = 0. Тогда
выражение (6.56) упрощается:
и(г)=-КмаКС£00-е-'/Хк)Х
X cos (co0 t + 60). (6.59)
Из этого выражения видно,
что при совпадении частот со0 и
Юр огибающая амплитуд
выходного колебания нарастает по
закону 1 — е~*/тк независимо
от фазы э. д. с. в момент
включения.
Соответствующая этому
случаю кривая, вычисленная по
формуле
Аъык (Шмакс Е0 = 1 - е-"Ч
(6.60)
построена на рис. 6.14. На этом же рисунке приведены графики
функции
Рис. 6.14. Установление огибающей
высокочастотного напряжения на
выходе резонансного усилителя при
включении гармонической э. д. с. при
различных параметрах расстройки.
.(0
Км
У1 + Лсо2т£
■ }Л _2е-'/тн cos Ш +е~2(/Ч (6.61)
вычисленные для двух значений параметра расстройки Дсотк,
равных 1 и 2.
Из рис. 6.14 видно, что при значительных расстройках процесс
установления огибающей принимает колебательный характер. Это
объясняется биением двух колебаний: частот со0 и сосв. Последняя
при сделанном выше допущении о высокой добротности контура
очень мало отличается от резонансной частоты сор.
Из рис. 6 15, где приведены графики нормированной
огибающей, т. е. функции Атх (f)V\ +■ Асо2т=/Кманс£0, видно, что с
увеличением расстройки крутизна фронта огибающей растет и общая
продолжительность процесса установления несколько
сокращается. Графики функции | ((), т. е. переменной части 6ВЫХ (t),
приведены на рис. 6.16.
Используем полученные результаты для определения формы и
параметров радиоимпульса на выходе одноконтурного усилителя
при прямоугольной форме огибающей импульса на входе.
Колебание на входе (рис. 6.17, а), определяется выражением
a(t) = { £ocos(co0f-f60)
при 0<*<Г,
при г<0 и *>7\
(6.62)
Как и в § 6.4, задачу можно решить, рассматривая независимо
явления на фронте и срезе импульса с последующей суперпозицией
полученных решений.
Липкое
AUT^rZ
Рис. 6.15. То же, что на рис. 6.14, при Рис. 6.16. Процесс установления фазы
нормировании огибающей относитель- колебания в зависимости от параме-
но стационарного значения. тра расстройки Дсотк.
Если длительность импульса Т больше, чем фактическое время
установления режима в контуре при включении гармонической
э. д.' с, то к моменту окончания входного импульса на выходе
усилителя амплитуда колебания будет равна стационарному
значению
Д „ = /(„„ „ EjV 1 + Асо2 х"к ~ const.
лвых ст чмако о< ' ' "■
Начиная с момента t = Т, после прекращения действия
внешней э. д. с, остается лишь свободное колебание, которое можно
представить в форме
К маково
(0=ЛВых СТ е-г/"« cos (coCB t+ ф0) «
-е~(/Хксо8(сорг + ф0) при t>T. (6.63)
У1 + Лсо2т£
Здесь через ф0 обозначена фаза напряжения на контуре в момент
t = Т; Юр « «ев ■
Таким образом, в отличие от фронта на срезе импульса
огибающая амплитуд имеет вид экспоненты независимо от соотноше-
si
I 0
CO
iiiifi
J. H LI _J. XI XIXI .U. JJ. X,
Att)=£g
TTVFf ТТ7ТТГ 74^7"ft "if
. J.XJ-Xl^lXlXiXJ.Xljuj
a)
ЧЁЫХ
4
KvmmEo(1~B~
Ч
77
TN
CfaX К
a;
>6
4t
&•
¥±
ZT)
iiKJJ
jJU
TT
ШШ
B)
ЛСТвГ***
ф*-
y-
Phc. 6.17. Прохождение радиоимпульса через резонансный усилитель:
а — импульс на входе усилителя; б — на выходе при точной настройке контура; в — на
выходе при расстройке.
ни я частот со0 и сор. Сигнал на выходе усилителя при Дсотк = Ои
Асотк = 2 (рис. 6.17, б я в) изображен для случая, когда
длительность импульса значительно больше времени установления.
6.9. ЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ С НЕПРЕРЫВНОЙ
АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
На вход одноконтурного усилителя, изображенного на
рис. 5.17, в момент t = 0 включена э. д. с.
a (t) = Е0 [1 + М cos (Ш + Yo)l cos (со,/ + Э0).
(6.64)
Начальная фаза модулирующей функции у = у0 — const.
Найдем структуру напряжения на выходе усилителя как в
процессе установления, так и в стационарном режиме.
В данном случае целесообразно применить метод интеграла
наложения [см. выражение (6.39)]. В соответствии с (6.64)
комплексная огибающая колебания
A (t) = Е0 [(1 + М cos (to + ю)1 е"Ч
(6.65ч
Найдем комплексную огибающую импульсной характеристики
цепи, представленной на рис. 5.17 Согласно формуле (6.38),
записанной в операторной форме, комплексная огибающая
c+ioo
G(/)=-2—- Г K1[{A(a+p]ePtdp. (6.66)
?— /со
Подставляя в это выражение передаточную функцию по
формуле (6.46)> получаем
e-J- /оо ^
dp
G(f) = —2/CWaK0 — f —
макс 2jw J 1+(/Дш
Дш-f р) tv
Вычет в полюсе р = — (1 4- «AurtH)/TK равен [см. вывод формулы
(6.51)]
res=e-,,/'B«+'Affl"/T",
поэтому
G (t) = -(2КМакс/тк) е~'/тк е- 'Д«*. (6 67)
Полезно отметить, что аналитический сигнал,
соответствующий импульсной характеристике g (/), имеет вид
г [t) = G (^) е"°и' = — 2^манс . е~е/Тк е'1Ш°'—Дш£>
(поскольку (о0 — Асо = Юр), а сама импульсная характеристика
g(f) = Reze(f)= •Кмаис e-(/x«coscoDf. (6.68)
Дальнейший анализ проведем для наиболее интересного случая
точной настройки усилителя на несущую частоту
модулированного колебания (ю0 = сор, Дш = 0). При этом выражение (6.67)
упрощается:
О (t) = - (2 Кмакс/тк) е-"*«. (6.69)
Обращаясь к выражению (6.39) и подставляя в него формулы
(6.65) и (6.69), а также учитывая, что в данном случае 6 (/) = 60 =
= const, ye (f) — 0, получаем
Авых0)=—l£0ife^e^x
X f [ 1 + Л* cos {fix + y0)J e""-ч/,и <&. (6.70)
Пределы интегрирования приведены в соответствие с началом
действия внешней силы (t = 0) и свойством импульсной
характеристики (равенство нулю при {t — х)<0).
Вычисление несложного интеграла в (6.70) приводит к
следующему выражению для комплексной огибающей выходного
напряжения:
"вых 'О — '^макс ^и \ * "т
— е-"тк
М
1 +
У1 + 0»т»
м
cos(Q< + y0—У —
1/1 + "2т|
cos(v0 — So)
i/бо
где
(6.71)
(6.72)
g0 = arctg Qtf = arctg йЯкВ.
Таким образом, мгновенное значение выходного напряжения
М
Овых(0 =
К-ВНС^О И
('
_е-(/ть
м
Vl+fi2Tj^
:COS(y„—£0)
cos(Qf + Y0— ^o) —
cos(con/ + 60). (6.73)
Сопоставим полученное выражение с (6.64). Как и следовало
ожидать, частота и фаза амплитудно-модулированного колебания
при прохождении через резонансный усилитель (при со0 = сор) не
изменяются.
Инерционность колебательной цепи оказывает влияние на
скорость изменения во времени огибающей колебания. Этот фактор
проявляется как в переходном, так и в стационарном режиме.
В переходном режиме инерционность цепи приводит к тому,
что при любом значении огибающей входной э. д. с. в момент
включения (т. е. при любом значении начальной фазы у0) огибающая
на выходе начинается с нулевого значения. По отношению к
огибающей рассматриваемая цепь ведет себя так же, как
апериодическая цепь с постоянной времени тк по отношению к
низкочастотному напряжению с частотой О.
В стационарном режиме (при t » тк) выходное колебание имеет
следующий вид:
'* макс Сц Мт
'"Г
м
ТЛ + о»**
.(0 =
-cos(Qf+To—S0)
COS (t001 + 0,,).
(6.74)
Огибающая этого колебания отличается от огибающей входного
колебания тем, что:
1. Глубина модуляции на выходе, равная
Мвых = M/Vl+Q*x?( = Ml VI+oSkb ,
меньше, чем на входе; относительное уменьшение глубины
модуляции
Р= М™% = ' ■ = ' — . (6.75)
График зависимости D от частоты модуляции Q,
представленный на рис. 6.18, соответствует правой ветви резонансной кривой
колебательного контура.
Рис. 6.18. Зависимость коэффициента
демодуляции в резонансном усилителе
от .модулирующей частоты.
* 5^ь
2. Огибающая амплитуд на выходе отстает по фазе от
огибающей входного колебания на угол
£0 = arctg аэкв = arctg (2 QQ3KJa>p). (6.76)
Результаты, приведенные выше для стационарного режима
тональной модуляции, легко получить также из рассмотрения
прохождения отдельных спектральных составляющих модулированного
колебания.
Записав выражение (6.64) в форме
а (0 = Е0 cos(v>0t + Эр) + (МЕо/2) cos[(co0 + Q)t + Q0 +
+ Vol + (MEJ2) cos [(co0 - Q)t + 60 — Vol (6-77)
нетрудно составить аналогичное выражение и для напряжения на
выходе усилител я.
Учитывая, что передаточная функция усилителя для частот
со0, со0 -г- Q и (Оо — fi равна соответственно [см. формулу (6.45)]
K(f(Do)=K1(0) = -^MaKC;
K[i (<B0 + fi)]==K, (Й2) = ^^- = Кмако e-в.;
К [t (co0—Й)] = К! (—Ш)= Кмакс = Кмакс е'Ч
1—/Qtk yi-J.Q2T2
можем написать
авых (0 = — ^макс ^о [cos («о t + 60) +
4-il ' cos|(cp,-J-QH4-0 +v,.-gJ +
+ 2L l :cOS|((D0—0)f + eo —Yn+gpl
Свернув это выражение, придем к выражению (6.74).
Смысл этого результата поясняется рис. 6.19, а, на котором
показано положение спектра входного колебания относительно
резонансной характеристики колебательного контура. Чем выше
частота модуляции Q, тем больше относительное ослабление
амплитуд колебаний боковых частот и, следовательно, меньше глубина
модуляции колебания.
а) Ю^^~
Рнс. 6.19. Положение спектра модулированного колебания относительно
частотной характеристики усилителя;
а — при тоянои настройке; б — при расстройке.
Полученные из рассмотрения тона'льной модуляции результаты
позволяют представить общую картину явлений при передаче
через контур колебаний, модулированных по амплитуде сложным
сообщением. Входящим в такое сообщение различным частотам
Q соответствует неодинаковое ослабление: чем выше частота, тем
сильнее выражена демодуляция. Так как при приеме колебаний
напряжение на выходе детектора приемника пропорционально
коэффициенту модуляции, получается относительное ослабление
верхних частот сообщения. Таким образ jm, зависимость D (Q) опре-
•
деляет степень линейных частотных искажений передаваемого
сообщения.
Имеет место также и задержка сообщения. Это объясняется
тем, что фазовый сдвиг огибающей (при тональной модуляции)
зависит от частоты. Колебательный контур оказывает на
сообщение, содержащееся в огибающей, такое же влияние, что и фильтр
нижних частот при пропускании непосредственно через него
сообщения.
Величина задержки оределяется наклоном фазовой
характеристики
/ 2Q \
d arctg <2экв
'о =
dq>
dQ
dQ
1
2<2э
, / 2Й \2
(6.78)
Обычно задержку определяют по наклону фазовой
характеристики в точке Q = 0. Тогда
^о = 2 Q3KB/op = т„.
(6.79)
Итак, задержка сообщения в одиночном контуре, полоса
прозрачности которого достаточна для удовлетворительного пропуска
ния спектра сообщения, равна постоянной
времени контура
Рассмотрим теперь случай неточной
настройки контура на несущую частоту
модулированного колебания (рис, 6.19, б).
Несовпадение частот о>0 й юр приводит к
асимметрии боковых частот на выходе
усилителя. Возникновение асимметрии
поясняется векторной диаграммой выходных
напряжений, представленной на рис. 6.20.
На этой диаграмме вектор OD
изображает несущее колебание, фаза которого
запаздывает относительно фазы входной
э. д.. с. (принятой равной нулю) на угол
в« (так как рис. 6.19, б соответствует
положительной расстройке Асо = со0 — сор> 0).
Амплитуда колебания верхней боковой
частоты (вектор ОСг) в данном случае значительно меньше амплитуды
колебания нижней боковой частоты (вектор £>С2). Длина
равнодействующего вектора OF, изображающего результирующее
колебание, изменяется по сложному закону, не совпадающему с
гармоническим законом изменения огибающей э. д. с.
Следует иметь в виду, что для восстановления передаваемого
сообщения на выходе радиолинии, работающей с амплитудной moj
Дуляцией, п именяется амплитудный детектор, представляющий
Рис. 6.20. Возникновение
паразитной фазовой
модуляции при асимметрии
амплитуд колебаний
боковых частот.
собой нелинейное устройство. Напряжение на выходе детектора
пропорционально огибающей модулированного колебания. Из
этого следует, что нарушение симметрии амплитуд и фаз колебаний
боковых частот при неточной настройке контура на несущую
частоту со0 приводит к нелинейным искажениям передаваемых
сообщений. Эти искажения проявляются в возникновении новых
частот, кратных частоте Q полезной модуляции.
Кроме искажения формы огибающей амплитуд, возникает
также паразитная фазовая модуляция колебания, так как при
вращении векторов DC^ и DC2 (рис. 6.20) непрерывно изменяется фаза
6 (t) вектора OF относительно фазы несущего колебания э. д. с.
(принятой в качестве исходной). В некоторых случаях это может
привести к добавочным искажениям сигнала.
Полученные выше результаты нетрудно распространить на
любую колебательную цепь, например на связанные контуры. Если
резонансная кривая такой цепи симметрична относительно
несущей частоты со0, то правую ветвь этой кривой можно
рассматривать как характеристику коэффициента D (см. рис. 6.18).
6.10. ПРОХОЖДЕНИЕ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ
ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНУЮ ЦЕПЬ
Наряду с амплитудной модуляцией — непрерывной или
импульсной — в радиотехнике находит применение фазовая
манипуляция, заключающаяся в скачкообразном изменении фазы
высокочастотного колебания на 180° в определенные моменты
времени (рис. 6.21, а). Амплитуда и частота колебания поддерживаются
при этом неизменными. На рис. 6.21, б фазы Ои л чередуются
периодически; при передаче реальных сигналов закон чередования может
быть более сложным.
fllMIiMi ->
е\ I 1
~| м 1 I ^
а о г, 2Tf t
Рис. 6.21. Фазоманинулированное колебание (о) и характер изменения
фазы (б).
Рассмотрим явления в резонансных цепях, возникающие в
моменты скачкообразного изменения фазы входного сигнала. При
этом будем считать, что тактовые интервалы 7\ между двумя
соседними скачками фазы намного больше длительности возникающих
в цепи переходных процессов, так что рассмотрение каждого из
скачков изолированно от предыдущих вполне допустимо.
Для выявления принципиальной стороны вопроса
ограничимся простейшим случаем — передачей фазоманипулированного
сигнала через одиночный колебательный контур, настроенный на
частоту сигнала со0, г. е. со0=сор.
Совместим начало отсчета времени с моментом скачка, как это
показано на рис. 6.21. Тогда для t> О выходной сигнал на
основании принципа суперпозиции можно представить в виде суммы
свободного колебания, существующего после прекращения
действия старого сигнала, и нарастающего колебания, обусловленного
действием нового сигнала при t > 0, с фазой заполнения, на 180°
отличающейся от фазы предыдущего сигнала.
Рйс. 6.22. Возникновение паразитной амплитудной модуляции в резонансном
контуре при скачкообразном изменении фазы э. д. с.
Пренебрегая различием между собственной частотой контура
сосв и резонансной частотой сор, можем для двух упомянутых
колебаний налисать следующие выражения:
а1(г1) = Л0е~а«' coscop*; a2(t) = — Л0(1 — е-а«')coscop/. (6.80)
Знак минус в правой части второго выражения учитывает
опрокидывание фазы на 180°.
Результирующий сигнал на выходе цепи (рис. 6.22)
-а„<\
s№(0=fli(0 + a.W = (—4, + 4,e-e"4A,e-a«')cos<Dp/ =
=-A.fi-
2е~акr) Cos cop t.
(6.81)
Из-за инерционности контура скачок фазы входного сигнала
приводит к изменению амплитуды выходного сигнала. В момент
времени t0 = 0,69/aK, при котором е~ак'° = V2, огибающая
обращается в нуль. Чем меньше ак (или чем больше добротность
контура), тем больше t0, т. е. тем протяженнее процесс установления
колебания с новой фазой.
В более сложных колебательных цепях, а также при наличии
расстройки между частотами со0 и о>р картина несколько
усложняется: помимо возникновения паразитного изменения
огибающей нарушается и характер изменения фазы. Вместо
скачкообразного изменения получается плавный переход фазы от прежнего
значения к новому. Способ определения структуры выходного
сигнала остается прежним, только аг (t) и а2 (/) в выражении для
«вых (0 будут представлять собой колебания с несовпадающими
частотами. Вычислив модуль и аргумент суммарного колебания,
нетрудно найти огибающую и фазу выходного сигнала.
6.11. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТОТНО-МАНИПУЛИРОВАННОГО
КОЛЕБАНИЯ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ ЦЕПЬ
Пусть сигнал на входе избирательной цепи имеет вид колебания,
изображенного на рис. 6.23, а. В некоторые моменты времени
частота скачком изменяется от coj до со2 или от со2 до coj при
постоянной амплитуде и непрерывной фазе в моменты скачков частоты.
Последнее допущение продиктовано желанием выяснить влияние
на параметры выходного сигнала одной лишь манипуляции
частоты, без наложения манипуляции фазы (рассмотренной в
предыдущем параграфе).
Совместим начало отсчета времени с моментом изменения
частоты от (л1 до со2 (рис. 6.23, б) и положим, как и в § 6.10, что к
моменту t = 0 все процессы, связанные с предыдущим скачком
частоты, уже закончены. Таким образом, при t < 0 выходной
сигнал представляет собой
гармоническое колебание с частотой со,
и постоянной амплитудой А0.
На первый взгляд, может
показаться, что изменение
скачком одной лишь частоты
входного сигнала при постоянстве
амплитуды и отсутствии скачка
фазы не должно сопровождаться
переходными процессами. В
действительности это не так,
поскольку в цепях, запасающих
энергию, переход от одной
частоты к другой неизбежно
связан с изменением запаса
энергии.
Основная идея, на которой базируется дальнейшее
рассмотрение, заключается в том, что мгновенное изменение частоты
внешней э. д. с. эквивалентно выключению старой э. д. с. с частотой
а1 и включению в тот же момент новой э. д. с. с частотой со2.
Аналогичный прием был использован в § 6.10 для скачка фазы входного
сигнала, однако в данном случае дело несколько осложняется
несовпадением частот различных слагаемых.
Итак, результирующее колебание на выходе линейной цепи
при t > 0
о№х(0 = «1 (t) + a, (i), (6.82)
где ах (t) — свободное колебание, связанное е выключением в
момент t = 0 старой э. д. с. (частоты со^; а2 (/) — нарастающее
колебание, обусловленное включением новой э. д. с. (частоты со8).
Рис. 6.23. Частотно-манипулированное
колебание (а) и характер изменения
частоты (б).
Рассмотрим одиночный колебательный контур при съеме
выходного напряжения с емкости (рис. 6.24). Резонансную частоту
контура Юр приравняем частоте со0, а скачок частоты 2 Дсо
(см. рис. 6.23, б) будем считать симметричным относительно со0:
щ = со0 — Дсо = сор — Дсо; со2 = со0 + Дсо = сор + Дсо.
Тогда при обозначениях, принятых в § 6.8, и в соответствии
со вторым слагаемым в выражении (6.58), при замене постоянного
коэффициента — Кша.кйЕо на Q,
свободное колебание можно представить
следующим образом:
. rVW\.
Q
~|/Н-Дш*т?
;-t/x"sin (cop/ + G0
a(t) ,
—<Pi)-
(6.83)
•0 %«W
Рис. 6.24. Колебательный
контур, возбуждаемый частотно-
манипулированным колебанием.
Заметим, что свободное колебание
здесь взято со знаком плюс,
поскольку речь идет не о включении новой, а о прекращении
действия старой э. д. с. Косинус заменен на синус ввиду съема
напряжения с емкости, входящей в последовательный контур. Кроме того,
следует иметь в виду, что для частоты соъ которая ниже резонансной
частоты контура, ток в контуре опережает по фазе э. д. с и угол
ср! является отрицательным, т. е.
ф2 = arctg (— Дсотк) = —arctg Дсотк.
Таким образом, обозначив arctg Дсотк = ср, получим
<Н (0 :
Q
"1/1+Дтат2
-e-I/T«sin(cop* + eo+ip) =
Q
»-»/',
к [cos ф sin (сор t + 60) +
Vl+Aco2i;2
+ sincpcos(cop/ + eo)]
(6.84)
Для определения о2 (i) можно воспользоваться полным
выражением гипа (6.58), в котором постоянный коэффициент — /(мвкс X
X £0 следует заменить на Q, частоту со0—на частоту новой э. д. с,
т. е. на со2, косинусы должны быть заменены на. синусы, а угол ср,
как и в (6.84), следует определять выражением ср = arctg Дютк.
Итак,
М0=-
-0-
1/1+Дш2т|'
[sin(co2/ + eo — ф)— е «sin(a>pf + e0 —ср)].
После подстановки со2 = сор + Дсо это выражение приводится
к виду
аг (0=— Q {cos (Дсо/ —ф) sin (сор/ + ео) +
1/1+ДШ2Т2
Ч- sin (Дог1 —ф) cos (cop / + 6,,)—е~'/т« [cos ф sin (сор/ + ео) —
-sin Ф cos (сор / + 90)]}. (6.85)
Просуммируем выражения (6.84) и (6.85)1
Овых (0 = Q {cos (Дсо/—ф) sin (сор f + во) +
4- [sin (До*—ф) + 2е~1,1*к sin ф] cos (cop t + 60)} =
=./4MX (Q sin |а>р/ + в0+ 1(91- (fi-8fi)
Огибающая Авых (/) и переменная часть фазы % (/) выходного
сигнала определяются выражениями
"вых (0 = , , , зг: х
У1 + Лсоат£
х Kl + 4e~'/'c«sin ф sin (Дсо/—ф) + 4e~2'/i:KSin* ф; (6.87)
| (0 = arctg *т(Аю*--Ф) + 2е-'/т*5шф. (688)
cos(Aort—ф)
Основной интерес в данном случае представляет закон
изменения частоты выходного колебания
«(/) = сор+-^- =сор + Дсо(/).
Выполнив дифференцирование, найдем
Дсо(/)=ДсоХ
1 —2е—"к sin ф "~" cos (Дшг—ф)—sin (Аю/—ф)
X : — —•
1 + 4е к sin ф [sin (Aarf—ф)+е~ к sin ф]
где ак = 1/т„.
Выражение (6.89) можно упростить, так как
ак/Дсо = 1/Дютк = ctg ф
и числитель дроби приводится к виду
1—2e-ак'sInф[-^^ cos (Дсо/—ф)_sin(Aorf — ф)]-=
[ sin ф
~l—2e~a«l cos Дсо/.
(6.89)
Итак, окончательно относительная расстройка
К =
Асо (О
Аш
1_2е а«' cosAorf
l-J-4e к sin ф [sin (Асо/—ф) + е к sin q>\
1 —2e~At0'/& cos Amf
1+4е-Л0"'ь sin ф [sin (Acof—ф)+е-Лсо(/Ь sin ф]
(6.90)
где & = Асо/ак.
Графики Y (До)/) для нескольких значений параметра b
построены на рис. 6.25. Заметим, что полоса пропускания контура,
определяемая по ослаблению сигнала до 1/^2 от максимального зна-
Рис. 6.25. Установление
частоты колебания в
контуре при скачкообразном
изменении частоты
воздействия в зависимости
от параметра 6 = Аш/ак.
№ Ш?
чения, равна 2а„ = cop/Q. Следовательно, параметр Ъ есть не что
иное, как отношение полного скачка частоты сигнала 2 Асо к полосе
пропускания 2 ак.
На рис. 6.26 в качестве независимой переменной выбрана
величина aj, соответственно чему уравнение (6.90) принимает
форму
1—2е
к cos (baK f)
1+4е *"' sin ф[в1п (baKt— ф)+е ""'sinij
(6.91)
При этом следует иметь в виду, что sin <р = Ы\\ + Ьг. На том же
рисунке построена кривая Y& — 1 — е~ак(, соответствующая
процессу установления амплитуды тока при включении в контур
э. д. с. с частотой со0, равной резонансной частоте контура.
Из рис. 6.26 видно, что при b < 0,5, т. е. когда Асо/ак < 0,5,
процесс установления частоты практически не отличается от
процесса установления амплитуды- при внезапном включении э. д. с.
Заметное расхождение к ивых У и Ь наступает при b > 0,5.
Рис. 6.26. То же, что на рис. 6.25. при безразмерном времекп aj.
Для полноты картины рассмотрим еще изменение" амплитуды
выходного сигнала. Подставив в выражение (6.87) Дсотк=Лсо/ак=
= Ь\ sin ф = blY 1 -f b2; ctg ф = \lb, получим
Чых b=Sj
■^вых У-)'
Q
ф
У1 + ь*
™ . е —Лсм/fc у
1 + 62
X
( — sin Дсо/ —cos Дсо/ ) -{-
(6.92)
Графики функции (Kl + b2/Q) X
— —„ * ^вых (Ди>0 для некоторых зна-
/W .?«# да Aat, чений параметра b (рис. 6.27) по-
Рис. 6.27. Изменение амплитуды казывают, что при Ъ > 0,5 изме-
колебания, сопровождающее ча- некие частоты сопровождается зна-
стотную .манипуляцию. чительными амплит дными измене-
ниями. При b — 1, т. е. если девиация частоты достигает границ
полосы пропускания контура, изменение амплитуды доходит до
~ 25% от установившегося значения.
Неравенство Ь — Асо/ак <[ 0,5 можно принять в качестве
условия монотонного нарастания Асо (/) и отсутствия значительных
амплитудных изменений. Длительность же тактового интервала
7\ (рис. 6.23) должна быть достаточно велика по сравнению с
постоянной времени контура тк = 1/ан. Как видим, последнее
требование не отличается от требования к тк при передаче
радиоимпульсов с прямоугольной огибающей.
6.12. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ
ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
В § 6.9 было показано, что при гармонической модуляции
амплитуды передача колебания через контур, точно настроенный на
несущую частоту, не сопровождается изменением формы
огибающей, имеет место лишь ослабление глубины модуляции.
При частотной модуляции неравномерность
амплитудно-частотной и кривизна фазочастотнои характеристик оказывают более
сложное влияние на параметры выходного колебания. Даже при
гармонической модуляции частоты спектр колебания обычно
содержит очень большое число пар боковых частот. Нарушение
нормальных амплитудных и фазовых соотношений между отдельными
парами боковых частот приводит к искажению закона модуляции
даже при полной симметрии характеристик цепи относительно
несущей частоты колебания.
При ЧМ влияние цепи может сказаться:
— в искажении закона изменения мгновенной частоты и
мгновенной фазы колебания;
— в изменении амплитуды полезного частотного отклонения
в зависимости от частоты модуляции Q;
— в возникновении паразитной амплитудной модуляции.
При детектировании колебаний с помощью частотного детектора
напряжение на выходе приемника пропорционально изменению
мгновенной частоты колебания. Поэтому искажение закона
изменения мгновенной частоты в колебательных контурах передатчика
и приемника приводит к нелинейным искажениям сигнала,
проявляющимся на выходе детектора в виде добавочных напряжений
с частотами, кратными основной частоте модуляции Q.
Второе из отмеченных выше изменений параметров частотно-
модулированного колебания приводит к неравномерности
частотной характеристики радиолинии с ЧМ и, следовательно, к
частотным (линейным) искажениям сигнала.
Рассмотрим воздействие э. д. с, частота которой изменяется по
закону
ю (/) = w0 -I- ь)д cos Ш,
(6.93)
на резонансную колебательную цепь. Амплитуду э. д. с. считаем
строго постоянной, так что э. д. с. можно ппедставить выражением
[см. (3.23)]
е (/) = Е0 cos (a>0t + т sin Ш).
Комплексный коэффициент передачи цепи обозначим через
К(ш) = К (со)е<'5*ю>.
Примерный вид модуля К (со) и фазы q> (со) для обычной
резонансной цепи изображен на рис. 6.28, а. Так как перед q> (со) выбран
знак плюс, то фазовая характеристика ср (со) имеет отрицательный
наклон в полосе прозрачности
цепи1. Частотный спектр и
график изменения мгновенной
частоты со (t) входной э. д. с.
показаны на рис. 6.28, б и е.
Колебательные цепи обычно
настраиваются на среднюю частоту
модулированного колебания,
поэтому рис. 6.28 и дальнейшее
рассмотрение относятся к
случаю СОр = С00.
Для нахождения колебания
на выходе цели в принципе
можно воспользоваться тем же
методом, что и в случае
амплитудной модуляции (см. § 6 9).
При этом необходимо учесть
изменение амплитуд и фаз для
каждой из пар боковых частот
э. д. с. в соответствии с
кривыми /С (со) и ф (со). Однако
подобный вполне точный метод
пригоден лишь при очень
малых индексах модуляции, т. е.
если состав спектра ЧМ
колебания мало отличается от состава
спектра AM колебания. В
практике, между тем, чаще всего
приходится встречаться с модуляцией, характеризующейся столь
большим числом спектральных составляющих в используемой
полосе частот, что применение спектрального метода сопряжено
с большими, иногда непреодолимыми трудностями вычисления.
В таких случаях приходится прибегать к приближенным методам,
позволяющим, хотя и не вполне точно, находить колебание на вы-
Рис. 6.28. Передаточная функция
цепи (о), спектр ЧМ колебания (б) и
график мгновенной частоты (в) этого
колебания.
1 Не зависящий от частоты фазовый сдвиг, например, на 90", как ь схеме
на рис. 6.27, здесь не учитывается.
ходе цепи по заданному закону изменения мгновенной частоты
э. д. с. и по заданным частотно-фазовым характеристикам цепи
без разложения э. д. с. в спектр.
Эти методы, называемые методами мгновенной
частоты, основаны на допущении о медленности изменения
частоты. Частота модуляции считается настолько малой, что
амплитуду и фазу колебания на выходе цепи в каждый момент
времени можно без большой погрешности определить по частотной и
фазовой характеристикам цепи так же, как и в стационарном
режиме. Таким образом, принимается, что установление
стационарных колебаний на выходе происходит почти одновременное
изменением частоты на входе цепи.
Эти предпосылки тем ближе к истине, чем больше период
модуляции 2n/Q и чем меньше постоянная времени цепи т. Так как
последняя обратно пропорциональна полосе пропускания цепи
2Доо0, то одним из условий применимости метода мгновенной
частоты является неравенство £2/Дсои << I.
При одной и той же частоте Q скорость изменения мгновенной
частоты э. д. с. зависит от амплитуды частотного отклонения шд,
поэтому соблюдения только этого неравенства еще недостаточно.
Должны быть наложены ограничения и на отношение юц/Дсо0.
Более подробное рассмотрение [51 показывает, что если con/wft
меньше единицы или близко к ней, то метод мгновенной частоты
обеспечивает вполне достаточную для практики точность.
При выполнении указанных условий напряжение на выходе
цепи можно определить с помощью выражения
«вы* (0=£0 Re l«'* !" К (i(°)l = Ео К И Re {е* ^ (г,+5> (ю>]},
где г[з (t) = m0t + m sin Qt — полная фаза э. д, 6. на входе цепи
(см. § 3.4); ф (ю) — аргумент коэффициента передачи цепи.
Из этого выражения видно, что амплитуда выходного
напряжения изменяется по закону
U (t) = £„Л (со) = Е0К (щ + шд cos Ш),
а мгновенная частота — по закону
,,. <fi]> . dm
Так как первый член в правой части этого выражения
представляет собой мгновенную частоту входной *. д. с. ш ((), го £ (t) —
= dqldt характеризует влияние рассматриваемой цепи на частоту
выходного колебания. При выполнении оговоренного выше условия
медленности модуляции величина g, как правило, мала по
сравнению с Шд, Итак,
«W (0 = ю (/) + 6 (0. (6.94)
Если известно уравнение фазовой характеристики ф (со), то,
подставляя в (6.94) вместо со в соответствии с выражением (6.93)
величину со (t) = со0 -f сод cos Ш и дифференцируя по /, получаем
общее выражение для \ (<):
Кг)=-4-[фК + сОисо5ад (6.95)
at
При периодической модуляции частоты I (f) также является
периодической функцией времени и может быть разложена в ряд
Фурье. Так как при настройке цепи на среднее значение
вынуждающей частоты со0 фазовая характеристика обычно
антисимметрична относительно со0, то ряд Фурье содержит одни лишь нечетные
гармоники: Q, 3Q, 5Q .,, Учитывая, наконец, что при изменении
частоты по закону (6.93) производная ср, т. е. | (/), является
нечетной функцией времени, приходим к выводу, что ряд Фурье содержит
одни лишь синусоидальные члены, т, е.
| (/) = $г Sin Qt + S-з sin ЗШ + .... (6.96)
где $ъ §3, ,,, — амплитуды гармоник функции !■ (/).
Подставляя выражение (6.96) в (6.94), получаем
соЕЫХ (/)«со0 + <Вд cos Qt + gx sin Qt + g3 sin 3Qt +...«
~ юо +1^(°д + Щ cos (^ —Y) + $зsin 3^* + — ^ юо +
+ сод cos {Qt + у) + $зsin 3&t + - (6-97)
Слагаемое if под знаком радикала отброшено как величина высшего
порядка малости по сравнению с сод.
Сопоставление выражений (6.93) и (6.97) позволяет сделать
вывод, что влияние цепи на выходное колебание заключается в
запаздывании фазы сообщения на угол у, определяемый выражением
Y = arctg (#/«„), (6.98)
и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения
мгновенной частоты. Как отмечалось выше, наибольшее значение обычно
имеет последнее обстоятельство.
Поясним применение метода мгновенной частоты на примере
одиночного колебательного контура.
Подразумевая под К (/со) отношение комплексной амплитуды
напряжения на конденсаторе к амплитуде э, д, с, включенной
последовательно в контур, получаем
К(гсо):—
г[1-Н(ш — Ш0)ТК]"
Учитывая, что со — со0 = сод cosQt
и пренебрегая изменением со в числителе, так как величина сод
обычно мала по сравнению с со0, можем написать
Q Q
К (to):
где
1(1 + Ш>дТ„ COS Ql) V1 -f- ((Од Тк COS Qt)2
q> = — [-у + arctg (сод хЕ cos fifl 1.
■е"?,
На основании соотношения (6,95) находим
<Лр Ошд TKsin йг
1(0 =
dt 1+Шдт!со52и/'
(6.99)
^
#,f 1,0 i,ff aATK
'«,-
ч
:ша
(о 0 я л 3„Ы Ш
г г.
Рис. 6.29. Зависимость коэффициента Рис. 6.30. Возникновение паразитной
гармоник от девиации шд при задан- амплитудной модуляции при модуля-
ной величине постоянной времени кон- ции частоты,
тура тк.
Применяя формулу (2.24), находим
2я 2л
$!=— rg(0sinQfd(QQ. g3=— fl(/)sin3QM(fiO-
Произведя интегрирование [см. (2.553.3), (2.554.2) и (3.644.3) в
[7]], получим следующие окончательные формулы для амплитуд
первой и третьей гармоник функции | (t):
ei=JL(KT+<*-i). *=JL ^У^Ш.. (6.Ю0)
ттк «?тк ш"т"
Д к
Здесь т — coH/Q
Далее, по формуле (6.98) находим фазовый сдвиг для сообщения
T=arctg -2L = arctg f—1_(|Л+<в»т2 —1)1. (6.101)
Теперь нетрудно определить коэффициент гармоник по частоте
3Q на выходе частотного детектора. Для этого нужно разделить ам-
плитуду S3 третьей гармоники функции Е на амплитуду сод gchoe
ной частоты Q [см. формулу (6.100)1:
Агз— —
1-/1-
ШдТк
(6 102)
График зависимости тКг3(®пхк) изображен на рис. 6.29. При
шдТк С 1 формулы (6.101) и (6.102) упрощаются:
у ж Qt„; /Сг8 « (юптк)?/4т.
При (одтк ->■ 1 (но т > 1), т. е. при девиации, почти равной
полосе пропускания контура, формулы (6.101) и (6.102) дают
Y = 0,8/т, /Ср3 ==— 0,13/т.
Итак, в условиях, когда метод мгновенной частоты применим,
предельные искажения в одиночном контуре не превышают долей
процента.
Нетрудно найти амплитудные изменения выходного колебания.
Для этого можно воспользоваться резонансной кривой контура и
произвести построение, показанное на рис. 6.30. Нетрудно видеть,
что основная частота изменения огибающей амплитуд U вдвое
превышает частоту модуляции Q.
Глава 7
ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
7.1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Ограничиваясь рассмотрением стационарных случайных
процессов, поставим задачу следующим образом: на входе линейного
четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией К (гсо) и
импульсной характеристикой g (t) действует напряжение s (0,
представляющее собой случайную функцию времени с энергетическим
спектром Ws (со) и корреляционной функцией Ве (т); требуется
найти энергетический спектр Ws ВЬ1Х (со) и корреляционную функцию
^« вых (т) колебания sBbIX (/) на выходе четырехполюсника.
Задача легко решается с помощью рассуждений, приводящих к
определению понятия «энергетический спектр случайного ппоцесса»
(в § 4.3 см. (4.31) — (4.33)1.
Если спектральную плотность | Хкг (со) | k-й реализации в
формуле (4.32) умножить на модуль передаточной функции К (со), по-
лучим спектральную плотность этой же реализации на выходе
четырехполюсника. Отсюда вытекает следующее соотношение:
W,
(со) = Ws (co)/C9 (со).
(7.1)
^
s(t)
К(ш)
I SBbixffl
Возведение передаточной функции в квадрат объясняется тем,
что №.s(co) является спектральной плотностью мощности случайной
функции, между тем как К (со)
определяет отношение напряжений
(или токов) на выходе и входе.
То обстоятельство, что фазоча-
стотная характеристика фильтра
не играет никакой роли при
определении Ws ВЫх (со), объясняется
случайностью фаз спектральных
составляющих входного колебания; добавление к ним фазовых
сдвигов в фильтре ничего не изменяет в структуре колебания.
Корреляционная функция случайного процесса на выходе
фильтра определяется с помощью выражения (4.39):
Рис. 7.1. Линейный
четырехполюсник с постоянными параметрами
Bt°**W=-tj ^выхМе'га^со=-Ь J
Ws (со) /С2 (со) е'«« dco. (7.2)
Соотношения между статистическими характеристиками
случайных процессов на входе и выходе цепи можно вывести также и на
основе заданной импульсной характеристики цепи.
Действительно, поскольку спектральной функции Wb (со;
соответствует корреляционная функция
оо
fl,(T)=-i- f №8(со)е-"гйсо,
2л J
— оо
а спектральной функции/С' (со) —
£g (т.)=— f /(*(«>) eft"//«>,
т. е. корреляционная функция импульсной характеристики g (t)
[см., например, (2.118), в которой нужно S2 (со) заменить на Л"' (со)],
то произведению спектральных функций Ws (со) и Кг (со)
соответствует свертка функций Ву (т) и Вд (т) [см. (2.64)]:
Я.ны»Ю= ] Bs(x)Bs(v-x)dx.
(7.3)
Таким образом, по заданным корреляционным функциям Bs (т)
и Bg (т) определяется корреляционная функция на выходе BSBUX (т),
после чего находится энергетический спектр
оо
^.ныхИ= JfisBbrxMe-'^dT. (7.4)
— оо
Итак, спектральный и корреляционный анализ прохождения
стационарного случайного процесса через линейную цепь с
постоянными параметрами не связан с какими-либо трудностями.
Иначе обстоит дело с определением закона распределения
случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при
произвольном распределении процесса на входе отыскание
распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма
сложную задачу.
Трудности отпадают при нормальном распределении входного
процесса, так как при любых линейных операциях с нормальным
процессом (усиление, фильтрация, дифференцирование, интегрирование
и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь
функции В (т) и W (со). Поэтому, если задана плотность вероятности
входного процесса (с нулевым средним)
p(s)^vtexp(~^)'
то плотность вероятности на выходе линейной цепи
Р (s^)=~ ехр (-ДрЛ (7-5)
В соответствии с (4.36) дисперсия выходного процесса
определяется выражением
1 °°
а?вь,х = Вевых (0) =~ J W. (со) /<? (со) dco. (7.6)
— с»
Анализ передачи нормальных процессов через линейные цепи по
существу сводится к корреляционному (или спектральному)
анализу.
7.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ ШУМОВ
В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ
При анализе передачи сигналов по радиотехническим цепям
наряду с неизбежными искажениями формы сигналов необходимо
учитывать также и собственные шумы цепи. Эти шумы, наклады-
ваясь на сигнал, ограничивают информационную емкость
последнего. Проблема шумов особенно актуальна при усилении слабых
сигналов.
В радиоэлектронных устройствах имеются два основных
источника шумов: дискретная структура тока в усилительных элементах
(транзисторы, электронные лампы и т. д.) и тепловое движение
свободных электронов в проводниках электрической цепи.
Рассмотрим первый источник на примере дробового эффекта,
присущего электронному току в усилительных приборах. Этот ток
представляет собой совокупность импульсов, каждый из которых
обусловлен переносом заряда одного электрона. Полный ток,
являющийся суммой очень большого числа перекрывающихся,
расположенных случайным образом на оси времени импульсов,
представляет собой стационарный эргодический случайный процесс,
для которого справедлива центральная предельная теорема1.
Поэтому распределение электронного тока можно считать нормальным
с плотностью вероятности
'«-Tssr-'l-^r <">
Постоянную составляющую тока /0 и среднюю мощность флук-
туационной составляющей af можно определить с помощью
следующих рассуждений.
Пусть среднее за 1 с число импульсов тока равно kv Так как
каждый импульс переносит заряд одного электрона е, то полное
количество электричества, переносимое в среднем за 1 е, равно k^e.
Это и есть постоянная составляющая тока, Таким образом,
/о = V- (7.8)
Введем в рассмотрение спектральную плотность Gx (ю)
одиночного импульса тока ie (t — th), обусловленного переносом заряда е
одного электрона (th — момент вылета электрона). Независимо от
формы этого импульса значение Gt (to) при со = 0 равно площади
импульса (см, § 2,9, п.1):
оо
Gi(0)= J ie(t-tk)dt = e, (7.9)
— оо
Длительность те импульса ie (t) зависит от геометрии
электронного прибора, от напряженности электрического поля в
междуэлектродных промежутках и т. д. Ширину спектра импульса в
грубом приближении можно приравнять 2/те. Таким образом, модуль
спектральной плотности импульса ie (t — tk) можно представить
в виде графика, показанного на рис, 7.2, Максимальная ордината
1 Содержание этой теоремы сводится к следующему; распределение
суммы достаточно большого числа случайных, взаимно независимых
слагаемых, среди которых нет доминирующих, близко к нормальному
независимо от законов распределения отдельных слагаемых.
Энергии одного импульса по формуле Парсеваля равна
оо
2я J
а суммарная энергия ft, импульсов за I с, т. е. средняя мощность
процесса (при сопротивлении 1 Ом),
~£Щ^клЭл + 1ь = — f ft1G;(«»'to + /J = crt + /3. (7.
*2я. J
Ю)
Первое слагаемое в правой части (7.10) учитывает мощность
флуктуационной составляющей тока Увеличение этой мощности
всего лишь в kx раз (а не в k\
раз) объясняется случайностью
фаз гармонических
составляющих от отдельных импульсов,
хаотически расположенных на
оси времени. Иными словами,
спектральные составляющие
различных импульсов на всех
частотах, кроме ш = 0,
некогерентны (см. §2.18) и складываются
по мощности аддитивно. Второе
слагаемое в (7.10) учитывает
мощность постоянной
составляющей /„
Из первого слагаемого в правой части выражения (7.10)
вытекает, что энергетический спектр флуктуационной составляющей
электронного тока совпадает по форме со спектральной плотностью
энергии G? (со) отдельных импульсов, образующих случайный
процесс
Wi (со) = kfi] (со). (7.11)
Примерный вид Wi (со) представлен на рис. 7.2.
Учитывая, что кг = /0/е, а также то, что в пределах полосы
частот ~2/т6 имеет место равенство (7.9) , получаем1
Рис. 7.2. Спектральная плотность
G'i (со) одиночного импульса и
энергетический спектр U?i (ш) случайного
процесса.
ИГ, (ю)дае/0, 0<|со|< 1/тв.
(712)
Выражения (7.7) и (7.12) определяют основные статистические
характеристики дробового тока.
Теперь нетрудно выявить статистические характеристики
напряжения шума на выходе цепи, содержащей «шумящий» элемент. На
рис. 7.3, а и б изображены схемы транзисторного и лампового
усилителей, а на рис. 7.3, в — единая схема замещения для флуктуа-
1 В технической литературе также распространена формула W* (ш,; =>
= 2 е/„, при выводе которой среднюю мощнос1ь of othochi только к
положительным частотам.
ционного тока I (t): Входные зажимы база — эмиттер
(соответственно сетка — катод) соединены накоротко, чтобы подчеркнуть
отсутствие внешнего воздействия на усилитель. В качестве источника
шума на схеме замещения показан генератор тока I (t),
статистические характеристики которогор ((') и U^(cd) были определены выше.
Напряжение шума и (f), создаваемое на линейном нагрузочном
элементе Za (со), распределено, как и ток i (t), по нормальному
закону
р(и)--ук:ехр{~^У (7,3)
Энергетический спектр напряжения и (t) определяется
соотношением
Й7ы(а) = Wt U)Zh(g>)
(7.14)
[сравнить с (7.1); в данном случае вместо безразмерной
передаточной функции К (со) фигурирует сопротивление ZH (о)].
Применяя к (7 14) преобразование (4 3^), можно определить
корреляционную функцию напряжения шума ьа выходе усилителя,
а также величину аи, т. е. среднеквадратическое напряжение шума,
Б
-о-
-о-
Ш)
\ZH(o)
а)
Z„t6))
Ut)
Ф Шб»
в)
Рис. 7.3. Транзисторный (а) и ламповый (б) усилители и единая схема
замещения для флуктуационного тока (в).
Рассмотрим механизм формирования собственного шума в ре-
зистивном и резонансном усилителях
В резистивном усилителе сопротивление ZH (i(o) определим для
схемы на рис. 5.14, б по формулам
Zh т = *<'/**■) . zs (со) д * . a 15)
Постоянная времени цепи R,C0 во много раз больше, чем
длительность импульса те; соответственно полоса пропускания цепи
#,С0. примыкающая к нулевой частоте, во много раз уже, чем
ширина энергетического спектра Wt (со), показанного на рис. 7.2.
Поэтому при определении воздействия на цепь дробового шума его
можно рассматривать как белый шум с энергетическим спектром
Wt (со) = el0. Тогда по формуле (7.14)
H7u(co) = e/0tf2/[l + (соС0Я)2) (7.16)
aiWt
oo
df0=£V^J_f
и по формуле (4.39)
ЗО
—oo 0
Входящий в правую часть интеграл равен
ОО
С cos шт . л „ „ / | т I \
\ dco =— /?С0ехр —- .
cos сот
(1//?С0)* + <£?
rfco.
Таким образом,
£«(*) =
<ioR
2С„
ехр
( —Щ-).
(7 17)
При т = 0 это выражение определяет дисперсию напряжения
шума a'i, и среднеквадратическое напряжение ои:
ай = би(0) = ^, °u=j/^. (7.18)
Нормированная корреляционная функция шума принимает вид
Ru (i) = ехр(~|т|/#С0). (7.19)
Графики энергетического спектра Wu (со) и функции Ru (т)
изображены на рис. 7.4 и 7.5.
«я
-1,0 О W вЯСд
1,0 г/щ
Рис. 7.4. Энергетический спектр шу- Рис. 7.5. Нормированная корреляци-
мового напряжения на выходе резн- онная функция шума, соответствую-
стивного усилителя. щая спектру Wu (со) (рис. 7.4).
Интервал корреляции напряжения шума в данном примере
определяется величиной \x\/RC0 да I. Нетрудно пояснить смысл
полученного результата. Напряжение шума на нагрузке образуется
совокупностью беспорядочно следующих импульсов тока,
создаваемых отдельными электронами. Каждый из этих импульсов создает
импульс напряжения, длительность которого определяется
постоянной времени нагрузки. При наложении большого числа импульсов
относительная скорость изменения суммарного напряжения шумэ
и (t) должна быть того же порядка, что и скорость изменения
отдельных импульсов. Поэтому для независимости напряжений,
отсчитываемых в моменты t и t + т, величина т должна быть не менее
длительности импульсов, об азующих шум.
Для количественной опенки уровня напряжения шума,
создаваемого дробовым эффектом, приведем следующий пример,
характерный для апериодического усилителя: постоянный ток /0 =
= 10 мА, сопротивление нагрузки 5 кОм, емкость С0 = 50 пФ.
Применяя формулу (7.18), находим среднеквадратическое
напряжение шума на выходе усилителя
/
1,6-Ю-1".10-Ш-з.5-103
2-50-Ю-12
=2,8- Ю-4 В=0,28 мВ.
Определенное таким образом напряжение можно условно
рассматривать как результат приложения некоторого напряжения
шума ко входу усилителя. При коэффициенте усиления /Су эквива-
Рис. 7.6. Энергетический спектр
шумового напряжения на выходе
резонансного усилителя.
(а~б)р)Гн
лентное напряжение шума на входе следует приравнять величине
«ск = aJKy- ПРИ коэффициенте усиления Ку « 100 получаем
иск » 3 мкВ. Эта величина и определяет нижний порог сигнала,
который еще имеет смысл усиливать данным усилителем.
Аналогичным образом можно рассмотреть формирование шума
в колебательной цепи резонансного усилителя, схема которого
изображена на рис. 5.17
По аналогии с выражением (7.16) определим энергетический
спектр
Wu (со) = W, (со) ZI(co) = eloZl (со), (7.20)
где
ZJm) = —±SP-
Ru
1+шэ
2(со—ш„) „
a Z,p = RaJ — сопротивление контура (шунтированного
резистором ^ш) при резонансе. Отсюда квадрат модуля сопротивления
нагрузки
Ц (со) = ЯЬ/И + (со — сор)МЬ (7.21)
где тк = 2Q3KB/cop — постоянная времени контура.
Таким образом,
Wu (со) = elaRSJll + (со - сор)2т*1. (7.22)
График энергетического спектра Wu (со) изображен на рис.7.6.
Выражение (4.39) для функции корреляции в данном случае
принимает следующий вид:
COSO)T йю =
I п cos сот
fl.M-rf.flb-^-J 1+(ш-а>рУ
—оо
оо
i г>8 1 Г roscot .
= е/0Яш — I — ^-Td(D*
я J 1-]-(оз— шр)2т*
о
Переходя к новой переменной <»! = <» — сор, получаем
оо
[оо оо
С cos coi т , . , Г sincoix .
cosconT I i—d(o,—sin(ocT l i—fl(u
-ap -ир
Заметим, что при достаточно большой добротности контура
выполняется условие
ЮрТк = Юр (2<2экв/шр) = 2QeKB >• 1.
Поэтому нижний предел интегралов — оэр можно заменить на —оо.
Второй интеграл обращается при этом в нуль ввиду нечетности
подынтегральной функции относительно переменной интегрирования
coj. Первый же интеграл ввиду четности подынтегральной функции
приводится к виду
ОО 00
J 1+ш?т* 1 т* J 1/х»+(о| V
-Ир О
Аналогичный интеграл был вычислен при выводе формулы
(7.17). Используя этот результат, получаем
ou(T) = -cosconT -e " — ° ш.е kcosco„t =
= e/0/?^aKe-a«h,coscopT. (7.23)
Здесь через a„ = 1/тк обозначено затухание контура. Учитывая,
что при шунтировании контура сопротивлением Rm коэффициент
затухания равен ак = l/2RmC, записываем формулу (7.23) в
следующей форме:
Ви (т) = -^ф- е~ак,Х' cos cop т. (7.23')
Из формул (7.23), (7.23') вытекает, во-первых, что средний квадрат
напряжения шума на контуре равен
ol = Ви (0) = е/оЯ£,а« = е1<Дш12С
(7.24)
и, следовательно, среднеквадратическое напряжение шума а =
= Vel0Rj2C; во-вторых, нормированная корреляционная функция
определяется выражением
««W
=Р-«КИ|
COS СО,
— Ill/I
т = е «coscOpT.
(7.25)
Рис. 7.7. Нормированная
корреляционная функция-, соответствующая
спектру Wu(u>) (рис. 7.6).
График функции Яи (т) показан на рис. 7.7. Интервал
корреляции в рассматриваемом случае определяется ходом огибающей
функции Ru (т), т. е.
множителем е-|х|/Тк в выражении (7.25).
Пересчет напряжения шумов
ко входу усилителя, как и для
апериодического усилителя,
можно сделать по формуле
«ск = Оц/Ау, в которой под Л" у
следует подразумевать
коэффициент усиления на резонансной
частоте.
Структура напряжения
шума, выделяемого на
высокодобротном колебательном контуре,
имеет вид, показанный на
рис. 4.17. Приведенные в §4.6
характеристики узкополосного случайного процесса могут быть
полностью отнесены к дробовомушуму в резонансном усилителе.
Нужно иметь в виду, что изложенный в данном параграфе
материал дает представление лишь о методе анализа характеристик
собственных шумов, формируемых избирательной цепью усилителя.
Механизм образования шумов зависит от ряда физических и
конструктивных особенностей усилительных (активных) элементов,
которые здесь не рассматриваются.
• В заключение укажем, что приведенные выше соотношения можно
использовать также при анализе формирования в избирательных
цепях теплового шума. Необходимо лишь энергетический спектр
такого шума определять по формуле, известной из физики,
Wu (со) = 2kTR, (7.26)
где Я — сопротивление резистора, генерирующего шум; k =
= 1,38- Ю-23 Вт-с/град — постоянная Больцмана; Т —
абсолютная температура.
Как и в выражении (7.12), И?и(со) здесь определено для
положительных и отрицательных частот. При отнесении мощности шума
только к положительным частотам коэффициент 2 следует заменить
на 4.
7.3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс
s (f) с энергетическим спектром Wb (со) и корреляционной функцией
Bs (т) и требуется найти аналогичные характеристики для
производной s (f). He останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий
дифференцируемости случайной функции, ограничимся основным
требованием: энергетический спектр Ws (со) при со -*■ оо должен
убывать быстрее, чем 1/со2, так что
оо
f co2Wg(co)dco<oo. (7.27)
— оо
Это условие выполняется для большинства практических задач,
так как энергетический спектр Ws (со) формируется физической
цепью, передаточная функция которой при со->-оо убывает быстрее,
чем 1/со (а ее квадрат модуля уменьшается быстрее, чем 1/со2).
Условию (7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широким
спектром, однако обычно рассматривается шум с ограниченным спектром.
Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение
случайного сигнала s (t) через идеальную дифференцирующую цепь,
передаточная функция которой К (/со) = /сот0 [см. (6.17)].
Применяя выражения (7.1), (7.2), можем написать
й^вых М = К2 (v>)Ws (со) = тВсо2№8 (со), (7.28)
B№*W = *S ~t J ю2 Ws И e^do). (7-29)
— оо
Дисперсия процесса на выходе устройства
<т1ых = — ? f>2 Ws (со) dco. (7.30)
2л J
— ос
Рассмотрим следующий пример: пусть спектр процесса на входе
дифференцирующего устройства равномерен в полосе частот
4x<f<fv
W {(0)==lWo ПРИ |to|<2n/1=At0i,
\0 при |со|>2л/1 = Асо1.
Корреляционная функция подобного процесса [см. (4.41)]
Bs (т) = fl^o2/i(sin Ащг/Ащх),
а дисперсия
of = Bf (0) --= W£fx. (7.31)
Нормированная корреляционная функция
Rs (т) = (sin Асо1т)/Асо1т. (7.32)
После дифференцирования соответственно получаем
^вых (©) =тбсо2И70 - (Ao.1T0)2((o/Aco1)2U70,
ДСО,
Ввых (т) = Tq W0 Г со2 cos сот d(o =
о
_М \г « 2Ас°1 TC0S Aa)i т+(Асо? тЗ—2) sin Ao>i т
ок» = ^вых (0) = 1/3(Асо,т0)2а?, (7.33)
Я вы* (*) = Зу (т), (7.34)
где у (т) — дробь в выражении для Ввых (т).
Графики функций Ws (со) и №вм (со), а также функций /?, (т)
и /?вых (ю) изображены на рис. 7.8, а и б; параметр Дсо^,, приравнен
единице. Из этих графиков видно, что дифференцирование
приводит к ослаблению нижних частот исходного процесса. Относительное
возрастание высших частот приводит к более четко выраженной
осцилляции корреляционной функции (рис. 7.8, б).
Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала
через реальное дифференцирующее устройство в виде ^С-цепи
(рис. 6.5, б). Квадрат передаточной функции дифференцирующей
цепи в соответствии с (6.19)
К2 (со) = со2То/(1 + co2Tg), т0 = RC.
Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи
выхУ ' 1 + ш2т§ ° l+fAcuiToPto/Ao)!)2 ° '
График №Вых (w) Для ^Щ^о = 1 представлен на рис. 7.8, а
штриховой линией.
Корреляционная функция
Дсо,
г, 1 , ,«, 1 f И1 COS СОТ ,
0BUx(T)^lFo-J тт-^СО,
о
Дю,
о
= I±. _L [ До, То —arctg (Дсо, т0)]. (7.36)
Результат вычисления нормированной корреляционной функ-
ции ^вых О*) = ввых (т)/авВх представлен на рис. 7.8, б штриховой
линией (для Дсо,т0 =1).
Можно считать, что при Дсо^о < 1 физическая RC-цепъ
осуществляет дифференцирование рассматриваемого случайного процесса,
близкое к точному дифференцированию.
Рис. 7.8. Энергетические спектры (а) и корреляционные функции (б) на входе
и выходе дифференцирующей цепи:
■ на выходе идеальной цепи; — — — на выходе SC-цепи.
7.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Для выявления некоторых особенностей интегрирования
случайной функции рассмотрим сначала прохождение стационарного
случайного процесса через физическую интегрирующую /?С-цепь
(рис. 6.6, б).
Пусть на входе этой цепи начиная с момента t = —<х> действует
случайная функция s (t) с энергетическим спектром Ws (со) и
корреляционной функцией Bs (со). Считая процесс на выходе
установившимся, мы можем определить №вых (со) и Ввых (т) с помощью
выражений (7.1) и (7.2), подставив в них [см. (6.20)]
К2 ((о) = 1/11 + (сот0)2].
Таким образом,
«?Вых (о)) = К2 (со) W„ (со) = W, (со)/(1 + а>Х). (7-37)
оо
3№x(T)=-L f ^ И cos о»
— С»
Рассмотрим два частных случая: s (t) ■=■ Ои s {t) Ф 0. В первом
случае энергетический спектр Wa (со) не содержит слагаемого с
б-функпией [см. (4.35) — (4.37)]. полагая W„ (со) = W0 = const
(белый шум), получаем корреляционную функцию
оо
BBbsAv=^± f _S?iHL.da,=J^e-«^ (7.39)
BbttW xg n J 1/тЦ+ш» 2т0 1 '
о
и дисперсию
ав2гах = ИУ2т0 = WJ2RC. (7.40)
Бо втором случае (при s (f) ф 0), когда в соответствии с (4.35)
энергетический спектр
R7g (co)=r \1Щ* 2л6 (со) + №„ (со)
причем U?' (со) = IF0 = const (как и в предыдущем случае),
корреляционная функция и дисперсия будут
оо
B„w-psai-*>-£-j»<"»1£|=r«-+
— оо
оо
J_ Г W~«o)cosm d(0==rj7/)]2 + Z£e-|Tl/\ (7.41)
Т2л J 1+Tgco2 L 2т0
Овых
«70/2т0 = ИУ2ЯС. (7.42)
Из приведенных соотношений видно, что в установившемся
режиме процесс на выходе физической интегрирующей цепи является
стационарным, как и на входе.
Иначе обстоит дело при точном математическом интегрировании,
которому соответствует нереализуемая передаточная функция
К (т) = Шсот0[см. (6.18)1.
Условие интегрируемости случайного процесса при этом
принимает следующий вид:
оо
fJ№.<to,<oo. (7.43)
— оо
Если условие дифференцируемое™ случайной функции (7 27)
накладывало требование достаточно быстрого убывания Wb (со)
при со->- оо, то при интегрировании аналогичное требование
относится к поведению Wb (со) при т -у 0.
Интегрирование стационарного процесса s (t) с Ws (0) ф 0
приводит к нестационарному процессу с неограниченно возрастающей
дисперсией.
Если s (/) =?= 0, то математическое ожидание процесса на выходе
также неограниченно возрастает.
Следует иметь в виду, что идеальное интегрирующее устройство
можно рассматривать как фильтр с бесконечно малой полосой
пропускания. Процесс установления в таком фильтре длится
бесконечно долго. Поэтому статистические характеристики интеграла
случайного процесса существенно зависят от пределов интеграла, т. е.
от длительности интргриро^-ания.
7.5. НОРМАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В УЗКОПОЛОСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Пусть на входе линейной цепи (с постоянными параметрами)
действует стационарный случайный процесс с распределением,
отличным от нормального. Если интервал корреляции этого
процесса меньше постоянной времени цепи (т. е. ширина
энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение
случайного процесса на выходе приближается к нормальному.
Эффект нормализации проявляется тем сильнее, чем уже полоса
пропускания цепи. Поясним это положение на двух примерах.
Сначала рассмотрим воздействие на высокодобротный
колебательный контур последовательности коротких,
неперекрывающихся, случайным образом расположенных на оси времени импульсов
(рис. 7.9), причем постоянная времени контура ти велика по
сравнению со средней величиной интервалов между импульсами.
Напряжение на контуре в какой-либо момент времени tx является
суммой свободных колебаний, вызванных предыдущими импульсами
и не успевших полностью затухнуть к рассматриваемому моменту.
Чем уже полоса пропускания цепи, тем длительнее свободные коле-
"Л/л/ьи
H/rV-
бани я и, следовательно, тем большее число соизмеримых по
величине и некоррелированных слагаемых принимает участие в
образовании результирующего напряжения в момент tv В соответствии с
центральной предельной теоремой эти предпосылки достаточн ы для
приближения распределения к нормальному закону.
При спектральном подходе эффект нормализации можно
объяснить следующим образом. Спектр колебания в контуре
суммируется из спектров отдельных импульсов входной последовательности.
Внутри каждого из этих
парциальных спектров фазы
спектральных составляющих
полностью коррелированы, а между
фазами составляющих из
различных спектров никакой
корреляции нет (из-за случайной
расстановки импульсов на оси
времени) Чем у"же полоса
прозрачности контура, тем меньшую
роль играет корреляция фаз в
парциальных спектрах.
Приведем теперь другой
пример, поясняющий явление
нормализации в узкополосной
цепи. Пусть на контур
воздействует непрерывное колебание с
постоянной амплитудой и с
частотой, модулированной по
пилообразному закону со
случайным периодом (рис. 7.10). При
каждом пробеге частоты через
полосу прозрачности контура
2Асо0 в последнем возникает свободное колебание, амплитуда
которого обратно пропорциональна наклону «пилы». Так как моменты
пересечения полосы прозрачности расположены на оси времени
случайным образом, то и свободные колебания образуют
импульсную последовательность со случайными интервалами (th, th + l).
При медленном качании частоты, когда интервалы велики по
сравнению с постоянной времени контура тн, свободные колебания
не перекрываются. Предположим, что тн велико по сравнению со
средним значением интервалов Т0р. Тогда в любой момент времени
будет накладываться много колебаний со случайными и взаимно
независимыми фазами и амплитудами. При этом входное колебание,
закон распределения которого определяется формулой (4.25)
(изменение мгновенной частоты не отражается на одномерном законе
распределения высокочастотного колебания с постоянной амплитудой),
преобразуется в случайную функцию с распределением, близким к
нормальному. Нормализация будет тем .полнее, чем больше тк по
сравнению с Тср.
%*
'-**
Рис. 7.9. Отклики колебательной цепи
на отдельные импульсы хаотической
последовательности.
Учитывая, что для одиночного контура имеет место соотношение
Дсо0тн = 1, а средняя частота «пилы» FCQ = 1/Тср, условие
нормализации можно записать в форме неравенства
^ср>Ло)0. <7-44)
В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях
может иметь место эффект, обратный описанному выше эффекту
нормализации: распределение процесса на выходе цепи может
отличаться от нормального распределения больше, чем на входе. Можно
привести простой пример подобного эффекта.
tk t/t+1
Рис. 7.10. Изменение частоты колебания по пилообразному закону со
случайным периодом.
Пусть на вход дифференцирующего устройства подается
совокупность относительно длинных импульсов, имеющая распределение,
близкое к нормальному. В результате дифференцирования каждый
из импульсов превращается на выходе в пару очень коротких
импульсов, соответствующих фронтам входного импульса. Число
взаимно перекрывающихся импульсов на выходе сокращается, благодаря
чему приближение к нормальному закону на выходе оказывается
худшим, чем на входе. Подобный эффект иногда называют «денор-
мализацией» процесса.
Следует подчеркнуть, что отмеченный эффект не противоречит
тому, что в любой линейной цепи нормальный процесс
сохраняет нормальный закон распределения. Если в приведенном выше
примере среднее число импульсов в единицу времени довести до
бесконечности (что необходимо для получения строго нормального
распределения), то при любом сжатии импульсов, которое можно
осуществить в физически реализуемой цепи, процесс будет
нормальным также и на выходе цепи.
7.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАЗАМИ
Этот вопрос приобретает большое значение в связи с
распространенностью спектрального представления сигналов и случайных
процессов. Из центральной предельной теоремы (см. сноску на с.259)
вытекает, что суммирование достаточно большого числа гармони-
ческих колебаний со случайными и взаимно независимыми
амплитудами и фазами образует случайную функцию с нормальным законом
распределения
В практике часто встречаются задачи, в которых число
слагаемых относительно мало, так что условия применимости центральной
предельной теоремы не выполняются и полной нормализации не
наблюдается.
Для выяснения зависимости степени нормализации от числа
случайных слагаемых (с не нормальным распределением) можно
воспользоваться методом характеристических
функций.
В теории вероятностей под характеристической функцией 0 (г))
случайной величины х, или характеристической функцией данного
распределения р (х), подразумевается среднее значение функции
e"i*f т. е.
0(г\) = ё*&. (7.45)
Здесь г] — вещественная переменная.
При заданной плотности вероятности р {х) среднее значение
величины e/T1* можно определить с помощью выражения
оо
Ь(г\)='ёъ* = V е™ р (х) их. (7.46)
— со
Правая часть этого выражения есть не что иное, как
преобразование Фурье функции р (л:). Следовательно, если известна
характеристическая функция 6 (г\) какой-либо случайной величины х, то
плотность вероятности р (х) можно найти с помощью обратного по
отношению к (7.46) преобразования Фурье
оо
р(х)=^- f 0(TDe-'^rfT]. (7.47)
Характеристическая функция обладает рядом важных свойств,
позволяющих весьма просто определять параметры распределения
р (х). Для поставленной выше задачи особенно важно, что для N
взаимно независимых слагаемых хъ х2 xN характеристическая
функция суммы имеет следующий вид:
0а(т])=е =е ==е е ...е —
«в^лтое*.^-^^). (7-48)
т. е характеристическая функция суммы независимых случайных
в -личин равна произведению характеристических функций
слагаемых.
Для частного случая, когда все слагаемые обладают
одинаковыми распределениями и, следовательно, одинаковыми
характеристическими функциями,получаем
9* (rj) = 19ц (т})]*. (7.49)
Для наиболее важного и распространенного в природе
нормального закона распределения
J_
характеристическая функция в соответствии с (7.46) равна
pW = ^-exp(-^)
6 (il) = ■ Г ехр ( ~^ exp (ir\x) dx.
— оо
С помощью преобразований, аналогичных (2.75) и (2.77),
получаем1
G (rj) = ехр ( ~£- \ . (7.50)
Таким образом, при нормальном распределении график
характеристической функции относительно г) имеет такую же форму, как
и график плотности вероятности относительно х. Поэтому о степени
приближения распределения какой-либо случайной величины к
нормальному закону можно судить по тому, насколько
характеристическая функция рассматриваемой величины приближается к
функции, определяемой выражением (7.50).
Используем выражения (7.46)—(7.50) в задаче о распределении
суммы нескольких синусоидальных колебаний со случайными
фазами.
Для выборки х, взятой из гармонического колебания с
амплитудой А0 и со случайной фазой, плотность вероятности [см. (4.25)]
p(x)=\lnVAb — x\ — А0^х^А„ (7.51)
С помощью выражения (7.46) находим характеристическую
функцию этого распределения
До
01(11)==— ,! Ах. (7.52)
1 В общем случае, когда среднее значение случайной величины не равно
нулю и
1 Г (*-*)'
характеристическая функция
6 (rj) = ехр (ixri — o'i г)а/2)
(см., например, 17]).
Подставляя е'*1* = cosip; + tsinviA; и учитывая, что
sin г)х/]/~АЬ—х2 является нечетной функцией х, получаем (см. 3.753.2
в [7])
Gx (Ч)" i\~j^=idx=J0(A0rj), (7.53)
о
где J0— бесселева функция первого рода нулевого порядка.
Для выборки, взятой из суммы N гармонических колебаний с
одинаковыми амплитудами AJN, но со случайными взаимно
независимыми фазами, характеристическая функция в соответствии с
(7.49) будет
Qn(i\) = U0(A0i\/VN)1n- (7.64)
Амплитуда каждой из синусоид'приравнена A0/V*N для того,
чтобы дисперсия суммы, равная 0,5N (AjyN)2 оставалась при
увеличении числа синусоид неизменной.
Рис. 7.11. Характеристические функции для суммы N гармонических колебаний
со случайными фазами.
На рис. 7.11 изображены характеристические функции для
различных значений N. При N > 4...5 функция QN (ц) быстро
приближается к предельной кривой N -*■ °о, соответствующей нормальному
распределению суммы.
Для отыскания плотности вероятности суммы N гармонических
колебаний необходимо в соответствии с выражением (7.47)
вычислить интеграл
pw(x) = _L Г ew(T0e-^dTi=-M[/o (-^-)jWcosT]xdTi. (7.55)
При N = 1 получается исходное выражение р (х) для одной
синусоиды [формула (7.51)|, а при N=3...4 функции pN(x) имеют вид,
показанный на рис. 7.12, построенном для Л0 = 1 (интегралы были
вычислены с помощью приближенного метода). Сплошной линией
изображена функция ры (х) при нормальном распределении (N-*- оо).
Полученные результаты показывают, что при суммировании
хотя бы пяти-шести гармонических колебаний со случайными и
взаимно независимыми фазами получается стационарный случайный
процесс, близкий к нормальному.
1 1 I ! I I 1 1 L, I I 1 I 1 J t__!
-1,ч -1,0 -o,s -о,г о o,i o,e 1,о i& x
Рис. 7.12. Плотность вероятности суммы N гармонических колебаний со
случайными фазами (рис. 7.11).
Это справедливо для значений х, заключенных в области | х \ <
< VN (при Л0= I). При больших значениях |д:| pN (х) — 0, в го
время как при нормальном распределении р {х) отлично от нуля.
Таким образом, при конечном числе слагаемых N на «хвостах»
кривой распределения неизбежно расхождение между ры(х) и рх (х).
Отмеченная выше стационарность суммы вытекает из стационар
ности исходного процесса (совокупности гармонических колебаний
со случайными фазами). Далее, поскольку плотность вероятности
р (х), определяемая формулой (7.51), не зависит от частоты, то и
PN (х) не зависит от частоты.
Следует, однако, иметь в виду, что при суммировании
гармонических колебаний с одинаковыми частотами получается процесс
хотя и стационарный, но не эргодический. Каждая из реализаций
суммарного процесса представляет собой в этом случае
гармоническое колебание, отличающееся от других реализаций лишь ампли-
тудой и фазой (в зависимости от того, с какими фазами сложились N
исходных колебаний в данной реализации) При усреднении х2
«идоль процесса» для каждой k-й реализации получается свое
значение х%, не совпадающее с истинной дисперсией ох, определяемой
при усреднении по множеству («поперек процесса»).
При суммировании гармонических колебаний не только со
случайными начальными фазами, но и с различными частотами
получается процесс не только стационарный, но и эргодический (при
достаточно больших значениях N).
Итак, суммирование достаточно большого числа
некоррелированных гармонических колебаний приводит к стационарному
процессу, близкому к нормальному.
Гл а в а 8
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
8.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Основные радиотехнические преобразования осуществляются
с помощью либо нелинейных цепей, либо линейных цепей с
переменными параметрами. Однако последние реализуются тоже с
помощью нелинейных элементов (например, емкость р — п-перехода
в полупроводниковом диоде), а некоторые параметрические цепи
сами работают в существенно нелинейном режиме (например,
параметрический генератор). Поэтому можно считать, что свойства
нелинейных элементов и цепей являются фундаментом для теории
большинства реальных радиотехнических устройств. Приведем
некоторые примеры нелинейных элементов.
Следует различать резистивные (сопротивления) и
реактивные (индуктивности, емкости) нелинейные элементы.
Для радиотехнических цепей и устройств наиболее
характерными и распространенными резистивными нелинейными элементами
являются полупроводниковые, ламповые и любые другие приборы,
используемые для усиления или преобразования сигналов и
имеющие нелинейную вольт-амперную характеристику. Важным
параметром резистивного нелинейного элемента является определенная
соответствующим образом крутизна его характеристики.
Различают два следующих определения крутизны
характеристики: а) в рассматриваемой рабочей точке при слабом сигнале
(дифференциальная крутизна) и б) крутизна при сильном
гармоническом колебании (средняя крутизна).
С первым определением крутизны, соответствующим линейному
режиму работы прибора (рис. 8.1, а), мы имели дело в гл. 5, 6, где
эта крутизна определялась выражением [см. (5.37'), (5.40)] вида
8 = ^--
\ du )u=u0'
(8.1)
где U0 приравнивалось f/вэе (для транзистора).
Второе определение крутизны соответствует существенно
нелинейному режиму работы устройства (рис. 8.1, б) и может быть дано
лишь при учете формы вольт-амперной характеристики
нелинейного элемента в пределах изменения входного воздействия (это будет
сделано в § 8.4).
ч
Рис. 8.1. Линейный (а) и нелинейный (б) режимы работы элемента с
нелинейной вольт-амперной характеристикой.
Примером нелинейной емкости может служить любое
устройство, обладающее нелинейной вольт-кулонной характеристикой д (и).
На рис. 8.2 изображены вольт-кулонная характеристика qa (и)
и вольт-фарадная характеристика Сл = qn (u)lu — const для
обычной линейной емкости и аналогичные характеристики <7НЛ и СНл =
= qim (u)lu для нелинейной.
При любом характере зависимости Снл для заряда <7Ш], как и в
случае линейной емкости, имеет место соотношение
<7ш: (U) = Сил (U)U.
(8.2)
В дальнейшем нелинейная емкость будет обозначаться С (и).
Если приложенное к емкости С (и) напряжение изменяется во
времени, то ток через емкость можно определить с помощью одного
из двух эквивалентных выражений:
dq (и) du
щ=*ЩЦ
dt
du
1(f)--
d [С (и) и]
dt
= \и
dC(u)
du
dC(u)
dt
т-С(и)
dt
+ C(u)
jtu_
dt
(8.3)
du
dt
Если напряжение и изменяется в небольших пределах в окрест
ности точки и = U0, то емкость можно представить в виде
и = и„
(8-4)
Определенную таким образом емкость иногда называют
дифференциальной.
На рис. 8.3 изображен примерный вид зависимости С (и) для
емкости полупроводникового диода.
Наконец, катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая
сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения,
является примером нелинейной индуктивност.4 L (i).
Рис 8.2 Вольт-кулонная и вольт-фа- Рис. 8.3. Примерный вид вольт-фарад-
радная характеристики линейного ной характеристики полуцроводнико-
( ) и нелинейного ( ) кон- вого д-иода.
денсатора.
Соотношение между током i и напряжением и на индуктивности
следует из исходного выражения для потокосцепления
Очевидно,
6Ф(1) _ dL_(0_ Л
dt
(8.5)
uL (t) ■■
at
(8.6)
di dt
Если задано напряжение ul (f) на индуктивности, то, очевидно,
I uL (t)dt =. Ф (i) = L (i)i (/)
и, как и в случае линейной индуктивности
I
мо=-
J
uL (t) dt.
L \i (01.
Под дифференциальной индуктивностью
подразумевается величина
d0 (Q
di
(8-7)
Понятиями дифференциальные сопротивление, емкость и
индуктивность широко пользуются при рассмотрении воздействия
относительно слабых сигналов на нелинейные элементы. При этом
нелинейность элемента проявляется лишь в том, что величины R0,
С0 и L0 зависят от величины управляющего напряжения (или тока),
определяющей положение рабочей точки на нелинейной
характеристике. По отношению же к слабому сигналу подобный элемент
является линейным устройством с переменным параметром (если
управляющее напряжение изменяется во времени).
Свойства таких элементов рассматриваются в гл. 10.
8.2. АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Для анализа и расчета нелинейных цепей необходимо задать
вольт-амперные или иные аналогичные характеристики нелинейных
элементов в аналитической форме.
Реальные характеристики обычно имеют сложный вид,
затрудняющий точное их описание с помощью достаточно простого
аналитического выражения.
В технике широкое распространение получили способы
представления характеристик относительно простыми функциями, лишь
приближенно отображающими истинные характеристики. Замена
истинной характеристики приближенно представляющей ее
функцией называется аппроксимацией характеристики.
Выбор оптимальной аппроксимации зависит от вида нелинейной
характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента
Одним из наиболее распространенных способов аппроксимации
является аппроксимация степенным полиномом.
Запишем аппроксимирующий степенной полином в форме
I {U0 + и) = I (U0) + ахи + а2и* + аяив + ... (8.8)
Если под нелинейным элементом подразумевается транзистор,
то i — ток коллектора, а и — напряжение, например, между базой
и эмиттером. Для вакуумного триода или пентода и — напряжение
между управляющей сеткой и катодом, а г — анодный ток и т. д.
Коэффициенты Оу, а2, а8, ... определяются выражениями
а^{^-\ ,а2=±(^-) ,a^±(-tl.) .(8.9)
Нетрудно видеть, что ах представляет собой крутизну
характеристики в точке и — U0, а2 — первую производную крутизны
(с коэффициентом 1/2!), а9—вторую производную крутизны (с
коэффициентом 1/3!) и т. д.
При заданной форме вольт-амперной характеристики величины
коэффициентов аи а2, а3, ... существенно зависят от U0, т. е. от
положения рабочей точки на характеристике.
Рассмотрим некоторые типичные и важные для практики
случаи.
1. Рабочая точка расположена на начальном участке
характеристики, имеющем вид квадратичной параболы (рис. 8.4),
Предполагается, что подводимое к нелинейному элементу напряжение
сигнала еа, накладываясь на постоянное напряжение Е0 = U0, не
выходит за точку Uly т. е. за начало характеристики.
Выражение (8.8) в данном случае можно записать в.виде
полинома второй степени
i(U0 + es) = i(U0) + axes -f a#t
(8-10)
Коэффициент au определяемый выражением (8.9), часто
обозначается символом S (крутизна характеристики).
F==%
Рис. 8.4. Положение рабочей точки
и пределы использования
вольт-амперной характеристики (о, Ь), при
которых применима аппроксимация
полиномом второй степени.
Рис. 8.5. Пример характеристики,
для аппроксимации которой требуется
полином третьей степени.
Коэффициент а2 определяется из условия, что при е.. = 1/г — U0
ток I = 0, откуда вытекает уравнение
I (U0) + S(U1-U0) + a2 (Ux - и0Г = 0.
Таким образом,
а2 = —U (Uu) + S (Ut - UMUX - Ua)2-
(8.11)
2. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики,
показанной на рис. 8.5.
В точке перегиба кривой I — f (и) все производные четного
порядка равны нулю. Поэтому коэффициенты при четных степенях в
выражении (8.8) обращаются в нуль и его можно записать в форме
I (U0 + и) = i ((У0) + аги + astis + аьиъ + ... (8.12)
Для упрощения анализа часто ограничиваются полиномом всего
лишь третьей степени без квадратичного члена (Неполным
полиномом третьей степени). Заменяя, как и в п. 1, и на напряжение
сигнала es, получаем
i (Но + ее) = i (Но) \- <hP* + Яце*. (8.13)
Соответствующая этой аппроксимации характеристика
показана на рис. 8.5 штриховой линией. Напряжение Um, соответствующее
экстремумам аппроксимирующей функции и отсчитываемое от и =
= U0, иногда называют напряжением насыщения. Заданием этого
напряжения, а также аг (крутизны S в точке U0) однозначно
определяют коэффициент as в выражении (8.13).
Действительно, в точке U0 + Um, т. е. при амплитуде входного
сигнала равной Um, выполняется тождество
\ des jes=
им
откуда
—щ/Wh = — SlWh. (8-14)
Отметим, что аппроксимацией (8.13) допустимо пользоваться,
когда напряжение сигнала не выходит за пределы ±Um-
3. Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики,
изображенной на рис. 8.6.
Если изменение напряжения настолько велико, что
используется участок, обозначенный на оси абсцисс буквами а, Ь, то для
удовлетворительной аппроксимации требуется полином пятой или более
высокой степени. При этом анализ сильно усложняется и
применение степенного полинома для практических
расчетов оказывается неэффективным.
При очень больших амплитудах сигнала
часто оказывается удобным заменять
реальную характеристику идеализированной,
линейно-ломаной, составленной из
отрезков прямых линий. Такое представление
характеристики называется кусочно-
Рис. 8.6. Пример харак- линейной аппроксимацией,
теристики, для аппрокси- Некоторые примеры кусочно-линейной ап-
мации которой требуется проксимации изображены на рис. 8.7.
полином высокой степени. рис 8 7> д соответствует случаю, когда
используется нижний сгиб и линейная часть
характеристики (участок а — с); рис. 8.7, б — когда сигнал
захватывает нижний и верхний сгибы (участок а — d), а рис.8.7, в —
когда сигнал достигает также и падающего участка
характеристики (участок а — /). Следует особо подчеркнуть, что замена реальной
нелинейной характеристики линейными отрезками не означает
линеаризации цепи. Так, например, несмотря на то, что на участке
Ъ—с (рис. 8.7, а) характеристика линейна, по отношению к сигналу,
захватывающему область изменения а—с, система в целом является
существенно нелинейной.
Кусочно-линейная аппроксимация особенно проста и удобна
для исследований и расчетов, когда основное значение имеет нижний
сгиб характеристики, т. е. когда можно ограничиваться двумя пря-
мыми (рис. 8.7, а). При более сложной форме используемого участка
характеристики число-аппроксимирующих отрезков растет и кусоч
но-линейная аппроксимация теряет свои преимущества. В подобных
случаях иногда для аппроксимации применяются различные транс-
Рис. 8.7. Примеры кусочно-линейной аппроксимации характеристики при
различных пределах ее использования.
цендентные функции, например гиперболический тангенс [4],
экспоненциальные функции и некоторые другие.
Описанные выше приемы аппроксимации применимы и к
соответствующим характеристикам реактивн ых нелинейных
элементе;;.
8.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА ЦЕПИ
С БЕЗЫНЕРЦИОННЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Основные свойства таких цепей можно выявить из анализа
воздействия гармонических колебаний нарезистивные
элементы. В качестве такого элемента можно взять любой усилительный
прибор с нелинейной вольт-амперной характеристикой.
Сначала рассмотрим режим работы, представленный на рис. 8.8,
при котором напряжение сигнала eg (t) не выходит за пределы точки
Ux и вольт-амперная характеристика i (и) удовлетворительно
аппроксимируется степенным полиномом (8.8). Подставив в (8.8) и =
= ее (t) = E cos (V, получим
I (t) = i ((Уо) + агЕ cos cV + ajE2, cos2coxf + a3E3 cos3 aj +...
(8.15)
Форма тока i (t) показана на рис. 8.8.
С помощью тригонометрических соотношений
11 3 1
cos?J х = 1 cos 2х\ cos3 х — — cos х. И cos Зх;
2 2 4 4
oil g
cos4 x= 1 cos 2x H cos 4x; cos6 х— — cos x +
8 2 8 8
+ — cos3x+— cos5x и т. д.,
выражение (8.15) приводим к виду
'(') =
i(U о) +~a9iE* +
,£* + ...]
+
+ (а1Е+ — а3Е3+ — аьЕъ +...\ cos щ t-\-
Л- [±-а2Е* + ~ай £4+...) cos 2Ш,/+(-i-й8£3 + -^ а5£8+...) X
Xcos3co^+/— a4£4 -f ...Ws4 Ю!*-)-^ а5£6 + ...]х
X cos Ъщ t +... = /0 + /, cos «>! t + /4 cos 2ю, г + /3 cos Зсо, t + ...
(8.16)
Из этого выражения видны следующие проявления нелинейности
вольт-амперной характеристики при гармоническом воздействии:
А
ъ
8 -
О fff
1
ji-
з п
Рис. 8.8. Слабо-нелинейный режим ра- Рис. 8.9. Спектр тока в режиме, пред-
боты усилительного прибора ставленном на рис. 8.8
— ток покоя i (U0) получает приращение, обусловленное
коэффициентами а2, й4, ... при четных степенях полинома (8.8):
/„=' (^о) +4"а*£2 + Т а<£4 + ■•-
(8.17)
— амплитуда /х гармоники основной частоты w, связана с
амплитудой возбуждения Е нелинейным соотношением,
обусловленным нечетными степенями полинома (8.8):
I=a1E + -jaaEt+ ...-,
(8.18)
— ток i (t) содержит высшие гармоники с частотами пщ,
кратными частоте воздействия (dx. Гармоники с частотами 2сох,
4tolt ... обусловлены четными степенями, а гармоники с частотами
Зщ, йсо„ ... — нечетными степенями полинома (8.8).
Спектр тока при коэффициентах аг = 2мА/В, а2 = 0,15 мА/В2,
с3 = 0,03 мА/В8, I ((/„) = 10 мА и амплитуде Е = 5 В показан на
рис. 8.9. В данном примере всеми слагаемыми со степенью выше
второй в выражении (8.15) можно пренебречь.
Рассмотрим теперь работу того же нелинейного элемента в
режиме существенно более нелинейном (рис. 8.10, а), получаемом при
сдвиге рабочей точки U0 влево и соответствующем увеличении
амплитуды возбуждающего напряжения Е. В данном случае целе-
Рис. 8.10. Сушеоьенно нелинейный режим работы усилительного прибора.
сообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию вольт-
амперной характеристики (см. §8.2, комментарий к рис 8.7, с).
При гармоническом возбуждении ток ((0 приобретает
импульсную форму (рис. 8.10, б). Угол Э, соответствующий изменению тока
от максимального значения 1т до нуля, получил название угла
отсечки тока. Длительность импульсов тока равна 20 (рис. 8.10, б).
Из рис. 8.10, а очевидно следующее выражение;
cos 0 = (t/x - U0)IE. (8.19)
Амплитуда тока
1т = а, \Е - (U, - Un)] = а,Е (I - cos 6), (8.20)
где а, — крутизна линейной части вольт-амперной
характеристики 1см. выражение (8.9)1.
При гармоническом возбуждении нелинейного элемента форма
импульса тока в пределах — 6 < а>( < 6 близка к отсеченной
косинусоиде и. если пренебречь кривизной вольт-амперной харак-
геристики на нижнем сгибе (рис. 8.10, а), мгновенное значение тока
можно выразить уравнением
I (t) = l'm (cos at — cos0), — 6 < (at < 6.
(8.21)
Символом Гт обозначено значение импульса, которое
получилось бы при 6 = л/2.
Так как амплитуда реального импульса /т соответствует
моменту at — 0, имеет место соотношение
1т = 1(0) = lm (1-COS 6),
откуда
/«= /m/(l — COS G).
Подставив это выражение в (8.21), получим окончательно
/г
<«)=■
1—cose
(cos at—cos 0), — 0 < at < 0.
(8.22)
Основываясь на этом выражении нетрудно определить
коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности им-
Рис. 8.11. Импульсный ток,
соответствующий режиму, представленному на
рис. 8.10.
пульсов, представленной на рис. 8.11. Ввиду четности функции
I (f) относительно t [см. (8.22)] ряд содержит одни лишь косинусои-
дальные члены. Применяя формулы (2.24) и (2.32), находим
в о
Л»=-Г- f * (0 d М = „ 1т оч f (C°S CO^-COS 6) Cl (<S>t) =
2л J зт (1—cos 6) J
=/
sin 0 — 6 cos 9
m at (1-cos 6) '
(8.23)
2/„
3t(l—cos 6)
1 }
t=— I I (f) cos atd (at) =
"i
e
( (cos Ш—cos 0) cos (old (at)=
0
e— sin e cos e
зт (1—cos 6)
(8.24)
Аналогично можно получить общее выражение для амплитуды
п-й гармоники
(8.25)
Отношения
1 - ' т
«о(Э) =
О! (9) =
аг(6)=
этп
/о
Лп
'l .
Im
h
Im
(n2
1
-no-
sinG—
я(1-
6— sin
31(1 —
—cos G)
■ e cos e
-cos 6)
GcosB
cosG)
(8.26)
an(e) = -^-
называются коэффициентами, соответственно, постоянной
составляющей, первой гармоники и т. д. (функции Берга).
Графики коэффициентов а0, а,, а2, ..., а также отношения у =
= ax/a0 при изменении угла отсечки от 6 = 0 до 6 = 180°
показаны на рис. 8.12. При 6=0 ток
вообще равен нулю
(нелинейный элемент заперт на
протяжении всего периода); при
0 = 180° отсечка тока
отсутствует и режим работы
становится линейным. Спектр тока
для нескольких значений угла
отсечки представлен на рис. 8.13
.(при 1т = 1).
Из рассмотрения графиков
функций ап (6) и спектрограмм
тока можно вывести важные
заключения. Бросается в глаза,
что при работе с углом отсечки
меньше 180° отношение
амплитуды первой гармоники /[ к постоянной составляющей /п больше
единицы, между тем как в линейном режиме это отношение много
меньше единицы. Видно, что с уменьшением 6 отношение
sine cose {827)
а
Ofi
0,1
О
L..
1
~~У*~
-~.
%
>Щяj/
"N3
_j\ Г
щ,
*"-••
■~Sj
а?
/do
'/0
80
120
в
Рис. 8.12. Коэффициенты разложения
импульсного тока в ряд Фурье в
зависимости от угла отсечки 6.
Tl:
«1
a0
/0 sin e—e cos e
растет. Кроме того, с повышением номера гармоники максимумы
функций ап (6) перемещаются в область малых значений 0. Все
эти обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор
Режима работы нелинейного элемента при усилении колебаний,
умножении частоты и на ряд других преобразований, которые
изучаются в последующих параграфах данной главы.
Рассмотрим теперь воздействие на нелинейный резистивный
элемент бигармонического колебания
es (t) = Ел cos to,/ + E2 cos co2/.
(8.28)
Для упрощения анализа ограничимся в данном параграфе
рассмотрением слабо нелинейного режима (рис. 8.8), когда
достаточно учитывать только линейный и квадратичный члены в
полиноме (8.8).
4Л\
О,'/
0,2
п
i
в~ео~
- I
_ j
"
Т
Т.
I
т
Sff"
■i rr
~Г
ечго
L
-!-*•
Рис. 8.13. Спектры импульсного тока при нескольких значениях угла отсеч.
ки 6.
Подстановка (8.28) в ряд (8.8) приводит к следующим
результатам:
— для линейного члена .ряда
ai^s (0 = ai£i cos cV + я2£2 cos w^'< (8.29)
для квадратичного члена ряда
а2 ef (t) = а2 (jE^ cos tOj t + £2 cos ш2 t)2—a2 £? cos* to, / 4-
+ «a El cos2 to21 + 2сиг Ег E2 cos <ох t cos co21 =
=— a2 (E\ +El)+—a2 E\ cos 2(0^+ — a2 E\ cos 2coB t +
2 "■•---"■ 2 * 2
+ a2 £, £2 [cos (со, -f to2) t + cos (co1 — <bs) /).
(8.30)
Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет
приращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2со, и 2со2
представляют собой вторые гармоники от соответствующих
компонентов входного сигнала. Слагаемые же с частотами со, + со2 и
©! — со2 представляют комбинационные колебания
В более общем случае, проделав аналогичные преобразования
над кубическим слагаемым ag\ (f), убедимся, что это слагаемое
вносит в спектр: <вх, со2 — основные частоты; Зшь Зсо2 — третьи
гармоники; сох + 2соа, | сох — 2coJ , 2cox + со2, |2сох — со2.| —
комбинационные частоты.
Продолжив подобный анализ для более высоких степеней ряда
(8.8), можно показать, что при воздействии на нелинейное
устройство бигармонического колебания в спектре на выходе
нелинейности, описываемой полиномом k-й степени, могут присутствовать
следующие частоты: со = О — постоянная составляющая; со = псо,,
п = 1,2, ..., k, — гармоники частоты со,; со = лсо2, п = 1, 2, .... k,
— гармоники частоты to2; со = |/гсо, ± шсо2|, п = 1, 2, .... k
и т— 1, 2, ..., А — комбинационные частоты (при условии, что
п -{• tn^. k).
Спектрограмма колебания на входе и выходе нелинейного
элемента, описываемого полиномом второй степени (k = 2), ИЗОбра-
д^вх
11
Ci>f6>Z 0 DOff 6>г
• ,Еш
6)/+6>Z
В) &
Рис. 8.14. Спектры колебания на входе и выходе квадратичного нелинейного
элемента при бигармоническом воздействии с частотами coi и сов:
а — при близких частотах ati и шг; б — при cat < й>2.-
жена на рис. 8.14. Из рисунка видно, что взаимодействие двух
гармонических колебаний с неодинаковыми частотами в нелинейном
устройстве второй степени приводит к возникновению разностной
| со,— со2| и суммарной to, + to2 частот (помимо гармоник 2(oL
и 2ю2). Для практического использования этих новых частот
достаточно применять на выходе нелинейного элемента линейную
избирательную цепь, выделяющую полезную составляющую
спектра (рис. 8.14, а).
Свойство квадратичного нелинейного элемента, позволяющее
получить комбинационные частоты, широко применяется в
радиотехнике для сдвига частоты сигнала.
В случае же щ << со2 (рис. 8.14, б), когда комбинационные
частоты со2 ± со, располагаются вблизи частоты со2 и все три частоты:
со2, со2 + со, и со2 — со, могут быть выделены одним общим
фильтром, можно получить спектр, соответствующий амплитудной
модуляции колебания частоты со2 относительно низкой частотой со,.
При нелинейности более высокого порядка (k > 2) можно
осуществить выделение любой из частот вида to — Into, ± mco,|,
п + m < £.
При более сложном составе входного спектра, содержащем
частоты со,, со2, со3, .... на выходе нелинейного элемента возникают
частоты nw1, исо2, nw3, ... и комбинационные частоты /гсог- ± mcoft,
где п и ш — любые целые числа, а со* и соА — любая из пар частот
входного спектра.
Нетрудно установить, что при любом сложном, но периодическом
воздействии с основной частотой со на выходе нелинейного
элемента имеет место также периодический процесс с основной частотой а.
Обогащение спектра в этом случае может произойти только за
счет гармоник с частотами пи>. Это объясняется тем, что в
рассматриваемом частном случае все частоты выходного сигнала кратны
частоте w; следовательно, суммы и разности любых двух гармоник
входного спектра также кратны w.
Из приведенного ранее качественного рассмотрения видно,
что простой резистивный нелинейный элемент в сочетании с
избирательной линейной целью позволяет осуществить ряд
преобразований, таких, как нелинейное резонансное усиление, умножение
частоты колебания, выпрямление, детектирование
модулированных колебаний, сдвиг частоты колебаний, амплитудная модуляция,
и др. Этим вопросам посвящены § 8.4—8.12.
Воздействие гармонических колебаний на реактивные
нелинейные элементы (емкость или индуктивность) рассматривается
в гл. 10.
8.4. НЕЛИНЕЙНОЕ РЕЗОНАНСНОЕ УСИЛЕНИЕ
Схема нелинейного резонансного усилителя не отличается от
схемы, рассмотренной в гл. 5 (рис. 5.17). Основное отличие — в
режиме работы усилительного прибора. Сдвигом рабочей точки на
вольт-амперной характеристике влево и увеличением амплитуды
входного колебания устанавливается режим работы с отсечкой
тока — коллекторного iK (f) в транзисторном усилителе или анодного
«a (f) в ламповом.' Подобный режим представлен на рис. 8.10, а.
В дальнейшем рассматриваются особенности нелинейного
режима, характерные для любого типа усилителя. Ток i (t) в выходной
цепи усилителя при работе с отсечкой имеет импульсную форму
(рис. 8.11) и содержит наряду с постоянной составляющей и
полезной первой гармоникой ряд высших гармоник, которые должны
быть подавлены (отфильтрованы). Эту задачу решает
параллельный колебательный контур, настроенный на частоту w0 входного
колебания. При резонансе токов эквивалентное сопротивление
параллельного контура ZgP между точками / — /' очень велико и
является сопротивлением нагрузки усилителя. По отношению же
к высшим гармоникам тока i (f) контур, обладающий достаточно
большой добротностью Q, можно рассматривать как короткое
замыкание. В результате, несмотря на искаженную импульсную
форму тока I (f), на нагрузочном контуре как и в линейном усилителе
выделяется напряжение, очень близкое к гармоническому.
Основное преимущество нелинейного режима — относительно
высокий к. п. д., под которым понимается отношение колебатель-
ной мощности Р„ = Vg/jf/K, выделяемой в резонансном контуре,
к мощности Р0 = 10Е0, потребляемой от источника постоянного
тока. Таким образом,
Р0 2 /о й„
Амплитуда напряжения на контуре UH может быть доведена до
величины, близкой к Е0, а отношение токов ljlb = yt при угле
отсечки 0 = 70° — 100°, близким к я/2. Следовательно, к. п. д.
нелинейного усилителя можно довести до величин, близких к
(70 — 80)%, между тем как при линейном режиме, когда
амплитуда переменной слагающей тока I (t) должна быть по крайней мере
в несколько раз меньше тока покоя ((£„) (см., например,
рис. 5.12, б), к. п. д. не превышает нескольких процентов. (В
резонансных усилителях, применяемых в радиоприемных устройствах,
отношение IJIq настолько мало, что вопрос о к. п. д. вообще не
принимается во внимание.)
Из графиков рис. 8.12 вытекает, что для повышения
коэффициента Vi = V'o выгодно уменьшать угол отсечки 0. При этом, однако,
уменьшается величина 1г (при заданной величине импульса /т),
что ведет к уменьшению мощности Р„ (мощность Р0 уменьшается
быстрее, чем Р^,). Поэтому в тех случаях, когда важно
максимизировать мощность Р„, угол отсечки 0 доводят до — 120Q, при котором
коэффициент ах (0) достигает максимума, мирясь при этом с
некоторым снижением к. п. д. В практике наиболее распространен режим
работы нелинейного усилителя с отсечкой, близкой к" 90е.
Обратимся к установлению соотношений между напряжениями
и токами основной частоты со0 в нелинейном усилителе.
В первом приближении, если не учитывать обратной реакции
выходной цепи на величину тока, т. е. считать, что ток i (t) в
основном определяется напряжением на входе усилителя, можно
воспользоваться формулой (8.20), которая с учетом (8.26) приведет
к выражению
1т = ах£ (1 - cos 0) = /М (0),
откуда
/, = ttl (0)/m = (*! (0)(1 — cosBUhE. (8.31)
Напомним, что в соответствии о выражением (8.9) коэффициент
йх = S имеет смысл крутизны вольт-амперной характеристики на
линейном участке.
Таким образом,
/i = «х (0)(1 - cos Q)SE. (8.31')
Схема замещения выходной цепи усилителя представлена на
Рис. 8.15, а. Активный элемент замещается генератором
импульсного тока, однако напряжение на резонансном контуре создается
только первой гармоникой тока и поэтому определяется выражением
«к (0 = —tiZeV cosw0t = ивых cos w0t.
(8.32)
(Знак минус связан с выбранным на схеме рис. 8.15 направлением
тока и отсчетом потенциалов относительно заземленной точки
схемы.)
Разделив выражение (8.31) на Е, получим параметр
* Sep = c1CD = Ij/E = S (1 — cos 6) a, (6), - (8.33)
который можно трактовать как среднюю крутизну
характеристики для первой гармоники.
Таким образом,
/, = SCP£. (8.34)
В отличие от дифференциальной крутизны S = щ, которая
определяется в точке и поэтому при работе на нелинейном участке
характеристики зависит от рассматриваемого момента времени,
параметр Scp, выраженный через отношение амплитуд тока и
напряжения, является как бы усредненным по всему периоду коле-
i(th
Лг
Z(ia)
Vet
to Scp£ I
® !>'
a)
t)
Рис. 8.1Б. Общая схема замещения выходной цепи усилителя:
а — работающего с отсечкой тока; б — для первой гармоники импульсного тока.
бани я. Понятие средней крутизны имеет смысл, если
обеспечивается синусоидальность напряжения на нагрузке (несмотря на
сложную форму тока i (/))•
При учете влияния выходного напряжения на ток I (f)
выражение (8.34) должно быть заменено более точным, аналогичным
выражению (5.37'):
(8.34')
Л = Sep E — £/вых G[ = Scp E — UBUJRi.
Здесь
С/ = l/R'i = Gta, (6)(1 — cos 6)
(8.35)
представляет собой внутреннюю проводимость нелинейного
элемента, приведенную к току первой гармоники.
Подставляя в (8.34') /j == UBU:x/Z3X> и учитывая (8.32), нетрудно
получить следующее выражение для коэффициента усиления при
работе с отсечкой тока:
«*=-тг=-ттё1г- (8.36)
При 2эр//?/<<1 можно пользоваться приближенной формулой
Ке~— ScpZ8p. (8.36')
На основании выражения (8.34') схему замещения выходной цепи
усилителя можно привести к виду, представленному на рис. 8.15, б.
Символом 1/вых = —\XZ (ш) обозначена комплексная амплитуда
напряжения на выходе.
От аналогичной схемы замещения линейного усилителя
(рис. 5.17, б) эта схема отличается тем, что в ней Scp и GI являются
функциями угла отсечки 0 и, следовательно, амплитуды входного
напряжения Е.
При 0 = 0 усилительный прибор полностью заперт и Scp = 0.
При 0 = 90е, когда ток имеет форму полуволновых импульсов,
Scp = VgOi, а при 0 = 180° (линейный режим) средняя крутизна
Scp стремится kS = o1.
То обстоятельство, что при изменении амплитуды колебаний
изменяются параметры Scp и С/ и, следовательно, нарушается
пропорциональность между амплитудами на входе и выходе, заставляет
трактовать цепь как нелинейную. С другой стороны, сохранение
формы колебания (гармонического) позволяет трактовать цепь как
линейную (при фиксированной амплитуде).
Такой подход к анализу нелинейных устройств получил
название квазилинейного метода [5]. Еще раз следует
подчеркнуть, что этот метод применим в тех случаях, когда, несмотря
на нелинейность цепи, обеспечивается синусоидальная форма
колебаний, причем система рассматривается в стационарном режиме.
Зависимость параметра Scp от амплитуды входного сигнала
ограничивает возможности применения нелинейного режима для
усиления колебания, в котором информация содержится в огибающей
амплитуд (т. е. при амплитудной модуляции). Исключением является
режим с отсечкой тока точно в 90е. Непосредственно из рис. 8.10
видно, что при U0 = Ui изменение амплитуды входного напряжения
Е приводит лишь к пропорциональному изменению амплитуды
импульса тока при сохранении формы импульсов. Таким образом, при
работе с отсечкой 0 = 90е средняя крутизна не зависит от
амплитуды входного сигнала и всегда равна V2S. При этом коэффициент
первой гармоники щ = /х//т = 0,5 [см. (8.24)], т. е. амплитуда
первой гармоники равна половине амплитуды импульса.
При усилении частотно-модулированного или фазомодулирован-
ного колебания нелинейность усиления не является препятствием
(независимо от угла отсечки).
Отмеченные особенности нелинейного режима усиления очень
важны и широко используются в практике.
8.5. УМНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ
Наличие в составе импульсного тока ряда гармоник с частотами,
кратными основной частоте возбуждения, позволяет использовать
усилитель, работающий с отсечкой тока, в качестве умножителя
частоты. Для этого не требуются какие-либо изменения в схеме
резонансного усилителя, достаточно лишь нагрузочный колебательный
контур настроить на частоту выделяемой гармоники и установить
наиболее выгодный для подчеркивания полезной гармоники режим
работы активного элемента. Из графиков изображенных на pi'c. 8.12
видно, что для удвоения частоты выгодно работать с углом отсечки,
близким к 60°, при котором коэффициент второй гармоники проходит
через максимум, для утроения частоты — с углом отсечки 40е и т. д.
Если контур настроен на частоту лсо0, п — 2, 3, ..., то гармоники
тока порядка п — 1 и более низкие пройдут преимущественно через
индуктивную ветвь, а гармоники п + 1 и более высокие — через
емкостную ветвь контура. При достаточно высокой добротности
напряжение на контуре от всех гармоник, за исключением n-й, очень
мало. Поэтому напряжение на контуре близко к гармоническому
с частотой гм£>0.
Следует иметь в виду, что для полного использования мощности
электронного прибора уменьшение угла отсечки должно
осуществляться при поддержании неизменного уровня амплитуды импульса.
Для этого одновременно с изменением смещения | U01 нужно
увеличивать амплитуду переменного напряжения на входе Е. На рис. 8.16
углу 0 = 90е соответствует смещение £/01, углу 8 = 60° — смещение
U0i и т. д.,; амплитуды Еъ Е2, ... выбраны такими, что 1т остается
неизменным. Можно поэтому считать, что для умножителя частоты
характерен режим работы с большими амплитудами входного
напряжения.
Это обстоятельство наряду с уменьшением полезной мощности
при повышении порядка умножения из-за убывания коэффициентов
ап (см. рис. 8.12) существенно ухудшает энергетические
соотношения в умножителях.
Схема замещения умножителя частоты внешне не отличается от
схемы замещения нелинейного усилителя (см. рис. 8.15, б).Следует
лишь по аналогии с выражением (8.33) под средней крутизной
подразумевать
Scp = IJE = S(l— cosG) an, (8.37)
где коэффициент я-й гармоники ап определяется формулой (8.26).
Соответственно и внутреннее сопротивление электронного
прибора, приведенное к используемой гармонике, равно
R't = Ri/an(l — cos 6). (8.38)
Умножение частоты широко применяется в радиопередающих
устройствах с кварцевой стабилизацией частоты задающего
генератора. Частота этого генератора выбирается относительно невысокой,
в 4—12 раз меньшей рабочей частоты передатчика, благодаря чему
создаются благоприятные условия для использования
пьезоэлектрического эффекта кварцевой пластинки. Умножение частоты
осуществляется в последующих каскадах передатчика на малой
мощности. Чаще всего применяется удвоение, реже утроение
частоты в одном каскаде.
Умножение ^частоты широко применяется также в ряде
измерительных устройств, когда требуется получить сетку частот,
кратных какой-либо одной определенной частоте, рассматриваемой в ка-
Рис. 8.16. К выбору угла отсечки Рис. 8.17. Напряжение на выходе ум-
в умножителе частоты при различных иожителя частоты при недостаточно
коэффициентах умножения. высокой добротности резонансной
цепи.
честве опорной. В подобных устройствах используется электронный
прибор, работающий с очень малым углом отсечки. Подавая на вход
достаточно большое переменное напряжение (при большом
смещении), можно получить ток в виде последовательности весьма острых
импульсов. Такой ток богат гармониками, образующими очень
широкий линейчатый спектр. При воздействии этого спектра на
контур напряжение на последнем может сильно отличаться от
синусоидального, так как в полосу прозрачности контура попадает
ряд гармоник. В подобных случаях напряжение на контуре часто
Удобно определять, исходя не из спектрального представления
импульсного тока, а из рассмотрения свободных колебаний,
возбуждаемых каждым из импульсов тока в отдельности (рис.8.17). В
промежутке Т между двумя импульсами тока амплитуда напряжения
на контуре убывает по закону
U (t) = U0 е-"' = U0 е-"» t/2Q>
гДе сосв — частота свободных колебаний в контуре; Q — добротность.
Если к началу следующего импульса колебание, вызванное
предыдущим импульсом, не успевает полностью затухнуть, необходимо
учитывать наложение свободных колебаний.
Намеченная выше картина явлений в умножителе частоты
является лишь качественной иллюстрацией сильно нелинейного
режима работы усилительного прибора и выделения полезной
гармоники с помощью избирательной цепи. При расчете и проектировании
умножителя частоты приходится учитывать деформацию импульсов
тока, обусловленную нелинейным характером внутренних
сопротивлений усилительного прибора. Эта деформация проявляется в
приборах полупроводникового типа.
8.6. АМПЛИТУДНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ
В радиотехнике часто возникает необходимость устранить
нежелательные изменения амплитуды высокочастотного колебания,
возникающие из-за накладки помех на радиосигнал, при передаче
частотно-модулированных колебаний через избирательные цепи и т. д.
Для этого широко используются амплитудные ограничители,
представляющие собой сочетание нелинейного элемента и избира-
; >-
1
1
1
1
^=r№-flemfct+W]
Рис. 8.18. Режим работы ограничителя амплитуды.
ельной нагрузки. Вольт-амперная характеристика нелинейного
элемента должна иметь сильно выраженную горизонтальную часть,
а полоса пропускания избирательной цепи должна быть не шире
той, которая требуется для передачи информации, содержащейся
в частоте (или фазе) ограничиваемого колебания. В качестве ампли-
удного ограничителя может быть использован, в частности,
обычный нелинейный резонансный усилитель, рассмотренный в § 8.4, в
режиме работы, показанном на рис. 8.18.
Пусть к ограничителю подводится колебание вида
e(t) = E (t)cos lw0t + 6 (t)], (8.39)
причем изменение огибающей Е (t) является нежелательным,
паразитным фактором. Если это изменение не выходит за пределы
горизонтального участка характеристики i = f (и), как это показано
на рис. 8.18, то импульсы тока имеют одинаковую амплитуду,
независимо от Е (t). Несколько изменяется лишь ширина вершины
импульсов. Поэтому можно в первом приближении считать, что
амплитуда первой гармоники, а следовательно, и амплитуда напряжения
на колебательном контуре являются
в некотором интервале изменения
амплитуды Е (t) постоянными
величинами.
Характеристику ограничителя с
избирательной нагрузкой,
обеспечивающей отфильтровывание высших
гармоник, можно представить в виде,
изображенном на рис. 8.19. Через
-Епор обозначено пороговое значение '""''
амплитуды входного напряжения, на- Рис 8.19. Характеристика резо-
чиная с которого обеспечивается пол- нансного ограничителя.
ное ограничение на уровне £/0.
При Е (t) > Еаор амплитуда на выходе почти не изменяется.
Фаза же первой гармоники тока и соответственно выходного
напряжения совпадает с фазой напряжения на входе ограничителя.
Поэтому для выходного напряжения можно написать следующее
выражение:
"вы* № » У о cos [<o0/ + 6 (t)l (8.40)
Амплитуда выходного напряжения U0 определяется параметрами
нелинейного элемента и избирательной нагрузки. Для схемы,
изображенной на рис. 8.15, б, U0 = /iZSp, где /г — амплитуда первой
гармоники, определяемая с учетом уплощения вершины импульса,
a ZgP — эквивалентное резонансное сопротивление контура.
Для ряда практических задач особый интерес представляет
воздействие на амплитудный ограничитель двух сигналов с близкими
частотами.
Пусть, например, определяемое выражением (8.39) напряжение
е (/) является суммой двух гармонических колебаний:
е (t) = £j cos со,/ + £2 cosco2/, E2 < Ег. (8.41)
Каждое из этих напряжений, действуя отдельно, создает на
выходе ограничителя простое гармоническое колебание с частотой юа
(или cojj) и с амплитудой U0. Иная картина получается при
одновременном воздействии на ограничитель двух гармонических
напряжений. Для определения напряжения на выходе ограничителя входное
колебание необходимо привести к виду выражения (8,39),
Для этого обозначим через Q разность частот Q = со2 — со^ и
сделаем в (8.41) следующую подстановку:
cos w2t = cos (со! -f- Q)t = cos Qtcos co^ — sin Qt sin co^.
Тогда
e (0 = £1 cosco^ + £2 (cos Qt cosco^ — s'mQt sin att) —
= (Et + E2 cosQ^cos w^ — E2sinQt sinco^.
Рассматривая множители при cos co^ и sin aj как медленно
меняющиеся функции времени (поскольку Q С Wj), представим
последнее выражение в несколько иной форме
е (t) = У(Ег + £2 cos Qt)2 + El sin" Qt cos К / + 6 (/)] =
= £(0cos|co1/ + e(/)], (8.42)
где огибающая результирующего напряжения Е (t) определяется
выражением
Е (0 = E{VT'+ (2EJEJ cos Q/. + {EJE^, (8.43)
а фаза
6(*) = arctg
(g2/5i) sin Qt
1+(Ez/Ei) cos Qt'
(8.44)
Огибающая £ (t) имеет максимальное значение, равное Et + £а
(при cos Ш = 1), и минимальное, равное Е1 — Е2 (при cos Qt —
= -1).
Рис. 8.20. Бигармоническое напряжение на входе амплитудного ограничителя.
Допустим, что Ег — Е2 > Яцор, так что условие ограничения
выполняется для всех значений, которые может принимать
амплитуда входного напряжения Е (t) (рис. 8.20) . Тогда напряжение на
выходе по аналогии с (8.40) можно записать в виде
«вых (0 = ^о cos К* + 0 (01. (8.45)
Получается фазомодулированное колебание, которое в отличие
от входного напряжения е (t) может иметь широкий спектр.
Для определения амплитуд отдельных составляющих этого
спектра можно воспользоваться теорией частотно-модулированных
колебаний, изложенной в гл. 3.
Не приводя здесь подробного анализа, облегчим задачу, допустив,
что £2 <€. Ei- При этом выражение (8.44) упрощается:
6 (/) « arctg (-^- sin Qt) ж -^- sin Qt,
\ Ei J Ei
и напряжение на выходе1
"вых (0 & ^с cos (aj -f m sin Q/). (8.46)
Здесь использовано обозначение
я=адС1, (8.47)
которое подчеркивает, что отношение амплитуд Е21Ег имеет в
данном случае смысл индекса фазовой модуляции (см. § 3.4).
Выражение (8.46) полностью совпадает с (3.25) и по аналогии
с (3.32) можно записать в форме
иьых (0 — U0 (cos coj/ + (m/2)cos (со, + Q)t —
— (m/2)cos К — Q)tl (8.48)
Спектр выходного напряжения при т = E2/Ei <C ' состоит из
трех составляющих с частотами соь coj + Q = со2 и аг — Q =
= 2о)х — со2. Первые две частоты присутствуют на входе
ограничителя, а третья (2а>1 — со2) является продуктом взаимодействия
входных колебаний в нелинейном элементе.
Соотношение спектров на входе и выходе ограничителя при
E2/Ei С 1 показано на рис. 8.21. Частота 2^ —. со2 является
«зеркальной» по отношению к частоте со2.
Существенно, что амплитуда колебания с частотой со2 = сох + Q
(а также с частотой ©j —Q) составляет всего лишь т/2 от амплитуды
колебания с частотой соъ в то время как на входе отношение
амплитуд равно т. Это позволяет говорить о подавлении в ограничителе
слабого колебания более сильным. Эффект подавления становится
особенно наглядным, когда в полосу пропускания избирательной
нагрузки попадают только частоты а>г и со2, а зеркальная частота
а>1 — Q отфильтровывается8. В этом случае спектральный состав
напряжения на выходе такой же, как и на входе, только амплитуда
слабого колебания по отношению к сильному уменьшается в два
раза.
Если амплитуды двух колебаний на входе ограничителя
соизмеримы, то эффект относительного подавления выражен слабее. Это
видно из графика (рис. 8.22), построенного в предположении, что
избирательная цепь ограничителя пропускает только компоненты
с частотами cDt и со2) присутствующими на входе ограничителя [8J.
1 Здесь мы не учитываем влияния неравномерности частотной характе
ристики контура в полосе частот, обусловленной фазовой модуляцией вход
ного сигнала.
г Этот случай, правда, не характерен для ограничителя, так как от-
фильтрование зеркальной частоты приводит к непостоянству огибающей
суммы авух напряжений.
По оси ординат отложен коэффициент подавления, представляющий
собой отношение
К=
Ut/Ui
EtfEt
где EJEx — отношение амплитуд на входе, a UJUx на выходе
ограничителя.
При Е^Ег << 1 К = 0,5, а с приближением Е2/Е1 к единице К
также приближается к единице. При Е2/Е1 — 1 оба колебания
равноправны и взаимное подавление отсутствует.
а
о
Vk
Ef
Ez^mEf
JRrr
и,
Zb)f-b)2
Ч
OJS Ez/£f
Рис. 8.21. Спектры колебаний на
входе и выходе резонансного
ограничителя при бигармоническом
воздействии.
Рис. 8.22. Коэффициент подавления
слабого колебания в амплитудном
ограничителе при бигармоническом
воздействии (£2<£|).
В заключение следует отметить, что все приведенные выше
рассуждения сохраняют свою силу и в случае, когда со2<Го1,
необходимо лишь на рис. 8.21 поменять местами зеркальные частоты.
8.7. НЕЛИНЕЙНАЯ ЦЕПЬ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
(ВЫПРЯМЛЕНИЕ)
Рассмотрим нелинейную цепь, изображенную на рис. 8.23. К
последовательному соединению нелинейного элемента Д (диод)
с простейшим /?С-фильтром приложена гармоническая э. д. с.
е (t) = E cos a0t; требуется найти токи в ветвях и напряжение
ывых на выходе схемы (в стационарном режиме). Такая задача
характерна для однополупериодного выпрямления переменного тока,
амплитудного детектирования (в отсутствие модуляции) и многих
других радиотехнических процессов. Напряжение на выходе ивых (t)
представляет собой пульсирующую около среднего значения U0
кривую (рис. 8.24, а). Это напряжение является отрицательным по
отношению к диоду. Поэтому ток через диод возможен только в
течение отрезков периода, когда положительная полуволна э. д. с.
превышает напряжение ивык (t). Иными словами, ток через диод
имеет форму импульсов, показанных на рис. 8.24, б. В промежутках
между импульсами тока, когда происходит разряд конденсатора С
через резистор R, напряжение ыВЫ£ (i) убывает. В промежутке,^ <.
< t < ^a конденсатор подзаряжается1 импульсом тока и ивых (f)
растет. Если постоянная времени RC нагрузочной цепи велика по
сравнению с периодом Т = 2л/ю0, то амплитуда пульсаций
напряжения иЕЫХ мала и в первом приближении можно считать ыВЬ1х «
л; U0. Учитывая, что по отношению к диоду напряжение на
нагрузке является отрицательным, рассмотрим построение, показанное на
рис. 8.25. В левой части этого рисунка сплошной линией изображена
истинная вольт-амперная характеристика диода в координатах I,
напряжение и, а штриховой прямой линией — аппроксимирующая
ее линейная функция. Диаграмма входной э. д. с. е (t) = Е cosco0/
tiOtz T+tfOT+tz
Рис. 8.23. Однополупериодный
выпрямитель.
Рис. 8.24. Напряжения на входе и
выходе однополупериодного
выпрямителя (а) и ток в цепи диода (б)..
построена относительно вертикальной оси (o0t, смещенной на
величину U0 влево от точки и = 0. В правой части рис. 8.25 изображены
импульсы тока, длительность которых равна 26.
От построения, представленного на рис. 8.10, последнее
отличается отсутствием фиксированного постоянного напряжения.
Следует обратить особое внимание на то, что постоянное напряжение
U0, создаваемое на нагрузочном резисторе R постоянной
составляющей тока /„, зависит от амплитуды Е входного колебания. Из этого,
в частности, вытекает, что угол отсечки 6 не может быть более 00°,
Для установления связи между амплитудой входного
напряжения Е и выпрямленным напряжением U0, при заданных параметрах
цепи, воспользуемся результатами спектрального анализа
импульсного тока, проведенного в § 8.3.
Сначала допустим, что угол отсечки тока 6 известен. Тогда
можно составить следующие соотношения:
/0 = а0 (6)/т,
cos 6 = U0/E,
(8.49)
(8.50)
Последнее соотношение вытекает непосредственно из рис.8.25.
Далее, при заданном внутреннем сопротивлении диода Rt очевидно
равенство
/m = (£- U0)IRi = E(\- Uo/EVRi.
(8.51)
Подставив в это выражение (8.49) и (8.50), получим
/0 £(1— cos 6) _ U„ (l — cos 6)
а„(0)
откуда
/п
Ri
1
cos 0 Rt
tt0 (1 — COS 6) 1
U0 R cos0 Ri
и окончательно, учитывая первое равенство (8.26),
Ri _ sin 6 — 6 cos 6 __ tge—6
R л cos 0 n
(8.52)
Итак, задание внутреннего сопротивления диода Rt и
сопротивления нагрузки R однозначно определяет угол отсечки 6. При этом
предполагается, что емкость С, шунтирующая сопротивление R,
отвечает условию
1/ооС « /?, (8.53)
или, что то же самое, постоянная времени RC велика по сравнению
с периодом Т0, так как только в этом случае напряжение на выходе
можно считать близким к постоянному.
Рис. 8.25. Режим работы диода в
схеме, представленной на рис. 8.23.
Уравнение (8.52), связывающее угол отсечки 0 с отношением
Ri/R, является трансцендентным. Поэтому 0 удобно определять по
графику, представляющему собой зависимость отношения Rt/R от
0 (рис. 8.26). Рассмотрим два предельных случай: 1) 0 = 0 и 2)0 =
= 90°. Первый случай получается при Rt/R->0, т.е. при
бесконечно большом сопротивлении нагрузки R, когда схема детектора
вырождается в схему, представленную на рис. 8.27. При этом
выпрямленное напряжение на конденсаторе С достигает наибольшей воз-
можной величины £/„ = Е и. ток через диод в установившемся
режиме, когда закончен процесс зарядки конденсатора.равен нулю.
Таким образом, случай 6 = 0 соответствует режиму холостого хода.
Второй случай (в = 90°) соответствует режиму короткого замыкания
нагрузки [R -> 0), При этом вся э. д. с, оказывается приложенной
4>г—)
ID ZO &°
Рис. 8.26
Д
Q) eft) C^J0^E
Рис. 8.27
Рис. 8.28
Рис. 8.26. Характристика Rt/R в
зависимости от угла отсечки 6.
Рис. 8.27. Схема замещения выпрямителя
в режиме холостого хода (i?i—►<», 9->-0).
Рис. 8.28. Схема замещения выпрямителя
при #</?*, е-»-90°.
к диоду, и ток последнего принимает форму полуволновых
импульсов (усеченных в верхней части, если Е больше, чем напряжение
насыщения диода).
Если действие емкости не учитывать, что допустимо при малых
R, приходим к схеме, представленной на рис. 8.28. Напряжение на
резисторе R совпадает в этом
случае по форме с током I.
Итак, для получения на
выходе выпрямленного
напряжения, близкого к амплитуде
э. д. с. Е, угол отсечки должен
быть мал, а отношение R/Rt
весьма велико. При 6<! 10° — 20°
отношение U0/E — cos 6 близко
к единице. Для получения та кого
режима требуется сопротивление
нагрузки R л; 100Rг. После того
как найдено R, требуемую
емкость конденсатора С можно
определить с помощью условия
(8.53).
В заключение отметим, что условие (8.53), выведенное из
рассмотрения процесса разрядки конденсатора С через резистор R,
легко может быть истолковано на основе спектрального подхода.
При 1/со0С « R все гармоники импульсного тока, протекающего
через диод, замыкаются в основном через конденсатор, не создавая на
Рис. 8.29. Импульсный ток в
диода и его составляющие.
нем заметного падения напряжения (по сравнению с (/с = /о^)-
В результате получается распределение тока, представленное на
рис. 8.29. Показанный в нижней части рисунка ток, полученный
вычитанием постоянной составляющей /0 из полного тока диода i (/),
является суммой всех гармоник этого тока.
8.8. АМПЛИТУДНОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Детектирование колебаний заключается в выделении сигнала,
который в неявной форме содержится в модулированном
высокочастотном колебании. По своему назначению детектирование
является процессом, обратным процессу модуляции. В тех случаях,
когда требуется подчеркнуть это, наряду с термином
«детектирование» (обнаружение) применяют термин «демодуляция».
Соответственно основным видам модуляции различают амплитудное, частотное
и фазовое детектирование. Последние два вида детектирования ввиду
тесной связи, имеющейся между частотой и фазой колебаний, часто
осуществляются мало различающимися между собой
устройствами.
На вход детектора подается модулированное колебание,
содержащее только высокочастотные составляющие: несущее колебание
и колебания боковых частот. На выходе же выделяется напряжение
с низкочастотным спектром
передаваемого сообщения.
Следовательно, детектирование
сопровождается трансформацией
частотного спектра и не может быть
осуществлено без применения не-,
линейных цепей или же
линейных цепей с переменными
параметрами. В качестве нелинейных
элементов в настоящее время
чаще всего применяются
полупроводниковые диоды.
Принцип действия
амплитудного детектора в отсутствие
модуляции был изложен в
предыдущем параграфе при рассмотрении
выпрямления. Теперь нам
предстоит рассмотреть некоторые
явления в детекторе при
модулированном колебании, а также особенности детектирования слабых и
сильных колебаний. Обратимся сначала к последнему вопросу.
Допустим, что амплитуда колебания на входе детектора настолько
мала, что обусловленные этим колебанием изменения тока
укладываются на относительно небольшом участке нижнего сгиба
характеристики диода или любого другого нелинейного элемента
(рис. 8.30).
Рис. 8.30. Режим работы
квадратичного детектора.
В соответствии с выражением (8.10) ток через диод (см, рис, 8.23)
равен
i (t) = i (£/„) + ахе (0 + а2ег (0,
где е (0 — £ (Ocos w0' — мгновенное значение высокочастотного
сигнала, амплитуда которого Е (t) модулирована по закону
передаваемого сообщения (начальную фазу для краткости мы опустим,
так как на работу амплитудного детектора фаза не оказывает
влияния).
Таким образом,
i (t) = I (£/„) + ахЕ (t)cos w0t + агЕ2 (t)cos2&()t =
= i0 + axE (Ocos w0t + VgOgE» (t)cos2a>Bt + V2a2E2 (t). (8.54)
Постоянная составляющая тока / (U0) — i0 (ток покоя) и
высокочастотные составляющие оэ0 и 2а>0 отфильтровываются в цепи
нагрузки. Информация содержится в последнем, низкочастотном,
слагаемом
iH4 = V2a2E* (0. (8.55)
Так как эта составляющая пропорциональна квадрату амплитуды
входного напряжения, то при малых амплитудах детектирование
является квадратичным. Это положение является общим,
справедливым для любых типов нелинейных элементов, используемых для
детектирования.
То обстоятельство, что напряжение «вык (/) на нагрузке,
являющейся линейной цепью, пропорционально 1нч и, следовательно,
квадрату амплитуды входного сигнала Е (t), не является
препятствием к правильному воспроизведению формы импульсных
(прямоугольных) сигналов. Пусть, например, напряжение на входе
детектора имеет характер высокочастотных импульсов с прямоугольной
огибающей (рис. 8.31, а). В интервалах между импульсами среднее
значение тока диода (рис. 8.31, б) совпадает с током покоя t0l а при
наличии импульсов отличается на величину
Аг = V2a2£2,
где Е представляет собой амплитуду высокочастотного напряжения,
неизменную в пределах длительности импульса ти.
Напряжение ur (/) на нагрузке детектора показано на рис.8.31, в.
В те отрезки времени, когда процесс заряда или разряда
конденсатора С закончен, напряжение на нагрузке равно i0R (в интервале
между импульсами) или (г0 + Ai)R (при наличии сигнала). На
рис.8.31, г показано отдельно приращение напряжения, создаваемое
сигналом. Для отделения этого приращения от постоянного
напряжения i0R можно использовать разделительную цепь, составленную
из конденсатора и резистора.
Представленное на рис. 8.31, г выходное напряжение ивых (t)
по форме мало отличается от огибающей высокочастотного
напряжения, действующего на входе детектора. Таким образом,
убеждаемся, что квадратичный закон детектирования не препятствует
воспроизведению формы прямоугольных импульсов. Нелинейность
характеристики детектирования в данном случае проявляется лишь в том,
что амплитуда импульса на выходе детектора пропорциональна
квадрату амплитуды высокочастотного напряжения на входе
детектора.
В) >—
>] \{фо
аЬ *1 Г |
И А \ 111' г
^Lli_Ul№ f
717 ТТЛ
Uli
t
Рис. 8.31. Напряжение на входе квадратичного детектора (с), постоянная
составляющая тока в цепи диода (б), напряжение на резисторе R (в) и
приращение напряжения, обусловленное действием входного сигнала (г).
Иначе обстоит дело при квадратичном детектировании
колебаний, огибающая которых является непрерывной функцией времени,
как это имеет место, например, при передаче речи, музыки и т. д.
Для упрощения рассуждений рассмотрим случай тональной
модуляции. Подставив в выражение (8.55)
Е (0 = Е0 (1 + М sin Qt),
получим
1ач = ~ El (1 +MsinQ/)2=-^_ El (1 + 2MsinQ/+ M2 sin2Q/) =
°2 r-2 /
1 +
M2
+2MsmQt-
M*
cos2Q/
Заметим, что в отсутствие модуляции (М = 0), т. е. когда на
детектор действует одно лишь колебание несущей частоты,
приращение тока равно (а2/2) £„. Таким образом, при возникновении
тональной модуляции среднее значение тока получает постоянное по
величине относительное приращение, равное МУ2. Переменная часть
гока содержит следующих два слагаемых: а) полезное, воспроизво-
дящее сигнал 2М sin Qt, б) вредное, являющееся втосой
гармоникой сигнала (M2/2)cos 2Qt.
Отсюда следует, что коэффициент гармоник, равный в данном
случае отношению амплитуды второй гармоники к амплитуде
первой, равен
Кг2 = 0,5М2/2М = М/4.
При 100%-ной модуляции получается
/Сг2 = 0,25 = 25%.
При одновременной модуляции двумя частотами Qt и Q2 в
выходном напряжении детектора наряду с гармониками 2QX и 2Q2
возникают еще комбинационные частоты вида Qt + Q2 и Q± — Q2 с
амплитудами, пропорциональными произведению парциальных
коэффициентов модуляции Мх и М2. Этот результат нетрудно получить,
если в выражение (8.54) подставить
Е (0 = Е0 (1 + Мх slnQxf + M2sin Q20-
При передаче сложных сигналов, содержащих большое число
частот, гармоники и комбинационные частоты оказывают при
глубокой модуляции очень сильное влияние на разборчивость и тембр
сигнала. Поэтому применение квадратичного детектирования
нецелесообразно в тех случаях, когда требуется неискаженное
воспроизведение сигналов (речь, музыка и т. д.).
Рассмотрим детектирование больших амплитуд. Как и ранее,
применим диодный детектор. Не изменяя схемы, представленной на
рис. 8.23, допустим, что амплитуда входного сигнала достаточно
велика, a R и С выбраны таким образом, что угол отсечки тока счень
мал и выпрямленное напряжение на R почти не отличается от
амплитуды Е [t) входного сигнала. Подобный режим для постоянной
амплитуды (выпрямление) был рассмотрен в § 8.7. При модуляции
же получается режим работы диода, изображенный на рис. 8.32.
Напряжение смещения, создаваемое постоянной составляющей тока,
изменяется пропорционально амплитуде входного сигнала. Но
изменяющееся напряжение смещения диода есть не что иное, как
выходное напряжение детектора. На рис. 8.33, а совмещены входное
(высокочастотное) и выходное выпрямленное напряжение (зубчатая
линия). Так как при достаточно большой (по сравнению с периодом
высокой частоты Т0=2п/а>0) постоянной времени 7?С зубцы
практически отсутствуют, то напряжение на выходе воспроизводит
огибающую амплитуд входного напряжения, т. е. передаваемое сообщение.
Таким образом, связь между выходным напряжением
(выпрямленным) ывых (f) и амплитудой входной э. д. с. Е (t) получается почти
линейной. В этом смысле детектор, работающий в режиме больших
амплитуд и с нагрузкой, обеспечивающей близкое совпадение
напряжений «вых (0 и Е (/), называется линейным
детектором. При этом не следует, конечно, упускать из виду, что
детектор, работающий с отсечкой тока, является сугубо нелинейным
устройством. Эта нелинейность обусловлена формой
характеристики не только в области и > О (где характеристика может быть
близка к линейной), а на протяжении всей области действующих на
диоде напряжений. При работе с отсечкой характеристика диода
представляет собой ломаную линию, состоящую из участка оси абсцисс
(при и < 0) и наклонной линии (при и > 0), с изломом вблизи
точки и = 0.
Режим модуляции накладывает на выбор элементов нагрузки
детектора дополнительные ограничения. Необходимо, чтобы
постоянная времени цепи нагрузки была мала по сравнению с
периодом модуляции. В противном случае изменение выпрямленного
напряжения на нагрузке может отставать от изменения огибающей
входной э. д. с. Подобный режим представлен на рис, 8.33, б. На
участке а — б из-за чрезмерно большой инерционности /?С-цепи
напряжение ивых отстает в своем росте от огибающей э. д. с. В
точке б, где ивых и амплитуда модулированной э. д. с. уравниваются,
ток через диод и рост ивых прекращаются. На участке б —е
источник э. д. с. и диод не оказывают никакого влияния на нагрузочную
цепь и в последней происходит разр яд конденсатора С через
резистор R. Таким образом, на участке б — в напряжение является экспо-
нентой. Получается нелинейное искажение сигнала. Так как эти
искажения обусловлены тесным взаимодействием нелинейного
элемента (диод) с линейной цепью (RC), степень нелинейных искажений
зависит не только от параметров цепи и глубины модуляции, но
также и от частоты модуляции. Эти искажения возрастают с повыше-
нием частоты, а также глубины модуляции входной э. д. с. Для
устранения рассматриваемых искажений необходимо, чтобы RC <^ 2n/Q.
С другой стороны, для сглаживания высокочастотных пульсаций
требуется выполнение неравенства RC^>2n/<M0 [см. (8.53)].
Совмещая эти два условия, получаем неравенства
2л/<о0 <С RC -< 2n/Q. (8.56)
Обычно частоты ю0 и Q сильно различаются (Q <^ со„) и
выполнение условия (8.56) не встречает затруднений.
Рис. 8.33. Диаграммы входного и выходного напряжений в «линейном>
детекторе при правильном (а) и неправильном (б) выборе элементов нагрузочной
цепи RC.
При импульсной модуляции огибающей в правой части
неравенства (8.56) вместо периода модуляции 2n/Q следует подставлять
длительность импульса. При этом предполагается, что интервалы
между импульсами велики по сравнению с длительностью импульса.
При очень коротких импульсах, длительность которых всего лишь
в несколько раз превышает период Т0 = 2я/«0 («высокочастотный
голод») возникают трудности с разделением огибающей и
высокочастотного заполнения.
Выяснив механизм выделения огибающей модулированного
колебания, рассмотрим характеристику
детектирован и я, т. е. зависимость ывык (t) от амплитуды Е (f)
высокочастотного колебания.
В отсутствие модуляции, когда режим работы детектора ничем
не отличается от выпрямления высокочастотного колебания с
постоянной амплитудой Е, соотношение между ыЕЫХ и Е определяется
выражением (8.50), т. е. U0 = E cos 6 = const. В § 8.7 отмечалось,
что угол отсечки 6 в выпрямителе весьма мал, так что UJE мало
отличается от единицы.
В режиме модуляции соотношение между ыЕЫХ(0 и E(t) не
остается постоянным. При модуляции вверх угол отсечки еще
более уменьшается и напряжение uBUX(t)-+ E{t). При модуляции
вниз расхождение между ывых(0 и E{t), наоборот, возрастает.
При глубине модуляции близкой к
100%, когда амплитуда E(t)
уменьшается почти до нуля (участок а — б на
рис. 8.32), выпрямление происходит на
нижнем сгибе вольт-амперной
характеристики. На этом участке
характеристика близка к параболе и
детектирование является квадратичным. В резуль-
_^ тате характеристика детектирования
Е принимает вид, представленный на
Рис. 8.34. Характеристика Рис" 8.34 (сплошная линия). При малых
детектирования AM колеба- амплитудах она квадратична, при
ния. больших линейна. Чем больше
амплитуда входного колебания,
соответствующая пику модуляции, тем меньшую роль играет отклонение
характеристики детектирования от прямой линии (штриховой) вблизи
нуля.
В заключение рассмотрим вопрос о входном сопротивлении
диодного детектора, т. е. о сопротивлении последовательной цепи диод-
нагрузка (RC). Этот вопрос имеет существенное значение для
определения затухания, вносимого детектором в колебательный контур
источника напряжения (рис. 8.35, а). Ограничимся случаем #;> Rit
когда угол 6 настолько мал, что можно считать cos6 « 1 и £ « [/0!
Мощность, забираемая детектором от источника, равна E/J2,
где 11 — амплитуда первой гармоники тока через диод. Мощность
же, выделяемая на сопротивлении нагрузки, равна U0I0. При
R ^> Rt практически вся мощность, забираемая детектором,
выделяется на R. Поэтому можно приближенно считать
E1J2 fn U0I0.
Поделив левую и правую части на £2, получим
1J2E « (£/„/£)(/„/£),
но
UJE « 1, 1JE = 1/Я, а 1Х1Е = 1/R,HB,
где ^экв — искомое входное сопротивление детектора.
Отсюда находим
Rs
(8.57)
Схема замещения цепи детектора для частоты сз0 первой
гармоники /t показана на рис. 8.35, б.
Рис. 8.35 Подключение диодного детектора к колебательному контуру
усилителя (а) и схема замещения детектора (б), позволяющая определить
входное сопротивление последнего на частоте юо.
Основные результаты рассмотрения принципа амплитудного
детектирования с помощью диода можно распространить на любые
другие нелинейные элементы, обладающие односторонней
проводимостью (вентильным свойством).
8.9. ЧАСТОТНОЕ И ФАЗОВОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Напряжение на выходе частотного детектора должно
воспроизводить закон изменения мгновенной частоты модулированного
колебания. Представив последнее в форме
e(t) = E (Осот lco0 t + 6 (01, (8.58)
получим для идеального частотного детектора следующую
функциональную связь:
dt
uv
(t) = S
чд л. =SqsAco(0,
(8.59)
где S4M = const — крутизна характеристики детектора,
выраженная в вольтах на единицу угловой частоты; Дсо (/) = dQ/dt —
мгновенное значение частотного отклонения входной э. д. е. Если
пользоваться частотами / = оз/2зх, то в выражении
(/) - Sm Д/ (0
(8.60)
крутизна характеристики S^ будет иметь размерность В/Гц.
Предполагается, что A/ (t), а следовательно, и ивых (/) являются
«медленными» функциями времени. Для выделения сообщения из
частотно-модулированного колебания, спектр которого состоит
только из высокочастотных составляющих (несущая частота и
боковые частоты модуляции), необходимо нелинейное устройство.
Следовательно, частотный детектор обязательно должен включать в
себя нелинейный элемент. Однако в этом случае в отличие от ампли-
£>0+At)(t) 1 II
-ofm°-
тудного детектора для образования частот сообщения одного лишь
нелинейного элемента недостаточно. Действительно, из
вольт-амперных характеристик нелинейных элементов видно, ^что при
постоянстве амплитуды входного напряжения нелинейный элемент не
реагирует на изменение частоты этого напряжения. Иными словами,
нелинейность таких устройств, как диод, проявляется лишь при
изменении величины действующего на них напряжения, а не при
изменении частоты или в общем случае скорости изменения
сигнала. Поэтому обычный частотный детектор представляет^собои
сочетание двух основных частей: 1) избирательной линейной цепи,
преобразующей частотную модуляцию
м ■!_ в амплитудную и 2) амплитуд-
I ~~] /£'~СГ"''' ного детектора.
0 (?к J_" { -чГП/? ПРИ правильном построении
чЬу ~[^l3 "TU схемы частотного детектора
изменение амплитуды входного сигнала
I не должно влиять на величину вы-
г"9" ходного напряжения. Поэтому в
схему частотного детектора обычно
Рис. 8.36. Одноконтурный частот- входит устройство для ограничения
ный детектор. амплитуды входной э. д. с. Иногда
ограничение осуществляется
установлением специального режима работы усилительного прибора,
входящего в состав частотного детектора.
В качестве линейной цепи можно использовать любую
электрическую цепь, обладающую неравномерной частотной
характеристикой: цепи RL, RC, фильтры, колебательные контуры и т. д. В
высокочастотной технике большое распространение получили
колебательные цепи. Схема частотного детектора, содержащего простой
колебательный контур, представлена на рис. 8.36. Если
резонансная частота контура сзр отличается от средней частоты
модулированного колебания о>0, то изменение амплитуды напряжения на кон-
тУРе Uк повторяет в известных пределах изменение частоты
входного напряжения (рис. 8.37).
Изменение амплитуды UK высокочастотного напряжения с
помощью диода Д преобразуется в низкочастотное напряжение,
которое выделяется на апериодической нагрузке R,C. Отметим попутно,
что при точной настройке контура на частоту сзр = сз0 сигнал
искажается; частота изменения огибающей получается вдвое выше
частоты полезной модуляции. В исходном режиме, т. е. при отсутствии
модуляции, рабочая точка должна устанавливаться на скате
резонансной кривой.
Недостатком рассмотренной схемы является необходимость
настройки контура на частоту, отличную от частоты немодулирован-
ного колебания. Кроме того, одиночный колебательный контур
имеет весьма ограниченный линейный участок на скате резонансной
кривой.
На рис. 8.38 представлена схема частотного детектора, широко
распространенная в приемниках частотно-модулированных
колебаний, а также в устройствах для автоматической подстройки
частоты генераторов. Она содержит колебательную цепь в виде двух
Рис R.37 К объяснению работы детектора, представленного на рис 8.36.
индуктивно связанных контуров, настроенных на частоту а>0.
Напряжение высокой частоты со0 ± Aw подается на базу транзистора,
а продетектированное напряжение uq выделяется на резисторах Rt
и R2. Катушка индуктивности Lap (дроссель) преграждает путь току
высокой частоты. Принцип
действия данного детектора
поясняется эквивалентной
схемой и векторной
диаграммой, представленными на
рис. 8.39 и 8.40.
Пусть Uj — напряжение
на первом контуре, U2 — нг
втором контуре, U3 и U4 —
напряжения в точках В и D
относительно эмиттера
(земли). Заметим, что U3 и U4
представляют собой амплитуды высокочастотных напряжений,
приложенных соответственно к диодам Дг и Д2. В отсутствие
модуляции, когда частота входного напряжения совпадает с резонансными
частотами контуров, напряжение U2, развиваемое на индуктивности
второго контура, сдвинуто по фазе на 90° относительно
резонансного напряжения Uip.
Рис. 8.38. Двухконтурный частотный
детектор.
Действительно, при индуктивной связи двух одинаковых
контуров имеем
I,
{.MIL) Ulp
UB== I2 i(£>L ■■
М ImL
U
ip'
(8.61)
Так как при ш = ш0 = шр Z2 = r2, a u>0L/r2 = Q2, получаем
U2 = f (M/L)Q2Ulp, (8.62)
т. е. напряжение Ua опережает напряжение \Jt на 90°.
Определим напряжения U3 и U4. Учитывая, что средняя точка
второго контура присоединена по высокой частоте непосредственно
Рис. 8.39. Схема замещения избира- Рис. 8.40. Векторная диаграмма
нательной цепи частотного детектора пряжений (к рис. 8.39).
(к рис. 8.38).
к точке А и, следовательно, напряжение 113 является суммой
напряжения их и половины напряжения U2, получаем
Аналогично для напряжения Ц, можем написать
Модули напряжений U3 и Ц, одинаковы и равны
(8.63)
(8.64)
(8.65)
а фазы симметричны относительно фазы напряжения Ulp.
Соответствующая этому случаю векторная диаграмма представлена на
рис. 8.40, а. Так как выпрямленные напряжения U01 и f/02,
действующие на резисторах #х и R2, пропорциональны амплитудам U3
и t/4, то результирующее напряжение на выходе детектора, равное
разности U0l и U02, при резонансной частоте будет равно нулю.
Рассмотрим теперь векторную диаграмму напряжений при
расстройке. Пусть частота на входе детектора отклонится от
резонансной частоты со0 на величину Асо, причем Д<и/<и0 < 1. Тогда вектор
DB, соответствующий напряжению U2 (рис. 8,40, 6), повернется
относительно своего резонансного положения на угол ф2, который
определяется выражением
ф2 = arctg [(2Д<м/<м0)<2г] = arctga2. (8.66)
Вместо выражений (8.63) и (8.64) получим
• ^uJi + ШЩ*! {8
L 1 + ш2 J
Uj = Ul[l.»l. (8.64,)
L l+''ог J
Первый и второй контуры обычно берутся идентичными.
Поэтому отношение MIL = k является коэффициентом связи контуров.
Кроме того, считаем Qx = Qa = Q, ax = as = а.
Вводя обозначение
Р = (M/L)Q = kQ
и переходя к модулям, получаем
U ^ Ul V4 + (P+2a)a и __гЛ 1/4+ (Р-2о)«
2 УГ+5"а ' * 2 1/Т+Ба
Напряжение на выходе при учете дифференциального
включения нагрузок, а также формулы (8.50) будет
Uq = £/01 —£/02 = £/3 cos G—f/4 cos 8=
^f/1cos4/4 + (P+2^-^4+^-2^2. (8.67)
2УТ+5
При учете соотношения Ux = /к2э1 » SZ31E, а также
зависимости Z8i от расстройки а формула (8.67) принимает следующий
окончательный вид1:
иа « SZ1P cos8£ V4+(P+^-V4+(P-2a)' e ^ (fl) (8б8)
2V(1 + Р2—аЗ) + 4о2
где /V = SZlp cosQE — постоянный коэффициент, а функция
ф (fl]= У4 + (Р+2^-У4+ф-2^ ^
2У(1 + Рг—аа)+4а2
Зависимость t|) (a) представлена на рис. 8.41 в виде семейства
характеристик для различных значений параметра р\ Умножая
ординаты этих характеристик на N, а абсциссы на /0/2Q, получаем
характеристику частотного детектора в виде зависимости иа [В] от
А/ [Гц].
При выборе параметров контуров и величины связи основным
требованием является обеспечение линейности характеристики
частотного детектора и максимально возможной ее крутизны.
1 Подробный вывод см. в предыдущем издании настоящей книги. М.,
«Сов. радио», 1971.
Кроме рассмотренных, имеется ряд других схем частотных
детекторов, отличающихся лишь в деталях.
Рассмотрим теперь принцип работы фазового детектора. Пусть
фаза высокочастотного колебания, подлежащего детектированию,
именяется по закону G (t). Если такое колебание подать на обычный
частотный детектор, реагирующий на изменение мгновенной
частоты колебания, то напряжение на выходе детектора
т. е. выходное напряжение, будет пропорционально производной
фазы входного колебания. Отсюда видно, что для осуществления
фазового детектирования можно использовать обычный частотный
детектор. Необходимо лишь дополнить его корректирующей цепью
осуществляющей интегрирование выходного напряжения, т. е. цепью
с частотной характеристикой вида К (ш)= 1/шт„. Простейшие
интегрирующие устройства описаны в § 6. 5. Подобный прием
используется при детектировании колебаний с медленно меняющейся
фазой, т. е. когда производная фазы конечна (например, при
передаче речи). В случае же скачкообразного изменения фазы, а также при
необходимости сравнения фазы принимаемого колебания с фазой
опорного (эталонного) колебания применяются специальные
фазовые детекторы, в которых выходное напряжение пропорционально
огибающей напряжения, получаемого при суммировании колебаний
со сравниваемыми фазами. Подобные устройства рассматриваются
в специальных курсах.
8.10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ СИГНАЛА
В радиотехнике часто требуется осуществить сдвиг спектра
сигнала по оси частот на определенную постоянную величину при
сохранении структуры сигнала. Такой сдвиг называется
преобразованием частоты.
Для выяснения основных черт процесса преобразования частоты
вернемся к вопросу о воздействии на нелинейный элемент двух
напряжений, кратко рассмотренному в § 8.3. Однако в данном случае
только одно из колебаний, именно то, которое создается
вспомогательным генератором (гетеродином), мы будем считать
гармоническим. Под вторым же колебанием будем подразумевать сигнал,
подлежащий преобразованию, который может представлять собой
любой сложный, но узкополосный процесс.
Таким образом, на нелинейный элемент воздействуют два
напряжения:
— от гетеродина
ет = Ет cos (сог/ + ег), (8.70)
от источника сигнала
е8 = Es (Ocos [J го, (t)dt + е.].
(8.71)
Амплитуда Ег, частота сзг и начальная фаза 6Г гетеродинного
колебания — постоянные величины. Амплитуда же Es (f) и
мгновенная частота cos (/) сигнала могут быть модулированными, т. е.
могут являться медленными функциями времени (узкополосный
процесс). Начальная фаза сигнала 68 — постоянная величина.
В качестве нелинейного элемента возьмем, как и в § 8.8, диод,
однако характеристику его для более полного выявления продуктов
взаимодействия сигнала и гетеродинного колебания
аппроксимируем полиномом четвертой степени (а не второй, как в § 8.3):
1 = 1» + ^ (е. + ег)+а2 (в, + ег)2 + а.л {е. + ег)3 + а4 (ев + erf=
= t0 + <h е8 +at er -f-a2 e? -f 12а.2 е8 ег| +а2 в? -f as el +
+
0О3 ^s ^r
+
+
За3 es el
4а4е8е?
+
+a3e%+atel +
4ateleT
6а4 е\ е%
+atei.
+
(8.72)
Слагаемые, содержащие различные степени только es или
только ег, интереса не представляют. С точки зрения преобразования
(сдвига) частоты основное значение имеют члены, представляющие
собой произведения вида е"е? [в правой части выражения (8.72)
обведены рамками]. Подставляя в эти произведения (8.70) и (8.71)
и отбрасывая все составляющие, частоты которых не
являются суммой со8 + сог или разностью ros — a>v, после несложных триго-
неметрических выкладок приходим к следующему окончательному
результату:
Ч ± °Р (0 = а2£» О £г {cos [ J ©. (О Л + ©г 0 + б. + 9ГJ +
+cos[y<»,(0*-e»r')+e.-er]} + -|-ei£«W£r[^(0 +
+ £?] {cos [($©,(/) <Я + <м)+6.+6Г] +
+cos [(J «s (о dt -Мг /)+es -ег]} • (8.73)
Из этого результата видно, что интересующие нас частоты cos ± «^
возникают лишь благодаря четным степеням полинома,
аппроксимирующего характеристику нелинейного элемента. Однако один лишь
квадратичный член полинома (с коэффициентом а2) образует
составляющие, амплитуды которых пропорциональны только первой
степени Es (t). Более высокие четные степени (четвертая, шестая и
т. д.) нарушают эту пропорциональность, так как амплитуды
привносимых ими колебаний содержат также степени Eg (t) выше
первой.
Отсюда видно, что амплитуды Es и ЕТ должны выбираться с
таким расчетом, чтобы в разложении (8.72) преобладающее значение
имели слагаемые не выше второй степени. Для этого требуется
выполнение неравенств
Е\ < а2/(э/2а4); £? << а2/(8/2я4).
Тогда выражение (8.73) переходит в следующее:
'о^ш, М ~ а*Е* (Of.{cos f(R (f)dt + M + es + er] +
+ cos [(Jeo, (t)dt — юг0 + 6S — 6r]}. (8.74)
В радиоприемных и многих других устройствах, в которых
задача преобразования частоты тесно связана с задачей усиления
сигнала, обычно Es <^ Ev.
Первое слагаемое в фигурных скобках с частотой ю8 (/) + cot
(производная от аргумента косинуса) соответствует сдвигу спектра
сигнала в область высоких частот, а второе с частотой cos (t) — cOj —
в область низких частот. Для выделения одной из этих частот —
разностной или суммарной — нужно применять соответствующую
нагрузку на выходе преобразователя. Пусть, например, частоты к>3
и сог очень близки и требуется выделить низкую частоту,
расположенную около нуля. Такая задача часто встречается в измерительной
технике (метод «нулевых биений»). В этом случае нагрузка должна
быть такой же, как при амплитудном детектировании, т. е. состоять
из параллельного соединения R и С, обеспечивающего отфильтро-
вывание (подавление) высоких частот cos и сог и выделение разностной
частоты j cog — со,,|. Если разностная частота |сз6 — сог| лежит в
радиотехническом диапазоне, то для ее выделения следует применить
резонансную колебательную цепь (рис. 8.42). Если полезной,
подлежащей выделению, является суммарная частота cos-f-cor, то
контур соответственно должен быть настроен на частоту а>р ='сок -f- аг.
Обычно полоса пропускания колебательной цепи, являющейся
нагрузкой преобразователя, рассчитана на ширину спектра
модулированного колебания. При этом все составляющие тока с частотами,
близкими к |cos±G>r|, проходят
через контур равномерно и структура
сигнала на выходе совпадает со
структурой сигнала на входе.
Единственное отличие заключается в том, что
частота на выходе равна cog (/) + ыс
или cos (t) — сог, смотря по тому,
какова резонансная частота
нагрузочной цепи.
Итак, при преобразовании частоты
законы изменения амплитуды Еа (/),
частоты (os (t) и фазы Jcos (f)dt входного колебания переносятся на
выходное колебание. В этом смысле рассматриваемое
преобразование сигнала является линейным, а устройство — линейным
преобразователем или «смесителем».
В заключение следует отметить, что при использовании
разностной частоты полное сохранение структуры сигнала получается лишь
в том случае, когда cos (t) "> а>г. Если же cos (/) < сзг, то имеет место
«переворачивание» спектра сигнала.
Рис. 8.42. Схема замещения
преобразователя частоты.
а
о
^
ilk
Ое-Ог+ Птн 6>о~Ь>г+®ЧШ
Jl
ill;
<уг б#+#мин ао+^мат
о
О)
^
lllx
*—
0
ттТТТ{ I
—>
Рис. 8.43. Спектр сигнала на входе и выходе преобразователя:
а—при cos > <вр; б—при a>g < <вг.
На рис. 8.43, а изображена спектральная диаграмма сигнала
на входе и выходе преобразователя для случая, когда все частоты,
входящие в спектр входного колебания, выше частоты гетеродина
GV Преобразованный спектр, сдвинутый на величину сог влево,
имеет такую же структуру, что и исходный спектр. Случай сог >
> <ms (t) изображен на рис. 8.43, б. В преобразованном спектре
со
макс
и со*
меняются местами.
При преобразовании частоты обычного амплиту дно-моду ли ро-
ванного колебания, состоящего из двух симметричных относительно
(о0 боковых полос, переворачивание спектра внешне никак не
проявляется; просто верхняя и нижняя боковые полосы меняются
местами. При преобразовании же частотно-модулированного
колебания мгновенная частота которого cos (/) = сз0 -f- Асо (1)> случай
сог >■ cos (/) приводит к изменению мгновенной частоты выходного
сигнала по закону
| cot (/) — <иг| = о)г — со0 — Асо (t),
т. е. к изменению знака перед частотным отклонением Асо (/).
Из приведенных примеров ясно, что с переворачиванием спектра
при преобразовании частоты необходимо считаться только в тех
случаях, когда спектр сигнала несимметричен относительно своей
центральной частоты (при частотной модуляции асимметрия
заключается втом, что знаки перед нижними боковыми частотами сз0 — nQ
при нечетных п отрицательны, см. § 4.6).
При преобразовании частоты сигнала с несимметричным спектром
для сохранения структуры спектра частота гетеродина должна быть
ниже частот сигнала.
8.11. СИНХРОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Рассмотрим особый вид преобразования, который получается
при частоте гетеродина, равной частоте сигнала. Полагая в
выражении (8.74) (us — сзг и рассматривая сначала немодулированное
входное колебание (Es = Е0), получаем
i (0 = azE0EF[cos (2ю8/ + 9„ + 9Г) + cos (9S — 9,.)]- (8.75)
Ka к видим, в частном случае е»г = cos колебание с нижней
комбинационной частотой вырождается в постоянный ток
i0 = аг£г cos (6S — 6,.)£0- (8.76)
При 0S — 0Г = 0 или л ток | »0| достигает максимума, при 0g —
— Gr = л/2 ток i0 — 0.
При включении на выходе преобразователя фильтра нижних
частот колебание с частотой 2со8 подавляется и на выходе фильтра
остается одно лишь постоянное напряжение, пропорциональное току
«о-
При наличии амплитудной модуляции, когда es (t) =
= Es (f)cos {(£>st + 0K), колебание на выходе будет
пропорционально току
ta (i) = а2 £,- cos (0, - 6r)£s (fl, (8.77)
т. е. совпадать по форме с законом модуляции амплитуды
высокочастотного колебания ев (/). -
Иными словами, на выходе преобразователя выделяется
передаваемое сообщение, причем по отношению к входному колебанию,
при Еь (О <С Ev, обработка по существу является линейной.
Основным преимуществом такого способа обработки,
предложенного в 1934 г. Е. Г. Момотоми называемого синхронным
детектированием, является повышенная избирательность
радиоприема слабых сигналов на фоне шума (устраняется
взаимодействие сигнала с помехой в нелинейном устройстве, каковым
является обычный амплитудный детектор).
Следует, однако, отметить, что реализация принципа
синхронного детектирования связана со значительными трудностями, так
как обеспечение синхронизма частоты гетеродина с частотой
принимаемого сигнала является сложной задачей, особенно при приеме
слабых сигналов на фоне помех.
8.12. ПОЛУЧЕНИЕ АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫХ
КОЛЕБАНИЙ
В § 8.4 указывалось, что при воздействии на нелинейный резис-
тивный элемент с квадратичной характеристикой двух
гармонических колебаний с частотами «j и со2, отвечающими условию а>1 <^
<С со2, в спектре тока среди других спектральных составляющих
можно выделить три частоты со2, ш2 -f и, и ю2 — ©J, образующие
спектр амплитудно-модулированного колебания.
В генераторах и передатчиках важным требованием обычно
является получение большой мощности колебания' при хорошем
к. п. д. Ясно, что квадратичный режим работы нелинейного
элемента этому требованию не
ответу,?
Нелинейный
резонансный
усилитель
Автогенератор
Aft
*тлео~ание
s(t)
Рис. 8.44. Структурная схема
устройства для получения AM колебания.
чает. Для улучшения
энергетических показателей модуляции
резистивный нелинейный
элемент должен работать в
существенно нелинейном режиме, с
отсечкой тока. Поэтому
модуляция амплитуды высокочастотного
колебания сводится к
воздействию на нелинейный резонансный
усилитель. Структурная схема устройства для получения ампли-
тудно-модулированных колебаний представлена на рис. 8.44.
На вход нелинейного резонансного усилителя, работающего с
отсечкой тока, подается несущее колебание с частотой со0 от
независимого источника (автогенератора). Модулирующее колебание
(сообщение) s (t), спектр которого расположен в области частот,
низких по сравнению с со0, изменяет положение рабочей точки на
вольт-амперной характеристике нелинейного элемента и тем самым
осуществляет изменение амплитуды на выходе.
Одна из возможных схем подачи модулирующего колебания
s (/) к резонансному (транзисторному) усилителю показана на
рис. 8.45. Конденсатор Сб в цепи база — эмиттер защищает
низкочастотную цепь от токов высокой частоты.
Режим работы нелинейного усилителя при модуляции поясняется
рис. 8.46, а, построенным для случая тональной модуляции
(s(t) — гармоническая функ-
М /jk—-j——]——т- ция с частотой Q).
^Ьу К/ I ^5 Так как ток коллектора
г'к = Рг'б. то амплитуда
напряжения на колебательном
контуре, создаваемого первой
гармоникой коллекторного тока,
будет
От рассмотренного в § 8.3
построения (рис. 8.10)
отличие заключается в
зависимости амплитуды импульсов то-
(рис. 8.46, б) от модулирующего напряжения е® (t). Это при-
к изменению амплитуды первой гармоники тока и,
следовательно, к изменению амплитуды напряжения на колебательном
Рис. 8.45.
ка 1т
водит
Принципиальная
к рис. 8.44.
схема
й)
В)
Рис. 8.46 Режим работы нелинейного резонансного усилителя при
амплитудной модуляции.
контуре усилителя. Модулированный по амплитуде ток основной
частоты ю0 показан на рис. 8.46, в. Штриховой линией обозначено
менение 1г — амплитуды первой гармоники тока,
из При правильном выборе амплитуды модулирующего напряжения
изменение амплитуды импульсов А/т относительно исходного зна-
чения /m0 связано с е® линейным соотношением
где &ам — постоянный коэффициент.
Так как изменение ей (при постоянной амплитуде Е
высокочастотного колебания) сопровождается изменением угла отсечки 0,
то амплитуда первой гармоники коллекторного тока [см, формулу
(8.24)]
Iv = ап (0)(/т(, + А/т) = /l0 + feaMa, (0)efi.
Здесь /10 — амплитуда несущего колебания. Произведение /гагаХ
X ах (0)ео изменяется по закону, отличающемуся от закона
изменения модулирующего напряжения. Отсюда видно, что при модуляции
смещением неизбежны искажения: закон изменения lL отличается от
формы напряжения ец. Искажения могут быть достаточно малыми
при правильном выборе пределов изменения угла отсечки и работе
с неслишком глубокой модуляцией (40—50%).
Глава 9
АВТОГЕНЕРАТОРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
9.1. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
Любой автогенератор представляет собой нелинейное
устройство, преобразующее энергию питания в энергию колебаний.
Независимо от схемы и назначения автогенератор должен иметь
источник питания, усилитель и цепь обратной связи. Из приведенных
в гл. 5 сведений следует, что обратная связь должна быть
положительной.
Настоящая глава в основном посвящена изучению явлений в
автогенераторах, используемых для получения высокочастотных
гармонических колебаний. В качестве усилительных элементов в
подобных генераторах используются транзисторы, электронные лампы
и другие аналогичные приборы, а в качестве цепей нагрузки —
колебательные цепи с сосредоточенными или распределенными
параметрами.
Автогенератор, находящийся в стационарном режиме,
представляет собой обычный нелинейный усилитель, для
возбуждения которого используются колебания, вырабатываемые в самом
генераторе; колебания с выхода усилителя подаются на его вход по
цепи обратной связи. Если амплитуда и фаза возбуждения отвечают
определенным условиям, то в энергетическом отношении
автогенератор ведет себя так же, как и генератор с посторонним возбуждением.
Однако генератор с самовозбуждением имеет существенные особен-
ности. Частота и амплитуда автоколебания в стационарном режиме
определяются только параметрами самого генератора, между тем
как в генераторе с посторонним возбуждением частота и амплитуда
навязываются возбудителем. Кроме того, в случае самовозбуждения
большое значение имеет механизм возникновения колебаний при
запуске автогенератора.
Все эти особенности можно выявить, рассматривая поведение
автогенератора в процессе нарастания колебаний от момента запуска
до полного установления стационарного состояния. Можно наметить
следующую картину. В момент запуска в колебательной цепи
автогенератора возникают свободные колебания, обусловленные
включением источников питания, замыканием цепей, электрическими
^Шшйтльтй ЪЪршшюйь/ЖЛ Четырехполюсник
I элемент четырехполюсник j Dffpumwu сЯяги
i—гЬТ~Г~
Mi \/^ о,
Ь'иилашЕль с изранившем етмипуёЬг
Рис. 9.1. Структурная схема автогенератора.
флуктуациями и т. д. Благодаря обратной связи эти первоначальные
колебания усиливаются, причем на первом этапе, пока амплитуды
малы, усиление является практически линейным и цепь можно
рассматривать как линейную. Энергетически процесс нарастания
амплитуд объясняется тем, что за один период колебания усилитель
передает в нагрузку энергию, большую той, которая расходуется
за это же время. С ростом амплитуд начинает проявляться
нелинейность устройства (кривизна вольт-амперной характеристики
усилительного элемента) и усиление уменьшается. Нарастание
амплитуд прекращается, когда усиление уменьшается до уровня, при
котором только компенсируется затухание колебаний в нагрузке, при
этом энергия, отдаваемая усилителем за один период, оказывается
равной энергии, расходуемой за это же время в нагрузке.
Таким образом, на последнем этапе установления колебаний
основную роль играет нелинейность цепи, без учета которой нельзя
определить параметры стационарного режима автогенератора.
Любой автогенератор высокочастотных колебаний в
стационарном режиме можно представить в виде схемы, показанной на рис. 9.1
(через шг обозначена частота генерации). На этой схеме автогенератор
изображен в виде сочетания трех четырехполюсников: одного
нелинейного, безынерционного, и двух линейных. Нелинейный
четырехполюсник соответствует усилительному элементу (электронная
лампа, транзистор, клистрон и т. д.), первый из линейных четырех-
~^*>» "(О
1 3.
ь\
—I
полюсников — колебательной цепи автогенератора, а второй — цепи
обратной связи. Подобное представление автогенератора
справедливо для систем с внешней обратной связью.
В § 9.8 будут рассмотрены примеры автогенераторов, механизм
работы которых приводит к внутренней обратной связи требующей
несколько иной трактовки обобщенной схемы.
Усилительный элемент совместно с избирательным
четырехполюсником, обеспечивающим фильтрацию (подавление) высших гармоник,
представляет собой обычный нелинейный усилитель, развивающий
на выходе гармоническое напряжение. В общем случае усиление
зависит как от частоты юг (из-за
избирательности четырехполюсника),
так и от амплитуды иг (из-за
нелинейности усилительного элемента).
Коэффициент усиления этого
устройства обозначим через Ky(/tor.f/i).
Очевидно, что
К, (1©г, UJ = и2/и,. (9.1)
Рис. 9.2. К определению
стационарной амплитуды автоколебания.
При фиксированной частоте
0)р К7 является функцией только
амплитуды Ut.
Коэффициент передачи
линейного четырехполюсника обратной
связи, который в дальнейшем будем называть просто коэффициентом
обратной связи, можно выразить через амплитуды U3 и U2:
Кос (г©) = U3/U2.
Но напряжение U3, снимаемое с выхода четырехполюсника
обратной связи, есть одновременно напряжение Ul3 действующее на
входе усилителя. Следовательно,
Кос (*©) = IVU2. (9.2)
Сравнивая это выражение с отношением (9.1), приходим к
выводу, что в стационарном режиме автогенератора (когда только и
можно пользоваться методом комплексных амплитуд)
коэффициенты Ку (£юг, t/j) и Кос ('"©) являются взаимно обратными величинами:
Ку 04, UJ Кос 04) = 1. (9.3)
Так как коэффициент передачи линейного четырехполюсника не
зависит от амплитуды колебаний, то выражение (9.3) можно
использовать для определения установившейся амплитуды колебания при
заданном Кос, Именно, когда /Су, уменьшаясь с ростом амплитуды
(из-за нелинейности вольт-амперной характеристики усилительного
элемента), достигает величины 1//С0С> дальнейший рост амплитуды,
как указывалось ранее, прекращается. Это поясняется рис. 9.2.
Стационарная амплитуда £/]ст определяется как абсцисса точки
пересечения графика /Су с горизонталью, проведенной на уровне
1 /Кос- С другой стороны, выражение (9.3) можно использовать
для определения коэффициента обратной связи, требуемого для
поддержания определенной амплитуды UlcT при заданной функции
/<у (Vi).
Для установления перечисленных общих свойств
автогенератора нам не требовалось уточнять ни тип усилительного элемента, ни
вид схемы автогенератора. Это объясняется тем, что мы ограничились
рассмотрением стационарного режима автогенератора. Для
выяснения же механизма возникновения колебаний, а также
механизма установления стационарного режима необходимо исходить из
конкретного электронного прибора и конкретной схемы
автогенератора.
Отметим одно важное требование, предъявляемое к
автогенератору, предназначенному для устройств передачи информации:
вырабатываемое им колебание должно быть строго монохроматическим
(в отсутствие модуляции). Любое нарушение монохроматичности,
проявляющееся в паразитном изменении амплитуды, частоты или
фазы колебания, может служить причиной возникновения помех
в канале радиосвязи. Требование монохроматичности включает
в себя также и требование стабильности частоты автоколебания.
9.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ
Механизм возникновения и нарастания колебания удобнее всего
рассмотреть с помощью схемы лампового автогенератора (рис. 9.3, а).
Допустим, что запуск автогенератора осуществляется
включением в момент t — 0 постоянного напряжения EaQ. Бросок анод-
Ш
Рис. 9.3. Одноконтурный ламповый автогенератор (а) и режим работы при
запуске (б).
ного тока £а (0) (рис. 9.3, б) возбуждает в.контуре LK, Ск, г свободное
колебание, параметры которого определяются параметрами
контура, лампы и обратной связи. На начальном этапе запуска, пока
амплитуда колебания мала, представленную на рис. 9.3, а цепь можно
рассматривать как линейную. Составим для этой цепи дифферен-
циальное уравнение, учитывающее лишь переменные составляющие
токов и напряжений.
Колебательное напряжение на контуре иак и токи il, ic i
(рис, 9.3, а) связаны между собой очевидными соотношениями '
ia = iL + ic\ J'c = CH-^S-; иак = riL + LK _^_ . (9.4)
В качестве искомой функции выберем, например, ток ii_ (t) в
индуктивной ветви контура. Исключая из первого уравнения (9.4)
ic (0 с помощью второго и третьего уравнений, получаем
U=lL + rCB^-+L„Ca-?±. (9.5)
Теперь необходимо ток ia выразить через напряжения,
действующие на электродах лампы. В линейном режиме для этого
можно использовать выражение вида (5.40)
ia = SuCK — uaK/Rt. (9.6)
В рассматриваемой схеме напряжение иск является
напряжением обратной связи, причем ыск = иос = Mdiddt; следовательно,
выражение (9.6) можно записать в форме
k=SM±—**-. (9.7)
Приравнивая правые части уравнений (9.5) и (9.7), а также
учитывая третье уравнение системы (9.4), после группировки слагаемых
получаем следующее дифференциальное уравнение:
_^L + (_^_+_J WL\!k.+l±U*HLS=om (9.8)
dP I £K CK Ri CK LK J d> LhCb '
Слагаемое (—SM/LKCK) в коэффициенте при первой производной
имеет смысл отрицательного сопротивления, вносимого в
колебательный контур усилителем с положительной обратной связью.
Вводя обозначение
aJKB = (l/2LIt)(r + LJCKRt - SMICU), (9.9)
приводим (9.8) к виду
Общее решение уравнения (9.9') имеет вид
М0 =Л0е-аэкв'с05 (шсв*+60), (9.10)
где амплитуда А0 и фаза 0О — постоянные величины, зависящие от
начальных условий, а частота свободного колебания
Ucb = V(1 + r/Ri)/LKCK-a!KB. " (9.11)
Предполагается заведомо колебательный режим, когда
(1 + rtRt)/LKCK>ab».
Характер изменения амплитуды свободного колебания (9.10)
зависит от знака ссэкв, т. е. от знака коэффициента при первой
производной в уравнении (9.8). Если а,,кВ > 0, колебание затухает
(рис. 9.4, а), если аэкв < 0, амплитуда колебания растет (рис.9.4, б).
е) б)
Рис. 9.4. Изменение амплитуды свободного колебания в зависимости от знака
затухания.
Учитывая выражение (9.9), приходим к следующему условию
возникновения и нарастания колебания:
аэкв = (l/2LK)(r + LJCKRt - SMICJ < 0
или
SM/CK>r + LK.'CHRi. (9.12)
Выполнение этих неравенств обеспечивает рост амплитуды
колебания при сколь угодно малых начальных значениях амплитуды.
Неравенству (9.12) можно придать большую наглядность, если
переписать его в форме
M/LK > rCJSLK + l/SRt.
Учитывая, что отношение M/LK, равное отношению напряжения
u0L к напряжению иак, является коэффициентом обратной связи
/Сое. а также, что rCjLK = 1/Zap и l/SRt = D, получаем
K0D > 1/SZ3P + D. (9.13)
Это неравенство является основным условием самовозбуждения
автогенератора. Оно позволяет легко объяснить влияние основных
параметров усилительного прибора и схемы на возникновение
колебаний. Чем больше крутизна вольт-амперной характеристики S,
тем требуется меньшая величина Кос, т. е. тем легче возникают
автоколебания. Увеличение же параметра D, отображающего
обратную реакцию анодного напряжения на входную цепь, наоборот,
требует увеличения Кос. Очевидно также, что увеличение
сопротивления потерь г, уменьшающее величину Z3p = LjrC^, требует
увеличения обратной связи.
Заметим, что правая часть неравенства (9.13)
1 { D _ l + DSZaD _ Ri+Z8T)_
есть не что иное, как величина, обратная коэффициенту усиления
в линейном режиме [см. выражение (5.42)].
Таким образом, неравенство (9.13) можно записать еще и в такой
форме:
Коо>1/Ку. (9.13')
К полученному результату можно также придти, рассматривая
автогенератор на начальном этапе запуска как линейный усилитель
с положительной обратной связью. При К0СК7>- 1 такой
усилитель является неустойчивой цепью (см. § 5.10).
В процессе нарастания амплитуды колебания коэффициент К7
уменьшается. Это происходит из-за отрицательного напряжения
смещения UCK0 = Rclс0, создаваемого постоянной составляющей
тока сетки /с0 на резисторе Rc (рис. 9.3, а). Явления в цепи сетки
полностью совпадают с явлениями в однополупериодном
выпрямителе (см. § 8.7), в котором роль диода играет промежуток сетка —
катод лампы, а нагрузки — цепь Rc, Cc. При постоянной времени
RCCC, намного превышающей период высокочастотного колебания
иос (t), выпрямленное напряжение растет пропорционально
амплитуде напряжения обратной связи иос (f). В результате рабочая
точка на характеристике лампы с ростом амплитуды колебания
постепенно смещается влево, что приводит к отсечке анодного тока и
уменьшению крутизны Scp (см. § 8.4).
Стационарный режим автоколебаний наступает, когда
неравенство (9.13') обращается в равенство.
Таким образом, цепь Rc, Cc автоматически обеспечивает
изменение напряжения смещения, благодаря чему удается сочетать
благоприятные для запуска условия (UCK0 = 0) с выгодным
энергетическим режимом работы генератора (отсечка анодного тока) в
стационарном состоянии.
Неравенство Кос > 1/Яу можно рассматривать как условие
самовозбуждения автогенератора любого типа. Однако механизм
ограничения амплитуды колебания зависит от особенностей
усилительного прибора. Так, в транзисторном автогенераторе с общим
эмиттером (рис. 9.6, а) рабочая точка на вольт-амперной
характеристике в момент запуска расположена не в начале координат, а
при положительном значении £/бэ о (рис 9.5, б). Это необходимо
ввиду того, что в транзисторе токи коллектора и базы связаны
соотношением /„ = р7б и требование достаточно большой крутизны
характеристики (для облегчения условия самовозбуждения)
заставляет располагать рабочую точку на линейном участке характеристи-
ки i6 (ибз). Поэтому на начальном этапе запуска нарастание
амплитуды колебания не сопровождается увеличением напряжения
смещения (отрицательного). Рабочая точка сдвигается влево лишь при
заходе амплитуды колебания на нижний сгиб характеристики,
когда проявляется эффект выпрямления напряжения иос (t) в цепи
база—эмиттер.
Рис. 9.5. Одноконтурный транзисторный автогенератор (а) и режим работы
при запуске (б).
В схеме на рис. 9.5, а в отличие от схемы на рис. 9.3, а показан
независимый источник постоянного напряжения £бо, включенный
последовательно с цепью Re, Сб автоматического смещения.
В транзисторных автогенераторах напряжения £бо и Еко
обычно подают от общего источника.
9.3. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ АВТОГЕНЕРАТОРА.
БАЛАНС ФАЗ
Выяснив условия возникновения колебаний, определим
амплитуду и частоту автоколебания в стационарном режиме. Для
определения амплитуды можно воспользоваться соотношением (9.3),
пригодным для любого автогенератора. Неравенство (9.13)
обращается в равенство (9.3) только при уменьшении средней крутизны Scp
до величины, отвечающей условию
/Сое = l/5cpZ8p + D или Scp = 1/(/С0С — D) ZJP. (9.14)
Так как Scp зависит от амплитуды колебания, второе
равенство (9.14) позволяет найти стационарную амплитуду. Более наглядно
определение стационарной амплитуды, основанное на методе коле-
бательной характеристики /кш (Еех), где /кнт — амплитуда тока
в колебательном контуре усилителя, получающегося из
автогенератора при устранении обратной связи.
Задавая на входе усилителя амплитуду £вх высокочастотного
колебания с частотой со = сор = 1/]/LkCk, находят (расчетно или
экспериментально) амплитуду тока в контуре /квт. Типичный вид.
колебательной характеристики показан на рис. 9.6 (кривая /}.
При малых амплитудах Еш эта характеристика линейна, так кзк
рабочая точка по условию расположена на линейном участке вольт-
амперной характеристики. Ограничение колебательной
характеристики усилителя при больших амплитудах £вх обусловлено ростом
напряжения смещения (при использовании цепи автоматического
смещения, см. предыдущий параграф).'
Для определения амплитуды тока, которая установилась бы
в автогенераторе (после введения обратной связи), необходимо
найти зависимость между /кнт и напряжением U00. Так как Uoc —
— ^кнт^св, где Хсв — сопротивление связи, то /кнт = U0JXC&.
Эта зависимость, определяемая линейной цепью автогенератора,
показана на рис. 9.6 в виде линии //, наклоненной к оси абсцисс под
углом у = arctg (1/хсш). Эта линия называется линией обратной
связи.
Ордината точки пересечения линий I и II определяет
стационарную амплитуду тока /кнтот, а абсцисса —стационарную амплитуду
напряжения 0ОССТ. Действительно, в точке пересечения величина
тока /кат, развиваемого усилительным прибором в контуре (линия
/), как раз совпадаете величиной тока (линия //)', необходимого для
создания исходного напряжения Uoc.
С увеличением связи наклон линии // уменьшается и
стационарная амплитуда тока растет. При очень сильной обратной связи
Лгатст может даже уменьшиться из-за убывания колебательной
характеристики усилителя, связанного с заходом в область насыщения
вольт-амперной характеристики усилительного прибора. Такой
режим получается при связи, соответствующей линии ОА (рис. 9.6).
Нетрудно показать, что точка С пересечения линий lull
является устойчивой. Это означает, что при случайных отклонениях
амплитуды тока от стационарного значения автогенератор
возвращается в исходное состояние. Это свойство автогенератора
поясняется рис. 9.7. Допустим, что амплитуда тока в контуре
увеличилась на А/. Это вызовет увеличение напряжения обратной связи на
А£70С. Но при напряжении на входе с/осст + А£70С усилительный
прибор способен поддерживать в контуре лишь ток 1^т, меньший
тока /кнт ст + А/. Следовательно, ток в контуре не может
удержаться на уровне /кнт ст + А/ и должен убывать, т. е. возвращаться
к исходному значению /ш ст. То же будет при случайном
уменьшении тока в контуре.
Определим частоту автоколебаний. В первом приближении эта
частота совпадает с частотой собственных колебаний контура LK, СН)
г, шунтированного внутренним сопротивлением электронного при-
бора. При линейном рассмотрении (на начальном этапе нарастания
амплитуды) влияние шунтирования учитывалось коэффициентом
(1 + rIRi) при последнем слагаемом в уравнении (9.8).
В стационарном режиме, когда внутреннее сопротивление
электронного прибора R[, приведенное к току первой гармоники, зависит
от угла отсечки (см. § 8.4), частота генерации определяется
выражением
©г=(1/УГ^)У1+г/Я;. (9.15)
Эту поправку к частоте приходится учитывать при оценке
нестабильности, обусловленной влиянием непостоянства режима
работы усилительного прибора. При выполнении же технических рас-
Рис. 9.6. Колебательная характери- Рис. 9.7. К доказательству устойчи-
стика нелинейного усилителя с авто- вости стационарного режима автоге-
матическим смещением. нератора.
четов частоту автоколебаний обычно считают совпадающей с
резонансной частотой колебательного контура.
Имеются, однако, еще и другие факторы, которые влияют на
частоту генератора более существенно, чем Rl. Для выявления этих
факторов рассмотрим фазовые соотношения в замкнутом кольце
обратной связи автогенератора. Сумма всех фазовых сдвигов в
кольце должна равняться п2л, где п — целое число [см. (5.98)].
Это условие определяет баланс фаз в автогенераторе.
Для простого одноконтурного автогенератора это условие
можно записать в форме
фу + фос = 2п, (9.16)
где фу обозначает аргумент комплексного коэффициента усиления
Ку> а фос — аргумент комплексного коэффициента обратной связи
Кос-
Исходя из уравнения для коэффициента усиления
Ку » — ScpZap (m), (9.17)
где Scp — в общем случае комплексная крутизна, получаем для фу
следующее выражение:
фу = фй + фг + ". (9.18)
Здесь cps — аргумент Scp, a cpz — аргумент сопротивления
параллельного колебательного контура. Слагаемое зх учитывает знак
минус в правой части (9.17).
Итак, уравнение баланса фаз (9.16) для одноконтурного
генератора принимает вид
<ps + ф2 + Фос + " = 2л
или
cps + Фг + Фос = я. (9.19)
Из условия (9.19) вытекает, что все факторы, оказывающие
влияние, на фазовые сдвиги в отдельных звеньях автогенератора, влияют
и на частоту генерируемых колебаний. Так, например, включение
фазосдвигающей цепи в четырехполюсник обратной связи сдвигает
частоту генерации относительно резонансной частоты колебательной
цепи автогенератора. Работа подобного автогенератора, в котором
в качестве фазосдвигающего устройства используется линия
задержки, рассматривается в § 9.9.
В практике часто приходится считаться с влиянием и угла cps
на частоту автоколебаний. Во всех предыдущих параграфах данной
главы, а также гл. 8 средняя крутизна характеристики
усилительного прибора считалась действительной величиной (cps = 0). Между
тем следует отметить по крайней мере два фактора, придающих
средней крутизне комплексный характер: 1) неполное отфильтровы-
вание высших гармоник импульсного тока, 2) инерция электронов.
Механизм влияния токов высших гармоник на частоту генерации
заключается в следующем. При прохождении через колебательную
цепь эти токи создают некоторое, хотя и очень малое, падение
напряжения, благодаря чему результирующее напряжение на
колебательном контуре, а следовательно, и на выходе цепи обратной связи
становится несинусоидальным. Это приводит к тому, что
положительная полуволна возбуждающего напряжения, определяющая
форму импульса тока, деформируется, становясь несимметричной
относительно своего максимального значения. Асимметрия
объясняется тем, что для высших гармони к тока колебательная цепь
представляет собой почти чисто реактивное, а для первой гармоники—
активное сопротивление; добавочные напряжения от высших
гармоник имеют начальную фазу 90° (при нулевой начальной фазе
напряжения от первой гармоники).
Асимметрия импульса электронного тока в свою очередь
приводит к некоторому сдвигу фазы первой гармоники тока относительно
первой гармоники возбуждающего напряжения. В результате
отношение 1Х к Еъ т. е. средняя крутизна 5ср, становится комплексной
величиной. Ясно, что чем выше добротность колебательной цепи,
тем ближе напряжения к гармоническим и тем слабее влияние
высших гармоник на частоту генерации.
В автогенераторах с обычными колебательными контурами
относительная поправка к частоте, обусловленная влиянием высших
гармоник, порядка 10~4 — Ю-5.
Второй из упомянутых факторов — влияние инерции
электронов — имеет существенное значение только в автогенераторах,
работающих на очень высоких частотах, когда время пролета
электроном, междуэлектродных промежутков оказывается соизмеримым
с периодом колебания. Получается значительный фазовый сдвиг
между первой гармоникой тока и напряжением на входе
электронного прибора. Этот сдвиг следует учитывать при построении цепи
обратной связи.
9.4. МЯГКИЙ И ЖЕСТКИЙ РЕЖИМЫ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ
Вернемся к рис. 9.6 и выясним поведение автогенератора при
изменении коэффициента обратной связи. При ослаблении связи
наклон линии /7 растет, и при некотором критическом значении
7С0С, обращающем неравенство (9.17) в равенство (9.3),
возникновение колебаний невозможно. Линия связи, соответствующая
критической обратной связи, занимает положение ОВ.
-Если в автогенераторе с индуктивной обратной связью и
колебательной характеристикой, показанной на рис. 9.6, плавно
увеличивать М, то, начиная с критического значения Мкр, амплитуда ста-
Рис. 9.8. Зависимость Рис. 9.9. Колебательная Рис. 9.10. Зависимость
стационарной амплитуды характеристика, соответ- стационарной амплитуды
от величины обратной ствующая жесткому ре- от обратной связи при
связи при мягком ре- жиму. жестком режиме.
жиме.
ционарного колебания будет плавно возрастать, как показано на
рис. 9.8. Такой режим самовозбуждения называется мягким. Из
предыдущего видно, что для получения мягкого режима
необходимо, чтобы колебательная характеристика выходила из нулевой
точки и имела достаточно большой наклон в области малых амплитуд.
Все эти требования выполняются при использовании
автоматического смещения.
При использовании принудительного (внешнего) смещения
колебательная характеристика принимает вид, показанный на рис. 9.9.
Для возникновения колебаний в данном случае требуется очень
сильная обратная связь (линия ОА, взаимоиндукция Мх). После
того как колебания установились, связь можно ослабить до
величины М2, при.которой линия связи занимает положение ОБ. При
дальнейшем ослаблении связи колебания срываются. Для
восстановления колебаний М нужно увеличить до значения Mlt
соответствующего линии связи ОА. Такой режим самовозбуждения называется
жестким.
Зависимость стационарной амплитуды /иптот от величины М
при жестком режиме показана на рис. 9.10, причем стрелками
,/инт
Рис. 9.11. К вопросу об устойчивости
генерации при жестком режиме.
обозначено направление
изменения М.
Если принудительное
напряжение смещения настолько
велико, что колебательная
характеристика начинается не с нуля
(рис. 9.11), то никакое
увеличение обратной связи не способно
вызвать автоколебания. Если же
вызвать колебания с помощью
внешнего воздействия, то при
достаточно сильной обратной
связи колебания могут
продолжать существовать и после прекращения воздействия. Из двух
точек пересечения линий / и // точка С является устойчивой,
а точка D — неустойчивой (имеется в виду динамическая
устойчивость, т. е. устойчивость генерации). Это означает, что при
небольших случайных отклонениях амплитуды тока в контуре около точки
С система возвращается в исходное состояние, сколь же угодно малое
отклонение амплитуды в районе точки D прогрессивно возрастает
и переводит амплитуду /кнт либо в устойчивую точку С, либо в
точку О (соответствующую статической устойчивости). Доказательство
неустойчивости точки D аналогично доказательству устойчивости
точки С, приведенному в предыдущем параграфе.
9.5. ПРИМЕРЫ СХЕМ АВТОГЕНЕРАТОРОВ
На рис. 9.12 представлены три разновидности схем
одноконтурных ламповых автогенераторов, различающихся лишь цепями
обратной связи. Схема с индуктивной (трансформаторной) обратной
связью (рис. 9.12, а) уже рассматривалась в § 9.2 (рис. 9.3, а);
единственное уточнение (рис. 9.12, а) заключается в способе включения
резистора Rc (между сеткой и катодом). Схему с кондуктивной
(автотрансформаторной) обратной связью (рис. 9.12, б) и схему с
емкостной обратной связью (рис. 9.12, в) часто называют
трехточечными: усилительный прибор подключается к трем точкам контура
а, с и к.
В схемах на рис. 9.12, а и б емкости С$л блокировочных
конденсаторов обычно настолько велики, что по высокой частоте точку к
практически можно считать соединенной с катодом накоротко. Так
как катоды заземлены, то точки к являются точками нулевого
потенциала.
Избирательный четырехполюсник и четырехполюсник обратной
связи, показанные на рис. 9.1, в рассматриваемых простейших
автогенераторах совмещены в одном колебательном контуре. Входными
Рис. 9.12. Схемы автогенератора с трансформаторной (а),
автотрансформаторной (б) и емкостной (е) обратной связью.
зажимами этого четырехполюсника являются точки а и к, к которым
подключены анод и катод лампы, а выходными — точки
подключения сетки и катода (си к). Таким образом, показанные на рис. 9.12
схемы можно заместить одной схемой (рис. 9.13). Источники
питания электродов лампы на этой схеме не
показаны.
В рассматриваемых простейших схемах
частота генерации близка к резонансной
частоте контура. На этой частоте падение
напряжения на контуре UaH совпадает
(или почти совпадает) по фазе с током
1а1, а последний — с напряжением UCK.
Рис 9.13. Схема замеще- Замечаем, что напряжение 1!ан направлено,
ния одноконтурного гене- как и ток 1а1 во внешней цепи, от катода
ратора. к аноду. Если напряжение на выходе
четырехполюсника обратной связи будет в
фазе с UaK, то оно окажется в противофазе с исходным
напряжением IJCK. Из этого следует, что аргумент коэффициента
обратной связи Кос ('<»), т.е. фазовый сдвиг в четырехполюснике
обратной связи, должен быть близок к 180°. К этому результату
можно также прийти с помощью следующих рассуждений: рднокас-
кадный резонансный усилитель поворачивает фазу усиливаемого
колебания на 180°, следовательно, для поддержания автоколебания
напряжение, подаваемое по цепи обратной связи с выхода на вход,
должно получить дополнительный сдвиг на 180°, Нетрудно просле-
дить, как обеспечивается это требование в схемах на рис. 9.12. В
схеме с трансформаторной обратной связью (рис. 9.12, а) сдвиг
фазы на 180° получается при правильном подключении катушки
LCK к зажимам сетка — катод. Модуль коэффициента обратной
связи
Кос = M/LK. (9.20)
В автотрансформаторной схеме (рис. 9.12, б) требуемая фази-
ровка достигается съемом напряжения обратной связи с
катушки индуктивности LCK, входящей в емкостную ветвь контура. При
резонансе токи в индуктивной и емкостной ветвях контура равны
по амплитуде и противоположны по направлению. Следовательно,
индуктивности LaK и LCK обтекаются одним и тем же контурным
током и образуют делитель напряжений. По отношению к катоду,
подключенному к промежуточной точке контура, напряжения,
снимаемые с катушек Lait и LCH, находятся в противофазе,
Модуль коэффициента обратной связи
Аос = ^ск'^ав» (9.21)
Резонансная частота колебательного контура в автогенераторе
с индуктивной трехточкой
сор= 1 /V(LaK + LCK)CH. (9.22)
Наконец, для схемы с емкостной обратной связью (рис. 9.12, в)
Аос = ^ак/С0к, (9.23)
а резонансная частота контура
©p=1/VlkC8ke , (9.24)
где
^энв == ^ак^скЛ^ак "Г Ьсн).
В транзисторном автогенераторе с емкостной обратной связью
(рис. 9.14) внешнее напряжение смещения Ubbo подается с
делителя напряжений Rlt R2, подключенного к источнику питания
цепи коллектора.
Коэффициент обратной связи с данной схеме
Кос = ОЛэ. (9.25)
а резонансная частота определяется формулой, аналогичной (9.24).
При рассмотрении всех перечисленных схем не учитывались
паразитные параметры — междуэлектродные емкости,
индуктивности вводов лампы, фазовый сдвиг анодного тока из-за влияния
инерции электронов и т. д.
Поэтому коэффициент обратной связи в одноконтурных
автогенераторах оказался независимым от частоты. Этот вывод
справедлив при относительно невысоких частотах. С повышением рабочей
частоты схема замещения автогенератора усложняется и
коэффициент обратной связи должен рассматриваться с учетом
перечисленных факторов. Частотная зависимость Кос (г<в) особенно сильно
выражена для транзисторных автогенераторов, работающих на
частотах, близких к граничной частоте транзистора. Аргумент <ps
комплекснойкрутизны 5ср (см. § 8.3) достигает в этих генераторах 90"
и больше. Аргумент фос цепи обратной связи отличается при этом
от 180°.
На высоких частотах большое распространение получили
транзисторные автогенераторы, работающие по схеме с общей базой и
обладающие конструктивными преимуществами по сравнению со
Jg/> ЩПТ1:
JL^ ho л- ' i ' —*—»—'
Рис. 9.14. Транзисторный Рис. 9.15. Автогенератор на транзисторе с об-
автогенератор с емкост- шей базой,
ной обратной связью.
схемой ОЭ. Типичная схема гетеродинов радиоприемников
представлена на рис. 9.15. Резистор R30 автосмещения включен в цепь
эмиттера. Хотя на начертании схемы отмеченная выше частотная
зависимость коэффициента обратной связи, а также комплексность
средней крутизны не отражаются, параметры контура и элементов
цепи обратной связи существенно отличаются от параметров при
относительно низких частотах.
9.6. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ АВТОГЕНЕРАТОРА
В предыдущих параграфах данной главы изучались условия
возникновения колебаний и определялась устойчивость
стационарного режима автогенератора. Необходимо рассмотреть весь процесс
установления автоколебаний: от включения до установления
стационарного режима. Это важно для ряда приложений, когда
приходится иметь дело с формированием коротких радиоимпульсов
(например, в импульсных радиосистемах). Для полного описания
работы автогенератора, охватывающего все стадии процесса
установления, необходимо отказаться от условия малости амплитуд,
лежащего в основе линейного дифференциального уравнения (9.9').
Использованное при составлении этого уравнения линейное
выражение (9.6)
1а '— SuCK — (UaJRi) = 5 (Иск — Duan),
необходимо заменить нелинейной функцией
«а = "Ф ("ск — DU&K), (9.26)
определяющей анодный ток ia при любых значениях иск и иак.
Для дальнейшего исследования удобно перейти от схемы,
изображенной на рис. 9.3, а, к схеме, показанной на рис. 9.16.
Использованная в этой схеме параллельная схема замещения
колебательного контура, не меняя сути дела, упрощает составление дифферен-
-** к
Рис. 9.16. Схема замещения автогенератора,
соответствующая уравнению (9.29),
ft
\\ [ti|t*_ p«
циальниго уравнения для напряжения нан, действующего на
контуре. При выбранных направлениях токов и напряжений можно
написать следующие исходные уравнения:
1с + Ir + II — ia
ic-
duaK
Ir~
мак
If
— |«ак
(It.
di ' " R
Подставляя выражения (9.26) и (9.28) в (9.27), получаем
d-
-~ "аь + ~ \ "ак * = * («ов —DlhK)-
(9.27)
(9.28)
(9.29)
Преобразуем теперь аргумент нелинейной функции ф, выразив
кск через «ак- Непосредственно из схемы с трансформаторной
связью (рис. 9.16) вытекает соотношение нсн = М (dijdt), а из
третьего равенства (9.28) следует, что dijdt = uaK/L.
Следовательно, ыск = uat{M/L.
Итак,
Diu
(MIL — D) нак = (Кос — D) uaK.
Заметим, что если не учитывать влияние иак на ток ia (при
D < Кос), ТО «ск« Д"оо"ак-
Введем обозначение
Кос = Кос — D. (9.30)
(9 31)
Тогда
"Ф ("ок — DuaR) = я]з [(/<Г0С — D) иак] =
= Ф (/Сос"ав)-
Подставляя это выражение в (9.29) и дифференцируя последнее
по t, получаем
1 ^(/<ос«ак)
6Р
1 tfaaH
LC
"ЯК "
Л
или
^"ак , _d
с//'2
Л
«ан
СЯ
^(/СосИак)
+
LC
= 0.
(9.32)
Как и следовало ожидать, получилось нелинейное уравнение.
Дальнейший путь заключается в подстановке в уравнение (9.32)
какой-либо подходящей аппроксимации функции я}) (КовИак)-
Наиболее удобной является аппроксимация с помощью
степенного полинома. Чтобы не слишком усложнять задачу, обычно
исходят из неполного полинома третьей степени [см. (8.13)]:
«а = ^ (Ко. иан) = йу /Сое иак + аа (Кос иак)3
= fil Ко
-\a.6\(Ko,uaK)s
(9.33)
Входящее в выражение (8.8) слагаемое I (U0) опущено, так как
оно не оказывает влияния на поведение функции иак. Знак минус
перед кубическим членом взят в соответствии с формулой (8.14).
Аппроксимация (9.33) пригодна при фиксированном положении
рабочей точки на вольт-амперной характеристике (в точке перегиба,
см. рис. 8.5). Следовательно, при этом не учитывается изменение
напряжения смещения £/0 в процессе нарастания амплитуды
колебания (при автоматическом смещении). Тем не менее, как
показывает опыт, аппроксимация (9.33) все же позволяет выявить
основные черты процесса установления колебаний в генераторе,
работающем в мягком режиме.
Подставляя (9.33) в (9.32), получаем
6Р
или
61
d2uai<
-jr (-J —Кос аЛ иак + \а3\ К'0% «Ik j +
1
LC
dP
-(2 К
—Тэкв"ак)—Г-+Ю6«а
dt
= 0,
= 0
(9.34)
где использованы обозначения
2аЭйв=(1/#—KocdJ/C; увю
=3f«3|Kol/C; a»8=l/LC. (9.35)
Заметим, что в самовозбуждающемся генераторе аэкв •< 0
(см. § 9.2).
Разделив (9.34) на cog и введя малый параметр
е = 21 аэкв |/ю0, (9.36)
получаем
и? dP \ 2|cwl аК) Ио * ^ан а
Переходя, наконец, к безразмерному времени т = a>0t,
получаем уравнение, известное под названием уравнения Ван дер Поля:
^т—ф-чгЧ )-тЕ-+".-=°- <9-37)
йт? \ 2|аэкв| ) йт
При малых напряжениях, когда Vy9KBl2 | аэкв | ыак <^ 1,
уравнение (9.37) переходит в линейное уравнение, совпадающее с
уравнением (9.9') [при переходе в последнем к безразмерному времени,
а также при учете различия между схемами на рис. 9.3 и 9.16].
С увеличением амплитуды напряжения иак все сильнее проявляется
нелинейность системы, обусловленная величиной (уэкв/2| ОэКВ |) ы|к.
Методов, позволяющих получить точное решение нелинейного
уравнения (9.37), не существует.
9.7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
АВТОГЕНЕРАТОРА
В применении к данной задаче суть приближенного метода
заключается в том, что отыскивают решение нелинейного уравнения
/9.37) в форме высокочастотного колебания
«ак = А (юо0 COS OV = А (Т) COS Т, (9.38)
где ю0 = «>р — резонансная частота контура, т. е. со0 = 1/j/XC;
А (т)—функция, медленно изменяющаяся во времени.
Основанием для такого подхода является допущение высокой
добротности колебательного контура, при которой для
существенного изменения амплитуды и, следовательно, запасенной в контуре
энергии требуется время, измеряемое значительным числом
периодов. Условие медленности изменения амплитуды, сформулированное
в §3.1, предполагается выполненным.
Итак, для отыскания приближенного решения уравнения (9.37)
остается найти только функцию А (т), т. е. огибающую амплитуд
колебания. Частота колебания просто приравнивается со0 = 1/|/LC,
а начальная фаза, которая в решении (9.38) опущена, может быть
принята любой в зависимости от начальных условий запуска
генератора1.
1 В действительности фаза, а следовательно, и частота колебания в
процессе установления могут являться функциями времени. Для определения
поправки к частоте необходимо находить- второе или даже более высокие
приближения.
Подставим (9.38) в уравнение (9.37). Предварительно найдем
производные от функции иак = А (т) cos x, для краткости опустим
аргумент функции А (т), а производную dA (x)/dr обозначим
через А:
*ак "
d%
-A sinx + A cos т,
d "ак = —A cos т—A sin т — A sin т 4-Л cos т »—Л cos т—2Л sin t,
df*
Л|Н_= _1_ _£№0_ = _!__*_ Лз cos3 =
dx 3 dx 3 Л
Л» . ,1 <Ш ЛЗ
= sin т A cos т л; sin т.
4 4 Л 4
Слагаемое с Л отбрасывается, так как вторая производная
медленно меняющейся функции является величиной второго
порядка малости; слагаемое, содержащее cos Зт = cos 3co0/, которое
получается при возведении в куб cos т отбрасывается, так как
утроенная частота отфильтровывается колебательным контуром,
настроенным на частоту со0. Кроме того, следует иметь в виду, что
последнее слагаемое -j (dA3/dx) cos т после подстановки в уравнение
(9.37) и умножения на малую величину е также отбрасывается, как
величина малая по сравнению со слагаемыми с коэффициентами Л,
Л или еЛ3. Произведение еЛ cost также отбрасывается. В
результате' уравнение (9.37) приводится к виду
2Л sin х-еЛ sin т -}—^Ш— _di sin т =
2 I схэкв I 4
= (2Л— бЛ+ еТа"ь —^sinx = 0.
V 2|аэкв| « /
Так как sin т =?^= 0, то приходим к следующему уравнению для
амплитуды:
2Л-е(Л !!2L_J?-l = o.
J А Z^illU
V 2|аэкв| 4 У
Умножая на Л и учитывая, что 2ЛЛ = dA2/dx, переписываем
это уравнение в форме
dA* /д2 ънв... №
d-x \ 2|аэкв| 4
]=0. (9.39)
Получилось уравнение первого порядка относительно квадрата
амплитуды. Стационарная амплитуда Лст определяется сразу,
достаточно приравнять нулю производную от Л2. Таким образом,
Л4
Уэкв ст г.
откуда
Лст = 2/Уу№В/2|а8кВ| (9.40)
и уравнение (9.39) принимает вид
dA2/dx — е (Ла — АЧА^) = 0. (9.41)
Для решения этого уравнения используется подстановка Л2 =
= \1х. Тогда Л?т = 1/яст и
rf(l/*) с/ 1 *ст \ }_ dx £ / 1 хст \
dx \ * я2 / ж8 dT \ as я2 /
ИЛИ
их
—- + e(*—хот) = 0.
ат
Разделяя переменные
efc /(л: — хст) = — edt
и интегрируя, получаем
In (х — xcv) + С = — ет.
Пусть начальное значение амплитуды колебания в момент
т = 0 равно А0. Тогда соответствующее этому моменту значение
х0 равно 1/Лр. Полагая в последнем выражении т =s 0, находим
постоянную интегрирования С:
С = — In (х0 — х0т).
Следовательно,
In {х — хст) — In {х0 — *С1) = ет
откуда
или
х *°* = е", (9.42)
д; = хс.£ [1 + (х0/д;ст — 1) еет]
1 _ I
А> ~~ АК
^5 /
l+hr-ik1
Наконец, учитывая выражение (9.36) и т = со0^, а также то, что
аэкв < 0, получаем
„ ■ Лпт ■"ст
(9.43)
Подставляя это выражение в (9.38), получаем
"ак (t)z
cos(co,/+e„), (9.44)
1Л + (Л;т/Л*-1)е 2'аэ™'
где 60 — начальная фаза, зависящая от условий запуска
генератора.
Как правило, Аст/А0^> I. Поэтому при малых значениях
2 |схЭкВ|^ знаменатель
/'+($-)
-21вэквГ
!ст_е-|аэкь1*
Ае
и выражение (9.44) принимает вид
иак (/) як Ли el а«кв'( cos (со, / 4- В„),
совпадающий с видом выражения (9.10), выведенного для
линейного режима (при малых амплитудах).
чох. к
* AU)/AU
0,8
ОЛ
и
У
^
s
4
1 *»
1
/
-«•
6
/
У
т
•ч /
V
12
|а'эк8
Рис. 9.17. Процесс установления
колебания в автогенераторе.
Рис. 9.18. Характер нарастания
огибающей автоколебания при различных
начальных условиях.
При /-»- оо (стационарный режим)
"а к (0 = ^ct COS (С0СГ + 60).
Ограничение амплитуд, обусловленное введением кубического
члена в аппроксимацию вольт-амперной характеристики (9.33),
иллюстрируется рис. 9.17, на котором представлен процесс
установления колебания в автогенераторе.
Характер изменения огибающей A {f)IACT при нескольких
значениях параметра п = Аст/А0 показан на рис. 9.18.
Из выражения (9.43) и рис. 9.18 видно, что время установления
стационарной амплитуды существенно зависит от начальной
амплитуды, т. е. от начальных условий запуска. Это имеет важное
значение для генераторов, работающих в импульсном режиме.
В заключение отметим, что для удовлетворительного описания
процесса установления колебаний при жестком режиме
самовозбуждения требуется удержание в полиноме (8.8) по крайней мере
еще и пятой степени.
9.8. АВТОГЕНЕРАТОРЫ С ВНУТРЕННЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
При рассмотрении механизма возникновения колебаний в
автогенераторе (см. § 9.2) мы встретились с понятием отрицательного
сопротивления, вносимого в колебательный контур при
надлежащем выборе фазы обратной связи. При этом в соответствии с
обобщенной схемой автоколебательной системы (см. рис. 9 1) имелась в
виду внешняя обратная связь.
Существуют, однако, некоторые электронные приборы, которые
позволяют получить отрицательное сопротивление за счет падающих
участков вольт-амперной характеристики без введения в схему
специальных элементов обратной связи. К таким приборам
относятся, например, туннельный диод и обычные тетроды и пентоды при
соответствующем подборе напряжений на электродах.
На рис. 9.19, а показана вольт-амперная характеристика
туннельного диода, представляющая зависимость прямого тока диода
от положительного напряжения
смещения. На падающем участке
а—б дифференциальное
сопротивление диода отрицательно:
R.~ = duldi=c\.g у,
где у — угол наклона касатель- ° al/pS
ной к кривой i — f (и) в
рабочей точке U0.
Аналогичной получается
характеристика тетрода при
сильно выраженном динатронном
эффекте (рис. 9.19, б).
При подключении
электронного прибора с подобными вольт-
амперными характеристиками к
колебательной цепи можно осуществить генерацию
высокочастотных колебаний. При этом получается автогенератор с
внутренней обратной связью. На рис. 9.20, а
изображена схема динатронного генератора, в которой в качестве
отрицательного сопротивления используется тетрод. Как видно, в
этой схеме нет специальных элементов для создания обратной
связи. Отрицательный характер сопротивления лампы
достигается установкой рабочей точки на падающем участке
характеристики (рис. 9.19, б). Для этого на анод подается напряжение
питания Еа0, меньшее, чем на экранирующую сетку.
Эквивалентная схема контура, шунтированного отрицательным сопротивлением
h i
0
д
a e
^
V
1 -w.
1%
t
to
Рис. 9.19. Вольт-амперные
характеристики туннельного диода (а) и
тетрода с динатронным эффектом (б), при
которых возможна реализация
отрицательного сопротивления.
/?_, изображена на рис. 9.20, б. По отношению к этому
сопротивлению иа рассматривается как электродвижущая сила, так что ток
1а и напряжение иа связаны соотношением ia = uJR_.
Рассматривая, как и в § 9.2, начальный этап возникновения
колебаний (малые амплитуды), исходим из уравнений, аналогичных
уравнениям (9.4)—(9.5), с тем
лишь отличием, что первое
уравнение (9.4) запишем в виде
II + ic = — к-
Учитывая далее приведенное
выше выражение ia = uJR- и
используя третье уравнение
системы (9.4), получаем вместо (9.8)
следующее линейное
дифференциальное уравнение:
(Pi. I г 1 \ di: i
В)
Ю
Рис. 9.20. Динатронный генератор
(о) и его схема замещения (б)
dP
L
\ + rlR.
LC
CR.
Il-
di
0. (9.45)
Для того чтобы амплитуда колебания нарастала, коэффициент
при первой производной должен быть отрицательным. Отсюда
получается условие возникновения колебаний в виде
г
L
_1_
~~С
R-
<0
или
где
I Я- I < ~^=2эр=р<?= <?Л»р С,
гС
(9 46)
\R-\—абсолютная величина отрицательного сопротивления;
ZBp — резонансное сопротивление контура; Q — добротность; р =
= VLIC — характеристическое сопротивление контура;
Когда сопротивление \R~\, зависящее от амплитуды колебания
(при переходе на нелинейную часть характеристики лампы),
увеличится до
\R-(Ua)\ =Z3p, (9.47)
в автогенераторе установится стационарная амплитуда колебаний.
Режим устойчив, если в точке пересечения горизонтали кривая
\R~(Ua)\ имеет положительный наклон (рис. 9.21). Все, что
в предыдущих параграфах было сказано о характере нелинейной
зависимости средней крутизны от амплитуды управляющего
напряжения, в данном случае можно распространить на характер
зависимости величины, обратной \R-\, от напряжения £/а.
Из-за недостаточной устойчивости динатронного эффекта и
низких энергетических качеств динатронные генераторы применяются
довольно редко. Значительно большее распространение получили
генераторы на туннельном диоде (рис. 9.22). Блокировочные
дроссель Lto и конденсатор Сбл (С6л 5> С0) защищают цепь
постоянного тока от тока высокой частоты; С0 — собственная емкость
диода; гк — сопротивление потерь в кристалле и в элементах контура.
Преимуществом туннельного диода является весьма малое по
абсолютной величине отрицательное сопротивление (~ 10—100 Ом).
Несмотря на относительную большую собственную емкость диода
(несколько десятков пикофарад), условие самовозбуждения (9.46)
выполняется в весьма широком диапазоне частот, вплоть до СВЧ.
2зр
I*.
/
-г
-Сд
+ &
%п
Рис. 9.21. К определению
стационарной амплитуды автоколебания в
генераторе с внутренней обратной связью.
Рис. 9.22. Генератор на
диоде.
туннельном
Так, например, при добротности контура, составленного из
индуктивности L и собственной емкости диода С0 = 50 nO(Q=50),
при \R_\ =50Ом предельная частота генерации будет /маКс &
» <2/2л | #_ | С0 « 3 • 10» Гц = 3000 МГц.
9. 9. АВТОГЕНЕРАТОР С ЛИНИЕЙ ЗАДЕРЖКИ В ЦЕПИ
ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Пусть имеется автогенератор с избирательной нагрузкой и
линией задержки в кольце обратной связи. Подобный генератор
можно представить в виде обобщенной схемы (рис. 9.23), аналогичной
схеме на рис. 9.1. Рассматривая линию задержки как идеальный
четырехполюсник с передаточной функцией е
— иоГ
мы можем
представить линейную часть схемы, состоящую из колебательного
контура и задержки Т, в виде одного четырехполюсника обратной
связи с передаточной функцией
K00[i (co-cop)j = KK (ш-Юр) е'ф* е—г =Koce-*bt (9.48)
где /Ск — модуль передаточной функции колебательного контура,
обладающего резонансной частотой сор; срк — фазовая
характеристика контура. В полосе прозрачности контура можно считать, что
фк « — (со — Юр) тк, где тк — постоянная времени контура.
Введение в схему линии задержки не изменяет модуля
передаточной функции, но существенно влияет на результирующую
фазовую характеристику
ф2 = _ (со — ©р) тк — соГ. (9.49)
При достаточно большой задержке Т наклон результирующей
фазовой характеристики определяется в основном слагаемым соТ,
причем может оказаться, что в полосе прозрачности колебательной
цепи изменение фг достигает значительной величины, превышающей
несколько полных оборотов 2я. Подобный случай изображен на
рис. 9.24, на котором со_2, со-х, щ, со2, ... обозначают частоты,
лежащие в полосе прозрачности контура, при которых ординаты
фазовой характеристики фг равны п2п, где п — целое число. Так
как при указанных частотах выполняется баланс фаз и амплитуд
(см. § 9.3), то каждая из них может являться частотой
автогенерации. Введение в кольцо обратной связи достаточно большой за-
г^
1
_/-
Нелинейный
элемент
М
«Ур^Й
I Колебательны
I usm
*асе1Ъ
1
B-iS-
Линия
задержки Г
V
Рис. 9.23. Автогенератор с линией задержки в цепи обратной связи.
держки придает системе многочастотный характер. Роль
колебательного контура при этом сводится лишь к ограничению числа
частот, на которых обеспечивается усиление, необходимое для
автогенерации.
Возникает вопрос, могут ли одновременно устойчиво
существовать несколько автоколебаний с различными частотами. Ответ
на него зависит от таких факторов, как число частот в полосе
прозрачности контура, при которых выполняется фазовый баланс, форма
амплитудно-частотной характеристики избирательной нагрузки,
режим самовозбуждения (мягкий или жесткий) и некоторых других.
Рассмотрим сначала случай, когда в полосе прозрачности
одиночного колебательного контура имеется всего лишь две частоты,
на которых возможна генерация: щ и ©2. Это означает, что в полосе
2Асо0 = 2/гк (тк — постоянная времени контура) набег фазы в
линии задержки Т близок к 2п, т. е. 2Асо07п « 2зг или Т л; я/А©0 л;
Примерное расположение Oj и со2 на оси частот показано на
рис. 9.25. Через Е1 и Е2 обозначены амплитуды колебаний с
указанными частотами в какой-то момент времени после запуска
генератора с мягким режимом возбуждения. При циклическом обходе
замкнутого кольца обратной связи при каждом прохождении через
нелинейный элемент соотношение между амплитудами Ег и £2
будет изменяться в пользу Ег. С аналогичной ситуацией мы имели
дело при рассмотрении подавления слабого сигнала в амплитудном
ограничителе в § 8.9. В итоге колебание с частотой со2 полностью
подавляется и в системе остается всего лишь одно колебание с
частотой co1? для которого начальные условия при запуске более
благоприятны.
Иначе обстоит дело в автогенераторе с жестким режимом
самовозбуждения, когда при запуске для установления автоколебаний
требуется посторонний источник колебаний. В зависимости от
Рис. 9.24. Расположение возможных Рис. 9.25. К вопросу о подавлении
частот генерации при введении за- слабого колебания в автогенераторе
держки в цепь обратной связи. с задержкой в цепи обратной связи.
выбора запускающей частоты в генераторе может быть установлен
стационарный режим на любой из частот: сох или со^. Отсюда
видно, что «жесткий» автогенератор с запаздывающей обратной связью
можно использовать как устройство, запоминающее одну из
нескольких частот, подаваемых в момент запуска.
Рис. 9.26. Форма АЧХ избирательной Рис. 9.27. Форма АЧХ избирательной
цепи, неблагоприятная для одиовре- цепи, допускающей устойчивую гене-
мениого генерирования нескольких рацию нескольких частот одновре-
частот. мен но.
Вернемея к автогенератору с мягким режимом
самовозбуждения и допустим, что в полосе прозрачности колебательной цепи
имеется значительное число частот возможной генерации. Так как эти
частоты расположены на оси со эквидистантно (рис. 9.26), то можно
допустить существование совокупности колебаний с частотами ©lt
со2, со8, ... при амплитудных и фазовых соотношениях, характерных
Для угловой модуляции. Подобное сложное колебание, обладающее
постоянной амплитудой, проходит через нелинейность
(амплитудный ограничитель) без деформации, т. е. без изменения соотношения
между отдельными составляющими спектра. Это означает, что
нелинейная часть автогенератора не препятствует одновременной
генерации сетки частот. Этого, однако, еще недостаточно для
устойчивой генерации. Необходимо, чтобы передаточная функция
избирательной цепи обеспечивала сохранение внутриспектральных
соотношений. Амплитудно-частотная характеристика избирательной
цепи, представленная на рис. 9.26, не отвечает этому требованию.
Более подробное рассмотрение [7] показывает, что для устойчивой
генерации спектра частот амплитудно-частотная характеристика
колебательной системы должна иметь неравномерность типа
седловины (рис. 9.27).
Генератор с запаздывающей обратной связью обладает
некоторыми другими интересными свойствами, обусловленными большой
крутизной фазовой характеристики, например повышенной
стабильностью генерируемой частоты.
9.10. ДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ Э. Д. С. НА ЦЕПИ
С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ. РЕГЕНЕРАЦИЯ
В радиотехнике под регенерацией подразумевается компенсация
потерь в колебательной цепи с помощью положительной обратной
связи. Явление регенерации можно использовать для усиления
колебаний. Схема регенеративного усилителя, изображенная на рис. 9.28,
внешне не отличается от схемы автогенератора. Однако в
регенеративном усилителе обратная связь не доводится до величины,
соответствующей порогу генерации. При
этом получается лишь частичная
компенсация потерь в контуре и действие
обратной связи сводится только к
повышению добротности регенерированного
контура.
В схеме на рис. 9.28 усиливаемое
колебание с амплитудой Е и частотой со
вводится в колебательный контур L, С,
г, а обратная связь осуществляется с
помощью катушки LK, обтекаемой
переменной составляющей коллекторного то-
индуктивно связанной с катушкой контура L. Нетрудно
выявить влияние параметров транзистора w обратной связи на
эквивалентные параметры колебательного контура. Рассмотрим сначала
более простой случай малых амплитуд, когда используется
небольшой участок' характеристики транзистора' и средняя крутизна S,
может быть приравнена крутизне S.
При гармонической э. д. с. с комплексной амплитудой Е и
частотой со амплитуду тока в контуре (в стационарном режиме) можно
Рис.
9.28. Регенеративный
усилитель.
ка /к и
ср
определить с помощью следующего выражения:
- ! = (Е + Uoc)/[r + I (coL — 1/юС)], (9.50)
где U о о — комплексная амплитуда напряжения обратной связи,
вводимого в контур. Так как цепь предполагается линейной (при
малых амплитудах), то это напряжение совпадает по^частоте с э. д. с.
Е и может отличаться от последней лишь фазой.
Очевидно, что
Uoc = тМ1к,
а амплитуда переменной составляющей коллекторного тока 1К> если
пренебречь реакцией выходной цепи, равна
!к = SVc = Sl/tooC,
где lie — амплитуда напряжения на конденсаторе контура.
Таким образом, можно написать
Uoc = mMSl/iwC = MSVC.
Подставляя это выражение в уравнение (9 50) и решая его
относительно J, получаем
1= -^ (9.51)
Как и следовало ожидать (см. § 9.2), влияние положительной
обратной связи сводится к уменьшению сопротивления потерь в
контуре на величину отрицательного сопротивления
готр = MSIC. (9.52)
Таким образом, эквивалентное активное сопротивление
регенерированного контура равно
/-экв = г - г0тр = г - MS/C, (9.53)
а добротность
<2энь = -^- = Р/Г . (9 54)
'вив (r~MS/C) {_MS/C '
Отношение
^/^ = 1/(1-^=1/(1-^), (9.55)
где Q0 = р/гэк — добротность нерегенерированного контура,
можно рассматривать как усиление схемы на резонансной частоте
°> = ©р, когда coL — 1/соС = 0.
Увеличением М можно добиться существенного увеличения
Фэкв и, следовательно, повышения усиления. Следует, однако, иметь
в виду, что увеличение <2ЭКВ при заданной и неизменной резонансной
частоте контура шр приводит к сужению полосы пропускания
контура. Поэтому максимально допустимую величину MSICr можно
определить из неравенства
MS
Сг
<1
1
Q3
-Qo
QaKBiQo
(9.56)
При MSICr-^ 1 цепь теряет устойчивость, а при MSICr > 1
возникают автоколебания, т. е. усилитель превращается в генератор.
Иначе обстоит дело при больших амплитудах напряжения на
входе усилителя. Увеличение амплитуды на зажимах
база—эмиттер приводит к уменьшению средней крутизны Scp и в соответствии
с (9.52) к уменьшению готр.
Зависимость Scp и готр от амплитуды
приводит к нелинейным
искажениям усиливаемого сигнала.
Подставляя Scp вместо S в
выражение (9.51), получаем
Е
г—MScp/C+/ (a>L —1/соС)
Е
а/ыр
Рис. 9.29. Резонансные
характеристики регенеративного контура:
1 — при малых; // — при больших
амплитудах; штриховая линия — в
отсутствие регенерации.
гэкв+'(0)£.-
а при резонансе
-1/сйС)
где
Е/гв
г — MSCVIC.
(9.57)
(9.58)
(9.59)
Из выражения (9.58) следует, что при усилении амплитудно-
модулированного сигнала, когда Е = Е (t), амплитуда тока / (f)
будет изменяться по закону, отличному от закона модуляции Е (/)
(из-за зависимости Scp от амплитуды колебания). Возникает
нелинейное искажение усиливаемого сигнала, сопровождающееся
образованием новых частот.
Нелинейный характер рассматриваемой цепи (при больших
амплитудах Е) оказывает влияние также и на форму резонансной
характеристики регенерированного контура. Действительно, при
отклонении частоты входного сигнала со от резонансной частоты
©р возрастает реактивное сопротивление х = coL — 1/соС в (9.57),
что приводит к уменьшению амплитуды тока /. Но уменьшение / в
свою очередь приводит к уменьшению и гэкв [см. выражение (9.59)],
что в некоторой степени компенсирует влияние возрастания х.
В результате резонансная характеристика в верхней части
уплощается, и тем сильнее, чем больше амплитуда внешней э. д. с,
действующей на контур. При значительных расстройках
преобладающее влияние на амплитуду оказывает реактивное сопротивление
и резонансная характеристика быстро спадает почти до нуля
(рис. 9.29).
Из всего сказанного видно, что регенерацию можно эффективно
использовать только для усиления слабых сигналов.
С явлением регенерации часто приходится встречаться в
радиотехнике. Иногда приходится сталкиваться с возникновением
регенерации в усилительных устройствах из-за наличия паразитных
обратных связей, что может приводить к искажению сигналов.
9.11. ДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ Э. Д. С. НА АВТОГЕНЕРАТОР.
ЗАХВАТЫВАНИЕ ЧАСТОТЫ
Поведение автогенератора, находящегося под действием внешней
силы, существенно зависит от амплитуды и частоты этой силы.
Если амплитуда очень мала по сравнению с амплитудой
автоколебания и одновременно частота со значительно отличается от
частоты сог = Юр свободного автогенератора (сор — резонансная
частота контура автогенератора), то действие внешней э. д. с.
сводится к эффекту модуляции, который проявляется в изменении
фазы и амплитуды автоколебания по весьма сложному закону. С
приближением частоты со к Юр картина меняется. Частота
генерации сог «подтягивается» к частоте со внешней э. д. с. и при некотором
значении Асо = со — сор, зависящем от соотношения амплитуд,
автогенератор начинает работать точно на частоте сог = со без
каких либо признаков модуляции. Частота генератора оказывается
«захваченной» или «увлеченной» частотой вынуждающей силы.
Явление захватывания частоты используется в ряде
радиотехнических устройств, когда требуется осуществить принудительную
синхронизацию автогенератора с помощью маломощного источника
колебаний. В некоторых случаях, при наличии паразитных связей
между двумя автогенераторами, явление захватывания возникает
произвольно и препятствует независимой их работе на близких
частотах.
Рассмотрим механизм явления захватывания частоты в
простейшем одноконтурном автогенераторе с трансформаторной обратной
связью при последовательном включении независимого источника
э. д. с. в цепь база—эмиттер (рис. 9.30). Следует подчеркнуть, что
такая схема выбрана только для определенности рассуждений.
С точки же зрения установления общих соотношений вид схемы
автогенератора и способ введения вынуждающей э. д. с.
принципиального значения не имеют. Частоту генерации (в отсутствие внешней
э. д. с.) приравняем резонансной частоте контура сор = l/j/^LC.
Рассмотрим сначала баланс фаз в автогенераторе, находящемся
под действием внешней э. д. с. е (i) = Е cos (со/ + 60), в
предположении, что имеет место стационарный режим захватывания, т. е.
генерируемая частота сог равна частоте со, отличной от резонансной
частоты контура сор. При этом амплитуду Е будем считать
настолько малой, что все основные параметры автоколебания — амплитуда
первой гармоники коллекторного тока /,, амплитуда напряжения на
контуре UK и амплитуда напряжения обратной связи с7ос —
останутся такими же, как и в отсутствие внешнего воздействия.
Иными словами, влияние внешнего воздействия проявляется только
в изменении фазовых соотношений в автогенераторе.
До включения источника внешней э. д. с. эти соотношения
характеризуются векторной диаграммой, показанной на рис. 9.31, а.
Ток 12 в фазе с напряжением иБэ = U0c. a напряжение UK в фазе
с током 1Х (напряжение на контуре отсчитывается от эмиттера
к коллектору).
Исходная фаза тока 1х выбрана произвольно, так как в
автогенераторе фаза автоколебания зависит от начальных условий
запуска. После включения внешней э. д. с. е (f) = E cos at (начальная
Рис. 9.30. Автогенератор с
синхронизирующим источником э. д. с.
в цепи база-эмиттер.
Рис. 9.31. Векторные диаграммы
напряжений и тока в автогенераторе:
а — без внешнего воздействия; б — в
режиме захватывания частоты.
фаза 60 приравнена нулю) и установления стационарного режима
диаграмма примет вид, показанный на рис. 9.31, б. При построении
этой диаграммы учтены следующие условия:
а) между током 1х и напряжением UK имеется фазовый сдвиг
Фг, зависящий от расстройки контура по отношению к генерируемой
частоте со. Принимая для определенности, что со < сор, приходим
к выводу, что вектор ик должен опережать вектор 1х на угол
y^arctgP^-^l, (9.60)
L юр J
где Q — добротность контура;
б) ток 1г находится в фазе с результирующим напряжением
в) напряжение обратной связи Uoc, связанное с напряжением
контура Ск соотношением Uoc = MUJL, не зависит от частоты.
Поэтому направления векторов Uoc и UK совпадают.
Из диаграммы видно, что нарушение фазового баланса
автогенератора в коллекторной цепи на угол ср2 (в сторону опережения)
из-за расстройки колебательного контура (при со < сор)
компенсируется тем, что в цепи база—эмиттер результирующее напряжение
ибэ сдвинуто на угол ср2 в сторону отставания относительно U0c-
Когда со > сор, фазовый сдвиг в коллекторной цепи является
запаздывающим, а в цепи база—эмиттер — опережающим.
Из условий б) и в) а также непосредственно из диаграммы1 на
рис. 9.31, б вытекает следующее равенство:
sin <рг = Е sin Фк/г/бэ» (9.61)
где фк — фазовый сдвиг между Е и 1)к.
Итак, если режим захватывания действительно существует, то
одновременно выполняются равенства (9.60) и (9.61).
Используя оговоренное условие малости Е по сравнению с U0D,
можно считать с7бэ » с70С,
sin ф2 » ф2 ж (Е/иба) sin фк « (E/Uoc) sin Фк- (9.62)
Малость угла ф2 позволяет также и в выражении (9.60) заменить
тангенс его аргументом:
tg Фг » Фг = 2 (<0 — Ир) Q/tOp. (9.63)
Приравнивая правые части последних двух выражений,
приходим к следующему важному соотношению:
2 (со - сОр)/сор = (£/£/О0) sin Фк (1/Q). (9.64)
Из этого соотношения следует, что при заданной разности
частот со и сор сдвиг фазы напряжения UK относительно
синхронизирующее колебания равен
[2 (а—Ют)) 0/(Вт) 1 /Г1 пе.
X [• ^
Соотношения (9.64) и (9.65) имеют смысл при условии, что
абсолютная величина расстройки f со — сор | не превышает некоторой
предельной величины, при которой | sin Фк 1=1- Из физических
соображений очевидно, что эти предельные величины | со — cop|MaKG
соответствуют границам полосы захватывания. Подставляя в
уравнение (9.64) sin фк = ± 1. находим полную относительную ширину
полосы захватывания в виде
2 | ю—(Ор |Маис
itm-ihY- ^
Итак, полоса захватывания пропорциональна отношению
амплитуды внешней э. д. с. к амплитуде колебаний свободного
автогенератора и затуханию контура d = 1/Q.
В тех случаях, когда внешняя э. д. с. вводится непосредственно
в колебательный контур автогенератора, выражению для полосы
захватывания можно придать несколько иной вид. Рассмотрим в
качестве примера схему генератора с контуром в цепи база—эмиттер
(рис. 9.32). Схема эквивалентного контура, в котором действие об-
1 Эту диаграмму удобно строить, исходя из произвольно выбранного
положения вектора li, после чего вся диаграмма должна быть повернута на
Угол, при котором положение вектора Е соответствует заданной начальной
фаза 80 внешней э. a- g.
ратной связи учтено генератором э. д. с. Uoc, изображена на
рис. 9.33. В отсутствие постороннего воздействия амплитуда £7Пэ
связана с Uoc соотношением Uqs = U0CQ.
Подставляя это соотношение в формулу (9.66), получаем
2А(ймакс fss £/!/„,. (9.67)
ир
Аналогично можно показать, что при введении, вынуждающей
э. д. с. в коллекторный колебательный контур получится
соотношение
2АЮмакс ^ Е/и (968)
СОр
где UK — амплитуда напряжения на контуре свободного
автогенератора.
Нетрудно заметить, что отсутствие в формулах (9.67) и (9.68)
величины Q объясняется тем, что постороннее воздействие
оценивается э. д. с, вводимой последовательно в контур, а режим
свободного автогенератора — напряжением, действующим на
реактивном элементе контура. Если же оба напряжения определять
одинаково: либо на реактивном элементе, либо как э. д. с, вводимую
в контур последовательно, то независимо от схемы полосы
захватывания будут определяться выражением вида (9.66).
Рис. 9.32. Включение синхронизи- Рис. 9.33. Схема замещения контура
рующего источника э. д. с. в коле- к рис. 9.32.
бательный контур автогенератора.
Вне полосы захватывания частота генератора сог несколько
отличается от частоты свободного автогенератора сор, и лишь при
большой расстройке частот © и сор можно считать со„ -> сор.
Отклонение ©г от (Dp возрастает по мере приближения к границам
области захватывания. Если, изменяя частоту со вынуждающей э. д. с.
(при неизменной амплитуде), измерять частоту биений, то можно
построить график, представленный на рис. 9.34, а сплошной
линией. Штриховой линией показан ход изменения частоты биений при
сложении колебаний от двух независимых источников: одного с
частотой сОр = ©р = const и другого с изменяющейся частотой со.
То обстоятельство, что сплошная линия идет ниже штриховой,
объясняется уже отмеченным в начале данного параграфа фактом
«подтягивания» частоты автогенератора сог к частоте внешней э. д с.
со. В полосе захватывания, где частота ©г полностью совпадает с
частотой со, биения отсутствуют.
|<уг-4А
Рис. 9.34. Зависимости частоты биений |юг—(о| (а) и генерируемой частоты
Иг (б) от частоты синхронизирующего источника.
График зависимости генерируемой частоты со., от частоты со
вынуждающей э. д. с. представлен (в ином масштабе частот) на
рис. 9.34, б.
9.12. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ
В автогенераторах, работающих на частотах не выше
нескольких десятков мегагерц, широко используются методы угловой
модуляции, основанные на прямом изменении резонансной частоты
колебательной цепи генератора изменением емкости или
индуктивности контура. Так как резонансная частота колебательного контура
непосредственно определяет частоту генерации, то под угловой
модуляцией в автогенераторе будем подразумевать частотную
модуляцию.
Существует ряд способов управления резонансной частотой
колебательной цепи: электронные, электромагнитные и др. Выбор
того или иного способа зависит от основных параметров модуляции:
относительного изменения частоты Аю/юр и скорости изменения
частоты. Последний параметр характеризуется спектром
модулирующего сигнала. При медленной модуляции (низкие частоты) широко
применяются такие способы, как изменение индуктивности катушки
путем изменения тока, подмагничиваюшего сердечник катушки,
и др. Если спектр сообщения содержит относительно высокие
частоты, то приходится прибегать к безынерционным способам
управления емкостью или индуктивностью контура.
Широко распространенным способом электронного управления
резонансной частотой колебательного контура является
подключение к контуру варикапа—полупроводникового диода (р—п-переход),
емкость которого зависит от напряжения, приложенного в
направлении запирания перехода. Упрощенная схема автогенератора с
варикапом изображена на рис. 9.35, а. Разделительный конденсатор
Ср преграждает путь в контур постоянному току от источника э. д. с.
£(>, используемого для установления рабочей точки на вольт-фа-
радной характеристике варикапа. Конденсатор Ср необходим также
Для устранения короткого замыкания источника модулирующего
сигнала еа (t) на относительно небольшую индуктивность LK
контура. Блокировочный дроссель Ьар преграждает путь
высокочастотному току от автогенератора в источник э. д. с ей (t).
На схеме замещения колебательной цепи автогенератора
(рис. 9.35, б) С0 обозначает среднюю емкость варикапа [в
отсутствие модулирующего напряжения еа (f)], a AC (t) — вариацию
емкости, пропорциональную напряжению en (t). Сопротивление
перехода обозначено R, а объемное сопротивление толщи
полупроводника — г.
■* t-j" I—|—
к
г I ^
м
h =77 -Г^ Г Ш,
&w
+Еко Ю
Ю
Рис. 9.35. Автогенератор с частотной модуляцией при помощи варикапа (а)
и схема замещения колебательной цепи (б).
При заданных значениях средней частоты и0 и частотного
отклонения Ли требуемое изменение емкости АС нетрудно найти с
помощью очевидных соотношений
ю0 -J- А© =
ю,,= 1/У£кС1й/>
1 L
УМС„с+ЛС) VL* С„о У1 + ЬС/СЮ
Vl+AC/C,
где Ск0 = Ск + С0 — средняя емкость контура.
Разделив последнее выражение на со0, получим
откуда
1+Аю/о)и = 1/У1+АС/С0
АС 2Аю/{00+ (Am/{Q0)a
С„ _ (1 + Дш/а0)3
(9.69)
В общем случае требуемое относительное изменение емкости
связано с заданным относительным изменением частоты нелинейной
зависимостью (9.69). Однако необходимость использования этого
соотношения возникает лишь при очень глубокой частотной
модуляции. В ряде применений частотной модуляции относительное
изменение частоты весьма невелико. Например, при передаче речи
и музыки на УКВ величина Дсо/со0 не превышает нескольких долей
процента. В подобных случаях выражение (9.69) можно упростить,
если пренебрегать величиной A(d/co0 по сравнению с единицей:
ДС/С0 « — 2Асо/и0, (9.70)
Таким образом, при малых относительных изменениях Д© и АС
связаны линейными соотношениями и для получения линейной
частотной модуляции емкость нужно изменять по закону функции
еа (0-
Недостатком варикапа как частотного модулятора является
зависимость сопротивления перехода R (рис. 9.35, б) от амплитуды
внешнего напряжения. При относительно глубокой частотной
модуляции, требующей значительных амплитуд модулирующего
напряжения, эта зависимость приводит к существенному изменению
вносимого в контур автогенератора затухания и в конечном счете
к паразитной амплитудной модуляции.
9.13. ЯС-ГЕНЕРАТОРЫ
Генераторы с колебательным LC-контуром эффективны для
получения высокочастотных колебаний. Для генерирования же
низких (звуковых) частот они неудобны из-за конструктивных
недостатков (колебательный контур получается слишком громоздким
и трудно перестраиваемым). В связи с этим для получения
гармонических колебаний в диапазоне от нескольких герц до нескольких
десятков килогерц широко распространены, особенно в
измерительной технике, так называемые /?С-генераторы.
Рис. 9.36. Однокаскадный вариант /?С-генератора.
Два из возможных вариантов схемы /?С-генератора
представлены на рис. 9.36 и 9.38. Отличие этих генераторов от £С-генератора
заключается в том, что вместо усилителя & колебательным контуром
здесь применен резистивный усилитель, а обратная связь
осуществляется при помощи специального четырехполюсника,
составленного из резисторов и конденсаторов.
Рассмотрим сначала вариант схемы, представленный на рис. 9.36.
Эта схема соответствует усилителю со сдвигом фазы напряжения
Ц на 180° относительно Uj (например, однокаскадный
транзисторный усилитель с общим эмиттером). Для получения генерации на
заданной частоте необходимо, чтобы сумма фазовых сдвигов при
обходе замкнутого кольца обратной связи равнялась 2л и, кроме
того, чтобы коэффициент усиления Ку являлся величиной,
обратной Кос [см. формулу (9.3)]. Следовательно, обведенный на рис. 9.36
штриховой линией четырехполюсник обратной связи должен
обеспечивать дополнительный сдвиг фазы на 180°,
Кт, SB
Рис. 9.37. АЧХ и ФЧХ четырехполюсника обратной связи в схеме на рис. 9.36
Нетрудно выявить требования, предъявляемые к элементам
этого четырехполюсника. Придерживаясь обозначений рис. 9.36,
составляем систему уравнений
(R + 1/шС) 1х — (1/гюС) 1г = U2,
— (l/icoC) lj+ (R 4- 2/шС) 12 — (McdC)J3 = 0, (9.71)
— (1/гюС) 12 -J- (R + 2/шС) 13 = 0,
Решая эту систему, находим
. —Ugj'aC
3 ~~ [5 (со/?С)2— 11 + ■ 1(ш/?С)з— 6со/?С1
Так как напряжение на выходе четырехполюсника обратной
связи (отсчитываемое по направлению тока 13) равно 18//©С, то
коэффициент обратной связи
Кос(/ю) =
13/(иС 1
\b(aRC)?—l\ + i [(Ы?С)з_6со/?С|
г=К е7<рос'°».
(9.72)
Аргумент и модуль функции Кос (ш) представлены на рис 9,37.
Из выражения (9.72) следует, что фазовый сдвиг 180° получается
при частоте, отвечающей условию
wRC l(wRC)2 — 6] = 0.
Следовательно, генерация возможна на частоте
cor = VW/RC (9.73)
Между модулем и аргументом передаточной функции
рассматриваемого четырехполюсника существует однозначная связь.
Подставляя найденное значение сог в выражение (9.72), находим модуль
1 1
Кос К)
[5(сврЯС)а— I] 29
Итак, произведение RC определяет частоту генерации и
одновременно величину коэффициента обратной связи. Это означает, что
показанный на рис, 9.36 усилитель должен обеспечивать усиление,
не меньшее
Ку > VKoC
29,
При разбиении произведения RC на множители имеется зна-
чительняя свобода, облегчающая выбор удобных величин R и С»
Необходимо лишь обеспечивать условие R 2§> RH, где RH —
резистор нагрузки усилителя, так как только при этом условии
усиление /Су не зависит от величины R,
Рис. 9.38. Лвухкаскад-
ный вариант /?С-генера-
тора,
Ujv
г*
U* •
L.
С, Ti
ЪФ
—\
-4F-
Ступенчатое изменение частоты генератора в широком
диапазоне осуществляется с помощью набора переключаемых резисторов
и коденсаторов, а плавная настройка в каждом из поддиапазонов —
с помощью конденсаторов переменной емкости.
На рис. 9.38 изображена схема иного варианта /?С-генератора,
в котором необходимый для генерации баланс фаз обеспечивается
в самом усилителе, например, применением двух каскадов, каждый
из которых поворачивает фазу на 180°. Назначение же
вспомогательной цепи rlt Съ г2, С2 заключается в том, чтобы по возможности
сузить полосу частот, в которой обеспечивается баланс фаз.
Для определения соотношений между элементами ru Cu rz, С2
исходим из передаточной функции четырехполюсника обратной
связи:
Кос (И =
r2/toCg
= r,+ l/fmC8 __. J .
(r1 + \/i(oC1)+ fill®Ci l+r1/ra+C2/C14-( (coCgrj.—J/coCjrg)
'2+ 1/'шС2
(9.74)
В данном случае частота на которой возможна генерация,
определяется условием
tOpCg/i — l/cor C^z-g = О,
откуда
еог = l/Vr1C1r3C7= I /Vt~^, (9.75)
где тг и т2 — постоянные времени цепей соответственно гъ Ct
и г2. С2.
Обычно применяются одинаковые резисторы (rt — r2) и
конденсаторы (Ci = С2). При этом тх — т2 == т, частота генерации соЕ =s
= 1/т, и выражение (9.74) принимает вил
К00 (to) = ——! -т=^ос И е'*ос Л
3+' (со/сог—<вг/со)
где
Кос И = Т ; Фос И = — arctg (1 /3)(ю7юг—©. /со).
У9 + (со/сог—шг/со)2
Графики модуля и аргумента функции Ко0 (£сй) ПРИ выбранных
параметрах представлены на рис. 9.39. Существенно, что на любой
частоте генерации Кос (®г) = Vs = const. Независимость /С00 (шг)
от частоты я>г, обеспечивающая неизменность режима работы
генератора во всем частотном диапазоне, подтверждает целесообразность
выбора гг — г2, Су — С2. При Сг — С2 упрощается, кроме того,
конструкция спаренного конденсатора переменной емкости,
используемого для плавной перестройки генератора.
Преимуществом рассматриваемой схемы перед схемой,
показанной на рис, 9.36, является также меньшее число перестраиваемых
элементов.
Существуют и другие разновидности схем /?С-генераторов,
однако приведенных примеров достаточно для уяснения принципа
построения автогенераторов с апериодическими цепями нггрузки
и обратной связи.
К качеству конденсаторов и резисторов, входящих в
четырехполюсник обратной связи любого /?С-генератора, необходимо
предъявлять жесткие требования, так как нестабильность R или
С при изменении температуры приводит к изменению частоты
генератора. Конденсаторы должны иметь высокое сопротивление
изоляции (малую утечку), так как в противном случае в области очень
низких частот шунтирующее действие утечки будет влиять на
фазовые соотношения в четырехполюснике.
Остановимся на некоторых особенностях механизма ограничения
амплитуды автоколебания в ^С-генераторе. Этот вопрос тесно
связан с вопросом о форме генерируемых колебаний.
%№,&> к Pat
Рис. 9.39. АЧХ и ФЧХ четырехполюсника обратной связи в схеме на рнс. 9.39.
В рассмотренных ранее LC-автогенераторах ограничение
получается благодаря уменьшению крутизны Sop при увеличении
амплитуды колебаний; стационарный режим наступает, когда
коэффициент усиления уменьшается до величины Ку = 1//С00. Однако
в данном случае нельзя допускать установления значительной
амплитуды, так как это неизбежно приведет к искажению формы
генерируемых колебаний за счет появления гармоник тока. В отличие
от генераторов с колебательным контуром в ^С-генераторах
отсутствует достаточно сильная фильтрация высших гармоник. Таким
образом, получается противоречие между требованием
неискаженной формы колебаний (малые амплитуды) и требованием надежного
ограничения (большие амплитуды). Для устранения этого
противоречия в /?С-генераторы обычно вводят инерционную нелинейность
в виде терморезистора, сопротивление которого изменяет свою
величину в зависимости от степени нагрева проходящим через него
током. В качестве терморезистора может быть использована
обыкновенная лампочка накаливания.
Включение терморезистора показано на рис. 9.36 и 9.38.
Подразумевается, что обратная связь, обусловленная введением в схему
Ru является отрицательной. Например, в транзисторном
усилителе с общим эмиттером резистор Rt включается в цепь эмиттера.
Отрицательная обратная связь (по току) частично компенсирует
положительную обратную связь, осуществляемую с помощью
четырехполюсника Кос ("*>)• Действительно, в рассматриваемом
примере напряжение, создаваемое на Rt переменной составляющей
коллекторного тока, направлено от эмиттера к заземленной шине,
а напряжение положительной обратной связи — от базы к этой
шине (см. рис. 9.36). Следовательно, результирующая разность
потенциалов база—эмиттер является разностью между вторым и
первым напряжениями. Коэффициент обратной связи /Сое,
понимаемый как отношение результирующего напряжения база—эмиттер
к напряжению коллектор—эмиттер зависит от величины Rt. При
увеличении амплитуды колебания и соответственно тока через
терморезистор, его сопротивление Rt возрастает и Кос. уменьшается.
При уменьшении амплитуды колебания наоборот, Rt падает и Кос
возрастает.
Таким образом, ограничение получается не за счет уменьшения
средней крутизны Scp и коэффициента усиления KY при увеличении
амплитуды колебания, а за счет уменьшения Кос- Стационарный
режим устанавливается, когда наступает равенство Кос = МК7-
Получается автоматическое регулирование амплитуды колебания
на определенном уровне, зависящем в основном от нелинейности
характеристики термосопротивления. Так как при изменении тока
величина Rt из-за тепловой инерции изменяется относительно
медленно, то в пределах одного периода генерируемых колебаний Rt
является практически постоянной величиной. Это означает, что
изменение Rt не вносит нелинейных искажений и не нарушает
синусоидальной формы колебаний. Аналогично действие Rt в схеме,
показанной на рис. 9.38. /?С-генератор является маломощным. Для
получения значительной мощности ^С-генератор обычно дополняют
одной или двумя ступенями усиления.
Глава 10
ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
10.1. ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Электрические цепи, в которых хотя бы один из параметров
изменяется по какому-либо заданному закону, называются
параметрическими. Предполагается, что изменение
(модуляция) параметра или параметров осуществляется электронным
способом при помощи управляющего колебания.
Приведем простые примеры электронных способов
осуществления вариации параметров цепи. Рассмотрим зависимость крутизны
вольт-амперной характеристики активного элемента i (и) от
управляющего колебания еу (/), наложенного на постоянное напряжение
Е0 (рис. 10.1). Эту зависимость можно
записать в виде
S(ey) = f—) в . (10.1)
Выражение (10.1) определяет
дифференциальную крутизну характеристики
в точке £0 -f- ey. Если в пределах
изменения еу характеристику можно
аппроксимировать полиномом второй степени
i = i (Е0) + ахи + а2и2, то выражение
(10.1) приводится к виду
S (еу) = Oj + 2а2еу = S0 + 2а2еу,
(10.2)
где S0 = аг — дифференциальная крутизна в точке А (рис. 10.1).
Зависимость крутизны от управляющего напряжения изображена
на рис. 10.1 в виде наклонной прямой линии.
Пусть еу = Еу cos coy/. Тогда крутизну можно записать в виде
функции времени
S{t)=^al +2a2£'yeosa>y2'=a1/1 ^ — ^yCOStOy^ )=
= S0(l + mcosa>y0. (^.3)
где т = 2а2Еу/а1 — глубина «модуляции» параметра S.
Соответствующим выбором Е0 и Еу можно обеспечить условие т < 1.
По отношению к слабому сигналу еа (/), наложенному на
управляющее напряжение еу(/), рассматриваемое устройство можно
трактовать как линейное, с переменным параметром S {i),
управляемым по закону (10.3). Существенной особенностью
дифференциальной крутизны (а также дифференциального сопротивления)
является то, что этот параметр может принимать отрицательное значение.
Для этого нужно, чтобы вольт-амперная характеристика на
некотором участке имела отрицательный наклон (окрестность точки В
на рис. 10.1).
Аналогичным образом можно истолковать принцип электронного
управления емкостью. Пусть к нелинейной емкости приложены два
колебания: одно сильное, которое назовем управляющим, а
второе слабое — сигнальное. Воспользуемся^ аппроксимацией вольт-
кулонной характеристики, представленной на рис. 8.2, полиномом
второй степени
Я = <?о + М + 2Ма.
Рис. 10.1. Управление
крутизной характеристики.
Тогда дифференциальную емкость по аналогии с (10,2) можно
определить выражением
С(еу) = ~~ .. „ ,. = Ьг + 2Ь2еу,
'у' йи
«=£о+«у
где Ь1~СЬ — дифференциальная емкость в точке и = ^о.
Если управляющее напряжение является гармоническим
колебанием е7 = Е7 cos о>у£, то можно написать
С (I) = С0 (1 + т cos еоуО, О0-4)
где т = 2b2EY/b1 — глубина модуляции емкости.
После такого преобразования можно говорить о воздействии
одного лишь сигнала es (t) на периодически изменяющуюся во
времени емкость С (t), так как влияние управляющего колебания
учтено заменой нелинейной емкости линейной параметрической
емкостью.
При использовании в качестве управляемого элемента
барьерной емкости р—n-перехода можно исходить из выражения
С (f) = С0/(1 + т cos соу0, (Ю.5)
где т = £у/2 (ек + £0); ек — контактная разность потенциалов,
зависящая от кристалла, примесей и т. д.
Аналогичные выражения можно составить и для
параметрической индуктивности L (t) управляемой током.
При установлении соотношений между зарядом, током и
напряжением на параметрической емкости следует исходить из очевидных
выражений
q(t) = C (i) ис (О, (Ю-6)
/(0 = -£-=СЮ-££+"с«-£. (10.7)
dt dt dt
Uc{t) =Tuq{t)=Tfi \i(t)dL (I0-8)
Для параметрической индуктивности L (f) имеют место
следующие соотношения, связывающие потокосцепление Ф, напряжение
ul и ток t:
Ф (0 = L (О I (0, (10.9)
uL (0=-^- = L (t)~+i(t) ^-, (ШЛО)
dt di d>
'(0=slW°(0 = Tu\UL{t)dL (10Л1)
Следует отметить принципиальное отличие реактивных
элементов от резистивных: дифференциальные емкость и индуктивность
не могут быть отрицательными.1 Физически это объясняется тем,
что увеличение напряжения на емкости не может вызывать
уменьшение зарядов, а увеличение тока через индуктивность не может
приводить к уменьшению потокосцепления. Иными словами,
энергия, запасаемая в электрическом поле конденсатора или в
магнитном поле катушки, не может быть отрицательной.
В дальнейшем изложении элементы с изменяющимися во времени
параметрами R (t), С (t)u L (t) будут рассматриваться как линейные
элементы; к ним применим принцип суперпозиции. Термины
«дифференциальное» сопротивление, «дифференциальные» емкость или
индуктивность, существенные для характеристики способов
вариации параметров, но не для анализа составленных из этих параметров
цепей, не будут применяться.
Цепи с переменными параметрами играют очень большую роль
в радиотехнике и электронике.
Можно говорить о двух принципиально различных видах
изменения параметров:
1) умышленное, управляемое изменение для осуществления
различных преобразований сигналов (модуляция, преобразование
частоты; параметрическое усиление и т. д.);
2) неуправляемое изменение, обусловленное различными
физическими явлениями при передаче сигналов в свободном
пространстве, например изменяющейся во времени задержкой сигнала,
колебанием величины затухания волн при их распространении,
изменением фазовых соотношений при многолучевом распространении
радиоволн, изменением сигналов во времени из-за флуктуации
параметров тракта и т. д.
Влияние изменений параметров второго вида, носящих обычно
статистический характер, будет рассмотрено в гл. 11. В настоящей
главе изучаются явления при принудительном изменении во
времени одного из параметров линейной цепи (апериодической или
колебательной). В основном имеется в виду изменение параметра по
гармоническому закону.
10.2. ПРОХОЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
В гл. 6, 7 рассматривалась передача различных колебаний через
линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным
и выходным колебаниями в таких цепях определялась с помощью
передаточной функции К (tea) (спектральный метод) или с помощью
импульсной характеристики g (t) (метод интеграла наложения).
1 Имеются в виду обычные элементы. G помощью же усилительных схем
с обратной связью можно имитировать отрицательные С и L,
■s(t)
— 0
SfowW
о
Теперь нам предстоит рассмотреть более общую задачу, когда
один или несколько элементов линейного четырехполюсника
являются функциями времени. Очевидно, что в подобных цепях
характер зависимости между входным и выходным сигналами в
процессе передачи изменяется. Это означает, что передаточная функция
цепи зависит не только от со, но и от времени; импульсная
характеристика также зависит от двух переменных: от интервала а = t — х
между моментом приложения единичного импульса х и моментом
наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными
параметрами) и, кроме того, от положения интервала а на оси времени.
Поэтому для цепи с переменными
параметрами импульсную характеристику следует
записывать в общей форме: g (t, а) или
g (t, х).
Можно сказать, что g {t, а) определяет
величину отклика в момент t на единичный
^JLpSXST" ИМПУЛЬС« сдаваемый на вход цепи в мо-
мент х — t — а. Этот импульс
записывается в виде дельта—функции б (t — х).
Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой
g(t, x) действует произвольный сигнал s (/) (рис. 10.2), то,
основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии
с выражением (6.17) можно определить с помощью выражения
оо
Sbux V) = jj S (X) g (t, X) dX. (10.12)
Переходя к переменной а в соответствии с соотношением х =
== t — а, получаем
W (*) = § s(t— a) gl (t, a) da, (10.13)
— оо
где gx (t, a)=g{t, t — a).
Для физически осуществимой цепи g1 (t, a) — 0 при а = ? —
— x<0, t, е. при х> t (cm. § 6.3).
Постараемся теперь ввести передаточную функцию К (tea, /).
аналогичную функции К (ш) для цепи с постоянными
параметрами, но с учетом изменения параметров во времени. Для этого
представим функцию s (t — а) в виде интеграла Фурье
оо
;(t—а)=— Г S(co)eto«-a)da>,
2я J
где S (со) — спектральная плотность сигнала s (/).
Тогда выражение (10.13) переходит в следующее:
«J СО
з„ых(*)=-^- f S(a>)e<™ Г g,(t,a)e-^dadw.
— со
Обозначив внутренний интеграл через К (iu>,t), перепишем
последнее выражение следующим образом:
со
W(0=-^- Г S(eo)K(i©,Oe'a,fdfl). 10.14)
— со
Это выражение совпадает по форме с аналогичным выражением
(6.2) для цепи с постоянными параметрами. Отсюда следует, что
функцию К (ш, t), определяемую выражением
со
К(£«>_,*)= Г gl(t,a)e-Ma da, (10.15)
можно рассмятривать как передаточную функцию линейной цепи
с переменными параметрами.
Как и для цепи с постоянными параметрами, К (ш, t) является
преобразованием Фурье от импульсной характеристики g! (t, a).
Так как при а <0 gi (/, а) — 0, нижний предел интеграла в (10.15)
можно заменить нулем.
Наряду с выражением (10.15) можно получить еще одно
определение передаточной функции, в котором импульсная
характеристика g± (t, а) не фигурирует. Для этого используем выражение (10.14)
для случая, когда входной сигнал является гармоническим
колебанием s (/) = cos (£>0t. Перейдем к аналитическому сигналу z (t) =
= е'и»', соответствующему заданному сигналу s (t).
Спектральная плотность этого сигнала Z (i'a>) = 2п8 (со — ю0)
1см. выражения (2.98) и (3.90)]. Подставляя Z (ш) вместо S (ю) в
формулу (10.14), получаем
СО
гВых (0 = f в (и—%) К (ш, t) еш dv> = К (m0,t) eto»',
— со
откуда, опуская индекс нуль при со, получаем
К («в, 0 = гвых (t)/elat. (10.16)
Здесь гвых ({) — аналитический сигнал, соответствующий
выходному сигналу sBHK (f). Таким образом.
W № = Re *БЫХ (0 = Re [К (/», 0 e'«"*J. (10.17)
Ш)
o—t-
К0(ш)
Мш)
;~ к* to;
m(Qf+y
ms(ZQt+$2)
i i
Li
гз
_1 U_
Если передаточная функция К (ко, f) изменяется во времени
по периодическому закону с основной частотой Q, то ее можно
представить в виде ряда Фурье
К (to, t) = К0 (to) + Kt (to) cos (9J + gj +
+ К2 (i©) cos (29J + У + .... (10.18)
где К0 (/со), К (ко), ... — не зависящие от времени коэффициенты,
в общем случае комплексные, которые можно истолковать как
передаточные функции некоторых
четырехполюсников с постоянными
параметрами. Произведение Кп (to) х
X cos (nQ t + £„) можно
рассматривать как передаточную
функцию каскадного соединения двух
четырехполюсников: одного с
передаточной функцией Кп (tea), не
зависящей от времени, и второго с
' j I " |_| М передаточной функцией cos [пШ +
|~р| а„(ш) _ cas(nQt+tn) _^ _|_ ^ изменяющейся во времени,
1 но не зависящей от частоты со
входного сигнала.
Основываясь на выражении
(10.18), любую параметрическую
цепь с периодически
изменяющимися параметрами можно
представить в виде эквивалентной схемы,
изображенной на рис, 10.3. В соответствии с (10.16) сигнал
(комплексный) на выходе будет
*W (0 = К (to, t) еш = К0 (to) е'«* + Ki (to) e<*>< cos (Of + &) +
+ К2 (to) еш cos (2PJ + и +...=/Co to) е«ш«+ч>»> +
+ /Ci (и) e*"»+<w cos (Qf + у + /C2 (со) е«и<+ч» cos (2Й/ + у + ....
(10.19)
Здесь ф0, tpi, ф2, ... — фазовые характеристики
четырехполюсников К0 (to), Ki (to), K2 (to),...
Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем
5Вых (0 = R е гБЫХ (0 = К0 И cos (Ш + Фо) +
+ Ki (со) cos (со/ + ф1) cos (Qt +1г) + Кг (со) cos (со/ + фз) X
X cos (2Q/ + £г) +... = /С0 (со) cos (to/ + фо) +
1 °°
+ Y 2 ^пИ{С08[(© + ПЙ)/ + фп + |п] +
Рис. 10.3. Схема замещения
линейной цепи прн периодическом
изменении параметров.
с=1
+ cos [(со — nQ) t + фп — %п ]}.
(10.20)
Этот результат указывает на следующее свойство цепи с
переменными параметрами: при изменении передаточной функции по
любому сложному, но периодическому закону с основной частотой Q
гармонический входной сигнал с частотой со образует на выходе
цепи спектр, содержащий частоты со, со ± Q, со ± 2Q и т. д.
Если на вход цепи подается сложный сигнал, то все сказанное
выше относится к каждой из частот со входного спектра. Само собой
разумеется, что в линейной параметрической цепи никакого
взаимодействия между отдельными компонентами входного спектра не
существует (принцип суперпозиции), и на выходе цепи не
возникает частот вида по)г ± тсо2, где сог и со2 — различные частоты
входного сигнала.
10.3. МОДУЛЯЦИЯ КАК ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
В § 8.12 рассматривался способ получения AM колебания,
основанный на изменении импульса тока в нелинейном резонансном
усилителе. Не следует, однако, думать, что осуществление
модуляции является нелинейным процессом. По существу, указанный выше
способ модуляции можно трактовать как пропускание несущего
колебания через параметрический четырехполюсник, передаточная
функция которого изменяется по закону модулирующего
напряжения. (Изменение импульса тока, а следовательно, и средней
крутизны Scp приводит к изменению коэффициента усиления цепи.)
Таким образом, если отвлечься от способа управления параметрами
цепи, модуляцию следует рассматривать как параметрический
процесс. Иллюстрацией к сказанному может служить пример
преобразования спектра в простейшей параметрической цепи,
приведенный в § 1.5.
Аналогичное рассуждение можно привести для угловой
модуляции. Пусть требуется получить колебание вида a (f) = A0 cos [co0/ +
+ 0 (t) + 60], где б (f) — фаза, модулированная по заданному
закону. Рассматривая a (f) как колебание на выходе линейного
параметрического четырехполюсника, на вход которого подается
несущее колебание е (/) = Е0 cos co0/, найдем передаточную функцию
этого четырехполюсника. Для этого перейдем от заданных функций
е (0 и a (f) к комплексным колебаниям соответственно ze (f) = £'0е/<й°'
и za (t) =/40e't<0o'+e(')+e°], после чего используем формулу (10.16):
К(гсо0,/)=— = К0е'Гв«>+й°]. (10.21)
£0 егю°'
Четырехполюсник с подобной передаточной функцией можно
трактовать как линию задержки т (f), отвечающую условию со0т (f) =
= 6(0+ео. Отсюда следует, что для осуществления фазовой
модуляции требуется линейная цепь с задержкой т (f), изменяющейся во
времени по закону
т(/)=(1/со0)[е(0 + е0]. (10.22)
Так как задержка в физической цепи не может быть
отрицательной, то слагаемое 0о/соо = т0, имеющее смысл постоянной задержки
(в отсутствие модуляции) должно быть не меньше чем (1/со0) I 6 (t) |макс
Реализация линии задержки, допускающей электронное
управление величиной т (t), является непростой задачей. Удачное ее
решение получается для диапазона СВЧ при использовании
электронных приборов типа лампы бегущей волны, в которых пролетное
время можно изменять в некоторых пределах, изменяя потенциал на
соответствующих электродах лампы. При заданной и неизменной
частоте возбуждения на входе лампы со0 изменение пролетного времени
на величину Ат эквивалентно изменению фазы выходного колебания
додающий
гвнЕра/пвр
Mr
II*
•у —•б
■№
аЪы%Ы)
+6
to 'oj
eQ(t)
-L
Рис. 10.4. Модуляция фазы колебания изменением резонансной частоты
усилителя.
на угол 6 (/)=(о0Д т. Таким образом, удается получить весьма
большие значения 6 (f), измеряемые десятками и более радиан.
В диапазоне метровых и более длинных волн наибольшее
распространение получили способы, основанные на изменении
резонансной частоты колебательного контура усилителя при
неизменной частоте возбуждения со0. Один из возможных вариантов такого
устройства поясняется рис. 10.4. В этом устройстве резонансная
частота контура усилителя модулируется с помощью варикапа.
Соотношение между вариацией емкости АС контура и
вариацией Дсо его резонансной частоты было установлено в § 9.12.
Имеется, однако, принципиальное различие между устройствами,
представленными на рис. 9.35 и 10.4. Изменение резонансной частоты
контура в автогенераторе (рис. 9.35) равносильно изменению
частоты генерируемого колебания. В случае же возбуждения
усилителя независимым источником несущего колебания с частотой со0
изменение резонансной частоты контура сор влияет лишь на фазу
выходного колебания. Фазовый сдвиг легко определяется с помощью
формулы
6 (о = arctg ^- QSKB « arctg -^L QSKB, (10.23)
Шр (I) ' t00
где До (f) = cop (t) — o)0. Замена в знаменателе
со.
(f) на
(On
обычно допустима из-за малости относительного изменения
резонансной частоты сор при модуляции.
Из выражения (10.23) очевиден основной недостаток
рассматриваемого способа осуществления фазовой модуляции: невозможность
получения значительного индекса модуляции. Действительно, для
.обеспечения линейной фазовой модуляции, в данном случае
линейной зависимости между 6 (f) и Дсо (0, аргумент 2Дсо (t) QaKB/w0
не должен превышать ~ 0,5 рад. Это означает, что и амплитуда
изменения фазы 6макс = т ограничена величиной ~ 0,5 рад. При
больших значениях т не только искажается закон модуляции фазы,
но и возникает паразитная амплитудная модуляция из-за
неравномерности АЧХ резонансного усилителя при значительной
расстройке. Однако большим достоинством рассматриваемого способа
модуляции является возможность обеспечения высокой стабильности
несущей частоты о)0. Задающий генератор, работающий на
фиксированной частоте, можно стабилизировать, например, с помощью
кварца.
10.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Для определения импульсной характеристики g (t, х)
непосредственно по заданным параметрам цепи, без обращения к
передаточной функции К (ш, f), необходимо использовать дифференциальное
уравнение цепи.
Рассмотрим сначала простую цепь, описываемую уравнением
первого порядка
*i(0-^rL + ао (04/(0=f(f)- (Ю.24)
at
По определению импульсная характеристика является откликом
цепи на единичный импульс б (t — х), подаваемый на вход в момент
t= х (см. § 10.2). Из этого определения следует, что если в правой
части уравнения (10.24) функцию f (f) заменить на б (t — х), то в
левой части у (f) можно заменить на g (/, х).
Таким образом, приходим к уравнению
ах до 4g(f.*) +ao (t) g(t, x) = 6(t—x). (10.25)
di
Так как правая часть этого уравнения равна нулю всюду, кроме
точки t = х, функцию g (t, x) можно искать в виде решения
однородного уравнения (с нулевой правой частью)
ai(t)^L+a0(t)y = 0 (10.26)
at
при начальных условиях, вытекающих из уравнения (10.25), а
также из условия, что к моменту приложения импульса б (t — х)
в цепи отсутствуют токи и напряжения («пустая» цепь).
В уравнении (10.26) переменные разделяются:
откуда
где
dy_
У
, МО
"*" oi (0
У=
P(f)
dt =
= фе~
= а0
4L + P
У
_j7>(/W/
W<h (О,
(10.27)
«P^li-*™ £('•*>!<-*
(10.28)
представляет собой значение импульсной характеристики в момент
t = х.
Для определения ф вернемся к исходному уравнению (10.25),
из которого видно, что в точке t = х функция g (t) должна
совершать скачок на величину l/щ (х) (рис. 10.5). Только при этом
условии первое слагаемое в уравнении (10.25), т. е. ах (t) dg Idt, может
обюазовать дельта-функцию 6 (t — х).
, dff(t,x)
г
fflt-x) tit) =¥■№)
Рис. 10.5. Импульсная характеристи- Рис. 10.6. Пример простой парамет-
ка цепи, описываемой уравнением рической цепи.
(10.25).
Так как при t<Z x g (t, x) = 0, то в момент t = х
g(t,x)\t=x=Ua1(x). (10.29)
Заменяя в выражении (10.27) неопределенный интеграл
определенным с переменным верхним пределом, получаем
g{t,x) = <p(x)&Lf>(-{ P(u)du)=-L.exp(-[^-
du
(10.30)
Для ясности переменная интегрирования в отличие от /обозначена
буквой и.
Используем выражение (10.30) для цепи (рис. 10.6),
представляющей собой последовательное соединение резистора с постоян-
ньм сопротивлением г и конденсатора с емкостью С ((),
изменяющейся по закону
С (0 = С0/(1 + т sin Qt).
(10.31)
Под б (/ — х) в данном случае подразумевается единичный
импульс э. д. с, а в качестве функции g (t, x), подлежащей
определению, выберем заряд конденсатора q (t).
Тогда уравнение цепи в соответствии с (10.25) и (10.31) можно
записать в форме
do , 1 + т sin Qt я ,, .
dt с0
Подставляя в (10.30)
ах (t) = г, а0 (0 = (1 + т sin Qf)/C0,
(10.32)
получаем
q{t,x)--
^teXp[-
exp
exp
t~-x
L x
du
m
rCn
,0 rC0 Q
a.m.
rC0 r C0 Q
(cosQ/— cos
Qx)l=
[cosQtf—cosQ(f—a)]l. (10.33)
Продифференцировав это выражение по f, можно найти ток
i (О- В момент t = л: (т. е. при a = 0), когда q (t, x) образует скачок,
равный Mr, ток будет (1/г) 8 (t — x), а напряжение на
сопротивлении — б (t — х) Напряжение же на емкости можно определить
делением выражения (10.33) на
C(f).
Из выражения (10.33) видно,
как вариация емкости по закону
(10.31) влияет на характер
разряда: в аргументе экспоненты кроме
~ {t — x)/rC0 (как и при
постоянной емкости С0) появляется
периодическое слагаемое [m/rC0Q] X
X [cos Qt — cos (t — a)].
Закон изменения С (f)/C0
показан на рис. 10.7, а, график
функции rq (t, х) при rC0Q = 1 и
т = 0,25— на рис. 10.7, б. Отсчет
безразмерного времени Ш на
Рис. Ю.7, б ведется от момента
Ох = я/2,
соответствующего про-
Рис. 10.7. Закон модуляции
емкости (о) и импульсная
характеристика цепи (б), показанной иа
рис. 10.6.
хождению С (f)/C0 через минимум. Штриховой линией показана
зависимость е~«—*)/гс0) соответствующая импульсной характера
стике цепи при постоянной емкости С0 {т = 0).
Обратимся теперь к общему случаю — цепи, описываемой уравнением
и-го порядка:
On V) Ут V) +<*„_, (01/п-»(t)+a0 (f)у (t)=f (/), (10.34)
в котором все коэффициенты ап, aft_i, ...j u« могут являться функциями <
(во не v) •
Рис. ТО 8 Импульсная характеристика
цепи, описываемой уравнением (10.35),
Как и в предыдущем случае, приравниваем / (t) дельта-функции Л {f — ж),
что позволяет переписать уравнение (10.34) в форме
dng
лп-l,
Импульсную характеристику ищем в виде решения однородного
уравнения
On (0 -^ + On-i (0 -^т + - + ао W .У = 0. (10.36)
А'
df1
Общее решение этого уравнения предвтавляет вобой еумму из п линейно
независимых решений
«= 1
(10.37)
Для определения функций q>j (ж) можно использовать начальные условия,
вытекающие из уравнения (10.34).
В отличие от рассмотренного уравнения (10.25) в данном случае
необходимо в точке t = х приравнять нулю все производные функции g (t, x)
порядка не выше п — 2. Производная же порядка п — 1 в точке е = «должна
совершать скачок на величину \1ап (х) (рис. 10.8).
При этих начальных условиях выражение (10.37) образует вистему
уравнений (при дифференцировании no t и подстановке I = х)
фх (X) ух (х) т- Ф2 (X) Уг (*)+••• Н-Фп (*) Уп (X) = 0,
<Pi(x)
dyi (0
dt
dys (x)
+ Фа M Al
>=* at
X
dynV)
di
= 0,
+ ...+Фп(*)х
<PiM
q>i W ■
'-2yi(0
dtn~2
+ Фп (*)
+ Ф2 (*)
d'
л —2
Ы0
л—2
+ .» +
i= к
лп—I
w(0
dt"-1
+ Фп (*>
л"-2
+ф2М
= 0,
dn-'j/n(0
Я?"
-l
+ ».+
t= ж
dt
л—I
OnW
(10.38)
Так как частные решения gi (t) и их производные в точке 1= х
предполагаются известными, то система (10.38), содержащая п уравнений, позволяет
найти все функции <р< (х). Системе уравнений (10.38) еоответвтвует опреде-
W(X)-
У\ (х) y'z (х) ... у'п (х)
Г"МГ>.- ©Й-V)
называемый определителем Вронекого.
Применяя правило Крамера, получаем еледующее общее выражение
для фг (ху.
Фг (х) = (-!)«+' МП1. (*)/ап (*) № (*),
(10.39)
где Mnt (х) — минор, получаемый из определителя W (х) вычеркиванием
п-й строки (еоответствующей производным порядка п —-1) и втолбца i, на
пересечении которых стоит элемент 0*а— '' (%).
Подставляя (10.39) в общее решение (10.37), волучаем
g(f'*)= . !т,. n-ir+lMnlBlto+(—ir+**
ап (х) W (х)
X Мп4 у2 (0 + ... + (- !)"+« Мпп уп (0).
(10.40)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно рассматривать как
разпожение еоответотвующего определителя по строке #} (0. Уъ (0» ■••> Уп (0-
Обозначив этот новый определитель через d. можем написать
d=An Ух (t) + Аи у, {t) + ... + А1пУп (t),
откуда вытекает еледующее равенство для алгебраических дополнений Ац.
Аи=(-1)п + ] Mni. (10.41)
G другой етороны, в искомом определителе d алгебраические дополнения Alt
связаны с соответствующими им мииорами M^t cooiношением
М'и =
делителя
едующей
-=(-1)"-*Л1п1-
Следовательно, миноры нового определителя выражаются через мнноры
определителя Вронского с помощью следующей формулы:
(-1)"
М„
(-1)1 + '
Но минор Mni, как уже отмечалось, получается из определителя
Вронского вычеркиванием t'-ro столбца и строки, соответствующей производным
порядка п — 1. Поэтому искомый определитель d должен иметь вид
4/i (0 й(9 - »п(0
УЛх) у-Лх) ••■ #л(*)
d=(_ 1)"-1
yf-'Чх) yf~2)(x)
У(Г2\Х)
Таким образом, окончательно
0,(0
е (t, х)
_ (-1)"
о" (х) Г (х)
4/i W
й(0
0« (х)
• • 0п (0
... уп(х)
,ln — Z) .
,Хп— 2),
„(п — 2) ,
4/Г "(*) &-"(X)...tf-'"(x)
(10.42)
Определяемая выражением (10.42) функция g (t, x) евть не что иное, как
односторонняя функция Грина линейного дифференциального оператора
L=an (/) р" + an_! (0 р"-1 + ... +й0 (0.
соответствующего уравнению (10.34).
В теории линейных неоднородных уравнений функция Грина
используется для представления решения уравнения (10.34) в форме
0(0= j g{t,x)f(x)dx
(10.43)
при начальных условиях p(ft> (0) = 0, ft = 0, 1, ..., (п — 1). Выражение
(10.43) совпадает g (10.13).
10.5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЦЕПИ С НЕЛИНЕЙНЫМ
РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ
В § 10.1 отмечалось, что электронный способ осуществления
переменной емкости (линейной) основан на применении
нелинейной емкости, находящейся под воздействием управляющего
колебания. *
Особенностью бигармонического воздействия (сигнал и
управляющее колебание) на нелинейный реактивный элемент является
обмен энергией между источниками отдельных колебаний.
Расходуемая в параметрической цепи энергия поставляется
(«накачивается») источником управляющего колебания. В связи с этим его
часто называют генератором накачки, а управляющее колебание —
напряжением накачки. Управляющее колебание наряду с
обозначением еу (f) = Еу cos (соу^-т- 6 у) в дальнейшем часто будет
записываться в форме еш (t) = Ев cos (a>J + вн)-
Рассмотрим воздействие на нелинейную емкость Снл (варикап)
двух гармонических колебаний (рис. 10.9):
е (t) = ех (t) + еи (t) = Ег cos (щ1 + 6Х) + ЕИ cos (aj +
+ 6н). (10.44)
Вольт-кулонную характеристику варикапа аппроксимируем,
как и в § 10.1, полиномом второй степени
q = <?о + V + Ъ#>, (10.45)
где Ьх — С0 определяется выражением (8.4), а
*-t(-£U-±(£U- <■»•«)
Применяя первое выражение (8.3) к ряду (10.45), находим ток
через нелинейную емкость
/tf> = -?-^-"=(fti + 26.-)-*-=•*» — +2йь« 4-- (10-47>
de dl dt dt dt
Подставляя в это уравнение внешнее воздействие (10.44), после
несложных тригонометрических преобразований получаем
окончательное выражение
i (f) = — {ЬхщЕх sin (оМ + 6Х) + 6iCoH£H sin (со„г -f 6H) —
— bjuxE\ sin 2 (cM + 6t) + 6,Шн£1 sin 2 (<oHf + 6H) -f
+ Ь2 (о)н + <»i) ВД sin [(Он + «h) / + (вн + ej] —
— 6. («Be — «4) £,£„ sin [(coH — «>1)t+ (6H — BJ]}. (10.48)
Два первых слагаемых в полученном выражении соответствуют
токам частот щ и сон, которые имели бы место при линейной
емкости, равной Ьц остальные слагаемые — гармоники с частотами 2а>г,
2сон и комбинационные колебания е
частотами сон + Щ, юн — щ являются продуктом
взаимодействия двух гармонических
колебаний в квадратичной нелинейности.
Заметим, что по своему составу спектр
тока через нелинейную емкость отличается
от спектра тока через резистивный
нелинейный элемент только отсутствием постоянной _ __
составляющей [см. (8.28)—(8.30)]. + £"
Рассмотрим энергетические соотношения. рИс. 10.9. Бикармони-
Первые два тока (с коэффициентами bt), ческое воздействие на
сдвинутые по фазе на 90° относительно соот- нелинейную емкость,
ветствующих э. д. с. e1(t) и ен (f), не создают
расхода энергии (как и в обычном линейном конденсаторе без
потерь). Ток с частотой сон -f- v>t может также не учитываться при
энергетических расчетах, так как средняя мощность, отдаваемая
генератором э. д. с. частоты сох или <Вн при протекании через них
тока с частотой а>а + сох, равна нулю.
Нагрузка же генераторов, создаваемая остальными токами с
частотами 2сох, 2сон и юв — cot зависит от соотношения фаз Qt и 6„.
Если частоты щ и сон находятся в кратном соотношении,
совпадающем со степенью аппроксимирующего полинома (т. е. с порядком
нелинейности), то при определенном соотношении фаз 6t и 8Н эти
токи могут оказаться в фазе (или в противофазе) с
электродвижущими силами ex{f) или ен (f).
В частности, в рассматриваемом случае квадратичной
нелинейности, при выполнении условия сон = 2а>и комбинационная частота
сон — щ совпадает с частотой э. Д. с. со1 (соответственно при о^ =
= 2сон | сон — «il == VjjCOi = сон). При этом токи с частотами 2сон
и сОц+со, можно не учитывать, токи же с частотами сон и щ
представим в виде
4,(0 = — Ь^щЕ* sin 2 (cot/ + 6t) — — b^xE\ sin (a>J +
-f 26,) = Ьл(огЩ cos (сон/ + 26! + я/2), .
МО = — 62 (сон — «0 EtEn sin [(сон — cot) t + (6H — 6^1 -
= — b2roi^i^H sin [co^ + (6H — Bj)] = Ь^щЕ^ъ cos [со,* +
+ (%— е,) + я/2].
Так как ток im (0 сдвинут по фазе относительно ен (0 = Еп X
xcos (сон^ + 6Н) на угол 6Н— (26, + я/2)=6н—26, — л/2, то
средняя мощность, отдаваемая генератором э. д. с. ен (0, будет равна
Рсон = ЧфъщЕ^хЕ» cos (6Я — 26j — я/2) =
«= х1ф2щЕ*Ек sin (6Н — 26,). (10.49)
Соответственно мощность, отдаваемая генератором на частоте
со! при сдвиге фаз 6г — [(6Ы — Bj) + я/2] = 26, — 6В — я/2,
Pai = %Ь2щЕ21Ен cos 126! — 6F — я/2] =
= х1фъщЕ\Еа sin (26x— 6Н). (10.50)
Заметим, что при любых фазах 0! и 0Н выполняется условие
/\+/\,=о.
Наложим теперь на фазы добавочное условие: 6Н — 20t = я/2.
Тогда Ри> — положительна, а Р,„, — отрицательна. Это означает,
что генератор э. д. с. частоты со! не расходует мощности, а наоборот,
потребляет ее от генератора частоты сон.
Пусть теперь 6Н — 26, — — я/2. Тогда Р^ < 0, а РЙ1 > 0
и источником энергии является генератор частоты ш„ а
потребителем — генератор э. д. с. частоты со„.
Рассмотрим теперь энергетические соотношения в цепи,
содержащей кроме нелинейной емкости Сщ, еще и линейный, диссипатив-
ный элемент— параллельный колебательной контур, настроенный
на частоту, близкую к со2. На рис. 10.10 этот элемент обозначен
символом Z2 (ш2) (комплексное сопротивление).
На нелинейную емкость воздействуют две электродвижущие
силы от независимых источников — сигнал ег (t) = £, cos («V + ^i)
и напряжение накачки ен (t) = Ея cos (caj + 6Н) и, кроме того,
напряжение комбинационной частоты со2 = <он — щ, являющееся
продуктом взаимодействия ег (t) и ен (t) в нелинейной емкости.
Запишем это напряжение в форме е2 (t) = Е2 cos (со2/ + 6.2), имея
в виду, что амплитуда Ег и фаза 62, зависящие не только от~
колебаний ех (t) и ен {t), но и от комплексного сопротивления Z2 (ш2),
требуют еще определения. В дальнейшем будем исходить из условия,
что сопротивление Z2 (ш2) для частот ш1 и со„ пренебрежимо мало.
Рис. 10.10. Бигармоническое воздействие на пепь с
нелинейной емкостью и параллельным колебательным
контуром, настроенным на комбинационную частоту.
Подставляя в выражение (10.47)
е (t) = Ег cos (щ( + Oj) + £2 cos (юг/ + f>2) +
+ £„ cos (сон/ + GH)
и производя несложные выкладки, получаем формулу,
аналогичную (10.48) (частоты, отличные от сон — со2 =. coj, сон— cot == ш2
и coj + со2 = сон, не учитываются):
i (0 = — Ьг Ico^ sin (щ1 + 6г) + щЕ2 sin (co2* + 62) +
+ сон£н sin (coH* + 6Н)] —Ь2{щЕ2Ен sin [со^ + (6Н — 02)] +
+ <л->,ЕхЕн sin lu>it + (0Н — Qy)] —
— wH£i£2 sin К/ + (6, + 62))}. (10.51)
При определении энергетического баланса три первых
слагаемых (с коэффициентами 6^ можно не учитывать [см.
комментарий к формуле (10.48)]. Токи же частот ю,, со2 и сон, возникающие
из-за нелинейности вольт-кулонной характеристики, определяются
выражениями
«ш, (0 = — ЬйщЕ2Еп sin l(ott + (6Н — еаЯ =
= /«, cos К* +(6Н — 02) + я/2],
U (0 = — b^2ExEH sin \a>4 + (GH — GJ] =»
= /„, cos [coa* + (6Н — в,) + я/2],
ioH (0 = + 62сон£г£2 sin [свн* + (ei + ег)3=
= I% cos lco„* + (0! + 62) + л/2]. (10.52)
Здесь /он = Ь2щЕйЕп; /а„ = Ь2ч)йЕгЕ? и /№, = Мн^г
представляют собой амплитуды токов г'ь>, (0» г'о>2 (0 и Ц, (0-
Учитывая, что в исходных выражениях е2 (/) = Ег cos (со2/ + 62)
имеет смысл э. д. с, компенсирующей падение напряжения на
сопротивлении Z2 (icoa) при прохождении через него тока ёЩг (0.
можем на основании второго равенства (10.52) составить следующее
выражение:
<?2 {f) = £2 COS ((02t + 62) = — L,Z2 (С02) X COS [С02* +
+ (6Н - 0J + я/2 + Фг] = Im,Z2 (со2) cos loV + (6Н — 0Х) -
— л/2 + фг],
где через фг обозначен аргумент сопротивления г2 (ш2)- Отсюда еле"
дует, что
£2 = /ш.22 (ю2), 6, = 6Н — ех - я/2 + Фг.
На основании последнего выражения формулы (10.52) можно
привести к следующему виду:
<«, (0 = /», cos [со!/ + (0! — Фг + я/2) + я/2] =
= — /to, COS (COi/ H- 0! — фг),
6* (0 = /«, cos [со2/ + (0Я — Фг + я/2) + я/2] =
= - У», cos (со2/ + 62 - Фг), (10.53)
Ч (/) = Лон cos Есон/ + (0Н + фг + я/2) — я/2] =
= + /шн cos (сон/+ 0Н + фг).
Составим выражения для мощностей, выделяемых в
нелинейной емкости на частотах cox, co2 и «%:
Рю, = — Va/uj.Z?! cos Фг = — 1/2b2&1E1E2EH cos фг,
Pa>2 = — Vjs/co^a cos ф2 = —1/2b2a2ElE2EH cos фг,
Р«>и = Vjs/ш^н cos фг = 1/.ib2(oHE1E2Eu cos фг. (10.54)
Отрицательные значения Р(0, и PWi означают, что
соответствующие источники э. д. с. ех (/) и е2 (/) не отдают, а потребляют энергию.
Положительное же значение Рю указывает на то, что при
выбранных частотах (сон > со2, сон > o^) источник ен (/) отдает энергию
во внешнюю цепь.
Суммарная мощность, выделяемая в нелинейном реактивном
элементе,
Лв, + Ре, + РШв = VA (сон — щ— со2) ЕХЕ2ЕН = 0,
поскольку сон = со! + со2. Этот результат находится в полном
согласии с принятым допущением отсутствия потерь в емкости.
Из выражений (10.54) получаем следующие пропорции:
Рш./сох = Рш£/ю2 = — Ршц/соц. (10.55)
Эти соотношения являются частным случаем общей теоремы
Мэнли-Роу об энергетических соотношениях в спектре колебания
в цепи, содержащей реактивную нелинейность. Эта теорема
записывается в форме
у V тР^- =0, У У пР™-» .=0, (Ю.56)
где coj и со0 — частоты генераторов, возбуждающих систему;
Рт.п -~ мощность колебания частоты тщ + п(о0; целые числа т
и п определяют порядок комбинационного колебания.
Предполагается, что в общем случае в цепи с нелинейной реактивностью
имеются проводимости для любых комбинационных частот.
Выражения (10.56) можно распространить на любые
реактивности — емкостные и индуктивные — при условии отсутствия
гистерезиса.
Первое равенство (10.56), в котором т принимает только
положительные значения, устанавливает соотношение между мощностью
Рт,п комбинационного колебания и частотой генератора соц.
Соответственно второе равенство, в котором п^ 0, устанавливает связь
между комбинационными колебаниями и частотой со0 второго
генератора.
Поясним применение выражений (10.56) на примере
рассмотренной ранее цепи (рис. 10.10), возбуждаемой двумя генераторами на
частотах coj и со0 = сон. Кроме этих частот, на пассивном элементе
Z2 (соа) создается одно комбинационное колебание -с разностной
частотой со2 = сон — сох.
В соответствии с обозначениями выражений (10.56) частоту щ
следует рассматривать как значение знаменателя тщ + псо0 при
т = 1 и п = 0, а мощность на этой частоте Ра1 = Р1>0. Частоте ю0
соответствуют индексы суммирования т = 0, п — 1 и мощность
Рюе = Род- Наконец, частоте со2 = со0 — щ соответствуют
индексы Ш == — 1, П = 1 И МОЩНОСТЬ Ра„ = Раъ-а, = Р—1,1.
Тогда внутренняя сумма в первом равенстве (10.56) дает
171* т. п mPm _i . mPm, о . тР,
т, 1
*^ тщ-\-пщ тщ—сос /?гсо1 + 0.ю0 mcoi+co0
_ mPm,-i , Рт.о, mPm. 1 ^
тщ—со0 ш1 »?M0i+ со0
Суммируя полученное выражение по т, получим первое
равенство (10.56):
2 1 тРга.-х . Рт, о . тРт.г Л —/р + Р°-° [ о)+
V mcoi—ш0 сот OT(Oi-i-co0 / \ a>i /
т = 0
^Pi.-i., Pi. о [ Pi.i \- pi.-i +_PkiL = n.
VCOI— С00 СО! COl+COo/ Щ—Щ Щ
(Слагаемые, содержащие Р0,0 и Pi,i. отброшены). Таким образом,
P»0-ai/[— K-co^J + Pco.M^O
или
Рш0- со, /(«0 — COj) = Рщ/Щ = Pf„, /С0Х.
Аналогичным образом второе равенство дает
Р(02/«»2 = —Рш0/«»о-
Итак, получаем пропорции
P(01/«»1==P(o8/C02= — Pm„/COn.
совпадающие с выражением (10.55) при замене со0 на сон.
Из проведенного анализа видно, что с помощью нелинейной
емкости можно осуществить преобразование спектра,
сопровождающееся перекачкой энергии из одного источника в другой. Так, если
(Oj — частота принимаемого сигнала, а со0 — частота генератора
накачки, то можно выделить комбинационную частоту со2 = со0 — со,
с одновременным усилением мощности колебания на этой частоте.
Напомним, что при использовании резистивного нелинейного
элемента преобразование частоты сигнала (см. § 8.10) не
сопровождается перекачкой энергии от гетеродина.
10.6. ПРИНЦИП ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УСИЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
В § 10.1 было показано, что по отношению к сигналу, малому
по сравнению с управляющим колебанием, нелинейная емкость
вместе с генератором накачки может быть заМещена линейной,
изменяющейся во времени емкостью. Отвлекаясь от способа
осуществления модуляции емкости (или индуктивности), можно говорить
об обмене энергией между сигналом и энергоемким
параметрическим элементом.
Наглядным примером обмена энергией при изменении емкости
является хорошо известная модель с механическим раздвижением
пластин заряженного конденсатора. Пондеромоторная сила
электрического поля конденсатора стремится сблизить пластины
(независимо от полярности напряжения); следовательно, для их разд-
вижения, т. е. для уменьшения емкости, необходимо произвести
работу, которая увеличивает запас энергии конденсатора. При
сближении пластин, наоборот, часть энергии поля конденсатора
преобразуется в механическую энергию. Нетрудно установить
связь между относительным изменением емкости конденсатора и
изменением запаса энергии.
Рассмотрим конденсатор, емкость которого С (f) изменяется по
скачкообразному закону, представленному на рис. 10.11. Пусть
конденсатор получил заряд q, который затем остается постоянным
(конденсатор без утечки, в разомкнутой цепи). В моменты времени,
соответствующие мгновенному уменьшению емкости на величину
AC = Сг — С2, напряжение на конденсаторе возрастает на
величину Аи = «в — ы, = q (1/С2 — 1/Cj) = <? (Cx — C2)/dC2=
= щАС/Сг, а энергия — на величину АЭ = 32 — 5Х = (^/2) X
х (1/сг — 1/Сх) = (72/2Сх) АС/С2 = ЭгАС/С2. В момент
скачкообразного увеличения емкости напряжение и энергия уменьшаются
соответственно на Аи и A3.
В первом случае дополнительная энергия ДЗ черпается из
устройства, осуществляющего скачок емкости (вниз), а во втором
случае, при увеличении емкости, происходит обратное
преобразование энергии. В среднем, за время Т, энергия конденсатора
остается неизменной.
Рис 10 11 Напряжение на конденса- Рис. 10.12. Увеличение амплитуды на-
торе и запасаемая энергия при скач- пряжения на конденсаторе в моменты
кообразном изменении емкости. Заряд скачкообразного уменьшения емкости,
конденсатора постоянный.
Иначе обстоит дело, если заряд конденсатора является
функцией времени, причем такой, что уменьшение емкости
производится в моменты максимума q (t), а увеличение — в моменты минимума
(еще лучше в моменты прохождения q (t) через нуль). Такой режим
работы можно реализовать при включении конденсатора С (/)
в контур частота колебаний в котором вдвое меньше частоты
изменения емкости. Допустим, что высокодобротный контур
возбуждается сигналом е (0 = Е cos со*, частота_которого совпадает с
резонансной частотой контура сор = l/VLC0, отвечающей условию
ю = 2nL = 2я/27\ где Т — полный цикл изменения С (f). Югда
напряжение на контуре можно представить в виде колебания, очень
близкого к гармоническому, но получающего приращение в
моменты спада С (0 (рис. 10.12). Это равносильно увеличению
мощности сигнала. Если прирост энергии, обусловленный одним
скачком (вниз) емкости С (/), не превышает расхода энергии за время Г,
то параметрическая цепь устойчива, в противном случае _
возникает параметрическое возбуждение колебании. Таким образом,
регулируя относительную величину ДС/Со, т. е. глубину модуляции
параметра С, можно осуществить как параметрическое усиление
сигнала, так и параметрическую генерацию.
Реализация скачкообразного изменения С (f) связана с
техническими трудностями и в практике не применяется. Значительно
проще модулировать емкость по гармоническому закону. Необходимо
лишь соблюдать основной принцип: уменьшать емкость в области
максимальных значений заряда (напряжения) конденсатора и
увеличивать в области минимальных значений.
В последующих параграфах изучаются схемы замещения
энергоемких элементов С и L, изменяющихся во времени по
гармоническому закону, и устанавливаются основные соотношения,
необходимые для аналитического описания процессов усиления и
генерации в параметрических цепях.
10.7. СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ ЕМКОСТИ ИЛИ ИНДУКТИВНОСТИ,
ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПО ГАРМОНИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ
Пусть к электронно-управляемой емкости (варикапу)
приложено напряжение сигнала е (f) = E cos Ы. Требуется определить ток,
проходящий через источник сигнала. При этом предполагается, что
частота управляющего колебания (генератора накачки) со0
приблизительно вдвое превышает частоту сигнала со. Способ получения
периодически изменяющейся емкости поясняется схемой на
рис. 10.13, а. К нелинейной емкости Снл подводится напряжение
накачки еу = Еу cos (v>0t + у), наложенное на постоянное
напряжение Е0.
Ф,
Q)e(t),e)
Ф,
ф
■Я
)
Од
ПкГ
\La-
e(t),a
а)
?о
cm
£
/г
Ь)0
В)
Рис. 10.13. Воздействие на линейную емкость напряжений накачки и сигнала
(а) и схема замещения для слабого сигнала (б).
Фильтр Фх преграждает путь току частоты со0 в цепь источника
сигнала, а фильтр Ф2 — току частоты сигнала со (и близких к ш
частот) в цепь накачки.
Наложим условие £<< Еу. Тогда, как указано в § 10.1, можно
пренебречь изменением емкости под действием сигнала и считать,
что закон изменения емкости определяется одним лишь
управляющим напряжением. Основываясь на формуле (10.5), примем
С (f) =■ СУП + т cos (ш0* + V)! « С0 — AC cos (оу + у)
. при т<< 1, (10.57)
где
а 7 — начальная фаза.
На рис. 10.13, б представлена эквивалентная линейная
параметрическая схема, на которой цепь накачки не показана.
Определим полный ток через емкость С (t) с помощью общего
выражения (10.7):
i (0=[С0—ДС cos (со01 + у)] [ —а>Е sin со/] + Е cos со/ со0 АС х
X sin(co0 / -f у) = — соС0 Е sin со/ + — (со0 -fco) АСЕ sin [(co0 -f- со) t+y\ -f
+ -|-(оь-(в)ДС£яп[(Ш|,-щ)/-|-у]. (10.59)
Заметим, что это выражение можно получить непосредственно
из (10.51), если приравнять Ьх = С0, Ех = Е, Qt = л/2, £а = fy,
Э2 = л/2 + Y. Ь^Ег = М^у = V2AC, а также отбросить слагаемое
с коэффициентом El (из-за малости) и слагаемые, не зависящие
от Ег.
Частота со0 + со да Зсо в полосу прозрачности фильтра Фг не
попадает; следовательно, ток в цепи источника сигнала является
суммой двух токов: на частоте со и на комбинационной частоте со0— со,
бликой к со (поскольку со0 ~ 2со). Первый из этих токов, сдвинутый
по фазе относительно е (t) = E cos со/ на угол 90Q, не может
создавать активной проводимости — ни положительной, ни
отрицательной. С точки зрения получения эффекта усиления интерес
представляет комбинационное колебание разностной частоты со0 — со,
особенно в частном случае со0 = 2со. При этом ток на частоте со равен
ёю„_ю (0 = 4,(0 = у К — со) AC£sin[(co0 — (o)t + y] =
— 4~ соАС£ sin И+Y) =— «ACfcos [со/— (л/2 — у)\ =
= /mcos[erf —(я/2—у)1. (10.60)
При э. д. с. источника сигнала е (/) = E cos со/ и токе «т (/),
определяемом выражением (10.60), отдаваемая источником мощность
Рю=_Е^ CoS (JL_ Y) = i-coAC-f- s\ny=Gm f-,
где символом
юДС ..„ .. птС0
экв
Сда = ^ sin ? = -*?*-sin Y (10.61)
обозначена эквивалентная активная проводимость, учитывающая
расход мощности источника сигнала.
Таким образом, приходим к схеме замещения (рис. 10.14, б),
соответствующей параметрической цепи, показанной на рис. 10.14, а.
Комбинационная частота со0 + со = Зсо в этой схеме не
учитывается, а частота со0 — ю совпадает с частотой ю. В' результате по
отношению к источнику сигнала параметрическая схема (рис. 10.14, а)
приводится к схеме с постоянными параметрами. Периодическое
изменение С (f) с частотой со0 = 2со приводит лишь к появлению
активной проводимости G3KB, шунтирующей постоянную емкость С0.
Рассмотрим три следующих характерных режима: у — 0, л/2
и —л/2 (рис. 10.15). В первом случае (у = 0) С (f) модулируется
таким образом, что изменение запаса энергии в емкости за период
частоты Тщ = 2л/со0 (а также за период Тю = 2л/со) равно нулю.
При этом G3KB = 0.
у-0Ш,щ
Рис. 10.14. Параметрическая емкостная цепь (а) и схема замещения для
сигнала с частотой, вдвое меньше частоты накачки (б).
Во втором случае (у = л/2) максимальная скорость нарастания
С (t) соответствует амплитудным значениям напряжения; при эп м
часть энергии, запасенной в емкости, переходит в устройство,
изменяющее емкость. По отношению к источнику э. д. с. это
равносильно шунтированию постоянной емкости С0 положительной
активной проводимостью GBKB = (m/2) соС0.
Наконец, в третьем случае, при у = — л/2, когда С (t)
убывает в области е (t) = Е и нарастает в области е (/) = 0, активная
проводимость отрицательна и равна G3KB = — (m/2) coC0.
Этот результат согласуется с результатами качественного
рассмотрения принципа параметрического усиления (см. конец
предыдущего параграфа). Отрицательная проводимость G:JKB учитывает
приток энергии от генератора накачки в цепь, содержащую С (t).
В данном примере с электронно-управляемой емкостью прирост
энергии, запасаемой в емкости, происходит за счет работы,
совершаемой генератором накачки при уменьшении емкости (преодоление
сил электрического поля при движении электронов и дырок через
потенциальный барьер в области запирающего слоя).
Результаты, аналогичные полученным выше для С (/), нетрудно
вывести также и для периодически изменяющейся индуктивности
МО-
Исходя из схемы (рис. 10.16, а), при изменении индуктивности
по закону
L (/) = L0 [1 -f m cos (wDt + Y)l (I0-62)
E sin Ы
находим ток с помощью соотношения (10.11) (при т « 1)
Е
aLo [1 + m cos (ю„ <+7)
- J1 — m cos (co0 ^-f -y)] sin Ы=Е 1—— sin at —
— sin[(co+co0)/+Y] 7ГГ sin^co — <°о)*— Yl,<
*'^не^
r-j!
t
Рис. 10.15. Напряжение на емкости и Рис. 10.16. Параметрическая индук-
законы ее изменения при различных тивная цепь (а) и схема замещения
начальных фазах сигнала С частотой, вдвое меньшей
частоты накачки (б),
При со„ = 2о) ток на частоте со равен
1"ШШ = £—!—sinew + Е—— sin(co* + Y) = £—f-sinco/ +
н-г-^-Мт-')]-
Первое слагаемое не определяет расхода мощности, а второе,
сдвинутое относительно э. д. с. на угол л/2 — у, определяет расход
мощности
/я \ ±_Ц_ — - £'2
г, т Е*
Р — ■ cos
2wL0 2
siny=G3KB —,
где
UaKB 2coL0
sin у
— активная проводимость.
E i
\h j { i
i\
z\
Рис. 10.17. Напряжение и ток в
катушке, индуктивность которой
убывает при наибольших значениях
тока.
вом накачки при уменьшении
преодоление сил магнитного
и увеличить индуктивность
Таким образом, при со0 = 2ш
получается схема замещения,
изображенная на рис. 10.16, б.
Фазовые соотношения между е (t) =
= Е cos (ot, i (t) = (E/(oL0) sin at
и индуктивностью L (ji),
изменяющейся по закону (10.62), видны
из рис. 10.17, построенного для
<у = — л/2. В данном случае
проводимость Gsm = — m/2aL0
получается отрицательной, если при
прохождений тока через
амплитудные значения функция L (0
убывает, а при прохождении i (0 через
нуль L (^возрастает.
Энергия вводится в цепь за
счет работы, совершаемой устройст-
индуктивности, обтекаемой током (на
поля, стремящихся сблизить витки
катушки).
iG.8. ОДНОКОНТУРНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Из предыдущего параграфа следует, что введением в
колебательный контур переменной емкости или индуктивности можно при
соответствующем законе изменения параметра осуществлять
усиление колебаний. Простейшая схема одноконтурного
параметрического усилителя с переменной емкостью изображена на рис. 10.18,а.
Нелинейная емкость Снл находится под воздействием двух
напряжений: сигнального с частотой со и управляющего с частотой со,,.
Разделительные конденсаторы Ср защищают генератор
накачки и источник сигнала от постоянного напряжения Е0,
используемого для установления рабочей точки на вольт-фарадной
характеристике варикапа. Блокировочный дроссель преграждает путь
и цепь источника Е0 токам высокой частоты со и ши.
p/YYTU.
fB" е$),щ ЕШ=й>и/2
Ю
Рис. 10.18. Одноконтурный параметрический усилитель (а) и схема
замещения (б).
Рассмотрим сначала режим работы усилителя при точном
соблюдении условия
со = сон/2.
ж-еют
Ъа-*$&
к =¥<?о к
В этом, так называемом «синхронном» режиме комбинационная
частота сон — со совпадает с частотой со, так что в контуре существует
ток только на частоте со. Схема замещения для синхронного режима
представлена на рис. 10.18, б для случая у = — л/2,
соответствующего отрицательной вещественной
проводимости GaKB.
Символом С0 обозначена сумма Ск
и средней емкости варикапа
(соответствующей постоянному
напряжению Е0).
Для упрощения анализа источник
э. д. е. сигнала е (t), включенный в
контур последовательно, заменен на
рис. 10.19 генератором тока,
подключенным параллельно контуру и
шунтированным внутренней
проводимостью Gj. Проводимость нагрузки GH включает в себя также про-
водимосгь, учитывающую потери мощности в элементах контура.
Шунтирование проводимости нагрузки GH отрицательной
проводимостью G3KB = (соДС/2) sin Y — — юДС/2 = — тсоС0/2
уменьшает суммарную проводимость и таким образом повышает
добротность контура. Получается эффект усиления.
Составим выражение для коэффициента усиления в виде
отношения мощности сигнала на выходе усилителя к максимальной
мощности, которую можно получить при отсутствии параметрической
модуляции.
Как известно, максимум мощности, выделяемой в проводимости
нагрузки (при отсутствии усиления) достигается при GH = Gj.
При этом мощность сигнала равна
Рис. 10.19. Одноконтурный
параметрический усилитель (рис.
10.18, а).
Р.-
JL Л.
2 4GH
4G*
(/ — амплитуда тока генератора).
При подключении дополнительной проводимости 0ЗКВ
напряжение на выходе будет Е — IKGi + Gu + G3KB) = //(2GH + G8KJ,
а мощность, выделяемая в проводимости нагрузки,
/а
2 4(ia (1 + G3„B/2GH)a
Отсюда коэффициент усиления по мощности
Кг = PI IPs = 1/(1 + G8KB/2GB)2. (10.63)
Напомним, что G3KB отрицательная величина.
Из этого выражения непосредственно вытекает условие
устойчивости параметрического усилителя (в синхронном режиме):
IG8KB |< 2GH или тюС0/2 < 2GH, (10.64)
откуда критическое значение коэффициента параметрической
модуляции
ткр = 2 (2G„/c>C„) = 2/Q8HB, (10.65)
где Q3KB — добротность контура с учетом Gt и GB = О*.
Заметим, что при Сэкв = — GH, т. е. когда параметрическая
модуляция компенсирует потери только в GH, усиление по мощности
равно всего лишь четырем.
На практике при усилении реального сигнала, фаза которого
неизвестна, а частота может изменяться в некоторой полосе,
соблюдение условий синхронного режима невозможно.
Пусть частота сигнала со будет не точно сон/2, а со = сон/2 + Q,
где Q — небольшое отклонение, не выходяшее из полосы
прозрачности колебательного контура. Тогда комбинационная частота
будет
сои — со = сон — (сон/2 + Q) = шн/2 — Q.
При этом в полосе пропускания контура оказываются два
колебания: одно с частотой сон/2 -f- Q (полезный сигнал) и другое с
частотой сои/2 — Q (комбинационная частота).
Соотношение между амплитудами указанных двух колебаний
зависит от глубины модуляции емкости т и величины Q.
Подробный анализ, который здесь не приводится [2], показывает, что при
значениях т, близких к критическому [см. формулу (10.65)1,
и относительно малой расстройке Q амплитуды обоих колебаний
примерно одинаковы. Возникают биения и связанные с этим
последствия (пульсация амплитуды и изменения фазы результирующего
колебания). Можно, правда, показать, что даже при расхождении
частот со и сон/2, средняя за период биений мощность колебаний
получается большей, чем -при отсутствии параметрического
воздействия, т. е. что и в этом, так называемом бигармоническим режиме,
имеет место усиление сигнала. Однако подобный режим работы
усилителя не всегда приемлем.
От недостатков, присущих одноконтурному параметрическому
усилителю, свободна схема, рассматриваемая в следующем
параграфе.
10.9. ДВУХЧАСТОТНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Принципиальная схема двухчастотного, или, как его часто
называют, «двухконтурного» усилителя, изображена на рис. 10.20.
Первый, сигнальный контур, настраивается на центральную
частоту спектра сигнала (резонансная частота сор1 на а[), а второй,
«холостой» контур, — на частоту сор2, достаточно сильно
отличающуюся от сор1.
Частота накачки выбирается из условия
ор2. (10.66)
При выборе частоты ирз исходят из условия, что частота
сигнала <»! находится вне полосы прозрачности вспомогательного
контура. С другой стороны, комбинационная частота со2 = сон — wx
должна находиться вне рабочей полосы сигнального контура.
А»йя
Рис. 10.20. Двухчастотный параметрический усилитель.
При выполнении этих условий на сигнальном контуре будет
существовать лишь одно напряжение частоты wlt а на
вспомогательном контуре — частоты ша. Считая амплитуды Ех и Е2 этих
напряжений малыми по сравнению с Еи, можно заменить нелинейную
емкость Снл, совместно с генератором накачки, линейной
параметрической емкостью, изменяющейся с частотой сон, как это было
сделано в § 10.7. Тогда под воздействием напряжения сигнала ех (t) —
= Ev cos ((nLt -f 0]) в цепи переменной емкости С (f) = С0 —
— AC cos (юа/ + 0Н) возникает (помимо других составляющих, не
представляющих в данном случае интереса) ток
Ч-<°> ®=1«ь (0 =1/г К—%) ДС£1sin К«н—Mi) t+eH—ej =
= ц2щ дс£х sin к t + (ен—ех)]=/и, sin [ша t+(ен—ео]
[см. выражение (10.59)]. Здесь /Иг = Ч^а^АСЕ^
На сопротивлении холостого контура Z2 (ш2) = Za (co2) е%
т°к 4),, (/) создает падение напряжения
/■»,£, (ма) sin (со2 t + 6н — ei + Фг) =
= 72w2AC£1sin (eo,f + 6Н— 6i + Фг).
Эквивалентную э. д. с, воздействующую на емкость С (f),
запишем, как и в § 10.5, в форме
е2 (0 = £а cos (соа/ + 02) = — VgMaACfi sin (со2^ +
+ 9Н — ех + Фг) = Ч2агАСЕ1 cos [соа/ + 6Н — вх +
+ ф2 + я/2]. (10.67)
Комбинационный ток 4> -ю,(0. обусловленный этой э. д. с.
будет
Ц,-со2 (t) = V (t) = — Va К— мг) АС£2 COS (шх / + Bj.—q>a).
(10.68)
Как видим, по отношению к сигнальному контуру нелинейная
емкость Снл вместе с холостым контуром может быть замещена
проводимостью, учитывающей ток
«V (0 = — VjffliAC/ui^a (со2) cos (cuj/ + 0j — ф,).
С учетом приведенного выше соотношения Ую„ = (1/2) ШаЛС^
последнее равенство можно записать в форме
4>, (() = — (AC/2)2co1coaZ2 (со2) Ег X cos (wx/ + 0Х — фг).
Комплексная амплитуда этого тока
|№ = —(АС/2)2 со, ю, Z, («у е_ф^ Е, еЛ-.
С другой стороны, комплексная амплитуда напряжения на
сигнальном контуре б] (t) — Et cos (wj/ 4- Q{) равна Е, = £1e/e'.
Следовательно, проводимость, шунтирующая сигнальный
контур, будет
ОэкВ (*Ч) = -^-= -("Т")8 ш^ю* Za К) е-'ф- =
="("тТш'ЮаZ5 (/(°а)== "(^"ТШ1 ю*z*2 ^ (10-б9)
где Z\ (ш2) = Z2 (wa) е-'^г — функция, комплексно-сопряженная
ФУНКЦИИ Za (/fug).
Для резонанса, когда coj = сор1 и, следовательно, соа = сор2,
сопротивление вспомогательного контура будет /?н2 = 1/GH2 и
формула (10.69) принимает вид
Сэкв (coPl) = - (mC0/2)a щщР>в2. (10.69')
На схеме замещения, представленной на рис. 10.21, элементы,
расположенные слева от штриховой линии, соответствуют
сигнальному контуру усилителя, а справа — нелинейной емкости вместе со
вспомогательным контуром. Полученная схема по существу совпадает
со схемой одноконтурного усилителя (см. рис. 10.19). Различие лишь
в способе определения эквивалентной отрицательной проводимости.
Следует отметить, что приведенные выше соотношения можно
было бы получить более коротким путем, на основе выражений
(10.44)—(10.56). Подробности, связанные с определением
комбинационных колебаний г'юц-ю, (0 и г'шн-иг (0. приведены с целью
привлечения внимания к следующим преимуществам двухконтурно-
го усилителя:
а) эквивалентная отрицательная проводимость, а
следовательно, и усиление мощности не зависят от фазы напряжения накачки;
б) не требуется соблюдение
определенного соотношения между
частотами щ и шк.
Оба эти свойства двухконтур-
ного усилителя объясняются тем,
что полная фаза
комбинационного тока in _о). в выражении
(10.68), определяющая характер
эквивалентной проводимости G3KB,
по существу является разностью
фаз напряжения накачки и е% (f).
(&н t -\- Си), а вторая (ю2/ + 0Н
z, 4=4
Рис. 10.21. Схема замещения двух-
контурного параметрического
усилителя.
Первая из них имеет вид
0Х) (без учета ф2 и л/2). При
образовании разности 0Н выпадает, а разностная частота соп — соа
в любом случае совпадает с частотой сигнала (поскольку со2 =
= сон — шх).
Коэффициент усиления двухконтурного усилителя при
резонансной частоте (coj = шр1) можно определить из выражения,
аналогичного формуле (10.63):
Кр = 1/d + G3KB/2GH1)a, (10.70)
где G8KB вычисляется по формуле (10.69), a GH1 — проводимость
нагрузки сигнального контура.
При отклонении частоты сигнала сох от резонансной частоты сор1
и соответственно частоты ш2 от сор2 модуль сопротивления Z (ш2)
уменьшается, что приводит к уменьшению модуля GeKB и,
следовательно, коэффициента усиления по мощности.
Основываясь на выражении (10.69), можно вычислить
амплитудно-частотную характеристику и полосу пропускания
двухконтурного усилителя.
Условие устойчивости усилителя в данном случае можно
записать в форме
|G3KB| = (тС0/2Г с^саяЛяг < 2GH
или
m<2T/2 VGH//?Ha<»1<B«C8.
(10.71)
Рассмотрим энергетический баланс в двухчастотном усилителе
в зависимости от соотношения частот щ и а>2.
Пусть заданы частота coj и мощность Ps сигнала на входе
усилителя. Так как с повышением вспомогательной частоты со2 модуль
отрицательной величины Сэкв увеличивается [см. формулу (10.69)],
то и усиление по мощности Кр также растет [см. формулу (10.70)].
Мощность сигнала на выходе усилителя будет Рш, = KpPs-
Для определения требуемой мощности генератора накачки РЮн,
а также мощности Рщ, выделяемой во вспомогательном контуре,
воспользуемся теоремой Мэнли-Роу. На основании выражения
(10.55) можно записать следую-
Рм-KfPs
щие соотношения
Р -J^-P
_ Шн
*Ч=
шх
(0,
^ш, ~Г ' cos-
Рис. 10.22. Соотношение мощностей
на различных частотах в двухконтур-
ном параметрическом усилителе.
и Рю,
при
со.
(Знак минус в последнем
выражении опущен, так как
очевидно, что эта мощность отбирается
от генератора накачки.)
Соотношение мощностей Р8, Рш,, Р(о2
иллюстрируется рис. 10.22. Из этого рисунка видно, что
> cuj на вспомогательном контуре выделяется мощность,
большая, чем на сигнальном. Таким образом, хотя с повышением
частоты со2 мощность РЮ1 и растет, распределение мощности,
отбираемой от генератора накачки, изменяется в пользу частоты со2.
Несмотря на это, часто работают в режиме ю2 > wlf так как при
усилении слабого сигнала основное значение имеет не степень
использования мощности Ра , а отношение мощности РШ1 к Ps, т. е.
усиление Кр-
Для иллюстрации количественных соотношений в двухчастот-
ном параметрическом усилителе приведем следующий пример.
Пусть требуется осуществить усиление сигнала на частоте /х =
= 30 МГц при ширине спектра 2А/0 = 100 кГц.
Исходные данные первого (сигнального) контура:
характеристика pj = 100 Ом; внутреннее сопротивление источника сигнала,
шунтирующее контур, Rt = 5 кОм; сопротивление нагрузки Ral =5кОм.
Исходные данные второго (холостого) контура: резонансная
частота /р2 = 60 МГц; характеристика р2 = 50 Ом; сопротивление
нагрузки RH2 = 5 кОм.
Прежде чем вычислять требуемую величину вариации емкости
варикапа, найдем предельную величину проводимости G3KB, которую
можно подключать к сигнальному контуру при заданной ширине
спектра сигнала 2А/0.
Максимальная добротность сигнального контура (при
шунтировании отрицательной проводимостью), очевидно, не должна
превышать
Qx < д/гд/о = зо . 107100 • to3 = зоо.
При Pj = 100 Ом результирующая проводимость, шунтирующая
первый контур, должна быть не менее
Gt + Gal + Сэкв > 1/piQi,
откуда
Сэкв > 1/piQi - (G, + GH1) = l/PlQ! — 2GHl =
= — 367 • 10-e см.
Подставляя значения G9KB, wt, co2 и /?н2 в формулу (10.69'),
находим
mC0/2 = AC/2 = VlG^I/^ca,/?^ » 3-10~12 Ф,
откуда
АС = 6 . Ю-12 F = 6 пФ.
Требуемую величину АС можно реализовать с помощью
обычного варикапа. Существующие в настоящее время варикапы
допускают, например, изменение емкости до 30 пФ.
Коэффициент усиления мощности вычислим по формуле (10.70):
I \ 2-200.10-в/
В заключение отметим основные преимущества и недостатки
параметрического усилителя.
Важным преимуществом параметрического усилителя является
относительно низкий уровень шумов по сравнению с транзисторным
или ламповыми усилителями. В § 7.2 отмечалось, что главным
источником шумов в транзисторном и ламповом усилителях
является дробовой эффект, обусловленный хаотическим переносом
дискретных зарядов электронов и дырок (в транзисторе). В параметрическом
усилителе аналогичный эффект имеет место в приборе,
осуществляющем модуляцию параметра. Так, например, изменение емкости
варикапа происходит за счет перемещений электронов и дырок.
Однако интенсивность потока носителей электричества в варикапе
во много раз меньше, чем в транзисторе или лампе. В последних
интенсивность потока определяет непосредственно мощность
полезного сигнала, выделяемого в цепи нагрузки, а в варикапе — всего
лишь эффект модуляции параметра. Ослабление влияния дробового
эффекта столь значительно, что. в параметрическом усилителе
уровень шумов определяется в основном тепловыми шумами. В связи
с этим часто применяют охлаждение параметрического диода до
(5—10) К.
Недостатком параметрического усилителя является сложность
развязки цепей накачки и сигнала.
В, схеме, представленной на рисунке 10.18, а, характерной для
параметрических усилителей метрового диапазона, развязка
осуществляется с помощью разделительных конденсаторов и блокиро-
вочных дросселей. В диапазоне СВЧ, на которых особенно широко
применяются параметрические усилители, приходится прибегать
к весьма сложным конструкциям, сочетающим в одном узле двух-
частотную колебательную цепь в виде полых резонаторов, варикап
и специальные элементы развязки (циркулятор, направленный от-
ветвитель, поглотитель, заградительный фильтр). Зти вопросы
рассматриваются в специальных курсах.
10.10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ С ПОМОЩЬЮ НЕЛИНЕЙНОГО
РЕАКТИВНОГО ЭЛЕМЕНТА
Рассмотренный в предыдущем параграфе двухчастотный
параметрический усилитель можно использовать в качестве
преобразователя частоты, если съем колебания осуществлять на
комбинационной частоте. Для схемы на рис. 10.20 эта частота равна со2 — шн —
— щ. При со2> ol»i мощность, которая может быть снята на частоте
соа, больше мощности на частоте сох входного сигнала в (а2,1ч)1 раз
(рис. 10.22). При работе в таком режиме имеет место
«переворачивание», или «обращение» спектра сигнала, как и в случае,
рассмотренном в § 8.10 при cor> cos (в схеме на рис. 10.20 роль
гетеродина выполняет генератор накачки).
. При работе на СВЧ осуществление генераторов накачки на
частоте, намного превышающей частоту сигнала, является трудной
задачей. Кроме того, дальнейшая обработка сигнала при
преобразовании частоты «вверх» очень усложняется. Поэтому наиболее рас-
€ &>/ u)„cj2=vH*(Ji и о 0Z щ Ы1=ы^аг о
Рис. 10.23. Соотношение мощностей на Рис. 10.24. Соотношение мощностей
различных частотах в пара.четриче- в параметрическом нерегенеративном
ском усилителе — преобразователе ча- преобразователе частоты,
стоты.
пространен режим работы при близких частотах щ и сог. Усиление
при этом достигается не за счет повышения отношения ы2/(оъ а за
счет эффекта регенерации.
В диапазонах длинных,-коротких и ультракоротких волн, когда
можно использовать мощные генераторы накачки с частотой, во
много раз превышающей частоту сигнала, существует возможность
сочетания параметрического усиления с преобразованием частоты
«вверх». Спектрограмма подобного усилителя-преобразователя
изображена на рис. 10.23. Усиленное колебание снимается на
комбинационной частоте ш2 — ^н ~г" «>i- Мощность этого колебания рав-
на сумме мощности входного сигнала Ps и мощности, отбираемой от
генератора накачки Рн. При этом следует иметь в виду, что в
рассматриваемом случае эффект регенерации отсутствует и
непосредственно на частоте щ усиления нет. Нерегенеративное
преобразование частоты можно осуществить также в схеме с нелинейной
емкостью при использовании частоты накачки соп <; а1 и выделения
в нагрузке разностной частоты соа = соа — соц (рис. 10.24). В
данном случае усиление вообще отсутствует. Единственным
источником энергии является входной сигнал. Зта энергия расходуется как
в цепи, содержащей сопротивление нагрузки (на частоте со2), так
и в цепи, содержащей генератор накачки. При использовании
теоремы Мэнли-Роу (см. § 10.5) этот результат вытекает из
отрицательности Ры.
10.11. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИ
ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ЕМКОСТЬЮ
Составим уравнение для колебательного контура, емкость
которого изменяется по закону
С (f) = С0/(1 + т cosvf) (10.72)
при L = const, r = const, а внешнее воздействие отсутствует:
Переходя от тока / к заряду q и учитывая выражение (10.72),
получаем
dt2 L dt LC0
Величина \ILC0 = ы»о определяет резонансную частоту контура
в отсутствие модуляции емкости, т. е. при т = 0.
Таким образом, уравнение (10.73) можно записать в форме
-^- + 2aK-^- + cog(l+mcosv09 = 0, (10.74)
где использовано обозначение aK = /Y2L.
Для приведения уравнения (10.74) к канонической форме
используется подстановка
<?=#е
-ак\ (10.75)
исключающая из уравнения (10.74) первую производную q.
Дифференцируя дважды выражение (10.75):
dt "l dt
кУ) ' dt2 \ dP * dt ^ yj
и подставляя полученные . результаты в уравнение (10.74),
получаем
- ~ + (—а« + cog + mat cos vt) у--
dfi
dfi
+ («ев + та>Ь cos vt) y=0,
(10.76)
где cog — cc£ = ©ев есть квадрат частоты свободных колебаний
контура (в отсутствие модуляции емкости).
Переходя к безразмерному времени
т = vt/2 (10.77)
и вводя обозначения
б = 4co?B/v2, s = m4tt>c/v2,
перепишем последнее уравнение в форме
у" + (б + 6 cos 2т) у = 0.
(10.78)
(10.79)
Это уравнение называется уравнением Матье. Теория уравнения
Матье хорошо разработана. Каждому значению параметра 8
соответствует последовательность
определенных значений б, при которых
решениями уравнения (10.79)
являются периодические функции
Матье, обладающие периодом 2л
относительно переменной т.
Зависимость между значениями
е и б, при которых существуют
периодические решения уравнения
(10.79), представлена кривыми на
рис. 10.25. При больших
значениях в функции Матье имеют
весьма сложную форму. При е <t 1
эти функции по форме мало
отличаются от гармонических
колебаний. При е->-0 уравнения (10.76) и (10.79) переходят
соответственно в уравнения
' у" (t) + со?„г/ (t) = 0, (10.80)
у" (т) + 6(0) у (т) = 0. (10.80')
Уравнению (10.80) соответствуют решения в виде гармонических
колебаний cos coCB^ и sin соСЕ t, а уравнению (10.80') —
соответственно cos ]fb (0) т и sin У^б (0) т. Для того чтобы последние два
решения могли являться периодическими функциями Матье с
периодом 2л относительно переменной т, т. е. чтобы они имели вид
cos nx или sin tn, где п — целое число, величина б (0) должна
равняться квадрату целого числа п. Отсюда следует, что представленные
Рис. 10.25. Зоны устойчивости (не
заштрихованы) и неустойчивости
(заштрихованы) решений
уравнения Матье.
на рис. 10.25 графики при е = .0 должны касаться оси абсцисс в
точках . 6 (0) = га = 1,4,9, ...
При произвольных значениях е и б общее решение уразнения
Матье имеет вид
y==/le>«<p(x)-f£e-!«<p(—х), (10.81)
где А и В — постоянные, зависящие от начальных условий; <р (т)
периодическая функция Матье, зависящая от параметра е; ц —
показатель, зависящий от параметров е и б исходного уразнения
(10.79).
Для параметрических цепей, используемых в высокочастотной
технике, характерен режим неглубокой модуляции емкости (или
индуктивности). Обычно коэффициент модуляции т измеряется
единицами процентов, так что и параметр е, определяемый
формулой (10.78), мал по сравнению с единицей. Поэтому, основываясь
на отмеченных выше свойствах функций Матье, при е« 1, можно
записать общее решение в форме
у на АеРх cos (rax + g) + Ве~»х cos (rax — g) == yt (x) + t/2 (x).
(10.82)
Для дальнейшего рассмотрения необходимо установиь связь
между показателем ц и параметрами е, 6, а также определить
фазу £.
Для этого в исходное уравнение (10.79) подставим одно из частных
решений, например ул (т). Для упрощения анализа положим п = 1, т. е. огра
ничимся исследованием зависимости ц от в, 6 в области значений 6, близких
к единице. Таким образом,
0, (т) = А е^т eos (т + I).
Сгруппировав после подстановки в (10.79) слагаемые, содержащие
множители cos 1 и sin т, придем к следующему уравнению:1
{[е/2 -г-(и8 + в - DJcos Ъ—2ц sin % J cos т + {[г/2 — (p.* -f в —l)|sin £ —
—2pxos |) sin x = 0.
Так как это равенство должно выполняться при любых значениях т,
коэффициенты при cos т и sin т можно приравнять нулю.
Таким образом, получаем два уравнения для определения р. и %г
[е/2 + (ц2 + 6 — 1)] cos g = 2ц sin g,
(е/2 — (ц2 + 6 — 1)] sin | = 2ц cos g. (10.83)
Из первого уравнения следует, что
tg g = [е/2 + (ц2 + 6 - 1)]/2ц, (10.84)
а из второго —
tg £ = 2(х/[е/2 - (ц2 + 6 - 1)1. (10.84')
Приравнивая правые части выражений (10.84) и (10.84'), получаем
(е/2)2 - (ц2 + 6 — I)2 = 4J.12
1 Слагаемые вида cos Зт и sin Зт опущены.
или
ц4 + 2 (6 + 1) ц2 — [ (е/2)2 — (б — I)2] = 0.
Отсюда следует, что
J.12 = -(6+ 1) ± У(6+1)2 + (е/2)2—(6-1)2 = — (6+1) ± "1/46+(е/2)2=,
= —(6+1) ± 21/6" 1/1 + (е/2)2/4б. (10.85)
Из этого выражения видно, что (.i2 — вещественное число.
Следовательно, показатель (Л может быть либо вещественной
(положительной или отрицательной), либо чисто мнимой величиной.
Если ix — вещественное число, положительное или
отрицательное, то решение уравнения Матье неустойчиво, так как одно из
слагаемых выражения (10.82) с увеличением т неограниченно
возрастает. При мнимых значениях [j, решение устойчиво.
Случай неустойчивости соответствует таким значениям бив,
при которых изображающая их точка на рис. 10.25 находится в
одной из зашитрихованных зон. Показанные на этом рисунке кривые
представляют собой границы, отделяющие зоны устойчивости от
зон неустойчивости. Сплошные кривые на рис. 10.25 являются
геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию (Л = 0. При
этом, как отмечалось выше и как вытекает из выражения (10.82),
решения уравнения Матье являются периодическими функциями.
Физический смысл неустойчивого решения заключается в том, что
при определенных соотношениях между глубиной модуляции
емкости и относительной частотой этой модуляции (е и 6) при любых
сколь чугодно малых начальных возмущениях (например, тепловые
шумы) в контуре возникают колебания с неограниченно
нарастающей амплитудой. Источником энергии для этих колебаний служит
генератор накачки, воздействующий на емкость.
Отдельные неустойчивые области достигают оси абсцисс в
точках 6 = и2, где п = 2соСЕ /v = 1, 2, 3, ... Это означает
что при 6 = 1,4, 9, ..., т. е. при v = 2coCB, v = coCB, v = %сосв,
v = 1/2сосв и т. д., решения уравнения Матье неустойчивы при
сколь угодно малой глубине модуляции параметра т (е->- 0). При
промежуточных значениях v, когда воздействие на параметр
производится не в такт с собственной частотой контура, для
неустойчивости требуется тем большее значение 8, чем ниже частота v.
В области малых значений е выражение (10.85) можно
упростить [например, при выборе знака плюс перед последним
слагаемым в правой части (10.85)]:
,.—№+i,+2Vs[r+4-i-(f)rj—(w-i)+^(f)-.
Таким образом,
Обратимся вновь к общему решению (10.82) и перейдем от у к q
[по формуле (10.75),] а также от т к размерному времени t [по
формуле (10.77)1:
д® = Ае(-Т *-"») ^[ft + ^+BAi-^)1 cos ^t_^
(10.87)
Из этого выражения видно, что для неустойчивости системы
(по отношению к q) необходимо, чтобы [х было не только
вещественным числом, но и превышало по абсолютной величине отношение
2aK/v.
Итак, критическое значение показателя ц, соответствующее
границе между устойчивым и неустойчивым состояниями системы,
определяется равенством
|цвр| = 2а>. (10.88)
Подставив это значение \х в формулу (10.86), находим
критическое значение
екр = 4 КЛ[^р + (Уо~-1)2]Уб"=4 K4a»/v2 + (VcT-l)2VF.
(10.89)
Но в соответствии с (10.78)
екр = mRp (4cog/v2). (10.90)
Отсюда находим ткр — критическое значение глубины
модуляции емкости (на грани возникновения генерации)
тю
-{-ki-^iijnY
in2
-^-+(V6--l)s
(10.91)
В частном случае v = 2сосв я^ 2со0, когда 6=1, получаем
ткр = 4 (2aK/v) = 4aK/co0 = 2/Q = 2d, (10.92)
где Q = \ld — добротность контура.
Этот результат совпадает с условием (10.65), полученным из
рассмотрения стационарного режима параметрического усилителя.
Если частота v модуляции емкости превышает частоту соов
не точно вдвое (имеется расстройка)
Дсо = v/2 — сосв,
то неустойчивость системы возникает при больших значениях ткР,
Чем 2/Q.
В этом случае
в 'Ч'в _4(v/2—Acof _ j
4Дю
2Лсо
^-Ч/'-^г-'Н'-^-'Н-е)'
m»=2 /"*+(-^)г (10•93,
или
«нР Q = 2 у 1 + (—^ <ЗТ = 2 У1 + а», а = (2Дсо/шсп) Q.
(10.93')
График зависимости m^Q от с изображен на рис. 10.26
(сплошная кривая). Двойной штриховкой обозначена область возбуждения
колебаний (при т > ткр), а горизонтальной — область неустой-
Рис. 10.27. Модуляция емкости и законы
изменения заряда, обеспечивающие (график /) или не
обеспечивающие (график //) параметрическое воз- ^о
буждение колебания.
Рис. 10.26. Зоны устойчивости и неустойчивости
решений уравнения Матье в окрестности точки А ^. , ^. , . ,
в-1.е=0. 1Л| \\\Jrx
1 1 1 1
я я fcZtr
1 1
йе-
vt
чивых решений уравнения Матье, которые, однако, после
умножения на e_<V приводятся к устойчивым решениям. Наконец,
незаштрихованная область соответствует устойчивым решениям
уравнения Матье и тем более устойчивым решениям уравнения
(10.74). Рис. 10.26 по существу является изображением в
увеличенном масштабе одного «языка» диаграммы рис. 10.25 в окрестности
точек б = 1, е = 0. На основании проведенного рассмотрения
нетрудно определить все параметры свободного колебания в
параметрическом контуре.
Пусть в момент t = 0 начинается процесс периодической
модуляции емкости по закону (10.72), причем соотношение параметров
т, v, сосв и Q таково, что система неустойчива вблизи 6=1
Определив по формуле (10.86) величину | р, | и подставив ее
в (10.84), найдем фазу g. В частности, при 6=1, когда |{х| = е/4,
tg I = {[е/2 + (e/-t)»]/2}e/4 « 1, ^ = 45Q.
Тогда общее решение (10.87) примет следующий вид:
q (t) = А ехр [^ fx-ак) / ] cos (^-1 + 45°) +-
(0- (Ю.94)
+ В ехр [ -(-^- |i + ак) /] cos (-J t -45°) = 9l (f) + 9,
Ha рис. 10.27 изображены графики С (f) — C0/[l + m cos v/]
а также cos (W/2 + 45°) и cos {vt/2 —- 45°). (В данном случае
v/2 = сосв.) Последние два графика характеризуют изменение
зарядов <7i (t) и <7г (0- И3 этого рисунка видно, что убывание емкости
соответствует прохождению qx через амплитудные, а д2 — через
нулевое значения. Это означает, что qx (f) «правильно» сфазировано
относительно закона изменения С (t) и накачка призодит к росту
амплитуды (по закону ехр [(fxv/2 —
— ак) t), a q2 (0 сфазировано
неправильно: в моменты амплитудных
значений заряда емкость растет, что
приводит к отбору энергии из контура и
к затуханию амплитуды (по закону
ехр [— (цу/2 + а к) /]).
На основании приведенных
рассуждений можно наметить следующую
картину возникновения и нарастания
колебаний в параметрическом
контуре. В момент включения контура (или
в момент запуска генератора накачки)
в нем существуют беспорядочные
шумовые колебания, вызываемые
тепловым движением заряженных частиц.
В состазе этих колебаний имеется и компонент с частотой v/2,
однако амплитуда и фаза этого компонента являются случайными
величинами. Допустим, что в рассматриваемый начальный момент
времени интересующий нас компонент имеет амплитуду ОА и фазу
6 (рис. 10.28). Разложим вектор, изображающий это колебание, по
Двум взаимно перпендикулярным направлениям: Л^Л^ и МгМ2.
Прямая А^Л/г проведена к оси абсцисс под углом ^ = 45Q, а прямая
МгМг — под углом g2= — 45°. Вектор OD, совпадающий с прямой
^iNs и равный ОА cos (6 — £), изображает колебание, правильно
сфазированное относительно фазы напряжения накачки, а вектор
ОС, совпадающий с прямой M^U, изображает колебание, которое
fff
\
\
ч
\
\
А
1 «г
/У\В
\k~w-
\
\
V*
Рис. 10.28. Влияние начальных
условий на установление
режима параметрической генерации.
под воздействием изменения емкости начинает затухать. Можно
поэтому считать, что начальные условия для параметрического
контура определяются той составляющей, фаза которой согласована
с фазой напряжения накачки. Таких положений вектора существует
два: при gj = 45° и ^ = 225° (для частного случая v = 2coCB).
Если вектор ОА расположен над прямой М1УИ2, то проекция его на
прямую NxN?, положительна, в противном случае — отрицательна.
Это означает, что при заданной фазе напряжения накачки.фаза
колебания в параметрическом контуре может принимать одно из двух
фиксированных значений, различающихся на 180°.
Отметим в заключение, что основные результаты данного
параграфа можно распространить на контур, в котором периодически
изменяющимся элементом является индуктивность.
10.12. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ
Из содержания предыдущего параграфа видно, что
периодическим изменением одного из энергоемких элементов контура —
емкости или индуктивности — можно осуществить генерирование
колебаний.
Впервые эта идея была выдвинута советскими учеными
Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси, которые в 1931 г.
разработали теорию параметрического возбуждения колебаний и
экспериментально подтвердили ее на модели контура, в котором
индуктивность или емкость модулировались с помощью механического
устройства (например, вращением ротора вариометра).
В настоящее время принцип параметрического возбуждения
колебаний используется в специальных генераторах, так называемых
параметронах, широко применяемых в различных
устройствах для обработки дискретной информации. Это объясняется
главной особенностью параметрического возбуждения — двузначностью
фазы генерируемых колебаний. Так как установление фазы ф или
Ф + п зависит от начальных условий, то, задавая в момент запуска
генератора начальную фазу с помощью сигнала, можно получить
одно из двух устойчивых состояний генератора, соответствующих
двум знакам двоичного кода (например, фазе ф условно
приписывается нуль, а фазе ф + п — единица).
В емкостном параметроне (рис. 10.29, а) в качестве переменной
емкости используются два полупроводниковых диода, а
индуктивностью контура служит первичная обмотка высокочастотного
трансформатора. Напряжение накачки еи (t)c частотой сон, вдвое
превышающей резонансную частоту контура, подается на диоды синфазно,
благодаря чему емкости диодов уменьшаются или увеличиваются
одновременно и вместе с тем исключается прохождение частоты сон
на выход. С другой стороны, благодаря симметрии схемы
устраняется прохождение колебаний частоты юн/2, возбуждаемых в контуре,
в цепь накачки. Положение рабочей точки на характеристиках
Р—n-переходов задается постоянным напряжением смещения.
В индуктивном параметроне (рис. 10.29, б) контур состоит из
постоянной емкости и катушек LK, насаженных на ферритовые
сердечники, магнитная проницаемость которых периодически
изменяется при пропускании тока накачки iH (f) через катушки LH.
Исходное положение рабочей точки на характеристике нелинейной
индуктивности задается постоянным током, пропускаемым через
катушки LH. Встречное включение катушек LH на двух сердечниках
устраняет прямое прохождение колебаний частоты сон на выход,
а также колебаний частоты юн/2 из контура в цепь накачки.
Условия, необходимые для возникновения и нарастания
амплитуды колебаний в линейном параметрическом контуре, были
подробно рассмотрены в предыдущем параграфе. Для определения же
ю &
Рис. 10.29. Емкостной (а) и индуктивный (б) параметроны.
стационарной амплитуды в параметрическом генераторе необходимо
ввести в рассмотрение нелинейность, которая неизбежно
проявляется при увеличении амплитуды колебаний и обусловливает механизм
ограничения амплитуды.
В параметроне с механическим устройством для модуляции
энергоемкого элемента увеличение амплитуды ограничивается
мощностью устройства накачки. Кроме того, ограничение может быть
обусловлено и заходом амплитуды генерируемых колебаний на
нелинейные участки характеристик нелинейной емкости или
индуктивности. При этом изменяются средние значения С (t) или L (t),
а следовательно, и среднее значение резонансной частоты контура.
Расстройка контура относительно частоты юн/2 ухудшает условия
преобразования энергии накачки и приводит к ограничению
амплитуды.
Следует отметить, что к параметрону термин «генератор» или
«генерирование» может быть применен лишь условно. В отличие от
любой электронной автоколебательной системы или генератора с
посторонним возбуждением, в которых осуществляется
преобразование энергии источника постоянного тока в энергию колебаний, в
параметроне первичным источником энергии является генератор
накачки. Назначение параметрона, используемого в качестве реле
с. Двумя устойчивыми состояниями, не в получении колебаний, а в
.«запоминании» фазы сигнала.
В связи с таким информационным назначением параметрона
основное значение приобретает его быстродействие, от которого
зависит и быстродействие устройства, работающего на параметронах.
Необходимо по возможности повысить скорость нарастания
амплитуды при каждом запуске параметрона.
Так как в соответствии с формулой (10.94) амплитуда колебаний
в контуре нарастает по закону
Л(0 = Лое[(у/2>^-ак]',
где через А0 обозначена начальная амплитуда (т. е. амплитуда
сигнала, фазу которого требуется запомнить), то скорость
нарастания амплитуды в момент запуска
dt (=о V 2 /
Учитывая, что в соответствии с выражениями (10,86) и (10 78)
при v/2 = со0 параметр ц = е/4 = т, а также что ак/(о0 = й12~
= 1/2Q, получаем
*-(^--^)«.*-(—-£)«>*■
Возможности увеличения параметра т и амплитуды А0 весьма
ограничены. Поэтому основным путем увеличения быстродействия
является повышение частоты ю0.
В настоящее время непрерывно повышаются рабочие частоты па-
раметронов и разрабатываются новые электронные и иные приборы,
позволяющие осуществлять параметроны в диапазоне сверхвысоких
частот.
Гл а ва 11
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
НА НЕЛИНЕЙНЫЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ
11.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
При анализе помехоустойчивости радиосистем особенно часто
приходится рассматривать линейную сумму полезного сигнала
s (i) и шумовой помехи п (f):
у (0 = s (0 + п (/). (11.1)
В этом случае помеха называется аддитивной, а у (t)
аддитивной смесью сигнала и шума. Примерами аддитивной помехи'
являются рассмотренные в гл. 7 дробовые и тепловые шумы,
возникающие в электронных приборах и электрических цепях
независимо от действующих в них сигналов.
Однако при передаче сигнала по реальному каналу связи помимо
аддитивной помехи есть и другие факторы, которые искажают сам
сигнал. Такими факторами являются, например, паразитные
изменения во времени параметров цепей или любых других элементов
канала связи. В самом простом случае, когда эти изменения
имеют характер амплитудной модуляции, сигнал на выходе канала
связи можно представить в виде
W it) =■ К (0 s (0 + п (/).
В этом выражении п (f), как и в (11 Л), — аддитивная помеха,
а К (0 — коэффициент, характеризующий
мультипликативную помеху. В реальных условиях механизм образования
мультипликативной помехи более сложен и не всегда может быть сведен
к простому перемножению помехи и сигнала Несмотря на это, под
мультипликативной помехой обычно подразумевают помеху,
являющуюся результатом нежелательного изменения параметров
линейной системы, через которую передается сигнал.
В последующих параграфах данной главы сначала изучается
воздействие нормального, в основном узкополосного шума на
нелинейные устройства: амплитудный и частотный детекторы,
нелинейный усилитель и амплитудный ограничитель. Затем в § 11.8,
11.9 рассматривается воздействие случайных процессов на
параметрические цепи и влияние мультипликативной помехи на передачу
сигналов.
il.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНОГО ПРОЦЕССА
В БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Реальное нелинейное устройство представляет собой сочетание
нелинейных безынерционных элементов с линейными инерционными
электрическими цепями. Это очень усложняет нахождение
статистических характеристик сигнала и шума на выходе всего устройства.
Для линейных цепей просто определить корреляционную (или
спектральную) функцию, но очень сложно — закон распределения.
В нелинейных же, ио безынерционных элементах, наоборот,
основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции.
Поэтому общих методов анализа преобразования случайных
процессов в нелинейных устройствах не существует. Приходится
ограничиваться некоторыми частными задачами, представляющими
практический интерес и поддающимися решению, а также прибегать
к различным идеализациям характеристик изучаемой модели
устройства.
Пусть на нелинейный элемент действует случайное колебание
(напряжение, ток) с заданной плотностью вероятности р(х).
Требуется найти плотность вероятности р (у) выходной величины у. Связь
между у и х определяется нелинейной зависимостью у = f (x),
имеющей смысл, например, вольт-амперной характеристики
электронного, полупроводникового или иного активного элемента.
Если f (x) определяет однозначное соответствие между х и у
в каждый рассматриваемый момент, независимо от значений х в
предыдущие моменты времени (безынерционный элемент), то плотность
вероятности р (у) находится из очевидного соотношения
Р (У) Ф = Р (*) dx, (И-2)
откуда с учетом неотрицательности р (х) и р (у)
p(y) = p(x)/\dyldx\. (П.З)
Если обратная функция х = ф (у) неоднозначна, то
р{х)
р(у) =
Idyldx |
+ L_JLW_1 +..., (11.4)
x=x, L \dyldx\ JX==X!
где хг, х2, ... — значения входной величины х, соответствующие
рассматриваемому значению у.
Если характеристика у = / (х) постоянна на некотором
интервале изменения х, то выражение (П.З) следует дополнить
слагаемым с дельта-функцией, учитывающим интегральную вероятность
пребывания х ниже (или выше) определенного уровня.
Рис. 11.1. Воздействие случайного Рис. 11.2. Двухтактное включение
процесса на нелинейный элемент диодов,
с квадратичной характеристикой.
Нахождение р (у) проще всего пояснить на практических
примерах.
1. Воздействие нормально распределенного случайного
процесса х (t) на элемент с симметричной квадратичной характеристикой
(рис. 11.1). Показанную на рис. 11.1 вольт-амперную
характеристику можно реализовать, например, с помощью двухтактного
включения двух диодов, обладающих вблизи нуля квадратичными
характеристиками (рис. П.2).
При полярности напряжения, обозначенной на рис. 11.2, ток,
равный с2х2, проходит через диод Дь при противоположной
полярности — через диод Д2.
Полагая у = a.2xz, dyldx = 2агх и учитывая, что какому-либо
фиксированному значению у соответствуют два значения х, а
именно хг= + Уу/аг и xz — —- Vyta^ по формуле (11.4) находим
Р(У) =
\р( + УЩа^)1^а-2 Уу1щ,Л-р{— Уу/о7)/2аа Уф^ при у >О,
| ° при у ■< 0.
(11.5)
Подставляя лг!,2 = г//а2 в выражение для плотности
вероятности р (х):
Р (*!.«)=-
1
У 2л ах
получаем окончательно
1
.е-*1,«/2а* = .
У 2л" ц»
е-&/2аг с^
Р (У) =
— ц/2о8 о.
У2П Ojc У Q2 У У
о
при г/^0,
при г/<0.
(П.6)
График этого распределения изображен на рис. 11.3 (при аг =
= l/ai).
ут
2зг р
1,0
W
О 0,5 f,0 1,5 j/
Рис. 11.3. Плотность вероятности тока Рис. 11.4. Воздействие случайной
в цепи с квадратичной вольт-ампер- функции на однополупериодный де-
ной характеристикой при воздействии тектор.
нормального случайного процесса.
2. Воздействие нормально распределенного процесса на
однополупериодный детектор с линейно ломаной характеристикой
(рис. 11.4).
В данном случае
__ аух при х^О,
^~~' 0 при *<0.
Очевидно, что в соответствии с (11.3)
,. ,(,-„/«*) • |—J е-*-/-!-.! При у>О,
Р(У) = = У2ла1сх
{ 0 при у<0.
Особое внимание следует обратить на поведение функции р (у)
в точке у = 0. Так как у —0 при любых отрицательных значениях
х, то вероятность Р (у — 0) равна вероятности того, что х ^ 0.
Но вероятность Р (х < 0) = 1/2. Отсюда вытекает, что плотность
вероятности р {у = 0) = оо.
Плотность ве-
Рис.
В)
Воздействие Рис. 11.7.
Уо У
Плотность ве-
Рис. 11.5.
роятности случайного случайной функции на ог- роятности случайного
процесса на входе (а) и раничитель. процесса на входе (а) и
выходе (б) однополупе- выходе (б) ограничи-
риодного детектора. теля.
Это обстоятельство можно учесть, записав выражение для р {у)
форме
~^(У) +
1
е .1 * при // ^ 0,
при у<0.
Слагаемое 1/2б (у) равно нулю всюду, кроме точки у = 0, где
оно обращается в бесконечность. При интегрировании же по у это
слагаемое дает 1/2. Графики р (х) и р (у) изображены на рис. 11.5.
3. Воздействие нормально распределенного процесса на
ограничитель (рис. 11.6).
По аналогии с предыдущим случаем нетрудно составить
выражение
р(у)--
0/2)6(0+ 1_-е-*г>2а^ +
щ l/2n oa
+PU>x0)6(y— y0)
0
при 0< у^у0,
при у < 0 и у > у0.
(118)
Графики распределения х и у изображены на рис. 11.7.
Приведенных примеров достаточно для уяснения метода нахождения
плотности вероятности случайной величины на выходе нелинейного
безынерционного элемента с любой вольт-амперной
характеристикой. Простота этого метода обусловлена тем, что не учитывается
влияние выходных цепей (инерционных) на работу
рассматриваемого нелинейного элемента.
11.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА
В БЕЗЫНЕРЦИОННОМ НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕМЕНТЕ
Прямое определение энергетического спектра выходного
процесса по известному спектру на входе нелинейного элемента не
представляется возможным. Единственный путь — это определение
корреляционной функции с последующим применением
преобразования Фурье.
Если на входе нелинейного элемента с характеристикой у — f (x)
действует стационарный процесс х (t), то корреляционная функция
на выходе может быть представлена в форме
Ву (т) = <yt yt+x> = if (xt) f <W>. 01.9)
где xt и Xt + ъ — значения х (t) в моменты времени t и t -f- т;
у, и у +х — соответствующие им значения у на выходе
нелинейного элемента.
Для усреднения произведения / (xt) f (xt + т) должна быть
известна двумерная плотность вероятности входного процесса р (xf,
Xt + т). Если эта плотность вероятности известна, то
корреляционную функцию Ву (т) можно представить в виде следующего
выражения:
— со —со
где для удобства записи через х% и х2 обозначены соответственно*,,'
Xt + X.
Этот интеграл удается вычислить далеко не во всех
практически важных задачах. В связи с этим часто приходится прибегать
к различным обходным способам, один из которых будет приведен
далее.
В качестве примера задачи, достаточно интересной для практики
и доступной для решения прямым методом, рассмотрим воздействие
стационарного нормального процесса х (t) на нелинейный элемент
с квадратичной характеристикой у = а2х2 (см. пример 1
предыдущего параграфа).
Двумерная плотность вероятности процесса х (t) равна1
Р (xlt xs) =
l
•exp
x'l+xl—%Rxi x2
, (11-11)
2nolVl— &
где R — коэффициент корреляции величин хг и х2, т. е. R — Rx (т).
Подставив выражение (11.11), а также / (х) = а2х2 в (11.10),
получим
By Ю
2по|т/1_Ла
X йХг йхг
ОО 00
и
— СО —ОО
х\ х\ ехр
2яо! Vl— R*
ОО
I
Xi ехр
ОО
1
л;? ехр
ж|—2fex х%
2аЦ1~Я2)
x*-\-xl—2Rxi *2
2а|(1-Я2)
2о| (1 — Я2)
.1.
е?л:г [ dxv
(П-12)
Интеграл в фигурных скобках легко вычислить, дополнив
выражение х\ — 2Rx1x.l до квадрата разности х\ — 2Rxtx2 = (хг —
— RxJ2 — RH\ и заменив переменную х2 — Rxx = г:
ехр
R*
2о»(1
-Я2) J J
(г2 + 2^х1г + ^2х0е
• гПр soSa-л1) ,,„_
dz--
= ехр Г—£ii— 1 ГУ2я о! (1 -Яг)3/2 +
+ 0 + У 2я а, УГ^Я2" Яг л? ].
Подставляя этот результат в (11.12), получаем
ОО
(1-Я2) Г x\e-tl/Sa*dxl +
ЬЛТ):
а|_
У2лож L _
+ Я2 J xl е-*1/8оМЖ1
ОО
Далее определяем
5 xfe-*i/ao*dx1 = V2So;i
— со
1 См., например, [1].
Таким образом,
Ву (х) = а\ ail О - R2) + ЗЯЯ] = alai + 2alaiRl (т) =
= а|<гё + 2а|Я*(т). (П.13)
Здесь использовано известное соотношение Rx (т) = Бж (т)/а|
(при <л:> = 0).
Представляя корреляционную функцию узкополосного
процесса в форме (4.76) и учитывая, что
В1 (т) = оах RI (т) Р/2 + V2 cos 2сэ0т], (11.14)
где i?0 — огибающая корреляционной функции узкополосного
процесса, записываем выражение (11.13) в окончательном виде
В„ (т) = а\ а* + а\ с* RI (т) + а! а* RI (т) cos 2еэ0т. (11.15)
Применяя затем преобразование Фурье, получаем общее
выражение для энергетического спектра процесса на выходе
квадратичного элемента (при нормальном процессе на входе):
оо
№„(еэ) = а|о5 2я6(еэ)+а|о* J RI (т)е-«« dx +
— оо
CO
+ а%оах jj /?g(T)cos(2«0T)e-toMT = lF{/0(«) + lFH4(«)+W7B4((o}.
— CO
(11.16)
Первое слагаемое (дискретное) соответствует постоянной
составляющей выходного колебания, второе — низкочастотной флук-
туационной составляющей (спектр которой примыкает к нулевой
частоте) и третье — высокочастотной флуктуационной
составляющей со спектром, группирующимся вблизи частоты 2<в0.
11.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ УЗКОПОЛОСНОГО ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ
ДЕТЕКТОР
Амплитудный детектор, содержащий диод и фильтр нижних
частот (£?С-цепь), представляет собой сочетание безынерционного
нелинейного элемента с инерционной линейной цепью.
Расчленим рассматриваемое устройство на две самостоятельные
части: 1) нелинейный элемент, 2) фильтр нижних частот.
ИзложенныеХпредыдуЩИХ параграфах методы, а также
некоторые другие специальные приемы позволяют в принципе найти
закон распределения и корреляционную функцию шума сначала на
выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра.
В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких
вычислений. Задачу можно значительно облегчить, если использовать
некоторые упрощения, вытекающие из принципа работы реальных
устройств.
Рассмотрим сначала «линейное» детектирование, т. е.
детектирование высокочастотного колебания с достаточно большими
амплитудами. В данном случае под таким колебанием подразумевается
нормальный шум (в отсутствие сигнала), сформированный
избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектировании
полезного амплитудно-модулированного колебания можно считать,
что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит
огибающую амплитуд высокочастотного колебания, в данном случае
огибающую шума. Поэтому при линейном детектировании нет
необходимости рассматривать отдельно статистические характеристики
тока диода и напряжения на выходе ^С-цепи. Напряжение нвых (/),
развиваемое на этой цепи, можно приравнять огибающей шума на
входе детектора U (t) (т. е. считать, что коэффициент передачи
детектора равен единице). При таком подходе статистические
характеристики шума на выходе детектора полностью совпадают с
приведенными в § 4.6 характеристиками огибающей A (t). Таким
образом, приходим к выводу, что напряжение шума на выходе линейного
детектора обладает релеевским распределением:
0<овых<оо. (11.17)
По формулам (4.71)—(4.72) находим:
— среднее значение (постоянная составляющая) шумового
напряжения
^о= <"вы*(0> = <М (/)> = Уй72ая=1,26ода (11.18)
— средний квадрат напряжения
<«Lx(0> = 2o!. (Н19)
Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе линейного
детектора
aLx = <uLx>-I/8 = 2ai—^-а; = 0.43а5. (11.20)
Итак, основные параметры шума на выходе — постоянная
составляющая U0 и дисперсия aLx — просто выражаются через
дисперсию о% высокочастотного шума, действующего на входе
детектора.
. Корреляционную функцию и энергетический спектр выходного
шума нетрудно вычислить по формулам (4.77), (4.78).
В качестве примера рассмотрим воздействие на линейный
детектор нормального шума х (t), энергетический спектр которого
Wx (и>) определяется выражением
Wx (ro) = /Vu[e-a м^»о)2 4-е-а<ю+»о)г]?
(11.21)
а корреляционная функция в соответствии с (4.39) и с учетом [6]
(формулы (3.896.3) и (3.896.4)
В«(т) = Л/„-
2л
оо
4- Г е-а №+»о)г еш d(o]=—%- е-та/4а cos <в0 т =
J Т/да
Т/па
= а£ е~т2/4а cos <в0 т.
Тогда
^(х) = е-'!/4Е,
(11.22)
(11.23)
и в соответствии с (4.78)
WBb.x(«) =
по?
2
2лб(0)+ — ( е—11/гае-йЛ
— со
[ 2дб (Q) + — V27ra е-юйг/21 . (11.24)
Слагаемое с дельта-функцией соответствует постоянной
составляющей напряжения на выходе детектора.
График WVblx (Q) изображен на рис. 11.8, б. Ширина этого
спектра в У 2 раз больше ширины спектра Wx (<o) на входе детектора
(рис. 11.8, а).
Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую
узкополосного колебания, независимо от особенностей структуры его
спектра. Полученный результат свидетельствует о том, что
огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума (на входе
детектора) обладает спектром более широким, чем частотная полоса
самой реализации. На первый взгляд это может показаться
странным, поскольку известно, что для модулированного колебания
ширина спектра огибающей либо совпадает со спектром самого
колебания (при AM), либо уже его (при ЧМ). Это кажущееся
противоречие легко устраняется, если принять во внимание полную
корреляцию между колебаниями нижних и верхних боковых частот
при модуляции. Достаточно нарушать, например, симметрию
амплитуд или фаз боковых частот при амплитудной модуляции, чтобы
сумма трех колебаний с частотами со0, ю0 + Q и со0 —Q
представляла собой колебание, огибающая которого содержит помимо частоты
Q еще и частоты 2Q, 3Q и т. д. В этом случае амплитудный детектор
выделит на выходе колебание, спектр которого будет шире, чем
частотная полоса высокочастотного колебания на входе. В спектре же
шума нет никакой корреляции (и тем более симметрии) между
спектральными составляющими, частоты которых расположены слева
и справа от центральной частоты <в0. Естественно, что огибающая
каждой из реализаций шума обладает спектром более широким, чем
модулированное колебание с
Wxk. ft\ той же шириной спектра.
Соответственно увеличивается и
средняя ширина спектра огибающей
шума, т. е. энергетический
спектр огибающей.
Рассмотрим теперь
воздействие нормального шума на
квадратичный детектор. В данном
случае напряжение на выходе
детектора с учетом отфильтровы-
вания высокочастотной
составляющей шума по аналогии с
б) "* выражением (8.55) можно
представить в форме
-й>0
2*^d
О
-э-
о
Рис. 11.8. Энергетический спектр
случайного процесса на входе (а) и
выходе (б) амплитудного детектора.
«вых (0 =/04» (0/2, (11.25)
где К — коэффициент, учитывающий параметр вольт-амперной
характеристики диода а2 и величину сопротивления нагрузки на
выходе детектора.
Применяя формулу (11.3), в которой под р (х) следует
подразумевать плотность вероятности огибающей A (t), находим закон
распределения шумового напряжения на выходе квадратичного
детектора:
/>(«вых) =
■А^>
Р(А)
duB
dA
_А_ е-л=/2о5 J_
о% КА
Ka'i
i/*°i
(11.26)
Итак, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром
нижних частот узкополосного нормального процесса шум на
выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределение.
Вычислим постоянную составляющую выходного напряжения
оо
<"вы*(0> = § «вых Р ("вых) <*"вых =
О
оо
=—-— Г и„ е-и™х//<<5* Ww =/<'гт2
а также средний квадрат напряжения
оо
<«1ых(0>= 5 "«их Р (Ивых) йиъых =
(11.27)
-j^T J «I» е-W*°* d«BI« = 2/Г aj. (11.28)
Отсюда следует, что дисперсия шумя на выходе
a2e = <«Se.U)>—(«ил (*)>" = 2Я«а1 —*С* 01=^04. (11.29)
Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного
детектора остается вычислить его корреляционную функцию и
энергетический спектр. Это можно выполнить с помощью формул
(11.15), (11.16). Второе слагаемое в выражении (11.15) определяет
искомую корреляционную функцию, а второе слагаемое в
выражении (11.16) — соответствующий этой функции энергетический
спектр.
При R0 (т) = е~x2/4ot (см. предыдущий пример) получаем
WBWL(Q)=WB0(Q) + Wtn(Q) =
оо
2лб(Й)+ ^ е-т2/2ае-шМт,
— СО
= а\ oi [2дб (О) + V2na е-00*'2].
= alai
(11.30)
Графики функций Wx (го) и №вых (&) по форме совпадают с
графиками на рис. 11.8. Они отличаются только масштабом по оси
ординат из-за различия в постоянных коэффициентах [a5 aj вместо
п°*/2 перед квадратными скобками в (11.24) и единица вместо 1/4
пеРед вторым слагаемым].
11.5. СОВМЕСТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ
И НОРМАЛЬНОГО ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР
При наложении узкополосного шума х (t) = A (t) cos [a>0t 4-
+ 6 (t)] на сигнал s(f) — E cos a>0t суммарное колебание можно
записать в форме
и (0 = s (0 + х (0 = Е cos со0г + А (0 cos [a>0f + е (01 =
= [Е + A (t) cos 6] cos a>0t — A (f) sin 6 sin a>0t =
= V (f) cos W + l(t)l (11.31)
где огибающая U (t) и фаза g (0 по аналогии с (8.43) и (8.44)
определяется выражениями
U (t)=VEi + A2 (t) + 2EA (0 cos В (/),
£ (/) = arctg
A(t) sin 0(Q
£ + Л(') cos U (О
(11.32)
(11.33)
При анализе воздействия колебания на амплитудный детектор
статистическими характеристиками фазы \ (t) можно не
интересоваться (этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе
применительно к частотному детек-
sxP тору). Основное значение имеет
плотность вероятности р (U) оги-
Фх-0
1,0 3,0 Ь.О
бающей U,
формуле [1]
определяемая по
p(iy)==JLe-«''+^'*'5 х
2,0 4,0 6ft U/6X
X/
(Л.
и
х °ж
(11.34)
Рис. 11.9. Релеевская плотность веро
ятности (обобщенная).
где /0 — бесселева функция
комплексного аргумента
(модифицированная).
Определяемая формулой (11.34) функция называется
обобщенной функцией Релея. Графики функции р (U) для нескольких
значений Е/ах приведены на рис. 11.9.
При Е/ах = 0 (отсутствие сигнала) выражение (11.34)
переходит в (4.70). В другом крайнем случае, когда амплитуда сигнала
Е очень велика по сравнению с ох, кривая р (U) близка к
гауссовой кривой с дисперсией а! и средним значением, равным Е.
Рассмотрим сначала линейное детектирование. Будем считать,
что напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей
амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда, основываясь
на формуле (11.34), находим постоянную составляющую
напряжения на выходе детектора
со
*/.=<*/> = $ Up(U)dU =
ах J \ох ах )
и средний квадрат напряжения
W4t)>=^U*p(U)dU-
= — е
al J \ Ох ох )
После вычисления интегралов [5] получаем следующие
выражения:
О о = о, \/~-f \h (E44ol) + -Jr f/0 m^ol) +
+ /,(£s/4ol)]}eTf4о5. (П.35)
Следовательно, дисперсия
«&» = <£/2> - ^ = 2а? + £2 — £/2. (11.36)
Так как в отсутствие_сигнала (при Е = 0) постоянная
составляющая в соответствии с (11.35) и (11.18) равна |/"зх/2 ох, то
обусловленное сигналом приращение постоянной составляющей будет
Wo — Vn/2 ox). Следовательно, отношение мощности сигнала
к мощности помехи на выходе линейного детектора
(Cin)„ux = (U0-Vn/2oxfl(2cl + E*-U*). (11.37)
Рассмотрим предельные случаи, когда (ЕУ2о1)<^\ (слабый
сигнал) и (£2/2о5г)!>1 (сильный сигнал). При слабом сигнале,
отбросив степени (E2/2at) выше первой, которые получаются при
асимптотическом представлении функций /0 (E44oQ и /х (£2/4о|),
выражение (11.35) можно записать в укороченном виде
^«/«/2 0,(1+1 £2/2о;).
При этом приращение постоянной составляющей
а дисперсия
oLu = 2а| 4- Е*-Щ « 2а? + £2- -у а! (1 + ^ ) =
Таким образом, отношение сигнал-помеха
(11 38)
|2с|
при (£2/2а£) < 1.
При сильном сигнале приближенные выражения функций
Бесселя от больших аргументов позволяют представить выражение
(11.35) в виде
иотахУ2-^-\\ + , ' ... + — /и>,о .„ + ...]& E(l + -^-).
0 х У У'2ах [ 4 (£2/2ai) 32 (E2/2a^ J ^ ' 2£« /
(11.39)
Подставляя это значение U0 в формулу (11.37), получаем
при
(£2/2а!)»1.
Проведем аналогичное рассмотрение для квадратичного
детектирования.
Заменяя в формуле (11.25) A (t) на U (t), получаем напряжение
на выходе квадратичного детектора
«вых if) = К [Е2/2 + А2 (/)/? + ЕА (/) cos в (f)). (11.41)
Усредняя это выражение по времени и учитывая, что Л2 (t) = 2oI
и A (f) cos 6 (/) = 0 {как и среднее значение х (f) =
= Л (/) cos [co0^ + 6 (/)]}, получаем постоянную составляющую'
напряжения на выходе квадратичного детектора
u^V) = K^~ + ai) = Uoc + Uon. (11.42)
Слагаемое Uon — Ко\ определяет постоянную составляющую,
обусловленную помехой [см. выражение (11.27)] в отсутствие
сигнала. Слагаемое же Uoc — /С£2/2, представляющее собой
приращение постоянной составляющей под действием гармонического
напряжения, можно рассматривать как полезный сигнал на выходе
детектора.
Возводя выражение (11.41) в квадрат, получаем
«Lx (0 = К2 [-у- + ~^- + ЕА 0) cos 6 (О? =
_^^+^L+£M2(0(Y + -fcos26(0) +
+ .EUtlu- +E3A (t) cos 0 (f) + A3 (t) E cos 6 (t) j
Слагаемые с cos 6 (t) и cos 26 (t) при усреднении обращаются
в нуль. Поэтому средняя мощность на выходе1
«^ = H-f- +-^ЛЩ + Е^аЩ}=К2^-~ + 2o|+2£2olj.
(11.43)
Вычитая из этого выражения (мвых)2, находим дисперсию шума
на выходе квадратичного детектора
= /С2(£2о| + оЙ. (11.44)
При Е = О это выражение переходит в (11.29). Составим теперь
отношение сигнал-помеха на выходе детектора (по мощносги)
/ е* \ (JLY
(£] ^i^=_^i_li_=A£!LL. (п.45)
Ывых а*Ь1Х K»(£»aJ+oJ) ..«Л
1+2 2а£
Но E2/2ol есть отношение сигнал—помеха (по мощности) на
входе детектора. Таким образом, при значениях (С/П)вх <t§ 1 (т. е.
при £2/2 < ol)
1 При усреднении А4 (/) получается
сю
<А* (/)> = J A* p (Л) dA =8a*.
о
Ввиду эргодичности рассматриваемого процесса в данном параграфе не
Делается различия между усреднением по множеству и по времени.
а при больших значениях (C/TI)BS, т. е. при ЕУ2 ^> о%,
(-£-) ** — ( — ) . (И-47)
Так, например, при Ez/2a% — 1/10 отношение (С/П)вых = 1/120
[формула (11.45)], а при Е212а\ > 4 отношение (С/П)№Х близко
к половине отношения сигнала к помехе на входе.
На основании формулы (11.45) можно сделать следующее важное
заключение: при слабом (относительно помехи) сигнале в
квадратичном детекторе имеет место подавление сигнала, а при сильной
сигнале отношение (С/П)вых пропорционально отношению сигнала к
помехе на входе.
Сопоставим полученные результаты для квадратичного и
линейного детектирования. Сравнение формул (11.46) и (11.38)
показывает, что при слабом сигнале и сильной помехе линейный и
квадратичный детекторы ведут себя одинаково: отношение сигнал-
помеха на выходе пропорционально квадрату отношения сигнал-
помеха на входе. Таким образом,' и в линейном детекторе имеет
место подавление слабого сигнала. Анализ показывает, что это
свойство присуще детекторам и с любыми другими вольт-амперными
характеристиками.
С другой стороны, при Е^> ох отношение сигнал-помеха на
выходе квадратичного детектора в четыре раза (по мощности)
меньше, чем у линейного [ср. формулы (11.47) и (11.40)]. Это
объясняется тем, что при квадратичном детектировании сильный сигнал
выносит помеху на участок характеристики с повышенной
крутизной, что приводит к относительному увеличению помехи.
Действительно, пусть огибающая гармонического колебания на входе,
равная 1 В, получила приращение а-*§; 1. Тогда напряжение на выходе
квадратичного детектора в соответствии с (11.25) увеличится
от К/2 до (К/2) (1 + а)2 « (К/2) (1 + 2а), т. е. относительное
приращение будет 2а, а при линейном детектировании это приращение
будет всего лишь а. Переходя от напряжения к мощности, получим
проигрыш в четыре раза.
Хотя проведенное рассмотрение относится к гармоническому
(немодулированному) сигналу, полученные выводы можно
полностью распространить на обработку прямоугольных импульсных
радиосигналов на фоне помех, когда импульс на выходе детектора
есть приращение постоянной составляющей выпрямленного
напряжения в промежутке времени, равном длительности импульса.
Наличие амплитудной модуляции сигнала, которую можно
рассматривать как медленное изменение постоянной составляющей
напряжения на выходе детектора, также не оказывает
существенного влияния на сравнительную оценку квадратичного и линейного-
детектирования.
Следует, наконец, отметить, что все полученные в этом
параграфе результаты не зависят от соотношения между несущей
частотой сигнала со0 и мгновенной частотой помехи ю0 + 6. Из этого
следует, что наложение частотной или фазовой модуляции на
сигнал (при постоянной амплитуде) не оказывает влияния на
отношение сигнал-помеха на выходе детектора. Это положение согласуется
с основными свойствами амплитудного детектора, установленными
в гл. 8.
11.6. СОВМЕСТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ'
И НОРМАЛЬНОГО ШУМА НА ЧАСТОТНЫЙ ДЕТЕКТОР
Основываясь на рассмотренном в § 8.9 принципе работы
частотного детектора, в дальнейшем будем исходить из структурной
схемы, показанной на рис. 11.10. Сигнал s (t) на входе амплитудного
ограничителя представляет собой частотно-модулированное
колебание (имеется в виду тональная модуляция частоты)
s(0 = Ascos (a0t + -5- sinQt), (11.48)
а помеха — случайный нормальный процесс с энергетическим
спектром Wx (со) = W0, равномерным в полосе пропускания фильтра
промежуточной частоты (имеется в виду супер гетеродинный
приемник).
Полосу пропускания этого фильтра 2Аы0 можно приравнять
удвоенной девиации частоты, т. е. Асо0 = сод. Фильтр нижних
частот на выходе детектора должен обладать полосой прозрачности от
0 до Омане, где ^манс — наивысшая частота модуляции. Помеху,
действующую на входе ограничителя, запишем, как-и в предыдущем
параграфе, в виде х (t) = A (/) cos [a0t + 6 (/)].
vaememz/ш
детектор
—»•
Фильтр
нижних
частет
Q
Рис. 11.10. Структурная схема частотного детектора.
При анализе совместного действия s (t) и х (t) на частотный
детектор облегчим задачу, рассматривая раздельно два режима:
1) при отсутствии полезной частотной модуляции, когда на входе
детектора действует чисто гармоническое колебание s (t) = As cos &0t
и шум х (t), 2) при наличии частотной модуляции. Будем считать,
что во втором режиме помеха на выходе детектора остается такой же,
что и в первом.
Итак, в отсутствие модуляции суммарное колебание на входе
ограничителя равно [см. (11.31)1
s (f) + х (t) = As cos oy + A (f) cos [co0t + 6 (t)] =
= U (t) cos l(o0t + I (01, (П.49)
где U (f) и l(t) определяются выражениями (11.32) и (11.33).
sftj+xffl
Фильтр
прем.
частет
Амплитудный
ограничитель
Обозначив порог ограничения через Unop, приходим к
следующему выражению для колебания на выходе ограничителя:
"пых (0 = С/пор COS [С00/ + | (01 (11 -50)
[сравнить с (8.45)].
Напряжение на выходе частотного детектора, пропорциональное
производной фазы | (i) в отсутствие полезной модуляции,
является помехой. Таким образом,
*оыХ (0 = 5ЧД | (/), (11.51)
где S4H — крутизна характеристики частотного детектора (см. § 8.9).
Как видим, интенсивность и структура помехи хвых (/) на выходе
частотного детектора полностью определяется статистическими
характеристиками производной фазы | (f).
Общее выражение для фазы при любых соотношениях между
A (t) и As (i) имеет вид (11.33). Однако в реальных условиях приема
частотно-модулированных колебаний обеспечивается значительное
превышение сигнала над помехой. Обычно Л|/2а|^>1. (Как и в
предыдущем параграфе, а? — средняя мощность шума на входе
детектора.) Поэтому выражение (11.33) для фазы можно упростить:
I {f) ~ arctg P(<)sin6(°] ^ AW Sin e {t). (i i .52)
Л
As
Статистические ' характеристики случайной функции £ (f) —
= (A (i)/As) sin 6 (f) совпадают с характеристиками, найденными
в § 4.6 для квадратурных слагаемых узкополосного процесса. Там
было показано, что функция A (t) sin 6 (f) обладает нормальным
законом распределения и энергетическим спектром 2WX (co0 +^)
[см. выражение (4.64)]. Таким образом,
№| (Q) = 2WX (co0 + Q)l At. (11.53)
При дифференцировании нормального случайного процесса
распределение остается нормальным (см. §7.1). Следовательно,
Е (0, т. е. мгновенное значение частотного отклонения, также
обладает нормальным распределением.
Итак, при Е2/2ох ^> 1 шум на выходе частотного детектора
(как и на входе) является нормальным случайным процессом.
Остается определить энергетический спектр процесса t{t). Для
этого достаточно умножить Wg (Q) на Q2 (см. § 7.3). Таким образом,
Wt (Q) = Q2 W% (Q) = ^ Wx (со0 + Q), (11.54)
а энергетический спектр помехи на выходе частотного детектора
в соответствии с выражением (11.51)
wBM(Q)=s^^(p)=^kflLwje(cD0+fi). (П.55)
Наконец, корреляционная функция помехи на выходе фильтра
нижних частот (с полосой пропускания QMaKC)
и дисперсия,
* макс
Явы*(т) = — J U7EbIX(Q)e^MQ =
макс
Q
2 макс
макс
т. е. средняя мощность помехи,
(11.56)
2 макс
= ЯвыХ(0) = !^- j" Q"Wx(<o0 + Q)dQ. (11.57)
"макс
Обратимся теперь к режиму частотной модуляции, при котором
напряжение на выходе частотного детектора пропорционально
девиации частоты. При тональной модуляции амплитуда напряжения
будет
Us = 5чдсод. (11.58)
Итак, мощность сигнала на выходе (без учета влияния помехи)
равна Щ/2 = 1/25чД сод, а мощность помехи ((без учета модуляции)
определяется выражением (11.57). Следовательно-, отношение
сигнал — помеха ня выходе
Ш™=_^ = в ^ . (11.59)
\П/вых С1ЫХ "макс
— Q?Wx{v)B+Q)dQ
п J
— ймакс
Проиллюстрируем выражение (11.59) следующим примером.
Пусть помеха на входе детектора является белым шумом с
энергетическим спектром Wx((o) — W0 = const.
Тогда интеграл в (11.59) равен 2QliaKCWn/3 и выражение (11.59)
легко приводится в виду
ш
вых (1/п)2ймакс WB Wo2VFuzkc) \ Цяакс /
Но At/2 есть мощность сигнала на входе, a W02 (2FMaKe) есть не
что иное, как а%, т. е. мощность шума в двух полосах 2Д/0 = 2FllSLi:0
(одна в области со > 0, вторая в области со < 0).
Таким образом, окончательно
/с_уи =3рд_у(£Л . (П.60)
\ П /вых Чумаке/ \ Ч/вх
Увеличивая отношение oH/QMaKC, т. е. индекс угловой
модуляции, можно получить большой выигрыш в величине сигнал-помеха
по сравнению с величиной С/П в системах с амплитудной
модуляцией. Подобный способ получил широкое распространение в системах
радиовещания на УКВ, а также в каналах звукового сопровождения
в телевидении.
Следует подчеркнуть, что преимущества широкополосной
частотной модуляции сохраняются, пока помеха на входе детектора
слабее сигнала и пока обеспечивается полное ограничение амплитуды
колебания на входе детектора. В тех же случаях, когда помеха
сильнее сигнала, имеет место подавление сигнала.
11.7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ
И НОРМАЛЬНОГО ШУМА В АМПЛИТУДНОМ ОГРАНИЧИТЕЛЕ
С РЕЗОНАНСНОЙ НАГРУЗКОЙ
Как и в § 11.5, представим сумму гармонического колебания
«(t) = Е cos co0tf и узкополосного шума х (t) = A (t) cos [ю0* +
+ 6 (t)] в виде
ы (0 = U (0 cos [со0 t + 1(f)],
где медленно изменяющиеся функции U (f) (огибающая) и Е (t)
(фаза) определяются выражениями (11.32), (11.33).
Вольт-амперную характеристику нелинейного элемента,
осуществляющего амплитудное ограничение, определим выражением
i(u) = lmV ПРИ">°- (11.61)
[О при и^.0,
где а — постоянный множитель; v — положительное
действительное число; i и и—нормированные (безразмерные) величины.
Кривые I (и) для v = 0; 1/2; 1 и 2 изображены на рис. 11.11.
Ток i отличен от нуля только при положительных полуволнах
входного колебания. Случаи v = 1; 2 соответствуют однополупериодному
выпрямлению (детектированию); v = 1 соответствует также
оптимальному режиму нелинейного резонансного усилителя с углом
отсечки 6 == 90° (см. § 8.4). Случай v = 1/2 характерен для того же
усилителя при заходе и в область насыщения характеристики, а
также для нежесткого ограничения амплитуды. Наконец, случай
v = 0 соответствует идеальному ограничению.
Общее выражение для тока имеет вид1
I (t) = 2) с (»• т)u" (0 cos [m%t + ml (t)]. (11.62)
m = 0
1 Cm. [3], а также предыдущее издание настоящей книги, М., «Сов.
радио», 1971.
1
п
С
If-
f
/*0
^ 0
1 *.
Z и
Это выражение определяет ток I (t) в виде суммы колебаний,
средние частоты которых тш0 и фазы m£ (t) кратны частоте со0
и фазе \ (t). Огибающие же этих колебаний Uv (f) равны о-й степени
амплитуды воздействия. Постоянные коэффициенты С (v, m) зависят
от степени v, т. е. от формы вольт-амперной характеристики I (и).
Если на выходе устройства имеется фильтр, пропускающий
только постоянный ток и примыкающие к нулю частоты (фильтр нижних
частот), то должно учитываться лишь
одно слагаемое, соответствующее
значению т = 0:
im (t) = С (v, 0) U° (0.
Для линейного детектора, т.е. при v— 1,
получаем
U (0 = С (1, 0) U (0,
а для квадратичного детектора (однополу-
периодного), т. е. при v = 2,
im (f) = С (2, 0) С/2 (0.
Как и следовало ожидать, в первом
случае выходная величина
пропорциональна первой степени, а во втором —
квадрату огибающей входного напряжения.
При ограничителе с избирательной нагрузкой, выделяющей
полосу частот вблизи со0, для слагаемого, соответствующего т = 1,
получаем
Ч, (0 = С (v, 1) V (0 cos [ay + I (fj\. (11.63)
Из этого выражения вытекает важное заключение о структуре
колебания на выходе резонансного ограничителя: частота и фаза
колебания полностью совпадают соответственно с частотой и фазой
входного воздействия. Закон изменения огибающей Uv (f) зависит
от формы вольт-амперной характеристики.
При v — 0 (идеальный ограничитель) амплитуда выходного
колебания постоянна, так что выражение (11.63) принимает вид
ia>0 (t) = С (0, 1) cos [со0/ + I (01. (11-63')
Коэффициенты С (v, т), входящие в выражение (11.63),
определяются на основе представления характеристики I (и) в виде
контурного интеграла1. Приведем значения трех коэффициентов,
входящих в предыдущие выражения:
С (1,0) = а/я, С (2, 0) = а/4, С (0, 1) = lain.
Рис. 11.11.
Характеристики нелинейных элементов.
1 См. [31, а также предыдущее издание настоящей книги.
Эти коэффициенты можно получить также, рассмотрев
^гармоническое воздействие на нелинейный элемент (а узкополосныи процесс
в пределах одного периода близок к гармоническому).
Действительно, в режиме линейного однополупериодного
детектирования, изображенном на рис. 11.11, т. е при угле отсечки
тока 90°, среднее значение тока равно 1/л от амплитуды импульса.
При квадратичной характеристике детектора оно равно 1/4. Ампли-
2л-£~${сд±а0)
■Zrt~J(a-a0j
~b(i)Q ~ZC)Q ~й>0
а)
0Q 2(l>Q i(j)Q
47
(О
Рис. 11.12. Спектр на входе (а) и выходе (б) идеального ограничителя.
туда первой гармоники при полном ограничении, когда импульсы
тока имеют форму прямоугольников, составляет 2/я от высоты
импульса.
Спектральный состав тока I (f) в режиме v = 0 (идеальное
ограничение) представлен на рис. 11.12. На рис. 11.12, а показаны
энергетический спектр Wx (со) шума х (t) на входе ограничителя
и спектральная плотность мощности гармонического колебания
2л |2 б (со =F ©0).
На рис. 11.12, б показаны спектральные полосы шума и
дискретные спектральные линии гармонических составляющих тока
I (t) (с точностью до масштабных множителей). При узкополосном
входном шуме и гармоническом сигнале, спектры которых
сконцентрированы вблизи частоты со0, спектр тока i (t) группируется вблизи
частот со = 0, ± Щ, ± 2tt)n» ± 3с°о и т- Д-
Вследствие резонансного характера нагрузки ограничителя
надо учитывать энергетический спектр WBbre (со) только в полосах,
которые группируются вблизи частот ± со0 (рис. 11.12).
Следовательно, ток ограничителя, создающий напряжение на резонансной
нагрузке, можно представить в виде суммы
у (t) = А0 cos a>0t + £ш (t),
где im(f)— узкополосное шумовое колебание с центральной
частотой й)0-
Подробный анализ [3] показывает, что мощность флуктуацион-
ной составляющей im (t) (в главной спектральной полосе, вблизи
со ± со0) составляет около 80% от всей мощности выходного шума.
Основной интерес представляет соотношение между мощностью
полезного колебания, равной V^*, и мощностью шума im (t).
Характерной особенностью идеального ограничителя является
независимость полной мощности (средней) суммарного колебания
у (t) от соотношения мощностей на входе ограничителя. В любом
случае эта мощность равна Ру = V2 (2а/п)2, где а — постоянная
величина (см. рис. 11.11), определяющая амплитуду
прямоугольных импульсов тока диода.
При отсутствии полезного сигнала (Е = 0) вся мощность Ру
сосредоточена в шуме. При отсутствии шумовой помехи на входе
вся мощность Ру сосредоточена в сигнале, причем величина
амплитуды Л о достигает при этом максимального значения Л0 макс =
= 2а/п.
При одновременном воздействии s (f) и х (t) амплитуда А0
определяется выражением
где 10 и /, - функции Бесселя от мнимого аргумента (см. § 11.б),
а И2 = Е2/2а% — отношение сигнал-помеха на входе ограничителя.
Для контроля заметим, что в отсутствие помехи, когда h -*- со
[см. [6] формула (8.451.5)],
(*.\-r (IL\ e*'/s ._- e*V2
0 ( 2 ) ~ 4 2 / 1^H(ft/V2) УИк
и выражение (11.64) дает Ломакс = 2a/n.
В другом предельном случае к2 <^ 1 (слабый сигнал), когда
/0(Ав/2)->1, IAh*L2)-+Hlfi, e-ft2/2^l,
амплитуда сигнала
А0 та (а/У~п) 1г.
Отношение
можно рассматривать как коэффициент ослабления сигнала помехой
в ограничителе.
Приведем отношение сигнал—помеха (по мощности).
При слабом сигнале [3] (h2 <^ 1)
/ ah
(£.) ■_ А* = Ь^У _, п &== п (с )
макс / 2а \г 4 4 V П/
i
ВХ
а при сильном сигнале (Л2 ^ 1)
(.£) ,2(1) .
V п увых V п )т
Итак, при /г2< 1 относительное ослабление сигнала в
ограничителе составляет всего лишь я/4. При сильном сигнале (ft2^>l)
отношение сигнал—помеха на выходе вдвое больше, чем на
входе. Следует отметить, что относительное уменьшение дисперсии
шума на выходе обусловлено подавлением составляющей, синфазной
с сигналом. Дисперсия ортогональной составляющей шума,
вызывающей флуктуацию фазы выходного сигнала, не уменьшается.
11.8. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Пусть передаточная функция линейной параметрической цепи
является вещественной функцией времени и не зависит от частоты.
В § 10.2 было показано, что подобная передаточная функция
характеризует цепь, в которой имеет место амплитудная модуляция.
Обозначим передаточную функцию через К (t) (аргумент ш
опущен), причем функция К (f) может представлять собой как
детерминированный, так и случайный процесс. Входной сигнал s (f)
также может быть либо детерминированным, либо случайным
процессом.
Составим выражение для корреляционной функции выходного
сигнала sBbIX (t):
£вых С Т) = < SBbIX (t) SBbrx (* + Т)> = <К (f) K{t +
+ т) s (f)s (t + т)>. (11.65)
Нас интересует случай, когда передаточная функция К (t) не
зависит от входного сигнала s (t). Тогда среднее значение
произведения в (11.65) равно произведению средних значений
соответствующих сомножителей, т. е.
Явых U, Т) = <К (/) К (t + Т)>< S (t) S (t+ Т)> =
= BK{U x)B„(t, т), (11.66)
где Bs (t, т) есть корреляционная функция входного сигнала, а
Вк (t, r)=<K(f)K(t + т)> (11.67)
— корреляционная функция цепи с коэффициентом передачи К (О*
Из выражения (11.66) вытекает важное свойство линейной цепи
с переменными параметрами: корреляционная функция выходного
сигнала равна произведению корреляционных функций входного
сигнала Bs (t, т) и цепи Вк Ц, т).
Корреляционные функции в (11.66), (11.67) в случае
нестационарных процессов зависят не только от временного сдвига т, но и от
времени t. Этими характеристиками не всегда удобно пользоваться.
Далее в примерах используются функции В (т), получаемые
усреднением В (t, т) по t [см. § 4.7, формулу (4.89)].
• Применяя преобразование Фурье к усредненной по времени
функции Въъш (т), получаем также усредненный энергетический спектр
выходного сигнала
00
И7ВМ(со) = j Ввых (т) е-*« dr. (11.68)
— оо
Проиллюстрируем соотношения (11.65)—(11.68) на примерах.
1. Гармонический сигнал s (t) = cos <в0/ действует на входе линейной
цепи о передаточной функцией
К (0 = К0 + &К (О, (П.69)
где Кй — среднее значение коэффициента усиления цепи; &К (t) —
флуктуация коэффициента усиления, представляющая собой нормально
распределенный стационарный случайный процесс g дисперсией ah.
Для полной характеристики изменения во времени передаточной
функции цепи должны быть заданы либо корреляционная функция Вк(т), либо
энергетический спектр W к(а>) случайного процесса К СО-
Очевидно, что постоянной составляющей Ко соответствует энергетический
спектр W„0 (со) = 2пК%& (ю)*. Энергетический спектр второго слагаемого,
т. е. Д/С (*)> зададим в форме
ГДЛ(со) = 2С/(аз+шз),
где а и е — постоянные величины.
Таким образом, энергетический спектр суммы К0 + &К (I)
Wк (а) = 2пК% б (й)) + 2с/(а2+й)2). (11.70)
Заданному энергетическому епектру WU(u) соответствует
корреляционная функция
оо оо
Вк (т) = у- Г WK (со) е'"6" da> = -—■ Г 2пКЪ б (со) е'ют dm -f
— со —оо
00
+_1_ Г _Ji_e^dffl=/C2 + ^-e-alT|. (11.71)
т2я J а2+ш2 а
1 Действительно, для постоянной составляющей К0 корреляционная
Функция равна Kg. Следовательно, по формуле (11.68) энергетический спектр
оо
Найдем корреляционную функцию и энергетический спектр сигнала на
выходе цепи.
Имея в виду соотношения (11.66) и (11.71), а также учитывая, что
корреляционная функция сигнала s (t) = cos a0t равна
£s(t) = — совеет,
2
получаем
Ввых (т) =ВК (т) Bs (т) = -J- U* + ?- е~"К) cos ю„ т.' (15 • 72)
Находим теперь энергетический спектр с помощью выражения (11.68)1
^выхИ =
СО
К1+-
>-aW)cosa>0Te-l(ux
й%—
=т«*
, — /(СО — Шо)Т
)Т dT+ J
e-''to+",",Tdx
+
+Т7
е—pill е—/(со—м0:
оо
Первые два интеграла дают дельта-функции 2л6 (со — со0) и 2зхб (со + со„)"
Последние же два интеграла дают соответственно 2а/[а2 + (со — со„)а] и
2а/[а2 -\- (со -f- <в0)2]. Таким образом, окончательно
й7ВЫхН = у Kl [6(C0-CU„)+6(C0 + CU0)]-h
+
1
-+-
1
(11.73)
2 L а2+ (со — а>0)2 ' а2 + (со + со0)2 J
Функция №вых(со) изображена на рис. 11.13. Монохроматической
составляющей выходного сигнала соответствуют две дискретные спектральные
линии, а шумовой составляющей, обусловленной флуктуациями усиления
Д/< (t), — сплошной спекф (на рис. 11.13 заштрихован). Этот спектр состоит
из комбинационных частот, располагающихся симметрично относительно
частоты сигнала сои (в области отрицательных со симметрично
относительно — <в0).
2. Нормально распределенный случайный процесс ь (t) <? энергетическим
спектром (рис. 11.14)
№6(ffl) = 2d/(fc2+a>2), (П.74)
группирующимся вблизи нулевой частоты, действует иа входе цепи с
передаточной функцией
/< (t) = /<•„ (1+ /И cos Ql) при М < 1.
Находим корреляционную функцию входного сигнала
Ва (т)
ОС
=—f
2я J
2d
62+со2
и корреляционную функцию цепи
1
dco =
d
-b\z\
Вк (х) = Kt + — M* Kl cos fir.
(11.75)
(11.76)
(П.77)
Тогда в соответствии с соотношением (11.66) корреляционная функция
выходного сигнала
Ввых (т) = Вк (т) В„{х) = ~ (к* + — АР Kl cos От) е ~ » И (11.78)
и энергетический спектр
№в
.(«):
ъ
=К8
dA42 /<g
e-6|x|e-totdT+JilZ_iUi f e-fcItlcosQTe-'OTdT=
— ОС
2rf
б2 4-cu3
-/CnM2d
1
1
a+ (ю—Q)2 fe2+ (a>+Q)2J
(11.79)
Функция U^bhx (m) изображена на рис. 11.14.
3. Нормально распределенный случайный процесс s (t) действует на
входе цепи, передаточная функция К (0 которой является также случайным
процессом с нормальным распределением.
Рис. 11.13. Энергетический спектр на Рис. 11.14. Энергетический спектр на
выходе параметрической цепи со слу- выходе параметрической цепи с
перечайной передаточной функцией при даточной функцией, изменяющейся по
гармоническом воздействии. гармоническому закону, при
воздействии нормальным случайным
процессом.
Энергетические спектры процессов s (t) и К (t) зададим в форме Wa(a) =
= 2d/(62 -f со2) _ как в примере 2, Wк(а>) = 2пК$б (со) + 2с/(аа + со2)
— как в примере 1.
Корреляционные функции входного сигнала и рассматриваемой цепи
Соответственно равны
Bs(r) = (d/b)e-bixK BK (T) = tf2 + (c/fl) е-о1ч.
Находим корреляционную функцию выходного сигнала
Ввых (т) = Вк (т) Bs (т) = — К1
и энергетический спектр
2d ей
2c-MTl+_£fLe-lc+fc>l'4
аЪ
1Рвых<т) = /Сг
2(g+fc)
62+а>2 ' аЬ [(а+Ь)2+й)2]
(11.80)
(11.81)
Первое слагаемое в правой части соответствует сигналу на выходе цепи
с передаточной функцией Ко (в отсутствие мультипликативной помехи), а
второе слагаемое соответствует мультипликативной помехе. Величина этого
слагаемого пропорциональна произведению параметра й, характеризующего
интенсивность сигнала, и параметра с, который определяет дисперсию
флуктуации передаточной функции цепи о%.
11.9. ВЛИЯНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ПОМЕХИ НА ЗАКОН
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИГНАЛА
Рассмотренные в предыдущем параграфе характеристики
случайного сигнала — корреляционная и спектральная — не являются
исчерпывающими. Для прикладных задач большой интерес
представляет определение плотности вероятности р (sBblx).
В общем случае, когда передаточная функция цепи К (tco, /)
является функцией двух переменных — частоты и времени,
отыскать р (sBbIX) при произвольном законе распределения входного
сигнала весьма затруднительно. Задача сильно упрощается при
мультипликативной помехе типа амплитудной модуляции, когда
передаточная функция К (0 зависит только от одной переменной —
времени t.
Имея в виду это условие, рассмотрим следующие три
характерные ситуации:
1) s (f) — случайный, а К (ч — детерминированный процессы;
2) s (f) — детерминированный, а К {t)—случайный процессы;
3) s {£) и К (0 — случайные процессы.
Ситуации 1 и 2 приводят к задаче нахождения закона
распределения произведения s (t), К. (f), в котором один из сомножителей
является случайной, а другой — детерминированной величиной.
Если случайный процесс стационарный, задача легко решается.
Из теории случайных функций известно, что при умножении
случайной функции х (t) (стационарный процесс) с дифференциальным
законом распределения р (х), с нулевым средним и дисперсией а%
на детерминированную функцию времени у (I) получается
нестационарный процесс x(t) у (f) с прежним законом распределения, но
с дисперсией оЦых = aly* (t).
В частности, если входной сигнал s (/) — стационарный,
нормально распределенный процесс с дисперсией of, а передаточная
функция системы К (t) — детерминированная (случай 1), то
выходной сигнал сохраняет нормальное распределение, однако
каждому фиксированному моменту времени соответствует своя
дисперсия св2ых = а! К2 (Q.
При детерминированном сигнале s(t) и случайной функции К (О
(случай 2), если последнюю можно представить в форме К (t) =
= Ко + AjK (t), выходной сигнал целесообразно записать в виде
sBbix (0 = К (/) s (0 = K0s (t) + AK (/) s (0 =*
5сыхдет \Ч Т Sbhxcji W« (ll.b^J
Первое слагаемое в правой части характеризует полезный
выходной сигнал (детерминированный), а второе —
мультипликативную помеху (случайную). Закон распределения этого слагаемого
такой же, как у случайного процесса АЛ" (t), но с дисперсией
o&s2(t) (при AK(t) = 0).
Рассмотрим случай 3. Пусть оба процесса s (/) и К (0
стационарные, с плотностями вероятности соответственно р (s) и р (/С).
Задача заключается в нахождении плотности вероятности случайного
процесса sEbIX (f), являющегося произведением s (t) и К (t).
Из теории вероятности известно, что если взаимно независимым
случайным величинам х и у соответствуют плотности вероятности
р (х) и р (у), то произведению z = xy соответствует плотность
вероятности р (г), определяемая выражением
эо
р(г)= ^p(x)p^JL. (11.83)
— ее
Подразумевая под х входной сигнал s (/), под у передаточную
функцию К (f), а под z произведение sBbIX {С) — s (t) К (f),
получаем выражение для определения плотности вероятностей выходного
сигнала sBbIx. Применение (11.83) иллюстрируется примерами.
1. В качестве первого примера рассмотрим передачу гармонического
сигнала s (') — Л0 cos (<B0tf-f- 6), в котором начальная фаза 6 является случайной
величиной, равномерно распределенной на интервале (— л, я), через
линейную цепь с передаточной функцией К (f), флуктуирующей относительно
среднего значения Кп по нормальному закону.
Таким образом, соответствующие плотности вероятности
Подставляя эти выражения в (11.83) и приравнивая х = s, a zlx = р =
= ^ых^ = К, приходим к следующему общему выражению для плотности
вероятности выходного сигнала:
1
Р<«ных) = -
Г (sBbix/s-Ko)2 1
~[/2лак J -[/A%—s* l«l
-А>
Следует подчеркнуть, что найденный закон распределения характеризует
мгновенное значение выходного сигнала.
Для практики часто основной интерес представляет распределение
огибающей выходного сигнала.
Представляя выходной сигнал в форме
%ых (0 = s (О К (0= A,cos (шс/+в) \К0+Ы< (01 = A (t) cos(co^+G),
где A (t) — Ав [Кв + Д/< (/)] — огибающая, приходим к очевидному
заключению, что случайность фазы 6 не оказывает влияния на распределение
огибающей. Последнее совпадает g распределением функции К (t), т. е.
является нормальным, со средним значением А0КВ и с дисперсией Л§ак-
2. Обратимся теперь к анализу статистических характеристик случайного
нормально распределенного сигнала s (t), пропущенного через цепь,
передаточная функция которой К (0 также является нормально распределенной
случайной величиной.
Для упрощения воспользуемся представлением передаточной функции
в виде К (0 = Ко + ЛК (0. в соответствии с чем выходной сигнал можно
записать в виде суммы, аналогичной (11.82):
%ых (0 = Ко s (0 + ЛК (0 s (0 = «вех (0 + *мв (0 •
Первое слагаемое в правой часги, отличающееся от s (t) постоянным
коэффициентом /С0, характеризует полезный сигнал на выходе цепи.
Статистические свойства этого сигнала совпадают со свойствами случайного сигнала
s (/), действующего на входе цепи, а дисперсия равна /<jj ov
Рассмотрим слагаемое sMn (t), являющееся результатом действии
мультипликативной помехи. По условию
1 —is/2a?
Р(8) = 17^аГе "РН -°°<*<~.
р(ДК) = г7= е д при -оо<Д/С<оо.
У2яак
Подставляя эти выражения в (11.83), находим плотность вероятности
помехи sMD (t):
PISMD) = — e s e 2a|
,—i— f
2jtasaA J
oo —
oo
ЬЛехр{-[
si
• +
2a* 20^ j
ds
s
(11.84)
Входящий в это выражение интеграл является частным случаем
интеграла (см [6], формула (3.478.4))
ОС
f *v~' exp(-pV-7*-")d*=— (WP)v/2p/<v/P(2yra, (11.85)
о "
(Rep>0, Rev>0).
Здесь Kvip(z) — цилиндрические функции мнимого аргумента.
Приравнивая в соответствии с (11.84) v= 0, Р = l/2as, у = s2 /2a?,
2S МП t\
, получаем
Обозначение цилиндрической функции нулевого порядка К0 не следует,
смешивать со средним значением передаточной функции К (0 [см. (11.69)].
Для вычисления функции Кь (г) можно использовать ряд (см. [6],
формула (8.447.3))
/с0{г,=_1п-|-/о(г,+2 -^__^+1)> (И,87)
ft=0
где /0 (г) - функция Бесселя от мнимого аргумента; г|э — функция Эйлера
и = 1 "
С = 0,5772 — постоянная Эйлера.
С учетом (11.87) выражение (11.86) переходит в следующее!
„/„ \ ' Г i_ I sMn I , /|£мп1 \ ,
Р (sMn) =— — 'п /0 ( -Ь
яо^а5 ^ 2aKas ^ а„ о^ J
(11.88)
fc=0
График функции asaKp (sMn) изображен на рис. 11.15. Этот график имеет
обобщенныихарактер, иллюстрирующий закон распределения произведения
двух нормальных взаимно независимых случайных процессов о дисперсиями
о| и ab и G нулевыми средними.
3. Допустим, что входной сигнал представляет собой узкополосный
нормально распределенный процесс
s (0 = A (t) cos [a>0/ + 6 (t)], (11.89)
причем огибающая A (t) и функция \К it) обладают примерно одинаковыми
по ширине энергетическими спектрами.
-0,5 0 0,5 1,5 smfaeK
1 Аых/о&к
Рис. 11.15. Плотность вероятности Рис. 11.16. Плотность вероятности
произведения двух независимых нор- огибающей случайного процесса на
мальных случайных процессов. выходе параметрической цепи со
случайной передаточной функцией при
воздействии нормальным процессом.
Тогда колебание sMn if) удобно представить в форме, аналогичной (11.89):
,мп (I) =.л (/) д/< [ft cos hz+o mi =лвых (О cos к/+еit)].
Для практики часто требуется знать закон распределения огибающей
^вых(0> т. е. случайной функции
ЛвыхМ = Л(0АК(0.
Учишвая, что А обладает релеевским распределением:
А -41^1
as2
0< А <<х>,
а А/С (i) — нормальным распределением:
в соответствии с (11.83) получаем
— /lS ~ ^ЕЫХ 1
ОО 00 ~— ~
2а| ^К
о
^ .J, f e-W-v/# dA, (И .90)
У 2я.а5 ак J
р = 1/2о|, V = ^b,x/2^.
Интеграл в выражении (11.90) является частным случаем интеграла (11.85)
при 7 = 1 и р = 2.
Таким образом,
^(^)=vi^(i)1/4/c,/2(2VFv)"
Учитывая, что (см. [61, формула (8.469.3))
«1/2 <*>=■}/ -^-е-*
и подставляя значения Р и "у> получаем
График функции 2osaKp (Лвых) изображен на рис. 11.16. В отличие от
огибающей A (t), которая не может принимать отрицательных значений,
величина Лвых(^), являющаяся произведением A (f) и Д/С (0. имеет
симметричное относительно нуля распределение (экспоненциальное).
Глава 12
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА
НА ФОНЕ ПОМЕХ
12.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
При синтезе радиотехнических цепей для обнаружения и
обработки сигналов на фоне помех необходимо прежде всего найти
оптимальную в определенном смысле передаточную функцию цепи.
Подход к решению этой задачи зависит от назначения устройства.
Рассматриваются, например, следующие проблемы.
1. Обнаружение сигнала, когда требуется только дать ответ,
имеется ли в принятом колебании полезный сигнал или оно
образовано одним шумом.
2. Оценка параметров, когда требуется с наибольшей точностью
(в смысле среднеквадратической ошибки) определить значение
одного или нескольких параметров полезного сигнала, таких как
амплитуда, частота и т. д. (разумеется, это можно сделать лишь
после того, как сигнал обнаружен, т. е. он с достаточной уверенностью
наблюдается на выходе приемника).
3. Разрешение (или различение) сигналов, когда на входе
возможно присутствие нескольких сигналов (относительно каждого из
которых имеются некоторые априорные сведения) и нужно указать,
какие именно сигналы присутствуют.
4. Воспроизведение первоначальной формы сигнала,
искаженной действием шумов.
5. Предсказание (экстраполяция) сигнала, когда следует,
располагая «историей» сигнала, предсказать его наиболее вероятные
значения в будущем.
Задачи обнаружения, оценки параметров, разрешения
возникают, например, в радиолокации, при измерениях, в радиоастрономии.
Задачи воспроизведения и предсказания характерны для
автоматического управления.
Л'еюды изыскания алгоритмов, описывающих такие
преобразования входного воздействия, при которых обеспечивается
оптимальное выполнение перечисленных выше задач, излагаются
в специальных курсах.
Для теории радиотехнических цепей и сигналов большой
интерес представляет изучение возможностей ослабления вредного
действия помехи при заданном сигнале. Поэтому ближайшие
параграфы (§ 12.2—12.4) посвящены определению характеристик
фильтров, оптимальных для сигнала, действующего на фоне помехи.
Подобные фильтры называются согласованными с сигналом. В
последующих параграфах приводятся примеры построения
согласованных фильтров.
12.2. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЗАДАННОГО СИГНАЛА
Линейная фильтрация сигнала для выделения его из смеси
сигнал-!-шум является одним из основных процессов, осуществляемых
в любом радиоприемном устройстве. В основе фильтрации лежит
использование частотной избирательности колебательных цепей.
На протяжении первых 50—60 лет развития радиотехники к
подобным частотным фильтрам предъявлялось требование возможно
более равномерного пропускания спектра сигнала и возможно
более полного подавления частот вне этого спектра. Идеальным
считался фильтр с прямоугольной П-образной АЧХ.
С развитием теории информации и статистической теории
обнаружения сигналов трактовка функций, которые должны выпол-
няться линейным фильтром, а также подход к его построению
существенно изменились.
Стало очевидным, что указанная выше трактовка обладает
следующими двумя недостатками: 1) не учитывается форма сигнала
(Которая может быть различной при одной и той же ширине спектра
сигнала); 2) не учитываются статистические свойства помехи.
Поэтому даже идеальный фильтр с fi-образной АЧХ фактически не
согласован с сигналом и помехой и не дает на выходе максимально
возможного отношения сигнал—помеха.
Коренной перелом в теории и практике линейной фильтрации
связан с появлением работ Н. Винера, А. Н. Колмогорова, В. А. Ко-
тельникова и других ученых, которые поставили и решили
задачу синтеза фильтра, оптимально-
5вых#Л го п0 отношению к заданному сиг-
п t ft; *■ налу, действующему на фоне помехи
с заданными статистическими харак-
Рис. 12.1. Воздействие сигнала тернстиками.
и помехи на линейный четырех- В зависимости от того, какая из
полюсник. перечисленных в предыдущем
параграфе задач решается, критерии
оптимальности могут быть разными. Для задачи обнаружения
сигнала в шумах наибольшее распространение получил критерий
максимума отношения сигнал—помеха на выходе фильтра. Фильтры,
отвечающие этому критерию, называются согласованными. В
настоящей главе рассматриваются только такие фильтры.
Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал—
помеха, можно сформулировать следующим образом. На вход
линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и
передаточной функцией К (ш) подается аддитивная смесь сигнала s (/)
и шума п (t) (рис. 12.1). Сигнал полностью известен; это означает,
что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет
собой вероятностный процесс с заданными статистическими
характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий
получение на выходе наибольшего возможного отношения
пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. При
этом не ставится условие сохранения формы сигнала, так как для
обнаружения его в шумах форма значения не имеет.
Для уяснения сути согласованной фильтрации сигнала сначала
рассмотрим наиболее простой случай, когда на входе фильтра с
равномерной АЧХ имеется один лишь полезный сигнал s (0 с
известным спектром S (со) = S (со) е''ф*(0)). Требуется найти фазочастот-
ную характеристику фильтра, при которой обеспечивается
максимизация пика сигнала на выходе фильтра. Напомним, что
спектральная плотность S (со) сигнала полностью определяет его
энергию Э. Любое изменение фазовых соотношений в спектре не
оказывает влияния на энергию сигнала (см. § 2.8). Поэтому поставленная
выше задача равносильна задаче максимизации пика сигнала при
заданной энергии входного сигнала.
s(t),n(t)
К(ш)
Представим выходной сигнал в виде
1 °°
sBbiX (0 = — j S И К (tto) е-™ do, (12.1)
■—со
где
К(ш) = К0еФ'<№ (12.2)
— передаточная функция неминимально-фазового
четырехполюсника с искомой фазочастотной характеристикой ф/< (со) и с
равномерной амплитудно-частотной характеристикой К0 = const.
Таким образом,
scbix(0==^- f S(co)e * ^ = f 5(й)е1 ™s "'< 'V
— OO —CO
(12.3)
Основываясь на очевидном неравенстве
b b
[F(x)4x^^\F(x)\dx (12.4)
a a
! ffoi-fq> <G>j+q> (G»]l
и учитывая, что |е к 1=1, можно составить
следующее неравенство:
ОО
WCX-J2- ('lS(co)lrico. (12.5)
— ex
Это неравенство определяет верхний предел мгновенного
значения колебания sBbls (t) при заданном спектре входного сигнала.
Максимизация пика выходного колебания получается при
обращении неравенства (12.5) в равенство, а для этого необходимо, как это
вытекает из сопоставления выражений (12.3) и (12.5), обеспечить
определенное соотношение между фазовой характеристикой фильтра
Фк (со) и фазовой характеристикой спектра cps (со) входного сигнала.
Допустим, что выходной сигнал достигает максимума в момент
^о (пока еще неопределенный). Тогда выражение (12.3) дает
- WMaKc(0 = W<A,)==-|- JS(©)e A», (12.6)
— ос
а условие обращения неравенства (12.5) в равенство сводится к
следующему:
aDt + ф8 (со) + фк (со) = О
или
Фд (со) = — 1ф. (to) + arf„]. (12.7)
Это соотношение можно назвать условием компенсации началь*
ных фаз в спектре сигнала. Действительно, первое слагаемое в
правой части (12.7), равное — ф8 (со), компенсирует фазовую
характеристику ф8 (со) входного спектра S (со). В результате прохождения
сигнала через фильтр с фазовой характеристикой ф/< (со) сложение
всех компонентов спектра, скорректированных по фазе, образует
пик выходного сигнала в момент времени t = t0.
Связь между фазовой характеристикой ф„ (со) входного спектра,
компенсирующей ее характеристикой — ф8 (со) и полной фазовой
характеристикой фильтра ф/< (со) =
= — [фе (to) + со0£0] поясняется
рис. 12.2.
После прохождения через фильтр
спектр выходного сигнала будет иметь
фазовую характеристику
<Ps пых («>) = Фб (Ш) + фК (СО) =
= ф5(со) + [— ф6(ш) — ata] = — cof о,
(12.8)
s6M
Рис. 12.2. Соотношение между
фазовыми характеристиками
спектра сигнала на входе и
выходе согласованного фильтра.
показанную на том же рисунке.
Смысл и минимально возможное
значение t0 подробнее
рассматриваются в следующем параграфе, однако из
простых физических представлений
очевидно, что для образования пика
требуется использование всей энергии
сигнала, а это возможно не ранее
окончания действия входного сигнала. Иными словами, задержка t0
не может быть меньше, чем полная длительность сигнала.
Введем теперь в рассмотрение помеху на входе фильтра. При
равномерном энергетическом спектре помехи (белый шум) W (со) =
= W0= const—фильтр с равномерной АЧХ совершенно неприемлем,
так как мощность помехи на выходе достигает очень большой
величины (теоретически бесконечно большой).
Для отыскания оптимальной передаточной функции,
максимизирующей отношение сигнал—помеха на выходе фильтра, составим
выражения для сигнала и шума сначала отдельно, а затем в виде их
отношения.
Пиковое значение сигнала определим выражением
1
(t)=sBbIK(t0)=—- f S(<D)K(/fi>)e*».dto. (12.9)
Среднеквадратическое значение помехи на выходе фильтра
о=1/ — Г W (со) К2 И d©=l/J£° \ K*.(©>dco.
Следовательно, отношение пикового значения сигнала к средне-
квадрэтическому значению помехи на выходе фильтра
sbux Uo)
1 °° I
— j S (<в) К (too) еш' dos
/2
(12.10)
Воспользуемся известным неравенством Шварца
ь г ь ь
jj Fx (л;) F, (х) их < J| F, (х) fdx^\ Fa(л;) |йЖ»,
(12.11)
где Fx (л:) и F2 (x) — в общем случае комплексные функции.
Это неравенство обращается в равенство только при
выполнении условия
F, (х) = /IF? (х), (12.12)
т. е. когда F2 (л;) пропорциональна функции,
комплексно-сопряженной F, (х) (А — произвольный постоянный коэффициент).
Используя обозначения выражения (12.9), приравнивая S (со) =
= Fx (г'со) и К (ш) е"°'° = F2 (ш), можем переписать выражение
(12.11) в форме
2зх J
— СО
[ S (со) К (/со) е'и'о dco
<
2зх
f S2 (со) do — f /С2 (со) da.
(12.13)
Следовательно, определяемая выражением (12.10) величина
sBbiX (*оУ° отвечает условию
[j со j оо -11/2
— J Si («,,*,— J К-(о,)*,
. ^ — °° r^f J _.
^ 7 °z У'2
£ J KM»)*»J
2я
Г °°
L —о1
S2(to)dco
1/2
(12.14)
Учитывая, что выражение в квадратных скобках есть не что
иное, как полная энергия входного сигнала Э [см. (2.66)1, запишем
последнее выражение в форме
(12.15)
swa.№°<V9№'v
Наконец, из выражения (12.12) следует, что это неравенство
обращается в равенство при выполнении условия
К(ко)е'т'° = Л5*(ю),
откуда
К(£'со) = Л8*(со)е-'иЧ (12.16)
Полученное соотношение полностью определяет передаточную
функцию, максимизирующую отношение сигнал—помеха на выходе
фильтра.
о а о о
Ю -V
Рис. 12.3. Спектральная плотность сигнала и АЧХ согласованного фильтра (а)
и энергетические спектры на входе и выходе (б).
Учитывая, что S (со) = S (со) e""s , а комплексно-сопряжен-
ная функция S* (co) = S (со) е-""8^, перепишем выражение (12.16)
еще и в такой форме:
. К (to) = к И eV = AS И е-''[ф°(ш)+<а'°]. (12.17)
Из этого соотношения вытекают два условия для фазовой и
амплитудной характеристик согласованного фильтра:
Ф/< (со) = - [Фв (со) + cog, (12.18)
К (to) = AS (со). (12.19)
В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией
подразумевается безразмерная величина (например, отношение
комплексных амплитуд напряжения на выходе и входе), коэффициент
А должен иметь размерность, обратную размерности
спектральной плотности сигнала.
Соотношения (12.18), (12.19) имеют глубокий физический смысл.
Первое из них, совпадающее с (12.7) и определяющее
компенсацию начальных фаз в спектре сигнала, было истолковано выше.
Соотношение (12.19), устанавливающее, что модуль передаточной
функции К (со) должен по своей форме совпадать с модулем
спектральной плотности сигнала S (со), также легко поддается
физическому истолкованию. При АЧХ К (со), отвечающей условию (12.19),
фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравно-
мерно, с тем большим ослаблением, чем меньше модуль S (со). Это
приводит к существенному уменьшению мощности шума на выходе
фильтра. На рис. 1?.3, б эта мощность определяется площадью
(заштрихованной) под кривой WEblx (со) = К2 (со) W0. (Для
наглядности характеристики на рис. 12.3 построены в предположении, что
AS (0) = 1.)
Ослабление сигнала из-за неравномерности характеристики
К (со) выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку
уменьшение К (со) имеет место для спектральных составляющих,
вклад которых в величину пика сигнала сравнительно мал. В
результате получается ослабление шума относительно сигнала. В
сочетании с фазовой компенсацией спектра сигнала (на дисперсию
выходного шума эта компенсация не оказывает влияния) это и
приводит к максимизации отношения сигнал—помеха на выходе фильтра.
12.3. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА
ФИЗИЧЕСКАЯ ОСУЩЕСТВИМОСТЬ
Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра
К (ш) является функцией, сопряженной по отношению к спектру
сигнала S (со), указывает на существование тесной связи также и
между временными характеристиками фильтра и сигнала. Для
выявления этой связи найдем импульсную характеристику
согласованного фильтра.
Применяя выражение (5.28) и учитывая формулу (12.16),
получаем
оо оо
g (t) = JL Г к (/со) е'®' dco = А — Г S* (со) е'«*' -'«> d(a. (12.20)
ATI J лЛ J
— оо —оо
Учитывая, что
S* (со) = S (- - со)
и переходя к новой переменной сох = — со, переписываем выражение
(12.20) следующим образом:
— оо оо
g до_ d_ Г s (cox) e-to»«-'°> dcox = А — Г S К) е*м'°-<> dco^
+ оо — °°
(12.21)
Правая часть этого выражения есть не что иное, как функция
As (t0 — /)• Следовательно, если задан сигнал s (/), то импульсная
характеристика согласованного (оптимального) фильтра g(t)
определяется как функция
g (t) = As (/„ - /). (12.22)
Построение графика функции s (t0 — f) показано на рис. 12.4,
Кривая s (—t) является зеркальным отражением заданного сигнала
s (0 с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция же s (t0 —t)t
сдвинутая относительно s (—f) на величину t0 вправо, также
зеркальна по отношению к исходному сигналу s (f), но с осью симметрии,
проходящей через точку t0l2 на оси абсцисс. На рис. 12.5 показано
аналогичное построение для случая, когда отсчет времени ведется
от начала сигнала.
Поскольку импульсная характеристика физической цепи не
может начинаться при / < 0 [отклик фильтра не может опережать
воздействие б (/)], то очевидно, что задержка t0, фигурирующая в
Рис. 12.4. Построение функции, зер- Рис. 12.5. Построение импульсной ха-
кальной по отношению к сигналу. рактеристики согласованного фильтра.
выражении (12.16), не может быть меньше, чем Тс. Только при t0 ^
^ Тс может быть использована вся энергия сигнала для создания
наибольшего возможного пика в точке t = t0. Ясно, что увеличение t0
сверх Тс не влияет на величину пика выходного сигнала, а просто
сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).
С другой стороны, условие t0 ^ Тс накладывает на сигнал s(t)
требование, чтобы длительность его Тс была конечна; только в этом
случае при конечной величине задержки /0 можно реализовать.пик
сигнала. Иными словами, применение согласованной фильтрации
для максимизации отношения сигнал — помеха в описанном выше
смысле возможно при импульсном сигнале (а также ограниченной
по продолжительности пачке импульсов).
Обратимся к вопросу о физической осуществимости
согласованного фильтра. Пусть задан произвольный сигнале (0, которому
соответствуют импульсная характеристика согласованного фильтра
g (t) и фурье-преобразование от этой функции К (гсо), определяемые
соответственно выражениями (12.22) и (12.16). Возникает вопрос,
при каких условиях К (ш) может являться передаточной функцией
физически осуществимого четырехполюсника.
Ответ на' этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли—
Винера, согласно которому неравенство
оо
Г l'n*(<»)l d(0<oo (12.23)
J 1 +w*
о
является необходимым условием, чтобы положительная функция
К (со) могла быть модулем передаточной функции пассивной
электрической цепи. Так как в рассматриваемой задаче К (со) = AS (со)
[см. (12.19)], то условие (12.23) можно записать в виде1
то
С I In S (со) | . ^_
о
т. е. необходимо, чтобы интеграл (12.24) сходился.
Нужно подчеркнуть, что условие (12.24) является необходимым,
но недостаточным. По существу, условие (12.24) сводится к
требованию, чтобы, длительность сигнала s (t) была ограничена. Так,
например, при спектре сигнала, определяемом выражением (2.82) [см.
рис. 2.20, б), функция времени s(t) неограничена во времени
и такова же требуемая импульсная характеристика согласованного
фильтра g(t) = As(t0 — t), которую невозможно реализовать.
Интеграл (12.24) в этом случае расходится, так как вне интервала
(—-com,-com) функция S (со) равна нулю, а| lnS(co)| обращается в
бесконечность.
Хотя критерий Пэли — Винера оставляет открытым вопрос
о структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия
о свойствах осуществимых цепей.
В частности, из него следует, что АЧХ К(а>) должна быть ин-
оо
тегрируемой в квадрате, т. е, J /С2 (co)dco < со. Далее, АЧХ К (со)
—оо
может быть равной нулю только на некоторых дискретных частотах,
но не в конечной полосе частот. Действительно, если в полосе о^ <С
< со < со2 функция К (со) = 0, то \\иК (со) | обращается в
бесконечность и, как об этом уже упоминалось выше, интеграл
расходится, т. е. условие (12.23) не выполняется. Из этого следует, что
фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы, хотя практически можно
получить характеристики, очень близкие к идеальным.
Очевидно также, что передаточная функция К (со) = Ке~аа,
со >> 0, реализуема, так как | In К (со) | = | In К — асо | растет
медленнее, чем знаменатель в (12.23), т. е. условие (12.23)
выполняется. Гауссов же фильтр с передаточной функцией К (со) = Де-ао)!
не реализуется, так как | In /С (со) f = | ln/C — асо2| растет с
увеличением со с такой же скоростью, что и знаменатель в (12.23).
12.4. СИГНАЛ И ПОМЕХА НА ВЫХОДЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА
Для определения формы сигнала на выходе используем общее
выражение
W(9 = -^ j S(co)K(to)e<™Ao.
— со
1 Здесь под со подразумевается безразмерная величина.
Подставив в него соотношение (12.16), получим
со
$вых(0 = Л— Г S((o)S*(©)e--G)'«el"(Dld(o =
2л J
— со
оо
=А ~ Г 52(сй)е"»«-'°>.гКй. (12.25)
2л J
— ОО
При t — £0 это выражение переходит в
W Со) = АЭ, (12.26)
где 5 — энергия входного сигнала.
С другой стороны, из первой части соотношения (12.25), в
которой фигурирует произведение спектральных плотностей S (со) и
S* (со)е—/<0/», вытекает, что sBblx(t) можно представить как свертку
следующих двух функций времени: s (t) и s (^0 — /).
Таким образом,
Sbik(0 = ^ J S(f—X)s(f0—*)<*>:.
— oo
Сделаем подстановку t — x = y, t0 — x = у — (t — У Тогда
oo
sBaxV) = A jj s(y)s\y-(t-t0)\ny. (12.27)
— oo
Нетрудно видеть, что интеграл в правой части этого выражения
есть не что иное, как корреляционная функция входного сигнала
Bs (t — /о)- Таким образом, приходим к важному выводу, что
W (0 = ABS (t - t0). (12.28)
Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до
постоянного коэффициента А совпадает с корреляционной функцией
входного сигнала.
Для построения графика функции sBbIX (Г) по заданной функции
Bs (т) достаточно в последней т заменить t — t0 (и учесть
коэффициент А). При t — t0, т. е. при т = О, величина Bs (0) равна энергии
сигнала. Следовательно, как и при спектральном рассмотрении,
пиковое значение сигнала [см. (12.26)1
ввых (to) = ABS (0) = АЭ.
Рассмотрим теперь параметры и статистические характеристики
шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума
с нормальным законом распределения (именно такой шум и
представляет основной интерес для практики) распределение шума на
выходе линейного фильтра остается нормальным. Энергетический
спектр шума на выходе, как это ясно из (7.1) и рис. 12.3, равен
да'вы* (ю) = К'г (с°) wo- Следовательно, корреляционная функция
шума на выходе согласованного фильтра
— °° —оо
Подставляя /< (со) — Л5 (со) и учитывая выражения (12.25) и
(12,28), в которых обозначим t — /0 = т, получаем
00
= AW0ABJt) = A*W0Bs(t). (12.29)
Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе
согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной
функцией входного сигнала (и, следовательно, с выходным сигналом).
Приравнивая т = 0, находим дисперсию (среднюю мощность)
шума на выходе
Л/ = Ввм (0) = A*W0BS (0) = A'W„9. (12.30)
Составим отношение пикового значения сигнала sBbIX (t) к средне-
квадратическому значению шума Y~N. В соответствии с формулами
(12.26) и (12.30)
«вык Уо)1Уй = АЭ/АУЩё = УэЩ. (12.31)
Итак, при белом шуме отношение сигнал—шум на выходе
фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии
сигнала и энергетического спектра шума W0.
Из этого заключения следует, что при заданных энергии и
ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную
для решения конкретной задачи.
Так, для повышения скрытности передачи целесообразно
удлинять сигнал при соответствующем уменьшении амплитуды (А1ТС =
==» const). Это приводит к уменьшению отношения сигнал—помеха
на входах любых радиоприемных устройств, что затрудняет
извлечение информации из смеси сигнал + шум. Лишь в приемнике
с фильтром, согласованным с данным сигналом, восстанавливается
наибольшее возможное при заданной энергии отношение сигнал—
помеха. Следует, конечно, обеспечить неизменную ширину спектра
при удлинении сигнала. Это можно осуществить, введя внутриим-
пульсную модуляцию, например частотную [2]. Пример подобного
сигнала — импульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ
импульс) был рассмотрен в § 3.7, п.З.
Удлинение радиоимпульса, дополняемое внутриимпульсной
модуляцией, позволяет также снизить пиковую мощность генератора
в передатчике при заданной энергии сигнала и при сохранении
разрешающей способности сигнала (после сжатия в согласованном
фильтре). Это преимущество более подробно рассматривается в
§ 12.5, п.2.
12.5. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ
1. Сигнал в виде прямоугольного видеоимпульса
Зададим сигнал следующей функцией времени:
s{t)(l приО<*<Гс, (1232)
t 0 при *<0 и t>T0.
Спектральная плотность такого сигнала, как известно,
S(o)) = -L(l— е~1(йТ^ (12.33)
fo
По формуле (12.16), в которой <„ приравниваем длительности
импульса Тс, находим передаточную функцию согласованного
фильтра
— явГ
К (to) = А —— (1 —е'^с) е-'^с = д ±z? . (12.34)
(—го) to
Рассматриваемый пример характерен тем, что К (ш) отличается
от спектра сигнала S (со) лишь постоянным коэффициентом. Ясно,
что и импульсная характеристика фильтра g(f) совпадает по форме
с самим сигналом s(t); действительно, из соотношения (12.22)
следует, что
0 10 при г<0 и t>Tc. V
График g(f)/A (рис. 12.6) по форме полностью совпадает с
входным импульсом s(t).
Дальнейшая задача сводится к отысканию структуры
физической цепи .обладающей импульсной характеристикой, изображенной
на рис. 12.6, и передаточной функцией, определяемой формулой
(12.34).
Простейший сигнал (12.32) удобен для иллюстрации основных
положений синтеза четырехполюсника по заданной импульсной
характеристике g(t) = As (t0 — i), или, что то же, по комплексной
передаточной функции К (ш), являющейся фурье-преобразованием
от g(f).
Прежде всего отметим, что интеграл
со со
С llnSfrp)! rfm_Mln[2sin(mrcy2)1-lnm| ^ ^
J 1+ша J 14-со2 '
т. е. интеграл сходится, так что функция К (со) = AS (со)
не противоречит критерию Пэли—Винера (12.23).
Для выяснения возможности реализации требуемой
передаточной функции (12.34) с помощью четырехполюсника с
сосредоточенными параметрами рассмотрим свойства этой функции на
р-плоскости:
К(р) = Л(1-е-ргс)/р. (12.36)
Эта функция не имеет полюсов, так как в точке р = О числитель
также обращается в нуль; число же нулей функции К (р),
являющихся корнями уравнения 1 —е~~рТс = 0 и равных ph = k (2л/Тс),
бесконечно велико. Из этого следует, что для реализации функции
(12.34) требуется система с распределенными параметрами — отре-
О t0/2 Тй t
Рис. 12.6. Импульсная Рис. 12.7 Структурная схема фильтра, согласован-
характеристика фильтра, ного с прямоугольным импульсом,
согласованного с
прямоугольным импульсом.
зок линии с временем пробега вдоль линии, равным Тс. К этому
выводу нетрудно придти, рассмотрев непосредственно функцию
(12.34). Очевидно, что структурная схема должна иметь вид,
представленный на рис. 12.7. Первый множитель 1/ш реализуется
интегрирующим звеном, а второй 1 — е_ивГс устройством вычитания,
к которому сигнал попадает без задержки и с задержкой Тс.
Передаточная функция идеальной линии задержки (без потерь) равна
Объяснить работу этой схемы можно также и с помощью
рассуждений, основанных на временных представлениях: при подаче на
вход единичного импульса э. д. с. [дельта-функции б (t)] на выходе
идеального интегратора развивается постоянное напряжение,
начинающееся с момента t = 0. На выходе устройства получается
напряжение в виде разности двух единичных скачков, сдвинутых
относительно друг друга на время Тс (рис. 12.8, а).
Реализация изображенного на рис. 12.7 устройства, которое
обеспечивало бы точное интегрирование, а также задержку входного
сигнала без искажения его формы (в пределах бесконечно широкого
спектра единичного импульса), практически неосуществима. Можно,
однако, получить достаточно хорошее приближение при
использовании реальной интегрирующей #С-цепи, если обеспечить
постоянную времени этой цепи, достаточно большую по сравнению с
длительностью Тс. Получающийся при этом на выходе вычитающего
устройства импульс напряжения, являющийся разностью двух
экспонент (рис. 12.8, б), может быть сделан достаточно близким
к прямоугольному.
Найдем напряжение на выходе фильтра. Применяя формулу
(12.28) и учитывая, что корреляционная функция прямоугольного
импульса имеет вид равнобедренного треугольника с основанием
2ТС и высотой, равной величине энергии импульса, получаем
SnuAt)=ABa(t-tJ =
At
при о ^ t <; тс
A(2Tr—f) при ТС</<2ГС
(12.37)
(В данном случае, при единичной амплитуде, энергия импульса
Э = Тс).
Sk
«ьТ
*Л
SflWX;i
1_[
р——
О Тп
Ч-
б)
Рис. 12.8. Формирование импульсной Рис. 12.9. Сигнал на выходе фильтра,
характеристики в идеальном (а) и фи- согласованного с прямоугольным им-
зическом фильтре (б). пульсом.
Максимальное значение выходного сигнала, равное АТС,
достигается в момент t = Тс, т. е. к концу действия входного сигнала
(рис. 12.9).
Отношение сигнал—помеха в соответствии с формулой (12.31)
s^(tc)/Vn=Vtc/w0.
(12.38)
Для сравнения составим аналогичное отношение сигнал—помеха
для несогласованного фильтра, выполненного в виде одного RC-звена
с передаточной функцией
К (ш)
1/г'соС
R + 1/йоС 1+ iutRC
Максимальное значение выходного сигнала, достигаемое к
моменту * = Тс, равно sBbIS (Т0) = 1 — e~T°/RC, а среднеквадратиче-
ское значение шума
o№a = VN =
Таким образом
я (Т) 1_е~Г»/ЯС
sDbIX К1 С) __ 1 с
Ул/
VW„/2RC
YW-
2RC
(1-
-TJRC,
)■
При 7У#С=1,28 произведение ]/2ЯС/Тс (1 — e~T<=/RC)
достигает максимального значения, равного ~0,77. Таким образом,
переход от однозвенного фильтра к согласованному с сигналом
фильтру дает в данном примере увеличение отношения сигнал —
помеха в 1/0,77 = 1,3 раза (2,2 дБ).
Как будет видно из дальнейших примеров, технические
преимущества согласованной фильтрации существенно проявляются при
6олрр сложных сигналах.
2. Радиоимпульс с частотно-модулированным заполнением
Рассмотрим сигнал, изображенный на рис. 12.10, а. Огибающая
этого сигнала имеет прямоугольную форму, а частота заполнения
изменяется по линейному закону (рис. 12.10, б) со скоростью
Р = 2о)д/Гс = 2-2я/д/Тс,
(12.39)
где Тс — длительность импульса; 2сод — полное изменение
частоты внутри импульса; ю0 = 2п/0 — центральная частота заполнения.
В дальнейшем исходим из условия!
что 2о)д <С Щ- Таким образом,
со (0 = щ + Р*. (12.40)
а мгновенное значение сигнала в
интервале от—Тс/2 до Гс/2
определяется выражением
s (0 = А0 cos (а>0* + PW2). (12.41)
Спектральная плотность
подобного импульса была определена
в гл. 3. Было установлено, что
модуль и фаза спектральной плотно-
Рис. 12.10. ЛЧМ импульс {а) и
закон изменения мгновенной
частоты (б).
сти определяются следующими выражениями [см. (3.50) и (3.51)1:
S И =-^= V[C Ы + С {uJT+IS M+S (и2)Г, (12.42)
4 шд С(%)+С(и2)
В этих выражениях S (х) и С(х) —интегралы Френкеля [см,
выражение (3.49)], а иъ и2 и т определяются формулами
•V-
I СО— СОо '\
mil — .
Выражения (12.42), (12.43) могут быть в принципе положены
в основу синтезирования фильтра, но создание четырехполюсника,
точно реализующего столь сложные амплитудную и фазовую
характеристики, представляет собой задачу трудную или даже вообще
невыполнимую. Поэтому приходится прибегать к различным
приемам аппроксимации амплитудно-частотной и фазовой
характеристик. Первым этапом на этом пути является допущение о том, что
огибающая спектра сигнала имеет прямоугольную форму, а фазовая
характеристика — форму квадратичной параболы. Таким образом,
точные выражения (12.42) и (12.43) заменяются приближенными
[см, пояснения к формулам (3.50) и (3.51)]:
As 'с
S (о) еа "°'° = const, (12.45)
, . (со—со0)2 п («—ш„)2
Ф, М « - — = —— т - ~—
Ys 2(3 4 «£
ПрИ 0)0 — СОд <С 0) < (00 + 0)д.
В § 3.7 было показано, что такое приближение тем лучше, чем
больше величина т = 2fnTc (постоянный фазовый сдвиг я/4
опущен).
При отсчете времени t от начала импульса фазовую
характеристику спектра сигнала запишем в виде
<Р.И = -"* а« f-- (12.47)
Для сигнала с подобными амплитудными и фазовыми спектрами
согласованный фильтр должен обладать прямоугольной амплитудно-
частотной характеристикой и фазочастотной характеристикой,
определяемой выражением
фк И = _фе И_ЙТС = [f m ^^+ ^-]-соГс=
- п-т ((°-м°)2 -^. (12.48)
4 ш.
д
Строго прямоугольная АЧХ также неосуществима. Поэтому
дальнейшее упрощение заключается в замене прямоугольной
амплитудной характеристики фийьтра обычной характеристикой
резонансного фильтра. После этого фильтр может быть осуществлен в виде
сочетания двух линейных четырехполюсников: полосового
резонансного фильтра (обычный усилитель промежуточной частоты
приемника) и специального четырехполюсника с равномерной амплитудной
и квадратичной фазовой характеристиками.
Заметим, что фазовой характеристике (12.48) соответствует
временная задержка
, , Дфк(м) п (to— Юр) Тс
W dec 2 «>l 2
В качестве устройства с требуемой фазовой характеристикой
может быть использована любая цепь, у которой задержка в
некотором частотном диапазоне (вблизи частоты со0) линейно зависит от
частоты. Такими свойствами обладают дисперсионные линии
задержки с поверхностной волной.
Определим сигнал на выходе фильтра. При этом будем иметь
в виду не аппроксимированный, а точный согласованный фильтр,
передаточная функция которого отвечает условию (12.16).
Основываясь на соотношении (12.28), воспользуемся выражением
(3.106) для корреляционной функции входного сигнала,
выведенным в § 3.11:
sin nm ■— 11—— j
Ba (т) « ± А § Гс L Jl)T,T°n cos Ч> *•
Заменяя в этом выражении т на t — Тс и ограничиваясь
рассмотрением участка вблизи точки t = Тс, т. е. в окрестности точки, где
выходной сигнал достигает пикового значения, можем считать t —
~ Тс < Т0.
Тогда
BJt-Tc)tt±-M Тс "°К»н/7-,)( -Го)] {t_T).
aV с' 2 е (nmlTc) (t—Tc) c ° c'
Учитывая, что m = (Vn)a>nTc [см. формулу (3.38)], последнее
выражение перепишем в несколько иной форме
Ba{t-Tc)=±-Ab TcsinJf(t-Tfcoso,0(t-Tc). (12.49)
Подставляя полученное выражение в (12.28), находим
напряжение на выходе согласованного фильтра
u™At) = A-Ba(t-Tc)=TA-A0Tc ^{t_Tc) X
X cos co0 (/- ГС)=£/БЫХ (t) cos щ (t-Tc), (12.50)
где огибающая
U^(f) = ~AAlTc sinrof-^ . 02.51)
2 Шд(/ — Тс>
Заметим, что частота заполнения немодулирована и равна со0, т. е,
средней частоте входного сигнала.
Если фильтр свободен от потерь, то энергия сигнала на выходе
будет равна энергии сигнала на входе. При этом условии должно
выполняться равенство
2У„ 2Г„
2 с 2
^Ul.At)dt=±- j(-j- AAlTaJx
или
о
[wn(t-Tc)\*
AIT с С E^JLdx.
А* .4сов
'Vc
При больших значениях параметра m — 2/д7с пределы
интегрирования ±о)дТс можно заменить на ±°о. Тогда интеграл равен
п и окончательно
А = (2/А0)У^ЫТс. (12.52)
Подставляя (12.52) в выражение (12.51), получаем
t/вых (0 = — (—l/^) Л§ ^с 51ПЮВ(<~ГС) =
BUxW 2 \AUV nTj с тц^-Го)
_у-л sln%(f-rc) (12.53)
сод(/-Гс)
Сигналы на входе и выходе фильтра изображены на рис. 12.11
(при А0 = 1). Наибольшая амплитуда выходного сигнала (в момент
t = Te) в Km раз больше, чем на входе, а длительность основного
лепестка, отсчитываемого между двумя нулями, равна 1//д. При
определении длительности выходного импульса на уровне 1/1/2 от
максимального значения получается приблизительно вдвое
меньшая величина, а гмэнно ТС11Ь1Х « 1/2/д.
Таким образом, отношение
ТУ^вых « 2/дТс = щ, (12.54)
совпадающее по величине с параметром модуляции т = 2/дТс,
можно назвать коэффициентом сжатия частотно-модулированного
импульса в оптимальном фильтре.
Из выражения (12.53) видно, что компенсация фаз спектра
сигнала, составляющая сущность согласованной фильтрации,
приводит в рассматриваемом примере к сокращению длительности
импульса в т раз при одновременном увеличении амплитуды сигнала
в У~пг раз. Это обстоятельство является весьма ценным для
практики, так как позволяет удлинять импульс, генерируемый передат-
Рис. 12.11. ЛЧМ импульс на входе согласованного фильтра (а) и сжатый
сигнал на выходе (б).
чиком, для увеличения энергии сигнала без потери разрешающей
способности, которая определяется длительностью импульса на
выходе согласованного фильтра [2]. Техническое преимущество этого
метода проявляется особенно в тех случаях, когда увеличение
амплитуды импульсов в передатчике ограничивается импульсной
мощностью электронных приборов, используемых для генерации
колебаний. Значительно проще повышать энергию сигнала
удлинением импульсов при одновременном наложении частотной
модуляции. При этом величина параметра модуляции т должна расти
пропорционально длительности Тс излучаемого сигнала (при
заданной длительности Тс вых импульса на выходе согласованного фильт-
pa). Иными словами, девиация частоты должна оставаться
неизменной, а скорость изменения частоты (3 должна быть обратно
пропорциональна величине Тс (см. § 12.4).
3. Пачка одинаковых импульсов
Рассмотрим сигнал в виде группы из п одинаковых
видеоимпульсов (рис. 12.12). Интервалы между импульсами могут быть
неодинаковыми. Спектр такого сигнала
S(o)) = S1H(l + e-'tor' + e-'to:r2+... + e-torn-i)> (12.55)
где Sj (со) — спектр первого импульса, начинающегося в момент
i = 0; S, (со) e-iaT* — спектр второго импульса, начинающегося
в момент t = Ти и т. д.
Так как полная длительность изображенного на рис. 12.12
сигнала равна ти + Тп_ь то в соответствии с выражением (12.16)
согласованный со спектром S (со) фильтр должен обладать
коэффициентом передачи
К (И = AS* (со) е-'и(,и+7'»-1) = AS\ (со) е- 1и,и e~l(i>Tn-ix
X (1 +е'оГ' +eto7"! + ... + е"°гп-1) = Кх («о) [ 1 + e-ia{Tn-i-Tn-z)+
+ е~'ш(Г»-1-г»-3>+... + е-'и(7*-1-7'1) +%-'№Tn-i] .(12.56)
В этом выражении Ki (/со) = AS{ (со) е-"°Хи представляет
собой коэффициент передачи фильтра, согласованного с одиночным
импульсом.
Основываясь на выражении (12.56), нетрудно наметить схему
фильтра, согласованного с сигналом, изображенным на рис. 12.12.
Подобный фильтр должен содержать зве-
J| но с передаточной функцией Кх (/со),
обеспечивающее оптимальную внутриим-
1 П П П пульсную обработку сигнала, и набор
^—-Ц- ' ' ——U—э- линий задержек. Величины этих
задержи ' z 'л-г * жек должны нарастать в порядке,
обратном расстановке импульсов в пачке на
РИС" пачки ^мГшш.сов BlWe входе фильтра. Один из возможных
вариантов такого устройства показан на
рис. 12.13, а.
Максимальный импульс на выходе сумматора получается, когда
первый импульс входной последовательности, прошедший через
задержку Тп-Ъ суммируется со вторым импульсом, прошедшим
через задержку Тп_г — 7\, с третьим импульсом, задержанным на
Tn-i — Тг, и т. д., вплоть до последнего импульса, проходящего
через рассматриваемое устройство без дополнительной задержки.
Вместо набора из п линий задержки конструктивно проще и
выгоднее применять одну линию задержки с п отводами (рис. 12.13, б).
Отводы располагаются таким образом, чтобы соответствующие им
задержки нарастали в том "же порядке, что и на рис. 12.13, а.
Построение согласованного фильтра значительно упрощается,
когда.входной сигнал представляет собой последовательность
равноотстоящих одинаковых импульсов, т. е. когда
7\ = Т; Т2 = 2Т; Ts = ЗГ; ..,; Тп_к = (п - 1)7\
Для этого случая выражение (13.56) можно записать так:
К («о) = Ki (to) [ 1 + е-iaT + е-г2иГ + ... е -<<"- »^]=
= KiO'co)K2(to)- (12.57)
При достаточно большом числе п выражение в квадратных
скобках можно свернуть по формуле геометрической прогрессии
К2(ш) = 1/(1 —е-'«г).
(12.58)
Структура выражения (12.57) указывает на возможность
осуществления согласованного фильтра в виде каскадного соединения двух
четырехполюсников: одного с передаточной функцией Кх (ш), как
Тм'Тц-Z-.
Гп-1~тп-Ъ^
Тц i~Tn-it~.
Т,
к,(ш) -
i-1~T?~-^
Ъ-гГ,^.
-*
i "" ->
ж
=t -
~- _*.
^- -*
I— rn_i -*
2
Вход
1 ьТп-
"т—i—гт
I I I I
-1—1 L—L
TlM-ft
Я
Рис. 12.13. Согласованная фильтрация пачки импульсов (к рис. 12.12),
и в схеме на рис. 12.13, а, согласованного с одиночным импульсом,
и другого в виде цепи с обратной связью, содержащей всего лишь
одну линию задержки Т (рис. 12.14). Передаточная функция
подобной цепи (на рис. 12.14 обведенной штриховой линией) определяется
выражением
1 — Лла е
Символом Кпя обозначен безынерционный четырехполюсник,
учитывающий затухание в линии задержки (достигающее десятков
децибел) и включающий в себя усилитель, компенсирующий это
затухание. Для устойчивости цепи коэффициент Кпз должен быть
меньше единицы. Сама линия задержки при этом может
рассматриваться как идеальная, с
передаточной функцией е~'аТ.
При частотах, отвечающих
условию &Т = (2k + 1)я, k = 0, 1, 2,
..., обратная связь отрицательна и
К2 (ш) = 1/(1 + Кт)'. При
частотах а>Т = 2kn, k = О, 1, 2, ...,
обратная связь положительна и
W
Щш)
Г'
Ыш)
¥щ<1
!__
г'оГ
W#
Ka(ta>) = 1/(1- К Л8).
Рис. 12.14. Гребенчатый фильтр.
Амплитудно-частотная
характеристика цепи приобретает вид,
показанный на рис. 12.15.
Фильтры с подобной характеристикой
называются гребенчатыми. Они эффективны для выделения сигналов
в виде периодической последовательности импульсов на фоне
белого шума. Чем больше число импульсов в пачке п и чем ближе /Сл
к единице, тем лучше приближение цепи к согласованному фильтру!
Рис. 12.15. Амплитудно-частотная характеристика гребенчатого фильтра.
Импульсная характеристика фильтра К2 (гсо) определяется
очевидным выражением
g (() = б (0 + КЛ5б (t - Т) + KL б (t - 2Т) + ...
Коэффициенты при единичных импульсах, возникающих на
выходе четырехполюсника через интервалы Т, убывают по закону,
близкому к экспоненте (при Клз, близком к единице). Таким
образом, импульсная характеристика фильтра /*С2 имеет вид,
показанный на рис. 12.16 дельта-функции на рис. 12.16 не обозн ч н п.
1,0
xi An-
J.
w
Kz(W
0ЫШ
К/Ш
ЗСыхШ
/7 Г 1ТЪТ
Rt
Г1Ь
Рис. 12.17. Формирование сигнала,
сопряженного с заданным фильтром.
Рис. 12.16. Импульсная
характеристика гребенчатого фильтра.
Все приведенные выше рассуждения можно распространить и
на фильтрацию последовательности радиоимпульсов. Необходимо
лишь под Ki (/со) подразумевать коэффициент передачи фильтра,
согласованного с одиночным радиоимпульсом из входной
последовательности.
12.6. ФОРМИРОВАНИЕ СИГНАЛА, СОПРЯЖЕННОГО С ЗАДАННЫМ
ФИЛЬТРОМ
Рассмотрим одно интересное свойство схемы, представленной на
рис. 12.17. На этой схеме Kt (гсо) и К2 (/со) — передаточные функции
фильтров на приемной и передающей сторонах канала связи, при
этом выполняется условие
Ki (го) = К^ (гсо),
т. е. функции Ki (/со) и К2 (гсо) являются
комплексно-сопряженными.
При ударном возбуждении четырехполюсника К2 (/со) единичным
импульсом б (/) на его выходе возникает колебание (импульсная
характеристика)
ОО
&Ю=~ j М/со)е'а'Ло,
которое используется в качестве сигнала, передаваемого по каналу
связи. Таким образом, g2 (t) = s (/).
Нетрудно видеть, что по отношению к этому сигналу приемный
фильтр Ki (/со) согласован, так как его импульсная характеристика
gi (/) является зеркальным отражением сигнала s (/).
Действительно,
gl{t) = ~t J M/co)e<^co = — j Кг(Ие**Ао =
-ее -°°
(Постоянная задержка /0, входящая в выражение (12.22), здесь
опущена.)
Сигнал sBbIX (f) на выходе фильтра Кг С/со) максимизирован
в смысле соотношения (12.17).
Итак, для формирования на передающей стороне сигнала,
сопряженного с заданным приемным фильтром, можно применить
принцип ударного возбуждения «обратного» фильтра. Под обратным
подразумевается фильтр, передаточная функция которого комплексно-
сопряжена с передаточной функцией «прямого» фильтра.
Так как формирование сигналов и обработка в приемнике
обычно осуществляются на промежуточной частоте, то схема (рис. 12.17)
должна быть дополнена высокочастотным генератором и преобразо-
€
2Га
Згк
4rK ffr^
Рис. 12.18. Высокочастотное
колебание, манипулированное по фазе.
Рис. 12.19. Структурная схема
фильтра, согласованного с фазоманипули-
рованным сигналом.
вателем для сдвига спектра сигнала в область высокой частоты в
передатчике, а также гетеродином с преобразователем для обратного
преобразования частоты в приемнике.
Несмотря на кажущуюся простоту изложенного принципа
формирования сигнала, обеспечивающего оптимальность его обработки
в приемнике, реализация обратного фильтра является весьма
сложной задачей, которая может быть успешно решена не для любого
сигнала.
Относительно просто подобная задача решается для системы
связи, в которой используется фазоманипулированный сигнал,
представляющий собой последовательность радиоимпульсов, следующих
без интервалов и различающихся между собой только фазой
высокочастотного заполнения: начальная фаза в каждом из импульсов
может быть либо 0, либо п, причем чередование фаз осуществляется
по определенному коду: k-y импульсу приписывается коэффициент
bh, равный ±1. Знак плюс соответствует фазе 0, а знак минус —
фазе я.
На рис. 12.18 изображен подобный сигнал из пяти
радиоимпульсов с коэффициентами Ь0 = +1, Ьг = +1, Ь2 = +1, Ь3 = —1 и
Ь4 = +1-
Структурная схема фильтра, используемого для обработки
подобного сигнала, изображена на рис. 12.19. Фильтр представляет
собой совокупность четырехполюсника Кх (ш), согласованного
е одиночным импульсом (с длительностью ти), и многоотводной
линии задержки. Число отводов, следующих через интервалы тш равно
числу элементарных радиоимпульсов в сигнале/ Безынерционные
четырехполюсники Ь0, Ъъ Ь2, ... пропускают импульсы, поступающие
с отводов линии задержки, без изменения или с изменением на 180"
фазы высокочастотного заполнения импульсов.
**и 5тп
Рис. 12.20. Колебание на выходе фильтра, согласованного с фазоманипулиро-
ваниым сигналом.
Чередование коэффициентов Ь0, Ьъ ... является зеркальным по
отношению к сигналу. В результате напряжение на выходе
приобретает вид, показанный на рис. 12.20 (без учета влияния
четырехполюсника К.1 (гсо) на форму
импульсов).
К концу действия входного сигнала
на выходе сумматора выделяется
максимальный импульс с амплитудой пА0,
где п —число элементарных импульсов.
Таким образом, рассматриваемая цепь
осуществляет сжатие сигнала, причем
коэффициент сжатия равен п, т. е. числу
отводов линии задержки. Число п в
данном случае играет такую же роль, как
произведение 2/дТс = т для фильтра,
осуществляющего сжатие
радиоимпульсов с частотно-модулированным
заполнением [см. формулу (12.44)].
Структурная схема обратного
фильтра для получения сигнала,
представленного на рис. 12.18, изображена на рис. 12.21. От схемы
рис. 12.19 эта схема отличается тем, что входной сигнал подается
к противоположному концу линии задержки, благодаря чему
чередование коэффициентов Ь0, Ьг, ..., fcn-i является зеркальным по
отношению к схеме на рис. 12.19. Кроме того, передаточная функция
К2 (гсо) четырехполюсника, осуществляющего внутриимпульсную
обработку, является комплексно-сопряженной функции Кх (гсо),
Рис. 12.21. Структурная
схема фильтра, обратного по
отношению к фильтру на
рис. 12.19.
обозначенной на рис. 12.19. Для импульса, симметричного
относительно своей середины, К2 (г'со) совпадает с Кх (гсо). По существу
фильтры, показанные на рис. 12.19 и 12.21, совершенно идентичны,
что является большим преимуществом, особенно в тех случаях,
когда приемник и передатчик находятся в одном месте, как, например,
в радиолокаторе. В подобных случаях генерирование сигнала и его
оптимальная обработка при приеме могут быть осуществлены с
помощью одного фильтра. Подобная система получила название ключ-
замок.
12.7. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЗАДАННОГО СИГНАЛА
ПРИ НЕБЕЛОЙ ШУМЕ
Пусть на полностью известный сигнал s (0 линейно (аддитивно)
накладывается шум с неравномерным энергетическим спектром
W (со) (небелый шум). Требуется синтезировать фильтр,
максимизирующий отношение сигнал — помеха. В отличие от ранее
рассмотренных задач в данном случае передаточная функция должна быть
согласована не только со спектром сигнала S (со), но также и с
энергетическим спектром шума W (со).
Наиболее простым способом отыскания требуемой передаточной
функции К (г'со) является приведение заданного шума к белому
[1J. Для выяснения сути этого способа рассмотрим вспомогательную
структурную схему, показанную на рис. 12.22. На этой схеме
К (гсо) обозначает искомую передаточную функцию синтезируемого
фильтра, а Кх (гсо) и 1/Кх (гсо) являются передаточными функциями
двух вспомогательных, условных четырехполюсников, введение
которых не оказывает никакого влияния на работу устройства, так как
их результирующая передаточ-
,—_. Г, — Л ная функция равна единице.
--^ к,№ Sf(a) \ n-f-l— ющ) -U- Так как ФУнВДию К, («со)
wm [ JW/(o)H \ЪШ_\ 1_^_| i можно выбирать произвольно,
-const j , -. то М0ДуЛь этой функции зада-
Рис. 12.22. Согласованная ' "* д,,м в виде
фильтрация заданного сиг- к , . ~\/т~ШШ /19 fiftt
нала при небелом шуме. Лх I©)— У И^/И Щ, (IZ.W)
где W0 — постоянная величина.
Тогда на выходе первого четырехполюсника будет действовать
шум с равномерным энергетическим спектром
Wt (со) = W (со)| К, (co)Js = W0 = const,
т. е. белый шут.
Само собой разумеется, сигнал на выходе этого
четырехполюсника отличается от входного сигнала, так как спектральная
плотность
S! (со) = S (со) Кг (гсо)
(12,61)
отличается от S (со). Однако это обстоятельство несущественно;
основной задачей является максимизация отношения
сигнал-помеха на выходе всего устройства. Поэтому важно отношение энергии
сигнала к энергетическому спектру шума, а форма сигнала при этом
роли не играет.
Так как в рассматриваемом сечении схемы шум является белым,
то для получения на выходе максимума отношения сигнал—помеха
вся последующая часть устройства должна иметь передаточную
функцию, отвечающую условию (12.16). Таким образом, получаем
—1-—К(гю) = Л55 (co)e~to4 (12.62)
Ki (ко)
Левая часть этого выражения является результирующей
передаточной функцией четырехполюсника, обведенного на рис. 12.22
штриховой линией, а правая часть — функцией
комплексно-сопряженной по отношению к спектру Sx (со) и дополненной множителем
а—Шо
Из выражения (12.62) получаем
К (fo) = /lSi (to) Ki (to) e-'<»4 (12.63)
Но из (12.61) следует, что
S* (со) = S* (со) К! (г'со).
Таким образом,
К (И = AS* (со) Ki (to) К, (г'со) e-to<» = AS* (со) [Кг (со)]2 е-'»'».
Подставляя сюда соотношение (12.60) , окончательно получаем
K№ = AWQ-^-e-«": (1264)
W (СО)
Нетрудно истолковать физический смысл этого соотношения,
Как и в случае белого шума, для максимизации отношения
сигнал—помеха в фильтре должна осуществляться компенсация
начальных фаз спектра входного сигнала S (со). Поэтому в правую часть
(12.64) входит комплексно-сопряженная функция S* (со). Однако
модуль передаточной функции должен быть, во-первых,
пропорционален модулю S (со) (как и в, случае белого шума) и, во-вторых,
обратно пропорционален энергетическому спектру шума на входе
фильтра. Тем самым обеспечивается подчеркивание тех
компонентов спектра сигнала, при которых интенсивность шума меньше.
12.8. ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
При обработке сложных сигналов с внутриимпульсной
модуляцией начальная фаза 60 высокочастотного заполнения в выражении
a (t, Q0) = A (t)cos [co0* + 6 (f) + в0] (12.65)
обычно является неизвестной величиной.
Если фильтр согласован с сигналом a (t, 0) = A (t)cos [co0/ +
+ 6 (/)], без учета 60, то при наличии фазового сдвига 60 фильтр
оказывается рассогласованным. Выясним влияние этого
рассогласования на выходное колебание.
Основываясь на общем выражении (12.28), представим сигнал
на выходе фильтра (сначала при 0О = 0) в форме (3.98), (3.99):
<Wtf,0)=-^-Re
оо
eto->< Г A(x)A*(x—t)dx
= — АЯе[е«>«*ВАу)]. (12.66)
Постоянная задержка t0, входящая в выражение (12.28), для
упрощения анализа опущена. Поэтому сдвиг т заменен t. Кроме
того, знак минус в показателе степени заменен плюсом в
соответствии со знаком сдвига функции А* (х — 0- Как отмечалось в § 3.10,
интеграл в последнем выражении имеет смысл корреляционной
функции Ва (t) комплексной огибающей A (t).
■ Введем ^рассмотрение начальную фазу 0О входного сигнала.
Для этого достаточно функцию А (х) домножить на е'е°. Новый
интеграл
00
\ A(x)eie°A*(x—t)dx (12.67)
— оо
определяет взаимную корреляцию между функциями А (х)е'°с и
А* (х — /), однако после вынесения множителя е'е» за знак
интеграла получается произведение e'e° ВА (t).
Таким образом, приходим к следующему выражению для
сигнала на выходе рассогласованного фильтра:
«вых {U %)=y Re te'w+e<" BA (01. (12.68)
Из сравнения этого выражения с (12.66) вытекает, что для учета
начальной фазы достаточно прибавить 60 к слагаемому &0t,
сохранив огибающую выходного сигнала.
Проиллюстрируем этот результат на примере ЛЧМ импульса,
рассмотренного в примерах § 3.11 и 12.5.
Из соотношении (3.103) и (3.106'), после замены в них т на i
(задержка сигнала не учитывается), вытекает следующее
выражение для корреляционной функции огибающей:
sin \пт — II — — I
BA{t) = Tc- 1 ТЛ ТсП
nm (t/Tc)
Таким образом,
U, Bn) = АТС
■-f>--)l
■cos (coj -f60). (12.69)
пи (*/Гс)
На рис. 12.23 изображено выходное колебание на отрезке
времени вблизи пика при 60 = 90° для фильтра, согласованного с ЛЧМ
сигналом. Параметры входного сигнала соответствуют п.2, § 12.5
(рис. 12.10). В зависимости от величины 6„ положение пика сжатого
сигнала на оси времени может изменяться в пределах ±я/со0, т. е.
половины периода высокочастотного заполнения. Из этого примера
видно, что при достаточно большом числе периодов, приходящемся
w *к-('-#]
щ
аШ
■ > <
■»
1—*"
(
Фаеодый
детектор 1
■90
>
Фвзфш
двтвпгйррИ
AsosW
„ >
^sm#>
Рис. 12.23. Высокочастотное
заполнение сжатого ЛЧМ импульса при
начальной фазе сигнала 60=90°.
Рис. 12.24. Выделение квадратурных
составляющих комплексной
огибающей узкополосного колебания.
на длительность сжатого сигнала, влияние 0О на величину пика
незначительно. Если дальнейшая обработка сигнала ведется по
огибающей, то при выполнении указанного выше условия относительно
высокочастотного заполнения влияние 60 исключается.
12.9. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО СИГНАЛА
В гл.З, 6 и др. отмечалось, что комплексная огибающая А (0
узкополосного сигнала a (f) = A (t)cos [co0* + 6 (01 содержит в
себе всю информацию, обусловленную как амплитудной, так и
угловой модуляцией. Во многих практических задачах радиотехники
обработку сигнала целесообразно производить непосредственно по
огибающей А (0 с исключением несущей частоты ©0.
Структурная схема устройства, осуществляющего выделение
комплексной огибающей узкополосного сигнала a (t), представлена
на рис. 12.24. Устройство состоит из двух одинаковых
преобразователей частоты с общим гетеродином, частота которого со0 совпадает
с несущей частотой сигнала.
Избирательная цепь на выходе каждого из преобразователей
представляет собой фильтр нижних частот (RC-цепь). Полоса про-
зрачности фильтра предполагается достаточной для неискаженного
воспроизведения спектра передаваемого сообщения. При выполнении
условия Ег !!> ЛмакС осуществляется линейное преобразование
частоты, в результате которого колебание на выходе первого
преобразователя принимает вид [см. формулы (8.74) и (8.77)]
Лсш (0 = atEPA (Qcos{[a>0/ + 6 (t)] — co0/} = kap A (Qcose (i).
(12.70)
На выходе второго преобразователя, благодаря сдвигу фазы
гетеродинного колебания на угол ср — 90°, получается колебание
ЛБ,П (0 = а2Ее A ^cos{l<o0f + 6 (t)] - (со0/ + 90")} =
= knvA (Qsin 0 (t). (12.71)
Символом /etjp = а9лЕг обозначен постоянный коэффициент,
имеющий смысл крутизны характеристики преобразования; с2 —
коэффициент при квадратичном члене в выражении (8.10).
Преобразователи, выделяющие на выходе колебание,
содержащее информацию о фазе 6 (t) (слагаемое со0 t исключено), обычно
называют фазовыми детекторами.
Косинусное Acos (f) и синусное Asin (t) колебания совпадают
соответственно с действительной и мнимой частями комплексной
огибающей A (f) [см. выражение (3.88)]. В этом смысле
рассматриваемая обработка яляется квадратурной.
Совокупность физических колебаний Лс08 (t) и Asin (t),
записанная в виде суммы Лссш (t) + iAsin (t), позволяет трактовать
комплексное колебание как физический процесс. Следует при этом
иметь в виду, что рассматриваемое комплексное колебание не
является аналитическим сигналом. Это объясняется тем, что
спектральная плотность комплексной огибающей А (/) не обращается в
нуль в области частот со < 0 (см. п. 3, § 3.10).
Дальнейшую обработку комплексного колебания следует
производить по- обычным правилам оперирования с комплексными
величинами.
Если в результате прохождения узкополосного сигнала
a (t) = Л (/)cos [cV + в (/)] = Re [A фе"»»']
через фильтр с импульсной характеристикой
g(f)=G (Ocos [oV + V (01 = Re[G (0 е'и°<] (12.72)
на выходе получается сигнал (см. § 6.6)
овых (0 = Лвых (Ocos [<о0* + евых (01 = Re [Авых (0eto«'],
то при эквивалентной квадратурной обработке на выходе фильтра
нижних частот сигнал должен иметь вид
оо
АВЫх(0= jj b{x)G{t-x)dx. (12.73)
Из этого требования вытекает, что импульсная характеристика
искомого фильтра должна совпадать с комплексной функцией G (t).
Комплексную импульсную характеристику можно реализовать
с помощью двух физических фильтров с вещественными
импульсными характеристиками соответственно Gcos (t) = G (i) co<= у (t) и
G8ln (t) = G (t)sm у (t) [см. формулу (12.72)]:
G (t) = GC0E (/) + tG8lD (t).
(12.74)
+ «'
Подставив в (12.73) A (t) по формулам (12.70), (12.71) и G (0 по
формуле (12.74), получим
oo
АВых(0= l [Acos(x) + iAslD(x)}[Gcos(t-x) + iGsla(t-x)]dx^
— oo
OO OO
— I 4os (*) Gooe tf — *) dx — J 4in (*) Gsin С—*) d« 4*
— oo —oo
ОС OO "1
J ABin (*) Gcos (t -x)dx + § Лсоз (ж) Gsln (* — x) dx \.
— CQ •—OO J
(12.75)
Первый интеграл определяет отклик физического фильтра с
импульсной характеристикой (вещественной) Goos (t) на воздействие
Acos (i), второй интеграл — отклик фильтра с импульсной
характеристикой Gsia (t) на воздействие Лб1в (t) и т, д.
Алгоритм (12.75) реализуется схемой, представленной на
рис. 12.25. Это общий алгоритм, применимый к произвольной
функции G (t). В случае же
согласованной фильтрации на импульсную /?ш(#
характеристику G (t)
накладывается условие, вытекающее из
требования максимизации пика сигнала.
Это условие по аналогии с
выражением (12.22) и с учетом (12.66)
можно записать в форме
G (0 = С А* (0,
где С — постоянный коэффициент.
Таким образом,
G (0 = СА* (0 =
= С [ЛС0Б (*) - iAslB (01- (12.76)
Подстановка этого выражения в (12.75) приводит к следующему
результату:
оо
А,„х(0=С J A{x)A*{x~f)dx=CBA(t). (12.77)
^cas(t)
и
СжШ
Н^
£шбУ
\
м+
-Н2
в.
Рис. 12.25,
&sin(fl
U
Комплексный фильтр.
Из этого выражения следует, что при строго согласованной
фильтрации сигнал на выходе рассматриваемого устройства
является вещественной функцией, совпадающей по форме с
корреляционной функцией комплексной огибающей входного колебания.
Введем в рассмотрение неизвестную начальную фазу 60. Для
этого входящие в выражение (12.75) функции Acos (х) и Asln (х)
должны быть домножены на е/е°, в результате чего получится
Авых (0 = СВД (0 е'е° = СВА (0 cos 60 + iCB& (0 sin 60. (12.78)
При 60 Ф О суммарное колебание на выходе сумматоров I и II
является комплексным. На рис. 12.26 воспроизведена схема,
показанная на рис. 12.25 (слева от штриховой линии) с измененными
C6AWwse0
i
A(t)as\f(t)+Se\
.Ȥ>
^1
А(г
? sin ]>(#-»
—>
■>
вв[
CA(t)m$e(t)
Ш)шВШ
САШтВШ
CMtimBCt)
ft
*
( +
Л?
4ы№
\Г
СВAt)
СВа№)шВ0
Рис. 12.26. Комплексный фильтр, согласованный с комплексной огибающей
узкополосного колебания и дополненный элементами квадратурной обработки.
знаками выходов косинусного и синусного фильтров. Импульсные
характеристики указанных фильтров сохранены прежними. Справа
от штриховой линии показаны дополнительные устройства,
необходимые для исключения неизвестной начальной фазы: квадрирующие
устройства (КУ), сумматор и устройство для извлечения
квадратного корня из суммы квадратов. В результате этой дополнительной
обработки получается колебание СВа (t), совпадающее с (12.77).
Продолжая пример с согласованной фильтрацией ЛЧМ
импульса, приведенный в предыдущем параграфе, получаем
Авык (0 = СТС е*' [sin nm (t/Tc) (1 - t/Tc)]/nm (t/Tc)
а при полной обработке по схеме, изображенной рис. 12.26:
Лвых (0 = Crc[sin ш (ЦТС){\ — t/Tc)]/nm(t/Tc).
Возведение в квадрат и извлечение корня являются
нелинейными преобразованиями сигнала. Однако эта часть обработки
производится после максимизации отношения сигнал — помеха в
линейном согласованном фильтре, поэтому эффект взаимодействия
сигнала и помехи менее вреден, чем при непосредственном воздействии
сигнала и помехи на нелинейное устройство.
Глава 13
ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. ЦИФРОВЫЕ
ФИЛЬТРЫ
13.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Последние годы характеризуются быстрым развитием дискретных
систем управления и систем передачи информации, в которых широко
применяется математическое моделирование процессов фильтрации,
основанное на использовании ЭЦВМ. Это новое направление
оказывает большое влияние на развитие теории и техники цепей и
сигналов.
Общее представление о принципе цифровой обработки
континуального сигнала можно получить из схемы, изображенной на рис.
13.1 На том же рисунке даны эпюры колебаний в различных
сечениях схемы.
Входной сигнал s (f) подвергается сначала дискретизации по
времени с помощью электронного ключа (ЭК), работающего с
шагом Т. Дискретизированный сигнал sr (t) на выходе ЭК имеет вид
последовательности равноотстоящих коротких импульсов,
являющихся выборками (отсчетами) сигнала s (/). Каждый из отсчетов
запоминается в интегрирующей #С-цепи на время, необходимое для
Г"
I
I
RC-цепь
1
1
1
АЦП
ЦФ
ГГ^
ЦАП
—=»-
СФ
' s(t) | sT(t) A sr(t)
$тШ
МШк,
sm(t)
Рис. 13.1. Функциональная схема цифрового фильтра.
срабатывания аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Время
запоминания должно быть меньше шага Т. В результате, на выходе.
#С-цепи получается ступенчатое колебание sf (t).
В АЦП каждый отсчет квантуется по уровню и преобразуется
в кодовое слово — двоичное число, составленное из г разрядов,
каждый из которых представлен нулем или единицей (паузой или
стандартным импульсом).
Квантование заключается в том, что отсчет измеряется и ему
присваивается один уровень из общего числа возможных. Это число
равно 2Г. Например, при г = 10 получается 210 = 1024 уровня.
Каждому разряду соответствует своя шина, так что на выходе АЦП
закодированный цифрой отсчет представлен в виде комбинации из
бинарных единиц (пауз и импульсов), возникающих на г выходных
шинах одновременно (параллельный код). Максимально
возможному значению отсчета соответствует кодовое слово, составленное из
г импульсов, нулевому значению отсчета — из г пауз. Точность
представления отсчета тем выше, чем длиннее кодовое слово, т. е. чем
больше в нем бинарных единиц.
Последовательность закодированных цифрами отсчетов
поступает в цифровой фильтр (ЦФ), представляющий собой
вычислительное устройство, в котором над кодовыми словами производятся
определенные математические операции (сложение, вычитание,
умножение, а также задержка во времени), соответствующие заданному
алгоритму. В результате этих операций на выходе ЦФ возникают
новые кодовые слова, соответствующие профильтрованному сигналу.
В преобразователе цифра — аналог (ЦАП) каждое кодовое слово
приводит в действие группу электронных ключей, которые
управляют суммированием эталонных напряжений, соответствующих
каждому из разрядов. В результате на выходе ЦАП воспроизводятся
отсчеты в аналоговой форме. Такое декодирование является
процессом, обратным происходящему в АЦП.
Напряжение на выходе ЦАП sf ВЫх (t) имеет ступенчатую форму,
причем высота каждой ступени равна отсчету выходного сигнала в
соответствующий момент времени. Таким образом, под выходным
дискретизированным сигналом sy вых (t) следует подразумевать
последовательность «тонких» импульсов, представляющих дискретные
отсчеты выходного сигнала sBbIX (t).
Наконец, в четырехполюснике, который можно назвать
синтезирующим фильтром (СФ), осуществляется преобразование
дискретной последовательности в континуальный выходной сигнал snbIX (/).
Очевидно, что перечисленные выше преобразования,
производимые над каждым из отсчетов входного сигнала, должны выполняться
за время меньшее, чем шаг Т. Кроме того, должна обеспечиваться
строгая синхронность управления электронными ключами,
используемыми для осуществления поразрядного сложения, вычитания
и других операций над кодовыми словами. Все это приводит к
необходимости применения весьма сложной системы синхронизации
вспомогательных импульсных последовательностей, с помощью
которых на каждом шаге Т обеспечивается стирание старой
информации в двоичных элементах (например, в триггерах) и ввод в них
новой информации.
Задача решается путем формирования указанных
последовательностей из единого гармонического колебания с частотой \1Т,
получаемого от опорного генератора. В связи с тем, что Т является
основным параметром цифрового фильтра, особое внимание уделяется
повышению стабильности частоты опорного генератора.
Применение интегральных микросхем и типовых узлов
современной микроэлектроники позволяет с успехом решать перечисленные
выше сложные задачи.
Цифровые фильтры обладают рядом важных преимуществ.
Основные из них — надежность в работе и стабильность
характеристик, недостижимые в аналоговых фильтрах, обусловлены
преобразованием континуального сигнала в двоичное число, представленное
стандартными сигналами (импульсы и паузы),
Некоторые другие важные преимущества будут отмечены в
дальнейшем, после более детального рассмотрения основных
характеристик цифрового фильтра.
Следует отметить, что при рассмотрении принципа действия
схемы, представленной на рис. 13.1, преобразование аналог— цифра
и обратное преобразование цифра — аналог не имеют решающего
значения. Можно исходить из допущения, что в вычислительное
устройство вводятся неквантованные отсчеты (в аналоговой форме),
над которыми и совершаются математические операции (существуют
дискретные системы аналогового типа, в которых не используется
цифровое кодирование). В связи с этим в последующих параграфах
рассматривается принцип действия дискретных систем сначала без
учета АЦП и ЦАП. Оценка же погрешности, связанной с
квантованием отсчетов, а также некоторые другие особенности цифровой
обработки сигналов излагаются в § 13.11 — 13.13.
13.2. АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОЙ СВЕРТКИ (ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ)
Схема устройства дискретной обработки континуального сигнала
(без цифрового кодирования) представлена на рис. 13.2.
Процедуру дискретизации входного сигнала (взятие выборок)
удобно рассматривать как умножение функции s (t) на
периодическую последовательность t/j (t)
тактовых импульсов. В качестве
таких импульсов обычно
рассматривают дельта-функции, так
что функцию yr(f) можно
определить выражением
kT). (13.1)
Синтезирующий
^ТЩкШ
Рис. 13.2. Схема дискретной
обработки сигнала.
y,(t)= ^ 6(/
График этой функции показан на рис. 13.3, б (цифра единица
обозначает площадь тактового импульса).
Тогда дискретизированный сигнал
ST(f)=s(f)yT®=s(ti 23 S(t — kT):
/г= — оо
= у\ s(kT)8(t-kT) = % sh> I13-2)
А=_оо А=—оо
где
й, = s (kT)d (t — kT).
(13.3)
При таком обозначении sk имеет смысл бесконечно короткого
импульса, расположенного на оси времени в точке t — kT
[^обладающего площадью, численно равной выборке s (kT). Таким
образом, выборки s (kT) из сигнала s (t) (рис. 13.3, а), являются
весовыми коэффициентами дельта-функций (рис. 13.3, в).1
Дискретизированный сигнал st (t) подается на дискретный
фильтр, влияние которого на St (t) должно быть эквивалентно
влиянию некоторого аналогового фильтра на s(t). Пусть импульсная ха-
а) /
1 Г 1 >/\
—*-
-ZT -Т О Т ZT
/гТ
ЦТ»)
©о еооооооосх>©ос*эоооо оо
1
•
/
/
/
/
/
/
1
1
1
—1—^-
-ZT -ТО Т ZT
кТ
д) \о
I
|_
S(7J
S(2T)
s(kV
-ZT -TO T ZT
kT
Рис. 13.3. Дискретизация сигнала:
о — исходный континуальный сигнал; б — последовательность тактовых импульсов;
е — дискретные отсчеты сигнала.
рактеристика последнего g (t) задана. Тогда сигнал на выходе
аналогового фильтра определяется сверткой [см. выражение (6.12)]:
WW= I s(t~x)g(x)
их.
(13.4)
Дискретный эквивалент свертки при надлежащем выборе шага
Т можно записать в форме
sBuAnT)= 2 s\(n-k)T]g(kT),
(13.5)
1 Следует иметь в виду, что по своей размерности sT (t) отличается от
s (/), поскольку функция б (0 имеет размерность lit. Для сохранения
размерности выражение (13.3) следовало бы записать в форме sft = Ts{kT)X
хб (/—kT), что равносильно приравниванию площади импульса Sft площади
прямоугольного импульса с основанием Т и амплитудой s (kT) [4].
где s^ (nT) — л-я выборка из sBbIX (/),
выборке импульс согласно (13.3)
а соответствующий этой
W (nT)6 (t — пТ).
(13.6)
В выражении (13.5) g {kT) имеет смысл k-й выборки из
импульсной характеристики аналогового фильтра, показанной на рис. 13.4
штриховой линией.
Выражение (13.5) можно рассматривать как алгоритм
дискретной обработки, эквивалентной пропусканию сигнала через
аналоговый фильтр с заданной импульсной характеристикой g (/),
Рис. 13.5. Дискретный фильтр.
Рис. 13.4. Дискретизация импульсной s■ м
характеристики аналогового фильтра.
,1
Й
J0
ib^L
кТ
%/#
При отсчете времени от начала входного сигнала выражение (13.5)
принимает вид
*вы1(пТ) = 2 sl(n-k)T]g(kT).
k=0
(13.5')
Верхний предел суммирования следует из условия, что при
k > п s [{п — k)T] — 0, а нижний — из условия, что при t <. О
g (t) = 0.
Схема устройства, обладающего требуемой дискретной
импульсной характеристикойgr (t), представлена на рис. 13.5. На этой схеме
буквами а0, аъ а2, ..., ан обозначены не зависящие от частоты
коэффициенты усиления, & Г — идеальная линия задержки; задержка
совпадает с темпом поступления выборок сигнала s (t). Подбором
коэффициентов а0 = g (0), at = g (T), a2 = g (2T), ... можно, в
принципе, осуществить весьма сложные импульсные характеристики
8т (О-
Очевидно, что импульсная характеристика рассматриваемого
устройства должна записываться в форме
Вт (0 = g (0)6 (t) + g (T)8 (t-T) + g (2Г)б (t - 2Т) + ... ■
,„ = а08 (0 + а, б (t - Т) + а2 б V - 2Т) + ... (13.7)
Таким образом, ak = g (kT) является лишь весовым
коэффициентом при дельта-функции 6{t — kT). При подаче на вход схемы,
обведенной на рис. 13.5 штриховой линией, дискретного сигнала
St (t) на выходе сумматора 2 получается дискретная
последовательность импульсов St вых (0. а на выходе синтезирующего
фильтра — профильтрованный непрерывный сигнал sBbIX (t).
Осуществить дискретный фильтр непосредственно по схеме на
рис. 13.5 можно лишь для относительно простых сигналов,
обладающих небольшой базой N = 2fmTc. (Тс = NT — длительность
обрабатываемой реализации сигнала.) Однако алгоритм (13.5) широко
используется при моделировании фильтров с помощью ЭВМ.
Основная трудность реализации дискретного фильтра
заключается также в осуществлении элемента памяти Т. Эта трудность
отпадает при переходе к цифровой фильтрации, когда запоминание
сигнала на любое необходимое время осуществляется с помощью
двоичных элементов (триггеров). Важным параметром дискретного
фильтра является память Т. Этот параметр оказывает решающее
влияние на основные характеристики фильтра — передаточную
функцию и импульсную характеристику,
13.3. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Для уяснения особенностей дискретной фильтрации важное
значение имеет выявление структуры спектра дискретизированного
сигнала st (t).
Пусть заданы спектральная плотность S (со) исходного сигнала
s (t) (континуального) и шаг взятия выборок Т. Рассматривая St (t)
как произведение s(t) ут (t), где ут (t) определяется выражением
(13.1), находим спектральную плотность функции st (t) по формуле
00
St-(оо)=- [ s(t)yT{f)e-iwtdt. (13.8)
— оо
Периодическую последовательность дельта-импульсов можно
представить в виде ряда Фурье
07(/) = _L ^ е""»'', co1 = 2n/7'. (13.9)
Коэффициенты этого ряда равны УТ поскольку спектральная
плотность одиночного дельта-импульса равна единице, а период
повторения импульсов равен Т [см. формулу (2.55)],
Подставив (13.9) в (13.8), получим
оо оо
8г(ю)=--1. Г s(t) 2] е'"ш«'е-'ш'Л=
-ОС П=-»
fl = — 00 _ оо rt=_00 *
(13.10)
Итак, спектр ST (со) дискретизированного сигнала представляет
собой последовательность спектров1 S(ca) исходного сигнала s (t),
сдвинутых один относительно другого на величину 2п/Т.
Если шаг взятия выборок отвечает условию Т < 1/2/т (по
теореме отсчетов) и, следовательно, сот < л/Т, то отдельные спектры
не перекрываются, как это показано на рис. 13.6, и могут быть
разделены с помощью фильтров на выходе устройства.
Спектр дискретизированного сигнала приобретает
периодическую форму. Выражение (13.10) полезно для установления связи
между S (со) и S7 (со), однако 5.
в общем случае, при произволь- Г~*~\
ном соотношении между Т и ^ J у
S (со), когда возможно перекры- ~ „^ 0 0ff &
тие спектров, применение фор- j
мулы (13.10) становится затруд- ^
нительным. Кроме того, жела- /—f~ч /-~~~\ f~*™"~\
тельно иметь формулу, позво- J j \/ \ \/ | \
ляющую находить Sj (со) непо- 2ж _ц О ж. = #Г &
средственно по заданным времен- ~ г j т 1 т
ним выборкам s (kT) без обра- дпскретизированно-
щения к спектру S (со) исход- ги го £игнал£
ного континуального сигнала.
Такую формулу легко получить,
если преобразование Фурье применить, к выражению (13./). при
отсчете времени от первой выборки s (0) получим
00 ОО ОО
5гИ Ч ^ (0 е-**# = ее-"* У s(kT)b{t-kT)dt=
оо оо °° .
= 2 5(&Г) $е-'«*в(*-АГ)Л = 2 s(^e-to4r. (13.11)
k=o " 4=0
Реальный сигнал аппроксимируется с помощью конечного числа
отсчетов. При числе отсчетов /V выражение (13.11) принимает вид
Sy(v)^N% s(kT)e-'akT. (I3-12)
При использовании ЭВМ требуется дискретизация сигнала как
во временной, так и в частотной области. В последнем случае
частотный спектр S7 (со) определяется совокупностью своих значении
ST (rtto,) на дискретных частотах со — «coi-
В 6 2 15 было установлено, что число степеней свободы сигнала
одинаково как по времени, так и по частоте. Частотный интервал
со, между соседними отсчетами должен быть приравнен со, = 2cora//V.
П^Гоей размерности величина S7 (со) отличается от S (ш) гак же, как
и сами оригиналы sT (t) и s (t) (см. сноску на с. 476).
Так как com = я/Т, то о^ = 2nlNT. Это соотношение согласуется
с определением Дсо = 2п/Тс в § 2.15, поскольку произведение NT
имеет смысл длительности Тс исходного (континуального) сигнала.
Подставив в выражение (13.12) со = паи получим формулу для
определения частотных выборок
N—l N—\ -/—nJ
Sr(ne>j)= 2 s(/e7)e-<a-"*r = ^ s(kT)e N ,
n=0,±l,±2,...,±(N—l)/2. (13.13)
Соотношение (13.13) называется дискретным преобразованием
Фурье (ДПФ).
При увеличении \п\ свыше (N — 1)/2 функция Sy (runJ
повторяется периодически. Поэтому Sy (—со J можно приравнять
Sz [(N — ljcoj, соответственно St (—2щ) = ST l(N — 2)coJ и т. д.
Это позволяет записать выражение (13.13) в несколько измененной
форме, удобной для вычисления на ЭВМ:
N—l -i-ZlL nk
ST (псох) = 2 s (kT)e N • n=0,l,2,..., N — l. (13.13')
Нумерация отсчетов при нечетном и четном значениях N
поясняется рис. 13.7, 13.8 при N = 7 и8. Функция s (t) в этих примерах
предполагается вещественной, поэтому частотные выборки,
расположенные симметрично относительно точки п = 0 (со = 0), должны
образовывать комплексно-сопряженные пары. Для выполнения
этого условия выборки Sy (пи>\) должны располагаться в середине
соответствующих частотных интервалов (на рис. 13.7, 13.8
заштрихованных). В нижних частях этих рисунков в скобках обозначены
номера отсчетов, соответствующих отрицательным значениям л,
после сдвига отсчетов вправо на N частотных интервалов. Как при
четном, так и нечетном N полная ширина спектра 2com = N(alt
Можно ввести и понятие обратного дискретного преобразования
Фурье. По аналогии с парой преобразований Фурье (2.48), (2.49)
дискретное обратное преобразование можно определить как
W-1 ,-_**. nk
s(kT) = C ^ 8г(псог)е N , k = 0, 1, 2,..., N— 1.
Для определения постоянного коэффициента С подставим в это
выражение Sr (то,) из (13.13'):
N-\(n-\ -i-¥Lnm\ i-^Lnk
s(kT) = C 2 2 s(mT)e N e N =
n=0 \m = 0 J
N~\ -N—Л i n(k—mt
<=C 2 s(mT) 2 « N
m—Q n=0
\~.э -z -1 01 z з ,
0 1 2 3 * S ff 7-W n
(S) (-2) (-/J (0)
Рис. 13.7. Дискретное преобразование Фурье. Нумерация отсчетов при
нечетном N.
0 1 2 3 4 S В 7 8^N П.
Н) IS) (-Z) (-1) (ff)
Рис. 13.8. Нумерация отсчетов при четном N.
При т =m„k внутренняя сумма обращается в N, а при любом
другом значени^т'-^ в нуль (как сумма векторов, концы которых делят
окружность единичного радиуса на равные дуги). Следовательно,
в правой части остается одно слагаемое С s (kT)N, из чего вытекает
равенство С = UN. Таким образом, обратное дискретное
преобразование Фурье, принимает следующую форму:
s(kT) = Y 2i Srt/MBje N , 6=0,1,2, ...,7V — 1. (13.14)
/!=0
Как и при прямом ДПФ, вне интервала 0< k s^. N — I функция
s (kT) продолжается периодически.
Некоторые из свойств непрерывных преобразований Фурье,
рассмотренных в § 2.7, нетрудно сформулировать также и для ДПФ*
1. Линейность преобразования: спектр суммы (разности)
дискретных сигналов равен сумме (разности) их спектров.
2. Сдвиг дискретного сигнала во времени. Повторяя
рассуждения, приведшие к выражению (2.57), нетрудно показать, что если
сигналу s (/), представленному совокупностью отсчетов s (kT), k =
— 0, 1, 2, ..., N — 1, соответствует ДПФ Sr (ncoj), то сигналу
2я
1—ггпт
s(t + тТ), где m — целое число, соответствует ДПФ е N Sr(nco1).
Иными словами, сдвиг последовательности отсчетов на m
интервалов приводит лишь к изменению фазочастотной характеристики
ДПФ на величину -ттпт (теорема запаздывания).
3. Теорема свертки. Если ДПФ Sr («со,) соответствует дискрет-
N—1
ному сигналу sT (t) = 2 s(kT)8 (t — kT), а ДПФ GT («%) — сиг-
N—l
налу gT (t) = 2 g (kT)6 (t — kT), то произведению Sj (na^Gj (ncoj
соответствует сигнал
y(mT)= ff s\(m-k)T)g(kT).
Вывод этого выражения аналогичен выводу (2.64) [см. также (13.7)].
В предыдущих главах отмечалось, что ограничение сигнала
одновременно по длительности и по ширине спектра неосуществимо.
Представление сигнала конечным числом импульсов N и конечным
числом частотных выборок N неизбежно сопровождается
некоторыми искажениями формы сигнала. Однако эти искажения
проявляются не при переходе от s (kT) к Sr (п(ах) или при обратном переходе
от Sr (ncoj) ks (kT) с помощью преобразований (13.13), (13.14), а при
переходе от дискретного представления к континуальному. Этот
вопрос рассматривается в следующем параграфе.
13.4. ПОГРЕШНОСТЬ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ
КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
В §2.14 отмечалась противоречивость требования ограничить
сигнал одновременно по длительности и по спектру. Это
противоречие проявляется особенно существенно при дискретизации
относительно коротких импульсных сигналов.
Пусть задан сигнал s(t) длительностью Тс и, строго говоря, с
бесконечно широким спектром S (со). При выборе шага дискретизации
Т на основании теоремы Котельникова (см. § 2.14) возникаетнеопре-
деленность в оценке величины сот — граничной частоты спектра
сигнала. Выбор этой частоты определяет шаг Т = я/сот, а при
заданной длительности сигнала Тс число дискретных отсчетов N =
= TJT = Tcwm/n.
Для восстановления сигнала в континуальной форме требуется
фильтр с полосой прозрачности | со | = tom (см. § 13.3). Для
упрощения анализа исходим из идеального фильтра с АЧХ
1 при | со |< сот,
К (г со) = ,
{ 0 при |со|^ сог
Фазочастотная характеристика подобного фильтра в полосе
прозрачности линейна и вносит лишь задержку сигнала, которую
дальше учитывать не будем.
Фильтр с указанной выше полосой пропускания подавляет
составляющие спектра S (со) с частотами со, превышающими сот.
Поэтому под ошибкой, погрешностью дискретизации' можно
подразумевать функцию времени, соответствующую отсекаемой части
спектра. Обозначим эту функцию As (/). Тогда
-<"т оо
As (/) = — Г S (со) еш da Н—— Г S (со) е''°* dco.
2л J 2n J
ют
Проиллюстрируем это выражение на примере простого сигнала
в виде импульса прямоугольной формы (рис. 13.9, а).
Спектральная плотность этого сигнала s (t), равная [см. (2.68)1
8(со)=ЛГ6 sir4Mrc/2) ,
V ; G шГс/2
является четной функцией со. Поэтому выражение для As (i) легко
привести к виду
Г°° / \ шт . / Т \
*S{t)=i j-^-sinco /-f^bto-j-sinco^-f^dco-
оо шт Л
-j^sinco^-^dco+j ±**>(t-i)*»\.
Учитывая известные соотношения
fJIL£LdJt={_
я/2 при а > О,
я/2 при а<СО,
приходим к следующему результату:
4s (0 =
vl—^(1+fJ--a^('-?J]^'"<?'
J sin ax
dx — интегральный синус.
о
Пусть для дискретизации импульса отводится N отсчетов. Тогда
Т = TJN\ com = я/Г = nN/Tc, сотГс/2 = Nn/2 и предыдущее
а)
,
%
\
fj
0,6
0,2
III О
>
1
Sft)
1 1 1
=»-
Рис. 13.9. Искажение формы импуль'са при усечении его спектра граничной
частотой 2fmrc=16:
а — исходный импульс; б — напряжение ошибки; в — искаженный импульс.
выражение записывается в форме
-т-КО--£)]}■*■ к
As (0 =
2
1 +■
+-
■SI
)]+
[*f (t-.)]) »р« |<|>
I».
2
Графики функции As (/) и сигнала на выходе фильтра при А — 1
представлены на рис. 13.9, бив. Любопытно, что для
прямоугольного импульса характер функции As (t) определяется лишь
параметром N = 2fmTc.
К определению функции As (t) можно также подойти,
рассматривая воздействие на синтезирующий фильтр последовательности
физических импульсов, соответствующих выборкам из сигнала
s (/). Отклик фильтра на выборку s (пТ) равен s (nT)g (t — пТ), где
g (t) — импульсная характеристика, определяемая выражением
[при К (ко) = 1, I со | < шго]
g
е'м' dco = —
п
1 sin <om t 1 sin coro t
t
T
b)mt
= — sine (co„
f).
Функция sine ((nmf) является базисной функцией ряда Котель-
никова (см. § 2.15). Следовательно, функцию As (i), существующую
после окончания сигнала s (t), можно найти суммированием функций
s {nT)g (t — пТ) от всех выборок, предшествующих моменту t =
= Гс/2. В дискретных точках t = kT функция As (/) равна нулю,
поскольку все слагаемые в указанных точках равны нулю. Из
этого следует, что увеличение интервалов Т приводит к искажению
сигнала лишь между отсчетными точками. Нетрудно показать, что
протяженность функции As (/) практически составляет 3—4 такта.
Следовательно, с увеличением числа отсчетов N доля указанного
отрезка времени от общей длительности импульса уменьшается.
13.5. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Переходя в выражении (13.11) к новой переменной р = о + ш,
можно, как и в § 2.13, ввести понятие дискретного
преобразования Лапласа:
оо
Sr(P)= 2 s(kT)e-?kT.
(13.15)
5: = 0
Определение оригинала, т. е. функции st (t), по заданному
изображению Sr (p) можно осуществить с помощью обратного
дискретного преобразования Лапласа,
которое записывается в обычной форме
C+Joo
stf)= '
W=^r J Sr(P)eP<dp, (13.1G)
совпадающей с (2.107).
Покажем, что подстановка в (13.16) Sr (p) по формуле (13.15)
приводит к требуемому результату:
Учитывая (см. также табл. 2.1), что при с -> 0
— Г ep'dp-^~ С e'">'ri(u=S(0, (13.17)
2га J 2л J
С—гос. —со
правую часть предыдущего выражения нетрудно привести к виду
2 s(kT)8{t—kT) = ST®, (13.18)
fe=0
совпадающему с (13.2). Таким образом, убеждаемся, что выражение
(13.16) определяет всю последовательность выборок сигнала s (t).
Для определения одной п-& выборки s(nT), без множителя
б (t — пТ), можно применять более простое выражение
С+/Л/7
s{nT) = T~ Г Sr{p)epnTdp, (13.19)
2л/ J
с—in/T
в котором интегрирование ведется в пределах одного частотного
интервала от —п1Т до я/Г.
Действительно, подставив в (13.19), как и ранее, Si (р) по
формуле (13.15), получим
С+Ш/Т I оо
s(nT) = T~ Г Vs (kT) е-*1* ) е""г dp --
2лг J I ,^„
о+гя/7
T 2 S(Ar)"2n7 f tm~h)TdP' (13-2°)
*=o с—7л/т
Вычислим интеграл
c+in/T VfJ
2я: J 2jt )
«—/я/7 -h/T
--.0ctn~kW ' sin(n-fe)n
л {«-ft)/ * U^i>
При n = k это выражение равно l/Г, а при п Ф k ~~ нулю,
Следовательно, в правой части (13.20) остается одно слагаемое s (пТ) —
= s (kT).
В тех случаях, когда дискретная последовательность sr (0 не
равна нулю при отрицательных индексах k, приходится применять
двустороннее дискретное преобразование Лапласа.
По аналогии с выражениями (2.108), (2.112) и (2.114) представим
его в форме
S7(p)= V s(kT)e—**+ 2 s(kT)e-"kT—s(0), (13.22)
где s(0) компенсирует учет индекса fe = 0 r обеих суммах.
Положив во второй сумме k = —/га, получим
S7 (р)= jr s(fer)e~pfe?+ J] s^— mT)&m''— s(0)=
=Sv + (p)-fSr~(p> —s(0). (13.23)
В частном случае, при четной функции s (0, когда s (—mfj =*
— s (mT), имеет место соотношение, аналогичное (2,118):
Sr_(p)=Sj+(—p).
Тогда
S7(p)=Sr+(/?) + Sr+(—p)~ s(0)= J s(kT)e-Bbr. (13.24)
ft=—or
В выражениях (13.23), (13.24) S74-—одностороннее
преобразование, определяемое выражением (13.15).
Нетрудно определить область сходимости ряда (13.23). Эта
область представляет собой полосу, ограниченную значениям аг и
о2 (см. § 2.13, рис 2.33). Последние определяются свойствами
непрерывного сигнала, из которого получены дискретные
последовательности при t > 0 и / < 0,
13.6. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА
Вернемся к схеме на рис. 13.2 и составим выражение для
передаточной функции дискретного фильтра в виде отношения
К* (Р) = S? вых [p)lSi (P). (13.25)
Здесь Sr (р) и. SrBbiX (р) — рассмотренные в предыдущем
параграфе изображения по Лапласу соответственно для дискретных
входного и выходного колебаний.
Первая из этих функций определяется односторонним
преобразованием Лапласа (13.15). Для составления аналогичного
выражения SrBbIX (р) необходимо задать алгоритм работы счетного
устройства. Рассмотрим сначала более простой фильтр, в котором не
используется обратная связь. В соответствии с выражениями (13.5'),
(13.6), а также со схемой на рис, 13.5 импульс sbbixn на выходе в
момент t — пТ
sman= ^ahs\(n-k)T]b(t-nT), (13.26)
где Н — число запоминаемых и фактически суммируемых
предшествующих импульсов входной последовательности (т. е. число
элементов памяти Т на рис. 13.5).
Полная последовательность выходных импульсов
оо
sr вЫХ (0=2 W п=а0 s (0) 6 (0 + [а0 s (Г) + аг s (0)] 6 (t- T) +
+ [ans{2T) + als{T) + ats{0)\b<$—2T) + ...=
оо оо
= о0 2 s(nT)8(t—nT)+a1 ^ s[{n— 1)Т]8{t—nT) +...+
оо
+ ан 21 s[(n—H)T]6(t—nT). (13.27)
п = Н
Первая сумма в правой части этого выражения (с коэффициентом
а0) есть входная импульсная последовательность (13.2), вторая —
та же последовательность, задержанная на время Т, третья — на
2Т и т. д. Следовательно, преобразование Лапласа от выражения
(13.27) будет
Sz ьыл {р)=а0 ST (p) + ax Sj- (р) е~"т + а, ST (p) e~w + ...+
+ anST(p)e-HDT = ST(p) 21 ahe-k»T. (13.28)
Разделив выражение (13.28) на St (p) и учитывая (13.25), получим
Кг(Р)= 2 aht-kDT- (13.29)
fc=0
Приравнивая р = ко, находим передаточную функцию как
функцию частоты ы:
и
Кг("») = 2 аье-ашт. (13.30)
k = 0
Выражения (13.29), (13.30) вытекают и непосредственно из
эквивалентной схемы, представленной на рис. 13.5. При этом
предполагается, что коэффициент передачи сумматора 2 равен единице.
Подбором постоянных а0, аъ ,.., ан можно синтезировать'фильтры
с различными амплитудно-частотными и фазочастотными
характеристиками.
/
.*■—I1
i—+„^ //
4
\
\
Ь¥)
dJL
\
2Я _ «У/ ~й>с О 6>В Of 2Ж
Т Z Т Т
,2п
1Т
о
Рис. 13.10. Амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра.
Нетрудно убедиться в периодичности функции Кт (/со).
Действительно, добавив к аргументу со величину п2п/Т, где п — любое
целое число, и учтя, что е"
-iknZsi
1, получим
Кг[г(со + «2я/Г)]= 2 а*е-
-№(№+ п2л/Т)Т
И
~ 2 аъ е-'к<лГе- 'ftn2'I = K7 (/со).
Передаточную функцию дискретного фильтра можно записать в
форме1
Кг(ш)= 2 К ft (со-n-^jj, (13.31)
где К (/со) — передаточная функция того же фильтра в отсутствие
дискретизации входного сигнала. Выражение (13.31) аналогично
выражению (13.10).
Таким образом, передаточная функция дискретного фильтра
имеет периодическую структуру, так же как и спектры входного
Sr (/со) и выходного Si Вви (£со) сигналов. Это положение
иллюстрируется рис. 13.10 для фильтра нижних частот, на вход которого
подается гармоническое колебание s (f) — А0 cos со0/ со спектральной
плотностью пА0 [6 (со — со0) + 6 (со + со0)3.
1 Выражение (13.31) можно получить, применив преобразование Фурм
к импульсной характеристике дискретного фильтра. Последнюю нужно
представить в виде выражения
*оо
8тЮ = т% g(kT)6(t-kT),
которое отличается от (13.7) множителем Т, необходимым для восстановления
требуемой размерности и нормирования (см. сноску на с. 479).
Сплошной линией показана амплитудно-частотная
характеристика фильтра в центральном интервале (—(Oj/2, (H-J2). После
преобразования дискретного сигнала в непрерывный (с помощью
синтезирующего фильтра, изображенного на рис. 13.1) только этот
частотный интервал и определяет спектральный состав выходного
сигнала,
Ч
f
\
±
£
i
f
а,<0
ш/г
9~
i
$
ш/т±ы\ф0\
ш/г -
Ь-
ш/г
iJsr/Г
4 ist/r
Ю
I
f-
i
i—
D
-ilst/T
■№/T
-I6st/T
k~
a/>D
■iie/T б
-Ш/г
iSn/T
A
0
в)
Рис. 13.11. Дискретный фильтр первого порядка (а) и положение нулей
передаточной функции на р-плоскости при ai<cO (б) и Oi>0 (e).
По передаточной функции Кт {р) можно найти изображение по
Лапласу Бгвых (р) = Sr (p) Кг (р), а затем с помощью обратного
преобразования Лапласа и выходной (дискретный) сигнал
Sreb,x(/)=— f STBb!x(P)eptdp. (13.32)
Поясним применение приведенных выше соотношений для
простейшего фильтра первого порядка, изображенного на рис. 13.11, а.
Импульсная характеристика подобного фильтра представляет собой
пару импульсов [см. выражение (13.7)]
gr (0 = а08 (/) + а,в (/ - Г), (13.33)
а алгоритм вычислительного устройства в соответствии с
выражением (13.26)
«»„„= S a,sl(n-k)T]8(t-nT) = {a0s{nT) +
ft = 0
+ a,s[(/i—1)74} в (/—nT).
Указанному алгоритму соответствует передаточная функция
К; (/О) = av + de-"', (13,34)
[Этот результат можно получить и непосредственно из выражения
(13.29).]
Нули передаточной функции на р-плоскости определяются как
корни уравнения а0 + й1е-р'г = 0 или еРт = ео7е"°г = —аг1а0.
Обозначив корни выражением рот = оот + ш0т, получим
е°ога7'е"0от7' = —Gj/ao, откуда выте-
кают равенства
e°Umr==|_ аг1а0\, оот =
= — inlOi/aof;
юот Г = arg (—aja0)+im 2лл " q,z o,if 0,6 0,8 а/щ
где /77 — любое целое число. Рис. 13.12. Амплитудно-частотная
Коэффициенты а0 И а, — веще- характеристика цифрового фильтра
ственные числа, причем условимся первого порядка (см" риа 1311-а)'
считать а0 > 0. Тогда при ах <Г
< 0 arg (—ajae) = 0 и ш0т = т2л/Т. При ах > 0 arg (—ах/а0) =*
^ л и шот == (2/л + 1)п/Т.
Указанные значения ©от совместно с Оот и определяют
положение нулей передаточной функции при ах <С 0 и при с^ >> 0
(p-ic 13.1 ).
Из выражения
Кт (tco) =и а0 + Gje-" иГ,
эй в (13.34) р на too, нетр
лхзтной характеристики
Кт (ш) = Vao + я? -f- 2g0 ах cos оэГ—
(13.35)
получаемого заменой в (13.34) р на too, нетрудно вывести формулу
для амплитудно-частотной характеристики
~\Г-
«о +«! + 2а0 ах cos Ып — J
и для фазочастотной характеристики
. „ , axs\nmT , ах sin (2ш>/щ)
Ф (оэ)— — arctg — = — arctg — —- —
а0-]~ах cos (оГ a0 -f- й] cos (2па>/а>х)
(13.36)
(13.37)
В этих выражениях со, = 2п/Т = 2л/, — угловая частота
повторения импульсов при дискретизации сигнала.
Амплитудно-частотные характеристики при нескольких
значениях ах представлены на рис. 13.12. Вне частотного интервала 0, щ
характеристики должны быть продолжены периодически. Из
рис. 13.12 видно, что при ах = — 1 и а0 = I фильтр можно
использовать для подавления колебаний с частотами о = 0, о = а>и
е> = 2шь .,., а при щ = 1 для подавления частот Ъ,Ьти \,Ьщ,
2,5©,, ...
Подобные фильтры часто называю] гребенчатыми режектор-
н ы м и фильтрами.
13.7. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ РЕКУРСИВНОГО ФИЛЬТРА
Возможности фильтра значительно расширяются при введении
в схему, представленную на рис. 13.5, цепей обратной связи
(см. рис. 13.13). (Далее будет по-казано, как такую схему можно
упростить, используя элементы памяти Т одновременно для прямых
и обратных связей.) Значение сигнала на выходе сумматора в любой
момент времени пТ зависит не только от Н выборок входного сигнала,
но и от некоторого количества выборок выходного сигнала в
предшествующие моменты. Подобные фильтры называются
рекурсивными. Для рекур-
-^ сивного фильтра выражение
(13.26) следует заменить
более общим выражением
sBbixn = {a0s(nT) +
+ alS l(n — 1)71 +
+ аф \{п - 2)Г1 + ... +
+ aHsl(n — H)T]}6(t — nT) +
+ {6ЛыхК« - 1)Л +
+ &АЫХ [(п - 2)Т] + ... +
+ bMsBUXl(n-M)T]} X
X 8(t — nT), (13.38)
Синтезирующий
фильтр
\!>/еых(&
Рис. 13.13. Цифровой фильтр с
обратными связями."
где М — число суммируемых предшествующих выходных импульсов.
По аналогии с (13.27), (13.28) легко получить изображение по
Лапласу для всей последовательности выходных импульсов
н м
Stmx{p)=St(p) 2 afce-** + S7 «« (P) 2 bhe~k"T,
ft = 0 4=1
(13.39)
откуда
Кг (?) = ST „ь,х (p)/St (р) = 2 аь &-kDT I (l
= аТ{р)/$т{р).
м
2
Ьье-ь>т\
(13.40)
Полученную функцию можно трактовать как передаточную
функцию каскадного соединения двух фильтров: одного с передаточной
функцией 1/Рг (р), второго — с передаточной функцией ат (р).
Такому представлению отвечает каноническая схема, показанная
на рис. 13.14. Число элементов памяти Т в этой схеме вдвое меньше,
чем в схеме на рис. 13.13.
Рекурсивные фильтры позволяют получить частотные
характеристики, присущие фильтрам, передаточные функции которых на
плоскости р = о + m имеют не только нули (как схема рис. 13.2),
но и полюса.
i/fiTm
«т(Р)
Рис. 13.14. Каноническая схема цифрового рекурсивного фильтра.
Поясним выражение (13 39) на примере простейшего фильтра,
в котопом запоминается всего лишь один предшествующий импульс.
Алгоритм подобного фильтра [см (13.38)] принимает вид
sBbran = (s (nT) + bjSnJin - 1>Г)}6 (t - пТ), (13.41)
а схема его изображена на рис. 13.15.
Передаточная функция рассматриваемого фильтра по формуле
(13.40)
Kr(p) = l/U-bie-pr); Kr(to)=l/(1—^е-юя).
(13.42)
Полюса передаточной функции расположены в точках
1
(рис. 13.16, а, б).
Рт = — О" I bl I + * 2ПГП)' m==U. ± 1, ± 2, + ...
SrfcwO
Рис. 13.15. Рекурсивный фильтр
первого порядка.
Рис. 13.16. Расположение полюсов
передаточной функции рекурсивного
фильтра.
X
4-
X-
А;<0
ш/т
i2st/T
О е
ЛЫ/Т
-Ш/Т
а)
п1б> Ь,<0
X \15я/Т
ш/т
■к \Ш/Т
*~
>!<_^_|_гЛя/Г
-15я/т
Ш
При любом знаке Ь1 для устойчивости цепи должно выполняться
условие | 6j| •< 1. Изложенные в гл. 5 критерии устойчивости
непрерывных линейных цепей с обратной связью с непринципиальными
изменениями применимы и к дискретным системам.
0,7 0,8 0,9 a/n>f
Рис. 13.17. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного фильтра (см,
рис. 13.15).
Амплитудно-частотная (рис, 13,17) и фазочастотная
характеристики рассматриваемой цепи
Кт{Щ-
1
Vi+fcf — г^соБшг"
9(03)= — arctg
1 — i>! cos coT
1/ 1 -\-b\ — 2bj cos |2я — )
— ftiSin |2я — I
V. <oi)
■■ arctg
1— biCos
(-3
(13.43)
(13.44)
Амплитудно-частотная характеристика при нескольких
значениях Ьг представлена на рис. 13.17.
Схема на рис. 13.15 соответствует гребенчатому фильтру,
выделяющему колебания с частотами со = 0, щ, 2соь ... при
коэффициенте Ьъ близком к единице, и с частотами со = 0,Ъы1х 1,Ъщ, 2,5сог, ,„
при Ьъ близком к —1 (в обоих случаях \bt\ <. 1).
Использование передаточной функции в форме (13.40) для
анализа дискретных цепей более высокого порядка оказывается
затруднительным. Существенное упрощение анализа можно достичь,
применяя метод 2-преобразовани я.
13.8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА 2-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА
ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ
При математическом описании дискретных последовательностей,
а также цепей большую роль играет функция ерТ. Изображения по
Лапласу временных процессов, а также передаточные функции
цепей, в которые входит функция ерТ, оказываются
трансцендентными функциями р, что существенно затрудняет анализ. Его можно
упростить при переходе к новой
переменной г, связанной с р
соотношением
z—ePT\
Р--
= —1пг.
т
(13.45)
При такой замене указанные
функции от р преобразуются в
рациональные функции от
переменной г, благодаря чему
упрощается представление их на
плоскости г.
ш ,,
ю,
ЧР1
0
С/ G
Рис. 13.18. Соотношение между коор- Рис. 13.19. Отображение точек и об-
динатами точки на р-плоскости (а) и ластей из р-плоскости на г-плоскость.
на г-плоскости (б).
Преобразование плоскости р = о -+- ico в плоскость г = х + iу
можно осуществить с помощью следующих соотношений,
связывающих координаты а1г шг какой-либо точки рг на плоскости р с
координатами хъ уг соответствующей точки гг на плоскости г (рис. 13.18):
z1 = x1 + iyY = e<Ci+<(ад7"; xt = ес> тcos сох Т; ух — ес* тsin со, Т.
(13.46)
В полярных координатах на плоскости z
г1=\г1\=Ух\+у\=^т1 (p1=argz1=(olT^ пг2л, (13.47)
где m — любое целое число.
На рис. 13.19 представлены отображения некоторых
характерных точек и областей из р-плоскости на 2-плоскость. Точка р = О
переходит в точку г = I на вещественной оси 2-плоскости. При
движении точки р-плосксстн вдоль ос» ш (т. е. при о = 0) соответст-
вующая ей точка 2-плоскости описывает окружность единичного
радиуса. Один полный оборот радиуса-вектора соответствует
изменению частоты со в интервале ш1 <! to ^ щ + 2п/Т.
При движении точки р1 вдоль оси £со в пределах от —£оо до ioo
точка z1 описывает бесконечно большое число окружностей. Таким
образом, взаимно однозначное отображение р на z существует только
для полосы ^-плоскости между ±щ/7\ Внутри этой полосы левая
полуплоскость отображается внутрь единичного круга. Все
параллельные полосы такой же ширины соответствуют этому же кругу.
Правая полуплоскость р преобразуется во всю 2-плоскость,
исключая единичный круг.
13.9. ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Основываясь на приведенных в § 13.5 дискретных
преобразованиях Лапласа, составим аналогичные выражения для 2-преобразо-
ваний, подставляя ерГ = г.
Выражение (13.15) принимает вид
оо
S (z) = ST (P)P=_L ,„ г= 2 s {kT) z~"' (13-48)
называемое прямым г-преобразованием.
Найдем функцию S (г) для некоторых простых временных
функций ST (О-
1. Последовательность выборок из сигнала s (/) = 1, t ^ 0.
В этом случае s (kT) = 1, k = 0,1,2, ...,<х>,и в соответствии с (13.48)
00 ОО
su) = 2s<ft^z~*=2*~*=rz^=-zi- (13л9)
ft=o fe=o г г
Нуль 20 = 0, полюс гп = 1.
2. Последовательность выборок из сигнала s (i) = е_ш, />0.
В этом случае s (#Г)—e-afer и
ОО ОО
-акТ у —к v If—aJ ?—1\к —
S(z) = 2 e-aftr2-ft= 2 (е-а7г-у
k=0 k=0
1-е-^г-] г-е-а7"
(13.50)
Нуль z0 = 0, полюс zn = е_а7\
3. Последовательность выборок из сигнала s (t) = a"', / ^г О,
а < 1. В этом случае s (£Г) = aakT и
S(z)= 2 aafe7-z-fe=2 (aar2-y=
1 z
l-aaT г-1
Нуль 20=Q, полюс гп—aa7\
(13.51)
4. Последовательность выборок из сигнала s{t) = coi,w0T,
t^O. В этом случае s(kT) = i/2 е'ш°*г -f 1/2e~ia<-kT и
°° i °°
S(z) =2 cos a0kTz-k = — у (e'(o.r2-i^_[_
fe=o ft=o
i °°
4- — У (е-'"ог 2~Y =
2 ■** 2 1__«<в.г i
1
1
fe=0 - i—e— г-' ' 1-е— г
гз (1-е-ав»Гг^) + (1-е<и"Гг-1)_ г(г-со5со0Т)
г2—2?cosco07, + l г2—2г cosco0 Г+
2
(13.52)
Нули: 201=0, 202 = cos со0Г, полюса: znlt8=cos со0ГгЫ sinw07\
iff L sW~f
Ъ / !
в(кт)=аакТ
ю
ю
S)
Рис. 13.20. Положение нулей и полюсов на г-плоскости для:
а) ,(АГ)=Ь е~а* и aeaft ; б) s (ЙГ) = со, ш„ ftT1; s) s (*T) = sin ш0 ЙГ
5. Последовательность выборок из сигнала s(^) = sinco0f,
*>0. В этом случае s(kT)=-(l/2i)el(0°kT—(l/2i)e-lG>«kT и
S(2)
stncunfcrz—k =
й = 0
1 °°
L V {е«а.аг2Г1)* =
2/
(e«o„7 2-1)й.
fc=0
г sin coa T
й=о
г2— 2г cos coc 7" + 1
(13.53)
Нуль z0 = 0, полюса: znl)2 = cos ra07 ± « sin ©07\
Положение нулей и полюсов для приведенных выше пяти
сигналов показано на рис. 13.20.
Отыскание оригинала, т. е. функции s? (t), по заданному
изображению S (z) производится с помощью обратного г-преобразования,
которое получается подстановкой ерТ = z в выражение (13.16).
С учетом соотношения TepTdp = dz это выражение приводится
к виду
S7.0)=-L_L. ф s(z)zfffT-»dz. (13.54)
Интегрирование ведется по окружности радиуса г = егГ, в
которую преобразуется прямая о = с из плоскости р = а + ш.
Постоянная с определяется из условия, что все полюса
подынтегральной функции находятся внутри круга радиуса г = есТ. Обход
контура — в положительном направлении (против часовой
стрелки). Изменению частоты от —оо до оо соответствует бесконечное
число обходов контура интегрирования.
По аналогии с выражением (13.19) значение импульса s (пТ)
в точке t = пТ [без множителя б (t — пТ)] можно определить с
помощью более простого выражения
s(nT) = T— & s(z)z"-^-=-L (f) S(z)2w-4dz,
2л/ J „ Тг 2.-й J
1г|=^ |>|=есГ
(13 55)
в котором подразумевается один обход контура интегрирования.
В рассмотренных выше примерах функций S (г), обладающих
полюсами на окружности единичного радиуса [при s (kT)= l,
cos u>0kT, sin a>0kT], постоянная с > 0 может быть сколь угодно
малой величиной. Поэтому контур интегрирования можно свести
к окружности радиуса г = 1 с обходом полюсов вне круга, подобно
тому, как на плоскости р = о + m интегрирование ведется по оси
ш с обходом полюсов, лежащих на этой оси, справа.
С учетом этого условия, выражения (13.54), (13.55) в дальнейшем
будем записывать в одной из двух форм:
^Ю = 7""Й7 Ф Sto**'T-4dz (13.56)
— с бесконечным числом обходов окружности единичного радиуса;
s(nT) = — (£ S{z)ta-»dz (13.57)
— с одним обходом окружности единичного радиуса.
Интегрирование по окружности г > 1 из дальнейшего
рассмотрения исключается, поскольку положение полюсов функции S (z)
вне круга г ~> 1 соответствует неограниченно возрастающим вре-
меннь'щ последовательностям, не имеющим физического смысла.
При применении выражения (13.56) следует учитывать полезное
соотношение
/оо
1*1 = 1 -оо
ОО
-=~ Г e"»'d<B = 6(0 (13.58)
— с»
[см. выражение (3.17)].
Приведем в заключение двустороннее 2-преобразование,
получающееся подстановкой е"7 в (13.23):
с» оо
S(z)= ^ s(/?r)2-*+ Z s(—mT)z'"s(Q) =
= S+ (z) + S_ (г) — s (0). f 13.59)
При четной функции s (i) второе слагаемое в правой части (1 J.59)
можно привести к виду
эо оо
&_(2)= 2 s(—mT)zm= 2 s(m7)2™=
-2«^(тГ-**(т)-
»!=('
Таким образом, при четной функции s (t) выражение (13.59)
переходит в
оо
S(2)=S+(z) + S+(-M -s(0) = V М*Л 2-*. (13.60)
ft= - (
В этом выражении S+ обозначает одностороннее преобразование.
Обратное 2-преобразование производится с помощью выражений
(13.56), (13.57).
13.10. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ
Применим г-преобразование к передаточной функции
дискретной цепи. Подстановка epJ = z в выражение (13.40) дает
K(2)=SBbrx(*)/S(2)= | aft2-*/(l - J \г->) (13.61)
Из этого выражения видно, что передаточная функция
дискретного фильтра является дробно-рациональной. По заданному
выражению (13.61) легко составить уравнение вида (13.38), определяющее
алгоритм преобразования входной импульсной последовательности
в выходную. Для этого каждому из слагаемых вида s [(п — k)T]
в уравнении (13.38) достаточно приписать коэффициент ah при
степени z~k в числителе, а слагаемым вида sBbIX l(« — k)T\
коэффициент bh при степени z~k в знаменателе выражения (13.61).
Следует, однако, отметить, что не всякая дробно-рациональная
функция может быть реализована в виде передаточной функции
фильтра. Пусть, например, передаточная функция задана в виде
отношения полиномов по положительным степеням
К(2) = «■»"+1'"-,+ -+'» . (13.62)
Ом г —£>iz —...—о^
Разделив числитель и знаменатель на fc02M, приведем это
выражение к виду
-2^гн-м+-^-гн-м-1+...+— г~м
К (2) = J* Ь° Ь°
1— . г~1— ... —-г— г
—м
6,
о
Если Н > М, то первое слагаемое в числителе (с положительной
степенью г) образует в уравнении (13.38) слагаемое вида
(a0/b0)s[(n + k)T], где k — Я — М > 0, соответствует импульсу
s (п + k), опережающему во времени входной импульс s (п), что,
конечно, невозможно. Отсюда следует, что фильтр осуществим при
условии, что степень знаменателя в (13.62) больше или равна степени
числителя.
С учетом этих замечаний запишем передаточную функцию в
следующих эквивалентных формах:
К (2) =
a0+at г-1+а2 г_а+... +амг~
г
(13.63)
-м
г*1- fct г*1" ' — fte г""2— ... — Ь« ''
(г — г,.») (г— гйг) ... (г—гп.Л
К(г) = а„гм-Н- — ^^-. (13.64)
(? — ги1)(г — гп8)...(г— гпМ)
В выражении (13.63) коэффициенты ak и 6А следует подставлять
с теми же знаками, с которыми они входят в (13.38).
В выражении (13.64) гоп — нули, а гпп — полюса передаточной
функции; гоп игпп могут быть либо действительными, либо
комплексными числами В первом случае они расположены на
действительной оси, а во втором образуют комплексно-сопряженные пары.
Нули могут быть расположены в любой точке плоскости 2,
полюса же — только внутри круга единичного радиуса. Это
условие вытекает из требования устойчивости цепи; при рассмотрении
поведения передаточной функции на плоскости р условие
устойчивости требует расположения полюсов в левой полуплоскости. Как
отмечалось выше, левая полуплоскость р отображается внутрь
единичного круга на плоскости г.
Для перехода от функции К (z) к функции Кг (ш) следует, как
это вытекает из (13.46), приравнять г = ешт (а = 0).
Таким образом,
l_frle-»-Sae-''w-...-6Me-'*r
(е'»Г-гм) (е'иГ-гог)...(е'иГ-гон)
=о„ (13.65)
(еййГ-гп1) (е'юГ-гп2)...(е-Г-гпЛ1)
Для определения амплитудно-частотной характеристики цепи
в диапазоне (0, 2к/Т) следует вычислить модуль выражения (13.65)
при изменении со Г от 0 до 2л, т. е. при одном обходе окружности
единичного радиуса на г-плоскости. При последующих обходах
окружности АЧХ периодически повторяется.
Модули разностей ешТ — гок и etor — zak являются
расстояниями от точки на окружности, соответствующей углу шТ, до нуля
zoft или полюса гп h. Обозначив эти расстояния через /?(А и Rn h,
получаем для АЧХ формулу
Roi Roa ■■■ Roh /i о аа\
/Ст-И=а0—— —-, (13.66)
Кщ Кгл • • ■ кпм
удобную для графических вычислений.
Вычисления особенно упрощаются при построении АЧХ в
логарифмическом масштабе:
КгНдб = 20
н
ft=l
М 1
!=1 I
lga0+ V \gRoh-y \gRnh\. (13.67)
Если заданы нули и полюса передаточной функции, то
коэффициенты ak и bh легко определяются с помощью известных из алгебры
соотношений. Значительно более сложной (при М > 2) задачей
является определение нулей и полюсов по заданным коэффициентам
ak и bh.
Передаточная функция К {г) и импульсная характеристика gT {t)
связаны между собой парой z-преобразований, вытекающих
непосредственно из выражений (13.48) и (13.56), (13.57) при замене
в первом из них s (kT) на g (kT), а в (13.56), (13.57) S (z) на К (г):
Кй=^^г' (13-68)
6 = 0
gT{f)==±JL^K(z)z^T-^dz (13.69)
— бесконечное число обходов контура интегрирования,
8 (ПГ)= 2^" Ф * {Z) *"~ " dZ (13J0)
— один обход контура интегрирования,
13.11. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1. Нерекурсивный фильтр второго порядка
В соответствии с выражением (13.30) при Я = 2 передаточная
функция фильтра, представленного на рис. 13.21, а, преобразуется
в функцию
н
К (г) = 2 ah z-* =а0 -f ax z'1 -f a2 z~z=
k = 0
--an
г ■ ai i °2
г1 +— г+ —
во а0
(13.71)
Эта функция имеет нули в точках
2 о0 \ 4 V а0 J a,
ао
Рис. 13.2). Цифровой фильтр второго порядка (а) и положение нулей на
2-плоскости (б).
Двукратный полюс, расположенный в точке гп =s 0, не оказывает
влияния на поведение передаточной функции.
Особый интерес представляют случаи а0 — с2 = 1 и \аг\ < 2,
когда
201,2 = — V2 ± f'Vl— Of/4.
Модуль этого выражения равен единице, так что комплексно-
сопряженные нули zoi и z02 лежат на окружности единичного радиу-
са. В частности, при аг = —2 двукратный нуль расположен в точке
z = 1 (рис. 13.21, б). Этот случай соответствует широко
распространенному в практике режекторному фильтру второго порядка с
бесконечно большим затуханием на частоте со = О (е'иГ = 1).
Амплитудно-частотную характеристику такого фильтра легко
определить из выражения (13.71) при подстановке а0 = аг = 1,
г-1 = е~'оТ и домножении правой
части на | е'№Г | = 1:
| К (г) | = |К (е'иГ) | = 11 — 2е-*»г +
+ е-г-2о7'|==|е/И7-_24-е-'и7'| =
= 21 cos аТ— 11 = 4 sin2 -^ .
(13.72)
Кт
5
'2
1
/"~"\ 2\cBiaT-/\-
/ / ч \ -Ьш т~
1 г V \У Z
/ / \ V
// ч\
- // \\
//I /I N\
// i v* 1 \ \
-.. /' \ V--
х/. , \Х,
^ч/ t 1 .. i/_NJ_
ж
оГ-
2Я
Рис. 13.22. Амплитудно-частотная
характеристика фильтра (рис.
13.21, а) при йо= I и ai= — 1.
График этой функции представлен
на рис. 13.22 (сплошная линия).
Сопоставление (13.72) с
выражением (13.35) показывает, что
рассматриваемый фильтр второго
порядка эквивалентен каскадному соединению двух фильтров первого
порядка с коэффициентами а0 = 1 и аг = —1.
Изменением коэффициента ах можно перемещать нули гм>2 по
окружности единичного радиуса, что равносильно перемещению нуля
АЧХ по оси частот. В частности, при Gj= —У 2, г01.2=(1/]^2) (1 ±
-+- /)==e±m„r) сй07=45° (рис. 13.21, б). Соответствующая АЧХ
изображена на рис. 13.22 (штриховая линия).
2. Рекурсивный фильтр первого порядка (рис. 13.15)
Передаточная функция (13.42) преобразуется к виду
К (2)= 1/(1— Ь1г-1) = г/(2—6,). (13.73)
Эта функция имеет нуль в точке z0 — 0 и полюс в точке га = Ьг.
Определим импульсную характеристику фильтра с помощью
формулы (13.69). Представив К. (г) в форме геометрической
прогрессии
K{z)^l+b1z-1+bU~2 + :.
и применив к каждому слагаемому выражение (13.69), получим
<™~Г5Г Ф *"-*+-£--£-$■"'-««+••-
|гГ=1 1*1 = '
= J] 6*6(г-/г71; ёфТ) = Ь1.
А = 0
(13.74)
Из данного примера видно преимущество рекурсивного фильтра
перед нерекурсивным. Для получения приведенной выше
импульсной характеристики требуется всего лишь один элемент памяти Т,
а в случае нерекурсивного — большое число (теоретически
бесконечное). В рекурсивном фильтре это преимущество достигается
благодаря циркуляции импульса по кольцу обратной связи с задержкой Т.
Представив bt в форме Ьх = е~оГ, запишем выражение (13.74)
в виде
оо оо
gT{f)= 2 e-«*T&(t-kT) = e-at 2 S(t-kT), (13.75)
4=0 k=D
из которого следует, что дискретная импульсная характеристика
рассматриваемой цепи совпадает с последовательностью выборок
импульсной характеристики непрерывной £?С-цепи, постоянная
времени которой отвечает условию
b1=,e-aT=e-TfRC или RC=Tfln(l/bJ.
При этом, однако, амплитудно-частотные характеристики двух
цепей существенно различны. Для дискретной цепи АЧХ
определяется формулой (13.43), а для аналоговой цепи выражением
/Сйс (со) = 1 /V1 + (ш/?С)2.
На рис. 13.23 сравниваются АЧХ Ктскр дискретной цепи
(нормированной по максимальному значению) при bY = 0,2 с АЧХ
Krc [при RC= T Л 11(1/6,)].
Деформация АЧХ дискретной цепи обусловлена гребенчатой
структурой передаточной функции (см. § 13.5) и наложением
хвостов АЧХ соседних частотных интервалов.
3. Рекурсивный фильтр второго порядка (рис. 13.24)
Передаточную функцию запишем сначала в форме
К (2) = 1/(1 —Ьг 2-1—ft, z-»)==z»/(2*—Ьг z—b2) =
= г2/(2-2п1)(г-гп2), (13.76)
соответствующей случаю а0 = 1, «i = 0, о2 = 0, когда нули
передаточной функции (в данном случае двукратный нуль) имеются
только в точке z = 0, т. е. в центре окружности единичного
радиуса.
Корни уравнения z2 — fc,z — b2 = 0 (полюса)
2inM=6i/2±VftI/4+fta. (13.77)
При b2 <0и, кроме того, | Ь2 | > Ь\/А полюса гп1 и гп2 —
комплексно-сопряженные числа:
zn]=61/2 + /V|ft,|—ft?/4; 2п2 = г^,.
В этом случае
(г—гп1) (г—гп2)=г2—2Re (znl-2) z + | znli e j2,
откуда вытекают следующие соотношения между коэффициентами
полинома в (13.76) и полюсами zvlii:
Ьг = 2Re (znl( г); 62 = — I znl. s|2.
Рис. id.23. Амплитудно-частотная ха- Рис. 13.24. Рекурсивный цифровой
рактеристика цифрового фильтра фильтр второго порядка,
(сплошная линия) и аналоговой
RC-цепи (штриховая) при
эквивалентности их импульсных характеристик.
Представив znli2 в форме
«т. 2 = I znl. 21 e* to"T =^*Ч (13.78)
где г = | zn lj21 — расстояние полюса от начала координат, а фп =
= (опТ — азимут полюса (рис. 13.25), получим
Ьх = 2л cos юпТ; Ьа = —г2. (13.79)
Для определения АЧХ рассматриваемой цепи подставим в (13.76)
2 = е"°г и возьмем модуль
|К(е'и*-)1 = ЯгИ =
==l/|(e''ar_re''wnr)(e^_re-tonr) |. (13.80)
При заданном положении полюсов (т. е. при заданных г и сйп7)
построение АЧХ удобно производить по формуле (13.66), измеряя
#ш и Rni по чертежу. В данном случае с целью упрощения
вычислений используем формулу (13.80) для частного случая соп Т = 90Q.
При этом выражение (13.80) легко приводится к виду
К7 (ш7) = 1/VT+ 2/"2 cos 2ш7' + л4. (13.81)
Графики функции Кт (ыТ)
дляг = 0,75, 0,875 и 0,9375
представлены на рис. 13.26.
С приближением г к единице
рассматриваемая цепь
приближается к резонатору с
весьма высокой добротностью.
При этом, однако, возникает
опасность потери
устойчивости.
Рассмотрим теперь
передаточную функцию второго
порядка более общего вида,
соответствующую схеме на
рис. 13.24:
а0 + а1г-1 + а2 г~г _
К (2) =
1-
-Ь, г-1 — Ьгг-?
-zoi) (г — г„г)
(г —zui) (г-
-Zu2)
•B'V
Рис. 13.25. Положение полюсор
цифрового фильтра второго порядка на г-нло-
скости.
(13.82)
Как указывалось в § 13.6 [см. формулу (13.40) и пояснение к ней!
фильтр с передаточной функцией (13.82) можно трактовать как
каскадное соединение нерекурсивного фильтра {с передаточной
функцией a? (z)j и рекурсивного (с передаточной функцией 1/pV (г)].
Такое сочетание можно использовать, в частности, в режекторном
фильтре, рассмотренном в примере 1 и дополненном обратными
связями для выравнивания АЧХ в полосе прозрачности фильтра.
Рис. 13.26. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивные фильтра вто*
рого порядка (см. рис. 13.24 и 13.25),
Рис. 13.27. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного звена с
прямыми связями (/), звена с обратными связями (//) и цифрового фильтра в
целом.
На рис. 13.27 показан график функции | ат (со) |, перенесенный
с рис. 13.22 (при а0 = а2 = 1, аг — —2), и график функции | 1/pV (to) |
при коэффициентах Ьг = 0,21875 и 62 = 0,4375, а также
результирующая АЧХ
ш
АЦП
ЦАП
*t
иг к
е/
13.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГ —ЦИФРА. ШУМЫ КВАНТОВАНИЯ
В предыдущих параграфах при изучении дискретных фильтров
вопрос о неизбежной погрешности преобразования входного сигнала
из аналоговой формы в цифровую не рассматривался. Погрешность
возникает при квантовании
сигнала на конечное, ограниченное
число уровней. Чтобы выявить
характер этой погрешности
вернемся к структурной схеме
цифровой обработки сигнала,
представленной на рис. 13.1, и
выделим из нее два устройства:
преобразователь аналог —
цифра {АЦП) и обратный
преобразователь цифра — аналог (ЦАП).
Рассмотрим сначала
совместную работу этих устройств
без учета цифрового фильтра
(рис. 13.1) при подаче на вход
АЦП постоянного
напряжения различного уровня иг
(рис. 13.28, а). Основным
параметром АЦП является число
разрядов, используемых для
кодирования входного напряже-
_3
е)
кМЧЧЧ№
■^4
Щ
it
I)
Рис. 13.28. Преобразование А/Ц и
Ц/А (а), характеристика квантования
(б) и ошибка квантования (в).
ния. При двоичном коде число разрядов определяется числом
двоичных элементов (например, триггеров), каждый из которых
может находиться в одном из двух состояний: с нулевым или
ненулевым напряжением на выходе. Одному из этих состояний условно
приписывается нуль, а другому — единица. При числе двоичных
элементов г на выходе АЦП получается комбинация (кодовое
слово) из г символов, каждый из которых может принимать одно из
двух значений (нуль или единица).
Как указывалось в § 13.1 число возможных различных
комбинаций L=2r и определяет число дискретных уровней, на которое может
быть разбит диапазон изменения входного напряжения иг.
В ЦАП осуществляется обратное преобразование. Каждой
комбинации нулей и единиц, поступающих на вход ЦАП, соответствует
определенный дискретный уровень выходного напряжения. В
результате при равномерном шаге квантования Д зависимость щ от
их приобретает вид ломаной линии, показанной на рис. 13.28, б.
Устройство, представленное на рис. 13.28, а и обладающее
подобной характеристикой, должно рассматриваться как нелинейное,
а разность и2 — их = q — как ошибка, погрешность квантования.
Видно, что наибольшая ошибка, по абсолютной величине не
превышающая Д/2, с возрастанием их остается неизменной (рис. 13.28, в).
Продолжим это рассмотрение для гармонического входного
колебания s (t). Колебание sBbIX (t) приобретает ступенчатую форму,
отличающуюся от входного колебания s (t) (на рис. 13.29, б
показанного тонкой линией), а ошибка квантования принимает вид функции
Я (0 = W (0- s (0, (13.83)
представленной на рис. 13.29, в.
При изменении в широких пределах амплитуды и частоты
гармонического колебания s(t) изменяется только частота следования
зубцов; форма их остается близкой к треугольной при неизменной
амплитуде Д/2. Функцию q (i) можно назвать помехой или шумом
квантования. Нетрудно вычислить среднюю мощность шума
квантования. При допущении треугольной формы зубцов
(рис. 13.29, в) с амплитудой Д/2 средняя за длительность одного
зубца мощность равна Ч3 (Д/2)2 = Д712. Так как эта величина не
зависит от длительности зубца, можно считать, что средняя
мощность шума квантования
Pq = Л2/12. (13.84)
Этот результат , выведенный для гармонического сигнала, можно
распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный.
Отличие лишь в том, что функция q (f) будет случайным процессом
из-за случайного характера длительности зубцов.
Нетрудно вычислить и отношение сигнал—помеха при
квантовании. При высоте ступени Д и общем числе ступеней,
укладывающихся в пределах характеристики АЦП, равном L, амплитуда
гармонического сигнала не должна превышать величины LA/2, а сред-
няя мощность сигнала величины V2(Z,A/2)2 (во избежание
ограничения сигнала).. Следовательно, отношение сигнал-помеха при
квантовании гармонического колебания
PJPD < 3LV2.
(13.85)
Так как число уровней L связано с числом двоичных разрядов г
соотношением L = 2Г, то выражение (13.85) можно представить
в форме
PJPq = (3/2)22', (13.86)
Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего
выражения
PJPq = 3-2»/Khb, (13.87)
где КПф — пик-фактор сигнала, т. е. отношение максимального
значения к среднеквадратическому.
9® ..,
Рис. 13.29. Сигнал на входе (а) и выходе (б) квантующего устройства;
помеха квантования (в).
При гармоническом колебании Кпф = V% что и приводит к
выражению (13.86); при случайном сигнале с нормальным законом
распределения /Спф может быть принят 2,5 — 3 (см. § 4.2, п. 4); в этом
случае PJPq та 22г/3, а среднеквадратическое напряжение сигнала
не должно превышать ~£Д/6. Физический смысл выражения (13.87)
очевиден: с увеличением числа разрядов г очень быстро ^возрастает
число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон
изменения s (f), и, следовательно, снижается перепад А двух
соседних уровней.
При грубой оценке превышения сигнала над шумом квантования
исходят из соотношения PJPg « 22г
или в децибелах
Сдб = (PS/PM = 101g 22' = 10-2rlg 2«6r. (13.88)
В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более.
При этом величина Слб, характеризующая динамический диапазон
АЦП, составляет ~60 дБ (6 децибел на один разряд)1.
Другой важной характеристикой шума квантования является его
спектральная характеристика. При гармоническом колебании
помеха является периодической функцией времени. Спектр ее, как и
Рис. 13.30. К определению ошибки квантования.
при любом другом нелинейном преобразовании, является
линейчатым, содержащим только частоты, кратные частоте входного
колебания. Из-за зубчатой формы функции q(t) (рис. 13.29, е) спектр шума
богат высшими гармониками.
При входном воздействии типа случайного процесса с дисперсией
ст| и со среднеквадратической шириной энергетического спектра
/SCK статистические характеристики шума квантования зависят не
только от характеристик исходного процесса s (/), но в сильной
степени и от соотношения между os и Д. В частности, при as^> А
ширина /qCK энергетического спектра шума квантования WQ (со) во
много раз больше ширины /SCK спектра процесса s (t).
Введем в рассмотрение дискретизацию входного сигнала по
времени. На рис. 13.30 представлены одна из реализаций случайного
сигнала s (t) и совокупность выборок, взятых с шагом Т.
В АЦП каждая из выборок преобразуется в цифровой код, как
это было описано в § 13.1 и в начале данного параграфа для
постоянного напряжения.
Как это очевидно из предыдущих рассуждений, преобразование
осуществляется с ошибкой, заключенной в пределах ±А/2. Если
выборки берутся из случайного сигнала, а изменение функции s (t) за
время Т превышает А или тем более несколько А, то ошибки в раз-
1 При пик-факторе КЩф ~ 3 1см. формулу (13.87)J величина £>дБ
уменьшается до 5,5 дБ на один разряд.
личные отсчетные моменты времени пТ и (п + \)Т можно считать
взаимно независимыми и равновероятными. Дисперсия случайной
величины q, равновероятной в интервале (—Л/2, Л/2), равна
(1/3)(Д/2)2 (см. §4.2, п.1). Этот результат совпадает с выражением
(13.84), полученным усреднением мощности шума квантования по
времени. Сделанные выше допущения равносильны утверждению, что
дискретная последовательность ошибок q (пТ) соответствует
выборкам из некоррелированного шума, т. е. шума с равномерным
энергетическим спектром. Этот спектр, как отмечалось выше, во много
раз шире спектра исходного случайного процесса s (t). В связи с этим
шум квантования обычно рассматривают как белый шум,
аддитивный по отношению к s (t). Так как процесс квантования
осуществляется на входе цифрового фильтра, то шум квантования можно
трактовать как собственный шум цифрового фильтра (отнесенный
к его входу).
Определим энергетический спектр шума квантования. Пусть
полная ширина спектра шума квантования в отсутствие временной
дискретизации равна fq Ск. При дискретизации шума квантования
с шагом Т = 1//х результирующий спектр является суммой
парциальных спектров, сдвинутых один относительно другого на величину
о»! == 2л/Т (см. § 13.3, рис. 13.6). Особенностью рассматриваемого
случая является то, что Д, eii^> \IT = flt так что имеет место
многократное перекрытие спектров.
В пределах частотного интервала (0, /\) каждый отдельный
спектр содержит мощность (A2/l2)f1/fqCl{. Но и число
перекрывающихся спектров равно fqcJfi- Поэтому результирующая мощность
шума квантования в полосе (0, ft) будет Д2/12. Можно поэтому
считать, что в указанном частотном интервале энергетический спектр
равномерен (белый шум) и равен
W4 (со) = (Аг/12)1//г, 0 < / < fv (13.89)
При амплитудно-частотной характеристике цифрового фильтра
Кт(а>) энергетический спектр шума квантования на выходе фильтра
W«, Вы,(») = (1/12) (Аг//\) Kf(co), -co1/2<to<co1/2, (13.90)
а средняя мощность (дисперсии)
to,/2
о* BUX=-L--^--J- Г KH<»)dv>. (13.9!)
Для иллюстрации количественной стороны вопроса определим
основные параметры шума квантования на выходе режекторного
фильтра второго порядка, рассмотренного в примере 1, § 13,11, при
следующих данных:
— число разрядов квантования г — 8;
— раствор характеристики АЦП 10 В;
— шаг дискретизации Т = 1/Д = 1 мс; f1 — 1000 Гц.
Шаг квантования Д найдем, разделив 10 В на число уровней:
L = 2'=25 = 256; Д=-И- » 0,04В = 40 мВ.
256
Дисперсия шума на входе
ol » Д2/12 = (4-10-2)2/12 « 1,3-Ю-4 В2; а, « 1,1-10-* В =■
= 11 мВ.
Основываясь на АЧХ Кт (со) == 4sin2 -5- [см. формулу (13.72)],
находим
ш,/2 ю,/2
dco=
— Г /CHto)dco=— f 16 sin* —
2л J 2л J У
—ь>,/2 — ц>,/г
я/2
=— 16-2/—) Г sin4xdx=-^-
2я U У J Г
Применяя формулу (13.91). получаем
г Да 1 б Д" Д 40 ос D
а|вых=—_т==т; адВЫК = 17Г-=1??-«26мВ.
Итак, уровень собственных шумов квантования на выходе
рассматриваемого фильтра равен 26 мВ.
Энергетический спектр этого шума повторяет форму квадрата
АЧХ:
W
д вых
(со) ~ Jjl _L 16 sin4 (-у-) » 2- 10-e sin4 №\ В»/Гц.
В заключение укажем на требования, предъявляемые к АЦП в
зависимости от скорости изменения входного сигнала s(t).
Длительность выборки хв задается настолько короткой, чтобы изменение
s (f) за время хв было пренебрежимо мало. Во всяком случае, это
изменение должно быть меньше Д. В современных АЦП хв снижают
до единиц наносекунд.
В § 13.1 указывалось, что электронный ключ, с помощью
которого берутся из сигнала s (t) выборки, снабжается RC-цепъю для
запоминания уровня выборки на время, необходимое для срабатывания
АЦП. В быстродействующих АЦП это время составляет десятки
наносекунд.
13.13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦИФРА —АНАЛОГ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ
КОНТИНУАЛЬНОГО СИГНАЛА
Обратное преобразование сигнала из цифровой в континуальную
форму1 производится с помощью двух устройств: а)
преобразователя цифра — аналог (ЦАП), б) синтезирующего фильтра (см. схему
на рис. 13.1).
В ЦАП имеется набор фиксированных напряжений,
соответствующих каждому из г разрядов, и устройство для синхронного
подключения (или отключения) этих напряжений к сумматору в
зависимости от поступающих из АЦП символов (имеется в виду схема на
рис. 13.28, а). Максимальное напряжение на выходе ЦАП
получается, когда со всех элементов поступают единицы". Пусть,
например, число разрядов г равно четырем и, следовательно число
дискретных уровней L равно 24 = 16, а максимальное напряжение сигнала
условно равно 1 В. Тогда цена самого младшего разряда 1/16 В,
следующего за ним 1/8 В, затем 1/4 В и 1/2 В. При кодовом слове,
поступающем от АЦП в виде 0,1111, напряжение на выходе ЦАП
будет 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16. В (максимальное значение),
а при коде 0,0001 — 1/16 В (минимальное значение). Кодовому
слову 0,0010 соответствует напряжение 2/16 В, слову 0,100— 1/2 В
и т. д.
Указанные напряжения поддерживаются на выходе ЦАП в
течение времени т0 < Т, а в некоторых системах вплоть до
поступления новой кодовой группы (т0 = Т). В результате напряжение на
выходе ЦАП при фильтрации сигнала s (t) приобретает характер
импульсной последовательности, представленной на рис. 13.31 (при
т0 < Т). Амплитуды прямоугольных импульсов равны
соответствующим отсчетам, поступающим (в закодированном виде) от АЦП.
Спектр такой последовательности имеет сложную структуру.
Фильтр на выходе ЦАП с полосой пропускания меньшей или равной
частоте fx/2, где /х = 1/Т — частота повторения импульсов,
выделяет основной частотный интервал, в котором содержится вся
информация о сигнале s (t) (спектр которого должен быть не шире fm ~
= /i/2). На этом и заканчивается процедура восстановления
континуальной формы профильтрованного сигнала. Следует, однако,
иметь в виду, что спектр последовательности «толстых» импульсов:
показанных на рис. 13.31, может существенно отличаться от
спектра, найденного в § 13.3 для тонких импульсов (теоретически 6-
функций).
В данном случае нельзя импульсную последовательность
(рис. 13.31) трактовать просто как произведение континуального
сигнала s(t) на тактовую последовательность прямоугольных
импульсов. Каждый из прямоугольных импульсов с амплитудой
1 В ряде применений цифровой фильтрации не требуется обратного
перехода от цифрового сигнала к аналоговому. Так, например, в
радиолокационных системах с цифровой обработкой сигнала последний вводится
в ЭВМ непосредственно в цифровой форме.
s (kT) можно представить в виде свертки прямоугольного импульса
v0 (f), показанного на рис. 13.32, с функцией s (kT)8 (/ — kT),
Действительно,
oo
s(kT) J v0(i-T)b[x—kT)d% =
— oo
^s(kT)v,){t-kT) = [ S(kT) ПРИ kT<t<kT + vn,
\ 0 при t < kT, и t > kT + t0.
Рис. 13.31. Выборки в виде прямо
угольных импульсов.
О Z0 ■ t
Рис. 13.32. Тактовый
импульс.
Таким образом, всю последовательность импульсов на выходе
ЦАП (в отсутствие ЦФ, при схеме, показанной на рис. 13.28, а)
можно записать в виде
(()= ^ s{kT) С vti(t— х)б(т — kT)at =
s7(t) =
fc = 0
^ v0(t — т)
2 s(kT)8(x — kT)
* = 0
<Н.
(13.92)
Получилась свертка двух функций: vn (t) и sj (f) = 2 s (kT)8(t
ft=0
— A74). Первой соответствует спектральная плотность [см. (2.67)
и рис, 2.15J
V1.H = t0 sln(bn°/2) e-»w»,
(шт0/2)
OO
а функции 2 s (^^б (т — kT) —спектральная плотность [см. (13.10)]
/5=0
оо
*с»-т 2 s —«т-)
я, (V4 *
Следовательно, временной свертке (13.92) соответствует
спектральная плотность, равная произведению [см. (2.64)J:
U4
(13.93)
1ft
Kimnrr»- Щ—
Sjiv)
i I ^
т
(У
Рис. 13.33. Амплитудно-частотная характеристика ЦАП и спектральная
плотность сигнала на его выходе:
а — при тонких; б — при толстых выборках.
График модуля функции Sf (со) для двух значений т0 <Z Т и
т0 = Т представлен на рис. 13.33. Штриховыми линиями показаны
истинные спектры сигнала s (t), которые получились бы при тонких
выборках.
Видно, что утолщение импульсов приводит к деформации
спектра передаваемого сигнала, причем эта деформация выражена
сильнее для высших частот сигнала.
Множитель
/ мт;0 \ т0 sin (coTq/2)
" V~2/ Г шт0/2
в выражении (13.93) можно рассматривать как
амплитудно-частотную характеристику преобразователя цифра — аналог (на
рис, 13.33 функция /<цап/(то/^) показана штрих-пунктиром).
Кт
(13.94)
tyk
Рис. 13.34. Амплитудно-
частотная характеристика
синтезирующего фильтра
идеального (сплошная
линия) и реального
(штриховая).
А
-ff/Z О f,/Z t
Остановимся в заключение на требованиях к
амплитудно-частотной характеристике синтезирующего фильтра Кф (со). Идеальная
характеристика должна иметь вид, показанный на рис. 13.34
сплошной линией. Если спектр полезного сигнала значительно уже
частотного интервала (—/V2, /i/2), то требования к крутизне скатов
характеристики могут быть ослаблены (см. штриховую линию на
рис. 13.34).
13.14. БЫСТРОДЕЙСТВИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА
ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА. ШУМЫ ОКРУГЛЕНИЯ
Структурная схема любого цифрового фильтра содержит
элементы памяти Т, сумматоры и перемножители. Совокупность этих
элементов образует арифметическое устройство фильтра.
(Коммутирующие устройства, необходимые для синхронной записи и
считывания двоичных символов в элементах памяти, и другие
вспомогательные цепи здесь не рассматриваются.)
Элементы памяти Т представляют собой набор двоичных
элементов, число которых равно числу разрядов г.
Перемножители, реализующие весовые коэффициенты а0, аи
а2, ... и blt Ьг, ... работают по принципу поразрядного
перемножения всех разрядов входного числа на каждый из разрядов числа,
представляющего весовой коэффициент, и последующего
суммирования частных произведений. Число двоичных разрядов га ь,
используемых] для представления весового коэффициента, зависит от
требуемой точности вычислений. В больших ЭВМ г„. ь достигает 16
и более разрядов,- в цифровых фильтрах часто можно ограничиваться
4—6 разрядами. Для полного сохранения информации,
содержащейся во входном сигнале s (t), число разрядов произведения
должно равняться сумме г -\- га, ь. На это число разрядов должны быть
рассчитаны все последующие элементы цифрового тракта. Для
сокращения объема аппаратуры обычно идут на округление
произведения путем отсекания младших разрядов. Это приводит к ошибке,
которую называют шумом округления.
Статистические свойства шума округления в основном совпадают
с шумом квантования; дисперсия шума округления приравнивается
величине Да, &/12, где Да, ъ — перепад уровней, соответствующий
отбрасываемому разряду произведения.
Одной из важнейших характеристик арифметического
устройства ЦФ является его быстродействие, определяемое числом
операций, которое необходимо произвести за время Т, и длительностью
одной операции. Последняя не может быть меньше, чем время
срабатывания двоичных элементов (триггеров). Быстрое и непрерывное
развитие микроэлектронной техники с каждым годом сокращает
инерционность электронных приборов, используемых в
вычислительной технике. В современных приборах время срабатывания
составляет единицы наносекунд.
Определим число операций, которое необходимо совершить за
время Т при обработке сигнала по заданному алгоритму.
В качестве исходного алгоритма возьмем свертку, определяемую
выражением (13.7). Из этого выражения видно, что для определения
одной п-й выборки выходного сигнала требуется совершить п
операций перемножения и столько же операций сложения. При числе
выборок в обрабатываемой реализации сигнала N » 1 общее число
операций умножения равно fv(N/2)N = V3yv2 (столько же
операций сложения).
Как уже упоминалось выше, операция умножения
осуществляется многократным сложением, причем число элементарных сложений
определяется числом разрядов сомножителей. При длительности
одной операции сложения хх и числе разрядов г общая длительность
обработки N выборок Гобр = (N42)^. В тех случаях, когда
требуется обработка «в реальном времени», т. е. по ходу поступления
сигнала s (f), Тобр не должно превышать длительности
обрабатываемой реализации Тс — NT. Отсюда получается условие
(NV2) /г, < Гс=NT или Т ^ ^-гг1ш
Подставляя в это неравенство Т = 1//т, приходим к следующей
грубой оценке наивысшей допустимой частоты сигнала:
В частности, при N = 1000, г = 10 и т, = 1 не,
/m< 1/103-10- Ю-9 = 106 Гц.
При обработке более коротких сигналов, например с базой N =
= 50, частота может быть доведена до 2 МГц.
Как видим, применение цифровых фильтров, работающих в
режиме последовательного анализа, ограничивается в настоящее
время относительно низкочастотными сигналами.
При переходе к параллельному анализу с помощью нескольких
каналов ценой усложнения и удорожания аппаратуры
быстродействие можно существенно повысить.
В принципе, быстродействие можно довести до величины,
близкой к хи т. е. fm < \h-i_.
Главной особенностью цифрового фильтра является то, что его
характеристики — амплитудно-частотная и фазочастотная —
определяются всего лишь весовыми коэффициентами в прямых и
обратных связях и шагом дискретизации Т. Это позволяет строить
фильтры с характеристиками, реализация которых с помощью
обычных фильтров на индуктивностях и емкостях весьма
затруднительна или даже вовсе невозможна.
Применением кварцованных источников колебания тактовой
частоты можно обеспечить очень высокую стабильность-частотных
характеристик. Цифровые фильтры надежны в работе, не требуют
подстройки и нечувствительны к температурным и иным условиям
эксплуатации.
Простота осуществления устройств памяти при использовании
цифровых сигналов делает цифровые фильтры незаменимыми при
обработке, требующей задержку сигнала во времени. Наконец,
следует отметить удобство сопряжения цифровых фильтров с ЭВМ.
Благодаря всем этим преимуществам цифровые фильтры,
несмотря на сложность построения их схемы и необходимость
синхронизации управления электронными ключами, находят все большее
распространение в практике.
Глава 14
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ НЕКОТОРЫМИ
СПЕЦИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
14.1. ВВЕДЕНИЕ
В § 2.2 отмечалось, что в тех случаях, когда требуется
аппроксимировать заданную функцию f (х) с помощью ограниченного числа
членов ряда, применяются различные ортогональные системы
специальных, не гармонических функций. Условия ортонормирован-
ности этих функций на заданном интервале (а, Ь) записываются в
форме
\<Pn(x)(Pm{x)p(x)dx = \ к (14.1)
I { 1 при п — т.
От определения (2.3) это выражение отличается множителем р (х)
под знаком интеграла, называемым весовой функцией
или функцией веса. Говорят, что функции (рп (х) и ц>т (х)
ортогональны с весом р (х). Это означает, что ортогональны не эти
функции, а функции Vp Мфп (*)■
При определении коэффициентов обобщенного ряда Фурье,
аппроксимирующего функцию f (x), следует исходить из формулы,
аналогичной (2.9), но с учетом весовой функции р (х):
ь
l-=rrr2 (7(*)<Pn(*)p(*)dx, (14.2)
пУрИ:
где
Иф„Ур HB = J<pS(x)p(x)dx (14.3)
— квадрат нормы функции (рп (л:)Ур(л;).
Для представления непрерывных сигналов наиболее
употребительны ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева,
Лагерра, Эрмита и т. д., которым посвящены § 14.2, 14.3. Для
представления дискретных сигналов широкое распространение
получили кусочно-постоянные функции Хаара, Радемахера и Уолша.
Функции Уолша, хорошо сочетающиеся с требованиями вычислительной
техники, а также микроэлектроники, приобрели особо важное
значение. Рассмотрению свойств непрерывных функций Уолша
посвящены § 14.4—14.6, а дискретных функций Уолша — § 14.7.
14.2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И ФУНКЦИИ
НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА
Перечислим некоторые из наиболее часто применяемых
полиномов и кратко рассмотрим их свойства.
I. Полиномы Лежандра (первого рода), определяемые формулой
2" /jl d*"
(Н.4)
ортогональны g весом р (я) = 1 на интервале —1 < х < I. При
целых а ^ 0 полиномы Рп (х) содержат конечное число членов.
Полиномы Лежандра низших
степеней, графически
представленные на рис. 14.1,
определяются выражениями
Pti (х) = 1, Рг (х) = х, Р2 (х) =~
- Ча(3х* - 1),
Ps (x) = 1/2(5*? ~ Зх),
Pi (X) = 4s(3bx* — 30а:2 + 3).
(14.5)
Квадрат нормы функции
Рп (х) в соответствии б
формулой (14.4) равен {15, 161
ИЛ,(*)1Р = f PHx)dx
\
\\
¥
л
)
1
i
V
\
г
'
»•—
ч
Г\
/
'
<
н
"ь
4
Рь
к
Ч
//
У
7
к
-1
— I
Рис. 14.1. График полиномов
Лежандра.
му
2n+l
(14.6)
Выражение (2.9) для коэффициентов вп принимает при этом фор
1
с» =
2л-f 1
2
J
f(x)Pn(x)dxt
(14.7)
а ряд (2.8)
/ [х) = с0Р0 [х) + о1/31 (л:) + ... + СаРп (х) + ... (14.8)
2. Полиномы Чебышееа (первого рода) определяются как
Тп(х) =
:^УТ=?^(уг=?)?-»
(2n)! dxn v
(14.9)
Полиномы Чебышева низших степеней
Т0 (х) = 1, Тг (х) = х, 7, (х) = 2л;2 — 1,
Т3 (х) = 4л-3 — Зх, Т4 (ж) = 8х* — 8x4-1,
Ть (х) = 16#6 - 20х» + 5х.
На рис. 14.2 представлены графики полиномов Тп (х) на
интервале — 1 < х < 1, а на рис. 14.3 одного из них, в частности
четвертого порядка, при 0 < | х | < 5/4. При | л: | > 1 Гп (х) стремится
к бесконечности как 2"-1 хп.
^4
VX
V, ^
xS
v^
r7
у»
7/1
8 к
1
~1
е 0,1 0,Ъ 0,5 Ц7 1
Рис. 14.2. Графики полиномов Чебышева.
Важной особенностью полиномов Чебышева является то, что
из всех многочленов степени п со старшим коэффициентом, равным
единице, они наименее уклоняются от нуля на отрезке —l < x <с I.
Благодаря этому свойству полиномы Чебышева обеспечивают
наименьшую максимальную ошибку равномерной аппроксимации на
интервале — I < % < I.
Полиномы Чебышева не ортогональны, но после умножения на
My I — л:2 они образуют ортогональную в интервале — I < л: < I
систему функций (l/^l — л:2) Тп (х). Иными словами, полиномы
Тп (х) ортогональны с весом р (х) = !/]/"! — %\
1
\Tn(x)Tm{x)
dx
У\~х*
О при тфт?
л
~2~
при п = т.
(14.10)
Кроме того, при т = п = О
\тп(х)Тт{х)-^- = f
J Vi—x2 J
rf«
vn
(14.10-')
Таким образом, норма \\ Т0 Ур \\ = Уп и \\ТпУр\\ = Уп/2.
При разложении функции / (х) по полиномам Чебышева (с
учетом Т0 (х) — 1) коэффициенты ряда
оо
/« = с„ + У1спГГ1 (х), — 1 <х< I,
«=i
должны определяться в соответствии с (14.2) и (14.10), (|4.10')
следующими выражениями:
i 1
(*)
:0==± \-^ах,сп=±\1Ш^
* _J Vi— ** n ^j y\—&
их. (14.11)
Поведение полиномов Чебышева в интервале —1 < л: < 1 в
сочетании с неограниченным возрастанием | Тп (х) | при | х | >» 1
делает эти полиномы очень эффективными для аппроксимации
амплитудно-частотных характеристик
различных фильтров. Этот вопрос
рассматривается в гл. 15.
3. Полиномы Лагерра
определяются формулой
L„W=4f(^e-«), x>0.
«I dx"
(14.12)
Первые четыре полинома:
L0 (х) = 1, Lx (х) = —х + 1,
Z,2 (х) = х2/2 — 2л: -Ь 1, Ls (x) =
= —х3/6+ 3/2х2 — Зх+ 1.
Рис. 14.3. Графики полиномов
Чебышева четвертого порядка.
Полиномы Лагерра ортогональны на полуоси 0 <; х <; оо с
весом р (х) = е—*.
Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся
при х -»- со функций, удобнее пользоваться функциями Лагерра
1п(х) = Ур~(х) Ln(x)=e-x/i Ln{x). (14.13)
При этом функции Лагерра 1П (х) ортогональны с единичным
весом. На рис. 14.4 приведены функции Лагерра при п — 1, 2, ..., 5.
Норма функции 1П (х)
f ОО
(л:)^ =1.
поэтому при разложении функции f (х) по функциям Лагерра
коэффициенты ряда
оо
/(*)= 2cn/n(*) (14.H)
п = 0
должны определяться по формуле
оо
cn = \f{x)ln{x)dx. (14.15)
о
Функции Лагерра получили широкое распространение в
измерительной технике и в многоканальных системах связи, что в
значительной степени объясняется простотой их генерирования. Дело в
Рис. 14.4. Функции Лагерра.
том, что функция 1п (0 по форме совпадает с импульсной
характеристикой физической цепи, составленной из каскадного соединения
простых звеньев (рис. 14.5). Для определения передаточной функции
требуемой цепи применим преобразование Лапласа к функции
Лагерра (14.13), предварительно заменив в (14.12), (14.13) переменную
х новой переменной х — at:
„af/2 j„
n\ dln
Функции времени e-cd tn соответствует 'изображение
n\/(p + a)n+l, an — кратному дифференцированию — умножение
изображения на р". Учитывая также, что умножение на еа'/2 дает
сдвиг на р-плоскости на величину —а/2, приходим к следующему
изображению для функции Лагерра:
(р—к/2)" _ 1 / р—к/2 у»
(/? + «/2)"+1_ (р + а/зД р + сс/2 J
Передаточная функция первого звена 1/(р + а/2) реализуется
интегрирующей RC-цепью, отвечающей условию RC = 21а.
Передаточная функция (р — а/2)/(р + а/2) соответствует мостовой схеме
при RC = 2/а.
f(is&=2cnln(txt)
п-0
Рис. 14.5. Генератор функций Лагерра.
Действительно, непосредственно из мостовой схемы одного звена
(рис. 14.5) следуют соотношении
U2_2/LJ1_1 = (Щ - Vc)/Vl_1 = (R — l/mC)/(R + 1/шС),
откуда
и2_2 (руц-, (р) = (р - 1/#о/(р + i/^gv
При возбуждении цепи (рис. 14.5) дельта-функцией колебание
на выходе первого звена будет e~at/2 = /0 (at), а на выходах
последующих звеньев соответственно 1г (at), l2 (at) и т. д.
Взвешенное суммирование всех этих колебаний дает на выходе
сумматора колебание
f(at)= ^Cnln(at), t^O.
4. Полиномы Эрмита определяются формулой
dn
Hn(x) = (-iye»—(e-**)
dx"
(14.16)
Первые пять полиномов Эрмита:
Н0 (х) = 1, Нг (х) = 2х, Н2 (х) = 4х2 — 2,
Я8 (х) = 8^3 - 12*. Я4 (*) = 16-v* - 48х2 + 12.
Графики этих полиномов представлены на рис. 14.6.
Полиномы Эрмита ортогональны
с весом р (х) = е-*" на всей оси
—оо < х < оо, так что
§ Hm(x)Hn{x)e-"dx =
О при тфп,
2"У~пп\ при т = м.
/,# £,0 ?# Таким образом, норма функции
Рис. 14.6. Графики полиномов Я» {x)VJ(x) = Hn(x)e-*"* PaBHa
Эрмита.
l|//nVP ||=Vr2»Vnm.
Для перехода к ортонормированной системе полиномов Эрмита
вводят функцию
Фг, (*):
(14.17)
.1 нп VPI! /2" л/п п>
При этом разложение функции / (х) по нормированным функциям
Эрмита записывается в форме
где
.XII
Дх) = У] с„фп(х),
.-г = 0
оо
cn= j /(«)Фли)<й;-
(14.18)
Графики нормированных функций срп (х) приведены на рис. 14.7.
Из сделанного перечисления видно, что ортогональные системы
функций можно разбить на два класса: 1) системы, определенные на
US
ол
-о,и~
ft"
3
^s)
№
s&
§s*
%
s$L
V
Щ
s^
t-BLi
Vs/
"^
Й7?Л
?S
Jf%)
fts
йД
'й/j
"*ft
\/
/7 #4 ^ ^f 1,6
Рис. 14.7. Графики нормированных функций Эрмита,
*
конечном интервале (полиномы Лежандра и Чебышева); 2) системы,
определенные на бесконечном интервале, представляющем собой
полуось 0 < х < оо (полиномы Лагерра) или всю ось—оо < х < оо
(полиномы Эрмита). Для аппроксимации процессов и характеристик,
определенных на конечном интервале, естественно применять
ортогональные системы первого вида. Для функций / (х), заданных в
бесконечном интервале, целесообразно применять системы второго
вида.
При выборе полиномов важное значение имеет вид весовой
функции р (х), соответствующей тому или иному виду полинома. Этот
выбор должен быть тесно увязан с характером аппроксимируемой
функции / (х): весовая функция р (х) должна достигать максимума
на участке, где требуется наилучшая аппроксимация. При этом
появляется возможность уменьшения числа членов ряда при
заданной допустимой ошибке аппроксимации. Выбором весовой функции
можно также осуществить аппроксимацию процессов конечной
длительности полиномами второго вида (определенными на бесконечном
отрезке). Для этого необходимо, чтобы эффективная длительность
весовой функции была близка к длительности аппроксимируемого
сигнала.
14.3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Для упрощения вычислений и для большей наглядности
функции, подлежащие аппроксимации, будем задавать в аналитической
форме. Следует при этом иметь в виду что в действительных
условиях часто приходится аппроксимировать функции, получаемые
в результате эксперимента и заданные в виде таблиц, графиков,
осциллограмм и т. Д.
Рассмотрим разложение
полуволнового косин усоидального импульса
(рис. 14.8) по различным
ортогональным полиномам.. Представленная на
рис. 14.8 функция
s (0 = cos (Ш/та),
_ти /2<*<ти/2.
(14.19)
Переходя к безразмерному
времени х = —^, получаем
§.
i
/
-г„/2
i
-1
J,
Г
1
L
i
Vf
\
7 ц/2 t
' V?
Рис. 14.8. Полуволновый коси-
нусоидальный импульс.
sW=s(-Y*) = C0S(-f *)•
-1<х<1. (Н-20)
Так как функция sljx) задана в конечном интергале (-1, 1),
то целесообразно рассмотреть разложение этой функции по полино-
2мТГндра и ЧебыщевРа. Предварительно, однако, приведем раз-
ложение функции s (О по тригонометрическим функциям с периодом
Т, равным длительности импульса ти, чему соответствует
безразмерный период хт = 2 (рис. 14.8).
ряд
S
Так как sH; х) четная функция, получаем косинусоидальный
(-t^-f-+«.cos(^.,)+flfcos(2^-x) + ...e
ОС
■=-7-+2а»со8(яя*>- -1<х<1- (14-21>
4=1
коэффициенты которого в соответствии с (2.32)
2 хт J V 2 У *7 л/2 и
1
ап=— 1 cos(-— х) cos (гсях)dx—
i
=^7 |т[С05("-т)пх+С05(" + т)Н^=
я1! 2я-1 ^ 2) ^ 2в+1 \, Т 2^ J
Прямым вычислением находим
"■ 3 2 л 15' s я, 35 ' 4 л 63 '
Спектр функции sl-^xj по тригонометрическим базисным функ.
циям cos rmx показан на рис. 14.9, а, а графики отдельных
слагаемых ряда (14.21) — на рис. 14.9,6.
При использовании полиномов Лежандра коэффициенты ряда
(14.8) в соответствии с (14.7) будут
Сп=-^Р" J cos (^- *) Pn (x) dx. (14.22)
— i
Таким образом,
l
с°=т1со5(1г*}^=-!Ь
i= Y~ J cos (Y x) xdx = ° (интеграл от нечетной функции);
2-2+1
Jcos(fx)
(Зх2 —1)1 dx= -0,68;
с8 = 0 (интеграл от нечетной функции);
1
2-4+1
Итак,
Г cos (~ х\ Ц- (35^-30хг + 3)
dx= — 0,03.
cos |-"-*!=— -0,68Р2(х)-0,03Ра(х)+ ~1<х<1.
с i
Н
Ъ5'П
х—э-
J. L
Jf'lT
а)
Рис. 14.9. Спектр полуволнового косинусоидального импульса в базисе
тригонометрических функций (о) и первые четыре слагаемых ряда Фурье (б).
С помощью таблиц полиномов Лежандра [15] можно построить
график si^xj, показанный на рис. 14.10. Практически достаточно
двух-трех членов ряда для удовлетворительной аппроксимации
функции
s(f)=cos(-j-x), -~-<t<^~, — 1<х<1.
Рассмотрим теперь разложение этой функции по полиномам Че-
бышева. Вычисление коэффициентов сп для функции cos [^xj об-
легчается наличием формулы (см. Г16], формула (7.355.2))
{ Тш (х) cos ах *??_ = (-1)* -£- J2h (a), (14 .23)
J У 1-х3 2
О
в которой JZh {a) — функция Бесселя. При этом формулы (14.11)
принимают вид
1
с0= — Г cos (~ х) Т0 {х) dx =--J,|n/2) = /, (я/2);
Jl J \ 2 У Т/1— х* я 2
— 1
1
с2= -L Г cos (— *) Г2 (х) /* = — 2J, (л/2);
л J V 2 / У\—х*
— 1
1
с4= — Г cos (— х) Г4 (х) ——— = 2 J4 {-£-) и т. д.
Рис. 14.10. Аппроксимация
полуволнового косинусоидального импульса
первыми тремя полиномами Лежанд-
ра (сплошная линия) и Чебышева
(штриховая).
Функции J0 (m) и J1 (m) табулированы [15], а при более высоких
порядках п = 2, 3, 4, ... можно использовать соотношения
Ч.п
Jn+i И =—" Jn H—Jn-i И-
(14.24)
При аргументе m = а = я/2 по таблицам находим J0 (п/2) =
= 0,473 и Jt (я/2) = 0,566. Тогда
J2 (я/2)= -?- Л (я/2) — J0 (я/2) = -4г 0,566—0,473=0,25.
л/2 л/2
Далее,
Чт)-£Чт)-Чт)-*да1-
Чт)-£ Чт)-Чт)-«*
Таким образом, с0 = 0,473; с2 = —0.5; с4 = 0,04 и т.д.
Окончательно
cos (-|- xj = 0,473-0,57, (х) +0.047-, (*) — ..., -1< * < 1.
(14.25)
Сумма трех первых членов ряда представлена на рис. 14.10
(штриховая линия). Видно, что для удовлетворительной
аппроксимации функции cos(~xj достаточно трех членов ряда.
Из сопоставления трех аппроксимаций функции cos(~7~jc) видно,
что тригонометрический ряд Фурье требует суммирования
большего числа членов разложения, нежели полином Лежандра или Че-
бышева. Из двух последних разложений несколько меньшую
ошибку в точке х — 0 (при суммировании всего лишь двух членов ряда)
дает разложение по полиномам Лежандра. Однако в точке х — 1
приближение к точному значению (нулю) лучше по Чебышеву, чем по
Лежандру. Это объясняется тем, что весовая функция р (х) =
= 1/1/ 1 — х2 возрастает с приближением х к единице.
Из приведенного сопоставления не следует делать вывод, что
представление функций в форме тригонометрических рядов во всех
случаях менее предпочтительно, чем разложение в ряд по полиномам.
14.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ УОЛША
Функции Уолша и Радемахера, известные с 1922 г., были
надолго преданы забвению. Интерес к чтим функциям и широкое их
распространение связаны с развитием вычислительной техники.
Существуют различные способы определения функций Уолша.
Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша
с функциями Радемахера. Последние, в свою очередь, получаются
из синусоидальных функций с помощью соотношения
rh (6) = sign [sin (2*3x6)], 0 < 6 < 1, (14.26)
где аргумент 0 = t/T0 есть безразмерное время, т. е. время,
нормированное к произвольному интервалу Г0, а целое положительное
число k — порядок функции. Символом sign (сигнум-функция)
обозначается функция
1 при х>0,
( 1 при х>0
sign х = { -
6 \ —1 при х < 0
(14.27)
В соответствии с (14.26) и (14.27) функции Радемахера,
принимающие одно из двух значений ± 1, имеют вид меандра. Первые
четыре функции Радемахера представлены на рис. 14.11.
Функции Радемахера ортонор-.
мированы (см. § 2.2) с единичной
весовой функцией на интервале
О <; 6 < 1. Действительно, для
любых двух функций гт (0), гп (0)
имеют место соотношения
5 rm(6)rn(0)dG =
Рис. 14.11. Первые четыре функции
Радемахера.
при т = гс,
при тфп.
Все функции Радемахера
являются нечетными относительно
середины интервала определения
и, следовательно, не могут быть
использованы для аппроксимации сигналовs (0), четных
относительно момента 0= 1/2. Иными словами, система функций Радемахера —
неполная (см. § 2.2).
Функции Уолша, образующие полную ортонормированную
систему, можно сформировать, образуя произведения степеней
соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша
представлены на рис. 14.12. Сопоставление этих функций с
функциями Радемахера (рис. 14.11) позволяет составить очевидные, по
крайней мере для первых четырех функций Уолша, соотношения
wal (0, 0) = г\ (8)г8 (0) = 1, wal (1, 6) = г, (0) г\ (0) = гх (0),
wal (2, 0) = п (0) г2 (0), wal (3, 0) = г\ (0) г2 (0) = л2 (0).
толк
$&(№)
bFb=R
\жЩВ)
V)
D
1
г
г
и
5
6
7
МО
р
Ш№
D,5 W &
Рис. 14.12 Первые восемь функций Уолша и их нумерация при различных
способах упорядочения.
. Нетрудно также проверить правильность оотношений:
wal (4, 6) = г\ (0) г% (8) г, (в) = гя (0) г8 (0), wal (5, 0) =
= /-, (6) '. (в) г, (0),
wal (6, 0) = г, (0) i\ (0) г, (0) = гх (9) г, (0), wal (7, 0) =
= Л (9) г§ (9) г, (8) = г, (0).
Итак, каждая функция Уолша wal {w, 0), входящая в систему
из N = 2" функций, является произведением степеней первых я
функций Радемахера. Принцип нахождения показателей этих
степеней поясняется табл. 14.1 на примере N = 23 = 8
Таблица 14.1
ТО
0
1
г
3
*
5
s
7
-
Г®1
Шд
О
О
О
о
0
0
0
0
ь.
Г®1
If
0
0
О
0
/
f
/
•
f
и
г®*
>г
О
0
1
/
0
0
1
1
щ
о
1
О
1
0
/
О
/
* У У
г, {в) х ГгШ х rs(8) ■=
г?Ш х t-iie) х r^ie) =
rfie) x rile) x rfie) =
rjie) x rile) x rile)/"
rf(S) x r[(S) x rf(&) =
ri(0)x r1ziB) x f^rn -
r/lff) x rllff) x rl(ff) =»
r/(e) x rile; * rfa) =
ri
?lejxriie) * r\
Iff) -
wellu,e)
жЩе)
ш(/,е)
шИ.2,0)
шШ,0
тШ,0)
■ жШ,0)
vxi(s,e)
Ы(7,0,
В этой таблице использованы следующие обозначения: w -
номер функции в системе; wm — in- й разряд представления числа w
в двоичной системе счисления, т. е.
w = {щ w%... wm ... и)п).г = w,. 2""1 +o«j 2""2+... -f wm 2«-«-f-
a,m=0; 1, o>0==°i (14.28)
ф — символ поразрядного суммирования по модулю 2 по правилам
1 ® 1=0ф0=и, 1 ©0 = 0® 1 = 1 (14.29)
Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша
можно выразить аналитически для любого N — 2п в виде
следующего соотношения:
wal (w, 0) =
/e=l
g»,
(14.30)
Поясним применение (14.30) на примере шестой функции Уолша
(w = 6), входящей в систему размером N = 23 = 8. Произведение
в (14.30) состоит из трех множителей (при k = 1, 2 и 3) вида
[гх (в)]».®"., [г, (в)]».®», и 1т, (в)]»"'®»». Подстановкой в левую
часть (14.28) w =- 6 и п = 3
получаем
6 = ку^2 4- ш,,? + wa2\
откуда следуют равенства
wx — 1, хюг = 1; w3 = 0.
Таким образом,
йУ2фШ, = 1©1=0,
a>l®K>0 = 1®0=1
и по формуле (14.30)
wal (6, 0)
г г (вИ(в)Х
Рис. 14.13. Четность номеров косинусоидаль-
ных и нечетность номеров синусоидальных
функций.
X га (0) = гг (0) rs (0).
Из рис. 14.12 видно, что четным относительно середины
интервала определения (0 — 0,5) функциям wal (w, 0) соответствуют
четные номера w, а нечетным функциям—нечетные номера. Такое
взаимно однозначное соответствие между четностью функций
wal (w, 6) и четностью их номеров w аналогично свойствам
тригонометрических функций cosf/гу t) и s\n(ky t) (см. рис. 14.13).
Поэтому иногда применяются обозначения cal (/', 8) для четных
и sal (i, 6) для нечетных функций Уолша. ■
Легко проверить, что функции cal (/, 0) и sal (/', 0) связаны о
функциями wal (w, 0) следующими соотношениями:
cal (/, 0) = wal (2 /, 0); sal (J, 6) = wal (2/ — 1, 6).
Зти обозначения указаны на рис. 14.12.
Способ нумерации функций в системе называется
упорядочением. Функции Уолша, сформированные посредством
выражения (14.30), упорядочены по Уолшу.
Таблица 14.2
р
а
1
г
3
4
5
6
7
Pf
а
0
0
0
1
/
г
5
г
Рг
0
0
1
/
0
0
/
/
г
I
Ръ
0
/
0
/
0
1
0
1
1
!
rf(S) x Гг(в) х гъ(в) =
rfm х Г$(8) х rg(ff) =
ф) х rftfj x r 1(g) -
rfm х r[(s) x r$ie) -
ф) х г1(в) х rile) •*
rf(0 x rj[(B) x rljW) -
r/m x rice) x rice) =■
rice) x ф) x rim -
rfce) x rice) x rl
'(e) -
mKp,e)
щЩв)
рп.Щ0)
щ\{г,е)
щК5,е)
WUW)
$0.15,0)
pvl(5,0)
P&(7,e)
Часто применяются функции Уолша, упорядоченные по Пэли
[pal (р, 0)1 и по Адамару [had (h. В)]1.
Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие
систему из N = 2" функций, всегда можно представить в виде
произведения степеней первых п функций Радемахера. Принцип
же нахождения показателей этих степеней индивидуален для
каждого упорядочения.
Так, для упорядочения Пэли принцип нахождения этих
степеней поясняется табл. 14.2 на примере N = 23 = 8. В этой таблице
по аналогии с (14.28) номер р функции pal (p. В) имеет двоичное
представлен не
р = (Pl а, ... рт... Pnh =* 2 Pn-m-н 2m-1- (14.28')
т = I
Очевидно, что аналитическая запись функций Уолша в
упорядочении Шли имеет следующий вид:
pal (р, 6) = П \rh (8)Г»-ь+1'. (14.31)
1 Обозначения pal (p, 6) и had (К 6) образованы из начальных букв
фамилий Paley и Hadamard соответственно.
Сравнивая способы образования показателей степеней функций
Радемахера на примерах табл. 14.1 и 14.2, легко приходим к выводу,,
что двоичные разряды номеров функций Уолша, упорядоченных п&
Пэли, связаны с двоичными разрядами номеров функций Уолша,
упорядоченных по Уолшу, следующим соотношением:
= ^-1® 1»г
(14.32)
Итак, переход от упорядочения по Уолшу к упорядочению этих
функций по Пэли выражается в перестановке этих функций в
системе по закону (14.32).
Функции had (h, 0) можно сформировать с помощью матриц
Адамара. Матрицей Адамара HN порядка N = 2" называется
квадратная матрица размера N X N с элементами ±1, такая, что
Hn X Hi = N1,
где / — единичная матрица, а т — знак транспонирования.
Нормированную матрицу Адамара порядка N можно построить
рекурсивно, т. е.
Так,
Нм =
Hn/2
_Hn/2
например,
н,=
-f-h
HN/2
—Hn /2.
"'1 =
при Ях = 1.
(14.33)
"« =
H2
Н,
Н2\
"1 1
1 —1
1 1
1 —1
1
1
—1
—1
1
—1
—1
1
и т. д.
Функция Уолша, упорядоченная по Адамару, т. е. had (h, 0)
с номером h, является последовательностью прямоугольных
импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими
знакам элементов /г-й строки матрицы Адамара. Под длительностью
импульсов подразумевается (1/Л/)-я доля интервала |0, 1).
Для иллюстрации связи между функцией had (h, 6) и матрицей
Адамара, а также для определения места этих функций в системе
приведем матрицу Адамара для N = 8 = 23, заменяя 1 и —1 зна-
ками соответственно
плюс и минус:
Я8 =
:Я4 Я,'
я4 —я4
_ +
+
+
+
+
+
4-
+
+ +
— +
+ -
— —
+ +
- +
+ -
— —
+
—
—
+
+
—
—
+
+
+
+
+
—
—
—
—
+
—
+
—
—
+
—
+
+
4-
—
—
—
—
+
4-
+ "
—
—
+
—
+
+
— _
К
К
к
к
к
к
к
*7
Взаимосвязь между упорядочением по Адамару и Пэли
определяется соотношением
К = Pn-k + i. 04.34)
где п = log2 N.
Нумерация первых восьми функций Уолша при различных
способах упорядочения дана в табл. на рис. 14.12.
Следует указать, что введенные выше упорядочения вытекают
из свойства симметричности матрицы Адамара, заключающегося
в том, что транспонированная матрица совпадает с исходной:
Hn = Ял/. 1Чак видно из предыдущего, введенные упорядочения
отвечают симметричности соответствующих им матриц.
Не следует полагать, что упорядочениями Уолша, Пэли и
Адамара исчерпываются все возможные упорядочения. ■
Независимо от способа упорядочения функции Уолша в
дальнейшем будут обозначаться символом wal (i, 8). Функции Уолша ор-
тонормированы на интервале 0 ^ 0 •< 1:
1
С wal {k, 6) wal (I, 0) dd =
о
Функции Уолша обладают свойством мультипликативности,
т. е. перемножение двух функций Уолша дает другую функцию
Уолша, причем
wal (k, 0) wal (I, 0) = wal (k © i, 0). (14.36)
Функции Уолша wal (I, 0) обладают свойством симметриии,
проявляющегося в том, что все выводы относительно i
справедливы также и относительно 0. Так, например, свойство
мультипликативности (14.36) g учетом свойства симметрии запишется в виде
wal (i, 8J wal {I, 62) = wal (i, Q1 ф 02). (14.37)
Умножение любой функции Уолша самой на себя дает функцию
нулевого порядка wal (0, 0), так как в результате получаются только
произведения вида (+ 1) (+1) и (—1) (—1). Таким образом,
wal (i, в) wal (/, 0) = wal (0, 9).
при k = I,
при k Ф 1.
(14.35)
Очевидно также, что умножение wal (i, 9) на wal (0, 6) не
изменяет функцию wal (£, 6).
Функции Уолша иногда определяют на интервале —V2 < 0 <
< V2. Первые восемь функций на указанном интервале
представлены на рис. 14.14. Функции Уолша могут служить базисом
спектрального (негармонического)
представления сигналов.
Любую интегрируемую на
интервале 0 < 9 < I функцию / (9)
можно представить рядом Фурье
по системе функций Уолша
/ (6) - А (0)+ A (l)wal (1, 9)Ч>
+ А (2) wal (2, 6) + ... +
+ Л (0 wal (i, 9) + ... (14.38)
с коэффициентами
1
А (0 = $ / (б) wal (/, 8) dB, 6 = ЦТ.
о
(14.39)
Рис. 14.14. Первые восемь функций
Уолша на интервале —0,5^6 < 0,5.
Вне интервала [0 1) ряд (14.38) описывает периодическую
функцию / (9 + k), где k — любое целое число.
На рис. 14.15 изображены первые 16 функций Уолша.
Некоторые особенности разложения непрерывных функций по
системе Уолша иллюстрируются в § 14.5 на примерах.
Как уже ранее отмечалось, функции Уолша хорошо сочетаются
с современной микроэлектроникой и могут быть легко
сформированы с помощью ключевых схем. Один из возможных
вариантов схемы генератора первых восьми функций представлен на
рис. 14.16.
Алгоритм формирования функций Уолша в этом генераторе
основан на выражении (14.30), т. е. на перемножении степеней трех
функции Радемахера: г, (8), г, (9) и г3 (9). Функция г3 (8)
получается непосредственно от генератора меандрового колебания
Вторая функция /•„ (9) получается и з г3 (9) удлинением периода этого
колебания в два раза. Это достигается с помощью триггера
запускаемого положительными импульсами (с выхода
дифференцирующей /<с-цепи и диода), возникающими в начале каждого периода
входного меандра. Аналогичным способом из г, (9) получается функ-
ZU\{)- ПолУченные Функции г, (9), га (9) и г3 (9) поступают
либо непосредственно на выход генератора, либо на перемножители
г. каждый перемножитель представляет собой устройство
совпадения, обладающее следующей таблицей истинности:
Входы
*1 | *2
0
0
1
1
0
1
0 .
1
Выход
V
1
0
0
1
Устройство запускается импульсом, который одновременно
устанавливает все триггеры в состояние «1».
f-\—p:q p:
::hFbFbnd::
■-Т-ТЩ-Ш.
:1ЛГЬЧЛГЬ
TUinnrLft
:=Ubfy::tFbftf:
:¥ЫВДУ=¥Ь
ЛЛЛШШЯШ
0,5 1
:WtFt^ft№
О
та\(щ&)
го
0
1
г
д
«
5
в
7
8
9
10
11
1Z
1S
ft
15 ■
Vul(p,0
Р
0
1
5
г
в
7
5.
«
1Z
13
15
ft
10
11
9
8
Шф,в)
h
0
8
1Z
«
В
п
10
Z
а
11
15
7
5
15
S
1
Рис. 14.1Б, Нумерация функций Уолша при различных способах упорядочения,
Размер базиса Л/=16,
r№
Устанобка '■■
i >
xz
Триггер
CD счетным
ВхоЗом
Устанобка > >
*i.
Xl-
-ownl IW
-owu,(Z,S)
■ошЩ0
-отЩ0)
-ошЩ&)
-ошЩ0}
Рис. 14.16. Генератор первых восьми функций Уолша.
14.5. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИЙ УОЛША
2п
I. Определение спектра синусоидыs (t) = siny t (рис. 14.17, a)
в базисе функций Уолша. Интервал разложения Т0 в данном
случае целесообразно приравнять величине Т.
Переходя к безразмерному времени 0 = tIT, запишем колебание
s (t) в форме s1(6) = sin 2л9. Ограничимся 16-ю функциями,
причем сначала выберем упорядочение по Уолшу. Поскольку
заданная функция sx(Q) нечетна относительно точки 0 = V2, все
коэффициенты А (I) при четных функциях Уолша в ряде (14.38),
т. е. при cal (J, 9), равны нулю.
Те из оставшихся восьми функций wal(t, 0), которые совпадают
с функциями Радемахера и имеют периодичность внутри интервала
[О, 1) кратную периоду функции sx (0), также приводят к нулевым
коэффициентам A (i). К таким функциям относятся wal (3, 0),
wal (7, 9) и wal (15, 0). Наконец, функция wal (11, 9), нечетная не
только относительно точки 0 = Va, но также относительно точек
В = V, и в = s/4 [внутри интервалов [О, V2) и (Ч2, 1), приводит
к нулевому коэффициенту Л(11) из-за четности s, (0) в указанных
интервалах.
Итак, лишь четыре коэффициента из 16 не равны нулю: А (1),
Л (5), Л (9) и Л (13). Определим эти коэффициенты по формуле
(14.39). Подынтегральные функции, являющиеся произведениями
сигнала Sj (0) (рис. 14.17, а) и соответствующей функции wal (t, 0),
представлены на рис. 14.17, б — д. Кусочное интегрирование этих
произведений дает
1/2
Л(!) = 2 J sin 2л0/й) = 2/л = 0,636;
о
2/16 6/16
Л(5) = 4 Г sin2JX0d0—2 Г sinZnbdi) = — ( 1 _2cos — \ —
S 2^16 л V 4 J
= —0,265;
1/16 3/16 6/16
Л (9)=4 Г sin2ji6de—4 Г sin2Ji6d9-f2 Г sin2jx6d8=.
0 1/16 3/16
-—0,052;
1/16 2/16 3/16
Л(13)=4 Г sin2JX0d9—4 Г sin2n9d9+4 f sin2JX0d0—
0 1/16 2/16
5/16
— 2 Г sin 2л6сГО= — 0,128.
3/16
Спектр рассматриваемого сигнала Sj (9) в базисе функций Уолша
(упорядоченных по Уолшу) представлен на рис. 14.18, а. При
упорядочении по Пэли и Адамару спектр того же сигнала принимает
вид, показанный на рис. 14.18, б и е. Эти спектры получены из
спектра на рис. 14.18, а перестановкой коэффициентов в соответствии с
таблицей (рис. 14.15), показывающей взаимосвязь между способами
упорядочения функций Уолша (для N = 16).
Для уменьшения искажений при представлении колебания
ограниченным числом функций Уолша предпочтение следует отдавать
упорядочению, которое обеспечивает монотонное убывание спектра.
Иными словами, наилучшим является упорядочение, при котором
каждый следующий спектральный компонент не больше (по модулю)
предыдущего, т. е. | A (i + 1) | ^ | A (i) |. В этом смысле
наилучшим упорядочением при представлении отрезка синусоиды, как это
следует из рис. 14.18, является упорядочение Пэли, а наихудшим —
Адамара.
Восстановление исходного сигнала ( рис. 14.17, а) с помощью
четырех функций Уолша представлено на рис. 14.19. От способа
упорядочения функций это построение, разумеется, не зависит.
Очевидно, что для более удовлетворительной аппроксимации
синусоидального колебания в базисе Уолша требуется существенное
увеличение числа спектральных компонентов.
Вне интервала [0,1) ряд (14.38), как отмечалось в § 14.4,
описывает периодическое продолжение s1(9), в данном примере
гармоническую функцию.
2. Спектр гармонического колебания s{t) = cos(c>* -f 60)
(рис. 14.20) в базисе функций Уолша. Как и в предыдущем примере,
рассматривается один цикл гармонического колебания с периодом
Т = 2 л/со. Переходя к безразмерному времени 6 = tlT,
записываем колебание s (t) в форме
«1 (9) = cos (2л0 + 0О) = cos0o cos2л 0 — sin 0O sin 2л 0 =
= Л cos 2л 0 — В sin 2л0.
Спектр Уолша функции sin 2 л0 определен в примере 1.
Совершенно аналогично определение спектра функции cos 2л0 на интер-
Ч
0,8
ОЛ
0,2
О
■0,2
'О/
А
0,6
0,2
О
-0,2
-о/>
1 '/^Й1
/l 1 1 1 1 1|\
г « s A
iff is a 16
Г | ! .1 Т I 1 - .
. 10 12 № АО д
\jd 16 IS/
I 1 I.
г *
■i.i
.t. I..
a)
2 4
8 W\1Z lft 15 P
6)
A\
0,6
Cjft
0Я
0
-0,2
i i i i i, I
хл
ft
1 4 6 8 10X1Z\ Iff 7
&
Рис. 14.17. Стробирование отрезка
синусоиды функциями Уолша.
Рис. 14.18. Спектры синусоиды в базисе
функций Уолша, упорядоченных по Уол-
шу (о), Пэли (б) и Адамару (в).
Размер базиса N=\b.
вале [0,1). Необходимо лишь функции sal (/, 0)заменить функциями,
cal (/, 0). Легко проверить, что при упорядочении по Уолшу новые
коэффициенты A(i) в ряде (14.38) будут: Л(2), Л (6), Л(10) и
Л(14) вместо Л(1), Л(5), Л(9) и Л(13). При этом значения
коэффициентов остаются прежними.
Таким образом, ряд (14.38) для рассматриваемого колебания
можно записать в форме
Sj (6) = cos 60 cos2n6 — sin60 sin2ji6 =
= cos 60 [A (2) wal (2, 6) + A (6) wal (6, 6) + A (10) wal (10, 6) 4-
+A (14) wal (14, 6)] —sin 6„ [A (1) wal (1, в) + A (5) wal (5, 6)+
+ A (9) wal (9, 6) + A (13) wal (13, 6)3.
Итак, при сдвиге гармонического колебания по фазе спектр
Уолша содержит четные и нечетные функции cal (/, 6) и sal (/, 0).
тШв)
Рис. 14.19. Аппроксимация синусоиды функциями Уолша.
3. Спектр периодической последовательности, прямоугольных
импульсов (рис. 14.21) в базисе функций Уолша. Определим
колебание s (t) на интервале [0, Т0) выражением s (t) = 1, 0< /< ти,
и соответственно
sx (6) =
О
при о<е<ти/г0,
при е>ти/г0.
(14.40)
Структура спектра Уолша заданного колебания сильно зависит
от соотношения между тв и Т0. Временная база Т0 является
дополнительным и произвольно выбираемым параметром функций
Уолша. Действительно, при ти/Т0 = 1 спектр содержит лишь
1,0 в
Рис. 14.20. Один период гармонического колебания на интервале 0^6
одну функцию wal (0, 8) с коэффициентом Л (0)=1. При ти/Г0 = V2
колебание (14.40) полностью определяется двумя функциями: wal
(0, 6) и wal (1, 6) с коэффициентами А (0) = А (1) = V2.
Далее, при ти/Т0 = V4 использование формулы (14.39)
tff
А Щ = С s (6) wal (ш, 6) de --
1/4
О
ч/т0
То
t
С wal (ay, 6) de
tfi
е
Рис. 14.21. Один цикл
периодической импульсной
последовательности при ти/5го=1/2.
дает следующие коэффициенты:
Л(0) = Л(1) = Л(2) = ,4(3) - V,.
Найденные спектры представлены
на рис. 14.22. Этот результат легко
обобщается для последовательности
прямоугольных импульсов g отношением ти/Г0 = Чгк, где k —
целое положительное число. Очевидно, что спектр Уолша такого
колебания состоит из 2k компонентов с одинаковыми
амплитудами, равными VB*. Очень важно, что этот спектр содержит
конечное число составляющих; разложение того же колебания (14.40)
по гармоническим функциям является бесконечным.
Рассмотрим^ теперь случай, когда тя1Т0 Ф х\£, например,
т„/Т0 =
V3. Ограничиваясь первыми 16-ю функциями Уолша
(в упорядочении Уолша) и опуская промежуточные выкладки,
получаем
А (0) = А (1) = V,; -Л (4) = - А (5) = А (6) = А (7) -
= V„; А (8) = А (9) = - А (10)= —А (11) = —Л (13)= Л (14) =>
= А (15) = V
"т
Щ
i i... . i
о / г
а)
ч
и
f//'\ \ \ \
1 г } uw
В)
Рис. 14.22. Спектры последовательности прямоугольных импульсов в базис*
функций Уолша:
О—при ти/2'0=1; — пр<; ти/20=1/2з в—при хи/7с = 1/4; Л/ = 16.
Найденный спектр представлен на рис. 14.23. При переходе и
упорядочению по Пэли структура спектра сохраняется (по модулям).
Итак, при ти/Г0 Ф V-/ спектр Уолша периодической
последовательности прямоугольных импульсов содержит бесконечно
большое число составляющих. Сум-
t/6
и
-f/tz
2 }p e -liii^//;1
мирование первых 16 функций
дает импульс, показанный на
рис. 14.24.
4. Влияние сдвига
импульсной периодической
последовательности на спектр Уолша.
Рассмотрим этот вопрос на
примере импульсной
последовательности при ти/Г0 = Ч4
(рис.. 14.25), смещенной на т„/2
относительно аналогичной
последовательности, см. пример 3.
Используя функции Уолша
(в упорядочении Уолша),
определенные на интервале — 1/2 < 0 < '/2 (см. рис. 14.14), запишем
выражение для коэффициентов Уолша
1/8
А (ну) = С wal (w, в) dO,
-1/8
Рис. 14.23. Спектр
последовательности прямоугольных импульсов
в базисе функций Уолша при
ти/Л)=1/3; #=16.
Sk
1
г/з
f/з
о
Mil I.
Sl
I I
0,5 в
4
i
Si 0 Sl
'г z
i .]..! I I I I I
п
1.
T
0
&
Рис. 14 24. Аппроксимация прямо- Рис. 14.25. Один цикл периодической
угольного импульса 16 функциями последовательности импульсов на ин-
Уолша при ти/Г0= 1/3; #=16. тервале 0,5^е< 1,
_L
-1—e-
fi\. откуда получаются следующие
ненулевые коэффициенты:
А (0) = А (2) =А(4)=А (6) = V4.
Полученный спектр (рис. 14.26)
вдвое шире спектра, представленного
на рис. 14.22, в. Таким образом, сдвиг
импульсной последовательности на
время ти/2 привел к изменению
спектра. Зависимость структуры
спектра от сдвига колебания s (t) на оси времени является
особенностью анализа в базисе функций Уолша. Эта особенность связана
с непериодичностью функций Уолша на единичном интервале их
определения. Напомним, что при разложении по гармоническим
функциям сдвиг сигнала во времени влияет лишь на фазочастот-
ную характеристику спектра (см. § 2.7).
0- г л
Рис. 14.26. Влияние сдвига
импульсной последовательности
на спектр Уолша (сравнить
с рис. 14.22, в).
14.6. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ
ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Разложим заданное колебание s(t) по двум ортонормированным
системам функций q>h (/) и £„ (() с одинаковыми интервалами
определения (а, Ъ):
ОО ОО
s(0=2cfc<Pfc(*)=2]b»SnW ПРИ a^t<b. (14.41)
Совокупность коэффициентов ch образует спектр колебания s (t)
в базисе ф (t), а совокупность коэффициентов Ьп — спектр того же
колебания s (t) в базисе % (t).
Воспользуемся далее выражением (2.9) для коэффициентов ck
обобщенного ряда Фурье и подставим в него вместо f (x) заданную
функцию s (/), выраженную через правую часть (14.41):
<* = JsW«pft0)dMj
Ьп In (0
/1 = 0
оо
(14.42)
Ввиду ортонормированности функций q>ft (t) коэффициент перед
интегралом в (2.9) приравнен единице. Интеграл под знаком суммы
представляет собой k-я коэффициент разложения функции |n (t)
по базисным функциям q>ft (t). Обозначив этот коэффициент
символом
ь
<*1п<р*=$6Л0«М0#. (Н.43)
получим
n=0
(14.44)
Коэффициенты 4пФд не зависят от сигнала s ((). Таким образом
выражение (14.44) устанавливает взаимосвязь спектров колебания
s (г")в двух различных базисах cpft (t) и |n (t).
Рассмотрим подробнее выражение (14.43). С одинаковым
основанием его можно трактовать либо как k-й коэффициент
разложения функции ^ (t) no ортонормированной системе функций
Ф (0, либо как п-й коэффициент разложения фй ({) по системе функ-
ШМ
Рис. 14.27. Взаимный спектр функций Уолша и тригонометрических функций
(четные компоненты).
ций g (t). Поэтому совокупность коэффициентов dinq>k можно
рассматривать как взаимный спектр базисных функций фь (t)
и 1п (/)•
В качестве примера рассмотрим взаимный спектр функций
Уолша и тригонометрических функций. Основываясь на выражении
вида (14.43), запишем аналогичные выражения отдельно для
нечетных и четных функций, определенных на интервале [—1/2, 1/2):
1/2
В {], ц) = \ sal (у, 6) sin (2яр,6) dQ,
-1/2
1/2
А (], F) = \ cal (/, 6) cos (2яц6) dQ.
(14.45)
(14.46)
-1/2
Аргументы тригонометрических функций cot приведены к
ЕИДу
©*=— t^2sifT0~ =2п^е, \i=fT0. (14.47)
На рис. 14.27 изображен рельеф модуля взаимного" спектра
(четных) функций Уолша при N = 64 и синусоидальных функций.
Видно, что рельеф взаимного спектра В (/. ц) характеризуется
хорошо выраженной симметрией. Максимумы | В (/, \i) | находятся
вблизи плоскости / = ц.. Дополнительные плоскости симметрии,
связывающие боковые максимумы, перпендикулярны основной
плоскости и пересекают ее с интервалами 2* в точках / = у. = 2*,
k = 0, 1, 2, ...
14.7. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ УОЛША
Для цифровых методов спектрального анализа наибольший
интерес представляют дискретные функции Уолша. Эти функции
являются отсчетами непрерывных функций Уолша. Для перехода
к дискретному варианту функций представим аргумент 0 ^ 8 < I
в двоичной системе счисления
оо
e=2eft2-* = (oIe1,ea,..o» (Н.48)
гдеек =0; l,k = 1, 2, 3, ...
При изменении 0 в пределах от нуля до единицы /г-й разряд 0ft
попеременно принимает значения 0 или 1, причем интервал между
двумя соседними переменами знаков равен V2*. Таким образом,
при k — 1 разряд G, равен нулю на интервале О <С 8 <с V2 и
равен единице на интервале 1/2^G <С 1. При k — 2 02=O на
интервалах [О, V4), (Vg, й/„) и 02 = 1 на интервалах (Vj, V2), (s/„, 1) и т. д.
Поэтому выражение (14.26) для k-й функции Радемахера можно
записать в форме
т„ (8) = елв* = (— 1)4 (14.49)
Подставив это выражение в (14.30), получим следующую запись
функций Уолша (в упорядочении Уолша):
wal (w, 6)= П [е,яв*]",п-1+1фвл-ь= (— 1)*=1
(14.50)
Результат не изменится, если аргумент 0 ^ 0 < 1 заменить
целочисленной переменной х = 0, 1, .,., N — I, являющейся но-
мером отсчета и записанной в двоичной системе счисления
Х==,1,Ч 2"">==i^ х* - xnh> (H.51)
где*,,. « 0:1, k *= 1, 2, 3, .„, Л/ ** 2".
- Тогда выражение (14.50) принимает следующий вид1
wal (ш, х) = (~ I)*— ( (14.52)
Первые две и последняя (N — 1)~я дискретные функции Уолша,
определяемые выражением (14.52), показаны на рио. 14.28 (для
Л' = 16). Каждый отсчет расположен
в середине связанного с ним
элемента непрерывной функции.
Длительность элемента равна l/N от
интервала {0, 1).
С учетом (14.32) и (14.34)
дискретные функции Уолша в
упорядочении Пзли и Адамара запишутся
в виде
*Ш ТТТТТТТТТТТТТТТТ 3
о г и в 8 ю й п к
точда TTTTTTTTI
pal(p, *) = (—!)*=»>
n
had (A, jc) =<— 1)*='
(14.53)
тЩх) [|j д] [Ц ГП П1ГП ГП Ш
-Ц*т^ЧтЙ11' i ' il'lil1 |l'l.T a»
шШШ Ш ili ili Ш ili \
_! 1 L*.-
# o,5 1,0 g
Рис. 14.28. Первые две я
последняя дискретные функции
Уолша при /V=2S=»16 (в
упорядочении Уолша).
.Перечисленные в § 14.4 свойства непрерывных функций Уолша
ваписываются для дискретных функций следующим образом.
Ортогональность
V wal [i. x) wal</. k)^\N ПрИ '* '» (14.54)
к^о \0 при г.ф1
Дискретные функции Уолша не нормированы; норма равна N
независимо от номера функции.
Мультипликативность
wal (i, x) wal (/, х) — wal (I ф ?, х), (14.55)
Пусть сигнал s it) (вещественная функция) представлен еовокуп-
ностью своих эквидистантных отечетов s (k), Ы 0, I, 2, ..., N — I.
Тогда преобразования
S (0 = -i- y's (й) wal (i, k), (14.56)
s(ft>- 2 S&-)wal(i, ft»
D —0
(14.57)
образуют пару дискретных преобразований Уолша (ЦПУ).
Выражения (14.56), (14.57) аналогичны паре дискретных преобразований
Фурье (ДПФ)в базисе гармонических функций [см. (13.13'), (13.I4)J.
Как и ДПФ (см. с. 13.3), ДПУ обладают свойством
периодичности:
S (м) = S (п + mN); 4 (k) = s (k + mN), (14.58)
где т — целое число.
Имеются, однако, и существенные особенности ДПУ. Это
относится к теореме запаздывания. Напомним, что в случае
спектрального анализа в базисе гармонических функций умножение ДПФ
S7 (пщ) на базисную функцию е N эквивалентно сдвигу во
времени последовательности s (k), k = О, I. 2, .... N — 1, на /я
интервалов (см. § 13.3).
В случае ДПУ умножение обеих частей равенства (14.56) на
базисную функцию wal (n, т) приводит к выражению
wal (n, m) S (п)=-^ У s (k) wal (n, k) waJ In, m), (14.59)
■'■=6
которое на основании свойства мультипликативности функций
Уолша 1см. (14.36) и (14.37)1 можно записать в форме
wal (n, m) S (л)=— \ s (k) wal {n, k ф т)=
-±s
= — У b{k © т) wa! (n, k).
(14.60)
Переход or 5 (k) к 8 (k ф т) означает диадный сдвиг
последовательности отсчетов s (k), k <= 0, I, 2, ..., /V — 1, на т интервалов.
Аналогично можно показать, что диадному сдвигу
спектральных компонентов S (п) на гп интервалов соответствует умножение
отсчетов s'(k) на wal (k, m).
Поясним смысл термина диадный сдвиг. С понятием сдвига
функции приходится иметь дело, например, при определении
корреляционной функции, при рассмотрении теоремы запаздывания, при
определении свертки двух функций. В обычном смысле сдвиг
рассматривается кйк параллельный перенос сдвигаемых значений
колебания вдоль оси времени. Такой сдвиг можно назвать
арифметическим, так как он выражается обычным арифметическим сложением
или вычитанием. При арифметическом сдвиге, например, на т = 3
интервала &-й отсчет х(Ь) переместится и станет х (5 + 3) =
= х (8). При достаточно большом т отсчет х (k) выйдет за пределы
исходной совокупности отсчетов. При диадном сдвиге тот же отсчет
л (6),
о в ы м
Л/ - 1)
х (5), сдвинутый на т =. 3, займет положение х(5@3) =
так как
5=(101)2
®3=(0П)2
(110)г=6
Диадный сдвиг обладает так называемым групп
свойством: сдвиг отсчетов х (k) (где k — 0, 1, 2, ...,
на величину т^. N — 1 соответствует такой перестановке этих
отсчетов внутри их исходной совокупности, что результат
поразрядного сложения по модулю 2, т.е. k ф т, всегда не превышает число
N — 1 при любом т = 05 1, 2, ..., Л/ — 1. При этом имеется в
виду, что N — 2п, где п — целое положительное число.
Сделанное утверждение легко проверить перебором
всевозможных диадных сдвигов всех отсчетов х (к) при заданном N. Например,
при N — 8 получается следующая квадратная матрица значений
у ~ k ® mi
0
1
2
3
4
5
6
7
0 12 3 4 5 6 7
"01234567
10 3 2 5 4 7 6
2 3 0 16 7 4 5
3 2 10 7 6 5 4
4 5 6 7 0 1 2 3
5 4 7 6 10 3 2
6 7 4 5 2 3 0 1
.7654 32 10
0 =
т
Из этой матрицы ридно, что диадный сдвиг не выводит вдвинутые
отсчеты эа пределы исходной совокупности /V отсчетов, а лишь
производит их перестановку внутри этой вовокупности.
Диадный сдвиг придает существенное своеобразие как епектраль-
ному анализу в базисе функций Уолша, так и предвтавлению сир-
налов во временной области. В частности, диадная свертка двух
временных последовательностей х (k) и у (k) записываетея в форме
h(k)-.
N
S\x(tn)y(k® m) = x(k)*y{k). (14.61)
Основное преимущество ДПУ перед ДПФ заключается в том, что
отсчеты сигнала умножаются на функции Уолша, которые
принимают значения ±1 (см. (14.56), (14.57)1. По существу, операция
умножения исключается и выражения (14.56), (14.57) сводятся к
вуммированию отсчетов в соответствующими внаками. В случае
. 2п .
же ДПФ требуется умножение на комплекеные чиела вида е N ,
причем действительная и мнимая чаоти этих чисел требуют пред-
ставления достаточно большим числом разрядов (для снижения
уровня ошибки округления).
Эффективность цифровых методов спектрального анализа можно
значительно повысить, применяя специальные алгоритмы
преобразования, получившие название быстрое
преобразование Фурье (БПФ), быстрое преобравование
У о л ш а (БЕГУ) и т. д. Эти алгоритмы основаны на устранении
избыточности в описании матрицы дискретного ортогонального
преобразования.
Глава 15
ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЦЕПЕЙ
15Л. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Классическая теория синтеза пассивных линейных электрических
цепей с сосредоточенными парамеграми предусматривает два
этапа:
— отыскание или подбор подходящей рациональной функции,
которая могла бы являться характеристикой физически
осуществимой цепи и вместе с тем быть достаточно близкой к заданной
характеристике;
— отыскание структуры и элементов цепи, реализующей
выбранную функцию.
Первый, этап называется аппроксимацией заданной
характеристики, второй — реализацией цепи.
Аппроксимация, основанная на применении различных
ортогональных функций, не вызывает принципиальных трудностей.
Значительно сложнее задача отыскания оптимальной структуры
цепи по заданной (физически осуществимой) ее характеристике.
Эта задача не имеет однозначного решения. Одну и ту же
характеристику цепи можно реализовать множеством способов,
различающихся по схеме, по числу входящих в нее элементов и сложности
подбора параметров этих элементов, по чувствительности
характеристик цепи к нестабильности параметров и т. д.
Различают синтез цепей в частотной области и во временной.
В первом случае задается передаточная функция К (/со), а во
втором— импульсная характеристика g (t). Поскольку эти две функции
связаны между собой парой преобразований Фурье, синтез цепи во
временной области можно свести к синтезу в частотной и наоборот.
Все же синтез по заданной импульсной характеристике имеет свои
особенности, играющие большую роль в импульсной технике при
формировании импульсов с определенными требованиями к их
параметрам (крутизне фронта, выбросу, форме вершины и т. д.).
В данной главе рассматривается синтез четырехполюсников
в частотной области. Следует указать, что по синтезу линейных
электрических ценей в настоящее время существует обширная
литература, а изучение общей теории синтеза не входит в задачу курса
«Радиотехнические цепи и сигналы». Здесь рассматриваются лишь
некоторые частные вопросы синтеза четырехполюсников,
отображающие особенности современных радиоэлектронных цепей. К
таким особенностям в первую очередь относятся:
— применение активных четырехполюсников;
— тенденция к исключению индуктивностей из избирательных
цепей (в микроэлектронном исполнении);
— возникновение и быстрое развитие техники дискретных
(цифровых) цепей.
Известно, что передаточная функция четырехполюсника К(ш)
однозначно определяется своими нулями и полюсами на р-плоскости.
Поэтому выражение «синтез по заданной передаточной функции»
эквивалентно выражению «синтез по заданным нулям и полюсам
передаточной функции». Существующая теория синтеза
четырехполюсников рассматривает цепи, передаточная функция которых
обладает конечным числом нулей и полюсов, иными словами, цепи,
состоящие из конечного числа звеньев с сосредоточенными
параметрами. Из этого вытекает вывод о неприменимости классических
методов синтеза цепей к фильтрам, согласованным g заданным
сигналом. Действительно, входящий в передаточную функцию
подобного фильтра множитель e~l(ot- [см. (12.16)1 не реализуется
конечным числом звеньев g сосредоточенными параметрами. Излагаемый
в данной главе материал ориентирован на четырехполюсники с
небольшим числом звеньев. Такие четырехполюсники характерны
для фильтров нижних частот, верхних частот, заградительных
фильтров и т. д., широко применяемых в радиоэлектронных устройствах.
Предварительно, в § 15.2 — 15.4 приводятся основные сведения
о передаточных функциях четырехполюсников, необходимые для
уяснения методов их синтеза.
15.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Из теории линейных электрических цепей известно, что
передаточную функцию физического четырехполюсника е
сосредоточенными параметрами можно представить в виде рациональной дроби —
отношения двух полиномов о целыми степенями р и g вещественными
коэффициен тами
к, > fl,.p"+a,p"-4-.- + gn _ Р(Р) (15.1)
W Ьврт+ь1р^-х+...+ьт Q(P)
при ряде ограничений, на положение корней полиномов Р (р) и
Q (р) на р-плоскости, а также на соотношение степеней пат.
Общим требованием к передаточной функции К(р) любого
четырехполюсника, вытекающим из условия устойчивости, является
отсутствие полюсов в правой р-полуплоскоети (см. § 5.10). Для этого
необходимо, чтобы корни полинома Q(p) в знаменателе выражения
(15.1) были расположены только в левой р-пол у плоскости. Такие
полиномы называются полиномами Гурвица.
Далее, для того чтобы рациональная дробь (15.1) являлась
передаточной функцией физического четырехполюсника, степень
числителя п не должна превосходить степени знаменателя т.
Дополнительные сведения о числе нулей и полюсов функции
К(р), а также об их расположении на р-плоскости можно получить
из представления выражения (15.1) в форме
„ . „. а0 (p—Pqi)(P~Pm) . - . (р — Роп)
ь\ (}') ~~= =
t>u (р — Pul)(P~Риг)--. IP— Рит)
«„ П (р—p„h)
= *=J , (15.2)
in
ьь П (p—Puh)
где ро* — нули функции К(р) 1корни уравнения Р(р) = 0],
a p„k — полюса [корни уравнения Q (р) = 01.
Если п = т, то функция К(р) имеет п нулей и п полюсов при
значениях р, равных корням соответственно уравнений Р (р) = 0
и Q (Р) = 0. Если п <Z т, то функция К(р) имеет п нулей в точках
р-плоскости, соответствующих п корням уравнения Р (р) = 0
и, кроме того, т — п нулей при р = оо. Действительно, при
р -> оо выражение (15.2) обращается в
lim K(p) = lim -^ р"'--" =lim Ss. L_ .0,
т. е. точка p = oo является нулем с кратностью (т — п).
Суммарное число нулей (конечных и бесконечных) равно т.
Таким образом, с учетом нулей, расположенных в бесконечности,
рациональная функция К (р) имеет равное число нулей и полюсов.
Нули и полюса могут быть вещественными или комплексными.
В последнем случае образуются комплексно-сопряженные пары
нулей или полюсов. Выражение (15.2) (в отсутствие вещественных
нулей и полюсов) можно записать в форме
К (п) = 3_ (Р~Р01)(Р~Р"'>(Р~Р<«)(Р~Р"3).--(Р — Р0|П-1>)(Р — PQ(tt-l))
Ьв (Р— Pm)(p-P„l)(P— Рии)(Р-Рпз)---(Р~Рщт-.1Л(Р-Рп(т-10
(15.3)
В отличие от полюсов нули передаточной функции могут быть
расположены как в левой, так и в правой р-полуплоскости.
Четырехполюсники с нулями передаточной функции в правой
полуплоскости обладают существенными особенностями,
рассматриваемыми в следующем параграфе.
15.3. СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ И ФАЗОЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Анализ прохождения колебания через линейную цепь основан
на использовании указанных в заголовке характеристик.
Возникает следующий вопрос: можно ли управлять одной из
характеристик не изменяя другую или же между ними имеется однозначное
соответствие? Этот вопрос представляет для радиоэлектроники
большой практический и научный интерес, особенно при синтезе
цепей по заданным амплитудно-частотным и фазочастотным
характеристикам.
Вопрос сводится к установлению связи между модулем и
аргументом комплексной функции К (р), обладающей следующими
свойствами: а) число полюсов конечно; б) полюса в правой
полуплоскости р отсутствуют. Этот вопрос приводит к одной из наиболее
сложных проблем теории функций комплексного переменного.
Значительно более простой задачей является выражение действительной
части передаточной функции через мнимую или мнимой через
действительную. Поэтому целесообразно вместо функции К (р)
рассматривать функцию G (р), связанную с К (р) соотношением
®(р) = In K(p). (15.4)
На оси частот эта новая функция принимает вид
0(ш) = InK(uo) = lnl/C(co) e"P(ffl,l ■=*
= In /<(со) + ?<р(ш) = Л(со) + i у(ш). (15.5)
Действительная часть этой функции
А (со) = In К (to) (15.6)
называется логарифмическим затуханием четырехполюсника.
Учитывая, что
/С(со) = е"<т>,
комплексную передаточную функцию можно представить в форме
К (ia>) = гвш=е^■«»е'ч><«». (15.7)
Определяемая выражением (15.5) комплексная функция 0 (ко),
характеризующая логарифмическое затухание, а также изменение
фазы в четырехполюснике, может быть названа посто янной
передачи четырехполюсника по аналогии с термином,
применяемым в теории длинных линий.
После перехода от функции К (го») к функции 0 (ico) задача
сводится к установлению связи между А (со) и ср (со), т. е. между
действительной и мнимой частями комплексной функции © (ico).
Воспользуемся для этого следующим равенством, показываемым
в теории функций комплексного переменного:
_1_ Г e(P)^=s-Le(tol) + -L- f e(te)tf(teLt (15.8)
2jv J р —'COi 2 2я,г J to—ксц
с—- /оо •— юс
где со, — произвольная фиксированная величина,
Путь интегрирования в левой части этого выражения совпадает
с осью г'со (с -> 0) при обходе точки ко, справа. Первое слагаемое
в правой части представляет собой половину вычета в точке iioL,
*■ Рис. 15,1, Контур интегрирования на комплексной пло-
& скости,
т. е. интеграл по полуокружности бесконечно малого радиуса г.
Действительно, на этой окружности функция 0 (р) с точностьк ао
бесконечно малых высшего порядка равна 0 (I, со,), знаменатель
р — ко, = re'*,
где iJ3 — аргумент вектора, проведенного из точки гш, к точке,
лежащей на окружности радиуса г, так что
dp — ire'* d-ф.
Поэтому интеграл по полуокружности радиуса г равен
_!_ Г в(Р> др —L- f JSiSL frtf* лц,—
2ni J p-fo, r 2ji* J re&l>
/ to, —r i о
1 •0(Ku1)fjT = -4-®(K<>i).
2jl' 1У 2
Второе слагаемое в правой части (15.8) — это интеграл по мнимой
оси с исключением особой точки ко, (главное значение интеграла).
Следует иметь в виду, что с увеличением р (по модулю) и при
условии, что Re (p) > 0, функция 0 (р) стремится к нулю. Поэтому
интеграл от функции 0 (р) / (р — ico,) по дуге бесконечно большого
радиуса R, лежащей в правой полуплоскости, равен нулю. Это
дает основание заменить интеграл, стоящий в левой части равенства
(15.8), интегралом по замкнутому контуру, показанному на рис. 15.1.
Наложим условие, что функция © (р) не имеет полюсов в правой
р-полу плоскости. Тогда по теореме Коши ингеграл в левой части
(15.8) равен нулю. Приравнивая в (15.8) левую часть нулю и, кроме
того, заменяя © (/со) по уравнению (15.5), приходим к
выражению
оо со
2 2л.' J со—wj 2я J со—Ш]
— Об „О,.
Приравнивая нулю действительные и мнимые части этого
выражения, получаем следующие два равенства:
я J со—
^-dco.
сох
СО
фК)==_!_ f АИ_ло.
— оо
Мы пришли к преобразованиям Гильберта (см. § 3.8). Функция
А (сох) является сопряженной (по Гильберту) функции tp(o)j.
Так как А (со) есть четная, а ср (со) —нечетная функция, то
f _jlH_dco=f Л(со)(—J— +—!—)*» =
J со—0)! J \ co—cai —© —cox/
— ex 0
oo
J coa—coi
0
oo oo
f _JLM_dfi)==f фИ( ' 1 )dco=
J CO —U)! J \ CO—COi — lO — CO!/
0
= 21 -^^-dco.
>S
CO"5 — CO,
Подставляя эти результаты в предыдущие выражения, приходим
к следующим окончательным формулам:
^«JSLf-iM-d*, (15.9)
Y v 1; я J сог-—со,
О
п\ V п J о^— cj>i
Итак, фазовая характеристика cp(coj) при какой-либо
фиксированной частоте о»! выражается через логарифмическое затухание
А (со), причем последнее интегрируется в пределах от со = 0 до
со = оо. Аналогичное правило относится и к логарифмическому
затуханию. Таким образом, для определения одной из характеристик
на какой-либо частоте необходимо знать изменение другой во всем
частотном диапазоне.
Переходя в выражении (15.9) от А (со) к К (со) по формуле (15.6),
получаем искомую зависимость между фазовой и амплитудно-
частотной характеристиками:
оо
ф(Ш1)=^Г JEpj-eto. (15.11)
Л J СО2—Wf
о
Оговоренное ранее условие отсутствия полюсов функции © (р)
в правой полуплоскости равносильно условию отсутствия полюсов
и нулей функции К (р) в этой же полуплоскости (так как в точках
плоскости р, где К (р) равно нулю, 1п К (со) обращается в — оо).
Поэтому можно сформулировать следующее важное положение:
однозначное соответствие между амплитудно-частотной и фазовой
характеристиками имеется только у четырехполюсников,
передаточная функция которых К (р) не имеет нулей в правой
полуплоскости р.
Четырехполюсники, соответствующие этому условию, называются
минимально-фазовым и. К таковым относятся обычные
колебательные цепи, фильтры и цепи, в которых отсутствуют
перекрестные связи. К немини мальн о-ф а з о в ы м относятся
мостовые и некоторые другие специального вида цепи.
Итак, если требуется, чтобы синтезируемый четырехполюсник
являлся минимально-фазовым, передаточная функция К (р) не
должна иметь нулей в правой р-полуплоскости. В этом случае оба
полинома Р (р) и Q (р) в выражении (15.1) должны являться
полиномами Гурвица.
Остановимся на некоторых свойствах характеристик
минимально-фазовых четырехполюсников. Из выражений (15.9), (15.10)
видно, что величины входящих в них интегралов определяются
характером изменения А (со) и ср (со) вблизи частоты colt так как при
удалении со от а^ абсолютная величина дроби 1/(со2 — со!) быстро
убывает. Заметим, что интеграл от этой дроби, меняющей свой знак
в точке со = colt взятый в пределах от 0 до оо, равен нулю1. Поэтому,
если допустить, что для некоторой физической цепи затухание
А (со) = А0, т. е. является постоянной величиной для всех
частот от 0 до оо, то
оо
<РЫ=-— f -т-^VAo-0.
Jl J CO2 — COJ
о
1 Имеется в виду главное значение интеграла с исключением особой
точки.
Следовательно, равномерное для всего диапазона
логарифмическое затухание (а следовательно, и равномерную амплитудно-
частотную характеристику) можно получить только для цепи,
фазовая характеристика которой равна нулю, т. е. если цепь состоит
из чисто омических сопротивлений.
С другой стороны, добавление к затуханию Л(оо) постоянной
величины Л0 не изменяет фазовой характеристики, так что
выражение (15.9) можно записать в более общей форме
2М1 г ли-н,^
, . 2м! Г А (со)— j
<РЮ= , ,
я. J со2—mi
Физически это означает лишь изменение масштаба амплитудно-
частотной характеристики с помощью, например, усилителя,
имеющего равномерную амплитудно-частотную характеристику, или
с помощью делителя напряжений (потенциометра), составленного
из чисто омических сопротивлений. (В первом случае Л0 нужно
брать со знаком плюс, во втором — со знаком минус.)
Можно также показать, что если вблизи рассматриваемой
частоты oij функция Л (со) изменяется слабо, то определяемая
выражением (15.9) фазовая характеристика изменяется линейно;
участкам же диапазона с относительно быстрым изменением Л(о)
соответствует нелинейное изменение ср (со). Иными словами,
участкам, с равномерной амплитудно-частотной характеристикой
соответствует линейная фазочастотная характеристика.
Кроме того, при прохождении К (со) через максимум, т. е. в
полосе прозрачности цепи, наклон фазовой характеристики отрица-
[dq> (со) 1
—.— < 0 . Соответственно при прохождении через
минимум (в полосе непрозрачности) наклон фазовой характеристики
[dtp (со) I
~~~~р—>0 . Эти положения хорошо иллюстрируются,
в частности, амплитудно-частотными и фазовыми характеристиками
колебательных цепей, рассматривавшихся в § 5.7 (например,
резонансная и фазовая характеристики на рис. 5.18).
15.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ОБЩЕГО ВИДА
КАСКАДНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
При заданных нулях и полюсах передаточную функцию К(р)
целесообразно представлять в виде произведения множителей,
каждый из которых может являться передаточной функцией
простейшего, элементарного четырехполюсника. Пусть, например,
передаточная функция синтезируемого четырехполюсника
К(р) = -^ (15.12)
Ь0 (р—Рт)(Р—Рт)(р—Рпз)
обладает нулем в точке р — О и тремя полюсами, из которых один
вещественный в точке рп1 <. О и два комплексных: рпг и рп3 = рпг»
Учитывая равенство
(р - Риг){р - Рпг) = р2 - 2 Re(pn2)p + |рп2Р, (15.13)
записываем (15.12) в форме
ао р 1
К(р) =
bi, (P-Pui) P2-2Re(pa2)p + |Pu2l3
= TSL-K1(p)Kf05). (15.14)
Передаточная функция Kx (р) реализуется звеном первого
порядка (#С-цепь или ftL-цепь). Действительно, для RC-цепи
(рис, 6.6, а) при съеме напряжения с резистора передаточная
функция
Kt(p)= *— = р—. (15.15)
1 ' R+l/Cp p+l/RC l
откуда следует рц1 = — l/RC, RC — — 1/рп1,
При использовании /^L-цепи (рис, 6,7, о)
R+Lp p+RjL
откуда рп1 = — RIL,
Функция К2 (р) реализуется звеном второго порядка. Этот
вопрос подробно рассматривается в следующем параграфе.
При синтезе неминимально-фазового четырехполюсника
разбиение его передаточной функции на простые множители имеет
некоторые особенности. Поясним их на примере функции
К(р) = Б р~Рп , (15.16)
Р—Рщ
где р01 — вещественная положительная величина, а рп1 —
вещественная, но отрицательная величина (рис. 15.2).
Умножим числитель и знаменатель в (15.16) на р + р01. Тогда
Kfr)=B£±£!L.£=£!!L = K иф(р)КФ(Р), (15-17)
Р—Рт P+Poi
где
Кмф(р)=В-£±^ (15.18)
обозначает передаточную функцию минимально-фазового
четырехполюсника (поскольку нуль расположен в точке р =а — р01,
т, е, в левой полуплоскости), а
КВФ(Я) = -^—- (15-19)
— передаточную функцию четырехполюсника
неминимально-фазового типа.
Правая часть выражения (15.17) соответствует передаточной
функции двух каскадно-соединенных четырехполюсников.
Следовательно, рассматриваемый четырехполюсник с передаточной
функцией К (р), определяемой выражением (15.16), можно заменить
эквивалентным каскадным соединением двух четырехполюсников
Кмф(р)и Кнф(р) (рис. 15.3).
*Ч
Ры
Poi
*мф
>Иф
ед
Рис, 15.2. Расположение нуля и
полюса на р-плоскости для неминимально-
фазового четырехполюсника.
Рис. 15.3. Схема замещения
четырехполюсника с нулем в правой р-полу-
плоскости.
Рассмотрим подробнее второй четырехполюсник Кнф. Переходя
от р к /со, записываем эту функцию в виде
Кнф (*<»)=-
KB — Pol
ко-1-Рм.
(15.20)
Так как р01 — действительное число, то модуль этой функции
равен единице на всех частотах от со = 0 до оо. Аргумент же
ср (оз) = arg (tto — poi)—arg ("*> + Poi) =
-arctg-
■Pol
— arctg ■■
Poi
-2arctg — .
Poi
Таким образом, передаточная функция
Кнф(И = е-/2агс'кй>/"о..
(15.21)
Итак, четырехполюсник с передаточной функцией вида (15.20)
должен пропускать (равномерно) все частоты от 0 до оо. Такие
четырехполюсники, позволяющие осуществлять коррекцию фазо-
частотной характеристики при неизменной амплитудно-частотной,
называются фазокорректирующими контурами. Реализация таких
цепей рассматривается в § 15.6.
Трактовка выражения (15.14) как передаточной функции
каскадного соединения взаимно независимых четырехполюсников Kj (p)
и К2 (р) позволяет задачу синтеза сложного четырехполюсника
свести к синтезу простых звеньев. Увеличение числа нулей и
полюсов в передаточной функции приводит лишь к соответствующему
увеличению числа звеньев. Естественно, такой подход имеет смысл
и допустим лишь при достаточной развязке элементарных четырех-
полюсников. Применение эмиттерных повторителей и некоторых
других устройств современной микроэлектронной техники
обеспечивает выполнение этого требования. В тех случаях, когда нелыя
пренебрегать взаимным влиянием элементарных четырех пол юо
пиков, приходится прибегать к более сложным методам синтеза,
излагаемым в специальной литературе [7 — 9].
15.5. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВОГО ЗВЕНА ВТОРОГО ПОРЯДКА
Передаточную функцию элементарного четырехполюсника в
соответствии с (15.14) зададим в форме
где постоянные коэффициенты bY = — 2 Re (ри), bz = | рп р.
Рассмотрим сначала реализацию функции К (р) с помощью цепи,
содержащей катушку индуктивности L, конденсатор С и резистор R
(рис. 15.4). Сопротивление резистора,
являющегося нагрузкой
.четырехполюсника, считаем заданным. Один из
элементов цепи Z12, Z2 должен быть
индуктивным, а другой—емкостным.
Под источником тока, возбуждающим
Рис. 15.4. Реализация типового цепь- МОЖНо подразумевать, напри-
звена второго порядка. мер, коллекторную цепь
транзисторного усилителя, работающего по
схеме ОЭ (см. § 5.4, рис. 5.12, б). Внутренней проводимостью
источника тока пренебрегаем. Величина тока I, равна SE,, где Е.
—напряжение база — эмиттер.
Напряжение на элементе Zl2 можно определить выражен пела
II _ Zu (Z2+ R) SEt
Zn + Zt+H
a напряжение на резисторе R выражением
' цг = _^__и12= /? z12(z2+R)
Следовательно,
K(p) = -fe-=S ZliR (15.23)
^i Z\^-\-Zi-\-R
Из сопоставления этого выражения с (15.22) очевидно, что для
получения вещественного числителя следует задать Z12 = УСр
и Z2 = Lp. При этом получим
Kip^SR-—^ - = -|f — ^ —• (15.24)
Cphp-+Lp+R) [p*+Tp+-zc)
Сравнение (15.24) с (15.22) приводит к равенствам
RIL = Ьъ ULC = Ьа, SR/LC = а0,
L = /?/&,; С = \lb,L; an = SR6,.
откуда
П5.25)
Таким образом, схема искомой цепи принимает вид. показанный
на рис. 15.5, а.
Аналогичным образом нетрудно показать, что передаточной
функции вида
К(р)=а0
р-
P2+bip-\-bi
(15.26)
соответствует схема, представленная на рис. 15.5, б, параметры
которой L и С выражаются через коэффициенты Ьг и Ь2 теми же
соотношениями (15.25), что и в
схеме на рис. 15.5, а. Различие
лишь в постоянном
коэффициенте а0 — SR^
В интегральных схемах, не
допускающих применения
катушек индуктивности, цепь
второго порядка реализуется g
помощью актияной /?С-цепи. Один
из возможных вариантов такой
цепи представлен на рис. 15.6, а.
Свойства этой цепи обусловлены применением операционного
уиилителя Ко и обратной связи. Усилитель в рассматриваемой
схеме должен обеспечить весьма небольшое усиление (не более
нескольких единиц). Основные требования к усилителю — очень
большое входное и близкое к нулю выходное сопротивление,
Рис. 15.5. Реализация передаточной
функпин:
а — по выражению (15.24); б — по
выражению (15.26).
фа
Рис. 15.6. Активная ЯС-цепь второго порядка (а) и схема замещения (б).
а также отсутствие обратной реакции. При выполнении этих
требований усилитель можно рассматривать как идеальный
источник напряжения (управляемый напряжением), что позволяет
при определении токов и напряжений в схеме на рис. 15.6, а
считать точки а и б разомкнутыми, а напряжение на выходе
приравнивать величине K0Vat, где Uc2 — напряжение на конденсаторе
С2. Эти допущения приводят к эквивалентной схеме на рис. 15,6, б,
на которой усилитель К0 опущен, а его влияние учтено тем, что
напряжение на конденсаторе С2 связано с выходным напряжением
соотношением Uc£ = Е J Ко-
Применяя общие уравнения четырехполюсника (5.4) к схеме,
представленной на рис. 15.6, б, и учитывая добавочное условие
Е2 = #о (Ii + h)/C2p,
получаем
Е2 = Zu\, + Z22\2 = /Co («1 + hVC2p.' (15.27)
Здесь
Zii =* Ri + R* + UC2p; Z12 = R2 + l/C2p;
221 = R2 + l/C2p; ZZ2 = R2 + UClP + l/C2p.
Исключив ток 12 из первого уравнения (15.27), после несложных
преобразований получим следующее выражение для передаточной
функции четырехполюсника:
El
к0
R2C2
С Г ,.х/,4. Rl 4- ClRl К ClRi\»\ '
С^хр+^Ц- Rt+ CiRi '<.Ca/?jM ^
K0IC-iC2RiR2
pa+(l/Ci 7?i+l/C! fi2+ 1/C2 RS~K0/C2R2) p+l/Ci Ca/?! K2
(15.28)
Дальнейшая задача синтеза сводится к подбору резисторов,
конденсаторов и усиления К0, обеспечивающих требуемые значения
коэффициентов Ь, и Ь2 полинома (15.22):
*>, = (—!— + _!— + _I *»_), fc2 = * (15.29)
Из первого равенства можно получить следующее выражение для
требуемого коэффициента усиления:
Ко = 1 + C2ICr + RJCJR& - Ъ^2С2. (15.30)
Полученные соотношения будут проиллюстрированы в § 15,8.
15.6. РЕАЛИЗАЦИЯ ФАЗОКОРРЕКТИРУЮЩЕй ЦЕПИ
Неминимально-фазовые четырехполюсники с равномерной в
диапазоне 0 <С | о | <С оо амплитудно-частотной характеристикой
реализуются с помощью мостовых схем. Простая цепь подобного типа,
составленная из конденсаторов и резисторов, была описана в § 14,2.
Недостатком ее является требование бесконечно большого
сопротивления нагрузки, подключаемой к диагонали моста 2 -2*
Кем. рис. 14.5). От этого недостатка свободна мостовая схема
составленная из катушек индуктивности и конденсаторов при
соответствующем подборе сопротивления нагрузки RH В схемах на
Рис, 15.7. Симметричный мостовой детырехполюсник в разном начертании.
Yb
It*
Л
«
г\
—о
/ с-
LJ*
\*ъ*
а)
&
Рис. 15.8. Схемы замещения мостового четырехполюсника;
а — при коротком замыкании входа; б — при разомкнутом выходе.
рис, 15,7 а и б, различающихся лишь начертанием, проводимость
YB равна l/RB, а проводимости ветвей моста Ка и Yb выбираются
из условия
УаУь = У1 = 1/Д2.
Для определения передаточной функции рассматриваемого
четырехполюсника воспользуемся схемой замещения,
представленной на рис, 5.4, о. Тогда по уравнению (5.13)
Ея_а< —'21
Ке =
^2-2'
Ei-i' Ya+YB
(15.31)
Проводимость К22 находим в режиме короткого замыкания
зажимов / — /' (рис, 15.8, а). Очевидно, что
Yn = V, (Ya + Кь). (15,32)
Так как схема симметрична, можно также написать
УU = У** = V2 (Уа + УЬ).
(15.33)
Проводимость Y21 = Y12 легко определяется из выражения
для передаточной функции в режиме холостого хода (FH = О,
рис. 15.8, б):
Кех
ЦУь
ЧУа
Уа-Уъ
1/Уо+1/Кь ЧУа+ЧУь
Уъ + Уа
Подставив К22 по выражению (15.32), получим
* 21 ~ *12 == 'ъ\Уъ У а)'
21
(15.34)
ш к
•Щр"
(Ш
Рис. 15.9. Мостовой четырехполюсник:
а — схема; б — положение нуля и полюса на р-плоскости; в — фазочастотная характе-
' ристика.
На основании (15.32) и (15.34) выражение (15,31) приводится
к виду
Кд = -
Уа-Уь
Уа+Уа+^Уп '
а с учетом равенства Yb = Y\IY a
Уа-УЦУа Ya-YB
(15.35)
К£ = -
Уа+У1/Уа+2У„ Уа + УИ
Переходя от проводимостей к сопротивлениям, получаем
К -= ^^а—У^н __ fin—Zg
(15.36)
1/ZQ+1//?H RR + Za
(15.37)
Если сопротивление Za образовано емкостью, a Zb —
индуктивностью (рис. 15.9, а), то Za = IIСр и Zb = Lp. При этом
Кв(р) =
R„ — \)Cp p-l/RHC
RH+UCp p+HRnC
(15.38)
Таким образом, нуль передаточной функции р0 = \IRnC, a
полюс рп = — l/RHC (рис. 15.9, б).
Переходя от р к ко, получаем
(15.39)
Амплитудно-частотная характеристика KF(&) = I я Ля™
частотная (рис. 15.9, в) х ' ' ф 3°
ф (со) = _ arctg — = _ 2arctg со/?н С.
Ри
(15.40)
Итак, если заданы нуль передаточной функции р0>Оц
сопротивление нагрузки Ra, то элементы мостового' звена (рис, 15.9 а)
определяются соотношениями * ' '
С = l/RHp0; L = RIO, (15.41)
Важным параметром четырехполюсника, особенно при
использовании его в каскадной схеме, является входное сопротивление
„ Ф_ -«Д
■w
^Й2
Zffjr
я;
0
#
Рис. 15.10. Мостовой четырехполюсник:
а —■ схема: б — положение нулей и полюсов на р-плоскости; в — фазочастотная
характеристика.
(проводимость). Составив выражение для входной проводимости,
аналогичное (5.23), и подставив в него Уи и Ка1 = К12 по формулам
(15.33) и (15,34), нетрудно убедиться, что
*вх — *н — 1'/?н
(15.42)
Таким образом, входная проводимость
согласованно-нагруженного мостового четырехполюсника (RH = VLIC)_ независимо от
частоты равна l/RH.
Для реализации неминимально-фазового четырехполюсника с
двумя комплексно-сопряженными нулями в правой ^-полуплоскости
можно использовать мостовую схему, показанную на рис, 15Л0, а,
В этой схеме
Lp(l/Cp) Lp
Zn =
Lp+ljCp
Zb=Lp+-^ =
LCp2+l
LCp*+ 1
zazb-
L na
= — -RK.
Cp Cp
Передаточная функция
К r,A Jk-jg" _P*-PlR*C+l/LC (p-Poi)(p-PQ2)
Ru + Za p + p/RaC+ULC (P—Ли) (Р-йя) '
где нули передаточной функции
2ЛНС ± V \2/?н С j LC~
/"1 / 1 у 1
Ро,12 =
__J_ ± м/ JL _(_i_Y = _!_ ± к
а полюса
Полюса и нули передаточной функции расположены
симметрично относительно оси /со (рис. 15.10, б).
На оси частот передаточная функция
" KB№ = —<»2+l/LC-!°,R"C . (15.43)
_cu?-fl/LC+ico//?HC
Как и в предыдущей схеме, /Се (со) = I. Фазочастотная
характеристика (рис. 15.10, в) легко приводится к виду
■ 9((u)==_2arctgf^. (15.44)
1 —в>2 LG
Мостовые четырехполюсники находят широкое применение при
синтезе цепей с амплитудно-частотными и фазочастотными
характеристиками, неосуществимыми с помощью минимально-фазовых
четырехполюсников.
При синтезе цепей, согласованных с заданным сигналом, также
приходится применять неминимально-фазовые цепи, поскольку
между модулем и аргументом спектральной плотности сигнала
необязательно существует однозначная связь. Например, в
рассмотренных в гл. 12 согласованных фильтрах применялись линии
задержки, передаточные функции которых имеют вид е *"' =
= I • e_z<])(c0). Одна ко классическая теория синтеза электрических
цепей, как отмечалось в § 15.1, не применима к подобным цепям.
15.7. ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
ПО ЗАДАННОЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
При синтезе фильтров нижних частот, фильтров верхних частот,
полосовых фильтров и т. д. к фазовым характеристикам обычно не
предъявляется каких-либо специфических требований.
Предполагается, что обеспечение удовлетворительной равномерности АЧХ
минимально-фазового четырехполюсника в заданной полосе частот
одновременно обеспечивает также и линейность фазочастотной
характеристики в этой полосе.
Основываясь на общем выражении гк т\
ную передаточную функцию К (гЪ)в форме Г1редставим комплекс-
О = «в
(15.45)
О = Да
(15.47)
после чего перейдем к квадрату модуля
/Г (со) ^ К (to) К (—/со)=_fj£L£lr£L I
<?Ы <?<-*> |n=,J (15-46)
тем самым исключая из рассмотрения фазочастотни^ v*™
ку четырехполюсника. частотную характеристи-
Модуль передаточной функции, четный отнпгитрп^
,ТЙГиСГЖГпаК *УНВДИ^ Ю? ^ТГойситЛсЬяН°к SS
i форме ,<2(|<В)|- П°ЭТ0МУ Bb'PaJKe™e 05.46) можно записать
1К(/со)Р=К(р)К(-/рЬ.=,й) = ЛЙ!!) _^(-Ра)
В (со2) S(-p»)
где обозначено
А (-^) = Р (р) р (_ „. в { _ ^ e Q{p)Q( __ р)<
^ Переходя от мнимой оси т к любой точке ^-плоскости, получаем
следующее выражение: * "ил>чаем
К (р) К (—р) = ^ (—^ / в ( _ р%
(15.48)
Полюса и нули функции А (~Рув (- ft расположены в
квадрантной симметрии: каждой комплексногсопряженной паре i* лети
р-полуплоскости соответствует зеркальная пара в правой
полуплоскости, JH«cuh иолу
HH^nCH/Mtf ° положение на пРимеРе простейшего
четырехполюсника (рис. 15.11) g передаточной функцией
К (to) ^ , К (/0) _ 4LC
coL + f + t/^C ,r p*+pr/!.+ \/LG'
Комплексно-сопряженной функции К (—/со) соответствуют RM
ражения •
K(_to)= !Zi=i2Q . Kt~nj- ulc
— fcoL+r+l/(-«coC) ^' p*~priL+\lLG '
Следовательно,
IК (to) P- VLcf = O/^-C)8
(c^-i/z.Q'+wz.ffl)2 e(-^)
»
P=/(D
К fa) К (-*>)=
(1/Z-C)" (1/lC)8
(P>-\-pr/L + l/LC)(p*-pr(L+l/LC) B(—p»)
Полюса функции {ULCflB (—р2), являющиеся корнями
уравнения В (—р2) = 0, расположены в точках (рис. 15.12)1
pli==—rl2L ± i Vl/LC—(r/2L)2= — а± юсъ,
Рз.4 = +r/2L ± i V\/LC-(r/2Lf= + а ± to0B.
К передаточной функции К (р) относятся полкуа, расположенные
только в левой р-полуплоскости (в данном примере рг и р2). То же
относится к нулям передаточной функции, т. е. к корням уравнения
■^ (—Р2) = 0 (в данном примере нули отсутствуют), если передаточ-
И) А
Pf\
r/L | 0 \r/L
! уй>а J,
pz-k—f—Щ
Рис. 15.11. Простой четырехполюсник Рис. 15.12. Квадратная симметрия по-
с двумя полюсами. люсов.
ная функция К (р) соответствует минимально-фазовой цепи. В
противном случае нули могут быть расположены и в правой р-полу-
плоскости.
Следует также указать, что полюса, расположенные на мнимой
оси, могут быть только кратными (с кратностью 2). Половина из
них должна быть отнесена к К(р), а другая половина к К (—р).
Из перечисленных свойств функции Кг(&) вытекает, что для
аппроксимации заданной АЧХ четырехполюсника можно
использовать функции, зависящие от со2, а при переходе к переменному
р = о + ш — функции, соответствующие указанному выше-
расположению полюсов и нулей на р-шюскости.
15.8. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ.
ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА
Амплитудно-частотная характеристика идеального фильтра
нижних частот представлена на рис. 15.13. При аппроксимации
АЧХ на оси абсцисс обычно откладывается безразмерная
(нормированная) частота х = co/«CJ где сос — частота среза, а по оси
ординат — нормированное значение /<'(<о/<ос) == К(х).
Аппроксимирующую функцию для идеальной характеристики
фильтра нижних частот, показанной на рис. 15.13, задают в виде
K(x)^llVl+F2(x).
(15.49)
1 Здесь и в последующих параграфах опущен индекс «та в обозначении
полюса pDfc.
причем накладывают условие, чтобы функция F(x) по модулю была
минимальна в полосе О < к ^ ! и максимальна при к > 1
Простейшей функцией, отвечающей этому требованию является
функция F (х) = х" = (ю/сос)". При этом
К* (х) = |К (ix)\* = 1Л1 + Р (х)} в 1/ (1 + ^). (15.50)
Графики функции (15.49) при нескольких значениях п показаны
на рис. 15.14. Определяемая выражением (15.50) аппроксимирующая
функция получила название функции Баттерворта, а фильтры,
синтезированные на основе этой функции, называются фильтрами
Баттерворта. При частоте среза х — 1 (со = сос) функции Barren-
/г*
18п
Щ
Вп
\сос со,
О
1,0 х=а/щ
2,5 й>/б)с
0
3
Рис. 15.13. Амплитудно- Рис. 15.14. Аппроксими- Рис. 15.15. Затухание
частотная характеристика рующие функции Баттер- в фильтре Баттерворта
идеального фильтра ниж- ворта, в зависимости от числа
них частот. " октав.
ворта любого порядка п равны 1/2, что соответствует ослаблению
АЧХ до 1/V2 (на 3 дБ). Аппроксимацию по Баттерворту часто
называют максимально плоской.
При исчислении К(х) в децибелах выражение (15.49) приводится
к виду
К Мдв = 20 lg К(х) = -101g 11 + Р (х)\ =
= — 10 lg (1 + х2").
Если безразмерную частоту х представить в виде степени числа 2,
т. е. х = 2У, где у — число октав, то получим
/< WflB = _ Ю lg (I + х*") 10 lg fl + 2^у). (15.51)
График зависимости К в децибелах от величины у показан на
рис. 15.15. На частоте среза (х = 1, у = 0) затухание равно 3 дБ
независимо от порядка п.
Вне полосы прозрачности фильтра, при хп » I (у > 1),
выражение (15.51) определяет прямую линию
\1Квъ « 101g22"" = 20 пу lg 2 = 6 пу. (15.52)
Таким образом, ослабление АЧХ равно 6«д6 на одну октаву
е™ изменении частоты х вдвое, а у - на одну единицу).
Б69
(т. е. при изменении
Для удовлетворительной аппроксимации прямоугольной
характеристики (рис. 15.13) с помощью функции Баттерворта требуются
относительно высокие значения п. Так, например, если необходимо,
чтобы при со = 3 сос (х = 3) ослабление (затухание) АЧХ было не
менее 40 дБ, то п^40/6#. В данном случае у = lg лг/lg 2 = 1,58 и,
следовательно, п ^ 4,25, т. е. требуется п — 5.
Следующим шагом после определения порядка фильтра п
является нахождение полюсов передаточной функции. Для этого
выразим (15.50) в форме (15.47), для чего в (15.50) приравняем ix = р,
х2 = — р2 и х2п = (— 1)" р?п:
| К (а:) |2 = К <р)К(-/?)!„=„=■
I
1
П + IX В(-р')
|0="" i + < —l)«pa
Рассматривая теперь поведение функции MB (—р*) на р-пло-
скости, находим полюса как корни уравнения
В (—р2) - 1 + (—1)" р2" = 0
или
Р2« = _ 1/(—1)» = (—!)-<"-«*. (15.53)
С помощью соотношений
(_ 1) = е-'", (— 1)"-' = е-'я<"-'" е-,2ftlt,
где k — любое целое число, получаем для ft-ro корня уравнения
(15.53) следующее выражение*
^3_егл[,г-.1. + 2/*]/2П| (15.54)
причем число корней равно степени уравнения (15.53).
Модули всех полюсов ph равны единице, а аргументы
щ = п [п + (2ft - 1)]/2я, (15.55)
а разность аргументов любых двух соседних корней равна л/п.
Следовательно, все полюса функции MB (—рг) лежат на окружности
единичного радиуса и делят эту окружность на равные дуги п/п.
Аргумент первого полюса ф, = п (п + 1)/2 п, а последнего
Ф2п = Л(Б П — 1)/2 П.
Расположение полюсов на окружности единичного радиуса
для фильтра Баттерворта третьего (п = 3) и четвертого (п — 4)
порядков показано на рис. 15.16.
В соответствии с § 15.7 к передаточной функции синтезируемого
фильтра относятся только полюса, расположенные в левой
полуплоскости.
Эти полюса
pk = — sin [~— к) + I соя / ~ '} л при k== 1, 2,..., и. (15.56)
Следует помнить, что формулы (15.53) — (15.55) определяют
значения нормированных переменных р, т, е.
р = {а + m)/w0, (15,57)
Все полюса образуют комплексно-сопряженные пары, кроме
одного полюса на вещественной оси при нечетном п. Этому
единственному полюсу соответствует k = (п + 1)/2. Подставив pk по
формуле (15.54) в общее выражение (15.2), получим передаточную
функцию фильтра Баттерворта. Приведем эти выражения для п = 2
Зи 4.
IX
X"'
/ \
/ \
/ \
■ Ч- \
V о)
\ /
\ /
\ /
1
"А
/ \
/ \
/ JA
- - ■-■"' ■ " Л-"З**
\ / в
\ I
\ /
\ /
~4-
•V-
'О/
^
I
4 ""4?'
л=з
/?=«
Рис. 15.16. Расположение полюсов передаточной функции фильтра
Баттерворта третьего и четвертого порядков.
При п — 2 полюса: рх 2 = — 1/2 ± r'/j/2, и по формулам
(15,13) и (15.22) находим
К/ ч_^ ' . ' ^_ !
(p-PiHp-Pa) p2 + V2"d + 1 ^ + feip+fc2
При n = 3 полюса рх = — 0,5 + i 0,5, р2 =г — 1; р3 =^
= -0,5 —г 0,5 = pi-
Передаточная функция
км-
(15.58)
(P-PU IP — Ps) (Р—Рь)
1 1
(Р—Рг) (Р —Pi) (P—Pi)
1 (15.59)
~" (Р + П (р2 + Р + 1) _ Ps+biP2 + 6ap + fc3
При п = 4 передаточная функция приводится к виду
1 1 1
К(Р) =
(р2+0,765р+1) (рг+1,8'18р + 1) p4+bip3+62pa+b3p+^'
(15.60)
Коэффициенты полиномов в знаменателе передаточной функции
Баттерворта приводятся во многих пособиях по расчету фильтров
[8' Последним этапом синтеза фильтра нижних частот является
подбор элементов для типовых звеньев второго порядка, а при
нечетных п- дополнительно для одного звена первого порядка.
Приведем пример синтеза фильтра Баттерворта второго порядка
(п = 2), представляющего собой одно звено с передаточной
функцией
К(р)= Х- . 6i=V2", 6, = l.
Переходя в выряжении (15.28) к нормированной частотной
переменной р = (о -f 1ш)/(хус (как и в (15.58)), приводим его к виду
К*
К (р) —. Rl R*Cl °2
.-и, ( RjCt , Cz \
«lRiR.ClCt {l56l)
Приравнивая знаменатели в выражениях (15.58) и (15.61),
получаем следующие условия для определения параметров схемы;
?2С2 UiCi с, т Чо/ х (15.62)
С0сЯ2
1
СО? /?! /?а С! С2
- = ft,= l.
Постоянную времени цепи /?2С2 обычно приравнивают
величине, близкой к 1/о»с НО, 11]. Тогда и со^^та 1 (из второго
условия (15.62)); при этом первое условие (15.62) сводится к
равенству
Задавая C2ICt — 0,4, и, следовательно, RJR^ = 2,5, получаем
Ко «^ 1. В данном примере операционный усилитель по существу
сводится к эмиттерному повторителю.
Для количественной оценки параметров фильтра нижних
частот зададим частоту среза /с = 1000 Гц, а емкость конденсатора
С2 = 0,1 мкФ. Тогда
Сг = Сг/0,4 = 0,25 мкФ: R, = l/c^Q я* 640 Ом;
R2 = 1/сос6'2 г» 1600 Ом.
Приведенный выше пример реализации фильтра второго порядка
является лишь иллюстрацией. Для выбора оптимальной г>хаш ч
проведения инженерного расчета читатель должен обратится к
специальной литературе, например к работам ЦО, 111.
18.9. ФИЛЬТР ЧЕБЫШЕВА (НИЖНИХ ЧАСТОТ)
Для улучшения аппроксимации идеальной прямоугольной
характеристики фильтра нижних чавтот(рие. 15.13) часто' применяется
аппроксимация по Чебышееу, при которой в качестве функции
F (х) в формуле (15.49) ивпольвуется квадрат полинома Чебишева
Тп (х) соответствующего порядки и, При этом формула (15.50) ва-
писывается в виде
I К Их) |* = I/ II ф е*П [х%
(15.63)
где х — ю/©0.
Коэффициенте <С I вводится для ограничения амплитуды
пульсации АЧХ в полосе пропускания, т. е. е интервале | х | < 1. Ч.-м
меньше е, тем лучше аппроксимируется АЧХ в указанной полосе,
но одновременно снижается крутизна ската характеристики в
полосе задерживания (при х >■ I). Варьируя величину коэффициента а
и втеиснь полинома п, можно осуществить приемлемый компромиса
между противоречивыми требованиями к аппроксимации
характеристики ь полоее пропускания и вне этой полосы.
Рис. 15.17. Амплитудно-чястотнвя кярвкте-
ристика фильтре Чебышева четвертого
порядка.
X~t>/ae
В § 14.2 указывалось, что значение Тп(х) колеблется в
пределах ±1 в интервале | х | •< 1 и растет по вакону Тп(х) » 2п~' дС
при |х| >> 1 График функции |К(Ьс)| при 8s = % и п = 4
построен на рис. 15.17.
Амплитуду пульсации АЧХ в полосе пропускания, равную
дК=1~1/У1Т^.
(15.64)
при малых значениях в можно приравнять величине ~ е2/2
(рис. 15.17).
Вне полосы пропускания, при больших значениях х, когда
е2Т% (х) > 1, передаточная функция монотонно убывает по
закону
К(й) | » 1/е \Тп(х)\.
(15.65)
Для сравнения чебышевской аппроксимации прямоугольной
АЧХ с аппроксимацией по Баттерворту найдем ослабление АЧХ
при х = 3 для фильтра четвертого порядка п = 4, а2 = 1/5. По
формуле, приведенной в § 14.2 (или из таблицы полиномов Чебы-
шева), определяем
7 (3) = Ь х* — 8 х- -Ь 1 = 8 ■ З4 — 8 • З2 <ф- 1 ~ 574.
Далее,
| К (Й) | « »/ 5/574«4- 10~s?
1/ |К«3)| = 250; (1/|K(/3)|V = 201g250 = 20-2,39 « 48 дБ.
Как видим, при одной и той же степени сложности фильтра (при
одинаковых значениях п = 4) ослабление АЧХ у Чебышевского
фильтра на 8 дБ больше, чем у фильтра Баттерворта. При этом
аппроксимация АЧХ в полосе пропускания лучше у Чебышевского
фильтра: наибольшее отклонение от единицы не превышает е'72 —
= 0,1 (вместо ~ 0,3 у фильтра Баттерворта).
Определим полюса передаточной функции фильтра Чебышева
(нижних частот). Как и в предыдущем параграфе, записываем
выражение (15.63) в форме
|Ktf*)|*=K(p)K(-Pl| «—-U--- = —±—\ , (15.66)
после чего находим корни уравнения
в*71 (х) +1=0; Тп (х) = ± ih. (15.67)
Опустив промежуточные выкладки (см. [6, 7]), приведем
окончательные выражения
рй = sin Фх sh Ф? + i cos Фа eh Фг,
где Фх и Ф2 определяются формулами
Ф1=(2к + 1)-^ , А»=0. 1, 2,..., (2п—I), 05.68)
<D,e-Larcsh(-M. (15.69)
Для полюсов, расположенных в левой р-полуплоскости,
получается следующее выражение:
pk= —sm\(2k + l) JL j shФ„+/cos |(2A + l)-^-]chФг>
fe = 0. 1, 2 (л- 1). (15.70)
По найденным полюсам составляется выражение для
передаточной функции К (р), аналогичное (15.59):
К (Я- Ьп
^ &п_
"(р~Р1){р-~р^~Лр~Рп) ' (15.71)
В отличие от фильтра Баттерворта коэффициент Ьп не равен
единице (поскольку полюса передаточной функции расположены
не на окружности единичного радиуса, а на эллипсе). Поэтому в
числитель вводится коэффициент Ьп для нормирования АЧХ к единица
при © = 0 (и соответственно р = 0).
Численные значения коэффициентов Ьъ Ь%, ..., Ьп, а также
полюсов ръ р2, ,.., рп в зависимости от степени п и коэффициента
неравномерности АЧХ е приводятся в литературе по расчету фильтров
[7, 8, 12J.
Для иллюстрации синтеза фильтра Чебышева определим схему
и параметры фильтра при следующих требованиях; неравномерность
в полосе прозрачности не более 3 дБ, затухание при х~а/ас = 4
не менее 30 дБ. При заданной неравномерности, приравнивая в
выражении (15.64) &К величине 1/2, получаем е =1. Применяя далез
формулу (15.65), находим требуемую величину
1 Тп (х) | = | Тп (4) | > 1/| К (И) |.
Ослаблению на 30 дБ соответствует уменьшение АЧХ в 1^1000 яа
» 32 раза. При максимальном значении АЧХ, равном единице,
получаем следующее условие для определения порядка полинома
Чебышева: Тп (4) ^ 1/32. Перебором первых трех полиномов
низших степеней (см. § 14.2) убеждаемся, что полином второй степени
при х = 4, равный Т2 (4) = 2х2 — 1 = 31, обеспечивает требуемую»
скорость убывания АЧХ в зоне задерживания. Применяя формулы
(15.69), (15.70), находим
ф, = JL arcsh ( JL ) = _L arcsh l = 0,44;
2 п V е J 2
Л= —sin ( — ) sh 0,44 + / cos ( ~\ ch 0,44 = -0,322 + /0,777}
р2 = р, = _ 0,322 — i 0,777.
Передаточная функция (по формуле (15.71))
K{p)~~(p~Pl)(p-pl) ffi + Ьр + Ь, P2+U,646p + 0,708
Приравнивая (как и в предыдущем параграфе) коэффициенты
полинома в знаменателе выражения (15.61) соответственно Ьх =*
= 0,645 и Ьщ - 0,708, получаем следующие соотношения для
определения параметров активной ^С-цепи:
! = 6,=0,708.
a>%R1RtC1Ci 2
Сохранив соотношения, принятые в § 15.8 для фильтра
Баттерворта (сос^2С2 ft* 1, C2/Ci = 0,4), получим
йс^С^ 1 L^J-^V^;
Шс #г С2 fc2 02
^0=1+"1г+ТГ~0'645да1'46-
Из сопоставления полученных результатов с результатами
расчета фильтра Баттерворта видим, что, изменяя коэффициент
усиления Ко (операционного усилителя) и несущественно изменяя
сопротивления резисторов Rlt R2 (или емкостей конденсаторов Сг, С2),
можно перейти от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева.
Следует, однако, отметить, что при п — 1 фильтр Баттерворта
обеспечивает ослабление АЧХ при х — со/сос = 4 всего лишь на 24 дБ
[см. формулу (15.52) при п = 2 и у = 2]. Для получения
ослабления на 30 дБ потребовалось бы п !> 3 (одно звено второго порядка
и одно апериодическое звено). Это преимущество фильтра Чебышева
в зоне задерживания (более быстрое убывание АЧХ) достигается
ценой некоторого ухудшения равномерности в полосе прозрачности
фильтра.
15.10. СИНТЕЗ РАЗЛИЧНЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ
ИСХОДНОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ
Вернемся к функции (15.50), аппроксимирующей
прямоугольную амплитудно-частотную характеристику идеального фильтра
нижних частот, и введем новую переменную
v = Ух = сос/со. (15.72)
Тогда
/С!, М= 1/11 -f-(l/v)anl=v^[l +v2"l=/ft4 (v). (15.73)
Новая функция /Свч (v), получаемая из АЧХ Квч (х) фильтра
нижних частот заменой аргумента на v = Ух, показана на
рис. 15.18 (для п = 2). Функцию Квч можно рассматривать как АЧХ
фильтра Баттерворта верхних частот, обладающего в полосе частот
1 < v < оо такой же степенью неравномерности АЧХ, что и
функция Кт (х) в полосе 0 < х < 1. Таким образом, при синтезе
фильтра верхних частот можно использовать аппроксимирующую
функцию / (х) [см. (15.49)], заменив в ней аргумент на v == Ух.
В соответствии с такой заменой чягтпт«„,^ „„
(15.58) следует заменить переменной Т™£° фТкциГ05^
при этом принимает вид J ц и U^.ooj
К„,(Ф
s»
(l/«)2+V2(l/s) + l «а + уг^-
(15.74)
Полюса передаточной функции Квч (s), т. е. корни уравнения
s2 + ]/~2s +1=0, остаются теми же, что и в (15.58).
Аналогичным образом можно получить передаточную функцию
фильтра верхних частот Чебышева.
П f(m(V)=Km(X)
0,8
я
ОА
0
1
0,5
KmW'KmW
//?=£
1,5
15
4*
£=t/5;n-b
0 0,5 1,5 2,5
V'1/X
Рис. 15.18 Фильтр верхних частот Рис. 15.19. Фильтр верхних частот
Баттсрворта Чебышева.
Соотношение между АЧХ фильтров Чебышева верхних и нижних
частот представлено на рис. 15.19 (для п = 4).
Соответствующим преобразованием переменной р можно
синтезировать и иные фильтры, например полосовые, на основе
исходного фильтра нижних частот 17, 8, 12].
15.11. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ
К ИЗМЕНЕНИЯМ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ
В гл. 5 кратко рассматривалось влияние изменения
коэффициента усиления прямой цепи Ks, а также модуля Кос
передаточной функции цепи обратной связи на усиление устройства в целом.
Вопрос о запасе устойчивости четырехполюсника с обратной
связью не рассматривался. Этот вопрос приобрел особенную
актуальность при синтезе активных /?С-цепей (и интегральных систем),
в которых приходится считаться с относительно большой
нестабильностью параметров активных элементов, зависимостью их от
режима работы (изменения напряжений источников питания),
температурных изменений и т. д. Необходимо также учитывать
разброс параметров элементов; резисторов, конденсаторов и
особенно активных элементов (транзисторов различного типа и других
приборов современной микроэлектронной техники).
Передаточная функция линейной цепи однозначно определяется
своими полюсами и нулями на р-плоскости. Поэтому различные
дестабилизирующие факторы логично оценивать по величине
создаваемого ими сдвига полюсов и нулей.
Особенно большое внимание приходится уделять сдвигу полюсов,
так как именно положение полюсов определяет такие важные
показатели цепи, как запас устойчивости, усиление, резонансная
частота.
Большое распространение [12] получило математическое
определение чувствительности параметра цепи W к изменению
элемента Л" в виде уравнения
dX/X W dX'
Символ W может иметь смысл коэффициента усиления Ку,
добротности Q, корня ph = ak + iah и. т. д., а X —■ сопротивления
резистора, емкости конденсатора, какого-либо из параметров
активного элемента (крутизны характеристики, внутренней
проводимости и т. д.)-
Применительно к оценке полюсной чувствительности выражение
(15.75) часто записывается в следующей форме:
£ph__ dob/Oh , - ctoft/Mfe __ X rfofe . X da>n П5 761
X dXtX "^ dX/X oh dX "^ m dX ' ( ■ '
Первое слагаемое в правой части характеризует сдвиг полюса
параллельно вещественной оси плоскости р — о ■+- ш, а второе —
параллельно оси ко. Таким образом, первое слагаемое может
служить оценкой запаса устойчивости цепи (поскольку приближение
| ofe | к нулю означает потерю устойчивости), а второе слагаемое
характеризует изменение частоты, соответствующей пику
амплитудно-частотной характеристики цепи.
Проиллюстрируем применение формулы (15.76) на примере
передаточной функции К (р) фильтра Баттерворта, рассмотренного
в § 15.8. Найдем чувствительность полюсов функции (15.61) к
изменению величины Ко, рассматриваемой как параметр X в (15.76).
Подставив в (15.61) со^А = со^^ = 1, C-J^JC^ = 1
и СХ1С2 = 0,4 (см. конец § 15.8), получим
км-р,+(гД,„+1- <16^
Полюса функции К (р)
/(«*=*)■
Pl,2=—^^-±V {^~^\ "I-
При /С0 < 0,4 корни вещественные, а при К0 > 0,4 —
комплексные.
В последнем случае
Как и в (15.61), имеется в виду нормированная переменная
р = (а + ко)/сос.
Модуль pli2 равен единице (при К0 > 0,4), а вещественные и
мнимые части соответственно
^L=Re(pli2)= —^±=^
«с
(15.78)
«1,2
=Im (р:
^-±/l-(ii=*)\
При увеличении К0, начиная с /<"„ = 0,4, полюса р1]2
перемещаются по окружности единичного радиуса (рис. 15.20) (р, — по
часовой стрелке, а р2 — против). При /<0 = 2,4 коэффициент при
р в знаменателе (15.77) обращает- .
ся в нуль, что означает потерю Ko*2fi-~Jt'' "
устойчивости цепи.
Дифференцируя выражения Ko'fy f
(15.78) и подставляя произвол- / Г
ные
4—) 1 *{—)
йКа
2 - йКа
2,4-Ко
/Н2^)'
Рис. 15.20. Перемещение полюсов
по окружности единичного
радиуса при изменении Ко-
а также о^/со,, и а^Ли,, в формулу (15.76) для k — 1, т. е. для корня
рь получаем
Ки
+ 1
*„(2,4—*„)
Ко-2,4 ' "4_(2,4-К„)8
При исходном (расчетном) значении /С0 = 1
1 , / 1,4
SR„ = -
0,707+Ю,707.
1,41 4— 1,41а
Однако при больших значениях К0, например при К* *■ 2,
2—2,4
+ '
2(2,4—2)
4—(2,4—2)а
-5+«0,2,
чувствительность абсциссы полюса достигает—5, а ординаты
уменьшается до 0,2.
По мере приближения К0 к критическому значению,
соответствующему возникновению генерации, чувствительность абсциссы
полюса резко возрастает, а ординаты уменьшается.
Перераспределением емкостей Сг и С2 (уменьшением Ct и
увеличением С2), что потребует увеличения Ко, можно добиться
требуемой формы амплитудно-частотной характеристики при
одновременном увеличении усиления в фильтре [поскольку в (15.61)
коэффициент Ко является числителем]. Однако при этом повышается
чувствительность полюсов передаточной функции к изменению
величины Ко-
15.12. ИМИТАЦИЯ ИНДУКТИВНОСТИ С ПОМОЩЬЮ АКТИВНОЙ
ЯС-ЦЕПИ. ГИРАТОР
Традиционная теория и техника частотно-избирательных
электрических цепей оперирует тремя элементами: катушками
индуктивности, конденсаторами и резисторами. Развитие
микроэлектронной техники, основанной на интегральных схемах, привело к
реализации конденсаторов и резисторов на базе пленочной технологии,
способы же осуществления индуктивностей на интегральных
схемах еще не найдены (по крайней мере, в достаточно широком
диапазоне величин L при высоких требованиях к добротности катушек
индуктивности). Обычные катушки индуктивности технологически
несовместимы с интегральными схемами. В связи с этим большое
внимание в современной радиоэлектронике уделяется изысканию
способов построения частотно-избирательных цепей на базе
резисторов и конденсаторов.
Одним из потенциально возможных способов решения этой
проблемы является имитация индуктивности с помощью активного
четырехполюсника, составленного из ре-
зистивных элементов и нагруженного на
выходе конденсатором (рис. 15.21).
Задачу можно поставить следующим
образом: каковы должны быть
параметры Rlt, R12, R21, и R22, чтобы при со-
Рис. 15.21. Имитация индук- противлении нагрузки ZB (m) = 1/тС
ГоТетырех^сникПа: ™°е сопротивление четырехполюс-
груженного конденсатором. ника имело характер индуктивного
сопротивления icoL?
Ответ на этот вопрос можно получить из выражения (5.23),
приравняв в нем ZBX (ш) требуемой величине icoL, a Za —
величине 1/шС:
При выполнении условий Rn = R22 = 0 и R12R21 = — L/C
получим ZDX = ia>L и
L = — RizRziC. (15.79)
Поскольку L и С — положительные величины, то один из
множителей R12 или R21 должен быть положительным, а другой —
отрицательным.
If^
н
Rn
Rn
< Ч
"It
Обозначив — R12 = Ru Rit = /?2) приходим к следующей R-
матрице четырехполюсника, имитирующего индуктивность:
О -R,-
R2 О
IR] =
(16.80)
вид
Уравнения (5.4), соответствующие этой матрице, принимают
Et = - R.I
1* 2l
Rail.
(15.81)
Четырехполюсник, описываемый матрицей вида (15.80), получил
название гиратора [10, 11].
При Rt = R2 гиратор не потребляет и не выделяет мощности.
Это следует непосредственно из энергетического баланса схемы на
рис. 15.21 (при Ru = tf22 = 0, R12 = — R и Ra = R):
ЕЙ. = (-ЯЛ) «i; E2l2 = («alj I2;
ЕЛ + E2I2 = 1Т1Я (R2 — RJ.
При /?! = R2 E^i + E2I2 = 0- Таким образом, гиратор
является хотя и невзаимным (необратимым), но пассивным
четырехполюсником. (При Rt Ф Rz иногда говорят об активном гирато-
ре).
Итак, /^-матрица и уравнения идеального пассивного гиратора
следующие:
0 —/?"
R 0.
Е, = - Я1„ Е2 = /?!,.
Соответственно У-матрица и уравнения гиратора, реализованного
на проводимостях,
'0 —Y
Y 0
[Я] =
(15.82)
\Y) =
I, = - ГЕ8> «2 = УЕи (15.83)
где У = 1/Я.
Из выражений (15.82) и (15.83) следует, что для осуществления
гиратора требуются два зависимых источника.
В первом случае, при построении гиратора на основе R —
матрицы, требуются два зависимых источника напряжения (Rlt и
—Rlz), управляемых соответственно токами 1Х и !2.
Во втором случае, при использовании У-матрицы, требуются
два зависимых источника тока (YEX и —УЕ2), управляемых
соответственно напряжениями Ег и Е2. Возможны также схемы,
основанные на использовании зависимых источников напряжения,
управляемых напряжением, или источников тока, управляемых
током.
В качестве невзаимных (активных) элементов можно
использовать различные приборы. На рис. 15.22, а представлена схема
замещения идеального гиратора на двух управляемых
напряжением источниках тока. Эта схема получается из схемы
показанной на рис. 5.2, а при Yn = Y22 = 0.
Один из возможных примеров реализации гиратора на
транзисторах представлен на рис. 15.22, б. (Источники постоянных
напряжений на схеме не показаны.)
Напряжение Ех подводится одновременно к зажимам
коллектор — база транзистора Тг и зажимам база—земля транзистора Ts.
В первом транзисторе ток под действием напряжения Ех ничтожно
Рис. 15.22. Гиратор на двух управляемых
напряжением источниках гока:
о — схема замещения; б — принципиальная схема,
мал (из-за большого сопротивления коллектор — база), а во втором
транзисторе напряжение Ei фактически прикладывается к резистору
/?, (из-за малого сопротивления эмиттер — база), создавая ток
в цепи эмиттера, равный E^Rx- При а-> 1 этот ток совпадает с
током коллектора. Таким образом, транзистор Г3 вместе с резистором
RL ведет себя как зависимый источник тока 12 = Е]//?1.
С другой стороны, напряжение Е2 поступает к резистору R%
через последовательно соединенные промежутки база — эмиттер
транзисторов Тг и 7\.
Ток в цепи R%, равный ~ Е2//?2 и направленный справа налево
(при выбранном на рис. 15.22, б направлении Е2), равен (при а-> 1)
коллекторным токам транзисторов 7\ и Тг. В результате получается
замкнутая цепь зависимого источника тока 1Х = — Е2//?2,
выделенная на рис. 15.22, б жирной линией. Знак минус учитывает
направление обхода, принятое на рис. 15.22, а и обратное
направлению тока в резисторе R.i.
При учете шунтирующего влияния цепей питания появляются
дополнительные проводимости, которые уменьшают входные и
выходные сопротивления зависимых источников тока, а также при-
водят к тому, что в матрице проводимостей гиратора элементы Yn
и У2а не обращаются в нуль. Поэтому простейшая схема,
представленная на рис. 15.22, б, не получила распространения.
От перечисленных недостатков в значительной степени свободна
схема на рис. 15.23. Питание цепи коллектора транзистора 7\
осуществляется через последовательно включенный транзистор Т3.
Достаточно большое дифференциальное сопротивление коллектор —
Рис. 15.23. Усовершенствованная схема гиратора.
эмиттер этого транзистора еще увеличивается отрицательной
обратной связью, создаваемой резистором R3 в цепи эмиттера. При Rs■ —
= Rt напряжение источника питания делится поровну между
транзисторами 7\ и Ть.
Аналогичный-прием используется и в цепи питания транзистора
Т2 (с помощью транзистора Г4 и резистора /?4).
Напряжение Ех подается через усилитель ОЭ (транзистор Т&)
на зажимы база — эмиттер транзистора Т2. Так как усилитель ОЭ
сдвигает фазу колебания на 180е, ток в коллекторной цепи
транзистора Т2 12 = — K2iEi (цепь замыкается через блокировочный
конденсатор, шунтирующий источник питания).
С другой стороны, напряжение Е2, подаваемое к транзистору Тх
через эмиттерный повторитель Тв (без поворота фазы), создает
в коллекторной цепи транзистора 7\ ток 1х = Уц^-2- При
подключении к зажимам 2—2' конденсатора С для ^получениия
заданной индуктивности L (между зажимами 1 — 1'), под Е2 следует
подразумевать, напряжение на С, создаваемое током 12.
Таким образом реализуется требуемая матрица гиратора
Существ ет большое число различных вариантов схем гиратора Щ), Ш.
15.13. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ
ФИЛЬТРОВ
Как и аналоговые, цифровые фильтры обычно синтезируются
на основе передаточной функции, представленной в виде
рациональной дроби (13.64). В результате соответствующей аппроксимации
заданной передаточной функции К (г) определяется положение
кулей и полюсов на z-плоскости, после чего находятся весовые
коэффициенты ап и Ьт, входящие в полиномы в выражении (13.63).
Цифровой фильтр можно реализовать либо в виде совокупности
простых звеньев (первого или второго порядка), либо в виде
канонической схемы, описанной в § 13.6 (рис. 13.14).
При разбиении фильтра на простые звенья отпадают все
ограничения, отмеченные в § 15.4 по отношению к аналоговым цепям.
В цифровых цепях вопросы согласования входных, выходных и
нагрузочных сопротивлений, а также вопросы развязки отдельных
звеньев вообще не возникают. В связи с этим наряду с каскадным
(последовательным) соединением простых звеньев широко
применяется параллельное их включение.
В первом случае функция (13.64) записывается в виде
произведения простых множителей, каждый из которых является
передаточной функцией звена (см. аналогичное разбиение в § 15.4).
Во втором случае функция (13.64) разлагается на простые дроби
0(z) ^ г—гль
Р (г)
где Afe— — вычет функции К (г)/А0 в полюсе znh,
[dQ{z)ldz]z=z^h
Если знаменатель Q (г) содержит всего т корней, из которых щ —
число вещественных (лежащих на действительной оси), а т2 —■
число комплексно-сопряженных пар корней (т = тх 4- 2т2), то
Это выражение легко приводится к виду
гдес№ = 2 Re(Aft), аш = - 2Re(znfe) Re(Aft), blh = 2Re(znfe),
hh = |znfe|2.
Как в каскадной, так и в параллельной схеме отдельные звенья
реализуются по схеме, описанной в § 13.10 (рис. 13.24). Весовые
коэффициенты звена второго порядка определяются по формуле
(13.76), а первого порядка—непосредственно из передаточной
функции звена.
При аппроксимации заданной характеристики цифрового
фильтра широко распространен метод, основанный на использовании
результатов аппроксимации соответствующего аналогового фильтра.
Суть этого метода заключается в следующем. Пусть задан физически
осуществимый аналоговый фильтр с передаточной функцией К(р),
удовлетворяющей предъявляемым к фильтру требованиям, и нужно
осуществить эквивалентный ему (в определенном смысле) цифровой
фильтр. Полюса и нули функции К (р) предполагаются известными.
Поскольку искомая передаточная функция цифрового фильтра
К (г) однозначно определяется своими полюсами и нулями на z-
плоскости, а между г и р существует соотношение z = epT
(см. § 13.7), на первый взгляд представляется логичным
воспользоваться выражениями zon = ep°nT, znm = epnmr. В
действительности же такой подход может при некоторых условиях оказаться
ошибочным. В § 13.10 на примере RC-пепи было показано, что
использование преобразования г = е"г приводит к дискретной
импульсной характеристике gr {t), совпадающей с отсчетами
непрерывной характеристики g (t) аналоговой цепи, но при этом совершенно
искажается амплитудно-частотная характеристика. Аналогичный
результат получается и для более сложных цепей. В связи с этим
метод синтеза, основанный на преобразовании z = ерГ, получил
название метода инвариантного по отношению к и м-
пульсной характеристике фильтра.
Для осуществления синтеза, инвариантного по отношению к
амплитудно-частотной характеристике, следует применить
преобразование, при котором бы вся мнимая ось т р-плоскости
отображалась на 2-плоскости одним обходом окружности радиуса
И = 1.
Этому требованию отвечает билинейное
(дробно-рациональное) преобразование
г = (1 + р)1 (1 - р), р = (г - 1)/ (г + 1), (15.84)
где р = (о + tco)/Q0, a Q0 — произвольная постоянная,
обеспечивающая безразмерность величины р, выбираемая исходя из
соображений нормирования.
Действительно, приравнивая р = icu/£20, получаем выражение
. __ I-f to/flp__ е<-2 arctg ю/Qq _^ еАр«в) (15 85)
из которого следует, что перемещению точки р вдоль оси ш/£Э0
соответствует перемещение точки г по окружности радиуса | z\ = 1,
как и при обычном z-преобразовании (z = e™T). Отличие
билинейного преобразования заключается в том, что при увеличении со
аргумент <р (со) возрастает нелинейно: при стремлении со к± °° ф(«>)
стремится к своим предельным значениям ± я. Таким образом, вся
ось (со р-плоскости трансформируется на z-плоскости в один обход
окружности | г | = .
Введя обозначение <р (со) = сОцТ, можем записать
соц = (1/7) Ф (со) = (2/Т) arctg a>/Q0
и соответственно
co/Q0 = tg (<вц7У2).
(15.86)
(15.87)
В этих выражениях со имеет смысл частотной переменной
аналоговой цепи, a tou — дискретной (цифровой) цени.
Ю
\\\№
\ V\\\\ \
1 Х\ \
S \\ \
//////!'
11 / //'
\\\\\|i \bi!///
s,
/Х=й>/й)в
-m
-rso°
180°
SffO ЩГ
Рис. 15.24. Амплитудно-частотные характеристики аналогового (а) и
соответствующего ему цифрового фильтра (б).
Если задана амплитудно-частотная характеристика аналоговой
цепи, то при использовании билинейного z-преобразования АЧХ
эквивалентного цифрового фильтра, сохраняя масштаб по оси
ординат, сжимается по оси абсцисс в пределах — зт <1 соцТ < п.
Поясним это на примере синтеза цифрового фильтра нижних
частот. Пусть задана частота среза соСц и период дискретизации Т.
Требования к равномерности АЧХ в полосе пропускания зададим
такие же, что и для аналогового фильтра Чебышева (при п=2),
рассчитанного в § 15.9. Передаточная функция этого фильтра
определяется полюсами pt 2 = — 0,322 ± i 0,777, а
амплитудно-частотная характеристика, построенная по формуле
\КЦх)\=ЦУ1 + ТЦрс),
представлена на рис. 15.24, а.
Для построения АЧХ цифрового фильтра и нахождения полюсов
передаточной функции К (г), что требуется для определения весовых
коэффициентов фильтра, необходимо предварительно найти
нормирующую частоту Q0. Это можно сделать, установив
соответствие между частотами среза юс и сосц аналогового и цифрового
фильтров. Для этого подставим в правую часть выражения (15.87)
^с — Сйсц. а в левую часть со = ис:
■BL = tg^. Q0 = у^—-. (15.88)
Теперь выражение (15.86) можно записать в форме
соц Т = 2arctg (-g- -£-) = 2 arctg [(tg --^-) x] , (15.89)
где х = со/сос — нормированная частота, использованная при
аппроксимации АЧХ аналогового фильтра.
Пусть, например, частота среза цифрового фильтра должна
составлять 10% от частоты дискретизации 1/Т. Тогда со„ Т =
-= 0,1 • 2 я и
tg (-f^) = tg (-^1^L ) = tg 18° = 0,3249,
а выражение (15.89) переходит в
мцГ = 2arctg(0,3249 х). (15.89')
Это соотношение между и>пТ и х позволяет построить АЧХ
синтезируемого цифрового фильтра по заданной характеристике
исходного аналогового фильтра (рис. 15.24, б). Видно, что
деформация АЧХ из-за сжатия по оси абсцисс проявляется лишь при
значительном удалении ыцТ от нуля. В полосе пропускания обе
характеристики практически совпадают.
Определим параметры схемы цифрового фильтра. Сначала найдем
полюса znl и zn2 по заданным полюсам р1 и р2.
Переменную р в выражении (15.84) следует представить в форме
^=_o±to^=a tg/eaIN ^.0,3249,
гпе рх = (а + ш)/сйс совпадает с переменной р в выражении
(15.71).
Таким образом, для рассматриваемого фильтра выражение
(15.84) можно записать в виде
г = (1 + 0,3249 рх) /(1 - 0,3249 рх).
Подставив рх = Pl = - 0,322 + i - 0,777, получим
_ 1+0,3249 ( — 0,322+(0,777) __п 821-е'28° 38' =
Znl ~" 1-0,3249 (-0,322+;0,777Г
=0,821 -0,878 + /0,821 -0,479 = 0,72 + Л>,393.
Соответственно
2n2=z^=0,821e-'28"38' =0,72—f-0.393.
Искомую передаточную функцию K(z) можно получить
подстановкой /? = (Z — l)/(Z-fl) В фуНКЦИЮ К {р) = С1(р — Pi)(p — Р\),
где Pi, /?! = — 0,322 ±i-0,777.
Таким образом,
[(z-1)/(*+1)-pi] [(»-1)/(»+1)-р'П
Л,(«+1)« .. ^о(1+2г~1 + г-2)
(г-гп1) (г-г^) 1—*!»-»—6,*-»
Итак, применение билинейного г-преобразования привело к
появлению в передаточной функции двухкратного нуля (в точке
г=-\).
Схема фильтра совпадает со схемой, представленной на
рис. 13.24. В данном случае коэффициенты в обратных связях
(см. § 13.11, п. 3)
fci = 2Re(zul) = 2-0,72= 1,44,
k2= -|zDl1*= -(0.821)2 = -0,674,
а в прямых связях: а0 = 1, 0^ = 2 и аг—\.
Постоянный коэффициент А0 введен для нормирования. При
соц=0 z=l и функция |К(г)| по условию должна равняться
единице, как и функция К(р) при м = 0. При указанных выше
коэффициентах at и bt получается А0 = 0,0585.
При синтезе цифрового фильтра существенное значение имеет
выбор числа разрядов в преобразователе Л/Ц, а также в
арифметическом устройстве, исходя из допустимого уровня шумов
квантования и округления (см. § 13.12 и 13.14).
Иначе обстоит дело с весовыми коэффициентами bt и ft2. Для
точного представления этих коэффициентов в двоичной системе
счисления может потребоваться значительное число разрядов
(1,011101 для bt и 0,10101101 для ft 2). Однако ценой несущественного
отклонения амплитудно-частотной характеристики от заданной
обычно можно значительно сократить число разрядов. Так,
например, при загрублении весовых коэффициентов до Ьг =
= 1,0111 (1,4375) и ft, = 0,1011 (0,687) получается АЧХ,
практически совпадающая с заданной.
Приложение I
СИГНАЛ С МИНИМАЛЬНЫМПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
НА ПОЛОСУ ЧАСТОТ
В § 2.10 отмечалось, что произведение длительности сигнала на его
полосу частот не может быть меньше некоторой определенной величины.
Найдем эту величину, а также оптимальный сигнал, обладающий минимально
возможным произведением длительность X полоса частот.
Необходимо сначала условиться об определении понятий длительность
сигнала и ширина спектра сигнала. В практике применяются различные
определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, а также от формы
сигнала и его спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным.
Так, длительность сигнала прямоугольной формы естественно определять
как основание прямоугольника, однако ширина спектра определяется либо
как основание главного лепестка (например, в §2.9.1), либо на уровне 1/Т/2
от максимального значения. Длительность гауссова импульса (§ 2.9.2) и
ширина его спектра определяются на уровне 0,606 от максимального значения
Иногда пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной
спектра полосу частот, содержащую заданную долю от полной энергии сигнала.
Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность
и частотную полосу, в современной теории сигналов большое распространение
получил метод моментов.
По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную
длительность сигнала s (t) можно определить выражением
00 I ОО
1- I (t—t0)2sHt)di J 8»(/)d», (1.1)
— оо / —оо
a tB определяется из условия
ОО / ОО г-
— оо / —оо
где середина импульса t0 определяется из условия
Имеется в виду, что функция s (f) интегрируема с квадратом (сигнал с
конечной энергией).
Аналогично эквивалентная ширина спектра Q8 = 2jxF8 определяется
выражением1
*2£
8 2л
ОО I ОО
— Г со2 S» (со) dm -—■ Г S2(co)dco. (1.2)
ОО ' ОО
Так как модуль епектра S (со) не вависит от смещения s (f) во времени,
можно положить t0 = 0. Наконец, сигнал s (t) можно нормировать таким
образом, чтобы его энергия Э равнялась единице, и, следовательно,
ОО w
Г «Ч0(Й = -Г" I S2(to)dco =
■ 1.
^ Имеются в виду сигналы без высокочастотного заполнения.
При этих условиях выражения для Тв и Qg принимают вид
71 =
Г es-(t)dt, Q!=-L Г co2S2(co)Au (1.3)
и, следовательно, произведение длительности сигнала на ширину спектра
равно
1/2
I э Ьйа
I э аоэ
§ /а s2 (0 dt — Г ma Sa (со)
dco
(1.4)
Нужно иметь в виду, что Ts и Йэ являются среднеквадратическими
отклонениями соответственно от / = t0 и ш = 0. Полную длительность сигнала
следует приравнять 2 Тв, а полную ширину спектра (включая и область
отрицательных частот) — 2 Яв.
Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений (1.3)
видно, что функция времени s (t) с увеличением I должна убывать быстрее,
чем l/t, а функция S (ш) — быстрее, чем 1/со, так как в противном случае
соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся).
В частности, это относится к спектру строго прямоугольного импульса:
a* (If-)
со* S2(co) dco=* I cos —- dco = 4 I sin2 (-
— ОС
JO
-1(1
cos штв ) dca -* oo.
соти
Ло =
Однако для физически реализуемых сигналов требованир яогтяточно
быстрого убывания s (г) и S (со) выполняется.
Найдем нижний предел произведения T9Q3.
Известно, что t'coS (со) есть спектральная плотность производной от сиг-
нала s (t). Следовательно, второй интеграл в правой части (1.4) иа основании
равенства Парсеваля можно приравнять
оо оо
после чего (1.4) переходит в следующее выражение!
T8Q8 = j J Ps*(i)dl J \s(t)fdt
1/2
(1.5)
где обозначено s {t) = ds/dt.
Воспользуемся теперь неравенством Шварца [см. (12.11)], которое
применительно к выражению (1.5) принимает вид
J" PfP(l)dl j [s (t)]2dl
1/2
j ts (0 s (0 dt
(1.6)
Правая часть этого неравенства после интегрирования по частям приво-'
дится к выражению
!'■
ts (/) s (0 dt
СО
1
[saW.
[г«а (01
.-I
S2 (/) rf*
Оговоренное выше условие интегрируемости сигнала s (t) с квадратом
позволяет опустить первое слагаемое в правой части. Учитывая
нормирование сигнала (Э= 1), получаем для произведения T3Q3 неравенства 7\,Оя>
> 1/2 или TaFa > 1/4я.
Итак, величина произведения T9FS, зависящая от формы сигнала, в
любом случае не может быть меньше 1/4л.
Найдем теперь сигнал, обладающий минимально возможной величиной
TaF3. Эта задача сводится к отысканию функции s (t), обращающей неравен'
ство (1.6) в равенство.
Непосредственно из (1.6) очевидно условие равенства:
S (0 = cis (Q,
где с — постоянный коэффициент.
Таким образом, получаем уравнение
els (t\
ds(t)
8(0
-■=cis (t)
w
I
= c/d/ = — cd(fl),
•1 "
которор легко интегрируется-
!ns(0 = Ч2 cF + b.
Отсюда искомая функция
s(0 = exp[l/2C<2+kl = /te,/2c(\ c<o,
(1.7)
—гауссов импульс.
[Отрицательность с вытекает из условия интегрируемости функции
s (/).]
В частности, для гауссова импульса, рассмотренного в примере 2, j 2J)
эффективная длительность, вычисленная по формуле (1.3), равна Тв = al~\/2,
а эффективная ширина спектра Qa = Ы~\/2 (произведение ТэОэ = аЫ1 —
= Ч2, T.F., = 1/4я = 0,0795).
Соответственно полная длительность импульса 2 Тв—у2 а и ширина
спектра 20э = Т/2&. Заметим, что аналогичные параметры гауссова
импульса, определяемые на уровне е~1/2=0,606, составляют 2а и 2 Ь (вместо
Via и У 2" 6).
Для треугольного импульса, спектральная плотность которого
(рис. 1.1, а и б)
/ sin——
S(co) = -
Лти
"V
параметры Та и F3 равны:
1/40
%$ ^э
УТ2
2зхтв
TaFa=0,0873; О, Т3 = 1/12/40 = 0,55.
Как видим, величина произведения длительность X полоса частот у
треугольного импульса всего лишь на 10% больше, чем у гауссова импульса.
Из приведенных выше соотношений следует, что сжатие импульса во
времени с целью, например, повышения точности измерения момента его
появления неизбежно сопровождается расширением спектра импульса, что
заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.
Аналогично сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения
~ Z 2 Г* „ г*
а) Ю
Рис. 1.1. Импульс треугольной формы (я) и его спектральная плотность (б).
частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что
требует удлинення времени наблюдения (измерения). Невозможность
одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком
интервале времени представляет собой одно нз проявлений известного в физике
принципа неопределенности.
Приложение II
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СИГНАЛА НА ПЛОСКОСТИ
ВРЕМЯ - ЧАСТОТА
В предыдущих главах корреляционная функция использовалась для
оценки степени связи сигнала s (I) со своей копией s (I + т), сдвинутой
на величину % во времени.
Аналогичная задача возникает при определении сдвига спектра
узкополосного сигнала на оси частот. Поэтому целесообразно обобщить понятие
корреляционной функции при одновременном сдвиге сигнала по времени
и по частоте.
Исходное колебание запишем в форме
а (0 = A (t) cos [со0/ + е (*)],
инутое на время т и смещенное пс
«т, а (0 = Ml + т) cos [(со0 + Q) (* + т) + в (/ + г)].
а то же колебание, сдвинутое на время т и смещенное по частоте на Q — 2nF,
как
Переходя к аналитическим сигналам, получаем соответственно!
г (0 = А (0 в'е <*> е/<в°' •= А (0 в""0',
г„_ G (0 = Л ('+?) е'е "+т> е': (Ю«+П) (<+«> = А (/+т) e/(с^+О) , е* ((В(,+П) t #
(II.1)
Тогда корреляционная функция аналитического еирнала может быть
определена выражением [см. (3.94) и (3.97)|
w ос
Вг(т, Q)= j" г(0г^а(0Л=е-/«ш«+п>« J А(/)А*((+т)е-
/£i/
ЙЙ.
(И .2)
Полученное выражение, учитывающее как сдвиг сигнала a (t) по времени
(т), так и смещение по частоте (Q = 2 nF), называется обобщенной
корреляционной функцией.
Модуль выражения (II.2)
|Вг(т, Q)| =
J" A(0A*(f+T)e-,fi'd'
(И.З)
получил название двумерной корреляционной функции.
Большое распространение в теории сигналов получила нормированная
авумерная корреляционная функция
р(т, Q) =
\Вг(х, fi)|
] A(OA*(/-f.T)e
— <Qi
А
йг(0, 0)
J A2 (t) dl
(П.4)
В прямоугольной системе координат т, Q, р функция р (т, Q)
изображается в виде поверхности, пример которой для радиоимпульса гауссовой
формы (о немодулированным
высокочастотным заполнением) приведен
на рис. 11.1.
Непосредственно из выражения
(П.4) вытекает что максимальное
значение функции р (т, Q), т. е. р (0,0),
равно единице.
Оказывается, что и объем тела,
ограниченного плоскостью р = 0 и
поверхностью р2 (т, Q), равен
единице, независимо от законов моду-
ляции амплитуды и фазы сигнала
[1,13]:
1
2л
JJpMx,
Q)dtdQ=l.
(П.5)
Если изменением закона моду-
*>(t,Q) A
Рис. II.1. Тело неопределенности
радиоимпульса гауссовой формы.
ляции сжать тело под поверхностью р2 (т Q) по оси %, оно рао-
плывается по оси Q; сжатие по оси Q приводит к растяжению по оси т.
ющеи
Это указывает на невозможность одновременного повышения разреша-
:й способности сигнала по времени и по частоте, а соотношение (II.5) яв-
ляется математической формулировкой принципа неопределенности в
радиолокации.
В связи с этим двумерную корреляционную функцию сигнала
р (т, Q) часто называют функцией неопределенности, а
тело, ограниченное плоскостью р = 0 и поверхностью рг (т, й), — телом
неопределенности (рис. II.1).
Положив в (II.2) Q = 0, получим выражение
Вг(т, 0)=e-'co°t ]' А(/)А(/+т)Л,
(И-6)
совпадающее с (3.97).
Для перехода к корреляционной функции Ва (т) физического колебания
a (I) = A (I) cos [co0< + 0 (/)] нужно в соответствии с (3.96) выделить
вещественную часть Вг (т, 0). Интеграл в выражении (II.6) определяет
комплексную огибающую функции Bz(t, 0), а быстро осциллирующий множитель
е—"°° х — высокочастотное заполнение этой функции.
Переходя к модулю и учитывая, чго | е—ш°г | = 1, получаем
|Вг(т, 0)| =
J A(/)A*(H-T)d/
(II 7)
Из этого выражения следует, что сечение поверхности тела
неопределенности плоскостью Q = 0 определяет огибающую корреляционной функции
В„ (т) колебания
a(t)= A (0 cos [ш0* + 6 (Г)].
С другой стороны, положив в (II.3) т = 0, получим выражение
J A*(t)e-iQtdt ,
— оо
которое на основе выражений (2.61) и (2.62) можно преобразовать к форме
|В,(0, Q)| =
1
2я
~27 J
saWsa(Q- x)dx
оо
(x)Sl(x — Q)dx
(II. 8)
где SA (со) — спектральная плотность огибающей А (/).
Таким образом, сечение поверхности тела неопределенности плоскостью
т = 0 определяет функцию частотной корреляции, т. е. степень связи
спектра 8Д (со)со своей копией, сдвинутой по оси частот на величину Q
Определяемая выражением (П.4) двумерная корреляционная
функция р (t, Q) приобретает особое значение при согласованной фильтрации
сигнала. В гл. 12 было показано, что сигнал на выходе согласованного фильтра
совпадает с корреляционной функцией входного сигнала. Следовательно,
корреляционную функцию | Bz (т, 0) | можно использовать для оценки
разрешающей способности сигнала по времени, а функцию | Bz (0, Q) J — по
частоте.
Эти свойства функции неопределенности лежат в основе теории
разрешающей способности радиолокационных устройств при определении дальности
цели и скорости ее движения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главам 1—4
1. Трахтман А. М Введение в обобщенную спектральную теорию
сигналов. М., «Сов. радио», 1972.
2. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и
цепей. 2-е Изд., М., «Высшая школа», 1975.
3. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. М., «Сов. радио», 1970.
4. Френке Л Теория сигналов. М., «Сов. радио», 1974.
5. Конторович М. И Операционное исчисление и процессы в
электрических цепях. М., «Сов. радио», 1975.
6. Гоноровский И. С. Радиосигналы и переходные явления в радиоцепях.
М.. Связьиздат, 1954.
7. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
М.. «Сов. радио», 1966.
8. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Сов. радио», 1966.
9. Давенпорт В. Б., Рут В, Л. Введение в теорию случайных сигналов
и шумов. М., ИЛ, 1960.
10. Говорввскии И. С, Фельдман Л Д., Васильев А. В. О спектрах
некоторых неинтегрируемых функций. — «Радиотехника и члектроника»
1970, № 4.
11. Градштейи И, С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
в .чроазведений. №., .ГИФМЛ, 1971.
К главам 5—7
1. Степаненко И. П- Основы теории транзисторов и транзисторных схем.
М., «Энергия», 1973.
2. Дтабеков Р. И. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1969.
3. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез. М., «Связь», 1973.
4. Канторович М. И. Операционное исчисление и процессы в
электрических цепях. М., «Сов. радио», 1975.
5. Гоноровский И. С. Радиосигналы и переходные явления в
радиоцепях. М., Связьиздат, 1954.
6. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
М. «Сов. радио», 1966.
7. Градштейн И. С, Рыжик И, М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М., ГИФМЛ, 1971.
К главам 8—10
1. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. Н. Введение в теорию сигналов и цепей.
М., «Высшая школа», 1975.
2. Кушнир В. Ф., Ферсман Б. А- Теория нелинейных электрических
цепей. М., «Связь», 1974.
3 Андреев В С. Теория нелинейных электрических цепей. М., «Связь»,
1972.
4. Крылов Н. Н. Электрические процессы в нелинейных элементах
радиоприемников. М., Связьиздат, 1949.
б. Кобзарев Ю. Б. О нелинейном методе трактовки явлении в
ламповом генераторе. — «ЖТФ», 1935, № 5.
6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958.
7 Гоноровский И С. К вопросу об установлении автоколебаний в высо-
кочастогном генераторе ' о запаздывающей обратной связью. —
«Радиотехника», 1958, № 5.
К главе 11
1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
М. «Gob. радио», 1966.
2. Тихонов В. и- Статистическая радиотехника. М., «Сов. радио».
1966.
3. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и
шумов. М., ИЛ, 1960.
4. Кремер И. Я., Владимиров В. И., Карпухин В. И. Модулирующие
помехи и прием радиосигналов. М., «Сов. радио», 1972,
5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2. М. «Наука»
1970.
6. Градштейи И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
произведений, М., ГИФМЛ, 1971.
К главам 12—15 и приложениям
1. Котельников В. А. Теория потенциальной пемехоуотойчивости. М.—Л.,
Энергоиздат, 1956.
2. Ширман Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов. М., «Сов. радио».
1974.
3. Ролд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М., «Gob. радио»
1973.
4. Трахтмаи А. М., Трахтмаи В. А. Основы теории сигналов на конечных
интервалах. М., «Сов. радио», 1975.
5. Трахтмаи А. М. Введение в обобщевную спектральную теорию сигна
лов. М., «Сов. радио», 1972.
6. Фоменко И. Б. Авализ случайных процессов е использованием
функций Уолша. — «Радиотехника и электроника», 1977, № 4.
7. Гиллемин Э. А. Синтез пассивных цепей. М., «Связь», 1970.
8. Карни Ш. Теория цепей. Аналив и синтез. М., «Связь», 1970.
9. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей.
М., «Высшая школа», 1976.
10. Хьюлсман А П. Теория и расчет активных #С-цепей. М., «Связь»,
1973.
11. Знаменский А Е., Теплюк И. Н. Активные ЯС-фильтры, М., «Связь»,
1970.
12. Ханзел V. Справочник по расчету фильтров. М., «Сов. радио»,
1974.
13. Боде Р. Теория цепей и проектирование усилителей о обратной
связью, М., ИЛ, 1948.
14. Френке Л. Теория сигналов. М., «Сов. радио», 1974.
15. Янке Е.. Эмдс Ф-, Леш Ф. Специальные функции. М., ГИФМЛ,
19S8.
16. Градштейи И. С, Рыжик И. М, Таблицы инте1ралов, сумм, рядов и
произведений. М., ГИФМЛ, 1971,
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — амплитуда
Ап — амплитуда гс-й гармоники
А0 — амплитуда несущего колебания
A(t) —огибающая амплитуд высокочастотного колебания
А Ц) — производная функции А (()
Ao(t), As (t) — квадратурные составляющие огибающей A (t\
A (t) — комплексная огибающая
а-> °8кв — параметр расстройки контура
ап — коэффициент ряда Фурье (пр*и косинусе)
Bs (1) — корреляционная функция колебания s (f)
Bz (т) — корреляционная функция аналитического сигнала г (/)
Вд (т) — корреляционная функция огибающей А (т)
£.«,$г (т) ~~ взаимно-корреляционная функция сигналов st (() и s.3 (fl
Вх(ъ) — корреляционная функция случайного процесса
Вху (т) — взаимно-корреляционная функция случайных
процессов х (0 и у (t)
bn — коэффициент ряда Фурье (при синусе)
С — емкость
еп — коэффициент обобщенного ряда Фурье
Е — амплитуда э. д. с.
Е0 — амплитуда э. д. с. несущей частоты
£ {() — огибающая амплитуд высокочастотной э. д. с. р (f)
Е(^) —комплексная огибающая высокочастотной э. д с.
Е (со) — спектральная плотность э. д. с.
е (t) — мгновенное значение э. д. с.
ен — напряжение накачки
|, F — частота
/0 — центральная частота (несущая)
1т, — граничная (максимальная) частота
Gi — внутренняя проводимость источника сигнала
Сн — проводимость нагрузки
G (t) —огибающая амплитуд импульсной характеристики цепи
g(I) —мгновенное значение импульсной характеристики цепи
/ — амплитуда тока
I — комплексная амплитуда тока
i (t) — мгновенное значение тока
Jn (т) — функция Бесселя
К (1а>), К (р) — передаточная функция цепи (комплексная)
К (со) — модуль передаточной функции цепи
К (г) — передаточная функция дискретного фильтра
К0 (Щ, Ко (р) — передаточная функция цепи, охваченной обратной связью
Кг (to), Kf (р)— передаточная функция дискретного фильтра
Ку(«со), Ку(р) — передаточная функция усилителя
6ам — крутизна характеристики амплитудного модулятора
k4M — крутизна характеристики частотного модулятора
*фм — крутизна характеристики фазового модулятора
L — индуктивность
L (р) _ преобразование Лапласа функции s (*)
М - коэффициент модуляции, B3™H"^HBH°C™
т - индекс угловой модуляции, база ЛЧМ сигнала
п — комплексная переменная
р(х) - одномерная плотность вероятности
Р Wq _ добротность колебательного контура
Rx (г) — нормированная корреляционная функция
S — крутизна характеристики активного элемента
S(co), S (Q) —спектральная плотность (комплексная) функции s (Q
s (k, T) — отсчет сигнала в момент t — k'T
S (со), S (Q) — модуль спектральной плотности
S^ — спектральная плотность огибающей A (t)
s (f) — мгновенное значение сигнала
s (г) — усреднение s (t) по времени
S(z) — г-преобразование функции
Sj (t) — сигнал s (0, дискретизированный с шагом Т
Sr (со) — спектральная плотность дискретного сигнала
Sy (гссох) — дискретное преобразование Фурье
$т (p) — дискретное преобразование Лапласа
<^s(t)> — усреднение s (0 по множеству
Т — период колебания
Тс — длительность сигнала
U — амплитуда напряжения
U (г) — огибающая амплитуд высокочастотного напряжения и (I)
V (t) — комплексная огибающая напряжения и (t)
II (со) — спектральная плотность напряжения
и (I) — мгновенное значение напряжения
Wu — энергетический спектр белого шума
Wx (ш) — энергетический спектр случайного процесса х Ц)
WА (Щ — энергетический спектр огибающей случайного процесса
И5 ху (и) — взаимный энергетический спектр случайных процессов
х (0 и у (О
У — проводимость (комплексная)
Z — сопротивление (комплексное)
Z (со) — спектральная плотность комплексного колебания г (f)
Zj (t) — аналитический (комплексный) сигнал, соответствующий
физическому сигналу a (t)
Э — энергия ситнала, выделяемая в сопротивлении 1 Ом
а — затухание, физический параметр транзистора (гл. 5)
Р — скорость изменения угловой частоты физический
параметр транзистора
у — фаза модулирующей функции, при AM — фазь
огибающей
yg — фаза высокочастотного заполнения импульсной
характеристики цепи
М — шаг дискретизации по времени
Дсо, Д/i — шаг дискретизации сигнала по частоте, расстройка
Дсо0, А[0 — полуширина узкополосиого спектра, полосы
прозрачности фильтра
6" (t), б (со) —дельта-функции
0 — угол отсечки тока
6П — начальная фаза гс-й гармоники
6 (со) — аргумент комплексной спектральной плотности сигнала
60 — начальная фаза несущего колебания
Q(l) — мгновенное значение фазы узкополосного колебания
вманс — амплитуда изменения фазы при угловой модуляции
р — характеристическое сопротивление колебательного контура
Рх (т) — ковариационная функция случайного процесса
ах — дисперсия случайного процесса
т — время
тЕ — длительность импульса
ii, та> тк — постоянные времени соответствующих цепей
Ф — фазовый сдвиг гармонического колебания в цепи,
аргумент передаточной функции цепи
ф (Ш) — фазочастотная характеристика четырехполюсника
фп (0 "~ базисная функция ортогональной системы
хр (/) — полвая фаза высокочастотного колебания
со, Q — угловая частота
шт — граничная (максимальная) частота
Шд — амплитуда частотного отклонения (девиация)
юн — частота накачки
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автогенератор гармонических
колебаний 323
нелинейное уравнение 338—
341
режим стационарный 330
режимы самовозбуждения
мягкий и жесткий 334—335
условие самовозбуждения
328
Автогенераторы на RC 359
Автоколебания 21, 326—330
Анализ гармонический
непериодических колебаний 40—43
периодических колебаний 31—
34
Аналитический сигнал 120—125
Аппроксимация нелинейных характе»
ристик 280
кусочно-линейная 282—283
степенным полиномом 280—
282
База сигнала (число степеней
свободы) 78
Баттерворта фильтр 568—573
Белый шум 146, 466—467
Берга функции 287
Бесселя неравенство 28
— функция 103
Билинейное 2-преобразование 585
Ван дер Поля уравнение 341
Варикап 357—359, 386
Взаимно-корреляциоиная функция
82—84
Винера — Хинчина теорема 146
Вронского определитель 377
Гауссов импульс 53
— процесс 141
Гиббса явление 36
Гильберта преобразования 115—116,
118, 555
Гиратор 580—583 i
Гребенчатый фильтр 462
Грнна функция односторонняя 378
Дельта-функция 59
•— спектральная характеристика 61 '
— фильтрующее (стробирующее)
свойство 60
Детектор амплитудный 304, 415—425
— фазовый 316, 470
— частотный 316, 470
Детектирование амплитудное 304
квадратичное 304—307.
линейное 307—311
синхронное 320—321
— фазовое 311, 316
— частотное 311, 312
Диадный сдвиг 548—549
Диапазоны радиоволн 8
Дискретизация сигнала 74
погрешность 483
узкополосного 128
Дифференциальная емкость 279, 367
— индуктивность 279, 367
— крутизна 365
Дифференцирование сигналов 221
Дифференцирующие цепи 222—228
Дюамеля интеграл 18
Захватывание частоты
автогенератора 353
Звено типовое второго порядка 560—
562
Импульсная характеристика линейной
цепи 177—178
апериодического усилителя 221
гребенчатого фильтра 462
дифференцирующей 226—227
интегрирующей 226
■ параметрической 373
Интегрирование сигнала 221
Интегрирующие цепи 222—228
Канал связи 21
Когерентность 85—86
Корреляционная функция 79—80
амплитудно - модулированного
сигнала 125
детерминированного сигнала 79
ЛЧМ импульса 126—127
на плоскости время — частота
592
нормированная 136
пачки из четырех
прямоугольных импульсов 81
-периодического сигнала 81—82
периодической
последовательности прямоугольных импульсов 82,
83
прямоугольного импульса 80, 81
радиоимпульса 126
случайного процесса 134
треугольного импульса 81
узкополосного сигнала 149
Котельникова теорема (теорема
отсчетов) 74
в частотной области 78—79
Лапласа преобразование, прямое и
обратное 67, 68
двустороннее 71
дискретное 485—487
Лагерра полиномы 521
— функции 521—523
Лежаидра полиномы 519
Манипуляция фазовая 244—246
— частотная 246—251
А1атье уравнение 400—402
Метод интеграла наложения 216—217
упрощенный (метод
огибающей) 231—232
— квазилинейный 293
— колебательной характеристики 331
— мгновенной частоты 253
— моментов 589
— спектральный 214—216
приближенный 228—231
— характеристических функций 273
— г-преобразоваиия 495—502
Модуляция амплитудная (AM) 88—
91, 162—165, 321, 371
коэффициент AM 89
спектр колебания 91—97
— угловая 98, 357
девиация частоты 99
индекс модуляции 99
спектр колебания 102—107
фазовая 100—101, 165—169
часютиая i 00—101, 251
Модуляция как параметрический
процесс 371
Мэнли — Роу теорема 383
Неопределенности принцип 594
Нормализация случайного процесса
270
Обратная связь 193
внешняя 194
■ внутренняя 194
— — отрицательная 195—196, 197—
204
положительная 195—196
Ограничение амплитудное 296
Ортонормированная система функций
27
Отрицательное сопротивление 327
Параметрический генератор
(параметров) 406
— усилитель 384
■ двухчастотный 394—398
■ одноконтурный 390—392
Парсеваля равенство 49
Передаточная функция замкнутой
системы 197
линейной цепи с переменными
параметрами 369—371
Плотность вероятности двумерная 134
одномерная 133
Помехи аддитивные 408
— внешние 22
г— внутренние 22
— мультипликативные 409 436
Помехоустойчивости проблема 23
507-5312ВаНИе аИаЛ°Г ~ цифРа
— цифра — аналог 513—516
— частоты 317—320
~т7„С помош-ы° нелинейного реак-
тионого элемента 398
270?С4С08СЛУЧаГШЬ1Й 132' 256~258,
виды 137
дифференцирование 266
■ интегрирование 269
нормализация 270
параметры 133—135
— — стационарный 134—135
■— эргодический 135
узкополосный 153
энергетический спектр см.
Спектральная плотность мощности 144
146
Пэли — Винера критерий 449
Радемахера функции 529
Радиоцепи линейные с постоянными
параметрами 15, 16—18. 169, 213,
ZOO
* -с переменными параметрами
(параметрические) 15, 18—19 364
367, 373,408
— нелинейные 15, 19—21. 277 300
408 . '
— с сосредоточенными параметрами
15
— с распределенными параметрами
15
Регенерация 350
Релея распределения 157—158
Римана лемма 66
Сжатие сигнала 465
Сигналы детерминированные 24
монохроматические 25
непериодические и
периодические 24—25
— дискретные 14, 218
— континуальные 14
— случайные 24, 25—26
— цифровые 14
Синтез линейных радиоцепей 550
Система функций ортогональная 26—
27, 28
полная 28
ортонормированная 27
Спектральная плотность
(спектральная характеристика) 41—43
гармонического колебания 64, 65
группы одинаковых и
равноотстоящих импульсов 56—57
. единичного скачка 62—64, 65
. импульса вида sine (л:) 55—56
колоколообразного (гауссова}
импульса 53—55
мощности случайного процесса
см. Энергетический спектр 144—146
прямоугольного импульса 50—
53
суммы импульсного и
монохроматического сигналов 65
Спектр колебания прн смешанной
амплитудно-частотной модуляции
110—114
— пилообразного колебания 36—37
— последовательности униполярных
прямоугольных импульсов 38—39
треугольных импульсов 37—
38
— прямоугольного колебания 34—36
— радиоимпульса с ЧМ заполнением
107
Средняя крутизна характеристики
292
Тело неопределенности 594
Умножение частоты 294
Уолша преобразование дискретное
548
— функции 529
дискретные 546
упорядоченные по. Адамару
53.4—535
по Пэли 533—534
Усилитель на электронной лампе
185—186
апериодический 186—190
— транзисторный 178—184
апериодический 186—187, 218—
221
резонансный 190—193, 232—238
Устойчивость линейных цепей с
обратной связью 204
критерий Ляпунова 205
Найквиста 211
Рауса — Гурвица 207—20S
Фазокорректирующа-я цепь 562—566
Фильтры согласованные 442
— цифровые 473, 516
рекурсивные 492, 503—507
Френеля интеграл 109
Функция неопределенности 594
— нормированная 27
Фурье-преобравование (прямое и
обратное) 41
— взаимная заменяемость со и t 48—
49
— дискретное 480
— дифференцирование и
интегрирование колебания 45—46
■— изменение масштаба времени 44—■
45
— произведение двух колебаний 46—
47
■— сдвиг колебания во времени 43—44
— сложение колебаний' 46
— смещение спектра колебания 45
Чебышева полиномы 520—521
Четырехполюсник активный 169, 175
коэффициент усиления 175—176
обратная связь 193
■—— устойчивость см. Устойчивость
линейных цепей с обратной связью
204
— линейный 177
— —- амплитудно-частотная
характеристика 177
импульсная характеристика
177—178
минимально фазовый 556
■ неминимально фазовый 556
пассивный 170, 173, 177
передаточная функция 177
переходная функция 177
фазочастотная характеристика
177
Шварца неравенство 445, 590
Шумы в радиоэлектронных цепях
собственные 258
— квантования 507—512
— округления 516
Элементы нелинейные реактивные
277—279
— резистивные 277
Энергетический спектр случайного
процесса см. Спектральная
плотность мощности случайного
процесса
Эргодичности свойство 135
Эрмита полиномы 523—Б24
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 3
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Основные области применения радиотехники 5
1.2. Передача сигналов на расстояние. Особенности распространения
радиоволн и используемые в радиотехник* частоты ... 6
1.3. Основные радиотехнические процессы
1.4. Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы и цени
1.5. Радиоцепи и методы их анализа .......
1.6. Проблема помехоустойчивости канала связи . . .
1.7. Задачи и содержание курса
10
13
15
21
23
Глава 2
СИГНАЛЫ
2.1. Общие замечания 24
2.2. Разложение произвольного сигнала по заданной системе
функций 26
2.3. Гармонический анализ периодических колебаний 31
2.4. Спектры простейших периодических колебаний 34
2.5. Распределение мощности в спектре периодического колебания 39
2.6. Гармонический анализ непериодических колебаний 40
2.7. Некоторые свойства преобразования Фурье . 43
2.8. Распределение энергии в спектре непериодического колебания 49
2.9. Примеры определения спектров непериодических 'колебаний 50
2.10. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его
спектра 57
2.11. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-
функция) ' 59
2.12. Спектры некоторых неинтегрируемых функций 62
2.13. Представление сигналов на плоскости комплексной переменной 67
2.14. Представление сигналов с ограниченной частотной полосой
в виде ряда Котельникова 74
2.15. Теорема отсчетов в частотной области 78
2.16. Корреляционный анализ детерминированных сигналов ... 79
2.17. Соотношение между корреляционной функцией и спектральной
характеристикой сигнала 84
2.18. Когерентность 85
Глава 3
РАДИОСИГНАЛЫ
3.1. Общие определения 86
3.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией 88
3.3. Частотный спектр амплитудно-модулированното сигнала ... 91
3.4. Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебания 98
3.5. Спектр колебания при угловой модуляции. Общие соотношения 102
3.6. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции . . 103
3.7. Спектр радиоимпульса с частотно-модулированным заполнением 107
3.8. Спектр колебания при смешанной амплитудно-частотной мо-
дуляции ..V
3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала . . . .114
3.10. Аналитический сигнал 120
3.11. Корреляционная функция модулированного колебания ... 125
3.12. Дискретизация узкополосного сигнала 128
Глава 4
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
4.1. Общие определения случайных процессов 132
4.2. Виды случайных процессов. Примеры 137
4.3. Спектральная плотность мощности случайного процесса ... 144
4.4. Соотношение между энергетическим спектром и
корреляционной функцией случайного процесса 146
4.5. Взаимно-корреляциониая функция и взаимный энергетический
спектр двух случайных процессов 150
4.6. Узкополосный случайный процесс 153
4.7. Колебание, модулированное по амплитуде случайным
процессом 162
4.8. Колебание, модулированное по фазе случайным процессом.
Плотность вероятности 165
Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
5.1. Вводные замечания 169
5.2. Определения и основные свойства активной цепи . 169
5.3. Активный четырехполюсник как линейный усилитель 175
5.4. Транзисторный усилитель 178
5.5. Усилитель на электронной лампе .... . . 185
5.6. Апериодичесий усилитель . . 186
5.7. Резонансный усилитель . 190
5.8. Обратная связь в активном четырехполюснике 193
5.9. Применение отрицательной обратной связи для улучшения
характеристик усилителя 197
5.10. Устойчивость линейных активных цепей с обратной связью.
Алгебраический критерий устойчивости .... .... '204
5.11. Частотные критерии устойчивости ... 209
Глава в
ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
6.1. Вводные замечания 213
6.2. Спектральный метод . . 214
6.3. Метод интеграла наложения 216
6.4. Прохождение дискретных сигналов через апериодический
усилитель 218
6.5. Дифференцирование и интегрирование сигналов 221
6.6. Особенности анализа радиосигналов в избирательных цепях.
Приближенный спектральный метод 228
6.7. Упрощение метода интеграла наложения (метод огибающей) 231
6.8. Прохождение радиоимпульса через резонансный усилитель 232
6.9. Линейные искажения колебания с непрерывной амплитудной
модуляцией 238
6.10. Прохождение фазоманипулированного колебания через
резонансную цепь 244
6.11. Прохождение частотно-манипулированного колебания через
избирательную цепь 246
6.12. Прохождение частотно-модулированиого колебания через
• избирательные цепи 251
Глава 7
ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИИ
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
7.1. Преобразование характеристик случайного процесса .... 256
7.2. Характеристики собственных шумов в радиоэлектронных
Цепях 258
7.3. Дифференцирование случайной функции 266
7.4. Интегрирование случайной функции 269
7.5. Нормализация случайных процессов в узкополосных линейных
цепях . 270
7.6. Распределение суммы гармонических колебаний со случайными
фазами 272
Глава 8
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
8.1. Нелинейные элементы 277
8.2. Аппроксимация нелинейных характеристик 280
8.3. Воздействие гармонических колебаний на цепи с
безынерционными нелинейными элементами 283
8.4. Нелинейное резонансное усиление 290
8.5. Умножение частоты 294
8.6. Амплитудное ограничение 296
8.7. Нелинейная цепь с фильтрацией постоянного тока (выпрямление) 300
8.8. Амплитудное детектирование ... 304
5.9. Частотное и фазовое детектирование ... .311
8.10. Преобразование частоты сигнала . . . 317
8.11. Синхронное детектирование ■ 320
8.12. Получение амплитудно-модулированных колебаний ..... 321
Глава 9
АВТОГЕНЕРАТОРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
9.1 Автоколебательная система 323
9.2. Возникновение колебания в автогенераторе 326
9.3. Стационарный режим автогенератора. Баланс фаз 330
9.4 Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения 334
9.5. Примеры схем автогенераторов 335
9.6. Нелинейное уравнение автогенератора 338
9.7. Приближенное решение нелинейного уравнения автогенератора 341
9.8. Автогенераторы с внутренней обратной связью 345
9.9. Автогенератор с линией задержки в цепи обратной связи . . 347
9.10. Действие гармонической э. д. с. на цепи с положительной
обратной связью. Регенерация 350
9.11. Действие гармонической э. д. с. на автогенератор.
Захватывание частоты 353
9.12. Угловая модуляция в автогенераторе 357
9.13. RC- генераторы 359
Глава 10
ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
10.1. Общие характеристики цепей с переменными параметрами . . 364
10.2. Прохождение колебаний через линейные цепи с переменными
параметрами. Передаточная функция 367
10.3. Модуляция как параметрический процесс 371
Ю.4. Определение импульсной характеристики параметрической
цепи . 373
10.5. Энергетические соотношения в цепи с нелинейным реактивным
элементом при гармонических колебаниях 378
10.6. Принцип параметрического усиления колебаний 384
10.7. Схема замещения емкости или индуктивности, изменяющихся
по гармоническому закону 386
10.8. Одноконтурный параметрический усилитель 390
10.9. Двухчастотный параметрический усилитель 393
10.10. Преобразование частоты с помощью нелинейного реактивного
элемента __• • 398
10.11. Свободные колебания в контуре с периодически изменяющейся
емкостью 399
10.12. Параметрические генераторы 406
Глава ! I
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
НА НЕЛИНЕЙНЫЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
11.1. Общие замечания 0 . . . . о . . . 408
11.2. Преобразование нормального процесса в безынерционных
нелинейных цепях о . -. 409
11.3. Преобразование энергетического спектра в безынерционном
нелинейном элементе 413
11.4. Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор ., . 415
11.5. Совместное воздействие гармонического колебания и
нормального шума на амплитудный детектор 420
11.6. Совместное воздействие гармонического колебания и
нормального шума на частотный детектор 425
11.7. Взаимодействие гармонического колебания и нормального
шума в амплитудном ограничителе с резонансной нагрузкой 428
11.8. Корреляционная функция и энергетический спектр случайного
процесса в параметрической цепи 432
11.9. Влияние мультипликативной помехи на закон распределения
сигнала ............ 436
Глава 12
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХ
12.1. Вводные замечания 440
12.2. Согласованная фильтрация заданного сигнала 441
12.3. Импульсная характеристика согласованного фильтра.
Физическая осуществимость 447
12.4. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра .... 449
12.5. Примеры построения согласованных фильтров ....... 452
12.6. Формирование сигнала, сопряженного о заданным фильтром 463
12.7. Согласованиая фильтрация заданного сигнала при небелом шуме 466
12.8. Фильтрация сигнала с неизвестной начальной фазой .... 467
12.9. Согласованная фильтрация комплексного сигнала ...... 469
Глава 13
ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
13.1. Вводные замечания 473
13.2. Алгоритм дискретной свертки (во временной области) .... 475
13.3. Дискретные преобразования Фурье 478
13.4. Погрешность дискретизации сигналов конечной длительности 483
13.5. Дискретные преобразования Лапласа 4S5
13.6. Передаточная функция дискретного фильтра 487
13;7. Передаточная функция рекурсивного фильтра . 492
13'.S. Применение метода г-преобразования для анализа дискретных
сигналов и цепей 495
13.9. z-преобразование временных функций
13.10. г-преобразование передаточных функций дискретных цепей
13.11. Примеры анализа дискретных фильтров на основе метода г-пре-
. образования ..........
13.12. Преобразование аналог — цифра. Шумы квантования .... 507
13.13. Преобразование цифра — аналог и восстановление
континуального сигнала 513
13.14. Быстродействие арифметического устройотва цифрового фильтра
Шумы округления 516
Глава 14
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ НЕКОТОРЫМИ СПЕЦИАЛЬНЫМИ
ФУНКЦИЯМИ
14.1. Введение 518
14.2. Ортогональные полиномы и функции непрерывного гипа . . . 519
14.3. Примеры применения непрерывных функций 525
14.4. Определение функций Уолша 529
14.5. Примеры применения функций Уолша 538
14.6 Взаимный спектр базисных функций двух различных ортого
нальных систем 544
14.7. Дискретные функции Уолша 546
Глава 15
ЭЛЕМЕНТА СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЦЕПЕЙ
15.1. Вводные замечания 550
15.2. Некоторые свойства середаточяой функции четырехполюсника 551
15.3. Связь между амплитудно-частотной и фазочастотной
характеристиками четырехполюсника 553
15.4. Представление четырехполюсника общего вида каскадным
соединением элементарных четырехполюсников 557
15.5. Реализация типового звена второго порядка 560
15.6. Реализация фазокорректирующей цепи 562
15.7. Особенности синтеза четырехполюсника по заданной ампли-
гудно-частогной характеристике . . . с . „ . 566
15.8. Синтез фильтра нижних частот. Фильтр Баттерворга .... 568
15.9. Фильтр Чебышева (нижних частот) 573
15.10. Синтез различных фильтров на основе исходного фильтра
нижних частот ' 576
15.11. Чувствительность характеристик цепи к изменениям
параметров элементов 577
15.12. Имитация индуктивности е помощью активной RC-иепк. Гиратор 580
15.13. Некоторые особенности синтеза цифровых фильтров 584
Приложение 1,
Сигнал с минимальным произведением длительности на полосу частот 589
Приложение II.
Корреляционная функция сигнала на плоскости время — частота 592
Список литературы 595
Условные обозначения 597
Предметный указатель 600
Гоноровский И. С.
Г65 Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для
вузов. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Сов. радио»,
1977.
608 с. с ил.
Данное издание в связи с введением новой программы курса
«Радиотехнические цепи и сигналы» коренным образом переработано и
дополнено следующими новыми разделами: синтез радиотехнических
цепей, согласованная фильтрация сигналов на фоне помех, элементы
синтеза сигналов, дискретная и цифровая обработка сигналов.
Кроме студентов радиотехнических факультетов вузов книга
может быть полезна широкому кругу специалистов, работающих в
области радиоэлектроники н в смежных областях науки и техники.
„ 30401 066
Г 046(01)-77 2"77 6Ф2
И Б № 237
ИОСИФ СЕМЕНОВИЧ ГОНОРОВСКИЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Редактор Т. М. Бердичевская
Художественный редактор А. Н. Алтунин
Обложка художника Л. А. Рабеиау
Технический редактор Г. 3. Кузнецова
Корректор Л. А. Максимова
Сдаио в набор 4.1-77 г. Подписано в печать 22.IX-77 г. T-I7807
Формат 60X90/16 Бумага типографская № 3
Объем 38 усл. п. л.. 37,733 уч.-изд. л.
Тираж 55.000 Зак. 1387 Цена 1 р. 60 к.
Издательство «Советское радио». Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 4 «Союзполиграфпрома»
при Государственном Комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, И-41, Б. Переяславская, 46.