Радиотехнические цепи и сигналы - Васильев Д.В., Самойло К.А., Витоль М.Р., Федосова Т.С.

Автор: Васильев Д.В. Самойло К.А. Витоль М.Р. Федосова Т.С.
Теги: электротехника общая радиотехника электроника радиотехника обработка сигналов электрические цепи учебное пособие для вузов
Год: 1982
Похожие
Физические основы технических средств обеспечения информационной безопасности
Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств
Основы теории цепей. Основы схемотехники. Радиоприемные устройства. Лабораторный практикум на персональном компьютере
Конструирование экранов и СВЧ-Устройств
Текст
                    РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Под редакцией К. А. Самойло
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
радиотехнических специальностей вузов
МОСКВА «РАДИО И СВЯЗЬ» 1982

БТЖ 32.841
Р15
УДК 621.396.1
Авторы: Д. В. Васильев, М. Р. Витоль, Ю. Н. Гор-
шенков, К. А. Самойло, Т. С. Федосова, Э. М. Черни¬
говская.
Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб, пособие
Р15 для вузов/ Д. В. Васильев, М. Р. Витоль, Ю. Н. Гор-
шенков и др.; Под ред. К- А. Самойло. — М.: Радио и
связь, 1982. — 528 с., ил.
В пер.: 1 р. 50 к.
Рассматриваются элементы теории сигналов, прохождение сигналов
через радиотехнические цешц элементы теории колебаний (генерирование,
преобразование и синхронизация колебаний), воздействие флуктуаций на
радиотехнические цепи. Материал излагается с применением современных
методов, анализа. Каждая глааа заканчивается контрольными вопросами,
облегчающими самостоятельную проработку материала.
Для студентов радиотехнических специальностей вузов.
р
2401000000—197
046(01)—82
7—82
ББК 32.841
6Ф2
РЕЦЕНЗЕНТЫ: В. В. АВДЕЕВ и Е. И. МАНАЕВ
Редакция литературы по конструированию и технологии
производства радиоэлектронной аппаратуры
© Издательство «Радио и связь», 1982

Оглавление
Предисловие	  7
Введение	  g
1.	Радиотехнические каналы связи	 8
2.	•Классификация сигналов		 .	14
3.	Радиотехнические цепи	13
4.	Методы анализа цепей		 16
Вопросы для самопроверки	ig
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ	-	19
Глава первая. Сигналы и их основные характеристики ....	19
Ы. Энергетические характеристики веществеииого сигнала	19,
1.2.	Энергетические характеристики комплексного сигнала	21
1.3.	Корреляционные характеристики детерминированных сигналов .	.	22
1.4.	Простейшие разрывные функции	26
1.5.	Векторное представление сигнала	30
1.6.	Разложение сигнала в обобщенный ряд Фурье	32
Вопросы для самопроверки	39
Глава вторая. Спектральный анализ сигналов	41
2.1.	Разложение колебаний по тригонометрическому и комплексному экс¬
поненциальному базису	  41
2.2.	Спектральные плотности АКФ и ВКФ. Распределение энергии в
спектре непериодического сигнала	54
2.3.	Спектр энергии финитного сигнала и его связь с	АКФ	....	55’
2.4.	Спектр взаимной энергии двух финитных сигналов	и его	связь с	ВКФ	56
2.5.	Примеры определения спектральной плотности сигналов	....	56-
2.6.	Определение активной длительности сигнала и активной ширины его
спектра	65
2.7.	Дискретизация непрерывных сигналов	66-
2.8.	Разложение колебаний по некоторым специальным	функциям	.	.	74.
2.9.	Разложение колебаний по функциям Уолша	79
Вопросы для самопроверки .	 83
Глава третья. Спектральный анализ радиосигналов ....	85
3.1.	Амплитудио-модулированные колебания	85
3.2.	Балансная н однополосная модуляции	92
3.3.	Колебания с угловой модуляцией	94
3.4.	Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) и линейно-частотная мо¬
дуляция (ЛЧМ)	101
3.5.	Узкополосные колебания	106
3.6.	Автокорреляционная функция модулированного колебания .	.	.	ц$
3.7.	Дискретизация узкополосного сигнала	116.
Вопросы для самопроверки	 119
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ	12)
Глава четвертая. Прохождение управляющих сигналов через иели-
иечиые цепи	12Г
4.1.	Графоаналитический метод	121
4.2.	Метод линейных схем замещения	126
4.3.	Линейная схема замещения безынерционного нелинейного четырех¬
полюсника для малых переменных сигналов	128
4.4.	Режим резистивного усилителя с транзистором п-р-п на низкой час¬
тоте 	130
Вопросы для самопроверки	132’
Глава пятая. Прохождение сигналов через линейные инерционные
цепи	132’
5.1.	Схемы замещения линейной активной цепи. Характеристики линейных
четырехполюсников	133
5.2.	Методы .анализа линейных цепей	1138-
5.3.	Условия неискаженной передачи сигнала линейным	четырехполюсником	142
5.4.	Прохождение малых сигналов через резистивный усилитель на тран¬
зисторе 	143
5.5.	Дифференцирование и интегрирование сигналов	149
3

5.6.	Прохождение сигналов через линейные цепи с переменными пара¬
метрами 	 153
5.7.	Корреляция сигналов на входе и выходе линейного фильтра .	.	156
5.8.	Цепи с обратной связью	156
5.9.	Устойчивость линейных систем с обратной связью	161
5.10.	Критерий	устойчивости	162
5Л1. Обратная	связь в линейных цепях с задержкой. Гребенчатые фильтры 169
Вопросы для самопроверки	173
Глава шестая. Воздействие радиосигналов на нелинейные узкополос¬
ные цепи	174
6.1.	Схема замещения выходной цепи нелинейного четырехполюсника, на¬
груженного на узкаполооную цепь .	  174
6.2.	Определение спектрального состава тока, протекающего через нели¬
нейное безынерционное сопротивление	176
6.3.	Резонансный усилитель	188
6.4.	Резонансные умножители частоты	191
6.5.	Ограничители амплитуды .	.	.	.	. '	194
Вопросы для самопроверки	197
Глава седьмая. Прохождение сигналов через линейные узкополосные
Цепи '	198
7.1.	Прохождение AM колебания через линейные узкополосные цепи.
Спектральный метод	•		 198
7.2.	Прохождение произвольного узкополосного сигнала через избира¬
тельные цепи. Метод огибающей	 202
7.3.	Прохождение ЧМ колебания через узкополосные цепи. Метод «мгно¬
венной» частоты	  214
7.4.	Условия неискаженной передачи AM н ЧМ колебаний узкополосными
цепями	217
7.5.	Прохождение через узкополосные цепи широкополосного колебания.
Приближенный спектральный метод	219
Вопросы для самопроверки	222
Глава восьмая. Способы осуществления модуляции гармонических
колебаний	223
8.1.	Амплитудная модуляция	223
8.2.	Угловая модуляция	227
8.3.	Дискретная угловая модуляция	230
Вопросы для самопроверки	'	232
Глава девятая. Детектирование. Преобразование частоты .	.	233
9.1.	Детектирование амплитудво-модулнровавных	колебаний ....	233
9.2.	Диодное детектирование	236
9.3.	Синхронное детектирование AM колебаний .	.	  241
9.4.	Детектирование частотно- и фазомодулированных колебаний .	.	242
9.5.	Преобразование частоты	 245
Вопросы для самопроверки	  250
Глава десятая. Цифровая обработка сигналов	261
IOjI.. Структурная схема цифровой обработки сигналов	252
10.2.	Характеристики дискретных сигналов	253
10.3.	Быстрое преобразование Фурье	267
10.4.	Линейные дискретные цепи с постоянными параметрами	....	270
10.5.	Цифровые фильтры	273
Вопросы для са1мопро!верки	276
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ .	.	27S
Глава одиннадцатая. Метод фазовой плоскости и метод анализа
систем, близких к консервативным	278
11Л. Основные определения	278
М.2. Особые фазовые траектории	280
11.3.	Метод анализа систем, близких к линейным консервативным	288
11.4.	Резонансный усилитель с нелинейной емкостью контура	....	292
11.5.	Метод анализа систем, близких к нелинейным	консервативным .	294
Ы.6. Резонансный усилитель со значительной нелинейностью емкости кон¬
тура .	.			■	297
М.7. Построение-фазовых портретов с помощью	ЭВМ	299
4

Вопросы для самопроверки	301
Глава двенадцатая1. Генераторы и триггеры на базе колебатель¬
ного контура и отрицательного сопротивления 	 302
12.1.	Основные определения	302
li2.2.	Возможные режимы работы устройств	303
12.3.	Автогенератор в релаксационном режиме	308
12.4.	Переход от режима релаксационных колебаний к режиму синусо¬
идальных 	-.314
12.5.	Расчет устойчивого предельного цикла и временных диаграмм с
помощью ЭВМ .	 315
12.6.	Ждущий генератор	317
12.7.	Триггер	319
Вопросы для самопроверки	320
Глава тринадцатая. Генераторы гармонических колебаний	.	321
13.1.	Возбуждение и существование гармонических колебаний ....	321
13.2.	Эквивалентная схема генератора и ее анализ	323
13.3.	Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения	330
13.4.	Автоматическое смещение и прерывистая генерация	334
13.5.	Асинхронное подавление колебаний. Генераторы с задержкой в цепи
•обратной связи	341
13.6.	Анализ автогенератора с нелинейной емкостью	контура ....	343
Вопросы для самопроверки	-	345
Глава четырнадцатая. Синхронизация генераторов гармонических
колебаний	346
14.1.	Механизм явления синхронизации	347
14.2.	Дифференциальные уравнения установления амплитуды и фазы гар-
. моничеоких колебаний синхронизируемого автогенератора .	.	.	359
Вопросы для самопроверки	367
Глава пятнадцатая. Параметрические цепи	368
1*5.1. Механизм накачки энергии в контур с педиодкчески изменяющейся
емкостью .	.	.	  371
15.2.	Дифференциальные уравнения и фазовые портреты линейного конту¬
ра с модулируемой емкостью	376
15.3.	Одночастотный параметрический генератор	380
15.4.	Параметрические усилители	382
Вопросы для самопроверки 		386
Глава шестнадцатая. Следящие системы. Фазовая автоподстройка
частоты	387
16.1.	Фазовая авгоподсгройка частоты. Общие положения и определения 388
16.2.	Дифференциальное уравнение системы ФАПЧ	390
16.3.	Система ФАПЧ без фильтра низкой частоты	.......	391
16.4.	Анализ системы ФАПЧ с фильтром. Фазовый	портрет ....	394
16.5.	Определение полосы захвата системы ФАПЧ с	ФНЧ	395
Вопросы для самопроверки		 .	4.02
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ	РАДИОТЕХНИКИ 403
Глава семнадцатая. Случайные процессы в	радиотехнике	403
17.1.	Исходные понятия. Случайные события, величины, процессы .	403
17.2.	Виды случайных процессов в радиотехнике	406
17.3.	Законы распределения случайных процессов (одномерные распреде¬
ления) 	408
17.4.	Числовые характеристики случайных величин и процессов. Одномер¬
ные моментяые функции 	 412
17.5.	Характеристическая функция одномерного распределения. Параметры
шумов в цифровых фильтрах	415
17.6.	Двумерные и многомерные характеристики случайных величин и про¬
цессов .	.			'	418
17.7.	Корреляционные моменты	421
17.8.	Стационарные и эргодические случайные процессы	423
17.9.	Нормальные случайные процессы. Центральная предельная теорема 426
Вопросы для самопроверки	430
Глава восемнадцатая. Спектральный и корреляционный анализ
случайных процессов	  432
5

18.1.	Энергетический спектр стационарного случайного процесса .	.	.	432
18.2. Формулы Винера—Хиичнна	434
18.3.	Свойства спектрально-корреляционных характеристик стационарного
случайного процесса	43g
18.4.	Примеры корреляционных характеристик случайных процессов. Функ¬
ция корреляции детерминированного сигнала	440
18.5.	Белый шум .	. ■	443
Вопросы для самопроверки	444
Глава девятнадцатая. Преобразования случайных процессов в
линейных радиоцепях	445
19.1.	Спектрально-корреляционные характеристики случайного процесса на
выходе линейного фильтра	445
19.2.	Действие белого шума на линейные фильтры с постоянными пара¬
метрами 	448
19.3.	Действие нормального шума на линейную цепь. «.Нормализация» слу¬
чайных процессов в линейных фильтрах	451
19.4.	Случайные процессы в линейных цепях с	переменными параметрами 454
19.5.	Огибающая и фаза случайного сигнала	457
19.6.	Распределения огибающей и фазы нормального случайного процесса 460
19.7.	Низкочастотные эквиваленты нормального узкополосного случайного
процесса .	  462
Вопросы для самопроверки	465
Глава двадцатая. Безынерционные функциональные преобразования
случайных процессов	466
20.1.	Виды нелинейных преобразований в задачах статистической радио¬
техники 	466
20.2.	Функциональные преобразования одномерного распределения случай¬
ного процесса	467
20.3.	Функциональные преобразования многомерных распределений случай¬
ных процессов	473
20.4.	Преобразование спектрально-корреляционных характеристик случай¬
ного процесса в нелинейной цепи	478
Вопросы для самопроверки	484
Глава двадцать первая. Воздействие случайных процессов на
инерционные нелинейные радиотехнические цепи	485
2)1.1. Квадратичное амплитудное детектирование узкополооиого нормаль-
. ного шума	486
21.2.	Линейное амплитудное детектирование суммы узкополосного нор¬
мального шума и гармонического сигнала	489
21.3.	Фазовое и частотное детектирование суммы гармонического сигнала
и шума	498
21.4.	Совместное действие гармонического сигнала и нормального шума
на ограничитель с резонансной нагрузкой 	 502
Вопросы для самопроверки	504
Глава двадцать вторая. Вопросы оптимальной линейной фильт¬
рации 	505
22.1.	Задачи оптимальной линейной фильтрации и проблема выбора кри¬
терия оптимальности	505
22.2.	Передаточная функция согласованного линейного	фильтра .	.	.	506
22.3.	Импульсная характеристика и физическая осуществимость согласо¬
ванного линейного фильтра	509
22.4.	Характеристика сигнала и помех после согласованного фильтра .	.	511
22.5.	Примеры согласованных фильтров для простых	и	сложных сигналов 513
22.6.	Коррелятор как согласованный фильтр. Сравнение активного и пас¬
сивного методов оптимальной линейной фильтрации	518
22.7.	Оптимальная фильтрация известного сигнала при	небелом шуме .	.	521
Вопросы для самопроверки	".	522
Приложение. Теорема Менли—Роу и ее применение для определения ос¬
новных энергетических соотношений в параметрических генераторах и
уоилителях 		523
Список литературы	  526
6

Предисловие
Настоящая книга написана как учебник по курсу «Радиотех¬
нические цепи и сигналы» для студентов специальности 0701 в со¬
ответствии с программой УМУ-Т-7/114. На современном уровне
изложены: теория сигналов, методы анализа линейных и нелиней¬
ных радиотехнических цепей, элементы теории колебаний и стати¬
стической радиотехники.
В книге сочетаются качественные и количественные методы
анализа. Так, применение метода фазовой плоскости позволило
наглядно, не снижая строгости, изложить ряд трудных разделов
прикладной теории колебаний (автогенераторы, синхронизация
генераторов гармонических колебаний, параметрические цепи).
Приведен ряд примеров анализа схем, выполненных на совре¬
менной элементной базе (транзисторах, туннельных диодах, инте¬
гральных микросхемах), иллюстрирующих применение излагаемой
теории.
При этом учтена специфика работы будущих радиоинженеров.
Решение многих задач доведено до схемы (или алгоритма) рас¬
чета на ЭВМ. Каждая глава заканчивается контрольными вопро¬
сами, облегчающими самостоятельную проработку материала.
Книга написана коллективом преподавателей МИРЭА. Матери¬
ал книги распределен между соавторами следующим образом:
введение написано К. А. Самойло, гл. 1—3, 7 — М. Р. Витоль, гл.
4, 6, 8, 9 — К. А. Самойло и Э. М. Черниговской совместно, гл. 5,
10—К- А. Самойло и М. Р. Витоль совместно, гл. 11 —15 —
К. А. Самойло и Ю. Н. Горшенковым совместно, гл. 16 — Т. С. Фе¬
досовой, гл. 17—22 — Д. В. Васильевым.
Авторы выражают глубокую признательность рецензенту док¬
тору техн. наук проф. Е. И. Манаеву и редактору канд. техн. на¬
ук доц. С. И. Баскакову, замечания которых способствовали
улучшению книги, а также старшим преподавателям Н. А. Перма-
горовой, Р. П. Симоновой за помощь в подготовке рукописи.
Отзывы и замечания читателей просим направлять по адресу:
101000, Москва, Главпочтамт, а/я 693, издательство «Радио и
связь».
Авторы

Введение
Менее чем за 100 лет после изобретения радио в 1895 г. рус¬
ским ученым А. С. Поповым радиотехника проникла во все обла¬
сти народного хозяйства. Связь, телевидение, радиолокация, те¬
леуправление, разведка недр земли — далеко «е полный перечень
областей применения современной радиотехники. Одно из круп¬
нейших событий двадцатого века — полет в 1961 г. первого кос¬
мического корабля с космонавтом Ю. А. Гагариным было бы не¬
возможно без высокого уровня развития радиотехники.
Радиотехнические методы широко используются в различных
областях науки и техники. Поэтому необходимо определить круг
задач, решаемых собственно радиотехникой:	передача информа¬
ции на расстояние с помощью электромагнитных колебаний.
Электромагнитные колебания, несущие информацию, могут
распространяться в свободном пространстве либо передаваться по
волноводам, световодам и другим каналам передачи.
Отметим некоторые основные задачи, решение которых осу¬
ществляется в настоящее время: освоение новых частотных диапа¬
зонов; увеличение дальности действия, мощности радиопередаю¬
щих и чувствительности радиоприемных устройств для обеспече¬
ния связи с межпланетными кораблями, удаляющимися от Земли
на миллиарды километров; повышение надежности, уменьшение
габаритов, массы, стоимости аппаратуры; совершенствование вы¬
числительных машин; разработка сложных самонастраивающихся
автоматов.
1.	Радиотехнические каналы связи
Каналом передачи информации является совокупность средств,
используемых для этой цели. Канал передачи информации с по¬
мощью электромагнитных колебаний называется радиотехниче¬
ским каналом связи.
На передающем конце канала информация преобразуется в
электрический сигнал. Промодулированное этим сигналом высоко¬
частотное колебание излучается антенной передатчика и принима¬
ется антенной приемника. В приемнике осуществляется усиление
принятых высокочастотных модулированных колебаний и демоду¬
ляции их — выделение передаваемого сигнала.
Рассмотрим структурную схему (рис. 1) и назначение отдель¬
ных блоков канала связи.
Датчик — устройство, вырабатывающее электрический сигнал,
соответствующий поступающей информации. Датчиком может слу-
8

ярт> микрофон при передаче речи и музыки, передающая трубка
или светочувствительная матрица при передаче изображений, при¬
бор, преобразующий температуру, давление, скорость, деформа¬
цию или другую физическую величину в электрический сигнал.
Рис. 1
Кодирующее. устройство выполняет функцию преобразования
электрического сигнала, полученного от датчика, в электрический
сигнал другой формы, более пригодной для запоминания и пере¬
дачи. Например, напряжение датчика температуры преобразуется
в последовательность импульсов, соответствующих значению тем¬
пературы в дискретные моменты времени.
Запоминающее устройство хранит закодированный сигнал до
момента его передачи. Например, информация иа космическом ко¬
рабле накапливается непрерывно на протяжении всего полета, а
передается в сеансах связи, когда сигналы с корабля могут прини¬
маться наземными станциями.
Передатчик состоит из генератора колебаний несущей частоты
и модулятора.
Генератор колебаний несущей частоты генерирует гармониче¬
ские высокочастотные электромагнитные колебания1, способные
распространяться на большие расстояния. Используется широкий
диапазон волн — от километровых до световых. Основным требо¬
ванием к генератору является высокая стабильность частоты ге¬
нерируемых колебаний.
Модулятор осуществляет модуляцию одного или нескольких
1 В некоторых системах вместо высокочастотного гармонического колеба¬
ния используют колебания более сложной формы, например шум.
9

параметров (амплитуды, частоты, фазы и др.) высокочастотного
колебания по закону передаваемого сигнала.
Передающая антенна излучает высокочастотные электромаг¬
нитные колебания, промодулированные передаваемым сигналом.
Приемная антенна принимает промодулированные высокоча¬
стотные электромагнитные колебания, которые затем поступают
на вход приемника.
Приемник состоит из избирательного усилителя, детектора, де¬
кодирующего и оконечного устройств.
Избирательный усилитель выделяет и усиливает из множества
сигналов, принимаемых антенной, требуемое высокочастотное мо¬
дулированное колебание.
Детектор осуществляет процесс, обратный модуляции, — выде¬
ляет из высокочастотного модулированного колебания сигнал, ко¬
торым в передатчике была осуществлена модуляция.
Декодирующее устройство преобразует принятый закодирован¬
ный сигнал к форме, удобной для обработки в оконечном устрой¬
стве.
Оконечное устройство преобразует электрический сигнал
в информацию, представленную в той или иной форме, например,
в звук при передаче речи или музыки, в изображение при приеме
телевизионного сигнала, в запись на ленте при телеметрии, в
команду исполнительному органу при телеуправлении и т. п.
Структурная схема канала связи, показанная на рис. 1, приме¬
няется, например, при передаче данных с космического корабля
на Землю. В более простых случаях ряд операций над сигналами,
а следовательно, и ряд блоков, показанных на рис. 1, отсутствует.
В простейшем канале связи могут отсутствовать блоки кодирова¬
ния, запоминания и декодирования.
Радиолокационные устройства представляют собой также свое¬
образные системы передачи информации. Здесь модуляция коле¬
баний, излучаемых передатчиком, осуществляется вне передатчи¬
ка, в пространстве, где луч радиолокатора отражается от цели.
Передаваемый по радиотехническому каналу сигйал подверга¬
ется воздействию помех. Источником внешних помех являются ат¬
мосферные явления, шумы космического пространства, индустри¬
альные помехи, помехи радио и медицинской аппаратуры, а в во¬
енной технике — помехи, искусственно создаваемые станциями ра¬
диопротиводействия противника.
Внутренние помехи возникают вследствие дискретной природы
заряженных частиц (тепловые и дробовые шумы), а также из-за
несовершенства передающей и приемной аппаратуры (шумы кван¬
тования, наводка от цепей питания, перекрестная модуляция
и т. п.).
Под действием помех сигнал, проходя через канал связи, ис¬
кажается и может быть расшифрован неправильно. Одной из ос¬
новных задач при организации канала связи является снижение
вероятности ошибок при приеме сигналов или, иными словами, по¬
вышение помехоустойчивости канала радиосвязи.
ю

Повышение помехоустойчивости обычно влечет за собой увели¬
чение стоимости канала связи. Поэтому вопросы помехоустойчи¬
вости и стоимости канала связи решают совместно, находя прием¬
лемые компромиссы.
Часто требуется передавать информацию о нескольких пара¬
метрах, характеризующих состояние объекта, например, о темпе¬
ратуре, давлении и влажности в кабине летательного аппарата.
Для этого радиолиния должна содержать несколько разделенных
каналов передачи информации. Наибольшее распространение на¬
шли два способа разделения каналов: частотное и временное.
При частотном разделении каналов высокочастотное (несущее)
колебание модулируется несколькими колебаниями более низких
частот, называемыми поднесущими. Каждое поднесущее колеба¬
ние модулируется сигналом, содержащим информацию об одном
из передаваемых параметров. На приемном конце линии связи
модулированное колебание несущей частоты усиливается и детек¬
тируется. Продетектированное колебание разделяется фильтрами,
каждый из которых настроен на соответствующую поднесущую
частоту. На выходе каждого фильтра включен детектор, который
выделяет сигнал, соответствующий сигналу, передаваемому на
данной поднесущей частоте.
При временном разделении каналов сигналы, несущие инфор¬
мацию о различных параметрах объекта, поочередно модулируют
один или несколько параметров колебания несущей частоты. Вре¬
менное разделение каналов особенно эффективно в цифровых си¬
стемах связи, которые обеспечивают высокую помехоустойчивость.
2.	Классификация сигналов
Реальные физические процессы (температура, давление и т. п.)
преобразуются в электрические сигналы, которые являются функ¬
циями времени. Функция времени — ,математическая модель сиг¬
нала — может быть представлена в виде графика, таблицы или
аналитического выражения. В дальнейшем под термином сигнал
будем понимать функцию времени, адекватную электрическому
сигналу.
Сигналы делятся на детерминированные и случайные.
Детерминированные сигналы — сигналы, значения которых в
любой момент времени полностью известны, т. е. предсказуемы с
вероятностью, равной единице.
Случайные сигналы — сигналы, значения которых в любой мо¬
мент времени невозможно предсказать с вероятностью, равной
единице.
Все сцпналы, несущие информацию, являются случайными, так
как полностью детерминированный (известный) сигнал информа¬
ции не содержит (он может быть создан в месте приема без ка¬
нала связи).
11

Несмотря на то, что полностью детерминированные сигналы не
применяются, они представляют удобную модель при анализе ра¬
диотехнических систем.
Принято различать детерминированные сигналы трех основных
классов: управляющие, высокочастотные н ем оду лиров энные и мо¬
дулированные.
Управляющие (модулирующие) сигналы — сравнительно низ¬
кочастотные колебания, содержащие информацию, которые ,не мо¬
гут быть непосредственно использованы для передачи на большие
расстояния с помощью электромагнитных колебаний. Управляю¬
щие сигналы делятся на три группы:
аналоговые (непрерывные) сигналы, являющиеся функцией
времени, повторяющей закон изменения соответствующей физи¬
ческой величины;
дискретные сигналы, представляющие собой последователь¬
ность импульсов, амплитуды которых соответствуют значениям
физической величины в дискретные моменты времени;
дискретные по времени и квантованные по уровню сигналы,
являющиеся последовательностью импульсов, амплитуды которых
могут принимать только ограниченное число фиксированных зна¬
чений.
Эти последовательности, представленные цифровыми кодами,
называют цифровыми сигналами.
Высокочастотные смодулированные сигналы — это высокочас¬
тотные колебания, которые способны распространяться в виде
электромагнитных волн на большие расстояния.
В ■ табл. 1 приведены диапазоны высокочастотных колебаний.
Длинй волны X авязана с периодом колебания Т или с частотой f
соотношением
Х — сТ = с//,
где с = 3-108 м/с — скорость распространения электромагнитных
волн в свободном пространстве.
Таблица 1
Волны
Диапазон длин волн
Частоты
Нерекомендуемые]
термины
Мириаметр овые
Километровые
Гектометровые
Декаметровые
Метровые
Дециметровые
Сантиметровые
Миллиметровые
Децимиллиметровые
Световые
100—10 км
10—1 км
1000—100 м
100—10 м
10—1 м
100—10 см
10—1 см
1Q—1 мм
1—0,1 мм
Менее 0,1 мм
2—	30 кГц
30—300 кГц
300—3000 кГц
3—	30 МГц
30—300 МГц \
300—3000 МГц }
3—30 ГГц 1
30—300 ГГц '
300—3000 ГГц
Выше 3 ТГц
Сверхдлинные
Длинные (ДВ)
Средние (СВ)
Короткие (КВ)
Ультракороткие
(УКВ)
Субмиллиметровые
12

Модулированные сигналы — высокочастотные 'колебания, один
или несколько параметров которых промодулирован колебанием
управляющего сигнала. Они также способны 'распространяться в
виде электромагнитных волн на большие расстояния. Использу¬
ется амплитудная (AM), частотная (ЧМ), фазовая (ФМ), им¬
пульсная (ИМ) « ряд'других более сложных видов модуляции.
3.	Радиотехнические цепи
Ограничимся рассмотрением радиотехнических цепей с сосре¬
доточенными параметрами.
Радиотехнические цепи делятся на линейные цепи с постоян¬
ными параметрами, нелинейные и линейные цепи с переменными
параметрами, подклассом которых являются параметрические
цепи.
Линейные цепи с постоянными параметрами. Линейные цепи с
постоянными параметрами часто называют просто линейными це¬
пями. Они состоят из линейных элементов, параметры которых не
зависят от протекающего тока f, приложенного напряжения и,
магнитного потока Ф и электрического заряда q, например
и = Ri, R — const.
Сопротивление R, индуктивность L и емкость С — линейные
элементы.
Линейные цепи описываются линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами:
ап ~г+...+«i4r +аоУ=/(о.
dtn	&
где Оо, аи ..., ап — постоянные величины; у — мгновенное значе¬
ние отклика цепи (напряжение, ток, заряд и т. д.) на воздейст¬
вующий сигнал f(t).
К линейным цепям применимы принципы суперпозиции и транс¬
позиции. В отклике линейной цепи содержатся только те спект¬
ральные составляющие, которые присутствуют в воздействующем
сигнале, и не возникает новых частот.
Линейные цепи с переменными параметрами. Линейные цепи с
переменными параметрами кроме постоянных линейных элементов
содержат хотя бы один линейный элемент, величина которого из¬
меняется во времени, например емкость, для которой зависимость
между током и напряжением имеет вид
и — —-— Г i dt.
C(t) J
Линейные цепи с переменными параметрами описываются линей¬
ными дифференциальными уравнениями с коэффициентами (или
коэффициентом), изменяющимися во времени
ап -ь... + ak (0	+ ... + о0 у = / (О-
dtn	dtk

К линейным цепям с переменными параметрами также приме¬
ним принцип 'суперпозиции, но не применим принцип транспози¬
ций. В их отклике .содержатся спектральные составляющие, кото¬
рые отсутствуют .в воздействующем сигнале.
Линейные колебательные цепи с переменными реактивными
параметрами, в которых за счет изменения реактивных парамет¬
ров вносится энергия, иногда называют линейными параметриче¬
скими цепями.
Нелинейные цепи. Нелинейная цепь содержит хотя бы один не¬
линейный элемент, например нелинейное сопротивление, для ко¬
торого зависимость между током и напряжением имеет вид
u = R(u, i)i,
где R(u, i)—сопротивление, значение которого зависит от прило¬
женного напряжения и или протекающего тока i.
Нелинейные цепи описываются нелинейными дифференциаль¬
ными уравнениями, (коэффициенты (или один из коэффициентов)
которого зависят от значения отклика у (напряжения, тока, заря¬
да и т. д.):
ап	.■■+ak(y)-^- + ...+a0y = f(t).
dtn	dr
Нелинейность называется безынерционной, если нелинейный
параметр зависит от мгновенного значения напряжения или тока.
Нелинейность «называется инерционной, если нелинейный па¬
раметр зависит не от мгновенных значений приложенного напря¬
жения или тока, а, например, от их эффективных значений. Инер¬
ционные нелинейные сопротивления не вносят нелинейных иска¬
жений, т. е. ведут себя как линейные сопротивления, параметры
которых определяются эффективным значением тока или напря¬
жения. Следует .иметь в виду, что инерционные нелинейные сопро¬
тивления теряют свою инерционность на достаточно низких час¬
тотах.
В дальнейшем будем в основном анализировать схемы с безы¬
нерционными нелинейными сопротивлениями и пользоваться тер¬
мином нелинейное сопротивление, подразумевая безынерционное
нелинейное сопротивление. При анализе схем с инерционными не¬
линейными сопротивлениями будем сохранять их полное название.
Нелинейное сопротивление R характеризуется видом вольт-
амперной характеристики (рис. 2).
Применяются следующие определения сопротивления R.
1.	Сопротивление по постоянному току (статическое сопротив¬
ление)
R0=u/i.
Сопротивление R0 характеризуется наклоном прямой ОА
(рис. 2), проведенной из начала координат в точку, соответствую¬
щую рассматриваемому режиму.
14

2.	Дифференциальное сопротивление
Rd==Jr-
di
Сопротивление Rg характеризуется накло¬
ном касательной к вольтамперной характе¬
ристике (прямая MN на рис. 2) в точке, со¬
ответствующей рассматриваемому режиму.
3.	Среднее сопротивление RCp на рабо¬
чем участке
Яср — (^2	^l)/(^2	Й)>
Рис. 2.
где и г и щ — максимальное и минимальное значения напряже¬
ния, действующего на сопротивление; £2 и й — значения токов,
соответствующих напряжениям и2 и щ. Сопротивление RcР харак¬
теризуется наклоном хорды, соединяющей крайние точки исполь¬
зуемого участка вольт-амперной характеристики.
4.	Сопротивление по первой гармонике R\ определяется как
отношение амплитуды гармонического напряжения U\ к амплиту¬
де /[ первой гармоники тока, протекающего через сопротивление
R1=U1/h-
Таблица 2
Вид элемента
Характеристики
Параметры элементов
По посто *
янному
току (ста¬
тические)
Дифферен¬
циальные
Средние
По 1 -й
гармонике
i
а
R
		у
i
0 а
и
Яо^-7
1
du
Rо = di
Аи
Rev = у
At
о
Rl~u
и
Ч
0 J
С0 = —
и
Сд " du
С
^СР — .
Д и
Cl~Ut
1
L ' !
1 /
1
1
ф
о * jL"-- i
i
I
1
il*
II
ДФ
^ср — . .
At
L1=^
h
15

Нелинейная емкость С характеризуется видом вольт-кулоновой
характеристики q=f(u), а нелинейная индуктивность L — видом
вебер-амперной характеристики Ф = /(t).
К (нелинейной емкости и нелинейной индуктивности применя¬
ются определения, аналогичные рассмотренным для активного не¬
линейного сопротивления. Эти определения сведены в табл. 2.
Следует отметить, что для линейных элементов перечисленные
определения дают одно и то же значение.
Нелинейные цепи с переменными параметрами. Нелинейные це¬
пи с переменными параметрами описываются нелинейными диф¬
ференциальными уравнениями с одним или несколькими коэффи¬
циентами, зависящими от времени
я» -—- + ■■• +аЛУ)-^~ + ... +fl|+ - - +Оо*/= /(*)•
df1	dtk	dtl
Подобные цепи содержат нелинейные и изменяющиеся во вре¬
мени элементы. Чаще всего один и тот же элемент является не¬
линейным и изменяющимся во (времени. К нелинейным цепям с
переменными параметрами не применимы принципы суперпозиции
и транспозиции.
4.	Методы анализа цепей
Исследование любой реальной цепи разбивается на четыре
этапа.
Первый этап —составление математической модели исследуе¬
мой цепи. Реальная цепь содержит бесконечное число степеней
свободы, которые определяются различными связями между эле¬
ментами цепи. Схема, в которой учтены только основные пара¬
метры реальной цепи, называется идеализированной схемой или
математической моделью цепи.
При выборе основных параметров реальной цепи, которые учи¬
тываются в математической модели, исходят из влияния этих па¬
раметров на процессы в цепи и задач, которые следует решить.
Чем больше учтено параметров, тем большую информацию о ре¬
жимах реальной цепи дает математическая модель, но при этом
усложняется ее анализ.
Второй этап—составление дифференциальных (или разност¬
ных) уравнений математической модели и лх решение.
Третий этап — исследование полученных решений, в результа¬
те которых определяются характеристики исследуемой цепи.
Четвертый этап — проведение эксперимента и сравнение экс¬
периментальных и теоретических характеристик. Это сравнение
позволяет установить, насколько правильно выбрана математичес¬
кая модель и насколько точны приближенные методы решения
полученных дифференциальных уравнений.
16

Иногда экспериментальное исследование реальной цепи — на¬
турный эксперимент — заменяют машинным экспериментом, т. е.
расчетом ,на ЭВМ ряда вариантов для математической модели,
учитывающей большее число параметров, чем принятая матема¬
тическая модель.
Сравнение экспериментальных и теоретических результатов
иногда заставляет перейти к новой математической модели.
Выбранной математической модели соответствует некоторая си¬
стема дифференциальных уравнений. Рассмотрим основные типы
этих уравнений и кратко перечислим методы их решений.
Линейные дифференциальные уравнения отвечают линеаризи¬
рованной математической модели. Существует ряд хорошо раз¬
работанных и математически обоснованных методов точного и
приближенного решения этих уравнений.
Нелинейные дифференциальные уравнения соответствуют ма¬
тематической модели, учитывающей нелинейности реальной систе¬
мы. Общих методов решения этих уравнений не существует. По¬
этому разработан ряд приближенных методов. Частные решения
этих уравнений могут быть получены также с помощью ЭВМ1.
Сочетание приближенных аналитических, качественных и чис¬
ленных методов позволяет решать с той или иной точностью прак¬
тически все встречающиеся системы нелинейных дифференциаль¬
ных уравнений.
Перечислим приближенные методы анализа нелинейных моде¬
лей, рассматриваемые в книге.
1.	Графоаналитические методы. Основным из них является ме¬
тод фазовой плоскости (МФП)—качественный метод. Построив
тем или иным способом фазовый портрет системы, мы определим
все возможные режимы цепи и условия их возникновения.
2.	Численные методы. С помощью ЭВМ для различных началь¬
ных условий определяются частные решения.
3.	Сочетание метода фазовой плоскости с численными метода¬
ми, выполненными с помощью ЭВМ, позволяет получить полную
качественную и количественную оценку возможных режимов си¬
стемы.
4.	Методы анализа систем, близких к консервативным2, при¬
годные для анализа узкополосных (резонансных) систем, какими
являются многие радиотехнические системы.
Для анализа систем, близких к линейным консервативным,
разработано много методов. Основными являются: метод медлен¬
но меняющихся амплитуд (ММА), который был предложен и при¬
менен голландским ученым Ван-дер-Полем ч в дальнейшем раз-
1 Мнение, что применение ЭВМ позволяет исследовать уравнения любой
сложнорти, ошибочно. Так, например, при ограниченности машинного времени
могут быть пропущены отдельные неустойчивые решения, соответствующие
пропущенным начальным условиям. При этом будет получен неправильный
вывод о том, что система всегда -устойчива, хотя при некоторых начальных
условиях она неустойчива.
г Консервативными называются системы, запас энергии в которых не из¬
меняется во времени.
17

вит школой советских ученых (Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папа-
лекси, А. А. Андронов, А. А. Витт, К. Ф. Тео(до!рчик, В. В. Мишу¬
лин и д.р.); асимптотический метод Н. М. Крылова, Н. Н. Бого¬
любова и Ю. А. Митропольского, который в настоящее время на¬
шел наибольшее 'распространение.
За последнее десятилетие в связи с широким применением си¬
стем с реактивными нелинейностями (варикап, емкости транзисто¬
ров, катушки с ферритовыми сердечниками я т. п.) возникла необ¬
ходимость в методах анализа систем, близких к нелинейным кон¬
сервативным. Был 'разработан метод нелинейного преобразования
переменных [23], позволивший свести анализ систем второго по¬
рядка, близких ,к нелинейным консервативным, к анализу систем,
близких ж линейным консервативным, и тем самым расширивший
область применения метода ММА и асимптотического метода на
системы, близкие к нелинейным консервативным.
5.	Методы анализа разрывных колебаний. Исследуемый про¬
цесс разбивается на ряд интервалов, па каждом из которых удает¬
ся найти решение. Далее эти решения «сшиваются» на границах
интервалов. Эти методы весьма эффективны при анализе релакса¬
ционных систем.
Поскольку реальные электрические колебания всегда носят в
той или иной степени случайный характер, строгий анализ сиг¬
налов и радиодепей требует учета статистических свойств иссле¬
дуемых процессов.
Вопросы для самопроверки
1.	В чем различие и что общее у радиотехники, радиоэлектрони¬
ки и электротехники?
2.	Изобразите структурную схему системы передачи информации
и объясните назначение отдельных блоков.
3.	Какие факторы необходимо учитывать при проектировании
систем связи?	1
4.	Что называется случайными и детерминированными сигнала¬
ми? Почему детерминированные сигналы не могут нести ин¬
формации?
5.	Дайте характеристику управляющих, высокочастотных и мо¬
дулированных сигналов.
6.	Какие сигналы называются аналоговыми, дискретными и циф¬
ровыми?
7.	Дайте характеристику линейных, нелинейных цепей и цепей с
переменными параметрами.
8.	Из каких соображений выбирается математическая модель
реальной цепи?
9.	Почему при анализе реальной цепи необходимо проводить экс¬
перимент?
10.	Перечислите и кратко охарактеризуйте основные методы ис¬
следования нелинейных уравнений.
18

Часть первая
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
Излагаются свойства сигналов, их векторное
представление. Рассматривается разложение сигна¬
лов по различным ортогональным базисным систе¬
мам. Подробно излагается разложение сигналов по
тригонометрическому (комплексному экспоненци¬
альному) базису.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
СИГНАЛЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Теория сигналов включает в себя как вопросы анализа сиг¬
налов |(|изучения их свойств), так и их синтеза (нахождения сиг¬
налов, обладающих заданными свойствами). Чтобы упростить и
обобщить ряд положений теории сигналов, реальные сигналы
идеализируют, а именно:
1)	вместо реальных сигналов, которые всегда носят случайный
характер, рассматривают детерминированные сигналы, мгновен¬
ные значения которых предсказуемы с вероятностью, равной еди¬
нице;
2)	несмотря на то, что на практике сигналы всегда ограниче¬
ны по времени, наряду с сигналами, заданными на ограниченном
интервале времени (ta, tb), рассматривают сигналы, заданные на
полубесконечном (0, оо) или -на бесконечном (—оо, оо) интерва¬
лах времени.
Детерминированный сигнал может быть задан в аналитичес¬
кой форме как функция времени s(t) либо представлен графи¬
ком, таблицей, осциллограммой.
Все физические сигналы являются вещественными. Однако в
теории сигналов и при исследовании различных радиотехнических
систем широко пользуются понятием комплексного сигнала
s(t) = a(t) + ]b(t).
Определим ряд характеристик вещественного и комплексного
сигналов.
1.1.	Энергетические характеристики вещественного сигнала
Основными энергетическими характеристиками вещественного
сигнала s(t) являются:
1) Мгновенная мощность p(t), определяемая как квадрат мгно¬
венного значения сигнала
p(t) = s*(t).
19

Бели s(t) — напряжение или ток, то p(t) — мгновенная мощность,
выделяемая на сопротивлении в 1 Ом.
Мгновенная мощность не аддитивна, т. е. мгновенная мощ¬
ность суммы сигналов не равна сумме их мгновенных мощностей:
МО+* (01* =***! (О+**■(*);
2)	энергия Э на интервале времени (ta, fa); выражается как
интеграл от мгновенной мощности
fa	fa
3 = )p(t)dt= \s2(t)dt;
fa	fa
3)	средняя мощность Pcp на интервале (ta, fa); определяется
значением энергии сигнала на этом интервале, отнесенной к еди¬
нице времени
^СР
fa
где T = fa—ta-
Если сигнал s(t) задан на бесконечном интервале времени
—oo<t<oo, то средняя мощность1 определяется следующим об¬
разом:
Системы передачи информации проектируются так, чтобы ин¬
формация передавалась с искажениями меньше заданных при ми¬
нимальной энергии и мощности сигналов.
Энергия и мощность сигналов, определяемые на произвольном
интервале времени, могут 'быть аддитивными, если сигналы на
этом интервале времени ортогональны. Рассмотрим два~ сигнала
Si и s2, которые заданы на интервале времени T=tv—ta. Энергия
и мощность суммы этих сигналов выражаются так:
fa
Э = j [s1 + s2fdt = 91 + 92 + 2 312,	(1.1)
fa
^ = v Us1 + s2}*dt=P1+P2 + 2Pn.	(1.2)
Г fa
Здесь Эи Pi и 32, Ръ — энергия и мощность первого и второго
сигналов, 312 и Р]2 — взаимная энергия .и взаимная мощность этих
сигналов (или энергия и мощность их взаимодействия).
Если выполняется условие
1 Далее вместо средней мощности Рвр будем для краткости писать просто
мощность Р.
20

или
1 *ь
р12 = у 5 S1ss dt = °,	(1.4)
*а
то сигналы Sj и s2 на интервале времени T = tb—ta называют ор¬
тогональными и выражения (1.1) и (1.2) принимают вид
Э = Эг + Э^	(1.5)
Р = Р1 + Р2.	(1.6)
Понятие ортогональности сигналов обязательно связано с ин¬
тервалом их определения. Например, сигналы Si = sinco^ и s2 =
= sin2(o/ ортогональны на любом отрезке времени, где уклады¬
вается целое число полупериодов
kn/a, k=l, 2, 3, ... Следователь¬
но, сигналы Si и s2 (рис. 1.1) ор¬
тогональны на отрезке времени
(О, ti), но на отрезке времени.
(О, t2) эти же сигналы не ортого¬
нальны.
Рис. 1.1
1.2.	Энергетические характеристики комплексного сигнала
Применительно к комплексным сигналам также пользуются
понятиями мгновенной мощности, энергии и. средней мощности.
Эти величины вводят так, чтобы энергетические характеристики
комплексного сигнала s(t) были действительными величинами.
1.	Мгновенная мощность определяется произведением комп¬
лексного сигнала s на комплексно-сопряженный сигнал s*
pit) — s s*.
2.	Энергия сигнала s на интервале времени (ta, h) по опреде¬
лению равна
*ь . .
Э= j ss*dt.
3.	Мощность сигнала s на интервале \(ta, h) определяется как
где T = tb—ta-
Два комплексных сигнала si и s2, заданные на интервале вре¬
мени (ta, tb), являются ортогональными, если их взаимная мощ¬
ность Р12 (или энергия Э]2) равна нулю. Действительно, мощность
суммы этих сигналов
21

1 ‘,ь
1 ib
P т I ('1 + s2)(s*i+ s*2)dl—— j s\dt-f--i- f s\dt -f-
T ‘a T i
1	л6,-
+ -=T I (SiS*2 + s\s2)d/.
Третий интеграл в правой части полученного выражения—’уд¬
военная взаимная мощность 2Рi2, которая равна нулю, если вы¬
полняется условие
1 >
1 1Ь •„ •
— j Sls*2dt = -~ J s*,s2dt = 0.
(1.7)
Соответственно, взаимная энергия Э12 сигналов Si и s2 равна ну¬
лю, если
‘ъ .
Т*ь.
J	j S^d^O.
(1.8)
Таким образом, соотношения (1.7) или, (1.8) являются условиями
ортогональности двух комплексных сигналов.
Оценим взаимную мощность двух комплексных экспоненциальных сигналов
Si=exp(jtOo0 и s2=exp(—jtDoO на интервале времени, равном периоду Т ко¬
лебания этих функций (Г=2я/м0). Согласно (1.7) имеем
т_	т_	т
1	2	j	2	j	Т
— j sisldi=— j ei<0»< ei“»< dt = — f е)2<в°* Л = 0.
I	j*	T	j-	T
F	F	F
Следовательно, Pi2=0 и сигналы si и s2 на интервале времени Т ортогональны.
1.3.	Корреляционные характеристики детерминированных
сигналов
Одной из важнейших временных характеристик сигнала явля¬
ется автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о
степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой по времени
копией.
Для вещественного сигнала s(t), заданного на интервале вре¬
мени (—оо, оо) и ограниченного по энергии, корреляционная
функция (по энергии) (т) определяется в единицах энергии
следующим выражением:
Тэ(т)= ]s(t-x)s(t)'dt,	(1.9)
— оо
где х — величина временного сдвига сигнала. Интеграл (1.9) име¬
ет вид свертки сигнала s(t) с его зеркальным изображением
s(—t) —s(t), т. е.
Ч’э (Т) = S ( — T)(g)5 (Т) = S(g,'S.
22
(1.9а)

Для каждого значения % автокорреляционная функция выража¬
ется некоторой числовой величиной.
Из (1.9) следует, что АК.Ф является четной функцией времен¬
ного сдвига т. Действительно, заменяя в (1.9) переменную (£—т)
на х, .получим
ОО	со
^э(т)= Js(f—x)s(t)dt = $s(x)s(x + x)dx = W9(~x).	(1.10)
— ОО	—ОО
При т=0 сходство сигнала с его несдвинутой копией наиболь¬
шее я функция (т) достигает максимального значения, равно¬
го полной энергии Э сигнала
ОО
'F3(0)= $s2(t)dt = 3.	(1.11)
— ОО
С увеличением т функция	(т) у
всех сигналов, кроме периодических,
убывает (не обязательно монотонно) и
при относительном сдвиге сигналов
s(() и s (t—т) на величину, превышаю¬
щую длительность сигнала, обращает¬
ся в нуль.
Рис. 1.2 поясняет построение автокор¬
реляционной функции прямоугольного импуль¬
са s(t), который изображен на рис. 1.2,а. На
рис. 1.2,6 приведена сдвинутая на т (в сторону
отставания) копия сигнала, а на рис. 1.2,8 —
произведение s(t—i)s(t).
Автокорреляционная функция для каждо¬
го значения т численно равна площади под
кривой произведения импульса и его сдвину¬
той копии. Функция	(т)=Л2(ти—т) имеет
вид треугольника с основанием 2ти, высота
которого определяется энергией Э сигнала
(рис. 1.2,г).
А
s(t)
1
1
I
0
n
-T)\
1
а)
А
!
1 ”
0
г 1ч
v i
б)
5(f)-
№
1
О %
А2 Ги
(р(х)
в)
-ч
О
Ч
г)
Рис. 1.2
Для сигналов, обладающих бесконечно большой энергией и
ограниченных по мощности, автокорреляционная функция ^(т)
определяется в единицах мощности
Г/2
Чгр(т) = Нт —	\ s(t)s(t—x)dt — \im—
Т —* ОО Т 	уТ оо Т
f s(/-f т) s(i) dt.
-77 2
(1.12)
Соответственно значение 4Fp(0) .равно средней мощности сигнала
1
¥p(0) = lim
Т —* оо 1
Т/2
\s2(t)dt = P.
-i/i
(1.13)
При определении- ^(т) периодической функции усреднение
выполняется по ее периоду Г*, т. е.
23

T j2	Т j2
Ур( т) = — J s(t)s(t~ x)dt= — J ^ + t)s(0*.	(1.14)
T* ~ts/2	r« -rf/s
Автокорреляционная функция периодического сигнала сама
является периодической функцией с тем же периодом. Действи¬
тельно, -поскольку периодическая функция удовлетворяет условию
s(t) = s(t+nTs), где Та — период, а |«| =0, 1, 2, ..., то
ЧгР(т)= s(t)s(t—x)dt— Js (fjs(t + nTs—t)dt= WP(r—nTe).
—OO	—00
(1.15)
Например, для гармонического сигнала s=A cos ((Оо< + ф) автокорреляцион¬
ная функция выражается в виде
Л2 гз/2	1
Чгр(т) = — j cos (<о01 -j- ф) cos [а>0 (t т) -j- ф] dt = — A2 cos (о„ т,
Т3—Т3/2	2
где <о0 = 2п/Та.
При т=0 автокорреляционная функция л¥р(0)=А2/2 определяет среднюю мощ¬
ность гармонического колебания с амплитудой А. Из полученного выражения
следует, что ’Рр(т) ие зависит от начальной фазы ф колебания.
В табл. 1.1 .приведены графики автокорреляционных функций
некоторых сигналов, определенные по энергии 'Чгэ(т) или по мощ¬
ности Vp(t).
Для оценки степени подобия двух сигналов S\(t) и S2(t) ис¬
пользуется взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая
определяется выражением
^fi2(T)=: ]s1(t)s2(t—x)dt.	(1.16)
—оо
Здесь Si и s2 — сигналы, заданные на бесконечном интервале вре¬
мени (—оо, оо) и обладающие конечной энергией. Выражение
(1.16)	имеет вид свертки двух функций, т. е.
%2 (т) = si (f)(x)Sa (—т) = Si (x)s2.	(1.16а)
Значение Тц(т) не меняется, если вместо задержки сигнала s2
рассматривать опережение первого сигнала Si. Поэтому вместо
выражения (1.16) можно записать общую формулу для определе¬
ния ВКФ:
^12 fa) Jsi(^)s2(i т) dt— JS2 (f) Si (t -f-т) dt, (1.17)
— 00	—OO
t. e. Ti2(t) = 4f2i (—т), но следует заметить, что Ч'цСг)	—т).
Автокорреляционная функция W (т) является частным случаем
ВКФ Ti2(t), когда сигналы Si и s2 одинаковы.
В отличие от ЧДт) функция Ч^Дт) в общем случае не является
четной относительно т и может достигать максимума при любом т.
24

Таблица 1.1
25

Значение 'F^O) определяет взаимную энергию Э\2 сигналов si
•и s2
оо
^12(°)= .К(^2(0 dt = 3n.	(1.18)
— 00
На рис. 1.3 приведено построение ВКФ для сигналов Si и s2. Исходное по¬
ложение сигналов (т=0) показано иа рис. 1.3, а. При сдвиге прямоугольного
импульса s2 влево (т<0, рис. 1.3,6) ВКФ убывает до нуля вначале быстро,
а затем медленнее (рис. 1.3, г) в соответствии с выражением
ти—■т
•	Ва
4^12 (т)= J atBdt = — (xи —Т)2.
о	1
При сдвиге вправо (т>0, рис. 1.3, в) ВКФ убывает вначале медленно, затем
быстрее, в соответствии с выражением
>	Ва
Цг12 (т) = f at В dt = —(т2и _ т2).
«	2
В данном примере ВКФ достигает максимума, равного Чг12(т) =Ват2и/2
при т=0.
-Ъ	О Тц/Z Тц
Рис. 1.3
1.4.	Простейшие разрывные функции
Простейшие разрывные функции, которыми широко пользуются
в теории -сигналов, -представлены в табл. 1.2. Ниже приводится
краткое описание этих функций.
1.	Функция знака sign(/J (сигнум-функция) (табл. 1.2, поз 1).
Функция имеет постоянную величину, равную единице, знак кото¬
рой -скачком изменяется при переходе переменной t через нуль
— 1 при ^<0,
0	при t=* О,
1	при £>0.
26
(1.19)

Таблица 1.2
Название функции *
Аналитическая
запись функции
Функция знака
sign(£) (сигнум-
фуикция)
sign (/) =
1; t> О
О; / = О
— 1; /<0
Графическое
изображение
Связь между
функциями
sign(fj
о t
-1
Единичная функ¬
ция (функция Хе¬
висайда) o(t)
1;	О>0
o(t) = < 1/2; t = О
10; t < О
S(t)
■til
л 1 1
n(/)=—+ —fign (t)
n(0= /<5 {t)dt
Дельта-функция
(функция Дирака)
6(0
~ ( 0; t ^ 0
J «(<)* =
= 1
6(0 =
da(t)
dt
Прямоугольный
импульс с единич¬
ной высотой
rectH/Тн)
rect (</ти) =
\ 1; 10	т„/2
[о; 10 >т„/2
rscf(t/tH)
1
rect(//TH)=
= <r(t + ти/2) ■
Тн/2
0
Ти/2 ?
— o(t — ти/2)
* Функции могут иметь и другой аргумент, например частоту со.
Умножение произвольной функции f(t) на sign(/) означает изме¬
нение знака /(/) в момент времени (=0.
2.	Единичная функция или единичный скачок (функция Хеви¬
сайда) o(t) (табл. 1.2, поз. 2). Функция o(t) определяется
f 1 при *>0,
а (0 = 11/2 при t=0,	(1-20)
I 0 при /<О,
Сопоставляя (1.19) и (1.20), -получаем
а (/) = 1/2+ 1/2 sign (О-
Умножение сигнала s(/) на единичную функцию равносильно
включению этого сигнала в момент t = 0
s(t)o(t) =
(S (0 при t > 0,
1 0 при /<0.
27

Этим приемом широко пользуются для описания односторонних и
финитных (ограниченных по времени) сигналов.
3.	Дельта-функция или дельта-импульс (функция Дирака) b(t)
(табл. 1.2, поз. 3). По определению 6-функция удовлетворяет сле¬
дующим двум условиям:
b(t) = ,
0 при />0,
оо при £= 0,
0 при /< 0
(1.21)
И
J6(/)d/=l,
(1.22)
т. е. 6-функция равна нулю при всех отличных от нуля значениях
аргумента, принимая в точке /=0 бесконечно большое значение.
Площадь 6-функции равна единице.
Оетановимея на некоторых свойствах 6-функции,
а)	6(0 является четной функцией аргумента
Из (1.22) следует, что
Тогда
6(0 =
= 6(-о.
(1.23)
что
0
оо
jb(t)dt =
f6(/)df= 1/2.
(1.24)
s—ОО
0
t
1 при. />0,
j6(0 dt =
1/2 при / = 0,
(1.25)
—оо
0 при f <0.
Сопоставляя (1.25) и (1.20), получим
о (t) = j 6 (t) dt
(1.26)
или
6 (t)=do(f)Jdt.	(1.27)
Следовательно, используя понятие 6-функции, можно выразить
производную от разрывной функции в точке ее разрыва.
б)	фильтрующее свойство 6-функции. Это свойство выражает¬
ся соотношением
ff(t)b(t—t0)dt = f(t0)	(1.28)
V
при ta<to<tb, т. е. интеграл от произведения произвольной функ¬
ции f(t), ограниченной в интервале времени (ta, /ь), на дельта-
функцию b(t—10) равен значению функции f(t) в точке t =
(рис. 1.4,а).
28

в)	-результатом умножения произвольной функции f(t) на
fi(<—to) является дельта-функция 8(t—t0), площадь которой рав¬
на значению функции f{t) в точке t = to (рис. 1.4,6)
f{t)4t-to) = f(to)8(t-t0)*).	(1.29)
г)	энергия 6-импульса бесконечно велика. Это легко -показать,
если воспользоваться одной из моделей дельт а-функции — прямо¬
угольным импульсом длительностью ти с амплитудой 1/ти (рис. 1.5).
Т|
1 1
О	to
ф
Энергия такого импульса пропорциональна квадрату его амплиту¬
ды 1/т2и и первой степени длительности ти (т. е. величине 1/ти).
При Ти-^-0, когда -прямоугольный импульс превращается в дельта-
функцию, его энергия становится бесконечно большой.
4.	Прямоугольный -симметричный импульс с единичной высотой
rect(t/rB) (табл. 1.2, поз. 4), определяемый следующим образом:
'1 при U|<th/2,
. О при |^|>ти/2.
rect (f/tj:
(1.30)
*) В литературе встречается некорректное применение б-функции при опре¬
делении выборок сигнала f(t):
me«-<o)=*/(<o).
29

1.5.	Векторное представление сигнала
Любой вектор iV-мерного линейного векторного пространства
полностью характеризуется своими проекциями на N координат¬
ных осей. Например, длина и направление трехмерного вектора а
определяется тремя его проекциями ах, ау, az на координатные
оси х, у и е (рнс. 1.6,а).
Для разложения векторов удобно использовать .взаимно пер¬
пендикулярные оси, удовлетворяющие условию ортогональности
"ри ‘Ф1:
I 1 при I = ],
где а,, а,- — единичные координатные векторы (орты), a i, j —
индексы, присвоенные координатным осям.
Условие ортогональности означает, что скалярное произведе¬
ние (щ, а,) любых двух векторов оц и aj должно быть равно ну¬
лю, а скалярное произведение любого вектора самого на себя
должно быть равно единице.
Если вектор задан в iV-мерном пространстве, то его можно
разложить на N векторов, т. е. выразить суммой вида
N
а = 2 akak.
*=1
Здесь аи — проекции вектора на координатные оси, направление
которых задается * системой координатных векторов или базисом
{ось}. Число линейно-независимых векторов, составляющих базис,
равно размерности векторного пространства. Полной координат¬
ной системой для заданного ансамбля векторов считается такая,
которая позволяет осуществить точное разложение любого векто¬
ра из заданного ансамбля. По аналогии с вектором сигнал (ко¬
нечной мощности или энергии) можно представить точкой У-мер-
ного функционального (сигнального) пространства. Эта точка яв¬
ляется концом вектора, идущего из начала координат. Поэтому
любой сигнал может быть охарактеризован своими «проекциями»
на координатные оси, «направление» которых задается рядом
функций. Например, сигнал s(t) в трехмерном функциональном
пространстве полностью характеризуется своими «проекциями»
С0, С] и С2 на оси, «направление» которых задается функциями
■По(^), Pi (0 и -r\2(t) (рис. 1.6,6).
Для разложения сигналов1 наиболее удобными оказываются
взаимно-ортогональные функции, удовлетворяющие условиям
*ь
J Лт (*)% (f)dt =
О
3*
при тфк,
при m — k
(1.31)
или
1 Разложение сигналов по системам взаимно-ортогональных функций по¬
дробно рассматривается в § 1.6.
30

1 ь
tb~~ t a	t
\	(0 dt =
где
h-t{
0 при m=£k,
Pk при m = k,
(1.32)
\\ (0 dt
(1.32a)
- f (0 dt
(1.326)
a
— 'Соответственно энергия и средняя 'мощность функции т]д(/), оп¬
ределяемые 'На интервале ортогональности (ta, tb).
Если набор функций (базисная система) 'Обеспечивает разло¬
жение любого сигнала так, что 'выполняется условие 1
P^±-^(t)dt=%C\4\(t),	(1.33)
1 т	k=0
т. е. средняя мощность сигнала s(t) на интервале Т равна сумме
мощностей всех его составляющих, то такая базисная система
считается полной.
Пространство (векторное или функциональное) называют мет¬
рическим, если введен способ определения расстояния между его
двумя точками, и нормированным, если введено понятие нормы,
т. е. расстояния между началом координат и какой-либо точкой
пространства. Метрику линейного векторного пространства можно
определить через скалярное произведение векторов2.
Так, длина вектора а, определяющая расстояние от начала
координат до некоторой точки пространства, т. е. норма ||а|| ли¬
нейного векторного пространства может быть определена скаляр¬
ным произведением (а, а) вектора на самого себя
INI = К(аГа),
или через проекции ах, ау, аг... вектора а на координатные оси
х, у, z...
- ||а|| = Уа2х + а?у + а\+ ... .
Аналогично расстояние от начала координат до точки, отобра¬
жающей функцию s(t), т. е. норма сигнального пространства ||s||
выражается средней мощностью сигнала (скалярным произведе¬
нием сигнала на самого себя)
1	Соотношение (1.33) выражает равенство Парсеваля, которое рассматри¬
вается в §' 1.6.
2	Линейное векторное пространство (конечномерное), в котором введено
понятие скалярного произведения, является Евклидовым.. При бесконечной раз¬
мерности то же пространство называется Гильбертовым-
31

Расстояние между двумя векторами а и Ь, метрика векторного
пространства, определяется как модуль разностного вектора с =
= а—Ь, т. е.
\\с\\=У(а-Ъ, а—Ь)
или через проекции ах, bx, ау, Ьу,... векторов а, Ь на координатные
оси х, у,...
IIя Ь|| = УГ(йх bx)2-f (ау—Ьу)2-\-...
Аналогично может быть определено и расстояние между дву¬
мя сигналами Si и S2, т. е. мера сигнального пространства 1
llsi—Sail
где se(/)=si(/)—si(t) —разностный сигнал.
Для финитных сигналов, заданных на интервале времени Т,
норма и метрика сигнального пространства определяются энер¬
гией сигнала, т. е
||$||=
' г
И	1!«Х—s3|| == у J(Si—s2)2 dt.
Векторное отображение сигналов нашло широкое применение
в радиотехнике, так как оно позволяет наглядно представлять
взаимодействия сигналов, степени их разлития и подобия, вероят¬
ность перехода одного сигнала в другой под действием помех
и т. д.
1.6,	Разложение сигнала в обобщенный ряд Фурье
Рассмотрим аппроксимацию2 одного сигнала другим. Пусть
сигнал Si(t), обладающий конечной мощностью, нужно аппрокси¬
мировать на интервале времени (ta, tb) с помощью другого сигна¬
ла s2(t), т. е. записать в виде
Sj (/) л; С12 s2 (i).	(1.34)
Точность аппроксимации зависит от выбора коэффициента С12.
Для ее оценки можно воспользоваться понятием сигнала ошибки
se(/), определяя его как разность между заданным сигналом S] (/)
и аппроксимированным сигналом Ci2s2(0> т- е.
se(0=Si(0 — Cns2(t).	(1.35)
1	Иногда метрика задается так, чтобы «расстояние» между функциями опре-
1 г
делилось по-другому, например l|s,— s2||=— J \se(t)\d.t. Здесь метрикой являет-
Т т
ся средняя величина разностной функции se(t) =s, (t)—s2(t).
2	Аппроксимация — приближенное представление исходной функции.
32

Вместо сигнала ошибки se(t) используется и другой критерий
оценки точности — среднее значение квадрата ошибки о2 (сред¬
няя квадратическая ошибка аппроксимации)
°2 = —~~ \b?e(t)dt.
ib *а t
а
(1.36)
Из (1.36) видно, что о2 выражает среднюю мощность сигнала
ошибки. Подставляя (1.35) в (1.36), получим
J
tb ta
j [s, (t)	C12 s2 (/)]2 dt.
(1.37)
Чтобы определить коэффициент C\2, который минимизирует ошибн
ку о2, найдем производную d(o2)ldCl2 и положим ее равной нулю:
откуда
d (o2)/dC12 = О,
1	*ъ	*ъ
		— J Sl (О S2 (t) dt j (0 s2 (t) dt
ib — ia	t	t
	[a	___ *g
{ fb	*b
—	:— J S*, (0 dt	j s22 (t) dt
ib ia t	t
(1.38)
(1-39)
Числителем выражения (1.39) является взаимная мощность (энер¬
гия) сигналов S[ и s2, а знаменателем — средняя (мощность (энер¬
гия) аппроксимирующего сигнала s2. Значением коэффициента Сi2
характеризуется степень подобия сигналов Sj и s2. Если С12=0, то
сигналы s 1 и s2 неподобны, т. е. в состав сигнала не входит
составляющая, которая имеет форму сигнала s2. Коэффициент
С12 = 0 при j si(t)s2(t)dt = 0. Это означает согласно >(1.3), что сиг-
налы S] и s2 на интервале (ta, tb) взаимно ортогональны. В век¬
торном пространстве это соответствует равенству (нулю проекции
вектора на .перпендикулярный ему вектор.
Аппроксимируем прямоугольный разнополярный импульс Sj(i), заданный
на интервале (0,2л), сигналом s2(*)=sini (рис. 1.7).
Согласно (1.34) можно записать st (t) «Си sin /. Оптимальное значение ко¬
эффициента С,г (амплитуды синусоиды) определяется по формуле (1.39)
С
12 —
2я
j	(t) sin t dt
о
2Я
J sin21 dt
0
я	2я
fsin t dt — f sin t dt
о	я	4_
2я	я '
J sin21 dt
о
Окончательно st(t) «4/л sin t.
Если составить ряд из (га+1) функций r\0(t), ili(0» 42(t), ..,
..., цп(0> которые попарно ортогональны на интервале (ta, tb),
т. е. удовлетворяют условию
2—-10*	33

1
, , f4(0ruW*
ib~ta -ta
О при l=^=k,
Pk при l — k,
(1.40)
1 *b
где Ph= ]|tj&(0]|2= —- f yfh{t)dt — 'средняя мощность или квад-
tb—‘a t
a
рат нормы функции щ (t), то произвольный 1сигаал s(t) 'конечной
мощности, заданный на том же интервале (О, tb), можно аппрок¬
симировать линейной .комбинацией этих («+1) функций
S(t)
С0 По (t) + Сг rj, (0 + ... + Ci r\t (t) + ... + Сп r\n (t) =
п
SCk4k(t).
*=0
(1.41)
Выражение (1.41) представляет разложение сигнала s(t) по
системе функций r\h(t). Последнюю обозначают (pfe(0}> опреде¬
ляя как базисную систему функций (или базис).
Бели в условии (1.40) ||т)*(/) |Р= 1, т. е. средняя мощность ба¬
зисной функции равна единице, то функция i)h(t) называется нор¬
мированной, а {л&(0} — ортонормированной базисной системой.
Такую нормировку всегда можно выполнить, умножив функцию
т]&(0 на 1/||т]&(011-
Коэффициенты Ck в разложении (1.41) характеризуют вес
функций т]&(0 и определяются, как и ранее, из условия миними¬
зации средней квадратической ошибки аппроксимации о2. Из
(1.41) следует, что
о
2
(1.42)
Поскольку а2 является функцией коэффициентов С0, Сь ..., С<, ...
..., Сп, то для ее минимизации нужно положить равными нулю
частные производные
д (а2) _ д(ст2) ^	д(а2) __	_ Э(а*) Q
д С0 дСг ’ ’ дСс	дСп
Запишем частную производную от (1.42) по коэффициенту Ci.
Приравнивая ее нулю, получим
или
д (а2)
dCi
д(о2)
dCt
д
дС[
д
дСс
c*ru(Q
dt\ = 0
* SChs{t)r\k{t)dt-
— 2
l ci Ch л, (t) t|h (0 dt— \(Ph r\\ (0 dt
= 0.
34

В силу ортогональности все 'слагаемые 'вида j y\i(t)j]h(t)dt равны
(а
нулю. Производные от всех слагаемых, не содержащих С*, также
равны нулю
~7 \bs^{t)dt=_±_ \bc*Mt)dt = -^- lbCks(t)r\k(t)dt=0.
1 *а	1 *а	£ *а
В результате остается только два не равных нулю слагаемых
И -2Ct s (t) т (t) + С*, па, (0] dt = 0.
OLi t
la
Изменяя порядок действий, после дифференцирования получаем
1ь	1ь
2 $s(t)i]i(t)dt = 2Ct JnMQdf,
*а
откуда, возвращаясь от индекса i к обобщенному индексу к, имеем
{ъ
Js (о т (о dt	t
ск =		=~-fsmk(t)dt. (1.43)
‘ь	Рк ч — ta
В числителе (1.43) записана взаимная энергия (мощность) сигна¬
ла s(t) и базисной функции ц&(0> в знаменателе — энергия (мощ¬
ность) базисной функции.
Рис. 1.8
Пользуясь векторным представлением, сигнал s(t) согласно
(1.41)	можно отобразить некоторой точкой М многомерного функ¬
ционального пространства, которая является концом вектора а,
идущего из начала координат (рис. 1,8). Коэффициенты {Ск} ряда
(1.41)	, однозначно определяющие сигнал, соответствуют коорди-
8*	М

натам точки М или проекциям вектора а на оси координат. На¬
правление последних определяется ортогональной системой базис¬
ных функций {rjft(/)}, имеющей смысл системы координатных век¬
торов в векторном пространстве.
Из выражения (1.42) можно получить формулу, удобную для
расчета величины а2. После возведения в квадрат подынтеграль¬
ной функции получим
h
Гlbs*(t)dt+j]c\ \bn\(t)dt-2j]ck
“ L ‘а	*=° *а	*=° *а	J
Из (1.43) имеем
J- . А(0 %(tY.dt = CkPh.
fb la t
(1.44)
(1.45)
Подставляя (1.45) в (1.44) и принимая во внимание (1.40), пог
лучим
а2 = ---1—-	(0 dt- (С20 Р0 + С\ Рх + ... + С*п Рп).	(1.46)
ib-ta ]а
Здесь Ра, Р1, .... Рп — средние мощности соответствующих базис¬
ных функций.
Выражение (1.46) позволяет определить величину средней
квадратической ошибки аппроксимации о2 в зависимости от при¬
нятой базисной системы и числа членов, составляющих ряд (1.41).
Поскольку первый член правой части равенства (1.46) описывает
мощность Р сигнала s(t)
1 *ь
Р =	!	[$*(*)*,
tb-ta \
а
то выражение (1.46) можно записать в виде
в2=р-£с\рк,
ft=0
откуда следует неравенство Бесселя
P>flC2kPk,	(1.47)
fc=0
которое означает, что мощность приближенной копии сигнала
s(t), полученной в результате его аппроксимации многочленом
(1.41), меньше или равна мощности оригинала.
Из выражения (1.46) видно, что с увеличением п, т. е. при ап¬
проксимации сигнала s(t) большим числом ортогональных функ¬
ций ошибка <т2 уменьшается. Практически важно так выбрать си¬
стему базисных функций (г]ч(/)}. чтобы обеспечить заданную точ¬
ность аппроксимации при минимальном числе чденов ряда (1.41).
36

По определению а2 — положительная величина, следователь-
оо
но, в пределе при л->оо в выражении (1.46) сумма 2 C\Ph схо-
■ *
дится к интегралу J s2(t)dt и ошибка о2 стремится к нулю.
В результате приходим к равенству
-J~b4f)dt^c\Pk
1Ъ Io ta	ft=0
илн
P=2C\Ph,	(1.48)
л=*о
которое называется равенством Парсеваля.
Проиллюстрируем разложение сигнала в ряд (1.41) на примере прямо¬
угольного разнополярного импульса. Для его аппроксимации воспользуемся
системой ортогональных функций {sin£f}=sinf, sin ‘It, sin Ы .... Коэффициенты
Сь вычисляются по формуле (1.43):
Си —
2я
j s(t) sin kt dt
О
2я
J sin2 kt dt
о
( 4
I—~ для k нечетного,
=
lO для k четного.
В результате получаем следующую аппроксимацию
4/1	1	1	\
s(t) = — ( sin< +— sin 3/ + sinЫ + —sin 7< + ... ).
я \ .	3	5	7	/
На рис. 1.9,a—в показаны прямоугольная функция s(t) и функции, аппрокси¬
мированные соответственно одним, двумя и тремя членами полученного ряда.
Прн заданном числе членов каждая из этих аппроксимаций оптимальна, так
как минимизирует среднюю квадратическую ошибку о2. Как видно из рис. 1.9,
с увеличением числа членов ряда аппроксимация улучшается (о2 уменьшается).
Если в разложении (1.41) число членов ряда л->-оо, то полу¬
чим
s(t) — С0г|0 (t) +	Tjj (0 +...+ Сгт|£ (/)+... = 2 Ск % (/).	(149)
' к=0
Бесконечный ряд в правой часта 'равенства сходится к функции
■s(t) так, что средняя квадратическая ошибка аппроксимации о2
равна нулю. Такие ряды называются сходящимися в средне¬
квадратичном. Представление сигнала 'бесконечным рядом 'взаим¬
но-ортогональных функций (1.49) называют обобщенным рядом
'Фурье. В ряд вида (1.49) можно разложить произвольный сигнал
конечной мощности, если система базисных функций {т)й(()} об¬
разует полное множество.
37

Коэффициенты ряда Ch определяются по формуле (1.43)
1
1
Pk tЬ ta
$ s (t)	(t) dt.
(1.50)
В формулах (1.49) и (1.50) переменная k является дискретной
величиной, по которой упорядочена система базисных функций
(например, для системы базис¬
ных функций вида:	1, cos соt,
cos 2о)t, ... k — 0, 1, 2, ...), at — не¬
прерывной величиной.
Совокупность коэффициентов
Фурье {Ch} носит название спек¬
тра сигнала s(t).
Произведение С&т]&(7) опреде¬
ляется как спектральная состав¬
ляющая сигнала. Тем самым
обобщенный ряд Фурье представ¬
ляет сигнал s(t) в виде бесконеч¬
ной суммы спектральных состав¬
ляющих.
Со
Ск
С1
h
Lu-d!
о i 2	3	4	п
Рис. 1.10
1...1
Генератор ортогональных
		сигналов {щШ}
!J0(t)
I
ЦпМ
Г 1
*Сц
г
i
1 *Cr 1
L J
ЧП
Cftydi \CpT?r(t)
		♦
C/7 J]n(t)
sfij srnf +CjsinJf+
+Cssm5t
6Z = 0.0675
Сумматор
Рис. 1.9
Рис. 1.11
Любая из двух форм выражения сигнала — обобщенный ряд
Фурье (1.49) или спектр {С&} (1.50) — однозначно определяют
сигнал.
Совокупность коэффициентов {СУ}, изображенная графически
в виде вертикальных отрезков, дает наглядное представление о
38

опектре сигнала (рис. 1.10). Из условия ограничения сигнала s(t)
по мощности и равенства Парсеваля (1.48) следует, что коэффи¬
циенты Фурье Ch с завышением порядка k функции r)u(t) стре¬
мятся к нулю, т. е. lim С& = 0. Таким образом, сигнал конечной
k-*OQ
мощности, заданный на ограниченном интервале времени, обла¬
дает дискретным спектром, убывающим по величине при k^oo.
На основе ряда (1.49) возможен синтез сигналов. На рис. 1.11
изображена функциональная схема синтезатора, использующего
систему базисных'функций (щ^)}-
Для разложения комплексного сигнала ,в обобщенный ряд Фурье
используется система комплексных базисных функций {щ^)}- По
аналогии с действительным сигналом произвольный комплексный
сигнал s(^) может быть разложен в обобщенный ряд Фурье по
полному ортогональному комплексному базису {т]&'(0}
00
s(0 = 2CftT]ft(0.	(1.51)
k=0
Здесь коэффициенты Ск являются в общем случае комплексными
величинами и определяются но формуле
Си =\Ь S (0	(0 dt,	(1.52)
Рк Jb — ta t
а
где	Рк = — 1 — {	(t) г)\ (t)dt
tb-ia \а
— мощность комплексной базисной функции щ (/).
Вопросы для самопроверки
1.	Как определяется мгновенная ,мощность, энергия и средняя
мощность сигнала s(t) на интервале времени (ta, tb) ?
Как определяется средняя мощность сигнала, заданного на ин¬
тервале (—оо, оо)?
2.	Что понимается под взаимной энергией и взаимной мощно¬
стью сигналов si и s2?
3.	Как формулируется условие ортогональности двух сигналов
по энергии и по мощности? Что понимается под интервалом
ортогональности? Приведите примеры взаимно-ортогональных
функций.
4.	Обладают ли свойством аддитивности мгновенные мощности,
энергии и средние 'мощности двух различных сигналов si и s2?
5.	Как определяются энергетические характеристики комплекс¬
ного сигнала s (t) ?
6.	Как формулируется условие ортогональности двух комплекс¬
ных сигналов si и s2?
7.	Как определяются простейшие разрывные функции sign (/),
o(t), 6 (/) ? Представьте их в аналитической форме и графи¬
чески.
39

8.	В чем заключается 'фильтрующее свойство б-функции? Чему
равно произведение произвольной функции s(t) на б(t—t0)?
9.	Являются ли ортогональными любые две 6-функции, имеющие
особенности в различные моменты времени?
10.	Какая связь существует между функциями sign (t), a(t), b(t),
rect^/ти)?
11.	Как описать произвольный финитный сигнал
с помощью а) единичной функции a(t); б) прямоугольного
импульса rect(^TH) ?
12.	Как записать с помощью элементарных разрывных функций
сигнал
и его производную s'(t) = ds(t)/dt? Какой вид имеют графики
функций s(i) и s',(t)?
13.	При каких значениях начальных фаз ф! и ф2 .сигналы
ортогональны на интервале времени Г = 2я/о)о?
14.	Что понимается под АКФ Ч1- (т) детерминированного сигнала?
Какой смысл имеет переменная т?
15.	Какой вид имеет АКФ периодического сигнала? Приведите
простейший пример.
16.	Как определяется ВКФ 4ri2(т) двух сигналов si и s2? Вырази¬
те ВКФ через их свертку.
17.	В чем состоит различие свойств ВКФ ^^(т) и АКФ ^(т)?
18.	Что понимается под средней квадратической ошибкой аппрок¬
симации сигнала? При каких условиях эта ошибка мини¬
мальна?
19.	В чем заключается неравенство Бесселя и равенство Парсе-
валя?
20.	Что понимается под обобщенным рядом Фурье? При каких
условиях сигнал может быть разложен в обобщенный ряд
Фурье?
21.	Как определяются коэффициенты {С&} обобщенного ряда
Фурье? Функциями каких переменных (дискретных, непрерыв¬
ных) являются коэффициенты {Сь} и базисные функции
22.	Что понимается иод спектральной составляющей и спектром
сигнала? Какой вид имеет спектр сигнала, заданного на ко¬
нечном интервале времени?
23.	Как /выражается обобщенный ряд Фурье и коэффициенты ряда
для комплексного сигнала?
0 при tcta,
s (0 — s (f) при ta
0 при t > 4
= A cos (o)01 + фх) и s2 = A cos (o)01 + ф2)
40

ГЛАВА ВТОРАЯ
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
В настоящее время для спектрального анализа сигналов ис¬
пользуется сравнительно небольшое количество полных и ортого¬
нальных систем базисных функций. Наибольшее применение наш¬
ли тригонометрические {cos пх, sin пх) и комплексные экспонен¬
циальные {е*"х} базисы, на которых строится классический спект¬
ральный анализ сигналов.
Однако в ряде случаев используются другие базисные функ¬
ции. Выбор системы базисных функций предопределяется видом
сигналов, задачами и методом анализа (или синтеза). Например,
при дискретизации непрерывных сигналов по времени используют
функции вида sin х/х. Интенсивное внедрение ЭВМ привело к ши¬
рокому применению цифровой обработки сигналов. При этом наи¬
более эффективно разложение сигналов по системам кусочно-пос¬
тоянных функций, например функций Уолша. Иногда целесооб¬
разно применение и других систем базис¬
ных функций, например, функций Лагер-
ра, Эрмита, Лежандра, Чебышева.
Как известно, произвольный сигнал
s(t) можно разложить в обобщенный ряд
Фурье по любому полному ортогонально¬
му базису {л&(*)}, если интервал опре¬
деления сигнала s(t) совпадает с интер¬
валом ортогональности базисных функ¬
ций. Согласование интервалов достигает¬
ся путем изменения масштаба базисной
функции по оси t. Интервал ортогональ¬
ности базисной функции можно трансфор¬
мировать без изменения величины
Цг)к(х)Цг заменой переменной t= Тх/Х, где
Т=tb—ta—интервал определения сигнала,
Х~Ь—а — стандартный интервал ортогональности базисной функ¬
ции. Рис. 2.1 иллюстрирует растяжение интервала (а, Ь) орто¬
гональности базисной функции г)&(х) до интервала (ta, tb), на
котором задан сигнал s(t).
2.1.	Разложение колебаний по тригонометрическому
и комплексному экспоненциальному базису
Гармонический и комплексный экспоненциальный сигналы. Гар¬
моническое колебание широко используется в теории сигналов и
радиотехнических цепей. Гармонический сигнал
s(*) = A cos(o)0^-f ф).	(2.1)
удобно представить в виде комплексного сигнала, отображаемого
вектором на 'комплексной плоскости. Существует два способа та¬
кого представления:
41

1)	гармонический сигнал записывается как действительная
часть комплексного сигнала
s (/) = A cos (со01 + ф) = Re [А	= Re [A е*®»*],	(2.2)
где А=Ае>ч> — комплексная амплитуда колебания. Согласно (2.2)
гармоническое колебание на комплексной плоскости отображает¬
ся 'проекцией ОВ вектора ОС на ось действительных чисел. Этот
^вектор имеет постоянную длину А и вращается в направлении
против часовой стрелки, с постоянной угловой частотой со0 (рис.
2.2). Иногда удобно рассматривать вектор ОС 'неподвижным, а
комплексную плоскость — вращающейся в противоположном на¬
правлении.
2)	гармонический сигнал представляется полусуммой двух ком¬
плексно-сопряженных сигналов
s(t) = A cos (со01 -f- ф) =	(A eW ej®»* -f- A е-^ e-J®»*) =
= — Ие)м"Ч
2
— A*e
2
—J(o0i
(2.3)
где A* — амплитуда, комплексно-сопряженная А. На комплексной
плоскости колебание — A e1 ®«г отображается вектором ОСь а со¬
пряженное ему колебание-^- д*е_-,Мо*—вектором ОС2 (рис. 2.3).
Оба вектора имеют длину А/2 и вращаются с угловой частотой too
во взаимно противоположных направлениях. Суммарный вектор
ОВ, 'Отображающий колебание (2.3), в любой момент времени па¬
раллелен оси действительных чисел. Следовательно, мнимая часть
колебания (2.3) равна нулю.
Тригонометрический ряд Фурье. Система тригонометрических
функций кратных аргументов {oostiaot, sin/ico^} (п=0, 1, 2, 3, ...)
является полной и ортогональной на интервале (to, U+Т), где
t0 — произвольная величина, а Т = 2л/соо — цериод базисных функ¬
ций.
Произвольный сигнал s(t) конечной мощности можно разло¬
жить на интервале (t0, t0+T) в рад по тригонометрическому ба¬
зису
42

s (f) = a0/2 -f- ax cos to0 / -f- a2 cos 2to0 / -f-... -\-an cosnco0i-lr ... sin co01-\-
-|-62sin2cD0H- ...'-|-^nsin/uo0f-|-...
или
s(0 = «o/2H-S (flncosn©o^ + ^nsinntD0/) при < * </„-j-7\	(2.4)
n= 1
Выражение (2.4) называют тригонометрическим рядом Фурье. Ко¬
эффициенты ряда ап и Ъп вычисляют по формуле (1.50)
а
71
ь
п
t„+T
j s (t) cos n co0 t dt
*0
*0+7’
. j cos2 na0tdf
*0
t„+T
( s (t) sin n co0 t dt
*0+7"
J Sirfi пщ tdt
*0
9 t°+T
— f s (t) cos na>0tdt,
т i
2_
T
t0+T
| s (t) sin n co0 / dt,
to
(2.5)
(2.6)
Oo
2
1 *0 + ^
= 1T ) s(f)dt.
T <0
(2.7)
Коэффициент a0/2 равен среднему значению функции s(t) на за¬
данном интервале времени.
Вместо выражения (2.4) часто пользуются несколько иной
формой тригонометрического ряда Фурье
оо
s(0 = +/2 + 2 /lncos(/ico0/ + q>n),	(2.8)
П= 1
где
А0/2 = а0/2, An = Va2n + b\, q>n=—arctg (bjan).	(2.9)
Комплексный (экспоненциальный)ряд Фурье. Система комплек¬
сных экспоненциальных функций {eimo°*} (л=0, ±1, ±2, ..^ об¬
разует полную систему, ортогональную на интервале (t0, t0+T),
где 7’ = 2я/соо — период этих функций, a to — произвольное начало
отсчета времени. Следовательно, произвольный сигнал s(t) конеч¬
ной мощности можно разложить ,на интервале (t0, tQ + T) по комп¬
лексному базису {ej и(0»*}
« (0 = х + + е'®*' + +- ei2».< + ...+Ц- eintD»f + ... +
-f-	e_i(°0< + 4+ e-i2<M + ■ ■ •	+ • • •
s(/) = + § + + “+
^ rt;= —oo
to<t<t0 + T, n = 0, ±1, ±2,...
43
или
(2.10)

Выражение (2.10) называют экспоненциальным или комплексным
рядом Фурье. Коэффициенты ряда (2.10) записаны в форме, удоб¬
ной для согласования их с .коэффициентами тригонометрического
ряда Фурье (2.8), и определяются по формуле (1.52)
и+т	<0+т
f s.(i) (ein“°f)*	j	s(t)
__	t,	   ig
2	t ~\-T	*
j* ei«co0< (	^	ei/uo0t e—\n(o0t 4t
^0	U
*trb T
Так как j* eJ’ncDo< e~J’nfi>o* dt= T, to
An = ^Tdt.	(2.11)
T to
Из (2.11) видно, что в общем случае коэффициенты Ап являются
комплексными величинами.
Ряд (2.10) можно получить непосредственно из тригонометриче¬
ского ряда (2.8), если воспользоваться формулой Эйлера для пре¬
образования косинусоидальных составляющих ряда. Тогда
s (f) = А + _L 2 Ап (е1™"* е1 ф" + e_i"“°f
откуда приходим к выражению (2.10)
^ П~	ОО
Здесь
Ап = А_п, Ап = Апе)ф",
А-п = Ап е_)Фп=	(2.12)
— комплексная и 'комплексно-сопряженная ей амплитуды л-й гар¬
моники; Ап и ср„ определяются по формулам (2.9). Нетрудно по¬
казать, что коэффициенты ряда (2.10) выражаются через 'коэффи¬
циенты ряда (2.4)
^71	j ‘
Таким образом, тригонометрический (2.4), (2.8) и комплексный
(2.10) ряды Фурье можно рассматривать как два способа пред¬
ставления одного и того же ряда.
Представление произвольной периодической функции рядом
Фурье на бесконечном интервале времени (—оо, оо). Аппроксима¬
ция произвольного сигнала s(t), заданного на конечном интерва¬
ле времени (t0, U + Т), осуществляется рядом Фурье только на
этом интервале. Вне этого интервала левая и правая части выра¬
жений (2.4), (2.8) или (2.10) могут не совпадать (в смысле сред¬
ней квадратической ошибки аппроксимации а2).
44

Бели sn(t) — периодическая функция с периодом 7=2я/со0, рав¬
ным периоду базисных функций, то равенства (2.4), (2.8) и (2.10)
справедливы на каждом периоде 7 при .произвольном значении t0
(например, при t0=0, 7/4, 7/2 и т. д.), т. е. на бесконечном ий-
тервале времени (—оо, оо). Следовательно, любая периодическая
функция Sn (t), заданная на бесконечном интервале вре¬
мени (—оо, оо), может быть представлена тригонометрический
(2.8)	или комплексным (2.10) рядами Фурье при условии, что пе¬
риод функции sn(t) совпадает с периодом базисных функций.
Спектр периодического сигнала. Спектр периодического сигна¬
ла 'можно построить, используя либо тригонометрический (2.8),
либо комплексный (2.10) ряды Фурье. Согласно (2.8) сигнал пред¬
ставлен суммой гармонических 'колебаний вида Лисоз(лсоо^ + фи)
с частотами лсоо, амплитудами Ап и начальными фазами сри, где
п изменяется от 0 до оо. Следовательно, спектр сигнала опреде¬
ляется совокупностью амплитуд {А„} и фаз {ср„} в области поло¬
жительных частот. Согласно (2.10) .сигнал s(i) представлен сум¬
мой комплексных составляющих вида — Ап eJ'”Mot, где п изменяет¬
ся от —оо до оо. Спектр сигнала определяется совокупностью
комплексных амплитуд {—Ап} как в области положительных, так
и в области отрицательных частот.
Воспользуемся комплексным рядом Фурье для определения
спектра периодического сигнала. Пусть сигнал sn(t) является пе¬
риодической .последовательностью импульсов s(t) с периодом 7
(рис. 2.4), т. е.
*п(0= 2 *(t-kn
k—	оо
Комплексные коэффициенты ряда Фурье согласно (2.11) равны
А	1
=^г 1 sn (/) e-J*M dt
и
или, 'что то же самое,
2 Т
ОО
Js(/)e-j«ffl.‘ dt.
■оо
(2.13)
45

Из (2.13) следует, что при 7=const коэффициенты Ап/2 зависят
только от формы одиночного импульса s(t), т. е. характеризуются
интегралом
G(niо0) = ]s(()e-ine>oidt.	(2.14)
Комплексная функция частоты G(ntoo) в формуле (2.14) является
спектральной характеристикой или спектральной плотностью оди¬
ночного импульса s(t), определяемой на частоте «соо- Из сравне¬
ния (2.13) и (2.14) следует соотношение, связывающее комплекс¬
ные амплитуды ряда Фурье со спектральной плотностью одиноч¬
ного импульса
-ib = ir(}(nco0).	(2.15)
Поскольку комплексные коэффициенты Фурье А„/2 характеризу¬
ются модулем и аргументом, то для представления периодическо¬
го (колебания нужно иметь два спектра:
спектр, амплитуд {— Ап(са)}, который согласно (2.12) являет¬
ся четной функцией частоты са;
спектр фаз {ф„(са)}, являющийся нечетной функцией часто¬
ты со.
Графически спектр амплитуд (фаз) изображается вертикаль¬
ными отрезками на дискретных частотах 0, ±со0, ±2соо, ... Длина
_	отрезков пропорциональна
siiW	,,_Т1 модулю (аргументу) соот-
/rectfl,)
О 5а
г
Ereti(trif)
' Г
ветствующего комплексного
коэффициента Фурье Ап/2.
Таким образом, периоди-
1 ческое (колебание так же,
лак и сигнал, заданный на
конечном интервале време¬
ни, обладает дискретным
(или линейчатым) спектром.
Рассмотрим спектр последовательности однополярных прямоугольных им¬
пульсов (рис. 2.5).
Для разложения заданной периодической функции
Рис. 2.5
sn (О — f ге£4
k=—oo
t — kT
воспользуемся комплексным рядом Фурье (2.10). Коэффициенты ряда опреде¬
ляются по формуле (2.11).
Т/2	1 ти/2	ос	1
J sn (0 e-J™»' dt= — f E e~ina° * dt = —^ sin f —
-T/2	T -r„/2
An
1
n <a0T \
* Здесь и далее пользуемся сокращенной записью rect (t/тп) прямоуголь¬
ного импульса, симметричного относительно оси ординат, имеющего длитель¬
ность тн и единичную амплитуду.
46

Ап E ти rsin(»<OoTH/2)|
2 T [ ti coo ^и/2 J
(2.16)
где о)о=2я/7’. Заключенное в скобки выражение имеет вид функции sinxfx, ко¬
торая обозначается sine (х) (рис. 2.6). Функция осциллирует с периодом 2я,
затухая с ростом х, и проходит через нуль в точках х — ± я, ±2я, ... и т. д.
При х=0 функция принимает значение, равное единице [ lim (sin х/х) = I].
а:—О
Выражение (2.16) можно записать в виде
Ап/2 = Е xajT sine (п <в0 ти/2)
Подставляя co0=2.n/r, получим
Ап!2 = Е xaIT sine (п яти/2"),
соответственно комплексный ряд Фурье выражается
п яти ^
Т Г
su (t) = ^rU § sine
* П=—оо
j n(O0t
(2.17)
(2.18)
Поскольку sinc(x) — четная функция аргумента, то Ап=А-п. Найденный
спектр (2.17) является дискретной функцией, существующей только на частотах
о) = 0>	±2я/Г, ±4я/Г, ±6я/Г, ... и т. д. Амплитуды составляющих спектра
пропорциональны значениям функции sine (пяти/Г). Из (2.17) следует, что
Ап — действительная величина. Поэтому для частотного представления сигнала
(t) достаточно построить лишь
один спектр. Такой спектр из ко¬
эффициентов {Ап (со)/2}, вычислен¬
ных для значений ти = 0,05 с и
7’=0,25 с, т. е. при скважности
импульсной последовательности
Л?=7’/Ти=5, показан на рис.
2.7,а. С увеличением периода Т
основная частота 2я/Г уменьша¬
ется и спектр становится плотнее,
а амплитуды гармонических со¬
ставляющих уменьшаются. Форма
огибающей частотного спектра ос¬
тается неизменной.

Иногда заданную периодическую функцию характеризуют спектром ампли¬
туд, как модулей |Д„/2| или |Лп|, и спектром фаз. При этом изменение знака
функции sine (плТя/Т) относят к скачку ее фазы на величину я, учитывая, что
+ 1 = exp (± j 2k я),
— 1 = exp [± j (2k + 1)я],
где fe=0, 1, 2, ... — любое целое число.
Следовательно, когда функция sine (rmxn/T) положительна, то фаза фп =
=2kn, а когда отрицательна — ф„ = (2k +1) я. Поэтому фазовый спектр имеет
вид ступенчатой дискретной последовательности. На рис. 2.7, б, в для последо¬
вательности импульсов с теми же параметрами изображены односторонние
спектры амплитуд и фаз, соответствующие тригонометрическому ряду Фурье
(2.8).
Распределение мощности и энергии в спектре периодического
колебания. Средняя мощность Р периодического колебания sn(t)
за период Т согласно равенству Парсеваля (1.48) выражается
бесконечной суммой мощностей спектральных составляющих
оо
P=%C2kPk.
fe=о
В случае комплексного ряда Фурье (2.10) коэффициенты Сь.
принимают 'значение Ли/2 (п изменяется от —оо до оо), а сред¬
няя за период Т мощность'базисной функции Рц= 1.
Тогда
= Т? А*
(2.19)
Бели sn(0—ток или напряжение, то Р — средняя за период Т
мощность, выделяемая ib сопротивлении 1 Ом.
В случае тригонометрического ряда Фурье (2.8) равенство
(2.19)	преобразуется к виду
Р = А\14 + 2 ^42п/2,	(2.20)
п=1
где А20/4 — средняя мощность постоянной составляющей ряда
Фурье, А2п/2 — средняя мощность п-й гармоники.
Переходя и энергии Э, выделяемой периодическим колебанием
sn(t) за период Т, получим соответственно
5=ТГ 2 А2п	(2.21)
П=— оо
И
э=
Л20/4+ 2^V2l
П=1	J
(2.22)
Равенства (2.21) и (2.22) показывают распределение энергии пе¬
риодического колебания по частотам и позволяют построить спектр
его энергии. Составляющие спектра пропорциональны квадратам
амплитуд 'соответствующих гармоник и не зависят от их началь¬
ных фаз.
48

Спектр энергии периодической последовательности импульсов
можно также выразить через спектральную плотность одиночного
импульса G(со), подставив выражение (2.15) в (2.21) и (2.22).
Тогда
"	1 2	(2.23)
т
* П=—оо
'= v|"G2(°) + 2S Ga(nt°o)
1 L	n=i
(2.24)
где G2(0) и G2(nto0)—значения квадратов модулей спектральной
плотности одиночного импульса соответственно на пулевой часто¬
те и частоте л-й гармоники.
Таким образом, относительное распределение энергии стерлоди-
чеокого колебания между гармоническими составляющими опре¬
деляется функцией G2(to), которая (с учетом масштабного коэф¬
фициента) является огибающей спектра энергии периодического
колебания.
Представление произвольной функции на интервале времени
(—оо, оо). Интегральное преобразование Фурье. Одиночный им¬
пульс ■ (непериодический сигнал) s(i), заданный на бесконечной
оси времени (—оо, оо), включающей цнтервал времени (ti,t2), где
сигнал s(t) определен, и интервалы времени, когда он тождест¬
венно равен нулю (рис. 2.8), можно получить как предел перио¬
дической последовательности импуль-
оо
сов s„(t)= 2 s(t—kT) при устрем-
оо
лении периода Т к бесконечности
s (t) = lim sa(i).
Г— СО
Соответственно ряд Фурье (2.10),
представляющий периодическую функ¬
цию s„(t) на бесконечном интервале времени (—оо, оо), будет
представлять и одиночный инпульс s(t) на том же интервале,
если в выражении (2.10) положить Г-+-оо. Учитывая соотношение
(2.15), запишем
s(/) = Hmsn(0 = Hm
Т-*- оо	Т"-►ОО
\_
2
S ,4„е>"*-' = 11т Д fj
=-*>	2 П=-со 1
или, подставляя значение 7’=2я/соо, получим
1 00
s(0 = Hm — 2 G(n со0)е),,<й“‘со0.	(2.25)
В пределе при Т-*-оо угловая частота со0=2я/7’ превращается в
бесконечно малое приращение частоты da, частота п-й составля¬
ющей' ряда «соо — в текущую частоту со, а операция сумми¬
рования переходит в операцию интегрирования. Выражения (2.25)
и (2.14) принимают вид:
49

(2.26)
s (/) = — j G (со) ei<0* d со,
2я .—oo
•	00	1 J
G(co) = Js0)e-,e'df.	(2.27)
Формулы (2.26) и (2.27) дают соответственно временное и час¬
тотное представление 'непериодического сигнала, заданного на ин¬
тервале (—оо, оо), и составляют пару преобразований Фурье.
Формула (2.27) позволяет осуществить прямое преобразова¬
ние и найти спектральную плотность б(со) импульса s (t). Симво¬
лически это 'записывается в форме
f [s (01 = G (со)
или s(t)-<—vG(co).
Необходимым условием применимости преобразования Фурье
(2.27)	к функции s(i) является ее абсолютная интегрируемость
оо
J|s(0lctf<oo,	(2.28)
—00
т. е. интеграл (2.28) должен сходиться.
Формула (2.26) позволяет осуществить обратное преобразова¬
ние и вычислить мгновенное значение импульса s(t), если задана
его спектральная плотность G (со). Символически это записывает¬
ся так:
f 1 [G (со)] = s (0
или й(со)ч—>-s(Q.
Для действительных сигналов выражение (2.26) можно запи¬
сать в виде одностороннего, преобразования Фурье (часто более
удобного для вычислений)
s(t) — 2 Re —— f G (со) e da.	(2.29)
2я
Из (2.29) следует, что сигнал s(t) и все его свойства полностью
определяются спектральной плотностью G(co), заданной только в
области положительных частот.
Интеграл Фурье (2.26) представляет сигнал s(t), заданный на
бесконечном интервале времени (—оо, оо), интегральной суммой
функций ejtD< с частотами —оо<со<оо, отстоящими друг от друга
на бесконечно малую величину do. Это позволяет говорить о
непрерывном (сплошном) спектре, которым обладают непериоди¬
ческие сигналы. Из (2.26) видно, что амплитуды составляющих
спектра на любой частоте со бесконечно малы
d А (со) = — G (со) d со,
Я
50

поэтому для описания частотных свойств непериодического сиг¬
нала пользуются введенным выше понятием спектральной плот¬
ности. Из соотношения для модулей
d А (со) = — G (со) d со
я
следует, что
d А (со)
d со
— G( со),
Я
т. е. модуль спектральной функции G(co) характеризует плотность
распределения амплитуд составляющих сплошного спектра непе¬
риодического сигнала по частоте.
Спектральная плотность G(co) обладает всеми основными свой¬
ствами коэффициентов Ап комплексного ряда Фурье, с которыми
она связана соотношением (2.15).
Действительно, по аналогии с (2.12) и (2.13) спектральную
плотность G(m) сигнала s(t) можно записать в виде
G (со) = G (со) eJ0<M) = j s (() e-JM< Л =
'■'О	оо
= §s(f) cosatdt—j js (t) sin со t dt = a (со)—j Ь (со).	(2.30)
Действительная часть выражения (2.30) a(co) = (s(t)cosaidt
— оО
является четной функцией частоты, а коэффициент при мнимой
оо
части b(co)=j s(()sina)(d( — нечетной функцией частоты. Следо-
- он
вательно, модуль и аргумент спектральной плотности, определяе¬
мые выражениями
G (и) = ]/а2 (м) + 62 (и)	(2.31)
и	0(g))	=—arctg (b (сй),/а (сй))	(2.32)
являются соответственно четной и нечетной функциями частоты о).
При графическом изображении спектра непериодического сиг¬
нала принято строить амплитудно-частотный (или просто ампли¬
тудный) J G (со) | и фазочастотный (или просто фазовый) 0(сй) =
= argG(co) спектры.
Соотношение	(2.15)	определяет связь на	одной	и	той	же час¬
тоте	по)0	модулей	(Ап,	G(ntoo)) и аргументов	(<рп,	0(лсоо))	комп¬
лексных функций Ап и G(ntoo), а именно
-jt=±G(n«>0),	(2.33)
фп = е(ло)0).	(2.34)
Следовательно, модуль спектральной плотности одиночного им¬
пульса G(g)) с точностью до коэффициента 1 /Т (для комплексно-
51

Таблица 2.1
Исходные определения:
1)	функции, сопряженные по Фурье:
00	j	00
0(со) = J s(t) exp (—jco/) dt+	>s{t) = — J G(co) exp (jw/) da>;
—00	— cc
2)	функции, свернутые по времени
Спектр G = G(со) Примечание
4 5
2яз(—со) —
G* = G*(со) V — знак инверсии аргумента;
jfs — знак комплексной сопряженности
A0i-\-B(j2 А, В — постоянные величины
g[ — J а — постоянная;
v °/ о>1—сжатие сигнала и растяжение
спектра;
о< 1 — растяжение сигнала и сжатие
спектра
j coG —
(j co)nG —
dnG
da>n
Вид колебания
S = s<f)
3
G(t)
s=s (—t)
Ast+Bs2
as (at)
s’(t)
s<">(0
(-j0"s(0
Характер, свойство преобразования
2 1
Свойство симметрии
Инверсия аргумента функции
Свойство линейности
Изменение масштаба времени
Дифференцирование по времени
я-кратное дифференцирование по вре¬
мени
я-кратиое дифференцирование по час¬
тоте
с
'с
*
1
1
2
3
4
5
6
7

Продолжение табл. 2.1
1 5
Результат справедлив, если s(t) =0
при «(о
U — постоянная величина
й — постоянная величина
Перенос спектра на частоту й
АКФ и спектр энергии Е (со) финитно¬
го сигнала s
ВКФ и спектр взаимной энергии Еi2(co)
финитных сигналов Si и S2
4
0 ехр(—j a>t3)
0 (со—й)
~ [С? (to—й) +
+ б(со+й)]
—
2Я
Й1Й2
0*0=Е(а>)
(j*t(j2=Ei2(to)
1 3 1
t
\s(Q)dQ
s{t—t3)
s(/)exp(j Й/)
s(/) cos Ш
$t$2
Sj 0 S2
s 0 s = ¥(t)
®1 & $2 = ^12^)
2
Интегрирование по времени
Свойство временного сдвига (теорема
запаздывания)
Свойство частотного сдвига
Умножение на гармоническую функ¬
цию
Произведение двух функций
Свертка функций по времени
Автокорреляционная функция (АКФ)
Взаимная корреляционная функция
(ВКФ)
1
8
9
10
11
12
13
14
15
53

го ряда Фурье) и 2/Г (для тригонометрического ряда) является
огибающей спектра периодической последовательности подобных
импульсов. Аргумент спектральной плотности одиночного импуль¬
са 0(со) является огибающей фазового спектра периодического
сигнала.
Пользуясь выражениями (2.33) и (2.34), можно по спектраль¬
ной плотности одиночного импульса построить амплитудный и фа¬
зовый спектры периодической последовательности импульсов.
Некоторые свойства преобразования Фурье. Формулы (2.26) и
(2.27)	преобразований Фурье позволяют определить, как влияют
те или иные действия над функцией во временной области на ее
представление в частотной области, и наоборот. Например, бы¬
вает важно выяснить, что произойдет со спектром сигнала, если
последний сдвинуть во времени или без изменения формы сжать
(растянуть) во времени и т. д. Некоторые наиболее важные соот¬
ношения приведены в табл. 2.1.
2.2.	Спектральные плотности АКФ и ВКФ. Распределение
энергии в спектре непериодического сигнала
Определим спектральную плотность автокорреляционной функ¬
ции Чг(т) сигнала s(t). Если сигнал s(t) обладает спектральной
.плотностью О (со), то, пользуясь” свойством инверсии аргумента
функции (табл. 2.1, поз. 2) и теоремой о свертке функций (табл.
2.1,	поз. 13), получим
'F(T) = s(t)<g)s(—т)ч—у G G* = G2,
т. е.
1 00
'Р(т) = — JG2 е^“т ofco.	(2.35)
2Я —оо
Соответственно
ос
G2 = j ¥ (т) e~jMT d т.	(2.36)
— ос
Из выражения (2.35) следует, что спектральная плотность АКФ
равна квадрату модуля спектральной плотности сигнала и; следо¬
вательно, не зависит от фазового спектра сигнала.
На основании (2.35) и (2.36), составляющих пару преобразо¬
ваний Фурье, можно заключить, что чем шире спектр G(co) сиг¬
нала, тем меньше интервал корреляции, т. е. величина сдвига х,
в пределах которого корреляционная функция отлична от нуля.
Соответственно, чем больше интервал корреляции заданного сиг¬
нала, тем уже его спектр.
Если в (2.35) положить т=0 я учесть соотношение (1.11), то
приходим к равенству Парсеваля для непериодического сигнала
ОО	1 оо	1 оо
Э= J s2 (t) dt = —— jG2 (со) dot = ——( G2 (со) dco.
—cx>	2я	я g
54
(2.37)

Выражение (2.37) позволяет по 'спектральной плотности сиг¬
нала определить энергию Э, выделяемую сигналом в сопротивле¬
нии 1 Ом.
Пользуясь формулой (2.37), можно выбрать полосу пропус¬
кания цепи в зависимости от длительности импульса или шири¬
ны его спектра, которые определены по энергетическому крите¬
рию.
Аналогичные соотношения можно получить для взаимной кор¬
реляционной функции Чг12(т) сигналов Sj и s2, имеющих спек¬
тральные плотности С?х и б2. -На основании тех же свойств преоб¬
разования Фурье можно записать
т. е.
Соответственно
%2 (х) = % (t)(g)sa ( — т) ч—v Gx G%
Yl2(T) = ^ ?Сг G%eJ-dco.
Gj G\= JYu(t)e-^dx.
(2.38)
(2.39)
Полагая в соотношении (2.38) т=0 и учитывая (1.18), полу¬
чим
Э12= )Si (f)s.2(i)dt=— $GxG*2d со.
(2.40)
Формула ,(2.40) выражает равенство Парсеваля, определяющее
энергию взаимодействия Э12 двух различных сигналов.
2.3.	Спектр энергии финитного сигнала и его связь с АКФ
Под спектром энергии (или спектральной плотностью энергии)
E(f) сигнала понимают величину энергии, приходящейся на еди¬
ницу полосы частот. Тогда полная энергия Э сигнала может быть
выражена через двусторонний спектр энергии сигнала
3= \E{f)df.
(2.41)
Сравнивая правые части выражений (2.37) и (2.41), заключаем,
что
£(/) = № (2 л/),	(2.42)
где 2nf=e>.
То есть спектр энергии непериодического сигнала определяет¬
ся квадратом его спектральной плотности G2(со) и с учетом (2.36)
может быть получен прямым преобразованием Фурье автокорре-
лящионной функции Ч'-(т) сигнала
£(/) = j'F(T)e-J2"^T.
(2.43 а)
55

Соответственно АКФ сигнала получается обратным преобразова¬
нием Фурье спектра его энергии
Y(t)= J£ (f) ei2ltfT df.	(2.43 6)
—oo
Следовательно, чем шире спектр энергии сигнала, тем уже
интервал корреляции, и наоборот.
2.4.	Спектр взаимной энергии двух финитных сигналов
и его связь с ВКФ
По аналогии со спектром энергий E(f) финитного сигнала s
.спектр взаимной энергии El2(f) двух финитных сигналов Si и s%
определяется как величина взаимной энергии сигналов, приходя¬
щаяся на единицу полосы частот. При этом полная взаимная энер¬
гия Э\2 выражается так:
00
Эа= ^12(f)df.	(2.44)
— 00
Сопоставляя выражения (2.40) и (2.44), получаем
E1,(f) = G1(2nf)&t(2nf).	(2.45)
Как это следует из (2.38), спектр взаимной энергии £12 (f) двух
сигналов, определяемый произведением GiG*2, связан с взаимной
корреляционной функцией Чг12(т) сигналов преобразованием
Фурье
Еп (/) = JY12 (т) e~i2nlx d х	(2.46 а)
— Оо
и
00
■ YU(T)= j£12 if) е12я1х df.	(2.46 6)
—00
Таким образом, при заданной энергии двух сигналов поведение
ВКФ в зависимости от т позволяет установить, при каком взаим¬
ном сдвиге обеспечивается наибольшее сходство между ними.
2.5.	Примеры определения спектральной плотности сигналов
Ниже приводится краткое описание некоторых сигналов и опре¬
деляются их спектральные плотности. При определении спектраль¬
ных плотностей сигналов, удовлетворяющих условию абсолютной
интегрируемости, пользуемся непосредственно формулой (2.27).
Спектральные плотности ряда сигналов приведены в табл. 2.2.
1. Импульс прямоугольной формы (табл. 2.2, поз. 4). Колебание, изобра¬
женное на рнс. 2.9, а можно записать в виде
s (?) = Л rect (t/x„).
56

Его спектральная плотность
О (со) = Y A e-W dt = ~ ( е 1мТи/2 - е~1мти/2 ) =
-V*
sincoT„/2
= Лти щТи/2 = 4THsinc(coTH/2).	(2.47)
График спектральной плотности G(co) (рис. 2.9,6) построен на основе прове¬
денного ранее анализа спектра периодической последовательности однополярных,
прямоугольных импульсов (2.16). Как видно из рис. 2.9,6, функция О(со) обра¬
щается в нуль при значениях аргумента шти/2 = пя, где п= 1, 2, 3, ... 	 лю¬
бое целое число. При этом угловые частоты равны ш = 2яп/ти.
S(t)
А
а
" 2
Спектральная плотность импульса при со = 0 численно равна его площади,,
т. е. G (0) =Лти. Это положение справедливо для импульса s(t) произвольной’
формы. Действительно, полагая в общем выражении (2.27) со = 0, получим
00	оо
G(0) = j s(Oe-J0'*ctf= \s(t)dt,
—оо	—оо
т. е. площадь импульса s(t).
При растягивании импульса расстояние между нулями функции О (со) со¬
кращается, т. е. происходит сжатие спектра. Значение 0(0) при этом возра¬
стает. Наоборот, при сжатии импульса происходит расширение его спектра,,
а значение 0(0) уменьшается.
На рис. 2.10, а, б приведены графики амплитудного G(со) и фазового 0 (со)
спектров	прямоугольного	импульса.
При сдвиге импульса вправо (за¬
паздывание) на время ти/2 (рис. 2.11)
фазовый спектр изменяется на величи¬
ну —соти/2, определяемую аргументом
множителя ехр (—j'coth/2) (табл. 2.1,
лоз. 9).	'Результирующий	фазовый
спектр запаздывающего импульса изо¬
бражен на рис. 2.10,6 пунктирной ли¬
нией.
Рис. 2.10
57
Рис. 2.11

Сигнал s(*)	Спектральная плотность G(co)
сч
сч
53

Продолжение табл. 2.2
59

Продолжение табл. 2.2
сь
tb «N
сЬ
¥5
3
•S
3
•S
СО
е
з
•S
з
+
3,
об
е
+
0
3
1
3,
об
е
II
8“
•S
з
'8
60

Окончание табл. 2.2
61

2.	Дельта-функция 6(1) (табл. 2.2, поз. 9). Спектральную плотность (?6 (<о)
б-функции находим по формуле (2.17), используя фильтрующее свойство
6-функции:
СО
СбИ= $в(*)е-,<в,Л= 1.	(2.48)
— СО
Таким образом, амплитудный спектр G6 (<о) равномерный и определяется пло¬
щадью 6-функции [G6 (to) = 1], а фазовый спектр равен нулю [06 (<о)=0].
Обратным преобразованием Фурье от функции G6(co) —1 пользуются как
одним из определений 6-функции:
1	00	1 оо
б^ = ~2лГ I	= — j eiat da	(2.49)
или
1 °?
6 (t) = — i cos со t d
я J
(2.50)
Пользуясь свойством временного сдвига (табл. 2.1, поз. 9), определяем спект¬
ральную плотность функции 6(1—13), запаздывающей на время 1Э относительно
б (1 — t3)  	*• Ge (со) е-)'“^з = 1 • е—J “*з.	(2.51)
Амплитудный и фазовый спектры функции 6 (t—t3) показаны в табл. 2.2, поз. 10.
Обратное преобразование Фурье от функции exp (—j<ol3) имеет вид
6(1 — /3) = -Г- У ej “(^е) d (о.	(2.52)
3.	Гармоническое колебание s(t) =А cos со01 (табл. 2.2, поз. 12). Гармони¬
ческое колебание не является абсолютно интегрируемым сигналом. Тем не ме¬
нее для определения его спектральной плотности Gc(со) применяют прямое пре¬
образование Фурье, записывая формулу (2.27) в виде:
А 00	л оо
дс (со) = cos щ t e“Jtt>* dt = — j е“J (<*—о>0) t dt _j_ — j e—J(fi>-H>0)f dt.
Тогда с учетом (2.52) получаем
Gc(co) = яА6(со — co0) + я Л 6 (со + co0),	(2.53)
1
где 6 (со— co0) = —
ZJl
1 00
б (со -j— co0) = — f e~J (“+“„) t ^
2jl -L
—■ дельта-функции, смещенные по оси частот на частоту соо, соответственно
вправо и влево относительно б (со). Как видно из (2.53), спектральная плотность
гармонического колебания с конечной амплитудой принимает бесконечно боль¬
шое значение на дискретных частотах со0 и —со0.
Выполняя аналогичные преобразования, можно получить спектральную
плотность колебайия s(t) =А sin со01 (табл. 2.2, поз. 13)
A sin со01 «- -* Gs (со) = j я А [6 (со + со0) — 6 (со — со0)].	(2.54)
4.	Функция вида s(l)=A=const (табл. 2.2, поз. 11). Спектральная плот-
62
f е-1(ш-<а0)

ность сигнала в виде постоянного уровня А определяется по формуле (2.53),
положив соо=0:
G (со) = 2 п А б (со).	(2.55)
5.	Единичная функция (или единичный скачок) o(t) (табл. 2.2, поз. 8).
Функция a(t) не является абсолютно интегрируемой. Если представить о (t)
как предел экспоненциального импульса ехр (—at), т. е.
а (t) = lim e~at,
а—О
то спектральную плотность Оа (со) функции a(t) можно определить как предел
спектральной плотности экспоненциального импульса (табл. 2.2, поз. 1) при
а->-0:
1	а
G (со) = lim 	—	= lim ———-
°	а-о а -j- j со а-о а2 + со2
- j lim —		—
1 а-о а2 -j- со2
При а-»-0 первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю на
всех частотах, кроме со = 0, где оно обращается в бесконечность, а площадь
под функцией а/(а2+со2) равна постоянной величине
_£ +
d со = f
1
-L 1 + (®/а)2
d (со/а) = arctg (со/а)
; я.
Поэтому пределом первого слагаемого можно считать функцию хсб(со). Преде¬
лом второго слагаемого является функция l/(jco). Окончательно получим
1
С<7 (со) = яб (со) + -— .	(2.56)
J ®
Наличие двух слагаемых в выражении (2.56) согласуется с представлением
функции a(t) в виде o(t) = 1/2+1/2 sign (t). Постоянной составляющей 1/2 со¬
гласно (2.55) соответствует спектральная плотность хсб(со), а нечетной функции
~ sign (t) —■ мнимое значение спектральной плотности 1/jco.
6
При анализе воздействия единичного скачка o(t) на цепи, передаточная
функция которых при со = 0 равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие по¬
стоянный ток), в формуле (2.56) можно учитывать только второе слагаемое,
представляя спектральную плотность единичного скачка в виде
Ga (со) = 1/jco.	(2.57)
6.	Комплексный экспоненциальный сигнал S(<)=e*w0* (табл. 2.2, поз. 16).
Если представить функцию е^о' в виде
ei ш0 < _ cos со0 t -j- j si n co0 t,
то на основании линейности преобразования Фурье и с учетом выражений
(2.53) и (2.54) спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала
G (со) = Gc (со) + j Gs (со) = л [б (со — со0) + б (со + со„) —
— б (со -j- со0) + S (со — со0)] = 2 яб (со — со0).	(2.58)
Следовательно, комплексный сигнал exp (jcooO обладает несимметричным спект¬
ром, представленным одной дельта-функцией 2яб(со—со0), смещенной на частоту
со0 вправо относительно б (со).
7.	Произвольная периодическая функция. Представим произвольную перио¬
дическую функцию sn(0 (рис. 2.12, о) комплексным рядом Фурье
ОО	|	00
[(0=	2 s(t —kT) = — 2
&=—со	п=—оо
63
Si
1 nSlt
(2.59)

где £2=2я/Г — частота следования импульсов. Коэффициенты ряда Фурье
Ап
2
\Г j* (t)e~ln0tdi =
■* —
G (n Q)
T
(2.60)
выражаются через значения спектральной плотности б(л£2) одиночного импуль¬
са s(t) на частотах я£2(я=0, ±1, ±2, ...). Подставляя (2.60) в (2.59) н поль¬
зуясь соотношением (2.58), определяем спектральную плотность бп(со) перио¬
дической функции sn(t):
2я °°	°°
ОпИ=— 2 G (я £2) 8 (со — я£2) = Q 2 G (я £2) 6 (со— я £2).	(2.61)
М	L« ГЛ	И ■		ЛА
Согласно (2.61) спектральная плотность Gn(co) произвольной периодической
функции sn (0 имеет вид последовательности 8-функций, смещенных друг от¬
носительно друга, на частоту £2 (рис. 2.12,6). Коэффициенты при 6-функциях
изменяются в соответствии со спектральной плотностью б(со) одиночного им¬
пульса s(t) (пунктирная кривая на рис. 2.12,6).
8.	Периодическая последовательность 6-функций (табл. 2.2, поз. 17). Спект¬
ральная плотность б г (со) периодической последовательности 6-функций
Мо= 2 6(t-kT)
k=—Оо
определяется по формуле (2.61) как частный
случай спектральной плотности периодиче¬
ской функции sn(/) при 0(я£2) = 1:
ОО
GT (со) = £2 2 6 (со — я £2)	(2.62)
п=—ОО
Рис. 2.12

и имеет вид периодической последовательности б-функций, умноженных на ко¬
эффициент Q.
9.	Радиосигнал с прямоугольной огибающей. Радиосигнал, представленный
на рис. 2.13, а, можно записать как
s (t) — A rect ^ cos ®о (•
Согласно поз. 11 табл. 2.1 спектральная плотность радиосигнала Gp(co) полу¬
чается путем сдвига спектральной плотности О (со) прямоугольной огибающей по
оси частот на соо вправо и влево с уменьшением ординат в два раза, т. е.
6Р (ю) = “- G (ю — ю„) + -^ G (со + со0) = “~sinc	Т- j +
А Ти
2
sin с
(со + со0) ти
2
(2.63)
Это выражение получается из (2.47) путем замены частоты со на частоты
(со—со0) — сдвиг вправо и (со+со0) — сдвиг влево. Преобразование спектра
огибающей direct ((/ти) показано на рнс. 2.13,6, в.
2.6.	Определение активной длительности сигнала
и активной ширины его спектра
При практических расчетах длительности сигнала At и шири¬
ны его спектра Af в ряде случаев удобно пользоваться энергетиче¬
ским критерием '. Активную длительность импульса (акт и актив¬
ную ширину спектра ©акт (или /акт) определяют как интервал
времени и диапазон частот соответственно, внутри которых сосре¬
доточена подавляющая часть полной энергии Э импульса (напри¬
мер, 95%). Если сигнал s(() задан на интервале времени (0<
<(<С°о), то его активная длительность рассчитывается из условия
*акт	«»
J s2{t)dt = k	(2.64)
о	о
В левой части равенства записана энергия сигнала, сосредоточен¬
ная в интервале времени 0 — (акт (рис. 2.14,а). В правой части
равенства — доля (определяемая заданным коэффициентом &<;1)
полной энергии сигнала.
Исходя из равенства Парсеваля (2.37), аналогично рассчиты¬
вается активная ширина спектра сигнала
“акт	°°
j G2((o)d(o = A j(P((o)da>.	(2.65)
-“акт
Таким образом, активная ширина спектра сигнала соответствует
полосе частот, в пределах которой заключена k-я доля полной
энергии сигнала (рис. 2.14,6).
1 В зависимости от назначения сигнала, а также от формы сигнала и его
спектра пользуются и другими критериями, например амплитудным критерием:
длительность сигнала и ширина его спектра определяются тогда по заданному
уровню от максимального значения амплитуды.
3—100	65

В случае простых видеоимпульсов (например, прямоугольного,
треугольного, косинусоидального), спектр которых сосредоточен в
области низких частот, можно считать с достаточной для прак¬
тики точностью, что
Д =	(2.66)
где fх — постоянная величина, зависящая от формы импульса и
критерия оценки величин At и Af.
-Как видно из (2.66), уменьшение длительности импульса неиз¬
бежно приводит к увеличению ширины его спектра, и наоборот.
Пользуясь соотношением (2.66), можно рассчитать полосу частот,
занимаемую спектром сигнала в зависимости от его длительности
At. Для перечисленных выше
типов видеоимпульсов зна¬
чение р, близко к единице.
В частности, если оцени¬
вать активную ширину спе¬
ктра прямоугольного им¬
пульса длительностью Д^
(рис. 2.15,а) как полосу ча¬
стот Дf между f—О и тем
значением частоты, когда
обращается в нуль (рис.
2.15,6), т. е. когда аргумент спектральной плотности (2.47) прини¬
мает значение 2nAfAt/2=n, то Д^Д£=1. Следовательно, для пря¬
моугольного импульса р=1.
Пользуясь соотношением (2.65), можно показать, что в полосе
(О, Af) (в первом лепестке) сосредоточено свыше 90% полной
энергии сигнала.
2.7.	Дискретизация непрерывных сигналов
Всякое непрерывное сообщение, занимающее конечный интер¬
вал времени Тс, может быть передано с достаточной точностью
конечным числом N отсчетов (или выборок), т. е. последователь¬
ностью коротких импульсов, разделенных паузой.
Дискретизация сообщений по времени —процедура, состоящая
в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их
счетным (дискретным) множеством. Последнее содержит инфор-
66
sit)
А
At
~ДШ О М/2 i
V
Рис. 2.15
спектральная плотность первый раз

мацию о значениях непрерывного сигнала в определенные момен¬
ты времени.
Дискретный способ передачи непрерывного сообщения позво¬
ляет:
сократить время, в течение которого канал связи занят пере¬
дачей этого сообщения с Тс до N-гш где ти — длительность им¬
пульса, применяемого для передачи дискрета;
осуществить временное уплотнение канала связи, когда одно¬
временно по одному каналу можно передавать два и более непре¬
рывных сообщений, как это показано на рис. 3.
Наиболее простым является метод дискретизации, основанный
на теореме В. А. Котельникова (теореме отсчетов).
Представление сигналов с ограниченным спектром в виде ряда
Котельникова. Согласно теореме Котельникова непрерывный сиг¬
нал s(t), в спектре которого не содержится частот выше fm *, пол¬
ностью определяется последовательностью своих мгновенных зна¬
чений, отсчитанных через интервалы времени Т= l/2/m=Jt/wm и
может быть представлен рядом
s(0= | s(nT)s™^-?Jl= 2 8(пТ)^-пТ).	(2.67)
П =—оо	* Я * )	п=—ОО
Здесь {ti„(/—nT)}= sln%ll~"^	(2.68)
©m {t — п Т)
— система базисных функций, ортогональных на интервале вре¬
мени (—-оо, оо), т. е.
где
$4™ (О Л/ (t)dt =
О	при пф1,
Эп при п — 1,
3„ = ||Ч»(*)11* = |
—оо
sin (Ощ(< — пТ)
©т (< — Л Г)
dt =
(2.69)
— энергия базисной функции.
Ряд (2.67) называют рядом Котельникова. Каждая из базис¬
ных функций г|„(() сдвинута относительно ближайшей функции
4n+i{t) или Цп-1 (t) на время
Т = я/©ж= 1/2/то,	(2.70)
соответствующее временному интервалу дискретизации между
двумя отсчетными точками, который иногда называют интервалом
Найквиста.
Функция f\n(t), изображенная иа рис. 2.17, обладает свойством
(* = *Г)={
1 при
О при
n — k,
пфк,
где к — любое целое положительное или отрицательное число.
* Спектр сигнала описывается финитной функцией <?(©) = 0 при |©|>©»,
(рис. 2.16).
3*
67

Рис. 2.18. поясняет аппроксимацию непрерывного сигнала s(t)
рядом Котельникова. На графике построены три члена ряда
(2.67), соответствующих отсчетам функции s(() в моменты вре¬
мени (= О, Т, пТ. При суммировании этих членов в точках отсче¬
тов (( = (), Т, пТ) получаем точные значения сигнала s((). Следо¬
вательно, в отсчетные моменты времени t = tiT непрерывный сиг¬
нал аппроксимируется точно независимо от числа взятых отсчетов,
г. е. от числа членов ряда Котельникова.
Между отсчетами (t=^nT) сигнал s((), как показано ниже,
аппроксимируется точно только в том случае, когда суммируются
все члены ряда (2.67) и соблюдается условие, сформулированное
в теореме Котельникова.
Рис. 2.18
Если сигнал s(t) обладает конечной
но попытаться представить обобщенным
(2.68)
энергией, то согласно (1.49)
рядом Фурье по системе
его мож-
функций
но = 2
П— —
sin ш(< — пТ) _ у1 sin (cot — tin)
а>(( — пТ) п^-оо "	(col —ля)
(2.71)
Никаких ограничений на частоту со при этом пока не налагается. Коэффи¬
циенты Сп, оптимальные с точки зрения средней квадратической ошибки аппро¬
ксимации, определяются с учетом (2.69) по формуле (1.50):
„	, р sm(<D< —ля) .	“
Сп = ю/я \s(<)—-———	dt = со/я fs(t)
(at — nn)
sin (n я — o><)
(ля — Оit)
dt =
1
2я
j HO
2 sin
/ля \
0) ( 	— t
V CO /
(n Я/СО— 0
63
dt.
(2.72)

Потребуем теперь, чтобы частота со была равна фиксированной частоте <ош.
Обозначив для краткости l= (nn/(om)—t, функцию 2 sin |сот/1 в выражении
7Л
(2.72) можно представить определенным интегралом J eioSdco. Действительно,
Ti
ei«i
°т
-е
71
um
2 sin шт l
l
(2.73)
Подставляя (2.73) в (2.72), получаем
| — //*
Сп=-^~ js(0 j ei<0^d<odt
«ли
Cn —
2л
f
wm KOI
e
m
й")
d(ndt =
1
_2rt
KB
Js(/)e-j0,< dt
■CO
d со.
Внутренний интеграл полученного выражения есть спектральная плотность б (со)
сигнала s(t). Следовательно,
С„ =
2л
j й«о)е,“яя/“»‘Лв
или
Cn = s(n л/сот) = s (пТ),	(2.74)
т. е. коэффициентами ряда (2.71) являются выборки функции s(t) в отсчет-
ных точках t = nT.
Таким образом, если сигнал s(^) имеет ограниченный спектр, то в любой
момент времени обобщенный ряд Фурье (2.71) совпадает с рядом Котельникова
(2.67), описывающим исходный непрерывный сигнал s(t).
При практическом применении теоремы Котельникова необхо¬
димо выбирать интервал дискретизации в 2—5 раз меньшим, чем
величина Т, определяемая формулой (2.70). Увеличение Т по
■сравнению с рекомендуемой величиной приводит к ошибкам при
восстановлении непрерывного сигнала по отсчетам.
Реальные сигналы ограничены по времени и обладают, следо¬
вательно, неограниченным по частоте спектром. Однако вне не¬
которой полосы частот составляющие реальных спектров обладают
•малой энергией по сравнению с энергией сигнала s(^). Такие сиг¬
налы можно приближенно считать ограниченными по времени и
по частоте и представлять рядом Котельникова.
Непрерывный сигнал s(t) длительностью Тс с наивысшей ча-
•стотой спектра fm можно передать его N выборками. Число N,
юпределяемое как
У«Гс/Т = 2/тТс,
69
(2.75)

называют иногда числом степеней свободы сигнала s(t) или ба¬
зой сигнала.
Сигнал, ограниченный по времени, приближенно описывается
рядом (2.67), состоящим из конечного числа членов
® (0 «	T°s (П Т) Sin-7-^;r).	(2.76)
«io	b>m v—п *)
При суммировании членов ряда (2.76) сигнал s(^) воспроизводит¬
ся точно только в точках отсчетов пТ. В промежутках между от¬
счетами возникает ошибка аппроксимации, которая возрастает у
краев интервала Тс, где отброшенные члены ряда (2.67) имеют
наибольшее значение. С увеличением граничной частоты fm воз¬
растает база сигнала N и сигнал воспроизводится точнее.
Энергия и средняя мощность исходного непрерывного сигнала
соответствуют энергии и средней мощности дискретизированного
сигнала и могут быть выражены через последовательность времен¬
ных выборок. Действительно, на основании равенства Парсеваля
(2.37)	и с учетом выражений (2.69) и (2.76) энергия непрерывного
сигнала конечной длительности Тс определяется
Т	2f Т	2 f Т
2СИпЛ1*11л»(011*=Г 2 V(n7W (2.77)
6	п== 0	п=О
Соответственно
I ТС	I	2^т Тс
Р =	23 И'*?’)]2.	(2.78)
т. е. средняя за время Тс мощность непрерывного сигнала равна
среднему квадрату выборок при усреднении по всем N = 2fmTc ин¬
тервалам.
Спектр дискретизированного сигнала. Восстановление непре¬
рывного сигнала. Реальный дискретизированный сигнал, получен¬
ный при дискретизации по времени непрерывного сигнала s(0>
имеет вид импульсно-модулированного колебания, например АИМ
колебания, т. е. последовательности импульсов обычно прямо¬
угольной формы, амплитуды которых пропорциональны значениям
s(nT), а период следования T<Ln/(om (рис. 2.19).
Дискретизированный сигнал sr(0 может быть получен, как
показано на рис. 2.20, путем умножения непрерывного сигнала
У\
TI
ц_
Sj{t}
г>
'
'
'
'
/
4 \
4*Л
Гр
0
т
t
s(t)
X
км
sit) frtf)~Sj!t}
Рис. 2.19
70
Рис. 2.20

s(t) на последовательность /п(0 единичных прямоугольных им¬
пульсов
2	fV-*T)= 2 rect(Л=*1-)
П=—ОО	П=—оо	V Ти У
длительностью ти с периодом следования Т:
*г(0 = «(Ш0 = 2 s(Orectf^iy
Спектральная плотность Gr(co) дискретизированного сигнала
Sr(0 на основании теоремы о произведении функций находится
сверткой спектральных плотностей сомножителей.
Так как спектральная плотность (?/(ш) единичного прямоуголь¬
ного импульса f (/) =гес1:(^/ти) равна
С.((й) = Ти1^иЖ
f ’	* о)ти/2 ’
то с учетом (2.61) спектральная плотность йц(ш) последователь¬
ности /п(0 определяется как
о„И=£2т. 2
fee—оо " •" ~В1 *
где Q = 2n/r = 2o)m — угловая частота следования импульсов.
Выполняя свертку спектральной плотности <5(ш) сигнала s(0
и функции Gn(o)), получим
GT (©) = _J_ ё (co)0Gn (со) =
Q
=	т,
2 я
?<5м S
■ОО	fee—ОО « ^Ти/^
Йгя у, sin (fe Йти/2)
2л	AQth/2
jG (и) 8 (со —& £2 — ы) du
ОО
или, используя фильтрующее свойство б-функции,
йгИ“^“Эй(ш-й2)- <*■"»
Процесс формирования спектра Ог(со) дискретизированного
сигнала sT{t) поясняется рис. 2.21, где построены графики сиг¬
налов s(^), fa(t), St{t) и модулей их спектральных плотностей
О(ш), Gn(co) и Gr (со) соответственно. Спектральная плотность
G (а) ограничена частотой шт (рис. 2.21, а). Спектральная плот¬
ность Gn(co) периодической последовательности прямоугольных
импульсов (рис. 2.21,6) — это последовательность б-функций с
периодом 2я/7’=2о)т, площади которых изменяются в соответствии
со спектральной плотностью одиночного прямоугольного импульса
Gf(a).
71

Спектральная плотность GT(©) дискретизированного сигнала
(рис. 2.21, в) имеет вид спектра G(w) исходного сигнала s(t)r
повторяющегося с периодом П = 2(от. Огибающей спектра Gr(to)
с точностью до коэффициента 1 /Г является спектральная плот¬
ность Gf(iо) прямоугольного импульса f(t). Если длительность ти
А
-шт 0 %и
-й>т 0 (От
г)
гл/с„ а
Рис. 2.21
последнего мала, то огибающую в полосе частот —б>т<!ю<!«Ь»
можно считать равномерной. В этом случае центральная (заштри¬
хованная) часть спектра Gr(to) дискретизированного сигнала по¬
вторяет по форме спектр G(to) исходного непрерывного колебания
s(t).
Заметим, что в пределе при ти-»-0 сигнал Sr (i) принимает вид дискретной
последовательности s(nT) (рис. 2.22, а):
ОО
lim sT(t)= lim Y! s (t) rect (t — n T)/ra = s (nT),
Ти“У°	Ти—® П~—оо
а его спектр GT(со) — периодической функции частоты Q = 2com (рис. 2.22,6).
Если частота выборки равна 2fm отсчетов в секунду, то сосед¬
ние составляющие спектра Gr((o) не перекрываются по частоте,
как это показано на рнс. 2.21, в. При этом можно восстановить
72

непрерывное колебание s(^) из дискретизированного сигнала Sr(t),
выделив центральную часть спектра GT(a) с помощью идеаль¬
ного фильтра нижних частот (ФНЧ) с полосой пропускания
'(—(от-г-(От) *. Если частота выборки больше 2fm отсчетов в се¬
кунду, то соседние лепестки спектра GT(и) раздвигаются и цент¬
ральная часть спектра может
быть выделена ФНЧ, имеющим
•частотную характеристику с
конечной крутизной среза
■(рис. 2.21,г). Обычно ограни¬
чиваются частотой в 2—5 раз
большей, чем это следует из
теоремы Котельникова, по¬
скольку увеличение частоты
связано с расширением поло¬
сы при передаче информации.
Теорема отсчетов в частот¬
ной области. Для сигналов с
конечной длительностью мож-	~2Ыт ~Wm 0 Wm 2и>т w
но сформулировать теорему	$
отсчетов в частотной области,	рис 2.22
аналогичную теореме отсчетов
во временной области, т. е. теореме Котельникова. Такая возмож¬
ность следует из симметрии преобразований Фурье относительно
переменных <в и t.
Заменяя в выражении (2.76) t на со, ширину спектра 2сот на
длительность сигнала Тс, интервал дискретизации T=l/2fm на
50 = 2я /Тс, функцию s(t) на G(co), получим
~2"~	sin ~~ (со — k £3)
GH= 2	G(kQ)—2-	 .	(2.80)
Здесь N — число выборок (спектральных линий) функции
С/(со). Суммирование происходит по значениям k от —(N—1)/2 до
i(N—1)/2, включая k = 0. Таким образом, спектр сигнала конечной
длительности Тс полностью определяется выборками, взятыми с
интервалом П = 2я/Тс.
При дискретизации сигнала в частотной области общее ч5гсло
■спектральных линий при ширине спектра 2сот равно
— 2Tcfm,
т. е. совпадает с числом выборочных значений при временной ди¬
скретизации сигнала и равно числу степеней свободы сигнала N.
Особенность дискретизации в спектральной области состоит в том,
что О (ю) — величина комплексная. В каждой отсчетной точке
* Как известно, идеальный фильтр нижних частот, имеющий прямоуголь-
яую частотную характеристику, физически нереализуем.
73
а)

на оси частот должны быть заданы два параметра — модуль и
аргумент этой функции, т. е. число дискретных значений равно
2N. Но поскольку действительная часть спектральной плотности
Re [О (ю)] является четной функцией частоты, а мнимая часть
1т1<?(ш)] нечетна, то число независимых дискретных значений
спектра сокращается вдвое и равно N = 2Tcfm.
2.8.	Разложение колебаний по некоторым специальным
функциям
Для аппроксимации непрерывных сигналов применяются раз¬
личные ортогональные полиномы и специальные функции. Многие
специальные функции табулированы, благодаря чему облегчают¬
ся вычисления. При правильном выборе этих функций для разло¬
жения некоторых сигналов в обобщенный ряд Фурье удается огра¬
ничиться небольшим числом членов ряда.
Приведенные в табл. 2.3 специальные функции образуют пол¬
ные системы базисных функций {г|и(л:)}, ортогональных на ука¬
занных интервалах с весом У р(х), т. е. при условии, что выпол¬
няется следующее соотношение:
(2.81)
где р(х) определяется как весовая функция, 'ЧР'и(х) — полиномы,
на основе которых образуются системы ортогональных базисных
функций.
Соответственно изменяется по сравнению с (1-40) запись усло¬
вия ортогональности базисных функций на заданном интервале
(а, Ь):
fen(x)Wh(x)p(x)dx={ ° при
а	при
где = \\VpM ЧД МП2 = I [Т„ (х) Vp(x)? dx,
а
пфИ,
n = k,
(2.82)
и изменяется вид формулы (1.50) для определения коэффициен¬
тов {С„} обобщенного ряда Фурье, аппроксимирующего функцию
f(x):
Сп =			 Ь (х) ЧД (х) VpJ^) dx.	(2.83)
В табл. 2.3 приводятся соотношения для функций Лежандра
(рис. 2.23), Чебышева (рис. 2.24), Эрмита (рис. 2.25) и Лагерра
(рис. 2.26), на основе которых осуществляется разложение непре¬
рывной функции f(x) в обобщенные ряды Фурье. Как видно из
табл. 2.3, ортогональные системы функций Лежандра и Чебышева
определены на интервале (—1,1). Они применяются для аппрокси¬
мации процессов и характеристик, определенных на конечном ин¬
тервале. Системы функций Эрмита и Лагерра, определенные на
74

Таблица 2.3
Условие ортогональности функций
j г 0; п 9* т
( Рп(х) Рт(х) dx — | 2 ■ п — т
-1 1 2п + 1
г 1
f ТМ)Тт(х) dx -
-1 V 1-л:2
0; njtm,
л
— — ; п = т 0,
я; п = т — 0
5
j е~х‘ Hn(x)Hm(x)dx =
—оо
1 о; П ^ Ш,
1 2п п\~\/ я ; п = т
“ |0; п^т,
j е xLn(x)Lm(x)dx = Л=/я
Корень
квадратный
из весовой
функции
Vp(x)
1
1
*/1 —
X2
* 2
д:
Г 2"
Полиномы
Полиномы Лежандра
1 dw{x* — 1)"
Рп(х) =			-
2" nl dxn
Полиномы Чебышева (первого рода)
ЗД-(-2) n!yi-*2X
(2л)! К
d(n)
х- (1/1 —
J,„+1W = 2«3'.W-3',_1W
Полиномы Эрмита
w(п)
Я„(*) = (- 1)" в** —(в"*’),
dx?
п — 0,1,2, ...
Лв+1(*) = 2л: Нп(х) - 2п Нп_1(х)
Полиномы Лагерра
dw
Ln(x) = (-\)пех	(аСГ*),
dtf1
Ln+iW = (* - 2n - 1)1„(л:) - n»Ln_x
Интервал
ортогона¬
льности
(-1,1)
(-1.1)
(—оо , оо)
(0, oo)
Название ортогональных
функций, образованных
на основе^полиномов Т]п(л:)
Полиномы Лежандра
Рп (*)
Функции Чебышева
—		Тп(х)
У 1 — X2
Функции Эрмита
X2
е 2 Нп(х)
Функции Лагерра
X
e 2 Ln(x)
с
'v,
с
м
1
2
«Л
3
4

7е
Окончание табл. 2.3
Разложение функции f(x) Графики
в обобщенный ряд Фурье полиномов
<® Рис. 2.23
/(*)= 2 спРп(х)
п=0
“ Рис. 2.24
fix) = Со0о(*) + 2 Сл0л(-*О
Л=1
®> Рис. 2.25
fix) = 2
4=9
“ Рис. 2.26
fix) — 2 Cnlnix)
n=0
Коэффициенты обобщенного
ряда Фурье С„
Сп— 2 j fix) Pnix) dx
1
С0 = f fix) в0(х) dx,
-1
1
Cn = j fix) Bnix) dx
—l
СО
Cn = j fix) фл (4) ^
-4>
06
Cn — ^ f(x) fn(x) dx
Ортоиормнрованные функции
Рп(х)=уГ21±1рп(х)]]
0o(*) =
~]/ Л Y 1 — X*
„ , [~2 Tnix)
Ых) - 1/
^ Л i^l —л:2
*2
ФлМ - . e2 ffnW
]/2%!]/л
X
(nix) = _L e 2 tnix)
nl
с
"с
1
2
3
4

интервалах (—оо, оо) и (0, оо) соответственно; целесообразно
использовать для разложения непрерывных функций, заданных
на бесконечном интервале.
Выбор полиномов, обеспечивающих заданную точность аппро¬
ксимации при минимальном числе членов ряда, производится с
1,0
О, в
о,в
0,4
0,2
О
'0,2
-0,4
"~0 6
’	0,1 0,2 0, J ЩI 0,5 0,6 0J 0,В 0,3 1,0
Рис. 2.23
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,В
-1,0
0,1 0,2 0, J 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0# 1,0
Рис. 2.24
учетом характера аппроксимируемой функции f{x), а также вида
соответствующей полиному весовой функции р(х), которая долж¬
на достигать максимума на участке, где требуется наилучшая
аппроксимация.
Рис. 2.25
Рис. 2.26
Рассмотрим
(рис. 2.27)
разложение прямоугольной разиополярной
при — 1 ^ *«<0,
при 0 ■< х sg 1
функции f(х)
(2.84)
по ортогональным полиномам. Так как функция f(x) задана на конечном ин¬
тервале (—1,1), то целесообразно разложить ее по полиномам Лежандра или
Чебышева. Воспользуемся полиномами Лежандра. Запишем ряд Фурье (табл. 2.3,
поз. 1), составленный из полиномов Лежандра:
f (х) = С0 Ро (х) + Ci Pi (х) + С2 Р3 (*) С3 Р3 (х) + С4 Р4 (х) + ...
77

Полиномы Лежандра первых четырех порядков
Ро (*) = 1; Pi (*) = х\ Р»(х)=-^- ** — -у; Р3(х) = -ух * —-|-х;
р4(*) = -^(35*«-30*2 + 3).
Коэффициенты Со, Си С% ... находим из выражений
1 1 1 / 0 1 \
С0 = —j/(x)d* = —( jdx-jdxj =°,
Можно показать, что и остальные коэффициенты с четными индексами равны
нулю, т. е. С4=С6= ... =0.
Далее находим
Ct
3
2
1
]xf(x)dx
—i
3
2
о	I
j xdx — j xdx
3_
2 ’
dx =
- ■т [_} (■I «■ —г *) * - / (t * -т4b
Аналогично вычисляются коэффициенты Сь С7, ...
Учитывая первые четыре члена ряда Фурье — Лежандра, получим
/ (*) = Со Р0 (*) + Ci Pi (х) + С, Рш (х) + С3 Рэ (х) 		-* +
7 / 5	.	3	\
+т(т*8-тдс/
(2.85)
Средняя квадратическая ошибка аппроксимации при этом равна сг2«*0,28.
Для сравнения разложим нечетную функцию в виде (2.84) по тригономет¬
рическому базису {sinncooO. Так как функция f(x) задана на интервале (—1, 1),
то период Т базисной функции sinoof равен Т = 2, а угловая частота со0=
=2п/Т=л. Тогда
f (х) = Ci sin л х -f- С2 sin 2 я х С3 sin Зя х -)- ... -f- Сп sin п л х -f- ...
Коэффициенты ряда определяются по формуле (1.50):
1
j f (х) sin п л х dx
Сп = ■
—1
|sin2 пк xdx
Г °
= jsin п а
х dx — jsin п я xdx
—1
0 при п четном,
4
—	 при п нечетном.
ля
78

Ограничиваясь четырьмя членами ряда, имеем
/(*) = Сх sin я х + С2 sin 2 я * + C3sin3 я *-]- Q sin 4 кх =
4	4
=		 sinn*———sin3n*.	(2.86)
5	Зя
Средняя квадратическая ошибка аппроксимации
сигнала тригонометрическими функциями равна
а2=0,0675.
Результаты расчета показывают, что в данном
случае аппроксимация исходной функции f(x) че¬
тырьмя членами тригонометрического ряда Фурье
лучше, чем четырьмя членами ряда Фурье — Лежан¬
дра. На рис. 2.28 изображена функция f(x) и ап¬
проксимирующие ее кривые, построенные по выра¬
жениям (2.85) (кривая 1) и (2.86) (кривая 2).
Рис. 2.27
2.9.	Разложение колебаний по функциям Уолша
Система функций Уолша обозначается {walm(x)}, где. т —
целое положительное число (номер функции в системе). По опре¬
делению при т = 0
wal0 (л:) = 1.
79

Остальные функции Уолша (при т= 1, 2, 3, ...) могут быть полу¬
чены произведением соответствующих функций Радемахера
r„(x) == sign [sin (2пял;)]. В табл. 2.4 приведены графики и запи¬
саны выражения функций Уолша при т = 0-j-5. Подробные опи-
Таблица 2.4
Выражения для функций Уолша
Графики функций Уолша
wal„ (х) = 1
т = 0
1	Ч-	1
1 1 >
~Ч/2 0 ПЪ
walj (■*) = гг (*)
т = 1
1 1
I
mli(s) |
1
I-1/2 0
I
-1
сания правил образования системы функций Уолша даются в спе¬
циальной литературе.
Остановимся на некоторых свойствах функций Уолша.
1.	Функции Уолша принимают только два значения: —1 и 1.
80

2.	Любые две функции Уолша ортогональны:
j walm(х)wal„ (х)dx = | 0 при тфп'
-1/2	11 при т = п.
Система функций {walm(x)} представляет полную ортонорми-
рованную систему на интервале [—1/2, 1/2].
3.	Функции Уолша являются периодическими функциями с пе¬
риодом, равным 1.
4.	Функции Уолша обладают свойством мультипликативности,
т. е. произведение любых двух функций Уолша является также
функцией Уолша.
5.	Система функций Уолша состоит из системы четных и нечет¬
ных (относительно середины интервала определения) функций,
обозначаемых соответственно calfc(x) и salfc(x), причем
calft (х) = walm (х), k = -y,	(2.87)
salftW = walm(x), k =
Здесь k — порядок четных и нечетных функций, который харак¬
теризует число перемен знака на интервале (0, 1/2). Например,
calx (х) = wal2 (х); cal2 (х) = wal4 (х); cal3 (х) = wa!e (х);
salj (х) = walx (х); sal2 (х) = wal3 (х); sal3 (х) = wal5 (х)
и т. д.
Графики функций са1/г(х) и sal^/x) для £ = 0-f-5 приведены на
рис. 2.29.
Произвольную функцию s(t), заданную на интервале —1/2^
^/^1/2 можно представить обобщенным рядом Фурье (1.49),
составленным из функций Уолша:
s(t) = a0cal (0, t) -f ах cal (1, /)-f61saI(l, f) +
-f a2 cal (2, t) -f b2 sal (2, t) -f
-f-a3cal(3, 0-ffr3sal(3, t) +
-fa„cal(n, ^)-f 6n sal (л, t).	(2.88)
Коэффициенты этого ряда находятся по формуле (1.50):
1	1	1/2	1/2
«о = —— $ s(f)dt= ]s{t)dt,
Гк	j	—1/2	—1/2
1 1 1/2 1/2
ak =	j s(t) cal (/г, f)dt= f s(^)cal(&, t)dt, (2.89)
Tfe 7 —1/2	—1/2
i	i	1/2	1/2
■ bh = —. — is (t) sal (k, t)dt= f s (t) sal (k, t) dt.
pk	T	_{,2	_//2
При вычислении коэффициентов разложения аь и bh иногда
удобно пользоваться графическим интегрированием.
81

Разложим разнополярный импульс f(x) (2.84), рассмотренный в предыду¬
щем параграфе (рис. 2.27), по ортонормированной системе функций Уолша.
Решение задачи сводится к расчету коэффициентов а* и Ьи ряда (2.88) по
формулам (2.89). Для определения коэффициентов а0, аи Ь\ воспользуемся гра¬
фическим интегрированием, для чего изобразим на одном графике (табл. 2.5)
Т а б л и ц а 2.5
Расчет коэффициентов ряда Фурье-Уолша
Сопоставление графиков
заданной функции f (х) и
соответствующих функций
Уолша
1
$ /(*)cal(0, x)dx=(+ 1)-(+ 1)-1 +
—1
+ ( + 1).(-1).1=0

e(x)
i
г'
! -f.
/
X
ш1(0д)
[
|/ X
1
j f(x)sa] (1, х) dx = (—1)-(+1)-1 +
—1
+ (+1).(-1).1-= — 2
fix)
1 I
I
I
7
-1
0
1 X
-I
i sal ft#
i
-1
0
1 X.
-1 !
г 1
\ f (х) cal (1, x)dx = (—1)-(+1)	+
—1 2
+ (+1И + 1)-~ +(+!)•( — !)• — +
+ (-1Н-1)-у =о
I
\flxl ,
1 E
1
l
-1
i _
i
i
i
0
1
>■1 X
1
jcal (lx)
i
-V-1/2
i
I—1
/2\1 x
i
заданную функцию f (х) и соответствующую функцию Уолша. Поскольку ин¬
тервал X определения заданной функции равен Х=2, то стандартный интер¬
вал ортогональности Т базисной функции, равный Г = 1, должен быть растянут
заменой переменных
х -
Как видно из табл. 2.5, отличен от нуля только интеграл
——2, т. е. коэффициент Ь\, который определяется
1
J f(x) sal (1, x)dx =
—1
82

1 1
&i=— f/(*)sal (1, х) dx,
X
—1
где Х=2. Отсюда Ь\ ——1.
Нетрудно показать, что все остальные члены разложения (2.88) обраща¬
ются в нули н функция f(x) точно аппроксимируется одним членом ряда
Фурье — Уолша:
f (х) = — 1 sal (1, х).	(2.90)
Сравнение полученного результата с разложениями заданного сигнала f(x)y
имеющего вид кусочно-гладкой функции, по тригонометрическому базису (2.86)
и системе функций Лежандра (2.85) позволяет заключить, что, как и следовало
ожидать, оптимальной оказалась система функций Уолша.
Вопросы для самопроверки
1.	Каким требованиям должна удовлетворять система базисных
функций при разложении произвольного сигнала конечной
мощности в обобщенный ряд Фурье?
2.	Как разложить произвольный сигнал s(t) по полной системе
базисных функций {r|ft(0b если интервал определения сиг¬
нала не совпадает со стандартным интервалом ортогонально¬
сти базисных функций?
3.	Почему для разложения сигналов удобно пользоваться орто¬
гональной системой базисных функций?
4.	Какие формы комплексного и векторного представления гар¬
монического колебания Вы знаете?
5.	Каковы интервалы ортогональности систем функций {sinnx,
cosnx} и {е)пж}? Какие сигналы можно разлагать по этим си¬
стемам и почему?
6.	Что понимается под тригонометрическим рядом Фурье? Какие
формы этого ряда Вы знаете?
7.	Произвольный сигнал s(t) задан на интервале: а) (—1, 1);
б)	(0, Зя/2). Как записывается в обоих случаях тригонометри¬
ческий базис?
8.	Что понимается под комплексным рядом Фурье? Какова мощ¬
ность базисной функции? Запишите формулу определения ко-
коэффициентов комплексного ряда Фурье.
9.	Почему для разложения действительной функции времени s(t)
можно использовать систему комплексных базисных функций
{eJ'"°V}?
10.	Какие требования предъявляются к базисной системе при раз¬
ложении периодической функции?
11.	В чем заключается интегральное преобразование Фурье? При¬
ведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье.
При каких условиях можно пользоваться формулой прямого
преобразования Фурье?
12.	Как определяется частотный спектр непериодического сигнала?
Какой физический смысл имеет модуль спектральной плот¬
ности сигнала? Чем определяются амплитудный и фазовый
спектры непериодического сигнала?
83

13.	Как выражается связь между спектральной плотностью оди¬
ночного импульса О (а>) и комплексной амплитудой Ап ряда
Фурье, описывающего периодическую последовательность, со¬
ставленную из таких импульсов?
14.	Произвольный непериодический сигнал определен на интер¬
вале: а) конечном (0,1), б) бесконечном (—оо, аэ). Какой вид
в обоих случаях имеет представление этого сигнала в базисе
{ei7U°o*}?
15.	Как изменяется спектральная функция б(ц>)	WpH
умножении сигнала s(t) на cos ц»о/?
16.	Как изменяется функция G(w) =&~[s(t)\ при умножении сиг¬
нала s(t) на е~1шо(? Сравните и объясните преобразования в
п.п. 15 и 16.
17.	Что происходит со спектром при сжатии (растяжении) сиг¬
нала?
18.	Как изменяются амплитудный и фазовый спектры сигнала при
его запаздывании?
19.	Как выражается спектральная плотность произведения двух
функций, если известны спектральные плотности сомножи¬
телей?
20.	Какой физический смысл имеет квадрат спектральной плот¬
ности сигнала G2(w)?
21.	Как формулируется равенство Парсеваля для непериодическо¬
го сигнала?
22.	Как выражаются спектральные плотности АКФ и ВКФ?
23.	Как определяется энергия взаимодействия i?i2 двух различ¬
ных сигналов?
24.	Зависит ли форма АКФ ^(т) от фазового спектра сигнала?
25.	Что понимается под спектром энергии E(f) финитного сиг¬
нала?
26.	Каким соотношением связана АКФ сигнала со спектром его
энергии £(/)? Как влияет ширина спектра сигнала на интер¬
вал корреляции?
27.	Что понимается под спектром взаимной энергии Е 12(f) двух
финитных сигналов?
28.	Как выражается связь спектра взаимной энергии E\2(f) двух
сигналов с их ВКФ?
29.	Как осуществляется дискретизация непрерывного сигнала по
времени? Чем определяется интервал дискретизации?
30.	Как записывается ряд Котельникова во временной области?
Проиллюстрируйте его графически.
31.	Как осуществляется дискретизация сигнала конечной длитель¬
ности Т с?
32.	Какой вид имеет спектр дискретизированного спектра? В чем
состоит идея восстановления непрерывного сигнала на приеме?
33.	Как осуществляется разложение колебаний по специальным
функциям (Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лагерра)?
34.	Какой вид имеет система функций Уолша? Какие сигналы
целесообразно разлагать по этой системе?
84

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАДИОСИГНАЛОВ
При модуляции параметров немодулированного (несущего)
колебания
«co = ^ocos(w0/+(p)	(3.1)
формируется модулированное колебание (радиосигнал), которое в
общем случае можно записать в виде
u = U(t) cos [ы01-j- ф (/)] = U(f) соэФ (/),	(3.2)
где шо — несущая частота; Ф(^) =ц»о^ + ф(/) — мгновенная фаза-
колебания.
Амплитуда U (t) и фазовый сдвиг ф(/) колебания (3.2) изме¬
няются в зависимости от модулирующего сигнала s(i).
Спектр модулированного колебания (3.2) обычно оказывается
шире спектра модулирующего сигнала. У большинства радиосиг¬
налов ширина спектра 2Лш мала по сравнению с несущей часто¬
той, т. е. 2Лй)/(£>о<С 1, что позволяет относить их к узкополосным;
сигналам.
3.1.	Амплитудно-модулированные колебания
При амплитудной модуляции происходит изменение амплитудь*
U(t) модулированного колебания при постоянной начальной фазе-
ф. Выражение (3.2) принимает вид
иАГЛ = и (t)cos((n0t-\-q>).	(3.3)
Огибающая (амплитуда) модулированного колебания изменяется
вокруг среднего значения U0 и связана с модулирующим сигналом
s(t) линейным соотношением
U(t) = U0-{-kAs(t),	(3.4)
где kA — коэффициент пропорциональности, такой, что при лю¬
бых t обеспечивается U(t)^:0.
Амплитудно-модулированное (AM) колебание (3.3) можно
записать в комплексной форме
“am = Re W (t) ej “«'],
где U (t) = U (t) ej(P — комплексная огибающая данного колебания.
На комплексной плоскости, вращающейся с постоянной угловой
частотой соо, такой сигнал отображается неподвижным вектором
ОА, длина которого изменяется по закону (3.4). Мгновенное зна¬
чение AM колебания (3.3) есть проекция вектора ОА на действи¬
тельную ось (рис. 3.1).
Модуляция гармоническим сигналом (тональная модуляция)^
Если модулирующий сигнал s(t) является гармоническим колеба¬
нием, т. е.
s(t) = S cos (Ш-f ф),
85
(3.5),

то, согласно (3.4), огибающая модулированного колебания имеет
вид
U(t) = U0 + AUcos(Qt+y),	(3.6)
тде Q — частота модуляции (Q<Ccoo); ф — начальная фаза оги¬
бающей; A£/=&aS — наибольшее отклонение амплитуды от сред¬
него значения. Мгновенное значение подобного тонально-модули-
рованного колебания выражается как
«ам = U + М cos (й /+ф)] cos (fi)0 / + ф).	(3.7)
тде отношение M=AU/Uo, называемое коэффициентом модуляции,
является одним из основных параметров AM колебания.
<р=о
На рис. 3.2 изображена временная диаграмма колебания (3.7).
Чтобы определить частотный спектр AM колебания, преобразу¬
ем выражение (3.7) к виду
иш — Uо cos (w01 + ф) + U о М cos (Q / + ф) cos (ш0 2 + ф) =
= U0 cos (а>01+ ф) + и~~ cos [(«„ + Q) t + ф + ф] +
+ ^^-cos[(a>0—0)* + ф—ф].	(3.8)
Из (3.8) видно, что колебание мам имеет дискретный спектр,
состоящий из трех высокочастотных спектральных составляющих.
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное
немодулированное колебание с частотой соо и начальной фазой ф.
Второе и третье слагаемые называют соответственно верхней и
нижней боковыми составляющими. Они расположены симметрич¬
но относительно несущего колебания на верхней (a>0 + Q) и ниж¬
ней (соо—Q) боковых частотах модуляции и имеют соответственно
начальные фазы (ф+ф) и (ф—ф). Амплитуды боковых составляю¬
щих равны и0М/2. При неискаженной модуляции U0M/2^.U0/2
(M^l). Рис. 3.3 иллюстрирует формирование спектра AM колеба-
86

ния. На рис. '6.6,а изображен спектр колебаний до модуляция.
При модуляции (в результате перемножения функций1
cos Ш • cos (ооО происходит сдвиг спектра модулирующего сигнала:
на величину ц»о и расширение спектра (рис. 3.3,6). Ширина поло-
Спектр во мовуляци>'
и0’9
S;J>
о
о
й	а)
Спектр AM колебании
Щ	ш
б)
Ин
(OqQ й)0 й)д*а (1>
Рис. 3.3
сы частот 2Ай)дм, занимаемой AM колебанием, определяется
удвоенной частотой модулирующего сигнала
2 А ц»АМ = 2Q.
Выражению (3.8) соответствует векторная диаграмма иго
рис. 3.4, а, на которой каждая из трех составляющих AM колеба¬
ния представлена соответствующим вектором. Ось времени вра¬
щается по часовой стрелке с угловой частотой ш0; несущее коле¬
бание изображается неподвижным вектором ОС длиной U0 с на¬
чальной фазой ср. Векторы СМ и CN длиной UgM/2 изображают
соответственно верхнюю и нижнюю боковые составляющие. Они?
87

«пристраиваются к концу вектора ОС, составляя с его направлением
угол ±(Ш+г|э), и вращаются в противоположных направлениях
с угловой частотой £2. Суммой векторов СМ и CN является век¬
тор CD. Поскольку векторы боковых составляющих расположены
симметрично относительно вектора ОС и вращаются с одинаковой
угловой частотой £2 в разные стороны, то направление вектора CD
и суммарного вектора OD, отображающего модулированное ко¬
лебание, в любой момент времени совпадает с направлением век¬
тора несущего колебания ОС. Длина вектора OD соответствует
мгновенному значению амплитуды модулированного колебания
>U(t). Она изменяется периодически (с периодом 2я/£2) от мини¬
мальной (U о—MUo) до максимальной (Uo+MUo) величины,
когда векторы боковых составляющих СМ и CN занимают поло¬
жения, показанные на рис. 3.4,6, в соответственно. Проекция OD\
суммарного вектора OD на вращающуюся ось времени t опреде¬
ляет мгновенное значение AM колебания иАм(0-
Пользуясь векторной диаграммой, можно показать, что, если на¬
рушается равенство амплитуд боковых составляющих или симмет¬
рия их фаз относительно фазы несущего колебания (например, в
результате прохождения AM колебания через электрическую
цепь), то вектор OD, отображающий модулированное колебание,
качается относительно направления ОС.
Любая из рассмотренных форм представления AM сигнала:
аналитическая (3.7), спектральная (рис. 3.3,6) или векторная
(рис. 3.4, а) полностью определяет все параметры AM колебания.
Оцепим мощность AM сигнала. Из выражения (3.7) следует,
что амплитуда модулированного колебания изменяется от UmIn =
£/0(1—М) до Дтах = Uо (1 + М), следовательно, средняя за период
высокой частоты мощность модулированного колебания изменяет¬
ся соответственно от Pmm = Рь(\—М)2 до Pmax = Po (1 +М)2, где
<Ро= — U2о — мощность несущего колебания.
Средняя мощность Р AM сигнала за период модуляции опреде-
-ляется суммой мощностей гармонических составляющих
Р =
т^+т[-
ши Р = Р0(1 +0,5М2).
мий
г+4
\мил
J 2
2 J
При М= 1 Ртах = 4Р0, Р=1,5Ро, отношение средней мощности Р
к максимальной Ртах равно 0,375. Эти соотношения указывают
на существенные недостатки рассмотренного вида амплитудной
модуляции. Из равенства Р=1,5Р0 (при М= 1) следует, что только
третья часть мощности передатчика затрачивается на излучение
боковых составляющих AM колебания, несущих передаваемую
информацию, а две трети мощности — на излучение колебания
несущей частоты. Равенство Ртах = 4Ро и низкий уровень отноше¬
ния РIРmax = 0,375 указывают на плохое использование мощности
.передатчика, который приходится рассчитывать на пиковое значе-
88

ние мощности сигнала Ртах, т. е. на режим его кратковременной?
работы.
Модуляция произвольным периодическим сигналом. Периоди¬
ческий модулирующий сигнал sn(0 может быть представлен ря¬
дом Фурье вида (2.8):
«п(0=^- + 2 ЛпС0б(лШ+1|>п),	(3.9)*
1	л-1
где й — основная частота модулирующего сигнала.
Если отнести постоянную составляющую А о/2 ряда Фурье к
амплитуде несущего колебания U0, то огибающую U (t) модули¬
рованного колебания можно записать так:
=	Л^пСоэ(яШ +фп),	(3.10),
Я=1
где MJn = kAAn.
Подставляя (3.10) в (3.3) и произведя тригонометрические пре¬
образования, получим
ыам (0 — и0
1 + 2^пС05(лП/+г]5п)
п=1
COS (ш0 t + ф) =
= U0 cos К t + ф) + 2 4"Uo cos [ к + п t+ф + ■фп] +
Л=1	1
+ S -4“	^0 cos t(b>0—я£2)* + ф—■Ч»„],
п=1 z
(3.11>.
где Mn = AUn/U0 — парциальные (частичные) коэффициенты мо¬
дуляции. В выражении (3.11) первое слагаемое в правой части —
несущее колебание с частотой ц»о, второе и третье — суммы ко¬
лебаний с частотами а>о + /гй (верхняя боковая полоса) и ц»о—яй-1
(нижняя боковая полоса) соответственно. Нижняя боковая полоса*
представляет собой зеркальное отображение верхней боковой'
полосы, т. е. амплитудный спектр модулированного колебания сим¬
метричен относительно частоты ц»о. Каждая спектральная состав¬
ляющая модулирующего сигнала (3.9) так же, как при тональной*
модуляции, создает две боковые частоты в спектре модулирован¬
ного колебания.
На рис. 3.5,а, 6 изображены модулирующий сигнал sn(t), пред¬
ставляющий собой последовательность прямоугольных импульсов^
и его спектр. На рис. 3.5,в представлена последовательность ра¬
диоимпульсов, полученная в результате амплитудной модуляции
исходного гармонического колебания периодическим сигналом
sn(0’> и спектр AM колебания.
Если ширину спектра Ай модулирующего сигнала опреде¬
лить как
Ай = йтах =/я й,.
89

тде Qmax — максимальная частота, которая учитывается в спектре
этого сигнала, соответствующая т-й гармонике, то ширина спект¬
ра AM колебания равна
2	= 2 ^шах*
Модуляция непериодическим сигналом. В случае модуляции
непериодическим сигналом s(t) со спектральной плотностью 0(а>)
огибающую U (t) и AM колебание «дм (t) можно записать в виде
U(t) = U0 + kAs{f),	(3.12)
«Ам(0= [^0+^А s(/)] COS(w0/+(p).	(3.13)
Из теоремы сложения (табл. 2.2, поз. 3) следует, что спект¬
ральная плотность Gu(id) огибающей U(i) (3.12) есть сумма
спектральной плотности <5(ш) непериодического сигнала s(t)
{с точностью до множителя &д) и спектральной плотности постоян¬
ной составляющей U0, равной 2я£/06(а>) (рис. 3.6,а). Спектраль¬
ная плотность модулированного колебания (?ам(ы) согласно тео¬
реме о смещении спектра (табл. 2.2, поз. 11) определяется выра¬
жением
САмИ = е1ф^- Gu(co—co0) + e-J<P — Gv(a + со0)	(3.14)
2 2
и изображена на рис. 3.6,6.
Таким образом, в результате амплитудной модуляции спект¬
ральная плотность огибающей, сосредоточенная в области нижних
90

частот, «раздваивается» и переносится в область высоких частот,,
смещаясь на ±о)о. Из рисунка видно, что спектральная плотность.
(5дм (со) AM колебания имеет две составляющие: 1/2(щ(й)—юо) »
l/2(Jl7(ffl + (i»o), сконцентрированные вблизи частот о)о и —<0о соот¬
ветственно. Ширина спектра 2Асоам AM колебания вдвое превы¬
шает ширину спектра Лощ огибающей. Сигнал «дм, соответствую¬
щий спектральной плотности (3.14), является действительной ве¬
личиной и определяется преобразованием Фурье от этой функции
«дм = 2~я $ ^ам (о>) e|ffl'd(i)= — е1ф J Gv (о>—а>0) eJt,)< do>+
+ 2lie_J<P I YM“ + b)o)eMdco-	(3-15)
При этом каждой спектральной составляющей сигнала «дм в об¬
ласти положительных частот (ц»>0) соответствует комплексно¬
сопряженная составляющая в области отрицательных частот
(о>-<0), как это следует из комплексного представления гармони¬
ческого колебания (2.3) и векторной диаграммы (рис. 2.3).
Рис. 3.6
Такой же сигнал можно получить, применяя к (3.14) односто¬
роннее преобразование Фурье:
«am = Re — ( Gam (к>) £,atd <o = Re — eJ<p ( — Gy (ft)—ft>0) eJco/ d«>4-
ft о	ft о 2
+ Re — e—J4> ( -L	+	dto.	(3.16)
ft	о ^
Здесь рассматривается только действительная часть комплексных
спектральных составляющих сигнала «дм в области положитель¬
ных частот в соответствии с комплексным представлением гармо¬
нического колебания (2.2) и векторной диаграммой (рис. 2.2).
91

На рис. 3.6,6 видно, что для узкополосного процесса вклад,
«носимый вторым слагаемым в выражении (3.14), мал и им мож¬
но пренебречь (заштрихованная область на рис 3.6,6). Поэтому
в окрестности частоты соо можно не учитывать второе слагаемое
и определять спектральную плотность AM сигнала по приближен¬
ной формуле
Сдм (®)» — ei4> Gy ((о—со0),	(3.17)
соответствующей правой ветви на рис. 3.6,6. Сигнал «ам будет
описываться первым слагаемым формулы (3.16) одностороннего
'преобразования Фурье
цАм » Re — е*ч> ? — Ga (со—со0) е,й>/ сЬо.	(3.18)
я п 2
3.2.	Балансная н однополосная модуляции
Кроме обычной АМ применяется амплитудная модуляция без несущей —
(балансная модуляция (БМ).
Балансно-модулированное колебание (БМК) можно записать как
“бм = os cos “о * = U (t) coscoot, (ЗЛ9)
где U(t)=as(t)—огибающая модулиро¬
ванного колебамия (3.19).
Для сравнения на рис. 3.7 изображе¬
ны временные диаграммы иАм и «БМ при
модуляции гармоническим сигналом s(t),
построенные иа основании выражений
(3.7) и (3.19).
Спектральную плотность БМ колеба¬
ния G БМ(<в), так же как и АМ колебания
при модуляции произвольным непериоди¬
ческим сигналом s(t), можно выразить че¬
рез спектральную плотность огибающей.
Полагая, что огибающей U(t)=as(t) со¬
ответствует спектральная плотность
Gu (о), получим
Рис. 3.7
(со — со0) + Gv (со + (Во)] у
(3.20)
т. е. спектр сообщения, соответствующий (с точностью до коэффициента а)
спектру огибающей, в результате модуляции «раздваивается», т. е. смещается
по оси частот на ±со0, а его ординаты уменьшаются в 2 раза. Ширина спектра
БМ колебания увеличивается в 2 раза по сравнению с шириной спектра сооб¬
щения. Поскольку в спектре БМ колебания отсутствует несущее колебание, то
спектральная плотность модулированного колебания <3БМ (со) ие содержит ди¬
скретной компоненты (6-функции) иа частоте со0, имеющейся в спектре АМ ко¬
лебания (рис. 3.6,6).
92

Система БМ позволяет сократить расход мощности на передачу колебания
несущей частоты too- Если модулирующий сигнал s(t) содержит постоянную
составляющую, то в спектре БМ. колебания возникает компонента несущей
частоты.
При БМ так же, как и при AM, передается избыточная информация, по¬
скольку спектр сообщения Дощ расширяется в 2 раза (рис. 3.8, а, б). Для вос¬
становления модулирующего сигнала достаточно сохранить в спектре модули¬
рованного сигнала лишь одну боковую полосу: либо верхнюю (рис. 3.8, в), ли¬
бо нижнюю (рис. 3.8, г). В обоих случаях спектр остается симметричным отно¬
сительно вертикальной оси, проходящей через начало координат. Следовательно,
любой из этих спектров соответствует реальному сигналу.
г)
Рис. 3.8
Для передачи боковых полос в этом случае требуется только половина
полосы частот (До)и вместо 2Дсос; при БМ). Такой способ передачи, называе¬
мый однополосной амплитудной модуляцией (ОМ) с подавлением несущей, поз¬
воляет максимально сократить полосу, занимаемую сигналом на оси частот.
В общем случае сигнал с ОМ «ом можно записать в виде
и0
“ом = ~ fs W cos “0 < ± S (t) sin 0)0 <],	(3.21)
где знак плюс соответствует однополосному сигналу с нижними боковыми поло¬
сами, а минус — с верхними; Uо — амплитуда несущего колебания; s(t) —
сигнал, сопряженный сигналу s(t) (по Гильберту) таким образом, что фазы
всех его спектральных компонент сдвинуты на —я/2 по отношению к компо¬
нентам спектра сигнала s(t).
Спектральная плотность <5ом(со) сигнала с ОМ записывается как
Сом (ш) =	I ®С7 (ш — “о) 4" С® + шо)] ±
93

(3.22)
dfc — l Gv (со — co0) sign (со — co0) — Gv (со + co0) sign (со + %)]
Знак минус в выражении (3.22) соответствует спектру с подавленными верх¬
ними боковыми полосами (рис. 3.8, г), а плюс — с подавленными иижиими
(рис. 3.8, в).
При приеме БМ и ОМ колебаний необходимо восстанавливать колебание
несущей частоты (U0cos(£>ot), что усложняет приемник.
3.3.	Колебания с угловой модуляцией
Общие понятия. При угловой модуляции под действием моду¬
лирующего сигнала происходит изменение фазового сдвига ср(^)
несущего колебания (3.1) при постоянной амплитуде U0. Моду¬
лированное колебание (3.2) принимает вид
u(t) = U0cos[(i>0t + q)(t)] = U0cos<J)(t)	(3.23)
или в комплексной форме
u{t) = и (0 ei(4	(3.24)
где U(t) = UoeJiW — комплексная огибающая колебания.
На комплексной плоскости колебание (3.23) отображается векто¬
ром ОА длиной Uо (рис. 3.9). Если плоскость вращается с посто¬
янной угловой частотой соо, то начальная фаза <р(£) вектора ОА,'
в отсутствие модуляции постоянная и равная <р, медленно изме¬
няется в процессе модуляции. Мгновенное значение модулирован¬
ного колебания (3.23) определяется проекци¬
ей u(t) вектора ОА на вращающуюся дейст¬
вительную ось.
Изменение фазового сдвига ср(() происхо¬
дит как при модуляции мгновенной частоты
u>(t), так и при модуляции непосредственно
фазового сдвига (p(f) колебания (3.23). По¬
этому различают два вида угловой модуля¬
ции: частотную модуляцию (ЧМ) и фазовую
модуляцию (ФМ).
При частотной модуляции имеет место линейная связь между
мгновенной частотой co(t) колебания (3.23) и модулирующим сиг¬
налом s (t):
Рис. 3.9
©(/) = ©„ + (o„s(t)*,	(3.25)
где (Од — девиация частоты, т. е. максимальное отклонение часто¬
ты a(t) от (Do-
Полная фаза Ф(0 ЧМ колебания определяется как интеграл
от мгновенной частоты (3.25)
Ф (0 = 1 © (0 Л+Ф = П®о + Юд5(*)] dt + ф =
= со01 + (Од J s (0 dt + ф = со0t + ф (t),	(3.26)
* В формулах (3.25) и (3.29) предполагается, что s(^) — нормированная
модулирующая функция, Т. е. |s(/)|max=l.
94

где фазовый сдвиг
Ф(9 = юд^(0^ + ф.	(3.27)
При этом ЧМ колебание принимает вид
«чм = £/0 cos [(о0 (+ овд | s (t) dt + ф].	(3.28)
Таким образом, фазовый сдвиг <р(() ЧМ колебания изменяется
по закону интеграла от модулирующего сигнала s(t).
Частотно-модулированный сигнал можно получить на выходе частотного
модулятора, в котором модулирующий сигнал s(t) либо непосредственно управ-
ляет угловой частотой a>(t) несущего колебания в соответствии с выражением
(3.25), либо после интегрирования управляет фазовым сдвигом <р(/) несущего
«колебания согласно выражению (3.27):
При фазовой модуляции в соответствии с модулирующим сиг¬
налом s(t) изменяется фазовый сдвиг
Ф(0 = Ф + ™? (0*	(3.29)
где ф — начальная фаза немодулированного колебания; т — ин¬
декс угловой модуляции, т. е. максимальное отклонение фазы ко¬
лебания (3.23) от начальной фазы <р. Учитывая (3.29), полную
фазу Ф(() модулированного колебания (3.23) можно определить
по формуле
Ф(0 = (оо( + ms(t) + ф.	(3.30)
При этом фазомодулированное колебание принимает вид:
Мфм = ^оссб[(Оо* + т5(0 + ф]-	(3.31)
Мгновенная частота ФМ колебания, равная
(°w = ^rI:=(0o+m^r ’	(3-32)
изменяется по закону производной от модулирующего сигнала
по¬
следовательно, ФМ сигнал можно получить на выходе фазового модуля¬
тора, в котором модулирующий сигнал s(t) либо непосредственно управляет
•фазовым сдвигом <р(^) несущего колебания согласно выражению (3.29), либо
лосле дифференцирования управляет угловой частотой a>(t) несущего колеба¬
ния в соответствии с (3.32).
Ограничимся рассмотрением ЧМ и ФМ колебаний при моду¬
ляции гармоническим сигналом
s(t)=S cos Q t.	(3.33)
Сравним основные характеристики сигналов с частотной и фа¬
зовой модуляцией.
95

ЧМ колебание
Согласно (3.25)
со(/) = со0 + <»д cos Й t. (3.34)
Здесь C0h=A4mS, т. е. девиация ча¬
стоты ЧМ колебания пропорциональ¬
на амплитуде S модулирующего сиг¬
нала и не зависит от частоты моду¬
ляции Й. Тогда
Ф (0 = /1“о + шд cos Q *] dt + ср =
= со01 + сод Jcos Q t dt -f- ф =
= g>o / -f- /nsin Qt + <p,	(3.35)
соответственно
ф(0 = /nsinQ^+ ф,	(3.36)
где m = Шд/Q.	(3.37)
To есть индекс угловой модуляции m
ЧМК пропорционален амплитуде мо¬
дулирующего сигнала и обратно про¬
порционален частоте модуляции. С
учетом (3.23) и (3.35) имеем
£7о cos (со01 —/72 sin Q t —)- ф).
(3.38)
ФМ колебание
Согласно (3.29)
ф (0 = ф + m c°s Й t. (3.39)
Здесь m—k^S, т. е. индекс угло¬
вой модуляции ФМ колебания про¬
порционален амплитуде S модули¬
рующего сигнала и не зависит от
частоты, модуляции й.
Тогда
Ф (t) = Й>о t + ф (t) =
= (В0 t + лг cos й t + ф.	(3.40)
и (0 = К t + ф (<)1 =
= (Do — m й sin й 1 =
= со0 — сОд sin Й t,	(3.41)
где *Вд = /пй.	(3.42)
Следовательно, девиация частоты
Шд ФМК пропорциональна амплиту¬
де и частоте модулирующего сигна¬
ла. С учетом (3.23) и (3.40) имеем
«фм = Uа cos (со01 + m cos й t -f- ф) •
(3.43)
Наглядное представление о характере полученных зависимостей со(1) и ф(/)
при ЧМ и ФМ дают графики, построенные соответственно на рис. 3.10, а, б И
3.10, в, г.
Из выражений (3.38) и (3.43) и приведенных графиков видно, что прн
тональной модуляции нельзя определить, является ли сигнал частотно- или
фазомодулированным. Различие между этими видами модуляции проявляется
только при изменении частоты моду¬
ляции й. При ЧМ с увеличением О
девиация частоты сод остается посто¬
янной, а индекс модуляции m в со¬
ответствии с (3.37) уменьшается по
закону гиперболы (рис. 3.11,а), в то
время как при ФМ постоянным ос-
wit) им
о ~\~г/
IN/1
1 1 1
1 1 1
1 I 1
-VSr-
1 1
1 1
1 I
п
0 1 1 а)1
| I 71
?w! 1
фк
1 1
			1—
1 1 t
1 1
1 1
it
51
w(t)
ФМ
Тч
1 1
1 1
1 1
kcj
i i
i i
0 j
1 1
^/?) 1 £
W 1
#) j
кЬ
! i
i i
1 1
1 1
fi "
0
t
г)
<•> О
ация частоты сод в соответствии с
(3.42) растет по линейному закону
(рис. 3.11,6).
Если модулирующий сигнал
s(t) негармонический, то ЧМ и ФМ
колебания различаются по характе¬
ру изменения параметров a>(t) и
ф(1). На рис. 3.12 приведены гра¬
фики мгновенной частоты со(1) и фа-
Рис. ЗЛО	зового сдвига ф(t) ЧМ и ФМ коле¬
баний для случая, когда модулирую¬
щий сигнал s(t) имеет вид пилообразной функции. Как следует из рис. 3.12,б,е,
угловая частота ЧМ сигнала изменяется монотонно в соответствии с модулиру¬
ющим сигналом s(t), тогда как частота сo(t) ФМ сигнала изменяется скачками.
На рис. 3.13 построена векторная диаграмма колебания с угло¬
вой модуляцией M = t/ocos[oo^ + <p(0]-
96

Вектор ОА длиной U0, отображающий модулированное колеба¬
ние, в произвольный момент времени располагается под углом ф(£)
к начальному положению оси проекций. Если модуляция осуществ¬
ляется гармоническим сигналом, то функции ф(0 и dy(t)/dt как
при ЧМ, так и при Ф!М изменяются также по гармоническому за¬
кону. Следовательно, в обоих случаях вектор ОА качается с мгно¬
венной угловой частотой dq>(t)/dt около своего среднего положе¬
ния ОАь составляющего угол ф с начальным положением оси про¬
екций, отклоняясь в обе стороны на тп радиан.
Спектр колебания при гармонической угловой модуляции. Как
уже указывалось, модулированное колебание, представленное в
виде
4—100
97

(3.44)
u — U0 cos [(D01 -f m sin (Q t + ф) -f q>],
в равной степени соответствует 4iM и ФМ колебаниям.
Чтобы найти спектральный состав этого колебания при любом
значении индекса модуляции т, воспользуемся соотношениями,
известными из теории Бесселевых
.(i?©	функций:
рода п-го порядка от действительного аргумента т. При це¬
лом п имеет место равенство
J-n(m)^( — \)nJn(m).	(3.46)
Колебание (3.44) является действительной частью комплекс¬
ного сигнала
« = t/0Re{exp j [(on^-f ф-f msin(Q^-f ф)]} =
= t/0 Re [exp j (<o0f-f ф) exp j m sin (Qf-f ф)].
Принимая во внимание (3.45), получим:
u = H„Re exp j((»0*-f ф) J] (m)exp jn (Qt +
L	rc=—00
+Ф)
= H0 2 ^„(m)Re{expj [(<»0-f/iQ) г +пф +ф]}.
n=—00
Окончательно, с учетом (3.46)
00
u= 2	(m) cos [((o0-f nQ) t+яф-f ф] =
= U0 J0 (tri) cos (co0t -f ф) +2 UQJn (m) cos [(co0 +
n=1
+ n Q) t -f nф + ф] + 2 ( — 1)" U0 Jn (m) cos [(<o0—n Q) t—n ф + ф].
n=1
(3.47)
Выражение (3.47) представляет собой разложение колебания
и с угловой модуляцией на гармонические составляющие. Спектр
колебания, изображенный на рис. 3.14, состоит из бесконечного
числа боковых составляющих, расположенных попарно симметрич-
98

но относительно несущей частоты оо0 и имеющих частоты
(coo±nQ). Согласно (3.46) нечетные верхние и нижние боковые
составляющие находятся в противофазе. Амплитуда п-й боковой
составляющей равна U0Jn(tti), т. е. при заданном индексе модуля¬
ции т пропорциональна |/„(т)|. Поскольку функции Бесселя
UQIz(ml U0I0(m) ЩТг(т)
Щ1, (т)
н)%ш
-• • • т
6)$~£2
[ Ч)|лМ _
со0-п£2 | Ш0-2£ I О>0 й)о+Д (0Q+2SI а)0+пй ш
'U0Ii(m)
Рйс. 3.14
осциллируют с изменением т (рис. 3.15), то амплитуды спектра
с увеличением порядка п функции убывают не монотонно.
Теоретически колебание с угловой модуляцией занимает бес¬
конечную полосу частот. Однако для заданного индекса модуля¬
ции т абсолютное значение фун¬
кции Бесселя |/„(т)| быстро
уменьшается с увеличением п,
и практически можно не учиты¬
вать боковые составляющие по¬
рядка п=т + 2 и выше из-за
малости их амплитуд.
Ширина спектра 2Асо колеба¬
ния, ограниченного (т-Н) па¬
рой боковых составляющих, вы¬
ражается приближенным равен¬
ством1
2 Дсо « 2 Q (m +1),	(3.48)
а при нг^> 1 примерно равна удвоенному значению девиации ча¬
стоты (Од
2Д(о«2т£2 = 2(Од.	(3.49)
При малом индексе модуляции т«С 1 можно положить /0(т)«
« 1, /i(m)«m/2 и пренебречь значениями функций Бесселя более
1 Для индекса модуляции т, лежащего в пределах от 0 до 25, ширину
спектра ЧМ колебания при гармонической модуляции можно рассчитывать по
приближенной формуле [17]:
2До)цм«2й(1 +/п + ~\/т),
учитывающей (1 + т+~[/т) пар боковых составляющих спектра с амплитудой
не меиее 1 % амплитуды немодулироваиной несущей.
4*	99

высоких .порядков. Выражение (3.47) принимает вид приближен¬
ного равенства
ы« £/0cos(<D0/ + q>) + -~ m£/0cos [((o0 + Q)^ +
+ Ф + ф) ^-m£/0cos[(<o0—Q)f—ф + ф].	(3.50)
В соответствии с (3.50) на рис. 3.16, а изображен спектр ам¬
плитуд и фаз. Структура спектра оказывается такой же, как и в
случае AM колебания с тональной модуляцией (см. рис. 3.3),
однако фаза нижней боковой составляющей отличается на я ра¬
диан. Ширина спектра равна удвоенной частоте модуляции, т. е.
2Ato = 2Q.
Щ;?
(i>o'£2
	L_
I
o0 Ш0+Я o>
<V
Рис. 3.16
На векторной диаграмме колебания (3.50), приведенной на
рис. 3.16,6, сумма векторов верхней (СМ) и нижней (CN) боко¬
вых составляющих образует вектор CD, который в отличие от AM
колебания перпендикулярен вектору несущей ОС. Векторная диа¬
грамма показывает, что наряду с изменением фазы вектора OD,
отображающего результирующее колебание (3.50), изменяется и
его длина, т. е. амплитуда модулированного колебания. Это есть
следствие ограничения спектра колебания (3.47) первой парой
боковых составляющих. Однако, поскольку m<t; 1, изменение дли¬
ны вектора OD незначительно.
При изменении амплитуды 5 модулирующего сигнала (Q =
=const) в ЧМ и ФМ колебаниях изменяется индекс модуляции
т, и, следовательно, изменяются число боковых составляющих,
ширина спектра 2Aco = 2Q(/n-H) и амплитуды U0Jn(m) составляю¬
щих спектра.
При изменении частоты модуляции Q (5 = const) в случае ЧМ
изменяется согласно (3.37) индекс модуляции т, следовательно,
число и амплитуды составляющих спектра. Ширина спектра
2А(очм практически це меняется. При ФМ амплитуды -состав¬
ляющих и их число остаются без изменения (так как т = const),
100

а ширина спектра 2Д(оФМ изменяется пропорционально частоте
модуляции.
Определим среднюю мощность Р радиосигнала с угловой мо¬
дуляцией.
Средняя мощность Ро, которая рассеивается немодулированным
колебанием (3.1) в нагрузке R, равна Ро= (l/2)U20/R.
Средняя мощность Рп n-й боковой составляющей колебания
(3.44)	выражается как
р - 1 Уп{т)Ц^
п 2 Я
Средняя мощность радиосигнала (3.44) есть сумма мощностей
всех гармонических составляющих
Р= ~~[J2o(m) + 2J21(m)+ . . . + 2Рп(т) + . . .].
2.	Н,
В теории Бесселевых функций доказывается, что Ро (т) +
+ 2/2i(m)+ ... +2Рп(т)+ ... =1. Поэтому
Р = ТТ = Ро-	(3-51)
Таким образом, в результате угловой модуляции при любом
значении т происходит перераспределение мощности между не¬
сущей и всеми боковыми составляющими, суммарная же мощность
равна мощности немодулированного колебания. Следовательно,
передатчик, излучающий ЧМ (ФМ) радиосигналы, работает в ре¬
жиме постоянной мощности.
3.4.	Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)
и линейно-частотная' модуляция (ЛЧМ)
Импульсная модуляция. Общие сведения. Импульсно-модулиро-
ванные колебания представляют собой последовательность импуль¬
сов с высокочастотным заполнением. Вид импульсной модуляции
зависит от того, какой из параметров первоначальной последова¬
тельности видеоимпульсов (обычно прямоугольных) подвергнут
модуляции.
Изменяя амплитуду, длительность, фазу импульсов или частоту
их следования, можно получить основные виды импульсной моду¬
ляции: амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ); модуляцию
по длительности (ширине) (ШИМ); фазоимпульсную модуляцию
(ФИМ); частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ); ЧИМ и ФИМ
объединяют общим понятием время-импульсной модуляции
(ВИМ).
С помощью любого вида импульсной модуляции можно пере¬
давать непрерывное сообщение за счет того, что каждый из им-
нульсов передает значение непрерывной функции в определенный
момент времени.
101

На передающей стороне радиоканала модулированную после¬
довательность видеоимпульсов превращают в соответствующие
высокочастотные колебания (радиоимпульсы). При этом спектр
последовательности модулированных видеоимпульсов сдвигается
в область высоких частот.
На приемном конце модулированные ВЧ сигналы преобразуют¬
ся в обратном порядке: радиосигналы детектируются, чтобы вос¬
становить модулированную последовательность видеоимпульсов;
из этой последовательности восстанавливается передаваемое не¬
прерывное сообщение.
Теоретической базой всех перечисленных видов импульсной
модуляции является теорема Котельникова, на основании которой
выбирается тактовая частота следования видеоимпульсов.
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ). Простейшим ви¬
дом импульсной модуляции является АИМ, при которой амплиту¬
да (наибольшее значение) импульсов изменяется по закону моду¬
лирующего сигнала.
Определим спектр АИМ при модуляции видеоимпульсов, имею¬
щих прямоугольную форму, гармоническим сигналом s(t) =S cos Й/.
На рис. 3.17, а изображена исходная периодическая последова¬
тельность прямоугольных импульсов sn(0> имеющих длительность
%и, амплитуду U и период следования Т, а на рис. 3.17,6 — та же
последовательность, промодулированная гармоническим сигналом
s(t).
б)
Рис. 3.17
Модулированную последовательность видеоимпульсов «дим
в соответствии с рис. 3.17,6 можно записать в виде
Ыаим = £/(1 + М cosQQ	rectf— -?Л ,	(3.52)
k——оо	\	/
где k=0, 1, 2, ...; M=kASIU — AU/U — коэффициент модуляции.
102

Представляя периодическую последовательность импульсов
sn(t) рядом Фурье
sa(t) = U 2 rect^—— )=^- + 2 4ncos(nco0* + <p„),	(3.53)
fc=—ОО	\ ТИ /	^	П=1
где ©о = 2яIT — тактовая частота импульсов, и подставляя (3.53)
в выражение (3.52), получим
Мдим (t) = (1	М cos Q t)
_Aq
-f + 2 4„cos(ncB0f4-
. 2 n=l
+ <Pn)
+ 2 4„cos(n©0H-<p„) +
2 n=l
+ -i- A0M cosQZ + 2 {—.Л„Лfcos[(nG)0 + Q)/4-
2	«= 1 I 2
+ <Pj+-^-4„Afcos[(ncB0— Q)/ + q>„] j .	(3.54)
На основании полученного выражения (3.54) на рис. 3.18 по¬
строен спектр, модулированной импульсной последовательности.
4;
г
Можно заметить, что при М = О (при отсутствии модуляции)
в правой части (3.54) остаются только первые два слагаемых, ко¬
торые образуют спектр Л„(ю) исходной периодической последова¬
тельности прямоугольных импульсов sn(/). Благодаря модуляции,
103

как это следует из выражения (3.54) и рис. 3.18, а, около каждой
спектральной компоненты (включая нулевую составляющую А0/2),
играющей роль несущей, появляются боковые составляющие с ам¬
плитудами Л„М/2 и частотами (moo±Q), в том числе низкочастот¬
ная составляющая с амплитудой AqM/2 и частотой модуляции Q.
В случае модуляции несколькими тонами в спектре АИМ сиг¬
нала число боковых составляющих и составляющих низких частот
модуляции возрастает. Наконец, при модуляции непериодическим
сигналом (обладающим спектральной плотностью О (со)) вместо
отдельных пар боковых составляющих наблюдаются сплошные бо¬
ковые полосы — смещенный на .частоты пюо(п = 0, 1, 2, 3, ...)
спектр модулирующего сигнала вместе с его зеркальной копией
(рис. 3.18,6), т. е. формируется спектр вида (2.79), полученный
для дискретизированного по времени непрерывного сигнала.
Чтобы уменьшить ошибки дискретизации исходного колеба¬
ния, возникающие при использовании АИМ, тактовую частоту
юо = 2я/Г импульсов выбирают из условия ©0> (2-j-5)Qm, где
Qm = 2nFm — максимальная частота в спектре <3{со) модулирую¬
щего сигнала.
Этому условию соответствует интервал дискретизации Т=
= 2я/со0, (период следования импульсов) меньший, чем интервал
дискретизации, который определяется теоремой Котельникова:
т< —!—
(2-н 5) Fm "
Поскольку передаваемое сообщение заложено в низкочастотную
часть спектра АИМ, прилегающую к нулевой частоте, то для
восстановления сообщения на приеме после амплитудного детек¬
тора можно использовать фильтр нижних частот.
Линейно-частотная модуляция (ЛЧМ). Большой практический интерес
представляет анализ спектра радиоимпульса с линейной частотной модуляцией,
так называемого ЛЧМ импульса, изображенного на рис. 3.19, а.
Здесь мгновенная частота заполнения od(t) изменяется по линейному за¬
кону:
<о(*) = ю0 + аг, |*|<т„/2,	(3.55)
где а = 2(од/ти = 2.2л/д/ти	(3.56)
— скорость линейного изменения частоты внутри импульса (рис. 3.19,6).
Мгновенное значеняе ЛЧМ сигнала можно записать в виде
un4M^) = t/oCOS[/“WdO = £/0cos(<o0/ + a*2/2),	|£| sg ти/2.	(3.57)
Полная фаза колебания (odat+at2l2) определена с точностью до начальной фа¬
зы, которую полагаем равной нулю.
Основным параметром этого колебания является произведение полной де¬
виации частоты на длительность импульса
2/дТи = т,	(3.58)
называемое базой ЛЧМ сигнала.
Спектральную плотность ЛЧМ сигнала можно определять, пользуясь общей
формулой (2.27):

(3.59)
G0 у2	Г	at2 Л\
= Т “ 2 ехР(-][(и-Юо)<-— jjd< +
-ги/2
ц ти /2
+-Т I
“V2
ехр
-4
(ш 4- СОо) t + ■
а<2
Л — G1 (со) + <32 (со) .
В полученном выражении Gi(co) — составляющая спектральной плотности сиг¬
нала, сосредоточенная вблизи частоты со = со0, a G2(co) — вблизи со=—со0. Если
положить соо»сод, то, ограничиваясь обла¬
стью положительных частот, можно соглас¬
но (3.17) пренебречь влиянием «хвоста»
функции <?2 (со) н считать
G (со)»(со),	(3.60)
пользуясь при этом формулой (2.29) одно¬
стороннего преобразования Фурье.
1
rj\
i / \
!/ \ /
uft)
\i
j
Ри/2 1 /
K/2 t
I 1/
L V/
1J
I
a)
Ш)
\
\
ШI
|0fw
)
\
\
\
I 1
1
/
/
)
\
1
/
1
\J
1
1
vj
/
i /
1/
Q
ый-шд
a>0
2сйд
©0
WA ft)
/
Рис. 3.19
Рис. 3.20
После ряда преобразований с учетом (3.60) н соотношений (3.56) и (3.58)
спектральная плотность ЛЧМ сигнала приводится к виду
л. , Go ти "| f я Г (со — con)21	л
° (И) = W™ V I- ехР - i	2а ~~ J	Ы + С ^ +
+ i \D (2i) + D (z2)]} = а (со) е1 0 <“>,	(3.61)
где С (z) =	j cos2 xdx,
-|/jT C
D(z)— у J sin2xdx — интегралы Френеля. Соответственно модуль
0
спектральной плотности
Go т,
0 (а>) = 2W уТ V[С <z^+0 <Z2»a +[Z) (z*> + D (Z2)]a
а фазовая характеристика спектра при со>0
0 (СО):
я тп (и -
(3.62)
I =	, arct£? P(h) + P(z2)
2а 'r С (zt) + С (z2)
%)а ,	, Р (zi) + D (z2)
'д +arCg С (гг) 4- C (z2)
(3.63)
105

Расчет функции 0(<в), выполненный по формуле (3.62), показывает, что
при больших значениях т (порядка 100) форма спектра ЛЧМ сигнала близка
к прямоугольной.
Из выражения (3.62) следует также, что при со = со0 и 1, когда С(гх)»
«С(22)»0,5 и _G(Zi)»D(2 2) ~ 0,5, модуль спектральной плотности равен
G(<Bo) = JW2 т, а при <о = <оо±<од, когда С(2,) «D(г,) «0,5 и С(г2)«Д(22) =
=0, равен G ((о0±о)д) = — G (<оо).
Ширина спектра ЛЧМ сигнала близка к величине 2шд. Общий характер
амплитудного спектра G(<o) ЛЧМ сигнала для случая,' когда база сигнала ве¬
лика, представлен на рис. 3.20. При т порядка 100 свыше 90% всей энергии
сигнала заключено в полосе 2<од. Фазовый спектр сигнала 10 (со) | имеет внд
квадратичной параболы.
При модуляции частоты заполнения радиоимпульсов их спектр расширяется.
Так, для рассмотренного выше линейного изменения частоты заполнения расши¬
рение спектра радиоимпульса характеризуется коэффициентом Кр, равным
который определяется отношением ширины спектра 2<од ЛЧМ сигнала к ши¬
рине первого лепестка 2-2я/тж (см. рис. 2.13, в) радиоимпульса с смодулиро¬
ванным заполнением. Расширение спектра тем больше, чем больше девиация
частоты.
Благодаря этой особенности и форме автокорреляционной функции сиг¬
нала, образующей при т 3> 1 острый пик [5], ЛЧМ сигналы широко использу¬
ются в системах оптимального приема дальней радиолокации, обеспечивая вы¬
сокое разрешение по дальности без укорочения длительности излучаемых им¬
пульсов н без изменения средней мощности передатчика.
Огибающая, фаза и мгновенная частота узкополосного сиг¬
нала. Помимо простейших типов модулированных колебаний (AM,
ЧМ и ФМ), рассмотренных в предыдущих параграфах, к узкопо¬
лосным сигналам можно отнести также сложно-модулированные
колебания, характеризуемые одновременным изменением ампли¬
туды и фазы.
Узкополосный сигнал представляет собой квазигармоническое
колебание
со средней угловой частотой ©о, у которого амплитуда U (t) и на¬
чальная фаза ф(/) незначительно изменяются от одного периода
к другому (рис. 3.21).
Такая форма записи узкополосного сигнала позволяет восполь¬
зоваться рассмотренными ранее способами анализа. Однако при
этом возникает неоднозначность в выборе функций U (t) и ф (t),
которую можно проиллюстрировать следующим примером. Если
гармоническое колебание
3.5.	Узкополосные колебания
U = U(f) COS [Юо* + ф(0] =	(0 COS Ф (^)
(3.64)
и(0=^оСОз(©0^-1-ф)
(3.65)
u{f) = U(t) cos [©о ( + Ф (01*
106
записать в форме

то можно найти множество пар функций U (t) и ф(^), Для кото¬
рых будет выполняться равенство
соответственно
9
,u(t)
t/0cos(co0/ + qp) —U (t) cos [со0 f + ф (0]-■	(3.66)
Покажем это графически. На рис. 3.22, а, б колебание (3.65) в мо¬
менты времени t\ и t2 изображается проекциями
ОА\ и ОА2 неподвижного вектора
ОА длиной Uo и с начальной фа¬
зой ф на вращающуюся с угловой
частотой соо ось времени t. В обо¬
их случаях такие же проекции
даст любой другой вектор, ко¬
нец которого лежит на прямой,
перпендикулярной оси времени и
проходящей через конец вектора
ОА. Следовательно, задав про¬
извольный закон изменения ам¬
плитуды U(t), можно подобрать
щщ
Рис. 3.21
соответствующий закон изменения фазы ф(£), при котором удов¬
летворяется равенство (3.66), что свидетельствует о неоднознач¬
ности в определении функций U (t) и ф (t).
Можно устранить неоднозначность определения параметров
колебания (3.64), если наложить на функции U(t) и ф(^) допол¬
нительные условия:
U(t) = Vи2 (t) + u*(t)	(3.67)
и
Ф (t) = arctg (и (f)/u (0).	(3.68)
В формулы (3.67)^и (3.68) введена новая функция H(t), которая
связана с исходной u(t) парой преобразований Гильберта
«(*) = — I
л
u-W-dT
t— т
107
(3.69)

и
u(t) =	L 7 “ilLdx,	(3.70)
« —oo t — т
то есть U(t) — это сигнал, сопряженный по Гильберту с заданным
узкополосным сигналом u(i).
Функция U(t), определяемая формулой (3.67), является оги¬
бающей узкополосного сигнала u(i) [5, 21]. Эта формула справед¬
лива и в том случае, когда u(t) — произвольный (необязательно
узкополосный) сигнал, который также можно записать в форме
(3.64). Однако при этом понятие огибающей утрачивает нагляд¬
ный смысл.
Мгновенная частота узкополосного сигнала
Ш(0 = ЙФ(0/Л =-7-[arctgи(<)/«(<)]	(3.71)
at
содержит переменную и постоянную составляющие. Величина по¬
следней соответствует средней частоте ©о сигнала. Выделяя ее
из (3.71), можно представить полную фазу Ф(/) в виде
Ф(9 = М0<И = <М + ф(0 + Ф.	(3.72)
Здесь фазовый сдвиг ф (/) не содержит слагаемого, линейно зави¬
сящего от времени, и тем самым определяется однозначно.
Найдем сигнал й(t), сопряженный гармоническому колебанию
и (/) = U0 sin и0 t.	(3.73)
По определению
-	1	“ sin 0)0т .
и (t)= —	—		 dr.
t—r
Произведем замену переменных и=т—t.
Тогда
Д _ 	 ±_ °с Uq sin «о (t + v)
я	v
.	Uo Г .	, г шшцо ,
dv = — — I sin ш01 l 	—— do J-
« L -L	v
+ COS 0)0 t
? sin to,, о I
COS COo t.
(3.74)
Представив сигнал u(t) в форме (3.64):
u(t) = U (t) cos Ф (t)
и, пользуясь соотношениями (3.67) и (3.68), находим значения огибающей U(t)
и полной фазы
U(t) = ]/ и* (/) + и* (0 = VU\ sin* coo t + гЯ0 cos* Шо t = 1/„
Л/Л . Г “(0 1 .Г UoCOSWbt 1
•(,)" “clg 1 TirJ -,rcts l-	“ctsc,s - 'I -	■
которые однозначно соответствуют заданному сигналу (3.73). Аналогично мож¬
но показать, что колебанию U(i) ='J/ocos <Во< соответствует сопряженное колеба¬
ние d (/) = С/0 sin (Dtt.
108

Таким образом, чтобы выполнить преобразование Гильберта для гармони¬
ческого колебания, нужно сместить последнее по фазе на я/2 в сторону запаз¬
дывания.
Если исходный сигнал представлен рядом вида
^ (0 — (од. со® о>д i -[- bj% sin о>д f),
п
(3.75)
и (0 = 2 (°n sin 0>д t — bn cos о>„ t).
(3.76)
п
Ряд (3.76) является сопряженным по Гильберту ряду (3.75).
Аналитический сигнал. Используя понятие сопряженного по
Гильберту колебания, можно представить в комплексной форме
любое негармоническое колебание, в частности узкополосный сиг¬
нал u(t).
Аналитический сигнал zu(i), соответствующий заданному физи¬
ческому колебанию u(i), представляется в виде суммы
zu(t)^u(t) + ]u(t),	(3.77)
в которой мнимой частью й(/) = lm[zu(0] является колебание, со¬
пряженное по Гильберту колебанию u(t) = Re[zu(^)].
Сопоставляя выражения (3.67), (3.68) и (3.77), находим, что
U(t) = V «>(0 + «»(f) = |'ze(Q I,	(3.78)
Ф (t) = arctg и (t)/u (t) = arg z„ ((),	(3.79)
t. e. модуль и аргумент функции zu(t) являются соответственно
огибающей и фазой узкополосного сигнала u{t). Учитывая (3.78)
и (3.79), аналитический сигнал (3.77) можно представить в виде
(f) - |z„ (t) | eJ arg (0 - U (t) e№)	(3.80)
или, учитывая (3.72),
zu(f) = U(f) e,[<p(0+<pj eJ“°* = 0it) eJ“«;,	(3.81)
где
=	e,l<p(n+4>1—комплексная огибающая сигнала и (t).
(3.82)
Из (3.82) видно, что комплексная огибающая О (t) является
медленной функцией времени. Она включает в себя оба вида мо¬
дуляции — амплитудную и угловую и, следовательно, содержит
всю информацию, которая, заключена в огибающей U (/) и фазо¬
вом сдвиге ф(/) узкополосного сигнала u(t).
Аналитический сигнал (3.81) можно представить на комплекс¬
ной плоскости вектором О А (рис. 3.23), который вращается против
■часовой стрелки с некоторой средней угловой частотой ©о. Длина
вектора U\(t) = \zu{t) | и его фаза ф(/) медленно изменяются во
109

времени. Длина и положение вектора, а следовательно, амплитуда
и. фаза узкополосного сигнала u(t) в каждый момент времени
определяются согласно (3.77) проекциями u(t) и d(t) вектора ОА
на оси вещественных и мнимых чисел, т. е.
«(/)= |z„(/)|cos[argz„(/)],
ы(0= |z„(/)|sin [argz„ (/)].
(3.83)
Гармоническому колебанию u(t)= cos coot соответствует анали¬
тический сигнал zu(t) = coscoo^+j sin соо/ = е1(0"*. Таким образом,
комплексное представление гар¬
монического колебания можно
рассматривать как частный вид
аналитического сигнала.
Спектральную плотность, ана¬
литического сигнала Gz((o) с уче¬
том (3.77) можно выразить через
Рис. 3.23
спектральные плотности Gu(co) и G„ (со) исходного u{t) и сопря¬
женного d(t) сигналов
Gz (со) = Gu (со) + j Gu- (со).	(3.84)
По определению
СЛ<£>)= f u(f)e-№dt =— f e-^dt Г dr.
“	Л Joо	Joot—T
Заменяя переменные x = t—% и представляя exp (jcox) через три¬
гонометрические функции, получим
•	,	00	00	—|(одг
G „ (со) = f и (т) e-Jfi)TdT f 	dx =
“	_оо	-.V, Л X
\ ‘ Г COS (О X—j Sin (OX.	. А , Ч .
= G«H— I 			dx — —]Ga (a) sign (co).	(3.85)
Jt —OO	x
Подставляя значение Gu (со) в выражение (3.84), имеем
Gz И = lG« И + j I ~i Ga (©)] = 2 Gu (со); со > 0
(Gu (co)-f j [; G„ (co)] = 0 ;	co<0.
(3.86)
Из (3.86) следует, что спектральная плотность аналитического сиг¬
нала существует только в области положительных частот, где она
равна удвоенному значению спектральной плотности исходного
узкополосного сигнала u{t) (рис. 3.24).
Применяя к (3.86) обратное преобразование Фурье, предста¬
вим аналитический сигнал в виде
К (t)= ^ J Gz И d ш = — J Ga (а>) е-»«* d и. (3.87)
—ОО	JT П
110

Формула (3.87) позволяет по спектральной плотности узкопо-
лосного сигнала записать само колебание в форме аналитического
сигнала. Пользуясь далее соотношениями (3.78) и (3.79), можно
определить огибающую и фазу узкополосного колебания (3.64),
минуя вычисление сопряженного по Гильберту колебания H(t).
Спектральные и корреляционные характеристики комплексной
огибающей. Благодаря комплексному представлению сигналов
(в частности, узкополосных) можно выражать процессы на выходе
радиотехнических устройств через мгновенные значения комплекс¬
ных огибающих входных сигналов. При этом характеристики
выходных процессов определяются характеристиками комплекс¬
ных огибающих входных сигналов, основными из которых явля¬
ются спектральная и автокорреляционная характеристики.
Установим связь между спектральной плотностью 6Z(со) ана¬
литического сигнала zu(t) и спектральной плотностью Gv(со) ком¬
плексной огибающей U(t). Запишем прямое преобразование Фурье
00
от аналитического сигнала: Gz(a) = j zu{t)o~iotdt. Пользуясь coot-
—00
ношением (3.81), получим
Gz(co)= J £/(/)eWeH“*<«= j UiQe-l^-^dt^Guia—co0),
*— oo	i— oo
(3.88)
т. e. спектральная плотность аналитического сигнала, соответ¬
ствующего узкополосному колебанию (3.64), равна спектральной
плотности комплексной огибающей, смещенной по оси частот
вправо на частоту соо (рис. 3.24).
Из (3.86) и (3.88) следует, что спектральная плотность (5ц(со)
комплексной огибающей 0(t) равна удвоенной и смещенной в об¬
ласть низких частот на соо положительной полуветви спектральной
плотности Gu((й) узкополосного сигнала u(t) (рис. 3.24). Спект-
111

ральная плотность <3и(ю) существует только при со>—соо и со¬
средоточена, главным образом, в области низких частот. Это
позволяет рассматривать комплексную огибающую U (t) как низ¬
кочастотный эквивалент аналитического сигнала.
Автокорреляционная функция Ч^т) аналитического сигнала
определяется выражением
г*гг(т)= ] zu{t)z\{t—T)dt	(3.89)
в» 00
или с учетом (3.81)
со
Т, (т) = e‘a<>r j 0(t)U*(t—T)dt.	(3.90)
—оо
Входящий в (3.90) интеграл является автокорреляционной функ¬
цией Wu(t) комплексной огибающей U(t):
Уи{т)= ] U(t)U*(t—T)dt,	(3.91)
которая связана с корреляционной функцией Ч'гДт)
кополосного сигнала u(t) соотношением
Ч'Лт^-у Refe^^c/ (ТЛ =
J U{t)U*{t—T)dt
—oo
или
^uW = ^-ReTz(T).
исходного уз-
(3.92)
(3.93)
Чтобы показать справедливость равенства (3.93), представим
автокорреляционную функцию Ч'ц (т) в виде
¥«(*) = | Re[au(0] Re[zu(*—T)]dt.
— 00
Используя известное соотношение для произвольных комплексных
величин ±\ и ±2
Re Zj-Rez2 =-i- Re [г^ + г^],
получим
Чг«(т)=—Re
J zu(QZ*u(t—T)dt+ J z„ (i) zu (t—т) dt\ .	(3.94)
Вещественная часть второго интеграла, входящего в (3.94), обра¬
щается в нуль. Действительно, подставляя в его подынтегральное
выражение zu(t) =u{t)+]d(t), имеем
Re
У [и (0 + j и (0J [И (<—т) + j и (/—т)] dt\ =
112

= J u(f)u(t—r) dt— J u{t)u(t—x)dt = 0,
	09		00
поскольку эти два интеграла, согласно (3.85) и теореме о свертке
(табл. 2.1, поз. 13), равны как функции, обладающие одинаковы¬
ми спектральными плотностями G2U(со). Тогда с учетом (3.89)
выражение (3.94) приводится к виду (3.93).
При т=0 из (3.92) получаем
Ч» (Т)|т=0 = 3 = 4 ] и* (t) dt = 4- Ъ (0),	(3.95)
т. е. энергия аналитического сигнала равна удвоенной энергии ис¬
ходного физического сигнала.
3.6.	Автокорреляционная функция модулированного
колебания
Автокорреляционную функцию модулированного колебания
u=U(t)cos [соо^ + ф(0]. обладающего конечной энергией, можно
определить по формуле (1.9)
%(т)= ( u(t)u(t—x)dt.	(3.96)
Однако расчет функции 'Fu(t) значительно упрощается, если пред¬
ставить модулированное колебание u(t) аналитическим сигналом
zu (t) = U (t) е1шо* и вместо (3.96) воспользоваться выражением
(3.92). В частности, при амплитудной модуляции, когда и—
= U(t) cos (соо^ + ф) и, следовательно, U(t) = U(Ое)ф. U*(t) =
= U(t)er№, выражение (3.92) принимает вид
Yu(r) = ^Re
eJ“.T j U (t) U (t—т) dt
= — cos со0т j U (t) U {t—т) dt
2
или с учетом (3.91)
YB(T) = Tl,(T)-jCosa>0T.	(3.97)
Здесь множитель — coscoor является АКФ гармонического колеба¬
ния COS ((Оо^ + ф).
Таким образом, АКФ амплитудно-модулированного радиосиг¬
нала равна произведению автокорреляционных функций огибаю¬
щей и высокочастотного заполнения. В табл. 1.1. поз. 5 представ¬
лена АКФ радиоимпульса, огибающая которой совпадает с АКФ
прямоугольного видеоимпульса (табл. 1.1, поз. 2).
Для иллюстрации общего выражения (3.92) найдем автокор¬
реляционную функцию фазо-кодово-манипулированного (ФКМ)
113

сигнала. Такой сигнал, так же как и ЛЧМ сигнал, рассмотренный
выше, относится к сигналам с большой базой т. Однако в отли¬
чие от непрерывного ЛЧМ сигнала ФКМ сигнал построен на осно¬
ве дискретных кодов. Он представляет собой последовательность
радиоимпульсов прямоугольной формы, следующих друг за дру¬
гом с интервалом то, равным длительности импульсов. Импульсы
отличаются начальными фазами фп.
Наибольшее распространение получили ФКМ сигналы, фазы
которых фп могут принимать только два значения: 0 или я в за¬
висимости от применяемого кода, а амплитуды импульсов U0 =
— const. Такие сигналы можно записать в комплексном виде1
I N
Zu(t) =
2 uo(t) exp [j (со0/ + фп)] при 0</<JVt0 = Tc,
п=1
(3.98)
,0 при других t
Здесь Nto = Tg — длительность сигнала, состоящего из элемен
тарных посылок (импульсов) длительностью то; п— 1, 2, ..., N;
Ф„ = 0, я при (п— 1) т0 ^ t ^ п т0;
(3.99)
Uo.(t) — единичный прямоугольный импульс длительностью
Tc = Nto.
Оптимально сконструированный ФКМ сигнал благодаря боль¬
шой базе и узкой автокорреляционной функции находит широкое
иШ
■ШЮ
а)
U(t)
Т-Л/Tn
+ + +
+
+
И
1
1
0
id
1 1
1 1
1
1
1 *
,	 _
5)
применение в радиолокации для
повышения разрешающей спо¬
собности по дальности и помехо¬
защищенности, в системах много-
канальной связи для уплотнения
канала связи и т. д.
Как пример оптимального
кода рассмотрим 11-разрядный
Рис. 3.25
(N=11) код Баркера, заданный в виде последовательности эле¬
ментов Сп-
{С„}= +1, + 1, + 1, —1,-1, —1, + 1, —1,-1, + 1,-1. (3.100)
Здесь для удобства записи введено обозначение
Сп = ехр(]фп).	(3.101)
Так как фп = 0, я, то, очевидно
С„ = ± 1.	(3.102)
1 Амплитуда Uo в выражении (3.98), не оказывающая влияния на после¬
дующий вывод, принята равной единице.
114

На рис. 3.25,а, б показаны высокочастотный сигнал u(t) с фа¬
зовой манипуляцией и его огибающая U(t), построенные на основе
кода (3.100). Несущая на рис. 3.25, а непрерывна в точках инвер¬
сии фазы, поскольку принято соотношение то=1//о-
Чтобы оценить корреляционные свойства ФКМ сигнала (3.98)
при использовании кода (3.100), достаточно в соответствии с (3.92)
определить автокорреляционную функцию Фс/(т) комплексной оги¬
бающей U (t)
(S “о (0 eJ<Pn при 0 < t < N т0,
L/(r) = jn=I
|0 при других t,
она согласно (3.97) является действительной функцией времени
U(t) =
N
п=
и0 (t) Сп при 0 ^ t ^ JVt0,
,0 при другихt
(3.103)
Автокорреляционная функция Ф[/(£то) этой огибающей при
временном сдвиге i=k%0{k — целое неотрицательное число) опре¬
деляется формулой (3.91)
Wv{k т0)= $ U(t)U{t^kT0)dt.
то
С учетом (3.100) она может быть представлена суммой вида
^(^0)=2*ад-
7=1
(3.104)
N
При отсутствии временного сдвига 4V(0)= 2 С23то = Ато, т. е.
/=1
равно числу N элементарных посылок, составляющих ФКМ сиг¬
нал, умноженному на длительность то посылки. При сдвиге на
время (N—1)т0 АКФ равна Фг/ [ (N—1)т0] =ChCNx0.
График, приведенный на рис. 3.26, поясняет расчет АКФ оги¬
бающей по формуле (3.104). На рис. 3.26, а изображена огибаю¬
щая U(t), а на рис. 3.26,6, г, в, з — та же огибающая, сдвинутая
на £то (&=1, 2, 3, ..., N—1). На рис. 3.26, в, д, ж, и — изображены
произведения U(t)U(t—то), U(t)U(t—2то) и т. д. Сумма заштри¬
хованных площадей импульсов в каждом случае определяет зна¬
чение автокорреляционной функции Ф[/(£то).
Поскольку АКФ единичного прямоугольного импульса (элемен¬
тарной посылки) имеет вид треугольного импульса (табл. 1.1,
поз. 2), то для построения функции Фс/(т) достаточно соединить
между собой соседние значения Фс/(£то), как это выполнено на
рис. 3.27.
При отрицательных временных сдвигах АКФ Фг/(т) легко
определить, используя свойство четности.
115

Как следует из рис. 3.27, автокорреляционная функция 4V(t)
огибающей 0 (t) сигнала, манипулированного по фазе в соответ¬
ствии с кодом Баркера (3.100), обладает узким центральным ле¬
пестком и достаточно высоким (равным N) отношением централь¬
ного лепестка к боковым.
+ +
'J,;"
i	п—Я
t
ч	U(t)-U(t-to) 	 ^
^	^(t-n 0)		^^	|
«
V(t-MD)
e)
X
-It
*»|да'и,'л1—
«««*•«
Рис. 3.26
3.7.	Дискретизация узкополосного сигнала
Теорема Котельникова может быть обобщена на случай узко¬
полосного сигнала u(t) = U(t) cosjwot + qp (/)], спектр которого со¬
средоточен в узкой полосе частот от coi до сог, как это показано на
рис. 3.28. При этом модуль спектральной плотности Gu(со) сигнала
116

u(t) необязательно симметричен относительно центральной часто¬
ты спектра <о0= (сй1 + сог)/2.
Чтобы осуществить дискретизацию узкополосного сигнала и
выбрать допустимый интервал дискретизации, удобно воспользо-
Рис. 3.28
ваться аналитическим сигналом, соответствующим заданной функ¬
ции u{t)
га (0 = £/ (0е,Ф (<> е,и"' = О (t) е><*4	(3.105)
Поскольку спектр комплексной огибающей U{t) примыкает
к нулевой частоте (рис. 3.28,6), функцию O(t) с наивысшей ча¬
стотой спектра Дсос/2 можно представить рядом Котельникова
U(f) = у1. U (пТ)sin (дмс/2) V - пТ)
nZL*	(Да>с/2) (t — лГ)
(3.106)
Здесь, в отличие от (2.70), интервал между выборками Т=
= 1/2(Д/с/2) = 1/Д/с, а коэффициенты ряда и (пТ) = U (пТ) е'<Р(пТ>.
При дискретизации комплексной огибающей согласно (3.106) со¬
храняется вся информация о сигнале u(t), которая заложена в ее
параметры U(t) и ф(0-
Подставляя (3.106) в (3.105), получим
г-(0 - [1. и(пГ>	е,,,"л J “Р 0 *
откуда исходное колебание u(t) определяется как действительная
часть функции zu(t)
и(0= 2 и(пт)
sin Д(ос/2 (t — nT)
Дшс/2 (t — nT)
cos[а>01+у (пТ)]. (3.107)
Полученное выражение (3.107) является рядом Котельникова,
описывающим любую функцию, спектр которой заключен в поло-
117

се частот от coi до сог. Члены ряда (3.107) в отличие от (2.67)
имеют вид модулированных колебаний с несущей too и огибающей,
определяемой функцией вида sin х/х.
При ограниченной длительности сигнала 7С число отсчетных
точек N определяется по формуле
N — Т С/Т = 7С Д /с,	(3.108)
причем в каждой точке должны быть заданы два параметра:
U(nT) и ср (пТ).
Проиллюстрируем выражение (3.107) на примерах AM и ЧМ
колебаний. При AM u{t) = U(t) cos(co0^+9); U(t)—вещественная
функция, спектр которой Gu(со) ограничен наивысшей частотой
Qm=2nFm. Соответственно ширина спектра модулированного ко¬
лебания u(t), симметричного относительно too, равна 2AfAM — 2Fm.
Допустимый интервал между выборками 7= 1/2Д/Ам= 1/27т сов¬
падает с интервалом дискретизации исходного непрерывного со¬
общения (модулирующей функции).
Поскольку начальная фаза высокочастотного заполнения по¬
стоянна ф(^) =9 = const, то при дискретизации AM колебания до¬
статочно взять выборки только значений его амплитуд через ин¬
тервалы l/2Fm, где Fm — верхняя частота в спектре модулирую¬
щей функции (т. е. в спектре передаваемого сообщения).
Если длительность сообщения 7С ограничена, то число отсчет¬
ных точек огибающей AM колебания (число степеней свободы
колебания) N=Tc/T = 2FmTc совпадает с числом степеней свободы
модулирующей функции.
Рассмотрим ЧМ колебание u(t) = U0 соз[соо^ + ф(0 ], когда
мгновенная частота со (^) = сооЧ——модулирована тем же со-
dt
общением, что и амплитуда AM колебаний, а максимальная деви¬
ация частоты /д велика по сравнению с Fm. Тогда согласно (3.49)
ширина полосы частот ЧМ колебания равна 2Д/Чм *»2/д. Допусти¬
мый интервал между выборками 7= 1/2 Af чм = 1/2/д. Так как при
ЧМ амплитуда колебаний постоянна, то при дискретизации коле¬
бания достаточно взять выборки фазы ф(«Т) этого колебания в
отсчетных точках, отстоящих одна от другой на время 7^Т//Д.
При той же длительности 7С передаваемого сообщения число вы¬
борок фазы при ЧМ равно
N = T JT = 2 Д /чм 7С = 2 /д 7С,
т. е. при одинаковом передаваемом сообщении ЧМ сигнал облада¬
ет числом степеней свободы в fJFm — m раз больше, чем AM сиг¬
нал, что является следствием расширения спектра сигнала при
ЧМ.
При смешанной модуляции (амплитудной и угловой) в каж¬
дой отсчетной точке нужно брать две выборки:	амплитуды
U(пТ) и фазы ф(«7), т. е. число отсчетов равно 2N.
118

Вопросы для самопроверки
1.	Что понимается под несущим и модулирующим колебаниями?
В чем заключается процесс модуляции?
2.	Как записать AM колебание при модуляции:
а)	гармоническим колебанием;
б)	произвольным периодическим колебанием;
в)	непериодическим сигналом?
3.	Как определяется коэффициент модуляции AM колебаний?
4.	Какой вид имеет векторная диаграмма AM колебания (при
тональной модуляции)?
5.	Как формируется спектр AM колебания при модуляции:
а)	гармоническим колебанием;
б)	произвольным периодическим колебанием;
в)	непериодическим сигналом?
Дайте графическое представление спектра.
6.	Как выражаются пиковая и средняя мощность AM колеба¬
ния?
7.	В чем состоит отличие БМ и ОМ колебаний от AM колебания?
8.	Запишите выражение для колебания с угловой модуляцией.
Какими соотношениями связаны полная фаза и мгновенная
частота колебания?
9.	Как определяются и чем отличаются ЧМ и ФМ колебания?
10.	Какой физический смысл имеют понятия «девиация частоты»
сод и «индекс модуляции» т? Как они определяются при час¬
тотной и фазовой модуляции гармоническим сигналом?
11.	Изобразите векторную диаграмму колебания с угловой моду¬
ляцией.
12.	По каким приближенным формулам можно определить шири¬
ну спектра ЧМ и ФМ колебаний при гармонической модуля¬
ции в случаях m<C 1 и т> 1?
13.	От каких параметров модулирующего гармонического сигнала
и как зависят спектры ЧМ, ФМ и AM колебаний?
14.	Чем отличаются спектральные и векторные диаграммы AM и
ЧМ колебаний при т<^. 1?
15.	Чему равна средняя мощность колебания с угловой модуля¬
цией?
16.	Как осуществляется импульсная модуляция?
17.	Нарисуйте спектр АИМ колебания при модуляции гармониче¬
ским сигналом. Как выбирается тактовая частота импульсов?
18.	Дайте определение ЛЧМ сигнала.
19.	Какой вид имеет амплитудный и фазовый спектры ЛЧМ сиг¬
нала при большой базе т сигнала?
20.	Запишите в общем виде выражение для узкополосного сигна¬
ла. Как устраняется неоднозначность в определении огибаю¬
щей, фазы и мгновенной частоты узкополосного сигнала?
21.	Изобразите векторную диаграмму узкополосного сигнала.
119

22.	Как представить в комплексной форме произвольный узкопо¬
лосный сигнал? Что понимается под комплексной огибающей
сигнала?
23.	Определите спектральную плотность аналитического сигнала.
Как она связана со спектральными плотностями комплексной
огибающей и исходного узкополосного сигнала? Поясните гра¬
фиками.
24.	Как определить огибающую и фазу узкополосного сигнала,
если известна его спектральная плотность?
25.	Как связана корреляционная функция аналитического сигна¬
ла с корреляционными функциями комплексной огибающей и
исходного узкополосного сигнала?
26.	Запишите корреляционную функцию AM колебания.
27.	Какой вид имеет корреляционная функция ФКМ сигнала при
оптимально выбранном коде? Как она определяется?
,28. Как осуществляется дискретизация по времени AM и ЧМ ко¬
лебания?

Часть вторая
ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Излагаются методы анализа прохождения уп¬
равляющих, высокочастотных немодулированных
и модулированных сигналов через линейные и не¬
линейные радиотехнические цепи. Рассматривают¬
ся графоаналитический метод, метод линейных
схем замещения, спектральный метод анализа ли¬
нейных и нелинейных систем с частотно-избира¬
тельной нагрузкой, метод комплексной огибающей.
Кратко рассмотрены методы анализа дискретных
радиотехнических цепей.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПРОХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Большинство радиотехнических цепей может быть представле¬
но в виде четырехполюсников, которые в общем случае содержат
линейные, нелинейные и изменяющиеся во времени элементы
и описываются нелинейными дифференциальными уравнениями с
переменными коэффициентами. Не существует общих аналитиче¬
ских методов решения подобных систем. С помощью ЭВМ мож¬
но получить ряд частных решений и в отдельных случаях доста¬
точно полно определить основные свойства исследуемых четырех¬
полюсников. Кроме того, существует ряд приближенных методов
анализа нелинейных цепей.
В данной главе рассматриваются графоаналитический метод и
метод линейных схем замещения.
В тех случаях, когда возможно осуществить линеаризацию не¬
линейных четырехполюсников (например, в режиме малых сигна¬
лов), применяют хорошо разработанные методы анализа линейных
цепей, основанные на принципе суперпозиции.
4.1.	Графоаналитический метод
Данный метод анализа состоит, в графическом решении нели¬
нейных уравнений, описывающих исследуемую систему. Метод
позволяет найти частное решение задачи при заданной характери¬
стике нелинейного элемента и заданных значениях параметров
линейных элементов. Для некоторых задач на основании несколь¬
ких частных решений удается найти приближенное аналитичес¬
кое решение, справедливое в ограниченной области значений па¬
раметров.
121

Графоаналитический метод наиболее эффективен при решении
уравнений, описывающих безынерционные нелинейные системы,
т. е. системы, не содержащие реактивных элементов и инерцион¬
ных сопротивлений. Все реальные цепи содержат реактивные эле¬
менты хотя бы в виде паразитных индуктивностей и емкостей
проводников и деталей. Однако в ряде случаев эти реактивности
могут не учитываться и системы могут анализироваться как безы¬
нерционные.
При малых переменных напряжениях управляющего сигнала
анализ четырехполюсника разбивается на два этапа. Первый —
анализ по постоянной составляющей, который выполняется гра¬
фоаналитическим методом; второй — анализ линеаризованной си¬
стемы по переменной составляющей.
Проведем анализ двух конкретных схем, используя графоана¬
литический метод.
I.	Режим по постоянной составляющей резистивного усилителя
на транзисторе с общим эмиттером
Схема замещения резистивного усилителя на транзисторе при¬
ведена на рис. 4.1. Входная цепь усилителя преобразована с помо¬
щью теоремы об эквивалентном генераторе.
Рассмотрим две задачи
1)	Построение характеристики iK(uBX). ■ Заданными являются
сопротивления в цепях базы Re и коллектора RK, напряжение пи-
р тания Ек и характеристики базовой
^(^бэ» ^кэ) и коллекторной 1 K(UK3,
Iе) цепей1 (рис. 4.2).
Уравнение, описывающее кол¬
лекторную цепь, в соответствии со
вторым законом Кирхгофа имеет
вид:
uK.3 = EK-iKRK.	(4.1)
На семействе коллекторных характеристик транзистора (рис.
4.2,6)	проведем нагрузочную прямую, соответствующую уравне¬
нию (4.1), Эту прямую строят по двум точкам: точке а(1к=
—О, икэ=Ек) и точке 6(UK3 =0, Ik=Ek/Rk).
Зададимся значением базового тока ie=ie' и, пользуясь гра¬
фиком (рис. 4.2,6), найдем соответствующие значения i'K и и'к.э.
1 Базовые характеристики / Б. (С/БЭ , 1/^э ) слабо зависят от напряжения
-КЭ • В справочниках обычно приводятся только две кривые	бэ • 0) и
fg'(t/бэ’ 5 В). В большинстве задач достаточную точность дает решение при
аппроксимации семейства характеристик при С/Кэ >0 одной кривой при
=5 В. При этом расчет упрощается.
122
Рис. 4.1

По базовой характеристике (рис. 4.2,а) находим и'б.э при i'a
и и'к.э. Напряжение ы'вх, соответствующее i'K, находим из выраже¬
ния Ывх = ы'б.э+г,б^б-
Рис. 4.3
Определив подобным образом значения гк и ивх при различных
значениях базового тока г'б (точки А', А", А'", ...), строим харак¬
теристику каскада iK(uBX) (рис. 4.3).
Как видно из рис. 4.3, зави¬
симость tK(«Bx) имеет характерные
области:	область	отсечки, когда
коллекторный ток постоянен и
равен величине /кэо ; активную
область, где ток коллектора су¬
щественно зависит от входного
напряжения, и область насыще- гКэо:
ния, в которой ток коллектора
постоянен и примерно равен величи¬
не Ek/Rk*’).
Подобный метод построения может быть применен и к более
сложным схемам, например, к интегральным, содержащим не¬
сколько транзисторов, диодов, сопротивлений и источников посто¬
янных напряжений и токов.
2)	Определение величин £к, «к.э и £б при заданном значении,
входного напряжения ивх. Считаем заданными значения ивх> Ек,
R6, RK и характеристики /Б (НБЭ , Нкэ ) и IK(UКэ , /в).
Для решения задачи можно применить метод последовательных
приближений, который заключается в следующем. Задаемся зна¬
чением напряжения Uкэ = ы/к.э. Рассматривая базовую цепь, нахо¬
дим точку пересечения В' (рис. 4.4,а) характеристики /Б (Uъэ,
ы'к.э)и нагрузочной прямой вг, соответствующей уравнению Ыб.в=
= «вх—£б/?б. Определяем значения и'б.э, i'e, соответствующие этой
точке.
*> Точнее in = in.нас
на рис. 4.2,6.
123

Рассматриваем коллекторную цепь при токе базы i'б. Находим
точку пересечения А' (рис. 4.4,6) характеристики /к(£/кэ > t'e) и
нагрузочной прямой аб, соответствующей уравнению (4.1).
Определяем значения и"к.э и i'K, соответствующие точке А'.
Если «//к.эг«м/к.э, то задача решена, т. е. определен режим, соот¬
ветствующий точкам А' и В' (рис. 4.4). Если же и"к.3 и и'к.э силь¬
но различаются, то повторяем расчет, беря за начальное значе¬
ние Пк.э==И к.э*
У транзисторов напряжение ик.э слабо влияет на характерис¬
тику базовой цепи /Б (£/БЭ , 17). Поэтому обычно ограничива¬
ются первым приближением.
11.	Режим по постоянной составляющей усилителя с
эмиттерно-коллекторной нагрузкой (парафазный усилитель)
Парафазные усилители применяются для формирования двух
противофазных напряжений. Схема усилителя изображена на
рис. 4.5.
Определим зависимость коллекторного тока iK(uBX) и напряже¬
ний на коллекторе и эмиттере ик(иВх), мэ(Ивх). Считаем заданны¬
ми сопротивления R&, RK и R3, характеристики базовой IБ (U БЭ,
UKэ) и коллекторной /к(^кэ> 7 б) цепей (рис. 4.6,а,б). Проводим
нагрузочную прямую аб на рис. 4.6,6 в соответствии с уравнением
ик.э Вв Ик Rk~^~ is R$)	Вк	Rs)j так как
Ордината точки А' пересечения нагрузочной прямой с кривой
семейства /к(*7кэ, *’6) ПРИ выбранном i'6 дает соответствующее
значение тока г'ю а абсцисса — напряжение и'к.э.
На характеристике /Б (UБЭ , и'к.э) (рис. 4.6,а) находим точку
В', соответствующую значениям и'к.э, i'e. Абсцисса этой точки дает
искомое значение и'б.э-
Напряжение база—эмиттер согласно схеме (рис. 4.5) равно:
w6.s wBx I б 7? б 1э Rs ^вх (^б "1“ Rs) i к Яэ-
124

Отсюда находим входное напряжение и'вх при соответствующих
значениях i'K, i'б, и'б.э:
и’ъ* = Ы б.Э + * *б (^б 4" Кэ) + *к Я-
Задаваясь различными значениями тока базы 4 (точки Л', Л",
Л'", на рис. 4.6,6) и определяя соответствующие им значения
4 и ивх, строим характеристику каскада iK(uBX) (рис. 4.7,а). На
рис. 4.7,6 изображены зависимости ик(ивх) и иэ(ивх).
Важно отметить, что при ивх>ивх.кр ток iK с ростом входного
напряжения ивх уменьшается, а напряжения Мд и ык растут. Это
объясняется тем, что при ивх>ивх,кр транзистор переходит в ре¬
жим насыщения, оба перехода база-эмиттер и база-коллектор от¬
крыты. Схема замещения парафазного
усилителя в режиме насыщения изоб¬
ражена на рис. 4.8, а, где г б — сопро¬
тивление базы, имеющее порядок
100 Ом; £б.э и £б.к — падения напря¬
жений на открытых р-п переходах
(для кремниевых транзисторов поря¬
док этих величин 0,8 В; для германие- JL.
вых 0,3 В). При больших значениях
напряжений ивх и Ек (превышающих
1-=-5 В) можно пренебречь падением	Рис. 4.5
Ufa иБЭ
иКЗ
Рис. 4.6
Рис. 4.7
125

напряжения на эмиттерном и коллекторном переходах. Схема, за¬
мещения пршэтом упрощается (рис. 4.8,6). Согласно этой схеме
напряжения ыэ и ик в режиме насыщения различаются незначи¬
тельно.
4.2.	Метод линейных схем замещения
Метод линейных схем замещения основан на том, что харак¬
теристика нелинейного элемента аппроксимируется рядом линей¬
ных отрезков. В пределах каждого отрезка система рассматрива¬
ется как линейная и можно пользоваться методами анализа ли¬
нейных цепей. Найденные на каждом отрезке решения «сшивают¬
ся» на границах линейных участков. Ниже приводится пример при¬
менения метода линейных схем замещения.
Ограничитель на транзисторе п-р-п с общим эмиттером. При
большом входном сигнале усилитель на транзисторе с общим
эмиттером (см. рис. 4.1) работает как ограничитель. Рассмотрим
случай, когда на входе ограничителя действует напряжение ивх в
виде прямоугольных импульсов большой амплитуды. При этом
транзистор последовательно проходит ряд режимов, в каждом из
которых может быть использована своя линейная схема замеще¬
ния.
На рис. 4.9 приведены временные диаграммы напряжений ивх,
ик, токов if,, гк и заряда базы q для интервалов времени, соответ¬
ствующих различным режимам работы транзистора.
На рис. 4.10 изображены эквивалентные схемы, приближенно
отражающие процессы в ограничителе при использовании зарядо¬
вой модели транзистора [24] (С*— бесконечно большая емкость).
Интервал 0 — t\. Режим отсечки. Переходы база — эмиттер
и база — коллектор закрыты. В коллекторной цепи течет малый
обратный ток коллектора /кэо • Напряжение на выходе
и* = Ек—1КЭ0ЯкжЕк.
В момент t\ подается положительный импульс ивх=и\\ переход
126

база — эмиттер открывается. Ток базы скачком возрастает до
величины i6 = Ui/R6.*'>.
Интервал 11\—t2— время задержки — определяется време¬
нем заряда емкости эмиттерного перехода и временем диффузион¬
ного перемещения в базе инжектированных носителей. Коллектор-
h Rs
""" 1	I"
a/t’
J/Vг '
uf С*=
О
Ь <!
	0
й)
Й'Ч
К
Ч -c*4=2 ©?А"
-Ойк
S)
/?5
О	CZJ
-Ч
Як
~х
-°ЧК
в)
h	/?5
Пяк
■X
0	!
С*=|=? ф ф?Ат
о	i-
г)
Рис. 4.10
X
ный ток равен /кэо. Напряжение на коллекторе примерно равно
напряжению Ек.
Интервал i2—t3. Происходит накопление заряда в базе в
активной.области (рис. 4.10,а). Скорость накопления заряда в ба-
*> Пренебрегаем падением напряжения на открытом переходе база-эмиттер я
сопротивлением базы гБ .
127

зе равна разности тока базы U\/R6 и тока рекомбинации заряда
ЯК:
dq_ __«i_	Л_
dt R6 х' ’
где т/==ттРо — время жизни неосновных носителей в активной об¬
ласти; тт=1/2л/т — время распространения заряда в базе; р0—
коэффициент передачи тока в схеме с общим эмиттером.
Заряд q по экспоненте с постоянной времени х' стремится к
величине urf/Re:
q = —x' (1 —).
Re
Коллекторный ток iK = q/Тт также нарастает по экспоненте. Напря¬
жение на коллекторе уменьшается. При напряжении на коллекто¬
ре, близком к нулю, транзистор переходит в режим насыщения
(t = tz). При этом заряд в базе равен заряду насыщения q =
= qHac=EKxr/RK*K
Интервал h — tt. Режим насыщения (рис. 4.10,6). Ток кол¬
лектора приблизительно равен iK^EK/RK. Напряжение на коллек¬
торе близко к нулю мк~0. Происходит дальнейшее накопление
заряда в базе:
q = q™ + (jfc *"-<7н.с)(1
где х"= (1/2-^1/3)т' — время жизни неосновных носителей в обла¬
сти насыщения.
Момент /4 — окончание положительного входного импульса.
Интервал U—h- Режим насыщения (рис. 4.10,в). Напря¬
жение на коллекторе близко к нулю. Происходит рассасывание
заряда базы в режиме насыщения. Заряд базы уменьшается по
закону, близкому к экспоненте, стремящейся к значению —u2x"/Rb
с постоянной времени х". При спадании заряда до величины qHас
(момент /5) — транзистор выходит из режима насыщения.
Интервал /5 — tB. Происходит рассасывание заряда базы в
активной области (рис. 4.10,г) по закону, близкому к экспоненте,
стремящейся к величине —u2x'/Rб, с постоянной времени х'. При
спадании заряда до нуля (t = t6) транзистор переходит в режим
отсечки. Ток базы спадает до нуля.
На интервале /5 — 4 ток коллектора уменьшается от значения
тока насыщения до нуля, а напряжение на коллекторе увеличива¬
ется от нуля до +£к.
4.3.	Линейная схема замещения безынерционного нелинейного
четырехполюсника для малых переменных сигналов
Многие широко применяемые схемы работают при малых пе¬
ременных напряжениях, действующих на входе и выходе четырех-
*> Для высокочастотных транзисторов необходимо учитывать влияние ем¬
кости коллекторного перехода Ск. При этом вместо т' следует использовать
величину (т'+СкЯкРо).
128

полюсника. Примерами таких схем являются входные каскады
усилителей низкой частоты, резонансные усилители при малых
амплитудах сигналов и др.
Пусть на входе и выходе четырехполюсника (рис. 4.11) дей¬
ствуют токи и напряжения
Ui — u jo	, tj = 110 -f-	,
U-2 = ^20 4~ 1^2— t 1*2 ~ 1*20 4~	»
где ию, и2о, t'io, t'20 — постоянные составляющие напряжений и то¬
ков; И]^, и2_, t'i_, t2^— малые переменные составляющие напря¬
жений и токов.
Входное напряжение щ и выходной ток i2 нелинейного четы¬
рехполюсника есть функции входного тока м и выходного напря¬
жения и2
= Uj (ij, н2) = Uj (i10 -f-	—» ^20 4~ ^2-)> )
*2 = 1*2 (^1> ^2) ~ ^2 (*10 4~ 4—> ^20 4~ ^2—)• i
Разложим правые части выражений (4.2) в ряд Тейлора в точ¬
ке с координатами (г'ш, «20) относительно переменных м и и2
При малых значениях м ^ и ц2^ можно ограничиться членами ря¬
да, содержащими и и2^ в первой степени
д«х
дн
д h ■ ,д »2
li~ 4
(4.2)
Их — Их (*хО>^2о) +
12 ~ г2 (*10> Ы2о) 4~
(,-+^
ди2
д i'i
ди«
*10
Правые части полученных выражений являются суммами по¬
стоянной и переменной составляющих
Ы1 = ыю + М1~ > Ч ^ 120 + 1'2~'
Введем обозначения:
д»х
5 «х
д^х
диг
д 12
5 «х
д <2
ды2
= AU — входное сопротивление;
= /г12 — безразмерный коэффициент
обратной связи;
= /г21 — безразмерный коэффициент
передачи тока;
= /г22 — выходная проводимость.
(4-3>
Переменные составляющие и^
учетом (4.3) равны:
и 12 ^ четырехполюсника с
5-100
Ul~- ~~ ^111*1 ~ 4" ^12 U2~>
^2—	^21 4 — 4“ ^22 И2— •
129
(4,4)

Анализ схем при малых переменных составляющих разбивает¬
ся на четыре этапа.
1.	Полагая f2_, «i_, u2w, равными нулю, графоаналитиче¬
ским методом определяют постоянные составляющие токов и на¬
пряжений (tio, 120» «ю, «20) •
2.	При найденном режиме по постоянным составляющим по
формулам (4.3) находят параметры четырехполюсника по пере¬
менной составляющей.
3.	Рассчитывают режим схемы по малой переменной состав¬
ляющей, используя систему уравнений (4.4). Параметры Лц, Л[2,
Л21 и Л22 считают постоянными (опреде-
//	lz лены на этапе 2).
о	4. Определяют результирующие то-
иг ки и напряжения, равные суммам по-
_о стоянных и переменных составляющих.
Ниже приведен пример, иллюстри-
Рис. 4.11	рующий изложенную методику.
0 —**
Нелинейный
безынерционный
О
четырехполюснин
4.4.	Режим резистивного усилителя с транзистором п-р-п
на низкой частоте
На рис. 4.12 изображена схема широко применяемого рези¬
стивного усилителя. Здесь ивх — малое переменное напряжение;
Rax, R1, R2 ~ резисторы в базовой цепи; RK— резистор в цепи
коллектора.
На низкой частоте инерционные свойства транзистора можно
транзистор. Воспользовавшись теоремой об эквивалентном гене-
не учитывать. При этом характеристики базовой 1Б (0БЭ, С!кэ)
и коллекторной /к(^	, / Б ) цепей полностью характеризуют
раторе, преобразуем схему на рис. 4.12 к виду рис. 4.13, где
в,
ВХ.» ■
l*illg.
(Ri\\R*) + RBx
ЕВХ.Э
R2 II RB
{R2 ll Rbx) -(- Ri
■	— Ki |[ Ri || RB
Расчет проводим в четыре этапа.
1.	Расчет по постоянной составляющей. Полагаем ивх.в—0.
Применяя графоаналитический метод, определяем режим по по¬
стоянным составляющим.. По характеристике базовой цепи опре-
130

деляем ток базы 1'бв (рис. 4.14,а) (влиянием икл на характеристи¬
ки /Б(£/БЭ . Укэ) пренебрегаем). По характеристикам коллек¬
торной цепи (рис. 4.14,6) определяем iKA-
2.	Вычисляем Л-параметры четырехполюсника1 по переменной
составляющей при и6я=и6лВ, ик.э=ик.ВА, к=кв, 1к = кл- Для это¬
го строим треугольники abc на рис. 4.14, а,б и получаем:
Лц = Д ifj Д u6. s, htl = Д1К/Д t6, /ija = Д1К/Д ик.
3.	Расчет по малой переменной составляющей производим в
соответствии с линейной схемой замещения (рис. 4.15). Составля¬
ем уравнения
для базовой цепи:
1б~
= “вх.э
ftla %
Яб + Лц
для коллекторной цепи:
Рис. 4.15
Решая совместно полученные уравнения, находим:
1 Коэффициент hi2 при отсутствии семейства характеристик /g (U БЭ •
UK3) при различных U ^ графоаналитически определить не удается. На
практике им обычно пренебрегают.
5»
131

1
Як
(Яб + Ац) + Л12 h21 ( г
Я,
V
гВХ.э'
4.	По формуле Ивых = «к=«кА + ик_ определяем напряжение на
выходе.
Вопросы для самопроверки
1.	Поясните, в чем заключается графоаналитический метод.
2.	Чем определяется точность этого метода?
3.	Постройте характеристику усилительного каскада на транзи¬
сторе для постоянного тока.
4.	Проведите анализ усилителя с эмиттерно-коллекторной на¬
грузкой графоаналитическим методом на постоянном токе.
5.	Поясните, в чем заключается метод линейных схем замещения.
6.	Методом линейных схем замещения проведите анализ ограни¬
чителя с транзистором п-р-п под действием прямоугольных им¬
пульсов с большой амплитудой.
7.	Изобразите схему замещения четырехполюсника для малых
(переменных) сигналов.
8.	По характеристикам рис. 4.14 определите /i-параметры линей¬
ной схемы замещения транзистора на низкой частоте (в произ¬
вольной точке).
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ
ИНЕРЦИОННЫЕ ЦЕПИ
Линейные радиотехнические цепи, как правило, содержат инер¬
ционные элементы (конденсаторы и катушки индуктивности).
Анализ прохождения сигналов через линейные цепи состоит в ис¬
следовании возникающих в этих цепях переходных процессов, в
результате которых происходит искажение параметров сигналов.
При исследовании прохождения сигналов через линейные цепи
применяют принцип суперпозиции, согласно которому представля¬
ют входной сигнал сложной формы в виде суммы элементарных
воздействий и определяют отклик (реакцию) цепи на каждое
элементарное воздействие. Просуммировав эти отклики, находят
выходной сигнал.
В зависимости от вида входного сигнала и характеристик цепи
применяют разложение сигналов по различным системам базис¬
ных функций. Наибольшее распространение для непрерывных сиг¬
налов нашли два способа разложения:
1)	по тригонометрическому (или экспоненциальному) базису.
Такой способ лежит в основе спектрального метода анализа;
2)	по б-функциям (или единичным функциям <т(^)). Этим спо¬
собом пользуются при временном методе анализа.
132

5.1.	Схемы замещения линейной активной цепи.
Характеристики линейных четырехполюсников
Активными называют цепи, содержащие элементы (лампы,
транзисторы, туннельные диоды и др.), способные усиливать
мощность подводимых колебаний. Такие цепи являются линейны¬
ми только при достаточно малой амплитуде входных сигналов.
При увеличении амплитуды колебания активная цепь становится
нелинейной.
Линейные четырехполюсники (пассивные и активные) могут
быть приведены к единой схеме замещения. Для определения па¬
раметров схемы замещения используют соотношения между ком¬
плексными амплитудами на¬
пряжений и токов.
На структурной схеме ли¬
нейного четырехполюсника
(рис. 5.1) комплексные ампли¬
туды входных и выходных то¬
ков и напряжений обозначены
как 11, /2, 01, [72. Схема заме¬
щения четырехполюсника мо¬
жет быть представлена в си¬
стемах Y, Z или Я-параметров.
U	/г
[J]r/t„ £
г- й
fVi ij]//fe \йг
h in
O' сгз
I* с
Г с
izi ^2
f>>
—— ■■ О
Линейный
четырехполюсник
h Н„	/г
О■ 1
ад
ЗД 1 ,
1"
(
■)
$
ь п*ч
Рис. 5.1
Рис. 5.2
У-параметры:
л*\=
Ya
К К
где Yij имеют размерность проводимости;
Z-параметры:
Ог
= №
К
,\Z\ =
j Zn
о,
и
1 z%%
где Zn имеют размерность сопротивления;
Н-параметры:
(5.1)
(5.2)
Ог
К
К
О2
|Я| =
Яи я12
Н21 ^22
(5.3)
где Я и имеет размерность сопротивления, Я22— размерность про¬
водимости, а Н12 и Я21 — безразмерные параметры.
133

Формулы перехода от одной системы параметров к другой
сведены в табл. 5.1, где через А У, AZ, АЙ обозначены определите¬
ли соответствующих матриц, например
AY =
Уп У»
К *п
*11 У 22 *12 У2V
Таблица 5.1
Исходная
система
парамет¬
ров
Связь с другими
•истемами параметров
Исходная
система
парамет¬
ров
Связь с другими
системами пара¬
метров
Исходная
система
парамет¬
ров
Связь с другим»
системами пара¬
метров
я»
I
*22
АН
AZ
1
AZ
Hn
Д*
Нп
Пи
*2.
*«
*12
AZ
Hn
*12
_*1_2
A У
Ни
Й22
#12
*12
*22
_*1*
*11
*21
*21
fin
*21
Йп
*21
AZ
fia
%2i
ДУ
Й22
Нп
*22
*11
*и
AH
*11
1
1
д*
*22
AZ
tin
*22
ДУ
#2!
Й2 2
*22
*11
На рис. 5.2,о—в приведены схемы замещения линейного четы¬
рехполюсника, соответствующие указанным системам параметров.
Параметры схем замещения четырехполюсников определяются в
режиме короткого замыкания (КЗ) и холостого хода (XX) со
стороны входа и выхода четырехполюсника по формулам
-rl-3*
II
■^Г
С7,=0
11
■^Г
С7,=0
7 	Й%
"~Tt
/,=*0
7 	Й%
"21	Г~
h
Л-0
&
м
II
я —1±-
пи—:
h
и,—0
Y	— 1
1 12	.
ил
V   Л
1 22	Г"
иш
Z
^12	Г~
и
у 	й%
а22	Г-
U
йх
й%
о*
н =^
"U —
Нт —
U1—0
и,=о
Л=О
Л-0 ’
Л=о*
Л—о '
(5.4)
134

Активные четырехполюсники в отличие от пассивных, как пра¬
вило, необратимы, т. е. принцип взаимности к ним не применим:
^18 ^ ^21> ^12 nfc Z21, Н12 =/= Н^.
Используя различные системы параметров, можно подключен¬
ное к четырехполюснику сопротивление нагрузки ZH внести
Внутрь четырехполюсника (рис. 5.3). При- этом в матрице (5.1)
вместо У22 должно фигурировать Г22=У22+\ЦН. Ток Г2 на выхо¬
де нового четырехполюсника равен нулю.
О—■
J щ
Рис. 5.3
Свойства линейных цепей полностью определяются их частот¬
ными или временными характеристиками.
Передаточная функция линейного четырехполюсника (частот¬
ная характеристика цепи) определяется в стационарном режиме
при гармоническом воздействии как отношение комплексной а!м-
плитуды сигнала на выходе цепи к комплексной амплитуде сиг¬
нала на ее входе. В зависимости от характера сигналов на Входе
и выходе цепи передаточная функция может иметь размерность
проводимости ?(а>) =I2/Ub сопротивления Z(ai) = U2/Tu либо быть
безразмерной величиной
К (to) = 021й1 = К (<о) е,фк <“>.	(5.5)
Модуль передаточной функции, обозначенный К (со), определяет
амплитудно-частотную (или просто частотную) характеристику
четырехполюсника, а аргумент <ря(со) —фазочастотную (фазовую)
характеристику. „Частотными характеристиками пользуются при
спектральном (частотном) методе анализа.
При временном методе анализа используют временные харак¬
теристики цепей (импульсную и переходную характеристики).
Импульсная характеристика g(t) определяется как реакция
цепи на дельта-импульс (б-функцию), переходная характеристика
«(<) как реакция на единичный скачок (единичную функцию
°(0)- В обоих случаях принимаются нулевые начальные условия.
Переходная характеристика h(t) является решением линейного
дифференциального уравнения цепи при воздействии единичной
функции a{t). Поскольку б(t) =do(t)/dt, то аналогичная связь в
силу линейности систем справедлива и для характеристик g(t) и
h(t). а именно,
g(t) = dh(f)/dt.
135
(5.6)

136
Таблица 5.2
Схема четырехполюсника	Дифференциальное уравнение четырехполюсника ВреМчетырехтолю^нРикаНКИ ЧаСТчетырехполюсХкаИКИ

5.2
та I
кончат
О
н*
со
<1
Схема четырехполюсника	Дифференциальное уравнение четырехполюсника ВреМчетыре^полюснРик”НКИ ЧаСТч™ырехгюлюТсеннкаТИКН
(Параллельный контур)

Как известно, импульсная характеристика g(t) и передаточная
функция Я(а>) связаны преобразованиями Фурье
g(0=— 7 К(о>)^Ы ©	(5.7)
И
К (о) = J g(f) e-J<0* dt,	(5.8)
-—00
т. е. спектральной плотностью импульсной характеристики g(t)
является передаточная функция К (о) цепи. Спектральной плотно¬
стью переходной характеристики h(t), как следует из (5.6, 5.8),
является функция /С(ю)/]ко:
h(t) <—*-К (w)/j о.	(5.9)
Соотношениям (5.7) — (5.9) соответствует операторная форма за¬
писи
g(f)=^-.cTK(p)eptdP’	(51о>
2ni C-joc
К(р) = j g(Qe-p*dt	(5.11)
	90
И
h(t) = К {р)/р-	(5.12)
Здесь
/С(р) = КИ|1ю=Р	(5.13)
— операторный коэффициент передачи цепи.
В табл. 5.2 приведены временные и частотные характеристики
некоторых распространенных четырехполюсников.
5.2.	Методы анализа линейных цепей
При анализе прохождения сигналов через линейные цепи
можно пользоваться методами, известными из курса «Основы те¬
ории цепей».
Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от структуры
цепи, вида воздействующего на нее сигнала, а также от того, в
какой форме (частотной или временной) должен быть представ¬
лен выходной сигнал. Например, анализ прохождения относитель¬
но простых сигналов (импульсов включения, гармонических коле¬
баний и т. п.) через цепи, которые описываются линейными диф¬
ференциальными уравнениями не выше второго порядка, доста¬
точно просто выполняется классическим методом дифференци¬
альных уравнений. В тех случаях, когда решение дифференциаль¬
ных уравнений затрудняется (воздействие сложных сигналов на
138

цепи со сложной структурой), целесообразно использовать такие
методы, как спектральный (операторный) или метод интеграла
наложения, основанные на принципе суперпозиции.
При анализе прохождения сигналов через узкополосные систе¬
мы, помимо перечисленных методов анализа, дающих точное ре¬
шение, применяются приближенные методы, позволяющие Для ря¬
да задач получить решения, достаточно близкие к точным. На
рис. 5.4 схематически представлена классификация методов ана¬
лиза, которые рассматриваются в данной книге. Приближенные
методы анализа (методы огибающей, «мгновенной» частоты, при¬
ближенный спектральный метод) и примеры их использования
рассмотрены в гл. 7. Ниже приводится краткое изложение спект¬
рального (операторного) метода и метода интеграла наложения.
Ряс. 5.4
Спектральный (операторный) метод. Данный метод основан
на спектральном представлении сигнала и использовании переда¬
точной функции цепи /С (со).
Пусть на входе линейного четырехполюсника с заданной пере¬
даточной функцией Щ(й) действует произвольный сигнал x(t), об¬
ладающий спектральной плотностью 6Х(о):
x{f)=— 7 Gx (о>) el“* dco.	(5.14)
2я-»
Согласно спектральному методу анализа спектральная плот¬
ность Cry (to) сигнала y(t) на выходе четырехполюсника равна
произведению спектральной плотности входного сигнала Ьх(а>)
на передаточную функцию цепи ^(о>), т. е.
Gu (со) = Gx (со) К (со).
139
(5.15)

Применяя к (5.15) обратное преобразование Фурье, определяем
выходной сигнал как функцию времени
= J Gx (со) К (со) е»®* dco.	(5.16)
а Я __
—оо
Из сравнения (5.16) с (5.14) следует, что сигнал на выходе линей¬
ного четырехполюсника можно получить суммированием элемен¬
тарных спектральных составляющих входного сигнала
— CMco^coej®4 с комплексными амплитудами йх{ы)(1ы, ум¬
ноженными на функцию Х(со). Передаточная функция цепи ^(со),
определяющая относительный вклад составляющих спектра вход¬
ного сигнала в сигнал y(t), имеет смысл весовой функции.
Для ряда задач удобнее использовать операторный метод.
При этом действительная переменная со заменяется комплексной
переменной p = a+jco, преобразование Фурье (/ж(со) от функции
времени x(t) заменяется преобразованием Лапласа, соотношение
(5.15)	принимает вид
Y(p) = X(p)K(p),	(5.17)
где Х(р) и Y(р)—изображения сигналов x{t) и y(t) соответст¬
венно, а К(р)—операторный коэффициент передачи цепи.
Выходной сигнал y(t) определяется формулой обратного пре¬
образования Лапласа
1 e+j о°
1/(0 = — J X{p)K(p)eP*dp.	(5.18)
2ixj с4°°
От интеграла вида (5.18) можно перейти к контурному интегралу,
если прямую (с—joo), (c+joo), лежащую в комплексной плоско¬
сти (a, jco), дополнить дугой бесконечно большого радиуса, охва¬
тывающей все полюса подынтегральной функции Х(р)К(р).
Тогда
У (t) = —- ф X (р) К (р) dp = 2 res,/ > 0 .
Здесь 2 res — сумма вычетов в полюсах подынтегральной функ¬
ции. Вычет определяется следующим образом.
Если представить подынтегральную функцию в виде отноше¬
ния двух полиномов
X(p)K(p)=P(p)/Q(p),
то вычет этой функции, имеющей в точке рi простой полюс (пер¬
вой кратности), определяется по формуле
resj = Р (рг) j
~d Q (р)'
140
dp
р=р 1

Если функция P(p)IQ(p) имеет в точке р{ полюс
(т — целое положительное число), то
аш—\
res,
.	I'Р(Р)
(т—!) I	I [Q(p)
(Р-Рг)п
р=р 1
кратности т
Применение теории вычетов упрощает расчет реакции цепи опера¬
торным методом.
2. Метод интеграла наложения. Этот метод основан на вре¬
менном представлении сигнала и использовании временных ха¬
рактеристик цепи.
Пусть на входе линейной цепи действует сигнал, который опи¬
сывается непрерывной функцией времени x(t) (не имеющей раз¬
рывов выше 1 рода). Для нахождения реакции цепи y(t) при за¬
данной импульсной характеристике цепи g(^) сигнал удобно раз¬
ложить по системе б-функций:
00
х (t) = j х (т) б (t—т)dx.	(5.19)
т. е. представить интегральной суммой элементарных сигналов
вида х(т)6(^—x)dx, где x(x)dx имеет смысл постоянного коэффи¬
циента при дельта-функции б (t—х).
Откликом на элементарный сигнал является задержанная на
время х импульсная характеристика цепи g(t—х), умноженная на
x(x)dx. Реакция линейной цепи y(t) на сигнал x(t) определяется
интегральной суммой Элементарных откликов
оо
y(t)= j x(x)g(t—x)dx = x<g)g.	(5.20)
—	oo
Таким образом, сигнал y(t) на выходе линейной цепи есть сверт¬
ка входного сигнала x(t) с импульсной характеристикой цепи
g(t). Формулу (5.20) можно записать иначе:
оо
y(t)= j х (t—х) g (х) dx.	(5.21)
—	оо
Поскольку интегрирование и дифференцирование — это линейные
операции, то справедливы также соотношения
у = х (х)	4 [x®h\= ^ (х) h.
dt dt	dt
Из выражения (5.20) видно, что сигнал на выходе цепи y(t)
в момент t получается путем суммирования мгновенных значений
входного сигнала x(t) с весом g(t—х) за все предыдущее время,
т. е. импульсная характеристика g(t—х) является весовой функ¬
цией.
На рис. 5!5 схематически представлена связь между рассмот¬
ренными методами анализа и приведены основные соотношения
между сигналами x(t) и y(t) и характеристиками цепи.
141

■Операторный метод
Рис. 5.5
5.3.	Условия неискаженной передачи сигнала
линейным четырехполюсником
Сигнал проходит через линейную цепь без искажений, если
его форма не изменяется, а происходит только изменение масшта¬
ба и сдвиг во времени.
При прохождении через линейный четырехполюсник сигнала
x(t) спектральная плотность выходного сигнала y(t), равная
(/^((о) = Ож(со)^((о), может отличаться от спектральной плотности
сигнала на входе Ож((о). При этом форма выходного сигнала от¬
лична от входного.
Искажения, вызванные частотной зависимостью передаточной
функции линейного четырехполюсника называют линейными (или
частотными) искажениями. О характере и величине этих искаже¬
ний можно судить по амплитудно- и фазочастотным характерис¬
тикам цепи, т. е. по модулю и аргументу функции /((to).
При прохождении сигнала x(t) через неискажающий четырёх¬
полюсник реакцию y(t) можно записать в виде
y(f) = Kx(t—t,),
где К=const — коэффициент пропорциональности, t3 — время за-
142

п К(ы)=к
0
Ч со
держки. Учитывая свойство линейности и временного сдвига, спек¬
тральную плотность реакции цепи можно записать как
Gy (со) = Gx И К(<») = К Gx (со) е~ш>.
Следовательно, неискажающий четырехполюсник должен иметь
передаточную функцию вида
К (со) = Ле-,в><8,
т. е. равномерную частотную характеристику /С(со) = /С и линей¬
ную фазовую характеристику срк(со)=—wt3, показанные на рис.
5.6. Задержка сигнала ta, создавае¬
мая такой цепью, определяется на¬
клоном ее фазовой характеристики
*э = Мфк (со)А*со|.
Частотные характеристики ре¬
альных четырехполюсников могут
приближаться к характеристикам
неискажающего четырехполюсника
только в ограниченном диапазоне
частот.	Рис. 5.6
5.4.	Прохождение малых сигналов через резистивный
усилитель на транзисторе
Проведем приближенный анализ прохождения сигналов че¬
рез инерционные цепи на примере наиболее распространенной
схемы резистивного усилителя малых сигналов на транзисторе с
общим эмиттером. Этот усилитель, относящийся к классу актив¬
ных четырехполюсников с постоянными параметрами, обеспечива¬
ет усиление и по напряжению, и по току.
Схема замещения усилителя по переменной составляющей изо¬
бражена на рис. 5.7,а, где приняты следующие обозначения:
Овх, Rbx — комплексная амплитуда напряжения и внутреннее со¬
противление источника входного сигнала; RK, RB — сопротивление
в цепи коллектора и нагрузки соответственно; Си — емкость на¬
грузки с учетом паразитной емкости выходной цепи на землю;
С — разделительная емкость.
Рассмотрим работу усилителя в диапазоне частот, где можно
ограничиться учетом инерционности диффузионного процесса в
базе1. Влиянием напряжения ык.в на базовую цепь пренебрегаем.
При сделанных допущениях можно воспользоваться схемой заме¬
щения транзистора в Я-параметрах (рис. 5.7,6) полагая
Яц — Яш Ям — Я22, Я12 — О, Я21:
1-N
1 Пренебрегаем влиянием коллекторной емкости С* и барьерными емкостями
С б.э Н Ск.э.
143

где сор —предельная угловая частота передачи тока базы_в схе¬
ме с общим эмиттером, на которой |tf2i((og) | =tf2i(0)/1^2.
Применив к коллекторной цепи теорему об эквивалентном ге¬
нераторе, получим схему замещения усилителя, изображенную
на рис. 5,7,в, где
Явх.э = Явх + Hn,Ra = ^^-| #„) .
Ё3 — Н2i /г Rb-
Определим передаточную функцию усилителя К((о) = 0вых1ивх
отдельно для средних, нижних и верхних частот.
Рис. 5.7
1.	Областью средних частот <оСр считают интервал частот, в ко¬
тором можно пренебречь как емкостью нагрузки С„, так и разде¬
лительной емкостью С, т. е.
1/(оСн да оо, I/т С да 0.
В этой области можно также пренебречь инерционностью транзис¬
тора, полагая #21 = 7/21.
Схема замещения выходной цепи на средних частотах изобра¬
жена на рис. 5.7,г. Комплексная амплитуда напряжения на выходе
устройства равна
Явых
Ев
К» ~Ь Ян
144

Коэффициент усиления К(ыср) при этом определяется выражением
Я КР)
йвых (шср)
Опт
-и.
Rh R)
Rbx,э (Ru + Ra)
■ = К
ср
и является величиной действительной и постоянной; знак минус
указывает на противофазность входного и выходного напряжений.
2.	В области нижних частот сон следует дополнительно учесть
влияние емкости С разделительного конденсатора. Схема замеще¬
ния выходной цепи принимает вид, изображенный на рис. 5.7Д
Запишем комплексную амплитуду напряжения на выходе схемы
Uвых К)
— 4 Rh
(Rb -f- Rh) + 1 /j шС
При этом коэффициент усиления в области нижних частот опреде¬
ляется выражением
К(ыи)
Цвых (мн) _ Rep
Овх	1 + 1/]С0Тн
где
с.
3.	В области верхних частот сов следует учитывать шунтирую¬
щее действие емкости нагрузки Сн и инерционность транзистора.
Схема замещения выходной цепи усилителя на верхних частотах
приведена на рис. 5.7,е.
Запишем для этой схемы комплексную амплитуду выходного
напряжения
-Еэ
&вых (®в) =
R3 +
Rh/j М С и \
Rh ~Ь 1/1 мСн/
Rh/j М Сн \
Rh -f- 1 / j Ш Си/
Тогда коэффициент усиления в области верхних частот опре¬
деляется выражением
К (о)в) =
U,
(шв)_
и.
	Кср
со \
1 +J J ( * + |ШТв)
Ко
ср
Ш2 тв \ . .	/ J_ ,
+ JO)f +Тв
со
3
где
тв — £н (Rs Ru)/(Rs + Rh).
Воспользовавшись выражениями комплексных коэффициентов
передачи, запишем амплитудно-частотную /С(ы) и фазочастотную
Фк(ы) характеристики отдельно для области средних, верхних и
нижних частот.
145

1. Средние частоты:
К,
		Н2х /?а Rh
ср_ ли-э(/г8 + /гн) ’
Ф* (“ср) —
Из приведенных выражений следует, что в области средних час¬
тот модуль и аргумент коэффициента усиления не зависят от час¬
тоты.
2.	Нижние частоты:
К К)=
2 *
tgTK W=1/®V
В области нижних частот модуль К(©н) и аргумент <рк (©н) коэф¬
фициента передачи зависят от частоты входного сигнала. С пони¬
жением частоты со из-за падения напряжения на разделительном
конденсаторе (рис. 5.7,д) коэффициент усиления уменьшается.
3.	Верхние частоты:
К (“в) —
К) =
'(
и--
1
)'
В области верхних частот модуль /С(©в) и аргумент фя(©в) коэф¬
фициента передачи зависят от частоты. С повышением частоты ©
возрастает шунтирующее действие емкости Сн (рис. 5.7,е), в ре¬
зультате чего коэффициент усиления снижается.
На рис. 5.8,а,б изображены амплитудно- и фазочастотные ха¬
рактеристики усилителя. Частота ©|, на которой модуль коэффи¬
циента усиления уменьшается в У~2 раз по сравнению с макси¬
мальным значением, определяется из уравнения
(■-4),+KW-*-
Частота ©2, на которой сдвиг по фазе равен —я/2, определяется,
по формуле
©2 = 1/©р/тв.
Обычно частота ©2 оказывается выше предельной частоты в спек¬
тре усиливаемого сигнала.
Иногда целесообразно определять коэффициент усиления по
току
Ki (©) = /а (©)//! («)•
146
(5.22)

Комплексные амплитуды токов 1\ и /2 на входе и выходе уси¬
лителя найдем, используя его схему замещения (рис. 5.7,в):
11 ~ Uвх/Квх.Э И /2 — ^вЫх/КН-
При этом выражение для коэффициента усиления по току примет
вид:
Ki (ft>) ^ВЫХ Квх.э/Кн ^ВХ —1 -К (ft>) КВх.э/КН'
Коэффициент усиления по току Ki (со) с точностью до коэффициен¬
та Квх.э/Кн повторяет коэффициент усиления по напряжению.
Найдем переходную характеристику рассматриваемого усили¬
теля. При действии на входе усилителя единичного скачка a(t)
(рис. 5.9,а) напряжение на выходе будет отличаться от входного,
по масштабу и по форме. Исказятся фронт и вершина сигнала.
u!x{t)-6(t)
1
в
О)
UibaW-Mt)
f
О
б)
Рис. 5.9
t
t
Анализ искажений формы сигнала обычно удается разделить
на две части, так как при прохождении фронта (быстрое измене¬
ние напряжения) можно пренебречь большой емкостью раздели¬
тельного конденсатора С, а при прохождении вершины (медлен¬
ное изменение напряжения) — малой емкостью Сн и инерционно¬
стью транзистора.
1.	Прохождение фронта. Пренебрегая емкостью С, получим
схему замещения выходной' цепи на верхних частотах (см. рис.
5.7,е). Сигнал на выходе найдем операторным методом. Запишем
передаточную функцию К(ыв) в операторной форме
клр) = -/—t *ср
(* + + Тв
Поскольку изображение единичного скачка a(t) равно
®(0 = ^вх (Р) = 1/Р.
147

то изображение сигнала на выходе
ивьгАР) = ив*(р)КАР)= —
Кср
* +	0 + тв Р)
Переходя к оригиналу, получим
(9 = *,
ср
1
СОр тв
( 1 — Юр Тв)
— </ТВ
—mg <
е +
(5.23)
(1 — ШрТ„)
Выбирая транзисторы так, что шр^>1/тв, можно пренебречь их
инерционностью по сравнению с инерционностью нагрузки. При
этом выражение (5.23) принимает более простой вид:
«вых (О-^срО — е-</Ч
Функция пВых(0 описывает фронт переходной характеристики
усилителя (участок а на рис. 5.9,6).
2. Прохождение плоской вершины. Пренебрегая емкостью Сн и
считая #2i = #2ь получим схему замещения выходной цепи на ниж¬
них частотах (рис. 5.7,6). Передаточная функцият#((он) в опера¬
торной форме
К» <*>) = 7Т7Г- •
1 -{- 1 /Т ар
Изображение напряжения на выходе
^ЬЫХ (Р) = ^ВХ (р) Ка (р)= 4	■
Р (1 + Тцр)
Переходя к оригиналу, получаем
«вых (9= tfcpe-'V
(5.24)
Полученное выражение описывает спад вершины переходной ха¬
рактеристики усилителя (участок б на рис. 5.9,6).
Рассмотрим прохождение через усилитель прямоугольного им¬
пульса (рис. 5.10). Представим входной импульс суммой двух еди¬
ничных скачков, изображенных пунктиром на рис. 5.10,6,8. Им¬
пульс на выходе (рис. 5.10,г) получен суммированием реакций,
имеющих вид переходной характеристики усилителя (сплошные
линии на рис. 5.10,6, в).
Зная переходную характеристику усилителя, можно определить форму
выходного напряжения при различных формах входного сигнала, используя
интеграл наложения. Например, пусть входной сигнал имеет форму, изображен¬
ную на рис. 5.11, а. Представим входной сигнал суммой линейно нарастающего
напряжения (прямая 1 на рис. 5.11,6) и отрицательного единичного скачка,
сдвинутого на время (кривая 2 на рис. 5.11,6). Найдем напряжение на вы¬
ходе усилителя как сумму реакций на указанные составляющие входного сиг¬
нала.
Для отыскания реакции усилителя на линейно нарастающее напряжение
Ивц = <Д* пользуемся схемой замещения для нижних частот (см. рис. 5.7,6),
148

так как сигнал не содержит скачков (быстрых изменений входного напряже¬
ния). Переходная характеристика усилителя имеет вид
кн (0 = Кср е_</Ти .
Напряжение на иыходе найдем, используя интеграл наложения
«вых х V) = /	Лн (/ -x)dx = Кср S j-
dt
1 _-*/■** i
= Кср-Г e "‘H j ex/x«dx=— e
б
£«1 -</TH */TH
, e th e
‘И
Hrfx =
-^THe-</T«(e</TH-l).
Полученный результат изображен на рис. 5.11,6.
ujx(i) ч
0 if
и1ых
h
/to
1
1
1
1 а
jf ' ~
0 tf
и'ш
и
t
6)
0
!\
i\
1
Чш *
^ 			""
11
цвы1 Г/
f
4 -
в)
ц6ых
^ср
Рис. 5.11
Запишем единичный скачок, сдвинутый на время tm\ иВх2=—о(<—iH). Реак¬
ция усилителя Мвых2(0 — сдвинутая на то же время переходная характери¬
стика усилителя h(t) (см. рис. 5.9,6). Напряжение ивых2 изображено на
рис. 5.11,6. Напряжение на выходе усилителя изображено на рис. 5.11, в
сплошной линией как сумма сигналов ивЫХ1 и иВЫх2.
5.5.	Дифференцирование и интегрирование сигналов
В радиоэлектронике часто возникает необходимость преобра¬
зования формы сигналов путем их дифференцирования или инте¬
грирования. Поскольку эти операции являются линейными, осу¬
ществить их можно с помощью линейных цепей. В частности, та¬
кое преобразование сигнала выполняет.простейшая апериодичес-
149

кая RC (или RL) цепь при соответствующих значениях, ее папа
метров.	у
Дифференцирование сигнала
Сигнал на выходе идеаль¬
ной дифференцирующей цепи
«вых равен (или пропорциона¬
лен) производной от входного
сигнала ивх (рис. 5.12,а), т. е.
где /(о=const.
Интегрирование сигнала
^Сигнал на выходе идеаль¬
ной интегрирующей цепи
«вых равен (или пропорциона¬
лен) интегралу от входного
сигнала цвх (рис. 5.13,а), т. е.
“вых^-Ко! мвх dt,
где Ко = const.
-i—*
ёа(<0)
^диф (<&)
бъъп (b)H(O/i0GBf(C0)
Ha основании теоремы о
дифференцировании функции
по времени этому выражению
соответствует соотношение
^ВЫХ (®) = j ffl Ко GBX (ft*),
где (/вх((о) и (/вых(со)—спек¬
тральные плотности сигналов
«вх и Ывых, соответственно. Так
как
^вых (®) — GBX (со) Кдщф (со),
&вх(й>)
Л'инт ((•>)
UabtX=ftof Utx dt
а
R
j
xl
X
.J
a)
|c/c
-O
6)
Полученному выражению
на основании теоремы об ин¬
тегрировании соответствует со¬
отношение
4ых (“) = К0 GBX (со)//со.
Так как
^вых (ю) — GBX (со) Аинт(со) t
то передаточная функция иде¬
альной интегрирующей цепи
Кит(а>) = КоП<й.	(5.29)
Амплитудно-частотная ха¬
рактеристика цепи Кит (со) =
=/(о/со, имеющая вид гипер-
160

то передаточная функция иде¬
альной дифференцирующей
цепи
(») = j со Ко- (5.25)
Амплитудно-частотная ха¬
рактеристика цепи Лдиф((о) =
—хаКо, имеющая вид линей-
но-нарастающей функции, изо¬
бражена на рис. 5.12,в пунк¬
тирной линией. Передаточная
функция RС-цепи (рис. 5.12,6)
(5.26)
где т=RC— постоянная вре¬
мени цепи. При условии
(от « 1	(5.27)
можно пренебречь вторым
членом в знаменателе (5.26)
по сравнению с единицей и
точное выражение (5.26) за¬
менить приближенным равен¬
ством
Ая (to) ж j(DT.	(5.28)
Из (5.28) следует, что пе¬
редаточная функция Rr(xo)
при /Со=т совпадает с
Аднф(й)).
Следовательно, RC- цепь
(рис. 5.12,6) при соблюдении
условия (5.27) (т. е. в области
частот (о<С1/т) осуществляет
приближенное дифференциро¬
вание сигнала
uR «т	(5.29)
Из сравнения частотных
характеристик идеальной и
реальной дифференцирующей
RC-цепи (рис. 5.12,в) видно,
что они практически совпада¬
ют в области нижних частот
(ko<1/t), где- коэффициент
передачи (.5.28) изменяется
по линейному закону. Поэто-
болы, изображена на рис.,
5.13,0 пунктирной линией. Пе¬
редаточная функция RC-цеп»
(рис. 5.13,6)
Кс (®) — 1/(1 + j(оТ)»	(5.30)
где т=RC — постоянная вре¬
мени цепи.
При условии
(от^> 1	(5.31)
можно пренебречь в знамена¬
теле (5.30) единицей по срав¬
нению со вторым	членом.
Тогда
Ас ((о) « 1/j (от,	(5.32)
т. е. передаточная	функция
Кс ((d) при Ао=1 /т совпадает
С Кинт ((d) •
Следовательно, АС-цепь
при соблюдении	условия
(5.31) (т. е. в области частот
ш^>1/т) осуществляет прибли¬
женное электрическое интег¬
рирование сигнала
ис « — f «вх dt.
т J
Из сравнения частотных ха¬
рактеристик идеальной и ре¬
альной интегрирующей /?С-це-
пи (рис. 5.13,0) видно, что они
достаточно хорошо совпада-
ют в области высоких частот
(ю»1/т).
Следовательно, /?С-цепь
точнее интегрирует участки
быстрого изменения функции
ггВх, которые формируются
главным образом за счет вы¬
сокочастотных составляющих
спектра сигнала.
Зная ширину спектра сиг¬
нала, можно рассчитать по¬
стоянную времени т интегри¬
рующей цепи и ее параметры.
151

му PC-цепь точнее дифферен¬
цирует участки медленного
изменения функции, которые
формируются главным обра¬
зом за счет низкочастотных
составляющих спектра сигна¬
ла. Область приближенного
дифференцирования (заштри¬
хована на рис. 5.12,в) практи¬
чески ограничена со стороны
нижних частот из-за сниже¬
ния коэффициента передачи
цепи. Зная ширину спектра
сигнала, можно рассчитать по¬
стоянную времени т дифферен¬
цирующей цепи, а следова¬
тельно, и ее параметры.
Значение т можно также
выбрать, пользуясь времен¬
ным представлением входного
сигнала из условия
*<^и.
где tK — длительность входно¬
го сигнала. Это неравенство
поясняет рис. 5.14,а, на кото¬
ром приведены графики ли¬
нейно нарастающего входного
сигнала ивх и выходных сигна¬
лов, полученных ТОЧНЫМ (ПВых)
и приближенным (uR) диффе¬
ренцированием. Результаты
совпадают при t^>х.
Значение т можно также вы¬
брать из условия
где tB — длительность входно¬
го сигнала иъх. Это условие
поясняет рис. 5.14,6, на кото¬
ром приведены графики вход¬
ного сигнала ивх, имеющего
вид импульса включения, и
выходного сигнала, получен¬
ного точным (пунктирная ли¬
ния) и приближенным элек¬
трическим (сплошная линия)
интегрированием. Результаты
совпадают только в области
Приближенное дифференцирование и интегрирование сигнала
можно осуществить и с помощью апериодической PL-цепи. При
дифференцировании выходное напряжение снимается с катушки
индуктивности L, при интегрировании — с резистора R. Однако
из-за активных потерь в катушке индуктивности PL-цепь уступа¬
ет PC-цепи в точности преобразования сигнала.
Как было показано выше, точное дифференцирование и -интег¬
рирование простыми RL- и PC-цепями принципиально невозмож¬
но.
Современные дифференцирующие устройства строятся на ос¬
нове операционных усилителей (ОУ). Входное сопротивление иде¬
ального ОУ близко к бесконечности, а выходное — к нулю; коэф¬
фициент усиления очень велик (Р->—оо). При /(-»—оо можно
считать напряжение на входе ОУ равным нулю (ивых/К~0). При
этих условиях для схемы на рис. 5.15,а имеем:
152

С другой стороны, при l'i = 0
/		 :		 п аиВХ
at
Сравнивая (5.33) и (5.34), получаем
,.			RC duBx
вых~ 1 + 1 /к dt
(5.34)
т. е. схема на рис! 5.15,а с идеальным ОУ обеспечивает идеальное
дифференцирование. Реальные схемы осуществляют хорошее
дифференцирование в диапазоне нижних частот.
В схеме на рис. 5.15,6 имеем
С другой стороны, при i) = 0
.	„ d[-«Bb,x(l+ 1//С)]
lR —1с = Ь 	—
(5.35)
(5.36)
Сравнивая (5.35) и (5.36), получаем
^вых
1
RC
(l + 1/tf
т. е. схема на рис. 5.15,6 с идеальным ОУ обеспечивает идеальное
интегрирование. Реальные схемы осуществляют хорошее интегри¬
рование в диапазоне верхних частот.
5.6.	Прохождение сигналов через линейные цепи
с переменными параметрами
Определим импульсную характеристику g(t, х) линейной цепи
с переменными параметрами (рис. 5.16) как реакцию цепи на
дельта-импульс 6(^—х), действующий в момент времени t=x при
нулевых начальных условиях. Согласно этому определению им¬
пульсная характеристика есть решение линейного дифференци¬
ального уравнения с переменными коэффициентами a.i(t) и пра¬
вой частью 6 (t—х):
153

МО	&n+i (О dn -~~- + • • • +
dt	dr~x
+ % (О ~ГГ~^ + «о (О 5 (/. X) = в (<-*)•	(5.37)
at
Так как b{t—х)=0 на всем интервале времени, кроме t—x,
g{t, х) можно искать как решение однородного уравнения
МО
dng(t,x)
dtn
fln-l(0
dn~lg(t,x)
dtn~l
• « . +
TO
+ a1(f)^£^ + ao{f)g(t,x) = 0.	(5.38)
Учитывая, что импульсная характеристика g(t, х) и все ее произ¬
водные равны нулю при t<x, запишем начальные условия, выте¬
кающие из уравнения (5.37):
= 0, гдеЛ =0,1,2, . . ,,п—2,
t=x
dkg(t,x)
dtk
d"-1 g (t, x)
df1-1
1
t=x an (*)'
Только при этих условиях первое слагаемое в (5.37) может обра¬
зовать дельта-функцию 8(t—х) в момент t=x (рис. 5.17). Реак-
uta(t)
g(t,x)
K(<o,t)
иш®
Рис. 5.16
cLn~1g(t,x). dng(t,x}
riflM ’ rttn
dn-1a(t,x)
di
X	t
Рис. 5.17
ция линейной цепи с переменными параметрами на сигнал произ¬
вольной формы есть свертка входного сигнала uBX(t) с импульс¬
ной характеристикой g[t, х) цепи
«вых(0= ? uBX(t—x)g(t,x)dx.	(5.39)
—оо
Определим передаточную функцию К (со, t) цепи с переменны¬
ми параметрами. Для этого запишем функцию uBX(t—х) в виде об¬
ратного преобразования Фурье от спектральной плотности Овх(т)
входного сигнала
ивх (*—х) = -^- 7 GBX(со) е^-*» dm.	(5.40)
2я v
и 00
154

С учетом (5.40) из (5.39) имеем
«Вых(0 = г^ 7	(о)el*4 7 g(t,x)e-i<»xdxd<i>. (5.41)
2 я ^	J
—©о	■ 00
Запишем реакцию на выходе цепи на основании спектрального
метода
и«х = J И *!(“• 0	dt*>-	(5.42)'
Сопоставляя (5.41) и (5:42), получаем выражение для передаточ¬
ной функции линейной цепи с переменными параметрами
K(a>,t)= j g(t, х) е-1“* dx.	(5.43)
—OQ
Передаточная функция цепи с переменными параметрами явля¬
ется преобразованием Фурье от импульсной характеристики цепи,
как и для цепи с постоянными параметрами.
Определим спектр сигнала на выходе линейной цепи с пере¬
менными параметрами при прохождении гармонического сигнала
UBx(t)—U COS d)ot.
Представим входной сигнал в виде аналитического сигнала
•ZBx(0 = [/eJa)”<.
имеющего спектральную плотность (jz(cd):
Gz (ю) = 2 л U б (со—ш0).	(5.44)
Аналитический сигнал на выходе цепи на основании (5.42) в
(5.44)	и фильтрующего свойства 6-функции имеет вид
*Вых (0 = г- ? 2 яU 6 (со—(о0)К(со, 0 е»* d(a = UK (со0, t) eW. (5.45)
2 71 J
•* —оо
Разложим функцию R(m, t) в ряд Фурье, рассматривая ее как.
периодическую (с периодом Т=2jt/Q) функцию времени:
К (о>о. О = # о (“о) + Ki К) cos (Qt + D +
+ Кй K)cos2(£2M-|)+ . . .=А0К) ei<p^o(0)o) +
+ К, К) е)фк. (w“> cos (Ш + £) + А2 К) е,ф*.(в,*) cos 2 (Q t +E) + ...
Сигнал на выходе при этом можно представить в виде
“пых (0 = ЦК» (0>о) cos [ш0 / + Фк, (ш0)] + ик1 К) COS [(Oe 14-
+ Фк, К)] cos (Q t +1) + . . . + UKn К) cos [0)01+ф/сп ((Og)] cos л X
X (Q< + E) + . -. . = t/AoК)cos К t + фК,(ш0)] +fj ^»W X
1	п=1
X (cos [((Од + л Q) f + фЛп (ш0) + л £] + cos [((Од—-л Q) ^+Ф«п (сов)—л 5]}-
(5.46)
155

Согласно (5.46) отклик линейной цепи с переменными перио¬
дически изменяющимися (с периодом T=2n/Q) параметрами на
гармонический сигнал частоты ш0 имеет широкий спектр, образо¬
ванный частотами вида ш0, (Оо±«Й.
Рассматривая прохождение через линейную цепь с перемен¬
ными параметрами двух гармонических сигналов с частотами он
и м2, аналогично можно показать, что отклик цепи будет содер¬
жать спектральные составляющие вида о»), ((Oi+rajQ), юг, (<»2±
±/ijQ), где п{=1, 2, 3, ... и п}=1, 2, 3.
Заметим, что составляющие с частотами вида (пуыу+п^) не
будут содержаться в спектре отклика, так как цепь линейна.
5.7.	Корреляция сигналов на входе и выходе
линейного фильтра
Если на входе линейного фильтра с заданной импульсной ха¬
рактеристикой g(t) действует сигнал x(t), то согласно (5.20) сиг¬
нал y(t) на выходе фильтра определяется сверткой входного сиг¬
нала с импульсной характеристикой цепи
y=x0g.
Взаимная корреляционная функция ^„(т) сигналов на входе и
выходе фильтра с учетом (1.16а) выражается
Чху = х ® у.
Подставляя в это соотношение значение y = x®g и принимая во
внимание (1.9 а), получим
=	(x®g)= (х® X)® g = Wx®g.
Таким образом, ВКФ сигналов на входе и выходе линейного
фильтра определяется сверткой АК.Ф входного сигнала с импульс¬
ной характеристикой фильтра.
5.8.	Цепи с обратной связью
Широкое применение находят усилители, на вход которых по¬
дается часть напряжения с их выхода, т. е. усилители с обратной
связью. Введение обратной связи (ОС) изменяет коэффициент уси¬
ления, частотную характеристику и другие параметры усилителя.
Используют положительную (ПОС), отрицательную (ООС) и ком¬
плексную обратные связи.
При ПОС напряжение с выхода усилителя подается на вход в
фазе с входным сигналом. При этом коэффициент усиления воз¬
растает, однако снижается его стабильность; кроме того, ухудша¬
ются другие параметры усилителя. При ООС напряжение с вы¬
хода усилителя подается на вход в противофазе с входным сиг¬
налом. Коэффициент усиления уменьшается, но одновременно
уменьшаются его нестабильность, неравномерность частотной ха¬
рактеристики, нелинейные искажения.
156

Применяют разнообразные схемы обратных связей. На рис.
5.18,6—д приведены четыре варианта функциональных схем четы¬
рехполюсников с ОС, где О1 и 02 — комплексные амплитуды на¬
пряжений на входе и выходе четырехполюсника без ОС (рис.
5.18,а); иig и /)(3 — комплексные амплитуды напряжения и тока
на входе четырехполюсника, охваченного ОС. Рис. 5.18,б,д пояс¬
няют обратную связь по напряжению, а рис. 5.18,в,г — по току.
Коэффициент обратной связи р показывает, какая часть выходно¬
го напряжения или тока подается на вход. К этим схемам или их
комбинациям можно свести основные схемы с ОС.
ft
А-
О
Г'
4J
о
и
а)
h
\ЩРУй21
м
■—о
h
. s~\
5)
h
,° KJ-;
\йщр1г Ц
0
щ\
	о
в)
fl
А
щ
■ о
г)
h
щ
о
Ю
Рис. 5.18
Определим, как изменяются коэффициент усиления по напря¬
жению и входное сопротивление четырехполюсника при введении
ОС, например, по напряжению (по схеме на рис. 5.18,6).
Коэффициент усиления по напряжению четырехполюсника
без ОС:
с ОС:
к = и9/и1,
(5.47)
= з-
Согласно схеме на рис. 5.18,6 имеем
и1=и1&+^и„02=ки1,
откуда
£/1Р = (Л(1-КР).
Подставив (5.49) в (5.48), получим
is	Щ	К
Л й = 			=	 '
Ui(\—K Р) 1 - К р
При наличии отрицательной обратной связи (ООС)
*р=-№
157
(5.48)
(5.49)
(5.50)
(5.51)

коэффициент усиления Rq примет вид:
*D=tf/(i + l*PI).
Если выполняется условие
|/СР|» 1.	(5.52)
то имеем
tfp»WPI=l/p.	(5.53)
Формула (5.53), справедливая при выполнении условий (5.51)
и (5.52), показывает, что коэффициент усиления четырехпо¬
люсника, охваченного обратной связью по напряжению, не зави¬
сит от коэффициента усиления R, а определяется только пара¬
метрами цепи обратной связи. Если цепь обратной связи состоит
из пассивных элементов (R, L, С), то Rp не зависит от режима
и нелинейные искажения отсутствуют.
При комплексной обратной связи R$ = 	—
1	— Re (/С ($)—/' Im(/C р )"
При выполнении условия
Re(/CP)»l
коэффициент усиления определяется из приближенного
выражения				= —— =	— , модуль
Re (К р) + 3 Im (К Р) К Р Р
которого совпадает с модулем выражения (5.53) для ко¬
эффициента усиления четырехполюсника с ООС. Следовательно,
и при комплексной ОС при выполнении условия Re(Kp)!>l ко¬
эффициент усиления четырехполюсника определяется только па¬
раметрами цепи ОС (Р). Эти свойства позволяют использовать
ООС и комплексную ОС для стабилизации коэффициента усиле¬
ния, уменьшения нелинейных и частотных искажений.
Входное сопротивление четырехполюсника без ОС определяет¬
ся как отношение комплексной амплитуды входного напряжения
к комплексной амплитуде входного тока
2В1=ед.
Входное сопротивление четырехполюсника с ОС определяется со¬
ответственно по формуле
^вх0—Ml-
Воспользовавшись выражением (5.49), получим
0=^(i-kw'i=z„(i -к р).
При отрицательной обратной связи согласно (5.51)
2,х0=2В1(1+|)СР|)
158
(5.54)
получаем
(5.55)

Следовательно, последова¬
тельная отрицательная об¬
ратная связь по напряже¬
нию (рис. 5.18,6) увеличи¬
вает входное сопротивление
четырехполюсника в (1 +
+ |*Р|) Раз-
При анализе и особенно
при синтезе усилителей с
заданными характеристика¬
ми полезно знать, как влия¬
ют различные виды ОС на
параметры схем замещения
четырехполюсников. Рассмо¬
трим, например, как изменятся параметры схемы замещения четы¬
рехполюсника при введении ООС по напряжению по схеме на
рис. 5.18,6. Здесь
(5.56)
причем р<0, поскольку обратная связь отрицательная.
Y-пар а метры. На рис. 5.19,а,б приведены схемы замеще¬
ния с У-параметрами для четырехполюсника без ОС и с ОС соот¬
ветственно. Для схемы на рис. 5.19,а справедливы соотношения:
к-УгЛ + YM,
l2~YilU1-\-YwU2.
Для схемы на рис. 5.18,6 с учетом (5.56) имеем:
к = Уц3# 13 + Паз^=^пз(^1 + Р ^ГГ^з О2 =
— YU3 (Jt "У (У123 + Р Уиз) &2-
i2™Y21$й22(^2 “ ^213 (^1 “У Р^г) 4" ^223 ^2 —
= ^13^1 + (^223+Р^213)^-
Сравнивая (5.57) и (5.58), находим:
Уцр 1=5 У 11>	^213 = Yn, У12З — У12 РУш У223 ~ ^22 Р У21*
Z-nap ам етры.
(5.57)
(5.58)
t/i “Zn к+Z12 /а, Ux + Р//а = Ахз к "У ^123 к>
U2 = Zal к "У ^22 к’	к}2 = Z213 к + ^223 к>
к Zu0 к -|- Z120 /2 + Р Zai0 к Р ^223 к-
Ог = (Zm Р Zal0) к + (^123 Р ^223) к-
Z-2l$ в ^21 > ^223 “ ^22-
*113	$ Z2lfi — Zn, Zup — Zn + р Z21.
^123*“ Р^223“^12> ^123 = ^12 "У Р ^22-
159

Таблица 5.3
Параметры с учетом различных видов обратных связей
Параметры
Рис. 5.18,6
Рис. 5 .18,в
Рис. 5.18,г
Рис. 5.18,5
Ущ
У XX
У XI
1 + P^2l
Ун + P^i
Уи
у*ч
У*х
^21
1 + Р^21
У21
^2i
Ущ
уIX- №XX
,/ Р^ 11^22
* 12
1 + Р^21
^12 + Р^ 22
^12 +P
^22р
^22 - P^2i
^22
1 + ЬЛх
^22
^22
%11 р
^li + P^2i
2'хх
Za
1 + P^2i
^12р
^i2 + Р^22
Z\2 + Р
Z\2 Р^и
■i p ^11^22
■^12 P
i+P221
^2 ip
%2i
Z2t
■?2i
^2i
1 + pz2j
^22p
z22
%22
^22 P^21
■^22
1 + P^21
^iip
Ни
На + РЯ2(
Hu
1 + P^i
Hu
Нщ
Нц + Р
^12 + Ь&22
№г1йл
“l2 —
1 + P# 21
H12 — p//]i
Нг% р
H2i
H2i
Ha
1 + РЯ21
Ha
^22р
яаа
Н22
H22
1 -f- ря21
H 22 — РЯа1
160

Н-п араметры.
Ох=нп /j + Н12 Ох + р и2 = Нц$ i\ + ^i2g ^2-
= ^21 Л 'Ь ^22 ^2> ^2 = ^21g Л “Ь ^22g ^2’
?1=^иэА + яиа1;8-р&а.
^=#11РЛ+(#123-рн4
^21g = ^21>	^22g = ^22> ^llg = ^11 >	^12|3 = ^12 + Р‘
Аналогично определяются параметры схем замещения четы¬
рехполюсников с различными видами обратной связи. В табл. 5.3
даны выражения параметров схем замещения четырехполюсников
с различными видами ОС (рис. 5.18, б—д) через параметры схем
замещения четырехполюсников без ОС (рис. 5.18,а).
Выполнить условие /С(со)(3 (со) = | /С(со) Р(со) | в широком диа¬
пазоне частот не удается вследствие изменения сдвига фаз как в
усилителе, так и в цепи обратной связи. Поэтому ОС становится
комплексной, а на некоторых частотах может даже измениться с
ООС на ПОС. При определенных параметрах /С(со) и р (со) это
может привести к самовозбуждению усилителя. Поэтому необхо¬
димо исследовать устойчивость усилителей с обратной связью.
5.9.	Устойчивость линейных систем с обратной связью
Об устойчивости линейной системы можно судить по решению
дифференциального уравнения, описывающего процессы в этой
системе. В общем случае напряжения, действующие на входе и
выходе линейного четырехполюсника с сосредоточенными пара¬
метрами, связаны между собой линейным дифференциальным
уравнением н-го порядка
а
П
dn и,
dtn
drl 1 «2
df~:
. ■ ■ + ау
du 2
dt
dn Via
~-^b„
df
jn—l ,
df
+ ^oui>
(5.59)
где a„ и bm — постоянные коэффициенты.
Дифференциальному уравнению (5.59) с учетом того, что
б/2=/С(со) б/1, соответствует комплексная форма уравнения
ап 0 ю)" Ui К~(со) + ап-х (j со)"”1 П, А (со) + ... + а0(Л К (со) =
= bm (j ю)т + bjn—1 0 ®)т '	+ • • • + Ь0 0Х,
на основании которой получается общее выражение для комплек¬
сной передаточной функции четырехполюсника
К (со) = MJ ЮГ + &т”1 ° Ы)П Х + •' • + Mj Ю) + Ьа = Р (i м> (5 60)
a it (j «)" + (j со)'-1 + . . . + аг (j со) + a0 Q О «)
161
6—100

Аналогично операторной форме уравнения (5.59)
ап Рп Uа (р) + an~i Рп^1 иЛР)+ ...+alpU2 (р) + а0 U% (р) =
— bmpmU1 (р) + Ьт-г pn~l U1(p) + ...+bLpU1 (р) + Ь0 их (Р)
отвечает общее выражение операторного коэффициента передачи
четырехполюсника
к(р)=р{р)тР).	(5.61)
Решение дифференциального уравнения (5.59) может быть запи¬
сано в следующем виде: U2{t)=uBblB{t)+uCB{t), где ивы„(t) — вы¬
нужденная составляющая, uCB(t)—свободная составляющая на¬
пряжения на выходе системы.
Для выяснения вопроса устойчивости системы достаточно рас¬
смотреть поведение свободной составляющей. Система устойчива,
если
lim исв (t) = 0.
Решая однородное дифференциальное уравнение
dn »2
dtn
jn—i ,
-а„~ 1
dt'
П—1
+ • ■ • + aL
du%
dt
Uq u2 ■ 0,
(5.62)
получаем общее выражение для свободной составляющей
исв (О	ер‘ * + % В, tki ерм‘,	(5.63)
£=1	£= 1
где Ait Bi — постоянные коэффициенты, определяемые параметра¬
ми системы и ее начальным состоянием; pt — простые корни, рм —
кратные корни характеристического уравнения:
Q(p) = anpn +an-!Pn~l + ...+а1р + а0 = °’	(5.64)
кратность которых равна
Система (5.59) устойчива, если свободные колебания (5.63)
затухают. Следовательно, для устойчивой системы корни ри р2, ...
..., рп, Рт должны быть либо отрицательными вещественными ве¬
личинами, либо комплексными числами с отрицательными вещест¬
венными частями.
Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной
системы является отрицательное значение вещественной части всех
корней характеристического уравнения Q(p)=0. Или, что то же:
все корни характеристического уравнения должны лежать в ле¬
вой полуплоскости корней р.
5.10.	Критерии устойчивости
Правила, позволяющие без решения дифференциального урав¬
нения системы установить, является ли она устойчивой, называют¬
ся критериями устойчивости. Обычно пользуются либо алгебраиче¬
скими, либо частотными критериями устойчивости. Алгебраичес-
162

кие критерии устойчивости были сформулированы Раусом и не¬
зависимо от него Гурвицем. Из частотных критериев наибольшее
применение получили критерий Найквиста и критерий Михайлова.
Пользуясь алгебраическими критериями, трудно наглядно
представить влияние параметров на устойчивость и скорость пере¬
ходных процессов в системе. В этом смысле более эффективны
частотные критерии, особенно критерий Найквиста.
Критерий Гурвица. Пусть дано характеристическое уравнение
системы
Q (Р) = апрп + ап—1 Рп~1 + ... + а0 ~ 0*	(5.65)
Для того чтобы все корни алгебраического уравнения (5.65)
лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы
коэффициент ап, а также составленный из коэффициентов уравне¬
ния определитель Дя и все его главные миноры принимали поло¬
жительное значение, т. е. ап>0;
Д
п
ап-1
ап-з
а-п-s
ап
^П—2
^п—4
0
ап-1
ап-з
0
ап
а„-2
0
0
ап-1
о ;; ’	"
Ai. = an—i > 0;
II
<
ап-1
ап—з
ап
ап-а
ап-1
ап-з
Д3 —
а»
®п—2
0
ап-1
0 0
.. ах
0
... а4 аг
а0
>0;
ап-ъ
ап—4
о
Л
ап-з
>0;
(5.66)
(5.67)
Определитель Д„, который принято называть определителем
Гурвица, составляется по следующему правилу. На главной его
диагонали выписываются коэффициенты уравнения в том порядг
ке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффи¬
циента ап-1. В каждом из столбцов определителя под диагональ¬
ным элементом выписываются коэффициенты с возрастающими,
а над ними — с убывающими индексами. Все коэффициенты, ин¬
дексы которых превышают п или индексы которых отрицатель¬
ны, заменяются нулями. Так как последний столбец определителя
Ап содержит лишь один отличный от нуля элемент а0, располо¬
женный на главной диагонали, то A«=a0An-i.
Отсюда следует, что нет необходимости рассматривать опреде¬
литель Д„. Поскольку для устойчивости системы необходимо, что¬
бы Д„_,>0, то Д„>0, если а0>0.
6*
163

В случае характеристического уравнения 2-й степени (« = 2)
условием устойчивости является
или
В случае уравнения
пишется так:
а2> 0;
Ai = «1 > 0;
а1 0
«2 «о
= ал а0 > 0
«2 >0, а1 > 0, а0 >0.
3-й степени (п=3) условие устойчивости
за-
«з>0;
Ai = a2>0;
&2 ^0
I73
= ^2^2 — а3 а0> 0;
а2
а0
0
А3 =
«3
«г
0
0
#2
ао
а0 Д2 > 0
или	а3 > 0, а2 > 0,	^>0, а0 > 0,
% а2 — аоаз> 0,
Критерием Гурвица удобно пользоваться для проверки устой¬
чивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффициентами
дифференциального уравнения) при условии, что степень уравне¬
ния невелика (п<6).
.Критерий Рауса. Составим таблицу, называемую таблицей Ра¬
уса (табл. 5.4), исходя из характеристического уравнения системы
следующего вида
Q (р) — а0 РП + а\ Рп ' “Г ... + «П— 1 р + ап = 0-
Любой из коэффициентов таблицы Рауса Chi(i^3), где k обозна¬
чает помер столбца, a i — номер строки, в которой находится ко¬
эффициент, можно найти по формуле
Chi = ch+l’ г—2	ck'+l’ i—1>
где %i =Ci, г-2/Ci, г_ь i > 3.
Число строк таблицы Рауса равно (й+1), где п — степень урав¬
нения.
Критерий устойчивости Рауса формулируют следующим обра¬
зом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и доста¬
точно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были
положительными, т. е.
а0 ~Р> 0, а^	0, Ciз 0, Сц 0,..., сi. n-\-i	0.
1 Здесь для удобства составления таблицы изменен по сравнению с (5.64)
порядок написания индексов у коэффициентов а.
164

Таблица 5.4
Сц = а0
С21 — а2
С31 — а4
C4i = (2q
с12 == °1
2 == а3
с32 — аЪ
С42 = 0,1
М = °о/°1
с13 = а2 — ksa3
С23 —z 	 ^3^5
с33 ~ а6 — к3а7
С43 — а8 — М°9
Х-4 = аг/с13
C14 “ а3 ^4С23
(-24 = О-Ь 	 М^ЗЗ
с? 4 — а7 Мс43
С44 = й9—А,4с53
— с1з/си
С15 = С23 	 МС24
С25 = с33 	 34
С35 = с43 МС44
с45 — С53 —‘ МС54
При составлении таблицы Рауса для численно заданных коэф¬
фициентов уравнения можно в целях упрощения вычислений ум¬
ножать или делить строки таблицы на положительную величину.
Это не меняет результат.
Если не все коэффициенты первого столбца положительны, т. е.
система неустойчива, то число корней уравнения, лежащих в пра¬
вой полуплоскости, равно числу перемен знаков в первом столб¬
це таблицы.
Критерий Рауса целесообразно применять при я>4 с исполь¬
зованием ЭВМ.
Критерий Михайлова. Если характеристическое уравнение зам¬
кнутой системы имеет вид (5.65), то характеристический полином
Q(jto) равен
Q (]' ю) = ап (]' «Г +	1 (j w)'1-1 + ... + а0.
В соответствии с критерием Михайлова система, обладающая
передаточной функцией (5.60), будет, устойчивой, если при изме¬
нении и от 0 до +оо аргумент характеристического полинома
Q(jco) возрастает на угол лп/2 радиан, где п — степень характе¬
ристического уравнения Q(p)= 0, т. е.
A arg Q (j со) = я п/2,	(5.68)
0 <;со <; оо.
Формуле (5.68) соответствует геометрическая трактовка кри¬
терия устойчивости Михайлова. Для этого па комплексной плос¬
кости строится годограф (след) вектора Q(jco) (годограф Михай¬
лова), являющийся геометрическим местом конца вектора O(jw)
при 0<со<оо.
Система устойчива, если годограф Q(jco) с ростом со от 0 до
+ оо, начинаясь на действительной оси (поскольку полином Q(jco)
при со = 0 равен а0), обходит последовательно в положительном
направлении (против часовой стрелки) п квадрантов.
На рис. 5.20,а показаны годографы Q(jco) устойчивых систем
для разных п, а на рис. 5.20,6 — годографы неустойчивых систем.
165

Пользоваться критерием устойчивости Михайлова удобно при
исследовании сложных многоконтурных систем, когда нужно выяс¬
нить влияние изменения структуры системы на ее устойчивость.
Критерий Найквиста. Критерий Найквиста позволяет судить
об устойчивости замкнутой системы с обратной связью по рассчи¬
танной или измеренной экспериментально частотной характерис¬
тике той же системы, но с разомкнутой петлей обратной связи. Воз¬
можность судить об устойчивости системы по результатам экспе¬
римента выгодно отличает критерий Найквиста от предыдущих
критериев. Формулировка критерия такова: замкнутая система с
обратной связью будет устойчивой, если замкнутый годограф
коэффициента передачи устойчивой разомкнутой системы
(со)Э(со) не охватывает точку с координатами +1; 0.
На рис. 5.21,а приведен годограф устойчивой, а на рис. 5.21,6—
годограф неустойчивой системы.
Пользуясь критериями Гурвица, Михайлова и Найквиста, проиллюстрируем
анализ устойчивости системы с обратной связью на примере Л’С-генератора на
полевом транзисторе (рис. 5.22).
Эквивалентная схема генератора
представлена на рис. 5.23, а; после
преобразования ее относительно
точек аб по теореме об эк-
ь
С
с
нь
$
'ли
Рис. 5.22
166

Бивалентном генераторе — на рис. 5.23, б. В соответствии с принятыми обо¬
значениями
Е э =
Ri Rс
Ri + Rc
^зи— —KaR^3<
где Ri внутреннее сопротивление полевого транзистора; Rc — сопротивле¬
ние в цепи стока транзистора; tf3=tfii?c/(tfi+tfc); Ko=SRiRc/(Ri+Re) — ко¬
эффициент усиления каскада.
Используя метод контурных	а	и ц ц
токов, запишем систему опера-	t * Т 	"II Т И Т 1г
торных уравнений, описываю¬
щих эквивалентную схему гене¬
ратора (рис. 5.23,6):
(Ro 4~ 1 /рС + R) h — RI2 +
+ Ко R/3 = 0,
—Rh + (2tf + 1 /PC) U - tf/3=
= о,
-tf/2 +(2tf+l/pC)/3 = 0.
Рис. 5.23
Определитель этой системы
R3 + R + l/pC
А =
— R	KoR
— R	2R+l/pC — R
0	— R 2tf-fl/pC
Характеристическое уравнение имеет вид
5 -f а .	1
6 4- 4а
(.pCR)3 + г; J , о., (pcr)2
1 + Ко + За
(PCR) +
1 -f Ко + За
1 -f Ко -f За
где а = tfa/tf,
или в общем виде
а3 (pCtf)3 + а2 (pCRf + а, (pCtf) + а0 = 0,
5 -f а	6 + 4а	.	1
= 0,
(5.69)
(5.70)
6 + 4а
ГД6 Cli   *	—-	" do 1 • dr\	1	.
1+/Со + За’	1+*0 + За’	0	1+АГ0 + За
(5.71)
Для оценки устойчивости цепи применим критерий Гурвица.
С учетом (5.70) и (5.71) имеем:
аз = 1>0;
Л	6 -f 4а
Ат — а2 — - ; — ^7 ;> 0 при любых параметрах схемы;
1 + Ко + За ‘
Ап —
а2 а0
а3 а±
6+ 4а
1
1 -f- Ко ~Ь За 1 -f Ко *f- За
5 -f а
1
А3 = а0 А2 >>Ч), если Дг>0, так как ао =
1 +Яо + За
1
1 -f Ко-~\~ За
>0.
167

Следовательно, оценка устойчивости системы сводится к определению знака
минора
(6 -|- 4а) (5 -}- а) — (1 -|- Ко 4~ За)
(1 4~ Ко + За)2
(5.72)
Система будет неустойчивой, если числитель выражения (5.72) отрицательный,
что соответствует неравенству Ко>29 + 23а + 4а2. Учитывая, что обычно а<§Н,
условием самовозбуждения данного КС-генератора является Ко>29.
Чтобы применить критерий устойчивости Михайлова, зададимся конкрет¬
ными параметрами схемы. Применим в схеме генератора транзистор типа
КПЗОЗБ, имеющий параметры: Ri = 8 кОм, S = 2 = 8 мА/В. Так как входное со¬
противление полевого транзистора более 1 МОм, то можно выбрать Кс=К =
= 110 кОм. Емкость С примем равной 4700 пФ. Оценим устойчивость системы
в двух случаях: а) крутизна транзистора S =
= 2мА/В и б) S = 8 мА/В. В первом случае (s =
= 2 мА/В) Ко =16; а3 = 1;
6	+ 4а
1 -j- Ко ~Т За
= 0,354; a i =
5 4- а
Г+ Ко 4- За
=0,294’
ао=. - „ , . =0,059.
1 4- Ко 4' За
Характеристический полипом Q(j£2) имеет вид:
Q (j Q) = — j Q3 — 0,354 Q2 + 0,294 j Q 4- 0,059,
(5.73)
где П = w CR.
В случае, когда S = 8 мА/В; Ko = 64; а3=1; а2 =
= 0,092; а, = 0,077; а0 = 0,015.
Характеристический полином Q(jQ) имеет вид:
Q (j Q) = — j Q3 - 0,092 Q2 + 0,077 j Q -f 0,015.
(5.74)
Годографы Михайлова согласно (5.73) и (5.74) по¬
строены на рис. 5.24. Поскольку в первом случае
A arg Q(jQ) =Зя/2, а во втором — AargQ(jQ) =
168

= —я, то система, описываемая выражением (5.73), является устойчивой, а опи*
сываемая выражением (5.74) — неустойчивой.
Чтобы воспользоваться критерием Найквиста, найдем передаточную функцию
Д"(со) р (со) разомкнутой системы, приведенной на рис. 5.25, а. Соответствующая
эквивалентная схема (рис. 5.25,6), в которой Ё3 = —KoUy Ra=RiRcl(Ri+Rc),
описывается системой контурных уравнений для комплексных амплитуд
(R9 + R+ 1/jco С) Л-/?/,= -Ko0lt
-Rit + (2R+ 1/j соС) /2 - R /3 = О,
— К/', + (2К+ 1/jco С)/; = 0,
. ., . U3	JQ 3К01
откуда К (со) Р (со) = — = _ . Q3 (1 + ^ _ Q2^- 4а) _|_ j q (5 + а) + 1 '
Рис. 5.25
Соответственно
IKPI
Q3K0
V( 1 — 6Q2)2 + Q2 (Q2 — 5)2
. . я	Q (Q2
arg К P = ~ + arctg fZTgQ2
51
Эти выражения получены в предположении а<С1.
На рис. 5.26 построены годографы Найквиста для параметров схемы, со¬
ответствующих рассмотренным выше двум случаям. Поскольку в первом слу¬
чае (S = 2 мА/В) точка пересе¬
чения годографа с действитель¬
ной осью лежит левее единицы,
а во втором случае (S =
' =8 мА/В) — правее единицы,
первая система является устой¬
чивой, а вторая —неустойчивой.
Г
т
ff-jlilT
Рис. 5.27
5.11.	Обратная связь в линейных цепях с задержкой.
Гребенчатые фильтры
Рассмотрим систему (рис. 5.27), состоящую из линейного че¬
тырехполюсника и идеальной линии задержки с передаточными
169

функциями соответственно /((оо) и e-J'“T, охваченную обратной
связью (Э(со) = 1).
В соответствии с (5.50) передаточная функция всей системы
.	(5.75)
где
Ui 1 — К (со) е-)шГ
К (ю) е_)шТ = К (со) ej [ф* (ш)_“г]
(5.76)
— передаточная функция разомкнутой цепи.
Из (5.75) находим выражения для амплитудной и фазовой ха¬
рактеристик фильтра с запаздывающей ОС
и
*рИ =
		#[(<»)
У 2/С (со) cos [ф^ (со) — соГ] + К} (со)
(5.77)
Фр И = Фк И —® т + arctg
К (со) sin [фЛ (со) — со Т]
1 — К (со) cos [фЛ (со) — соТ]
(5.78)
позволяющие исследовать передаточные характеристики фильтра
при любых Я (со).
Для выявления особенности амплитудно-частотной характерис¬
тики цепи с задержанной обратной связью найдем, пользуясь
формулой (5.77), ее значения на характерных частотах оогл-и и
«гft, когда полный фазовый сдвиг в кольце равен или кратен зс.
При ioo=co2ft+b когда
ФрКй+1) = [фкИ—<й'Т] = (2&+ 1)я, k = 0, 1,2,3,...
возникает отрицательная обратная связь и передаточная функция
/Ср (oo2fc+i) фильтра принимает минимальные значения
/Cp(oo2ft+1) = /C(co)/[1+/C(oo)].
При oo = o)2ft, когда
ФрКь) = [ФкИ — оо7’] = 2йя, k = 0, 1, 2, 3,...
возникает положительная обратная связь и передаточная функция
/(р (oo2ft) принимает максимальное значение
*pKft) = *(«o)/[l-*(«o)].
Чтобы исключить возможность самовозбуждения системы при
co = oo2ft, значения амплитудно-частотной характеристики разомк¬
нутой цепи на всех частотах не должны превышать единицы,
т. е. /С ('оо) < 1.
Значения /Ср (оо) на промежуточных частотах находятся по
формуле (5.77). На рис. 5.28 построены качественные амплитудно-
частотные характеристики /(р (оо) фильтра с задержанной обрат¬
ной связью при различных значениях /((оо). Характеристика
*Р (оо) имеет вид периодической функции частоты с резко выра¬
женными максимумами на частотах <ш=юо2й.
170

Фильтры с периодически повторяющимися частотными характе¬
ристиками получили название гребенчатых.
Частотный интервал Acoi между двумя соседними максимума¬
ми (или минимумами)
Дc^>1 = 2я/7, или Д/:1=1/71
обратно пропорционален времени задержки Т. Ширину полосы
2Дшс, определяемую по уровню 1/У~2 от каждого максимума ха¬
рактеристики, можно рассчитать по приближенной формуле
2Дюс « 2.1 —К(Ра)	(5.79)
1234567S3
Кп(0>)
Т 2Т 37 47 5Т
fVv,
С приближением величины /С(ю) к единице полоса пропускания
2Дшс быстро уменьшается. Однако с возрастанием К (а) резко
уменьшается запас устойчивости системы. Кроме того, следует
иметь в виду, что амплитудно-ча¬
стотная характеристика /С(ш) ре¬
альных систем убывает с ростом
частоты, что отмечено на рис. 5.28.
Расчет показывает, что незначи¬
тельные изменения величины
/С(со) вызывают резкое, особенно
при /С (со) —, изменение максиму¬
мов характеристики.
iiii
1111
1111
I I I	L
_Ц_
"f
J_LL
а)
б)
J	L
I КС
кскзЕ
б)
I I I I--L
Рис. 5.28
Г 27 37 47
Рис. 5.29
Таким образом, отличительной особенностью системы с задер¬
жанной обратной связью является квазипериодичность ее ампли-
тудно- и фазочастотных характеристик. Это приводит к специфи¬
ческим явлениям и во временной области.
Чтобы пояснить эти явления, воспользуемся формулой геомет¬
рической прогрессии
со
2	хп = 1/(1 —х) при |х| < 1
п=0
171

и представим общее выражение (5.75) в виде ряда
(со) = К (®) e-J'“r {1 + К И e“J“r + К (со)2 e~J2“r + ...}
= К (со) e~iaT + К И2 енавТ + К (со)3 e~i3“r + ...
откуда
02 = и1 к (со) ен“г + UiK (со)2 е_)2о)Г +... = f/if) * (со)" e-J'"“r.
П=1
(5.80)
(5.81)
т. е. комплексная амплитуда 02 выходного напряжения представ¬
ляется суммой комплексных амплитуд напряжений, последова¬
тельно циркулирующих в замкнутом кольце обратной связи один
раз — слагаемое [7iK(co)e“J'rar, два раза — слагаемое О iX
ХЛ(и>)2 е~‘2аТ и т. д. При этом каждая из составляющих этой
суммы задержана относительно предыдущей на время Т.
Выражению (5.80) соответствует импульсная характеристика
gp (t), которая определяется на основании соотношения (5.7):
(0 = -f- ]К И emi~T)dxo + -±-	(со)2 ei“<i-2r> d<o + ... =
—оо	— оо
_1_
2я
ОО	ОО
У, (со)" eJ“<(-"r) d<s>
(5.82)
и выражается суммой задержанных друг относительно друга им¬
пульсных характеристик п каскадно соединенных четырехполюс¬
ников (п= 1,2, 3, ...) с передаточными функциями к (со).
Полученный результат удобно проиллюстрировать частным при¬
мером, когда на систему с передаточной функцией четырехполюс¬
ника /((со) =К = const при 0<со<оо (широкополосная система с
задержкой) действует периодическая импульсная последователь¬
ность с периодом, равным задержке Т (рис. 5.29,а). Реакцией си¬
стемы на каждый элемент этой последовательности (£=1) явля¬
ется ее импульсная характеристика, имеющая согласно (5.82) вид
gp (t) = К S (t—Т) + К2 б (/— 2Т) + К3 б (t—ЗТ) + ...	(5.83)
Если значение К близко к единице (оставаясь меньше едини¬
цы), то можно воспользоваться соотношением [5]
1п/С = In [1 — (1— /С)] _«* — (1— К).
Тогда К--е1пК =е-<1-к),
Д-2 = е21п К ==е-2(1-Ю)
Поэтому можно считать, что коэффициенты при 6-импульсах, воз¬
никающих на выходе четырехполюсника через интервалы Т, убы¬
вают по закону е-<1_к)г/г, который определяется постоянной вре¬
мени гребенчатого фильтра, равной 7/(1—К).
Согласно (5.83) каждый входной импульс порождает затуха¬
ющую последовательность вида (5.83), как это показано на рис.
172

5.29,6—г (амплитуды импульсов приняты конечными). Суммируя
(по вертикали) показанные последовательности, получим в мо¬
менты t
II
J3
^ВЫХ	Of
t = T,
^ВЫХ = ЕЕ,
t = 2T,
мвых= Е (1 Н~ Е) Е,
II
00
ивых ^ Е (1 Н~ Е /С2) Е.
t = nT
ивых~ Е (1 + К + К2 + .
°°) ^вых
= ЕК/(\—К) (рис. 5.29,6)
Огибающая выходных импульсов нарастает по закону
(1—e~~(1-K>f/T), что свидетельствует о накоплении сигнала в гре¬
бенчатых фильтрах.
Гребенчатые фильтры широко применяются при обработке
(фильтрации) смеси конечной последовательности импульсных сиг¬
налов одинаковой формы («пачки» импульсов) и шума, позволяя
повысить отношение сигнал-помеха на выходе фильтра. Пиковые
значения спектра последовательности, имеющего также гребенча¬
тую структуру, при этом должны совпадать с максимумами ам¬
плитудно-частотной характеристики фильтра. Следовательно, ин¬
тервал между смежными пиками спектра должен быть равен ча¬
стотному интервалу Лен (или, что то же — период повторения
импульсных сигналов должен совпадать с временем Т задержки
в цепи обратной связи фильтра).
Вопросы для самопроверки
1.	Нарисуйте схему замещения безынерционного четырехполюс¬
ника для малых сигналов.
2.	Нарисуйте схемы замещения усилителя для низких, средних и
верхних частот и найдите коэффициенты передачи этих схем.
3.	Нарисуйте схему усилителя, охваченного обратной связью и
найдите его комплексный коэффициент усиления.
4.	Какие существуют виды обратной связи? От чего зависит ха¬
рактер обратной связи?
5.	Запишите дифференциальное уравнение, описывающее линей¬
ную систему п-то порядка.
6.	Как записывается в общем виде решение линейного дифферен¬
циального уравнения?
7.	От чего зависит характер свободной составляющей напряже¬
ния на выходе линейной системы?
8.	Запишите условие устойчивости линейной системы, поясните в
чем оно заключается.
9.	В чем заключается критерий устойчивости Гурвица?
10.	Поясните критерий устойчивости Михайлова.
11.	Поясните критерий устойчивости Найквиста.
12.	Нарисуйте структурную схему гребенчатого фильтра.
173

13.	Какой вид имеет амплитудно-частотная характеристика гре¬
бенчатого фильтра? Чем объясняется ее неравномерность?
14.	Чему равны фазовые сдвиги, создаваемые в кольце обратной
связи на частотах, .соответствующих пиковым значениям пе¬
редаточной функции Кр (ш) фильтра? Чем определяется час¬
тотный интервал между двумя соседними максимумами ха¬
рактеристики?
15.	Как определяется импульсная характеристика гребенчатого
фильтра?
16.	Поясните эффект накопления сигнала в гребенчатом фильтре.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
воздействие радиосигналов на нелинейные
УЗКОПОЛОСНЫЕ ЦЕПИ
Узкополосной системой будем называть частотно-избиратель¬
ную систему, для которой выполняется условие 2Дсо/соР>с1, где
2Дсо — полоса пропускания, а соР — резонансная частота избира¬
тельной цепи. Входное сопротивление ZBX такой системы отлично
от нуля в узком диапазоне частот соР±Дсо (рис. 6.1).
Нелинейный
\и2
	-о
Избиратель¬
ная
четырехполюсник
система
Рис. 6.2
При анализе устройств, состоящих из нелинейного четырехпо¬
люсника и частотно-избирательной нагрузки (рис. 6.2), обычно
допустимо учитывать только спектральные составляющие, лежа¬
щие в полосе пропускания узкополосной системы. При этом вы¬
ходная цепь нелинейного четырехполюсника заменяется линейной
схемой замещения с параметрами, зависящими от режима четы¬
рехполюсника.
6.1.	Схема замещения выходной цепи нелинейного
четырехполюсника, нагруженного на узкополосную цепь
Нелинейный четырехполюсник характеризуется системой двух
нелинейных уравнений
*1 = /l (М1> Ы2)>
Ч == f 2 (^1» ^ч)*
174

Считаем, что ток t2 («1, и2) содержит спектральную составляю¬
щую
hh К. иг) = 4s («1. и2) cos (coft / + <pft) = Re [Л^'К, ag)e,“*f],	(6.1)
где hk{u\, u2) =hh ei<pft r частота которой равна или близка к резо¬
нансной частоте нагрузки	Все остальные спектральные
составляющие тока лежат вне полосы пропускания избирательной
системы. Входное сопротивление для них равно нулю. Следова¬
тельно, напряжение и2 на выходе нелинейного четырехполюсника
будет гармоническим:
Щ = uik = uik cos К * + v'fc) = Re	eJ ‘ ].	(6.2)
где =
Амплитуда тока частоты сявляется функцией не только
входного, но и гармонического выходного напряжений. Это объ¬
ясняется тем, что амплитуда
выходного напряжения U2h зна¬
чительна, и нельзя не учиты¬
вать влияния этого напряжения
на составляющую тока, имею¬
щую ту же частоту. Комплекс¬
ную амплитуду тока i2u запи¬
шем в виде
hk(u1’u2k)
Рис. 6.3
^2fc (Ml> M2fc) — ^2ft eI'<Pft — ^2ft (Ml>	^ft (Ml> M2ft) ^2k-	(6.3)
Слагаемое l2h(ui, 0) в (6.3) представляет собой ток, зависящий
только от входного напряжения, а слагаемое Yh(u\, u2k)U2k учи¬
тывает уменьшение тока за счет реакции выходной цепи.
Из (6.3) определяем проводимость
Yh (у и ^ —	1(ui> 0) — ijk (ui ■ u2k)
О»
Существенно, что проводимость Yh(uu и2и) в общем случае яв¬
ляется функцией входного М\ и гармонического выходного u2k на¬
пряжений.
Амплитуды i2k(ui 0) и i2u(«1, u2k) токов определяются как
коэффициенты ряда Фурье:
hk («1. 0) = — ft2 («!, 0) е—,t0fe 1 d (oft /,
я -я
* Амплитуда и фаза спектральной составляющей (6.1) могут являться
медленными функциями времени hh(t) и <р&(<). Для простоты будем полагать
As=const и cp),=const.
175

1	31
^2fc (^1> ^2fc) =	^2ft) ^ ^ ditifrt-
П -Я
Уравнению (6.3) соответствует схема замещения выходной це¬
пи четырехполюсника по &-й гармонике,, изображенная на рис.
6.3,а.
Применив теорему об эквивалентном генераторе, перейдем к
последовательной схеме замещения (рис. 6.3,6), для которой
&=/*(«!, о)-4-, zh = -^~.
Параметры схем замещения на рис. 6.3 зависят от входного сиг¬
нала «I и амплитуды выходного гармонического колебания U2k и
могут считаться линейными при малых изменениях щ и U2k-
6.2.	Определение спектрального состава тока, протекающего
через нелинейное безынерционное сопротивление
I. Воздействие на нелинейное сопротивление постоянной и
гармонической составляющих напряжения
Пусть на нелинейное безынерционное сопротивление с характе¬
ристикой вида
i = f(u)	(6.4)
действует напряжение, содержащее постоянную Е0 и гармониче¬
скую составляющие
u — E0-\-Ucos(w0 Н-ф) = -£0 + UсоэФ(0,	(6.5)
где U — амплитуда входного напряжения; ф(^)=<в0^ + ф — мгно¬
венная фаза напряжения1; ср — начальная фаза входного сигнала.
Будем считать величины Е0, U и <р постоянными. Подставив
значение напряжения (6.5) в выражение для тока (6.4), получим
i = f(E0 + U соэФ).
Ток i является периодической четной функцией фазы Ф. Пред¬
ставим его рядом Фурье, содержащим только косинусоидальные
составляющие:
i = /0-f ДсоэФ-ф 72cos2® + ...	(6.6)
Значения амплитуд гармоник тока /0, /i,...,/„ определяются
по формулам для коэффициентов ряда Фурье:
j/(£0 + f/cos®)<i®,
—Л
/п = ^- j/(£0 + UcosФ) costФй?Ф.	(6.7)
л: —тт
1 В дальнейшем для сокращения записи обозначим фазу гармонического
колебания Ф, = юД-|-ср;. Получив требуемые .выражения в виде соотношения
фаз, легко перейти к соотношению частот. Например, выражению cos (2®! + ®2)
соответствует выражение cos [(2wt +«2)t + 2ф! + ср2]■
176

Из выражений (6.7) видно, что амплитуды гармоник тока не
зависят от фазы Ф. Следовательно, выражение (6.6) может быть
записано в виде
i =	U) + Ii(Eо- ^)cosO + /2(£0, 6/)cos2®+...	(6.8)
В теории почти периодических функций доказывается,- что вы¬
ражения (6.7) и (6.8) остаются справедливыми, если величины Е0,
У и ф есть медленные функции времени, относительные прираще¬
ния которых достаточно малы за время периода колебаний Т0=
= 2я/со0. Например, амплитуда напряжения является медленной
функцией времени, если выполняется условие
dU(t) _Го
dt U
е,
где е — достаточно малая положительная величина (е<^1).
При воздействии на нелинейный элемент колебаний с угловой
модуляцией, когда медленно изменяется только фаза <р, а величи¬
ны Е0 и U постоянны, амплитуды гармоник тока /„(£0, U) оста¬
ются постоянными.
При воздействии на нелинейный элемент амплитудно-модулн-
рованного колебания [/(^соэФ, когда амплитуда U (t) является
медленной функцией времени, амплитуды гармоник тока /„ так¬
же являются медленными функциями времени In[E0, U(t)].
При воздействии на нелинейный элемент медленно изменяюще¬
гося смещения E0(t) и высокочастотного колебания с постоянной
амплитудой U, амплитуды гармоник тока являются медленными
функциями времени In[E0(t), U],
Определение амплитуд гармоник тока при кусочно-линейной
аппроксимации характеристики нелинейного сопротивления. Опре¬
делим амплитуды гармоник тока, протекающего через нелинейное
сопротивление при кусочно-линейной аппроксимации характерис¬
тики (рис. 6.4а), если u—E0-\-Ucos Ф.
Вольт:амперная характеристика при аппроксимации двумя от¬
резками прямых имеет вид
10,	u<Ua,	к }
где S — крутизна характеристики, определяемая из треугольника
абв (рис. 6.4,а) по формуле S=Ai/Au.
Ha рис. 6.4,8 сплошной линией изображен импульс тока при
кусочно-линейной аппроксимации и штриховой линией — при ис¬
пользовании исходной характеристики. Из рис. 6.4 видно, что если
амплитуда напряжения достаточно велика, то погрешность при за¬
мене исходной характеристики отрезками прямых мала.
Введем понятие угла отсечки 0. Так называют половину части
периода, в течение которой через нелинейное сопротивление про¬
текает ток. Угол отсечки находят по формуле
cos Q = (Un-E0)/U,	(6.10)
которая следует из рнс. 6.4.
177

Из рис. 6.4 и выражения (6.10) находим максимальное значе¬
ние тока
*тах=5(£0 + £/ — Ua) = SU (1 —COS0).	(6.11)
Мгновенное значение тока на основании выражений (6.9) и
(6.5) запишется так:
• = (S^o + t/cosO—£/,,), u>UR,
1	0,	u<UB.	( ' '
Амплитуды гармоник тока определяют по формулам (6.7), в
которые вместо функции f(u) подставляют ее значение (6.12).
Постоянная составляющая тока
J0 = -~	=	(S (Е0 + U cos Ф— U„) d Ф.
zn _я	in _Q
Интегрирование ведется в интервале (—6, 6), так как только
в течение этой части периода протекает ток. В интервалах от —я
до —0 и от 0 до я функция f(u)— 0.
Выполняя интегрирование, находим
70—	(Е0	£/н) -\ sin 0.
Я	я
Воспользовавшись (6.10)к получим формулу для расчета по¬
стоянной составляющей тока через амплитуду входного напряже¬
ния U и угол отсечки 0
07/
Io = — (sin 6—0cos0) = .S£/yo(0),	(6.13)
где Yo (9) =
sin 0 — 0 cos 0
я
178

Иногда удобно выразить амплитуды гармоник тока через мак¬
симальное значение тока imax- Подставив в (6.13) значение SU,
найденное из (6.11), выразим /0 через imах и угол отсечки 0:
sin 8 — 8 cos 8
я (1 — cos 0)
г'тах (®)>
(6.14)
где
ао(0) =
sin 0 — 0 cos 0
я (1 — cos 0)
Амплитуды других гармоник, найденные аналогично, равны
/х=	(0—sin 0 cos 0) = SU Yi(9),
Я
(6.15)
где
или
/Q.	0 — sin 0 cos 0
Yi (0) =
h
^max
0 — sin 0 cos 0
я (1 — cos 0)
i max (®)>
(6.16)
In
2SU sin n 0 cos 0 — n cos и 0 sin 0
я	n(n2 — 1)
= SU Yn (0)(n = 2,
3,...)
(6.17)
ИЛИ
/
71
2 imax sin я 0 cos 0—я cos я 0 sin 0
я	я (я2 — 1) (1 —COS0)
*"max®n(®)> (Б 3, ...).
(6.18)
Коэффициенты a„ и yn определяются только углом отсечки.
Зависимость коэффициента уп от 0 показывает, как изменяется
амплитуда n-й гармоники тока, если амплитуда входного сигнала
постоянна, а угол отсечки изменяется за счет изменения смеще¬
ния Е0.
Зависимость коэффициента ап от угла отсечки показывает, как
изменяется амплитуда n-й гармоники тока, если высота импульса
тока imax постоянна, а угол отсечки изменяется за счет изменения
амплитуды входного сигнала и смещения.
Коэффициенты ап и уп связаны соотношением а„ (0) =
= Yn(0)/(l—cos0).
Коэффициенты ап и уп как функции угла отсечки для n=0, 1,
2, 3 приведены соответственно на рис. 6.5,а, б. Зависимости ап(0)
называют коэффициентами Берга.
Для получения наибольшей амплитуды желаемой гармоники
необходимо обеспечить оптимальный угол отсечки. Так, из графи¬
ков на рис. 6.5 видно, что вторая гармоника имеет максимальную
амплитуду тока при 0 = 60°, если постоянно максимальное значе¬
ние тока imax и при 0=90°, если постоянна амплитуда входного
напряжения U.
Таким образом, для расчета амплитуд гармоник тока при ку¬
сочно-линейной аппроксимации характеристики необходимо знать
179

угол отсечки 0 и максимальное значение тока гтах или крутизну
S и амплитуду входного напряжения U.
Определение амплитуд гармоник тока при аппроксимации ха¬
рактеристики нелинейного сопротивлений степенным полиномом.
Аппроксимация характеристики степенным полиномом применяет¬
ся при малых амплитудах колебаний, когда кусочно-линейная ап¬
проксимация приводит к большим погрешностям.
Разложим правую часть выражения (6.4) в ряд Тейлора в точ¬
ке и=Е0 относительно приращения (и—Е0):
i = f{u) = a0 + a1(u— Е0) + а2(и —Е0)2 + ...	(6.19)
Коэффициенты й0, аи йг, ■ ■ ■ определяют по формулам для ко¬
эффициентов ряда Тейлора
а0 = /(ы) при и = Е0,	(6.20)
1 dk f (и)
k\ duk
при и = Е0 (£ = 1,2,...).	(6-21)
Из выражений (6.20) и (6.21) видно, что ао — значение тока
h в рабочей точке, а\ — крутизна характеристики в рабочей точке,
a au—{k—1) -я производная крутиз-
fl+1 ны в рабочей точке, взятая с коэф¬
фициентом 1/£!
Часто характеристика нелинейно¬
го элемента задана графически. При
этом пользуются графическими спо¬
собами нахождения коэффициентов
ак. Согласно одному из них на ха¬
рактеристике i = f(u) (рис. 6.6) необ¬
ходимо взять (/+1) точку и соста-
вить (/+1) уравнений вида
Рис. 6.6
h — ао~Ь ai (ui Е0) -j- а2 (ц, —Е0)2	+ Я; (и1—Е0)1,
h = ао Jrai (и2	Е0) а2 (и2—E0f + ... + й/ (и2—Е0)\
li+i — й] (йг^.х £’0)-фа2 (ui-^.1	Е0)2 ~Т ... -f-	(Ui+1—E0) \
180
’ (6.22)

где i\, t2, ..., ii+1 — значения токов при напряжёниях, соответст¬
венно равных U\, м2,	Ш+1-
Решая систему уравнений (6.22), определяем коэффициенты
а0, а\, ..., щ полинома, который в (Z + 1) точках совпадает с за¬
данной характеристикой нелинейного сопротивления.
Если известен полином, аппроксимирующий нелинейную харак¬
теристику в точке Е'о, то можно найти полином, аппроксимирую¬
щий эту характеристику в любой заданной рабочей точке £0. На¬
пример, пусть характеристика i=f(u) задана полиномом 3-й сте¬
пени относительно точки Е'0:
i = b0 + b1(u—E'Q) + b2 (м—Е'о)2 + Ь3 (и — Е'о)3.
Требуется найти аппроксимирующий полином в точке £0:
I = а0 + ах (м—Е0) + а2 (и—£0)2 + а3 (и — £0)3 + ...
Коэффициенты последнего найдем согласно (6.20) и (6.21):
«о = / (£о) = К + К (£0—Е'о) + Ь2 (£0—Е'о)2 + h (Е0—Е'о)3»
ai ~ f (Ео)= Н~ 2Ь2 (£0	£ о) Н~ 6Ь3 (£0	£ о)2>
а2= рр / (Ео)= “г 6Ь3 (Е0	£ о) 1
а3 = тр Г (£°) = К
а4 = ^Г(Ео) = °-
(6.23)
Степенной полином в точке £0 запишем в виде
I = а0 + ах (и — £0) + а2 (и —£0)2 + а3(а—£0)3,	(6.24)
где коэффициенты а0, аь а2 и аз найдены по формулам (6.23).
Точность аппроксимации нелинейной функции /(а) степенным
полиномом зависит от числа его членов и увеличивается с ростом
их числа.
Подставив в ряд (6.19) значение и (6.5), получим
t = а0 + ах U cos Ф -f а2 U2 cos2 Ф -f ...	(6.25)
Воспользовавшись формулами тригонометрии
cos2 Ф = — 4- — cos 2Ф,
2 ' 2
cos3 Ф = — cos Ф + — cos ЗФ,
4	4
cos4 Ф = — -f — cos 2Ф -f — cos 4Ф,
8 2 8
преобразуем ряд (6.25), приведя его к ряду Фурье:
i = /0 + /х cos Ф + /2 cos 2Ф + ...
181
(6.26)

(6.27)
Амплитуды гармоник тока при этом равны:
h — ao-^ — a2^2Jr~	...
I1 = aiU+ -^a3U3+YabU6+...	(6.28)
4 = ^-«ги2 + ~аАи*+ ...	(6.29)
4 = -j-a3^3 + — <*bUb+ •••	(6.30)
Из выражений (6.27) — (6.30) видно, что постоянная состав¬
ляющая и амплитуды четных гармоник тока зависят только от
"четных членов разложения а0, а2(и~Е0)2, а4(ы—£0)4,... ; ампли¬
туды нечетных гармоник — от нечетных членов разложения а\(и—
—Е0), а3(и—Е0)3,. ..
Амплитуда я-й гармоники зависит от членов разложения по¬
рядка я и выше и не зависит от членов разложения с порядком,
меньшим я. Например, амплитуда 5-й гармоники /5 зависит от
членов разложения а5(я—£0)5, а7(и—Е0)7, а9(ы—£0)9,. . . и не за¬
висит от членов разложения а\{и—£0), а3(и—Е0)3.
При степенной аппроксимации гармонический состав тока за¬
висит от вида полинома. Наивысшая гармоника в спектре тока оп¬
ределяется наивысшей степенью полинома. Каждый k-я член по¬
линома дает гармоники с номерами k, k—2 и т. д. до 0 или 1.
Графическое определение амплитуд гармоник тока. Амплитуды
гармоник /о, /1, /2 могут быть определены графически (рис. 6.7).
Ток, протекающий при максимальном значении напряжения и—
=Е0+и согласно (6.19), равен
h = f(E0 + U)^a0 + a1U + a2U2 + a3U3+...	(6.31)
Ток, протекающий при минимальном значении напряжения
и=Е0—U, равен
h~f (^0— U) = ao—axlJ-\-a3U'1—a3U3-\-...	(6.32)
Вычитая из (6.31) выражение (6.32), получаем
*i—4 = 2(0!U + a3U3+ ...)
или	(г'х—г2)/2 = ах U + а3 U3 + ...	(6.33)
Сравнивая (6.33) с выражением для амплитуды первой гармо¬
ники тока (6.28), видим, что если характеристика i=f(u) аппрок¬
симируется полиномом, не содержащим члены a3U3, a3U5,..., то
амплитуда первой гармоники тока в точности определяется выра¬
жением
/х — (гх га)/2.
(6.34)
При наличии членов a3U3, a3U5,. . . формула (6.34) становится
приближенной.
182

Складывая выражения (6.31) и (6.32), получаем
i1 + i2 = 2(a0 + a2U2 + aiUi+...),
откуда
у	—а°) = уа2£/2+—а4 £/*+...	(6.35>
Из сравнения (6.29) и (6.35) видно, что если характеристика
i=f(u) аппроксимируется полиномом, не содержащим членов;
а^и4, a6U6, . . ., то вторая гармоника тока
При наличии членов aiUi, a^U6,. .., выражение (6.36) являет¬
ся приближенным.
Прибавляя к правой и левой частям (6.35) величину а0, нахо¬
дим
ао + у (Чу —= а0+ у а2 U2 + -L а4 U*+ ...	(6.37),
Ha основании (6.27) и (6.37) получаем приближенную форму¬
лу для определения постоянной составляющей тока
Io = a0 + ±(±til~a0J = a0 + I2.	(6.38>
На рис. 6.7 показано графическое определение амплитуд гар^
моник /1, /2, /0 в соответствии с формулами (6.34), (6.36) и (6.38).
Удвоенная амплитуда первой гармоники равна разности макси¬
мального й и минимального ,i2 значений тока. Удвоенная амплиту¬
да второй гармоники есть разность среднего значения токов ц и.
й (ордината точки б) и тока в отсутствие переменного напряже¬
ния а0. Постоянная составляющая тока равна сумме тока покоя
а0 и амплитуды второй гармоники.
II. Воздействие нескольких гармонических напряжений на не¬
линейное сопротивление при аппроксимации его характеристик»
степенным полиномом
Пусть напряжение, действующее на нелинейное сопротивление
с характеристикой (6.4), содержит постоянную и сумму гармони¬
ческих составляющих с разными частотами
и = Е0 + U1 cos Фх + U2 cos Ф2 + U3 cos Ф3 + ... + Un cos Фп.	(6.39>
Подставив это напряжение в ряд (6.19), получим
i = a0 + аг (U1 cos Фх + U2 cos Ф2 +... + Un cos Фп) +
+ а2(и1со5Ф1 + и2со$Ф2+ ... +UncosФп)2 + ...
Ограничимся вначале рассмотрением случая воздействия двух;
гармонических напряжений на нелинейное сопротивление при ап-
183

проксимации его характеристики тремя первыми членами разло¬
жения
i = а0 -f ау (U1 cos Фх U2 cos Ф2) + a2 (U1 cos Фх U2 cos Ф2)2.
Возведя третий член разложения в квадрат и произведя
сложные тригонометрические преобразования, получим
i = а0 -f	й2 (U\ ф- U22) + flj Uy cos Фх L'2 cos Ф2 -f
не-
2
+ -
— a2 U21 cos 2ФХ — a2 ir. cos 2Ф2
+ a2 Ux U2 cos (Фх + Ф2) + a2 Ul U2 cos (Фх—Ф2).	(6.40)
Из (6.40) видно, что ток, кроме постоянной составляющей и
первых гармоник, содержит вторые гармоники, а также состав¬
ляющие с суммарной и разностной частотой.
В табл. 6.1 приведен гармонический состав тока при воздейст¬
вии постоянной составляющей и трех гармонических напряжений
u=£0+Hicos Ф1 +£/2cos Ф2+Нзсоэ Ф3 на нелинейное сопротивле¬
ние, характеристика которого аппроксимируется полиномом треть¬
ей степени i=a0-\-a\{u—Е0) +а2(и—£0)2+аз(«—Е0)3. При опреде¬
лении частоты и фазы колебания не¬
обходимо учитывать, что cos(—Ф) =
= cos Ф, т. е. в случаях, когда полу¬
чается отрицательная частота, сле¬
дует изменить знак разности частот
спектральных составляющих на об¬
ратный п при этом обязательно из¬
менить знак разности фаз.
In (и)
ill А
о ш1	/ щ а>0щ 1-1
h
Ь
/2Ш0 2и>0+и>/
2(il0-u)f
Рис. 6.8
30)^ О)
Из (6.40) и табл. 6.1 видно, что спектр тока, кроме постоянной
составляющей и гармоник, содержит еще комбинационные часто¬
ты вида
± (Вг ± п2 со2 ± щ со3 ±... ± п1 сог,
где п\, ti2, п3,... , tii — целые числа (0, 1, 2, 3, ... ).
Число N=п\-\-П2-\-Пз~\- . . . -{-щ называют порядком комбинаци¬
онной частоты. Например, частота (3coi+0co2—0J3), для которой
184

Таблица 6S1
Член разложения
Фазы колебаний
Амплитуды колебаний
Оо
0
ао
аг(и — Е0)
a1U1
Ф2
aiU2
Ф3
аги3
а2(и — £0)2
0
l-a2(U\ + U22 + U23)
2ФХ
— a2U21
2 2 1
2Ф2
~ a2U22 .
2Ф3
~ a2U23
Фх ± Ф2
®1 ± Ф3
a2UtU3
Ф2 ± Ф3
&2U2U3
а3 (и — £0)3
®1
а3
|у3х+ f (U^+U^uA
'33 1
Ф2
а3
-(/32+-№+ед
Г 3 3 1
Фз
аз
JU\ + -(U\ + U\)U3
3®!
1/4 a3U\
ЗФ2
1/4 a3U\
ЗФ3
1/4 a3U33
2ФХ ± Ф2
3/4 a3U2jU2
2Фг + Фз
3/4 a3U2yU3
2Ф2 ± Ф3
3/4 a3U22U3
2Ф2 ± Фх
3/4 asi'2^,
2Ф3 ± Фх
3/4 a3U23U1
2Ф3 ± Ф2
3/4 a3U23U2
Ф^ Ф2 “Ь Фз
3/2 CI3U1U2U2
Ф1 + Фг — Фз
3/2 a3UtU2U3
®1 — Ф2 + Фз
3/2 a3U]UJJ3
— Фг Фг Фз
3/2 ci^UiU%U3
фх—ф2—ф3
3/2 a3UJJ2U3
— — Ф2 —1~ Ф3
3/2 CI3U-JJ2U3
— ф^ —|— Ф2 — Ф3
3/2 a3UJJ2U3
185

iV=3-|-0-|-l=4, является комбинационной частотой четвертого по¬
рядка.
Термин порядок частоты применим и к гармоникам. Так, п-ю
гармонику считают комбинационной частотой п-го порядка.
Можно установить следующие закономерности образования
комбинационных частот:
1)	от члена а&(ы—E0)k образуются составляющие тока со все¬
ми возможными комбинационными частотами порядков k, k■—2,
k—4 и т. д. до 1 или 0;
2)	от членов четных степеней получаются комбинационные
частоты четных порядков;
3)	от членов нечетных степеней получаются комбинационные
частоты нечетных порядков.
Например, член ai(u—£0)4 при воздействии двух гармониче¬
ских напряжений с частотами оси и ш2 дает составляющие тока с
комбинационными частотами четвертого порядка, равными 4соь
4ш2, Зй2±соь 3o)i±o)2, 2o)i±2co2; второго порядка, равными 2о)ь
2й2, coi±co2 и постоянную составляющую.
III.	Воздействие на нелинейное сопротивление суммы гармо¬
нического напряжения с большой амплитудой и нескольких гармо¬
нических напряжений с малыми амплитудами
Определим спектр тока при воздействии на нелинейный эле¬
мент с характеристикой i=f{u) смещения Е0, большого колеба¬
ния U cos (шо^+ф) =U cos Ф и малого колебания А и:
ы =	£/cos®-f Ды.	(6.41)
Малое колебание может быть суммой гармонических колебаний с
малыми амплитудами AU, и фазами Ф3 = о)^+ф;.
Ограничимся случаем, когда А и есть сумма двух гармониче¬
ских колебаний
Ды = A?/1cos01 + Af/2cos02.	(6.42)
Запишем (6.41) в виде
u = E0(t)-\- А и,	(6.43)
где E0(t) = £0 + НсоэФ.
Подставим (6.43) в (6.4) и разложим правую часть (6.4) в ряд
Тейлора относительно малого напряжения Ды в точке, определяе¬
мой напряжением E0(i). Поскольку Ды мало, отбросим члены раз¬
ложения, содержащие Ды в степени выше первой. Получим
i = f[E0(t)] + ^-	А и.	(6.44)
du u—Ea(t)
Выражение (6.44) показывает, что ток через нелинейное со¬
противление состоит из двух слагаемых: t=to(i)-fAt. Составляю-
186

щая i0(t) является результатом действия основного (большого)
колебания E0(t) и не зависит от малого колебания Аи\
h (0 — f [£о (01 ~ f [Eq + U соэФ].
Второе слагаемое
д г-=	Au=Y3(i)Au	(6.45)
du u=B0(t)
определяет добавочный ток Д£, протекающий через нелинейное со¬
противление под действием малого напряжения Ди при наличии
основного напряжения (Е0-\- И cos Ф).
Поскольку Ди входит в (6.45) в первой степени, это уравне¬
ние линейно. Коэффициент пропорциональности, связывающий At
с Дц, имеет размерность проводимости и изменяется во времени,
так как зависит от большого сигнала E0(i). Следовательно, па
отношению к малому напряжению нелинейное сопротивление ве¬
дет себя как линейный элемент с переменной проводимостью-
Уэ(0- К таким элементам применим принцип суперпозиции.
Проводимость Yg(t) является периодической функцией аргумен¬
та ф и может быть представлена рядом Фурье
Кэ (t) = Y0srY1 cos Ф + Y2 cos 2Ф + ...	(6.46)
Здесь
Y0=~ ^f' (Е0 +UcosФ)dФ,
271 —ТС
Kn = — if' (£■„-|-Н cosФ) соэпФ^Ф.	(6.47)
п -я
На основании (6.42) и (6.46) получаем
Д£ = (К0 Yt cos Ф + Y2 cos 2Ф + ...) Д и =
= (К0 + Yx cos Ф + Y2 cos 2Ф + ...) (Д Ux cos Фх + Д U2 cos Ф^ =
= Y0 (Д Ul cos Фх + Д U2 cos Ф2) +
+ ~ Yt [Д иг cos (Ф + Фх) + Д иг cos (Ф—Фх)] +
+ — Y1\AU2 cos (Ф-(-Ф2) Д U% cos (Ф—Ф2)]
+ -L Y.2 [А их со* (2Ф + Фх) + Ди, cos (2 Ф -Фх)] +
+ у Y2 [Д U2 cos (2Ф+ Ф2) + Д U2 cos (2Ф — Ф2)] + ...
Из этого равенства видно, что в спектре дополнительного тока
содержатся лишь первые гармоники частот со, малых колебаний,
входящих в Ди, а также комбинационные частоты вида na>0±(i>j,
где п принимает целые значения; коэффициент при со3- равен еди¬
нице.
187

На рис. 6.8 показан спектральный состав результирующего то¬
ка для случая coi<Ccoo и А^2 = 0 при вольт-амперной характеристи¬
ке, аппроксимированной полиномом третьей степени.
6.3.	Резонансный усилитель
Резонансный усилитель применяется для усиления сигналов с
узким спектром частот, лежащих в полосе пропускания резонанс¬
ной системы. Подобный усилитель может использоваться как поло¬
совой фильтр, выделяющий из широкого спектра входного сигна¬
ла узкий спектр, соответствующий полосе пропускания.
Спектр выходного узкополосного сигнала при идеальном уси¬
лении должен с точностью до масштабного коэффициента повто¬
рять спектр входного узкополосного сигнала. Следовательно, для
усиления может быть использована линейная система. Однако при
работе усилителя в линейном режиме постоянная составляющая
тока всегда значительно больше полезной переменной составляю¬
щей и коэффициент полезного действия . (КПД) мал. Для повы¬
шения КПД системы целесообразно работать с отсечкой тока, т. е.
использовать нелинейный участок характеристики i(u).
Учитывая, что нагрузкой нелинейного элемента является резо¬
нансная система, настроенная на первую гармонику тока, в ряде
задач можно учитывать только ее и не учитывать остальные гар¬
моники. Важной характеристикой резонансного усилителя, учиты¬
вающей только первую гармонику, является колебательная харак¬
теристика. Колебательной характеристикой называется зависи¬
мость амплитуды первой гармоники тока нелинейного элемента от
амплитуды входного напряжения
h(U). Для работы резонансного
усилителя без нелинейных иска¬
жений необходимо,чтобы колеба¬
тельная характеристика в рабочем
диапазоне изменений входного
сигнала была линейна. Из выра¬
жений (6.10), (6.15) и (6.28) сле¬
дует, что линейность колебатель¬
ной характеристики обеспечивает¬
ся при большом входном сигнале,
если угол отсечки 0 равен л/2,
о
-О и и
Рис. 6.9
188

а при малом сигнале, если в полиноме отсутствуют нечетные сте¬
пени разложения, кроме а\ (а3 = а5= . . . =0).
Рассмотрим схему усилителя на транзисторе с общим эмитте¬
ром (рис. 6.9), когда на входе действует постоянное смещение Е0
и гармонический сигнал с частотой ш0 : е=Е cos ш<Д
Определим схему замещения коллекторной цепи транзистора,
когда последний работает в активной области и в области отсеч¬
ки, без захода в область насыщения. Считаем, что резонансный
контур настроен на частоту входного сигнала сор=щ0.
Временные диаграммы напряжения на базе Иб.э, тока базы г'б,
тока коллектора г'к и напряжения на выходе ик изображены на
рис. 6.10а—г соответственно.
При большом входном сигнале применяем кусочно-линейную
аппроксимацию характеристики базовой цепи (рис. 6.11). В пер¬
вом приближении пренебрегаем влиянием напряжения на коллек¬
торе на базовый ток. При этом
г’б —
. (иб.Э
б.Э
-t/H), Мд.э >
0,
или
(Е0 + Е cosa>0t— UH), ибэ^ин,
гб= Яо.э
{	0,	аб.э<Пн,
где сопротивление в цепи базы Дб.э=Д«б.э/Дг'б определяется по
характеристике г'б(«б.э) (рис. 6.11)‘к
Для коллекторной цепи также используем кусочно-линейную
аппроксимацию (рис. 6.12):
гк~Рг'б + _д ию	(6.48)
где р = Дг,(/Д/б — коэффициент передачи тока транзистора; Ri —
= A«K/AiK— выходное дифференциальное сопротивление коллек¬
торной цепи.
Параметры р и Ri определяем по характеристикам транзистора
(рис. 6.12).
Найдем коллекторный ток при нулевой переменной составляю¬
щей напряжения на выходе
, л\	(^0+^COSCOoZ1—UH), иб э > t/H,
tK(« 6.3, °)= *б.э
(	^б.Э^^Н-
* Записанное выражение для тока базы is и все последующие формулы
для токов is и ;к в § 6.3 и 6.4 справедливы, если пренебречь сопротивлением
Rs. В противном случае ток is следует рассчитывать, пользуясь графоанали¬
тическим методом.
189

Амплитуда первой гармоники коллекторного тока t„i (ыб.э, 0) со¬
гласно (6.15) равна:
Ли («б.». 0) = -J— £Vi(9).	(6.49)
Аб.э
где cos 6= (UH—Е0)/Е\ 6 — угол отсечки.
Определим коллекторный ток при гармоническом напряжения
на коллекторе с амплитудой UK, противофазном входному напря¬
жению (см. рис. 6.Юг). Импульс коллекторного тока под действи¬
ем гармонического напряжения на коллекторе согласно (6.48)
уменьшается на величину — UKcos ш0^
Rj
*к (иб.э> wK) —
(^o + ^COSO),, t — U„)	^ cos ш01, иб.э > ин,
Аб.Э	Hi
Амплитуда первой гармоники коллекторного тока iKl (ыб э, ик)
где cos 0 =
/к! (иб.Э> ^к)
U а — Ец
Ук
E~(R6^Ri)UK
■'б.э
Ua-E0
Ri
Yi (0)-
(6.50)
Выражению (6.50) соответствует схема замещения выходной
цепи транзистора по первой гармонике (рис. 6.13). Она содержит
генератор тока с амплитудой IKi(u§.a, 0) = Eyi (0) и внутрен-
^в-э
нее сопротивление по первой гармонике Eu — Ri/yi (0).
J^K
Избиратель¬
ная
нагрдзна
Рис. 6.13
190

Амплитуду напряжения на выходе найдем, используя схему за¬
мещения (рис. 6.13)
<4=4i (ыб.э> 0) (^?pll^?ii)>
где i?p=Qp — резонансное сопротивление контура.
При неточной настройке контура на частоту входного сигнала
((ор=Фа>о) сдвиг по фазе между входным и выходным напряжени¬
ем отличается от 180°. Это природит к сдвигу по фазе между тока¬
ми гК1 (Мб.э, 0) и Iki (нд.э, ик). Сопротивление Rn становится комп¬
лексным.
6.4.	Резонансные умножители частоты
В радиотехнических устройствах часто возникает задача умно¬
жения частоты гармонического колебания.
При подаче на вход умножителя колебания е=Е cos (ш0^+ф)
с частотой о)0 и начальной фазой ф на выходе получаем колебание
с частотой и фазой в п раз большими
и —U cos (п ш0 / -j- п ф).
С помощью резонансного умножителя частоты можно увели¬
чить индекс модуляции и девиацию частоты ФМ и ЧМ колебаний.
Действительно, при подаче на вход умножителя ЧМ (ФМ) коле¬
баний
е = Е cos [£o0/ + msin(Q/-j-i]))]
на выходе получаем колебание
u = U cos [na>0t + nm sin (Ш + ф)],
в котором индекс модуляции пт и девиация частоты птО, в п раз
больше их значений на входе.
Умножение получается в резонансном усилителе (см. рис. 6.9)
при настройке контура на частоту га-й гармоники входного сигна¬
ла. Здесь транзистор работает в нелинейном режиме, поскольку
для умножения частоты необходимо преобразование спектра —
создание новой составляющей с частотой т.о0, которая отсутствует
во входном сигнале.
Временные диаграммы входного напряжения е, тока базы гф,
тока коллектора iK и напряжения на коллекторе ик для коэффи¬
циента умножения п — 3 приведены на рис. 6.14.
Для получения значительной амплитуды тока п-й гармоники
на вход умножителя частоты подается напряжение с большой амп¬
литудой. При этом следует использовать кусочно-линейную ап¬
проксимацию характеристик базовой и коллекторной цепей тран¬
зистора (см. рис. 6.11 и 6.12). При такой аппроксимации ток базы
запишется в виде
.	("р 4б.э ия), Иб.э ^ ия,
*б = | *б.э
I 0,
191
ыб.э < UH-

Подставляя в последнее выражение входной сигнал е, получим
[-гг— (£o + £cosco0£
*б = { *б.э
[о,
^н). «б.Э > ^н>
«б.э< Uu,
где .i?6.3=Аиб.э/Аг'о определяем по базовым характеристикам тран¬
зистора (см. рис. 6.11).
Коллекторный ток найдем из выражения
Й Р /д -)- Ы,
Ri
где р=Лгк/Аг’б и Ri — AuK/AiK определяем по коллекторным харак¬
теристикам (см. рис. 6.12).
Найдем коллекторный ток при нулевой переменной составляю¬
щей напряжения на выходе
М«б.э, 0):
р— (Ео + Е cos со0t—U„),
'б.э
о
«б.Э > UH,
«б.э<£/„.
Амплитуда п-й гармоники кол¬
лекторного тока
4п («б.э 0) -= Е уп (0),
''б.э
где уп (Э) — коэффициент, завися¬
щий только от угла отсечки 0:
cos 0 --- (Un— Е0)/Е.
Определим iK при гармониче-
:ком напряжении на коллекторе
с амплитудой Uu, противофазном
входному напряжению, используя
выражение (6.48):
з-“к)
"1
—п
г
ГК
Г-
с-2
	II
Рис. 6.15
К (Иб.Э» ^к)
тК (Е0 + Е cosa0t
пб.э
0,
^н)-
Ri
Uк COS П СО0 t, иБ_э > Uи
192
«б.э < UH.

Проведя гармонический анализ Последовательности таких им¬
пульсов, получим амплитуду п-й гармоники коллекторного тока
4п(ыб.э, UK) = J-EYn(0) - -^-Yi(«0).	(6.51)
nRi
где cos'0=s(t/K—E0)/E, если не учитывать реакции выходной цепи.
Обозначим Rin=nRi/yi(nQ) — внутреннее сопротивление выход¬
ной цепи по л-й гармонике.
На рис. 6.15 изображена схема замещения умножителя частоты
на л, полученная на основании выражения (6.51). Используя схе¬
му замещения, запишем амплитуду напряжения на выходе
Максимальное напряжение на выходе умножителя частоты име¬
ет место при максимальном значении амплитуды л-й гармоники
тока /кп(Ыб.э, 0). Наибольшая амплитуда тока л-й гармоники по¬
лучается при оптимальном угле отсечки и при максимальном им¬
пульсе тока, который может дать транзистор.
Оптимальный угол отсечки определяется по формуле, получен¬
ной из графиков коэффициентов Берга (см. рис. 6.5,6) :
0ОПТ= 120°/л.
При больших л оптимальный угол отсечки становится малым.
Так, при коэффициенте умножения л=10 оптимальный угол от¬
сечки равен 12°. Обеспечить режим работы транзйстора с таким
углом отсечки трудно, так как на его вход необходимо подать на¬
пряжение с очень большой амплитудой.
С увеличением коэффициента умножения амплитуда л-й гар¬
моники тока /кп быстро убывает. Поэтому обычно применяют кас¬
кады с коэффициентом умножения не более пяти.
Если требуется получить большой коэффициент умножения, то
используют последовательное включение нескольких каскадов ум¬
ножителей.
В изложенном методе исследования не учитывается влияние
(л±1)-й (л±2)-й, (л±3)-й и т. д. гармоник тока на выходное
напряжение. Это позволяет сравнительно просто определить 0ОПт,
найти амплитуду и фазу выходного напряжения умножителя. При
этом на выходе умножителя получаются синусоидальные колеба¬
ния с постоянной амплитудой. Однако осциллограммы, получен¬
ные при экспериментальном исследовании умножителей (рис.
6.16), показывают, что на выходе умножителя имеют место коле¬
бания, модулированные по амплитуде. Кроме того, фаза колеба-
7—100	193

ний на выходе умножителя при неточной настройке контура, на
п-ю гармонику (юр=^пюо) также модулирована. Эти явления не
находят объяснения при анализе изложенным методом вследствие
пренебрежения влиянием отброшенных гармоник тока.
Рассмотрим физику этого явления с других позиций. Контур
умножителя частоты, который обладает сравнительно высокой
добротностью, находится под действием коротких импульсов кол¬
лекторного тока, приходящих с частотой юо. В интервале времени
между импульсами коллекторного тока транзистор закрыт и в
контуре происходят свободные колебания с частотой, близкой к ре¬
зонансной юр, и амплитудой, уменьшающейся по экспоненциально¬
му закону:
ин = UK e~a(t_f«) cos (юр t + ф),
где to — момент окончания импульса тока; UK, ср — амплитуда и
фаза колебаний в момент окончания очередного импульса тока,
действующего на контур; a=©p/2Q — коэффициент затухания.
Отлнчие резонансной частоты от частоты июо приводит к из¬
менению фазы.
Действие очередного импульса тока на контур эквивалентно
толчку, который несколько увеличивает амплитуду и «подправля¬
ет» фазу колебаний. В стационарном режиме приращение ампли¬
туды под действием толчков точно компенсирует уменьшение амп¬
литуды вследствие затухания, и приращение фазы за время дейст¬
вия импульса компенсирует отклонение фазы, которое происходит
за время между импульсами. В результате амплитуда напряже¬
ния на контуре умножителя оказывается модулированной по пи¬
лообразному закону, что соответствует экспериментальным осцил¬
лограммам.
6.5.	Ограничители амплитуды
Ограничители амплитуды преобразуют колебания с изменяю¬
щейся амплитудой e=£,(/)cos[rao^+cpi(^)] в колебания той же
частоты с постоянной амплитудой «=[/cos[<o<^+(p2(0]-
Ограничители амплитуды применяются в ряде радиотехниче¬
ских систем, например, для стабилизации амплитуды ЧМ или ФМ
сигналов на входе частотного или фазового детекторов.
О	качестве амплитудного ограничителя судят по его характе¬
ристике ограничения — зависимости U=f(E) амплитуды напря¬
жения на выходе U от амплитуды входного напряжения Е. На
рис. 6.17 штриховой линией изображена идеальная характеристика
ограничителя амплитуды, а сплошной линией — реальная. При
напряжении E<C.Enov реальный ограничитель не ограничивает амп¬
литуду, а работает в режиме резонансного усиления. При напря¬
жении Ez^-Eno-p с ростом входной амплитуды Е выходная ампли¬
туда увеличивается незначительно, т. е. наступает ограничение.
Чем меньше производная dUjdE, тем ближе реальный ограничи¬
тель к идеальному.
194

Для получения эффекта ограничения необходим нелинейный
элемент. Фильтрация гармоник и получение синусоидального ко-
лебания на выходе ограничителя достигается применением изби-
рательной системы. Поэтому любую схему амплитудного ограни¬
чителя можно заменить схемой заме¬
щения по первой гармонике (см. рис.
6.13).
Рассмотрим одну из возможных
схем ограничителя амплитуды.
Диодный ограничитель амплитуды.
Упрощенная схема диодного ограничи¬
теля амплитуды приведена на рис. 6.18.
На вход транзистора подается гармонический сигнал с амплитудой
Е и частотой ©о
e = £,cos©0* = Re [Ё е)0>0*], где Ё = Е.
Считаем, что транзистор работает в линейном режиме усиления,
т. е. угол отсечки равен 180°. В первом приближении амплитуда
базового тока
Jo — E/R6 э.
Ё1(ие.з’и^
Рис. 6.19
Контур LC настроен на частоту входного сигнала (ар=©0) и
шунтируется двумя диодами, подключенными к нему параллель¬
но. Диоды Дх и Дг с соответствующими опорными напряжениями
Дк+.АД и Ек—АЁ образуют зависящее от напряжения сопротивле¬
ние 'RK(u). Величина |Д£| определяет уровень ограничения
|AZ: | = t/0- Схема замещения коллекторной цепи (рис. 6.19) со¬
держит источник тока с амплитудой /Ki («6.3, 0) = р/б, контур с па¬
раметрами L, С, Яр и сопротивление Яд (и), вольт-амперная ха¬
рактеристика которого изображена на рис. 6.20,а1. На рис. 6.20,6, в
изображены соответственно напряжение на контуре и и ток i, про¬
текающий через сопротивление Яд(и). Только первая гармоника
1щ этого тока оказывает шунтирующее действие на контур. По¬
этому от эквивалентной схемы (рис. 6.19) перейдем к схеме заме¬
щения по первой'гармонике (рис. 6.21), где
Яд1 = П//д1	(6.52)
1 Выходное сопротивление транзистора Ri учтено в сопротивлении кон¬
тура RP.
7*
195

— сопротивление диодов по первой гармонике. Амплитуду тока
•/д! найдем, выполнив гармонический анализ последовательности
импульсов тока 1Д (рис. 6.20,в). Если диоды Д1 и Д2 имеют оди¬
наковые параметры и опорные напряжения ДЕ равны по величине
и противоположны по знаку, то
2 и
=	(0—sine COS 0),	(6;53)
где Ял — сопротивление диода в открытом состоянии, a cos0=
Коэффициент «2» в формуле (6.53) объясняется тем, что за
один период действуют два импульса тока, положительный и от¬
рицательный.
Сопротивление Яд1 с учетом (6.52) и (6.53) запишем в виде
D 		П Яд
Л1 2 (0 — sin 0 cos 0)
Амплитуда выходного напря¬
жения согласно рис. 6.21 при точ¬
ной настройке контура
^	0)(Яр||Яд1).
На рис. 6.22 изображена нор¬
мированная характеристика ог¬
раничения UJUo=f(E/EUop) при
Яд/Яр=0,01.
196
Рис. 6.22

Вопросы для самопроверки
1.	К каким системам применим метод замещения выходной цепи
нелинейного четырехполюсника? В чем сущность этого мето¬
да?
2.	Как находят сопротивление генератора по выделяемой гар¬
монике?
3.	Почему ток i=f(Ucos<S)) через резистивное нелинейное со¬
противление при разложении его в ряд Фурье содержит толь¬
ко косинусоидальные составляющие?
4.	Определите, составляющие каких частот содержат ток, если
на нелинейное сопротивление с характеристикой, аппроксими¬
рованной отрезками прямых, подан гармонический сигнал?
Два гармонических сигнала? (Ограничиться порядком комби¬
национных частот N—4).
5.	Что называют углом отсечки? В каких пределах лежит угол
отсечки, если
а)	\Е0\>\ии\ и £< | Ug—Eol;
б)	£0=£/в;
в)	|£о|<Пв и £<|[/в-£0|?
6.	Выведите формулу для Iо, h при кусочно-линейной аппрокси¬
мации характеристики нелинейного элемента.
7.	В каких случаях надо пользоваться коэффициентами Берга
а„(0), в каких у„(0)?
8.	Найдите спектральный состав тока через нелинейный элемент
при аппроксимации его характеристики полным полиномом
третьей степени, если на вход подан: а) один гармонический
сигнал; б) два гармонических сигнала с частотами сы и ю2.
9.	Какие члены аппроксимирующего полинома участвуют в соз¬
дании амплитуды: а) третьей гармоники тока /3; б) амплиту¬
ды шестой гармоники тока /6?
10.	Характеристика нелинейного элемента аппроксимирована
функцией i=a5(u—E0)5. Найдите частоты составляющих тока,
если на вход нелинейного элемента подано напряжение и—
=£o+£icos coi^+Z^cos a2t.
11.	Покажите на кривой i=f(u), как определяются графически
амплитуды гармоник тока /0, /ь /2.
12.	В каких случаях нелинейный элемент можно рассматривать
как линейный с переменными параметрами?
S3. Найдите и постройте спектральный состав тока через нелиней¬
ный элемент с характеристикой, аппроксимированной кубич¬
ным полиномом, на вход которого поданы одно гармоническое
напряжение большой и одно — малой амплитуды.
14.	Поясните работу резонансного усилителя больших колебаний.
Нарисуйте его эквивалентную схему.
15.	Какие искажения возникают при прохождении гармоническо¬
го колебания, АМК и ЧМК (ФМК) через резонансный усили¬
тель?
197

16.	Нарисуйте схему резонансного умножителя частоты на л и по¬
ясните ее работу.
17.	Из каких соображений выбирается угол отсечки 0ОПт в схеме
резонансного умножителя?
18.	Нарисуйте схему ограничителя амплитуды и поясните ее рабо¬
ту.
19.	Что называют характеристикой ограничения? Нарисуйте и
объясните ее.
20.	Нарисуйте эквивалентную схему ограничителя амплитуды.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ
УЗКОПОЛОСНЫЕ ЦЕПИ
При анализе прохождения сигналов через узкополосные цепи
можно пользоваться любым методом, дающим точное решение за¬
дачи, в частности спектральным методом. Последний используют
при анализе прохождения AM колебаний через узкополосные це¬
пи. При сложной структуре спектра сигнала применение спект¬
рального метода приводит к громоздким расчетам и целесообраз¬
ней пользоваться приближенными методами анализа.
7.1.	Прохождение AM колебания через линейные узкополосные
цепи. Спектральный метод
Рассмотрим прохождение AM колебания через резонансный
усилитель. При анализе примем сопротивление нелинейного эле¬
мента по первой гармонике постоянным, т. е. Rn = const, причем
Спектр тока б, (со) в схеме замещения резонансного уси¬
лителя (см. рис. 6.13), представленный суммой спектральных со¬
ставляющих, считаем известным1
ё*И==2<^К).	(7.1)
k
где Огй(с»)й)—спектральная составляющая тока на частоте т-
Считаем также известными зависимость сопротивления контура
ZK(со) от частоты, а следовательно, и сопротивления нагрузки
ZB (со)
ZH(a>) = lRnl\ZK(a>)]*
(7.2)
1 Он определяется но заданному спектру входного сигнала и характери¬
стике нелинейного элемента изложенными в гл. 6 способами.
* Символ [#iill2K(<o)] означает параллельное соединение сопротивлений не¬
линейного элемента по первой гармонике fiu и контура ZK(w).
198

В соответствии со спектральным методом спектр напряжения на
контуре 0и (со) может быть выражен суммой его спектральных со¬
ставляющих вида
Си (со) = 2 Gih К) Za К) = 2 Gun К),	(7.3)
k	k
где ZH(a)h) — сопротивление нагрузки в схеме замещения на час¬
тоте ап; Оип((оп)—спектральная составляющая напряжения на
контуре на частоте а>п-
Пусть на контур с резонансной частотой сор и сопротивлением
И
Яр
1 + J6
Яр -Щ(ц»
уг+р
(7.4)
P(co)=arctgg,
где
I ftf (2Q (со—сор)]/сор
(7.5)
— укороченное выражение обобщенной расстройки, действует од¬
нотонально модулированный ток
i	— I [1 +Mt cos(Q* + i|))] cos(co0i + cp).	(7.6)
Пользуясь спектральным методом, найдем напряжение и на кон¬
туре. Для этого запишем спектр тока (7.6) в комплексной форме
/ = / cos (o)q t ф) -j	IMt cos [(co0 + Й) ^ + (<P + Ф)] +
+ -j IMt cos [(co0—Q) / + (ф—Ф)] =
= Re [/ eifi>ot] + Re [/B.6 e)(fi>»+fi)f] + Re [/H.6 ei<tt>“-Q)fJ, (7.7)
где / = /е1<Р — комплексная амплитуда несущего колебания, /в.б =
= — /Л4гек<р+',1,> и /н б=— IMi еНФ-Ф) — комплексные амплитуды
верхней и нижней боковых составляющих.
При определении реакции узкополосной цепи на AM колеба¬
ние рассмотрим случай, когда несущая частота со0 равна резонанс¬
ной частоте сор и когда имеется расстройка (.(йо¥=<вР)-
1. При точной настройке контура на несущую частоту (сор=
— ®о) напряжение и на контуре определяется методом комплекс¬
ных амплитуд
и = Re [/ Rp eifi>0<] + Re [7B.6ZKl e~)P e)(fi>0+fi)<] +
+ Re [/„.6 ZKl e)P е)(и"-йк] = IRP cos (со0/ + Ф) +
+ -^~5L cos IK + Q) t + (Ф + ф) — P] +
+ Ml	cos [(co0—Q) t + (Ф—ф) -f ft],	(7.8)
I \G
199
где
(7.9)

и P = rFarctg(2QQ/cop)—значения модуля и аргумента комплекс¬
ного сопротивления контура на боковых частотах (ко0+£2) и (со0—
--Q) *
Спектр тока, амплитудная и фазовая характеристики контура
и спектр напряжения, поясняющие анализ прохождения AM коле¬
баний через контур, изображены на рис. 7.1,а—в соответственно.
Свертывая выражение (7.8), получим
U = U[1 +М„С08(Ш + ф — Р)]С05(Юй* + <р),	(7.10)
Где U==IRP — среднее значение амплитуды напряжения;
t=/T-rbtJL*.. ... —коэффициент модуляции напряже-
“ Яр
ния.
T/l-K2QQM,)a
Векторные диаграммы тока и напряжения для момента време¬
ни t—0 изображены на рис. 7.2. Из сравнения выражений (7.6) и
(7.10), спектральных (рис. 7.1,а, в) и векторных (рис. 7.2,а, б) ди¬
аграмм видно, что при точной
IL<P
Шф-
-ф)
fa
(ф+ф)
<у0-й
(Oq
CO0+fl (О
а)
.ZK(w)
N/Kf
°>р
in
!.'9
...
^— J3(o>)
5)
настройке происходит:
а) уменьшение коэффициен¬
та модуляции
М[
М„
Vl + (2QQ/(Bp)a
(7,11)
из-за неравномерности частот¬
ной характеристики контура;
б) запаздывание огибающей
напряжения на угол
p=arctg(2QQ/«>p) (7.12)
Это явление объясняется инер¬
ционностью контура. Чтобы ам¬
плитуда напряжения на конту¬
ре возрасла или уменьшилась
под действием тока, необходи¬
мо внести в контур или изъять
из него некоторую энергию. На
это требуется определенное вре¬
мя, тем большее, чем больше
его добротность.
В рассмотренном случае однотональной модуляции тока i фа¬
зовый сдвиг огибающей напряжения на угол р не вызывает иска¬
жения ее формы. При воздействии на контур тока, модулирован¬
ного несколькими гармоническими сигналами
jb
1
(OQ-Sl 0)q (0q+£2	(i>
6)
Рис. 7.1
‘='Г1+2
L ft=i
Mik cos (Qh t + Фь)
cos (co0 ^ + cp),
(7.13)
напряжение на контуре
200

(7.14)
и = U 1 + ДМ** cos (Q* *■+ 'Фл—Рь) J cos (ю01 + ф).
Из-за неравномерности амплитудно-частотной Z(to) и нели¬
нейности фазочастотной p(w) характеристик резонансного кон¬
тура огибающие напряжения, соответствующие модулирую¬
щим частотам йь, изменяются и приобретают различные фазовые
сдвиги вследствие чего форма результирующей огибающей на¬
пряжения искажается и не повторяет форму огибающей тока. Сле¬
довательно, происходит искажение информации, передаваемой с
помощью AM.
2.
гда
При расстройке контура относительно несущей частоты» ко-
юр = со0 + Дю,	(7.15)
имеем и - -
I Rp
■cos(a>0* + 9 + P2) +
— IM{ RP
cos [(ю0+П) t + (Ф + Ф) — Рз] +
YlMiR*
cos[((D0—П)^+(ф—1]3) + PJ.	(7.16)
где
ь—«*[=*¥*-]•
P,= -arctg[-^].
(7.17)
ш

г
/
Спектр тока, частотные ха¬
рактеристики кбнтура и спектр
напряжения изображены на
рис. 7.3,а—в соответственно.
Как следует из рис. 7.3,в, спектр
напряжения несимметричен от¬
носительно несущей частоты.
На рис. 7.4,а, б представле¬
ны векторные диаграммы тока
и напряжения для момента вре¬
мени / = 0. Эллипс изображает
траекторию конца суммарного
вектора OD, отображающего
мгновенное значение амплиту-
ды напряжения на контуре.
При неточной настройке
форма огибающей напряжения
искажается, а также возникает
модуляция по фазе.
Временная зависимость на¬
пряжения и может быть полу¬
чена на основании векторных
диаграмм, построенных для ря¬
да моментов времени.
7.2.	Прохождение произвольного узкополосного сигнала
через избирательные цепи. Метод огибающей
Метод огибающей позволяет приближенно определить, как пре¬
образуется комплексная огибающая произвольного узкополосного
сигнала при прохождении через линейный узкополосный фильтр.
В зависимости от того, какие характеристики фильтра заданы
(частотные или временные), можно воспользоваться применитель¬
но к комплексным огибающим либо спектральным методом, либо
методом интеграла наложения.
202

I.	Спектральный метод для комплексных огибающих
Пусть на избирательную цепь с заданной частотной характе¬
ристикой X(ffl) действует узкополосный сигнал
ux = ^x(0cosK^ + q31(/)]-	(7-18)
Предполагается наличие расстройки Асо средней частоты спектра
сигнала £о0 относительно резонансной частоты цепи шр (рис. 7.5):
(о0 = (ор -(- Аш.	(7.19)
Запишем реакцию цепи и2 также в виде узкополосного сигнала
м2 = U% (f) cos [со01 + cp2 (01	(7.20)
и найдем огибающую U2(t) и фазовый
сдвиг срг (0. Для этого воспользуемся
комплексным представлением негармони¬
ческих колебаний щ и и2 (§ 3.5). С учетом
(7.19)	входной сигнал (7.18) записывает¬
ся следующим образом:
Uj = t/j (f) cos [сйр t —Aco^ —(— ф1 (/)].	(7.21)
Если отнести слагаемое Асоt, содержащее расстройку, к фазо¬
вому сдвигу сигнала ии то соответствующий аналитический сиг¬
нал
21(0 = f>i(0eJV
(7.22)
имеет комплексную огибающую
t/j (f) = t/j (t) e! [Afi),+'P‘(<)]#
(7.23)
Полагая величину расстройки Асо малой, аргумент комплексной
огибающей [Асо^-)-ф1 (0 ] можно считать медленной функцией вре¬
мени по сравнению с eifV, а спектральную плотность комплексной
огибающей <Зш(со) —сосредоточенной вблизи нуля (см. рис. 3.24).
Реакции цепи и2 соответствует аналитический сигнал
гг (0 = (0 ei<0p<
(7.24)
с комплексной огибающей
ад=аде1(М(\
(7.25)
спектральная плотность которой Ои2(и) также сосредоточена
вблизи нуля.
Поскольку ц2=Де[22(0], то анализ прохождения сигнала
«i = Re[2i(^)] через линейный узкополосный фильтр можно заме¬
нить анализом прохождения комплексного сигнала	имею¬
щего спектральную плотность (5zi(g>) (рис. 7.6).
Спектральная плотность <jz2(fi>) реакции цепи z2(t) имеет вид:
Gz2H = GzlHtf(fi>).	(7.26)
203

Пользуясь соотношением (3.88), выразим спектральные плот¬
ности комплексных сигналов i\ и z2 через спектральные плотно¬
сти их комплексных огибающих
GZ1 (ю) = Gm (ю—мр),
Gz2 (и) = Gm (ю—юр).	(7.27)
Подставляя (7.27) в (7.26) и заменяя точное выражение переда¬
точной функции д (ю) узкополосного фильтра вблизи частоты юр
(при малых расстройках) укороченным выражением ^(ю—юР)*,
получим
Gm (ю—юр) = Gm (ю—юр)/( (ю—юр).	(7.28)
Обозначая расстройку ю—юр=Й, приходим к соотношению
для спектральных плотностей комплексных огибающих1
Gm (Й) = Gm (П) /СэкВ (Q).	(7.29)
Как следует из (7.29), спектральная плотность комплексной оги¬
бающей 02(t) определяется произведением спектральной плотно¬
сти комплексной огибающей V\ (t) на передаточную функцию
•Кэкв(П) некоторого низкочастотного фильтра. Следовательно,
комплексная огибающая 02(t) является реакцией этого фильтра
на входной сигнал 0\{t). Частотная характеристика фильтра по¬
лучается смещением правых ветвей амплитудной К(ю—юр) и фа¬
зовой фК(ю—юР) характеристик узкополосной цепи на частоту
юр влево, в область низких частот (рис. 7.7).
Процедуре переноса частотных характеристик к началу коор¬
динат, где сосредоточены спектры (5ш(Й) и би2(Й) комплексных
огибающих Oi(t) и 02(t), соответствует изменение (упрощение)
электрической схемы: исходная узкополосная цепь заменяется ее
низкочастотным эквивалентом.
Рис. 7.6	Рис. 7.7
* Укороченные (приближенные) выражения передаточных функций некото¬
рых узкополосных цепей приведены в табл. 7.1.
1 Спектральные плотности <3tn(£2) и йРг(£2) представлены комплексными
функциями частоты Й, а не ю, для общности записи формулы (7.29).
204

Таким образом, определение реакции и2 исходной избиратель¬
ной цепи при воздействии произвольного узкополосного сигнала
щ сводится к более простой задаче — определению комплексной
огибающей й2 (t) на выходе низкочастотного эквивалента с пере¬
даточной функцией Л'экв(Й) =R(a>—Ир) |«)-fi,p=Q при воздействии
комплексной огибающей Oi(t) входного сигнала. Эта задача мо¬
жет быть достаточно просто решена любым методом, дающим
точное решение, в частности спектральным методом.
Необходимым условием эквивалентности этих схем является
равенство их постоянных времени. В этом случае в низкочастот¬
ном эквиваленте с передаточной функцией Кэкв(П) при воздейст¬
вии комплексной огибающей О\ (t) возникают такие же переход¬
ные процессы для функций времени U\{t) и qpi(-f), содержащих
передаваемую информацию, что и в исходной узкополосной цепи
при воздействии на нее сигнала щ. Следовательно, модуль U2(t)
и аргумент <pz(0 комплексной огибающей U2{t) на выходе низко¬
частотного эквивалента изменяются так же, как огибающая U2(t)
и фазовый сдвиг <рг(0 сигнала и2 на выходе избирательной цепи.
Этот метод наиболее эффективен и нагляден при воздействии
на избирательную цепь колебания щ с амплитудной модуляцией
“1 = ^1 (0 cos^of-j-tpj), фх = const	(7.30)
И отсутствии расстройки (£00—Шр).
В этом случае огибающие U\(t) и U2(t) на входе и выходе низко¬
частотного эквивалента, несущие информацию, являются вещест¬
венными функциями. Реакция избирательной цепи
u3 = t/2(Ocos(co0*+<p2).	(7.31)
При использовании спектрального метода для комплексных
огибающих следует помнить, что он дает приближенное решение
задачи. Решение тем более приближается к точному, чем ближе
реальная избирательная система к консервативной и чем уже
спектр входного сигнала, поскольку только вблизи резонансной
частоты £ор (при малых расстройках ш—£ор=й) сохраняется со¬
ответствие резонансной системы и ее низкочастотного эквивален¬
та.
Низкочастотные эквиваленты простейших избирательных це¬
пей. Передаточные функции реальных избирательных цепей часто
можно считать симметричными относительно частоты шр. При
этом для модуля и аргумента передаточной функции Х(со) выпол¬
няются условия (рис. 7.8)
tf(fi>p + fi>) = tf(CDp— со),
Фк(“р + ®)= —Фк(“р—“)•	(7.32)
В общем случае фазовая характеристика цепи фК1(со) =
—1фк(а)+ф, показанная на рис. 7.8 штриховой линией, содержит
постоянную составляющую ф. Сдвиг фазы ф не оказывает влияния
на расчет комплексной огибающей выходного сигнала и может
быть принят равным нулю.
205

Избирательная цепь
Реакция
Укороченное выражение
передаточной функции
Последов ательный
rLC контур
Ток i
Т
Qei^ <?=}= jис
г
_2Q_2L
Срр г
а = —
Тк
Напряже¬
ние иг
К(ш— СОр) ;
1 1
г 1 + j(co— С0р)тк
Кг(со — сор)
1
1 + j(co — С0р)т„
К с (со — сор)'« — J
1 + j (со — Щр)тк
/CL(co— о>р)«]
1 + j(co — сор)т„
Параллельный rLC контур
ZK(C0 — Срр) PS!
Ч	Rp
1 + j (со — С0р)тк
Резонансный усилитель
+1“
К (СО):
SRP
1 (со — Срр)тк
206

Таблица 7.1
Передаточная функ¬
ция низкочастотного
эквивалента
Комплексная огибаю*
щая импульсной
характеристики
Схема низкочастотного
эквивалента
Параметры схема
Уэкв(^)=
1 т
4- tit (t) = -l e~et
2 w 2Z.
i(t)J
Г^Г 1
-J
} II
г 1 + jQrK
с
I)-'
L'
Q = со — сор
н
II
II
tf
Кг ЭИв(^) =
_ 1
1 + |£2т„
-jCur(<)
х' = г'С = Тк
т'
L'
— тк
Kq ЭКв(£2) —
Q
1 -|- j£2rK
Кт (й) =
VL эив
Q
1 + j QTk
2 ^uc(0 —
"Р 	| _rv /
•— e J2-e -
mp ]Z~ —ai
— — e 2 e
2
г' =Л'С' =tk
п
[ V=
1
|-'|
>
I Uc(t)
или
1
Q
♦
0—1
—1-
Низкочастотный Усиление
' эквивалент В S раз
КэКВ (О) =
SRV
1 + jQrK
\ Gu (0 =
ш
R’ —R?
С =2 С
х' — R'C' = т„
Rc — Кр
Сс = 2С
т' = RcCc = Тк
207

При выполнении условий симметрии (7.32) низкочастотным
эквивалентом избирательной цепи является четырехполюсник с пе¬
редаточной функцией /^экв(Й) =#(<а^сор) |<о-<ор=а-
Найдем низкочастотный эквивалент последовательного rLC
контура для случая, когда реакцией на воздействие ЭДС е явля¬
ется ток контура i (рис. 7.9,а). Запишем укороченное выражение
проводимости контура (см. табл. 7.1)
Y (и—ир)
1	1
г 1 j (со — (Ор) Тц
где TK=2Q/cop=2L/r—постоянная времени контура.
Заменяя расстройку и—сор частотой й, получим выражение для
проводимости низкочастотного эквивалента
V9HB(Q) = -j-
1
1 -j- j £2 Тк
(7.33)
Нетрудно убедиться, что проводимости вида (7.33) отвечает про¬
водимость апериодической r'L'-цепи (рис. 7.9,6). Действительно,
Угь(Щ
1
г' + j Q L'
J	1
г' 1 + j Q х' ’
(7.34)
где x'=L'lr' — постоянная времени цепи.
Сравнивая (7.33) и (7.34), убеждаемся, что апериодическую
r'L'-цепь можно рассматривать как низкочастотный эквивалент
последовательного контура при определении тока i, если их по¬
стоянные времени равны, т. е. тк=т'. Это- условие выполняется,
когда г'=г и iL'=2L. Тогда
Уэкв(Й) = Уг1.(Й).
Схемы низкочастотных эквивалентов простейших избиратель¬
ных цепей и их характеристики приведены в табл. 7.1.
Определим методом огибающей ток i последовательного колебательного
контура (рис. 7.9, а) с резонансной частотой <вр, протекающий под действием
сигнала (рис. 7.10, а)
е = Е cos <в01 а (<)
при наличии расстройки соо=Шр+Дш.
С учетом расстройки
е = Е cos (сор t + Дсо t) а (t),
208

а соответствующий аналитический сигнал можно записать как
ге (t) = Ё (0 е “«•' ,
где E(t) =£е1Дш(а(0 — комплексная огибающая сигнала ze(t), спектральная
плотность которой
G (£2) = 1Е	е~1Ш dt =	-	.
Е i	j(Q-Aco)
а)	б)
Рис. 7.10
Пользуясь выражением проводимости низкочастотного эквивалента (7.33)
а 1
,(й) =
г а + j £2
где а=1/тк, и соотношением (7.29), находим спектральную плотность комп¬
лексной огибающей тока
Gj (£2) = Ge (О) Yэкв (£2) =	— j . _	т — =
г (а + j £2) j (Я — Д со)
аЕ 1 Г 1	1	1
г а + j Дю [ j (£2 — Дм) а j £2 J
_Е_
г
1
1 + jAco/a
Преобразуем отношение Дю/a к виду
А (0	2 L Дсо Юр
а г юР
[ j (£2 — Дю) а j £2 ] ’	(7.35)
„2 Дю
= Q	«
Юр
£о>
(7.36)
где |о — обобщенная расстройка частоты ю<> относительно юр. Подставляя (7.36).
в (7.35), получим
6/(Q)	'	1 + 16» [ l(0-i
1
■ Д ю) a + j £2
Пользуясь табл. 2.2 преобразований Фурье, находим
1
j (£2 — Д ю)
J A<ot
, так как Дю = const,
1
o-at
!«) = ■
CL —j— J О
E 1
1 + 16»
209
(	_ e-a/).
откуда

Соответственно аналитический сигнал тока Zi(t) можно записать
it (0 = Ht) eJ “р' = - — -■	[ eJ - e~at eJ“* ' ].
r i + j io
Окончательно
где
i = Re [г,- (£)]
7” "УTTW «»ем-Ро)-
Po = arctg|o.
E	1
r Vr+i*"*
e ш cos (aiP / -— Po).
(7.37)
Согласно (7.37) на рис. 7.10,6 изображена временная диаграмма тока £. Из ри¬
сунка видно, что амплитуда тока, осциллируя с разностной частотой со0—сор,
приближается к установившемуся значению
£/М/УГТ|2„.
На рис. 7.11 показан закон изменения амплитуды тока I(t) ори различных рас¬
стройках go- С увеличением расстройки go. т. е. с увеличением разностной ча¬
стоты шо—сор, уменьшается установившееся значение и увеличивается частота
осцилляции амплитуды тока контура.
Рис. 7.12
В частном случае, когда расстройки нет (м0=Шр), решение задачи суще¬
ственно упрощается.
Если на последовательный контур действует сигнал
е = Е cos сор t-a(t)
с огибающей E(t)=Ea(t), спектральная плотность которой
G£(Q) = £-
j Q
то спектральная плотность G/(Q) тока I(t) низкочастотного эквивалента опре¬
деляется
Qj (Q) — Ge (Q) Yэкв (Q) —	^	' j q
Поскольку
1/j Q-*-
i/(a + j Q)"
1	E_ / 1
о -{- j Q г \ j Q
■ l-o(0.
— e~ai a (t),
1
Q "j- J 0
)•
TO
Kt) = -y (l — e~“0 a (t).
210

Тогда ток последовательного контура
£
i = / (<) cos Шр t = —(l—е~“г) cos cop t-a(i).	(7.38)
Из временной диаграммы тока i (7.38), показанной на рис. 7.12, видно, что
при отсутствии расстройки (мо = сор) амплитуда тока в контуре устанавливает¬
ся по апериодическому закону.
II. Метод интеграла наложения для комплексных огибающих
Представим импульсную характеристику g(t) узкополосного
фильтра в виде1
g (0 = G(0cos[cop * + «(*)],	(7.39)
где шр — резонансная частота фильтра.
По аналогии с аналитическим сигналом введем понятие анали¬
тической импульсной характеристики
zg(0=£(0 + ji(0==G(0eJV ,	(7.40)
где g(t) —функция, сопряженная по Гильберту по отношению к
заданной характеристике g(t)', О(t) = G (t) eia(1) — комплексная
огибающая импульсной характеристики g(t), которую можно счи¬
тать медленно меняющейся функцией времени по сравнению с
ejtV.
Пусть на избирательную цепь действует узкополосный сигнал
Щ. = t/i (t) cos [Шр t + ф1 (f)] = Re [z, (t)]=Re [U1 (f) eJ“^],	(7.41)
где tpi (t) — начальная фаза, учитывающая возможную расстрой¬
ку средней частоты шо спектра входного сигнала относительно £ор;
1/1(*) = £/1(*)е,ф,(,)	(7.42)
— комплексная огибающая аналитического сигнала	соответ¬
ствующего узкополосному сигналу щ.
Реакцию фильтра
U, = t/>(0cos[(Dp/ + q)>(0]	(7.43)
можно рассчитать, пользуясь методом интеграла наложения
u2 = u1(f)tg>g(t)= 'Ju1(x)g(t—x)dx.	(7.44)
—00
Подставляя в (7.44) выражения (7.39) и (7.41), получим
00
ы2= \jU1(x)G{t—х) cos [ШрХ + ф^л:)] cos[cop t—cop x + a (t—x)] dx =
—oo
=	£U1(x)G(t—x)cos[cop H tp1(x) + a (t—x)] dx-f-
1 В параметрических цепях начальная фаза a(t) импульсной характеристи¬
ки может изменяться во времени.
211

-f — j£/x (x) G (t—x) cos [—(Op t + 2<op x-\- <px (x) — a (t—x)\ dx
2	M
или в комплексной форме
и, = Re Y Jl/j. (x) еШх)G (t—x) еш~х) e^dx +
+ ~ ]ut (x) еШх) G (t-x) е-ы*~х) е1Ы*х е~^1 dxj =
= Re Г— e|£0j,t jt/i (x) G (t—x) dx +
+ — jt/j (x) G* (t—x) e12t0** dx].	(7.45)’
2	J
Выражение, заключенное в квадратные скобки, можно рас¬
сматривать как аналитический сигнал z2(t) на выходе фильтра.
Величиной второго интеграла в (7.45), подынтегральная функция
которого является произведением двух медленно меняющихся оги¬
бающих	V1 (х) G* (t—х)	и быстропеременного множителя
exp(j2copx), можно пренебречь по сравнению с величиной первого
интеграла, где подынтегральной функцией является медленная
функция времени Oi(x)G(t—х). Тогда
«2 лг Re
— е1 Jui(x)G(t—x)dx
2	— со
(7.46)
С другой стороны, реакцию фильтра (7.43) можно записать в виде
«а = Re [ z2 (0) = Re [Ut (t) eSlV],	(7.47)
где
Ut(f) = Ut( {)ешп	(7.48)
— комплексная огибающая аналитического сигнала z2(t), соответ¬
ствующего реакции фильтра и2.
Сопоставляя выражения (7.46) и (7.47), получим приближен¬
ную формулу для определения 02(t):
—? 01(x)G(t—x)dx,	(7.49)
2	«
т. е. комплексная огибающая выходного сигнала приближенно
определяется половиной свертки комплексной огибающей входного
сигнала с комплексной огибающей импульсной характеристики
цепи
Oa(t)*i-Lu1(t)®G(t).
(7.50)
212

Сравнивая соотношения (7.29) и (7.50), на основании теорем»
о свертке функций (табл. 2.1, поз. 13) можно прийти к выводу,.
что спектральной плотностью функции—(5(0 является комплекс¬
ный коэффициент передачи /^Экв(£2) низкочастотного эквивалента
узкополосного фильтра, т. е.
T6(0 = -f ? *эк.(Q)eWdQ.	(7.51)
^00
Соответственно
(7.52)
1 00
Следовательно, функция—(5(0 описывает импульсную характе¬
ристику низкочастотного эквивалента (см. табл. 7.1).
Найдем огибающую 6i(t) импульсной характеристики gi(t) последователь^
ного контура, когда реакцией является ток i контура. Из табл. 7.1 имеем
,Л%	1	1	о 1
'экв (Я) =
г 1-)-]£2тк г o-J-jfi
где ?экв(Я) — проводимость низкочастотного эквивалента последовательного-
контура;
тк = I/O = 2 Ljr = 2Q/opp.
Пользуясь табл. 2.2 преобразований Фурье, находим:
—1	е-*.
о-)- j £2
Откуда
С1	1
Gt (t) = 2— е~^ = — е*"0*.	(7.53)*
Проиллюстрируем метод интеграла наложения иа рассмотренном выше
примере определения тока i последовательного контура при воздействии ЭДС е-
е = Е cos <о0 t a (i)
и отсутствии расстройки (<d0=®p).
Согласно (7.50) огибающая /(() тока i контура выражается
/(0«Я(0®у Сц(0-
Здесь E(t)=Ea(t) — огибающая ЭДС; G,-(()=—е_“* — огибающая импульс¬
ной характеристики контура.
Следовательно,
/(0 = 55- f£W G,- (t-x)dx= -±-г'£е-«<‘-*> dx = (l - е-«0,
ль о	лЬ ^	2aL
Так как а= 1/тк=г/2Д то
/(0 = -f (1- е-“0,
213

и ток контура
Е
i = I (t) cos CDg t-a (t) = — (l — e—'“*) cos cop t-o (t).
что совпадает с выражением (7.38).
7.3.	Прохождение ЧМ колебания через узкополосные цепи.
Метод «мгновенной» частоты
Как было показано выше, спектр ЧМ колебания даже при гар¬
монической модуляции имеет более сложную структуру, чем
спектр AM колебания. Поэтому можно ожидать, что ЧМ колеба¬
ния при прохождении через узкополосные цепи подвергаются
большим искажениям.
Рассмотрим прохождение ЧМ колебания
е = £ cos (ш0 < + ш sin	+ ф)	(7.54)
с гармоническим законом изменения частоты
coe {f) — со0 -)- (Од cos Q t,	(7.55)
где
Шд = mfi,
через узкополосную цепь с частотной характеристикой
К(а) = К (со) е1ф/с (м>
(7.56)
и резонансной частотой сор при отсутствии расстройки (ш0=сор).
Для расчета реакции цепи и на воздействие ЧМ сигнала вида
(7.54) с малым индексом модуляции (m^l), когда спектр ЧМ
сигнала содержит одну или две пары учитываемых боковых со¬
ставляющих, можно использовать спектральный метод. При боль¬
ших индексах модуляции (т>1), когда количество учитываемых
боковых составляющих велико, расчет спектральным методом су¬
щественно усложняется. В этом случае можно пользоваться при¬
ближенным методом «мгновенной» частоты, который основан на
предположении о том, что частота модулированного сигнала изме¬
няется во времени медленно и установление стационарных коле¬
баний на выходе цепи происходит почти одновременно с измене¬
нием частоты на входе цепи, т. е. мгновенно (отсюда и название
метода). Такое допущение позволяет сформулировать условия
применимости этого метода:
1) период модуляции Т должен быть много больше постоянной
времени тк цепи, характеризующей время протекания переходных
процессов
Т = 2 я/Й ^ тк.
что равносильно условию
Q/Дсо С 1,
где Лео — половина полосы пропускания цепи;
214
(7.57)

2) девиация частоты сод должна быть не более Аш, т. е.
Зв.<1.	(7.58)
Д со
Ограничение девиации частоты следует из того, что скорость изме¬
нения мгновенной частоты ше(0 ЧМ сигнала зависит при задан¬
ной частоте модуляции Q от амплитуды модулирующего сигнала
(следовательно, от девиации частоты).
При выполнении условий (7.57) и (7.58) решение, которое да¬
ет метод «мгновенной» частоты, приближается к точному. Соглас¬
но этому методу амплитуду и фазу реакций узкополосной цепи и
в каждый момент времени (т. е. для каждого фиксированного зна¬
чения частоты Ше) можно определить по частотной К (со) и фазо¬
вой фк(со) характеристикам цепи так же, как и в стационарном
режиме при действий гармонического колебания. Тогда
и = ЕК [ме(0] со8{м0[* + /п5щШ + ф + Фк К, (*)]}•	(7.59)
где /С[сое(^)] и фк[й)е(0] —значения модуля и аргумента переда¬
точной функции цепи на частоте (oe(t) входного сигнала е.
Из (7.59) следует, что амплитуда U (t) выходного сигнала из¬
меняется во времени в соответствии с сое (^):
U(f)=EK [ше(*)] = ЕК. (<о0 +сод cos QJ),	(7.60)
а мгновенная частота соu(t) выходного сигнала
ш«(0 = -4-{соо^ + тз1пй^ + Ф + Фк [®е(0]} =
at
= со0 + а>д cos Qi + dW] = све (t) + v (Q,	(7.61)
где
/Л 4фК (01
л—
d cpK (cDq + сйдГсоз’Й t)
dt
(7.62)
Соотношения (7.60) и (7.61) свидетельствуют о том, что ЧМ
сигнал при прохождении через узкополосную цепь искажается так,
что:
1)	нарушается исходный закон (7.55) изменения частоты ше(0-
Влияние избирательной цепи на частоту cou(t) выходного сигнала
определяется слагаемым v(^) в (7.61), зависящим от вида фазо¬
вой характеристики цепи;
2)	появляется дополнительная амплитудная модуляция вслед¬
ствие неравномерности АЧХ цепи.
Эффект возникновения амплитудной модуляции поясняет рис.
7.13,в, построенный с помощью графиков зависимости амплитуды
выходного сигнала от частоты U(со), совпадающей по форме с час¬
тотной характеристикой цепи /С(со) (рис. 7.13,а), и зависимости
соe(t) (рис. 7.13,6). Как следует из рис. 7.13,в, при шо=сор ампли¬
туда выходного сигнала U(t) изменяется с двойной частотой мо¬
дуляции 2Q. При расстройке (coo^Wp), когда функция ae(t) не
215

выходит за границы участка характеристики £/(<в), близкого к
линейному (рис. 7.14,о,б), амплитуда £/(/) изменяется примерно
по закону модулирующего сигнала с частотой £2(рис. 7.14,в). Этим
юбстоятельством пользуются на практике при приеме ЧМ коле¬
баний, превращая их в колебания с переменной амплитудой, ко¬
торые затем детектируются амплитудным детектором.
Рис. 7.13
Пользуясь методом «мгновенной» частоты, определим ток i в последова¬
тельном колебательном контуре с параметрами /-=10 Ом, L — 1 мГн, С = ИР пФ,
при воздействии ЧМ сигнала
е = 10 cos (10е <'+ 5 cos 10s t) В.
Рассчитав параметры контура
216

(Dp ==	~ =
у io-8.io».io-12
Opt 10M0~S
= 10* рад/с,
Q =
10
= 100,
.	Шр	10*
2A“=“q =1^ = 104Рад/с.
проверяем условия (7.57) и (7.58) применимости метода «мгновенной» частоты?
■“	!°-<i
Лю 5.10« ^ ’
юд	т Q	5 «10*
Лю	Лю	5-10s
Мгновенная частота юе входного сигнала
d
= 1.
в»(0!
dt
(ю07 -f- m cos Q 7) = ю„ — m Q sin Q 7 = 10* — 5* 10* sin 10* К
Ток i контура, имеющего проводимость
У (ю) = У (ю) е1р(6>) =
1
г 2<2(в>—чвр)1
[2Q(ro —Юр) ~|а
юР
можно иа основании (7.59) записать в виде
7 = EY [юе (/)] cos (юв 7 т cos Q 7 + р [юе (<)]}.
где Е = 10 В, Юо = 10е рад/с, т = 5, Q = 103 рад/с. Так как ю,(7)—юР
=—mfisinQi (при Юо=«ор), то
>(01 =
1
1
Р [®в (01 = — arctg
Следовательно, ток
1
/,	Г 2 Q п . ЛЛ* ЮУ"1 + sin2 10*<
1	— — т Q sm Q/j
( — —- m Qsin £21\ = arctg (sin 103 7).
\ юр	/
i = y]^psin2 ffiOJ cos [10e 7 + 5 cos 10s 7 + arctg (sin 103 7)],
а мгновенная частота тока a>i(7) = cDe(7)+v(7) за счет слагаемого
v (7):
d Р [юе (7)]
d	10s cos 10s 7
[arctg (sm 10s 7)] =
dt	dt	1+sin210® 7
изменяется «в отличие от юе(7) по негармоническому закону.
7.4. Условия неискаженной передачи AM и ЧМ колебаний
узкополосными цепями
Рассмотрим воздействие на параллельный контур с заданной
частотной характеристикой £„(<*>) амплитудно-модулированного-
тока
217

cos (co01 + ф)
(7.63)
/ = /Г 1 + 2 Mikcos(Qkt+%)
L k=i
при отсутствии расстройки (ш0=ир).
Реакция цепи и согласно (7.14) определяется в виде
и IRp Г 1 + 2 ^Uh Cos	t + Фь — pft)
cos (co01 + Ф).
Если спектр входного сигнала заключен в диапазоне частот соi <;
<1 ы<1 tt>2, где частотная характеристика контура равномерна, а фа¬
зовая характеристика линейна (рис. 7.15), т. е.
ZK (со) = Rp е^-^-чуЧ сй! < со < со2,	(7.64)
верхней боковой частоте соо + йь.
то парциальные коэффициенты
модуляции Muk напряжения и
на контуре равны парциальным
коэффициентам модуляции то¬
ка Mik, т. е. Muk=Mik. Следова¬
тельно, глубина модуляции AM
сигнала при прохождении через
такой фильтр не изменяется.
Сдвиг фазы огибающей
напряжения и (7.14) относи¬
тельно соответствующей огиба¬
ющей тока определяется по фа¬
зовой характеристике фильтра
как разность значений р(ш) на
и на несущей частоте со0. Полагая
в (7.64) co = coo + Qft и учитывая, что ш0 = сор, получим
ZKK + ^) = ^Pe)tPo~'(fi,0+Qft_fi,“Ko1 =^ре1(ро_й^о) ,
следовательно, pft=Q^0, и выражение для напряжения на выходе
полосового фильтра принимает вид
u = IRp 1 + 2 Mlftcos(£V + i|v
k=\
А 4
'о)]
COS (tt>0 t +
+ Ф + Ро) = ^р | 1 + S Mih cos [Qft (t—10) + фй]| cos (co0 ^ + cp + p0).
(7.65)
Из сравнения (7.65) с (7.63) видно, что огибающая напряже¬
ния на выходе фильтра запаздывает относительно огибающей то¬
ка на время t0. Значение t0 определяется наклоном фазовой ха¬
рактеристики фильтра. Искажений формы огибающей напряже¬
ния при этом не возникает. Аналогичный вывод можно сделать при
воздействии любых узкополосных колебаний.
Таким образом, если спектр узкополосного колебания уклады¬
вается в полосу частот coi-—сог, в пределах которой избирательная
218

цепь имеет равномерную частотную и линейную фазовую харак¬
теристики, то колебание передается через такую цепь без линей¬
ных искажений.
7.5.	Прохождение через узкополосные цепи широкополосного
колебания. Приближенный спектральный метод
Рассмотрим узкополосную цепь с заданной частотной харак¬
теристикой
К (со) = К (со) е1ф* (ш)
и резонансной частотой сор. На вход цепи воздействует широкопо¬
лосный сигнал е, имеющий спектральную плотность
Ge(®) = Ge(ffl)e,e»(tt,1	(7.66)
изображенную на рис. 7.16.
Выходной сигнал и, спектральная плотность которого
G„(ffl) = Ge(<D)/C(<о),	(7.67)
определяется обратным преобразованием Фурье от (7.67):
« = — j Ge(<D)/C(<D)ei<B< dea.	(7.68)
—оо
При вычислении интеграла (7.68) часто встречаются затрудне¬
ния. Расчет реакции цепи и можно упростить, если принять во
внимание конкретные условия за¬
дачи.
Поскольку резонансные систе¬
мы обладают высокой частотной
избирательностью, то спектр вы¬
ходного сигнала формируется
фактически тодько в узкой
полосе пропускания системы.
Если в пределах этой по¬
лосы спектральная плотность
входного сигнала изменяется
незначительно (как это по¬
казано на рис. 7.16), то
приближенно можно принять
G.(ffl)»G.(fflP) = Ge (сор) е1?е(“р) ’
(7,69)
где Ge(ojp) —значение спектраль¬
ной плотности на резонансной ча¬
стоте СОр.
Спектральная плотность выходного сигнала определяется по
приближенной формуле .
Gu (со) « Ge (Шр) К (w) = Ge(<ар)г)0е(<вр) К (к,).
219
(7.70)

При этом вычисление интеграла (7.68) упрощается, поскольку в
•подынтегральное выражение вместо функции Ge(со) входит комп¬
лексное число <Зе(сор), которое можно вынести из-под знака ин¬
теграла:
и « j Ge (ojp) е^е^р) К (со) е110* d со =
лЯ --
“—00
= Ge(Wp)-^- J К (ш)е1^ d со.	(7.71)
аЯ	__
• оо
Таким образом, при воздействии на узкополосную цепь широ¬
кополосного сигнала реакция цепи и (или ее спектральная плот¬
ность Gu(co)) могут быть приближенно вычислены по формулам
(7.71) или (7.70), если задана передаточная функция цепи Д^(со).
Согласно допущению (7.69) воздействие реального широкопо¬
лосного сигнала е на избирательную цепь приравнивается к воз¬
действию короткого импульса (дельта-импульса) с равномерной
•спектральной плотностью Ge(<op) (рис. 7.16) и фазовым спектром
*6(со), имеющим вид линейной функции частоты
0(ш) = сотз,	(7.72)
где т3 — постоянная величина, определяющая положение импуль¬
са на оси времени относительно начала отсчета ^=0.
Заменяя в приближенных формулах (7.70) и (7.71) значение
■спектральной плотности входного сигнала Се(сор)е^ее<<У на спект-
фальную плотность короткого импульса, равную Ge(cop)eifi,T3, полу¬
чим
GB»«GeK)e,10T8/C(co)
и
и л? Ge (Шр) ~ ] К (со)е,10Тз eJ“>'d со.	(7.73)
2я—эо
Поскольку обратным преобразованием Фурье от передаточной
«функции l^(co) линейной цепи является ее импульсная характерис¬
тика g(t), то с учетом свойства временного сдвига подынтеграль¬
ная функция ^(<о)е1мтз в выражении (7.73) соответствует спект¬
ральной плотности импульсной характеристики g(^+T3), сдвину¬
той на т3, т. е.
К (со) е1итз ■<—>■£(*+т,),
■& само выражение (7.73) приводится к виду
M«Ge(coP)g(* + T,).	(7.74)
•Следовательно, реакция узкополосной цепи на широкополосный
■сигнал определяется (с точностью до коэффициента Ge(ojp)) им¬
пульсной характеристикой цепи g(^+T3), сдвинутой на время т3
■относительно t = 0.
220

Временной сдвиг т3 находится из условия равенства аргументов
спектральных плотностей реального широкополосного сигнала е и
заменяющего его дельта-импульса на резонансной частоте coD
(рис. 7.16):
шрт3 = 0в (соР),
откуда
Тз = ев(юр)/С0р.	(7.75)
При расчетах по формулам (7.70), (7.71) и (7.74) используют
укороченные выражения частотной К(со) и импульсной g(t) ха¬
рактеристик цепи.
Приближенный спектральный метод позволяет получить реше¬
ния, близкие к точным, при следующих условиях:
1)	передаточная функция узкополосной цепи практически рав¬
на нулю на частотах, достаточно удаленных от частоты шр;
2)	спектр входного сигнала равномерный, без значительных
выбросов за пределами полосы пропускания цепи.
Проиллюстрируем приближенный спектральный метод на примере опреде¬
ления тока i в последовательном колебательном контуре с параметрами сор =
='Ю6 рад/с, Q=100, L=10~3 Гн, на вход которого подано напряжение
е = 100-rect ( " ,1 , Л В.
\ 2-10-7 )
Графики функции е, а также модулей спектральной плотности Ge(со) и про¬
водимости цепи У (ю) построены на рис. 7.17,а, б. Из рис. 7.17,6 следует, что
спектр сигнала е достаточно равномерный, а ширина спектра 2я/ти значитель¬
но превышает полосу пропускания цепи 2Дм
2 я/ти = я -107 рад/с > 2 Дсо = cop/Q = 104 рад/с.
Поэтому сигнал е можно считать широкополосным и для решения задачи ис¬
пользовать приближенный спектральный метод.
eft)
Е
	Е= 100 В
Ги = 2-ЛГ7с
-ZJ2 0 Ги/2	t
а)
Ф
Рис. 7.17
Согласно (7.79)
t «Ge(CDp)gj (<+ т3).
Пользуясь таблицей 2.2, поз. 4, находим
sin юр ти/2
сор ти/2
221
Ge (0>р) — Е ти
= 2-10-5.

20mA
Так как 0е(шр) = О, то т3 = 9в(шр)/шр = 0. ^Учи-
тывая что укороченное выражение импульсной ха¬
рактеристики последовательного контура имеет вид
О
(Ot	Где а = 1/тк = Шр/2 Q = 5-103 1/с,
искомый ток i определяется в виде:
Рис. 7.18
i « 2-10-5 Шр/р.е-5- ю3-* cos 10" t =
= 0,02 е-5- Ю3 /-cos 10е t A.
Временная диаграмма тока показана на рис. 7.18.
Вопросы для самопроверки
1.	В чем сущность спектрального метода анализа? Как выража¬
ется спектр G„(со) напряжения на контуре в схеме замещения
резонансного усилителя через спектр тока первой гармоники
Ог{ш) и сопротивление нагрузки Z(o)) = [/?ц||2к(а))]?
2. Какие искажения возникают при воздействии AM тока на
одиночный контур (о)о = а)р)? Как выражается напряжение на
контуре? Изобразите временные, спектральные и векторные
диаграммы обоих колебаний.
3.	Найдите и дайте физическое толкование зависимости отноше¬
ния Mu/Mi от частоты модуляции И.
4.	Чем определяется фазовый сдвиг огибающей напряжения кон¬
тура относительно огибающей AM тока, действующего на кон¬
тур?
5.	Чем вызвано искажение формы огибающей напряжения при
воздействии на контур тока, модулированного одновременно
несколькими тонами?
6.	Какое влияние на передачу сигнала через контур* оказывает
наклон его фазовой характеристики?
7.	Какие приближенные методы анализа воздействия сигналов на
узкополосные цепи Вы знаете?
8.	В чем сущность метода огибающей?
9.	Как, пользуясь спектральным методом для комплексной оги¬
бающей, определить реакцию и2 узкополосной цепи с заданной
частотной характеристикой К(о)) на произвольное узкополос¬
ное колебание щ?
10.	Как связаны между собой комплексные огибающие входного
и выходного сигналов узкополосной цепи?
11.	В чем состоит условие эквивалентности исходной узкополос¬
ной цепи и низкочастотного эквивалента? Как практически по¬
лучить выражение для передаточной функции последнего?
12.	Какой вид имеют низкочастотные эквиваленты последователь¬
ного, параллельного контура и одноконтурного резонансного
усилителя?
13.	Какими методами можно пользоваться при расчете переходных
процессов в низкочастотном эквиваленте?
14.	Как, пользуясь методом интеграла наложения для комплекс¬
ных огибающих, определить реакцию и2 узкополосной цепи с
222

заданной импульсной характеристикой g(t) на узкополосное
колебание щ?
15.	В чем сущность метода «мгновенной» частоты? Сформулируй¬
те и поясните условия, при которых этим методом можно
пользоваться?
16.	Какие искажения и почему возникают при воздействии ЧМ
сигнала на контур? Поясните на примере ЧМ сигнала, моду¬
лированного по гармоническому закону.
17.	Какой частотной характеристикой должен обладать полосовой
фильтр, не искажающий произвольные узкополосные колеба¬
ния? Приведите аналитическое и графическое обоснование от¬
вета.
18.	В чем заключается приближенный спектральный метод анали¬
за? В каких случаях целесообразно пользоваться этим мето¬
дом?
19.	Как формируется спектр сигнала на выходе избирательной це¬
пи при воздействии широкополосного сигнала?
20.	Как определяется реакция избирательной цепи с заданной
импульсной характеристикой на воздействие широкополосного
сигнала?
21.	Чем ограничивается возможность применения приближенного
спектрального метода?
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
СПОСОБЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ МОДУЛЯЦИИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Модуляция высокочастотного колебания осуществляется в уст¬
ройствах, которые называются модуляторами. На вход модулято¬
ра подается модулируемое (несущее) колебание высокой частоты
^^(oCOSK^tp)	(8.1)
и управляющее (модулирующее) колебание
е0= 2 EajCos (Q, * + +,•) = 2 eojCOsXj.	(8.2)
;=i
Обычно частота модулируемого колебания о)0 значительно
больше частоты управляющих колебаний £2,-, т. е. coo^Hj т0х-
На выходе модулятора получают колебание, модулированное
по амплитуде, частоте или фазе, спектр которого отличается от
спектра колебания на входе.
8.1.	Амплитудная модуляция
Как известно, AM колебание записывается в виде
u = U0
П
1+2 M/Cos(Q;f + i|5y)
;=i
cos (о)01 + ф) = U(f) cos Ф (О
(8.3)
223

Из выражений (8.1) — (8.3) видно, что для получения колеба¬
ния, модулированного по амплитуде, необходимо осуществить пе¬
ремножение высокочастотного и низкочастотного колебаний. Эта
операция осуществляется в модуляторе (перемножителе), кото¬
рый является либо нелинейной системой, либо линейной системой
с переменными параметрами.
В выходной цепи модулятора протекает ток, спектр которого
содержит составляющие, среди которых присутствуют несущая и
боковые AM колебания. С помощью полосового фильтра (обычно
резонансный контур или система свя¬
занных контуров) из всего спектра ча¬
стот выделяются эти полезные состав-
ляющие.
Учитывая, что фильтр выделяет ма¬
лый участок спектра, расположенный
рис_ 8.1	вокруг несущей, можно заменить вы¬
ходную цепь модулятора схемой заме¬
щения, справедливой для несущей частоты ш0. Схема замещения
(рис. 8.1) состоит из генератора тока частоты а>о с модулированной
амплитудой I\ (t) и внутреннего сопротивления по первой гармо¬
нике Ru.
Анализ амплитудного модулятора аналогичен анализу резо¬
нансного усилителя (см. гл. 6).
При модуляции могут возникать частотные и нелинейные ис¬
кажения. Частотные искажения обусловлены непостоянством амп¬
литудно-частотной и нелинейностью фазочастотной характеристик
фильтра в диапазоне частот, занимаемом AM колебаниями. Ана¬
лиз частотных искажений осуществляется методами, изложенны¬
ми в гл. 5. Нелинейные искажения, возникающие при модуляции,
рассмотрены ниже.
Модуляционная характеристика. Модуляционной характерис¬
тикой называют зависимость амплитуды выходного модулирован¬
ного напряжения от мгновенного значения модулирующего напря¬
жения t/=i/(e0).	'	.	й
Для модуляции без нелинейных искажении необходимо, чтооы
модуляционная характеристика была линейна. Модуляционная ха¬
рактеристика линейна, если амплитуда первой гармоники тока
пропорциональна мгновенному значению модулирующего колеба-
ния:
I1 = kea, где k = const,	(8.4)
и сопротивление модулятора по первой гармонике Ru постоянно:
Rtl = const.	(8.5)
Когда выходное сопротивление Ru постоянно или много боль¬
ше сопротивления фильтра, амплитуда напряжения U(t) пропор¬
циональна амплитуде тока	Тогда модуляционной характе¬
ристикой можно считать зависимость амплитуды первой гармони¬
ки тока I\(t) в схеме замещения (рис. 8.1) от мгновенного значе¬
ния модулирующего напряжения Ii = f(eQ ).
224
№
ф

В зависимости от величины модулирующего напряжения ре¬
жим модулятора может рассматриваться либо как линейный, но с
изменяющимися параметрами, либо как нелинейный. Рассмотрим
эти два режима отдельно.
Линейный режим работы модулятора. При линейном режиме
на нелинейное сопротивление модулятора действует управляющее
напряжение (8.2) с малыми амплитудами Еа. . Модулируемое на¬
пряжение (8.1) достаточно большое. Ток на выходе нелинейного
сопротивления i = f(E0, еа, eQ), где Е0 — напряжение смещения,
может быть представлен в виде двух первых членов ряда Тейло¬
ра относительно малого напряжения еа при фиксированном на«
пряжении (fo+e^):
i — f (£,0 + е0))+
df (е)
de
е=Ео+е<в
е
а-
(8.6)
Из выражения (8.6) видно, что ток и модулирующее напряжение
еа связаны линейной зависимостью, т. е. в пределах изменения
малого управляющего напряжения характеристика i=/(e) ли¬
нейна. Крутизна этой характеристики df(e)/de |е=Еа+еа изменяет¬
ся во времени. Она является нелинейной функцией периодическо¬
го колебания еа и может быть представлена рядом Фурье
df (е)
de
_	= S0 + Sx cos Ф + S2 cos 2 Ф +...
e—Е0+еа
(8.7)'
Подставив выражение для крутизны (8.7) в (8.6) и ограничи¬
ваясь спектральными составляющими тока, имеющими частоты
равные или близкие к несущей, получим
П
£j = /j cos Ф + Sj cos Ф 2 Eq . cos (Q; t + фу) =
i=i 1
= Л
1 +2 Mj cos (Qjt'+Tjpj)
cos Ф,
;=i
(8.8)
где Mj=SiEq jli — парциальные коэффициенты модуляции тока.
Из (8.2) и (8.8) следует, что закон модуляции амплитуды тока
i\ совпадает с законом изменения модулирующего напряжения.
Следовательно, в рассматриваемом режиме работы амплитуда
первой гармоники тока пропорциональна модулирующему напря¬
жению. Если при этом выполняется условие (8.5), то модуляция
осуществляется без нелинейных искажений. Режим модуляции с
линейным изменяющимся сопротивлением может быть реализован
путем подачи модулирующего и модулируемого напряжений либо
на один вход нелинейной системы, либо на ее разные входы. Не¬
обходимо лишь, чтобы модулирующее напряжение было достаточ¬
но мало и в разложении (8.6) можно было пренебречь всеми чле¬
нами, содержащими еа в степени выше первой.
Нелинейный режим работы модулятора. В нелинейном режиме
на нелинейное сопротивление модулятора действуют большие уп-
8—100
226

равляющее и модулируемое напряжения, и линеаризировать схе¬
му нельзя. Для большей наглядности рассмотрим случай, когда
оба напряжения подаются на один вход нелинейного сопротивле¬
ния, характеристика которого может быть аппроксимирована мно¬
гочленом или двумя отрезками прямых.
Для определенности рассмотрим работу
модулятора на полевом транзисторе
(рис. 8.2).
На вход транзистора Т подаются посто¬
янное смещение Е0, модулируемое напряже¬
ние еа через трансформатор высокой ча¬
стоты Tpi и модулирующее напряжение е я
через трансформатор низкой частоты Тр>.
Блокировочный конденсатор Сбл имеет ма¬
лое сопротивление для высокой частоты о)0
н большое для модулирующих частот G!j.
Транзистор работает без отсечки стокового
тока. При этом сопротивление по первой
гармонике Ru полевого транзистора прибли¬
зительно постоянно, следовательно, для от¬
сутствия нелинейных искажений достаточно,
чтобы выполнялось условие (8.4).
Воспользовавшись теорией комбинационных частот, определим
условия, при которых не возникают нелинейные искажения. Пусть
на входе транзистора с характеристикой
i = / (ы3.и) = а0 + ах (ы3.и—Е0) + а2{иЗЛ1 £0)2+ • • •
действует напряжение
ы3.„ — Е0-\-Ев cos ^ cos Ф.	(8.10)
Ток ii (t) при амплитудной модуляции должен содержать состав¬
ляющие
/1 = /1 cos Ф -\-Л М cos (Ф + К) + — Ii М cos (Ф ^).
Из выражений (8.9) и (8.10) согласно теории комбинационных
частот получаем, что такой спектр возникает при условии
£^=^0; а2=^=0‘, а3 = а4 = йь = ... = ап = 0.	(8.11)
Вели, например, аз=^=0, то в спектре тока содержится комбинаци¬
онная частота третьего порядка А = 3 вида (Ф±2А,). Это соот¬
ветствует появлению нелинейных искажений.
Таким образом, модуляция происходит без нелинейных иска¬
жений, если зависимость стокового тока от напряжения на затво¬
ре есть квадратичная парабола.
При больших входных напряжениях, когда транзистор работа¬
ет с отсечкой стокового тока, следует применять кусочно-линей¬
ную аппроксимацию характеристики i = f(uavi). Амплитуда первой
гармоники тока при этом
>+f
I
Хг
\—ф
ъ\—1Ь
С
■ + Е,
Л'
Рис. 8.2
226

/х = __1“ (0 — sin 0 cos 0),
Л
где ces0=(f7H—E0(t))/Ea-, E0(t) — смещение, состоящее из по¬
стоянного напряжения Е0 н управляющего сигнала еа, т. е.
£"©(/)	Eq~\~Еq cos 'К.
Задаваясь значениями отношения (Uu—Ео)/Еа, можно найти
зависимость I\ = f(Eo), которая является модуляционной характе¬
ристикой, так как за счет модулирующего сигнала изменяется
смещение Еб. На рис. 8.3 построен график зависимости
U	г / Ер — Ун
SE	1 [ Е
из которого видно, что в пределах —0,8Еа <£0—^<0,8/;^ за¬
висимость 1\ от Ео близка к линейной. Поэтому, если Rn^Rp, то.
в указанных пределах модуляция происходит без искажений.
|	|	1-1	1	I	1	1	!
-1 -Hfi-DJi-Olt-0,1 О 1,2 0,4 0,5 0,8 1
Ы
Еи>
Рис. 8.3
При Ri^Rp и при начальном смещении E0=UH отношение
амплитуд модулирующего сигнала н несущей для неискаженной,
модуляции должно удовлетворять неравенству Ей /Еа <0,8.
Модуляционную характеристику /1 = /(£,0) приближенно мож¬
но построить графически, если задана стокозатворная характерис¬
тика транзистора /с(Нзн ) и амплитуда высокочастотного коле¬
бания Еа . Задавшись тремя значениями смещения E0:E\ — Un,
E2=UnJrEat п Ei=Un—Еш, графически (см. § 6.2) находим три
значения амплитуды первой гармоники тока 1'и /", и	0, ко¬
торые дают три точки на модуляционной характеристике (рис.
8.4).
8.2.	Угловая модуляция
Угловая модуляция может осуществляться либо изменением
мгновенной частоты колебаний автогенератора, либо изменением
сдвига фазы, создаваемого специальным модулятором.
8'	227

Угловая модуляция, осуществляемая изменением частоты ко¬
лебаний в автогенераторе. Изменение частоты генерируемых коле¬
баний осуществляет^ перестройкой контура путем изменения его
емкости или индуктивности под действием модулирующего напря¬
жения eQ .
Зависимость мгновенной частоты от параметров контура опре¬
деляется формулой о)р=1/ }^LC. Изменение емкости или индук¬
тивности резонансного контура генератора осуществляется с по¬
мощью управляемых реактивных элементов (емкость р-п перехо¬
да, индуктивность катушки с ферритом, переменная реактивность
на базе реактивного двухполюсника и т. п.).
Рассмотрим работу генератора с реактивным двухполюсником.
Обобщенная схема реактивного двухполюсника вместе с контуром
генератора изображена на рис. 8.5. При соответствующем выборе
сопротивлений Zb Z2 сопротивление со стороны входа аб может
быть реактивным. Обычно выполняются следующие условия:
1) амплитуда тока 1\, протекающего через делитель Zb Z2,
значительно меньше амплитуды тока /, протекающего через уп¬
равляемое сопротивление Ry :
а
Рис. 8.5	Рис. 8.6
2)	модуль сопротивления |Zi| значительно меньше модуля со¬
противления | Z21:
|Z1|«iZ2|;	(8.12)
3)	нелинейный	элемент работает без токов	в цепи	управления.
Найдем проводимость схемы со стороны входа аб, определяе¬
мую как отношение комплексных амплитуд тока и напряжения на
входе:
Ya6 = ilU.	(8.13)
Согласно	рис.	8.5	и	условию (8.12) напряжение на	входе	управ¬
ляемого сопротивления
0У= , U -Z^—	■	(8-14)
Zi -т Z2	Z2
Ток, протекающий через управляемый элемент Ry, совпадает по
фазе с управляющим напряжением Оу:
i=suy,
где S — крутизна управляемого элемента.
228

Подставив выражение для тока в (8.13) и учтя (8.14), получим
Ya6 — SZ1/Zi‘
Если одно из сопротивлений Zu Z2 активное, а другое реактивное,
то их отношение — мнимая величина. Следовательно, проводи¬
мость У0б чисто реактивна:
Ya6 = S — е±)я/2.
Если Уаб—S — е+]я/2, то реактивность соответствует емкости,
z Z2
если Ya6—S— e~j3I/2, то реактивность соответствует индуктивно-
сти.
На рис. 8.6 приведены варианты двухполюсников, которые
обеспечивают получение в реактивном двухполюснике эквивалент¬
ной емкости (рис. 8.6,а) или эквивалентной индуктивности (рис.
8.6,6). Величина реактивной проводимости У0б зависит от крутиз¬
ны S нелинейного элемента. Следовательно, изменяя крутизну не¬
линейного элемента, можно изменять резонансную частоту конту¬
ра.
О
йгЦеМ
о
J*W
Ц.
■о
О
Рис. 8.8
Схема транзисторного генератора с варикапом изображена на
рис. 8.7. Параллельно контуру LC через большую разделительную
емкость Ср подключена емкость закрытого р-п перехода диода Д
(варикап). Запирающее варикап напряжение равно разности на¬
пряжений Ек—ыу. С изменением управляющего напряжения и7
изменяется емкость варикапа, что приводит к изменению резонан¬
сной частоты контура и генерируемой частоты.
Варикапы применяются для управления частотой генераторов
в диапазоне частот до нескольких гигагерц.
К недостаткам генератора с варикапом следует отнести зави¬
симость частоты генерируемых колебаний от их амплитуды и от¬
личие формы колебаний от гармонических.
Угловая модуляция, осуществляемая изменением фазы коле¬
баний. Структурная схема получения угловой модуляции в четы¬
рехполюснике с изменяющимся сдвигом фаз изображена на
229

рис. 8.8. Комплексный коэффициент передачи четырехполюсника
К = U2/01 = К (0 ei[cp*+cp(/)],	(8.15)
где Ui и Ог — комплексные амплитуды напряжений на входе и
выходе четырехполюсника соответственно; K(t) = U2/Ui— модуль
изменяющегося во времени коэффициента передачи четырехполюс¬
ника; ф0 — постоянная составляющая сдвига фазы четырехполюс¬
ника; ф(/) — переменная составляющая сдвига фазы четырехпо¬
люсника.
На вход четырехполюсника от внешнего источника подается
гармоническое напряжение высокой частоты, имеющее постоянную
амплитуду Ui и фазу фЬ т. е. 0\ = U
Согласно (8.15) комплексная амплитуда напряжения на выхо¬
де 02 = K0i = K(t) С/1 eJ 1ф1-+-ф0+ф(о]_ Таким образом, напряжение на
выходе четырехполюсника модулировано по фазе и амплитуде.
Паразитная амплитудная модуляция возникает из-за измене¬
ния модуля коэффициента передачи K(t). Паразитная амплитуд¬
ная модуляция может быть уменьшена при помощи ограничителя
амплитуды колебаний. В качестве четырехполюсника с перемен¬
ным сдвигом фазы можно использовать, например, усилитель, ре¬
зонансная частота которого изменяется при изменении индуктив¬
ности или емкости контура с помощью реактивного двухполюсни¬
ка или варикапа. Для получения линейной зависимости между от¬
носительной расстройкой и сдвигом фаз следует ограничиться
сдвигом фаз в пределах —45°-^-f45°, т. е. индекс модуляции в од¬
ном модулирующем каскаде не должен превышать л/4. При этом
амплитуда выходного напряжения изменяется от 1 до 0,7.
Для получения индексов модуляции, больших я/4, необходимо
применять несколько последовательных каскадов с изменяющей¬
ся резонансной частотой либо умножители частоты. '
В диапазоне СВЧ изменение сдвига фаз осуществляется изме¬
нением электрической длины волноводов, через которые проходят
модулируемые колебания.
8.3.	Дискретная угловая модуляция
При передаче информации целесообразно использовать сильно
различающиеся по какому-либо параметру элементарные сигналы,
соответствующие нулям и единицам передаваемого сообщения.
Чем сильнее их различие, тем меньше вероятность превращения
одного сигнала в другой под действием помех.
При дискретной модуляции часто используется частотно-им¬
пульсная пли фазоимпульоная модуляция.
При частотно-импульсной модуляции для передачи нуля ис¬
пользуется частота о)ь для передачи единицы—частота со2. При
этом необходимо выполнение двух противоречивых условий: час¬
тоты o)i и со2 должны быть по возможности разнесены, чтобы
вследствие нестабильности генераторов и действия помех прини¬
маемые сигналы не могли быть восприняты ошибочно; ширина
230

спектра передаваемого сигнала не должна превышать отведен¬
ную для передачи полосу частот.
Переключение частот производится путем изменения резонанс¬
ной частоты контура задающего генератора. Эго изменение может
осуществляться, например, переключением конденсаторов или ка¬
тушек индуктивности контура с помощью коммутирующих диодов.
Существует большое количество схем получения переключае¬
мых фиксированных стабильных частот. Рассмотрим вариант схе¬
мы переключаемых стабильных фиксированных частот с делите¬
лем частоты и фазовой автоподстройкой частоты, изображенный
на рис. 8.9. В схеме используются следующие блоки: кварцевый
генератор КГ, генерирующий напряжение ик стабильной частоты
о)о; перестраиваемый генератор ПГ, генерирующий напряжение Щ
с частотой moo в п раз более высокой, чем частота .кварцевого
генератора. Контур генератора ПГ скачком перестраивается и ге¬
нерируемая частота дискретно изменяется на величину соо- Пос¬
леднее может осуществляться, например, изменением смещения
на варикапе. При этом коэффициент п изменяется скачком. На¬
пример, п может принимать значения: «1 = 15, «2=16. Частота сиг¬
нала при этом будет принимать значения 15ojo, 1 всоо-
Рис. 8.9
Для обеспечения точной кратности генерируемой частоты и
частоты кварцевого генератора применяется система фазовой авто-
подстройки частоты (ФАПЧ), состоящая из делителя частоты ДЧ,
фазового детектора ФД, фильтра -низкой частоты ФНЧ и управ¬
ляющего элемента УЭ, регулирующего частоту перестраиваемого
генератора ПГ.
Делитель частоты представляет собой синхронизируемый на
субгармониках автогенератор с собственной частотой генерации,
близкой частоте кварцевого генератора. В режиме деления он ге¬
нерирует частоту, равную частоте перестраиваемого генератора,
уменьшенной в п раз1.
Достоинством данной схемы является наличие только одного
кварцевого генератора и необходимость переключения резонансной
частоты только одного контура в перестраиваемом генераторе.
При фазоимпульсной модуляции для передачи каждого элемен¬
тарного сигнала используется своя фаза колебания. При этом не¬
обходимо, чтобы фазы различных элементарных сигналов возмож¬
но больше различались между собой.
1 Более подробно работа системы ФАПЧ изложена в гл. 16.
231

Рассмотрим несколько способов осуществления коммутации
фазы.
1.	Коммутация фазы, осуществляемая изменением расстройки
резонансного усилителя. Здесь о помощью коммутирующих диодов
к резонансному контуру усилителя подключаются дополнительные
конденсаторы и катушки индуктивности. При этом изменяется
резонансная частота контура, а следовательно, и его расстройка.
С изменением расстройки контура Qv от +1 до —1 сдвиг фаз
изменяется от +45° до —45°, т. е. на 90°. Применять большие
расстройки нецелесообразно из-за уменьшения коэффициента уси¬
ления усилителя.
2.	Коммутация фазы с помощью фиксированных фазовращате¬
лей. Напряжение с помощью коммутирующей схемы снимается с
выходов нескольких фазовращателей, обеспечивающих требуемые
фазы выходного напряжения. Может быть использован один коль¬
цевой фазовращатель е несколькими выходами.
При необходимости иметь два значения фазы (0 и 180°), вы¬
ходные напряжения снимаются с верхней и нижней обмотки выход¬
ного трансформатора, имеющего заземленную среднюю точку.
Недостаток этих способов коммутации фазы заключен в неточ¬
ности установки требуемых фазовых сдвигов. Наличие паразитных
параметров (паразитные емкости на землю, взаимные индуктив¬
ности и т. п.), которые обычно нестабильны, вызывает отклонение
фаз выходного напряжения от заданных значений.
3.	Коммутация фазы в схеме с делителем частоты. Схема с
делителем частоты позволяет получить изменение сдвига фаз вы¬
ходного напряжения на величину Аф=860°т/п, где п — коэффи¬
циент деления; т — любое целое число от 0 до п.
Например, при и = 3 получаем: Дф = 0, 120 и 240°.
Важно, что эти фазовые сдвиги выдерживаются с очень высо¬
кой точностью, ограниченной только флуктуациями фазы на вы¬
ходе делителя. Анализ гармонических делителей частоты дан в
гл. 14.
Вопросы для самопроверки
1.	В чем заключается модуляция гармонического колебания? Ка¬
кие виды модуляции вы знаете?
2.	Какие системы могут 'быть использованы в качестве модулято¬
ров и почему?
3.	Нарисуйте и поясните схему замещения амплитудного модуля¬
тора.
4.	Что называется модуляционной характеристикой?
5.	Какая должна быть степень полинома, аппроксимирующего
ВАХ нелинейного элемента, чтобы отсутствовали нелинейные
искажения?
6.	Как выбираются .параметры входного сигнала при кусочно-ли-
нейней аппроксимации ВАХ нелинейного элемента, чтобы нели¬
нейные искажения в амплитудном модуляторе отсутствовали?
232

7.	Что такое линейный режим с переменными параметрами для
модулятора? Запишите выражение модуляционной характери¬
стики для этого случая.
8.	Что называется угловой модуляцией? В чем заключается мо¬
дуляция по частоте (фазе)?
9.	Поясните способ осуществления угловой модуляции в автоге¬
нераторе.
10.	Нарисуйте схему генератора с реактивным управляемым соп¬
ротивлением и поясните ее работу.
11.	Нарисуйте схему автогенератора с варикапом и поясните ее
работу.
12.	Поясните получение угловой модуляции при помощи четырех¬
полюсника с изменяющимся сдвигом фаз.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ДЕТЕКТИРОВАНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ
Детектированием называют процесс восстановления модулиру¬
ющего напряжения из модулированных колебаний, т. е. процесс,
обратный модуляции. В зависимости от вида модуляции напряже¬
ние на выходе детектора должно воспроизводить закон изменения
амплитуды, частоты или фазы детектируемого 'Сигнала, Детекти¬
рование сопровождается преобразованием спектра, которое заклю¬
чается в создании частот Й,-, не содержащихся в спектре входного
модулированного колебания. Поэтому для детектирования необхо¬
димо применять нелинейную систему или линейную систему с пе¬
ременными параметрами, а также 'фильтр, выделяющий необхо¬
димые частоты спектра.
Преобразование частоты представляет собой процесс переноса
спектра модулированных колебаний из одной области частот в
другую без изменения структуры сигнала. Этот процесс осущест¬
вляется в нелинейной системе или линейной системе с переменны¬
ми параметрами.
9.1.	Детектирование амплитудно-модулированных колебаний
При детектировании AM колебаний (рис. 9.1,а) необходимо по¬
лучить колебания (рис. 9.1,6), совпадающие по 'форме с огибаю¬
щей AM колебаний. Иными словами, из спектра AM колебаний
(рис. 9.2,а), состоящего из несущей и боковых, сдвинутых относи-

тельно несущей ю0 на модулирующие частоты ±£2,-, необходимо
получить модулирующие частоты (рис. 9.2,6).
Любой детектор AM колебаний содержит элемент, где проис¬
ходит преобразование спектра, и фильтр нижних частот, который
выделяет требуемый спектр. Элементом, в котором осуществляется
преобразование спектра, может быть как управляемое (транзистор,
триод, пентод), так и неуправляемое (диод) нелинейное сопротив¬
ление, или линейное сопротивление с переменными параметрами.
Е
О
U
III!
Т
Ll_
Ый~&щах й
а)
Jo
Й/
"h
1_н
cOQ+B/naZ 0 &тах о)
0
Рис. 9.2
Фильтр нижних частот выделяет все составляющие продетек-
тированного сигнала (w^Qmax) н не пропускает высокочастотные
составляющие.
В качестве фильтра нижних частот чаще всего применяется
/?С-цепочка, параметры которой выбираются так, чтобы выполня¬
лись неравенства
_J
^гаах С
(9.1)
щ С
«Я,
(9.2)
где Qmnjc — максимальная частота модулирующего колебания; соо —
несущая частота.
При выполнении неравенства (9.1) частотные искажения отсут¬
ствуют. При выполнении неравенства (9.2) выходное напряжение
не содержит высокочастотной составляющей.
При действии AM колебания
e(t) — E (t)cos(a0t + <p) = £ (£)cosO	(9.3)
на преобразующий элемент детектора возникает ток, который со¬
стоит из ряда гармоник:
i — /0 (/) + /х (t) cos Ф + /2 cos 2 Ф + ...
Все высокочастотные составляющие тока отфильтровываются
фильтром нижних частот и не создают выходного напряжения. По¬
лезным результатом детектирования является напряжение U0(t),
которое создается на выходе детектора за счет нулевой составляю¬
щей тока /„(/).
234

Зависимость выходного напряжения Uq от амплитуды высоко¬
частотного напряжения Е на входе детектора называется характе¬
ристикой детектирования-.
V0 = f(E).
При детектировании AM колебаний могут возникать линейные
(частотные) и нелинейные искажения. Частотные искажения воз¬
никают вследствие неравномерности частотной характеристики
фильтра нижних частот в диапазоне, занимаемом продетектирован-
ным сигналом. Нелинейные искажения возникают при нелинейной
зависимости выходного низкочастотного напряжения от амплиту¬
ды AM колебаний, т. е. при нелинейной характеристике детекти¬
рования.
В зависимости от амплитуды AM колебаний и степени нелиней¬
ности элемента при анализе схемы детектора обычно применяется
либо полиномиальная, либо кусочно-линейная аппроксимация
вольт-амперной характеристики нелинейного элемента.
При малых амплитудах AM колебаний следует применять ап¬
проксимацию вольт-амперной характеристики нелинейного элемен¬
та квадратичной параболой i = a0 + av(u—Е0)+а2(и—Е0)~. Это со¬
ответствует так называемому квадратичному режиму детектирова¬
ния. Нулевая составляющая тока, в соответствии с выражением
(6.27), определяется по формуле
/о= а а -\	а->Е - (I).
Оценим нелинейные искажения при квадратичном режиме де¬
тектирования напряжения, модулированного по амплитуде одной
частотой:
е =	(1 -f-McosA.) соэФ, где X = Q t + ф.
Подставляя значение амплитуды Е(t). = E0 (1 Д-МсобЯ) в выраже¬
ние для нулевой составляющей тока, получим
/0 (/) = а0 + ~ а2 Е2а (1 + М cos X)2 =
= а0 + ~а2	+ ~~а2 Е2Ы М2 +
+ а2 Е-ш М cos X + а» М2 cos 2 X.
Амплитуда первой гармоники частоты Q, которая является по¬
лезным результатом детектирования, равна IQ = a2E2(l)M. Амплиту¬
да второй гармоники частоты Q, которая является продуктом не¬
линейных -искажений, равна /оо = — а^Е-.М-.
“	4	“ ш
Отношение эффективного значения тока .всех (кроме основной)
гармоник к эффективному значению тока основной частоты назы¬
вается коэффициентом нелинейных искажений
235

V =
Подставляя значения первой и второй гармоник тока, получаем,
что коэффициент нелинейных искажений при 'квадратичном режи¬
ме детектирования колебаний, модулированных одной частотой, ра¬
вен М/4.
При большом коэффициенте модуляции нелинейные искажения
значительны. Так, при М = 1, v = 25%. Наличие больших нелиней¬
ных искажений является недостатком квадратичного режима де¬
тектирования.
При подаче AM колебаний >с большой амплитудой характери¬
стику нелинейного элемента можно аппроксимировать двумя от-
резкими прямых (рис. 9.3,а):
. (О	при «<;£/„,
(5 (u—С/н) при и >[£/„,
где S — крутизна линейного участка характеристики; U„—напря¬
жение отсечки (начала характеристики).
Амплитуда нулевой составляющей тока
/0(f) = 5£W(sine — 0cos0),	(9.4)
Я
где
cos 0 = (£/„—Е0)/Еа.
Из выражения (9.4) следует, что при угле отсечки 0 = 90° харак¬
теристика детектирования линейна
I0(t) = ^ ,U0(t)=~E(t),
где R — сопротивление '.нагрузки.
В линейном режиме детектирования при 0 = 90° нелинейные ис¬
кажения не возникают. Ниже рассматривается работа наиболее
распространенного типа детекторов, диодного детектора и принцип
работы синхронного детектора.
9.2.	Диодное детектирование
Детектирование, где преобразующим элементом служит диод,
называется диодным. Особенностью диодных детекторов является
наличие обратной связи, когда напряжение смещения на диоде соз¬
дается за счет продетектированного напряжения.
По способу включения различают схемы последовательного и
параллельного диодного детектора. Принцип работы обеих схем
почти одинаков. Рассмотрим работу последовательной схемы диод¬
ного детектора.
Последовательная схема диодного детектора применяется в том
случае, когда входное напряжение не содержит постоянной состав-
236

ляющей. Последовательная схема детектора (рис. 9.4) состоит из
диода Д, включенного последовательно с нагрузкой R, которая за-
шунтирована конденсатором С. Продетектированное напряжение
U0 снимается с #С-цепи.
Пусть на последовательный диодный детектор действует немо-
дулированное высокочастотное напряжение e = £cosO. В первый
момент, во время положительного полупериода входного напряже¬
ния диод открыт и через него протекает ток i, заряжающий кон¬
денсатор С с постоянной времени т3 = C(Ra\\R) ~RaC, где Rд — со¬
противление открытого диода. Когда напряжение на конденсаторе
больше мгновенного значения входного напряжения, диод закрыт,
ток через диод не проходит, и конденсатор С разряжается током iR,
протекающим через рези-
На рис. 9.5,а изображены временные диаграммы входного на¬
пряжения е, напряжения U0 на ячейке RC и тока i через диод Д
сразу после включения схемы, а на рис. 9.5,6 — временные диа¬
граммы для тех же напряжений и тока в установившемся режиме.
Параметры схемы диодного детектора выбираются так, чтобы
выполнялось условие 1 /со0C<^R. При этом напряжение U0 почти
не содержит высокочастотной составляющей. При детектировании
напряжения с постоянной амплитудой U0 считаем постоянным.
Определим выходное напряжение U0 при действии на входе
гармонического напряжения с большой амплитудой, когда можно
воспользоваться кусочно-линейной аппроксимацией вольт-амперной
характеристики диода (рис. 9.6,а). Будем считать, что вольт-ам-
перная характеристика диода задана выражением
при и < О

Ток диода i (рис. 9.6,в) имеет вид -последовательности импуль¬
сов и может быть представлен рядом Фурье:
i = /0 + /1 соэФ + /2 cos 2 Ф + ...
Все высокочастотные составляющие тока замыкаются через боль¬
шую емкость С. Падение напряжения U0 на ячейке RC создает
только нулевая составляющая тока /о:
Vo = IoR-	(9.6)
е,и0
н. .а.
i
i
jqL
£
Напряжение и, приложенное к диоду,. складывается из напря¬
жения на входе е и напряжения U0: и = —£/o + £cos(D. При аппрок¬
симации вольт-амперной характеристики диода двумя отрезками
прямых (9.5) постоянная составляющая тока -согласно (9.4)
ср
/„ = — (sin 6 — 0cos0),
Я
где угол 0, согласно рис. 9.6,6, определяется из выражения
cos 0 = £/„/£.	(9.7)
Из равенств (9.6) и (9.7) -следует, что
/o=-|-cos0.	(9.8)
Приравнивая правые части выражений (9.4) и (9.8), получаем
расчетную формулу для определения угла отсечки 0 диодного де¬
тектора:
tg 0 — Q = n/RS.	(9.9)
Таким образом, угол отсечки 0 определяется только ’сопротивле¬
нием нагрузки R п крутизной вольт-амперной характеристики S
238

открытого диода Д и не зависит от амплитуды приложенного на¬
пряжения Е. Следовательно, характеристика детектирования
7/o = £cos0	(9.10)
линейна.
Величины 0 и cos 0 определяются как функции произведения RS
по графикам (рис. 9.7 и 9.8), которые построены на основании
формулы (9.9).
Коэффициент передачи диодного детектора Кд, определяемый
как отношение постоянного напряжения U0 к амплитуде входного
высокочастотного напряжения Е, с учетом (9.10) равен:
/Сд = £/„/£ = cos 0.	(9.11)
Обычно RS>100. При этом (как видно из рис. 9.8) коэффициент
передачи детектора лежит в пределах от 0,9 до 1.
Основным недостатком диодного детектора является его срав¬
нительно низкое входное сопротивление, шунтирующее резонанс¬
ный контур, к которому подключается вход детектора. На контуре
имеется напряжение только первой гармоники, поэтому из всех,
гармоник тока, протекающих в детекторе, только первая гармо¬
ника отбирает мощность из контура.
Определим входное сопротивление диодного детектора по пер¬
вой гармонике /?д1 = £//ч. Согласно (6.15) амплитуда первой гар¬
моники тока, протекающего через диод,
1г = — (0 — sin 0 cos 0),
откуда
Кд\ =
л	1
5 0—sin0cos0
Согласно (9.9), имеем
n/s = tf(tge—0).
239
(912)
(9.13)

Подставив (9.13) .в (9.12), получим расчетную формулу для оп¬
ределения входного сопротивления по первой гармонике последова¬
тельной схемы диодного детектора1:
Яд1
tg 9 — 9
0 — sin 9 cos 0
R.
(9.14)
На рис. 9.9 приведен график зависимости Ra\/R от значения RS,
построенный на основании формул (9.9) и (9.14). Видно, что при
/?5>100 входное сопротивление последовательной схемы диодного
детектора по первой гармонике приблизительно равно половине
сопротивления нагрузки R:
Rni ж ~ R при RS > 100.	(9.15)
При подаче на вход последовательного диодного детектора
(рис. 9.4) AM колебания e = E(t) cos Ф происходят те же процессы,
что и при детектировании высокочастотных колебаний с постоян¬
ной амплитудой. При изменении амплитуды E(t) изменяется на¬
пряжение U0 на ячейке RC. При изменении амплитуды, достаточ¬
но медленном по сравнению с постоянной времени ячейки RC, т. е.
при выполнении условия (9.1), угол отсечки поддерживается поч¬
ти постоянным. Он определяется только значением RS и не зави-
а)
Рис. 9.10
1 Входное сопротивление по первой гармонике определяется по формуле
(9.14) или (9.15) только в установившемся режиме, т. е. при постоянном угле
отсечки 0. При детектировании AM колебаний угол 0 все время изменяется.
Прк возрастании амплитуды AM колебаний угол 0 больше своего установивше¬
гося значения, а при уменьшении амплитуды — меньше. Сопротивление по пер¬
вой гармонике также изменяется.
240

сит от мгновенного -значения амплитуды колебаний. При этом де¬
тектирование происходит без нелинейных искажений.
Временные диаграммы -входного е и выходного Uо напряжений,
изображенные на рис. 9.10,а, соответствуют нормальному режиму
диодного детектора, -когда -выполняется условие (9.1).
На рис. 9.10,6 изображены -временные диаграммы входного е и
выходного напряжений U0 -при постоянной -времени RC, -слишком
большой для данной частоты модуляции, т. е. для случая, ко-гда не
выполняется неравенство (9.1). Когда амплитуда E(t) уменьшает¬
ся, конденсатор С не успевает разряжаться через большое сопро¬
тивление R и напряжение U0 на ячейке RC не успевает следить за
амплитудой входного напряжения. При этом угол отсечки изменя¬
ется в широких пределах, так что детектирование становится не¬
линейным и возникают -искажения.
9.3.	Синхронное детектирование AM колебаний
Синхронное детектирование осуществляется линейной схемой,
проводимость которой изменяется с частотой, равной -несущей час¬
тоте AM колебаний. Подобное детектирование реализуют при -по¬
мощи линейной -системы с переменными параметрами.
Пусть на -вход нелинейного четырехполюсника (рис. 9.11) с ха¬
рактеристикой i=f(u) поступает AM напряжение с несущей часто¬
той CD о
ех — Е (t) cos (со01 + ф)
(9.16)
и -синхронное нем-одулированное напряжение -той же частоты
е2 = Е2 cosсо0 t.	(9.17)
Наложим условие
Ег »£(/).	(9.18)
Ток i является нелинейной функци¬
ей входного напряжения. Его мож¬
но представить в виде ряда Тейлора
относительно малого напряжения е\ в точках, определяемых боль¬
шим напряжением е2:
i = f (и) = f (е, + е2) = f (е2)
df(u)
du
-ei +
и=е2
1	d*f(u)
2	du2
u=e2
(9.19)
Учитывая неравенство (9.18), -отбросим члены ряда
жащие е{ в степени выше первой. Тогда
» = f(e2)
, df (и)
^ du
■ev
(9.19), содер-
Подставив в (9.20) значения в\ и е2, перепишем его -в виде
241
(9.20)

— крутизна вольт-амперной характери-
Е (f) cos (©о t -f ф) = / (Е2 cos ю0 t) +
(9.21)
Стаки нелинейного элемента. Крутизна S{1) является периодичес¬
кой функцией напряжения e2=E2cos(oot и ее можно представить в
виде ряда Фурье
Подставив значение крутизны S(t) (9.22) в выражение для
тока (9.21), получим
t = / (£2 cos ©о /) + Е (t) cos (ю01 -f cp) (S0 + cos го01 + ...).	(9.23)
Все высокочастотные составляющие спектра тока замыкаются че¬
рез емкость С. Низкочастотные составляющие тока создают напря¬
жение на сопротивлении R. Выходное напряжение с учетом (9.23)
Выражение (9.24) описывает характеристику детектирования.
Из него следует, что выходное напряжение линейного синхронного
детектора пропорционально амплитуде E(t) и косинусу сдвига фаз
cos cp AM колебания (9.16) относительно синхронного напряжения
(9.17). Характеристика детектирования линейна, следовательно,
при синхронном линейном детектировании не возникает нелиней¬
ных искажений.
Если сдвиг фаз между AM колебанием н синхронным напряже¬
нием равен 90°, то напряжение на выходе детектора отсутствует.
Следовательно, синхронный детектор обладает избирательностью
по фазе. Это свойство повышает помехозащищенность синхронного
детектора. Действительно, синхронный детектор не реагирует на
помехи, имеющие частоту, равную несущей частоте полезного сиг¬
нала, но сдвинутые относительно опорного напряжения на угол
90°.
Недостатком синхронного детектирования является необходи¬
мость создания синхронного и синфазного опорного напряжения.
9.4.	Детектирование частотно- и фазомодулированных
колебаний
Частотно- н фазомодулированные колебания с — Е cos[o)0/-f ф (/) ]
имеют постоянную амплитуду Е= const, поэтому они не могут быть
продетектированы с помощью амплитудных детекторов, так как
S (/) = 50 -f Sj cos ю0 (-f S2 cos 2 ю01 -f ...,
(9.22)
где Sn — коэффициенты ряда Фурье:
УВь,1 W = y5i^coscp£(0-
(9.24)
242

выходное -напряжение этих детекторов зависит только от амплиту¬
ды модулированных колебаний.
Детектирование ЧМ и ФМ колебаний может осуществляться
либо с помощью синхронного детектора, либо путем предваритель¬
ного преобразования их в колебания, амплитуда которых изменя¬
ется по закону модулирующего напряжения, с последующим ам¬
плитудным детектированием. В последнее время стали применять¬
ся также частотные детекторы на базе цифровых счетчиков часто¬
ты с цифроаналоговыми преобразователями (ЦАП).
Напряжение на выходе синхронного детектора согласно (9.24)
U
ВЫ1 (t) = — SlRco&qE(t).
При ФМ колебаниях амплитуда Е постоянна, и выходное напря¬
жение пропорционально cos ср, где ср — сдвиг фаз между входным
ФМ напряжением и опорным немодулировапным напряжением.
График зависимости выходного напряжения синхронного детектора
от фазы входного ФМ напряжения представляет собой косину¬
соиду.
Синхронный детектор может быть использован для детектиро¬
вания ФМ колебаний при условии, что фаза изменяется в пределах
0<ф<180°. Однако при -изменении фазы в указанных пределах де¬
тектирование происходит с большими нелинейными искажениями.
Детектирование ЧМ п ФМ колебаний путем предварительного
преобразования их в колебания с амплитудой, изменяющейся по за¬
кону модулирующего сигнала, и с последующим амплитудным де¬
тектированием осуществляется в -соответствии со -структурной схе¬
мой на рис. 9.12. Преобразователь Пр преобразует колебание щ =
= U\ cos[too^ + tp(/)] в колебание с изменяющейся амплитудой
«2=rr2(/)cos[o)0/ + (p(0 +фк(/)]. Выходное напряжение амплитуд¬
ного детектора АД пропорционально амплитуде колебаний на его
входе; ГДых~fcU2'{0•
Преобразование ЧМ колебаний в колебания с изменяющейся
амплитудой обычно осуществляется, в резонансном усилителе при
работе на одном из склонов резонансной кривой.
На рис. 9.13,6 приведено графическое построение закона изме¬
нения амплитуды выходного напряжения усилителя, исходя из час¬
тотной характеристики контура усилителя (рис. 9,13,а) и из
временной диаграммы мгновенной ча¬
стоты ЧМ колебания (рис. 9.13,в). Сле- и,
дует иметь в виду, что построение, при- ’
веденное на рис. 9.13, справедливо при
достаточно медленном изменении час-	Рис, 9.12
тоты ЧМ колебания, когда напряже¬
ние на контуре успевает следить за мгновенным значением частоты.
При быстрых изменениях частоты, когда напряжение на контуре
не успевает следить за мгновенным значением частоты ЧМ колеба¬
ния, изображающая точка на рис. 9.13,а будет перемещаться не по
отрезку резонансной кривой, а по эллипсу, изображенному пунк¬
тирной линией.
Пг
U 9ЫХ
243

Выходное напряжение ыВых, модулированное по амплитуде и
частоте, детектируется с помощью амплитудного детектора.
Для детектирования ФМ колебаний с малым индексом модуля¬
ции (m< 1) применяется схема балансного фазового детектора с
опорным напряжением (рис. 9.14). Напряжение на выходе этого
детектора зависит от разности фаз входного ФМ сигнала е и опор¬
ного напряжения е0, имеющего ту же несущую частоту, что и сиг¬
нал е:
е0 = Е0 cos со01,
е = Е cos [со0/ + ф(/)].
Схема состоит из двух последовательных диодных детекторов.
На вход одного детектора подается сумма опорного напряжения и
половины входного напряжения, на вход другого — их разность.
Поэтому входное напряжение одного детектора eI = £0cos(o0/ +
+ -c°s|W + cp(0], а входное напряжение другого е2 = Е0 cos co0/ —
244

— у cos [сйо/ + ф(0]- Из векторной диаграммы на рис. 9.15 следует,
что а-мплитуды входных напряжений детекторов равны соответст¬
венно Е\ и Е2. Напряжение на выходе первого детектора НВых1 =
= Е]Кд]. Напряжение на выходе второго детектора НВых2 = £-2^д2-
Здесь Кд 1 и Кд2 — коэффициенты передачи первого и второго де¬
текторов соответственно. Обычно они выбираются одинаковыми:
Кд1 = Кд2 = Кд.
Выходное напряжение всей схемы U вых равно разности напря¬
жений на выходах диодных детекторов:
^вых = ^ВЫХ 1 UВЫХ 2 = К Д (^1	^г)-
Векторные диаграммы напряжений для ср = 90° и ф=т^90о изображе¬
ны на рис. 9.15,а, б.
При сдвиге фаз между опорным и детектируемым напряжения¬
ми, равном 90°, векторная диаграмма получается симметричной, и
амплитуды Е\ и Е2 равны (рис. 9.15,а).'
Выходное напряжение при этом равно
нулю.
При сдвиге фаз, отличном от 90°, сим¬
метрия векторной диаграммы нарушается
(рис. 9.15,6). Векторы Ei и Е2 становятся
не равными по абсолютной величине и
выходное напряжение отлично от нуля.
При сдвиге фаз 0 и 180° получается максимальное выходное на¬
пряжение UВых max*
Из рис. 9.16 видно, что в пределах 30°<ф<150° зависимость
выходного напряжения от сдвига фазы почти линейна. Следова¬
тельно, детектирование ФМ колебаний будет происходить без не¬
линейных искажений.
6) о	ш-
а)
111 i .j
<УЛр
Рис. 9.17
О)
9.5.	Преобразование частоты
Преобразование частоты заключается в сдвиге спектра сигнала'
по оси частот без изменения его структуры.
Пусть имеется колебание e = £(0cos[coo/-^i(0] с несущей ча¬
стотой (о0. Путем преобразования частоты можно получить колеба-
245

ние .вида и = КЕ (/) cos[conp^ + cpi (t) +<р], .которое имеет тот же за¬
кон изменения амплитуды Е (t) и фазы срДН, но новую несущую
частоту (Оцр. Спектры исходного и преобразованного колебаний
изображены соответственно на рис. 9.17,а, б.
Преобразование частоты широко применяется в радиоприемни¬
ках. На вход приемника поступает ряд ‘модулированных сигналов
передающих станций. Каждая станция имеет свою несущую часто¬
ту юог (рис. 9.18). В радиоприемнике должно осуществляться вы-
Рис. 9.18
У
деление и усиление сигнала лишь одной принимаемой станции.
В приемниках прямого усиления для перехода с приема одной
программы к приему другой необходимо перестраивать резонанс¬
ные контуры всех резонансных усилителей на несущую частоту
новой программы. Это усложняет конструкцию входных цепей при¬
емника. Кроме того, на высоких частотах трудно обеспечить уси¬
ление и требуемую избирательность резонансных усилителей.
Эти недостатки устранены в супергетеродинных приемниках.
На входе супергетеродинного приемника после усиления колебаний
высокой частоты находится блок преобразователя частоты ПЧ
(рис. 9.19), который состоит из перестраиваемого генератора Г
(гетеродина) гармонических колебаний ег = Ег cos (соЧ + фг) и сме-
!	п	сителя С.„, в котором смешиваются
напряжения гетеродина и входного
сигнала, поступающего с антенны.
Далее располагается усилитель про¬
межуточной частоты УПЧ, состоя¬
щий из ряда резонансных усилите¬
лен, настроенных на фиксированную
промежуточную частоту. УПЧ выде¬
ляет и усиливает только фиксиро¬
ванную ПОЛОСУ ЧаСТОТ (Опр±Л(йпр-
При приеме программы с несущей частотой юп; осуществляется
преобразование частоты, в результате которого спектр принимае¬
мой программы преобразуется .в спектр такого же модулирован¬
ного колебания, по с несущей частотой, равной промежуточной ча¬
стоте УПЧ. Этот преобразованный сигнал усиливается УПЧ. Для
приема другой программы достаточно так изменить частоту гете¬
родина (Ог, чтобы в полосу пропускания УПЧ попадал преобразо¬
ванный спектр новой программы.
246
ПЧ
т
1
“Г^
Су
1
1
УПЧ
1
j
JL
Рис. 9.19

Преобразователи частоты широко применяют также в измери¬
тельной технике.
При преобразовании частоты -могут возникать частотные и не¬
линейные искажения. Частотные искажения обусловлены неравно¬
мерностью частотной характеристики преобразователя в диапазоне
частот, занимаемом спектром преобразованного сигнала. Для их
устранения необходимо, чтобы фильтр УПЧ имел постоянный ко¬
эффициент усиления в диапазоне частот, занимаемом спектром
преобразованного сигнала.
Нелинейные искажения при преобразовании AM сигнала обус¬
ловлены появлением в спектре преобразованного сигнала лишних
частотных составляющих -и проявляются в том, что огибающая
преобразованного сигнала отличается по форме от огибающей
входного сигнала.
В смесителе осуществляется преобразование спектра, в резуль¬
тате чего создаются новые частоты. Следовательно, смеситель дол¬
жен быть или нелинейной системой, или линейной системой с пе¬
ременным1» параметрами. Возможны два режима работы смеси¬
теля:
1)	режим нелинейного преобразования, когда ‘входное напря¬
жение п напряжение гетеродина ег достаточно
мо учитывать нелинейность характеристики
i = f {e). Смеситель в этом случае является не¬
линейной системой;
2)	режим линейного преобразования, когда
действует большое напряжение гетеродина
ег и малое напряжение входного сигнала ес.
По отношению к малому входному сигналу
смеситель может рассматриваться как линей¬
ная система с переменными параметрами.
Применяются различные схемы смесителей.
Ниже рассмотрена работа смесителя на поле¬
вом транзисторе в нелинейном и линейном ре¬
жимах.
Линейная схема замещения смесителя. Схе¬
ма смесителя на полевом транзисторе изобра¬
жена на рис. 9.20. Резонансный контур
смесителя, -включенный в выходную цепь, настроен на промежу¬
точную частоту (0р=(0пр-
На .вход схемы подаются постоянное смещение Е0, входное мо¬
дулированное напряжение Е(t) cos (aQt + ф<0 = E(t)cos Фс -и немоду-
лированпое напряжение гетеродина Ег cos (соЧ + фг) = Ег cos Фг.
Таким образом, «напряжение на входе транзистора
e = £'0 + £'(Ocos®c4-£rcos®r.	(9.25)
Спектр стокового тока как в режиме линейного, так и нелиней¬
ного преобразования будет содержать большое количество состав¬
ляющих. Контур выделит из этого спектра тока только составляю¬
щую вблизи резонансной частоты. Следовательно, выходную цепь
247
велики и необходи-

смесителя (рис. 9.20) можно заменить линейной схемой замещения
для частоты юр = Ющ,, подобной схеме замещения резонансного уси¬
лителя.
Амплитуда напряжения на выходе преобразователя
^.р=-/«р(^рН4).	(9.26)
где ZK — сопротивление контура на частоте преобразованного сиг¬
нала.
Из (9.26) следует, что выходное напряжение смесителя пропор¬
ционально амплитуде /Ир составляющей стокового тока с часто-
ТОЙ (Dp = (Djxp.
Ниже приводится определение /Ир для различных режимов сме¬
сителя.
Нелинейное преобразование частоты. Пусть стокозатворная ха¬
рактеристика полевого транзистора аппроксимируется полиномом
t = а0 + аг (и—Е0) + а2 (и—E0f + а3 (и—Е0)3 + ...	(9.27)
Подставив в (9.27) значение напряжения на входе (9.25), по¬
лучим
i = a0 + a1[E(t) cos Фс + Ег cos Фг] + ай [Е (/) cos Фс +
+ Ег cosФг]2 + а3 [Е (t) cos Фс -f Ег cos Фг]3 + ...	(9.28)
Ток (согласно табл. 6.1) имеет спектр, содержащий частоты:
О, юс, юг, 2юо, 2юг, Юо — юг, Зюо, Зюг, юо±2юг, юг±2юо.
Выберем так частоту гетеродина юг, чтобы в полосе пропускания
контура оказалась, например, комбинационная частота вида
Wo (Ог — (Dnp- При этом контур из всего спектра частот выделит
только составляющую с частотой юо—юг.
Учтем в выражении (9.27) первые три члена разложения. Со¬
ставляющая тока с частотой юпр, как следует из (9.28) или табл.
'6.1, получается из слагаемого а2(и—Е0)2 и имеет вид
»пр = — а2ЕгЕ (t) cos (Фс—Фг),
откуда /пр= —a2ErE(t).
(9.29)
Так как величина — a2£V не зависит от E(t), то зависимость
между амплитудой тока /пр и амплитудой входного напряжения
E(t) оказывается линейной. Таким образом, при квадратичной
вольт-амперной характеристике нелинейного элемента преобразо¬
вание частоты происходит без нелинейных искажений модулирую¬
щего сигнала.
Если в аппроксимирующем характеристику транзистора полино¬
ме учесть член а4(м—Ео)4, то ток с частотой юпр будет определять¬
ся так:
’пр
= — а2ЕгЕ(t)cos(Фс — Фг) + -2- а4 Е3ГЕ (t) cos(Фс —Фг) +
248

+ ~Y ai Er E“ (0 cOs (Фс — Фг)-
Здесь амплитуда третьего члена нелинейно зависит от амплиту¬
ды входного сигнала. Следовательно, появляются нелинейные ис¬
кажения огибающей преобразуемого AM колебания.
Линейное преобразование частоты. Линейное преобразование
частоты имеет место, когда амплитуда сигнала, 1Подаваемого на
смеситель, достаточно мала, в то время как амплитуда напряже¬
ния гетеродина -велика. По отношению к -колебанию с малой ам¬
плитудой система оказывается линейной с переменными парамет¬
рами.
Рассмотрим работу смесителя при переменном входном напря¬
жении, состоящем из напряжения гетеродина £гсозФг с большой
амплитудой и напряжения сигнала £(^)cosQc с малой амплиту¬
дой E{t).
Находим спектр основного тока (см. § 6.2)
г0 = <з0 + a, £rcosФГ + а2£2rcos2Фг +	,
который содержит частоты 0, cor, 2cor, Зон-, ... и не содержит инте¬
ресующей нас частоты соПр. Определяем дополнительный ток
A i -
. df (и)
du
■Е (i) cosФс = (at + 2а2Ег cosФг +
+ 3а3£2rcos2Фг-f- ...)£(/) cosФс.
(9.30)
Спектр дополнительного тока состоит из частот:	со0, (o0±(Or,
2(Ог±(Оо, 3(Ог±(Оо, ...
Частоту гетеродина выбираем так, чтобы контур усилителя про¬
межуточной частоты -выделял частоту (Опр=(Оо—сог. Составляющая
тока с частотой conp, найденная из (9.30), равна:
»'пр = агЕ (0 Ег cos (Ф0 —Фг),
откуда
/пр = а2 ЕгЕ (0-	(9.31)
Из (9.31) следует, что преобразование частоты происходит без
искажения закона изменения амплитуды входного сигнала.
Перекрестная модуляция. Явление перекрестной модуляции со¬
стоит в том, что на -выходе смесителя колебание с несущей часто¬
той о)р = о)г—(Doi оказывается модулированным не только по закону
модуляции принимаемого -входного напряжения с несущей частотой
(Doi, но -и по закону модуляции других колебаний, например с не¬
сущей частотой (о02.
Рассмотрим причину возникновения перекрестной модуляции.
На входе смесителя действует сигнал, который содержит спектры
сигналов ряда передающих -станций, причем амплитуды некоторых
мешающих сигналов -могут иметь такую же (илл даже большую)
величину, что и амплитуда принимаемой станции.
249

Ограничимся учетом одной мешающей станции с несущей час¬
тотой йог- Тогда напряжение, действующее ,на входе смесителя, бу¬
дет иметь вид
е = Е0 -f Ег (t) cos Ф[ -f Ег cos Фг £2 (/) cos Ф2.
Считаем, что вольт-амперная характеристика аппроксимирована
полиномом четвертой степени.
Спектральная составляющая тока разностной частоты (сог—cooi)
будет создаваться за счет двух членов полинома а2(и—Еа)2 и
а4(ц—Е0)4. От члена а2(и—Е0)2 возникает только одна составля¬
ющая частоты (сйг—cooi). определяемая выражением (9.29). От
члена а4(«—£о)\ кроме составляющих (9.9) с частотой (сог—cooi)
возникнут дополнительные составляющие. Определим их. После
возведения в четвертую степень члена а4(ц—Еа)4 получим произ¬
ведение a^Ei (t)ErE22(t) cos Ф] cos Фг cos Ф2, которое дает составля¬
ющую с частотой сйг—(Оо1 = соПр, равную
А г'пр = -J- «4 Еу (:О Ет Е\ (0 cos (Фг—Ф:).
Так как сигнал мешающей станции E2(t) модулирован по ам¬
плитуде, то модуляция амплитуды E2(t) наложится на сигнал про¬
межуточной частоты сог—cooi и создаст помеху на выходе прием¬
ника.
Если сигнал, на который настроен приемник, имеет частоту юоь
то на выходе преобразователя будет присутствовать AM напряже¬
ние промежуточной частоты
U^^KE^ErEW).
Закон изменения амплитуды Uвг_в01 не совпадав с законом
модуляции сигнала с несущей частотой cooi. На выходе приемника
получим искаженный сигнал мешающей станции.
При выключении принимаемой станции, когда £1 = 0, сигнал
второй (мешающей) станции также исчезает, так как напряжение
Uшг—юм становится равным нулю.
Отметим, что явление перекрестной модуляции не возникает,
если амплитуды входных напряжений достаточно малы и смеси¬
тель можно рассматривать как линейную систему с переменными
параметрами.
Вопросы для самопроверки
1.	Что такое детектирование? В каких системах можно осущест¬
вить детектирование?
2.	Каково назначение амплитудного детектора? Каков спектр на¬
пряжений на его выходе и входе при однотональной модуля¬
ции?
3.	Что называют характеристикой детектирования?
250

4.	Сравните квадратичный и линейный режимы детектирования.
5.	Из каких соображений выбираются элементы фильтров R и С?
6.	Поясните возникновение нелинейных искажений при квадратич¬
ном режиме детектирования.
7.	Изобразите схему последовательного диодного детектора и по¬
ясните принцип его работы.
8.	Чем определяется угол отсечки в схеме последовательного ди¬
одного детектора?
9.	Что понимают под .входным сопротивлением последовательной
схемы диодного детектора? Чем оно определяется?
10.	Нарисуйте временные диаграммы напряжения на входе, выхо¬
де и диоде в схеме последовательного диодного детектора при
постоянной времени % = RC, большей и меньшей периода Т оги¬
бающей AM колебаний.
11.	Поясните процесс детектирования в схеме синхронного детек¬
тора AM колебаний.
12.	Почему при линейном синхронном детектировании не появля¬
ются нелинейные искажения?
13.	Поясните возможность детектирования ФМ колебаний с по¬
мощью синхронного детектора.
14.	Объясните процесс детектирования ЧМ колебаний.
15.	Нарисуйте схему фазового детектора с опорным напряжением
и поясните ее работу.
16.	В чем заключается преобразование частоты?
17.	Какие искажения возникают при преобразовании частоты? По¬
чему?
18.	В чем заключается перекрестная модуляция? Объясните при¬
чины ее возникновения.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Цифровая обработка сигналов начала интенсивно развиваться
в начале 60-х годов. В настоящее время цифровая техника успеш¬
но конкурирует с аналоговой.
Быстрое внедрение методов цифровой обработки сигналов
объясняется рядом причин. Так, цифровые фильтры (ЦФ), осуще¬
ствляющие цифровую обработку сигналов, позволяют реализовать
практически любые алгоритмы обработки сигналов, обеспечивают
высокую гарантированную точность обработки сигналов, позволяют
осуществлять одновременную и независимую обработку нескольких
сигналов.
Технически просто выполнить адаптивные ЦФ (параметры
фильтра и алгоритм обработки изменяются в зависимости от вида
входного сигнала).
При использовании ЦФ исключена проблема согласования на¬
грузок. Цифровые фильтры, обрабатывающие . низкочастотные и
251

инфранизкочастотные сигналы, имеют значительно меньшие габа¬
риты по сравнению с аналоговыми фильтрами. Основными недо¬
статками цифровых систем в настоящее время являются: ограни¬
ченное быстродействие; наличие специфических погрешностей;
большая сложность и стоимость.
Можно ожидать, что в дальнейшем цифровая обработка сигна¬
лов будет использоваться шире, благодаря применению серийно
выпускаемых микропроцессоров, позволяющих существенно умень¬
шить габариты ЦФ, снизить их стоимость, повысить надежность.
По сути дела ЦФ является специализированной ЭВМ той или
иной степени сложности. Современные ЭВМ, выполненные на базе
интегральных микросхем, обладают высоким быстродействием. На
вход ЭВМ подается цифровой сигнал (или несколько цифровых
сигналов) с интервалом дискретизации, кратным тактовому перио¬
ду ЭВМ. На выходе ЭВМ вырабатывается цифровой сигнал, пре¬
образованный по заданному алгоритму с тем Же (или большим)
интервалом дискретизации.
10.1.	Структурная схема цифровой обработки сигналов
Аналоговый сигнал может быть подвергнут цифровой обработ¬
ке в соответствии со структурной схемой, изображенной на рис.
10.1.	Временные диаграммы напряжений в различных точках
структурной схемы представлены на рис. 10.2.
Рис. 10.1
Аналоговый сигнал Si(^) поступает в апсиили-цицщовой преоб¬
разователь (АЦП), где преобразуется в последовательность рав¬
ноотстоящих импульсов Si(nT), амплитуды которых пропорцио¬
нальны значениям аналогового сигнала в моменты отсчетов, т. е.
в дискретную последовательность (дискретный сигнал). Интервал
между импульсами Т выбирается в соответствии с теоремой Ко¬
тельникова Т< l/2/m, где fm — максимальная частота в спектре
аналогового сигнала. Дискретизацию по времени может осущест¬
влять каскад совпадений, на один вход которого подается анало¬
говый сигнал, а на второй (разрешающий) — последовательность
тактовых импульсов с периодом повторения Т.
Дискретный сигнал Si (пТ) квантуется по уровню и преобразу-
-ется в дискретную, квантованную по уровню последовательность
$т(пТ)—цифровой сигнал, который поступает на ЦФ. В ЦФ
252

осуществляется цифровая обработка
сигнала Sm(«r), представленного на¬
бором кодовых символов, соответст¬
вующих системе представления чисел
в используемой ЭВМ. Тактовая час¬
тота ЦФ кратна частоте дискретиза¬
ции по времени 1 /Г. Сигнал s2ll{nT),
обработанный по заданному алго¬
ритму, с выхода ЦФ поступает на
цифро-аналоговый преобразователь
(ЦАП), где преобразуется в последо¬
вательность ступенек s2(t), амплиту¬
ды которых пропорциональны соот¬
ветствующим значениям цифрового
сигнала s2^{nT).
Ступенчатое напряжение	s2 (t)
сглаживается аналоговым фильтром,
на выходе которого восстанавливается
аналоговый сигнал s$(t).
В цифровых системах передачи ин¬
формации сигнал с выхода приемника
снимается непосредственно в цифро¬
вой форме. При этом отпадает необ¬
ходимость в блоках АЦП. В ряде слу¬
чаев потребитель информации также
использует обработанный сигнал в
цифровой форме. При этом отпадает
необходимость в блоке ЦАП.
Рис. 10.2
10.2.	Характеристики дискретных сигналов
Цифровые сигналы, обрабатываемые в ЦФ, дискретны по вре¬
мени и квантованы по уровню. Кроме этого, все коэффициенты
математических операций, которым подвергается сигнал в ЦФ,
также квантованы. Учет квантованности сигналов и коэффициентов
усложняет анализ работы цифровых систем. Поэтому обычно ана¬
лиз разбивается на два этапа. На первом этапе сигналы считают¬
ся дискретными, но не квантованными (шаг квантования беско¬
нечно мал) и предполагается, что коэффициенты фильтра могут
принимать любые значения в заданном диапазоне (все значения х
на числовой оси в диапазоне х^х^хг).
На втором этапе учитывается квантованность сигналов и ко¬
эффициентов и определяются погрешности из-за квантования и
округления (шумы квантования).
В данной главе сигналы и коэффициенты считаются некванто-
ванными.
Дискретные сигналы, так же как и аналоговые, могут быть
представлены несколькими способами. Наибольшее распростране-
253

ние получили представления дискретных сигналов в виде дискрет¬
ных последовательностей или в спектральной форме, например, в
виде дискретного преобразования Лапласа, в виде г-преобразова-
ния и в форме дискретного преобразования Фурье (ДПФ).
Рассмотрим основные свойства дискретных сигналов при раз¬
личных формах их описания.
1.	Дискретные последовательности. Подобные сигналы, являю¬
щиеся выборками аналогового сигнала s(^) в моменты времени
t=nT, обозначаются символом s(nT). Иногда удобно ввести без¬
размерное время te=	|t=nT = ti. Тогда выборки сигнала s(nT)
можно преобразовать в последовательность целых чисел п=0, 1,
2, ..., N, обозначаемую символом s{n). Переход к безразмерному
времени t6—n влечет за собой и переход к безразмерной угловой
частоте соб- Далее используются те обозначения дискретных после¬
довательностей [s(tiT) либо s(n)], при которых проще выводы.
Представление дискретного сигнала дискретной последователь¬
ностью аналогично временному представлению аналогового сигна¬
ла. Рассмотрим простейшие дискретные последовательности, ко¬
торые широко используются при анализе цифровых систем:
а)	единичный импульс (рис. 10.3)
s0 И =
1 при п = 0,
0 при пфО.
(10.1)
В дискретных системах единичный импульс играет такую же
роль, как 6-функция в аналоговых системах;
б)	единичный импульс, задержанный на 'пе тактов (рис. 10.4),
s»(n—пв)
1 при п = п0,
0 при пфп0.
(10.2)
SD(n)
1
0	п
Рис. 10.3	Рис. 10.4
Любой дискретный сигнал s (п) может быть выражен суммой
единичных задержанных импульсов, взятых с соответствующими
масштабами:
s0(n-n0)
s(«)= 2 a(m)s0(n — m),
т——оо
где а{т) — масштабный коэффициент;
в)	единичный скачок (рис. 10.5)
,0 при n<z 0.
254
(10.3)
(10.4)

Единичный скачок связан с единичным импульсом соотноше¬
нием
s-i(«) = S so(«— 0:	(Ю.5)
1=0
г)	дискретный гармонический сигнал (рис. 10.6).
1<
S--f(n)
i ? ?
?
f
cos (asn)
\
(й)Г2я/8)
, ,/fT
111
-1 0
J 1 2
л
i)
9
Рис. 10.5
Рис. 10.6
Выборки из непрерывного сигнала s(t) = cos at описываются
дискретной последовательностью
s (п Т) = cos со пТ,	(10.6 а)
где о) = 2я/7’с; Тс — период функции, либо числовой последова¬
тельности, получаемой подстановкой со = 2я/7’с
s (п) = cos — п Т = cos соб п для всех п ,	(10.6 6)
Т О
где соб = 2я/М — безразмерная угловая частота; N = T0/T — целое
число тактов, составляющих период дискретного гармонического
сигнала;
д)	дискретная комплексная экспонента
s (и) = ехр (]' соб п) = cos соб п + j sin соб п для всех п; (10.7)
е)	степенная функция (рис. 10.7)
(ап при п^0,
s(n) =
0 при п < 0.
(10.8)
2.	Дискретное преобразование Лапласа. Прямое дискретное
преобразование Лапласа последовательности s(nT) определяется
формулой
Sr(A>) = 3C[s(n7’)] = 2 s(nT)e-p^*)t	(10.9)
п=0
где р = а + jco — комплексная переменная.
*> Если сигнал э(пТ)Ф0 при л<0, то применяется двухстороннее прео
бразрвание Лапласа, которое выражается формулой
ОО
ST(p) = Xb{nT)\= Yi s(nT)e~pnT .
п=—oo
255

Обратное дискретное преобразование Лапласа дается выраже*
нием:
1 C+joo
s{nT) = °£-1[ST(p)] = — j ST (p) ePnT dp. (10.10)
2llJ O-joo
Дискретный сигнал определен (с точностью до постоянного мно¬
жителя), если определено положение нулей р0ь и полюсов рп& фу¬
нкции St(p) на комплексной плоскости p = a + j(o. Так же, как для
аналогового сигнала, затухающей последовательности соответст¬
вуют полюса, расположенные в левой полуплоскости р(о<0), а
для нарастающей последовательности — в правой полуплоскости
р(а>0).
Найдем изображение по ЛаЦласу для дискретной степенной
функции
S <«)«[“* "РИ п>°.
10 при «<0,а<1.
Используя формулу (10.9), получим
st (р) = S e_pfl = —		•
п=о	1 — ае р
Здесь на плоскости р имеется один полюс pni = lna, который при
а<1 расположен в левой полуплоскости (p„i<0), что соответству¬
ет затухающей последовательности.
Изображения по Лапласу дискретных последовательностей, в
которые входит функция &рт, являются трансцендентными функ¬
циями р, что затрудняет анализ. Поэтому, полагая z = qpt, вместо
преобразования Лапласа пользуются z-преобразованием.
3.	z-преобразование. По определению прямое z-преобразование
для последовательности s(nT) дается выражением
S(z) = Z [s (п 71)] = 2 s(nT)z~*.	(10.11)
П=—00
Комплексная функция S (z) определена только для области z,
в которой степенной ряд (10.11) сходится.
Обратное 2-преобразование определяется формулой
s(nT) = Z-HS(z)]=± $ S(z)z—»dz.	(10.12)
2щ
256

В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в
z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости,
охватывающему начало координат. Например, контуром интегри¬
рования йожет быть окружность радиуса Ci>/?b где Ri—радиус
сходимости г-преобразования (в предположении,, что последова¬
тельность s(nT) физически реализуема). Интеграл (10.12) может
быть вычислен при помощрГтеоремы о вычетах, а именно
s(nT) = 2resS(2)2"-1 |z внутри с,.	(10.13)
Определим отображение p-плоскости на г-плоскость при пере¬
ходе от преобразования Лапласа к г-преобразованию. Сравнивая
(10.8)	и (10.11), получаем
г = &>т, р = -^- In г.	(10.14)
Преобразование плоскости p=o+jco в плоскость z=x+]y осу¬
ществляется с помощью соотношений
2i= xi + j l/i= exP [(«Ji + jw^T],	(10.15)
хх = exp (ох Т) cos (Oj Т,
уу = ехр (агТ) sin шхТ	(10.16)
и в полярных координатах на плоскости z
/•i = l2il = KA+?7==exp(a17’).	(10.17)
<p1 = arg21 = (o17,-)-m 2 я,	(10.18)
где m — целое число (0, 1, 2, 3, ...).
В табл. 10.1 даны отображения ряда характерных точек и об-
ластей из p-плоскости на г-плоскость.
Рассмотрим некоторые важные свойства г-прео’бразования:
а)	линейность. Если Xi(2) и X2(z) являются 2-преобразования¬
ми последовательностей Xi(n) и х2(п), то при любых действи¬
тельных а\ и а2^-преобразование последовательности
х3{п) =0iJC1(n) + fli^a(n)	(10.19)
равно
Х3 (г) = а1Х1 (г) + а2 Х2 (г);	(10.20)
б)	задержка. Если последовательность Х\ (п) имеет 2-преобра¬
зование Хх(г), то г-преобразование Х2(г) последовательности
x2(n)=Xi(n—По), задержанной на и0 элементов, при любых по
равно
X2(2) = 2-rt.X1(2).	(10.21)
Это свойство используется при решении разностных уравнений.
Например, разностное уравнение
У г («) =	(п) — by у2 (п — 1)— 62г/2 (п—2)
можно подвергнуть 2-преобразованию
Y(z) = X(z)- by 2-1 У (2) - b2 z~\Y (2),
25?
9—100

Т а б л ид а 10.1
Точки и области
на р-плоскости
Точки и области
иа 2-плоскости
Примечания
1
Точка р—0
о
<5
2
Точка 2=1
ЗУ ,
Z=1
’ 0
* X
Отрезок мнимой оси от
■Jy Д° 1 j
■ж.
JT
jb)
0
б
-Ж ■
JT
Окружность единичного
радиуса
Изменению частоты иа
2п/Т соответствует иа 2-пло¬
скости один полный оборот
радиус-вектора. Взаимно од¬
нозначное отображение
Мнимая ось от —joo до
Окружность единичного
радиуса
При движении изобража¬
ющей точки pi вдоль всей
оси j со, точка zi описывает
бесконечно большое число
окружностей с единичным
радиусом. Взаимно неодно¬
значное отображение
Часть левой полуплоско¬
сти, заключенной между
±j п/Т
Круг единичного радиуса
Взаимно однозначное ото¬
бражение
253

Окончание табл. 10.1
1
2
з
Левая полуплоскость
Круг единичного радиуса
Каждая полоса левой по¬
луплоскости шириной ±j я IT
отображается внутрь еди¬
ничного круга. Взаимно не¬
однозначное отображение
Правая полуплоскость
Вся г-плоскость, исклю¬
чая единичный круг
Однозначное отображение
откуда
где
Y(z) =
X(z)
1 + Ьг 2—1 + V-2 ’
Y{*)= 2 y(n)z~n,X (а)= 2 x(n)z~n;
П=—со	П=—со
в)	свертка последовательностей. Если последовательности
Si(«) соответствует г-преобразование Si (г), а последовательности
s2{n) —S2 (z), то свертке последовательностей
ss(«)= 2 Sj(m)s2(Ti—m)	(10.22)
П—:	со
отвечает произведение их г-преобразований
S3(z) = S1(z)Sa(z);	(10.23)
г)	одностороннее z-преобразование для последовательности
s(n). Определяется как
S(z) = |j s(n)z~n.	(10.24)
п=0
При этом не учитывается поведение последовательности s{n) до
точки и=0. Обратное г-преобразование определяется формулой
9*	259

s (nT) = Z-1[S(2)] =	§ S (z) zn~l dz ,
2nj Ci
где я=0, 1, 2, ...
Во многих случаях свойства одностороннего 2-преобразования
аналогичны свойствам обычного 2-преобразовайия. Исключением
является свойство задержки последовательности.
Если последовательности Si(n) соответствует одностороннее
2-преобразование Si (г), то одностороннее г-преобразование 5г(г)
от задержанной последовательности s2(n) =s\(n—1) равно.
S2(2) = S s2(«)2_f, = 2 sx{n—\)z~n.	(10.25)
n=0	n^O
Положив яг=я—1, получим выражение
S*(z)= fj s1(m)z~mz~\
m=— 1
которое можно переписать так:
S2 (г) = 2-1
со
Sx (—1)2 + 2 sy(OTU'
m—0
= 2-4S1(2)] + s1(-l). (10.26)
Отличие (10.26) от (10.21) состоит в слагаемом Si(—1), кото¬
рое учитывает значение последовательности Si(n) при я<0 (т. е.
начальные условия).
В случае задержки последовательности s(n) на произвольное
число п0 элементов (я0>0) формула одностороннего г-преобразо-
вания последовательности s2(n) —Si(n—я0) имеет вид
Sa (2) = 2-"° St (2) + Sx ( —Я0) + Sj ( — Я0 + 1) 2~Ч- . • • + ( — 1) 2-(f,0_1 > •
(10.27)
Одностороннее г-преобразование применяют для решения раз¬
ностных уравнений, которые определены при я^0 и имеют ряд
начальных условий. В качестве примера рассмотрим разностное
уравнение первого порядка
у (п) — х (п) + ау (п—1)	(10.28)
с начальным условием у{—\)=k. .Пусть на вход поступает после¬
довательность х(я)=ехр(]‘(0бя)8_1(я). Чтобы найти одностороннее
2-преобразование от выходной последовательности у(п), умножим
обе части (10.28) на z~n и просуммируем от 0 до оо;
2 у (я) 2-" = 2 х (я) zrn + а 2 y{n—\)z~n.
п=0	п=* 0	а=0
С учетом (10.26) имеем
Y(z) = X(z) + az~1 Y(z) + ay( — 1),
откуда
Y (2) : X {г) ау {— 1)
1 —аг— 1
260

Поскольку 2-преобразование от x(n)—eiaбп равно
Х(2) =
1
1 _ei“6z-i
то
У(г) =
ak
1 -f-az— i
	1
(1 — az-l)(l — eJt06z-i) *
Разложив второе слагаемое на простые дроби, получим 2-пре-
образование вида
у (г)
а/ (а — ei<06f — ei<a6/(a — е1юб)
1 — az~1	1 — ej<06 г-1
которому соответствует выходная последовательность
У(п) =
an+lk+
an+l
a-eia б
eja6(fi+l)
а —е*®6
s~i{n).
Первое слагаемое в скобках представляет собой составляю¬
щую отклика, определяемую начальными условиями, а второе —
переходную характеристику системы. При а< 1 оба эти члена эк¬
споненциально убывают. Третье слагаемое описывает вынужден¬
ные колебания в системе.
В общем случае разностное уравнение L-ro порядка имеет вид
У(«) = 2 aiX{n — i) — 2 bi у (n—i)	(10.29)
i=0	i=l
с начальными условиями, {у(—1), у(—2), ..., y(^-N)}. Входная
последовательность х{п)= 0 при п<0. Одностороннее 2-преобра¬
зование от обеих частей уравнения (10.29) определяется выраже¬
нием
r(2) = S а,2-1Х(г) -2 bi[z-'Y(z) + y(-\) +
{=0 1=0
+ y(—i + l)+...+y(~l)z-<c-1>}.
(10.30)
Выражая далее У (г) через X(z) и начальные условия и вычи¬
сляя обратное 2-преобразование, находим отклик у(и).
Найдем 2-преобразование для некоторых дискретных последо¬
вательностей:
а)	единичный импульс (см. рис. 10.3)
1 при п = 0,
0 при пф$.
Поскольку s0(«)=0 при любых п, за исключением я —0, где
5о(я) = 1, то
S(2) = l;
261

б)	единичный скачок (см. рис. 10.5)
1 пригар О,
О при п < О,
S(z) = 2 2_л'
л—О
г— 1
Здесь нуль Zo = 0, полюс zn=l. Функция S(z) сходится при
|z|>l, так как S(z) имеет единственную особую точку zn=l.
в)	гармоническое колебание (см. рис. 10.6)
s(n) =
COS(D6 п прип^О,
О припсО.
Так как s(ti)=cosmn— — (eJffl6n + e~J®en), то
5<г>=т(—
1
е^шб г 1
J	\ =
е-1собг-1 J
г (г — cos а>б)
г2 — 2 г cbs <ол 1
Здесь нули Zoi=0, z02 = cos(D6, полюса zni,2=cosЮб±j sin а»б. Функ¬
ция S(z) сходится при |z|>l;
г)	комплексная экспонента
5(п)=Л е1®6" прип>0,
10 при« = 0;
S (г) = 2 е1ибл z-« = 2 (z 1e^e®),t =
п=0	п=0
1	г
-1 j<o6
• г е 0
Здесь нуль z0 = 0, полюс zn=eJ“6. Функция S(z) сходится
|z| > 1;
д)	степенная функция (см. рис. 10.7)
s(n)=lan пРиП>0’
Ю при л<0.
S (г) = 2 а" z~n= 2 (az~l)n
n—Q	n=0
1	г
1 —а г— 1	z — а
при
Здесь нуль z0 = 0, полюс zn=a. Функция S(z) сходится при |z|>a.
В табл. 10.2 приведен ряд z-преобразований дискретных после¬
довательностей.
4.	Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Периодическая
последовательность и последовательность конечной длины могут
быть представлены дискретным рядом Фурье.
262

Таблица 10.2
в
*в
а
Дискретная последовательность
s (п)
(п=0. 1, 2, ...)
2-преобразование S (г)
1
1
г
г— 1
2
гг
г
(г- 1)а
3
Я*
z(z+ 1)
(г-1)*
4
(* = 0, 1, 2, ...)*
г
(г — l)fc+1
5
ап
г
г — а
6
пап
аг
(г—а)*
7
(1)аП~к {k = 0’ 1’2' ‘")
г
(г — a)fe+1
8
ап- Ьп . ц
г
а — Ь
(г—а)(г — Ь)
9
e^sin bn
\
azsin Ь
г* — 2аг cos Ь + й*
10
cPcosbn
г (г — в cos Ь)
г* — 2аг cos Ь + а*
■ Символом^ ^обозначено число сочетаний из п элементов по ft.
Рассмотрим периодическуюпоследовательность хР с перио¬
дом в N отсчетов. Запишем ее в виде ряда Фурье
**(«)“ 2 GP(*)eH2n/mknt	(10.31)
k~—во
где частоты спектральных составляющих, образующих хр(п), мо-
2itk
гут принимать только значения ть.— — (—кратные
N. Коэффициенты 0P(k) представляют амплитуды гармоник с ча¬
стотами u)6k- Так как функция е)Чоб является периодической с пе¬
риодом N, т. е.
eJ(2n/JV)ftn = eJ(2n//V) (k±mN)nt 0<m< ОО,	(10.32)
]) Периодические последовательности отмечены индексом р.
263

то .ряд (10.31) приводится к более привычному виду1)
хР («) =“ 2'1 Gp № еН2л/тп, (п =? 0,1,2, ... , N— 1). (10.33)
П *!=0
Определим комплексные амплитуды Op(k) спектральных со¬
ставляющих Gp(k)e№nlN'>hn!для чего умножим обе части выраже¬
ния (10.33) на ехр[—](2n/N)mn] и просуммируем по п
2* хР (п) е-нш/ттп =_1 ^ 1 ^ Gp(k)e><2*Wn(k~m'>. (10.34)
п=о	N "о
Меняя в правой части (10.34) порядок суммирования и исполь¬
зуя формулу
получим
откуда
^e-l(!#)»M = l N при£ = т,
п=о	I 0 при k =£т,
N—1
5J
п—о
N—1
хр (п) е-и2"/^)	=
fc=0
Gp (k)s0(k—m),
Gp (k) = 2 ’	(n) e-iW> »*,# = 0,1,2,...,N-1).
п=0
(10.35)
(40.36)
Формула (10.36) носит название дискретного преобразования.
Фурье (ДПФ), а формула (10.33) — обратного дискретного пре¬
образования Фурье (ОДПФ). Из (10.33) и (10.36) следует, что
обе последовательности хр(п) и Gp(k) периодичны с периодом в
N элементов. При этом Gp(k) полностью определяется одним пе¬
риодом Хр(п).
Найдем связь дискретного спектра Gp(k) периодической по¬
следовательности хР(п) со спектром G(k) конечной последова¬
тельности х(п), равной одному периоду периодической последова¬
тельности
при 0^п	—1,
при других пу
где х(п) имеет N элементов (рис. 10.8).
Для последовательности х(п) 2-преобразование равно
X(z) = 2 x(n)z~n.
п=0
(10.37)
(10.38)
Вычисляя сумму (10.38) при z=e№ItiN'>k, т. е. в точке на единич¬
ной окружности с полярным углом 2nk/N, находим
Х Мг=еН2п/т = х [е1<2«/м*]=21 х{п)ег-н*«юпк (10.з9)
') Деление иа N в формуле (10.33) не влияет на представление последо-
вателньости хр(п).
264

Сравнивая (10.39) и (10.36) и учитывая, что хр(п)=х(п) на ин¬
тервале Os^ns^lV—1, получаем
Gp(k) = X [е1(2я/Л,)к].	(10.40)
Итак, коэффициенты ДПФ последовательности конечной дли¬
ны равны значениям г-преобразования этой последовательности в
N точках, равномерно распределенных по единичной окружности.
Кроме того, существенно, что коэффициенты ДПФ последователь¬
ности конечной длины однозначно представляют саму последова¬
тельность, которую можно получить, пользуясь формулой (10.33)
ОДПФ.
Рис. 10.8
Хотя ДПФ и ОДПФ вводятся для периодических последова¬
тельностей, они могут быть использованы для представления по¬
следовательностей конечной длины.
Проиллюстрируем полученные результаты на примере периоди¬
ческой последовательности (см. рис. 10.8, а) с периодом N, опре¬
деляемой следующим образом:
хр {п)=ап приО^гс^ЛГ — 1,
Xp(n + mN) = xp(n),m — ± 1, ±2,...
Согласно (10.36) ее ДПФ равно
N— 1	JV—1
Gp(fc) = y ап е-ц2л/т nk ^ v [ае-Н2л^к]п =
^0	п^О ■
1 —aN
1 — а ехр [ — j (2я/УУ)£]
,0<6< yv—1.
Модули и фазы элементов последовательности Gp(k) для случая
■а=0,9 и N= 16 изображены на рис. 10.9. Последовательность ко¬
нечной длины х(п) (рис. 10.10) определяется равенствами:
г ап при 0 ^ ^ yv—1,
I 0 при других п,
265

т. е. состоит из одного периода последовательности хр(п). Ее
^-преобразование
N-1
X (г) = 2 ап z~n:
П=0
1 — аг 1
Вычисляя значения Х(г) на единичной окружности z = eio4 по¬
лучим
1—а" e“J®6"
Х(е1аб),
1 — ае 1аб
Ify (к)\
flllTTIlHllUl
N-1 к
Рис. 10.9
argGp(k)
”ЩГ
■ чППт
N-1 к
Модуль и фаза полученной функции для 0^Юб^2я изображены
на рис. 10.11. Ясно, что значения Ор(к) и X(e>2lthlN) в точках mh =
= 2лk/N совпадают.
о ООО о о
Х(п)
111
1±
9 9 О п Г,
о О ООО
N-1
п,
Рис. 10.10
Поскольку Д'ПФ однозначно представляет последовательность
конечной длины, можно найти 2-преобразование через коэффици¬
енты ДПФ этой последовательности. Из (10.33), (10.37) и опре¬
деления z-преобразования получаем
Х(г)=^(я)г" = V-L	{k)z№niN)nkz-n =
/£=0	^0 N ft=0
N-1 .	t , N-\
= j (k) — 2 [ей^/^г-1]"
fc=o	L N
N—l
s
k=0
Gp (k)
N
1-г-"
1 _г-1 eJ(2»/W)*
]■
(10.41)
Для точек на единичной окружности равенство (10.41) прини¬
мает вид
Х(е1<0б) =G(o)e) =
266

(10.42)
tip (k) e~1 юб tC^V—2)/2Д sin((06 N/2)
k=o N	eHnk/N) gin ((o6/2 — nk/N)
где функции вида sin(o>6Af/2)/sin((D6/2—nk/N) интерполируют
значения коэффициентов ДПФ Gp(k) на всю ось частот. Следова¬
тельно, формула (10.42) позволяет по коэффициентам ДПФ по¬
следовательности конечной длины найти ее непрерывный частот¬
ный спектр <5(юб).
\Х(е}ш,)\
I ~		|	_
О	%	2Л со5
Рис. 10.11
2% щ
10.3.	Быстрое преобразование Фурье
Основная трудность вычисления дискретного преобразования
Фурье (ДПФ) при длинных последовательностях заключается в
большом количестве арифметических операций, что требует вы¬
сокого быстродействия ЭВМ и значительного времени обработки.
Это в ряде случаев делает невозможной обработку сигнала в ре¬
альном масштабе времени. Например, для определения ДПФ по¬
следовательности х(п) с N= 103 согласно формуле
, . 2 я
N-1	ink N
G{k)= 2 *(")e
п=о
(k — 0, 1,2, ... ,N—1)	(10.43)
нри комплексном x(n) требуется (N—1)2»106 комплексных ум¬
ножений и N (N—1)«106 комплексных сложений. Быстрое пре¬
образование Фурье (БПФ) позволяет сократить число арифмети¬
ческих операций во много раз и даже на несколько порядков.
Основная идея БПФ заключается в преобразовании одномер¬
ного массива чисел в двумерный. Одномерный массив чисел мож¬
но превратить в двумерный многими способами. Это объясняет
многообразие алгоритмов БПФ.
Рассмотрим один из таких алгоритмов. Найдем ДПФ для
Al-точечной последовательности х(п). Будем считать, что N равно
степени 2*. Разобьем iV-точечную последовательность х(п) на две
{N/2)-точечные последовательности х\ (п) и Х2(п) из четных и не¬
четных членов х(п)
х1(п)^х(2п),п = 0,1, ...,	—1,
* Если это не так, то последовательность может быть дополнена нулями
До требуемого значения N.
267

(10.44)
х2 (п) = * (2 п + 1), п ** 0,1,..., JL— 1.
JV-точечные ДПФ последовательности х(п) запишем в виде
G (А)=2 х(п) е—i(2n/N)nk	2 x(«)e_J(2n/jv)nft _
л=0	п—0
п — четные	п — нечетные
JV/2—1	JV/2—1
= 2 х(2 «)Г^+ 2 х(2 «+1)
п—0 п=0
(10.45)
где
W*N = [eJ<2"/")]2 = ей2"/"- 2) = wN/ 2.
(10.46)
Перепишем (10.45) с учетом (10.46) в виде
N/2—1 Nf 2—1
G(k)= 2 ^(«)П/2+П s ^ИП/2
n=0 n=0
(10.47)
или
G(A)=61(A)+^G,(A),
(10.48)
где G\(k) и G2(k) равны (N/2)-точечным ДПФ последовательно¬
стей х\(п) и *2 (п).
Формула (10.48) показывает, что JV-точечное ДПФ C(k) мо¬
жет быть получено суммированием двух (JV/2)-точечных ДПФ
й}(к) и G2(k).
Если (N/2)-точечные ДПФ вычислять обычным способом, to-
для вычисления N-точечного ДПФ требуется (N2/2 + N) комплекс¬
ных умножений. При больших N (когда N2/2 + Nm N2/2) это при¬
водит к уменьшению числа умножений при вычислении G(k) при¬
мерно в 2 раза.
Поскольку G(k) следует определить при Os^&s^JV—1, a G\(k)
и G2(k) определены при O^.k^.N/2—1, доопределим формулу
(10.48) для k^N/2*i
G{k) = G1{k)-\- WkNG2(k) при O^.k^.N/2 — t,
G (k) = Gx (k—N/2) + WkN G% (k—N/2) при N/2 < k < N— 1.	(10.49)
ДЛЯ иллюстрации изложенного алгоритма БПФ на рис. 10.12
с помощью направленного графа представлена последовательность
операций при выполнении восьмиточечного ДПФ с использовани¬
ем двух четырехточечных преобразований ’. Входную последова-
*> Формула (10.49) следует из периодичности Gi(k) и 02(k) по к с перио¬
дом N12.
1 Светлые кружки в правой части рис. 10.12 обозначают операцию сло¬
жения-вычитания, причем верхний выход соответствует сумме, а нижний”
разности. Стрелка обозначает операцию умножения на значение множите¬
ля а, указанного над стрелкой. В общем случае переменные являются комп¬
лексными числами. Кружок можно интерпретировать как двухточечное ДПФ.
Узлы обозначают регистры, содержащие входные и выходные массивы от¬
дельных ДПФ.
268

тельность х(п) сначала разбивают на две последовательности
х\ (и) и х2(п) из четных и нечетных членов х(п), для которых
рассчитывают преобразования G\(k) и G2(k). Затем в соответствии
с (10.49) получают G(k).
Каждая из последовательностей х\ (п) и х2 (п) может быть
также расчленена пополам. При этом Af-точечное ДПФ будет све¬
дено к четырем Af/4-точечным ДПФ. С учетом (10.48) и (10.49)
Af/2-точечные ДПФ могут быть записаны как комбинации двух
Af/4-точечных ДПФ
G1(k) = A(k) + WkN/2B(k),	(10.50)
или
G, (й) = A(k) + Wlk В (й).	(10.51)
а(0)-х,(0)че(0)
aiD-xfthxM
8(Щ=хД))^х(2)
8(1hx,l3hx(6)
c(0)*xz(0)=x(r)
c(lkxz(2)‘X(5)
d(0hxz(i)=x(3)
d(l)=xz(3)=x(7)
Двухто¬
чечное
ДПФ
Двухто¬
чечное
ДПФ
Двухто¬
чечное
ДПФ
Двухто¬
чечное
ДПФ
-А(0)
-А(11
-В(0)
-ВЦ)
-т
-0(1)
-№
-Щ
Рис. 10.13
269

где O^k^.N/2—1, A(k) и B(k)—Af/4-точечные ДПФ соответствен¬
но четных и нечетных членов х\(п). На рис. 10.13 приведен пример
вычисления восьмиточечного ДПФ через два четырехточечных
ДПФ, которые в свою очередь вычисляются через четыре двух¬
точечных ДПФ.
Последовательное применение разбиений Af-точечного ДПФ по¬
полам позволяет уменьшить число комплексных умножений при¬
близительно до N/2\og2N вместо (N—I)2 при прямом ДПФ.
10.4.	Линейные дискретные цепи с постоянными параметрами
Линейная дискретная цепь характеризуется свойством:	если
х\ (п) и Х2 (п) — входные последовательности, a yi(n) и г/г(«) —
соответствующие им выходные последовательности, то при подаче
на вход последовательности а\Х\ (п) Ц-а2Х2(п), где ai и аг — про¬
извольные постоянные, на выходе образуется последовательность
ахуЦп) +а2у2(п).
Цепь с постоянными параметрами характеризуется тем, что
если входной последовательности х{п) соответствует выходная
последовательность у(п), то входной последовательности х(п—«о)
при любых по соответствует выходная последовательность у(п—
—По).
Структурная схема дискретной цепи изображена на рис. 10.14.
Рис. 10.14
Рис. 10.15
Свойства дискретной линейной цепи с постоянными парамет¬
рами (ЛДЦПП) полностью определяются либо импульсной харак¬
теристикой g(n), либо частотной характеристикой R(m), либо
системной функцией Н(г), либо разностным характеристическим
уравнением.
Импульсной характеристикой ЛДЦПП называется выходная
последовательность g(n) при входной последовательности в виде
единичного импульса So(rc)
g(n)=y(n) при x(«) = s0(«).	(10.52)
Системной функцией Нг называют отношение z-преобразования
Y (г) выходной последовательности g(n) к z-преобразованию X(z)
входной последовательности х(п)
Я (z)=^-.	(10.53)
v ’ X (г)	к
Системная функция H(z) играет роль коэффициента передачи
дискретной системы.
270

Частотной характеристикой ЛДЦПП К(а>б) называют зависи¬
мость комплексной амплитуды выходной последовательности от
частоты сое при входной последовательности вида х(п)=е1(0в",
—оо<я<оо (рис. 10.15):
к ю
У(п)
х(п)
х(п)=е
(10.54)
Если описать систему разностным уравнением N-го порядка
У (га)—у (л — 1) —... — aN у (n—N) =
= b0x(n)-\-b1x(n—1) + ... -\-Ьмх(п—М)	(10.55)
и положить х(п) =ei(il6n, то по определению
откуда
Применив
У(п) — к ((об)е1шбп ,
ft /ю ч _ Ь0 + &1 е J(a6 + .,, + Ьм е 1(0б
1 — аг е—— ... — aN е—
к уравнению (10.55) 2-преобразование, получим
Y (z)—аг 2—1Y (г) —... —аы z~N Y (z) =
= b0X (z) + b1z~1X(z) + ...+ Ьм z~M X (z),
(10.56)
откуда
H(Z)-
b0 + blZ-i + ...+b
M
Y(z)
X (z)	1 — dj г—i — aa г—2 — ... — at
-M
W ‘
N
(10.57)
Из сравнения (10.56) и (10.57) следует, что
/С(шв) = Я(г) I :шб	(10.58)
\г^е t
т. е. частотная характеристика ЛДЦПП получается из системной
функции заменой г на ejffl6.
Частотная и импульсная характеристики ЛДЦПП связаны
дискретным преобразованием Фурье
КЫ= S g (п)<Г1(аьп .	(10.59)
ЛДЦПП называют устойчивой, если при любой ограниченной
входной последовательности выходная последовательность также
ограничена. Необходимым и достаточным условием устойчивости
системы является следующее требование к ее импульсной харак¬
теристике
S №)|<оо.	(10.60)
П——о©
ЛДЦПП называют физически реализуемой, если величина от¬
клика при п=по зависит только от отсчетов входной последова¬
тельности с номерами га^гао. Для ЛДЦПП это означает, что им¬
пульсная характеристика g(n) равна нулю при га<0.
271

В качестве примера рассмотрим ЛДЦПП первого порядка.
Пусть разностное уравнение системы имеет вид
у(п) = х (л) + ky(ti—1)
с начальным условием у(—1)=0. Импульсная характеристика
цепи
г(„)= Г *" при»>о,
I 0 • при я<0.
Используя формулу (10.59), найдем частотную характеристику
Я((об) системы первого порядка:
к (®б) = S (ke iffl0)" =
п=О
Представив К(т) в виде
К К) = | К (соб)| е
1
1 — k е—'
] arg К (шб)
получим
1*Ы1=
	1
(1 + k2—г^СОБШб)1^
arg К К) = соб—arctg
k Sin (Од
1 — k- cos (од
Графики lg\К((йб)\ и arg^(co6) для различных значений k при¬
ведены на рис. 10.16. Они соответствуют фильтру нижних частот.
Найдем системную функцию H{z) ЛДЦПП, используя фор_-
мулу (10.58):
Н (г) = 2 knz~n
1
1 —kz— 1
г
z — k
Функция имеет полюс za=k (рис. 10.17); система устойчива при
k<.\.
Определим выходную последовательность у (я) при заданной
входной последовательности х(п) (рис. 10.18,а) и известной им¬
пульсной характеристике g(n) ЛДЦПП (рис. 10.18,6).
Отклик г/m (я) на элемент х(т) входной последовательности в
момент я равен
ym(n) = x(m)g(n—m).	(10.61)
В силу линейности ЛДЦПП отклик в момент я от всех входных
импульсов, предшествующих моменту я, равен сумме откликов на
отдельные элементы входной последовательности
П
у(л)= S
т——оо
Объединяя (10.61) и (10.62), получаем
272
(10.62)

у(л)= 2J x(m)g(n—m).
/П=—со
(10.63)
Итак, выходная последователь¬
ность равна свертке входной по¬
следовательности с импульсной
характеристикой ЛДЦПП.
V
Рис. 10.16
Рис. 10.17
Рис. 10.18
Рис. 10.19
10.5.	Цифровые фильтры
Как правило, цифровой фильтр ЦФ является специализирован¬
ной ЭВМ. Иногда в качестве цифрового фильтра используется
универсальная ЭВМ.
Рассмотрим принцип работы ЦФ. На его вход подается сигнал
х(пТ) — последовательность числовых значений, следующих с
интервалом Т. При поступлении каждого очередного числа x(nf)
ЦФ производит расчет по соответствующему алгоритму и на вы¬
ходе появляется выходное число у(пТ). В общем случае число
у(пТ) является функцией ряда предыдущих значений как вход¬
ных х, так и выходных у чисел:
у (nT) = f [х(пТ),х(пТ—Т),х(пТ—2Т),...,
У(пТ—Т),у(пТ—2Т),...].
273

На выходе фильтра вырабатывается последовательность чисел
у(пТ), следующих с интервалом Т. Таким образом, тактовый ин¬
тервал Т является общим для входных и выходных чисел.
Остановимся на основных структурных схемах линейных ЦФ.
Цифровые фильтры делятся на два большие класса: нерекур¬
сивные и рекурсивные. В нерекурсивных фильтрах отклик зависит
только от значений входной последовательности
y(tiT) = F[x (пТ),х(п Т—7),...].
В рекурсивных фильтрах отклик зависит как от значений вход¬
ной последовательности, так и от предшествующих значений вы¬
ходной последовательности
У (пТ) = f {х (пТ),х(пТ—Т),... , у(п Т—Т), у (пТ—27),...}.
Нерекурсивный цифровой фильтр. На рис. 10.19 изображена
структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра, обрабаты¬
вающего сигнал в соответствии с алгоритмом
у (пТ) = b0x (п Т) + Ьгх (пТ—Т) + Ьа х (п Т—2 Т) +
+ ... + Ьм х (п Т—МТ).
На схеме обозначены:	— регистры сдвига, осуществляющие
сдвиг цифровой последовательности на один такт 7; bi — умно¬
жители на числа Ьй 2 — сумматор.
Нерекурсивный ЦФ может быть практически осуществлен,
если заданная импульсная характеристика содержит сравнитель¬
но небольшое число членов, т. е. быстро убывает с ростом п. В
противном случае для получения заданной импульсной характе¬
ристики потребуется очень много ячеек памяти.
Рекурсивный цифровой фильтр. Рекурсивный ЦФ характери¬
зуется тем, что выходное число у(пТ) зависит от ряда поступив¬
ших на вход чисел и от предшествующих выходных чисел
у(п 7,) = fe0x(n7,) + b1x(rar—Т)+... +
+ Ъм х(пТ—МТ) + ах у (п Т—Т) + Oj г/ (п 7—2 7) + ...+
+ aN у(пТ—NT).	(10.64)
Запишем алгоритм (10.64) ЦФ N-го порядка в виде разност¬
ного уравнения соответствующего порядка
у (п Т) — % у (п Т—Т) — ... —aN у (rij—
—NT) = b0x(nT) + ...+bMx(n Т—МТ),	(10.65)
которое эквивалентно линейному дифференциальному уравнению
Л+о порядка для аналогового фильтра.
Правая часть уравнения (10.65) описывает нерекурсивную, ле¬
вая — рекурсивную части ЦФ. Коэффициенты а0, а\, ..., aN, bu
£>2, Ъм определяются значениями элементов схемы фильтра.
Структурная схема рекурсивного фильтра, осуществляющего
обработку в соответствии с алгоритмом (10.64), изображена на
рис. 10.20.
274

Определим системную функцию H(z) цифрового фильтра. Для
этого применим к уравнению (10.65) 2-преобразование и теорему
смещения
ц (z\ — ^ (г)  ftp + г 1 + . •. + Ьм г м
Х(г)	1— ахг— 1 — ...—aN z~N
(10.66)
Выражение (10.66) связывает системную функцию фильтра со зна¬
чениями его элементов. По известной (заданной) системной функ¬
ции H(z) может быть определена структура и значения коэффи¬
циентов ЦФ.
Основным достоинством рекурсивных фильтров является со¬
кращение числа элементов
структурной схемы по сравне¬
нию с числом элементов в не¬
рекурсивных фильтрах. Благо¬
даря этому они позволяют реа¬
лизовать медленно затухающие
импульсные характеристики.
Недостатком рекурсивных
фильтров являются большие
ошибки округления, нежели в
нерекурсивных фильтрах.
Рис. 10.20
х!пТ)
Щпт)
-
д_
—т— Г*Лх(пт-Т)
x(nT-Tl |—НО*	"
2
Z'1
*—Т—'
х[пТ-МТ)I—».
~<?Г[
Z-I
—<«л|-—1
Рекурсивные фильтры позволяют реализовать любые алго¬
ритмы типа (10.64), т. е. получить весьма разнообразные частот¬
ные характеристики при соблюдении следующих условий:
а)	все полюса системной функции Н(г) должны лежать на
2-плоскости внутри окружности радиуса 12j = 1, т. е. система дол¬
жна быть устойчивой (см. табл. 10.1);
б)	ошибки округления не должны нарастать в такой степени,
чтобы нарушать нормальную работу фильтра.
Рис. 10.21
275

Канонический рекурсивный цифровой фильтр. Канонический
рекурсивный ЦФ является результатом модификации структурной
схемы на рис. 10.20, реализующей фильтр с системной функцией
вида (10.66).
Запишем выражение (10.66) в виде
У (z) = (b0 + г-1 + ... + bM z~M) х
х	—	ZZ = Фо + Кггх + ... + ЬмZ~M) М (г), (ю.67)
1—аг г— 1—...— aN г
где
Алгоритм
рекурсивным
М (z) ■
Х(г)
1 — г—1
(10.68)
(10.68) определения M(z) по X(z) осуществляется
фильтром N-го порядка, а алгоритм (10.67) опреде¬
ления У (г) по найденному
M(z)—нерекурсивным фильт¬
ром М-го порядка. Получаем
алгоритм определения У(г) по¬
следовательным применением
алгоритма (10.68) и (10.67).
Структурная схема такого ал¬
горитма изображена на рис.
10.21 и соответствует так назы¬
ваемой прямой или основной
форме цифрового фильтра. Из
рис. 10.21 видно, что часть бло¬
ков задержки можно объеди¬
нить.
На рис. 10.22 изображена
каноническая структурная схе¬
ма цифрового фильтра N-го по¬
рядка, имеющая минимальное
число блоков.
Рис. 10.22
Вопросы для самопроверки
1.	В чем состоят основные преимущества и недостатки цифровых
фильтров?
2.	Изобразите структурную схему цифровой обработки сигнала.
Поясните этапы преобразования сигнала.
3.	Какие методы математического описания и аппараты анализа
дискретных сигналов и цепей Вы знаете?
4.	Запишите дискретное преобразование Лапласа.
5.	Как осуществляется ^-преобразование дискретных сигналов?
В чем его отличие от дискретного преобразования Лапласа?
6.	Запишите основные свойства 2-преобразования (линейность,
задержка и свертка последовательностей),
276

7.	Найдите 2-преобразование простейших дискретных последова¬
тельностей (единичного импульса, единичного скачка, комп¬
лексной экспоненты, степенной функции, гармонического ко¬
лебания).
8.	Приведите пример использования одностороннего 2-преобра¬
зования для решения разностного уравнения.
9.	Как выражается прямое (ДПФ) и обратное (ОДПФ) дискрет¬
ные преобразования Фурье?
10.	Как связаны коэффициенты ДПФ последовательности конеч¬
ной длины с 2-преобразованием этой последовательности?
11.	Как связаны коэффициенты ДПФ последовательности конеч¬
ной длины с ее непрерывным частотным спектром?
12.	Как определяется линейная дискретная цепь с постоянными
параметрами (ЛДЦПП)?
13.	Что понимается под импульсной характеристикой g(n) ЦФ?
14.	Что понимается под системной функцией H(z) цифрового
. фильтра? Как выражается системная функция через импульс¬
ную характеристику и элементы схемы фильтра?
15.	Как определить устойчивость ЦФ по его системной функции?
16.	Что понимается под частотной характеристикой ЦФ? Что от¬
личает ее от частотной характеристики соответствующего ана¬
логового фильтра-прототипа?
17.	Как связана частотная характеристика с системной функцией
цифрового фильтра?
18.	Как определяется нерекурсивный цифровой фильтр? Запишите
алгоритм обработки сигнала и изобразите соответствующую
структурную схему фильтра.
19.	В чем заключается недостаток нерекурсивных фильтров?
20.	В чем состоит особенность рекурсивных ЦФ? Запишите алго¬
ритм обработки сигнала и изобразите структурную схему
фильтра.
2L. Какой вид имеет структурная схема прямого рекурсивного-
ЦФ? Чем отличается от нее структура канонического фильтра?

Часть третья
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
Рассматривается ряд вопросов теории нелиней¬
ных колебаний, важных для анализа процессов,
наблюдаемых в автономных и синхронизируемых
автогенераторах гармонических и релаксационных
колебаний, а также в параметрических усилителях.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ И МЕТОД АНАЛИЗА
СИСТЕМ, БЛИЗКИХ К КОНСЕРВАТИВНЫМ
Метод фазовой плоскости (МФП) является качественным ме¬
тодом анализа нелинейных дифференциальных уравнений второго
порядка1). Он дает наглядную качественную картину всех режи¬
мов, которые могут существовать в исследуемой системе. В ряде
случаев МФП позволяет найти достаточно точные количественные
решения.
11.1.	Основные определения
Цепь, содержащая два реактивных элемента (накопителя энергии),
описывается системой двух дифференциальных уравнений пер-
вого порядка
(11.1)
(11.2)
Состояние системы полностью определено, если найдены две
независимые переменные х, у.
Мгновенное состояние {фаза) системы может быть отображено
на плоскости двух переменных х, у точкой A (xir у\) на рис. 11.1,
где Х\ и у\ • значения переменных х, у в фиксированный момент
времени t = t\.
Плоскость двух переменных х, у, на которой отображена фаза
системы, называют фазовой плоскостью. Точку А на фазовой
плоскости с координатами х\, у\, соответствующими значению пере¬
менных х, у в выбранный момент времени, называют изображаю¬
щей точкой.
Изменению состояния системы во времени (изменению х и у)
отвечает перемещение изображающей точки на фазовой плоскости.
1; Метод фазовой плоскости является частным случаем метода фазового
пространства, пригодного для анализа уравнений л-го порядка.
278

Линию, по которой движется изображающая точка, называют фа¬
зовой траекторией.
Движение изображающей точки по фазовой траектории харак¬
теризуется также фазовой скоростью. Фазовая скорость склады¬
вается из скорости Vx движения изображающей точки вдоль осих,
т. е. скорости изменения переменной х и из скорости Vy движения
изображающей точки вдоль оси у, т. е. скорости изменения пере¬
менной у
Vx=d-^=P(x,yh	(П.З)
at
Vy=^-=Q(x,y).	(11.4)
at
Скорости Vx и Vy являются функциями х и у.
На рис. 11.1 построена фазовая скорость
у = уу*х +	= VP2 + Qa.	(11.5)
Фазовую плоскость с нанесенными на нее фазовыми траекто¬
риями называют фазовым портретом системы. Фазовый портрет
системы полностью определяет режимы, которые могут существо¬
вать в системе при различных начальных
условиях.
Построение фазового портрета системы.
Для получения фазового портрета необхо¬
димо построить фазовые траектории систе¬
мы, т. е. исключить из уравнений (11.1) и
(11.2)	время. Разделив (11.2) на (11.1), по¬
лучим уравнение фазовых траекторий в
дифференциальной форме
dy __Q (х, у)
dx	Р (х, у)'
(11.6)
Уравнение (П.6) для некоторых систем удается проинтегриро¬
вать. При этом получается аналитическое выражение для фазо¬
вых траекторий
F(x,y,C)=- 0,	(11.7)
где С — постоянная интегрирования, определяемая начальными
условиями.
Для большинства систем в уравнении (П.6) переменные не
разделяются и оно не интегрируется. Тогда фазовый портрет си¬
стемы может быть построен одним из графоаналитических мето¬
дов. Так, часто применяется метод изоклин. Изоклиной называет¬
ся геометрическое место точек, в которых угол наклона касатель¬
ных к фазовым траекториям одинаков. Уравнение изоклины
dy _ Q (х, у) _ ^
dx Р (х, у)
279
(П.8)

где h — постоянная величина, определяющая угол наклона каса¬
тельных к фазовым траекториям, проходящим через данную изо¬
клину.
Задаваясь последовательно рядом значений h, строим на фазо¬
вой плоскости для каждого значения h свою изоклину. Получив
таким образом сетку изоклин, строим фазовые траектории, пере¬
ходя с одной изоклины на другую.
В некоторых случаях для определения характера фазового
портрета достаточно построить изоклины вертикальных и гори¬
зонтальных касательных. Изоклина вертикальных касательных
соединяет точки на фазовой плоскости, в которых фазовые траек¬
тории проходят под углом 90° к оси абсцисс.
Как видно из (11.8), изоклине вертикальных касательных со¬
ответствует уравнение
Р (х, у) = 0.
Изоклина горизонтальных касательных соединяет точки на фа¬
зовой плоскости, в которых фазовые траектории проходят парал¬
лельно оси абсцисс.
На основании (11.8) получаем уравнение изоклины горизон¬
тальных касательных:
Q (х, у) = 0.
При решении многих задач нет необходимости строить полно¬
стью фазовый портрет, а достаточно определить его основные
свойства (топологию). Топология фазового портрета характеризу¬
ет все режимы, которые могут существовать в системе.
11.2.	Особые фазовые траектории
Топология фазового портрета определяется расположением и
свойствами особых фазовых траекторий, которыми являются: осо¬
бые точки, предельные циклы и сепаратрисы.
Особые точки. Состоянием равновесия системы называется со¬
стояние, в котором независимые переменные х и у постоянны
X = х0 — const,
У = Уо = const.
Изображающая точка на фазовой плоскости с координатами
х0, у0, соответствующая состоянию равновесия, называется особой
точкой Oi(x0, у0). В особой точке скорости изменения х и у равны
нулю:
Иг
~ = Р(хо,Уо) = 0,	(П.9)
at
^=--Q(xo,yo) = 0.
Фазовая скорость при этом также равна нулю:
V («о. У о) = 0.
280
(11.10)

Из (11.9), (11.10) следует, что в особой точке изоклины вер¬
тикальных и горизонтальных касательных пересекаются11.
Состояния равновесия могут быть устойчивыми или неустойчи¬
выми. Состояние равновесия системы считается устойчивым, если
любые достаточно малые отклонения от него со временем зату¬
хают. Состояние равновесия неустойчиво, если хотя бы одно из
этих отклонений нарастает.
В реальных системах могут устанавливаться только режимы,
соответствующие устойчивым состояниям равновесия. Устойчивому
состоянию равновесия на фазовой плоскости соответствует устой¬
чивая особая точка. Последняя обладает свойством «притяжения»
для всех расположенных вблизи нее точек. Это значит, что любая
изображающая точка, помещенная в малую окрестность, окружаю¬
щую устойчивую особую точку, будет приближаться к ней. Так,
особая точка Оi на рис. 11.2 является устойчивой.
Неустойчивому состоянию равновесия соответствует неустойчи¬
вая особая точка на фазовой плоскости. Такая точка не обладает
свойством притяжения для всех расположенных вблизи нее изо¬
бражающих точек. В малой окрестности, окружающей неустойчи¬
вую особую точку, существуют изображающие точки, которые уда¬
ляются от нее. Точка Ог на рис. 11.2'является неустойчивой осо¬
бой точкой.
Исследование характера устойчивости особых точек. При по¬
строении фазового портрета необходимо знать положение и харак¬
тер устойчивости особых точек. Фундаментальное исследование
устойчивости состояний равновесия было проведено русским ма¬
тематиком А. М. Ляпуновым.
Метод Ляпунова для исследования устойчивости состояний
равновесия заключается в следующем. Пусть на фазовой плоско¬
сти х,у имеется особая точка 0\ с координатами х0 н у0 (рис. 11.3).
Рассмотрим движение произвольной изображающей точки А с ко¬
ординатами х, у, расположенной вблизи особой точки Оь
ч Особые точки являются единственными точками на фазовой плоскости,
в которых могут пересекаться изоклины и фазовые траектории.
281

Запишем координаты х, у изображающей точки А через коор¬
динаты х0, у0 особой точки О] и малые приращения g и ту
х = х0 + Ъ,у = у0 + т].	(11.11)
Подставив значения х и у в правую и левую части выражений
(11.1) и (П.2), получим:
+ 5,^+4),
at
d (уо + т|)
dt
:<Ж + £. </0 + т]).
Разложим правые части полученных уравнений в ряды Тейло¬
ра вблизи особой точки Хо, Уо относительно приращений £, ту
Ц-^Р(Хо,Уо)+д~^
dt
дх
dt	дх
Z + Г
х0 ду
Уо
£+ —
х0 ду
Уо
Т] + ... ,
Уо
Т]+...
Уо
Отбросим в правой части члены, содержащие малые величины
5 и Т1 в степени выше первой. С учетом равенств (11.9), (11.10)
получим систему линейных дифференциальных уравнений, эквива¬
лентную вблизи особой точки О\ (х0, у0) исходной системе нели¬
нейных уравнений (11.1) и (11.2):
d|_=dP
dt д х
Хо ду
хо
Уо
л.
(11.12)
d т]	д Q
dt дх
хо
Уо
; +
d_Q
ду
хо
Уо
ч-
Введя обозначения1)
а =
дР
с =
д х
dQ
д х
х0
Уо
6=^
ду
х0
Уо
(11.13)
х0
Уо
d^
ду
Хо
Уо
получим систему уравнений
^■ = al + bv\,
at
= с | + dry
at
(11.14)
(11.15)
Для каждой особой точки a, b, с, d — постоянные коэффициенты.
282

Решение этой системы имеет вид
I = ел,< +е*»*; . т) =	е*»'+ ц2 еА«',	(11.16)
где |ь |г, Ль Лг — начальные значения; 7ц и fo — корни харак¬
теристического уравнения
а-1 Ь
с d—l
равные
Хи2 = — о/2±]/(о/2)г-ДГ	(11.17)
где
<г= — (a + d)	(11.18)
A = ad—be.	(11.19)
Решение (11.16) полностью определяет	поведение системы
вблизи состояния равновесия. Если оба слагаемых (11.16) зату¬
хают, то любое отклонение от особой точки Оi уменьшается, т. е.
особая точка устойчива. Если же один из членов решения (11.16)
нарастает,'то отклонение от особой точки‘увеличивается и особая
точка неустойчива. Таким образом, если действительные части
корней Xi, 7,2 отрицательны, то особая точка устойчива, если дей¬
ствительная часть хотя бы одного корня положительна, то особая
точка неустойчива.
Тип особой точки зависит от значений о и А и их соотношения.
Определение типа особой точки. Рассмотрим все возможный
значения коэффициентов о и А и соответствующие им типы осо¬
бых точек.
1.	Д<0; о — любые. Корни 7ц и 7,2 согласно (11.17) действи¬
тельны и имеют разные знаки. Следовательно, одно слагаемое в
(11.16)	затухает, а другое нарастает. Особая точка неустойчива.
Только при определенных начальных условиях, а именно, когда
начальное отклонение при нарастающем слагаемом равно нулю,
получается затухающее решение. На фазовой плоскости это соот¬
ветствует одной кривой, изображающие точки которой приближа¬
ются к особой точке. Все остальные изображающие точки уда¬
ляются от особой точки. Характер фазовых траекторий в районе
особой точки такого типа изображен на рис. 11.4, а. Такая особая
точка называется «седлом».
Через особую точку типа «седло» проходят две интегральные кривые
(т—п и I—k на рис. 11.4,а), являющиеся асимптотами для остальных фазо¬
вых траекторий. Вблизи особой точки асимптоты являются. прямыми, описы¬
ваемыми уравнением
И = п|.	(11.20)
Выразим угловой коэффициент а через коэффициент а, 6, с, d. Для этого,
разделим почленно уравнения (11.14) на (11.15)
d 1 _ а £ + Ьч\ _ а + 6т]/£
d т] cl+dr\ c-\-d т}/£ '
283

Учитывая, что— = а, получим уравнение для определения а:
1	а	Ь а
а	с+ d а
или
& а2 -j- (а — d) а — с = 0,
откуда
ai ,2
— (a — tf) i /'(a — d)2 j c
2 b - V ~~W
(11.21)
Следует подчеркнуть, что асимптоты являются прямыми (11.20) только в
непосредственной близости от «седла». При удалении от него в нелинейной
системе асимптоты искривляются.
Рис. 11.4
2.	Д>0; о = 0. Корни ?и,2 определяются из выражения
Xi,2 = dt j )ЛД = ± / Q.
Решение (11.16) может быть представлено в виде незатухаю¬
щих синусоидальных колебаний
£ = £о cos (£21 -f* Ф)>
Амплитуда колебаний £0 и фаза Ф определяются начальными
условиями. Частота колебаний Q— V
Любая изображающая точка в окрестности особой точки со¬
вершает незатухающие колебания вокруг особой точки. Характер
фазовых траекторий изображен на рис. 11.4,6. Особая точка та¬
кого типа называется центром. Когда в результате исследования
•системы линейных уравнений (11.14), (11.15) получается осо¬
бая точка типа центр, вопрос об устойчивости нелинейной систе¬
мы (11.1), (11.2) в районе особой точки 0\ требует дополнитель¬
ного изучения. Для этого следует исследовать более сложную си¬
стему нелинейных уравнений, сохраняя члены с | и 1] не только
в первой, но и во второй степени.
3.	0<Д< (о/2)2; о>0. Оба корня, согласно (11.17), действи¬
тельны и отрицательны. Следовательно, оба слагаемых решения
284

(11.16)	затухают и особая точка устойчива. Любая изображающая
точка из окрестности особой точки приближается к особой точке
по апериодическому закону.
Характер фазовых траекторий в окрестности особой точки изо¬
бражен на рис. 11.4,в. Особую точку такого типа называют устой¬
чивым узлом.
4.	0<А<(о/2)2; о<0. Оба корня, согласно (11.17), действи¬
тельны и положительны. Слагаемые в решении (11.16) нарастают
и поэтому особая точка неустойчива. Любая изображающая точка
из окрестности особой точки удаляется по апериодическому зако¬
ну. Характер фазовых траекторий в районе такой особой точки
изображен на рис. 11.4, д. Особую точку такого типа называют
неустойчивым узлом.
5.	Д>(о/2)2; о>0. Корни fa определяются из выражения
(П.17)..
Поскольку их действительная часть отрицательна, то особая
точка устойчива. Решение (11.16) представляют в виде гармони¬
ческих колебаний с затухающей амплитудой. Любая изображаю¬
щая точка из окрестности особой точки приближается к последней,
совершая, вокруг нее затухающие колебания. Характер фазовых
траекторий в окрестности такой особой точки изображен на
рис. 11.4, г. Особую точку такого типа называют устойчивым фо¬
кусом.
6.	А>(о/2)2;	о<0. Корни fa,2 комплексно сопряженные, с
положительной действительной частью. Особая точка неустойчива.
Решение (11.16) может быть представлено в виде гармонических
колебаний с нарастающей амплитудой.
Любая изображающая точка удаляется из окрестности особой
точки, совершая вокруг нее колебания с нарастающей амплиту¬
дой. Характер фазовых траекторий в районе особой точки этого
типа изображен на рис. 11.4,0. Особую точку такого типа назы¬
вают неустойчивым фокусом.
На рис. 11.5 построена диаграмма, позволяющая определить
тип особых точек в зависимости от значений А и о.
Предельные циклы. Периодическим колебаниям в системе со¬
ответствует режим, при котором периодически через интервал
времени Т, равный периоду колебаний, повторяются значения всех
переменных, т. е.
x{t) — x{t-\-kT),
y(t) = y(t + kT),	(П.22)
где k= 0, 1, 2, 3, ... — любое целое число.
Режиму периодических колебаний на фазовой плоскости со¬
ответствует предельный цикл — изолированная замкнутая фазо¬
вая траектория (рис. 11.6), не проходящая через особые точки.
Действительно, если на фазовой траектории нет особых точек, то
скорость движения изображающей точки все время больше нуля
и, следовательно, конечный путь, равный длине замкнутой фазо-
285

вой траектории, изображающая
мя 7. Выйдя из точки А (Х\, у\)
будет возвращаться в нее после
7, 27, ... kT.
дочка пробегает за конечное вре-
(рис. 11.6), изображающая точка
каждого обхода, т. е. через время
Рис. 11.5
Замкнутую фазовую траекторию, на которую «накручиваются»
все соседние фазовые траектории, называют устойчивым предель¬
ным циклом (УПЦ) (1 на рис. 11.7). Замкнутая фазовая траекто¬
рия, с которой «скручиваются» соседние фазовые траектории, есть
неустойчивый предельныу. цикл (НУПЦ) (2 на рис. 11.7).
Задача нахождения и построения предельных циклов весьма
сложна. Иногда существование и устойчивость предельного цикла
удается определить методом кольца, который заключается в сле¬
дующем. Допустим, что на фазовой плоскости можно провести
кольцо, в которое фазовые траектории лишь входят и из которого
не выходит ни одна фазовая траектория. Если внутри кольца нет
особых точек, то в кольце расположен хотя бы один устойчивый
предельный цикл (1 на рис. 11.8). Аналогично, неустойчивый пре¬
дельный цикл расположен внутри кольца, в котором нет особых
286

точек, и из которого все фазовые траектории выходят (2 на
рис. 11.8).
Воспользовавшись методом кольца, можно установить крите¬
рий существования предельного цикла для реальных систем.
Если на фазовой плоскости, отображающей реальную систему,
существует только одна особая точка типа неустойчивый узел
или неустойчивый фокус, то вокруг нее существует устойчивый
предельный цикл.
Действительно, в реальных системах бесконечно удаленная
точка всегда неустойчива, так как токи и напряжения не могут
достигать бесконечной величины. Следовательно, внешняя грани¬
ца кольца К2 (рис. 11.9) бесконечно большого радиуса пересекает¬
ся только фазовыми траекториями, входящими в кольцо. Из осо¬
бой точки неустойчивый фокус или неустойчивый узел все фазо¬
вые траектории выходят и пересекают внутреннюю границу коль¬
ца К\, входя в него. Следовательно, внутри кольца существует
устойчивый предельный цикл.
Сепаратрисы. Каждая устойчивая особая точка имеет свою
область притяжения — область на фазовой плоскости, в пределах
которой изображающие точки движутся по траекториям, стремя¬
щимся к данной устойчивой особой точке.
Областью притяжения устойчивого предельного цикла называ¬
ют область на фазовой плоскости, где изображающие точки дви¬
жутся по фазовым траекториям, навиваясь на данный устойчивый
предельный цикл.
Сепаратрисами называют линии на фазовой плоскости, разде¬
ляющие области притяжения устойчивых особых точек или устой¬
чивых предельных циклов.
Рассмотрим фазовый портрет с двумя устойчивыми особыми
точками 01 и О2 и одной неустойчивой особой точкой Оз типа
«седло» (рис. 11.10). Области притяжения устойчивых особых то¬
чек 01 и О2 разделены сепаратрисой АОъБ, проходящей через
«седло». Все изображающие точки левее сепаратрисы АОъБ дви¬
жутся по фазовым траекториям, стремящимся к устойчивой осо-
Рис. II.9
Рис. II.10
287

бой точке 01, а справа от сепаратрисы — по траекториям, стре¬
мящимся к устойчивой особой точке Ог.
Неустойчивые предельные циклы, разделяющие области при¬
тяжения устойчивых предельных циклов, также являются сепа¬
ратрисами.
Бифуркационные значения параметров. Значения параметров,
при которых происходит качественное изменение фазового порт¬
рета, называют бифуркационными. Например, из рис. 11.5 видно,
что бифуркационными параметрами являютсц: значение Д = 0, при
котором происходит переход от узлов к «седлам»; значение о = 0,
при котором происходит переход от устойчивых к неустойчивым
фокусам.
Бифуркационными считают также значения параметров, при
которых появляются или исчезают предельные циклы, а также
изменяется их устойчивость.
В реальных системах невозможно установить значение пара¬
метра, точно равное бифуркационному, поэтому режимы, соответ¬
ствующие бифуркационному значению параметра, реализованы
быть не могут.
11.3.	Метод анализа систем, близких к линейным
консервативным
Консервативной называют систему, запас энергии которой
остается постоянным в любой момент времени. Контур LC без
потерь, маятник без трения — примеры консервативных систем.
Линейная консервативная система при соответствующем вы¬
боре масштабов переменных х и у описывается системой урав¬
нений
dx
d/g
dy
dte
x,
(11.23)
где t6 — (0pt — безразмерное время, а соР=1/]^LC — резонансная
частота.
Система (11.23) эквивалентна одному уравнению второго по¬
рядка
d2 х
dt*a
+ х— 0.
(11.24)
Разделив первое уравнение системы (11.23) на второе и про¬
интегрировав, получим уравнение фазовых траекторий
д:2 + i/2 = /?2.	(11.25)
Фазовый портрет (рис. 11.11) линейной консервативной систе¬
мы — семейство концентрических окружностей с радиусами R,
определяемыми запасенной энергией. Имеется одна особая точка
типа центр.
288

Изображающая точка движется по одной из окружностей в
направлении часовой стрелки с единичной угловой скоростью1
dt(j
(11.26}
В линейной консервативной системе наблюдаются гармониче¬
ские колебания, которые могут быть записаны в виде
х = R sin (t6 -f ф) = R'sin ф,
y = R cos (t6	<p) = /? cos of	(11.27>
либо
X = R cos (t6 -f- ф) = R cos ф,
У= —^ sin (t6 + <p) = —sin if.	(11.28)
Нелинейные системы, близкие к линейным консервативным,
описываются уравнениями
dy
dt§
=У+рР(х, у),
dto
= —x+yQ(x,y), где цСЬ
(11.29)
Слагаемые цР и pQ характеризуют силы, действующие на
линейную консервативную систему (11.23). Поскольку p-Cl, то
эти силы малы. Чем меньше параметр р, тем ближе система к
линейной консервативной.
Широкий круг задач радиоэлектроники и других областей
науки и техники сводится к решению системы уравнений (11.29).
Точного метода решения (11.29) не существует. Поэтому был со¬
здан ряд приближенных методов, которые базируются на фунда¬
ментальных работах А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. Ван-дер-Поль
разработал метод медленно меняющихся амплитуд (ММА). Этот
метод в дальнейшем развила школа советских ученых (А. А. Анд¬
ронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин и др.).
Метод медленно меняющихся амплитуд сводится к следую¬
щему. Положив р = 0 в системе (11.29), находим решение нулевого
приближения (11.27) или (11.28). Подставляем найденное решение
в уравнение (11.29) и, полагая, что амплитуда R и фаза <р есть
медленные функции времени, получаем укороченные дифферен¬
циальные уравнения, которые описывают процесс установления!
амплитуды R(te) и фазы ф(*б).
Существует несколько способов получения укороченных урав¬
нений установления амплитуды и фазы.
'> Действительно,
=JL = Vidxjdtc)2 + (dy/dt6f- _ у у* + х* _ R__
&б R	R	~ R ~ R ~ ' '
10—100
289

Найдем дифференциальные уравнения установления амплиту¬
ды R(tо) и фазы ф(/б), если решение записано в виде (11.27), ис¬
пользуя переход от фазовой плоскости в Декартовых координатах
х, у к фазовой плоскости в полярных координатах R, ф (рис. 11.12).
При этом
x = Rsinq, у = R cos ф.	(11.30)
Подставив значения х и у в (11.29), получим
— Лпф + ^окгр — = /?созф-Ь уР (/? sin ф, 7?созф),
dtb	, dt§
— со«ф ■ Rsinф—sinф-f-рQ{Rsinф| ЯсоБф). (11.31)
dt0	dtf,
Умножая первое уравнение системы (11.31) на втф, второе
на соэф и складывая, имеем
dR
— = (i Р (R sin ф, R cos ф) sin ф -f-
dt о
+ jn Q (R sin ф, R cosф) cos ф M (ф, R).	(11.32)
Аналогично, умножая первое уравнение системы (11.31) на
■соэф, второе на этф и вычитая, получим
R = R + у Р (R sin ф, R cos ф) cos ф —
dto
— р(3(#5шф, R cos ф) sin ф.
Отсюда
-Л-~ = 1 + -t- [Р (R sin ф, R cos ф) cos ф—
<0б	R	»
—Q(Rsin^, R cosф) sinф] = 1 + N (Rф),
dt б
где
290
(11.33)
(11.34)

Следует отметить, что при выводе уравнений установления
амплитуды и фазы мы не пользовались условием малости сил
\iP(x, у) и \iQ(x, у), действующих на консервативную систему
(11.23). Следовательно, этими уравнениями можно пользоваться
и при анализе существенно нелинейных колебательных систем.
Для системы, близкой к линейной консервативной, учитывая,,
что
Р«1,
(11.35>
можно получить укороченные дифференциальные уравнения уста¬
новления амплитуды и фазы.
Считаем, что на протяжении каждого отдельного периода при¬
ращения амплитуды ДR и фазы Дф достаточно малы:
&R/R<<1, Дф2<1.	(11.36)
ДФ = г [Р (р5шф,
COS яф) COSlp-
(11.37)
Поэтому можно заменить R и ф их средними значениями за каж¬
дый период колебательного процесса, равный 2я. Произведя усред¬
нение за период, приходим к системе укороченных уравнений
установления амплитуды и фазы колебаний:
лр	,, 2я
—	= — f [Р(/? sin ty, 7?cosi|>)sini|> +
it б 2n (j
+ Q{R sin ф, R cos ф) cos ф] с(ф,
d<r _	■■ 2lt
2яR 0
—	Q (R sin ф, R cos ф) sin^tp] d ф.	j
Уравнения (11.37) могут быть преобразованы к более удоб¬
ной для практических расчетов форме. Для этого следует учесть,
что функции Р(Рзшф, Pcos\p) и Q(Psin\p, РсоБф) периодичны
по аргументу ф и поэтому могут быть представлены рядами Фурье
Р(Р5шф, /?cos<t>) = P04-Plccos<j>+	\
-Ь R%c cos 2ф -(-...-j- Pl4 sin ф +...	| (11.38)
Q (/? sin гр, R cos ф) = Q0 Qjc cos ф -t-... -f- Qjs sin ф -f-... j
Подставив функции Р(Рзшф, Рсоэф) и £2(Рзшф, R соэф) в
(11.37), после интегрирования получим
^Р—JLiP _l п и AS.,	!L_ TD _.Q ]
its
[pls + Qlc); ^
2 R
Wic-
(11.39)
где Pic, Pis и Qic, Qis — косинусоидальные и синусоидальные со¬
ставляющие первой гармоники разложения периодических функ¬
ций P(Psтф, R cos ф) и СИРэтф, Рсовф) в ряд Фурье.
Найденные уравнения (11.37) и (11.38) являются укороченны¬
ми дифференциальными уравнениями установления амплитуды
R(tc>) и фазы ф(/б) колебания:
x=R(t6) sin [<в+ф(<в)1.
y = R(t6) cos [i1,, -f-Ф (г'ез)].
291
(11.40)
10*

Необходимо подчеркнуть, что найденные уравнения дают уста¬
новления амплитуды и фазы от периода к периоду. На протяже¬
нии каждого отдельного периода амплитуда R и фаза q> счита¬
ются постоянными.
Советские ученые Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Мит¬
ропольский разработали асимптотический метод приближенного
решения уравнений (11.29), который позволяет последовательно
уточнять найденное приближенное решение. Существенно, что ре¬
шение первого приближения асимптотического метода совпадает
с решением укороченного уравнения, найденного методом медлен¬
но меняющихся амплитуд (11.37), (11.38).
И-4. Резонансный усилитель с нелинейной емкостью контура
Схема замещения резонансного усилителя с нелинейной ем¬
костью контура (рис. 11.3) аналогична схеме, изображенной на
рис. 6.13. Отличие состоит в том, что емкость контура нелинейна
и характеризуется вольт-кулоновой характеристикой u=f(q)/Co-
Здесь и и q — переменные составляющие напряжения и заряда;
С0 — емкость контура при нулевых значениях заряда и напря¬
жения:
dq_
du
в=0.
gsO
Введем резонансную частоту контура о>ро — 1 lYLC0.	На контур
действует источник гармонического тока t'B = /sino)c^ с частотой
0)с, блИЗКОЙ К Юро
©о « ®Р0-
Дифференциальные уравнения системы
имеют вид
Введем обозначение
dq_
dt
и
+ £в>
di_
dt L L C0 '
Q ^Rp C0;
перейдем к безразмерному времени
t6 = ®ct
согласно рис. 11.13
(11.41)
(11.42)
и запишем систему (11.41) в виде одного уравнения второго по¬
рядка
da q
~di\
шс
cos L
1 df(q)
Q dto
(11.43)
Если функция f(q) аппроксимирована полиномом
f (Я) « Я + f + a3 <78 — <7 (1 + <41 + <h <f),
292

то уравнение (11.43) примет вид
d*q
Л*в
cos t6
(-J£-),(1+02<7 + a3<72)<7 =
-Vc-
(11.44]
mc ' Q \ dt6
Нас интересуют вынужденные колебания с частотой сос, что
в безразмерном времени /б согласно (11.42) соответствует частоте,
равной единице. Поэтому преобразуем уравнение (11.44) так, что-
бы левая часть соответствовала уравнению консервативной систе<
мы с резонансной частотой, равной единице:
da о .	/	I
dt* о	шс ■6 Q
+ 2ааq — +За3<72-^- ) +
Лв	dto	dtj^
+ vq — (a2q2+a3 q3)
Мро
й)с
= pF,
где
v = 1
относительная расстройка
2 (ыс — о)р0)
Шро
(11.45)
(11.46)
Полагая члены в правой части уравнения (11.45) малыми, при¬
меним метод ММА. Решение ищем в виде
Я = R (к) sin [t6 + ф (/б)] = R (t6) sin ф,	(11.47)
~ = R (t6) cos [t6 + ф (*6)] = R(t6) cos ф,
где ф = ^б + Ф (^б) — полная фаза колебания в безразмерном вре¬
мени £б- Согласно (11.47) получаем /б = ф—ф-
Укороченные уравнения установления амплитуды R(t$) и фазы
ф(/б) решения (11.47) находим согласно (11.37) и (11.45)
dR	1 2гл г , « ,
— = — \ М- F cos d
dt6	2л 0J
dy
dto
I 2л
	 f pFsimJjd^.
2nR o> r
(11.48)
293

Подставив значение \iF из
2a*q da
рого порядка малости
(11.45)
), после
9 АН
dt6
R .	1
— ■	1	COS ф,
Q Q)c
2 ^- =	-a,R2	—
dte	16	R шс
(пренебрегая членом вто-
интегрирования получаем
sinq>—V.
(11.49)
Стационарные значения амплитуды R0 и фазы фо определяются
условиями
-**=0, *L = 0.
dt(j	dtf,
Из уравнений (11.49) находим стационарную амплитуду
торая зависит от расстройки v:
2
Q//MC
"l/i + Q* ,',28кв
До, ко-
(11.50)
где v8kb — эквивалентная расстройка:
Vs„B = v + 4a3^V	(П.51)
ID
Важно отметить, что эквивалентная расстройка данной нели¬
нейной системы зависит от амплитуды колебаний.
На рис. 11.14 изображена резонансная кривая, соответствую¬
щая выражению (11.50). Штриховой линией изображена ветвь
(бв), соответствующая неустойчивым значениям амплитуды. Вет¬
ви аб и вг, изображенные сплошной линией, соответствуют устой¬
чивым значениям амплитуд. Из рис. 11.14 видно, что наблюдается
гистерезис — при одном и том же значении расстройки v могут
устанавливаться стационарные колебания с разными амплитудами.
Резонансная кривая строится симметрично относительно штрих-
пунктирной линии, определяемой выражением
Необходимо отметить, что приведенный анализ справедлив
лишь при достаточной малости слагаемых в правой части уравне¬
ния (11.45), т. е. при малых членах a2q2 и a3q3. Это соответствует
слабой нелинейности характеристики f(q).
При значительной нелинейности характеристики f(q) необхо¬
димо применить метод нелинейного преобразования переменных,
который изложен в следующем параграфе.
11.5.	Метод анализа систем, близких к нелинейным
консервативным
Использование в радиоэлектронике нелинейных реактивных элементов
(емкости р-п переходов или индуктивности катушек с ферритовыми сердечни¬
ками) делает актуальным анализ систем, близких к нелинейным консерватив-
294

ным. К этим системам относятся, например, транзисторные автогенераторы, в
которых емкости р-п переходов входят в емкости резонансных контуров.
Подобные системы описываются дифференциальными уравнениями вида1)
d2 х .	/ dx \
—+	j,	"152,
где f(x) —нелинейная функция, р.— малый параметр.
Приравняв правую часть (11.52) нулю, получим уравнение близкой нели¬
нейной консервативной системы
d2x
(11.53)
Уравнением (11.53), например, описываются колебания в LC-контуре без
потерь при нелинейной емкости С (и) или нелинейной индуктивности L(i).
Фазовый портрет системы, близкой к нелинейной консервативной. Запишем
уравнение (11.53) в виде системы
dx
dtc
= z,
dz
din
(11.54)
Исключив из [11.54) время, получим
dx	г
dz	f (лг)
(11.55)
После разделения переменных имеем
/ (*) dx = — zdz.
Интегрируя последнее выражение, получим уравнение траекторий на фазо¬
вой плоекостн (х, у) в виде
X
г2 + 2 J f(x)dx = R2.	(11.56)
о
Уравнению (11.56) соответствует фазовый портрет (рис. 11.15,а) в виде
семейства замкнутых, вложенных друг в друга кривых, симметричных относи¬
тельно осн z=0. Изображающая точка движется по одной из замкнутых фа¬
зовых траекторий с непостоянной угловой фазовой скоростью dif/d/6 = var.
Непостоянство угловой скорости и отличие фазовых траекторий от окруж¬
ностей обусловливают разницу форм свободных колебаний от гармонических.
Как и следовало ожидать, свободные колебания в консервативном нелинейном
контуре отличны от гармонических.
Ниже излагается метод нелинейного преобразования переменных [23], по¬
зволяющий преобразовать уравнения (11.52) н (11.53) к виду (11.29) и (11.24),
т. е. перейти от анализа системы, близкой к нелинейной консервативной, к
11 Более широкий класс систем, близких к нелинейным консервативным,
описывается более общими уравнениями вида
= h (*а) + И Р (*1. *а) ;
Z7- = fi (*i) + pQ(*i.*a).
at б
К этим уравнениям может быть также применен излагаемый ниже метод [23].
205

анализу системы, близкой к линейной консервативной. Метод преобразования
применим для широкого класса систем, удовлетворяющих условию
sign f (х) = sign х,	(П.57)
которое означает, что кривая функции f(x) лежит в первом и третьем квад¬
рантах на плоскости х, f(x).
Переход от исходных переменных х, /а к переменным у, /«. Переход к
новым переменным проведем для наглядности в два этапа.
Этап I. Преобразование фазового портрета (рис. 11.15,а) в семейство
концентрических окружностей.
Рис. 11.15
Из уравнения (11.56) видно, что для получения фазового портрета в виде
семейства концентрических окружностей следует перейти к новой переменной
у с помощью формулы
X
y*=2$f(x)dx.	(11.58)
о
Для устранении двузначности наложим дополнительное условие
</=
(x)dx
sign х = х
f (*) dx .
(11.59)
-Уравнение (MJ56) в новых переменных примет вид
za + {f2 = tf\	(11.60)
т. е. на фазовой плоскости (у, г) получено семейство концентрических окруж¬
ностей (рис. 11.15,6).
Изображающая точка движется по одной из окружностей с непостоянной
угловой фазовой скоростью dij)/^6=var.
Этап И. Переход к новому времени tB, в котором изображающая точка
на фазовой плоскости (у, z) двигается с постоянной угловой скоростью, рав¬
ной единице.
Данному фазовому портрету соответствуют гармонические колебания и
система уравнений, имеющая вид
dy
dtn
z.
dz
лГ= _ У'
Из сравнения систем (11.54) н (11.61) находим
dx _ dtp _ у
dy dtH ~ f [х{у)]
296
0(У).
(11.61)
(11.62)

Формула (11.62) дает зависимость преобразованного времени tB от ис¬
ходного ts и от значения у в дифференциальной форме. Выберем начало от¬
счета времени так, чтобы г/ = 0 при /н = 0. Тогда на основании (11.62) полу¬
чим
(11.63)
Формула (11.63) устанавливает связь между преобразованным tB и ис¬
ходным временем /а-
Для взаимной однозначности зависимостей х н у, а также t$ и tB необ¬
ходимо выполнение условий
dx
dy
>0 и
dta
dtH
>0,
которые согласно (11.62) справедливы, если G(y)=y/f(x)>0.
Согласно (11.57) и (11.59) знаки у и f(x) совпадают со знаком х, следо¬
вательно, G,(y)> 0.
Таким образом, при выполнении условия (11.57) функция G(y)>0 и за¬
висимости х от у и tв от /н взаимно однозначны.
Запишем уравнение (11.52) в новых переменных. Из (11.62) получаем
dx _ dy
dt§ dta
(11.65)
Продифференцировав (11.65) по /а, находим
d2x	d2 у dtH d2 у J
di^^dt2^ dt6 = dt2H G(y) '
(11.66)
Подставив (11.64) и (M.66) в (11.52), получим
j£+y = 4Flxly), -%-]G(y)=pL(y,	.	(11.67)
Уравнение (41.67) является уравнением системы, близкой к линейной кон¬
сервативной, и его решение может быть найдено согласно методике, изложен¬
ной в § 11.3.
Нелинейное преобразование переменных расширяет область применения
асимптотического метода и метода ММА иа класс систем, близких к нелиней¬
ным консервативным.
Учитывая взаимное однозначное соответствие между исходными и преоб¬
разованными переменными, по найденному решению в преобразованных пере¬
менных может быть определено решение в исходных переменных. Для ряда
задач достаточно найти решение в преобразованных переменных и переход х
исходным не требуется.
11.6.	Резонансный усилитель со значительной
нелинейностью емкости контура
При значительной нелинейности емкости резонансного контура непосред¬
ственное применение метода ММА затруднено вследствие того, что члены в
правой части уравнения (11.45) нельзя считать малыми. Применив метод не¬
линейного преобразования переменных, приведем уравнение к виду, при кото¬
ром можно пользоваться методом ММА.
Запишем уравнение (11.44) в виде
d2 а
di^ + “2Р»П<7) =
1 df (g)	diB
Rq Со Ло	dt(j
297
(11.68)

Перейдем к новым переменным у и /н, в которых уравнение
мет вид
d* у ,	_ 1 df \д Ш _Лв
dt*н +	Ro Со Л„ + Л„ ■
Новые переменные связаны с исходными соотношениями:
(11,68) при-
dl,69),
У = ® ро
f (q)dq sign 17,
G(iO =
	l
“2po / [? Ш
16 =
G (7/) d/H
0
(11,70)
В общем случае задача перехода от исходных переменных к преобразо¬
ванным может быть осуществлена численным методом согласно алгоритму, со¬
ответствующему табл. 11.1.
Таблица 11.1
9
Ш
У 2 j f(q) dq sign q
°(У)~ t ...
“*P0 f (9)
91
flQiiyi)]
У1
G(ji)
9*
f [<?2 Ы]
Уг
C(c/2)
Задавая ряд значений qi, определяем yt и соответствующие ему значения
flQiHi)] н G{yi). Аппроксимируем найденные зависимости полиномами
f [q (y)) = % у + y2 + • •
G (У) = — [I + 61У + *2 У2 +
COpo
• + ап Уп ,
(11.71)
■ ■ ■ + bn Уп ].
(11.72)
Решение уравнения (1,1.69) ищем в виде
dy
У= R (<н) cos(co7H), — = —
din
со Я(7Н) sin (со7„).
(11.73)
где со— частота колебаний во времени 7Н, которая при резонансном усилении
равна частоте внешнего тока iB (также во времени tK).
Поскольку в (11.73) начальная фаза принята равной нулю, внешний ток
следует представить так:
с’в = I sin (шс t — ср),
где ф — сдвиг фаз между колебанием заряда на контуре и внешним током
1в.
Определяем зависимость 7(/н):
1R .	.
	sin со /н + —
со	4 со
sin 2 со	•
298

Записываем внешний ток в виде1)
w*** -П I	.
со	4 со
Ток (в в нелинейном времени tH представляет собой ЧМ колебание. Выделш
в этом колебании несущую частоту, которая близка к резонансной частоте кон¬
тура. Остальные частотные составляющие отфильтровываются резонансным
контуром, и их не учитываем:
В (11.74) учтено, что при резонансном усилении выполняется равенство
частот колебаний в контуре и внешнего сигнала.
Из (11.74) находим угловую частоту
Уравнение (М.69) с учетом (11.74), (11.75) н (11.71) запишем в виде
К уравнению (11.76) уже применим метод ММА, так как все члены в
правой части являются малыми.
11.7.	Построение фазовых портретов с помощью ЭВМ
Выше было отмечено, что для построения фазового портрета
системы,, описываемой уравнениями (11.1), (11.2), необходимо
определить особые фазовые траектории (особые точки, предель¬
ные циклы и сепаратрисы) и исследовать их характер.
Положение особых точек и их характер определяются просто
(см. § 11.2). Расчет предельных циклов и сепаратрис является
сложной задачей, которая может быть решена с применением
На рис. 11.16, 11.17 приведены алгоритмы расчета характер¬
ных фазовых траекторий.
.Шро
Ф = sin (ш tH — ф).	(11.74)
(11.75)
+ • • • + паг
(11.76)
ЭВМ.
Основные уравнения:
в декартовых координатах:
*> Ограничиваемся первыми тремя членами разложения (11.72).
299

в полярных координатах:
/?); -^ = i+m R)
dt6	dt6
ИЛИ
dR 	 М (г|\ R) . die,	1
l+NW.R) ’ d^ ~ 1 +ЛЧг|5, R)’
где
М(ф, R) = р Р (R sin 1)3, #cost|))sim|) +
+ [iQ(/?sinif), /?cost)))cos-ф,
N (ty, R) = — [P (Rsinty, Rcosф)cosф—
R
— Q(/?sini|), /?cos^)sint])],
д: == /? sin op, y = R cost)),
R^yx^ + y2, ф = arctg (x/y).
При расчетах целесообразно за начало координат принимать
особую точку, относительно которой строится фазовая траектория.
Рис. 11.16
Рис. 11.17
При этом координаты особой точки А (х0, у о) равны нулю, т. е.
*о = 0, i/o = 0.
Параметр e=10_fe определяет точность численного интегриро¬
вания:
е=У(Дхг+(Дуг=vmf+mw-
300

На рис. 11.16 приведен алгоритм расчета фазовой траектории
в Декартовых координатах от точки Ао(хо, уо) до точки А{ха, у).
На рис. 11.17 представлен алгоритм расчета фазовой траекто¬
рии в полярных координатах от точки Ло(фо, Rо) до точки
Л (фА, R).
В зависимости от условий задачи и вида функций Р(х, у) и
Q(x, у) может быть использована одна из приведенных схем либо
более сложная схема, построенная на базе приведенных.
Вопросы для самопроверки
1.	Что называют фазовой плоскостью, фазовой траекторией, фа¬
зовой скоростью, фазовым портретом?
2.	Как определяется направление движения изображающей точ¬
ки на фазовой плоскости?
3.	Что называют изоклиной? Дайте определение изоклины гори¬
зонтальных касательных, изоклины вертикальных касательных.
4.	Как можно построить фазовый портрет? Какую информацию
о системе дает фазовый портрет?
5.	Что называют особой точкой?
6.	Какое состояние равновесия называют устойчивым?
7.	Каким образом исследуют устойчивость состояния равновесия
нелинейной системы?
8.	Нарисуйте фазовые траектории вблизи особых точек различ¬
ного типа.
9.	Изобразите диаграмму состояний а (А).
10.	На диаграмме состояний а(А) укажите бифуркационные зна¬
чения параметров Об и Аб.
11.	Как отображают на фазовой плоскости периодические ко¬
лебания?
12.	Какие существуют типы предельных циклов?
13.	Как способом кольца определить положение и устойчивость
предельного цикла?
14.	Что называют сепаратрисой? Приведите пример.
15.	Какие системы называют близкими к линейным консерватив¬
ным? Приведите примеры таких систем.
16- В чем сущность метода медленно меняющихся амплитуд?
ivo	dR d\f>
17. Выведите уравнения для определения — и -—	системы,,
dt с	dtб
близкой к линейной консервативной.
18.	Сформулируйте область применения методов медленно ме¬
няющихся амплитуд и асимптотического. Как изменится эта
область, если применить метод нелинейного преобразования
переменных?
19.	Нарисуйте фазовый портрет нелинейной консервативной си¬
стемы. Чем он отличается от фазового портрета линейной кон¬
сервативной системы? Что у них общее?
20.	В чем состоит метод нелинейного преобразования переменных?
301

21.	Объясните назначение всех операций на рис. 11.16, 11.17.
22.	Составьте алгоритм расчета на ЭВМ фазовой траектории от
точки Л0(х = 0 у = 0) до точки Л[х(/б), y{h)) системы
-^- = х2 + у2; -^-=х2—у2; для /в=Ю.
dt б	<3‘б
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ТЕНЕРАТОРЫ И ТРИГГЕРЫ НА БАЗЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО
КОНТУРА И ОТРИЦАТЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Генераторы — устройства, которые создают электромагнитные
колебания. Генераторы с точки зрения режима их работы делятся
на автогенераторы, ждущие генераторы и триггеры.
Автогенераторы вырабатывают электрические колебания, пре¬
образуя электрическую энергию постоянного или переменного
тока в энергию колебани-й требуемой частоты и формы. Частота
и форма генерируемых колебаний определяются особенностями
схемы генератора.
Ждущий генератор — устройство, в котором колебания отсут¬
ствуют, если нет запускающих импульсов. При подаче запускаю¬
щего импульса ждущий генератор переходит в режим автогенера¬
тора. Запускающий импульс определяет момент возникновения и
срыва колебаний.
В зависимости от формы вырабатываемых колебаний разли¬
чают генераторы гармонических и релаксационных колебаний.
Идеальное гармоническое колебание имеет одну спектральную
составляющую. Реальное гармоническое колебание содержит ос¬
новную спектральную составляющую с большой амплитудой и ряд
гармоник с малыми амплитудами.
Релаксационное колебание по форме сильно отличается от
гармонического. Временная диаграмма его состоит из медленных
и быстрых участков. Спектр такого колебания содержит ряд гар¬
монических составлящих, имеющих соизмеримые амплитуды.
Примеры релаксационных колебаний: последовательность импуль¬
сов, пилообразное напряжение и т. п.
Триггеры (реле) — устройства, имеющие несколько устойчивых
состояний равновесия. Под действием внешних импульсов может
происходить переход из одного устойчивого состояния в другое.
Триггер «запоминает» состояние, сообщенное ему пришедшим им¬
пульсом.
В данной главе рассматриваются генераторы, создаваемые на
базе LC-контура и отрицательного сопротивления.
12.1.	Основные определения
Отрицательное сопротивление характеризуется тем, что при
увеличении приложенного напряжения (Дп>0) протекающий че-
302

рез него ток уменьшается (Ai<0). При этом дифференциальное
сопротивление отрицательно
Rd = -7- < °-
di
Вольт-амперные характеристики некоторых нелинейных уст¬
ройств имеют падающие участки характеристик, на которых со¬
противление отрицательно.
В зависимости от формы вольт-амперной характеристики не¬
линейные элементы с отрицательным сопротивлением делятся на
отрицательные сопротивления N- и 5-типа. Отрицательные сопро¬
тивления yV-типа имеют вольт-амперную характеристику гн = Мы)>
изображенную на рис. 12.1, а, и характеризуются многозначностью
по напряжению, т. е. на некоторых ее участках одному значению
тока соответствуют три значения напряжения. Отрицательным
сопротивлением N-типа может служить туннельный диод, тетрод
в динатронном режиме, пентод в транзитронном режиме и ряд
других устройств.
Отрицательные сопротивления S-типа имеют вольт-амперную
характеристику г'н(ы), изображенную на рис. 12.1,6, и характери¬
зуются многозначностью по току. Отрицательным сопротивлением
S-типа могут служить газоразрядные лампы, тиристоры, транзи¬
сторы в лавинном режиме и т. п.
12.2.	Возможные режимы работы устройств
Схема замещения LC-генератора с отрицательным сопротивле¬
нием Д1-типа изображена на рис. 12.2. Она содержит два накопи¬
теля энергии: катушку индуктивности L и конденсатор С*. Диф¬
ференциальные уравнения относительно напряжения и и тока i
имеют вид:
=	о.	(12.1>
dt С
> Емкость С учитывает и собственную емкость сопротивления .V-типа.
303

(12.2)
^±l(E-iR)-u] = Q(u, i).
Анализ системы проведем на фазовой плоскости (и, i), по¬
строив изоклины вертикальных и горизонтальных касательных.
1.	Изоклина вертикальных касательных. Ее уравнение согласно
(12.1)
—■ =Р («> 0 =	»н(«)]=°-
Так как \/СфО, то
i = /.(«)•	(12.3)
Изоклина вертикальных касательных (Р = 0) совпадает с вольт-
амперной характеристикой нелинейного сопротивления, построен¬
ной на фазовой плоскости (и, i) (рис. 12.3).
2.	Изоклина горизонтальных касательных. Согласно (12.2)
0—!-[(£-» Я)-«] = °.
at	' L
Так как 1/Ьф0, то
и — Е—i R.	(12.4)
Изоклина горизонтальных касательных (Q = 0) совпадает с на¬
грузочной прямой (рис. 12.3).
Для определения направления движения изображающей точки
по фазовым траекториям воспользуемся уравнениями (12.1) и
(12.2). Из (12.1) следует, что
~т~ '> 0 при i>t'H(«),
at
~т~ < ® при i < tH (и).
at
(12.5)
Следовательно, движение изображающей точки по фазовым
траекториям выше изоклины вертикальных касательных (Р = 0)
происходит в сторону увеличения и, а ниже изоклины вертикаль¬
ных касательных — в сторону уменьшения и.
304

Из уравнения (12.2) следует, что
di
——< 0 при и>Е—iR,
at
-у->• 0 при и<.Е—iR.
at
(12.6)
Следовательно, движение изображающей точки по фазовым
траекториям справа от изоклины горизонтальных касательных
(Q = 0) происходит в сторону уменьшения тока t, а слева от изо¬
клины горизонтальных касательных — в сторону увеличения
тока i.
Направления движения изображающей точки по фазовым тра¬
екториям, пересекающим изоклины вертикальных (Р = 0) и го¬
ризонтальных (Q = 0) касательных, изображены на рис. 12.3 стрел¬
ками. Точки пересечения изоклин вертикальных и горизонтальных
касательных являются особыми точками.
В зависимости от выбора величин Е и R изоклина горизонталь¬
ных касательных может занимать различные положения на фа¬
зовой плоскости. На рис. 12.4 изображены возможные положения
изоклины горизонтальных касательных. Из рисунка видно, что мо¬
жет существовать одна или три особые точки.
Характер особых точек зависит от значения коэффициентов а
и А, для нахождения которых необходимо знать коэффициенты а,
Ь, с, d (11.13). На основании дифференциальных уравнений (12.1),
(12.2)	получаем:
а —
дР
ди
i—it
u—ua
д {	— г'н («)] I
ди
1 diB (и) 		1_
С ди	CRd
Величина и знак коэффициента а зависит от величины и зна¬
ка дифференциального сопротивления Rd нелинейного элемента в
305

особой точке, f. е. от положения особой точки на вольт-амперной
характеристике (изоклине вертикальных касательных). Если осо¬
бая точка лежит на падающем участке, то Rd<Z0 и а>0, если на
восходящем участке, то Rd>0 и a<L0.
Остальные коэффициенты выражаются следующим образом:
6 =
дР
di
! с1
hi (и)]
i=io
lu=u0
di
_1_
С ’
С
dQ
du
l—i о
u=u „
3	j
du
L ’
d
d
l0
— [(E — iR) — u]
di
R_
L
Коэффициенты b, с и d зависят только от параметров контура
L, С и R и не зависят от положения особой точки на вольт-ампер¬
ной характеристике.
Определяем коэффициенты сг и А по формулам (11.18) и (11.19)
a- (a + d) R<jC + L.
(12.7)
А-ы-Ьс=-ф(]+-£гУ
(12.8)
В схеме, изображенной на рис. 12.2, могут быть получены все
типы особых точек:
■ «седло»: АсО; а — любое. Из (12.8) следует, что особая точ¬
ка будет «седлом», если
Rd < 0,	(12.9)
\Ra\<R-	(12.10)
Сопротивление Rd должно быть отрицательным и по модулю
меньше сопротивления R. Эти условия выполняются, если в осо¬
бой точке на фазовой плоскости угол наклона характеристики
ia(u) больше угла наклона нагрузочной прямой и = Е—iR. Особая
точка 1 на рис. 12.4, в является «седлом»;
неустойчивый фокус или неустойчивый узел: А>0, о<0.
Из (12.7), (12.8) следует, что особая точка будет неустойчи¬
вым фокусом или неустойчивым узлом, если
Rd < 0,
\Re\>R,	(12.11)
\Rd\<L/CR.	(12.12)
Условия (12.9), (12.11) означают, что сопротивление Rd дол¬
жно быть отрицательным и по модулю больше сопротивления R,
т. е. наклон характеристики tH(u) в особой точке должен быть
306

меньше наклона нагрузочной прямой и = Е—iR (особая точка 3
на рис. 12.4, б);
Устойчивый фокус или устойчивый узел: Д>0, а>0. Коэф¬
фициенты Д и а могут быть положительными в двух случаях:
а)	сопротивление Rs положительно Rg>0, т. е. особая точка
лежит на восходящем участке вольт-амперной характеристики
(точки 2 и 4 на рис. 12.4);
б)	выполняются условия (12.9) и (12.11) и
"“(■г4-+т)>Ат-е- IRsl>^- 1'-щ
Из (12.9) и (12.11) следует, что особая точка лежит на па¬
дающем участке характеристики ia(u) и угол наклона iH(u) мень¬
ше угла наклона нагрузочной прямой; из условия (12.13) резо¬
нансное сопротивление контура недостаточно для возбуждения
колебаний.
Таким образом, на фазовой плоскости системы, состоящей из
LC-контура и нелинейного сопротивления lV-типа в зависимости
от соотношения параметров могут, существовать любые типы осо¬
бых точек.»
На рис. 12.5 в обобщенных координатах (R/р, Rajр) построе¬
на диаграмма, позволяющая определить характер особой точки
(р — волновое сопротивление контура: р=У L/C).
Рассмотрим режимы работы схемы на рис. 12.2, которым со¬
ответствуют положения нагрузочной прямой, изображенные на
рис. 12.4.
1.	Изоклина горизонтальных касательных пересекает характе¬
ристику iH(u) в единственной особой точке 3 на рис. 12.4,6, Если
выполняется условие (12.12), то особая точка 3 является неустой¬
чивым фокусом или неустойчивым узлом. Вокруг особой точки 3
существует устойчивый предельный цикл '. Это значит, что в схеме
1( Это следует из критерия существования устойчивого предельного цикла
для реальных схем (§ 11.2).
307

возникают и существуют периодические колебания. Следователь¬
но, данное взаимное расположение изоклин горизонтальных и вер¬
тикальных касательных соответствуют режиму автогенератора.
Если условие (12.12) не выполняется, то особая точка 3 устой¬
чива и колебания в схеме затухают.
2.	Изоклина горизонтальных касательных пересекает характе¬
ристику г'н(ы) в точке 4	(Ra>0) (рис. 12.4, а). Так как при
Ra>0 существуют только устойчивые узлы или фокусы, то ко¬
лебания в схеме отсутствуют. Однако если при помощи запускаю¬
щего импульса сместить нагрузочную прямую на падающий уча¬
сток характеристики £н(ы), то особая точка из положения 4 сме¬
стится в положение 3, и при | /?э | <С/?Р станет неустойчивым узлом
или неустойчивым фокусом. В схеме возникнут колебания. Такое
взаимное расположение изоклин вертикальных и горизонтальных
касательных соответствует режиму ждущего генератора.
3.	Изоклина горизонтальных касательных пересекает характе¬
ристику г'н(ы) в трех точках (точка 1 и точки 2 на рис. 12.4, в).
Точка 1 ■— «седло», точки 2 — устойчивые особые точки. Такое
взаимное расположение изоклин вертикальных и горизонтальных
касательных соответствует режиму триггера с двумя устойчивыми
состояниями равновесия.
Ниже рассмотрены особенности работы схемы на рис. 12.2 в
каждом из этих режимов.
12.3.	Автогенератор в релаксационном режиме
Для работы автогенератора в режиме периодических колеба¬
ний необходимо, чтобы на фазовой плоскости существовал устой¬
чивый предельный цикл.
Как указывалось в § 11.2, устойчивый предельный цикл суще¬
ствует, если на фазовой плоскости имеется только одна точка
типа неустойчивый фокус
или неустойчивый узел. Для
получения неустойчивого
фокуса или неустойчивого
узла необходимо, чтобы изо¬
клина горизонтальных каса¬
тельных Q = 0 (12.4) пересе¬
кала изоклину вертикаль¬
ных касательных Р = 0 (12.3)
в одной точке на падающем
участке (рис. 12.6).
При выполнении условия
(12.12)	особая точка 0\ не¬
устойчива, вокруг нее су¬
ществует устойчивый предельный цикл. Это соответствует режиму
автоколебаний.
308

Автоколебания будут релаксационными, если постоянная вре¬
мени емкости много меньше постоянной времени индуктивности *>.
Это выполняется при условии
Р Vl/c
R ~~ R
00.
(12.14)
Направление касательных к траекториям на фазовой плоскости
определяется выражением
di _ Q(u, i) _ С (Е — l R) — и
du
Р{и, i) L
Поскольку L/C велико, величина
(i—iH(u))
di
du
(12.15)
близка к нулю везде,.
кроме точек, где t«t'H(w), т. е.
di л
	« О
du
(12.16)
везде, кроме изоклины вертикальных касательных.
Следовательно, в релаксационном режиме во всех точках фа¬
зовой плоскости (и, i) (кроме точек вблизи изоклины вертикаль¬
ных касательных) направление фазовых траекторий горизонталь¬
но. Физически это значит, что напряжение на малой емкости С
устанавливается за столь короткое время, что ток через большую
индуктивность L не успевает измениться.
На рис. 12.6 стрелками указано направление движения изобра¬
жающей точки в различных областях фазовой плоскости {и, i)f
определенное согласно выражениям (12.5), (12.6) и (12.16).
Рассмотрим, например, движение изображающей точки на
рис. 12.6, выходящей из точки А фазовой плоскости. Здесь изобра¬
жающая точка движется влево и перемещается в положение А\.
Дальнейшее движение изображающей точки будет происходить по
кривой, приходящей немного ниже изоклины Р = 0. Действительно,,
на изоклине Р = 0 точка движется вниз, и изображающая точка
опускается ниже изоклины. При этом она оказывается справа от
изоклины Р = 0, где движение происходит влево. Таким образом,
изображающая точка стремится «прижаться» к изоклине и дви¬
жется вдоль нее вниз. На участке А\вг движение происходит по
пунктирной линии, примыкающей снизу к правой ветви изоклины
Р = 0. В точке г изображающая точка оказывается ниже изоклины
Р = 0, где она движется влево и перемещается в точку а, лежащую
на левой ветви изоклины Р = 0. Дальнейшее движение происходит
по пунктирной линии, примыкающей сверху к левой ветви изокли¬
ны Р = 0 до точки б, лежащей немного выше этой изоклины, где
движение происходит вправо. Изображающая точка занимает по-
■> Постоянная времени емкости определяется по формуле тc=€R, где
R—'Сопротивление, через которое перезаряжается емкость.
Постоянная времени индуктивности определяется по формуле xl = LIR
где R — сопротивление, включенное последовательно с индуктивностью.
309

ложение в. Дальнейшее движение происходит по замкнутой кри¬
вой вгабв, которая является устойчивым предельным циклом.
Из любой точки фазовой плоскости изображающая точка по¬
падает на устойчивый предельный цикл абвг и в дальнейшем
движется по нему.
Временные диаграммы напряжения и и тока i строят на осно¬
вании фазового портрета с предельным циклом абвг (рис. 12.6) и
уравнений (12.1), (12.2). Построение можно начать из любой
точки, лежащей на предельном цикле абвг.
На рис. 12.7 изображены временные диаграммы г (г ) и u(t).
При построении принято, что при / = 0 изображающая точка на¬
ходится в положении а.
Движению изображающей точки на участке аб соответствует
нарастание тока г в индуктивном элементе, от гаг до г‘бв; а на уча¬
стке вг — спадание тока от £бв до гог. Скорость изменения тока
di
~dt
= — (UR — и),
где
uR =E — iR.
Зависимость напряжения uR от тока i изображается на фазо¬
вой плоскости (см. рис. 12.6) прямой Q = 0. Напряжение на емко¬
сти на участке аб изменяется от иа до ив, на участке вг — от ив
до иг.
Зависимость тока через нелинейное сопротивление i„(u) от
напряжения и изображается на фазовой плоскости (рис. 12.6)
кривой Р = 0.
При выполнении условия (12.14) фазовая скорость на участках
бв и га много больше фазовой скорости на участках аб и вг. На
•временной диаграмме это соответствует мгновенному изменению
(скачку) напряжения (вертикальные прямые цб«в и игиа на
рис. 12.7). За малое время скачка напряжения ток через большую
индуктивность не успевает измениться {1б = 1в=Цв на рнс. 12.6
и 12.7).
Период колебаний Т приблизительно равен сумме времени
перемещения изображающей точки из положения а в положение б
310

(время /о-i на рис. 12.7) и времени перемещения изображающей
точки из положения в в положение г (время /1-2):
Т ~ 4>—i "г 4—г-	(12.17)
Временем скачков (toe и 4а) обычно пренебрегают.
Интервалы времени /о-i и 4-2 могут быть точно рассчитаны
графоаналитически. Алгоритм расчета времени to-1 приведен на
рис. 12.8.
Рис. 12.8	Рис. 12.10
Часто применяется приближенное определение времени to-1 и>
4-2. Участки аб и вг характеристики нелинейного сопротивления
заменяются прямыми аб и вг (рис. 12.9). Это соответствует заме¬
не нелинейного сопротивления Ra иа участках аб и вг эквивалент¬
ными линейными сопротивлениями Rae и Re3.
Эвивалентное линейное сопротивление определяется из рис. 12.9*
по формуле
Ra6-
Д и
А I
I* — t-a
Для участка аб можно пренебречь влиянием малой емкости С,
так как напряжение на ней изменяется сравнительно медленно и
поэтому ответвляющийся в нее ток мал.
311

В линейной схеме, содержащей индуктивность L и сопротив¬
ление (Ra6 + R), ток i изменяется экспоненциально (рис. 12.10)
•с постоянной времени ха6 = L/(R + Ra6).
Ток i стремится по экспоненте к предельному значению /м»
которое соответствует точке М на рис. 12.9
I = 1м—(tM—ia) e-1/Tfl6
и достигает значения k при t = to-i (рис. 12.10)
i6 = iM-(iM-ia)e~t0-ilXa6.
Отсюда для определения интервала времени to-i получаем
формулу
^=Тоа1п [м~[а ,	(12.18)
1М~‘б
Аналогично определяется интервал времени t\-2, в течение
которого изображающая точка перемещается по участку фазовой
траектории вг
*1-2 = Т8а In [e~iN ,	(12.19)
1г~1Ы
где Хвг=L/(R + Rea); Рвг — линейное сопротивление, эквивалентное
нелинейному сопротивлению Ru на участке вг
Значение тока in определяется графически (рис. 12.9).
Период колебаний согласно выражениям (12.17) — (12.19) при¬
близительно равен
Т » f0-l + *1~2 ~ Тдб 1П 1М~[а- + Хвг 1П [8~lN .	(12.20)
1М — 1б	‘г ~ lN
Интересна зависимость периода колебаний Т от положения
особой точки О] на падающем участке кривой Р = 0. При прибли¬
жении особой точки О] к б точка М также приближается к точ¬
ке б и ток i'm уменьшается, стремясь к току ig. Согласно (12.18)
интервал времени *0-1 при этом увеличивается, стремясь к беско¬
нечности При 1м = 1б-
При приближении особой точки 0\ к точке г (рис. 12.9) ток
iN стремится к ie, что приводит к возрастанию интервала времени
11_2 (12.19). При ijv = *г длительность интервала *1-2 стремится к
бесконечности.
Следовательно, период колебаний, равный cywe /0-1 и t\-2
стремится к бесконечности при приближении особой точки Оi
•к границам падающего участка кривой Р = 0, т. е. к точкам б
312

или г на рис. 12.9. Характер зависимости периода колебаний от
положения особой точки Оj на падающем участке кривой Р = О
изображен на рис. 12.11.
Аналогичный характер имеет зависимость периода колебаний
от напряжения источника питания T = f(E) при фиксированном R.
Из рис. 12.11 видно, что наибольшая стабильность периода ко-
лебаний получается при особой точке Оь расположенной в сере¬
дине участка бг.
Рассмотрим процесс скачка напряжения (участок фазовой
траектории бв на рис. 12.12,а), используя формулу (12.1).
Конденсатор С заряжается раз¬
ностным током i—iu(u). Когда изо- Т
бражающая точка достигает поло¬
жения б, ток i через индуктивность
L становится несколько больше, чем
максимальный ток, который может
протекать через нелинейное сопро¬
тивление на левой ветви его харак¬
теристики (/б> 1н max) •
Напряжение и на емкости увели¬
чивается. При этом ток нелинейного
сопротивления уменьшается (благо¬
даря падающему участку вольт-ам-
перной характеристики iH(«)). Ток q
через индуктивность не успевает из¬
мениться, оставаясь постоянным н
равным /б. Разность заряжающего и
разряжающего токов i—iu увеличивается. Поэтому скорость изме¬
нения напряжения и увеличивается.
I	s' i/j-n	» /м
и
ив
иг
ив
Максимальная скорость нарастания напряжения на блюда ется8„
когда и.=иг, т. е. при минимуме тока через нелинейное сопротив¬
ление (i = i„ min) (рис. 12.12,6).
313
Us	иг %
Рис. 12.11

Согласно (12.3) максимальная скорость
Ли \	1
н шах
я шах
На рис. 12.12, а изображена временная зависимость напряже¬
ния на конденсаторе С во время скачка на участке бв.
Некоторые замечания по методу анализа автогенератора в ре¬
лаксационном режиме. В релаксационном режиме предельный
цикл на фазовой плоскости может быть разбит на участки с боль¬
шой фазовой скоростью (бв и га) и с малой фазовой скоростью
(аб и вг). На участках с большой фазовой скоростью можно не
учитывать изменения тока через индуктивность L, т. е. не учиты¬
вать изменения энергии, запасенной в накопителе с большой по¬
стоянной времени. На участках с малой фазовой скоростью мож¬
но не учитывать ток, перезаряжающий емкость, т. е. можно пре¬
небречь влиянием другого реактивного накопителя.
Таким образом, анализ системы с двумя накопителями в релак¬
сационном режиме разбивается на анализ двух схем, каждая из
которых имеет по одному реактивному накопителю. Одна схема
позволяет анализировать быстрые процессы, другая — медленные.
12.4.	Переход от режима релаксационных колебаний
к режиму синусоидальных
Переход от режима генерирования релаксационных колебаний
к режиму генерирования синусоидальных колебаний происходит
при увеличении емкости или уменьшении индуктивности, т. е. при
уменьшении характеристического сопротивления р (12.14).
Если постоянные времени ть и %с соизмеримы, то уже нельзя
считать, что направление фазовых траекторий во всех точках
фазовой плоскости (и, i), кроме кривой Р = 0, горизонтально.
^Если построить ряд фазовых портретов для различных значе¬
ний характеристического сопротивления и по ним построить вре¬
менные диаграммы u(t) и i(t), можно убедиться, что с умень¬
шением р происходит плавный переход от релаксационных колеба¬
ний к синусоидальным колебаниям. Устойчивый предельный цикл,
а следовательно, и режим автоколебаний, существует, пока един¬
ственная особая точка является неустойчивым фокусом или не¬
устойчивым узлом, т. е. пока выполняется условие (12.12).
При уменьшении р неравенство (12.12) превращается в ра¬
венство. Характеристическое сопротивление, при котором это име¬
ет место, называют критическим (бифуркационным) ркр, т. е.
откуда
Рвр = КЯ|/?а1.
314
(12.21)

Согласно (12.13) при критическом характеристическом сопро¬
тивлении коэффициент сг = 0.
Особая точка Оь согласно (рис. 11.5), является особой точкой
типа центр. Фазовые траектории в окрестности такой особой точ¬
ки являются семейством эллипсов, окружающих особую точку 0\.
Движению изображающей точки по любому из эллипсов соответ¬
ствуют гармонические колебания напряжения и тока. Обеспечить,
режим, соответствующий точно р = ркр, невозможно. Поэтому при
работе генератора в гармоническом режиме берут р несколько
большим ркр.
Таким образом, в схеме генератора на рис. 12.2 при изменении
характеристического сопротивления от ркр до оо происходит плав¬
ный переход от генерирования синусоидальных к генерированию
релаксационных колебаний. Это значит, что по одной и той же
схеме могут быть выполнены автогенераторы синусоидальных и
релаксационных колебаний.
Генераторы на туннельных диодах могут генерировать частоты
до десятков гигагерц. На высоких частотах емкостью С является
собственная емкость туннельного диода, при этом необходимо'
учитывать ее нелинейность. Форма генерируемых колебаний при
этом отлична от гармонической.
12.5.	Расчет устойчивого предельного цикла и временных
диаграмм с помощью ЭВМ
Рассмотрим режим генератора, когда на фазовой плоскости (и, £) имеется
одна неустойчивая особая точка 0\ и устойчивый предельный цикл.
Перенесем начало координат в особую точку Оi с координатами «о,
Для этого перейдем к новым переменным , £^:
и^ = и — и0,
= £ — t'o.
— £н — io •
Используем обозначения
Р — Т^LjC ; (Од — y/^LC ’
х =	; у = р ; t6 = Щ * •
В переменных х, у, tб уравнения (12.1) и (12.2) примут вид:
dx
— = у — р£н„ (*),
dt б
dy	R
-Х-—У.	(12.22).
dt б	р
Аппроксимируем вольт-амперную характеристику нелинейного сопротивле¬
ния iV-типа кубической параболой
I н„
(1 — ЯН*).
Введем два параметра: k — отношение волнового сопротивления р к кри¬
тическому характеристическому сопротивлению:
к = р/Ркр ;
315
(12.23)

Ь —• корень из отношения сопротивления R к модулю нелинейного сопротиВ'
лени я в особой точке Of
b=VR/\R9\.	(12.24)
Уравнения (12.22) с учетом (12.23) и (12.24) примут вид:
= у + kbx(l — ах*) = Р (х, у),
dy_
dta
— х — —-y = Q(x; у),
k
На рис. 12.13 приведен алгоритм определения точки А(х, у), лежащей иа
устойчивом предельном цикле. Приращение времени ДТ выбрано так, что сме¬
щение изображающей точки на фазовой плоскости (х, у) при каждом шаге
равно е = 0,01. Считаем, что изображающая точка попала на предельный
цикл, если
при | £/] < е, jc < 0 выполняется условие \х — хг\ < 10 е,
«■де Ха — абсцисса точки (г/<е, х<0) в предыдущем цикле.
Рис. 12.13	Рис. 12.14
316

На рис. 12.14 приведен алгоритм расчета устойчивого предельного цикла
я временных зависимостей х(х) и у(т). За начальную точку принята точка с
координатами хА, У а, определенными по алгоритму рис. 12.13. Запись точек
осуществляется через каждые 100 шагов. Цикл заканчивается при достижении
значения х=хА±е и у=уА±\йг.
Согласно схемам на рис. 12.13
и 12.14 были проведены расчеты
для значений параметров: а = 1;
fo = 0,8; 6=1,2; 10; 100. Соответст¬
вующие фазовые портреты и вре¬
менные диаграммы приведены на
рис. 12.15. Из рис. 12.15 видно,
что чем ближе k к единице, тем
форма колебаний ближе к гармо¬
нической; при больших k в систе¬
ме наблюдаются релаксационные
колебания.
12.6.	Ждущий генератор
Схема ждущего генератора отличается от схемы автогенера¬
тора (рис. 12.2) только наличием источника запускающего на¬
пряжение е.
Существует несколько способов подачи запускающего напря¬
жения. На рис. 12.16 изображена схема ждущего генератора, в
которой запускающее напряжение е подается последовательно с
напряжением смещения Е.
Ждущий режим должен обладать устойчивым состоянием рав¬
новесия. Следовательно, на фазовой плоскости (и, i) должна су¬
ществовать устойчивая особая точка.
Выберем напряжение Е и сопротивление R так, чтобы точка
пересечения изоклин Р = 0 и Q = 0 лежала вне падающего участка
вольт-амперной характеристики нелинейного сопротивления.
На рис. 12.17 изображены изоклины вертикальных и горизон¬
тальных касательных, когда особая точка 0\ находится слева от
падающего участка бг.
Сопротивление Ra в области особой точки 0\ положительно,
особая точка 0\ устойчива. Эта особая точка характеризует жду¬
щий режим. Здесь через нелинейное сопротивление и индуктив¬
ность L протекает ток i0; напряжение на емкости С равно и0.
317

При подаче положительного запускающего импульса с ампли¬
тудой е изоклина горизонтальных касательных Q = О на фазовой
плоскости (и, i) смещается вправо параллельно самой себе на
величину е (штриховая прямая Q' = 0 на рис. 12.17). При этом
особая точка перемещается на падающий участок вольт-ампер-
ной характеристики (O'i).
Если условие неустойчивости (12.12) выполняется, то особая
точка Q'i является неустойчивым фокусом или неустойчивым уз¬
лом. Появляется устойчивый предельный цикл абвга. Фазовый
портрет при этом полностью совпадает с фазовым портретом
(рис. 12.6) автогенератора в релаксационном режиме.
Генератор из ждущего режима переходит в режим автоколе¬
баний. Режим автоколебаний сохраняется под действием положи¬
тельного запускающего напряжения, пока особая точка находится
на падающем участке вольт-амперной характеристики нелиней¬
ного сопротивления.
Временные диаграммы напряжения и тока, во время действия
запускающего импульса совпадают с временными диаграммами
автогенератора (рис. 12.7). После окончания запускающего им¬
пульса изображающая точка возвращается в единственную ус¬
тойчивую точку Q1; колебания прекращаются.
Ждущий генератор в режиме одиночных импульсов. В ряде случаев тре¬
буется, чтобы ждущий генератор под действием каждого запускающего им¬
пульса формировал один выходной импульс. При запуске ждущего генератора
(рис. 12.16) в релаксационном режиме короткими импульсами изображающая
точка пробегает на фазовой плоскости (и, i) (рис. 12.17) одни цикл 0\6вга0\.
Длительность запускающего импульса должна при этом лежать в интервале
^mtn ^Н<Пграх.
Время Wx немного больше времени одного цикла. Если tXmaz, то гене¬
ратор под действием запускающего импульса сформирует больше одного вы¬
ходного импульса.
Время fmin равно времени, в течение которого изображающая точка под
действием запускающего импульса перемещается из положения 0\ в точку б:
S
Рис. 12.17
Рис. 12.18
(М— (01
*mjn — ^ab >п .
1М — (б
(12.25)
318

При i <tmiD изображающая точка по окончании действия запускающего им¬
пульса находится между устойчивой особой точкой 0| и точкой б и притяги¬
вается к устойчивой особой точке Ои Перескока в точку в не происходит.
Из (12.25) и рис. 12.17 следует, что с ростом амплитуды запускающего
импульса е минимальная длительность запускающего импульса йшп уменьша¬
ется.
На рис. 12.18 изображен характер зависимости минимальной длительно¬
сти запускающего импульса <*нп от его амплитуды е. При е=екр точка М на
на ,рис. 12.17 сливается с точкой б. При этом срабатывание происходит за
бесконечно большое время. С ростом е точка М на рис. 12.17 смещается вверх
и вправо и минимальная длительность запускающего импульса уменьшается.
12.7.	Триггер
Схема триггера подобна схеме ждущего генератора (см. рис.
12.16).
Триггер характеризуется наличием двух устойчивых состояний
равновесия, разделенных одним неустойчивым. На фазовой плос¬
кости этому соответствуют три особые точки: две устойчивые и
одна неустойчивая.
На рис. 12.19 сплошной линией изображены изоклины верти¬
кальных (Р = 0) и горизонтальных (Q=0) касательных для слу¬
чая, когда Внешнее запускающее напряжение отсутствует (е=0).
Напряжение Е и сопротивление R выбраны так, чтобы обеспечить
три точки пересечения изоклин вертикальных и горизонтальных ка¬
сательных. На фазовой плоскости располагаются три особые точки,
которые согласно рис. 12.19 имеют следующий характер: особые
точки О] и О2, лежащие на нарастающих участках вольт-ампер-
ной характеристики нелинейного
сопротивления (7?э>0), устой¬
чивы.
Особая точка 0= лежит на пада¬
ющем участке вольт-амперной ха¬
рактеристики нелинейного сопро¬
тивления. Наклон падающего участ¬
ка вольт-амперной характеристи¬
ки в точке Оз больше, чем наклон
прямой Q = 0, т. е. \Ra\<R. Следо¬
вательно, особая точка 03 — «сед¬
ло». Направление движения изобра¬
жающей точки на фазовой плоскости определяется при помощи
уравнений (12.5) и (12.6).
При отсутствии запускающих импульсов триггер может нахо¬
диться в одном из двух устойчивых состояний равновесия, соот¬
ветствующих одной из двух устойчивых особых точек (Oi или Ог)
на фазовой плоскости.
. Для переброса триггера из одного устойчивого состояния рав¬
новесия в другое необходимо подать запускающее напряжение.
Если источник запускающего напряжения включен последователь¬
но с источником напряжения Е, то изоклина Q=0 на фазовой
плоскости смещается параллельно самой себе в направлении
оси и на величину запускающего напряжения (рис. 12.19). На-
319

пример, для переброса триггера из устойчивого состояния равно¬
весия, соответствующего особой точке Qь в устойчивое состояние
равновесия, соответствующее особой точке Ог, следует так смес¬
тить изоклину Q = 0, чтобы устойчивая точка 0\ слилась с неус¬
тойчивой особой точкой Оз и исчезла. Для этого необходимо по¬
дать положительный запускающий импульс, который сместит изо¬
клину Q = 0 вправо.
Под действием положительного запускающего импульса изо¬
клина горизонтальных касательных сместится вправо на величину
е (Q' = 0 на рис. 12.19), устойчивая особая точка 0\ исчезает. На
фазовой плоскости (и, i) остается только одна устойчивая особая
точка 0\, в которую и переместится изображающая точка. По
окончании действия запускающего импульса изоклина горизон¬
тальных касательных вернется в исходное положение (Q — 0).
Изображающая точка переместится из положения О'г в О2. Та¬
ким образом, под действием положительного запускающего им¬
пульса изображающая точка перемещается из устойчивой особой
точки 0\ в устойчивую 'особую точку О2. Это соответствует пере¬
бросу триггера из одного состояния равновесия в другое.
Для перемещения изображающей точки из особой точки Ог в
особую точку 0\ необходимо подать отрицательный запускающий
импульс (е = —е).
Вопросы для самопроверки
1.	Что называют отрицательным сопротивлением? Нарисуйте
вольт-амперную характеристику сопротивления JV-типа.
2.	Изобразите схему генератора на базе 1С7?-контура с отрица¬
тельным сопротивлением JV-типа. Составьте дифференциаль¬
ные уравнения относительно напряжения и на емкости и тока
i через индуктивность. Запишите уравнения изоклин верти¬
кальных и горизонтальных касательных.
3.	На фазовой плоскости {и, i) покажите все возможные особые
точки для схемы (рис. 12.2) и определите их характер.
4.	Перечислите и опишите все возможные режимы работы схемы
на рис. 12.2.
5.	Запишите и поясните условия существования колебаний в
схеме на рис. 12.2.
6.	Запишите и поясните условия существования релаксационных
колебаний в схеме на рис. 12.2.
7.	На фазовой плоскости (и, i) нарисуйте предельный цикл для
режима релаксационных колебаний.
8.	Нарисуйте временные диаграммы напряжения на емкости и
тока через индуктивность i для автогенератора в релаксаци¬
онном режиме.
9.	Для релаксационного режима нарисуйте кривую скорости из¬
менения напряжения на емкости и поясните ее.
10.	Для релаксационного режима нарисуйте кривую скорости из¬
менения тока через индуктивность и поясните ее.
320

]1. Как приближенно определяется период колебаний Т для ре¬
лаксационного режима автогенератора?
12.	Поясните возможность получения гармонических колебаний в
схеме на рис. 12.2. Изобразите вид фазового портрета.
13.	Что определяет и как вычисляется критическое характеристи¬
ческое сопротивление?
14.	Составьте алгоритм расчета на ЭВМ устойчивого предельного
цикла для схемы генератора на рис. 12.2.
15.	Нарисуйте схему ждущего автогенератора.
16.	Поясните особенность работы автогенератора с отрицатель¬
ным сопротивлением в ждущем режиме при запуске коротки¬
ми импульсами.
17.	Поясните возможность осуществления триггера на базе
/.С7?-контура с отрицательным сопротивлением JV-типа.
18.	Нарисуйте фазовый портрет, соответствующий режиму триг¬
гера.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ГЕНЕРАТОРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
В радиотехнике наиболее распространенными источниками
гармонических колебаний являются генераторы с LCR-контурами.
Известно большое число схем таких генераторов. Они могут быть
сведены к эквивалентной схеме (рис. 13.1), состоящей из
LC7?p-KOHTypa и вспомогательной цепи, которая вносит в контур
энергию, компенсирующую потери. Компенсация потерь осущест¬
вляется путем подключения к контуру либо элемента, обладающе¬
го отрицательным сопротивлением (например, туннельного дио¬
да), либо усилителя, охваченного положительной обратной
связью.
Генератор гармонических колебаний на базе ГС7?-контура с
отрицательным сопротивлением JV-типа был рассмотрен в гл. 12.
В данной главе проводится более детальный анализ генераторов
гармонических колебаний.
13.1.	Возбуждение и существование гармонических колебаний
В колебательном контуре под действием внешних толчков
(например, при включении источников питания или под действием
флуктуаций) возникают колебания со сплошным спектром. Бла¬
годаря резонансным свойствам контура колебания с частотами,
близкими к резонансной, приобретают большую амплитуду. За
счет внесения энергии из вспомогательной цепи (рис. 13.1) про¬
исходит перекомпенсация потерь в контуре — вносимая энергия
больше энергии потерь, и амплитуда колебаний на резонансной
частоте системы нарастает.
С ростом амплитуды колебаний вследствие нелинейности вспо¬
могательной цепи рост вносимой энергии замедляется по сравне-
11—100	321

нию с ростом энергии потерь. Если вносимая энергия равна энер¬
гии потерь, то в системе устанавливается стационарный режим
почти гармонических колебаний с постоянной амплитудой t/0> ча¬
стотой со0 и фазой ф0.
1—
Вспошгатель-
ноя схема
1
■
=}=£ L
йг-щ
JL
Mz
J-
U1
к
о
Р
Рис. 13.1
Рис. 13.2
Исходя из физики процесса, не претендуя на строгость выво¬
да, можно определить, амплитуду и частоту колебаний в стацио¬
нарном режиме.
Рассмотрим генератор (рис. 13.2), выполненный на базе уси¬
лителя с комплексным коэффициентом усиления K = Kei<fx и по¬
ложительной обратной связью с комплексным коэффициентом пе¬
редачи р = (3 ejcPp .
Пусть на входе усилителя существует гармоническое колеба¬
ние с частотой соо и амплитудой Ui. Чтобы поддержать это коле¬
бание, необходимо после обхода всей цепи (К и |3) подать на вход
колебание с такой же частотой, фазой и амплитудой. Этому соот¬
ветствует условие
или
р/с=1.	(13.1)
Запишем (13.1) в виде pei<rP /(е]<Рк=1, откуда получаем1)
Р(*/„) *(*/„) = !.	(13.2)
Фр (®о) + Фк (®0) = 2л
где	k = 0, 1, 2,...	(13.3)
Условие (13.3), называют условием баланса фаз и. формули¬
руют так: в стационарном режиме автоколебаний полный сдвиг
фаз равен или кратен 2л. Из условия баланса фаз определяется
генерируемая частота ю0.
Условие (13.2) является условием баланса амплитуд:	при
стационарной амплитуде колебаний полный коэффициент усиле¬
ния на генерируемой частоте при обходе кольца, состоящего из
■) Учитываем, что система нелинейна, следовательно, коэффициент усиле¬
ния кольца является функцией амплитуды колебаний Uq. Сдвиг фаз при
наличии резонансной системы сильно зависит от частоты.
322

усилителя и цепи обратной связи, равен единице. Из условия ба¬
ланса амплитуд определяется амплитуда генерируемых колеба¬
ний.
При коэффициенте усиления кольца меньше единицы (/(|3<1)
амплитуда колебаний уменьшается. Если же коэффициент усиле¬
ния кольца больше единицы (/С(3> 1), то амплитуда колебаний
увеличивается.
Условия баланса фаз и амплитуд широко используются в ин¬
женерной практике.
В следующем параграфе дается математический анализ про¬
цессов в автогенераторе, позволяющий определить характер пе¬
реходного процесса в системе.
13.2.	Эквивалентная схема генератора и ее анализ
Представим эквивалентную схему LC/^-генератора гармониче¬
ских колебаний в виде параллельного соединения колебательного
контура без потерь, источника тока гв, учитывающего действие на
контур вспомогательной цепи, и
сопротивления Rp, учитывающего
как потери в контуре, так и шун¬
тирующее действие вспомогатель¬
ной цепи (рис. 13.3).
Ток is зависит от напряжения
на контуре и: iB = iB(u).
Дифференциальные уравнения
для напряжения и на конденса¬
торе С и тока i, протекающего через индуктивный элемент L, име¬
ют вид:
du 1
' I =j=C /?р[|] | Фр
ТГ
Рис. 13.3
__ 1
dt С
di
dt L
Введем безразмерное время it'.
(13.4)
(13.5)
где
сор = 1/VLC.
Система уравнений (13.4) примет вид:
du	. .	1	.	, г> • \
~т~ — —Р1 + ~рг (— u + RPtB)>
dtQ	Q
dpi
~Щ)
= и
или
11*
d?u
dt*s
—|— tl 	 ■
	du | n diB
dt6 + p dt6
32»
(13.6)
(13.7)

где p=MpL= 1/шрС= 'УL/C — характеристическое сопротивление
контура; Q=RP/р — добротность контура.
Анализ системы уравнений (13.6) или (13.7) проведем, исполь¬
зуя метод фазовой плоскости.
Особенность LC/^-генератора гармонических колебаний — вы¬
сокая добротность контура, т. е.
<2 = ЯР/р»1.	(13.8)
Из неравенства (13.8) следует, что правая часть уравнения
(13.7) мала и при отыскании решения первого приближения мо¬
жет быть отброшена. Это соответствует такому режиму эквива¬
лентной схемы (рис. 13.3), когда ток iB(u) в любой момент вре¬
мени точно компенсирует ток потерь, протекающий через сопро¬
тивление Rp и в консервативном контуре LC существуют свобод¬
ные незатухающие колебания.
Положив малый параметр 1/Q = 0, запишем уравнение (13.6) в
виде:
da
dt6
— pi,
dt6
(13.9)
(13.10)
Разделив (13.9) на (13.10) и проинтегрировав, получим урав¬
нение интегральных кривых в алгебраической форме
u2 + (pi)2 = U2.	(13.11)
Амплитуда колебаний U является постоянной интегрирования и
определяется реактивной энергией, запасенной в контуре.
Уравнению (13.11) на фазовой плоскости (pi, и) соответствует
семейство концентрических окружностей с радиусами U (рис. 13.4).
Фазовая скорость изображающей точки с учетом (13.9) —
(13.11) равна
V7 = VV\ + V\t = V(pi)2 + U2 = U.
Угловая скорость во времени t& равна единице:
d\1)	=	= j
di6 U ~ ’
(13.12)
где ф — мгновенная фаза колебаний.
Итак, на фазовой плоскости (pt, и) (рис. 13.4) изображающая
точка движется в направлении часовой стрелки по окружности с
радиусом, равным амплитуде колебаний U, и с угловой скоростью,
равной единице во времени t&- Период колебаний соответствует
времени, в течение которого изображающая точка пробегает пол¬
ную окружность. С учетом (13.12) этот период равен Тб = 2я.
Отсюда период колебаний в физическом времени t равен
гр  Тб
(Dp (Dp
324

Следовательно, частота генерируемых колебаний в консерва¬
тивной системе точно равна резонансной частоте контура: m0=wp.
Мгновенные значения колебаний, соответствующих фазовым
траекториям, которые изображены на рис. 13.4, могут быть запи¬
саны в виде
и = cos тф = U cos(/6 + (p) = U cos(wp / + ф),	(13.13)
pi = Л/sin гр = Usin (i6 + <P) = U sin (wp / + ф),	(13.14)
где фаза ф — угол, откладываемый от полуоси pi = 0, и>0, ф —
начальный угол, т. е. угол, определяемый в начале каждого пе¬
риода.
Мгновенная частота колебаний, описываемых уравнениями
(13.13), (13.14), определяется из выражения
Шо=^ = Шр + ^.	(13.15)
0	dt	dt
В консервативной системе частота колебаний со0 (как было по¬
казано выше) точно равна резонансной частоте шр. При этом
фаза ф постоянна. Для автономной1 системы начало отсчета вре¬
мени выбирается произвольно и фаза ф может быть выбрана лю¬
бой, в том числе и равной нулю.
Для неконсервативной системы найдем закон изменения ам¬
плитуды U(l6) и фазы ф(^б) решения (13.13), (13.14) под дейст¬
вием токов iB и u/Rv.
Запишем уравнение (13.6) в виде
du
~dtl
— Р i + F,
*> Если внешнее воздействие на схему отсутствует или не зависит от вре¬
мени, то дифференциальное уравнение системы не содержит времени в явном
виде. Такие системы называются автономными.
325

(13.16)
где F — малая величина, равная
F =	(—u + RpiB).
При ращение напряжения за время die
du=—pidt6 + Fdt6.	(13.17)
Из (13.17) следует, что за время die под действием токов, дей¬
ствующих на консервативный контур, произойдет дополнительное
приращение ординаты и на величину Fdtt, т. е. изображающая
точка на фазовой плоскости (pi, и) переместится из положения А
в положение В (рис. 13.5). Этому приращению изображающей
точки соответствуют элементарные приращения амплитуды коле¬
баний на величину dU и фазы колебаний на величину Лр, кото¬
рые произойдут за время die.
Из геометрических соотношений на рис. 13.5 определяем эле¬
ментарные приращения амплитуды dU и фазы dф:
dU = Fcostydt6,
d cp=—sin гр <i/6.	(13.18)
Так как сила F действует в течение всего периода, приращение
амплитуды и фазы за период колебаний находим, интегрируя вы¬
ражения (13.18) за время iб = 2л:
2я
A U = ^ F cos ф dt6,
о
2я р
Дф= — J —sin ф dig.
о В
Составив отношение приращений AU и Дф к периоду 2л и
„	Д U	Дор
учтя их малость, можем перейти от — и — к производным
И ^ . При этом получим дифференциальные уравнения
die	di e
установления амплитуды и фазы
dU
dto
A U
2л
_1_
2л
2л
j F cos ф dig,
о
(13.19)
dy
dtf,
Д ф _
2л
1
2л
2я р
J — sin ф di6.
о
и
На протяжении каждого отдельного периода считаем амплитуду
U и фазу ф постоянными. При этом
d ф = dig.	(13.20)
Учитывая (13.16) и (13.20), получим:
dU
did
1	2n 1
= —j —(—£/cosф + ^?p^в)cosфdф =
LZl n
326

d qp
I
(13.21)
U_
2 Q
j 2Я
+ —f p/B COS 1)5 d 1]),
2я n
2n
2Я
I
о
1
UQ
(-U costy-\- Rp iB) sin op cf гр =
j 2Я
— f piBsinxpdxp.
rIII У
В общем случае первая гармоника тока iB сдвинута
тельио напряжения U на угол %. Тогда можно записать
7ic = /i cos х,
/is= /i sin %,
(13.22)
относи-
где /ic и /и — соответственно косинусоидальная и синусоидальная
составляющие первой гармоники разложения периодической по¬
следовательности импульсов тока iB в ряде Фурье. Учитывая, что
j 2Я
/ic= —\ t'Bcosгрdгр,
Л nJ
j 2Я
/1в = — \ tB sin гр d гр,
л о
после интегрирования уравнений (13.21) и (13.22) получим:
2	=	+ р/1с=	~ + p/icosх.	(13.23)
OtQ	V	Ч
2-^ = —^-=—^-sin*.	(13.24)
dt6	U	U
Полученные дифференциальные уравнения1) (13.21) —— (13.24)
дают закон установления амплитуды U и фазы ф решений (13.13),
(13.14)	на интервалах времени, кратных периоду колебаний2). На
протяжении каждого отдельного периода амплитуда считается
постоянной, а фаза ф — линейно-нарастающей, т. е. на протяже¬
нии каждого периода напряжение считается гармоническим.
Из (13.23) и (13.24) видно, что мы учли влияние на контур
только первой гармоники периодической последовательности им¬
пульсов тока произвольной формы. Это обусловлено допущением
о чисто' гармонической форме напряжения на контуре. Вносимая
в контур мощность в силу ортогональности тригонометрических
функций равна произведению первой гармоники тока на первую
гармонику напряжения. Произведения всех остальных гармоник
тока на соответствующие гармоники напряжения считаем равны-
ч Уравнения (13.23),	(13.24) называются укороченными дифференциаль¬
ными уравнениями установления амплитуды и фазы колебаний. Они соответ¬
ствуют уравнениям, полученным методом ММА, и уравнениям первого при¬
ближения асимптотического метода.
2> Формулы (13.23), (13.24) могут быть получены из уравнения (13.6)
переходом к полярным координатам подобно тому, как это сделано в § 11.2.
327

ми нулю, поскольку не учитываем напряжения гармоник на кон¬
туре. Таким образом, при сделанном допущении о чисто гармони¬
ческой форме напряжения не учитывается влияние всех высших
гармоник тока на колебания в контуре.
Из уравнений (13.23) и (13.24) следует также, что при сде¬
ланном допущении о высокой добротности резонансного контура
приращения амплитуды и фазы колебаний за период определяют¬
ся не формой импульсов анодного тока, а только амплитудой и
фазой их первой гармоники. Следовательно, импульсы любой
формы могут быть заменены эквивалентными импульсами, имею¬
щими такую же амплитуду и фазу первой гармоники, что и ре¬
ально действующие. Замена реальных импульсов эквивалентны¬
ми повышает наглядность фазовых портретов, изображающих
процессы, происходящие в генераторе. Наибольшая наглядность
фазового портрета получается при использовании в качестве эк¬
вивалентных 6-импульсов.
Амплитуда стационарных колебаний U0 определяется из усло¬
вия точной компенсации потерь, что соответствует согласно
(13.23)	равенству
2—  	— + р /1С (f/0) = 0.
dta	Q
Отсюда получаем
U0 = PQIlc(U0).	(13.25)
Иногда бывает удобно определить отдельно уменьшение амп¬
литуды колебаний за период, вызванное потерями ArU, и прира¬
щение амплитуды колебаний AiU, обусловленной действием на
контур тока активного нелинейного элемента.
Интегрируя выражение (13.19) за период 2л, получаем:
Дг£/=	^U,	(13.26)
A<(/=-^2f/lcd/6.	(13.27)
1 о
В стационарном режиме потери в контуре компенсируются за счет
действия тока: ArU + AiU = 0.
Амплитуда U0 в стационарном режиме должна быть устойчи¬
ва, т. е. любые малые отклонения от нее должны затухать. Усло¬
вие устойчивости записывается в виде
dU
<0.
и.
(13.28)
На рис. 13.6 приведена
зависимость — =f(U).
dta
Амплитуда
ч Легко проверить, что формула (13.26) соответствует условию баланса
амплитуд (13.2).
328

Uou для которой выполняется условие (13.28), устойчива. Ампли¬
туды колебаний Uо=0 и U02, для которых выполняется равенство
(13.25), но не выполняется условие (13.28), неустойчивы, так как
любые малые отклонения от них нарастают.
Покажем, что амплитуда U01 действительно устойчива. Пусть
амплитуда 0 по каким-либо причинам, стала больше U0ь При
dU
этом производная 	<0 отрицательна, следовательно, ампли-
dt б
туда будет уменьшаться, пока
не станет равной U01. Если ам-
плитуда напряжения U стала
меньше Uou то в силу положи¬
тельного значения производной 0
— >0 амплитуда увеличива¬
ло
ется, пока не станет равной U0].
Определение частоты генерируемых колебаний. Частота гене¬
рируемых колебаний согласно (13.15) н с учетом (13.5) равна
, d ф
“0 = “р+ Л
d ф
(13.29)
Уравнение (13.24) определяет поправку —-	к частоте гене-
dt о
рируемых колебаний. Выразим эту поправку для стационарного
режима через сдвиг фаз % между первой гармоникой тока, дейст¬
вующего на контур, и напряжением на контуре.
Приращение фазы согласно (13.24) и с учетом (13.25) запи¬
шется в виде
d ф _ p/ls =	р/„	= U sin X _ tgx
dtfr	2Uq	2p QIic	2Q/j cos x 2Q
Таким образом, частота w0, генерируемая в стационарном ре¬
жиме, равна
ы0 = ыр
1 tgx
2 Q
(13.30)
Выражение (13.30) указывает, что частота генерируемых ко¬
лебаний несколько отличается от резонансной частоты контура.
Это приводит к нестабильности генерируемой частоты при неста¬
бильности сдвига фаз %. Из (13.30) видно, что нестабильность ге¬
нерируемой частоты ы0 уменьшается с ростом добротности и с
уменьшением угла %. В то же время зависимость генерируемой
частоты ы0 от % дает возможность управлять в небольших преде¬
лах частотой генерируемых колебаний, изменяя сдвиг фаз % ме¬
жду первой гармоникой тока и напряжением на контуре.
Пример расчета амплитуды и частоты колебаний в автогенераторе. Ис¬
пользуя изложенный выше метод, определим амплитуду Uо и частоту too
стационарных колебаний в автогенераторе.
Пусть известны резонансная частота контура шр, эквивалентная доброт¬
ность Q и характеристическое сопротивление р. Первая гармоника тока, дей-
329

ствующего на контур, сдвинута по фазе на угол % относительно напряжения
на контуре. Зависимость тока /в от напряжения на контуре и аппроксимиру¬
ем формулой
4
iB = a1u — — a3u3.	(13.31)
'Расчет проводим в следующей последовательности. Определим амплиту¬
ду первой гармоники тока /в на основании формулы (13.31), полагая и —
= U cos (ф—х):
«в = ах U cos (ф — X) — — а3 U3 cos3 (ф — х).
После преобразования получим
/1С= (аг U ~а3 U3) cos y ,
—	(ах U — a3U3) sin х-
Дифференциальные уравнения (13.23), (13.24) с учетом (13.32)
1	1
—	—^ + («1 — а3 t/2) cos х ,
р У	J
2	~~ = — р [aj — а3 U2] sin х-
(13.32)
примут вид:
(13.33)
(13.34)
Из уравнения (13.33) определим стационарную амплитуду колебаний U0. При
условии Й1> 1/Q р cos х зависимость —— от U имеет вид, изображенный на
at б
рис. 13.7. Существует устойчивая стационарная амплитуда колебаний
</. = ]/
у а3
1
Q р а3 cos х
(13.35)
Согласно (13.29) частота генерируемых коле¬
баний
"•-”p(i+ *б)-
На основании (13.29), (13.34) и (13.35) получим
формулу (13.30).
13.3.	Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения
Мягким режимом возникновения колебаний называют режим,
когда зависимость стационарной амплитуды колебания U0 от ка¬
кого-либо параметра схемы является однозначной.
Мягкий режим самовозбуждения возникает в случае, если ра¬
бочая точка находится на участке вольт-амперной характеристики
с наибольшей крутизной (точка А на рис. 13.8) и с ростом ампли¬
туды колебаний крутизна по первой гармонике Si уменьшается.
Жестким режимом возбуждения называют режим, когда зави¬
симость стационарной амплитуды колебаний от какого-либо пара¬
метра схемы является неоднозначной.
При жестком режиме возбуждения рабочая точка не соответ¬
ствует точке с наибольшей крутизной вольт-амперной характери-
330

стики нелинейного элемента и с ростом амплитуды колебаний
крутизна по первой гармонике вначале растет, а затем падает.
Обычно в жестком режиме рабочая точка находится на нижней
части вольт-амперной характеристики (точка В на рис. 13.8).
Колебательная характеристика 1\ (Е) и зависимость крутизны
ио первой гармонике от амплитуды входного напряжения Si(£)
для мягкого и жесткого режимов возбуждения имеют различный
вид. На рис. 13.9,а, б приведены зависимости Ji(U) и Si(U)*\
соответствующие мягкому режиму самовозбуждения, а на рис.
13.10,а,б — те же зависимости, соответствующие жесткому режи¬
му самовозбуждения.
Рассмотрим оба режима возникновения колебаний, исходя из
уравнения установления амплитуды (13.23), которое запишем в
виде1)
2
Q р
(13.36)
Мягкий режим. Анализ уравнения (13.36) проведем графиче¬
ски. Строим зависимости рU, Si, l/R'v=l/pQ и 1 /R"p от U (рис.
13.11,а). На основании рис. 13.11,а и уравнения (13.36) на рис.
13.11,6 изображены зависимости —	=f(U) для двух значений
dt&
RP. При l/R'p>S0 кривая — =/(м) лежит ниже оси абсцисс и
dt б
имеется только один корень уравнения (13.36) U0=0. Значение
f/0 = 0-согласно (13.28) и рис. 13.11,6 устойчиво. Следовательно,
колебания отсутствуют.
С энергетической точки зрения это означает, что потери в
контуре, пропорциональные величине 1 /R'p, больше энергии, вно¬
симой в контур активным элементом.
*) Так как амплитуда напряжения на контуре U и на входе Е автогене¬
ратора с обратной связью связана простым соотношением E/U=fi, то коле¬
бательную характеристику и крутизну по первой гармонике можно записать
как функции напряжения на контуре: /i = /i(C), St = Si(U).
Для упрощения записи считаем, что сдвиг фаз % равен нулю. При на¬
личии сдвига фаз % все выкладки остаются справедливыми, только вместо
Si следует писать Sicos%.
331

При l/R"p<S0 имеется два корня уравнения (13.36); U = 0 и
U=U0, соответствующие равенству р[/о=0 и S\{UQ) — 1/pQ = 0.
Согласно (13.28) и рис. 13.11,6 значение 17 = 0 неустойчиво, а
значение U= U0 устойчиво. Следовательно, при 1/R"V<S0 суще¬
ствуют колебания с устойчивой амплитудой U0. Это означает, что
при малых амплитудах колебаний вносимая в контур энергия
больше энергии потерь, пропорциональной 1 /R"p, и колебания на¬
растают. При Si(Uq) вносимая и рассеиваемая энергии равны, и
колебания происходят с постоянной амплитудой U0.
На рис. 13.12 приведена зависимость U0=f0(Rp), построенная
на основании рис. 13.11. При Rp<l/S0 колебания отсутствуют, так
как максимальная крутизна 50 недостаточна для компенсации по¬
терь в контуре. При Rp> 1/So устанавливаются колебания с устой¬
чивой амплитудой U0. При амплитуде колебаний, близкой к нулю,
максимальная крутизна 50 обеспечивает перекомпенсацию потерь
в контуре и амплитуда колебаний нарастает до устойчивого зна¬
чения 0о, при котором крутизна уменьшается и обеспечивает
точную компенсацию потерь. С ростом Rp стационарная амплиту¬
да колебаний Uо плавно увеличивается; при уменьшении Rp ам¬
плитуда стационарных колебаний U0 плавно уменьшается.
Жесткий режим. На рис. 13.13,а построены зависимости рU,
1/Я'р, l/R"v, i/R'"p, Si от U при жестком режиме самовозбужде¬
ния. На основании рис. 13.13,а и уравнения (13.36) на рис. 13.13,6
построены зависимости ^ = f(U) для трех значений RP.
dig
При l//?'p>Simax(Simax — максимальное значение крутизны Si)
имеется только один корень уравнения (13.36):	U0 = 0. Этот ре¬
жим устойчив, колебания отсутствуют.
332

При 5imax> 1//?//р>5о уравнение (13.36) имеет три корня:
U = 0, U=Uо, и U=U02. Согласно условию (13.28) и рис. 13.13,6
значения U = 0 и U02 устойчивы, а значение Uoi неустойчиво. Сле¬
довательно, возможны два устойчивых режима. Первый — колеба¬
ния отсутствуют, второй — су¬
ществуют колебания с устойчи¬
вой амплитудой U02. Это объ¬
ясняется тем, что при малой
амплитуде колебаний крутизна
по первой гармонике Si = S0 не¬
достаточна для компенсации
потерь в контуре и малые ко¬
лебания затухают.
S/ тх	So
Рис. 13.13	рис. 13.14
При амплитуде колебаний, большей U01, крутизна по первой
гармонике Si достаточна для компенсации потерь в контуре и ко¬
лебания могут существовать. Амплитуда их нарастает до стацио¬
нарного значения U02. Следовательно, при R"v колебания сами
не возникают, но если их каким-либо способом возбудить, то они
будут поддерживаться.
При 1/^"'P<S0 уравнение (13.36) имеет два корня: U=0 и
П = П03. Как следует из условия (13.28) и рис. 13.13,6, значение
U=0 неустойчиво, а значение U03 — устойчиво. Следовательно, в
схеме возникают и существуют колебания с устойчивой амплиту¬
дой U оз.
На основании анализа устойчивости амплитуд и рис. 13.13,6
построена зависимость стационарной амплитуды U0 от резонанс¬
ного сопротивления Rp (рис. 13.14). При увеличении Rp от нуля до
1/S0 амплитуда колебаний равна нулю. Колебания при этом воз¬
никнуть не могут, так как при малых амплитудах крутизна по
первой гармонике S] недостаточна для компенсации потерь в кон¬
туре. Колебания возникают при достижении Rp значения 1/S0.
При Rp=l/S0 малейшие колебания вызывают увеличение кру¬
тизны по первой гармонике, и происходит перекомпенсация по¬
терь в контуре. Энергия, поступающая в контур, больше энергии
потерь, и амплитуда колебаний нарастает до устойчивой величи¬
ны иъ, при которой крутизна по первой гармонике уменьшается
333

до величины, обеспечивающей точную компенсацию потерь в кон¬
туре. При дальнейшем возрастании Rp происходит плавное возра¬
стание амплитуды колебаний.
С уменьшением Rp до 1/Simax происходит плавное уменьшение
амплитуды колебаний до 0СР. При /? = 1/Simax наблюдается срыв
колебаний, амплитуда уменьшается от UCP до нуля. При амплитуде
колебаний Ucp крутизна по первой гармонике имеет наибольшее
значение, которое обеспечивает точную компенсацию потерь в
контуре. Колебания могут существовать. Но при малейшем умень¬
шении амплитуды колебаний крутизна по первой гармонике умень¬
шается и становится недостаточной для компенсации потерь. Про¬
исходит скачкообразное уменьшение амплитуды колебаний до
нуля.
Зависимости, изображенные на рис. 13.12 для мягкого и на
рис. 13.14 для жесткого режимов, могут быть получены при изме¬
нении любого параметра схемы. Например, можно изменять доб¬
ротность контура Q, характеристическое сопротивление контура
р, взаимную индуктивность М и др.
13.4.	Автоматическое смещение и прерывистая генерация
Обычно для повышения КПД генератор работает с отсечкой
тока. При этом уменьшается постоянная составляющая тока, про¬
текающего через управляемое сопротивление (лампа, транзис¬
тор), и уменьшается мощность рассеивания на нем. Однако при
работе с отсечкой крутизна по первой гармонике при малой ам¬
плитуде колебаний равна или близка к нулю, что соответствует
жесткому режиму самовозбуждения. Следовательно, колебания в
генераторе сами не возникают. Если их каким-нибудь способом
возбудить, например уменьшив смещение, то колебания будут су¬
ществовать. Однако если они по какой-либо причине сорвутся, то
сами вновь не возникнут. Поэтому в практических схемах автоге¬
нераторов часто применяют автоматическое смещение, т. е. сме¬
щение, зависящее от напряжения на контуре.
Рассмотрим процесс возникновения колебаний в схеме генера¬
тора с автоматическим смещением (рис. 13.15). Непосредственно
Si; Щ
Рис. 13.15
Рис. 13.16
ш

после включения генератора напряжение между затвором и исто¬
ком близко к нулю. Рабочая точка находится на наиболее кру¬
том участке стоко-затворной характеристики транзистора. Это
соответствует мягкому режиму возбуждения (кривая Si(t/) при
£3.и = 0 на рис. 13.16). Поскольку 1 /RP<S0, то амплитуда колеба¬
ний в контуре нарастает, стремясь к устойчивому значению U'0. В
цепи затвора появляется переменная составляющая напряжения
U3 cos mot. Под действием положительных полуволн этого напря¬
жения протекает затворный ток. Постоянная составляющая зат¬
ворного тока /зо заряжает конденсатор С3 и смещает рабочую
точку влево (рис. 13.17). Напряжение смещения, обусловленное
зарядом конденсатора С3, достигает устойчивого значения Ез0=
~13оЯз- Устанавливается стационарная амплитуда колебаний U0.
Если по какой-либо причине произойдет срыв колебаний, то
спустя некоторое время автоматически восстановится режим коле-
335

баний со стационарной амплитудой U0. Действительно, при срыве
колебаний затворный ток прекращается, конденсатор С3 разря¬
жается через резистор R3, и смещение уменьшается. При некото¬
ром смещении Е'30 в схеме возникнут колебания, так как выпол¬
няется условие Кр>1. Это вызовет появление затворного тока и
смещение рабочей точки в область жесткого режима.
Прерывистая генерация. При больших сопротивлении R3 и емкости С3 в
генераторе с автоматическим смещением (рис. 13.15) может возникнуть пре¬
рывистая генерация, когда генерируются не гармонические колебания с по¬
стоянной амплитудой, а отдельные импульсы с высокочастотным заполнени¬
ем. В паузах между импульсами колебания отсутствуют (рис. 13.18).
Рассмотрим процессы, происходя¬
щие в генераторе, воспользовавшись
рис. 13.19 и 13.20. Для наглядно¬
сти разобьем процесс на четыре ин¬
тервала.
Интервал 1:	0—ti. Смещение
£з=Яв при ( = 0. Крутизна обеспечивает
возбуждение колебании. Амплитуда ко¬
лебаний нарастает до значения, близко¬
го к Vо. Конденсатор С3 заряжается за¬
творным током, отрицательное смещение
£3 увеличивается. При большой емкости
С3 отрицательное смещение £3 возраста¬
ет незначительно.
Интервал 2: ti—tz. Конденсатор
_ С3 продолжает заряжаться затворным
U гоком. Отрицательное смещение £3 уве¬
личивается до значения £3.ср. Амплиту¬
да колебаний уменьшается до U0Ср. При
t — tz крутизна недостаточна для поддер¬
жания колебаний.
Интервал 3: tz—t3— срыв и затухание колебаний. Амплитуда колеба¬
ний падает от Uоср до 0. Затворный ток прекращается. Напряжение на кон¬
денсаторе С3 при большой постоянной времени C3R3 почти не изменяется.
Интервал 4: t3—ti. Амплитуда колебаний и затворный ток равны ну¬
лю. Конденсатор С3 разряжается через резистор R3. Отрицательное смещение
£3 уменьшается по экспоненте с постоянной времени R3C3, стремясь к нулю.
При уменьшении отрицательного смещения до £в (в момент U) колебания
вновь возникают и цикл повторяется.
Прерывистая генерация может быть устранена уменьшением сопротивле¬
ния R3. При этом напряжение £э не достигает значения £3.ср и колебания не
срываются.
Другим способом устранения прерывистой генерации является уменьшение
емкости конденсатора С3. При этом постоянная времени цепи R3C3 становится
соизмеримой с постоянной времени ■ контура и возможны устойчивые стацио¬
нарные колебания, соответствующие амплитуде Uo" (рис. 13.20). Действитель¬
но, при достаточно малой постоянной времени R3C3 одновременно с увеличе¬
нием амплитуды U увеличивается смещение |£3| в результате чего кривая Si
U
lf°

сдвигается вниз. Крутизна по первой гармонике Si будет соответствовать
точке S'i, т. е. станет меньше Si, и колебания возвратятся к первоначально¬
му режиму. При уменьшении амплитуды U и малой постоянной времени R3C3
значение Si будет соответствовать, например, значению S"i, т. е. станет боль¬
ше \/Rp, и колебания снова возвратятся к стационарному режиму.
Анализ работы автогенератора с автоматическим смещением методом
фазовой плоскости. Рассмотрим автогенератор с автоматическим смещением
(рис. 13.15). Эта схема может быть сведена к двум эквивалентным схемам,
изображенным на рис. 13.21.
На рис. 13.21,а изображена схема, состоящая из контура LC, шунтиро¬
ванного сопротивлением Rp, которое учитывает потери, и источника тока
£„(£7, Е0), который учитывает ток активного элемента (транзистора, лампы),
действующий на контур. Ток i3{U, Е0) является нелинейной функцией ампли¬
туды напряжения на контуре U и напряжения смещения £0.
Рис. 13.21,6 соответствует цепи смещения. Схема состоит из конденсато¬
ра С3, сопротивления R3 и источника тока £3(£7, £0), учитывающего ток актив¬
ного элемента (ток затвора транзистора или ток сетки лампы). Ток i3(U, Ео)
является нелинейной функцией амплитуды напряжения U и напряжения сме¬
щения Е0.
Дифференциальные уравнения для тока £ и напряжения и, составленные
на основании рис. 13.21,а, имеют вид:
di 1
du
dt
С
iB(U, До)—! — —
Закон установления амплитуды колебаний U и поправка к частоте опре¬
деляются укороченными дифференциальными уравнениями (13.23) и (13.24).
В дальнейшем будем считать процесс установления амплитуды не завися¬
щим от процесса установления фазы, что обычно выполняется для автоном¬
ных генераторов.
Дифференциальное уравнение установления напряжения Е на конденсато¬
ре ячейки смещения составляем на основании схемы рис. 13.21,6. При этом
считаем, что для высокочастотных составляющих (сар, 2шр) конденсатор С3
является коротким замыканием. Получим1)
dEp	1
Л £,
dt С3 1
V 30“ Rt
(13.37)
где /зо — постоянная составляющая тока i3(U, £<>)•
Для определения закона установления амплитуды колебаний необходимо
совместно решить уравнения (13.23) н (13.37), которые запишем в безразмер¬
ном времени £о (13.5):
dEs_
dt§
dU
dte
(Or, Co
7зо (Cq > (7)—
Co
R3
=M (C0, U),
u , p/ic(gp. U)
2 2
= N(E0, U).
(13.38)
(13.39)
Для сокращения записи считаем сдвиг фаз % в цепи обратной связи и ак¬
тивном элементе равным нулю. При этом /,с = /|. Дальнейший анализ прово¬
дим на фазовой плоскости (Е0, U), используя графики зависимостей /зо(С0,
U) (рис. 13.22) и Si(£o, U) (рис. 13.23), которые строим на основании зави¬
симостей 1С(е3) и £3(е3) (рис. 13.24).
11 Для сокращения записи здесь и дальше не ставим минус перед Е0.
337

На плоскости Е0, U изображаем изоклины вертикальных и горизонтальных
касательных. Изоклина горизонтальных касательных описывается уравнением
Изоклина имеет две ветви:
1
— + S1(£0H)
Q р
= 0.
U = О,
+S1(Ee. Н) = 0.
Q р
Вторую ветвь строим, находя точки пересечения кривых S](U) при фикси'
рованных значениях Е0 с прямыми Si—1/Qp (рис. 13.23).
Изоклины горизонтальных касательных изображены на рис. 13.25 утол¬
щенными линиями.
Уравнение изоклины вертикальных касательных
/зо(£о> U) = Eo/Rs.
Изоклину вертикальных касательных строим по точкам, которые находим
как точки пересечения прямых ho=E0/R3 и кривых ho=ha(E0, U) (см. рис.
13.22).
Изоклина вертикальных касательных проходит через начало координат
(£/=?0, £0=0) и близка к прямой, угол наклона которой определяет сопро¬
тивление На рис. 13.25 сплошной линией изображена изоклина вертикаль¬
ных касательных при малом сопротивлении R3. Изоклина вертикальных каса¬
тельных при большом сопротивлении R3 изображена штриховой линией.
338

Направление движения изображающей точки по фазовым траекториям на
изоклинах вертикальных и горизонтальных касательных определены по урав¬
нениям (13.38), (13.39) н изображены стрелками.
Точки пересечения изоклин горизонтальных и вертикальных касательных
О, 0\ и 02 являются особыми. Особая точка 0\ устойчива. Точка 02 в зави¬
симости от соотношения постоянных времени контура и цепи смещения может
быть либо устойчивой, либо неустойчивой.
Проведем анализ устойчивости особых точек 0\ и 02 на основании ди¬
аграмм состояний. Для этого найдем коэффициенты (11.13):
а_дМ__
1
дЕй
Шр С3
Ь =
дМ
dU
а/30(£0, и) __ 1
д Е	Ra
д 1цо (Е0, U)
(От, Со
с-—-
ди
1 д ЦЕй,и)
d =
дЕа
dN_
ди~
= Тр-
2 Q +
дЕ о
дЦЕа,Ц) .
2 9 dU ’
Д — ad —Ьс =
(От) Со
1
+ 2 9 dU^
д!зо _ 1
д Е0 R3
1	р д 1 д!30
2	Сз дЕл д U
1
~2 Q +
Молено показать, что в особых точках О, и 02
Д>0.
Коэффициент 0 равен:
,	, Л	1 /а/зо
0 = — (a+ d)= — ——- — -
^3	\ О Со
д Е0
д tg
1 д/
Q +9dU
\dt6
дЕп
dU
(13.40)
Согласно (13.38) и рис. 13.22 в особых точках О, и 02 выполняется не¬
равенство
в(д-Е''
\ dtg
дЕ
<0.
(13.41)
Согласно (13.39) и рис. 13.22 в особой точке 0| (рис. 13.25) выполняется
неравенство
д(^
\ dtg
ди
а в особой точке 02 — обратное неравенство
'ди
<0,
dtg
dU
>0.
Таким образом, согласно неравенствам (13.40—13.43) имеем:
(13.42)
(13.43)

для особой точки 0\: Л>0; о>0 — особая точка является устойчивым фо¬
кусом или узлом;
для особой точки Ог\ А > 0; о больше или меньше нуля в зависимости от
соотношения абсолютных величин and.
Если выполняется неравенство
д
д_Еа\	/дЦ
dtp J	\dt6
д Е0 < д U
что соответствует
1
а/ в» 1
1
1, дI
СОр Сд
д Е0 Ra
< 2
Q +PdU
то а<0 и особая точка 02—неустойчивый узел или неустойчивый фокус.
Следовательно, изменяя параметры схемы, например, уменьшая емкость Са,
особую точку 02 можно превратить из неустойчивой в устойчивую.
На рис. 13.26 изображен фазовый портрет, соответствующий режиму ра¬
боты автогенератора при жестком самовозбуждении и небольшом сопротивле¬
нии смещения R3. Особая точка 0\ устойчива. Устанавливается режим, соот¬
ветствующий постоянной амплитуде колебаний Uо и постоянному смещению
Еоо. Режим устойчив.
На рис. 13.27 изображен фазовый портрет, соответствующий режиму пре¬
рывистой генерации при большом отношении R3C3 к постоянной времени кон¬
тура. Особая точка 02—неустойчивый узел, вокруг которого существует ус¬
тойчивый предельный цикл mnlk. Закон изменения амплитуды U изображен
на рис. 13.28.
При уменьшении отношения постоянных времени цепи обратной связи и
контура особая точка 02 становится неустойчивым фокусом и предельный
цикл приближается по форме к эллипсу (рис. 13.29). Закол изменения амп¬
литуды U приближается к гармоническому.
340

При дальнейшем уменьшении емкости Сэ особая точка становится устой¬
чивой и устанавливается режим с постоянной амплитудой Uо и постоянным
смещением £оо-
13.5.	Асинхронное подавление колебаний. Генераторы
с задержкой в цепи обратной связи
В ряде случаев в автогенераторе условие баланса фаз выпол¬
няется на нескольких частотах.
Рассмотрим ряд вопросов, связанных с возможностью одновре¬
менной генерации колебаний с разными частотами и условиями
перехода с одной частоты на другую.
Асинхронное подавление колебаний. Рассмотрим режим рабо¬
ты автогенератора гармонических колебаний
нх = l)1 cos о»! t,
схема замещения которого изображена на
рис. 13.30. Характеристика тока tB, действу¬
ющего на контур, соответствует мягкому ре¬
жиму самовозбуждения
iB = a1u~Ya з«3-	(13.44)
При отсутствии внешнего напряжения («2 — 0) крутизна по пер¬
вой гармонике тока iB
S1 = I1/U1 = a1—a3U2v
Рис. 13.30
Амплитуда колебаний в установившемся режиме определяется из
(13.35):
^Ло —
(13.45)
Определим, как изменится амплитуда колебаний Ut при дей¬
ствии внешнего напряжения
м2 = t/2cos(co2 ^ + ф)	(13.46)
при условии, что ц>2 не кратна coi*'.
На нелинейное сопротивление НС действует напряжение
u = u1 + ui = U1 coscoj £ +t/2cos(co2 £ + <р).	(13.47)
Подставив (13.47) в (13.44), найдем амплитуду первой гармоники
частоты coi
Л = flj Vt- Оз и\— 2 аа и! и\.
Крутизна на частоте о);
Sx = I1!U1 = a, - a3 U\-2a3 U\.	(13.48)
Соответственно амплитуда колебаний в установившемся ре¬
жиме
*) Случай, когда СО: и ©2 кратны или равны, рассматривается в гл. 14.
341

=	03.49)
Из сравнения выражений (13.45) и (13.49) следует, что дейст¬
вие внешнего напряжения (13.46) на нелинейное сопротивление
автогенератора приводит к уменьшению крутизны Si и уменьше¬
нию амплитуды генерируемых колебаний 11т. При
2	2 кр 2а3
амплитуда генерируемых колебаний уменьшается до нуля.
Уменьшение амплитуды колебаний автогенератора под дейст¬
вием внешнего асинхронного (согт^ом) напряжения называется
асинхронным подавлением колебаний.
Автогенератор с линией задержки в цепи обратной связи. Схе¬
ма автогенератора с линией задержки (ЛЗ) в цепи обратной свя¬
зи (ОС) изображена на рис. 13.31. Амплитудно- и фазочастотные
характеристики цепи ОС изображены на рис. 13.32,а,б
Рис. 13.31
На рис. 13.32 в полосе пропускания резонансной системы име¬
ется три частоты (соь юг, соз), на которых выполняется условие ба¬
ланса фаз2):
ФкЫ + Фр (Ю|) = °.
На любой из этих частот при выполнении условия баланса ам¬
плитуд могут существовать гармонические колебания.
') Учтено, что крутизна фазовой характеристики ЛЗ определяется време-
dtp
нем задержки Г3, т. е. — =— Гэйл.
асо
2> В общем случае, например, при использовании в качестве ЛЗ элемен¬
та с поверхностными акустическими волнами (ПАВ), таких частот может быть
значительно больше.
342

Примем, что характеристика нелинейного четырехполюсника
соответствует мягкому режиму самовозбуждения:
4 ч
w2 —	Ct§tl
Тогда коэффициент усиления по первой гармонике для колеба¬
ний с частотой ом при отсутствии колебаний с частотами (02 и соз
равен
Ki (®х) = — а3 U2V	(13.50)
Стационарная амплитуда колебаний с частотой оц согласно (13.2)
и (13.50) определяется по формуле
=	(13.51)
При этом амплитуда колебаний на частоте со2 или соз определяет¬
ся аналогично (13.49):
Согласно (13.51) для существования колебаний ^ю(^2ю>0) тре¬
буется, чтобы oi> 1/Р; при этом U2го<0. Следовательно, колебания
с частотами сог или соз при наличии колебаний с частотой оц воз¬
никнуть не могут.
Таким образом, если в системе (рис. 13.31) возникают колеба¬
ния на одной из частот, они уменьшают за счет нелинейности ко¬
эффициент усиления на других частотах. Колебания на других
частотах возникнуть не могут. Однако если возбудить от внешне¬
го источника колебания с частотой, например сог, то колебания с
частотой он будут асинхронно подавлены и будут существовать
стационарные колебания только с частотой шг- Подобные системы
используются как генераторы одной из нескольких частот.
13.6.	Анализ автогенератора с нелинейной емкостью контура
В схемах управляемых автогенераторов в качестве контурной емкости ши¬
роко применяются емкости р-п переходов полупроводниковых элементов. Ос¬
новной их особенностью является зависимость емкости от напряжения. Полу¬
проводниковые диоды с управляемой емкостью называются варикапами. Вари¬
капы используются для электрической перестройки контуров, для автоматиче-
ческой подстройки частоты, фазовой и частотной модуляции и др.
Рассмотрим схему автогенератора с контуром, параллельно которому
включено отрицательное сопротивление R- (рис. 13.33,а). В качестве отрица¬
тельного сопротивления может быть использован туннельный диод или вход
усилителя, охваченного положительной обратной связью. Будем считать, что от¬
рицательное сопротивление не содержит реактивной составляющей.
Контур состоит из индуктивности L, сопротивления потерь г и варикапа
Д, на .который подается постоянное смещение Еа.
Схема замещения .автогенератора по переменной составляющей изображе¬
на на рис. 43.33,6 и состоит из индуктивности L, нелинейной емкости C(q),
образующих консервативный .нелинейный контур, и генератора тока (Вр. Ток
(0р учитывает как действие на контур отрицательного сопротивления R-, так
и потери в контуре.
343

Напряжение на контуре U есть нелинейная функция заряда q. Обычно эта
зависимость снимается экспериментально и представляется в виде графика
й(<7)‘)(рис. 13.34).
Дифференциальные уравнения, описывающие схему на рис. 13.33,6, имеют
вид
^£__ ...
dt ~ -‘ + Чр’
или
di и (q)
~df ~ ~L~
d2q ujq) = digp
dt2 + L ~ dt
(13.53)
Введем безразмерные величины: заряд ■ x — qlq0, время tб = сор01, ток tB =
= t'sp / q оШро,
где д0 — выбирается так, чтобы получить удобный масштаб по оси q\
<opo=1/T/LCo — резонансная частота контура при бесконечно малой амплиту¬
де колебаний.
Рис. 13.33
В безразмерных переменных уравнение (13.53)
где
d2x
dt2g
+ fu (х) —
diв
dtiп '
fu (х) =
и (до х)
до/С0
примет вид
(13.54)
Анализ схемы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением
(13.54), проводим методом фазовой плоскости с нелинейным преобразованием
переменных, изложенным в § 11.5.
Переходим к новым переменным, используя формулы (11.59) и (11.62):
4 (й)
Щ)
ъ
У
dx
(х) d х,
У
dt$
q.	dy dtH	f (x)
1 В преобразованных переменных уравнение (13.54)
принимает вид
d2y =
dt2„ + У	dt„
(13.55)
Рис. 13.34
Уравнение (13.55) совпадает с уравнением
автогенератора (13.6).
ч и и q—'переменные составляющие напряжения и заряда, отсчитываемые
от их значений при постоянном смещении Е0.
344

Методом, изложеннным в § 13.1, определяется амплитуда и
астота стационарных гармонических колебаний в преобразован-
ых переменных и записывается
Используя формулы (11.62) и (11.63), (11.42), находим ста-
шонарный режим в реальном времени t:
Таким образом, применение метода нелинейного преобразова-
шя переменных позволяет найти стационарный режим с учетом
)лияния гармоник, что существенно при значительной нелинейнос¬
ти емкости С(q).
1.	Нарисуйте эквивалентную схему автогенератора и поясните
ее.
2.	Поясните физику процесса самовозбуждения колебаний в авто¬
генераторе.
3.	Запишите условия самовозбуждения колебаний в генераторе с
с отрицательным сопротивлением и в генераторе с положи¬
тельной обратной связью.
4.	Запишите уравнения баланса амплитуд и баланса фаз для
генератора с положительной обратной связью.
5.	Нарисуйте временные диаграммы напряжений на коллекторе,
базе и коллекторного тока в стационарном режиме для гене¬
ратора с обратной связью.
6.	Составьте дифференциальные уравнения относительно напря¬
жения на емкости С и тока i для схемы на рис. 13.3.
7.	Изобразите фазовый портрет генератора в стационарном ре¬
жиме при наличии сдвига фаз в цепи обратной связи и при
его отсутствии.
8.	Объясните физический смысл условия устойчивости стационар¬
ной амплитуды колебаний.
9.	Как определить частоту генерируемых колебаний при нали¬
чии сдвига фаз в цепи обратной связи?
10.	Что называется мягким режимом самовозбуждения? Как он
обеспечивается?
11.	Что называется жестким режимом самовозбуждения? Как он
обеспечивается?
12.	Нарисуйте зависимости I\(U) и S\{U), соответствующие мяг¬
кому и жесткому режимам самовозбуждения.
13.	Изобразите зависимости амплитуды колебаний от RP контура
для мягкого и жесткого режимов самовозбуждения. Объясни¬
те их физический смысл.
де — = const.
<7 = cos о)01 -f- q2 cos 2co01 + . . -f- qn cos n co01.
Вопросы для самопроверки
345

14.	Ьарисуйте эквивалентную схему автогенератора с варикапом
в качестве контурной емкости и составьте дифференциальные
уравнения, описывающие ее.
15.	Изобразите схему автогенератора с автоматическим смеще¬
нием и объясните процесс установления стационарного ре¬
жима.
16.	Когда возникает прерывистая генерация? Изменением каких
параметров схемы можно устранить прерывистую генера¬
цию?
17.	Составьте дифференциальные уравнения и изобразите фазо¬
вый портрет для режима прерывистой генерации.
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
СИНХРОНИЗАЦИЯ ГЕНЕРАТОРОВ ГАРМОНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
Явление синхронизации заключается в том, что генератор под
действием синхронизирующей ЭДС изменяет частоту генерируе¬
мых колебаний так, что она становится точно равной, либо точно
кратной частоте синхронизирующей ЭДС.
Явление синхронизации частоты используется в ряде радиотех¬
нических устройств. В некоторых случаях синхронизация являет¬
ся нежелательной и нарушает нормальную работу систем.
Возможны следующие режимы синхронизации: на основной
частоте (захватывание частоты), на гармонике (умножение час¬
тоты), на субгармонике (деление частоты) и при дробном отно¬
шении частот.
Явление захватывания частоты состоит в том, что генератор
генерирует колебания не с собственной частотой <воо*\ а с часто¬
той «во. точно равной частоте <вс синхронизирующей ЭДС: <во = юс.
Захватывание частоты возникает тогда, когда собственная ча¬
стота генератора <в0о и частота «в0 синхронизирующей ЭДС близ¬
ки: «ВоО~©с-
В режиме умножения генератор генерирует колебания с часто¬
той «во точно в тп раз большей частоты <вс: а>о=пг®с, где т = 2, 3, ...
Режим умножения частоты имеет место, если собственная час¬
тота колебаний <в0о близка к частоте m-й гармоники синхронизи¬
рующей ЭДС, т. е. своо~ шевс*
В режиме деления частоты генератор генерирует колебания с
частотой «во, точно в п раз меньшей частоты <вс: ©о = ©с/л, где п —
= 2, 3, ...
Режим деления имеет место, если собственная частота колеба¬
ний генератора <воо близка к частоте п субгармоники синхронизи¬
рующей ЭДС: <воо~®с/«-
*)	— так называемая собственная частота генератора, равная частоте
генерируемых колебаний в отсутствие синхронизирующей ЭДС.
346

Синхронизация (захватывание, умножение, деление) наступа¬
ет в узкой области частот, называемой полосой синхронизации
(полосой захватывания, умножения, деления соответственно). Вне
полосы синхронизации устанавливается режим биений, при кото¬
ром на собственные колебания накладываются колебания, выз¬
ванные синхронизирующим напряжением. Генерируемые колеба¬
ния при этом модулированы по амплитуде и частоте. Средняя час¬
тота близка к частоте собственных колебаний со0о-
На рис. 14.1 изображен характер зависимости частоты гене¬
рируемых колебаний со0 от частоты внешнего напряжения сос.
Од
и00
Умножение
Деление
- уЛу/f1 уЛ vf1 vf1 yf1
Що/j Цн/2 woo 2<уоо
Рис. 14.1
JWoo 4w00 й>с
Обычно вхождение в синхронизм и выход из синхронизма про¬
исходят при разных значениях частоты синхронизирующего на¬
пряжения. Поэтому различают внутреннюю и внешнюю полосы
синхронизации.
Внутренней полосой синхронизации называют диапазон частот,
в котором синхронизация наступает при любых начальных усло¬
виях.
Внешней полосой синхронизации называют диапазон частот, в
пределах которого поддерживается режим синхронизации при
условии, что первоначально генератор находился в режиме син¬
хронизации. Ширина внешней полосы синхронизации всегда боль¬
ше или равна ширине внутренней полосы.
В дальнейшем под полосой синхронизации будем подразуме¬
вать внутреннюю полосу.
14.1.	Механизм явления синхронизации
Рассмотрим синхронизацию одноконтурных LC-генераторов
гармонических колебаний.
^Схема одноконтурного ГС-генератора гармонических колеба¬
ний может быть сведена к эквивалентной схеме (рис. 14.2), со¬
стоящей из резонансного контура LCRP и генератора тока iв. Ток
генератора г'в зависит от схемы генератора, напряжения на конту¬
ре и- и синхронизирующей ЭДС ес: г'в(«, ес).
347

В гл. 13 было показано, что частота генерируемых колебаний
©о определяется по формуле (13.30)
®о = ®р(1 —tgx/2Q).	(14.1)
Из (14.1) следует, что генерируемая частота ю0 зависит от ре¬
зонансной частоты ©р, добротности контура Q и сдвига фаз % меж¬
ду первой гармоникой тока /ь действующего на контур, и напря¬
жением на контуре О. Следовательно, изменяя сдвиг фазы %,
можно изменять частоту генери¬
руемых колебаний. На этом и ос-	а
нован механизм синхронизации:
синхронизирующая ЭДС, дейст¬
вуя на нелинейное сопротивле¬
ние генератора совместно с на¬
пряжением, поступающим с резо¬
нансного контура, создает сдвиг
“\
:1г'
\и/Яр 0
Рис. 14.2
Рис. 14.3
фазы х между первой гармоникой тока h и напряжением на кон¬
туре U. 13 результате возникает отклонение частоты генерируемых
колебаний ©о от резонансной частоты юр. Ниже будет показано,
что сдвиг фаз % в пределах полосы синхронизации автоматически
устанавливается таким, при котором генерируемая частота точно
равна или кратна частоте синхронизирующей ЭДС.
Будем считать, что полоса синхронизации симметрична отно¬
сительно точки %— 0, т. е. tgxmax= |tgxmin|. Тогда ширина полосы
синхронизации определяется по формуле
2Дю ®omax ®0min = ' ^ tg Хтах>	(14.2)
где юотах=юр(1+tgXmax/2Q) и юот1п=юР(1—tgXmax/2Q)—соответ¬
ственно максимальная и минимальная частоты колебаний, при ко¬
торых наблюдается режим синхронизации.
Формула (14.1) наглядно иллюстрируется фазовым портретом
(рис. 14.3). Под действием эквивалентного б-импульса тока про¬
исходит мгновенный скачок изображающей точки из положения А
в положение В. При этом амплитуда колебаний возрастает на ве¬
личину ДU и компенсирует уменьшение амплитуды за период, вы¬
званное затуханием. Фаза мгновенно уменьшается на величину
Дф. Путь, который пробегает изображающая точка за период, уве¬
личивается на Дф и становится равным 2л + Дф. Это соответству-
348

ег увеличению периода колебаний и соответственно уменьшению
частоты.
Изучим, за счет чего создается сдвиг фаз %. Для определенно¬
сти рассмотрим схему на рис. 14.4, в которой ток гв создается бе¬
зынерционным управляемым нелинейным сопротивлением НС,
на входе которого действует управляющее напряжение «у, равное
сумме напряжения на контуре и и синхронизирующего напряже¬
ния ес: «у=« + ес.
Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза
гармонического синхронизирующего напряжения равнялась нулю
ес = Ес cos <вс t.	(14.3)
Напряжение на контуре полагаем гармоническим с частотой
<oo. Поскольку начало отсчета времени уже выбрано, фаза напря¬
жения на контуре не может быть произвольной. Обозначим фазу
напряжения на контуре ф
« = U cos (со01 + ф) = U cos ф.
Рассмотрим отдельно различные режимы синхронизации, счи¬
тая, что выполняется условие
Ec<tU.	(14.4)
Режим захватывания. Здесь m=l; п= 1; <bcs»<bp.
В режиме захватывания генерируемая частота устанавливается
точно равной частоте синхронизирующего напряжения: <во=свс.
Сдвиг фаз % определяется из векторной диаграммы на рис. 14.5,
на которой изображены векторы синхронизирующего напряжения
Ес, напряжения на контуре U, управляющего напряжения Uy, дей¬
ствующего на нелинейное сопро¬
тивление, а также тока U, дейст¬
вующего на контур и совпадаю¬
щего по фазе с управляющим на¬
пряжением Uy.
Ось времени вращается с уг¬
ловой частотой «вс. В режиме син¬
хронизации, когда «во = Юс все
векторы на векторной диаграмме
неподвижны; в переходном режи¬
ме и в режиме биений все векто¬
ры, кроме Ес
поворачиваются.
h(u,ec)
—\
	0——
НС
| ч т
И*- г
=а |
±
Рис. 14.4
349

Из векторной диграммы следует, что максимальный сдвиг фаз
Хшах соответствует углу ф=±90° и определяется по формуле
Хшах EJU.
При этом ширина полосы синхронизации согласно (14.2)
Покажем, что режим синхронизации автоматически установится,
если частота синхронизирующего напряжения лежит в пределах
полосы синхронизации. Предположим, что частота синхронизирую¬
щего напряжения ниже частоты соо генерируемых колебаний:
©0<©o- При этом U на векторной диаграмме (рис. 14.5) будет вра¬
щаться против часовой стрелки с угловой частотой Q = ©o—©с-
Угол ф возрастает, и соответственно возрастает угол %. Это приво¬
дит согласно (14.1) к уменьшению генерируемой частоты, которая
стремится к частоте синхронизирующего напряжения (ю0-ь©0). Ког¬
да установится равенство частот соо=шс, все векторы приобретут
одинаковую угловую частоту ю0 и, следовательно, будут неподвиж¬
ны.
Аналогично можно показать, что при ©0>©о углы ф и % умень¬
шаются и частота ю0 увеличивается, стремясь к частоте ю0. Следо¬
вательно, всякое отклонение частоты генерируемых колебаний соо
от частоты синхронизирующего сигнала юс затухает; режим синхро¬
низации устойчив.
Режим умножения. В режиме умножения т = 2, 3, 4, ...; п= 1;
1
©О ~ 	 ©00-
т
Здесь частота генерации ©0 точно в т раз больше частоты син¬
хронизирующего напряжения: а0 = так.
U
I
I
(Од (О
I
ш
О ©с щ
^\1Ы
I т/
—
С
Рис. 14.6
350

Спектральная диаграмма напряжений и тока изображена на
рис. 14.6. Штриховой линией показана резонансная характерис¬
тика контура. В полосу пропускания контура попадает первая
гармоника тока 1\и, образованная за счет воздействия на нелиней¬
ный элемент напряжения на контуре (фаза ф тока 11и совпадает
с фазой напряжения на контуре), а также т-я гармоника тока
/е*\ возникающая за счет воздействия на нелинейный элемент
синхронизирующего напряжения Ес (/е имеет нулевую фазу).
Векторная диаграмма токов и напряжений изображена на
рис. 14.7. Из векторной диаграммы находим
tgx--—У‘*"р ■
/щ +/ecoscp
Je_
hu
ЭШф.
При этом учтено неравенство А-С/щ, которое обычно выполня¬
ется.
Максимальное значение tgx, которое имеет место при ф=л/2,
равно
tg W = W	(14.5)
Ширина полосы умножения согласно (14.5) и (14.2)
2Аю =	.	(14.6)
Q 71Ц
Аналогично, как и для режима захватывания, можно показать,
что при условии
I т<вс—<в00| <"Ао)
Юр 1е
2 Q /1И
автоматически устанавливается режим синхронизации.
Из (14.6) следует, что для увеличения ширины полосы умно¬
жения необходимо увеличить амплитуду т-й гармоники тока син¬
хронизирующего напряжения. Это может быть осуществлено в
схеме на рис. 14.8, в которой имеется два нелинейных сопротив¬
ления (НС\ и НС2), одно из которых создает ток iBU, другое iB0.
Ток iBU возникает под действием напряжения и, действующего на
НСи и должен обеспечивать самовозбуждение в системе; ток iBe
возникает под действием синхронизирующего напряжения ес и
должен иметь возможно большую амплитуду т-й гармоники. Для
этого необходимо обеспечить оптимальный угол отсечки тока.
Фазовый портрет, соответствующий режиму умножения часто¬
ты путем синхронизации автогенератора на шестой гармонике,
изображен на рис. 14.9, а временные диаграммы тока iBe и измене¬
ния фазы ф — на рис. 14.10,а,б. Рисунки 14.9 и 14.10 выполнены
для режима, когда частота собственных колебаний «в0о выше час¬
тоты m-й гармоники синхронизирующего напряжения (<doo>w<»c).
На интервале времени ts—tA (рис. 14.10) ток iBe равен нулю. При
этом колебания происходят с частотой «в0о и фаза колебаний ф от-
*> Кроме того, действуют гармоники (т— 1) и (т+1), но их влияние
можно в первом приближении не учитывать.
351

носительно синхронизирующего напряжения нарастает. В момент
iA действует короткий импульс тока iBe, который перемещает изо¬
бражающую точки из положения А в положение Б (рис. 14.9) и
«подправляет» амплитуду и фазу колебаний. Возникает ампли¬
тудная и фазовая модуляция. С
точки зрения спектральной тео¬
рии амплитудная и фазовая мо-
Рис. 14.7
Рис. 14.8
ность фазы синхронизирующего напряжения. В умножителе час¬
тоты с коэффициентом умножения т может существовать т ус¬
тойчивых режимов умножения, которые различаются между собой
начальной фазой синхронизирующей ЭДС при одной и той же на-,
чальной фазе генерируемых колебаний.
352

В некоторых случаях свойство неоднозначности фазы синхро¬
низирующей ЭДС в умножителях частоты вредно. Так, зная фазу
колебаний на выходе устройства, содержащего умножитель час¬
тоты, нельзя однозначно определить фазу колебаний на входе это¬
го устройства.
Режим деления частоты. Здесь т= 1; п=2, 3, 4, 5, ...; юс—яюоо.
В режиме деления частота генерации <в0 устанавливается рав¬
ной ©о = Юо In.
Спектральные диаграммы напряжений и токов представлены
на рис. 14.11. На рис. 14.11,6 изображены спектральные составля¬
ющие тока, образованные за счет воздействия на нелинейный эле¬
мент напряжения и и синхронизирующего напряжения ес (рис.
14.11,а). В полосу пропускания контура (резонансная кривая изо¬
бражена штриховой линией) попадает только первая гармоника
тока 1\и, возникающая за счет действия напряжения и.
U
U
О
J		 Vе
(Oq	(Oq^HCOq Q)
а)
Гармоники i
О
In
[(n-l)u
т т“ V/Ik
МТ
(п-1)0)0 (УсПй^ (n+1)U)q
0}
б)
Комбинационный i
Г
1
/
У
\
\
\
ч
ь>с(п-1)щ
0)
б)
Ряс. 14.11
На рис. 14.11,в изображена комбинационная составляющая
тока порядка N= 1 + (п—1) =п, имеющая частоту
®п =	(« — 1) ю0» ю00
и соответственно фазу
Фп = 0 (л 1) ф = —(/г— 1) ф.
853
12»—100

Эта спектральная составляющая попадает в полосу пропуска¬
ния контура1. Она сдвинута по фазе относительно напряжения на
контуре на величину
Фие = ф— [— (Я — 1)ф]=Яф.
Амплитуда этой комбинационной составляющей пропорцио¬
нальна амплитуде синхронизирующего напряжения Ес и амплиту¬
де напряжения на контуре в (п—1)-й степени:
/ =а {/<"—*>Е
1 ие ип ^	^с*
На рис. 14.12 построена векторная диаграмма напряжения на
контуре U и спектральных составляющих тока Iы и \ие, выделя¬
емых контуром. Из векторной диаграммы находим сдвиг фаз %
между током 11, действующим на контур, и напряжением на кон¬
туре U:
tgx=
/це8ШПф
■sinnqp
/щ 4* lue cos П ф	/щ
(считаем, что 1ие </>«).
Максимальное значение tgXmax имеет место, если mp=n/2:
IgXmai j
Чи	I Iu
Ширина полосы деления согласно (14.7) и (14.2)
2Дсо =	Ьи-'
Q.
(14.7)
(14.8)
lug cos л (р
Из (14.8) следует, что для расширения полосы деления следу¬
ет увеличивать отношение амплитуды комбинационной составля¬
ющей 1ие к амплитуде первой гармоники /щ. На этом основании
можно рекомендовать схему дели¬
теля, изображенную на рис. 14.13.
Делители частоты, выполненные по
данной схеме, нашли довольно
широкое применение и называ¬
ются регенеративные делители ча¬
стоты.
10)^~П0)р
_ <a0-(rr-f)Q0
jL
Умножитель
(л-1)
со0(п-1)
ГГ	1
Смеситель
•<Ов
1
I, V
Рис. 14.12
Рис. 14.13
’) В полосу пропускания контура могут попадать и другие комбинацион¬
ные составляющие, например, порядка (я+2) с частотой (я-)-1) оо0о—о>с,	но
обычно их амплитуды значительно меньше, и мы их не учитываем.
354

В стационарном режиме на контуре LC существуют колебания
с частотой ©о» близкой к <вр. Эти колебания подаются на вход ум¬
ножителя частоты в (п—1) раз. На выходе умножителя частоты
существуют колебания с частотой <ву = <во(«—1), которые поступа¬
ют на один вход смесителя, на второй вход подается синхронизи¬
рующее напряжение с частотой <в0. В спектре выходного тока
смесителя присутствует комбинационная составляющая второго
порядка (Л/=1 + 1) вида «в0—<ву=<во. Эта составляющая, действуя
на контур, создает сдвиг фаз %, который изменяет частоту коле¬
баний, делая ее равной а>с/п. При этом комбинационная составля¬
ющая на выходе смесителя также имеет частоту ас/п. Действи¬
тельно, «Вс—(п—1)<во=свс In.
Преимущество этой схемы по сравнению со схемой рис. 14.4
состоит в том, что используется комбинационная составляющая
второго порядка вместо п-то порядка. Недостатком регенератив¬
ного делителя частоты является жесткий режим возбуждения ко¬
лебаний. Действительно, при малой амплитуде колебаний на вхо¬
де умножителя амплитуда колебаний с умноженной в (п—1) раз
частотой близка к нулю. Коэффициент передачи замкнутого коль¬
ца близок к нулю, и колебания возбудиться не могут. Для возбу¬
ждения необходимо за счет внешнего воздействия «раскачать»
систему, после чего колебания сами нарастут до стационарной ам¬
плитуды.
Указанный недостаток может быть устранен подключением к
контуру LC отрицательного сопротивления. При этом колебания
будут поддерживаться за счет отрицательного сопротивления, а
кольцо (умножитель, смеситель) используется для формирования
спектральной составляющей тока (1ие), создающей сдвиг фаз %.
Определим предельную ширину полосы деления делителя час¬
тоты, используя временные диаграммы (рис. 14.14,а—г) и фазо¬
вый портрет (рис. 14.15). Будем считать, что синхронизирующее
напряжение ес имеет форму коротких импульсов (рис. 14.14,6).
Тогда управляющее напряжение «у = « + ес является синусоидой с
наложенной на нее «гребенкой» импульсов (рис. 14.14,в). Пусть
нелинейное сопротивление создает короткий импульс тока гв в
момент времени, когда управляющее напряжение «у превышает
уровень ограничения (рис. 14.14,в,г). Рассмотрим два режима.
1.	За период колебаний 2я только один импульс гребенки
(N1) превышает уровень ограничения ц0- Вырабатывается один
импульс тока (IV1). Фазовый портрет для этого режима изобра¬
жен на рис. 14.15,а. Сдвиг фаз % между током гв и напряжением
на контуре равен сдвигу фаз «р между максимумом напряжения
на контуре и импульсом синхронизирующего напряжения N1.
2.	За период колебаний 2я два импульса гребенки (N1 и N2)
превышают уровень ограничения «о. Вырабатываются два импуль¬
са тока (N1, N2). Фазовый портрет для этого режима изображен
на рис. 14.15,6. Поскольку импульсы N1 и N2 сдвинуты по фазе
относительно максимума напряжения и один в сторону опереже¬
ния, другой в сторону отставания, сдвйг фаз % суммарного тока
12*	3§§

l=Ii+h, где I\ и h — токи, соответствующие импульсам N1 и N2,
относительно напряжения на контуре меньше ср. Следовательно,
появление второго импульса тока уменьшает сдвиг фаз % т. е.
уменьшает полосу деления.
В режиме деления соо=сос/п и сдвиг фаз между импульсами
гребенки равен 2л/п.
0 | 5Г\ '
CQ |
/рж te
1
1
1
1 |
0 I
»1
HZ !
т
\2% fs
1
1
1 ..
Т TJ \ и0
/ ! [\ Т т 1/
[э Р
—г
»|
it 1
J!L
\Л
Г
/^1
1
1
1
1
1
!° J-U *
Рис. 14.14
2% U
При увеличении сдвига фаз ср (рис. 14.14,6) до л/п импульс
N2 будет симметричен относительно импульса N1. Нелинейная
схема будет создавать одинаковые импульсы тока под действием
импульсов N1 и N2. Как было показано, такой режим непригоден.
Следовательно, максимальный допустимый сдвиг фаз фпр, при ко¬
тором возможно формирование одного импульса, не может до¬
стигать предельного значения л/п. Учитывая, что при одном корот¬
ком импульсе %=ф, и используя формулы (14.2), получаем пре¬
дельную ширину полосы деления
2A(onP = -^tg—.
Q я
На рис. 14.16 изображена схема делителя частоты, реализу¬
ющая ширину полосы деления, близкую к предельной. На рис.
14.17 приведены временные диаграммы, поясняющие работу
схемы.
Гармоническое напряжение и с контура подается на вход фор¬
мирователя импульсов, в котором формируются прямоугольные
356

импульсы и0, длительность которых равна периоду синхронизиру¬
ющего напряжения 2п/п, фаза совпадает с фазой напряжения на
контуре, а частота повторения равна частоте напряжения на кон-
туре. Синхронизирующее напряжение преобразуется в последова¬
тельность коротких импульсов ес, которые накладываются на
с П
Рис. 14.16
«опорное напряжение ио. Их сумма яв¬
ляется управляющим напряжением лу,
действующим на входе генератора им¬
пульсов тока. На выходе генератора
импульсов тока в момент действия
опорного и синхронизирующего им¬
пульса возникает короткий импульс то¬
ка iB, который действует на колеба¬
тельный контур.
При изменении сдвига фаз ср меж¬
ду напряжением на контуре и импуль¬
сом синхронизирующего напряжения в
пределах —л/га<ср<л/« создается
“a _J
		1
^^7
h
РЛ 1 1
ta
LL
I 	1
%
N1
riW I I
*Б
J_L
0|—и“
*6
0
J
I
Рис. 14.17
один импульс тока, который изменяет свою фазу в тех же преде¬
лах, т. е.
—л/л ^ ср = % ^ я/л.	(14.9)
'Ширина полосы деления согласно (14.9) и (14.2) равна предель¬
ной
2 Дсо =	tg—.
Q п
Можно отметить достоинство схемы на рис. 14.16: генератор
импульсов тока может реагировать на помехи только во время
действия опорного напряжения, т. е. в течение 2зт/л периода. В
■остальные 2я периода генератор импульсов тока заперт,
л
Проведенный на базе спектрального метода и метода фазовой
«плоскости анализ деления частоты позволяет выявить два важ¬
ных свойства делителей частоты.
857

1.	Неоднозначность фазы выходного напряжения. В делителе
на и в режиме деления может установиться один из п режимов.
Все п режимов имеют одинаковые амплитуды, а фазы выходных
напряжений
где п — коэффициент деления; m — целое число, принимающее
значение от 1 до п.
Установление того или иного из возможных стационарных ре¬
жимов определяется начальными условиями.
Под действием помех может произойти переход из одного ста¬
ционарного режима в другой, отличающийся по фазе на 2л/п. В
ряде случаев это может нарушить нормальную работу системы, в
которую входит делитель.
В других случаях наличие нескольких режимов с разностью
360°
фаз 	m может быть использовано в устройствах, где требует-
Я
ся иметь точно известную величину фазового сдвига, например,
при калибровке точных фазометров или фазовращателей.
Многозначность фазы дает возможность использовать делите¬
ли частоты для запоминания и передачи дискретной информации.
2.	Спектр выходного напряжения делителя. Как следует из
рис. 14.11, в делителе в режиме деления действуют напряжения
собственных колебаний генератора с частотой <л0 = <ас/п и синхро¬
низирующее напряжение с частотой юс. При этом спектр выход¬
ного тока содержит частотные составляющие вида (fecoo±lmflo),
где k и I — целые числа. Резонансный контур генератора выделя¬
ет составляющую спектра с частотой и0 и отфильтровывает все
остальные составляющие, ближайшей из которых является состав¬
ляющая с частотой 2ио- «Чистота» частотного спектра делителя
является его важным преимуществом по сравнению с умножителем
частоты, в котором необходимо отфильтровать составляющие, от¬
стоящие от генерируемой частоты на соо/пг (см. рис. 14.6).
Итак, используя формулы (14.1) и (14.2), фазовые портреты
в координатах (pi, и), временные диаграммы и некоторые поло¬
жения спектральной теории, мы показали возможность осущест¬
вления захвата, умножения и деления частоты и выявили ряд
важных свойств этих устройств. Анализ, проведенный в данном
параграфе, позволяет весьма наглядно представить себе меха¬
низм синхронизации, наметить пути построения схем, обеспечива¬
ющих наибольшую ширину полосы синхронизации.
Однако на ряд вопросов проведенный анализ не дает ответа,
например, не исследованы процесс установления колебаний, ус¬
тойчивость состояния равновесия и др. Решение этих вопросов
может быть осуществлено путем приближенного решения диффе¬
ренциальных уравнений синхронизируемой системы.
358

14.2.	Дифференциальные уравнения установления амплитуды
и фазы гармонических колебаний синхронизируемого
автогенератора
Рассмотрим эквивалентную схему синхронизируемого автогене¬
ратора, изображенную на рис. 14.2.
Для определенности считаем синхронизирующее напряжение
ес гармоническим. Начало отсчета времени выбираем так, чтобы
начальная фаза синхронизирующего сигнала равнялась нулю:
ес = Ес cos сос t,
где Ес — амплитуда синхронизирующей ЭДС. Будем считать ее
малой по сравнению с амплитудой собственных колебаний Uоо:
£с<с£/оо-
Эквивалентной схеме на рис. 14.2 соответствует система диф¬
ференциальных уравнений
dt	С	V Rp
di	1
— = —	и
dt	L
или одно уравнение второго порядка
d*u
• or
■‘--И-
1 du\
(14.10)
dt*	С L Яр dt	v 7
В режиме синхронизации генерируемая частота со0 точно равна
dial
dt ]'
т
(00 = —сос,
п
где тип — целые числа.
Обозначим частоту	сос=сон и назовем ее номинальной.
В режиме захватывания т = п= 1, сон = сос.
В режиме умножения п= 1; т=2, 3, 4, ...; coH=wuoc-
В режиме деления т=1; п = 2, 3, 4, ..., сон=(ос/«-
Интересуясь процессом установления режима синхронизации,
желательно сделать так, чтобы решение первого приближения име¬
ло частоту, равную номинальной. С этой целью запишем уравнение
(14.10) в виде
Введя безразмерное время U = (aat, получим
d* u .	1 Г 1 du , dU
■U--
=с[-
■и.	(14.11)
dt* б	<Оа С L Rp dt6 dta J со*н
Учтем, что относительная расстройка номинальной частоты относи¬
тельно резонансной мала, т. е.
— г
V =
СО‘н
2 (<Он — Ор)
Юр
«1-
359

Запишем уравнение (14.11) в виде
<Ри
dt\
«=	L_^ + p_^l
Q dt(j dt6
-vu.
(14.12)
Все слагаемые правой части (14.12) являются малыми, поэтому
это уравнение описывает систему, -близкую к линейной консерва¬
тивной. Применим метод анализа таких систем, изложенный
в гл. 11.
Решение уравнения 114.12) запишем в виде
и—Ucos(t6-f ф) = £/ cosф,	(14.13)
~ = —^sin (1б + tp)= — U sin ф,
где tp — начальная фаза напряжения и на контуре при нулевой
начальной фазе синхронизирующей ЭДС (14.3).
Из (14.13) следует, что
^6 = <М = Ф—ф-	(14.14)
Ток (в является функцией напряжения на контуре и синхрони¬
зирующей ЭДС ес:
i* = iB [U cos (coH t -f ф), Ec cos coH t\.
С учетом (14.14) получим
tB = »■„.[£/cos ф, Eccos(ф—ф)].
Замена явно входящего времени t разностью фаз ф—ф позво¬
ляет к неавтономной системе применить метод анализа автоном¬
ных систем.
Укороченные уравнения установления фазы ф и амплитуды
согласно (11.41) имеют вид
dU _
1 2ЛГ
dtf
2я i I
_ U
2Q
dtp
1 2л
f
dtf
2nU 0J
1П г 1	j ■
( — Ll|SinT|3-f р—- -f v U cos ф
? I Q	dt6
sin ф d ф -
2я_Лв
о dtn
U),	(14.15)
sini)+p	v и cos^-j cosi)di) =
	1_
~ 2
P
2nU
2Л
I
-^2- cos ф d ф = M (ф, U).
dtf,
Разложим ток iB в ряд Фурье:
»B = /o + /lccosll5 + /2сгС08 2ф+... + /185шф+/28зш2ф+ ...	(14.16)
После подстановки ряда Фурье (14.16) и интегрирования урав¬
нения (14.15) примут более компактный вид:
dU
dtf,
dtp
~d*l
u>-
_тv_■гг/‘*=Ж('|,'
3M
(14.17)

где /ic и Iи — косинусоидальная и синусоидальная составляющие,
определяемые по формулам
1 2л di
Ас = — f ~1 [f/cosij), Ес cos (ф—ср)] sin ф d ф,
71 q dt(J
Iis =
1 211 di
— f —[i/cosi|3, Ec cos (ф—cp)] cosibdib.
л (j dt6
Система уравнений (14.17) позволяет исследовать процесс
установления режима синхронизации, устойчивость полученных
решений, определить полосу синхрони¬
зации и т. п.
Анализ уравнений (14.17) обыч¬
но проводят на фазовой плоскости
(<Р> Щ-
1.	Синхронизация на основной ча¬
стоте (захватывание). Проведем ана-
Рис. 14.18
лиз синхронизируемого генератора с обратной связью, схема кото¬
рого изображена на рис. 14.18.
Для упрощения будем считать, что:
шунтирующее действие входа цепи обратной связи р и выхода
усилителя К учтены соответствующим уменьшением сопротивле¬
ния Ар;
усилитель работает в режиме ограничения амплитуды (ключе¬
вой режим). Амплитуда первой гармоники тока не зависит от
амплитуды напряжения на входе усилителя: I\ = const;
усилитель А и цепь обратной связи р не вносят сдвига фаз.
При этом первая гармоника тока усилителя Д совпадает по фазе
с управляющим напряжением йу.
Для определения фазы первой гармоники тока, действующего
на контур, воспользуемся векторной диаграммой, приведенной на
рис. 14.19. На диаграмме изображены векторы:
синхронизирующей ЭДС е = Ес cos сос^-»-Ес;
напряжения на выходе цепи обратной связи pu=pt/cos (соД+
-bcp)-ypU;
управляющего напряжения ыу = рД cos (сос^+ф)+£с costoc^-»-
->-Uy = pU + Ес;
первой гармоники тока Ii, которая совпадает с вектором управ¬
ляющего напряжения Uy.
361

Запишем первую гармонику тока, действующего на контур, в
виде
t'i = /x cos(4>—х)-
Тангенс угла % определим из векторной диаграммы (рис. 14.5)
учетом (14.3):
tgx
Ес sin ф
Р U + Ес cos ф
С
откуда
sin%
sin ф,
cos х « 1 •
Находим косинусоидальную и синусоидальную составляющие
первой гармоники тока:
/lc = /1COSX'«/1,
hs = Л sin X
(14.18)
Подставив (14.18) в дифференциальные уравнения (14.17), по¬
лучим
dU = _ U_ , pji = F£p_
dt6	2Q 2	2
-^-+51) = iV(cp, U),	(14.19)
d ф
dt6
e-^-sin(p = M((p, и.).
2	2§U2 T	'
Дальнейший анализ проводим на фазовой плоскости (tp, U2).
Строим изоклины вертикальных и горизонтальных касательных.
Изоклина горизонтальных касательных задается равенством
-^=ЛДф, U) = 0.
Из (14.19) получаем
и = 0,
U2 = U\=(pQI1) 2.
Изоклина вертикальных касательнйх имеет уравнение
4^ = Л1(ф, U) = 0.
dtf,
Из (14.19) получаем
U2 = —б-^1— sin ф.
pv
На фазовых портретах (рис. 14.20) построены изоклины вертикаль¬
ных и горизонтальных касательных при отрицательной расстройке
v<0. Направления движения изображающей точки определены
по уравнениям (14.19) и указаны стрелками.
362

На рис. 14.20, а изображен фазовый портрет при соотношении
9h.Ec
0V
> (р Q Д)г>
что соответствует условию
I V| Ода
Ес
QWo '
Имеются две особые точки Оi и 02, соответствующие точкам
пересечения изоклин вертикальных и горизонтальных касательных.
По направлениям движения изображающей точки, показанным
стрелками, определяем, что особая точка 0\ устойчива, а 02 —
неустойчива («седло») *. Предельных циклов на фазовой плоско¬
сти (рис. 14.20,ta) нет. Следовательно, изображающая точка из
любой области фазовой плоскости переместится в устойчивую
особую точку 0\, после чего будет неподвижна, т. е. ф = const. Это
соответствует режиму захвата.
На рис. 14.20,6 изображен фазовый портрет при соотношении
9h Ес
Pv
<(pQ/i)2.
что соответствует условию
| V | > vKP
Ес
Qpt/o'
Изоклины вертикальных и горизонтальных касательных не пере¬
секаются, следовательно, особые точки 0\ и 02 отсутствуют. Су¬
ществует устойчивый предельный цикл, который совпадает в дан¬
ном случае с изоклиной горизонтальных касательных U0 = U0o-
Устойчивому предельному циклу соответствует фаза, нарастающая
с переменной скоростью. Генерируемая частота при этом отлича¬
ется от частоты синхронизирующей ЭДС:
I d Ф
* Определение характера особых точек может быть проведено строго сог¬
ласно гл. 11.
363

Устойчивому предельному циклу на фазовой плоскости (<p, U2)
соответствует режим биений.
Таким образом, критическое значение расстройки
v =-Ь-
" Qpt/„
разделяет область расстроек, соответствующих режиму захвата,
и область расстроек, соответствующих режиму биений.
Ширина полосы захвата определяется по критическому значе¬
нию расстройки
2i“-=lTW'	<1420>
Из (14.20) видно, что с ростом отношения EJU растет шири¬
на полосы захвата. Однако на практике обычно работают при
отношении EcIU<g.l. Это объясняется тем, что при увеличении Е0
нелинейное сопротивление перегружается и содержание гармоник
в его токе увеличивается, а следовательно, ухудшается форма ге¬
нерируемых колебаний. При дальнейшем увеличении Ес происхо¬
дит асинхронное подавление автоколебаний и схема начинает
работать как обычный резонансный усилитель.
2.	Синхронизация на субгармониках (деление частоты). Схему
делителя частоты можно свести к эквивалентной схеме, изобра¬
женной на рис. 14.2, в которой ток iB генератора является нели¬
нейной функцией напряжения на контуре и синхронизирующей
ЭДС
iB = iB {и, £с).
Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза
синхронизируемой ЭДС равнялась нулю [см. (14.3)].
Напряжение на контуре в режиме деления имеет частоту, точ¬
но в л раз меньшую частоты сос:
со0 = сос/л = сон.
Напряжение на контуре представим в виде
u = Ucos^-^~ f+ ср^ = £/ cos(coa f+<p) = £/cos<[),	(14.21)
откуда получаем сон^=ф—ф.
Частоту синхронизирующей ЭДС удобно записать через но¬
минальную частоту (Он и разность фаз (ф—ф)
ес — Ес cos п сон t = Ес cos п (ф—ф).	(14.22)
Для определенности проведем анализ делителя частоты на три,
когда я = 3.
Делитель может быть выполнен на базе автогенератора с об¬
ратной связью либо с отрицательным сопротивлением. Синхрони¬
зирующая ЭДС ес включается последовательно с напряжением на
контуре.
364

Управляющее напряжение является суммой напряжения на
контуре и синхронизирующей ЭДС:
uy = u + ec.	(14.23)
Рассмотрим случай мягкого режима самовозбуждения, когда
зависимость тока, действующего на контур, от управляющего на¬
пряжения аппроксимируем полиномом третьей степени
i=*a0 + a1uy+a2u2y—-l-a3uay.	(14.24)
О
От члена — аъиъу
3
появится
комбинационная
составляющая
третьего порядка (N = 3), следовательно, деление на три возможно.
Подставив в (14.24) значение управляющего напряжения
(14.23) и воспользовавшись формулами (14.21) и (14.22), после
преобразований получим значения косинусоидальной и синусо¬
идальной составляющих первой гармоники тока
/ 1с = a1U—а3 U3—а3 U2 Ес cos Зср,
Ils = —а3 U2 Ес sin Зср.
(14.25)
Подставив (14.25) в (14.17), получим укороченные уравнения
установления амплитуды и фазы колебаний
dU
dtf,
	— -\-p(a1U—a3U3—а3 U2 Ес cos 3 ф) = N (ф, U),
?	(14-26)
2 —— = — v + ра3 UEC sin Зф = М (ф, U).
Анализ уравнений (14.26) проводим, используя фазовую пло¬
скость (ф, U).
Из первого уравнения (14.26) находим амплитуду собственных
колебаний при отсутствии синхронизирующей ЭДС (£с = 0):
Р аз Uо
1
pa3Q
&	U\ = 0.
а3 1
Амплитуда, соответствующая устойчивому режиму колебаний, при
отсутствии синхронизирующей ЭДС
/72	_ а1	1
и 00 —	7Г~
аз аз Q р
(14.27)
Строим изоклины горизонтальных и вертикальных касательных.
Изоклина горизонтальных касательных
dU	г, Г
-7Гс=ра*и[
—l— + -^ — U2—UEc cos 3ф1 = 0
а3 Q р <h	J
имеет две изолированные ветви:
1)	U — 0— ось абсцисс;
2)		!_+Д1__[/2_£/£сСозЗф = 0.
а3 Q р	°3
365

С учетом (14.27) и (14.4) для второй ветви приближенно имеем
U=UW—~ Ес cos Зср.
Изоклина горизонтальных касательных изображена на рис. 14.21
линиями N—0.
Изоклина вертикальных касательных
4^ = Л4(ф, R) = О,
откуда
U =
	у
р а3 Ес sin Зф'
(14.28)
На рис. 14.21 изоклина вертикальных касательных (14.28) изо¬
бражена линией Л4 = 0. Принято v>0.
При выполнении условия
v
раз Ес
ип,
(14.29)
изоклины вертикальных и горизонтальных касательных пересека¬
ются (рис. 14.21, а).
Направления движения изображающей точки в различных об¬
ластях фазовой плоскости определены по уравнениям (14.26) и
изображены стрелками.
На рис. 14.21 изображена одна треть всего фазового порт¬
рета с координатами ф, U в пределах —60°^ф^ +60°. В осталь¬
ных, не изображенных на рисунке областяхжартина повторяется.
Весь фазовый портрет в полярных координатах ф, U изображен
на рис. 14.22.	-
На рис. 14.21, а имеются две особые точки 0\ и 02. По направ¬
лению стрелок определяем характер особых точек: Ох — устой¬
чивый узел или устойчивый фокус, 02 — «седло».
366

На фазовой плоскости при наличии особых точек Оi и 02 от¬
сутствуют предельные циклы. На фазовой плоскости (cp, U)
(рис. 14.22) имеются три устойчивые особые точки 0'\, О", 0\"
и три неустойчивые особые точки О'2, О2", 0%".
Изображающая точка из любой области фазовой плоскости
приближается к одной из устойчивых особых точек 0’\0” или
Ох". Устанавливается стационарный режим колебаний с постоян¬
ной амплитудой U0 и одной из устойчивых фаз: ф0, либо фо +120°,
либо фо +240°. При больших расстройках, когда выполняется
неравенство
у
раз Ес
им,
(14.30)
изоклины вертикальных и горизонтальных касательных не пере¬
секаются (см. рис. 14.21,6). Имеется устойчивый предельный цикл
(абвг). При этом частота колебаний отлична от номинальной и в
системе существует режим биений.
Слияние и исчезновение особых
точек 01 и 02 происходит при кри¬
тическом значении расстройки vKp,
которому соответствует переход от
режима деления к режиму бие¬
ний.
На основании неравенств (14.29),^-
(14.30) или на основании фазового
портрета определяем значение кри¬
тической расстройки:
I vkp I = аз Р ^оо Ес.
Ширина полосы деления при этом
равна
2 А(од=Шр a3pU00 Ес.
Рис. 14.22
Вопросы для самопроверки
1.	В чем заключается механизм синхронизации генераторов гар¬
монических колебаний?
2.	Постройте и объясните зависимость частоты генерируемых
колебаний ©о от частоты синхронизирующей ЭДС ©с.
3.	Что называют внутренней и внешней полосами синхронизации?
4.	Нарисуйте эквивалентную схему автогенератора в режиме
синхронизма и поясните ее.
5.	Выведите укороченные дифференциальные уравнения установ¬
ления амплитуды и фазы колебаний для автогенератора в ре¬
жиме синхронизации.
6.	Что называют режимом захватывания? Когда возможно за¬
хватывание?
7.	Поясните механизм захватывания частоты с помощью вектор¬
ных диаграмм.
367

8.	Пользуясь векторной диаграммой, получите формулу для
определения ширины полосы захвата.
9.	Объясните, почему в режиме захватывания желательно вы¬
полнение неравенства Ec<g.U0.
10.	Постройте фазовый портрет автогенератора в режиме захва¬
тывания и объясните его.
11.	Что называют режимом деления частоты? Когда возможно
деление частоты?
12.	Характеристика нелинейного элемента генератора аппрокси¬
мируется полиномом пятой степени. Какие коэффициенты де¬
ления могут быть получены?
13.	Изобразите фазовый портрет делителя частоты на три (п=3)
и, пользуясь им, объясните процесс установления стационар¬
ного режима деления.
14.	Получите выражения для ширины полосы деления делителя.
15.	Объясните скачки фазы в делителе частоты.
16.	Получите выражение для предельной полосы деления дели¬
теля частоты.
17.	Нарисуйте схему делителя с формированием опорного напря¬
жения. В чем преимущества этой схемы?
18.	Что называют режимом умножения частоты? Когда этот ре¬
жим возможен?
19.	Поясните механизм умножения частоты с помощью векторной
диаграммы.
20.	Почему делитель частоты обеспечивает более «чистый» спектр,
чем умножитель?
21.	Определите возможные коэффициенты умножения, если харак¬
теристика нелинейного элемента аппроксимирована полино¬
мом вида i=a0+aiu+a3u3 + a5us.
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Цепи с переменными параметрами, в которых за счет измене¬
ния реактивных параметров в колебательную систему вносится
энергия, называют параметрическими'.
Параметрическая цепь — частный вид цепи с переменными
параметрами. Она обязательно содержит переменные реактивные
элементы, например C(t) или L(t), так как только реактивные
элементы способны запасать энергию за счет работы внешних
источников.
Параметрические цепи делят на линейные и нелинейные. В ли¬
нейных параметрических цепях параметры не зависят от напря¬
жения2, но хотя бы одно иэ реактивных сопротивлений изменяется
Ч Иногда в литературе параметрическими цепями называют цепи с из¬
меняющимися во времени параметрами R(t), C(t) или L(t).
2> Для краткости будем здесь и в дальнейшем писать «от напряжения»,
хотя параметры могут зависеть от тока, заряда, магнитного потока.
368

во времени. Линейные параметрические цепи описываются линей¬
ными дифференциальными уравнениями с переменными коэффи¬
циентами, например, вида
сРх
dt*
+-b-£ + a(f)x = f(f).
Цепь с нелинейным реактивным сопротивлением, на которое
действует сумма большого переменного напряжения щ (t) и мало¬
го напряжения А и, для малого напряжения А и является линей¬
ной параметрической цепью. Такая цепь изображена на рис. 15.1.
Нелинейные параметрические цепи описываются нелинейными
дифференциальными уравнениями с переменными коэффициен¬
тами.
На базе параметрических цепей создаются параметрические
генераторы и усилители. Параметрическая генерация и парамет¬
рическое усиление обусловлены тем, что при модуляции реактив¬
ного сопротивления контура при определенном соотношении ча¬
стоты модуляции и резонансной частоты в контур вносится энер¬
гия, компенсирующая потери. Процесс внесения энергии в пара¬
метрическую цепь называется накачкой энергии. Это эквивалент¬
но внесению отрицательного сопротивления, которое уменьшает
омическое сопротивление контура. Если результирующее сопро¬
тивление контура становится отрицательным, т. е. вносимая энер¬
гия превышает энергию потерь, то начальная
амплитуда колебаний, обусловленных наличи¬
ем флуктуаций,' нарастает. В контуре возбуж¬
даются колебания. Возбуждение колебаний
путем модуляции реактивного параметра на¬
зывается параметрическим возбуждением. Па¬
раметрические генераторы имеют два устойчи¬
вых режима, отличающиеся фазой колебаний.
Это свойство используется для различения и
запоминания фазы.
Если результирующее омическое сопротивление контура умень¬
шается. вследствие внесения отрицательного сопротивления, но все
же остается положительным, то добротность возрастает и контур
может работать как усилитель. Усилители, в которых использует¬
ся отрицательное сопротивление, создаваемое путем модуляции
реактивного сопротивления, называют параметрическими усили¬
телями.
Параметрические усилители обладают низким уровнем соб¬
ственных шумов и поэтому применяются для усиления слабых
сигналов.
В зависимости от вида реактивного элемента, параметр кото¬
рого модулируется, параметрические системы делятся на индуктив¬
ные, в которых модулируется индуктивность, и емкостные, в ко¬
торых модулируется емкость. Накачка энергии в систему осуществ¬
ляется изменением нелинейного реактивного параметра путем
подачи на него напряжения накачки от внешнего источника. Ина-
369
Рис. 15.1

че говоря, в любой параметрической системе присутствуют ко¬
лебания с частотой накачки. Кроме частоты накачки, в парамет¬
рических системах существует одна, две или более рабочих частот,
на которых происходит генерация или усиление.
В зависимости от числа рабочих частот параметрические си¬
стемы делятся на одночастотные и многочастотные1.
Одночастотными параметрическими системами будем называть
такие, в которых используется одна рабочая частота в 2 раза
меньше частоты накачки. Одночастотные генераторы и усилители
могут содержать один резонансный контур, настроенный на ра¬
бочую частоту, или два, один из которых настроен на рабочую
частоту, а другой — на частоту накачки.
Двухчастотными параметрическими системами будем называть
такие, в которых используются две рабочие частоты f\ и /г- Обыч¬
но выполняется условие:	сумма или разность рабочих частот
равна частоте накачки (f2±fi=fH)■ Двухчастотные генераторы
и усилители могут содержать два резонансных контура, настроен¬
ных на рабочие частоты, или три резонансных контура, два из
которых настроены на рабочие частоты, а третий — на частоту
накачки.
Методы исследования параметрических систем. Процессы в па¬
раметрических системах описываются нелинейными дифферен¬
циальными уравнениями с переменными коэффициентами. Общих
методов точного решения этих уравнений не существует. Для не¬
которых частных случаев они сводятся к уравнению Матье.
Второй метод исследования параметрических систем основы¬
вается на применении теоремы Менли и Роу2. Теорема Менли и
Роу устанавливает общие энергетические соотношения в схеме, со¬
держащей нелинейные реактивные элементы без потерь при на¬
личии идеальных фильтров. Используя теорему Менли и Роу, опре¬
деляют условия самовозбуждения или предельные коэффициенты
усиления в зависимости от соотношения частоты накачки и рабо¬
чих частот системы. Применяя теорему Менли и Роу, можно со¬
ставить функциональную схему генератора или усилителя по тре¬
буемым параметрам и выбрать рабочие частоты или, наоборот,
по заданной функциональной схеме и частотам определить, может
ли данная схема быть генератором или усилителем.
Теорема Менли и Роу не учитывает конкретные характеристи¬
ки нелинейных реактивных элементов и фильтров. Поэтому резуль¬
таты, полученные с помощью этой теоремы, являются предельны¬
ми, т. е. реализуемыми только в идеальных системах. Сравнивая
параметры реальной системы, которая рассчитывается другими
методами или исследуется экспериментально, с предельными пара*
1	В литературе применяется деление на одноконтурные и двухконтурные
системы. Одноконтурными называют генераторы, генерирующие одну частоту,
хотя они могут содержать и два контура. Двухконтурными называют генера¬
торы, генерирующие две частоты, хотя они содержат два или три контура.
2	Краткий вывод теорем^! Менли и Роу и ее применение к анализу пара¬
метрических схем приведен в Приложении.
370

метрами, определенными с помощью теоремы Менли и Роу, можно
определить, насколько реальная система близка к идеальной.
Третьим методом исследования параметрических генераторов
и усилителей является приближенное решение нелинейных диф¬
ференциальных уравнений методом медленно меняющихся ампли¬
туд. Предполагается, что в системе, содержащей избирательные
фильтры, кроме колебаний с частотой накачки, существуют гармо¬
нические колебания одной или двух частот с медленно меняющи¬
мися амплитудами и фазами. Разновидностью этого метода яв¬
ляется символический метод.
Ниже дается анализ параметрических генераторов и усилите¬
лей, проводимый на базе метода медленно меняющихся амплитуд
с использованием фазовой плоскости.
15.1.	Механизм накачки энергии в контур с периодически
изменяющейся емкостью
Рассмотрим процессы, происходящие в линейном контуре
(рис. 15.2), емкость C(t) которого изменяется под действием внеш¬
них сил, например механических.
Покажем, что при периодической модуляции емкости с часто¬
той (Он, примерно в 2 раза большей резонансной частоты (ор, про¬
исходит накачка энергии в контур. Частота (он
называется частотой накачки.
Модуляцию емкости с частотой накачки мож¬
но осуществить по любому закону: гармоническо¬
му, пилообразному, прямоугольному и др.
Рассмотрим режим работы при прямоуголь¬
ном законе модуляции емкости, при котором наи¬
более нагляден механизм накачки энергии в кон¬
тур (рис. 15.3,а). Ограничимся рассмотрением
режима, когда отклонение емкости АС от среднего значения
Со мало:
АС/С0<< 1.	(15.1)
Считаем, что скачки емкости происходят мгновенно. Мгновен¬
ное значение собственной частоты контура изменяется ступенька¬
ми от ©max до ©min (рис. 15.3,6). Эти частоты равны:
<°“ _ Ш,-А» = у-i— *	(1 - jr А£).
где ©р= 1/УLCо.
Усредненную за период частоту, учитывая неравенство (15.1),
будем считать приблизительно равной средней частоте, которую
назовем резонансной:
	©max + ©min __
шср —	2	— шр.
371

Колебания в линейном контуре LC без потерь при фиксированном5
значении емкости описываются уравнениями
dtts
di и
die р
(15.2*
(15.3)
где р= VL/C — характеристическое сопротивление; С — фикси¬
рованное значение емкости; U — безразмерное время, определяе¬
мое по формуле /б = ©р^.
На фазовой плоскости (i, и/р) (рис. 15.4) изображающая точ¬
ка движется по одной из концентрических окружностей с радиу¬
сом /, квадрат которого пропорцио¬
нален запасенной в контуре энер¬
гии
W = LP/2.
Угловая скорость движения изо-
	j бражающей точки во времени t&
а)	равна единице:
св+лс
Со
Cq~aC
О
C(t)
йС
лс
ъ
При наличии потерь колебания в контуре затухают. Амплитуда
колебаний / за каждый период уменьшается на величину
А г 1 = ^1-	(15.4)
Для контура на рис. 15.2, емкость С которого изменяется по1
прямоугольному закону (рис. 15.3,а), на протяжении каждой сту¬
пени справедливы формулы (15.2) и (15.3) и фазовый портрет,
изображенный на рис. 15.4.
За бесконечно малое время скачка емкости происходит изме¬
нение волноврго сопротивления р (рис. 15.3, в) и напряжения и
на конденсаторе, что приводит к деформации фазового портрета.
372

Считаем, что за время скачка емкости заряд q в конденсаторе-
и ток i через катушку индуктивности не успевают измениться, т. е.
i = const i , ^ ^ , . ,,
} при гх <11 <1 гх + at.
<7 = const J
При этом происходит деформация фазового портрета только по.
оси ординат и/р, а по оси абсцисс i деформации нет. Учитывая,,
что u=qjC, р= У L/C, находим
и 	 д
"р уш
При мгновенном возрастании емкости на величину 2ДС полу¬
чаем уменьшение ординаты
А
—)	_ я
р /+2ДС	VL (С0 + ДС)
Я
VL(Co-AC)
(15.5)
Соответственно, при мгновенном уменьшении емкости на вели¬
чину —2ДС происходит увеличение ординаты
/ и_ \	__ _ и ( ДС \ _ и / АС \
V Р /—2дс	р \ С0 J р \ Со J
(15.6)
В формулах (15.5) и (15.6) напряжение и равно мгновенному
значению напряжения на конденсаторе в момент соответствующе¬
го скачка емкости.
Рассмотрим режим, когда отрицательные скачки емкости сов¬
падают по фазе с максимумом и минимумом напряжения на кон¬
туре, а положительные скачки емкости совпадают по фазе с ну¬
левым напряжением на емкости (рис. 15.5).
На фазовой плоскости (i, и/р) (рйс. 15.6) при каждом отрица¬
тельном скачке емкости происходит увеличение ординаты и/p на>

величину, определяемую выражением (15.6). Так как положитель¬
ные скачки емкости совпадают с нулевым напряжением на кон¬
туре (ы=0), они согласно (15.5) не вызывают деформации фазо¬
вого портрета. Следовательно, согласно рис. 15.6 за один период
колебания под действием модуляции емкости происходит прира¬
щение амплитуды тока на величину
Ас/ = 2/А£.	(15.7)
с0
Это соответствует увеличению энергии, запасенной за период
в контуре, на величину
A W = -
L II + 2I-
АС
Со
= 4W
Таким образом, за счет модуляции емкости в контур накачи¬
вается энергия.
Определим схему замещения модулируемой емкости, включен¬
ной в контур с резонансной частотой, равной половине частоты
модуляции. Результирующее изменение амплитуды тока за период
еогласно (15.4) и (15.7)
А/ = АС7—Аг/ = (/2—	-
\ С0 Q
/ =
/,
где <3эфф — эффективная добротность контура, определяемая по
формуле
или
1
_ 1 2
АС
<2эфф
Q л
С»
. Q
•эфф
2 АС
л Со
Q
(15.8)
Увеличение эффективной добротности контура (15.8) за счет
■модуляции емкости можно рассматривать, заменяя модулируемую
емкость параллельным соединением посто-
l янной емкости и отрицательного сопротив-
ления (рис. 15.7). Значение отрицатель-
I кого сопротивления R- определяем, исполь-
Рис 157	зуя соотношение для контура
/?Р R_
R? + R_
= R'V=PQ'
р Q
,	2 АС „
1-	тг-Q
Л С0
,	2 АС
1 —	Q
л С0
•откуда, получим
R- =
1
1

Можно перейти к последовательной схеме замещения, в кото¬
рой отрицательное сопротивление включено последовательно с
емкостью.
При скачках емкости, совпадающих по фазе с максимумами и
минимумами напряжения, не происходит приращений фазы ко¬
лебаний. Следовательно, при этом период колебаний равен резо¬
нансному периоду
Т0 = ТР = 2я/(ор.
Период изменения емкости или период накачки Тн в режиме
резонанса точно в 2 раза меньше периода резонансной частоты1
контура:
Тн = Тр/2.
Механизм накачки энергии в контур при изменении емкости
можно представить так. Когда конденсатор заряжен (|ы|>0), его-
пластины взаимно притягиваются, и при их разведении, что не¬
обходимо для уменьшения емкости, совершается работа. Эта ра¬
бота тем больше, чем больше сила притяжения пластин (напря¬
жение на пластинах) и чем больше изменение емкости (расстоя¬
ние, на которое раздвигаются пластины).
Сведение пластин (увеличение емкости) происходит в момент
времени, когда напряжение на конденсаторе равно нулю и, сле¬
довательно, сила притяжения между пластинами также равна
нулю. Поэтому работа при сведении пластин не совершается.
Таким образом, энергия накачивается в контур за счет рабо¬
ты внешнего источника.
Рассмотрим случай, когда скачки емкости не совпадают с максимумами'
напряжения на контуре (рис. 15.8). На рис. 15.9 изображен фазовый портрет,
375

соответствующий режиму, при котором скачки емкости отстают от максимума
■и нулей напряжения на контуре на угол ф0.
Вследствие уменьшения приращений амплитуд Д/i и Д/3 и появления от¬
рицательных приращений Д/2 и ДЦ суммарное приращение амплитуды за пе¬
риод с ростом угла фо уменьшается.
Из-за появления дополнительных скачков фазы Дф1, Дф2, Дфз, Дф4 часто¬
та колебаний изменяется и становится отличной от резонансной.
Если приращение амплитуды (15.7) под действием скачков
емкости больше, чем уменьшение вследствие потерь (15.4), то в
■системе происходит самовозбуждение. Если же приращение ам¬
плитуды под действием скачков емкости меньше, чем уменьшение
вследствие потерь, то самовозбуждение не происходит, однако
эффективная добротность контура увеличивается.
15.2.	Дифференциальные уравнения и фазовые портреты
линейного контура с модулируемой емкостью
Рассмотрим контур (рис. 15.10), состоящий из индуктивности
L, активного сопротивления Rp, учитывающего потери, и модули¬
руемой емкости C(t).
Пусть модуляция емкости осуществляется по закону
1 — т sin о>н t
Глубина модуляции мала, т. е.
rn = Cm/C0«l,	(15.9)
где Сто — амплитуда переменной составляющей емкости.
Частота модуляции (частота накачки) близка к удвоенной ре¬
зонансной частоте контура
toH « 2сор = 2/УLC0.	(15.10)
Определим расстройку
•Считаем, что
Юр
0>н	top
2
v« 1.
(15.11)
Дифференциальные уравнения для заряда q и тока i в схеме
на рис. 15.10 имеют вид1
	Ч_ _ _t- Я
dt	Rp	Rp Cq
RC {t)	Rp Cq
так как
(1 —m sin (% t)
Я
Rp Cq
m sin g>h t
Rp Cq Rp Cq
Я
m si n g>h t
Rp Cq
«
Rp Cq
376

или
di
It
и _ q __ <t
L LC(t) C0L
(1 —msintoH t)
^+to2p<7(l— msintoH0= — — —,	(15.12)
dt2	4 K	H ;	Q dt ’	v 1
где Q — добротность контура, равная
Q = /?pcopC0.
Колебания в контуре при его возбуждении происходят с ча¬
стотой, равной половине частоты накачки, поэтому целесообразно
записать уравнение (15.12) в виде
<*>р dQ I
tft2 ' \ 2 /	Q dt '
<7 + /ncoap<7sincoH
В безразмерном времени ^б = сон^/2 получим
-^- + <7=	l~-^- + vq + mqsm2t6 = iiF.	(15.13)
dt2о	Q dh
Учитывая (15.9) и (15.11), считаем,
что слагаемые в правой части уравнения
(15.13) малы. Их сумма обозначена в ви¬
де силы F с малым параметром ц.
Уравнение (15.13) соответствует си¬
стеме, близкой к консервативной.
Решение уравнения (15.13) записываем в виде
q — R sin (*6 + <p) = /?sinf,
4=w) l
и яв
Рис. 15.10
de! _
dt6
R cos (t6 + q>) = R cos i|5.
Законы установления амплитуды колебаний R(ts) и фазы ф(^б)
определяются укороченными уравнениями
dR
R
m
dt§
2 Q
1 4
d ф
V
m
dte
2
4
- R cos 2q>,
sin 2ф.
(15.14)
Исследование нелинейных уравнений (15.14) проводим на фазо¬
вой плоскости фаза — амплитуда (ф, /?). Фазовые портреты по¬
лучаются двух разных типов в зависимости от того, выполняются
или не выполняются условия самовозбуждения в контуре. Рас¬
смотрим эти режимы отдельно.
Недовозбужденный режим. На рис. 15.11, в построен фазовый
портрет для недовозбужденного режима, когда энергия, вносимая
в контур за счет модуляции 'емкости, меньше энергии потерь. По¬
строение изоклин вертикальных и горизонтальных касательных, а
также определение направления движения изображающей точки
377

по фазовым траекториям выполнено с помощью двух вспомога¬
тельных графиков. На рис. 15.11,а построена зависимость
fi (ф) — 2 —■ = —v ^ sin 2ф.	(15.15)
«б	2
Точки пересечения кривой (ф) с осью абсцисс дают значения ф,
соответствующие изоклине вертикальных касательных. Области
значений ф, в которых кривая Ыф) выше оси абсцисс, соответ¬
ствуют областям возрастания ф; области, где кривая fi(ф) ниже
оси абсцисс, соответствует областям убывания ф.
На рис. 15.11,6 построена зависимость
/а (Ф) = y ^ =	+ Т cos2(p-	(15.16)
Точки пересечения кривой /г(ф) с осью абсцисс дают значения
Ф, соответствующие изоклине горизонтальных касательных. Обла¬
сти значений ф, в которых кривая /г(ф) выше оси ф, соответству¬
ют областям возрастания R, а области значений ф, в которых кри¬
вая /2 fф) ниже оси ф, — областям убывания R.
Ш фазовом портрете (рис. 15.11, в) жирными линиями нане¬
сены изоклины вертикальных (—— =0) и горизонтальных
dR	d*6
( — =0) касательных. Стрелками указано направление движе-
378

ния изображающей точки по фазовым траекториям. Видно, что из
любой области фазовой плоскости изображающая точка приходит
в точку с нулевой амплитудой (7?0 = 0) и фазой cp0i или ф02. Сле¬
довательно, возбуждения колебаний в контуре не происходит.
Режим возбуждения. На рис. 15.12 изображен характер фазо¬
вого портрета для режима возбуждения, когда энергия, вносимая
в контур, превосходит рассеиваемую энергию. Изоклины верти¬
кальных касательных (	=0) и направление движения изобра-
at б
жающей точки вдоль оси ср найдены с помощью уравнения
(15.15).
Изоклины вертикальных —■ = 0 и горизонтальных ~ =0 ка¬
сательных на фазовом портрете (рис. 15.12, в) проведены жирными
линиями. Стрелками показано движение изображающей точки по
фазовым траекториям. Изображающие точки из области фо4<
<Ф<Фоз притягиваются к изоклине ф = фо1 и двигаются вдоль нее
вверх.
Изображающие точки из областей фоз<Ф и ф<фо4 притяги¬
ваются к изоклине ф1 = фо2 и двигаются вдоль нее вверх. Следова¬
тельно, устанавливается один из двух режимов с фазой <p0i или
фог и неограниченно нарастающей амплитудой. Эти режимы со¬
ответствуют возбуждению контура с модулируемой емкостью.
Переход от невозбужденного режима к режиму генерации со¬
ответствует переходу от фазового портрета на рис. 15.11, в к фа¬
зовому портрету на рис. 15.12, в. Переход происходит при бифур¬
кационном значении одного из параметров — коэффициента моду¬
ляции т, добротности контура Q или расстройки v, при котором-
сливаются изоклины вертикальных и горизонтальных касательных,
т. е. выполняется условие
т . n	1	. т	Л
—v	sin 2п>,=	Ч	созф, = 0.
2	^	Q 2	1
Отсюда, исключая фазу фь окончательно получаем
mKP=-^Yl + Q*v*.	(15.17),
37&

График зависимости критической глубины модуляции от рас¬
стройки в обобщенных координатах изображен на рис. 15.13. Об¬
ласть, соответствующая режиму генерации, заштрихована.
Необходимо подчеркнуть, что в линейной системе не существу¬
ет устойчивой особой точки, соответствующей установившемуся
режиму генерации. Амплитуда колебаний (см. фа,зовый портрет
на рис. 15.12, в) неограниченно возрастает.
15.3.	Одночастотный параметрический генератор
Используя колебательный контур с модулируемой емкостью,
можно построить автогенератор, который принято называть одно¬
частотным параметрическим генератором, или параметроном.
Как было показано выше, при выполнении условия
т>ткр = -|-уЛ 1 +Q*va
колебания в контуре с модулируемой емкостью (см. рис. 15.10)
неограниченно нарастают. При этом энергия, отбираемая контуром
от источника накачки, также неограниченно увеличивается.
При ограниченной мощности источника накачки это приводит
к тому, что с ростом амплитуды колебаний глубина модуляции m
уменьшается.
Рассмотрим режим работы параметрического генератора с ли¬
нейным контуром при зависимости tn(R), изображенной на
рис. 15.14.
Дифференциальные уравнения установления амплитуды R и
фазы ф отличаются от уравнений (15.14) тем, что коэффициент
модуляции m является функцией амплитуды R:
dR
Шо
d ф
dt<s
Л. +	cos2ф = ЛГ(ф, R),
2 Q	4
v	m(R)_ д.п 2ф__	(ф^
2	4
(15.18)
Построим фазовый портрет для случая, когда выполняется
условие самовозбуждения
m\R = 0\ >mKP.
На рис. 15.15,а построены кривые, удовлетворяющие уравнению
fi (ф)= 2	— —v	sin 2Ф	(15.19)
dto	2
для трех фиксированных значений R. С помощью этих кривых
на | рис. 15.15, в построены изоклины вертикальных касательных и
определено направление горизонтальной составляющей фазовой
скбрости.
На рис. 15.15,6 приведены кривые, соответствующие уравнению
(15-20>
380

для трех фиксированных значений R. С помощью этих кривых на
рис. 15.15, в построены изоклины горизонтальных касательных и
определено направление вертикальной составляющей фазовой
•скорости.
На рис. 15.15,в изображен фазовый портрет в Декартовых ко¬
ординатах ср, R. Имеются две особые точки О и О2 и ось особых
точек /? = 0. Все точки (R = 0), соответствующие нулевой ампли¬
туде, неустойчивы. Особые точки Oi и Ог — устойчивые фокусы
или устойчивые узлы. Сепаратрисы АВ и СД разделяют области
притяжения устойчивых точек 0\ и Ог. Тонкими сплошными ли¬
ниями нанесено несколько отрезков фазовых траекторий.
С помощью фазовых портретов на рис. 15.15 и дифференциаль¬
ных уравнений (15.18) можно определить основные свойства па¬
раметрического генератора с линейным контуром.
Процесс установления амплитуды и фазы колебаний. Из фазо¬
вого портрета, приведенного на рис. 15.15, видно, что при малых
амплитудах направление фазовых траекторий горизонтально. Это
значит, что в начале процесса возбуждения (при малых амплиту¬
дах) происходит установление фазы колебаний до значения, опре¬
деляемого равенством Ыф)=0, а в дальнейшем при почти посто-
381

янной фазе амплитуда нарастает до стационарного значения Rо-
Это позволяет приближенно определить время установления ам¬
плитуды колебания, считая фазу постоянной.
Стационарные режимы. Из фазовых портретов и уравнений
(15.18)	следует, что в системе возможны два стационарных режи¬
ма генерации с одинаковыми устойчивыми амплитудами Roi =
= Re2 = Ro и с различными устойчивыми фазами срси и сро2.
Стационарная амплитуда колебаний определяется из выраже¬
ния (15.20), а фаза — из (15.19). Устойчивые значения фаз раз¬
личаются точно на 180°, т. е.
Фо1 = Фо2—180°.	(15.21)
Возникновение устойчивого режима с фазой qp0i или с фазой фог-
зависит только от начальных условий. После возникновения ко¬
лебаний самопроизвольный переброс системы из одного устойчи¬
вого режима в другой невозможен. Схема запоминает одну из
устойчивых фаз фо1 или фо2. Это свойство используется в некото¬
рых вычислительных машинах с двоичным кодом. В момент воз¬
буждения генератору сообщается требуемая для запоминания фа¬
за фо1 или фо2, которая удерживается им неограниченно долго.
После срыва колебаний при новом возбуждении системе навязы¬
вается та или другая фаза в зависимости от того, какое состояние
надо запомнить.
В параметрических генераторах, применяемых на практике, не¬
линейной емкостью чаще всего служит емкость р-п перехода. Под
действием напряжения, которое подается от генератора накачки,
напряжение р-п перехода изменяется с частотой накачки, пример¬
но равной удвоенной резонансной частоте контура. Нелинейная
емкость р-п перехода (емкость контура) при этом периодически
изменяется и в контур накачивается энергия.
Можно установить три основные фактора, ограничивающие
рост амплитуды колебаний параметрического генератора с нели¬
нейной емкостью р-п перехода:
уменьшение добротности контура с ростом амплитуды Q(R)',
уменьшение глубины модуляции с ростом амплитуды m(R)\
уменьшение резонансной частоты контура с увеличением ам¬
плитуды R (вследствие увеличения средней емкости р-п пере¬
хода).
15.4.	Параметрические усилители
В параметрических усилителях усиление сигнала осуществляет¬
ся за счет преобразования энергии источника накачки в энергию
сигнала. Преобразование происходит путем изменения реактив¬
ного сопротивления. Как известно, реактивные сопротивления не
являются источниками шумов. Этим объясняется меньший уро¬
вень собственных шумов параметрических усилителей по сравне¬
нию с усилителями, выполненными на лампах, транзисторах, тун¬
нельных диодах и т. п. Благодаря низкому уровню собственных
382

шумов параметрические усилители пригодны для усиления сла¬
бых сигналов.
Обычно амплитуды усиливаемых сигналов настолько малы, что
параметрические усилители можно рассматривать как линейные
с реактивным элементом, изменяющимся во времени под действи¬
ем напряжения накачки.
Одночастотный параметрический усилитель. Одночастотный
параметрический усилитель представляет собой резонансный кон¬
тур, добротность которого увеличивается за счет модуляции реак¬
тивного сопротивления, например емкости, с частотой накачки.
Используется емкость р-п перехода, на который подается посто¬
янное запирающее напряжение смещения и переменное напряже¬
ние от генератора накачки. Контур связан со входной цепью, из
которой поступает усиливаемый сигнал, и с выходной цепью, в
которую передается усиленный сигнал.
Эквивалентная схема усилителя (рис. 15.16,а) состоит из кон¬
тура LK, C(t), гк с вносимыми из входной цепи ЭДС е\, сопротив¬
лениями Гх и Х\ и вносимыми из выходной цепи сопротивлениями
*2 И Х2-
Рнс. 15.16	Рис. 15.17
При настройке контура в резонанс суммарное реактивное со¬
противление контура равно нулю и эквивалентная схема усили¬
теля с учетом отрицательного вносимого сопротивления принима¬
ет вид, изображенный на рис. 15.16,6.
Мощность, выделяемая на сопротивлении нагрузки Гг,
р __ I2 Г1 		£21 г2
2	2	2(Л1+лк + л2 —г_)2 •
где Е1 — амплитуда сигнала.
Если нагрузка подключена без усилителя к источнику сигнала,
то выходная мощность
р _	£2i г2
20	2 (лх + г,)2
Коэффициент усиления усилителя по мощности Кр равен от¬
ношению мощности Р2, выделяемой в нагрузке при наличии уси¬
лителя, к мощности Р20, выделяемой в нагрузке без усилителя:
К — Р* —	(г1 + г2)2
Р Р20	(Г1 + г2 + Гк — Г_)2
При |г_|>гк коэффициент усиления Кр>1-
383

Увеличение коэффициента усиления Кр ограничивается опас¬
ностью самовозбуждения усилителя и сужением полосы пропуска-,
ния, так как с уменьшением суммарного сопротивления г увеличи¬
вается эквивалентная добротность системы.
Дифференциальные уравнения установления амплитуды и фа¬
зы. Для вывода дифференциальных уравнений удобно воспользо¬
ваться эквивалентной схемой усилителя, изображенной на
рис. 15.17. Сопротивление /?р учитывает все потери, е — усили¬
ваемый сигнал, который считаем гармоническим:
е = Е cos сос t
Положим, что емкость C(t) изменяется во времени по закону
C(f) =	^	,
1 — т sin (о>н t -f- а0)
где а0 — сдвиг фазы между ЭДС е и напряжением накачки.
Коэффициент модуляции считаем малым: m<C 1.
Частота накачки выбирается примерно равной удвоенному
значению частоты сигнала: сон«2сос, а частота сигнала лежит
вблизи резонансной частоты контура: сос«сор, где сор= 1 /У LC0.
Дифференциальные уравнения для заряда q и тока i имеют вид
	«_ _	• д
dt	/?р	/?р Со
di	1 ,	. д	1
	= — (и—е) = —-	е
dt	L '	LC(t)	L
или
-^- + (йгр [1—msin(coH*-|-a0)]<7 =		y-costoct, (15.22)
at*	Q dt L
Колебания в контуре происходят с частотой сос, поэтому запишем
уравнение (15.22) в виде
-^у- + югс9 =	+	Ofl + mt^p^sin [2coctf + a (*)]—
	^-£coscocf,	(15.23)
где
a (0 = (“и—2сос) t— a0.	(15.24)
Обозначив расстройку
vc« (<й2с—to2p)/to2c,
запишем уравнение (15.23) в безразмерном времени t6 = a>ct:
	^--^ + vcq + mqsin[2t6 + a(t6)] — -\-Ecost6 = iiF.
dt2e	Q dt(,	L о)ас
(15.25)
Сумма малых слагаемых в правой части обозначена в виде функ¬
ции с малым параметром ц.
384

Уравнение (15.25) соответствует системе, близкой к консерва¬
тивной. Применяя метод приближенного анализа таких систем,
получаем
q = R sin (t6 -f cp) = R sin ip,
dq
dtQ
R cos (t6 + cp) = R cos %
где cp — сдвиг фаз между усиливаемым сигналом е и током в
dq
контуре —.
шд
Закон установления амплитуды R(tб) и фазы ср(/б) колебаний
определяются укороченными уравнениями
2 ^ = R{	^ +-|-mc°s[2ф—ot^)] —	cosq?J. (15.26)
2-|i_-v-T-™Sm|2T-a(yi-^Sin<p.	(15.27)
Из уравнения (15.26) находим эффективную добротность кон¬
тура
eir“T_T'"cos|2'r“,,!<,«)|-	(15-28>
Возможны два режима работы усилителя: синхронный и асин¬
хронный.
Синхронный режим. В синхронном режиме частота накачки шн
точно равна удвоенной частоте сигнала:	сон=2сос. При этом
а(^) =—cto (15.24), и уравнение (15.28) примет вид
1
Фэфф
_1_
Q
2
/п cos (2q>-j-a0).
Эффективная добротность, а следовательно, и усиление кон¬
тура постоянны и определяются глубиной модуляции т и сдви¬
гом фазы (2ф + ао). При точной настройке контура v = 0 и точной
фазировке напряжения накачки относительно фазы сигнала а=0
уравнение (15.27) примет вид
2
d ф
dte
1
	т sin
2
2ф
2 Е
М2с LR
sin ф.
На рис. 15.18 приведено графическое решение этого уравнения.
Устанавливается устойчивое значение ф, равное нулю (фуСт = 0).
13—100
Рис. 15.18
385

При этом согласно (15.27) получим оптимальный режим усиле¬
ния, соответствующий наибольшей добротности:
(2эФФ Q 2
Недостатком синхронного режима является необходимость точ¬
ной синхронизации по частоте и фазе генератора накачки отно¬
сительно усиливаемого сигнала.
Асинхронный режим. Асинхронный режим характеризуется
неточным равенством частоты накачки удвоенной частоте сигнала
(он = 2(ос + Дю,
где Дю — абсолютная расстройка частоты накачки юн относитель¬
но удвоенного значения частоты сигнала 2сос. При этом фаза
а Уб)= (®н—2(ос) t6 а0
непрерывно изменяется с угловой частотой Дсо, что приводит к
изменению фазы 2<p—a(t5) с той же угловой частотой Дю.
Согласно (15.28) эффективная добротность контура
—i— = —	~т cos [2ф—а (А)]
Сэфф Q 2
модулируется с угловой частотой Дю.
В интервалы времени, когда
cos [2ф—а (^б)] < О,
имеем уменьшение эффективной добротности контура, т. е. коэф¬
фициент усиления меньше единицы.
Более подробный анализ показывает, что в среднем за период
частоты Дю происходит увеличение эффективной добротности кон¬
тура за счет модуляции емкости. Следовательно, контур работает
как усилитель с коэффициентом усиления большим единицы.
Изменение фазы а(^б) приводит к паразитной амплитудной и
фазовой модуляции усиливаемого сигнала с частотой Дю, что
является недостатком асинхронного режима.
Для нормальной работы усилителя обычно устанавливают ча¬
стоту Дю большей частоты модуляции усиливаемого модулирован¬
ного сигнала и с помощью фильтра отфильтровывают паразитную
частотную и амплитудную модуляции.
Более сложные двухчастотные параметрические усилители не
требуют точной синхронизации по частоте и фазе и поэтому на¬
ходят более широкое применение на практике.
Вопросы для самопроверки
1.	Какие цепи называют параметрическими?
2.	Какие цепи называют линейными параметрическими?
Запишите дифференциальное уравнение, описывающее линей¬
ную параметрическую цепь второго порядка.
3.	Какие цепи называют нелинейными параметрическими?
386

4.	Что называется частотой накачки? Как она выбирается?
5.	В чем состоит явление параметрической генерации?
6.	Объясните явление параметрического усиления.
7.	Какие параметрические системы называются одночастотными
и двухчастотными?
8.	Какие существуют методы исследования параметрических си¬
стем?
9.	Рассмотрите механизм накачки энергии в контур, емкость ко¬
торого изменяется по прямоугольному закону.
10.	Поясните деформацию фазового портрета за счет скачков
емкости.
11.	Составьте дифференциальные уравнения, описывающие ли¬
нейную одночастотную параметрическую систему с модулируе¬
мой емкостью.
12.	Запишите укороченные дифференциальные уравнения установ¬
ления амплитуды и фазы линейной параметрической системы.
13.	Постройте фазовый портрет линейной параметрической систе¬
мы в невозбужденном режиме и поясните его.
14.	Изобразите фазовый портрет линейной параметрической си¬
стемы в режиме возбуждения и поясните его.
15.	Нарисуйте график критической глубины модуляции от относи¬
тельной расстройки m„p(v) и поясните его.
16.	Постройте фазовый портрет одночастотного параметрического
генератора с линейным контуром и ограниченной мощностью
накачки и поясните его.
17.	В чем преимущество параметрических усилителей по сравне¬
нию с усилителями на лампах или транзисторах?
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ. ФАЗОВАЯ АВТОПОДСТРОИКА
ЧАСТОТЫ
Следящей называется система, обеспечивающая автоматиче¬
ское изменение одного из своих параметров в соответствии с из¬
менением параметра входного сигнала.
Подобные системы широко применяются в радиоэлектронике,
автоматике и других областях техники. Примерами следящих си¬
стем являются системы автоматического сопровождения цели в
радиолокации, система фазовой автоподстройки частоты в радио¬
технических устройствах и др.
Структурная схема следящей системы (рис. 16.1) состоит из
трех основных элементов: дискриминатора Д, фильтра Ф и управ¬
ляемой системы УС.
Дискриминатор сравнивает выходной параметр ХВых, выраба¬
тываемый УС, с входным параметром Хв* и создает сигнал ошиб¬
ки Аи (Хвых—Хвх, t), который зависит от разности значений вход¬
ного и выходного параметров. Фильтр Ф сглаживает пульсации,
13*	387

выделяя из Ди полезную управляющую составляющую uy{t). В
управляемой системе под действием uy{t) параметр taux изменя¬
ется так, чтобы уменьшить рассогласование КВЫх—tax.
Таким образом, следящая система обеспечивает изменение па¬
раметра А,вых по закону, близкому к закону изменения параметров
tax, при изменении tax в определенных пределах и с допустимой
скоростью.
j
Рис. 16.1	Рис. 16.2
16.1.	Фазовая автоподстройка частоты. Общие положения
и определения
Рассмотрим более подробно работу следящей системы на при¬
мере системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), которая
широко используется в синтезаторах частоты, в следящих фильт¬
рах и т. и.
Структурная схема простейшей системы ФАПЧ (рис. 16.2)
состоит из дискриминатора — фазового детектора ФД, фильтра
низкой частоты ФНЧ, управляемого по частоте генератора УГ и
управляющего элемента УЭ. Управляемый генератор и управляю¬
щий элемент образуют управляе¬
мую систему УС.
Рассмотрим назначение и ха¬
рактеристики узлов системы
ФАПЧ.
Управляющий элемент УЭ из¬
меняет частоту управляемого ге¬
нератора. Зависимость частоты
генератора юг от уровня управ¬
ляющего напряжения иу называ¬
ют характеристикой управления
Иг(иу) (рис. 16.3). Обычно ис¬
пользуют линейный участок этой
характеристики. Крутизна управления определяется по формуле,
рад/В-с
s = A^Lt	(16.1)
A Uy
Фазовый детектор ФД создает напряжение, определяемое раз¬
ностью фаз ср колебаний управляемого генератора фг и колеба-
388

ний опорного генератора ср0. Зависимость напряжения ид на вы¬
ходе ФД от разности фаз сравниваемых сигналов ср = фг—фо на¬
зывают характеристикой фазового детектора ыд(ф). Удобно поль¬
зоваться нормированной характеристикой
^ (ф) = ыд (ф )/Е,	(16.2)
где Е — максимальное напряжение на выходе ФД, которое зави¬
сит от амплитуд сравниваемых сигналов и схемы ФД.
Отметим, что К(ф) —• периодическая функция, изменяющая
свое значение в пределах ±1.
Характеристика ФД может иметь синусоидальную (рис. 16.4, а),
треугольную (рис. 16.4,6), а также пилообразную или трапецеи¬
дальную формы в зависимости от схемы ФД.
Фильтр низкой частоты ФНЧ служит для выделения полезной
низкочастотной составляющей из сигнала на выходе фазового де¬
тектора и характеризуется комплексным /((jco) или операторным
К{р) коэффициентами передачи. Обычно применяют интегрирую¬
щий фильтр (ИФ) (рис. 16.5, а) с коэффициентом передачи
К (р) = t *р7. . где T = RC	(16.3)
или пропорционально-интегрирующий фильтр (ПИФ) (рис. 16.5,6)
с коэффициентом передачи
где
*(/>)-
1 + р пгТ
1 + РТ
(16.4)
7	= С(Я+•/?,).
Система ФАПЧ работает
следующим образом. Колеба¬
ния управляемого генератора
УГ с частотой (ог и фазой фг, а
также опорные колебания с ча¬
стотой (о0 и фазой ф0 поступа¬
ют на фазовый детектор ФД.
Выходное напряжение ФД ия
m = RJ(R + RJ.
а)	б)
Рис. 16.5
389

определяется разностью фаз напряжений, действующих на его вхо*
дах. Это напряжение, пройдя через фильтр низкой частоты ФНЧ,
поступает на управляющий элемент УЭ, который так изменяет ча¬
стоту (ог, генерируемую управляемым генератором УГ, что частоты
(ог и (о0 стремятся стать равными, а разность фаз ср на выходе фа¬
зового детектора постоянной.
Система ФАПЧ может работать как при постоянной опорной
частоте (такой режим имеет место в синтезаторах частоты):
(о0 = const, так и при изменяющейся опорной частоте (режим сле¬
жения): (0о = (0о (0 =var-
16.2.	Дифференциальное уравнение системы ФАПЧ
На основании структурной схемы (рис. 16.2) составим дифференциальное
уравнение, описывающее работу системы ФАПЧ относительно разности фаз
колебаний управляемого (УГ) и опорного (О Г) генераторов
ф = фг ф0 .
dw
Производная разности фаз	равна разности частот. Запишем ее в опера¬
торной форме
рф = рфг — р фо = шг — ю0.	(16.5)
Напряжение на выходе фазового детектора
ua = EF(iр).
Напряжение на выходе ФНЧ определим в операторной форме через коэффи¬
циент передачи фильтра К(р) и изображение напряжения на входе фильтра:
Uy (Р) = ид (р) К (р) = EF (Ф) К(р).
Напряжение с выхода ФНЧ поступает на управляющий элемент с крутиз¬
ной управления S и изменяет частоту УГ на величину
Дю (р) = SUy (р) = Sl/д (р) К (р) = SEF (Ф)К(р).	(16.6)
Обозначим через юн частоту колебаний, генерируемых управляемым гене¬
ратором в отсутствие управляющего напряжения («у=0). Частота колебаний,
генерируемых УГ в замкнутом кольце ФДПЧ, отличается от начальной частоты
шн на приращение Дю, создаваемое управляющим элементом, т. е.
юг = сон — Дш.	(16.7>
Подставляя в (16.5) значения Дю из (16.6) и юг из (16.7), получим уравнение
ФАПЧ в операторной форме
р ф= Юн— ю0— 5£Г(ф) К(р).	(16.8)
От операторного уравнения (16.8) можно перейти к дифференциальному
уравнению ФАПЧ, подставив значение коэффициента передачи К(р) и заменив
р иа	Вид дифференциального уравнения зависит от типа фильтра и за*
кеша изменения частоты ю0 входного сигнала. Дифференциальное уравнение си¬
стемы ФАПЧ с интегрирующим фильтром при переменной частоте входного сиг¬
нала Юо = юо(0 после подстановки в (16.8) К(р) (16.3) запишется в виде
Т
d2 ф d ф
■ ю0 (t) — SEF(q)—T
d ю0 (t)
dt
390

При постоянной частоте входного сигнала (na(t) =ш0 дифференциальное урав¬
нение упрощается. При интегрирующем фильтре
Т
d2 Ф d ф
^ + -Ф=ДШн-5^(Ф).
(16.9)
При пропорционально-иитегрирующем фильтре (16.4)
d2j<p d ф
dt2 ^ dt
1 +SEmT
dF( ф)
d ф
- Дшн — SEF (ф),
где Дсон=(Шн—Шо)—начальная расстройка частоты управляемого генератора
относительно частоты опорного генератора.
16.3.	Система ФАПЧ без фильтра низкой частоты
Если характеристика фазового детектора синусоидальна:
F(ф) = sin ф,
то дифференциальное уравнение ФАПЧ (16.8) без ФНЧ (при К(р) = 1) прини¬
мает вид
d ф
— - Дшн — SE sin ф.
Анализ этого уравнения удобно проводить графически на плоскости
dw
(Ф'
На рис. 16.6 изображена зависимость
dtp
~dt
(ф) для нескольких значений
на¬
чальной расстройки Дшн. Условию
<icp
——=0 соответствуют точки 1 к 2. ТоЧ'
ка1 устойчива, так как любое отклонение от нее затухает, а точка 2—неус¬
тойчива, поскольку любое отклонение от нее нарастает. Следовательно, суще¬
ствует устойчивый стационарный режим, соответствующий точке 1.
При отсутствии начальной расстройки (Дфн=0) в системе устанавливается
ие только равенство частот опорного и управляемого генераторов (шг=ш0), но
и равенство их фаз (фг = фо). С увеличением расстройки кривая уу (ф) под¬
нимается, устойчивая точка смещается вправо. В системе ФАПЧ продолжает
391

существовать стационарный режим, при котором частоты УГ и ОГ равны, но
фазы отличаются на величину
Ф1 = Фг — ф0 = arcsin
А (Он
SE '
За счет этой разности фаз на выходе ФД возникает напряжение, которое, по¬
ступая на УЭ, компенсирует существующую начальную расстройку Дсон.
При некоторой расстройке Дсонтах точки 1 и 2 сливаются и при дальней¬
шем увеличении Дсон исчезают. Устойчивый режим работы не возникает, так
как в силу ограниченности напряжения на выходе ФД его максимального на¬
пряжения уже недостаточно для компенсации начальной расстройки генера¬
тора.
Максимальная допустимая начальная расстройка
Д(Он шах = ДД = П	(16.10)
определяется максимальным напряжением на выходе ФД и крутизной управ¬
ляющего элемента. При изменении начальной расстройки от —Q до Q сдвиг
фаз между колебаниями УГ и ОГ изменяется в пределах от —л/2 до л/2
(рис. 16.6).
Итак, при Дсон, меньших Q, ,в системе ФАПЧ существует устойчивый ре¬
жим. Режим, характеризующийся равенством частот управляемого и опорног®
генераторов, называют режимом захвата. При начальных расстройках, больших
Q, в системе нет устойчивой точки, фаза на ФД непрерывно меняется, созда¬
вая переменное напряжение на выходе ФД и вызывая соответственно модуля¬
цию частоты генерируемых колебаний. Режим, при котором частота УГ отлич¬
на от частоты ОГ (шг=?^<Во), называют режимом биений. Введем понятие полосы
удержания и полосы захвата.
Полосой удержания Пуд называют область начальных частот УГ, в кото¬
рой поддерживается режим захвата. Ширина полосы удержания определяете»
разностью между максимальной и минимальной частотами УГ, при которых еще
существует устойчивая точка (рис. 16.6):
2 Пуд = (со0 -f- Л Юн шах) — (®о '— ДсОн шах) = 2 ДсОн шах = 2 Q..
Полоса удержания системы тем больше, чем больше амплитуда напряжения на
выходе ФД и крутизна УЭ (ом. (16.10)).
Полосой захвата Q3 называется область начальных частот УГ, в которой
при любых начальных условиях УГ устанавливается режим захвата. В системе
ФАПЧ без ФНЧ полбеа захвата, равна полосе удержания:	П3=ПУД. Зависи¬
мость частоты УГ в замкнутой системе ФАПЧ шг от его начальной частоты
ю„ для системы ФАПЧ без ФНЧ изображена на рис. 16.7,а. В полосе захвата
392

/удержания) частота УГ равна частоте О Г, вне полосы существует режим бие¬
ний, а при больших расстройках частота УГ в системе ФАПЧ равна частоте
свободного УГ.
Рассмотрим явления в системе ФАПЧ в режиме захвата при малых изме¬
нениях частоты (или фазы) управляемого и опорного генераторов.
Для малых отклонений фазы характеристику ФД можно считать линейной,
F ((f) = SHcp и ия = SH £ср,	(16.11)
где Sp, — крутизна характеристики фазового детектора вблизи устойчивой точ¬
ки 1. Коэффициент передачи схемы ФАПЧ как схемы с обратной связью
К(р) =
Kj (р)
1 + Ки (Р)
где Ki (р) — прямой коэффициент передачи от точки приложения возмущения
до выхода. Выходным сигналом считаем частоту (фазу) управляемого генера¬
тора. Ки(Р)—полный коэффициент передачи по кольцу, равный произведению
коэффициентов передачи всех элементов цепи.
Коэффициент передачи управляемого генератора равен 1/р, фазового детек¬
тора SH£ (16.11), управляющего элемента S (16.1). Следовательно, полный ко¬
эффициент передачи
К п (р) —	—	■
Пусть произошло изменение частоты (или фазы) опорного генератора. Пря¬
мой коэффициент передачи — от входа ФД до выхода УГ — в данном случае
равен полному [Кг (р) =/Сп (р) ]. Следовательно, коэффициент передачи для час¬
тоты (фазы) ОГ равен
фг(р) _ юг(р) _ Ки (р)	1	_	1
фо (Р) шо (р)	1 + Ки (р)	1 + p/QSH 1 + р тс
По аналогии с фильтрами величину 1/(QSH) называют постоянной времени
системы ФАП
тс = 1/Q 5д.
На рис. 16.8,а изображена частотная характеристика Ко(ч>). Из рисунка
видно, что система ФАПЧ по отношению к возмущениям в ОГ эквивалентна
фильтру низкой частоты. Низкочастотные (медленные) изменения частоты (фа¬
зы) в ОГ сопровождаются аналогичными изменениями в частоте (фазе) УГ.
Высокочастотные изменения в частоте (фазе) не передаются в УГ.
Пусть произошло изменение частоты (или фазы) управляемого генератора.
Прямой коэффициент передачи от выхода У Г до него же равен 1. Следо¬
вательно, коэффициент передачи системы ФАПЧ для возмущений в УГ
„ , . _ фг(р) юг(р)	1	Р *с
г[р) Фг.Р(р)~ шг.р(р) l + ?sJL 1+Рхс ’
Р

где фг.р(р) фаза в разомкнутой петле; фг (р)—фаза в замкнутой петле. Час¬
тотная характеристика Аг(ш) изображена на рис. 16.8Д
Система ФАПЧ по отношению к возмущениям частоты и фазы УГ эквива¬
лентна фильтру высокой частоты с граничной частотой, равной 1/тс. Медленные
изменения уменьшаются, в то время как быстрые остаются неизменными. При
стабильиой опорной частоте спектр УГ вблизи частоты сигнала «очищается».
16.4.	Анализ системы ФАПЧ с фильтром. Фазовый портрет
Проведем анализ системы ФАПЧ с интегрирующим фильтром (16.3) при си¬
нусоидальной характеристике ФД. Упростим дифференциальное уравнение
(16.9), введя следующие обозначения:
		—половина полосы удержания,
т=^1/п/Г	—■ безразмерное время,
у=ДШн/0_ —нормированная начальная расстройка,
а=1/Уга — коэффициент фильтра.
Дифференциальное уравнение ФАПЧ с ИФ принимает вид
d2 ф d ф
—+а-+зтФ = у.
(16.12)
его в виде системы двух уравнений:
d ф
т- = Ф,
d т
(16.13)
d ф
= у — sin ф — а ф.
(16.14)
„ Так как А(ф)=эшф есть периодическая функция с периодом 2л, то фазо¬
вый портрет системы (16.12) фактически существует на фазовом цилиндре, а
dw
анализируется развертка фазового цилиндра на плоскости ф, ——	в пре-
dt
делах л^ф^п. Точки ф^—л .и ф = л на развертке фазового цилиндра со¬
ответствуют одной и той же точке на фазовом цилиндре.
На фазовой плоскости ф,. ф (рис. 16.9) строим изоклины вертикальных и
горизонтальных касательных. Изоклина вертикальных касательных описывае-
^Ф
мая уравнением -	=0, совпадает с осью абсцисс,
ат
Изоклина горизонтальных касательных, удовлетворяющая уравнениям
d ф _
d т
= 0, ф =
Y — sin ф
изображена на рис. 16.9 пунктирной линией abcda. Стрелками изображено на¬
правление движения изображающей точки на изоклинах вертикальных и гори¬
зонтальных касательных, определенное на 'основании уравнений (16.13) и (16.14).
Из рассмотрения фазовых портретов (рис. 16.9) следует, что при малой
начальной расстройке (у<1) (рис. 16.9,а) имеются две особые точки 1 и 2.
Определяя характер особых точек по методике, изложенной в гл. 11, полу¬
чаем, что особая точка 1 есть устойчивый фокус или устойчивый узел, а осо¬
бая точка 2-—«седло». При наличии устойчивой особой точки 1 может сущест¬
вовать стационарный режим с постоянной разностью фаз фь так что генери¬
руемая частота шг равна эталонной частоте tor=(o0. Это означает, что в системе
наблюдается режим захвата.
При начальной расстройке, большей Q, у 1, особые точки отсутствуют
(рис. 16.9,6) и существует устойчивый предельный цикл. Он изображен на рис.
16.9,6 сплошной кривой efqe.
Таким образом, полоса удержания, т. е. область начальных расстроек, при
которых в системе поддерживается режим синхронизации, определяется из ус¬
ловия
Y = 1, т.е.2 Qy = 2 Q.
394

Для определения полосы захвата необходимо найти такую максимальную
начальную расстройку, при которой изображающая точка из любой точки фа¬
зового цилиндра приходит в устойчивую особую точку 1. Иными ^словами, сле¬
дует найти условие, при котором особая точка 1 является точкой притяжения
для всех точек фазового цилиндра (ф, ф). Точка 2 — «седло» и поэтому не мо¬
жет быть точкой притяжения. Поэтому особая точка 1 будет притягивать все
точки фазового цилиндра (ф, ф), если отсутствует устойчивый предельный цикл.
Таким образом, определение полосы захвата сводится к задаче определения
начальной расстройки у> пРи которой исчезает устойчивый предельный цикл.
Задача определения условий исчезновения устойчивого предельного цикла
даже для рассматриваемого простейшего случая весьма сложна. Для решения
этой задачи разработано несколько приближенных методов.
Рассмотрим два метода определения условий исчезновения устойчивого
предельного цикла, т. е. определения полосы захвата системы ФАПЧ. При
этом будем определять нормированную полосу захвата
Уз ~ ^з/^у •
16.5.	Определение полосы захвата системы ФАПЧ с ФНЧ
Определение полосы захвата у3 с помощью ЭВМ. Для нахождения полосы
захвата необходимо найти максимальное значение начальной расстройки у.
яри которой на фазовом цилиндре (ф, ф) существует одна устойчивая особая
395

точка и отсутствуют устойчивые предельные циклы. Тогда изображающая точка
из любой области фазового цилиндра (ф, ф) будет притягиваться к единствен¬
ной устойчивой особой точке 1 (рнс. 16.9). Следовательно, при любых начальных
условиях будет существовать режим захвата.
Простейшее решение — вычислить на ЭВМ траектории прн всех начальных
условиях ф, ф и убедиться, что онн приближаются к устойчивой особой точке
/. Однако такое решение неосуществимо, так как начальных точек бесконечно
много. Эта трудность может быть преодолена, если изучить зависимость тополо¬
гии фазового портрета (ф, ф) от параметра у. Для определения бифуркацион¬
ного значения у=у3, при котором исчезает устойчивый предельный цикл, доста¬
точно рассчитать ограниченное количество фазовых траекторий. На рнс. 16.10
изображены фазовые портреты (ф, ф) при различных значениях относительной
расстройки у- Область притяжения особой точки заштрихована. Топология оп¬
ределяется расположением особых точек, предельных циклов и ходом сепара¬
трис.
На рнс. 16.10,а случай у<у3; предельного цикла нет. Все точки фазовой
плоскости находятся в области притяжения единственной устойчивой особой
точки /.
На рис. 16.10,6 случай у=у3. Бифуркационное значение у=у3, при котором
верхняя сепаратриса идет нз «седла» в «седло». Область притяжения устойчи¬
вой точки 1 ниже верхней сепаратрисы. Прн начальных условиях, соответству¬
ющих изображающим точкам, лежащим выше сепаратрисы, захват не наступает.
На рис. 16.10,s случай у >уа. Существует устойчивый предельный цикл, на
396

который «навивается» одна нз выходящих сепаратрис «седла». Область притя¬
жения устойчивой особой точки сильно ограничена.
На рис. 16.10,г случай у> 1. Расстройка больше граничного значения поло¬
сы удержания. Особые точки 1 и 2 слились н исчезли. Существует только один
устойчивый предельный цикл. Режим синхронизации существовать не может.
На основании рассмотренной зависимости топологии фазового портрета от
параметра у можно составить сравнительно простой алгоритм определении по¬
лосы захвата у3. Исходные предпосылки для составления алгоритма следующие]
1)	полоса захвата у3 всегда равна или меньше полосы удержания:
уз ^ i;
2)	если начальная расстройка у не превышает полосу захвата (у<уз) асим¬
птота седла идет к устойчивой точке;
3)	если начальная расстройка больше полосы захвата (у>уз), то одна из
асимптот «седла» идет к устойчивому предельному циклу;
4)	если начальная расстройка равна полосе захвата, то асимптота идет из
одного «седла» в другое.
Итак, нужно найтн расстройку, прн которой происходит смыкание асимп-
Описание алгоритма
4. Для заданных параметров схемы а, у вычисляют координаты «седел» и
начальной точки. Координаты «седел»:
ф2 = 0, ф2 = — я — arc sin у,
ф'2 = 0, ф'2 = ф2 + 2 я.
Начальную точку выбираем на выходящей асимптоте на расстоянии Ri от «сед¬
ла» (рнс. 16.10,5). Ее координаты
фн = sin а,
фн = фг Ч- R-icos а >
где tga=k определяется наклоном выходящей асимптоты.
Для определения k составим линеаризованные уравнения для приращения
Дф=ф—фг:
<1Дф .
-JZ = ДФ •
а т
d Дф
-Дф cos ф2— а Д ф .
d т
Исключив время, переходим к уравнению интегральной кривой
d Дф
Дф
— —— cos ф2 — а.
Д ф
(16.15)
d Дф
В линеаризованной системе асимптота — прямая лнння:
Д ф = k Дф.
Подставив Дф/Дф=й в (16.15), получим квадратное уравнение для опреде¬
ления k:
kz + a k cos ф2 = 0.
Из фазового портрета на рнс. 16.10,5 видно, что выходящая асимптота имеет
положительный наклон. Поэтому берем положительный корень
397

2.	По стандартной программе рассчитываем траекторию в интервале значе¬
ний ф от ф2 до фг+2я—е с выходом во внешнюю программу на каждом шаге
интегрирования.
3.	В процессе вычислений траектории идет проверка. Если ф становится
отрицательным (ф<0) или траектория входит в е-окрестность устойчивой точки
(ЛО<е), то расстройка увеличивается. Если ф положительно при ф=ф2+2я+е,
то расстройка уменьшается. Значение у3 в интервале начальных расстроек от
О до 1 определяется методом деления заданного интервала пополам.
4.	Вычисления заканчиваются в трех случаях;
а)	интервал значений расстроек Ду=уг—Yi становится меньше заданного
е у (У2 — расстройка, при которой наблюдается цикл; Yi — расстройка, при ко¬
торой наступает захвату;
б)	интервал Ау в процессе вычислений перестает убывать;
в)	траектория попадает в окрестность «седла>:
1/ф2 + (ф — ф2 —• 2 я)2 =	< #2.
Рис. 16.11
398

На рис. 16.11 дана схема расчета на ЭВМ зависимости полосы захвата у»
от параметра а. В табл. 16.1 приведена полученная зависимость
Таблица 16.1
1/а
1
2
4
6
8
10
20
500
Уз маш
1
0,625
0,318
0,212
0,195
0,127
0,063
0,025
Уз = 4а/я
1,273
0,637
0,319
0,212
0,195
0,127
0,063
0,025
Определение полосы захвата у;, аналитическим методом нелинейного преоб¬
разования переменных. Обычно полоса пропускания ФНЧ (Q$=l/Г) для луч¬
шей фильтрации выбирается значительно меньше полосы удержания системы
ФАПЧ (£2ф<£2). При этом коэффициент а меньше единицы:
_1
Ута
Полоса захвата также меньше единицы (у3<1) и уравнение системы
ФАПЧ (16.22) можно рассматривать как уравнение системы, близкой к кон¬
сервативной:
d2 ф
— + sin9 = |i<D (ф),
а т2
где
.	d ф
РФ (ф) = V — а
•— малая сила, действующая на
консервативную систему.
Фазовый портрет соответству¬
ющей консервативной системы,
описываемой уравнением
d2 ф
—7+sin9 = 0,	(16.16)
dt2
изображен на рис. 16.12, а. Он
представляет собой развертку
цилиндра, состоящую из полос,
повторяющихся ПО ф от —я
до я. Из фазового портрета на
рис. 16.12, а видно, что колеба¬
ния в консервативной системе
имеют сложную негармоническую
форму и что сепаратриса ABCD
разделяет все фазовые траек¬
тории на два класса: I класс —
замкнутые траектории, охваты¬
вающие начало координат (для
них ф не выходит за преде¬
лы ±я); II класс — фазовые тра¬
ектории, охватывающие цилиндр
(здесь ф изменяется в больших,
пределах, но фазовые траектории
повторяются с периодом 2я).
Ограничимся рассмотрением обла¬
Рис. 16.12
399

сти —я<ф<я, где при синусоидальной характеристике фазового детектора
выполняется условие
sign F (ф) = sign ф.	(16.17)
Для анализа систем, близких к консервативным и отвечающих условию
(§^/м) М0Ж6Т ®ыть применен метод нелинейного преобразования переменных
Перейдем к новым переменным (у, Ti) с помощью формул (11.63) и (11.66):
_ Г 2 %	ф Ф
Г=ф1/ ~Т \ sin <Pd<P = 2 sin	(16.18)
V Ч> о	2 1ф1
0(У) =
dx
1
= 1/1/1-^/4.
d Xi cos ф/2
Уравнение (16.16) в новых переменных (у, Т[) принимает вид
d2 у
4+*=0-
(16.19)
Его решение запишем следующим образом:
у = R sin ф,
(16.20)
dy
	 = R cos ф.
d хг
Фазовый портрет новой системы (16.19) представляет собой семейство кон¬
центрических окружностей ^радиусом' R, по которым изображающая точка дви-
жется с постоянной угловой скоростью	= 1 (рис. 16.12,6), Между фазо-
dx
вымн портретами исходной (рис. 16.12,а) и новой (рис 16.12,6) систем имеется
взаимно однозначное соответствие. Изменению ф в исходных переменных
(ф, х) в пределах ±я соответствует согласно выражению (16.18) изменение у
в новых переменных (у, ti) в пределах
У=±2.	(16.21)
Сепаратриса A'B'C'D’ разделяет все фазовые траектории на два класса:
1 класс—‘Окружности с центром в начале координат и радиусом R<2 (им
соответствуют гармонические колебания фазы); II класс — дуги окружностей
с центром в начале координат и радиусом R>2 (нм соответствуют циклические
колебания фазы). Угол фтах, соответствующий граничным значениям дуг, сог¬
ласно (16.20) н (16.21) равен:
.	. У	.	2
■tmax = max = arc sin — = arc sin — .
Дифференциальные уравнения (16.13) и (16.14) системы ФАПЧ в новых
переменных у, ti с учетом (16.18) примут вид
dxz
+ У = V—«
dy \
d Xi )
G(y) = (у —а R cos ф)
V1-
R*_
4
sin2 гр = F(R).
Для определения полосы захвата у3 необходимо выяснить, возникают ли в
системе устойчивые предельные циклы. Для этого найдем приращение ампли¬
туды AR за интервал Дф
Дф
AR = j (у — a R cos ф)
0
cos ф d ф
(16.22)
400

Поедельный цикл соответствует такой амплитуде колебаний #0, при кото¬
рой приращение амплитуды
Д#(#о) = 0.
Цикл, для которого приращение амплитуды
dA R
«еустойчнв. Цикл, для которого приращение амплитуды
dAR
dR
<0,
# = #о
устойчив. Вопрос о существовании и характере предельных циклов сводится к
нахождению зависимости Д#(#).
Воспользовавшись выражением (16.22), вычисляем зависимость Д#(#). Из
■фазового портрета на рис. 16.12,6 видно, что при #<2 фазовыми траекториями
являются окружности н интегрирование следует вести в пределах от 0 до 2 я.
Прн R >2 фазовыми траекториями являются дуги окружностей и интегрирова¬
ние следует вести по дуге окружности от —фта* до фша*. Интегрируя, полу¬
чаем:	1
A # =
16 а
1Г
Д # = 4
>-RiM -i
яу
т
■2 а Е
прн #> 2,
прн#<2,	(16.23)
(16.24)
где #(#/2), Е(R/2), Е(2/R)—полные эллиптические интегралы первого и вто¬
рого рода соответственно.
В соответствии с формулами (16.23) и (16.24) на рис. 16.13 изображена за¬
висимость AR(R) прн а=0,1 и трех значениях начальных расстроек (0,05; 0,127;
0,3). Предельным циклом соответствуют точки пересечения кривой AR (#) с
а®свнсс- Устойчивому предельному циклу отвечают точки, где кривая
ДR(R) пересекает ось абсцисс с отрицательным наклоном (точки 1, 2 на
Неустойчивому предельному циклу отвечает точка, где кривая
Да (к) пересекает ось абсцисс с поло¬
жительным наклоном (точка 3 на
рнс. 16.13).
Поведение кривой ДR(R) зависит
от величины расстройки у. Расстрой¬
ка, при которой в системе возникает
только одни устойчивый цикл с нуле¬
вой амплитудой (#о=0), соответст¬
вует полосе захвата. Прн расстройке
■у=0,05 н любых начальных условиях
наступает режим захвата (точка /).
При расстройке у=0,3 в системе в за¬
висимости от начальных условий су¬
ществует либо режим захвата (точка
U #о = 0), либо режим биений (точ¬
ка 2, #о>0). Прн расстройке у=0,127
происходит слияние н исчезают точ¬
ки 2 и 3; остается устойчивая точка I. Эта расстройка соответствует границе
полосы захвата у = у3.
Как видно нз рнс. 16.13, слияние точек 2 и 3 происходит прн амплитуде
1#=2. Следовательно, полосу захвата системы следует определять нз двух ус¬
ловий:
1)#кр = 2, 2) Д # (#кр) = 0.
401
(16.25)

Решив согласно условиям (16.46) уравнение (16.45) относительно у, полу¬
чаем формулу для расчета полосы захвата:
у3 = 4а/я.	(16.26)
Полоса захвата для ряда значений а, рассчитанная по формуле (16.26),
приведена в табл. 16.1. Из сравнения результатов расчета видно, что прн ма¬
лых значениях а, что соответствует уз<?С1, точность приближенного аналитиче¬
ского метода вполне удовлетворительна.
Вопросы для самопроверки
1.	Какие системы называют следящими?
2.	Нарисуйте структурную схему системы ФАПЧ и поясните ее
работу.
3.	Какие режимы возможны в системе? Поясните каждый ре¬
жим.
4.	Выведите дифференциальное уравнение системы ФАПЧ с ин¬
тегрирующим и пропорционально-интегрирующим фильтрами.
5.	Постройте фазовый портрет системы ФАПЧ с интегрирующим
фильтром при у>1 и у<1.
6.	Определите характер особых точек 1 и 2 на фазовом портрете
системы ФАПЧ (рис. 16.9).
7.	Как по фазовому портрету (рис. 16.9) определить полосу удер¬
жания?
8.	Поясните метод определения полосы захвата у3 с помощью
ЭВМ.
9.	Поясните определение полосы захвата у3 методом нелиней¬
ного преобразования переменных.
10.	Выведите уравнение для определения полосы захвата у3 ме¬
тодом нелинейного преобразования переменных.
11.	Выведите выражение Л^(^) для определения полосы захвата
системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром
(ПИФ) методом нелинейного преобразования переменных.

Часть четвертая
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОТЕХНИКИ
Излагаются основы теории случайных процессов
в приложении к задачам линейной и нелинейной
радиотехники. Рассмотрены методы расчета важ¬
нейших характеристик таких процессов после их
прохождения через типовые радиотехнические це¬
пи. Дается понятие об оптимальном выделении
сигнала на фоне шумов с помощью согласованных
линейных фильтров.
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ процессы в радиотехнике
17.1.	Исходные понятия. Случайные события, величины,
процессы
Математический аппарат анализа случайных сигналов строит¬
ся на базе теории вероятностей и ее разделов — теории случай¬
ных процессов, теории статистических решений и т. п. Основы
теории вероятностей знакомы читателям из курса математики,
поэтому здесь лишь напоминаются исходные понятия, необходи¬
мые для последующего изложения.
Ведущим понятием в теории вероятностей является случайное
событие. Современное аксиоматическое определение его вероят¬
ности как функции множеств дано А. Н. Колмогоровым и исполь¬
зуется в математике. В физических науках чаще применяют ме¬
нее строгое, но более наглядное определение Лапласа.
Если N событий равновозможны, но только п из них обладают
признаком А, то вероятность события, имеющего этот признак,
P(A) = n/N.	(17.1)
По смыслу определения вероятность всегда удовлетворяет усло¬
вию О^гР^г 1.
Соотношения между вероятностями различных событий, т. е.
разных исходов опыта, называют законом распределения вероят¬
ностей.	.
Группа событий представляет множество возможных исходов
опыта. Несколько событий образуют полную группу, если в ре¬
зультате испытания обязательно будет происходить одно из них.
Несовместимые события характерны тем, что появление в опы¬
те одного из них исключает возможность осуществления другого.
Часто возникает необходимость выразить вероятность некото¬
рого сложного события через вероятности составляющих его со¬
бытий. Для этого пользуются понятиями суммы и произведения
событий.
403

Суммой двух событий А и В называют событие С, состоящее
в наступлении или А, или В, или А и В вместе. Сумму событий
условно обозначают С=А + В.
Произведением двух событий А и В называют событие С, со¬
стоящее в осуществлении А и В вместе. Произведение событий
обозначают С=ЛВ.
Оба понятия допускают простое геометрическое толкование.
Пусть событию А соответствует попадание наугад брошенной
точки в область А на рис. 17.1, а событию В — попадание в об¬
ласть В. Событию А + В соответствует вся заштрихованная пло¬
щадь этого рисунка, а событию АВ — только область с двойной
штриховкой. Если А я В несовместимы, то области Л и В не пере¬
секаются и произведение таких событий равно нулю. При этом
совместное осуществление А я В невозможно и сумма Л+В озна¬
чает наступление или Л или В.
А+в
а)
Рис. 17.1
Вероятность суммы несовместимых событий определяется тео¬
ремой сложения и находится по формуле
Р(А-\-В) — Р(А)А~Р (В).
Вероятность суммы несовместимых событий А\, А2 ... Ап, имею¬
щих вероятности Р{А\), Р(А2) ... Р(Ап) равна
Р (^1~Ь А2А~ • • • + Ап) — Р {АдА-Р {AJ) + ... -f Р (Лп).	(17.2)
Следствием такого обобщения является «правило нормировки»:
если А\, А%Ап несовместимы и составляют полную группу, то
сумма вероятностей этих событий равна единице:
2Р(Лг)=Е	(17.3)
При нахождении вероятностей сложных событий, заключаю¬
щихся в осуществлении ряда простых, приходится учитывать воз¬
можную статистическую зависимость простых событий друг от
друга.
Событие Л называется статистически связанным с событиями
В\, В2, ..., Вп, если вероятность события Л зависит от того, осу¬
ществились события В\ ... Вп или нет. Иначе говоря, статистиче¬
ская связь между Л и В\, В2, ..., Вп имеет место, если события
В\ ... Вп изменяют относительную частоту события А. Вероятность.
404

события А при условии, что произошли события В\, В2, ..., Впг.
называют условной и обозначают как Р(А/Ви В2 ... Вп) в отличие
от безусловной вероятности Р(А), вычисляемой без учета стати¬
стической связи этих событий.
Если Р(А/Ви В2, ..., Вп)=Р(А), т. е. условная вероятность
равна безусловной, то событие А статистически независимо от
Вх ... Вп.
Вероятность произведения двух событий можно определить,,
пользуясь «теоремой умножения»: вероятность произведения со¬
бытий А и В равна произведению вероятности первого из них на
условную вероятность второго при условии, что осуществилось-
первое
Р (АВ) = Р(А)Р (В/А) = Р (В) Р (А/В).	(17.4)
Если Л и В независимы, то это означает, что Р(А/В)=Р(А)
и Р(В/А) = Р(В), откуда следует, что
Р{АВ) = Р(А)Р(В).	(17.5)
Приведенная формула обобщается на случай произведения?
нескольких независимых событий, имеющих вероятности Р(Ах),
Р(А2), ..., Р(Ап):
P(AltA„..., Ап) = Р (Л^ Р (Л2) ...Р (Лп).	(17.6)
Сопоставив различным результатам случайного опыта количе¬
ственные характеристики, придем к понятию случайной величины
В зависимости от структуры множества возможных значений слу¬
чайные величины могут быть дискретными или непрерывными.
Описание случайной величины состоит в том, чтобы указать,
все возможные ее значения и вероятности их наступления.
В радиотехнике понятие случайной величины используется при
анализе реальных процессов, протекающих в различных устрой¬
ствах под действием сигналов и помех. Эти процессы являются-
случайными функциями времени, поскольку значения таких функ¬
ций в произвольно взятые моменты могут быть охарактеризованы:
только как случайные величины.
Рассмотрим, например, ток через телеграфный ключ, с по¬
мощью которого формируется последовательность посылок или
пауз. Если содержание телеграммы заранее неизвестно, то мгно¬
венное значение тока в любой из моментов (рис. 17.2) можно
рассматривать как случайное и для его описания необходимы ве¬
роятностные характеристики. Здесь мы впервые столкнулись со
случайным процессом, представляющим поток случайных величин,
которые описывают поведение этого процесса во времени.
В некоторых задачах приходится иметь дело со случайными
функциями, где аргументом является не время, а какой-либо дру¬
гой параметр. Например, при расчете отражений радиоволн отт
шероховатой (земной или водной) поверхности для описания ее-
свойств пользуются случайной функцией координат выбранной
точки (х, у), чтобы задать возможные отклонения высоты поверх-
405

ности в этой точке от среднего уровня. Чаще, однако, встречаются
задачи со случайными функциями времени, поэтому в дальнейшем
будет использоваться эквивалентный для таких задач термин —
случайный процесс.
i(t)
о Ь h... tt .
Рис. 17.2
17.2.	Виды случайных процессов в радиотехнике
Все реальные физические процессы протекают в непрерывном
времени и наиболее точно описываются непрерывными функциями.
Однако при практическом анализе случайных колебаний и сиг¬
налов часто используют математические модели, опирающиеся на
дискретное представление как аргументов, так и функций. Приме¬
нение той или иной модели определяется необходимой степенью
детализации различных сторон явления. Наиболее характерные
примеры представления случайных процессов дает следующая
классификация.
1.	Вполне непрерывный случайный процесс представляет не¬
прерывную функцию непрерывного аргумента. Физическим про¬
образом может служить флуктуационный шум, существующий на
выходе всякого радиоприемного устройства даже в отсутствие
принимаемого полезного сигнала. Типичная форма такого флуктуа-
ционного напряжения показана на рис. 17.3. Шкала мгновенных
значений непрерывного 'случайного процесса является сплошной,
так как выходное напряжение в различные моменты может при¬
нимать любые значения.
2.	Случайный процесс, непрерывный по времени и квантован¬
ный по уровню отличается от вполне непрерывного тем, что его
мгновенное значения не образуют непрерывного ряда. Пример по¬
добного с^Гучайного процесса приводился выше (см. рис. 17.2).
Подчеркнем, что в данном случае аргумент случайной функции
продолжает оставаться непрерывным.
Два следующих вида случайных процессов относятся к катего¬
рии случайных последовательностей.
3.	Случайный процесс, дискретный по времени и непрерывный
по уровню, т. е. дискретный поток непрерывных случайных вели¬
чин. Прообразом случайного процесса такого вида является по¬
следовательность видеоимпульсов большой скважности («выбо¬
рок»), амплитуда которых изменяется от импульса к импульсу по
■случайному модулирующему закону (рис. 17.4), причем модули¬
рующая кривая (пунктирная линия) представляет непрерывный
случайный процесс.
406

4.	Случайный процесс, дискретный по времени и квантованный
по уровню, т. е. дискретный поток дискретных случайных величин.
Отличие от процесса предыдущего вида состоит в том, что после¬
довательность образуется выборками из дискретного случайного
процесса (рис. 17.5).
Рис. 17.4
Случайные сигналы 3-го вида могут получаться, например, в>
передающих устройствах связных радиолиний с АИМ при моду¬
ляции от микрофона, а 4-го вида — в системах телеизмерения, где-
передаче подлежат округленные «квантованные» показания изме¬
рительных приборов.
Кроме приведенных видов могут существовать и рассматри¬
ваться случайные процессы смешанного типа.
Графики на рис. 17.2—17.5 изображают отдельные вполне де¬
терминированные реализации случайных процессов. Подобно тому,
как отдельное конкретное число может представлять собой лишь,
одно из целой совокупности возможных значений рассматривае¬
мой случайной величины, так и отдельная реализация является
представителем целого ансамбля возможных реализаций данного
случайного процесса. Ансамбль составляет полную группу собы¬
тий, поэтому очевидно для исчерпывающего описания статистиче¬
ских свойств процесса необходимо определить вероятность каждой
реализации. Однако практически это можно делать только в слу¬
чаях, когда реализации, входящие в ансамбль, отличаются друг
от друга параметрами, постоянными на протяжении каждой из
них.
Подобный ансамбль соответствует, например, случайному про¬
цессу вида
X (t) = U cos (со0 £ + ф),	(17.7)
где U, соо — одинаковые для всех реализаций постоянные вели¬
чины; ф — фаза, случайная по величине, но постоянная на протя¬
жении любой отдельной реализации.
Функция (17.7) удовлетворительно описывает напряжение на*
выходе генератора гармонических колебаний с неизвестной зара¬
нее начальной фазой'. Ансамбль образуют реализации, изобра*~
1 Мы говорим «удовлетворительно описывает» потому, что, строго говоря,,
ни один из параметров гармонического колебания в реальном генераторе ие?
может оставаться абсолютно неизменным.
407

женные на рис. 17.6. Случайные процессы такого характера иногда
называют квазидеъерминироаанными. Для полного описания ве¬
роятностных характеристик процесса (17.7) достаточно задать
закон распределения вероятностей фазы ф.
фУ
/
,
\АЛ -
0
\J \J \ t
Л Л ,
о^/ чу \ f
Xjltj,
J
k/\n
Рис. 17.6
X,(t) I
e,(t,F t, v
iz(th
И»
x2ff,)r
h
t
Рис. 17.7
Ансамбль реализаций случайного процесса более общего вида
изображен на рис. 17.7. Физическим эквивалентом ансамбля мож¬
но считать, например, набор шумящих источников одинаковой
физической природы, находящихся в идентичных условиях, — од¬
нотипных электронных ламп или транзисторов при одинаковой
окружающей температуре и равных питающих напряжениях. Если
усилить и записать одинаковыми регистрирующими приборами
флуктуации, созданные каждым источником, то получится набор
кривых, подобный рис. 17.7. В отличие от рис. 17.6 здесь нельзя
точно предсказать поведение отдельной реализации по одному или
нескольким мгновенным значениям, или по найденной начальной
фазе. Чтобы описать статистические свойства таких колебаний,
необходимо уметь задавать законы распределения вероятностей
мгновенных значений, а также учитывать вероятности смены одних
значений другими.
17.3.	Законы распределения случайных процессов
(одномерные распределения)
Поскольку определение случайного процесса основано на по¬
нятии случайной величины, необходимо установить достаточно
универсальный способ представления законов распределения ве¬
роятностей случайных чисел (величин). Вполне очевидна возмож¬
ность табличного описания этих законов в тех ситуациях, когда
случайная величина дискретна. Вероятностные характеристики
непрерывных случайных чисел нельзя табулировать, а графическое
или аналитическое их описание должно отражать возможность
408

появления в случайном опыте любого из несчетного множества'
значений.
Зафиксируем на всех реализациях (рис. 17.7) момент времени?
t\ и измерим получившиеся в этот момент мгновенные значения.
В результате получим набор отличающихся друг от друга чисел
XlVl), х2 (^i)> • • • >	(^i)-
Выделив из общего количества N те п чисел, которые заклю¬
чены в достаточно малом интервале (х, х+Ах), можем установить*
что относительная доля n/N значений, попавших в этот интервал*
с ростом N стремится к определенной величине, пропорциональной-
Ах. Коэффициент пропорциональности зависит от х и может из¬
меняться также при сдвиге точки отсчета t\ вдоль оси времени..
Таким образом, можно написать
lim — =W1(x, tj) Ах.	(17.8)
w-oo N
Коэффициент Wi(x, t\) называют одномерной плотностью ве¬
роятности случайного процесса X(t). Индекс при t\ можно опу¬
стить, если Wi задается для любого t.
Приведенное определение, по сути дела, повторяет определение
плотности вероятности случайной величины. Рассмотрим, напри¬
мер, простой случайный опыт. Пусть радиолокатор с дальностью-
действия от 0 до L км при включении обнаруживает точечную
цель, расстояние до которой обозначим Xi (рис. 17.8). Определим
вероятность того, что при обнаружении очередной цели расстоя¬
ние до нее окажется в интервале
(х, х + Дх), если предположить ,	&			1
достаточную малость этого интер- 0	х х+лх	L
вала. Вероятность интересующего	рис 17 g
нас события Р(х^хг<х + Ах) ■
пропорциональна Ах и при стягивании интервала в точку, очевидно*
стремится к нулю. Следовательно, можем записать
P(x^xi<.x + Ax)ttW1(x)Ax,	(17.9)
где Wi(x) — одномерная плотность вероятности случайной вели¬
чины X*. Вид функции W\{x) зависит от условий опыта (напри¬
мер, от того, откуда попадают наблюдаемые цели в зону обзора-
радиолокатора). Если дальность до цели может равновероятно-
оказаться любой из интервала от 0 до L, то W\ (х) = const. Для
численного определения этой константы следует воспользоваться
правилом нормировки, по которому сумма вероятностей попада¬
ния точки Xi на бесконечно малые отрезки, в целом образующие
L, должна быть равна единице (см. § 17.1). Правило нормировки
* Нередко для обозначения случайной величины и ее возможных значений
используют различные буквы. Мы в необходимых случаях будем пользоваться
для этой цели разными индексами или строчной и прописной записью одной и-
той же буквы.
409

непрерывной случайной величины удобнее записывать в интегралы
ной форме
$W1(x)dx= 1.	(17.10)
—оо
Бесконечные пределы интегрирования фактически предусматрива¬
ют интегрирование по всему интервалу возможных значений слу¬
чайной величины. В нашем примере это дает
[W1(x)dx = LW1 (х)= 1,
“о
откуда получаем выражение для равномерного закона распреде¬
ления случайной величины в интервале L:
W1(x)^=\/L.	(17.11)
График полученной функции построен на рис. 17.9, а. Легко ви¬
деть, что площадь под кривой Wi(x) равна единице.
Для одномерной плотности вероятности случайного процесса
правило нормировки записывается аналогично (17.10):
]W{(X, f)dx= 1.	(17.12)
—ОО
Как и сама вероятность, плотность вероятности неотрицатель¬
на. Плотность вероятности Wx(x) иначе называют дифференци¬
альным законом распределения в отличие от интегральной функ¬
ции распределения F(x), которая представляет собой вероятность
Р события, заключающегося в том, что случайная величина ока¬
жется внутри интервала (—оо, х). По определению интегральная
функция распределения выражает вероятность суммы событий, со¬
стоящих в попадании случайной величины X во все бесконечно
малые интервалы слева от точки * и в соответствии с (17.12) мо¬
жет быть записана в виде интеграла
F (х, t) = P{X(t)<x} = Iw^fidx.	(17.13)
— ОО
Параметр t в этой записи указывает на то, что данная случайная
величина является выборкой случайного процесса, взятой в мо-
410

мент t. В случаях, когда закон распределения от времени не за¬
висит, аргумент t опускают.
Согласно (17.13) интегральная функция распределения соот¬
ветствует площади, заключенной под кривой плотности вероятно¬
сти слева от выбранной точки х. В приведенном примере с рав¬
номерным дифференциальным законом распределения функция
F{x), численно выражающая эту площадь, линейно зависит от ар¬
гумента на интервале длиной L, вне его слева равна нулю, а спра¬
ва— единице (рис. 17.9,6).
Два последних свойства присущи любым интегральным функ¬
циям распределения и сводятся к предельным соотношениям, пря¬
мо вытекающим из (17.13):
lim F(х) = 0,	(17.14)
*-»—«в
lim F {х) = 1.	(17.15)
#-►4-00
Интегральные функции распределения удобны при графиче¬
ском представлении законов распределения вероятностей дискрет¬
ных случайных величин и процессов. Так, например, распределе¬
ние результатов случайного бросания иг¬
ральной кости с числом выпадающих оч¬
ков от одного до шести можно изобразить
ступенчатой интегральной функцией рас¬
пределения (рис. 17.10).
Обратный переход от интегрального
закона распределения к дифференциаль¬
ному совершается по формуле
1 2 3 4 5 6
Рис. 17.10
(17.16)
которая получена в результате дифференцирования интеграла в
выражении (17.13) по верхнему пределу.
Формальные осложнения, возникающие при нахождении произ¬
водной от ступенчатой функции распределения дискретной величи¬
ны, связаны с необходимостью математического описания разры¬
вов плотности вероятности в точках, где интегральная функция
терпит скачки. Эту трудность можно обойти, если пользоваться
для представления плотности вероятности в таких точках 8-функ¬
цией Дирака. Можно показать, что в точке разрыва производная
от интегральной функции определяется произведением разности
значений функции F (х) справа и слева от рассматриваемой точ¬
ки х0 на 6-функцию
W, (х0) = [F+ (х0)-F_ (*„)] б (х-х0),	(17.17)
где -F+(a:o) и F-(x0) — значения интегральной функции справа и
слева от хо соответственно.
Так, аналитическое выражение для плотности вероятности слу¬
чайной величины, представляющей число очков при случайных
опытах с бросанием игральной кости, записывают в виде
411

(*) =4-6 (*- !) +4-S (JC—2) + ... + -i-б (*-6).
Используя б-функцию Дирака, удается описывать статистиче¬
ские свойства случайных процессов или величин смешанного типа
(непрерывно-дискретных). Примером такого процесса служит
флуктуационное выражение на выходе идеального широкополосно¬
го ограничителя с характеристикой ограничения ыВЬ1Х=/(ывх) ви¬
да рис. 17.11,а, получаемое при подаче на его вход «шумового»
сигнала. Здесь выборки из реализаций выходного случайного про¬
цесса в моменты, совпадающие с горизонтальными участками
кривой (рис. 17.11,6), являются дискретными случайными величи¬
нами U0 или —U0, а в остальные моменты времени — непрерыв¬
ными с несчетным множеством значений в интервале (—U0, U0).
Одномерная плотность вероятности такого напряжения имеет фор¬
му, подобную показанной на рис. 17.11,в.
17.4.	Числовые характеристики случайных величин и процессов.
Одномерные моментные функции
Одномерные законы распределения величин и процессов дают
исчерпывающие сведения о вероятностях отдельных значений та¬
ких величин или однократных (не связанных между собой) вы¬
борок из возможных реализаций случайного процесса. Однако при
некоторых преобразованиях случайного процесса закон его рас¬
пределения претерпевает изменения, точный расчет которых осу¬
ществим далеко не всегда. Более легкой оказывается задача пе¬
ресчета отдельных числовых характеристик распределения. Опы¬
ты по определению плотностей вероятности также сложнее и до¬
роже экспериментов с нахождением числовых характеристик. К
тому же ответы на многие практические вопросы можно найти,
пользуясь лишь достаточно грубыми числовыми параметрами.
Напомним числовые характеристики одномерных распределе¬
ний случайных величин, а затем, зная связь между понятиями слу¬
чайной величины и случайного процесса, определим аналогичные
характеристики последнего.
412

Все числовые параметры законов распределения (иначе гово¬
ря, самой случайной величины) находятся путем вычисления ма¬
тематического ожидания этой величины или простейших функций
от нее. Понятие математического ожидания вытекает из определе¬
ния среднего арифметического.
Если случайная величина X является непрерывной, то ее мате¬
матическое ожидание или среднее значение находят по формуле
М (X) = х= <х> =m1(x)= ^xW1(x)dx,	(17.18)
—оо
которая представляет предел взвешенной суммы для случая, ког¬
да возможные значения X образуют несчетное множество. Поль¬
зуясь б-функциями для описания плотностей вероятности дискрет¬
ных случайных величин (см. § 17.3), можно применять (17.18)
при решении любых задач с нахождением среднего. Для обозна¬
чения математического ожидания употребляют букву М, угловые
скобки или прямую черту над символом случайной величины.
Среднее значение случайной величины, взятой в первой степени,
называют также первым моментом ее распределения и обознача¬
ют Ш\{х). В (17.18) показаны все варианты обозначений.
Математическое ожидание детерминированной функции от слу¬
чайной величины ф(ЙГ). находим, рассматривая совокупность воз¬
можных значений этой функции q>(xi), 9(^2),. . ., ф(х„) как новую
случайную величину. Таким образом
М[ф(Х)] = <ф (x)> = ^ф (x)W1(x)dx.	(17.19)
— ОО
Формула (17.19) устанавливает правила нахождения других
числовых характеристик случайной величины. К ним относятся
моменты т2(х), т3(х),..., тп(х) для любого п:
тп (х) = М (Хп) = <*"> = J хп W1 {х) dx.	(17.20)
—оо
Связь между формой закона распределения и его числовыми ха¬
рактеристиками становится нагляднее при использовании понятия
центрированной случайной величины.
Случайная величина называется центрированной, если ее сред¬
нее значение равно нулю. Случайную величину X можно центри-
О
ровать, рассматривая вместо нее новую величину X:
Х = Х-М(Х).	(17.21)
Поскольку соотношение (17.21) эквивалентно изменению всех
возможных значений X на одну и ту же постоянную М(Х), это
равносильно смещению начала координат на графике одномерной
плотности вероятности Wi(x) на М(Х) вдоль оси абсцисс и не
связано с какими-либо деформациями закона распределения (см.
рис. 17.12).
413

Моменты случайной величины X называют центральными, от¬
личая их от начальных моментов (17.20). По определению цент¬
ральный момент я-го порядка
цп(х) = М(Хп) = {[х—т1(х)\п}= | [х—m1(x)\nW1(x)dx.	(17.22)
— 00
Первый центральный момент центрированной случайной вели¬
чины всегда равен нулю:
р,1(х)=	—m1(x)]W1(x)dx= ^xW1(x)dx—fflj(x)sO. (17.23)
—oo	—oo
Второй центральный момент можно выразить через начальные
моменты следующим образом:
р2 (х) = j [х—т1 (х)]2 W1 (х) dx =
= ^x2W1(x)—2т1(х) $lxW1(x)dxJrm\ = m2(x)—m21( х).	(17.24)
—оо	—оо
Эта числовая характеристика является удобной мерой рассея¬
ния возможных значений случайной величины X относительно ее
среднего значения. Второй центральный момент называют диспер¬
сией случайной величины X, пользуясь для нее обозначением, взя¬
тым из теории ошибок:
о2 (х) = р2 (х).	(17.25)
Первая степень о(х), равная положительному значению корня
квадратного из второго центрального момента, носит название
среднего квадратического отклонения (СКО) случайной величи¬
ны X. Размерность о(х) совпадает с размерностью X, поэтому
СКО можно использовать в качестве непосредственной меры ши¬
рины кривой плотности вероятности Wi(x).
Моменты распределений случайных величин являются детерми¬
нированными числами.
При решении многих задач приходится сталкиваться с сумми¬
рованием, вычитанием и перемножением независимых случайных
величин. Числовые характеристики новых случайных величин, по¬
лучаемых в результате названных операций, необходимо искать
с помощью аналогичных характеристик слагаемых или сомножи¬
телей. Напомним некоторые соотношения, доказываемые в теории
вероятностей:
т1 (Сх) = Ст1 (х),	(17.26)
где С—постоянная величина;
Щ (х±у) = «ij (х) ± т1 (у);	(17.27)
т1 (ХУ)= mi (•*•) mi (У)>	(17.28)
(х i У)= Щ С^) “Н Ш (У)>	(17-29)
О® (Сх) = С2о2 (х).	(17.30)
414

| Wi (x-X)
Формулы (17.27) — (17.29) обобщаются на случай большего
числа слагаемых или сомножителей.
Числовые характеристики одномерных распределений случай¬
ных процессов определяются так же, как для случайных величин,
с той лишь разницей, что получаемые результаты могут оказаться
зависящими от времени, поскольку
сами функции распределения в
общем случае тоже изменяют во
времени свою форму. Таким обра¬
зом, указанные характеристики
вместо чисел становятся функция¬
ми времени и носят название мо-
ментных функций.
На рис. 17.13 изображена реа¬
лизация случайного процесса, пер¬
вая моментная функция которого (среднее значение)
на во времени и равна нулю, а вторая центральная
М(Х)=х
Рис. 17.12
неизмен-
моментная
функция (дисперсия) вполне определенным образом (неслучай¬
но!) зависит от времени. На рис. 17.14 показана реализация про¬
цесса с неизменной дисперсией и переменным во времени средним
значением.
17.5.	Характеристическая функция одномерного распределения.
Параметры шумов в цифровых фильтрах
При анализе случайных величин и процессов нередко возника¬
ет обратная задача — отыскать распределение по известным его
числовым характеристикам (моментам или моментным функци¬
ям) .
Остановимся на одном из способов ее решения, вытекающем
из свойств так называемой характеристической функции распре¬
деления Wi(x). Эта функция представляет собой результат при¬
менения операции математического ожидания по формуле (17.19)
к некоторой комплексной функции от случайной величины X вида
Ф (X) = exp (j иХ),	(17.31)
где и — действительная переменная.
41»

Обозначив характеристическую функцию &х(и), можем запи^
еать
0Ж (и) = <ехр (j их)) = j elux W1 (х) dx =
с= ^ W1(x)cosuxdx-\-) j W1 (х) sin их dx,	(17.32)
е=-СО	WOO
откуда видно, что здесь мы имеем дело с преобразованием Фурье
одномерной плотности вероятности W\(x). Различие с аналогич¬
ным преобразованием, используемым при Фурье-анализе электри¬
ческих колебаний, состоит в знаке показателя степени (надо за¬
менить и на ■—со). Таким образом, характеристическая функция
может рассматриваться как комплексная неслучайная функция
аргумента и, однозначно связанная с законом распределения
Wi(x) так же, как спектр Фурье связан с соответствующим ему
сигналом. Благодаря этому знание характеристической функции
равносильно знанию плотности вероятности, ибо последнюю всег¬
да можно определить путем преобразования, аналогичного об¬
ратному преобразованию Фурье:
Wi(x)=~ ]®x(u)e~ittxdu.	(17.33)
Основные свойства характеристической функции вытекают из
(17.32) и формул, приводившихся выше.
1.	©ж(0) = 1, так как ei0=l и (17.32) превращается в (17.10).
2.	10Ж (и) | ^1, поскольку
[х) elux dx
<С
J\W1(x)&ux\ dx =
■оо
J Wi (x) dx = 1.
oo
3.	Если плотность вероятности W\{x) —четная функция (т. е.
симметричная относительно точки х=0), то ее характеристиче¬
ская функция вещественна, поскольку интеграл, представляю¬
щий ее мнимую часть в (17.32), обращается в нуль из-за того,
что sin х — функция нечетная.
4.	Производная &-го порядка, характеристической функции
©ж (и) по переменной и находится путем дифференцирования под
знаком интеграла:
ei(«) = -Ve.(«) = }*	xk W, (х) е!их dx.
dvr	-L
Отсюда, положив и=0, получаем
mft(x) = 0*(O)/jfe.	(17.34)
Таким образом, начальные моменты любого порядка для одно¬
мерного распределения случайной величины можно находить,
зная соответствующие производные характеристической функций
416

В окрестности точки *=0. В связи с этим @х{и) оказывается час¬
то более выгодной формой описания вероятностных свойств, не¬
жели плотность вероятности, поскольку переход от Wi (х) к чис¬
ловым характеристикам требует выполнения менее удобной опе¬
рации — интегрирования.
5.	Представим характеристическую функцию в виде бесконеч¬
ного ряда по степеням аргумента и и выразим члены этого ряда
через моменты, пользуясь (17.34):
e,(«)=i + s ^7гиЛ=1 + 2	()“)*•	(17-35>
k=i Ь\	k\
Полученная формула указывает способ приближенного вычис¬
ления закона распределения случайной величины по ее числовым:
характеристикам — начальным моментам. Для этого следует отыс¬
кать несколько членов (17.35), вычислить сумму и воспользовать¬
ся обратным преобразованием (17.33).
Для иллюстрации свойств характеристической функции обра¬
тимся к примеру со случайной величиной, обладающей равномер¬
ным распределением
Г1(х)=1/(6-а).
С помощью (17.32) находим
.	. Ь — а
°°	Р1«Ь	 ]иа	Ju?±- sln и 7
©*(“)'= ^W1(x)eiuxdx= — 	— = е 2 	-—	(17.36)
J и(Ь — а)	Ь — а '	4	'
Положив — а = Ь, убедимся, что в соответствии с правилом 3 ха¬
рактеристическая функция становится вещественной
(17.37)
°	О
поскольку при этом W](x) симметрична относительно точки х=0.
Переход от (17.36) к (17.37) можно совершить, пользуясь тео¬
ремой смещения (сдвига), справедливой для преобразования
Фурье. Действительно, сдвиг центра распределения Wx(x) в на¬
чало координат равносилен алгебраическому сложению случай¬
ной величины х с постоянной	, а это в свою очередь влечет
За собой умножение соответствующего изображения Фурье на
ехр(—чхо приводит к (17.37).
Форма кривой, изображающей (17.37), показана на рис. 17.15.
естественно, что она совпадает с формой спектра прямоугольного
импульса.
Воспользуемся (17.37), чтобы оценить дисперсию шумов, воз¬
никающих в цифровых фильтрах. Существуют три сходных меж-
Н-100	417

ду собой причины возникновения таких
шумов — квантование при переходе от
аналогового (непрерывного) представле¬
ния сигналов к цифровому (дискретно¬
му), округление промежуточных резуль¬
татов и ограничение разрядности выход¬
ных данных. Очевидно, что в природе
всех трех видов шума лежит округление
чисел. Обозначим величиной Д шаг кван-
тов-шия по уровню в АЦП либо цену младшего разряда в проме¬
жуточных вычислениях или в окончательном итоге.
Если значение Д много меньше диапазона изменения мгновен¬
ных значений сигнала, то любая из трех видов погрешностей ока¬
зывается для каждой выборки сигнала случайной величиной, рав¬
номерно распределенной в интервале шириной Д.
Обычно алгоритмы квантования и округления результатов в
цифровых фильтрах строят так, чтобы не вносить систематических
ошибок. Это достигается, если округлять все данные не в меньшую
или большую сторону, а до ближайшего числа на используемой
дискретной шкале. Тогда распределение значений цифрового шу¬
ма располагается симметрично относительно нуля в интервале
± Д/2.
Дисперсия сг2ц.ш и второй начальный момент распределения сов¬
падают и легко находятся в соответствии с (17.34) двухкратным
дифференцированием (17.37):
°2ц.ш=-@"(0)
d2 sin(Au/2)\ 	 A2
du2	Дн/2 ) u=о	12
(17.38)
Пользуясь этим- результатом, свяжем эффективное значение
цифрового шума с максимальным размахом сигнала Sm в цифро¬
вом фильтре и числом уровней квантования L. При этом имеем
A=SmIL, откуда
оц.ш = 5т/2)АЗЕ.
17.6.	Двумерные и многомерные характеристики
случайных величин и процессов
До сих пор мы рассматривали способы математического опи¬
сания отдельных случайных величин или выбдрок случайного
процесса. Введенные одномерные характеристики дают важные, но
не полные сведения об исследуемых явлениях. Так, одномерная
плотность вероятности случайного процесса не дает представления
о динамике его развития.
Более полной характеристикой случайного процесса является
двумерная плотность вероятности, отражающая вероятностную
связь между значениями случайной функции в два произвольных
момента времени t\ и fa. Если рассматривать ансамбль возмож¬
ных реализаций процесса, подобный изображенному на рис. 17.7,
то двумерная функция распределения будет характеризовать сов-
418

местно как вероятности его значений в моменты t\ и t2, так и ве¬
роятности смены одних значений другими при переходе от t\ к t2.
Совокупность выборок Xi{t\) и Xi(t2) можно представить как
две случайные величины, между которыми существует статистиче¬
ская связь. Каждую из них иногда условно трактуют как коорди¬
нату некоторого случайного вектора на плоскости Х\Х2. Пользуясь
таким подходом, нетрудно понять смысл определения двумерной
плотности вероятности. Оно вытекает из записи выражения, ана¬
логичного (17.9) и представляющего вероятность попадания конца
случайного вектора в пределы достаточно малой площадки Axi,
Ах2 около точки с координатами х\, х2 (рис. 17.16)
р ( %i ^ х^ -j- А х1
\Х2	X2 <С. х2 А х2
1172 (х |, х2) А х j А х2.
Поделив обе части этого выражения на Ах\Ах2 и устремив по¬
лученный результат к пределу, найдем двумерную плотность ве¬
роятности
W2(xlt
р(х 1 ^ -^1 <~ Ат А Ат \
х2) = lim. \ *2 <	+ A xj
Дл^-о	Д хг Д х2
Ах2->0
(17.39)
Свойства введенной функции распределения во многом подоб¬
ны свойствам одномерной плотности вероятности. Как всякая ве¬
роятность, двумерная плотность — неотри¬
цательная функция.
Правило нормировки двумерной плотно¬
сти вытекает из условия, что вероятность
концу двумерного случайного вектора по¬
пасть в какую-либо из точек плоскости Х\Х2
есть вероятность достоверного события, рав¬
ная единице. Поэтому
j §W2(x1, x2)dx1dx2 = 1.	(17.40)
— 00 —00
При решении практических задач часто используют правило
перехода от двумерной плотности вероятности к одномерной. Для
такого перехода необходимо проинтегрировать двумерную плот¬
ность вероятности по лишней переменной. Например
^iW= (*1. Xt)dx1-	(17.41)
Воспользовавшись соотношением (17.4), двумерную плотность
вероятности можно записать в форме
W2 (xlt х2) = Wх (xj W (х2Дх) = Гх (х2) W (хх/х2),	(17.42)
где W(x2lx 1)—условная плотность вероятности величины х2 при
заданном значении величины хи W(xi/x2) — условная плотность
14*	419

вероятности Х\ при заданном х2. В общем случае оба условных
распределения не равны между собой.
Если в результате анализа оказывается, что условная плот¬
ность равна безусловной, т. е., например,
W(xJxJ = W1{xJ,	(17.43)
то величины Х\ и х2 независимы.
Для независимых величин двумерная плотность вероятности
определяется произведением одномерных плотностей
W2 (xlt х2) = Wx (Xl) W1 (x2).	(17.44)
Двумерные законы распределения учитывают статистическую
связь отдельных пар значений случайных величин или выборок
случайного процесса. Для учета связи между большим числом
значений необходимо пользоваться функциями распределения бо¬
лее высокой размерности (кратности). Плотность вероятности
Wn{X\, х2,...,хп) применительно к случайному процессу называ¬
ется его «-мерной плотностью и определяет вероятность того, что
значения случайной функции x(t) в моменты t\, t2,...,tn заклю¬
чены соответственно в интервалах (хь xi+Axj), (х2, х2-\-Ах2),...,
(хп, хп-\-Ахп). При достаточно малых Дх* эта вероятность
равна Wn(xu х2,. .. , xn)AxiAx2... Ахп.
Описание случайного процесса при помощи «-мерной плотности
вероятности будет тем детальнее, чем больше «.
Плотности вероятности удовлетворяют:
условию положительной определенности
Wn(xlt х2,..., хп)> 0;	(17.45)
условию нормировки
j...		xn)dx1dx2...dxn = 1;	(17.46)
—оо	—оо
условию согласованности (при «г<«)
ЦТт(.Х\, ...» хт) = j... п(х . ,хт, хт^.1.. ,хп) dxm^.1.. .dxn,
(17.47)
которое указывает на правило перехода от «-мерного распределе¬
ния к распределению меньшей кратности путем интегрирования
по «лишним» переменным.
По аналогии с одномерным случаем совместный закон распре¬
деления двух случайных величин или двух мгновенных значений
случайного процесса можно описать с помощью интегральной
функции
Fг (-*т> '^2)	73
Х2 < х2
(	( W2 (Х|, х2) dx, dx2,
•00 —00
(17.48)
указывающей вероятность того, что значения Х\ и Х2 окажутся
внутри интервалов (—оо, xi) и (—оо, х2) соответственно.
420

Интегральная функция (17.48) обращается в нуль или едини¬
цу, если устремить оба аргумента в —оо, либо в оо
Нш F2 (xlt х2) = 0,	(17.49)
ATj-*—оо, Хг-*—оо
lim	F2(xи х2) = 1.	(17.50)
JCf^oo, л:2 —оо
Функции распределения (17.39) и (17.48) могут быть пред¬
ставлены в трехмерном пространстве в виде поверхностей над
плоскостью х\, Х2. Форма таких поверхностей для некоторых про¬
извольных функций распределения показана на рис. 17.17 и 17.18.
Многомерные интегральные функции распределения
Хх Хп
рп{*1	Хп)= J J Wn (х1(..., хп) dxL.. .dxn
находятся аналогично тому, как это было сделано для двумерного
закона с той разницей, что интегрирование ведется по п пере¬
менным.
17.7.	Корреляционные моменты
Многомерные плотности вероятности (как и одномерные) мож¬
но описывать частными числовыми характеристиками, которые в
дополнение к моментам одномерных распределений дают инфор¬
мацию о статистической связанности значений случайных величин
и процессов.
Простейшей, хотя и не всегда исчерпывающей мерой связи
между значениями случайных величин или процессов служат сме¬
шанные моменты (моментные функции) второго порядка. В общем
случае они находятся через двумерную плотность вероятности
'№2 (*i, хг) по формуле
оо оо
т12 = j J x1x2W2 (xlt х2) dx1 dx2 = <Xj x2>.	(17.51)
421

Выражение (17.51) представляет собой математическое ожидание
произведения случайных величин Х\ и х2, которые могут быть, на¬
пример, выборками из случайного процесса X(t) в точках t\ и t2
либо значениями двух разных случайных функций Х\ (t) и X2(t).
Наиболее употребительной из смешанных числовых характеристик
является математическое ожидание произведения центрированных
случайных величин
ос ос	о о
Ит2== j" J [-^i	(-^i)] [х2 tn-± (х2)]	(-^i» x^dx-^dx^ (x-^Xt^), (17.52)
—oc —oc
Эту характеристику называют корреляционным моментом или
ковариацией случайных чисел Х\ и х2. Если они представляют вы¬
борки из одной и той же случайной функции X(t), то иногда та¬
кую характеристику называют автоковариацией. В случае, когда
усредняется произведение центрированных значений, взятых из
разных процессов, его называют также взаимной ковариацией.
Рассматривая автоковариацию случайного процесса X(t), ти¬
пичные реализации которого показаны на рис. 17.7, легко устано¬
вить, что при достаточно малом интервале х между моментами от-
О
счета t{i)2 и t\(i) любые пары центрированных значений хi(<> и
О'
x2{i) лишь немного отличаются по величине и почти никогда не
различаются знаками. Поэтому среднее для ансамбля реализаций
X (t) произведение таких величин остается положительным и по
мере уменьшения х приближается к дисперсии (17.24), т. е.
Р12 (*i = Q = <> (0> = o2{t).	(17.53)
Невозможность сколь угодно быстрой смены значений в реализа¬
циях функции X(t), если она описывает физический процесс, объ¬
ясняется инерционностью элементов, в которых он протекает.
Ими, в частности,, могут быть конденсаторы, катушки индуктив¬
ности, распределенные реактивности проводников и т. п. Если ре¬
ализации X (t) не содержат детерминированной или квазидетер-
минированной составляющей, то такой процесс называют чисто
случайным. Нетрудно видеть, что он по определению является
О
центрированным, т. е. X(t)=X(t), ибо отличное от нуля среднее
значение представляет уже некоторую детерминированную компо¬
ненту. С увеличением интервала х между выборками из чисто
случайного процесса относительное количество реализаций, в ко-
О	О
торых х\ и х2 противоположны по знаку, растет и становится со¬
измеримо с числом пар, где знаки совпадают. Это уменьшает ма¬
тематическое ожидание произведения центрированных величин.
Такое свойство автоковариации можно представить неравенством
Мт2 (А = У ^ Мт2 (^i ^ ^)-	(17.54)
При значительном разносе по оси времени точек отсчета t\ и t2•
О	о
в чисто случайном процессе связь значений х\ и х2 уменьшается.
Это свойство выражают предельным соотношением
422

(17.55)
lim р,12 = 0.
|f2—М=Т-°о
Использование корреляционных моментов вида (17.52) для
анализа статистических связей не всегда удобно, так как значе¬
ния (Xi2 определяются не только зависимостью между выборками,
но и интенсивностью исследуемых функций. Для характеристики
степени связанности в безразмерной форме пользуются нормиро¬
ванной ковариацией, которую называют коэффициентом корреля¬
ции
R(xi,xj = -&*-,	(17.56)
°1 а2
где
= У < А), СГ2 = V <Д>.
В соответствии со свойствами корреляционного момента
(17.53) и (17.54) значения R не превышают единицы: R(xu х2)^
^1. Если х\ и х2 — выборки одного и того же чисто случайного
процесса
lim Я = 0,	(17.57)
I —#1 I =ТГ—'ОО
т. е. с ростом х корреляция исчезает.
17.8.	Стационарные и эргодические случайные процессы
В статистической радиотехнике большую роль играют так на¬
зываемые стационарные случайные процессы.
Случайный процесс X(t) является стационарным, если любая
я-мерная функция распределения его значений не меняется при
любом сдвиге всей группы точек t\, t2,...,tn вдоль оси времени,
что эквивалентно переносу начала отсчета времени. Из этого оп¬
ределения следует, что для стационарного случайного процесса:
1)	одномерная функция распределения неизменна в любой мо¬
мент времени
W1(x, f) = W1(x, t + At) = W1(x);	(17.58)
2)	двумерная функция распределения зависит только от раз¬
ности
= х,	(17.59)
т. е.
W2(x1, хв, tlf tB) = WB(xv хв, т);	(17.60)
3)	трехмерная функция распределения зависит от двух разно¬
стей t2—1\ и U—1\ и так далее. Очевидно, «-мерный закон распре¬
деления зависит от («—1) разностей, определяющих взаимное по¬
ложение всех точек отсчета.
Поскольку одномерные плотности вероятности стационарного
процесса от времени не зависят, все моменты одномерного рас-
423

пределения и, в частности, среднее значение и дисперсия постоян¬
ны.
В силу п. 2 автоковариация стационарного процесса зависит
ЛИШЬ ОТ раЗНОСТИ Т = ^2—U-
Стационарные случайные процессы получаются в установив¬
шихся режимах работы источников случайного сигнала при неиз¬
менных внешних условиях и постоянстве параметров цепей, про¬
пускающих такой сигнал.
Признаком нестационарное и случайного процесса служит не¬
выполнение перечисленных условий неизменности распределений.
Нестационарные случайные колебания создает любой источник
шумовых колебаний в переходном режиме работы (например, дро¬
бовой шум в электронной лампе в период разогрева катода после
включения накала, случайный процесс на выходе инерционной ра-
диоцепи в течение некоторого времени после подачи на ее вход
даже стационарного случайного сигнала и т. д.). Анализ нестацио¬
нарных случайных процессов значительно сложнее, чем стацио¬
нарных..
До сих пор характеристики случайного процесса определялись
через соответствующие статистические средние значения, находи¬
мые путем усреднения по ансамблю возможных реализаций. Ока¬
зывается, что для многих стационарных случайных процессов за¬
коны распределения или их моментные функции можно получать,
усредняя необходимые величины по одной реализации за достаточ¬
но большой промежуток времени.
На эту возможность указывает тот факт, что однотипные фи¬
зические системы (например, радиоприемные устройства одинако¬
вой конструкции) не могут обладать заметно различающимися
«шумовыми» характеристиками, если они состоят из аналогичных
друг другу элементов. Для создания физической модели ансамб¬
ля следовало бы заставить работать все эти системы совместно
и рассматривать каждое из выходных колебаний как отдельную
реализацию. Однако опыт показывает, что в реальных условиях
при достаточной идентичности изучаемых систем каждая отдельно
взятая реализация случайного процесса может служить «полно¬
мочным представителем» ансамбля в целом *.
Процессы подобного типа носят название эргодических. Ста¬
ционарные случайные процессы могут и не обладать свойством
эргодичности. Физической моделью неэргодического ансамбля мо¬
жет служить тот же набор «шумящих» радиоприемников при про¬
извольном положении регуляторов усиления в каждом из них.
Характеристики, получаемые усреднением по отдельной реализа¬
ции, в этом случае не обязательно совпадают с аналогичными ха¬
рактеристиками ансамбля. При анализе двух и более случайных
процессов приходится интересоваться тем, насколько они связа-
1 В математике это свойство реализаций ансамбля именуют метрической
транзитивностью (см. также Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию»
связи. T.l/Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1961, с. 88).
424

ны между собой и постоянна ли эта статистическая связь. Прос¬
тейшей функцией распределения, характеризующей степень связи
процессов, является двумерная совместная плотность вероятности
W%{xь У2, t\, U), где в общем случае хх и у2— значения разных
процессов X(t) и Y(t), взятые в различающиеся моменты време¬
ни t\ и t2. Напомним, что в соответствии с (17.52) именно эта
функция участвует в определении взаимной ковариации.
Аналогично двумерной совместной плотности вероятности двух
процессов можно построить «-мерную совместную плотность, в ко¬
торую войдут отсчеты в моменты времени t\, t2,..., t„.
Если любые «-мерные совместные функции распределения
двух (и более) процессов не изменяются при одновременном про¬
извольном сдвиге точек отсчета вдоль оси t, то такие случайные
процессы называются стационарно связанными.
В случае эргодических стационарных и стационарно-связанных
процессов усреднение по ансамблю реализаций и по времени в
пределах одной реализации приводит к одинаковым результатам,
т. е.
оэ	, г/2
[xW1(x)dx=<.x'> = lim — \ x{f)dt = x(t),	(17.61)
_i	т -т/2
»	1 т/2
Г*2 (jc) d* =<*•> = lim — Г x*{t)dt = xi{t),	(17.62)
-i	г— т —Т/2
~	1 Т/2
Гхп W1(x)dxs= (х") = lim— С x!'(t)dt = xn(t),	(17.63)
L	T —T/2
°°	°° О ■	BO
) j	^2 ('^l1	(ix^ dx% = \X-^ x^y =
= lim f x1(t)x^(t)dt = x1{t)x^{t).	(17.64)
T-*oa_f/2
Волнистая черта сверху везде сокращенно обозначает усреднение
по времени.
Очевидно, (17.61) определяет среднее значение непрерывного
колебания, а (17.62)—равнозначно полной средней мощности,
развиваемой током или напряжением X(t) на единичном сопротив¬
лении.
Если считать Х\ и х2 значениями одного и того же процесса
x1 = x — x(t), x2 = xx = x(t—т),
то правая часть (17.64) может рассматриваться как определение
автокорреляционной функции (АК.Ф) колебания x(t), точнее —
его переменной, т. е. центрированной слагающей
^'(т) = Нт— f x(t)x(t—т)dt.	(17.65)
т-°° T
Иначе, АКФ стационарного процесса есть усредненное по времена
425

произведение взаимно сдвинутых значений его переменной сла¬
гающей, рассматриваемое как функция от величины сдвига т.
В случае, когда х\ и Х2 считаются выборками из разных про¬
цессов х\ (t) и дгг(0. формула (17.64) определяет функцию их вза¬
имной корреляции (ВКФ)
^12(т) — lim — | x^x^t—x)dt.	(17.66)
Г—О* т _7У2
Отличие (17.65) и (17.66) от аналогичных формул для финит¬
ных сигналов (см. гл. 1) не является принципиальным и обус-
ловленно только неограниченностью области определения корре¬
лируемых функций на оси времени. В связи с этим АКФ и ВКФ,
найденные по приведенному выражению, сохраняют уже извест¬
ные общие свойства, присущие корреляционным функциям любых
процессов.
Сформулируем только новый для нас результат: если случай¬
ные процессы стационарны и эргодичны, то их ковариации сов¬
падают с функциями корреляции.
В теории случайных процессов различают понятия стационар¬
ности в узком и широком смысле. Случайную функцию называют
стационарной в узком (строгом) смысле, если выполняются усло¬
вия стационарности распределения Wn, каким бы ни было число
п. Если же это условие гарантируется лишь до. п—2 (т. е. для
функций распределения не выше второго порядка), то такой про¬
цесс называют стационарным в широком смысле.
Изучение процессов последнего типа базируется на анализе
одномерных моментов и корреляционных функций, а посвященный
ему раздел теории назван корреляционной теорией случайных
процессов.
17.9.	Нормальные случайные процессы. Центральная
предельная теорема
Выделение и развитие корреляционной теории как прикладно¬
го раздела теории вероятностей связано с тем, что корреляцион¬
ные характеристики являются исчерпывающими для случайных
процессов с так называемым нормальным или Гауссовым распре¬
делением. Такие процессы встречаются в природе и технике чаще
других.
Одномерный нормальный закон распределения плотности ве¬
роятности случайной величины X есть функция вида (рис. 17.19,а)
Wx(x) =	1__е-(*-а,2/2<т’t	(17.67)
а 1/2я
где а2 — дисперсия случайной величины, а — ее среднее значение
(первый момент)*.
* В том, что это так, можно убедиться, вычислив при помощи (17.18) и
(17.24) моменты распределения (17.67).
426

Интегральная форма этого же закона распределения (рис.
17.19,6)	представляется при помощи интеграла
F (х) =	l— f е-(д:-а,2/2а2 dx,	(17.68)
а ~[/2п —оо
значения которого табулированы, поскольку он в элементарных
функциях не вычисляется.
С нормальным законом распределения приходится сталкивать¬
ся в случаях, когда рассматривают явления, возникшие в резуль¬
тате совокупного действия большого числа случайных факторов.
Впервые этот закон был получен при анализе случайных ошибок,
присущих многократным измерениям одной и той же физической
величины.
А. М. Ляпунов в 1901 г. доказал фундаментальную теорему,
получившую название центральной предельной теоремы, из кото¬
рой вытекает, что нормальное распределение возникает почти во
всех случаях, когда анализируемая величина складывается из мно¬
жества независимых или слабо зависимых случайных слагаемых.
Значение нормального закона распределения для анализа слу¬
чайных процессов в радиотехнике очень велико, поскольку боль¬
шинство первичных источников флуктуаций создают Гауссовы шу¬
мы.
Причиной случайных флуктуаций служит дискретная природа
электрического заряда. Закон распределения случайных отклоне¬
ний тока или напряжения от своего среднего значения можно вы¬
явить, рассматривая механизм образования суммарного процесса,
например, тока в выходной цепи электронной лампы.
На рис. 17.20 показана упрощенная схема лампового усилите¬
ля. Вызванные движением электронов, вылетевших из катода, им¬
пульсы тока в анодной цепи создают каждый свой отклик Д«(0-
Так как цепь нагрузки линейна, выходное напряжение u(t) об¬
разуется суперпозицией множества элементарных откликов Д«г(0-
Количество зарядов, покидающих катод в единицу времени, даже
в маломощных лампах достигает 1015—1017 электронов в секун¬
ду, в то время как длительность отдельного отклика цепи нагруз¬
ки имеет порядок 1/Д/, где Д/ — полоса пропускания, Гц. Если да-
427

же принять практически невероятное предположение, что полоса
пропускания охватывает весь освоенный диапазон радиочастот
вплоть до 1011 Гц (длина волны А,=3 мм), то все же окажется,
что в любой момент времени выходное напряжение образуется в
результате сложения 104—106 соизмеримых по величине слагае¬
мых (рис. 17.21). Последовательность моментов вылета электро¬
нов с катода является случайной в силу того, что перемещение
отдельных зарядов внутри проводника также хаотично (броунов¬
ское движение). Поэтому отдельные слагаемые, образующие в
произвольный момент времени t мгновенное значение выходного
напряжения u(t), представляют случайные величины. По цент¬
ральной предельной теореме их сумма распределена почти по нор¬
мальному закону вокруг некоторого среднего значения, равного
сумме математических ожиданий слагаемых. Это среднее и назы¬
вают обычно постоянной составляющей процесса.
Все сказанное можно представить следующими формулами:
1) напряжение на нагрузке
и (0 = 2 Au*С*-**)’
i=i
(17.69)
где ti — момент появления г-го импульса тока,
перемещения г-го электрона;
2) одномерная плотность вероятности Wi (гг)
близка к
возникшего из-за
напряжения ц(()
ИМ*)- 1
аиу2п
(17.70)
где
_ N
S^Atii \ = NAu,
N i=i х
(17.71)
а\ « N ст2д, ои « VN стд,
(17.72)
Дц и ои — математическое ожидание и дисперсия отдельного сла¬
гаемого. Поскольку, как видно из (17.71) и (17.72), отношение
среднеквадратического отклонения (СКО) выходного напряжения
к его среднему значению при сложении членов уменьшается в
428

У N раз, мощность флуктуирующей части процесса оказывается
много меньше мощности постоянной составляющей:
Ои _ <*д	1
и Дм УлГ
(17.73)
Пользуясь аналогичными рассуждениями, можно объяснить
природу нормального распределения напряжения тепловых шу¬
мов, возникающих в любых элементах с активной проводимостью
при температуре, отличной от абсолютного нуля.
Понятие нормального распределения применяется не только к
одномерным, но и многомерным функциям распределения вероят¬
ностей случайных величин и процессов.
Двумерной нормальной плотностью вероятности называют
функцию вида
1Т”2 (%1> Х%) :
2 л ах а2 У1 - Я2!
Хехр
1
21(1 -R2i2)
(*i — Ci)2 _j_ (X
а2х
-2/?,
X
(*1 — Qj) (х2 — g2)
°1 °2
]!■
(17.74)
где х\ и *2 — Два рассматриваемых совместно значения случайных
величин Х\ и Х2 или выборок случайного процесса X(t) в два мо¬
мента времени t\ и t%, Ri2=R(xx, Х2)—коэффициент корреляции
между х\ и Х2, ai = mi(xi) и a2=mi(x2) —математическое ожида¬
ние X, и Х2 соответственно, a2i и а22— дисперсии Xi и Х2.
Если X(t) — стационарный нормальный процесс с нулевым
средним значением, то очевидно ai=ia2, а\ = а,2=0, а коэффициент
корреляции в этом случае зависит только от разности моментов
отсчета т=4Х—12, т. е. Ri2=R(t)=R. Тогда запись двумерного
закона распределения упрощается:
У (Ь, х2)
	1
2л а2 У1 — R2
x2j + х22 — 2Rxx х21
2а2 (1 — R2) J
(17.75)
Положив коэффициент корреляции /? = О, можем убедиться,
что выражение (17.24), как и (17.75), обращается в произведение
одномерных плотностей вероятности
У(*. х%) — У (*1) У (x2)t
(17.76)
где Wx(x) и 1F2(x) совпадают с (17.67).
Таким образом, для нормально распределенных случайных ве¬
личин и процессов отсутствие корреляции равносильно независи¬
мости.
Полезно иметь представление о структуре многомерного нормального рас¬
пределения. Прн этом скалярные случайные величины хх ... хп, могущие быть
выборками нз одного нли нескольких разных случайных пронессов, удобно рас¬
сматривать как компоненты n-мерного случайного вектора
Х= (*!. *2	*п).
429

Говорят, что случайные величины совместно нормальны, если любая нх
линейная комбинация есть нормальная случайнан величина. В свою очередь,
вектор х является нормальным, если, его компоненты совместно нормальны.
Тогда плотность вероятности такого вектора, выражающая в компактной форме
п-мерное Гауссово распределение, записывается с использованием векторно-
матричного представления скалярного показателя экспоненты
Wn(Xl . . .*„) = 1Г(х) = [(2я)" |М1]-1/2ехр( - 1/2хтМ-1х),	(17.77)
где М — ковариационная матрица размера пХп, являющаяся симметрической и
составленная из корреляционных моментов pifc=^Xi, Xk> всех попарно взятых
компонент вектора х;
М-1 — матрица, обратная к М;
| М | — определитель матрицы М;
О
х — вектор-столбец с центрированными по отношению к х компонентами —
О ГО	О
xit х2,	хп\
о>	о
хг — вектор-строка, полученный транспоннрованнем х.
Встречаются н другие варианты записи формулы (17.77). Их можно полу¬
чить, например, заменив все корреляционные моменты произведениями диспер¬
сий на соответствующие значения коэффициентов корреляции Rih■ В стационар¬
ном случае это позволяет выносить о2 нз-под знака матрицы, что упрощает за¬
пись. Подчеркнем определяющую роль корреляционных моментов, которые, как
видно из приведенного выражения, в совокупности с математическим ожиданием
полностью характеризует нормальную плотность вероятности любой размерно¬
сти.
Чтобы освоить технику преобразований прн переходе от векторно-матрнч-
иой к скалярным формам представления Гауссова распределения, рекомендует¬
ся, воспользовавшись правилами линейной алгебры, получить из (17.77) плот¬
ность вероятности для п некоррелированных отсчетов стационарного нормально¬
го процесса с дисперсией а2:
Wn (*,... хп) = (2 п)~п/2 а~п exp ^ — ~ £ х2* j =
=	(j;j) U7i (л2) . . •W^(xn).	(17.78)
Полезно тем же путем убедиться и в справедливости формулы (17.75).
Вопросы для самопроверки
1.	Пользуясь формулой (17.1), докажите справедливость теоре¬
мы сложения вероятностей несовместимых событий.
2.	Докажите, что вероятность пропуска цели при наблюдении
двумя независимыми радиолокаторами, обеспечивающими сво¬
евременное ее обнаружение каждым из них с вероятностью 0,8,
не превышает 0,05.
3.	Пользуясь тем, что среднее относительное время пребывания
значений стационарного случайного процесса в заданном ин¬
тервале уровней равно вероятности попадания в этот интер¬
вал, постройте график одномерной плотности вероятности для
процесса, представляющего линейное пилообразное напряже¬
ние постоянной амплитуды со случайной крутизной на пря¬
мом и обратном ходе «пилы».
4.	Для условий предыдущей задачи постройте график интеграль¬
ного закона распределения.
5.	Постройте интегральный закон распределения вероятности вы¬
падения суммы очков при двухкратном бросании обычной иг¬
ральной кости.
430

6.	Постройте график одномерной плотности вероятности и интег¬
ральный закон распределения для мгновенных значений сиг¬
нала типа меандр.
7.	Для условий предыдущей задачи рассчитайте первый и второй
моменты распределения.
8.	Докажите, что моменты равномерного распределения случай¬
ной величины X или процесса X(t) имеют следующие значе¬
ния: т,\ (х) = {а-\-Ь)/2, т,2{х) = (a2+ab+fr2)/2, c(x)~0,29(fr—а),
где а, b — соответственно наименьшее и наибольшее из воз¬
можных значений х.
9.	Выведите выражение для второго момента одномерного рас¬
пределения гармонического сигнала со случайной начальной
фазой и линейно-нарастающей во времени амплитудой.
10.	Может ли график модуля характеристической функции рас¬
пределения случайной величины иметь форму прямоугольни¬
ка?
И. Найдите характеристическую функцию распределения, имею¬
щего форму равнобедренного треугольника (закон Симпсона).
12.	Установите, являются ли координаты случайного вектора в
прямоугольной Декартовой системе независимыми случайными
числами, если задано, что конец вектора может равновероят¬
но находиться в любой точке внутри окружности единичного
радиуса.
Указание. Полезно использовать правило нормировки рас¬
пределения и формулу (17.41).
13.	Перечислите основные свойства корреляционной функции слу¬
чайного процесса.
14.	Какое из двух утверждений в общем неверно: «если случай¬
ные процессы некоррелированы, то они независимы» или,«если
случайные процессы независимы, то они некоррелированы»?
15.	Для каких процессов оба свойства, названные в п. 14, равно¬
значны?
16.	Нарисуйте примеры реализаций непрерывного и дискретного
случайных процессов стационарного и нестационарного, типов.
17.	Нарисуйте примеры реализаций непрерывной и дискретной
случайных последовательностей также обоих тйпрв.
18.	Какие числовые параметры и функции дают достаточно сведе¬
ний для построения распределения вероятностей произвольной
размерности нормального случайного процесса?
19.	Можно ли по виду АКФ случайного процесса сказать что-ли¬
бо о форме кривой одномерной плотности вероятности его
мгновенных значений?
20.	Два случайных процесса обладают одинаковыми одномерны¬
ми распределениями и совпадающими АКФ. Что можно ска¬
зать о степени статистической связи между этими процессами?
21.	Напишите приближенное выражение для плотности вероятно¬
сти суммы большого числа (N) независимых случайных вели¬
чин, каждая из которых распределена равномерно в интерва¬
ле от — 1 до +1.
431

ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
18.1.	Энергетический спектр стационарного случайного
процесса
Одним из эффективных средств анализа сигналов в радиоце¬
пях является спектральный метод, основанный на представлении
электрических колебаний и передаточных функций систем при
помощи преобразований Фурье. Естественно попытаться прило¬
жить математический аппарат спектрального метода к анализу
стационарных случайных процессов.
Разложение реализаций случайного процесса общего типа в
ряд Фурье недопустимо из-за непериодического характера слу¬
чайной функции. В то же время, интегральное преобразование
Фурье к стационарному случайному процессу также непримени¬
мо, так как подлежащие вычислению интегралы расходятся из-за
невыполнения условий Дирихле.
Если попытаться представить с помощью обычной спектраль¬
ной плотности частотные свойства хотя бы нестационарного слу¬
чайного процесса, реализации которого {х,(0г} ограничены дли¬
тельностью Г, это оказывается невозможным из-за возникающей
неопределенности при усреднении по ансамблю соответствующих
комплексных спектров {<Зг((о)г = G,((o)r е5ч>г<“>т}. Причина в том,
что фазовая характеристика срДоДт усреднению не поддается, по¬
скольку фазы отдельных спектральных компонент распределены
случайно в интервале (—оо, оо). Выход состоит в том, чтобы при
отыскании усредненной спектральной характеристики вообще из¬
бавиться от фазового множителя eW^r, а это достигается путем
умножения комплексного спектра Фурье (?,((о)г на сопряженную
функцию ОД—ю)г, т. е. переходом к спектральной характеристи¬
ке энергии процесса
Ei (сй)г =Gj (w)rGj (—®)т>	(18.1)
где подразумевается существование обычной связи между реали¬
зациями и их спектрами Фурье1
ГО,Нге1“‘Лв=х,(0г«О|Нт= Пе,(0те-,в*Л,	(18.2)
2jI-i	(Г)
Xi(f)r =Xi( — t)T~Gl(—a>)T=a*l(a>)T.	(18.3)
В дальнейшем при обращении к Фурье-образам будем опус¬
кать развернутые выражения типа (18.2), используя вместо них
символические записи, подобные (18.3). В этой формуле справа
1 Чтобы не привязывать положение интервала Г к началу отсчета t, вместо
пределов интегрирования здесь указана в скобках под символом неопределен¬
ного интеграла только величина области интегрирования. Это сокращение будет
использоваться в дальнейшем.
432

показаны варианты обозначений функции, комплексно-сопряжен¬
ной с Oi (to) т, а слева — способы, которыми будет отмечаться ин¬
версия знака аргумента какой-либо функции, т. е. знаком минус
перед символом аргумента либо галочкой над символом функ¬
ции. Последнее удобно, если обозначение аргумента опускается.
Чтобы обойти трудности, связанные с расходимостью интегра¬
ла Фурье в случае преобразования стационарного процесса X(t),
из него исключают постоянную составляющую и вводят в рассмот¬
рение «усеченные» реализации Xi(t)T, представляющие конечные
отрезки длиной Г неограниченных во времени реализаций Xi (<)
(рис. 18.1), после чего при помощи предельного перехода Г—*-оо
находят так называемый энергетический спектр г-й реализации
St (со) = Нш
Т-оо
Ес (<о)Г
= Цш
Т-оо
Gi G t
(18.4)
Он характеризует частотное распределение усредненной по време¬
ни мощности в /-й реализации процесса. Умножение на 1 /Г сопря¬
жено с неограниченным возрастанием энергии при Г->-оо. Энер¬
гетическим спектром 5(ю) стационарного случайного процесса
называют математическое ожидание найденной спектральной ха¬
рактеристики
5(ю) = Цш
Т-оо
<1 G (а>)г I2)
Т
(18.5)
В приведенной формуле опущен индекс i у спектральной плот¬
ности д, поскольку при усреднении учитывается весь ансамбль
реализаций.
Напомним, что энергетический спектр любой действительной
функции ■— действительная неотрицательная функция частоты, т. е.
5(ю.)3*0.
Учитывая, что модуль G(со) обычного спектра Фурье вещест¬
венного процесса является четной функцией частоты, можно из
определения (18.5) заключить, что его энергетический спектр —
также четная функция частоты: S(to)=S(—ю).
На этом основании вместо S(to) нередко используют функцию
S0(со), называемую, односторонним энергетическим спектром. Она
433

считается отличной от нуля только в области положительных зна¬
чений частоты о и определяется как
S0H =
2S (ю), со>0,
S(0), w=0,
О, со<сО.
(18.6)
Соотношение между S(co) и S0(co) графически показано на
рис. 18.2.
Различие между обычным спектром Фурье детерминированно¬
го сигнала и энергетическим спектром случайного процесса за¬
ключается в том, что последний представляет собой не точный
частотный образ какого-либо колебания, а усредненную характе¬
ристику частотных свойств цело¬
го ансамбля различающихся меж¬
ду собой возможных реализаций
случайного процесса. Этот факт,
а также отсутствие в энергетиче¬
ском спектре информации о фа¬
зах спектральных компонент, не
О	(У позволяет восстанавливать по не-
Рис. 18.2	му форму исходного колебания.
18.2.	Формулы Винера—Хинчина
Обычное преобразование Фурье устанавливает связь между
законом изменения сигнала во времени и его частотным спект¬
ром. Усредненные характеристики временных и частотных свойств
случайного процесса, т. е. функция автокорреляции и энергетиче¬
ский спектр, также взаимосвязаны. Существует формула, назван¬
ная именами ученых Н. Винера и А. Я. Хинчина, независимо друг
от друга получивших ее. Согласно этой формуле энергетический
спектр стационарного случайного процесса с нулевым средним зна¬
чением и его автокорреляционная функция связаны прямым и об¬
ратным интегральными преобразованиями Фурье.
Проследим путь ее доказательства, взяв в качестве исходного
определение энергетического спектра. .Воспользуемся тем, что ум¬
ножению спектральных функций соответствует свертка их ориги¬
налов и преобразуем по Фурье правую часть формулы (18.4), для
простоты опустив при записи аргументы функций
lim
Т—00
О; гО
7
*
i Т
lim
Г-00
xi T®Xj Г
г
(18.7)
Раскрыв выражение свертки (символ (х) ), получим внешне уже
знакомую формулу АКФ колебания Xi(t) [см. § 17.8 и выражение
(18.65)]:
Y, (т) = lim$Xi(t)Xi(t—T)dt.	(18.8)
Т~*00 Т
434

Чтобы получить окончательный результат, следует произвес¬
ти усреднение по множеству реализаций в обеих частях соотноше¬
ния (18.7), строго доказав при этом допустимость перестановки
операций математического ожидания, предельного перехода и ин¬
тегрирования типа свертки. Не останавливаясь на доказательст¬
ве отметим только, что для функций, описывающих реальные фи¬
зические процессы без детерминированных составляющих, такая
перестановка операций возможна. Поэтому окончательную фор¬
мулу можно записать в виде пары преобразований Фурье
(Y(x)e_JlOTdT = S(to)« Т(т) = — ( S (со) е1шт d ю,	(18.9)
—оо	2я_00
где Ч*-(т)	(т)) — автокорреляционная функция стационарно¬
го (не обязательно эргодического) случайного процесса X(t) с
нулевым средним значением.
Если наряду со стационарностью обеспечена и эргодичность,
то, как мы уже знаем из § 17.8, автоковариационНая функция сов¬
падает с автокорреляционной. Поэтому соотношение Винера —
Хинчина чаще всего формулируют применительно к эргодическим
процессам, говоря, что энергетический спектр есть Фурье-образ
АКФ.
Пользуясь свойствами четности функции автокорреляции
(17.66) и энергетического спектра (18.4), а также понятием одно¬
сторонней спектральной плотности (18.5), можно при помощи фор¬
мулы Эйлера избавиться от показательных функций в полученных
формулах и представить их иначе:
ОО	1
S (со) = 2 f Y (т) cos ют d т = — S0 (со),	'(18.10)
о	2
Т(т) = —fS0 (ю) cos со т dm = — f S (ю) cos ют d ю.	(18.11)
2n 0J	я 0J
Нередко вместо «круговой» частоты ю берут «циклическую»
частоту f=ю/2я. При такой замене прямое и обратное преобразо¬
вания приобретают симметричный вид:
S(f) = 2 Jy(t)cos 2nfjdT,	(18.12)
оо
¥ (т) = 2 (S (/) cos2nfidf.	(18.13)
oJ
Аналогично	понятию	нормированной	функции	автоковариации
(коэффициента	автокорреляции)	иногда	пользуются	нормирован¬
ным энергетическим спектром, определяющим относительное рас¬
пределение средней мощности случайного процесса по шкале час¬
тот:
s (ю) = S (ю)/а2.
435
(18.14)

В этом случае все преобразования формулы Винера—Хинчи-
на остаются справедливыми, если вместо 5(ю) и Чг(т) в них уча¬
ствуют s(со) и R(т).
18.3.	Свойства спектрально-корреляционных характеристик
стационарного случайного процесса
Автокорреляционной функции и энергетическому спектру вся¬
кого процесса присущи свойства, которые характерны для любой
пары функций, связанных преобразованием Фурье. В частности,
чем шире спектр 5(со), тем более «узка» функция ЧДт), и наобо¬
рот.
В качестве меры ширины энергетического спектра стационар¬
ного случайного процесса часто берут «энергетическую ширину»
Д/э, определяя ее по формуле
Afs = ]S(f)df/S(f0),	(18.15)
о
где S(fo) —значение энергетического спектра на некоторой харак¬
терной частоте (рис. 18.3). Обычно f0 соответствует положению
максимума спектральной плотности мощности. Значение Afd в об¬
щем случае превосходит полосу, определяемую по уровню поло¬
винной мощности 0,5 S(fo) (по напряжению — по уровню 0,7).
Ширину кривой >И(т) принято оценивать интервалом корреля¬
ции, который находят по формуле
00
| Y(T)dT
Д тк = —	=U(T)dT.	(18.16)
к	Т(0)	о
Иначе говоря, интервал корреляции есть полуширина прямоуголь¬
ника единичной высоты, равновеликого с площадью, заключенной
под кривой коэффициента корреляции.
Для установления количественной связи между энергетической
шириной спектра случайного процесса и его интервалом корреля¬
ции отметим два следствия, вытекающих из (18.12) и (18.13).
Первое из них представляет равенство Парсеваля в несколько ви¬
доизмененной форме и получается из (18.13) при т=0:
Y(0) = 2 ]s(f)df,	(18.17)
о
авторов — из (18.12) при /=0:
5(0) = 2 jV (т) dx.	(18.18)
о
Ограничимся далее рассмотрением процессов, для которых
можно принять fo=0. Тогда S(fo)=S(0) и после подстановки
(18.17)	в (18.16), а (18.18) — в (18.15) имеем
436

Л/э =
(18.19)
$S(f)df
о
2
| ¥ (t) d t
0
j ¥ (t) d x
AxK = -^	 .	(18.20)
2 Js (/)d/
о
Удвоив каждое из полученных равенств и перемножив правые
и левые части, придем к окончательной формуле
2	Д /э 2 Д тк = 1.	(18.21)
Таким образом, зная интервал корреляции случайного процес¬
са, можно определить энергетическую ширину спектра как вели¬
чину, обратно ей пропорциональ¬
ную. Иногда интервалом корреля¬
ции называют 2Дтк, а энергети¬
ческой шириной спектра — 2 Af3
однако это не меняет существа де¬
ла, поскольку произведение на¬
званных параметров остается посто¬
янным.
Если максимум энергетическо-	Рис. 18.3
го спектра располагается на ча¬
стоте, отличной от нуля, то вывод уравнения, подобного (18.21),
усложняется. В тех случаях, когда ширина спектра Д/э не намно¬
го отличается от частоты, соответствующей его верхней границе
/в (случайный процесс с таким спектром называют широкополос¬
ным), все приведенные формулы остаются достаточно точными. В
случаях, когда Д/э<^/о (узкополосный процесс) определение интер¬
вала корреляции по формуле (18.16) теряет смысл, так как сам
случайный процесс становится похожим на гармонический сигнал,
параметры которого (амплитуда и фаза) изменяются гораздо мед¬
леннее, нежели мгновенные значения колебания частоты fo. Коэф¬
фициент автокорреляции узкополосного процесса с симметричным
относительно /0 спектром обычно представляют в виде
#(t) = p(t)coso)0t,	(18.22)
где р(т) —медленная функция, представляющая собой корреляци¬
онную характеристику случайных параметров процесса.
Произведение (18.21) остается в силе и при анализе узкополос¬
ного процесса, если в (18.16) вместо R(t) подставлять функцию
Р(т).
Более подробно узкополосные случайные процессы рассматри¬
ваются в гл. 19.
437

Среди приводившихся выше формул заслуживает особого об¬
суждения выражение (18.17). Его удобнее переписать в более на¬
глядной форме:
o\ = ]s0(f)df,	(18.23)
о
показывающей, что весь энергетический спектр случайного процес¬
са заключает в себе всю его мощность (разумеется, речь идет о
средней мощности). Возможные разновидности этой формулы воз¬
никают при переходе к круговой частоте, при использовании двух¬
сторонней спектральной плотности и т. д. Как видим из (18.23),
если а2(х) — мощность, то энергетический спектр S{f) имеет раз¬
мерность энергии [Вт/Гц=Вт-с], что и объясняет его название.
Если случайный процесс подвергается линейному преобразова¬
нию, то изменяется его энергетический спектр и АКФ. Остановим¬
ся на нескольких простейших преобразованиях.
а) Обозначим здесь через Y(t) производную случайного процес¬
са X (/) (считая, что она существует)
К(о = ^-Х(о.
Согласно правилу нахождения спектральной функции прЬизвод-
ной по спектру дифференцируемого колебания, для любой реали¬
зации процесса X(t)T длительностью Т можем написать
~ ИОННИО.Нг].	(18.24)
Подставив это выражение в (18.5), если X(t) — стационарный
случайный процесс, найдем энергетический спектр его производ¬
ной
Sy(e>) = efiSx(a>).	(18.25)
Такое произведение может быть представлено как результат дву¬
кратного умножения спектральной функции Sx(u>) на jto и пере¬
мены знака на противоположный. Поскольку каждое умножение
на jco эквивалентно дифференцированию оригинала спектральной
функции [т. е. Ч'Пт)], легко находим функцию автокорреляции
производной
Sy И = -(]• Ф>2 Sx Н  	Vx (т) = ЗД-	(18.26)
^Следовательно, автокорреляционная функция производной слу¬
чайного процесса равна второй производной от его функции авто¬
корреляции, взятой с обратным знаком
'ЗД = -'Г'ж(т).	(18.27)
Обязательным условием для выполнения выведенного правила
-является дифференцируемость X(t), а также и 1Рж(т). Отметим,
что при этих условиях формула (18.27) верна и для нестационар-
438

ного случайного процесса X(t)T с ограниченными по длительности
реализациями.
б)	При интегрировании стационарного случайного процесса по
формуле
Y(t)= J X (t) dt.	(18.28)
—оо
могут возникать осложнения в связи с тем, что не всякий стацио-
нарный процесс X(t) дает после интегрирования также стацио¬
нарную случайную функцию Y(t). Если, однако, стационарность
У(/) очевидна, то энергетический спектр такого процесса опреде¬
ляют по формуле, обратной (18.25):
Sy(«>) = Sx(со)/со2.	(18.29)
в)	При суммировании двух некоррелированных случайных
процессов X(t) и Y(t), обладающих автоковариационными функ¬
циями ЧбеСг), (т), автоковариация ^(х) суммы
Z(t) = X(t) + Y(t)
находится с помощью основного определения
V, (т) = qx (i) + Y (01 [X (t-т) + Y (t- x)I> =
= <X (t) X (t-x)> + (Y (0 Y (f—x)> + <X (0 Г(#-х)> +
+ <X(f-x)K(f)>.
Математическое ожидание смешанных произведений (третье н
четвертое слагаемые) в силу некоррелированности процессов рав¬
но нулю, поэтому
1®г«'(х) = 11гя(х) + Т*(х).	(18.30)
Спектральные характеристики, получаемые отсюда преобразо¬
ванием Фурье, также складываются вне зависимости от того, удо¬
влетворяются ли условия стационарности и, тем более, эргодично¬
сти для слагаемых. Полученный результат легко распространить,
на случай суммирования многих некоррелированных процессов.
г)	Корреляционную характеристику произведения двух незави¬
симых случайных процессов X (t) и У (t) можно найти, пользуясь
правилом (17.28) для отыскания математического ожидания про¬
изведения независимых случайных величин. По определению ав¬
токовариация произведения Z(t)=X(t)Y(t) равна
^z(x) = <X (0 X (t—х) Y(f)Y (t—х)>.	(18.31)-
ОО	0	0
Входящие в каждую пару X(t)X(t—х) и Y(t)Y(t—х) сомно¬
жители можно рассматривать как новые независимые случайные
функции времени. Так как в любой момент времени t мгновенные
значения этих функций являются независимыми случайными ве¬
личинами, то математическое ожидание их произведения равно
произведению математических ожиданий. Поэтому
ВД = *я(т)ЧМт).
439
(18.32)

Перемножению функций-оригиналов соответствует свертка их
Фурье-изображений. Таким образом, энергетический спектр про¬
изведения независимых стационарных случайных процессов следу¬
ет искать как свертку энергетических спектров сомножителей.
Если процессы нестационарны, то свертке подлежат соответствую¬
щие спектральные образы ЧД и Ч^:
¥z (т) = Чх (т) Чу (т)« Sx (и) ® Sy (и) = Sz (и).	(18.33)
Знак® означает операцию свертки по правилу
Sx (о) ® 5у (to) = Jsx (Q) Su (a>—Q) d Q,	(18.34)
—oo
которое применимо и для других функций.
18.4.	Примеры корреляционных характеристик случайных
процессов. Функция корреляции детерминированного сигнала
Для лучшего понимания физической сущности и свойств кор¬
реляционных функций остановимся на нескольких примерах.
1.	Пусть стационарный эргодический случайный процесс обла¬
дает односторонней спектральной плотностью мощности S0(f) —
= N0, постоянной в интервале частот (0, fB) и равной нулю вне
этого интервала (рис. 18.4). Найдем АКФ такого процесса, вос¬
пользовавшись формулой (18.13):
Ч (т) = 2 Is if) cos2nf xdf— l BN0 cos 2л f x df = N0 fB sin2jt/liT. (18.35)
0	0	в T
График полученной кривой (рис. 18.5), как и следовало ожи¬
дать, имеет форму, характерную для Фурье-образа прямоугольной
функции.
2.	Построим функцию взаимной корреляции двух эргодически
связанных квазидетерминированных стационарных случайных про¬
цессов
X (t) = cos (w01 + ф),
Y (t) = cos (w01 + 0 + cp),
где ф — общая для X(t) и У(?) случайная фаза, равномерно рас¬
пределенная на интервал [—л, л] с плотностью вероятности
440

U7i(<p) = l/2tt; 0 — известный постоянный сдвиг фазы колебаний
Y(t) относительно X(t).
Подобная задача может возникнуть при анализе работы син¬
хронизированных автогенераторов.
По определению ВКФ имеем
^(т) = <Х, Kj> =	ф)Y(t—T, ф)№,1(ф)с*ф =
—Л
= cos (togx + 0).*	(18.36)
Можно самостоятельно получить тот же результат, проводя
усреднение по времени.
На рис. 18.6 показана функция взаимной корреляции при
0 = —я/2, т. е. для процессов X(t) = соз(ш0И-ф) и У(t) = sin(cD0H-
+ф). Обратим внимание на две особенности: во-первых, несмотря
на то, что связь между процессами является функциональной (,т. е.
жесткой), а не статистической, поскольку аргументы обеих слу¬
чайных функций различаются известной величиной и однозначно*
определяют друг друга, взаимная корреляция Ч^гДт) при некото¬
рых т может быть нулевой; во-вторых, введение дополнительного-
фазового сдвига ф в оба колебания, равносильного сдвигу начала
отсчета времени на ф/ю0, не отражается на конечном результате
(18.36). Это прямо указывает на эргодичность рассматриваемых
процессов.
С помощью (18.36), приняв 0 = 0, получаем автокорреляцион¬
ную функцию, относящуюся к любому из двух процессов
Y (т) = -i- cos ю0 т.	(18.37)
Ее график показан на рис. 18.7. «Неубывающий» характер
огибающей этой функции объясняется наличием детерминирован¬
ной связи между мгновенными значениями процесса, разделенны¬
ми сколь угодно большими интервалами.
Приведеный результат (18.35) совпадает с взаимной корреля¬
ционной функцией полностью детерминированных гармониче¬
ских процессов. Чтобы убедиться в этом, достаточно, устранив
* В данном случае расчетная формула цроще, чем (17.52) потому, что ус¬
ловия задачи содержат лишь одну случайную переменную, по которой н про¬
изводится усреднение.
441

случайную фазу ф в обоих колебаниях, определить их взаимную
корреляцию через операцию усреднения по времени
ЧХу (т) = — j [cos (&V+ 6) c°s со0 (t—т )]dt= —cos(coot + 0),	(18.38)
Т о	2
где Г=2л/со0-
Напомним, что для финитных детерминированных сигналов
ui(t) и U2(t) функцию автокорреляции принято находить с помо¬
щью выражений, подобных (17.66), не производя, однако, деления
на Т. В частности, АКФ определяется формулой
Ч (т) = ju (0 и (t—т) dt.	(18.39)
Это соотношение пригодно и для отыскания автокорреляционной
функции квазидетерминированного сигнала.
3.	На рис. 18.8 показано построение функции автокорреляции
случайного импульсного сигнала треугольной формы, реализации
которого описываются зависимостью
и,(0 = f 1 —^ ПРИ	ЬХТП’	(18.40)
I 0 при t — ti< 0 и t—ti>Tvl,
где ti — случайный момент времени.
Пунктирной линией на рис. 18.8,а показан тот же сигнал, но
со сдвигом на т, а кривая на рис. 18.8,6 изображает произведение
■Ui(t—U)Ui(t—ti+х). Площадь, заключенная под этой кривой,
■численно равна значению Чг(т) при выбранном т. Очевидно, что
площадь максимальна при т = 0 и обращает¬
ся в нуль при т>ТН. Из определения авто¬
корреляционной функции (18.39) следует,
что ЧДт) является четной функцией своего
аргумента, так как замена переменной t на
t' = t—т приводит к выражению
¥(т)= °\ui{t)ui{t + x)dt.	(18.41)
— оо
Действительно, площадь под кривой на
рис. 18.8,6 не изменяется, если первый сиг¬
нал сдвигать по оси времени влево, вместо
того чтобы смещать вправо второй сигнал. В
связи со сказанным кривая ¥ (т) (рис. 18.8,в)
имеет симметричную форму. Эта форма не
зависит от номера реализации, так как в
каждом из интегралов вида (18.39) можно
произвести замену переменной t—/< = 0, что
сделает расчетную формулу одинаковой для
всех реализаций.
Вообще свойство четности присуще АКФ
любых процессов, а не только стационар¬
ных, как было нами установлено раньше.
442
Рис. 18.8

18.5.	Белый шум
В случаях, когда шум возникает в результате совместного про¬
текания множества слабо зависимых явлений (например, вылета
электронов с поверхности катода), мгновенные значения получае¬
мого случайного процесса оказываются почти не связанными а
статистическом смысле в достаточно близкие моменты времени
Для многих задач весьма продуктивным является приближен¬
ное представление автокорреляционной характеристики подобного
процесса x(t) в виде б-функции
1р(т) = -^ б(т),	(18.42))
где Л/о/2 — постоянный множитель.
Смысл (18.42) состоит в том, что значение x(t) в любые два
сколь угодно близкие моменты времени считаются некоррелиро¬
ванными. Энергетический спектр данного процесса, вычисленный
по формуле (18.9), равен
S(со) = -^- |8(т)е-1“Мт = -^-,	(18.43)
2		on	2
так как
^б(т)е-1“Мт=1.	(18.44)
— оо
Таким образом, спектральная плотность мощности процесса
постоянна при всех частотах (рис. 18.9).
Случайный процесс, обладающий равномерным энергетическим:
спектром, называют белым шумом по аналогии с белым светом,,
имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр.
Если найти полную мощность (дисперсию) рассматриваемого
процесса посредством равенства Парсеваля (18.17), то результат
а2 = оо будет абсурдным с физи¬
ческой точки зрения. Это являет¬
ся следствием принятой идеали¬
зации. В то же время такая
идеализация вполне применима,
когда время корреляции шума
много меньше постоянной време¬
ни системы, питаемой от источни¬
ка такого случайного процесса,
или иначе, когда АЧХ исследуемой радиоцепи дает возможность
считать спектральную плотность на входе приближенно постоян¬
ной.
Использование понятия белого шума позволяет находить все
необходимые характеристики случайного процесса на выходе ра-
1 «Достаточно близкие» — в сравнении с постоянными времени исследуемых
систем.
з0П
No
г
Рис. 18.9
443

диосистемы только через собственные параметры радиоцепей, вхо¬
дящих в ее состав.
Отметим, что законы распределения плотности вероятности бе¬
лого шума могут быть любыми и во многих приложениях их удоб¬
но считать нормальными.
Вопросы для самопроверки
1.	Назовите причины, затрудняющие использование обычных пре¬
образований Фурье для анализа случайного процесса.
2.	Перечислите свойства энергетического спектра S(co) действи¬
тельного случайного процесса, вытекающие из определения
функции S(co).
3.	Может ли АКФ стационарного случайного процесса иметь
форму прямоугольника, симметричного относительно начала
координат?
4.	Может ли коэффициент корреляции физически осуществимого
стационарного случайного процесса иметь вид функции sin т/т?
5.	Выпишите в виде формул основные свойства АКФ центриро¬
ванного стационарного случайного процесса.
6.	Выпишите в виде формул правила преобразований АКФ слу¬
чайных процессов при выполнении основных математических
операций с самими процессами.
7.	Постройте АКФ балансно-модулированного по амплитуде гар¬
монического сигнала вида
s (t) — cos (Q t -f a) cos (co01 -f P),
где аир — независимые случайные начальные фазы, неизмен¬
ные на протяжении каждой реализации.
8.	Найдите энергетический спектр стационарного случайного
процесса, АКФ которого имеет вид
¥ (т) = ст2ж е—a Iт I.
9.	Постройте АКФ стационарного случайного процесса, энергети¬
ческий спектр которого имеет форму прямоугольника шириной
Па с центром на частоте со0-
10.	Найдите графическим путем АКФ пачки из N одинаковых
прямоугольных импульсов с длительностью то и интервалом
Т — то между ними.
11.	Найдите графическим путем АКФ пары прямоугольных им¬
пульсов с длительностью, равной промежутку между ними, и
амплитудой, различающейся в 2 раза.
12.	Вспомните, какой идеализированный неслучайный сигнал име¬
ет энергетический спектр, совпадающий со спектром мощности
белого шума.

ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЦЕПЯХ
19.1.	Спектрально-корреляционные характеристики случайного
процесса на выходе линейного фильтра
Исчерпывающее решение вопроса о прохождении случайного
процесса через линейный четырехполюсник в общем случае требу¬
ет отыскания многомерных распределений выходного колеба¬
ния, что представляет сложную задачу. Она существенно упроща¬
ется, если ограничиться расчетом характеристик, необходимых в
рамках корреляционной теории, и рассматривать только устано¬
вившиеся процессы.
В настоящем параграфе мы будем считать параметры линей¬
ной системы постоянными во времени.
Обратимся к правилам нахождения энергетического спектра
■S2(co) и автокорреляционной функции ^(т) стационарного слу¬
чайного процесса на выходе линей¬
ного четырехполюсника с комплекс¬
ной передаточной характеристикой
J((со) или импульсной характерйсти-
кой g(/) при условии, что спектр
-Si (со) или функция автокорреляции
входного процесса ^(т) заданы
(рис. 19.1).
Пусть на четырехполюсник действует конкретная «усеченная»
реализация входного случайного процесса Х\ (t)r^—>-(Si((o)t. Вы¬
зываемый им отклик на выходе х2(^)г обладает спектром
Х(со) Gj (со)т’. Если подставим это выражение в основную форму¬
лу для определения энергетического спектра (18.5), то получим
<|К (со) С?! (<в)т |2)	1^ (ш) |2 <|Gi(co)T |2>	/1п1ч
S2(o>) = lim		—-	= hm			(19.1)
Т-ОО	Г	Т“*О0	1
или
%<х)
К (0)1
или
g.(t)
>S2(o)J
или
Рис. 19.1
Так как К (со) не зависит от Т, этот множитель выносится за
знак предела. Тогда сам предел в соответствии с определением
есть энергетический спектр входного процесса. Иначе говоря,
St((o) = K‘(ct)S1(w),	(19.2)
т. е. энергетический спектр на выходе линейного фильтра равен
произведению квадрата модуля его коэффициента передачи на
входной энергетический спектр. Как и следовало ожидать, резуль¬
тат не зависит от фазочастотной характеристики системы. Ис¬
пользуя обратное Фурье-преобразование функции S2(co) получим
ЧВД —АКФ выходного процесса.
Корреляционную характеристику выходного сигнала можно
получить и непосредственно. Сравним полученную формулу (19.2)
с известным выражением, связывающим обычные спектры Фурье
входных и выходных сигналов Wi(0 и w2(/)—Gi(co)h G2(co) во
445

всяком линейном четырехполюснике с передаточной функцией и
импульсной характеристикой К(а>)*—*g(t):
«2 (t) = g{t)® «1 (t) ** G2 (со) = K(a)G1 (со).	(19.3)
Это соотношение еще раз напоминает о связи операций перемно¬
жения и свертки функций в частотной и временной областях.
По аналогии с (19.2), можно сразу записать ^(т) как сверт¬
ку ЧМт) с некоторой функцией ср(т), имеющей своим Фурье-изо-
бражением квадрат модуля частотной характеристики К2(со):
(т) = Ф (т) ®	(т)« /С2 (со) Sx (со) = S2 (со),	(19.4)
где
Д^2 (со) ср (т).	(19.5)
Если свойства линейной цепи заданы не частотной характери¬
стикой Д(со), а импульсной характеристикой g(t), то для отыска¬
ния ф(т) следует установить ее связь с импульсной характерис¬
тикой. Запишем квадрат модуля частотной характеристики К2 (со)
в виде произведения комплексно сопряженных сомножителей
Д2 (со) = Д (со) Д (—со).	(19.6)
Фурье-оригиналом первого из них является g(t), а второго —
g(—t). На этом основании:
K2(f*)»g(t)®g{-t) = Ф(т).	(19.7)
Здесь для удобства символ абсолютного времени t заменен на т—
символ, означающий относительный сдвиг.
Раскрыв условное обозначение операции свертки, получим
со
ф(т) = fg(0)g(0—*)dQ,	(19.8)
—оо
что тождественно отысканию АКФ отклика g(t). В литературе
нет установившегося названия функции ф(т). Будем называть ее
в дальнейшем функцией автокорреляции им¬
пульсного отклика линейной цепи.
Выбор целесообразного метода расчета
спектрально-корреляционных характеристик
случайного процесса в линейной цепи зависит
от того, какая из них необходима — энерге¬
тический спектр или функция автокорреля¬
ции, каким образом заданы свойства системы
и от того, где (на входе или на выходе) и в
какой форме определены параметры случай¬
ного процесса, принимаемого за исходный.
При отыскании выходных характеристик
S2(w) или 4^2 (т) по известным входным пара¬
метрам Si (со) или ^(т) и одной из функций,
характеризующих параметры цепи К (о),
К2 (со), g(t) или ф(т) оптимальный способ
446

расчета (алгоритм) с минимальным числом однократных инте¬
гральных преобразований можно выбрать при помощи условной
схемы (графа) на рис. 19.2.
Слева на схеме в кружках записаны две возможные характе¬
ристики входного процесса — автокорреляционная функция
Ч'Дт) и энергетический спектр S^co). Каждая из стрелок между
ними указывает на возможность перехода от одной из характери¬
стик к другой путем математического преобразования, а волнис¬
тая черточка на стрелке поясняет, что преобразование является
интегральным. В средней части графа в кружках, расположенных
друг под другом, дан перечень возможных характеристик систе¬
мы. Стрелки между символами этой группы также говорят о воз¬
можностях преобразования одних характеристик в другие, а
волнистые черточки подчеркивают, что необходимые для этого
математические операции связаны с интегрированием (более про¬
стые операции — умножение, отыскание модуля и т. п. не показа¬
ны). Справа на схеме указаны возможные характеристики выход¬
ного случайного процесса.
Стрелки, связывающие левую группу символов со средней, а
среднюю — с правой, показывают, какой из параметров входного
процесса, будучи преобразованным совместно с характеристикой
системы, дает ту или иную характеристику выходного случайного
процесса.
Рассмотрим в качестве примера следующие условия.
Даны Чг](т) и g(t), найти S2(co). С помощью схемы, изобра¬
женной из рис. 19.2, строим алгоритм расчетных операций, изо¬
бражая его в виде графа на рис. 19.3. Одновременно воспроизво¬
дим вторую возможную схему преобразований (рис. 19.4). Срав¬
нивая оба варианта, можем предположить, что второй выгоднее
первого, ибо он включает лишь две операции интегрирования,
тогда как по первому алгоритму их придется выполнить трижды.
Поясним конкретное содержание преобразований во втором алго¬
ритме. Переход от Ч'Дт) к Si (со) совершается по формуле Вине¬
ра— Хинчина [например, (18.10)], передаточная функция К(со)
находится как изображение Фурье для g(t). Далее ищем квад¬
рат модуля этой функции и путем его перемножения с S^co)
имеем S2 (ю).
Не следует думать, что алгоритм с минимальным количеством
интегральных операций всегда будет лучшим с точки зрения вы¬
полнимости необходимых преобразований. Поэтому при возникно¬
вении трудностей вычислительного характера может оказаться
447

полезным использование других путей решения, которые также
изображены на рис. 19.2.
Приведенную схему нетрудно приспособить и к решению обратных задач,
когда требуется определять параметры входного процесса по известным выход¬
ным характеристикам. Следует только помнить, что не всякое интегральное пре¬
образование имеет «парное» себе обратное. Так, если интеграл Фурье можно
почти всегда использовать при двухсторонних преобразованиях, то интеграл
свертки в общем случае может не иметь себе «пары». Практически ■ это озна¬
чает, что по функции, являющейся результатом свертки, не всегда можно уста¬
новить вид подынтегральной функции. Это обстоятельство нашло отражение на
схеме при выборе направлений стрелок, указывающих возможные переходы.
19.2.	Действие белого шума на линейные фильтры
с постоянными параметрами
Во многих задачах спектральная плотность мощности стацио¬
нарного случайного входного колебания почти постоянна в пре¬
делах, превышающих полосу пропускания системы. При подобных
условиях входной процесс удобно считать белым шумом.
Задавшись постоянной спектральной плотностью Sl(a)=N0/2
на входе цепи с характеристикой /С2 (со) из (19.2) получаем, что
энергетический спектр на выходе в этом случае с точностью до
постоянного множителя повторяет характеристику /С2 (со):
=	(19.9)
и, следовательно, в соответствии с (19.5) и формулой Винера —
Хинчина функция автокорреляции выходного процесса пропорцио¬
нальна АКФ импульсного отклика ср(т)
Т,(т) = ^-ф(т).	(19.10)
Таким образом, спектрально-корреляционные параметры слу¬
чайного колебания на выходе фильтра при белом шуме на входе
полностью определяются свойствами самого фильтра. Это касает¬
ся и энергетической ширины выходного спектра, которая в этом
случае определяет шумовую полосу линейного четырехполюсника.
Формально шумовую полосу можно найти, пользуясь (18.15) и
(18.9):
ОО	1 ОО
\K4f)df	— $/C2(w)dco
А /га = —	= ^	 ,
/С2 (/о)	К*(Щ)
где /о='<0о/2я — частота, на которой располагается
редаточной функции фильтра. Учитывая (17.23),
можно также представить в виде
(19.11)
максимум пе-
эту формулу
(,9Л2)
В качестве иллюстрации проанализируем спектрально-корреля¬
ционные характеристики случайного напряжения на конденсаторе
448

в #С-цепи (рис. 19.5) при действии на ее вход стационарного бе¬
лого шума с единичной спектральной плотностью мощности, В2/Гц
JV0/2=1.
Комплексная передаточная функция и импульсная характери¬
стика такой цепи имеют вид
К (®)
1
1 + j шт0
t > О,
*<0,
(19.13)
где т0 = RC — постоянная времени.
В соответствии с (19.9) энергетический спектр на выходе
S2 (о) = Кг(®) =	5	=				 = /С2 (/) = S2 (/),	(19.14)
к ’	1 + ш2т2„	1 + (2я/)2т20	’
а функция автокорреляции выходного напряжения из (19.10) q
учетом (19.8) равна
е-т/т.
<*>	<*> р— (2t—•Т)/Т0
¥2(т) = ф(т)= \g{t)g{t—x)dt=\			dt--
2т0
при т > 0.	(19.15)
Так как в данном случае f0=соо/2я, с помощью (19.12) нахо¬
дим шумовую полосу интегрирующей ^С-цепи
д t 	 <Р (0) _ 1
2/С2 (0)	4 т0 •
(19.16)
Форма выходного энергетического спектра и соответствующей
ему автокорреляционной функции показана на рис. 19.6, где так¬
же обозначены интервалы, равные шумовой полосе А/ш и интер¬
валу корреляции выходного шума Атк. Значение Атк находится из
(18.2)	и на основании (19.16) составляет Атк=то.
Рис. 19.5
Рис. 19.6
Отметим, что на рисунке изображена лишь одна ветвь АКС,
так как другая из-за свойства четности симметрична первой. В
связи с этим формула функции автокорреляции, справедливая для
обеих ветвей, должна записываться в виде
¥ (т) = ф (т)=—ехр— V	(19.17)
2т0	\ т„ У
449
15—100

Интересно сравнить найденное значение шумовой полосы Д/ш
ЯС-цепи с ее полосой пропускания Д/о,7, определяемой по спаду
модуля частотной характеристики фильтра до уровня 1/]/ 2 от
максимума. Известно, что в рассматриваемом четырехполюснике
полоса Д/о,7 занимает интервал (О, /в), где
Л/0.7=/в=^
2 п
2 пх0
(19.18)
Сопоставляя это значение с (19.16), находим, что шумовая по¬
лоса превышает Afoj в я/2 раз:
А /щ 	_п
Л/о.7 _ ~2
(19.19)
Полученный результат будет понятен, если вернуться к опре¬
делению понятия шумовой полосы. Как видно из (19.11), Д/ш за¬
висит от площади, заключенной под всей кривой K2(f) и, следова¬
тельно, позволяет рассчитать полную мощность шумов, проходя¬
щих на выход фильтра при равномерном спектре на входе. Вели¬
чина же Д/о,7 определяется по некоторому условному уровню и не
зависит от поведения частотной характеристики за пределами по¬
лосы пропускания.
Различие между шумовой и обычной полосой приходится учи¬
тывать в случае, когда четырехполюсник имеет пологую частотную
характеристику. Если кривая /((/) близка к прямоугольной, т. е.
резко спадает, начиная с некоторой частоты, то разница между
Дfni и Д/0,7 незначительна.
Решим задачу о действии стационарного случайного тока i(t),
обладающего равномерным энергетическим спектром Si единич¬
ной плотности Л/о/2=1 на параллельный колебательный LC-контур
с высокой добротностью Q. Необходимо найти энергетический
спектр и автокорреляционную функцию Ч'гСг) напряжения u(t) на
контуре (рис. 19.7).
Роль частотной характеристики, связывающей заданный ток с
искомым напряжением, играет комплексное сопротивление кон¬
тура
2 (со)
Яр f
1 -И (Ш — Шо) Т0
(19.20)
где со = сор — резонансная частота контура; RP — резонансное со¬
противление; то — постоянная времени контура, определяемая как
т0 = 2 Q/cOq.
Квадрат модуля характеристики (19.20) в заданных условиях
численно равен интересующему нас энергетическому спектру на¬
пряжения
	*!е		 .
1 + (со — со0)2 т2*
Sa (со) = 2* (со) да
(19.21)

Автокорреляционную функцию можно найти посредством пре¬
образования Винера — Хинчина. В результате при соо^П/то оказы¬
вается, что
р 2
(т) « — е_ 1 т 1 /т° cos со0т.	(19.22)
Энергетический спектр и АКФ в рассмотренном случае изобра¬
жены на рис. 19.8. Форма Ч^т) типична для колебательной систе¬
мы с узкой полосой и симметричной относительно со0 частотной
характеристикой.
Посредством (19.12) находим значение шумовой полосы LC-
контура
д/ - У(°> - 1
,ш 2 К2 (со„)	2 т0
(19.23)
и, сравнив результат с полосой пропускания Л/0,7= 1/лто, приходим
к отношению
А /ш _ _я
д/о,7	2
(19.24)
Видим, что полученная величина не отличается от найденной
для интегрирующей 7?С-цепи. Этот станет понятным, если учесть,
что частотные характеристики обеих рассмотренных цепей отли¬
чаются лишь сдвигом по оси частот на соо и при равных то имеют
одинаковую форму.
19.3.	Действие нормального шума на линейную цепь.
«Нормализация» случайных процессов в линейных фильтрах
Строгий анализ показывает, что для гауссовских процессов
свойство «нормальности» сохраняется после того, как они преобра¬
зуются линейной цепью. В этом можно убедиться и при помощи
рассуждений, которыми мы уже пользовались в § 17.9.
Пусть X(t) —Гауссов случайный процесс на входе линейного
четырехполюсника с импульсной характеристикой g(t). Предста¬
вим источник такого колебания в виде последовательного соедн-
1Б*	451

нения некоторого генератора очень коротких случайных импуль¬
сов и линейного фильтра, обладающего такой импульсной харак¬
теристикой go(t), что она обеспечивает заданные корреляционные
свойства процесса Xi(t). Плотность импульсного потока будем
считать настолько высокой, что этот процесс можно считать Га¬
уссовым (рис. 19.9).
жли
3
(Ы -°*2<«=
-41
c/zlt)
Генератор
x,(t)
случайных
импульсов
1°
г
11
1
—L
ээСлСУ
Рис. 19.9
'I'aK как последовательная комбинация двух фильтров по-преж¬
нему является линейным четырехполюсником с результирующим
импульсным откликом g%{t), случайный процесс X2(t) также бу¬
дет обладать нормальным распределением, если эффективная про¬
должительность суммарного отклика (в физически реализуемых
цепях она всегда отлична от нуля) также существенно превыша¬
ет средний период следования импульсов. Таким образом, всякий
Гауссов процесс остается Гауссовым и после линейного фильтра.
Полученный вывод согласуется с тем, что всякая линейная
комбинация нормальных величин имеет также нормальное рас¬
пределение.
Так, это верно для суммы двух Гауссовых случайных величин
Xi + x2. Представим каждую из них суммой настолько большого
числа Ni и N2 независимых слагаемых, чтобы к результатам мож¬
но было применить центральную предельную теорему
ЛЧ	N,	Ni+N,
*1 + *2 =2 д*г + 2! д *ft= 2 Ах1-
1=1	k=l	1=1
После сложения двух сумм число слагаемых возрастает и об¬
щий результат будет также распределен по Гауссову закону. По¬
скольку интегрирование есть предельный случай суммирования,
фильтрация нормального случайного процесса идеальной интегри¬
рующей цепью не нарушает свойства нормальности.
Дифференцирование — также линейная операция, поскольку
-^-х(0 = Нт-^)--дс(<-Д<)..
dt	д<-о Д t
Следовательно, после идеальной дифференцирующей цепи Гаус¬
сов процесс остается Гауссовым, когда он является дифференци¬
руемым.
Если функция распределения случайного процесса на входе ли¬
нейного фильтра отлична от Гауссовой, решающую роль в том,
как он трансформируется в фильтре, играет соотношение между
временем корреляции входного сигнала тк и инерционностью цепи
452

(эффективной длительностью или временем корреляции импульс¬
ного отклика А/эфф). При тк<^А^эфф в линейной цепи «запомина¬
ются», складываясь друг с другом на протяжении отрезка време¬
ни порядка Д4фф, результаты последовательного воздействия мно¬
жества статистически слабо связанных отрезков входого случай¬
ного сигнала общим числом порядка N ^ AtЭфф/xк■ Аналогичный ме¬
ханизм образования выходного случайного процесса при такой
фильтрации рассматривался в § 17.9 с той лишь разницей, что там
структура колебания на входе цепи (т. е. тока, протекающего че¬
рез цепь нагрузки электронной лампы) была дискретной, а эле¬
ментарные импульсы в составе случайного сигнала не различа¬
лись по форме.
В соответствии с рис. 19.10 случайный процесс на входе мож¬
но записать как
*i(0 = 2	A*ii(^*i)-
Тогда процесс на выходе имеет вид
эс2 (ty
х2 (о=2 д *2г (*■— 0)=2 А *»« V—ь)
i=—оо	i=1
и по мере роста N вследствие центральной предельной теоремы
будет приближаться к нормальному, независимо от того, каким
распределением	обладает
Х\ (i). Указанное явление на¬
зывают эффектом «нормализа¬
ции» случайных процессов в
линейных инерционных цепях.
Соотношение между време¬
нем корреляции входного шу- -J
ма и импульсного отклика це- \У
пи можно выразить на «ча¬
стотном» языке: чем больше
энергетическая ширина спект¬
ра Д/э случайного процесса на	Рис. 19.10
входе фильтра по отношению
к его шумовой полосе Д/ш, тем сильнее нормализуется этот про¬
цесс после фильтрации.
Отметим, что в наших рассуждениях везде имеется в виду чи¬
сто случайный процесс. Если же в его состав входят детермини¬
рованные составляющие (например, гармоническая компонента в
полосе пропускания), то распределение выходного колебания мо¬
жет быть далеким от нормального.
Пользуясь продемонстрированным подходом, нетрудно пока¬
зать, что белый шум, пройдя любой инерционный фильтр, норма¬
лизуется.
Эффект «нормализации» широко используется на практике при
создании шумовых генераторов и других приборов.
453

19.4.	Случайные процессы в линейных цепях с переменными
параметрами
При анализе линейных преобразований случайных процессов
особое место занимают задачи о прохождении их через линейные
системы с переменными параметрами (такие цепи называют так¬
же нестационарными). Существуют, по крайней мере, две причи¬
ны повышения интереса к нестационарным системам в последние
десятилетия. Первая из них состоит в интенсивном внедрении в
радиотехнические схемы элементов с электрически управляемой
комплексной проводимостью.
Вторая причина связана с необходимостью расчета и конструи¬
рования систем радиосвязи, радиолокации и радиоуправления для
работы на очень далеких расстояниях на Земле и в космическом
пространстве. Особенностью таких систем дальнего действия яв¬
ляется возникновение на пути передачи радиосигнала специфиче¬
ских помех из-за непостоянства условий распространения радио¬
волн. Действие подобных помех проявляется только в процессе
передачи сигналов. При анализе подобного радиоканала, его пред¬
ставляют с помощью переменного комплексного коэффициента пе¬
редачи, так как существуют факторы, изменяющие не только за¬
тухание на пути сигнала к приемнику, но и фазу принимаемых ко¬
лебаний (например, при многолучевом распространении радио¬
волн). Помехи такого происхождения называют мультипликатив¬
ными^, в отличие от аддитивных, т. е. складывающихся с сигна¬
лом.
В самом простом случае, когда мультипликативная помеха сво¬
дится к паразитной амплитудной модуляции, сигнал на выходе
радиолинии Мвых(0 можно представить в виде
«вых (0 = [К (0] («вх (01 + П (t),	(19.25)
где Ывх — входной сигнал, n(t) — аддитивная помеха (щум);
K(t) —мультипликативная помеха.
В более сложных случаях соотношение (19.25) следует пони¬
мать символически, поскольку для учета, например, зависимости
K(t) от частоты сигнал uBx(t) необходимо описать спектральными
характеристиками.
Если при анализе радиоцепей, включающих конкретные физи¬
ческие элементы с переменными параметрами, интересуются пре¬
жде всего детерминированными законами их изменения (как это
делалось в гл. 16), то при изучении мультипликативных помех ос¬
новное внимание уделяют случайным отклонениям параметров ра¬
диолиний от средних значений и влиянию таких помех на спект¬
рально-корреляционные свойства сигналов. Остановимся на этом
вопросе подробнее.
Пусть выходное случайное колебание хч(i) получено путем ум¬
ножения стационарного входного случайного сигнала х\ (t) на
случайную функцию K(t). Это соответствует формуле (19.25)
о Multiply — умножать (англ.).
454

при нулевой аддитивной помехе. Представим передаточную функ¬
цию K(t) суммой детерминированной Ко (О и случайной ДK(t)
частей. Тогда
х2 (f) = ч (0 Ко (0 + % (0> К (0-	(19.26)
Детерминированная часть передаточной функции K(t) обычно
является либо постоянной величиной, либо известной функцией
времени, в то время как AK(t) —чисто случайный процесс, чаще
всего статистически не связанный с x\{t).
Остановимся раздельно на рассмотрении трех характерных ви¬
дов слагаемых, из которых образуется выходной процесс:
1)	слагаемое вида х\ (i)Ko, где Ко — константа;
2)	слагаемое вида xi{i)Ko{t), где Ko{t) —не связанная с xx(t)
детерминированная функция времени с нулевым средним значе¬
нием и автокорреляционной функцией То(т);
3)	слагаемое вида x\{t)AK(t), где AK{t) —эргодическая слу¬
чайная функция с автокорреляцией Тд (0, независимая от x\{t).
Слагаемые первого вида по статистическим свойствам не отли¬
чаются от Х\ (t). Автокорреляционные функции Ч'Дт) членов вто¬
рого и третьего' типа в силу некоррелированности сомножителей
определяются при помощи (18.32):
(19.27)
где 'Ф'к(т) —автокорреляционная функция То или Тд переменной
части коэффициента передачи K(t)', Ti(t) и ТДт)—автокорре¬
ляционные функции входного и выходного процессов.
Для отыскания энергетического спектра на выходе следует
найти изображение Фурье от (19.27).
Остановимся на таком примере. Предположим, что на входе
существует квазидетерминированный гармонический сигнал еди¬
ничной амплитуды
x1(t) = cos(o0t + q>),
а переменная часть коэффициента передачи описывается эргоди-
ческой случайной функцией AK(t) со спектральной плотностью
мощности
SA со)
а
1 + £0а та0 ’
Необходимо найти энергетический спектр S2(co) колебания, полу¬
ченного после прохождения заданного сигнала через систему с
коэффициентом передачи, равным
K(f) = K0 + AK(t),
где Ко — константа.
Из предыдущих примеров известно, что АКФ гармонического
сигнала имеет вид
(т) = ~ cosco0T,
455

а энергетическому спектру 5д(ш), согласно (19.14) и (19.15), со¬
ответствует функция автокорреляции
Согласно нашим рассуждениям АКФ выходного процесса со¬
стоит из двух слагаемых— первого и третьего типа:
(т) = К\ ЧГХ (т) + ¥д (т)	(т).	(19.28)
Для расчета энергетического спектра 5г(со) преобразуем по
Фурье оба члена этой суммы
S2 (со) = ~ К2о [S (со—га0) + 6(со + со0)]+
+ ±\	!	+	!	1.
4 L 1+(“—cou)aT2o 1 +(co-f со0)2т20 J
Таким образом, если входной сигнал имеет энергетический
спектр, состоящий из двух монохроматических компонент на час¬
тотах ±соо, то на выходе системы в спектре процесса появляется
еще и сплошная часть, примыкающая к дискретной компоненте и
обусловленная случайными колебаниями амплитуды сигнала за
счет флуктуаций коэффициента передачи. Полученный результат
изображен на рис. 19.11, где показан односторонний энергетиче¬
ский спектр 25г(со).
ZSz ссо)
£к0&(о)-ы0)
Рис. 19.11
I
А
sLn oJ0t(,npu4>A)
Рис. 19.12
Заметим, что случайная амплитудная модуляция сигналов бо¬
лее сложного спектрального состава приводит к аналогичному
«размытию» всех частотных компонент входного колебания.
Обогащение спектра сигнала за счет мультипликативной поме¬
хи затрудняет выделение полезной информации. Так, если сам
сигнал является AM колебанием, то при значительных флуктуаци¬
ях коэффициента передачи радиолинии полезные модуляционные
составляющие спектра сигнала «тонут» в шумовом фоне, создан¬
ном случайной модуляцией несущей. При прочих равных услови¬
ях вредное действие помехи оказывается тем сильнее, чем больше
перекрываются между собой составляющие от полезной и от слу¬
чайной модуляции.
Дли отыскания функции распределении вероятностей выходного процесса
в системе рассмотренного типа необходимо пользоваться достаточно сложными
правилами (см. гл. 20). Чтобы сократить анализ, чаще интересуются функцией
распределении только того параметра сигнала, который модулируется полезным
4бб

сообщением. Например, в случае AM важно знать закон распределения произ¬
ведения амплитуды A(t) на функцию K(i), причем, если A(t) =Ло=const (ре¬
жим «молчания»), то плотность вероятности этого произведения совпадает с
распределением для К(О-
Подобный подход облегчает анализ действия мультипликативных помех на
прием сигналов и с другими видами модуляции — например, с угловой (час¬
тотной нлн фазовой). При этом, как известно, сигнал имеет вид
и (t) = U0 cos [ш01 -+- Ф (()].	(19.29)
где Ф(0—фазовый член, несущий полезную информацию; Шо — фиксированная
частота.
Эквивалентная цепь с переменными параметрами, представляющая в со¬
ставе систем звено, в котором действует мультипликативная помеха, характери¬
зуется в общем случае комплексным коэффициентом передачи
К (а, 0 = /<■(», t) е,ф*(ш'°,	(19.30)
где К (to, t) и фк (со, t) — модуль н фаза, зависящие от времени и частоты.
Если спектр сигнала не слишком широк в сравнении с Шо, то зависимостью
К н ф от частоты нередко пренебрегают. Тогда сигнал, искаженный действием
помехи, приобретает вид
%х(0»К№^о«>8[а)0<-|-Ф(0-|-Фк(ОЬ	(19.31)
Тракт для приема сигналов с угловой модуляцией обычно содержит огра¬
ничитель, включенный после той части, где происходит линейное усиление. На¬
значение ограничителя — устранение мешающих процессу демодуляции колеба¬
ний амплитуды (рис. 19.12). Благодаря его действию при не слишком глубокой
паразитной амплитудной модуляции сигнала последний поступает на демоду¬
лятор (фазовый или частотный детектор) в виде
«о (0 = Umo cos [to0 t -|- Ф (0 -|- фд (01.
{/тол> const.	(19.32)
Характеристики	напряжения с выхода демодулятора	определяются статис¬
тикой суммарного случайного процесса y(t)
y(t) = Ф(/) + Ф*(0.	(19.33)
При фазовом детектировании
Ывых(0 = У( 0>
а при частотном
d
“вых (0 = ^ ^ У (0 .
Следовательно, зная параметр мультипликативной помехи фк(<) н свойст¬
ва сигнала, можно найти статистику окончательного результата их (взаимодей¬
ствия путем анализа суммы (19.33). В частности, энергетический спектр и кор¬
реляционная функция легко находится по правилам обычных линейных преоб¬
разований (см. гл. 18).
19.5.	Огибающая и фаза случайного сигнала
Случайные процессы в радиотехнике принято делить на ши¬
рокополосные и узкополосные. Для последних характерно малое
‘отношение ширины их энергетического спектра к его средней час¬
тоте.
Типичные реализации (рис. 19.13,а) узкополосного случайного
процесса можно наблюдать на экране осциллографа (лучше с од-
457

нократной разверткой), подключив его к выходу резонансного
усилителя с достаточно большим коэффициентом усиле¬
ния. Несмотря на отсутствие специального источника вход¬
ных сигналов, мы увидим осциллограмму шумового напряжения,
возникающего в результате усиления и узкополосной фильтрации
собственных флуктуаций в активных элементах схемы. Наблюда¬
емые колебания имеют сходство с гармоническими сигналами,
подвергнутыми случайной модуляции по амплитуде и фазе.
Известно, что в радиотехнике для воспроизведения законов из-
менения амплитуды, фазы или частоты подводимых колебаний при¬
меняют разные нелинейные устройства — детекторы. Поэтому не¬
обходимо знать статистические свойства амплитуд и фаз случай¬
ных колебаний, представляющих либо «чистый» шум, либо смесь-
шумов с полезными сигналами. В принципе любой (необязатель¬
но узкополосный) случайный процесс X(t) можно представить в
виде произведения двух случайных функций
Х(9 = Л(*)созФ(9,	(19.34)
где A(t) и Ф(/) должны удовлетворять лишь одному условию —
чтобы ансамбль произведений (19.34) тождественно совпадал с
ансамблем X(t). При таком формальном подходе выбор возмож¬
ных комбинаций из функций A{t) и Ф(/) оказывается неодно¬
значным, поскольку равенство (11.34) равносильно одному урав¬
нению с двумя неизвестными.
Чтобы понятие огибающей не противоречило ее физическому
смыслу, процессы A(t) и Ф(^) связывают дополнительными урав-
нениями
Л (*) =	(9+ !"(/),	(19.35)
Ф (0 = arctg .	(19.36)
где У (t)—вспомогательная функция, определяемая через X(t).
Известно, что удобным1) процессом Y(i), удовлетворяющим
*> Хотя н не единственно возможным — см., например, [25].
458

заданным уравнениям, является процесс, сопряжений с X(t) по
Гильберту при условии, что X(t) —процесс с нулевым средним
У(0=Х(0® —= Нш— г *I®Lde=x(0.	(19.37)
nt Т-00 Я J_rt—0
где несобственный интеграл понимается в смысле главного значе¬
ния. В дальнейшем будем пользоваться условным обозначением
Y(t)=X(t), указывая символом Л сверху на операцию перехода
к функции, сопряженной по Гильберту. Напомним, также что
gT(t) — l/jit можно считать импульсной характеристикой фильтра
Гильберта.
Полезно привести известный результат преобразования
(19.37): если
X(t) = A{t)cosG>(t),TO X(t) = A(f)sin<I>(t). (19.38)
По заданной функции x(t)—бж(со) сопряженная функция
y(t)=x(t) и ее спектр находятся из соотношения
^W(S)gr(0 = l/(0^jGiC(co)signra = <ji/(ra),	(19.39)
так как
“7 = &.(<) **Кг(ча) = — J sign со.	(19.40)
71 t
Ясно, что модули этих спектров равны. Отсюда вытекает равенст¬
во энергетических спектров 5ж(со) и Sv(a) процессов X(t) и Y(t):
Sx (со) =Sfj (со).	(19.41)
Следовательно, автокорреляционные функции ^(т) и ^(т)
эргодического исходного процесса X(t) и сопряженного с ним
Y.(t) также равны
^ (т) = %(т)	(19.42)
и, в частности, равны их дисперсии.
Взаимная корреляционная функция сопряженных процессов
находится как
Уху =<X®(X®gr» = <X®X'>®gP = yx ®gr = yx . (19.43)
Очевидно, что Чгжн,(т) — нечетная функция, так как она есть
свертка четной и нечетной функций — АКФ и импульсной харак¬
теристики фильтра Гильберта. Поэтому
^ад(0) = 0.	(19.44)
Следовательно, исходный и сопряженный по Гильберту случай¬
ные процессы некоррелированы в совпадающие моменты времени.
Если, например, ^(т) представляет АКФ узкополосного процес¬
са, то она и сопряженная с нею Чгжн(т) выглядят, как показано на
рис. 19.13,6, в.
Чаще всего узкополосные случайные процессы имеют Гауссо¬
во распределение в силу эффекта «нормализации». В связи с этим
ограничимся в настоящей главе рассмотрением только нормаль-
459

ных стационарных случайных процессов. Для них равенство
(19.44)	означает независимость X(t) и X(t) в совпадающие мо*
менты времени.
Подобно тому, как это делалось при изучении детерминирован¬
ных колебаний, имея случайный процесс X(t), можно построить
соответствующий ему аналитический сигнал и представить его в
векторной форме на комплексной плоскости с координатами
х, jy (рис. 19.14).
Функции X(t) и Y (t) будут текущими координатами этого век¬
тора в Декартовой системе отсчета, в то время как A(t) и Ф(0 —
его же координаты в полярной системе. Эквивалентность обоих
способов описания подтверждается
соотношениями (19.34) — (19.36). В
случае Гауссова процесса Х^) сопря¬
женный ему У (f) также имеет нор¬
мальное распределение, так как
(19.37)	— линейное преобразование.
Дисперсии же этих распределений
совпадают в соответствии с (19.42).
Поэтому направление вектора Ф(0 в
произвольный момент времени может
оказаться равновероятно любым, а за¬
кон распределения амплитуды А (t) должен определяться
некоторой композицией вероятностных характеристик проекций
векторов Х(/) и Y(/), которые изучаются в следующем параграфе.
19.6.	Распределения огибающей и фазы нормального
случайного процесса
Способ нахождения интересующих нас одномерных функций
распределения основан на определении плотности вероятности по¬
падания конца случайного вектора на плоскости х, jy в произ¬
вольную точку этой плоскости. Поскольку положение точки зада¬
ется двумя координатами X, Y, указанная вероятность описывает¬
ся двумерным совместным законом распределения И72(я, у), кото¬
рый в силу независимости исходного нормального процесса X(t)
и сопряженного У (/) равен произведению одномерных плотностей
W^x) и Way):
W,(x,y) = W1(x)W1(y)
е *2/2в2х е-У2/*°*у
°*У2 п °у 1/2 я
— (Л!2+г/2)/202
е
2 яо2
(19.45>
где а2х=о2у = а2 — дисперсия рассматриваемого стационар ного-
случайного процесса X(t) с Гауссовым распределением.
В связи с тем, что вектор аналитического сигнала, соответству¬
ющего колебанию X{t), можно характеризовать как Декартовыми*
так и полярными координатами, распределение положений конца
вектора на плоскости рис. 19.14 допустимо задать совместной
плотностью вероятности его полярных координат W%{A, Ф).
460

Вероятность попадания конца вектора в пределы бесконечно
малой площади dxdy с Декартовыми координатами X, Y равна
вероятности его попадания в столь же малую площадку AdAdO с
полярными координатами А, Ф.
Математически это представляется равенствами
= W2 (х, у) dxdy =
А < At <-Д + d А
А' ^ X < X-f £?ЛЛ
У<У<y + dy)
= Г, (A,0)dAd0 = P,
2	',Ф<Фг<Ф-НФ
Учитывая, что dxdy=AdAd<i) и в соответствии
Az=xz+yz, имеем двумерное распределение
А
W2(A, Ф)= W2(x,y)A
/ Л2
2 яа2 6ХР (	2 о2
(19.46)
(19.35)
(19.47)
Для определения плотности вероятности одной лишь огибаю¬
щей А необходимо проинтегрировать полученную функцию по
всему интервалу возможных значений фазы Ф. Следовательно,
ИМЛ)=] Га(Л,Ф)^Ф=^ехр/'-2^У	(19.48)
Найденный одномерный закон распределения огибающей нор¬
мального случайного процесса показан на рис. 19.15 и носит на¬
звание закона Релея. Его форма подтверждает, что амплитуда не
может быть отрицательна, но не ограничена со стороны положи¬
тельных значений, так как численные значения Гауссовых ко¬
ординат вектора могут быть теоретически сколь угодно велики.
Интегрирование (19.47) по всем возможным А дает одномер¬
ный закон распределения фазы
W1(<b) = lwi(A,<D)dA = — le-A2/2a2dA= —;	!0<Ф<2л).
g	2 яа2 $	2 я
(19.49)
Форма этого закона показана на рис. 19.16 и согласуется с
высказанным ранее интуитивным предположением о равноверо¬
ятности любых направлений Гауссова вектора на плоскости х, )у.
Сопоставив WX(A) и Й7,(ф) с двумерной плотностью
Й72(Л, Ф), приходим к важному выводу, что огибающая и фаза

нормального процесса независимы (в совпадающие моменты вре¬
мени), так как
1Г2(Л,Ф) = 1Г1(Л)1Г1(Ф)= ± £ехр(“-). (19.50)
19.7.	Низкочастотные эквиваленты нормального узкополосного
случайного процесса
Известно, что одномерные функции распределения случайного
процесса не дают всех сведений, необходимых для анализа его
действия на инерционные цепи. Поэтому обсудим вопрос о времен¬
ных свойствах узкополосного нормального шума.
Как уже указывалось, подобный процесс можно представить в
виде суммы реакций узкополосного фильтра на последовательность
коротких случайных импульсов, поступающих с достаточно боль¬
шой средней частотой повторения (см. рис. 19.17). Все реакции
сходны по форме и определяются видом осциллирующей импульс¬
ной характеристики фильтра.
Если выделить на оси времени отрезок At такой длины, чтобы
выполнялось условие
— <Д*<^т0,
со0
где то — постоянная времени фильтра, то на протяжении этого от¬
резка подавляющее большинство откликов можно рассматривать
как гармонические колебания с неизменной амплитудой и фазой.
Сюда не относятся лишь такие отклики, которые вызываются им¬
пульсами, поступающими на протяжении отрезка At.
Отсюда приходим к выводу, что за время At в реальном узкопо¬
лосном процессе возможны лишь незначительные изменения амп¬
литуды А и фазы ф. Другими словами, если представить узкополос¬
ный случайный процесс в виде
X (0 = Л (0 cos [со01—q> (01-	(19.51)
где wo — центральная частота его энергетического спектра, то A(t)
и ф(/) будут медленными функциями времени по сравнению с
cos a>0t.
462

При сопоставлении (19.51) с (19.34) видим, что случайная фаза
ф(^) отличается от ф(() только детерминированным членом (о0^.
Следовательно, найденный выше одномерный закон распределения
мгновенных значений фазы (19.49) сохраняет силу и для функции
ф(0> т. е.
W-l (Ф) = 1/2 я.	(19.52)
То же касается и двумерной плотности вероятности (19.47).
Изображая X(t) проекцией вектора аналитического случайного
сигнала, имеет смысл, подобно тому, как это делают при анализе
модулированных гармонических колебаний, считать, что вектор
на плоскости х, jу движется по законам A(t) и ф(/), а оси коорди¬
нат вращаются с угловой частотой too (рис. 19.18).
Для уяснения понятий огибающей и фазы случайного процесса
полезно рассмотреть разложение действительного случайного про¬
цесса X{t), представляемого в виде (19.51), на сумму двух, также
действительных, «квадратурных» составляющих
X (t) — A (f) cos q>(f) coso)01 + A (t) sin ф (t) sin co01 — Ac (t) cosco0 / +
+ As (t) sin (o„ t.	(19.53)
Нетрудно видеть, что случайные множители
Ac{t) — A (t)cosy{t),	(19.54)
As {f) = A (t) sin ф (t)	(19.55)
при находящихся в «квадратуре» (т. е. взаимно ортогональных)
гармонических функциях cos ©о t и sin со01 являются медленными
функциями времени в силу свойств A{t) и >ф(/) и сопряжены по
Гильберту в силу (19.38)
Статистические характеристики Ac(t) и As(t) в случае, когда
известны вероятностные параметры X(t), определяются на основа¬
нии следующих соображений. Пусть X{t)—стационарный нор¬
мальный процесс. Рассмотрим его значения в моменты времени
tk**k 2я/(о0 (fe = 1,2, 3,...),
когда ooscoo4=l и sin©0^=0. При этом X(th)=Ac(tk), т. е,
множество выборок ЛС(Д) совпадает с Гауссовским множеством
X(tk). Сдвигая начало отсчета времени на любую заданную ве¬
личину, нетрудно обеспечить такое совпадение в произвольно взя¬
тый момент времени. Следовательно, функция Ac(t) так же, как
и X(t), распределена по нормальному закону. Аналогично можно
убедиться в «нормальности» закона распределения для Aa(t).
Дисперсии обоих распределений равны дисперсии исходного про¬
цесса о2х-
Для нахождения спектрально-корреляционных характеристик
рассматриваемых функций сравним (19.54) с (19.51). Видим, что
разница между этими выражениями исчезает, если положить
*> Эти множители можно находить и как компоненты комплексной огибаю¬
щей, соответствующей колебанию (19.53), однако обращение к аналитическому
сигналу здесь не вызывается необходимостью.
463

©о=0. В то же время известно, что такое предположение отно¬
сительно колебания X(t) равносильно сдвигу его частотного
спектра к нулевой частоте на величину ©о. Если каждая из вет¬
вей энергетического спектра 5Ж(©) процесса X(t) симметрична
относительно ©о (рис. 19.19), то такой же по форме спектр
Sc(©) случайной функции Ac(t) получится после соответствующе¬
го смещения к точке ©=0 и сложения правой и левой ветвей
&',(©). Следовательно, энергетический спектр для Ac(t) находит¬
ся как
Sc (©) = S'x (© + ©„) + S"x (©-©„),	(19.56)
где S'x и S",с — правая и левая ветви 5Ж(©).
Поскольку As(t)=Ac(t), энергетический спектр второй квад¬
ратурной компоненты Ss(©) совпадает со спектром первой так
же, как совпадают их АКФ:
(Т) =	(т) - Ss (©) = Sc (©).	(19.57)
Иначе говоря, если энергетический спектр стационарного слу¬
чайного процесса X(t) можно представить, как результат дейст¬
вия белого шума на узкополосную систему с симметричной час¬
тотной характеристикой, то спектры квадратурных компонент
Ac(t) и As{t) этого процесса будут совпадать с результатами
действия такого же шума на низкочастотный эквивалент систе¬
мы.
Известно, что АКФ узкополосного процесса X(t) с симмет¬
ричным спектром имеет вид
Чх (т) =	(0) р (т) COS ©о т.
Положив ©о=0, получим функции автокорреляции квадратур¬
ных компонент
^е(т) = ЧГ,(т) = ЧГя(0)р(т).	(19.58)
Так как в общем случае взаимнокорреляционная функция со¬
пряженных по Гильберту процессов (19.43) X(t) и Y(t) выража¬
ется формулой
^(т) = **(т),
то для узкополосного процесса
^W = ^*(0)pWsin©„T.	(19.59)
Приняв ©о=0, находим, что взаимная корреляция между квад¬
ратурными низкочастотными компонентами Ac(t) и Aa(t) такого
464

процесса вообще отсутствует при любом относительном сдвиге т:
Vcs (Т) =	(0) р (г) sin (О0 т |Ш0 =0 = о	(19.60)
Следовательно, если X(t) —стационарный нормальный процесс
с симметричным спектром, то соответствующие ему компоненты
Ac(t), As(t) также нормальны и независимы друг от друга. Эти
компоненты уместно назвать низкочастотными эквивалентами про¬
цесса X(t).
Из (19.54) и (19.55) легко получить выражения для огибаю¬
щей и фазы узкополосного случайного процесса через его сопря¬
женные по Гильберту НЧ эквиваленты
A\f) = у А%Ю+А'М,	(19.61)
,p«) = arctg^|!.	(19.62)
Эти соотношения позволяют исследовать статистические харак¬
теристики функций A{t) и ф(/) на основе выявленных здесь
свойств медленных случайных функций Ac{t) и Aa{t).
Вопросы для самопроверки
1.	Найдите АКФ импульсного отклика НЧ фильтра с идеализи¬
рованной прямоугольной частотной характеристикой от 0 до
Fв Гц.
2.	Пользуясь расчетным графом на рис. 19.2, составьте развер¬
нутые выражения для расчета АКФ процесса на выходе ли¬
нейного звена с импульсной характеристикой g(t) по извест¬
ному входному энергетическому спектру. Сравните варианты.
3.	Докажите, что в случае, когда на входе линейного звена с им¬
пульсной характеристикой g(t) действует стационарный белый
шум плотностью Ao/2, дисперсия выходного процесса находит¬
ся как
о*Вых=^ ? §4t)dt.
4.	Докажите, что шумовая полоса цепи, образованной последо¬
вательным соединением двух не влияющих друг на друга RC-
звеньев интегрирующего типа с одинаковыми постоянными вре¬
мени х равна 1/8т.
5.	Докажите, что шумовая полоса цепи, образованной последо¬
вательным соединением не влияющих друг на друга RC-цепей,
одна из которых интегрирующего типа, а другая дифференци¬
рующего, при одинаковых постоянных времени т равна 1/32т.
6.	Безынерционная линейная цепь выполняет операцию вида
y(t)=kx(t)+c, где k и с —константы. Напишите формулу од¬
номерной плотности вероятности W\ (у) и АКФ ЧМт) вы¬
ходного колебания y(t), если известно, что x(t)—Гауссов
процесс с нулевым средним, дисперсией о2х и автокорреляци¬
онной функцией Д'ДО-
465

7.	На входе интегрирующей цепочки с постоянной времени то=
= 1/а=RC действует шум x{t) с АКФ ^(т) =а2же_р|т|, где
а2х — дисперсия, р — константа. Покажите, что АКФ выходно¬
го случайного процесса y(t) имеет вид
(т) = ——(ае-Р1т1 —ре-“1т1).
а — Р
8.	Для условий предыдущей задачи постройте энергетические
спектры входного и выходного процессов.
9.	Фаза <р(/) колебания, действующего на приемник ЧМ сигна¬
лов, флуктуирует из-за мультипликативной помехи по закону
Гаусса с АКФ Тф (т) =сг2е-а2т2, где а2 — дисперсия фазы, а —
константа. Напишите закон распределения и АКФ частотных
флуктуаций, которые будут оказывать мешающее действие
приему полезных сообщений.
10.	Нарисуйте ВКФ двух сопряженных по Гильберту случайных
процессов, если каждый из них обладает автокорреляционной
функцией вида
и» / v о sin а т
т(т) = а2Л 	coso)0t.
ах
Проследите, как меняется график ВКФ с уменьшением часто¬
ты (йо-
11.	Найдите АКФ узкополосного случайного процесса, энергети¬
ческий спектр которого сосредоточен около частоты юо и име¬
ет форму Гауссовой кривой
S0 (и) ж
12.	Изменятся ли соотношения между спектрально-корреляци¬
онными характеристиками сопряженного по Гильберту и ис¬
ходного процессов, если отказаться от предположения о нор¬
мальности этих случайных функций?
13.	Покажите, что среднее значение огибающей <А/ стационарно¬
го Гауссового шума связано с его эффективным значением а
формулой <А)=1сг У п/2.
14.	Получите формулу cf2a=i(2—п/2)а2, выражающую дисперсию
огибающей стационарного Гауссова шума через квадрат его
эффективного значения.
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ
БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
20.1.	Виды нелинейных преобразований в задачах
статистической радиотехники
Задача расчета статистических характеристик случайного про¬
цесса, подвергнутого функциональному преобразованию, часто воз¬
никает при анализе реальных сигналов и помех в нелинейных ра-
466

диоцепях, а также при необходимости перехода от одних спосо¬
бов математического описания случайных колебаний к другим.
Различают два класса нелинейных функциональных преобразова¬
ний — безынерционное и инерционное. К первому классу относят¬
ся такие преобразования, при выполнении которых все значения
функций от случайных процессов определяются значениями са¬
мих процессов в те же моменты, когда рассматривают эти функ¬
ции. При безынерционных преобразованиях случайных процессов
временные свойства последних не играют роли.
Простой пример безынерционного нелинейного преобразования
дает работа широкополосного ограничителя с характеристикой
Ывых=/(«вх), на вход которого подано напряжение uBX(t), изме¬
няющееся настолько медленно, чтобы можно было пренебречь
инерционностью нагрузки. Тогда выходное напряжение находится
непосредственно как «вых(0 == /[ыВх'(0]•
Если uBX{t)—реализация случайного процесса, то uBbIX(t)—
также случайная функция времени (рис. 20.1), но любые ее зна¬
чения в произвольный момент t можно точно определить при ус¬
ловии, что «вх(0 стало известно. Это существенно облегчает ма¬
тематический анализ преобразований такого вида.
•Второй класс — инерционные нелинейные преобразования при¬
ходится рассматривать в связи с анализом нелинейных цепей,
инерционностью которых при заданных воздействиях нельзя пре¬
небрегать (например, диодные детекторы с инерционными нагруз¬
ками). Поведение подобных систем описывается нелинейными диф¬
ференциальными уравнениями. Общих методов решения таких
уравнений не существует, даже если внешние воздействия задают¬
ся детерминированными функциями. В связи с этим задачи, тре¬
бующие рассмотрения инерционных нелинейных преобразований
случайных процессов, почти всегда решают приближенно, прибе¬
гая к различным искусственным приемам.
Один из них состоит в условном представлении инерционного
нелинейного звена комбинацией двух звеньев — инерционного ли¬
нейного и безынерционного нелинейного (в последовательности,
определяемой условиями задачи). Расчет прохождения случайного
колебания через первое звено ведется известными из предыдущих
глав методами, а безынерционные нелинейные преобразования
изучаются ниже.
20.2.	Функциональные преобразования одномерного
распределения случайного процесса
Рассмотрим преобразование реализаций случайного процесса
X(t) безынерционной системой с характеристикой
y = f(x).	(20.1)
Здесь любая реализация x{t) функционально преобразуется в ре¬
ализацию y(t) нового процесса Y(t):
y(t) = f[x(t)].
467

Пусть известна плотность вероятности w 1 (х) случайной величины
X, предсталяющей мгновенное значение Xi(i) в любой момент
времени. Необходимо найти плотность вероятности W (у) случай¬
ной величины У, являющейся значением Y(t) и в тот же момент
времени.
Предположим, что функция
x = h{y),
(20.2)
обратная к (20.1), существует и известна. Так как случайные ве¬
личины связаны однозначной функциональной (детерминирован¬
ной) зависимостью, из того факта, что значение X заключено в
бесконечно малом интервале (х, x-\-dx), достоверно следует, что
значение У будет находиться в интервале {у, у-\-йу), где y=f{x).
Отсюда вытекает равенство вероятностей этих двух событий, рав¬
носильное равенству заштрихованных площадей на рис. 20.2:
Wt (у) dy = wt {х) dx.
(20,3)
Чтобы выразить интересующую нас плотность вероятности как яв¬
ную функцию от у, преобразуем эту формулу, используя (20.2),
а также учтем, что вероятность всегда неотрицательна
(У) = Щ М
dx
dy
= “4 [h Ш\К (t/)|.
(20.4)
Использование модуля производной гарантирует выполнение по¬
следнего условия.
Если обратная функция x=h(y) неоднозначна и имеет п вет¬
вей (рис. 20.3), то возникает п несовместимых возможностей
хг <с X ^ хг + dxv
х%	X ^ х% dxfy
х-п X хп -f- dxnt
обеспечивающих выполнение неравенства
У о < У < Уо + dy.
468

Следовательно, по формуле вероятности суммы событий можем;
написать
Wt (у) dy = а»! (x^ dx± + w^(x2)'dx2 + ... + wx (хп) dxn. (20.5)
Отсюда, выразив х через у, окончательно получим
wt(y)= 2 Щ1Ш1
i=i
где hi (у) — г-я ветвь обратной функции.
dy
(20.6)
Рис. 20.3
Эта формула представляет общее правило преобразования од¬
номерных законов распределения при функциональных преобразо¬
ваниях случайных величин и процессов.
Остановимся на примерах применения (20.6) к решению конк¬
ретных задач.
1.	Пусть требуется найти плотность вероятности Wi(y) тока
Y(t) в нагрузке /?Нагр двухполупериодного квадратичного детекто¬
ра (рис. 20.4) при действии на его входе случайного напряжения
X(t) с нормальной одномерной плотностью вероятности
“'*М=»-Т7^ехр(“5>)-
Характеристика выпрямителя задана уравнением
у = ах2(а> 0).
(20.7)
(20.8)
Находим обратную функцию и модуль ее первой производной
* =	2(у) = ±
dfti (у)
dh2 (у)
__ l
dy
dy
2 Л/ ay
Поскольку обратная функция двузначна и, кроме
при а>0 не принимает отрицательных значений, то
того, У (t)
Ы.щ (№)+:щ У^)\при у >“■
(20.9)
при у< 0.
469

(20.10)
Раскрыв обозначения w\, получим
■гг1 ехр (	у-— ) При у > о,
а V 2 яа#	\ 2 а а2 /
0	при у< 0.
График найденной плотности вероятности показан на рис. 20.5
•совместно с распределением входного процесса и функцией у=
= /(*)•
Среднее значение тока Y(t) (если X(t) стационарен) можно
рассчитать двумя способами — как первый момент распределения
1Г](у) или как математическое ожидание величины ах2 с по¬
мощью исходной функции распределения wi(x). Второй путь да¬
ет:
Y=(aX2) = a С	х ехр(	^-—']dx = aa2.	(20.11)
—оо ст"1/2я	\	2ст2/
Рекомендуется получить тот же результат первым способом, а
также определить двумя способами полную мощность и диспер¬
сию тока.
2.	Пусть имеется двухсторонний несимметричный ограничитель
с идеализированной кусочно-линейной характеристикой (рис.
20.6)
Ic + kx	при (b—c)/k<.x<.(a—c)/k,
а	при (а~c)/k <*,	(20.12)
b	при х (b—c)/k,
где а, Ъ, с, k — постоянные величины.
Необходимо определить правило расчета одномерной плотно¬
сти вероятности выходного напряжения при произвольном законе
распределения случайного напряжения на входе ограничителя.
Начнем рассмотрение с интервала Ь^у^.а, где входные зна¬
чения преобразуются в выходные по линейному закону y=c-{-kx.
В этом случае обратная функция и ее производная имеют вид
h (У) = (y—c)/k ; h' (у) = l/k
470

и, следовательно.
иМг/)=
(20.13)
Плотность вероятности Wi (у) на выбранном участке отличается
от Wi (х) лишь сдвигом по оси абсцисс и масштабом по обеим:
осям.
Значение у=Ь появляется на выходе ограничителя при
—оо<ix^{b—c)/k. Вероятность такого события численно равна
площади Si под кривой w\{x) левее точки (Ь—c)jk (рис. 20.6)
(Ь—с)/ft
P(y = b) = s 1= J w1(x)dx.	(20.14)
Поскольку на этом участке непрерывная случайная величина в
результате нелинейного Преобразования превращается в дискрет¬
ную, плотность вероятности последней может быть представлена
с помощью 6-функции, умноженной на константу, равную вероят¬
ности указанного события.
У
\
N
>
о.
*
	7
/
fz(xT-
1
tti/W
Z
\.
0 1
Рис. 20.7
Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что веро^
ятность появления на выходе ограничителя напряжения у=а
равна
Р (у — а) = s2= J w1(x)dx.	(20.15)
(a—c)/k
Пользуясь и в этом случае 6-функцией для плотности вероят¬
ности выходных значений и совмещая (20.13), (20.14) и (20.15),
запишем окончательную формулу
WAy)=
s18(y—b) + s28(y—a) + -j- w1 (iy-^) - при b < у < ат
0
471
при у<.Ьку>а,
(20.16)

Таким образом, если W\(x) имеет некоторую заданную форму
(рис. 20.6), а преобразующий нелинейный элемент обладает ку¬
сочно-линейной характеристикой у=if(x), то распределение вы¬
ходного процесса Wi (у) на участке, где преобразование линейно,
в определенном масштабе повторяет даДх). Там же, где y=const
[горизонтальные ветви /(х)], в составе W\ (у) появляются харак¬
терные выбросы в виде 6-функций.
3.	Задана одномерная плотность вероятности процесса X(t),
имеющая треугольную форму (рис. 20.7)
—х) при 0<х <С 1,
при х^О и 1 ^ х.
(20.17)
Необходимо выбрать характеристику безынерционного нелинейно¬
го элемента y=\f(x), преобразующего X(t) в У(t) так, чтобы
плотность вероятности значений нового процесса W\(y) была рав¬
номерной и равнялась
WAy) =
( 1 при 0<у < 1,
(о при у <0и 1
(20.18)
Задачи подобного типа возникают при создании источников слу¬
чайных колебаний со строго заданными законами распределе¬
ния — например, имитаторов широкополосных помех, специальных
генераторов шума и т. п.
Для решения поставленной конкретной задачи воспользуемся
уравнением (20.3), потребовав тем самым, чтобы обратная функ¬
ция x=h.(y) была однозначной. Учитывая, что плотность вероят¬
ности неотрицательна, перепишем это уравнение в виде
dy_ _ И>! (х)
dx
(20.19)
Подставив сюда заданные функции распределения, получим
dy_
dx
= 2(1—x),(0<x< 1),
(20.20)
откуда после интегрирования по х правой и левой частей най¬
дем с точностью до произвольной постоянной С искомую харак¬
теристику
у = /(х) = ±(2х—х2) + С.	(20.21)
Двузначность решения обусловлена тем, что (20.19) может
удовлетворяться как при положительных, так и при отрицатель¬
ных значениях производной. Выбор знака диктуется удобствами
реализации преобразующего элемента. Для отыскания произволь¬
ной постоянной следует использовать заданные в (20.18) гранич¬
ные условия. Так, при выборе решения со знаком «плюс» должно
выполняться соотношение
/ (х)|х=0 = (2 х-х2 + С)|х_в = С = 0.
472

Второй вариант решения дает С=1. Таким образом, имеем две
характеристики, обеспечивающие выполнение условий задачи
(х) = 2 х—х2,
/2(х)=ха—2х+1.	(20.22)
Обе кривые изображены на рис. 20.7, где также показаны за¬
данные функции распределения [поведение f(x) вне интервала
(0,1) для нас безразлично].
Полезно отметить, что простота решения рассмотренной задач»
обусловлена постоянством одной из заданных функций распреде¬
ления. Именно благодаря этому при интегрировании дифферен¬
циального уравнения (20.19) не возникла проблема разделения»
переменных. В иных условиях решение может существенно ус¬
ложниться.
В заключение напомним о существовании приближенного спо¬
соба построения законов распределения любых функций от слу¬
чайных величин и процессов по числовым характеристикам — мо¬
ментам. К этому способу приходится прибегать в случаях, когда
не удается выразить в явном виде обратную функцию нелиней¬
ного преобразования (20.2) или ее производную, а также при раз¬
личных грубых оценках.
Приближенное вычисление одномерной плотности вероятное™
W-,(y) процесса Y(t), получаемого из X(t) преобразованием у=
=Их), сводится к последовательному применению формул
(17.19)	и (17.35). Первая из них дает правило расчета любого на¬
чального момента выходного распределения
mn(y) = j fn(x)w1(x)dx,	(20.23)
—со
а вторая позволяет записать характеристическую функцию этого
распределения @у(ы) через найденные тп(у) в виде ряда
в у (и) = 1+ щ (у)]и + ОЬШ- (J и? +	(j «)»+...	(20.24)
Переход к Wi(y) осуществляется посредством преобразования
Фурье (17.33).
20.3.	Функциональные преобразования многомерных
распределений случайных процессов
Пусть две случайные величины у\ и у2 связаны известными
функциональными зависимостями с двумя другими случайными
величинами х\ и х2 так, что любые их значения однозначно опре¬
деляют друг друга:
У1 = fi{xv х%),
0* = М* 1>*а)-
473
(20.25)

Положим также, что существуют однозначные обратные функ¬
ции:
(Ух> У г) >
ха = ha (yv y^f.
(20.26)
Решим вопрос о том, как найти совместную функцию распределе¬
ния W2{yi, У2), если известен закон распределения w2(xi, х2). Си¬
туация напоминает ту, которую мы уже рассмотрели в гл. 19 при
анализе статистических свойств огибающей и фазы нормального
процесса. Не повторяя прежних рассуждений, можно записать,
что при наличии зависимостей (20.25) обе плотности вероятности
связаны соотношением
W2 (Ух, 1/2)	dya = w2 (хг, х2) dXx dx2	(20.27)
или, с учетом «неотрицательности» функций распределения,
^2(Ух,У2) = Щ(Хх,хг)
dxx dx2
dyi dy2
(20.28)
Здесь мы столкнулись с задачей преобразования исходных коор¬
динат хи х2, в которых задана функция w2{x\, х2), к новым коор¬
динатам у 1, у2, связанным со старыми системой уравнений
(20.25)	. Задача будет решена (т. е. функция будет представлена
в новых координатах), если подставить в правую часть (20.28)
вместо х\ и х2 их выражения (20.26) через у\ и у2 и найти модуль
отношения элементарных площадок в пространстве тех и других
координат dxidx2 t пользуясь преобразованиями (20.25) или
dyxdt/2
(20.26)	.
Указанное преобразование, как известно из математики, при
наличии системы из п независимых уравнений, связывающих п
новых координат со старыми, находится вычислением якобиана
преобразования — определителя, составленного из частных произ¬
водных от всех старых переменных по всем новым
dxj dx2 ... dxn
dyx dy2... dyn
dht
dht
dyi
'dhn
dhn
d hn
dyi\ ' '
' dyn
(20.29)
В случае, когда рассматриваемое пространство двумерно, име¬
ем
dxj dx2  Yy
dy2 2
dhi dhj
dyi dy2
dh2 dh2
dyi dy2
(20.30)
474

Искомый совместный закон распределения случайных величин i/i,
у2 можно найти как явную функцию координат уь у2 в виде
W2 (yv y2)=w2 [hr (уг, 1/2), h2 (yv y2)]I Dz |.	(20.31)
Если обратные функции hi>(yu y2) и h2(yi, y2) неоднозначны,
то в правую часть (20.28) и (20.31) входит сумма произведений
исходной функции распределения на якобианы преобразований по
всем ветвям обратных функций [по аналогии с (20.6)].
Нетрудно распространить найденное правило на случай функ¬
ционального преобразования я случайных величин xi, х2,..., хп в
Уи У2, ■ ■ ■, уп, когда известны зависимости
У\ ~ fl (*1> Х2>	. » хп)>
Уг = f2 (*х> х2> • • • > хп)>
Уп~ fn (xi> х2> • • • > хп)
и обратные функции
xi= h1 (l/xi У2> • • • > Уп) 1
х2 ~ h2 (l/l> У2 • • • > Уп)>
xn~hn{yu У2г •••> Уп) •
При условии однозначности обратных функций я-мерный закон
распределения Wn(yi • • • Уп) новых случайных величин выражается
через я-мерную плотность вероятности wn(x 1 • • • хп) исходных слу¬
чайных величин и якобиан (20.29) как
Wn (t/i... уп) = wn[h1(y1... уп)... hn (у%... Уп)) I Dn |, (20.34)
а если обратные функции многозначны, то результаты преобра¬
зований по всем ветвям суммируются.
До сих пор в этом параграфе говорилось о случайных величи¬
нах. Однако каждую случайную величину можно рассматривать
как выборку из некоторого случайного процесса и применять най¬
денные правила для преобразования законов распределения слу¬
чайных функций.
Остановимся на одном примере, иллюстрирующем примене¬
ние описанных методов к отысканию одномерного закона распре¬
деления функции двух независимых случайных процессов или ве¬
личин с известными одномерными плотностями вероятности.
Пусть интересующая функция имеет вид
=	(20.35)
где хи х2 — значения случайных процессов xi(t) и x2(t) в вы¬
бранный момент времени или просто значения случайных вели¬
чин xi и х2 [это могут быть также выборки одного и того же слу¬
чайного процесса x(t) в два определенных момента времени t\ и
h\.
Положим, что известна двумерная совместная плотность
да2(*ь х2). Будем искать одномерную плотность (у).
475
(20.32)
(20.33)

Чтобы при преобразовании координат xi, х2 число новых пе¬
ременных совпадало с количеством исходных, введем условно
вторую новую переменную, задав ее тождеством
i/2 = x2.	(20.36)
Ограничимся случаем, когда обратная функция для (20.35) су¬
ществует и однозначна. При этом с учетом (20.36) можем напи¬
сать
*i = M*/i.*/2).
Якобиан преобразования
Х2 — ^2 (Ух> У2) = У2‘
Ц>=
dhx д hx
dyi ду2
dhj dhx
дУх ду2
dh2 dh2
дУх ду2
0 1
d_hi
дух
Подставив в это выражение (20.37), а результат-
получим
(20.37)
(20.38)
в (20.31),
(Ух, У г) = Щ Vh {Ух, У2), Уг\
d_hi
дУх
(20.39)
Для отыскания одномерной плотности вероятности W{(y\)
проведем интегрирование по «лишней» переменной у2 и получим
окончательную формулу
со
^1(1/1)= j Щ№х(Ух, у2),уг]
—СО
dhj
дУх
dy2.
(20.40)
Найденное выражение позволяет рассчитывать закон распре¬
деления любых функций от двух случайных величин или процес¬
сов (в том числе статистически связанных) при условии, что су¬
ществуют однозначные обратные функции и заданы совместные
распределения аргументов.
Воспользуемся этим выражением для нахождения плотности
вероятности суммы двух независимых случайных величин хх и х2
по заданным одномерным законам распределения w'i(xt) и
w"i(x2). Тогда совместное распределение имеет вид w2(xi, х2) =
— w'i(X])w"x(x2) и, следовательно,
= j w'1[h1(y1,y2)]w"l(yj
—ОО
^х(Уд
Учитывая, что
dhj
дух
(20.41)

прямой подстановкой получаем известную формулу свертки рас¬
пределений
W7! Ы = I w'i (У1—У2) Ш аУ2	(20.42)
или в сокращенных обозначениях, возвращаясь к исходным пере¬
менным
W'i (*! + x2) = w'1 (хх) (g) xsJ\ (х2).	(20.43)
Таким образом, доказано известное из теории вероятностей пра¬
вило: одномерное распределение (плотность вероятности) суммы
двух независимых случайных величин равно свертке распределе¬
ний (плотностей вероятности) каждого слагаемого.
Нетрудно установить, что при сложении п независимых слу¬
чайных величин хи Х2, ■ ■ ■, хп с плотностями w', w",..., wn за-
П
кон распределения Wх суммы Y= Ъ Xt находится посредством
многократной свертки
Wz = w' ®ге>"(х) ...	(20.44)
Ввиду трудности вычисления многократной свертки, распре¬
деление суммы часто ищут через характеристические функции
слагаемых, т. е. перемножением Фурье-образов распределений w
и обратным преобразованием произведения.
Простые распределения удается «свертывать» прямым интег¬
рированием или даже графическим путем.
Интересен приведенный на рис. 20.8 пример со сверткой равно¬
мерных распределений. График w'i(x) на рис. 20.8,а можно рас¬
сматривать как одномерную плотность вероятности случайной ве¬
личины Хи а помещенную под ним аналогичную кривую w"i(x2)—
1
Щ
-0,50 0,5
а
w:
ocz
-0,5 О 0,5
S
А
IDfiXf+Xz)
\ х,+х2
Щ(х,+хг*х3)
0,75
\ X ,+XfXj
-1-
1
в
«Vм -1,5 0 1,5
3-
**
-0.5 0 0,5
г
Рис. 20.8
как плотность вероятности другой независимой случайной пере¬
менной х2. Тогда свертка функций w\ и w"ь изображенная тре¬
угольником (рис. 20.8,в), есть wi(xl + X2)—плотность вероятности
суммы двух названных величин. В свою очередь свертка получен-
477

ного треугольного распределения с прямоугольной функцией
Wi(x3) (рис. 20.8,г), которую можно рассматривать как плотность
вероятности третьего независимого случайного слагаемого, дает
зависимость на рис. 20.8Д составленную из отрезков парабол вто¬
рой степени. Эта кривая представляет уже плотность вероятности
Wi(xi+x2+x3) суммы трех независимых слагаемых, имеющих
каждое равномерный закон распределения.
Примечательно, что свертка всего лишь трех равномерных рас¬
пределений дала зависимость гораздо более близкую к закону Га¬
усса, нежели к прямоугольнику. Этот пример дает возможность
оценить, насколько быстро распределение суммы независимых слу¬
чайных слагаемых сходится к нормальной кривой в соответствии
с центральной предельной теоремой теории вероятностей.
Пользуясь выражениями (20.41,), можно получить формулы
для одномерных законов распределения произведения или част¬
ного от деления независимых случайных величин и процессов.
Предлагается самостоятельно получить приведенные ниже выра¬
жения для плотности вероятности Wi (у) в случаях, когда
У = Хг*» W, (у) = J	(20.45)
у = Хг1х2, Wl(у) = j w\ (x) w"1 (ух) \x\dx,	(20.46)
—оо
где w' и w" — одномерные плотности вероятности значений х\ и
х2 соответственно.
20.4.	Преобразование спектрально-корреляционных
характеристик случайного процесса в нелинейной цепи
Вернемся к рассмотрению случайного процесса
KW = /[X(Q],	(20.47)
где X(t)—стационарный случайный процесс с энергетическим
спектром S(co) и автокорреляционной функцией 'ГДт), y=f(x) —
в общем случае нелинейная функция, которая описывает зависи¬
мость между мгновенными значениями на входе и выходе нели¬
нейного безынерционного четырехполюсника'.
Прямой расчет энергетического спектра Sy(со) процесса У(0
затруднителен, поэтому обратимся к нахождению выходной АКФ
Чу (т) = {уУх) = </ (X)f (Хх)>,	(20.48)
где входящие под знаки математического ожидания (усреднения
по ансамблю) величины х, у, хх и ух — мгновенные значения
случайных процессов X(t) и Y(t), взятые в моменты времени t и
т соответственно (значение t в индекс не включено, так как в
силу стационарности рассматриваемых колебаний результаты от
t не зависят).
478

Формула (20.48) указывает на две существующие возможно¬
сти прямого расчета	Одна из них состоит в вычислении ин¬
теграла
=	J УУх W (у, ух) dydyx,	(20.49)
предполагающего знание двумерной плотности вероятности W2
процесса Y(t). Отыскание двумерных обратных функций по пра¬
вилам (20.29) — (20.31) не всегда возможно. Проще искать АКФ
по формуле
(т) = </(*)/(хх)> = j j f (х) i (хх) w2 (х, Хх) dxdxx. (20.50)
Обращает на себя внимание тот факт, что для расчета АКФ
процесса на выходе нелинейной цепи необходимо знать не только
АКФ процесса на ее входе и параметры цепи, но и двумерный
закон распределения, что не требовалось при расчете АКФ и
спектров после преобразований в стационарной линейной систе¬
ме. Причина такого различия кроется в неприменимости принци¬
па суперпозиции к нелинейным цепям.
Приведем пример прямого расчета АКФ случайного процесса
на выходе безынерционной нелинейности с характеристикой у=
= ах2, которая, как и в примере из § 20.1, описывает ток двухпо-
лупериодного квадратичного выпрямителя с активной нагрузкой
при малых сигналах. Положим, что входной сигнал x(t) есть ре¬
ализация эргодического Гауссова процесса с распределением
где
Щ (х, хх)
	1
2 пах2 1/1 — R2
ехр
х2 + х2х — 2 R ххх
2а2х (1-R2)
, (20.51)
^*(0)	а2*	’
^(т) —АКФ процесса x(t) с дисперсией о2*.
Найдем АКФ Ч^т) выходного процесса y(t).
(20.51) в (20.49) приводит к двойному интегралу
(20.52)
Подстановка
<УУх> =
X
2 пах2 У1 — R2 -
J.® _|_ х2х — 2 R ххх
j j х2 х?х ехр х
Замена переменной хх
лучить
2a\(l-R2)
dxdxx-
(20.53)
-Z-\-Rx позволяет вычислить его и по-
Vy W = <УУх> = a2o*x[l + 2R2 (т)].	(20.54)
Заметим, что результат представляет смешанный момент не-
центрированного случайного процесса. Убеждаемся в том, что
<*/> =ао2х,
о% = а2а4х.
479

Если исключить из рассмотрения постоянную слагающую <г/)=
= аа2х и устранить тем самым первый член в составе правой час¬
ти (20.54), то можно записать выражение для коэффициента кор-
О
реляции переменной составляющей Y(t) в виде
Я у (т) = 2 Я2 (т).	(20.55)
Рассмотрим подробнее структуру Яу(х) в случае, когда X(t)
является узкополосным случайным процессом, коэффициент кор¬
реляции которого
R (т) = р (т) cos ю0 т,
где р(т)—медленная вещественная функция; соо — центральная
частота спектра флуктуаций X(t).
Подстановка в (20.55) с использованием формулы квадрата
косинуса дает
Яу (т) = р2 (т) + р2 (т) cos 2 ю0 т.	(20.56)
Полезно проследить на графиках (рис. 20.9), как коэффициент
корреляции процесса X(t) преобразуется в две характерные со¬
ставляющие коэффициента корреляции колебания Y(t):
Я*н., = Р2М,	(20.57)
Яу B.q = Р2 (т) cos 2 со0 т.	(20.58)
О
Выходной энергетический спектр переменной слагающей Y (t)
состоит из двух совпадающих по форме участков — около нулевой
частоты — S„(co)H.4 и около частоты 2со0—52/(со)в.ч
5»Мн.ч~<Лр2(тО.	(20.59)
•5|/(ю)в.ч ♦♦ o2i,p2(t)cos2co0t.	(20.60)
Если для упрощения выкладок перейти к нормированным
энергетическим спектрам на входе (sx) и выходе (s^), то (20.59)
(20.60) перейдут в выражения
SjHh.,hP2W,	(20.61)
sy Ив.ч ** Р2 (т) cos 2 со0 т.	(20.62)
Приняв во внимание, что нормированный спектр НЧ эквива¬
лента процесса X(t)
sxa.4 N «■ р (т), если sx (со) « р (т) cos со0т,
нетрудно выразить выходной НЧ спектр через входной
(®)н.ч ®Ж Н.Ч ® Н.Ч"	(20.63)
Наконец, на основании правила сдвига преобразований Фурье
имеем из (20.62)
sy (®)в.ч = ~ [si/ (®—2 со0)н-ч + sy (со + 2 со0)н.ч].	(20.64)
Для графической иллюстрации зададимся прямоугольной фор¬
мой входного нормированного энергетического спектра в односто-
480

роннем представлении (рис. 20.10,а). Тогда спектр sx(co)H.4 НЧ
эквивалента входного процесса будет также прямоугольным, а
свертка его с самим собой даст кривую sy((o)H,4 треугольной фор¬
мы. Смещение аргумента полученной функции на 2со0 даст кри¬
вую, описывающую вторую компоненту выходного спектра
Sy (со) в.ч- Результаты названных преобразований с учетом соотно¬
шений ширины различных участков спектра показаны на рис.
20.10,6.	Они находятся в полном
согласии с полученными в гл. 6
представлениями о том, как обра¬
зуются комбинационные частотные
составляющие при действии колеба¬
ния со сложным спектром на эле¬
мент с квадратичной характери¬
стикой.
а)
S& (а>,н.ч.
Г-
"1
1
1
1
_|
~Н5ЕЬ
CJ
О
а>1 cj0cok
О
Sy ^В.ч
2/7
Sy
6Jj -1 ^д-	2 -1 ^
Рис. 20.9
6)
Рис. 20.10
Достаточно вспомнить, что входной сигнал образует в таком
элементе комбинационные компоненты только четных порядков не
выше второго. Таким образом, многочисленные парциальные со¬
ставляющие, которые образуют входной спектр, взаимодействуют
попарно, давая на выходе свои вклады лишь на частотах сог±Шй.
Перебирая все возможные значения частот парциальных компо¬
нент из входного спектра, нетрудно оценить относительное коли¬
чество пар, образующих одинаковые комбинационные тона. Это
позволяет понять, почему выходной энергетический спектр описы¬
вается в нашем примере двумя треугольниками, а также убедить¬
ся, что никакие сочетания цц и ссц не могут дать суммарных или
разностных частот в интервале между со = П и ш = 2соо—П и, в
частности, на частоте со = соо-
Известные из нелинейной радиотехники закономерности обра¬
зования комбинационных колебаний дают возможность прогнози¬
ровать частотный состав выходного спектра в нелинейном звене
с любой характеристикой, если известен энергетический спектр
16—100	481

входного случайного процесса. Так как всякая физически реали¬
зуемая безынерционная нелинейность может быть описана с нуж¬
ной точностью с помощью степенного полинома порядка п
y=j] атхт = Рп{х),	(20.65)
т=0
по числу п можно определить наибольший порядок и области
группирования комбинационных частот в составе выходного про¬
цесса. Например, если входной случайный процесс узкополосен и
его спектр 5Ж(©) сосредоточен вокруг ©0, то выходной энергети¬
ческий спектр Syia) будет иметь множество максимумов на час¬
тотах около ©о, 2щ,. . . , 1(£>о,. . . , П(й0 (рис. 20.11), вокруг каждого
из которых сгруппируются в определенной полосе парциальные
компоненты одинаковых порядков. Ширина каждой полосы с рос¬
том порядка должна нарастать, а уровень максимума в среднем
падать, поскольку обычно коэффициенты полинома (20.65) убы¬
вают по мере приближения т к п. Естественно, что в аппрокси¬
мирующем полиноме отдельные слагаемые могут вообще отсутст¬
вовать, как, например, исчезают члены четных степеней при ап¬
проксимации функций y=f{x) с нечетной симметрией. В случае
такой нечетной нелинейности, характерной, в частности, для двух¬
сторонних симметричных ограничителей, в выходном спектре не
будет комбинационных частот четных порядков.
Расчет АКФ или спектра процесса на выходе нелинейных эле¬
ментов с характеристиками в виде полиномов высоких степеней
часто невозможно довести до конца, если пользоваться только ме¬
тодами непосредственного нахождения интегралов вида (20.50).
Единого, эффективного для любых подобных задач, способа обойти «небе-
рущиеся» интегралы не существует. В связи с этим разработан ряд приемов,
обеспечивающих решение отдельных групп специализированных задач, сходных
либо по виду распределения входных процессов (например, Гауссовых), либо
по типу нелинейности (например, с кусочно-линейными характеристиками).
Искусственные приемы решения корреляционного интеграла (20.50) основы¬
ваются на представлении подынтегральных функций рядами, все члены кото¬
рых имеют форму, обеспечивающую возможность разделения переменных для
двукратного интегрирования. Первым шагом на этом пути является аппрокси¬
мация характеристики нелинейного преобразователя y=f(x) степенным поли¬
номом (20.65).
Существует много задач, в которых двумерная плотность вероятности
w%(x, х%) представляет такую функцию с иеразделяющимися переменными, что
482

при любой f(x) двукратное интегрирование остается невозможным. В подобной
ситуации полезно разложить двумерную плотность вероятности w2(x, хх) в
ряд, чтобы выразить ее через суммы произведений одномерных функций А(х)
и В(хх ):
00 00
Щ(х, *t) = S 2 Aik (x)Bih(xx)-
i=l k=l
(20.66)
При подстановке (20.66) в (20.50) двойной интеграл превращается в сум¬
му произведений более простых однократных интегралов
оо оо
'М*) = i I /(*)/(*х)Щ(х, xx)dxdXT =
ОО оо
= 2 2
оо
j / (*) Aih (х) dx
— эо
оо
j f(xx)Bih(xx)dxx
— ОО
(20.67)
Можно выразить АКФ выходного процесса бесконечной суммой членов
ап(т), зависящих от сдвига т
ОО
^гДт) = 2 ап(т),
п=о
(20.68)
и использовать для практических расчетов некоторое число членов этого ряда,
достаточное с точки зрения точности.
Главную трудность в реализации изложенной идеи расчета составляет вы¬
бор систем функций {А(х)} и {В(хх)}, называемых базисом разложения, таких,
чтобы аппроксимирующий ряд (20.66) сходился достаточно быстро.
Подробнее о прямом методе вычисления АКФ путем разложения двумер¬
ной плотности можно узнать из [7, 25].
Другой прием расчета АКФ на выходе нелинейного звена принято называть
методом контурного интеграла или методом характеристических функций. Сущ¬
ность метода сводится к тому, что при нахождении двойного интеграла
(20.50) все операции с функциями y = f(x), Hx=f(x%) и двумерной плотностью
w2(x, хх ) заменяются на операции с их изображениями по Лапласу. Эта заме¬
на возможна, если характеристика нелинейного элемента допускает преобра¬
зование Лапласа и может быть представлена как
/ (X) = SB-1 {L [f (х)]} = зе-1 {F (р)},	(20.69)
где 3? и 3?~1 — символы прямого и обратного преобразования Лапласа, а
F(p)=2?[f(x)].
Помимо преобразования характеристики нелинейного элемента при решении
используется изображение плотности вероятности w2(xt, х2), которое, как и ори¬
гинал, является двумерным. В силу основных свойств функции плотности веро¬
ятности ее изображение и по Лапласу и по Фурье всегда существует. В соот¬
ветствии с принятой терминологией двумерное преобразование плотности ве¬
роятности
в(м,ц)= j j w2(x, хх) ехр(]хи +]xxv)dxdxx = {ехрЦ хиxxv)) (20.70)
	ОО 	ОО
называют двумерной характеристической функцией случайного процесса X(t)
[сравните с (17.32)]. Эго и дало второе название методу.
Благодаря допустимости изменения порядка усреднения и интегрирования
при обратном переходе к оригиналам оказывается, что
1 ,
Т (т) =	2 ] F( и)\ 0(м,ц) F(]v)dudv.	(20.71)
4 п с	с-
483
16’

Таким образом, (20.71) представляет собой обходный путь для взятия
двойного интеграла (20.50). Данный метод эффективен тогда, когда двумерная
характеристическая функция имеет относительно несложную форму.
При вычислении контурных интегралов в формуле (20.71) обычно не уда¬
ется избежать разложения подынтегральных функций в ряд. Это приводит к
тому, что окончательное решение по методу контурных интегралов имеет вид
'FyM =Е Ыт),	(20.72)
п=О
где Ъ„(т), как и в (20.68)—некоторые функции сдвига т. Практическое реше¬
ние с помощью (20.72) сводится к вычислению конечного числа членов ряда.
С помощью двух описанных методов — прямого и контурных интегралов
были строго решены наиболее
У
У
““ X
У
0 	11
а-)
У
/ х
0
У
/
/ *
У
а
в)
К '
7
1)
!
Ч
7 ^—'
«У
к.. у
0
е)
|г£
' /
т) 1
■3)
Рис. 20.12
ые для практики задачи о выходных
АКФ при воздействии нормального
шума на типовые безынерционные
радиоцепи и устройства автомати¬
ки — такие, как безынерционные
триггеры, выпрямители, ограничите¬
ли, усилители, работающие с захо¬
дом в нелинейную область, квантую¬
щие устройства и т. п. И. Н. Амиан-
тов и В. И. Тихонов на основе пря¬
мого метода, используя аппарат
6-функций, нашли практически важ¬
ные расчетные соотношения для АКФ
процессов, полученных после прохож¬
дения нормального шума через эле¬
мент с кусочно-линейными характе¬
ристиками (рис. 20.12, а—з), которые
чаще других употребляются для опи¬
сания упомянутых выше устройств.
Позже Р. Прайс, пользуясь тем
же аппаратом в сочетании с мето¬
дом контурных интегралов, нашел
решения для случаев, когда харак¬
теристики нелинейностей состоят из
отрезков степенных полиномов (ку¬
сочно-полиномиальная аппроксима¬
ция). Подробнее с первой группой
результатов можно ознакомиться в
[7, 25], а со второй — в [10].
Вопросы для самопроверки
1.	Найдите, пользуясь графическими приемами, плотность веро¬
ятности значений процесса, полученного путем двухполупери-
одного «линейного» выпрямления нормального шума.
2.	Характеристика квантователя — безынерционного нелинейного
элемента y=f(x) (см. рис. 20.12,5) представляет собой прохо¬
дящую через начало координат многоступенчатую линейно-ло¬
маную кривую с шагом ступеней через 0,1 по обеим осям. Поль¬
зуясь графическими приемами, постройте закон распределения
одномерной плотности вероятности значений у, если случайная
величина х подчинена нормальному закону распределения
Wj (х)	е~х212.
У2п
484

3.	Не прибегая к аналитическому решению, постройте графики
плотности вероятности значений процесса, получаемого после
прохождения нормального шума через безынерционный ограни¬
читель с идеальной (кусочно-линейной) и реальной (сглажен¬
ной) характеристиками.
4.	Найдите характеристику безынерционного нелинейного элемен¬
та, обеспечивающего превращение процесса с Гауссовым одно¬
мерным распределением в процесс, мгновенные значения кото¬
рого равновероятны в заданном интервале.
5.	Найдите выражение для одномерной плотности вероятности
процесса y{t)=xl{t)-\-ax2(t), где x\(t) и x2(t)—независимые
стационарные случайные процессы с одномерными распределе¬
ниями w 1 (х) и w2(x); а — константа.
6.	Покажите, что одномерная плотность вероятности частного от
деления двух некоррелированных нормальных случайных вели¬
чин х\ и х2 с нулевыми средними и равными дисперсиями
y=Xi/x2 имеет вид
WAy)
я (1 + у2)
(распределение Коши).
7.	Докажите, что одномерная интегральная функция распределе¬
ния суммы у—х^хг двух независимых случайных величин мо¬
жет быть найдена по формуле
F(y)= | w' (х) F" (у х) dx,
где w'(х)—одномерная плотность вероятности величины ху,
F'" (х) ■—одномерный интегральный закон распределения вели¬
чины х2.
8.	Найдите АКФ и энергетический спектр процесса y{t) на вы¬
ходе элемента с характеристикой у=ах, если АКФ сигнала
x(t) имеет вид 'Чгх (т) ='a2xe”a2(0)~°V2cos ©сД
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
НА ИНЕРЦИОННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
Процесс передачи информации, как правило, связан с исполь¬
зованием несущих радиочастотных колебаний. Поэтому большин¬
ство радиосистем имеет в приемной части различного рода детек¬
торы. В силу случайной природы помех и неизбежности их при¬
сутствия почти во всех радиотрактах задачи, связанные с детек¬
тированием шумов при наличии и в отсутствие сигналов (в режи¬
мах молчания) наиболее типичны для нелинейной статистической
радиотехники.
485

Самыми характерными шумами в цепях до детектора являются
нормальные флуктуации. Выходные сигналы нелинейных звеньев
могут и в этих условиях представлять процессы с негауссовским
распределением.
Для инженерного расчета всей системы и, в частности, пра¬
вильного выбора параметров радиоцепей после нелинейного эле¬
мента обычно достаточно располагать одномерной функцией рас¬
пределения и спектральной либо корреляционной характеристикой
его выходного процесса. Эти показатели можно найти, не выходя
за рамки корреляционной теории.
В данной главе рассмотрены способы отыскания одномерных
функций распределения и энергетических спектров или АКФ про¬
цессов, получаемых в результате амплитудного, фазового или час¬
тотного детектирования нормального узкополосного шума с сим¬
метричным спектром. Изучаются также задачи детектирования
смеси шума с гармоническим сигналом.
В заключительном параграфе главы рассмотрено взаимодейст¬
вие сигнала и узкополосного шума в идеальном ограничителе с
резонансной нагрузкой, так как подобные устройства нередко
предшествуют многим видам детекторов.
21.1.	Квадратичное амплитудное детектирование
узкополосного нормального шума
Режим квадратичного детектирования узкополосных Гауссо¬
вых флуктуаций в отсутствие полезного сигнала соответствует ре¬
альным условиям работы большинства детекторов, когда на вход
приемника действуют лишь шумы, наводимые в антенне, и собст¬
венные шумы избирательного усилителя. Они создают на входе
детектора колебания относительно малого уровня. При малом
входном сигнале вольт-амперная характеристика нелинейного эле¬
мента точнее всего аппроксимируется квадратичной зависи¬
мостью.
Тот же детектор при больших сигналах можно считать «линей¬
ным», и для его анализа будет приемлема кусочно-линейная ап¬
проксимация вольт-амперной характеристики.
Основным приемом, обеспечивающим получение формул для
инженерных расчетов, является упрощенное представление резо¬
нансного усилителя, нагруженного на входную цепь детектора с
инерционной нагрузкой в виде трех последовательно соединенных
звеньев (рис. 21.1).
Суть упрощения состоит в пренебрежении взаимным влиянием
звеньев. Первым звеном является инерционная цепь ИЛЦ\, экви¬
валентная идеальному усилителю с линейной нагрузкой (рис.
21.2,г). При отказе от идеализации пришлось бы учесть фактиче¬
скую нелинейность, вносимую детектором в цепь нагрузки усили¬
теля за счет связи через трансформатор Тр. Обычно эта связь ма¬
ла, поэтому, приняв такую идеализацию, можно вообще исклю¬
чить из рассмотрения усилитель.
486

Более существенные погрешности связаны с упрощенным пред¬
ставлением самого детектора безынерционной нелинейной цепью
{БНЦ) в сочетании с идеально «развязанной» инерционной ли¬
нейной цепью ИЛЦ2, как это показано на рис. 21.2. При исполь¬
зовании в качестве нелиней¬
ного элемента диода такая
развязка на самом деле от¬
сутствует, а это приводит
при большой глубине моду¬
ляции к специфическим
«инерционным» искажениям
из-за запирания диода в мо¬
менты, когда мгновенные значения огибающей близки к нулю.
Если рассматривать анодный детектор на электронной лампе
или аналогичный ему детектор на транзисторе, то необходимая
развязка будет в действительности обеспечена за счет малой об¬
ратной проводимости нелинейного элемента и схема на рис. 21.2
может считаться вполне эквивалентной реальному детектору при
любых значениях огибающей входного процесса. Для диодного де¬
тектора при не слишком больших постоянных времени 7?С-цепи,
пренебрегая возникающими из-за этого ошибками в расчете рас¬
пределения выходного сигнала, также используют схему на рис.
21.2.	В исключительных ситуациях задачу можно решать более
строго, пользуясь описанным в [10] методом Винера.
иЩг бнц или,г
Рис. 21.1
Приняв за основу указанную схему, перейдем к расчету одно¬
мерного распределения выходного процесса yBblx(t). Для этого
представим узкополосный Гауссов шум с дисперсией о2х на ее
входе в виде
x(t) = A (^)cosCD(^) = А (t) cos [© 01—ф'(/)],	(21.1)
где A{t) и ф(/) — медленные функции времени. Тогда колебание
У (t) после БНЦ с характеристикой у = рх2, которое можно рас¬
сматривать как ток диода, будет иметь вид
У (0 = Р *2 (0 =	cos [2 ©01—2 ф (/)] = г/н.ч (0 + Ув.ч (0-
(21.2)
487

Будем полагать, что нагрузка (ИЛЦ2) представляет собой фильтр
низких частот (ФНЧ), пропускающий без искажений низкочастот¬
ную компоненту yH.4(t) = $A2(t)l2 и полностью подавляющий ВЫ-
ft Д2( А
сокочастотную компоненту yB.4(t)— н ■ cos[2©0^—2ф(^)]. Тог¬
да на выходе получаем функцию
Увых(0 = М2(0/2,	(21.3)
которую можно рассматривать как напряжение, создаваемое НЧ
компонентой тока г/н.ч(0 на единичном сопротивлении (при необ¬
ходимости все постоянные множители включаются в (3/2).
Поскольку одномерное распределение огибающей A(t) опи¬
сывается законом Релея
расчет плотности вероятности W\(yBbllL) сводится к задаче о нели¬
нейном преобразовании закона распределения Релея в соответст¬
вии с зависимостью уВЬ1Х= (ЗЛ2/2 по правилам, изложенным в
§ 19.2.
Читателю полезно решить эту задачу самостоятельно и убе¬
диться, что выходное распределение является экспоненциальным
(рис. 21.3):
<21-4)
Вычисление первого начального и второго центрального моментов
этого распределения дает соответственно среднее значение и эф¬
фективный уровень флуктуаций выходного напряжения в квадра¬
тичном детекторе:
1/вых = ро2ж,	(21.5)
<W = ftoV	(21.6)
Столь простые результаты получены за счет пренебрежения
реакцией нагрузки на работу детектора, а также из-за принято¬
го выше предположения о фильтрующих свойствах ФНЧ.
Неучтенные инерционные искажения в детекторе снижают ве¬
роятность появления значений уВых(0> близких к нулю. Соответ¬
ствующие изменения в выходном распределении можно предста¬
вить в виде пунктирной кривой ^^(г/вых) на рис. 21.3. При боль¬
шой инерционности нагрузки она может заметно разойтись с гра¬
фиком найденной плотности вероятности в окрестности начала ко¬
ординат, но далее будет иметь форму, близкую к (21.4), прохо¬
дя несколько выше, поскольку общая площадь под кривой должна
по-прежнему удовлетворять условию нормировки.
Независимо от присущих диодному детектору искажений из-за
реакции инерционной нагрузки, закон распределения выходного
напряжения при детектировании шума детектором любого типа
может заметно отличаться от расчетного, если полоса ФНЧ не-
488

достаточна, чтобы пропустить без искажений составляющую ун.ч(0-
Ясно лишь, что по мере сокращения полосы ФНЧ должна прояв¬
ляться тенденция к нормализации распределения вокруг среднего
значения и происходить переход к более «узкой» кривой, подоб¬
ной W"i на рис. 21.3.
В противоположном случае, когда полоса ФНЧ велика и в со¬
став г/вых(0 попадает частично компонента yB4(t), выходное рас¬
пределение будет стремиться к
тому, которое было найдено	Убых)
для квадратичного безынер¬
ционного выпрямителя в § 19.2.
Для отыскания АКФ или
спектра на выходе квадратич¬
ного детектора узкополосных
Гауссовых шумов достаточно
воспользоваться результатами
§ 19.4 и, в частности, форму-
лами (19.57) — (19.60), по¬
скольку они с точностью до
масштабных коэффициентов определяют спектр и АКФ сигнала
y(t) на выходе БНЦ в схеме на рис. 21.2. Последующая фильтра¬
ция цепью ФНЧ легко учитывается путем умножения энергетиче¬
ского спектра Sy(со) на квадрат частотной характеристики фильтра
К2н.ч(со). Если фильтр подавляет все высокочастотные составляю¬
щие и пропускает без искажений низкочастотные компоненты, то
выходной спектр имеет вид
ч\\ ^/(Убых^
Ч(Увых;
Ув ых
Рис. 21.3
5„ых И = Sy И,., « Р2 О4, Р2 (Т) = ¥ВЬ1Х (т),	(21.7)
где р(т)—огибающая коэффициента корреляции квазигармониче-
ского процесса x(t) с заданной АКФ вида
^r*(,') = Oajep(T)COSO)bT.
21.2.	Линейное амплитудное детектирование суммы
узкополосного нормального шума и гармонического сигнала
Задача о линейном детектировании узкополосного шума в сме¬
си с гармоническим сигналом возникает при исследовании и рас¬
чете локационных, связных и многих других радиосистем, рабо¬
тающих в условиях, когда собственные или внешние флуктуацион-
ные помехи соизмеримы по уровню с полезным сигналом, который
можно считать постоянным по амплитуде.
Рассмотрев как частный случай линейное детектирование шума
в отсутствие гармонического сигнала, можно найти параметры
выходного случайного процесса в AM детекторе для условия, ког¬
да входные флуктуации относительно велики и квадратичная ап¬
проксимация его характеристики неприемлема.
Расчет базируется на идеализации, предполагающей, что не¬
зависимо от схемы детектора его характеристика детектирования
строго линейна:
= (21.8)
489

где U=U(t) — огибающая входного колебания, которое в данной
задаче представляет собой смесь шума x(t), прошедшего избира¬
тельные цепи до детектора
x(t) = А (t) cos[й)01—ф (f)],
и гармонического сигнала постоянной амплитуды s (t) =Е cos amt,
Кд — коэффициент передачи детектора.
Начальная фаза сигнала считается нулевой. Коэффициент пере¬
дачи детектора Кя удобно принять равным единице. Линейная
зависимость между амплитудой входного сигнала и выходным на¬
пряжением детектора означает, что нелинейный элемент в детек¬
торе создает низкочастотный ток, пропорциональный огибающей,
а последующий фильтр выделяет напряжение, пропорциональное
этому току, подавляя высокочастотные составляющие.
В силу соотношения (21.8) статистические параметры случай¬
ного процесса на выходе детектора полностью совпадают с пара¬
метрами огибающей U(t). Данные для ее анализа уже подготов¬
лены в гл. 20. Воспользуемся ими и представим огибающую в со¬
ответствии с векторной диаграммой на рис. 21.4 как длину век¬
тора — суммы составляющих x(t) и s(t) с учетом разложения
шума на ортогональные компоненты
U (t) = V {Е + Ac(tW+[As(t)]\	(21.9)
где сопряженные по Гильберту НЧ эквиваленты шума Ac(t) и
As(t) отвечают уравнению
х (() = Ас (t) cos<o01 + As (t) sin a>01.
Рассмотрим далее два крайних и один промежуточный (общий)
случай, которые различаются соотношением уровней сигнала и
шума.
1.	Е/ох^> 1 (большое отношение сигнал-шум на входе). Как
видно из рис. 21.5, на длину суммарного вектора U(t) компонен¬
та As{t) влияет мало. Пренебрегая ею, получаем
yBblA*) = U(t)~Ec + Ac(t).	(21.10)
Отсюда среднее значение выходного напряжения детектора
оказывается равным амплитуде гармонического сигнала
Увых ~E + Ac{t) = Е,	(21.11)
так как в соответствии с (19.56) Ac(t)= 0.
Поскольку Ac(t) подчинено нормальному закону с дисперсией
а2х флуктуационная часть процесса г/Вых(0> равная Ac{t), также
имеет нормальное распределение, а выражение для плотности
вероятности выходного напряжения имеет вид
W1 (Увых) =	(U) « Л— ехр
к 2 л
U — Е~
’ 2Л
(21.12)
Соответственно, дисперсия выходного колебания
490
(21.13)

Так как выходной процесс отличается от Ac{t) лишь на по¬
стоянную составляющую, это дает возможность сразу заключить,
что энергетический спектр и АКФ флуктуаций после детектора
совпадают со спектром и АКФ НЧ эквивалента входного шума:
5„ых И = Sx Мн.ц «■ а2* р (т),	(21.14)
где р(т) — огибающая коэффициента корреляции процесса x(t).
Эффект сдвига спектра в область низких частот можно объяс¬
нить как результат частотного преобразования входного шума с
помощью нелинейного элемента, в котором происходит смешивание
с гармоническим сигналом, имеющим частоту соо-
2.	Е/ох — 0 (линейное детектирование узкополосного нормаль¬
ного шума). При этом для детектора с единичным коэффициен¬
том передачи амплитуды
«/вы, (0 = Л (0	(21.15)
выходное напряжение повторяет огибающую входных флуктуаций
и представляет собой случайный процесс с релеевской одномерной
плотностью вероятности
W1(yBblx)-=W1(A) = -^-exp( --^Л.	(21.16)
Ох \	* О х/
Для нахождения АКФ процесса yBMx(t) примем, что выходной
сигнал есть напряжение, созданное низкочастотной составляющей
тока детектора 1Н.Ч(0 на активном сопротивлении нагрузки.
Кусочно-линейную характеристику нелинейного элемента в од-
нополупериодном детекторе можно записать в виде
rSx х ^ О
10	% < О
(21.17)
или в более удобной форме
i = S
X
7
X
2
(21.18)
где S — крутизна.
Первое слагаемое в выражении (21.18) есть линейная функция,
а второе — четная функция аргумента х, которая, как известно,
дает лишь четные члены в степенном разложении. Таким образом,
491

если для выяснения частотного состава спектра тока i представить
(21.18)	в виде степенного полинома, то в нем следует приравнять
нулю все слагаемые нечетных степеней, кроме первой. Это дает
следующую зависимость:
i = я1л: + а2х2 + а4 х4 + а6х6 + ...	(21.19)
Зная механизм образования спектра на выходе нелинейной цепи
из частотных составляющих входного процесса (см. § 7.6), при¬
ходим к выводу, что энергетический спектр полного тока в линей¬
ном детекторе должен быть сосредоточен на участках, примыкаю¬
щих только к четным гармоникам частоты соо, т. е. О, 2соо, 4со0,
бсоо, ... и т. д. и, кроме того, должен содержать один участок, сов¬
падающий со спектром входных флуктуаций, поскольку в харак¬
теристике имеется линейный член с коэффициентом a\ = S/2. Со¬
ответствующую структуру должна иметь и АКФ тока детектора.
При протекании этого тока через инерционную нагрузку может
происходить лишь некоторое ослабление части составляющих по
сравнению с другими без добавления новых частотных компонент.
В рекомендованной литературе [4, 10, 25] и др. можно найти
несколько вариантов строгого решения рассматриваемой задачи.
Приведем кратко один из них.
Смешанный момент распределения тока детектора с учетом
(21.19)	записывается как двойной интеграл
оо оо	2	00 00
<ц*т> =S2 \ f ххх Wo (х, хх) dxd х =		f f ххх X
Joo-Ло	2 no2x(l — R2) ^
X exp
x2 -f- x2x — 2 R xxx
2 а2ж (1 — R2)
dxd r,
(21.20)
где R = R(t) =p(t) coscoot — коэффициент корреляции входных
флуктуаций; W2(x, хх ) — нормальная двумерная плотность ве¬
роятности.
Интеграл вычисляется путем замены переменных х, хх на г, ср
и параметра R на а по формулам
x = axr cos
Хг = <7х г cos ^ —	ф j ,
R = cos а (0 ^ а ^ я).
При этом получается
dxdxx = ох sin a rdrd ф
и интегрирование дает
<l7t> = ^ I Vl ~R2{X) + R (Т)
(21.21)
+ arcsin R (т) j j
(21.22)
Разложив найденное выражение в степенной ряд и исключив
из него квадрат постоянной составляющей тем же приемом, что
492

и в
(20.55), находим функцию автокорреляции флуктуаций тока
¥; (t)=^L
W 2п
j-fi(T)+±jP(T)+±V(T)+...
(21.23)
Видим, что предположения о структуре АКФ вполне подтверж¬
даются. Если заменить крутизну 5 значением 5 = я/^Нагр, при ко¬
тором будет обеспечен единичный коэффициент передачи ампли¬
туды в детекторе, и, кроме того, развернуть выражение АКФ вход¬
ного процесса, то можно получить упрощенную формулу для авто¬
корреляционной функции НЧ компоненты колебания yBbIx(t)
¥,1ЫХ(т) = ¥л(т) = ^
Р2 С*)'
64
Р4(Т)
<У2х Р2М-
(21.24)
Применив преобразование Фурье, легко найти как энергетиче¬
ский спектр полного тока
5г (со) - ¥г (т),	(21.25)
так и спектр выходного напряжения, пропорциональный низкоча¬
стотной части Si (со)
5ВЫХ (со) « 5Л (со) - ¥л (т) « -2- < р2 (т).	(21.26)
О
Оба спектра изображены на рис. 21.6, где показан также для срав¬
нения график функции 5х(со).
Существенным для практики является вывод о том, что АКФ
и, следовательно, спектр флуктуаций на выходе линейного детек¬
тора почти точно повторяют АКФ и спектр выходных колебаний
при квадратичном детектировании узкополосного шума. Коэффи¬
циент корреляции, найденный путем нормирования (21.26), можно
выразить как
Ra W	= °’921 P2 M + °’058 p4 00 + • • • ~ p2 (T), (21.27)
откуда видно, что ошибка приближения не превышает 8%. В целом
результат означает, что в формировании выходного спектра опре-
493

деляющую роль играет квадратичная часть происходящего в де¬
текторе нелинейного преобразования входного шума.
3.	Е/охфО (общий случай). Если входной шум в детекторе
соизмерим с амплитудой гармонического сигнала, задача об одно¬
мерном распределении Wi (увых) выходных флуктуаций должна
решаться более строго, чем в предыдущих случаях. Полагая, что
выходной сигнал детектора повторяет огибающую смеси сигнала
с шумом
«/вых(0 = т	(21.28)
в соответствии с (21.9) необходимо найти одномерную плотность
вероятности случайной величины U
Wi (U) — Wx (г/вых)	(21.29)
по известному совместному распределению двух случайных вели¬
чин Ас и As. Величины U, Ас и As представляют собой значения
соответствующих случайных процессов в совпадающие моменты
времени, поэтому в рассуждениях время можно не учитывать.
Руководствуясь правилами из гл. 20, необходимо сначала перей¬
ти от двух исходных случайных переменных Ас и As к двум новым,
одна из которых представляет амплитуду U, а вторая может вы¬
бираться произвольно.
Зная функциональную связь fi(AC) Л8) и /2(ЛС, Л8), найдем
двумерный закон распределения для новых случайных величин,
а затем, интегрируя его по лишней второй переменной, получим
искомое распределение W\(U). При выборе второй новой пере¬
менной попутно используем процедуру замены переменных для
того, чтобы найти одновременно законы распределения как ам¬
плитуды U(t), так и фазы 0(0, которая в соответствии с рис. 21.4
удовлетворяет уравнению
ew=arclgrrfs'	(21-30)
Таким образом, мы располагаем прямыми функциями (21.9) и
(21.30) и обратными зависимостями
л5 = t/ sin е = (t/, 0),	(21.31)
AC = U cos 0 — E=--h2(U,Q),	(21.32)
необходимыми для преобразования исходных переменных Лс и Л.,
к новым U и 0.
Поскольку Лс(0 и As(t) представляют (§ 20.7) независимые
Гауссовы процессы с одинаковой и известной дисперсией о2х, их
совместное распределение W2(AC, Л8) выражается как произведе¬
ние одномерных плотностей вероятности каждой из компонент.
Этапы решения задачи показаны в виде графа на рис. 21.7.
Реализация плана решения дает на предпоследнем шаге следую¬
щее выражение для совместной плотности вероятности огибающей
и фазы смеси гармонического сигнала и нормального шума
W2 (U, 0)= ехр
2 по2х
и2 +
Е2 — 2 UE cos 0
2а2х
(21.33)
494

Заключительная операция интегрирования по «лишней» пере¬
менной 0 приводит к выражению
W(U)=-^e^V2+E2)/2a2--
2я
-UE cos 0/<г2а
2 Я
d 6.
Данный интеграл не выражается в элементарных функциях, но
может быть представлен функцией Бесселя нулевого порядка мни¬
мого аргумента. Окончательное решение можно записать в форме,
носящей название обобщенного закона Релея или, иначе, закона
Райса
r,(W=-|exp(-i^i) /„(g) для (/>0. ,21.34)
Используя следующие свойства функции Бесселя:
М0) = 1,
1о{у)~укй( l+i + ---)y>>u
можно получить из (21.34) частные случаи формулы плотности
вероятности (21.12) и (21.16).
Асимптотические свойства закона Райса видны из графиков
функции Wi(U) на рис. 21.8 для разных Е/ох.
Структура выходного низкочастотного спектра и соответствую¬
щий ему вид АКФ процесса г/Вых(0 при произвольном отношении
сигнал-шум на входе определяют¬
ся тем, что в составе тока детекто- ,
ра присутствуют компоненты, ха¬
рактерные как для первого, так и °,5
для второго из рассмотренных ofi
раньше частных случаев. Иными ’03
словами, выходные флуктуации со-	’
держат соизмеримые по мощности	'
продукты нелинейного взаимодей- °>1
ствия компонент шума с сигналом 0
(шум-сигнал) и тех же компонент
шума между собой (шум/шум).
Коэффициент корреляции выходного колебания имеет в первом
приближении вид
Явых (т) = R и (г) = Ьгр (т) + Ь2 р2 (т) + ... .
495
(21.35)

Детальный анализ [4] дает следующие расчетные формулы для
коэффициентов bi и Ь2
К
_£
h = е.чр
I ехр ^ •
Е2
2 о*,
£2
2 о**
£2 N
Ч1лД'-
Е2 \ , „ / £2
4а2ж У
+ /ai
1 2
(21.36)
(21.37)
Пренебрежение членами более высоких порядков в (21.35)
приводит к ошибкам всего лишь в единицы процентов, поэтому
обычно расчет ограничивают приведенными двумя слагаемыми.
Первые два члена в (21.35) легко получить, полагая, что харак¬
теристика нелинейного элемента описывается квадратичной пара¬
болой. Поэтому практически нет смысла рассматривать самостоя¬
тельно вопрос совместного квадратичного детектирования сигнала
и шума. Форма нормированного энергетического спектра огибаю¬
щей смеси сигнала с шумом или, что то же, спектра флуктуаций
на выходе устройства детектирующего эту смесь
Su (со) Дцлх (®)< ‘ Двых -И Ru (Д
показана на рис. 21.9 для идеализированного случая, когда вход¬
ной шум обладает прямоугольным энергетическим спектром 5ж(со).
В составе Si/(co) выделены два основных слагаемых, являю¬
щихся Фурье-образами первого и второго членов в (21.35)
5i(co)^felP(T),
S„ (со) « b2 р2 (т).
Они показаны на рис. 21.9, а, где также изображены 5х(со) и
дискретная компонента Дб(со—соо) от гармонического сигнала.
Рис. 21.9,6 представляет полный спектр флуктуаций на выходе
Рис. 21.9
496

детектора и дает представление о том, какая его часть не входит
в расчет, если полагать, что
Sa (со) ~ Sj (со) - г 52 (со).
Подводя итоги рассмотрению спектрально-корреляционных
характеристик флуктуаций на выходе детекторов квадратичного и
линейного типа, 'еще раз подчеркнем близкое совпадение результа¬
тов. Оно отражает реальное сходство явлений, протекающих в
разных детектирующих элементах с более или менее сильно вы¬
раженными нелинейными свойствами, а также прямо связано с
назначением всякого детектора — выделять относительно низко¬
частотные модулирующие процессы, не создавая на выходе новых
высокочастотных компонент (как, например, в смесителе).
Разница между «резкими» и «нерезкими» нелинейностями ска¬
зывается на интенсивности комбинационных частотных составляю¬
щих высокого порядка, но именно эти компоненты дают малый
вклад в область тех частот, которые представляют интерес при
детектировании.
В заключение параграфа остановимся на явлении, которое
принято называть «подавлением слабого гармонического сигнала
шумом в детекторе». Оно наблюдается в детекторах почти всех
типов.
Обозначим отношение сигнал-помеха на входе детектора по
эффективным значениям как
<7вх = £/К2<т.	(21.38)
Полезным сигналом после детектора можно считать прираще¬
ние постоянной слагающей AU0 на его выходе, обусловленное до^
бавлением входного гармонического сигнала к шуму.
Применительно к линейному детектору очевидно, что прира¬
щение следует определять через первые моменты выходных рас¬
пределений:
А [/„ = <[/> — <Л>,
где U=U(t) и A=A(t) — как и раньше — огибающие суммы
гармонического сигнала с шумом и «чистого» шума соответственно.
Тогда отношение сигнал-помеха на выходе можно обозначить
как
Чвых
,<и> - {А)
<Л>
Значение <U) находим обычным путем с помощью
Райса (21.34) по формуле
(21.39)
закона
<£/>= ( UW} (U)dU.
б
Интеграл вычисляем, используя асимптотическое представление
функции Бесселя при малых аргументах
/о (У) ^ 1 + У2/4.
497.
17—100

Результат имеет вид
<t/>«a	1 + ^,(0„<1).	(21.40)
Учитывая, что, как известно
(А)---вУп/2,	(21.41)
получаем-путем подстановки (21.40) и (21.41) в (21.39)
^ВЫХ ~ Я Вх' ^ (Явх 1) •	(21.42)
Т.аким образом, отношение сигнал-помеха, определяемое по
.приращению средних значений на выходе линейного детектора,
оказывается существенно ниже, чем на входе.
Аналогичные расчеты для квадратичного детектора дают при
тех же условиях соотношение qBЫх~(?2вх, что также указывает
;на эффект подавления.
21.3.	Фазовое и частотное детектирование суммы
гармонического сигнала и шума
Характеристики процессов на выходах реальных фазовых (ФД)
или частотных (ЧД) детекторов зависят как от статистических
свойств текущей фазы или частоты входного воздействия, так и
от его уровня. Следует иметь в виду, что в большинстве приме¬
нений оба названных типа детекторов используют в составе узко¬
полосных трактов в совокупности с предшествующим им ограничи¬
телем. Благодаря ему амплитуда детектируемых колебаний под¬
держивается практически постоянной.
При исследовании вероятностных свойств выходных процессов
в ФД или ЧД вначале примем допущение о прямой пропорцио¬
нальности между фазовым или частотным отклонением и сигна¬
лом, создаваемым на нагрузке. Анализ детектирования немодули-
рованного сигнала с шумом дает, как и в случае AM, основу для
квазистационарного приближения при расчетах с учетом процесса
ф.азовой или частотной модуляции.
Фазовое детектирование. Как известно, результат сложения
сигнала с квазигармоническим шумом можно представить в виде
вектора с медленно изменяющимися амплитудой U (t) (21.9) и
фазой 0(0 (21.30). Совместное распределение W2(U, 0) найдено
в предыдущем параграфе [см. (21.33)]. Это дает возможность, не
обращаясь к исходным распределениям компонент входного шума,
сразу найти одномерную плотность вероятности фазы, т. е. закон
распределения выходного напряжения в идеальном фазовом де¬
текторе (граф на рис. 21.7):
W1(Q)=]wi(U,Q)dU.	(21.43)
о.'З
Используя (21.33) и опуская выкладки, связанные с интегри¬
рованием [25], получим
498

(21.44)»
где
ИМ0)^
X Ф
1	/ Е- \ , Е cos 0
■— ex D /	! Ч	г= X
ех р,	; ,	.
2л \	2 а2 У аТ/2л
Е cos 0 \	/ Е2 sin2 0
)ехЧ	27-
Ф(7 =—\ £~xl<-dx
У2 л —-со
— интеграл вероятности.
Графики плотности вероятности фазы показаны на рис. 21.10
для разных значений £/сг. Из них видно, что фаза 0 при ампли¬
туде сигнала Е = 0 оказывается, как и следует из (21.44), равно¬
вероятной в интервале 1/2л. По мере увеличения сигнала закон
распределения фазы приближается к закону Гаусса, что также
можно было ожидать, обращаясь к векторной диаграмме, подоб¬
ной рис. 21.5. Как видно из этой диаграммы, при Е/о^> 1 имеет
место приближенное равенство
е (0 «tg ею «л, (*)/£,	(21.45)
откуда в силу «нормальности» компоненты As(t) и постоянства,
амплитуды Е вытекают асимптотические свойства закона (21.44).
Дисперсия случайной фазы 0(/) уменьшается с ростом отноше¬
ния сигнал-шум в соответствии с графиком на рис. 21.11, который:
построен по результатам численного интегрирования выражения
<т.
(21.46)
В случае, когда выходное напряжение иф.д фазового детектора
связано с фазой 0 нелинейной зависимостью (например, Ыф.д=
= &sin0) плотность вероятности Wi (Нф.д) находится из №4(0) по
правилам функциональных преобразований, изложенным в § 20.2.
Определение спектрально-корреляционных свойств фазы 0(if)
в общем случае требует громоздких выкладок. Поэтому ограни¬
чимся получением частного результата, соответствующего боль-
17*	499

шому отношению сигнал-шум на входе ФД. При этом справед¬
ливо приближение (21.45), из которого вытекает, что энергети¬
ческий спектр и АК.Ф фазы с точностью до константы совпадают
с аналогичными характеристиками медленного случайного колеба¬
ния As (0- Если энергетический спектр шума на входе детектора
симметричен относительно со0 и его коэффициент корреляции пред¬
ставлен как
Rx (т) = Р (т) cos со0 т,
то коэффициент корреляции Re фазы 0(4 с учетом (21.45) и
(19.60)
Яе(т)«р(т).	(21.47)
Следовательно, при большом сигнале энергетический спектр
фазы повторяет спектр входного шума со сдвигом на со0, подобно
току, как это происходит при амплитудном детектировании и
большом отношении сигнал-шум (см. § 22.3).
Частотное детектирование. Частота есть производная от фазы
сигнала, а так как 0Д) представляет случайную часть фазы ко¬
лебания
Е cosco0 t + x(t) = U (t) cos [co0 /+ 0(/)],	(21.48)
то мгновенная частота этого процесса
co(f) = co0 + e (t).	(21.49)
Идеальный частотный детектор, настроенный на частоту со0
и обладающий необходимой безынерционностью, при подаче на
его вход смеси (21.48) создает на выходе напряжение, пропор¬
циональное текущей случайной расстройке по частоте
со (/) — со0 = 0 (/).
Таким образом, статистический анализ ЧД сводится к изучению
свойств производной от фазы 0.
Общее решение для одномерной плотности вероятности слу¬
чайной частоты 0 приходится искать, основываясь на четырех¬
мерном совместном распределении значений функции Ас, As и
их производных, с помощью которого по правилам функциональ¬
ных преобразований из § 21.2 получают четырехмерный закон
распределения огибающей и фазы U, 0 с их производным О, 0.
После этого И7Д0) находится трехкратным интегрированием ре¬
зультата по «лишним» переменным. Решение существенно облег¬
чается тем, что исходные случайные переменные Ас, As, Ас, As в
силу «нормальности» шума независимы в совпадающие моменты
времени и потому четырехмерная плотность задается произведе¬
нием одномерных Гауссовых распределений. Последовательность
преобразований описывается графом на рис. 21.12.
В результате получается общая формула, содержащая функ¬
ции Бесселя нулевого и первого порядков и не отличающаяся
500

большой наглядностью [25]. Однако в двух частных случаях ВЫ'
ражения для 11^(0) оказываются достаточно простыми.
Так, при Е/ох = 0 анализ дает
^(0) =
— Р" (°)
2 [9 — р" (0)]3/3 ’
(21.50)
где р"(0)=
корреляции
frpjT)
дх2
т=0
шума.
причем р(т) — огибающая коэффициента
Не обращаясь к точной формуле, можно полагать, что при
E/Ox^l в настроенном ЧД из-за близости H^i(0) к закону Гаусса
(21.45)	распределение производной от фазы И^(0) в силу линей¬
ности операции дифференцирования также будет почти нормаль¬
ным. Строгий расчет подтверждает сказанное и позволяет опре¬
делить значение дисперсии для
Гауссова приближения функции
Г,(0)
(21-51>
Наличие знака минус перед
второй производной коэффициен¬
та корреляции НЧ эквивалента
шума в формулах (21.50) н
(21.51) вызвано тем, что в точке
максимума, т. е. при т = 0 она все¬
гда отрицательна из-за четности
любой АКФ-
Графики плотности вероятно¬
сти, построенные в соответствии	Рис. 21.13
с точными формулами для разных
Е/ох, показаны на рис. 21.13, где в качестве аргумента использова¬
на относительная величина
г/ = 0/К-р"(0).	(21.52)
Возможность такой нормировки обусловлена связью между второй произ¬
водной коэффициента корреляции р(т) и так называемой среднеквадратической
частотой спектра флуктуаций, представляющих НЧ эквивалент входного шума.
Если воспользоваться введенным ранее обозначением 5x(co)h.4 для нормирован-
501

ного энергетического спектра такого низкочастотного нормальноге случайного
процесса, то вторую производную р"(0) можно- выразить как [25]
оо
р" (0) = j ш2 S* (ш)н , d ш = <ш2> .	(21.53)
©
Следовательно, чем шире полоса входного шума, тем больше размах слу¬
чайных отклонений частоты 0, что вполне согласуется с физическим смыслом
процессов в частотном детекторе.
Вопрос о спектре и АКФ случайного отклонения частоты лег*
ко решить для случая большого отношения сигнал-шум, если вос¬
пользоваться известной зависимостью между энергетическими
спектрами и АКФ функции и ее производной. Поскольку мы уже
нашли коэффициент корреляции фазы (21.47), это дает возмож¬
ность написать на основании формул (18.27) и (18.25):
Ре (т) = — Рё(г)——	(ш)»со2 Se (со) = со2 Sx (со)н„ (21.54)
где Se (со) и Se (со) — нормированные энергетические спектры
частоты 0 и фазы 0 соответственно.
Таким образом, спектр частоты кроме масштаба отличается
от сдвинутого в область низких частот энергетического спектра
входного шума множителем со2. Если, например, спектр входного
шума 5ж((о) и огибающая его коэффициента корреляции р(т)
имеют вид Гауссовых кривых, как показано на рис. 21.14, а, то
при сложении этого шума с большим гармоническим сигналом
полученное колебание будет характеризоваться случайным откло¬
нением частоты со спектральной и корреляционной характеристи¬
ками, показанными на рис. 21.14,6.
$sx(cj)
Рис. 21.14
21.4.	Совместное действие гармонического сигнала
и нормального шума на ограничитель с резонансной нагрузкой
Глубокое ограничение часто используется при усилении радио¬
частотных сигналов в телеграфных, радиолокационных и других
приемных устройствах. Обычное назначение таких ограничителей
заключается в стабилизации амплитуды выходных колебаний
после усилителя при возможных вариациях уровня полезных вход¬
ных сигналов в сумме с помехами.
Поскольку ограничитель является нелинейным звеном, в нем,
как и в детекторах, может происходить подавление слабых ко-
502

лебаний сильными. Поэтому требуется оценка отношения сигнал-
шум на выходе такого устройства.
Задача успешно решается путем расчленения всей системы на
безынерционную нелинейную цепь с характеристикой тока г/огр =
= f(x) и инерционную нагрузку, которая обеспечивает выделение
из состава колебания г/ОГр(0 компонент, примыкающих к ±со0.
Представим сумму сигнала sBX (t) =ЕВХ cos (coot) и узкополос¬
ного шума nBX(t) =ABX(t) cos[(o0^—ф(/)] колебанием вида
x(t) = U (t) cos fco0 / + 0 (/)].
Характеристику ограничителя считаем идеальной (рис. 21.15):
I а х > О,
Уогр |	0 X — 0,
I—ах<0
Спектр тока при действии узкополосного колебания x(t) в со¬
ответствии с комментариями к формуле (20.65) имеет гребенча¬
тую структуру, тогда как частотный состав выходного колебания
y(t) определяется только компонентами, кото-рые образуют в вы¬
ходном энергетическом спектре симметричные относительно точки
со = 0 «зубцы гребенки» в окрестностях частот ±со0.
Поскольку высшие гармоники полезного сигнала и близкие к
ним по частоте составляющие шума не пропускаются полосовым
фильтром, выходное колебание можно в общем случае предста¬
вить как
у (0 = Е cos со0 f + п (t),
где n(t) — выходной шум со спектром, примыкающим к со0-
Амплитуда импульсов тока при глубоком ограничении всегда
равна а, независимо от соотношения сигнал-шум на входе q2x =
= £2Вх/2ог2вх, где ст2вх — дисперсия шума на входе ограничителя.
Так как мы рассматриваем узкополосные входные колебания,
их форма близка к синусоидальной, а импульсы тока ограничите¬
ля являются почти периодическими. Поэтому суммарная мощность
выходного колебания при любом qx неизменна и рассчитывается
так же, как для первой гармоники процесса, получаемого на вы¬
ходе ограничителя в отсутствие шума, т. е.
Ру =
(21.55)
где k учитывает коэффициент передачи и сопротивление нагрузки
ограничителя, а множитель в круглых скобках характеризует от¬
носительную амплитуду первой гармоники.
Для расчета соотношения сигнал-шум qv после ограничителя
находят АКФ выходного процесса и выделяют из ее состава пе¬
риодические и квазипериодические слагаемые с частотой со0, ко¬
торые возникают из-за наличия в токе г/огр(0 компонент типа
503

сигнал-сигнал (ДДс), сигнал-шум (TA.m) и шум-шум (Ч'ш.ш), об¬
разующихся в силу нелинейности ограничителя:
Чу М = Ч'с.с М + Чс.ш(х) + Чш.ш (г).	(21.56)
Положив в (21.56) т = 0, а в (21.55) взяв для нормировки k=\,
получают возможность разложить суммарную мощность на сла¬
гаемые
Ру = Ч'с.с (0) + Ч'с.ш (0) + ¥ш.ш (0),	(21.57)
и найти искомое отношение
\C(Q) = "27c,(°)
Ру	8 а*
(21.58)
Чтобы выразить нужные члены АКФ, пользуются методом кон¬
турных интегралов. Он позволяет (см., например, [8]) найти
Vc.c(0), т. е. нормированную мощность полезного сигнала в со¬
ставе y(t)
Ч'с.с (0)= — 9*е-в*я +
Я
■Mef)+A(t
(21.59)
где /о и J\ — функции Бесселя от мнимого аргумента.
Отметим предельные значения отношений сигнал-шум на выхо¬
де полосового ограничителя при малом и большом значениях qx.
Для оценок удобно воспользоваться приближенными значениями
функций Бесселя
На основании этого .имеем
——— при qx > 1 ,
Qx
^,е Q 1 при <7Х<1.
4
q2y ~ 2 q2x при 1,
при qx<t 1-
4
Таким образом, полосовой ограничитель при сильном сигнале улуч¬
шает отношение сигнал-шум по мощности в 2 раза. Это объясня¬
ется подавлением составляющей шума, синфазной с сигналом. В
случае слабого сигнала, наоборот, он подавляется шумом, одна¬
ко -не более, чем в я/4 раз.
Вопросы для самопроверки
1.	Перечислите упрощающие предположения, которые обычно
используют для анализа различных детекторов ASM сигналов
при воздействии на них флуктуационных колебаний. Дайте
качественную оценку степени пригодности упрощений при
анализе детекторов, выполненных по разным схемам.
504

2.	Составьте расчетные графы (планы расчета) одномерных рас¬
пределений процессов на выходе квадратичного и линейного де¬
текторов, находящихся под действием узкополосного Гауссова
шума.
3.	Объясните, почему АКФ и энергетический спектр процессов на
выходах квадратичного и линейного амплитудных детекторов,
находящихся под действием узкополосного шума, близки по
форме.
4.	Составьте расчетный граф для получения одномерных функций
распределения процессов на выходе линейного амплитудного и
фазового детекторов, находящихся под действием суммы гар¬
монического сигнала и узкополосного шума.
5.	При каких значениях аргумента (больших или малых) плот¬
ность вероятности выходного напряжения в реальном линейном
детекторе, на который действует узкополосный Гауссов шум,
может заметно отклоняться от закона Релея?
6.	При каких отклонениях текущих значений процесса на выходе
ФД от среднего значения в случае действия на вход ФД смеси
большого гармонического сигнала с нормальным шумом Гаус¬
сова аппроксимация выходного одномерного распределения
дает наибольшие погрешности. Почему?
7.	Нарисуйте вид энергетического спектра флуктуаций на выходе
настроенного ЧД, на который действует сумма большого немо-
дулированного гармонического сигнала и малого нормального
шума, имеющего прямоугольный спектр, симметричный отно¬
сительно частоты сигнала.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ
ВОПРОСЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
22.1.	Задачи оптимальной линейной фильтрации и проблема
выбора критерия оптимальности
Эффективность большинства радиосистем как средств передачи
информации зависит от способности этих систем противостоять
мешающему действию помех. Основой большинства практических
методов выделения сигналов из помех является линейная фильт¬
рация. Она базируется на использовании частотной избиратель¬
ности линейных радиоцепей.
Оптимальным принято называть фильтр, решающий задачу
выделения установленных сигналов на фоне заданных помех наи¬
лучшим образом. Это определение не представляет практической
ценности до тех пор, пока не указан критерий оптимальности
фильтра, т. е. пока не выбрана количественная мера качествен¬
ному понятию наилучшим образом.
Выбор критерия оптимальности непосредственно связан с ха¬
рактером задач, которые решаются тем или иным приемным
устройством. Для радиолокации типична задача обнаружения
505

сигнала известной формы на конечном отрезке времени. Обычно
протяженность этого отрезка ограничивается длительностью по¬
лезного сигнала или регламентируется допустимым временем на¬
блюдения.
Существенно отличной является задача воспроизведения фор¬
мы передаваемого сигнала при приеме его на фоне помех. Если
при решении задачи обнаружения успех достигается установле¬
нием факта наличия или отсутствия сигнала, для чего совсем не
требуется воспроизводить его форму, то во втором случае фильт¬
рация будет считаться тем лучшей, чем меньше искажается пере¬
данное колебание.
В соответствии с этим различаются и критерии оптимальности
фильтров, решающих первую или вторую из указанных задач. Для
задачи обнаружения наиболее подходит критерий отношения пико¬
вого значения сигнала к эффективному значению помехи. Фильтр,
максимизирующий это отношение, будет оптимальным по такому
критерию при приеме сигнала в помехах флуктуационного типа.
При подборе фильтра для решения задачи воспроизведения
формы используется критерий отношения эффективных значений
сигнала и помех, ибо понятие пикового значения выходного сигна¬
ла при непрерывном воспроизведении не имеет однозначного смыс¬
ла. Фильтр, оптимальный по этому критерию, максимизирует от¬
ношение сигнала к помехе по эффективным значениям.
Поскольку первый и второй критерии не совпадают, характе¬
ристики фильтров, оптимальных в том и другом смысле, оказы¬
ваются различными
Термин отношение, сигнал-шум, часто употребляемый в радио¬
технической литературе, может, как видим, иметь разное содер¬
жание, обозначая либо тот, либо другой критерий качества. Оче¬
видно, встречая или используя это понятие, следует четко опре¬
делять не только то, что понимается под сигналом, но и какими
свойствами обладает шум (помеха).
Мы рассмотрим здесь только свойства линейных фильтров,
оптимальных по первому критерию, в случае выделения сигнала
на фоне стационарных флуктуационных помех. Эти фильтры при¬
нято называть согласованными по причинам, которые станут по¬
нятными из дальнейшего.
22.2.	Передаточная функция согласованного линейного
фильтра
Пусть на вход некоторого стационарного линейного фильтра
действует сумма сигнала известной заранее формы s(t) со своим
спектром Фурье G(со) и стационарного шума со спектральной
плотностью мощности No (со) = No = const.
Существуют и другие критерии, которым также соответствуют другие
фильтры.
506

Найдем комплексный коэффициент передачи фильтра .Копт (со)
такой, чтобы отношение сигнал-шум на его выходе в заданный
момент времени t0 было максимально возможным. Начало от¬
счета времени удобно всегда вести от начала действия сигнала
s(i). Наложение определенного условия на момент достижения
максимального значения выходного сигнала |sBbIX(/0)| позволит
конкретизировать требования к допустимому запаздыванию сиг¬
нала в фильтре и решить в дальнейшем вопрос о физической
осуществимости такого звена. Знак модуля означает, что нам без¬
различно, какой будет полярность выходного сигнала в интересую¬
щий момент времени. Пусть а2 — дисперсия (квадрат эффектив¬
ного значения) шума на выходе фильтра. Кроме того, введем
необходимые для дальнейшего обозначения:
фя (со) — фазовый спектр сигнала s(t) « G(co) = G (co)ei<Ps<“),
фк(со)—фазовая характеристика фильтра К(со) = /С(со)е]ч,к<0)>.
В любой момент времени модуль мгновенного значения выход-
НОГО СИГНЙЛЙ 15вых (/)|, отнесенный к эффективному выходному
шуму, можно найти через преобразование Фурье как
I SBHX (0 I
а
1 00
— Г
2 п
К (со)G (со)
J at
е
d со
No_J_
2 2 я
<Х>
j	К2 (со) d со
— сС
1/2
(22.1)
Условно обозначим произведение второго и третьего сомножи¬
телей под интегралом в числителе при t = t0 через
G(co)e)<0/° = Ф(со).	(22.2)
Тогдй рйвенство (22.1) перепишется в виде
I %ЫХ (*о)1
о
сС
j к (со) Ф (со) d со
— 00
оо
я N0 j К2 (со)аГсо
*— сС
1/2
(22.3)
Чтобы максимизировать отношение сигнал-шум, необходимо
найти коэффициент К(со) =Копт((о), при котором правая часть
(22.3)	станет максимально возможной.
Воспользуемся оценкой сверху для интеграла, стоящего в чис¬
лителе правой части. Эта оценка дается неравенством Коши —
Шварца и имеет в наших обозначениях форму
j К (со) Ф (со) d со
— on
I
к (со)
d(o j | Ф (со) |2 d
	00
(22.4)
Как легко убедиться прямой подстановкой, выражение (22.4)
обращается в равенство, если
к (со) = а Ф* (со),
507
(22.5)

где а — любое положительное число, а Ф*(со) — функция, комп¬
лексно-сопряженная с Ф(со).
Но превращение (22.4) в равенство означает, что при этом
правую часть формулы (22.3) можно рассматривать как условие
оптимальности фильтра. Присвоив необходимый индекс коэффи¬
циенту передачи, запишем это уравнение в исходных обозначениях
Копг (со) = a G (—со) — ад* (со) е~'м<о =
= а G (со) ехр {—[cps (со) -f со /0]>.	(22.6)
Отсюда требования к модулю и фазе комплексного коэффи¬
циента передачи оптимального фильтра:
Kom(®) — aG (со),	(22.7)
ФоптН= — [фЛш)+ш*о]-	(22.8)
Следовательно, частотная характеристика оптимального фильт¬
ра должна с точностью до масштабного множителя повторять мо¬
дуль спектра сигнала. Фазовая характеристика, взятая с обратным
знаком, должна отличаться от фазового спектра сигнала только
на величину со^о, определяющую сдвиг момента достижения пика
сигнала на выходе фильтра от начала отсчета времени.
Поскольку между спектром сигнала и параметрами фильтра
имеется жесткая связь, такой оптимальный фильтр называют со¬
гласованным с данным сигналом.
Легко объяснить физическое содержание условия (22.7). При
его выполнении фильтр пропускает на выход спектральные со¬
ставляющие сигнала с коэффициентом передачи, пропорциональ¬
ным их величине G(со). Благодаря этому на форму выходного на¬
пряжения фильтра при действии сигнала влияют, в основном, ме¬
нее искаженные шумами компоненты, в то время как более иска¬
женные подавляются. Это и служит одной из причин улучшения
отношения сигнал-шум.
Вторая причина обусловлена фазовой характеристикой (22.8).
Чтобы понять это, выпишем последовательно ряд тождественных
друг другу выражений выходного сигнала через его спектр и най¬
денные характеристики оптимального фильтра:
i	.
W (0 = — J G (со) Копт (со) со =
а °?	ЯфДо>)+фопт(й>)+й>С]	<*>
= j G2(co)e	пт da = ~- j G2(co)ei“<^o)d(o =
= — ( G2 (со) cos (со t—со t0) d<j>.
я ^
(22.9)
Последний вариант записи, получившийся после подстановки
(22.8) и перехода к преобразованию Фурье, наглядно показывает,
что в момент времени t = tQ все компоненты спектра сигнала ока-
508

зываются сфазированными и sBNX{to) имеет максимальное значе¬
ние благодаря компенсации их начальных фаз за счет фазовой
характеристики фильтра.
22.3.	Импульсная характеристика и физическая
осуществимость согласованного линейного фильтра
Сопряженность спектра сигнала и частотной характеристики
согласованного с ним фильтра указывает на однозначную связь
между формой этого сигнала и импульсной характеристикой
£оПт(0 данного фильтра.
Вспомним несколько правил и свойств преобразований Фурье.
Если сигнал (оригинал) и спектр (изображение) связаны по
Фурье:
G(co)«s(i),
то по теореме запаздывания
G (со) e^o^s (t—i0).
С другой стороны, замена знака в аргументе оригинала равно¬
сильна переходу к комплексно-сопряженному спектру (аналогич¬
ное преобразование в § 18.4)
[G (со) eJ“*°]*^s (tg — t),	(22.10)
Отсюда, сравнив левую часть этого символического выражения
с (22.6), приходим к выводу, что импульсная характеристика
фильтра
$опт (0 = as {to—t).	(22.11)
Таким образом, функция gom{t) с точностью до константы
является зеркальной копией сигнала,. сдвинутой на /0 вдоль оси
времени, как это, например, показано на рис. 22.1. Здесь в каче¬
стве иллюстрации взят сигнал конечной длительности Тс. При
этом отрезок времени t0, соответствующий моменту, когда при дей¬
ствии входного сигнала s(t) на выходе фильтра будет достигнуто
509

значение sBbIX(M, которое максимизирует отношение сигнал-по¬
меха, взят равным длительности сигнала
t0 = Tc.	(22.12)
Равенство (22.12) не является обязательным, так как оно не
вытекает из вывода характеристик оптимального фильтра и не ис¬
пользовалось в нем.
Оптимальный фильтр должен быть физически осуществимым.
Это значит, во-первых, что его импульсная характеристика, пред¬
ставляющая реакцию на единичный импульс в момент / = 0, не
может быть отличной от нуля при ^<0. В противном случае будет
нарушен принцип причинности. Итак, для физической осуществи¬
мости фильтра необходимо, чтобы
gonT(f) = 0 при *<0.	(22.13)
Из рис. 22.1 нетрудно видеть, что (22.13) может быть выпол¬
нено лишь тогда, когда
U >ТС.	(22.14)
Иными словами, только при задержке to^Tc можно полностью
использовать энергию сигнала для создания наибольшего возмож¬
ного пика в точке t = t0. Если задержка больше длительности сиг¬
нала, это не противоречит условиям осуществимости фильтра.
Данному случаю соответствует кривая gom{t') на рис. 22.1. Вве¬
дение запаздывания не меняет выходного отношения сигнал-шум,
а просто сдвигает по времени отклик фильтра на сигнал так же,
как задерживает реакцию фильтра на единичный импульс (на
t'o=Tc).
Второе условие физической осуществимости равносильно тре¬
бованию устойчивости и означает, что при /—>-оо, импульсная ха¬
рактеристика должна затухать до нуля, т. е.
Hmgonl(0 = 0-	(22.15)
t-*cG
Так как с момента t=ta^.Tc значения ёопт(0 обращаются в
нуль, согласованные фильтры физически осуществимы при любых
конечной величины.
Если бы сигнал s(t), начинаясь в момент ^ = 0, имел неогра¬
ниченную длительность Тс-*-оо, согласованный с ним фильтр стал
бы физически неосуществимым, поскольку требование (22.15)
..оказалось в противоречии с условием (22.14).
Реальные сигналы описываются временными функциями, кото¬
рые обращаются в нуль лишь асимптотически. Примером тому —
экспоненциальные спады задних фронтов импульсов после про¬
хождения ими простых инерционных цепей.
Таким образом, при практическом синтезе согласованных
фильтров неизбежно возникает некоторая погрешность из-за пре¬
небрежения той частью сигнала, которая будет отброшена, если
положить длительность сигнала Тс конечной. Иными словами, син¬
тез согласованного фильтра сводится к отысканию линейной цепи
510

с импульсной характеристикой, которая повторяет большую часть
сигнала, но не весь сигнал, поскольку он формально может иметь
бесконечную длительность.
Отмеченное обстоятельство несущественно по отношению к ти¬
пично импульсным сигналам, используемым в радиолокации".
Однако оно указывает на целесообразный путь решения задачи
согласованной фильтрации в случаях, когда длительность сигнала
превышает время, отводимое на регистрацию факта его появле¬
ния. При этом весь синтез согласованного фильтра следует вести,
исходя из условия, чтобы максимальное выходное отношение сиг¬
нала к помехе достигалось к выбранному моменту to. Следователь¬
но, импульсная характеристика фильтра должна находиться, как
обычно, по формуле (22.11), однако слева от точки ^ = 0 ее сле¬
дует приравнять нулю, чтобы обеспечить физическую осущест¬
вимость
£о.п (0 =
(as (t0 — t)
(0
/>0
(22.16)
В соответствии с этим определится и комплексный коэффициент
передачи согласованного фильтра — как функция, сопряженная
со спектром отрезка сигнала s(t) слева от выбранной точки to.
Пример выбора импульсной характеристики gom{t) при подоб¬
ной постановке задачи показан на
рис. 22.2.
Здесь после момента t0 выходное
напряжение согласованного фильт¬
ра может продолжать расти и зна¬
чение sBbix(^o) нельзя назвать пико¬
вым. Учитывая сказанное, следует
употреблять этот термин с осторож¬
ностью.	Рис. 22.2
22.4.	Характеристики сигнала и помех после согласованного
фильтра
С помощью интеграла Дюамеля найдем временной отклик оп¬
тимального фильтра на сигнал, с которым этот фильтр согла¬
сован;
W (0 = S (о 8> gonT (0 = f s (0) gQnT (t—0) d 0 =
= a f s (0)s(0 — tJrt0)dQ = ax¥s(t—10)	(22.17)
— ao
Таким образом, выходной сигнал фильтра воспроизводит во
времени АКФ согласованного с ним сигнала, причем так, что ма¬
ксимум достигается в момент t = t0. По определению АКФ для
511

сигналов конечной длительности (§ 18.4) имеет размерность энер¬
гии и в точке t—/о = 0 равна энергии сигнала Э:
00
Yg(0) = I s2(0)d0 = Э.	(22.18)
	00
Следовательно, ей пропорционален и максимум выходного напря¬
жения
sbhx (^о) — аЭ.	(22.19)
Функция автокорреляции ЧАых(т) шума, прошедшего через со¬
гласованный фильтр, при постоянстве входного энергетического
спектра N0 (со) =N0 = const, как известно, пропорциональна АКФ
импульсного отклика (19.7) и (19.10)
'Рвых (Т)	ф (т) = Y 18опт (t) (X) gonr(-t)] =
= ^ls(t0-t)®s(t-t0)] =-^°¥s(T) .	(22.20)
Сдвиги начала отсчета времени на t0 в предпоследнем выра¬
жении не влияют на окончательный результат, так как АКФ от них
не зависит. Таким образом, функция корреляции выходного шума
повторяет по форме АКФ сигнала, с которым согласован фильтр.
Эффективное значение выходного шума
а=уЩШ = У'Рвых(0).	(22.21)
В качестве упражнения рекомендуется получить те же резуль¬
таты при помощи теоремы Винера — Хинчина, основываясь на
записи энергетического спектра выходного шума в виде N0K2((o)/2.
Выпишем максимально возможное отношение сигнал-шум на
выходе фильтра, поделив пиковое значение полезного выхода
(22.19)	на (22.21) и использовав (22.20):
(сигнал-шум)	=Sablx ^ ■ =	—	=	(22.22)
с	-1 / Л/„ .9 У N о
Мы получили важный вывод: максимально возможное выход¬
ное отношение полезного эффекта к помехе при выделении сигнала
путем согласованной оптимальной фильтрации на фоне белого
шума зависит не от формы сигнала, а только от соотношения
энергии его Э, Вт-с и спектральной плотности шума по мощности
— , Вт/Гц.
2
Функция распределения шумовой составляющей на выходе со¬
гласованного фильтра является Гауссовой, так как при белом
шуме на входе в фильтре, согласованном с реализуемым сигналом,
■происходит полная нормализация флуктуаций (см. § 19.3).
512

22.5.	Примеры согласованных фильтров для простых
и сложных сигналов
Приведем некоторые примеры построения согласованных
фильтров.
1. Фильтрация прямоугольного импульса. Пусть s(t) описывает
прямоугольный импульс
*(/)=;1 "Р”
1 0 при /<0 и £>т0
(22.23)
Выберем задержку пика выходного сигнала по отношению к
началу s(t) равной длительности сигнала, т. е. /0 = то. Тогда тре¬
буемая импульсная характеристика согласованного фильтра из-за
симметрии сигнала относительно своего центра будет совпадать
с самим сигналом с точностью до константы gom(t) —as(t). Сле¬
довательно, необходимые свойства могут быть получены в любой
линейной цепи, имеющей прямоугольную импульсную характери¬
стику. Этому условию удовлетворяют, в частности, две равноцен¬
ные друг другу схемы на рис. 22.3, а, б, в составе которых исполь¬
зованы неискажающая линия задержки (ЛЗ) на время тз = то = /о>
идеальный интегратор и схема вычитания. Приведенные варианты
не исчерпывают всех возможностей использования подобных эле¬
ментов для решения данной задачи.
Рис. 22.3
На рис. 22.3 над структурными схемами помещены эпюры им¬
пульсных реакций в двух характерных точках, а под ними — эпю¬
ры откликов на сигнал s(t) для тех же точек.
Несмотря на то, что построенные фильтры формально относят¬
ся к классу физически осуществимых, их практическая реализация
возможна лишь в той мере, в какой удается приблизить характе¬
ристики линии задержки и интегратора к идеальным. Имеет смысл
513

добиваться близости параметров элементов к идеальным до тех
пор, пока погрешности воспроизведения расчетных свойств филЬт-
ра не станут соизмеримыми с ошибками из-за идеализации формы
рассматриваемого сигнала.
В нашем примере сигнал безусловно идеализирован потому,
что строгая прямоугольность импульса не может быть достигнута
ни в одной реальной формирующей схеме.
Устройства, подобные показанным на рис. 22.3,а, б, для целей
оптимальной фильтрации применяют редко. Причиной тому слу¬
жит близость характеристик фильтра, согласованного с прямо¬
угольным импульсом, к характеристикам простого /?С-звена инте^-
грирующего типа (рис. 22.3). Такое звено представляет собой
«квазисогласованный» фильтр для данного сигнала, если постоян¬
ная времени цепи имеет порядок
RC = т«0,8т0.	(22.24)
Разница отношений сигнал-шум на выходе строго согласован¬
ного фильтра и такой цепочки составляет около 10%. Читатель
может самостоятельно убедиться в сказанном, воспользовавшись,
в частности, определением шумовой полосы RC-звена из § 19.2.
2. Фильтрация радиоимпульса. Рассмотрим согласованный
фильтр для сигнала типа радиоимпульса
... fsinco0/ приО<Ч<т0
s (г) —- {
10	при t < 0 и t > т0
и при условии, что со0то/2л; — целое число.
Две цепи с требуемой характеристикой gom(t) показаны на
рис. 22.4, а, б. Они имеют много общего с согласованными фильт¬
рами для прямоугольного импульса на рис. 22.3, а, б. Отличия
сводятся к замене идеальных интеграторов на высокодобротные
(с ничтожно малым затуханием) контуры LC, которые можно рас-
, ста;
JL
4IF
-тг" ^
V HP-*
41
ibLgJ
4os
1 ф-*—
*
V
ни—ф-
sit)
a)
sBblxlt) Sit)
, 5йыкltl
-f-
sit)
JLC
8)
s8b/x
Рис. 22.4
514

сматривать как интеграторы для огибающей на несущей часто¬
те (Do-
Формы напряжений в характерных точках обеих схем на
рис. 22.4 показаны так же, как это сделано -для импульса без
заполнения. Нетрудно усмотреть полное сходство между поведе¬
нием огибающих при фильтрации радиоимпульса и ходом видео¬
сигналов при фильтрации видеоимпульса в соответствующих точ¬
ках аналогичных схем.
Пользуясь аналогией между реальным LC-контуром с потеря¬
ми и его НЧ эквивалентом в виде /?С-звена, можно установить,
что колебательный контур, настроенный на частоту со0, имеющий
постоянную времени
т,; « 0,8 т0	(22.25)
будет служить хорошим квазисогласованным фильтром для радио¬
импульса при таком же 10%-ном ухудшении отношения сигнал-
шум на выходе по сравнению с идеальной схемой, как и в соответ¬
ствующем /?С-фильтре для видеоимпульса (рис. 22.4, в).
3. Фильтрация группы видеоимпуль¬
сов. Рассмотрим сигнал, образованный
из п прямоугольных видеоимпульсов,
следующих друг за другом через нерав¬
ные интервалы времени. Такую группу
иногда называют кодовой комбинаци¬
ей из п посылок.
Опишем одиночную посылку функ-
дией
1 при о ^ t т0
0 при tC Ои^>т0,
где то — длительность импульса.
Тогда, обозначив сдвиг t-го импульса в группе относительно
точки ^ = 0 через Mi, можем записать весь сигнал как сумму
s(0 = 2 S0 (/-А У-	(22.26)
i=i
При совмещении начала группы с точкой ^ = 0 очевидно Д^ = 0.
Остальные ДО выбираются так, чтобы смежные импульсы не пере¬
крывались.
На рис. 22.5, а представлена группа из четырех посылок, рас¬
сматривая которую, можно следить за ходом выкладок. Запишем
выражение для импульсной характеристики фильтра, согласован¬
ного с сигналом s(t), учтя, что задержка t0 не может быть мень¬
ше, чем длительность всей кодовой комбинации Тс:
% 2^ Д + то= Тс.	(22.27)
Считая to минимально возможным, получим
£опт (*) = «]£ s0(Tc-A ti-t) = aj\ s (Д/W).	(22.28)
i—\	i—1
<s(t)
V ,< ^ r.
t.
-\ Pm n
A
At2 Atj Atif.
e 7c _
^ aT
kfrnrW >
h ПП	Q_£
t)
Рис. 22.5
515

где At'i = Tc—Ati — отрезок времени, отделяющий начало г-го им¬
пульса от момента окончания всей кодовой комбинации.
В соответствии с установленными правилами найденная функ¬
ция представляет собой зеркальную копию сигнала, сдвинутую'
вправо за точку ^ = 0 по оси времени (рис. 22.5,6), где масштаб'
взят произвольно.
Так как посылка имеет форму, симметричную относительна
центра, выражение (22.28) для удобства можно переписать в таком
виде, чтобы время t входило в аргумент каждого слагаемого с по->
ложительным знаком, а сдвиг — с отрицательным. Тогда получим
&>пт(*) = 2 S0(t—Af't) ,
i=i
где
A t"j = A t't—т0 = Д/„—A t(.
Поскольку характеристика фильтра составлена из п одинако¬
вых импульсов, имеет смысл при построении фильтра воспользо¬
ваться одним из устройств, обладающих прямоугольной импульс¬
ной реакцией, в сочетании с многоотводной линией задержки, ко¬
торая обеспечит повторение импульсного отклика во все моменты
A U".
В случае прямоугольных посылок этим устройством послужит
любая схема согласованного фильтра для одиночного импульса на
рис. 22.3, а, б с характеристикой £0пт(Оо- Линию задержки мож¬
но включить после фильтра, как показано на рис. 22.6, сделав от
нее отводы через интервалы At"—и подав снимаемые с
них сигналы на общий сумматор. На рис. 22.7 показаны эпюры
сигналов, снимаемых со всех четырех отводов линии, согласован¬
ной с кодовой комбинацией вида рис. 22.5, а, а также сигнал на
выходе сумматора. Последний график представляет собой АКФ
рассмотренного сигнала с началом отсчета в точке 10.
Все рассматриваемые нами согласованные фильтры линейны.
Поэтому при построении схем допустимо менять последователь¬
ность включения отдельных элементов без ущерба для выходных
характеристик. В этом нетруд¬
но убедиться при сравнении
схем на рис. 22.3, а, б. Ясно, что
такие перестановки возможны
и в согласованном фильтре для
группы импульсов.
о\2±	У\ *
flt_!	ZA	A/W\ j
J T уЧ	/Ч ?
As*.
а\	ZS
Рис. 22.7
Рис. 22.6
516

Полезно самостоятельно проверить указанную возможность,
построив аналог схемы на рис. 22.6, в котором линия задержки с
сумматором будет предшествовать звену с характеристикой
SoiIT (О О-
Приведенные в этом примере рассуждения остаются справед¬
ливыми, если вместо прямоугольных импульсов группа будет со¬
стоять из любых других одинаковых сигналов — «колоколообраз¬
ных» посылок, импульсов с заполнением и т. д. В каждом новом
случае АКФ сигнала и, следовательно, отклик согласованного
фильтра будут иными, однако схема фильтра по-прежнему будет
включать звено с характеристикой £Опт(0<ь оптимально фильтрую¬
щее каждую отдельную посылку, и набор цепей задержки с сум¬
матором.
Квазисогласованный фильтр для группы импульсов можно по¬
строить, используя в звене для обработки отдельной посылки уст¬
ройство, реализующее характеристику g0m(t)o лишь приближенно.
Так, в фильтре для комбинации прямоугольных посылок допустимо
применить схему на рис. 22.3, в, а для радиоимпульсов — LC-
контур.
Подчеркнем, что расстановка импульсов в рассмотренной кодо¬
вой группе никак не влияет на отношение сигнал-шум после опти¬
мального фильтра, выделяющего эту группу из белого шума, так
как энергия всего сигнала не изменяется.
Если, однако, сравнить АКФ на рис. 22.7,6 с автокорреляцион¬
ной функцией четырехимпульсной группы, где посылки распреде¬
лены равномерно (рис. 22.8), нетрудно увидеть существенное раз¬
личие относительной величины боковых лепестков в том и в дру¬
гом случае. Чем сильнее подавлены в АКФ сигнала все ложные
максимумы по сравнению с главным, тем выгоднее такой сигнал,
например, для радиолокации, так как при наличии помех из-за
ложных максимумов в выходном сигнале согласованного фильтра
в приемнике радиолокатора могут возникать ошибки в определении
момента прихода отраженного сигнала, т. е. дальности до цели.
С этой точки зрения сигнал на рис. 22.5, а лучше, чем на
рис. 22,8 ,а, хотя выбранный нами критерий отношения пика сиг¬
нала к шуму после фильтрации эту разницу не выявляет.
Интересно заметить, что ширина главного пика АКФ рассмот¬
ренного сложного сигнала определяется удвоенной длительностью'
элементарной посылки то в составе группы, в то время как шири-
Рис. 22.8
517

на всей АКФ по основанию равна удвоенной длительности сигнала
в целом Гс. Подобные свойства присущи всем практически исполь¬
зуемым сигналам с широкой базой.
Под базой сигнала т понимают произведение занимаемой им
эффективной полосы частот на его длительность
т — 2 A FTC.	(22.29)
В случае одиночного импульса т«1 в рассмотренном примере
с четырехимпульсной группой т=12, а на практике находят при¬
менение сигналы с базой в несколько сотен единиц и выше.
Численное значение базы показывает, что полоса 2АF, зани¬
маемая спектром сигнала, в т раз больше, чем обратная величи¬
на его длительности, т. е.
2AF/m = 1/Гс,
поэтому сигналы с большой базой называют широкополосными
(ШПС). Помимо радиолокации, ШПС интенсивно внедряются в
технику связи, где их применение дает ощутимые выгоды в си¬
стемах дальней связи, подвергающихся действию сильных мульти¬
пликативных помех. Увеличение базы сигнала при сохранении его
энергии повышает также защищенность линий передачи информа¬
ции от действия шумоподобных искусственных помех аддитивного
типа.
Эффективность расширения полосы сигнала в условиях, когда
станция помех может создавать мешающее шумоподобное колеба¬
ние ограниченной мощности Рш со спектром, распределенным
равномерно в полосе 2АF, нетрудно оценить по критерию, который
мы применяли, если преобразовать фундаментальную формулу
(22.22) с помощью подстановки
N0 = PJ2 A F.	(22.30)
Тогда из (22.22) получим
(сигнал-шум)2ВЫХ = —--------4 ----- ,	(22.31)
о2	Рп
откуда видно, что при ограниченной мощности источника помех
и данной энергии сигнала выигрыш по отношению сигнал-шум в
единицах мощности пропорционален полосе, занимаемой сигналом.
Если же помеха, как считалось раньше, подобна белому шуму с
плотностью У0~ const, то расширение полосы AF и вообще любые
изменения базы сигнала т полезного эффекта не дают.
22.6.	Коррелятор как согласованный фильтр. Сравнение
активного и пассивного методов оптимальной линейной
фильтрации
Согласованные линейные фильтры для сигналов относительно
простой формы обычно выполняют из элементов с постоянными
параметрами. Однако по мере усложнения структуры сигнала вы¬
бор практической схемы, изготовление элементов, настройка и
518

стабилизация характеристик фильтра, согласованного с ним, ста¬
новятся все более трудными и дорогостоящими.
Создание фильтров, согласованных с сигналами сложной фор¬
мы, облегчается, если отказаться от применения цепей с постоян¬
ными параметрами. Убедимся в этой возможности, записав выра¬
жение (22.17) для полезного выходного сигнала в фильтре через
свертку входной посылки s(t) с импульсной характеристикой
§опт (0 :
00
W (0 = S (0 (8) £опт (0 = a J s(e)s(e — t+t0)de.
— 00
Так как интересующий нас отсчет уровня выходного колебания
в фильтре производится в момент t = tо, можно переписать эту фор¬
мулу так, чтобы она представляла значение sBbix(M- Учтя одно¬
временно, что длительность регистрируемого сигнала ограничена
интервалом от 0 до t0, получщм
WW = a<(s(0)s(0)'d0.	(22.32)
б
Если на вход фильтра подействует аддитивная смесь x(t) шума
n(t) с полезным сигналом s(0> то выходом фильтра в момент t0
будет значение
'о	U
yit0) = a j х (6) s (6) d (Э) = а | [s (0) + п (0)] s (0) d 0.	(22.33)
о	б
Нетрудно видеть, что любая из операций вида (22.22), (22.33)
или им подобных при произвольном входном воздействии может
выполняться с помощью коррелятора — устройства, осуществляю¬
щего вычисление взаимной корреляции двух процессов, т. е. пере¬
множение заданной функции s(t) и входного колебания x(t) с по¬
следующим интегрированием произведения по выбранному интер¬
валу времени to. Иначе, коррелятор, представляющий нестацио¬
нарную линейную систему (фильтр с переменными параметрами,
так как в ней есть перемножитель), эквивалентен стационарному
согласованному фильтру — цепи с постоянными параметрами с
точки зрения получения одинакового выходного отношения сигнал-
шум в момент снятия отсчета 10. При этом подразумевается, что
на один из входов коррелятора, называемый опорным, поступает
«образец» сигнала s(t).
Весьма существенной для понимания дела является оговорка об
эквивалентности фильтра и коррелятора только в момент снятия
отсчета t0. Если рассматривать выходные сигналы согласованного
фильтра и коррелятора во времени, например, в отсутствие помех,
то из формул (22.17) и (22.32) нетрудно увидеть разницу между
ними. Заменив в (22.32) to на текущее время t и, уточнив пределы
в (22.17), можем написать
К	t
$ s(0)s(0 — t+t0)dQ ф f s(0)s(0)d0 (t=^t0).	(22.34)
о	6
519

Левая часть этого выражения представляет, как мы уже зна¬
ем, выход согласованного фильтра, повторяющий АК.Ф сигнала
s(t) во времени, а правая очевидно пропорциональна текущей
энергии того же сигнала. Оба интеграла становятся равными
лишь в момент t = t0.
На рис. 22.9 показаны обе схемы, включающие устройства сня¬
тия отсчетов, без которых они не могут считаться эквивалентными.
вхоТ\?°птШ h~-fЩ^!ГХ1,а
Отсчет t=tn
схема I
управ- —«
пения
5)
Для иллюстрации выражения (22.34) на рис. 22.10 показаны
эпюры выходных сигналов в согласованном фильтре и в эквива¬
лентном ему корреляторе для случая, когда s(t) представляет
собой радиоимпульс с прямоугольной огибающей.
Рис. 22.10
К преимуществам схемы стационарного фильтра следует от¬
нести отсутствие генератора «образцового» сигнала. Однако кор¬
релятор является более гибким элементом, характеристиками ко¬
торого можно легко управлять путем вариации параметров опор¬
ного колебания.
'Отметим особенности работы устройств снятия отсчета в обеих
системах фильтрации. Из эпюр на рис. 22.4 видно, что при радио¬
частотном входном сигнале выходное колебание в пассивной схеме
носит осциллирующий характер, тогда как коррелятор формирует
видеоимпульсы, работая как синхронный детектор.
В связи с этим точность At установления момента снятия от¬
счета t0 на выходе стационарного согласованного фильтра должна
быть порядка десятой доли периода колебаний частоты о>о, тогда
&20

как в корреляторе практически можно допустить нестабильность-
или неточность настройки до десятой доли длительности сигна¬
ла Гс.
Такое сопоставление говорит о преимуществах схемы парамет¬
рической (нестационарной) фильтрации, однако желаемая зави¬
симость выхода от входа в корреляторе может быть обеспечена
при условии запуска генератора «образцового» колебания в мо¬
мент ожидаемого начала сигнала с точностью также не хуже де¬
сятой доли периода 2л/соо. Другими словами, фазировка генера¬
тора в корреляторе должна быть столь же точной, что и фазировка
отсчетного устройства на выходе пассивной схемы.
На практике фильтры обоих типов нередко используют в усло¬
виях, отличных от классических, поэтому на решение о выборе
активного или пассивного варианта схемы влияет много других
факторов, роль которых нельзя учесть в обобщенном анализе.
22.7.	Оптимальная фильтрация известного сигнала
при небелом шуме
Найдем характеристики оптимального линейного фильтра для
случая, когда энергетический спектр входного шума неравно¬
мерен:
N (со) ф const.
При выводе воспользуемся методом «отбеливающего» фильтра,,
суть которого состоит в следующем. Пусть /СОПт(со) — передаточ¬
ная функция искомого звена, максимизирующего выходное отно¬
шение сигнал-шум в момент tо при действии сигнала s(t)+»<5(со)
с длительностью Тс и заданного шума АД со).
Дополним это звено двумя обратными друг другу воображае¬
мыми фильтрами К (со) и 1 //С (со), действие которых взаимно ис¬
ключает друг друга. Выберем К (а) так, чтобы после прохожде¬
ния первого дополнительного фильтра шум АД со) становился бе¬
лым. Модуль коэффициента передачи такого «отбеливающего»
фильтра должен очевидно удовлетворять равенству
1/N (со) = К2, (со).	(22.35)
При этом после первого звена на рис. 22.11 получим шум с
равнохмерным энергетическим спектро.м
ЛД, = ЛДсо)/(2(со) = 1.	(22.36)
В той же точке сигнал будет иметь спектр
G' (со) = G (со)/С (со),
(22.37)
с которым легко согласо¬
вать последующую линей¬
ную цепь, пользуясь уравне¬
нием (22.6). В соответствии
е(/ы)
Вход Г,-
Выхад■
Рис. 22.11
521

с ним, но уже в новых обозначениях, должно выполняться ус¬
ловие
К’(т1 (со) =	- aG'{ — ы) е~^° ,	(22.38)
К (со)
где /о — как обычно, выбрано из условия
Подставив сюда выражение спектра, получим
= aG(-<о) К (-<о) е-юб
КЩ
Преобразование с использованием подстановки (22.35) приво¬
дит к окончательному выражению
Видно, что найденная характеристика оптимального фильтра
согласована не только с сигналом, но и с энергетическим спектром
шума, так как она одновременно пропорциональна G((o) и обрат¬
но пропорциональна jV(co).
Смысл результата сводится к подчеркиванию в составе выход¬
ного колебания тех частотных составляющих сигнала, которые
имеют большее превышение над шумом при данной частоте.
К условиям физической осуществимости оптимального фильтра,
которые были выявлены в § 22.3, в данном случае прибавляется
еще одно требование:
Если оно не выполнено, то передаточная функция К опт (ft)) В
точках, где iV(co)=0, будет принимать бесконечные значения.
1.	Нарисуйте векторную сумму нескольких (трех-четырех) частот¬
ных компонент полезного сигнала на выходе согласованного с
ним линейного фильтра в моменты t—10 и t<t0. Как изменится
длина вектора-суммы для момента t = t0, если нарушить усло¬
вие согласования фазовой характеристики фильтра (22.8) с
фазовым спектром сигнала <ps(co)?
2.	Почему абсолютное значение константы а в условии (22.7),
определяющем модуль частотной характеристики согласован¬
ного фильтра, может быть любым действительным числом?
3.	Пусть полезный сигнал — гармоническое колебание, которое
может начаться в момент ^ = 0 и существовать неограниченно
долго на полубесконечном интервале ^>0. Нарисуйте модули
частотных характеристик фильтров, согласованных с отрезком
Тс такого сигнала, последовательно для трех нарастающих
значений Тс\ < Тс2<. Тсъ-
4.	Для условий предыдущей задачи изобразите отклики трех рас¬
смотренных фильтров на полезные сигналы, полагая, что ма-
(22.39)
N (со) Ф 0.
(22.40)
Вопросы для самопроверки
522

ксимальные кеэффициенты передачи во всех случаях оди¬
наковы.
5.	Для условий задачи 3 покажите, что отношения сигнал-шум
по напряжению на выходах трех рассмотренных фильтров
улучшаются пропорционально корню квадратному из длитель¬
ности отрезков сигнала, с которыми согласованы фильтры.
6.	Постройте отклик согласованного фильтра на сигнал, состоя¬
щий из трех прямоугольных видеоимпульсов одинаковой дли¬
тельности то с интервалом между первой и второй посылкой,
равным 2то, а между второй и третьей — равным то.
7.	Постройте отклик согласованного фильтра на сигнал, состоя¬
щий из трех радиоимпульсов с огибающей, которая повторяет
форму и расположение посылок в сигнале из предыдущей за¬
дачи. Для определенности считайте, что в одной посылке
укладывается целое число периодов радиочастоты.
8.	Нарисуйте отклик фильтра из задачи 7 на сигнал из трех ра¬
диоимпульсов, подобный тому, с которым он согласован, но с
перевернутой на 180° фазой радиочастотного заполнения вто¬
рой посылки. Сравните результаты построения в задачах 7 и 8.
9.	Изобразите процессы на выходе активного согласованного
фильтра (коррелятора) для приема сигнала типа радиоим¬
пульса с заполнением радиочастотой со0 для случаев, когда
фаза «образцового» сигнала: а) совпадает с фазой принимае¬
мого; б) отличается от фазы принимаемого на л/4; в) отли¬
чается на л/2; г) отличается на л.
10.	Напишите раздельно условия выбора модуля частотной харак¬
теристики и фазовой характеристики линейного фильтра, оп¬
тимального для выделения сигнала известной формы из не
белого шума.
ПРИЛОЖЕНИЕ,
ТЕОРЕМА МЕНЛИ—РОУ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОСНОВНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
ГЕНЕРАТОРАХ И УСИЛИТЕЛЯХ
Теорема Менли — Роу для трех частот
Теорема Менли и Роу устанавливает энергетические соотношения в цепях,
содержащих нелинейное реактивное сопротивление без потерь, и идеальные
фильтры, которые выделяют колебания требуемых частот
Ограничимся выводом теоремы Мен¬
ли — Роу для схемы с нелинейным реактив¬
ным сопротивлением х(и) без потерь и тре¬
мя параллельно включенными ветвями
(рнс. П. 1). В каждой из ветвей включены
фильтры Ф1—Ф3, которые пропускают ток
только одной частоты (/д, )2 нлн /з соответ¬
ственно), н активное сопротивление (п, г2
и г3). Благодаря фильтрам (Фi—Фз) ветвь
1 может выделять или поглощать мощность
только на частоте }i; ветвь 2 — только на
частоте /2; ветвь 3 — только на частоте /з.
523
Ветвь 1 Ветвь 2	Ветвь „
Рис. П1

В первых двух ветвях включены источники ЭДС ei и е2, создающие напряжения
с частотами fi и ft.
Характеристика нелинейного сопротивления х(и) зависит только от мгно¬
венного значения напряжения и не изменяется во времени.
Учитывая, что потери отсутствуют, в силу -закона сохранения энергии
имеем:
^1 + ^2+Рз = 0,	(П1)
где Pi—Р3 — средняя за несколько периодов мощность, запасаемая или от¬
даваемая реактивным сопротивлением на частоте ft — f3 соответственно. Сред¬
няя мощность Pi на любой частоте f равна среднему приращению энергии Э;,
деленному на период
Pi ~ ZT~ = 9i fi.	(П2)
‘ i
Средняя энергия, поступающая на i-й ветви, определяется по формуле
1	г
Э; = —■	\	/j cos со* tu (t) dt,
b	J
h периодов
где /, coscoi(0—ток, протекающий в t-й ветви; u{t)—мгновенное значение на¬
пряжения; k — число периодов частоты fi, за которое производится усреднение.
Пусть частота fз, на которую настроена ветвь 3, является линейной ком¬
бинацией частот ft и f2, г. е.
fs — mfi и/г>	(ПЗ)
где тип — нуль или целые положительные или отрицательные числа.
Воспользовавшись (П2), запишем (П1) в виде
/1	+ f2 Э2 + /3 Э3 = 0.
С учетом (ПЗ) получим
fi + /2 Эг + (mfi + и/2) З3 = 0
или
/1 ~г т -^з) -г /2 (Э2 + п Э3) = 0.	(П4)
В стационарном режиме энергия в реактивном нелинейном сопротивлении не
накапливается, т. е. средняя энергия, подводимая за время l/f3, равна средней
энергии, отбираемой за это же время. Следовательно, при постоянных значе¬
ниях энергий
Эг = Э'г - const,
32	= Э'2 = const,
постоянной частоте
/з = Г з = const
и изменяющихся значениях ft и f2 при условии, что уравнение (ПЗ) выполняет¬
ся, энергия Э3 постоянна:
33	= Э’ з = const.
Равенство (П4) при постоянных значениях Эь Э2, Э3, т, п и при перемен¬
ных ft и f2 справедливо только при выполнении равенств
31	+ тЭ3 = 0,	(П5)
32	+ иЭ3 = 0.	(П6)
Воспользовавшись (П2), запишем равенства (П5) и (П6) в виде
Pi.
fi
т Р
з
= 0,
m/i + nf2
524
(П7)

= 0.
Яг nP3
/2	™/i + «/a
(П8)
Формулы (П7) и (П8) представляют собой теорему Менян — Роу для слу¬
чая трех частот.
В общем случае при наличии многих комбинационных частот (118) для
любого нелинейного реактивного сопротивления без потерь теорема Менли—Роу
записывается в виде
ОО	'XI
S 2
т—0 п=—оо
т Рти
mfi + nf2
= 0,
f у пРтп _0
т=-ьо £До mf 1 + nfl
Применение теоремы Менли — Роу для определения основных энергетичес¬
ких соотношений в параметрических генераторах и усилителях.
Применим теорему Менли — Роу отдельно к одночастотным и двухчастот¬
ным параметрическим системам.
Одночастотный параметрический генератор или усилитель. В одночастот¬
ной параметрической системе к нелинейному сопротивлению мощность подво¬
дится только на двух частотах: на частоте накачки fн и на частоте fр, равной
резонансной частоте колебательного контура системы.
Для случая двух частот теорема Менли — Роу (П8) записывается в виде
п Р.)
nfs
= 0.
(П9)
Частота накачки обычно равна удвоенной резонансной частоте контура
^н = 2)р. Считая частоту накачки равной fз, а резонансную частоту равной /д,
получаем: п = 2; т = 0.
На основании (П9) записываем: Яг =—Яз- Это значит, что вся мощность
накачки Я3 переходит в мощность колебаний в резонансном контуре системы.
Если мощность Я3 больше мощности потерь в резонансном контуре, то схема
самовозбуждается и работает как параметрический генератор.
Если Я3 меньше мощности потерь в резонансном контуре, то происходит
частичная компенсация потерь. Добротность резонансного контура возрастает,
и схема ведет себя как частично регенерированный контур, т. е. как однокон¬
турный параметрический усилитель.
Двухчастотный параметрический усилитель и генератор. Возможны два раз¬
личных режима.
1.	Регенеративный режим, при котором выполняется отношение частот
f2 = fi+f\. Учитывая формулу (ПЗ), получаем: п=1; т = — 1. Уравнения (П7) и
(П8) принимают вид
Яд.
f i
— = 0, =
/з	/г	/ з
На основании выражения (П8) получаем: Р3<0, Pi<0.
Таким образом, на частотах /д и /д от нелинейного сопротивления отбира¬
ется мощность. Следовательно, во входную /д и выходную fз цепи от генера¬
тора накачки f2 поступает энергия, что эквивалентно внесению в систему отрица¬
тельного сопротивления.
Если вносимая мощность Р2 больше мощности Pi + Рз, рассеиваемой в пер¬
вом и втором контурах, то возбуждаются колебания на двух частотах /д и (г.
Схема работает как двухчастотный параметрический генератор.
Если вносимая мощность Р3 меньше мощности потерь Pi + Рз в первом- и
втором контурах, то возбуждения колебаний не происходит. Отрицательное вно¬
симое сопротивление повышает добротность первого и второго контуров и схема
работает как двухчастотный регенерированный усилитель. Недостатком такого
усилителя является возможность его самовозбуждения при увеличении мощно¬
сти Яг-
525

2.	Нерегенерированный режим, при котором выполняется соотношение частот
/г—/з /1-
Учитывая формулу (П4), получаем: т= 1; п= 1.
Уравнения (П7) и (П8) принимают вид
Отсюда, учитывая
Р1 Р з	Р2 Р3
— +^- = 0, -г- + — =0.
/1 /з	/г /з
(П10), получаем:
P3<C,Pi> 0.
(П10)
(ПИ)
(П12)
Следовательно, нелинейное сопротивление запасает мощность на частотах
f 1 ,и fz и отдает ее на частоте /3. Самовозбуждение схемы на частоте f1 уже
невозможно. Считаем частоту f 1 частотой входного сигнала, a f3 — частотой вы¬
ходной цепи, откуда снимается усиленный сигнал. Коэффициент усиления по
мощности Кр, равный отношению выходной мощности Р3 к входной мощности
Pi, согласно (П12) равен
КР
Яз.
Pi
f э
к '
Следовательно, предельный коэффициент усиления параметрического усили¬
теля при соотношении частот (П10) равен отношению выходной частоты f3 к
входной f 1.
Недостатком таких усилителей является необходимость применять очень
высокие частоты f3 при усилении сигналов на частотах, лежащих в диапазоне
СВЧ. Достоинством является отсутствие опасности самовозбуждения.
Список литературы
1.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебания. — М.: Физмат-
гнз, 1959. — 916 с.
2.	Боголюбов Н. Н., Митропольский А. Ю. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Наука, 1974. — 503 С.
3.	Бунимович В. И. Флюктуационные процессы в радиоприемных устройствах. —
М.: Сов. радио, 1951. — 316 с.
4.	Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. — М.: Сов. радио, 1970. — 376 с.
5.	Гоиоровский И. С. Радиотехнические цепи п сигналы. — 3-е изд., перераб.
и доп. — М.: Сов. радио, 1977. — 608 с.
6.	Горяйнов В. Г., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Примеры и задачи по ста¬
тистической радиотехнике (Учебное пособие для вузов)/Под ред. проф. В. И.
Тихонова. — М.: Сов. радио, 1970. — 597 с.
7.	Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шу¬
мов: Пер. с англ./Под ред. Р. М. Добрушина. — М.: Изд-во иностр. лит.,
1960. — 468 с.
8.	Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа
и 2-преобразованпя. — М.: Наука, 1971. — 288 с.
9.	Деч Р. Нелинейное преобразование случайных процессов: Пер. с англ./Под
ред. Б. Р. Левина. — М.: Сов. радио, 1965. — 206 с.
10.	Дулин В. Н. Электронные приборы, — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Энер¬
гия, 1977. — 424 с.
И. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов н цепей. (Учеб¬
ное пособие для студентов радиотехнических вузов). — М.: Высшая школа,
1968. — 280 с.
12.	Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез: Пер. с англ./Под ред. С. Е. Лон¬
дона. — М.: Связь, 1973. — 368 с.
13.	Котельников В. А., Николаев А. М. Основы радиотехники, ч. 1, 2. — М.:
Связьиздат, ч. 1 — 1950. — 37Д' с.; ч. 2 — 1954 — 307 с.
14.	Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы:	Пер. с англ./Под ред.
В. С. Кельзона. — М.: Сов. радио, 1971. — 568 с.
526

15.	Латхи Б. П. Системы передачи информации: Пер. с англ./Под ред. Б. И.
Кувшинов а. — М.: Связь, 197>1. — 320 с.
16.	Лезин Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. —
2-е пзд., перераб. и доп. — М.: Сов. радио, 1969. — 447 с.
17.	Манаев Е. И. Основы радиоэлектроники. — М.: Сов. радио, 1976. — 479 с.
18.	Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. — М.: Выс¬
шая школа, 978. — 204 с.
19.	Основы теории колебаний/В. В. Мигулин,- В. И. Медведев, Е. Р. Мустель,
В. Н. Пэрыгин. — М.: Фиэматгиз, 1978. — 3912 с.
20.	Окунев Ю. Б., Яковлев Л. А. Широкополосные системы связи с составными
сигналами/Под ред. А. М. Заездво-го. — М.: Связь, 1968. — 167 с.
21.	Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и уп¬
равления. — М.: Наука, 1978. — '256 с.
22.	Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов:
Пер. с англ./Под ред. Ю. Н. Александрова. — М.: Мир, 1978. — 848 с.
23.	Самойло К. А. Метод анализа колебательных систем второго порядка. —
М.: Сов. радио, 1976. — 207 с.
24.	Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем. —
4-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергия, Т977. — 672 с.
25.	Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.—М.: Сов. радио, 1966. — 676 с.

Дмитрий Валериевич Васильев,
Маргит Робертовна Витоль.
Юрий Николаевич Горшенков и др.
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Редактор С. И. Баскаков
Редактор издательства Г. Н. А с т а ф у р о в
Переплет художника Л. И. Наумова
Художественный редактор Г. Н. Кованов
Технический редактор Г. И. Колосова
Корректор Л. С. Глаголева
ИБ № 80
Сдано в набор 07.06.82 г.	Подписано в печать 21.10.82 г.
Т-20304 Формат 60Х90/ie Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Уел. печ. л. 33,0 Уел. кр.-отт. 33,0 Уч.-изд. л. 33,02
Тираж 35 000 экз.	Изд. № 19414	Зак. № 100	Цена 1 р. 50 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Главпочтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь» Госкомиздата СССР
101000 Москва, ул. Кирова, д. 40