Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР
ГОРЬКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А.А. ЖДАНОВА
РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО СИСТЕМЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Методические указания к лабораторной работе № I
по курсу "Радиотехнические цепи и сигналы"
для студентов специальности 0701
вечерней и заочной форм обучения
Горький 1988
уда 621.372 (075.5)
Разложение сигналов по системе ортогональных функций: Мет.укав.
к лабор. работе fc I по курсу "Радиотехнические цепи и сигналы".-
Горький: ГНИ им.А.А.Хданова, 1988. 18 с.
Кратко изложены некоторые вопросы геометрической трактовки те
ории сигналов, рассматривается численное представление сигналов в
различных ортогональных системах базисных функций, приведены вопро
сы для самопроверки.
Составители: В.Д.Глушков
И.П.Ковалев
Научн.редактор Г.В.Глебович
Редактор И.И.Морозова
Подл.27.10.88. Формат 60x84^/16. Бумага оберт. Печать офсетная.
Печ.л. 1,25. Уч.-изд.л.1,0. Тираж 500 зкз. Заказ 403. Бесплатно,
—— - .. .. , ...
Лаборатория офсетной печати Г П И ии.А.А.Кданова,
6036С0, ГСП-41, Горький, ул.К.Минина,24
I.	Цель работы: рассчитать и.определить экспериментально
коэффициенты разложения сигнала по заданным системам базисных
функций; синтезировать сигнал с использованием полученных коэф-
фициентов.
2.	Краткие сведения из теории
2.1.	Понятие сигнала
Сигналом принято называть процесс изменения во времени физи-
ческого состояния какого-либо объекта. Для того, чтобы сделать
сигналы предметом теоретического изучения, следует указать спо-
соб их математического описания, иначе-создать математическую
модель исследуемого сигнала. Абстрагируясь от конкретной физи-
ческой природы сигналов, поставим в соответствие каждому сигна-
лу некоторую функциональную зависимость JC(t) , аргументом
которой является время. Такой способ представления сигналов
позволяет описывать именно те свойства сигналов, которые объек-
тивно выступают как наиболее важные, и игнорировать второсте-
пенные, малосущественные признаки. Кроме того,одна и та же ма-
тематическая модель 3C(t) с равным успехом может описы-
вать как ток, напряжение или напряженность электрического поля,
так и механические колебания тел; изменение температуры, давле-
ния и т.п.*.
При решении многих теоретических и прикладных задач радио-
техники возникают такие вопросы: а) в каком смысле можно гово-
рить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал
значительно превосходит другой? б) можно ли объективно оцени-
вать, насколько два неодинаковых сигнала "похожи" друг на дру-
га? Ответить на эти вопросы позволяет теория сигналов, в осно- .
в» которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным
образом сконструированном пространстве.
2.2.	Линейное векторное пространство
Из всего многообразия сигналов выделим отдельно те сигналы,
которые обладают некоторым общим для всех выделенных сигналов
Какие бывают сигналы и их классификация.можно узнать, про-
читав (I], стр. 10-15, 24-26 иля !2], стр. II-I3.
3
свойством. Совокупность выделенных сигналов образует множество
сигналов М Ut(t) , Ug(t), i , . У . . Например, свойство,
состоящее в том, что U(t) • к&[ба1'	t где tQ
и у - произвольные действительные числа, определяет множест-
во гармонических (синусоидальных) сигналов с всевозможными амп-
литудами, начальными фазами и частотами колебаний. Определяя
общее свойство другим образом, мы определяем, очевидно, другое
множество сигналов.
Объединив сигналы, обладающие некоторым общим свойством, в
одно множество,будем интересоваться отличительными свойствами
отдельных элементов этого множества. Например, нас может инте-
ресовать энергия, длительность, частота изменения, максимальная
амплитуда и т.п. данного сигнала по сравнению с другими. Для
обозначения различия между двумя элементами множества поставим
в соответствие каждой паре элементов некоторое действительное
положительное число p(U,l)) , которое будем трактовать каа
расстояние между двумя элементами. Это расстояние называется
метрикой, в множество сигналов с определенным в нем расстоянием
- пространством сигналов. Возможны различные способы определе-
ния расстояния Р(И.$) . Однако независимо от способа оп-
ределения p(U,t/) должно удоалетвррять следующие условиям:
I) р(и,1У)^ 0 ,	* О только ври условии ;
2; p(U,lJ)	рефлексивность аеетрикиг
3J P(U,V) *p(U,Z) * где 2 любой елеыент множест-
ва.' Последнее условие 'называется Неравенством треугедыта.
Примеры метрик:
Л(и, &) -f!u(t)-v(t)jdt , fl(u, V).
Нетрудно убедиться в том, что нриведешю здесь метрник удовлет-
воряют указанным выше требованиям:
Если между отдельными элементами пространства существует
взаимосвязь, то говорят, что пространство наделено определенной
структурой. Наиболее простая связь между аиементамк имеет место
в пространствах с линейной структурой. Б дальнейшем отдельные
элементы пространства, сигналов, наделенного линейной структурой®
будем называть векторами* к обозначать жирным арифток, а само
Х) Обозначение елементов линейного пространства вектора® сде-
лано чисто условно, чтобы подчеркнуть аналогию свойств втих
объектов и обычных векторов в трехмерной пространстве.
4
пространство назовем линейным векторным пространством (ЛЕИ). По
определению ЛВП - это множество векторов, обладающих следующими
свойства®
1. Для каждой пары векторов £/ и & из рассматриваемого
множества имеется соответствующий вектор (U * V) , принадле-
жащий втоцу же множеству и называемый суммой И и V , такой,
что:
•а) еложенно коммутативноs U.+V *"lT1'tt •
6} сложение ясеоциатинт?
в> множестве содержит единствен: вектор О , называемый
иуяевнн олементфк. такой, что	для любого £f
£. Имеется множество элементов, называемых скалярами, а так-
же операция умножения вектора на скаляр, ставящая любому скаляру
с£ и любому вектору -У
Пример, Множество А/
импульсами, еуществуышимн
в соответствие вектор <Z£f =
, образованное прямоугольными видео-
ив интервале -времени (0,20 мкс ] и
имеющими всевозможные амплитуды, представляет собой линейное
векторное пространство. Если ограничить максимальную амплитуду
импульсов, например, до 10 В, то А? уже не образует ЛВП. Дейст-
вительно, сложив два импульса с амплитудами 6 и^ g, получаем
имцуяьс, не ирвдадлежащнй множеству А/
2.S. Норка сигнала. Скалярное произведение двух сигналов
/тожество с определенным в ном расстоянием между двумя эле-
wctsb»-. нряоб^та^ят геометрические свойства, что позволило на-,
рассиет-ужаать элементы множества в случае линейного пространства
да.» вехтоок. Следующим яагои а углублении геометрической трак
товкн теории сигналов является введение понятия, характеризуй
ийгс- ’’рдзмег/' элемента и соответствув^его по смыслу длине вег-
тора. Таким понятием является "нориа" вектора, чрадставлядаг.ал
собой дейстяйтяяьное положительное числ< я обозначаемая /й/
Такое число можат быть опседадечо с помощью любого отображени»:
линейного врострвнечве э де?>стзительцу» ось, удоьлетвордащагс
следуицтл требованиям:
вУ	v	только при lta£' ;
бЭ/«	" неравенство треугольника:	(I'1
В радиотехнике норма сигнала определяется как
,2'!
в силу простоты физической интерпретации квадрата нормы как энер-
гии ^сигнала
£ц -/<//
Понятие нормы сигнала позволило придать точный смысл высказы-
ванию вида "первый сигнал больше второго”, но и указать, насколь-
ко он больше. Пространство сигналов, норме которых ограничена,
называется пространством L ’ .
Последним шагом в усовершенствовании структуры пространства
сигналов является введение дополнительной геометрической характе-
ристики - скалярного произведения двух векторов, обозначаемого
(U,V) и представляющего собой отображение пар векторов линей-
ного пространства в действительнуи ось, удовлетворяющее следую-
Ерш условиям:
a)	(и,Ф) й 0 , (U,U)™0 только есди 11'^0 ;
б)	(U,V)~(V,U) ;
в)	(cZ&, U) “ гЦи, V) , где е£ - скаляр;
г)	(и +v,z).
Важным следствием из указанного определения скалярного про-
изведения является то, что величина
(4) j
есть норма в линейном пространстве. В зтом нетрудно убедиться,
сравнивая (I) к (3) к приникая без доказательства условие б) в
;1). Принимая вс внимание (2) к (4), определим скалярное произ-
ведение двух сигналов У и как
(и, V) - f	С5’
Линейное пространство с определение в ней скалярным произведе-
нием (5) называется вещественным гедьбсптсвыы ггростртжтвеж.,
/когда полезно трактовать скалярное ггроизведекие как зекую керу
угла между векторами. Используя фуедж«еж&яьгже неравенство
Коши -Буняковско го	определи угод
ме-ч.ау векторам L1 к IJ состгошеккев
Отсюда следует, тго при	“ 0 аект-ор® I/ ч являет-
ся ортогоналышки. Образно говоря, ортогональные скпшаы предедь-
6
ко "непохожи” друг на друга.
2Л. Линейная независимость векторов
Рассмотрим векторы	’ • • • •- S:/< некоторого ли-
нейного векторного пространства /¥ . Выражение d/fy + djfs +
' '+е^1Й? » гДе <Z/ > <4-»	- произвольные скаляр-
ные коэффициенты, называется линейной комбинацией. Вектора ,
L - 1,2, «.«,/?. называются линейно независимыми, если равен-
ство
‘ fn“O	(6)
справедливо лишь прк S5£>-2 = ••• — dn^O . Если ке сущест-
вуют коэффициенты , cZg , .,. , из которых хотя бы
один отличен от нуля, и для них имеет место равенство (6), то
векторы 1р£ ,	1~ 1,2, ... , П линейно зависимы.
В качестве примера рассмотрим систему из трех векторов:
'fs-er£- , fsa^st , 0 $ t £ °о
Очевидно^ равенство
^е"£ ^dze'st *dse3t-о
справедливо на интервале 0^ t < °° только при условии
. Т.о_,,рассматриваемые вектора являются ли-
нейно ^езаписчмыми; Примером линейно зависимых векторов могут
служить = I, tg « t , % ft °
Действительно, равенстве
°dt ^d2t * ds2t - О
сйретадляэо и® только для df ad2 “sZj «=^7 , нс и для «4 “О
etg ® ~2d.$ / 0 .
2.5.	Базис линейного пространства
Если в линейном пространстве Д/ существует Л линейно
независимых векторов и любая система из fl ь I векторов является
линейно зависимой, то Л называется размерностью пространства.
Пространство Д/ размерности П будем называть П - мерным
н обозначим Мп .
Рассмотрим некоторое Л - мерное линейное векторное прост-
ранство Иц . Пусть 'fl •	% - система линей-
но независимых векторов, принадлежащих Мщ , U - произволь-
7
ний вектор, также принадлежащий г'п . Так как р досматриваемое
пространство П - мерное,- то система векторов yj ,	,
%........Гп	является линейно зависимой, т,е5 ра-
венство
W "Мз+ "-"Мп "fi^U ‘С	т
справедливо не обязательно при всех [З/ = 0. Заметим, что в (7)
0 . Действительно, если fin*) = 0, то среди коэф-
фициентов j9^ , fiz • • • • » fin есть отличные от нуля и вектора
*$ , 0-2 ,.. о, линейно зависимы, что противоречит условию.
Так как j$nt1 4 Q , то из (7) следует, что
; (8)
где eQ =-fii/fintf ,	/= 1,2, ...» Л .
Из выражени,, (8) следует,, что любой вектор, принадлежащий
Мп , можно представить в виде линейной комбинв’хия Л линей-
но независимых векторов. По этой причине любая упорядоченная
система П. линейно независимых векторов называется базисом
П. - мерного пространства Мп
В качестве примера рассмотрим одаомер;.ое пространство - прост-
ранство отрезков различной длины t; (рис. IK
&
{3
fy-tf
Рис. I
Очевидно базисом этого пространства дожет слу-
жить любой отрезок & * 0 , так как иыра,„е-
ние - 0 справедливо только при tL » 0.
Для этого приме р» выражение (8) принчыат вид
/“c(j 4 s и определяет длину произволь-
ного вектора. I в единицах кэмеюенчя h
Примером двухмерной » прострелСтеа «®р
служить множестве декторон на плоскости цжс^
Очевидно, в качестве базиса этого нроетрадедас.
можно взять любые две неколлинеарных вектора, например,вектор
и вектор . Тогда произвольный вектор иь этого пространств®
»*ожет быть представлен как ’
Примером трехмерного пространства сигналов
может служить множество векторов, в трехмер-
ном пространстве, ь котором а качестве бе-
зисных можно взять любые три некомпладаредя
вектора. Что касается Л - мерного прост-
3
ра.зета& em’Haa&ij те оно .-является математической абстракцией, не
тшепцей геометрического толкование.
2.6.	Дкскоезлч® спектр сигнала
Обратимей вновь к выражению (8), учитывал,- что под вектора-
ми »ш подразумевали сигналы, являющиеся пункциями времени
•л
(9)
u(t) >
u'••'/: 	,1 *_.i ..•t •'
Вгравение. (9} называете# обобщенным рядом Фурье и является ко-
нечномерным представлением сигнала u(t) в пространстве
• Я£&гя&: еловаич, выражение J9) позволяет каждому сигна-
лу из йрстевить в -соответствие упорядоченную последова-
тельность чисел sC.... , «4 i , -разную для разных
сигналов. -(Ърлггиюсть ^рэффшяентов <4/ ,	4= 1,2,...,П
разложение гнгёма по заданной системе базисных функций lPi(t)
£»;Х,2,	найнваетер дискретным спектром сигнала.
Замен?. некрзрыйного сытна) набором. -оэффициентов (следуе™
зажгитеs. ;4¥c- такой представление л«еег смысл'только по отноше-
нию « •нонкрз’?ж»у базису) представляет не только теоретический
интерес, но я ктет большое тжхлддное значение. Подтверищением
<T£»Cf мйй& авуяапь '^азлонение непрерывного сигнала по функциям
Лотельнжок .,< яеяшее й 'основе «югоьанал: ных систем передачи
неврегтема яаобщикС
Эад«к <д?рс|Д*швд®я даекреидаго. спектра сигнала может быть
-достаточно просто ретена при использовании понятия скаляргчоЪГ
про жшдени!З^етжтельно, уи ножим скаюфно правую и левую
фстк (Ш н&	!,£« ...еЛ :
1и,	(w ,	, / е /, 2,..., п
етс эквивжатш  медуадей записи :
'	(ы) =-
Оосзнача.
(10)
(и. у})
(U,¥>J
(u'.Vb)
Л
^2
9
получим &<£ afi г отсюда
et •“&'$ *	^(U,G^).	<П'
Для удобства вычисления -дискретного спектра введем в
новые базисные функции 6:(t) , t ~ 1,2, - Л , жяшрчо
ортогональные к ^(t) » т-жг ЭД'0
q ;	л. (к)
Базис ejt) ,	4» 1,2, '..., /2 удовлетворяю»? й усло-
вию (12), называется взаимным по отнсиеки® е	I-
.... П . Умножая скалярно правую и левую частя вкреветяя (9)
на Gt , j = 1,2, fl g учитывая (X2), получше'
<4' ’(U.^7i'“U-.,.,<-ro	,tW
rM
где C =[G; Gz   - Gfij
Сравнивая выражения (II) иг (И), находим
е = try . 
Таким образом, вычисление дискретного спектра ис фэгм^яак
:Ц' и (14) в обоих случаях требует вы«нсления сбрат-жй жтрици
£?”? .
Задача вычисления дискретного спектра .еигнаиа значительно
упрощается при использовании так наэыааевдх, сртогоналъных бази-
сов. Базис ydt} , L ~ Is2s..,iB}'2 наз&жаетсй оуккгонель-’
ним, если взаимным базисом для него является ои сам,- еслк
базисные функции взаимно ортогональны а’ норма вд равна единице:
le. i fi
В этом случае
принимает вид
и выражение (II)

В качестве примера рассмотрим разложение
= '1/2	1/2 ?” , изображенного на рис.З, в
еисе, состоящем из двух функций; $ = /“t
определенных на; интервале 0 * t *• Д.
1ll(t)
4-_:
сигнала u(t) =
неортогональном ба-
и %(t)at ,
Итак
i
Требуется определить с4/ и cCg
I. Находим элементы матрицы G
Учитывая, что скалярное произведение в
пространстве сигналов с ограниченной энер-
гией определяется выражением (5), запишем:
Z’/“Z’2 •
z?  <
s1	. 1
Btc, 3.
Отседа находим (i^,sP/) s- V3j (йг^) =	= 1/>6’
= W. Тагсяи образом^'
rt 2 1/S, 1/6	.
« - J/6 V/3 J 
2. Спредедя»: "обрайф® матрицу у
л-'—Д.г^'Г
dstA L и ’
гд@я<фО . - определитель матрицы Д >	!'!2 >
2/^' >-'.1линор» получаемый- е результате вычеркивания в матрице
I- И -строки и	-1—гч> столбца. Для нашего" примера
(AtG = 1/3 -1/36 4/12, •	7 1/3 = 1/3 /2,
1/5^1/бМЧ1Г1-1/б - Ч/б s А22 4-1Г21/3-1/3 а
Таким'образом,
41 tt Ю I ' -’/с
Ь’ /1/6 1/5
, Как известно
//5 -1/6
"^1 •
2 *!
3.- Находим скалярные ’произведений	, Z=I,2
Л"(им)- 1/з ,
j3g = (и,%) * /1/2 (1*t)t dt '= 5/12 .
&
4. Определяем дискретный спектр сигнала, I
d(
d2
4 -i
-2 4
Подставляя полученные коэффициенты в выражение'(17). будем
иметь
u(t) ^(t)^2(t)- i/2^-t) *t = //2 * Uz i"
Мы рассмотрим пример представления сигнала, принадлежащего
конечномерному пространству , образованному множеством
всех линейных комбинаций базисных функций	к	-
Рассмотрим задач;.’ сопоставления произвольно^- сигналу CJ(t}
с ограниченной энергией т.е. временной функции, принадлежащей
пространству Z, , её' численного представлении. Поскольку раз-
мерность пространства L' равна бесконечности (базис прост-
ран ®Г-в a Д	является бесконечномерным} конечномерное представ-
ление сигнала U(Q в виде (9) сопровождается появлением
ошибки аппроксимации, т.е. сигнал Щ1). t получаемый в ре-
зельтате сложения fl базисных функций, с соответствующими ко-
эффициентами, будет отличаться от исходного, сигнале U(t) .
Однако можно показать, что ошибка аппроксимации, резная
является минимальной для денного базиса
если коэффициенты разложения, определены по формуле (II). Более
того , пространство [2 обладает замечательным свойством -
свойством полноты, еаклпчапщемед в .том, что норма ошибки
ju(t). ~ О(1)Ц может быть сделана сколь угодно малой пре-
увеличении числа базисных функций ft , Ниже ж рассмотрим при-
меры полных ортонормальных систем базисных функций, получивших
наиболее широкое применение.
2.7.	Базис Фурье
Среди разнообразных систем ортогональных функций особое
место занимают гармонические (косинусоидальные и синусоидаль-
ные) функции с кратными частотами. Важность гармонических функ-
ций для радиотехники обусловлена, прежде всего, их инвариант-
ностыо относительно преобразований, осуществляемых линейными
электрическими цепями. Если на входе линейной цепи действует
гармоническое колебание, то сигнал на ей выходе также остается
гармоническим, отличаясь от входного лишь амплищу-дой и началь-
ной фазой- Кроме того, техника генерирования гармонических сигна-
лов относительно проста.
Рассмотрим этот базис:
tfyf а. -^/TSinQt,	.
“ “'	nQt •	COSnQt................
где О 2&./T.
Нетрудно убедитьси;,в том, что данный базис на интервале
М72, т/2] является ортонормальным. Действительно, для
/ _четных	'
*	» Лия нечетких значений . L ^зулътах будет ана-
логичен.
Разлокэнкв здрнодивдекого сигнала с периодом Т по этой
с-кстеае бсяисня» функций имеет вид
(18)
где ковффяй&зтеы d,-i определяются выражениями
f, Т/2
Осоэказдш <^8лв О.it	и d^-t ~	? выражение (18) пред-
стали» в еаке
“	. л»/.-
известном'йж ОДэье в тригонометрической, форме записи.
2.8.	йу,®ткйжкативно^оруЬгон8Льный' базис''
^улья8й.®1яативнб-’орто1,снаиьный базис представляет собой со-
йонупност’- пепересенатацихсл по времени прямоугольных импульсов
единичной амйяитуда, расположенных на интервале времени [ 0,1 ] .
График первых 8 функций изображен на рис. 4а.
а)	й).
рис. 4
.Длительность отдельных импульсов равна 1/Н , ,где /V- чи{>
ло базисных функций, как правило» четно®. .Данный базнс являет-
ся ортогональным. Действительно, принимая во внимание, что
  10 . ti[t/№,(lf0/N].
получим
-hiWOdt / f-
8	‘	I -J „	.
Коэффициенты разложения сигнал находим слещушим образом:
Сигнал
14
^0)
является аппроксимацией сигнала U(t) , погрешность которой
при увеличении /V стремится к нул:о.
В качестве примера рассмотрим вычисление дискретного спект-
ра сигнала	в мультипликативно-ортогональном базисе
U(t) * t. И /И. В, получим
tdt  
Отсюда при I « О,находим:
do~ i/ie, d<* 3/i6, <4 = 5/16.
cZj= 7/16, cQ= 9/16, II/I6,
dS= 13/16, «4= 15/16.
График сигнале U(t) , образован-
ного суммированием базисных функций
на найденные коэффициенты согласно
выражению (20), представлена рис.5.
Из рисунка видно, что при увеличении Az погрешность аппроксима-
ции будет уиеишатьск.
2,8, ^ункцкк Уеяша
Применение цифровых методов обработки сигналов и использова-
ния ЭШ для ждаеттовааия дкнажчестх систем явилось причиной
аарского применения ортонормальной системы функций Уолиа. Осо-
бенностью эт» функций является то, что на интервале своего су-
я|8«даова?Еш (0»lJ сна Ефинямеют яшкь два значения ±1. По
агой причина фушоря; Уолиа еще называют ?прямсугсльнь!ми волнами",
Дйторкз легко генёркровгж яри нхя&жи дискретах элементов.
Яа ркеЛб приведены иервые восемь функций Усата. Коэффици-
ент разлокегсся сигнала U(t) па ктиы фдгнкциям определяют-
ся Бнргкевнеи
л - /u(tM(t)dt	(21)
О
ffe реескотрвник гряфяка функций Уолиа следует, что определение
коэффициентов резлоаения да»© сравнительно простых по форме сиг-
налов вследствие необходпиости разбивать интервал интегрирова-
ния на несколько интервалов, число которых шмпорциояально чис-
лу функций п , представляет собой достаточна трудоемкую задачу.
Поэтому коэффициенты разложения сигнала по базису Уолша /3 про-
ще находить по известным коэффициентам разложения этого сигнала
в другом базисе el , в котором они легко вычисляются, и матра-
це перехода Т от этого базиса к базису Уолни, т.й.
Очевидно, в качестве второго базиса лучше лаять цультииликатиз-
но-ортогональный базис ввиду простоты вычисления коэффяциентоз
в этом базисе. Обращаясь к рис.4,а,б-;устаяовин связь между
^льтипликативно-ортогональным базисом и базисом Уолша. Очевид-
но для получения нулевой функции Уолиа необходима сложить всэ
базисные функции мультипликативно-ортогонального базиса с еди-
ными коэффициентами. Первая функции Уолша	получится
при сложении первых четырех функций мультипликативно-ортогональ-
ного базиса с коэффициентами +Г, а четырех последних функций с
коэффициентами -X,
Рассуждая подобным образом,можно записать
/
ИЛИ
tJ!
< !

////// 4 /I
/ 1 ! / -/V-/ '
1 н-н-/г
/ / ’/-/ t / -f
! / -/ -/ f i -i -/
I -t-i t -i I I
I -/ i -r ~i i -i
t-t1 -i 1-! i
Wb
УЪ
122]
Далее подставим р выражен»*
вместо ar праву» часть ннраггенх. . 'нл-глефь ла з:г«‘ со-
лярного умножения матрицу Т7 ’
д » T'f Цг
Учитывая, что d^Catf) ^>Т
нее выражение- принимает вид
j8 -	•	(al
Т.о.,зная коэффициенты разложения сигнал: г щ/льта-эикэтияно-
ортэгональном базисе, мы можем найти коэффициенты разлсж.едая
этого сигнала в базисе Уолша, воспользовавшись выряжанием \ЙЗК
16
2.9. Структурная схема анализатора и синтезатора
сигналов по заданной системе базисных функций
Рассмотрим вопрос аотаратной реализации алгоритмов разложе-
ния сигналов по заданной системе базисных функций и синтеза
сигналов или представления сигналов при помощи имеющихся конк-
ретных устройств.
Очевидно, анализатор спектра - устройство, входом которого
является сигнал U(t) , а выходом - коэффициенты разложения
этого сигнала по заданной системе базисных функций, согласно
алгоритму	ээ
di « г J
должен содержать: генератор базисных функций	, перемно-
житель и интегратор. Структурная схема .такого устройства имеет
пйд рис.6.
В»с. S
Обрачдиеь к двраиедз» '
U(D'
с'&
нетрудно реализовать устройство, синтезирующее с некоторой пог-
режоствю сигам U(t) •„ Необходимо подчеркнуть, что при реа-
лизэдки даяаого алгоритма погрешность аппроксимации будет за-
висеть не только от «ем базисных функций, нс « ст степени
отличия генерируемых базисных функций их математическим моде-
лям, а также точности операции умножения. Структурная схема
синтезатора представлена ка рис.7.
I.	Понятие скалярного произведения двух сигналов, норма
сигналов. Какой физический смысл этих понятий ?
2.	Понятие базиса линейного пространства.
3.	Какая система базисных функций называется ортогональной
ортонормальной ?
4.	Что такое дискретный спектр сигнала ? Способы его вы-
числения.
5.	Определение коэффициентов разложения сигнала в заданном
базисе по известным коэффициентам разложения этого сигнала в
другом базисе.
6.	Примеры систем базисных функций (Фурьа, Даггера, Уолша,
мультипликативно-ортогональных).
7.	Структурная схема анализатора и синтезатора сигналов по
произвольной системе базисных функций.
8.	Определить дискретный спектр сигнала
] 0 , та <t < г
в мультипликативно-ортогональном базисе, базисе Уолша, Фурье.
Как изменится дискретный спектр при сдвиге этого импульса
вправо на Т/Ц 1
9.	Изобразите график сигнала, спектр которого по Уолщу
имеет вид
+1,	0,1,^,3*
4. Библиографический список
I. Баскаков С.И. Радиотехнические цени и сигналы. - Мл
Высш.шк., 1983. С.П-13, 24-37.
2. Франкс Л. Теория сигналов. - М.: Сов.радио, 1974.
С. 23-24. 26-29/33-43, 48-62,
L