Математический анализ. Часть 1 - Зорич В.А.

ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЯТОМУ И ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЯМ
I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
§2. Множества и элементарные операции над множествами
§1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
§2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
§3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
§3. Основные теоремы дифференциального исчисления
§4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
§5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций
§6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
§2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§2. Предел и непрерывность функции многих переменных
VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§2. Дифференциал функции многих переменных
§4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
§6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
§7. Поверхность в R^m и теория условного зкстремума
Дополнение 2. Начальные сведения о численных методах решения уравнений
Автор: Зорич В.А.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 978-5-94057-892-5
Год: 2012
Похожие
Математический анализ. Часть 1
Математический анализ. Часть II
Задачи по математическому анализу, Ч.1
Курс математического анализа. Часть I. Книга 2.
Текст
                    В. А. Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АнАлиз
Часть І
Издание шестое, дополненное
Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
математических и физико-математических
тфакультетовлтспециальностей
высших учебных заведений
Москва
Издательство МЦНМО
2012

УДК 517
ББК 22.16
З86
Рецензенты: Отдел теории функций комплексного переменного
Математического института им. В. А. Стеклова
ІЅВЫ 978-5-94057-892-5
9
Российской Академии Наук.
Заведующий отделом академик А. А. Гончар.
Академик В. И . Арнольд.
Зорич В. А
З86 Математический анализ. Часть І. _ 6-е изд, до-
полн.-М.: МЦНМО, 2012. -Х/ІП+702 с. Библ.: 55 назв.
Илл.: 65.
математики и ее приложений.
785940
ІЅВ1ї 978-5-94057-891-8
ІЅВ1ї 978-5-94057-892-5 (часть І)
Университетский учебник для студентов физико-математических спе-
циальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с рас-
ширенной математической подготовкой, а также специалистам в области
Предыдущее издание книги вышло в 2007 г.
578925
>
ББК 22.16
ІЅВЫ 978_5_94057_891_8 ©В. А. Зорич, 2001, 2002, 2007, 2012
ІЅВ1ї 978-5-94057-892-5 (часть І) @МЦНМО, 2001, 2002, 2007, 2012
«Полная строгость изложения соединена с доступностью и полнотой, а также воспита-
нием привычки иметь дело с реальными задачами естествознания.››
Из отзыва академика А. Н. Колмогорова
о первом издании учебника

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . Х
Предисловия к пятому и третьему изданиям . . . . . . . . . . . . . . . .
. . ХІ
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . ХІІ
Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . ХІУ
Глава І. Некоторые общематематические понятия . . . . . .
. . 1
Ё; 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .ь . . 1
1. Связки и скобки 2. Замечания о доказательствах 3. Не-
которые специальные обозначения 4. Заключительные заме-
чания
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 5
Ё2. Множества и элементарные операции над множествами . . _ . . 5
1. Понятие множества 2. Отношение включения 3. Про-
стейшие операции над множествами
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 12
Ё3. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 13
1. Понятие функции (отображения) (13). 2. Простейшая класси-
фикация отображений (18). 3. Композиция функций и взаимно
обратные отображения (20). 4. Функция как отношение. График
функции (22).
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 26

ІУ ОГЛАВЛЕНИЕ
54. Некоторые дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 29
1. Мощность множества (кардинальные числа) (29). 2. Об акси-
оматике теории множеств (32). 3. Замечания о структуре ма-
тематических высказываний и записи их на языке теории мно-
жеств (34).
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 37
Глава ІІ. Действительные (вещественные) числа . . . . . . . .
. . 40
Ё 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действи-
тельных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
_ . 41
1. Определение множества действительных чисел (41). 2. Некото-
рые общие алгебраические свойства действительных чисел (45).
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани
числового множества (50).
Ё2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные
аспекты операций с действительными числами . . . . . . . . . .
. . 52
1. Натуральные числа и принцип математической индукции (52).
2. Рациональные и иррациональные числа (56). 3. Принцип Ар-
химеда (60). 4. Геометрическая интерпретация множества дей-
ствительных чисел и вычислительные аспекты операций с дей-
ствительными числами (62).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 76
ЁЗ. Основные леммы, связанные с полнотой множества действи-
тельных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 81
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши- Кантора) (81).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега) (82).
3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано- Вейерштрас-
са) (83).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 84
Ё4. Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 85
1. Счетнь1е множества (85). 2. Мощность континуума (87).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 88
Глава ПІ. Предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
_. 91
ё1. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
_ . 92
1. Определения и примеры (92). 2. Свойства предела последова-
тельности (94). 3. Вопросы существования предела последова-
тельности (99). 4. Начальные сведения о рядах (110).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 121

ОГЛАВЛЕНИЕ У
Ё2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 124
1. Определения и примеры (124). 2. Свойства предела функ-
ции (130). 3. Общее определение предела функции (предел по
базе) (148). 4. Вопросы существования предела функции (153).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 171
Глава ІУ. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 175
Ё 1. Основные определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 175
1. Непрерывность функции в точке (175). 2. Точки разрыва (181).
Ё2. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 184
1. Локальные свойства (184). 2. Глобальные свойства непрерыв-
ных функций (186).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 197
Глава У. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . .
. . 202
Ё1. Дифференцируемая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 202
1. Задача и наводящие соображения (202). 2. Функция, диф-
ференцируемая в точке (208). 3. Касательная; геометрический
смысл производной и дифференциала (211). 4. Роль системы ко-
ординат (214). 5. Некоторые примеры (216).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 222
Ё2. Основные правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . .
. . 224
1. Дифференцирование и арифметические операции (224).
2. Дифференцирование композиции функций (228). 3. Диффе-
ренцирование обратной функции (232). 4. Таблица производ-
ных основных элементарных функций (238). 5. Дифференциро-
вание простейшей неявно заданной функции (238). 6. Производ-
ные высших порядков (243).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 247
Ё3. Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . .
. _ 248
1. Лемма Ферма и теорема Ролля (248). 2. Теоремы Лагранжа и
Коши о конечном приращении (251). 3. Формула Тейлора (255).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 270
Ё4. Исследование функций методами дифференциального исчисле-
ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 274
1. Условия монотонности функции (274). 2. Условия внутрен-
него экстремума функции (276). 3. Условия выпук.лости функ-
ции (282). 4. Правило Лопиталя (291). 5. Построение графика
функции (293).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 303

/І ОГЛАВЛЕНИЕ
ёб. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций . . 307
1. Комплексные числа (307). 2. Оходимость в С и ряды с ком-
плексными членами (312). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь эле-
ментарных функций (317). 4. Представление функции степен-
ным рядом, аналитичность (321). 5. Алгебраическая замкну-
тость поля (С комплексных чисел (326).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
ёб. Некоторые примеры использования дифференциального исчи-
сления в задачах естествознания . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
1. Движение тела переменной массы (336). 2. Барометрическая
формула (338). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и
атомный котел (340). 4. Падение тел в атмосфере (343). 5. Еще
раз о числе е и функции ехр а: (345). 6. Колебания (348).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Ё7. Первообразная . . . . . . . .
. . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
1. Первообразная и неопределенный интеграл (357). 2. Ос-
новные общие приемы отыскания первообразной (359). 3. Пер-
вообразные рациональных функций (366). 4. Первообраз-
ные вида І В(соз:п,Ѕіпа:) (11: (371). 5. Первообразные вида
ІН(аз,у(а:)) сіш (373).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Глава /І. Интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. _
Ё 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
1. Задача и наводящие соображения (383). 2. Определение инте-
грала Римана (385). 3. Множество интегрируемых функций (387)
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
_ .
Ё2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла . . . . .
1. Интеграл как линейная функция на пространстве 72[а, Ь] (404).
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирова-
ния (405). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, тео-
ремы о среднем (408).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
53. Интеграл и производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
1. Интеграл и первообразная (418). 2. Формула Ньютона-Лейб-
ница (421). 3. Интегрирование по частям в определенном инте-
грале и формула Тейлора (422). 4. Замена переменной в инте-
грале (425). 5. Некоторые примеры (427).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .

ОГЛАВЛЕНИЕ У
Ё4. Некоторые приложения интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 436
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и инте-
грал (436). 2. Длина пути (438). 3. Площадь криволинейной тра-
пеции (446). 4. Объем тела вращения (447). 5. Работа и энер-
гия (448).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 455
ё5. Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 456
1. Определения, примеры и основные свойства несобственных
интегралов (457). 2. Исследование сходимости несобственного
интеграла (462). 3. Несобственные интегралы с несколькими осо-
бенностями (469).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 473
Глава /П. Функции многих переменных, их предел и непре-
рывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 476
ЁІ. Пространство К” и важнейшие классы его подмножеств _ . . . 477
1. Множество К и расстояние в нем (477). 2. Открытые и за-
мкнутые множества в Вт (478). З. Компакты в Вт (482).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 484
Ё2. Предел и непрерывность функции многих переменных . . . .
. . 484
1. Предел функции (484). 2. Непрерывность функции многих пе-
ременных и свойства непрерывных функций (491).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 497
Глава /ІП. Дифференциальное исчисление функций многих
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 498
Ё 1. Векторная структура в Ш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 498
1. Вт как векторное пространство (498). 2. Линейные отобра-
жения Ь: К” -› К (499). 3. Норма в Вт (500). 4. Евклидова
структура в Вт (502).
Ё2. Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . .
. . 504
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (504).
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной
функции (505). З. Координатное представление дифференциала
отображения. Матрица Якоби (509). 4. Непрерывность, частные
производные и дифференцируемость функции в точке (509).

/'ІІІ ОГЛАВЛЕНИЕ
ЁЗ. Основные законы дифференцирования . . . . . . . . . . . . . .
. . 511
1. Линейность операции дифференцирования (511). 2. Диффе-
ренцирование композиции отображений (514). 3. Дифференци-
рование обратного отображения (520).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 522
Ё 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественно-
значных функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . .
. . 528
1. Теорема о среднем (528). 2. Достаточное условие дифференци-
руемости функции многих переменных (530). 3. Частные произ-
водные высшего порядка (532). 4. Формула Тейлора (535). 5. Экс-
тремумы функций многих переменных (537). 6. Некоторые гео-
метрические образы, связанные с функциями многих перемен-
ных (546).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 550
Ё5. Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 557
1. Постановка вопроса и наводящие соображения (557). 2. Про-
стейший вариант теоремы о неявной функции (560). 3. Переход
к случаю зависимости Р`(:::1,. . .,а:т,у) = О (564). 4. Теорема о
неявной функции (567).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 573
ёб. Некоторые следствия теоремы о неявной функции . . . . . . .
. . 577
1. Теорема об обратной функции (577). 2. Локальное приведение
гладкого отображения к каноническому виду (582). З. Зависи-
мость функций (587). 4. Локальное разложение диффеоморфиз-
ма в композицию простейших (589). 5. Лемма Морса (592).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 596
Ё7. Поверхность в К” и теория условного зкстремума . . . . . . .
_ . 597
1. Поверхность размерности К в К” (598). 2. Касательное прост-
ранство (603). 3. Условный экстремум (609).
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 624
Некоторые задачи ко.л.локвиумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 630
Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 640
Д о п о л н е н и е 1. Математический анализ (вводная лекция для
первого курса) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 645

ОГЛАВЛЕНИЕ
Д о п о л н е н и е 2. Начальные сведения о численных методах ре-
шения уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Дополнение 3. Преобразование Лежандра (первое обсужде-
ние) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 659
Дополнение 4. Интеграл Римана-Стилтьеса, дельта-функ-
ция и идея обобщенных функций (начальные представле-
ния) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 663
Д о п о л н е н и е 5. Теорема о неявной функции (альтернативное
изложение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 673
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
_ .
Указатель имен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
От своего имени и от имени будущих читателей я благодарю всех, кто
нашел возможность, живя в разных странах, сообщить в издательство
или мне лично о погрешностях (опечатках, ошибках, пропусках), за-
меченных в русском, английском, немецком или китайском изданиях
этого учебника. Замечания учтены и соответствующая правка внесена
в текст предлагаемого шестого русского издания.
Как выяснилось, книга пригодилась и физикам _ очень этому рад.
Во всяком случае я действительно стремился сопровождать формаль-
ную теорию содержательнь1ми примерами ее применения как внутри
математики, так и вне нее.
Шестое издание содержит ряд дополнений, которые, возможно, бу-
дут полезны студентам и преподавателям. Во-первь1х, это некоторые
материалы реальных лекций (например записи двух вводных обзорных
лекций первого и третьего семестров) и, во-вторых, это математиче-
ские сведения (порой актуальные, например связь многомерной гео-
метрии и теории вероятностей), примь1кающие к основному предмету
учебника.
Москва, 2011 год В. Зорич

ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЯТОМУ И ТРЕТЬЕМУ
ИЗДАНИЯМ
В ПЯТОМ ИЗДЕЪНИИ ИСПРЕЪВЛЄНЬІ ЗЗМЄЧЄННЫЄ ПОГРЄШНОСТИ И СДЄЛ8.Н8. ЛО-
КЗЛЬНЭЯ Пр3.ВК8. ТЄКСТ8, ЧЄТВЄРТОГО ИЗДЗНИЯ.
Москва, 2006 год В. Зорич
Эта часть І книги выходит вслед за выпущенной ранее тем же издатель-
ством более продвинутой частью ІІ курса. Для единообразия и преем-
ственности оформление текста приведено в соответствие с уже приня-
тым в части ІІ. Рисунки выполнены заново. Исправлены замеченные
опечатки, добавлены некоторые задачи, расширен список дополнитель-
ной литературы. Более полные сведения о материале книги и некото-
рых особенностях курса в целом даны ниже в предисловии к первому
изданию.
Москва, 2001 год В. Зорич

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечат-
ки первого1), сделаны отдельные изменения изложения (в основном это
касается вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены не-
которые новые задачи, как правило, неформального характера. В пре-
дисловии к первому изданию этого курса анализа уже дана его общая
характеристика, указаны основные принципы и направленность изло-
жения. Здесь я хотел бы сделать несколько практических замечаний,
связанных с использованием книги в учебном процессе.
Любым учебником обычно пользуются как студент, так и препода-
ватель -каждый для своих целей. Сначала и тот, и другой заинтере-
сованы иметь книгу, где, помимо формально необходимого минимума
теории, имеются по возможности разнообразные содержательные при-
меры ее использования, пояснения, исторический и научный коммента-
рии, демонстрируются взаимосвязи, указываются перспективы разви-
тия. Но в момент подготовки к экзамену студент желает видеть тот
материал, который выносится на экзамен. Преподаватель точно так
же, завершая подготовку курса, отбирает только тот материал, кото-
рый может и должен быть изложен в отведенное курсу время.
В этой связи следует иметь в виду, что текст данного учебника,
конечно, заметно шире того конспекта лекций, на базе которого он на-
писан. Что составило эту разницу? Во-первых, к конспекту добавлен,
по существу, целый задачник, состоящий, не столько из упражнений,
“Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набо-
ра первого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих,
по мнению Эйлера, чтение математического текста.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ХІІІ
сколько из содержательных задач естествознания или собственно мате-
матики, примыкающих к соответствующим разделам теории, а иногда
и существенно расширяющих их. Во-вторых, в книге, конечно, разобра-
но много больше примеров, демонстрирующих теорию в действии, чем
это удается сделать на лекциях. Наконец, в-третьих, ряд глав, пара-
графов или отдельных пунктов сознательно написаны как дополнение
к традиционному материалу. Об этом сказано в разделах «О введении»
и «О вспомогательном материале» предисловия к первому изданию.
Напомню также, что в предисловии к первому изданию я желал
предостеречь и студента, и начинающего преподавателя от чрезмерно
долгого сквозного изучения вводных формальных глав. Это заметно
откладывает собственно анализ и сильно смещает акценты.
Чтобы показать, что на деле остается в реальном лекционном курсе
от этих формальных вводных глав, и чтобы в концентрированном виде
изложить программу такого курса в целом, а также отметить возмож-
ные ее вариации в зависимости от контингента слушателей, я в конце
книги привожу некоторые задачи коллоквиумов, а также экзаменаци-
онные вопросы последнего времени за первые два семестра, к которым
относится эта часть І.
По экзаменационным вопросам профессионал, конечно, увидит и по-
рядок изложения, и степень развития в нем фундаментальных понятий
и методов, и привлечение порой материала второй части учебника, ко-
гда рассматриваемый в первой части вопрос уже доступен слушателям
в более общем виде.
В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне
коллег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому
изданию курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать ре-
цензии А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме
и стилю, они в профессиональном плане имели так ободряюще много
общего.
Москва, 1997 год В. Зорич

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ диф-
ференциального и интегрального исчисления даже по нынешним мас-
штабам представляется крупнейшим событием в истории науки вообще
и математики в особенности.
Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, пе-
реплетаясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой дер-
жится разветвленное дерево современной математики и через которую
происходит его основной живительный контакт с внематематической
сферой. Именно по этой причине основы анализа включаются как необ-
ходимый элемент даже самых скромных представлений о так называе-
мой высшей математике, и, вероятно, поэтому изложению основ анали-
за посвящено большое количество книг, адресованных различным кру-
гам читателей.
Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим
(как и должно) получить полноценные в логическом отношении доказа-
тельства фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся
также их внематематической жизнью.
Особенности настоящего курса, связанные с указанными обстоя-
тельствами, сводятся в основном к следующему.
По характеру изложения. В пределах каждой большой темы
изложение, как правило, индуктивное, идущее порой от постановки за-
дачи и наводящих эвристических соображений по ее решению к основ-
ным понятиям и формализмам.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Х/
Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере
продвижения по курсу.
Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изло-
жении теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наибо-
лее существенные методы и факты и избежать искушения незначитель-
ного усиления теорем ценой значительного усложнения доказательств.
Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для
раскрытия существа дела.
Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров,
а почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, на-
деюсь, существенно дополняют даже теоретическую часть основного
текста. Следуя великолепному опыту Полиа и Сеге, я часто старал-
ся представить красивый математический или важный прикладной ре-
зультат в виде серий доступных читателю задач.
Расположение материала диктовалось не только архитектурой ма-
тематики в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной
части единого математического или, лучше сказать, естественно-мате-
матического образования.
По содержанию. Курс издается в двух книгах (части І и П).
Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интеграль-
ное исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчи-
сление функций многих переменных.
В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала
как линейного эталона для локального описания характера изменения
переменной величины. Кроме многочисленных примеров использования
дифференциального исчисления для исследования функциональных за-
висимостей (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа
в записи простейших дифференциальных уравнений _ математических
моделей конкретных явлений и связанных с ними содержательных за-
дач.
Рассмотрен ряд таких задач (например, движение тела переменной
массы, ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопроти-
вляющейся среде), решение которых приводит к важнейшим элементар-
ным функциям. Полнее использован комплексный язык, в частности,
выведена формула Эйлера и показано единство основных элементар-
ных функций.
Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на
наглядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства

Х/`І ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
приложений этого вполне хватает1). Указаны различные приложения
интеграла, в том числе приводящие к несобственному интегралу (на-
пример, работа выхода из поля тяготения и вторая космическая ско-
рость) или к эллиптическим функциям (движение в поле тяжести при
наличии связей, маятник).
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных до-
вольно геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и по-
лезные следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные ко-
ординаты и локальное приведение к каноническому виду гладких ото-
бражений (теорема о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория
условного зкстремума.
Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и диф-
ференциальному исчислению, подытожены и изложены в общем инва-
риантном виде в двух главах, которые естественным образом примы-
кают к дифференциальному исчислению вещественнозначных функций
нескольких переменных. Эти две главы открывают вторую часть кур-
са. Вторая книга, в которой, кроме того, изложено интегральное ис-
числение функций многих переменных, доведенное до общей формулы
Ньютона-Лейбница- Стокса, приобретает, таким образом, определен-
ную целостность.
Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии
к ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного матери-
ала она содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах
Фурье в том числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая
фундаментальное решение, свертку и преобразование Фурье), а так-
же об асимптотических разложениях (они обычно мало представлены в
учебной литературе).
Остановимся теперь на некоторых частных вопросах.
О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку
большинство начинающих студентов уже имеют из школы первое пред-
ставление о дифференциальном и интегральном исчислении и его при-
ложениях, а на большее вступительный обзор вряд ли мог бы претен-
довать. Вместо него я в первых двух главах довожу до определенной
“Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и вы-
бивающихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что
прибавляя к эффективному аппарату анализа, которьп`71 и должен быть освоен в пер-
вую очередь.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Х/ІІ
математической завершенности представления бывшего школьника о
множестве, функции, об использовании логической символики, а также
о теории действительного числа.
Этот материал относится к формальным основаниям анализа и ад-
ресован в первую очередь студенту-математику, который в какой-то
момент захочет проследить логическую структуру базисных понятий
и принципов, используемых в классическом анализе. Собственно мате-
матический анализ в книге начинается с третьей главы, поэтому чита-
тель, желающий по возможности скорее получить в руки эффективный
аппарат и увидеть его приложения, при первом чтении вообще может
начать с главы ІП, возвращаясь к более ранним страницам в случае, ес-
ли что-то ему покажется неочевидным и вызовет вопрос, на который,
надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно дал ответ в
первых главах.
О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имею-
щие сплошную нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой
главы отдельно; подразделения параграфа нумеруются только в пре-
делах этого параграфа. Теоремы, утверждения, леммы, определения и
примеры для большей логической четкости выделяются, а для удобства
ссылок нумеруются в пределах каждого параграфа.
О вспомогательном материале. Несколько глав книги на-
писаны как естественное окаймление классического анализа. Это, с од-
ной стороны, уже упоминавшиеся главы І, ІІ, посвященные его фор-
мально-математическим основаниям, а с другой стороны, главы ІХ,
Х, Х7 второй части, дающие современный взгляд на теорию непре-
рывности, дифференциальное и интегральное исчисление, а также гла-
ва ХІХ, посвященная некоторым эффективным асимптотическим ме-
тодам анализа.
Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекци-
онный курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором,
но некоторые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно при-
сутствуют в любом изложении предмета математикам.
В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и ква-
лифицированная профессиональная помощь была мне дорога и полезна
при работе над этой книгой.
Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах со-
гласовывался с последующими современными университетскими мате-
матическими курсами -такими, например, как дифференциальные

Х/ПІ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
уравнения, дифференциальная геометрия, теория функций комплексно-
го переменного, функциональный анализ. В этом отношении мне были
весьма полезны контакты И обсуждения с В. И. Арнольдом и, особен-
но многочисленные, с С. П. Новиковым в период совместной работы в
зкспериментальном потоке при отделении математики.
Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафед-
рой математического анализа механико-математического факульте-
та МГУ.
Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замеча-
ния к ротапринтному изданию моих лекций.
При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое
распоряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за
что я благодарен их владельцам.
Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства
Л. Д. Кудрявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные за-
мечания, значительная часть которых учтена в предлагаемом читателю
тексте.
Москва, 1980 год В. Зорич

ГЛАВА І
НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ё 1. Логическая символика
1. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства мате-
матических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных
символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символа-
ми, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем рас-
пространенные символы математической логики -1, /, /, =>, <:> для обо-
значения соответственно отрицания «не›› и связок «и», «или», «влечет»,
«равносильно» 1) .
Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный инте-
рес высказывания:
Ь. «Если обозначения удобны для открытий . _ . , то поразительным
образом сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц2)).
Р. «Математика --это искусство называть разные вещи одинаковы-
ми именами» (А. Пуанкаре3)).
ЦВ логике вместо символа А чаще используется символ &. Символ => импликации
логики чаще пшпут в виде -›, а отношение равносильности-в виде <--› или <-›.
Однако мы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не пере-
гружать традиционный для анализа знак -› предельного перехода.
2)Г. В.Лейбниц (1646 - 1716) -выдающийся немецкий ученый, философ и мате-
матик, которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа
бесконечно малых.
3)А.Пуанкаре (1854- 1912) -французский математик, блестящий ум которого
преобразовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложе-
ний в математической физике.

2 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Є. «Великая книга природы написана языком математики»
(Г. Галилейц).
ТОГДЭ. В СООТВЄТСТВИИ С УКЗЗЗННЫМИ ОбОЗН&ЧЄНИЯМИІ
Запись Означает
Ь => Р Ь влечет Р
Ь <=Ф Р Ь равносильно Р
((Ь => Р) / (тР)) => (-=Ь) Если Р следует из Ь и Р неверно,
то Ь неверно
-:((Ь <=> Є) / (Р <=> (1)) Є не равносильно ни Ь, ни Р
Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями,
избегая разговорного языка,-не всегда разумно.
Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, со-
ставленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту
же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выра-
жений. Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о
«порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке при-
оритета символов:
-», /, /, =>, <=>.
При таком соглашении выражение *А / В / С => В следует рас-
шифровать как (((-А) / В) / С) => В, а соотношение А / В => С~
как (А/В)=>С', нонекакА/(В=>С').
Записи А => В, означающей, что А влечет В или, что то же самое,
В следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интер-
претацию, говоря, что В есть необсиодимый признак или необагодимое
условие А и, в свою очередь, А- достаточное условие или достаточ-
ный признак В. Таким образом, соотношение А <=> В можно прочитать
любым из следующих способов:
А необходимо и достаточно для В;
А тогда и только тогда, когда В;
1)Г. Галилей (1564 - 1642) -итальянский ученый, крупнеіїшшй естествоиспь1та-
тель. Его труды легл:и в основу всех последующих физических представлений о про-
странстве и времени. Отец современной физической науки.

ё1. ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА 3
А, если и только если В;
А равносильно В .
Итак, запись А <=> В означает, что А влечет В и, одновременно, В
влечет А.
Употребление союза и в выражении А / В пояснений не требует.
Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении
А / В союз или неразделительнь1й, т. е. высказывание А / В считается
верным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например,
пусть ш --- такое действительное число, что :с2 - 3:1:+2 = О. Тогда можно
написать, что имеет место следующее соотношение:
(1132-Зэ:+2=0)<=>(:с=1)/(а:=2).
2. Замечания о доказательствах. Типичное математическое
утверждение имеет вид А => В, где А_посылка, а В -заключение.
Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки
А => С1 => => СП, => В следствий, каждый элемент которой либо
считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением1).
В доказательствах мы будем придерживаться классического прави-
ла вывода: если А истинно и А => В, то В тоже истинно.
При доказательстве от противного мы будем использовать так-
же принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание
А / -«А (А или не А) считается истинным независимо от конкрет-
ного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно
принимаем, что -1(-А) <=> А, т.е. повторное отрицание равносильно
исходному высказыванию.
З. Некоторые специальные обозначения. Для удобства чита-
теля и сокращения текста начало и конец доказательства условимся
отмечать знаками 4 и Ь соответственно.
Усповимся также, когда это будет удобно, вводить определения по-
средством специального символа := (равенство по определению), в ко-
тором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.
Например, запись
Ь
/ ма» 4:1: == ,(;;;гд,0«›<:; во
“Запись А=>В =>С будет употребляться как сокращение для (А=›В) / (В =>С').

4 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
определяет левую часть посредством правой части, смысл которой
предполагается известным.
Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определен-
ных выражений. Например, запись
'П
2 х<с›А=щ == ао; во
2:1
вводит обозначение а([; Р,{) для стоящей слева суммы специального
вида.
4. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь гово-
рили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм
логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, дока-
зуемости, выводимости, составляющих предмет исследования матема-
тической логики.
Как же строить математический анализ, если мы не имеем форма-
лизации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что
мы всегда знаем 'или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в
данный момент формализовать. Пояснением смысла последней фразы
может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить
разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется
со всеми своими конечностями.
Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или
простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру
или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с мно-
гими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и ап-
парат которого бь1ли открыты еще в ХУП-Х/ІП веках, но приобрели
современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно,
потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и
необходимой для нее логически полноценной теории действительных
чисел (ХІХ век).
Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем
в главе ІІ построение всего здания анализа.
Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомить-
ся с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно диф-
ференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с
главы ІП, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь
по мере необходимости.

Ё2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 5
Упражнения
Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные-симво-
лом О. Тогда каждому из высказываний ЧА, А / В, А / В, А => В можно
сопоставить так называемую таблицу истинности, которая указывает его
истинность в зависимости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы
являются формальным определением логических операций -1, /, /, =>. Вот
они:
ъ-«Ф
Фь-1
;;|дд дед
ЩІШШ
Ш
ЖЕ ЖЕ
ІПЩ ІІ
Ш
1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением
о соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание
на то, что если А ложно, то импликация А => В всегда истинна.)
2. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и
широко используемые в математических рассуждениях соотношения:
(А/В)<=>-1А/-1В;
(А/В)<=>пА/-ЧВ;
А=>В)<=>(<В=>аА);
ФВ)<=>тА/В;
(А=>В)<=:›А/«В.
5583533,
_]//5 _!
Ь _!
52. Множества и элементарные операции
над множествами
1. Понятие множества. С конца ХІХ-начала ХХ столетия наи-
более универсальным языком математики стал язык теории множеств.
Это проявилось даже в одном из определений математики как науки,
изучающей различные структуры (отношения) на множествахї).
ЦБ ур баки Н. Архитектура математики. В кн.: Б ур баки Н. Очерки по исто-
рии математики. М.: ИЛ, 1963.

6 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое опреде-
ленных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мы-
сли» -так описал понятие «множество» Георг Канторц, основатель те-
ории множеств.
Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, по-
скольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во
всяком случае, не определенным ранее), чем само понятие множества.
Цель этого описания-разъяснить понятие, связав его с другими.
Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят,
«наивной››) теории множеств сводятся к следующему:
1° множество может состоять из любых различимых объектов;
2° множество однозначно определяется набором составляющих его
Объектов;
З° любое свойство определяет множество объектов, которые этим
свойством обладают.
Если 11:-объект, Р-свойство, Р(:1:) -обозначение того, что ап об-
ладает свойством Р, то через {:1: | обозначают весь класс объ-
ектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или
множество, называют элементами класса или множества.
Множество, состоящее из элементов 1:1, . . _ ,:с,,,, обычно обозначают
как {:1:1,. . . ,:1:,,,}. Там, где это не вызывает недоразумения, для сокра-
щения записи мы позволяем себе обозначать одноэлементное множест-
во {а} просто через а.
Слова «класс», «семейство», «совокупность», «набор» в наивной тео-
рии множеств употребляют как синонимы термина «множество».
Следующие примеры демонстрируют применение зтой терминоло-
ГИИІ
множество букв «а» в слове «я››;
множество жен Адама;
набор из десяти цифр;
семейство бобовых;
множество песчинок на Земле;
совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных
ее точек;
1)Г. Кантор (1845 - 1918) -немецкий математик, создатель теории бесконечных
множеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике.

(52. МНОЖЕОТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 7
семейство множеств;
множество всех множеств.
Различие в возможной степени определенности задания множества
наводит на мысль, что множество _ не такое уж простое и безобидное
понятие.
И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто
противоречиво.
4 Действительно, пусть для множества М запись Р(М) означает,
что М не содержит себя в качестве своего элемента.
Рассмотрим класс К = {М | Р(М множеств, обладающих свой-
ством Р.
Если К -множество, то либо верно, что Р(К), либо верно, что
<Р(К Однако эта альтернатива для К невозможна. Действительно,
Р(К) невозможно, ибо из определения К тогда бы следовало, что К
содержит К, т. е. что верно <Р(К); с другой стороны, -Р(К) тоже
невозможно, поскольку это означает, что К содержит К, а это проти-
воречит определению К как класса тех множеств, которые сами себя
не содержат.
Следовательно, К -не множество. Ь
Это классический парадокс Расселаї), один из тех парадоксов, к
которым приводит наивное представление о множестве.
В современной математической логике понятие множества подвер-
гается (как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Одна-
ко в такой анализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в
существующих аксиоматических теориях множество определяется как
математический объект, обладающий определенным набором свойств.
Описание этих свойств составляет аксиоматику. Ядром аксиомати-
ки теории множеств является постулирование правил, по которым из
множеств можно образовывать новые множества. В целом любая из су-
ществующих аксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет
от известных противоречий наивной теории, а с другой-обеспечива-
ет свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими
в различных отделах математики, и в первую очередь именно в мате-
матическом анализе, понимаемом в широком смысле слова.
ЦБ. Рассел (1872 - 1970) -английский логик, философ, социолог и общественный
деятель.

8 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия
множества, перейдем к описанию некоторых наиболее часто исполь-
зуемых в анализе свойств множеств.
Желающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут
просмотреть пункт 2 из Ё4 настоящей главы или обратиться к специ-
альной литературе.
2. Отношение включения. Как уже отмечалось, объекты, соста-
вляющие множество, принято называть элементами этого множест-
ва. Мы будем стремиться обозначать множества прописными буква-
ми латинского алфавита, а элементы множества-соответствующими
строчными буквами;
Высказывание «аг есть элемент множества Х» коротко обозначают
символом
3: Є Х (или Х Э Ш),
а его отрицание _ символом
сс ўё Х (или Х Ё
В записи высказываний о множествах часто используются логиче-
ские операторы З («существует›› или «найдется››) и 7' («любой›› или «для
любого››), называемые кванторами существования и всеобщности со-
ответственно.
Например, запись /11: Є А) <=> (ап Є В)) означает, что для любого
объекта ап соотношения 11: Є А и сс Є В равносильны. Поскольку множе-
ство вполне определяется своими элементами, указанное высказывание
принято обозначать короткой записью
А=В,
читаемой «А равно В», обозначающей совпадение множеств А и В _
Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних
и тех же элементов.
Отрицание равенства обычно записывают в виде А 7€ В.
Если любой элемент множества А является элементом множества В,
то пишут А С В или В Э А и говорят, что множество А является под-
множеством множества В, или что В содержит А, или что В включает
в себя А. В связи с этим отношение А С В между множествами А, В
называется отношением включения (рис. 1).

Ё2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 9
Итак,
А С В
(АСВ):=/а:((а:ЄА)=>(:сЄВ)). В
Если А С В и А дё В, то будем говорить, что включение А С В строгое или что А-собственное
подмножество В. М
Используя приведенные определения, теперь можно Рис. 1_
заключить, что
(А=В)<=>(АсВ)/(ВсА).
Если М -множество, то любое свойство Р выделяет в М подмно-
жество
{Ш Є М І Р(Ш)}
тех элементов М, которые обладают этим свойством.
Например, очевидно, что
М={$ЄМ|а:ЄМ}.
С другой стороны, если в качестве Р взять свойство, которым не обла-
дает ни один элемент множества М, например Р(а:) := (а: уё аг), то мы
получим множество
И={шЄМ|:п7ёа:},
называемое пустым подмножеством множества М.
3. Простейшие операции над множествами. Пусть А и В-
подмножества множества М.
| | | 1 В М :=г==гзаггг=;@:;;=1:;гг2Ь-д&:±і;›.:=г_є;~:г:г=:_
-5;;=;$Е;5$=3г34;3 ; ;› : І?-м 23; ;):Е=ї:ёу
.€= -
_. .. ;_;._._._д,., __,››. ___»
г_;_;-_; _,3~;.5 -;= 3 _;_=_;_-_:<;-::~ ' вт ' '
Ж -<
Ч-=г:-=: У. ,›і^ў2г=-'*>_<, ._ гг;-=_:; :і==;='ч::-='.г:='; ; ==;=›: ' 1
-'*;;$'~_:;_ _ ,ы›=_ =~<;д<$_д±-9 -_';,;;<дд$'__ _ :'5:г;>;`Ё=›«,;;--›<›;5_;. -' Ё
__ _ ~ -зо* '- . 1» -_-16524 -.- _ -'мїс - .'$:-:' : ' .~ ›:«›!Ё~4*< `€-:'_<::-:~:-
_ _ “ЗА М ,_ -У < _- _ -_-__». -›'×,›:-А*-_-,×<_<,,_› Щ.. .г..
-' _ :`Ё`<'›ъс::Ґ:/Ё ::-'-~›:::._ : _ »З _~':._.:_ )_-'-›.- '›:»/-'«-г:-ъ›>›:<«~›_ ~;- :›':_--~:›~1:-:-'-'-_› ~
-` ддїіїїдщд-;,:;;€Ё$5:% :_› :':їж;.ё›:_:-' -/-4,1;-д:-З; 3:;;:-- дьї-1 -1233; _:«›1,;,'*5д;:д<<;1:_-5гд;--:,: :< ›;г:-;-:3:_*;;:'› <-._:<-
= *ї.їїя===-=' ›*;ё^_ $$'--::›ё=ё#=:*ъ:; _ є<›~:і› 1:=::'='_: :_'=:_.=Є:`:гг
- ' ' - дк, - '- ›с>- *'-'» -'.,_- ,`- є - _».-'нд ~___ :;' 34 1€:__< МФ
~ .-«га-5::-5,2
Ё* з^ “ _ _ _ . гб» Га і `<
Ё -_д_2`__ ъъї _ /___: 22д_;5›;5?%д
-_ _- _ ~_ - __* - 5-_-=<__ 5-_». 157 ':-'-:-_д'д}:;›_ _: _. __ _: _-: .~.- _;_-:~_-_Ё _. _ ›3~_д;..<
_,:-.<Ё€.=.:_ -г›і>=.-»> `.ї$ё'е:<ЁЁ:єг?;±«-її
<= -_ ' =<#.›<~г=тг-є±:>г3<?-:._- ,;;=:=-:г;г=;зг:г:
“ _ 'їЁ_їё:%;г:Ё;;;$;;,-'Є:ё=2 - *'ї_д;..'::.ї' _-_;:_:==:д:.:гід..г;ї
.~ - ' - _ ' «Ш-__~:> _дэ;;<@;;=?г::_::'$г:г.~,
'-=д;;_ё;=.1 :;.д;1'>}?;;;_;`;<;'»~д_›;± ' ,Ё
,_ І) . . __ _
<~.;°±=×-<.:-г;к×.±ї$}<<<-;=г>...=._є*<<›-#- .... ;_ _. 4,.
__ ,,
_:;›.--..ат-_›а<-=-.;-_=г~×' › _ -~__~›<~<~ К:---×--.< _-ме. . _.-4-и .~›-~ ?:,-›;.__ь:-›г~ -..:<-::
-2-~>$›=-=_':-:'<.-її*-_'-:~<' ЁЁ`ЁР»г'^*--?Ё?*°;;-1375. =<_'_$›'Є_гК~---;=;-_~=_-_ -_'-'-=ї-=еі:=-=::;ч--:$_'.>=*'_?%г?;;;:?_г;=.агг=;=;=±=.іг_'-гсгг:
М М ь М М
Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5.

10 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
а. Объединением множеств А и В называется множество
АЫВ:={:вЄМ|(:сЄА)/(:пЄВ)},
состоящее из тех и только тех элементов множества М, которые содер-
жатся хотя бы в одном из множеств А, В (рис. 2).
Ь. Пересечение./и множеств А и В называется множество
АПВ:={а:ЄМ|(:1:ЄА)/(:вЄВ)},
образованное теми и только теми элементами множества М, которые
принадлежат одновременно множествам А и В (рис. 3).
с. Разностью между множеством А и множеством В называется
множество
АВ:={:вЄМ|(:1:ЄА)/(ш9ЁВ)},
состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в
множестве В (рис. 4).
Разность между множеством М и содержащимся в нем подмноже-
ством А обычно называют дополнением А в М и обозначают через
СМА или СА, когда из контекста ясно, в каком множестве ищется до-
полнение к А (рис. 5).
Пример. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных по-
нятий проверим следующие соотношения (так называемые правила де
Морганац):
СМ(/1 Ы В) = СМ/1 Ґ1 СМВ
СМ(А Й В) = СМА Ш СМВ.
/'/Ж
[ЭР-*
.././
4 Докажем, например, первое из этих равенств:
(аг Є СМ(АЫВ)) => (ап Є (АЫВ)) Ф Є А) / (аз =>
Ф (сс Є СМА) А (1: Є СМВ) => (Ш Є (СМА П СМВ)).
Таким образом, установлено, что
С'М(АЦВ) С (СМАПСМВ). (3)
С другой стороны,
ЦА. де Морган (1806 -- 1871) -шотландский математик.

Ё2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 11
(1: Є (СМА П СМВ)) => ((0: Є СМА) / (11: Є СМВ)) =>
=> (($$А) ^ (1>$В)) => (тя (АЫВ)) Ф (ШЄ См(АЫВ)>,
Т. Є.
(СМ./1Ґ1СМВ)С СМ(АШВ). (4)
Из (3) и (4) следует >
(1. Прямое (декартово) произведение множеств. Для любых двух
множеств А, В можно образовать новое множество-пару {А,В} =
= {В,А}, элементами которого являются множества А и В и только
они. Это множество состоит из двух элементов, если А уё В, и из одного
элемента, если А = В .
Указанное множество называют неупорядоченной парой множеств
А, В, в отличие от упорядоченной пары (А,В), в которой элементы
А, В наделены дополнительными признаками, выделяющими первый и
второй элементы пары {А, В Равенство
(А›В) :
упорядоченных пар по определению означает, что А = С и В = В.
В частности, если А 56 В, то (А,В) уё (В,А).
Пусть теперь Х и У -произвольные множества. Множество
Х×У=={(<т/)І(Ш€Х)^(у€У)},
образованное всеми упорядоченными парами (:с,у), первый член ко-
торых есть элемент из Х, а второй член-элемент из У, называется
прямым или декартовым произведением множеств Х и У (в таком
порядке!).
Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний
об упорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, Х × У 75 У × Х.
Равенство имеет место, лишь если Х = У. В последнем случае вместо
Х × Х пишут коротко Х 2.
Прямое произведение называют также декартовым произведением в
честь Декартаї), который независимо от Ферма” пришел через систему
1)Р. Декарт (1596 - 1650) -выдающийся французский философ, математик и фи-
зик, внесший фундаментальный вклад в теорию научного мьшшения и познания.
2)П. Ферма (1601 -- 1665) ~~- замечательный французский математик, юрист по спе-
циальности. Ферма стоял у истоков ряда областей современной математики: анализ,
аналитическая геометрия, теория вероятностей, теория чисел.

12 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
координат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система
декартовых координат в плоскости превращает эту плоскость именно
в прямое произведение двух числовых осей. На этом знакомом объекте
наглядно проявляется зависимость декартова произведения от порядка
сомножителей. Например, упорядоченным парам (0, 1) и (1, 0) отвечают
различные точки плоскости.
В упорядоченной паре 2 = (а:1,а:2), являющейся элементом прямого
произведения 2 = Х 1 × Х2 множеств Х 1 и Х2, элемент 1:1 называется
первой проєкциєй пары 2 и обозначается через рг1 2, а элемент 1:2 _
второй проєкцией пары 2: и обозначается через рг2 2:.
Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией анали-
тической геометрии часто называют (первой и второй) координатами
пары.
Упражнения
В задачах 1, 2, 3 через А, В, С обозначены подмножества некоторого
множества М.
1. Проверьте соотношения
(А С С) / (В С С) <=> ((АыВ) С С);
(ОС А) А (ССВ) <=> (СС (АпВ));
СМЮМА) = А;
(А С СМВ) <=> (В С СМА);
(А С В) <=> (СМА 3 СМВ).
2. Покажите, что
Аы(ВыС =(АыВ ыС=:АыВыС;
(ВПО = (Ап пС=:АпВоС;
(ВЫС =(АП Ы(АПС);
щвпс = (Аов п(Аос).
3. Проверьте взаимосвязь (двойственность) операций объединения и пере-
сечения:
8,) СМ(АШВ) = СМАЙСМВ;
Ь) СМ(А Ґ) В) = ОМА Ш СМВ.
4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение
833853
$358,
З:-їд>Ь>
33
ЕМ/
а) двух отрезков (прямоугольник);
Ь) двух прямых (плоскость);
с) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность);

53. функция
2/3:
1:
прямой и круга (цилиндр);
вух окружностей (тор);
›-ь
_/
окружности и круга (полноторие).
5. Множество А = {(:1:1,:в2) Є Х 2 | Ш1 = 1:2} называется диагональю денар-
това квадрата Х 2 множества Х.
Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, полученных в
пунктах а), Ь), е) задачи 4.
6. Покажите, что
а) (Х×У=И)<=#(Х=И)/(У=И),
аеслиХ×У7€И,то
Ь) (А×ВсХ×У)е>(АсХ)/(ВсУ),
с) (Х×У) (2×У)=(ХЫ2)×У,
(1) (Х × У) (Х' × У') = (ХПХ') × (УПУ').
Здесь И -символ пустого множества, т.е. множества, не содержащего эле-
ментов.
7. Сравнив соотношения задачи 3 с соотношениями а), Ь) из упражнения 2
к ё1, установите соответствие между логическими операциями -=, /, / на
высказываниях и операциями С, П, Ы на множествах.
3С
Ё 3. Функция
1. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к опи-
санию фундаментального не только для математики понятия функци-
ональной зависимости.
Пусть Х и У-какие-то множества.
Говорят, что имеется фунниил, определенная на Х со значениями
в У, если в силу некоторого закона 1” каждому элементу 11: Є Х соот-
ветствует элемент у Є У.
В этом случае множество Х называется областью определения
функции; символ а: его общего элемента” аргументом функции или не-
зависимой неременной; соответствующий конкретному значению 1130 Є
Є Х аргумента аз элемент уд Є У называют значением фунниии на эле-
менте агд или значением функции при значении аргумента аз = 5120 и
обозначают через 1 (120). При изменении аргумента а: Є Х значения у =
= І Є У, вообще говоря, меняются в зависимости от значений 1:.
По этой причине величину у = 1” часто называют зависимой пере-
менной.

14 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Множество
і(Х) == {у Є У І ЗШ ((Ш Є Х) ^ (11 = І(Ш)))}
всех значений функции, которые она принимает на элементах множе-
ства Х, будем называть множеством значений или областью значений
фунниии.
В зависимости от природы множеств Х, У термин «функция» в раз-
личных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отобра-
жение, преобразование, морфизм, оператор, фунниионал. Отображе-
ние -~- наиболее распространенный из них, и мы его тоже часто будем
употреблять.
Для функции (отображения) приняты следующие обозначения:
,Их-›У, Хі›У.
Когда из контекста ясно, каковы область определения и область
значений функции, используют также обозначения 11: 1-› 1 или у =
= ](а*), а чаще обозначают функцию вообще одним лишь символом 1.
Две функции І1, [2 считаются совпадающими или равными, если они
имеют одну и ту же область определения Х и на любом элементе гс Є Х
значения ]°1(:с), /2(а:) этих функций совпадают. В этом случае пишут
Ґ 1 = ї 2-
Если А С Х, а 1” : Х -› У-некоторая функция, то через 1” [А или
1” А обозначают функцию 9о: А -› У, совпадающую с 1 на множестве А.
Точнее, ]'|А(:1:) := 9о(а:), если а: Є А. Функция 1* | А называется сужением
или ограничением функции 1” на множество А, а функция 1” : Х -› У по
отношению к функции ср = ЛА: А -› У называется распространением
или продолжением функции ср на множество Х.
Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию <р: А -›
-› У, определенную на подмножестве А некоторого множества Х, при-
чем область значений <р(А) функции 90 тоже может оказаться не совпа-
дающим с У подмножеством множества У. В связи с этим для обозначе-
ния любого множества Х, содержащего область определения функции,
иногда используется термин область отправленил функции, а любое
множество У, содержащее область значений функции, называют тогда
областью ее прибытия.
Итак, задание функции (отображения) предполагает указание трой-
1<И(Х,і,У)›гдЄ

53. функция 15
Х -- отображаемое множество, или область определения
функции;
У- множество, в которое идет отображение, или область
прибытия функции;
І- закон, по которому каждому элементу 11: Є Х сопоста-
вляется определенный элемент у Є У.
Наблюдаемая здесь несимметричность между Х и У отражает то,
что отображение идет именно из Х в У.
Рассмотрим некоторые примеры функций.
Пример 1. Формулы І = 21гт и У = Ёп*/*З устанавливают функци-
ональную зависимость длины окружности І и объема шара У от радиу-
са 1. По смыслу каждая из этих формул задает свою функцию 1” : Щ -›
-› Щ, определенную на множестве ПЦ положительных действительных
чисел со значениями в том же множестве
Пример 2. Пусть Х -- множество инерциальных систем коорди-
нат, а с: Х -› 1К-- функция, состоящая в том, что каждой инерциаль-
ной системе координат 11: Є Х сопоставляется измеренное относительно
нее значение с(а:) скорости света в вакууме. Функция с: Х -› К посто-
янна, т.е. при любом 1: Є Х она имеет одно и то же значение с (это
фундаментальный экспериментальный факт).
Пример 3. Отображение Є: ІК2 -› К2 (прямого произведения
ІК2 = К × ІК = К, × КФ оси времени Кд и пространственной оси ІКШ)
на себя же, задаваемое формулами
а:'=:1:-ой,
±'=±,
есть классическое преобразование Галилея для перехода от одной инер-
циальной системы координат (аз, 15) к другой --- (:1:', Ґ), движущейся от-
носительно первой со скоростью и.
Той же цели служит отображение Ь: ІК2 -› ІК2, задаваемое соотно-
шениями
, сп - ті
:в=_--ї,
/1- ет*
, *- (~
13
съюе
/
Н

16 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Это _ известное (одномерное) преобразование Л орениац, играющее
фундаментальную роль в специальной теории относительности; с-
скорость света.
Пример 4. Проектирование р1°1 : Х1 × Х2 -› Х1, задаваемое соот-
ветствием Х 1 × Х2 Э (ас1,:1:2) ›Ё› 1131 Є Х 1, очевидно, является функцией.
Аналогичным образом определяется вторая проекция рг2: Х 1 × Х2 -›
_) Х2.
Пример 5. Пусть Р(М) -множество всех подмножеств множе-
ства М. Каждому множеству А Є 77(М) поставим в соответствие мно-
жество СМА Є р(М), т. е. дополнение к А в М. Тогда получим отобра-
жение СМ: 73(М) -› 'Р(М) множества 77(М) в себя.
Пример 6. Пусть Е С М. Вещественнозначную функцию ХЕ :
М -› К, определенную на множестве М условиями = 1, если а: Є
Є Е) / = 0, если сс Є СМЕ), называют азарактеристииеской
функцией множества Е.
Пример 7. Пусть М (Х ;У) _множество отображений множест-
ва Х в множество У, а 500 -фиксированнь1й элемент из Х. Любой
функции 1” Є М (Х ;У) поставим в соответствие ее значение 1”(:1:0) Є
Є У на элементе 3:0. Этим определяется функция Р: М (Х ;У) -› У.
В частности, если У = К, т. е. если У есть множество действительных
чисел, то каждой функции 1” : Х -› К функция Р : М (Х ;К) -› К ста-
вит в соответствие число 1-7`(]°) = 1 (170). Таким образом, Р есть функ-
ция, определенная на функциях. Для удобства такие функции называют
функииона./вами.
Пример 8. Пусть Г ~множество кривых, лежащих на поверхно-
сти (например, земной) и соединяющих две ее фиксированные точки.
Каждой кривой *у Є Г можно сопоставить ее длину. Тогда мы получим
функцию Р: Г -› К, которую часто приходится рассматривать с целью
отыскания кратчайшей линии или, как говорят, ееодезииеской линии
между данными точками на поверхности.
Пример 9. Рассмотрим множество М(1К;1К) всех вещественно-
значных функций, определенных на всей числовой оси К. Фиксировав
1)Г. А. Лоренц (1853 ~ 1928) -выдающийся голландский физик-теоретик. Указан-
ные преобразования Пуанкаре назвал в честь Лоренца, стимулировавшего исследова-
ние симметрий уравнений Максвелла. Они существенно использованы Эйнштейном
в сформулированной им в 1905 году специальной теории относительности.

Ё З. ФУНКЦИЯ 17
число а Є К, каждой функции 1 Є М (К К) поставим в соответствие
функцию [Ц Є М(1К;1К), связанную с ней соотношением ],,,(:с) =1:(а: + а).
Функцию ]а(ш) обычно называют сдвигом на а функции 1” Возника-
ющее при этом отображение А: М(1К;1Р2.) -› М (ІК; К) называется опера-
тором сдвига. Итак, оператор А определен на функциях и значениями
его также являются функции: [(1 = А(/'
Рассмотренный пример мог бы показаться искусственным, если бы
мы на каждом шагу не видели реальные операторы. Так, любой радио-
/
Р .,
приемник есть оператор І ›-› ], преобразующии электромагнитные
сигналы ]` в звуковые ]`; любой из наших органов чувств является опе-
ратором (преобразователем) со своими областью определения и обла-
СТЬЮ ЗНЗЧЄНИИ.
Пример 10. Положение частицы в пространстве определяется
упорядоченной тройкой чисел (:1:, у, 2), называемой ее координатами в
пространстве. Множество всех таких упорядоченных троек можно се-
бе мыслить как прямое произведение ІК × К × К = КЗ трех числовых
осей К
При движении в каждый момент времени 15 частица находится в не-
которой точке пространства КЗ с координатами ($(±), 3/(Ё), Таким
образом, движение частицы можно интерпретировать как отображение
7: К -› КЗ, где 1К_ось времени, а КЗ -трехмерное пространство.
Если система состоит из п частиц, то ее конфигурация задается
положением каждой из частиц, т. е. упорядоченным набором (а:1, у1, 21;
:1:2,у2, 22; . . . ;а:,,, уп, яд) из Зп чисел. Множество всех таких наборов на-
зывается нонфигурационным пространством системы п частиц. Сле-
довательно, конфигурационное пространство системы п частиц можно
интерпретировать как прямое произведение КЗ × КЗ × × КЗ = КЗ
п экземпляров пространства КЗ.
Движению системы из п частиц отвечает отображение 7: ІК -› КЗ”
оси времени в конфигурационное пространство системы.
Пример 11. Потенциальная энергия П механической системы
связана с взаимным расположением частиц системы, т. е. определяет-
ся конфигурацией, которую имеет система. Пусть С) -множество ре-
ально возможных конфигураций системы. Это некоторое подмноже-
ство конфигурационного пространства системы. Каждому положению
(1 Є 62 отвечает некоторое значение П ((1) потенциальной энергии систе-

18 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
мы. Таким образом, потенциальная энергия есть функция П : С2 -+ К,
определенная на подмножестве С2 конфигурационного пространства со
значениями в области Ш действительных чисел.
Пример 12. Кинетическая энергия К системы п материальных
частиц зависит от их скоростей. Полная механическая энергия систе-
мы Е = К + П, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергий,
зависит, таким образом, как от конфигурации (1 системы, так и от
набора о скоростей ее частиц. Как и конфигурация (1 частиц в прост-
ранстве, набор о, состоящий из п трехмерных векторов, может быть
задан упорядоченным набором из Зп чисел. Упорядоченные пары ((1, 11),
отвечающие состояниям нашей системы, образуют подмножество Ф в
прямом произведении КЗ × КЗ” = Кб, называемом фазовым прост-
ранством системы п частиц (в отличие от конфигурационного про-
странства Кзп).
Полная энергия системы является, таким образом, функцией
Е: Ф -› К, определенной на подмножестве Ф фазового пространст-
ва Кб и принимающей значения в области К действительных чисел.
В частности, если система замкнута, т. е. на нее не действуют внеш-
ние силы, то по закону сохранения энергии в любой точке множест-
ва Ф состояний системы функция Е будет иметь одно и то же значение
Е0 Є К.
2. Простейшая классификация отображений. Когда функ-
цию 1” : Х -› У называют отображением, значение 1” Є У, кото-
рое она принимает на элементе 11: Є Х, обычно называют образом эле-
мента аз.
Образом множества А С Х при отображении І: Х -› У называют
множество
1”(А)=-{у Є У І 311 ((21 Є А) ^ (у = і(Ш)))}
тех элементов У, которые являются образами элементов множества А.
Множество
Г1(В) 1- {$ Є Х І і(1>) Є В}
тех элементов Х, образы которых содержатся в В , называют прообра-
зом (или полным прообразом) множества В С У (рис. 6).
Про отображение 1” : Х -› У говорят, что оно
сюръективно (или есть отображение Х на У), если І (Х) = У;

ёз. функция 19
ъ
<
>
<
Ё
1
ъ
<
>
Ъ
ъ
Ъ
__5_±_и ї Э ї _ 2
' ' :_.;.;._.__:, ___ __-
----;-::;---~:› __
. _. _-
_ _ ..1.;; :' _..
-- ,__ --
,:;.;.___::,; 5._::.дд _ _-
- У 1 --
я`“Ё5Е>: : 1- '-
_ ;ггг;-Цїігёї_Ё:;эї-ёгідїігггі
. -:ї'-' `.ї;:.і:› }:ї$:2€;1=:':{.ї.[. Ё:-3:-:-'›ўЁ-:-.д.-:}:-
..5і=›'=?з:э='->:”і=: ггїёї-г%ь=.=г.;:' =:Ѕ.›::г;-'=ї=г-їі:?г~:
..<зг; ::_-гъ 11.5;-ваз =.=; гг :, = -=г- ›=;:__:=_±' ~= /
_ 1 я-:-.Ё_ї=,;';;ї' /
/
/ ”
{<:.-.~:.-'-- '.>1Г:':':ї:-.'%ї.1;:ї :-:--:':-:ї.>ї*
' 'ё.'Е=:Ь:;і.Е›-::=;;г>= - '~':5т==3ІЁ -. ±5.' 5.Ё;ї'.'- /
/
- -.-;-;,; ---- --_.,:›;-- дв -
Рис. 6.
инъентиено (или есть вложение, инъениил), если для любых эле-
ментов 1131, Ш2 множества Х
(1'(Ш1)= Ґ(Ш2))=>(<1ї1 = 002),
т. е. различные элементы имеют различные образы;
биентивно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъ-
ективно одновременно.
Если отображение 1” : Х -› У биективно, т.е. является взаимно од-
нозначным соответствием между элементами множеств Х и У, то ес-
тественно возникает отображение
гдуэщ
которое определяется следующим образом: если 1” = у, то 1” _1(у) =
= гс, т. е. элементу у Є У ставится в соответствие тот элемент 11: Є Х,
образом которого при отображении 1” является у. В силу сюръектив-
ности 1 такой элемент 11: Є Х найдется, а ввиду инъективности 1 он
единственный. Таким образом, отображение 1” 1 определено коррект-
но. Это отображение называют обратным по отношению к исходному
отображению І.
Из построения обратного отображения видно, что [-1 : У -› Х само
является биективным и что обратное к нему отображение ([1)_1 :
Х -› У совпадает с І: Х -› У.
Таким образом, свойство двух отображений быть обратными явля-
ется взаимным: если І -1 -обратное для 1, то, в свою очередь, І _
обратное для ]_1.

20 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Заметим, что символ 1 _1(В ) прообраза множества В С У ассоции-
руется с символом І 1 обратной функции, однако следует иметь в виду,
что прообраз множества определен для любого отображения 1” : Х -›
-› У, даже если оно не является биективным и, следовательно, не имеет
обратного.
3. Композиция функций и взаимно обратные отображения.
Богатым источником новых функций, с одной стороны, и способом
расчленения сложных функций на более простые-с другой, является
операция композиции отображений.
Если отображения 1 : Х -› У и 9: У -› 2 таковы, что одно из них
(в нашем случае 9) определено на множестве значений другого ( 1 ), то
можно построить новое отображение
9 о ]`: Х -> 2,
значения которого на элементах множества Х определяются формулой
(9 О і)(111) == 9(1”(Ш))-
Построенное составное отображение 9 о 1” называют композицией
отображения 1” и отображения 9 (в таком порядке!).
Рисунок 7 иллюстрирует конструкцию композиции отображений
1 Иу-
90)”
,С 9
Рис. 7.
С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как
в геометрии, рассматривая композицию движений плоскости или про-
странства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, по-
лученных композицией простейших элементарных функций.

Ё 3. ФУНКЦИЯ 21
Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз
подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е.
/1°(9°1)=(/1°9)°ї-
< Действительно,
/1 ° (9 <> 1)(Ш) = /1((9 <> і)(1=)) = д(9(1”(Ш)))=
= (71 ° 9)(і($)) = ((71 ° 9) О і)(=г)- >
Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения не-
скольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок
спаривания.
Если в композиции [П о _ . . о [1 все члены одинаковы и равны 1, то
ее обозначают коротко 1*.
Хорошо известно, например, что корень квадратный из положитель-
ного числа а, можно вычислить последовательными приближениями по
формуле
1 а
$п+1 = 5 ($п+ ›
п
начиная с любого начального приближения то > 0. Это не что иное,
как последовательное вычисление ]`(аз0), где 1” = Ё (Ш + Такая
процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции
на следующем шаге становится ее аргументом, называется итерацион-
ным процессом. Итерационные процессы широко используются в мате-
матике.
Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции 9 о І
и І о 9 определены, вообще говоря,
9°1”#1°9-
Действительно, возьмем, например, двухэлементное множество
{а,Ь} и отображения І: {а,,Ь} -› а, 9: {а,Ь} -› Ь. Тогда, очевидно,
уоі: {а,Ь} -› Ь, в то время как іоу: {а,Ь} -› а.
Отображение 1” : Х -› Х, сопоставляющее каждому элементу мно-
жества Х его самого, т. е. из ›і› :1:, будем обозначать через ех и назы-
вать тождєственным отображением множества Х.
Лемма.
(9 0 І = еХ) => (9 сюръективно) / (І инъєктивно).

22 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
<Действительно, если ]”:Х-›У,9:У-›Хи9о]=єХ:Х-›Х,
Т° Х = еХ<Х› = (9 О г›<Х› = 9<і<Х›› с до/›
и, значит, 9 сюръективно.
Далее, если :1:1 Є Х и 1:2 Є Х, то
($175 1112) => (ЄХ(11ї1) Эд ЄХ(Ш2)) => ((9 ° Ґ)($1) (9 °Ґ)($2)) =>
=*›' (9(Ґ($1)) Эд 9(Ґ($2)) => (Ґ($1)?4 Ґ(172))›
следовательно, 1” инъективно. >
`Н×
Через операцию композиции отображений можно описать взаимно
обратные отображения.
Утверждение. Отоброжения І: Х -› У, 9: У -› Х являются
биєктивными и взаимно обратными в том и только в том случае,
когдо9о]=єХ и]'о9=еу.
4 В силу леммы одновременное выполнение условий 9 0 1” = ЄХ и
1” 0 9 = ву гарантирует сюръективность и инъективность, т. е. биек-
тивность каждого из отображений І, 9.
Эти же условия показывают, что у = І в том и только в том
случае, когда 11: = 9(у). Р
Выше мы исходили из явного построения обратного отображения.
Из доказанного утверждения следует, что мы могли бы дать менее на-
глядное, но зато более симметричное определение взаимно обратных
отображений как таких, которые удовлетворяют двум условиям: 9о 1” =
= ЄХ и 1” о 9 = ву (см. в этой связи задачу 6 в конце параграфа).
4. Функция как отношение. График функции. В заключение
вернемся вновь к самому понятию функции. Отметим, что оно претер-
пело длительную и довольно сложную эволюцию.
Термин «функция» впервые появился в период 1673-1692 г. у Г. Лей-
бница (правда, в некотором более узком смысле). В смысле, близком к
современному, этот термин установился к 1698 г. в переписке Иоганна
Бернуллиц с Лейбницем.
1)И. Бернулли (1667 - 1748) -один из ранних представителей знаменитого семей-
ства швейцарских ученых Бернулли; аналитик, геометр, механик. Стоял у истоков
вариационного исчисления. Дал первое систематическое изложение дифференциаль-
ного и интегрального исчисления.

53. Функция 23
Описание функции, почти совпадающее с приведенным в начале
параграфа, встречается уже у Эйлера (середина Х/ІІІ столетия). К на-
чалу ХІХ века оно появляется уже в учебниках математики С. Лакруа,2)
переведенных на русский язык. Активным сторонником такого пони-
мания функции был Н. И. Лобачевскийз). Более того, Н. И. Лобачевский
указал, что «обширный взгляд теории допускает существование зави-
симости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи
понимать как бы данными вместе››3). Это и есть идея точного опреде-
ления понятия функции, которое мы теперь собираемся изложить.
Приведенное в начале параграфа описание понятия функции пред-
ставляется весьма динамичным и отражающим суть дела. Однако с
точки зрения современных канонов оно не может быть названо опреде-
лением, ибо использует эквивалентное функции понятие соответствия.
Для сведения читателя мы укажем здесь, каким образом дается опре-
деление функции на языке теории множеств. (Интересно, что понятие
отношения, к которому мы сейчас обратимся, и у Лейбница предше-
ствовало понятию функции.)
а. Отношение. Отношением 72 называют любое множество упо-
рядоченных пар (аг, у).
Множество Х первых элементов упорядоченных пар, составляю-
щих 72, называют областью определения отношения 72, а множество У
вторых элементов этих пар- областью значений отношения 72.
Таким образом, отношение 72 можно интерпретировать как под-
множество 72 прямого произведения Х × У. Если Х С Х ' и У С У', то,
разумеется, 72 С Х × У С Х ' × У', поэтому одно и то же отношение
МОЖЄТ З3.Д8.В8.ТЬСЯ КЕЪК ПОДМНОЖЄСТВО РЕІЗЛИЧНЫХ МНОЖЄСТВ.
Любое множество, содержащее область определения отношения, на-
зывают областью отправления этого отношения. Множество, содер-
жащее область значений отношения, называют областью прибытия от-
ношения.
2) С. Ф. Лакруа (1765 - 1843) _ французский математик и педагог (профессор Нор-
мальной и Политехнической школ, член Парижской академии наук).
3)Н. И. Лобачевский (1792 ~ 1856) -великий русский ученый, которому, наряду с
великим немецким естествоиспытателем К. Ф. Гауссом (1777- 1855) и выдающимся
венгерским математиком Я. Бойяи (1802 - 1860), принадлежит честь открытия неев-
клидовой геометрии, носящей его имя.
3)Лобачевский Н. И. Полное собр. соч. Т. 5. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. С.44.

24 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Вместо того чтобы писать (сс, у) Є 72, часто пишут аг 72 у и говорят,
что 11: связано с у отношением 72.
Если 72 С Х2, то говорят, что отношение 72 задано на Х.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 13. Диагональ
А={(а,ь)еХ2|а,=ь}
есть подмножество Х 2, задающее отношение равенства между элемен-
тами множества Х. Действительно, а А Ь означает, что (а,Ь) Є А,
т. е. а = Ь.
Пример 14. Пусть Х -множество прямых в плоскости.
Две прямые а Є Х и Ь Є Х будем считать находящимися в отно-
шении 72 и будем писать а 72 Ь, если прямая Ь параллельна прямой а.
Ясно, что тем самым в Х 2 выделяется множество 72 пар (а, Ь) таких,
что а72Ь. Из курса геометрии известно, что отношение параллельности
между прямыми обладает следующими свойствами:
а 72 а (рефлексивность);
а 72 Ь => Ь 72 а (симметричность);
(а 72 Ь) А (Ь 72 с) =:› а 72 с (транзитивность).
Любое отношение 72, обладающее перечисленными тремя свойства-
ми, т. е. рефлексивноец, симметричное и транзитивное, принято назы-
вать отношением энвивалентности. Отношение эквивалентности обо-
значается специальным символом ~, который в этом случае ставится
вместо буквы 72, обозначающей отношение. Итак, в случае отношения
эквивалентности будем писать а ~ Ь вместо а 72 Ь и говорить, что а
эквивалентно Ь.
Пример 15. Пусть М -некоторое множество, а Х = 'Р(М) -со-
вокупность всех его подмножеств. Для двух произвольных элементов
а и Ь множества Х = 'Р(М), т.е. для двух подмножеств а и Ь мно-
жества М, всегда выполнена одна из следующих трех возможностей:
а содержится в Ь; Ь содержится в а; а не является подмножеством Ь и
Ь не является подмножеством а.
“Полезно для полноты отметить, что отношение 72 называется рефлексивным,
если его область определения и область значений совпадают и для любого элемента а
из области определения отношения 72 выполнено а 72 а.

Ё 3. ФУНКЦИЯ 25
Рассмотрим в качестве отношения 72 в Х 2 отношение включения
для подмножеств Х, т. е. положим по определению
а1аь;_(ась).
Это отношение, очевидно, обладает следующими свойствами:
а 72 а (рефлексивность);
>>
(а 72 Ь) (Ь 72 с) => а 72 с (транзитивность);
(а 72 Ь) (Ь 72 а) =Ф а А Ь, т. е. а = Ь (антисимметричность).
Отношение между парами элементов некоторого множества Х, об-
ладающее указанными тремя свойствами, принято называть отноше-
нием частичного порядка на множестве Х. Для отношения частичного
порядка вместо а 72 Ь часто пишут а 4 Ь и говорят, что Ь следует за а.
Если кроме отмеченных двух свойств, определяющих отношение ча-
стичного порядка, выполнено условие, что
`9'а 7'Ь ((а72Ь) / (Ь72а)),
т. е. любые два элемента множества Х сравнимы, то отношение 72 на-
зывается отношением порядка, а множество Х с определенным на нем
отношением порядка называется линейно унорядоненным.
Происхождение этого термина связано с наглядным образом число-
вой прямой П2, на которой действует отношение а < Ь между любой
парой вещественных чисел.
Ь. Функция и график функции. Отношение 72 называется функ-
циональным, если
(ї1ї72?/1)^($721/2) => (91 = 3/2)-
Функциональное отношение называют функцией.
В частности, если Х и У _ два не обязательно различных множест-
ва, то определенное на Х отношение 72 С Х × У между элементами гс
из Х и у из У функционально, если для любого 11: Є Х существует и при-
том единственный элемент у Є У, находящийся с 11: в рассматриваемом
отношении, т. е. такой, для которого 11: 72 у.
Такое функциональное отношение 72 С Х × У и есть отображение
из Х в У, или функция из Х в У.

26 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Функции мы чаще всего будем обозначать символом 1. Если 1 _
функция, то вместо ш 1 у мы по-прежнему будем писать у = ]°(:1с) или
1: ›-іэ у, называя у = 1” значением функции 1 на элементе 1: или
образом элемента 11: при отображении І.
Сопоставление по «закону» [ элементу а: Є Х «соответствующего»
элемента у Є У, о чем говорилось в исходном описании понятия функ-
ции, как видим, состоит в том, что для каждого :1: Є Х указывается
тот единственный элемент у Є У, что сс ]` у, т. е. (аду) Є /` С Х × У.
Графиком функции 1” : Х -› У, понимаемой в смысле исходного опи-
сания, называют подмножество Г прямого произведения Х × У, элемен-
ты которого имеют вид (112, 1” Итак,
Г= {(Ш,:ч) ЄХ×УІу=і(Ш)}-
В новом описании понятия функции, когда мы ее задаем как под-
множество І С Х × У, конечно, уже нет разницы между функцией и ее
графиком.
Мы указали на принципиальную возможность формального теоре-
тико-множественного определения функции, сводящуюся по существу
к отождествлению функции и ее графика. Однако мы не собираем-
ся в дальнейшем ограничиваться только такой формой задания функ-
ции. Функциональное отношение иногда удобно задать в аналитиче-
ской форме, иногда таблицей значений, иногда словесным описанием
процесса (алгоритма), позволяющего по данному Ш Є Х находить соот-
ветствующий элемент у Є У. При каждом таком способе задания функ-
ции имеет смысл вопрос о ее задании с помощью графика, что форму-
лируют так: построить график функции. Задание числовых функций
хорошим графическим изображением часто бывает полезно тем, что
делает наглядным основные качественные особенности функциональ-
ной зависимости. Для расчетов графики тоже можно использовать (но-
мограммь1), но, как правило, в тех случаях, когда расчет не требует вы-
сокой точности. Для точных расчетов используют табличное задание
функции, а чаще-алгоритмическое, реализуемое в вычислительных
машинах.
Упражнения
1. Композиция 722 0 721 отношений 721 , 722 определяется следующим обра-
зом:
722 0721 := {(:1:,г) | Ну (ап 721 у) / (у 722

Ё; 3. ФУНКЦИЯ 27
Вчастности, если 721 СХ×Уи722 СУ×2,то72=7220721 СХ×2, причем
:в722:=Зу ((3/ЄУ) / (ш721?/)/ (у7222)).
а) Пусть АХ - диагональ множества Х 2, а Ау _ диагональ множества У2.
Покажите, что если отношения 721 С Х × У и 722 С У × Х таковы, что
(722 0 721 = АХ) / (721 0 722 = Ау), то оба они функциональны и задают
взаимно обратные отображения множеств Х, У.
Ь) Пусть 72 С Х 2. Покажите, что условие транзитивности отношения 72
равносильно тому, что 72 о 72 С 72.
с) Отношение 72' С У × Х называется транспонированным отношением
72 С Х × У, если (у72':1:) <=>
Покажите, что антисимметричность отношения 72 С Х 2 равносильна усло-
вию 72 П 72' С АХ.
(1) Проверьте, что любые два элемента множества Х связаны (в том или
ином порядке) отношением 72 С Х 2, если и только если 72 Ц 72' = Х 2.
2. Пусть І : Х -› У-отображение. Прообраз ]_1(у) С Х элемента у Є
Є У называется слоем над у.
а) Укажите слои для отображений
рг1:Х1 ×Х2-›Х1, рг2:Х1 ×Х2-›Х2.
Ь) Элемент 1171 Є Х будем считать связанным с элементом 1:2 Є Х отноше-
нием 72 С Х2 и писать :1:1 72ш2, если ]'(:1:1) = }(а:2), т.е. если ат и 1:2 лежат в
одном слое.
Проверьте, что 72 есть отношение эквивалентности.
с) Покажите, что слои отображения І : Х -› У не пересекаются, а объеди-
нением слоев является все множество Х.
(1) Проверьте, что любое отношение эквивалентности между элементами
множества позволяет представить это множество в виде объединения непере-
секающихся классов эквивалентных элементов.
3. Пусть І : Х -› У-отображение из Х в У. Покажите, что
если А и В -подмножества Х, то
8) (А С В) => (і(-4) С і(-3)) 74* (А С В),
Ь) (А 7* И) =>(і(/1) # И),
С) і(/ЮВ) С і(«4)П1'(В),
<ї) і(/ШВ) = і(А)Ыі(В);
если А' и В' ~подмножества У, то
Є) (А' С В') => (Г1(А') С 1°'1(В')),
Ґ) Г1(А' Г) В') = Г1(А') П Г1(В'),
3) Г1(А' О В') = Г1(А') 0 Г1(В');
еслиУ ЭА' ЭВ', то

28 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Ь› г1<А' В'› = г1<А'› г1<В'›,
і) Г1(СУА') = СхГ1(А');
для любого множества А С Х и любого множества В' С У
1) І-1(і(А)) Э А,
1<) І(і'1(В')) С В'-
4. Покажите, что отображение І : Х -› У
а) сюръективно, если и только если для любого множества В' С У спра-
ведливо _/(_Ґ1(В')) = В';
Ь) биективно, если и только если для любого множества А С Х и любого
множества В' С У справедливо
(г1<і<А>› = А) ^ (1<г1<В'>> = В').
5. Проверьте зквивалентность следующих утверждений относительно ото-
бражения / : Х -› У:
а) І инъективно;
Ь) ]`“1(_і(А)) = А для любого множества А С Х;
_7°(А П В) = ]'(А) П _Ґ(В) для любой пары А, В подмножеств Х;
_1'(А)П]`(В) = И<=>АПВ = И;
](АВ) = /(А) _ї(В), если Х Э А Э В.
6. а) Если отображения І: Х -› У и 9: У -+ Х таковы, что 9 о І = ех,
где е Х -тождественное отображение множества Х, то 9 называется левым
обратным отображением для /, а І -правым обратным для 9. Покажите,
что, в отличие от единственного обратного отображения, может существовать
много односторонних обратных отображений.
Рассмотрите, например, отображения І : Х -› У и 9: У -› Х, где Х-
однозлементное, а У _ двухзлементное множества, или отображения последо-
вательностей
8,88,
1- 1?
/'Ж /5
*Ё
(:в1,...,:1:п,...) а,:в1,...,:вп,...),
(у2,...,уп,...) 1,у2,...,уп,...).
Ь) Пусть 1” : Х -› У и 9: У -› 2 -биективные отображения. Покажите,
что отображение 9 0 І: Х -› 2 биективно и что (9 о ])“1 = ]'1 о91.
с) Покажите, что для любых отображений І : Х -› У, 9: У -› 2 и любого
множества С С 2 справедливо равенство
(9 О :›*<с> = гчу-1<0›>.
(1) Проверьте, что отображение Р: Х × У -› У × Х, задаваемое соответ-
ствием (:в,у) ›-› (у,а:), биективно. Опишите взаимосвязь графиков взаимно
обратных отображений І : Х -› У и [“1: У -› Х.

Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 29
7. а) Покажите, что при любом отображении 1*: Х -› У отображение
Ё
Р : Х -› Х × У, определяемое соответствием Щ ›_› (св, І является инъек-
тивным.
Ь) Пусть частица движется равномерно по окружности У; пусть Х -ось
времени и из ~і› у-соответствие между моментом времени 1: Є Х и поло-
жением у = І Є У частицы. Изобразите график функции І: Х -› У в
Х × У.
8. а) Для каждого из разобранных в ЁЗ примеров 1- 12 выясните, является
ли указанное в нем отображение сюръективнь1м, инъективным, биективным
или оно не принадлежит ни одному из указанных классов.
Ь) Закон Ома І = У/В связывает силу тока І в проводнике с напряже-
нием У на концах проводника и сопротивлением В проводника. Укажите,
отображение О: Х -› У каких множеств соответствует закону Ома. Под-
множеством какого множества является отношение, отвечающее закону Ома?
с) Найдите преобразования Є'”1, ІҐ1, обратные к преобразованиям Гали-
лея и Лоренца.
9. а) Множество Ѕ С Х называется устойчивым относительно отображе-
ния 1 : Х -› Х, если [(5) С Ѕ. Опишите множества, устойчивые относительно
сдвига плоскости на данный лежащий в ней вектор.
Ь) Множество І С Х называется инвориантным относительно отображе-
ния 1” : Х -› Х, если І (І) = І. Опишите множества, инвариантные относи-
тельно поворота плоскости вокруг фиксированной точки.
с) Точка р Є Х называется неподвижной точкой отображения І :
Х -+ Х, если ](р) = р. Проверьте, что любая композиция сдвига, вращения и
гомотетии плоскости имеет неподвижную точку, если коэффициент гомоте-
тии меньше единицы.
(1) Считая преобразования Г алилея и преобразования Лоренца отображе-
ниями плоскости на себя, при которых точка с координатами (13, Ъ) переходит
в точку с координатами (:в' , Ґ), найдите инвариантные множества этих пре-
образований.
10. Рассмотрим установив1пийся поток жидкости (т. е. скорость в каждой
точке потока не меняется со временем). За время 13 частица, находящаяся в
точке 11: потока, переместится в некоторую новую точку ]',(:в) пространст-
ва. Возникающее отображение из ›-› [±(:1:) точек пространства, занимаемого
потоком, зависит от времени і и называется првобразованиєм за время Ъ. По-
Кд»ЖИТЄ› ЧТ0 ІЁ2 ° Ґц = Ґц ° Ґъг = Ґ±1+±2 И Ґ: ° Ґ-± = Ґо = ЄХ-
Ё4. Некоторые дополнения
1. Мощность множества (кардинальные числа). Говорят, что
множество Х равно./мощно множеству У, если существует биективное
отображение Х на У, т. е. каждому элементу Ш Є Х сопоставляется
элемент у Є У, причем различным элементам множества Х отвечают

30 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
различные элементы множества У и каждый элемент у Є У сопоставлен
некоторому элементу множества Х.
Описательно говоря, каждый элемент ат Є Х сидит на своем месте
у Є У, все элементы Х сидят и свободных мест у Є У нет.
Ясно, что введенное отношение Х 72 У является отношением энви-
валентности, поэтому мы будем, как и договаривались, писать в этом
случае Х ~ У вместо Х 72 У.
Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств
на классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного
класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (рав-
номощны), а разных - разное.
Класс, которому принадлежит множество Х, называется мощно-
стью множества Х, а также нардинолом или нардина./ъьным числом
множества Х и обозначается символом сапі Х. Если Х ~ У, то пишут
сагсі Х = сагсі У.
Смысл этой конструкции в том, что она позволяет сравнивать коли-
чества элементов множеств, не прибегая к промежуточному счету, т. е.
к измерению количества путем сравнения с натуральным рядом чисел
М = {1, 2, 3,... Последнее, как мы вскоре увидим, иногда принципи-
ально невозможно.
Говорят, что кардинальное число множества Х не больше карди-
нального числа множества У, и пишут сагс1Х < сагд У, если Х равно-
мощно некоторому подмножеству множества У.
Итак,
(сагс1Х < саг<1У):=(З2 С У | сагс1Х = сагсІ 2).
Если Х С У, то ясно, что саг<1Х < сагсі У. Однако, оказывается,
соотношение Х С У не мешает неравенству сагсї У < сагсі Х, даже если
Х есть собственное подмножество У.
Например, соответствие 1: ›-› йа есть биективное отображение
промежутка -1 < Ш < 1 числовои оси К на всю эту ось.
Возможность для множества быть равномощным своей части явля-
ется характерным признаком бесконечных множеств, который Деде-
киндї) даже предложил считать определением бесконечного множест-
1)Р. Дедекинд (1831 - 1916) _ немецкий математик-алгебраист, принявший актив-
ное участие в развитии теории действительного числа. Впервые предложил аксио-
матику множества натуральных чисел, называемую обычно аксиоматикой Пеано --~
по имени Дж. Пеано (1858 - 1932), итальянского математика, сформулировавшего ее
несколько позже.

54. нвкотовыв дополнвния 31
ва. Таким образом, множество называется конечным (по Дедекинду),
если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству;
в противном случае оно называется бесконечным.
Подобно тому, как отношение неравенства упорядочивает действи-
тельные числа на числовои прямои, введенное отношение неравенства
упорядочивает мощности или кардинальные числа множеств. А именно,
можно доказать, что справедливы следующие свойства построенного
отношения:
1° (саг<1Х < сагсі У) / (сагс1У < сагсі 2) => (саг<1Х < сагсі 2) (оче-
виднож
2° (сагс1Х < сагсі У) / (сагс1У < сагсі Х) => (сагс1Х = сагсі У) (тео-
рема Шрёдера - Бернштейнац );
З° `ч/Х `9'У (сагс1Х < сагсі У) / (сагс1У < сапї Х) (теорема Кантора).
Таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно
упорядоченным.
Говорят, что мощность множества Х меньше мощности множест-
ва У, и пишут саг(1Х < сагсі У, если саг<1Х < саг(1У и в то же вре-
мя саг<1Х аё сагсї У. Итак, (саг<1Х < саг<1У) := (сагс1Х < саг<іУ) /
/` (саг(1Х # сагсі У).
Пусть, как и прежде, И -- знак пустого множества, а 77(Х ) --- символ
множества всех подмножеств множества Х. Имеет место следующая
открытая Кантором
Теорема. саг<:1Х < сагс179(Х).
4 Для пустого множества И утверждение очевидно, поэтому в даль-
нейшем можно считать, что Х уё И.
Поскольку 77(Х) содержит все одноэлементные подмножества Х,
сагс1Х < саг(1'Р(Х).
Для доказательства теоремы теперь достаточно установить, что
сагс1Х 79 саг<1'Р(Х), если Х уё И.
Пусть, вопреки утверждению, существует биективное отображение
1*: Х -› 'Р(Х). Рассмотрим множество А = {а: Є Х | 1: Є тех
элементов а: Є Х, которые не содержатся в сопоставленном им множе-
стве І Є 73(Х Поскольку А Є Р(Х), то найдется элемент а Є Х
такой, что ]`(а) = А. Для элемента а Є Х невозможно ни соотноше-
1)Ф.Бернштейн (1878 - 1956) -немецкий математик, ученик Г. Кантора; Э. Шрё-
дер (1841 -- 1902) -- немецкий математик.

32 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
ние а Є А (по определению А), ни соотношение а Є А (опять-таки по
определению А). Мы вступаем в противоречие с законом исключенного
третьего. >
Эта теорема, в частности, показывает, что если бесконечные мно-
жества существуют, то и «бесконечности» бывают разные.
2. Об аксиоматике теории множеств. Цель настоящего пункта -
дать интересующемуся читателю представление о системе аксиом, описываю-
щих свойства математического объекта, называемого множеством, и проде-
монстрировать простейшие следствия этих аксиом.
1° Аксиома объемности. Множества А и В равны тогда и только
тогда, когда они имеют одни и те же элементы.
Это означает, что мы отвлекаемся от всех прочих свойств объекта «мно-
жество», кроме свойства иметь данные элементы. На практике это означает,
что если мы желаем установить, что А = В, то мы должны проверить, что
Чи: Є А) Ф=> (Ш Є
2° Аксиома выделения. Любому множеству А и свойству Р отве-
нает множество В, элементы которого суть те и только те элементы
множества А, которые обладают свойством Р.
Короче, утверждается, что если А -множество, то и В = {а: Є А |
- тоже множество.
Эта аксиома очень часто используется в математических конструкциях,
когда мы выделяем из множеств подмножества, состоящие из элементов, обла-
дающих тем или иным свойством.
Например, из аксиомы выделения следует, что существует пустое подмно-
жество ИХ = {:с Є Х | 11: 7Є :1:} в любом множестве Х, а с учетом аксиомы
объемности заключаем, что для любых множеств Х и У выполнено ИХ = Иу,
т. е. пустое множество единственно. Его обозначают символом И.
Из аксиомы выделения следует также, что если А и В -множества, то
АВ = {а: Є А | т Є В} _тоже множество. В частности, если М -множество
и А-его подмножество, то СМА-тоже множество.
3° Аксиома объединения. Для любого множества М множеств су-
ществует множество ЦМ, называемое объединением множества М, со-
столщее из теа: и только теш элементов, которые содержатся в элементаш
множества М.
Если вместо слов «множество множеств» сказать «семейство множеств»,
то аксиома объединения приобретает несколько более привычное звучание:
существует множество, состоящее из элементов множеств семейства. Таким
образом, объединение множества есть множество, причем а: Є ЫМ <=> ЗХ
((Х Є М) А (ш Є Х)).

5,4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 33
Аксиома объединения с учетом аксиомы выделения позволяет определить
пересечение множества М (семейства множеств) как множество
(]м;={шеЫм|×/х((хем)=›(шех))}.
4° Аксиома пары. Для любыш множеств Х и У существует множе-
ство 2 такое, что Х и У являются его единственными элементами.
Множество 2 обозначается через {Х,У} и называется неупорядоченной
парой множеств Х и У. Множество 2 состоит из одного элемента, если Х = У.
Как мы уже отмечали, упорядоненная пара (Х, У) множеств отличается от
неупорядоченной наличием какого-либо признака у одного из множеств пары.
Например, (Х,У) := {{Х,Х},{Х,
Итак, неупорядоченная пара позволяет ввести упорядоченную пару, а упо-
рядоченная пара позволяет ввести прямое произведение множеств, если вос-
пользоваться аксиомой выделения и следующей важной аксиомой.
5° Аксиома множества подмножеств. Для любого множества Х
существует множество Р(Х), состоящее из теа: и только тел: элементов,
которые являются подмножествами множества Х.
Короче говоря, существует множество всех подмножеств данного множе-
ства.
Теперь можно проверить, что упорядоченные пары (:1:,у), где ш Є Х, а
у Є У, действительно образуют множество
Х × У := {рЄ 'Р(”Р(Х)Ы'Р(У)) |р= (а:,у) / (:в Є Х) / (у Є
Аксиомы 1° -5° ограничивают возможность формирования новых мно-
жеств. Так, в множестве 'Р(Х) по теореме Кантора (о том, что саг<їХ <
< саг<іР(Х имеется элемент, не принадлежащий Х, поэтому «множества»
всеаг множеств не существует. А ведь именно на этом «множестве» держится
парадокс Рассела.
Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие по-
следователя Х + множества Х. Положим по определению Х + = Х Ы {Х
Короче, к Х добавлено одноэлементное множество {Х
Далее, множество назовем индуктивным, если оно содержит в качестве
элемента пустое множество и последователь любого своего элемента.
б° А к с и о м а б е с ко н е ч н о с т и. Индутстивные множества существуют.
Аксиома бесконечности позволяет с учетом аксиом 1° -4° создать эталон-
ную модель множества Щ; натуральных чисел (по фон Неймануц), определив
1)Дж. фон Нейман (1903 - 1957) _американский математик. Работы по функци-
ональному анализу, математическим основаниям квантовой механики, топологиче-
ским группам, теории игр, математической логике. Руководил созданием первых
ЭВМ.

34 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
МО как пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное
множество. Элементами Що являются множества
®› ®+=И0{®}={И}› {®}+={И}0{{И}}›~ ,
которые и являются моделью того, что мы обозначаем символами 0, 1, 2, _ . . и
называем на.туральными числами.
7° Аксиома подстановки. Пусть Т(а:,у) -такое высказывание
(точнее, формула), что при любом то из множества Х существует и при-
том единственный объект уд такой, что .7-`(а:0,у0) истинно. Тогда объек-
ты у, длл каждого из которыа: существует элемент а: Є Х такой, что
.7-`(а:,у) истинно, образуют множество.
Этой аксиомой при построении анализа мы пользоваться не будем.
Аксиомы 1° - 7° составляют аксиоматику теории множеств, известную как
аксиоматика Цермело - Френкеляї) .
К ней обычно добавляется еще одна, независимая от аксиом 1° - 7° и часто
используемая в анализе
8° Аксиома выбора. Для любого семейства ненустыа: множеств су-
ществует множество С такое, нто, каково бы ни было множество Х дан-
ного семейства, множество Х П С состоит из одного элемента.
Иными словами, из каждого множества семейства можно выбрать в точ-
ности по одному представителю так, что выбранные элементы составят мно-
жество С.
Аксиома выбора, известная в математике как аксиома Цермело, вызвала
горячие дискуссии специалистов.
3. Замечания о структуре математических высказываний
и записи их на языке теории множеств. В языке теории мно-
жеств имеются два базисных или, как говорят, атомарных типа ма-
тематических высказываний: утверждение я: Є А о том, что объект
11: есть элемент множества А, и утверждение А = В о том, что мно-
жества А и В совпадают. (Впрочем, с учетом аксиомы объемности
второе утверждение является комбинацией утверждений первого типа:
(11: Є А) <=> (сс Є
Сложное высказывание или сложная логическая формула строятся
из атомарных посредством логических операторов- связок щ /, /, =>
и кванторов 7', Э с использованием скобок ( При этом формирование
1)Э. Цермело (1871 - 1953) _ немецкий математик; А. Френкель (1891 - 1965) - не-
мецкий, затем израильский математик.

Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 35
сколь угодно сложного высказывания и его записи сводится к выпол-
нению следующих элементарных логических операций:
а) образование нового высказывания путем постановки отрицания
перед некоторым высказь1ванием и заключение результата в скобки;
Ь) образование нового высказывания путем постановки необходи-
мой связки /, /, => между двумя высказываниями и заключение ре-
зультата в скобки;
с) образование высказывания «для любого объекта 11: выполнено
свойство Р» (что записывают в виде /сс Р или высказывания «най-
дется объект Ш, обладающий свойством Р» (что записывают в виде
3 из Р
Например, громоздкая запись
Эт (Р(=г) ^ М/ ((Р(:ч)) => (11 = Ш))))
означает, что найдется объект а:, обладающий свойством Р и такой, что
если у -любой объект, обладающий свойством Р, то у = аг. Короче: су-
ществует и притом единственный объект аз, обладающий свойством Р.
Обычно это высказывание обозначают в виде 3!:в Р(:1:), и мы будем
использовать такое сокращение.
Для упрощения записи высказывания, как уже отмечалось, стара-
ются опустить столько скобок, сколько это возможно без потери од-
нозначного толкования записи. С этой целью кроме указанного ранее
приоритета операторов в, /, /, => считают, что наиболее жестко сим-
волы в формуле связываются знаками Є, =, затем Э, `</ и потом связками
-1, /, /, =$.
С учетом такого соглашения теперь можно было бы написать
Э!а: Р(а:) := 3:1: / 7'у (Р(у) => у =
Условимся также о следующих широко используемых сокращениях:
(7':сЄХ) Р:-/ш(а:ЄХ=>Р(а:)),
(ЁІШЄХ) Р:=З:1: (:1:ЄХ/Р(:1:)),
(`</а:>а)Р:=`у':в(:вЄІК/ш>а=>Р(:1:)),
(Е1:с>а)Р.-ЕІа:(:1:ЄІК/:1:>а/Р(:с)).
Здесь К, как всегда, есть символ множества действительных чисел.

36 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
С учетом этих сокращений и правил а), Ь), с) построения сложного
высказывания, например, можно будет дать однозначно трактуемую
запись
(%п*›пЪ[(а:)=А) := `9'є>0 Ё1б>0 Час Є К (0<|ш-а|<б=> -А| < Є)
того, что число А является пределом функции ]` : К -› К в точке а Є К.
Быть может, наиболее важным из всего сказанного в этом пара-
графе являются для нас следующие правила построения отрицания к
высказыванию, содержащему кванторы.
Отрицание к высказыванию «для некоторого Ш истинно Р(51:)›› озна-
чает, что «для любого 1: неверно Р(а:)››, а отрицание к высказыванию
«для любого 11: истинно Р(:в)›› означает, что «найдется аз, что невер-
но Р(а:)››.
Итак,
-Нас Р(:1:) <=>`9':1: -1Р(:1:),
ЧК/11: Р(а:) <=> За: <Р(:с).
Напомним также (см. упражнения к ЁІ), что
-(Р А 62) <=> «Р / <С2,
-1(Р / С2) <=> -»Р А <С2,
-(Р=>с2)<=>Р/-162.
На основании сказанного можно заключить, что, например,
<((`9':1: > а) Р) <=> (За: > съ) -1Р.
Написать в правой части последнего соотношения (За: < а) -1Р было
бы, конечно, ошибочно.
В самом деле,
<((7':п>а) Р) := <(`у'а: (ЩЄІК/а:>а=>Р(а:)))<=Ф
<=>Ё:1:-1(атЄ1К/а:>а=>Р(:1:))<=>
<:>Е1а: ((:1:Є1К/:1з>а)/-=Р(а:))=:(ЕІа:>а) -›Р.
Если учесть указанную выше структуру произвольного вь1сказь1ва-
ния, то теперь с использованием построенных отрицаний простейших

Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 37
высказываний можно было бы построить отрицание любого конкрет-
ного высказывания.
Например,
-(ітіі($)=А):>эг>о х/д>о ме
Є1К (0<|а:-а,|<б/|](а:)-А|>є).
Практическая важность правильного построения отрицания связа-
на, в частности, с методом доказательства от противного, когда истин-
ность некоторого утверждения Р извлекают из того, что утверждение
-›Р ложно.
Упражнения
1. а) Установите равномощность отрезка {:1: Є К | 0 < из < 1} и интервала
{а: Є В | О < а: < 1} числовой прямой К как с помощью теоремы Шрёдера-
Бернштейна, так и непосредственным предъявлением нужной биекции.
Ь) Разберите следующее доказательство теоремы Шрёдера-Бернштейна,:
(саг<1Х < сагсі У) / (саг<1У < сапі Х) => (саг<1Х = сагс1 У).
4 Достаточно доказать, что если множества Х, У, 2 таковы, что Х Э
Э У Э 2 и саг<1Х = саг<і2, то саг<1Х = саг<1У. Пусть І: Х -› 2-биек-
тивное отображение. Тогда биекция 9: Х -› У может быть задана, например,
следующим образом:
( ) ](:в), если а: Є /(Х) ](У) для некоторого п Є Ы,
Ш ї
9 1: В ПРОТИВНОМ СЛУЧЗЄ.
Здесь І = 1” о . . _ о _[ -п-я итерация отображения І, а 11- множество нату-
ральных чисел. Ь
2. а) Исходя из определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 опре-
деление прямого произведения Х × У множеств Х, У корректно, т. е. множест-
во 79(79(Х) О 'Р(У)) содержит все упорядоченные пары (ат, у), в которых Ш Є Х
и у Є У.
Ь) Покажите, что всевозможные отображения І : Х -› У одного фиксиро-
ванного множества Х в другое фиксированное множество У сами образуют
множество М (Х, У).
с) Проверьте, что если 72-множество упорядоченных пар (т. е. отноше-
ние), то первые элементы пар, принадлежащих множеству 72 (как и вторые),
сами образуют множество.

38 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и бес-
конечности, проверьте, что для элементов множества МО натуральных чисел
по фон Нейману справедливы следующие утверждения:
1°:1:=у=>:с+=у+;
2° (Чт Є 1ї0)(Ш+ 74 И);
З° :1:+=у+=>ш=у;
4° 0122 Є 11о)(=г 75 И => (311 Є 11о)(Ф =у+))-
Ь) Используя то, что Щ; -индуктивное множество, покажите, что для
любых его элементов а: и у (а они в свою очередь являются множествами)
справедливы следующие соотношения:
1° сапіш < сапі а:+;
2° саг<1И < сагс1:в+;
3° сагсіаз < сапіу <=> сапі а:+ < сагсі у+;
4° сагсіаг < саг<1:1:+;
5° сапіа: < сагєіу => сагсі а:+ < сагсі у;
6° ш = у <=> сапїа: = сагсіу;
7° (:1:Су)/(:1:Эу).
с) Покажите, что в любом подмножестве Х множества Щ; найдется та-
кой (наименьший) элемент азт, что (7':1: Є Х) (сагсї авт < сагсі (В случае
затруднений к этой задаче можно вернуться после прочтения главы П.)
4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество,
состоящее из различных элементов, само может быть элементом другого мно-
жества, логики все множества обычно обозначают строчными буквами. В на-
стоящей задаче это очень удобно.
а) Проверьте, что запись
`9':вЕІу7'2(2Єу<=>3и›(2Є'и1/'шЄ:1:))
выражает аксиому объединения, по которой существует множество у -объ-
единение множества сс.
Ь) Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями
/а:7'у/2 ((2Єа:<=>2Єу)<=>а:=у),
`0'а:7'уЕІ27'и(1›Є2<=>(т1=:в/т1=у)),
`ч'а:ЕІу7'2: (2Єу<=>7'и(иЄ2=>иЄа:)),
ЕІш(7'у (<ЕІ2(гЄу)=>уЄ:1:)/:/ш (и:Є:1:=>
=>1'и(7'т1 ('иЄи<:>('и=ш/*иЄш))ЭиЄ:в))).

Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 39
с) Проверьте, что формула
Нд (2 Є Ґ => (3$1 32/1($1 Є $^3/1 Є 3/^2 = 031,3/1)))) ^
/1а:1(т1 Є:в=>Эу1 32 (3/1 Єу/г=(:с1,у1)/2Є_1'))/
^7'1121 7у1 `°/3/2 (321 322 (21 Є Ґ^22 Є Ґ/21 =(11ї1,3/1)^
/ 22 = ($014/2)) => 3/1 = 3/2)
последовательно накладывает на множество І три ограничения: І есть под-
множество .т: × у; проекция 1” на сс совпадает с :1:; каждому элементу 1:1 из 11:
отвечает ровно один элемент у1 из у такой, что (а:1,у1) Є І.
Таким образом, перед нами определение отображения І : из -› у.
Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания
отнюдь не всегда бывает более короткой и прозрачной в сравнении с его за-
писью на разговорном языке. Учитывая это обстоятельство, мы будем в даль-
нейшем использовать логическую символику лишь в той мере, в какой она
будет нам представляться полезной для достижения большей компактности
или ясности изложения.
5. Пусть 1*: Х -+ У-отображение. Запишите логическое отрицание каж-
дого из следующих высказываний:
а) І сюръективно;
Ь) І инъективно;
с) І биективно.
6. Пусть Х и У-множества и І С Х × У. Запишите, что значит, что
множество І не является функцией.

ГЛАВА ІІ
двйствитвльныв (ввщвстввнныв)
числА
Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что
позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в дру-
гой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную
цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее при-
ложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые
дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект ис-
следования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зре-
ния современной математики описание свойств этих функций, как вы
уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно
без точного определения множества вещественных чисел, на котором
эти функции действуют.
Число в математике, как время в физике, известно каждому, но не-
понятно лишь специалистам. Это одна из основных математических
абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эво-
люция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный
насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то,
что читателю в основном известно о действительных числах из средней
школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свой-
ства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное,
пригодное для последующего математического использования опреде-
ление вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство
полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного пе-
рехода-основной неарифметической операции анализа.

51. АксиомАтикА и овойствА двйствитвльных Чисвл 41
Ё 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства
множества действительных чисел
1. Определение множества действительных чисел
Определение 1. Множество К называется множеством действи-
тельныя: (вещественныаз) чисел, а его элементы_действительными
(вещественными) числами, если выполнен следующий комплекс усло-
вий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:
(І) Аксиомы сложения
Определено отображение (операция сложения)
+:К×1К-›ПЄ,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре (:1:, у) элементов 1:, у из К
некоторый элемент 11: + у Є К, называемый сумм о й 41: и у. При этом
выполнены следующие условия:
1+. Существует н е й тр а л ь н ы й элемент 0 (называемый в случае
сложения нул ем) таной, что для любоео 1: Є К
$+0=0+ш=л
2+. Для любоео элемента а: Є К имеется элемент -ат Є К, называ-
емый противоположным н гс, такой, что
а:+(-а:)=(-аг)+а:=0.
3+. Операция + ассоциативна, т. е. для любыа: элементов 113, у, 2
из ІК выполнено
1г+(у+2)=(<1=+у)+2~
4+. Операция + коммутативна, т. в. для любыа: элементов 1*, у
из К выполнено
$+у=у+л
Если на каком-то множестве Є определена операция, удовлетворя-
ющая аксиомам 1+, 2+, З+, то говорят, что на Є задана структура
группы или что Є есть группа. Если операцию называют вложением,
то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что опе-
рация коммутативна, т. е. выполнено условие 4+, то группу называют
номмутативной или абелевойц.
1)Н.Х. Абель (1802 -1829) -замечательный норвежский математик, доказавпшй
неразрецшмость в радикалах алгебраических уравнений, степени вьпце четвертой.

42 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
Итак, аксиомы 1+ -4+ говорят, Что ІК есть аддитивная абелева
группа.
(П) Аксиомы умножения
Определено отображение (операция умножения)
~в×в+в,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре (:в,у) элементов аг, у из
К некоторый элемент а: -у Є К, называемый пр о из в е де ни ем гс и у,
причем так, что выполнены следующие условия:
1.. Существует нейтральный элемент 1 Є К 0 (называемый в
случае умножения единиц ей) такой, что На: Є К
11:-1=1-а:=а:.
2.. Для любого элемента Ш Є 1К 0 имеется элемент а:'1 Є К,
называемый обратным, такой, что
3:-а:`1 =:1:1-:1:= 1.
З.. Операция о ассоциативна, т. е. для любыа: аз, у, 2 из К
чйгд=ШчдИ~
4.. Операция 0 коммутативна, т. е. для любыа: а:, у из К
1:-у=у-сс.
Заметим, что по отношению к операции умножения множество ІЩ0,
как можно проверить, является (мультипликативной) группой.
(І,П) Связь сложения и умножения
Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.
`</Ш, у, 2: Є К
(сс + у)2 = 1132 + уг.
Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равен-
ство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множите-
лей.
Если на каком-то множестве Є действуют две операции, удовлетво-
ряющие всем перечисленным аксиомам, то Є называется алгебраиче-
еким полем или просто полем.

51. АкоиомАтикА и свойств». двйотвитвльньїх чиовл 43
(ІІІ) Аксиомы порядка
Между элементами К имеется отношение <, т. е. для элементов
св, у из ІК установлено, выполняется ли 11: < у или нет. При этом
должны удовлетворяться следующие условия:
0<.`ї/ІІЗЄК
1<
2<-(:г<:ч)^(
<Ё<Ё
-(Ш<у)^( <
Ѕ
*жа
мы
)
(Ш=
(
Н
<
у)-
М
Н
.1ше1к< к/уєдц <у)/(у<а;).
Отношение < в К называется отношением неравенства.
Множество, между некоторыми элементами которого имеется отно-
шение, удовлетворяющее аксиомам 0<, 1<, 2<, как известно, называют
частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома З<,
т.е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называ-
ется линейно унорядоченным.
Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядо-
чено отношением неравенства между его элементами.
3<
(І,ІП) Связь сложения и порядка в К
Если ап, у, 2 -элементы Ш, то
(:с<у)=>(:1:+2<у+2).
(ІІ,ІІІ) Связь умножения и порядка в К
Если 113, у-элементы К, то
(0<Ф)^(0<:</)=>(0<:г~у)-
(ІУ) Аксиома полноты (непрерывности)
Если Х и У _непустые подмножество К, обладающие тем свой-
ством, что для любыш элементов сс Є Х и у Є У выполнено а: < у, то
существует таное с Є К, что а: < < у для любыа: элементов ів Є Х
и у Є У.
СЗ
Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы
то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной
реализацией или, как говорят, моделью действительньш: чисел.
Это определение формально не предполагает никакой предваритель-
ной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль»,
опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем

44 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиома-
тического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных
замечаний.
Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок,
кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных
натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не
пришли к рациональным чиелам; что вам неизвестно великое откры-
тие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его сто-
роной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т.е.
нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процес-
се измерений понятия «больше» («меньше››); что вы не иллюстрируете
себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего это-
го предварительно не было, то перечисленнь1й набор аксиом не только
не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но,
скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае
произвольным плодом фантазии.
Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возни-
кают по крайней мере два вопроса.
Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т.е. существует ли мно-
жество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о
нєпротиворечивости аксиоматики.
Во-вторь1х, однозначно ли данная система аксиом определяет мате-
матический объект, т. е., как сказали бы логики, категорично ли систе-
ма аксиом. Однозначность здесь надо понимать следующим образом.
Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, чи-
словых систем КА и КВ, удовлетворяющие аксиоматике, то между мно-
жествами КА, КВ можно установить биективное соответствие, пусть
І: КА -› КВ, сохраняющее арифметические операции и отношение по-
рядка, т. е.
1”(Ш+у) = .1(Ш> +1”(у),
1“(Ш~у)=і(Ш)~і(у),
гг <у<=>1'(Ш) < Лу)-
С математической точки зрения КА и КВ в таком случае являются
всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями
(моделями) действительных чисел (например, КА -бесконечные деся-
тичные дроби, а КВ -точки на числовой прямой). Такие реализации

ЁІ. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 45
называются изоморфными, а отображение 1” -изоморфизмом. Резуль-
таты математической деятельности относятся, таким образом, не к
индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных
моделей данной аксиоматики.
Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы .и огра-
ничимся только информативными ответами на них.
Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиомати-
ки всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит
так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. І,
Ё4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множест-
во рациональных и, наконец, множество К всех действительных чисел,
удовлетворяющее всем перечисленным свойствам.
Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел
имеет положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно,
решив задачи 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа.
2. Некоторые общие алгебраические свойства действитель-
ных чисел. Покажем на примерах, как известные свойства чисел по-
лучаются из приведенных аксиом.
а. Следствия аксиом сложения
1° В множестве действительныш чисел имеется только один нуль.
4 Если 01 и 02 -_ нули в К, то по определению нуля
01:01-Ё*02=()2+()1=02. Р
2° В множестве действительныіг нисел у каждого элемента име-
етсл единственный противоположный элемент.
4 Если 1:1 и 1:2 -элементы, противоположные 1: Є К, то
Ш1=а:1+0=:1:1+(а:-|-1:2)=(:1:1+а:)+:1:2=0+:в2=:1:2. Ь
Здесь мы использовали последовательно определение нуля, опреде-
ление противоположного элемента, ассоциативность сложения, снова
определение противоположного элемента и, наконец, снова определение
нуля.
3° Уравнение
а + а: = Ь
в 1112. имеет и притом единственное решение
11: = Ь + (-а).

46 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
4 Это вытекает из существования и единственности у каждого эле-
мента а Є К противоположного ему элемента:
(а+ш=Ь)<=>((а:+а,)+(-0,)=Ь+(-а))<=>
<=>(:с+(а+(-а))=Ь+(-а)) (1:-І-0=Ь+(-а))<=>
<=>(:1:=Ь+(-а)). >
її
Выражение Ь + (-а) записывают также в виде Ь - а. Этой более ко-
роткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться.
Ь. Следствия аксиом умножения
1° В множестве действительныа: чисел имеется только одна еди-
нииа.
2° Для каждого числа а: 7Є 0 имеется только один обратный эле-
мент а:1.
З° Уравнение а- (1: = Ь при а Є К 0 имеет и притом единственное
решение 11: = Ь - а1.
Доказательства этих утверждений, разумеется, повторяют доказа-
тельства соответствующих утверждений для сложения (с точностью до
замены символа и названия операции), поэтому мы их опустим.
с. Следствия аксиомы связи сложения и умножения. Привле-
кая дополнительно аксиому (І, ІІ), связывающую сложение и умножение,
получаем дальнейшие следствия.
1° Для любого Ш Є К
11:-0:0-:в=0.
4(а:-0:1:-(0-1-0)=а:~0+:1:-0)=>(:с~О=а:-0+(-(11:-0))=0).Ь
Отсюда, между прочим, видно, что если 11: Є К О, то г1:_1 Є К 0.
2° (гс-у=0)=>(а:=0)/(у=0).
4 Если, например, у аё 0, то из единственности решения уравнения
1: - у = 0 относительно 1: находим а: = 0 - у`1 = 0. >
3° Для любого 11: Є ІК
-гс = (-1) ~:в.
4 а:+(-1)-а: = (1+(-1))-а: = 0-11: = гс-0 = О, и утверждение следует
из единственности противоположного элемента. >

51. АксиомАтикА и свойствА двйствитвльных чисвл 47
4° Для любого числа 11: Є ІК
(-1)(-св) = гс.
4 Следует из З° и единственности элемента 1:, противополож-
ного -ас. Ь
5° Для любого числа :в Є К
(-а:)(-9:) = св - гс.
< (-Ш)(-Ш) = ((-1) °Ш)(-Ш) = (Ш - (-1))(-Ш) = т((-1)(-Ш)) = 212-112-
Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утвержде-
ниями, а также коммутативностью и ассоциативностью умножения. Ь
с1. Следствия аксиом порядка. Отметим сначала, что отношение
а: < у (читается «аг меньше или равно у››) записывают также в виде у 2 11:
(«у больше или равно а:››); отношение а: < у при єс аё у записывают в
виде Ш < у (Читается «аз меньше у››) или в виде у > из («у больше :с››) и
называют строгим неравенством.
1° Для любьшз :1:,у Є К всегда имеет место в точности одно из
соотношений:
а:<у, а:=у, :п>у.
4 Это следует из приведенного определения строгого неравенства
и аксиом 1< и 3<. Ь
2° Для любьш: чисел 1:, у, 2 из ІК
(:г<у)^(:«/<2)==>(:г<2),
(:в<у)/(у<2)=>(а:<2).
4 Приведем для примера доказательство последнего утверждения.
По аксиоме 2< транзитивности отношения неравенства имеем
(Ш<у)^(у<2)*×=>(1г<у)^(у<2)^(2/#2)=>(<1г<2)-
Осталось проверить, что 11: 79 2. Но в противном случае
(Ш<:ч)^(у<2)<=>(2<у)^(:ч<2)#>(2<у)^(з/<2)^(у#2)~
В силу аксиомы 1< отсюда следует
(21 = 2) ^ (11 # 2)
-противоречие. Ь

48 гл. 11. двйствитвльныв (ввщвстввнныв) числА
е. Следствия аксиом связи порядка со сложением и умноже-
нием. Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка
использовать аксиомь1 (І, ІІІ), (ІІ, ПІ), связывающие порядок с ариф-
метическими операциями, то можно получить, например, следующие
утверждения:
1° Для любьш: чисел 1:, у, 2, 'ш из В
її?
Ѕ
<
ЧЁЧЁ
)
)
>
>
81?
//
її,
іііі
^”е?
+
М
(
(
62
ъг
/
.Ё
11
<
Ё,
іі
Ё-Т
-І-
ъг
а:+2
)<(у+2
-а: < 0),
<у+Ш%
<у+ш)
4 Проверим первое из этих утверждений.
По определению строгого неравенства и аксиоме (І, ІІІ) имеем
И<уР*@<у%ФИ+Ф%<@+д-
Остается проверить, что сс + 2 54 у + 2. В самом деле,
(Ю+2%=Ш+2Ю=%Ш=@НЧд-2=у+@-И%=Ш,
что несовместимо с условием Ш < у. >
2° Если аз, у, 2 -числа из К, то
(0<ш)/(0<у)=>(0<а:у),
(а:<0)/(у<0)=>(0<а:у),
(:1:<0)/(0<у)=>(;ву<0),
(:в<у)/(0<г)=>(:гг<уг),
(;в<у)/(г<0)=>(у2<шг).
4 Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого
неравенства и аксиоме (ІІ, ІІІ)
(0<а:)/(0<у)=>(0<аз)/(0<у)=>(0<а:у).

51. АксиомАтикА и свойств». двйствитвльных чисвл 49
Кроме того, 0 # Шу, поскольку, как уже было показано,
(<1г-у=0)=>(<г=0)/(у=0)-
Проверим еще, например, и третье утверждение:
(:в<0)/(0<у)=>(0<-Ш)/(0<у)=>
=>(0<(-Ш>~у)=~(0<(- -2:):/И
=> (0 < (-1)~(Шу)) -(ггг/)) => (Шу <0>- ›
іі
/5/5
АС
Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно
остальные соотношения, а также проверить, что если в одной из ско-
бок левой части наших утверждений стоит нестрогое неравенство, то
следствием его также будет нестрогое неравенство в правой части.
3° О < 1.
4 1 Є1К0, т.е. 0% 1.
Если предположить, что 1 < О, то по только что доказанному
(1<0)/(1<0)=>(0<1-1)=>(0<1).
Но мы знаем, что для любой пары чисел 1:, у Є К реализуется и притом
только одна из возможностей: ш < у, Ш = у, ат > у. Поскольку 0 уё 1, а
предположение 1 < 0 ведет к несовместимому с ним соотношению О < 1,
то остается единственная возможность, указанная в утверждении. >
4° (0<а:) =>(0<:1:1) и (0<а:)/(а:<у)=> (0<у1)/(у`1 <:п1).
4 Проверим первое из этих утверждений.
Прежде всего, :в'1 5% 0. Предположив, что а:”1 < 0, получим
(а:1<0)/(0<а:)=>(а:-:1:1<0)=:›(1<0).
Это противоречие завершает доказательство. Ь
Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положи-
тельными, а числа меньшие нуля- отрицательными.
Таким образом, мы доказали, например, что единица- положитель-
ное число, что произведение положительного и отрицательного чисел
есть число отрицательное, а величина, обратная положительному чи-
слу, также положительна.

50 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней)
грани числового множества
Определение 2. Говорят, что множество Х С ІК ограничено свер-
азу (снизу), если существует чис.ло с Є ІК такое, что ат < с (соответствен-
но, с < 112) для любого сс Є Х.
Число с в этом случае называют вертней (соответственно, нижней)
границей множества Х или также мажорантой (минорантой) множе-
ства Х .
Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, на-
зывается ограниченным.
Определение 4. Элемент а Є Х называется наибольшим или ман-
сима./ъьньъм (наименьшим или минимальным) элементом множества Х С
С К, если 1: < а (соответственно, а < аз) для любого элемента сс Є Х .
Введем обозначения и заодно приведем формальную запись опреде-
ления максимального и минимального элементов соответственно:
(а=п1ахХ) :_ (аЄХ/7':1г€Х (а:<а)),
(а=шіпХ) :_ (аЄХ/`9':сЄХ (а<:1:)).
Наряду с обозначениями шахХ (читается «максимум Х ››) и шіпХ
(читается «минимум Х ››), в том же смысле используются соответствен-
но символы шаха: и шіп 1:.
:1:ЄХ :вЄХ
Из аксиомы 1< порядка сразу следует, что если в числовом множе-
стве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один.
Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется мак-
симальный (минимальный) элемент.
Например, множество Х = {:1: Є К | О < 11: < 1} имеет минимальный
элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента.
Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множе-
ство Х С К сверху, называется веразней гранью (или точной вершней
границей) множества Х и обозначается Ѕир Х (читается «супремум Х ››)
или Ѕпр сс. `
:1:ЄХ
Это основное определение настоящего пункта. Итак,
(з = Ѕ11рХ) := 7':1: Є Х < з) / (7'з' < з 3:12, Є Х (з' <

51. АксиомАтикА и свойств», двйствитвльных Чисвл 51
В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, напи-
сано, что з ограничивает Х сверху; вторая скобка говорит, что з _
минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая
скобка утверждает, что любое число, меньшее з, уже не является верх-
ней границей Х.
Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней гра-
ницы) множества Х как наибольшей из нижних границ множества Х.
Определение 6.
(і = іпїХ) := Чт Є Х < аз) / (/1І' > і ЁІ:с' Є Х (ш' <
Наряду с обозначением іпї Х (читается «инфимум Х ››) для нижней гра-
ни Х употребляется также обозначение іп; аз.
а:Є
Таким образом, даны следующие определения:
ЅирХ := п1іп{с Є ІК | `г/гс Є Х (ат < с)},
іпїХ := шах{с Є К | 7':с Є Х (с <
Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает мини-
мальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения
верхней и нижней граней числового множества нуждаются в аргумен-
тации, которую доставляет следующая
Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное
сверагу подмножество множества вещественньш: чисел имеет и при-
том единственную верагнюю грань.
4 Поскольку единственность минимального элемента числового
множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существо-
вании верхней грани.
Пусть Х С К -данное подмножество, а У = {у Є ІК | `ї/Ш Є Х
(а: < у)} --множество верхних границ Х. По условию, Х =,Є И и У уё И.
Тогда в силу аксиомы полноты существует число с Є К такое, что
7':1: Є Х 7'у Є У (:с < с < у). Число с, таким образом, является мажо-
рантой Х и минорантой У. Как мажоранта Х, число с является элемен-
том У, но как миноранта У, число с является минимальным элементом
множества У. Итак, с = п1іпУ = зпр Х. Ь
КОНЄЧНО, ЗНЗЛОГИЧНО ДОКЕІЗЬІВЗЄТСЯ СУЩЄСТВОВЭНИЄ И ЄДИНСТВЄННОСТЬ
НИЖНЄЙ Гр&НИ У ОГРЁЪНИЧЄННОГО СНИЗУ ЧИСЛОВОГО МНОЖЄСТВЕЪ, Т. Є. ИМЄЄТ
МЄСТО

52 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Лемма. (Х не пусто и ограничено снизу) => (ЕП іпі`Х
На доказательстве мы не останавливаемся.
Теперь вернемся к множеству Х = {ш Є К | О < аг < 1}. В си-
лу доказанной леммы оно должно иметь верхнюю грань. По самому
определению множества Х и определению верхней грани очевидно, что
Ѕ11рХ < 1.
Для того чтобы доказать, что зирХ = 1, таким образом, необхо-
димо проверить, что для любого числа (1 < 1 найдется число аг Є Х
такое, что (1 < 0:, т.е., попросту, что между (1 и 1 есть еще числа.
Это, конечно, легко доказать и независимо (например, показав, что
(1 < 2_1(<1 + 1) < 1), но мы сейчас этого делать не станем, поскольку в
следующем параграфе подобные вопросы будут обсуждаться последо-
вательно и подробно.
Что же касается нижней грани, то она всегда совпадает с минималь-
ным элементом множества, если множество таковым обладает. Так что
уже из этого соображения в рассматриваемом примере имеем іпї Х = 0.
Другие, более содержательные примеры использования введенных
здесь понятий встретятся уже в следующем параграфе.
Ё2. Важнейшие классы действительных чисел
и вычислительные аспекты операций
с действительными числами
1. Натуральные числа и принцип математической индук-
ции
а. Определение множества натуральных чисе.л. Числа вида 1,
1 + 1, (1 + 1) + 1 и т. д. обозначают соответственно символами 1, 2, 3
и т. д. и называют натуральными числами.
Принять такое определение может только тот, кто и без него имеет
полное представление о натуральных числах, включая их запись, на-
пример, в десятичной системе счисления.
Продолжение какого-то процесса далеко не всегда бывает однознач-
ным, поэтому вездесущее «и так далее» на самом деле требует уточне-
ния, которое доставляет фундаментальный принцип математической
индукции.
Определение 1. Множество Х С К называется индуктивным, ес-
ли вместе с каждым числом аг Є Х ему принадлежит также число ів + 1.

дв. вАжнвйшив клАссы двйствитвльньїх чисвл зз
Например, К является индуктивным множеством; множество поло-
жительных чисел также является индуктивным множеством.
Пересечение Х = П Х а любого семейства индуктивных множеств
аЄА
Ха, если оно непусто, является индуктивным множеством.
Действительно,
тех: Цха =>(×/веА(«:еХа))=>
аЄА
=>(теА((ш+1)еха))в ($+1)є Пха=х.
аЄА
Теперь примем следующее
Определение 2. Множеством натуральньш: чисел называется наи-
меньшее индуктивное множество, содержащее 1, т. е. пересечение всех
индуктивных множеств, содержащих число 1.
Множество натуральных чисел обозначают символом М; его элемен-
ты называются натуральными числами.
С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее
натуральные числа начинать с 0, т. е. вводить множество натуральных
чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 0, однако
нам удобнее начинать нумерацию числом 1.
Следующий фундаментальный и широко используемый принцип яв-
ляется прямым следствием определения множества натуральных чисел.
Ь. Принцип математической индукции
Если подмножество Е множества натуральныа: чисел Ы таково,
что 1 Є Е и вместе с числом ат Є Е множеству Е принадлежит число
ш + 1, то Е = Ы.
Итак,
(ЕСМ)/(1ЄЕ)/(/:1:еЕ(а:еЕ=>(а:+1)еЕ))=>Е=1І.
Проиллюстрируем этот принцип в действии, доказав с его помощью
несколько полезных и постоянно в дальнейшем используемых свойств
натуральных чисел.
1° Сумма и произведение натуральньш: чисел являются натураль-
ными числами.

54 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
4 Пусть т,п Є Ш; покажем, что (т + н) Є Щ. Обозначим через Е
множество тех натуральных чисел п, для которых (т + н) Є Ш при
любом т Є Щ. Тогда 1 Є Е, поскольку (т Є Ы) => ((т + 1) Є Ы) для
любого т Є М. Если п Є Е, т.е. (т-І-п) Є Щ, то и (п+ 1) Є Е, так как
(т + (п +1)) = ((т + п) + 1) Є М. По принципу индукции Е = М, и мы
доказали, что сложение не выводит за пределы Щ.
Аналогично, обозначив через Е множество тех натуральных чи-
сел п, для которых (т - п) Є Щ при любом т Є Щ, находим, что 1 Є Е,
так как т-1= т, и если н Є Е, т. е. т-п Є Ы, то т-(п+1)= тн+т есть
сумма натуральных чисел, которая по доказанному принадлежит М. Та-
ким образом, (н Є Е) Ф ((п+1) Є Е) и по принципу индукции Е = М Р
2° Покажем, что (п Є Ы) / (н аё 1) => - 1) Є Ш).
4 Рассмотрим множество Е натуральных чисел вида п - 1, где п-
натуральное число, отличное от 1, и покажем, что Е = М.
Поскольку 1 Є Ы, то 2 := (1 +1) Є М, а значит, 1 = (2 - 1) Є Е.
ЕслитЄЕ, тот=п-1,гдепЄІї; тогдат+1 = (п+1)-1
и, поскольку (п + 1) Є Ы, имеем (т + 1) Є Е. По принципу индукции
заключаем: Е = Ы. Ь
3° Для любого п Є Ш в множестве {:п Є М | п < :1:} есть минималь-
ный элемент, причем
п1іп{:1:ЄІї|н<ш}=н+1.
4 Покажем, что множество Е тех п Є Ы, для которых утверждение
справедливо, совпадает с Ы
Сначала проверим, что 1 Є Е, т. е.
п1іп{а:ЄІї|1<:1:}=2.
Это утверждение тоже будем проверять по принципу индукции.
Пусть
М={:вЄІї|(:1:=1)/(2<:1:)}.
По определению М имеем 1 Є М. Далее, если 11: Є М, то либо св = 1
итогда :1:+1 = 2 Є М, либо2 < Щ, тогда2 < (:1:+1) иснова (гс-і-1) Є М.
Таким образом, М = Ы и, значит, если (:1: чё 1) / (сс Є М), то 2 < гс, т. е.
действительно п1іп{а: Є Ы | 1 < :с} = 2. Итак, 1 Є Е.
Покажем теперь, что если п Є Е, то и (п + 1) Є Е.

52. в/-хжнвйшин клАссь1 двйствитвльньш чиовл 55
Заметим сначала, что, еслиа: Є {а: Є Ы | п-І-1 < а:}, то
(Ш-1)=:</Є{з/Є1їІп<:ч},
ибо по доказанному все натуральные числа не меньше 1, поэтому
(п +1 < 1:) => (1 < аг) => (ат 75 1), а тогда в силу утверждения 2°
(а: - 1) = у Є Ш.
Пусть теперьпЄЕ, т.е. п1іп{уЄІІ|п<у}=п+1. Тогдасс-12
2у>п+1иаз>п+2. Значит,
(а:Є{а:ЄІї|п+1<:с})=±›(:с>п+2)
и, следовательно, п1іп{:с Є М | п + 1 < а:} = п + 2, т. е. (п +1) Є Е.
По принципу индукции Е = Ы, и утверждение 3° доказано. Ь
В качестве прямых следствий доказанных утверждений 2° и 3° по-
лучаем следующие свойства 4°, 5°, б° натуральных чисел:
4°(тЄїІ)/(пЄІї)/(п<т)=>(п+1<т).
5° Число (п +1) Є Ш непосредственно следует в Щ за натуральным
числом п, т. е. нет натуральньш: чисел 1:, удовлетворлющиа: условию
п<а:<п+1, еслипЄІї.
6° Если п Є Ы и п 56 1, то число (п - 1) Є Щ и (п - 1) непосред-
ственно предшествует числу п в Ы, т. е. нет натуральньш: чисел аз,
удовлетворяющие: условию п - 1 < св < п, если п Є Щ.
7° Покажем теперь, что в любом непустом подмножестве множе-
ства натуральньш: чисел имеетсл минимальный элемент.
4 Пусть М С Ы. Если 1 Є М, то п1іпМ = 1, поскольку 7п Є М
(1 < п)~
Пусть теперь 1 Є М, т.е. 1 Є Е = Щ М. В множестве Е должно
найтись такое натуральное число п Є Е, что все натуральные числа, не
превосходящие п, лежат в Е, а (п + 1) Є М. Если бы такого п не было,
то множество Е С М, содержащее единицу, вместе с п Є Е содержа-
ло бы и (п + 1) и по принципу индукции совпадало бы с Ы. Последнее
невозможно, поскольку М Е = М 7% И.
Найденное число (п + 1) Є М и будет минимальным в М, поскольку
между п и п + 1, как мы видели, уже нет натуральных чисел. >

56 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
2. Рациональные и иррациональные чис.ла
а. Це.лые числа
Определение З. Объединение множества натуральных чисел,
множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля на-
зывается множеством 'цельшг чисел и обозначается символом 2.
Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натураль-
ных чисел не выводят за пределы Ы, то эти же операции над целыми
числами не выводят за пределы множества 2.
4 Действительно, если т, п Є 2, то либо одно из этих чисел равно
нулю и тогда сумма т +п равна другому числу, т. е. (т+ п) Є 2, а про-
изведение т - п = О Є 2, либо оба числа отличны от нуля. В последнем
случае либо т,п Є Ш и тогда (т+п) Є Ш С 2 и Є Ш С 2, либо
(-т), (-п) Є М и тогда т ~ п = ((-1)т)((-1)п) Є Ы, либо (-т),п Є Ы
и тогда (-т, - п) Є М, т.е. т - п Є 2, либо, наконец, т, -п Є М и тогда
(-т-п) Єїїисноват~'п,Є2. >
Таким образом, Ж есть абелева группа по отношению к операции
сложения. По отношению к операции умножения множество 2 и даже
2 О не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат
в Ж (кроме числа, обратного единице и минус единице).
4 Действительно, если т Є 2 и т уё 0, 1, то, считая сначала т Є М,
имеем 0 < 1 < т и, поскольку т-т1 = 1 > 0, должно быть 0 < т'1 < 1
(см. в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким обра-
зом, т_1 $ 2. Случай, когда т~отрицательное целое число, отличное
от -1, непосредственно сводится к уже разобранному. ›
В том случае, когда для чисел т,п Є Е число І: = т - п1 Є 2, т. е.
когда т = /є-п, где /с Є 2, говорят, что целое число т делится на целое
число п или кратно п, или что ть есть делитель т.
Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т. е.
домножением на -1, если в этом есть необходимость, немедленно при-
водится к делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках
которых она и изучается в арифметике.
Напомним без доказательства так называемую основную теорему
арифметики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем
пользоваться.

52. вАжнвйшив клАссь1 двйствитвльных чисвл 57
Число р Є Щ, р 56 1, называется простым, если в М у него нет дели-
телей, отличных от 1 и р.
Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число до-
пускает и притом единственное (с точностью до порядка сомножи-
те./гей) представление в виде произведения
/п'=р1°~°р/са
еде р1,. . . ,рд -простые числа.
Числа. т, п Є 2 называются взаимно простыми, если у них нет
общих делителей, отличных от 1 и -1.
Из приведенной теоремы, в частности, видно, что если произведение
т- п взаимно простых чисел т, п делится на простое число р, то одно
из чисел т, п также делится на р.
Ь. Рациональные числа
Оп е еление 4. Числа ви а т ~ п1 г е т п Є 2 называются
э Д › э
рациональными.
Множество рациональных чисел обозначается знаком (2.
Таким образом, упорядоченная пара (т, п) целых чисел определяет
рациональное число (1 = т - п1, если п ад 0.
Число (1 = т- п1 записывают также в виде отношенияї) т и п или
так называемой рациональной дроби
Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой
форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вы-
текают из определения рационального числа и аксиом действительных
чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на
одно и то же отличное от нуля целое чис.ло величина дроби не изменяет-
ся», т. е. дроби їх”-Ё и Ё представляют одно и то же рациональное число.
В самом деле, поскольку (пІє)(/Г1п1) = 1, т. е. (п - Іс)_1 = ІГ1 -п1, то
(тІє)(пІс)1 = (т/є)(/~з1п“1) = т - п1.
Таким образом, различные упорядоченные пары (т, п) и (тІс,пІс)
задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соот-
ветствующих сокращений любое рациональное число можно задать упо-
рядоченной парой взаимно простых целых чисел.
1)Обозначение <@ -по начальной букве англ. аиоізіепіз -отношение (от лат.
с111оЬа-часть, приходя1цаяся на единицу чего-либо, и аиоіз -сколько).

58 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
С другой стороны, если пары (т1,н1) и (т2,п2) задают одно и то
же рациональное число, т. е. т1-пї1 = т2 -1151, то т1*п,2 = т2п1, и если,
например, т1 и п1 взаимно просты, то в силу упомянутого следствия
основной теоремы арифметики п2 - пї1 = тд; - тї1 = /с Є Ж.
Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары (т1, 11,1),
(т2, 11,2) задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда,
когда они пропорциональны, т.е. существует число /с Є Ж такое, что,
например, т2 = Іст1 и н2 = Ісщ.
с. Иррациональные числа
Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рацио-
нальными, называются ирраииональными.
Классическим примером иррационального действительного числа
является /2, т. е. число з Є К такое, что з > 0 и 52 = 2. Иррацио-
нальность /2 в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о
несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.
Итак, проверим, во-первых, что существует положительное дей-
ствительное число з Є К, квадрат которого равен двум, и, во-вторых,
что 5 $
4 Пусть Х и У - множества положительных действительных чисел
такие, что `ї/0: Є Х (332 < 2), /у Є У (2 < у2). Поскольку 1 Є Х, а 2 Є У,
то Х и У --непустые множества.
Далее, поскольку для положительных Ш и у (11: < у) <=> (5132 < 3/2),
то любой элемент ап Є Х меньше любого элемента у Є У. По аксиоме
полноты существует число з Є Е такое, что сп < з < у для /сс Є Х и
/у Є У.
Покажем, что 32 = 2.
2
Если бы было 32 < 2, то, например, квадрат числа з+Ё-3-, большего
Зз
чем 5, был бы меньше 2. Действительно, ведь 1 Є Х, поэтому 12 < 52 < 2
и0<А=2-з2<1. Значит,
2 2
А
(з+%) =з2+2-%+(%) <.з2+3-ї=з2+А=2.
Следовательно, (3 + Є Х, что несовместимо с неравенством из < з
для любого элемента из Є Х.

ёг. вАжнвйшив клАооы двйотвитвльньїх чисвл 59
2
Если бы было 2 < 32, то, например, квадрат числа з - 9% мень-
шего чем 3, был бы больше 2. Действительно, ведь 2 Є У, поэтому
2<з2<22или0<А=з2-2<3 и 0<%<1. Отсюда
А 2 2 А А 2 _., А 2
(3-Ё) -з -2-Ё-І-(Ё) >з -3-Ё-3 -А_2.
и мы вступаем в противоречие с тем, что з ограничивает множество У
снизу.
Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность:
32 = 2.
Покажем, наконец, что з Є @. Предположим, что з Є @, и пусть
Ё -несократимое представление з. Тогда т2 = 2 - п2, следовательно,
т2, а значит, и т делится на 2. Но если т = 2Іє, то 2/с2 = п2 и по той
же причине п должно делиться на 2, что противоречит несократимости
дроби >
Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование ирра-
циональных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти
все действительные числа иррациональны. Будет показано, что мощ-
ность множества иррациональных чисел больше мощности множества
всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех дей-
ствительных чисел.
Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алге-
браические иррациональности и трансцендентные числа.
Вещественное число называется алгебраичвским, если оно является
корнем некоторого алгебраического уравнения
а0а:'+...+а,,_1:1:+а,,=0
с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами.
В противном случае число называется трансцвндєнтным.
Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая
же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность мно-
жества трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действи-
тельных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными
и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцен-
дентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности.

60 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое
геометрическое число тг является трансцендентнымї), а одна из знаме-
нитых проблем Гильберта2) состояла в том, чтобы доказать трансцен-
дентность числа ад, где ск-алгебраическое, (а > 0) / (а уё 1), а В-
алгебраическое иррациональное число (например, а = 2, В =
З. Принцип Архимеда. Переходим к важному как в теоретиче-
ском отношении, так и в плане конкретного использования чисел при
измерениях и вь1числениях принципу Архимедаз). Мы докажем его, опи-
раясь на аксиому полноты (точнее, на эквивалентную ей лемму о верх-
ней грани). При другой аксиоматике множества действительных чисел
этот фундаментальный принцип часто включают в список аксиом.
Заметим, что утверждения, которые мы до сих пор доказывали о
натуральных и целых числах, совершенно не использовали аксиому пол-
ноты. Как будет видно из дальнейшего, принцип Архимеда, в сущности,
отражает свойства натуральных и целых чисел, связанные с аксиомой
полноты. С этих свойств мы и начнем.
1° В любом непустом ограниченном свершу подмножестве множе-
ства натуральныш чисел имеется, максимальный элемент.
4 Если Е С М- рассматриваемое множество, то по лемме о верхней
грани 3!$11рЕ' = з Є К. По определению верхней грани, в Е найдется
натуральное число п Є Е, удовлетворяющее условию з - 1 < п < з.
Тогда п = шах Е, поскольку все натуральные числа, которые больше п,
не меньшеп+1, ап+1 > з. Ь
1)1г-число, равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к ее
диаметру. Отсюда общепринятое с Х/ІІІ века после Эйлера обозначение этого чи-
сла начальной буквой греческого слова лєрьсрёрєщ _ периферия (окружность). Транс-
цендентность тг доказана немецким математиком Ф. Линдеманом (1852 -1939). Из
трансцендентности тг, в частности, вытекает невозможность построения циркулем
и линейкой отрезка длины тг (задача о спрямлении окружности), как и неразреши-
мость этими средствами древней задачи о квадратуре круга.
2)Д. Гильберт (1862 - 1943) --выдающийся немецкий математик, сформулировав-
ший в 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже двадцать три
относящиеся к различным областям математики проблемы, получившие впослед-
ствии название «проблем Гильберта». Вопрос, о котором идет речь в тексте (седь-
мая проблема Гильберта), был положительно решен в 1934 г. советским математиком
А. О. Гельфондом (1906 - 1968) и немецким математиком Т. Шнайдером (1911 - 1989).
3)Архимед (287-212 гг. до н.з.) -гениальный греческий ученый, про которого
один из основоположников анализа Лейбниц в свое время сказал: «Изучая труды
Архимеда, перестаещь удивляться успехам современных математиков».

52. вАжнвйшив клАссы двйствитвльньїх чисвл в1
Следствия. 2° Множество натуральньив чисел не ограничено
сверазу.
4 В противном случае существовало бы максимальное натуральное
число. Ноп <п+1.>
3° В любом непустом ограниченном сверсву подмножестве множе-
ства иельш: чисел имеется максимальный элемент.
4 Можно дословно повторить доказательство утверждения 1°, за-
меняя Ії на И. Ь
4° В любом непустом ограниченном снизу подмножестве множе-
ства иельш: чисел имеется минимальный элемент.
4 Можно, например, повторить доказательство утверждения 1°, за-
меняя ІЧ на 2 и используя вместо леммы о верхней грани лемму о суще-
ствовании нижней грани у ограниченного снизу числового множества.
Можно также перейти к противоположным числам («поменять зна-
ки››) и воспользоваться уже доказанным в 3°. Ь
5° Множество иельш: чисел не ограничено ни сверагу, ни снизу.
4 Вытекает из 3° и 4° или прямо из 2°. >
Теперь сформулируем
6° Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное поло-
жительное число /Ъ, то для любого действительного числа а: найдется
и притом единственное целое число Іс такое, что (/є - 1)/1 < сс < /є/1,.
4 Поскольку Ж не ограничено сверху, множество {п Є 2 | Ё < п} -
непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел.
Тогда (см. 4°) в нем есть минимальный элемент /<:, т. е. (11: - 1) < 11://1, <
< /є. Поскольку /2 > 0, эти неравенства зквивалентны приведенным
в формулировке принципа Архимеда. Единственность /с Є 2, удовле-
творяющего двум последним неравенствам, следует из единственности
минимального элемента числового множества (см. ё1, п. 3). >
Некоторые следствия:
7° Для любого положительного числа е существует натуральное
число п такое, что 0 < % < е.
4 По принципу Архимеда найдется п Є 2 такое, что 1 < Є - п. По-
скольку 0 < 1 и 0 < е, имеем0 < п. Таким образом, п Є їїи0 < % < е. >

62 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
8° Если число 3: Є К таково, что О < сс и для любого п Є Щ вьтол-
нено:1:<%-, тоа:=О.
4 Соотношение О < 11: невозможно в силу утверждения 7°. Ь
9° Для любьш: чисел а, Ь Є В таниаг, что а < Ь, найдетсл рациональ-
ное число 1* Є @ таное, что а < 1 < Ь.
4 Учитывая 7°, подберем п Є М так, что 0 < % < Ь-а. По принципу
Архимеда найдем такое число т Є 2, что -пёъїі < а < Тогда % <
< Ь, ибо в противном случае мы имели бы 17% < а < Ь < 31,1, откуда
следовало бы, что % 2 Ь - а. Таким образом, 1* = Ё Є ((2 и а < їД'- < Ь. Ь
10° Для любого числа 1: Є К существует и притом единственное
иелое число І: Є 2 такое, что Іс < 1: < /с + 1.
4 Это непосредственно вытекает из принципа Архимеда. Ь
Указанное число /є обозначается и называется иелой частью чи-
сла 1:. Величина := ш - называется дробной частью числа 1:.
Итак, сс = + {а:}, причем 2 0.
4. Геометрическая интерпретация множества действитель-
ных чисел и вычислительные аспекты операций с действи-
тельными числами
а. Числова.я ось. По отношению к действительным числам часто
используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоя-
тельством, что, как в общих чертах известно из школы, в силу аксиом
геометрии между точками прямой П. и множеством ІК вещественных
чисел можно установить взаимно однозначное соответствие 1 : ІЬ -› К.
Причем это соответствие связано с движениями прямой. А именно, ес-
ли Т -параллельный перенос прямой ІЬ по себе, то существует число
15 Є К (зависящее только от Т) такое, что І = І + 15 для любой
точки 1: Є ІЬ.
Число І (113), соответствующее точке 11: Є П., называется ноординатой
точки аз. Ввиду взаимной однозначности отображения І : П, -› К коор-
динату точки часто называют просто точкой. Например, вместо фразы
«отметим точку, координата которой 1», говорят «отметим точку 1».
Прямую ІЬ при наличии указанного соответствия І: ІЬ -› К называют
ноординатной осью, числовой осью или числовой прямой. Ввиду биек-

52. вАжнвйшив клАось1 двйствитвльных чисвл вз
тивности 1” само множество К вещественных чисел также часто назы-
вают числовой прямой, а его элементы-точками числовой прямой.
Как отмечалось, биективное отображение 1” : ІЬ -› ІК, задающее на ІЬ
координаты, таково, что при параллельном переносе Т координаты
образов точек прямой ІІ, отличаются от координат самих точек на одну
и ту же величину Ё Є К. Ввиду этого І полностью определяется указа-
нием точки с координатой О и точки с координатой 1 или, короче, точки
нуль, называемой началом координат, и точки 1. Отрезок, определя-
емый этими точками, называется единичным отрезком. Направление,
определяемое лучом с верцшной 0, содержащим точку 1, называется по-
ложительным, а движение в этом направлении (от О к 1) -движением
слева направо. В соответствии с этим соглашением 1 лежит правее 0, а
0-левее 1.
При параллельном переносе Т, переводящем начало координат 2:0
в точку. :с1 = Т(:1:0) с координатой 1, координаты образов всех точек
на единицу больше координат прообразов, поэтому мы находим точку
1:2 = Т(:1:1) с координатой 2, точку 5113 = Т(а:2) координатой 3, ...,
точку :вп+1 = Т(:1:,,,) с координатой п + 1, а также точку а:_1 = Т_1(а:0)
с координатой -1, , точку а:_,,_1 = Т`1(а:_,,) с координатой -п - 1.
Таким образом, получаем все точки с целыми координатами т Є Е.
Умея удваивать, утраивать, . . _ единичный отрезок, по теореме Фа-
леса его же можно разбить на соответствующее число п конгрузнтных
отрезков. Беря тот из них, одним концом которого является начало ко-
ординат, для координаты 1: другого конца имеем уравнение п - 11: = 1,
т. е. 11: = Отсюда находим все точки с рациональными координатами
11,1 Є <@.
Но останутся еще точки ІЬ, ведь есть же отрезки, несоизмеримые с
единичным. Каждая такая точка (как и любая другая точка прямой)
разбивает прямую на два луча, на каждом из которых есть точки с
целыми (рациональными) координатами (это следствие исходного гео-
метрического принципа Архимеда). Таким образам, точка производит
разбиение или, как говорят, сечение ((2 на два непустых множества Х
и У, отвечающие рациональным точкам (точкам с рациональными ко-
ординатами) левого и правого лучей. По аксиоме полноты найдется
число с, разделяющее Х и У, т.е. аг < с < у для 7':1: Є Х и /у Є У.
Поскольку Х ЫУ = <@, то Ѕ11рХ = з = і = іпї У, ибо в противном случае
з < і и между з и і нашлось бы рациональное число, не лежащее ни в Х,
ни в У. Таким образом, з = і = с. Это однозначно определенное число

64 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
с и ставится в соответствие указанной точке прямой.
Описанное сопоставление точкам прямой их координат доставля-
ет наглядную модель как отношению порядка в К (отсюда и термин
«линейная упорядоченность››), так и аксиоме полноты, или непрерыв-
ности К, которая на геометрическом языке означает, что в прямой ІЬ
«нет дыр», разбивающих ее на два не имеющих общих точек куска (та-
кое разбиение осуществляется некоторой точкой прямой ІЬ).
Мы не станем вдаваться в дальнейшие детали конструкции отобра-
жения 1” : ІЬ -› К, поскольку геометрическую интерпретацию множест-
ва действительных чисел мы будем привлекать исключительно для на-
глядности и для возможного подключения весьма полезной геометриче-
ской интуиции читателя. Что же касается формальных доказательств,
то, как и до сих пор, они будут опираться либо на тот набор фактов,
который мы уже получили из аксиоматики действительных чисел, либо
непосредственно на эту аксиоматику.
Геометрический же язык мы будем использовать постоянно.
Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже
числовых множеств:
2:. 3 _: д
Н
:={а: Є 1К| а < аг < Ь} -интервал ад;
:= {ш Є 1К| а < < Ь} -отрезок ад;
:={:1: Є К | а < ат < Ь} -полуинтервал а,Ь, содержащий конец Ь;
:= {:1: Є К | а < гс < Ь} -полуинтервал аЬ, содержащий конец а.
Определение 6. Интервалы, отрезки и полуинтервалы называ-
ются числовыми промежутнами или просто промєжутками. Числа,
определяющие промежуток, называются его концами.
Величина Ь - а называется длиной промежутка аІ›. Если І -некото-
рый промежуток, то длину его мы будем обозначать через |І| (проис-
хождение такого обозначения вскоре станет понятным).
Множества
]а,+оо[:= {:1: Є 1К|а < а:}, ]-оо,Ь[:={а: Є 1К|$ < Ь},
[а,+оо[:={а:Є1К|а,<а:}, ]-оо,Ь]:={а:Є1К|а:<Ь},
а также ]-оо,+оо[ := К, принято называть нєограниченными проме-
жутками.
В соответствии с таким употреблением символов +оо (читается
«плюс бесконечность››) и -оо (читается «минус бесконечность››) для

52. вюкнвйшив клАооы двйотвитвльных чисвл вв
обозначения неограниченности числового множества Х сверху (снизу),
принято писать Ѕ11рХ = +оо (іпї Х = -оо).
Определение 7. Интервал, содержащий точку а: Є К, будем на-
зывать онрестностыо этой точки.
В частности, при 5 > 0 интервал ]а: - 5, ап + б[ называется б-онрест-
ностыо точки :1:. Его длина 26.
Расстояние между числами 1:, у Є К измеряется длиной промежут-
ка, концами которого они являются.
Чтобы не разбираться при этом, «где лево, а где право», т. е. сс < у
или у < ат, и чему равна длина, у - ат или 11: - у, можно использовать
полезную функцию
ат при 11: > 0,
|а:| = О при сс = 0,
-Ш при а: < 0,
называемую модулем или абсолютной величиной числа.
Определение 8. Расстолнием между ат, у Є Е называется вели-
чина |:1: - у|.
Расстояние неотрицательно и равно нулю только при совпадении сс
и у; расстояние от 11: до у и от у до зи одно и то же, ибо |а: - у| = Іу - а:|;
наконец, если 2 Є К, то |:с - у| < |а: - 2| + |2 - у|, т.е. имеет место так
называемое неравенство треугольника.
Неравенство треугольника следует из свойства абсолютной величи-
ны числа, которое также называется неравенством треугольника (ибо
получается из предыдущего при 2 = 0 и замене у на -у). А именно, для
любьш: чисел аг, у справедливо неравенство
ІШ+уІ < ІШІ + Іг/І,
'П,р'Ц/ЧЄМ РСЕЄЄНСТПЄО 6 'НЄМ 'ЦМЄЄТГЕ МЄСТП0 6 ТПО./И 'Ц ТПО./ЬЬ'К7О 6 'ПЪОМ СД]/ЧЄЄ,
7<Ґ02дО. Оба 'Ч'ЦС./ЬСЪ ЗС, у 'НЄО'ГП,р'Ц'ц(1.ТПЄ./ЪЬНЫ Ц./І/Ц НЄТЬО./ЪОЭІС'Ц/777,8./ЕЬНЫ.
<Если0<:ви0<у,то0<:г+у, |:в+у|=а:+у, |:1:|=:с, |у|=уи
равенство установлено.
Еслиа: < 0 и у < 0, то :1:+у < 0, |а:+у| = -(:п+у) = -1:-у,= -1:,
|у| = -у и опять равенство имеет место.

66 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
Пусть теперь одно из чисел отрицательно, а другое положительно,
например, 11: < 0 < у. Тогда либо 11: < ап-1-у < 0, либо 0 < ш+у < у.
В первом случае |:1:+у| < |а:|, во втором |ш+у| < |у|, т. е. в обоих случаях
ІШ+г/І < ІШІ + І:/І~ >
Используя принцип индукции, можно проверить, что
|:1:1 +...+:с,-,,| < |:с1|+...+|:сп|,
причем равенство имеет место, если и только если все числа 1121, . . . ,тп
одновременно неотрицательны или одновременно неположительны.
Число 9-Ъ-'ї-Ё часто называется серединой или центром промежутка
с концами о, Ь, поскольку оно равноудалено от концов промежутка.
В частности, точка а: Є К является центром своей 6-окрестности
]:1: - 6,11: + б[ и все точки 5-окрестности удалены от а: меньше чем на 6.
Ь. Задание числа последовательностью приближений. Изме-
ряя реальную физическую величину, мы получаем число, которое, как
правило, меняется при повторном измерении, особенно если изменить
инструмент или метод измерения. Таким образом, результатом изме-
рения обычно является некоторое приближенное значение искомой ве-
личины. Качество или точность измерения характеризуется, например,
величиной возможного уклонения истинного значения величины от ее
значения, полученного в результате измерения. При этом может слу-
читься, что точное значение величины (если оно в принципе существу-
ет) мы так никогда и не предъявим. Встав, однако, на более конструк-
тивную позицию, можно (или следует) считать, что мы вполне зна-
ем искомую величину, если в состоянии измерить ее с любой наперед
заданной точностью. Такая позиция означает отождествление числа с
последовательностьюц все более точных его приближений числами, по-
лучаемь1ми при измерении. Но всякое измерение есть конечная сово-
купность сравнений с некоторым эталоном или с соизмеримой с ним
его частью, поэтому результат измерения должен выражаться нату-
ральными, целыми или, более общо, рациональными числами. Значит,
последовательностями рациональных чисел в принципе можно описать
1)Ес1ш п - номер измерения, а тп _ результат измерения, то соответствие п ›-+ азп
есть не что иное, как функция _/ : Ы -› К натурального аргумента, т. е., по определе-
нию, последовательность (в данном случае последовательность чисел). Подробному
изучению числовых последовательностей посвящен Ё 1 гл. ІІІ.

52. вАжнвйшив клАссы двйствитвльных чисвл 67
все множество вещественных чисел, построив после должного анализа
математическую копию или, лущце сказать, модель того, что делают
с числами люди, не подозревающие об их аксиоматическом описании.
А они вместо сложения и умножения неизвестных им измеряемых ве-
личин складывают и умножают их приближенные значения (не всегда,
правда, умея сказать, какое отношение имеет результат таких дей-
ствий к тому, что получилось бы, если бы эти действия производились
с точными значениями величин; ниже мы обсудим этот вопрос).
Отождествив число с последовательностью его приближенных зна-
чений, мы, таким образом, желая, например, сложить два чиела, долж-
ны складывать последовательности их приближенных значений. Полу-
чающуюся при этом новую последовательность чисел надо считать но-
вым числом, называемым суммой первых двух. Но число ли это? Дели-
катность вопроса состоит в том, что не каждая случайным образом по-
строенная последовательность служит последовательностью сколь
угодно точных приближений некоторой величины. То есть необходи-
мо еще научиться по самой последовательности узнавать, представля-
ет она некоторое чис.ло или нет. Другой вопрос, который возникает
при попытке математического копирования операций с приближенны-
ми числами, состоит в том, что разные последовательности могут быть
последовательностями приближений одной и той же величины. Соотно-
шение между последовательностями приближений, определяющими чи-
сло, и самими числами примерно такое же, как между точкой на карте
и указкой, которая указывает нам эту точку. Положение указки опре-
деляет точку, но точка определяет положение только конца указки, не
мешая взять указку по-другому, поудобнее.
Этим вопросам дал точное описание и реализовал всю намеченную
здесь в общих чертах программу построения модели вещественных чи-
сел еще О. Коши1). Надо надеяться, что после изучения теории преде-
лов вы будете в состоянии самостоятельно повторить эти конструкции
Коши.
Сказанное до сих пор, разумеется, не претендует на математиче-
скую строгость. Цель этого неформального отступления -обратить
внимание читателя на принципиальную возможность одновременного
существования различных естественных моделей действительных чи-
1)О.Коши (1789-1857) -французский математик, один из наиболее активных
творцов современного языка и аппарата классического анализа.

68 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
сел; я пытался также дать некоторое представление об отношении чи-
сел к тому, что нас окружает, и пояснить фундаментальную роль нату-
ральных и рациональных чисел; наконец, мне хотелось показать есте-
ственность и необходимость приближенных вычислений.
Последующая часть настоящего пункта посвящена используемым
в дальнейшем и представляющим самостоятельный интерес простым,
но важным оценкам погрешностей, возникающих при арифметических
операциях над приближенными величинами.
Переходим к точным формулировкам.
Определение 9. Если из-точное значение некоторой величины,
а Ё-известное приближенное значение той же величины, то числа
А(Ё) := |а: - :ї:|,
5(53) := %%2
называются соответственно абсолютной и относительной погрешно-
стью приближения 55. Относительная погрешность при Ё = О не опре-
делена.
Поскольку значение 11: неизвестно, значения А(:Ъ) и б также не-
известны. Однако обычно бывают известны оценки сверху А(5й) < А,
б(:Е) < 6 этих величин. В этом случае говорят, что абсолютная или
относительная погрешность приближения 5: не превосходит А или 5 со-
ответственно. На практике приходится иметь дело только с оценками
погрешностей, поэтому сами величины А и 5 часто называют абсо-
лютной и относительной погрешностями приближения, но мы этого
делать не будем.
Запись аг: = ЕЕ ± А означает, что 5: - А < < 55 + А.
Например,
гравитационная постоянная Є = (б,67259 ± 0,00085) - 1041 Н - м2/кг2,
скорость света в вакууме с = 299792458 м / с (точно),
постоянная Планка іъ = (6,62бО755 ± 0,0000040) - 10'34 Дж - с,
заряд электрона е = (1,6021773З ± 0,00000049) - 10'19 Кл,
масса покоя электрона те = (9,1093897 ± 0,0000054) - 10“31 кг.
Основным показателем точности измерения является величина от-
носительной погрешности приближения, обычно выражаемая в процен-
тах.
Н

5,2. в/ыжнвйшив клАссы двйствитнльных чисвл
Так, в приведенных примерах относительные погрешности не пре-
ВОСХОДЯТ СООТВЄТСТВЄННО
1з~1о-5; 0; 6.104; 31.10-8; 6.10-7
или, в процентах от результата измерения,
1з~1о-3%; 0%; 6-10-5%; 31.10-6%; 6.10-5%.
Оценим теперь погрешности, возникающие при арифметических
операциях с приближенными величинами.
Утверждение. Если
ІШ - 521 = А(<ї)› Іу - ўі = А(ў)›
ТПО
Щї +17) ==|(1= + 11)- (її +ў)| < Щї) + Щў
щгв-~== --гг.~<дэА* ~А~ ^'- ~
у) ІШ у 1/ІІ І (1/)+Іг/І (=г)+А(Ш) Щи); (2)
ЄС./ГЦ, КРОМЕ 772080,
ТП
А(:ї:) сс ЕЕ: азў-уаї
у у 3/ Ё/ЁЧ
.. .. А
2/#0, 2/#0 И д(у)=-П%і<1,
О Ач
А(:с)__ а: 5:
ў ° :</ ў
< |:г|А<@› +1ў|А<г=› 1 _
112 1 - до)
<Пусть:с=іЁ+а,у=ў+В. Тогда
А(ї1+ў)=|(Ш+у)-(5д+ў)І=|<1+дІ < І01І+ІдІ=А(5їг)+А(ў
Щід-ў) = Іту-їўі = |(1ї1+<1)(ў+д)-їўі =
= |=ї=д+ў<1+@/3| < |ї|І5|+|ў||<1|+|а5| =
= І5дІА(ў) + ІўІА(ї) + Щїї) ' Щў)
_; і і
ї _-її ї-
ї- і і
Ар Ак дч
»Ч
=<г+<›1›ў-<;д+в›$_' 1 '<<ї›|ш|+ш|1а|, 1 2
112 1+/на * гг 1-акт
_ І51ІА(ў)+ІўІА(ї) 1
172 1 - д(ў)'
)› (1)
),
Р

70 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
Из полученных оценок абсолютных погрешностей вытекают следу-
ющие оценки относительных погрешностей:
І52 + ўі 7
д(1ї1~ў) < д(ї) +д(ў)+д(д5)'д(ў)› (2')
1) < (31)
~ 1 - 5 (127)
На практике, при работе с достаточно хорошими приближениями,
А(:Е) - А(ў) ш 0, б(:Ъ) - б(ў) ю 0, 1 - б(ў) т 1, поэтому пользуются со-
ответствующими упрощенными, полезными, но формально неверными
вариантами формул (2), (З), (2'), (3'):
А(1ї1°ў) < |5д|А(ў) + Іў|А(1їг)›
Ії=ІА(ў); ІўІА(=ї)
д(=ї=+ў) <
<>›
/'Ж
ЧЄН
А Т < ~ э
5(Ё'ў) < 5(515) +5(ў)›
д < дог) + яд).
Формулы (3), (З') показывают, что надо избегать деления на близ-
кие к нулю или довольно грубые приближения, когда ў или 1 -5(ў) малы
по абсолютной величине.
Формула (1') предостерегает от сложения приближенных величин,
если они близки по абсолютной величине и противоположны по знаку,
поскольку тогда |:ї: + ў| близко к нулю.
Во всех этих случаях погрешности могут резко возрасти.
Например, пусть ваш рост дважды измерили некоторым прибором.
Точность измерения ±0,5 см. Перед вторым измерением вам под ноги
подложили лист бумаги. Тем не менее может случиться, что результаты
измерений будут такими: Н1 = (200 ± 0,5) см и Н2 = (199,8 ± 0,5) см
соответственно.
Таким образом, бессмысленно искать толщину бумаги в виде разно-
сти Н2 - Н 1, из которой только следует, что толщина не больше 0,8 см,
что, конечно, очень грубо отражает (если это вообще можно назвать
«отражает››) истинное положение вещей.

52. вАжнвйшив клАсоь1 двйствитвльньш чиовл 71
Стоит, однако, обратить внимание и на другой, более оптимистич-
ный вычислительный эффект, благодаря которому грубыми приборами
удается провести сравнительно тонкие измерения. Например, если на
том приборе, где только что измерили ваш рост, измерили высоту пач-
ки в 1000 листов той же бумаги и получили результат (20 ± 0,5) см, то
толщина одного листа (0,02±0,0005) см = (0,2±0,005) мм, что вытекает
из формулы
То есть с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,005 мм,
толщина одного листа равна 0,2 мм. Относительная погрешность этого
измерения не превышает 0,025 или 2,5%.
Эту идею можно развить и предложить, например, способ выделе-
ния слабого периодического сигнала из превышающих его случайных
радиопомех, называемых обычно белым шумом.
с. Позиционная система счисления. Выше говорилось о том,
что каждое число можно задать последовательностью приближающих
его рациональных чисел.
Теперь напомним важный в вычислительном отношении метод, ко-
торый позволяет единообразно для каждого действительного числа
строить такую последовательность рациональных приближений. Этот
метод ведет к позиционной системе счисления.
Лемма. Если фиксировать число (1 > 1, то для любого положи-
тельного числа а: Є К найдется и притом единственное целое число
/є Є 2 такое, что
Ч/<-1 < Ш < Чи.
4 Проверим сначала, что множество чисел вида од, із Є Щ, не огра-
ничено сверху. В противном случае оно имело бы верхнюю грань з и по
определению верхней грани нашлось бы натуральное число т Є М та-
кое, что Ё < от < з. Но тогда з < с1т+1 и з-не верхняя грань нашего
множества.
Поскольку 1 < (1, то от < 9 при т < п, т, п Є 2, поэтому мы заод-
но показали, что для любого числа с Є К найдется такое натуральное
число П Є Ш, что при любом натуральном п > 1/` будет с < Ч.
Отсюда вытекает, что для любого числа Є > 0 найдется число М Є Щ
такое, что при всех натуральных т > М будет Ёп- < Є.
Действительно, достаточно положить с = Ё, а ]/` = М; тогда Ё < от
при т > М.

72 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Итак, множество целых чисел т Є 2, удовлетворяющих неравен-
ству а: < от при 11: > 0, ограничено снизу. Тогда в нем есть минималь-
ный элемент /с, который, очевидно, и будет искомым, так как для него
Іє-1 Іс
(1 < ап < (1 .
Единственность такого целого числа /с следует из того, что если
т, п Є Ж и, например, т < п, то т < п - 1, и поэтому если (1 > 1, то
-1
чт < Ч -
Действительно, из этого замечания видно, что неравенства є1'”'1 <
-1 -1
< а: < от и 9” < ат < с1'', из которых следует 9 < аг < от, несо-
вместны при т ;Ь п. Ь
Воспользуемся этой леммой в следующей конструкции.
Фиксируем (1 > 1 и возьмем произвольное положительное число
а: Є К.
По лемме найдем единственное число р Є И такое, что
ар < 111 < <1р+1- (1)
Определение 10. Число р, удовлетворяющее соотношению (1),
называется порядком число 1: по основанию (1 или (при фиксирован-
ном (1) просто порядком числа аз.
По принципу Архимеда найдем единственное натуральное число
ар Є М такое, что
аРЧр < 1” < 04рЧр + Чр- (2)
Учитывая (1), можно утверждать, что ар Є {1, . . . ,Ч - 1}.
Все дальнейшие шаги нашего построения будут повторять тот шаг,
который мы сейчас сделаем, исходя из соотношения
Из соотношения (2) и принципа Архимеда следует, что существует
и притом единственное число о<р_1 Є {0, 1, . . . ,(1 - 1} такое, что
- -1 -1
%$+%ч$1<Ш<%$+%ч$ +$ - (Ю
Если уже сделано п таких шагов и получено, что
арор + а,,_1<1р_1 + . .. + огр_.,,(1р_ <
< ш < огрор + ог,,_1с1р1+...+ а,,_п9р_ + (1р`',

52. вюкнвйшив клАссы двйствитвльных чисвл 73
то по принципу Архимеда найдется единственное число а,,_т,,_1 Є
Є {0, 1, . . . ,(1 -1} такое, что
- - -1
_ - -1 _ -1
$113 < арс1р+...+ар_пс1р +ар_п_1с1р +91” .
Таким образом, указан алгоритм, по которому положительному чи-
слу Ш однозначно ставится в соответствие последовательность чисел
ог,,,огр_1,...,оєр_п,... из множества {0, 1,. . . ,(1-1} или, менее формаль-
НО, ПОСЛЄДОВЗТЄЛЬНОСТЬ РЕЪЦИОНЭЛЬНЫХ ЧИСЄЛ 'Гп СПЄЦИЗЛЬНОГО ВИДЗД
тп = огрцр + . . . + ар_т,,<1р`', (4)
ПРИЧЄМ ТЕЪК, ЧТО
«~,,<$<1~,,+%. (5)
Ч
Иными словами, мы строим всё лучшие приближения снизу и сверху
для числа сс посредством специальной последовательности рациональ-
ных чисел Символ ар . . _ а,,_,,... есть шифр всей последователь-
ности Чтобы по нему можно было восстановить последователь-
ность {тп}, необходимо как-то отметить величину р _ порядок числа 113.
Условились при р 2 0 после ад ставить точку или запятую; при р < 0
слева от ар дописывать |р| нулей и после крайнего левого ставить точку
или запятую (Напомним, что ар 79 0).
Например, при (1 ; 10
123,45 ==1-102+2.1о1 +з.10°+4.1о-1 +5-10-2,
о,0о12з =_ 1 . 10-3 + 2 - 1о'4 + з . 105;
при (1 = 2
1ооо,оо1 == 1 . 23 +1 -2-3.
Таким образом, значение цифры в символе ар . . . о:,,_п . . . зависит от
позиции, которую она занимает по отношению к точке или запятой.
После этого соглашения символ ар . . _ ао, . .. позволяет однозначно
восстановить всю последовательность приближений.
Из неравенств (5) видно (проверьте!), что двум различным числам
сс, :1:' отвечают различные последовательности {тп}, {т*;,}, а значит, и
разные символы о<р...ог0,..., ог;,...огЬ,...

74 гл. п. двйствитвльныв (ввщвстввнныв) числА
Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида ар . . . ад, . . . отвеча-
ет некоторое число 1: Є К. Оказывается, нет.
Заметим, что в силу описанного алгоритма последовательного по-
лучения чисел ар_п Є {0, 1,. . . ,(1 - 1} не может случиться так, что все
они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны (1 - 1.
Действительно, если при п > /є
тп : арЧр + ~ - - + ар-ІсЧр_К + (Ч _1)Чр_К_1+ ° ° ° + (Ч _1)Чр_п›
т.е.
т'п=Т';;+-'Ь-'-&- (6)
ч”Р чР”
то в силу (5)
'І;с+_Ь--Ь-<:1З<Т';с+-Ь.
ч”” чР ч*“Р
Тогда для любого п > І:
0 < 'Гіє + -Ь - (ІІ < -і-,
ч”Р ч””
что, как мы знаем из доказанной выше леммы, невозможно.
Полезно также отметить, что если среди чисел огр_ ;с_1, . . . ,о<,,_п хотя
бы одно меньше (1 - 1, то вместо (6) можно написать, что
1 1
'Г'»г,,<'Ґ'1<;'*-Е-СЧ*-ї_:'І;
или, что то же самое,
1~,,+д;,%<»г,,+2д%_,-. (7)
Теперь мы в состоянии доказать, что любой символ ап . . . ад, . . . , со-
ставленный из чисел ад Є {О, 1, . . . ,(1 - 1}, в котором как угодно далеко
встречаются числа, отличные от (1 - 1, соответствует некоторому числу
:в 2 О.
В самом деле, по символу ар . . . ар_,, . .. построим последователь-
ность {*г,,,} вида В силу того, что то < *г1 < < тп < ..., а также
учитывая (6) и (7), имеем
1 1 1
'Г0<11<...<...<...<Тп+Ё<...<'ї`1+дїІ;<'І0+;;)-.

Ё2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЬІ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІХ ЧИСЕЛ 75
Знак строгого неравенства в последнем соотношении следует по-
нимать так: любой элемент левой последовательности меньше любого
элемента правой последовательности. Это вытекает из
Если теперь взять 1: = Ѕир тп (= іпЁ('г,,,+с_Г(“_р))), то последователь-
пЄЫ Є
ность тп будет удовлетворять условиям (4), (5), т. е. символ ар . . . о<р_п . .
отвечает найденному числу :1: Є К.
Итак, каждому положительному числу 11: Є К мы взаимно однознач-
но сопоставили символ вида ар . . . 040, . _ . , если р 2 0, или 0,0 . . . 0 ар . . .,
|р| нулей
если р < 0. Он называется 9-ичной позиционной записью числа аг; циф-
ры, входящие в символ, называют знаками; позиции знаков относитель-
но запятой называются разрлдами.
Числу ш < 0 условимся сопоставлять взятый со знаком минус символ
положительного числа -гс. Наконец, числу 0 отнесем символ 0,0 . . . 0 . . .
Тем самым завершено построение позиционной (1-ичной системы за-
писи дєйствительньш: чисел.
Наиболее употребительными являются десятичная система (в оби-
ходе) и по техническим причинам двоичная (в электронных вычисли-
тельных Менее распространены, но также используются в
элементах вычислительной техники троичная и восьмеричная системы.
Формулы (4), (5) показывают, что если в (1-ичной записи числа :1:
оставить только конечное число знаков (или, если угодно, заменить
остальные знаки нулями), то абсолютная погрешность получающегося
при этом приближения (4) числа аг не превысит единицы последнего
сохраняемого разряда.
Это наблюдение позволяет в соответствии с полученными в под-
пункте Ь формулами оценивать погрешности, возникающие при ариф-
метических операциях над числами в результате замены точных зна-
чений чисел соответствующими приближенными значениями вида
Последнее замечание имеет также определенную теоретическую
ценность. А именно, если в соответствии с идеей подпункта Ь мы ото-
ждествим вещественное число а: с его (1-ичной записью, то, научившись
выполнять арифметические действия непосредственно над (1-ичными
символами, мы построим новую модель действительных чисел, по-ви-
димому, наиболее ценную с вычислительной точки зрения.
Основные задачи, которые пришлось бы решать на этом пути, та-
ковы.

76 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
Надо двум Ч-ичным символам поставить в соответствие новый сим-
вол-сумму исходных. Он, естественно, строится постепенно, а имен-
но, складывая все более точные рациональные приближения исходных
чисел, будем получать соответствующие рациональные приближения
их суммы. Пользуясь сделанным выше замечанием, можно показать,
что по мере увеличения точности приближений слагаемых мы будем
получать все больше таких (1-ичных знаков суммы, которые уже не ме-
няются при последующем уточнении приближений.
Тот же вопрос надо решать и относительно умножения.
Другой, менее конструктивный путь перехода от рациональных чи-
сел ко всем действительным числам принадлежит Дедекинду.
Дедекинд отождествляет действительное число с сечением в мно-
жестве @ рациональных чисел, т. е. с разбиением <@ на два не имеющих
общих элементов множества А, В таких, что 7'а Є А їЬ Є В (а < Ь).
При таком подходе к действительным числам принятая нами аксиома
полноты (непрерывности) становится известной теоремой Дедекинда.
По этой причине аксиому полноты в принятой нами форме часто на-
зывают аксиомой Дедекинда.
Итак, в настоящем параграфе выделены важнейшие классы чисел.
Показана фундаментальная роль натуральных и рациональных чисел.
Показано, как из принятой нами аксиоматики1) вытекают основные
свойства этих чисел. Дано представление о различных моделях множе-
ства действительных чисел. Обсуждены вычислительные аспекты тео-
рии действительных чисел: оценки погрешностей при арифметических
операциях с приближенными величинами; (1-ичная позиционная система
счисления.
Задачи и упражнения
1. Опираясь на принцип индукции, покажите, что
а) сумма 1:1 + . . . + 112,, вещественных чисел определена независимо от рас-
становки скобок, предписывающих порядок сложения;
Ь) то же для произведения :в1 . . .а:п;
с) |:с1+...+:вп| < |а:1|+...+|:1:т,|;
(1) |а:1...а:,,| =
1) Почти в приведенном вьппе виде она была сформулирована на рубеже ХХ века
Гильбертом; см., например, в кн.: Гильб ер т Д. Основания геометрии. М.: Гостех-
издат, 1948. (Добавление /'І: О понятии числа.)

52. вАжнвйшив кллссы двйствитв.льнь1х чисвл 17
Є) ((т›ПЄЫ)^(т<п))=>((п-т)Єїї);
Ґ) (1 + 513)” 2 1 + па: при а: > -1 и п Є Ы, причем равенство возможно либо
при п = 1, либо при 11: = О (неравенство Берну./или);
п_ п 'П п-1 'П/'П-1 п-22 'П/П-1' '2 п-1 п
5)(а+Ь) _.а +да ь+-їдг-їа Ь+...+і7ї$%а,Ь +ь
(бином Ньютона).
2. а) Проверьте, что Ж и <@-индуктивные множества.
Ь) Приведите примеры индуктивных множеств, отличных от М, 2, <@, К.
3. Покажите, что любое индуктивное множество не ограничено сверху.
4. а) Любое индуктивное множество бесконечно (т. е. равномощно своему
подмножеству, отличному от него самого).
Ь) Множество ЕП, = {а: Є Ш | а: < п} конечно (сагсї Еп обозначают через п).
5. а) Алгоритм Евклида. Пусть т, п Є Ы и т > п. Наибольший общий де-
литель (НОД(т, п) = сі Є М) можно за конечное число шагов найти, пользуясь
следующим алгоритмом Евклида последовательного деления с остатком:
т=<11п+'/'1 (п <п),
п=с121'1 +1*2 (Т2 <*г1),
Т1 = Чз1'2 + 'Гз (Та < 1'2)›
ть-1 = Ч/=+11'ь + 0,
И 61 = Тдд.
Ь) Если сі = НОД(т,п), то можно подобрать числа р, 11 Є Ё так, что
рт + Чп = сі; в частности, если т, п взаимно просты, то рт + (111, = 1.
6. Попробуйте самостоятельно доказать основную теорему арифметики
(формулировка в тексте Ё2, п. 2а).
7. Если произведение т - п натуральных чисел делится на простое число р,
т.е. т -п = р- Іс, где І: Є М, то либо т, либо п делится на р.
8. Из основной теоремы арифметики следует, что множество простых чи-
сел бесконечно.
9. Покажите, что если натуральное число п не имеет вида Іст, где Іє, т Є Щ,
то уравнение шт = п не имеет рациональных корней.
10. Покажите, что запись рационального числа в любой (1-ичной системе
счисления периодична, т. е., начиная с некоторого разряда, состоит из перио-
дически повторяющейся группы цифр.
11. Иррациональное число а Є ІК назовем азорошо приближаемым рацио-
нальными числами, если для любых натуральных чисел п, 1ї Є Ы существует
рациональное число Ё такое, что а - Ё < і.
Ч Ч НЧ
а) Постройте пример хорошо приближаемого иррационального числа.

78 гл. п. двйствитвльньш (ввщвстввнныв) числА
Ь) Докажите, что хорошо приближаемое иррациональное число не может
быть алгебраическим, т. е. оно трансцендентно (теорема Лиувил./ья1)).
12. Зная, что по определению дроби -11 := т ~ п“1, где т Є 2, п Є Ш,
вывести «правила» сложения, умножения, деления дробей, а также условие ра-
венства двух дробей.
13. Проверьте, что рациональные числа (12 удовлетворяют всем аксиомам
действительных чисел, кроме аксиомы полноты.
14. Принимая геометрическую модель множества действительных чи-
сел -числовую ось, покажите, как в этой модели строить числа а + Ь, а - Ь,
ад, %.
15. а) Проиллюстрируйте аксиому полноты на числовой оси.
Ь) Докажите, что принцип верхней грани зквивалентен аксиоме полноты.
16. а) Если А С В С К, то ЅирА < зирВ, а іпі`А 2 іпїВ.
Ь) Пусть1КЭХ7ЄИ и ІКЭУ;ЄИ.Если`9'а:ЄХ и 7'уЄУвыполнено
ат < у, то Х ограничено сверху, У-снизу и Ѕир Х < іпї У.
с) Если множества Х, У из Ь) таковы, что Х Ы У = К, то зирХ = іпї У.
(1) Если Х, У -множества, определенные в с), то либо 3п1ахХ, либо
3 шіп У (теорема Дедекинда).
е) (Продолжение.) Покажите, что теорема Дедекинда эквивалентна акси-
оме полноты.
17. Пусть А + В -множество чисел вида а + Ь и А - В -множество чисел
вида а › Ь, где а Є А С ІК и Ь Є В С К. Проверьте, всегда ли
а) Ѕир(А + В) = Ѕир А + ЅирВ;
Ь) вир(А - В) = зирА - зирВ.
18. Пусть -А есть множество чисел вида -а, где а Є А С К. Покажите,
что Ѕир(-А) = - іпїА.
19. а) Покажите, что уравнение 9: = а при п Є Ы и а > О имеет положи-
тельный корень (обозначаемый {'/Е или а1/
Ь) Проверьте, что при а > 0, Ь > 0 и п, т Є М
Ё*/сЁ= Ё/д' Ё?/Б и К/:75= п°'{/Ё.
с) ((11/) = (а')1/ =: ат/ и а1/-а,1/т = а1/+1/т.
(1) (ат/)_1 = (а1)т/” =: а“т/.
е) Покажите, что для любых 11, 1'2 Є <@
ат _а1~2 = а/г1+1-2 И (а1~1)т2 = а1~1«~2_
20. а) Покажите, что отношение включения есть отношение частичной (но
не полнойї) упорядоченности множеств.
1)Ж. Лиувил.ль (18О9- 1882) -французский математик; работы по комплексному
анализу, геометрии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, механике.

Ё2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЬІ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІХ ЧИСЕЛ 79
Ь) Пусть А, В, С-такие множества, что А С С, В С С, А В 55 И и
ВА 7Є И. Частичный порядок в этой тройке введем, как в а). Укажите макси-
мальный и минимальные элементы множества {А, В , С (Обратите внимание
на неединственность!)
21. а) Покажите, что так же, как и множество ((2 рациональных чисел,
множество Ё) чисел вида а + 1›/Ё, где а, Ь Є @, а п-фиксированное на-
туральное число, не являющееся квадратом целого числа, есть упорядоченное
поле, удовлетворяющее принципу Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме
полноты.
Ь) Проверьте, какие из аксиом действительных чисел не будут удовлетво-
ряться для @(/Ё), если в <@(/Ё) оставить прежние арифметические операции,
а отношение порядка ввести по правилу (а + Ь/Ё < а' + Ь' := ((1) < Ь')/
/((1) = Ь') А (а < а' Будет ли тогда для @(/Ё) выполнен принцип Архимеда?
с) Упорядочите множество 1Р°[а:] многочленов с рациональными или дей-
ствительными коэффициентами, считая
Р,,,(:с) =а0+а1:1:+...+а,,,:в >- 0, если ат > 0.
(1) Покажите, что множество <@(а:) всех рациональных дробей
В _(І0+СЪ1Ш+...+СЪтЅВт
тд- Ь0-І-Ь1іІ7+...+ЬпІВп
с коэффициентами из <@ или из К после введения в нем порядка Н,,,,,, > 0, если
%'ї > 0, и обычных арифметических операций становится упорядоченным, но
не архимедовым полем. Это означает, что принцип Архимеда не может быть
выведен из аксиом К, минуя аксиому полноты.
22. Пусть п Є Ш и п > 1. В множестве Е,, = {0, 1, _ . .,п} определим сум-
му и произведение элементов как остаток от деления на п «обычной» суммы
и произведения этих чисел в К. Множество Е,, с так определенными в нем
операциями обозначают символом 2,.,
а) Покажите, что если п не простое число, то в 2,, есть такие отличные
от нуля числа т, Іс, что т- І: = 0. (Такие числа называются двлитв./шми нуля.)
Это значит, что из а - Ь = с- Ь даже при Ь ,Е 0 в 2,, не следует, что а = с.
Ь) Покажите, что при простом р в 2,, отсутствуют делители нуля и 2,,
есть поле.
с) Покажите, что ни при каком простом р поле 2,, нельзя упорядочить так,
чтобы этот порядок был согласован с арифметическими операциями 2,,.
23. Покажите, что если К и Ш -две модели множества действительных
чисел, а І: К -› Ш -такое отображение, что }(а:+у) = ]'(.т:)+]'(у) и ]`(:1:-у) =
= _1'(:с) ~ у) для любых Ш, у Є К, то:
21) І = 0';
Ь) І (1 = 1', если І ї 0', что мы дальше будем считать выполненным;
с) ](т) = т', где т Є 2 и т' Є 2', причем отображение І: 2 -› 2'
биективно и сохраняет порядок;
/5**
ы/-//`~

80 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
(1) = %, где т,п Є Е, п уё 0, т',п' Є 2', п' уё 0', ]°(т) = т',
І = п'. Таким образом, І : <@ -› (Ш есть сохраняющая порядок биекция.
е) І : К -› 1К' есть биективное, сохраняющее порядок отображение.
24. Опираясь на предыдущую задачу и аксиому полноты, покажите, что
аксиоматика множества действительных чисел определяет его полностью с
точностью до изоморфизма (до способа реализации), т.е. что если В и Ш _
два множества, удовлетворяющие аксиоматике, то существует взаимно одно-
значное отображение ] : К -› 1К' , сохраняющее арифметические операции и
П0рЯд0К= і(Ш+у) = і(Ш)+і(у)› і(11'у) = і(<В)~1°(у) И (Ш < 1/)*#>(1'(т)< і(у))-
25. В ЭВМ число 1: представляется в виде
Іє
$=±ЧрЕ92,
'П
п=1 Ч
А
где р-порядок 1:, а М = 2 %~мантисса числа сс (Ё < М < 1).
1
пї
При этом машина оперирует только с определенным диапазоном чисел:
при (1 = 2 обычно |р| < 64, а 1:: = 35. Оцените этот диапазон в десятичной
СИСТЄМЄ .
26. а) Напишите таблицу умножения (размера 6 × 6) для шестеричной
СИСТЄМЬІ СЧИСЛЄНИЯ.
Ь) Пользуясь результатом задачи а), перемножьте «столбиком» в шесте-
ричной системе
(зз2)6
Х (145),,
И ПРОВЄРЬТЄ СВОИ ДЄЙСТВИЯ, ПОВТОРИВ ВЬІЧИСЛЄНИЯ В ДЄСЯТИЧНОЙ СИСТЄМЄ.
с) Поделите «уголком››
(1301)6|(25)6
и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе.
(1) Проведите сложение «столбиком»
+ (4052)6
(3125)6
27. Запишите (100)10 в двоичной и троичной системах.
28. а) Покажите, что наряду с единственностью записи целого числа в
виде
опал-1 - - . <1о)з,
где щ Є {0, 1, 2}, возможна и также единственна его запись в виде
где В Є {-1,0,1}.
(/811/811-1 ° ° ~ /В0)3›

ЁЗ. ОСНОВНЬІЕ ЛЕММЬІ, СВЯЗАННЬІЕ С ПОЛНОТОЙ К 81
Ь) Каково наибольшее число монет, из которых тремя взвешиваниями на
чашечных весах можно выделить одну фальшивую, если известно только, что
она отличается от остальных монет по весу?
29. Какое наименьшее количество вопросов с ответами «да» или «нет» надо
задать, чтобы узнать любой из семизначных телефонных номеров?
30. а) Сколько различных чисел можно задать с помощью 20 десятичных
знаков (например, два разряда по 10 возможных знаков в каждом)? Тот же
вопрос для двоичной системы. В пользу экономичности какой из этих систем
говорит сравнение результатов?
Ь) Оцените количество различных чисел, которые можно записать, распо-
лагая п знаками (1-ичной системы. (О тве т: 11”/Ч.)
с) Нарисуйте график функции І = 113/“” над множеством натуральных
значений аргумента и сравните экономичность различных систем счисления.
53. Основные леммы, связанные с полнотой
множества действительных чисел
Здесь мы установим несколько простых полезных принципов, каж-
дый из которых можно было бы положить в основу построения теории
вещественных чисел в качестве аксиомы полнотыї).
ЭТИ ПРИНЦИПЫ МЬІ НЗЗВЗЛИ ОСНОВНЬІМИ ЛЄММЕІМИ В СООТВЄТСТВИИ С
их широким использованием во всевозможных доказательствах теорем
анализа.
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши- Кантора)
Определение 1. Функцию 1“:Ії -› Х натурального аргумента
называют последовательностью или, полнее, последовательностыо
элементов множества Х.
Значение 1” функции І, соответствующее числу п Є Щ, часто обо-
значают через тп и называют п-м членом последовательности.
Определение 2. Пусть Х1,Х2,...,Х,,,... -последовательность
каких-то множеств. Если Х1 Э Х2 Э Э ХП Э ..., т.е. Чи Є М
(Хп Э Х,,+1), то говорят, что имеется последовательность вложенныаз
множеств.
Лемма (Коши-Кантор). Для любой последовательности І1 Э
Э І2 Э Э Іп І) вложенньш: отрезков найдетсл тонна с Є К,
принадлежащая всем этим отрезнам.
1)См. задачу 4 в конце параграфа.

82 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Если, кроме того, известно, что для любого е > 0 в последова-
тельности можно найти отрезок Ід, длина которого |І;,,| < е, то с -
единственная общая точка всея: отрезков.
4 Заметим прежде всего, что для любых двух отрезков Іт = [ат, Ьт],
Іп = [а,,,, оп] нашей последовательности имеет место ат < оп. Действи-
тельно, в противном случае мы получили бы ап < оп < ат < от, т. е.
отрезки Іт, Іп не имели бы общих точек, в то время как один из них
(имеющий больший номер) должен содержаться в другом.
Таким образом, для числовых множеств А = {ат | т Є ї1}, В =
= {Ьп | п Є 1ї} выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой
найдется число с Є К такое, что 7'ат Є А, 7'Ьп Є В выполнено ат < с <
< оп. В частности, ап < с < оп для любого п Є Ы. Но это и означает,
что точка с принадлежит всем отрезкам Іп.
Пусть теперь с1 и сд _ две точки, обладающие этим свойством. Если
они различны и, например, с1 < с2, то при любом п Є Ы имеем ап < с1 <
< с2 < Ь.,-,,, поэтому О < с2 - с1 < оп - ап и длина каждого отрезка нашей
последовательности не может быть меньше положительной величины
с2 - с1. Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно
малой длины, то общая точка у них единственная. >
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега)
Определение 3. Говорят, что система Ѕ = {Х} множеств Х по-
крывает множество У, если У С Ц Х ,(т.е. если любой элемент у
Х ЄЅ
множества У содержится по краинеи мере в одном из множеств Х си-
стемы Ѕ
Подмножество множества Ѕ = {Х}, являющегося системой мно-
жеств, будем называть подсистемой системы Ѕ. Таким образом, под-
система системы множеств сама является системой множеств того же
типа.
Лемма (Борель-Лебег1)). В любой системе интервалов, покры-
вающей отрезок, имеется коненнал подсистема, покрывающал этот
отрезок.
1) Э. Борель (1871 -- 1956), А. Лебег (1875 - 1941) -- известные французские матема-
тики, специалисты в области теории функций.

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЬІ, СВЯЗАННЬІЕ С ПОЛНОТОЙ К 83
4 Пусть Ѕ = {П} -система интервалов П, покрывающая отрезок
[а, Ь] = І 1. Если бы отрезок І1 не допускал покрытия конечным набором
интервалов системы Ѕ, то, поделив І 1 пополам, мы получили бы, что по
крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через І2,
тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком 12 проделаем ту
же процедуру деления пополам, получим отрезок І3 и т. д.
Таким образом, возникает последовательность І1 Э І2 Э Э Іп Э
Э . _ . вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интер-
валами системы Ѕ. Поскольку длина отрезка, полученного на п-м ша-
ге, по построению равна |І.,,| = |І1| - 2_“, то в последовательности {І,,}
есть отрезки сколь угодно малой длины (см. лемму из Ё2, п. 4с). По
лемме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем
отрезкам Іп, п Є Ы. Поскольку с Є І1 = [а,Ь], то найдется интервал
]ск,Б[ = П Є Ѕ системы Ѕ, содержащий точку с, т.е. св < с < В. Пусть
Є = шіп{с - си, В - с}. Найдем в построенной последовательности та-
кой отрезок Іп, что |Іп| < є. Поскольку с Є І.,, и |І,~,,| < Є, заключаем,
что Іп С Ґ] = ]а, Щ. Но это противоречит тому, что отрезок Іп нельзя
покрыть конечным набором интервалов системы. Ь
3. Лемма 0 предельной точке (принцип Больцано-Вейер-
штрасса). Напомним, что окрестностью точки а: Є К мы назвали ин-
тервал, содержащий эту точку; 6-окрестностью точки ш-интервал
]а: - 5,11: + 5
Определение 4. Точка р Є ІК называется предельной точкой мно-
жества Х С К, если любая окрестность этой точки содержит бесконеч-
ное подмножество множества Х.
Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности
точки р есть по крайней мере одна не совпадающая с р точка множе-
ства Х. (Проверьте!)
Приведем несколько примеров.
Если Х = Є К | п Є ІІ}, то предельной для Х является только
точка 0 Є К.
Для интервала ]а, Ь[ предельной является каждая точка отрезка [а, Ь],
и других предельных точек в этом случае нет.
Для множества <@ рациональных чисел предельной является каждая
точка К, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел
имеются рациональные числа.

84 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
Лемма (Больцано-Вейерштрассц). Всякое бесноненное ограни-
ченное нисловое множество имеет по крайней мере одну предельную
тонну.
4 Пусть Х -данное подмножество К. Из определения ограничен-
ности множества Х следует, что Х содержится в некотором отрезке
[о, Ь] = І С К. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка І
является предельной для Х.
Если бы это было не так, то каждая точка ш Є І имела бы ок-
рестность Ґ/`(а:), в которой либо вообще нет точек множества Х, ли-
бо их там конечное число. Совокупность {П таких окрестностей,
построенных для каждой точки 1: Є І, образует покрытие отрезка І
интервалами П(:1:), из которого по лемме о конечном покрытии можно
извлечь конечную систему І/(:с1), . . . , П интервалов, покрывающую
отрезок І. Но, поскольку Х С І, зта же система покрывает все мно-
жество Х. Однако в каждом интервале П только конечное число
точек множества Х, значит, и в их объединении тоже конечное число
точек Х, т. е. Х -конечное множество. Полученное противоречие за-
вершает доказательство. Ь
Задачи и упражнения
1. Покажите, что
а) если І -произвольная система вложенных отрезков, то
Ѕ11р{аЄШі|[а,Ь]ЄІ}=а<,В=іпї{ЬЄ1К|[а,Ь]ЄІ} и [а,В]= П [а,Ь];
[а,Ь]ЄІ
Ь) если І - система вложенных интервалов ]а, Ь[, то пересечение П ]а, Ь[
]а,І›[ЄІ
МОЖЄТ 0КаЗа›ТЬСЯ ПУСТЬІМ.
Указание: ]ап, Ьп[ = ]0, %
2. Покажите, что
а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить
конечную подсистему, покрывающую этот отрезок;
Ь) из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно вы-
делить конечную подсистему, покрывающую этот интервал;
с) из системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить
конечную подсистему, покрывающую этот интервал.
1)Б.Больцано (1781 - 1848) -- чешский математик и философ; К. Вейерштрасс
(1815 -- 1897) - немецкий математик, уделявцшй большое внимание логическому обо-
снованию математического анализа.

Ё4. СЧЕТНЬІЕ И НЕСЧЕТНЬІЕ МНОЖЕСТВА 85
3. Покажите, что если вместо полного множества К всех вещественных
чисел взять только множество <@ рациональных чисел, а под отрезком, интер-
валом и окрестностью точки 1* Є <@ понимать соответствующие подмноже-
ства @, то ни одна из доказаннь1х выше трех основных лемм не останется в
силе.
4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действи-
тельных чисел взять
а) принцип Больцано-Вейерштрасса
или
Ь) принцип Бореля-Лебега,
то получится равносильная прежней система аксиом К.
Указ ание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в преж-
ней форме.
с) Замена аксиомы полноты принципом Коши -- Кантора приводит к систе-
ме аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа
Коши-Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 пре-
дыдущего параграфа).
Ё4. Счетные и несчетные множества
Сейчас мы сделаем небольшое, полезное для дальнейшего добавле-
ние к тем сведениям о множествах, которые уже были изложены в гла-
ве І.
1. Счетные множества
Определение 1. Множество Х называется снетным, если оно
равномощно множеству Щ натуральных чисел, т. е. сагс1Х = саг<1її.
Утверждение. а) Бесконечное подмножество снетноео множе-
ства снетно.
Ь) Объединение множеств конечной или снетной системы счет-
ньш: множество есть множество снетное.
4 а) Достаточно проверить, что всякое бесконечное подмножест-
во Е множества Ы натуральных чисел равномощно Щ. Нужное биектив-
ное отображение І : М -› Е построим следующим образом. В Е1 := Е
имеется минимальный элемент, который мы сопоставим числу 1 Є Ы и
обозначим е1 Є Е. Множество Е бесконечно, поэтому Е2 :_ Е е1 непу-
сто. Минимальный элемент множества Е2 сопоставим числу 2 и назо-
вем его е2 Є Е2. Затем рассмотрим Е3 := Е {е1,е2} и т. д. Поскольку
Е -бесконечное множество, то построение не может оборваться ни на

86 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
каком шаге с номером п Є Ы, и, как следует из принципа индукции,
таким способом каждому числу н Є Ы будет сопоставлено некоторое
число еп Є Е. Построенное отображение І : Ы -› Е, очевидно, инъек-
тивно.
Остается проверить его сюръективность, т. е. что ]°(І1) = Е. Пусть
е Є Е. Множество {н Є Щ | н < е} конечно, и тем более конечно его
подмножество {п Є Е | п < е}. Пусть /с-число элементов в последнем
множестве. Тогда по построению е = ед.
Ь) Если Х 1, . . . ,Х.,,, . . . _ счетная система множеств, причем каждое
множество Хт = {:1:},,, . . . ,а:%, . . . } само счетно, то поскольку мощность
множества Х = Ц Хп, состоящего из элементов а:І';,, где т, п Є Щ, не
пЄІІ
меньше мощности каждого из множеств Хт, то Х -бесконечное мно-
жество. Элемент а:}';., Є Хт можно отождествить с задающей его упоря-
доченной парой (т, н) натуральных чисел. Тогда мощность Х не боль-
ше мощности множества таких упорядоченных пар. Но отображение
І: ІІ× М -› М, задаваемое формулой (т, н) 1 › (т + п _ 2);т + П _ 1) +т,
как легко проверить, биективно (оно имеет наглядньш смысл: мы нуме-
руем точки плоскости с координатами (т, п), последовательно переходя
от точек одной диагонали, где т + н постоянно, к точкам следующей,
где зта сумма на 1 больше).
Таким образом, множество упорядоченных пар (т, н) натуральных
чисел счетно. Но тогда саг<1Х < саг<1Ії и, поскольку Х -бесконечное
множество, на основании доказанного в а) заключаем, что сагс1Х =
= сагс1Ії. Р
Из доказанного утверждения следует, что любое подмножество
счетного множества либо конечно, либо счетно. Если про множество
известно, что оно либо конечно, либо счетно, то говорят, что оно не
более чем счетно (равносильная запись: сагс1Х < саг<:1ІІ).
Мы можем, в частности, утверждать теперь, что объединение не
более чем счетного семейства не более чем счетныш множеств само
не более чем счетно.
Следствия. 1) сагсії = са1°<:1ІІ.
2) сагсі ІҐ2 = саг(1ї1.
Этот результат означает, что прямое произведение счетных мно-
жеств счетно.
3) саг<і<@ = сагс1ї1, т. е. множество раиионольныш чисел счетно.

Ё4. СЧЕТНЬІЕ И НЕСЧЕТНЬІЕ МНОЖЕСТВА 87
4 Рациональное число Ё задается упорядоченной парой (т,п) це-
лых чисел.
Две пары (т, п), (т/, п') задают одно и то же рациональное число в
том и только в том случае, когда они пропорциональны. Таким обра-
зом, выбирая каждый раз для записи рационального числа единствен-
ную пару (т,п) с минимальным возможным натуральным знаменате-
лем п Є М, мы получим, что множество @ равномощно некоторому
бесконечному подмножеству множества 2 × 2. Но са1'с122 = сагс1Ії и,
значит, сагс1<@_= сагс1Ії. >
4) Множество олгебраичєскиа: чисел счетно.
4 Заметим сначала, что из равенства сагсі <@ × <@ = сагсі Ы по индук-
ции получаем, что для любого Ё: Є Ы выполнено саг<і<@'° = сагс1ІІ.
Элемент 1 Є @7“ есть упорядоченнь1й набор ('г1, . . . ,*г;,) /<: рациональ-
ных чисел.
Алгебраическое уравнение степени Іс с рациональными коэффициен-
тами можно записать в приведенном виде тк + 'г1:с,“_1 + . . . + тд = 0, где
коэффициент при старшей степени равен 1. Таким образом, различных
алгебраических уравнений степени К столько же, сколько различных
упорядоченных наборов (т1,. . . ,1*;,) рациональных чисел, т.е. счетное
множество.
Алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами (про-
извольных степеней) тоже счетное множество как счетное объединение
(по степеням) счетных множеств. У каждого такого уравнения лишь ко-
нечное число корней, значит, множество алгебраических чисел не более
чем счетно. Но оно бесконечно и, значит, счетно. Ь
2. Мощность континуума
Определение 2. Множество К действительных чисел называют
также числовым континуу./иом1), а его мощность -- мощностью кон-
тинуума.
Теорема (Кантор). сагс1Ш < саг<1ІК.
Теорема утверждает, что бесконечное множество ІК имеет мощность
большую, чем бесконечное множество Ы.
1)Сопі:іп1111п1 (/шт.) _ непрерывное, сплошное.

88 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА
4 Покажем, что уже множество точек отрезка [0, 1] несчетно.
Предположим, что оно счетно, т.е. может быть записано в виде
последовательности а:1,з:2,...,:1:,,,,... Возьмем точку :в1 и на отрезке
[0, 1] = І0 фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точ-
ку 1131. В отрезке І1 строим отрезок І2, не содержащий шг, и если уже
построен отрезок Іп, то, поскольку |І,,| > 0, в нем строим отрезок І,,+1
так, что :вп+1 Є І,,+1 и |ІТ,,+1| > 0. По лемме о вложенных отрезках най-
дется точка с, принадлежащая всем отрезкам 10,11, . . . ,Іп, . .. Но эта
точка отрезка І0 = [0, 1] по построению не может совпадать ни с одной
из точек последовательности :1:1,:1:2, . . . ,а:,,,, . . . >
Следствия. 1) <@ дё К и существуют иррациональные числа.
2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество
алгебраическиа: чисел счетно.
(После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель,
наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулиро-
вать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются
также и алгебраические числа››.)
Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли
множества промежуточной мощности между счетными множествами и
множествами мощности континуума, и было высказано предположение,
называемое еипотезой континуума, что промежуточные мощности от-
сутствуют.
Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики.
Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским мате-
матиком П. Козном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы контину-
ума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат
принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза конти-
нуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках зтой ак-
сиоматики, -ситуация, вполне аналогичная независимости пятого по-
стулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что множество всех действительных чисел равномощно мно-
жеству точек интервала ]-1, 1[.
2. Установите непосредственно взаимно однозначное соответствие между
а) точками двух интервалов;
Ь) точками двух отрезков;

Ё4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЬІЕ МНОЖЕСТВА 89
с) точками отрезка и интервала;
(1) точками отрезка [0, 1] и множеством ІК.
3. Покажите, что
а) любое бесконечное множество содержит счетное подмножество;
Ь) множество четных чисел равномощно множеству всех натуральных
чисел;
с) объединение бесконечного множества и не более чем счетного множе-
ства имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное множество;
(1) множество иррациональных чисел имеет мощность континуума;
е) множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума.
4. Покажите, что
а) множество {п1 < п2 < возрастающих последовательностей нату-
ральных чисел равномощно множеству дробей вида 0,а1а2 . . . ;
Ь) множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность кон-
тинуума.
5 . Покажите, что
а) множество 77(Х) подмножеств множества Х равномощно множеству
всех функций на Х со значениями 0,1, т. е. множеству отображений І : Х -›
-› {0,1};
Ь) для конечного множества Х из п элементов сагсі 17(Х) = 2;
с) учитывая результаты задач 4Ь) и 5а), можно писать, что са1'<ҐР(Х) =
= 2°а“1Х и, в частности, сагс1'Р(І1) = 2°а“Щ = сагсі К;
(1) для любого множества Х
саг<іХ < 2°а“*Х, в частности, п < 2 при любом п Є Щ.
Указание. См. теорему Кантора в п. 1 Ё4, гл.І.
6. Пусть Х 1, . . . ,Хт --конечная система конечных множеств. Покажите,
что
'ГП
сапі Х,> = 2саг<іХ,1 -
2 1 1,1
_ 2 С&Г(1(Хі1 П + Е С8.Гд(Хі1 Ґ) Хі2 Ґ) _
і1<і2 і1<і2<і3
-...+(-1)т1саг<1(Х1п...пХ,.,,),
причем суммирование ведется по всевозможным наборам индексов в пределах
1, . . . ,т, удовлетворяющих указанным под знаком суммы неравенствам.

90 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
7. На отрезке [0, 1] С ІК изобразите множество чисел из Є [0,1], троичная
запись которых ш = 0,а1а2а3 . . . , где щ Є {0, 1, 2}, обладает свойством:
3) 011 75 1;
Ь) (011 9* 1) ^ (02 7* 1);
с) 7'1І Є М (ад дё 1) (канторово множество).
8. (Продолжение задачи 7.) Покажите, что
а) множество тех чисел ш Є [0, 1], троичная запись которых не содержит 1,
равномощно множеству всех чисел, двоичное представление которых имеет
ВИД 0›д1д2---З
Ь) канторово множество равномощно множеству всех точек отрезка [0, 1].

ГЛАВА ІІІ
ПРЕДЕЛ
Обсуждая различные стороны понятия действительного числа, мы,
в частности, отметили, что при измерении реальных физических ве-
личин получаются последовательности их приближенных значений, с
которыми затем и приходится работать.
Такое положение дел немедленно вызывает по крайней мере три сле-
дующих вопроса:
1) Какое отношение имеет полученная последовательность прибли-
жений к измеряемой величине? Мы имеем в виду математическую сто-
рону дела, т. е. мы хотим получить точную запись того, что вообще
означает выражение «последовательность приближенных значений» и
в какой мере такая последовательность описывает значение величины;
однозначно ли это описание или одна и та же последовательность мо-
жет отвечать разным значениям измеряемой величины.
2) Как связаны операции над приближенными значениями величин
с теми же операциями над их точными значениями и чем характеризу-
ются те операции, при выполнении которых допустима подмена точных
значений величин приближенными?
3) Как по самой последовательности чисел определить, может ли она
быть последовательностью сколь угодно точных приближений значения
некоторой величины?
Ответом на эти и близкие к ним вопросы служит понятие предела
функции-одно из основных понятий анализа.
Изложение теории предела мы начнем с рассмотрения предела функ-
ций натурального аргумента (последовательностей) ввиду уже выяс-
нившейся фундаментальной роли этих функций и потому, что на самом

92 ГЛ. ПІ. ПРЕДЕЛ
деле все основные факты теории предела отчетливо видны уже в этой
простейшей ситуации.
Ё 1. Предел последовательности
1. Определения и примеры. Напомним следующее
Определение 1. Функция 1” : Ы -› Х, областью определения ко-
торой является множество натуральных чисел, называется последова-
тельностью.
Значения функции 1” называются членами последовательности.
Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое
идет отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргу-
мента, гад := І Саму последовательность в связи с этим обозначают
символом {:сп}, а также записывают в виде :т:1,:1:2, . . . ,а:.,.,, . .. и назы-
вают последовательностыо в Х или последовательностью элементов
множества Х.
Элемент дсп называется п-м членом последовательности.
Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться
только последовательности І: М -› К действительных чисел.
Определение 2. Число А Є К называется пределом числовой по-
следовательности {:лп}, если для любой окрестности ї/(А) точки А
существует такой номер П (выбираемый в зависимости от 1/(А)), что
все члены последовательности, номера которых больше ]ї, содержатся
в указанной окрестности точки А.
Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определе-
ния, но прежде укажем другую распространенную формулировку опре-
деления предела числовой последовательности:
Число А Є К называется пределом последовательности {а:.,,}, если
для любого 5 > 0 существует номер ]ї такой, что при всех п > 1/ имеем
Іатп - А| < г.
Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!),
если заметить, что в любой окрестности 1/(А) точки А содержится
некоторая е-окрестность этой же точки.
Последняя формулировка определения предела означает, что, какую
бы точность є > 0 мы ни задали, найдется номер .7ї такой, что абсо-
лютная погрешность приближения числа А членами последовательно-
сти меньше чем е, как только п > 1/`.

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 93
Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в
логической символике, договорившись, что запись « Ііш азп = А» озна-
'П,_>ОО
чает, что А-предел последовательности Итак,
Дит тп = А)==-/1/(А) вы Є М т > А/ (тп є 1/(А))І
'П._›ОО
И СООТВЄТСТВЄННО
(пт ;1;,,=/1) ;=&/г>о эл/ен /п>11(|1: -А|<г).
77.
ТЪ_›ОО
Определение 3. Если Ііш шт, = А, то говорят, что последова-
77,-›ОО
тельность сазодится к А или стремится к А и пишут єсп -› А
при п -› оо.
Последовательность, имеющая предел, называется сагодящєйся. По-
следовательность, не имеющая предела, называется расшодящєйся.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. 1іш% = 0, так как 4%-ОГ = 1 < є при п > 1ї =
п-›оо 'П
= [1] 1)
Є .
Пример 2. 1іп1$=1 таккак $-1'=%<є прип>
'ҐІ,_›Х ,
> М =
Пример 3. 1іп1(1+ = 1, так как ,(1 + - 1| = Ё <
п-›оо 'П
<є при п>]/`=[%].
Пример 4. Ііш = 0, так как ў-ОІ < -Ё < Є при п >
'П.'_›ї)
> Ы =
Пример 5. Ііш -% = 0, если |є1| > 1.
'П-›ОО Ч
Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. ІІ,
Ё2, п. 4с, для любого є > О можно найти число 1/` Є Ы такое, что ду < Є.
Ч
“[113]-целая часть числа гс; см. следствие 10° принципа Архимеда, гл. П, Ё2, п. 3.

94 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
Поскольку |(1| > 1, то для любого п > 17 будем иметь % - ОІ = Ё <
Ч Ч
< й < Є и определение предела удовлетворено.
Ч
Пример 6. Последовательность 1,2, %,4, %,6, -ё, . .. с п-м членом
ссп = п(“1)п, п Є Щ, ~расходящаяся.
Действительно, если А_предел последовательности, то, как следу-
ет из определения предела, в любой окрестности А лежат все члены
последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа.
Число А 75 0 не может быть пределом данной последовательности,
ибо вне Є-окрестности А при є = Рё > 0 лежат все ч.лены нашей после-
1 1 Ш
довательности вида її? для которых її < 2 .
Число О тоже не может быть пределом этой последовательности,
поскольку, например, вне единичной окрестности нуля, очевидно, тоже
имеется бесконечно много членов нашей последовательности.
Пример 7. Аналогично можно проверить, что последователь-
ность 1, -1, +1, -1, . . ., для которой 1121,, = (-1), не имеет предела.
2. Свойства предела последовательности
а. Общие свойства. Мы выделим в эту группу те свойства, кото-
рыми обладают, как будет видно из дальнейшего, не только числовые
последовательности, хотя здесь мы эти свойства будем рассматривать
только для числовых последовательностей.
Последовательность, принимающую только одно значение, будем на-
зывать постоянной.
Определение 4. Если существуют число А и номер 1/` такие, что
агп = А при любом п > 1/`, то последовательность будем называть
финально постоянной.
Определение 5. Последовательность называется ограничен-
ной, если существует число М такое, что < М при любом п Є Ш.
Теорема 1. а) Финально постоянная последовательность сссо-
дится.
Ь) Любая онрестность предела последовательности содержит все
члены последовательности, за исключением конечного из: числа.
с) Последовательность не может иметь двуа: различньш: пределов.
(1) Саодящаяся последовательность ограничена.

_ 51. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 95
4 а) Если азп = А при п > 1ї , то для любой окрестности /(А)
точки А имеем азп Є ї/(А) при п > 1/', т.е. Ііш тп = А.
'П Х
Ь) Утверждение непосредственно следует из определения предела
последовательности.
с) Это важнейший пункт теоремы. Пусть Ііш 113,, = А1 и Ііш 511,, =
'П-УОО 'ГІ,_><Х)
= А2. Если А1 729 А2, то фиксируем непересекающиеся окрестности
ї/(А1), ТОЧЄК А1, А2.
В качестве таковых можно взять, например, 6-окрестности этих то-
чек при 6 < ЁІА1 - А2|. По определению предела найдем числа 1ї1 и ]/2
так, что `</п > .7ї1 (тп Є У(А1)) и /п > П; (шт, Є У(А2)). Тогда при
п > п1ах{1ї1,1ї2} получим ссп Є ї/(А1) П ї/(А2). Но это невозможно,
поскольку 1/(А1) П /(А2) = И.
(1) Пусть Ііш 113,, = А. Полагая в определении предела 5 = 1, найдем
'П-РОО
номер 1/' такой, что /п > 1/ - А| < 1). Значит, при п > ]ї имеем
|а:п| < |А| +1. Если теперь взять М > шах{|а:1|,...,|а:п|,|А| +1}, то
получим, что 7'п > 1/` < Р
Ь. Предельный переход и арифметические операции
Определение 6. Если {:1:,,}, {у.,,} -две числовые последователь-
ности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с об-
щим определением суммы, произведения и частного функций) называ-
ются соответственно последовательности
{<и + ум, ни ~и,›}, .
Частное, разумеется, определено лишь при уп # 0, п Є Ы.
Теорема 2. Пусть {а:п}, {уп} -числовые последовательности.
Если Ііш тп = А, Ііш уп = В, то
'П-УОО 'ҐЪ-*ПЭ
3*) +уп) = А+В3
Ь) Ііш азп-уп=А-В;
'П-РОО
с) Ііш %=%, ес./ъиу,,,7Є0 (п=1,2,...) иВ;Є0.
п-›оо ~ п
4 В качестве упражнения воспользуемся уже известными нам (см.
гл. ІІ, Ё2, п. 4) оценками абсолютных погрешностей, возникающих при
арифметических операциях с приближенными значениями величин.

96 гл. Ш. пввдвл
Положим [А - :1:п| = А(шп), |В - у,,,| = А(уп). Тогда для случая а)
имеем
КА + В) _ (їп '+' уп)| Ё А(37п) + А(Ё/п)°
Пусть задано число Є > 0. Поскольку Ііш тп = А, найдется но-
'П,_>ОО
мер ]/ такой, что уп > .7/ < Є/2). Аналогично, поскольку
ІЬЦ1 уп = В, найдется номер ]ї” такой, что 7'п > 1/`” (А(уп) < є/2).
'П Х
Тогда при п > шах{]ї', 1ї”} будем иметь
|(А + В) - (тп + уп)| < є,
что в соответствии с определением предела доказывает утверждение а).
Ь) Мы знаем, что
|(А ' В) _ (3711 ' 3/п)І < |$п'А(уп) + |уп|А(ї77п) + А(д7п) ' А(уп)-
По заданному є > 0 найдем числа 1/ и 1ї ” такие, что
Ґ
/ - 5
`0'п > ]ї < ш1п<`1,__--3(|В'+1)1>),
`</п > 1/' <А(у,,,) < п1іп<1, .
Тогда при п > 17 = шах{1/,1/'”} будем иметь
Ітпі < ІАІ + Щтп) < ІАІ +1,
Іупі < ІВІ + Щи/П) < ІВІ + 1,
А(:ст,,) - А(уп) < п1іп{1,Ё} -п1іп{1,Ё} < Ё.
3 3 3
Таким образом, при п > І7
|$п|А<уп> < <|А| +1› ~ Щід = 3,
1;/п1А<а:п› < <1В|+ 1› - тд-35 = 3,
А<Шп› - щи) < Ё,
позтому |АВ - :1:пуп| < є при п > 1/'.

ё1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
с) Воспользуемся оценкой
В
мы =
П :сАу +3/Авг
'Ё_ї<|п|('п.) 1
уп ` 11% д(з/п),
]__
При заданном Є > 0 найдем числа 1/' и 1/' ” так, что
В
/п > ]/ < шіп{1, ,
7'п > П (А(уп) < шіп {
|В| є~В2
4 ” 16(|А| +1)
І ІІ
Тогда при п > п1ах{1ї ,]/` } будем иметь
поэтому
и, следовательно,
Ітпі < І/1І+ А(Фп) < ІАІ +1,
В В
мы > пвп - /><уп› > пвп - Ё >
1 < 2
'Ё/п| ІВІ,
_ А(Ъ/п) ІВІ/4 _ 1
° < М) мы < 181/2 _ 2”
1
1- > 57
1 4 Є ~ В2 Є
__А п < А +1 . . = _
1 2 є|В| Є
-А П <_--=-,
уп (13) ІВІ 8 4
1
0<_--<2
1 д(з/П)
<є при п>1/Ё Ь
Ііщш
В уп
И

98 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Замечание. Формулировка теоремы допускает и другой, менее
конструктивный путь доказательства, вероятно, известный читателю
по школьному курсу начал анализа. Мы напомним его, когда будем го-
ворить о пределе произвольных функций. Но здесь, рассматривая пре-
дел последовательности, нам хотелось обратить внимание на то, как
именно по ограничениям на погрешность результата арифметической
операции ищутся допустимые погрешности значений величин, над ко-
торыми зта операция производится.
с. Предельный переход и неравенства
Теорема 3. а) Пусть {:1:п}, {у,,,} _ две сазодлщиесл последователь-
ности, причем Ііш шт, = А, Ііш уп = В. Если А < В, то найдется
ТЕ-йїї 'ҐЪ-'їх
номер 1ї Є Щ такой, что при любом п > 1/' выполнено неравенство
азп < уп.
Ь) Пусть последовательности {а:,,,}, {уп}, таковы, что при
любом п > 1ї Є Щ имеет место соотношение азп < уп < гл. Если при
этом последовательности {а:т,,}, {2п} сшодлтсл к одному и тому же
пределу, то последовательность {уп} также сшодитсл и к этому же
пределу,
4 а) Возьмем число С такое, что А < С < В. По определению
предела найдем числа 1ї' и 1ї так, чтобы при любом п > 1ї' иметь
|:в,,-А| < С-Аиприлюбом п > 1/` иметь 'уп-В| < В-С. Тогда при
п > 1/ = п1ах{1ї',]ї} получим шт, < А-і-(С-А) = С = В-(В-С) < уп.
Ь) Пусть Ііш тп = Іігп 2,, = А. По е > 0 найдем числа 1ї' и 1ї”
'П,_'›СЮ 'ТЪ-йї
так, чтобы при любом п > ]ї' иметь А - е < тп и при любом п >
> 1/`” иметь гл < А + е. Тогда при п > 1ї = шах {,]/',]ї”} получим
А-е<:с,,<у,,<:ап<А+еили|у,,-А|<е,т.е. А=1і›ш уп. >
'П ОО
Следствие. Пусть Ііш азп = А и Ііш уп = В.
'П-'Ух 'Пи-*ОО
Если существует номер 1ї такой, что при любом п > 1ї
а) а:п>уд, тоА2В;
Т, 2 уп, то А 2 В;
> В, то А 2 В;
2 В, о А 2 В.
3:85
ННН
33
3
4 Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно по-
лучаем первые два утверждения. Третье и четвертое утверждения суть
частные случаи первых двух, получающиеся при уп Е В . Ь

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 99
Стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти
в равенство. Например, % > 0 при любом п Є Ш, но Ііш % = 0.
'П,_›ОО
3. Вопросы существования предела последовательности
а. Критерий Коши
Определение 7. Последовательность называется фундамен-
тальной (или последовательностью Кошиц), если для любого числа
є > 0 найдется такой номер 1ї Є Ы, что из п > ]ї и т > 1/' следует
|:ст - :1:,,,| < г.
Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Чи-
словая, последовательность сісодитсл тогда и только тогда, когда
она фундаментальна.
4 Пусть Ііш 112,, = А. По числу Є > 0 найдем номер 1ї так, чтобы
'П_›ОО
при п > 1ї иметь |а:,,-А| < Если теперь т > 1ї и п > ]7, то
Іазт - а:,,,| < |а:т - А| + Іагп - А| < %+% = г и, таким образом, проверено,
что сходящаяся последовательность фундаментальна.
Пусть теперь {.т;,} -фундаментальная последовательность. По за-
данному г > 0 найдем номер 1/` такой, что из т 2 1/' и Іс 2 ]ї следует
Іазт - :с;,,| < Фиксировав т = 1/', получаем, что при любом І: > 17
Є Є
І1З_;/-5-<.'І2;;<ІІ21ї~І-5, (1)
но поскольку имеется всего конечное число членов последовательно-
сти с номерами, не превосходящими 1ї , то мы доказали, что фун-
даментальная последовательность ограничена.
Для п Є М положим теперь ап := іпї тд, оп := зир сад.
ЁЁЙ Ьўп
Из этих определений видно, что ат, < а,,+1 < І›,,+1 < оп (поскольку
при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается,
а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков
[ат оп] имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку А.
1)Последовате11ьности Коши ввел Больцано, пытавпшйся, не располагая точным
понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последова-
тельности. Копш дал такое доказательство, приняв за очевидное принцип вложенных
отрезков, обоснованный впоследствша Кантором.

100 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
Поскольку при любом п Є Ш
Ь
ап5; $;Ьп›
апри/с>'п,
ап = іпї 1:1, < тд < Ѕиратд = Ьп,
КЗ К2п
то при /є 2 п имеем
|А-а:;,,| < Ьп -ап. (2)
Но из (1) следует, что при п > 1/'
гг , г
:п1г-- < 1пїа:;,=а.,,<Ь,,,=Ѕ11ра:;,<а:1/+-,
3 /6217, 162,1 З
поэтому при п > т
25
Сравнивая (2) и (З), находим, что при любом 1:: > 1ї
|А - ІЩСІ < Є,
и мы показали, что Ііш гад = А. Ь
Ь-ню
Пример 8. Последовательность (-1) (п = 1, 2, . . . ) не имеет пре-
дела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевид-
но, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения,
что последовательность фундаментальная, выглядит так:
Зє>07'1їЄІї ЕІп>]/ ЕІт>1ї(|а:т-шп|>є),
т. е. найдется є > 0 такое, что при любом 1/ Є Ш найдутся числа п, т,
большие ]/, для которых |а:т - :1:п| 2 Є.
В нашем случае достаточно положить є = 1. Тогда при любом 1ї Є М
будем иметь |:1:,;+1 - а:1г+2| = |1-(-1)| = 2 >1= є.
Пример 9. Пусть
1:1 = О, 1:2 = 0,041, 1:3 = 0,ог1ог2, , 113,», = 0,а1а2 . ..а,,, _.
-некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем
каждая следующая дробь получается дописыванием знака 0 или 1 к

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 101
предыдущей. Покажем, что такая последовательность всегда сходится.
Пусть т > п. Оценим разность шт - тп:
_ _ ап+1
(І
Ідїт
<
1 п+1 1 т+1
1 1 (5) -(Ё) 1
ЕЕЁ-Р...-1-'%= 1 Ё <%.
Таким образом, подобрав по заданному е > 0 число 1ї так, что Ё <
< е для любых т > п > 1ї, получаем оценку |аст - :а,,,| < 5% < Ё < е,
доказывающую фундаментальность последовательности
Пример 10. Рассмотрим последовательность {:вп}, где
3711,
1 1
=1+-+...+-.
2 п
Поскольку для любого п Є М
- =-- -- п--=-
|±›; <г| 1 + + 1 > 1 1
2 п п+1 п+п 2п 2,
то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.
Ь. Критерий существования предела монотонной последо-
ВЭТЄЛЬНОСТИ
Определение 8. Последовательность называется возраста-
ющей, если На Є Щ (:1:п < :1:п+1); неубывающей, если :/п Є М (тп <
< :1:,,,+1); невозрастающей, если `Чп, Є Ш (тп 2 :с,,,+1); убывающей, если
`</п Є Ш (тп > а:,,+1). Последовательности этих четырех типов называют
монотоннымй последовательностлми.
Определение 9. Последовательность называется ограничен-
ной свершу, если существует число М такое, что `г/п Є Ш (азп < М
Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу.
Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающал после-
довательность имела предел, необазоднмо й достаточно, чтобы она
была ограниченной сеерагу.

102 ГЛ. ПІ. ПРЕДЕЛ
4 То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было
доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательно-
сти, поэтому интерес представляет только второе утверждение тео-
ремы.
По условию множество значений последовательности {:1:п} ограни-
чено сверху, значит, оно имеет верхнюю грань 5 = Ѕир тп.
пЄІІ
По определению верхней грани, для любого Є > 0 найдется элемент
ат Є такой, что з - Є < изд < з. Поскольку последовательность
{:1:п} неубывающая, при любом п > П теперь получаем з - Є < 11: Ы <
< азп < з, т.е. |з - шп| = з - тп < є. Таким образом, доказано, что
Ііш гс,-,, = з. Ь
'П,_›ОО
Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и дока-
зать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу.
В этом случае Ііш кпп = іпї азп.
п-›оо п,ЄІІ
Замечание. Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невоз-
растающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна
ограниченности этой последовательности.
Рассмотрим несколько полезных примеров.
. П _
Пример 11. Іпп 7 - 0, если Ч > 1.
п-›оо (1
4 Действительно, если тп = Ё,-, то а:п+1 = %ш.,-,,, п Є М Посколь-
Куп1ьН;,-1%*=яє;(1+%)%=п1ьИ:о(1+%>~:ьП:,%=1~%=ё <1›
то найдется номер Ы такой, что при п > ]7 будет -7% < 1. Таким
образом, при п > 1/ будем иметь а:п+1 < азп, т.е. после члена 11: Ы наша
последовательность монотонно убывает. Поскольку конечное число чле-
нов последовательности, как видно из определения предела, не влияет
на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь
найти предел последовательности а:1;+1 > а:1/+2 >
Члены последовательности положительны, т. е. последовательность
ограничена снизу. Значит, она имеет предел.
Пусть ап = Ііш тп. Из соотношения а:п+1 = %а:,«,, теперь следует
'П,_›ОО
. . п+1 . п+1 . 1
11: = І1п1 (:1:п+1) = Іпп -і-азп = Іпп -- - Іпп тп = -:1:,
откуда находим (1- Ё) из = О и а: = 0. >

51. пгвдвл поолвдоытвльности
103
Следствие 1. Ііш {*/Е: 1.
'П-УОО
4 При фиксированном Є > О по доказанному найдется 1ї Є Щ такое,
что при п > 1/` будем иметь 1 < п < (1 + 6). Тогда при п > 17 получим
1 < {'/її < 1 + Є и, значит, действительно Іігп {'/Ё = 1. >
'П-›ї
Следствие 2. Ііш {'/Ёі = 1 при любом а > 0.
'ПЁХ
< Пусть а 2 1. Для любого Є > 0 найдем 1ї Є М так, что при п > ]7
1< 0, < (1 -І-5), и тогда при п > 1/' получаем 1 < {'/(Ё <1+є-:,т.е.
дав, И =1«
Если0<а,<1,то1<%и
. . 1 1
11111 З/(Ё: Іпп = =1. ›
п-›оо п-›оо ,, 1 . п 1
/Ё ,$520 /1
п
Пример 12. Ііш Ё- = 0; здесь (1-любое действительное число,
11,-)00 11,.
пЄ1ї, п!:=1-2-...-п.
4 Если 9 = О, то утверждение очевидно. Далее, поскольку
її:
П!
'П
= 1%-, то достаточно доказать утверждение для (1 > 0. Рассуждая в
этом случае, как и в предыдущем, замечаем, что :с,~,,+1 = По-
скольку множество натуральных чисел не ограничено сверху, найдется
номер ]/` такой что при п > 1/` будет О < -9- < 1. Тогда при п >
” п+1
> _ї7 будем иметь :сп+1 < 13,, и, учитывая положительность членов по-
следовательности, можно теперь гарантировать существование предела
Ііш 12,, = :1:. Но тогда
'П,_›ОО
э:= Ііш :1:,,,+1= 1іп1 і-а:,,,=1іп1 -і-~1іп1:с,,,=0›:с=0. Ь
п-›оо п-›оо 77, -{›- 1 п-›оо 77, + 1 п-›оо
с. Число е
Пример 13. Докажем существование предела Ііш 1+ Е
ТІ,-УОО
Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйле-
1 'П
ра буквой є, столь же характерное для анализа, как для арифметики 1
или для геометрии л. К нему мы еще неоднократно будем возвращаться
по очень разным поводам.
Проверим сначала следующее неравенство:
(1+ог)21+пог при пЄІї и ог>-1

104
ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
(называемое иногда неравенством Я. Бернуллиц).
4 При п = 1 утверждение справедливо. Если оно справедливо для
п Є Ы, то и для п + 1 тоже, поскольку тогда
(1 +о:)+1 = (1 + ог)(1-|-04) 2 (1+сн)(1+па) =
=1+(п+1)ое+па2>1+(п+1)а.
По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для
любого п Є Ш.
Из выкладки, кстати, видно, что при а уё 0 имеет место строгое
неравенство. Ь
п+1
Покажем теперь, что последовательность уп = (1 + убы-
вающая.
4 Пусть п 2 2.
її:
уп (1+-
Поскольку члены последовательности положительны,
- 1
предел 11п1 (1+ Е) .
'П-›ОО
Но тогда
(ЪЪЁ) _ п2 п _ 1 1 П
1)п+1_(п2_1)п°п+1_ +77/2_1
'П
Используя доказанное неравенство, находим, что
п
'П,
п+1
2
п
п+1
=1.
>1+ П П >1+1
/ 11,2-1п+1 п
существует
п+ 1
Ііш (1-Ъ -) = Ііш (1+ _) (1+ -) =
ТІ,-*ОО 'П, 'П-›ОО 'П, 'П
Итак,
Определение
1)Якоб Бернулли (
нитого семейства уч
теории вероятностей
1іп1(1+-) ~1іп1-Т=1іп1(1+-) .>
п-+оо 'п, п-›оо 1 + Я п-›оо п
10.
._ - 1
Є.- ІІҐП
'П-РОО
1654 - 1705) -швейцарский математик, представитель знаме-
еных Бернулли; стоял у истоков вариационного исчисления и

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 105
(1. Подпоследовательность и частичный предел последова-
те.льности
Определение 11. Если :1:1,а:2,...,:в,,,... -некоторая последова-
тельность, а п1 < 11,2 < < нд, < -возрастающая последователь-
ность натуральных чисел, то последовательность а:п,,а:,,,2, . . . ,:в,,,с, . ..
называется подпоследовательностью последовательности
Например, последовательность 1,3,5, . .. нечетнь1х натуральных
чисел, взятых в их естественном порядке, является подпоследователь-
ностью последовательности 1,2,3,... Но последовательность 3,1,5,
7,9, . .. уже не является подпоследовательностью последовательности
1,2,3, . ..
Лемма 1 (Больцано-Вейерштрасс). Каждая ограниченная после-
довательность действительньш: чисел содержит сагодящуюся подно-
следовательность.
4 Пусть Е -множество значений ограниченной последовательно-
сти Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка
св Є Е и последовательность п1 < п2 < номеров такие, что тп, =
= тп, = = аз. Подпоследовательность {авп,6} постоянна и, значит,
сходится.
Если Е бесконечно, то по принципу Больцано -Вейерштрасса оно
обладает по крайней мере одной предельной точкой аз. Поскольку 1: -
предельная точка Е, можно выбрать п1 Є Ш так, что Іазп, - :в| < 1. Если
нд, Є Щ уже выбрано так, что |а:,,,,,с - :в| < Ё, то, учитывая, что 1:-
предельная точка Е, найдем п;,+1 Є М так, что пк < пдд И |:в.,,,є+, - :17| <
< 1
Іс+ 1'
Поскольку Ііш 1 = О построенная подпоследовательность сс
/ь-›ьь 1* ' “
а:,,,2,...,:т:,,,,с,... сходится к :1:.›
Определение 12. Условимся писать тп -› +оо и говорить, что
последовательность стремится н плюс бесконечности, если для
каждого числа с найдется номер 1/' Є Щ такой, что дсп > с при любом
п > .7/`.
Запишем это и два аналогичных определения в логических обозна-
чениях:
(азп-›+оо):=`ч'сЄІК 31їЄ1ї `ч'п>1ї(с<:г,.,,),
(а:.,,-›-оо):=7'сЄ1К 3]/'ЕМ /п>1ї(:1:п<с),

106 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
(тп-›оо):=`</сЄ1К Э1/ЄІЧ 7'п>1/`
В последних двух случаях говорят соответственно: последователь-
ность стремитсл н минус бесконечности и последовательность
{:а,,,} стремится н бесноненности.
Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но
не стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности. На-
пример, азп = п(1)п.
Последовате.льности, стремящиеся к бесконечности, мы не причи-
сляем к сходящимся.
Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно
дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько
иначе.
Лемма 2. Из каждой последовательности действительньъш ни-
сел можно извлечь сазодлщуюсл подпоследовательность или подпосле-
довательность, стремлщуюсл н бесконечности.
< Новым является только тот случай, когда последовательность
не ограничена. Тогда по /є Є Щ будем выбирать пк Є М так, что
> /с и пд < п;,+1. Получим подпоследовательность {а:,,,с}, которая
стремится к бесконечности. >
Пусть {з:;,} -- произвольная последовательность действительных чи-
сел. Если она ограничена снизу, то можно рассмотреть (уже встречав-
шуюся нам при доказательстве критерия Коши) последовательность
іп = тд. Поскольку 11,, < іп+1 для любого п Є Ы, то либо последова-
тельность имеет конечный предел Ііш іп = І, либо іп -› +оо.
'П,_›ОО
Определение 13. Число І = Іітп іпї тд называется нижним пре-
'П,-›ОО 19271,
делом последовательности {а:;,} и обозначается Ііш 1:1, или Іішіпїшд.
. /с-›оо І°_*°°
Если 1,, -› +оо, то принято говорить, что нижнии предел последо-
вательности равен плюс бесконечности, и писать Ііш тд = -І-оо или
К:-›оо
Іішіпї тд = +оо. Если исходная последовательность {ш;,} не ограничена
/с-›оо
снизу, то при любом п Є Ы будем иметь іп = Ііпї тд, = -оо. В этом
>п
/
случае говорят, что нижний предел последовательности равен минус
бесконечности, и пишут Ііт жд = -оо или Іішіпїагд = -оо.

ЁІ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 107
кратко опред
д
М ВСЄХ ПЄРЄЧИСЛЄННЬІХ ВОЗМОЖНОСТЄЙ ЗЭЛИШЄМ ТЄПЄРЬ
Итак, с учето
последовательности {а:,с}:
ЄЛЄНИЄ НИЖНЄГО ПРЄДЄЛЭ.
Ііш тд := Ііш іпї изд.
К_›(ю 7Ъ_›ХЁ>Т1,
ассматривая последовательность 3,, = Ѕцр гид, прихо-
Іс>п
Аналогично, р ,
/
им к определению верхнего р
Опред
Приведе
Пример 14. тд-
п едела последовательности
еление 14.
Ііш жд := Ііш Ѕирагд.
А;_›00 п-›оо ,$211
м несколько примеров.
_ (-1),“, /є Є М:
' -1пп1дг$д==1цпіпір<ц”==13п(-1):-д
Іпп жд _
К_Юо п-›оо];>п п-›ооА;;д
° -птыщьц*=нт1=ъ
Ііш тд = Іпп Ѕиразд _
'П,'_›Ж) > 'П,_›ОО
/С-ЮО -*°° кгп /<›,п
Пример 15. аз;,,-
-ьРт,кеМ
“Щ” г пыЫ*”=пт0=а
Цщ /є = 1п1
К_Юо п-›оо]<;>т;, п-›оо
И /є(_1)к = Ііш Ѕир /с(`1)К = 1іп1(+оо) = +оо.
д;_›оо п-›оо дед п-›оо
6 -/с,/ЄЄМ:
Пример 1 . тд _
Цщ Іс=1ішіпі`/~с=1іш п=+оо,
,с_Юо п-›оо];;п п-›оо
ЁГ1 Іє = Ііш Ѕиріє = 1іп1(+оо) = +оо.
А;-›0о 'п,-›оо 192,” п-›оо
_- (_1)Ь К Є М:
Пример 17. :1:;с _ -1-,
Ііш
Іс-+оо
1: --1,5, если п=2т+1
-1* -4
Ц =1ішіпїц =1іш
/С п-›ооІс2п Ё п-›оо _Ё{.Т, если П : 2т

108 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
1
__ _1/С _1н -, если п=2т
Ііш Ц = 1іп1 Ѕирц = Ііп1 п1 =0.
К-*°° Ё *°°/«гл 1* **°° -_п+,, если п,=2т+1
Пример 18. тд = -/с2, К Є Щ:
пт (-/8) = пт ті (-/8) = -во.
І:-›оо п_›°° КЗ
Пример 19. азд, = (-1)І°І<:, /с Є Щ:
Щ (-1)”/С = пт тг(-1)~=ь = пт (-во) = -ьь,
К__›оо 'П->ООІ:;>'п, 'ГІ.-›0О
М (-1)*/< = пт т1р(-1)*/< = пт (+00) = +<×>.
І;-›00 ТІ,->ОО Ьгп 'П-›ОО
Чтобы разобраться в происхождении терминов «верхний» и «ниж-
ний» пределы последовательности, введем следующее
Определение 15. Число (или символ -оо или +00) называют на-
стичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследова-
тельность, стремящаяся к этому числу.
Утверждение 1. Нижний и верагний пределы ограниченной по-
следовательности лвллютсл соответственно наименьшим и наиболь-
шим из ее настинньш: пределовї).
4 Докажем это, например, для нижнего предела і = Ііш тд. Про
1::-›оо
последовательность іп = іпї тд, нам известно, что она неубывающая и
Ісўп
Ііш 11,, = і Є К. Для чисел п Є Щ, используя определение нижней грани,
П-+00
по индукции подберем числа /сп Є Ш так, что /сп < /<:,,,+1 и ідп Ѕ 1131,” <
< ідп + (Взяв і1, найдем /с1; взяв і;,1+1, найдем /є2; и т.д.) Поскольку
Ііш іп = Іітп + = і, то, опираясь на свойства предела, можем
'П,_›ОО 'П,_›ОО . О
утверждать, что 11п1 аздп = 2. Мы доказали, что 1-частичныи предел
'П-›ОО
последовательности Это наименьший частичный предел, посколь-
ку для каждого Є > 0 найдется Число п Є Ы такое, что і - Є < іп, т.е.
і-Є <1},,, ёёпїазд < тд прилюбом /с 2 п.
2п
“При этом считаются принятыми естественные соотношения -оо < 2: < +оо
между символами -оо, +00 и числами 11: Є К.

Ё1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 109
Неравенство і - е < азд при /с > п означает, что ни один частичный
предел нашей последовательности не может быть меньше і- г. Но г > О
произвольно, поэтому он также не может быть меньше і.
Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично про-
веденному. >
Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу,
то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к -оо.
Но в этом случае и 1іп1 азд = -оо и можно условиться считать, что сно-
І:-›оо
ва нижнии предел есть наименьшии из частичных пределов. Верхнии
предел при этом может быть конечным, и тогда по доказанному он
является наибольшим из частичных пределов° он может быть и бес-
7
конечным. Если Ііш азд = +оо, то последовательность не ограничена
Іс-›оо
также и сверху и можно выделить подпоследовательность, стремящую-
ся к +оо. Если же Ёіш агд = -оо, что тоже возможно, то это означает,
->ОО
что Ѕир азд = зд -› -оо, т. е. и сама последовательность {:сд} стремится
Ісўп
к -оо, ибо зп 2 сад. Аналогично, если Ё агд = +оо, то асд -› +оо.
І:-›оо
Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что спра-
ведливо
Утверждение 1'. Для любой последовательности нижний пре-
дел есть наименьший из ее настинньш: пределов, а верагний предел по-
следовательности -наибольший из ее настиннькв пределов.
Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремит-
сл к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае,
когда нижний и вершний пределы последовательности совпадают.
4 Случай, когда Ііш тд = Ііш а:д = +оо, и случай, когда Ііш азд =
Іс-›оо ,°_Ю° Ія:-+оо
= Ёігп азд = -оо, уже разобраны выше, поэтому можно считать, что
-УОО
1іп1 изд = 1іп1 азд = А Є К. Поскольку ід = іпї тд < азд < зпразд = зд
;С_›оо 16-›о0 /9217, 16271
и по условию 1іп1 ід = 1іп1 зд = А, то по свойствам предела также
. ТІ›_>ОО 'ГЬ_›0О
11п1 тд = А. Ь
71,-›ОО
Следствие 2. Последовательность сгсодитсл тогда и только то-
гда, когда сагодитсл любая, ее подпоследовательность.

110 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
4 Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены
между нижним и верхним пределами самой последовате.льности. Если
последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпа-
дают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследователь-
ности, откуда вытекает ее сходимость, причем, разумеется, к пределу
всей последовательности.
Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследо-
вательности можно взять саму последовательность. Ь
Следствие 3. Лем./на Бо./ъьиано -Вейерштрасса как в узкой, так
и в расширенной формулировке вытекает из утверждения 1 и утвер-
ждения 1' соответственно.
4 Действительно, если последовательность {а:;,} ограничена, то точ-
ки і = Ііш тд и з = 1іп1 изд конечны и по доказанному являются ча-
д_›оо /С-›00
стичными пределами последовательности. Только при і = з последова-
тельность имеет лишь одну предельную точку; при і < з их уже по
крайней мере две.
Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то су-
ществует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бес-
конечности. Р
Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некото-
рым превышением) все три пункта намеченной перед началом парагра-
фа программы: дали точное определение предела последовательности,
доказали единственность предела, выяснили связь операции предельно-
го перехода со структурой множества действительных чисел, получили
критерий сходимости последовательности.
Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень
полезный вид последовательностей _ ряды.
4. Начальные сведения о рядах
а. Сумма ряда и критерий Коши сходимости ряда. Пусть
{а,п} --- последовательность действительных чисел. Напомним, что сум-
Ч
му ар + ир+1 + . . . + ад (р < (1) принято обозначать символом 2 ап. Мы
п=р
хотим теперь придать точный смысл выражению а1 + а2 + + ап +
+ ..., подразумевающему суммирование всех членов последовательно-
сти {ап}.

ЁІ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 111
Определение 16. Выражение а1 + а2 + + ап + обознача-
ОО
ют символом 2 ап и обычно называют рядом или бесконечным рядом
п-1
(чтобы подчеркнуть отличие его от суммы конечного числа слагае-
мых).
Определение 17. Элементы последовательности {а,,}, рассматри-
ваемые как элементы ряда, называют членами ряда; элемент ап назы-
вают п-м членом ряда.
П
Определение 18. Сумму зп = Еад называют частичной сум-
/6:1
мой ряда или, когда желают указать ее номер, п-й частичной суммой
рядаї).
Определение 19. Если последовательность {з.,,} частичных сумм
ряда сходится, то ряд называется сагодящимся. Если последователь-
ность {зп} не имеет предела, то ряд называют рассводящимся.
Определение 20. Предел Ііш 3,, = з последовательности частич-
'П,_›ОО
ных сумм, если он существует, называется суммой ряда.
Именно в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать запись
ОО
Ёа,,=з.
п=1
Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости последователь-
ности его частичных сумм {зп}, то применением к {зп} критерия Коши
сразу получается
Теорема 6 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд а1 +. . .+а,,,+. . .
сазодится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется
такое число 1/' Є Ы, что из т 2 п > 1ї следует Іап + . . . + ат| < е.
Следствие 4. Если в ряде изменить только конечное число чле-
нов, то нолучающийся при этом новый ряд будет сагодиться, если саго-
дился исазодный ряд, и будет расшодиться, если исагодньъй ряд рассло-
дился.
“Таким образом, на самом деле под рядом мы подразумеваем упорядоченную пару
'П
({ап}, {з.,,,}) последовательностей, связанных соотношением `</п Є Ы (вт, = Е ад).
1с=1

112 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
4 Для доказательства достаточно в критерии Коши считать чи-
сло 1ї превышающим максимальный из номеров измененных членов
ряда. Ь
Следствие 5. Для того чтобы ряд а1 + + ап + сшодился,
нєобагодимо, чтобы его члены стремились к ну./по при п -› оо, т. є.
необазодимо Ііш ап = 0.
'П-УСХЭ
< Достаточно положить в критерии т = п и воспользоваться опре-
делением предела последовательности. Ь
Вот другое доказательство: ап = зп - з,,_1 и, коль скоро Ііш 5,, =
'П-#00
= з, имеем 1іп1 ап = 1іп1(з.,, - з,,_1) = 1іп1 5,, - Ііш з,,_1 = з - з = 0.
'П-Ух 'П-*ОО 'П,_›ОО П-УСЮ
Пример 20. Ряд 1 + (1 + 92 + . . . + 9 + . . . часто называют суммой
бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем его сходимость.
Поскольку |с1| = |<1|, то при |с1| 2 1 будет |<1”| 2 1 и в этом случае
не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пусть теперь |(1| < 1. Тогда
1__ 'П
$п=1+Ч+...+Ч°1=-і
1-Ч
и Ііш эт, = ї-д, поскольку 1іп1 9 = 0, если |с1| < 1.
п-›оо _ Ч п-›оо
ОО
Таким образом, ряд Е с11 сходится тогда и только тогда, когда
п=1
|<1| < 1 и в этом случае его сумма равна ї-Ёд.
Пример 21. Ряд 1 + Ё + . . . + -,Ё + . . . называется гармоническим,
поскольку каждыи член этого ряда, начиная со второго, является сред-
ним гармоническим соседних с ним членов (см. задачу 6 в конце этого
параграфа).
Члены ряда стремятся к нулю, но последовательность его частич-
ных сумм
' 1 1
Ѕпї1+'-+...+_,
2 п
как было показано с помощью критерия Коши в примере 10, расходится.
Это означает в данном случае, что зп -› +оо при п -› оо.
Итак, гармонический ряд расходится.
Пример 22. Рассмотрим теперь следующий пример.

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 113
Ряд 1 - 1 +1 - . . . + (-1)''+1 + . .. расходится, что видно и по после-
довательности 1,0,1,0,... его частичных сумм, и по тому, что члены
ряда не стремятся к нулю.
Если расставить скобки и рассмотреть новый ряд
(1-1)+(1-1)+...,
членами которого являются суммы, заключенные в скобки, то этот но-
вый ряд уже сходится, причем его сумма, очевидно, равна нулю.
Если скобки расставить иначе и рассмотреть ряд
1+(-1+1)+(-1+1)+...,
то получится сходящийся ряд с суммой, равной 1.
Если в исходном ряде переставить все члены, равные -1, на две
позиции вправо, то получим ряд
1+1-1+1-1+1-...,
расставив в котором скобки, придем к ряду
(1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...,
сумма которого равна двум.
Эти наблюдения показывают, что привычные законы обращения с
конечными суммами, вообще говоря, не распространяются на ряды.
И все-таки есть важный тип рядов, с которыми, как это потом вы-
яснится, можно обращаться так же, как с конечными суммами. Это так
называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно с ними мы главным
образом и будем работать.
Ь. Абсолютная сходимость; теорема сравнения и ее след-
ствия -
Х
Определение 21. Ряд Е ап называется абсолютно сходящимся,
Оо п=1
если сходится ряд Е |а,,|.
п=1
Поскольку |а,п+. . .+ат| < |а,,|+. . .+|ат|, из критерия Коши следует,
что если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
То, что обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т. е.
что абсолютная сходимость есть требование более сильное, чем просто
сходимость ряда, можно продемонстрировать на примере.

114 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Пример 23. Ряд 1 - 1 + Ё - Ё + Ё - Ё + ..., частичные суммы
которого равны либо %, либо 0, сходится к нулю.
Вместе с тем ряд из абсолютных величин его членов
1+1+1+1+1+1+
2 2 3 3
расходится, что, как и для гармонического ряда, следует из критерия
Коши:
1 1 1 1 _
+ +...+ + -
п+1 п+1 п+п п+п
1 1 1
=2(-_-І~...+:-)>2п-ї=1.
п+1 п+п п+п
Для того чтобы научиться отвечать на вопрос, сходится ли ряд аб-
солютно или нет, достаточно научиться исследовать на сходимость ря-
ды с неотрицательными членами. Имеет место
Теорема 7 (критерий сходимости рядов с неотрицательными чле-
нами). Ряд а1 +. . . -1-ап +. . . , члены которого - неотрииательные ни-
сла, сагодится тогда и только тогда, когда последовательность его
настинныа: сумм ограничена сверагу.
4 Это следует из определения сходимости ряда и критерия сходимо-
сти неубывающей последовательности, каковой в данном случае являет-
ся последовательность Ѕ1 < 32 < < 3,, < частичных сумм нашего
ряда. Ь
Из этого критерия вытекает следующая простая, но на практике
очень полезная
ОО ОО
Теорема 8 (теорема сравнения). Пусть 2 ап, 2 оп -два ряда
п=1 п=1
с неотрицательными членами. Если существует номер П Є Щ та-
кой, нто при любом п > 1/ имеет место неравенство ап < оп, то из
ОО Х
сшодимости ряда 2 6,., вытекает сагодимость ряда Е ап, а из расто-
п=1 п=1
Х Х
димости ряда 2 ап вытекает расісодимость ряда Е оп.
п=1 п=1
4 Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ря-
да, можно без ограничения общности считать, что ап < оп для любого

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 115
'П 'П ОО
п Є Ш. Тогда Ад = Е ад < Е Ьд = Вп. Если ряд 2 дп сходится,
1с=1 /6:1 п=1
то последовательность {В.,,}, не убывая, стремится к пределу В. То-
гда Ад < Вт, < В при любом п Є Ы и, следовательно, последователь-
Ж
ность {А,,} частичных сумм ряда 2 ап ограничена. В силу критерия
'П,=1 Оо
сходимости ряда с неотрицательными членами (теорема 7) ряд 2 ап
'п.=1
сходится.
Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, немедлен-
но получаем из уже доказанного. Ь
1 1 1
О ііі і- ііі >
Пример 24 Поскольку п(п+1) < П2 < (п_1)п при п , 2, по
ОО ОО
теореме сравнения заключаем, что ряды 2 -% и Е -% сходятся
1 'П
П: : п(п+ 1)
З
›-›
или расходятся одновременно.
Но последний ряд можно просуммировать непосредственно, заме-
'П
1 1 1 1 1
ТИВ, ЧТО ПП-Б = Е '_ ті И ПОЭТОМУ К; Ъїїб :ї 1 _ ЗНЁІЧИТ,
ЁИ8
ЁИ8
зю ,_.
= 1. Следовательно, ряд _ также является сходящимся.
п(п + 1) =
00 2
Любопытно, что Е % = В дальнейшем это будет доказано.
п=1 п
Пример 25. Следует обратить внимание на то, что теорема срав-
нения относится только к рядам с неотрицательными членами. Дей-
ствительно, положим, например, ап = -п, а Ьп = 0, тогда ап < оп, ряд
Х ОО
2 Ьп сходится, но ряд 2 ап расходится.
п=1 п=1
Следствие 1 (мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной
Х Х
сходимости ряда). Пусть 2 ап и 2 оп -два ряда. Пусть существу-
п=1 п=1
ет номер 1/' Є Ы такой, что при любом п > 1/' имеет место соотно-
шение |а,,| < оп. При этиа: условияа: для абсолютной сазодимости ряда
Х Х
2 ап достаточно, чтобы ряд 261,, сагодился.
п=1 п=1
Х
4 Деиствительно, по теореме сравнения тогда ряд 2 |ап| будет
п=1
Ш)
сходиться, что и означает абсолютную сходимость ряда 2 ап. Ь
'п,=1

116 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Этот важный достаточный признак абсолютной сходимости часто
формулируют кратко: если нлены ряда (по абсолютной величине) ма-
жорируются членами сагодящегося числового ряда, то исазодный ряд
сагодится абсолютно.
Х . .
Пример 26. Ряд 2 їёъ- абсолютно сходится, так как -Ё; <
'п=1 п
Х
1 1
< Ё, а ряд 2 її, как мы выяснили в примере 24, сходится.
н=1
Х
Следствие 2 (признак Коши). Пусть 2 ап -данный ряд и а =
'п=1
= Ііш /|а,,|. Тогда справедливы следующие утверждения:
П,-РОО
СЮ
а) если а < 1, то ряд 2 ап абсолютно сазодится;
п=1
ї)
Ь) если а > 1, то ряд 2 ап расшодится;
п=1
с) существуют нан абсолютно сшодящиеся, так и расагодящиеся
ряды, для ноторьш: а = 1.
4 а) Если а < 1, то можно выбрать число (1 Є К так, что а < (1 < 1.
Фиксировав число (1, в соответствии с определением верхнего предела
найдем номер 1/ Є Ы такой, что при н > 1ї выполнено 2/ |ап| < (1. Таким
Х
образом, при н > 1/` будем иметь |а,,,| < Ч” и, поскольку ряд 2 9
. п,:]_
СХ)
при |с1| < 1 сходится, ряд 2 ап (по теореме сравнения или признаку
п 1
Вейерштрасса) сходится абсолютно.
Ь) Поскольку ое является частичным пределом последовательности
{а,,,} (см. утверждение 1), то найдется подпоследовательность {ащ}
такая, что Ііш ё/атс = а. Если а > 1, то найдется номер К Є Ш такой,
Іє-›оо
что при любом /є: > К будет |а«,»,,,с| > 1, тем самым необходимое условие
СЮ
сходимости (ап -› 0) для ряда 2 ап не выполнено и он расходится.
п=1
°° 1 °° 1
с) Мы уже знаем, что ряд 2 - расходится, а ряд 21? сходится
11,: 17,:
(абсолютно, так как = Вместе с тем Й '</Ё = Ііш % = 1
п, 11, 2 п-›оо п-›оо /Ё
и Е 3/Ё-=1іп1,/і=1іш(1) =1.>
п-›оо 11,2 п-›оо 112 п-+оо Й

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 117
Пример 27. Исс.ледуем, при каких значениях сс Є К ряд
ОО
2 (2 + <-1›› Ю
3
›-1
сходится.
_ ў ' - = Т: -- п =
Подсчитаем а _ +( |2 +( 1) |
Таким образом, при < Ё- ряд сходится и даже абсолютно, а при
|:1:| > Ё ряд расходится. Случай = Ё требует специального рассмо-
трения. В нашем примере оно элементарно, ибо при = Ё для четных
21:
значений п имеем (2 + (-1)2'°) шт” = 32,” = 1 и ряд расходится,
ПОСКОЛЬКУ ДЛЯ НЄГО НЄ ВЫПОЛНЄНО НЄОбХОДИМОЄ УСЛОВИЄ СХОДИМОСТИ.
ОО
Следствие 3 (признак Даламберац). Пусть для ряда 2 ап су-
п=1
(1
ществует предел %'і = а. Тогда справедливая следующие ут-
верждения:
оо
8.) ЄС./Ш О! < 1, т0 ряд Е ад С$0дитС.Я 0,660./ІЮТП/НО;
п=1
оо
Ь) если о: > 1, то ряд 2 ап расшодится;
п=1
с) существуют как абсолютно сагодящиеся, так и расагодящиеся
ряды, для которыш а = 1.
4 а) Если а < 1, то найдется такое число 9, что а < (1 < 1; фикси-
ровав (1 и учитывая свойства предела, найдем номер 1/' Є М такой, что
(1
при любом п > 1ї будет % < (1. Поскольку конечное число членов не
влияет на характер сходимости ряда, без ограничения общности будем
(1
считать, что -2721 < (1 при любом п Є Ы.
Поскольку
0/п+ 1 ап 02 ап+ 1
ап ап-1 01 01
ОО
мы получаем, что |ат,,+1| < |а1| -41. Но ряд 2 |а1|с1' сходится (его
3
о-›
Х
сумма, очевидно, равна Ё), поэтому ряд Е ап абсолютно сходится.
'п.=1
ИЖ. Л. Даламбер (д'Аламбер) (1717 - 1783) -французский ученый, прежде всего
механик, входивщий в группу философов-знциклопедистов_

118 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Ь) Если а > 1, то, начиная с некоторого номера 1ї Є М, при любом
(1
п > 1ї будем иметь %:`-Ё > 1, т. е. |а,,| < |ап+1|, и, следовательно, для
ряда 2 ап не выполнено условие ап -› 0, необходимое для сходимости.
'п=1
с) Примерами в данном случае, как и в признаке Коши, могут слу-
Х ОО
1 1
жить ряды 2 Е и 2 7. Ь
п=1 п=1 77*
Пример 28. Выясним, при каких значениях :1: Є К сходится ряд
Х
1
Е НПЗ.
п=1 °
При из = О он, очевидно, сходится и даже абсолютно.
. а,,+1 _ . _
При ш 7Є 0 имеем ПІЬІЕО ап _ ПІЬІВО --тп + _ 0.
Таким образом, этот ряд абсолютно сходится при любом значении
:вЄ1Е..
Рассмотрим, наконец, еще один более специальный, но часто встре-
чающийся класс рядов: ряды, члены которых образуют монотонную
последовательность. Для таких рядов имеет место следующий необхо-
димый и достаточный признак сходимости.
Х
Утверждение 2 (Коши). Если а1 2 аг 2 2 0, то ряд 2 ап
'п=1
Х
сшодитсл тогда и только тогда, когда сазодитсл ряд Е 2'°а2ь = а1 +
+2а2+40,4+80,8+... ,є:0
4 Поскольку
02 < 02 < 01,
204 < 0›з + 04 < 202,
408 < 0з+0в+07-І-118 < 404,
2па«2п+1 < а,2п+]_ + . . . + а2п+1 < 2па,2^п.,
то, складывая эти неравенства, получим
1
5 (5п+1 _ 01) Ѕ А2п+1 - 01 < 51»,

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 119
где Ад = а1 +. . .+а,;,, Ѕп = а1 +2а2+. _ .+2а2п -частичные суммы рас-
сматриваемых рядов. Последовательности {А;,} и {Ѕп} неубывающие,
и потому из полученных неравенств можно заключить, что они либо
одновременно ограничены, либо одновременно не ограничены сверху.
Но по критерию сходимости рядов с неотрицательными членами отсю-
да следует, что рассматриваемые два ряда действительно сходятся или
расходятся одновременно. Ь
Отсюда вытекает полезное
ОО
Следствие. Ряд 21% саюдится при р > 1 и расэзодитсл при
пї
р< 1.1)
4 Если р 2 0, то по доказанному наш ряд сходится или расходится
вместе с рядом
оо 1 оо Ь
Іс _ 1-р
22 (2/:)Р _2(2 )*
А:=0 Іс=0
а для сходимости последнего ряда необходимо и достаточно, чтобы
было (1 = 21? < 1, т.е. р >1.
ОО
Если р < 0, то расходимость ряда 2: -% очевидна, поскольку в этом
п=1 п
случае все члены ряда больше 1. Ь
Х
Важность этого следствия состоит в том, что ряд 2 % часто слу-
п=1 П
жит основой для сравнения при исследовании сходимости рядов.
с. Число е как сумма ряда. Заканчивая рассмотрение рядов, вер-
немся еще раз к числу е и получим ряд, доставляющии уже довольно
удобный способ вычисления є.
Мы будем использовать формулу бинома Ньютона при разложении
выражения (1 + . Те, кто не знаком с этой формулой из школы или
не решил задачу 15) из гл. П, Ё2, могут, без потери связности изложе-
ния, опустить настоящее добавление о числе є и вернуться к нему после
формулы Тейлора, частным случаем которой можно считать формулу
бинома Ньютона.
1) Формально в нашей книге мы пока. определили пр только для рациональных
значений р, поэтому читатель тоже пока вправе понимать это утверждение только
для тех р, для которых определено пр .

120 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
72
Нам известно, что е = Ііш (1 + .
П.-+00
По формуле бинома Ньютона
1+1_1+п1+п(п-1)1+ +
п _ 1!п 2! п2
'п,(п-1)...(п-/с+1)1 1
+ И п,с+ +пп
1 1 1 1 2
×(1_ш)+.,_+;(1_±),_.(1-ш),
'П П. ТЬ 'П
'П
Полагая (1+%) = єп и 1+1+%ї+...+% =з,,, таким образом,
имеем еп < зи (п = 1,2,...).
С другой стороны, при любом фиксированном /с и п 2 Аг, как видно
ИЗ ТОГО ЖЄ РЗЗЛОЖЄНИЯ, ИМЄЄМ
1 1 1 1 Іє-1
1+1+-1-- +...+- 1-- 1-і <е.,,.
2! п Іс! п п
При п -› оо левая часть этого неравенства стремится к зд, а пра-
вая -к е, поэтому мы теперь можем заключить, что зд < е для любого
Іс Є М.
Но тогда из соотношения
еп < зп < е
при п -+ оо получаем, что Ііш зп = в.
'П-РОО
В соответствии с определением суммы ряда мы теперь можем запи-
сать
е-1+1+1+ +1+
_ 1! 2! п!
Это уже вполне пригодное для вычисления представление числа є.
Оценим разность е - зп:
о<в-3 ---Ь-+-4-+ -
п_('п,+1)! (п+2)! 'П-

Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 121
=ЄГ3Ы[1+пїЬ2+(п+2)1(п+з) <
1 1 1
[
<ї 1+ + +... =
(п+1)! п+2 (п+22
› ]
1 1 п+2 1
= 1 =--т<_.
(п+1)!1-гг-5 п!(п+1) п!п
Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа
є числом зп не превосходила, например, 10_3, достаточно, чтобы было
Ей < Этому условию удовлетворяет уже 36.
Выпишем несколько первых десятичных знаков чис.ла є:
е = 2,7182818284590 . . .
Полученную оценку разности е-5,, можно записать в виде равенства
0
е=зп+-Ё-, где 0<є9,,,<1.
п.п
Из такого представления числа е немедленно следует его иррацио-
нальность. В самом деле, если предположить, что е = Ё, где р,с1 Є Ы,
то чис.ло с1!е должно быть целым, а вместе с тем
9 (11 (11 Ч! 04
(1!е=9!(з +-(д)=с1!+-+-+...+-+-
Ч (119 1! 2! Ч! (1
и тогда число %ї тоже должно быть целым, что невозможно.
Для сведения читателя отметим, что число е не только иррацио-
нально, но даже трансцендентно.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что число а: Є ІК рационально тогда и только тогда, когда
его запись в любой 11-ичной системе счисления периодична, т.е., начиная с
некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр.
2. Мяч, упав с высоты Іъ, подскакивает на высоту (111, где 11-постоянный
коэффициент, 0 < (1 < 1. Найти время, за которое он окажется покоящимся на
земле, и путь, который он к этому моменту пролетит.
3. На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фик-
сированной ее точки поворотами окружности на всевозможные углы в п Є И
радиан. Укажите все предельные точки построенного множества.

122 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
4. Выражение
1
11,1 + 1 ,
'П/2 + п
'П,3+
'. 1
1
пк-1 + -
пк
где щ Є М, называется конечной цепной или непрерывной дробью, а выражение
1
п1+-і-_Ґ
..|_ ї__
П/2 'ГЪ3+
- бесконечной цепной дробью. Дроби, получающиеся из цепной дроби при от-
брасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, называют подазодя-
щими дробями. Бесконечной цепной дроби в качестве значения сопоставляется
предел последовательности ее подходящих дробей.
Покажите, что:
а) Каждое рациональное число 1%”-, где т,п Є Ы, может быть разложено и
притом единственным способом в конечную цепную дробь
т 1
+ ›
п (11 Ч2-І- 1
1
Чп-1 + _
Чп
считая, что 11,, 75 1 при п > 1.
Указание. Числа (11, . . . ,с1,,, называемые неполными частными, получа-
ются из алгоритма Евклида
т=П'Ч1 +1`1,
'д»=7`1'Ч2+7'2›
1`1=1'2°Чз+1з›
если его записать в виде
т_ + 1 _ + 1
п Ч1 п!Т1 _`Ч1 Ч2+..

51. пгвдвл послвдовАтЕльности 123
Ь) Подходящие дроби В1 = (11, В2 = (11 + Ё, удовлетворяют неравен-
СТВЗМ тп
В1<В3<...<В2/9-1 <Е-<В21д<Е2д;._2<...<Е2.
с) Числители Рд и знаменатели Од подходящих дробеи ВК формируются
по закону
Рь = Ри-1% + Ри-2, Р2 = 411112, Р1 = Ч1›
О/С = 910-ІЧЁ + ОК-27 О2 : Ч2› 01 :
(1) Разность соседних подходящих дробей вычисляется по формуле
н н - (`1)к (/«> 1)
Ь ,РІ 62/«С2/С-1 °
е) Каждая бесконечная цепная дробь имеет определенное значение.
ї) Значение бесконечной цепной дроби иррационально.
1 + 5 1
8, _л 1 1, ___.
2 1
1 + -_-
1 +
11) Числа Фибоначчи 1,1, 2,3, 5,8, . . . (т.е. ип = ип_1 +и,,_2 и и1 = 11,2 = 1),
получающиеся как знаменатели подходящих дробей в 5), задаются формулой
и _ і 1 + /5 _ 1 _ ×/5
/5 2 2 '
і) Подходящие дроби Нд = 3% в 5) таковы, что -
Ё
/
Сравните этот результат с утверждениями задачи 11, Ё2, гл. П.
5. Покажите, что
а) при п 2 2 справедливо равенство
1+і+і+ +і+і-=з__Ь- -__ї_~
1! 2! п! пїп 1-2-2! (п-1)п-п!,
Х
= _ 2 1 .
Ь) Є 3 то (П + 1)(п + 2)(п + 2)1*
с) для приближенного вычисления числа е значительно лучше формула
ен 1+%+...+%+пїтанеисходнаяформулаен 1+%+...+% (оцените
погрешности, посчитаите и сравните результат со значением є, приведенным
на с. 121).
6. Если а и Ь _ положительные числа, а р _ произвольное отличное от нуля
вещественное число, то средним порядка р чисел а и Ь называется величина
Р + ЬР 1/Р
Ѕ”(“*'”) 2 )

124 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
В частности, получаем при р = 1 среднее арифметическое, при р = 2-
среднее квадратическое, при р = -1 -среднее гармоническое чисел а, Ь.
а) Покажите, что среднее Ѕ,,(а,,Ь) любого порядка заключено между чи-
слами а и Ь.
Ь) Найдите пределы последовательностей
{Ѕп(а, Ь)}, {Ѕ_п(а,,
7. Покажите, что если а > 0, то последовательность а:п+1 = Ё (изд + Ё)
при любом а:1 > 0 сходится к арифметическому квадратному корню из а.
Оцените скорость сходимости, т. е. величину абсолютной погрешности
|:в,, - /Б| = |Ап| в зависимости от п.
8. Покажите, что
а) Ѕ0(п) = 1°+...+п° =п,
Ѕ1(п) =11 +...+п1 = 73%) = %п2+-п,
Ѕ2(п) = 12 +...+п2 = (+1Ё,(2+1)= -из + Ёп” + Ё-П,
2
Ѕ3(п) = -П ї 1 = %п4 + ёпз + Ёі-п2,
и вообще
°3|,_вЁЭі-
Ѕ;,(п) = а;,+1п'°'1 + _ . . + а1п + ао
-многочлен от п степени І: + 1.
- Ѕ п
)_ 1
Ь)п1Ь“ёо7ЁЁ-И-г1т~
52. Предел функции
1. Определения и примеры. Пусть Е-некоторое подмножест-
во множества ІК действительных чисел и а-предельная точка множе-
ства Е. Пусть І : Е -› К-вещественнозначная функция, определенная
на Е.
Мы хотим записать, что значит, что при приближении точки вв Є Е
к а значения І (аг) функции І приближаются к некоторому числу А, ко-
торое естественно назвать пределом значений функции ] или пределом
функции І при аг, стремящемся к а.
Определение 1. Будем (следуя Коши) говорить, что функция І :
Е -› К стремится гс А при із, стремящемся к а, или что А является
пределом функции І при ш, стремящемся гс а, если для любого числа
є > О существует число 5 > 0 такое, что для любой точки из Є Е такой,
что 0 < |а: - а| < б, выполнено соотношение |]` - А| < е.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 125
В логической символике сформулированные условия запишутся в
виде
1г>0 Э6>0 НШЄЕ (0<|а:-а|<б=>|і(:1:)-А|<є).
Если А -предел функции І при ап, стремящемся по множеству Е
к точке а, то пишут ]`(а:) -› А при а: -› съ, сс Є Е, или Ііш ](:1:) = А.
а:-›а.,:1:ЄЕ
Вместо символа св -› а, а: Є Е, мы, как правило, будем использовать
более короткое обозначение Е Э сс -› а и вместо Ііш Е І будем
:с-›а.,:сЄ
писать а І = А.
Пример 1. Пусть Е = К 0, ]'(а:) = асзіп Проверим, что
. . 1
11ш 11: Ѕ1п - = 0.
ЕЭа:-›0 117
Действительно, при заданном Є > 0 возьмем 5 = 5, тогда при О <
. . 1
< < 5 = є, учитывая, что Іаз Ѕ1п% < |:с|, будем иметь ща: 51115 < є.
Из этого примера, кстати, видно, что функция 1” : Е --› В может
иметь предел при Е Э а: -› а, даже не будучи определенной в самой
точке а. Как раз эта ситуация чаще всего имеет место при вычислении
пределов и, если вы обратили внимание, это обстоятельство учтено в
определении предела в виде неравенства 0 < |:с - а|.
Напомним, что окрестностью точки 0, Є К мы назвали любой ин-
тервал, содержащий эту точку.
Определение 2. Проколотой окрестностью точки называется
окрестность точки, из которой исключена сама эта точка.
Если І/`(а,) -обозначение окрестности точки а, то проколотую ок-
О
рестность этой точки будем обозначать символом П (а).
Множества
Ґ/'Е(а) := Е П П(а,),
йЕ(а› == вт дм)
будем называть соответственно окрестностью и проколотой окрест-
ностью точки а в множестве Е.
О
Если а-предельная точка Е, то ПЕ(а) 79 И, какова бы ни была
окрестность П(а).

126 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
О
6 г
Если на минуту принять громоздкие символы ПЕ(а) и УК(А) для
обозначения проколотои 5-окрестности точки а в множестве Е и є-окре-
стности точки А в К, то приведенное выше так называемое «є - б-опре-
деление» Коши предела функции можно переписать в виде
(Е5даі<$› = А) == ×ж<А› гдў;<а› (т<д“Ь<а›› с 1/&<А>) .
Эта запись говорит, что А является пределом функции 1” : Е -› К
при аз, стремящемся к а по множеству Е, если для любой є-окрестно-
О
~.~ 5
сти 1/ПЁ(А) точки А наидется проколотая 5-окрестность Ґ/`Е(а) точки а
О
в множестве Е, образ которой 1” (П Ёд(а)) при отображении І : Е -› ІК
полностью содержится в окрестности 1/ПЁ(А).
Учитывая, что в любой окрестности точки числовой оси содержится
также некоторая симметричная окрестность (5-окрестность) этой же
точки, мы теперь приходим к следующей форме записи определения
предела, которую и будем считать основной.
Определение 3.
(Е;1;5а:<ш› = А) == щ<А› эд'Е<а› (1<дЕ<а›› с 1/М) .
Итак, число А называется пределом функции 1” : Е -› К при аг, стре-
мящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой
окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а, в мно-
жестве Е, образ которой при отображении І : Е -› К содержится в
заданной окрестности точки А.
Мы привели несколько формулировок определения предела функ-
ции. Для числовых функций, когда а, А Є К, как мы видели, зти форму-
лировки эквивалентны. Вместе с тем для разных целей бывает удобна
то одна, то другая из них. Например, при численных оценках удоб-
на исходная форма, указывающая допустимую величину отклонения Ш
от а, при которой уклонение 1” от А не превысит заданной величины.
А вот с точки зрения распространения понятия предела на более общие
функции, определенные не на числовом множестве, наиболее удобной
является последняя формулировка, которую мы и выделили. Из нее,
кстати, видно, что мы сможем определить понятие предела отображе-
ния 1” : Х -› У, если нам будет сказано, что такое окрестность точки в
Х и в У, или, как говорят, если в Х и У будет задана топологил.

52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 127
Рассмотрим еще некоторые, поясняющие основное определение при-
меры.
Пример 2. Функция
1 при :1:>0,
з3пш= 0 при :с=0,
-1 при а:<0
(читается «сигнум а:››1)) определена на всей числовой оси. Покажем, что
у нее нет предела при ш, стремящемся к О.
Это значит, что
×/А Є на эх/(А) ×1й(о) эт Є дю) (ль) 9: 1/(/1)),
т. е., какое бы А (претендующее на то, чтобы быть пределом 551111: при
1: -+ 0) мы ни взяли, найдется такая окрестность /(А) точки А, что,
О
какую бы (малую) проколотую окрестность П(0) точки О ни взять, в
О
ней есть по крайней мере одна точка а: Є П(0), значение функции в
которой не лежит в ї/(А).
Поскольку функция 551111: принимает только значения -1, 0, 1, то
ясно, что никакое число А, отличное от них, не может быть пределом
функции, ибо оно имеет окрестность ї/(А), не содержащую ни одно из
этих трех чисел.
Если же А Є {-1,0,1}, то возьмем в качестве 1/(А) є-окрестность
точки А при є = 1 / 2. В такую окрестность заведомо не могут попасть
одновременно обе точки -1 и 1. Но, какую бы проколотую окрестность
О
П(0) точки 0 ни взять, в ней есть как положительные, так и отрица-
тельные числа, т. е. есть и точки 1:, где = 1, и точки, где = -1.
Значит, найдется точка ш Є ІС}(0) такая, что І $ /(А).
Условимся, если функция І: Е -› ІК определена во всей проколотой
О О О
окрестности некоторой точки а Є К, т. е. когда ПЕ(а) = Пщ_(а) = П(а),
вместо записи Е Э 11: -› а употреблять более короткую запись ат -› а.
1)Ѕі5ш1п1 (л.а.т.) -знак.

128 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
Пример 3. Покажем, что Ііпё | $511 а:| = 1.
Ш-›
Действительно, при аз Є ІК О имеем |Ѕ3п:в| = 1, т. е. функция посто-
О
янна и равна 1 в любой проколотой окрестности П(0) точки 0. Значит,
О
для любой окрестности 1/(1) получим ДП = 1 Є ї/(1).
Обратите внимание, что хотя в данном случае функция [$511 а:| и
определена в самой точке О и |з3п0| = 0, но это значение не имеет
никакого влияния на величину рассматриваемого предела.
Таким образом, не следует смешивать значение І (а) функции в точ-
ке а с пределом Ііш 1” функции при св, стремящемся к а,.
213-УО,
Пусть ІК_ и ПЦ - множества отрицательных и положительных чисел
соответственно.
Пример 4. В примере 2 мы видели, что предел К1іп1 0331151: не су-
Эа:-›
ществует. Замечая, однако, что ограничение $511 |К_ функции $511 на ІК_
есть постоянная функция, равная -1, а Ѕ3п|К+ есть постоянная, рав-
ная 1, можно, как и в примере 3, показать, что
Ііш 55111: = -1, Ііш Ѕ5п:с = 1,
]К_ЭІ13-У0 К+ЭІБ->0
т.е. ограничение одной и той же функции на различные множества
может иметь различные пределы в одной и той же точке или даже не
иметь его, как это было в примере 2.
Пример 5. Развивая идею примера 2, можно аналогично пока-
зать, что функция Ѕіпё не имеет предела при из -+ 0.
гп^°
З
“Ё
Действительно, в любой проколотой окрестност точки О все-
1 1
гда есть точки вида -7---_” 2 +21т и -7--ТГ 2 +27,/, где в которых
функция принимает значения -1 и 1 соответственно. Но оба эти числа
не могут одновременно содержаться в є-окрестности ї/(А) точки А Є
Є К, если Є < 1. Значит, ни одно число А Є К не может быть пределом
этой функции при 11: -+ 0.
Пример 6. Если
1
Е_={$ЄК|Ш= , ПЄЫ}

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 129
И
1
Е+ {$ Є Іаї 1г/2+2тгп, п Є },
то, подобно рассмотренному в примере 4, получаем, что
. . 1 . . 1
Іпп $111 - = -1 и 11п1 з1п- = 1.
Е- Эт-›0 ЗС ' Е+Э:в-›0 СВ
Между изученным в предыдущем параграфе понятием предела по-
следовательности и введенным здесь понятием предела произвольной
числовой функции имеется тесная связь, которую выражает следующее
Утверждение 11). Соотношение Е1іп1 )°(а:) = А имеет место
Эа:-›а
тогда и только тогда, когда для любой последовательности {:а,,} то-
чек азп Є.Е а, сшодлщейсл н а, последовательность {{(:1:п)} сазодитсл
н А.
4 То, что а І = А) => (п1Ь1;1о І = А), сразу следует из
определений. Действительно, если ЕІіп1 І = А, то для любой окрест-
9:1:-›а
О
ности ї/(А) точки А найдется проколотая окрестность І/Е(а) точки а
О
в Е такая, что для 11: Є І/'Е(а) имеем ]` Є 1/(А). Если последователь-
ность точек множества Е а сходится к а, то найдется номер 1/'
О
такой, что при п > 1/` будет тп Є ПЕ(а) и, значит, ](а:п) Є ї/(А). На
основании определения предела последовательности, таким образом, за-
ключаем, что Ііш І = А.
П-РОО
Перейдем к доказательству обратного утверждения. Если А не явля-
ется пределом при Е Э ап -+ а, то найдется окрестность ї/(А) та-
кая, что при любом н Є Ы в %-окрестности точки а найдется точка
12,, Є Е а такая, что І Є Х/(А). Но это означает, что последо-
вательность {]` не сходится к А, хотя последовательность
стремится к а. Ь
1)Его иногда называют утверждением о равносильности определений предела по
Коцш че ез ок естности и по Гейне че ез после овательности .
д
Э. Гейне (Хайне) (1821 - 1881) -немецкий математик.

130 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
2. Свойства предела функции. Теперь установим ряд постоянно
используемых свойств предела функции, многие из которых аналогич-
ны уже доказанным свойствам предела последовательности и потому,
в сущности, нам уже знакомы. Более того, на основании только что
доказанного утверждения 1 многие важные свойства предела функции,
очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела по-
следовательности: единственность предела, арифметические свойства
предела, предельный переход в неравенствах. Тем не менее мы вновь
проведем все доказательства. В этом, как выяснится, есть определен-
ный смысл.
Мы хотим обратить внимание читателя на то, что для установления
всех свойств предела функции требуются всего два свойства проколо-
О
тых окрестностей предельной точки множества: В1) І/`Е(а) 79 И, т.е.
проколотая окрестность непуста, и В2) 7'йЬ(а) 7'д`Ъ(а) Ё.йЕ(а)(д`Е(а) С
О
С Пыа) П ПЪ(а)), т. е. в пересечении любой пары проколотых окрест-
ностей содержится проколотая окрестность. Это наблюдение приведет
нас к общему понятию предела функции и возможности в будущем ис-
пользовать теорию предела уже не только для функций, определенных
на числовых множествах. Чтобы изложение не было простым повторе-
нием сказанного в Ё 1, мы используем здесь некоторые новые полезные
приемы и понятия, которые не демонстрировались в Ё 1.
а. Общие свойства предела функции. Сначала несколько опре-
делений.
Определение 4. Функцию І : Е -› К, принимающую только одно
значение, будем, как и прежде, называть постоянной. Функция І : Е -›
-› ІК называется финально постоянной при Е Э а: -› а, если она посто-
О
янна в некоторой проколотой окрестности ПЕ(а) точки а, предельной
для множества Е.
Определение 5. Функция /: Е -› К называется ограниченной,
ограниченной сверагу, ограниченной снизу, если найдется число С Є К
такое, что для любого 11: Є Е выполнено соответственно |]` < С,
[(а:) < С, С <
В случае, если первое, второе или третье из этих соотношений вы-
О
полнено лишь в некоторой проколотой окрестности ПЕ(а) точки а,

ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 131
функция І : Е -› К называется соответственно финально ограничен-
ной при Е Э а: -› а, финально ограниченной сверагу при Е Э 11: -› а,
финально ограниченной снизу при Е Э :в -› а.
Пример 7. Функция І = зіп %+а: сов %, определенная этой фор-
мулой при 11: ;Є 0, не является ограниченнои на области определения, но
она финально ограничена при 11: -› 0.
Пример 8. То же самое относится к функции 1” (ш) = а: на 1112.
Теорема 1. а) (_/`: Е -› К при Е Э із -› а есть финально посто-
янная А) => ( Ііш [(117) = А).
ЕЭ:1:-›а
Ь) (3 => Е -› В финально ограничена при Е Э
Э а: -› а).
С) < 11111 = /11) / < НІП = А2) Э (А1 =
ЕЭ:в-+а ЕЭа:-›а
4 Утверждение а) о наличии предела у финально постоянной функ-
ции и утверждение Ь) о финальной ограниченности функции, имеющей
предел, вытекают прямо из соответствующих определений. Обратимся
к доказательству единственности предела.
Предположим, что А1 # А2. Возьмем тогда окрестности 1/(А1),
ї/(А2) так, чтобы они не имели общих точек, т.е. 1/(А1) П ї/(А2) = И.
По определению предела имеем
Е;1да1<$› = А1 =› эйыо (х<дь<«»›› с 1/(Ад) ,
пт по = Аг =› эЫъ<«› (г<Ыъ<«›› с 1/(Аа) .
ЕЭа:-›а
Возьмем теперь проколотую окрестность Ґ}Е(а) точки а (предель-
ной для Е) такую, что ПЕ(а) С І/Ъ(а) П ПЪ(а) (например, можно взять
І/Е(а) = Пыа) П ПЪ(а), поскольку это пересечение тоже есть проколо-
тая окрестность).
Поскольку І/`Е(а) 79 И, берем а: Є Ґ}Е(а). Тогда [(113) Є 1/(А1)ГП/(А2),
что невозможно, так как окрестности ї/(А1), 1/(А2) по построению не
имеют общих точек. Ь

132 гл. 111. пгвдвл
Ь. Предельный переход и арифметические операции
Определение 6. Если две числовые функции І : Е -› К, 9: Е -›
-› К имеют общую область определения Е, то их суммой, произведени-
ем и частным называются соответственно функции, определенные на
том же множестве следующими формулами:
(і + 9)(Ш) == НФ) + 9(т),
Н
- а::=9 если у(а:);Є0 при ШЄЕ.
Н
(1 ~ 9›<<»› == до ло,
ї [Ц
(9)( ) < ›
Теорема 2. Пусть 1*: Е -› К и 9: Е -› К - две функции с общей
областью определения.
Если Е%іагп_ю[(аз) = А, Е%і:€п_ю9(:1с) = В, то
ад Е%іа{2Ю(Ґ +9)(Ш) = А+-В;
Ь) Е±іа{2›а(і ~ 9)(1=) = А ~ В;
с) Е1іп1 )(а:)=%, еслиВ9Є0 иу(а:);Є0 при:1:ЄЕ.
9:1:-›а
/'
<ФІ'~›~
Эта теорема, как уже отмечалось в начале пункта 2, непосредствен-
но вытекает из соответствующей теоремы о пределах последователь-
ностей, если учесть утверждение, доказанное в пункте 1.
Теорему можно получить также, повторив доказательство теоремы
об арифметических свойствах предела последовательности. Все изме-
нения в доказательстве, которые при этом придется провести, сведутся
к тому, что всюду, где раньше мы выбирали «Ы Є М, начиная с кото-
рого . . _ ››, нужно будет выбирать некоторую проколотую окрестность
О
ПЕ(а) точки а в множестве Е. Советуем читателю проверить это.
Здесь же мы получим эту теорему из ее простейшего частного слу-
чая, когда А = В = О (утверждение с) при этом, разумеется, не рас-
сматривается) .
Функцию І : Е -› ІК принято называть бесконечно малой при Е Э
Э а: -› а, если Ііш ]°(а:) = 0.
ЕЭ:1:-›а
Утверждение 2. а) Если а: Е -› К и В: Е -› К -бесконечно
малые функиии при Е Э 11: -› а, то из: сумма а + В: Е -› К -также
бесконечно малая функция при Е Э 1: -› а.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 133
Ь) Если а: Е -› К и В: Е -› К -бесконечно малые функции при
Е Э ат -› а, то иа: произведение а - В: Е -› К -также бесконечно
малая функция при Е Э а: -› а.
с) Если а: Е -› К -бесконечно малал функция при Е Э а: -› а,
а В: Е -› ІК -финально ограниченная функиил при Е Э ш -› а, то
произведение сх ~ Б: Е -› В есть бесконечно малал функция при Е Э
Э сс -› а.
4 а) Проверим, что
(Е%іапіюа(:с) = 0) / (Е%іапіюВ(:1:) = 0) => (Е%іапіЮ(а + = 0) .
Пусть задано число е > 0. По определению предела имеем
11
(Е%1даа(ь) = 0) (эйыа) на Є іўыа) (|а($›| < ,
(Е;1дал<$›= 0) (эйЪ<а› ×/Ш е йЪ<<»› (шо: < Э).
11
О О О
Тогда для проколотой окрестности ПЕ(а) С Щ5(а) П Ґ/'Ъ(а) получаем
Чт Є дат) І(<1 + д)(Ф)І = ІЩШ) + В(<1=)І < І01(1=)І + Ід(11)І < Є,
т.е. проверено, что Ііш (а + В) = 0.
ЕЭ:1:-›а
Ь) Это утверждение есть частный случай утверждения с), поскольку
всякая функция, имеющая предел, финально ограничена.
с) Проверим, что
(Е%1даа(а) = 0) А (ам Є не эйЕ(а) на Є йЕ(а) (|о(«;)| < м)) =>
=> ( Ііш а(а:)Б(а:) = 0) .
ЕЭ:в-›а
Пусть задано е > 0. По определению предела имеем
(Е%і;т_д›аа($) = 0) ±› (эйыа) на Є й<Е(а› (|а(а›| < .

134 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
О О О
Тогда для проколотой окрестности ПЪ(а) С Пыа) П ПЕ(а) получаем
И Є ЁЪЮ) І(а-д)(=г)І =Іа(=1›)д(=1>)І = І@(=г)ІІд(Ш)І < 173- ~ М = Є-
Тем самым проверено, что Ііш а(:Ь')В(:1:) = 0. Ь
ЕЭа:-›а
Теперь сделаем следующее полезное
Замечание.
Е%іапіЮ1”(:1:)= А) :> = А+а(:в)) / (Е%іап1_юа(:1:) = 0)
Иными словами, функция І : Е -› ІК стремится к А тогда и только
тогда, когда она может быть представлена в виде суммы А + а(а:),
где а(:в) -бесконечно малая при Е Э а: -› а функция (уклонение 1”
от А)1).
Это непосредственно следует из определения предела, в силу кото-
рого
Е%1;пю[(:1:) = А <=> Е%1апію(]'($) - А) = 0.
Приведем теперь доказательство теоремы об арифметических свой-
ствах предела функции, основанное на этом замечании и установленных
свойствах бесконечно малых функций.
4 а) Если Ііш [(ш) = А и Ііш 9(:1:) = В, то [(;с) = А+а(:с) и
ЕЭа:-›а, ЕЭ:1:-›а
у(:1:) = В + В(:1:), где а(а:) и В(:1:) -бесконечно малые при Е Э ш -› а.
Т0гдг» (і+9)(111) = 1'($)+9(Ш) = А+0<(Ш)+В+д(Ш) = (А+В)+'У(Ш), где
*у(:1:) = а(1:) + Шаг), как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая
функция при Е Э а: -› а. Таким образом, Ііш (І + = А + В.
ЕЭа:-›а
Ь) Вновь представив ](а:) и у(:1;) в виде [(а:) = А-І-ог(ш) и 9(:1:) = В +
+ Шаг), имеем
(1”~9)($) = 1'(11=)9(=г) = (А + <1(т))(В + ВШ) = А ~ В + ИФ),
1) Любопытная деталь: это почти очевидное, но очень полезное в вычислительном
плане и важное в идейном отношении представление особо отмечалось французским
математиком и механиком Лазаром Карно (1753 - 1823), революционным генералом
и академиком, отцом родоначальника термодинамики Сади Карно (1796 - 1832).

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 135
где *у(:с) = А,8(:с) + Ва(а:) + а(а:)Б(а:) по свойствам бесконечно малых
есть бесконечно малая функция при Е Э а: -› а.
Таким образом, Ііш (І ~ 9)(:в) = А - В.
ЕЭ:1:-›а
с) Вновь запишем, что І(:с) = А + а(:в) и у(а:) = В + Щас), где
Ііш а(а:) = 0, Ііш Шаг) = 0.
Еэаз-›а ЕЭа:-›а
О
Поскольку В ;Є 0, существует проколотая окрестность І/'Е(а), в лю-
бой точке которой < Іёі, и потому = |В + 2 |В| -
- > Тогда в І/'Е(а) будем иметь также фл < їёї, т.е.
функция Ё финально ограничена при Е Э 11: -› а. Теперь запишем
_ ) А _ А + а _
9) В В+д(
1
= аїў (В01($)+ Ад($)) = 'У(Ш)-
(5
ЩЖ.
;)
Е
ШЬ
,-`ї':
НН
е~з'€~?
Ш,_д/./
Соїь
По свойствам бесконечно малых (с учетом доказанной финальной огра-
ниченности функция *у(а:) есть бесконечно малая при Е Э сс -› а.
Таким образом, доказано, что Ііт (Ё) = 14-. Ь
Еэа:-›а 9 В
с. Предельный переход и неравенства
Теорема 3. а) Если функции І: Е -› К и 9: Е -› К таковы,нто
Ііш [(12) = А, Ііш у(:1:) = В и А < В, то найдется проколотал
ЕЭ:с-›а ЕЭа:-›а
О
окрестность І/Е(а) точки а в множестве Е, в любой точке которой
выполнено неравенство ](а:) <
Ь) Если между функциями ]`: Е -› К, 9: Е -› К и /2: Е -› ІК на
множестве Е имеет место соотношение < 9(:1:) < /1(:1:) и если
Е%і;п_ю[(:в) = Еёіёпю/ъ(а:) = С, то существует также предел 9(:1с) при
Е Э а: -› а, причем Ііш 9(а:) = С.
ЕЭ:в-›а
4 а) Возьмем число С такое, что А < С < В . По определению преде-
О О
ла найдем проколотые окрестности ПЪ (а) и ПЪ(а) точки а в множестве
О О
Е так, чтобы при 1: Є Пыа) иметь - А| < С - А и при Ш Є ПЪ(а)
О
иметь |у(а:) -В| < В - С. Тогда в любой проколотой окрестности Ґ/`Е(а),

136 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
О О
содержащейся в Ґ/Ъ(а) П ПЪ(о), получим
[(12)<А+(С'-А)=С'=В-(В-С)<9(а:).
Ь) Если Ііш І = Ііш /ъ(:1:) = С, то по любому фиксированному
ЕЭа:-›а ЕЭа:-›а
О О
е > О найдутся такие проколотые окрестности Пыа) и ПЪ(а) точки а
О О
в множестве Е, что при сс Є Ґ/Ъ(а) имеем С - є < ](а:) и при :в Є ПЪ(а)
О
имеем /ъ(а:) < С + е. Тогда в любой проколотой окрестности І/'Е(а),
О О
содержащейся в Пыа) П ПЪ(а,), будем иметь С - е < ]`(а:)
< /1(:с) < С + е, т. е. - СІ < е, и, следовательно, Ііш 9( =
ЕЭ:1:-›а
Ё,//
*і
ФЗ,
1/А
Следствие. Пусть Ііш 1” = А и Ііш у(а:) = В . Если в нено-
ЕЭа:-›а, ЕЭа:-›а.
торой проколотой окрестности І/Е(а,) точки а
а) выполнено [(а:) > 9(:с), то А 2 В;
ееэ:
Ф
155*
//
Ё”
выполнено ]'( ) 2 9(а:), то А 2 В;
ыполнено 1” > В, то А В;
выполнено І 2 В, то А
4 Рассуждая от противного, из утверждения а) теоремы 3 немедлен-
но получаем утверждения а), Ь) доказываемого следствия. Утверждения
с), (1) получаются из первых двух при 9(а:) 5 В. Ь
(1. Два важных примера. Прежде чем переходить к дальнейшему
изложению теории предела функции, продемонстрируем на двух важ-
ных примерах использование уже доказанных теорем.
Пример 9.
Іпп -- = 1.
а:-+0 (1:
, зіпа: Ц
Здесь мы будем апе.ллировать к школьному определению Ѕіпа: как
ординаты точки, в которую переходит точка (1, 0) при повороте (с цен-
тром в начале координат) на угол 11: (радиан). Полнота такого опреде-
ления всецело зависит от того, насколько тщательно установлена связь
между поворотами и действительными числами. Поскольку сама систе-
ма действительных чисел в школе не была описана достаточно подроб-
но, надо считать, что нам необходимо уточнить определение віпш (то
же самое относится и к функции сов

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 137
В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые
сейчас будут опираться на наглядность.
а) Покажем, что В = (созадзіп 1:)
соЅ2ш<Ё<1 при 0<|:с|<ї. -С
гс 2 А
4 Так как соЅ2 11: и 53;-Ё -четные функ-
ции, то достаточно рассмотреть случаи 0 <
< 1: < тг/2. Из рис.8 и определения соваг
и Ѕіпат, сравнивая площади сектора <ІОСВ, РИс' 8'
треугольника АОАВ и сектора <ІОАВ, имеем
= (1›0)
1 ^ 1 1
Ѕ<д(;р = ё|ОС'| - |СВ| = ё(соЅ созєс) = -йа: соЅ2:с <
1 1 . 1 .
< Ѕдддв = ё|ОА| - |ВС'| = 5-1~Ѕ1па: = ёзшаз <
1 ^ 1 1
< 540,45 = -ё|ОА| - |АВ| = 5 -1-11: =
Разделив эти неравенства на ёсс, получаем то, что и утвержда-
лось. Ь
Ь) Из а) следует, что
|Ѕіп:в| <
при любом сс Є К, причем равенство имеет место только для а: = 0.
4 При 0 < < ^/г/2, как показано в а), имеем
|Ѕіп:в| <
Но |зіпа:| < 1, поэтому для 2 тг/2 > 1 также выполнено последнее
неравенство. И только при а: = 0 имеем Ѕіпа: = а: = 0. Ь
с) Из Ь) следует, что
Ііш Ѕіпа: = 0.
:в-›0
4 Поскольку 0 < |Ѕіп:1:| < и поскольку Ііггё = 0, на основа-
$-Р
нии теоремы о связи предела функции с неравенствами получаем, что
Ііш |Ѕіпш| = 0, следовательно, Ііт Ѕіпа: = 0. Ь
:с-›0 а:-›О
(1) Теперь докажем, что Ііпё Ё? = 1.
$_›

138 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
4 Считая, что < тг / 2, в силу полученного в а) неравенства имеем
, зіпа:
1-Ѕ1п2:1:< -- <1.
из
Но 1іп1(1 - зіп2 1:) = 1 - 1іп1Ѕіпа:~ Ііш Ѕіпа: = 1 - 0 = 1, значит, по
:1:-›О а:-›0 а:-+0
теореме о предельном переходе в неравенствах можем заключить, что
пт Ё;-2 = 1. ›
ш-›0
Пример 10. Определение показательной, лоеарифмической и
степенной функций на основе теории предела. Мы продемонстриру-
ем сейчас, чем и как можно было бы дополнить школьное определение
показательной и логарифмической функций, если располагать теорией
действительного числа и теорией предела.
Для удобства ссылок и полноты картины проделаем всё с самого
начала.
а) Показательнал функция. Пусть а > 1.
1° Для п Є Ы полагаем по индукции а1 := а, а,+1 := а - а.
Таким образом, на Ы возникает функция а, которая, как видно из
определения, обладает свойством
ат
т-п
п а *
(1
еслит,пЄІІит>п.
2° Это свойство приводит к естественным определениям
1
ао := 1, а_ := 7 при п Є Ы,
а
после которых функция а” оказывается распространенной на множест-
во 2 целых чисел и для любых т, п Є Ё
ат - а = ат''.
3° В теории действительных чисел мы отметили, что для а > 0 и
п Є Ы существует единственный арифметический корень п-й степени
из а, т. е. число а: > О такое, что ш = а. Для него принято обозначе-
ние а1/“_ Оно удобно, если мы желаем сохранить закон сложения пока-
зателей: П
а = а1 = ((11/11,) = 0,1/п,___а1/п = 01/п+...+1/п_

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 139
По той же причине естественно положить ат/ := (а1/ '”)т и аҐ1/ :=
= (а1/)_1 для п Є М и т Є 2. Если окажется, что а(”'°)/(М) = ат/'”
для К Є 2, то можно считать, что мы определили а для т Є <@.
4° Для чисел О < сс, 0 < у по индукции проверяем, что для п Є М
(11 < 11) 4* (тп < уп),
поэтому, в частности,
(Ш = 11) <=> (тп = уп)-
5° Это позволяет доказать правила действий с рациональными по-
казателями, в частности, что
а(т'°)/(пк) = ат/ при 1: Є 2
и
ат1/1:1 _ атг/112 = ат1/п1+т2/11,2.
4 Действительно, а(т'°)/(пк) > 0 и ат/ > 0. Далее, поскольку
(,,<т1=›/ки/«›)'° = ((а1/<«»1=›)“)Ь _;
= (01/(11Ё))т,є.п,с = ((01/(пЁ))пК)т,с = ат*
“ (ат/>*=((01/>>“*=с»
то первое из проверяемых равенств в соответствии с 4° установлено.
Аналогично,
(атм .ат2/п2)1”” = (ти/п1)12. (Ст/~2)12 =
:__ ((а1/п1)п1)т1п2 . ((01/п2)п2)т2'п1 = ат1п2 . ат2п1 : ат1п2+т2п1
И
(ат1/П1+т2/'П«2)п1п2 = (а/(т1П2+т2П1)/(111П2))шт _;
+
= ((01/(п1п2))п1П2)т1П2 т2П1 : ат1п2+т2п1,
поэтому второе равенство также доказано. >

140
ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Таким образом, мы определили а` для 1 Є (12, причем а, > 0 и для
любых 'г1,т2 Є @
ат _ ат = а1'1+т2_
6° Из 4° следует, что для т'1,т'2 Є <@
(Т1 < Т2) => (а1 < ат).
4 Поскольку (1 < а) <=> (1 < а1/) для п Є М, что сразу следует
из 4°, то ((11/')т = ат/'' > 1 при п,т Є М, что опять-таки следует
из 4°. Таким образом, при 1 < а для т > 0, г Є @ имеем ат > 1.
Тогда при 'г1 < Т2 на основе 5° получаем
ат = съ” ~а2_“ > ат* - 1 = а1. >
7° Покажем, что для то Є @
Ііш ат = а°.
@Э1`-*То
4 Проверим, что ар -+ 1 при <@ Э р -› 0. Это следует из того, что
при |р| < % имеем в силу б°
а1/' < ар < а1/Щ
Мы знаем, что а1/ -› 1 (и аҐ1/ -› 1 ) при п -› оо. Тогда стандарт-
ным рассуждением проверяем, что для Є > 0 найдется б > 0 такое, что
при |р| < 5 будет
1-є<а,1°<1+г.
В качестве 6 можно взять %, если 1 - є < а1/ и а1/ < 1+ Є.
Теперь докажем основное утверждение.
По є > 0 подберем 6 так, что при |р| < 6
Есл
или
1- єа`° < ар < 1 + єа“°.
и теперь |1° - 'г0| < 5, то
а°(1 - га'°) < ат = аТ° -а`Т° < а°(1 + єа'Т°),
от-є<а'<аҐ°+є. Ь

52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 141
Итак, на ((2 определена функция ат со свойствами:
а1=а>1;
ат , ат : а'Г1-І-Т2;
ат* < ат” при 'г1 < Т2;
атї -› ат* при ((2 Э 11 -› гг.
Продолжим ее на всю числовую ось следующим образом.
8° Пусть 11: Є К, з = Ѕир а и 12 = Фіпї ат. Ясно, что з, і Є ІК, так
@Э1`<:1: 9`>$ '
как при Т1 < сс < гг имеем а“ < а`2.
Покажем, что на самом деле з = і (и тогда эту величину мы обо-
значим через 03”
4 По определению з и і, при 1°1 < гс < *гг имеем
ат* < < '< 072.
Со
ы
Тогда О < і - з < а,2 - а'1 = а1(а21 - 1) < з(а,`2'“ - 1). Но ар -› 1
при <@ Э р -› 0, поэтому для любого є > 0 найдется 6 > О такое, что при
0 < 1°2 - т1 < 5 будет а2““1 -1 < є/з. Тогда получим, что О < 11- з < Є,
и, поскольку г > О произвольно, заключаем, что і = з. Ь
Положим ат := з = і.
9° Покажем, что ат = Ііт ат.
<@Эт-+11:
4 Учитывая 8°, для г: > 0 найдем т' < 11: так, что 5 - Є < ат/ < з =
= ат, и т” так, что ат = і < ат < і+ є. Поскольку 'г' < 1* < т” влечет
а/І < ат < ат, для всех 'г Є @, лежащих в интервале ]т°', г”[, будем тогда
иметь
ат-г<а,<а$+є. Ь
Займемся теперь свойствами построенной функции а°” на К
10° Для :1:1,:с2 Є К при а > 1 (121 < 1122) => (ад < а,$2).
4 На интервале ]:1:1,:с2[ найдутся два рациональных числа Щ < Т2.
Если 2:1 < т°1 < гг < 1:2, то по определению ат, данному в 8°, и свойствам
функции аі” на <@ имеем
ад < аЁ1 < от < ат. >
11° Для любых а:1,:п2 Є К верно ат -ат = а$1+$2.

142 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
4 В силу известных нам оценок абсолютной погрешности произве-
дения и свойства 9° можно утверждать, что для любого 5 > 0 найдется
число б' > О такое, что при |:1:1 - т1| < б', |а:2 - *г2| < б' будет
ад -ат - Ё <а1~а2 <а“”1-а$2+Е.
2 2
Уменьшая, если нужно, б', можно подобрать 5 < б' так, что при
|а:1- т1| < 6, |:1:2 - 1°2| < б, т.е. при |(:в1 + :1:2) - (т'1 + т2)| < 25, будем
ИМЄТЬ ТЗКЖЄ Є Є
. а'Г1+1'2 _ 5 < а$1+Ф2 < а1'1+т2 +
Но а1 -ат* = а`1+`2 для т1,т2 Є (І), значит, из полученных неравенств
вытекает, что
а“”1 ~а“”2 - є < а$1+$2 < от ~а$2 + є.
Поскольку є > 0 произвольно, заключаем, что
12° Ііш а$ = а“”°. (Напомним, что «аз -+ а:0›› -принятое сокращение
(Е-НБ0
для «К Э 17 -› а:д››.)
4 Проверим сначала, что Ііпё а“” = 1. По Є > 0 найдем п Є Ы так,
что “Н
1-є <аҐ1/ <а,1/'Ъ < 1+г.
Тогда в силу 10° при < 1/п будем иметь
1-г<аҐ1/<а”<а1/ < 1+г,
т. е. проверено, что Ііш аі” = 1.
а:-+0
Если теперь взять 6 > 0, чтобы при |:в - :1:0| < 6 было |а“*“”° - 1| <
< ЄаҐ”°, то получим
а$° - є < от = а$° (а”'$° -1) < аЁ° +є
и тем самым проверено, что Ііпл аа* = а*”°. Ь
ІІ:-Н120
13° Покажем что множеством значений пост оенной нкции 11: ›-›
7
›-› 05” является множество Щ всех положительных действительных
чисел.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 143
4 Пусть 3,/0 Є ПЧ€_д_. Если 0, > 1, то, как нам известно, найдется число
п Є Щ такое, что а < уо < а.
В силу этого оба множества
А={І17ЄК|(1,Ш<у0}И В={ШЄІК|у0<(Ь$}
непусть1. Но поскольку (Ш1 < 1132) <=> (ад < ад) (при а > 1), то для
любых чисел 1:1, Ш2 Є К таких, что $131 Є А и Ш2 Є В, имеем а:1 < 1132.
Следовательно, к множествам А и В применима аксиома полноты, из
которой следует существование числа 1130 такого, что 3:1 < то < а:2 для
любых элементов 1121 Є А и 5132 Є В . Покажем, что а,$° = уо.
Если бы было а$° < уо, то, поскольку а$°+1/ -› ато при п -› оо,
нашлось бы число п Є Ы такое, что аЁ”°+1/' < 1/0. Получилось бы, что
(ато + Є А, в то время как точка а:0 разделяет А и В. Значит, пред-
положение а“”° < 3,/0 неверно. Аналогично проверяем, что неравенство
ад* > уд тоже невозможно. По свойствам действительных чисел отсюда
заключаем, что а“”° = уо. Ь
14° Мы пока считали, что а > 1. Но все построения можно было
бы повторить и для О < а < 1. При этом условии О < ат < 1, если
т > 0; поэтому в 6°, а затем окончательно в 10° теперь получим, что
при 0 < а < 1 (:с1< :1с2) => (ад > ат).
Итак, при а > 0, а 75 1 на множестве В действительных чисел мы по-
строили действительнозначную функцию 1: ›-› ат со следующими свой-
ствами:
І-ЬС/О [Эі_^
ы×`/_/./
*9 Ё 9
Н Р-*
: 51,;
1 ,ат : аі111+Ш2;
“Е -+а“”° приз:-›:1:0;
ад < ат) <=> (1:1 < Ш2), если а > 1,
(ад > ад) <=> (а:1 < Ш2), если 0 < а <1;
5) множеством значений функции 11: 1-› от является множество Щ =
= {у Є К | 0 < у} всех положительных чисел.
Определение 7. Отображение 11: ›-› а,*” называется показатель-
ной или энспонєнциальной функцией при основании а. Особенно часто
встречается функция гс ›-› ет, когда а = е, которую нередко обознача-
ют через ехрш. В связи с этим для обозначения функции а: Ь-› аї” также
иногда используется символ ехра ат.

144 гл. 111. пввдвл
Ь) Логарифминесная функция. Поскольку отображение ехра: ІК -›
-› ІК_|_, как видно из свойств показательной функции, биективно, оно
имеет обратное отображение.
Определение 8. Отображение, обратное к ехра: К -› Щ, назь1-
вается логарифминєсной фуннииєй при основании а (0 < а, 0, # 1) и
обозначается символом
1о5а:1К+ -› К.
Определение 9. При основании а = є логарифмическая функция,
или логарифм, называется натуральным логарифмом и обозначается
1п;1щ-›н.
Причина такой терминологии прояснится при другом, во многом да-
же более естественном и прозрачном подходе к логарифмам, который
мы изложим после построения основ дифференциального и интеграль-
ного исчисления.
По определению логарифма как функции, обратной зкспоненциаль-
ной, имеем
7'ш Є К (1о5а(а5”) = из),
Ну Є Щ (а10Ёа у : _
Из этого определения и свойств показательной функции, в частно-
сти, получается, что в области ]К+ своего определения логарифм обла-
дает следующими свойствами:
дъооюг-^
Ъ Ъ Ъ Ъ
Ё/&././О
|-_д|±.д|-А
оёаа, = 1;
0еа(у1 -112) = Іоеа, гл + 103,1 2/2;
Оеау ->1<>еа,з/0 ПРИ Щ Э у -> уе Є Щ;
(10еа 1/1 < 103,1 1/2) <=> (гл < 1/2), ЄСЛИ И > 1,
(105, у1 >1о3ау2) <=> (у1 < у2), если О < а < 1;
5') множество значений функции 1050: Щ -› К совпадает с множе-
ством К всех действительных чисел.
4 Из свойства 1) показательной функции и определения логарифма
получаем 1'
Из свойства 2) показательной функции получаем 2' Действительно,
Пусть Ш1 =10еа 1/1 И 1:2 = 1080, 1/2. Тогда 1/1 = а““1, 1/2 = сб” И по 2) 1/1 -1/2 =
= от -аж* = а“”1+$2, откуда 1о5а_(у1 ~ уг) = 1:1 + 1122.
Аналогично, свойство 4) показательной функции влечет свойство 4' )
логарифмической.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 145
Очевидно, 5) => 5').
Осталось доказать 3'
В силу свойства 2') логарифма
у
1% 1/ - Іояа уе =1<>за (і) ,
поэтому неравенства
-Є <1о5ау - 1050, уо < Є
равносильны соотношению
-_ у
1050, (а, Є) = -Є <105а < Є =105а(а/5),
которое по свойству 4') логарифма равносильно
Є
-а, <ї<а,Є при а>1,
3/0
аЄ<ї<аЄ при 0<а<1.
1/0
В любом случае мы получаем, что если
у0аҐЄ < у < уоаг при а > 1
или
Є _Є
уоа, <у<у0а при0<а<1,
то
-Є < Іоёау - Іоёа уд < Є.
Таким образом, проверено, что
К+Эу1і›1{/10ЄК+105а у = 105,, уо. Ь
На рис. 9 изображены графики функций ет, 10“”, 1111:, 10510 св =: 105 :1:,
а на рис. 10_графики функций (ёуп, 0,112, 1051/Є 1:, 1о50,1 сс.
Остановимся еще на одном свойстве логарифма, которым тоже час-
то приходится пользоваться.
Покажем, что для любого Ь > О и любого а Є К справедливо равен-
ство
б') 1о5а(Ь°) = 011050 Ь.
4 1° Равенство справедливо при 0: = п Є 11, ибо из свойства 2')
логарифма по индукции получаем 1о3а(у1 . . . уп) = 1050, 3/1 + . . . +1о3а уп,
значит,
105а(Ь) =105а Ь + . . . +103а Ь = п105а Ь.

146 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
10”
у Ра:
3
Є
2-
/ Іпсс
1 /
І/ І Іоёюаз
///О 1 2 Є 3 СС
/
/
Рис. 9.
2° 1о5а(Ь`1) = -1о5а Ь, ибо если И = 1050, Ь, то
ь = О/3, ь-1 = ат” И 10%, (ь-1) = -дв.
3° Из 1° и 2° теперь заключаем, что для а Є Ж равенство 1о5,,(Ь°”) =
= а1о5,, Ь справедливо.
4° 1о5,,(Ь1/) = -}ї1о3,, Ь при п Є Е. Действительно,
Іоёа Ь = Іоёа (Ь1/'')п = 111056, (Ь1/71) .
5° Теперь можно проверить, что для любого рационального числа
_ 'ГП
а _ ї Є @ утверждение справедливо. В самом деле,
%1о5а Ь = т1о5,, (Ь1/7*) =1о5,, (Ь1/уп = Іода (Ьт/7*) _
6° Но если равенство Іода ЬТ = 1°1о5аЬ справедливо для любого т Є
Є <@, то, устремляя т по @ к а, на основании свойства 3) показательной и
свойства 3') логарифмической функций получаем, что если 1 достаточ-
но близко к а, то Ь близко к Ьа и Іоёа Ь близко к 105,, Ьа. Это означает,
что
@%%~1т1ю1о5а Ь` = 105,, Ь°”.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 147
0,1” у
(1/ее ,
1 Ґ
/
/
/
/
/
/
О 1 а:
1030,, 1:
Іо51/Є 11:
Рис. 10.
Но 1056, ЬТ = 1* Іоёа Ь, поэтому
1о5а Ь“ = 1іп1 Іода ЬТ = 1іп1 'г1о5а Ь = о:1о5а Ь. >
<@Э1'-›а <@Э'г-›а
Из доказанного свойства логарифма можно сделать вывод, что для
любых ок, Б Є К и а > 0 имеет место равенство
6) (а“)д = ао*/3.
4 При а = 1 считаем, по определению, 10* = 1 для ск Є К. Таким
образом, в этом случае равенство тривиально.
Если же а 75 1, то по доказанному
1<›а<<а“*›”› = /г1<›а<а°› = л ~ <11«›а а = В - а =1<ва<а°”›,
что в силу свойства 4') логарифма доказывает справедливость указан-
ного равенства. >
с) Степенная функция. Если считать 10 = 1, то при любом 1: > О и
ог Є ІК мы определили величину ага (читается «аг в степени а››).
Определение 10. Функция ат ›-› ага, определенная на множест-
ве ПЧ%+ положительных чисел, называется степенной функцией, а число а
называется показателем степени.

148 гл. 111. пввдвл
Степенная функция, очевидно, является композицией показательной
и логарифмической функций, точнее,
та : аІо5а(а:°”) = ааіодаєс.
На рис. 11 изображены графики функции у = ща при различных
значениях показателя степени.
3/ _
1: 1/2
_ 2
11: 1 113
Шз
,В1
1* ----- --
Ф
д_ь _______
8
Рис. 11.
3. Общее определение предела функции (предел по базе).
Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколо-
тых окрестностей, в которых были определены наши функции и кото-
рые возникали в процессе доказательств, кроме свойств В1), В2), ука-
занных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не
потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделе-
ния следующего математического объекта.
а. База; определение и основные примеры
Определение 11. Совокупность В подмножеств В С Х множе-
ства Х будем называть базой в множестве Х, если выполнены два
условия:
В1)/ВЄВ
В2)9/В1ЄВ `9ІВ2ЄВ (ВСВ1ЙВ2).
Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества
и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из
той же совокупности.
Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.

52. пгвдвл функции
149
Обозначение
базы
Чтение
обозначения
Из каких множеств
(элементов) состоит
база
Определение и обозна-
чение элементов базы
Ш-›СЪ
117-*ОО
а:-›а,шЄЕ
или
ЕЭа:-›а
или
:с-›оо,а:Є
или
ЕЭ1:-›оо
ИЛИ
.Тї›ОО
ЄЕ
со-›а
єв
Е
11: стремится
к а
а: стремится к
бесконечности
1: стремится к а
по множест-
ву Е
:1: стремится к
бесконечности
по множест-
ву Е
База проколотых
окрестностей точ-
ки а Є К
База окрестностей
бесконечности
База*) проколотых
окрестностей точ-
ки а в множестве Е
База**) окрестнос-
тей бесконечности
в множестве Е
й(а);=
={:1:ЄІК|а-б1<
<:1с<а+б2Аа:7Єа},
гдеб1>0,б2>0
Ё/(оо):=
={а:Є1К|б<|:1:|},
гдебЄІК
йда) == во йа)
Ё/.Е(ОО) 2= Е Й І/'(00)
)Предполагается, что а-предельная точка множества Е.
**)Предполагается, что множество Е не ограничено.
ЕслиЕ=Е2'={а:ЄПЄ|а:>а} (Е=Е;={а:ЄК|а:<
< а}), то вместоа: -› а, со Є Епишута: -› а+0 (а: -› а-0) и
говорят, что а: стремится н а справа или со стороны 66./ььшиа: значений
(соответственно, слева или со стороны меньшая: значений). При а = О
принята краткая запись 11: -› +0 (гс -› -0) вместо а: -› 0+0 (а: -› 0-0).
Запись Е Э из -› а + 0 (Е Э 11: -› а - 0) будет употребляться вместо
а: -› а, :1: Є ЕПЕІ (а: -› а, во Є ЕПЕЄ). Она означает, что а: стремится
по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.
Если
Е=Е:,={:вЄІК|с<:1:} (Е=Е;`о={шЄ1К|а:<с}),
то вместо а: -› оо, Ш Є Е пишут а: -› +00 (11: -› -оо) и говорят, что

150 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
1: стремится н плюс бесконечности (соответственно, н минус беско-
ненности).
Запись Е Э 11: -› +00 (Е Э а: -› -оо) будет употребляться вместо
из-›оо,:сЄЕПЕ:о (11:-›оо,а:ЄЕПЕ;,).
При Е = Щ вместо а: -› оо, 11: Є Ы мы (если это не ведет к недоразу-
мению) будем, как это принято в теории предела последовательности,
писать п -+ оо.
Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью,
что пересечение любых двух элементов базы само является элементом
этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими
базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой
осиї).
Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть крат-
кое обозначение того, что в математике называется «базисом филь-
тра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная
для анализа часть созданного современным французским математиком
А. Картаном понятия предела по фильтру2).
Ь. Предел функции по базе
Определение 12. Пусть 1” : Х -› К-функция на множестве Х;
В-база в Х. Число А Є К называется пределом функции І : Х -› К по
базе В, если для любой окрестности ї/(А) точки А найдется элемент
В Є В базы, образ которого 1” (В) содержится в окрестности ї/(А).
Если А_предел функции І : Х -› К по базе В, то пишут
Ііёп І = А.
Повторим определение предела по базе в логической символике:
(11Ё_пі($) 2 А) == /1/(А) вв е В (дв) С 1/(А)).
Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значени-
ями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного опре-
деления:
1)Например, совокупность открытых (без граничной окружности) кругов, содер-
жащих данную точку плоскости, является базой. Пересечение двух элементов базы
не всегда круг, но всегда содержит круг из нашей совокупности.
2)Подробнее об этом см.: Бурбаки Н. Общая топология. М.: ИЛ, 1958.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 151
(11ЁП;($)=А) ;=к/Є>о эвЄв ×/а±Єв(|;(1;)-А|<@).
В этой формулировке вместо произвольной окрестности ї/(А) бе-
рется симметричная (относительно точки А) окрестность (є-окрест-
ность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных
функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрест-
ности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же
точки (проведите доказательство полностью!).
Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были
рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В кон-
кретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо
уметь расшифровать общее определение и записать его для конкрет-
ной базы.
Так,
($Ёдї0;(Ш) =/1) ±_1Є>о эд>0 1а;Є]а-д,а[ (|і(1;)_А| <Є),
($л›131ооі($) = А) =_ ъ/Є > о за Є ле на < д (|;($) -А| < Є).
Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрест-
ности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответ-
ствии с общим определением предела разумно принять следующие со-
глашения:
(11Ёп;<$› = 00) =_ Щ/(Оо) вв Є в (дв) Є х/(00))
или, что то же самое,
«1іЁп;($) = Оо) ==к/Є > о эв Є в ×/1; Є В (Є < |;(1;)|),
К В )
Х/
1Ііп1[(а:)=+оо :-7'єЄІК ЁІВЄВ 7'а:ЄВ (є</'(а:)),
(1іЁп;(Ш) = -Оо) =_ к/Є Є на вв Є В на Є В (;(1;)< Є).
Обычно под є подразумевают малую величину. В приведенных опре-
делениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми согла-
щениями, например, можем записать
($Ё›111оо]”(:1:)=-оо).-7'є€1К ЁІЗЄІК `</:1:>б <є).
Советуем читателю самостоятельно написать полное определение
предела для различных баз в случае конечных (числовых) и бесконеч-
ных пределов.

152 гл. 111. пввдвл
Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае
предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы
доказали в пункте 2 для специальной базы Е Э ап -› а, необходимо
дать соответствующие определения: финально постоянной, финально
ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.
Определение 13. Функция І: Х -› К называется финально по-
стоянной при базе В, если существуют число А Є К и такой элемент
В Є В базы, в любой точке єс Є В которого 1 = А.
Определение 14. Функция І: Х -› К называется ограниченной
при базе В или финально ограниченной при базе В, если существуют
число с Є ІК и такой элемент В Є В базы, в любой точке гс Є В которого
ІҐШІ < С-
Определение 15. Функция І : Х -› В называется бесконечно ма-
лой при базе В, если ІіЁп](а:) = 0.
После этих определений и основного наблюдения о том, что для до-
казательства теорем о пределах нужны только свойства В1) и В2) базы,
можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2,
справедливы для пределов по любой базе.
В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при
Ш -› оо, или при а: -› -оо, или при 11: -› +оо.
Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории
пределов и в том случае, когда функции будут определены не на число-
вых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К при-
меру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором
классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом пре-
дельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например
для окружности.
В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и
введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они изба-
вляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах
для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей ны-
нешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.
Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по про-
извольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции
мы проведем в общем виде.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 153
4. Вопросы существования предела функции
а. Критерий Коши. Прежде чем формулировать критерий Коши,
дадим следующее полезное
Определение 16. Колебанием функции 1” : Х -› К на множестве
Е С Х называется величина
ш(1”; Е)° ЅИР Ії(=1г1) - і(Ш2)І,
171,1132ЄЕ
т. е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозмож-
ных парах точек 4131, 5132 Є Е.
Примеры.
1 1 .
Н
ю
І*
іїд
[Ф
Ьїд
./
д>.
Ш
12. ш(з:; [-
13.
14.
15.
16. ш(Ѕ5п:с
Ґ
ш(:1:; ]-
шік 55111:
ІО `ІІ Н Н
5-_-дгіп 9 9
[Э
чо чсэ ,_:×3Ь_4
Ю Ю ›_д-/її
пілії
9/;/Ю
фл
З.
3.
ш(Ѕ511:с;[- )
Ґ
1
0.
Теорема 4 (критерий Коши существования предела функции .
Пусть Х -множество и В - база в Х.
Функция І: Х -› К имеет предел но базе В е том и только е том
случае, когда для любого числа Є > О найдется элемент В Є В базы,
на котором колебание функции меньше е.
Итак,
ЁІ1іЁп/(17) <=>`9'є > 0 ЗВ Є В (ш(/;В) < Є).
4 Необходимость. Если 1іш](а:) = А, то для любого Є > О най-
В
дется элемент В базы В, в любой точке :1: которого І] - А| < е/3. Но
тогда для любых :1с1, 5122 из В
|і<«:1›- і<ш2>| < і<Ш1›- АІ + чт) - АІ < Ёє
и, значит, ш(]°;В) < Є.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Докажем теперь основную часть критерия,
утверждающую, что если для любого є > 0 найдется элемент В базы В,
на котором ш( 1” ; В ) < е, то функция 1” имеет предел по базе В.

154 ГЛ. ПІ. ПРЕДЕЛ
Придавая є последовательно значения 1, Ё, . . . , %, . . . , получим после-
довательность В1,В2, . . . ,В,,, . . . элементов базы таких, что ш(_;”; ВП) <
< 1 /п, п Є Ш. Поскольку Вт, 79 И, в каждом ВП можно взять по точке азп.
Последовательность 1” (а:1), 1” (:1:2), . . . , І (тп), . .. фундаментальная. Дей-
ствительно, Вп П Вт 75 И, и, взяв вспомогательную точку 11: Є Вт, П Вт,
ПОЛУЧИМ, ЧТО |і(Шп)-і`(11т)| < |і(Шп)-і($)|+|ї(Ш)-і(Шт)І < 1/+1/т~
По доказанному для последовательностей критерию Коши, последова-
тельность {](:1:,,), п Є її} имеет некоторый предел А. Из установлен-
ного выше неравенства при т -› оо следует, что |/ - А| < 1/п,
а отсюда, учитывая, что ш(];Вп) < 1/п, заключаем теперь, что если
п > 1/' = [2/Є] + 1, то в любой точке из Є Вт, будет- А| < Є. Ь
Замечание. Проведенное доказательство, как мы увидим позже,
остается в силе для функций со значениями в любом так называемом
полном пространстве У. Если же У = К, а этот случай нас сейчас в
первую очередь и интересует, то при желании можно пользоваться той
же идеей, что и в доказательстве достаточности критерия Коши для
последовательностей.
4 Полагая тв = і1ё1Ё[(а:), М В = Ѕир 1” и замечая, что для любых
33 :1:ЄВ
элементов В1,В2 базы В выполнено тд, < тВ,дВ2 < М ВЮВ2 < М 32,
по аксиоме полноты найдем число А Є К, разделяющее числовые мно-
жества {тВ} и {МВ}, где В Є В. Поскольку ш(/`;В) = МВ - тв, то
теперь можно заключить, что как только ш( 1” ; В ) < є, так |} - А| < є
в любой точке :1: Є В. >
Пример 17. Покажем, что в случае, когда Х = Ы и В есть ба-
за п -› оо, п Є Ы, доказанный общий критерий Коши существования
предела функции совпадает с рассмотренным ранее критерием Коши
существования предела последовательности.
Действительно, элементом базы п -› оо, п Є Ш является множество
В = ЫП Ґ/'(00) = {п Є Ы І п > .7ї} тех натуральных чисел 'гь Є Ш,
которые больше некоторого числа 1/ Є К. Без ограничения общности
можно считать, что 1ї Є Щ. Соотношение ш(1”;В) < Є в нашем случае
означает, что 7'п1,п2 > 1ї имеем |](п1) - ](п2)| < Є.
Таким образом, условие, что для любого Є > 0 найдется элемент
В Є В базы, на котором колебание ш( 1” ;В) функции 1” меньше Є, для
функции /: Ы -› Ш равносильно условию фундаментальности последо-
вательности {]

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 155
Ь. Предел композиции функций
Теорема 5 (о пределе композиции функций). Пусть У -множе-
стео; Ву -база е У; 9: У -› ШЄ. -отображение, имеющее предел по
базе Ву.
Пусть Х -множество, ВХ _ база е Х и /: Х -+ У -такое ото-
бражение Х е У, что для любого элемента Ву Є Ву базы Ву найдется
элемент ВХ Є ВХ базы ВХ, образ ноторозо [(ВХ) содержится в Ву.
При зтиіс условила: номпозииил 9 о 1” : Х -› К отображении І и 9
определена, имеет предел по базе ВХ и %Ё(ц(9 о = 122/п9(у).
4 Композиция 9 о 1” : Х -› ІК определена, поскольку 1” (Х) С У.
Пусть 1Ёп19(у) = А. Покажем, что ІЁ]п1(9 о 1 = А. По заданной
У Х
окрестности 1/(А) точки А наидем элемент Ву Є Ву базы Ву такои, что
у(Ву) С /(А). По условию найдется элемент ВХ Є ВХ базы ВХ такой,
ЧТО 1”(Вх) С Вы/~ НО тогда» (9 О 1°)(Вх) = 9(і(Вх)) С 9(Ву) С ї/(А)
и мы, таким образом, проверили, что А является пределом функции
(901): Х _›ІКпо базе ВХ. Ь
Пример 18. = ?
Если положить 9(у) = Ё;/ії, а [(:с) = 7ав, то (9 0 = В на-
шем случае У = ІК 0, Х = К. Поскольк Ііту у = Ііт Ёїї = 1, то
У у-+0 у-›0 у
для применения теоремы ,надо проверить, что, какой бы элемент базы
у -› 0 мы ни взяли, найдется элемент базы сс -› О, образ которого при
отображении ](аг) = 7:с содержится в указанном элементе базы у -› 0.
|-4.
О
Элементами базы у -› 0 являются проколотые окрестности Пу(0) точ-
ки 0 Є ІК.
Элементами базы а: -› О также являются проколотые окрестности
О О
ПХ(0) точки 0 Є К. Пусть П;/(0) = {у Є 1К| а < у < В, у аё 0} (где
ое, В Є К, причем ог < 0, В > 0) -произвольная проколотая окрестность
О
нуля в У. Если взять І/Х(0) = {а: Є К | % < гс < Ё, 11: аё 0}, то эта
проколотая окрестность нуля в Х уже обладает тем свойством, что
1<йХ›<<›› = бы/<0› с душ).
Условия теоремы выполнены, и теперь можно утверждать, что
_ Ѕіп 7:1* _ Ѕіпу
Іпп--= 11п1-_-=1.
:в-›0 7113 у-›0 у

156 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Пример 19. Функция 9(у) = |з5пу|, как мы уже видели (см. при-
мер З), имеет предел Ііш |з5пу| = 1.
у-›0
Функция у = І = агзіп -Ё, определенная при а: 75 0, также имеет
предел 1іп%а:Ѕіп% = О (см. пример 1).
(Е->
Однако функция (9 0 = '$511 (11: Ѕіп при за -› О не имеет
предела.
Действительно, в любой проколотой окрестности точки ас = 0 име-
ются нули функции він %, поэтому функция И $511 (11: Ѕіп в любой та-
кой окрестности принимает и значение 1, и значение 0 и по критерию
Коши не может иметь предел при 1: -› 0.
Не противоречит ли это доказанной теореме?
Проверьте, как мы сделали это в предыдущем примере, выполнены
ли здесь условия теоремы.
Пример 20. Покажем, что
. 1 Ф
Іпп 1 + - = є.
а:-›оо 3:
4 Пусть
У=Ії, Ву-базап-›оо,пЄІІ;
Х=1К,_={:сЄІК|а:>0},ВХ-базаа:-›+оо;
І: Х -› У есть отображение 11: ›-1-+[а:],
где -целая часть числа а: (т. е. наибольшее целое число, не превос-
ходящее числа 1:).
Тогда для любого элемента Ву = {п Є Ы | п > 1/'} базы п -› оо,
п Є Ы, очевидно, найдется элемент ВХ = {:с Є К | св > 1/` +1} базы
а: -› +оо, образ которого при отображении 11: -› содержится в Ву.
п п п+1
Функции;/<п› = (1+ %) , 91<п› = (1+ -Ё) , ум) = (1+ %) ,
как нам уже известно, имеют своим пределом по базе п -› оо, п Є Щ
ЧИСЛО Є.
По теореме о пределе композиции функций можно утверждать, что
тогда функции

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 157
<9 О 1›<:«:› = (1+ Ыш, (910 /›<ш› = (1+ Ё-)щ,
гг: +1
[а:]+1
(92 О г›<Ш› = (1+
также имеют своим пределом по базе Ш -› +оо число е.
Теперь остается заметить, что при :1: 2 1
и так как при сс -› -І-оо крайние члены стремятся к є, то по свойствам
Ш
предела (теорема З) получаем Ііш (1 + = е.
11:-›-І-оо
Используя теорему о пределе композиции функции, покажем теперь,
Ш
что Ііш (1 + = є.
Ш_› _ ОО
Запишем
1 “” 1 Н) 1 '*
Ііш 1+- = Ііш 1+-- =1іп1 1-- =
гг-›-00 Ш (-1)-›-оо (-1) і-++оо Ъ
. 1 Ё . 1 Ё-1 . 1
:±В-Іії1оо(1+Ё-1)_±Е-іІї1оо<1+Ё-1) ±ЁЗЕ1оо(1+Ё-1)-
1 Ъ-1 1 и
=1іш 1-|--- =1іп1 1+- =є.
і-›+оо Ё- 1 'и,-›+оо 'и,
Написанные равенства с учетом произведенных замен и = 15 - 1 и
15 = -гс обосновываются с конца на основе теоремы о пределе компо-
зиции функций. Действительно, только тогда, когда мы пришли к пре-
'Ц
делу (1 + , существование которого уже доказано, теорема
'Ц ОО
позволяет утверждать, что предыдущий предел тоже существует и ра-
вен зтому. Тогда и стоящий перед ним предел существует, и конечным
числом таких переходов придем к исходному пределу. Это довольно ти-
пичный пример процедуры использования теоремы о пределе сложной
функции при вычислений пределов.
Итак, мы имеем
. 1 Ё . 1 Ш
Іпп 1 + - = е = Іпп 1 + - .
гс-›-оо (1: 11:-›+оо 11;

158 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
11
Отсюда следует, что 1іп1 (1 + = є.
Ш-+00
Действительно, пусть задано число Є > 0.
(В
Поскольку Ііш (1 + = е, найдется число с1 Є К такое, что при
ЅВ_›-ОО
1 Ш
а:<с1будет|(1+5)і -е <г:.
. Ґ “З .,
Поскольку 11п1 1 1 + % = е, наидется число с2 Є К такое, что при
1:-›+оо
Ш
с2 <:1:будет К1+%3І -е
Тогда при > с = п1ах{|с1|,|с2|} будем иметь (1 + - е| < гг.
Тем самым проверено, что Ііш (1 + = е. Ь
Ш-ЖЮ
Пример 21.
Ііт (1 + т5)1/Ё = е.
±-›0
4 После замены 1: = 1/і возвращаемся к пределу, рассмотренному в
предыдущем примере. >
Пример 22.
пт ї=0, если <1>1.
:с-›+оо Чи:
4 Мы знаем (см. Ё1, пример 11), что Ііт % = О, если (1 > 1.
77/-'›Х Ч
Теперь, как и в примере 3, можно рассмотреть вспомогательное ото-
бражение І: ПД -› Ы, осуществляемое функцией (целая часть
Воспользовавшись неравенствами
і.Ш<і<[=”1+_1.
Ч Чт Час Ч[$]+1 Ч
и учитывая, что по теореме о пределе сложной функции крайние члены
стремятся к нулю при 11: -› +00, заключаем, что Ііш -Ё = 0. >
сс-›-1-ос (117
Пример 23.
1о5 а:
Іпп -Ь = 0.
11:-›+оо 51:
4 Пусть а > 1. Полагаем 15 = 105,, 1:, находим гс = а/1. По свойствам по-
казательной и логарифмической функций (учитывая неограниченность

дв. пввдвл функции 159
а, п Є Ы) имеем (из -› +00) <=> (15 -+ +00). Используя теорему о пределе
сложной функции и результат примера 22, получаем
. 1 . 15
І1ш ї-Оёаш = 11п1 7 = 0.
11:-›-1-оо 51: Ъ-++оо а
Если 0 < а < 1, то положим -15 =1о3а 1:, 11: = а“*. Тогда -› +оо) <=>
<=> (15-› +00), и так как 1/а > 1, то снова
_ 103,, ас _ -15 _ 15
Іпп -і-=І1п1 ї=- Іпп і-7:0. Ь
а:-++оо 3: 1-›+оо а Ь-›+оо (1/а)'
с. Предел монотонной функции. Рассмотрим теперь один част-
ный, но весьма полезный класс числовых функций _ монотонные функ-
ции.
Определение 17. Функци.я 1” : Е -› К, определенная на числовом
множестве Е С К, называется
возрастающей на Е, если
`ч':1:1,:п2 Є Е (1131 < 2:2 => ](:с1)< ]”(г1:2));
неубыеающей на Е, если
`т/:в1,а:2 Є Е (:в1< 1:2 => [(1131) < ](а;2));
нееозрастающей на Е, если
/:1:1,:Ь'2 Є Е (:1;1 < 4122 => /(1131) 2 ]`(:1:2));
убывающей на Е, если
ї/ЅС1,ІІ72 Є Е ((171 < 332 => >
Функции перечисленных типов называются монотонными на мно-
жестве Е.
Предположим, что числа (или символы -оо, -і-ос) 11 = іпїЕ и з =
= Ѕ11рЕ являются предельными точками множества Е и 1” : Е -› Ку-Ш
монотонная функция на Е. Имеет место следующая
Теорема 6 (критерий существования предела монотонной функ-
ции). Для того чтобы неубывающая на множестве Е функция І: Е -›
-› К имела предел при а: -› з, а: Є Е, необагодимо и достаточно, чтобы
она была ограничена свершу, а для того чтобы она имела предел при

160 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ
11: -› і, а: Є Е, необазодимо и достаточно, чтобы оно было ограничено
снизу.
4 Докажем теорему для предела Ііш
ЕЭа:-›з
Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая
предел, функция І оказывается финально ограниченной при базе Е Э
Э 11: -› з.
Поскольку 1” -неубывающая на Е функция, отсюда следует,
ограничена сверху. На самом деле можно утверждать даже, что І
< Е1іп1 1” для любого 1: Є Е. Это будет видно из дальнейшего.
9:17-›з
Перейдем к доказательству существования предела Е1іш 1” при
Эт-›з
Ад
81-З
./О
/Аж
условии ограниченности 1” сверху.
Если 1” ограничена сверху, то существует верхняя грань значений,
которые функция принимает на множестве Е. Пусть А = Ѕир по-
:вЄЕ
кажем, что Е1іш І (113) = А. По є > 0, на основании определения верхней
Эт-›з
грани множества, найдем точку под Є Е, для которой А - Є < [(300) < А.
Тогда ввиду неубывания 1” на.Е получаем, что при 1130 < а: Є Е будет
А - є < ](а:) < А. Но множество {а: Є Е | 1130 < :в}, очевидно, есть
элемент базы 1: -› з, Ш Є Е (ибо з = Ѕир Таким образом, доказано,
что 1іп1 ](:1:) = А.
ЕЭ1:-›з
Для предела Е1іш _ 1” (аз) все рассуждения аналогичны. В этом случае
Эа:-›1
имеем = Ь
(1. Сравнение асимптотического поведения функций. Этот
пункт мы начнем поясняющими тему примерами.
Пусть 1г(:1:) _ количество простых чисел, не превосходящих данного
вещественного числа а: Є К. Имея возможность при любом фиксирован-
ном 11: найти (хотя бы перебором) значение тг(:1:), мы тем не менее не в
состоянии сразу ответить, например, на вопрос о том, как ведет себя
функция тг(а:) при гс -› +оо или, что то же самое, каков асимптоти-
ческий закон распределения простых чисел. От Евклида нам известно,
что тг(а:) -› +оо при а: -› +оо, но доказать, что 1г(:1:) растет примерно
как Ё, удалось только в ХІХ веке П. Л. Чебышёвуц.
1)П. Л. Чебьппёв (1821 - 1894) _ великий русский математик и механик, основатель
большой математической школы в России.

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 161
Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи
некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама
функция не определена, говорят, что интересуются асимптотиной или
асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки.
Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с по-
мощью другой, более простой или более изученной функции, которая в
окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью
воспроизводит значения изучаемой функции.
Так, 1г(:1:) при 11: -› +оо ведет себя как Ё; функция при а: -+
-› 0 ведет себя как постоянная функция, равная 1; говоря о поведении
функции $122 +з:+Ѕіп% при а: -› оо, мы, ясно, скажем, что она в основном
ведет себя как функция 5122, а при а: -› 0-как Ѕіп
Дадим теперь точные определения некоторых элементарных поня-
тий, относящихся к асимптотическому поведению функций. Этими по-
нятиями мы будем систематически пользоваться уже на первом этапе
изучения анализа.
Определение 18. Условимся говорить, что некоторое свойство
функций или соотношение между функциями выполнено финально при
данной базе В, если найдется элемент В Є В базы, на котором оно
имеет место.
Именно в этом смысле мы до сих пор понимали финальное постоян-
ство или финальную ограниченность функции при данной базе. В этом
же смысле мы дальше будем говорить, например, о том, что финально
выполнено соотношение 1” = 9(:1:)/1,(а:) между некоторыми функция-
ми І, 9, /1. Эти функции могут даже иметь разные исходные области
определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением
при базе В, то нам важно только, чтобы все они были определены на
некотором элементе базы В.
Определение 19. Говорят, что функция 1” есть бесконечно малая
по сравнению с функцией 9 при базе В и пишут 1” Ё о(у) или 1” =
= о(9) при В , если финально при базе В выполнено соотношение 1” =
= а(:г) - у(:1:), где ен-функция, бесконечно малая при базе В.
Пример 24. 3:2 = о(а:) при из -+ 0, так как 2:2 = а: - 1:.
Пример 25. :1: = о(а:2) при а: -› оо, так как финально, когда уже
11: аё 0, 11: = -3% - 1:2.

162 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Из этих примеров надо сделать вывод, что указание базы, при ко-
торой / = о(9), совершенно необходимо.
Обозначение 1” = о(9) читается « 1” есть о малое от 9».
Из определения следует, в частности, что получающаяся при 5
Е 1 запись 1” Ё о(1) означает просто, что І есть бесконечно малая при
базе В.
Определение 20. Если 1” Ё о(9) и функция 9 сама есть бесконеч-
но малая при базе В, то говорят, что 1 есть бесконечно малая более
высокого по сравнению с 9 порядка при базе В.
им .:1з_=-пиа: оо ть кнчн м'аяол
П е 26 2 12 -› ес бесоеоал бее
11
высокого порядка по сравнению с бесконечно малой аз*1 =
Определение 21. Функцию, стремящуюся к бесконечности при
данной базе, называют бесконечно большой функцией или просто бес-
конечно большой при данной базе.
Определение 22. Если 1” и 9-бесконечно большие при базе В и
1 Ё о(9), то говорят, что 9 есть бесконечно большая более высокого
порядка по сравнению с І.
Пример 27. %-›ооприа:-›0,дё-›оопри:1:-›0и%=о(Ё)
1
при а: -› 0, поэтому -% есть бесконечно большая более высокого порядка
(13
по сравнению с % при а: -› 0.
Вместе с тем при за -› оо функция 1:2 есть бесконечно большая более
высокого порядка, чем 113.
Не следует думать, что, выбрав степени а: для описания асимпто-
тического поведения функций, мы сможем каждую бесконечно малую
или бесконечно большую характеризовать некоторым числом п -ее
степенью.
Пример 28. Покажем, что при а > 1 и любом н Є 2
. Ш
11п1 _ = 0,
11:-›+оо 0,37
т.е. 113 = о(а$) при дп -› +оо.
4 Если п < 0, то утверждение очевидно. Если же п Є М, то, полагая
_ ад _ 2: П
9 _ Є/Ё, имеем 9 > 1 и Ё _ ,поэтому

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 163
аз-›+оо 0,33 а:-›+оо Чт а:-Н-оо (137 :1:-++оо (137
11п1 - = 11п1 ) = 11ш - ~ . . . - 11111 - = 0.
п Баз
Мы воспользовались, по индукции, теоремой о пределе произведения
и результатом примера 22. Ь
Таким образом, при любом п Є 2 получаем ап = о(аЕ”) при 1: -+ -І-оо,
если а > 1.
Пример 29. Развивал предыдущий пример, покажем, что при а >
> 1 и любом ск Є К
Ша
Ііш _ = 0,
сс-›+оо 0,5”
т.е. 1:” = о(а$) при ат -› +оо.
4 Действительно, возьмем число п Є М такое, что п > ог. Тогда при
11: > 1 получим
ага 1:
0 < - < -.
аї ад”
Опираясь на свойства предела и результат предыдущего примера, по-
(1
лучаем, что Ііш ї = 0. >
т-›+оо 0,3:
Пример 30. Покажем, что при а > 1 и любом а Є К
-1/гс
, СЪ
Іпп __ = 0,
К+ЭІБ-+0 Ша
т.е. а1/5” = о(а:“) при а: -› 0,11: Є Щ.
4 Полагая в этом случае а: = -1/15, по теореме о пределе сложной
функции, используя результат предыдущего примера, находим
а-1/а: йа
1іп1 -ї: Ііш 7:0. Ь
1к+э:::-›0 сс” с-›+ооа
Пример 31. Покажем, что при а > О
105 11:
І1п1 -Ь = 0,
:1:-›+оо 5120”
т.е. при любом положительном показателе степени а имеем Іодааг =
= о(:1:°“) при 1: -› +оо.

164 Ічъ1п.пРЕдвл
4 Если а > 1, то положим сс = а*/“. Тогда по свойствам показатель-
ной функции и логарифма, опираясь на теорему о пределе композиции
функций и результат примера 29, находим
Ііш Ш=1іп1 Ш=і1іш і=0.
а:-++оо 330” Ъ-›+оо 0,* аі-›+оо а*
Если О < а < 1, то 1/а > 1 и после замены ат = а`*/0” получаем
Ііш ш=1іш Ё:-і1іп1 і_д=0. >
11:-›+оо (130 Ё-›+оо (1,_± (141-›+оо (1/а)
Пример 32. Покажем еще, что при любом ог > 0
а:°”1о3;а:1: = о(1) при ат -› 0, сс Є 1К+.
4 Нам нужно показать, что К Ііш а:°” 1056, сс = О при а > 0. Полагая
+31?-›0
51: = 1/ 15, применяя теорему о пределе композиции функций и результат
предыдущего примера, находим
1 1 15 1 Ъ
пт а:<*1<›@;аа;= пт ЁЩЦЬ пт Ё2-=о. ›
щэш-›о ±з+<×› #1 ±-›+<×› га
Определение 23. Условимся, что запись І Ё О(9) или І = О(9)
при базе В (читается «І есть О большое от 9 при базе В››) будет озна-
чать, что финально при базе В выполнено соотношение 1” = В9(:в),
где И -финально ограниченная при базе В функция.
В частности, запись 1” Ё О(1) означает, что функция І финально
ограничена при базе В.
Пример 33. + Ѕіпаг) 11: = О(:п) при 1: -› оо.
Определение 24. Говорят, что функции 1” и 9 одного порядка
при базе В и пишут 1” >< 9 при базе В, если одновременно І Ё О(9)
И9Ё0ЧХ
Пример 34. Функции (2 + Ѕіпа:)з: и 11: одного порядка при а: -+ оо,
но (1 + Ѕіп:в):в и а: не являются функциями одного порядка при сс -› оо.

92. пввдвл функции 165
Условие, что функции І и 9 одного порядка при базе В, очевидно,
равносильно тому, что найдутся числа с1 > 0, с2 > О и элемент В базы В
такие, что на В имеют место соотношения
С1І9(Ш)І < І1”(Ш)І < с2І9(<1г)І
или, что то же самое,
3-1<@››<9<ш›| < іш<›:›|.
С2 С1
Определение 25. Если между функциями І и 9 финально при
базе В выполнено соотношение І = 7(а:)9(а:), где Ііёпц/(аг) = 1, то
говорят, что при базе В функция 1” асимптотически ведет себя как
функция 9 или, короче, что 1” эквивалентна 9 при базе В.
Будем в этом случае писать 1 «Е 9 или І ~ 9 при базе В.
Употребление термина «эквивалентна» оправдано тем, что
/Ж
Ч»
0:2
ё/“СГ
> Ш?
493/СТ
Ш2 “_ (32
З;/-×*~
Ко Ё/
11 Ы
/' Ч»
ы %/
Ш2
З/
Действительно, соотношение 1” »Б 1” очевидно, в этом случае *у(а:) 5
_ - - 1
= 1. Далее, если 11Ёп7(:с) = 1, то 11ЁпЖЕ5 = 1 и 9(:в) = Здесь
,.`-2
шїа~
*Ь
ГП`Н/Е?
ве*
надо только объяснить, почему можно считать, что 7 Если
соотношение 1” = *у(:в)9(а:) имеет место на элементе а со-
отношение % < < Ё-на элементе В2 Є В, то мы можем взять
элемент В С В1 П В2, на котором будет выполнено и то и другое. Всю-
ду вне В, если угодно, можно вообще считать, что *у(:с) Е 1. Таким
образом, действительно ~ 9) => (9 ~
Наконец, если [(112) = *у1(а:)9(а:) на В1 Є В и 9(:1:) = *у2(а:)і1(:в) на
В2 Є В, то на элементе В Є В базы В таком, что В С В1 П В2, оба эти
соотношения выполнены одновременно, поэтому І = *у1(аз)*у2(а:)/1(:с)
на В. Но 1іЁп*у1(:в)*у2(а:) = Ііёп *у1(:1:)-Ііёп *у2(:1:) = 1 и тем самым проверено,
что І «Е /1.

166 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Полезно заметить, что поскольку соотношение Ііёп = 1 равно-
сц Н
Ґ.
сильно тому, что *у(:1:) = 1 + а(а:), где 1іЁпог( ) = 0, то соотношение
І «Ё» 9 равносильно тому, что [(113) = 9(а:) -і-ог(:с) :1: = 9(а:) +о(9(а:)) при
базе В.
Мы видим, что относительная погрешность |а(:1:)| = І
приближения функции с помощью функции у(:1:), эквивалентной 1”
при базе В, есть величина бесконечно малая при базе В.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 35. 1:2 +:в = (1 + 1122 ~ 2:2 при а: -› оо.
Абсолютная величина разности этих функций
|(а:2 -і-сс) - а:2| =
СТРЄМИТСЯ К бЄСКОНЄЧНОСТИ, ОДН3.КО ОТНОСИТЄЛЬНЗЯ ПОГРЄШНОСТЬ І-1% =
СС
= Ё замены функции 1122 + :1: на эквивалентную величину $132 стремится
к нулю при а: -› оо.
Пример 36. В начале этого пункта мы говорили о знаменитом
асимптотическом законе распределения простых чисел. Теперь мы в
состоянии записать его точную формулировку:
11: а:
тг(а:)=--+0 -_ при ас-›оо.
Іпас 11111:
Пример 37. Поскольку Ііпё 5%'ї = 1, то Ѕіпа: ~ 1: при а: -› 0, что
13-›
можно написать также в виде равенства Ѕіпа: = 11: + о(:1:) при 11: -› 0.
Пример 38. Покажем, что 1п(1 + 1:) ~ а: при а: -+ О.
1 1
< пт -_-“( Н) =1іш1п(1 +ш)1/“= = 111 (1іт(1 +а:)1/т) =1п@ = 1.
:с-›0 Ш а:-›0 а:-›0
Мы воспользовались в первом равенстве тем, что 1о9;а(Ь“) = о<1о5а Ь, а
во втором тем, что Ііш Іоёаі = Іода, Ь = Іода (Пт 15). Ь
1-›І› 1-›Ь
Итак, Іп(1 + 1:) = ІБ + о(а:) при аз -› 0.
Пример 39. Покажем, что ет = 1 + 112 + о(а:) при а; -› О.
4 1' Єж _ 1 1' Ё 1
-_ = 1п1-і = .
а:Ч›ҐЁ) 1: Ъ-›0 1І1(1 + Ё)

52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 167
Мы сделали замену а: = Іп(1 +1€), ет - 1 = 15 и воспользовались тем,
что е” -› ео = 1 при сс -› 0, причем еї” дё 1 при из 75 0. Таким образом, на
основании теоремы о пределе композиции и результата предыдущего
примера утверждение доказано. Ь
Итак, еї”-1~шпри:1:-›0.
Пример 40. Покажем, что (1 + 113)” = 1 + ош: + о(а:) при из -› 0.
_ 1(1+)_
<1іш(1+:1:)°' 1:Ііше““ 5” 1_а1п(1+:1:):
а:-›0 а: гс-›0 а1п(1 + гс) из
_ ей-1 _ 1п(1-4-1:)
= о:11п1-_-11п1 її- = ог.
і-›О 1; а:-›0 (ІІ
В зтой выкладке мы, предполагая а 7Є 0, сделали замену а Іп (1 +13) =
= 13 и воспользовались результатами двух предыдущих примеров.
Если же а = 0, то утверждение очевидно. Ь
Таким образом, (1 + 12)” - 1 ~ сна: при св -› 0.
При вычислении пределов иногда бывает полезно следующее простое
Утверждение 3. Если 1” »Е 17: то 1іЁт1]`(а:)у(:с) = Ііёп если
один из этиаг пределов существует.
4 Действительно, коль скоро І = 7(:с)ї и 1іЁп*у(:1:) = 1, то
11,91/<«›>у<ш› =11Ём<$›ї<Ш›9<ш› =11;;«×<$›-11дпї<Ш>9<Ш› = 11д1ї<«:›9<э:›- ›
Пример 41.
1, Іп сова: 1 Ґ 111 соЅ2 3: 1 1, 1п(1 - Ѕіп2 сс)
пп _ = - 1п1 _і = - пп =
1:-›0 3111032 2 1:-+0 1132 2 а;-›0 1:2
1 1, -Ѕіп2:с 1 1, :с2 1
=- 1п1-:-=-- 1п1-=--.
2:в-›0 1172 2:1:-›0:В2 2
Мы воспользовались тем, что 111(1 + св) ~ а при а -› 0, Ѕіпа: ~ а: при
ап-›0, дЁ~%прид-›0изіп2:1:~ш2при:1:-›0.
Мы доказали, что в одночленах при вычислении пределов можно
заменять функции на им зквивалентные при данной базе. Не следует
распространять зто правило на суммы и разности функций.
її
Пример 42 2 ~ :1: при сс -› +оо, но
11: +.с
Ііш :с2+:с-гс) 74 Ііш (гс-:1:)=0.
а:-›+оо :1:-›+оо

168 гл. Ш. пввдвл
В самом деле,
. /-_-2 _ _ . 11: _ . 1 _і
1 +1 І)_а:ВҐ-іїіоо,/:І;2_}_а;_|_д1;_:в-Еіїіоо 1+і+1_2
`/ а:
Отметим еще следующие широко используемые в анализе правила
обращения с символами о(-),
Утверждение 4. При данной базе
8) 00) + 00) = 00);
(/) есть также О(]);
1) +00) = 00);
0) + 00) = 00);
если9(а:)7$0, то =о(%%%) и =О(%%).
Обратите внимание на особенности действий с символами о(-), О(~),
вытекающие из смысла этих символов. Например, 2о(1) = о(1), или
00) + 00) = 00) (Х0ТЯ› Р›00бЩ<-> г0В0РЯ› 00) # 0), ИЛИ 00) = 00 )› НО
О(1) 75 о(] Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «есть».
Сами символы о(~), обозначают не столько функцию, сколько ука-
зание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати,
обладают сразу многие функции, например, и 1 , и 21, и т. п.
35:35
©і°
4 а) После сделанного уточнения утверждение а) перестает вы-
глядеть неожиданнь1м. Первый символ о( 1 ) в нем означает некоторую
функцию вида а1(:с) 1 (11), где Ііёп а1(:в) = 0. Второй символ о( 1 ), кото-
рый можно (или нужно) было бы снабдить пометкой, отличающей его от
первого, означает некоторую функцию вида о42(ш)/(из), где Ііёп а2(:1:) =
= 0- Т0Гдд» СУ1(дї)1($)+С×2($)](17) = (0г1(ї”)+0г2(ї17))](ї17) = 0з($)1($),1`дЄ
Ііёп а3(э:) = 0.
Ь) Следует из того, что всякая функция, имеющая предел, является
финально ограниченной.
с) Следует из Ь) и (1).
(1) Следует из того, что сумма финально ограниченных функций
финально ограничена.
Є) мб” = =°*<$>%% =°(%@%)~
9 17 9 13 9 17 9 33
Аналогично проверяется и вторая часть утверждения е). Ь

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 169
ПОЛЬЗУЯСЬ ЭТИМИ Пра.ВИЛ3.МИ И ЭКВИВЕІЛЄНТНОСТЯМИ, ПОЛУЧЄННЬІМИ В
примере 40, теперь можно следующим прямым методом искать предел
из примера 42:
Ііш (/:1:2-І-из-1:): Ііт 11: 1+--1 =
ас-›+оо 11:-›+оо
_ 1 1 1 _ 1 1
=11ш а: 1+- - - =11п1 -+:в-о - ==
11:-›+оо 2 11: 11: 11:-›+оо 2 11:
_ 1 1
І $і1Еі%×>(ё + (Ш) _ 5-
Несколько позже мы докажем следующие важные соотношения, ко-
торые уже сейчас стоит запомнить как таблицу умножения:
/'$
І-
ы./ї
Ы:-Ь
__/
1 1 1
е$=1+-:п+-ш2+...+-аг''+... при 1126113,
1! 2! п!
сова:-1-іа:2+іа:4+ +Щ$2К+ пиазёїії,
_ 2! 4! (2/<)1 р
Ѕіпа:= іш- і:1:3+...-і-Щ-ш2,°+1+... при ШЄІК,
1! 3! (2/~с+1)!
12 13 (_1)п_1п
1п(1+а:)=$--іас -І-5:1: +...+-Та-а: +... при |:с|<1,
-1
(1+:1:)°”=1+%:1:-І-їС%Гі:1:2+...+
+а(ог-1)..7;/га-п-І-1)
:1:'+... при |:1:|<1.
Эти соотношения, с одной стороны, уже могут служить вычислитель-
ными формулами, а с другой стороны, как будет видно, содержат в
себе следующие асимптотические формулы, обобщающие формулы, по-
лученные в примерах 37-40:
1 1 1 .
ет:1+-э:+-а:2+...+-:1:+О(:п''+1) при 11:-›0,
1' 2' п'
1 1 -1*
соЅ:1:=1-Ыа:2+21-їш4+...+%$:с2,°+О(:в2,“+2) при сс-›0,

170 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
1 1 -1 К .
зіпш = - + . .. + $2Ё+1+ О (а:2І“+3) при а: -› 0,
1 2 1 3 (_1)п_1 п п+1
1п(1+:с)=:1:--із: +53: +...+-ТП--гс +О(аг ) при Ш-›0,
-1
(1+:1;)“=1+%а:+9і%#:1:2+...+
-1 - 1
+а(а ) пух п+ ):с+О(:1;+1) при :1:-›0.
Эти формулы обычно являются наиболее эффективным средством
при оть1скании пределов элементарных функций. При этом полезно
+1 _ +1 _. _ _
иметь в виду, что О(:1:' ) _ шт -О(1) _ 1:7-а:~О(1) _ шт-о(1) _ о(:с”)
при 51; -› О.
Рассмотрим в заключение несколько примеров, показывающих эти
формулы в работе.
Пример 43.
1
1, аг-Ѕіп:с_1, $_($_ёї$3+О(Ш5))_Нш 1+О(2) _1
1:3 _ шт) 1:3 _ гс-›0 3! З: _ 31.
- 2 7а:3+а:_ :9
Пример 44. І1і›п)1оа: <`/-_1+$3 соьіс) .
Имеем приз:-›оо:
1173-і-:1т_1+іБ_2_ 1+1 1+1 _1_
1+:1г3_1+:1:3_ Ш2 2:3 _
1 1 1 1 1
= 1 ± 1_- о _- =1 _ о -,
(нд Ы) Ы
7<;3+1: 1 1 1/7 1 1 1
/ .= 1 _ о _ =1 - --,
1+:1:3 (+:в2+ +7 из 1123
1 1 1 1
соз;=1-2'ў+О(Е),
откуда получаем
7/$3+$-соЅ1-9 1-і-О 3- пиа:-›оо
1 + $133 11: _ 14 3:2 1:3 р °

Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 171
Таким образом, искомый предел равен
9 1 9
. 2 і_ __ = __
шІіЧ>І<>$ (14а:2 +О(:с3)) 14.
Пример 45.
Іпп -1+- =11шехр<$ Іп 1+- -1 =
гс-›оо Є 51; а:-+оо к 1;
. '2 1
= 11п1ехр<:с 1п<1+-)-а:}=
ІІ!-›ОО Ш
, Ґ 1 1 1
=$13”ІЁОЄХР <:'І72 _ 5? +0 -І13} =
' 1 1
= Ііш ехр< -- + О = е_1/2.
сс-›оо ы 2 51;
Задачи и упражнения
1. а) Докажите, что существует и притом единственная определенная на К
функция, удовлетворяющая требованиям
і(1)=а (0/>0, а#1),
1°(<Р1)°і($2)= і($1 + 102),
_1°(а:)-›І(:с0) при из-›:п0.
Ь) Докажите, что существует и притом единственная определенная на Щ
функция, удовлетворяющая требованиям
І(<1)=1 (а>0,а#1),
Ґ($1)+ Ґ(Ш2) = 1°(Ш1 #12),
]'(:1:)-›](:1:0) при :1:0Є1К+ и 1К+ Эа:-›:1:0.
Ук аз ан и е. Просмотрите еще раз конструкцию показательной и логариф-
мической функций, разобранную в примере 10.
2. а) Установите взаимно однозначное соответствие ср: К -› Щ так, чтобы
для любых 1:, у Є ПК было <р(:в + у) = <р(:1:) - <р(у), т. е. чтобы операции сложения
в прообразе (в К) отвечала операция умножения в образе (в Наличие
такого отображения означает, что группы (К, +) и , как алгебраические
объекты одинаковы, или, как говорят, изоморфны.
Ь) Докажите, что группы (К, +) и (ІК 0+, не изоморфны.

172 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
3. Найдите пределы
а) Ііш :1:“”;
ш++0
Ь) пт ш1/Ф;
ш++щ>
~ 10Ёа(1 +'$)
с Іпп ---_-'
)ш-П) Ш ,
(1 1іп1 __“$ _1.
):г+0 $
4. Покажите, что
1 1
1+ё+...+Б=1пп+с+о(1) при п-›оо,
где с-постоянная. (Число с = 0,57721 . _ . называется постоянной Эйлера.)
Указ ание. Можно воспользоваться тем что
7
1 1 1 1
Іпї-=1п(1+-)=-+О(ї) при п-›оо.
п п п п
5. Покажите, что
ОО ОО
а) если два ряда Е ап, 2 Ьп с положительными членами таковы, что
'п.=1 п=1
ап ~ Ь” при п -› оо, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно;
Х
Ь) ряд 2 Ѕіп Ё сходится только при р > 1.
п=1
6. Покажите, что
(Ю
а) если ап 2 ап_|.1 > О при любом п Є Ы и ряд 2 ап сходится, то ап =
п=1
=0(%) прип-›оо;
ОО
Ь) если Ьп = о то всегда можно построить сходящийся ряд 2 ап
п=1
такой, что Ьп = о(а,п) при п -› оо;
Х ОО
с) если ряд Е ап с положительными членами сходится, то ряд 2 Ад, где
п=1 п=1
ОО (Ё
Ад = 2 ад - 2 ад, тоже сходится, причем ап = о(Ап) при п -› оо;
Ь=п Ь=п+1
Х Ж
(1) если ряд 2 ап с положительными членами расходится, то ряд 2 Ап,
п=1 п=2
п п-1
где Ад = 2 ад - 2 ад, тоже расходится, причем Ад = о(ап) при п -› оо.
/«=1 ь=1
Из с) и (1) следует, что никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может
служить универсальным эталоном для установления сходимости (расходимо-
сти) других рядов путем сравнения с ним.

52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 173
7. Покажите, что
ОО
а) ряд 2 111 ап, где ап > 0, п Є ІЧ, сходится тогда и только тогда, когда
п=1
последовательность {Пп = 0,1 . . .ап} имеет отличный от нуля предел;
ОО
Ь) ряд 2 1п(1 + ап), где |оєп| < 1, абсолютно сходится тогда и только
п=1
Х
тогда, когда сходится абсолютно ряд 2 ап.
п=1
Указание. См. задачу 5а).
Х
8. Говорят, что бесконечное произведение П єд сходится, если последо-
К=1
'П
вательность чисел Пп = П єд имеет конечный, отличный от нуля предел П.
Іс=1
ОО
Тогда полагают П = П ед.
1с=1
Покажите, что
Х
а) если бесконечное произведение П еп сходится, то еп -› 1 при п -› оо;
п=1
Х
Ь) если 7'п Є Ы (єп > 0), то бесконечное произведение П ел сходится
=1
(Ю 'П
тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 Іп еп;
п=1
с) если єп = 1 + ап и все ап одного знака, то бесконечное произведение
Х СЮ
П (1 + ап) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 ап.
п=1 'п.=1
ОО
9. а) Найдите П (1 + :1:2_1).
п=1
Х
Ь) Найдите П соз % и докажите следующую формулу Виетаї):
п=1
1г 1
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
/;'/ё+ё/;' ё+ё/ё+ё/;~~~
с) Найдите функцию [(:в), если
і(0) = 1,
]'(2а:) = соЅ2:с-І(а:),
](:1:) -› _/'(0) при єв-› О.
1)Ф.Виет (1540 - 1603) -французский математик, один из создателей современ-
ной алгебраической символики.

174 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ
Указание: ш = 2-
10. Покажите, что
ОО
а.) если 5% = 1 + ВП, п = 1,2, . . ., и ряд 2 Нд абсолютно сходится, то
'П
~ п=1
существует предел Ііп1 Ьп = Ь Є К;
7Е_›ОО
Х
Ь) если = 1+ % + ап, п = 1,2,..., причем ряд 2101,, абсолютно
. п:
сходится, то ап ~ % при п. -+ оо;
П
Х ОО
с) если ряд 2 ап таков, что Ё = 1 + % + ап и ряд Е ап абсолютно
п=1 п=1
ОО
сходится, то ряд 2 ап абсолютно сходится при р > 1 и расходится при р < 1
п=1
(признак Гаусса абсолютной сагодимости ряда).
11. Покажите, что для любой последовательности {а,п} с положительными
членами П
Т- 1 + а
Іпп (--Ё 2 е
а
'П,_>ОО п
и эта оценка неулучшаема.

ГЛАВА ІУ
НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
Ё 1. Основные определения и примеры
1. Непрерывность функции в точке. Пусть 1” -вещественно-
значная функция, определенная в некоторой окрестности точки а Є К.
Описательно говоря, функция 1” непрерывно в точке а, если ее зна-
чения ]` по мере приближения аргумента а: к точке а, приближаются
к значению 1” (а) функции в самой точке а.
Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в
точке.
Определение О. Функция 1” называется непрерывной в точке 0,,
если для любой окрестности У(](а)) значения ]`(а) функции в точке 0,
найдется такая окрестность П(а) точки а, образ которой при отобра-
жении І содержится в У( 1” (а)).
Приведем формально-логическую запись этого определения вместе
с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе:
(І непрерывна в точке а) := (7'У(]'(а))и ЭП(а) (]`(П(а)) С 1/([(а)))),
Не > 0 ЁІІ/(а) На: Є П(а,) - ](а,)| < Є),
7'е>0 ЕІб>0 7':1:Є1К(|:1:-а|<б=>|[(а:)-](а)|<е).
Эквивалентность этих формулировок для вещественнозначных
функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) лю-
бая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрест-
ность этой точки.
7 Математический анализ. Часть І

176 ГЛ. І/`. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
Например, если по любой Є-окрестности УЄ([ (а)) точки І (а,) можно
подобрать окрестность Ґ/'(а,) точки а так, что `</11: Є Ґ/'(а) -](а)| <
< Є), т.е. ]`(І/'(а,)) С ї/Є(](а)), то и для любой окрестности У(](а))
тоже можно подобрать соответствующую окрестность точки а. Дей-
ствительно, достаточно сначала взять УЄ(І(а)) С У( 1” (а)), а затем по
ї/Є(ї(а)) Найт ї/`(@)- Т0гда 1°(Щ@)) С ї/Є(1(0›)) С У(і(@))-
Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле вто-
рого из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле
исходного определения. Обратное очевидно, поэтому зквивалентность
первых двух формулировок проверена.
Дальнейшую проверку оставляем читателю.
Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непре-
рывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили,
что функция 1” определена в целой окрестности точки а. Рассмотрим
теперь общий случай.
Пусть 1” : Е -› К-вещественнозначная функция, определенная на
некотором множестве Е С К, и а,-точка области определения функ-
ции.
Определение 1. Функция І: Е -› ІК называется непрерывной в
точке а Є Е, если для любой окрестности У(](а,)) значения 1” (а) функ-
ции, принимаемого ею в точке 0,, найдется такая окрестность ПЕ(а,)
точки а в множестве” Е, образ которой 1” (ПЕ(а)) содержится в У( 1 (а)).
Итак,
(І: Е -› К непрерывна в а Є Е) :=
= (×1У<г<<»›› эЫЕ<а› (Ш/Е<а›› с 1/<і<<»›››)_
Разумеется, определение 1 тоже можно записать в е-6-форме, рас-
смотренной выше. Там, где нужны числовые оценки, это бывает полезно
и даже необходимо.
Запишем эти вариации определения 1:
(І: Е -› К непрерывна в а Є Е) :_
= (`°'Є > 0 ЁШЬЖ0) `7'Ш Є Ґ/'Е(0«) (|Ґ($) _ Ґ(0)| < 5)),
1)Напомним, что ПЕ(а) = Е П І/(а).

Ё 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 177
ИЛИ
(І: Е-НК непрерывнав СЬЄЕ) :=
=(`т/є>0 ЁІб>0 `#:1:ЄЕ (|а:-а,|<бэ|]`(а:)-[(а)|<є)).
Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке.
1° Если а-изолированная, т. е. не предельная, точка множества Е,
то найдется такая окрестность І/'(а) точки съ, в которой нет других
точек множества Е, кроме самой точки а. В этом случае ПЕ(а) = а,
и поэтому 1”(ПЕ(а)) = 1” (а) С У(1”(а)), какова бы ни была окрестность
1/(І (а)). Таким образом, в любой изолированной точке области опреде-
ления функция, очевидно, непрерывна. Но это вырожденный случай.
2° Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким
образом, к тому случаю, когда а Є Е и а-предельная точка множест-
ва Е. Из определения 1 видно, что
(І: Е -› К непрерывна в а Є Е, где а -предельная точка Е) <=>
е ( пт і<1=›= мл).
ЕЭа:-›а,
4 В самом деле, если а-предельная точка Е, то определена база
О
Е Э 1: -› а проколоть1х окрестностей ПЕ(а) = ПЕ(а) а точки а.
Если 1” непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности У(1(а))
окрестность І/'Е(а,) такую, что 1” (І/'Е(а)) С У(](а)), мы одновременно
будем иметь ](ПЕ(а)) С ї/(](а)) и в силу определения предела, таким
образом, Ііш /(аз) = /(а).
Еэаз-›а,
Обратно, если известно, что Е1іп1 /' = ](а), то по окрестности
Эа:-›а,
У(1“(а)) найдем проколотую окрестность Ґ}Е(а) так, что ]`Е(а)) С
С У(](а,)). Но поскольку [(а,) Є У(](а)), то тогдаи ]“(ПЕ(а)) С У(](а)).
В силу определения 1 это означает, что функция /` непрерывна в точке
аЄЕ.>
3° Поскольку соотношение Е1іп1 І = _1(а) можно переписать в
Эа:-›а,
форме
ЕЭа:-›а, ЕЭ:1:-+а
НП, ,«<,>=,( пт ,),|

178 ГЛ. ІУ. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точ-
ке функции (операции) и только они перестановочнь1 с операцией пре-
дельного перехода. Это означает, что то число 1” (а), которое получается
при выполнении операции І над числом о, можно сколь угодно точно ап-
проксимировать значениями, получаемыми при выполнении операции ]`
над соответствующими заданной точности приближеннь1ми значения-
МИ Ш ВЄЛИЧИНЬІ 0,.
4° Если заметить, что при а Є Е окрестности І/'Е(а,) точки а обра-
зуют базу ВО, (независимо от того, является ли а предельной или изо-
лированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1
непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что
число І (а) - значение функции в точке а -является пределом функции
1” по этой базе, т.е.
О,
(І: Е -› К непрерывна в а Є Е) <=> (1}3п1](а:) = ](а)).
5° Заметим, однако, что если Іёш 1 существует, то, поскольку
(1
а Є ПЕ(а) для любои окрестности ПЕ(а), этот предел неизбежно ока-
зывается равным 1” (съ).
Таким образом, непрерывность функции ]` : Е -› В в точке а Є Е
равносильна существованию предела этой функции по базе Ва, окрест-
ностей (но не проколотых окрестностей) ПЕ(а) точки а в Е.
Итак,
(І: Е -› К непрерывна в а Є Е) Ф (ЁІ1%п1](а:)) .
О,
б° В силу критерия Коши существования предела теперь можно ска-
зать, что функция непрерывна в точке а Є Е тогда и только тогда,
когда для любого є > 0 найдется окрестность ПЕ(а) точки а в Е такая,
на которой колебание ш(1“;ПЕ(а)) функции меньше Є.
Определение 2. Величина ш(]`;а) = бЁ›Іі10ш([;ПЁ(а)) (где ПЁ(а)
есть 5-окрестность точки а в множестве Е) называется ко./ъебанием
функции І: Е -› К в точке а.
Формально символ ш( 1” ;Х ) уже занят, он обозначает колебание
функции на множестве Х. Однако мы никогда не будем рассматри-
вать колебание функции на множестве, состоящем из одной точки (это

51. ОСНОВНЬІЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 179
колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ ш( 1” ; а), где а-точ-
ка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке,
которое мы только что вве.ли определением 2.
Колебание функции на подмножестве не превышает колебания
функции на множестве, поэтому величина ш(]'; ПЁд(а,)) есть неубываю-
щая функция от 5. Поскольку она неотрицательна, то либо она име-
ет конечный предел при 5 -› +0, либо при любом 5 > 0 выполне-
но ш([; І/Ё3(а)) = +оо. В последнем случае естественно полагают
ш( 1” ; а) = +оо.
7° Используя определение 2, сказанное в 6° теперь можно резюми-
ровать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда
ее колебание в этой точке равно нулю. Зафиксируем это:
(І: Е -› К непрерывнав а Є Е) <=> (ш([;а) = 0).
Определение 3. Функция І : Е -+ К называется непрерывной на
множестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е.
Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на
множестве Е, условимся обозначать символом С'(Е;1К) или, короче,
С
Мы обсудили понятие непрерывности функции.
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 1. Если 1 : Е -› К-постоянная функция, то 1 Є С
Это утверждение очевидно, ибо 1” = с С ї/(с), какова бы ни была
окрестность 1/(с) точки с Є ІК.
Пример 2. Функция 1” = а: непрерывна на К.
Действительно, для любой точки (сд Є К имеем |]` - 1” (:1:0)| =
=|:1: - а:0| < Є, как только |а: - :г0| < 5 = є.
Пример 3. Функция І = Ѕіпа: непрерывна на К.
В самом деле, для любой точки $120 Є ІК имеем
. _ $+Шо . 11-1130
|з1па:-з1па:0|= 2соз-ТЅ111--Г <
_ 3:-Ш 11:-11:
<2 $111-її <2 -79 =|:в-а:0|<е,
как только |:1: - 1130] < 5 = є.

180 ГЛ. І/`. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
Мы воспользовались неравенством | Ѕіп :1:| < |а:|, доказанным в гл. ПІ,
Ё2, п. 2с1, пример 9.
Пример 4. Функция 1” = сов 11: непрерывна на К.
Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки 1130 Є
Є К имеем
_ ап-І-0:0 , сс-ато
|соЅ:1:-соЅ:в0| = -25111-ТЅ1п_Т
. 517-330
<2 51117- <|а:-аг0|<є,
как только |ш - :в0| < 5 = є.
Пример 5. Функция /(аз) = ат непрерывна на К.
Действительно, по свойству З) показательной функции (см. гл. ПІ,
Ё2, п. 2(1, пример 10а) в любой точке Ш0 Є К имеем
Ііш ат = а$°
17->:130 ,
что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции ат в
ТОЧКЄ (170.
Пример 6. Функция / = Іоёа а: непрерывна в любой точке 1130 Є
Є ПД области определения ІЩ = {:п Є К | из > 0}.
В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см. гл. ІП,
Ё2, п. 2<ї, пример 10Ь) в любой точке спо Є Щ имеем
Ііш Іоёа а: = 105,, 1120,
К+ЭІВ-ЖІ20
что равносильно непрерывности функции 1о5,, 1: в точке шо.
Попробуем, кстати, по заданному є > О найти окрестность ПК+(:п0)
точки то так, чтобы в любой точке Щ Є Пщ<_+(а:0) иметь
|1о5аа: -1050, 1120] < є.
Это неравенство равносильно соотношению
11:
-є < Іода - < г.
5130
Пусть для определенности а > 1; тогда последнее соотношение равно-
сильно условию
ІІЗООҐЄ < Ш < 1206125.

ЁІ. ОСНОВНЬІЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 181
Интервал ]:с0а`Є,а:0аЄ[ и есть искомая окрестность точки шо. По-
лезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от
величины є, так и от самой точки шо, чего не наблюдалось в приме-
рах 1~4.
Пример 7. Любая последовательность 1 : Щ -› К есть функция,
непрерывная на множестве М натуральных чисел, поскольку каждая
точка множества Ш является его изолированной точкой.
2. Точки разрыва. Для того чтобы лучше освоиться с понятием
непрерывности, выясним, что происходит с функцией в окрестности
той точки, где она не является непрерывной.
Определение 4. Если функция І : Е -› К не является непрерь1в-
ной в некоторой точке множества Е, то эта точка называется точкой
разрыва функции 1” .
Построив отрицание к утверждению «функция І : Е -› К непрерь1в-
на в точке а Є Е», мы получаем следующую запись определения того,
что а-точка разрыва функции І:
(0, Є Е -точка разрыва функции 1 ) :=
= (її/(1'(<1)) `їҐ1Е(<1) 311? Є Ґїв(0) “(11) ЄЁ У(ї(0))))-
Иными словами, а Є Е -точка разрыва функции 1” : Е -› К, если
найдется такая окрестность /(І (а)) значения 1” (съ) функции в точке 0,,
что в любой окрестности ПЕ(а,) точки а, в множестве Е найдется точка
11: Є ПЕ(а), образ которой не содержится в 1/( 1” (а,)).
В є- 6-форме это же определение выглядит так:
Эє>0&/<Ѕ>0 3:1:єЕ (|:1:-а,|<6/|](а:)-](а)|>г).
Рассмотрим примеры.
Пример 8. Функция І = 551111: постоянна и, значит, непрерыв-
на в окрестности любой точки а Є К, отличной от нуля. В любой же
окрестности нуля ее колебание равно 2. Значит, О-точка разрыва
функции 531117. Заметим, что функция имеет в точке О и предел сле-
ва Ііш 551151: = -1, и предел справа Ііш 55119: = 1, но, во-первых, они
а:-›-О а:-›+0
не совпадают между собой, а во-вторых, ни один из них не совпадает

182 ГЛ. ІУ. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
со значением 55110 = 0 функции в точке 0. Это прямая проверка того,
что 0-точка разрыва функции.
Пример 9. Функция І = |Ѕ5пас| имеет предел 1іпЁ)|Ѕ5пш| = 1
Ш_›
при Ш -+ 0, но = |Ѕ3п0| = 0, поэтому Ііш ]'(а:) эё и О-точка
а:-›0
разрыва функции.
Заметим, однако, что в данном случае, изменяя значение функции
в точке 0 и полагая его равным 1, мы получим функцию, непрерывную
в точке 0, т. е. устраним разрыв.
Определение 5. Если точка разрыва а Є Е функции І : Е -› К
такова, что существует непрерывная функция 1” : Е -+ ІК такая, что
1” | Ща = ]|Еа, то съ называется точкой устранимого разрыва функции
[: Е -› К.
Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем,
что существует предел Ііш ]` = А, но А дё ](а), и достаточно
Е Эа:-›а
ПОЛОЖИТЬ
он
как мы уже получим непрерывную в точке а функцию І : Е -+ К.
Пример 10. Функция
Ѕіпі при Ш 79 0,
Ш І
Д ) 0 при Щ = О
разрывна в точке 0. При этом она даже не имеет предела при 1: -›
-› 0, ибо, как было показано в гл. ІІІ, Ё2, п. 1, пример 5, не существует
предела Іітп) Ѕіп График функции Ѕіп% изображен на рис. 12.
(ІІ-›
Примеры 8, 9 и 10 поясняют следующую терминологию.
Определение 6. Точка съ Є Е называется точкой разрыва первого
рода для функции 1” : Е -› К, если существуют пределыц
ЕЭ;д,_0і<Ш› == на - 0›, +0і<«:› == ла + <››,
1)Если а,-точка разрыва, то а-предельная точка множества Е. Однако может
случиться, что все точки множества Е в некоторой окрестности точки а, лежат по
одну сторону от точки а. В этом случае рассматривается только один из указанных
в определении пределов.

ё1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 183
13/
_!
.
.
у=зіп1
1:
. 0 у .
2 1 1 2 а:
-ї -її ї 'тї
.
.
.
н_
-1
Рис. 12.
но по крайней мере один из этих пределов не совпадает со значени-
ем 1” (а) функции в точке а.
Определение 7. Если а Є Е-точка разрыва функции 1” : Е -›
-› К и в этой точке не существует по меньшей мере один из пределов,
указанных в определении 6, то а называется точкой разрыва второго
рода.
Таким образом, имеется в виду, что всякая точка разрыва, не являю-
щаяся точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго
рода.
Приведем еще два классических примера.
Пример 11. Функция
1, если гс Є ,
1Э(:1:) = (Ф
0, если 1: Є 1К @,
называется функцией Дириаз./ъеї).
Эта функция разрывна во всех точках, причем, очевидно, все ее
точки разрыва_второго рода, так как на любом интервале есть как
рациональные, так и иррациональные числа.
ЦП. Г. Дирихле (1805 - 1859) -- крупньп`71 немецкий математик-аналитик, занявцшй
пост ординарного профессора Геттингенского университета после смерти К. Гаусса
(1855).

184 ГЛ. І/. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
Пример 12. Рассмотрим функцию Римана”
7%, если 11: = Ё Є @, где Ё -несократимая дробь,п Є Ы,
0, если 1: Є 1К@.
=
Заметим, что, каковы бы ни были точка а Є К и ее ограниченная
окрестность І/'(а) и каково бы ни было число ]ї Є Ш, в П(а) имеется
только конечное число рациональных чисел -Ё, т Є Ж, н Є Ы, таких,
что н < 1ї.
Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что зна-
менатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть
может, числа а, если а Є <@), уже больше чем 1/. Таким образом, в
О
любой точке єс Є П(а) < 1/П.
Мы показали тем самым, что в любой точке 0, Є К @
Ііш 72(:1:) = 0.
113-Н1
Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точ-
ке. В остальных точках, т. е. в точках 1: Є <@, функция разрывна, и все
эти точки являются точками разрыва первого рода.
52. Свойства непрерывных функций
1. Локальные свойства. Лана./ъьными называют такие свойства
функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно
малой окрестности точки области определения.
Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение
функции в каком-то предельном отношении, когда аргумент функции
стремится к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в
некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свой-
ство функции.
Укажем основные локальные свойства непрерывных функций.
Теорема 1. Пусть І: Е -› К -функция, непрерывная в тонне
а Є Е. Тогда справед./швы следующие утверждения:
ЦБ. Ф. Риман (1826 - 1866) -выдающийся немецкий математик, фундаменталь-
ные работы которого легли в основу целых областей современной геометрии и ана-
лиза.

52. свойотвА нвпгвгывных функций 185
1° функция І ограничена в некоторой окрестности ПЕ(а) точки а;
2° если ]”(а) 75 0, то в некоторой окрестности І/Е(а) точки а все
значения функции положительны или отрицательны вместе с 1” (а);
3° если функция 9: ПЕ(а) -› К определена в некоторой окрестно-
сти точки а и, как и І: Е -› К, непрерывна в самой точке а, то
функции:
а) (І + от) == ї(:1:) + 902),
Ь) (Ґ-9)( )== ПШ) °9(Ш),
с) := Ёїаї-% (при условии, что 9(:1:) аё 0)
определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точ-
ке а;
4° если функция 9: У -› В непрерывна в точке Ь Є У, а функция
1” такова, что І: Е -› У, ]”(а) = Ь и І непрерывна в точке а, то
композиция (9 0 І) определена на Е и также непрерывна в точке а.
Н
4 Для доказательства теоремы достаточно вспомнить (см. Ё 1), что
непрерывность функции 1 или 9 в некоторой точке а области опреде-
ления равносильна тому, что предел этой функции по базе ВО, окрест-
ностей точки а существует и равен значению функции в самой точке а:
1іт1”(Ш) = Ла), 1іт9(Ш) = 9(@)~
Во, Во,
Таким образом, утверждения 1°, 2°, З° теоремы 1 непосредственно
вытекают из определения непрерывности функции в точке и соответ-
ствующих свойств предела функции.
В пояснении нуждается только то, что отношение % в самом деле
определено в некоторой окрестности І/'Е(а) точки а. Но, по условию,
у(а) ;& 0 и в силу утверждения 2° теоремы найдется окрестность І/'Е(а),
в любой точке которой 9(а:) 74 0, т. е. ЁЗ определено в ЙЕ(а).
Утверждение 4° теоремы 1 является следствием теоремы о пределе
композиции, в силу которой
1},т(а Ф і)(Ш) =1Ё,то(у) = 901) = 9(1”(а)) = (9 <> і)(а),
а Ь
что равносильно непрерывности (9 о 1*) в точке а.
Однако для применения теоремы о пределе композиции нужно про-
верить, что для любого элемента І/у(Ь) базы Вд найдется элемент ПЕ(а)
базы Ва такой, что ](ПЕ(а)) С П;/(Ь). Но в самом деле, если І/`у(Ь) =
= У П І/`(Ь), то по определению непрерывности функции 1” : Е -› У в

186 ГЛ. І/`. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
точке а для окрестности І/'(6) = П ( 1” (а)) найдется окрестность ПЕ(а)
точки а в множестве Е такая, что [(ПЕ(а)) С І/'(]”(а)). Поскольку 1”
действует из Е в У, то ]”(ПЕ(а)) С УПП([(а)) = П;/(Ь) и мы проверили
законность применения теоремы о пределе композиции. Ь
Пример 1. Алгебраический многочлен Р(а:) = адаї” + а1а:_1 +
+ _ . . + ап является функцией, непрерывной на К.
Действительно, из пункта З° теоремы 1 по индукции следует, что
сумма и произведение конечного числа непрерывных в некоторой точ-
ке функций есть функция непрерывная в этой точке. Мы проверили в
примерах 1 и 2 Ё 1, что постоянная функция и функции І = а: непре-
рь1внь1 на К. Тогда на К непрерывны и функции азст = а - іс - - 3:, а
следовательно, и полином т раз
Пример 2. Рациональная функция В(:1:) = ЁЁ;-% -отношение по-
линомов-непрерывна всюду, где она определена, т.е. где С2(:1:) 5% 0.
Это следует из примера 1 и утверждения 3° теоремы 1.
Пример 3. Композиция конечного числа непрерывных функций
непрерывна в любой точке области своего определения. Это по ин-
дукции вытекает из утверждения 4° теоремы 1. Например, функция
еЅіП2(1“ І °°Ѕ*”|) непрерывна всюду на К, за исключением точек %(2/с + 1),
/є Є 2, где она не определена.
2. Глобальные свойства непрерывных функций. Гяобаяьным
свойством функции, описательно говоря, называется свойство, связан-
ное со всей областью определения функции.
Теорема 2 (теорема Больцано -Коши о промежуточном значе-
Если функиия, непрерывная на отрезке, принимает на его кон-
иаа: значения разньш: знаков, то на отрезке есть точка, в которой
функция обращается в нуяь.
В логической символике зта теорема имеет следующую запись1):
(І Є 0[0››д]) ^ (і(@)°1”(Ь) < 0) => 30 Є [щд] (ЛС) = 0)~
4 Делим отрезок [а, Ь] пополам. Если в точке деления функция не
равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате
1) Напомним, что символ С обозначает совокупность всех функций, непрерыв-
ных на множестве Е. В случае Е = [а,Ь] вместо С'([а,Ь]) часто пишут сокращенно
С'[а,Ь].

Ё2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЬІВНЬІХ ФУНКЦИЙ 187
деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков.
С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком
[а, Ь], т. е. делим его пополам, и продолжаем процесс дальше.
Тогда мы либо на каком-то шаге попадем в точку с Є [а,Ь], где
[(с) = 0, либо получим последовательность {Іп} вложенных отрезков,
длины которых стремятся к нулю и на концах которых 1” принима-
ет значения разных знаков. В последнем случае на основании леммы о
вложенных отрезках найдется единственная точка с Є [а, Ь], общая для
всех этих отрезков. По построению существуют две последовательно-
сти и концов отрезков 1,, такие, что < 0, > О,
Ііш :вҐ,, = Ііш сии = с. По своиствам предела и определению непрерыв-
'ТЪ_›Х п_›Х
ности получаем Ііш = ]”(с) < 0, Ііш = [(с) 2 0. Таким
П-*Х 'П,_'›Х
образом, [(с) = 0. >
Замечания к теореме 2. 1° Доказательство теоремы доставляет
простейший алгоритм отыскания корня уравнения І = О на отрез-
ке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных
знаков.
2° Теорема 2, таким образом, утверждает, что при непрерывном из-
менении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным
или наоборот, не приняв по дороге значения нуль.
3° К описательным высказываниям типа 2° следует относиться с ра-
зумной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается боль-
ше, чем высказывается. Рассмотрим, например, функцию, равную -1
на отрезке [0, 1] и равную 1 на отрезке [2,З]. Ясно, что эта функция
непрерывна на области своего определения, принимает там значения
разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание пока-
зывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2,
действительно проистекает от некоторого свойства ее области опреде-
ления (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это
множество должно быть связным).
Следствие теоремы 2. Если функция ср непрерывна на интерва-
ле и в наниа:-то точная: а и Ь интервала принимает значения <р(а) = А
и <,о(Ь) = В, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется
тонна с, лежащая между тоннами а и Ь, в которой <р(с) = С.
4 Отрезок І с концами а, Ь лежит в нашем интервале, поэтому
функция 1” = <р(а:) - С определена, непрерывна на І и, поскольку

188 ГЛ. І/. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
/(а) - ](Ь) = (А - С)(В - С) < 0, по теореме 2 между а и Ь найдется
точка с, в которой = <р(с) - С = 0. >
*ть
/5
О
ї/
Теорема 3 (теорема Вейерштрасса о максимальном значении).
Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем. При этом на
отрезке есть точка, еде функция принимает максимальное значение,
и есть точка, где она принимает минимальное значение.
4 Пусть 1” : Е -› К-~ непрерывная функция на отрезке Е = [а,Ь].
В силу локальных свойств непрерывной функции (см. теорему 1) для
любой точки 11: Є Е найдется окрестность П такая, что на мно-
жестве П = Е П П функция ограничена. Совокупность таких
окрестностей І/'(112), построенных для всех точек :1: Є Е, образует по-
крытие отрезка [а, Ь] интервалами, из которого по лемме о конечном
покрытии можно извлечь конечную систему Ґ/'(а:1), . . . , П интерва-
лов, покрывающих в совокупности отрезок [а, Ь]. Поскольку на множе-
стве Е П І/(єщс) = ПЕ(:1:;,) функция ограничена, т.е. тд < ](:в) < МК,
где т;,,М;., Є К и гс Є ПЕ(:с;,), то в любой точке 1: Є Е = [а,Ь] имеем
п1іп{т1,...,т,,} < ](:г) < п1ах{М1,...,Мп}.
Ограниченность функции на отрезке [а, Ь] установлена.
Пусть теперь М = Ѕир 1” Предположим, что в любой точке 1: Є Е
:сЄЕ
(І < М Тогда непрерывная на Е функция М - І нигде на Е не
обращается в нуль, хотя (в силу определения М) может принимать зна-
чения, сколь угодно близкие к нулю. Тогда функция Й, с одной
стороны, в силу локальных своиств непрерывных функции, непрерывна
на Е, а с другой-не ограничена на Е, что противоречит уже дока-
занной ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
Итак, существует точка тм Є [а, Ь], в которой }(:1;М) = М.
Аналогичным образом, рассмотрев т = іпёї и вспомогатель-
же
ную функцию Ё, докажем, что существует точка шт Є [а,Ь], в
которой ]'(:1:т) = т. >
_ _ 1
Заметим, что, например, функции І1 -_ сс, ]2(а:) -_ 5 непрерывны
на интервале Е =]0, 1[, но [1 не имеет на Е ни максимального, ни мини-
мального значений, а функция Ь не ограничена на Е. Таким образом,
выраженные теоремой 3 свойства непрерывной функции также связаны

13,2. свойствА нвпвввывных функций 189
с некоторым свойством области определения, а именно с тем, что из по-
крытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное
покрытие. Такие множества мы впоследствии назовем номпантами.
Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим
Определение 1. Функция 1” : Е -› К называется равномерно не-
прерывной на множестве Е С К, если для любого числа Є > 0 найдется
число 5 > 0 такое, что для любых точек 1:1, 1132 Є Е таких, что |:2:1 - :Б2| <
< 5, выполнено |]'(а:1) - І(аз2)| < є.
Короче,
(І: Е -› К равномерно непрерывна) :=
=.-(1.є>0 36>0 /а;1єЕ /а:2еЕ (|:г1-:1:2|<6=>
=> |1”(Ш1)- 1°(112)|< 6))-
Обсудим понятие равномерной непрерывности.
1° Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она не-
прерывна в любой его точке. Действительно, достаточно в приведенном
определении положить 1:1 = ап и а:2 = а, и мы видим, что определение
непрерывности функции І : Е -› ІЕЄ. в точке съ Є Е удовлетворено.
2° Непрерывность функции, вообще говоря, не влечет ее равномер-
ную непрерывность.
Пример 4. Уже неоднократно встречавшаяся нам функция І =
= Ѕіп% на интервале ]0, 1[ = Е непрерывна. Однако в любой окрестно-
сти точки 0 в множестве Е функция принимает как значение -1, так
и значение 1, поэтому при є < 2 для нее уже не выполнено условие
|Ґ(ї1ї1) _ Ґ($2)| < Є-
Полезно в этой связи записать в явном виде отрицание свойства
функции быть равномерно непрерывной:
(І: Е -› К не является равномерно непрерывной) :=
=(3є>0 16>0 3а:1єЕ Эа:2еЕ (|;1:1-:1:2|<6/
^І1°(11/11) - 1°(Ш2)І 2 8))-
Рассмотреннь1й пример делает наглядным различие между непре-
рывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве.
Чтобы указать то место в определении равномерной непрерывности,

190 ГЛ. ІУ. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
откуда проистекает это различие, приведем подробную запись того,
что значит, что функция 1” : Е -› ІК непрерывна на множестве Е:
(І: Е -› К непрерывна на Е) :=
= (&/аеЕ 1г>0 36>0 `</:::ЄЕ (|ш-а| <б=>|і(а:)-](а)| <г)).
Таким образом, здесь число 6 выбирается по точке а Є Е и числу є и
потому при фиксированном є может меняться от точки к точке, как это
и происходит в случае функции Ѕіп -Ё, рассмотренной в примере 1, или
в случае функции Іоёа сс или ат, рассматриваемых на полной области их
определения.
В случае же равномерной непрерывности гарантируется возмож-
ность выбора б только по числу є > О так, что во всех точках а Є Е из
|:1: - а| < 5 при Ш Є Е будет следовать - ]“(а)| < Є.
Пример 5. Если функция 1” : Е -› К не ограничена в любой окре-
стности фиксированной точки а:0 Є Е, то она не является равномерно
непрерывной.
Действительно, тогда при любом б > 0 в %-окрестности 1:0 найдут-
ся точки 1:1,:1:2 Є Е такие, что |]`(а:1)- ]°(а:2)| > 1, хотя |ш1- :1:2| < 5.
Так обстоит дело с функцией І = %, рассматриваемой на множе-
стве 1К 0. В данном случае 170 = 0.
Так обстоит дело и с функцией 105,, 112, определенной на множестве
положительных чисел и неограниченной в окрестности точки то = 0.
Пример 6. Функция 1 = 1:2, непрерывная на К, не является
равномерно непрерывной на К.
В самом деле, в точках 1:1, = /'Т-Й, тя, = /їь, где п Є Щ, имеем
г<шг,› = п +1, 1<:»:;> = П, поэтому і<ш:,› - і< 4:) =1. Но
. __ . 1 __
п1Ь1%о(“”+1_*/7*)-3207-т-»їтж-“›
Н
° І І/ І ІІ
поэтому при любом 5 > 0 наидутся точки тп, :п,,,_ такие, что |:в,,,-а:,,| < 6,
І І/ ___
в то время как [(ш,,) - ](а:,,) -_ 1.
Пример 7 . Функция 1” = Ѕіп:1:2, непрерывная и ограниченная
на К, не является равномерно непрерывной на 111%. Действительно, в точ-
кахссё., ,/“(п+1),:1:;Ґ, ,/п,гдепЄїї,имеем|]'(ш;,) 1,в
2 2
то время как Ііш - = 0.
Т1,'_›Х

@2. овойствА нвпввгывных функций 191
После этого обсуждения понятия равномерной непрерывности функ-
ции и сопоставления непрерывности и равномерной непрерывности мы
можем теперь оценить следующую теорему.
Теорема 4 (теорема Кантора-Гейне о равномерной непрерывно-
сти). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывно но,
этом отрезке.
Отметим, что в имеющейся литературе эту теорему обычно называ-
ют теоремой Кантора. Чтобы избежать разночтений, мы в дальнейшем
при ссылках сохраняем это распространенное наименование.
4 Пусть І: Е -+ К-данная функция; Е = [а,Ь] и І Є По-
скольку ] непрерывна в любой точке 11: Є Е, то (см. 231, п.1, 6°) по
е > 0 можно найти такую 6-окрестность П5(:1:) точки аз, что колебание
ш([;ПЁд(:1г)) функции І на множестве ПЁ3(:1г) = Е П Пд(а:) точек обла-
сти определения функции, лежащих в Пд(а:), окажется меньше Є. Для
каждой точки из Є Е построим окрестность І/д(а:), обладающую этим
свойством. Величина 5 при этом может меняться от точки к точке,
поэтому правильнее, хотя и более громоздко, обозначить построенную
окрестность символом Пдш (аз), но, поскольку весь символ определяется
точкой сс, можно условиться в следующей сокращенной записи: П =
= Пдш и 1/(св) = І/(Ю)/2(а:).
Интервалы ї/(ап), сс Є Е, в совокупности образуют покрытие отрез-
ка Е = [а, Ь], из которого по лемме о конечном покрытии можно выде-
лить конечное покрытие У(:1:1), . . . , Пусть 6 = шіп {%б(:1:1),. _ . ,
- . Покажем, что для любых точек а:', аг Є Е таких, что |а:' - 113 | <
/:×:››-›
<>.,,-Ё
*' Н
Ё
Ё/
+1/
выполнено |[(ш') - [(:с)| < Є. Действительно, поскольку систе-
ма интервалов ї/(а:1),. . . , 1/(а:,,,) покрывает Е, найдется интервал
этой системы, который содержит точку $', т. е. |$' - :Ь'.і| < ёб Но в
таком случае
н _ 1,-,| < |$' _ 0/'| + |$' _ $,| < д + %д(1;,› < %д(1;,)+%д($,) = ат).
5 і _
Следовательно, :1г',:Б” Є Ґ/'Е($ = Е П П5($*)(:1:,) и потому -
5 і
- 1<ш›| < шо; ив” ><«›,›› < Є. ›
Приведенные выше примеры показывают, что теорема Кантора су-
щественно опирается на некоторое свойство области определения функ-

192 ГЛ. І/'. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
ции. Из доказательства видно, что, как и в теореме З, это свойство со-
стоит в том, что из любого покрытия множества Е окрестностями его
'ГОЧЄК МОЖНО ИЗВЛЄЧЬ КОНЄЧНОЄ ПОКРЫТИЄ.
Теперь, после того как теорема 4 доказана, полезно вновь вернуться
к разобраннь1м выше примерам непрерывных, но не равномерно непре-
рывных функций и выяснить, как, например, функция Ѕіп :в2, равномер-
но непрерывная по теореме Кантора на каждом отрезке вещественной
прямой, оказывается не равномерно непрерывной на К. Причина здесь
вполне аналогична той, по которой вообще непрерывная функция мо-
жет оказаться не равномерно непрерывной. На сей раз мы предоставля-
ем читателю возможность самостоятельно разобраться в зтом вопросе.
Теперь перейдем к последней теореме параграфа-теореме об об-
ратной функции. Нам предстоит выяснить условия, при которых не-
прерывная на отрезке вещественнозначная функция имеет обратную и
в каких случаях эта обратная функция непрерывна.
Утверждение 1. Непрерывное отображение 1” : Е -› К отрезка
Е = [а,Ь] в ІЕ2. ннъективно в том и только в том случае, когда функ-
ция 1” строго монотонна на отрезке [а,Ь].
4 Если функция 1” возрастает или убывает на произвольном мно-
жестве Е С К, то отображение 1” : Е -› К, очевидно, инъективно: в
различных точках множества Е функция принимает различные зна-
чения.
Таким образом, наиболее содержательная часть утверждения 1 со-
стоит в том, что всякое непрерывное инъективное отображение
1 : [а, Ь] -› К отрезка осуществляется строго монотонной функцией.
Предположив, что это не так, мы найдем три точки 1121 < а:2 < :с3
отрезка [а,Ь] такие, что ](а:2) не лежит между /(Ш1) и [(:с3). В таком
случае либо 1 (1133) лежит между ](:1:1) и 1” (:1:2), либо ](а:1) лежит меж-
ду 1” (авг) и 1” Пусть для определенности имеет место последняя из
двух указанных возможностей. По условию функция 1” непрерывна на
отрезке [а:2,а:3], и потому (см. следствие теоремы 2) на нем есть точ-
ка такая, что = ]”(:1:1). Таким образом, 1121 < ага и ](а:1) = Дата),
что несовместимо с инъективностью отображения. Случай, когда І (:1:3)
лежит между 1” (5121) и /(112), разбирается аналогично. Ь
Утверждение 2. Каждая строго монотонная функция І: Х -›
-› К, определенная на нисловом множестве Х С К, обладает обрат-

52. СВОЙСТВА НЕПРЕРЬІВНЬІХ ФУНКЦИЙ 193
ной функцией ]'1: У -› Е, которая определена на множестве У =
= }(Х) значений функции І и имеет на У тот же єсарактер моно-
тонности, какой имеет функция 1” на множестве Х.
4 Отображение І : Х -› У = 1” (Х) сюръективно, т. е. является ото-
бражением на множество У. Пусть для определенности І : Х -› У воз-
растает на Х. В этом случае
/(131 Є Х ?/5172 Є Х (171 < 5132 <=> < . (1)
Таким образом, отображение І : Х -› У в различных точках прини-
мает различные значения, т. е. оно инъективно. Следовательно, І : Х -›
-› У биективно, т. е. 1” -взаимно однозначное отображение Х на У.
Значит, определено обратное отображение 1” 1: У -› Х, задаваемое
формулой из = 1”_1(у), если у =
Сопоставляя определение отображения 1 _1: У -› Х с соотношени-
ем (1), приходим к соотношению
Щ/1 Є У */112 Є У (Г1(:1/1) < Г1(у2) <=> 1/1 < 112), (2)
означающему, что функция 1” '1 возрастает на области своего опреде-
ления.
Случай, когда 1” : Х -› У убывает на Х, очевидно, разбирается ана-
логично. Ь
В соответствии с доказанным утверждением 2, если интересоваться
непрерывностью функции, обратной к вещественнозначной функции,
полезно исследовать условия непрерывности монотонных функций.
Утверждение 3. Функция 1” : Е -› К, монотонная на множестве
Е С ШЄ, может иметь на Е разрывы только первого рода.
4 Пусть, для определенности, 1” -неубывающая функция. Предпо-
ложим, что а Є Е есть точка разрыва функции 1” . Поскольку а не может
быть изолированной точкой множества Е, то а-предельная точка по
крайней мере для одного из двух множеств Е; = {:І: Є Е | Ш < а},
Е; = {:1: Є Е | 11: > а}. Поскольку [ -неубывающая функция, для лю-
бой точки 11: Є Е; имеем І < 1 (а) и ограничение І 'Её функции І на
множество Е; оказывается неубывающей ограниченной сверху функ-
цией. Тогда существует предел
Е;1;І3;а(1 Щ) со = ЕЭ;59,_0г<Ш› = мы - 0>.

194 ГЛ. І/. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
Аналогично доказывается существование предела 1 Ііш 1” =
= І (а + 0), если а-предельная точка множества Е: . ЬЭ:В_т'+0
Случай, когда 1” _ невозрастающая функция, можно либо разобрать,
повторив проведенное доказательство, либо, перейдя к функции -]`,
свести дело к уже рассмотренному случаю. >
Следствие 1. Если а -~ точка разрыва монотонной функции
І: Е -› К, то по крайней мере один из пределов
ЕЭж_0і<Ш› = на - 0›, ЕЭ;1_13+0і<Ш› = на + <››
определен; по крайней мере в одном из неравенств [(а - 0) < ](а) <
< ]'(а-4-0), если 1” _неубывающа.я, (или [(а - 0) 2 ](а) 2 /(а +0),
если 1 -- невозрастатощал) функция, имеет место знак строгого не-
равенства; в интервале, определяемом этим строгим неравенством,
нет ни одного значенил функции; указанные интервалы, отвечающие
различным точкам разрыва монотонной функции, не пересекаются.
4 Действительно, если а-точка разрыва, то она предельная для
множества Е и в силу утверждения 3 является точкой разрыва перво-
го рода. Таким образом, по крайней мере одна из баз Е Э 11: -› а - 0,
Е Э а: -› а + О определена и по ней (а в случае определенности обе-
их баз -по каждой из них) существует предел функции 1” . Пусть, для
определенности, 1” -- неубывающая функция. Поскольку а-~-- точка раз-
рыва, то по крайней мере в одном из неравенств 1” (а - 0) < І <
< 1” (а + 0) на самом деле имеет место строгое неравенство. Поскольку
Даг) < Ііш [(а:) = ]`(а - 0), если а: Є Е и из < а, и, аналогично,
ЕЭ:с-›а-О
[(а + 0) < ](а:), если а: Є Е и а < 113, то интервал, определяемый стро-
гим неравенством 1” (а - 0) < 1” (а) или 1” (а) < І (а + 0), действительно
свободен от значений функции. Пусть а1, а2 -~~~ две различные точки
разрыва функции, и пусть а1 < а2. Тогда, в силу неубывания функ-
ции 1, имеем
Ґ(0›1-0)<Ґ(<11)<Ґ(01+0)<Ґ(<12~0)<Ґ(02)<Ґ(02+0)-
Отсюда следует, что не содержащие значений функции интервалы,
отвечающие различным точкам разрыва, не пересекаются. Ь
Следствие 2. Множество точек разрыва монотонной функции
не более чем счетно.

52. овойствА ннпРв1=>ывнь1х функций 195
4 С каждой точкой разрыва монотонной функции свяжем, по след-
ствию 1, интервал, определяемый значением функции в точке разрыва
и одним из пределов функции при приближении аргумента справа или
слева к точке разрыва. Эти интервалы не пересекаются. Но на прямой
может быть не более чем счетное множество непересекающихся интер-
валов. В самом деле, в каждом из них можно выбрать по рациональной
точке, и тогда множество интервалов окажется равномощным подмно-
жеству счетного множества <@ всех рациональных чисел. Значит, оно
само не более чем счетно. Вместе с ним, таким образом, не более чем
счетно и равномощное ему по построению множество точек разрыва
монотонной функции. Ь
Утверждение 4 (критерий непрерывности монотонной функции).
Монотонная функция І: Е -› К, заданная на отрезке Е = [а,Ь], не-
прерывна на нем тогда и только тогда, когда множество [(Е) ее
значений само является отрезком с концами1) 1” (а) и 1”
4 Если 1” -непрерывная монотонная функция, то ввиду монотон-
ности І все значения, которые функция принимает на отрезке [а,Ь],
лежат между значениями І (а) и 1” (Ь), которые она принимает в концах
отрезка. Ввиду непрерывности функции она обязана принимать так-
же и все промежуточные значения между 1” (а) и 1” Таким образом,
множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке
[а, Ь], действительно является отрезком с концами 1” (а) и 1”
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть 1” -монотонная на
отрезке [а, Ь] функция. Если она разрывна в некоторой точке с Є [а, Ь],
то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов ] 1” (с - 0), ф(с)[,
] І (с), 1” (с+0)[ заведомо определен и в нем нет значений нашей функции.
Но ввиду монотонности функции этот интервал содержится в отрезке
с концами І (а), 1 (6), поэтому если на отрезке [а, Ь] монотонная функция
имеет хотя бы одну точку разрыва, то весь отрезок с концами І (а), 1” (Ь)
не может лежать в области значений функции. >
Теорема 5 (теорема об обратной функции). Функция ф : Х -› К,
строго монотонная на множестве Х С К, имеет обратную функцию
ф1: У -› К, определенную на множестве У = /(Х) значений функ-
ции ]. Функция [1: У -› ІК монотонна и имеет на У тот же вид
монотонности, какой имеет функция І: Х -› ІК на множестве Х.
1)При этом _/(а) < ](Ь), если І-неубывающая, и ]'(Ь) $ _{(а), если )°-невозра-
стающая функция.

196 ГЛ. ІУ. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
Если, кроме того, Х есть отрезок [о,,Ь] и функция І непрерывно
но нем, то множество У = ](Х) есть отрезок с концами ](о,), ]”(Ь) и
функция 1°1: У -› В непрерывно но нем.
4 Утверждение теоремы о том, что в случае Х = [а, Ь] и непрерывно-
сти ] множество У = 1” (Х) есть отрезок с концами 1” (а), 1” (Ь), следует из
доказанного выше утверждения 4. Остается проверить, что 1” 1: У -›
-› К ~ непрерывная функция. Но 1” 1 монотонна на У, У есть отрезок и
/*1(У) = Х = [а, Ь] -тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем,
что функция 1” “1 непрерывна на отрезке У с концами /(о,), До). Ь
Пример 8. Функция у = 1” = Ѕіпа: возрастает и непрерыв-
на на отрезке [-Ё, Значит, ограничение этой функции на отре-
зок [-Ё, имеет обратную функцию сп = 1” 1(у), обозначаемую а: =
= агсзіпу, определенную на отрезке [він ,Ѕіп = [-1,1], воз-
растающую от -Ё до -Ё и непрерывную на этом отрезке.
Пример 9. Аналогично, ограничение функции у = сова: на отре-
зок [0, тг] есть убывающая непрерывная функция, которая в силу теоре-
мы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую Ш = агссоз у, определен-
ную на отрезке [-1, 1], непрерывную и убывающую на нем от значения тг
до значения 0.
Пример 10. Ограничение функции у = 13511: на интервал Х =
= ]-Ё, есть возрастающая от -оо до +оо непрерывная функция,
которая в силу первой части теоремы 5 имеет обратную функцию,
обозначаемую 51: = агсгд; у, определенную на всей числовой прямой у Є
Є К и возрастающую на ней в пределах интервала ]-Ё, своих зна-
чений. Чтобы доказать непрерывность функции 11: = агсізёу в любой
точке уд ее области определения, возьмем точку 1120 = агс1;5 уо и отре-
зок [ато - е, 3:0 + е], содержащий шо внутри и содержащийся в интервале
]-З-, Если 1139 - е = агсгё (уо - 61) и 1:0 + е = агсгё (уо + 62), то ввиду
возрастания функции а: = агсізёу можно утверждать, что при любом
у Є К таком, что уд - 51 < у < у0 + (52, будем иметь 1:0 - е < агсщу <
< 1120 + е. Итак, |агсЪ5у - агс1:5у0| < е при -61 < у - уо < 62 и тем более
при |у - у0| < 6 = шіп{б1,б2}, что и проверяет непрерывность функции
а: = агсгёу в точке уо Є К.
Пример 11. Рассуждениями, аналогичными проведенным в пре-
дыдущем примере, устанавливаем, что поскольку ограничение функции

52. свойств». нвпвввывных функций 197
у = с1:5 ат на интервале ]0, тг[ есть убь1вающая от +оо до -оо непрерывная
функция, то она имеет обратную функцию, обоэначаемую а: = агсс1;5 у,
определенную на всей числовой оси К, убывающую на ней в пределах
интервала своих значений ]0, тг[ от тг до О и непрерывную на К.
Замечание. При построении графиков взаимно обратных функ-
ций у = І и Ш = 1” 1(у) полезно иметь в виду, что точки плоскости
с координатами (:с,[(:1:)) = (а:,у) и (у,]`_1(у)) = (у,:с) в одной и той же
координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси ко-
ординат, а не ось из или ось у) симметричнь1 относительно биссектрисы
первого координатного угла.
Таким образом, графики взаимно обратных функций, изображен-
ные в одной системе координат, оказываются симметричными относи-
тельно этой биссектрисы.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что
а) если І Є С(А) и В С А, то ІІВ Є С(В);
Ь) если функция І: Е1 О Е2 -› В такова, что Є С(Е,), і = 1,2, то не
всегда І Є С(Е1 Ы Е2);
с) функция Римана 72, как и ее ограничение 72|@ на множество рациональ-
ных чисел, разрывна в каждой точке множества (2, кроме нуля, и все точки
разрыва при этом устранимые (см. Ё 1, пример 12).
2. Покажите, что если функция І Є С[а, Ь], то функции
т(Ш) = а1%1,і2$Ґ(і)› М (Ш) = а12Ё<ші(і)
также непрерывны на отрезке [а, Ь].
3. а) Докажите, что функция, обратная функции, монотонной на интер-
вале, непрерывна на области своего определения.
Ь) Постройте монотонную функцию со счетным множеством точек раз-
рыва.
с) Покажите, что если функции І : Х -› У и 1” 1: У -› Х взаимно обратны
(здесь Х, У-подмножества К) и І непрерывна в точке 1:0 Є Х, то из этого
еще не следует непрерывность функции 1” 1 в точке уд = [(1130) Є У.
4. Покажите, что
а) если І Є С'[а,Ь] и 9 Є С'[а,Ь], причем _;°(а,) < у(а) и [(6) > 9(Ь), то
существует точка с Є [а, І›], в которой І (с) = 9(с);
Ь) любое непрерывное отображение І : [0, 1] -› [0, 1] отрезка в себя имеет
неподвижную точку, т. е. точку из Є [0, 1] такую, что І = 1:;
с) если два непрерывных отображения І и 9 отрезка в себя коммутируют,
т. е. _/' о 9 = 9 о 1, то они не всегда имеют общую неподвижную точку, хотя,

198 ГЛ. І/'. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
например, для линейных отображений и, вообще, для полиномов такая точка
всегда есть.
(1) непрерывное отображение І: К -› К может не иметь неподвижной
точки;
е) непрерывное отображение І : ]0, 1[ -› ]0, 1[ может не иметь неподвижной
точки;
Ґ) если отображение І: [О, 1] -› [0,1] непрерывно, І(0) = 0, ](1) = 1 и
(І 0 Е а: на [О,1], то [(13) Е 1:.
5. Покажите, что множеством значений любой непрерывной на отрезке
функции является отрезок.
6. Покажите, что
а) Если отображение І: [0, 1] -› [0, 1] непрерывно, [(0) = 0, ]”(1) = 1 и
при некотором п Є Ы І(а:) :=(_{о...о_у')(:1:)Е а: на [0,1], то Е гс.
.._`,_и
п раз
Ь) Если функция І : [0, 1] -› [О, 1] непрерывна и не убывает, то для любой
точки Ш Є [0, 1] реализуется по крайней мере одна из двух возможностей: либо
а: ~--неподвижная точка, либо ](:в) стремится к неподвижной точке (здесь
= [ о ...о [_-п-я итерация
7. Пусть І: [0,1] -› 1К~непрерывная функция такая, что =
Покажите, что
а) при любом п Є Ы существует горизонтальный отрезок с концами на
графике этой функции, длина которого равна %;
Ь) если число І не имеет вида %, то найдется функция указанного вида, в
график которой уже нельзя вписать горизонтальный отрезок длины І.
8. Модулем непрерывности функции І : Е -+ К называется функция ш(б),
определяемая при 5 > 0 следующим образом:
ш(д) = Ѕчр Іі(1г1) - і(Ш2)І~
|а:1-а:2|<б
З21,$2ЄЕ
Таким образом, верхняя грань берется по всевозможным парам точек 1:1, тг
множества Е, удаленным друг от друга меньше чем на 5.
Покажите, что
а) модуль непрерывности -неубывающая неотрицательная функция, име-
ющая предел1) ш(+0) = бЁ›1:_10ш(б);
Ь) для любого є > О найдется 6 > О такое, что для любых точек :1:1,:1:2 Є Е
соотношение |а:1 - :1:2| < 5 влечет |](а:1) - _ї(:с2)| < ш(+0) + є;
с) если Е - отрезок, интервал или полуинтервал, то для модуля непрерь1в-
ности функции І: Е -› ІК имеет место соотношение
ш(51 + 52) < ш(б1)+ ш(52);
1)Позтому модуль непрерывности обычно рассматривают при 5 2 0, полагая
ш(0) = ш(+0).

52. овойствА нвпгввывных функций 199
(1) модулем непрерывности функций а: и зіп 1:2, рассматриваемых на всей
числовой прямой, являются соответственно функция ш(<5) = 6 и постоянная
ш(б) = 2 в области 6 > 0;
е) функция І равномерно непрерывна на множестве Е тогда и только то-
гда, когда ш(+0) = 0.
9. Пусть 1” и 9----е ограниченные функции, определенные на одном и том
же множестве Х. Величина. А = Ѕир |]° - называется расстоянием
:вЄХ
между функциями І и 9. Она показывает, насколько хорошо одна функция
аппроксимирует другую на данном множестве Х. Пусть Х -- отрезок [а,І›].
Покажите, что если _Ґ,9 Є С[а, Ь], то З:1:0 Є [а, Ь], где А = |/(шо) - у(:с0)|, и что
для произвольных ограниченных функций это, вообще говоря, не так.
10. Пусть Р,,(;г) --в-многочлен (полином) степени п. Будем приближать
ограниченную функцию 1*: [а, Ь] -› К многочленами. Пусть
Щїэп) = ЅИР |Ґ(Ш) - Рп(<11)| И Еп(1°)=іП1°А(Рп)›
а:Є[а,Ь] РП
где нижняя грань берется по всевозможным многочленам степени п. Мно-
гочлен Рп называется многочленам (полиномом) наилучшего приближения
функции І, если для него А(Рп) = Е,,(
Покажите, что
а) существует многочлен Р0(:в) Е ад наилучшего приближения степени
нуль;
Ь) среди многочленов С2,(:1:) вида ×Р,, (12), где Р,-,, -фиксированный много-
член, наидется такои многочлен С2,0, что
А(62›0) = 1;Ё,5эА(@›);
с) если существует многочлен наилучшего приближения степени п, то су-
ществует также многочлен наилучшего приближения степени п + 1;
(1) для любой ограниченной на отрезке функции и любого п = 91, 2, ..
найдется многочлен наилучшего приближения степени п. /6
11. Покажите, что
а) Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами име-
ет по крайней мере один вещественный корень.
Ь) Если Рп ---- -- многочлен степени п, то функция $511 РТ, имеет не более п
точек разрыва.
с) Если на отрезке [а,, Ь] имеется п + 2 точки 0:0 < 1:1 < < ш,,+1 такие,
что величина
$811 [(1°(1и) - Рп(Ш@))(-1)і]
постоянна при 11 = 0,. . . ,п + 1, то Е,,(]') 2 0<ІЁп+1 - (теорема
Вилле Пуссениц). (Определение Е.,,(_;') см. в задаче 10.)
ПШ. Ж. де ла Валле Пуссен (1866 1962) -- бельгийский математик и механик.

200 ГЛ. І/`. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ
12. а) Покажите, что при любом п Є М функция Тп(:г) = соЅ (п агссоз 113),
определенная на отрезке [-1, 1], является алгебраическим многочленом степе-
ни п (полиномы Чєбышёва).
Ь) Найдите явное алгебраическое выражение полиномов Т1, Т2, Т3, Т4 и
нарисуйте их графики.
с) Найдите корни многочлена Тп на отрезке [-1, 1] и те точки отрезка,
где величина достигает максимума.
(1) Покажите, что среди многочленов Рп(:1:) степени п с коэффициентом 1
при 112 многочлен Т,,(а:) является единственным многочленом, наименее укло-
няющимся от нуля, т. е. Е,,(0) = шах |Тп(:1:)| (определение Еп(_Ґ) см. в задаче 10).
ІФІЅ1
13. Пусть І Є С'[а,Ь].
а) Покажите, что если для полинома Рп степени п найдутся п + 2 точки
то < < а:,,+1 (называемые точками чєбышёвского альтєрнанса) такие, что
тд ~ Рп<«›д = <-1>*А<Рп› ~а, где А<Рп› = ,І3[3›;,|1<ш› - Рпшъ, а <›<~п<›<:т<›-
янная, равная 1 или -1, то Р,.,,(ш) является и притом единственным полиномом
наилучшего приближения функции І степени п (см. задачу 10).
Ь) Докажите теорему Чебышёва: многочлен Рп(ш) степени п тогда и толь-
ко тогда является многочленом наилучшего приближения функции І Є С'[а,, І›],
когда на отрезке [а, Ь] найдется по крайней мере п + 2 точки чебышёвского
альтернанса.
с) Покажите, что для разрывных функций предыдущее утверждение, во-
обще говоря, не верно.
(1) Найдите многочлены наилучшего приближения нулевой и первой степе-
ни для функции на отрезке [-1, 2].
14. В Ё2 мы обсуждали локальные свойства непрерывных функций. На-
стоящая задача уточняет понятие локального свойства.
Две функции І и 9 будем считать эквивалентными, если найдется такая
окрестность Е/`(а) фиксированной точки а Є К, что 7':1: Є І/`(а,) имеем І =
= Это отношение между функциями, очевидно, рефлексивно, симме-
трично и транзитивно, т. е. действительно является отношением эквивалент-
ности.
Класс зквивалентных между собой в точке а функций называется ростком
функций в данной точке а. Если рассматривают только непрерывные функции,
то говорят о ростке непрерывных функций в точке а.
Локальные свойства функций -это свойства ростков функций.
а) Определите арифметические операции над ростками числовых функ-
ций, заданными в одной и той же точке.
Ь) Покажите, что арифметические операции над ростками непрерывных
функций не выводят из этого класса ростков.

52. своиствА нвпгввывных функций 201
с) Покажите, учитывая а) и Ь), что ростки непрерывных функций обра-
зуют кольцо_кольцо ростков непрерывных функций.
(1) Подкольцо І некоторого кольца К называется идеалом кольца К, если
произведение любого элемента кольца К и элемента подкольца І лежит в І.
Найдите идеал кольца ростков функций, непрерывных в точке а.
15. Идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в
каком большем идеале, кроме самого кольца. Множество С[а, Ь] функций, не-
прерывных на отрезке, образует кольцо относительно обычных операций спо-
ЖЄНИЯ И УМНОЖЄНИЯ ЧИСЛОВЬІХ Н8,йДИТЄ МЗКСИМЗЛЬНЬІЄ ИДЄЗЛЬІ ЭТОГО
КОЛЬЦЭ..

ГЛАВА У
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
23,1. Дифференцируемая функция
1. Задача и наводящие соображения. Предположим, что, сле-
дуя Ньютонуї), мы хотим решить кеплерову2) задачу двух тел, т. е.
хотим объяснить закон движения одного небесного тела т (планета)
относительно другого тела М }(звезда). Выбе-
рем в плоскости движения декартову систему
т координат с началом в М (рис. 13). Тогда по-
ложение т в момент времени і можно охарак-
теризовать численно координатами (а:(±),у(±))
точки т в этой системе координат. Мы хотим
найти функции ш(і), у(±).
Движением т относительно М управляют
два знаменитых закона Ньютона:
общий закон движения,
М
Рис. 13.
та = Г, (1)
1)И.Ньютон (1642 - 1727) -английский физик, механик, астроном и математик,
крупнейший ученый, сформуашровавший основные законы классической механики,
открь1вший закон всемирного тяготения, разработавцшй (наряду с Лейбницем) осно-
вы дифференциального и интегрального исчисления. Оценен был уже современни-
ками, которые на его могиле начертали: «Здесь покоится то, что было смертного у
Ньютона».
2)И. Кеплер (1571 -- 1630) -знаменитьпй немецкий астроном, открывцшй законы
движения планет (законы Кеплера).

Ё 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 203
связывающий вектор силы с вектором вызванного ею ускорения через
коэффициент пропорциональности т-инертную массу телаї), и
закон всемирного тяготения, позволяющий найти гравитационное
воздействие тел т и М друг на друга по формуле
Р = ЄЁ4-1», (2)
|«~|З
где т~ ~--- вектор с началом в теле приложения силы и концом в другом
теле, |т| --- длина вектора т', или расстояние между т и М.
Зная массы т, М, по формуле (2) без труда выражаем правую часть
уравнения (1) через координаты а:(±), 3/(15) тела т в момент і, чем ис-
черпываем всю специфику данного движения.
Чтобы получить теперь соотношения на а:(±), у(±), заключенные в
уравнении (1), необходимо научиться выражать левую часть уравне-
ния (1) через функции :1:(±), у(±).
Ускорение есть характеристика изменения скорости т1(±), точнее,
просто скорость изменения скорости; поэтому для решения задачи пре-
жде всего необходимо научиться вычислять скорость и(±), которую
имеет в момент і тело, движение которого задается радиус-вектором
«~<±› = <ш<±›,у<±››.
Итак, мы хотим определить и научиться вычислять ту мгновенную
скорость тела, которую подразумевает закон движения
Измерить ---- значит сравнить с эталоном. Что же в нашем случае
может служить эталоном для определения мгновенной скорости дви-
жения?
Наиболее простым видом движения является такое, которое совер-
шает по инерции свободное тело. Это движение, при котором за любые
равные промежутки времени происходят равные (как векторы) переме-
щения тела в пространстве. Это так называемое равномерное (прямо-
линейное) движение. Если точка движется равномерно, т(0) и т~(1)-ее
радиус-векторы относительно инерциальной системы координат в мо-
менты 15 = 0 и 15 - 1 соответственно, то в любой момент времени будем
иметь
1`(1ї) _ 1'(0) = 11-15, (3)
где 11 = т~(1) - т'(0). Таким образом, перемещение т'(±) - т'(0) оказы-
1)Мы обозначили массу символом самого тела, но это не приведет к недоразуме-
ниям. Заметим также, что если т << М, то выбранную систему координат можно
считать инерциальной.

204 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вается в простейшем случае линейной функцией времени, причем роль
множителя пропорциональности между перемещением т'(±) - 'г(О) и вре-
менем ± играет в данном случае вектор 1: перемещения за единицу вре-
мени. Этот вектор и называется скоростью равномерного движения.
То, что движение прямолинейно, видно из параметрического уравнения
его траектории: 1*(±) = т'(0)+'0 -15, являющегося (см. курс аналитической
геометрии) уравнением прямой.
Мы знаем, таким образом, скорость 1: равномерного прямолиней-
ного движения, задаваемого формулой По закону инерции, если на
тело не действуют внешние силы, оно движется равномерно и прямо-
линейно. Значит, если в момент і экранировать действие тела М на
тело т, то последнее продолжит свое движение уже равномерно с неко-
торой определенной скоростью. Таким образом, естественно считать,
что именно она является (мгновенной) скоростью нашего тела в мо-
мент Ъ.
Однако такое определение мгновенной скорости оставалось бы чи-
стой абстракцией, не дающей никаких рекомендаций для конкретного
вычисления этой величины, если бы не следующее обстоятельство пер-
востепенной важности, которое мы сейчас обсудим.
Оставаясь в рамках того (как сказали бы логики, «порочного››) кру-
га, в который мы вошли, написав уравнение движения (1), а затем при-
нявшись выяснять, что такое мгновенная скорость и ускорение, мы все
же заметим, что при самом общем представлении об этих понятиях из
уравнения (1) можно сделать следующие эвристические выводы. Если
силы отсутствуют, т. е. Г Е 0, то ускорение тоже равно нулю. Но если
скорость а.(±) изменения скорости 'и(±) равна нулю, то, по-видимому,
сама скорость *и(±) вообще не меняется со временем. И мы приходим к
закону инерции, по которому свободное тело действительно движется
в пространстве с постоянной во времени скоростью.
Из того же уравнения (1) видно, что ограниченные по величине си-
лы способны создать только ограниченные по величине ускорения. Но
если на отрезке времени [0, 15] абсолютная величина скорости измене-
ния некоторой величины Р(±) не превышала некоторой постоянной с,
то, по нашим представлениям, изменение |Р(15) - Р(0)| величины Р за
время 15 не превышает с ~ 15, т.е. в этой ситуации за малый промежу-
ток времени величина мало меняется (во всяком случае, функция Р(±)
оказывается непрерывной). Значит, реальная механическая система за
малый промежуток времени мало меняет свои параметры.

'ё1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 205
В частности, скорость и(й) тела т во все моменты времени й, близ-
кие к некоторому моменту йо, должна быть близка к значению и(йо),
которое мы желаем определить. Но в таком случае само движение в
малой окрестности момента йо должно мало отлинатьсл от равно-
мерного движения со скоростью и(йо), причем тем меньше отличаться,
чем меньше мы уходим от йо.
Если бы мы сфотографировали траекторию тела т через телескоп,
то в зависимости от его силы мы получили бы примерно следующее:
Рис. 14.
Представленный на фотографии с участок траектории соответству-
ет столь малому интервалу времени, что на нем уже трудно отличить
истинную траекторию от прямолинейной, так как она и в самом деле
на этом участке похожа на прямолинейную, а движение _ на равномер-
ное прямолинейное. Из этого наблюдения, кстати, можно заключить,
что, решив задачу об определении мгновенной скорости (а скорость-
векторная величина), мы одновременно решим и чисто геометрический
вопрос об определении и нахождении касательной к кривой (кривой в
данном случае служит траектория движения).
Итак, мы заметили, что в нашей задаче должно быть и(й) ш и(йо)
при й, близких к йо, т.е. и(й) -› и(йо) при й -› йо или, что то же самое,
'и(й) = и(йо) + о(1) при й -› йо. Тогда должно быть также
1°(й) - г(йо) ш и(йо) - (й - йо)
при й, близких к йо, точнее, величина смещения т'(й) - т~(йо) эквивалентна
и(йо)(й - йо) при й -› йо, или
1115)- Т'(15о) = ”(іо)(і _ 10) + 0(”(15о)('ї _ іо))› (4)
где о(и(йо)(й - йо)) есть поправочный вектор, величина которого при
й -› йо стремится к нулю быстрее, чем величина вектора и(йо)(й - йо).

206 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тут следует, естественно, оговорить тот случай, когда 'и(±0) = 0. Чтобы
не исключать этот случай из общего рассмотрения, полезно заметить,
что1) |1›(±0)(± - ±0)| = |п(±0)||± - ±0|. Таким образом, если |1›(±0)| аё 0,
то величина |'и(±0)(± - ±0)| того же порядка, что и |± - ±0|, и поэтому
о('и(±0)(± - ±0)) = о(± - Значит, вместо (4) можно записать соотно-
шение
Ф!-
Ф
_/
1115)- (10) = ”(1їо)(Ё _ іо) + 0('ї _ 130), (5)
которое не исключает также случая т1(±0) = 0.
Таким образом, от самых общих и, быть может, расплывчатых пред-
ставлений о скорости мы пришли к соотношению (5), которому ско-
рость должна удов.летворять. Но из (5) величина 'и(±0) находится одно-
значно:
шо) = пт -'-Ёїїїї, (6)
і-по 13 - 150
поэтому как само фундаментальное соотношение (5), так и равносиль-
ное ему соотношение (6) можно теперь принять за определения величи-
ны 1:(±0) ~- мгновенной скорости тела в момент ід.
Мы не станем сейчас отвлекаться на подробное обсуждение вопро-
са о пределе векторнозначной функции и ограничимся сведёнием его к
уже рассмотренному во всех подробностях случаю предела веществен-
нозначной функции. Поскольку вектор 1°(±) - 1'(±0) имеет координаты
<1:<±›- ш<±0›, у<±› - у<±0››, то = (”“%:ї,<*°>, у“2:ї1Е*°>) И,
чит, если считать, что векторы близки, если их координаты близки, то
предел в (6) следует понимать так:
і-›±0 12 - 1-› - 1-› -
а о(і - 10) в (5) надо понимать как вектор, зависящий от і и такой, что
вектор 9%) стремится (покоординатно) к нулю при 15 -› йо.
Наконец, заметим, что если 1›(±0) 79 0, то уравнение
_ 1°(іо) = “(150) ' (Ё _ 130) (7)
задает прямую, которая в силу указанных выше обстоятельств должна
быть признана касательной к траектории в точке (:п(±0), у(±0)).
1)3десь Іі - 150] -- модуль числа і - 60, а |'и| -модуль, или длина вектора 'и.

ЁІ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 207
Итак, эталоном для определения скорости движения служит ско-
рость равномерного прямолинейного движения, задаваемоео линейным
соотношением Эталонное движение (7) подеоняется к исследуе-
мому так, как этого требует соотношение То значение и(±0),
при котором (5) выполнено, может быть найдено предельным переаго-
дом (6) и называется скоростью движения в момент 150. Рассматри-
ваемые в классической механике движения, описываемые законом ( 1),
должны допускать сравнение с таким эталоном, т. е. должны допускать
линейную аппроксимацию, указанную в
Если г(±) = (:в(±),у(±)) -радиус-вектор движущейся точки т в мо-
мент 13, і*(±) = = и(±)-вектор скорости изменения 1'(і) в
момент 15, а = (:і5(±), = а(±) -~ вектор скорости изменения и(±),
или ускорение в момент 15, то уравнение (1) можно записать в виде
т- = 17'(і),
откуда для нашего движения в поле тяжести получаем в координатном
виде
.. а:(і)
””(“ _ “М [1=2<±› +(ї:<±›13/2” <8›
.. у
“Щ _ СМ М) + у2<±›13/2
Это точная математическая запись нашей исходной задачи. По-
скольку мы знаем, как по т~(±) искать і'(±) и далее ї'(±), то уже сейчас
мы в состоянии ответить на вопрос, может ли какая-то пара функций
(:1:(±),у(±)) задавать движение тела т вокруг М. Для этого надо най-
ти аё(±), и проверить, выполнены ли соотношения Система (8)
является примером системы так называемых дифференциальных урав-
нений. Пока что мы можем только проверять, является ли некоторый
набор функций решением системы. Как искать решение или, лучше ска-
зать, как исследовать свойства решений дифференциальных уравнений,
изучается в специальном и, как уже сейчас можно понять, весьма от-
ветственном отделе анализа-теории дифференциальных уравнений.
Операция отыскания скорости изменения векторной величины, как
было показано, сводится к отысканию скорости изменения нескольких
числовых функций- координат вектора. Таким образом, эту операцию
следует прежде всего научиться свободно выполнять в простейшем слу-
чае вещественнозначных функций вещественного аргумента, чем мы
теперь и займемся.

208 ГЛ. /_ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Функция, дифференцируемая в точке. Начнем с двух пред-
варительных определений, которые мы чуть ниже несколько уточним.
Определение 01. Функция 1” : Е -› К, определенная на множест-
ве Е С К, называется дифференцируемой в точке а Є Е, предельной для
множества Е, если существует такая линейная относительно прираще-
ния 11: - 0, аргумента функция А ~ (гс - а), что приращение 1” - 1” (а)
функции 1” представляется в виде
](:1:)-](а,)=А~(аз-о)+о(з:-о) при а:-›о, а:ЄЕ. (9)
Иными словами, функция дифференцируема в точке а, если измене-
ние ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью
до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной а: - а смеще-
ния от точки а.
Замечание. Как правило, дело приходится иметь с функциями,
определенными в целой окрестности рассматриваемой точки, а не толь-
ко на каком-то подмножестве этой окрестности.
Определение 02. Линейная функция А- (а: - съ) из (9) называется
дифференциала./и функции І в точке а.
Дифференциал функции в точке определен однозначно, ибо из (9)
следует
пт 1”(Ш)-1%): пт <А+ 0(Ш-Щ) =А
ЕЭ:1:-›а, (Б - СЪ ЕЭа:-›а, $ - 0,
и в силу единственности предела число А определено однозначно.
Определение 1. Величина
жа) = пт Шаўф (10)
ЕЭа:-›а, _
называется производной функции 1” в точке о.
Соотношение (10) можно переписать в эквивалентной форме
ЁЁЁЁЧ = і'<а› + «<:»›,
где а(:1:) -› О при :1: -› а, сс Є Е, что в свою очередь равносильно соот-
ношению
](:1:) - І(о,) = ]°'(а)(э: -а) +о(:1:-а) при :в -› о, Ш Є Е. (11)

ё1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 209
Таким образом, дифференцируемость функции равносильна нали-
чию у нее производной в соответствующей точке.
Если сопоставить эти определения с тем, что было сказано в пунк-
те 1, то можно заключить, что производная характеризует скорость
изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал доста-
вляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в
окрестности рассматриваемой точки.
Если функция 1” : Е -› К дифференцируема в различных точках
множества Е, то при переходе от одной точки к другой как величи-
на А, так и функция о(:в - а) в (9) могут меняться (к чему мы уже явно
пришли в (11)). Указанное обстоятельство следует отметить уже в са-
мом определении дифференцируемой функции, и мы приведем теперь
это основное определение в его полной записи.
Определение 2. Функция І : Е -+ К, заданная на множестве Е С
С К, называется дифференцируемой в точке 21: Є Е, предельной для
множества Е, если
і<1› + Ы - 1<«››= Акт + а<м›,І (12)
где /1 ›-› А(:1:)/1-линейная относительно /ъ функция, а а(:с;/1) = о(/1)
при/1-›0,:с+/ЬЄЕ.
Величины
А:1:(Ь):=(:в+/1)-а:=/1
А1”(г1г;/1)= і(Ш+/1)-1'(Ш)
называют соответственно приращением аргумента и приращением
фунниии (соответствующим этому приращению аргумента).
Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами Аа: и
А] самих функций от /2.
Итак, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в
зтой точке как функция приращения аргумента /1 является линейной
с точностью до поправки, бесконечно малой при /1 -› 0 в сравнении с
приращением аргумента.
Определение 3. Линейная по /Ъ функция /1 1-› А(:в)/1 из определе-
ния 2 называется дифференииа./ьом функции І : Е -› К в точке 11: Є Е и
обозначается символом сі]` или В

210 гл. /. диффвРвнЦиАльнов иочислвнив
Таким образом, = А(:с)/1,.
Из определений 2, 3 имеем
Аі(Ш; /1) - <1і(Ш)(ї1) = 04111; /1),
причем ск(а:; /Ъ) = о(/1) при /1 -› 0, :В+ /1 Є Е, т. е. разность между прира-
щением функции, вызванным приращением /1, ее аргумента, и значени-
ем при том же /1 линейной по /1, функции сі] оказывается бесконечно
малой выше чем первого порядка по /1.
По этой причине говорят, что дифференциал есть (главная) линей-
ная часть приращения функции.
Как следует из соотношения (12) и определения 1,
1 . ї (Ш + /1) _ Ґ (Ш)
/1(Ш) - 1 (Ш) - ,(115 Ь ,
а:+Іъ,а:ЄЕ
поэтому дифференциал можно записать в виде
01і(Ш)(/1) = 1“(Ш)/Ъ (13)
В частности, если ](:в) Е ап, то, очевидно, ]“(а:) Е 1 и
аІ:с(/1)=1-Ь:/1,
поэтому иногда говорят, что «дифференциал независимой переменной
совпадает с ее приращением››.
Учитывая это равенство, из (13) получаем
41 (<1г)(/1) = і'(Ш)<іт(/1), (14)
т. е.
сі/(113) = ]'(а:)сіа:. (15)
Равенство (15) надо понимать как равенство функций от /1,.
Из (14) получаем
аЁ1(аг
Э
-4 = .]с,(Ш)э
сі:1:(
5
Ё
ьз
Ё/
Ч е.
т.е. функция ,В (отношение функций сі] и сіаз) постоянна и рав-
на Ґ По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обо-
<іі(Ш)
значают символом 71-ЛГ наряду с предложенным впоследствии Лагран-
жемї) символом Ґ
1)Ж.Л.Лагранж (1736 - 1813) _знаменить1й французский математик и механик.

51. диффвРвнЦи1>УЕмАя функция 211
В механике, кроме указанных символов, для обозначения производ-
ной от функции <р(±) по времени і используется символ (читается
«(0 с точкой от ±››).
3. Касательная; геометрический смысл производной и диф-
ференциала. Пусть І : Е -› К-функция, определенная на множест-
ве Е С К, и :1:д -фиксированная предельная точка множества Е. Мы
хотим подобрать постоянную сд так, чтобы она лучше всех остальных
констант характеризовала поведение функции в окрестности точки асд.
Точнее, мы хотим, чтобы разность І - сд при :в -› азд, 11: Є Е была
бесконечно малой в сравнении уже с любой не нулевой постоянной, т. е.
](а:) = сд + о(1) при а: -› азд, ат Є Е. (17)
Последнее соотношение равносильно тому, что Е Ііш 1” = сд.
ЭІВ-ЖІ20
Если, в частности, функция непрерывна в точке сад, то Е1іп1 1” =
Эа:-›а:д
= }(:1:д) и, естественно, сд = ](а:д).
Попробуем теперь подобрать функцию сд + с1(а: - агд) так, чтобы
иметь
= сд + с1(:1: - шд) + 0(:в - :1:д) при 11: -› азд, 11: Є Е. (18)
Очевидно, это _обобщение предыдущей задачи, поскольку форму-
лу (17) можно переписать в виде
[(аз) = сд + о((:1: - а:д)0) при 1: -› :1:д, 11: Є Е.
Из (18) при а: -› азд, а: Є Е немедленно следует, что сд = Е Ііш [(:1:),
и если функция непрерывна в точке, то сд = 1” (:1:д). эш_›$°
Если сд найдено, то из (18) следует, что
С1 = ПП1 _ со .
ЕЭа:-›а:д 113 - 1170
И вообще, если бы мы искали такой полином Рп(а:д;:1:) = сд+
+с1(а: - :1:д)+...+ с,,(:с - :1:д), что
= сд + с1(:1г - азд) + . . . + с,,(а: - :вд) + о((:с - а:д))
при а: -›:сд, :1: Є Е, (19)

212 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
то мы последовательно и вполне однозначно нашли бы
СО :
С1 = її- СО,
ЕЭ:1:-›а:0 1: то
. до - [со + . . . + с,,-1<ш - ::0>-1]
сп = 11п1
Еэаг-›:1:0 (а: - 500)
при условии, что все указанные пределы существуют; в противном слу-
чае условие (19) невь1полнимо и задача решения не имеет.
Если функция 1 непрерывна в точке 1170, то из (18), как уже отмеча-
лось, следует, что со = /(330) и мы приходим к соотношению
Ґ($)-1°(їБо)=С1($-і11о)+0($-Шо) ПРИ 12->Шо› ШЄЕЁ
равносильному условию дифференцируемости функции ](:1:) в точке изо.
Отсюда находим
СІ : Еддзїїшо : : -Ґ($0)-
Таким образом, доказано
Утверждение 1. Функиил 1 : Е-НК, непрерывная в тонке :1:0ЄЕ,
предельной длл множества Е С К, допускает линейное приближе-
ние (18) е том и только е том слунае, когда она дифферениируема
в этой точке.
Функция
<р(:с) = со + с1(:в - шо) (20)
при со = І (шо) и с1 = 1 ' (шо) является единственной функцией вида (20),
удовлетворяющей соотношению (18).
Итак, функция
<Р($) = Ґ(Шо) + Ґ,(Шо)(Ш _ Шо) (21)
доставляет наилучшее линейное приближение функции І в окрестно-
сти точки 1:0 в том смысле, что для любой другой функции вида (20)
1”(а:)- 9о(:1:) гё о(ас - 1120) при а: -› шо, Ш Є Е.

Ё 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 213
Графиком функции (21) является прямая
СЧ _ Ґ(Ш0) = 1°,(Шо)(Ш _ 1Бо)› (22)
проходящая через точку (азд, 1” (а:0)) и имеющая угловой коэффици-
ент ['(:1:0).
Поскольку прямая (22) доставляет наилучшее возможное линей-
ное приближение графика функции у = 1” в окрестности точки
(170, 1 (а:0)), то естественно принять
Определение 4. Если функция 1” : Е -› К определена на множе-
стве Е С ІК и дифференцируема в точке 1:0 Є Е, то прямая, задаваемая
уравнением (22), называется касательной к графику этой функции в
ТОЧКЄ ((170, _/' .
Рисунок 15 иллюстрирует все основные понятия, связанные с диф-
ференцируемостью функции в точке, которые мы к настоящему момен-
ту ввели: приращение аргумента и соответствующие ему приращение
функции и значение дифференциала; на рисунке изображены график
функции, касательная к графику в точке РО = (изд, 1 (110)) и, для сравне-
ния, произвольная прямая (называемая обычно сєкущєй), проходящая
через РО и некоторую точку Р 79 РО графика функции.
у у=і(г11)
у-і<ш0›= “”°+'2'“““°) (1:-шо)
Р у-1°($0)=Ґ(110)(Ш-то)
і(<110+71) - - - - * - - - - - - - - - - - -
--
І _ _ ` ' ' ' ` ` ` _ ' ' '
_ _ А.Ґ($о; 11)
1°(<110) ~* ----- _ -Р9
. А:1:(/1) .
Ф
::--
З
Ё1
+
З
Н
Рис. 15.

214 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Развитием определения 4 является
Определение 5. Если отображения 1” : Е -› К, 9: Е -› К непре-
рывны в точке 1130 Є Е, предельной для множества Е С К, и І -9(а:) =
= о((:в - а:0)) при 11: -› шо, Ш Є Е, то говорят, что 1 и 9 имеют в точке
1:0 касание порядка п (или, точнее, порядка не ниже
При п = 1 говорят, что отображения 1” и 9 касаются друг друга в
ТОЧКЄ 1130.
В соответствии с определением 5 отображение (21) касается в точке
1:0 Є Е отображения 1” : Е -› К, дифференцируемого в этой точке.
Теперь можно также сказать, что полином РП (:с0; 1:) = сд +
+С1($ - 170) + + сп(а: - :1:0)“ из соотношения (19) имеет с функци-
ей І касание не ниже чем порядка п.
Число /1 = а: -1:0, т. е. приращение аргумента, можно рассматривать
как вектор, приложенный к точке то и определяющий переход из 1:0 в
из = ШО + Іъ. Обозначим совокупность таких векторов через ТК(а:0) или
ТІКШОЁ) Аналогично, обозначим через ТК(у0) или ТІКШ, совокупность
векторов смещения от точки уо по оси у (см. рис. 15). Тогда из опреде-
ления дифференциала видно, что отображение
41” (Шо)= ТШ<(<1го) -> ТїК(1”(Шо))› (23)
задаваемое дифференциапом Ь 1-› 1°'(а:0)/1 = сі 1” (а:0)(/1), касается отобра-
жения
/1 *-> 1°(11го + /1) _ 1”(Шо) = АЛШО; /1), (24)
задаваемого приращением дифференцируемой функции.
Заметим (см. рис. 15), что если отображение (24) есть приращение
ординаты графика функции у = при переходе аргумента из точ-
ки 1120 в точку 1:0 + /1, то дифференциал (23) дает приращение ординаты
касательной к графику функции при том же приращении /1 аргумента.
4. Роль системы координат. Аналитическое определение 4 каса-
тельной может вызвать некоторую не вполне осознанную неудовлетво-
ренность. Мы постараемся сформулировать, что именно может соста-
вить предмет этой неудовлетворенности. Однако прежде укажем одну
“Это -- небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения ТШОК
или Тд,

ё1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 215
более геометрическую конструкцию касательной к кривой в некоторой
ее точке РО (см. рис. 15).
Возьмем произвольную точку Р кривой, отличную от РО. Прямая,
определяемая парой точек Р0, Р, как уже отмечалось, называется се-
кущей по отношению к кривой. Заставим теперь точку Р вдоль кривой
стремиться к точке РО. Если при этом секущая будет стремиться к неко-
торому предельному положению, то это предельное положение секущей
и есть касательная к кривой в точке РО.
Такое определение касательной при всей его наглядности в данный
момент для нас неприемлемо потому, что мы не знаем, что такое кри-
вая, что значит «точка стремится к другой точке вдоль кривой» и, на-
конец, в каком смысле надо понимать «предельное положение секущей».
Вместо того чтобы уточнять сейчас все эти понятия, мы отметим
основную разницу между двумя рассмотренными определениями каса-
тельной. Второе было чисто геометрическим, не связанным (во вся-
ком случае, до уточнений) с какой бы то ни было системой координат.
В первом же случае мы определили касательную к кривой, являющейся
в некоторой системе координат графиком дифференцируемой функ-
ции. Естественно может возникнуть вопрос, не получится ли так, что
если эту кривую записать в другой системе координат, то, например,
соответствующая функция перестанет быть дифференцируемой или бу-
дет дифференцируемой, но в результате новых вычислений мы получим
другую прямую в качестве касательной.
Этот вопрос об инвариантности, т. е. независимости от системы ко-
ординат, всегда возникает, когда понятие вводится с помощью некото-
рой системы координат.
В равной степени этот вопрос относится и к понятию скорости,
которое мы обсуждали в пункте 1 и которое, кстати, как это уже от-
мечалось, включает в себя понятие касательной.
Точка, вектор, прямая и т. д. имеют в разных системах коорди-
нат разные численные характеристики (координаты точки, координа-
ты вектора, уравнение прямой). Однако, зная формулы, связывающие
две системы координат, всегда можно по двум однотипным числовым
представлениям выяснить, являются ли они записью в разных системах
координат одного и того же геометрического объекта или нет. Интуи-
ция подсказывает нам, что процедура определения скорости, описанная
в пункте 1, приводит к одному и тому же вектору независимо от систе-
мы координат, в которой проводились вычисления. В свое время, при

216 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
изучении функций многих переменных, мы подробно обсудим подобно-
го рода вопросы. Инвариантность определения скорости относительно
различных систем координат будет проверена уже в следующем пара-
графе.
Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров,
подведем некоторые итоги.
Мы столкнулись с задачей математического описания мгновенной
скорости движущегося тела.
Эта задача приве.ла к задаче аппроксимации заданной функции в
окрестности исследуемой точки линейной функцией, что в геометри-
ческом плане привело к понятию касательной. Функции, описывающие
движение реальной механической системы, предполагаются допускаю-
щими такую линейную аппроксимацию.
Тем самым среди всех функций естественно выделился класс диф-
ференцируемыэ: функций.
Было введено понятие дифференциала функции в точке как линей-
ного отображения, определенного на смещениях от рассматриваемой
точки, которое с точностью до величины бесконечно малой по сравне-
нию с величиной смещения описывает поведение приращения диффе-
ренцируемой функции в окрестности рассматриваемой точки.
Дифференциал сі[(а:0)/Ъ = 1“(:1:0)і1 вполне определяется числом
1” (шо) _ производной функции І в точке 1120, которое может быть най-
дено предельным переходом
,,(,,0) 2 Пт /<«›› - г<:1:0›_
ЕЭа:-›а:0 (ІІ - 1130
Физический смысл производной- скорость изменения величины ]`(:1:)
в момент шо; геометрический смысл производной- угловой коэффици-
ент касательной к графику функции у = в точке (то,
5. Некоторые примеры
Пример 1. Пусть 1“(:в) = зіпаг. Покажем, что /“(413) = сов 1*.
Ѕіп(:1: + /1) - зіпа: 25111 СОЅ (13 +
4 Ііш = Іітп =
Іъ-›0 /Ъ /1-›О /7,
. Ь ЅіП
=}ф1пЪсоз (Ш + 5) -фігп) _--Ь = созаг. >
_) _)
(5)

ё1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 217
Мы воспользовались теоремой о пределе произведения, непрерывно-
стью функции соз :1:, эквивалентностью Ѕіпі ~ 15 при 15 -› 0 и теоремой 0
пределе композиции.
Пример 2. Покажем, что соЅ' 11: = - Ѕіпаз.
_ соЅ(а: + /1) - сова: , _2ЅіП Ѕіп (дв +
'її Ь =Ё% ь П:
. . Ь . Ѕї“(-Ё) .
= '-%,1ІІ5Ѕ1П(Ш + ' = -ЅІҐІЅС. ›
_) -›
(5)
Пример 3. Покажем, что если ](±) = тсоз ші, то /'(1) = -'гш Ѕіп ші.
4 1, 'гсоЅш(і + 12)- тсоз штї 1, _2ЅіП Ѕіпш (Ё +
пп = 1* пп =
І:-›0 /Ъ Іъ-›0 /'Ь
Ь ЅіІ1
= -гіъіпъзіпш (15 + -Іъіпё -(Т = -гшзіпші. >
-) _)
Ы
Пример 4. Если ](15) = тзіпші, то /'(15) = тш сов ші.
4 Доказательство аналогично разобранным в примерах 1 и 3. Ь
Пример 5. Меновеннал скорость и ускорение материальной точ-
ки. Пусть материальная точка движется в плоскости и в фиксированной
системе координат закон ее движения описывается дифференцируемы-
ми функциями от времени
Ф=ШШ, у=Щ0
или, что то же самое, вектором
ГН) = (<1г(#),у(#))-
Как мы выяснили в пункте 1 настоящего параграфа, скорость точки в
момент 15 есть вектор
Щ0=*Щ=4ЩЙ$Щ%
где аЪ(±), -производные функций а:(±), у(±) по времени 15.

218 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ускорение а(і) есть скорость изменения вектора 1›(±), поэтому
00) = 13(#)= *(1) = (д5(#)›ў(#)),
где 5й(±), - производные по 15 функций :і:(15), у(±), или так называемые
вторые производные функций а:(±), у(15).
Таким образом, по смыслу физической задачи функции :с(15), у(±),
описывающие движение материальной точки, должны иметь и первые
и вторые производные.
Рассмотрим, в частности, равномерное движение точки по окруж-
ности радиуса 'г. Пусть ш -угловая скорость точки, т. е. величина цен-
трального угла, на который перемещается точка за единицу времени.
В декартовых координатах (в силу определений функций сов 112, віп сс)
это движение запишется в виде
г(±) = (т сов(ш15 + а), 'г віп(ш± + а)),
а если 1'(0) = (130), то в виде
т*(±) = (т сов ші, 1* віп ші).
Без ограничения общности дальнейших выводов и для сокращения
записи будем считать, что т'(0) = (130).
Тогда в силу результатов примеров З и 4
и(±) = і*(1$) = (-гш віп ші, *гаи сов ші).
Из подсчета скалярного произведения
(т1(±), т'(±)) = -*г2ш віп ші сов ші + *г2ш сов ші віп ші = 0,
как и следовало в этом случае ожидать, получаем, что вектор п(±) ско-
рости ортогонален радиус-вектору т'(і) и направлен по касательной к
окружности.
Далее, для ускорения имеем
а(±) = тЭ(±) = = (-*гш2 сов ші, -тш2 віпштї),
т.е. а(1€) = -ш2 ~ т*(15) и ускорение, таким образом, действительно цен-
тростремительное, ибо имеет направление, противоположное направле-
нию вектора г(±).

ЅІ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 219
Далее,
2 2 ІЮШІ2 112
1<»<±›|- ш |«~<±>| _ Ш «~ - 7- _ 7,
где 'и =
Подсчитаем, исходя из этих формул, например, величину скорости
низкого спутника Земли. В этом случае т совпадает с радиусом Земли,
т. е. 1* ш 6400 км, а |а(т5)| ж 9, где 9 ш 10 м/с2-ускорение свободного
падения у поверхности Земли.
Таким образом, 112 = |а(±)|1^ ш 10 м/с2 × 64 ~ 105 м = 64- 106 (м/с)2 и
11 ш 8 ~ 103 м/с.
Пример 6. Оптическое свойство паробо./шчесного зеркала. Рас-
смотрим (рис. 16) параболу у = %аз2 (р > 0) и построим касательную
к неи в_ точке (а:0,у0) = (:1:0,%13:сЁ).
Поскольку І = $112, то
і 2 _ і 2
. 2 5” 2 370 1 . 1
]°'(а:0) = Іпп Р Р = 11п1 (11: + 1:0) = -1120.
11:-›а:0 51; - 3:0 2р из-›:в0 р
Значит, искомая касательная имеет уравнение
1 2 1
З/ _ 515330 - 5170017 ' 130)
или 1
;:го(Ш - Шо) - (11 - уе) = 0, (25)
_ 1 2
Где 3/0 - $170-
Вектор п = (-%ас0,1), как видно из по-
следнего уравнения, ортогонален прямой (25). 9
Покажем, что векторы ву = (0,1) и еі =
= (-:в0,% - уд) образуют с п равные углы.
Вектор ву есть единичный вектор направле- п
ния оси Оу, а ву -вектор, направленный из (а:0,у0)
точки касания (а:0,у0) = (1:д,%:сЁ) в точку Ё
(0, -фокус параболы. Итак, 0 17
1 Рис. 16.
605;/7, І Ё І _,
|Єу||”| ||

220 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
12 2_і2 2 іг
^ (грп) р'”0+2 2рШ0 2+2рШ0
СОЅЄіп= = 2: 2:-_
1” 1 1
щШг+(ё~ь$ё> 1п~М<г+; >
Таким образом, показано, что волновой источник, помещеннь1и в
точке (0, -в фокусе параболического зеркала, даст пучок, парал-
лельный оси Оу зеркала, а приходящий параллельно оси Оу пучок зер-
2170
кало пропустит через фокус (см. рис. 16).
Пример 7. Этим примером мы покажем, что касательная являет-
ся всего-навсего лучшим линейным приближением графика функции в
окрестности точки касания и вовсе не обязана иметь с ним единствен-
ную общую точку, как это было в случае окружности и как это вообще
имеет место в случае выпуклых кривых. (О выпуклых кривых будет
специальный разговор.)
Пусть функция задана в виде
НФ) =
а:2 зіп %,
0,
если 11: 75 О,
если Ш = 0.
График этой функции изображен жирной линией на рис. 17.
/
/
/
/
/
у /
2 /× :1:2зіп%, еслиш7Є0,
у=;1; / у:
_: 1 0/
/
/
уїШ//
/
/
/
/
/
0, если из = 0
І
27'
_1 2 1 //
7Т 7Ґ/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
І
і 2
ТГ 7Г
Рис. 17.
1 сс

Ё 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 221
Найдем касательную к графику в точке (0, 0). Поскольку
і'(о) = пт -Ь Ѕіпё _ О = пт Шзіпї = 0,
:1:-›О Ш _ 0 а:-›0 33
то касательная имеет уравнение у - О = 0 - (ап - 0), или просто у = 0.
Таким образом, в нашем примере касательная совпадает с осью 0:12,
с которой график имеет бесконечное количество точек пересечения в
любой окрестности точки касания.
В силу определения дифференцируе- у
мости функции І : Е -› ІК в точке тд Є
Є Е имеем
у = ІШІ
ПШ) - 1(=11о)= А(Шо)(Ш - Шо) + 0(<11 - 110)
О 11:
при 11: -› 1:0, 11: Є Е. Рис. 18.
Поскольку правая часть этого равенства стремится к нулю при 11: -› 1:0,
а: Є Е, то Ііт 1” (ап) = ](:с0), так что дифференцируемая в точке
ЕЭ:1:-›а:0
функция обязана быть непрерывной в этой точке.
Покажем, что обратное, конечно, не всегда имеет место.
Пример 8. Пусть 1” = (рис. 18). Тогда в точке то = 0
. 1($)-1(Шо) . |Ш|-0 - -'Ш
Іпп Й =11п1---= 11п1-=-1,
11:-›а:0-0 112 - 330 11:-›-О Ш - О а:-›-0 17
Ііш _]с(Ш0) = Ііш Ш = Ііш Ё =1.
св-›а:0+0 117 - ЅС0 а:-›+0 $ - О :в-›+0 112
Следовательно, в этой точке функция не имеет производной, а зна-
чит, и не дифференцируема в этой точке.
Пример 9. Покажем, что ей” - ет = єї”/1 + о(/1) при /1 -› 0.
Таким образом, функция ехр(з:) = еї дифференцируема, причем
сіехр(а:)/1 = ехр(:в)/2, или де” = етсіаг, и тем самым ехр':в = ехр аз, или
Ё; = ет.
4 є$+” - єї” = е””(є - 1) = є“”(/1 + о(І1))= ет/1 + о(/1).
Мы воспользовались полученной в примере 39, гл. ІІІ, Ё2, п. 4 фор-
мулой єп -1= 11 +о(іь) при /7, -› 0. Ь

222 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 10. а$+” - ат = а“31па,/Ъ + о(/1) при 11 -› 0 и 0, > 0.
Таким образом, сіаї” = а,$1пааї:в и Ё; = аї” Іпа.
4 а:1:+І1 _ аа: : а:в(аІ1 _ 1) І а:1:(єІъ1па, _ 1) :
=а$(/ъ1па+0(/11па,))=а$1па,/Ъ+0(/1) при /ъ-›0. Ь
Пример 11. 1п|а: +11] -1п|:1:| = %/1+о(/1) при /1 -› О и ш уё 0.
Таким образом, сіІп|:1:| = -Ёоіа: и %Ш =
4 1п|:с+/1]-1п|:с| =1п'1-1-Ё
При |/1| < имеем ,І + -2 = 1 + Ё, поэтому для достаточно малых
значений /1 можно написать
11 /1 /1 1
1п|:1:+/1]-1п|а:| =1п(1+-> = -~|-о(-) = -/7,-І-о(/1)
11: Ш 51: ап
при /1 -› 0. Мы воспользовались здесь тем, что, как показано в приме-
ре 38, гл. ІІІ, Ё2, п. 4, 1п(1 + 15) = Ъ + 0(±) при 15 -› 0. Ь
Пример 12. Іоёа ІШ + Щ - 1050, = Б-115-/ъ+о(/1) при /1 -› 0, а: аё 0,
0 < а 75 1.
Таким образом (1105 = 4-сіш и ЁЁ-'Ё = -Ё-.
, “ а:Іпа :1:Іпа
Іъ /1
4 1о3а|а:+/1]-1о5а|ш|=1о5а, 1+-1; =1о5а (14-Е) =
=і-111 1-і-Ё =-Ь Ё+0 Ё =-Ь/ъ+о(/1).
Іпа гс Іпа 1: ас а:1па
Мы воспользовались формулой перехода к другому основанию ло-
гарифмов и соображениями, изложенными при рассмотрении приме-
ра 11. >
Задачи и упражнения
1. Покажите, что
а) касательная к зллипсу

Ё 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 223
в точке (а:0,у0) имеет уравнение
Што Ш/0
Т + Т = 1;
а Ь
Ь) световые лучи от источника, помещенного в одном из двух фокусов
Р1 = (-/а2 - 62,0), Р2 = (/а2 - 62,0) эллипса с полуосями а > Ь > 0, соби-
раются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.
2. Напишите формулы для приближенного вычисления значений
а) Ѕіп + св) при значениях а, близких к нулю;
Ь) Ѕіп(З0° + а°) при значениях а°, близких к нулю;
с) сов (Ё + сх) при значениях а, близких к нулю;
(1) соЅ(45° + а°) при значениях а°, близких к нулю.
З. Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой ско-
ростью ш. Пусть у = І -- уравнение кривой, получающейся в сечении по-
верхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения.
а) Покажите, что ](:с) = Сёш, где 9--ускорение свободного падения (см.
пример 5).
Ь) Подберите І так, чтобы функция І удовлетворяла условию, ука-
занному в а) (см. пример 5).
с) Изменится ли приведенное в а) условие на функцию ]'(а:), если ось вра-
щения не будет совпадать с осью стакана?
4. Тело, которое можно считать материальной точкой, под действием силы
тяжести скатывается с гладкой горки, являющейся графиком дифференциру-
емой функции у = І
а) Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускоре-
ния, которое имеет тело в точке (шо, уд).
Ь) В случае, когда [(113) = а:2 и тело скатывается с большой высоты, най-
дите ту точку параболы у = :с2, в которой горизонтальная составляющая
ускорения максимальна.
5. Положим
Юг--Ь
8
|._ъ[Э›-І
св, если 0 < -
Ф0(ІЬ') = 1
8
//
-ш, если-< <
и продолжим эту функцию на всю числовую прямую с периодом 1. Эту про-
долженную функцию обозначим через 900. Пусть, далее,
@п<«:› = {,;<р0<4<›:›_

224 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Функция срп имеет период 4*” и производную, равную +1 или -1 всюду, кроме
точек 1: = 5%, п Є 2. Пусть
ОО
НФ) = 2</>п(Ф)-
п=1
Покажите, что функция 1” определена и непрерывна на К, но ни в одной точке
не имеет производной. (Этот пример принадлежит известному голландскому
математику Б.Л.Ван дер Вардену (1903-1996). Первые примеры непрерыв-
ных функций, не имеющих производной, были построены Больцано (1830 г.)
и Вейерштрассом (1860
Ё2. Основные правила дифференцирования
Построение дифференциала заданной функции или, что равносиль-
но, отыскание ее производной называется операцией дифференцирова-
ния функцииї).
1. Дифференцирование и арифметические операции
Теорема 1. Если функции 1” : Х -› К, 9: Х -› К дифферениируе-
мы в точке пп Є Х, то
а) иа: сумма дифферениируема в сс, причем
(і + 9)'(Ш) = (1“+ 9')(Ш);
Ь) иа: произведение дифферениируемо в Ш, причем
(1“~9)'(=1г) = і'(<1=) ~9(Ш) + 1”(=г) ~9'(Ш);
с) из: отношение дифферениируемо в :1:, если у(:12) уё 0, причем
1 ' _ і'(Ш)9(Ш) - і(<1г)9'(Ш)
(9) (Ш) _ 9%) '
4 В доказательстве мы будем опираться на определение диффе-
ренцируемой функции и свойства символа о(-), установленные в гл. ПІ,
Ё 2, п. 4.
1)При математической равносильности задачи отыскания дифференциала и зада-
чи отыскания производной, все же производная и дифференциал-не одно и то же,
и поэтому, например, во французском математическом языке имеются два терми-
на: єїёгіуаііоп _ «деривация», нахождение производной (скорости), и сіііїёгепъіаізіоп _
«дифференцирование», нахождение дифференциала.

Ё2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
а) (і +а>(:с + Ь) - (І +9›(1›> =(і(:1: + Ь) +а(ш + Ы) -
- (і(:«=) +у(<1:>) = (дэ: + Ь) - і<=г)) + (ат: + Ь) - ат) =
= <і'(Ш›Ь + 001)) + (9'(<:)Ь + <›(/1)) = (і'($> + 9'<Ш>>Ь + от) =
= (Ґ + ы'>(«:)Ь + От)
Ь) (і~9>(Ш+/1)-(і-9)(1›)= І(Ш+ї1
= (1°(Ш)+ 1“(Ш)12 + 0(/1))(9(Ш) + 9'(
=(і
,:`Н/
Нёїії
=я+“
ва;
+ї/Ч
*Ь
)
- 1“(<г)9(Ш) =
) - 1”(Ш)9(11) =
(1=)9'(Ш))/1 + 0(/1)
225
с) Поскольку функция, дифференцируемая в некоторой точке 11: Є Х,
непрерывна в этой точке, то, учитывая, что 9(а:) 7ё 0, на основании
свойств непрерывных функций можем гарантировать, что при доста-
точно малых значениях Іъ также 9(:в + Ь) 75 0. В следующих выкладках
°~Ф*ь
предполагается, что Ь, мало;
(5) <$+~>~(%> <Ш>=%1%%
Н
Н
= 1 <<$+т <
її
ее
)
15
(а:+/1)
Кь
Щ
(Ш) - І Ш)9(Ш + Ш) =
= (Ё_+0(1) ((і(Ш)+І'(11)/1+0(/1))9(Ш)-1”(Ш)(9(11=)+9'(Ш)/1+0(ї1))) =
/}_
Ё,
ду)
Мы воспользовались тем, что в силу непрерывности функции 9
/'Ж
Ка
Ю
Ё:
+мп)«геме›-лоые»~+мт)=
точке :с и того, что 9(:1:) дё 0,
ТЄ
2 і'(Ш)9(2г) - 1”(=г)9'(Ш) ,Ъ + от
)
9%
1
Ііш 1 =
*НО 9(<1=)9(1= + 11) 9%),
1
9(Ш)9(Ш + /1) 9 (Ш)
где 0(1) есть бесконечно малая при /1 -+ 0, 17 + Н Є Х. >
1
= 7- + 0(1)›
).
В

226 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следствие 1. Производнал от линейной комбинации дифферен-
цируемыа: функций равна линейной комбинации производньш: зтиа: функ-
ций.
4 Поскольку постоянная функция, очевидно, дифференцируема и ее
производная всюду равна нулю, то, считая в утверждении Ь) теоремы 1,
что 1” Е сопзід = с, имеем (с9)'(а:) = су'(:п).
Используя теперь утверждение а) теоремы 1, можем записать
(ті + с29)'(=г) = (<:1і)'(Ш) + (<г29)'(Ш) = с1і'(Ш) + с29'(Ш)-
С учетом доказанного, по индукции проверяем, что
(С1Ґ1 + - - - + 0пҐп),($) = С1Ґ{(ї'3) + - - › + 0пҐ;т,(1ї)- >
Следствие 2. Если функции /1,..., [П дифференцируемы в тон-
ке св, то
(1”1.--1°п)'(111) = 1”{(111)1°2(Ш) - ~ -1°п(Ш) +
+ 1°1(Ш)1°$(11)із(Ш) - - - іп(Ш) + - - - + і1(Ш) ---1°п-1(Ш)1”/ъ(Ш)-
4 Для п = 1 утверждение очевидно.
Если оно справедливо для некоторого п Є Ш, то в силу утвержде-
ния Ь) теоремы 1 оно справедливо также для (н+ 1) Є Ы. В силу принци-
па индукции заключаем о верности приведенной формулы для любого
п Є Ш. >
Следствие 3. Из взаимосвязи производной и дифференциала сле-
дует, что теорема 1 может быть записана также через дифферен-
циалы. Именно:
а) д(і + о)(Ш) = <1і(Ш) + дат);
Ь) <і(і - 9)(=г) = 9(<1=)<іі($) + і(т)<1в(Ш);
С) д = 9($)дҐ($32їш.!;($)<і9($), если 9($) # 0_
4 Проверим, например, а). Деиствительно,
410 + 9)(Ш)71 = (Ґ + 9)'($)71 = (Ґ + 9')(Ш)ї1 =
=(Ґ(11ї)+ 9'(Ш))71 = 1(<Б)/1 + 9'(Ш)/1 =
= <і1°($)71 + д9(Ш)/1 = (ОЩШ) + д9(Ш))/1,
и совпадение функций д(]` + 9)(:в), д](:с) + сіу(:в) проверено. Ь

52. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 227
Пример 1. Инвариантность определения скорости. Теперь мы в
состоянии проверить, что вектор мгновенной скорости материальной
точки, который был определен в п. 1 Ё 1, не зависит от выбора системы
декартовых координат. Мы проверим это даже для любой из аффинных
систем координат.
Пусть (а:1,:с2) и (51, 5:2) -координаты одной и той же точки плос-
кости в двух различных системах координат, связанных между собой
соотношениями
51 = а%аг1 + а%:в2 + Ь1, (1)
5:2 = аї:1:1 + а%а:2 + Ь2.
Поскольку любой вектор (в аффинном пространстве) определяется
парой точек, а его координаты суть разности координат конца и начала
вектора, то координаты одного и того же вектора в этих двух системах
должны быть связаны соотношениями
61 = а,%и1 + аёиг, (2)
132 = а,ї111 + (1302.
Если закон движения точки в одной системе задается функциями
аг1(і), :1:2(±), то в другой-функциями ії:1(±), :Е2(±), связанными с первы-
ми посредством соотношений
Дифференцируя соотношения (1) по времени 15, по правилам диффе-
ренцирования находим
:,1 1.1 1.2
а: =а1:1: +а2:1:, (3)
,:2__ 2.1 2.2
1: -а1:1с +а,2ш.
Таким образом, координаты (*и1,т12) = (:і:1,.і:2) вектора скорости в
... ~ ~ ,ь1 ,:2
первои системе и координаты (и1,1›2) = (11: ,из ) вектора скорости во
второй системе оказались связанными соотношениями (2), говорящими
нам о том, что мы имеем дело с двумя различными записями одного и
того же вектора.
Пример 2. Пусть І = 'сд 1:. Покажем, что 1” = Ё всюду,
где сов а: 7Є 0, т. е. в области определения функции 11511: = %.

228 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В примерах 1 и 2 из ё1 было показано, что віп' 11: = сов 1:, сов' из =
= - віпєс, поэтому из утверждения с) теоремы 1 получаем при сов 11: 7Є 0:
, віп ' віп' а: сов ат - віп а: сов' а:
138 3; = і : 2 =
сов сов :1:
совазсоваг + віпэзвіпаг 1
сов2 из сов? со
Пример 3. с1:5' 11: = -%- при віпа: дё 0, т. е. в области определе-
ЅПІ ІБ
ния нк ии сіз ап = Ёї.
ф): Ц Ё вша:
Деиствительно,
, сов ' сов' а: віп Ш - сов гс віп' :1:
сгд а: = -± = _ 2 =
вш в1п а:
-віпєсвіпсс-совазсова: 1
віп2 11: _ віп2 гс.
Пример 4. Если Р(а:) = со +с1$+. . .+с,-,,:1: ~полином, то Р'(а:) =
=С1 +2С21І+...+'ГІ/Сп$п_1. п
Действительно, поскольку 3% = 1, то по следствию 2 Ё? = па:1
и теперь утверждение вытекает из следствия 1.
2. Дифференцирование композиции функций
Теорема 2 (теорема о дифференциале композиции функций). Ес-
яи функция 1” : Х -› У С К дифференцируемо в точке гс Є Х, а функция
9: У -› К дифференцируема в точке у = Є У, то композиция
9 о 1” : Х -› 1123. зтиа: функций дифференцируема в точке аз, причем диф-
ференциал сі(9 о Т1К(ас) -› Т1К(9(](:с))) композиции равен компо-
зиции сі9(у) 0 (Ц дифференциаяов
41” (11)= ТК-(Ш) _> ТШЗ/ = ҐШ), «Шу = 1 (11))= ТЩ1/) _* ТЩ9(у))-
4 Условия дифференцируемости функций І и 9 имеют вид
[(а:+/Ъ)-1 =Ґ( )/1-і-о(/1) при /1-›0, :1:+/ЪЄХ,
9(у+±)-9()=9'()±+<›(±) при 1:-›0, у+±еУ.
ее
ЧН
Заметим, что в последнем равенстве функцию о(±) можно считать
определенной и при 15 = О, а в представлении о(±) = *у(±)±, где 7(±) -+
-› О при 15 -› 0, у +15 Є У, можно считать 7(0) = 0. Полагая [(113) = у,

Ё2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 229
[(111 + /1) = у + 15, в силу дифференцируемости, а значит, и непрерывно-
сти функции ] в точке а: заключаем, что при /2 -› 0 также 15 -+ 0, и если
2: + /1 Є Х, то у +15 Є У. По теореме о пределе композиции теперь имеем
*у(/(:1:+/1)-](а:))=оє(/1)-›0 при /1-›0, 1:-1-/ЪЄХ,
и, таким образом, если15=_;'(:1:+/1) -]`(:в), то
0(і)=7(і(11ї+/1)- Ш+/1)~1'( =
= Щ/1)( (71)) = 0101) )71 + 04/1)0(71) =
=о(/1)-|-0(/1): при /1-›0, 113-І-/ЪЄХ.
та
512
зі
-1-Х
Фїі
дтн
5/дэ
Далее,
(9<>1”)(Ш+/1)-(9°1')(Ш) = 9(1”(Ш+/1))-9(і(Ш)) =
==Щу+0-9ш%=ў(И+Ю@%=
= 9'(і(Ш))(і(Ш + 11)- 1”(т))+ 0(і(=г + /1) - і(1›))=
= 9'(1“(Ш))(і'(=г)/1 + 0(/1)) + 0(ї(Ш + /1) - і(Ш)) =
= 9'(1°(Ш))(1°'(Ш)/1)+ 9'(і(Ш))( (11)) + <›(1'(Ш + /1) - 1°(Ш))-
Поскольку величину 9'([] можно интерпретировать как
значение сі9(/(:в)) осі]”(:с)/1 композиции /1 ЕЁЩ у'(]“(ш)) -1°'(а:)/1 ото-
ЧС
Ф
., 4Ґ(1=) <і9(у)
бражении /1 г--› Ґ (:1:)/1, т 1--› 9'(у)т на смещении /1, то для завер-
шения доказательства теоремы остается заметить, что сумма
9'(1°(Ш))(0(11)) + 0(і(Ш + 11) - і(Ш))
есть величина бесконечно малая в сравнении с Іъ при /1 -› 0, :1: + /1 Є Х,
ибо, как мы уже установили,
о(](а:+/1) - = о(іъ) при /1 -› 0,:1:+/1 Є Х.
Итак, показано, что
(9°1)($+/1)-(9°і)($)=
=9'(](1:))-Ґ(:г)/1+о(/1) при Ь-›0, а:+/ЪЄХ. Ь

230 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следствие 4. Производноя (9 0 ]`)' композиции дифференциру-
емыш вещественнознонныш функций равно произведению 9'([(а:)) -1“(:с)
производныт этиа: функций, вынисленныаг в соответствующиаг точкош.
Большим искушением к короткому доказательству последнего ут-
верждения являются содержательные обозначения Лейбница для про-
изводной, в которых, если 2 = г(у), а у = у(а:), имеем
Ё_Ё її
сі:1:_сіу сіш,
что представляется вполне естественным, если символ 3% или %% рас-
сматривать не как единый, а как отношение сіг к сіу или, соответствен-
но, сіу к сі:1:.
Возникающая в связи с этим идея доказательства состоит в том,
чтобы рассмотреть разностное отношение
&_^2 Ё
Ааг_Ау Аа*
и затем перейти к пределу при Аа: -› 0. Трудность, которая тут появля-
ется (и с которой нам тоже отчасти пришлось считаться!), состоит в
том, что Ау может быть нулем, даже если Аа: 75 0.
Следствие 5. Если имеется, композиция (12, о... о диффе-
ренцируемьш: функций у1 = [1(а:), . . . ,уп = ]“,,,,(у,,_1), то
(іп О - ~ - О 1”1)'(1=) = іЬ(уп_1)1°$,-1(уп-2) ---1”{(=г)~
4 При п = 1 утверждение очевидно.
Если оно справедливо для некоторого п Є М, то из теоремы 2 сле-
дует, что оно справедливо также для п + 1, т. е. по принципу индукции
установлено, что оно справедливо для любого п Є М. Ь
Пример 5. Покажем, что при а Є К в области 11: > 0 имеем Ё; =
= ог:1:“_1, т.е. сісєа = сш'“_1сІ:1:, и
(аз + п)°” - ага = оє:1:°_1/1 + о(/1) при /2 -› 0.
4 Запишем ага = е°“ 1” и применим доказанную теорему с учетом
результатов примеров 9 и 11 из ЁІ и пункта Ь) теоремы 1.

Ё2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 231
Пусть 9(у) = ву и у = ](:1:) = аіпаг. Тогда ага = (9 0 и
<9<›і›'<=›:› = 9'<у› ~ х'<Ш› = ву ~ Ё = вт ~ Ё = ща ~ Ё = жа-1» ›
Пример 6. Производная от логарифма модуля дифференцируе-
мой функции часто называется логарифмической производной.
Поскольку = 1п|[(:в)| = (1110 | | 0 ])(а:), то в силу результата
примера 11 из ЁІ Р'(:1:) = (1п|[|)'(:с) =
Таким образом,
ыї
її
9..
її:
-*із
<1<1пш›<$› = -ат = -
Пример 7. Абсолютная и относительная погрешности значе-
ния диффєрєниируємой функции, вызванные погрешностями в задании
аргумента.
Если функция І дифференцируема в точке аг, то
Ю + Ь) - М) = і'(<›:>/1 + ст; Ь),
где ог(а:; Ь) = о(/1,) при /1 -+ 0.
Таким образом, если при вычислении значения функции аргу-
мент а: определен с абсолютной погрешностью 11, то вызванная этой
погрешностью абсолютная погрешность | 1” (гс + /1,) - 1” в значении
функции при достаточно малых /1 может быть заменена модулем зна-
чения дифференциала |а!1 = |}' на смещении /1.
Тогда относительная погрешность может быть вычислена как от-
ношение %%%[ = 1-(%%?-1 или как модуль произведения /1| лога-
рифмической производной функции на величину абсолютной погреш-
ности аргумента.
Заметим, кстати, что если [ = 111 аз, то с11п:1: = 5% и абсолютная
погрешность в определении значения логарифма равна относительной
погрешности в определении аргумента. Это обстоятельство прекрасно
используется, например, в логарифмической линейке (и многих других
приборах с неравномерным масштабом шкал). А именно, представим
себе, что с каждой точкой числовой оси, лежащей правее нуля, мы свя-
зали ее координату у и записали ее над точкой, а под этой точкой
записали число ат = ву. Тогда у = 1111:. Одна и та же числовая полуось

232 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
оказалась наделенной одной равномерной шкалой у и одной неравно-
мерной (ее называют логарифмической) шкалой аз. Чтобы найти 1п:1:,
надо установить визир на числе а: и прочитать наверху соответствую-
щее число у. Поскольку точность установки визира на какую-то точку
не зависит от числа а: или у, ей отвечающего, и измеряется некоторой
величиной Ау (длиной отрезка возможного уклонения) в равномерной
шкале, то при определении по числу гг его логарифма у мы будем иметь
примерно одну и ту же абсолютную погрешность, а при определении
числа по его логарифму будем иметь примерно одинаковую относитель-
ную погрешность во всех частях шкалы.
Пример 8. Продифференцируем функцию и(:п)”(””), где и
и(:1:)-дифференцируемые функции и > 0. Запишем и(ш)'“(“*) =
= е”($)1““(*'”) и воспользуемся следствием 5. Тогда
1›( )1пи( ) І
- = е“($)1““($) (1/(17) Іпи(:1:) + =
= и(т)'~<Ф> . 1/(а;)11ш($) + «›($)и<1:)'°<$>-1 ~и'<$).
Ё
Н
Н
3. Дифференцирование обратной функции
Теорема 3 (теорема о производной обратной функции). Пусть
функции І: Х -+ У, /1: У -› Х взаимно обратны и непрерывны е
точкаа: шо Є Х и ](а:0) = у0 Є У соответственно. Если функция І
дифференцируема в точке 3:0 и 1” (зад) 95 0, то функция [-1 также
дифференцируема в точке уо, причем
(г1)' (ум = <і'<:с0››'1.
4 Поскольку функции 1” : Х -› У, 1 1: У -› Х взаимно обратны,
то величины ](а:) - [(а:0), ]'1(у) - ]`_1(у0) при у = [(ає) не обращаются
в нуль, если :в 75 1:0. Из непрерывности 1 в 1170 и 1” -1 в уо можно, кроме
того, заключить, что (Х Э а: -› 4130) <=> (У Э у -› у0). Используя теперь
теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства
предела, находим
. Ґ_1(ІЧ) _Ґ_1(3/0) . 1?-Шо
1 = 1 =
уэїїуо у _ до Хэіїїа, де) _ то)
1 1
= 1° = .
Хэёїїа (лтд : ;0;«=<››) і'(:›:<›)

Ё2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 233
Таким образом, показано, что в точке уд функция 1” 1: У -› Х
имеет производную и
(1-1)' от = (1'<л›)*1. ›
Замечание 1. Если бы нам заранее было известно, что функ-
ция ]'”1 дифференцируема в точке у0, то из тождества (]_1 о 1” = 1:
по теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же
_ І
нашли бы, что (І 1) (уд) -]“(:с0) = 1.
Замечание 2. Условие 1” (Ш0) 75 0, очевидно, равносильно тому,
что отображение /1 +-› 1 (1:0)і1., осуществляемое дифференциалом оі] (тд) :
Т1К(а:0) -+ ТК(у0), имеет обратное отображение [(1] (аг0)]_1: Т1К(у0) -›
-› ТК(:с0), задаваемое формулой т ›-› ( 1 (а:0))_1т.
Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки
теоремы 3 можно было бы записать следующим образом:
Если функцил І дифференцируема в точке 1130 и в этой точке ее
дифференциал оіі (120): Т1К(а:0) -› ТІК(у0) обратим, то дифференциал
функции /1, обратной к 1, существует в точке уо = /(1120) и лвлл-
ется отображением
<і1“_1(3/0) = [<ії(ї11о)]_1ї ТЩ?/0) -> ТЩ$о)›
обратным к отображению сі/($130): Т1К(а:0) -› Т1К(у0).
Пример 9. Покажем, что агсЅіп' у = _% при |у| < 1. Функции
/1у
він: [-тг/2,тг/2] -› [-1,1] и агсзіп: [-1,1] -› [-тг/2,тг/2] взаимно обрат-
ны и непрерывны (см. гл. І/, Ё2, пример 8), причем Ѕіп' 11: = сова: аё 0,
если < тг/2. При < тг/2 для значений у = Ѕіпа: имеем |у| < 1.
Таким образом, по теореме 3
1 1 1 1
агсЅіп'у= т- = -і = іі- = -1-.
Ѕ1п':1: соЅ:1: ,/1_ЅіП2$ ,/1_у2
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что созаг > 0 при
|а:| < 1г/ 2.
Пример 10. Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно по-
казать (с учетом примера 9 из Ё2 гл. І/), что
1
агссоЅ'у = -і-5 при |у| < 1.
«1-у

234 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Действительно,
1 1 1 1
,*їі:-і-:-і--іі:--іі__
ЩССОЅ у _ соЅ'а: Ѕіпа: /1 _ С0Ѕ2д; , /1 _ у2
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что Ѕіпа: > 0, если 0 <
< Я: < тг.
Пример 11. агсЪ5'у = -#5, у Є ІК.
1 + у
Действительно,
агс1;' 1 1 соЅ2 1 1
_:-іїї-її аўїіі-іїа
ду 1;3':1: (1) 1+1;3% 1+у2
СОЅ2$
Пример 12. агсс'с5'у = -ї-іт, у Є ІК.
+1/
Действительно,
-4---_ї_.__Ѕш2$-___Ъ_-__±.
%?/_с±9;'ш_(_ 1 )_ _ 1+<:ъ52;1;_ 1+у2'
Ѕіп2аз
Пример 13. Мы уже знаем (см. примеры 10, 12 из Ё 1), что функ-
ции у = ](:1:) = ат и сс = [1(у) = 1о5а:1: имеют производные ['(:в) =
= ад” Іпа и (]1) (у) = Е/1%.
Проверим, как это согласуется с теоремой 3:
(],__1)/(у)_ 1 _ 1 _ 1
_ ]“(:с) _ а$1па _ уІпа,,
1 1
Ґа: =і--=-ї_=у1па=аҐ”1па.
_1/ 1
(І Ну)
Пример 14. Гипєрбо./шчєскиє, обратные гипєрболичвскиє функ-
ции и иа: производные. Функции
1 _
ЅЬ:1:=ё(е$-є ш),
1 _
сІ1а:=ё(є“”+є їс)

52. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 235
называются соответственно гипєрбо./шчєским синусом и гиперболиче-
ским косинусомї) от ап.
Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции,
как выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно,
как появляются круговые функции Ѕіп :1:, сов :1:.
Заметим, что
Ѕ11(-113) = - ЅІ1а:,
с11(-:1:) = с11:в,
т.е. гиперболический синус -нечетная функция, а гиперболический
косинус-функция четная.
Кроме того, очевидно следующее основное тождество:
с112:с-Ѕ112:1:= 1.
Графики функций у = 51111: и у = с1'1:1: изображены на рис. 19.
Из определения функции 51111: и свойств
функции еї” следует, что ЅІ1:1: _непрерывная
строго возрастающая функция, отображающая
взаимно однозначно К на К. Обратная функция = сьї
к зЬ:с, таким образом, существует, определена у
на К, непрерывна и строго монотонно возра-
стает.
Ее обозначают символом
1 у=з1п:1:
0 а:
агзІ1 у
(читается «арєа-синус2) от у››). Эту функцию
легко выразить через уже известные. Решая
уравнение
1 _ Рис. 19.
~,<@1=~@ а =у
относительно гс, найдем последовательно
6*” = у + /1 + 1/2
От лат. зіпиз І1урегЬоІісі, созіпиз І1урегЬоІісі.
2)Полное название-агеа Ѕіпиз 1турегЬо1ісі (лат.); почему здесь используется тер-
мин «площадь» (агеа), а не «дуга» (агсиз), как в круговых функциях, выяснится не-
сколько позже.
1)

236 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(єш > 0, поэтому вт уёу- /1+у2) и
а:=1п(у+/1+;4/2).
Итак,
агзІ1у=1п(у+/1+у2), 3/ЄІК.
Аналогично, используя монотонность функции у = сЬ Ш на участках
К. = {:с Є К | 11: < 0}, Щ = {:с Є 1К| аг 2 0}, можно построить функции
а1'сЬ_ у и агс11+ у, определенные для у 2 1 и обратные к ограничению
функции сІ1:в на 1К_ и 1К_д_ соответственно.
Они задаются формулами
Ч
агс11_у=1п(у- у -1),
Ч
агс11+у=1п(у+ у -1).
Из приведенных определений находим
а на основе теоремы о производной обратной функции получаем
1
ЁЪГЅЬІ у = Ё
1
агс111 у = СЬ, Ш
1
агс11; у = СЬ, Ш
Последние три соотношения можно проверить, используя явные вы-
ражения для обратных гиперболических функций агЅ1пу и агсЬ у.
Ѕ11'а: = Ё (ет + є_$) = с1па:,
с11'ас = Ё (ет - є_$) = 5111:,
1
спа:
1
Ѕпаз
1
ЩЕ
1 1
_ /1-і-511251: _ /14-92,
1 1
= =_.;._, 1
-/с112:1т-1 /3/2-1 у>
1 1
їі--іїіі-,
/с112а:-1 /3/2-1 у

52. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 237
Например,
1 1 _
агзЬ'у=ї--_-5(1+ї(1+у2) 1/2 =
+/1+у
3% Ё
чт”
_ _ 1 + у2 + у _ 1
у+ 1+у 1+у2 /1+у2
Подобно 13511: и сідё 11: можно рассмотреть функции
51111: спас
Ь = --_ 11 = __-
Ё Ш спа: И съ Ш Ѕпаг,
называемые гипербо./шческим тангєнсом и гипербо./шчєским котанген-
сом соответственно, а также обратные им функции арєа-тангенс:
1 1
аг1;11у = -і1пї-133, |у| <1,
и арєа-котангєнс:
1 + 1
а1°с'с1пу = -Іпё |у| > 1.
2 у 1
Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам,
мы опускаем.
По правилам дифференцирования имеем
Ш, з11':1:с11а:-Ѕ11:1:сЬ':1: сЬа:с11:в-Ѕ11:сЅ11а: 1
Ш : : : -і,
с112 :1: с112 гс сІ12 а:
СЁЬ,$_с11':1:Ѕ11а:-с11а:Ѕ1г1':с _з11а:Ѕ11:1:-с11:1гс1п:в _ 1
$112 11: _ $112 а: _ ЅЬ2 1:.
По теореме о производной обратной функции
1 1 1 1
аГЫ1,у:*в11':с: 1 :сЬ2$:1-'с112а::1-у2, |у|<1,
(сІ12а:)
1 1
1 _ _ __ 2 І
агсЪ11у_СЫ1,Ш_ (_ 1 ) -_ 511 а:
511211:
1 1
=-аїтї=;,т› 'Ш >1-
Две последние формулы можно проверить и непосредственным диффе-
ренцированием явных формул для функций аг1:Ьу И агс'сЬу.

238
ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
функций, подсчитанные в Ё 1 и Ё2.
Таблица 1
4. Таблица производных основных элементарных функции
Выпишем теперь (см. табл. 1) производные основных элементарных
Функция Производная ]
Ограничения на область
изменения аргумента а: Є К
[Э›-І
З
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
но (3
ад!
Іоєа ІФІ
зіп сс
сов 1:
1:5 ш
сЬ5 сп
агсзіп а:
агссоз а:
агс1:5 :1:
агсс'с5 1:
ЅЬШ
с11:в
1311 а:
с'с11 из
агЅЬ1: =1п(:с+ /1 +а:2)
агс11а: = 111 (1: ± ,/а:2 - 1)
аг1:І1а: =%І1%Ё
агс'с11:в = %1п-Ё-Ё%
(сопзъ)
0
аш°1
а$1па
1
азїпа
СОЅІВ
-Ѕіпш
±
соз2:с
_±
Ѕіп2:1:
4.
/1 -а:2
1
х/1 -0:2
1
1+:с2
_Д_
1+:1:2
сІ1:в
$111:
і_
с112:в
__Ъ_
31121:
4
/1 +:с2
±і__
/азё-1
±
1-:с2
±
а:2-1
1
:1:>0 при 046113
:1:ЄІК€. при аЄІ1
0,751
:1:Є1К0 (а>О,а7&1
:вЄІЕ€. (а>0,
:с7$%+тг/є,
:1:7ЁтгІє, І:
|:1:|<1
|а:|<1
$750
|ш|>1
|ш|<1
|:1:|>1
КЄ2
ЕЕ
5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функ-
ции. Пусть у = у(±) и 1: = :с(±) _ дифференцируемые функции, опреде-
ленные в окрестности І/(150) точки #0 Є К. Предположим, что функция
сс = :1:(і) имеет обратную функцию і = ±(:1:), определенную в окрестно-

Ё2. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 239
сти ї/(1130) точки 1:0 = :в(±0). Тогда величину у = у(±), зависящую от 15,
можно рассматривать также как функцию, неявно зависящую от аг, по-
скольку у(15) = Найдем производную зтой функции по ш в точ-
ке 1:0, предполагая, что а:' (150) дё 0. Используя теорему о дифференциро-
вании композиции и теорему о дифференцировании обратной функции,
получаем
<1у<±<@››› Ы;/<±> @±<$› 4% 1/<± ›
у, ' ї -її ї їі. . їі ї 1 ї Ц
І” $=$° сіа: (115 сіа: (1220) :1:' (15
Ё *° <і±
Ё Ё0
$:;1;0 : ;1::;1;0 і- Ё О
(Здесь использовано стандартное обозначение ]'$:$0 :- 1 (а:0).)
Если одна и та же величина рассматривается как функция различ-
ных аргументов, то во избежание недоразумений при дифференцирова-
нии явно указывают переменную, по которой это дифференцирование
проводится, что мы и сделали.
Пример 15. Закон сложения скоростей. Движение точки вдоль
прямой вполне определяется, если в каждый момент 15 выбранной нами
системы отсчета времени мы знаем координату а: точки в выбранной
системе координат (числовой оси). Таким образом, пара чисел (а:,±)
определяет положение точки в пространстве и во времени. Закон дви-
жения точки запишется в виде некоторой функции 1: =
Предположим, что движение этой же точки мы хотим описать в тер-
минах другой системы координат (5:,1Ё). К примеру, новая числовая ось
движется равномерно со скоростью -11 относительно первой (вектор
скорости в данном случае можно отождествить с задающим его одним
числом). Будем для простоты считать, что координаты (0,0) и в той
и в другой системе относятся к одной и той же точке или, точнее, что
в момент Ё = 0 точка 5: = О совпадала с точкой сс = 0, в которой часы
показывали І = 0.
Тогда один из возможных вариантов связи координат (1:,1€), (:Ё,Ё),
описывающих движение одной и той же точки, наблюдаемое из разных
систем координат, доставляют классические преобразования Галилея
ії = 11: + ті, (4)
Ъ = Ъ.
Рассмотрим несколько более общую линейную связь
5: = ош: + Ш,
Ё = 7:1: + 515, (5)

240 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
разумеется, в предположении, что эта связь обратима, т. е. определи-
тель матрицы (3 отличен от нуля.
Пусть а: = ас(±) и Её = :ї:(Ё) -закон движения наблюдаемой точки,
записанный в этих системах координат.
Зная зависимость гс = а:(±), из формул (5) найдем
5ї( ) = <1$(1ї)+ Ш,
~ _ (Ы
±( ) _ *у:1:(±) + 515,
ФЪФЪ
а в силу обратимости преобразований (5), записав
т=аг+т;
И 7
±=ў1+м, ()
зная 56 = :Ъ(1Ё), можно найти
Н
Ґ-ї
н- еь
*9` *Н-
(~) = д5д(~) + Ёї,
,. И .. ~.. (8)
15 ) = ^уа:( ) + 515.
Из соотношений (6) и (8) видно, что для данной точки существуют
взаимно обратные зависимости Ё = ї(±) и 15 = ±(ї).
Рассмотрим теперь вопрос о связи скоростей
А/
лу
то = 9% = ±±<±› И йа = = М
нашей точки, вычисленных в системах координат (аз, Ъ) и (56, Ё) соответ-
ственно.
Используя правило дифференцирования неявной функции и форму-
лы (б), имеем
~ 4:15 сієс
іЁ=и=“Ш+д
фї «її 411 5
ж *Ж+
или
«Ч-ФЬ
тд = <9›
где 15 и 15-координаты одного и того же момента времени в системах
(аз, 15) и (53, 15). Это всегда имеется в виду при сокращенной записи
~ ї/'+5
У=9-- ю
уї/+5 ( )
формулы

Ё2. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 241
В случае преобразований (4) Галилея из (10) получаем классический
закон сложения скоростей
У = У + 11. (11)
Экспериментально с достаточной степенью точности установлено
(и это стало одним из постулатов специальной теории относительно-
сти), что в вакууме свет всегда распространяется с определенной ско-
ростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела. Это
означает, что если в момент 13 = Ё = О в точке аг = 513 = О происхо-
дит вспышка, то через время 15 в системе (сс, 15) свет достигнет точек с
координатами 11: такими, что :1:2 = (с±)2, а в системе (:Е,1Ё) этому собы-
тию будут отвечать время Ё и координаты Ё точек такие, что опять
5152 = (сЁ)2.
Таким образом, если а:2 - с2152 = 0, то и 5:2 - с21Ё2 = 0, и обратно.
В силу некоторых дополнительных физических соображений следует
считать, что вообще
1122 - с2і2 = 152 - с2Ё2, (12)
тп
дн
если (Ш, 15) и (:с,1€) отвечают одному и тому же событию в различных си-
стемах координат, связанных соотношением Условия (12) дают сле-
дующие соотношения на коэффициенты а, В, 7, 6 преобразования (5):
0,2 _ (3272 = 1,
ад - с2*уб = 0, (13)
52 - с2б2 = -с2.
Если бы было с = 1, то вместо (13) мы имели бы
оє2 - 2 = 1,
<>-,итд
182 _ 62 = _1,
откуда легко следует, что общее (с точностью до перемен знака в парах
(си, Н), (7, 5)) решение системы (14) может быть дано в виде
01 = 011% 7 = 811% В = Ѕ11<Р, 5 = <:11<р,
где 90 _ некоторый параметр.

242 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тогда общее решение системы (13) имеет вид
(а 3) _ с11<р сЅ11<р
'У 5 % ЅІ1 90 сІ1 ср
и преобразования (5) конкретизируются:
5: = сІца:1г + сзіцаі,
~ 1 15
±=-ёЅ11<р:1:+с11<р±. ( )
Это- преобразования Лоренца.
Чтобы уяснить себе, каким образом определяется свободный пара-
метр 9о, вспомним, что ось 5: движется со скоростью -*и относительно
оси а:, т.е. точка :ї: = 0 этой оси, наблюдаемая из системы (:с,±), име-
ет скорость -11. Полагая в (15) Ё = 0, находим ее закон движения в
системе (:1:,±):
а: = -с Ь11<р±.
Таким образом,
о
Сопоставляя общии закон (10) преобразования скоростеи с преобразо-
ваниями Лоренца (15), получаем
ў _ с11901/-І-сз11<р
%Ѕ11<рУ+с1п<р7
или, с учетом (16),
~ 1/+'и
1 + Ё
Формула (17) есть релятивистский закон сложения скоростей, кото-
рый при |'и1/| << с2, т.е. при с -› оо, переходит в классический, выра-
женный формулой (11).
Сами преобразования Лоренца (15) с учетом соотношения (16) мож-
но записать в следующей более естественной форме:
~_ 11:-І-ой
ш ×/1-е›2°
15+ %:1: (18)
/«О
ОЄ
Аг
±

Ё2. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 243
откуда видно, что при |о| < с, т. е. при с -› оо, они превращаются в
классические преобразования Галилея
6. Производные высших порядков. Если функция І: Е -› К
дифференцируема в любой точке ат Є Е, то на множестве Е возника-
ет новая функция 1” : Е -› К, значение которой в точке Ш Є Е равно
производной 1” функции 1” в этой точке.
Функция Ґ : Е -› ІК сама может иметь производную (]“)' : Е -› К
на Е, которая по отношению к исходной функции І называется второй
производной от 1” и обозначается одним из символов
]сІІ($), (12-Ґ(Ш),
да:2
а если хотят явно указать переменную дифференцирования, то в пер-
вом случае еще, например, пишут 1,{,',,(а:).
Опреде.ление. По индукции, если определена производная }(1)
порядка п - 1 от 3*, то производная порядка п определяется формулой
І
г<><а:> = (і<-Ц) (Ш).
Для производной порядка п приняты обозначения
1<><<н›,
Условились считать, что 1 (0)(:1:) := І
Множество всех функций 1 : Е -› К, имеющих на Е непрерывные
производные до порядка п включительно, будем обозначать символом
С'()(Е,К), а когда это не ведет к недоразумению-более простыми
символами С'()(Е) или С'(Е,ІК) и С'(Е) соответственно.
В частности, СШ) = С'(Е) в силу принятого соглашения, что
1°(°)($) = і(Ш)~
Рассмотрим несколько примеров вычисления производных высших
порядков.
Примеры.
1” (Ш) 1'(Ш) 1°(Ш) 1°('')(Ш)
16. аї” от Іп а от 1п2 а от Іп о
17. вт ет ва” в$
18. Ѕіпа: сов из - Ѕіп из зіп(аг + пл/2)

244 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
19. сов зс - зіпа: - созш соз(а: + пл/2)
20. (1 + :1:)“ а(1+ :1:)°“1 а(а -1)(1+ :1:)“2 а(а - 1)... (а - п+
+1)(1 + Ш)“'
21. ага ог:с“_1 а(а -1):са“2 ... а(а - 1)... (а - п+
+1)Ш0-П
22. 10 |:1:І #1;-1 -1 =2 4-_-1>”_1<-1)! -І
80» Іпа тш Іпа Ш
23. 1п|;1;| 11;-1 (-1)ш-2 (-1)“=1(п-1)!г
Пример 24. Формула Лейбница. Пусть и о(:1:) -функции,
имеющие на общем множестве Е производные до порядка п включи-
тельно. Тогда для п-й производной от их произведения справедлива
следующая формула Лейбница:
'П
(ш1)() = 2 С,Т'и(_т)о(т). (19)
т=0
Формула Лейбница очень похожа на формулу бинома Ньютона и на
самом деле с нею непосредственно связана.
4 При п = 1 формула (19) совпадает с уже установленным правилом
дифференцирования произведения.
Если функции и, 1; имеют производные до порядка п+1 включитель-
но, то, в предположении справедливости формулы (19) для порядка п,
после дифференцирования ее левой и правой частей получаем
(,ш))(п+1) = Ё С«71;г1и(п-т+1)1)(т) + Ё С1єпи(п-т),д(т+1) :
т=0 т=0
+
ЁГ4*
/Ж
= ,,<п+1›,,<<›› дд + СЗ-1) ,,<<п+1›-›:›,,,<×=› + ,,_,<0›,,<п+1› І
п+1
= 2 С/д+Ґ,,<<п+1›~~>,,<~›_
Іс=0
Мы объединили слагаемые, содержащие одинаковые произведения
производных от функций и, 11, и воспользовались тем, что СЁ + С'1,“_1 =
_ Іс
_ Сп+1'
Таким образом, по индукции установлена справедливость формулы
Лейбница. Ь

Ё2. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 245
Пример 25. Если Рп(а:) = со + с1аг + . . . + спа:”, то
50
/'
Ф
9/
= (301
= с1 + 2с2:1: + . . . + пс.,,:1:_1 и Р;,(0) = с1,
Р,2_'(а:) = 2с2 + З ~ 2с3а: + . . . + п(п - 1)с,,,а:_2 и Р,;'(0) = 2! с2,
Р,Ё,3)(:1:) = 3 - 2с3 + . . . + п(п - 1)(п - 2)сп:1:_3 и Р;,3)(0) = 3! с3,
:с)=п(п-1)(п-2)...2с,,~,, и Р,2')(0)=п!сп,
Ѕї 59,
5 3
×-` ,ї
1:) = О при /є > п.
Таким образом, полином Рп(:в) можно записать в виде
Р,,(ш) = Р,$°> (0) + %Р,$1>(о)а; + %Р,$2>(0)1:2 + . . . + %Р,$>(о)а;.
Пример 26. Используя формулу Лейбница и то обстоятельство,
что производные от полинома, имеющие порядок выше его степени,
тождественно равны нулю, можно найти п-ю производную функции
= 1:2 Ѕіпаз:
[(71) = зіп() аг - 1:2 + 02, Ѕіп(“1) 1: ~ 20: + СЗ, зіп(_2) св - 2 =
= а:2 зіп (11: + + 2па:Ѕіп (гс -1-(п - +
+ (-п(п - 1) Ѕіп (сс + =
= (1132 - п(п - 1)) зіп (11: + - 2т: сов (11: + .
Пример 27 . Пусть 1” = агсізёас. Найдем значения 1” (71) (0) (п =
= 1, 2, . . .
Поскольку = 1%, то (1 + Ш2)/'(13) = 1.
Ю
Применяя формулу Лейбница к последнему равенству, находим ре-
куррентную формулу
(1 + :1:2)]“(+1)(аг) + 2пас/()(а:) + п(п -1)]°('1)(а:) = 0,
из которой можно последовательно найти все производные функ-

246 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полагая 51: = 0, получаем
1“(+1)(0) = -ПШ - 1)1”(_1)(0)~
При п = 1 имеем [(2)(0) = 0, поэтому вообще 1”(2) (0) = 0. Для
производных нечетного порядка имеем
і<2т+1><0› = -2т<2т - 1›і<2”**“<0›
и, поскольку ]'(0) = 1, получаем
і<2т+1><0› = <-1›т<2т>г.
Пример 28. У снорєниє. Если а: = ас(±) -зависимость от времени
координаты движущейся вдоль числовой оси материальной точки, то
%%2 = есть скорость точки, а тогда = ЁЁЅЁ = есть ее
ускорение в момент 15. Щ
Если :1:(±) = опї + В, то = а, а Е 0, т.е. ускорение в равно-
мерном движении равно нулю. Вскоре мы проверим, что если вторая
производная функции равна нулю, то сама функция имеет вид аі + В.
Таким образом, в равномернь1х движениях и только в них ускорение
равно нулю.
Но в том случае, если мы желаем, чтобы наблюдаемое из двух си-
стем координат движущееся по инерции в пустом пространстве тело
в обеих системах двигалось равномерно и прямолинейно, нужно, что-
бы формулы перехода из одной инерциальной системы в другую были
линейными. Именно по этой причине в примере 15 были выбраны ли-
нейные формулы (5) преобразования координат.
Пример 29. Вторая производная простейшей неявно заданной
функции. Пусть у = у(±) и із = :с(±) - дважды дифференцируемые
функции. Предположим, что функция а: = а:(±) имеет дифференциру-
емую обратную функцию і = ±(:в), тогда величину у(±) можно считать
зависящей неявно от аг, ибо у = у(±) = Найдем вторую произ-
водную уїш в предположении, что :п' (15) дё 0.
По правилу дифференцирования такой функции, рассмотренному в
пункте 5, имеем
І
2/=2Ё
(ІІ 147

Ё2. ОСНОВНЬІЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 247
Поэтому 1 І н 1 / н
І І ш І І/ І/ І
уп : (уі )/ : Ш І 33: Ё :__ (331) : їіуи _ ЅСЫЁ/11.
И Ф Ш Ш; Ш; Ш; <$;>=*›
Заметим, что явные выражения всех участвующих здесь функций,
в том числе и уёї, зависят от і, но они дают возможность получить
значение уїш в конкретной точке гс после подстановки вместо і значения
15 = ±(а:), отвечающего заданному значению аг.
Например, если у = её, 11: = Іп 1%, то
І Ё / І
у'=%_-:і:±д'ї, у” :@і:Ёїіё=±(±+1)д*_
5” ап; 1/15 Ш сс; 1/і
Мы специально взяли простой пример, в котором можно явно вы-
разить 15 через 1:, Ъ = ет, и, подставив 15 = еї” в у(±) = єі, найти явную
зависимость у = вет от 1:. Дифференцируя последнюю функцию, можно
проверить правильность полученных выше результатов.
Ясно, что так можно искать производные любого порядка, последо-
вательно применяя формулу
(11) _: :±_
3/
из ад.:
Задачи и упражнения
1. Пусть ао, а1,. . _ ,ап -заданные вещественные числа. Укажите много-
член Рп(а:) степени п, который в фиксированной точке то Є ІЕЄ. имеет произ-
1;
водные РА )(а:0) = ад, І: = 0,1, . . . ,п.
2. Вычислите _1“(:1:), если
8,) дв) = <, ехр при 5” * 0,
0 при Ш = 0;
Д 1:2 Ѕіп% при а: дё 0,
Ь) Дж) І 0 при а: = 0.
с) Проверьте, что функция из задачи а) бесконечно дифференцируема
на К, причем ]'()(0) = 0.
(1) Покажите, что производная функции из задачи Ь) определена на К, но
не является непрерывной функцией на К.
е) Покажите, что функция
: ехр( (1+$)2 (1_$)2) при 1<:1:< 1,
О при 1 <
бесконечно дифференцируема на К.

248 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Пусть І Є С'(°°)(1К). Покажите, что при Ш аё О
<т<›±>>т
4. Пусть _/Ґ -дифференцируемая на К функция. Покажите, что
а) если І -четная, то Ґ -нечетная функция;
Ь) если 1” -нечетная, то Ґ -четная функция;
с) (Ґ нечетна) <=> (І четна).
5. Покажите, что
а) функция І дифференцируема в точке то в том и только в том случае,
когда І - _/*(1130) = - изд), где <р(:с) _функция, непрерывная в то (и в
таком случае <р(а:0) = 1” (ш0));
Ь) ЄСЛИ ПШ) - Кто) = <Р(Ш)(Ш - Шо) И Ф Є С7('1)(0`(Шо))› Где што)-
окрестность точки сад, то функция І имеет в точке :1:0 производную _1'() (1120)
порядка п.
6. Приведите пример, показывающий, что в теореме 3 условие непрерыв-
ности 1” -1 в точке уо не является излишним.
7. а) Два тела с массами т1 и т2 соответственно перемещаются в прост-
ранстве только под действием сил взаимного притяжения. Используя законы
Ньютона (формулы (1) и (2) из 'ё1), проверьте, что величина
1 . 1
Е = (М + М) + (Ш) М И
где 111 и 112 -скорости тел, а 'г-расстояние между ними, не меняется при
таком движении.
Ь) Дайте физическую интерпретацию величины Е = К + П и ее составля-
ющих.
с) Распространите результат на случай движения п тел.
53. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Лемма Ферма и теорема Ролля
Определение 1. Точка 4120 Є Е С К называется точной локаль-
ного мансимума (минимума), а значение функции в ней-локальным
мансимумом (минимумом) функции І: Е -› К, если существует ок-
рестность І/'Е(:1:0) точки 1:0 в множестве Е такая, что в любой точке
11: Є ПЕ(а:0) имеем [(12) < ](а:0) (соответственно, ]°(а:) 2 ](а:0)).
Определение 2. Если в любой точке 1: Є 1/Е(:с0) а:0 = йЕ(:1:0)
имеет место строгое неравенство 1” < І(а:0) (І > [(:в0)), то точ-

53. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 249
ка то Є Е называется тонкой строгого локального максимума (мини-
мума), а значение функции в ней-строгим локальным максимумом
(минимумом) функции 1” : Е -› К.
Определение 3. Точки локального максимума и минимума назы-
ваются точками локального экстремума, а значения функции в них-
локальньъми экстремумами функции.
Пример 1. Пусть
:в2, если -1<:1:<2, у
: 4
жж) 4, если 2 < ас 3_
(рис. 20). Для этой функции 2 _
аг = -1 -точка строгого локального макси- Ч-
МУМЁ1; _: о 1 1 1
_ -1 О 1 2 3 11:
а: - 0 -точка строгого локального мини-
мума; РИС. 20
сс = 2 _ точка локального максимума;
а: > 2-точки зкстремума, являющиеся одновременно точками и
локального максимума, и локального минимума, поскольку здесь функ-
ция локально постоянна.
Ё
Пример 2. Пусть 1” = Ѕіп-1% на множестве Е = К 0.
-1
Точки 1: = + 2/чт) , /<: Є 2, являются точками строгого ло-
-1
кального максимума, а точки 11: = (-% + 2Істг) , /с Є 2,-точками
строгого локального минимума для І (см. рис. 12).
Определение 4. Точку 1:0 Є Е зкстремума функции І : Е -› К
будем называть точкой внутреннего зкстремума, если 1130 является пре-
дельной точкой как для множества Е_ = {:с Є Е | Ш < :с0}, так и для
множества Е+ = {:1г Є Е | 11: > а'0}.
В примере 2 все точки зкстремума являются точками внутреннего
зкстремума, а в примере 1 точка :1: = -1 не является точкой внутрен-
него зкстремума.
Лемма 1 (Ферма). Если функиил І: Е -› К дифферениируема в
точке внутреннего зкстремума :1:0 Є Е, то ее производная в этой
точке равна нулю: ['(а:0) = 0.

250 ГЛ. /'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4 По определению дифференцируемости функции в точке то
Ґ(111о + (1) _ Ґ(ї1їо) = 1“($о)71 + а(1їо;71)(1›
где ог(:в0;/2) -›0 при /1-› 0, :с0+/1 Є Е.
Перепишем это соотношение в виде
1°(і1їо + 71) _ Ґ(01о) = [Ґ'(11їо)+ 041110; /1)] (Ъ (1)
Поскольку а:0 _точка зкстремума, то левая часть равенства (1) ли-
бо неотрицательна, либо неположительна одновременно для всех доста-
точно близких к нулю значений Ь, таких, что 1120 + /1 Є Е.
Если бы было 1” (шо) уё 0, то при І1 достаточно близких к нулю вели-
чина ]'(:1:0)+а(ш0; /1,) имела бы тот же знак, что и ]“(:с0), ибо а(:с0; /1) -› 0
при/1-›0, шо-1-НЄЕ.
Что же касается самого значения Іъ, то оно может быть как поло-
жительным, так и отрицательным, коль скоро то _точка внутреннего
зкстремума.
Таким образом, предположив, что 1” (эго) 55 0, мы получаем, что пра-
вая часть (1) меняет знак при изменении знака /1 (если /1 достаточно
близко к нулю), в то время как левая часть (1) не может менять зна-
ка (если /1 достаточно близко к нулю). Это противоречие завершает
доказательство. Р
Замечания к лемме Ферма. 1° Лемма Ферма дает, таким обра-
зом, необходимое условие внутреннего зкстремума дифференцируемой
функции. Для невнутренних зкстремумов (как точка сс = -1 в приме-
ре 1) утверждение о том, что ]'(:с0) = 0, вообще говоря, неверно.
2° Геометрически лемма вполне очевидна, ибо она утверждает, что
в точке зкстремума дифференцируемой функции касательная к ее гра-
фику горизонтальна (ведь 1* (:г0) есть тангенс угла наклона касательной
к оси Ош).
З° Физически лемма означает, что при движении по прямой в мо-
мент начала возврата (экстремум!) скорость равна нулю.
Из доказанной леммы и теоремы о максимуме (минимуме) функции,
непрерывной на отрезке, вытекает следующее

ЁЗ. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 251
Утверждение 1 (теорема Ролля1)). Если функция І: [а,Ь] -› К
непрерывна на отрезке [а,Ь], дифференцируема в интервале ]а,Ь[ и
](а) = ](Ь), то найдется точка Є Є ]а,Ь[ такая, что ]“({) = 0.
4 Поскольку функция 1” непрерывна на отрезке [а,Ь], то найдутся
точки :1ст,а:М Є [а,Ь], в которых она принимает соответственно ми-
нимальное и максимальное из своих значений на этом отрезке. Если
І (шт) = 1” (тм), то функция постоянна на [а, Ь], и поскольку в этом слу-
чае 1” Е 0, то утверждение, очевидно, выполнено. Если же <
< ](а:М), то, поскольку 1” (а) = 1” (Ь), одна из точек шт, :сМ обязана
лежать в интервале ]а, Ь[. Ее мы и обозначим через Е. По лемме Ферма
і'(€) = 0» ›
2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении. Сле-
дующее утверждение является одним из наиболее часто используемых
и важных средств исследования числовых функций.
Теорема 1 (теорема Лагранжа о конечном приращении). Если
функция І : [а,Ь] -› К непрерывна на отрезке [а,Ь] и дифференцируе-
ма в интервале ]а,Ь[, то найдется точка Є Є ]а,Ь[ такая, что
|г<1››- на = г<:›<1› - а›. І <2›
4 Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию
Р<::› = до - -“%@<$ -а>,
которая, очевидно, непрерывна на отрезке [а,Ь], дифференцируема в
интервале ]а, Ь[ и на его концах принимает равные значения: Р(а) =
= 1-7'(Ь) = /(а). Применяя к Р(:с) теорему Ролля, найдем точку Є Є ]а, Ь[,
в которой
Р'<є› = і'<є› - ЩШ = 0. ›
Ь - а
Замечания к теореме Лагранжа. 1° Геометрически теорема
Лагранжа означает (рис. 21), что в некоторой точке (Є, 1”({)), где Є Є
Є ]а, Ь[, касательная к графику функции будет параллельна хорде, со-
единяющей точки (а, ](а)), (Ь, 1” (6)), ибо угловой коэффициент послед-
~ Ь - а
1)М. Ролль (1652 - 1719) _ французский математик.

252 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2° Если сс интерпретировать как время, а І (Ь) - І (а) -как величину
перемещения за время Ь - а частицы, движущейся вдоль прямой, то те-
орема Лагранжа означает, что скорость Ґ частицы в некоторый
у, момент Є Є ]а, Ь[ такова, что если бы
[(Ь) - - - - - - - - - - - - -
-- в течение всего промежутка време-
ни [а, Ь] частица двигалась с постоян-
ной скоростью 1” (5), то она смести-
лась бы на ту же величину 1”(Ь)-Ла).
Величину 1” ' (Є ) естественно считать
средней скоростью движения в про-
да) _ ` ` _ _ межутке [а, Ь].
Ф
9 ..._
л~.-------
<т---------
Н
З° Отметим, однако, что при дви-
жении не по прямой средней скоро-
РИС. 21. сти в смысле замечания 2° может не
быть. Действительно, пусть, напри-
мер, частица движется по окружности единичного радиуса с постоян-
ной угловой скоростью ш = 1. Закон ее движения, как мы знаем, можно
записать в виде
т'(т5) = (сов 13, Ѕіп ±).
Тогда
і'(15)= т1(±) = (- Ѕіп±,соз 15)
и |т›| = /Ѕіп215+соЅ2± = 1.
В моменты 15 = О и 15 = 2тг частица находится в одной и той же точке
плоскости т'(0) = т'(21г) = (1,0), и равенство
11210- 1'(0) = 11(Є)(21Г - 0)
означало бы, что 1:({) = 0, но это невозможно.
Однако мы сознаем, что зависимость между перемещением за не-
который промежуток времени и скоростью движения все же имеется.
Она состоит в том, что даже вся длина Ь пройденного пути не может
превышать максимальной по величине скорости, умноженной на время
в пути. Сказанное можно записать в следующей более точной форме:
|1`(д)- 1'(<1)| < ЅИР |*'(1ї)||д г 01- (3)
іЄ]а,,Ь[

ЁЗ. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 253
Как будет в свое время показано, это естественное неравенство дей-
ствительно всегда справедливо. Его тоже называют теоремой Лагран-
жа о конечном приращении, а формулу (2), справедливую только для
числовых функций, часто называют теоремой Лагранжа о среднем зна-
чении (роль среднего в данном случае играет как величина 1 '({) ско-
рости, так и точка Є, лежащая между а и Ь).
4° Теорема Лагранжа важна тем, что она связывает приращение
функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке.
До сих пор мы не имели такой теоремы о конечном приращении и харак-
теризовали только локальное (бесконечно малое) приращение функции
через производную или дифференциал в фиксированной точке.
Следствия теоремы Лагранжа
Следствие 1 (признак монотонности функции). Если в любой
точке некоторого интервала производная функции неотрицательна
(положительна), то функцил не убывает (возрастает) на этом ин-
тервале.
4 Действительно, если 1:1, 1:2 - две точки нашего интервала и Ш1 <
< 5132, т. е. 1:2 - 3:1 > 0, то по формуле (2)
Ґ(1112) _ Ґ(1111)= Ґ(€)(Ш2 _ 1:1), Где 1101 < Є < Ш2›
и, таким образом, знак разности, стоящей в левой части равенства,
совпадает со знаком 1” (Є). Ь
Разумеется, аналогичное утверждение можно высказать о невозра-
стании (убывании) функции с неположительной (отрицательной) про-
изводной.
Замечание. На основании теоремы об обратной функции и след-
ствия 1, в частности, можно заключить, что если на каком-то проме-
жутке І числовая функция 1” имеет положительную или отрицатель-
ную производную, то функция 1” непрерывна на І , монотонна на І,
имеет обратную функцию ]`1, определенную на промежутке І' = [(1 )
и дифференцируемую на нем.
Следствие 2 (критерий постоянства функции). Непрерывнал на
отрезке [а, Ь] функиил постолнна на нем тогда и только тогда, когда
ее производная равна нулю в любой точке отрезка [а,Ь] (или аготл бы
интервала ]а,

254 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4 Интерес представляет только доказательство того факта, что
если _;“ 5 0 на ]а, Ь[, то для любых :1:1,:1:2 Є [а, Ь] имеет место равенство
1” = І Но это вытекает из теоремы Лагранжа, по которой
1($2) - 1”(Ш1)= 1°'(€)(112 _ 1101) = 0›
ибо Є лежит между 1131 и :в2, т.е. С Є ]а,Ь[ и ['(.{) = 0. Ь
Замечание. Отсюда, очевидно, можно сделать следующий (как
мы увидим, очень важный для интегрального исчисления) вывод: ес-
ли производные двуш функиий І7`1(:с), І7`2(:в) совпадают на
некотором промежутке, т. е. Е Рё(:1:), то на этом промежутке
разность Р1 - Р2(:1:) есть постоянная функция.
Полезным обобщением теоремы Лагранжа, которое тоже основано
на теореме Ролля, является следующее
Утверждение 2 (теорема Коши о конечном приращении). Пусть
а: = а:(±) и у = у(15) - функции, непрерывные на отрезке [ог,В] и диффе-
рениируемые в интервале ]а,В[.
Тогда найдется точка т Є ]ог,В[ такая, что
Ш'(Т)(г/(Б) - 1/(01)) = 1/'(Т)(Ш(д) - ФМ)-
Если к тому же :1:'(±) 79 0 при любом 15 Є ]а,В[, то а:(а) аё :в(В) и
справедливо равенство
11/(В) - 1/(01) ___ ді
* ш ~ (4)
4 ФУНКЦИИ РИ) = Ш(1ї)(:1/(5) - 1/(0)) - 2/(*)(т(5) - 1401)) УДОВЛЄТВОРЯ-
ет условиям теоремы Ролля на отрезке [а, Щ, поэтому найдется точка
т Є ]а, Щ, в которой Р(т) = 0, что равносильно доказь1ваемому равен-
ству. Чтобы получить из него соотношение (4), остается заметить, что
если а:'(±) 75 О на ]о<,Б[, то по той же теореме Ролля :1г(ог) 5% >
»-2
ЧЧ
%/%/
Замечания к теореме Коши. 1° Если пару функций а:(±), у(±)
рассматривать как закон движения частицы, то (:1:'(±),у' есть век-
тор ее скорости в момент 15, а - :в(ог), у(В) - у(а)) есть вектор ее
смещения за промежуток времени [а, ,8], и теорема утверждает, что в
некоторый момент т Є [а, В] эти векторы коллинеарны. Однако этот

ЁЗ. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 255
факт, относящийся к движению в плоскости, является таким же при-
ятным исключением, каким является теорема о средней скорости в слу-
чае движения по прямой. В самом деле, представьте себе частицу, рав-
номерно поднимающуюся по винтовой линии. Ее скорость составляет
постоянный ненулевой угол с вертикалью, в то время как вектор сме-
щения может быть и вертикальным (один виток).
2° Формулу Лагранжа можно получить из формулы Коши, если в
последней положить 11: = а:(т5) = 15, у(±) = 3,/(аз) = ]`(:с), ог = а, В = Ь.
3. Формула Тейлора. Из той части дифференциального исчисле-
ния, которая уже изложена к настоящему моменту, могло возникнуть
верное представление о том, что чем больше производных (включая
производную нулевого порядка) совпадает у двух функций в некоторой
точке, тем лущпе эти функции аппроксимируют друг друга в окрестно-
сти этой точки. Мы в основном интересовались и сейчас будем интере-
соваться приближением функции в окрестности некоторой точки с по-
мощью многочлена Р,,(:1:) = Р,-,,(а:0; 1:) = сд +с1(:с -шо) +. . . +сп(:с - 1120).
Нам известно (см. пример 25 из 52, п. 6), что алгебраический полином
можно представить в виде
1 (71)
Р,,(ш) = Р,,(:1:0) + (т - спо) + . . . + ($ - :1;0),
т.е. сд = Ё%%Ё))- (Іє = 0,1,...,п). В этом легко убедиться непосред-
ственно. '
Таким образом, если нам будет дана функция ]` (:1:), имеющая в точ-
ке то все производные до порядка п включительно, то мы можем не-
медленно выписать полином
І
Р,,<«›0;а:› = Рп<ш› = то) + %<ш -1:0) + . . » + і;,@<<›:-«=0›, <г››
производные которого до порядка п включительно в точке то совпада-
ют с производными соответствующего порядка функции 1” в
точке 1:0.
Определение 5. Алгебраический полином, заданный соотноше-
нием (5), называется по./шномом Тей./ьора1) порядка п функции 1 в
точке 1:0.
ЦБ. Тейлор (1685 - 1731) _ английский математик.

256 ГЛ. /'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Нас будет интересовать величина
_ Рп(5170Ё$)= 7`п($0; 37) (6)
уклонения полинома Р,,(:1:) от функции 1°(э:), называемая часто остат-
ком, точнее, п-м остатком или п-м остаточным членом формулы Тей-
лора:
і<:»›=і<л› + Ч:-@<=1: - вы + . . . + ї%”ї”і<ш - Ща + а<<›:0;$›. <7›
Само по себе равенство (7), конечно, не представляет интереса, если
о функции *гп(а:0; 1:) не известно ничего, кроме ее определения
Сейчас мы воспользуемся довольно искусственным приемом для по-
лучения информации об остаточном члене. Более естественный путь к
этому даст интегральное исчисление.
Теорема 2. Если на отрезке с концами 5130, 11: функция 1” непрерыв-
на вместе с первыми п своими производными, а во внутренниа: точкаа:
этого отрезка она имеет производную порядка п + 1, то при любой
функции <р, непрерывной на этом отрезке и имеющей отличную от ну-
ля производную в его внутренниа: точкааз, найдется точка Є, лежащая
между 1:0 и 1:, такая, что
“(”°“'”) = ф(а2'й>ЁЅ$°)і<+1><<›<ш - оп. <8›
4 На отрезке І с концами 1:0, сс рассмотрим вспомогательную функ-
цию
Р (1) = 1”(Ш) - Рп(#; Ш) (9)
от аргумента 15. Запишем определение Р (15) подробнее:
1~7`(±) = ]°(а:) - [І(±)+ -15) +...+ (:1:-±)]. (10)
Из определения функции Р(±) и условий теоремы видно, что Р не-
прерывна на отрезке І и дифференцируема в его внутренних точках,

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 257
причем
Р'<±› = ~[1'<±>- + - ±› - ї%@<:›: - ±› +
0
О
+ _ ±›2 _ ...+ --((:;)(*) (Ш _ М) = --_((пї)(±) (Ш _ ±›±
Применяя к паре функций Р(±), <р(±) на отрезке І теорему Коши
(см. соотношение (4)), находим точку Є между то и 1:, в которой
- Р Ш Р'<<>
Р
Н
<Р
Н
()()
)()
О =_2_
-90-то (Ё).
Подставляя сюда выражение для 17
формул (6), (9) и (10), что - Р(
35 Ё
Ы
ЗЗМЄЧЭЯ ИЗ СОПОСТЗВЛЄНИЯ
: 0 _ Р($0) = 7`п($0Ё$)›
получаем формулу >
Полагая в (8) <р(г5) = гс - і, получаем
Следствие 1 (формула Коши остаточного члена).
1*п(Шо;<11)=%1(+1)(€)(1>-€)(=1г-Шо)-Н (11)
Особенно изящная формула получается, если положить в соотноше-
нии (8) <,0(15) = (ап - ±)+1:
Следствие 2 (формула Лагранжа остаточного члена).
шо; «:› = дйїі<“+1><<›<ш - шо “+1
Отметим, что формулу (7) Тейлора при 1:0 = 0 часто называют
форму./мой Мак./ьоренаі).
Рассмотрим примеры.
Пример 3. Для функции 1” = ет при 1:0 = О формула Тейлора
имеет вид
1 1 1
е$=1+г:1:+Ы:с2+...+Б:1:'+'гп(0;а:), (13)
ПК. Маклорен (1698 - 1746) - английский математик.

258 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и на основании равенства (12) можно считать, что
1
т,,,(0; 113) = і-её - :1:+1,
(п+ 1)!
где ІЄ І < ІШІ-
Таким образом,
|,. (0.$)| _ __1_Є€ . |Ш|п+1 < ШЄІФІ (14)
П 1 _(п+1)! (п+1)! °
п+1
НО ПРИ ЛЮбОМ фИКСИрОВ8.ННОМ Ш Є К, ЄСЛИ 'ГЬ _) ОО, ВЄЛИЧИН8. ,
как нам известно (см. пример 12 из гл. ІІІ, Ё 1, п. ЗЬ), стремится к нулю.
Значит, из оценки (14) и определения суммы ряда вытекает, что для
41: Є К
е”-1+іэ:+і:с2+ +3-:1:+ (15)
1- 0 0 а о о о
Пример 4. Аналогично получаем разложение функции аї” для лю-
богоа, 0<а, а7ё1:
Ш Іп 0, 1112 а 2 111” а
а, =1+Та:+-їа; +...+їГа:+...
Пример 5. Пусть 1” = Ѕіпш. Нам известно (см. пример 18 из
Ё2, п. 6), что /'(“)(:с) = Ѕіп (гс + Ёп), п Є Ы, поэтому из формулы (12)
Лагранжа при ато = 0 и любом а: Є ТК находим
що; 1:) = $111 (5 + %(п +1))$+1, (16)
откуда следует, что для любого фиксированного значения 11: Є ІК вели-
чина т',,(0;:1:) стремится к нулю при п -› оо. Таким образом, при любом
гс Є К справедливо разложение
_1 П
- 1 3 1 5 ( ) 2п+1
= -- - -... ---- 17
Ѕшш из Шаг + Ыа: + (2п+1)!а: + ( )
Пример 6. Аналогично, для функции 1” = сова: получаем
т'п(0;:1:) = сов (Є + + 1)):1:+1 (18)

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 259
И 1 1 (-1)”
СОЅІБ=1-їШ2+Ж$4-...+ $2п+...
Пример 7. Поскольку ЅІп' а: = с1па:, с11' 11: = ЅЬШ, для функции І =
= ЅЬ:1: при то = О из формулы (12) получаем
1-п<0;:›:› = дй«›<:›ш+1,
где <р({) = ЅЬЄ, если п четно, и 90({) = с11{, если п нечетно. В любом
случае |<р({)| < п1ах{|ЅЬа:|,|сЬ:с|} = сІ1:1:, ибо |{| < Значит, для
любого фиксированного значения гс Є К выполняется 11,,,(0; сс) -› О при
п -› оо, и мы получаем разложение
___ 13 15 1 2+1
справедливое для любого 11: Є К.
Пример 8. Аналогично получаем разложение
1 1 1
справедливое для любого значения 11: Є К.
Пример 9. Для функции ]`(а:) = 1п(1+ гс) имеем 1“()(:1:) =
п-1
= (411 +(;Т: 1)!, поэтому формула Тейлора (7) при 2:0 = О для этой
17
функции имеет вид
1 2 1 3 (-1)п_1 п
1п(1+а:)=:є-5:1: +5аг -...+-Т-11: +т'п(0;а:). (22)
На сей раз представим т°.,,(0; ат) по формуле Коши (11):
“”<“; Ш) = її! <Ё11Ёї:і1 (Ш _ 0%”
ИЛИ
п
_€ ад
- = -1 5” 23
где точка Є лежит между О и ап.

260 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если < 1, то из условия, что Є лежит между 0 и гс, следует, что
Ш-:_ш-1:1 вы-|:|_ _1-ш _1_ш_
Пї)“11+г1<1-1:1” 1-1:51 1-ю1“'“ (24)
Таким образом, при < 1
|т(0ад(<'$т+1 (зы
'П 7 1 _ ІШІЭ
и, следовательно, при < 1 справедливо разложение
1 1 -1-1
1п(1+:с)=:п--а:2+-ссз-...+Ьда:+... (26)
2 3 п
Заметим, что вне отрезка < 1 ряд, стоящий справа в (26), всюду
расходится, так как его общий член не стремится к нулю, если > 1.
Пример 10. Если [(:1:) = (1+:1с)“, где а Є К, то ]”() = а(а-1)×
× × (а - п + 1)(1 + а:)°”`”, поэтому формула Тейлора (7) при изо = 0
для этой функции имеет вид
п+щ“=1+%ш+
+ ш2+...+ Ща- 1)Н7:&)а_п+ 1):с'+1т,,(0;:с). (27)
Используя формулу Коши ( 11), находим
мо; ш) = “Ю _ 1) ду Ю ) (1 + :›°*-1<Ш - ет, <28›
где Є лежит между О и аз.
Если < 1, то, используя оценку (24), имеем
|тдщ1д|<|а(1-ЬЁ).Н(1-_%)|о-(ат-Ч$т+д (жд
При увеличении п на единицу правая часть неравенства (29) умножает-
ся на '(1 - Но поскольку < 1, то при достаточно больших
значениях п, независимо от значения сх, будем иметь 1 - Ё 1:) <
<(1<1,если|а:|<Ч<1.

53. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 261
Отсюда следует, что при любом а Є К и любом 11: из интервала < 1
выполнено 1^,,(0;а:) -› 0, когда п -› оо; поэтому на интервале < 1
справедливо полученное Ньютоном разложение (бином Ньютона)
-1 =1... - 1
(1+$)°==1+%Ш+Ёї.1;,;2+...+а(а ) п)а п+ )ш+... (30)
Заметим, что, как следует из признака Даламбера (см. гл. ІП, 53,1,
п. 4Ь), при > 1 ряд (30) вообще расходится, если только а Є Щ.
Рассмотрим теперь особо случай, когда а = п Є ІЧ.
В этом случае функция І = (1 + 12)” = (1 + а:) является поли-
номом степени п, и поэтому все ее производные порядка выше чем п
равны нулю. Таким образом, формула Тейлора (7) и, например, форму-
ла Лагранжа (12) позволяют записать следующее равенство:
-1 -1
(1+а:)=1+%а:+їіїЬ-їіш2+...+п(п ТЗ, :в, (31)
представляющее собой известную из школы формулу бинома Ньютона
для натурального показателя:
(1+а:)'=1+С,Ъш+С,Ёш2+...+С,ЁЁш.
Итак, мы определили формулу Тейлора (7) и получили вид (8), (11),
(12) остаточного члена формулы Тейлора. Мы получили соотношения
(14), (16), (18), (25), (29), позволяющие оценивать погрешность вычи-
сления важных элементарных функций по формуле Тейлора. Наконец,
мы получили разложения этих функций в степенные ряды.
Определение 6. Если функция 1” имеет в точке то производ-
ные любого порядка п Є Ы, то ряд
Ґ(11їо)+%/“(ї11о)(1ї _ то) + - - - + ;Ь1їҐ()($о)(Ш _ 1120)” + ---
называется рядом Тейлора функции 1” в точке шо.
Не следует думать, что ряд Тейлора каждой бесконечно дифферен-
цируемой функции сходится в некоторой окрестности точки 5130, ибо
для любой последовательности сд, с1, . . . ,с,,, . . . чисел можно построить
(это не совсем просто) функцию І такую, что 1” ()(а:0) = сп, п Є Щ.

262 ГЛ. /'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Не следует также думать, что если ряд Тейлора сходится, то он обя-
зательно сходится к породившей его функции. Сходимость ряда Тейло-
ра к породившей его функции имеет место только для так называемых
ана./штическиа: функций.
Вот пример Коши неаналитической функции:
_ 2
є 1/“”, если а:7Є0,
0, если 1:=0.
ПШ) =
Исходя из определения производной и того, что :в'“е'1/“2 -+ 0 при
1: -› 0 независимо от значения із: (см. пример 30 из Ё2 гл. ІІІ), можно
проверить, что ]`()(0) = О для п = 0,1,2,... Таким образом, ряд Тей-
лора в данном случае состоит только из нулевых членов и его сумма
тождественно равна нулю, в то время как І 75 О при 1: аё 0.
В заключение остановимся на локальном варианте формулы Тей-
лора.
Вернемся снова к задаче о локальном приближении функции 1” : Е -›
-› К полиномом, которую мы начали обсуждать в {$,1, п. 3. Мы хотим
подобрать полином Р,,,(10; 1:) = со + с1(1с - 1:0) + + с,,(:1: - 10)” так,
чтобы иметь
1°(Ш)= Рп(112о;1=)+ 0((Ш - 11го)) ПРИ Ш -› Шо, Ш Є Е,
или, подробнее,
/(12) = со + с1(а: - 1:0) + . .. + с.,~,,(1: - 1:0) + о((1: - а:0))
при 1: -› 1:0, 1: Є Е. (32)
Сформулируем в явном виде по существу уже доказанное
Утверждение 3. Если удов./ьетворлющий условию (32) по./шном
Рп(1:0; 1:) = сд + с1 (1: - 1:0) + . . . + с.,,(а: - :1:д)'' существует, то он един-
ственный.
4 Действительно, из условия (32) последовательно и вполне одно-
значно (в силу единственности предела) находятся коэффициенты по-
линома

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 263
СО =
61 = пт Ш,
ЕЭа:-›а:0 117-ІІІ0
_ _ ](а:) - [со + . . . + сп_1(а3 - а:0)''1]
сп _ 11п1 . >
Еда;-то (сс - :1:0)“
Докажем теперь следующее
Утверждение 4 (локальная формула Тейлора). Пусть Е _ отре-
зок с концом 1120 Є К. Если функция І: Е -› ІК имеет в точке то все
производные 1“(а:0),. . . ,]'()(а:0) до порядка п включительно, то спра-
ведливо следующее представление:
[(а:) = ](:1:0) + -1120) +... + (ш-ш0) +
+ о((а: - :1:0)”) при сс -› (сд, :1: Є Е. (33)
Таким образом, задачу локального приближения дифференцируе-
мой функции решает полином Тейлора соответствующего порядка.
Поскольку полином Тейлора Рп(а:0; аз) строится из условия совпа-
дения всех его производных до порядка п включительно с производ-
ными соответствующего порядка функции ]` в точке шо, то 1 ('°)(:с0) -
- Р,Ѕ,°)(:с0;:с0) = 0 (І: = 0,1,...,п) и справедливость формулы
устанавливает следующая
Лемма 2. Если функция, ср: Е -› К, определенная на отрезке Е
с концом 1:0, такова, что она имеет в точке 1:0 все производные до
порядка п включительно и <р(а:0) = 90'(а:0) = = <р(”)(:с0) = 0, то
9о(а:) = о((:с - :1:0)) при 11: -› 1130, Ш Є Е.
4 При п = 1 утверждение вытекает из определения дифференциру-
емости функции ср в точке шо, в силу которого
<Р(Ш) = </>(Шо) + <Р'($о)(Ш - Шо) + 0(111 - Шо) ПРИ Ш -› Шо, 11 Є Е,
и, поскольку <р(:1:0) = <р'(:1:0) = 0, имеем
9о(:1:) = о(а: - тд) при из -› изд, ап Є Е.

264 ГЛ. /'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Предположим, что утверждение доказано для порядков п = Іс -
2 1, Покажем, что тогда оно справедливо также для порядка п =
РГ
/ ›-›
Ё9/
Заметим предварительно, что поскольку
(Іє-1) _ (І:-1)
/
<р(/«)(,,,0) = (фиє-1)) (370) = Еёітжсо <Р (ті _ їо (шо),
то существование <р('“)(;с0) предполагает, что функция <р('“1>(:1:) опре-
делена на Е хотя бы вблизи точки тд. Уменьшая, если нужно, отре-
зок Е, можно заранее считать, что функции <р(:1:),<,о'(а:), . .. ,9о('“_1)(а:),
где Іє: 2 2, определены на всем отрезке Е с концом 1:0. Поскольку /с 2 2,
то функция <р(:в) имеет на Е производную <р' и по условию
(<Р')'($0) = = (<Р')(К_1)(<110) = 0-
Таким образом, по предположению индукции
<р'(а:) = о - :1:0),“_1) при :в -› 4130, а: Є Е.
Тогда, используя теорему Лагранжа, получаем
<р(Ш) = ет) - <р(Шо) = є0'(€)(<1г - Шо) = @(6)(€ - :1=о)'“'1(:г - шо),
где С_точка, лежащая между тд и 1:, т. е. |{ - :1:0| < |:с - :1:0|, а ог({) -› 0
при 5 -› Е, Є Є Е. Значит, при 1: -› азо, зи Є Е одновременно будем
иметь Є -› Е, Ё Є Е и ог({) -› 0, и поскольку
І</›(Ш)І < І<1(Е)ІІ$ - $оІ'“_1ІШ - тоі,
то проверено, что
<р(а:) = о - а:0)К) при ас -› 500, 11: Є Е.
Таким образом, утверждение леммы 2 проверено принципом мате-
матической индукции. Ь
Соотношение (33) называется локальной формулой Тєйлора, по-
скольку указанный в нем вид остаточного члена (так называемая форма
Пєано)
1^п(то; Ш) = 0((т - :1:о)) (34)

15,3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 265
позволяет делать заключения только об асимптотическом характере
связи полинома Тейлора и функции при 11: -› 1:0, 1: Є Е.
Формула (33) удобна, таким образом, при вычислении пределов и
описании асимптотики функции при сс -› 1:0, гс Є Е, но она не может
служить для приближенного вычисления значений функции до тех пор,
пока нет фактической оценки величины тп (1:0; :1:) = о((а: - а:0)).
Подведем итоги. Мы определили полином Тейлора
а<а:0;э:› = х<л› + Ёв - Шо) +...+ -1їЁ,@<=›: ~ М,
написали формулу Тейлора
Ґ :1: [() Ш
ДЗЗ) = Ґ(Шо) + %1ї _ Шо) + - ~ - + __-,%і(Ш _ 1їо)п + 1`п(11їо;$)
и получили следующие ее важнейшие конкретизации:
Если І имеет производную порлдна н + 1 в интервале с нониами
Шо, 1:, ТП/О
ї(11ї)=1°(Шо)+%%@($-$о)+---+ (т-$о)+
+ (Ш - гго)+1› (35)
еде С -тонна, лежащая, между то и ш.
Если 1” имеет в тонне то все производные до порлдна п 2 1 внлюни-
тельно, то
/<=›:› = г<л›+%<ш-ш0›+. . .+%-*Ш<$~л›+<›<<ш-л››. во
Соотношение (35), называемое формулой Тейлора с остатонным
нленом в форме Лагранжа, очевидно, является обобщением теоремы
Лагранжа, в которую оно превращается при н = 0.
Соотношение (36), называемое формулой Тейлора с остатонным
нленом в форме Пеано, очевидно, является обобщением определения
дифференцируемости функции в точке, в которое оно переходит при
п = 1.

266 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Заметим, что формула (35) практически всегда более содержатель-
на, ибо, с одной стороны, как мы видели, она позволяет оценивать абсо-
лютную величину остаточного члена, а с другой, например, при огра-
ниченности [(+1) в окрестности 1130 из нее вытекает также асимпто-
тическая формула
І п) Ш
до = і<«:0› + і%Щ$ - же + . . . + ї$ї<=›: - шт +
. . + О - а:0)'+1). (37)
Так что для бесконечно дифференцируемых функций, с которыми в
подавляющем большинстве случаев имеет дело классический анализ,
формула (35) содержит в себе локальную формулу (36).
В частности, на основании формулы (37) и разобранных выше при-
меров 3 - 10 можно теперь выписать следующую таблицу асимптотиче-
ских формул при а: -› 0:
1 12 1 +1
е$=ъ+гш+їш+=“+;д”+О@”),
сова: =1- іагг + і$4 - + --Ьа:2 + О (:с2+2)
2! щ '“ шт! *
зіпш = щ - іазз + і:1:5 - + _-мп :с2'+1+ О (:1:2+3)
зг 5! ' @п+1м *
_ 12 14 1 2 2+2
сІ1а:_1+ї:с +Ш:1: +...+-Ґ)!:с+О(а:'' ),
_ 1315 1 2-1-1 2+3
шш_ш+5д-+Ыш+~Н+@п+цд +шЦш),
1 2 1 з (-1)п_1 п, п+1
1п(1+:1:)=а:-5:1: +5$ -...+-ть--аг +О(:в ),
-1 -1Н. _ +1
(1+т°=1+%ш+5ЁЁ-Ё?+Н»+Ща ) Аа п )ЫЧ-
. . . + О (Шин).
Рассмотрим теперь еще некоторые примеры использования форму-
лы Тейлора.
Пример 11. Напишем полином, позволяющий вычислять значе-
ния функции зіпа: на отрезке -1 < из < 1 с абсолютной погрешностью,
не превышающей 10_3.

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 267
В качестве такого многочлена можно взять тейлоровский многочлен
подходящей степени, получаемый разложением функции Ѕіпш в окрест-
ности точки шо = 0. Поскольку
'П
~ _ _ 1 з 1 5 (-1) 2п+1 2п+2
Ѕша:-11: +Ы:в -...+т$ +0-а: +т2,,+2(0;:1:),
где по формуле Лагранжа
- тг
Т (0. 3:) _ Ѕ1п + 5(2п + 3)) Ш2п+З
2'І'Ъ+2 7 _ + 7
то при < 1
1
|Т'2п+2 (03 <
Но байт < 10_3 при п 2 2. Таким образом, с нужной точностью на
отрезке < 1 имеем зіпа: Ю а: - З%а:3 + %а:5.
Пример 12. Покажем, что $311: = :1:+%Ш3+о(а:3) при а: -› 0. Имеем
1;5'а: = соЅ2 аз,
сд 11: = 2 соЅ'3 11: Ѕіпаг,
1:5” а: = 6 соЅ_4 а: зіп2 а: + 2 соз2 аз.
Таким образом, #50 = 0, 1:3' 0 = 1, 1:3” 0 = 0, 1:3” О = 2 и написанное
соотношение следует из локальной формулы Тейлора.
ОО
Пример 13. Пусть а > О. Исследуем сходимость ряда 2 Іп сов
п=1 П
При а > О Ё; -+ 0, когда п -› оо. Оценим порядок члена ряда
'П
Іпсозі-1111 1 1 +0 1 - 1 1+о 1
па _ 2! п2а п2а _ 2 п2а п2о± `
Таким образом, мы имеем знакопостоянный ряд, члены которого
ї
_1 .,
зквивалентны членам ряда 21 Поскольку последнии ряд сходится
пї
только при а > Ё, то в указанной области а > 0 исходный ряд сходится
1
лишь при а > - см. задачу 1бЬ .
2

268 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 14. Покажем, что Іп сова: = -%:в2 - ЁШ4 - Ё-5126 + О (1138)
при єс -+ 0.
На сей раз, вместо того чтобы вычислять подряд шесть производ-
ных, мы воспользуемся уже известными разложениями сов 11: при а: -› 0
и Іп(1 + и) при и -› 0:
1 1 1
Іпсозаг =1п(1 - ЙШ2 + ЩШ4 - аагб + О(:1:8)) = Іп(1 + и) =
_ 1213 4_ 12 14 16 8
-и 2и+3и +О(и)-(2'аз+4'а: 6':1г +О(:1:)
0 0 а
0 0 0 0
_Ё14_._Д6 8 Ё_1__6 8-
2((2')2а: 2 2'4':1г +О(а:))+3( (2')3а: +О(:1г) _
1 1 1
= -5122 - Еа:4 - Ёагб + О(а:8).
Пример 15. Найдем значения первых шести производных функ-
ции Іпсозаг при 11: = 0. _
Имеем (1псоЅ)'а: = -%, и потому ясно, что в нуле данная функция
имеет производные любого порядка, ибо соЅ0 95 0. Мы не станем ис-
кать функциональные выражения зтих производных, а воспользуемся
единственностью полинома Тейлора и результатом предыдущего при-
мера.
Если
[(512) = со +с1:с+...+с,,,а:'+0(аз) при 11: -›0,
то (К)
сд = і%(12 и [(Ё)(0) = /сїсд.
Таким образом, в нашем случае получаем
1
(1псоЅ)(0) = 0, (Іп соЅ)'(0) = 0, (1псоз)(0) = -5 - 2!,
(111 <;0Ѕ)<3> (0) = 0, (1п<;<›Ѕ)<4> (0) = --Ё . 41,
(111 <:<›Ѕ)<5>(0) = 0, (111 <;<›Ѕ)<6> (0) = -Ё -61.

Ё3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 269
Пример 16. Пусть І -бесконечно дифференцируемая в точке
2:0 = 0 функция, и пусть известно разложение
1“(а:)= съ +с&а: +...+с;,,а: + О (:1:+1)
ее производной в окрестности нуля. Тогда из единственности тейлоров-
ского разложения имеем
<і'›<'“><0› = /«І 4,,
поэтому І ('“+1)(О) = Іє! съ. Таким образом, для самой функции 1” име-
ем разложение
съ 1!са 2 п!с' 1 2
[(:в)=]`(0)+-Па:-і-Ё-:1: +...+Ё:іЬї;;;п+ +О(1;п+),
или, после упрощений,
1”($) = і(0) + ёш + Ёп? + . .. + -%а:+1+ 0 (<11+2)-
п
Пример 17. Найдем тейлоровское разложение функции І =
= агс1:3а: в нуле.
Поскольку го) = іт = (1 + 12)-1 = 1 _$2+ш4 _ _ . , +<-1>п$2п+
ІІ?
+ О (а:2+2), то по соображениям, изложенным в предыдущем примере,
_ 'П
[(112) = [(0) + %а: - ёатз +%:1:5 - + %ш2”+1 + О (а:2+3),
Т.Є.
_ п
1 з 1 5 ( 1) 2п+1 2 з
Ё = -- - -... _; О + .
агс 51: а: 3:1: 4-5:1: +2п+1ш + (аз )
Пример 18. Аналогично, раскладывая по формуле Тейлора функ-
цию агсзіп' :1: = (1 - ас2)1/2 в окрестности нуля, последовательно нахо-
дим
_1
(1+и)_1/2 =1+ Т%и+
_±(-±_1) ° _±(_±-1)...(_±-пн)
+ 2 22 и2+...+ 2 2 П, 2 т+о</т/+1),

270 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
_1/2 1 1~3 1-3-...~(2п-1)
(1-Ш2) =1+ёа:2+-2,_2!ш4+...+ 2п_п! а:2+
агсзіпш = ат + -іагз + і-Ё-1:5 + + (2п
+_С)(Ш2п+2),
_ $2п+1 +
2-3 22~2!-5 (2п)!!(2п+1)
или, после элементарных преобразований,
1 з [3]2 5 [(2”1)!!]2 2п,+1 2п+з
агсзіпа:=:1:+ўа: +-Ё%ас +...+і-га: +О(:1:
(2п + 1)!
+_С)($2п+3),
Здесь (211,-1)!!:=1-3-...-(2п-1), (2п)!!:=2-4-...-(211).
Пример 19. Воспользуемся результатами примеров 5, 12, 17, 18
и найдем
_- т--
Фэн*
Н
ФЗ
+
Ф
:в5 - из - ішз + О(а:5)
_ агсіз а: Ѕша: _
Іпп 8 _ = 11п1
а:-›0 $511: - агсзша: а;-›0
Задачи и упражнения
оды
[ < Ч [ з~ 1
[:п + -$123 + О(:1:5)] - [Ш + ЗЁШЗ + О(:с5)]
0
-Ёшз + О(:с5)
=ІіІп 163 5 =-1.
Ш-*0 да: +О(:1:)
1+а,а:2
1. Подберите числа а и Ь так, чтобы функция І = сова: - тд при
Ш
2. Найдите Ііп1 1: 1 - -3-
:в -› О была бесконечно малой возможно более высокого порядка.
127
[Є (сс + 1) ]
2І3_›ЩЭ
3. Напишите полином Теилора функции ет в нуле, которыи позволял бы
вычислять значения ет на отрезке -1 Ѕ 11: < 2 с точностью до 10_3.
4. Пусть І -бесконечно дифференцируемая в нуле функция. Покажите,
ЧТО Ф
а) если І четная, то ее ряд Тейлора в нуле содержит только четные сте-
пени из;
Ь) если І нечетная, то ее ряд Тейлора в нуле содержит только нечетные
СТЄПЄНИ СЕ.
5. Покажите, что если І Є С(°°)[-1,1], 14)
и существует число С такое, что Ѕир |]°(”)
на [-1,1].
-1<$<1
_”5
// Ч
з
О для п = 0,1,2,...
!С,пЄІї,то_іЕ0

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 271
6. пусть і є С<>(]-1,1[) И Ѕцр |і(т)| < 1. пусть т,,(1) = і11і|і<'°>(а;)|,
-1<а;<1 ФЄ1
где І -промежуток, содержащийся в интервале ]-1, 1[. Покажите, что
а) если І разбит на три последовательных промежутка І1, І2, І3 и ,Ц-
длина І2, то
1
ть(І) < ;(ть-1(І1)+ть_1(Із));
Ь) если І имеет длину ×, то
2Ь(Ь+1)/2Ьд
т/Іс(І) Ё ТЗ
с) существует такое число ап, зависящее только от п, что если | _/ (0)| 2 ап,
то уравнение _Ґ()(:1:) = 0 имеет в ]-1,1[ по крайней мере п - 1 различных
корней.
Указание. В Ь) используйте а) и принцип индукции; в с) используйте
а) и по индукции докажите, что существует такая последовательность тд, <
< изд, < < тд точек интервала ]-1,1[, что ]('°)(:щ,,) - ]('°)(:1:;,,+,) < О при
1 < і < /1: - 1.
7. Покажите, что если функция І определена и дифференцируема на ин-
тервале І и [а, Ь] С І, то
а) функция Ґ (даже не будучи непрерывной!) принимает на [а,Ь] все
значения между І'(а,) и _1“(Ь) (теорема Дарбуц);
Ь) если еще ]”(а:) существует в ]а,Ь[, то найдется точка Ё Є ]а,Ь[ такая,
ЧТО і'(1>) - 1°'(0) = 1'(€)(д _ 0)-
8. Функция І может быть дифференцируемой на всей числовой прямой,
но при этом Ґ может не быть непрерывной (см. пример 7 из Ё 1, п. 5).
а) Покажите, что функция Ґ может иметь разрывы только второго
рода.
Ь) Укажите ошибку в следующем «доказательстве» непрерывности Ґ
4 Пусть тд _ произвольная точка на К и _;“(:1:0) _ производная функции І
в точке 3:0. По определению производной и теореме Лагранжа
то) = пт _--Ю) “°(“°> = пт же = пт гс),
З:-ЖВ0 (І) _ (120 (13-НВО Є-›;1;0
где Є -точка между тд и 1:, стремящаяся, таким образом, к шо при 1: -› шо. >
9. Пусть І _ дважды дифференцируемая функция на промежутке І. Пусть
МО = з11р|](а:)|, М1 = Ѕ11р|]'(:с)|, М2 = Ѕ11р|]“'(ш)|. Покажите, что
шЄІ шЄІ шЄІ
1)Г.Дарбу (1842 - 1917) _ французский математик.

272 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
а) если І = [-а,а], то
МО 1132 + 0,2
І о
ІІ Ѕ а + 2а М2э
Ь) М1 < 2/МОМ2, если длина І не меньше 2/МО/М2,
М1 < / 2М0М2, ЄСЛИ І = К;
с) в задаче Ь) числа 2 и /2 не могут быть заменены меньшими;
(1) если І дифференцируема р раз в ІК и если величины М0 и Мр =
= Ѕ11р|[(р) конечны, то при 1 < /с < р конечны также величины МК =
ШЄІК
= $111» Іі<'°)(<11)І И
:1:Є1І2
МК < 2К(р-К)/2МЗ-Ё/РМЁ/р_
Указание. Используйте задачи 6Ь), 9Ь) и принцип индукции.
10. Покажите, что если функция І имеет в точке шо все производные до
порядка п + 1 включительно и [(+1)(:1з0) 7Є 0, то в остаточном члене формулы
Тейлора, записанном в форме Лагранжа
1
Т`п($о$ї'1) = ді()($о + '9(Ш _ 11>0))(11ї _ 1110),
где 0 < 0 < 1, величина 19 = 6?(:1:) стремится к 5%-і при 1: -› 1:0.
11. Пусть 1* -функция, п раз дифференцируемая на промежутке І. Пока-
жите, что
а) Если І в (п + 1) точках промежутка І обращается в нуль, то найдется
точка С Є І такая, что ](”)({) = 0.
Ь) Если 0:1, :1г:2, . . . , 112,, - точки промежутка І, то существует и притом един-
ственный многочлен Ь(а:) (интерполлционный по./шном Лагранжа) степени не
выше (п - 1) такой, что = І/(іщ), і = 1,.. . ,п. Кроме того, для сс Є І най-
дется точка Є Є І такая, что
же - мы = “З _ ”1)°,,,'(” ` Ы і<><є>.
с) Если 1:1 < 1:2 < < $р~т0чки промежутка І, пі (1 < і <
натуральные числа такие, что 111 + 112 + . . . +пр = п и [(/°)(:1:і) = 0 при 0 <
'В
гд-/
<
< пі - 1, то в промежутке [ш1,:в,,] найдется точка Є, в которои ](_1›({) = О.
(1) Существует и притом единственный многочлен Н (интерпол.›ш,ион-
ный по./»ином Эрмитац) степени п - 1 такой, что ІЩ = Н ('°)(:1:,) при
1)Ш.Эрмит (1822 - 1901) -французский математик, занимавшийся вопросами
8.1-ІЭ.ЛИЗ8.; В ЧЗСТНОСТИ, ДОКЭЗЭЛ 'ГРЗНСЦЄНДЄНТНОСТЬ ЧИСЛ8. Є.

53. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 273
О < Іс < п, - 1. Кроме того, внутри наименьшего промежутка, содержащего
точки а: и 1:1, і = 1,. . _ , р, найдется точка Е такая, что
1:-:в11 ап-:1:,,,Р
і<1›>=Н<ш>+( 7 1,7 7 г<><є›.
Эта формула называется ннтерполяцнонной формулой Эрмита. Точки а:,;,
і = 1, . . _ , р, называются узлами ннтерполяцнн кратности щ соответственно.
Частными случаями формулы Эрмита являются интерполяционная формула
Лагранжа (задача Ь)) при р = п и пі = 1 = 1,...,п), а также формула
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получающаяся при р = 1,
т. е. при интерполировании с одним узлом кратности п.
12. Покажите, что
а) между двумя вещественными корнями полинома Р с вещественными
коэффициентами имеется корень его производной Р'
Ь) если полином Р имеет кратный корень, то полином Р' имеет тот
же корень, но на единицу меньшей кратности;
с) если С2(:1:) -наибольший общий делитель полиномов Р(:1:) и Р' (112), где
Р' _ производная полинома Р (аз), то полином ШЁ имеет в качестве корней
С2(=1>)
корни полинома Р(:с), причем все они кратности 1.
13. Покажите, что
а) любой полином Р(:1:) допускает представление в следующем виде: со +
+ с1(ш - тд) + . _ _ + сп(а: - :1:0);
Ь) существует единственный полином степени п, для которого _;'(:1:)-Р(:1:) =
= о((:с - :1:0)) при Е Э из -› шо. Здесь І -функция, определенная на множест-
ве Е, а 1:0 --предельная точка Е.
14. С помощью индукции по Іє, 1 < 7:, определим конечные разности по-
рядка 7: функции І в точке шо:
А1і(Шо;711)== Аі(Ш0г711) = Кто + 711) - 7010),
А2]°($о;711›712) ї= АА)°($о;711›712) =
=(Ґ($0 + 711 + 712) _ 70110 + 712)) _ (Кто + 711) _ 1°($о)) =
=Ґ($0 + 711 + 712) - 1'(Ш0 + 711) - і($0 + 712) + 1'(Ш0)›
А'°;(;1;0;л1,...,п,,) ;= М-19,,(ш0;ь1,...,ь,,_1),
где 9/101) = А1і(Ш; Щ) = і(Ш + /1/1) - і(111)-
а) Пусть І Є С(17[а, Ь] и существует і() (аг) по крайней мере в интервале
]а, Ь[. Если все точки 1120, 170 + 711, 1130 + 712, 1130 + 711 + 712,:1:0 + 711 + . . . + 71,, лежат
в [а,І›], то внутри наименьшего отрезка, их содержащего, найдется точка Є
такая,что
ші($0;ь1,...,ь,,) = 1=<*1>(5) ь1...ь,,.

274 гл. /. ди<1><1>вРвнЦиАльнов иочислвнив
Ь) (Продолжение.) Если существует 1°()(а:0), то имеет место оценка
Ап]с(1ІІ0;}І.1,. . . ,}?,п) _ (1130) 17,1 . . . ,Ъд <
< Ѕир |_і()(:в) - 1'(”)(а:0)| - |/11| . . .
а:Є]а,Ь[
с) (Продолжение.) Положим А](:в0;І1,...,/1) =: А](:1:0;іъ). Покажите,
что если существует _1'(')(ш0), то
Щи -ни
(11) ї І- 07
І (Шо) ІЪІЕЧ) пп '
(1) Покажите на примере, что предыдущий предел может существовать
даже тогда, когда _і() в точке 1:0 не существует.
Ук аз а н и е. Рассмотрите, например, А21'(0; /12) для функции
шззіпё, ап 5% 0,
0, :с=0,
і(=г) =
и покажите, что
АМО- 112)
Ііш --#- = 0.
Іъ-+0 /7,2
15. а) Применив теорему Лагранжа к функции -115, где а > 0, покажите,
а:
что при п Є М и а > 0 имеет место неравенство
1 1 1 1
п1+“ <ог_ (п-1)<'_;;'
ОО
~› 1
Ь) Воспользуитесь результатом задачи а) и покажите, что ряд 2 7 схо-
дится при 0 > 1. =1 п
Ё4. Исследование функций методами дифференциального
исчисления
1. Условия монотонности функции
Утверждение 1. Между агарантером монотонности дифферен-
иируемой на интервале ]а,Ь[ = Е функции І: Е -› К и знаком (поло-
жите./ъьностью) ее производной 1” на этом интервале имеется следу-
ющая взаимосвязь:
]( )>0 => 1” возрастает => /'(
]( )>0 => [не убывает => 1“(
€~2
г:
Ее
50 => Ігсопзг => ['(
Н
Н
Н
)>0,
)>0,
=0

Ё4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 275
]“( <0 => фне возрастает => ]“( <0,
1 <0 => Іубывает Ф ]'( <0.
4 Левый столбец следствий нам уже знаком по обсуждению теоремы
Лагранжа, в силу которой 1°(:1:2) - ]°(а:1) = ]'({)(:1г2 - а:1), где ш1,а:2 Є
Є ]а,Ь[ и Є -точка между 1:1 и 1122. Из этой формулы видно, что при
1:1 < авг положительность разности 1”(:в2) - 1” (121) совпадает с положи-
тельностью /'
Правый столбец следствий получается непосредственно из опреде-
ления производной. Покажем, например, что если дифференцируемая
на ]а, Ь[ функция 1” возрастает, то 1” 2 0 на ]а, Ь[. Действительно,
1 . і($+ї1)-1(Ш)
ї Щ “ ЁЁЁЪ л '
Если /1 > 0, то /(:1:+/1) -](а:) > 0, аесли /1 < 0, то ](а:+/1) -](а:) < 0;
поэтому дробь под знаком предела положительна.
Следовательно, ее предел 1” неотрицателен, что и утвержда-
лось. >
Её,
за
Замечание 1. На примере функции 1” = 1:3 видно, что возра-
стание дифференцируемой функции влечет только неотрицательность
производной, а не ее положительность. В нашем примере ]“(0) =
Замечание 2. В символе А => В, как мы уже в свое время отме-
чали, А-условие, достаточное для В, а В -условие, необходимое для
того, чтобы было выполнено А. Значит, из утверждения 1, в частности,
можно сделать следующие выводы:
функция постоянна на интервале тогда и только тогда, когда ее
производная тождественно равна нулю на этом интервале;
для того чтобы дифференцируемая на интервале функция убыва-
ла на нем, достаточно, чтобы ее производная была отрицательна в
любой точке этого интервала;
для того чтобы дифференцируемая на интервале функция убывала
на нем, необазодимо, чтобы ее производная была неположительна на
этом интервале.
Пример 1. Пусть /(:1:) = ссз - За: + 2 на К. Тогда /'(:с) = 3:п2 -
- 3 = 3(:в2 - 1) и, поскольку ]'(а:) < О при < 1 и 1“(:1:) > О при
|а:| > 1, можем сказать, что на интервале ]-оо, -1[ функция возрастает,
на интервале ]-1, 1[ убывает, а на интервале ]1,.+оо[ вновь возрастает.

276 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Условия внутреннего зкстремума функции. Учитывая лем-
му Ферма (лемма 1, 5,3), можно сформулировать следующее
Утверждение 2 (необходимые условия внутреннего зкстремума).
Для того чтобы тонко тд было тонкой зкстремума функции І :
І/'(а:0) -› К, определенной в окрестности І/'(а:0) этой точки, необагоди-
мо выполнение одного из деуа: условий: либо функиил не дифференци-
руемо е 1:0, либо 1“(а:0) = 0.
Простые примеры показывают, что эти необходимые условия зкс-
тремума не являются достаточными.
Пример 2. Пусть [(:1:) = а:3 на ІК. Тогда 1“(0) = 0, но в точке
то = 0 зкстремума нет.
Пример 3. Пусть
Ш при сс > 0,
1”(<1г)=
2:1: при 11: < 0.
Эта функция с изломом в нуле, очевидно, не имеет в нуле ни произ-
водной, ни зкстремума.
Пример 4. Найдем максимум функции 1” =а:2 на отрезке [-2, 1].
В данном случае очевидно, что он будет достигнут в конце -2 отрезка,
но регулярный способ его отыскания таков. Находим Ґ = 23: и все
точки интервала ]-2,1[, где Ґ = 0. В нашем случае это одна точка
ш = 0. Максимум І должен быть либо среди этих точек, либо в
одной из концевых точек, о которых утверждение 2 ничего не говорит.
Таким образом, надо сравнить значения ](-2) = 4, = 0, = 1,
откуда заключаем, что максимальное значение функции _/`(:1:) = :в2 на
отрезке [-2, 1] равно 4 и принимается в точке -2, являющейся концом
этого отрезка.
Используя установленную в пункте 1 связь между знаком произ-
водной и характером монотонности функции, приходим к следующим
достаточным условиям наличия или отсутствия локального зкстремума
в точке.
Утверждение 8 (достаточные условия зкстремума в терминах
первой производной). Пусть 1” : П(:с0) -› К _ функиил, определенная в
окрестности Ґ/'(1120) точки изо, непрерывная в самой этой точке и диф-

54. исслвдовАнив функций 217
ферениируемал е ее проколотой окрестности й($0). Пусть д'(а:0) =
= {а: Є І/'(1130) | 1: < а:0} и П+(:с0) = {а: Є П(а:0) | 11: > :с0}.
Тогда справедливьъ следующие заключения:
а) (7'Ш Є її_(Шо) (1°'(Ш) < 0)) ^ 07111 Є д+(11го) (1°'(Ш) < 0)) =>
=> (]” в 1:0 экстремума не имеет);
Ь) (7'$ Є Ґ/(220) < 0)) / (/ап Є І/+(а:0) (1“(а:)> 0)) =>
гид -тонка строгого локального минимума І);
С) (Чт Є ҐҐ(Шо) (/(111) > 0)) ^ 0711 Є Ґї+(Шо) (1°'($) < 0)) =>
=> (1130 -точка строгого локального максимума І);
4) (`</Ш Є Ґ/“(1110) (Ґ(Ш) > 0)) ^ ()/Ш Є Ґ/'+(Шо) (1'(Ш) > 0)) =>
=> (І в 1:0 экстремума не имеет).
О
і) Є:
Кратко, но менее точно, можно сказать, что если при переходе через
точку производная меняет знак, то зкстремум есть, а если ее знак при
этом не меняется, то экстремума нет.
Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не явля-
ются необходимыми для зкстремума, в чем можно убедиться на следу-
ющем примере.
Пример 5. Пусть
дав) І { 21122 + $112 зіпі при 11: уё 0,
О при 11: = 0.
Поскольку 1122 < 1” < ЗШ2, то ясно, что функция имеет строгий
локальный минимум в точке то = 0, однако ни в какой проколотой
полуокрестности этой точки ее производная /' = 4а: + 2:1: Ѕіп% -
-сов % не сохраняет знак. Этот же пример указывает на недоразумения,
которые могут возникнуть в связи с приведеннои выше сокращеннои
формулировкой утверждения 3.
Теперь обратимся к доказательству утверждения 3.
4 а) Из утверждения 2 следует, что функция 1” строго убывает на
О
П (5110). Поскольку она непрерывна в ато, имеем Ііш І = [(120)
О
О П- (а:0)Э:с-›:1:0
и, следовательно, І > 1” (то) при 1: Є ҐІ“(а:0). По тем же соображениям

278 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
О
1” ($130) > при 11: Є П+ (гид). Таким образом, функция строго убывает
во всей окрестности П(а:0) и 2:0 не является точкой экстремума.
Ь) Сначала, как и в а), заключаем, что ввиду убывания 1” на
О О
П (1130) и непрерывности І в 1:0 имеем 1” > 1” (1120) при ат Є П (:1:0).
Из возрастания 1” на П +(:1:0) и непрерывности І в азо заключаем, что
О
]“(:1:0) < Лав) при сс Є П+(а:0). Таким образом, функция І имеет в 1120
строгий локальный минимум.
Утверждения с) и (1) доказываются аналогично. Ь
Утверждение 4 (достаточные условия зкстремума в терминах
высших производных). Пусть функиил І: І/(тд) -› К, определенная,
в окрестности І/'(1120) точки (во, имеет е 5120 производные до порядка п
включительно (п 2 1).
Если _]“(а:0) = = [(''_1)(а:0) = 0 и /() эё 0, то при п ненетном
в шо экстремума нет, а при п нетном экстремум есть, причем это
строгий локальный минимум, если /()(а:0) > 0, и строгий локальный
максимум, если 1” (”)(а:0) < 0.
4 Используя локальную формулу Тейлора
1 'П 'П
ї($) _ Ґ(11о)= тҐ(п)(Шо)($ _ Шо) + а($)(11 _ 1110) › (1)
где а(а:) -› О при из -› шо, будем рассуждать так же, как при доказа-
тельстве леммы Ферма. Перепишем (1) в виде
і<:»:› - 1<ш.›› = (-,%і<“><ш0› + що) «Б - л›= <2›
Поскольку ]('*)(:с0) уё 0, а а(:1:) -+ О при гс -› 1:0, то сумма ]`('*)(:с0) +
+ а(а:) имеет знак 1” ()(а:0), когда а: достаточно близко к гид. Если п
нечетно, то при переходе через 1120 скобка (а: - а:0) меняет знак и то-
гда изменится знак всей правой, а следовательно, и левой части равен-
ства Значит, при п = 21: + 1 зкстремума нет.
Если п четно, то (ат - 120) > 0 при 1: уё шо и, следовательно, в ма-
лой окрестности точки тд знак разности 1 - 1” (1120), как видно из
равенства (2), совпадает со знаком 1” ('') (1120). >
Рассмотрим примеры.

54. исслвдовАнив функций 219
Пример 6. Закон преломления света в геометрической оптике
(закон Сне./ьлиуса1)). Согласно принципу Ферма истинная траектория
света между любыми двумя точками такова, что на ней реализуется
минимум времени, которое необходимо свету, чтобы пройти из одной
точки в другую по любому фиксированному пути, соединяющему эти
точки.
Из принципа Ферма и того, что
кратчайшей линией между любыми дву-
мя точками является отрезок прямой с
концами в этих точках, следует, что в
однородной изотропной среде (устроен-
ной одинаково как в каждой точке, так її : ЁЁЁЁЁ
и в каждом направлении) свет распро- __Ь1 _ Щ__ _______ __
страняется прямолинейно. _ _ А, _ _ _-_ _
Пусть теперь имеются две такие сре- : __ _; _ ; _ _
ды и свет распространяется из точки А1
к А2, как показано на рис. 22.
Если с1, с2 -скорости света в этих средах, то время прохождения
указанного пути таково:
1 1
±(а:) = -//1% + 1:2 + -//1% + (а -
С1 С2
Найдем экстремум функции ±(:в):
А2
/12
0 а: (12 0
Рис. 22.
±,(Ш)=1 сс _1 а-а: ІО,
01 //1% + Ш2 02 /12% + (а - :1:)2
что в соответствии с обозначениями рисунка дает сї1 Ѕіп оц = её 1 Ѕіп а2.
Из физических соображений или прямо из вида функции 15(а:), не-
ограниченно растущей при 11: -› оо, ясно, что точка, где ±' = 0, явля-
ется точкой абсолютного минимума непрерывной функции Таким
образом, из принципа Ферма следует закон преломления -3% =
2
Пример 7. Покажем, что при а: > 0
спа-ош:-І-ог-1<О, когда 0<а<1, (3)
1120”-ог:п+ог-120, когда а<0 или 1<а. (4)
ЦВ. Снеллиус (Снелл) (1580 - 1626) -нидерландский астроном и математик.

280 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4 Дифференцируя функцию 1” = ага - от +а - 1, находим Ґ =
= а(:в“_1 - 1) и ]'(:с) = 0 при ап = 1. При переходе через точку 1
производная переходит от положительных значений к отрицательным,
если О < а < 1, и от отрицательных к положительным, если а < 0 или
1 < св. В первом случае в точке 1 строгий максимум, а во втором-
строгий минимум (и не только локальный, что следует из соображений
монотонности І на участках 0 < 3: < 1, 1 < Но = 0 и, таким
образом, оба неравенства (3), (4) установлены. При этом показано даже,
что оба неравенства строгие, если а: уё 1. Ь
Заметим, что если заменить а: на 1 + 1:, то мы обнаружим, что (3)
и (4) -это развитие уже знакомого нам при натуральном показателе а
неравенства Бернулли (гл. ІІ, 5, 2; см. также задачу 2 в конце настоящего
параграфа).
С помощью элементарных алгебраических преобразований из дока-
занных неравенств можно получить ряд классических и важных для
анализа неравенств. Приведем их вывод.
Ь-І
#2
О
а. Неравенства Юнга Если а > О и Ь > 0, а числа р, (1 таковы,
чтор7Є0,1, с17Є0,1иІ%+ =1, то
МФ!-1
а1/РЬІ/Ч < Ъа -1-ЪЬ, если р > 1, (5)
Р Ч
а ро 92-а+-Ь, если р<1, (6)
Р Ч
причем знак равенства в (5) и (6) имеет место только при а = Ь.
4 Для доказательства достаточно в (3) и (4) положить ш = % и
а = %, а также ввести обозначение Ё = 1 - Ё >
Ь. Неравенства Гёльдера2). Пусть 113, 2 0, уі 2 О = 1,... ,п) и
Ё + Ё = 1. Тогда
,, 1/р ' Ч 1/Ч
Ешіуі < 221, при 1›>1 (7)
1 1, 1 1 1
ЮВ. Юнг (Янг) (1882 - 1946) _ английский математик.
2)О. Гёльдер (1859 - 1937) _ немецкий математик.

54. исслвдовАнив функций 281
'Ц
п
1:1
В случае р < О в
равенства в (7)
векторов (а:ї,...
/Р
ті?/1 2 Р
.
- 2
8 /Ж
=*=”<Ѕ829 С `
,.Г1=
вы
`.__/
2. `
зГ1=
Ё
__/
1/<1
9 при р<1,р;Ь0. (8)
предполагается, что 1:1 > 0 = 1,...,п). Знак
) ЄОЗМОЭЮЄН 'ГП,О,/ЪЬК0 8 С./Ъу'ЧО,Є ПРОПОРЦЫОНЦЛЬНОСТПЦ
Ч Ч
)› (3/1э°~
'П п
4 Проверим неравенство Пусть Х = Е 1:? > 0, У = 2 уї > 0.
1
`=1 і=1
Ѕ
Р Ч
Полагая в (5) а = %, Ь = %, получаем
_=а/1 < ъёдлё
Х1/Р)/1/Ч рХ Чу
Суммируя эти неравенства по 11 от 1 до п, получаем
ЧТО ЭКВИВЕІЛЄНТНО
'П
Ё гиг/7;
і=1
Х1/РУ1/<1 < 1”
(7).
Аналогично, из (6) получаем Поскольку знак равенства в (5)
и (6) возможен лишь при а = Ь, заключаем, что в (7) и (8) он возможен
Р _ ч Ч _ Р
лишь при пропорциональности ті _ Ху, или уі _ Мг). >
с. Неравенства Минковского1).Пусть гс, 2 0, уі 2 0 =
=1,...,п). Тогда
п 1/
Р
'п, 1/р 11, 1/Р
(Ежи +ш)р) < ШЁ) +1/Ё) при 10 > 1
і 1 і 1 1 1
(9)
'п, 1/Р п 1/Р 11, 1/Р
(Хуан +1/±)р) 2 + 1/Ё) при Р < 1, Р чё 0-
11 1 2 1 1, 1
(10)
ИГ. Минковский (1864 - 1909) -немецкий математик, предложивцшй адекватную
математическую модель (пространство с индефинитной метрикой) специальной те-
ории относительности.

282 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4 Применим неравенства Гёльдера к членам правой части тожде-
СТВ8,
11 п 11
2($1+ 3/»др = 2 Ш1(Ш1+ 3/1)р_1 + 2?/1($1+ у1)р_1-
1:1 1:1 1:1
Тогда левая часть будет оценена сверху или снизу в соответствии с
неравенствами (7), (8) величиной
11 1/Р п 1/Ч 11 1/Р 11 1/Ч
(21) 121)
Ё
НМ*
1-1
Ё
ЬФ
После деления полученных неравенств на + у,;)р) прихо-
дим к (9) и (10).
Зная условия равенства в неравенствах Гёльдера, проверяем, что
знак равенства в неравенствах Минковского возможен лишь в случае
коллинеарности векторов (111, . . . дсп), (у1,. . . ,у,,). Ь
При п : 3 и р : 2 неравенство Минковского (9), очевидно, является
неравенством треугольника в трехмерном евклидовом пространстве.
Пример 8. Рассмотрим еще простейший пример использования
высших производных при отыскании локальных экстремумов. Пусть
1“(а:) : віп 1:. Поскольку ]°'(:в) : сова: и [”(:с) : - віпш, то все точки, где
1” : сова: : 0, являются локальными зкстремумами функции віп 113,
так как в них ]”(а:) : -віпаз 55 0. При этом [(аз) < 0, если віпас >
> 0, и ]`”(:1:) > 0, если віпа: < 0. Таким образом, точки, где сова: : 0, а
віпа: > 0, являются локальными максимумами, а точки, где сова: : 0,
а віпа: < 0, -локальными минимумами функции віпа: (что, конечно, и
так известно).
3. Условия выпуклости функции
Определение 1. Функция І: ]а,Ь[ -› ІК, определенная на интер-
вале ]а,Ь[ С ІК, называется вьтуклой на нем, если для любых точек
а:1,:1:2 Є ]а,Ь[ и любых чисел 0:1 2 0, 012 2 0 таких, что 0:1 + 0:2 : 1,
имеет место неравенство
Ґ(01Ш1 + 025122) < 01Ґ($1)+ 012Ґ($2)- (11)

54. ИССЛЕДОВАНИЕ функций 283
(=г2,і(=1>2))
(а1$1+ 01212, а1і(:1г1) + а2і(:1:2))
К
<«›1,і<=г1›› .<:с,т<«›››
2:1 11: = а1:с1 + а2:с2 а:2
Рис. 23.
Если при 1:1 уё 1:2 и 011 -(12 дё 0 это неравенство является строгим, то
функция называется строго вьтук./мой на интервале ]а, Ь[.
Геометрически условие (11) вь1пуклости функции 1” : ]а, Ь[ -› К озна-
чает (рис. 23), что точки любой дуги графика функции лежат под хор-
дой, стягивающей зту дугу.
В самом деле, в левой части (11) стоит значение функции в
точке а: = а1:1:1 + а2а:2 Є [:1:1,:1:2], а справа-значение в той же точ-
ке линейной функции, график которой (прямая) проходит через точки
(Ш1›1'(Ш1))› (11ї2›Ґ($2))°
Соотношение (11) означает, что множество Е = {(:1:,у) Є ІК2 | Ш Є
Є ]а,Ь[, І < у} точек плоскости, лежащих над графиком функции,
является выпукль1м, откуда и сам термин «выпуклая›› функция.
Определение 2. Если для функции }: ]а, Ь[ -+ К в (11) имеет ме-
сто обратное неравенство, то говорят, что функция вогнута на интер-
вале ]а, Ь[ или, чаще, что она выпук./ма ввєра: на этом интервале, в отли-
чие от вь1пуклой функции, которую тогда называют вьтук./мой вниз на
интервале ]а, Ь[.
Поскольку все дальнейшие построения проводятся одинаково для
функций, выпуклых вниз или вверх, мы ограничимся рассмотрением
выпуклых (вниз) функций.
Сначала придадим неравенству (11) другой вид, более приспосо-
бленный для наших целей.
Из соотношений 11: = а1:с1 + ог2а:2, оц + 0:2 = 1 имеем
ІІІ2-$ Ш-(171
0г1=-_, <12=-_,
1132-(121 1132-ЬС1

284 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
поэтому (11) можно переписать в виде
1: -1 1-1
Ґ(11ї)< -ЯЕЁЗЗ-їҐ(1111) + ;;:_ЁҐ(11ї2)-
Н
Учитывая, что 1:1 < < 1:2 и 1:1 < 12, после домножения на 1:2 - 121
получаем
(222 - Ш)і(Ш1)+(Ш1 - =1г2)1”(Ш)+(Ш - Ш1)1(=1г2) 2 0-
Замечая, что 1:2 - 1:1 = (12 - Ш) + (1: - 1:1), из последнего неравенства
после элементарных преобразований находим, что
НФ) - 1”(Ш1) < і(1=2) - ПШ) (12)
1: -1:1 1:2 -1:
при 1:1 < 1: < 12 и любых 1:1,1:2 Є ]а, Ь[.
Неравенство (12) является иной формой записи определения выпукл-
ости функции 1” на интервале ]а,,Ь[. Геометрически (12) означает
(см. рис. 23), что угловой коэффициент хорды І, соединяющей точки
(121, ]`(1:1)), (1:, 1” не больше (а в случае строгой выпуклости_мень-
ше) углового коэффициента хорды П, соединяющей точки (1:, 1”
($2› 11.
Предположим теперь, что функция 1 : ]а, Ь[ -› К дифференцируема
на ]а, Ь[. Тогда, устремляя в (12) 1: поочередно к 1:1 и 1:2, получаем
]с (372) 11- (371) 1
і'(:»1>< $241 <і(<1:2),
что устанавливает монотонность производной функции 1.
Учитывая это, для строго выпуклой функции, пользуясь теоремой
Лагранжа, находим
і'<а:1> < ть) = “ті ::Ё$1) < ті: Ёўїш = /*'<є2> < і'<а:2>
при 1:1 < (1 < 1: < «Ѕ2 < 1:2, т.е. строгая выпуклость влечет строгую
монотонность производной.
Итак, если дифференцируемая функция 1” выпукла на интервале
]а,Ь[, то 1” не убывает на ]а,Ь[, а в случае строгой выпуклости 1” ее
производная /' возрастает на ]а,,Ь[.

5,4. иослвдовАнив функций 285
Оказывается, это не только необходимые, но и достаточные условия
выпуклости дифференцируемой функции.
В самом деле, для а < 1131 < ш < авг < Ь по теореме Лагранжа
где :с1 < 51 < ш < 52 < Ш2, и если ]'({1) < ]“(.{2), то выполнено усло-
вие (12) выпуклости (или строгой выпуклости, если ]“({1) <
Таким образом, мы доказали следующее
Утверждение 5. Для того чтобы дифферениируемая на интер-
вале ]а,Ь[ функция І: ]а,Ь[ -› К была выпунлой (вниз) на ]а,Ь[, необ-
азодимо и достаточно, чтобы ее производная /' не убывала на ]а,Ь[.
При этом строгому возрастанию 1” соответствует строгая выпун-
лость І.
Сопоставляя утверждение 5 и утверждение 3, получаем
Следствие. Для того чтобы фунниия І: ]а,Ь[ -› К, имеющая на
интервале ]а,Ь[ вторую производную, была выпунлой (вниз) на этом
интервале, необшодимо и достаточно, чтобы на ]а,Ь[ было ]°”(:с) 2 0.
Если же /(:1:) > 0 на ]а,Ь[, то этого достаточно, чтобы гарантиро-
вать строгую выпуклость фунниии І: ]а,Ь[ -› К.
Теперь мы в состоянии объяснить, например, почему графики про-
стейших элементарных функций рисуют с тем или иным характером
выпуклости.
Пример 9. Исследуем выпуклость функции 1” = ага на множе-
стве сс > 0. Поскольку ]”(ш) = а(а -1):с°“_2, то ](:с) > 0 при си < 0 или
при си > 1, т.е. при таких значениях показателя степени а степенная
функция :1:“ строго выпукла (вниз). При О < о: < 1 имеем /” < 0,
поэтому для таких показателей степени она строго выпукла вверх. На-
пример, параболу 1” = Щ2 мы всегда рисуем выпуклой вниз. Остав-
шиеся случаи сх = 0 и си = 1 тривиальны: то Е 1, 1131 = 3:. И в том и в
другом случае графиком функции является луч (см. рис. 30 на с. 294).
Пример 10. Пусть ]”(:1:) = ат, 0 < а, а дё 1. Поскольку [”(а:) =
= а” 1112 а > 0, показательная функция ат при любом допустимом осно-
вании а строго выпукла (вниз) на К (см. рис. 24 на с. 294).

286 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ё
Пример 11. Для функции 1” = Іоёааз имеем І = -%,
Ш Па,
поэтому функция строго выпукла (вниз), если 0 < а < 1, и строго
выпукла вверх, если 1 < а (см. рис. 25 на с. 294).
Пример 12. Исследуем вьшуклость функции І = Ѕіпа: (см.
рис. 26 на с. 294).
Поскольку ]“'(а:) = -Ѕіпсс, то _/(03) < О на интервалах тг-2/є < а: <
< тг(2/с +1) и ]`(а:) > 0 на интервалах тг(2/с - 1) < а: < тг~2/с, где /с Є 2.
Отсюда, например, следует, что дуга графика функции Ѕіпа: на отрезке
0 < ас < Ё лежит над стягивающей ее хордой всюду, кроме концевых
точек; поэтому Ѕіпаз > ёаз при 0 < 11: <
Укажем теперь еще одну характеристику выпуклой функции, гео-
метрически эквивалентную тому, что выпуклая область на плоскости
лежит по одну сторону от касательной к ее границе.
Утверждение 6. Дифферениируемая на интервале ]а, Ь[ функция
І: ]а,Ь[ -› К вьтукла (вниз) на ]а,Ь[ тогда и только тогда, когда
ее график всеми своими точками лежит не ниже любой проведенной
к нему касательной. При этом для строгой выпуклости функции не-
обагодимо и достаточно, чтобы все точки графика, за исключением
самой точки касания, лежали строго выше этой касательной.
4 Необходимость. Пусть а:0 Є ]а, Ь[. Уравнение касательной к
графику в точке (120, І (1130)) имеет вид
2/ = дтп) + Ґ,(11їо)($ _ Шо),
поэтому
ї(1=)- 1/(Ш) = ПШ) - і(1=о) _ 1(11о)(Ш _ то) = (1°'(€) _ і'(Шо)) (Ш - Шо),
где Є-точка между вс и 1:0. Так как 1” выпукла, то функция Ґ не
убывает на ]а,Ь[ и знак разности 1” (Є) - 1” (спо) совпадает со знаком
разности ас - 1:0, поэтому [(112) - у(:1:) 2 0 в любой точке ат Є ]а, Ь[. Если
І строго выпукла, то 1” строго возрастает на ]а,Ь[ и, значит, ]`(а:) -
-у(:в) > 0 приз: Є]а,Ь[ и шуёазд.
Достаточность. Если для любых точек а:,:1:0 Є ]а,Ь[
Ґ($) _ З/(117) = Ґ(1ї) _ Ґ(11їо) _ Ґ'(Шо)($ _ Шо) 9 0› (13)

54. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 287
то
Ґ($)-Ґ(Шо
(13-1170
но - /<Ш0› ,
$_% >г<
) Ѕ ]“(ІІ70) ПрИ 13 < (170,
1:0) при 100 < сс.
Таким образом, для любой тройки точек :1:1,ш,:с2 Є ]а, Ь[ такой, что
:в1 < Ш < $132, получаем
1°($)-Ґ(<1ї1)< Ґ(ї112)-Ґ($)
:1:-1:1 1:2-1:
причем строгое неравенство в (13) влечет строгое неравенство в по-
следнем соотношении, которое, как мы видим, совпадает с записью (12)
определения выпуклой функции. Ь
Рассмотрим примеры.
Пример 13. Функция І = ет строго выпукла. Прямая у = сс-|-1
является касательной к графику этой функции в точке (0,1), так как
1” (0) = во = 1 и 1” (0) = є$|$=0 = 1. В силу утверждения 6 заключаем,
что для любого єс Є К
ет 2 1 + :1:,
причем если 1: 74 О, то неравенство строгое.
Пример 14. Аналогично, пользуясь строгой выпуклостью вверх
функции Іп сс, можно проверить, что при 11: > 0 справедливо неравенство
Іпа: < св - 1,
причем это неравенство является строгим, если 11: дё 1.
П и пост оении г а иков нкций бывает полезно вы елять точки
У д
перегиба графика.
Определение 3. Пусть 1” : І/'(ш0) -› К-функция, определенная и
дифференцируемая в окрестности І/'(:п0) точки :1:0 Є К. Если на множе-
стве П “(1130) = {:с Є І/(:с0) | 11: < 1:0) функция выпукла вниз (вверх), а
на множестве Ґ}+(ш0) = {:с Є П(ш0) | :1: > 1:0) выпукла вверх (вниз), то
точка (170, 1” (а:0)) графика называется его точкой перегиба.
Таким образом, при переходе через точку перегиба меняется напра-
вление выпуклости графика, а это, в частности, означает, что в точке

288 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(изд, ]`(а:0)) график функции переходит с одной стороны касательной к
нему в этой точке на другую ее сторону.
Аналитический признак абсциссы тд точки перегиба легко усмо-
треть, сопоставляя утверждение 5 и утверждение З. А именно, можно
сказать, что если 1” дважды дифференцируема в точке 1:0, то, поскольку
Ґ в точке то имеет максимум или минимум, необходимо 1 (шо) = 0.
Если же вторая производная І” определена в І/`(:с0) и всюду в
О О
П '(120) имеет один знак, а всюду в Ґ/`+(:1с0) -противоположный знак,
то этого достаточно для того, чтобы Ґ в й(:1:0) и в д'+(:1:0) бы-
ла монотонна, но имела разный характер монотонности. Тогда в силу
утверждения 5 в точке (шо, 1 (:1:0)) произойдет изменение направления
выпуклости графика, т.е. (аго, 1” (а:0)) будет точкой перегиба.
Пример 15. В примере 12, рассматривая функцию 1” = Ѕіпш,
мы нашли участки выпуклости и вогнутости ее графика. Покажем те-
перь, что точки графика с абсциссами а: = тгіє, /с Є Ж, являются точками
перегиба.
Действительно, [”(:1:) = - Ѕіпш; ]”(:1:) = О при а: = тгіє, /є Є 2. Кроме
того, при переходе через эти точки І” меняет знак, что является
достаточным признаком точки перегиба (см. рис. 26 на с. 294).
Пример 16. Не следует думать, что переход кривой с одной сто-
роны касательной на другую ее сторону в некоторой точке является
достаточным признаком того, что эта точка является точкой перегиба.
Ведь может так случиться, что ни в левой, ни в правой ее окрестно-
сти кривая не сохраняет определенный характер выпуклости. Пример
легко построить, усовершенствовав пример 5, приведенный по схожему
поводу.
Пусть
21173 + :с3 Ѕіпў при ап 75 0,
1”(т)=
0 при 11: =0.
Тогда 2:3 < [(:1:) < 31133 при 0 < 1: и Згсз < ]“(аз) < 1:3 при 11: < 0,
поэтому график этой функции касается оси абсцисс в точке 1: = О и
переходит в этой точке из нижней полуплоскости в верхнюю. В то же

54. исслвдовАнив функций 289
время производная функции
б:с2 + ЗШ2 зіпў - 2соЅ Ё при а: эё 0,
І'(-Ф) =
0 при 11: = 0
не монотонна ни в какой полуокрестности точки ат = 0.
В заключение вновь вернемся к определению (11) выпуклой функции
и докажем следующее
Утверждение 7 (неравенство Иенсенац). Если І: ]а,Ь[ -› К -
вьтуклал функция, :1:1,...,:а,, -точки интервала ]а,Ь[, а1,...,ап -
неотрииатвльные числа такие, что а1 + . . . + ап = 1, то справедливо
неравенство
Ґ(011ї1ї1 + - ~ ~ + Оглтп) < 6И1Ґ($1)+~--+ СУпҐ($п)~ (14)
< При п = 2 условие (14) совпадает с определением (11) выпуклой
функции.
Покажем, что если (14) справедливо для п = т - 1, то оно справед-
ливо и для п = т.
Пусть, для определенности, в наборе (11, . . . , ап имеем ап аё 0. Тогда
В = аг +... +ап > О и % + + % = 1. Используя выпуклость
функции, находим
Ґ(0111ї1+~-+0гл1їп)=]с(01$1+5(9ЁШ2+---+%Шп))Ѕ
СЖ2 О!
Ѕ СИ1Ґ(11ї1)+5)° ($112 +-~+ ›
поскольку од + В = 1 и (%:1:2 + . . . + %:сп) Є ]а, Ь[.
Далее, по предположению индукции
]'(Ё:в2+...+%:1:п) < Ё1'(:в2)+...+9ї1“(ш,»,,).
5 5 5 5
Следовательно,
/(а1а:1 + _ . . + огпазп) < ає1]`(а:1)+БІ (ЁШ2 + . _ . + %шп) <
< 01Ґ($1)+ 021°(Ш2) + › ~- + <1пҐ($п)-
1)И. Л. Иенсен (1859 - 1925) _ датский математик.

290 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В силу принципа индукции заключаем, что (14) верно для любого п Є Ы.
(Для п = 1 (14) тривиально.) Ь
Заметим, что, как видно из доказательства, строгой вь1пуклости
отвечает строгое неравенство Иенсена, т. е. числа 011, . .. ,ап отличны
от нуля, то знак равенства в (14) может иметь место тогда и только
тогда, когда а:1 = = агп.
Для функции, вь1пуклой вверх, разумеется, получается обратное по
отношению к неравенству (14) неравенство
]`(ог1:и1+...+апа:,,,) 2а1](а:1)+...+а,,,](:1:,,,). (15)
Пример 17. Функция 1” = Іпа: строго вьшукла вверх на мно-
жестве положительных чисел, поэтому в силу (15)
а11п:с1 + . .. + о:п1па:,, < Іп(а1:1:1 + . . . + апшп)
ИЛИ
шї Ѕ о:1:1:1 + . . . + огпшп (16)
'П
приа:і>0,о:,д>0(1=1,...,п)и Еог,;=1.
і=1
В частности, если щ = = ап = %, получаем классическое нера-
венство
Й<$1+...+$п (17)
п
между средним геометрическим и средним арифметическим п неотри-
цательных чисел. Знак равенства в (17) возможен, как отмечалось вы-
ше, только при єщ = 1112 = = тп. Если же в (16) положить п = 2,
щ = 1%, ад = Ё, 1:1 = а, гс; = Ь, то вновь получим уже известное нам
неравенство
Пример 18. Пусть І = апр, 11: 2 0, р > 1. Поскольку такая
функция выпукла, имеем
(2
п Р п
Р
Е (11271) Ѕ Ё Сїіігі .
°=1 'і=1
'П 1 П
Полагая здесь с1 = 17%, щ = Ь? 122) , сс, = а,Ь,;1/(РД) 2 Ь2, вновь
і=1 'і=1

54. исслвдовАнив функций 291
получаем неравенство (7) Гёльдера
п п 1/Р п 1/Ч
(дв) (га) »
где%+%=1ир>1.
При р < 1 функция І = сор выпукла вверх, поэтому аналогичными
рассуждениями можно получить и другое неравенство (8) Гёльдера.
4. Правило Лопиталя. Остановимся теперь на одном частном,
но иногда полезном приеме отыскания предела отношения функций,
известном как правило Лопиталяц.
Утверждение 8 (правило Лопиталя). Пусть функции _/` : ]а,Ь[ -›
-› ІК и 9: ]а,Ь[ -› В дифферениируемы на интервале ]а,Ь[ (-оо < а <
< Ь < +00), причем у'(а:) 55 0 на ]а,Ь[ и
га
ЕЕ
Ь
Г-›А при аз-›а+0 (-оо< <+оо).
Тогда в каждом из двуа: следующиа: случаев:
1° -› 0) / -› 0) при аг -› а+0
или
2° 9(:с) -›оо при а:-›а+0
будет
Ё
9(1=)
Аналогинное утверждение справедливо и при 11: -› Ь - 0.
-›А при а:-›а+0.
Коротко, но не вполне точно правило Лопиталя формулируют так:
предел отношения функций равен пределу отношения из: производньшг,
если последний существует.
4 Если у' ад 0, то на основании теоремы Ролля заключаем, что
9(:в) строго монотонна на ]а,Ь[. Значит, уменьшив, если нужно, про-
межуток ]а, Ь[ за счет сдвига в сторону конца а, можно считать, что
1)Г.Ф. де Лопиталь (1661 - 1704) -французский математик, способньпїі ученик
Иоганна Бернушш, маркиз, для которого последний в 1691 - 1692 гг. написал первый
учебник анагшэа. Часть этого учебника, посвященная дифференциальному исчисле-
нию, в слегка иэмененном виде была опубтщкована Лопиталем под своим именем.
Таким образом, «правилом Лопиталя›› мы обязаны Иоганну Бернулли.

292 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
9(:в) 75 0 на ]а,,Ь[. Для а:,у Є ]а,Ь[ по теореме Коши найдется точка
5 Є И Такая” Ч” :<:с› - мг/› : г<:›
9(Ш)-9(у) 9'(€)°
Перепишем это равенство в удобном для нас сейчас виде
і<› і<› пе, <›
( )
_ _ 9
9 9 9
При а: -› а +0 согласованно с изменением а: будем стремить у к а+0
так, чтобы при этом
Ш -› 0 и Ё -› 0.
9(Ш) 9(Ш)
В любом из данных нам двух вариантов 1° и 2° это, очевидно, можно
сделать. Так как Є лежит между 11: и у, то вместе с сс и у также Є -+
-› а + 0. Значит, правая, а следовательно, и левая часть последнего
равенства при этом стремятся к А. Ь
Ё*
Ён
+
Ё
Ё
/Ъ
ЁЧЁЁ
Пример 19. Ііш ў = Ііш Ё- = 1.
- 2:-›0 а:-›0
Этот пример не следует рассматривать как новое, независимое до-
казательство того, что П -› 1 при из -› 0. Дело в том, что, например,
при выводе соотношения Ѕіп' ас = сов ш мы уже использовали вычислен-
ный здесь предел.
В возможности применения правила Лопиталя всегда убеждаемся
только после того, как найдем предел отношения производных. При
этом не следует забывать о проверке условий 1° или 2°. Важность этих
условий показывает следующий
Пример 20. Пусть }(:1:) = соваз, 9(:1:) = Ѕіпаз. Тогда ]“(:1:) = - Ѕіпас,
у'(а:) = сова: и її;-% -› +оо при 11: -› +0, в то время как Ёїёгё -› О при
из -› +0.
Пример 21. 1
пт (5) 1
пт _-= пт -_ї= пт -=о при а>0.
а:-›+оо 1:0* 11:-›+оо а:1:а_ ап-›+оо 011130*
Пример 22.
О 0-1 -1... - 1 0-П
пт ї= пт _-“С” =...= пт “(0” ) (°” ”+ )Ш =0
гс-›+<>о ат аг-›+оо а“31па из-›+оо а5”(1па)”
С1_'П
при а > 1, ибо при п > а и а > 1, очевидно, -“її -› 0, если 11: -› +оо.
СЪ

5,4. исолвдовАнив функций 293
Заметим, что вся цепочка последних равенств носила условный ха-
рактер до тех пор, пока мы не пришли к выражению, предел которого
смогли найти.
5. Построение графика функции. Для наглядного описания
функции очень часто используют ее графическое представление. Как
правило, такое представление бывает полезно для обсуждения каче-
ственных вопросов поведения исследуемой функции.
Для точных расчетов графики используются реже. В связи с этим
практически важным оказывается не столько скрупулезное воспроиз-
ведение функции в виде графика, сколько построение эскиза графика
функции, правильно отражающего основные элементы ее поведения.
Некоторые общие приемы, встречающиеся при построении эскизов гра-
фиков функций, мы и рассмотрим в этом пункте.
а. Графики элементарных функций. Напомним прежде всего,
как выглядят графики основных элементарных функций, свободное
владение которыми необходимо для дальнейшего (рис. 24-30).
Ь. Примеры построения эскизов графиков функций (без
привлечения дифференциального исчисления). Рассмотрим те-
перь некоторые примеры, в которых эскиз графика функции может
быть легко построен, если нам известны графики и свойства простей-
ших элементарных функций.
Пример 23. Построим эскиз графика функции
у = 19Ё:в2-3:1:+2 2*
Учитывая, что
1 1
у 08$2_3$+2 1о52(:в2 - 3:1: + 2) 1о52(:в - 1)(а: - 2) 7
строим последовательно график квадратного трехчлена у1 = 9:2 - 3:1:+2,
затем у2 = 1052 у1 и затем у = Ё; (рис. 31).
«Угадать» такой вид графика можно было бы и иначе: выяснить
область определения функции 1о5$2_3,,,_,_2 2 = (1052 (:1:2 - ЗШ + 2))_1, най-
ти поведение функции при приближении к граничным точкам области
определения и на промежутках, концы которых являются граничными
точками области определения, нарисовать «плавную кривую» с учетом
найденного поведения функции у концов промежутка.

$
а
по
О
'_
__
у
у `
_ О
_
Ч
_Л_2
ш
О
_1 1
І _ Р
І
І
К.
І
/
_Л_2 /
_
І
Ё
ЧЫ
$
Ѕ
О
С
Щ
__ _ _д_2
у у
Ш
а
Ш то Ю
С __
__ у
Ю
у
то ННЦНИІІІ 'Л І І ' І І
ІІ
__ ` '_
$ у
І ' | І І |
||ч ' І І | ' І І
ІІ 2
'_ д_2
Л _ О Ж 1
у Р >
`
ІІІЧ` І І І І І І І
ІІ
__2
І` і
' ' І ' І ' ' І ' І
'_' у О
дїд 1
ш
|||`-1
Х 0 О
/_ __ <`
О а а
А
О
$
ры у
И
Ь
п2
Щ Ч/0 _
_ _
| | І І ' І І І
'_Г|'|
_$
_8
Ё
_с
іс
_ш
___
_у
__”
_`
_`
__
__
__
__
І
_ _
_ _
_ _
_ _
__
_`
`
`
_20
_/
__”
_
_
_
_2
_/
__”
__
_
_

54. иослндовАнив функций 295
Пример 24. Построение эскиза графика функции
у = зіп 1:2
видно из рис. 32.
Мы построили этот график по некоторым характерным для дан-
ной функции точкам-тем точкам, где Ѕіп 1:2 = -1, Ѕіпа:2 = О или
51111122 = 1. Между двумя соседними точками такого типа функция мо-
нотонна. Вид графика в окрестности точки ат = О, у = 0 определяется
тем, что Ѕіп :с2 ~ 1:2 при а: -› 0. Кроме того, полезно заметить, что
данная функция Четна.
Поскольку мы все время будем говорить только об эскизном, а не
точном построении графика функции, то условимся ради краткости в
дальнейшем считать, что требование «построить график функции» для
нас всегда будет равносильно требованию «построить эскиз графика
функции».
Пример 25. Построим график функции
у = из +агсЪ3 (1123 - 1)
(рис. 33). При а: -› -оо график хорошо приближается прямой у = 11: - Ё,
а при гс -› +оо-прямой у = а: +
Введем следующее полезное
Определение 4. Прямая у = сд + с1а: называется асимптотой
графика функции у = [(13) при гс -› -оо (при а: -› +00), если [(113) -
- (со + с1:1:) = о(1) при за -› -оо (при ш -› -І-оо).
Таким образом, в нашем случае при сс -› -оо график имеет асим-
птоту у = из - Ё, а при 11: -› +оо-асимптоту у = из +
Если при а: -› а - О (или при из -+ а+ 0) -› оо, то ясно,
что график функции в этом случае будет по мере приближения из к
а все теснее примыкать к вертикальной прямой 11: = а,. Эту прямую
называют вертикальной асимптотой графика, в отличие от введенной
в определении 4 асимптоты, которая всегда наклонна.
Так, график из примера 23 (см. рис. 31) имеет две вертикальные
асимптоты и горизонтальную асимптоту (общую для сс -› -оо и ап -›
-› +00).

2
+
ш
3
2
ш
__
1
у
__ И ЦННЫ0,_“НН ___І_КН
2 22 2
Ф
6,
2
3
Ф
__
ш З
1
1 у 1
1
_
_/
Ш
/_
1
у
__
2
у
1
_
ш
)
тш
(
2
у
8
мы
Г
а
__ _
3_
1_у_
|||і
_д_4_
_
)
Ш
(
у
2
8
Ю
)
$
1(
2
Ш 1 /Ш О ш_“_2$0 _
__
3
_у
1
3
02
__І_ 4 1 1
1 А, '____ |____
у '_ О
ПУ На 1* _О
9н_1 і{
/
/
/
/
/
/
/
/ 1
____/___ І
)
МИ
3
ў
+
)
$
(
3
_у
__
у
_ _д_4 _д_2
/
12 / _
9
_ _
, _ _,
_”_21 О /
/
/
/
/
І
/
3
3
0
И
Р
__ “__
1
у 2
_
_
_
_
2
_
_
_
_
_
ПЛ2
у Пучі
п_2_
__ ты $ Г Ю ш
2 __ “Ш
у 6, у 3
2 _ | ' ' І І І ' І І І | І
ІІ
_ _ 2
_ _ _ _
_ _ _ Ц тму
_ _ _ _
Ж Ц _ Ц _
__” __Лі _ п_2_ 1
_
_ _3 _ _ І
ИИИИИІ Д

54. исслвдовАнив функций 297
Из определения 4, очевидно, вытекает, что
Ё:
Ё,
<:1= пт _-,
а:-›-оо Ш
53
за
С0 = НП1 - С1ІВ).
СС->-ОО
И вообще, если [(31)-(со + с1;с + . . . + спсс) = о(1) при ап -› -оо, то
сп = ,за
Сп-1 = _ спжп
а:-›-оо $1 ,
0 9 0 Ь 0 0 0 а 0 0 с 9 0 і Ц 0 0 І 0 0 І 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 О
со = ЮЕІРОО - (с1:1: + . . . + спа:)).
Эти соотношения, выписанные нами для случая а: -› -оо, разуме-
ется, справедливы также в случае ат -› +оо и могут быть использова-
ны для описания асимптотического поведения графика функции 1”
с помощью графика соответствующего алгебраического полинома со +
+с1а:+...+с,,:1і'.
Пример 26. Пусть (р, ср) _ полярные координаты на плоскости, и
пусть точка движется по плоскости так, что в момент времени 13 (Ё 2 0)
_ тг
р=р(±) =1-е ісозїі,
_ . 7Ґ
9о=<,0(15) = 1-е ±Ѕ1пї±.
Требуется нарисовать траекторию точки.
Нарисуем для этого сначала графики функций р(±) и <р(±) (рис.
34, а, 34, Ь).
Теперь, глядя одновременно на оба построенных графика, можем
нарисовать общий вид траектории точки (рис. 34, с).
с. Использование дифференциального исчисления при по-
строении графика функции. Как мы видели, графики многих функ-
ций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых
простых соображений. Однако если мы желаем уточнить эскиз, то в
случае, когда производная исследуемой функции не слишком сложная,

298 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИС
ЧИСЛЕНИЕ
д
1 _
_ 3/
/
/
/
/
І І І
0 1 2 з ± /
8..
Ф
/
/
/
/
1 - - - - - - - - - -
--
× 1
/
' /
/
1 1 1 1
0 1 2 3 1: 0 1 11:
Ь С
Рис. 34.
можно привлечь аппарат дифференциального исчисления. Продемон-
стрируем это на примерах.
Пример 27. Построить график функции у = І в случае
тд) = |;›; + ще-1/Ф.
Функция 1” определена при а: Є ІК0. Поскольку є1/5” -› 1 при 11: -› оо,
то
|:с + 2|є1/““ ~ -(55 + 2) при Ш _› _оо”
(Ш + 2) при а: -› +оо.
Далее, при а: -› -0, очевидно, имеем |а: + 2|е1/*” -› -1-оо, а при аг -›
-› +0 Іа: + 2|є_1/5” -› +0. Наконец, видно, что [(113) 2 0 и ](-2) = 0.
На основании этих наблюдений уже можно сделать первый набросок
графика (рис. 35, а).
Выясним теперь основательно, действительно ли данная функция
монотонна на промежутках ]-оо, -2], [-2,0[, ]0, +оо[
ли она имеет указанные асимпто
выпуклос
, деиствительно
ты и правильно ли изображен характер
ти графика функции.
Поскольку
2
--П” +Ё+2є“1/Ф, если :п<-2,
`Ґ($): :с2+$а:+2 -1/а:
--БГ-є , если-2<а: и:с;Ь0,

54. иослвдовАнив функций 299
у у ,×
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
// //
/
/'
І ` //
42 1 А
× 1
І _, І 1 Ь_.І
-2-10 1; -2 -1 0 21 1:
з
8,. Ь_
Рис. 35.
и 1” '(ш) 75 0, то можно составить следующую таблицу:
Знак _Ґ' -
Поведение ]'(а:) +оо , 0 0 /' +оо 0 /` +оо
Промежуток Й ]-оо, -2[ ]-2, 0[ ]0, +оо[
М + +
На участках постоянства знака производной функция, как мы зна-
ем, имеет соответствующий характер монотонности. В нижней строке
таблицы символ +оо , 0 означает монотонное убывание от +оо до 0,
а символ 0 /' +оо -монотонное возрастание значений функции от 0
до +оо.
Заметим, что ['(:в) -› -4е”1/2 при Ш -› -2 - 0 и ['(а:) -› 4е_1/2 при
ат -› -2 + 0, поэтому точка (-2, 0) должна быть угловой точкой графи-
ка (излом типа излома у графика функции а не обычной точкой,
как это у нас изображено на рис. 35,а. Далее, 1” -› 0 при а: -› +0,
поэтому график должен выходить из начала координат, касаясь оси
абсцисс (вспомните геометрический смысл 1”
Уточним теперь асимптотику функции при св -› -оо и аг -› +оо.
Поскольку е_1/1” = 1 - а:1 + о (а:1) при гс -› оо, то
/Ж
р_ъу_ъ
І +2| _1/,В -а:-1+0 ) при 11;-›-оо,
11: е ~
ш+1+о() при 11:-›+оо,
значит, на самом деле наклонные асимптоты графика суть у = -сс - 1
приш-+-оо и у=Ш+1при:1:-›+оо.

300 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
По этим данным уже можно построить достаточно надежный эскиз
графика, но мы пойдем дальше и, вычислив
-їїед/Ю, если :1: < -2,
х“<э:> -
2-%є_1/1*, если -2<а: и $750,
Ш
найдем участки вь1пуклости графика.
Поскольку І” = О лишь при а: = 2/З, то имеем следующую таб-
лицу:
Промежуток ]-оо, -2[ ]-2, О[ ]0, 2/3[ ]2/3, +оо[
знак і~(а;) _ + + -
Выпуклость І Вверх Вниз Вниз Вверх
Поскольку при ас = 2/3 наша функция дифференцируема, а при пе-
реходе через эту точку І” меняет знак, то точка (2/3, 1” (2/ 3)) явля-
ется точкой перегиба графика.
Между прочим, если бы производная 1” обращалась в нуль, то из
таблицы знаков Ґ можно было бы судить о наличии или отсутствии
экстремума в соответствующей точке. В нашем случае 1” нигде не
обращается в нуль, но в точке из = -2 функция имеет локальный ми-
нимум: она непрерывна в этой точке и при переходе через нее 1”
меняет знак с - на + . Впрочем, то, что при ат = -2 наша функция
имеет минимум, видно уже из приведенного в таблице описания изме-
нения значений функции 1” на соответствующих промежутках, если,
конечно, учесть еще, что 1” (-2) = 0.
Теперь можно нарисовать более точный эскиз графика данной функ-
ции (см. рис. З5,Ь).
В заключение рассмотрим еще один
Пример 28. Пусть (гс, у) _декартовы координаты на плоскости,
и пусть движущаяся точка в каждый момент 13 (15 2 0) имеет коорди-
наты
3
$_ ± _:-21:
_1-±2” у_1-±2'
Требуется изобразить траекторию движения точки.

54. исслвдовАнив функций 301
Нарисуем сначала зскизы графиков каждой из данных координат-
ных функций а: = :1:(1€) и у = у(±) (рис. 36, а, 36, Ь).
Второй из этих графиков несколько интереснее, поэтому поясним
его построение.
Поведение функции у = у(±) при 15 -› +0, І -› 1 - 0, 15 -> 1 + О и
асимптотику у(15) = 2±+о(1) притї -› +оо усматриваем непосредственно
из вида аналитического выражения для у(±).
Вь1числив производную
, 1-5±2+2±4
Ё/(Ё): 22 ›
П-1)
находим ее нули: 151 ю 0,5 и 152 т 1,5 в области 15 В 0.
Составив таблицу:
Промежуток ]0, і1[ ]і1,1[ ]1, ±2[ ]±2, +оо[
Знак у(±) + - - +
І Поведение у(±) 0 /` у(±1) 3/(#1) , -оо +оо `, у(±2) у(±2) /` +оо
находим участки монотонности и локальные зкстремумы 3,/(151) 2: Ё
(шах) и 3/(Ъ2) ш 4 (шіп).
Теперь, глядя одновременно на оба графика 11: = а:(±) и у = 3,/(15),
строим эскиз траектории движения точки по плоскости (см. рис. 36, с).
Этот эскиз можно уточнять. Например, можно выяснить асимпто-
тику траектории.
Поскольку = -1 и (у(15)+:1:(15)) = 2, то прямая у =
= -аз + 2 является асимптотой для обоих концов траектории, отвечаю-
щих стремлению 15 к 1. Ясно также, что прямая а: = О есть вертикальная
асимптота для участка траектории, отвечающего і -› +оо.
Найдем далее
, _Ё3_1-5±2+2±4
уш _ гг, _ 1+ ±2 '
Функция , как легко выяснить, монотонно убывает от 1
до -1 при возрастании и от О до 1 и возрастает от -1 до +оо при
возрастании и от 1 до +оо.
Из характера монотонности угд можно сделать заключение о харак-
тере выпуклости траектории на соответствующем участке. С учетом

Ё
З_2
Ч І І І І
ІІ
12
_ у 4
21
ду __
Ш
Гж
0
2
1
__1_2
_
_ _ _
32130
/
1
Ё
1
Ь _
ї
| І І І І І І |
І [_ ,
4
О
2
ш
1
__1_2
1
0
_ у 4 3 2 1
а _ _ _ Р
_
0
2,
1
_
Г
І20

54. исслвдовАнив функций воз
сказанного теперь можно построить следующий, более точный эскиз
траектории движения точки (см. рис. 36, (1).
Если бы мы рассматривали траекторию также для Ё < 0, то, как
следует из нечетности функций а:(±), 3/(15), к уже построенным на плос-
кости (э:,у) линиям добавились бы еще центрально симметричные им
кривые.
Подведем некоторые итоги в виде самых общих рекомендаций от-
носительно порядка построения графика заданной аналитически функ-
ции. Вот эти рекомендации.
1° Указать область определения функции.
2° Отметить специфические особенности функции, если они оче-
видны (например, четность, нечетность, периодичность, совпадение с
точностью до простейших преобразований координат с графиками уже
известных функций).
3° Выяснить асимптотическое поведение функции при подходе к
граничным точкам области определения и, в частности, найти асим-
птоты, если они существуют.
4° Найти промежутки монотонности функции и указать ее локаль-
ные зкстремумы.
5° Уточнить характер выпуклости графика и указать точки пере-
гиба.
6° Отметить характерные точки графика, в частности точки пере-
сечения с осями координат, если таковые имеются и доступны вычи-
слению.
Задачи и упражнения
1. Пусть из = (:с1,...,:1:п), а = (а1,...,а,,), причем аз, 2 0, оц > О при і =
'П
= 1,. . . ,п и 2 од, = 1. Для любого числа Ъ 56 О рассмотрим среднее порядка Ъ
'і=1
'Ч/ЦСЄ./Ъ $1,. . . ,ЗС/д С ВЄСЗМИ (152
п 1/Ъ
М±(:1:,а) = щагї)
і=1
В частности, при 011 = = ап = % и І = -1, 1,2 получаем соответственно
среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратическое.
Покажите, что
а) фіпё М±(а:,а) = ШТ” ...э:2, т.е. в пределе можно получить среднее гео-
-›
метрическое;

304 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ь) 7313300 М±(Ш, 0) = Ігёёхп ті;
С) 31300 М±(г1=,0<) = 11321” ам;
(1) М±(:1:,а)-неубывающая функция от 15 на К, причем она строго возра-
стает, если п > 1 и все числа 1:, отличны от нуля.
2. Покажите, что |1+:1:|Р 2 1+р:1:+с,,<рр(а:), где ср _ постоянная, зависящая
только от р, а
ІШІ2 ПРИ ІШІ<1,
$0Р(37) : { |$|р при > 1) если 1 <р Ё 2›
и 90р(а:) = |а:|р на К, если 2 < р. 3
3. Проверьте, что созш < при О < <
4. Исследуйте функцию 1” и постройте ее график, если
а) _1°(а:) = агс1;5 1052 сов (ла: + Ё);
Ь) ]`(1:) = агссоз - Ѕіп из);
С) ПШ) = /3 Ш($ +3)2;
(1) постройте кривую, заданную в полярных координатах уравнением «р =
= 7%, р 2 0, и укажите ее асимптоту;
е) укажите, как, зная график функции у = [(112), получить графики функ-
ций ](:в) + В; А1°(:в); ]`(:в + Ь); ]'(а,а:) и, в частности, -[(13) и [(-св).
5. Покажите, что если І Є С(]а,Ь[) и для любых точек а:1,а:2 Є ]а,Ь[ вы-
полнено неравенство
Ґ (ад +:1:2) < ]°(:1І1)+/(авг)
2 2 ,
то функция І выпуклая на ]а,, Ь[.
6. Пусть ш = о:1а:1 + 012132, где 0:1 + аг = 1.
а) Опишите положение точки 1: по отношению к отрезку [:1:1,:1:2] при раз-
личных значениях параметров а1,а2.
Ь) Нарисуйте график функции 1” , строго вьшуклой на числовой оси, и пря-
мую, проходящую через точки (а:1, 1” (1111)), (ш2, І (1132)) графика. После этого на-
пишите очевидные неравенства между І (а1:1т1 + а2:1;2) и а1[(:1:1) + аг [(1132)
при различных значениях параметров (11, а2, удовлетворяющих соотношению
01 + 042 = 1.
с) Каковы неравенства (Юнга) между а%Ь% и %а, + -ЁЬ при различных зна-
чениях р,с1, если 1% + Ё = 1?
(1) Напишите уравнение касательной к графику функции (1 + а:)°“ в точке
(0,1) и укажите правильный знак неравенства между величинами (1 + :1:)°” и

54. исслвдов/хнив функций зов
1 + аа: при 11: > -1 и различных значениях параметра а. В случае а Є Ш имеем
классическое неравенство Бернулли.
7. Покажите, что
а) если вь1пук.лая функция І: К -› ІК ограничена, то она постоянна;
Ь) если для выпуклой функции І : К -› К
Ііш І-@=1іп1 Щ2=0,
гс-›-оо (Е а:-++оо (В
то І -постоянная;
с) для любой выпуклой функции І, определенной на промежутке 0, < 1: <
< +оо (или -оо < ш < 0,), отношение ДЁ2 стремится к конечному пределу или
к бесконечности при стремлении 1: к бесконечности по области определения
функции.
8. Покажите, что если І: ]а, Ь[ -› К-выпуклая функция, то
а) в любой точке 1: Є ]а, Ь[ она имеет левую І: и правую І; производные:
ПРИЧЄМ Л (111) Ѕ ІЦШ);
Ь) при :1:1,:с2 Є ]а,І›[ и :с1 < 1:2 имеет место неравенство < І: (:в2);
с) множество угловых точек графика І (для которых _1°__(:с) ;& І; не
более чем счетно.
9. Преобразованиєм Лежандра” функции І : І -› К, определенной в про-
межутке І С К, называется функция
і*(±) = Ѕ11р(±=г Є і(Ш))-
а:ЄІ
Покажите, что:
а) Множество І* тех значений і Є К, для которых І *(13) Є Шї (т. е. 1* *(15) 7Є оо),
либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является числовым промежут-
ком, причем в последнем случае функция І* (15) выпукла на І *.
Ь) Если 1”-выпуклая функция, то І* 75 И и при І* Є С(І*)
(і*)*(12) = Ѕ11І3_(Ші - і*(і)) = і(Ф)
ЪЄІ
для любого іс Є І. Таким образом, преобразование Лежандра вь1пук.лой функ-
ции инво./ьютивно (квадрат его есть тождественное преобразование).
с) Имеет место неравенство
:в±<)°(Ш)+Ґ(Ъ) при а:ЄІ и 15ЄІ*.
1)А. М. Лежандр (1752 - 1833) _ известный французский математик.

306 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1) В случае, когда І _выпуклая дифференцируемая функция, І* (Ё) =
= ті - ]'(а:±), где 1:, определяется из уравнения і = 1” получите отсюда
геометрическую интерпретацию преобразования Лежандра І* и его аргумен-
та і, показывающую, что преобразование Лежандра есть функция, определен-
ная на множестве касательных к графику функции І.
е) Преобразованием Лежандра функции І = ёага при а > 1 и Ш 2 0
является функция _1'*(±) = Ёід, где 15 2 0 и Ё + ё = 1; получите отсюда, с
учетом с), уже знакомое неравенство Юнга
1 1
1:1: < -1:” + -±/3.
0: В
Ґ) Преобразованием Лежандра функции 1” = ет является функция
_і*(±) = ±1п Ё, 15 > 0, и справедливо неравенство
в±<е”+±1п%
при 1; Є ІК и і > 0.
10. Кривизна, радиус и центр кривизны кривой в точке. Пусть некоторая
точка движется в плоскости по закону, задаваемому парой дважды диффе-
ренцируемых координатных функций ш = а:(±), у = у(±) от времени. При этом
она описывает некоторую кривую, про которую говорят, что кривая задана
в параметрическом виде ш = :с(±), у = у(±). Частным случаем такого задания
является случай графика функции у = _і(:1:), где можно считать, что а: = Ъ
и у = І (15). Мы хотим указать число, характеризующее кривизну кривой в
некоторой точке, подобно тому как величина, обратная радиусу окружности,
может служить показателем искривленности окружности. Этим сравнением
мы и воспользуемся.
а) Найдите тангенциальную а, и нормальную ап составляющие вектора
а = (:ід(±), ў(±)) ускорения точки, т. е. 'представьте а в виде суммы а., + ап, где
вектор а, коллинеарен вектору и(±) = скорости, т.е. направлен по
касательной к траектории, а вектор ап направлен по нормали к траектории.
Ь) Покажите, что при движении по окружности радиуса 1* имеет место
соотношение
І®(і)І
'г = -і.
|0п(1ї)|
с) При движении по любой кривой, учитывая Ь), величину
|*1(ї)|
т°(і) = _--
І ( )|
апі
естественно назвать радиусом кривизны кривой в точке (а:(±), у(±)).
Покажите, что радиус кривизны вычисляется по формуле
.2 .2 3/2
«~<±› =
Іггу-тз/І

Ё5. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 307
(1) Величину, обратную радиусу кривизны, называют абсолютной кривиз-
ной плоской кривой в данной точке (1:(±), 3,/(15)). Наряду с абсолютной кривиз-
ной рассматривается величина
Ки) = ,
<±2 + 112)” 2
называемая кривизной.
Покажите, что знак кривизны характеризует направление поворота кри-
вой по отношению к касательной. Выясните, какова размерность кривизны.
е) Покажите, что кривизну графика функции у = І в точке (13, І
можно вычислить по формуле
Ш 2 1/(10
М) [1+(з/')2]3/2.
Сопоставьте знаки Іс(:1:) и у” (112) с направлением выпуклости графика.
Ґ) Подберите константы а, Ь, В так, чтобы окружность (Ш - а)2 + (у - Ь)2 =
= Н2 имела с данной параметрически заданной кривой а: = а:(±), у = у(і) в
точке 1:0 = а:(±0), уо = у(±0) касание возможно более высокого порядка. Пред-
полагается, что :1:(±), 3/(Ё) дважды дифференцируемы и (:і:(±0),3)(і0)) 7Є (0,0).
Указанная окружность называется соприкасающейся окружностью кри-
вой в точке (:в0,у0). Ее центр называется центром кривизны кривой в точке
(:в0,у0). Проверьте, что ее радиус совпадает с определенным в Ь) радиусом
кривизны кривой в этой точке.
5) Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести
начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля.
Уравнение профиля 1: + 3/2 = 1, где из 2 0, у 2 О. Рассчитайте траекторию
движения частицы до ее приземления.
55. Комплексные числа
и взаимосвязь элементарных функций
1. Комплексные числа. Подобно тому, как в области ((2 рацио-
нальных чисел алгебраическое уравнение 1:2 = 2 не имело решений,
уравнение 1:2 = -1 не имеет решений в области действительных чи-
сел К, и подобно тому, как, вводя внешний по отношению к ((2 символ /Ё
в качестве решения уравнения 1:2 = 2, мы увязываем его с операциями
в <@ и получаем новые числа вида *г1 +/Ёт, где *г1,'г2 Є @, можно ввести
символ 11 в качестве решения уравнения а:2 = -1 и связать это внешнее
по отношению к К число і с действительными числами и арифметиче-
скими операциями в 1112.
Замечательной особенностью указанного расширения поля К дей-
ствительных чисел, кроме многого другого, является то, что в получа-

308 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ющемся при этом поле (С комплексных чисел уже любое алгебраическое
уравнение с действительными или комплексными коэффициентами бу-
дет иметь решение.
Реализуем теперь намеченную программу.
а. Алгебраическое расширение поля К. Итак, вводим (следуя
обозначению Эйлера) новое число 11-мнимую единицу, такое, что
12 = -1.
Взаимодействие і с действительными числами должно состоять в
том, что можно умножать і на числа у Є К, т.е. необходимо появля-
ются числа вида іу, и складывать такие числа с вещественными, т. е.
появляются числа вида ш + іу, где 112, у Є К.
Если мы хотим, чтобы на множестве объектов вида 11: + іу, которые
мы вслед за Гауссом назовем комплєксными числами, были определе-
ны привычные операции коммутативного сложения и коммутативного
умножения, дистрибутивного относительно сложения, то необходимо
положить по определению, что
(Ш1 +13!/1) + (152 +1?/2) 1- (091 + 1122) + 'Щ/1 + Ъ/2) (1)
(171 +1?/1) ° (1132 + И/2) 1 (1ї11Б2 _ 3/1142) + '1Ё(Ш13/2 + 122у1)- (2)
Два комплексных числа 1:1 + іу1, 2122 + іуг считаются равными в том
и только в том случае, когда 3:1 = 1122 и у1 = у2.
Отождествим числа св Є К с числами вида э: -1-і - 0, а і-=с числом
0 + і - 1. Роль нуля в множестве комплексных чисел, как видно из (1),
играет число 0 + 11 - 0 = 0 Є К, роль единицы, как видно из (2), -число
1 + і - О = 1 Є К.
Из свойств вещественных чисел и определений (1), (2) следует, что
множество комплексных чисел является полем, содержащим К в каче-
стве подполя.
Поле комплексных чисел будем обозначать символом (С, а его эле-
менты-чаще всего буквами 2 и Ш.
Единственный не очевидный момент в утверждении о том, что С-
поле, который нуждается в проверке, состоит в том, что любое от-
личное от нуля комплексное число 2 = 1: +1Іу имеет обратное 2-1 по
отношению к умножению, т. е. 2 - 21 = 1. Проверим это.
Число Ш - *ду назовем сопрлженным к числу 2 = 1: +1Іу и обозначим
символом Ё.

ё5. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 309
Заметим, что 2- 2 = (а:2 + у2) +1-О = Ш2 + у2 эё 0, если 2 эё 0. Таким
образом, в качестве 2-1 следует взять -5-її - 2 = -%ї -
гс +у 1: +у а: +3/
Ь. Геометрическая интерпретация поля С. Заметим, что после
того, как алгебраические операции (1), (2) над комплексными числами
введены, символ і, который привел нас к этим определениям, перестает
быть необходимым.
Комплексное число 2 = :1: +1Іу мы можем отождествить с упорядо-
ченной парой (ш, у) действительных чисел, называемых соответственно
действительной частью и мнимой частью комплексного числа 2 (обо-
значения: аг = Не 2, у = Іш21)).
Но тогда, считая пару (гс, у) декартовыми координатами точки плос-
кости К2 = К × К, можно отождествить комплексные числа с точками
этой плоскости или с двумерными векторами с координатами (гс, у).
В такой векторной интерпретации покоординатное сложение (1)
комплексных чисел соответствует правилу сложения векторов. Кроме
того, такая интерпретация естественно приводит также к понятию мо-
дуля |2| комплексного числа 2 как модуля или длины соответствующего
ему вектора (а:,у), т.е.
|2| = /1112 + у2, если 2 = гс + іу, (3)
а также к способу измерения расстояния между комплексными числами
21, 22 как расстояния между соответствующими им точками плоскости,
т. е. с помощью величины
121 _ 22| = /(221 - :1г2)2 + (у1 - у2)2- (4)
Множество комплексных чисел, интерпретируемое как множество
точек плоскости, называется комплексной плоскостью и также обозна-
чается символом (С, подобно тому, как множество вещественных чисел
и числовая прямая обозначаются одним символом К.
Поскольку точку плоскости можно задать также полярными коор-
динатами (т, ср), связанными с декартовыми координатами формулами
перехода
ап _ 'г сов <,о, (5)
у = 'г Ѕ1п ср,
1)От лат. геаІіЅ (вещественный) и ішаёіпагіиз (мнимый).

310 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
КОМПЛЄКСНОЄ ЧИСЛО
2 = а: + ту (6)
можно также представить в виде
2 = т(сов90+івіп<р). (7)
Записи (6) и (7) называют соответственно алеебраической и триго-
нометрической формами комплексного числа.
В записи (7) число т 2 0 называется модулем комплексного числа 2
(ибо, как видно из (5), т = а 90-аргументом числа 2. Аргумент
имеет смысл только при 2 79 0. В силу периодичности функций сов90
и віп90 аргумент комплексного числа определен с точностью до вели-
чины, кратной 2тг, и символом Агё 2 обозначают множество углов вида
<р + 21г/9:, /є Є 2, где 90-какой-то угол, удовлетворяющий соотноше-
нию Если желают, чтобы комплексное число однозначно опреде-
ляло некоторый угол 90 Є Агд 2:, то договариваются заранее о диапа-
зоне, в котором его выбирают. Чаще всего это бывает полуинтервал
О Ѕ 90 < 21г или полуинтервал -тг < 90 < тг. Если такой выбор сделан,
то говорят, что выбрана ветвь (или главная ветвь) аргумента. Значе-
ния аргумента в пределах выбранного диапазона обычно обозначают
символом аг3 2.
Тригонометрическая форма (7) записи комплексных чисел удобна
при выполнении операции умножения комплексных чисел. В самом де-
ле, если
21 = г1(сов 901 + івіп 901), 22 = т*2(сов 902 + івіп902),
то
21-22 = (*г1 сов 901 +1Іт1 віп 901)(т2 сов 902 + іт2 віп 902) =
= (т1т2 сов 901 сов 902 - 'г1т'2 віп <р1віп 902) +
+ і(*г1'/~2 він 901 сов 902 + т1т2 сов 901 віп 902),
или
21-22 = 'г1'г2(сов(901 + 902) + івіп(901 + 902)). (8)
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули пе-
ремножаются, а аргументы складываются.
Заметим, что мы на самом деле показали, что если 9016 Агд; 21 и
902Є Агд 22, т0 (<Р1 + 902) Є Агё (21-22). Но, поскольку аргумент определен
с точностью до 2тгІс, можно записать, что
АГ8 (2112) = АГ8 21 + Агё 22, (9)

55. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 311
понимая это равенство как равенство множеств, правое из которых есть
совокупность чисел вида 901 + 902, где <р1 Є А1*5 21, а 902 Є Аг5 22. Таким
образом, сумму аргументов полезно понимать в смысле равенства
При таком понимании равенства аргументов можно, например,
утверждать, что два комплексных числа равны тогда и только тогда,
когда соответственно равны их модули и аргументы.
Из формулы (8) по индукции вытекает следующая формула
Муавраї):
если 2 = т(соз<р + ізіп ср), то 2 = т(соз тир + ізіптщэ). (10)
С учетом разъяснений по поводу аргумента комплексного числа
формулу Муавра можно использовать, чтобы в явном виде выписать
все комплексные решения уравнения 2 = а.
Действительно, если
съ = р(соЅф + ізіпф)
и в силу формулы (10)
2 = т(соз тир + ізіп тир),
то т = 3/Б и тир = Ф + 2тгІ<:, І: Є Ж, откуда ,од = % + Различные
комплексные числа получаются, очевидно, только при Іс = О, 1, . . . ,ть - 1.
Итак, мы находим ть различных корней из а:
2 .. Ф 2
яд:{~/Б(соЅ(%-1-Ё/с)+тЅ1п(;+%/4)) (Іс=0,1,...,тг,-1).
Вчастности, еслиа=1, т.е.р=1 иф=0, имеем
2 2
2;,={'/П=соЅ(%/с)+іЅіп(-їіс) (Іс=0,1,...,п-1).
Эти точки находятся на единичной окружности в вершинах пра-
вильного ть-угольника.
В связи с геометрической интерпретацией самих комплексных чисел
полезно упомянуть о геометрической интерпретации арифметических
действий над ними.
При фиксированном Ь Є (С сумму 2 + Ь можно интерпретировать
как отображение (С в себя, задаваемой формулой 2 ›-› 2 + Ь. Это сдвиг
плоскости на вектор Ь.
ЦА. Муавр (1667 - 1754) - английский математик.

312 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При фиксированном а = |а|(соЅ 90 + і Ѕіп ср) 75 0 произведение аг мож-
но интерпретировать как отображение г ›--› аг (С в себя, являющееся
композицией растяжения в |а| раз и поворота на угол <р Є Агд а. Это
видно из формулы
2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами. Рассто-
яние (4) между комплексными числами позволяет определить е-окрест-
ность числа 20 Є С как множество {2 Є С | |2 - 20| < є}-это круг
(без граничной окружности) радиуса е с центром в точке (то, уо), если
20 = 1120 + іуо.
Будем говорить, что последовательность комплексных чисел
сшодитсл н числу 20 Є (С, если 1іп1 |г,, - 20] = 0.
'П,_›ОО
Из неравенств
та›><{ІШь - тоі, Іуп - уоІ} < Ігп - 2оІ < Ітп - 1=оІ+Іг/п - уоі (11)
видно, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и
только тогда, когда сходятся последовательности действительных и
мнимых частей членов этой последовательности.
По аналогии с последовательностями вещественных чисел последо-
вательность комплексных чисел называют фундаментальной или
последовательностью Каши, если для любого е > О найдется номер
Ы Є Ы такой, что при н,т > 1/' выполнено |2,, - 2т| < е.
Из неравенств (11) видно, что последовательность комплексных чи-
сел фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны по-
следовательности действительных и мнимых частей членов данной по-
следовательности.
Учитывая критерий Коши для вещественных последовательностей,
мы, таким образом, на основании неравенств (11) заключаем, что спра-
ведливо следующее
Утверждение 1 (критерий Коши). Последовательность компле-
нсньшє чисел саэодитсл тогда и только тогда, ногда она фундамен-
тальна.
Если сумму ряда комплексных чисел
21+22+...+2.'п+... (12)
понимать как предел его частичных сумм 5,, = 21 + . . . + 2,, при п -› оо,
то получаем также критерий Коши сходимости ряда (12).

ЁБ. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 313
Утверждение 2. Рлд (12) сшодитсл тогда и только тогда, ко-
гда для любого Є > 0 найдется число 1ї Є М такое, что при любьш:
натуральньш: п 2 т > П имеем
|2т+...-І-2.,,,|<є. (13)
Отсюда, как, впрочем, и из самого определения сходимости ря-
да (12), видно, что для сходимости ряда необходимо, чтобы 2,, -› О
при п -› оо.
Как и в вещественном случае, ряд (12) называется абсолютно схо-
дящимся, если сходится ряд
|г1|+|22|+...+|г,,|+... (14)
Из критерия Коши и неравенства
|2т+...+2п| < |2т|+...+|2п|
следует, что если ряд (12) сходится абсолютно, то он сходится.
Примеры. Ряды
1 1 2 1
2):-3!2 -і-Ы: -...,
1, 14
сходятся абсолютно при любом 2 Є С, ибо ряды
1 1
1 2
1) 1+її|2|+ї)2| +...,
2') |г|+ё|г| +Ы|г| +...,
1 2 1 4
З')1+Ы|2| +щ|2| +...,
как мы знаем, сходятся при любом значении |2:| Є ІК. Заметим, что здесь
мы воспользовались равенством =
Пример 4. Ряд 1 + 2 + 22 + . . . сходится абсолютно при < 1, и
его сумма равна 5 = При 2 1 он не сходится, так как в этом
случае общий член ряда не стремится к нулю.
Ряды вида
со+с1(2-2:0)-І-...+сп(2:-20)+... (15)
называют степенными рядами.

314 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Применяя признак Коши (см. гл. ІП, @,1, п. 4) к ряду
|с0|+|с1(2-20)|+...+|сп(г-20)|+..., (16)
заключаем, что он сходится, если
ї -1
12 - 201 < (дю швы) ,
і -1
и его общий член не стремится к нулю, если |2 - 20] > (11п1 2/ .
п_›ОО
Отсюда получаем следующее
Утверждение 3 (формула Коши-Адамарац). Степенной ряд
(15) сагодится в круге |2 - 20| < В с центром в точке 20, радиус В
которого определяется по формуле Коши-Адамаро,
д=';і-_
1
ч/Щ (17)
В любой точке, внешней по отношению к этому кругу, степенной
ряд росшодится.
В любой точке этого круга степенной ряд сагодится абсолютно.
ІПІ
'П-УОО
Замечание. По поводу сходимости на граничной окружности
І2 - 20| = В в утверждении 3 ничего не говорится, поскольку здесь воз-
можны все логически допустимые варианты.
Примеры. Ряды
ОО
5) 2 2,
п=1
33
ЁМ8
3 ›-›
0:) 1
п=1
сходятся в единичном круге < 1, но ряд 5) расходится всюду при
|г| = 1; ряд 6) расходится при 2 = 1 и, как можно показать, сходится
при 2: = -1; ряд 7) сходится абсолютно при = 1, так как %2:2) =
'П 'П
ИЖ. Адамар (1865 - 1963) -известный французский математик.

Ё5. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 315
Следует иметь в виду не учтенный в формулировке утверждения 3,
но возможный вь1рожденнь1й случай, когда в формуле (17) В = 0.
В этом случае, разумеется, весь круг сшодимости вырождается в един-
ственную точку 2д сходимости ряда (15).
Из утверждения 3, очевидно, вытекает
Следствие (первая теорема Абеля о степенных рядах). Если сте-
пенной ряд (15) саюдитсл при некотором значении 2*, то он сасодит-
сл и даже абсолютно при любом 2, удовлетеорлющем неравенству
|2 - 20| < |2* - 20|.
Те утверждения, которые пока были получены, можно рассматри-
вать как простое развитие уже известных нам фактов. Теперь докажем
два общих утверждения о рядах, которые мы раньше не доказывали ни
в каком виде, хотя частично обсуждали затрагиваемые в них вопросы.
Утверждение 4. Если рлд 21 + 22 + + 2,, + номпленсньш:
чисел сшодится абсолютно, то ряд 2,1, +2п2 +. . .+2п,с +. . . , полученный
перестановнойц его членов, также абсолютно сшодитсл и н той же
сумме.
ОО
4 Учитывая сходимость ряда 2 |2.,,|, по числу е > О найдем номер
00 п=1
]/` Є М так, что 2 |2п| < Є.
п=1ї+1
Далее найдем номер К Є Ы так, что среди слагаемых суммы 51, =
= 2,,,, +. . .+2.,,,с при із > К содержатся все слагаемые, входящие в сумму
ОО
вы = 21 + . . . + 2,г. Если з = 2 2,,, то мы получаем, что при із > К
п=1
ОО ОО
|з - ё;,| < |з - зд/| +|з1/ - .ё';,| < 2 + 2 < 2:5.
п=1ї+1 п=1ї+1
Таким образом, показано, что 5,, -› з при /с -› оо. Если приме-
нить уже доказанное к рядам |21| + |22| + + + и |2,,,| +
+ |2п2| + . . . + |2.,,,с| + . . ., получим, что последний ряд сходится. Тем са-
мым утверждение 4 доказано полностью. Ь
1)Членом с номером І: (Іс-м членом) второго ряда является член 2% с номером пд,
исхо ного я а. Отоб ажение Ы Э Іє 1-› нд Є І1 п е полагается биективным отоб а-
д д
жением множества натуральных чисел Ы

316 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следующее утверждение будет относиться к произведению
(а1+а2+...+а,,+...)-(Ь1+Ь2+...+Ь,,+...)
рядов. Вопрос состоит в том, что если мы раскроем скобки и запишем
всевозможные попарные произведения аіод, то в них нет естественного
порядка суммирования, ибо есть два индекса суммирования. Множе-
ство пар (і, ў), где і, ў Є М, как нам известно, счетно, поэтому можно
написать ряд с членами аіод, взятыми в некотором порядке. От того,
в каком порядке эти члены брать, может зависеть сумма такого ряда.
Но, как мы только что видели, в абсолютно сходящихся рядах сумма не
зависит от перестановки слагаемых. Таким образом, желательно выяс-
нить, когда ряд с членами аіод сходится абсолютно.
Утверждение 5. Произведение абсолютно сссодящиссся рядов яв-
ляется абсолютно сазодящимся рядом, сумма которого равна произве-
дению сумм перемножаемьш: рядов.
4 Заметим сначала, что, какую бы конечную сумму 2 аіод членов
вида аіод мы ни взяли, всегда можно указать ]ї так, что произведение
сумм Ад = а1 + + ад и ВМ = Ь1 + + од будет содержать все
слагаемые исходной суммы. Поэтому
2
2
2
ЗЮЗ
8
›2@1д1,< Еіаідіі < 2І@1д1|= 21011 ° Еідіі < «ні ~2|д1І,
'і,]=1 і=1 1:1 °= _1=1
Х
откуда вытекает абсолютная сходимость ряда афд, сумма кото-
і›і=1
рого, таким образом, однозначно определена независимо от порядка
слагаемых. В таком случае ее можно получить, например, как предел
произведения сумм Ад = а1 + . . _ -1-ап, ВП = Ь1 + . . . +6” при п -› оо. Но
(Ю (Х)
А,,Вп -› АВ при п -› оо, где А = 2 ап и В = 2 оп, что и завершает
п=1 п=1
доказательство высказанного утверждения 5. >
Рассмотрим важный
(Ю ОО
Пример 8. Ряды 2 Ёа, Е йот сходятся абсолютно. В про-
п=0 ' 1п=0 '
изведении этих рядов будем группировать мономы апот с одинаковой

ЁБ. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 317
суммой п + т = /~с показателей степени. Тогда получим ряд
1 1
Ё чаптдт -
І п+т:К п. т.
ЁЁМ8
Но
1 1 '“ 1:! 1
і пьт : _ її пьіс-п : _ Ь І:
2 ттга /<в2п1(/<-п)1“ /<1(“+ )°
т+п=Іс п:0
позтому мы получаем, что
ОМЗ
Ё ›-›
9
ЁМ8
Ё.
8
_ . _ь = 2д(а+ь>'°. (18)
п: = Іс=0
3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
В примерах 1) -- 3) мы установили абсолютную сходимость в С рядов,
полученных распространением в комплексную область тейлоровских
разложений функций ет, Ѕіпш, созат, определенных на К. По этой при-
чине естественнь1 следующие определения функций ег, сов 2:, Ѕіпг в С:
1 1 1
ег=ехр2:=1+їг+Ы22+ї23+..., (19)
1 1
соЅ2:=1-ї22+Ш24-..., (20)
Ѕіп2:=2--2+-2 -... 21
З! 5! ( )
Подставим, следуя Эйлеруї), в (19) 2: = іу. Группируя соответствую-
щим образом слагаемые частичнь1х сумм получающегося при этом ря-
да, найдем, что
1 1 1 1 1
1 __ . _ . 2 _ . 3 _ . 4 _ . 5 О О . :
+ ,,(®у)+ 2,(@у) + 3,011) + 4,(@2~/) + 5, (211) +
_ 12 14 - 1 13 15
-(1-Ы;/4-Шу -...)+2(їу-ёїу +Ыу -...),
ПЛ. Эйлер (1707 - 1783) _ выдающийся математик и механик, швейцарец по проис-
хож ению больш ю часть жизни п оживший в Пете б ге. По вы ажению Лапласа
7 7
«Эйлер -- общий учитель всех математиков второй половины Х/'ІП века».

318 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Т. Є.
у = сову+івіпу.| (22)
Это и есть знаменитая формула Эйлера.
При ее выводе мы пользовались тем, что 12 = -1, із = -і, 14 = 1,
і5 = і и т. д. Число у в формуле (22) может быть как действительным,
так и произвольным комплексным.
Из определений (20), (21) видно, что
сов(-2) = сов 2,
віп(-2) = - віпг,
т. е. сова -четная функция, а віпг ~нечетная функция. Таким об-
разом,
е_'у = сов у - івіпу.
Сравнивая последнее равенство с формулой (22), получаем
сову = Ё (єіу + е_іу) ,
віпу = (єіу - вы”/) .
Поскольку у-любое комплексное число, то эти равенства лучше
переписать в обозначениях, не вызывающих недоразумений:
1 . .
совг = 5 (єш + е`”) ,
1 (23)
вшг = (ви - є ”).
Таким образом, если принять, что ехр 2 задается соотношением (19),
то формулы (23) (равносильные разложениям (20), (21)), как и формулы
-2
7
с112=%(е”+е )
1 <24›
ЅЬ2 = 5 (ва - ей),
можно принять в качестве определений соответствующих круговых и
гиперболических функций. Забыв все наводящие и подчас не вполне

55. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 319
строго обоснованные соображения, относившиеся к тригонометриче-
ским функциям (которые, однако, привели нас к формуле Эйлера), мож-
но было бы теперь проделать типичный математический трюк, приняв
формулы (23), (24) за определения и получить из них уже совсем фор-
мально свойства круговых и гиперболических функций.
Например, основные тождества
сов22 + віп22 = 1,
СЬ22 -ЅІ122 = 1,
как и свойства четности, проверяются непосредственно.
Более глубокие свойства, как, например, формулы для косинуса или
синуса суммы, вытекают из характеристического свойства показатель-
ной функции
ЄХІ>(21 + 22) = ЄХР(21) °ЄХР(22), (25)
которое, очевидно, следует из определения (19) и формулы (18). Выве-
дем формулы для косинуса и синуса суммы.
С одной стороны, по формуле Эйлера
еі(”1+”2) = сов(21 + 22) + івіп(21 + 22). (26)
С другой стороны, по свойству показательной функции и формуле Эй-
лера
єі(”1+22) = етещ = (сов 21 +11віп21)(сов 22 +1Івіп22) =
= (сов 21 сов 22 - віп 21 віп 22) + і(віп 21 сов 22 + сов 21 віп 22). (27)
Если бы 21 и 22 были действительными числами, то, приравнивая
действительные и мнимые части чисел из формул (26) и (27), мы уже
получили бы искомые формулы. Поскольку мы собираемся доказать их
для любых 21, 22 Є (С, то, пользуясь четностью сов 2 и нечетностью віп 2,
запишем еще одно равенство:
єі(“1+“2) = (сов 21 сов 22 - віп 21 віп 22) - і(віп 21 сов 22 + сов 21 віп 22). (28)
Сравнивая (27) и (28), находим
1 - _- 2 . .
сов(21 + 22) = 5 (є'(21+22) + є ”(21+“2)) = сов 21 сов 22 - в1п 21 вш 22,

320 ГЛ. /'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
. 1 - _- . .
в1п(21 + 22) = (е”(”1+^*2) - е '(21+“2)) = в1п21 сов 22 + сов 21 вш 22.
1
Совершенно аналогично можно было бы получить соответствующие
формулы для гиперболических функций сІ12 и в1г12, которые, кстати,
как видно из формул (23), (24), связаны с функциями сов 2, віп2 про-
стыми соотношениями
сп 2 = сов 112,
в11 2 = -1 в1п 12.
Однако получить такие геометрические очевидности, как віптг = 0
или сов(2 + 2тг) = сов 2, из определений (23), (24) уже очень трудно.
Значит, стремясь к точности, не следует забывать те задачи, где соот-
ветствующие функции естественным образом возникают. По этой при-
чине мы не станем здесь преодолевать возможные затруднения в описа-
нии свойств тригонометрических функций, связанные с определениями
(23), (24), а еще раз вернемся к этим функциям после теории интеграла.
Наша цель сейчас состояла только в том, чтобы продемонстрировать
замечательное единство, казалось бы, совершенно различных функций,
которое невозможно было обнаружить без выхода в область комплекс-
ных чисел.
Если считать известным, что для 11: Є К
сов(а: + 2тг) = сов 1:, віп(:с + 2тг) = віпаг,
сов0= 1, віп0=0,
то из формулы Эйлера (22) получаем соотношение
Ь”+1=а| шт
в котором представлены важнейшие постоянные различных областей
математики (1 _ арифметика, тг ~ геометрия, е - анализ, і- алгебра).
Из (25) и (29), как и из формулы (22), видно, что
ехр(2 +1І21г) = ехр 2,
т.е. зкспонента оказывается периодической функцией на С с чисто
мнимым периодом Т = 1121г.

Ё5. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 321
Учитывая формулу Эйлера, тригонометрическую запись (7) ком-
плексного числа теперь можно представить в виде
2 = 'ге“р,
где *г-модуль числа 2, а 90-его аргумент.
Формула Муавра теперь становится совсем простой:
2 = гпєтф. (30)
4. Представление функции степенным рядом, аналитич-
ность. Функция Ш = [(2) комплексного переменного 2 с комплексны-
ми значениями Ш, определенная на некотором множестве Е С С, есть
отображение _/' : Е -› (С. График такой функции есть подмножество в
(С × С = К2 × ІК2 = ІК4 и поэтому традиционной наглядности не имеет.
Чтобы как-то компенсировать эту потерю, обычно берут два экзем-
пляра комплексной плоскости <С и в одном отмечают точки области
определения, а в другом-точки области значений.
В рассмотренных ниже примерах указаны область Е и ее образ при
соответствующем отображении.
Пример 9.
: Ё: '.:. .-.'І:І Ё:Ё::'Ё'Ё` 0.1-(9.'› . . _-.^.п-›.'. ,
Ёу 1:;->Ѕ-:=':;._г=;гдд;=@ 1аь=>~:-;;:;є;;=:;-;з;?~
я - _
ї
7/0
;=.
':=з-є-ії'-ё:=:= гЁ±:гёг=*
3-Д-`г;,-5=Э.;;;ї
гг; ддд-= -_ ›±.›3д: 33:55:35
$<;с';г;;;ёёгў =я=-==-1
чё
-1_ 235:-:
., Щ
1'Ё.'›=Е_;1Ё 'ЁЁЁЁЁ ;Е'ЕЁ.=1Ё=Ё=;€
ё-;51;=Е1$Э=;:.;;5›.д±_;;-
11=ьэ<:гг;1›ёггё=:
:ы=;гг=«=;=зг:=-›~'-5:2 ==:$г›=.=<›>==з гг: г=:;=э
×ш:<&$=.г%ё:Ё:;<› Ёд;гі=:$Зї'.›=.$:ч::^э:
:.-тт==:=±. =г=:;==:=
%_Ёг=#*:=з;:;:;ёё::;г=г:~
її-Ё *- -їёчїёїіїїёіїї
5 ;.;.< -д_ _ _,;<- --^-. 1
=#==к5І;.-І;5›€,ї;їё'Е;1=-3
із; <- 4<:€їгг,5
»Ё ўёдщ
ы- .- -^-~ ~-1:--1:1;--:<~<-;-›-т
€›Ёг:==:=:=:$;.'ё$1=ггі;
=:»:.=.;. к:<-±~: э›э:::є.г-:=: г=.. за
«-5 Н + 1 ї .~:_ ,›д_±_-;,:_-_т_ д :--:3;
2 2 Ш ”'
94.5
:- ›Ё
<<:~::.< -
:-Ё --› .
ё:=г=ёз=гг
Ё`:`ї-1115,
:ї:›:«'ў,:;;
Рис. 37.
Пример 10. і _
3/
@ 3*; @>
Е:Еї3Ё.ї.'? .153511125-'Ё:=5ЁЁї:5'5'=Ё'ЁЕ513ЁЕїЕ}.=.Ё.Ё
г-$,:Є-З;,:››- -'*-:- - ст-.-_-< -:~.-:-~->:. :-›.-'
- -51:33:.;«г%=:=:ё~гьг<--:г=;=г-'~=<===:-'.:=:›>:.-.-г '< --=:г;г-~-->=
~>$<'=г:::=ч====-:ёЕёа-*ї:г=:`єё=-=ьг@г':= -'-'==: .=. ==.=.гг-=': гг:-- :;-=і.=:=; 2
,.<-..;;< -»-иїгьы---; ::-. : ;- : »Ь :
-'.';<->=.';':':'-'--;:€'*°€>1 = -~ .-;';'$.=;=:? 1: :-:=-- <.. 1-Н* -»-- -
:::'>=:-Ё$.;.=;;:-э_=.-::=Ъгё:›°і -::;-:<=;›:-. га-:=;, -га.: =±=
-1.7: ' =;=›г±~2г3=:%'-%- ї21ъ=ч~зъ'- -= 1. ;=;*Є- *Ч-2*: га:
:-;.-- =е.=.±.= :ёг3;;:г -3-, -;`; _;:1 -
.-:?' :2<Е=:=?Ёі*'Ё '-*:.=$і'-;т.1'.$€3: Е<5<г- 2: її.-;с 1 '-=:'.=і<=;2їЁ ›:'.';=:; _. =:': .=Ё;-;- ==;=--..=- =
г ;Ё' Ёдгг;гіа%іЁ1;г;5±Ё:;;*г-ггЁ:%?г1€эє:== ;;ЁЁ*Е3ёг$;=г=;ге=:зЁг: гэггзд, -5-:г.:;; .-гї,;`-=-;1-. 1:
' 4г==ёг15:Ё'-г~*:ігі*їі3ь?г*. -=:=”
О из О и
|2›-›г+і='ш!
Рис. 38.

322 ГЛ. /'_ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 1 1. _
ту ш
Это следует из того, что і = вт/2, 2 = те” и і2 = т°єі(“р+“/2), т е
_ -жі-
.-:-:2> '2$'=:
.-.-:-:;':ї› '-$Ёї:-Ё;
оЪ~.Ё*=Ё_ 511. 1
' '-: *Є-:~:.- -›-:~.~^-:-:-5:
1Ё9ё'*:=ў=:3Ѕ:ЁїЁ'$їЁ%ї-1:9
І
Ш 'Ц
2 ›-› і2
Рис. 39.
произошел поворот на угол
Пример 12.
іу зи
мдф- 'І
_» - 'Ё
'ъ ' :
%×*й?*›
-ъ
,Ё
е,
-.¦-
-э<:*-_
г2`“ :__×_
=ш
:;'~:'-'-ды '-:~:-' ;:'_'-г;~__
4-2'1'-'_':3'-':і:1:с>2-_~Ѕ' '_ _ : ' .
,«гё**Ё5Ёё~ *' г~
-;ў5*-*5`Ё3'*'<<*'ї'%°?' -і'*ь'ї'- _ , ' 2
=гЗ;3›ъ><:=:=Ё;=±=:ъ:;:=:<чч=:=±<ч.я ,+. *< .?.<' ~ , ~› -зі
:<~: 9:-:~›.~~о'.;›:-›:-с-ъъ:-ъ
352221Ё:1:і'5›і:3:23:1:і'ё€Ё:їЁд'ї<“='ї:ї'3:ї:=ъ7$:
=:а=:=:=$-=:=З:=:›:=:=±=З:=-=;=;:З?:>$=›$:ъ›чє=:
:-; *Бы-==-=:=3*=-=:з›~г=
-5:1:ї±Е1:$:-:$Ѕі:?:&21>:2$:?:&-с-Ёёїіїїї Ш
_ «Ё ~› ,_
5: '=' '
“
#91 Ёу °-›:--:›х'-сё-Ѕ'<і›5 '“- *З-'-:Ъ-›' <
Ёгдгўм- _ _; ::+:-.› _ _ 4?
_.. _
<5
22*
Ё, Ъ
;- - _ _› 4 › -;_; -›: -
~' _ ' ' _ '_. :~:> ,.
.--5,., <і›';д'*»›'-!<°°°.-':^^ ' __ - »_ -- .,и..
..._ . » У __ __ _ ду. _:9е%5››*_.-___ _ _ _ :___:. д
О т О т
2 1-› 22 = 'Ш
Рис. 40.
Ибо если 2 = тем, то 22 = т'2єі2“Р.
Пример 13
Пример 14
О
_
_ :~. '=' 1› 55===~=~і'=<=#ї:5ёё*~
-`-;ё< <==~:@?ё==
0 1'
›
мм.
2*-›22='Ш
Рис. 41.
іу
__ ;г;є$г=$±5=г&д3;›,<._
_ :'*Єї3&¦:':їЁЁ :ї:°'ї:>~'-<:3ҐїЁ' .
_===є=э$=::згёг===і=гїїё=г=
:<-:-.-:-'- -:-:-:-:--› :-:---:--›:--_-›:~- -ы-_
..;.._^_, ___. _ _ _;-_
;»Ч<%;Ъ:её=&=-ьь==ё>;ёє_&<.і:
-;г›:є<-:›:<ї5~›э-ьмъсіё-:-:~. :3ь! є& _ $::ё~:-:»›:*:~:->:~›.-›м-ъь:-
=-=-*~ь×~-=<~ <=;=;›': .<'#=›'“
~
.›=єі*;;гїь2:±._
.'-=-=: .=-=:-'-›› :=-`<:- : _ мы =_-:-,:~=-'-;±±._=-
_ 152
-_+_- с '-
- -: `.›ъ&$<~9-
Ж
_. ~ »__ _
*Ёї=:г.~2*3:=я››~-'
4
мгфч
гдў
1
2 ›-› 22 =
Рис. 42.
іи
±»*~':-_
.~--_1_-=:==ыъ;.«г:=-'~<-М _ ~
_
/:-. 2-_-54%-!'5?~ -ть. 43 ” --
:* '~ _. -.
«:±_ш,%э3;д_;-
'
_ ,__ ...« _. _ к_...<.-.дд_. .»..
;=:$:=±г=5:; -' 3*? ' а
'
~ ж, › 1 _
:5:;:;;5;;;;;_~ =›<-
-.1 : '- ~. _ _
-ча. .- _-:- '
ЁЁ
ч
9
Ф
Ч
<
Й»
;.
.
-;-5:-.:ї:-~' ~ т 2 . ~
.;~Е:=-=-=› 5.,-5:-_--=:д:$
_-:~:1-5:-:3:?Ё-Ё:-Ѕіцї:-що:;5: -:-:-:-'НУ-:-' 1:-:-: '
<Ё5іЁ=ЁЁ3ї '_ ЧЕЁЕ `
='==***@ё:э-#з;=:*'%-*<'1:ёг3~*:«?{:,Ф›: ее
он .м›*' * *І ХЁ
2 ^< Ё ёф «її-
І ;;_:_`,, тд,-,~;.~ Ч: .. ,ды < .,+
и'
5%
5
._
3%:
.;,5:; _' =:г54_.-3:; -= ___
г=г=›- =<==_-=-__*$*-›<ъ-
ігіідї235:214221:Ы:2.-:іЅ:і:ї:ї:<-:->5 5›1ї:і:=:ї:>,:ё-:-:=:ї:5ЁЬ. '- $125 1:
'ї$:=Ѕ:=:$ї:=:'=:ї'ї:'Ч ' Ѕ$$'=±=:Ж$.~їаї Ё
ъгїкм--*:=@:=:$$: =к;=-*3Ё3:а>=:г=-:1~т;=$ 4 »3-
::±:=8›ъ=-є=-=:г$г- - ёу
*5:ї'$:ї:=й'°:їЁ;=:-: .Ё:. д.. __ 154”›3і:¦:259$;Ё2ї5<:4_?››$;5$Ё?5'~./
<›
фёгу _ -›_ ~_=ь: чи
Ж ,› '*'= _
~
--ету;-:~-гг _» -#1
іагд
?-9
Ёєё
'Ш
2

Ё5. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 323
Из примеров 12, 13 понятно, что в данном случае образом единич-
ного круга снова будет единичный круг, но только накрытый в два
слоя.
Пример 15.
іу іи
_.=&<-4;-1-5-;'-2 _,:3±;': »Ё _;- 1- ,; ,:; И '-=_'_»= -;_ * -тк---1-.-~.-РВ;-_
,_
_ _ ';'-> -1'<:='=>Е;ъЁ:; ;~ї=Е ':=-* ='*' <^1 2.* <'Е _=;_ -1 552 _
-:- т=:×:'_>1 =:=--->-= `:: _ _ -5:” -1->><_><'-':=<--з:;< гы--~ --1: г -11 ;2' ;=: :-: - _' 11 'гг
__ў$1_›3:-:›'-ї :3;:;:1:-:-,;:_.. ›› ' ----~'-^~:;:;`;_4>$››.-:};$:$<-:;›':_ :;:<:-:д;:$5_Ч 2-_:Эд;3:-:;:,;;;;`
_-1-сд-,__:5,і_-3~_; 'д::;;_×^-31'-_(';›ї5_._ 5 1-'::›:ў-6 _:-;_;;.::-1. :- (<^-:ё;.›:_:-;у- нм-:;;__;~:д_<5::
_ :-›_-_-›- .:-г;-._:-; :<-- -: :-:-_~:: --11..: - ~ ж--~'›.;--*-;-г<:_- -=--;>-›---.›=.
_- “_ У-___.-»_~ - - Ъ ,- _<--!__ _- :-_ ~~:-.-›' :-›._
.-;'='ї=-'1:_`.1ї”5_ :=-ї~'==ЬЗ**Ё-*її-1 Ґ-Ё1=-1 - -~~ 'ї'їё'='==€`=Ё'-ї.-.›`ї- їёіїїіё `%'**Ё-=І='ї*Ё^її
- Ё-_-:-гг; і_1:: :->-,=:-'~1.і_' 1: :';?3:>';-» .':'Ё<-Ё(:ї:- 1-Ыї'г'ї_-:- ії-:ёї1`:ї:-.ї_-'- : '_ '~:ї*н :-'-'~
_'_її.Ё`Ёі_Ё _ :- _ ` Ё:':13Ґ:-І-1 ЁЁЁК-51Ё;'_-.' Р-Ё=д=ї_' Ё-': СЁ <'-Ё і:ї7-9 `_Ёї_-ддїё-55-35 оп
-:-:-ь.-;-,'4.›~›: ' :- >››:- :-:-_1~' 1- : * ':е*›- -.->_» -5 :-11* -:- :.- :~:--:-.-:
;'~~;<×*ь>:' ;:: г'~ъ1 тд -'-'±?›=- >'“ ><:' ??×-=3*-›:г,_гя:>і-››г:-=3г›'-<:г;э:-$-'ё<~ ы. '<> <':~ -1 ›:;=:
дїї-:$;ї;€`?ї_-:=;у_ єёь :'_І 26* ^›;<'=: 2›;›'?*€ЁЁ-%:,ч<21:Т_=.>чЁі='.$=-<.Ё{;Ґ5:*ї$3й;;' `Ё1_=І=:-':-<Ё:-
-=$›<=-ті 1** ' --1-=:: ж:;г=<$±і: гы->=~з:ї-3*-':±-1-;<Б5<і± :-:г_'<2'==-г-:':-':
'**ё=ї=ь Ю ЁЁ_ЁїЁЁ= Ё7'їїїїЁЁгЁ$Ё'ЁїЁ:Ё:і.'їЁ'=ёї'_` ЁЁЁЁ3ЁЁЁЁї5ЁЗЬЁЁ“Ії:=ї*%*єі;*І[ї-гё”І$Ё=ЁёїЕ~їі' и
-_; 'ї'Ё-; Ь--'ї:_. $:':_:{'-›*2~Ъ-2 '-::її-<:1;--.-3-_-;::1<<:_5;.-с-:-її.-5 _- :'1ї.-.ггг'~:1:-'1-.'і-'-_›2їҐ`ї:ї_1.;5'-Ё
_~. .-~.< ~ -5 -'-9 к -.-»_<~:›~:-: $'_<›._ Ъ- :>;~:-Э»,--:~›' -.-<-- _-:>:_-ы'_<-›:'~,:--:.;~:=-
-,_іъ<››Ё!$< _- 2.? _ 1 :7›-'>-ч-Є-14:/-';ў:-:-;›Ё:-››:_ .~_-ё-›:ё<; ›.-›_;-: ::д»-.-' < ›._›› :< :-:х«ъ;›:-:«:_?<ї:›::-_~›:-.--э'.'ї:« Е-:= __
На-'< :'$~1?Е`=-Ы, ~г<,;.1±×== 1*: '_'д:;>~,уё'-;,=<_>ё-<;::гг , ,_,-- на-.<:.-=›;=;=›=д;<<=-':›==:=-' = '-><= п
›_-.›<_- -.«- - , их : -_ - -, ,д-;---3-_;;±_-~; _;: :;_- _-_:_-4-:; '--»_ Ф-
'-=-_>. г-'є››=-'Ы-=:'-'їх - :-532-г -›---=-=. --ЗМ* Ё<~››±їъ<-=› ;=›-'->±-: мг.: 23-.›ъ--> -_.
_.,-__..-_-'-> -^_-›_;_- ___--_» _- _-~/ 2^.-1--›››-1-4:-:-_ х- 2-,_ _<<- '--__--Ф -<_-- -_ __
-_×« М. _,»<0'2~.-.-<---^---. _ Ф _. -- __,6_›_-$__._ -<^>.°^^-'> -._-_-›-~с-:-_
'ж';.;×: ±- да* ;-к-2** -'-::;:›' “ ›:_ -:~: '-:±'_-:.;-:;:_::::7 ,эгйдсдз -.«:`Г›:--- 1:
_-< 1. _ __. __ __ ___ кс, 2,...
~:_ _- _=;-_:< :›:;$-=-':-_<›';--:<-›З- «=-:-21» ››-:=-';~-.=-.-;г';і-;::=?:.~:-›<$_ :-,-'±- -=.2*===<ё`ї=.-::=<Ф?
- 5%? ›5 592- ' ' :;'=ї€г3г: ;ї5;.-.:ё?ї:_ззїгг;= їіІг=г:€г1$Егг,г<==.їг5
- *~=~ =2~“^ ' г=гзг.г=гї':г:!г-==:=тг=:
~'-'-'-Ѕ~--'-'-:ї`-: --:~_':-Ч: :-5:.-:-_-_-'::›:'_. -:-:1-
-.>:ё:-Ё- <с::-_- мы
Рис. 43.
Если 2 = лет, то в силу (30) 2” = те'д'“р, поэтому в нашем случае
образом круга радиуса 'г будет круг радиуса Т и каждая точка по-
следнего является образом п точек исходного круга (расположенных,
кстати, в вершинах правильного п-угольника).
Исключение в этом смысле составляет только точка ш = 0, прообраз
которой есть точка 2 = 0. Однако при 2 -› О функция 2 есть беско-
нечно малая порядка п, поэтому говорят, что при 2 = 0 функция имеет
нуль порядка п. С учетом такой кратности нуля можно теперь гово-
рить, что число прообразов любой точки Ш при отображении 2 ›-› 2 =
= Ш равно п. В частности, уравнение 2 = О имеет п совпадающих
корней 21 = =2п =0.
В соответствии с общим определением непрерывности, функция 1” (2)
комплексного переменного называется непрерывной в точке 20 Є (С, ес-
ли для любой окрестности У([ (20)) ее значения 1” (20) найдется окрест-
ность Ґ/'(20) такая, что при любом 2 Є П(20) будет [(2) Є У(](20)).
Короче говоря, _
їїт Ґ(2) _ ((20)-
2-›20
Производной функции І (2) в точке 20, как и для вещественного слу-
чая, назовем величину
. 1” (2) - ї(2 )
Ґ,(20) = ІШ1 '__Тї› (31)
2:->20 2 -
если этот предел существует.
Равенство (31) эквивалентно равенству
і(2) _ і(2о) = ї'(2о)(2 - го) + 0(2 - го) (32)

324 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при 2 -› 20, соответствующему определению дифференцируемости
функции в точке 20.
Поскольку определение дифференцируемости в комплексном случае
совпадает с соответствующим определением для вещественных функ-
ций, а арифметические свойства поля С и поля К одинаковы, то можно
сказать, что все общие правила дифференцирования справедливы и в
комплексном случае.
Пример 16.
(і + 9)'(2) = і'(2) + 9'(2),
(І ~9)'(2) = 1”'(2)9(2) + 1” (2)9'(2),
(9 О 1”)'(2) = 9'(і(2)) ~1“(2),
поэтому если ]`(2) = 22, то 1“(2) = 1-2 + 2-1 = 22, или если [(2) = 2,
то 1“(2) = п2_1, а если
Рп(2) = со + с1(2 - 20) + . . . + сп(2 - 20),
то
= с1 + 2с2(2 - 20) + . . . + пс,,(2 - 20)_1.
(Ю
Теорема 1. Сумма = 2 сп(2 - 20)” степенного ряда -бес-
=0
конечно дифференцируемал фунйцил во всем круге сшодимости ряда.
При этом
Ґ(Ы(2)=ї:Е,;(с,,-,(2-20)), Іс=О,1,...,
п=0
Ц 1
с,,=;Ъї[()(20), п=0,1,...
4 Выражения для коэффициентов сп очевидным образом получают-
ся из выражений для ]('°)(2) при Іс = п и 2 = 20.
В свою очередь, формулы для 1 ('“)(2) достаточно проверить только
при Іє = 1, ибо тогда 1” снова окажется суммой степенного ряда.
ОО
Итак, проверим, что функция <р(2) = 2 пс,,(2 - 20)””1 действи-
тельно является производной для ”=1

5,5. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 325
Прежде всего заметим, что в силу формулы Коши - Адамара (17) ра-
диус сходимости последнего ряда совпадает с радиусом сходимости В
исходного степенного ряда для І
В дальнейшем для упрощения записи будем считать, что 20 = 0, т. е.
Х ОО
что [(2) = 2 спа, <р(2) = Е псп2”“1 и ряды сходятся при |2| < В.
п=0 п=1
Поскольку внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсо-
лютно, можно заметить, и это существенно, что при < 'г < В спра-
ОО
-1 _ -1 -1 -1
ведлива оценка |пс,~,/2 | _ п|с,,||2| < п|с,,,|'г'* , а ряд 2 п|с,-,,|т
п=1
сходится. Значит, для любого Є > 0 найдется номер 1/` такой, что при
|2|<т
Х Х
_ _ є
Ё папа 1 < 5 пспт 1 <
п=1/+1 п=1ї+1
Таким образом, с точностью до Ё функция <р(2) в любой точке круга
|2| < 1* совпадает с 1/' -й частичной суммой определяющего ее ряда.
Пусть теперь С и 2:-произвольные точки этого круга. Преобразо-
вание
ЛС) -і(2) ЕСПС -2
= Ее” ((_1 +('_22+...+(2`2 +2`1)
п=1
и оценка |с,,,(('“1 + . . . + 2''”1)| < |с,,|т^_1 позволяют, как и выше, за-
ключить, что интересующее нас разностное отношение при |(| < 1 и
|2| < 'г совпадает, с точностью до Ё, с 1ї -й частичной суммой опреде-
ляющего его ряда. Значит, при |(| < 'г и < 1*
Ы ,,_ ,,, Ы
' -ф(2) < 1;с,,%€--Тёёпспгпд +23.
Если теперь, фиксировав 2, устремить С к 2, то, переходя к пределу
в конечной сумме, видим, что при С достаточно близких к 2 правая
часть последнего неравенства, а с нею и левая становятся меньше є.
Таким образом, для любой точки 2 в круге < 1* < В, а ввиду
произвольности г, и для любой точки круга < В проверено, что
1“(2) = <Р(2)~ >

326 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Эта теорема позволяет точно указать тот класс функций, для ко-
торых их ряды Тейлора сходятся к ним.
Говорят, что функция аналитична в точке 20 Є (С, если в некоторой
окрестности этой точки ее можно представить в следующем («анали-
тическом››) виде:
Х
Ґ(2) = 2:Сп(2 _ 20),
1ъ=0
т. е. как сумму степенного ряда по степеням 2 - 20.
Нетрудно проверить (см. задачу 7), что сумма степенного ряда ана-
литична в любой внутренней точке круга сходимости этого ряда.
С учетом определения аналитичности функции, из доказанной тео-
ремы получаем
Следствие. а) Если функция аналитична в точке, то она беско-
нечно дифференцируема в этой точке и ее ряд Тейлора сшодится к ней
в окрестности этой точки.
Ь) Ряд Тейлора функции, определенной е окрестности точки и бес-
конечно дифференцируемой в точке, сазодится к функции в некоторой
окрестности точки тогда и только тогда, когда функция аналитич-
на в этой точке.
В теории функции комплексного переменного доказывается заме-
чательный факт, не имеющий аналогов для вещественных функций.
А именно, оказывается, что если функция [(2) дифференцируема в
окрестности точки 20 Є (С, то она аналитична в этой точке. Это и в
самом деле удивительно, поскольку в силу доказанной выше теоремы
отсюда следует, что если функция 1” имеет одну производную 1“(г)
в окрестности точки, то в этой окрестности она имеет также произ-
водные всех порядков.
На первый взгляд это так же неожиданно, как то, что, присоединив
к К корень і одного конкретного уравнения 22 = -1, мы получаем по-
ле (С, в котором любой алгебраический многочлен Р(2) имеет корень.
Факт разрешимости в (С алгебраического уравнения Р(2) = 0 мы соби-
раемся использовать и поэтому докажем его в качестве хорошей иллю-
страции к введенным в этом параграфе начальным представлениям о
комплексных числах и функциях комплексного переменного.
5. Алгебраическая замкнутость поля (С комплексных чисел.
Если мы докажем, что любой полином Р(2) = с0+с12+. . .+с.,,2“, п 2 1,

ЁБ. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 327
с комплексными коэффициентами имеет корень в (С, то уже не возник-
нет надобности в расширении поля (С, вызванной неразрешимостью в С
некоторого алгебраического уравнения. В этом смысле утверждение о
наличии корня у любого многочлена Р(2) устанавливает алгебраиче-
скую замкнутость поля (С.
Чтобы получить вполне наглядное представление о том, почему в С
любой полином имеет корень, в то время как в В его могло не быть,
воспользуемся геометрической интерпретацией комплексного числа и
функции комплексного переменного.
Заметим, что
с с о,,_
Р(2)=2 (Ё+;д%+...+:і+сп)
и, следовательно, Р(2) = спа + о(2) при |2| -› оо. Поскольку нас ин-
тересует корень уравнения Р(2) = О, то, поделив обе части уравнения
на сп, можно считать, что коэффициент сп многочлена Р(2) равен 1 и
потому
Р(2) = 2 + 0(2) при -› оо. (33)
Если вспомнить (см. пример 15), что при отображении 2 1-› 2”
окружность радиуса 'г переходит в окружность радиуса т с центром в
точке 0, то при достаточно больших значениях т', в силу (33), с малой
относительной погрешностью образ окружности |2:| = 1* будет совпа-
дать с окружностью |ш| = т плоскости ш (рис. 44). Во всяком случае,
важно, что образом будет кривая, охватывающая точку ш = 0.
Если круг |г| < 1* рассма- _
тривать как пленку, натяну- 'у Ъ” @
тую на окружность |2| = 1*, то
при непрерывном отображе- п
нии, осуществляемом полино- ,. Ф ^ ІЁПІІ/_ 2)
мом ти = Р(2), эта пленка пе- /
рейдет в пленку, натянутую на Ё
'П 'П
Ч 2 г-› 2 + о(2 ) Ц
образ окружности. Но посколь-
ку последний охватывает точ-
ку Ш = 0, то некоторая точка
этой пленки обязана совпадать с ти = О и, значит, в круге < 1 най-
дется точка 20, которая при отображении ти = Р(2) перешла именно в
ш = 0, т. е. Р(20) = 0.
Рис. 44.

З28 ГЛ. /'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Это наглядное рассуждение приводит к ряду очень важных и по-
лезных понятий топологии (инденс пути относительно точки, степень
отображения) и с помощью этих понятий может быть доведено до пол-
ного доказательства, справедливого, как можно понять, не только для
полиномов. Однако эти рассмотрения, к сожалению, отвлекли бы нас от
основного предмета, которым мы сейчас занимаемся; поэтому мы про-
ведем другое доказательство, лежащее в русле тех идей, с которыми
мы уже достаточно освоились.
Теорема 2. Каждый по./вином
Р(2) =с0+с12+...+сп2“
степени п 2 1 с номпленсными коэффициентами имеет в (С корень.
4 Без ограничения общности утверждения теоремы, очевидно, мож-
но считать, что сп = 1.
Пусть и = Поскольку Р(г) = 2 (1 + % + . . . + її), ТО
|Р<2›| > 121 1-ЁЩ-...-Ш ,
121 121
и, очевидно, > п1ах{1,2,а} при > В, если В достаточно велико.
Следовательно, точки последовательности {2;,}, в которых 0 < |Р(2;,)| -
- и < %, лежат в круге |2| < В.
Проверим, что в С (и даже в этом круге) есть точка 20, в ко-
торой |Р(20)| = и. Для этого заметим, что если яд = ст, + 113/1,, то
п1ах{|:1:;,|, |у;с|} < |2;,| < В и, таким образом, последовательности дей-
ствительных чисел {а:д}, {у;,} оказываются ограниченными. Извлекая
сначала сходящуюся подпоследовательность {:сд,,} из {а:;,}, а затем схо-
дящуюся подпоследовательность {у;,,т} из {у;,,}, получим подпоследо-
вательность 2;,,т = а:;,,т +іу;,,т последовательности {2;.,}, которая имеет
предел гыт = :1:;,,,т + у;,,т = 1:0 + іуо = 20, и поскольку
|г;,| -› |20| при /с -› оо, то |20| < Н. Чтобы избежать громоздких обо-
значений и не переходить к подпоследовательностям, будем считать,
что уже сама последовательность {2;,} сходится. Из непрерывности
Р(2) в 20 Є С следует, что Ііш Р(2;,) = Р(20). Но тогда1) |Р(20)| =
= ,пт 1Р<2,,›| = Д. '°*°°
-›00
“Обратите внимание-мы, с одной стороны, показали, что из любой ограничен-
ной по модулю последовательности комплексных чисел можно извлечь сходящуюся
подпоследовательность, а с другой стороны, продемонстрировали еще одно из воз-

ёб. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 329
Теперь предположим, что ,и > 0, и приведем это предположение к
Р
противоречию. Если Р (20) 55 0, то рассмотрим полином С2(2) = .
По построению, @(0) = 1 и = Ёёїййїд-Д 2 1.
Поскольку С2(0) = 1, полином имеет вид
С2(2) = 1 + 91,21” + (1;,+12К+1+...+ ЧП2,
где |с1;,] уё О и 1 < /є < п. Если 9,, = рєіф, то при <р = ч будем иметь
сд,-(е“р)/“ = ре“де'('“_ф) = ре” = -р = -|с_1;,|. Таким образом, при 2 = гещ”
получим
|С2(1°еі*°)| < |1+ <1;,2І“| + (|<1;,+12]°+1| + . .. + =
_ /Ф - - _
-11- 'г|<1/<||+ т]“+1(|(1;,+1|+...+ |с1,,|т І” 1) _
=1- 1°'°(І<1ьІ- 1“І<1ь+1І - - 1*“ІчпІ) <1›
если г достаточно близко к нулю. Но |@(2) 2 1 при 2 Є (С. Полученное
противоречие показывает, что Р(20) = 0. >
Замечание 1. Первые доказательства теоремы о разрешимости
в (С любого алгебраического уравнения с комплексными коэффициен-
тами (которую по традиции часто называют основной теоремой ал-
гебры) были даны Даламбером и Гауссом, который вообще вдохнул
вполне реальную жизнь в так называемые «мнимые›› числа, найдя им
разнообразные и глубокие приложения.
Замечание 2. Многочлен с вещественными коэффициентами
Р(2) = ад + + а,,2”, как мы знаем, не всегда имеет вещественные
корни. Однако по отношению к произвольному многочлену с комплекс-
ными коэффициентами он обладает той особенностью, что если Р (20) =
= 0, то и Р(20) = 0. Действительно, из определения сопряженного числа
и правил сложения комплексных чисел следует, что (21 + 22) = 21 + 22.
Из тригонометрической формы записи комплексного числа и правил
УМНОЖЄНИЯ КОМПЛЄКСНЬІХ ЧИСЄЛ ВИДНО, ЧТО
ї ї . ї . Ё2_
можных доказательств теоремы о минимуме непрерывной функции на отрезке, как
в данном случае это было сделано в круге |2| < Н.

330 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом,
и если Р(20) = 0, то Р(20) = Р(20) = 0.
Следствие 1. Любой многочлен Р(2) = со + + спа степени
п 2 1 с комплексными коэффициентами допускает, и притом един-
ственное с точностью до порядка сомножителей, представление в
виде
Р(2)=сп(2-21)...(2-21,), (34)
еде 21,...,2:п Є (С (и, может быть, не все числа 21,...,2п различны
между собой).
4 Из алгоритма деления («уголком››) многочлена на много-
член степени тп < п находим, что Р(2) = + 1°(2), где
с1(2) и т'(2) -некоторые многочлены, причем степень т'(2) меньше сте-
пени С2(2), т. е. меньше т. Таким образом, если т = 1, то т(2) = т--
просто постоянная.
Пусть 21 _- корень многочлена Р(г). Тогда Р(2) = с1(2)(2 - 21) + 'г,
и поскольку Р(21) = 'г, то 1 = 0. Значит, если 21 -корень многочле-
на Р(г), то справедливо представление Р(2) = (2 - 21)а(2). Степень
многочлена <1(2) равна п - 1, и с ним можно повторить то же самое
рассуждение. По индукции получаем, что Р(2) = с(2 - 21) . . . (2 -
Поскольку должно быть си = спа, то с = сп. Ь
Следствие 2. Любой многочлен Р(2) = ад + . . . +ап2 с действи-
тельными коэффициентами можно разложить в произведение линей-
ныа: и квадратичныа: многочленов с действительными коэффициен-
тами.
4 Это вытекает из предыдущего следствия 1 и замечания 2, в силу
которого вместе с 21, корнем Р(2) является также число Ёд. Тогда, пе-
ремножив в разложении (34) многочлена скобки (2-2;,)(2-51,), получим
многочлен 22 - (ад + 2;,)2 + |2:;,|2 второго порядка с действительными
коэффициентами. Число сп, в нашем случае равное ап, вещественное, и
ЄГО МОЖНО ВНЄСТИ В ОДНУ ИЗ СКОбОК РЭЗЛОЖЄНИЯ, НЄ МЄНЯЯ ЄЄ СТЄПЄНИ. ›
Перемножив одинаковые скобки в разложении (34), это разложение
можно переписать в виде
Р(2) = сп(2 - 21),°1...(2 - 2р)]“Р. (35)

ёб. КОМПЛЕКСНЬІЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 331
Число Ісд называется нратностью корня 21.
Поскольку Р(2) = (2 - 2_1)'“іС2(2), где С2(2д) 79 0, то
Р'<2› = /вв - вт-1в<2› + (2 - 21)* е'<2› = (2 - ат-1Н<2›,
где В(2д) = І<:дС2(2_1) 76 0. Таким образом, мы приходим к следующему
заключению.
Следствие 3. Каждый корень 21 многочяена Р(2) кратности Ісд >
> 1 является корнем кратности 1:5 - 1 многоняена Р' -производ-
ной Р(2).
Не будучи пока в состоянии найти корни многочлена Р(2), мы на
основании последнего утверждения и разложения (35) можем найти
многочлен р(2) = (2-21) . . . (2-21,), корни 21, . . . ,2р которого совпадают
с корнями Р(2), но все они уже кратности 1.
Действительно, по алгоритму Евклида сначала найдем многочлен
9(2) -наибольший общий делитель Р(2) и Р' В силу следствия З,
разложения (35) и теоремы 2, многочлен с1(2) с точностью до постоян-
ного множителя равен произведению (2 - 21)'“1'1 . . . (2 - 2р)'“Р“1, позто-
му, поделив Р(2) на с1(2), с точностью до постоянного множителя (от
которого можно затем избавиться дополнительным делением на коэф-
фициент при 21)) получим многочлен р(2) = (2 - 21) . . . (2 - 21,).
Рассмотрим теперь отношение В(а:) = 5%;-Ё двух многочленов, где
С2(:1:) ўё сопзіз. Если степень Р(:1:) не меньше степени @(а:), то, приме-
нив алгоритм деления многочленов, представим Р(:в) в виде Р(а:) =
= р(:в)(2(:1:) + *г(а:), где р(а:) и т(а:) -некоторые многочлены, причем
степень г(:с) уже меньше, чем степень Таким образом, получа-
ем представление Н(:л) в виде В(а:) = р(ш) + Эгї, где дробь %% уже
правильная в том смысле, что степень 'г(ш) меньше степени
Следствие, которое мы сейчас сформулируем, относится к предста-
влению правильной дроби в виде суммы дробей, называемых простей-
шими.
Следствие 4. а) Если @(2) = (2-21)'“1 (2-2р)'“Р и ЁЁЗ -ПРИ-
вияьная дробь, то существует и притом единственное представление
дроби ЁЗ в виде
«Ф
/5
52 М
*-2
Є.
М-
Р-5
*М гг-
Є.
|_*
Ш: ~ (36)

332 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ь) Если Р($) и С2(а:) -мноеонлены с действительными ноэффиии-
ентами и
С2(ш) = (а: - 1131)” ...(а: - а:д)]°'(а:2 +р1а: + а1)т1...(:в2 +рпш + а.,,)т,
то существует и притом единственное представление правильной
дроби % в виде
Ё
333
%
,М-
см»
._І Ка.
Эй
+
%.
,М-
Р( = атс /Ё 171191? + Сід; (37)
.__ _ (ЗС - 5123) _ 1621 (132 -І-197513 + Чі),° ,
еде адд, од, сд - действительные числа.
Заметим, что универсальным, хотя и не всегда самым коротким
способом фактического отыскания разложений (36) или (37) является
метод неопределенных коэффициентов, состоящий в том, что сумма в
правой части (36) или (37) приводится к общему знаменателю С2(а:),
после чего приравниваются коэффициенты полученного числителя и
соответствующие коэффициенты многочлена Система линейных
уравнений, к которой мы при этом приходим, в силу следствия 4 всегда
однозначно разрешима.
Поскольку нас, как правило, будет интересовать разложение кон-
кретной дроби, которое мы получим методом неопределенных коэф-
фициентов, то кроме уверенности, что это всегда можно сделать, нам
от следствия 4 пока ничего больше не требуется. По этой причине мы
не станем проводить его доказательство. Оно обычно излагается на
алгебраическом языке в курсе высшей алгебры, а на аналитическом
языке--в курсе теории функций комплексного переменного.
Рассмотрим специально подобранный пример, на котором можно
проиллюстрировать изложенное.
Пример 17. Пусть
Р(;ь) = 25* + зад + ва;4 + ваз + 1о<ь2 + за + 2,
с2(:1;) = 1:7 +3:1;6 +5а;5 +7а:4 +75* +51? +з:ь+ 1;
требуется найти разложение (37) дроби
Прежде всего, задача осложнена тем, что мы не знаем разложе-
ния многочлена Попробуем упростить ситуацию, избавившись от

ёб. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЬІЕ ФУНКЦИИ 333
кратности корней (2(:1:), если таковая имеет место. Находим
о'(а:) = мб +1зт5 + 2515* + 2819 + 211? + 101; + 3.
Довольно утомительным, но выполнимым счетом по алгоритму Ев-
клида находим наибольший общий делитель
сі(:1:)=а:4+2:с3+2а:2+2:1:+1
многочленов и С2' Мы выписали наибольший общий делитель с
единичным коэффициентом при старшей степени 1:.
Разделив С2(ас) на сі(а:), получаем многочлен
с1(а:)=ш3+:с2+:1:+1,
имеющий те же корни, что и многочлен С2(а:), но единичной кратности.
Корень -1 многочлена Ч(:1:) легко угадывается. После деления с1(:с) на
из + 1 получаем 1:2 + 1. Таким образом,
<1(Ш)= (Ш +1)(Ш2 +1),
после чего последовательным делением сі(а:) на 1132 + 1 и 11: + 1 находим
разложение сі(:1:):
ат = (т + 1›2($2 +1),
а вслед за этим и разложение
С2(а:) = (ас +1)3(ас2 +1)2.
Таким образом, в силу следствия 4Ь) ищем разложение дроби З%% в
виде
Р _ 011 + 012 + 013 +д11Ш+С11 +д12$+С12
с2()_1:+1 (а:+1)2 (а:+1)3 :в2+1 (ш2+1)2°
не
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая ко-
эффициенты полученного в числителе многочлена и соответствующие
коэффициенты многочлена Р(а:), приходим к системе семи уравнений с
семью неизвестными, решая которую, окончательно получаем
Р(_1 2 +1+а:-1+а:+1
@() ш+1 (:1:+1)2 (1:+1)З а:2+1 (:::2+1)2'
за

334 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Задачи и упражнения
1. Используя геометрическую интерпретацию комплексного числа
а) поясните неравенства |21+22| < |21|+|22| и |21-|-. . .+2п| < |21|+. . .+|2п|;
Ь) укажите геометрическое место точек на плоскости (С, удовлетворяющих
соотношению |2 - 1| + І2 + 1| < 3;
с) изобразите все корни степени п из 1 и найдите их сумму;
(1) поясните действие преобразования плоскости С, задаваемого формулой
2 І-› 2.
2. Найдите суммы:
а) 1+с1+...+с1;
Ь) 1+(1+...+Ч+... при |(1| < 1;
с)1+ві*р+...+еі*°;
1 + те” + . . . + гпєітр;
+1'єщ° +...+теі”“р +... при |1'| < 1;
+ тсоЅ<р + . . . + 1*” созтр;
+тсоз<р+...+тсоЅщ0+... при |т| < 1;
1 +1°зіп<р+ ...+т°зіпп<р;
ь-ци ›-01
›-« ОЧ _ . Ф О-
у.-: І_* |-І
і) 1+т'зіп<р+...+1*'зіпп<р+... при |т| < 1.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа (1 + %)п и убеди-
тесь, что это число есть є*°'.
4. а) Покажите, что уравнение е'“' = 2 относительно ш имеет решение ш =
= Іп 2| + 1ІАг5 2. Естественно считать и› натуральным логарифмом числа 2.
Таким образом, ш = Ьп2 не есть функциональное соотношение, поскольку
Аг52 многозначен.
Ь) Найдите Ьп 1 и Ьпі.
с) Положим 2°' = ва І““”. Найдите 1 и
(1) Используя представление *ш = зіп 2 = -%(є'3” -е'і^°”), получите выражение
для 2 = агсзш 2.
е) Есть ли в С точки, где |Ѕіп2| = 2?
5. а) Исследуйте, во всех ли точках плоскости (С функция І (2) = Ё
непрерывна.
Ь) Разложите функцию Ё в степенной ряд при 20 = 0 и найдите его
радиус сходимости.
с) Решите задачи а) и Ь) для функции Ё, где × Є К-параметр.
НЄ ВОЗНИКЗЄТ ЛИ У Ва,С ГИПОТЄЗЬІ ОТНОСИТЄЛЬНО ТОГО, ВЗЭИМНЫМ РЗСПОЛОЖЄНИ-
ем каких точек на плоскости (С определяется радиус сходимости? Можно ли
было понять это, оставаясь на вещественной оси, т. е. раскладывая функцию
ї-тїїїї/:,где×€ЕІІ€.и:1:Є11Ч'?

ёб. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 335
6. а) Исследуйте, является ли непрерывной функция Коши
2
мг) - “Ч/2 * 2 *Ь 0*
О, 2 = О
в точке 2 = 0.
Ь) Будет ли непрерывно ограничение І |1д функции І из задачи а) на веще-
ственную ось?
с) Существует ли ряд Тейлора функции І из а) в точке 20 = 0?
(1) Бывают ли аналитические в 20 Є С функции, ряд Тейлора которых
сходится только в точке 20?
Х
е) Придумайте степенной ряд Е с,,,(2 - 20), который сходится только в
п=0
ТОЧКЄ 20 .
Х
7. а) Выполнив в степенном ряде Е Ап(2_- а) формально подстановку
п=0
СЮ
2-а = (2-20)+(20-а) и приведя подобные члены, получите ряд Е Сп(2-20)
п=0
и выражения его коэффициентов через величины Ад, (20 - а,)'°, А: = 0, 1, . . .
Ь) Проверьте, что если исходный ряд сходится в круге |2 - а| < В, а
|20 - а| = 1* < Н, то ряды, определяющие Сп, п = 0, 1,. . . , сходятся абсолютно
Х
и ряд Е Сп(2 - 20) сходится при І2 - 20| < В - 1*.
п=0
Х
с) Покажите, что если _і(2) = 2 А,,,(2-а) в круге |2-а| < В, а |20 - а| <
п=0
< В, то в круге |2 - 20| < В - |20 - а| функция І допускает представление
Х
і(2) = 2 0п(2 - 20)-
п=0
8. Проверьте, что
а) когда точка 2 Є С пробегает окружность |2| = т > 1, точка из = 2 + 2-1
пробегает зллипс с центром 0 и фокусами в точках ±2;
Ь) при возведении комплексных чисел в квадрат, точнее, при отображении
ш ›-› 102 такой эллипс переходит в дважды пробегаемый эллипс с фокусом
в нуле;
с) при возведении комплексных чисел в квадрат любой эллипс с центром
в нуле переходит в эллипс с фокусом в нуле.
156. Некоторые примеры использования
дифференциального исчисления
в задачах естествознания
В этом параграфе мы разберем несколько довольно далеких друг от
друга по постановке задач естествознания, которые, однако, как выяс-
нится, имеют довольно близкие математические модели. Модель эта-

336 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
не что иное, как простейшее дифференциальное уравнение для инте-
ресующей нас в задаче функции. С разбора одного такого примера-
задачи двух тел - мы, кстати, вообще начинали построение дифферен-
циального исчисления. Исследование той системы уравнений, которую
мы при этом получили, пока нам недоступно. Здесь -же будут рассмо-
трены вопросы, которые можно до конца репшть уже на нашем ны-
нешнем уровне. Кроме удовольствия увидеть математический аппарат
в конкретной работе, из ряда примеров этого параграфа мы, в част-
ности, извлечем также дополнительную убежденность как в естествен-
ности возникновения показательной функции ехр 1:, так и в пользе ее
распространения в комплексную область.
1. Движение те.ла переменной массы. Рассмотрим ракету, пе-
ремещающуюся прямолинейно в открытом космосе далеко от притяги-
вающих масс (рис. 45).
--'-1-1*Ё1$3Ѕ<:5:1:'_~< : ._.,_
«С ., -
. . - . . - -. -.›.;. _» ~;.у_ _ _
гаи-212,:-дд Ё _ ,із:-.-$.-.5,Ё3!;~.~5›;~.-›хЁЁ<#.-.4,д}:2~;›сі/И-.-.›.У, ._....^
_ .; _›:< .=:- .<г -::э::г=~.=±====~. .› .=г<-а:г-=-'-.›'.. ;.;=:'=:= : ' <=2 -
.- _'-'~:'~'..:;:-:;:? -'1-:;:;'*-.;.д›.:;:-'_.';:;._ ;:;:-_.-_:;:;:д-';._:;:; ;<-. - --›- -- -
= ў
іг.-4. :1:- дэ- -^=г~_<›?? _;--'4З,5.~=:=- .<€ъ<«›=~^
лёд; .д;;ї.- У €4ё;,,-.«›--
'<›`2›3:7д$д=$:.-ды- `
'ГПК ТП/Г Ш
Рис. 45.
Пусть М (15) -масса ракеты (с топливом) в момент Ё; 1/(15) -ее ско-
рость в момент і; ш-скорость (относительно ракеты) истечения топ-
лива из сопла ракеты при его сгорании.
Мы хотим установить взаимосвязь между этими величинами.
В силу сделанных предположений, ракету с топливом можно рассма-
тривать как замкнутую систему, импульс (или количество движения)
которой поэтому остается постоянным во времени.
В момент і импульс системы равен М (±)ї/(І).
В момент ±+ Ь импульс ракеты с оставшимся в ней топливом равен
М (±+/ъ)У(1ї+/1), а импульс АІ выброшенной за это время массы |АМ | =
= |М(і5 + 11) - = -(М(і + /1) - топлива заключен в пределах
(ї/(Ё) - ш)|АМ| < АІ < (ї/(1 +/1) - ш)|АМ|, '
т. е. АІ = (ї/'(1) - ш)|АМ| + а(іъ)|АМ|, причем из непрерывности ї/(15)
следует, что а(/1) -› О при /1, -› 0.
Приравнивая импульсы системы в моменты і и Ъ + /1, имеем
М(±)І/(±) = М(± + /1)У(±+ Ь) + (Х/(±) - ш)|АМ| + а(п)|АМ|,

ёб. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 337
или, после подстановки |АМ| = -(М (15 + Іъ) - М (13)) и упрощений,
М(± + /ъ)(ї/(Ъ + /1) - 1/(15)) =
= -ш(М(± + /1) - + а(Іъ)(М(± + 12)-
Деля последнее равенство на Ь и переходя к пределу при Ь -+ 0,
получаем
М(±)І/'(±) = -шМ'(±). (1)
Это и есть искомое соотношение между интересующими нас функ-
циями 1/(15), М (Ё) и их производными.
Теперь надо найти связь между самими функциями 1/(Ё), М (Ё), ис-
ходя из соотношения между их производными. Вообще говоря, такого
рода задачи много труднее задач нахождения соотношений между про-
изводными при известных соотношениях между функциями. Однако в
нашем случае вопрос решается вполне элементарно.
Действительно, после деления на М (15) равенство (1) можно перепи-
сать в виде
1/'(±) = (-ш1пМ)'(±). (2)
Но если производные двух функций совпадают на некотором про-
межутке, то на этом промежутке сами функции отличаются разве что
на некоторую постоянную.
Итак, из (2) следует, что
1/(Ё) = -ш1пМ(і) + с. (3)
Если известно, например, что 1/(0) = И), то это начальное условие
вполне определит константу с. Действительно, из (3) находим
с= И)+ш1пМ(0),
а затем находим искомую формулу1)
1/(±) = и,+ш1п%. (4)
/`
*Ф
М
“Эта формула иногда связывается с именем К. Э. Циолковского (1857- 1935) _
русского ученого, основоположника теории космических полетов. Но, по-видимому,
впервые она была получена русским механиком И. В. Мещерским (1859 - 1935) в его
труде 1897 г., посвященном динамике точки переменной массы.

338 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полезно заметить, что если тк _ масса корпуса ракеты, тт _ мас-
са топлива, а У-конечная скорость, которую приобретает ракета по-
сле полной отработки топлива, то, подставляя в (4) М (О) = тк + тт и
М (15) = тк, находим
1/=и,+ш1п(1+Ё).
тк
Последняя формула особенно ясно показывает, что на конечной ско-
рости сказывается не столько отношение тт / тк, стоящее под знаком
логарифма, сколько скорость истечения ш, связанная с видом топлива.
Из этой формулы, в частности, следует, что если УО = 0, то, чтобы
придать скорость У ракете, собственная масса которой тк, необходи-
мо иметь следующий начальный запас топлива:
тт = тк (ву/Ш -1) .
2. Барометрическая формула. Так называется формула, указы-
вающая зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем
моря.
Пусть р(/1) -давление на высоте /1. Поскольку р(/1) есть вес столба
воздуха над площадкой в 1см2, расположенной на высоте /1, то р(/1 + А)
отличается от р(/1) весом порции газа, попавшей в параллелепипед с
основаниями в виде исходной площадки в 1 см2, расположенной на вы-
соте /Ъ, и такой же площадки на высоте /ъ + А. Пусть р(/1) -плотность
воздуха на высоте /1. Поскольку р(/1) непрерывно зависит от /1, то мож-
но считать, что масса указанной порции воздуха может быть вычислена
по формуле
р({)г/смз-1см2~Асм = р({)Аг,
где Є-некоторый уровень высоты в промежутке от /1 до /ъ+А. Значит,
вес этой массы1) есть 9 - р({)А.
Таким образом,
р(/1 + А) - р(/1) = -9р(€)А-
Поделив это равенство на А и перейдя к пределу при А -› 0 с учетом
того, что тогда и Є -› /1, получаем
р'(/1) = -9/›(/1)› (5)
ЦВ пределах наличия заметной атмосферы величину 9 можно считать постоянной.

ёб. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 339
Таким образом, скорость изменения давления естественно оказалась
пропорциональной плотности воздуха на соответствующей высоте.
Чтобы получить уравнение для функции р(/1), исключим из (5) функ-
цию р(/1). В силу закона Клапейронац давление р, молярный объем У и
температура (по шкале Кельвина2)) Т газа связаны соотношением
У
1%- = Н, (6)
где В-так называемая универсальная газовая постоянная. Если М -
масса одного моля воздуха, а У-его объем, то р = 13-, поэтому из (6)
находим
1 М В В
=_. .Т=_._.Т= ._Т_
Р 1/ В У М р М
Полагаяя А = ЁТ, таким образом, имеем
Р = ×(Т)р- (7)
Если теперь принять, что температура описываемых нами слоев возду-
ха постоянна, то из (5) и (7) окончательно находим
9
р'(д) = -;р(/1)- (8)
Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде
'( ) 9
Е:
Р =__
р А
или І 9 1
<1пр›<Ь›= (-дн) ,
откуда
Іпр(/1) = -Ё/1 + с,
или
: вс . є_(9/›`)}7'_
Множитель ес определяется из известного начального условия
р(0) = ро, в силу которого ес = ро.
ЦБ. П. Э. Клапейрон (1799 - 1864) -французскшїі физик, занимавшийся термоди-
намикой.
2)У. Томсон (лорд Кельвин) (1824 - 1907) -известный английский физик.

340 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ИТЗК, МЫ Н8.ІЦЛИ СЛЄДУЮЩУЮ ЗЁЪВИСИМОСТЬ ДЕІВЛЄНИЯ ОТ ВЫСОТЫІ
Р = рог”/^)”. (9)
Для воздуха при комнатной температуре (порядка ЗООК = 27°С)
известно значение А Ю 7,7- 108 (см / с)2. Известно также, что 9 ш103 см / с2.
Таким образом, формула (9) приобретает вполне законченный вид по-
сле подстановки этих числовых значений 9 и А. В частности, из (9)
видно, что давление упадет в е (ю 3) раз на высоте /1. = З = 7,7- 105 см =
= 7,7 км. Оно возрастет во столько же раз, если опуститься в шахту на
глубину порядка 7,7 км.
3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный ко-
тел. Известно, что ядра тяжелых элементов подвержены самопроиз-
вольному (спонтанному) распаду. Это так называемая естественная
радиоактивность.
Основной статистический закон радиоактивности (справедливый,
следовательно, для не слишком малых количеств и концентраций ве-
щества) состоит в том, что количество распадов за малый промежу-
ток времени /1, прошедший от момента і, пропорционально /ъ и количе-
ству 1/'(11) не распавшихся к моменту ± атомов вещества, т. е.
1/'(± + 11)- 1ї(±) ш -›1ї(т5)/1,
где А > 0-числовой коэффициент, характерный для данного химиче-
ского элемента.
Таким образом, функция 1ї(±) удовлетворяет уже знакомому диф-
ференциальному уравнению
1ї'(±) = -×1ї(±), (10)
из которого следует, что
А/(±) = 1/ое-^*,
где По = 1ї(0) -начальное количество атомов вещества.
Время Т, за которое происходит распад половины из начального
количества атомов, называют периодом полураспада. Величина Т на-
ходится, таким образом, из уравнения е_›`Т = -Ё, т. е. Т = Ё-Ё ш

ёб. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 341
Например, для полония Ро21° Т ю 138 суток, для радия Наш; Т ш
т 1600 лет, для урана 11235 Т 'М 7,1 ~ 108 лет, а для его изотопа 0238
Т е 4,5- 109 лет.
Ядерная реакция _это взаимодействие ядер или взаимодействие
ядра с элементарными частицами, в результате которого появляют-
ся ядра нового типа. Это может быть ядерный синтез, когда слияние
ядер более легких элементов приводит к образованию ядер более тяже-
лого элемента (например, два ядра тяжелого водорода дают, с потерей
массы и выделением энергии, ядро гелия); это может быть распад ядра
и образование ядра (ядер) более легких элементов. В частности, такой
распад происходит примерно в половине случаев столкновения нейтро-
на с ядром урана 11235. При делении ядра урана образуется 2- 3 новых
нейтрона, которые могут участвовать в дальнейшем взаимодействии
с ядрами, вызывая их деление и тем самым размножение нейтронов.
Ядерная реакция такого типа называется цепной реакцией.
Опишем принципиальную математическую модель цепной реакции
в некотором радиоактивном веществе и получим закон изменения ко-
личества 1/`(±) нейтронов в зависимости от времени.
Возьмем вещество в виде шара радиуса 1*. Если 1* не слишком мало,
то за малый промежуток времени Іъ, отсчитываемый от момента 13, с
одной стороны, произойдет рождение новых нейтронов в количестве,
пропорциональном /1 и 1ї(±), а с другой-потеря части нейтронов за
счет их выхода за пределы шара.
Если 1; -скорость нейтрона, то за время /1 покинуть шар могут
только те из них, которые удалены от границы не более чем на рас-
стояние оіъ, да и то если их скорость направлена примерно по радиусу.
Считая, что такие нейтроны составляют неизменную долю от попав-
ших в рассматриваемую зону и что нейтроны в шаре распределены
примерно равномерно, можно сказать, что количество теряемых за вре-
мя 11 нейтронов пропорционально 1/' (15) и отношению объема указанной
приграничной области к объему шара.
Сказанное приводит к равенству
А/(± + Ь) _ А/(±) ~ ащ±)ь - гл/(±)ь (11)
(ибо объем рассматриваемой зоны равен примерно 4тгт2и/1, а объем ша-
ра Ётгтз). Коэффициенты а и В зависят только от рассматриваемого
РЗДИОЕЪКТИВНОГО ВЄЩЄСТВЭ..

342 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из соотношения (11) после деления на /1 и перехода к пределу при
/1 -› О получаем д
А/'<±› = (а = ;) ~<±›, <12›
1/'(13) = 1ї0ехр{(а - ±}.
1*
Из полученной формулы видно, что при (0: - > 0 количество
откуда
нейтронов будет зкспоненциально во времени расти. Характер этого
роста, независимо от начального условия 1ї0, таков, что за очень ко-
роткое время происходит практически полный распад вещества с вы-
делением колоссальной энергии-зто и есть взрыв.
Если (ое - < 0, то очень скоро реакция прекращается ввиду того,
что теряется больше неитронов, чем рождается.
Если же выполнено пограничное между рассмотренными случаями
условие а - Ё = 0, то устанавливается равновесие между рождением
неитронов и их выходом из реакции, в результате чего их количество
остается примерно постоянным.
Величина 1*, при которой а - Ё = 0, называется критическим ради-
усом, а масса вещества в шаре такого объема называется критической
массой вещества.
Для урана П235 критический радиус равен примерно 8,5 см, а кри-
тическая масса около 50 кг.
В котлах, где подогрев пара происходит за счет цепной реакции
в радиоактивном веществе, имеется искусственный источник нейтро-
нов, который доставляет в делящуюся массу определенное количество п
нейтронов в единицу времени. Таким образом, для атомного реактора
уравнение (12) немного видоизменяется:
1ї'(±) = (0 - 1ї(±) + п. (13)
Это уравнение решается тем же приемом, что и уравнение (12), ибо
1*/( )
(0 _ д/Т)]ї,(±) + п есть производная функции д:%ї1пКа - 1ї(±)+'п,],
если а - Ё 5% 0. Следовательно, решение уравнения (13) имеет вид
1ї0+пі при ог-Ё=О.

Ё6. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 343
тг шниявин чт иа-- в хк итич к м -
Иззооее до, оесл Ё>0се есаяас
са), то произойдет взрыв. Если же масса докритическая, т. е. а - Ё < 0,
то очень скоро будем иметь
'П
Ы(±)~т.
ї-С!
Таким образом, если поддерживать массу радиоактивного вещества
в докритическом состоянии, но близком к критическому, то независимо
от мощности дополнительного источника нейтронов, т. е. независимо
от величины п, можно получить большие значения 1/(15), а значит, и
большую мощность реактора. Удерживание процесса в прикритической
зоне-дело деликатное и осуществляется довольно сложной системой
автоматического регулирования.
4. Падение тел в атмосфере. Сейчас нас будет интересовать
скорость и(±) тела, падающего на Землю под действием силы тяжести.
Если бы не было сопротивления воздуха, то при падении с относи-
тельно небольших высот имело бы место соотношение
Ш) = 9, (14)
вытекающее из второго закона Ньютона та = Р и закона всемирного
тяготения, в силу которого при /1 < Н (Н-радиус Земли)
І7'(±) = Є-Іігдї н Є-А12-2 = ут.
(В + /1(±)) В
Движущееся в атмосфере те.ло испытывает сопротивление, завися-
щее от скорости движения, в результате чего скорость свободного па-
дения тяжелого те.ла в атмосфере не растет неограниченно, а уста-
навливается на некотором уровне. Например, при затяжном прыжке
скорость парашютиста в нижних слоях атмосферы устанавливается в
пределах 50 - 60 м / с.
Для диапазона скоростей от 0 до 80 м / с будем считать силу сопро-
тивления пропорциональной скорости тела. Коэффициент пропорцио-
нальности, разумеется, зависит от формы тела, которую в одних слу-
чаях стремятся сделать хорошо обтекаемой (бомба), а в других случа-
ях (парашют) имеют прямо противоположную це.ль. Приравнивая дей-
ствующие на тело силы, приходим к следующему уравнению, которому

344 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
должна удовлетворять скорость тела, падающего в атмосфере:
ттЭ(±) = ту - ао. (15)
Разделив это уравнение на т и обозначив -% через В, окончательно
получаем
тЭ(±) = -Ви + 9. (13')
Мы пришли к уравнению, которое только обозначениями отличает-
ся от уравнения (13). Заметим, что если положить -,З*и(і) + 9 = І (15),
то, поскольку Ґ (15) = -Вт/(15), из (13') можно получить равносильное
уравнение
=
которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (8) или
уравнением (10). Таким образом, мы вновь пришли к уравнению, реше-
нием которого является экспоненциальная функция
і<±› = і<0›@*”*.
Отсюда следует, что решение уравнения (13') имеет вид
и(і) = -Ё9 + (110 - є_Ш,
а решение основного уравнения (15) имеет вид
«›<±› = 29 + (00 - -29) Є-<“/т>*, (16)
где 110 = т1(0) -начальная вертикальная скорость тела.
Из (16) видно, что при а > 0 падающее в атмосфере тело выходит
на стационарный режим движения, причем 1›(±) ж Ё9. Таким образом,
в отличие от падения в безвоздушном пространстве, скорость падения
в атмосфере зависит не только от формы тела, но и от его массы. При
а -› О правая часть равенства (16) стремится к 'ио + уі, т. е. к решению
уравнения (14), получающегося из (15) при а = 0.
Используя формулу (16), можно составить представление о том, как
быстро происходит выход на предельную скорость падения в атмо-
сфере.
Например, если парашют рассчитан на то, что человек средней ком-
плекции приземляется при раскрытом парашюте со скоростью поряд-
ка 10 м/с, то, раскрыв парашют после затяжного свободного падения,

Ё6. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 345
когда скорость падения составляет примерно 50 м / с, он уже через 3 се-
кунды будет иметь скорость около 12 м / с.
Действительно, из приведенных данных и соотношения (16) находим
Ё9 ю 10, Ё Ю 1, 110 = 50 м/с, поэтому соотношение (16) приобретает
вид
и(±) = 10 + 40е'і.
Поскольку ез ж 20, то при 15 = 3 получим 11 ю 12 м/с.
5. Еще раз о числе є и функции ехр аз. На примерах мы убеди-
лись (см. также задачи 3, 4 в конце параграфа), что целый ряд явлений
природы описывается с математической точки зрения одним и тем же
дифференциальным уравнением
і'(1=) = 0і(1=)› (17)
решение которого І однозначно определяется, если указано «началь-
ное условие» І Тогда
Ґ (11) = 1” (0)Є°“”~
Число е и функцию вт = ехр 11: мы в свое время ввели довольно фор-
мально, сославшись на то, что это действительно важное число и дей-
ствительно важная функция. Теперь нам ясно, что даже если бы мы не
вводили раньше эту функцию, то ее, несомненно, пришлось бы ввести
как решение важного, хотя и очень простого уравнения (17). Точнее,
достаточно было бы ввести функцию, являющуюся решением уравне-
ния ( 17) при некотором конкретном значении а, например при а = 1,
ибо общее уравнение (17) приводится к этому случаю после перехода к
новой переменной 15, связанной с а: соотношением сс = -Ё (а аё 0).
Действительно, тогда
(117 Ё
до = 1 = Р<±›, “1/:,ЁБ“*) = = аР'<±›
и вместо уравнения Ґ = св] имеем теперь о:Р'(±) = о:Р(±), или
Р (15) =
Итак, рассмотрим уравнение
1(Ш) = ПФ) (18)
и обозначим через ехра: то его решение, для которого [(0) = 1.

346 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Прикинем, согласуется ли это определение с прежним определением
функции ехр 1:.
Попробуем вычислить значение 1” (гс), исходя из того, что 1” (0) = 1
и ]` удовлетворяет уравнению (18). Поскольку 1” -дифференцируемая
функция, то І непрерывна, но тогда в силу (18) непрерывна и функ-
ция 1 Более того, из (18) следует, что І имеет также вторую про-
изводную І” = 1” (Ш), и вообще из (18) следует, что І -бесконечно
дифференцируемая функция. Так как скорость Ґ изменения функ-
ции ]` непрерывна, то на малом промежутке І1 изменения аргумента
функция 1 меняется мало, поэтому [(1120 + Ь) = ]`(:В0) +_Ґ({)/1, т ]`(:1:0) +
+1 (:1:0)і1. Воспользуемся этой приближенной формулой и пройдем отре-
зок от 0 до а: с малым шагом /1 = Ё,-, где п Є Ш. Если 1110 = 0, :1:;,+1 = а:;,+І1,
то мы будем иметь
1°(11їь+1) “ 1°($ь)+ Ґ($/«)71~
Учитывая (18) и условие [(0) = 1, имеем
: Ё 1с($п-1)+ .Ґ(17п-1)Ь' =
= 1є($п-1)(1 + Ю (]с($п-2) + .Ґ($п-2)І7')(1 + Ь) :
= /(:1:.,,,_2)(1 + /7,)2 2:: яд ]'(а:д)(1 + /1) =
= і(о)(1+/1) = (1 + Ё) .
Представляется естественным (и это можно доказать), что чем мельче
_ Ф ~ Ф
шаг /1 _ Ё, тем точнее приближенная формула І ~ (1 + 5) .
Таким образом, мы приходим к тому, что
. 513 п
_]°(а:)= 11п1(1+-) _
п-›оо 'п,
'П
В частности, если величину І (1) = Ііш (1 + обозначить через є
'ГЕ-УХ
и показать, что є уё 1, то получаем, что
да) = пт (1 + =1іш(1 + ±)$/* =1іт [(1 + ±)1/*Г = ет, (19)
п-›оо Ё-›0 1-›0
ибо мы знаем, что иа -› иа, если и -› 11.
Метод численного решения дифференциального уравнения (18), поз-
воливший нам получить формулу (19), был предложен еще Эйлером

ёб. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 347
и называется методом ломаньш:
Эй./вера. Такое название связано у
с тем, что проведенные выклад-
ки геометрически означают за-
мену решения 1” (ш), точнее, его
графика, некоторой аппрокси-
мирующей график ломаной, зве-
нья которой на соответству-
ющих участках [а:;,,:с;,+1] (/є = Ь_1_д_,
= 0,. . . ,п - 1) задаются уравне- 0 71 271 1”
НИЯМИ у = 1°($/О + Ґ'($ь)($ - ть) Рис, 46,
(рис. 46).
Нам встречалось также оп-
[::::::Ё:ъ
~
Х
ределение функции ехра: как суммы степенного ряда 2 К не-
п=0 '
му тоже можно прийти из уравнения (18), если воспользоваться следу-
ющим часто применяемым приемом, называемым методом неопреде-
ленныа: коэффициентов. Будем искать решение уравнения (18) в виде
суммы степенного ряда
[(:в)=с0+с1а:+...+сп:с'+..., (20)
коэффициенты которого подлежат определению.
14) (02
Как мы видели (см. 55, теорема 1), из (20) следует, что сп = п! .
Но в силу (18) [(0) = ](0) = = )°()(0) = и, поскольку [(0) = 1,
имеем сп = й, т.е. если решение имеет вид (20) и [(0) = 1, то обяза-
тельно
1 1 2 1 ,,
[(113) =1+-а:-І--ш +...+-ап +...
1! 2! п!
Можно было бы независимо проверить, что функция, определяемая
этим рядом, действительно дифференцируема (и не только при а: = 0) и
что она удовлетворяет уравнению (18) и начальному условию )'(0) = 1.
Однако мы не будем на этом останавливаться, ибо наша цель состояла
только в том, чтобы понять, согласуется ли введение экспоненциальной
функции как решения уравнения (18) при начальном условии І (0) = 1
с тем, что мы раньше подразумевали под функцией ехрш.
Заметим, что уравнение (18) можно было бы рассматривать в ком-
плексной области, т. е. считать 11: произвольным комплексным числом.

348 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При этом все проведенные рассуждения останутся в силе, быть может,
только частично потеряется геометрическая наглядность метода Эй-
лера.
Таким образом, естественно ожидать, что функция
1 1 1
Є2=1+їі2+ї22+...+;і2п+...
является и притом единственным решением уравнения
і'(2) = І (2),
удовлетворяющим условию [(0) = 1.
6. Колебания. Если тело, подвешенное на пружине, отклонить от
положения равновесия, например, приподняв, а затем отпустив его, то
оно будет совершать колебания около положения равновесия. Опишем
этот процесс в общем виде.
Пусть известно, что на материальную точку массы т, способную
перемещаться вдоль числовой оси Ош, действует сила Р = -Ієаз, про-
порциональнаяї) отклонению точки от начала координат. Пусть нам
известны также начальное положение изд = а:(0) нашей точки и ее на-
чальная скорость ио = Требуется найти зависимость гс = а:(±)
положения точки от времени.
В силу закона Ньютона, эту задачу можно переписать в следующем
чисто математическом виде: решить уравнение
т:і3(±) = -/є:а:(і) (21)
при начальных условиях 1:0 = :с(0), = 110.
Перепишем уравнение (21) в виде
/є
15 + - 13 = 0 22
то тм < ›
и попробуем вновь воспользоваться экспонентой, а именно попробуем
подобрать число А так, чтобы функция :п(і) = ем удовлетворяла урав-
нению (22).
“В случае пружины коэффициент Іє > 0, характеризующий ее жесткость, назы-
вают коэффициентом жесткости пружины.

Ё6. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 349
Подставляя а:(і) = ем в (22), получаем
/С
(А2 + -) ем = 0,
т
К
,2 + - = 0, (23)
т
ИЛИ
т. е. А1 = -/-її;-, А2 = /--1%. Поскольку т > 0, то при К > 0 мы имеем
два чисто мнимых числа: А1 = -і(/7% и А2 = Ц/%. На это мы не
рассчитывали, но тем не менее продолжим рассмотрение. По формуле
Эйлера
е_і°/ті = соЅ/%± - іЅіп/%±,
еі',°/ті =соЅ/-,,%±+ізіп(/%±.
Поскольку при дифференцировании по действительному времени 15 про-
исходит отдельно дифференцирование действительной и мнимой ча-
стей функции ем, то уравнению (22) должны удовлетворять порознь и
функция сов / % 15, и функция зіп / % Ъ. И это действительно так, в чем
легко убедиться прямой проверкой. Итак, комплексная экспонента по-
могла нам угадать два решения уравнения (22), линейная комбинация
которых
:с(±) =с1соЅ/%±+с2Ѕіп/%±, (24)
очевидно, также является решением уравнения (22).
Коэффициенты с1, с2 в (24) подберем из условий
(130 = Ш(0) = С1,
110 = = (-с1/ -% Ѕігц/ -Ё, Ё + сд/ %соЅ / Ё,-і) = сд/
Ё=0
Таким образом, функция
а:(±) =:в0соЅ/%15+110(/-',с'3Ѕіп/-,,,%15 (25)
является искомым решением.

350 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Делая стандартные преобразования, (25) можно переписать в виде
:с(±)=,/;1:3+и8$-Ѕіп((/%±+а) , (26)
. 170
а = агсзш _--і.
азё + и
где
51%”
Таким образом, при /с > 0 точка будет совершать периодические
колебания с периодом Т = 2тг/ 77231, т. е. с частотой % = %/ -%, и ам-
плитудой ,/всё + из-ТЕ-. Мы утверждаем это потому, что из физических
соображений ясно, что решение (25) поставленной задачи единственно.
(См. задачу 5 в конце параграфа.)
Движение, описываемое функцией (26), называют простыми гармо-
ничєскими колебаниями, а уравнение (22) -уравнвниєм гармоничєскиа:
колебаний.
Вернемся теперь к случаю, когда в уравнении (23) /с < 0. Тогда две
функции є“1* = ехр (-/ --7% Ъ), ем* = ехр (/ --1% і) будут веществен-
ными решениями уравнения (22) и функция
ти) = с1є^1* + <;2е^2* (27)
также будет решением. Постоянные с1 и с2 подберем из условий
ЗС*
:1:0=а:( )=с1+с2,
'00 = = С1›1 + С2›2.
Полученная система всегда однозначно разрешима, ибо ее опреде-
литель А2 - А1 74 0.
Поскольку числа А1 и А2 противоположного знака, то из (27) видно,
что при /є < 0 сила Р = -/са: не только не стремится вернуть точку в
положение равновесия а: = 0, но со временем неограниченно уводит ее
от этого положения, если ссд или ид отлично от нуля. То есть в этом
случае ап = О-точка неустойчивого равновесия.
В заключение рассмотрим одну вполне естественную модификацию
уравнения (21), на которой еще ярче видна польза показательной функ-
ции и формулы Эйлера, связывающей основные элементарные функции.

Ё6. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 351
Предположим, что рассматриваемая нами частица движется в сре-
де (воздухе или жидкости), сопротивлением которой пренебречь нельзя.
Пусть сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. То-
гда вместо уравнения (21) мы должны написать уравнение
ті'(±) = -о::і:(і) - Іс:1:(±),
которое перепишем в виде
вс) + %±(±) + %ш(±) = о. (28)
Если вновь искать решение в виде а:(±) = ем, то мы придем к ква-
дратному уравнению
Ь
›?+ї›+-=0,
ТП, 'ГП
корни которого >1,2 = -Ё ±
Случай, когда а2 - 4т1я: > 0, приводит к двум вещественным корням
А1, А2, и решение может быть найдено в виде (27).
Мы рассмотрим подробнее более интересный для нас случай, ко-
гда а2 - 4тІє < 0. Тогда оба корня А1, А2 комплексные (но не чисто
мнимые!):
А1 : __сі_і/4тІ<:-а2
2т 2т ,
а ,/4тІс -а2
А = -- -_-_--.
2 2т + 2 2т
Формула Эйлера в этом случае дает
ем* = ехр (-Ёі) (сов ші - івіп ші),
ем* = ехр (-йї) (сов ші + івіп ші),
3{4тІс -а2
где ш = 2т . Таким образом, мы находим два вещественных
решения ехр (-%±) сов ші, ехр (-йі) віп ші уравнения (28), угадать
которые было бы уже довольно трудно. Затем ищем решение исходнои
задачи в виде их линейной комбинации
а:(±) = ехр (-5:5) (с1 сов ші + с2 віп ші), (29)

352 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
подбирая с1 и с2 так, чтобы удовлетворить начальным условиям а:(0) =
= .'Ії0, = 110.
Получающаяся при этом система уравнений, как можно проверить,
всегда однозначно разрешима. Таким образом, после преобразований
из (29) получаем решение задачи в виде
а:(і) = Аехр (-Ё) Ѕіп(ш± + а), (30)
ГДЄ А И 0,:КОНСТ8.НТЬІ, ОПРЄДЄЛЯЄМЫЄ НЕЪЧЭЛЬНЬІМИ УСЛОВИЯМИ.
( 2
Из этой формулы видно, что благодаря множителю ехр -Ёп-15),
где а > 0, т > 0, в рассматриваемом случае колебания будут зату-
агающими, причем скорость затухания амплитуды зависит от отноше-
ния 3. Частота колебаний іш = і( / Ё - (3-)2 меняться во времени
т 21г 2тг т 2т
не будет. Величина ш тоже зависит только от отношений 5%, %, что,
впрочем, можно было предвидеть на основании записи (28) исходного
уравнения. При а = 0 мы вновь возвращаемся к незатухающим гармо-
ническим колебаниям (26) и уравнению (22).
Задачи и упражнения
1. Коэффициент полезного действия реактивного движения.
а) Пусть С2 -химическая энергия единицы массы топлива ракеты, ш-
скорость истечения топлива. Тогда %ш2 есть кинетическая энергия выбро-
шенной единицы массы топлива. Коэффициент сх в равенстве %ш2 = аС2 есть
коэффициент полезного действия процессов горения и истечения топлива. Для
твердого топлива (бездымный порох) ш = 2 км / с, С2 = 1000 ккал / кг, а для жид-
кого (бензин с кислородом) ш = Зкм / с, О = 2500 ккал/ кг. Определите в этих
случаях коэффициент а.
Ь) Коэффициент полезного действия п. д.) ракеты определяется как от-
ношение ее конечной кинетической энергии ткё к химической энергии сго-
ревшего топлива т,тС2. Пользуясь формулой (4), получите формулу для к. п. д.
ракеты через тк, тт, (2 и а (см. а)).
с) Оцените к. п. д. автомобиля с жидкостным реактивным двигателем, если
автомобиль разгоняется до установленной в городе скорости 60 км / час.
(1) Оцените к. п. д. ракеты на жидком топливе, выводящей спутник на низ-
кую околоземную орбиту.
е) Оцените, для какой конечной скорости реактивное движение на жидком
топливе имеет наибольший к. п. д.

56. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 353
ї) Укажите, при каком отношении масс тт/тк топлива и корпуса к. п. д.
ракеты с любым видом топлива становится максимально возможным.
2. Баромєтричєскал формула.
а) Используя данные п.2 настоящего параграфа, получите формулу по-
правочного члена для учета зависимости давления от температуры столба
воздуха, если эта температура подвержена изменениям (например, сезонным)
в пределах ±40 °С.
Ь) Найдите по формуле (9) зависимость давления от высоты при темпера-
турах -40 °С, О °С, 40 °С и сравните эти результаты с результатами, которые
дает ваша приближенная формула из а).
с) Пусть температура воздуха в столбе меняется с высотой по закону
Іъ) = -аТ0, где То -температура воздуха на поверхности Земли, а а ш
ш 1О'7 см'1. Выведите при этих условиях формулу зависимости давления
от высоты.
(1) Найдите давление в шахте на глубинах 1 км, Зкм, 9км по формуле (9)
и по формуле, которую вы получили в с).
е) Воздух независимо от высоты примерно на 1/5 часть состоит из кисло-
рода. Парциальное давление кислорода составляет также примерно 1/5 часть
давления воздуха. Определенный вид рыб может жить при парциальном да-
влении кислорода не ниже 0,15 атмосфер. Можно ли ожидать, что этот вид
встретится в реке на уровне моря? Может ли он встретиться в речке, впада-
ющей в озеро Титикака на высоте 3,81 км?
3. Радиоактивный распад.
а) Измеряя количество радиоактивного вещества и продуктов его распада
в пробах пород Земли и считая, что сначала продукта распада вообще не бы-
ло, можно примерно оценить возраст Земли (во всяком случае, с того момента,
когда это вещество уже возникло). Пусть в породе имеется т г радиоактивно-
го вещества и 1* г продукта его распада. Зная период Т полураспада вещества,
найдите время, прошедшее с момента начала распада, и количество радиоак-
тивного вещества в пробе того же объема в начальный момент.
Ь) Атомы радия в породе составляют примерно 10” часть всех атомов.
Каково было содержания радия 105, 106 и 5 - 109 лет тому назад? (5 - 109 лет
ориентировочно считается возрастом Земли.)
с) В диагностике заболеваний почек часто определяют способность по-
чек выводить из крови различные специально вводимые в организм веще-
ства, например креатин ( «клиренс тест››). Примером, иллюстрирующим обрат-
ный процесс того же типа, может служить восстановление концентрации ге-
моглобина в крови у донора или у больного, внезапно потерявшего много
крови. Во всех этих случаях уменьшение количества введенного вещества
(или, наоборот, восстановление недостающего количества) подчиняется за-
кону 1/` = 1ї0е*/Т, где 1/' --количество (или, иными сдювами, число молекул)
вещества, еще оставшегося в организме по прошествии времени Ъ после введе-
ния количества М), а т-так называемая постоянная времени: это время, по
'Ё
Ч/5

354 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
прошествии которого в организме остается 1 /е часть первоначально введенно-
го количества вещества. Постоянная времени, как легко проверить, в 1,44 раза
больше времени полужизни (или времени полураспада), по истечении которо-
го в организме остается половина первоначального количества вещества.
Пусть радиоактивное вещество выводится из организма со скоростью, ха-
рактеризуемой постоянной времени то, и в то же время спонтанно распадается
с постоянной времени тр. Покажите, что в этом случае постоянная времени т,
характеризующая длительность сохранения вещества в организме, определя-
ется из соотношения т'1 = 11; 1 + 1*; 1.
(1) У донора было взято некоторое количество крови, содержащее 201 мг
железа; для того чтобы компенсировать потерю железа, ему было велено при-
нимать трижды в день в течение недели таблетки сернокислого железа, со-
держащие каждая 67 мг железа. Количество железа в крови донора восста-
навливается до нормы по зкспоненциальному закону с постоянной времени,
равной примерно семи суткам. Полагая, что с наибольшей скоростью желе-
зо из таблеток включается в кровь сразу же после взятия крови, опреде-
лите, какая примерно часть железа, содержащегося в таблетках, включит-
ся в кровь за все время восстановления нормального содержания железа в
крови.
е) Больному со злокачественной опухолью было введено с диагностиче-
скими целями некоторое количество радиоактивного фосфора Р32, после че-
го через равные промежутки времени измерялась радиоактивность кожи бе-
дра. Уменьшение радиоактивности подчинялось зкспоненциальному закону.
Так как период полураспада фосфора известен-он составляет 14,3 суток, -
по полученным данным можно было определить постоянную времени процес-
са уменьшения радиоактивности за счет биологических причин. Найдите эту
постоянную, если наблюдениями установлено, что постоянная времени про-
цесса уменьшения радиоактивности в целом составляет 9,4 суток (см. вьцце
задачу
4. Поглощениє излучения.
Прохождение излучения через среду сопровождается частичным поглоще-
нием излучения этой средой. Во многих случаях (линейная теория) можно счи-
тать, что, проходя через слой толщиной 2 единицы, излучение ослабляется
так же, как при последовательном прохождении через два слоя толщиной 1
каждый.
а) Покажите, что при указанном условии поглощение излучения подчиня-
ется закону І = І0є_'°', где І0 -интенсивность излучения, падающего на по-
глощающее вещество, І -интенсивность после прохождения слоя толщиной І,
а Іс-коэффициент, имеющий размерность, обратную размерности длины.
Ь) Коэффициент І: в случае поглощения света водой в зависимости от дли-
ны волны падающего света, например, таков: ультрафиолет, /є = 1,4-104 см1;
синий, Іс=4,6-104 см1; зеленый, Іс=4,4-10“4 см“1; красный, Іс=2,9~103 см1.
Солнечный свет падает вертикально на поверхность чистого озера глуби-

Ё6. ПРИМЕРЬІ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 355
ной 10 м. Сравните интенсивности каждой из перечисленных выше компонент
солнечного света над поверхностью озера и на дне.
5. Покажите, что если закон движения точки 1: = :1:(±) удовлетворяет урав-
нению тді + Ієа: = О гармонических колебании, то
-2 2
а) величина Е = та; (Ё) + Мгц) постоянна (Е = К + П -сумма кинетиче-
ской К = и потенциальной П = Ё-Ё энергий точки в момент і);
Ь) если :1:(0) = О и = 0, то а:(і) Е 0;
с) существует и притом единственное движение из = а:(±) с начальнь1ми
условиями $(О) = то и = ид.
(1) Проверьте, что если точка движется в среде с трением и 1: = :с(±) удо-
влетворяет уравнению т:Ё+а:і:+/са: = 0, сх > 0, то величина Е (см. а)) убывает.
Найдите скорость этого убывания и объясните физический смысл полученно-
го результата, учитывая физический смысл величины Е.
6. Движение под действием гуновснойї) центральной силы (плоский ос-
циллятор).
В развитие рассмотренного в п. 6 и задаче 5 уравнения (21) линейного ос-
циллятора рассмотрим уравнение тї*(15) = -І::1'(і), которому удовлетворяет
радиус-вектор 1'(±) точки массы т, движущейся в пространстве под действи-
ем притягивающей центральной силы, пропорциональной (с коэффициентом
пропорциональности І: > 0) расстоянию |1'(±)| от центра. Такая сила возни-
кает, если точка соединена с центром гуковской упругой связью, например
пружиной с коэффициентом жесткости Іс.
а) Продифференцировав векторное произведение 1*(±) × і~(±), покажите,
что все движение будет происходить в плоскости, проходящей через центр и
содержащей векторы то = т(±0), ФО = 'і*(±0) начального положенияи начальной
скорости точки (плоский осциллятор). Если векторы то = 1*(±0), го = 'і'(і0)
коллинеарны, то движение будет происходить на прямой, содержащей центр
и вектор то (линейный осциллятор, рассмотренный в п. 6).
Ь) Проверьте, что орбитой плоского осциллятора является эллипс и дви-
жение по нему периодично. Найдите период обращения.
с) Покажите, что величина Е = т'і'2(±) + 1:13 (Ф) сохраняется во времени.
(1) Покажите, что начальные данные то = т*(±0), го = і*(±0) вполне опреде-
ляют дальнейшее движение точки.
7. Эллиптинность планвтньш: орбит.
Предыдущая задача позволяет рассматривать движение точки под дей-
ствием центральной гуковской силы происходящим в плоскости. Пусть это
1)Р. Гук (1635 - 1703) -английский естествоиспытатель, разносторонний ученьпїі
и экспериментатор. Открыл клеточное строение тканей и ввел сам термин «клет-
ка». Стоял у истоков математической теории упругости и волновой теории света,
высказал гипотезу тяготения и закон обратных квадратов для гравитационного вза-
имодействия.

356 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
плоскость комплексной переменной 2 = 1: + іу. Движение определяется двумя
вещественными функциями а: = а:(і), у = у(і) или, что то же самое, одной
комплекснозначной функцией 2 = г(і) времени ±. Полагая для простоты в за-
даче б т = 1, 1:: = 1, рассмотрим простейший вид уравнения такого движения
= -2(±).
а) Зная из задачи 6, что решение этого уравнения, отвечающее конкрет-
ным начальным данным 20 = 2(±0), 20 = я(±0), единственно, найдите его в
виде г(±) = с1е“ + с2е“ и, используя формулу Эйлера, проверьте еще раз,
что траекторией движения является эллипс с центром в нуле (в определенных
случаях он может превратиться в окружность или выродиться в отрезок-
выясните когда).
Ь) Учитывая, что величина |2(±)|2 + |2(±)|2 не меняется в процессе движе-
ния точки 2(і), подчиненного уравнению = -2(і), проверьте, что точка
ш(±) = 22(±) по отношению к новому параметру (времени) т, связанному с І со-
отношением т = т(15) таким, что Ё = |2(±)|2, движется при этом, подчиняясь
уравнению % = -сП%, где с-постоянная, а ти = 'ш(±(1-)). Таким образом,
движения в центральном поле гуковских сил и движения в ньютоновском гра-
витационном поле оказались взаимосвязаны.
с) Сопоставьте это с результатом задачи 8 из Ё 5 и докажите теперь элли-
птичность планетных орбит.
(1) Если вам доступен компьютер, то, взглянув еще раз на изложенный в
п. 5 метод ломань1х Эйлера, для начала подсчитайте этим методом несколь-
ко значений ет. (Заметьте, что кроме определения дифференциала, точнее,
формулы ](а:,,) ю _і(:вп_1) + _Ґ'(а:п_1)і1, где /1 = тп - ш,,_1, метод ничего не
использует.)
Пусть теперь 'г(±) = (:1:(±),у(±)), то = 1'(0) = (1,О), 'і*0 = 'і'(0) = (0,1) и
= -#`ё%%. Опираясь на формулы
т~(±,,) Ю 1*(±,,_1)+ 'и(±,,,_1)/1,
1›(±,,) ш п(±п_1) + а(і,,_1)Іъ,
где 'и(г5) = 'і'(±), а.(±) = і1(±) = і*(±), методом Эйлера рассчитайте траекторию
движения точки, посмотрите, какой она. формы и как она проходится точкой
с течением времени.
Ё 7. Первообразная
В дифференциальном исчислении, как мы убедились на примерах
предыдущего параграфа, наряду с умением дифференцировать функ-
ции и записывать соотношения между их производными весьма цен-
ным является умение находить функции по соотношениям, которым

Ё 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 357
удовлетворяют их производные. Простейшей, но, как будет видно из
дальнейшего, весьма важной задачей такого типа является вопрос об
отыскании функции по известной ее производной Р = І
Начальному обсуждению этого вопроса и посвящен настоящий пара-
граф.
1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 1. Функция называется первообразной функ-
иией или первообразной по отношению к функции І на некотором
промежутке, если на этом промежутке функция Р дифференцируема и
удовлетворяет уравнению Р = І или, что то же самое, соотно-
шению сіР(а:) = [(а:)сіас.
Пример 1. Функция = агсізёаз является первообразной для
[(112) = Ё? на всей числовой прямой, поскольку а1'с1:5'а: =
Пример 2. Функция Р = агссЬ5% является первообразной для
функции = Т-Ь5 как на промежутке всех положительных чисел,
+ 1:
так и на полуоси отрицательных чисел, ибо при а: 5* О
Р/(Ш) = __і_. (-і) = _і_ = ,=(,,)_
1 + 2:2 1 + :с2
Как обстоит дело с существованием первообразной и каково мно-
жество первообразных данной функции?
В интегральном исчислении будет доказан фундаментальный факт
о том, что любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом
промежутке первообразную.
Мы приводим этот факт для информации читателя, а в этом пара-
графе используется, по существу, лишь следующая, уже известная нам
(см. гл. /`, 53, п. 1) характеристика множества первообразных данной
функции на числовом промежутке, полученная из теоремы Лагранжа.
Утверждение 1. Если Р1 и Р2(а:) -две первообразные функ-
иии 1” на одном и том же промежутке, то иа: разность Р1е(а:)-Р2(:1:)
постоянно на этом промежутке.
Условие, что сравнение Р1 и Р2 ведется на связном промежутке,
как отмечалось при доказательстве этого утверждения, весьма суще-
ственно. Это можно заметить также из сопоставления примеров 1 и 2,

358 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в которых производные функций Р1 = а1°с'с5:п и 172 = агссЪ5%
совпадают в области 1К 0 их совместного определения. Однако
1
Р1 - Р2(:1:) = агс'с5:1: - агсс1:5 Б = агсгёа; - агсізёш = 0,
если 11: > 0, в то время как Р1 - Р2(.т) Е -тг при из < 0, ибо при а: < О
имеем агсс'с3 % = 1г + агсізд аз.
Как и операция взятия дифференциала, имеющая свое название
«дифференцирование›› и свой математический символ сіР(:в) = 17 сіаг,
операция перехода к первообразной имеет свое название «неопределен-
ное интегрирование» и свой математический символ
/ г<:»›<1«›, <1›
называемый неопределенным интегралом от функции І на заданном
промежутке.
Таким образом, символ (1) мы будем понимать как обозначение лю-
бой из первообразных функции І на рассматриваемом промежутке.
В символе (1) знак І называется знаком неопределенного интеграла,
І - подынтегральнал функция, а 1” сіаз- подынтегральное выраже-
ние.
Из утверждения 1 следует, что если --какая-то конкретная
первообразная функции 1” на промежутке, то на этом промежутке
/]`(а:) сіа; = + С, (2)
т. е. любая другая первообразная может быть получена из конкрет-
ной Р(:с) добавлением некоторой постоянной.
Если Р” = 1” (113), т.е. Р-первообразная для І на некотором про-
межутке, то из (2) имеем
Іа/ ,=($)<1$ = ага) = г'($) да: = де) за
Кроме того, в соответствии с понятием неопределенного интеграла
как любой из первообразных, из (2) следует также, что
І = /І7(а:)сіа: = Р(:1:) + С., (4)

57. пвРвоовРАзнАя 359
Формулы (3) и (4) устанавливают взаимность операций дифферен-
цирования и неопределенного интегрирования. Эти операции взаимно
обратны с точностью до появляющейся в формуле (4) неопределенной
постоянной С.
До сих пор мы обсуждали лишь математическую природу посто-
янной С в формуле Укажем теперь ее физический смысл на про-
стейшем примере. Пусть точка движется по прямой так, что ее ско-
рость о(±) известна как функция времени (например, и(±) Е о). Если
а:(±) -координата точки в момент Ё, то функция :1:(±) удовлетворяет
уравнению = о(±), т. е. является первообразной для о(±). Можно ли
по скорости о(15) в каком-то интервале времени восстановить положение
точки на оси? Ясно, что нет. По скорости и промежутку времени можно
определить величину пройденного за это время пути з, но не положе-
ние на оси. Однако это положение также будет полностью определено,
если указать его хотя бы в какой-то момент, например при і = 0, т. е.
задать начальное условие :1:(0) = 1120. До задания начального условия за-
кон движения а:(±) мог быть любым среди законов вида :1:(±) = 5:(±) + с,
где :ї:(±) -любая конкретная первообразная функции и(±), а с_произ-
вольная постоянная. Но после задания начального условия а:(0) = 1:0 вся
неопределенность исчезает, ибо мы должны иметь :в(0) = 5:(0) + с = :1:0,
т. е. с = то - 5ї:(0), и а:(±) = то + - Последняя формула вполне
физична, поскольку произвольная первообразная 5: участвует в форму-
ле только в виде разности, определяя пройденный путь или величину
смещения от известной начальной метки а:(0) = шо.
2. Основные общие приемы отыскания первообразной. В со-
ответствии с определением символа (1) неопределенного интеграла, он
обозначает функцию, производная которой равна подынтегральной
функции. Исходя из этого определения, с учетом соотношения (2) и
законов дифференцирования можно утверждать, что справедливы сле-
дующие соотношения:
а. /(ош(а:) + Во(5с)) оіа: = а/и(:в) сіш + ,З/т1(а:)с1:с + с. (5)
Ь. сіаз = сіш + сіа: + с. (6)
с. Если на некотором промежутке 1,,
/[(:в)сіа: = + с,

360 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
о ср: І± -› Іш -г./модное е. непрерывно дифференцируемое) отобра-
жение промежутна І,; в І,,,, то
/(1 О <р›<±›«/<±› «И = <Р<›«@›<±› + с. <7›
Равенства (5), (6), (7) проверяются прямым дифференцированием
их левой и правой частей с использованием в (5) линейности диффе-
ренцирования, в (6) правила дифференцирования произведения и в (7)
правила дифференцирования композиции функций.
Подобно правилам дифференцирования, позволяющим дифференци-
ровать линейные комбинации, произведения и композиции уже извест-
ных функций, соотношения (5), (6), (7), как мы увидим, позволяют в
ряде случаев сводить отыскание первообразной данной функции либо к
построению первообразных более простых функций, либо вообще к уже
известным первообразным. Набор таких известных первообразных мо-
жет составить, например, следующая краткая таблица неопределенных
интегралов, полученная переписыванием таблицы производных основ-
ных элементарных функций (см. Ё2, п. 3):
1
та сіа: = 34-:ї:1:°+1 + с (а 79 -1),
-сі:1:=1п|:1:|+с,
Ф О О Ф (58 ен»-Ь
Ё Ё
1
=Шо$+с (0<о7€1),
=е$+с,
іп:всі:с=-соЅ:в+с,
оЅ:1:сіа:=Ѕіпа:+с,
--а:= 11: с
1 сі 'с +
оЅ2а: Ё ,
1
-Ё-сіш=-с'с5а:+с,
111 св

Ё 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 361
61 агсзіп 1: + с,
гс = ~
1 - 2 - агссоза:+с,
1 { а1*с1;5 сп + с,
-_- да:
*її
и=Ё1,._.Ё,._.° И Н
Н І-4
:~з
,--
+ 1122 = - агсс'с5 а: + ё,
Ьазсіа: = сІ1:1:+с,
Ьсссізс = $113:-і-с,
_-сіа:=1:І1:с+с,
сп
-їсіа:=-с1:11а:+с,
1
,/ІБ2±1п+С,
(ІІ
1 1 1+а:
/1-:с2Сі$:ё1п1-а:
Каждая из этих формул рассматривается на тех промежутках ве-
щественной оси К, на которых определена соответствующая подынте-
гральная функция. Если таких промежутков несколько, то постоянная
с в правой части может меняться от промежутка к промежутку.
Рассмотрим теперь некоторые примеры, показывающие соотноше-
ния (5), (6) и (7) в работе.
Сделаем предварительно следующее общее замечание.
Поскольку, найдя одну какую-нибудь первообразную заданной на
промежутке функции, остальные можно получить добавлением посто-
янных, то условимся для сокращения записи всюду в дальнейшем произ-
вольную постоянную добавлять только к окончательному результату,
представляющему из себя конкретную первообразную данной функции.
а. Линейность неопределенного интеграла. Этот заголовок
должен означать, что в силу соотношения (5) первообразную от ли-
нейной комбинации функций можно искать как линейную комбинацию
первообразных этих функций.

362 ГЛ. /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 3.
/(а0+а1а:+...+а,,,,:в)сіш =
=а0[1д:с+а1/а:сі:1:+...+а,,,/агпсіа:=
1 1
= с + ада: + ёа1а:2 + . . . + Бїапагпн.
Пример 4.
[(ш+5_;)2<1а:=](т2+2/:Е:'+%) ат:
1 1 4
=/:в2сІа:+2/шї/2сі:1:+];сіа:=-ёш3+5:1:3/2+1п|а:|+с.
Пример 5.
2:1: 1 1
сов їсі:с= 5(1+соз:1:)сіа:=ё (1+соз:1:)сі:1:=
1 1 1 1,
_ё/1сіа:+ё/соЅшсіа:-ё:в+-іЅ1па:+с.
Ь. Интегрирование по частям. Формулу (6) можно переписать
в виде
= сіи(ш) + сіи(а:) +с
или, что то же самое, в виде
<іи(а:) = - с1и(а:) + с. (6')
Это означает, что при отыскании первообразной функции и(:1:)и'
дело можно свести к отысканию первообразной функции и(а:)и' (св), пе-
ребросив дифференцирование на другой сомножитель и частично про-
интегрировав функцию, как показано в (6'), выделив при этом член
Формулу (6') называют формулой интегрирования по частям.
Пример 6.
/Іпшсіа:=а:1п:в-[:1:сІІпа:=:1:1па:-]:1:-ісі:1:=
1:
=а:1п:1:-[1сІа:=аз1па:-:с+с.

57. пвРвоовРАзнАя звз
Пример 7.
/:в2є$ сіш = /1132 сієт = 11:26” - /ва; сіа:2 = 1:26” - ва: сіа: =
*ті
Н
=:1:2є“3-2/:1:сІе$=:с2в$-2(:ве$- шсіаг) =
=а:2в$-2а:е$+2е$+с=( -2:с+2)е$+с.
с. Замена переменной в неопределенном интеграле. Фор-
мула (7) показывает, что при отыскании первообразной функции
(І о <,о)(±) - <р' (і) можно поступать следующим образом:
/(1 О ф›<±› ~ «›'<±› «И = / і<«›<±›› <1<.@<±› =
= / тема: = 1«*<:›:›+ С = г<«@<±›› + С,
т. е. сначала произвести замену <р(±) = 1: под знаком интеграла и перей-
ти к новой переменной 1:, а затем, найдя первообразную как функцию
от св, вернуться к старой переменной 15 заменой 11: = <р(±).
Пример 8.
мы 1 а(±2+1) 1 ат 1 1 2
1=- _-=- -=-1 =-1 1 .
/1+±2 2І1+±2 2}ш 2 ПІШНС 2 Ш + Не
Пример 9.
/ аш _] да: _[ <1(-Ё _
Ѕіпа: _ 2Ѕіп-сов; _ 'сдё - _
_ сіи _/с1(1;5и) _/сіи _
_ 1;3исоз2и_ $511 _ 11 _
ат
=Іп|11|+с=1п|1;5и|+с=1п.'с5ї'+с.
Ьэн
Ф
8
Іоїі
ЬЭН
Мы рассмотрели несколько примеров, в которых использовались по-
рознь свойства а, Ь, с неопределенного интеграла. На самом деле в боль-
шинстве случаев зти свойства используются совместно.

ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 10.
1
/віп2а: сов За: сіас = 5 /(він 5:1: - віп:1:)сі:1: =
1 1 1
= 5 (/віп5:ссІ:1:-/віпшсіат) = Е (5/віп5:всі(5а:) +сова:> =
1 . 1 1 1
=Б в1писІи+ёсова:=-ї6сови+ёсов:в+с=
-Ъсовсв-ісов5а:+с
2 10 '
Пример 11.
/ агсвіп ш сіа: = а: агсвіп а: - І 1: сі агсвіп а: =
1
=а:а.гсвіп:1:-/і-сі:в=а:агсвіп:с+-ІШ=
/1-2:2 2 /1-1122
1
=:вагсвіп:1:+5/и`1/2сіи=а:а.гсвіпа:+и1/2+с=
=а:а,гсвіпа:+/1-:с2+с.
Пример 12.
0,17 1 0.117
/є совЬа:с1:с= Ь-Ісовдшсіе =
1 1 1 Ь
= -аж сов Ьа: - - Ієж сісов Ьш = -ем” сов Ьа: + - І ва” віп Ьа: да: =
а а а а
1 Ь 1 Ь
= -вт” сов Ьа: + Ё /віп Ьа: сівш” = -+в” сов Ьа: + їєат віп Ьа: -
а а а а
2
Ь , асов Ьш + Ьвін Ьа: Ь
- Ё ваш сі в1п Ьа: = 2 ва” - -5 аж сов Ьа: сіаг.
а а а
авенства. заключаем, что
ваш СОЅ Ьш да: = а сов 6:: + Ь2віп Ьа: ви + С.
а + Ь
Из полученного р
ез льтату можно было бы прийти, воспользовавшись фор-
К этому р у
мулой Эйлера. и тем обстоятельством, что первообразной функции

Ё 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 365
е(“+“”)”” = ет” сов Ьа: + із” зіп Ьа: является функция
1 Є(а,+іЬ)а: : 0* _ Ы) є(а.+іЬ):1: :
а +11; 412 + Ь2
асоз 6:1: + Ьзіпдаг ад, + ,азіпдаз - Ьсоз Ьа: ат
= є 2 е .
а2 + Ь2 02 + Ь2
Это полезно иметь в виду и в будущем. При вещественном 11: это лег-
ко проверить непосредственно, продифференцировав действительную
и мнимую части функции Ь-Ё-7Ъе(“+“')“”.
В частности, отсюда получаем также, что
ваш Ѕіп И ст : авіп Ьа: - Ьсоз Ьа: ваз, + С.
а2 + Ь2
Уже этот небольшой набор разобранных примеров показывает, что
при отыскании первообразных даже элементарных функций часто при-
ходится прибегать к дополнительным преобразованиям и ухищрениям,
чего совсем не было при отыскании производных композиции тех функ-
ций, производные которых нам были известны. Оказывается, это не
случайная трудность. Например, в отличие от дифференцирования, пе-
реход к первообразной элементарной функции может привести к функ-
ции, которая уже не является композицией элементарных. Поэтому не
следует отождествлять фразу «найти первообразную» с невыполнимым
порой заданием «выразить первообразную данной элементарной функ-
ции через элементарные функции». Вообще, класс элементарных функ-
ций _ вещь очень условная. Имеется еще много важных для приложений
специальных функций, которые изучены и затабулированы ничуть не
хуже, чем, скажем, Ѕіпа: или е$. _
Например, интегральный синус Ѕіаз есть та первообразная І Ёїї сіа:
функции 5%, которая стремится к нулю при :1: -› 0. Такая первообраз-
ная существует, но, как и любая другая первообразная функции 5%-Ё,
она не является композицией элементарных функций.
Аналогично, функция
_ сов ат
С1а: = і- сіаг,
ш
выделяемая условием Сіа: -› 0 при 1: -› оо, не является элементарной.
Функция Сіа: называется интєгра./ъьным косинусом.

366 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Первообразная І 1%- функции 1% также неэлементарна. Одна из
первообразных этой функции обозначается символом Ііа: и называется
интєгральным логарифмом. Она удовлетворяет условию Ііа: -› О при
из -› +0. (Подробнее о специальных функциях Ѕіаг, Сіаз, Ііа: будет ска-
зано в гл. /'І, ёб.)
Учитывая эти трудности отыскания первообразных, составлены до-
вольно обширные таблицы неопределенных интегралов. Однако, чтобы
успешно ими воспользоваться или чтобы не прибегать к ним, если во-
прос совсем прост, необходимо иметь некоторые навыки обращения с
неопределенными интегралами.
Дальнейшая часть этого параграфа посвящена интегрированию
функций из некоторых специальных классов, первообразные которых
выражаются в виде композиции элементарных функций.
3. Первообразные рациональных функций. Рассмотрим во-
прос об интегралах вида І В(а:) сісв, где В(а:) = ёёё есть отношение
полиномов.
Если действовать в области вещественных чисел, то, не выходя за
пределы поля вещественных чисел, любую такую дробь, как известно
из алгебры (см. формулу (37) из Ё5, п.4), можно разложить в сумму
т -
1:
Р 3 Пнд; п З Ь';,,:ІІ+С°;;
--=Р@) -і- +- 3 3 ,(Ю
9,,
за
+
`°Г'1
где р(а:) --многочлен (он появляется при делении Р(:г) на С2(:1:), только
если степень Р(а:) не меньше степени @(:с)), ад, Ьід, сд, -однозначно
определяемые действительные числа, а С2(;п) = (ш - :1:1)'“1 . . . (ат - :щ)'°1 ×
× (1112 +р1=г + <11)“ ---(1112 +рпт + <1п)”-
О том, как строить разложение (8), мы уже говорили в Ё5. После
того как разложение (8) построено, интегрирование функции В(ш) сво-
дится к интегрированию отдельных слагаемых.
Многочлен мы уже интегрировали в примере 1, поэтому остается
рассмотреть только интегрирование дробей вида
-і- и И + С , где /є Є Ы.
(Ш - 0)* (112 + рт + <1)'“

57. пЕРвоовРАзнАя 367
Вопрос о первой из этих дробей решается сразу, ибо
1 _ а«)_К+1 + С при А: #1,
-і-(117:
/(Ш_а)Іс 1п|:1:-а,|+с при І~::=1.
Ь:1:+с
2 Ёсіа:
сс +ра:+с1)
поступим следующим образом. Представим многочлен 1:2 -І-ра: + (1 в виде
2
(11: -І- ёр) + ((1 - %р2), где 9 - %р2 > 0, так как многочлен 1:2 +р:с + (1
С интегралом
/ <
не имеет вещественных корней. Полагая :Ь' + ёр = и и (1 - %р2 = а2,
получаем
Ьа: + с ош + Б
2 1; 4” = ТТ: ди»
(1: +р:±:+<1) (и +а)
гдеа=Ь, В=с-%Ьр.
Далее,
и _1 сі(и2+а2)_
/їдтгди-5/шїтг
-ЯТЁЁИЬ2 + а2)І“+1 при /є 55 1,
- (10)
%1п(и2 + (12) при І: = 1,
и остается разобраться с интегралом
сіи
1* І / (Щ
Интегрируя по частям и делая элементарные преобразования, имеем
лс =/ сіи : и + 2,6/ Ц? ди І
(и2 + а2)1с (Ц2 + 61,2)/С (и2 _|_ 0,2)/9-І-1
и / (и2 + 0,2) - а,2 и 2
=__- гь а=_-_ 2/«І-2/С 1 ,
(и2 + а2)к + (Ы2 + (12)/«+1 и (иг + а2)к + Ё а *+1
откуда следует рекуррентное соотношение
1 и 2/с - 1
І 12
2Іса2 (и2 + а2)'“ + 2Іш2 Ь, ( )
ІА;+1 =

368 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
позволяющее понижать степень /с в интеграле (11). Но І 1 легко вычи-
СЛИТЬЁ
1 І ди 1 д(Ё) 1 и
14,)
таким образом, используя (12) и (13), можно вычислить также перво-
образную (11).
Итак, мы доказали следующее
Утверждение 2. Первообразнал любой рациональной функции
Р
В(ас) = Ё)-З выражаетсл через рациональные функции, а также транс-
цендентные функции 111 и агсгё. Рациональнал часть первообразной,
будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве таково-
го иметь произведение всеш сомножителей, на которые раскладыва-
ется многочлен С2(а:), только с кратностлми на единицу меньшими,
чем кратность иа: вагожденил в разложение
2
Пример 13. Вычислим / 23: + 51: + 5 сіів.
(Ш2 - 1)(Ш + 2)
Поскольку подынтегральная функция является правильной дробью
и разложение знаменателя в произведение (11: - 1)(:1: + 1)(:1: + 2) тоже
известно, то сразу ищем разложение
2;г:2+5а:+5 _ А + В + С (14)
(Ш-1)(а:+1)(а:+2)_а:-1 а:+1 а:+2
нашей дроби в сумму простейших дробей.
Приведя правую часть равенства (14) к общему знаменателю, имеем
2;1:2+5ш+5 _(А+В+О):ь2+(3А+В)а:+(2А-2В-С)
(сс-1)(а:+1)(а:+2) _ (аз-1)(:1:+1)(а:+2) °
Приравнивая соответствующие коэффициенты числителей, получаем
систему
А + В + С = 2,
ЗА + В = 5,
2,4 _ вв _ 0 = 5,
из которой находим (А,В, С) = (2, -1, 1).

@7. пвРвоовРАзнАя 369
Заметим, что в данном случае эти числа можно было бы найти и в
уме. Действительно, домножая (14) на а: - 1 и полагая затем в получен-
ном равенстве а: = 1, справа получим А, а слева-значение при а: = 1
дроби, полученной из нашей вычеркиванием в знаменателе сомножи-
теля 11: - 1, т.е. А = = 2. Аналогично можно было бы найти
В и С.
Итак,
2а:2+5:1:+5 сіа: сіа: сіа:
оіа:-=2 Э- і-Ь -і:
(а:2-1)(:1:+2) 1:-1 :1:+1 :1:+2
(ш~Ы%ш+Ш
=2Іп|:1:-1|-Іп|а:+1|+1п|:1:-І-2|+с=1п 1-1-с.
а:+1
Пример 14. Вычислим первообразную функции
1117 -21126-і-4а:5 -5аг4+4:1:3 -5ас2 -гс
Н(:1:) = *_
(а: -1)2(:в2 +1)2
Прежде всего заметим, что дробь не является правильной, поэтому,
раскрыв скобки и найдя знаменатель дроби @(а:) = 1:6 - 21125 + 31124 -
- 4133 + 3122 - 2:п + 1, делим на него числитель, после чего получаем
5115 -:с4+:1:3 -31132-2ас
(1: -1)2(:с2 + 1)2 ,
а затем уже ищем разложение правильной дроби
1;5_ш4+ш3-за?-2:Е _ А + В + с:1:+1> +Е±›:+1г (15)
(гс-1)2($2+1)2 -(12-1)2 11:-1 ($2+1)2 :в2+1'
В(а:) = :1:+
Конечно, разложение можно найти каноническим путем, выписав
систему шести уравнений с шестью неизвестными. Однако вместо это-
го мы продемонстрируем иные, иногда используемые, технические воз-
можности.
Коэффициент А находим, домножив равенство (15) на (сс - 1)2 и
положив затем а: = 1: А = -1.
Перенесем дробь Б;-Ё с уже известным значением А = -1 в левую
часть равенства (15). Тогда получим
а:4+:1:3+2:с2+:1:-1_ В +С:с+В+Еа:+Р (16)
(гс-1)(а:2+1)2 -із-1 (:1:2+1)2 а:2+1°
откуда, домножая (16) на 1: - 1 и полагая затем ат = 1, находим В = 1.

370 ГЛ. /'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Перенося теперь дробь Ё в левую часть равенства (16), получим
т2+а:+2_ С:1;+1Э +Еа:+Р (17)
($2+1)2 ($2+1›2 ш2+1'
Приводя правую часть равенства (17) к общему знаменателю, при-
равниваем числители
1:2+:1;+2=Ет3+Р;г2+(С+Е)а;+(В+Р),
откуда следует, что
Е =
“Ф
17:
С'+Е=
В-+-Р:
Ьэ|._ъ|_ъ
или (С',17,Е,Р`) = (1,1,0,1).
Теперь нам известны все коэффициенты в равенстве (15). Первые
две дроби при интегрировании дают соответственно Ё и 1п|а: - 1|.
Далее,
/С'а:+П(і$:/ :в+1 ат:
(122 -І-1)2 (1122 +1)2
_тХд(т2+1)+[ да: _ -1 +1
2 (;ь2+1)2 (1:2+1)2_2(;г2+1) 2*
где
: її : -ні - Г
І Х (111: 1 сс +1аСЁ
2 (Ш2 +1)2 2(:1:2 +1)2 2 М*
что следует из (12) и (13).
Наконец,
Еа: + Р 1
= = ЭІСЁЅІІЁ.
Собирал все интегралы, окончательно имеем
1 1 11: 3
В(а:)сІш=-:с2+ + 2 2-+-1п|:в-1|+-а1°с'с5а:+с.
2 а: - 1 2(а7 + 1) 2
Рассмотрим теперь некоторые часто встречающиеся неопределен-
ные интегралы, вычисление которых может быть сведено к отысканию
первообразной рациональной функции.

Ё7. пв1=>воовРАзнАя 371
4. Первообразные вида / В(соЅ аз, Ѕіп гс) сііс. Пусть В(и,и) -
Р
рациональная функция от и и 11, т. е. отношение ЁЁЁЁ полиномов, явля-
7
ющихся линейными комбинациями мономов итд, где т = 0, 1, . . . , п =
= 0, 1, . . .
Для вычисления первообразной І В(соз аг, Ѕіп :1:) (із: существует не-
сколько приемов, из которых один-вполне универсальный, хотя и не
всегда самый экономный.
. а. Сделаем замену 15 = Ъ5 Поскольку
_ 22 ЕЕ
сова: = -Ь Ё8 2 Ѕіпа: = -Ц 2
1+ъ;2%” 1+ъ;2ї
да: 2сі±
а±=_1 .. 4 =_--,
2соЅ2Ё-° Те Ш 1+1;52%
, 1-±2 21: 2
/Н(соз:1:, Ѕ1п:1:)сіа:=/В(1+±2,1+±2) 1+±2 (115,
и дело свелось к интегрированию рациональной функции.
Однако такой путь часто приводит к очень громоздкой рациональ-
ной функции, поэтому следует иметь в виду, что в ряде случаев суще-
ствуют и другие возможности рационализации интеграла.
І
[Э
ТО
Ь. В случае интегралов вида І 1-2(соЅ2 :1:,зіп2 сіш или І т'(1;5 :1:)сі:с,
где *г(и) --рациональная функция, удобна подстановка 15 = 'с5:с, ибо
1 ь 2
соЅ2а: = --Ё-, Ѕіп2а: = іё
1-і-Ъ5 ап 1+1:5 а:
сі 0115
сіі = -із-, т.е. сіа: = -ї-.
соЅ2а: 1-І-1:5 сс
Выполнив указанную подстановку, получим соответственно
2
2 2 1 13 сіі
/В(соЅ :с,Ѕіп аз)сіа: =
/т*('с5 1:) еіш =
*Ё
Ч за
(1+±2*1+±2)1+±2°
ан
(г)
1+±2'

372 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
с. В случае интегралов вида
/Н(соЅ сс, Ѕіп2 :1:)Ѕі11а: сіа: или /В(соЅ2 аз, Ѕіп:1:)соЅ сс сієс
можно внести функции Ѕіпаз, созсв под знак дифференциала и сделать
-Ё _.
замену - сова: или 15 = зіпа: соответственно. После замены эти инте-
гралы будут иметь вид
-[12(±,1-±2)<1± или Хн(1-±2,±)<1±.
Пример 15.
Х ад; _/ 1 2<1± _
3+Ѕіпа:_ 3.|__Ё'% 1+±2_
1+і
аг 2 <1(*+Ё) 2 ди
:2[ :Ё[(±+%)2+З_:Ё/и2+(%)2=
1 Ё зи + 1 Ё з±+1+ 1 Ё3геЁ+1+
=_агс -_ с=--агс -- с=-агс і с.
Л Ёт л Ё т Л Ё М
Здесь мы воспользовались универсальной заменой і = 1:5
_ 61:31: _ сіі __ 1 +с_с 1
(ъ5а;+1)2_ ±+1)2_ ±+1 ` 1+ъ3:›;'
Пример 17. `
Пример 16.
/ сіа: ф _/ сіа: _
(зіпа: + сов а:)2 _ соЅ2 а:('с5:1: +1)2 _
/ / <
І сіш _/ сіа: _
251112 3:1: - 3соЅ2 3:12 +1 _ соЅ2 За: (21:52 За: - 3 + (1 + Ь32 313)) _
3
:1[<1±8за; =3] ан :1/Ё/<1/ёі:
з звёзд:-2 3 з±2-2 з~2 з_ %±2-1
_ 1 / сіи _ 1 Ши-1І+с_
3/Ё и2-1 6/Ё и+1

ёг. пЕ1=>воовРАзнАя зтз
/
-і1 Іп -Ц[ё±_1 +с-;1 111?-_- +с
6*/Ё /ё±+1 6*/Ё 1;33а;+/Ё д
ример 18.
созз сс соЅ2 аз сізіпаз (1 - Ё2) сіі
Ё- 423 = -пт-_ І її- =
5111 1: Ѕш аз 15
1 1 1 1
= 1:-7 - гб Си = --гб -±'-4 = - .
/( ) 6 +4 +6 4Ѕіп4:1: 6Ѕіп6а:+с
5. Первообразные вида / Е(а:,у(а:)) сіаг. Пусть, как и в пунк-
те 4, В(а:,у) -рациональная функция. Рассмотрим некоторые специ-
альные первообразные вида
где
/Наташа
у = 3/(гс) -функция от Ш.
Прежде всего, ясно, что если удастся сделать замену 11: = а:(±) так,
что
ция
обе функции 11: = :1:(±) и у = у(ат(±)) окажутся рациональными функ-
ми от і, то аг' (15) -тоже рациональная функция и
/намышмд/тмашлтмтмь
т. е. дело сведется к интегрированию рациональной функции.
у:
Мы рассмотрим следующие специальные случаи задания функции
ИФ)-
а. Если у = 2/ %, где п Є Ш, то, полагая 15 = Ё, получаем
(1. #1 - ь
Ш=;ї:я›у=”
И ПОДЫНТЄГРЗЛЬНОЄ ВЬІРЕІЖЄНИЄ РЗЦИОНЗЛИЗИРУЄТСЯ.
Пример 19.
31;-1 ±3+1 ±3+1 /±3+1
-4 = ш __- =±~і- --4::
[/а:+1$ Х (1-1:3) 1-±3 1-±3

374 ГЛ. /`. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
±3+1 2
-*°гн*/(ї$“1)““-
3 1 д
_±_±+ ±_2 ± _
_ + _
1-±3 ](1-±)(1+±+±2
$;
_1- -1:) 3(1+±+±2
=_і _П1_ __ ііі
+
ІЭФд /
& а
_ 2± _2] 1 + 2+±
1:3 з(1 )
2± +21| Ц 2! (±+і) -
1 ±3 3 3 (НЮ2 _
+
›І>СиО
2: 2 1 12 з
=_- -11- --1 - - -
1_±3+3п| ±| 3п[(15+2) +4]
-_агс1:5- ±+і +с, где ±=3/Ш.
/Ё 2 а:+1
Ь. Рассмотрим теперь случай, когда у = /аа:2 + Ьа: + с, т. е. речь
идет об интегралах вида
/ В (мы) ат.
[Э
[Э
ё
Выделяя полный квадрат в трехчлене аа:2 + Ьа: + с и делая соот-
ветствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к
одному из следующих трех простейших:
Х н(±,×/її) 4:, Х 12 (±,×/їїї) 4:, Х н(±,×/їїї) 4:. (18)
ДЛЯ р8.ЦИОН8.ЛИЗ3.ЦИИ ЭТИХ ИНТЄГРЕЪЛОВ ТЄПЄРЬ ДОСТЕЪТОЧНО ПОЛОЖИТЬ
СООТВЄТСТВЄННО
,/і2+1=1€и+1, или х/і2+1=±и-1, или /1ї2+1=±-и;
/152 - 1 =и(15-1), или /152 - 1 =и(1ї+1), или ,/152-1=і-и;
/1-±2=и(1-Ъ), или /1-і2=и(1+і), или /1-±2=±и±1.
Эти подстановки были предложены еще Эйлером (см. задачу 3 в
конце параграфа).
Проверим, например, что после первой подстановки мы сведем пер-
вый интеграл к интегралу от рациональной функции.

Ё 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 375
В самом деле, если /152 +1 = ±и+ 1, то 152 +1 = 12112 +2іи+ 1, откуда
*_ 2и
-1-и2
и, в свою очередь,
1 + 11,2
~/152 1 = _;.
+ 1 - и2
Таким образом, і и /Ё2 + 1 выразились рационально Через и, а сле-
довательно, интеграл привелся к интегралу от рациональной функции.
Интегралы (18) подстановками 15 = ЅЬ ср, Ё = с11 ср, 15 = Ѕіпср (или
і = сов ср) соответственно приводятся также к тригонометрической
форме
/В(Ѕ11 ср, сІ1 ср) сІ1 ср сіср, /В(с11 ср, 511 ср) 511 ср сіср
и
/В(зіпср, сов ср) созсрсіср или - /В(соз ср, Ѕіп ср) Ѕіпсрсіср.
Пример 20.
сіа: _/ сіас _/ аїті
/:1:+/:1:2+2а:+2 :1г+/(:с+1)2+1 Ъ-1+/±2+1°
Полагая /152 +1 = и - Ъ, имеем 1 = и2 - 2±и, откуда 15 =
Поэтому
/ Щ -Ё/-#(1+і)<1и-Ё/і<1и+
1-1-|-с/±2+1 2 и-1 112 2 и-1
- ее:-П _ - іі--і-- :
+1! ди 11| 1|+1]' 1 1 1 4
2 и2('и,-1) 2 и 2 и-1 и2 и и
1 1 -1 1
=ё1п|и-1|-1-5111 Ё,-Ъ-Г›+%+с.
Теперь остается проделать обратный путь замен: и = 13 + /152 + 1 и
±=:1;+1.

376 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
С. ЭЛЛИПТИЧЄСКИЄ ИНТЄГРЗЛЬІ. ОЧЄНЬ ВЗЖНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ ТЗКЖЄ
первообразные вида
/В (:1:,/Р(:1:)) сіаз, (19)
где Р(а:) -многочлен степени п > 2. Такой интеграл, как было пока-
зано Абелем и Лиувиллем, вообще говоря, уже не выражается через
элементарные функции.
При п = 3 и п = 4 интеграл (19) называется эл./шптическим, а при
п > 4- гиперэллиптическим.
Можно показать, что общий эллиптический интеграл элементарны-
ми подстановками с точностью до слагаемых, выражающихся через
элементарные функции, приводится к следующим трем стандартным
зллиптическим интегралам:
сіа:
//(1 - :1;2)(1 _ /<2ш2)” (20)
/ :1:2сі:1: (21)
×/<1- :»2›<1 - /<2=:>2›”
сіа:
/ (1 + /ш:2)/(1 - :п2)(1- /~:2ш2), (22)
где Ь и І: -параметры, причем во всех трех случаях параметр Іс лежит
в интервале ]0, 1[.
Подстановкой а: = зіщо эти интегралы можно свести к следующим
каноническим интегралам или их комбинациям:
/ 4*” , <2з>
/1 - /с2 Ѕіп2 <р
/ ц/ 1 - К2 51112 срсіср, (24)
Х фр . (25)
(1 + /1Ѕіп2 <р)/ 1 - /с2 Ѕіп2 ср
Интегралы (23), (24), (25) называются соответственно эллиптиче-
скими интегра./вами первого, второго и третьего рода (в форме Ле-
жандра). Через Р`(Іс, <р) и Е (Іє, <р) обозначают эллиптические интегралы

57. пвРвоовРАзнАя 377
(23) и (24) первого и второго рода соответственно, выделяемые усло-
виями 1~7`(/с, 0), = 0 и Е(/с, 0) = 0.
Функции Р(/4,90), Е(/<:,<р) часто используются, и потому состав-
лены достаточно подробные таблицы их значений для 0 < /Є < 1 и 0 Ѕ
<Ф<лШ-
Эллиптические интегралы, как показал Абель, естественно рассма-
тривать в комплексной области, в неразрывной связи с так называе-
мыми эллиптическими функциями, которые соотносятся с эллиптиче-
скими интегралами так же, как, например, функция Ѕіп 90 с интегралом
І іЁ_ = агсзіп <р.
×/Ё?
Задачи и упражнения
1. Метод Остроерадскоеої) вьъделенил рациональной части интеграла от
правильной рациональной дроби.
Пусть 5%% -правильная рациональная дробь; с1(:в) -многочлен, имею-
щий те же корни, что и С2(:в), но кратности 1; С21(:в) = %(Ё:%.
Покажите, что
а) Имеет место следующая формула Остроградского:
ЁЦҐР1 ІШІБ
/о<«››“і _ ом ›+/<1<«=›“* (26)
Р1(Ш) МФ) Іёїё _. _
где 01 (гс), (ЮВ) правильные рациональные дроби, причем І Ч Ф сіів транс
цендентная функция.
В сил этого ез льтата д обь Р1 5” в 26 называется аииональной ча-
У Р У Р 621 ,В Р
стью интеграла І Ѕёёё сіаг.)
Ь) В формуле
НЗ
полученной дифференцированием формулы Остроградского, сумма справа по-
сле надлежащих сокращений приводится к знаменателю
с) Многочлены <1(ас), С21(аз), а затем и многочлены р(:п), Р1 можно найти
алгебраическим путем, даже не зная корней многочлена Таким обра-
зом, рациональную часть интеграла (26) можно полностью найти, даже не
вычислив всей первообразной.
851
833,
1)М. В. Остроградский (1801 - 1861) -выдающийся русский механик и математик,
один из инициаторов прикладного направления исследований в Петербургской ма-
тематической школе.

378 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1) Выделите рациональную часть интеграла (26), если
Р =2ш6+зш5+6т4+ва;3+1оа;2+зш+2,
62 =а:7+3а:6+5:1:5+7а:4+7а:3+5:с2+3:1:+1
ЕЕ
(см. пример 17 в ё5 этой главы).
2. Пусть ищется первообразная
І 1-2(соз ад, Ѕіп аг) сіаз, (27)
где В(и, 11) = % -рациональная функция.
Покажите, что
а) если В(-иди) = Н(и,1›), то Н(и,и) имеет вид Е1(и2,*и);
Ь) если В(-и, 11) = -1-ї(и, 11), то В(и, 11) = и-В2(и2, 11) и подстановка ± = зіпш
рационализирует интеграл (27);
с) если В(-и, -11) = В(и,т1), то В(и,т1) = 123 (%,*и2) и подстановка і = $523
рационализирует интеграл (27).
3. Интєгралы вида
/В (:1:,/а,:в2 + Ьа: + с) сіш. (28)
а) Проверьте, что интеграл (28) приводится к интегралу от рациональной
функции следующими подстановками Эйлера:
±=/аа:2+Ьа:+с±/Є:1:,еслиа>0,
Ъ = , / Ё, если 2131, 2:2 _ действительные корни трехчлена 0,122 + да: + с.
Ь) Пусть (:1:д,у0) -точка кривой 3,/2 = (1122 + Ьіп + с, а 1?--угловой коэф-
фициент прямой, проходящей через точку (а:0,у0) и пересекающей кривую в
некоторой точке (:1:, у). Выразите координаты (ап, у) через (шо, уо) и Ъ и свяжите
эти формулы с подстановками Эйлера.
с) Кривая, задаваемая алгебраическим уравнением Р(ш,у) = 0, называ-
ется уникурсальной, если она допускает параметрическую запись 1: = :1:(±),
у = у(±) при помощи рациональных функций :в(±), у(і). Покажите, что инте-
грал І В(ш,у(:с)) сіаг, где Н(и,т1)-рациональная функция, а у(:с) ~алгебраи-
ческая функция, удовлетворяющая уравнению Р (гс, у) = 0, задающему уникур-
сальную кривую, приводится к интегралу от рациональной функции.
(1) Покажите, что интеграл (28) всегда можно свести к вычислению инте-
гралов следующих трех типов: '
/ Р(:в) да: / сіш
/а,:1:2+І›а:+с , (11:-:1:0)'“-/а:1:2+Ь:в+с7
/ (Аш+В) сіаг
(:1:2 +р:в + (1) ~ /аа:2 + Ьш + со

4. а) Покажите, что интеграл
/ шт(а + І›а:)р сіа:
от дифференциального бинома, где т, п, р- рациональные числа, приводится
к интегралу
/ (0 + ь±)Р±Ч си, (29)
где р, (1-рациональные числа.
Ь) Интеграл (29) выражается через элементарные функции, если одно из
трех чисел р, (1, р + (1-целое. (П.Л.Чебь1шёв показал, что других случаев,
при которых бы интеграл (29) выражался в элементарных функциях, не суще-
ствует.)
5. Эллиптические интегралы.
а) Любой многочлен третьей степени с действительными коэффициентами
имеет вещественный корень то и заменой ш - 1:0 = 152 приводится к многочлену
вида ±2(а,±4 + Ьіз + сі2 + сіі + е), где а 75 0.
Ь) Функция В (ш, /Р(а:)), где Н(и,и) -рациональная функция, а Р-
полином степени 3 или 4, приводится к виду Н1(±, /а±4 + 6133 + . . . + е), где
а 75 О.
с) Многочлен четвертой степени а,:1:4 + Ьшз + . . . + Є представляется в виде
произведения а(а:2 + р1:1: + с11)(:1:2 + 1921: + (12) и заменой ат = ЁЁЁЁ всегда может
2 2 *уі + 1
быть приведен к вИдУ (М1 + “Ё Ё: + ММ ) .
'7 .
(1) Функция В (гс, /211134 + Ьазз + _ . . + е) заменой а: = Ж-Ё может быть при-
ведена к виду
В1(±, /А(1 + т1±2)(1 + т2±2)).
е) Функция В (св, может быть представлена в виде суммы В1(а:, у) +
+ , где Н1 и Н2 -рациональные функции.
Ґ) Любая рациональная функция может быть представлена как сумма чет-
ной и нечетной рациональных функций.
5) Если рациональная функция В(а:) четна, то она имеет вид 1*(:в2), а если
нечетна, то вид :1:1'(:1:2), где т(:1:) -рациональная функция.
Ь) Любая функция В (аг, приводится к виду
2 2
В1($,у) + Н2($ 1?/)+ В3(Ш 13/)1:.
×/17 ×/17
і) Любой интеграл вида І В (из, / сіаг, где Р(1:) -многочлен четвер-

380 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
той степени, с точностью до элементарных слагаемых приводится к интегралу
/ т'(і2)сІ±
/А(1 + т1±2)(1 + т2±2),
где т(±) -рациональная функция, А = ±1.
1) Если |т1| > |т2| > 0, то одной из замен вида ,/т1±= 1:, ,/т1±= ,/1- :в2,
2
,/т1і = -Ґ/ї%Ёї, ,/т1± = -Её интеграл І /А(1+Т:Ъ(1Ёі2)СЁЁ +т2±2) приводит-
ся к виду І ї($2) да: , где 0 < /ч: < 1, а 1*-рациональная функция.
/(1 _ <1=2)(1 - К2222)
1<) Выведите формулы понижения показателей 2п, т для интегралов
/ ш2“сі:1: / сіаз
«(1 - :в2›<1 - т2›° (-2 - «от ~ ×/(1 - :1:2›<1 - /<2а:2›'
1) Любой эллиптический интеграл '
/В (ап, сіаз,
где Р-полином четвертой степени, с точностью до слагаемых, представля-
ющихся в виде элементарных функций, приводится к одному из трех канони-
ческих интегралов (29), (21), (22).
хп) Интеграл І выразите через канонические эллиптические инте-
гралы.
111) Выразитіе через эллиптические интегралы первообразные функций
И .
/ сов 2:1: / сов а - сов 1: '
6. Используя вводимые ниже обозначения, найдите с точностью до линей-
ной функции Аа: + В первообразные следующих неэлементарных специальных
функций:
а)
Ь) Ѕі(:1:) = -_-
с) Сі(:г) = -ї сіа:
(1) ЅІ1і(:с) = --
Х
є-з “Н
сіаз (интегральная экспонента);
ІІІШ
Ф
е ёё .
из
¦Э
сіа: (интегральный синус);
Н
(интегральный косинус);
О
*ТН
Н 8
9..
і~2
(интегральный гиперболический синус);
е) СІ1і(:с) = Т сіа: (интегральный гиперболический косинус);
Ґ) Ѕ(:в) = /віпш2 сіш
5) С(а:) =/сов:1:2сі:1:
(интегралы Френеля);

Ё 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 381
І1) Ф(а:) = / є_”2 сіш (интеграл Эйлера-Пуассона);
. . сіаз ,,
1) 11(а:) = Ю (интегральный логарифм).
7. Проверьте, что с точностью до постоянной справедливы следующие ра-
венства:
а) = 1і(е“*);
) СІ1і(ас) = + Еі(-:в)];
П» = ыЕ1<«:› - Вы-ш›1;
= Сі(:1:) + і Ѕі(1:);
1/4Ф (:г:е_і/4) = С(:1:) +
ифференциальное уравнение вида
512 І Ш
«іт 9(1/)
°°ЗЬЭ;З/ 0
Ґ0 С/Э
3:* зі
Ґ_
Н8.ЗЬІВ8.ЮТ Ъ/РЦЄНЄНПЄМ С р(13дЄ/Е.Я,Ю'1.Ц'Ц.М'І1,С.Я ПЄРЄМЄННЬЪМП, ПОСКОЛЬКУ ЄГО МОЖНО
ПЄрЄПИС8,ТЬ В ВИДЄ
9(з/) ду = і(Ш) гіт,
в котором переменные 1: и у разделены. После этого уравнение можно решить:
/ушу = / по <1::+с,
вычислив соответствующие первообразные.
Решите уравнения
а) 2=г31/1/' + 1/2 = 2;
Ь) :1:уу' = /1 + 1:2;
с) у' = соЅ(у + 1:), положив и(:с) = у(:в) + св;
сі) а:2у' - сов 2у = 1 и выделите то решение, которое удовлетворяет условию
у(:1:) -› О при а: -› +оо;
е> ёг/<э:> = Ѕ1<ш›;
І
г) % = ст.
9. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высо-
те 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Предельную
скорость падения человека в воздухе нормальной плотности принять равной
50 м / с. Решите задачу в предположении, что сопротивление воздуха пропор-
ционально
а) скорости;
Ь) квадрату скорости.
Изменением давления с высотой пренебречь.

382 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
10. Известно, что скорость истечения воды из небольшого отверстия в
дне сосуда достаточно точно может быть вычиспена по формуле 0,6/2уН,
где 9-ускорение силы тяжести, а Н -высота уровня воды над отверстием.
' Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. По-
ловина воды из полного бака вытекает за 5 мин. За какое время вытечет вся
вода?
11. Какую форму должен иметь сосуд, являющийся телом вращения, что-
бы при истечении из него воды уровень воды понижался равномерно? (Исход-
ные данные см. в задаче 10.)
12. В рабочее помещение вместимостью 104 ма через вентиляторы в 1 ми-
нуту подается 103 мз свежего воздуха, содержащего 0,04% СО2, и одновре-
менно такое же количество смеси выводится из помещения. В 9 часов утра
в помещение входят служащие, и через полчаса содержание СО2 в воздухе
повышается до 0,12 %. Оцените содержание углекислого газа в помещении к
2 часам дня.

ГЛАВА /І
ИНТЕГРАЛ
5 1. Определение интеграла и описание множества
интегрируемых функции
1. Задача и наводящие соображения. Пусть точка движется
вдоль числовой оси, .в(±) ~ее координата в момент 15, а и(±) = з' -
ее скорость в тот же момент 15. Предположим, что мы знаем положе-
ние з(±0) точки в момент 150 и к нам поступают данные о ее скорости.
Располагая ими, мы хотим вычислить з(±) для любого фиксированного
значения 15 > йо.
Если считать скорость 11(і) меняющейся непрерывно, то смещение
точки за малый промежуток времени приближенно можно вычислить
как произведение и(т)А± скорости в произвольный момент т, относя-
щийся к этому промежутку времени, на величину Ай самого промежут-
ка. Учитывая это замечание, разобьем отрезок [150, 15], отметив некото-
рые моменты гїд = 0,... ,п), так, что 150 < 131 < < Ёп = її, и так, что
промежутки [±і_1,±,] малы. Пусть Ай, = 15.; -151-1 и 11,; Є [1їд_1,±.д], тогда
имеем приближенное равенство
*М-
І-4
Є
Ґ5
з(±) - з(±0) ж ті)А±,;'.
По нашим представлениям, это приближенное равенство будет уточ-
няться, если переходить к разбиениям отрезка [±0, і] на всё более мелкие
промежутки. Таким образом, надо полагать, что в пределе, когда ве-
личина А наибольшего из промежутков разбиения стремится к нулю,

384 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
ПОЛУЧИМ ТОЧНОЄ РЗВЄНСТВО
_ 'П
пт 2 «›(-,)А±, = з(±) _ що). (1)
×-›0 _
2:1
Это равенство есть не что иное, как фундаментальная для всего
анализа формула Ньютона-Лейбница. Она позволяет, с одной сторо-
ны, численно находить первообразную з(±) по ее производной о(±), а с
другой стороны, по найденной каким-либо способом первообразной з(±)
'П
функции о(±) найти стоящий слева предел сумм 2 о(*г,)А±,.
Такие суммы, называемые интегральньъми сутмїиами, встречаются в
самых разнообразных случаях.
Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под па-
раболой у = гс? над отрезком [0, 1] (рис.47). Не останавливаясь здесь
на подробном обсуждении понятия площади фигуры, о котором речь
будет идти несколько позже, мы, как и Архимед, будем действовать ме-
тодом исчерпания фигуры посредством простей-
1*/ ,' ших фигур -прямоугольников, площади кото-
/ рых мы вычислять умеем. Разбив отрезок [0, 1]
1 точками0=:1:0<:1:1<...<а:,,-,=1наме.лкие
отрезки [а:,_1,а:,], мы, очевидно, можем прибли-
женно вычислить искомую площадь 0 как сум-
му площадей изображенных на рисунке прямо-
угольников:
__І_
І
---Ц
І І
'-1 1 1
Ш ан :ш+1 1 из
*М-
І*-'
Н
Рис. 47. (7 Ё Ё-ІАШЙ
здесь Аж, = 1:, - :с,_1. Полагая І = :1:2 и Є, = а:,_1, мы перепишем
полученную формулу в виде
ЁГ1=
ы
В этих обозначениях в пределе будем иметь
39, 1<е>А:/я = 0, <2›

ё1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 385
где, как и выше, ›_длина наибольшего из отрезков [а:,_1,:сі] раз-
биения.
Формула (2) только обозначениями отличается от формулы За-
быв на миг о геометрическом смысле 1” (ёі), Аа, и считая ас временем, а
І скоростью, найдем первообразную функции 1” и тогда по
формуле (1) получим, что 0 = Р(1) -
В нашем случае 1'(:с) = 1132, поэтому = ёагз + с и а = Р(1) -
- Р(0) = Это и есть результат Архимеда, который он получил пря-
мым вычислением предела в
Предел интегральных сумм называется интегра./дом. Таким обра-
зом, формула (1) Ньютона-Лейбница связывает интеграл и первооб-
разную.
Перейдем теперь к точным формулировкам и проверке того, что на
звристическом уровне было получено выше из общих соображений.
2. Определение интеграла Римана
а. Разбиения
Определение 1. Разбиением Р отрезка [а,Ь], а < Ь, называется
такая конечная система точек :1с0,. . . ,азп этого отрезка, что а = 1:0 <
<ІІ31<...<ІІІ›д=д.
Отрезки [а:,_1, = 1, . . . ,п) называются отрезнами разбиения Р
Максимум >(Р) из длин отрезков разбиения называется параме-
тром разбиения Р.
Определение 2. Говорят, что имеется разбиение (Р,{) с отме-
ченными тоннами отрезка [а,Ь], если имеется разбиение Р отрезка
[а, Ь] и в каждом из отрезков [:1:,_1,:с,] разбиения Р выбрано по точке
Є, Є [:1:,_1,:с,] (2 =1,...,п).
Набор ({1,. . . ,{.,,) обозначается одним символом Є.
Ь. База в множестве разбиений. В множестве Р разбиений с
отмеченными точками данного отрезка [а,Ь] рассмотрим следующую
базу В = {Вд}. Элемент Вд, аі > 0, базы В есть совокупность всех тех
разбиений (Р,{) с отмеченными точками отрезка [а,Ь], для которых
А(Р) < а.
Проверим, что {Вд}, сі > 0, -действительно база в Р.
Во-первых, Вд уё И. В самом деле, каким бы ни было число сі > 0,
очевидно, существует разбиение Р отрезка [а, Ь] с параметром >(Р) < сі

386 ГЛ. 7І. ИНТЕГРАЛ
(например, разбиение на п конгруэнтных отрезков). Но тогда су-
ществует и разбиение (Р, Є) с отмеченными точками, для которого
А(Р) < <і.
Во-вторых, если 41 > 0, оіг > О и сі = п1іп{сі1,сі2}, то, очевидно,
Вд, ЙВд2 = Вд Є
Итак, В = {Вд} - действительно база в 73.
с. Интегральная сумма
Определение 3. Если функция ]` определена на отрезке [а,Ь], а
(Р, Є) -разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма
а<і;Р,<› == /<ь›А:щ, <з›
і=1
где Аіщ = сс, -ш,_1, называется интегральной суммой функции 1” , соот-
ветствующей разбиению (Р, Є) с отмеченными точками отрезка [а, Ь].
Таким образом, при фиксированной функции 1” интегральная сумма
а( 1” ; Р, Є ) оказывается функцией Ф(р) = а( 1” ; р) на множестве 73 разбие-
ний р = (Р, Є) с отмеченными точками отрезка [а, Ь].
Поскольку в 73 имеется база В, то можно ставить вопрос: о пределе
функции Ф(р) по этой базе.
(1. Интеграл Римана. Пусть 1” -функция, заданная на отрез-
ке [а,Ь].
Определение 4. Говорят, что число І является интеграла./и Ри-
мана от функции 1” на отрезке [а,,Ь], если для любого Є > 0 найдется
число 6 > 0 такое, что для любого разбиения (Р,{) с отмеченными
точками отрезка [а, Ь], параметр которого >(Р) < 5, имеет место соот-
ношение
І - < Є.
і=1
Поскольку разбиения р = (Р,{), для которых А(Р) < 6, составляют
элемент Вд введенной выше базы В в множестве 'Р разбиений с отме-
ченными точками, то определение 4 равносильно тому, что
1=1° Ф
1,311 (Р),

ё1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 387
т. е. интеграл І есть предел по базе В значений интегральных сумм
функции 1” , отвечающих разбиению с отмеченными точками отрез-
ка [а, Ь].
Базу В естественно обозначить символом )(Р) -› 0, и тогда опре-
деление интеграла можно переписать в виде
1 = пт Ёт<е›Аа. <4›
×(Р)-›О і: 1
Интеграл от функции 1” по отрезку [а, Ь] обозначается символом
Ь
/і<:1:›<1«›,
в котором числа а,, Ь называются нижним и верагним пределом инте-
грирования, соответственно; І -нодынтегральная функция, ](ш)аЁа: --
подынтегральное выражение, а:-- переменная интегрирования.
Итак,
Ь п
!г<1~›<1ш== ,(;;513Ю;;_;/<<,›А:»і. <5>
Определение 5. Функция І называется интеерируемой но Рима-
ну на отрезке [а, Ь], если для нее существует указанный в (5) предел ин-
тегральных сумм при А(Р) -› О (т. е. если для нее определен интеграл
Римана).
Множество всех функций, интегрируемых по Риману на отрезке
[а, Ь], будет обозначаться через 72[а, Ь].
Поскольку пока мы не будем рассматривать другого интеграла, кро-
ме интеграла Римана, условимся для краткости вместо терминов «ин-
теграл Римана›› и «функция, интегрируемая по Риману» говорить соот-
ветственно «интеграл›› и «интегрируемая функция».
3. Множество интегрируемых функций. В силу определения
интеграла (определение 4) и его переформулировок в виде (4) и (5), ин-
теграл есть предел некоторой специальной функции Ф(р) = а( 1” ; Р, 5 ) _
интегральной суммы, определенной на множестве 'Р разбиений р= (Р, Є)
с отмеченными точками отрезка [а, Ь]. Предел этот берется по базе В
в 73, которую мы обозначили как >(Р) -› 0.

388 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Таким образом, интегрируемость функции І на [а, Ь] зависит от на-
личия указанного предела.
В силу критерия Коши этот предел существует тогда и только то-
гда, когда для любого числа е > 0 найдется элемент Вд Є В базы, в
любых точках р', р” которого выполнено соотношение
ІФ(р') - Ф(р”)І < «'г~
В более подробной записи сказанное означает, что для любого е > 0
найдется 6 > О такое, что для любых разбиений (Р',{'), (Р,{”) с от-
меченными точками отрезка [а, Ь], для которых )(Р') < 6 и >(Р”) < б,
выполнено неравенство
|а<1;Р',:'› - ао; Р”,<“›| < Є
или, что то же самое, неравенство
2 і<є2›А«›2 - 2 г<›::'›Аш:' < Є. (6)
1:1 2:1
Мы воспользуемся сформулированным критерием Коши для того,
чтобы получить сначала простое необходимое, а затем и достаточное
условие интегрируемости функции по Риману.
а. Необходимое условие интегрируемости
Утверждение 1. Для того чтобы функция І, определенная но
отрезке [о, Ь], было интегрируема но нем по Риману, необшоднмо, что-
бы она было ограничена на этом отрезке.
Короче,
(І Є 72[а,Ь]) => (І ограничена на [о,
4 Если 1 не ограничена на [а, Ь], то при любом разбиении Р отрезка
[о, Ь] функция 1” окажется неограниченной по крайней мере на одном
из отрезков [а:,д_1, разбиения Р. Это означает, что, выбирая различ-
ным образом точку Є, Є [а:і_1,а:д], можно сделать величину |]
сколь угодно большой. Но тогда и интегральную сумму о(1”;Р,{) =
'П
= ,д Анг, можно с елать по мо лю сколь го но большой за счет
У д
1:1
изменений только точки 5,; в этом отрезке.

ё1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 389
Ясно, что в таком случае не может быть и речи о конечном пределе
интегральных сумм, что, впрочем, видно и из критерия Коши, ибо со-
отношение (6) в этом случае, очевидно, не имеет места даже для сколь
угодно мелких разбиений. Ь
Как мы увидим, полученное необходимое условие еще очень дале-
ко от необходимого и достаточного условия интегрируемости, однако
оно уже позволяет нам в дальнейшем исследовать только ограниченные
функции.
Ь. Достаточное условие интегрируемости и важнейшие
классы интегрируемых функций. Начнем с нескольких обозначе-
ний и замечаний, которые используются в дальнейшем изложении.
Условимся, когда задано разбиение Р
а=а:0<а:1<...<а:,~,,=Ь
отрезка [а, Ь], наряду с символом Агщ, обозначающим разность :1:,; -а:,,;_1,
употреблять символ для обозначения отрезка [а:,_1,
Если разбиение Р отрезка [а,Ь] получено из разбиения Р только
добавлением к Р некоторых новых точек, то условимся называть раз-
биение Р продолжєниєм разбиения, Р.
При построении продолжения Р разбиения Р некоторые (быть мо-
жет, и все) отрезки А, = [а:,_1, разбиения Р сами подвергаются раз-
биению а:і_1 = шт < < авт, = 33,. В связи с этим нам будет удобно
нумеровать точки разбиения Р двумя индексами. В записи ат первый
индекс означает, что шід Є Аі, а второй индекс есть порядковый номер
точки на отрезке Аі. Теперь естественно положить Ааъдд := азід - :вдд_1
И АИ І= [І17іі_1,ІІ7і_1]. ТЕЪКИМ Обра.ЗОМ, Аіїїі = АЗЩ1 + . . . + [ХВ/дпі.
Примером разбиения, являющегося продолжением как разбиения Р' ,
так и разбиения Р, может служить разбиение Р = Р' ЫР”, полученное
объединением точек разбиений Р' и Р.
Напомним, наконец, что, как и прежде, символ ш( 1” ;Е) будет обо-
значать колебание функции ] на множестве Е, т. е.
Ш(1;Е)= ЅИР ІҐ(11')-і(Ш)|-
1:/ ,щи ЄЕ
В частности, ш( 1” ; Аі) есть колебание функции 1” на отрезке А,. Это
колебание заведомо конечно, если І -ограниченная функция.

390 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Теперь сформулируем и докажем следующее
Утверждение 2. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, Ь]
функция 1” была интегрируема на нем, достаточно, чтобы для любого
числа е > 0 нашлось число 5 > О такое, что при любом разбиении Р
отрезка [а,Ь] с параметром )(Р) < 5 вьтолнллось соотношение
204 1*; Адлш, < Є.
1:1
4 Пусть Р _разбиение отрезка [а,Ь] и Р -продолжение разбие-
ния Р. Оценим разность интегральных сумм о'(]; Р, Є) - о(}; Р,{ Ис-
пользуя введенные выше обозначения, можем написать
|0(ї;1Б›Ё) _ 0(1°;Р,€)І = 2ЕҐ(€1д)АШі1 _ 2:1°(Є1)/31171 =
1:1 3:1 1:1
= 2ЁҐ(€і1)А$11 _ 2Ёї(€і)АШ1д =
1:1 1:1 1:1 1:1
*М=
І_^
%
Мг
І*-*
*М=
І_'
'ч
Мг
1:
= _ ' (Ґ('$іі)-]°(ёь›г))15-11111 <_ п (511)-Ґ(€і)|А$ід<
//
М
;Иг
Є
З
(Ь А,›А:/кд = Еш; А,›Аа
: : і=1
тн
В этих выкладках мы использовали то, что Аж, = 2 Аіщд, а также то,
1:1
что |/(Єід) - /({і)| < ш(]; Ад), поскольку 5,1 Є Ад С А, и Є, Є Ад.
Из полученной оценки разности интегральных сумм следует, что
если функция 1” удовлетворяет достаточному условию, сформулирован-
ному в утверждении 2, то по любому числу Є > О можно найти 5 > 0
так, что для любого разбиения Р отрезка [а, Ь] с параметром А(Р) < б
и его продолжения Р при любом выборе отмеченных точек Є и Ё будем
иметь
|<›<1;13, Є) - а<1;Р,є›| < 2

Ё1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 391
Если теперь (Р' , Є) и (Р, {) -произвольные разбиения с отмечен-
ными точками отрезка [а, Ь], параметры которых удовлетворяют усло-
виям >(Р') < 6, А(Р”) < 6, то, рассмотрев разбиение Р = Р' ЫР”, явля-
ющееся продолжением обоих разбиений Р', Р, по доказанному будем
иметь
}млйо-ылеж›<-
<`П[Э<`П
Ъклво-аимтєч<-
Отсюда следует, что
|0(1”; Р',€') _ 0(і; Р,€)| < Є,
как только ›(Р') < 5, А(Р) < 5. Таким образом, в силу критерия Коши
существует предел
[Э
Ііш Ё
,(Р)-›о 1: 1 Ъ Ъ
интегральных сумм, т.е. 1” Є 7?,[а,Ь]. Ь
Следствие 1. (І Є С'[а,Ь]) => (І Є 7?,[а,Ь]), т. е. яюбая непрерыв-
ная на отрезке функция интезрируема на этом отрезке.
4 Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем,
так что необходимое условие интегрируемости в этом случае, очевидно,
выполнено. Однако непрерывная на отрезке функция еще и равномерно
непрерывна на нем, поэтому для любого е > 0 можно найти 6 > О так,
что на любом отрезке А С [а, Ь] длины меньше 5 будем иметь ш(]”; А) <
< ЪЁЕ. Тогда для любого разбиения Р с параметром )(Р) < 5 будем
иметь
Ё:ш(]“;А,)Аа:,,; < і_Ё:А:с,д = -і(Ь-а) -е
. Ь-а. Ь-а _.
1:1 1:1
В силу утверждения 2 теперь можно заключить, что 1” Є 72[а, Ь]. >
Следствие 2. Если ограниченная на отрезке [а,Ь] функция 1” не-
прерывна на этом отрезке всюду, кроме, быть может, коненнозо мно-
жества точек, то І Є 7?,[а,Ь].
4 Пусть ш (]; [а, Ь]) < С < оо и 1” имеет Іс точек разрыва на отрезке
[а, Ь]. Проверим вьшолнимость достаточного условия интегрируемости
функции 1” _

392 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
При заданном є > 0 возьмем число 61 = и построим бгокрест-
ности каждой из І: точек разрыва функции 1” на [а, Ь]. Дополнительное к
объединению этих окрестностей множество точек отрезка [а, Ь] состоит
из конечного числа отрезков, на каждом из которых І непрерывна и,
значит, равномерно непрерывна. Поскольку таких отрезков конечное
число, по Є > 0 можно указать 62 > 0 так, что на любом отрезке А,
длина которого меньше 62 и который полностью содержится в одном
из указанных выше отрезков непрерывности 1, будем иметь ш( 1” ; А) <
< Ё. Возьмем теперь число 6 = п1іп{б1, б2}.
Пусть Р -произвольное разбиение отрезка [а,,Ь], для которого
'П
×(Р) < 6. Сумму 2 ш(]`; А,)Аа:.д, отвечающую разбиению Р, разобьем
і=1
На ДВЄ ЧЗСТИЁ
ЁЩҐ; Аддіщ = 2,Ш(ї;Аі)А11ї1:+ 2,,Ш(Ґ; Аддті-
1І=1
В сумму Ху включим те слагаемые, которые отвечают отрезкам А,
разбиения Р, не имеющим общих точек с построенными бгокрестно-
стями точек разрыва. Для таких отрезков А, имеем ш( 1” ; Аі) < Ё,
поэтому
2,Ш(Ґ;Аі)АШі < ЖЪЁЁ2,А$1 < 5@Ёїї(д 0) =
Сумма длин оставшихся отрезков разбиения Р, как легко видеть,
Є _
меньше (5 + 261 + 5)/є < 4їС±-Ё - /с - %, поэтому
ї:”ш(];А,)Аа:, < СЕ” А:1:,; < С- 56 =
Таким образом, мы получаем, что при А(Р) < 5
Ё:ш(]`;А,)А:1:- < 5
'Ъ 7
1:1
т. е. выполнено достаточное условие интегрируемости и 1” Є 72[а, Ь]. Ь
Следствие 3. Монотоннал на отрезке функция, интегрируема на
этом отрезке.

Ё 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 393
4 Из монотонности функции І на отрезке [а,,Ь] следует, что
ш(]`; [а,Ь]) = - ]“(а)|. Пусть задано Є > 0. Положим 6 = .
Мы считаем, что 1” (Ь) - ](а) 74 0, поскольку в противном случае І по-
стоянна и интегрируемость 1” не вызывает сомнений. Пусть Р-про-
извольное разбиение отрезка [а, Ь] с параметром )(Р) < 6.
Тогда для него с учетом монотонности 1” имеем
ЁШ(Ґ3Аі)А$1 < дЁШ(ї;Аі) = 5Ё ІҐСЩ) _ 1с(Ші-1)=
і=1 і=1 і=1
= 6 }:(1<:щ> - і<ш,_1›)] = ш<1›› - мал = Є.
Ы
*-1
Таким образом, 1” удовлетворяет достаточному условию интегриру-
емости, т. е. 1” Є 72[а,Ь]. >
Монотонная функция может иметь уже бесконечно много точек раз-
рыва на отрезке (счетное множество). Например, функция, определяе-
мая соотношениями
1--Ь при 1-і<а:<1-і_, пены 0,
211, 211 2п+1
1 при :с=1
на отрезке [0, 1], не убывает и в каждой точке вида 1 - Ё, п Є Ы, имеет
разрыв.
Замечание. Отметим, что хотя мы сейчас имеем дело с веще-
ственными функциями на отрезке, однако ни в определении интегра-
ла, ни в доказанных выше утверждениях, за исключением следствия 3,
мы по существу не использовали то, что рассматриваемые функции ве-
щественнозначные, а не комплексно- или, например, векторнозначные
функции точки отрезка [а,, Ь].
Понятия верхней и нижней интегральной суммы, к которым мы пе-
реходим, напротив, специфичнь1 только для функций с действительны-
ми значениями.
Определение 6. Пусть 1” : [а,Ь]-НК-действительнозначная функ-
ция, определенная и ограниченная на отрезке [а, Ь]; Р -разбиение от-
резка [а, Ь]; А, = 1,... ,п) -отрезки разбиения Р. Пусть ті =
= іпї ](а:), М, = Ѕир [(113) = 1,...,п).
:вЄАі д;ЄА,

394 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
Суммы
Ѕ(/ц; Р) І= 2
і=1
и
'П
І= 2
і=1
называются соответственно нижней и вершней интегральной суммой
функции 1” на отрезке [а, Ь], соответствующей разбиению Р этого от-
резкаї). Суммы з( 1” ;Р) и Ѕ(};Р) называют также нижней и верагней
суммой Д арбу, соответствующей разбиению Р отрезка [а, Ь].
Если (Р,{) _произвольное разбиение с отмеченными точками от-
резка [а,, Ь], то, очевидно,
Ѕ(1';Р) < 0(і;Р,€) < 5(і;Р)- (7)
Лемма 1.
Ѕ(і;Р) = і1Ёї0(і;Р,€),
5(1;Р) = Ѕ1Ёр0(і;Р,€)-
4 Проверим, например, что верхняя сумма Дарбу, отвечающая раз-
биению Р отрезка [а, Ь], является верхней гранью значений интеграль-
ных сумм, соответствующих разбиению с отмеченными точками (Р, Є)
отрезка [а, Ь], причем верхняя грань берется по всевозможным наборам
Є = ({1,. . . ,{,,) отмеченных точек.
Ввиду (7), для доказательства достаточно, чтобы при любом е > 0
нашелся такой набор отмеченных точек, что имеет место неравенство
5(1;Р)<0(і;Р,Ё)+г- (8)
По определению чисел Мі, при каждом і Є {1, . . . ,н} найдется точка
Є, Є А,, в которой М, < ]°({і) + 1%. Пусть Є = ((1, . . . ,{,,). Тогда
Ё Мідті < Ё (дёі) + Ё) $171 = Ё 1°(Ёі)А11>1 + Є,
і=1 'і=1 і=1
1)Термин «интегральная сумма» здесь формально не вполне законен, так как не
всегда ті и М, являются значениями функции І в некоторой точке Є, Є Аі.

ё1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 395
что и завершает доказательство второго утверждения леммы. Первое
утверждение проверяется аналогично. >
Из доказанной леммы и неравенства (7) с учетом определения инте-
грала Римана заключаем, что справедливо следующее
Утверждение З. Ограниченная вещественнознанная функция 1” :
[а,Ь] -› К интвгрируема по Риману на отрезке [а,Ь] тогда и только
тогда, когда существуют и равны между собой пределы
1: 1* -Р '= ° -Р.
_ Жд«_д0$<т, ›, 1 Ж5;,3~гд0Ѕ<і, › <9›
При этом из: общее значение І = 1 = Т совпадает с интеграяом
Ь
дог.
4 Действительно, если пределы (9) существуют и равны между со-
бой, то по свойствам предела из (7) заключаем о существовании предела
интегральных сумм, причем
і: /(ЪіЁІі›00'(]с;Р›€) =
С другой стороны, если 1 Є 72[а, Ь], т. е. существует предел
1' -Р =1
Ш;Ёг3_›00(і, ,€) ,
то из (7) и (8) заключаем, что существует предел Ііш Ѕ(І;Р) = ї,
_ _ ×(Р)-›0
причем І _ І.
Аналогично проверяется, что Ііш з(]'; Р) = 1 = І. Ь
›(Р)-›О
В качестве следствия утверждения 3 получаем следующее уточнение
утверждения 2.
Утверждение 2'. Для того чтобы функция 1” : [а,Ь] -› К, задан-
ная на отрезке [а, Ь], была интегрируема по Риману, необагодимо и до-
статочно выполнение соотношения
П
›`(Епі›О ш([; А,)Аа:,д = 0. (10)

396 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
4 Учитывая утверждение 2, нам остается лишь убедиться в необхо-
димости соотношения (10) для интегрируемости 1.
Заметим, что ш( 1” ; А,;) = М, - ті, поэтому
ЁШ(Ґ;А@)АШі = Ё(М@ - т«:)АШ1 = 5(Ґ;Р) _ $(1°;Р)›
'1,=1 1:1
и теперь (10) следует из утверждения 3, коль скоро 1” Є 72[а,, Ь]. >
с. Векторное пространство 72[а,, Ь]. Над интегрируемыми функ-
циями можно выполнять ряд операций, не выходя за пределы множест-
ва 72[а,, Ь].-
Утверждение 4. Если ],9 Є 72[о,,Ь], то
Э) (ї +9) Є 7ї[<1›д];
5:85
(огі) Є 72[а, Ь], где а -числовой множитель;
1” І Є 73[щ1>];
]”|[с,д] Є 72[с,сі], если [сд] С [а,Ь
1;
Ф
ъ/
(І ' 9) Є 7?*[а›Ь]°
Мы сейчас рассматриваем только вещественнозначнь1е функции, но
полезно отметить, что свойства а), Ь), с), (1) окажутся справедливыми
и для комплекснозначных и векторнозначных функций. Для векторно-
значных функций, вообще говоря, не определено произведение 1” - 9,
поэтому свойство е) для них не рассматривается. Однако это свойство
остается в силе для функций с комплексными значениями.
Перейдем теперь к доказательству утверждения 4.
4 а) Это утверждение очевидно, поскольку
'ГЬ 'П 'П
2(Ґ + 9)(Ёг)А11ї1: = 2 Ґ(€і)А$і + 2 9(€і)А111і-
1:1 1:1 і=1
Ь) Это утверждение очевидно, поскольку
Ё/:(<1]0)(Ё1)АШі= 0 Ё Ґ(€»г)А$=г-
1:1 1:1
с) Поскольку Е) < ш(]; Е), то можно написать, что
З
М=
І-'
(Ґ;Аі)А$і›
Є
ЕФЖІҐІЗА/г)АШ»г <
2:1 _
Ѕ

ЁІ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 397
и на основании утверждения 2 заключить, что ( 1” Є 72[а,,Ь]) => 1” | Є
Є 72[а,,
(1) Мы хотим проверить, что ограничение [|[с,д] интегрируемой на
отрезке [а, Ь] функции на любой отрезок [сд] С [а, Ь] является функци-
ей, интегрируемой на [с, Пусть тг -разбиение отрезка [с, сІ]. Добавив
к тг некоторые точки, достроим эт до разбиения Р отрезка [а, Ь], но так,
чтобы иметь А(Р) < ×(тг). Ясно, что это всегда можно сделать.
Теперь можно написать, что
27, Ш(1'|[с,а1;А1)А$г< 2,, Ш(1°;А1)АШ1›
где 2,, -сумма по всем отрезкам разбиения тг, а ЕР -сумма по всем
отрезкам разбиения Р.
При >(1г) -› 0 по построению также >(Р) -› 0, и на основании утвер-
ждения 2' из полученного неравенства заключаем, что ( 1” Є 72[а, Ь]) =>
=> Є 72[с,<і]), если [с,сі] С [а,Ь].
е) Проверим сначала, что если І Є 72[а, Ь], то [2 Є 72
Если 1 Є 7?,[а,Ь], то 1” ограничена на [а,Ь]. Пусть |[ < С < оо
на [а, Ь]. Тогда
|ї2($1)- ї2(Ш2)| = |(1°(1ї1)+ї(112))°(1°(<111)- 1°(11>2))|< 20|ї(<111) _ ї(11ї2)|›
поэтому ш(]2;Е') < 2С'ш(]”;Е'), если Е С [а,Ь]. Значит,
/-@
8»
ъ/Ф*
ЁШ(1°2;А1)Агщ < 20Ё:Ш(1;А1)А1щ,
2:1 2:1
откуда на основании утверждения 2' заключаем, что
(і є 12[а,ь]) => (12 е 12[а,ь]).
Теперь перейдем к общему случаю. Запишем тождество
<і ~ 9›<<»› = Ё [(1 + ат) - <т - 9›2<а››1 _
Из этого тождества с учетом только что доказанного утверждения и
проверенных пунктов а) и Ь) утверждения 4 заключаем, что
(і Є 12[а›Ь]) ^ (9 Є 12[а,1›]) => (І - 9 Є 12[а,1›1)~ ›

398 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Из курса алгебры вам уже известно понятие векторного простран-
ства. Вещественнозначные функции, определенные на некотором мно-
жестве, можно поточечно складывать и умножать на действительное
число, получая при этом снова функцию с вещественными значениями
на том же множестве. Если функции рассматривать как векторы, то
можно проверить, что при этом выполнены все аксиомы векторного
пространства над полем действительных чисел и указанное множество
действительных функций является векторным пространством относи-
тельно операций поточечного сложения функций и умножения функций
на действительные чис.ла.
В пунктах а), Ь) утверждения 4 сказано, что сложение интегри-
руемь1х функций и умножение интегрируемой функции на число не
выводит за пределы множества 72[а,Ь] пинтегрируемых функций. Та-
ким образом, 72[а,,Ь] само является векторным пространством-под-
пространством векторного пространства вещественнозначных функ-
ций, определенных на отрезке [а, Ь].
с1. Критерий Лебега интегрируемости функции по Рима-
ну. В заключение приведем пока без доказательства теорему Лебега,
дающую внутреннее описание интегрируемой по Риману функции.
Для этого введем следующее полезное само по себе понятие.
Определение 7. Говорят, что множество Е С ІК имеет меру ну./ьь
или является множеством меры ну./ъь (в смысле Лебега), если для лю-
бого числа Є > 0 существует такое покрытие множества Е не более
ОО
чем счетной системой І инте валов с мма І лин кото ых не
/С 7 Ё
/ї:=1
превышает є.
Х
Поскольку ряд 2 |І;,| сходится абсолютно, порядок суммирования
Іс=1
длин промежутков покрытия не влияет на сумму (см. утверждение 4 из
гл. /, 55, п. 2), поэтому данное определение корректно.
Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества ме-
ры ну./ьь.
Ь) Объединение конечного или счетноео числа, множеств меры нуль
есть множество меры нуль.
с) Подмножество множества меры ну./ъь само есть множество ме-
ры ну./ьь.

ЁІ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 399
с1)Отрезок [а, Ь] при а < Ь не является множеством меры нуль.
4 а) Точку можно покрыть одним интервалом длины меньшей, чем
любое наперед заданное число Є > 0, поэтому точка является множест-
вом меры нуль. В остальном а) вытекает из Ь).
Ь) Пусть Е = ЦЕ -не более чем счетное объединение множеств
'П
Е меры нуль. По Є > 0 для каждого Е строим покрытие множе-
ства Е такое, что 2 <
/с
Поскольку объединение не более чем счетного числа не более чем
счетных множеств само не более чем счетно, промежутки І2, /є, п Є Ы,
образуют не более чем счетное покрытие множества Е, причем
є є є
2|І;3| < -+-3+...+-д+...=,=;.
П/,К 2 2 2
Порядок суммирования Е по индексам п и /с безразличен, ибо ряд
п,Іс
сходится к одной и той же сумме при любом порядке суммирования,
если он сходится для какого-то порядка суммирования. Последнее в
нашем случае имеет место, ибо любые частичные суммы нашего ряда
ограничены сверху числом г.
Итак, Е есть множество меры нуль в смысле Лебега.
с) Это утверждение, очевидно, непосредственно следует из опреде-
ления множества меры нуль и определения покрытия.
(1) Поскольку из любого покрытия отрезка интервалами можно вы-
делить конечное покрытие, сумма длин промежутков которого, очевид-
но, не превосходит суммы длин промежутков исходного покрытия, то
нам достаточно проверить, что сумма длин интервалов, образующих
конечное покрытие отрезка [а, Ь], не меньше длины Ь - а этого отрезка.
Проведем индукцию по количеству интервалов покрытия.
При п = 1, т. е. когда отрезок [а,Ь] содержится в одном интерва-
ле (а,Б), очевидно, имеем а < а < Ь< В и В-а > Ь-а.
Пусть утверждение доказано до индекса /с Є Ы включительно. Рас-
смотрим покрытие, состоящее из Іс + 1 интервалов. Возьмем интер-
вал (ог1,ог2), покрывающий точку а. Если (12 2 Ь, то ог2 - а1 > Ь - а и
все доказано. Если же а < 0:2 < Ь, то отрезок [сж2, Ь] покрыт системой,
состоящей уже не более чем из /с интервалов, сумма длин которых по
предположению индукции не меньше чем Ь - а2. Но
Ь-а=(Ь-оє2)+(а2-а)<(Ь-а2)+(ог2-ог1)

400 ГЛ. /'І. ИНТЕГРАЛ
и, таким образом, сумма длин интервалов исходного покрытия отрез-
ка [а, Ь] больше, чем его длина Ь - а. >
Интересно отметить, что в силу пунктов а) и Ь) леммы 2 множест-
во <@ всех рациональных точек числовой прямой К является множеством
меры нуль, что на первый взгляд выглядит несколько неожиданным при
сопоставлении с пунктом (1) той же леммы.
Определение 8. Если некоторое свойство выполнено в любой точ-
ке множества Х, кроме, быть может, точек множества меры нуль, то
говорят, что это свойство имеет место почти всюду на множестве Х
или почти во всезс тонкая: множества Х.
Теперь сформулируем критерий Лебега.
Теорема. Функция, определенная на отрезке, интеерируема по
Риману на этом отрезке в том и только в том слунае, когда она
ограничена на этом отрезке и непрерывна почти во всесв его тонкаш.
Итак,
(І Є 72[а, Ь]) <=:› ограничена на [а, Ь]) /
/ ( 1” непрерывна почти всюду на [а, Ь]) .
Из критерия Лебега и свойств множеств меры нуль, изложенных в
лемме 2, очевидно, легко можно получить как следствия 1, 2, З утвер-
ждения 2, так и утверждение 4.
Мы не станем сейчас доказывать критерий Лебега, поскольку при
работе с достаточно регулярными функциями, с которыми нам пред-
стоит иметь дело, он нам пока не нужен. Однако идейную сторону кри-
терия Лебега вполне можно объяснить уже сейчас.
Утверждение 2' содержало критерий интегрируемости, выражен-
'П
ный соотношением (10). Сумма 2 ш(]°; А,)А:1:, может быть мала, пре-
і=1
жде всего, за счет множителей ш(]`; Аі), которые малы в малых окрест-
ностях точек непрерывности функции. Если же некоторые из отрез-
ков Аші содержат точки разрыва функции, то для них ш(]'; Аі) не стре-
мится к нулю, сколь мелким бы ни было разбиение Р отрезка [а,Ь].
Однако ш([;Аі) < ш(]“;[а,Ь]) < оо в силу ограниченности 1” на [а,Ь],
поэтому сумма тех слагаемых, которые содержат точки разрыва, то-
же может оказаться маленькой, если только мала сумма длин отрезков

ё1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 401
разбиения, покрывающих множество точек разрыва, или, точнее, если
рост колебания функции на некоторых отрезках разбиения компенси-
руется малостью длин этих отрезков.
Точной реализацией и формулировкой этого наблюдения и является
критерий Лебега.
Приведем теперь два классических примера, поясняющих свойство
функции быть интегрируемой по Риману.
Пример 1. Функция Дирихле
рф): 1 при :1:Є<@,
0 при 0: Є 1К (2,
рассматриваемая на отрезке [0, 1], не интегрируема на нем, поскольку
для любого разбиения Р отрезка [0, 1] в каждом отрезке А, разбиения Р
можно отметить как рациональную точку 5%, так и иррациональную
точку . Тогда П
а(]°;Р,{') = 21-Аж, = 1,
і=1
в то время как
ТЪ
<›(і;Р,<) = 20 ~ Аж, = 0.
1:1
Таким образом, интегральные суммы функции 17(:1:) не могут иметь
предел при >(Р) -› 0.
С точки зрения критерия Лебега неинтегрируемость функции Ди-
рихле тоже очевидна, поскольку функция Р(а:) разрывна в каждой точ-
ке отрезка [0, 1], который, как было показано в лемме 2, не есть множе-
ство меры нуль.
Пример 2. Рассмотрим функцию Римана
_ %, если 11: Є <@ и :1: = -Ё _несократимая дробь,п Є Щ,
о,ешИ$єво
Мы уже рассматривали эту функцию в гл. І/', Ё2, п. 2, и знаем, что
функция 72(:1:) непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна
во всех рациональных точках. Таким образом, множество точек разры-
ва функции счетно и потому имеет меру нуль. В силу критерия

402 ГЛ. /'І. ИНТЕГРАЛ
Лебега можно заключить, что функция 7?,(:1:) интегрируема на любом
отрезке [а, Ь] С ІК, несмотря на то, что точки разрыва этой функции
попадают в любой отрезок любого разбиения отрезка интегрирования.
Пример 3. Рассмотрим теперь еще один, менее классический во-
прос и пример.
Пусть 1” : [а,Ь] -› 1К_интегрируемая на [а,Ь] функция, принимаю-
щая значения на отрезке [с, сі], на котором непрерывна функция
9: [с,д] -› К. Тогда композиция 9 о І : [а,Ь] -› К, очевидно, определе-
на и непрерывна во всех точках отрезка [а, Ь], в которых непрерывна
функция І . В силу критерия Лебега отсюда следует, что (901) Є 72[а, Ь].
Покажем теперь на примере, что композиция произвольных инте-
грируемых функций-уже не всегда интегрируемая функция.
Рассмотрим функцию у(:с) = |Ѕ5п Эта функция равна единице
при а: ад 0 и нулю при ат = 0. Непосредственной проверкой убеждаемся,
что если, например, на отрезке [1, 2] рассмотреть в качестве 1” функцию
Римана 72(а:), то на этом отрезке композиция (90 І есть не что иное,
как функция Дирихле Таким образом, наличие даже одной точки
разрыва у у(:с) привело к неинтегрируемости композиции 9 о 1” _
Задачи и упражнения
1. Теорема Дарбу.
а) Пусть з(_1' ; Р) и Ѕ(]`; Р) -нижняя и верхняя суммы Дарбу веществен-
нозначной функции І, определенной и ограниченной на отрезке [а, Ь], отвеча-
ющие разбиению Р этого отрезка. Покажите, что для любых двух разбиений
Р1, Р2 отрезка [а, Ь] справедливо неравенство
3(Ґ;Р1)< Ѕ(ҐЅР2)-
Из/
Ь) Пусть разбиение Р является продолжением разбиения Р отрезка [а, Ь]
и пусть Ад, , . . . , Ад _те отрезки разбиения Р, которые содержат точки раз-
биения Р, не входящие в разбиение Р. Покажите, что справедливы оценки
0 < 5(і;Р) - 5(і;Р) < <›1(і;[<1›1>1> °(А<1:і1 + _ . - + Ащ),
0 < з<і;1'5› - з<і;Р> < <»<1;[а,1›1› ~ (Аа, + . . . + ші,,›«
с) Величины 1 = Ѕирз(]';Р), І = і1ЬїЅ(]`;Р) называются соответственно
Р
нижним и вєрссним интеграла./и Дарбу функции 1” на отрезке [а, І›]. Покажите,
что 1 $ І.

ё1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 403
(1) Докажите теорему Дарбу:
1= А(Ъ;€Іі›08(1°;Р)› ї= Х(Ъ;Ё11›05(і;Р)-
е) Покажите, что Є 72[а,Ь]) <=> (1 = ї).
Ґ) Покажите, что І Є 72[а,, Ь] тогда и только тогда, когда для любого Є > О
найдется такое разбиение Р отрезка [а, Ь], что Ѕ(]; Р) - з(]; Р) < е.
2. Канторово множество лебеговой меры нуль.
а) Канторово множество, описанное в задаче 7 Ё4 гл.ІІ, несчетно. Про-
верьте, что оно тем не менее есть множество меры нуль в смысле Лебега.
Укажите, как следует видоизменить конструкцию канторова множества, что-
бы получить аналогичное всюду «дырявое» множество, не являющееся множе-
ством меры нуль. (Его тоже называют канторовым.)
Ь) Покажите, что заданная на отрезке [0, 1] функция, равная нулю вне
канторова множества и единице в точках канторова множества, интегрируема
по Риману на этом отрезке, если и только если канторово множество имеет
меру нуль.
с) Постройте неубывающую, непрерывную и не постоянную на отрезке
[0, 1] функцию, которая имеет нулевую производную всюду, кроме, быть мо-
жет, точек канторова множества меры нуль.
3. Критерий Лебега.
а) Проверьте непосредственно (без ссылки на критерий Лебега) интегри-
руемость функции Римана из примера 2 настоящего параграфа.
Ь) Покажите, что ограниченная функция І Є 72[а, Ь] тогда и только тогда,
когда для любых двух чисел Є > О и 6 > 0 найдется разбиение Р отрезка [а, Ь]
такое, что сумма длин тех отрезков разбиения, на которых колебание функции
больше є, не превосходит 6.
с) Покажите, что І Є 72[а,, Ь] тогда и только тогда, когда І ограничена на
[а, Ь] и для любых чисел Є > 0 и б > 0 множество точек отрезка [а, І›], в которых
І имеет колебание больше чем є, можно покрыть конечным число интервалов,
сумма длин которых меньше 6 (критерий Дюбуа -Реймоиац).
(1) Используя предыдущую задачу, докажите критерий Лебега интегриру-
емости функции по Риману.
4. Покажите, что если _1°,у Є 72[а, Ь] и І, 9 действительны, то п1ах{[,у} Є
Є 72[а,, Ь] и п1іп{],у} Є 72[а,, Ь].
5. Покажите, что Ь
а) если 1,9 Є 72[а,І›] и ](:с) = у(:в) почти всюду на [а,Ь], то [_і(:в)сІ:с =
Ь а
= І9(Ш) дт;
1)П.Дюбуа- Реймон (1831 - 1889) _ немецкий математик.

404 ГЛ. 7І. ИНТЕГРАЛ
Ь) если І Є 72[а,Ь] и ]°(а:) = у(аг:) почти всюду на [а,1›], то у может не
быть интегрируемой по Риману на [а, Ь], даже если 9 определена и ограничена
на [а, Ь].
6. Интеграл от векторнознанной функции.
а) Пусть 1'(±) -радиус-вектор точки, движущейся в пространстве; тд =
= 1'(0) -начальное положение точки; и(і) -вектор скорости как функция
времени. Восстановите 1*(і) по 'го и функции и(±).
Ь) Сводится ли интегрирование векторнозначной функции к интегриро-
ванию вещественнозначных функций?
с) Верен ли для векторнозначных функций критерий интегрируемости,
выраженный в утверждении 2'?
(1) Верен ли критерий Лебега для векторнозначных функций?
е) Какие из понятий и фактов этого параграфа переносятся на функции
с комплексными значениями?
Ё2. Линейность, аддитивность и монотонность
интеграла
1. Интеграл как линейная функция на пространстве 'К[а, Ь]
Теорема 1. Если 1” и 9 -интеерируемые на отрезке [а,Ь] функ-
ции, то иа: линейная комбинация си] + Ву также является интегриру-
емой на [а,Ь] функцией, причем
ітї + БЭЖШ) 412 = <1іі(Ш)<іа: + /3]9(Ш)<1Ш- (1)
4 Рассмотрим интегральную сумму для интеграла, стоящего в ле-
вой Части соотношения (1), и преобразуем ее:
'П 'П 'П
2(@Ґ + 59)(€і)А111і = 01 2 ї(Єі)АІБі + 5 2 9(€і)АШі~ (2)
і=1 і=1 і=1
Поскольку правая часть последнего равенства стремится к линей-
ной комбинации интегралов, стоящих в правой части равенства (1),
если параметр >(Р) разбиения стремится к нулю, то левая часть равен-
ства (2) тоже имеет предел при >(Р) -› 0 и этот предел совпадает с
пределом правой части. Таким образом, (огі + Ву) Є 72[а, Ь] и выполнено
равенство Ь

Ё2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 405
Если множество 72[а,Ь] рассматривать как векторное пространст-
Ь
во над полем действительных чисел, а интеграл І Ісіа:-как дей-
0,
ствительнозначную функцию, определенную на векторах пространства
72[а, Ь], то теорема 1 утверждает, что интеграл есть линейная функция
на векторном пространстве 72[а, Ь].
Во избежание возможной путаницы, функции, определенные на
функциях, называют обычно фунигциона./шми. Таким образом, мы до-
казали, что интеграл есть линейный функционал на векторном прост-
ранстве интегрируемых функций.
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегриро-
вания. Значение интеграла _; 1” сіа: = І ( І ; [а,Ь]) зависит как от по-
дь1нтегральной функции, такаи от отрезка, по которому ведется инте-
грирование. Например, если І Є 72[а, Ь], то, как мы уже знаем, ]”|[а,д] Є
Є 72[ог, Щ, если [а, ,[3] С [а, Ь], т. е. определен интеграл _? 1” сіаз, который
а
мы можем исследовать с точки зрения его зависимости от отрезка [а, В]
интегрирования.
Лемма 1. Если а < Ь < с и 1 Є 72[а,с], то ]`|[а,,д] Є 72[а,Ь], 1°|[д,с] Є
Є 7?,[Ь, с] и имеет место равенство”
с Ь с
/;(ш)аШ=/;(Ш)аш+/;($›а$. (3)
С., а Ь
4 Отметим прежде всего, что интегрируемость ограничений функ-
ции І на отрезки [а,, Ь] и [Ь, с] гарантируется утверждением 4 из преды-
дущего параграфа.
С
Далее, поскольку 1” Є 7?,[а,, с], то при вь1числении интеграла І ]”(а:) сіас
(1.
как предела интегральных сумм мы вправе выбирать любые удобные
нам разбиения отрезка [а, с]. В качестве таковых будем сейчас рассма-
тривать только те разбиения Р отрезка [а,с], которые содержат точ-
1)Напомним, что символ /|Е обозначает сужение функции І на множество Е, ле-
жащее в области определения функции І. В правой части равенства (3) формально
полагалось бы написать не І, а сужения І на соответствующие отрезки.

406 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
ку Ь. Каждое такое разбиение с отмеченными точками (Р, Є), очевидно,
порождает разбиения (Р',{') и (Р”,{”) отрезков [а,Ь] и [Ь, с] соответ-
ственно, причем Р = Р' Ы Р” и Є: Є Ы Є.
Но тогда имеет место следующее равенство между соответствую-
щими интегральными суммами:
0(і;Р,€) = 0(1”;Р',Є') + 0(і;Р,Є)~
Поскольку )(Р') < А(Р) и ×(Р”) < ›(Р), то при достаточно ма-
лом ›(Р) каждая из написанных интегральных сумм близка к соответ-
ствующему интегралу из Таким образом, равенство (3) действи-
тельно имеет место. Ь
Чтобы несколько расширить применимость полученного результа-
та, вернемся временно вновь к определению интеграла.
МЫ ОПРЄДЄЛИЛИ ИНТЄГРЗЛ К3,К ПРЄДЄЛ ИНТЄГРЭЛЬНЬІХ СУММ
«(12 вы = Ёт<<і›А«:,, <4›
і=1
отвечающих разбиениям с отмеченными точками (Р,{) отрезка инте-
грирования [а, Ь]. Разбиение Р составляла монотонная конечная после-
довательность точек а:0,:1:1,. . . ,:1:.,,, причем точка 1:0 совпадала с ниж-
ним пределом интегрирования а,, а последняя точка дтп совпадала с верх-
ним пределом интегрирования Ь. Эта конструкция проводилась в пред-
положении, что а < Ь. Если теперь взять произвольно два числа а и Ь,
не требуя, чтобы обязательно было а < Ь, и, считая а нижним преде-
лом интегрирования, а Ь верхним, провести указанную конструкцию, то
мы вновь получим сумму вида (4), в которой на сей раз будет Асщ > 0
(і = 1,...,п), если а < Ь, и А:1:і< 0 = 1,...,п) при а > Ь, ибо
Анг, = 1:, - а:,_1. Таким образом, сумма (4) при а > Ь будет отличать-
ся от интегральной суммы соответствующего разбиения отрезка [Ь, а]
(Ь < а) только знаком.
По этим соображениям принимается следующее соглашение: если
а > Ь, то
Ь а
/;(;1;)<1а;=_ -/;(1;›(11;. (5)
0 Ь

Ё2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 407
В СВЯЗИ С ЭТИМ ЄСТЄСТВЄННО ТЗКЖЄ ПОЛОЖИТЬ, ЧТО
і]°(т) сізс :- О. (6)
После этих соглашений с учетом леммы 1 приходим к следующему
важному свойству интеграла.
Теорема 2. Пусть а, Ь,с Є К и пусть 1” -функция, интегрируе-
мал на наибольшем из отрезков с концами в указанньш: тонкааг. Тогда
сужение І на каждый из двуа: друеиш отрезков также интезрируемо
на соответствующем отрезке и имеет место равенство
і](:в)сіа:+і[(а:)сі:1:-І-]Ь](:1:)с1:1:=0. (7)
а ь С
4 В силу симметрии равенства (7) относительно а, Ь, с, мы без огра-
ничения общности можем считать, что а = шіп{а, Ь, с}.
Если шах{а, Ь, с} = с и а < Ь < с, то по лемме 1
і]”(а:)сІ:1:+і]”(:с)ая:-і](а:)аїа:=0,
0, ь а,
что с учетом соглашения (5) дает равенство
Если п1ах{а, Ь,с} = Ь и а < с < Ь, то по лемме 1
іІ(:с)сі:1:+])]`(:в)сіас-і](:1:)сі:1:=0,
что с учетом (5) вновь дает
Наконец если какие-то ве из точек а Ь с или все т и совпа ают
7 7 7 7
то (7) следует из соглашений (5) и Ь
Определение 1. Пусть каждой упорядоченной паре (а, Б) точек
св, В отрезка [а, Ь] поставлено в соответствие число І (а, В), причем так,
что для любой тройки точек а, В, 'у Є [а, Ь] выполнено равенство
1(@,^×) = 101,5) +1(6',^1)-

408 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Тогда функция І(а, В) называется аддитивной функцией ориенти-
рованного промежутка, определеннои на промежутках, лежащих в от-
резке [а, Ь].
Если 1 Є 72[А,В] и а,Ь,с Є [А,В], то, полагая І(а, Ь) = сіаз,
из (7) заключаем, что
9+о-
*Ь
і](:1:)сі:с=і[(:в)сі:1:+і/(а:)сі:с, (8)
а, а ь
т. е. интеграл есть аддитивная функция промежутка интегрирования.
Ориентированность промежутка состоит в данном случае в том, что
мы упорядочиваем пару концов отрезка интегрирования, указывая, ка-
кой из них первый (являющийся нижним пределом интегрирования) и
какой второй (являющийся верхним пределом интегрирования).
3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о
среднем
а. Одна общая оценка интеграла. Начнем с одной общей оценки
интеграла, которая, как потом выяснится, справедлива не только для
интегралов от действительнозначных функций.
Теорема 3. Если а < Ь и 1” Є 72[а, Ь], то |]| Є 72[а, Ь] и справедливо
неравенство Ь
Ь ь
/1<:›››«1а= < / |т|<:/М. <9›
Если при этом < С на [а,,Ь:, то
Ь
/ |л<ш›<и < со - <»›. <10›
4 При а = Ь утверждение тривиально, поэтому будем считать, что
а < Ь.
Для доказательства теоремы достаточно вспомнить теперь, что
| 1” | Є 72[а,Ь] (см. утверждение 4 из 51), и написать следующую оцен-

Ё2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 409
ку интегральной суммы о( 1” ; Р, Є ):
2і(€@)АШі < 2 |1”(€»г)||А=111| = 2 |ї(€1)|А<1т«; < СЕАШ1 = СФ - 0)-
і=1 = = =
Переходя к пределу при >(Р) -› 0, получаем
Ь Ь
/іомш=</иЖо@ш<0о-а» ›
Ь. Монотонность интеграла и первая теорема о среднем.
Все дальнейшее специфично для интегралов от действительнозначных
функций.
Теорема 4. Если а < Ь, ]1,]2 Є 72[о,,Ь] и < в любой
точке а: Є [а,Ь], то
Ь Ь
.[ыоа</мои» <п›
4 При а = Ь утверждение тривиально. Если же а < Ь, то достаточно
записать для интегральных сумм неравенство
Ё ї1(€і)/31121 < Ё Ґ2(€і)А$1›
2:1 2:1
справедливое, поскольку Агщ > О = 1,... ,п), и затем перейти в нем
к пределу при А(Р) -› 0. Ь
Теорему 4 можно трактовать как утверждение о монотонности за-
висимости интеграла от подынтегральной функции.
Из теоремы 4 получается ряд полезных следствий.
Следствие 1. Еслио, < Ь, 1” Є 72[а, Ь] ит < ]`(:в) < М наш Є [а,Ь],
то Ь
т-(Ь-о)</[(:1:)оЁа:<М~(Ь-а), (12)
и, в частности, если 0 < [(:с) на [а,Ь], то
0 < і](:1:)сіа:.

410 ГЛ. УІ. ИНТЕГРАЛ
4 Соотношение (12) получается, если проинтегрировать каждый
член неравенств т < [(а:) < М и воспользоваться теоремой 4. >
Следствие 2. Если 1” Є 72[а,,Ь], т = іпї [(а:), М = Ѕир ](:1с),
$Є[0››д1 а:Є[а,Ь]
то найдетсл число ,и Є [т, М] такое, что
Ь
/ по 4:1: = М - <1›- «›. <1з›
4 Если а = Ь, то утверждение тривиально. Если а уё Ь, то положим
Ь
,и = Ё диз. Тогда из (12) следует, что т < < М, если а < Ь. Но
(1
С
обе части (13) меняют знак при перестановке местами 0, и Ь, поэтому
(13) справедливо и при Ь < съ. Ь
Следствие 3. Если І Є С'[а,Ь], то найдется точка Є Є [а,Ь] та-
нил, что
Ь
/ но ат = /<›:›<г› - «»›. <14›
4 По теореме о промежуточном значении для непрерывной функ-
ции, на отрезке [а, Ь] найдется точка Є, в которой 1 (Є) = ,и, если только
т = $гёЁ11})][(ш)< < $Іё1ЁлЁ]](а:)= М.
Ц
Таким образом, (14) следует из (13). Ь
Равенство (14) часто называют первой теоремой о среднем для ин-
теграла. Мы же зарезервируем это название для следующего, несколько
более общего утверждения.
Теорема 5 (первая теорема о среднем для интеграла). Пусть І, 9 Є
Є 72[а,Ь], т = іпї ](ш), М = Ѕир Если фунниил 9 неотриио-
$Є[“›Ь] :сЄ[а,Ь]
тельно (или неположительна) на отрезке [а,Ь], то
Ь Ь
/от - 9›<:«:›<1Ш = Д / 9<<Б›<1«›, <15>
где ,и Є [т,

Ё2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 411
Если, кроме тоео, известно, что І Є С'[а,Ь], то найдется, точка
Є Є [а,Ь] такая, что
_О
ода
Ю
/5
/(т -9›<а››±›: = до а:›<1Ш. по
4 Поскольку перестановка пределов интегрирования приводит к из-
менению знака одновременно в обеих частях равенства (15), то доста-
точно проверить это равенство в случае а < Ь. Изменение знака функ-
ции 9(а:) тоже одновременно меняет знак обеих частей равенства (15),
поэтому можно без ограничения общности доказательства считать, что
9(а:) 2 0 на [а, Ь].
Поскольку т = іпї ]`(:1:) и М = Ѕир ](:1:), то при 9(:1:) 2 О
$Є[а'›Ь] і17Є[(1.,Ь]
т9(Ш) < І (Ш)9(=1=) < М9(2=)-
Поскольку т - 9 Є 72[а,Ь], 1 - 9 Є 72[а,Ь] и М - 9 Є 72[о,Ь], то, применяя
теорему 4 и теорему 1, получаем
Ь_ Ь
т/9(:1:) сіа: < сіа: < :с)с1а:. (17)
Ё
не
її
1)
Если І 9(:1:)сіа: = 0, то, как видно из этих неравенств, соотноше-
0.
ние (15) выполнено.
І)
Если же сіа: 7& 0, то, полагая
(1
/±= ( (ггдіт) ~](і-9)(=1=)дШ,
из (17) находим, что
же
Щ
т< <М,
`С
но это равносильно соотношению (15).

412 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Равенство (16) теперь следует из (15) и теоремы о промежуточном
значении для функции І Є С[о,, Ь], с учетом того, что в случае І Є С'[а, Ь]
т: шіп ](:1:) и М: шах Ь
:1:Є[а,,Ь] а:Є[а,Ь]
Заметим, что равенство (13) получается из (15), если 9(:с) 5 1
на [а, Ь).
с. Вторая теорема о среднем для интеграла. Значительно бо-
лее специальной и деликатной в рамках теории интеграла Римана явля-
ется так называемая вторая теорема о средне./111).
Чтобы не оеложнять доказательство этой теоремы, сделаем несколь-
ко полезных заготовок, представляющих и самостоятельный интерес.
Преобразование Абеля. Так называется следующее преобразова-
п Іс
ние суммы Е що). Пусть Ад : 2 щ; положим также АО : 0. Тогда
1:1 1:1
Ё01д1 = Ё041 _ А1-1)51= ЁАЮ1 _ ЁА1-1д1=
1:1 1:1 1:1 1:1
п п-1 п-1
= 2 Аа - 2 Али = Апьп - АОЬ1 + 2 Ашм - эт).
1:1 1:0 1:1
Итак,
п п-1
2 щь, = (Аль, _ Аоьд + 2 А,<ь, - ь,+1›, (18)
1:1 1:1
или, поскольку АО : 0,
п п-1
2 011% = Апдп + 2 А1(д1 - д1+1)- (19)
1:1 1:1
На основе преобразования Абеля легко проверяется следующая
11
Лемма 2. Если числа Ад : 2 а, (11 : 1,...,*/1) удовлетворяют
1:1
нероеенством т < Ад < М, о числа Ь, : 1,... ,п) неотрицотельны
1)При некотором дополнительном и часто вполне приемлемом условии на функ-
ции основную теорему 6 этого раздела можно легко получить из первой теоремы 0
среднем. См. по этому поводу задачу 3 к следующему параграфу.

5,2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 413
иЬі>Ь,+1_приі=1,...,п-1, то
'П
'ГГЪЬ1 Ё ЕЩЁ Ѕ МЬ1. (20)
і=1
4 Используя то, что оп 2 О и Ь, -ЬН1 2 0 приі = 1,... ,п- 1, из (19)
получаем
п п~1
Ещь, < ма, + 2 М(ь, _ ь,+1)= Мьп + М(ь1 _ ьп) = МЬ1.
1 1 2 1
Іі і
Аналогично проверяется и левое неравенство в соотношении (20). Ь
Лемма З. Если І Є 72[а,,Ь], то при любом 11: Є [о,Ь] определена,
функция ш
то = /1<±> «Н <21›
и Є С'[а,Ь].
4 Существование интеграла (21) при любом 11: Є [а,Ь] нам уже из-
вестно из утверждения 4 ЁІ, поэтому остается проверить непрерыв-
ность функции Поскольку 1” Є 7?,[а,, Ь], имеем | 1” | < С < оо на [а, Ь].
Пусть из Є [а, Ь] и із + /1 Є [а, Ь]. Тогда в силу аддитивности интеграла и
неравенств (9), (10) получаем
ш+Ь ш
|Р<«›+Ь›-Р<«:›|= / і<±›«1±-/і<±›<1± =
ш+Л ш+Ь
' = / і<±›«1± < / |1<±›ш± <<1|Ы-
Мы воспользовались неравенством (10) с учетом того, что при /1 < 0
ИМВЄМ $+п ' $ ш
/ |х<±>«1± = - / ш±›1<1± = / ш±›|«1±.
ш+Ь ш+п
Итак, мы показали, что если 1:, а: + /2 Є [о, Ь], то
ІР(Ш+/1) -1“(=1г)| < СІ/11, (22)

414 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
откуда, очевидно, следует непрерывность функции Р в любой точке
отрезка [а,Ь]. Ь
Теперь докажем лемму, которая уже является вариантом второй те-
оремы о среднем.
Лемма 4. Если 1”,9 Є 72[а,Ь] и 9 -неотрицатеяьная и нееозра-
стающая на отрезке [а,Ь] функция, то найдется точка Є Є [а,Ь] та-
кая, что
11 С
/<: ~ уже) ат = то / і<$›<1«=. <2з›
Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что, в отли-
чие от соотношения (16) первой теоремы о среднем, в (23) под знаком
интеграла осталась функция /, а не монотонная функция 9.
4 Для доказательства формулы (23), как и в уже рассмотренных
выше случаях, постараемся оценить соответствующую интегральную
сумму.
Пусть Р -разбиение отрезка [а, Ь]. Запишем сначала тождество
Ь П :ІІі
!<і -9><:с›<1«: = /<м›<«:›<1ш =
=Ё9($і-1)]Ґ($)д$+Ё/[9($)-9($і-1)]Ґ($)д$
1 1 ті-1 1 :г~»_1
и покажем, что при МР) -› О последняя сумма стремится к нулю.
Поскольку І Є 7?,[а,Ь], то |]' < С < оо на [а,Ь]. Тогда, используя
уже доказанные свойства интеграла, получаем
Ё: [[9(Ш)-9(=т-1)1і(Ш)дШ < (Ш)т9(1=@_1)ІІі(=1=)І<1Ф<
121%-1 : ті-1
.ЁГ1=
Ё
Ё
п И п
< СЕ / - 9(:с,_1)| сісс < С2ш(у; А,)А:1:, -› 0
1 1 1
1:: °:
їїїі-1

52. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 415
при ›(Р) -› 0, ввиду того, что 9 Є 72[а,Ь] (см. утверждение 2 из {$,1).
Ь П 17,;
Значит,
/(1 -у›<1=›<1:›: = пт 2у<:›:,-1› / г<«›› ат. (24)
>(Р)-›0 і:1
11 ті-1
Оценим теперь сумму, стоящую в правой части равенства (24). По-
ложив Ш
Р<=и› = / /<±›<1±,
по лемме 3 получаем функцию, непрерывную на отрезке [а, Ь].
Пусть
т = шіп и М = шах
:1:Є[а,Ь] :вЄ[а,Ь]
Поскольку ](:в) сіа: = - 1~7'(а:,_1), то
Ё9($@-1) І Ґ($) 410 = (Р(ї1їі) _ Р(111і-1))9(Ш1-1)- (25)
1:1 '=
Ѕ
М=
І›_'
їїїі-1
Учитывая неотрицательность и невозрастание функции 9 на [а, Ь] и
полагая
СИ = Р(11>і)- Ё(11@-1)› 51 = 9($1-1)»
по лемме 2 находим, что
Ѕ
М=
І-4
тут) < (Р`(<1ї1) _ Щ111-1))9(Ші-1) < М9(0/)› (26)
поскольку
ь
А/С =2щ =Ё(1ї/О -Р(Шо) =Р(Шь) -Ща) =Р(1ї/<:)-
і=1
Мы показали, что суммы (25) удовлетворяют неравенствам (26).
Вспоминая соотношение (24), теперь имеем
Ь
ту<а› < /(тв ~ 9›<:«:› ат < мм. <27›
0.

416
ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
Если 9(а) = 0, то, как показывают неравенства (27), доказываемое
соотношение (23), очевидно, справедливо.
Если же у(а) > О, то положим
Из
=
РК) =
_Ё°%€ч/[Э
Ы. С!
9
следует, что т <
д
ат
1
д - -Ш а (Ґ°9)($)<їШ-
< М, а из непрерывности функции
±)сі± на [а, Ь] следует, что найдется точка Є Є [а, Ь], в которой
Но именно это и утверждает формула (23). Ь
Теорема 6 (вторая теорема о среднем для интеграла). Если 1” , 9 Є
Є 72[а,Ь] и 9 -монотонная на [а,Ь] функция, то найдется точка Є Є
Є [а,Ь] такая, что
Равенство (28) (как, впрочем, и равенство
д Є
/(1 ~ ое) 41: = ма) / до аж + мы
формулой Боннец.
Ё ЙЁФ
./ Ко,
-/ (5
1:) сієс. (28)
часто называют
4 Пусть 9-неубывающая на [а, Ь] функция. Тогда Є(:1:) = 9(Ь) -
- 9($) -неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на [а,Ь]
функция. Применяя формулу (23), находим
д Є
/(і . а)(1;)<а = ща) /і($)<1а;. (29)
Но
Ь
/(1 ~ @)<=›>› да: = мы
0(@)іі(11=) 411 =9(д)іі(112)<11=-9(0«)іі(<11)<іШ-
1)П. О. Бонне (1819 - 1892) _ французский математик и астроном. Наиболее значи-
ат
*Ь
О
<:«=› аж - /<і ~ 9›<«:> ат,
тельные математические работы Бонне связаны с дифференциальной геометрией.

Ё2
. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 417
Учитывая эти соотношения и свойство аддитивности интеграла, из (29)
получаем доказываемое равенство (28).
Если 9-невозрастающая функция, то, полагая Є = у(а:) - 9(Ь),
получим, что Є(:1:) -неотрицательная, невозрастающая, интегрируе-
мая на [а,Ь] функция. Далее вновь получаем формулу (29), а за ней и
формулу (28). Р
ЦИЯ
Задачи и упражнения
1. Покажите, что если І Є 72[а, Ь] и 2 0 на [а, Ь], то
а) при условии, что в некоторой точке 1:0 Є [а, Ь] непрерывности функ-
І принимает положительное значение І(:1:0) > О, имеет место строгое
неравенство
Ь
сіш > 0;
Ь
Ь) из условия ]`1°(а:) сіа: = 0 следует, что ](а:) = 0 почти во всех точках
О
отрезка [а, Ь].
2. Покажите, что если І Є 72[а,,Ь], т = ]іпІ1ї[](:1:), М = Ѕир](:в), то
ОЧ ]а,,Ь[
Ь
а) І _/'(:в) сісв = ,и(Ь - а,), где д Є [т, М] (см. задачу 5а) предыдущего пара-
графа);
ЧТО
Ь) при условии непрерывности І на [а, Ь] найдется такая точка Е Є ]а,Ь[,
Ё
(Ъ
3. Покажите, что если І Є С'[а,,І›], 2 О на [а,, Ь] и М = ІЁ1аІЁс_і(:1:), то
НФ) 411 = і(€)(д - 0)-
Ь 1/п
=М.
4. а) Покажите, что если І Є 72[а,Ь], то |]'|р Є '/2[а,,І›] при р 2 0.

418 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Ь) Исходя из неравенства Г ёльдера для сумм, получите неравенство Гёль-
дера для интеграловц:
П
Ь 1/Р Ь 1/ч
(І-9)(Ф)<1г11 < <]|іІр(т)дШ> '<]|9І°(=11) 4111) ,
Є<~ЛИі,9Є72[@›Ь1ИР>1, <1>1, %+%=1›
с) Исходя из неравенства Минковского для сумм, получите неравенство
Минковского для интегралов:
О.
Ь 1/Р Ь 1/Р Ь 1/Р
</І1°+9І”(Ш)<1Ш> Ѕ </ІіІ”(Ш)<1т> + </І9І'”(Ш)<1Ш> ,
если І, 9 Є 72[а, Ь] и р 2 1. Покажите, что это неравенство меняется на проти-
воположное, если 0 < р < 1.
(1) Проверьте, что если І -непрерывная, вьшуклая на В функция, а <р--
произвольная непрерывная на ІК функция, то при с 75 О справедливо неравен-
ство Иенсена:
С С
і<%[</›(1)<і±> < %[і(<р(±))<іі~
О О
ЁЗ. Интеграл и производная
1. Интеграл и первообразная. Пусть ]` -интегрируемая по Ри-
ману на отрезке [а, Ь] функция. Рассмотрим на этом же отрезке функ-
цию
$
Р<а:› = / г<±>ы±, <1>
часто называемую интеералом с переменным еерслним пределом.
Поскольку 1” Є 72[а,Ь], то ]”|[ад,] Є 72[а,,а:], если [а,а:] С [а,Ь]; поэтому
функция аг ›-› Р корректно определена для Ш Є [а, Ь].
1)Алгебраическое неравенство Гёльдера при р = (1 = 2 впервые было получено в
1821 г. Коши и носит его имя. Неравенство Гёльдера для интегралов при р = (1 = 2
впервые нашел в 1859 г. русский математик В.Я.Буняковский (1804- 1889). Это
важное интегральное неравенство (в случае р = (1 = 2) называют неравенством
Буняковскоео или неравенством Каши -Буняковскоео. Встречается иногда и ме-
нее точное его название «неравенство Шварца›› -по имени немецкого математика
Г. К. А. Шварца (1843 - 1921), в работах которого оно появилось в 1884 г.

53. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 419
Если |]` Ѕ С < +00 на [а,Ь] (а 1, как интегрируемая функция,
ограничена на [а, Ь]), то из аддитивности интеграла и простейшей оцен-
ки интеграла следует, что
І1“(<1=+д)-Р(Ф)І <С'ІдІ, (2)
если а:,а: + Ь Є [а,Ь].
Об этом мы, кстати, уже говорили, доказывая лемму 3 предыдущего
параграфа.
Из неравенства (2), в частности, следует непрерывность функции Р
на [а,,Ь]. Итак, Р Є С'[а,Ь].
Теперь мы исследуем функцию Р более тщательно.
Имеет место следующая основная для всего дальнейшего
Лемма 1. Если 1” Є 72[а,Ь] и функиия 1 непрерывно е некоторой
точке 11: Є [а,Ь], то функция Р, определяемая на [а,Ь] формулой (1),
дифферениируема в этой точке ап, причем имеет место равенство
Р'(Ш) = і(Ш)-
< Пусть аз, сс + /1 Є [а, Ь]. Оценим разность Р(ш + /1) - Из непре-
рывности І в точке сс следует, что [(15) = [(22) + А(±), где А(і) -› О при
і -› аг, Ё Є [а, Ь]. Функция А(±) = /'(15) - интегрируема на [а, Ь], как
разность интегрируемой функции 15 ›-› І (15) и постоянной _1”(а:), если 1: _
фиксированная точка. Обозначим через М (/1) величину Ѕпр |А(±)|, где
±ЄІ(Іъ)
І(/1) _отрезок с концами а:,а: + /1 Є [а,,І›]. По условию, М(/1) -+ 0 при
Іъ -› 0.
Теперь запишем
:1:+Іъ а: :1:+п
1г($+ь)-Ри):/;(±)<1±-/;(±)<1±=/;(±)а±=
:с+І'ь :с+Іъ а:+Іъ
= / + А(±)) сіі = / ]'(:с)с1і+ / А(±) (115 = ](ас)/1 + ог(/1)/1,
где положено
а:+Іъ
/ Ан) (1: = а(ь)ь.

420 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Поскольку
:1:+Іт. :в+Іъ а:+Іъ
/А(±)сі± < ]|А(±)|сі± < /М(І1)сі± =М(/1)|/ъ|,
то |а(І1)| < М(Ь) и потому ог(/1) -› 0, когда Іъ -› 0 (но так, что 11: + /1 Є
Є [а,
Таким образом, показано, что если функция 1” непрерывна в точке
гс Є [а, Ь], то при смещениях Ь от точки а: таких, что 1: + /2 Є [а, Ь], имеет
место равенство
17'(а: + /1) - = [(:1:)/1 + а(/1)Іъ, (3)
где а(/1,) -› О при /2 -› 0.
Но это и означает, что функция дифференцируема на [а, Ь] в
точке 17 Є [а,Ь] и что Р'($) = Ь
Важнейшим непосредственным следствием леммы 1 является следу-
ющая
Теорема 1. Каждая непрерывная на отрезке [а,Ь] функция
І: [а,Ь] -› К имеет на этом отрезке первообразную, причем любая
нервообразная функции І на [а,Ь] имеет вид
де) = / 1(±)а± + С, (4)
Зде С _ НЄКОТПОРСЬЯ ПОСТПОЛННЦЛ..
4 (І Є С'[а, Ь]) => (І Є 72[а, Ь]), поэтому на основании леммы 1 функ-
ция (1) является первообразной для І на [а,Ь]. Но две первообразные
.7-` и Р одной и той же функции на отрезке могут отличаться на
этом отрезке только на постоянную, поэтому .7-` = Р + с. >
Для дальнейших приложений удобно несколько расширить понятие
первообразной и принять
Определение 1. Непрерывная на числовом промежутке функция
ш 1-› Т(:с) называется первообразной (обобщенной первообразной)
функции за ›-› ](:с), определенной на том же промежутке, если во всех
точках промежутка, за исключением, быть может, конечного их числа,
имеет место соотношение .7:' = 1”

Ё3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 421
Учитывая это определение, можно утверждать, что справедлива сле-
ДУЮЩШ1
Теорема 1'. Каждая определенная и ограниченная на отрезке
[а,Ь] функция /: [а,Ь] -› К с конечным множеством точек разрыва
имеет на этом отрезке (обобщенную) первообразную, причем любая
первообразная функции 1” на [а,Ь] имеет вид
4 Поскольку 1 имеет конечное множество точек разрыва, то 1 Є
Є 72[а, Ь] и по лемме 1 функция (1) является обобщенной первообразной
для 1” на [а, Ь]. При этом мы учли, что, как уже отмечалось, в силу (2)
функция (1) непрерывна на [а,Ь]. Если Т -другая первообразная
функции ]` на [а, Ь], то .7-` - Р -непрерывная функция, постоянная
на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва
функции 1” разбивают отрезок [а,Ь]. Из непрерывности Т -
на [а,Ь] тогда следует, что Т - 5 сопзг на [а, Ь]. Ь
2. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 2. Если І : [а,Ь] -› К -ограниченная функция с конеч-
ным числом точек разрыва, то 1” Є 72[а,Ь] и
Ь
/}аш$=гш-тим (Ы
еде Т: [а, Ь] -› К -любая из первообразныа: функции 1” на отрезке [а, Ь].
4 Интегрируемость ограниченной на отрезке функции с конечным
числом точек разрыва нам уже известна (см. 23, 1, следствие 2 утвержде-
ния 2). Наличие обобщенной первообразной Т функции І на [а, Ь]
гарантирует теорема 1', в силу которой Т имеет вид Полагая
в (4) сс = а, получим, что Т (а) = с, откуда
га) = / ;<±›а±+г(а›.
В частности,
Ь
/моа=г@-га»

422 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
что с точностью до обозначения переменной интегрирования совпадает
с доказываемой формулой Ь
Фундаментальное для всего анализа соотношение (5) называется
формулой Ньютона -Лейбнииа.
Разность Т(Ь) - Т(а,) значений любой функции часто записывают
символом Т В этих обозначениях формула Ньютона --Лейбница
приобретает вид
Й ь
/ т<ш›<1$ = т›|2~
Поскольку обе части зтой формулы одновременно меняют знак при
перестановке а и Ь, то формула справедлива при любом соотношении
величин а и Ь, т. е. как при а < Ь, так и при а 2 Ь.
На упражнениях по анализу формула Ньютона-Лейбница большей
частью используется только для вычисления стоящего слева интеграла,
и это может породить несколько искаженное представление об ее ис-
пользовании. На самом деле положение вещей таково, что конкретные
интегралы редко находят через первообразную, а чаще прибегают к
прямому счету на ЭВМ с помощью хорошо разработанных численных
методов. Формула Ньютона-Лейбница занимает ключевую, связываю-
щую интегрирование и дифференцирование, позицию в самой теории
математического анализа, в которой она, в частности, получает далеко
идущее развитие в виде так называемой общей формулы Стонсаї).
Примером того, как формула Ньютона-Лейбница используется в
самом анализе, может служить уже материал следующего пункта на-
стоящего параграфа.
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и
формула Тейлора
Утверждение 1. Если функции и и(:1:) непрерывно диффе-
рениируемы на отрезке с нониами а и Ь, то справедливо соотношение
Ь Ь
/(и - «/›<:»› да: = (и ~ «››<а:›|2 - /<«› ~ и'›<1:›«1«:. <6›
ИД. Г. Стокс (1819 - 1903) _ английский физик и математик.

ЁЗ. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 423
Эту формулу принято записывать в сокращенном виде
Ь Ь
/исіи=и-и|З-/исіи
(1 (1.
и называть формулой интегрирования по частям в определенном ин-
теграле.
< По правилу дифференцирования произведения функций имеем
(Ы ~ '0)'(Ш) = (11 -®)(<1г) + (Н/~°1')(=г)~
По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а значит, и
интегрируемы на отрезке с концами а и Ь. Используя линейность инте-
грала и формулу Ньютона-Лейбница, получаем
Ь Ь
= сіа: +/(и-и')(:с)аї:с. Ь
В качестве следствия получим теперь формулу Тейлора с интеграль-
ным остаточным членом.
Пусть на отрезке с концами а и 1: функция 13 1-+ І (25) имеет п непре-
рывных производных. Используя формулу Ньютона-Лейбница и фор-
мулу (6), проделаем следующую цепочку преобразований, в которых
все дифференцирования и подстановки производятся по переменной 1%:
ІІ? Ш
мы - но = / ;'<±›<1± = - / х'<±><Ш - ±›'<1± =
= -/'<±›<«› - ±›|: + / :“<±›<«: - ±› «1± =
= і'<«»›<=«: - а› - Ё / і<±›(<и: - ±›2)' «Н =
ІІ!
= г'<а›<=›: - а› - %і<±><«› - ±›2Гі + Ё / 1'<±›<«› - ±›2<1± =
= г<а›<«: - <»› + ;г<<»›<«: - <»›2 - / 1'<±›(<«: - ±›З›'<1± = Н. =

424 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
= х'<<»›<:1: - <»> + %1<<»›<«: - <»›2 + . . . +
+ 2 3 1 (п 1)](_1)(а)(:1: - а)_1+'гп,_1(а;:с),
где
н,_1<а;:»› = / і<><±><ш - ±›*1<1±. <1›
Итак, доказано следующее
Утверждение 2. Если функиил 15 ›-› ]'(1€) имеет на отрезке с кон-
цами а и сс непрерывные производные до порядка п включительно, то
справедлива формула Тейлора
то) = /<<»› + %г'<<»›<:Б =а› +. . .+ Ёд/<“-1><а›<а: -а›-1 +1~,,_1<а;«:>
с остатком п,,_1(а;а:), представленным в интегральной форме
Отметим, что функция (ап - ±)'_1 не меняет знак на отрезке с конца-
ми а и 1:, и поскольку функция 15 Ь-› 1” (') (15) непрерывна на этом отрезке,
то по первой теореме о среднем на нем найдется такая точка Є, что
к-1<а;ш› = і</><±›<$ -±›=1«1±=
(Б
= #т<><<› /(Ш - ±›“~1<1± =
= дЁ1уі<><є› (-Ё,-(Ш - ±›“) ш = -,%і<><є><а: ~ а›~
Мы вновь получили знакомую форму Лагранжа остаточного члена
формулы Тейлора. (На основании задачи 2Ь) из предыдущего парагра-
фа, можно считать, что Є лежит в интервале с концами а,
Это рассуждение можно было бы повторить, вынося из-под знака
интеграла (7) ]() - €)_'“, где іс Є [1,п]. Значениям Ё: = 1 и /с = п
отвечают получаемые при этом соответственно формулы Коши и Ла-
гранжа остаточного члена.

5,3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 425
4. Замена переменной в интеграле. Одной из основных фор-
мул интегрального исчисления является формула замены переменной
в определенном интеграле. Эта формула в теории интеграла столь же
важна, как в дифференциальном исчислении формула дифференциро-
вания композиции функций, с которой она может быть при определен-
ных условиях связана посредством формулы Ньютона-Лейбница.
Утверждение 3. Если 90: [ог,Б] -› [а,Ь] -непрерывно дифферен-
иируемое отображение отрезка а < 15 < В в отрезок а < :1: < Ь такое,
что <р(а) = а и <р(Б) = Ь, то при любой непрерывной на [а,Ь] функ-
иии функция ]'(<р(±))<,о'(±) непрерывна на отрезке [а,В] и справед-
ливо равенство Ь В
/ і<$›<1$ = / 1<@<±››«›'<±›<1±. <8›
4 Пусть Т -первообразная функции І на [а,Ь]. Тогда,
по теореме о дифференцировании композиции функций, функция
.Т`(<р(±)) является первообразной для функции [ (<р(±))<р' (15), непрерыв-
ной, как композиция и произведение непрерывных функций на отрез-
Ь
ке [ог,Б]. По формуле Ньютона-Лейбница І [сіш = Т(Ь) - Т (а) и
В (1
І 1(</›(#))</>'(±) «И = ї(</>(В)) -ї(</>(01))- НО, по условию, <р(а) = а И МВ) =
О
= Ь; таким образом, равенство (8) действительно имеет место. Ь
Из формулы~(8) видно, насколько удобно иметь под интегралом не
просто знак функции, а дифференциальное выражение 1” (:в)сі:с, позволя-
ющее после подстановки сс = <р(15) автоматически получать правильное
подынтегральное выражение в интеграле по новой переменной.
Для того чтобы не осложнять дела громоздким доказательством,
мы в утверждении 3 умышленно сузили истинную область примени-
мости формулы (8) и получили (8) из формулы Ньютона-Лейбница.
Теперь перейдем к основной теореме о замене переменной, условия ко-
торой несколько отличаются от условий утверждения 3. Доказатель-
ство зтой теоремы будет опираться непосредственно на определение
интеграла как предела интегральных сумм.
Теорема 3. Пусть ср: [ог,В] -› [а,Ь] -непрерывно дифференииру-
емое, строго монотонное отображение отрезка а < і < В в отрезок
а < 11: < Ь с соответствием кониов <р(а) = а, <р(Б) = Ь или <р(а) = Ь,

426 ГЛ. /'І. ИНТЕГРАЛ
<,о(В) = о,. Тогда при любой функции [(512), интеерируемой но, отрез-
ке [а,Ь], функция ]`(<,о(±))<р'(±) интеерируема на отрезке [ог,В] и спро-
ведлиео равенство
<р(В) В
/ х<:с›аш = /1<«›<±>›<р'<±› <1±. <9›
<р(а) 0
4 Поскольку <р-строго монотонное отображение отрезка [а, Д] на
отрезок [а,Ь] с соответствием концов, то любое разбиение Р, (а =
= ід < < 15,, = Б) отрезка [а, В] посредством образов ад = <р(±,) =
= 0, 1,... ,п) точек разбиения РЁ порождает соответствующее разбие-
ние Ра, отрезка [а,, Ь], которое можно условно обозначить как 9о(Рд). При
этом тд = а, если <р(а) = а, и 2:0 = Ь, если <р(а) = Ь. Из равномерной
непрерывности 90 на [а,В] следует, что если А(Р±) -› О, то величина
›(Р,,,) = ›(9о(Р,;)) тоже стремится к нулю.
Используя теорему Лагранжа, преобразуем интегральную сумму
о( 1 ; Рад, Є) следующим образом:
Ё:і(€і)/ЗШ1 = Ё 1'(€1)(Ші- И-1)=
2:1 2:1
'П 'П
= 2 Ґ(<Р(П))<›0'(ї«:)(151 - И-1): 2 1°(<Р(Ті))<Р'(Ё)Ші-
2:1 1:1
Здесь агі = <,о(±,), Є, = <,о(^гі), Є, лежит на отрезке с концами :1:,_1, ті,
а точки ті, ї, лежат на отрезке с концами іЕі_1, 15, = 1,... ,п).
Далее,
'П 'П
2 1°(Ѕ0(П))<Р'(ї«:)АИ = 2 Ґ(<Р(П))<Р,(П)А15г +
і=1 1:1
п
+ .1”(є<>(п)) (<е'(їг) ~ є0'(п)) Ан.
Оценим последнюю сумму. Поскольку 1 Є 72[а,Ь], функция 1” огра-
ничена на [а, Ь]. Пусть |] < С на [о,,Ь]. Тогда
Ё 1'(<Р(т)) (<Р'(їі) - <Р'(П)) АИ < С ° ЁШ(<Р'; Анти
і=1 і=1
где А, ~--- отрезок с концами і,д_1, іі.

ЁЗ. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 427
Последняя сумма стремится к нулю при )(Р±) -› 0, поскольку ,Ы --
непрерывная на отрезке [ог, В] функция.
Таким образом, мы показали, что
Ё 1°(€@)А111 = 1°(</>(т))<Р'(”Г'г)Ші+ 01»
1:1 2:1
где ок -› 0 при )(Р±) -› 0. Как уже отмечалось, если )(Рд) -› 0, то и
×(Р,,,) -› 0. Но І Є 72[а,, Ь], поэтому при А(Р,,,) -› 0 сумма в левой части
<р(д)
последнего равенства стремится к интегралу І 1 сіаз. Значит, при
<р(<1)
)(Р±) -› 0 и сумма в правои части этого равенства имеет и притом тот
же предел.
'ТЪ
Но сумму 2 1”(9а(*г,))<р'(*г,)А±і можно считать совершенно произ-
и:1
вольной интегральной суммой функции ]`(90(±))<р' (Ё), соответствующей
разбиению Р, с отмеченными точками *г = (т1,. . . ,^г,,), поскольку, вви-
ду строгой монотонности 90, любой набор точек т можно получить из
некоторого соответствующего ему набора 5 = ((1, . . . ,{,,) точек, отме-
ченных в отрезках разбиения Рад = 9о(Р±).
Таким образом, предел этой суммы есть, по определению, интеграл
от функции 1” (<р(±))<р'(±) по отрезку [а, Щ, и мы доказали одновремен-
но как интегрируемость функции }(<р(±))<р' (15) на отрезке [а, ,б], так и
ФОРМУЛУ (9)~ >
5. Некоторые примеры. Рассмотрим теперь некоторые приме-
ры использования полученных формул и доказаннь1х в последних двух
параграфах теорем о свойствах интеграла.
Пример 1.
1 л/2 л/2
//1-а:2сі:1:=/,/1-Ѕіп2±соЅ±сі±=/соз2ісі±=
-1 -л/2 -л/2
1 П/2 1 1 '/2 тг
=ё /(1+соЅ2±)сі1Е=ё (13-і-5Ѕіп2±) Ч/2:5.
-л/2

428 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Для вычисления интеграла мы сделали замену переменной 11: = Ѕіп і,
а затем, найдя первообразную получившейся после этой замены подын-
тегральной функции, воспользовались формулой Ньютона-Лейбница.
Конечно, можно было бы поступить и иначе: найти довольно гро-
моздкую первообразную ёац/1 - а:2+% агсзіп з: функции / 1 - 1122 и затем
воспользоваться формулой Ньютона -Лейбница. Пример показывает,
что при вь1числении определенного интеграла, к счастью, иногда уда-
ется избежать отыскания первообразной подынтегральной функции.
Пример 2. Покажем, что
7Ґ ТГ ТГ
а) І Ѕіп так сов пт сіа; = 0, Ь) І Ѕіп2 та: сіаз = тг, с) І соЅ2 паз да: = тг
-1г -1г -тг
при т,п Є Ы.
'ТГ 'ІТ
1
а) /Ѕіп тш сов пас сіа: = 5 / (Ѕіп(п + т):1: - Ѕіп(п - т):п) сіа: =
2 п+т п-т
1 1 1 ТГ
= - --і соЅ(п + т):1: + _- соз(п - т):1: = 0,
-тг
если п - тп, уё 0. Случай, когда п - т = 0, можно рассмотреть отдельно,
и в этом случае, очевидно, вновь приходим к тому же результату.
7Ґ 7'Г
Ь) /Ѕіп2т:1:сіа: = 1/(1 -соЅ2та:)сіа:= 1(:1:- ізіп2т:1:) Л =тг.
2 2 2т ,Г
-7Т -7Г
7Г 7Г
7Т
с) /соЅ2п:1:сіш= Ё/(1+соЅ2паз)сіа:=% (а:+%Ѕіп2па:) _” =тг.
-тг -тг
Пример 3. Пусть 1” Є 72[-а,,а]. Покажем, что
0, (Ъ
2 сі -
/ і СІШ : { І ап, если 1 четная функция,
_а 0, если 1” -нечетная функция.
Если ](-св) =](аг),то
і[(аз)сі:1:=і[(:с)с1$+і1'(:1:)сі:1:=і](-±)(-1)сі±+і[(:1:)сіа:=
а а 0 а, 0

53. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 429
=і](-±)сі15+і/(а:)сІа:=]1(/(-:п)+]`(:с)) с1а:=2і_1°(а:)сі:1:.
0 0 0 0
Если же 1” (-3:) = -1” (113), то, как видно из тех же выкладок, получим
(1 (1 0,
/](:в)сі:с=/(/(-:п)+1”(:в)) с1:1:=/0сіа:=О.
-а, 0 0
Пример 4. Пусть 1” ~- определенная на всей числовой прямой К
периодическая функция с периодом Т, т. е. 1” (а: + Т) = І при гс Є ІК.
Если 1” ~интегрируемая на каждом конечном отрезке функция, то
при любом а Є К имеет место равенство
*Ь
а+Т
/ ](:в) сіаг = аіаг,
т. е. интеграл от периодической функции по отрезку длины периода Т
этой функции не зависит от положения отрезка интегрирования на чи-
словой прямой:
а+Т а,+Т
/](:с)аі:1:= ап (:1:)сі:с+/](а:)аі:1:=
9%
*Ь Ы,
Щ Ё..
Ё: +
9 О Ы
*Ф-›
9
о
+
одр Ч
*Ь
о
9
<ЭЧ
Ё-2
= (а:)<1а:+/і(:1:)аїа: (±+Т)-1сі±=
= :с)сі:1:+/](а:)сі:1:+/1°(±)сі15= а:)сіа:.
Мы сделали замену 51: = 1Ё+ Т И воспользовались периодичностью
функции І
1
Пример 5. Пусть нам нужно вычислить интеграл І Ѕіп Ш2 сІ:1:, на-
0
пример, с точностью до 10“2.

430 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
Мы знаем, что первообразная І зіп :1:2сіа: (интеграл Френеля) не вы-
ражается в элементарных функциях, поэтому использовать формулу
Ньютона-Лейбница здесь в традиционном смысле нельзя.
Поступим иначе. Исследуя в дифференциальном исчислении форму-
лу Тейлора, мы в качестве примера (см. гл. У, ЁЗ, пример 11) нашли,
что на отрезке [-1, 1] с точностью до 1О“3 имеет место равенство
- 1 3 1 5
Ѕша: ~ а: - + =.
Но если |Ѕіп:с - < 103 на отрезке [-1, 1], то верно также, что
|Ѕіп:1:2 - Р <10_3 при 0 < из < 1.
Следовательно,
оды
Ф
І-^
О
/'Ё
І-^
І-^
іпа:2 сі:1т-/ 1132) сіа: < `/|Ѕіп:1:2 -Р(:1:2)| сіа: < /10_3 сіа: <10_3.
О 0 0
1
Таким образом, для вычисления интеграла І Ѕіп :1:2аїа: с нужной точ-
0
1
ностью достаточно вычислить интеграл І Р(ш2) сіаз. Но
0
оды
'Ю
/_
її.
›-›
ое
9З,_.Ф
Ч *-
Ё
Ёіъ-Ь
;_2
ЁДЬ-Ь
і_)
3:2) сіас = :в2 - -1:6 + -51:10 сіш =
= _$ -_-«;7+-#0” 1 =ї-3-+і-=0310±10-3
3 5111 О 3 317 5111 * °
поэтому
1
/ Ѕіпштш = 0,310 ± 2 . 10-3 = 0,31 ±10*2.
0
Ь
Пример 6. Величина и = Ё- І 1“(:1з)сІ:1: называется интеграль-
(1
ным средним значений функции на отрезке [а, Ь].
Пусть І ~- определенная на К и интегрируемая на любом отрезке
функция.

ЁЗ. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 431
Построим по ]` новую функцию
$+б
вш=%/жми
ш-6
значение которой в точке :1: есть интегральное среднее значений 1” в
5-окрестности точки 113.
Покажем, что функция Рд(а:) (называемая усрєднением 1” ) более ре-
гулярна по сравнению с 1” _ Точнее, если І интегрируема на любом отрез-
ке [а,Ь], то Рд(:1:) непрерывна на К, а если 1” Є СОК), то Рд(:с) Є С'(1)(ІК).
Проверим сначала непрерывность функции Рд
ш+б+Ь ш-6
|1«ъ<а:+~›=а<:«››|=% /і<±›«1±+ /1'<±›<1±<
ш+б ш-б+Ь
1 С
< _ С 11 С /1 = - 11 ,
если |]` < С, например, в 26-окрестности точки гс и |/ъ| < 5. Из этой
оценки, очевидно, следует непрерывность функции Ёд(:1:).
Если же 1” Є СОК), то по правилу дифференцирования сложной
функции
МФ) Ф
Ё / мы <1±= 5:; / мы <1±› Ё =/<$@<:в››«›'<а=›,
поэтому из записи
ш+б ш-5
Ьъ<=:›=$д / /'<±›<1±-% / і<±›@±
.ї(Ш+д) - ПШ - 5)
Р,;(:с) = 26 .
Функцию Е;(:1:) после замены 15 = 11: + и переменной интегрирования
можно записать в виде
получаем, что
за ›-›
°'1°.,
“Ъ
Ґ5
Рд(:1:) = - сс + и) сіи.

432 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
Если І Є С'(К), то, применяя первую теорему о среднем, находим,
что
1
Рд(:1:)= %]`(а: + т) -26 = ]”(:в + т),
где |т| $ 5. Отсюда следует, что
(ЅЁЕЗО =
ЧТО ВПОЛНЄ ЄСТЄСТВЄННО.
Задачи и упражнения
1. Используя интеграл, найдите
1° [_ __
а) 113-то (п+1)2 + + (2п)2 ,
10 + 20 + + па
Ь Ііш еслиа>О.
) п-юо 'п.а+1 , /
2. а) Покажите, что любая непрерывная на интервале функция имеет на
нем первообразную.
Ь) Покажите, что если І Є С'(1)[а,Ь], то І может быть представлена как
разность двух неубывающих на отрезке [а, Ь] функций (см. задачу 4 из Ё 1).
3. Покажите, что в предположении гладкости функции 9 вторая теоре-
ма о среднем (теорема 6 из 52) интегрированием по частям непосредственно
сводится к первой теореме о среднем.
4. Покажите, что если І Є С'(1К), то для любого фиксированного отрез-
ка [а,Ь] по заданному є > 0 можно так подобрать 6 > 0, что на [а, Ь] будет
выполнено неравенство |1-71; (аг) - _і(а:)| < є, где Е; -осреднение функции, рас-
смотренное в примере 6.
5. Покажите, что
232 Ё 1
/Ё-сі#~5:3е:”2 при а:-›+оо.
1
а:+1
6. а) Проверьте, что функция _і(:с) = І Ѕіп Ъ2 сіі при 1: -› оо имеет следу-
27
ЮЩЄЄ ПРЄДСТЗВЛЄНИЄІ
_ сов:с2 соз(а:+ 1)2 1
“”>-вг--штіТ*°(в)°
Ь) Найдите ДД; :с]'(:с) и Й а:І(:в).
$_›оо 27-УФО

ЁЗ. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 433
7. Покажите, что если І : К -› ІК--периодическая, интегрируемая на ка-
ждом отрезке [а, Ь] С ІК функция, то функция
1-ть) = / ;(±)<1±
может быть представлена в виде суммы линейной и периодической функций.
8. а) Проверьте, что при из > 1 и п Є Ы функция
1 Л п
Р,,(:с) = Ё І (сс + /а:2 - 1соЅ<р) сіср
о
есть полином степени п (п-й полином Лежандра).
С К
ног
совпадают в точках (1, _ _ . ,Ет (узлах интерполяции) со значениями функции І ,
Ь) Покажите, что
_ 1 Ф»
Рп($) _ 1Г!(:1: - /Ёвїїсозфў.
9. Пусть _і _ вещественнозначная функция, определенная на отрезке [а, Ь] С
, а (1 , . . . ,Єт -различные точки этого отрезка. Значения интерполлцион
о по./шнома Лагранжа степени т - 1
Ьт-1<а=› == 21<є,›П
1=1 мы 1 ”
причем если І Є С'(т)[а,,Ь], то
где
где
мы - Ьт_1<$› = %г<т><<<$››~›т<$›,
шт(а:) = ]Ё[1(:в - 5,), а ((:с) Є ]а,Ь[ (см. задачу 11 в 53 гл./`).
Пусть Є, = Ё + Ёїді, тогда 0, Є [-1, 1], і= 1,. ..,т.
а) Покажите, что
Ф.
Ь
/Ьт-101) 41? = % ;Сіі(€і)›
_ 1 ' 1-9
Э
9-І,_д
/Ъ
ЫІІ
Ф ы.
5”
;__/

434 ГЛ. УІ. ИНТЕГРАЛ
В частности,
ь
а1) ]Ь0(1:)а!:1:=(Ь-а)]` (9%±),еслит=1, 01 =0;
(12) Ь1(ІІІ)СіІІ3=Ё%і[Ґ(С1,)+_/Ґ(Ь)],ЄС.ТІИТГІ,=2, 81:-1, 9221;
ад, І/2(а:)сі.т = %Е [І(а) +4] +]`(Ь)], если тп, = 3, 491 = -1,
92 = 0 53 = 1.
Ь) Считая, что І Є С'(т›[а,Ь] и полагая Мт = п1[а>Ё]|]°(т)(:в)|, оцените
:сЄ а,
І
›/
величину Вт абсолютной погрешности в формуле
ь Ь
/](ш)сіш = /Ьт_1(ш)сІ:1: + Вт (*)
ь
и покажите, что [Вт] < І |шт(:в)| сііс.
Ц
с) В случаях 0:1), а2), 0:3) формула называется соответственно форму-
лой прлмоугольников, трапеций и парабол. В последнем случае ее называют
также формулой Симпсонаї). Покажите, что в случаях а1), 042), (13) имеют
место следующие формулы:
1“(€1) 2 1°(€2) 3 1'(4)(€з) 5
Н=іЬ- , Н:---І» , В:---І» ,
1 4 ( а) 2 12 ( а) 3 2880 ( а)
где {1,{2,{3 Є [а,1›], а функция І принадлежит соответствующему классу
С'('°>[а,,І›].
(1) Пусть І есть полином Р. Какова наивысшая степень полиномов Р, для
которых точны формулы прямоугольников, трапеций и парабол соответст-
венно?
Пусть Ь: %9; изд =а+/ъіс, /с=0,1,...,п; уд = [(а:;,).
е) Покажите, что в следующей формуле прямоугольников
ь
= /Ъ(у0+у1 +...+уп_1)-І-Ё1
остаток имеет вид В1 = %2(Ь - а)Іъ, где Є Є [а, Ь].
ЦТ. Симпсон (1710 - 1761) _ английский математик.

53. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 435
Ґ) Покажите, что в следующей формуле трапеций
ь
]1°($)д$= ЗМ/0+3/п)+2(?11+3/2+---+1/п-1)] +32
остаток имеет вид Н2 = -%2(Ь - а)Іъ2, где С Є [о, Ь].
5) Покажите, что в следующей формуле Симпсона (формуле порабол)
ь
[.1°(1ї)Сі17=%[(3/о+1/п)+4(у1 +2/з+---+1/п-1)+
+ 2(у2 +1/4 + _ . . +уп_2)] + НЗ,
которая пишется при четных значениях п, остаток 123 имеет вид
<4›
нз = -%%Ё(ь - а)ь4,
где Е Є [а, Ь].
11) Исходя из соотношения
1
сіаз
=4 __.
ТГ /1+а:2,
0
вычислите тг с точностью до 10'3, пользуясь формулами прямоугольников,
трапеций и парабол. Обратите внимание на эффективность формулы Сим-
псона, которая по этой причине является наиболее распространенной квадра-
турной формулой (так называют формулы численного интегрирования в од-
номерном случае, отождествляя интеграл с площадью соответствующей кри-
волинейной трапеции).
10. Преобразуя формулу (7), получите следующие виды записи остаточ-
ного члена формулы Тейлора, где положено /1 = за - а:
1
8) (СЕ + _ 'Г)п_1
0
1
Ь) Ё/і<“>(ш-ьї/ї)л±.
0
11. Покажите, что важная формула (9) замены переменной в интеграле
остается в силе и без предположения монотонности функции замены.

436 у ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
54. Некоторые приложения интеграла
Использование интеграла в приложениях часто происходит по одной
и той же схеме, которую по этой причине полезно изложить один раз в
чистом виде. Этому посвящен первый пункт настоящего параграфа.
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и
интеграл. Обсуждая в Ё2 свойство аддитивности интеграла, мы вве-
ли понятие аддитивной функции ориентированного промежутка. На-
помним, что это функция (ог, В) ›-› І (а, В), которая каждой упорядочен-
ной паре (о1,В) точек а,В Є [а,Ь] фиксированного отрезка [а,Ь] ставит
в соответствие =шсло І (а, Н), причем так, что для любой тройки точек
а, В, *7 Є [а, Ь] выполнено равенство
1(а,^1)= 1(<×,д) + 1(В,1)- (1)
Из (1) при а = В = *у следует, что І(а, а) = 0, а при св = *у получаем,
что І(а,Д) + І(,В,а) = 0, т. е. І(о:,В) = -І(Н,ог). В этом сказывается
влияние порядка точек а, Н.
Полагая
ТИ) = 1(0/мг),
в силу аддитивности функции І имеем
1(01,5)= 1(<1›5)-1(<1›01)=7(д)-7:(01)~
Таким образом, каждая аддитивная функция ориентированного
промежутка имеет вид
Цщд) = Нд) - Т(0<)› (2)
где 11: ›-› Т -функция точки отрезка [а, Ь].
Легко проверить, что верно и обратное, т. е. что любая функция
ш ›-› .7:`(а:), определенная на отрезке [а, Ь], порождает по формуле (2) ад-
дитивную функцию ориентированного промежутка.
Приведем два типичных примера.
°*›Ьз
*Ь
Пример 1. Если І Є 7?.[а, Ь], то функция Т = 15) оїі порожда-
ет, в силу формулы (2), аддитивную функцию
3
1<<»,в› = / і<±›@±.
С!

Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 437
Заметим, что в данном случае функция Т непрерывна на отрез-
ке [а, Ь].
Пример 2. Пусть отрезок [0, 1] есть невесомая струна с бусинкой
единичной массы, прикрепленной к струне в точке 11: = 1/2.
Пусть Т есть масса, находящаяся на отрезке [0, из] струны. Тогда
по условию
0 < 1 2,
]:(Ш) : при из /
1 при 1/2 < < 1.
8
Физический смысл аддитивной функции
1(01›д)=Т(5)-7:(0д
при В > ок-масса, попавшая в полуинтервал ]а, В].
Поскольку функция Т разрывна, аддитивная функция І(а, В) в рас-
сматриваемом случае не может быть представлена как интеграл Ри-
мана от некоторой функции-плотности массы. (Эта плотность, т. е.
предел отношения массы промежутка к его длине, должна была бы рав-
няться нулю в любой точке отрезка [а, Ь], кроме точки а: = 1 / 2, где она
должна была бы быть бесконечной.)
Теперь докажем полезное для дальнейшего достаточное условие то-
го, что аддитивная функция порождается интегралом.
Утверждение 1. Пусть аддитивная функиия І (а, В), определен-
ная для точек а, В отрезка [а,Ь], такова, что существует функ-
ция І Є 72[а,Ь], связанная с І следующим образом: для любого от-
резка [а, В] такого, нто а < ок < В < Ь, выполняется соотношение
іпї і(1=)(д-01) <1(0›д) < ЅНР і(Ш)(д-<1)-
а:Є[а,В] :сЄ[а,[3]
Тогда Ь
І(а,Ь) =//(:1:)да:.
4 Пусть Р-произвольное разбиение а = то < < 1: = Ь отрез-
Кг›[<1,1>1;т@= іпї І(1=)›М@= Ѕпр НФ)-
тЄ[=т-1›$і1 2=Є[=щ-1,221]
Для каждого отрезка [:1:,_1, разбиения Р имеем по условию
тідті < 1($і-1,221) Ѕ Мідті-

438 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
Суммируя эти неравенства и пользуясь аддитивностью функции
І (а, В), получаем
'П ТЪ
2т,А$, < І(а,Ь) < 2 М,Аат,.
. 0
2:1 1:1
Крайние члены в последнем соотношении суть знакомые нам ниж-
няя и верхняя суммы Дарбу функции 1” , соответствующие разбиению Р
отрезка [а, Ь]. При А(Р) -› О обе они имеют своим пределом интеграл
от 1” по отрезку [а, Ь]. Таким образом, переходя к пределу при ×(Р) -+ 0,
получаем, что
Ь
І(а,Ь)=[[(1:)сі$. Ь
Продемонстрируем теперь утверждение 1 в работе.
2. Длина пути. Пусть частица движется в пространстве КЗ, и
пусть известен закон ее движения т~(±) = (а:(±),у(±), 2(±)), где :с(±), у(±),
2(±) -прямоугольные декартовы координаты точки в момент вре-
мени 15.
Мы хотим определить длину І[а, Ь] пути, пройденного точкой за про-
межуток времени а < 13 < Ь.
Уточним некоторые понятия.
Определение 1. Путем в пространстве КЗ называется отображе-
ние 15 1-› (аз(±), у(±), 2:(15)) числового промежутка в пространство КЗ, зада-
ваемое непрерывными на этом промежутке функциями а:(±), у(±),
Определение 2. Если 15 ›-› (а:(15), у(±), есть путь, для которого
областью изменения параметра і является отрезок [а, Ь], то точки
А = (1=(@)›у(Ы)›2(<1)), В = (Ш(д)›2/(д)›2(д))
ПРОСТРЄЪНСТВЭ. КЗ НЗЗЫВЕЪЮТСЯ СООТВЄТСТВЄННО НСІ/ЧСІ./ЕОМ И 'КІОНЦОМ ПУТИ.
Определение 3. Путь называется замкнутым, если он имеет и
Н&Ч8.ЛО, И КОНЄЦ И ЭТИ ТОЧКИ СОВПЗДЗЮТ.
Определение 4. Если Г: І -› КЗ -путь, то образ Г(І) промежут-
ка І в пространстве КЗ называется носителем пути.

Ё4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 439
Носитель абстрактного пути может оказаться вовсе не тем, что мы
хотели бы назвать линией. Существуют примеры путей, носители ко-
торых, например, содержат целый трехмерный куб (так называемые
«кривые» Пеано). Однако если функции :с(±), у(±), 2:(±) достаточно ре-
гулярны (как, например, в случае механического движения, когда они
дифференцируемы), то ничего противоречащего нашей интуиции, как
можно строго проверить, заведомо не произойдет.
Определение 5. Путь Г: І -› КЗ , для которого отображение І -›
-› Г(І) взаимно однозначно, называется простым путем или параме-
тризованной кривой, а его носитель- кривой в КЗ.
Определение 6. Замкнутый путь Г: [а, Ь] -› КЗ называется про-
стым замкнутым путем или простой замкнутой кривой, если путь
Г: [а, Ь] -› КЗ является простым.
Значит, простой путь отличается от произвольного пути тем, что
при движении по его носителю мы не возвращаемся в прежние точ-
ки, т. е. не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, ее
конца, если простой путь замкнут.
Определение 7. Путь Г: І -› КЗ называется путем данного клас-
са еладкости, если задающие его функции :1:(±), у(±), 2(±) принадлежат
указанному классу.
(Например, классу С[а, Ь], С'(1)[а, Ь] или С('“)[а,
Определение 8. Путь Г: [а, Ь] -› КЗ называется кусочно еладким,
если отрезок [а, Ь] можно разбить на конечное число отрезков, на ка-
ждом из которых соответствующее ограничение отображения Г зада-
ется непрерывно дифференцируемь1ми функциями.
Именно гладкие пути, т. е. пути класса С (1), и кусочно гладкие пути
мы и будем сейчас рассматривать.
Вернемся к исходной задаче, которую теперь можно сформулиро-
вать как задачу определения длины гладкого пути Г: [а, Ь] -› КЗ.
Наши исходные представления о длине І[а, Б] пути, пройденного в
промежуток времени а < 15 < В, таковы: во-первых, если а < В < 7, то
1[01/У1=1[01›д1+1[/3,71,

440 ГЛ. УІ. ИНТЕГРАЛ
и, во-вторых, если о(±) = (:і:(±),у(±),:3(±)) есть скорость точки в мо-
мент 15, то
іпї |'1(і)|(д - 01) <1[01›д1 < ЅНР |*1(#)|(д - Од-
а:Є[а,В] :1:Є[а,В]
Таким образом, если функции ш(±), у(і), 2(±) непрерывно дифферен-
цируемы на [а, Ь], то в силу утверждения 1 мы однозначно приходим к
формуле
Ь Ь
ца,ь1=/|»(±)|<1±=//<ь2(±)+у2(±)+±2(±)<г±, (з)
которую и принимаем теперь как определение длины гладкого пути
Г: [а, Ь] -› КЗ.
Если 2(±) 5 0, то носитель пути лежит в плоскости и формула (3)
приобретает вид
Ь
гмы=/«Нш+тшш~ И)
Пример 3. Опробуем формулу (4) на знакомом объекте. Пусть
точка движется в плоскости по закону
за = Всоз 21г±,
_ . (5)
у - ВЅ1п2тг±.
За промежуток времени [0, 1] точка один раз пробежит окружность
радиуса В, т. е. пройдет путь длины 2тгВ, если длина окружности вы-
числяется по этой формуле.
Проведем расчет по формуле (4):
Ох.
Ь
І[0, 1] = -2*/гВ зіп 21т±)2 + (21гВ сов 2тг±)2 сіі = 21гВ.
Несмотря на ободряющее совпадение результатов, проведенное рас-
суждение содержит некоторые логические пробелы, на которые стоит
обратить внимание.

Ё4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 441
Функции сов а и зіп сх, если принять их школьное определение, суть
декартовы координаты образа р точки ро = (1,0) при повороте на
угол а.
Величина а с точностью до знака измеряется длиной дуги окруж-
ности :с2 + у2 = 1, заключенной между ро и р. Таким образом, при этом
подходе к тригонометрическим функциям их определение опирается
на понятие длины дуги окружности и, значит, вычисляя выше длину
окружности, мы совершили в известном смысле логический круг, за-
дав параметризацию окружности в виде
Однако эта трудность, как мы сейчас увидим, не принципиальная,
ибо параметризацию окружности можно задать, вовсе не прибегая к
тригонометрическим функциям.
Рассмотрим задачу о вычислении длины графика функции у = ](:1:),
определенной на некотором отрезке [а, Ь] С К. Имеется в виду вычисле-
ние длины пути Г: [а, Ь] -› ІК2, имеющего специальный вид параметри-
зации
Ф *->(Ш,1'(1=)),
2
из которого можно заключить, что отображение Г: [а,Ь] -› ІК взаим-
но однозначно. Значит, по определению 5 график функции есть кри-
ваяв1К2.
Формула (4) в данном случае упрощается, поскольку, полагая в ней
из = 15, у = /(13), получаем
Ь
им] = / /1+л'<ш›12@±. <6›
В частности, если рассмотреть полуокружность
3/=`/1-_$2э '_1< <1э
окружности 1:2 + у2 = 1, то для нее получим
г=1/1+[7_Е-___Ё-55] ат=_ 1_
Н
Ё
[О
›-=,_.
О..
Н
Ю
:І|
Э
Но под знаком последнего интеграла стоит неограниченная функция
и, значит, он не существует в традиционном, изученном нами смысле.

442 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
Означает ли это, что полуокружность не имеет длины? Пока это толь-
ко означает, что указанная параметризация полуокружности не удо-
влетворяет условиям непрерывности функций іг, 3), при которых была
выписана формула (4), а значит, и формула Поэтому нам следует
либо подумать о расширении понятия интеграла, с тем чтобы интеграл
в (7) получил определенный смысл, либо перейти к параметризации,
удовлетворяющей условиям применимости формулы
Заметим, что если взятую параметризацию рассматривать на лю-
бом отрезке вида [-1 + 5,1- б], где -1 < -1 + 5 < 1- б < 1, то на нем
формула (6) применима и по ней находим длину
1-5
сіа:
= Х _
-1+б
дуги окружности, лежащей над отрезком [-1 + 5, 1 - б].
Естественно поэтому считать, что длина І полуокружности есть
предел б1іп10І[-1 + 6, 1 - б]. В таком же смысле можно понимать и инте-
->+
грал в соотношении Этим естественно возникающим расширением
понятия интеграла Римана мы подробнее займемся в следующем пара-
графе.
Что же касается рассматриваемого конкретного вопроса, то, даже
не меняя параметризацию, можно найти, например, длину І [- Ё, дуги
единичнои окружности, опирающеися на хорду, конгруэнтную радиусу
окружности. Тогда (уже из геометрических соображений) должно быть
1=з-1[-%,%].
Заметим также, что
1 а:сі(1-3:2)
-_ --_-=2 /1- 24 - /1- 2
2/ П / Ш Щ»
поэтому
1 -5
І[-1+5,1-5] = 2 / /1 -:1:2сіа:- (:1:/1-ш2)'11бб.
- +
-1+5

54. НЕКОТОРЬІЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 443
Таким образом,
1
І= Ііш І[-1+б,1-6] = 2//1-а:2сі:1:.
1
6-›+0
Длина полуокружности единичного радиуса обозначается симво-
лом 1г, и мы приходим к следующей формуле:
-ё_
тг= 1-:п2<іа:.
Последний интеграл есть обычный (а не обобщенный) интеграл Ри-
мана, и его можно вычислить с любой точностью.
Если для Ш Є [-1, 1] величину І[:с, 1] назвать агссозаг, то в силу про-
веденных выше выкладок
1
г а: = --_,
а ССОЅ ] С”
/1 - 1:2
Ш
ИЛИ
1
агссозш =а:/1-ш2+2//1-1524115.
Ш
Если считать длину дуги первичным понятием, то первичными на-
до считать функцию ас ›-› агссоз аз, введенную только что, и функцию
1: ›-› агсзіпаз, которую можно ввести аналогично, а функции св ›-› сова:
и из 1-› Ѕіпа: тогда можно получить как им обратные на соответству-
ющих отрезках. В сущности, именно это и делается в элементарной
геометрии.
Пример с длиной полуокружности поучителен не только тем, что,
разбирая его, мы сделали, быть может, небесполезное для кого-то заме-
чание об определении тригонометрических функций, но еще и тем, что
он естественно порождает вопрос о том, не зависит ли вообще опре-
деленное формулой (3) число от выбора системы координат аг, у, 2 и
параметризации кривой, когда речь идет о длине кривой.
Оставляя читателю анализ роли пространственных декартовых ко-
ординат, рассмотрим здесь роль параметризации.
Уточним, что под парамєтризациєй некоторой кривой в КЗ мы под-
разумеваем задание простого пути Г: І -› КЗ, носителем которого

444 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
является данная кривая. Точку или число Ъ Є І называют параметром,
а промежуток І -- областью измененил параметра.
А/ ~
Если Г: І -› С и Г: І -› Д_два взаимно однозначных отображе-
ния с одним и тем же множеством значений Д, то естественно возни-
кают взаимно однозначные отображения Г1 о Г: І -› Ґ, Г“1 о Ё: Ґ -› І
между областями определения І и Ґ этих отображений.
В частности, если имеются две параметризации одной кривой, то
между самими параметрами 13 Є І, т Є Ё устанавливается естественное
соответствие 15 = ±(т) или т = т(±), позволяющее по параметру точки
в одной параметризации определять ее же параметр в другой параме-
триэации.
Пусть Г: [а,Ь] -› С и 1:: [о1,Б] -› ,С-две параметризации одной
кривой с соответствием Г(а) = ї`(а), Г(Ь) = начала и конца. Тогда
функции ії = ±(т), т = т(±) перешода от одного параметра к другому
будут непрерывными, строго монотонными отображениями отрезков
а < 15 < Ь, а < т < В друг на друга с соответствием начал а 4-› а и
концов Ь <-› В.
Если кривые Г и 1: при этом задавались такими тройками (:1:(±), у(
20)), (5д(*)›ў(і),5(і)) ГЛг»д1<ИХ ФУНКЦИй› ЧТО І11(і)|2 = $203) + 1120)
+±2(±) ,Ь о на [а, ь] И |а›(т)|2 = г2э2(т›+;і;2(т)+22(»г) ,Ь о На [а,/31, то можно
проверить, что в этом случае функции перехода 15 = ±(т) и т = ^г(±)
будут гладкими функциями, имеющими положительную производную
на отрезке своего определения.
+:Ё
Мы не станем сейчас заниматься проверкой этого утверждения, оно
будет в свое время получено как одно из следствий важной теоремы
о неявной функции. В данный же момент высказанное утверждение
служит скорее мотивировкой следующего определения.
Определение 9. Говорят, что путь Ё: [а, ,З] -› КЗ получен из пу-
ти Г: [а,Ь] -› ІК3 допустимым изменением параметризации, если су-
ществует такое гладкое отображение Т: [а, [3] -› [а,Ь], что Т(а) = а,
Т(В) = Ь, Т'(т) > 0 на [о:,Б] и Г = ГоТ.
Проверим теперь следующее общее
Утверждение 2. Если гладкий путь Г: [ое,В] -› КЗ получен из
гладного пути Г: [а,Ь] -› КЗ допустимым изменением параметриза-
иии, то длины этиа: ,путей совпадают.

54. НЕКОТОРЬІЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 445
4 Пусть Ё: [а,В] -› КЗ и Г: [а,Ь] -› КЗ задаются соответственно
тройками т ›-› (5:(т),ў(т), 5(т)) и Ё ›-› (:в(±),у(±),2(±)) гладких функций,
а і = ±(т) -_ допустимое изменение параметризации, при котором
д5('Г) = Ш(*(Т))› ў('Г> = 11/(117)), 5(Т) = 2(*('Г))-
Используя определение (3) длины пути, правило дифференцирова-
ния композиции функций и правило замены переменной в интеграле,
имеем
Ь
/ /±2(±) + у2(±) + ±2(±) <1± =
а /3
= / ×/±2<±<Т›> + @›2<±<т›› + ±2<±<»›~››±'<»г› ат =
3
= / ×/[±<±<т››±'<Т›12 + [:<›<±<«-››±'<»г›1* + [±<±<т››±'<«›12 ат =
°= в
= / /5г2(т)+ў2(т)+ё2(т)ат. ›
Итак, в частности, показано, что длина кривой не зависит от ее
гладкой параметризации.
Длину кусочно гладкого пути определяют как сумму длин гладких
путей, на которые он подразделяется; поэтому легко проверить, что и
длина кусочно гладкого пути не меняется при допустимом изменении
его параметризации.
Заканчивая обсуждение понятия длины пути и длины кривой (о ко-
торой мы после утверждения 2 теперь вправе говорить), рассмотрим
еще один
Пример 4. Найдем длину зллипса, задаваемого каноническим
уравнением
3,2 у2
ў'+'Бї=1
Взяв параметризацию а: = азіп 1/1, у = Ьсоз 1/1, О < < 21г, получаем
Ё
21г 21:
І = / /(а сов 1/1)2 + (-ЬЅіп'ф)2 сіф = ]/а2 - ((12 - Ь2)Ѕіп2*ф сіт/1 =
0 0

446 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
тг/2 тг/2
“2_Ь2 - 2 ,/ 2- 2
=4а 1-7-$111 'фей/1=4а 1-ієЅ1п'</міф,
0 0
2
где 1:2 = 1 - % -квадрат эксцентриситета эллипса.
О.
Интеграл
оїе
Е(/є, 90) = 1 - /с2Ѕ1п2ф сіф
не выражается в элементарных функциях и ввиду указанной связи с
зллипсом называется эллиптическим. Точнее, Е (Іс, ср) - эллиптический
интеграл второго рода в форме Лежандра. Значение, которое он при-
нимает при 90 = тг/ 2, зависит только от /с, обозначается через и
называется по./иным э./миптичєским интеграл/дом второго рода. Итак,
Е = Е (Іє,1г/ 2), поэтому длина эллипса в этих обозначениях имеет
вид І = 4аЕ(/є).
3. Площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим фигуру
аАВЬ (рис. 48), называемую криволинейной трапеииєй. Фигура огра-
ничена вертикальными отрезками аА, ЬВ, отрезком [о, Ь] оси абсцисс и
/5
кривой АВ, являющейся графиком некоторой интегрируемой на [а, Ь]
функции у = І
Пусть [а, В] -- отрезок, содержащийся в
3/ В [а, Ь]. Обозначим через Ѕ(а, /3) площадь со-
ответствующей ему криволинейной трапе-
' ЦИИ @1”(<1)ї(/3)В-
Наши представления о площади таковы:
А еслио<ог<В<7<Ь,то
О “ ° д Ь Ю 5(<1к7)=5(01›В)+5(д,^ї)
Рис. 48.
(аддитивность площади) и
іпї і(Ш)(д-01) < 5(@›Б) < Ѕпр і(Ш)(5-01)
Фёїщд] <гЄ[0›д1
(площадь объемлющей фигуры не меньше площади объемлемой).

25,4. НЕКОТОРЬІЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 447
Значит, в силу утверждения 1, площадь указанной фигуры надо вы-
числять по формуле
Ь
Ѕ<<»,1›› = / і<«››(1ш~ (9)
Пример 5. Используем формулу (9) для подсчета площади элли-
пса, заданного каноническим уравнением
В силу симметрии фигуры и предполагаемой аддитивности площа-
ди, достаточно найти площадь только той части эллипса, которая рас-
положена в первом квадранте, и затем учетверить полученный резуль-
тат. Проведем вычисления:
л 2
а /
/ 2
Ѕ=4/ Ь2 (1-35) сіа:=4Ь//1-зіп2±асоЅ±<1±=
0 0
л/2 л/2
= 4а,Ь / соЅ2±<і± = 2аЬ / (1 - сов 215) Щ = 1гаЬ.
0 0
°'с>
По дороге мы сделали замену сс = азіп 15, < Ъ < тг/2.
Итак, Ѕ = тгад. В частности, при а = = В получаем формулу тгН2
площади круга радиуса В.
Замечание. Необходимо отметить, что формула (9) дает площадь
криволинейной трапеции при условии, что 1” 2 0 на [а,Ь]. Если же
І -произвольная интегрируемая функция, то интеграл (9), очевид-
но, даст алгебраическую сумму площадей соответствующих криволи-
нейных трапеций, лежащих над и под осью абсцисс. Причем площади
трапеций, лежащих над осью абсцисс, будут суммироваться со знаком
плюс, а площади трапеций, лежащих под осью, -со знаком минус.
4. Объем тела вращения. Пусть теперь изображенная на рис. 48
криволинейная трапеция вращается вокруг отрезка [а, Ь]. Определим
объем получающегося при этом тела.
Обозначим через ї/(ог, В) объем тела, полученного вращением криво-
линейной трапеции ск] (а) (см. рис. 48), отвечающей отрезку
[а, В] С [а, Ь].

448 ГЛ. /'І. ИНТЕГРАЛ
По нашим п е ставлениям об объеме олжны быть сп аве ливы
7
следующие соотношения: если а < а < ,З < *у < Ь, то
ї/(ОІКУ) = ї/(Щ5) + ї/(дд)
И 2 2
«( мг мл) (л-а› < 1/(ат < «( Ѕир мы) (л-а›.
шЄ[а,Б] :1:Є[а,,З]
В последнем соотношении мы оценили объем ї/(ог, В) через объемы
вписанного и описанного цилиндров и воспользовались формулой объ-
ема цилиндра (которую нетрудно получить, если уже найдена площадь
круга)
Тогда в силу утверждения 1
Ь
ї/(а,,Ь) = тг/]°2(а:)аї:в. (10)
Пример 6. Вращением вокруг оси абсцисс полукруга, ограничен-
ного отрезком [-12,3] этой оси и дугой окружности у = /Н2 - 1122,
-В < гс < В, можно получить трехмерный шар радиуса В, объем кото-
рого легко вычислить по формуле (10):
=ї
'ёбющ
4
У = (Н2 - а:2) сіа: = 5тгВ3.
Подробнее об измерении длин, площадей и объемов будет сказано в
части ІІ курса. Тогда же мы решим и вопрос об инвариантности данных
определений.
5. Работа и энергия. Энергетические затраты, связанные с пере-
мещением тела под действием постоянной силы в направлении действия
силы, измеряют произведением Р - Ѕ величины силы на величину пере-
мещения. Эта величина называется работой силы на данном перемеще-
нии. В общем случае направление данной силы и перемещение могут
быть неколлинеарны (например, везем за веревочку санки), и тогда ра-
бота определяется как скалярное произведение (Г, Ѕ) вектора силы и
вектора перемещения.
Рассмотрим некоторые примеры вычисления работы и использова-
ния связанного с ней понятия энергии.

54. НЕКОТОРЬІЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 449
Пример 7. Работа, которую нужно совершить против силы тяже-
сти, чтобы поднять вертикально вверх тело массы т с уровня /11 над
поверхностью Земли на уровень /22, в силу данного определения равна
т9(/12 - 111). Предполагается, что вся операция происходит у поверх-
ности Земли, когда изменением силы тяжести ту можно пренебречь.
Общий случай разобран в примере 10.
Пример 8. Пусть имеется идеально упругая пружина, один ко-
нец которой закреплен в точке 0 числовой оси, а другой находится в
точке сс. Известно, что сила, с которой при этом приходится удержи-
вать этот конец пружины, равна /ст, где Іє -коэффициент жесткости
пружины.
Вычислим работу, которую надо совершить, чтобы переместить по-
движный конец пружины из положения ас = а в положение ш = Ь.
Считая работу А(а, Б) аддитивной функцией промежутка [а, В] и
принимая, что верны оценки
іпї (/<Ш)(д - 01) < А(0<,5) < ЅИР (/<Ш)(д - 0),
а:Є[а,[3] а:Є[а,В]
получаем в силу утверждения 1, что
Ь
2 Ь
А(а,Ь) = //сіссіаг = %
Это работа против силы. Работа же самой силы пружины на том
ЖЄ ПЄРЄМЄЩЄНИИ ОТЛИЧЁЪЄТСЯ ТОЛЬКО ЗНЗКОМ.
2
Функция П = %, которую мы нашли, позволяет вычислять ра-
боту, которую мы совершаем, меняя состояние пружины, а значит, и ту
работу, которую пружина может совершить при возвращении в исход-
ное состояние. Такая функция П (аг), зависящая только от конфигурации
системы, называется потенциальной энергией системы. Из построения
видно, что производная от нее дает силу пружины с обратным знаком.
Если точка массы т движется вдоль оси под действием указанной
упругой силы, то ее координата а:(±) как функция времени удовлетво-
ряет уравнению
тід = -Ієаз. (11)
Мы уже однажды проверяли (см. гл. У, ёб, п. 6), что величина
ти2 Ісазг
Т + Т = К(±) + Ґ/'(:1:(15)) = Е, (12)

450 ГЛ. УІ. ИНТЕГРАЛ
представляющая из себя сумму кинетической и (как мы теперь пони-
маем) потенциальной энергий системы, остается во время движения
постоянной.
Пример 9. Теперь рассмотрим еще один пример. В нем встретит-
ся сразу целый ряд понятий, которые мы ввели и освоили в дифферен-
циальном и интегральном исчислении.
Заметим сначала, что по аналогии с функцией (12), записанной для
конкретной механической системы, удовлетворяющей уравнению (11),
для произвольного уравнения вида
50) = і(-90)), (13)
где [(5) -заданная функция, можно проверить, что сумма
%+П(з)=Е (14)
не меняется со временем, если І/(3) = -1”
Действительно,
<іЕ 10132 (П/'(3) сіП сіз
Ж.-ё:ії+-(Ё--зз+-Э;-'аї-з(з-[(з))-0.
Таким образом, из (14), считая Е постоянной величиной, последо-
вательно находим
._ё = ±/2(Е - П(з))
(где знак корня должен соответствовать знаку производной Ё), затем
аг 1
_ = ±
(18 ,/2(Е _ и(з))
и, наконец,
/ 8
О Ё = С1 ±[ (18 .
Рис. 49. /2(Е - П(з))
Следовательно, используя закон сохранения «энергии» (14) уравне-
ния (13), нам удалось в принципе решить это уравнение, но найдя не
функцию з(і), а обратную к ней функцию ±(з).

Ё4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 451
Уравнение (13) возникает, например, при описании движения точки
вдоль заданной кривой. Пусть частица перемещается под действием
силы тяжести по узкому идеально гладкому желобу (рис. 49).
Пусть з(±) -расстояние вдоль желоба (т.е. длина пути) от неко-
торой фиксированной точки О-начала отсчета-до точки, в кото-
рой находится частица в момент 15. Ясно, что тогда есть величи-
на скорости частицы, а ё(±) -величина тангенциальной составляющей
ее ускорения, которая должна равняться величине тангенциальной со-
ставляющей силы тяжести в данной точке желоба. Ясно также, что
тангенциальная составляющая силы тяжести зависит только от точки
желоба, т. е. зависит только от з, ибо з можно считать параметром, па-
раметризующим кривуюц, с которой мы отождествляем желоб. Если
эту составляющую силы тяжести обозначить через ](з), то мы полу-
чим, что
тё = [(з).
Для данного уравнения сохраняться будет величина
1 ,2
ётз + П(з) = Е,
где П'(з) = -[(з).
Поскольку слагаемое %тё2 есть кинетическая энергия точки, а дви-
жение вдоль желоба происходит без трения, то можно, минуя вычисле-
ния, догадаться, что функция П(.з) с точностью до постоянного слага-
емого должна иметь вид туІъ(з), где т9Іъ(з) -потенциальная энергия
точки, находящейся на высоте Ь(з) в поле тяжести.
Если в начальный момент 15 = 0 было = 0, з(0) = зд и /ъ(.є0) = /10,
то из соотношения
2Е
Ё = 32 + 29/цз) = с
находим, что С = 29/ъ(з0), поэтому 32 = 29(/1.0 - /ъ(з)),
8 аіз
Ё = ×/то - ~<Ѕ››' (15)
1)Параметризация кривой посредством ее же длины называется натуральной, а з
в этом случае называют натуральным параметром.

452 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
В частности, если, как в случае маятника, точка движется вдоль
окружности радиуса В, отсчет длины з ведется от нижней точки О
окружности, а начальные условия состоят в том, что при 15 = 0 = 0
и дан начальный угол -900 отклонения (рис. 50), то, как легко прове-
рить, выражая з и /ъ(з) через угол отклонения ср, получим
з Ф
_ 4.9 2 Втр
*_-6! /29(Іъ0 - п(з)) _4 /2уВ(соЅф - сов <р0),
или Ф
1 /В сі
9_,/до /Ѕіп2 %9 - зіпгё
Таким образом, для полупериода %Т качания маятника получаем
900
1 1 сі
ёТ=ё/Ё/ Ф «ш Ш)
° 2 ° 2
9_,р0 Х/Ѕ1п Ё-Ѕ1п -5
Ѕіп ф 2 _ - _
откуда после подстановки Ѕіїшро 2) _ Ѕшд на
ходим
_<р0
/В П/2 до -80 Ѕ°
Т = 4 _ , 18 0 Ѕ<*>
9 ! /1 - /с2Ѕіп2д ( )
Рис. 50.
где 1:2 = 51112 %9.
Напомним, что функция
1“(/тд) =
- 251112
Ы
і_*
=~ е
Ф
называется эл./шптичєспим интєгролом первого рода, в форме Лежан-
дра. При 90 = тг / 2 она зависит только от /с2, обозначается К и назы-
вается полным э./ышптипєспим интєгралом первого рода. Таким обра-
зом, период колебаний маятника равен
Т = 4/ёк(/Ё). (19)

{$,4. НЕКОТОРЬІЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 453
Если угол сро начального отклонения мал, то можно положить І: = 0
и тогда получим приближенную формулу
Т~2тг`/В-.
(20)
9
Теперь, когда формула (18) получена, все же следует проанализиро-
вать весь ход рассуждений, и тогда мы заметим, что под знаками ин-
тегралов (15) - (17) стоят неограниченные на отрезке интегрирования
функции. Подобная трудность нам уже встречалась при рассмотрении
длины кривой, и мы примерно представляем себе, как и какой смысл
можно придать интегралам (15) - (17).
Но раз этот вопрос возник вторично, то его следует разобрать в
точной математической постановке, что и будет сделано в следующем
параграфе.
Пример 10. Тело массы т совершает подъем над поверхностью
Земли по траектории 15 ›-› (а:(±),у(±), 2(±)), где 15-время, а < 15 < Ь, а аг,
у, 2 - декартовы координаты точки в пространстве. Необходимо вычи-
слить работу тела против силы тяжести на промежутке времени [а, Ь].
Работа А(а, В) есть аддитивная функция промежутка [оє, В] С [а, Ь].
Постоянная сила Г при действии на тело, движущееся с постоянной
скоростью 11, за время Іъ совершает работу (Р, 'и/1) = (Р, 1:)/1, поэтому
ПРЄДСТЗВЛЯЄТСЯ ЄСТЄСТВЄННОЙ ОЦЄНК&
іпї <1”'(Р(*)),1›(*)>(д - Ы) < А(@,В) < Ѕпр <Р`@(±)),1›(±)>(Б - 0:),
іЄ[0=›/3] 1Є[<1›д1
где 1›(15)-скорость тела в момент Ъ, р
торой находится тело в момент ±, а Р
р = р(15) действует на тело.
1?
/'Ж
Ф
-точка пространства, в ко-
15))-сила, которая в точке
Если функция (Р(р(±)),'и(±)) окажется интегрируемой, то в силу
утверждения 1 мы должны считать, что
Ь
А<а,1›› = / <1«*<р<±››, «›<±›> <1±.
В НЭШЄМ <ШУЧг›Є “(1) = (=іг(і),ў(±),2(#)), И если т'(1ї) = (Ш(*),у(і),2(і)),
то по закону всемирного тяготения находим
тМ ЄтМ
= Р($ау›2) : Ст? = (582 + у2 + 22)3/2 ($›у›2)э

454 ГЛ. /'І. ИНТЕГРАЛ
где М -масса Земли, а ее центр предполагается совпадающим с нача-
лом системы координат.
Тогда
ФО-
(Ч. ./
_/ :@,
=1›<±›±<±› + < <±› + :<±>±<±›
<Р”>ш=ЄтМ <$2<±›+ї2< +22<±››3/2 ”
поэтому
Ь 1 Ь (:с2(і) +у2(±) + 22( )),
!(Р, 'и)(і) сіі = ёЄтМ! ($2(±) + у2(±) + 22(±))3/2 сіі =
1” ь
= _ Є'тМ : _ ЄтМ
<$2<±› +1/2<±› +22<±››1/2 ,, І«~<±›І
Н-
Итак,
ЄтМ ЄтМ
АМ _ тя _ т*
СЕ
Мы обнаружили, что искомая работа зависит только от величин
|т'(а)|, |'г(Ь)| удаления тела т от центра Земли в начальный и конечный
моменты времени рассматриваемого промежутка [а, Ь].
Полагая
СМ
І/'(”) = _Г›
получаем, что работа против силы тяжести по перемещению тела массы
т из любой точки сферы радиуса тд в любую точку сферы радиуса 11
вычисляется по формуле
Ант = т(0`(1°о) - 1101))-
Функция П(т*) называется потенциалом Ньютона. Если через В
обозначить радиус Земли, то, поскольку % = 9, функцию І/`(т) можно
переписать в виде
2
Ґ/`(т) =
Учитывая это, можно получить следующее выражение для работы,
необходимой для выхода из поля тяготения Земли, точнее, для увода
массы т с поверхности Земли на бесконечное расстояние от центра
Земли. Под этой величиной естественно понимать предел Ііш А 3,..
'г-›+оо

Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 455
Итак, работа вьшзода:
. . В2 Н2
А = Адоо = ТВЮЮАВТ = Тідпоот Зї - %_- = т9В.
Задачи и упражнения
1. На рисунке 51 изображен график зависимости Р = силы, действу-
ющей вдоль оси абсцисс на пробную частицу, находящуюся в точке 11: этой
оси.
а) Нарисуйте в той же системе координат эскиз потенциала этой силы.
Ь) Изобразите потенциал силы -Р(:с).
с) Исследуйте, в каком из разобранных Р
случаев положение 1:0 является устоичивым
положением равновесия и с каким свойством
потенциала это связано.
2. На основе результата примера 10 вы-
числите скорость, которую должно иметь те-
ло, чтобы оно вьппло из поля тяготения Земли
(вторая космическая скорость для Земли).
3. На основе примера 9
а) выведите уравнение ВФ = уЅіп<р коле-
баний математического маятника; Рис 51'
01130 11:
Ь) считая колебания малыми, получите его приближенное решение;
с) определите по приближенному решению период колебаний маятника и
сравните результат с формулой (20).
4. По горизонтальной плоскости равномерно со скоростью 11 катится без
проскальзывания колесо радиуса т. Пусть в момент ± = 0 верхняя точка А
колеса имеет координаты (0, 2т°) в системе декартовых координат, ось абсцисс
которой лежит в указанной плоскости и направлена по вектору скорости.
а) Запишите закон движения і ›-› (а:(±), у(і)) точки А.
Ь) Найдите скорость точки А как функцию времени.
с) Изобразите графически траекторию точки А (эта кривая называется
циклоидой).
(1) Найдите длину одной арки цик.лоиды (длину одного периода этой пери-
одической кривой).
е) Циклоида обладает рядом интересных свойств, одно из которых, от-
крытое Гюйгенсомц, состоит в том, что период колебаний циклоидального
маятника (шарика, катающегося в циклоидальной ямке) не зависит от высо-
ты его подъема над нижней точкой ямки. Попробуйте доказать это, опираясь
1)Х.Гюйгенс (1629 - 1695) -нидерландский механик, физик, математик и аст-
роном.

456 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
на пример 9. (См. также задачу 6 следующего параграфа, посвященного не-
собственнь1м интегралам.)
5. а) Исходя из рис. 52, объясните, почему если у = ](а:) и 1: = у(у) -
взаимно обратные непрерывные неотрицательные функции, равные нулю при
1: = 0 и у = О соответственно, то должно быть выполнено неравенство
шу<і](±)а±+; (±)сі±.
Ю
Ь) Получите из а) неравенства Юнга
1 1
11329 < -їр + -3/Ч
Р Ч
ЬФІ-^
приа:,3/20, р,с1>0, %+-=1.
с) Какой геометрический смысл имеет знак равенства в неравенствах за-
дач а) и Ь)'?
6. Задача Бюффонаї). Число тг можно вычислять сле-
дующим весьма неожиданным способом.
у Берем большой лист бумаги, разлинованный парал-
лельными прямыми с шагом Ь, и бросаем на него, никак
специально не це.лясь, иголку длины І < /1. Пусть мы бро-
си.ли иголку Ы раз и пусть п раз из них иголка после
падения пересекала какую-нибудь из прямых линий на
листе. Если число 1/' достаточно велико, то тг ю 1%, где
0 ад р = % можно трактовать как приближенное значение ве-
роятности того, что при бросании иголка пересечет одну
Рис 52 из линий.
Исходя из геометрических соображений, связанных с вычислением площа-
дей, попробуйте дать удовлетворительное объяснение этому методу вычисле-
ния тг.
55. Несобственный интеграл
В предыдущем параграфе мы уже столкнулись с необходимостью
несколько расширить понятие интеграла Римана. Там же на разборе
конкретной задачи мы составили себе представление о том, в каком
направлении и как это следует сделать. Настоящий параграф посвящен
реализации этих представлений.
ИЖ. Л. Л. Бюффон (1707 - 1788) - французский естествоиспытатель.

55. нвсовстввнный интвгРАл 457
1. Определения, примеры и основные свойства несобствен-
ных интегралов
Определение 1. Пусть функция а: ›-› 1” определена на проме-
жутке [а, +оо[ и интегрируема на любом отрезке [а, Ь], содержащемся в
этом промежутке.
Величина
`-усе Ь
;($)а$ == пт / і($)а$,
Ь-++оо
(Ъ 0/
если указанный предел существует, называется несобственным инте-
гралом Римана или просто несобственным интеералом от функции 1”
по промежутну [а, +оо[.
+оо
Сам символ І І сіа: также называют несобственным интегралом
и тогда говорят? что несобственный интеграл сісодится, если указан-
ный преде.л существует, и расагодится в противном случае. Таким обра-
зом, вопрос о сходимости несобственного интеграла равносилен вопро-
су о том, определен ли вообще этот несобственный интеграл или нет.
Пример 1. Исследуем, при каких значениях параметра а сходит-
ся или, что то же самое, определен несобственный интеграл
+<›<›Сі
за
-. 1
/ Ща < ›
1
Поскольку
Ь 1 1-а Ь
]д:с_{1ї$ 1 ПРИ 017Ё1›
1:0” _
1 1па;|ї при а = 1,
то предел
Ь
, / оііс 1 .
Іпп _ = -__ :
Ь-›+<><> та а - 1
1
существует только при ое > 1.
Итак,
ОО
Ідш- 1 если а>1
сдача-1, ,
1

458 ГЛ. УІ. ИНТЕГРАЛ
а при других значениях параметра а интеграл (1) расходится, т. е. не
определен.
Определение 2. Пусть функция а: 1-› І определена на проме-
жутке [а, В[ и интегрируема на любом отрезке [а, Ь] С [а, В Величина
В Ь
/;($)а$== пт /;($)а$,
Ь-›В-О
если указанный предел существует, называется нєсобственным инте-
гралом от функции І по промежутку [а,В[.
Суть этого определения состоит в том, что в любой окрестности
конечной точки В функция 1” может оказаться неограниченной.
Аналогично, если функция ш ›-› 1” определена на промежутке ]А, Ь]
и интегрируема на любом отрезке [а,Ь] С ]А,Ь], то по определению
полагают Ь Ь
сі := 1` (1
/по Ш ,до/т<$› ш
А а
И ТЗКЖЄ ПО ОПРЄДЄЛЄНИЮ ПОЛЗГЗЮТ
ЗЁФ-
її
9 Ф
а:)сіа: := аіїгпоо/]`(а:)сі:с.
Пример 2. Исследуем, при каких значениях параметра а сходит-
ся интеграл 1
(11:
/Е- (2)
0
1 1 1 1
/Сі$_ 1:БШ_аа, ЄСЛИШЭЕІ,
Іп
Ша { 1
0, :в|а, если а = 1,
то предел
1
Поскольку при а Є ]0, 1]
, 4:1: 1
Іпп - = -і
а-›+0 ага 1 - а
О.
существует только при а < 1.

Ё5. НЕСОБСТВЕННЬІЙ ИНТЕГРАЛ 459
Итак, интеграл (2) определен только при а < 1.
Пример З.
0 0
/ е“°сі:1: = Ііш /ешоіш = Ііш (е”|2) = Ііш (1 - е“') = 1.
О,-›_Х 0.-'›_ЩЭ 0,_›'-Х
-ОО О.
Поскольку вопрос о сходимости несобственного интеграла решает-
ся одинаково как для несобственного интеграла по неограниченному
промежутку, так и для несобственного интеграла от функции, неогра-
ниченной около одного из концов промежутка интегрирования, то в
дальнейшем мы будем рассматривать оба эти случая вместе, введя сле-
дующее основное
Определение 3. Пусть [а,ш[-конечный или бесконечный про-
межуток, а а: ›-› І -функция, определенная на нем и интегрируемая
на каждом отрезке [а, Ь] С [а, ш[. Тогда по определению
ш Ь
/[(а:)да::=1іІп/](а:)сіа:, (3)
Ь-›ш
если указанный предел при Ь -› ш, Ь Є [а, ш[, существует.
В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматривая несоб-
ственный интеграл (3), мы будем предполагать, что подынтегральная
функция удовлетворяет условиям определения 3.
Кроме того, для определенности мы будем пока считать, что не-
собственность интеграла связана только с верхним пределом интегри-
рования. Рассмотрение случая, когда особенность интеграла связана с
нижним пределом, проводится дословно так же.
Из определения З, свойств интеграла и свойств предела можно сде-
лать следующее заключение о свойствах несобственного интеграла.
Утверждение 1. Пусть а: ›-› І и $ ›-› 9(а:) -функции, опре-
деленные на промежутке [а,ш[ и интегрируемые но любом отрезке
[а,Ь] С [а,ш[. Пусть для ния: определены несобственные интегралы
7 Пт) 01111» (4)
]у(:Ь') сіаг. (5)
(1.

460 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Тогда
а) если ш Є К и 1” Є 72[а,ш], то значения интеграла (4), понимае-
мого пан в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают;
Ь) при любыт А1,)2 Є ІК фунниил (А1І + >29)(аз) интегрируема в
несобственном смысле на [а,ш[ и справедливо равенство
](А1/ + >29)(а:)да: = А1 діс + А2 д;
с) если с Є [а,ш[, то
Ш С Ш
/[(а:)д:с=/](:с)да:+/[(а:)да:;
(1) если ср: [ог,7[ -+ [а,ш[ -гладкое, строго монотонное отображе-
ние, причем <р(а) = а и <р(В) -› ш при В -› 7, В Є [о:,*у[, то несобствен-
ный интеграл от функции 15 1-› (І 0 <,о)(15)<р'(±) на [ог,7[ существует и
справедливо равенство
ї 1°(=1=) 422 = /(І Ф </>)(і)<р'(*)<1і-
4 а.) Следует из непрерывности функции
Ь
.7-`(Ь) =
на отрезке [а,ш], на котором І Є 72[а,ш].
Ь) Следует из того, что при Ь Є [а, ш[
Ь Ь Ь
/(›1]' + >29)(:1:)д:с = А1 да: + А2 доз.
с) Следует из равенства
Ь с Ь
[[(:1:) да: = да: +д:1:,
(1 0» С
справедливого при любых Ь, с Є [а, ш[.

Ё5. НЕСОБСТВЕННЬІЙ ИНТЕГРАЛ 461
(1) Следует из формулы
1›=<р(В) Б
/ из ат = / (1 <› «@›<±›«›'<±› «Ы
<1=<р(0=) 0
замены переменной в определенном интеграле. Ь
Замечание 1. К свойствам несобственного интеграла, выражен-
ным в утверждении 1, следует еще добавить весьма полезное прави-
ло интегрирования по частям в несобственном интеграле, которое мы
приведем в следующей формулировке:
Если ],9 Є С'(1)[а,ш[ и существует предел Ііш то
(ІІ-НД ,
:вЄ[а,ш[
фунниии 1” - у' и 1* - 9 одновременно интеерируемы или не интегри-
руемы в несобственном смысле на [а,ш[ и в случае интеерируемости
справедливо равенство
Ш Ш
/(г ~9'›<=1:›<1«› = <1 - у›<а:›|;“ - /кг ~ 9›<«:›«1ш,
еде
<ы›<:в›|::= 359, <м›<$›-<м›<а›.
:сЄ[а.,ш[
4 Это следует из формулы
Ь Ь
/<м'›<ш› 4:1: =<м›<ш›у2-/<1'~@›<«:›<и:
интегрирования по частям в собственном интеграле. Ь
Замечание 2. Из пункта с) утверждения 1 видно, что несобствен-
ные интегралы
Щ Щ
/[(17) даз, да:
сходятся или расходятся одновременно. Таким образом, в несобствен-
ных интегралах, как и в рядах, сходимость не зависит от начального
куска ряда или интеграла.

462 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
По этой причине иногда, ставя вопрос о сходимости несобственного
интеграла, вообще опускают тот предел интегрирования, около кото-
рого интеграл не имеет особенности.
При таком соглашении полученные в примерах 1, 2 результаты мож-
НО З8.ПИС8.'І`Ь ТЗКІ
+оо
да: ,
интеграл І 7 сходится только при а > 1,
17
интеграл І % сходится только при сх < 1.
+0 “1
Знак +0 в последнем интеграле показывает, что рассматривается
область гс > 0.
Заменой переменной из последнего интеграла сразу получаем, что
интеграл І Ё сходится только при а < 1.
2. Исследование сходимости несобственного интеграла
О
а. Критерии Коши. В силу определения З, сходимость несобствен-
ного интеграла (З) равносильна существованию предела функции
Ь
до = /1<=:››<1$ <6›
при Ь -› ш, Ь Є [а,ш[.
Поэтому справедливо следующее
Утверждение 2 (критерий Коши сходимости несобственного ин-
тег ала . Если нкиил 11: І-› гс оп еделена на п омеж тке а ш и
Р Ъ/ Р Р 1/ ›
(4)
интегрируема на любом отрезке [а,Ь] С [а,ш[, то интеграл І Ісіа:
О.
сшодитсл тогда и только тогда, когда для любого Є > 0 можно ука-
зать В Є [а,ш[ так, что при любыаг 61,62 Є [а,ш[ такиас, что В < Ь1,
В < Ь2, имеет место соотношение
Ь2
[]`(а:)сіа: <є.
д1

Ё5. НЕСОБСТВЕННЬІЙ ИНТЕГРАЛ 463
4 Действительно, ведь
Ь2 Ь2 Ь1
І! і<:«:› ан: = до ат - 1<«›› да: = дв) - г<Ь1›,
поэтому выписанное условие есть просто критерий Коши существова-
ния предела функции .7:(Ь) при Ь -› ш, Ь Є [а, ш[. Ь
Ь. Абсолютная сходимость несобственного интеграла
Ш
Определение 4. Про несобственный интеграл І [доз говорят,
О,
Щ
что он сшодится абсолютно, если сходится интеграл І |] дш.
О,
В силу неравенства
Ь2 Ь2
//виз: < / ш<:›:›<1ш
Ь1 Ь1
и утверждения 2 можем заключить, что если интеграл сходится абсо-
лютно, то он сходится.
Исследование абсолютной сходимости сводится к исследованию схо-
димости интеграла от неотрицательной функции. Но в этом случае име-
ем
Утверждение 3. Если функция 1” удовлетворяет условиям опре-
деления 3 и /(сс) 2 О на [а,ш[, то несобственный интеграл (3) суще-
ствует в том и только в том случае, когда функция (6) ограничена
на [а,ш[.
4 Действительно, если І 2 О на [а,ш[, то функция (6) неубыва-
ющая на [а,ш[ и потому она имеет предел при Ь -› ш, Ь Є [а,ш[, если и
только если она ограничена. Ь
В качестве примера использования этого утверждения рассмотрим
такое его
Следствие (интегральный признак сходимости ряда). Если 1: 1-›
›-› І -определенная на промежутке [1, +оо[ неотрииательная, не-
возрастающая, интеерируемая на каждом отрезке [1,Ь] С [1,+оо[

464 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
функция, то ряд
ЛП) = 1“(1)+1(2)+--~
ЁИ
и интеграл
+00
/ /(сс) сіа:
1
ссводлтся или расагодлтся одновременно.
4 Из приведенных условий вытекает, что при любом п Є Ы выпол-
нены неравенства
п+1
і<п+1>< / і<ш><1ш < дп).
После суммирования этих неравенств получаем
К ь+1
ҐП/+1)< 1”(Ш)<іт< (П)
ЁГ4
/
›-Ё
ЁМ*
*Ь
ИЛИ
8/«+1 _ ї(1)< -7:(/Є +1) < 8/Є»
/С Ь
где зд, = 2 /(п), а .77(Ь) = сіаг. Поскольку 5,, и .7-`(Ь) -неубываю-
'П,=1 1
щие функции своих аргументов, то полученные неравенства и доказы-
вают высказанное утверждение. >
В частности, теперь можно сказать, что результат примера 1 экви-
валентен тому, что ряд
ОО
2 1
па
3
›-^
сходится только при а > 1.
Наиболее часто используемым следствием утверждения 3 является
следующая
Теорема (теорема сравнения). Пусть функции :1: Ь-› [($), 11: ›-›
определены но промежутке [о,ш[ и интеерируемы но любом отрезке
[щд] С Іщшї-

55. нвсовстввнный иНтвгРАл 465
Е н [,[
сли ааш 0<і($)<9(Ш),
то из сагодимости интеграла (5) следует сагодимость интеграла (4) и
справедливо неравенство
]1(Ш)д=г < 79%) 412,
а из расагодимости интеграла (4) следует расшодимость интеграла
4 Из условий теоремы и неравенств для собственного интеграла
Римана при любом І) Є [а, ш[ имеем
Ь Ь
1=<Ь›= / і<а:›<г:«: < /9<$›<л = си».
Поскольку обе функции Т, ў неубывающие на [а,ш[, то теорема
следует из написанного неравенства и утверждения 3. Ь
Замечание 3. Если про функции І, 9, участвующие в теореме,
вместо неравенств 0 < 1” < 9(а:) известно, что они неотрицательны
на [а, ш[ и одного порядка при из -› ш, а: Є [а, ш[, т. е. что найдутся такие
положительные константы с1, с2, что
С11($) < 9017) < С21°($)›
то с учетом линейности несобственного интеграла из доказанной тео-
ремы в этом случае можно заключить, что интегралы (4), (5) сходятся
или расходятся одновременно.
Пример 4. Интеграл
+оо
/ /Ёс_д:1:
/1 + :1:4
сходится, так как
/Е 1
/ 1 + 1124 233/2
при іп -› +оо.

466
ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
Пример 5. Интеграл
+оо
СОЅ 113
-Т да;
(Е
1
сходится абсолютно, ибо
при Ш 2 1. Следовательно
+
созаз < 1
1:2 ў
7
оо +оо +00
сова: сова: 1
11: 11: а:
1 1 1
Пример 6.
_ 2 _
сходится, так как є 1” < е 1”
Пример 7 .
расходится, ибо
Интеграл
+оо
Х є_ш2 сіа:
1
при а: > 1 и
+оо +оо
1
/є_“32сІа:< /е_$аіас=Е.
1 1
Интеграл
+оо
111 ат
/ 2
1 1
__. > __
111112 11:
при достаточно больших значениях :1:.
Пример 8. Интеграл Эйлера
сходится, так как
при сс -› +0.
тг/2
/ 111 Ѕіпя: сіш
0
П ІІІШ ~ ПШ і
|І Ѕ' | |1 |< 1
/5

55. нвсовстввнный интвгРАл 467
Пример 9. Эллиптический интеграл
- :1:2)(1- /є2а:2)
о'__
Ъ
›-›
%
при 0 < 1:2 < 1 сходится, поскольку
/(1- ш2)(1 _ мг) ~ ,/2(1- /<2) (1 _ $)1/2
при із -› 1 - 0.
Пример 10. Интеграл
же
Ё
сов 49 - сов ср
сходится, так как
0 -19
/созд -созф = /2зіп%_-Ѕіп% ~ /Ѕіщо(<р -д)1/2
при 0-› <р-О.
Пример 11. Интеграл
Ь `р° 4
т = 2, /- / Ф (7)
9 О /Ѕіпг 5% - зіп23Ё
при 0 < 900 < тг сходится, поскольку при ф -› срд - 0
/Ѕіп2 Ё - Ѕіп2 Ё ~ /Ѕіп 900 (900 - 'ф)1/2. (8)
Соотношение (7) выражает зависимость периода колебаний матема-
тического маятника от его длины Ь и начального угла его отклонения,
отсчитываемого от радиуса, идущего в нижнюю точку траектории ка-
чания. Формула (7) является элементарной вариацией формулы (17)
предыдущего параграфа.
Маятник можно себе представлять, например, как невесомый стер-
жень, один конец которого шарнирно закреплен, а другой, с присоеди-
ненной к нему точечной массой, свободен.

468 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
В таком случае можно говорить о любых начальных углах <р0 Є [0, тг].
При срд = О и 900 = тг маятник качаться вообще не будет, находясь в пер-
вом случае в состоянии устойчивого, а во втором случае в состоянии
неустойчивого равновесия.
Интересно отметить, что из (7) и (8) нетрудно получить, что Т -› оо
при <р0 -› тг - 0, т. е. период колебаний маятника неограниченно растет
по мере приближения его начального положения <р0 к верхнему положе-
нию (неустойчивого) равновесия.
с. Условная сходимость несобственного интеграла
Определение 5. Если несобственный интеграл сходится, но не
абсолютно, то говорят, что он сшодится условно.
Пример 12. Используя замечание 1, по формуле интегрирования
по частям в несобственном интеграле находим, что
+00 +00 +00
віп 1: сов сс +00 сов 11: сов сс
/_@,=-_ _/тяг/Т,,,,
(ІІ Ш тг/2 (ІІ Ш
тг/2 тг/2 тг/2
коль скоро последний интеграл сходится. Но, как мы видели в приме-
ре 5, зтот интеграл сходится, поэтому сходится также интеграл
+оо _
ЅІПҐІІ
тг/2
Вместе с тем интеграл (9) не является абсолютно сходящимся. Дей-
ствительно, при Ь Є [1г/ 2, +оо[ имеем
Ь ° Ь °2 164 16 2
ті С,,,>/вІ1ї,,,,=-/і__/@і,,,,_ (Ю)
ас 1: 2 а: 2 11:
тг/2 *гг/2 тг/2 тг/2
Интеграл
+оо
сов 2:1:
_-- сіш,
11:
тг/2
как можно проверить интегрированием по частям, является сходящим-
ся, поэтому при Ь -› -І-оо разность в правой части соотношения (10)

ё 5. нвоовотввнный интвгРАл 469
стремится к +оо и в силу оценки (10) интеграл (9) не является абсо-
лютно сходящимся.
Приведем теперь один специальный признак сходимости несоб-
ственных интегралов, опирающийся на вторую теорему о среднем и,
значит, в сущности на ту же формулу интегрирования по частям.
Утверждение 4 (признак Абеля -Дирихле сходимости интегра-
ла). Пусть :1: ›-› [(:с), а: ›-› 9(:1:) -функции, определенные на проме-
жутке [а,ш[ и интегрируемые на любом отрезке [а,Ь] С [а,ш[. Пусть
9 -монотонная функция.
Тогда для сссодимости несобственного интеграла
/<і - 9›<«:› «ив <11›
достаточно, чтобы выполнялись либо пара условий
од) интеграл ї 1” да: сшодится,
51) функция уаогранинена на [а,ш[,
либо пара условий
0:2) функция .7(Ь) = да: ограничена на [а,ш[,
32) функция 9(а:) стремится к нулю при 11: -› ш, 1: Є [а,ш[.
4 Для любых Ь1,Ь2 Є [а, ш[ по второй теореме о среднем имеем
52 Є 112
/</~9›<:›:›<1$ -ма /т<Ш›<1«:+9<г›2› / х<«››<1ш,
01 111 Ё
где Є -точка, лежащая между Ь1 и Ь2. Отсюда в силу критерия Коши
(утверждение 2) заключаем, что интеграл (11) действительно сходится,
если выполнена любая из двух указанных выше пар условий. >
3. Несобственные интегралы с несколькими особенностя-
ми. До сих пор мы говорили о несобственных интегралах с одной осо-
бенностью, связанной с неограниченностью функции у одного из пре-
делов интегрирования или с неограниченностью самого этого предела.

470 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
Здесь мы укажем, в каком смысле понимаются другие возможные ва-
рианты несобственного интеграла.
Если оба предела интегрирования являются особенностями того или
другого из указанных выше типов, то полагают по определению
ї](ш)дш:=і](:1:)сі:1:+ї](:в)сі:1:, (12)
где с-произвольная точка промежутка ]ш1,ш2[.
При этом предполагается, что каждый из несобственных интегра-
лов в правой части соотношения (12) сходится. В противном случае
говорят, что интеграл, стоящий в левой части (12), расходится.
В силу замечания 2 и свойства аддитивности несобственного инте-
грала, определение (12) корректно в том смысле, что оно на самом деле
не зависит от выбора точки с Є ]ш1,ш2[.
Пример 13.
1_2 1_2 1_2
__*
Н
Н
ї ,_
зїс,
8
+
ФН
Ё
Н
. 0 . 1 . 1
= агсЅ1па:|_1 + агсЅ1п:1:0 = агсЅ1па:_1 = тг.
Пример 14. Интеграл
+оо
_2
/ешсісв
-оо
называется интєгра./том Эй./пера -Пуассона, а иногда еще и интєгралом
Гаусса. Он, очевидно, сходится в указанном выше смысле. Позже будет
показано, что он равен
Пример 15. Интеграл
+оо
та
/її
О

у Ё5. НЕСОБСТВЕННЬІЙ ИНТЕГРАЛ 471
расходится, поскольку при любом а разойдется по крайней мере один
из двух интегралов
1 +оо
сіа: сіш
/ /Е
0 1
Пример 16. Интеграл
+оо _
/ тд,
1:0
0
сходится, если сходится каждый из интегралов
1 +оо
Ѕіпа: зіпа:
/їаїас, / -Тсіш.
а: гс
0 1
Первый из этих интегралов сходится, если он < 2, ибо
Ѕіпа: 1
її ~ Ё
при Ш -› +0. Второй интеграл сходится при ом > 0, что можно прове-
рить непосредственно интегрированием по частям, аналогичным про-
деланному в примере 12, или сославшись на признак Абеля-Дирихле.
Таким образом, исходный интеграл имеет смысл при 0 < 04 < 2.
В том случае, когда подынтегральная функция не ограничена в
окрестности одной из внутренних точек ш отрезка интегрирования
[а, Ь], полагают
і/”(Ш)<іШ == ]Ґ(Ш) (Ш) 411, (13)
А
&~з
+
ела
Ы»
требуя, чтобы оба стоящих справа интеграла существовали.
Пример 17. В смысле соглашения (13)
1
ії = 4
Мяч

472 ГЛ. /І. ИНТЕГРАЛ
1
(із:
Пример 18. Интеграл Л ї не определен.
Существует и отличное от (13) соглашение о вычислении интеграла
от функции, неограниченной в окрестности внутренней точки ш отрез-
ка интегрирования. А именно, полагают
Ь ш-6 Ь
/.Р.];(1;)<1:ь==дЕ1;;Ь10 і($)<1ш+ / І($)<1$), (14)
ш+б
если стоящий справа предел существует. Этот предел называют, следуя
Коши, интегралом в смысле главного значения и, чтобы отличить опре-
деления (13) и (14), во втором случае перед знаком интеграла ставят
начальные буквы У. Р. французских слов /а1еи1° ргіпсіра1 (главное зна-
чение). В англоязычном варианте используется обозначение Р. У. (от
ргіпсіра1 уа1ие).
В СООТВЄТСТВИИ С ЭТИМ СОГЛЁЪШЄНИЄМ ИМЄЄМ
Пример 19.
1
мг./Ё=0.
а:
-1
Принимается также следующее определение:
+оо В
/.Р. /;(.1±)<1а;;= пт / ;($)а1;. (15)
Н-›+оо
-оо -Н
Пример 20.
+оо
7.Р. / азсіаз = 0.
-оо
Наконец, если на промежутке интегрирования имеется несколько
(конечное число) тех или иных особенностей, лежащих внутри проме-
жутка или совпадающих с его концами, то неособыми точками проме-
жуток разбивают на конечное число таких промежутков, в каждом из
которых имеется только одна особенность, а интеграл вычисляют как
сумму интегралов по отрезкам разбиения.

55. НЕСОБСТВЕННЬІЙ ИНТЕГРАЛ 473
Можно проверить, что результат такого расчета не зависит от про-
извола в выборе разбиения.
Пример 21. Точное определение интегрального логарифма те-
перь можно записать в виде
Фёіе
33 9..
Це.
если 0<ш<1,
1і:1:=
шаг
/`.Р.{Іт, если 1<ш.
В последнем случае символ /. Р. относится к единственной внутрен-
ней для промежутка ]0,:1:] особенности, расположенной в точке 1. Заме-
тим, что в смысле определения (13) этот интеграл не является сходя-
щимся.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что функция
13 _ Ё
а) Ѕіа: = І ЁЁ- сіі (интегральный синус) определена на ІК, нечетна и имеет
О ОІ
предел при а: -+ +оо;
00 .
Ь) Ѕізс = - І їїі сіі определена на К и отличается от функции Ѕіа: только
Ш
на постоянную;
(Ю
с) Сі 1: = - І (%Ё сіі ( интегральный косинус) при достаточно больших зна-
Ш
чениях Ш может вычисляться по приближенной формуле Сіш ш %; оцените
область тех значений, где абсолютная погрешность этого приближения мень-
ше 10_4.
2. Покажите, что
+00 . +00
а) интегралы І щ сієс, І щ сіа: сходятся только при а > 0, причем
1 “З 1 $
сходятся абсолютно только при св > 1;
Ь) интегралы Френелл
Ё ›~
Ь ›-
Ы
С(а:) = _ 05:24: Ѕ 1; = _ 11:24:
являются бесконечно дифференцируемыми функциями в промежутке ]0, +оо[,
причем обе они имеют предел при св -› +оо.
3. Покажите, что

474 ГЛ. /`І. ИНТЕГРАЛ
а) эллиптический интеграл первого рода
Р(І9›<р) :
аг
О ×/(1 -±2><1 - ×«2±2›
Щ Ю*
определен при 0< Іє < 1,0 < < -
'Ѕ
и приводится к виду
сіф _
1_2 2
Р(/МР) =
1
І: Ѕ1п
Ь) полный эллиптический интеграл первого рода
тг/2
со
КИ 2 / ,/тм
0
неограниченно возрастает при Іс -› 1 - О.
4. Покажите, что
а) интегральная показательная функция (интегральная экспонєнта)
ї” ъ
= І Ёд- (115 определена и бесконечно дифференцируема при 1: < 0;
-оо
Ь) -Еі(-аз) = %:в- (1- Ё + -...+(-1)% +о(Ё)) при 11:-› +оо;
°° 1
с) ряд 2 (-1)% не сходится ни при каком значении ап Є К;
п=0
(1) Ііа: ~ Ё при ш -› +0. (Определение интегрального логарифма Ііа: см.
в примере 21.)
5. Покажите, что
І
, _ 2
а) функция Р`1(:в) = Ё І е Ё сіі, называемая интегралом вероятности
-а:
ошибок и часто обозначаемая символом егї (от англ. еггог ї11псЪіоп-функ-
ция ошибок), определена, нечетна, бесконечно дифференцируема на К и имеет
предел при а: -› +оо;
Ь) если упомянутый в а) предел равен единице (а это так), то
ём
егї = -
Щ
СБ
при а: -› +оо.
6. Покажите, что:
а) Если тяжелая частица под действием силы тяжести скользит вдоль кр -
вой, заданной в параметрическом виде 11: = а:(д), у = 3/(0), причем в момент
_,2 _ 2 _2 1 1 1-з 1~з-5 1
1:7
4*-*тв Ф (2$'22$з+2з$Ь-32ї+° _

55. нвсовстввнный интвгРАл 475
± = О частица имела нулевую скорость и находилась в точке 5130 = :1:(00),
уо = 3/(190), то между параметром 0, определяющим точку на кривой, и мо-
ментом ії прохождения частицей этой точки имеется связь (см. формулу (15)
из Ё4) 0
_ (т'(д)) ))2
±_±// 2у(у<›- ад”
в которой несобственный интеграл заведомо сходится, если 3/'(90) 75 О (знак
выбирается в зависимости от того, имеют ли 15 и 49 одинаковый или противо-
положный характер монотонности, причем если росту Ъ отвечает рост 0, то,
разумеется, следует брать знак плюс).
Ь) Период колебания частицы в ямке, имеющей профиль циклоиды
ю
+
×-
*ЁЁ
5%
ш = Н(9 + тг + Ѕіпд),
_ Іді Ѕ тг,
у _ -В(1 + созд),
не зависит от уровня уо = -В(1 + сов 00), с которого она начинает скольжение,
и равен 4тг/В/9 (см. задачу 4 из Ё4).

ГЛАВА /'ІІ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ,
ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ
До сих пор мы рассматривали почти исключительно числовые функции
сс ›-› 1” (:1:), в которых число 1” определялось заданием одного числа 11:
из области определения функции.
Однако многие величины, представляющие интерес, зависят не от
одного, а от очень многих факторов, и еели сама величина и каждый
из определяющих ее факторов могут быть охарактеризованы некото-
рым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядо-
ченному набору (:1:1, . . . ,:в) чисел, каждое из которых описывает со-
стояние соответствующего фактора, ставится в соответствие значение
у = 1”(ш1,... ,:1:”) исследуемой величины, которое она приобретает при
этом состоянии определяющих величину факторов.
Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его
сторон; объем данного количества газа вычисляется по формуле
1/-ВЁ
Р,
где В-постоянная, т ~масса, Т -абсолютная температура и р-
давление газа. Таким образом, значение У зависит от переменной упо-
рядоченной тройки чисел (т,Т,р) или, как говорят, У есть функция
трех переменных т, Т и р.
Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих пе-
ременных так же, как мы научились исследовать функции одного пе-
ременного.

221. ПРОСТРАНСТВО Вт И КЛАОСЬІ ЕГО ПОДМНОЖЕОТВ 477
Как и в случае функций одного переменного, изучение функций
многих числовых переменных начинается с описания их области опре-
деления.
25, 1. Пространство Кт и важнейшие классы
его подмножеств
1. Множество Кт и расстояние в нем. Условимся через Вт
обозначать множество всех упорядоченных наборов (:1:1, . . . ,:с”), состо-
ящих из т действительных чисел ті Є К = 1,. . . ,т).
Каждый такой набор будем обозначать одной буквой 11: = (:1с1, . . . ,а:т)
и в соответствии с удобной геометрической терминологией называть
точкой множества Кт. Число :1:і в наборе (:с1, . . . ,:с) называют 11-й ко-
ординатой точки Ш = (агї, _ . . ,а:т).
Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множест-
ве К” расстояние между точками :с1 = (агф, . . . ,:1:'і'), :с2 = (:1:_%,. . . ,:1:Ь)
по формуле
ЗМЗ
д(:в1,:в2) = - (1)
Функция
сі: Кт × Вт -› К,
определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойства-
ми:
9,958,
Ё.,/-
9..
:1:1,г1г2) 2 0;
І1?1›Ш2) = 0) <=> (1111 = 222);
і131,І172) = (1(І132,З31);
.'131,ЅІІ3) < (ІІІ1,ІІІ2) + Ё(ІІІ2,ЅС3).
Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической ана-
логии нєравенством треугольника) есть частный случай неравенства
Минковского (см. гл. /, Ё4, п. 2).
Функцию, определенную на парах (:1:1, 4132) точек некоторого множе-
ства Х и обладающую свойствами а), Ь), с), (1), называют метрикой
или расстоянием в Х.
Множество Х вместе с фиксированной в нем метрикой называют
мєтричєским пространством.

478 ГЛ. /ІІ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
Таким образом, мы превратили Ш в метрическое пространство,
наделив множество Шёт метрикой, заданной соотношением ( 1).
Сведения о произвольных метрических пространствах читатель
сможет получить в главе ІХ (часть ІІ). Здесь же мы не хотим отвле-
каться от необходимого нам сейчас конкретного метрического прост-
ранства Кт.
Поскольку в этой главе множество Кт с метрикой (1) будет для
нас единственным метрическим пространством, составляющим объект
изучения, то общее определение метрического пространства нам по су-
ществу пока не нужно. Оно приведено только для пояснения употре-
бляемого по отношению к множеству Кт термина «пространство» и по
отношению к функции (1) термина «метрика››.
Из соотношения (1) следует, что при 11 Є {1, _ . . ,т}
<сІ(:и1,:1:2)</Ё щах |:вЁ-ты, (2)
1<ъ<т
т.е. расстояние между точками а:1,:с2 Є Ш мало в том и только в
том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты зтих
точек.
Из (2), как и из (1), видно, что при т = 1 множество К1 совпадает
с множеством действительных чисел, расстояние между точками кото-
рого измеряется стандартным образом посредством модуля разности
чисел.
2. Открытые и замкнутые множества в КТ
Определение 1. При 5 > О множество
В(а,;б) = {а: Є Кт |с1(а,:с) < б}
называется шаром с центром а Є Кт радиуса 5 или также б-ок:рєстно-
стью точки а Є Ет.
Определение 2. Множество Є СШ называется открытым в Ш,
если для любой точки ш Є Є найдется шар В(а:; 6) такой, что В (:1:; 5) С Є.
Пример 1. К” -- открытое множество в Вт.
Пример 2. Пустое множество И вообще не содержит точек и по-
тому может считаться удовлетворяющим определению 2, т.е. И -от-
крытое множество в Кт.

ЁІ. ПРОСТРАНСТВО ПГ И КЛАОСЫ ЕГО ПОДМНОЖЕОТВ 479
Пример 3. Шар В (а; т) -открытое множество в Ш.
Действительно, если сс Є В(а;т'), т. е. д(а,а:) < 1, то при О < 5 <
< т* - сі(а,а:) будет В(:с; 5) С В(а;т), поскольку
Ее
(Є Є В(т;5)) =>( (ті) < 5) =>
=> а,{) < д(а,:1:)+ д(а:,{) < сі(а,а:) + 'г - сі(а,:в) = 1*).
Пример 4. Множество Є = {:1: Є Ш | д(а,ш) > т*}, т. е. совокуп-
ность точек, удаленных от фиксированной точки а Є К” на расстояние,
большее чем т, является открытым, что, как и в примере 3, легко про-
верить, используя неравенство треугольника для метрики.
Определение 3. Множество Р С Вт называется замкнутым
в КГ, если его дополнение Є = КТ 1-7` в Вт является множеством, от-
крытым в КТ.
Пример 5. Множество В(а;1') = {$ Є Кт | д(а,:с) < т}, т 2 0,
т. е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки а Є Ш”
не больше чем на 1*, является замкнутым, что следует из определения 3 и
примера 4. Множество Ё(а; 1*) называют замкнутым шаром с центром
а радиуса 'г.
Утверждение 1. а) Объединение Ц Са множеств любой систе-
аЄА
мы {Єа, св Є А} множеств, открытыа: в Кт, является множеством,
открытым в Ш .
п
Ь) Пересечение П Є, конечного числа множеств, открытыа: в Ш,
і=1
является множеством, открытым в Ш.
а') Пересечение Г] Ра множеств любой системы {Ра, ск Є А} мно-
аЄА
жеств Ра, замкнутыа: в Кт, является множеством, замкнутым в Ш.
'П
Ь') Объединение Ц Р, конечного числа множеств Е, замкнутыа:
1:1
в Кт, является множеством, замкнутым в КТ.
4 а) Если ш Є Ы Єа, то найдется такое от Є А, что а: Є Єао,
аЄА
и, следовательно, найдется такая 6-окрестность В (а:;б) точки сс, что
В(:1:;б) С Єао. Значит, В(:с;б) С Ц Єа.
аЄА
'П
Ь) Пусть сс Є П Єі. Тогда а: Є Є, = 1,...,п). Пусть б1,...,бп-
1
12:

480 ГЛ. /ІІ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
такие положительные числа, что В(а:;бі) С Є, = 1,... ,н). Полагая
'П
5 = ші11{б1,...,бп}, очевидно, получим, что 5 > 0 и В(:1:;б) С П Єі.
і=1
а') Покажем, что множество С ( П Ра), дополнительное к П Ра
аЄА аЄА
в Ш, является открытым подмножеством Кт.
Действительно,
с(а@Аа) = ы<с1~ъ›= ы са,
аЄА аЄА
где Єа = СЕО, открыты в Кт. Теперь а') следует из а).
Ь') Аналогично, из Ь) получаем
П 'П 'П
<г(ы = п<са›= п са. ›
1:1 1:1 1:1
Пример 6. Множество Ѕ(а,;т) = {а: Є Шіт | сІ(а,а:) = т}, т 2 0,
называется сферой с центром а Є Кт радиуса т. Дополнение к Ѕ(а;т)
в Кт в силу примеров 3 и 4 является объединением открытых множеств.
Значит, в силу доказанного утверждения оно открыто, а сфера Ѕ(а; 'г)
есть замкнутое подмножество Кт.
Определение 4. Открытое в Ш множество, содержащее данную
точку, называется онрестностью этой точки в Кт.
В частности, как следует из примера 3, 5-окрестность точки явля-
ется ее окрестностью.
Определение 5. Точка ш Є К” по отношению к множеству Е С
С Кт называется
внутренней точной Е, если она содержится в Е вместе с некоторой
своей окрестностью;
внешней тонкой Е, если она является внутренней точкой дополне-
ния к Е в Вт;
граничной точной Е, если она не является ни внешней, ни внутрен-
ней точкой множества Е.
Из этого определения следует, что характеристическое свойство
граничной точки множества состоит в том, что в любой ее окрестности
имеются как точки этого множества, так и точки, ему не принадлежа-
щие.

51. ПРОСТРАНСТВО Вт И КЛАССЬІ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ 481
Пример 7. Сфера Ѕ(а; т), т > 0, является множеством граничных
точек как открытого шара В(а; 1*), так и замкнутого шара В(а,; т).
Пример 8. Точка а Є Вт является граничной точкой множества
Ш 0,, которое не имеет внешних точек.
Пример 9. Все точки сферы Ѕ(а; г) являются ее граничными точ-
ками; внутренних точек множество Ѕ(а;1°) как подмножество Ш не
имеет.
Определение 6. Точка а Є КТ называется предельной точкой
множества Е С КТ, если для любой окрестности О(а) точки а пере-
сечение Е Г1 О(а) есть бесконечное множество.
Определение 7. Объединение множества Е и всех его предель-
ных точек из Ш называется замыканивм множества Е в Кт.
Замыкание множества Е обычно обозначают символом Е.
Пример 10. Множество В(а;'г) = В(а,;*г) О Ѕ(а,;1~) есть множест-
во предельных точек для открытого шара В(а;'г), поэтому В(а;т), в
отличие от В(а;1^), и назвали замкнутым шаром.
Пример 11. Ѕ(а;т) = Ѕ(а;т).
Вместо того чтобы обосновывать последнее равенство, докажем
следующее полезное
Утверждение 2. (Е замкнуто в 1К)<=>(Е =Е в Кт).
Иными словами, Е -замкнутое в Ш множество тогда и только
тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
4 Пусть Е замкнуто в Кт, 11: Є Кт и 11: 9Ё Е. Тогда открытое множе-
ство Є = 1К”'*Е является окрестностью точки 1:, вообще не содержащей
точек множества Е. Таким образом, показано, что если из $ Р, то 11:-
не предельная точка Е.
Пусть Е = Е. Проверим, что множество Є = Вт Е открыто в КТ.
Если із Є Є, то из Є Е и потому из не является предельной точкой мно-
жества Е. Значит, найдется окрестность точки :1:, в которой имеется
только конечное число точек 2:1, . . . ,тп множества Е. Поскольку 11: Є Е,
то можно построить, например, шаровые окрестности О1(а:), _ . . , Оп(:1:)
'П
точки а: так, что 113, 62 Тогда О(а:) = П будет откры-
1І=1

482 ГЛ. /`П. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
той окрестностью точки 1:, которая вообще не содержит точек Р, т. е.
О(аз) С К” Р и, следовательно, множество Ет Р = Ш” 1-7” открыто,
т. е. Р замкнуто в Ш. >
3. Компакты в Кт
Определение 8. Множество К С Ш называется компактом ес
7 _.
ли из любого покрытия К множествами, открытыми в Кт, можно вы-
делить конечное покрытие.
Пример 12. Отрезок [а,Ь] С К1 является компактом в ІК1 в силу
леммы о конечном покрытии.
Пример 13. Обобщением отрезка в Ш является множество
І={а:ЄІКт |аі<а:і<Ьі, і=1,...,т,},
которое называется т-мерным промежуткам, т-мерным брусом или
т-мернь1м параллелепипедом.
Покажем, что І -компакт в Ш.
4 Предположим, что из некоторого открытого покрытия І нельзя
выделить конечное покрытие. Разделив каждый из координатных от-
резков Іі = Є В | аі < ті < Ь“3} = 1,...,т) пополам, мы разо-
бьем промежуток І на 2 промежутков, из которых по крайней мере
один не допускает конечного покрытия множествами нашей системы.
С ним поступим так же, как и с исходным промежутком. Продолжая
зтот процесс деления, получим последовательность вложенных проме-
жутков І = 11 Э І2 Э Э Іп Э ..., ни один из которых не до-
пускает конечного покрытия. Если Іп = {а: Є КТ” | аў, < 1:* < 62,,
і = 1,...,т}, то при каждом і Є {1,...,т} координатные отрезки
аў, < азі < 62, (п = 1, 2, . . образуют, по построению, систему вложен-
ных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Найдя при каждом
і Є {1, . . . ,т} точку Ё Є [а,Ё,,ЬЁ,], общую для всех этих отрезков, по-
лучим точку Є = ($1,... ,{'), принадлежащую всем промежуткам І =
= І1,І2, . . . ,Іп, _ .. Поскольку Є Є І, то найдется такое открытое мно-
жество Є нашей системы покрывающих множеств, что Є Є Є. Тогда
при некотором 5 > 0 также В({; 5) С Є. Но по построению в силу соот-
ношения (2) найдется номер П такой, что Іп С В({; 5) С Є при п > 1ї,
и мы вступаем в противоречие с тем, что промежутки Іп не допускают
конечного покрытия множествами данной системы. Ь

121. ПРОСТРАНСТВО Вт И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ 483
Утверждение 3. Если К -компакт е Вт, то
а) К -замннутое множество е Кт;
Ь) любое замннутое в К” множество, содержащееся в К, само
является номпантом.
4 а) Покажем, что любая точка а Є Вт, предельная для К, при-
надлежит К. Пусть а ЄЁ К. Для каждой точки 11: Є К построим такую
окрестность Є(а:), что точка а обладает окрестностью, не имеющей с
Є общих точек. Совокупность {Є єв Є К, всех таких окрестно-
стей образует открытое покрытие компакта К, из которого выделяется
конечное покрытие Є (1121), . . . ,Є Если теперь О,;(а) _ такая окрест-
'П
ность точки 0,, что П О,;(а) = И, то множество О(а) = П О,(а,)
і=1
также является окрестностью точки а, причем, очевидно, К ПО(а) = И.
Таким образом, а не может быть предельной точкой для К.
Ь) Пусть Р-замкнутое в Кт множество и Р С К. Пусть {Єа},
а Є А, _покрытие Р множествами, открытыми в Ш. Присоединив
к нему еще одно открытое множество Є = Ш Р, получим откры-
тое покрытие Ш и, в частности, К, из которого извлекаем конечное
покрытие К. Это конечное покрытие К будет покрывать также мно-
жество Р. Замечая, что С П Р = И, можно сказать, что если Є входит
в это конечное покрытие, то, даже удалив Є, мы получим конечное
покрытие Р множествами исходной системы {Є'а}, 0: Є А. Ь
Определение 9. Диаметром множества Е С КТ называется ве-
личина
сі(Е):= Ѕир сі(а:1,:в2).
$1›$2€Е
Определение 10. Множество Е С Ш называется ограниченным,
если его диаметр конечен.
Утверждение 4. Если К -номпант е Кт, то К -ограничен-
ное подмножестео Кт.
4 Возьмем произвольную точку а Є Ш и рассмотрим последова-
тельность шаров {В(а; п)} (п = 1, 2, . . . Они образуют открытое по-
крытие ІШ, а следовательно, и К. Если бы К не было ограниченным
множеством, то из этого покрытия нельзя было бы извлечь конечное
покрытие К. Ь

484 ГЛ. /П. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
Утверждение 5. Множество К С Кт является номнантом в
том и только в том случае, если К замкнуто и ограничено в Кт.
4 Необходимость этих условий нами уже показана в утверждениях
3 и 4.
Проверим достаточность этих условий. Поскольку К -ограничен-
ное множество, то найдется т-мерный промежуток І, содержащий К.
Как было показано в примере 13, І является компактом в Кт. Но если
К -замкнутое множество, содержащееся в компакте І, то по утвер-
ждению ЗЬ) оно само является компактом. Ь
Задачи и упражнения
1. Расстоянием сІ(Е1,Е2) между множествами Е1,Е2 С Вт называется
величина
д(Е1,Е2) .-- $1ЄЕ11Пї2ЄЕ2 д(2ІІ1, (172).
Приведите пример замкнутых в Кт множеств Е1, Е2 без общих точек, для
которых сі(Е1,Е2) = 0.
2. Покажите, что
а) замыкание Ё в Вт любого множества Е С КТ является множеством
замкнутым в Вт;
Ь) множество дЕ граничных точек любого множества Е С Кт является
замкнутым множеством;
с) если Є -открытое множество в Вт, а Р замкнуто в Вт, то Є Р-
открытое подмножество Шїт.
3. Покажите, что если К1 Э К2 Э Э КП Э -последовательность
7
ОО
вложенных компактов, то П К, 56 И.
1,=1
4. а) В пространстве ПК* двумерная сфера Ѕ2 и окружность Ѕ1 расположи-
лись так, что расстояние от любой точки сферы до любой точки окружности
одно и то же. Может ли такое быть?
Ь) Рассмотрите задачу а) для произвольных по размерности сфер Ѕт, Ѕ
в 1К'°. При каком соотношении между т, п и Іс описанная ситуация возможна?
Ё 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
1. Предел функции. В главе ІП мы подробно изучили операцию
предельного перехода для вещественнозначных функций 1” : Х -+ К,
определенных на множестве Х, в котором фиксирована база В.
В ближайших параграфах нам предстоит рассматривать функции
1” : Х -› К, определенные на подмножествах пространства Кт, со зна-

Ё2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 485
чениями в К = К1 или вообще в К, п Є М. Мы сде.лаем сейчас ряд
добавлений к теории предела, связанных со спецификой этого класса
функций.
Начнем, однако, с общего основного определения.
Определение 1. Точка А Є К” называется пределом отображе-
ния 1” : Х -› К по базе В в Х, если для любой окрестности ї/(А) этой
точки найдется элемент В Є В базы В , образ которого І (В) содержится
в ї/(А).
Короче,
(1іЁь;($) = А) == (Щ/(А) вв е в (дв) с 1/(А))).
Мы видим, что определение предела функции І : Х -› К полностью
совпадает с определением предела функции 1” : Х -› К, если мы пред-
ставляем себе, что такое окрестность 1/(А) точки А Є К для любого
п Є М
Определение 2. Отображение І : Х -› К” называется ограничен-
ным, если множество ](Х) С К ограничено в Е.
Определение З. Пусть В~база в множестве Х. Отображение
І : Х -+ К называется финально ограниченным при базе В, если най-
дется элемент В базы В, на котором 1” ограничено.
Учитывая эти определения, нетрудно проверить теми же рассужде-
ниями, которые мы провели в главе ІП, что
функция І: Х -› К” может иметь не более одного предела по дан-
ной базе В в Х;
функция 1” : Х -+ Кп, имеющая предел по базе В, финально ограни-
чена при этой базе В.
Определение 1 можно переписать также в иной форме, явно исполь-
зующей наличие в К метрики. А именно,
Определение 1' .
(11Ёп1(Ш>= А Є ла) -- (/Є > о вв е в на Є в (а(;(;.;),А) < 5))

486 ГЛ. /П. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
Определение 1” .
(1іЁ_п;($) = А Є пап) == (11Ёпа(і($),А) = 0).
Специфическая особенность отображения 1” : Х -› К состоит в
том, что поскольку точка у Є К есть упорядоченный набор (у1, . . . ,у)
из п вещественных чисел, то задание функции І : Х -› К” равносильно
заданию п вещественнозначных функций Ґ: Х -› Е = 1,... ,п), где
_;“(а:) = у* = 1,...,п).
Если А = (А1,. . . ,А) и у = (у1,. . . ,у), то справедливы неравен-
ства
Іг/ ~ АЧ < <1(у,А) < ×/Б Шах Іу* - АЧ, (1)
1<2$п
из которых видно, что
1іІ1;п1°(:1:)=А<=>1іЁ_г11:(а:)=Аі (і= 1,...,п), (2)
т. е. сходимость в К покоординатная.
Пусть теперь Х = ІІ-множество натуральных чисел, а В -база
Іє -› оо, /с Є М в нем. Функция І : Ш -› К в данном случае есть после-
довательность {у;,}, /є Є М, точек пространства ІК.
Определение 4. Последовательность {у;,}, І: Є М, точек уд Є К
называется фундаментальной, если для любого є > 0 найдется такое
число 1/' Є ІЧ, что при любых 1:1, /с2 > 1/ выполнено с1(у;,,,у;,2) < Є.
Из неравенств (1) можно заключить, что последовательность то-
чек уд = (3/Ё, . . . ,у2) Є К фундаментальна тогда и только тогда, ко-
гда фундаментальна каждая из последовательностей {у}с}, /є Є Ш, і =
= 1, . . . ,п, их одноименных координат.
Учитывая соотношение (2) и критерий Коши для числовых последо-
вательностей, можно теперь утверждать, что последовательность то-
чек в К сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Иными словами, критерий Коши справедлив и в пространстве К.
Впоследствии метрические пространства, в которых каждая фун-
даментальная последовательность имеет предел, мы назовем полными
метрическими пространствами. Таким образом, мы сейчас установили,
что К при любом п Є Ш является полным метрическим пространством.

Ё2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 487
Определение 5. Колебанием функции І : Х -› К на множестве
Е С Х называется величина
Ш(і;Е) == <і(1°(Е)),
где д([ -диаметр множества І
Как видно, это есть прямое обобщение определения колебания ве-
щественнозначной функции, в которое определение 5 и переходит при
п = 1.
С полнотой К связано то, что для функций І : Х -› ПЧ со зна-
чениями в К справедлив следующий критерий Коши существования
предела.
Теорема 1. Пусть Х -множество, В -база в Х. Функция 1” :
Х -› К имеет предел по базе В в том и только в том случае, когда
для любого числа Є > 0 найдется элемент В Є В базы, на котором
колебание функции меньше е.
Итак,
31іЁт1і(а;) «:>/є > 0 ЕІВ Є В (ш(і;В) < г).
Доказательство теоремы 1 дословно повторяет доказательство кри-
терия Коши для числовых функций (гл. ІП, Ё2, теорема 4) С единствен-
ным изменением, сводящимся к тому, что теперь вместо | І (а:1) - 1”
следует всюду писать д( [(:в1), І
В справедливости теоремы 1 можно убедиться и иначе, если счи-
тать известным критерий Коши для вещественнозначных функций и
воспользоваться соотношениями (2) и
Для функций со значениями в К остается в силе также важная
теорема о пределе композиции.
Теорема 2. Пусть У -множество, Ву - база в У, 9: У -› К _
отображение, имеющее предел по базе Ву.
Пусть Х -множество, ВХ -база в Х, /: Х -› У -такое ото-
бражение Х в У, что для любого элемента Ву Є Ву базы Ву найдется
элемент ВХ Є ВХ базы ВХ, образ которого [(ВХ) содержится в Ву.
При этиа: условияа: композиция 9 о 1*: Х -› К отображений 1” и 9
определена, имеет предел по базе ВХ и
%1;1(9 О і)(Ш) =1Ё,И9(у)-

488 ГЛ. /ІІ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
Доказательство теоремы 2 можно провести, либо повторив доказа-
тельство теоремы 5 из Ё 2 гл. ПІ, с заменой там К на К, либо сослаться
на указанную теорему и воспользоваться соотношением
До сих пор мы рассматривали функции 1” : Х -› К со значениями
в К, никак не конкретизируя область их определения Х. В дальнейшем
нас прежде всего будет интересовать случай, когда Х есть подмноже-
ство пространства Ш.
Условимся, что, как и прежде,
І/'(а,) -окрестность точки а Є Кт;
О О
П(а) -проколотая окрестность точки а Є Вт, т. е. І/`(а) := П(а) а;
Ґ/'Е(а) -окрестность точки а в множестве Е С Вт, т.е. Ґ/'Е(а,) :=
Е П Е1(а);
ПЕ(а) -проколотая окрестность точки а в множестве Е, т. е.
О О
ПЕ(а) := Е Й П(а);
11: -› а-база проколотых окрестностей точки а в Кт;
ат -+ оо-база окрестностей бесконечности, т. е. база, состоящая
из множеств Кт В(а; т);
а: -› а, Ш Є Е, или (Е Э сс -› а) _база проколотых окрестностей
точки а в множестве Е, если а,-предельная точка для Е;
11: -› оо, а: Є Е, или (Е Э а: -› оо) -база окрестностей бесконеч-
ности в множестве Е, состоящая из множеств Е В(а,;т), если Е-
неограниченное множество.
В соответствии с этими обозначениями можно, например, дать сле-
дующие конкретизации определения 1 предела функции, если речь идет
о функции 1” : Е -› К, отображающей множество Е С Кт в 1К:
( 1іп1 [(112) = А) := (`</Є > 0 ЁП}Е(а) Чи: Є д'Е(а) (сі(]($) А) <
ЕЭ:с-›а, ,
Это же можно записать и иначе:
ЕЭ:в-›а
< Ііш ](:1:)=А) :=
= (`</Є>0 3б>0 7'а:ЄЕ (0<сі($,а) <б=>сі(]`(а:),А) <є)).
Здесь подразумевается, что расстояния сі(а:, а) и с1([ (сс), А) измеряются
в тех пространствах (Вт и 1К), в которых лежат указанные точки.

52. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 489
Наконец,
= А) :- (`ї/Є > 0 Ё|В(а;т) `7'а: Є 1КтВ(а;'г) (сі(]`(а:),А) <
Условимся также, что запись «І -› оо при базе В» в случае ото-
бражения ] : Х _› К всегда будет означать, что для любого шара
В(А;т') С К” найдется элемент В Є В базы В такой, что С
С К В(А; 'г).
Пример 1. Пусть из ›-› -отображение тгі: Кт -› К, состо-
ящее в том, что каждой точке ш = (:с1,.. . ,а:т) пространства Вт ста-
вится в соответствие ее і-я координата 1131. Итак,
= азі.
Если а = ((11, . . . ,ат), то, очевидно,
-› аі при 11: -› а.
Функция из ›-› тг'(а:) не стремится ни к конечной величине, ни к
бесконечности при :1: -› оо, если т > 1.
Вместе с тем
Ч-.
/`
ў/
8
МЗ
Ґ5
Э.
/5
#1
_/
ю
:1:= тгаз -›оо при 11:-›оо.
Не следует думать, что предел функции нескольких переменных
можно найти, вычисляя последовательно пределы по каждой из коор-
динат. В этом можно убедиться на следующих примерах.
Пример 2. Пусть функция І : К2 -› К в точке (аду) Є ІК2 опреде-
лена так:
Ґ( ) , если $2+у2 #0,
1:, у =
0, если 1122 + у2 = 0.
тогда ту) = і<$,0› = 0, а і<«:,:›:› = Ё при Ш # 0.
Таким образом, эта функция не имеет предела при (гс, у) -› (0, 0).
Вместе с тем
55% ;т%і<ш,у>) = ;т;,<0› = 0,
Ііш (Пт [(а:,у)) = 1іп1(0) = 0.
гс-+0 у-+0 а:-›0

490 ГЛ. УП. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
Пример 3. Для функции
і( ) , если а:2+у27Є0,
93,2/ =
0, если 1:2 + 3/2 = 0,
ИМЄЄМ
Н
по
33215 Ґ($›3/)) = =1›
2
1іп1(Ііп1]`(а:,у)) = Ііш = -1.
у-›0 а:-+0 у-›0
Пример 4. Для функции
:с+узіп%, если а:7ё0,
О, если ас=0,
і(11>,з/)={
ИМЄЄМ
1° = 0
(Щ/›5›ТЁо,0› Ю” у) ”
Ііш (Ііш [(:в,у)) = 0,
сс-›0 у-›0
и в то же время повторный предел
1іп1 (Ііпп ]`(а:, у))
у-›0 а:-›0
вообще не существует.
Пример 5. Функция
іїї-, если :п2 + 3/2 75 0,
і(т/) = “+1/2
0, если :1:2 + у2 = 0,
имеет нулевой предел при стремлении к началу координат по любому
лучу а: = аі, у = Ш. 1
Вместе с тем функция равна 5 в любой точке вида (а, а2), где а 55 0,
поэтому функция не имеет предела при (аг, у) -› (0, 0).

Ё2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 491
2. Непрерывность функции многих переменных и свойства
непрерывных функций. Пусть Е-множество в пространстве Кт
и 1” : Е -› К” -определенная на нем функция со значениями в прост-
ранстве К.
Определение 6. Функция І: Е -› К называется непрерывной
в точке а Є Е, если для любой окрестности У( 1” (а)) значения [(а,)
этой функции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрест-
ность І/Е(а,) точки а в множестве Е, образ которой 1” (І/'Е(а)) содер-
жится в У(]`(а)).
Итак,
(І: Е -› К непрерывна в а Є Е) :=
= (×/У<і<«»›› зима) <1<иЕ<а›› с 1/<і<а›››).
Мы видим, что по форме определение 6 совпадает со знакомым нам
определением 1 непрерывности вещественнозначной функции, приве-
денным в ё1 гл. ІУ. Как и там, мы можем дать следующие вариации
записи этого определения:
(І: Е-НК непрерывнаваЄЕ) :=
= (1є > 0 35 > 0 `ч':1: Є Е (сі(:1:,а,) < 5 =>сі([(ас),](а,)) < є)),
или, если а-предельная точка множества Е,
ЕЭа:-›а,
(/: Е -› К” непрерывна в 0, Є Е) :=( Ііш ](:1з) = І(а)).
Как уже отмечалось в главе ІУ, понятие непрерывности предста-
вляет интерес именно в том случае, когда речь идет о точке а Є Е,
предельной для множества Е, на котором определена функция І.
Из определения 6 и соотношения (2) следует, что отображение
1*: Е -› К, задаваемое соотношением
(Ш1,---,т') =11г*і>з/=(г/1,---,з/) =
=(і1(1=1,...,Ш''),...,і(<111,~~,гг”*)),
непрерывно в некоторой точке в том и только в том случае, когда
каждая из функций у” = ['(:в1, . . . ,:1:) непрерывна в этой точке.

492 ГЛ. УП. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
В частности, вспомним, что путем в К мы назвали отображение
1” : І -› К промежутка І С К, задаваемое непрерывными функциями
]°1(:1:),...,](:1:) в виде
Ш '-> 2/ = (91,---,г/') = (1°1(Ш)›---›і(Ш))-
Таким образом, мы теперь можем сказать, что путь в К есть не-
прерывное отображение промежутка І С К вещественной оси в прост-
ранство 1К”.
По аналогии с определением колебания вещественнозначной функ-
ции в точке, вводится понятие колебания в точке функции со значени-
ями в К.
Пусть Е-множество в Ш, а Є Е и ВЕ(а; 1*) = Е П В(а;т).
Определение 7. Колебанием функции 1” : Е -› К в точке а Є Е
называется величина
Ш(і;@) == 1_Ё;5:0Ш(і;Вв(а;Т))-
Из определения 6 непрерывности функции, с учетом свойств предела
и критерия Коши, получаем совокупность часто используемых локаль-
ных свойств непрерывных функций. Перечислим эти
Локальные свойства непрерывных функций
а) Отображение І: Е -› К множества Е С ІКТ непрерывно в
точке а Є Е тогда и только тогда, когда ш(_і; а) = 0.
Ь) Отображение І: Е -› Ш, непрерывное в точке а Є Е, ограни-
чено в некоторой окрестности І/`Е(а) этой точки.
с) Если отображение 9: У -› К” множества У С К непрерывно в
точке уд Є У, а отображение І: Х -› У множества Х С К” непре-
рывно в точке то Є Х, причем [(1120) = уд, то определено отображение
9 о 1*: Х -› К” и оно непрерывно в точке 1120 Є Х.
Вещественнозначные функции, кроме того, обладают еще следую-
щими свойствами.
(1) Если функция /: Е -› К непрерывна в точке а Є Е и ]'(а) > О
(или]`(а) < 0), то найдется такая окрестность ПЕ(а) точки а в Е,
что для а: Є І/'Е(а) справедливо ](:1:) > 0 (соответственно, [(а:) < 0).

Ё2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 493
е) Если функиии 1*: Е -› К и 9: Е -+ ІК непрерывны в точке а Є Е,
то иа: линейная комбинация, (огі + Ву): Е -+ К, еде а, В Є К, произве-
дение (І-9): Е -› К, а если 9(:в) 74 0 на Е, то и частное : Е -› К,
определены на Е и непрерывны в точке а Є Е.
Условимся говорить, что функция 1” : Е -› К” непрерывна на мно-
жестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Множество функций І : Е -› К, непрерывных на Е, будем обо-
значать символом С'(Е; ІК'') или символом С (Е), если область значений
функций однозначно определяется по контексту; как правило, это со-
кращение будет использоваться в случае, когда К = К.
Пример 6. Функции (:с1,. . . ,а:т) ›і› ті = 1,. . . ,т), отобража-
ющие Ш на К (проекции), очевидно, непрерывны в любой точке а =
= (а1,...,ат) Є Вт, ибо Ііш тг”(:с) = а” = 1г'(а).
12-›(1›
Пример 7. Любую функцию из ›-› І (113), определенную на ІК, на-
. 17
пример ш 1-› Ѕшаз, можно рассматривать и как функцию (113, у) ›-› 1 (112),
определенную, положим, на ІК2. В таком случае, если І была непрерывна
как функция на ІК, новая функция (аг, у) ›-};› 1” будет непрерывна как
функция на ІК2. Это можно проверить либо непосредственно по опреде-
лению непрерывности, либо заметить, что функция Е есть композиция
(І 0 тг1)(:1:,у) непрерывных функций.
В частности, отсюда с учетом с) И е) следует, что, например, функ-
ции
1'(Ш,у)= Ѕїтг + ету, 1(т,у) = г›1`<1#е(111(ІШІ + ІуІ +1))
непрерывны на ІК2.
Заметим, что проведенные рассуждения по существу своему локаль-
ны, а то, что в примере 7 функции І и Е рассматривались соответ-
ственно на всей оси К или плоскости ІК2, является обстоятельством
случайным.
Пример 8. Функция І (гс, у) из примера 2 непрерывна в любой
точке пространства К2, кроме точки (0, 0). Заметим, что, несмотря на
разрывность функции І (111, у) в точке (0, 0), эта функция непрерывна по
любой из двух своих переменных при каждом фиксированном значении
другой переменной.

494 ГЛ. /ІІ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
Приьїер 9. Если функция 1” : Е -› ІК непрерывна на множест-
ве Е, а Е -подмножество Е, то ограничение ]'|Ё функции 1” на это
подмножество есть функция, непрерывная на Е, что непосредственно
следует из определения непрерывности функции в точке.
Перейдем теперь к глобальным свойствам непрерывных функций.
Чтобы сформулировать их для функций І : Е -› К, дадим сначала
два определения.
Определение 8. Отображение 1” : Е -› К множества Е С Ш в
пространство К называется равномерно непрерывным на Е, если для
любого числа е > О найдется такое чис.ло б > 0, что для любых точек
:с1,:1:2 Є Е таких, что сі(а:1,а:2) < 6, выполнено сі(]°(а:1),[(а:2)) < е.
Как и прежде, подразумевается, что расстояния сі(:с1,ш2), сі( Ґ (а:1),
1” измеряются соответственно в ІЕЄҐ и К.
При т = п = 1 мы возвращаемся к уже знакомому нам определению
равномерной непрерывности числовых функций.
Определение 9. Множество Е С КТ называется линейно связ-
ным, если для любой пары итд, 1131 его точек существует путь Г: І -› Е
с носителем в Е и с концами в этих точках.
Иными словами, из любой точки 1:0 Є Е можно пройти к любой
точке а:1 Є Е, не выходя за пределы множества Е.
Поскольку мы пока не будем рассматривать иного понятия связно-
сти множества, кроме понятия линейной связности, то для краткости
условимся пока линейно связные множества назвать просто свлзными.
Определение 10. Об./шстыо в пространстве Ш называется от-
крытое связное множество.
Пример 10. Шар В (а; т), т > 0, в Ш является областью. Откры-
тость В(а; 1*) в Ш нам уже известна. Проверим, что шар связен. Пусть
изо = (:сЁ,,...,:в6) и_а:1 = . . . ,:1:{')±две точки шара. Путь, задава-
емый функциями :1:'(±) = іссї + (1 - ±):1:{) = 1,... ,т), определенными
на отрезке 0 < 15 < 1, имеет своими концами точки то и 1171. Кроме то-
го, его носитель лежит в шаре В (а; 1*), поскольку, в силу неравенства

Ё2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 495
Минковского, при любом 13 Є [0, 1]
ЫМЗ
/
/`:
./
ры
Ъ/
Ю
ЫМЗ
/-'
/`.
д(а:(±),а) = ап* 15 - ь = 15 - аі) + (1 - ±)(а:'Ё, - а*))2 <
//
ЁМЗ
ЁЁМЗ
нд - т))2 + ((1 _ цщ, - т))2 =
ЗМЗ
ЗМЗ
=ії- (:1:ї-аі)2+(1-±)- (:1:Ё,-аі)2<±т+(1-і)'г=т.
Пример 11. Окружность (одномерная сфера) радиуса т > 0 есть
подмножество в ІК2, задаваемое уравнением (а:1)2 + (:в2)2 = 'г2. Полагая
1:1 = тсоз 15, :в2 = тзіп 13, видим, что любые точки окружности можно
соединить путем, идущим по этой окружности. Значит, окружность-
связное множество. Однако это множество не является областью в ІК2,
поскольку оно не открыто в ІК2.
Сформулируем теперь основные
Глобальные свойства непрерывных функций
а) Если отображение /: К -› К непрерывно на номпанте К С ШТ,
то оно равномерно непрерывно на К.
Ь) Если отображение /': К -› К непрерывно на номпанте К С Кт,
то оно ограничено на К.
с) Если фунниил І : К -› К непрерывна на номпанте К С Вт, то
она принимает в неноторыа: тоннаа: К минимальное и максимальное
из своиєс значений на К.
(1) Если фунниил ]`: Е -› К непрерывна на свлзном множестве Е,
принимает в тонкая: а,Ь Є Е значенил 1” (а) = А, ](Ь) = В, то длл
любого числа С, лежащего между А и В, найдется тонна с Є Е, в
которой 1(с) = С.
Изучая в свое время (гл. І/, Ё2) локальные и глобальные свойства
числовых функций одной переменной, мы дали такие их доказатель-
ства, которые переносятся и на рассматриваемый здесь более общий
случай. Единственное изменение, которое при этом следует сделать в

496 ГЛ. /ІІ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
прежних доказательствах, состоит в том, что выражения типа |а:1 - а:2|
или |]'(:1:1)- /(а:2)| надо заменить на сі(а:1,$2) и аі([(а:1),](а:2)), где сі-
метрика в том пространстве, где лежат рассматриваемые точки. Это
замечание относится в полной мере ко всему, кроме последнего утвер-
ждения (1), доказательство которого мы сейчас проведем.
4 (1) Пусть Г: І -› Е_путь, являющийся таким непрерывным ото-
бражением отрезка [ог,В] = І С К, что Г(а) = а, Г(В) = Ь. В силу
связности Е такой путь существует. Функция 1” о Г: І -› К, как ком-
позиция непрерывных функций, непрерывна, поэтому на отрезке [а, В]
найдется точка *у Є [а, В], в которой 1” о Г(*у) = С. Положим с = Г(у).
Тогдас Є Е и ]°(с) = С. Ь
Пример 12. Сфера Ѕ(0; 1*), задаваемая в Кт уравнением
(:с1)2 + . . . + (а:т)2 = 13,
является компактом.
Действительно, из непрерывности функции
1 1 2 2
(11: ,...,:1:т)-›(:в) +...+(:ст)
следует замкнутость сферы, а из того, что на сфере < 1* =
= 1,.. . ,т), следует ее ограниченность.
Функция
(121, . . . ,шт) ›-› (а:1)2 + . .. + (а:,“)2 - (а:,°+1)2 - - ($т)2
непрерывна на всем пространстве Кт, поэтому ее ограничение на сфе-
ру есть также непрерывная функция, которая в силу глобального свой-
ства с) непрерывных функций имеет на сфере минимальное и мак-
симальное значения. В точках сферы (1,0,...,0), (0,...,0, 1) рассма-
триваемая функция принимает значения 1 и -1 соответственно. Ввиду
связности сферы (см. задачу 3 в конце параграфа) на основании гло-
бального свойства (1) непрерывных функций можно утверждать, что на
сфере есть точка, в которой рассматриваемая функция обращается в
нуль.
Пример 13. Открытое множество Кт Ѕ(0; 1*) при *г > О не явля-
ется областью, так как оно несвязно.

Ё2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 497
Действительно, если Г: І -› Ш есть путь, один конец которого
совпадает с точкой зад = (0, . . . , 0), а другой-с некоторой точкой 1:1 =
= (ай, . . . ,а:ї) такой, что + . . . + > 'г2, то композиция непре-
рывных отображений Г: І -› КТ и 1” : Ш -› К, где
(Ш1,... ддт) ›-і› (Ш1)2 + . . . + ($т)2,
есть непрерывная на отрезке І функция, принимающая на его концах
значения, меньшее и большее чем 12. Значит, на этом отрезке найдется
точка 7, в которой (І о Г)(7) = т°2. Тогда точка 1», = Г(*у) носителя
нашего пути оказывается лежащей на сфере Ѕ(0; г). Мы показали, что
нельзя выйти из шара В (0; 1*) С Ш, не пересекая его граничной сфе-
ры Ѕ(0;1').
Задачи и упражнения
1. Пусть І Є С'(1К';ІЕ€.). Покажите, что
множество Е1 = {а: Є Шїт | І < с} открыто в Кт;
ножество Е2 = {:1: Є Вт | ](:т:) < с} замкнуто в 1К';
ножество Е3 = {:с Є Вт | ](а:) = с} замкнуто в Вт;
если _ї(а:) -› +оо при 11: -› оо, то Е2 и Е3 компактны в Кт;
е) для любой функции І : ПК” -› Шї множество Е4 = {:1: Є К” | ш(_і;а:) 2 є}
замкнуто в Вт.
2. Покажите, что отображение І : Кт -› К непрерывно тогда и только
тогда, когда прообраз любого открытого в К множества является открытым
в К множеством.
3. Покажите, что
а) образ І (Е) связного множества Е С Ш при непрерывном отображении
І : Е -› К является множеством связным;
Ь) объединение связных множеств, имеющих общую точку, является связ-
ным множеством;
с) полусфера (:1:1)2+. . .+(:с'”')2 = 1, шт 2 0, является связным множеством;
(1) сфера (а:1)2 + . . . + (:1:т)2 = 1 является связным множеством;
е) если Е С В и Е связно, то Е есть промежуток на ІК (т.е. отрезок,
полуинтервал, интервал, луч или вся числовая ось);
ї) если то -внутренняя, а 1:1 -внешняя точка множества М С Кт, то
носитель любого пути с концами 1130, 1:1 пересекает границу множества М.
558,53,
К З

ГЛАВА /ІІІ
ДИФФЕРІЁЁНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ
Ё 1. Векторная структура в К”
1. К” как векторное пространство. Из курса алгебры вам уже
хорошо известно понятие векторного пространства.
Если в Вт ввести операцию сложения элементов а:1 = (а:{, . . . ,а:'{'),
1 т
1122 = (:1:2, . . . ,$132 ) по формуле
:с1+:с2=(:в%+а:%,...,:сї'+:1:'З'), (1)
а умножение элемента 1: = ($1, . . . ,:1:т) на Число × Є К-соотношением
Аа: = (,$1, . . . дщт), (2)
то Вт становится векторным пространством над полем действитель-
ных чисел. Его точки теперь можно называть векторами.
Векторы
а=(0,...,о,1,0,...,0) (@=1,...,т) (3)
(где единица стоит лишь на 11-м месте) образуют максимальную линей-
но независимую систему векторов этого пространства, ввиду чего оно
оказывается т-мерным векторным пространством.
Любой вектор :1: Є Ш может быть разложен по базису (3), т. е.
представлен в виде
а: = $1є1 + . . . + штєт. (4)

ЁІ. ВЕКТОРНАЯ СТРУКТУРА В Вт 499
Индекс при векторе мы условимся писать внизу, а координаты, как
и до сих пор, будем отмечать верхним индексом. Это удобно по мно-
гим причинам, одна из которых, в частности, состоит в том, что, сле-
дуя Эйнштейнуї), можно условиться выражения типа (4) записывать
коротко в виде
11: = шіеі, (5)
считая, что появление одинакового индекса сверху и снизу означает
суммирование по зтому индексу в пределах диапазона его изменения.
2. Линейные отображения Ь: Кт -› К. Напомним, что ото-
бражение Ь: Х -› У векторного пространства Х в векторное прост-
ранство У называется линейным, если для любых ш1,:1г2 Є Х и А1, А2 Є К
выполнено
Ь(›1І1З1 + ›2ІВ2) = ›1Ь(І1З1)+ /2Ь(.'Б2).
Нас будут интересовать линейные отображения Ь: Вт -› К.
Если {є1,. . . ,ет} и {ё1,. . . ,ё,,,} -фиксированные базисы прост-
ранств Кт и К соответственно, то, зная разложения
Ь(є,)=а%ё1+...+а?ёп=аЁёд (і=1,...,т) (6)
образов векторов базиса при линейном отображении Ь: Ш -› Кп, мы в
силу линейности преобразования Ь можем найти разложение по базису
{ё1,. . . ,ё,,} образа Ь(/1) любого вектора 11 = /11е1 + + /ътет = /ъіеі.
А именно: _ _ 0 _
Ь(/1) = 1}(/ъ'е,) = Ь1Ь(є,д) = /Ґаёёд = аё/ъёд. (7)
Значит, в координатной записи:
щи) = (03/11,. . . ,а;*т). (8)
Отображение Ь: Ш -› К при фиксированном в К базисе можно,
таким образом, рассматривать как набор
Ь=(Ь1,...,Ь') (9)
из п (координатных) отображений Ь7 : Ш -› К.
ЦА. Эйнштейн (1879 - 1955) -крупнеіїпций физик ХХ столетия, работы которого
по квантовой теории и особенно по теории относительности оказали революциони-
зирующее влияние на всю современную физику.

500 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
С учетом (8) легко заключаем, что отображение Ь: Ш -› К ли-
нейно тогда и только тогда, когда каждое отображение Ь] набора (9)
линейно.
Если записать набор (9) в виде столбца, то с учетом соотношения (8)
Имеем Ь1(ь,› аї 0,5, ь1
Щ>=( .... ....... (Ю,
ща) ат ад, ьт
Итак, фиксация базисов в КТ и Ш позволяет установить взаимно
однозначное соответствие между линейными отображениями Ь: КТ -›
-› К” и т × п-матрицами ((12) = 1,...,т, 1 = 1,...,п). При этом
столбец с номером і матрицы (ад, отвечающей отображению Ь, со-
стоит из координат образа Ь(е,д) вектора еі Є {е1, . . . ,єт}. Координаты
образа Ь(/1,) произвольного вектора /1 = /ъієі Є Кт могут быть получе-
ны из соотношения (10) умножением матрицы линейного отображения
на столбец координат вектора Ь.
При наличии в К структуры векторного пространства можно го-
ворить о линейной комбинации А1]1 + А2 12 отображений І1: Х -› К,
І2: Х -› К, полагая
(МЛ + ›2Ґ2)($) ї= ›1Ґ1($)+ ›2Ґ2($)- (11)
В частности, линейная комбинация линейных отображений
І/1: Вт -› К, Ь2: Ш -› К есть, в соответствии с определением (11),
отображение
ІІ 1-ў ›1Ь1(ІЪ) + ›2Ь2(/Ъ) = Ь(/Ъ),
которое, очевидно, линейно. Матрица этого отображения есть соответ-
ствующая линейная комбинация матриц отображений Ь1 и 112.
Композиция С = ВОА линейных отображений А: Кт -› К, В: К -›
-+ КК, очевидно, также является линейным отображением, матрица ко-
торого, как следует из (10), есть произведение матрицы отображения
А и матрицы отображения В (на которую умножаем слева). Кстати, за-
кон умножения матриц определен известным вам образом именно для
того, чтобы композиции отображений отвечало произведение матриц.
3. Норма в Кт. Величину
||11ї||= /($1)2 + - - - + (Шт)2 (12)
назовем нормой вектора 11: = (4121, . . . ,:1:т) Є Ш.

ё1. ВЕКТОРНАЯ СТРУКТУРА В 112” 501
Из этого определения с учетом неравенства Минковского следу-
ет,что
1° ІІШІІ 2 0,
2° (||1=І|= 0)<=>(=1ї = 0),
3° ІІМ1||=>|°ІІШІІ› где А Є К,
4° ІІШ1 +11=2ІІ < ІІШ1ІІ+НШ2ІІ-
Вообще, любую функцию Х -› ІК на векторном пространст-
ве Х, удовлетворяющую условиям 1° - 4°, называют нормой в векторном
пространстве. Иногда, чтобы уточнить, о какой норме идет речь, знак
нормы вектора наделяют символом того пространства, в котором эту
норму рассматривают. Например, можно написать ||а:||Кт или ||у||Кт., од-
нако мы, как правило, не станем этого делать, ибо из контекста всегда
будет ясно, о каком пространстве и какой норме идет речь.
Заметим, что в силу (12)
НШ2 - Ш1|| = <і($1,Ш2)› (13)
где сі(:1:1,:с2) -расстояние в Шёт между векторами ш1 и 1:2, рассматри-
ваемыми как точки метрического пространства КТ.
Из соотношения (13) видно, что следующие условия равносильны:
а: -› 1130, сі(а:,:1:0)-› 0, - :1:0|| -› 0.
Ввиду (13), в частности, имеем
НІБН = <і(0›<11)~
Свойство 4° нормы называют неровєнством треугольника, и теперь
ясно почему.
Неравенство треугольника по индукции распространяется на сумму
любого конечного числа слагаемых. А именно, справедливо неравенство
ІІШ1 +...+:гьІІ < Н<1г1ІІ +~-~+ ІІЩІІ-
Наличие нормы вектора позволяет сравнивать по величине значения
функций І: Х -› Кт, 9: Х -› К.
Условимся писать, что /(из) = о(9(а:)) или І = о(9) при базе В в Х,
ЄСЛИ ||і(111)||вт = 0(||9($)|Івп) ПРИ ЭТОЙ базе В-

502 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если І = (]`1(а:), . . . , ]'(:п)) -координатное представление ото-
бражения ]` : Х -› Кт, то ввиду неравенств
|т›| < ||і<ш›|| < Ё) 1/тп <14›
1І=1
можно сделать следующее полезное для дальнейшего наблюдение:
(]=о(у) при базе В)<=>(1“ =о(у) при базе В; і=1,...,т). (15)
Условимся также, что запись І = О(9) при базе В в Х будет озна-
Ча»ТЬ› ЧТО ||Ґ(Ш)||1вт = 0(||9($)||вп) ПРИ ЭТОЙ базе В-
Тогда из (14) получаем, что
(1°=О(у) при базе В) <=> =О(у) при базе В; і=1,...,т). (16)
Пример. Рассмотрим линейное отображение Ь: Ш -› К. Пусть
/1 = /ъ1е1 +. . .+/ътєт _ произвольный вектор пространства Кт. Оценим
ІІЬ(д)||вп=
||13(/1)|| = її:/1і13(гі) < (гдііі/*І < ІІ1/(ЗМІ) ІІЫІ- (17)
2:1
:г:1э
Ё
' 5
Таким образом, можно утверждать, что
Ь(/7,) = О(/2) при /1, -› 0. (18)
В частности, из этого следует, что Ь(:с - шо) = Ь(:в) - Ь(а:0) -› О при
из -› шо, т.е. линейное отображение Ь: К” -› К” непрерывно в любой
точке то Є КТ. Из оценки (17) видна даже равномерная непрерывность
линейного отображения.
4. Евклидова структура в Вт. Из алгебры известно понятие
сна./шрного произведения в вещественном векторном пространстве как
числовой функции (Ш, у), определенной на парах векторов пространства
и обладающей свойствами
<<11›1ї> 2 0,
(а:,а:) =0Ф=>а:=0,
<Ш1›11ї2> = <Ш2›11ї1)›
<›ї1ї1,іІї2) = ›<$1,Ш2>› Где А Є Ш,
(а:1+ :с2,$3) = (а:1,:123) + (:п2,:с3).

ё1. ВЕКТОРНАЯ СТРУКТУРА В ІНЗҐ 503
Из этих свойств, в частности, следует, что если в пространстве фик-
сирован базис {є1, . . . ,єт}, то через координаты (ш1, . _ . ,:пт), (уї, . . . ,ут)
векторов ш и у их скалярное произведение (аг, у) запишется в виде би-
линейной формы
(Ш, у) = 9тг'у” (19)
(подразумевается суммирование по і и по 1), в которой 9,, = (є,;, ед).
Векторы называются ортогональными, если их скалярное произве-
дение равно нулю.
Базис {є1,...,єт} называется ортонормированным, если 9,1 = 5,1,
где
би _ О, если іуёі,
И- 1, если і=].
В ортонормированном базисе скалярное произведение (19) имеет са-
мый простой вид
. ›
<$›у> : біішъууа
ИЛИ
<Ш,у>=Ш1-у1+--~+ггт-ут. (20)
Координаты, в которых скалярное произведение имеет такой вид,
называют дєкартовыми координатами.
Напомним, что пространство Вт с определенным в нем скалярным
произведением называется євклидовым пространством.
Между скалярным произведением (20) и нормой вектора (12) име-
ется очевидная связь
(тд) = ІІШІІ2-
Из алгебры известно следующее неравенство:
(М/>2 < <Ш›Ш><у›у>,
которое, в частности, показывает, что для любой пары векторов най-
дется угол ср Є [0, тг] такой, что
(ду) = ІІШ|ІІІуІІ <>0Ѕ<р~
Этот угол называют углом между венторами ш и у. Именно по этой
причине естественно считать ортогональными векторы, скалярное про-
изведение которых равно нулю.

504 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полезным для нас будет также следующий известный из алгебры
простой, но очень важный факт:
любая линейная функция, Ь: КТ -+ В в евклидовом пространстве
имеет вид
ЩШ) = (€›$>,
где Є Є Ш -фиксированный и однозначно соответствующий функ-
иии Ь вектор.
52. Дифференциал функции многих переменных
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке
Определение 1. Функция І: Е -› К, определенная на множест-
ве Е С Кт, называется дифферениируемой в танке 11: Є Е, предельной
для множества Е, если
[мг + Ы - на = Ь<ш›Ь + а<=«:;ь›,| <1›
где Ь(:1:): Вт -› К -линейная относительно /1 функция1), а а(а:; /1) =
=о(іъ) приіъ-›0, :в+/ъЄЕ.
Векторы
А:1:(/ъ):=(а:+/2)-:1:=Іъ,
Аі(Ш;д) ==1'(Ш+ї1)-і($)
называются соответственно приращением аргумента и приращением
функции (отвечающим этому приращению аргумента). Эти векторы
по традиции обозначают символами Аа: и А] самих функций от 11.
Линейная функция І/(сс): Кт -› К” в соотношении (1) называется
дифференииалом, касательным отображением или производным ото-
бражением функиии І: Е -› К в танке св Є Е.
Дифференциал функции І : Е -› К” в точке Ш Є Е обозначается
символами сі}(а:), В](:1:) или ['(ш).
“По аналогии с одномерным случаем, мы позволим себе писать І/(:в)І1 вместо
Отметим также, что в определении мы подразумеваем, что Вт и Е на-
делены указанной в Ё 1 нормой.

Ё2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 505
В соответствии с введенными обоэначениями, соотношение (1) мож-
НО ПЄРЄПИСЗТЬ В ВИДЄ
1”(Ш + /1) - 1°($)= і'(т)/1 + <1<(=1=;ї1)
ИЛИ
А]`(а:; /1) = сі]`(:с)/1 + а(а:; /1).
Заметим, что дифференциал, в сущности, определен на смещениях іъ
от рассматриваемой точки 11: Є 1К”.
Чтобы это подчеркнуть, с точкой 11: Є Вт связывают свой экземпляр
векторного пространства Кт и обозначают его через Тшїіёт, ТК”
или ТПЁТ; ТК? можно трактовать как совокупность векторов, прило-
женных к точке сс Є Кт. Векторное пространство ТЩ называют каса-
тєльным пространством к К” в точке а: Є Вт. Происхождение этой
терминологии прояснится позже.
Значение дифференциала на векторе /1 Є ТЩ есть вектор Ґ (:1:)Іъ Є
Є ТІК'ў(ш), приложеннь1й к точке 1” и аппроксимирующий приращение
1” (1: + Ь) - 1” функции, вызванное приращением 11 аргумента 113.
Итак, сі [(113) или 1” есть линейное отображение /' ТМ* -›
-› Т1Кў( 2:).
Мы видим, что, в полном соответствии с уже изученным нами од-
номерным случаем, функция многих переменных с векторными значе-
ниями дифференцируема в точке, если ее приращение А 1” (:1:; /1) в этой
точке как функция приращения аргумента Ь линейно по /1 с точностью
до поправки о<(:в; 11), бесконечно малой при /1 -› О в сравнении с прира-
щением аргумента.
2. Дифференциал и частные производные вещественно-
значной функции. Если векторы 1” (сс + /1), [(:1:), Ь(:с)/1, а(а:; /1) из К
записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным п
равенствам
іі(ш+/1) -Щи) =Ьі(ш)ь+0/(дл) (1: 1,...,п) (2)
между вещественнозначными функциями, в которых, как следует из
соотношений (9) и (15) ё1, Ь'(а:): КТ -› К суть линейные функции, а
ог”(:1:;/1) = о(/2) при /1 -› 0, а:+/1 Є Е для любого і = 1,...,п.

506 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, справедливо
Утверждение 1. Отображение І: Е -› К множества Е С К”
дифферениируемо в точке за Є Е, предельной для множества Е, то-
гда и только тогда, когда в этой точке дифферениируемы функции
Ґ: Е -› К = 1,... ,п), задающие координатное представление дан-
ного отображения.
Поскольку соотношения (1) и (2) равносильны, то для оть1скания
дифференциала Ь(а:) отображения 1” : Е -› К достаточно научиться
находить дифференциалы его координатных функций / 1: Е -› К
Итак, рассмотрим вещественнозначную функцию 1” : Е -› К, опре-
деленную на множестве Е С Ш и дифференцируемую во внутренней
точке Ш Є Е этого множества. Заметим, что в дальнейшем нам боль-
шей частью придется иметь дело с тем случаем, когда Е будет обла-
стью в Кт. Если за есть внутренняя точка множества Е, то при любом
достаточно малом смещении /1 от точки а: точка 1: + /1 также будет при-
надлежать Е и, следовательно, будет находиться в области определения
функции 1” : Е -› 1113..
Если перейти к координатной записи точки а: = (121, _ . . ,:ст), векто-
ра /1 = (/11,. . . ,/ат) илинейной функции 1}(а:)/1 = а1(а:)/11+...+ат(:В)/ът,
то условие
[(:1: + 11) - [(112) = Ь(а:)/1 + о(/1) при /2 -› 0 (3)
ПЄРЄПИШЄТСЯ В ВИДЄ
і(«;1+л1,...,$т+ьт)-і($1,...,а:т)=
=а1(ь)ь1+...+ат(а;)ьт+0(ь) при ь-›о, (4)
где а1(:в), . . . ,ат(:в) -связанные с точкой 11: вещественные числа.
Мы хотим найти эти числа. Для этого вместо произвольного сме-
щения /1 рассмотрим специальное смещение
/1, =/ъіе, =0-е1+...+0-е,_1+/ъіе.д+0-е,+1+...+0-ет
на вектор /1,, коллинеарный вектору е, базиса {е1,. . . ,ет} в Кт.
При /1 = /ъ,,;, очевидно, = |/1'|, поэтому из (4) при /1 = /1, получаем
[(:1:1,...,а:і'1,:1:і+/ъі,:1:і+1,...,:ст)-](:в1,...,:1:і,...,шт)=
=аі(:1:)/1Ъ+о(/1*) при /22->0. (5)

Ё2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 507
Это означает, что если фиксировать в функции 1 (а:1, . . . ,а:т) все
переменные, кроме і-й, то получаемая при этом функция і-й переменной
оказывается дифференцируемой в точке :1;'.
Из равенства (5), таким образом, находим, что
а,(ш) =
_ [(а:1,...,а:і1,асі +/ъі,:в”3+1,...,а:т) -](:в1,...,а:'і,...,:1:т)
:›Ё3Ё1›0 Ы '(6)
Определение 2. Предел (6) называется частной производной
функции 1” в точке іс = (:1с1,. . . ,:1:т) по переменной :с“. Его обознача-
ют одним из следующих символов:
%<ш›, эл<:›:›, аго›, тыщ).
Пример 1. Если ](и,и) = из + 112 Ѕіп и, то
д
д1[(и,и) = її-(и,и) = 3и2 + 112 сов и,
д2[(и,и) = %%(и,и) = 2и Ѕіпи.
Пример 2. Если ](:1:,у,2) = а1'с1:5(а:у2) + ег, то
ді 1/2
д1]с(Ш›3/›2) = *д;(і17›Ъ/М) = їт
2а:у
дї
Э2./.(5Е›Ё/12) = Ё/'($аЁ:/12): ›
дЗ]г($эуэ2) = %(ш› Ё/12) : є2°
Итак, мы доказали
Утверждение 2. Если функция _/ : Е -› К, определенная на мно-
жестве Е С Вт, дифференцируема во внутренней точке сп Є Е этого
множества, то в этой точке функция имеет частные производные по
каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется
этими частными производными в виде
сі[(:с)п = %(т)п1+...+ %д(:1:)/ът. (7)

508 ГЛ. /ІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Формулу (7), используя соглашение о суммировании по повторяю-
щемуся снизу и сверху индексу, можно записать компактно:
<1і<«››Ь = діі<:›:›т. (8)
Пример 3. Если бы мы знали (а скоро мы это узнаем), что рас-
смотренная в примере 2 функция 1” (а:,у,2) дифференцируема в точке
(0, 1, 0), то можно было бы сразу записать, что
<1і(о,1,о)/1 =1-ь1+о-ь2+1-ьз =п1+/13
И, В СООТВЄТСТВИИ С ЭТИМ,
і (/11, 1 + 112,/13) - до, 1,0) = <1і(о,1,о)ь + 0(/1)
ИЛИ
агс'с5 (/ъ1(1+ іъ2)2) + еда =1+ /11 + /13 + о(/1) при /1 -› 0.
1 .
Пример 4. Для функции 11: = (1121, . . . ,:ст) ›і› 1:1, которая точке
а: Є Вт ставит в соответствие ее і-ю координату, имеем
А1гі(:с; /1) = + і1і)- ті = /ъі,
7.
т. е. приращение этой функции само есть линеиная по 11 функция /1 +3-›
»Ё-ї› Іъі. Таким образом, А1г”5(:с;/1) = с1тг'д(а:)Іъ, причем отображение
аїтг'(:1:) = сітг” на самом деле оказывается не зависящим от сс Є Вт в
том смысле, что сітг'(:1:)/ъ = /1” в любой точке аз Є Вт. Если вместо 1г”(а:)
писать то получаем, что сіа:і(:1:)/1 = сізсі/1 = Ні.
Учитывая это обстоятельство и формулу (8), мы теперь можем пред-
ставить дифференциал любой функции в виде линейной комбинации
дифференциалов координат ее аргумента св Є Ш. А именно:
сі]`(а:) = д,](:с)сі:1:і = %(:1;)с1а:1 + _ . . + %(а:)аі:1:, (9)
поскольку для любого вектора /1 Є ТЩ” имеем
сі[(:с)і1 = д,1°(а:)/11 = Э,/(а:)сі:ві/1.

Ё2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЬІХ 509
3. Координатное представление дифференциала отображе-
ния. Матрица Якоби. Итак, мы нашли формулу (7) для дифферен-
циала вещественнозначной функции І : Е -› К. Но тогда, в силу уста-
новленной эквивалентности соотношений (1) и (2), уже для любого ото-
бражения І: Е -› К” множества Е С Кт, дифференцируемого во вну-
тренней точке єс Є Е этого множества, можно выписать координатное
представление дифференциала д [(111) в виде
а;1($)ь д,;1(«;)т %($) %($) /11
д,<л:( нннннн ....... ................ И
<1і(<1:)Ь діі“(Ш)Ь' %'1ї(<›;) %($) Ы
Определение 3. Матрица (ді)'7(а:)) = 1,... ,т, 1 = 1,... ,п) из
частных производных координатных функций данного отображения в
точке аг Є Е называется матрицей Янобиї) или лнобианомг) отображе-
ния в этой точке.
В случае, когда п = 1, мы возвращаемся к формуле (7), а когда п = 1
и т = 1, мы приходим к дифференциалу вещественнозначной функции
одного вещественного переменного.
Из эквивалентности соотношений (1) и (2) и единственности диф-
ференциала (7) вещественнозначной функции следует
Утверждение 3. Если отображение І: Е -› К множества Е С
С Вт дифферениируемо во внутренней точне а: Є Е этого множества,
то оно имеет в этой точке единственный дифференциал д 1” (аг), при-
чем координатное представление отображения сі] ТІЩ -+ Т1К'}($)
задается соотношением (10).
4. Непрерывность, частные производные и дифференциру-
емость функции в точке. Мы закончим обсуждение понятия диф-
ференцируемости функции в точке указанием на взаимоотношения
между непрерывностью функции в точке, наличием у нее частных про-
изводных в точке и дифференцируемостью ее в этой точке.
В ЁІ (соотношения (17) и (18)) мы установили, что если Ь: Ш -›
-› К” -линеиное отображение, то І//1 -› 0 при /ъ -› 0. Таким образом,
ЦК. Г. Я. Якоби (1804 - 1851) -известный немецкий математик.
2)Якобианом чаще называют определитель этой матрицы (когда она квадратная).

510 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
из соотношения (1) можно заключить, что функция, дифференцируемая
в точке, непрерывна в этой точке, поскольку
[(ш+/1)-[(:1:)=Ь(:с)/ъ+о(/1) при 11-›0, :1:+/ЪЄЕ.
Обратное, конечно, не верно потому, что, как нам известно, это не
верно уже в одномерном случае.
Таким образом, взаимоотношение непрерывности и дифференциру-
емости функции в точке в многомерном случае такое же, как и в одно-
мерном.
Совсем иначе обстоит де.ло во взаимоотношениях частных произ-
водных и- дифференциала. В одномерном случае, т.е. в случае веще-
ственнозначной функции одного вещественного переменного, наличие
дифференциала и наличие производной у функции в точке были усло-
виями равносильными. Для функций многих переменных мы показа-
ли (утверждение 2), что дифференцируемость функции во внутренней
точке области определения обеспечивает существование у нее частных
производных по каждой переменной в этой точке. Однако обратное
утверждение уже не имеет места.
Пример 5. Функция
0, если 1711132 = 0,
а: ,:1: =
1”( 1 2)
1, если а:1:1:2 аё 0,
равна нулю на осях координат и потому имеет в точке (0, 0) обе частные
производные:
- - О_о
д1і(0,0) : л1%їП›о /11 2 л13їп›о Т = О”
- - О_о
821” <0› °> = ,Что Ь2 = ,їгїъ Т = °~
Вместе с тем эта функция не дифференцируема в точке (0,0), по-
скольку она, очевидно, разрывна в этой точке.
Приведенная в примере 5 функция не имеет одной из частных про-
изводных в точках осей координат, отличных от точки (0, О). Однако
функция
-Ё-зїїї, если Ш2 +у2 аё О,
і(<г,у)= І” И
0, если :1:2+у2=0

ЁЗ. ОСНОВНЬІЕ ЗАКОНЬІ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 511
(которая нам встречалась в примере 2 из Ё 2 гл. /ІІ), уже во всех точках
плоскости (аз, у) имеет частные производные, однако она тоже разрывна
в начале координат и потому не дифференцируема в точке (0, 0).
Таким образом, возможность написать правую часть равенств (7),
(8) еще не гарантирует того, что это будет дифференциал нашей функ-
ции, поскольку функция может оказаться не дифференцируемой.
Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему диф-
ференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не
выяснилось (это будет доказано позже), что непрерывности частных
производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в
этой точке.
53. Основные законы дифференцирования
1. Линейность операции дифференцирования
Теорема 1. Если отображения І1: Е -› К, І2: Е -› К, опреде-
ленные на множестве Е С Кт, дифферениируемы в тонне аг Є Е, то
иш линейная номбинаиил (МД + ×2]”2): Е -› К также лвллетсл диф-
ферениируемым в этой тонне отображением, причем имеет место
равенство
(МЛ + ×2Ґ2),($) = (›1Ґ{+ ›2Ё)(Ш)- (1)
Равенство (1) показывает, что операция дифференцирования, т. е.
сопоставление отображению его дифференциала в точке, является ли-
нейной операцией на векторном пространстве отображений /` : Е -› К ,
дифференцируемых в фиксированной точке множества Е. Слева в (1)
стоит, по определению, линейное отображение (А1 І1 + ×2]2)' (117), а спра-
ва стоит линейная комбинация (×1]{ + А2 линейных отображений
Ш -› К, Ш -› ІК, которая, как нам известно из ЁІ,
также является линейным отображением. Теорема 1 утверждает, что
эти отображения совпадают.
4 (×1Ґ1 + ›2Ґ2)($ + 71)-(/11е1 + ›2Ґ2)($) =
=(›~1]'1(Ш + /1) + >~21°2($ + 71)) _ (›1Ґ1(ї1ї) + ›2Ґ2($)) =
= >1(ї1($ + її) _ Ґ1($)) + ›2(Ґ2(Ш + 71)- Ґ2($)) =
= >1(Ґ{(ї17)}1 + 001)) + ›2()сЁ($)д + 001)) =
= (›1Ґ{($) + >2]Ё($))д + 001)- >

512 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если рассматриваемые функции вещественнозначны, то над ними
выполнимы также операции умножения и (при необращении знамена-
теля в нуль) деления. Имеет место
Теорема 2. Если функции І: Е -› К, 9: Е -› К, определенные на
множестве Е С КТ, дифферениируемы в точке сс Є Е, то
а) иа: произведение дифферениируемо е аг, причем
(І ~ 9)'(Ш) = 9(т)і'(Ш) + 1°(Ш)9'($); (2)
Ь) иа: отношение дифферениируемо е :1:, если 9(:с) 75 0, причем
І
1
<Ш› = тд (9<:1=›т'<«:› - г<ш›9'<ш›). <з›
Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством соот-
ветствующих пунктов теоремы 1 из Ё2 гл. У, поэтому мы на нем_ не
останавливаемся.
Соотношения (1), (2), (3) можно переписать также и в иных обозна-
чениях дифференциала. А именно:
€і(×1Ґ1 + ›2Ґ2)($) = (›1дҐ1 + >2ЄіҐ2)($)›
д(Ґ ° 9)($) = 9($)дҐ($) + Ґ(17)д9($)›
1” ) 1
<1(- <:›:› = -_ <у<::›<ш=«›› - г<ш›«и<ш>›.
9 9%)
Посмотрим, что означают эти равенства в координатном предста-
влении отображений. Нам известно, что если отображение <р: Е -› К,
дифференцируемое во внутренней точке Ш множества Е С ІКҐ, запи-
сать в координатном виде
<р1(а:1,...,:1:)
<р(:в) = . . . . . . . . . . . .
.. ,
<р(а:1,...,:1:'')
то его дифференциалу сі<р(а:): Кт -› К” в этой точке будет соответ-
ствовать матрица Якоби
д1</91 . . . дт<,01 .
<р'(:1:) = . . . . . . . . . . . . .
.. =
д1<р дтср

5,3. ОСНОВНЬІЕ ЗАКОНЬІ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 513
При фиксированных базисах в К” и К соответствие между ли-
нейными отображениями Ь: Кт -› К и т × п-матрицами-взаимно
однозначное, поэтому линейное отображение Ь можно отождествить с
задающей его матрицей.
Для обозначения матрицы Якоби мы все же, как правило, будем
использовать символ 1“(:1:), а не символ (1 [(:в), ибо это больше соответ-
ствует тому традиционному разделению понятий производной и диф-
ференциала, которое проводится в одномерном случае.
Таким образом, в силу единственности дифференциала, во внутрен-
ней точке а: множества Е получаем следующие координатные формы
записи соотношений (1), (2), (З), означающие равенства соответствую-
щих матриц Якоби:
(ді(›11°{+ ›2Ґй))(Ш) = (›1ді}°{ + ›2ди°Ё)($)
(і=1,...,т, 1=1,...,п), (1')
(а(ў))<ш>=дї%д<у<ш›дм<Ш>-г<$›ау<ш>) <@=1,...,т›. <з'›
Из поэлементного равенства указанных матриц, например, следу-
ет, что частную производную по переменной гс” от произведения веще-
ственнозначных функций [(а:1,. . . ,:вт) и у(а:1,. . . ,а:) надо брать так:
(ш1,...,шт)=
= 9(:с1,...,:ст)%(:1:1,...,:ст) + ]`(:1:1,...,:1:т)%(а:1,... ,а:т).
Отметим, что как это равенство, так и матричные равенства (1'),
(2'), (3') являются очевидными следствиями определения частной про-
изводной и обычных правил дифференцирования вещественнозначных
функций одного вещественного переменного. Однако нам известно, что
наличия частных производных еще может оказаться недостаточно для
дифференцируемости функции многих переменных. Поэтому наряду с
важными и вполне очевидными равенствами (1'), (2'), (3') особую роль
в теоремах 1 и 2 приобретают утверждения о существовании диффе-
ренциала соответствующего отображения.

514 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Заметим, наконец, что по индукции из равенства (2) можно полу-
чить соотношение
<і(Ґ1.--Ґ/<)($) = (Ґ2---1'к)($)<і1°1(Ш) +--~ + (Ґ1,---Ґ/Є-1)(17)<ііь($)
для дифференциала произведения (11 . . . Д) дифференцируемых веще-
ственнозначнь1х функций.
2. Дифференцирование композиции отображений
а. Основная теорема
Теорема 3. Если отображение І: Х -+ У множества Х С ПЧЄҐ в
множество У С К дифференцируемо в точке 1: Є Х, а отображение
9: У -› КА” дифференцируемо в точке у = [(17) Є У, то композиция
90 1 : Х -› 11%* этиа: отображений дифференцируема в точке :1:, причем
дифференциал сі(9 о]): ТЩ -› Т1К';(].($)) композиции равен композиции
сі9(у) 0 сІ](а:) дифференциалов
Доказательство этой теоремы почти полностью повторяет доказа-
тельство теоремы 2 из Ё2 гл. /`. Чтобы обратить внимание на одну
новую, появляющуюся теперь деталь, мы все же проведем еще раз это
доказательство, не вдаваясь, однако, в уже разобранные технические
подробности.
4 Используя дифференцируемость отображений 1” и 9 в точках из и
у = 1” (112), а также линейность дифференциала 9' (113), можно написать,
что
(9 ° 1”)(Ш + /1) - (9 Ф і)(Ш) = 9(1°(Ш + Ш) - 9(і(Ш)) =
= 9'(і(Ш))(1”(Ш + 11) - і(<г)) + 0(1”(Ш + /1) - 1”(<1г)) =
= 9'(у)(і'(Ф)/1 + 0(/1)) + 0(і(Ш + /1) - і(=1г)) =
= 9'(:ч)(1($)/1) + 9'(у)(0(/1)) + 0(і(Ш + /1) - 1(<11)) =
= (9'(г/) О 1°'(Ш))/1 + 01(Ш;/1%,
где 9' (у) 0 1* есть линейное отображение (как композиция линейных
отображений), а
Ст; 11) = 9'(у)(0(/1)) + 0(і(Ш + /1) - і(Ш))-

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ Д
ИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
515
Но, как показывают
1(<1ї+/1)-ПШ) =1(Ш
И
соотношения (17), (18) из ЁІ,
є/(у)(0(/1)) = <›(/1) при Ь -› 0,
Ь -› О
0(1°(Ш + 11) - 1(Ш)) =
Следовательно,
о:(а2; /1) = о(іъ) +
а оказана >
)/1 + о(/1,) = О(/1)+ о(/1) = О(/1) при
о(О(/1)) = о(/2) при /7, -> 0.
о(/1) = о(/1) при /1 -› 0,
и теорем д .
Будучи переписана в координатной форме, теорема 3 означает, что
точка множества Х и
если Ш - внутренняя
(Э
ду
ТО
І (ЭМ/°›° Ё Ё Ё 'г3›,;9*ёі;«}5
10/(Ш) = . . . . .
..
= 1” ---внутренн.яя точка множества
Э1/1(:1с) дт]°1(а:) _
. . . . . . . . . . .
.. = (ддт) (ад),
'їпі ( )
Уи
д191(у) дп91(у)
9/(у) = . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. = (ді91)(у)7
д19'°(з-/) дп9'“(у)
1 д (91<>і)(Ш)
(9 О ]«~)'(Ш) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
К О
д1(9 О,/с)($) т
. . . . . .
. . = О __
( ї)(Ш)
д1 9,9 О_]с)(5С) дт(9
О
д1у1(у) дп91(у)) (д1]1(:1:) дт/1(:с)) ( І( і(
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. І д, ууддг Ш _
д И › ті<Ш> 19
В равенстве
справа имеется в виду сум
нения, т.е. от 1 до п.
1
(дм О л) (Ш) = (дм<і<ш›› ~ дм1<«:›)
мирование по индексу 1 в пред
(4)
ЄЛ8.Х ЄГО ИЗМЄ-

516 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В отличие от равенств (1'), (2'), (3'), соотношение (4) нетривиально
даже в смысле позлементного равенства участвующих в нем матриц.
Рассмотрим некоторые важные частные случаи доказанной тео-
ремы.
Ь. Дифференциал и частные производные сложной веще-
ственнозначной функции. Пусть 2 = 9(у1,...,у“) -вещественно-
значная функция вещественных переменных у1,.. . ,у, каждое из ко-
торых в свою очередь есть функция 3/7 = [7(ас1,... ,:1:т) (1 = 1,... ,п)
переменных :1:1,. . . ,а:'. В предположении дифференцируемости функ-
ций 9 и її (1 = 1,... ,п) найдем частную производную ком-
позиции отображений І : Х -+ У и 9: У -+ К.
По формуле (4), в которой при наших условиях І = 1, находим
ді(9 ° Ґ)($) = д_19(Ґ($)) °д1іі($) (5)
или, в более подробной записи,
д д д д1 д Э
-%(:1:)=ї%Ё(:с1,...,:ст)=ії--9-ї+...-І--Я--і!±=
да: дав ду да: ду” диз”
= д19(Ґ($)) 'діҐ1($)+-~-+ дп9(Ґ(33)) °діҐп($)-
с. Производная по вектору и градиент функции в точке.
Рассмотрим установившийся поток жидкости или газа в некоторой
области Є пространства КЗ. Термин «установившийся» означает, что
скорость потока в каждой точке области Є не меняется со временем, хо-
тя в различных точках области Є она, разумеется, может быть различ-
ной. Пусть, например, ](а:) = ](:1:1,а:2,аз3) -давление в потоке в точке
ш = (:с1,:в2,:с3) Є Є. Если мы будем перемещаться в потоке по закону
11: = :1:(±), где 15-время, то в момент Ъ мы будем регистрировать давле-
ние ( 1” о:1:)(±) = 1” Скорость изменения давления со временем вдоль
Ц сі(_і о 1:
нашеи траектории, очевидно, есть производная -Ч-2: (15) по времени от
функции ( 1” о Найдем ее в предположении, что І (4111, 1:2, 503) _ диф-
ференцируемая в области Є функция. По закону дифференцирования
композиции функций находим
Ёд%<±› = %<а=<±›>=Ь1<±› + %<$<±››=±2<±> + %<«:<±››±3<±›, <6>
где ±1<±) = %';(±) (1: 1,2,з).

ЁЗ. ОСНОВНЬІЕ ЗАКОНЬІ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 517
Поскольку (:і:1,:і:2, :ї:3)(±) = о(±) есть вектор скорости нашего переме-
щения в момент і, а (Э1 І, д2]`, д3]` есть координатная запись диффе-
ренциала сі] функции І в точке ат, то равенство (6) можно переписать
также в виде
<і(і ° Ш)
-11-Г-(Ё) = <іі(1=(і))®(і)› (7)
т. е. искомая величина есть значение дифференциала сі/ функции
І в точке а:(±) на векторе о(±) скорости нашего движения.
В частности, если при 15 = О мы были в точке 1:0 = :в(О), то
%”1<0› = «и<$0›«›, <8›
где о = о(0) -вектор скорости в момент 15 = 0.
Правая часть соотношения (8) зависит только от точки ато Є Є и
вектора о скорости, которую мы имеем в этой точке, и не зависит
от конкретного вида траектории 11: = а:(±), лишь бы было выполнено
условие = о. Это означает, что на любой траектории вида
а:(±) = шо + 'ті + ог(±), (9)
где о<(±) = о(±) при і -› 0, значение левой части равенства (8) будет
одинаково, поскольку оно вполне определяется заданием точки а:0 и
вектора о Є ТКЁ0, приложенного к этой точке. В частности, если бы мы
хотели непосредственно вычислить значение левой (а значит, и правой)
части равенства (8), то можно было бы в качестве закона движения
выбрать функцию
а:(±) = то + ті, (10)
отвечающую равномерному движению со скоростью 21, при котором в
момент Ё = 0 мы находимся в точке :в(0) = агд.
Дадим теперь следующее
Определение 1. Если функция І определена в окрестности
точки 1:0 Є Вт, а 'и Є Т Щ -вектор, приложенный к точке 3:0, то
величина ў
1)и]д($0) І: ]с($0 + 10? _ Ъ
(если указанный предел существует) называется производной функ-
ции 1” в точке 1:0 по вєктору о.

518 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из проведенных рассмотрений следует, что если функция 1” диф-
ференцируема в точке 1:0, то при любой функции $(±) вида (9) и, в
частности, вида (10) имеет место равенство
ш<а:0› = Ёїўї-(0) = <1і<«›0›«1, <12›
что в координатном представлении означает
д] дї
11,),/'(.'І,'0) = Ё(І13'0)'І)1 + . . . + %($0)'І)т. (13)
В частности, для базисных векторов е1 = (1,О,...,0), , ет =
= (0, . . . ,0, 1) из этой формулы получаем
1ы<ш0> = %2<«:0› (1 = 1,.~.,т›.
На основании равенства (12) в силу линейности дифференциала
сі[(:с0) заключаем, что если 1” -дифференцируемая в точке тд функ-
ция, то для любых векторов 111, 112 Є ТКЗЁ и любых >1,>2 Є К функция
имеет в точке тд производную по вектору (>1т11 + А2112) Є Т Щ и при
ЭТОМ
-І)›11)1+›2'І)2.ї(Ш0) : ›11)'О1.,с($0) + А2-І)'02.ї($0)'
Если пространство Вт рассматривать как евклидово пространст-
во, т. е. как векторное пространство со скалярным произведением, то
(см. 51) любую линейную функцию І/(11) можно будет записать в ви-
де скалярного произведения (Є, 11) фиксированного вектора Є = {(1Д) и
переменного вектора 11.
В частности, найдется вектор С такой, что
<і.і(Шо)'0 = <€›®>~ (15)
Определение 2. Вектор Є Є ТІКЦЁ, отвечающий в смысле равен-
ства (15) дифференциалу сі[(:1:0) функции 1” в точке шо, называется гра-
диентом функции в этой точке и обозначается символом 5га(1 1” (шо).
Итак, по определению
|«1і<«›<››«› = <@га<1і<:в0›«~>.| (16)

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЬІ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 519
Если в Ш выбрана декартова система координат, то, сопоставляя
соотношения (12), (13) и (16), заключаем, что в такой системе коорди-
нат градиент имеет следующее координатное представление:
@1~а<1і<:›:0> = (шо. <17>
Выясним теперь геометрический смысл вектора Ѕгасі ]` (1130).
Пусть є Є ТЩ -единичный вектор. Тогда в силу (16)
Пеі(то) = Іе1'г~<11'(Шо)| СОЅ </>, (18)
где <р-угол между векторами е и Ёгасі 1” (шо).
Таким образом, если 5га<і[(:с0) дё О и е = 5гас1]*(:с0)||`1 3;га<і](а:0),
то производная Ве](а:0) принимает наибольшее значение. То есть ско-
рость роста функции І (выраженная в единицах величины 1, отнесен-
ных к единице длины в Кт) при движении из точки то максимальна
и равна 3гас1 ]”(а:0)||, когда мы смещаемся именно в направлении век-
тора 5га<1 І (шо). При смещении в противоположном направлении значе-
ния функции наиболее резко уменьшаются, а при смещении в направле-
нии, перпендикулярном вектору Згад ]`(ш0), скорость изменения значе-
ний функции равна нулю.
Производную по единичному вектору данного направления обычно
называют производной по данному направлению.
Поскольку единичный вектор в евклидовом пространстве задается
направляющими косинусами:
е = (соЅа1,...,соЅат),
где ок, -угол, который вектор є образует с базисным вектором е, де-
картовой системы координат, то
Вє](:1:0) = (3гас1]`(а:0), е) = 21%-(з:0)соЅог1 + . . . + Ёі-(1130) соз ат.
даг дшт
Вектор Ёгасі 1” (1120) встречается очень часто и имеет многочисленные
применения. Например, на отмеченном выше геометрическом свойстве
градиента основаны так называемые гродиентныє методы численного
(на ЭВМ) поиска зкстремумов функций многих переменных. (См. в
этой связи задачу 2 в конце параграфа.)

520 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Многие важные векторные поля, как, например, ньютоновское поле
сил тяготения или кулоновское поле заряда, являются градиентами не-
которых скалярных функций-потенциалов этих полей (см. задачу 3).
Многие физические законы в самой своей формулировке использу-
ют вектор 5гас1 1” . Например, в механике сплошной среды зквивалентом
основного закона Ньютона та = Р динамики точки является соотно-
шение
ра = - 5га<і р,
связывающее ускорение а. = а(а:, і) в потоке свободной от внешних сил
идеальной жидкости или газа в точке 11: в момент і с плотностью среды
р = р(:с,±) и градиентом давления р = р(:с,±), отнесенными к зтой же
точке и к этому же моменту времени (см. задачу 4).
О векторе 3га<1 І мы еще будем говорить позже, при изучении век-
торного анализа и элементов теории поля.
3. Дифференцирование обратного отображения
Теорема 4. Пусть І: І/`(:с) -› ї/(у) -отображение онрестности
П(:с) С КГ тонни Ш на онрестность 1/(у) С КТ тонни у = Пусть
1” непрерывно в точке сс и имеет обратное отображение 1'1: ї/(у) -›
-› І/'(:с), непрерывное в тонне у.
Если при этом отображение І дифферениируемо в тонне 51: и наса-
тельное н І в тонне аз отображение /'(:1:): ТК? -› ТЩ имеет обрат-
ное отображение [](а:)]_1: ТЩ” -›ТШ,, то отображение {_1: ї/(у) -›
-› І/`(а:) дифферениируемо в тонне у = и справедливо равенство
(г1)',<у› = [і'<«:›1'1.
Таким образом, взаимно обратные дифференцируемые отображе-
ния имеют в соответствующих точках взаимно обратные касательные
отображения.
4 Положим
і(Ш)=у, і(1>+Н)=з/+1, ±=І(Ш+/1)-Юг);
тогда
і'1(у) = Ш, Г1(у + ±) = Ш + /1, Ь = Г1(у + 1) - Г1(у>-
Будем предполагать, что Іъ столь мало, что а: + Іъ Є Ґ/`(:с), а значит,
у + 15 Є ї/(у).

Ё3. ОСНОВНЬІЕ ЗАКОНЬІ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 521
И
Из непрерывности 1” в из и 1” -1 в у следует, что
±=/($+/Ъ)-](а:)-›0 при /1-›0 (1)
/ъ=]°_1(у-І-15)-[1(у)-›0 при 15-›0. (2)
Из дифференцируемости 1” в точке 11: следует, что
15 = /'(:1:)і1 + 0(Іъ) при Ь -› 0, (3)
т. е. можно утверждать даже, что 15 = О(/1) при Ь -+ О (см. соотношения
(17), (18) из
Ь, =
где
Покажем, что если /' -обратимое линейное отображение, то и
О(±) при 13 -› 0.
В самом деле, из (З) последовательно получаем
›1*±=
-1
іп ±=
І Ш>Г“1І
[і'<«:›Г1 ±ў|
число 6 > 0 выбрано так, что ||о(/1)|| < при < 5. Тогда с
/»+ [х'<$>110<~› при
/1 + о(/2) при
2 ІІЬІІ - ІІ<›(/1)ІІ при
___- (_ ГК*-ъ
Ё /-:
Ь-›0,
І:-›0,
Ь-›0,
> ,нии при или < 6,
учетом соотношения (2) находим
ЧТО
нии < 2Ц[/'<«:›1*1±|| = <>(н±н) при ± -› 0,
РЗВНОСИЛЬНО СООТНОШЄНИЮ
/1 = О(±) при і -› 0.
Отсюда, в частности, следует, что
0(/Ъ) = 0(і) при і -› 0.
Учитывая это, из (2) и (4) получаем
ИЛИ
ь=[і'(Ш)]-1±+0(±) при ±-›о
1-1(у+±)-г1(у)=[;'(т)]-1±+<›(±) при ±-›о. ›
(4)

522 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из алгебры известно, что если линейному преобразованию Ь: ПУ -›
-› КТ отвечает матрица А, то обратному к Ь линейному преобразова-
нию ІГ1 : К” -› Вт соответствует матрица А_1, обратная к матрице А.
Построение элементов обратной матрицы также известно из алгебры,
следовательно, доказанная теорема дает прямой рецепт для построения
отображения (]'1)'
Отметим, что при т = 1, т.е. при Кт = К, якобиан отображения
1” : П -› /(у) в точке 11: сводится к одному числу 1” -производ-
ной функции 1” в точке аз, а линейное преобразование /' ТІКШ -+ ТЕ,
сводится к умножению на это число: /ъ +-› 1” (зп)/ъ. Это линейное преобра-
зование обратимо тогда и только тогда, когда 1” 55 0, причем ма-
трица обратного преобразования [['(:с)]_1 : ТП%,, -› ТПЄФ также состоит
из одного числа, равного [ 1” (:1:)]_1, т.е. обратного к 1” Значит, те-
орема 4 содержит в себе также доказанное ранее правило отыскания
производной обратной функции.
Задачи и упражнения
1. а) Два пути 15 Ь-› :в1 (15), 15 +-› а:2(±) в К” будем считать эквивалентными в
точке 1:0 Є К, если 1:1(О) = Ш2 (0) = 1:0 и сі($1(і),ш2(±)) = о(±) при Ъ -› 0.
Проверьте, что указанное отношение действительно является отношением
эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Ь) Проверьте, что между векторами 'и Є ТІКЩ) и классами эквивалентных
в точке то гладких путеи имеется взаимно однозначное соответствие.
с) Отождествляя касательное пространство Тщ с множеством классов
эквивалентных в точке 1:0 Є Вт гладких путей, введите операции сложения
классов путей и умножения их на число.
(1) Проверьте, зависят ли введенные вами операции от системы координат
в Вт.
2. а) Изобразите график функции 2 _ 1172 + 43,/2, где (:в,у, 2) -декартовы
координаты в КЗ.
Ь) Пусть І : С -› К-числовая функция, определенная в области Є С К.
Лэовнем (с-уровнем) функции называется множество Е С Є, на котором
функция принимает одно значение (І = с). Точнее, Е = _/'1 Изобразите
в К2 уровни функции, указанной в а).
с) Найдите градиент функции 1 (св, у) = 1132 + 43/2 и проверьте, что в любой
точке (ат, у) вектор р;га(1_]° ортогонален линии уровня функции І, проходящей
через эту точку.
(1) Используя результаты задач а), Ь), с), проложите на поверхности 2 =
= 1:2 + 41/2 самый короткий, на ваш взгляд, маршрут спуска из точки (2, 1, 8)
поверхности в низшую ее точку (0, 0, 0).

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЬІ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 523
е) Какой алгоритм, пригодный для ЭВМ, вы могли бы предложить для
отыскания минимума функции _/(:1:, у) = 122 + 43/2?
З. Говорят, что в области Є пространства Вт задано векторное поле,
если каждой точке 1: Є Є сопоставлен некоторый вектор 'и(:п) Є ТЩ. Вектор-
ное поле и(:1:) в Є называется потенциальным, если в области Є есть число-
вая функция П : Є -› К такая, что и(а:) = 5га<1П Функцию П называ-
ют потенциалом поля и(:в). (В физике потенциалом обычно называют функ-
цию -П (113), а функцию П называют силовой функцией, если речь идет о
поле сил.)
а) Изобразите на плоскости с декартовыми координатами (:в,у) поле
егг»<1і(Ш›у) для каждой ИЗ функций і1(=т/) = 1112 + 1/2; І2(т›у) = -(Ш2 + 1/2);
із(1>›з/) = г»г<2г2;(=1г/у) В Области у > 0; і4(т,з/) = Шу-
Ь) Согласно закону Ньютона частица массы т, находящаяся в точке 0 Є КЗ,
притягивает частицу массы 1, находящуюся в точке из Є КЗ (1: 5% 0), с силой
Г = -т|'г|_31', где 'г-вектор Ы; (размерную постоянную Є мы опустили).
Покажите, что векторное поле Г в КЗ 0 потенциально.
с) Проверьте, что массы ті, = 1, _ . . , п), помещенные в точках (ёі, 17,, Сі)
(і = 1, . . . ,п) соответственно, создают вне этих точек ньютоновское поле сил,
потенциалом которого служит функция
п .
П(а:, у, 2) = 2 ті .
1:1 /(10 - 502 + (31 _ 1702 + (2 _ (02
(1) Укажите потенциал кулоновского электростатического поля напряжен-
ности, создаваемого точечными зарядами (1, = 1,.. .,п), помещенными в
точках ({і,11і,(і) = 1,. . . ,п) соответственно.
4. Рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости в простран-
стве, свободном от внешних (в том числе и гравитационных) сил.
Пусть И = 1›(т›у›2›±), И = «(114/,2›#)› /1 = /›(т,у,2,і)› Р = ;0(Ш,у,2,і) Суть
соответственно скорость, ускорение, плотность и давление в точке (:с,у,2)
среды в момент времени Ъ.
Идеальность жидкости означает, что давление в любой ее точке не зависит
от направления.
а) Выделите из жидкости объем в виде небольшого параллелепипеда, одно
из ребер которого параллельно вектору 5гас1р(:с,у,2,±) (где 5га<ір берется по
пространственным координатам). Оцените действующую на объем за счет
перепада давления силу и дайте приближенную формулу для ускорения этого
объема, считая жидкость несжимаемой.
Ь) Проверьте, согласуется ли полученный вами в а) результат с уравнение./и
Эйлеро
ра. = - 5га<1р.
с) Линия, в любой точке которой касательная имеет направление вектора
скорости в этой точке, называется линией токо. Движение называется усто-

524 ГЛ. УІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
новившимсл, если функции и, а, р, р не зависят от і. Используя Ь), покажите,
что вдоль линий тока в установившемся потоке несжимаемой жидкости вели-
чина + р/р постоянна (закон Берну./ти1)).
(1) Как изменятся формулы в а) и Ь), если движение будет происходить в
поле тяжести вблизи поверхности Земли? Покажите, что в этом случае
/Ш = - егад (92 + Р)
и потому вдоль каждой линии тока установившегося движения несжимаемой
жидкости на сей раз постоянна величина %||и||2 + 92 + р/ р, где 9-ускорение
силы тяжести, а 2 -высота точки линии тока, отсчитываемая от некоторого
нулевого уровня.
е) Объясните на основании предыдущих результатов, почему несущее кры-
ло имеет характерный выпуклый вверх профиль.
Ґ) В цилиндрический стакан с круглым дном радиуса В налита до уров-
ня Ь несжимаемая идеальная жидкость плотности р. После этого стакан ста-
ли вращать вокруг его оси с угловой скоростью ш. Используя несжимаемость
жидкости, найдите уравнение 2 = ]'(а:,у) ее поверхности в установившемся
режиме (см. также задачу 3 из гл. У, Ё 1).
5) По найденному в Ґ) уравнению 2 = І (113, у) поверхности напишите фор-
мулу р = р(:1:,у, 2) для давления в любой точке (:1:,у, 2) объема, заполненного
вращающейся жидкостью. Проверьте, выполнено ли для найденной вами фор-
мулы полученное в (1) уравнение ра = - Ѕгаб (92 + р).
Ь) Не могли бы вы теперь объяснить, почему чаинки тонут (хотя и не
слишком быстро!), а при вращении чая собираются не у стенок стакана, а в
центре дна?
5. Оиенка погрешностей вычисления значений функции.
а) Используя определение дифференцируемой функции и приближенное
равенство А]`(:1:; Ь) Ю 11] (а:)іъ, покажите, что относительная погрешность 6 =
= б( І (:1:);/1) в значении произведения І = 1:1 . . .а:' тп, отличных от нуля
сомножителей, вызванная погрешностями в задании самих сомножителей, мо-
'ТП
жет быть найдена в виде 6 ю 2 6,, где 6, -относительная погрешность зада-
ния і-го сомножителя. Ф 1
Ь) Используя то, что сі Іп І = Ёасіі (из), еще раз получите результат пре-
дыдущей задачи и покажите, что вообще относительную погрешность дроби
і1~~-іп
__-(<1;1,...,<1;,,,)
91---9/С
можно найти как сумму относительных погрешностей значений функций
і1›'°°›і'!І› 91›°°°›9Ґії'
1)Д. Бернулли (1700 - 1782) -швейцарский ученый, один из наиболее выдающихся
физиков и математиков своего времени.

-Ё 3. ОСНОВНЬІЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 525
6. Однородные функции и тождество Эйлера. Функция І: Є -› К, опреде-
ленная в некоторой области Є С Вт, называется однородной (положительно
однородной) степени п, если для любых а: Є Вт и × Є ІК таких, что 1: Є Є и
Аа: Є Є, имеет место равенство
і(×$) = ×”і(Ш) (1°(×Ш) = І>~ІІ(Ш))~
Функция называется локально однородной степени п в области Є, если она
является однородной функцией указанной степени в некоторой окрестности
любой точки области Є.
а) Докажите, что в вь1пуклой области всякая локально однородная функ-
ция является однородной.
Ь) Пусть область Є есть плоскость ІК2 без луча Ь = {(ш, у) Є ІК2 | іс = 2 /
А у 2 0}. Проверьте, что функция
“Ш у) І у4/а:, если 11: > 2/у > 0,
7 у3 в остальных точках области
локально однородна в Є, но не является однородной функцией в зтой области.
с) Укажите степень однородности или положительной однородности сле-
дующих функций, рассматриваемых в их естественной области определения:
]1(а:1,...,:ст) = а:1а:2 + :1:2:с3 + . . . + :1:т_1а:т;
2 = '
І (331 ш2 тд 1:4) 11:11:32 +ш3а:4
3 , , :с1а:2а:3 + :1:2а:3:1:4,
]3(ш1,...,:1:)=|:в1...:1:т|І.
СІ) Продифференцировав равенство ]`(±ш) = ±] по 15, покажите, что
если дифференцируемая функция І : Є -› К локально однородна степени п в
области Є С Вт, то она удовлетворяет в Є следующему тождеству Эйлера
для однородньш: функиий:
ІЁІ т тді 1 т__
из дШ1(:1:,...,:1:)+...+а: Э-Эд(:с,...,а: )=п_1°(:1:1,...,шт).
е) Покажите, что если для дифференцируемой в области Є функции
І : Є -› К выполнено тождество Эйлера, то эта функция локально однородна
степени п в области Є.
Указание. Проверьте, что функция <р(і) = Г“_1'(±:1:) при любом 1: Є Є
определена и постоянна в некоторой окрестности единицы.
7. Однородные функции и метод размерности.
1° Размерность физической величины и особенности функииональныа: сел-
зей между физическими величинами.

526 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Физические законы устанавливают взаимосвязи физических величин, по-
этому если для некоторых из этих величин принять какие-то единицы изме-
рения, то единицы измерения связанных с ними других величин будут опреде-
ленным образом выражаться через единицы измерения фиксированных вели-
чин. Так возникают основные и производные единицы той или иной системы
единиц измерения.
В системе СИ (Ѕузгеше Іп'сегпа'сіопа1) за основные механические единицы
измерения приняты единицы длины-метр (м), массы-килограмм (кг) и
времени --- секунда
Выражение производной единицы измерения через основные называется
ее размерностью. Это определение ниже будет уточнено.
Размерность любой механической величины записывают символически в
виде формулы, выражающей ее через предложенные Максвелломї) символы Ь,
М, Т размерностей указанных выше основных единиц. Например, размерно-
сти скорости, ускорения и силы имеют соответственно вид
[11] = ЬТ-1, [а] = ЬТ-2, [Р] = МЫ*-2.
Если физические законы не зависят от выбора единиц измерения, то отра-
жением этой инвариантности должны быть определенные особенности функ-
циональной зависимости
1:0=]'(а:1,...,а:;,,:1:;,,+1,...,аг,,)
между числовыми характеристиками физических величин.
Рассмотрим, например, зависимость с = І (а, Ь) = х/а2 + 112 между длинами
катетов и длиной гипотенузы прямоугольного треугольника. Изменение мас-
штаба. длин должно одинаково сказаться на всех длинах, поэтому для любых
допустимых значений а и Ь должно быть выполнено соотношение ](о:а, ао) =
= <,о(а)]`(а, Ь), причем в нашем случае <,о(а) = а.
Основная (на первый взгляд очевидная) предпосылка теории размерно-
сти состоит в том, что нретендующал на физическую значимость зависи-
мость должна быть такой, чтобы при изменении масштабов основныа:
единии измерения численные значения всея: одноименныа: величин, участвую-
щиа: в формуле, менллись в одно и то же число раз.
В частности, если з:1, ш2, :в3 -основные независимые физические величи-
ны и (ш1,:с2,а:3) ›-› ]'(:1:1,:в2,:1:3) -- зависимость от них некоторой четвертой
физической величины, то, в силу сформулированного принципа, при любых
допустимых значениях :с1, :с2, 0:3 должно быть выполнено равенство
Ґ(а1Ш17 а2Ш2› 053173) : <р<а1аа2›а3).ї($1›$2›$3)›
с некоторой конкретной функцией ср.
1) Дж. К. Максвелл (1831 -- 1879) -выдающийся английский физик; создал матема-
ТИЧЄСКУЮ ТЄОРИЮ ЭЛЄКТРОМЭГНИТНОГО ПОЛЯ, ИЗВЄСТЄН ТЗКЖЄ ИССЛЄДОВЕЪНИЯМИ ПО КИ-
НЄТИЧЄСКОЙ ТЄОРИИ ГЕІЗОВ, ОПТИКЄ И МЄХЕЪНИКЄ.

ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 527
Функция <р в равенстве (**) полностью характеризует зависимость чи-
сленного значения рассматриваемой физической величины от изменения мас-
штабов основных фиксированных физических величин. Таким образом, эту
функцию и следует считать размєрностью данной физической величины по
отношению к фиксированным основным единицам измерения.
Уточним теперь вид функции размерности.
а) Пусть 11: Н І - функция одного переменного, удовлетворяющая усло-
вию ]'(а:1:) = ф(о:) І (112), где І и ср-дифференцируемые функции.
Покажите, что <р(а) = ад.
Ь) Покажите, что функция размерности ср в равенстве (жж) всегда име-
ет вид от - (132 ~ аїз, где показатели степени 41, 42, від, суть некоторые дей-
ствительные числа. Таким образом, если, например, фиксированы основные
единицы Ь, М, Т, то набор (сІ1,гі2,сІ3) показателей в степенном выражении
І/11Мд2Т“'3 также можно считать размврностью данной физической величи-
ны.
с) В Ь) было получено, что функция размерности всегда имеет вид степен-
ной зависимости, т. е. является однородной функцией определенной степени по
каждой из основных единиц измерения. Что означает, что степень однород-
ности функции размерности некоторой физической величины по отношению
к одной из основных единиц измерения равна нулю?
2° П-теорема и метод размерности.
Пусть = Х ,; = 0, 1, . . . ,п) -размерности физических величин, участ-
вующих в законе
Предположим, что размерности ве.личин 1:0, :в;,+1,.. .,а:,, могут быть вы-
ражены через размерности ве.личин 2:1, . . . ,:в;,, т. е.
- Х - ХРЁ ХРЁ
1 0 і 1 . . . І: ,
Р* Р* -
__ ї 2 _
...Х,є2, (2-1,...,п-°Іє)›
(1) Покажите, что тогда наряду с (*) должно быть справедливо соотноше-
ние
1 А: 1 А: р1 р/Ф
аї° . ..огЁ°:в0 = 1(а1:в1,...,а;,:1:;,,аї1...аї1а:;,+1,...,а1°...а,с°а:,,). (***)
е) Если а:1,. . _ ,тд независимы, то в (***) положим 0:1 = а:Г1,.. . ,ад = а:,:1.
Проверьте, что при этом из получается равенство
5170 _ $Іє+1 шп
1 1
1 1., І э-На 1 1 д,›~--э 1 ;, э
Р Р Р Р Р Р
:с1°...:в,с° :1:11...а:,с1 :п1“'° ...а:,є'°
являющееся соотношением
П=](1,...,1,П1,...,П,,_д,) (****)
между безразмерными величинами П, П1, . . . ,П,,_ 1,.

528 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, получается следующая
П-теорема теории размерности. Если в соотношении (*) величины
:с1,...,:п;, независимы, то это соотношение сводится к функции (**›:<*) от
п - І: безразмерныш параметров.
Ґ) Проверьте, что если К = 11., то на основании П-теоремы функция І из
соотношения может быть найдена с точностью до числового множителя.
Найдите таким путем выражение с(<р0)/І/9 для периода колебаний маятника
(т. е. подвешенной на нити длины І массы т, качающейся у поверхности Земли;
900 _ начальный угол отклонения).
5) Найдите формулу Р = с/тт/Р для периода обращения тела массы т,
удерживаемого на круговой орбите центральной силой величины Р.
11) Из закона Кеплера (Р1 /Р2)2 = ('г1 /т2)3, устанавливающего в применении
к круговым орбитам связь между отношением периодов обращения планет
(спутников) и отношением радиусов их орбит, найдите, вслед за Ньютоном,
показатель степени а в законе Р = Є-73%-2 всемирного тяготения.
'Ґ
54. Основные факты дифференциального исчисления
вещественнозначных функций многих переменных
1. Теорема о среднем
Теорема 1, Пусть І: Є -› К _ вещественнозначная функция,
определенная в области Є С Ш. Пусть отрезок [аг,:1:+/1] с кониами 1:,
а: + /1 содержится в Є. Если при этиш условияа: функция 1” непрерывна
в точказ: отрезка [а:,а: + /1] и дифференцируема в точкаа: интервала
]а:,:1: + /ъ[, то найдется такая точка Є Є ]:1:,:с + Щ, что имеет место
равенство
[ти + Ы ~ то = т'<є›/1.] <1›
4 Рассмотрим вспомогательную функцию
Р`(±) = [(аг + Ш),
Н-
определенную на отрезке 0 < < 1. Функция Р удовлетворяет всем
условиям теоремы Лагранжа: она непрерывна на [0, 1], как композиция
непрерывных отображений, и дифференцируема в интервале ]0, Ц, как
композиция дифференцируемых отображений. Следовательно, найдет-
ся точка Э Є ]0,1[ такая, что
г(1)- що) = ще) - 1.

Ё4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ 529
Но Р(1) = ](г1: + /1), Р(0) = /(ш), Р(д) = ['(ас + 0/ъ)/1 и, значит,
выделенное равенство совпадает с утверждением теоремы 1. >
Приведем теперь координатную форму записи соотношения ( 1).
Если гс = (:1:1,...,ш), /1 =(/11,...,/ът) и Є: (2121 +6/ъ1,...,:1:т+
+ дат), то равенство (1) означает, что
[(а:+/1)-/(:1:) =]°(:1:1+/ъ1,...,:вт+/шт) -](:с1,...,:1:т) =
1
Ь
: 1“(€)}7* : І
= дщг)/11 + _ . . + дті(5)ьт = Ёді;($1 + в/11,... ,шт + ддт)/й.
і=1
Используя соглашение о суммировании по повторяющемуся сверху
И СНИЗУ ИНДЄКСУ, ОКОНЧЭҐГЄЛЬНО МОЖНО ЗЗПИСЭҐГЬ
[(121 +/11,...,:1:т +/1т)- ]”(:в1,...,:1:т)=
= діі(1:1+в/»1,...,$т +вьт)т, (1')
где 0 < 9 < 1, причем Э зависит и от Ш, и от /1.
Замечание. Теорема 1 называется теоремой о среднем в связи с
тем, что существует некоторая «средняя» точкаё Є ]а:, а: + /2[, в которой
выполняется равенство Мы уже отмечали при обсуждении теоре-
мы Лагранжа (см. гл. /`, Ё3, п. 1), что теорема о среднем специфична
именно для вещественнозначных функций. Общая теорема о конечном
приращении для отображений будет доказана в главе Х (часть ІІ).
Из теоремы 1 вытекает полезное
Следствие. Если фунииил І : Є -+ К дифферениируема в области
С С Пїт и в любой точке 12 Є Є ее дифференциал равен нулю, то 1”
постолнна в области Є.
4 Равенство нулю линейного отображения равносильно обращению
в нуль всех элементов отвечающей ему матрицы. В нашем случае
поэтому д1[(а:) = = Эт/(гс) = О в любой точке гс Є Є.

530 ГЛ. /ПІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
По определению, область есть открытое связное множество. Вос-
пользуемся этим.
Покажем сначала, что если а: Є Є, то в шаре В(:1:;т) С Є функ-
ция 1” постоянна. Действительно, если (11: + /1) Є В(а:;1°), то и [:в, Ш + 11] С
С В(ш;т) С Є. Применяя соотношение (1) или (1'), получаем
1°(т+/1)-1'(Ш) =і'(€)/1=0~/1=0,
т. е. І (:1: + /1) = 1” и значения І в шаре В(:1:; т) совпадают со значени-
ем ] в центре этого шара.
Пусть теперь а:0,а:1 Є Є -произвольные точки области Є. В силу
связности Є найдется путь 15 ›-› а:(±) Є Є такой, что :1:(0) = :1:0, :п(1) = :1:1.
Мы предполагаем, что непрерывное отображение ± 1-› :1:(±) определено
на отрезке О < 15 < 1. Пусть В (:1:0;т) -шар с центром в шо, содержа-
щийся в Є. Поскольку ш(0) = 1:0 и отображение 15 Ь-› :п(±) непрерывно,
найдется положительное число 5 такое, что а:(15) Є В($0;'г) С Є при
О < Ё < 5. Тогда по доказанному (/ о Е 1” (5130) на промежутке [0, б].
Пусть І = Ѕир 5, где верхняя грань берется по всем числам 5 Є [0,1]
таким, что (І оа:)(±) Е 1” (220) на промежутке [0, б]. В силу непрерывности
функции І имеем 1” = 1” (1120). Но тогда! = 1. Действительно, в
противном случае можно было бы взять некоторый шар В(:с(І); 1*) С Є,
в котором І = І = ]'(:1:0), затем в силу непрерывности отобра-
жения Ё 1-› :1:(±) найти А > 0 так, что ш(±) Є В(:1:(І);т) при І <15<І+ А.
Т0гд& (і °Ш)(*) = 1°(Ш(1))= 1(Шо) ПРИ 0 < 1 <1+ А И 1% Ѕирд-
Итак, показано, что (І о = ](:в0) при любом 15 Є [0,1]. В част-
ности, о = = [(ш0) и мы проверили, что в любых двух
точках 1:0, :с1 Є Є значения функции І: Є -› К совпадают. Р
2. Достаточное условие дифференцируемости функции
многих переменных
Теорема 2. Пусть І: П -› К _функии.я,, определенная в ок-
рестности І/`(а:) С Ш точки а: = (4111, . . . ,а:т).
Если функиил 1” имеет в каждой точке окрестности Ґ] все
частные производные ёд-ії,...,ёё%, то из иш непрерывности в тон-
ке а: следует дифференийруемостїьь функции 1 в этой танке.
4 Без ограничения общности будем считать, что П является
шаром В(:1:;т'). Тогда вместе с точками 1: = (ш1,...,:1:т), Ш + /1 =
= (:1:1 +/ъ1,...,.тт +/ът) области П должны принадлежать также

54. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 531
точки (а:1,а:2+/12, . . . ,а:т+І1''*), _ _ . , (а:1,а:2, . _ . ,шт1,а:т+/ът) и соединя-
ющие их отрезки. Воспользуемся этим, применяя в следующей выкладке
теорему Лагранжа для функций одной переменной:
]`(ш-4-Ь) -[(17) = ](:п1 +/ъ1,...,а:т +/шт) - /(:с1,...,:1:т) =
= ]°(Ш1 +іъ1,...,:1:т+/ъ)-[(:с1,а:2+Іъ2,...,а:т+/ът)+
+і(а:1,ш2+п2,...,а:т+Іът) -](:г1,т2,а:3+л3,...,а:'+Ьт) +...+
+]`(:1:1,а:2,...,:вт_1,а:т +/ът) - [(а:1,...,а:') =
= д1;($1 + в1ь1,Ш2 + /12, . , . ,шт + пт)/11 +
+д2і(Ш1›Ш2+д2Ь2,:в3+н3,...,;гт+пт)ь2+...+
+ дт]($1,а:2, . . . ,а:т_1,:ст + дт/ът)/ът.
Пока мы воспользовались лишь наличием у функции І в области
П(а:) частных производных по каждой из переменных.
Теперь воспользуемся их непрерывностью в точке ш. Продолжая
предыдущую выкладку, получаем, что
да; + Ь) _ да) = д1;($1,. . _ ,а;т)ь1 + ат +
+д2і(:1;1,...,;в')Іъ2 +0?/12 +...+
+ дт[(:с1,...,а:т)Ьт + атіът,
где величины од, . . . ,ат в силу непрерывности частных производных в
точке $ стремятся к нулю при /1 -› 0.
Но это означает, что
[(13 + /1.) - [(513) = 1}(:в)/1 + 0(/1) при Ь -› 0,
где Ь(:1:)/1 = д11'(а:1,...,а:)І11 +...+дт[(:1:1,...,а:т)/ът. Ь
Из теоремы 2 следует, что если частные производные функции
1 : Є -› К непрерывны в области Є С Ш, то функция дифференци-
руема в любой точке этой области.
Условимся в дальнейшем через С'(1)(Є;1К) или, проще, через С(1)(Є)
обозначать множество функций, имеющих в области Є непрерывные
частные производные.

532 ГЛ. УПІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Частные производные высшего порядка. Если функция 1” :
Є -› К, определенная в некоторой области Є С Кт, имеет частную
производную по одной из переменных 1:1, . . . ,:1:, то эта частная
(Б
производная вновь является некоторой функцией Э, 1” : Є -› К, которая
в свою очередь может иметь частную производную дд(ді/ по неко-
торой переменной 1137 .
Функция дд(д,]): Є К называется второй производной от функ-
иии І по переменным 1121, 3:9 и обозначается одним из символов
Э2
д,м<=@>, д;%<:Б>.
Порядок индексов указывает, в каком порядке производится диф-
ференцирование по соответствующим переменным.
Мы определили частные производные второго порядка.
Если определена частная производная
Эд 1”
д11...»г,,1”(Ш) - (Ш)
порядка Іє, то по индукции определяем частную производную порядка
/<: + 1 соотношением
дн1...і,,,Ґ(Пї) ї= д1;(ді1...1,,Ґ)($)~
Здесь возникает специфический для случая функций многих пере-
менных вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирований на вычи-
сляемую частную производную.
Теорема 3. Если функция І: Є -› К имеет в области Є частные
производные
дгї д2/
д:в'”д:с1 ), дагїдаз* ) 7
77710 6 Любой ПЁОЧКЄ Ш Є Є, 6 7їЁО'Ґп;0р0й 06Є ЭТП/Ц ПРОЦЗВОЁЭНЬЁЄ непрєрьївньі,
'и/Ш Зна/ЧЄНЦЛ; с0в'п;а«да«7О7п/.
4 Пусть ап Є Є -точка, в которой обе функции ЭИІ: Є -+ К,
Эд, 1” : Є -› К непрерывны. Дальнейшие рассмотрения будем проводить
в некотором шаре В(:с; 'г) С Є, 1* > 0, являющемся вь1пуклой окрестно-
стью точки ат. Мы хотим проверить, что
д2 д2
_ (ш1,...,шт) = (ш1,...,Шт).

5,4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 533
Поскольку во всех дальнейших выкладках меняться будут только
переменные 113* и Ш7, то мы для сокращения записи предположим, что
1” есть функция двух переменных 1 (5131, Ш2), и нам надо проверить, что
2 2
Ё(2<ш1,ш2›= Ё(,<«:1,«›2›,
дэ: да: да: да:
если в точке ($1,:1;2) Є К2 обе указанные функции непрерывны.
Рассмотрим вспомогательную функцию
1г(/11,112) = ;(1›1 + ь1,<1:2 + 112)- і(±1:1 + /11, 1:2) - /(1;1,ш2 + /12) + і(а;1,1:2),
где смещение 11 = (/11, 112) предполагается достаточно малым, а именно
таким, что 11: -І- /Ъ Є В(:Б; *г).
Если Р (111, 112) рассмотреть как разность
Щ/11›ї12)= <Р(1)- <Р(0),
где <р(±) = ]”(:с1 + ±Іъ1,:1:2 + /12) - [(1131 + 1?/11, ш2), то по теореме Лагранжа
найдем, что
Р(/11, Й2) = <,0,(д1)= (д1і(1І1 + д1}І,1,ІЕ2 + 112) - д1_ї($1 + 91/'І,1,ІІ,'2)) /11.
Применяя к последней разности вновь теорему Лагранжа, найдем,
что
1г(ь1,/12) = д21і(;г1 + в1ь1,а;2 + вг/12)/12/11. (2)
Если теперь Р (/11, /12) представить в виде разности
Р(Ь11Ь2): _
где = [(:в1 + іъ1,:в2 + 15/12) - ]`(:с1,:п2 + Ъ/12), то аналогично найдем,
что
Р(/11,/12) = д12](а:1 + д1іъ1,:1:2 + 92/12)/11/12. (3)
Сравнивая равенства (2) и (3), заключаем, что
д21_ї(Ш1 + 91/'І,1,ІІ3'2 + 82/12) = д12_/`(І131 + Ё1/Ъ1,.172 + Ё2/12), (4)
А; А/
где 01, 02, 01, 92 Є ]0, 1[. Воспользовавшись непрерывностью рассматри-
ваемых частных производных в точке (:в1,:1:2) при И -› 0, из (4) полу-
чаем нужное равенство
д21і($1,Ш2) = д12_Ґ(Ш1,Ш2). Р

534 ГЛ. УПІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Заметим, что без каких-либо дополнительных предположений, во-
обще говоря, нельзя утверждать, что справедливо равенство дді]'(:с) =
= Эд; 1” (св), если обе указанные частные производные определены в точ-
ке ш (см. задачу 2 в конце параграфа).
Договоримся в дальнейшем через С('°)(Є; ІК) или С'('“)(Є) обозначать
множество функций 1” : Є -› К, все частные производные которых до
порядка /є включительно определены и непрерывны в области Є С КТ.
В качестве следствия теоремы 3 получаем
Утверждение 1. Если І Є С(,“)(Є';ІК), то знанение дд,__,д,с](а:)
частной производной не зависит от порядка і1,...,і;, дифференци-
рованил, т. е. остается тем же при любой перестановне индексов
21,...,'І,;с.
4 В случае /є = 2 это утверждение содержится в теореме 3.
Предположим, что утверждение справедливо до порядка п включи-
тельно. Покажем, что тогда оно справедливо и для порядка п + 1.
Но дд,,;2_,_іп+,[(а:) = ді, (ді2__,іп+,])(:с). Индексы і2, ... , іп+1 по предпо-
ложению индукции можно переставлять, не меняя функции ді2___,дп +1 І (:1:),
а следовательно, и функции ді,___іп+, 1” Поэтому достаточно прове-
рить, что можно переставлять также, например, индексы 11 и 1,2, не
меняя значения производной ді,і2,,_д,,+, 1”
Поскольку
д'ІЁ11Ё2...іп+1.ї($) = д'і1'і2 (д'ІЁ3...іп+1
то возможность этой перестановки непосредственно вытекает из тео-
ремы 3. В силу принципа индукции утверждение 1 доказано. >
Пример 1. Пусть І = 1” (а:1,а:2)-функция класса С'('“)(Є;Пё.).
Пусть 11 = (111, 112) таково, что отрезок [а:, из + /1] содержится в обла-
сти Є. Покажем, что функция
</›(#> = і(=1г +15/1),
определенная на отрезке [0,1], принадлежит классу С'('“)[0, 1], и найдем
ее производную по 15 порядка Іє.
Имеем
<р'(±) = д1і(а:1 + ±ь1,ш2 + ±/12)/11 + д2і(:г1 + ±ь1,1;2 + ±/12)/12,

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ
<р”(±) = дпіиг + ±/1)/11/11 + д21;(а: + гл)/12/11 +
+ д12`/'(513 + 15/7,)/7,1/7,2 + д22і(ІІ3 -1-Ё/Ъ)/7,2/7,2 =
= д11/'(113 + Ё/1) (}Ь1)2 + 2д12_/'(513 + Ё/Ъ)/11,12 + д22_/?(іІ7 + Ё/7,)(/7,2)
Эти соотношения можно записать в форме действия на функцию опе-
ратора (/ъ1д1 + /1262):
ФЬФЬ
Щ ) = (/1161 + /ъ2д2) З: +±/1): тдща: + ±/1),
</›”( ) = (/11д1 + 112532)
[Э
ыї
(Ш + Ё/Ъ) = /Ъі1ҐІ,і2 ді1і2]г(ІІІ + Нд)
По индукции получаем
<р<'“>(±) = (ь1д1 + п2д2)'“}(а; + ть) = /#1 ...т/«ді1___і,с і(а: + пп)
(имеется в виду суммирование по всевозможным наборам і1, . . . ,ід из Іс
индексов, каждый из которых принимает значения 1 или 2).
Пример 2. Если = /(а:1,...,:1:) и 1” Є С'(,°)(Є';ІК), то, в пред-
положении, что [а:,а: + /1] С Є, для функции <р(±) = ](:в +±/1), определен-
ной на отрезке [0, 1], получаем
<р(,°)(ІЁ) = /Ъії . . . /7,і'°ді1___»,;,с]г(ІІ,' -|- Ё/7,), (5)
где справа имеется в виду суммирование по всевозможным наборам ин-
дексов 111, _ . . ,і;с, каждый из которых может принимать любое значение
от 1 до т включительно.
Формулу (5) можно записать также в виде
<р<'“>(±) = (/1161 + . .. + Іътдт)'°і(а: + гл). (6)
4. Формула Тейлора
Теорема 4. Если функция І : П -› Е определена и принадле-
жит классу С'()(П(а:);1К) в окрестности П(:с) С Ш точки ш Є Кт,
а отрезок [:с,:с + /1] полностью содержится в І/'(412), то имеет место
равенство

536
ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
где
: + . . . + + 'Ґ~д_]_(./11; ,Ъ
/«;=1 '
ФН
[(331 +/ъ1,...,а:т+/шт) -[(:1:1,...,а:) =
п-1
1
(1_Ё)п_1 1 т п
)› (7)
(8)
Равенство (7) совместно с соотношением (8) называется формулой
Тейлора с интегральной формой остаточного нлено.
4 Формула Тейлора (7) немедленно следует из соответствующей
формулы Тейлора для функции одной переменной. В самом деле, рас-
смотрим
вспомогательную функцию
</>(±) = і(Ш + Ш),
которая в силу условий теоремы 4 определена на отрезке 0 <
(как мы проверили выше) принадлежит классу С'()[0, 1].
Тогда при т Є [0, 1] в силу формулы Тейлора для функций одной
переменной можно записать, что
но = «›<<›› + %«›'<<››т + . . . + дёд«›<*><0›Т“-1 +
Полагая здесь т = 1, получаем
_ .є)'П,-1
+
оф
'Ґ-Т
@<1>= <0› + і«›'<0› + . .. + -3-«@<*><0› +
Подставляя в полученное равенство, в соответствии с формулой (6),
ЗНЗЧЄНИЯ
90 1! (п -
<р<'*> (0) = (/1181 + . . . + /ътдт)
<,›<п>(±) = (ь1д1 + . . . + Ы/ат)
1)!
за-
*ь*ь
1 о
(1-И-1
ФЬ
<1и
Ттїіў-<Р(п) (±т)т“ <і±.
) (П)
+ ї-ср (І) сій. (9)
Х (п - 1)!
(:1:) (/<:=0,...,н-
(ас +15/1),
получаем то, что и утверждает теорема 4. Ь
1)?

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 537
Замечание. Если вместо интегральной формы остаточного члена
в соотношении (9) написать остаточнь1й член в форме Лагранжа, то из
равенства
мы = но + %«›'<0› + . ~ ~ + 5,-д%«›<“1><0›+%«@<><@›,
где 0 < 9 < 1, получается формула Тейлора (7) с остаточным членом
1
г,,_1(1;; /1) = д(ь1д1 + . . . + ьтдт);(:1; + вт). (10)
Эту форму остаточного члена, так же как и в случае функций одной
переменной, называют формой Лаеранжа остаточного члена формулы
Тейлора.
Коль скоро 1 Є С(”)(П(:1:);К), то из (10) следует, что
1
»г,,_1(ь; ь) = -д(л1д1+...+ьтд,,,)і(:ь)+ ь(||ь||) при ь -› 0,
поэтому имеет место равенство
[(1121-Ь /ъ1,...,:1тт +іът) - [(а:1,...,:І;т) =
1
=2д(ь1д1+...+ьтдт)*і(ь)+ь(||ь||“) при ь-›о, (11)
/@=1 '
называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
5. Экстремумы функций многих переменных. Одним из важ-
нейших применений дифференциального исчисления является его ис-
пользование для оть1скания и исследования зкстремумов функций.
Определение 1. Говорят, что функция 1” : Е -› К, определенная
на множестве Е С КТ, имеет локальный максимум (локальный мини-
мум) во внутренней точке азо множества Е, если существует окрест-
ность І/(120) С Е точки 1:0 такая, что 1” < 1 (шо) (соответственно,
ДЗЗ) В ї(Шо)) ПРИ Ш Є П(ї1їо)-
Если при сс Є П(:1:0):1:0 имеет место строгое неравенство 1” < І (1120)
(или, соответственно, 1” > 1” (:1:0)), то говорят, что функция имеет в
точке а:0 строгий локальный максимум (строгий локальный минимум).

538 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 2. Локальные минимумы и локальные максимумы
функции называют ее локальными экстремумами.
Теорема 5. Пусть функция 1” : П (120) -› Ш, определенная е окрест-
ности І/(:1:0) С КТ точки 1120 = (:1:Ё,, . . . ,а:'6'), имеет е точке 3:0 частные
производные по каждой из переменныа: :1з1,. . . ,:1;т.
Тогда для того, чтобы функция имела в :1:0 локальный экстремум,
необагодимо, чтобы в этой точке были выполнены равенства
ді ді
5550120) = 0, - - - › %;;;($о) = 0~ (12)
4 Рассмотрим функцию <р(а:1) = 1” (:1:1, 112%, . . . ,а:Б”) одной переменной,
определенную, в силу условий теоремы, в некоторой окрестности точ-
ки агё вещественной оси. В точке всё функция <р($1) имеет локальный
экстремум, и поскольку
д] т
<р' = Э-Е (азЁ,:1:Ё,...,а:0 ),
д _
то -Ёї(:1:0) _ 0.
да:
Аналогично доказываются и остальные равенства системы (12). ›
Обратим внимание на то, что равенства (12) дают лишь необхо-
димые, но не достаточные условия экстремума функции многих пере-
менных. Примером, подтверждающим это, может стать любой пример,
построенный по этому же поводу для функции одной переменной. Так,
если раньше мы говорили о функции сс 1-› 1:3, имеющей в нуле нуле-
вую проиэводную, но не имеющей там экстремума, то теперь можно
рассмотреть функцию
і($1›° ~ ° эшт) = ($1)3э
все частные производные которой в точке то = (0, . . . ,0) равны нулю,
но экстремума в этой точке функция, очевидно, не имеет.
Теорема 5 показывает, что если функция 1” : Є -› ІК определена на
открытом множестве Є С Кт, то ее локальные экстремумы находятся
либо среди точек, в которых 1” не дифференцируема, либо в тех точках,
в которых дифференциал д 1” (ато) или, что то же самое, касательное
отображение ](:в0) обращается в нуль.
Нам известно, что если отображение І : П (1120) -› К, определенное
в окрестности П(аг0) С 1К точки то Є Кт, дифференцируемо в :1:0, то

(24. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЬІ 539
матрица касательного отображения 1” ' (ад): Кт -› К” имеет вид
др/'1(11З0) . . . дт]С1(ІІ,'0)
.................... .. (13)
д1_]т'(ЅІ20) дт]т'(ІВ0)
Определение 3. Точка шо называется критической точкой ото-
бражения 1” : П (1130) -› Кп, если ранг матрицы Якоби (13) отображения
в этой точке меньше, чем шіп {т,п}, т.е. меньше, чем максимально
возможный.
В частности, при п = 1 точка 1130 критическая, если выполнены усло-
вия (12), т. е. все частные производные функции І : П(:1:0) -› К обраща-
ются в нуль.
Критические точки вещественнозначных функций называют также
стационарными точками таких функций.
После того как в результате решения системы уравнений (12) най-
дены критические точки функции, их дальнейший анализ в отноше-
нии того, являются они точками зкстремума или нет, часто удается
провести, используя формулу Тейлора и доставляемые ею следующие
достаточные условия наличия или отсутствия зкстремума.
Теорема 6. Пусть ]` : І/(шо) -› В _ функция класса С'(2)(Ґ1(:в0
определенная в окрестности П(а:0) С К” точки тд = (:вЁ,...,а:
Є Кт, и пусть гид _ критическая точка этой функции 1.
Если в тейлоровском разложении
Ф3:«
`/Ё
ҐП»
]°(:1:Ё+/11,...,:вБ'+/ът) =
1 т 1 т д2Ґ /г ' 2
=[(ш0,...,:в0 ) + 5 2 5;-5а;±(:с0)І1 /19 +о(||І1|| ) (14)
' і›.і=1
функции в точке 0:0 квадратичная форма
т д2Ґ «г д_ 1 1
2 ф(ь0)ь ь = д,,,=(ь0)ь ь (15)
і,і=1
а) знакоопределена, то в точке сад функция имеет локальный экс-
тремум, который является строгим локальным минимумом, если ква-
дратичная форма (15) положительно определена, и строгим локаль-
НЫ./И М(І,7^€Сї1,МуМОМ, ЄС./І/11, ОНО, О7ТІ,р'Ц'Ц(І'ПЪЄ./ЕЬНО 0ҐІ,рЄдЄ./ЪЄНСЪ;

540 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ь) может принимать значения разныа: знаков, то в точке то функ-
иия экстремума не имеет.
4 Пусть /2 эё О и то + /1 Є П(:1:0). Представим соотношение (14) в
виде
т 2 1 °
х<<1:0+~›-1<а:0›=%|1ыт2 2;,Ё%,;<«›0›Ё%+<›<1› , по
' і,у=1
где о(1) есть величина, бесконечно малая при /1 -› 0.
Из (16) видно, что знак разности 1” ($110 + /1) - ](:1:0) полностью опре-
деляется знаком величины, стоящей в квадратных скобках. Этой вели-
чиной мы теперь и займемся.
Вектор е = (/11/||/1||, . .. ,/шт/||Ь||), очевидно, имеет единичную нор-
му. Квадратичная форма (15) непрерывна как функция /1 в Ш, поэтому
ее ограничение на единичную сферу Ѕ(0; 1) = {а: Є Ш | = 1} так-
же непрерывно на Ѕ(0; 1). Но сфера Ѕ есть замкнутое ограниченное
подмножество в Кт, т.е. компакт. Следовательно, форма (15) имеет
на Ѕ как точку минимума, так и точку максимума, в которых она при-
нимает соответственно значения т и М.
Если форма (15) положительно определена, то 0 < т < М и потому
найдется число 5 > 0 такое, что при < 5 будет |о(1)| < т. Тогда
при < 6 квадратная скобка в правой части равенства (16) окажется
положительной и, следовательно, ](а:0 + /Ъ) - [(230) > 0 при 0 < < 5.
Таким образом, в :этом,случае точка 3:0 оказывается точкой строгого
локального минимума рассматриваемой функции.
Аналогично проверяется, что в случае отрицательной определенно-
сти формы (15) функция имеет в 500 строгий локальный максимум.
Тем самым пункт а) теоремы 6 исчерпан.
Докажем утверждение Ь).
Пусть ет и е М _ те точки единичной сферы, в которых форма (15)
принимает соответственно значения т, М, и пусть т < 0 < М.
Полагая /1 = гїет, где і-- достаточно малое положительное число
(настолько малое, что 1120 + іет Є П(:в0)), из (16) находим
то + то = і<э:0› = Ётт + <›<1›>,
где о(1) -› О при І -› 0. Начиная с некоторого момента (т. е. при всех
достаточно малых значениях 15), величина т+ о(1) в правой части этого

Ё4. ССНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 541
равенства будет иметь знак т, т. е. будет отрицательна. Следовательно,
отрицательной будет и левая часть.
Аналогично, полагая /1 = гїем, получим
то + ±@М› = /<:»0› = %±2<М + 0<1>›,
и, следовательно, при всех достаточно малых 15 разность 1 (1130 + ієм) -
- /(гад) положительна.
Таким образом, если квадратичная форма (15) на единичной сфе-
ре или, что, очевидно, равносильно, в Ш принимает значения разных
знаков, то в любой окрестности точки то найдутся как точки, в ко-
торых значение функции больше 1” (шо), так и точки, в которых оно
меньше _1”(а:0). Следовательно, в этом случае шо не является точкой ло-
кального зкстремума рассматриваемой функции. >
Сделаем теперь несколько замечаний в связи с доказанной теоремой.
Замечание 1. Теорема 6 ничего не говорит о случае, когда фор-
ма (15) полуопределена, т. е. неположительна или неотрицательна. Ска-
зывается, в этом случае точка гид может быть точкой зкстремума, а
может и не быть таковой. Это видно, в частности, из следующего при-
мера.
Пример З. Найдем зкстремумы определенной в ІК2 функции
](:с,у) = Ш4 + у4 - 2:с2.
В соответствии с необходимыми условиями (12) напишем систему
уравнений
ді
ЕЭС-(:1:,у) = 41:3 - 41: = 0,
дї _ з_
5д(Ш,у) - 42/ - 0,
из которой находим три критические точки: (-1, 0), (0, 0), (1, 0).
Поскольку
2 2 2
д Ґ д 1 _ д
Ёў($›1/) =121172 _ 4, Ё?;%($›у) = 0› т(17›у)=12?!2›
то квадратичная форма (15) в указанных трех критических точках
имеет соответственно вид
8(}Ъ1)2› _4(]7'1)2› 8(Ь'1)2›

542 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
т. е. во всех случаях она полуопределена (положительно или отрицатель-
но). Теорема 6 тут не применима, но поскольку 1” (аз, у) = (332 - 1)2+у4- 1,
то очевидно, что в точках (-1, 0), (1, 0) функция 1” (гс, у) имеет строгий
минимум -1 (и даже нелокальный), а в точке (0,0) у нее нет экстре-
мума, поскольку при :с = 0 и у 79 0 [(0,у) = у4 > 0, а при у = 0 и
достаточно малых сп ад 0 ](а:, 0) = :с4 - 24122 < 0.
Замечание 2. После того как квадратичная форма (15) получе-
на, исследование ее определенности может быть проведено с помощью
известного из курса алгебры критерия Сильвестрац. Напомним, что
ТП
в силу критерия Сильвестра квадратичная форма 2 а,д:с3:с~7 с симме-
трической матрицей И =1
0,11 . . . (1,1т
(Ът1 . . . атт
положительно определена тогда и только тогда, когда положительны
все главные миноры этой матрицы; форма отрицательно определена
тогда и только тогда, когда ап < О и при переходе от любого главного
минора матрицы к главному минору следующего порядка знак значения
минора меняется.
Пример 4. Найдем зкстремумы функции
і(Ш,у) = Ш:/111 (Ш2 +у2),
определенной в плоскости ІК2 всюду, кроме начала координат.
Решая систему
д] 21:23;
= у1П (1132 + їф : 0,
д] 2а:у2
= $111 (ІІІ2 + 'Её-+-Ґ? = 0,
находим все критические точки функции
(о,±1); (±1,о); (±%_;,±/-Ё);
1)Дж. Дж. Сильвестр (1814 - 1897) -английский математик; наиболее известные
его работы относятся к а.1п*ебре.

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 543
Поскольку функция нечетна относительно каждого из двух своих
аргументов в отдельности, то точки (0, ±1) и (±1,0), очевидно, не явля-
ются точками зкстремума нашей функции.
Видно также, что данная функция не меняет своего значения при
одновременном изменении знака обеих переменных из и у. Таким обра-
зом, если мы исследуем только одну из оставшихся критических точек,
1 1 ,
Н&ПрИМЄр ТОЧКУ (7-їё, ТО МЬІ СМОЖЄМ СДЄЛ8.ТЬ ЗЗКЛЮЧЄНИЄ И О Хдг
рактере остальных.
Поскольку
д2] _ базу 4:с3у
'%'(111›у) _ “__” _ -5-__,
6921”
552 + у2 (Ш + у2)2
22
2 2 4537!
Гвдз/(Ш,у) =1І1 (Ш +у ) +2- її-(Ш2+у2)2,
д2] _ р багу 4:13;/3
_ 2 _ а
а-
(Ъ
д-
СВ
ТО В ТОЧКЄ <
ду а: + у2 (а:2 + у2)2
квадратичная форма дд І (а:0)І2іі17 имеет матрицу
2 0
О 2 ”
т. е. она положительно определена, и, следовательно, в этой точке функ-
ция имеет локальный минимум
і_± __і
2@°
В силу сделанных выше наблюдений относительно особенностей рас-
сматриваемой функции можно сразу же заключить, что
1_1 __1
жж* 2є
-также локальный минимум, а
1 1
ьїі
Ъїі
#11
1°(і*т) =1°(*_›*>=%
×/ї×/ї
Ё
Ё
-локальные максимумы функции. Впрочем, это можно проверить и
непосредственно, убедившись в определенности соответствующей ква-

544 ГЛ. УПІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
дратичной формы. Например, в точке (--- --) матрица квадра-
ь,~
СВ
дэ
СБ
тичной формы (15) имеет вид
(її -3)»
откуда видно, что форма отрицательно определена.
Замечание 3. Следует обратить внимание на то, что мы указали
необходимые (теорема 5) и достаточные (теорема 6) условия экстре-
мума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким
образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функ-
ции необходимо наряду с внутренними критическими точками функ-
ции исследовать также точки границы области определения, поскольку
максимальное или минимальное значение функция может принять в од-
ной из таких граничных точек.
Подробнее общие принципы исследования невнутренних экстрему-
мов будут разбираться позже (см. раздел, посвященный условному экс-
тремуму). Полезно иметь в виду, что при отыскании минимумов и мак-
симумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее,
можно использовать некоторые простые соображения, связанные с при-
родой задачи. Например, если рассматриваемая в Ш дифференциру-
емая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с
тем она не ограничена сверху, то, при условии, что функция имеет
единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследова-
ния утверждать, что в этой точке она и принимает свое минимальное
значение.
Пример 5. Задача Гюйгєнса. На основе законов сохранения энер-
гии и импульса замкнутой механической системы несложным расчетом
можно показать, что при соударении двух абсолютно упругих шаров,
имеющих массы т1 и тг и начальные скорости 111 и 112, их скорости по-
сле центрального удара (когда скорости направлены по линии центров)
определяются соотношениями
~ _ (т1 - т2)т11 + 2т2т12
711 _ э
'ГГЬ1 + 7712
(т2 - т1)и2 + 2т1'и1
52: .
т1+т2

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЫ 545
В частности, если шар массы М, движущийся со скоростью У, уда-
ряется о неподвижный шар массы т, то приобретаемая последним ско-
рость 11 может быть найдена по формуле
2М
= -_ 17
0 т+Ми <›
З
с
из которой видно, что если 0 < < М, то У < < 2/.
Каким же образом телу малой массы можно передать значитель-
ную часть кинетической энергии большой массы? Для этого, например,
между шарами малой и большой масс можно вставить шары с проме-
жуточными массами т < т1 < т2 < < тп < М. Вычислим (вслед
за Гюйгенсом), как надо выбрать массы т1,т2, . . . ,т,,,,, чтобы в ре-
зультате последовательных центральных соударений тело т приобрело
наибольшую скорость.
В соответствии с формулой (17) получаем следующее выражение
для искомой скорости как функции от переменных т1,т2, . . . ,т,,:
т1 т2 т М
11: ~ . . . .2+11/. (18)
т+т1 т1+т2 ті,-,,_1+т.,, т,,+М
Таким образом, задача Гюйгенса сводится к отысканию максимума
функции
т1 тп М
“щ*щт“=ж:иї °тлНт%є%+м~
Система уравнений (12), представляющих необходимые условия вну-
треннего экстремума, в данном случае сводится к системе
2_
т-т2-т1-0,
2_
т1-т3-тдд-0,
2..
тп_1°М_Тпп-_0,
из которой следует, что числа т, т1, . . . ,тп, М образуют геометриче-
скую прогрессию со знаменателем (1, равным +1/ М/ т.
Получаемое при таком наборе масс значение скорости (18) опреде-
ляется равенством
= -:- 1
0 Нч) И (Щ
которое при п = О совпадает с равенством (17).

546 ГЛ. /ПІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из физических соображений ясно, что формула (19) указывает мак-
симальное значение функции (18), однако это можно проверить и фор-
мально (не привлекая громоздких вторых производных; см. задачу 9 в
конце параграфа).
Заметим, что из формулы (19) видно, что если т -› 0, то 11 -+
-› 2“+1У. Таким образом, промежуточные массы действительно за-
метно увеличивают передаваемую малой массе т часть кинетической
энергии массы М.
6. Некоторые геометрические образы, связанные с функ-
циями многих переменных
а. График функции и криволинейные координаты. Пусть ш,
у, 2 -декартовы координаты точки пространства КЗ, и пусть 2 =
= 1” (сс, у) -непрерывная функция, определенная в некоторой области Є
плоскости ІК2 переменных (:1:, у).
В силу общего определения графика функции, график функции
[: Є -› 1Кв нашем случае есть множество Ѕ = {(:1:,у,2) Є КЗ | (аду) Є Є,
2 = /(ас, у)} в пространстве КЗ.
Очевидно, что отображение Є -І;› Ѕ, определяемое соотношением
(:1:,у) 1-› (а:,у, 1” (ас,у)), есть непрерывное взаимно однозначное отобра-
жение Є на Ѕ, в силу которого любую точку множества Ѕ можно задать,
указывая соответствующую ей точку области Є или, что то же самое,
задавая координаты (св, у) этой точки Є.
Таким образом, пары чисел (:с,у) Є Є можно рассматривать как
некоторые координаты точек множества Ѕ -- графика функции 2 =
= 1” (:1:, Поскольку точки Ѕ задаются парами чисел, то Ѕ будем услов-
но называть двумерной повєрагностью в ІК3 (общее определение поверх-
ности будет дано позже).
Если задать путь Г: І -› Є в Є, то автоматически возникает путь
Р о Г : І -› Ѕ на поверхности Ѕ. Если а: = а:(±), у = у(±) -параметри-
ческое задание пути Г, то путь Р о Г на Ѕ задается тремя функция-
ми: зс = :1:(±), у = у(і), 2 = [(а:(±),у(1€)). В частности, если положить
1: = тд + 13, у = уо, то мы получим кривую сс = 1130 +15, у = уо, 2 =
= 1” (1130 + 15, уд) на поверхности Ѕ, вдоль которой координата у = уо то-
чек Ѕ не меняется. Аналогично можно указать кривую а: = шо, у = уо-1-±,
2 : 1” (шо, уо + 15) на Ѕ, вдоль которой не меняется первая координата 1:0
точек Ѕ. Эти линии на Ѕ по аналогии с плоским случаем естественно

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 547
называть координатными линиями на поверхности Ѕ. Однако, в отли-
чие от координатных линий в Є С К2, являющихся кусками прямых,
координатнь1е линии на Ѕ, вообще говоря, являются кривыми в КЗ. По
этой причине введенные координаты (аг, у) точек поверхности Ѕ часто
называют криво./ъинєйными координатами на Ѕ.
Итак, график непрерывной функции 2 = І (:1:,у), определенной в
области Є С ІК2, есть двумерная поверхность Ѕ в ІК3, точки которой
можно задавать криволинейными координатами (гс, у) Є Є.
Мы пока не останавливаемся на общем определении поверхности,
поскольку сейчас нас интересует только частный случай поверхности --~--
график функции, однако мы предполагаем, что из курса аналитической
геометрии читателю хорошо знакомы некоторые важные конкретные
поверхности в КЗ (плоскость, зллипсоид, параболоиды, гиперболоиды).
Ь. Касательная плоскость к графику функции. Если функция
2 = 1”(а:, у) дифференцируема в точке (шо, 3,/0) Є Є, то это означает, что
ї(Ш›у) = Ґ($о›уо) + А($ - 1Бо)+ В(1Ч '_ уо) +
+ О (×/(Ш - «:.››2 + (у - уж) при (Щ) а (Щ/0›, от
где А и В -некоторые постоянные.
Рассмотрим в КЗ плоскость
2=2о+А($-1їо)+В(?/-?/0)» (21)
где 20 = ]'(:1:0,у0). Сравнивая равенства (20) и (21), видим, что график
нашей функции в окрестности точки (а:0,у0,20) хорошо аппроксими-
руется плоскостью (21). Точнее, точка (а:,у, 1” (:с,у)) графика функции
уклоняется от точки (12, у, 2(а:, у)) плоскости (21) на величину, бесконеч-
но малую в сравнении с величиной /(гс - :1:0)2 + (у - у0)2 смещения ее
криволинейных координат (гс, у) от координат (тд, уо) точки (ссо, уо, 20).
В силу единственности дифференциала функции, плоскость 21),
обладающая указанным свойством, единственна и имеет вид
7
2 = Ґ(11о›уо)+ %(Шо›уо)($ _ то) + %(111о›2/о)(у _ 310)- (22)
Она называется касательной плоскостью к графику функции 2:/(113, у)
8 точке (Шо: 3/07 ]€($0›

548 ГЛ. /ІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
_ _ ,__.^ Н, _, _>_.д_,.›,,, .. __;
`1=-,їЕ€_І1_€~І_І133;;;;5Ё'-;=_;_;Ёёд-;=_:;=' __:-;='ї›-1:ч:*=`=:.2Еї'-ї1.'Ё;. Е'_ї1.ч':*-3.1,Ё,^:З€5Ё>
__ __ ,_ -:5'_= =Е'Е'.;_'І'І'_:Е'Е} Ё5Е: Ё Ё:;=1 125135; _
_-; ' ;=_ =:=Е .1Е=_'_' -'_ ;'.›_-:=:-Ё1'< _ $:=-1.-ёёгї *›І=.~=.-.
.= -2:9 -.ї=:-':ъ~›._$: <;:~;=. ' И =?:>'-г=;=;-; .
;=›..' =*'*=і:ёгї=з±:і=з>.=;~Ё?єі>?:?Ё '=їё&?ггг=25;іг&іёё='**'- '. ==
.дд`_д_: 7 ~ ..-:›.;;;_:,_:; -:;›:--;<.<:: '_:___;дд;д;_; _:__<.;.›: _,;'д._;у:<_
-=: '- -=~'-Т ':›<;:-=:=;:': =.=> -_ '<:-а› :=-.
,.':=<: '.-:=:-›-<--.'.-<ё-'..› ;;~'-.-_?;>-:~=:=:'ж -.«*~<ъ-'~<<' .:;=-.<._=_.›_;_=:
';';';';=:<:';';-'::›'.г#$: '%;2<і===-'-;×~'±'-›'%-='-==г:'±' ~*:,.г'*$г;= .:<*;-'~'-=::-=-<.г;=
:.- :<-,-..-:<<-.--;_:››::~ А--› ;<=5_'<~:±.=<$-“:›, _ ;-- д$«<-›3›; -:-_››-.--:-3- - «_
'5,:=_=;-_;;±'5іЁ*=5д_:а':;=›€3!Ё_::2;:Ё4ъ<5:;:Е}ё51*:ї='ді$3:' _, 2_-:-5;$$›_-4<Ґё›--
_ . __ І, Ч»
<-=-- -_: г;=- г.=-' -::=;т›*?.::--›Е=цд*ї===' :›1%$їЕЁЕїї×ЁїЕ.'Ё=і=›;і-'“' “ЁЁ *?і.--';ї*5`*ёё?=Ё7Ё
,
4 =г..$;.:=..ї-є±Ё::»в- ?ёї?Ё?›:$їг2г±;*ёї:ії<*%==* 4 <є:=Ёё:' <=-'==='5і%~'=Ё.$“-:-_=*:::2
'-'---=-'ті'-г.гё=:›*-'-“ є==?›хг=г?ад-==;>_<.-;г:^===.-=.'›г#~==*$г=_»г- _. _. -›~2=;г±э.'›г#*дэ?=< =--Ф-==г:т-=:А=>є*<=з=г
,__ __ ›_. _<-.,._/_ __, _ < __», -_
=_ Ф- ~ <;:-;ё:ъ;;›:зчг=~=ьЖ.,. 34,91 -_
,д-,_-.>›-_-:-_»-г.-.__-5.:/_-›±,-,_ -.±:-.-.._<-.<-:/<-_._,- -:3_>-:3>3_:«ы.-.-'---
..:==2г == '=1Р:5зё:і=г'=1=:››.*-г1*2=г.=;ї =>= @'г*=::=*'
Ц
.-.-.<.›.^- _. ,_ _ ,_ - -- « ,-':>>€--;- ;г'=
.-<:.'›;< --;-›;<-.«›;--;- _ -_ - -ь-:- .- =.- -, :› ~-› ›;._:<. :е-«= _.-ж*
` ' ' * 2
2 2 2 ї і 2 і _-_'=.=: яд-:_ =:':;: :-<-.:_:.ё~:-'= ':-:-:~ '
1: + (13 -;1
2 у 2 = -1:2 + 1/2 _
а. Ь. с.
Рис. 53.
Итак, дифференцируемость функции 2 = 1” (ш,у) в точке (:1:0,у0)
и наличие у графика этой функции касательной плоскости в точке
(шо, уо, ]`(:1:0, у0)) суть равносильные условия.
с. Нормальный вектор. Записывая уравнение (22) касательной
ПЛОСКОСТИ В КЕІНОНИЧЄСКОМ ВИДЄ
%:'(11їо›уо)(1ї _ 170) + %($о›?/о)(1Ч _ 1/0) _ (2 _ Ґ(Шо›3/0)) = 0,
заключаем, что вектор
(%і'(Шо›З/о)›%($0,уо)›-1) ( )
23
ЯВЛЯЄТСЯ НОРМСЪ./ЪЬНЬЪМ ЄЄТЄТГЬОРО./И КСЪССЪТПЄ./ЪЬНО'й П./ЬОС'Ю0С?ТЬ'Ц. ЕГО Н3,Пра-
ВЛЄНИЄ СЧИТЕЪЄТСЯ Н&Пр&ВЛЄНИЄМ, НОрМа.ЛЬНЬІМ ИЛИ ОРТОГОНЕЪЛЬНЬІМ К ПО-
верхности Ѕ (графику функции) в точке (1130, уд, 1” (ато, 3/0)).
В частности, если (120, уо) - критическая точка функции 1” (12, у
точке (1130, уд, І (1120, у0)) графика нормальный вектор имеет вид (0
и, следовательно, касательная плоскость к графику функции в такой
точке горизонтальна (параллельна плоскости (гс,
Следующие три рисунка иллюстрируют сказанное.
Ё<=:*
'-5
О
-1
В
На рис. 53, а, с изображено расположение графика функции по отно-
шению к касательной плоскости в окрестности точки локального экс-
тремума (соответственно, минимума и максимума), а на рис. 53, Ь-
окрестности так называемой седловой критическои точки.
В
(1. Касательна.я плоскость и касательный вектор. Мы знаем,
что если путь Г: І -› КЗ в КЗ задается дифференцируемыми функци-
ями 11: = $(15), у = у(±), 2: = 2(±), то вектор (:і:(0),3](0),2(0)) есть вектор

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 549
скорости в момент і = 0. Это направляющий вектор касательной в точ-
ке то = :в(0), уд = у(0), 2:0 = 2(0) к кривой в КЗ, являющейся носителем
пути Г.
Рассмотрим теперь путь Г: І -› Ѕ на графике функции 2 = /`(а:, у),
задаваемь1й в виде сс = :с(±), у = у(і), 2 = 1(а:(±), у(±)). В этом конкрет-
ном случае находим, что
<±<0›,@<0›, ±<<››› = (±<0›,@<0>, ёкш/0›±<<›› + %<«›0,у0›@<0›),
откуда видно, что найденный вектор ортогонален вектору (23),
нормальному к графику Ѕ функции в точке (а:0,у0, 1 (а:0,у0)). Таким
образом, мы показали, что если вектор (Є, п, С) касателен в точке
(1120, уд, І (:1:0, у0)) к некоторой кривой на поверхности Ѕ, то он ортогона-
лен вектору (23) и (в этом смысле) лежит в плоскости (22), касательной
к поверхности Ѕ в указанной точке. Точнее можно было бы сказать, что
вся прямая гс = 1:0-І-515, у == у0+1715, 2 = ](Ш0, уо)-1-(15 лежит в касательной
плоскости (22).
Покажем теперь, что верно и обратное утверждение, т. е. если пря-
мая гс = то + 513, у = уо + пі, 2 == ](:1:0,у0) + Сі или, что то же самое,
вектор ({,17, С) лежит в плоскости (22), касательной к графику Ѕ функ-
ции 2 = ]`($, у) в точке (1130, уд, ]`(:1:0, у0)), то на Ѕ есть путь, для которого
вектор ({,т;, С) является вектором скорости в точке (:1:0,у0, 1 (а:0,у0)).
В качестве такового можно взять, например, путь
Ш = то +61, у = уе +т, 2 = і(=1го +~€т/0 +т)-
В самом деле, для него
. _ . _ . _ д] ду”
Ш(0) - Є, з/(0) - П, 2(0) - дШ(=1го,з/о)€+ ду (Шо, уст-
Ввиду того, что
д . д . .
дЁ<:›:0,у0›а:<0› + %<:с0,у0›у<0› - А-(0) = 0
и по условию также
($0эу0)€ + ($0›у0)п _ С = Оэ
заключаем, что
(і2(0),ў(0),2(0)) = (€,п,С)-

550 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итак, касательная плоскость к поверхности Ѕ в точке (1:0,у0,20)
образована векторами, касательными в точке (:1:0,у0, 20) к кривым, про-
ходящим на поверхности Ѕ через указанную точку (рис. 54).
Это уже более геометричное описание касательной плоскости. Во
всяком случае, из него видно, что если инвариантно (относительно вы-
бора системы координат) определена касательная к кривой, то каса-
тельная плоскость также определена инвариантно.
Для наглядности мы рассматривали функции
двух переменных, однако все сказанное, очевид-
Н0› ПЄРЄНОСИТСЯ И Нд» Общий СЛУЧЭ-Й ФУНКЦИИ
т переменных, где т Є Ы.
її Пло скость, касательная к графику такой
Р 54 функции в точке (агё, . . . ,а:'6', [(:1:(]5, . . . ,:с6”)), запи-
ис. .
шется в виде
у = г<:с%,,...,шз*› +2 %<«›д,...,шь“›<«›* - шо; <25›
'і=1
д д
(%($0)› ' ° ° 7 ($0)т _-1)
есть нормальный вектор плоскости (25). Сама зта плоскость, как и
график функции (24), имеет размерность т, т. е. любая точка задается
теперь набором (:п1,... ,а:т) из т координат.
Таким образом, уравнение (25) задает гиперплоскость в 1Кт+1.
Дословно повторяя проведенные выше рассуждения, можно прове-
рить, что касательная плоскость (25) состоит из векторов, касательных
в точке (свё, . . . ,а:6', 1” (тд, . . . ,:п6')) к кривым, проходящим через зту точ-
ку и лежащим на т-мерной поверхности Ѕ -- графике функции (24).
вектор
Задачи и упражнения
1. Пусть 2 = ]°(ш,у) -функция класса С'(1)(Є;1К).
а) Если Ё-5(а:,у) Е 0 в Є, то можно ли утверждать, что функция І не
зависит от у в области Є?
Ь) При каком условии на область Є ответ на предыдущий вопрос положи-
телен?

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЫ 551
2. а) Проверьте, что для функции
2 2
шут-Щ _ , если :1:2 +3/2 75 0,
і(<г,у)= 1” +1/
0, если а:2 + 3/2 = 0,
ИМЄЮТ МЄСТО СЛЄДУЮЩИЄ СООТНОШЄНИЯІ
д2; _ _ д2;
%(о,о) _ 1 ;Ь -1_ 5Е(о,о).
Ь) Докажите, что если функция ](а:,у) имеет частные производные да:
% в некоторой окрестности П точки (:1:0,у0) и если смешанная производная
2 2
% (или %) существует в П и непрерывна в (шо, уд), то смешанная произ-
2 2 _,
водная % (соответственно, дїёу) также существует в этои точке и имеет
место равенство
'її-(-То›?/0) = ї($о›3/о)-
дшду дудш
3. Пусть 1171, . . . ,шт -декартовы координаты в Вт. Дифференциальный
оператор
ЁМЭ
од
Ч.
'Ё
2
А: 1.
действующий на функции І Є С'(2)(Є'; Шё) по правилу
~[`“1Э
од
зі Чё
.;,*~›.
га
Че
З
щ: -_
Ѕ.
называется оператором Лапласа.
Уравнение А] = 0 относительно функции І в области Є С К” назы-
вается уравнєнивм Лапласа, а его решения-гармонииєскими функциями в
области Є.
а) Покажите, что если ас = (:1:1, . . _ ,а:т) и
ЗМЗ
її»
ІІШН =
то при т > 2 функция
_ _2:ш
ПШ) = І|$Н 2
является гармонической в области Кт 0, где О = (О, . . . , 0).

552 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ь) Проверьте, что функция
2
1 НШН
.і($1›°--аштэі): (2а,`/7Ё)т`еХр <_4а2± а
определенная при 15 > О и а: = (а:1,...,:1:т) Є Ш, удовлетворяет уравнєнию
теплопроводности
д
5; = ат,
т. е. что %% = а -±ї в любой точке области определения функции.
даїє
4. Формула Той./вора в му./иьтииндексньш: обозначєнилш.
Символ а := (а1, . . . ,ат), состоящий из неотрицательных целых чисел щ,
і = 1,. . . ,т, называется мультииндексом а.
Условились в следующих обозначениях:
по
Из
Оз
то
'Ч-.
|а| := |а1|+...+|ат|,
а! := а1!...ат!;
наконец, если а = (а1,.. . ,а,т), то
ао” := а,?1...а2,т.
а) Проверьте, что если Іс Є Ы, то
,с__ із! 0,1 ат
<а,+...+а,,,> _ 2 Па, ...ат
а1..›.а1п.
|<1|=7°
или И
(а,1 +...+ат)'° = 2 Ёаа,
І<1І=/=
где суммирование ведется по всем наборам а = (од, . . . ,ат) неотрицательных
Тп,
целых чисел, таким, что 2 |щ| = Іс.
Ь) Пусть 1:1 ЭІ І
Ваш) І: (о$1)“1...{дшт)°т(”)°
Покажите, что если І Є С('°)(С}';ІК), то в любой точке а: Є Є имеет место
равенство
11 і а си
2 д,,_,_,,і($)ь1...м = 2 до ;($)ь ,
/г1+...+іт=ь |а|=ь '
где /1 = (І11,...,/шт).

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ 553
с) Проверьте, что в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора, на-
пример, с остаточным членом в форме Лагранжа можно записать в виде
до + 11): Ё $в°~і(ш)ь° + 2 д%о°~;($ + вь)ь<~.
І<1І=0 І<1І=п
(1) Запишите в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора с инте-
гральнь1м остаточным членом (теорема 4).
5. а) Пусть Іт = {:1: = (а:1,...,а:т) Є Вт | |:с”| < с', і=1,...,т}-
т-мерный промежуток, а І -отрезок [а, Ь] С К. Покажите, что если функция
1” (аду) = ](а:1,. . . ,:в'т,у) определена и непрерывна на множестве Іт × І, то
для любого положительного числа Є > О найдется число 5 > 0 такое, что если
17 Є Іт› у1›у2 Є І И |у1 _ 3./2| < дэ то _ < 5'
Ь) Покажите, что функция
Ь
Р(1>)=/і(<1г›у)Сіу
определена и непрерывна на промежутке І т.
с) Покажите, что если І Є С(Іт; К), то функция
7(Ш›і) = 1'('їШ)
определена и непрерывна на Іт × І1, где І1 = {і Є 1К| |±| < 1}.
(1) Докажите следующую лемму Адамара.
Если І Є С'(1)(Іт; К) и _Ґ(0) = 0, то существуют функции 91, . . . ,ут Є
Є С(Іт; К) такие, что
ТП
]'(:1:1, . . . ,ш') = 2:1:і9,(:1:1,. _ . ,:1:т)
і=1
в Іт, причем
у»,;(0)=Ё:Ё;,-(0), і=1,...,т.
6. Докажите следующее обобщение теоремы Рол./ил для функций многиа:
переменнысс.
Если функция 1” непрерывна в замкнутом шаре Ё(0;т'), равна нулю на
его границе и дифференцируема во внутренних точках шара В(О;т), то по
крайней мере одна из внутренних точек этого шара является критической
точкой функции.
7. Проверьте, что функция
і(т›з/) = (111 - 112) (у - 31122)
не имеет экстремума в начале координат, хотя ее ограничение на любую пря-
мую, проходящую через начало координат, имеет строгий локальный минимум
в этой точке.

554 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
8. Метод наимєньшиш квадратов.
Это один из наиболее распространенных методов обработки результатов
наблюдений. Он состоит в следующем. Пусть известно, что физические вели-
чины аз и у связаны линейным соотношением
у = ааа + Ь, (26)
или пусть на основе экспериментальных данных строится эмпирическая фор-
мула указанного вида.
Допустим, было сделано п наблюдений, в каждом из которых одновремен-
но измерялись значения :в и у, и в результате были получены пары значе-
ний 1:1, у1; . . . ;шп, уп. Поскольку измерения имеют погрешности, то, даже если
между величинами вс и у имеется точная связь (26), равенства
у;,=аа:д+Ь
могут не выполняться для некоторых значений /є Є {1, . . .,п}, каковы бы ни
были коэффициенты а и Ь.
Задача состоит в том, чтобы по указанным результатам наблюдений опре-
делить разумным образом неизвестные коэффициенты а и Ь.
Гаусс, исходя из анализа распределения вероятности величины ошибки на-
блюдения, установил, что наиболее вероятные значения коэффициентов а и Ь
при данной совокупности результатов наблюдений следует искать, исходя из
следующего принципа наимвньшиас квадратов:
если 5,, = (азы, + Ь) - уд _ невязка Іє-го наблюдения, то а и Ь надо выбирать
так, чтобы величина П
А = 2 5,3,
ь=1
т. е. сумма квадратов невязок, была минимальной.
а) Покажите, что принцип наименьших квадратов в случае соотноше-
ния (26) приводит к системе линейных уравнений
[тм Ш/«]0=+[1їь› 1111 =[<1їк, 3/1:1,
[1,:1:д]а+ [1,1]Ь= [1,у;,]
для определения коэффициентов а и Ь; здесь, следуя Гауссу, положено [а:,,, тд] :=
= ш1:1:1 +. . .+:1:,,а:,,; [:1:;,, 1] := 1131-1+...+:в.,,~1;[а:;,,у;,]:= ш1у1 +. . .+:1:пуп и т. д.
Ь) Напишите систему уравнений для чисел а1,. . _ , ат, Ь, к которой приво-
дит принцип наименьших квадратов в том случае, когда вместо равенства (26)
имеется соотношение т
у = Ё 041131 + Ь
і=1
(или, короче, у = аіазі + Ь) между величинами :в1,. . . ,:1:т, у.

Ё4. ОСНОВНЬІЕ ТЕОРЕМЬІ
с) Как, используя метод наименьших квадратов, искать змпирические
формулы вида
_ 01 а
у _са:1 ...а:,,_,
связывающие физические величины 1131, . . . ,шт с величиной у?
(1) Джермен.) У нескольких десятков особей кольчатого червя 1їег1еЅ
сіі уегзісоіог была измерена частота В сокращений сердца при различных тем-
пературах Т. Частота выражалась в процентах относительно частоты сокра-
щений при 15 °С. Полученные данные приведены в следующей таблице
|Температура, °С Частота %Ч Температура, °С Частота %
ба 0 39 20 136 *
5 54 25 182
10 74 30 254
15 100
Зависимость В от Т похожа на зкспоненциальную. Считая В = Ає наи-
дите значения констант А и Ь, которые бы наилучшим образом соответство-
ВЗЛИ РЄЗУЛЬТЭ/І`8.М ЭКСПЄРИМЄНТЭ..
9. а) Покажите, что в рассмотренной в примере 5 задаче Гюйгенса функ-
ция (18) стремится к нулю, если хотя бы одна из переменных т1, _ _ . ,тп стре-
мится к бесконечности.
Ь) Покажите, что функция (18) имеет в К” точку максимума и потому
единственная критическая точка этой функции в К должна быть ее точкои
максимума.
с) Покажите, что величина`т1, определяемая формулой (19), монотонно воз-
растает с ростом п, и наидите ее предел при п -› оо.
10. а) Во время так называемого круглого наружного шлифования инстру-
мент _ быстро вращающийся шлифовальный круг (с шероховатой перифе-
риеи), играющии роль напильника, _
приводится в соприкосновение с мед-
ленно (в сравнении с ним) поворачи-
вающейся поверхностью круглой де-
тали (рис. 55).
Круг К постепенно подается на
деталь Д и в результате происходит
съем заданного слоя Н металла, до-
ведение детали до нужного размера
и образование гладкой рабочей по-
верхности изделия. Эта поверхность
в будущем механизме обычно явля-
ется трушейся, и, чтобы увеличить
срок ее службы, металл детали про-
ходит предварительную закалку, повышающую твердость стали. Однако из-
.
кг _
_ _ =:›:ї ї?=ЁЁ$ії~Ґ21ї : .гЁ;Ґг-~
-гы-.:;::==г.-±:_=-:+-›=ї:.:.'ігг-
,- _ ; _ _<;__; У _-.д.›д ;-_-_; -5,
ёЁжг;<:г_;Ё*ёгі=
. ЭС¦,_._С_Ґ>.-»;';Ё;.:_.;¦'ї`_.^`-`_ .Ѕ-С-22
. -2їЁ;$9хі.'7:_' `{ -:':[_ї:=:- 2: .-: :д
.-› , -: д›. ,І-<= -›: :- ~-:-:- -.<-: _ _ _,
-»У чё» -:ї.,-.-›.--.- ..,_-.<--.-.-.<._-. _
8 , ~ ~
/
›' :«:'›':›: :- .'-:-:-'-- :<-эс-:'›--':×:
,'* <'<:'-- - ,5 =:Ёг›5*:'_ '*::€'5-:<-;;'_:_==<:1->-:д :
_._== -га<±ёшМ-=^«5зё:›зг››а=зг<›згьг.гё;=--'1
32* --›.д_ Мед :Ё- _::-'-':;«. .-1-::€-:›Ё{1'
2%*2г.га*-'-~<›Ё~гёЁЁ=гї=г$››$Ё1ЁЁ,;з€з-±.ч- .
_,,..,, _ї_,__._<,.,, ,_,,,,_ ,_ _, .,
же , _ А _
›'Ъ3'5'і1-'їїї'. її :ЁЁЁ:І-'-'її-?`:її3'3'3'*3ї?›€ї<Иё51-'Ф-Ё¦-12-'3.ї5¦- ї'Ё1':›,1--:›ї' 1
>Ё$Ё3'їЁ1$.?ё1:Ё1:ї'1ДЁ-Ґїі / › - 1-
~-.-.,-.-* ~$:-:-~:-_--кд. '--' 55? д:-:5:;д::_,;_:_,:,-Е;
* ~ д '.< ----::
--Н Ё -:-Ф :*2-.-. ;- .' _ ~ г =< › -=:,-.›$;'.'.' .':г=$›;';=.=±.=
,_.ь_ ,._,._. .^ __.,..щ.; , __»
_ › ,_ а, -:':а1,:-=.г4.
-.-ггг-г-еьггг:;=эг'гё----=~:_.1::-_== _-±-_ ;*'--.=.=-±'-__-_-=гг==-=--_-_--~=ъ:- ._:
: 1 _
_, ї'іё*її*Ёй%*=~:-$ёБї' Е5'Ё;ёё<-її Е` ї.:.ё'2=2=-г_Еї:= “'їёїЁ 2152 2г=*.5.ї=І':,' _.-.ё:_г'г :_*
*Ё-г-*<Ёт:±-Ж<*-› з--1.г~==±а саги ,гг-<:*;===_=їг-_=_±=::-_;=-._~<=- _. -:_:=:=<==.-._=їгг---
_,<$д?;:':555. 55%-“З”г:3_;,і;-:~ї};%3^;@;;1Ё;;=___;:3,;;:53:;$$2;:<;;×;;;:_;3$5-5?;_3Ё=:1г:д;$.;:_›-3::;_<д д_5-;:;-_::›.:<1;;;_-_-';:_;-.;:_:› _.,;<--.;<;:;,=-'-*- `
К
_ __ __ _ _ _ » '- ,,____›;' _5:=~;;=_'; _-_=;'5:5___,;.;›;:'-:5;;;;;;:_;1ъ;_=_'_;5$;:.:. ›;=:_› _ 2 _=_д-:-_ ,.*:'
<;3Ё$=Ё':Ё*;зЁЁ*гЁЁ=-=ккЁ›ёї-Ё:=_з=-=_(:-г-'=;1т=='.;=г:-=--=-'-;;:.=- г'=:ї='==?--:;~=::=:-_==_._2:.-.г_ -ї '
І
5-' '::› 4- -:3›__;› ._ ;,_.- ._:4›.<;:_..-.;:;:д:.;.д_':;-; _;. ,_:-:_'<;--_: _: д,д---;.;,;:<-.< д .___>;_ .<--›_1.;-:_:-д _
5551 1:-›.2Ё,3.:?›<*2щЁд:1Ё›%_д'Ёё'-їїі5-ъг-›~;;;._-Ё_:ё-5:<ї;.; '<-:д:-Ё-;;;: Ё_:__' ;`- мёд:-:Р-.<;55-'_ '._:-:_'-:;:;:_';'.д- І
_ о .-.;,-,_.;$.-у$.;.._д._ ;.;±._ д_<_;.__-.-.;›.д. ;д;;_д;д.;-.~ 13.-_-_. ._,._ .. -' г
~.1'-'- --5 . -.'-'г,;›.« _ - *, .«›. .› _ -~ ›-3* .›. .--.-.- ›.-›-,_- -.- .-.-.<~ <_,.- - -є-_-~_. _- -› .-
1:2 =- <. ;:= , - <- :'<-'- ' .›-_:›г.;:/-=:.::-=±=.=<:т --:-=':~_;=;Ъ:=_=;г_':-:';
'%'=ї=:ё&,4ё-_=':її_=гі€І»ё-?==`5--=2;:г=›І2 И /
==`?.д;«›;2»г<>г'~:ё<гч,='=*г.'-›::=?й:=г;=ї,-:===;=з_?'є-э-?=›'›>.:'=ї?=:::-:={_;-_-_:'-'=є=_ Ґ '-'-'1:_=;--==гщ:_-'='.г.г- /
_. --1<=г:г: гё: г.г.г=. .:.=:ї. г-_-=-= м *- --:= - -ие.: -_ ..-= :--
'-›:{2;`{;;'.$:{;Ё1»<'€;-$-4-:';› :›:5':=~;= г=›_›<-' ›<'~=: 1 _; _;' ;_:
ё <х ; 5
1.5.- зы 2:3»-_; _5<;Ё±_'};;*.=__;= _;:ягг±=-[__;;І; '-3 її; ;._; =_=_'Ё=_;1Є; '±'-,=
-1›-,,›-$~:.~:--;<›;. ::-;?г; ;›_
<$а@'<:-›-;-а$~«-,і±.;- › - ;.: ,_ ;:_:› ›_-';.:_:=;<
гг-
* ё 4
'->-'*' :-:«; :. --:-/-
'.«_-.,, '-1,-<'=--'32Ё»':і:; 13:-1д:1'і>-Ь:-:3;5:д,{:і
*
*
*
Рис. 55.
/
/
` __;

556 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
за высокой температуры в зоне контакта шлифовального круга с деталью
могут произойти (и часто происходят) структурные изменения в некотором
слое А металла и падение в этом слое твердости стали. Величина А монотон-
но зависит от скорости з подачи круга на деталь, т.е. А = <р(з). Известно,
что существует некоторая критическая скорость во > 0, при которой еще А =
= 0, а при з > зо уже А > 0. Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение
обратную к указанной зависимость
8 = ФФ),
определенную при А > 0.
Здесь Ф -известная из эксперимента монотонно возрастающая функция,
определенная при А 2 0, причем ф(0) = зо > 0.
Режим шлифования должен быть таким, чтобы на окончательно получае-
мой поверхности изделия не было структурных изменений металла.
Оптимальным по быстродействию при указанных условиях, очевидно, бу-
дет такой режим изменения скорости з подачи шлифовального круга, когда
8 = Ф(д),
где 5 = б(і) -величина еще не снятого к моменту Ё слоя металла или, что
то же самое, расстояние от периферии круга в момент 15 до окончательной
поверхности будущего изделия. Объясните это.
Ь) Найдите время, необходимое для снятия слоя Н в оптимальном режиме
изменения скорости з подачи круга.
с) Найдите зависимость 3 = з(і) скорости подачи круга от времени в
1/1 0
оптимальном режиме при условии, что функция А 1--› з линеина: 3 = 30 + ×А.
В силу конструктивных особенностей некоторых видов шлифовальных
станков изменение скорости з может происходить только дискретно. Тут и
возникает задача оптимизации производительности процесса при дополни-
тельном условии, что допускается только фиксированное число п переключе-
ний скорости з. Ответы на следующие вопросы дают представление о харак-
тере оптимального режима.
(1) Какова геометрическая интерпретация найденного вами в Ь) времени
Н
±(Н) = І й%ї шлифования в оптимальном непрерывном режиме изменения
0
скорости з?
е) Какова геометрическая интерпретация потери во времени при перехо-
де от оптимального непрерывного режима изменения з к оптимальному по
быстродействию ступенчатому режиму изменения 5?
ї) Покажите, что точки 0 = зп+1 < тп < < 2:1 < 1:0 = Н проме-
жутка [0, Н ], в которых следует производить переключение скорости, должны

558 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
произвольно. Таким образом, соотношение (1) предопределяет зависи-
мость у от 1:. Нас интересует вопрос об условиях, при которых неявная
связь (1) может быть разрешена в виде явной функциональной зависи-
мости у =
Решая уравнение (1) относительно у, найдем, что
у:±91_$21
т.е. каждому значению а: такому, что < 1, на самом деле отвеча-
ют два допустимых значения у. При формировании функциональной
зависимости у = у(:1:), удовлетворяющей соотношению (1), нельзя без
привлечения дополнительных требований отдать предпочтение какому-
нибудь одному из значений Например, функция у(а:), которая в ра-
циональных точках отрезка [-1, 1] принимает значение +/ 1 - 1:2, а в
иррациональных-значение -/1 - 1132, очевидно, удовлетворяет соот-
ношению
Ясно, что вариацией этого примера можно предъявить бесконеч-
но много функциональных зависимостей, удовлетворяющих соотноше-
нию
Вопрос о том, является ли множество, задаваемое в ІК2 соотноше-
нием (1), графиком некоторой функциональной зависимости у = у(а:),
очевидно, решается отрицательно, ибо с геометрической точки зрения
он равносилен вопросу о возможности взаимно однозначного прямого
проектирования окружности на некоторую прямую.
Но наблюдение (см. рис. 56) подсказывает, что все-таки в окрест-
ности отдельной точки (:1:0,у0) дуга окружности взаимно однозначно
проектируется на ось а: и ее единственным образом можно предста-
вить в виде у = у(а:), где ш ›-› у(а:) -непрерывная функция, определен-
ная в окрестности точки 1120 и принимающая в 1:0 значение уд. В этом
отношении плохими являются только точки (-1, 0), (1, 0), ибо никакая
содержащая их внутри себя дуга окружности не проектируется взаим-
но однозначно на ось аз. Зато окрестности этих точек на окружности
хорошо расположены относительно оси у и могут быть представлены в
виде графика функции із = непрерывной в окрестности точки 0
и принимающей в этой точке значение -1 или 1 в соответствии с тем,
идет ли речь о дуге, содержащей точку (-1, 0) или (1, 0).
Как же аналитически узнавать, когда наше геометрическое место
точек, определяемое соотношением типа (1), в окрестности некоторой

ё5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 559
точки (:п0,у0), принадлежащей ему, может быть представлено в виде
явной зависимости у = у(:1:) или 3: = :с(у)`?
Будем рассуждать следующим, уже привычным способом. У нас
есть функция Р(а:,у) = 1:2 + у2 - 1. Локальное поведение функции в
окрестности точки (изо, уд) хорошо описывается ее дифференциалом
Р:й($0›у0)(Ш _ 370) + Р3ў($0› _ у0)›
поскольку
Ё(Ш›у) = 1'7($о›?/0) + Ё<Ё(<1їо›ЅЧо)($ _ Шо) + Р;(111о›уо)(?/ _ 3/0) +
+ 0(|Ш _ 111о|+|?/ _ уоі)
ПРИ (1741) _* ($о›3/0)-
Если Р (1130, уо) = 0 и нас интересует поведение линии уровня
Р(Ш,у)=0
нашей функции в окрестности точки (1110, уд), то о нем можно судить по
расположению прямой (касательной)
Р<2(гг›о,з/о)(<11 - Шо) + Р;(<1го, уо)(у - уе) = 0- (3)
Если эта прямая расположена так, что ее уравнение можно разре-
шить относительно у, то, коль скоро в окрестности точки (тд, уд) линия
Р`(а:, у) = 0 мало уклоняется от этой прямой, можно надеяться, что ее
в некоторой окрестности точки (:1:0, у0) тоже можно будет записать в
виде у =
То же самое, конечно, можно сказать о локальной разрешимости
уравнения 17'(а:, у) = 0 относительно Ш.
Записав уравнение (3) для рассматриваемого конкретного соотно-
шения (1), получим следующее уравнение касательной:
Шо($ _ Шо) + уо(2/ _ З/0) = 0-
Это уравнение разрешимо относительно у всегда, когда уд 75 0, т. е.
во всех точках (тд, уд) окружности (1), кроме точек (-1, 0) и (1, 0). Оно
разрешимо относительно а: во всех точках окружности, кроме точек
(0, -1) и (0,1).

560 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Простейший вариант теоремы о неявной функции. В этом
параграфе теорема о неявной функции будет получена очень нагляд-
ным, но не очень эффективным методом, приспособленным только к
случаю вещественнозначнь1х функций вещественных переменных.
С другим, во многих отношениях более предпочтительным способом
получения этой теоремы, как и с более детальнь1м анализом ее струк-
туры, читатель сможет познакомится в главе Х (часть ІІ), а также в
задаче 4, помещенной в конце параграфа.
Следующее утверждение является простейшим вариантом теоремы
о неявной функции.
Утверждение 1. Если функция Р: П(а:0,у0) -+ К, определенная в
окрестности П(а:0,у0) точки (а:0,у0) Є ІК2, такова, что
1° Р е с<Р>((/;11є), где р > 1,
20 Р($0эу0) = 07
30 Ру($о›?/0) Эд 0,
то существуют двумерный промежуток І = Ід, × Іу, где
І$={<гЄШ<ІІШ-а:0І<<1}, Іу={з/Є1ї×ЧІІз/-у0І<Б},
являющийся содержащейся в І/(а:0,у0) окрестностью точки (з:0,у0), и
такая функция 1” Є С(р)(І$;Іу), что для любой точки (:1:,у) Є Іт × Іу
Р(Ш,у)=0<#>у=ї(=г), (4)
причем производная функции у = ](:г) в точкаєв ат Є І,,, может быть
вычислена по формуле
х'<а:› = - [Р;<=:,і<«:››1“ [Р;<ы<«:››1 ~ <5›
Прежде чем приступить к доказательству, дадим несколько воз-
можных переформулировок заключительного соотношения (4), кото-
рые должны заодно прояснить смысл самого этого соотношения.
Утверждение 1 говорит о том, что при условиях 1°, 2°, 3° порция
множества, определяемого соотношением І7`(а:,у) = 0, попавшая в ок-
рестность І = Ід, × Іу точки (ас0,у0), является графиком некоторой
функции І: Іт -› Іу класса С'(р)(І,,;Іу).
Иначе можно сказать, что в пределах окрестности І точки (1120, уо)
уравнение Р(а:, у) = 0 однозначно разрешимо относительно у, а функ-
ция у = ](:в) является этим решением, т. е. Р(а:, Е 0 на І,,,.

55. твоРЕмА о нвявной функции 561
Ан
Отсюда в свою очередь следует, что если у = 1” -функция, опре-
деленная на І,,,, про которую известно, что она удовлетворяет соотно-
шению Р`(:в, 1; Е О на 1,, и что 1ї(:1:0) = уо, то при условии непрерыв-
ности этой функции в точке то Є Ід, можно утверждать, что найдется
окрестность А С 11, точки 2:0 такая, что 1? (А) С Іу и тогда 1? 5 1”
при іс Є А.
Без предположения непрерывности функции 1; в точке 1:0 и условия
1; (шо) = уд последнее заключение могло бы оказаться неправильным,
что видно на уже разобранном выше примере с окружностью.
Теперь докажем утверждение 1.
4 Пусть для определенности Р;(а:0, 3/0) > 0. Поскольку Р Є С(1)(І/;1К),
то Р,;(а:, у) > 0 также в некоторой окрестности точки (шо, уо). Чтобы не
вводить новых обозначений, без ограничения общности можно считать,
что Р,5(а:, у) > 0 в любой точке исходной окрестности П (120, уо).
Более того, уменьшая, если нужно, окрестность П(:1:0,у0), можно
считать ее кругом некоторого радиуса 'г = 25 > 0 с центром в точке
(то, уе)-
Поскольку Р,;(а:,у) > 0 в П, то функция Р(а:0, у) от у определена и
монотонно возрастает на отрезке уд - В < у < уо + Б, следовательно,
Р(Шо›З/о - 5) < 1г($о›1/0): 0 < Р(0/10,3/0 +5)-
В силу непрерывности функции Р в П, найдется положительное чи-
сло оє < ,Б такое, что при |:с - :1:0| < а будут выполнены соотношения
Р($эу0 _ < О < Р(Шэу0
Покажем теперь, что прямоугольник І = Іа, × Іу, где
1:.›={ШЄ11®-І ІФ-11оІ<0<}› Іу={уЄ1КІІу-уоІ<д},
является искомым двумерным промежутком, в котором выполняется
соотношение
При каждом из Є 1,, фиксируем вертикальный отрезок с концами
(гс, уо - В), (а:,у0 + Б). Рассматривая на нем Р(а:,у) как функцию от у,
мы получаем строго возрастающую непрерывную функцию, принима-
ющую значения разных знаков на концах отрезка. Следовательно, при
ап Є Іт найдется единственная точка у(:1:) Є Іу такая, что Р(:1:, = 0.
Полагая у($) = 1” (:1:), мы приходим к соотношению

562 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теперь установим, что І Є С(р)(І,,,; Іу).
Покажем сначала, что функция І непрерывна в точке 1110 и что
]”(:с0) = уо. Последнее равенство, очевидно, вытекает из того, что при
1: = то имеется единственная точка у(:с0) Є Іу такая, что Р(:1:0, у(а:0)) =
= 0. Вместе с тем по условию 1~7`(а:0, уд) = 0, поэтому 1” (тд) = уд.
Фиксировав число є, 0 < Є < В, мы можем повторить доказатель-
ство существования функции и найти чис.ло 5, 0 < 5 < он так что
7 7
в двумерном промежутке І = Іш × Іу, где
~ мы
І$:{$Є1К||$_$0|<б}› Іу={уЄК||у_у0|<5}›
будет выполнено соотношение
(1“(Ш›з/)=0 В-7)<=>(у=1Ё($),1гЄїш) (6)
^1 Аг Аг
с некоторой вновь найденной функцией І : Іш -› Іу.
~ Но їд, С І,,, їу 9 Іу и Ё С І, поэтому из (4) и (6) следует, что
](:в) 5 }(а:) при гс Є Іш С І,,,. Тем самым проверено, что - [(а:0)| =
= ІЛШ) -1/оІ <гПРИ ІШ-ггоі <д-
Мь1 установили непрерывность функции 1” в точке ато. Но любая
точка (ищу) Є І, в которой 17`(ас,у) = 0, также может быть принята
в качестве исходной точки построения, ибо в ней выполнены условия
2°, 3°. Выполнив это построение в пределах промежутка І, мы бы в
силу (4) вновь пришли к соответствующей части функции 1, рассма-
триваемой в окрестности точки аз. Значит, функция І непрерывна в
точке св. Таким образом, установлено, что ]` Є С'(І$; Іу).
Покажем теперь, что 1” Є С'(1)(І,,,; Іу), и установим формулу
Пусть число Аа: таково, что 11: + Аа: Є І,,,. Пусть у = [(1:) и у + Ау =
= 1 (11: + Анг). Применяя в пределах промежутка І к функции Р(а:,у)
теорему о среднем, находим, что
0 = 1-7'(:с + А:в,[(:1: + А:с)) - Р(а:,[(аз)) =
= Р(:с + Аа:,у + Ау) - Р(а:,у) =
= + дАа:,у + дАу)Аа: + + дАа:,у + дАу)Ау (0 < 0 < 1)
откуда, учитывая, что Р,;(а:, у) аё 0 в І, получаем
Ы = _Р;(:1:+дА:с,у+дАу) (7)
Аас + НАШ, у + дАу)°

55. твоРвмА о нвявной Функции 563
Поскольку 1 Є С(І$; Іу), то при Аа: -› 0 также Ау -› 0 и, учитывая,
что Р Є С(1)(П; К), из (7) в пределе при Аа: -› О получаем
Р(Ш, у)
І, 1: : _і_і›
( ) г;<«›,у›
где у = Тем самым формула (5) установлена.
В силу теоремы о непрерывности композиции функций, из форму-
лы (5) вытекает, что І Є С'(1)(І$;Іу).
Если Р Є С'(2)(П;ІК), то правая часть формулы (5) допускает диф-
ференцирование по 11: и мы находим, что
і<$› = - [Её + 1% О тп рф; [Рё + 1% ° “НМ , <ь'›
З/
где 171,2, 1%, Рав, 17:22,, вычисляются в точке (т,
Таким образом, І Є С'(2)(І$; Іу), если Ё Є С'(2)(П;1К). Поскольку по-
рядок производных от І, входящих в правую часть соотношений (5),
(5') и т. д., на единицу ниже, чем порядок производной от І, стоящей в
левой части равенства, то по индукции получаем, что 1” Є С'(р)(І,,; Іу),
если Р Є С'(р)(П;1К). Ь
Пример 1. Вернемся к рассмотренному выше соотношению (1),
задающему окружность в К2, и проверим на этом примере утвержде-
ние 1.
В данном случае
Р(:1:,у) = а:2 +у2 -1
и очевидно, что Ё Є С (°°>(1К2;1К). Далее,
ЁЁ(Ш›у) = 211, 1'Ё(<Б›у) = 2?/,
поэтому Р,;(а:, у) 55 0, если у 75 О. Таким образом, в силу утверждения 1,
для любой точки (1110, уо) данной окружности, отличной от точек (-1, 0),
(1, 0), найдется такая окрестность, что попадающая в нее дуга окруж-
ности может быть записана в виде у = Непосредственное вычи-
сление подтверждает это, причем 1” = /1 - 1:2 или 1” = -/1 - 1132.
Далее, в силу утверждения 1,
І __Р:;:(Ш0›у0) :_Е
Ґ (Шо) _ Рў($о›3/0) 2/о' (8)

564 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Непосредственное вычисление дает
--`7_ЁВ___-Ё, если ](а:) = /1- а:2,
-ас
Л-%, если ](а:) = -/1 - 1:2,
-ат
ЧТО МОЖНО З&ПИС&ТЬ ОДНИМ ВЫРЗЖЄНИЄМ
Ґ'(Ш) =
]сІ($) : -Ю : _;›
11:
вычисление по которому приводит к тому же результату
.Ґ($0) : _%
что и вычисление по формуле (8), полученной из утверждения 1.
Важно заметить, что формула (5) или (8) позволяет вычислять Ґ (ат),
даже не располагая явным выражением зависимости у = 1” (Ш), если нам
только известно, что ](:1:0) = уо. Задание же условия уо = 1”(а:0) необ-
ходимо для выделения той порции линии уровня Р`(ш, у) = 0, которую
мы намереваемся представить в виде у = 1”
На примере окружности видно, что задание только координаты зад
еще не определяет дугу окружности и, только фиксировав уо, мы вы-
деляем одну из двух возможных в данном случае дуг.
3. Переход к случаю зависимости Р(а:1, . . . , шт, у) = 0. Прос-
тым обобщением утверждения 1 на случай зависимости Р(а:1, . . . ,:1:т, у) =
= 0 является следующее утверждение.
Утверждение 2. Если функция Р : П -НК, определенная в окрест-
ности П С 1Кт+1 точки (а:0,у0) = (азё, . . . ,1:6,у0) Є 1К”+1, такова, что
1° Р є с<Р>(Ы;п2), р > 1,
20 -Р($0э3/0) = ° ' - эШБпэу0) = 0:
30 Р3;($0›у0) = ° ' °›$6п1у0)5Ь 0›
то существуют (т + 1)-мерный промежуток І = 12* × ІЁ, еде
І;'={:с=(а:1,...,:ст)ЄІКт | |ші-а:Ё,|<оЁ, і=1,...,т},
І;={з/Є1КІІу-у<›І<Б},

ёз. твоРвмА о нвявной функции 565
являющийся лежащей е П онрестностью тонни (1120, уд), и тоноя фунн-
иия 1 Є С'(р)(І;';І,}), что для любой тонни (а:,у) Є 122” × І;
Р($1›°°~э$т›у):0<:>у=.і($1э°°°›Шт)›
причем частные производные фунниии у = ]”(:1:1,... ,агт) в точная: Іш
могут быть еынислены по формуле
%<ш› = - [Р;<ш,т<$››11 [Р;і<ы<ш>›] . <10>
1 _ 1
4 Доказательство существования промежутка Іт+ _ 12* ×Іу, функ-
_ _ 1
ции у _ І _ 1” (11: ,... ,а:”) и ее непрерывности в 12* дословно повто-
ряет соответствующие части доказательства утверждения 1, с един-
ственным изменением, которое сводится к тому, что теперь под сим-
волом :1: надо понимать набор (:п1,. . . ,а:т), а под символом а-набор
(а1,. . . ,о/7*).
Если теперь в функциях Ё(:в1,...,:1:т,у) и ](а:1,...,а:т) фиксиро-
вать все переменные, кроме 1:” и у, то мы окажемся в условиях утвер-
ждения 1, где на сей раз роль Ш выполняет переменная а:'. Отсюда
следует справедливость формулы (10). Из этой формулы видно, что
31% Є С'(І;;І,}) = 1,...,т), т.е. 1” Є С(1)(І;,;І,Ё). Рассуждая, как
и при доказательстве утверждения 1, по индукции устанавливаем, что
1 Є С'(р)(І;;І;), коль скоро Р Є С'(р)(І/`;1К). >
Пример 2. Предположим, что функция Р: Є -› К определена в
области С С Вт и принадлежит классу С'(1)(Є';1К); 1130 = (1125, . . . ,:сБ) Є
Є Є и 1~7'(а:0) = Р`(:сЁ,...,шЪ) = 0. Если под не является критической
точкой функции 1-7” , то хотя бы одна из частных производных функции
Р в точке 3:0 отлична от нуля. Пусть, например, %%(:с0) 7Є 0.
Тогда, в силу утверждения 2, в некоторой окрестности точки то под-
множество Кт, задаваемое уравнением Р(а:1,... ,шт) = О, может быть
задано как график некоторой функции шт = 1” (1111, . . . ,а:т1), опреде-
ленной в окрестности точки (азё, . . . ,:вБ'_1) Є 1Кт'1, непрерывно диффе-
ренцируемой в этой окрестности и такой, что І (ссё, . . . ,:вБ_1) = 1:6.
Таким образом, в окрестности некритической точки 1:0 функции Р
уравнение .
Р(а:1,...,:пт) = О
задает (т - 1)-мерную поверхность.

566 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В частности, в случае КЗ уравнение
Р (11, у, 2) = 0
в окрестности некритической точки (азд, уд, 20), удовлетворяющей ему,
задает двумерную поверхность, которая при выполнении условия
%Ё(:с0, уо, 29) аё О локально может быть записана в виде
2 =1°(Ш,у)~
Как мы знаем, уравнение плоскости, касательной к графику этой
функции в точке (:1:0,у0,20), имеет вид
2 - го = %%(Шо›уо)($ _ 11їо)+ %(Шо›3/о)(у _ уе)-
Но по формуле (10)
Ш_($0 уо) : _Р:::($0›у0›20) Щ330 Ё/0) = -Р1$($0эу0›20)
дт , 17`2,Ё(1Іо›?/0,20), ду 7 Ё2($о›3/0,20),
поэтому уравнение касательной плоскости можно переписать в виде
Ё;(11їо,?/0, 2о)($ -01110) + Ё;($о›?/о, 2о)(3/ _ 2/0) + Р.Ё(їдо›3/0, 2о)(2 _ 20) = 0,
симметричном относительно переменных 1:, у, 2.
Аналогично и в общем случае получаем уравнение
(а:0)(а:і - = О
1,=1
гиперплоскости в Вт, касательной в точке 5120 = (агё, . . . ,а:Б') к поверх-
ности, задаваемой уравнением Р (:г1, . . . ,:ст) = О (разумеется, при усло-
вии, что Р(а:0) = 0 и что 1:0 -некритическая точка Р
Из полученных уравнений видно, что при наличии евклидовой
структуры в Шіт можно утверждать, что вектор
ЭР ЭР
81`а.а ї (Ё, . . . , (Шо)
ортогонален поверхности т-уровня Р = т функции Р в соответству-
ющей точке Ш0 Є Вт.

55. твоРЕмА о нвявной функции 567
Например, для функции
Ш2 у2 2,2
Р($›у›2) =
определенной в ІК3, 'г-уровнем являются: пустое множество при 1 < 0;
точка при т = 0; эллипсоид
Ш2 у2 22_
р+Ъї+Еї-7
при 1* > 0. Если (а:0, у0, 20) -точка на этом эллипсоиде, то по доказан-
ному вектор
( а
2ш 2у 22
ЁГадР($0эу0а20) : 207 Ь207 с20)
ортогонален этому эллипсоиду в точке (:1з0, у0, 20), а касательная к нему
в этой точке плоскость имеет уравнение
11о($ _ 120) 21/о('у _ 3/0) 2о(2 _ 20)
а,2 + Ь2 + с2 І 07
которое с учетом того, что точка (Ш0, у0, 20) лежит на эллипсоиде, мож-
но переписать в виде
$011 уоу 2о2_
ї+ї+ї-”~
4. Теорема о неявной функции. Теперь перейдем к общему слу-
чаю системы уравнений
Р`1(аг1,...,:1:т,у1,...,у) =0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. (11)
Р“(а:1,...,:ст,у1,...,у“) = 0,
которую мы будем решать относительно у1, . . . ,у, т. е. искать локаль-
но эквивалентную системе (11) систему функциональных связей
у1= і1<:с1,...,$т›,
.................. .. (12)
уп =[(ш1,...,:в”).
Для краткости, удобства письма и ясности формулировок условим-
_ 1 _ 1 .
ся, что 11: _ (а: ,...,:1:т), у _ (у ,...,у“), левую часть системы (11)

568 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
будем записывать как Р(а:,у), систему (11) как Р(:1:, у) = 0, а отобра-
жение (12) как у =
Если
1170
ое
(Ё): °›ШЗ1)›
ї(а17'°'7аТп)7 ІВї(І817°7ІВп)7
то запись |:с - а:0| < а или |у - у0| <_В будет оаначать, что - < огі
=ІІї.. _
= 1,...,т) и, соответственно, Іуд - у3| < 59 (1: 1,...,п).
Далее положим
Ш
ду1
г;<$,у› =
дР
ду
ёї
д:1:1
_/(13) = . . . .
ЁЁ
д:с1
Ш
1
Р, _ да:
АФ, 11) - - ---
дР
да:1
_Т
не
Э ъ-1
на
33
(сс), (13)
Ш
дгст
(ду), (14)
Ш
дшт
Ш
ду
.... (:в,у). (15)
дР'п
ду
Заметим, что матрица Р,;(ш, у) квадратная и, следовательно, она
обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.
В случае п = 1 она сводится к единственному элементу и в этом случае
обратимость матрицы 1~7`,;(:1:,у) равносильна тому, что этот единствен-
ный ее элемент отличен от нуля. Матрицу, обратную к 1~7',;(:1:, у), будем,
как обычно, обозначать символом у)] _1.
Теперь сформулируем основной результат параграфа.
Теорема (о неявной функции). Если отображение Р: П -› Кп,
определенное в окрестности П точки (а:0,у0) Є Ш€.т+, таково, что
1° Р Є С(р)(П;1К'), р 2 1,
2° Р(Шо›?/0) = 0,
3° 1'7`,;(:1:0, уд) -обратимая матрица,

55. тЕоРвмА о нвявной функции 569
то существуют (т + п)-мерный промежуток І = І? × 137 С П, еде
ї?={$Є1Кт І Іт-Шо! <@}› 1ў={уЄ1К ІІ:«/-1/оІ<д},
и такое отображение 1 Є С(р)(І;,';І;'), что для любой точки (а:,у) Є
Є 12* × І;
Р(<11,:</)=0#>у=і(Ш), (16)
причем
і'<а=› = - [Р;<ы<@››1“1 [г;<Ш,г<Ш››1 . по
4 Доказательство теоремы будет опираться на утверждение 2 и
простейшие свойства определителей. Разобьем его на отдельные этапы.
Будем рассуждать методом индукции.
При п = 1 теорема совпадает с утверждением 2 и потому верна.
Пусть теорема справедлива для размерности п - 1. Покажем, что
она тогда справедлива и для размерности п.
а) В силу условия 3°, определитель матрицы (15) отличен от нуля
в точке (:1:0,у0) Є 1Кт+”, а значит, и в некоторой окрестности точ-
ки (:с0,у0). Следовательно, по крайней мере один элемент последней
строки этой матрицы отличен от нуля. С точностью до перемены обо-
значений можно считать, что таким является элемент
Ь) Применяя тогда к соотношению
1-7`(т1,...,Шт,у1,...,у) =0
утверждение 2, найдем промежуток ї''+'' = (її × ҐЁГ1) × І; С П и
такую функцию 1” Є С'(р) (121 × І5'_1;І:,}), что
(І7'(аз1,...,а:т,у1,...,у')=0 в Ґт'+')<=>
п 1 т 1 п-1
Ф (21 =1(Ш ,у ),
(а1,...,$т) Є її, (у1,...,;/1-1)є і;-1). (16)
с) Подставляя найденное выражение уп = 1? (сс, у1, . . . ,у“1) перемен-
ной уп в первые п - 1 уравнений системы (11), получим п - 1 соотно-

570
ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
шений
Ибо і(ШЁ››~-,<1г6”,у5,~-. ,з/БН) = 1/ЄКИ 1”(=го,:1/0) = 0 '=
° 1),
Ґ Ф1(:п1,...,:вт,у1,...,у_1):=
п-1 1 т 1 п- __
Ф (:в,...,а: ,у,...,у ).-
_ п-1 1 т 1 п-1 ^' 1
Видно, что Фі Є С'(р)(ї;' × ї;*_1;ПЄ) =
:Р1($1›~-°а$т›у1›~°-›уп_1›і($1э~-~эаїтэї/1›~°°эуп_1)) : 01
< . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. (19)
1
-Р ($а~°~аШ›у›'°~эу ›.і(Шэ°°'э$т›у1›'°°›уп_1)):
1,...,п- 1), причем
Фі(а:Ё,,...,шБ',уЁ,...,у8'_1)=0 (і=1,...,п-1),
В силу определения функции Ф (Іє = 1, . . . ,п -
дф* дг* дг* ді _
і= і+ п- 73 (ъ,Іє=
ду ду ду ду
Положив еще
Ф(а:1,...,:1:т,у1,...,у'_1) :=
ЦЬІ
_п1 т1 п-1”
:Р($7'7Ш 7у7°7у 7«ї($17°7$Тп7у17'7уп_1))7
в силу (18) получаем, что в области своего определения Ф Е 0, поэтому
дф дл др ді
'і+ї . ° .ї].,...,
ду ду + аул ды (
Учитывая соотношения (20), (21) и свойства определителей, можно
заметить, что определитель матрицы (15) равен определителю матр -
дР1 + дР1 _ ді дР1 + дР1 _ ді дР1
ду1 дуп ду1 °°° дуп-1 дуп дуп-1 дуп
дг + др _ ді _ дп + дп _ ді дп
ду1 ду1 дуп-1 дуп-1 дуп
/ Е
ду1
1 дфп-1
ду1
КО
1, ,п
(1 1,...,п)
дф1
дуп-1
дф-1
1). (20)
1). (21)
ёїї
ду
др-
дуп-1
О
ду
д1-7
Й/

55. твоРвмА о нвявной функции 571
'П
По предположению, % аё 0, а определитель матрицы (15) по усло-
3/
вию отличен от нуля. Следовательно, в некоторои окрестности точки
1 1 -1
(ато, . . . ,:вЬ, уо, . . . ,3/6” ) отличен от нуля и определитель матрицы
д<1›1
дуп-1
. . . . . . . . . . . . . . .
.. (Ш1,___,ддт,у1,___,уп-1)_
дф-1
ду1
291
ду1
дфп-1
'° дуп-1
Тогда по предположению индукции найдутся промежуток І '+_1 =
_ -1 “ -1 1 1 п-1
_ 12” × І; С ЦБ × 12* -окрестность точки (агд, . . . ,:с6*,у0, . . . ,уо )
в 1Кт+'1 -и такое отображение 1” Є С'(р)(І;”;І;_1), что в пределах
промежутка І +1 = І;* × І;1 система (19) равносильна соотноше-
.НИЯЫІ
у1= .і1($1›° ° ~ ›Шт)э
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. :1: Є Ц. (22)
уп-1 = ]сп-1($1,__.,$т),
-1 ^' -1 “ 1 -1
(1) Так как І; С І; ,а І;,С Ц, то, подставляя І ,...,]” из (22)
вместо соответствующих переменных в функцию
п ~ 1 -
у = І(Ш ,~.,гг”'эз/1,..-,з/ 1)
из соотношения (18), получаем зависимость
уп =]сп(Ш1›~~°›$т)
переменной у от (а:1,. . . ,а:т).
е) Покажем теперь, что система равенств
1/1= /1<==:1,...,шт›,
. . . . . . . . . . . . . . . . .
..
уп = і<ш1,... ,Щ
. _ -1 1
задающая отображение І Є С(р)(І:,'с”, І5), где І; _ І; ×Іу, равносильна
в пределах окрестности І + = І? × І; системе уравнений (11).
В самом деле, сначала мы в пределах І + = (І;” × І;”“1) × І; заме-
нили последнее уравнение исходной системы (11) зквивалентным ему, в
силу (18), равенством у = 1” (113, у1, . _ . ,у1). От так полученнои второй

572 ГЛ. /ІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
системы мы перешли к равносильной ей третьей системе, заменив в пер-
вых п - 1 уравнениях переменную у на і(:с, у1, . . . ,у'”1). Первые п - 1
уравнений (19) третьей системы мы в пределах Ц” × І,;”“1 С її* × ї;'*“1
заменили равносильными им соотношениями (22). Тем самым получили
четвертую систему, после чего перешли к равносильной ей в пределах
12* × І;”_1 × ІЁ = І т+ окончательной системе (24), заменив в последнем
уравнении у” = 1; ($131, . . . ,а:т,у1,... ,у1) четвертой системы перемен-
ные у1, . . . ,у''_1 их выражениями (22) и получив в качестве последнего
уравнения соотношение (23).
Ґ) Для завершения доказательства теоремы остается проверить фор-
мулу (17).
Поскольку в окрестности Ц” × І; точки (шо, уд) системы (11) и (12)
равносильны, то
Р(а:,/(:1:)) Е 0, если гс Є 12.
В координатах это означает, что в области Ц
Р]“(а:1,...,а:т,]“1(:п1,...,:1:т),...,[(:с1,...,а:т))50
(Іс= 1,...,п). (25)
Поскольку І Є С'(р)(І;,;І;*) ИРЄ С'(р)(П;1К), гдер 2 1, то Р(-,](-))Є
Є С'(р)(І;; Кп) и, дифференцируя тождества (25), получаем
д1-7* п ЭРК дії _
дав” ду? дсп
]ї
Соотношения (26), очевидно, равносильны одному матричному ра-
венству
Р1;(Ш,у)+ Р;(Ш,у) ~1“(Ш) = 0,
в котором у = 1”
Учитывая обратимость матрицы 17':,:,(:1з,у) в окрестности точки
(шо, уд), из этого равенства получаем, что
1'<Ш›= ~ [1+1.;<1:,г<«:>›11 [1~1;<:›:,г<:с››1 ,
и теорема полностью доказана. >

ёб. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 573
Задачи и упражнения
1. На плоскости ІК2 с координатами 1:, у соотношением 1-7`(:1:, у) = 0, где Р Є
Є С(2)(К2,1К), задана кривая. Пусть (а:0,у0) -некритическая точка функции
1-7`(ш, у), лежащая на кривой.
а) Напишите уравнение касательной к этой кривой в точке (а:0, уд).
Ь) Покажите, что если (:1;0,у0) -точка перегиба кривой, то в этой точке
выполняется равенство
(Р;;Р;2 - 2Р;;,1ш+ Рж) <М0› = 0.
с) Найдите формулу для кривизны кривой в точке (110, уо).
2. Преобразование Лежандра для т переменньшг.
Преобразование Лежандра от переменных 1131,. . . ,шт и функции _1'(:1:1, . . . ,:1:т)
есть переход к новым переменным 61,. . .,{т и функции ]°*(Ё1,...,{т), зада-
ваемый соотношениями
{,=ё%(а:1,...,а:т) (і=1,...,т),
т (27)
1 т
]с*(€1›-Нэёт) : _і($ ›'°°›$
,=
а) Дайте геометрическую интерпретацию преобразования (27) Лежандра
как перехода от координат (1121, . . . ,а:т, ]°(а:1, . . . ,а:т)) точки на графике функ-
ции ](а:) к параметрам (51, _ . .,{т, _;°*({1,. _ .,{т)), задающим уравнение плос-
кости, касательной к графику в этой точке.
Ь) Покажите, что преобразование Лежандра локально заведомо возможно,
д2;
если І Є С'(2) и <іе'с # 0.
с) Используя для функции 1” = ]°(:в1,...,:вт) то же определение вы-
пуклости, что и в одномерном случае (подразумевая теперь под а: вектор
(:с1,...,шт) Є Кт), покажите, что преобразованием Лежандра выпуклой
функции является выпуклая функция.
д) Покажите, что
41* = Еда: + 2:5-ат* - 4; = Ёшіаа,
1, 1,
і=1 і=1 і=1
и выведите отсюда инволютивность преобразования Лежандра, т. е. проверь-
те,что
(1°*)*(Ф) = Пт)-
е) Учитывая (1), запишите преобразование (27) в симметричном относи-
тельно переменных виде
і*<є1,...,<т› +і<:и1,...,а=т› = (28)
{і=:%:[ї(ш1,...,шт), а:і=%€-Е(Є1,...,{т)

574 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или, короче, в виде
1'*(€)+і(1*)=€Ш, €=7і(1=)› т=7і*(€),
где
Ч/<«=› = (Щ), уі*<є› = <є›,
ет = ет* = Хэм.
і=1
ї) Матрицу, составленную из частных производных второго порядка
функции (а иногда и определитель этой матрицы), называют гессианом функ-
ции в данной точке.
Пусть сіід и аїд _ алгебраические дополнения элементов ді І. , ді* гес-
СИЕЪНОВ
д2; д2; д2і* дгі*
дыды дыдтт) деда дадгт
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. (53),
д2]с д2]г д2]с* д2]с*
датам дштдш дапда ддтдгт
функций І и І* (Є), а (1 и сі* _ определители этих матриц. Считая, что сі 75 0,
покажите, что (1 ~ сі* = 1 и что
2 СН. 2 * ..
%%<ш> = -Сўоэ, -%<є› = %<«››.
5) Мыльная пленка, натянутая на проволочный контур, образует так на-
зываемую минимальную поверагность, имеющую наименьшую площадь среди
всех поверхностей, натянутых на этот контур.
Если локально задать эту поверхность как график функции 2 = _Ґ(:1:,у),
то, оказывается, функция І должна удовлетворять следующему уравнению
минимальных поверхностей:
2 2
(1 + 1; )і;; - 2і;і;і;',, + (1 + 1; )1;',, = 0.
Покажите, Что по(:ле Преобразования Лежандра Это уравнение приводится
К виду 1 2 *н 2 *н 1 2 *н _ О
(+77 “пп + Єтсёп +( +6 )і€Є _'
3. Канонинесние переменные и система уравнений Ґамильтонац.
а) В вариационном исчислении и фундаментальных принципах классиче-
ской механики важную роль играет следующая система уравнений Эйлера-
1)У. Р. Гамильтон (1805 - 1865) -знаменитый ирландский математик и механик.
Сформулировал вариационный принцип (принцип Гамильтона), построил феноме-
нологическую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родо-
начальник векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор››).

ё5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 575
ЕЕ- + (ІЁ,ІС,'І)) = 0, (29)
Лагранжа:
(81) сі ЭЬ
11 = :Ь(±),
где Ь(±, аз, 11) --заданная функция переменных і, аг, *и, среди которых ± обычно
является временем, а: -координатой, а 11-скоростью.
Систему (29) составляют два соотношения на три переменные. Из систе-
мы (29) обычно желают найти зависимости а: = а:(±) и 11 = н(±), что по суще-
ству сводится к отысканию зависимости а: = :1:(±), ибо 11 = 9-Ё-.
Запишите подробно первое уравнение системы (29), раскрыв производ-
ную 5% с учетом того, что гс = а:(±) и 11 = н(±).
Ь) Покажите, что если от переменных Ъ, а:, 11, Ь перейти к так называемым
каноническим переменным і, 1:, р, Н, сделав преобразование Лежандра (см.
задачу 2)
..ЁЁ_
р_`д,и7
Н=р'и-І,
по переменным 'и, Ь, заменяя их на переменные р, Н, то система Эйлера-
Лагранжа (29) приобретает симметричный вид
._ дн ._дн
р'“_%э Ш- др:
в котором она называется системой уравнений Гамильтона.
с) В многомерном случае, когда Ь = Ь(±,а:1,...,а:,и1,...,*ит), система
уравнений Эйлера-Лагранжа имеет вид
дЬ (1 дЬ
{ + (Ё,$,'0) = 0,
«І '(0 (2 1, ›
'=:і:' '= ...,т,
где для краткости положено :с = (:1:1, . . . ,:с'), 11 = (111, . . . ,нт).
Сделав преобразование Лежандра по переменным 111, . . . ,1›т, Ь, перейди-
те от переменных 1,231, . . . ,:в',*и1, . . . ,т/, Ь к каноническим переменным
±,:с1,...,зв',р1,...,р.,,,,Н и покажите, что в них система (31) перейдет в сле-
дующую систему уравнений Гамильтона:
.__ ЭН .,_дН ._
р,- дші, 11: _ дрі (2_1,...,т). (32)

576 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Теорема о неявной функции.
Решение этой задачи дает другое, быть может, менее наглядное и эффек-
тивное, но более короткое в сравнении с изложенным выше доказательство
основной теоремы настоящего параграфа.
а) Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции, и пусть
, дгі дг*
Ру($›у) =
_ і-я строка матрицы І7`;(а:, у).
Покажите, что определитель матрицы, составленной из векторов 17`;(а;,;, уі),
отличен от нуля, если все точки (а:і,уі) = 1,.. .,п) лежат в некоторой до-
статочно малой окрестности П = І; × І; точки (:с0,у0).
Ь) Покажите, что если при сп Є 12* найдутся точки у1,'у2 Є 1,7 такие, что
1-7`(:в,у1) = 0 и І7`(а:,у2) = 0, то для каждогоі Є {1, . _ .,п} найдется такая точка
(св, уі), лежащая на отрезке с концами (св, у1), (:1:,у2), что
Покажите, что отсюда следует, что у1 = уе, т. е. если неявная функция І : Іё -+
-› І; существует, то она единственна.
с) Покажите, что если шар В(у0;1') лежит в 13, то Р`(:с0,у) 75 О при
Ну _ Ё/0Н111п : Т > 0'
(1) Функция ||1~7`(:в0,у)||1Ё,, непрерывна и имеет положительный минимум р
ее ефере не - е/011,, = е
е) Существует 5 > О такое, что при - :в0||К,,,, < 5
ЬЭІ-*[Э›-1
2
ІІР`(2›,у)ІІдп 2 - ЄФНИ Ну - уоіішп = 1,
Р
Р
||Р<е,е›н;,,<- еееи е=е.›.
Ґ) При любом фиксированном ш таком, что ||:в-:в0|| < 5, функция (ап, у) ||]Ё,,,
достигает минимума в некоторой внутренней точке у = І шара ||у-у0||К,, <
< 1*, и поскольку матрица Р; (сс, 1” обратима, то Р`(а:, І = 0. Этим уста-
навливается существование неявной функции І: В(:с0; 5) -› В(у0;1').
5) Если Ау = ]'(:с + Аіс) - _і(:1:), то
А/ 11 Аг
__ І
Щ, _ _ [ед] И Щ,
где Р; _ матрица, строками которой являются векторы (азі, уі) = 1, . . . , п),
где (:1:,,;, уі) _ точка на отрезке с концами (из, у), (:в + Асв, у + Ау). Аналогичный
смысл имеет символ 172,.

56. НЕКОТОРЬІЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 577
Покажите, что из этого соотношения следует непрерывность функции
у = ПШ)-
І1) Покажите, что
А/ '_1 А/
1 _ 1 1
1<ш›- - [Ру<ы<$>›] ~ [Р,<Ш,:<$››] .
5. «Если _Ґ(:1:,у,2) = 0, то % - ЁЁ - % = -1››.
а) Придайте точный смысл этому высказыванию.
Ь) Проверьте его справедливость на примере формулы Клапейрона
Ра/_
Т сопзіз
и в общем случае функции трех переменных.
С) Запишите аналогичное высказывание для соотношения І (:1:1, . . .,:1:т) =
= О между т переменными. Проверьте его справедливость.
6. Покажите, что корни уравнения
2+с12_1+...+сп=0
гладко зависят от его коэффициентов, во всяком случае, пока все корни раз-
личны.
56. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
1. Теорема об обратной функции
Определение 1. Отображение І : П -› У, где П и У-открытые
подмножества в Кт, называется С'(р)-диффєоморфизмом или диффео-
морфизмом гладкости р (р = 0,1,... ), если
1) 1 е 0<Р><Ы; У);
2) І -биекция;
з) 1-1 е с<Р>(1/; Ы).
СШ)-диффеоморфизмы называют гомеоморфизмами.
Здесь мы, как правило, будем рассматривать только гладкий слу-
чай, т. е. случай р Є 1ї или р = оо.
Следующая часто используемая теорема в идейном плане утвержда-
ет, что если дифференциал отображения обратим в точке, то само ото-
бражение обратимо в некоторой окрестности этой точки.

578 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теорема 1 (теорема об обратной функции). Если отображение
І: Є -› Вт области Є С Ш таково, что
1° і Є 0<Р>(@;1вт›, р > 1,
2° уо = ](аз0) при ат Є Є,
3° 1“(а:0) обратимо,
»БИ
тїш
,зёё
то существуют окрестность П(а:0) чки то и окрестность
У(у0) точки уд такие, что І: Ґ/'(:в0) есть С'(р)-диффеомор-
физм. При этом если из Є І/`(:1:0) и у = ) уд), то
(1-1›'<у› = (1'<:и›)'1.
4 Соотношение у = [(112) перепишем в виде
Р(Ш,у)=1°(Ш)-:и=0. (1)
Функция Р`(:1:,у) = - у определена при із Є Є и у Є Ш, т. е.
определена в окрестности Є × КТ” точки (шо, уо) Є Ш × Кт.
Мы хотим разрешить уравнение (1) относительно 11: в некоторой
окрестности точки (:1:0,у0). В силу условий 1°, 2°, 3° теоремы отобра-
жение 1-7'(а:,у) таково, что
Р є 0<Р>(а × втнт), р > 1,
Р($о› 3/0) = 0,
1“$(:го, уе) = і'(=го) 0брг›тИМ0-
По теореме о неявной функции найдутся окрестность 1,, × Іу точ-
ки (а:0,у0) и отображение 9 Є С'(р)(Іу;І,,) такие, что для любой точки
(:1:,у) Є Іа, × Іу
ПШ)-у=0<=>Ш=9(1/) (2)
И
шт = - [Р;<<в,у›Ґ [Р;<«›,у›1 .
В нашем случае
1“1;(<г,у)= і'(т)› Р`;(<1=,у) = -Е,
где Е -единичная матрица; поэтому
9%:/› = (і'<$›>“. <з›

ёб. НЕКОТОРЬІЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 579
Если положить У = Іу и П = 9(У), то соотношение (2) показывает,
что отображения 1” : П -› У и 9: У -› П взаимно обратны, т. е. 9 = /-1
на У.
Поскольку У = Іу, то У -окрестность точки уо. Это означает,
что при условиях 1°, 2°, 3° образ уо = ]`(:1:0) точки 4130 Є Є, внутрен-
ней для Є, является точкой, внутренней для образа 1” (Є) множества Є.
В силу формулы (З) матрица у'(у0) обратима. Значит, отображение
9: У -› П обладает свойствами 1°, 2°, 3° относительно области У и
точки уд Є У. Тогда по уже доказанному шо = у(у0) -внутренняя точ-
ка множества П = 9(У).
Поскольку условия 1°, 2°, 3° в силу формулы (3), очевидно, выполне-
ны в любой точке у Є У, то любая точка 11: = 9(у) является внутренней
точкой множества П. Таким образом, П -открытая (и, очевидно, даже
связная) окрестность точки 1:0 в Ш.
Теперь проверено, что отображение 1” : П -› У удовлетворяет всем
условиям определения 1 и утверждению теоремы 1. Ь
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих теорему 1. Очень
часто теорема об обратной функции используется при переходе от од-
ной системы координат к другой системе координат. Простейший вари-
ант такого преобразования координат рассматривался в аналитической
геометрии и линейной алгебре и имел вид
уї аф а,,},, :в1
ут аї ащ шт
или, в компактной записи, уї = аёазі. Это линейное преобразование
А: Щ -› Щ имеет обратное А1: Щ -› 1К;”*, определенное во всем
пространстве КЗ, тогда и только тогда, когда матрица (ай) обратима,
.
т. е. при условии, что с1е'с (ещё) 75 0.
Теорема об обратной функции является локальным вариантом этого
утверждения, опирающимся на то обстоятельство, что гладкое отобра-
жение в малой окрестности точки ведет себя примерно так же, как его
дифференциал в этой точке.
Пример 1. Полярные координаты. Отображение І : Ка -› ІК2 по-
луплоскости Ка = {(р,<р) Є К2 | р 2 0} на плоскость ІК2, задаваемое

580 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
формулами
а: = рсоз ср, (4)
у=рЫИщ
проиллюстрировано на рис. 57.
“Р 3/
Ё-
2
4›
^о€$2м×
. - _- - ,_ -г-»_ :- - - _
Ё3~«›ї, тд
45%* ..$=- _- _-542...-1. <; гад: -'
(ро Й
0 І р 0 Ф
Рис. 57.
Якобиан этого отображения, как нетрудно подсчитать, равен р,
т.е. отличен от нуля в окрестности любой точки (р, со), где р > 0.
Таким образом, формулы (4) локально обратимы и, значит, локально
числа р, ср могут быть приняты в качестве новых координат точки,
которую раньше задавали декартовы координаты аз, у.
Координаты (р, ср) являются хорошо известной системой криволи-
нейных координат на плоскости-это полярные координаты. Их гео-
метрический смысл виден из рис. 57. Отметим, что в силу периодич-
ности функций соз ср, Ѕіпср отображение (4) при р > О только локально
диффеоморфно, а во всей этой области оно не является биективным.
Именно поэтому переход от декартовых координат к полярным всегда
сопровождается выбором ветви (т. е. указанием диапазона изменения)
аргумента са.
Полярные координаты (р, Ф, ср) в трех-
мерном пространстве ІКЗ называют сфе-
~- ричєскими координатами. Они связаны с
декартовыми координатами формулами
`
Ъ
Ф
/
/
І
д______
че
2=рсозф,
_ у=рЫпФЫП% (Ы
гс ----(Ё - - - -
--її :1:=рЅіпфсоЅср.
Рис. 58. Геометрический смысл параметров р,
1/1, ср показан на рис. 58.

ёб. НЕКОТОРЬІЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 581
Якобиан отображения (5) равен р2 Ѕіптр и в силу теоремы 1 преобра-
зование (5) обратимо в окрестности любой точки (р,'ф, 90), в которой
р > О и зіпф 75 0.
Множествам, где р = сопзг, ср = сопзг или 1/1 = сопзг, в пространстве
(113, у, 2), очевидно, отвечают соответственно сферическая поверхность
(на сфере радиуса р), полуплоскость, проходящая через ось 2, и поверх-
ность конуса с осью 2.
Таким образом, при переходе от координат (аз, у, 2) к координатам
(р, тр, <р), например, сферическая поверхность и поверхность конуса ло-
кально распрямляются: им соответствуют куски плоскостей р = сопзі
и ф = сопзіз соответственно. Аналогичное явление мы наблюдали и в
двумерном случае, когда дуге окружности на плоскости (аг, у) отвечал
отрезок прямой на плоскости с координатами (р, 90) (см. рис. 57). Обра-
тите внимание на то, что это именно локальное выпрямление.
В т-мерном случае полярные координаты вводятся соотношениями
1
(ІІ = рСОЅ <р1,
2 .
(ІІ = рЅ1І1<р1 СОЅ (р2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . (51)
_1 . . .
шт = рзш <р1 $111 <р2 . .. $111 <рт_2 сов <рт_1,
шт = р Ѕіп <р1 Ѕіп <р2 . .. Ѕіп <рт_2 Ѕіп 9от_1.
Якобиан этого преобразования равен
рт`1 Ѕіпт`2 <р1 Ѕіпт`3 9о2 . . . Ѕіп <рт_2 (6)
и в силу теоремы 1 оно тоже локально обратимо всюду, где этот яко-
биан отличен от нуля.
Пример 2. Общая идея локального вьтрям./пения нривьив. Новые
координаты обычно вводят с целью упростить аналитическую запись
объектов, участвующих в задаче, и сделать их более обозримыми в этой
новой записи.
Пусть, например, на плоскости ІК2 некоторая кривая задана уравне-
нием
Р(=11›у)=0-
Пусть Р -гладкая функция, а точка (1130, уд) такова, что она лежит на
кривой, т.е. Р(а:0,у0) = 0, и не является критической точкой функ-
ции Р, например, пусть Р,;(:в0, уо) 79 0.

582 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Попробуем подобрать координаты Є, 17 так, чтобы в них дуге нашей
кривой, содержащей (:Ь0,у0), отвечал отрезок одной из координатных
линий, например линии 1; = 0.
Положим
Є:Ш_$0~›
этого преобразования имеет своим детерминантом величину Р;(а:,у),
которая по предположению отлична от нуля в точке (120, уо). Тогда по
теореме 1 это отображение является диффеоморфизмом окрестности
точки (а:0,у0) на окрестность точки ({,17) = (0,0). Значит, в пределах
указанной окрестности чйсла 5, 17 можно принять за новые координаты
точек, лежащих в окрестности точки (1:0,у0). В новых координатах
наша кривая, очевидно, имеет уравнение 17 = 0, и в этом смысле мы
действительно добились ее локального выпрямления (рис. 59).
у Р(т, у) = 0
Матрица Якоби
77
Є
О 13
Рис. 59.
2. Локальное приведение гладкого отображения к канони-
ческому виду. Мы рассмотрим здесь только один вопрос этого ти-
па, а именно укажем канонический вид, к которому удачным выбором
координат можно локально привести любое гладкое отображение, име-
ющее постоянный ранг.
Напомним, что рангом гладкого отображения І : П -› К области
П С Ш в точке а: Є П называется ранг касательного к нему в этой
точке линейного отображения, т. е. ранг матрицы 1” Ранг отобра-
жения [ в точке а: обозначают обычно символом гапд

ёб. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 583
Теорема 2 (теорема о ранге). Пусть І: П -› ІК -отображе-
ние, определенное в окрестности П С КТ точки 4120 Є Ш. Если І Є
Є С(р)(П;1К), р 2 1, и в любой точке а: Є П отображение І имеет
один и тот же ранг із, то существуют окрестности О(:с0), О(у0)
точек 100, у0 = [(1100) и такие ил: диффеоморфизмы и = <р(:1:), и = ф(у)
класса Ст, что в окрестности О(и0) = <р(О(:с0)) точки и0 = <,о(а:д)
отображение и = ф о 1” о <р1(и) имеет следующее координатное пред-
ставление:
(и1,...,и,°,...,ит)=и›-›и=(и1,...,и)=(и1,...,и,°,0,...,0). (7)
Иными словами, теорема утверждает (рис. 60), что вместо коорди-
нат (5171, . _ . ,:1:”) можно выбрать координаты (и1,. . . ,и), а вместо ко-
ординат (у1, . . . ,у) -координаты (111, . . . ,и”) так, что локально наше
отображение в этих новых координатах будет иметь вид (7), т. е. кано-
нический вид линейного отображения ранга /є.
4 Запишем координатное представление
1 _ 1 1 т
у -і (Ш ),
уК:.іК($1›°~-э$т)›
уК+1 = .і,є+1($1›- ° - эШт)›
п _ п 1 т
у 1 «Ґ 7 ° ' ' 71: )
нашего отображения 1” : П -› КЗ, определенного в окрестности точки
ссд Є Чтобы не менять нумерацию координат и окрестность П,
будем считать, что в любой точке 11: Є П главный минор порядка іє,
стоящий в левом верхнем углу якобиевой матрицы отображения І, от-
личен от нуля.
Рассмотрим отображение, определяемое в окрестности П точки то
равенствами
1 _ 1 1 т _ 1 1 т
и -ср (1: ,...,:1:) -І (а: ,...,:1: ),
Іє _ І: 1 т _ Іс 1 т
и -<р(:с,...,:1:) -](а:,...,:в ), (9)
Іс+1 _ Іє+1 1 _ Іс+1
и -ср (ш,...,шт)-11: ,
ит = <рт(:с1,... ,:с) = шт.

584 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Его матрица Якоби имеет вид
(ёї 21їг_:;д1 21і
1 Іє
да: ...дав Ёд:в,°+1 .“д:ст
ёЁ...ёЁ -Ш '° ..._Ьд '°
дазі дшь ;да:,°+1 дазт
...............
0
. 0 1 )
и в силу сделанного предположения ее опреде.литель отличен от нуля
в П.
По теореме об обратной функции, отображение и = <р(Ё) являет-
ся диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности О(а:0) С П
точки 1:0 на окрестность б(и0) = ср точки ид = <р(а:0).
Сравнивая соотношения (8) и (9), видим, что композиция 9 = І о
о <р“1 : О(и0) -› ПЧ; имеет следующее координатное представление:
у1:]~1о(р-1(,и1,Н.,,и,т) =и1,
ук=.Ґсо(р_1(и1›°°°›и'т) =и,сэ
Ъ/к+1 : ]сК+1 О Ѕд_1(и1›° ° ' эит) : 9]є+1(и1›- °° ›ит)›
п_п-11 т__п1 т
у _.і оф (и›°°°эи) -9 (и›'°°›и'
~ Посколь/ку отображение <р1 :
Ґ % О(и0) -› @(а:0) в любой точ-
== ке и Є О(и0) имеет макси-
' ў малвный ранг т, а отображение
0(“ї0) ОС*/0) І: О(а:0) -› КЗ в любой точке
/'€
АІ
90 ф ас Є О(:1:0) имеет ранг /є, то, как
д(,,,0) д(,,,0) =` известно из линейной алгебры,
=_, матрица 9 <~› _ І (Ф <и>› ×
Ф ° Ґ ° Ф “ -1 '
× (<р ) имеет ранг /є в лю-
РИС- 50~ бои точке и Є б(и0).

ёб. НЕКОТОРЬІЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 585
Прямой подсчет матрицы Якоби отображения (10) дает
/ 1 0
0
0 1 Ё
дуїє-і-1 дуїг-і-1 д
І” Ё ди/°+1 дит
ОЭЗ*
:__+
Р-5
оэ
:
З
+
І-*
29: 29: ды ды у
дм ди* °д1/*+1 ды
Значит, в любой точке и Є б(и0) получаем = О при 11 = /є +
'Ц
//
+ 1,... ,т; _1 = А: + 1,... ,п. Сдчитая окрестность О(и0) выпуклой (чего
можно добиться, уменьшив О(и0), например, до шара с центром ио),
отсюда можно заключить, что функции 91 при 1 = А: +1, . . _ ,п на самом
деле не зависят от переменных и'“+1, _ . . ,ит.
После этого решающего наблюдения отображение (10) можно пере-
писать в виде
1 1
1/ = И ,
Іс _ Іс
у - Ы , (11)
ь+1 _ к+1 1 1;
у _ 9 (и э ° ° ° зи )э
у =9(и1,--›,и'°)-
Теперь уже можно указать отображение 1/1. Положим
111 = 2/1 == Ф1(у),
И” = 1/“ == Ф'“(у), (12)
,иІс+1 : уІс+1 _ 9/4:-+1(у1, . _ О ,,уІє) =: ,фІс+1(у),
11 = 11 - 9(у1,- . - ,1/“) == Ф(г/>-
Из построения функций 97 (1 = І: + 1,... ,п) видно, что отображе-
ние 'ф определено в некоторой окрестности точки уд и принадлежит
классу СФ) в этой окрестности.

586 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
0 1
Матрица Якоби отображения (12) имеет вид
/ 1 0 5
О
_.Ц_
З»
›-+
І-^
съ
*Ё
-д --Є/_д 'Т Ё1 0
. . . . . .
°._
-59; -5% .0 1)
Ее определитель равен 1, и, значит, по теореме 1 отображение 1/1
является диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности О(у0)
точки уд Є Щ” на окрестность б(и0) = Ф (б(у0)) точки 110 Є
Сравнивая соотношения (11) и (12), видим, что в достаточно ма-
лой окрестности О(и0) С О(и0) точки ио такой, что у(О(и0)) С О(у0),
отображение Ф о 1” о <р1: О(и0) -› Щ является отображением гладко-
сти р этой окрестности О(и0) на некоторую окрестность О(т10) С О(т10)
точки 110 Є Щ и при этом имеет канонический вид
,и1 :и1,
019 _ ,Ц/С
_ 3
(13)
,и/С-І-1 : 0,
*и=0.
Полагая 90_1(О(и0)) = О(ш0), ф_1(О(*и0)) = О(у0), получаем указан-
ные в теореме окрестности точек а:0, уо, чем и завершается доказатель-
ство. Ь
Теорема 2, как и теорема 1, очевидно, является локальным вариан-
том соответствующей теоремы линейной алгебры.
В связи с проведенным доказательством теоремы 2 сделаем следу-
ющие полезные для дальнейшего замечания.
Замечание 1. Если в любой точке исходной окрестности П С Кт
ранг отображения І : П -› ІК равен п, то точка уо = 1” (Ш0), где 5130 Є П,
является внутренней точкой множества [(П), т. е. содержится в [(11)
вместе с некоторой своей окрестностью.

ёб. НЕКОТОРЬІЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 587
4 Действительно, по доказанному отображение Ф о 1” 0 90* : О(и0) -›
-› О(и0) в этом случае имеет вид
(и1,...,и,...,ит)=и+-›и=(и1,...,и)=(и1,...,и),
поэтому образ окрестности точки ид = <р(а:0) содержит некоторую ок-
рестность точки ио = 'ф 0 І 0 <р1(и0).
Но отображения <р: О(а:0) -› О(и0), ф: О(у0) -› О(и0)-диффео-
морфизмы, поэтому они переводят внутренние точки во внутренние.
Записав исходное отображение І в виде І = 1/1-1 0 (1/1 о І о <р“1) о 90,
заключаем, что точка уо = ]`(а:0) является внутренней точкой образа
окрестности точки шо. Ь
Замечание 2. Если ранг отображения І : П -› К в любой точке
окрестности П равен /є и /с < п, то, в силу равенств (8), (12) и (13), в
некоторой окрестности точки 1:0 Є П С Ш имеют место п - І: соотно-
шений
Ґ(Ш1›---пгт) =9і(і1(111›---›$т)›~~-,Ґ°(Ш1,---,Шт))
(і=/с+1,...,п). (14)
Указанные соотношения выписаны в принятом нами предположении
о том, что главный минор порядка Іс матрицы 1” (гид) отличен от нуля,
т.е. что ранг /є реализуется уже на наборе функций 1” 1, . . . , 1” 1*. В про-
тивном случае можно изменить нумерацию функций 1” 1, . . . , 1” и снова
иметь указанную ситуацию.
3. Зависимость функций
Определение 2. Говорят, что система непрерывных функций
/'(111) = ]“(а:1,...,:вт) = 1,... п) является функционально независи-
мой в окрестности точки зад = . ,а:6'), если для любой непрерыв-
ной нкции Р = Р 1 оп е еленной в ок естности точки
7 7
уо = (1/5, - - . ,з/8*) = (1“1(то), . - -,1' 0)) = 1°(:1го), СООТНОШЄНИЄ
^ ='є~'ї*
Н?/Фг-І
Р(]`1(ш1,...,$т),...,]`(а:1,...,а:т)) Е 0
в окрестности точки 1120 возможно только в случае, когда Р(у1, . . . , уп) 5
5 0 в окрестности точки уд.

588 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Линейная независимость, рассматривавшаяся в алгебре, есть неза-
висимость по отношению к линейным соотношениям
Р`(у1,...,у) = ×1у1 +...+ Жду.
Если система не является функционально независимой, то ее назы-
вают функционально зависимой.
В случае линейной зависимости векторов один из них, очевидно,
является линейной комбинацией остальных. Аналогичная ситуация име-
ет место и в отношении функционально зависимой системы гладких
функций.
Утверждение 1. Если система Ґ(а:1,...,а:) = 1,...,п) глад-
киа: функций, определенныа: в окрестности І/`(а:0) точки 0:0 Є Кт, та-
кова, что ранг матрицы
1 1
ЁЬ ЁІ_
дазї даст
. . . . . . . . . .
. .
Ш її
дссї . О ' дшт
в любой точке 11: Є П один и тот же и равен /є, то
а) при /є = п система функционально независима в окрестности 1:0;
Ь) при к < п найдутся окрестность точки а:0 и такие /с функций
системы, пусть ]`1,. . . ,_1“, что остальные п - /є функций системы в
этой окрестности представляются в виде
Ґ(:1:1,...,:ст) =9і ([1(а:1,...,з:т),...,]]“(а:1,...,:ст)),
где уі (у1, . . . ,у,°) - гладкие функции, определенные в окрестности точ-
ки уо = (_1°1(:1:0),...,[(а:0)) и зависящие только от К координат те-
кущей точки у = (у1,. . _ ,у).
4 В самом деле, если А: = п, то в силу замечания 1 к теореме о ранге
при отображении
1 __ 1 1
у -1 (Ш ,--пгт),
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . (15)
уп = і<ш1,...,=:т›
образ окрестности рассматриваемой точки азд содержит целую окрест-
ность точки уо = 1” (:1:0). Но тогда соотношение
І-7`(/1(ш1,...,:в),...,[(а:1,...,шт)) 50

ёб. НЕКОТОРЬІЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 589
в окрестности 1:0 возможно только при условии, что
1 п _
в окрестности точки уо. Этим утверждение а) доказано.
Если же Іє < п и ранг А: отображения (15) реализуется уже на функ-
циях 1” 1, . . . , Ґ°, то в силу замечания 2 к теореме о ранге найдется та-
кая окрестность точки уо = 1” (шо) и п - /с определенных в ней функций
9і(у) = _9і(у1,... ,у'°) = /є: + 1,... ,п) того же порядка гладкости, как
и функции системы, что в некоторой окрестности точки 1:0 будут вы-
полнены соотношения (14). Этим доказано утверждение Ь). Ь
Мы показали, что если 1:: < п, то найдутся п - /с специальных функ-
ций Р'(у) = у” - 9'(у1,...,у'”) = /є: + 1,... ,п), устанавливающих со-
отношения
Р`(1°1($),---,Ґ°(Ш)›Ґ(<г)) Е 0 (1 = /С +1,---ка)
между функциями системы І 1, . . . , І 1*, . . . , І в окрестности точки шо.
4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию
простейших. Здесь мы покажем, как, используя теорему об обратной
функции, можно локально представить диффеоморфное отображение в
виде композиции таких диффеоморфизмов, каждый из которых меняет
только одну из координат.
Определение З. Диффеоморфизм 9: П -› Ш открытого множе-
ства П С Кт будем называть простейшим, если его координатное пред-
ставление имеет вид
3/=ат', 'іЄ{1,...,т}, і=,Є_1,
ш=ывд~ли,
т. е. при диффеоморфизме 9: П -› Ш меняется только одна из коорди-
нат отображаемой точки.
Утверждение 2. Если І : Є -› ІЕҐ” -диффеоморфизм открыто-
го множества Є С Вт, то для любой точки тд Є Є найдется такая
ее окрестность, в которой справедливо представление І = 910. . .о9п,
где 91, . . . , 9,, _ простейшие диффеоморфизмы.

590 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4 Проверим это по индукции.
Если исходное отображение І само является простейшим, то для
него утверждение тривиально справедливо.
Предположим, что утверждение справедливо для диффеоморфиз-
мов, меняющих не более чем (І: - 1) координату, где /<: - 1 < п.
Рассмотрим теперь диффеоморфизм І : Є -› Ш, меняющий /с коор-
динат:
Ё/1: ]с1(Ш1›.' ° ° ›$т)э
уд = /'“(а:1,...,шт), (16)
уІ:+1 = ШІ:+1,
ут = шт.
Мы приняли, что меняются именно первые Іс координат, чего можно
достичь линейными преобразованиями. Значит, это не умаляет общно-
сти рассуждений.
Поскольку 1” -диффеоморфизм, то его матрица Якоби 1” в лю-
бой точке :1: Є Є невырожденная, ибо
(1-1)' <і<$›› = [і'<«››1*.
Фиксируем 1:0 Є Є и вычислим определитель матрицы Ґ (тд):
д:1:1 дагк Ёд:с,°+1 дагт
Ш 932 ад* ад” гї-ЁШЁЁ
2: Ш
її” ..... ........ .?ї“_..<«=«››= --------- -«<=п<››#<›~
1 0 ёії 2/Ё
да:1 дазь
О І
: 0 1
Таким образом, один из миноров порядка /є -1 последнего определи-
теля должен быть отличен от нуля. Опять для упрощения записи будем
считать, что таким является главный минор порядка І: - 1. Рассмо-
трим тогда вспомогательное отображение 9: С -› Вт, определяемое

Ёб. НЕКОТОРЬІЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 591
равенствами
и'1 = .і1(Ш1›- ~ ° ›$т)э
,иііс-1 _: 1:1:-1($1, _ _ _ ,Шт),
иіє _ жіс,
ит : шт
Поскольку якобиан
дш1 дв”-1 ды* дат
дёь-1 дїь-1 Ёдік-1 ді/Є-1 34
1 Іс-1 І Іє т 113 113
її ...... її .... ........ <:»<››= ~~~~~~~~~~~~~ ~ <=с«››э-0
1 О дёіс-1 дїіє-1
* ды 'дш'°-1
О
5 0 1
отображения 9: Є -› Ш в точке 1120 Є Є отличен от нуля, отображение 9
является диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки 1130.
Тогда в некоторой окрестности точки ид = у(а:0) определено обрат-
ное к у отображение 1: = у_1(и), которое позволяет ввести в окрестно-
сти 1120 новые координаты (*и,1,. . . ,и”).
Пусть /1, = 1” о 91. Иными словами, отображение у = /1,(и) есть наше
отображение (16) у = [(:1:), записанное в координатах и. Отображе-
ние 11, как композиция диффеоморфизмов, является диффеоморфизмом
некоторой окрестности точки ио. Его координатная запись, очевидно,
имеет вид
1/1 = Ґ <>9'1(и) = 111,
ух-1 = Ґь-1 09-1(и) = их-1,
1/“ = Ґ” Ф 9'1(и),
у/С-І-1 и/€+1,
ут = пт,
т. е. /1 _ простейший диффеоморфизм.

592 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Но 1” = Ь о 9, а по предположению индукции отображение 9, опре-
деленное формулами (17), раскладывается в композицию простейших
диффеоморфизмов. Таким образом, диффеоморфизм 1” , меняющий Іс
координат, в некоторой окрестности точки 1:0 тоже раскладывается
в композицию простейших диффеоморфизмов, что и завершает индук-
цию. Р
5. Лемма Морса. К рассматриваемому кругу идей принадлежит
также красивая сама по себе и важная в приложениях лемма Морсаї)
о локальном приведении гладкой вещественнозначной функции к кано-
ническому виду в окрестности невырожденной критической точки.
Определение 4. Пусть 1:0 -критическая точка функции 1 Є
Є С'(2)(П; К), определенной в окрестности П этой точки.
Критическая точка то называется невырожденной критической
точкой функции І, если гессиан функции в этой точке (т.е. матри-
2
ца %%(ш0), составленная из частных производных второго порядка)
Ю ІБ
имеет отличныи от нуля определитель.
Если то -критическая точка функции, т. е. Ґ (1130) = 0, то по фор-
муле Тейлора
ти) - 1<:›:0›= і2 -її-<ш0›<=# -«:з›<:Ы -кд +о(н$ - аж). <18›
2! .. д:1:”д:в9
из
Лемма Морса утверждает, что локально можно сделать такую замену
ас = у(у) координат, что в координатах у функция 1” будет иметь вид
(І О 9)(г/) - і(Шо) = -(1/1)2 - - (1/“)2 + (1/“+1)2 + - - - + (з/')2-
Если бы в правой части равенства (18) отсутствовал остаточный
член 0 - а:0||2), т.е. разность ](а:) - ]`(:п0) была бы просто квадра-
тичной формой, то, как известно из алгебры, линейным преобразова-
нием ее можно было бы привести к указанному каноническому виду.
Таким образом, утверждение, которое мы собираемся доказать, есть
локальный вариант теоремы о приведении квадратичной формы к ка-
ноническому виду. Доказательство его будет использовать идею дока-
1) Х. К. М. Морс (1892 - 1977) -американский математик; основные труды посвя-
щены применению топологических методов к различным разделам анализа.

Ё6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 593
зательства этой алгебраической теоремы. Мы будем опираться также
на теорему об обратной функции и следующее предложение.
Лемма Адамара. Пусть 1” : П -НК - функиия класса С'(р) (
21, определенная в вьтуклой окрестности П точки 0= (0, . ..
и такая, что ]°(0) = 0. Тогда существуют функции 9,; Є С'(р )
(і = 1, . . . ,т) такие, что в П имеет место равенство
НЬЁ
,:^×Ё
Ёёь
% з/
'ГП
1<ш1,...,а›т› = 21›и<ш1,..,,$т›, <19›
і=1
причем у,(0) =
4 Равенство (19) -это, в сущности, иная полезная запись уже из-
вестной нам формулы Тейлора с интегральным видом остаточного чле-
на. Оно вытекает из равенств
1
1
і(Ш1,-~-пгт) =[сЩш '(,%шт)<1±= -=(±;1;1,...,±:›;'”*)<і±,
0
ЗМЗ
ъз
О<_
Ф» оэ
ёі Ы,
ЄСЛИ ПОЛОЖИТЬ
1
т д т _
уі(:1:1,...,:в )=/Е%(±:1:1,...,±а: )д± (1,=1,...,т).
0
То, что 9,(0) = = 1,...,т), очевидно, а то, что 9,; Є
Є С'(р1)(П;1К), тоже нетрудно проверить. Но мы не будем сейчас зани-
маться этой проверкой, поскольку в свое время будет доказано общее
правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, из
которого нужное нам свойство функций 9,; будет непосредственно вы-
текать.
Таким образом, с точностью до указанной проверки, формула Ада-
мара (19) установлена. Ь
Лемма Морса. Если І : Є -› К -функция класса С'(3)(Є;1К), оп-
ределенная на открытом множестве С С Кт, а асд Є Є -невыро-
жденная критическая точка этой функции, то найдется такой диф-
феоморфизм 9: У -› П некоторой окрестности начала координат О

594 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
пространства Ш но ожрестность П точки 1:0, что для всея: точек
у Є У
(1 О уж;/› = г<«›0› - [(1/1›2 + . . - + <у*›2] + [(1/+1›2 + . ~ + <ут›2] .
4 Линейными заменами вопрос сводится к случаю, когда 1120 = 0 и
І (120) = 0, что мы в дальнейшем и будем считать выполненным.
Поскольку шо = 0-критическая точка функции І, то в форму-
ле (19) у,(0) = 0 = 1,... ,т). Тогда по той же лемме Адамара
ТП,
уі(а:1,... ,:1:т) = Хан]/цд(ш1,...,а:т),
і=1
где /1,1 _гладкие функции в окрестности точки 0, и, следовательно,
'ГП
1 т _ 11 ' __ 1 т
]`(:1:,...,а: )-Е 12:12]/ъ,д(:1:,...,:1: (20)
і›і=1
^' 1
Подставляя здесь, если нужно, вместо /цд функции 11,, = 5(/Щ +/11,),
можем считать, что /Щ = /жд. Заметим также, что, в силу единственно-
сти тейлоровского разложения, из непрерывности функций /цд следует,
_ д2
что /ці(0) - и, значит, матрица (/1,;і(0)) невырожденная.
Теперь функция 1” записана подобно квадратичной форме и мы хо-
тим, так сказать, привести ее к диагональному виду.
Как и в классическом случае, будем действовать по индукции.
Предположим, что существуют координаты и1,. . . ,ит в окрестно-
сти П1 точки О Є Кт, т. е. диффеоморфизм 1: = 90(и) такой, что в
координатах иї, . _ . ,ит
'ГТЬ
(1 О <р)(и) = ± (и1)2 ± . . . ± (1/-1)2 + иіи1Н,,(и1, . . . ,1/*), (21)
ы=1°
ГДЄ 'Г 21,3. Ніі = Ніі.
Заметим, что при т' = 1 соотношение (21) имеет место, что видно
из формулы (20), где Нд = /1,1.
т . .
По условию леммы, квадратичная форма 2 а:“а:7/ъ,;д(0) невырожден-
'1ї›і=1
ная, т. е. с1е'с (/ъ,_1(0)) 75 0. Замена переменных а: = <р(и) осуществля-
ется диффеоморфизмом, поэтому <іе1: <р'(0) аё 0. Но тогда и матрица

ёб. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЬІ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 595
т 0 .
формы ±(и1)2 ± ± (1/1)2 + ии,їН,д(0), получаемая из матри-
т=1'
цы (/ъ,і(0)) домножением справа на матрицу <р'(0) и слева на транс-
понированную по отношению к 9:/(0) матрицу, тоже невырожденная.
Следовательно, по крайней мере одно из чисел Н,д(0) (і, ў = т, . . . ,т)
т о 0
отлично от нуля. Линейной заменой переменных форму 2 и'и~7 Нд (0)
11 _1='г
можно привести к диагональному виду, поэтому можно снитать, что в
равенстве (21) Н,~,~(0) 75 0. Ввиду непрерывности функций НИ(и) нера-
венство Н,.,.(и) 74 0 будет выполнено также в некоторой окрестности
точки и = 0.
Положим 1/1(и1, . . . ,и) = / |Н,.,~(и)|. Тогда функция 1/1 принадлежит
классу С'(1)((/`2; К) в некоторой окрестности П2 С П1 точки и = 0. Сде-
лаем теперь переход к координатам (111, _ . . ,от) по формулам
. о
о
1/=и', 27513
,,. _ 1 т ,. 'и,'Н,,,.(и1,... ,и) (22)
11 -ф(и,...,и ) и +ё; НТТ(и1,.Н,ит) .
Якобиан преобразования (22) в точке и = 0, очевидно, равен ф(0),
т. е. отличен от нуля. Тогда в силу теоремы об обратной функции мож-
но утверждать, что в некоторой окрестности П3 С П2 точки и = 0
отображение 11 = 'ф(и), заданное соотношениями (22), является диф-
феоморфизмом класса С'(1)(П3;1Кт) и потому переменные (111, . . . ,11')
действительно могут служить координатами точек П3.
Выделим в правой части равенства (21) все члены
ТП
итт/Н,~,-(и1,...,ит)+2 2 иТи7Н,~д(и1,...,и”), (23)
]=т+1
содержащие и. В записи (23) суммы этих членов мы использовали то,
ЧТО.НЦ7==11И.
Сравнивая (22) и (23), видим, что выражение (23) можно переписать
в виде
1 2
± ото? - Ё- Ё и“Н,,,.(и1,...,и') .
ТТ і>т
Знак ± перед *итог появляется в связи с тем, что НТ., = ±(1/;)2,
причем берется знак плюс, если НМ. > 0, и знак минус, если Н,-,. < 0.

596 ГЛ. УІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, после замены и = ф(и) выражение (21) преобразу-
ется в равенство
(І о др о 1/Ґ1) (и) = 2 [±(иі)2] + 2 иі'и5Й,д(и1,...,ит),
і=1 і,_1>'г
где Нд -некоторые новые гладкие функции, симметричные по индек-
сам і, _і. Отображение 9001/1-1 является диффеоморфизмом. Таким обра-
зом, завершен индуктивный переход от т - 1 к 1* и лемма Морса дока-
зана. Ь
Задачи и упражнения
1. Вычислите якобиан перехода (6) от полярных координат к декартовым
координатам в Вт.
2. а) Пусть 2:0 -некритическая точка гладкой функции Р : П -› К, опре-
деленной в окрестности П точки 1:0 = (ссё, . . . ,:с6”) Є Кт. Покажите, что в
некоторой окрестности Й С П точки 1:0 можно так ввести криволинейные
координаты (51, . . . ,{'), что множество точек, выделяемое условием Р(:с) =
= Р`(:1:0), в этих новых координатах будет задаваться уравнением Є = 0.
Ь) Пусть <р,1/1 Є С'('°)(П;ІК) и пусть в области В = 0) => = 0).
Покажите, что если Ѕгасіср 56 0, то в В справедливо разложение Ф = 0 - <р, где
9 Є С'('°_1)(В;1К).
3. Пусть І : ІК2 -+ ІК2 -гладкое отображение, удовлетворяющее системе
уравнений Коши-Римана
ді1_д12 дл _ «ЗР
дасї _ дав” да:2 _ д:1:1°
а) Покажите, что якобиан такого отображения равен нулю в некоторой
точке тогда и только тогда, когда матрица 1” в этой точке нулевая.
Ь) Покажите, что если Ґ 75 0, то в окрестности точки :с определено
обратное к І отображение _і“1, которое также удовлетворяет системе урав-
нений Коши-Римана.
4. Зависимость функций (прямое доказательство).
а) Покажите, что функции = агі = 1,.. .,т) как функции точки
а: = (:1:1, . . . ,шт) Є К” образуют независимую систему функций в окрестности
любой точки пространства Кт.
Ь) Покажите, что, какова бы ни была функция І Є С'(П€.“;ІК), система
1г1,. ..,1гт, І функционально зависима.
с) Если система гладких функций _1'1,..., _/'°, Іє < т, такова, что ранг
отображения І = (11, _ . .,]°) в точке спо = (шё, . . . ,$6) Є Ш равен /с, то в не-
которой окрестности зтой точки ее можно дополнить до независимой системы
_1*`1,. . . , Ґ, состоящей из т гладких функций.

ЁТ. ПОВЕРХНОСТЬ В В И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 597
(1) Если система
{'=]“(а:1,...,а:т) (і=1,...,т)
гладких функций такова, что осуществляемое ею отображение І = (І1, . . _ , Іт)
имеет в точке шо = (:сЁ,...,а:{,) ранг т, то переменные ({1,...,€”') могут
служить криволинейными координатами в некоторой окрестности П (шо) точ-
ки шо и любая функция 90: І/'(а:0) -› К может быть записана в виде <р(:с) =
_ 1 _ -1
-РО”(11),---,і'(Ш))›гдЄР-<Р°і -
е) Ранг отображения, осуществляемого системой гладких функций, назы-
вают также рангом этой системы. Покажите, что если ранг системы гладких
~› ' 1 ~ _ 1
функции ](:в ,...,а:') (1 _ 1,...,Іс) равен Ія: и ранг системы І ,...,_іт,9а
тоже равен І: в некоторой точке 1:0 Є ІЕЄТ, то в окрестности этой точки <р(:1:) =
_ 1 Ь
Указание. Используйте с), (1) и покажите, что
г(і1,...,;т) =1г(;1,...,;'°).
5. Покажите, что ранг гладкого отображения І : К” -> К является функ-
цией, полунепрерывной снизу, т. е. гап5 І 2 гап5 ](:в0) в окрестности точки
1170 Є Кт .
6. а) Дайте прямое доказательство леммы Морса для функций І : ІК -› К.
Ь) Выясните, применима ли лемма Морса в начале координат к функциям
](:с) =:1:3; _і(ш) =а:Ѕіпі-; ](:1:) =є_1/°”2 Ѕіп2 Ё;
і(=1г›1/) = ФЗ - 31%/2; і(Ш,3/) = $2-
с) Покажите, что невырожденные критические точки функции І Є
Є С'(3) (ІК'; К) являются изолированными: каждая из них имеет такую окрест-
ность, в которой нет других критических точек функции І, кроме самой этой
точки.
(1) Покажите, что число І: отрицательных квадратов в каноническом пред-
ставлении функции в окрестности невырожденной критической точки не за-
висит от способа приведения, т. е. от системы координат, в которой функция
имеет канонический вид. Это число называется индексом критической точки.
57. Поверхность в К и теория условного экстремума
Для неформального понимания важной в приложениях теории услов-
ного экстремума весьма полезно иметь некоторые начальные сведения
о поверхностях (многообразиях) в пространстве К.

598 ГЛ. /'ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Поверхность размерности Іс в 1Е2.“. Обобщая понятие закона
движения ш = ас(±) материальной точки, мы в свое время ввели поня-
тие пути в К как непрерывного отображения Г: І -› К” промежутка
І С К. Степень гладкости пути определялась как степень гладкости
этого отображения. Носитель Г(І) С К пути мог быть довольно при-
чудливым множеством в К, которое иногда только с очень большой
натяжкой можно было бы назвать линией. Например, носитель пути
мог оказаться просто точкой.
Аналогично, непрерывное или гладкое отображение І : ІІ” -› К
/є-мерного промежутка І* С КК, называемое /с-путем в К, может
иметь в качестве образа І (І Ё) совсем не то, что хотелось бы назвать
І:-мерной поверхностью в К. Например, это снова может быть точка.
Чтобы гладкое отображение 1” : Є -› К” об-
ласти Є С 113.1” определяло в К /с-мерную геоме-
трическую фигуру, точки которой описывают-
ся Іс независимыми параметрами (151, . . . ,±'°) Є
Є Є, достаточно, как мы знаем из предыдущего
параграфа, потребовать, чтобы в каждой точке
Ъ Є Є ранг отображения ]` : Є -› К был равен
А: (разумеется, Іс < В этом случае отображе-
РИС° 61° ние 1 : Є -+ _1°(Є') локально (т. е. в окрестности
любой точки Ъ Є Є) является взаимно однозначным.
Действительно, пусть гап5 І (150) = /с и он реализуется, например, на
первых А: из п функций
$1 : .ї1(±1›°'°›±,с)э
................. .. (1)
Ш = 1°(#1,-~,±'“),
задающих координатную запись отображения І : Є -› Е.
Тогда по теореме об обратной функции переменные 151, . . . ,±'“ в не-
которой окрестности П(±0) точки #0 можно выразить через переменные
а:1,... ,:1:'“. Значит, множество І (П (150)) может быть записано в виде
Іс-+-1 _ І<:+1 1 А: п _ п 1 Іс
а: -ср (:в,...,:с), ..., гс -90(а:,...,а:)
(т.е. оно взаимно однозначно проектируется на координатную плос-
кость :в1,... ,:с'“), и потому отображение І : І/'(10) -› [(1/'(150)) действи-
тельно взаимно однозначное.

Ё7. ПОВЕРХНООТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 599
Однако уже на примере одномерного гладкого пути (рис. 61) ясно,
что подобная локальная взаимная однозначность отображения І: Є -›
-› К из области Є параметров в пространство К” вовсе не обяза-
на быть взаимной однозначностью в целом. Траектория может иметь
многократные самопересечения, поэтому если мы желаем определить
гладкую /є-мерную поверхность в К и видеть ее как множество, кото-
рое около каждой своей точки устроено как несколько деформирован-
ный кусок Е:-мерной плоскости (А:-мерного подпространства простран-
ства Кп), то нам не достаточно регулярно отображать канонический
кусок Є С К” Іс-мерной поверхности в пространство ІК, но необходимо
также следить за тем, как он в целом оказывается вложенным в это
пространство.
Определение 1. Множество Ѕ С К будем называть І:-мврной
гладкой повєрагностью в пространстве К (или /с-мерным подмного-
образиєм Кп), если для любой точки 1130 Є Ѕ найдутся окрестность
Ґ/`(:в0) в К и диффеоморфизм <р: Ґ/'(1120) -› І этой окрестности на стан-
дартный *п,-мерный промежуток І” = {± Є К | |15”| < 1, 11 = 1,...,п}
пространства К, при котором образ множества Ѕ П І/'(:с0) совпадает с
лежащей в І частью А:-мерной плоскости пространства 1К', задаваемой
соотношениями ±'“+1 = О, , 15” = 0 (рис. 62).
п І/`(:в0)
,С зы Ёп
&` Т,
Жў 1 /І
О Ю 1 І
,-1
ФЬ
ъ-Ь
1 і
-1
Рис. 62.
Степень гладкости поверхности Ѕ будем измерять степенью глад-
кости диффеоморфизма ср.

600 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если смотреть на переменные ±1, . . . ,± как на новые координаты в
окрестности П (1130), то определение 1 в сокращенном варианте можно
переформулировать следующим образом: множество Ѕ С К называ-
ется Іє-мерной поверхностью (Іс-мерным подмногообразием) в К, если
для любой точки 0:0 Є Ѕ можно указать окрестность П(:с0) и такие ко-
ординаты 151, . . . ,± в ней, что множество Ѕ П Ґ/'(:1:0) в этих координатах
задается соотношениями
±'°+1=...=±”=0.
Роль стандартного промежутка в определении 1 чисто условная и
примерно такая же, как роль стандартного размера или формы страни-
цы в географическом атласе. Каноническое расположение промежутка
в системе координат 11, . . _ ,± также относится к области стандартиза-
ции и не более того, поскольку любой куб в К” дополнительным линей-
ным диффеоморфизмом всегда можно преобразовать в стандартный
п-мерный промежуток.
Этим замечанием мы часто будем пользоваться, сокращая проверку
того, что некоторое множество Ѕ С К является поверхностью в 1К”.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Само пространство К является п-мерной поверхно-
стью класса С'(°°). В качестве отображения 90: К -› І ” здесь можно
взять, например, отображение
. 2 .
.{=;агс1:3;а:' (і=1,...,п).
Пример 2. Построенное в примере 1 отображение заодно уста-
навливает, что подпространство векторного пространства К, задава-
емое условиями ш'“+1 = = из” = 0, является /є-мерной поверхностью
в К (или І:-мерным подмногообразием Кп).
П име 3. Множество в К за аваемое системой соотношений
Р › д
1 1 1 1: 1 1: 1 1 _
а1а: +...+а,саг +а,с+1а: + +...+а,,:1: _0,
аї_І°а:1 + . . . + а2'_,“ш'“ + а2;і°а:'“+1 + . . . + а2“'“а: = О
при условии, что ранг этой системы равен п - Іє, является В-мерным
подмногообразием К.

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В ІК И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 601
Действительно, пусть, например, определитель
1 1
ь о о
п-И -Ь
а,,с+1а2
отличен от нуля. Тогда линейное преобразование
151 = :с1,
,З/«=Шь,
1: 1 1 1 1
±+ =а1:с +...+а,,,ш,
0 0 0 0 0 0 0 О О 0 0 О О 0 О О 0 О О 0 0 О 0 0 І 0
О О
15 = а,ї_,°:1:1 + . . . + а2`,“а:,
очевидно, является невырожденным. В координатах ±1, . . . , 15 наше мно-
жество задается условиями ±'“+1 = . . . = 15* = 0, уже рассмотренными в
примере 2.
Пример 4. График определенной в некоторой области Є С П-В1
гладкой функции гс” = ]'(:1:1,. . . ,:в`1) является гладкой (п - 1)-мерной
поверхностью в ІК.
Действительно, полагая
±'=:в' (і=1,...,п-1),
1% =з: -1'(а:1,...,а:_1),
мы получаем систему координат, в которой график нашей функции
имеет уравнение 15” = 0.
Пример 5. Окружность 1:2 + 3/2 = 1 в ІК2 является одномерным
подмногообразием в К2, что устанавливается разобранным в предыду-
щем параграфе локально обратимым переходом к полярным координа-
там (р, <,о), в которых окружность имеет уравнение р = 1.
Пример 6. Этот пример является обобщением примера 3 и вместе
с тем, как видно из определения 1, дает общую форму координатной
записи подмногообразий пространства К.

602 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пусть Рі(:с1,... ,ш”) = 1,... ,п - /є) _система гладких функций
ранга п - Іс. Покажем, что соотношения
Р1(:1:1,... ,:1:'“,:в'°+1,...,:в) = 0,
................................ . . (2)
Р°(ш1,... ,:с'“,а:'°+1,...,:с“) = 0
задают в К подмногообразие Ѕ размерности Іє.
Пусть в точке 1:0 Є Ѕ выполнено условие
дл” дл*
да/“+1 дсп
. . . . . . . . . . . . . . .
. . (1170) 7Ё 0.
дгтп-,С дІ;1'П.-,С
дш*+1 ' дтп
Тогда преобразование
іі=а:і ('і=1,...,/с),
Ё” =Р”'°(а:1,...,:1:) (і=1<:+1,...,п)
в силу теоремы об обратной функции является диффеоморфизмом не-
которой окрестности рассматриваемой точки.
В новых координатах 151, . . . ,± исходная система будет иметь вид
±'“+1 = = 1 = 0; таким образом, Ѕ является із-мерной гладкой по-
верхностью в К.
Пример 7 . Множество Е точек плоскости ІК2, удовлетворяющих
уравнению 1:2 - у2 = 0, состоит из двух прямых, пересекающихся в
начале координат. Это множество не является одномерным подмного-
образием ІК2 (проверьте!) именно из-за указанной точки пересечения.
Если удалить из Е начало координат 0 Є ІК2, то множество ЕО уже,
очевидно, будет удовлетворять определению 1. Заметим, что множество
ЕО несвязно. Оно состоит из четырех не имеющих общих точек лучей.
Таким образом, удовлетворяющая определению 1 І:-мерная поверх-
ность в К может оказаться несвязным подмножеством, состоящим из
некоторого числа связных компонент (и уже эти компоненты являют-
ся связными А:-мерными поверхностями). Часто под поверхностью в К
понимают именно связную /я:-мерную поверхность. Сейчас нас будут ин-
тересовать проблемы отыскания зкстремумов функций, заданных на

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 603
поверхностях. Это локальные проблемы, поэтому в них условие связно-
сти поверхности не проявляется.
Пример 8. Если гладкое отображение 1” : Є -› К области Є С
С К, задаваемое в координатном виде соотношениями (1), имеет в
точке 150 Є Є ранг /с, то найдется такая окрестность П (150) С Є этой точ-
ки, образ [(1/`(±0)) С К которой является гладкой поверхностью в К.
Действительно, как уже отмечалось выше, в этом случае соотно-
шения (1) могут быть в некоторой окрестности П(±0) точки 150 Є Є
заменены эквивалентной им системой соотношений
$Іс+1 = (рІє+1(Ш1, О О . ,ШІс),
..................... . . (4)
Щ = <р'(а:1,... ,а:І“)
(для упрощения записи мы считаем, что уже система функций І 1 , . . . , [Ё
имеет ранг Полагая
1-7`і(а:1,...,:с)= а:,°+і - <р'°+і(:с1,...,:с'“) = 1,...,п - /є),
записываем систему (4) в виде (2). Поскольку соотношение (З) выпол-
нено, то в силу примера 6 множество ДП (150)) действительно является
В:-мерной гладкой поверхностью в КТК
2. Касательное пространство. При рассмотрении закона дви-
жения єє = :в(±) материальной частицы в КЗ, исходя из соотношения
ш(±) = ;1;(0) + а;'(0)± + <›(±) при ± -› 0 (5)
и считая, что точка 15 = О не является критической для отображения
К Э 15 ›-› а:(±) Є КЗ, т. е. а:'(О) 7Є 0, мы определили прямую, касательную к
траектории в точке а:(0), как линейное подмножество в КЗ, задаваемое
в параметрическом виде уравнением
1: - 1:0 = а:'(0)± (6)
ИЛИ УРЗВНЄНИЄМ
517 _ 5170 = Є ° із
где азд = :в(0), а { = а:' (0) -направляющий вектор прямой.

604 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В сущности, аналогичную вещь мы делали, определяя плоскость, ка-
сательную к графику функции 2 = І (гс, у) в КЗ. Действительно, допол-
нив соотношение 2 = ](:с, у) тривиальными равенствами аг = 1:, у = у,
мы получаем отображение ІК2 Э (а:,у) +-› (а:,у, І (:1:,у)) Є КЗ, касатель-
ным к которому в точке (:1:0,у0) является линейное отображение
17 -Ш0 1 0 $_$
Ъ/-уо = 0 1 (3/_?/0), (8)
2 - го Ґ;2($о›?/0) 1°;(Шо›?/0) О
Где го = 1°($о›уо)-
Полагая здесь 15 = (11:-1:0, у-уо), ап = (а:-:1:0,у-уд, 2:-20) и обозначая
через а:' (0) указанную в (8) матрицу Якоби рассматриваемого отобра-
жения, замечаем, что ее ранг равен двум и что в этих обозначениях
соотношение (8) имеет вид
Особенность соотношения (8) состоит в том, что из трех равенств:
а: - тд = сс - а:0,
у-3/о=?/-21/0, (9)
2 - го = Ґ;2($о›уо)($ _ 110) + Ґ;($о›уо)(?/ _ ус),
совокупности которых оно равносильно, только последнее нетривиаль-
но. Поэтому именно оно осталось у нас как уравнение, задающее плос-
кость, касательную к графику функции 2 = ](а:, у) в точке (тд, уо, 20).
Сделанное наблюдение можно использовать, чтобы теперь дать оп-
ределение /єг-мерной плоскости, касательной к І:-мерной гладкой поверх-
ности Ѕ С К.
Из определения 1 поверхности видно, что в окрестности любой своей
точки 1:0 Є Ѕ /є-мерная поверхность Ѕ может быть задана параметри-
чески, т. е. с помощью отображения І* Э (±1,...,±'°) ›-› (:в1,...,ш) Є
Є Ѕ. В качестве такового может выступать ограничение отображения
9о'1: І -+ І/'(а:0) на І:-мерную плоскость ±'°+1 = = 15 = 0 (см. рис. 62).
Поскольку <р“1 -диффеоморфизм, то якобиан отображения <р1 :
І -› П(:в0) в любой точке куба І отличен от нуля. Но тогда ранг
отображения І К Э (131, . . . ,±'“) 1-› (а:1,. . . ,а:) Є Ѕ, полученного ограниче-
нием <р“1 на указанную плоскость, должен быть равен /є в любой точке
куба 1*.
Полагая теперь (11, . . . ,±'“) = 15 Є І* и обозначая отображение І І” Эй +-+
1-› 11: Є Ѕ через а: = :с(±), получаем локальное параметрическое пред-

57. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 605
ставление поверхности Ѕ, обладающее свойством, выраженным равен-
ством (5), на основании которого уравнение (6) принимаем в качестве
уравнения касательного пространства или касательной плоскости к по-
верхности Ѕ С К в точке 1120 Є Ѕ.
Итак, мы принимаем следующее
Определение 2. Если Іс-мерная поверхность Ѕ С Кп, 1 < Іс < п, в
окрестности точки то Є Ѕ задана параметрически с помощью гладкого
отображения (±1,...,±'°) = 15 ›-› сс = (а:1,...,:с“) такого, что то = а:(0)
и матрица а:'(0) имеет ранг Іє, то І:-мерная плоскость в К, задавае-
мая параметрически матричным равенством (6), называется касатель-
ной плоскостью или косатєльньъм пространством к поввршности Ѕ в
точке 120 Є Ѕ.
В координатной записи равенству (6) соответствует система урав-
нений
1:1 -тд, = %(о)±1+...+%=;(о)±'=,
........... (10)
1:-а:'З = %Ґ(0)±1 +...+%:ї(0)±'“.
Пространство, касательное к поверхности Ѕ в точке а: Є Ѕ, будем, как
и прежде, обозначать” символом ТЅ$.
Важным и полезным упражнением, которое читатель может проде-
лать самостоятельно, является доказательство инвариантности опреде-
ления касательного пространства и проверка того, что линейное ото-
бражение і Ь-› а:'(О)±, касательное к отображению 15 г-+ $(±), задающе-
му локально поверхность Ѕ, осуществляет отображение пространства
Е* = ТЩ* на плоскость ТЅа,(0) (см. задачу 3 в конце параграфа).
Выясним теперь, как выглядит уравнение касательной плоскости к
Іс-мерной поверхности Ѕ, заданной в К системой Будем для опре-
деленности считать, что в окрестности рассматриваемой точки спо Є Ѕ
выполнено условие
Полагая ($1,. .. ,:с'°) = и, (а:'“+1,... ,ш) = *и, (Р1,. . . ,Р“'“) = Р,
запишем систему (2) в виде
17'(и,*и) = 0, (11)
1)Это-небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения Т,,,Ѕ
или Та, (Ѕ

606 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
а условие (3) -в виде
с1е1:Р,,Ѕ(и,т1) 75 0. (12)
В окрестности точки (ид 11 ) = (:с1 1:” а:'°+1 :в”) по тео еме
70 0›°°~› Оэ 0 э°°°э 0 р
о неявной функции перейдем от соотношения (11) к эквивалентному
ему соотношению
11 = Ли), (13)
дополняя которое тождеством и = и, получаем параметрическое пред-
ставление поверхности Ѕ в окрестности точки то Є Ѕ:
{ї:Ёш. “щ
На основании определения 2, из (14) получаем параметрическое
уравнение
и - ио = Е - 15,
_ 1 (15)
11-то-ї(ио)'Ё
касательной плоскости; здесь Е -единичная матрица, а ± = и - 110.
Подобно тому, как это было в случае системы (9), в системе (15)
оставляем только нетривиальное уравнение
'И - то = 1°,(“о)(и '_ ио)› (16)
которое и содержит в себе связи переменных :1:1, . . . ,а:'° с переменными
:1:'“+1, . . . ,а:”, выделяющие касательное пространство.
Пользуясь тем, что по теореме о неявной функции
Ґ(ио) = - [Ё.Ё('Ыо,11о)]_1 [Е1('11›о,11о)]›
перепишем (16) в виде
Р,1(и0,и0)(и - ид) + Р`,,Ѕ(и0, и0)(*и - 110) = 0,
откуда после возвращения к переменным (а:1,. . . ,а:') = 11: получаем ис-
комое уравнение
Р;($о)($ _ Шо) = 0 (17)
касательного пространства ТЅЩ, С К.

527. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 607
В координатном представлении уравнение (17) равносильно системе
уравнений
1 1
%<«:<››<:›:1 - вы + _ .. + 33,-<ш0›<ш - =«=з› = 0,
.................................................. .. (18)
дгп-'° дп-'°
'ї(Ш0)($1_' + . . . + ' 2
Ранг этой системы по условию равен п - Іє, поэтому она задает
І:-мерную плоскость в К.
Аффинное уравнение (17) эквивалентно (если указана точка 1:0) век-
торному уравнению
Р;<«:0› ~: = 0, <19›
в котором Є = а: - агд.
Значит, вектор Є лежит в плоскости ТЅЗО, касательной в точке 1130 Є
Є Ѕ к поверхности Ѕ С К, заданной уравнением Р = 0, в том и толь-
ко в том случае, когда он удовлетворяет условию (19). Таким образом,
ТЅа,0 можно рассматривать как векторное пространство векторов 5,
удовлетворяющих уравнению (19).
Именно с этим обстоятельством и связан сам термин касоте./ььное
пространство.
Докажем теперь следующее, уже встречавшееся нам в его частном
случае (см. Ё4, п. 6)
Утверждение. Пространство ТЅ,,,0, касотельное к гладкой по-
верагности Ѕ С К в точке 1120 Є Ѕ, состоит из векторов, касательныш
в точке то к еладким кривым, лежащим на поверагности Ѕ и прошодл-
щим через точку шо.
4 Пусть поверхность Ѕ в окрестности точки ат Є Ѕ задана в виде
системы уравнений (2), которую мы коротко запишем как
Р`(Ш) = 0, (20)
где Р = (Р1,...,Р”'°), а: = (а:1,...,а:). Пусть Г: І -› Ѕ-произволь-
ный гладкий путь с носителем на Ѕ. Взяв І = {15 Є К | |±| < 1}, будем
считать, что а:(0) = 1120. Поскольку а:(±) Є Ѕ при 15 Є І, то после подста-
новки :в(±) в уравнение (20) получаем
Е О (21)

608 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при 15 Є І. Дифференцируя это тождество по Ъ, находим, что
~:с'(±) Е 0.
В частности, при і = 0, полагая Є = а:' (0), получаем
Р::;(<1їо)Ё = 0,
т. е. вектор Є, касательный к траектории в точке агд (в момент і = 0),
удовлетворяет уравнению (19) касательного пространства ТЅ$0.
Покажем теперь, что для любого вектора Є , удовлетворяющего урав-
нению (19), найдется гладкий путь Г: І -› Ѕ, который задает кривую
на поверхности Ѕ, проходит при 1 = О через точку 1:0 и имеет вектор Є
своим вектором скорости в момент 15 = 0.
Этим заодно будет установлено само существование гладких кри-
вых, проходящих на Ѕ через точку 1:0, которое мы неявно предполагали
в уже проведенной первой части доказательства утверждения.
Пусть для определенности выполнено условие Тогда, зная пер-
вые Іє координат {1,...,{'“ вектора ё = ({1,...,{'°,{'°+1,...,{), мы из
уравнения (19) (равносильного системе (18)) однозна=шо определим ос-
тальные его координаты {'“+1,... ,{. Таким образом, если для неко-
торого вектора Ё = ({1,... ,{'°,Ё'“+1,...,Ё) будет установлено, что он
удовлетворяет уравнению (19), то можно заключить, что Ё = Є. Вос-
пользуемся этим.
Вновь, как это было сделано выше, введем для удобства обозначения
и =(а:1,...,:1:'“), 11 = (а:'“+1,_...,а:), гс = (ш1,...,:1:) = (и,т1), =
= Р(и,11). Тогда уравнение (20) будет иметь вид (11), а условие (3) -
вид (12). В подпространстве К* С К” переменных а:1,...,а:'“ возьмем
параметрически заданную прямую
1121 - асё = (115,
............ .. тв,
сс* - шё = 51%,
с направляющим вектором ((1, . . . ,Ё“), который мы обозначим через (Н.
В более коротких обозначениях эта прямая может быть записана в виде
'и, = 11.0 + Ёиі. (22)

57. ПОВЕРХНОСТЬ В 112 И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 609
Решая уравнение (11) относительно 11, в силу теоремы о неявной
функции получим гладкую функцию (13), подставляя в аргумент ко-
торой правую часть равенства (22), с учетом самого равенства (22),
получим гладкую кривую в 1К“, заданную в следующем виде:
И = но + Єиі,
'и = ]с(и'0 +
Поскольку Р(и, 1” Е 0, то, очевидно, эта кривая лежит на по-
верхности Ѕ. Кроме того, из равенств (23) видно, что при 13 = 0 кривая
_ Ь Ь 1 _
проходит через точку (и0,1›9) _ (агё, . . . ,а:0,ш0+ ,...,а:8') _ 1:0 Є Ѕ.
Дифференцируя по 15 тождество
Р(и(±)Ґд(±)) = Р(и0 + Єиіэ і(и0 + Е Оэ
при 15 = О получаем
± Є І/'(0) С В. (23)
Рй(и01и0)€и + }7й(и01и0)Ё'0 = 09
где Ё” =~ 1/(0) = (Ё7°+1,..~. ,Ё*). Это равенство показывает, что вектор
€= (би, 60) = (51,-~›€'°,€'°+1,--››€)УДОЫЄТВОРЯЄТ УР&~ВНЄНИЮ (19)- ТЭ;
ким образом, в силу сделанного выше замечания заключаем, что Є = Є.
Но вектор Є является вектором скорости при Ъ = 0 для траектории (23).
Тем самым высказанное утверждение доказано полностью. >
3. Условный экстремум
а. Постановка вопроса. Одним из наиболее ярких и популярных
достижений дифференциального исчисления являются предлагаемые
им рецепты отыскания зкстремумов функций. Необходимые условия
и достаточные дифференциальные признаки зкстремума, которые мы
получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось, к вну-
тренним экстремумам.
Иными словами, зти результаты применимы только к исследованию
поведения функции К Э єс ›-› І Є В в окрестности точки то Є К то-
гда, когда аргумент :с может принимать любое значение из некоторой
окрестности в К точки тд.
Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже
более интересная ситуация, когда ищется экстремум функции при не-
которых условиях, ограничивающих область изменения аргумента. Ти-
пичным примером может служить изопериметрическая задача, когда

610 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограни-
чивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить
доступную нам математическую запись такой задачи, упростим по-
становку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди пря-
моугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который
имеет наибольшую площадь 0. Обозначив через гс и у длины сторон
прямоугольника, запишем, что
0(Ш,у) =Ш°у,
ш+у=р
Итак, надо найти экстремум функции а(а:, у) при условии, что пе-
ременные гв, у связаны соотношением гс + у = р. Таким образом, экс-
тремум функции ищется только на множестве тех точек плоскости ІК2,
которые удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная за-
дача, конечно, решается без труда: достаточно, записав, что у = р - гс,
подставить это выражение в формулу для о(:1:,у) и найти обычными
методами максимум функции а:(р - Она нам была нужна лишь для
пояснения самой постановки вопроса.
В общем случае задача на условный зкстремум обычно состоит в
том, чтобы найти экстремум вещественнозначной функции
1/=і(=г1,-~,=г) (24)
от п переменных при условии, что эти переменные удовлетворяют си-
стеме уравнений
1 1 _
Р (11: ,...,а:) -0,
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . (25)
1 _
І7`(а: ,...,:1:) - 0.
Поскольку мы собираемся получать дифференциальные условия экс-
тремума, мы будем предполагать, что все рассматриваемые функции
дифференцируемы и даже непрерывно дифференцируемы. Если ранг
системы функций 171, . . . ,Рт равен п - 1:, то условия (25) задают в К”
некоторую Іє-мерную гладкую поверхность Ѕ и с геометрической точки
зрения задача на условный зкстремум состоит в отыскании экстремума
функции І на поверхности Ѕ. Более точно, рассматривается ограниче-
ние /|5 функции 1” на поверхность Ѕ и ищется экстремум функции І |5.

57. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 611
Смысл самого понятия точки локального экстремума при этом, ко-
нечно, остается прежним, т. е. точка то Є Ѕ считается точкой локаль-
ного экстремума функции І на Ѕ или, короче, функции /|5, если най-
дется такая окрестность П5(ш0) точки 1120 в множестве1) Ѕ С 1112., что
для любой точки гс Є П5(:с0) выполнено неравенство 1” 2 ]“(а:0) (тогда
1130 -точка локального минимума) или _/` < 1* (1130) (тогда то -- точка
локального максимума). Если при 1: Є Ґ/'5(:Ь'0) :в0 указанные неравен-
ства являются строгими, то экстремум, как и прежде, будем называть
строгим.
Ь. Необходимый признак условного экстремума
Теорема 1. Пусть 1” : В -› Шї - функция, определенная на откры-
том множестве В С К и принадлежащая классу С'(1)(В;ІК). Пусть
Ѕ -гладкая поверагность в В.
Для того чтобы точка :в0 Є Ѕ, некритическая для функции 1” , была
точкой локального экстремума функции [|5, необшодимо выполнение
условия
|:гЅ$, С т1г,,,| (26)
где ТЅЩ, -- пространство, касательное к поверэзности Ѕ в точке 1:0,
а Т1/2,0 -пространство, касательное к поверазности 1ї = {:1г Є В |
1” = 1” (а:0)} уровня функции І, которому принадлежит 1:30.
Заметим прежде всего, что требование, чтобы точка 1110 была некри-
тической для функции 1” , в контексте обсуждаемой задачи отыскания
условного экстремума не является существенным ограничением. Дей-
ствительно, если уж точка 1130 Є В является критической точкой функ-
ции І: В -› ІК или точкой экстремума этой функции, то ясно, что она
будет подозрительной точкой или соответственно точкой экстремума и
для функции 1” |5. Таким образом, новый элемент в рассматриваемой за-
даче состоит именно в том, что функция 1 | 5 может иметь критические
точки и экстремумы, отличные от критических точек и экстремумов
функции
4 Возьмем произвольный вектор Є Є ТЅЗО и такой гладкий путь за =
= а:(±) на Ѕ, который проходит через точку то при Ъ = 0 и для которого
1)Напомним, что П5 (1170) = Ѕ П Ґ](:1:0), где І/(1130) -окрестность точки 1130 в К.

612 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вектор 5 является вектором скорости при І = 0, т. е.
сіа:
Ею) = Є- (27)
Если то -точка зкстремума функции _Ґ|5, то гладкая функция
]'(а:(±)) должна при 15 = О иметь зкстремум. По необходимому условию
зкстремума ее производная при 15 = О должна обращаться в нуль, т. е.
должно выполняться условие
і'(<го) ~6 = 0, (28)
где
ді ді
.і,($0)= ($0)›
Поскольку шо -некритическая точка функции І, условие (28) рав-
носильно тому, что Є Є Т1/',,,0, ибо именно соотношение (28) является
уравнением касательного пространства Т1ї,,0.
Таким образом, доказано, что ТЅФО С ТМВО. >
Если поверхность Ѕ в окрестности точки 1:0 задана системой урав-
нений (25), то пространство ТЅФО, как нам известно, задается системой
линейных уравнений
1 1
%<«:0›є1+...+ %<ш0›г = 0,
да: да:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . (29)
дРт д _
ЕТ(Ш0›<1 + . . . + -д%(а,)4п _ 0.
Пространство Т1/'шо задается уравнением
ді ді
%ї(Шо)Ё1 + - - ~ + %т,;;($о)Ёп = 0› (30)
и, поскольку всякое решение системы (29) является решением уравне-
ния (30), последнее уравнение является следствием системы (29).
Из этих соображений вытекает, что соотношение ТЅЩО С ТМВО в
аналитической записи равносильно тому, что вектор Ёгасі І (шо) являет-
ся линейной комбинацией векторов 5гас11-7д(а:0) = 1, . . . ,т), т. е.
5гас1](а:0) = 2 А, 51°ас1 І7`і(а:0). (31)
і=1

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 613
Учитывая эту форму записи необходимого признака зкстремума
функции (24), переменные которой связаны соотношениями (25), Ла-
гранж предложил при отыскании условного зкстремума использовать
следующую вспомогательную функцию:
1/(Ш, А) = 1°(1=) - Ё >іРі($) (32)
і=1
от п + т переменных (:в,)) = (а:1,...,:с',×1,... ,)т).
Эту функцию называют функцией Лагранжа, а метод ее использо-
вания- методом множителей Лагранжа.
Функция (32) удобна тем, что необходимые условия ее зкстремума
как функции переменных (:і;,>) = (а:1,...,а:,А1,...,›т) в точности
совпадают с условиями (31) и (25).
Действительно,
._,5З
ЁМЗ
З”
оао;
дЬ Рі ,
=1э°°°›п)э
= (33)
%(ш,>)=-Р'(:в)=0 (і=1,...,т).
Таким образом, при отыскании зкстремума функции (24), перемен-
ные которой подчинены связям (25), можно написать с неопределенны-
ми множителями функцию Лагранжа (32) и искать уже ее критические
точки. Если есть возможность из системы (33) найти то = (агё, . . . ,а:З'),
не находя А = (×1,. . . , ×т), то с точки зрения исходной задачи именно
это и следует делать.
Как видно из соотношения (31), множители ×, = 1,... ,т) опре-
деляются однозначно, если только векторы 5гас1 Рі(:1:д) (і = 1,... ,т)
линейно независимы. Независимость зтих векторов равносильна тому,
что ранг системы (29) равен т, т. е. что все уравнения этой системы
существенны (ни одно из них не является следствием остальных).
Это обычно выполнено, ибо считается, что все соотношения (25)
независимы и ранг системы функций 171,. . . , Рт в любой точке а: Є Ѕ
равен т.
Функцию Лагранжа часто записывают в виде
ве, м = мы + Ё мг*<«:›,
і=1

614 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
который отличается от прежнего только несущественной заменой А,
На -›»д.1)
Пример 9. Найдем зкстремумы симметрической квадратичной
формы П
]`(:п) = 2 аідагішд (ад = ад) (34)
'і,і=1
на сфере
Ѕ
М=
Р-4
Рог) = п (;Ы)2 -1= 0. (35)
Запишем функцию Лагранжа данной задачи:
З
Э.
М=
Р-*
. . . 2
Ь(:с, А) = Ё аідсйгвд - А (5:32) - 1
і›і=1 =
и, с учетом того, что ад = ад, необходимые условия экстремума функ-
ции Ь(а:, А):
А
о»
Ь
Ё
._Г4* “Г/1:
Р-5
ы. 9
53
(5
ОО
СЗ
ы
дЬ - - .
%(ш,А)=2 131127-Аа:' =0 (2=1,...,п),
-гЖ(ш,А)= . -1 =0.
Домножая первое уравнение на ті и суммируя затем все первые соот-
ношения, с учетом второго уравнения получим, что в точке экстремума
должно быть выполнено равенство
'П
2 аід:в':с-7 - А = 0. (37)
і,і=1
Систему (36) без последнего уравнения можно переписать в виде
'П
Еаідшї = Аші = 1,... ,п), (38)
і=1
“По поводу необходимого признака условного экстремума см. также задачу 6 к
Ё7 гл. Х (часть П).

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 615
откуда следует, что А -собственное значение линейного преобразова-
ния А, задаваемого матрицей (ад), а сс = (а:1,. _ . ,:с) -собственный
вектор этого преобразования, отвечающий этому собственному значе-
нию. '
Поскольку непрерывная на компакте Ѕ = а: Є 1К| Е (а:') = 1
'Ё 1
функция (34) обязана принимать в некоторои его точке максимальное
значение, система (36), а значит и система (38), должна иметь решение.
Таким образом, мы попутно установили, что любая вещественная сим-
метрическая матрица (щд) имеет по крайней мере одно вещественное
собственное значение. Это хорошо известный вам из линейной алге-
бры результат, являющийся основным в доказательстве существования
базиса из собственных векторов симметрического оператора.
Чтобы указать геометрический смысл собственного значения А, за-
метим, что если А > 0, то, переходя к координатам іі = азі//Х, вме-
сто (37) получим
ТІ.
2 а,,±*±1 = 1, (39)
ы=1
а вместо (35) _
Ѕ.
М-
І-4
Ґї.
°';.
#2
10
>и І-1
/'
›$>
Ф
-/
П
Но 2 (±і)2 есть квадрат расстояния от точки і = (±1, . . _ ,±) квадри-
°=1
ки (39): до начала координат. Таким образом, если, например, соотно-
шение (39) задает эллипсоид, то величина 1 /А, обратная к собственному
значению А, является квадратом величины одной из его полуосей.
Это полезное наблюдение. Оно, в частности, показывает, что соот-
ношения (36), необходимые для условного зкстремума, еще не являют-
ся достаточными: ведь, например, в КЗ эллипсоид кроме наибольшей
и наименьшей полуосей может иметь промежуточную по величине по-
луось, в любой окрестности конца которой есть как точки более близ-
кие к началу координат, так и более далекие от него в сравнении с
расстоянием от конца полуоси до начала координат. Последнее стано-
вится совсем очевидным, если рассмотреть эллипсы, получающиеся в
сечении исходного зллипсоида двумя плоскостями, проходящими через
промежуточную полуось и меньшую или большую полуоси эллипсоида

616 ГЛ. 7ПІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
соответственно. В одном из этих случаев промежуточная полуось бу-
дет большей из двух полуосей эллипса сечения, а в другом случае -
меньшей полуосью.
К сказанному следует добавить, что если 1//Х есть величина этой
промежуточной полуоси, то, как видно из канонического уравнения эл-
липсоида, величина А, очевидно, будет собственным значением преобра-
зования А, поэтому система (36), выражающая необходимые условия
экстремума функции /` |5, действительно будет иметь решение, не даю-
щее экстремума этой функции.
Полученный в теореме 1 результат (необходимый признак условно-
го экстремума) проиллюстрирован на рис. 63, а, Ь.
СЧ»
4 СО 4 Ы
С1 < С0 < С2
СА
1112
230 Ѕ
Ѕ $1Ы (120
а. Ь.
Рис. 63.
Первый из этих рисунков поясняет, почему точка 500 поверхности Ѕ
не может быть точкой экстремума функции Л5, если Ѕ не касается
поверхности ]/' = {а: Є К” | ]` = [(:с0) = с0} в точке шо. При этом
предполагается, что 5гас1 І (1170) 74 0. Последнее условие гарантирует то,
что в окрестности точки 1:9 имеются точки как более высокого с2-уров-
ня функции /`, так и точки более низкого с1-уровня этой функции.
Поскольку гладкая поверхность Ѕ пересекает поверхность 1/`, т. е.
сд-уровень гладкой функции І, то Ѕ будет пересекать как более высо-
кие, так и более низкие уровни функции І в окрестности точки шо. Но
это и означает, что то не может быть то=п<ой экстремума функции ]` |5.
Второй рисунок показывает, почему при касании 1ї и Ѕ в точке шо
эта точка может оказаться точкой экстремума. На рисунке тд _ точка
локального максимума функции [|5.
Эти же соображения позволяют нарисовать картинку, аналитиче-
ская запись которой может показать, что необходимый признак услов-
ного экстремума не является достаточным.

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 617
Действительно, в соответствии с рис. 64 положим, например,
і($,у) =у, Р(1г,у) =<г3-у=0-
Тогда очевидно, что на кривой Ѕ С ІК2, заданной уравнением у = :с3,
величина у не имеет экстремума в точ- 5
ке (0, 0), хотя эта кривая касается линии
уровня ](:с,у) = 0 функции 1” в этой точ- ЁЁ Ы
ке. Заметим, что Ёгасі/(0,0) = (0,1) уё 0. с1 то
Очевидно, это по существу тот же при-
мер, который нам в свое время служил для
иллюстрации различия между необходи- РИС- 64-
мым и достаточным условиями классического внутреннего экстремума
функции.
с. Достаточный признак условного экстремума. Докажем те-
перь следующий достатоьшый признак наличия или отсутствия услов-
ного экстремума.
Теорема 2. Пусть _/ : В -› ІК - функция, определенная на откры-
том множестве В С К” и принадлежащая классу С'(2)(В;1К); Ѕ _-по-
вергсность в В, заданная системой уравнений (25), где Рі Є СШ (В;1К)
(і = 1,...,т) и ранг системы функций {Р1,...,Рт} в любой точке
области В равен т.
Пусть в функции Лаеранжа
ТП
Ь(а:) = Ь(:1:;А) = ]°(:с1,...,:1:) - 2АіР”(:1:1,...,:с)
і=1
параметры ›1,...,›т выбраны в соответствии с необазодимым при-
знаком (31) условноео экстремума функции _)°|5 в точке 3:0 Є Ѕ.1)
Для того чтобы при этом точка 9:0 была точкой экстремума
функции ]|5, достаточно, чтобы квадратичная форма
2 . .
$;%;<ш0›є*е (41)
была знакоопределенной для векторов Є Є ТЅ',,,0.
“Фиксировав ×, мы получаем из І/(:с;)) функцию, зависяшдую только от :1:; мы
позволили себе обозначать ее через

618 Г-Л. УІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если форма (41) положительно определена на ТЅ,,,0, то 1:0 -точ-
ка строгого локального минимума функции 1” |5; если форма (41) от-
рицательно определена на ТЅ,,,0, то 4120 ~точка строгого локального
максимума функции Л5.
Для того чтобы точка 1120 не была точкой экстремума функции ]`|5,
достаточно, чтобы форма (41) принимала на ТЅФО значения разньив
знаков.
4 Отметим прежде всего, что І/(зс) 5 1” для гс Є Ѕ, поэтому,
показав, что точка тд Є Ѕ является точкой экстремума функции Ь|5,
мы одновременно покажем, что она является точкой экстремума функ-
ЦИИ Ґ Із.
По условию необходимый признак (31) экстремума функции Л5 в
точке то Є Ѕ выполнен, поэтому в этой точке 51°ас1І/(изд) = 0. Зна-
чит, тейлоровское разложение функции Ь(а:) в окрестности точки а:0 =
= (505, . . . ,$З') имеет вид
мл - шо) = %дїЁ,'Ёд<«›0› (Ы - тв) (Ы - её) + О (на: - лн2› <42›
ПрИ 17 -3* ІВ0.
Напомним теперь, что, мотивируя определение 2, мы отметили воз-
можность локального (например, в окрестности точки 1:0 Є Ѕ) параме-
трического задания гладкой /є-мерной поверхности Ѕ (в нашем случае
/є = п - т).
Иными словами, существует гладкое отображение
ІКЭ(±1,...,±,“)=±›-›:с=($1,...,а:)ЕЕ
(мы будем его, как и прежде, записывать в виде 11: = :1:(±)), при кото-
ром окрестность точки 0 = (0, . . . ,0) Є 11%” биективно преобразуется в
некоторую окрестность точки сад на поверхности Ѕ, причем 2:0 =
Заметим, что соотношение
а;(±) - :1:(0) = 1:'(0)± + (||±||) при ± -› 0,
выражающее дифференцируемость отображения і ›-› :1:(±) в точке 15 = 0,
равносильно н координатным равенствам
ат)-:›=*<0›=%Ё<0›±°+<›<н±н› <@=1,...л›, <4з›

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УОЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 619
в которых индекс а пробегает целые значения от 1 до /є и по нему
происходит суммирование.
Из этих числовых равенств следует, что
|<Ы<±›-«#<0›| =0<н±н› при ±-0
, 7 нш<±›-=›:<<››||Ю =<›(||±||К,,› при ±-0. <44›
Используя соотношения (43), (44), из равенства (42) получаем, что
при і -› О
Ь<«=<±›› - Ь<«:<0›› = ,%ді,Ь(1=0›дш<0›дш <0›±°±” + О (н±н*). <42'›
Отсюда при условии знакоопределенности формы
д»,;_1Ь(І170)даІ17і (0)ддіІІі (0)ЁаЁ'В (45)
следует, что функция Ь(а:(±)) имеет при 1 = 0 экстремум. Если же фор-
ма (45) принимает значения разных знаков, то Ь(:в(±)) при 15 = 0 экс-
тремума не имеет. Но, поскольку при отображении Ъ ›-› а:(±) некоторая
окрестность точки 0 Є ТК” преобразуется в окрестность точки а:(0) =
= то Є Ѕ на поверхности Ѕ, можно заключить, что тогда и функция Ь|5
в точке шо либо будет иметь экстремум, причем того же характера, что
и функция Ь(:в(±)), либо, как и Ь(:в(±)), не будет иметь зкстремума.
Итак, остается проверить, что для векторов Є Є ТЅЩ, выражения
(41) и (45) просто являются разными записями одного и того же объ-
екта.
Действительно, полагая
є = 1/<0›±,
мы получаем вектор Є , касательный к Ѕ в точке 1:0, и если Є = ((1, . . . ,{),
а:(±) = (;г1,...,а:“)(±), ±= (±1,...,±'°), то
€і=дд$і(0)і/3 (і=1›--мп),
откуда и следует совпадение величин (41), (45). Ь
Отметим, что практическое использование теоремы 2 затруднено
тем, что среди координат вектора Є = ((1, . . . ,{) Є ТЅ,,,0 только /є =
= п - т независимых, поскольку координаты вектора Є должны удовле-
творять системе (29), определяющей пространство ТЅ,,0. Таким обра-
зом, непосредственное применение к форме (41) критерия Оильвестра

620 ГЛ. УІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в нашем случае, вообще говоря, ничего не дает форма 41) может не
быть определенной на ТІШ20, но оказаться определеннои на ТЅЩ, Если
же из соотношений (29) выразить т координат вектора Є через осталь-
ные 1:: координат и полученные линейные формы подставить в 41
мы придем к квадратичной форме относительно І: переменных, опре-
деленность которой уже можно исследовать с помощью критерия Силь-
вестра.
Поясним сказанное простейшими примерами
Пример 10. Пусть в пространстве КЗ с координатами 112, у 2 за-
дана функция
і($эуэ2) = 1:2 -Ё/2 +22
Ищется экстремум этой функции на плоскости Ѕ, эаданнои уравне-
НИЄМ
Р($эуэ2) =2$_у`_ =
Записав функцию Лагранжа
Ь(а:,у,2) =~($2 -3/2-і-22) - × 2 - -
и необходимые условия экстремума
Ґ дв
ЁЁ
дЬ
55
дЬ
52
дв
Ё
<
находим подоэрительную точку р = (2, 1 О
Далее находим форму (41):
Ёджгі = <<1›2 =< 2› + <
Отметим, что в данном случае параметр А не вошел в эту квадр -
ти=п1ую форму, поэтому мы его и не вычисляли
Записываем теперь условие Є Є ТЅР:
251
=2а:-2А=
=-2у+А=0
=22=0,
=-(2ш-у- =
_Є2=

57. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 621
Из этого равенства находим (2 = 2{1 и подставляем в форму (46),
после чего она приобретает вид
2 2
-З <<1› + <<3› ,
где на сей раз (1 и 53 -независимые переменные.
Последняя форма, очевидно, может принимать значения разных зна-
ков, поэтому в точке р Є Ѕ функция 1” |5 зкстремума не имеет.
Пример 11. В условиях примера 10 заменим КЗ на ІК2 и функ-
цию І на
= 372 _ у2э
сохранив условие
2:1: - у - 3 = 0,
которое теперь задает прямую Ѕ в плоскости ІК2.
В качестве подозрительной найдем точку р = (2, 1).
Вместо формы (46) получим форму
<г1›2 - (є*>2 <48›
с прежним соотношением (47) между (1 и 52.
Таким образом, на ТЅР форма (48) теперь имеет вид
-3 (є1)2,
т. е. является отрицательно определенной. Отсюда заключаем, что точ-
ка р = (2,1) является точкой локального максимума функции 1” |5.
Весьма поучительны во многих аспектах следующие простые при-
меры, на которых можно отчетливо рассмотреть механизм работы как
необходимых, так и достаточных условий экстремума, в том числе роль
параметра и неформальную роль самой функции Лагранжа.
Пример 12. На плоскости ІК2 с декартовыми координатами (ш, у)
дана функция 2 2
і (Ш, у) = Ш + 1/ .
Найдем экстремумы этой функции на эллипсе, заданном канониче-
ским соотношением
Ш2 уг
Р($эу)=Ьї+ў_1=0а
где0<а<Ь.

622 ГЛ. /ІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из геометрических соображений очевидно, что шіп _і|5 = а2,
шах 1” |5 = Ь2. Получим это, опираясь на рекомендации теорем 1 и 2.
Записав функцию Лагранжа
2 2
Ь(:1:,у,×) = (:1:2 +3,/2) - А (Ё + %.- 1)
и решая уравнение сіЬ = 0, т. е. систему % = % = % = 0, находим ее
решения:
(му, ×› = <±а,0,а*›, (0, ±1›,Ь2›.
Теперь в соответствии с теоремой 2 выпишем и исследуем квадра-
тичную форму %сі2ЬЄ2 -второй член тейлоровского разложения функ-
ции Лагранжа в окрестности соответствующих точек:
ЁСРЬЄ2 = (1- (є1)2 + (1 - (52)2.
В точках (±а,0) зллипса Ѕ касательный вектор Є = ({1,{2) имеет
вид (0, Є2), а квадратичная форма при А = а2 принимает вид
(1 - (г2)2~
Учитывая условие 0 < а < Ь, заключаем, что эта форма положи-
тельно определена и, значит, в точках (±а,0) Є Ѕ имеется строгий
локальный (а здесь, очевидно, и глобальный) минимум функции 1 | 5,
т.е. шіп/|5 = а,2.
Аналогично находим форму
(1 - (€1)2,
отвечающую точкам (0, ±Ь) Є Ѕ, и получаем шах ]` |5 = Ь2.
Замечание. Обратите здесь внимание на роль функции Лагранжа
в сравнении с ролью функции І. В соответствующих точках на ука-
занных касательных векторах дифференциал функции _/` (как и диф-
ференциал Ь) обращается в нуль, а квадратичная форма 1сі2]Є2 =
2
2 2 .,
= ((1) + (Є2) положительно определена, в какои бы из этих точек
ее ни вычислять. Тем не менее функция 1” |5 в точках (±а,0) имеет
строгий минимум, а в точках (0, ±Ь) -строгий максимум.

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В ІБЕ И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 623
Чтобы понять, в чем тут дело, просмотрите еще раз доказатель-
ство теоремы 2 и попробуйте провести его, заменив Ь на ]`. Несмотря
на то, что функции Ь и 1” на поверхности Ѕ совпадают, и на то, что
1” (:Ь'0){ = 0, как и Ь'(а:0){ = 0, при Є Є Т,,,0Ѕ, доказательство наткнет-
ся на существенное препятствие. Оно состоит в том, что в отличие от
сіЬ(ш0) дифференциал сі] (170) функции 1” в точке то не есть то›кдествен~
ный нуль, хотя на касательном пространстве Т,,,0Ѕ он действительно
нулевой. Это приводит к появлению довесков, препятствующих полу-
чению равенств (42), (42'), в которых Ь замено на 1” .
Пример 13. Найдем зкстремумы функции
](ш,у,2) = 1:2 + 3/2 + 22
на зллипсоиде Ѕ, заданном соотношением
2 2 2
Р(:1:,у,2)=Ё-5-І-%+%-1=0,
где 0 < 0, < Ь < с.
Записав функцию Лагранжа
Ь(:1: 2›)=(:1:2+ 2-!-22)-× Ш2+у2-і-22-1
7у77 у 7
в соответствии с необходимым признаком зкстремума находим реше-
ния уравнения <іЬ = 0 т. е. системы Ш” = Ш” = дІ' = Ё = 0:
° да: ду да ЭА
(т,2,×› = <±а,0,0,а2›, (0, ±Ь,0,1›2›, <0,0, ±с,<›2›.
Квадратичная форма
ЁСРЬЄ2 = (1 - (€1)2 + (1 - (€2)2 + (1 - (€3)2
в каждом из этих случаев на соответствующей касательной плоскости
имеет вид
<~зг><@›<
2 2
(1- (:1›2 + (1 - (<2›2- <<:›

624 ГЛ. /ІП. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Поскольку 0 < а < Ь < с, то на основании теоремы 2, дающей доста-
точный признак наличия или отсутствия условного экстремума, можно
заключить, что в случаях (а) и (с) мы нашли соответственно тіп 1” |5 =
= (12 и п1ах1”|5 = с2, а в точках (0, ±Ь,0) Є Ѕ, отвечающих случаю (Ь),
функция 1” |5 экстремума не имеет. Это вполне согласуется с очевидны-
ми геометрическими соображениями, высказанными по этому поводу
при обсуждении необходимого признака условного экстремума.
Некоторые дальнейшие, порой весьма полезные стороны встретив-
шихся в этом параграфе понятий анализа и геометрии, в том числе фи-
зическая интерпретация самой задачи об условном зкстремуме, а также
его необходимого признака (31) как разложения сил в точке равновесия
и интерпретация множителей Лагранжа как величин реакций идеаль-
ных связей, представлены в приведенных ниже задачах и упражнениях.
Задачи и упражнения
1. Путь и повершность.
а) Пусть І: І -› 18.2 -- отображение класса С(1)(І;ІК2) интервала І С К.
Рассматривая это отображение как путь в ІК2, покажите на примере, что его
носитель І (І) может не быть подмногообразием в ІК2, а вот график этого ото-
бражения в ІК3 = ІК1 × ІК2 всегда является одномерным подмногообразием КЗ,
проекцией которого в ІК2 является носитель [(1) указанного пути.
Ь) Решите задачу а) в случае, когда І -промежуток в КК, а І Є С (1) (І ; Кп).
Покажите, что в этом случае график отображения І : І -› К является гладкой
Іс-мерной поверхностью в К* × К, проекция которой на подпространство К
совпадает с І (І).
с) Проверьте, что если І1: І1 -› Ѕ и _/2: І2 -› Ѕ -две гладкие параме-
тризации одной и той же /с-мерной поверхности Ѕ С К, причем ни І1 в І1,
ни І2 в 12 не имеют критических точек, то определенные при этих условиях
отображения
ії1<›1ъ= 12 + 11, 1271 011: 11 э 12
являются гладкими.
2. Сфера в Шї.
а) На сфере Ѕ2 = {:с Є КЗ | = 1} укажите какую-нибудь максимальную
область действия криволинейных координат (<р,ф), полученных из полярных
координат в КЗ (см. формулу (5) предыдущего параграфа) при р = 1.
Ь) Ответьте на вопрос а) в случае (т - 1)-мерной сферы
5'_1 = {<Б Є Шїт І ІІШІІ = 1}
в Ш и координат (<р1, _ _ . ,<рт_1) на ней, получаемых из полярных координат
в К (см. формулы (6) предыдущего параграфа) при р = 1.

Ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 625
с) Можно ли сферу Ѕ* С 1К'°+1 задать одной системой координат (Ъ1, . _ . , 1*),
т. е. одним диффеоморфизмом І : Є -› 1К'°+1 области Є С ІКЁ?
сі) Какое наименьшее количество карт должно быть в атласе поверхности
Земли?
е) Расстояние между точками сфе-
ры Ѕ2 С КЗ будем измерять длиной
кратчайшей кривой, лежащей на сфе-
ре Ѕ2 и соединяющей эти точки. Такой
кривой является дуга соответствую-
щего большого круга. Может ли суще- Й /
ствовать такая локальная плоская кар-
та сферы, что все расстояния между
точками сферы были бы пропорцио-
нальны (с одним и тем же козффици- РІ/Ю 65°
ентом пропорциональности) расстояниям между их изображениями на карте?
Ґ) Углом между кривыми (лежащими или не лежащими на сфере) в точке
их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в этой
точке.
Покажите, что существуют локальные плоские карты сферы, в которых
углы между кривыми на сфере и соответствующими кривыми на карте оди-
наковы (см. рис. 65, изображающий так называемую стерєографичвскую про-
екцию).
3. Касатєльноє пространство.
а) Проверьте прямым расчетом, что касательное к гладкой А:-мерной по-
верхности Ѕ С К” в точке 1:0 Є Ѕ многообразие ТЅ,,0 не зависит от выбора
системы координат в К.
Ь) Покажите, что если при диффеоморфизме І : В -› П' области В С К
на область П' С К гладкая поверхность Ѕ С В отображается на гладкую
поверхность Ѕ' С В', а точка 1130 Є Ѕ переходит в 1:6 Є Ѕ', то при линейном
отображении Ґ (1130): К” -› К, касательном к І в точке 1130 Є В, векторное
пространство ТЅ,,,0 изоморфно преобразуется в векторное пространство ТЅ:с, .
О
с) Если в условиях предыдущей задачи отображение І : В -› 17 явля-
ется любым отображением класса С'(1)(І7;Б'), при котором С Ѕ', то
_Ґ'(ТЅ,,0) С ТЅ;,.
0
(1) Покажите, что ортогональная проекция гладкой Іє-мерной поверхности
Ѕ С К на касательную к ней в точке 1:0 Є Ѕ Іс-мерную плоскость ТЅ<,,0 явля-
ется отображением, взаимно однозначным в некоторой окрестности точки
касания шо.
е) Пусть в условиях предыдущей задачи Є Є ТЅФО и = 1.
Уравнение ап - то = Єі прямой в К, лежащей в ТЅ,,,0, можно использо-
вать, чтобы каждую точку Щ Є ТЅФО :1:0 характеризовать парой (Ё, Ё Это по
существу полярные координаты в ТЅ,,,0.

626 ГЛ. /ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Покажите, что прямым :1: - 1:0 = Єі на поверхности Ѕ в окрестности точ-
ки шо отвечают гладкие кривые, пересекающиеся только в точке 5120. Проверь-
те, что, сохраняя в качестве параметра на этих кривых величину і, мы полу-
чаем пути, скорость вдоль которых при 13 = О совпадает с вектором Є Є ТЅФО,
определяющим прямую 11: - то = Єі, из которой получена данная кривая на Ѕ.
Таким образом, пары (±,{), где Є Є ТЅ,,0, =- 1, а і-вещественные
числа из некоторой окрестности І/'(0) нуля в К, могут служить аналогом по-
лярных координат в некоторой окрестности точки то Є Ѕ на поверхности Ѕ.
4. Пусть функция Р Є С'(1)(1К;1К), не имеющая критических точек, такова,
что уравнение Р(ш1, . . . ,а:“) = О задает в К компактную поверхность Ѕ (т. е.
Ѕ как подмножество Кп является компактом). Для любой точки 2: Є Ѕ находим
вектор 17(ш) = 5га<і17`(;1;), нормальный к Ѕ в точке гс. Если каждую точку
:с Є Ѕ заставить двигаться равномерно со своей скоростью п(а:), то возникает
зависящее от времени і отображение Ѕ Э св ›-› 11: + '!7(:п)і Є Кп.
а) Покажите, что при достаточно близких к нулю значениях 15 это ото-
бражение биективно и при каждом таком значении і из Ѕ получается гладкая
поверхность Ѕ±.
Ь) Пусть Е _множество в Кп; 6-окрестностью множества Е назовем со-
вокупность тех точек ІК, расстояние которых до Е меньше 6.
Покажите, что при значениях Ъ, близких к нулю, уравнение
1 _
17`(а:,...,ш)-І
задает компактную поверхность Ѕі С К, и покажите, что поверхность Ѕд
лежит в б(±)-окрестности поверхности Ѕд, где б(±) = о(±) при і -› О.
с) С каждой точкой св поверхности Ѕ = Ѕ0 свяжем единичный вектор нор-
мали
Ё,
п($) : _Щ_П
ІІП( )
и рассмотрим новое отображение Ѕ Э из 1-› а: + п(ш)± Є К.
Покажите, что при всех достаточно близких к нулю значениях 15 это ото-
бражение биективно, получающаяся из Ѕ при конкретном значении і поверх-
8
ность Ёд гладкая и если 131 75152, то ЁИ П ЁИ = И.
(1) Опираясь на результат предыдущей задачи, покажите, что найдется
число 6 > 0 такое, что между точками 6-окрестности поверхности Ѕ и пара-
ми (±,а:), где Ё Є ]-б,б[ С К, 11: Є Ѕ, имеется взаимно однозначное соответ-
ствие; если (131, . . . ,±'°) -локальные координаты на поверхности Ѕ в окрестно-
сти 1/`5(:в0) точки 1:0, то величины (15, #1, . . _ ,і'°) могут служить локальными ко-
ординатами в некоторой пространственной окрестности П (1130) точки шо Є 1К”.
е) Покажите, что при |±| < 6 точка ш Є Ѕ является ближайшей к (а:+ п(ш)±) Є
Є К точкой поверхности Ѕ. Таким образом, поверхность Ё, при |±| < 5 есть
геометрическое место точек пространства К, удаленных от поверхности Ѕ
на расстояние |±|.

ё7. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 627
5. а) Пусть сір: Ѕ -› К-функция на 1::-мерной гладкой поверхности Ѕ С
С К, определенная равенством 41,, = ||р - ш||2, где р-фиксированная точ-
ка К, а:-точка Ѕ, а ||р - -расстояние в К между этими точками.
Покажите, что в точках экстремума функции с1,,(:в) вектор р - из ортого-
нален поверхности Ѕ.
Ь) Покажите, что на любой прямой, ортогонально пересекающей поверх-
ность'Ѕ в точке (1 Є Ѕ, имеется не более Іс таких точек р, что функция сі,,(а:)
имеет (1 своей вырожденной критической точкой (т. е. точкой, в которой гес-
сиан функции обращается в нуль).
с) Покажите, что в случае кривой Ѕ (І: = 1) на плоскости ІК2 (п = 2)
точка р, для которой точка (1 Є Ѕ является вырожденной критической точкой
функции сІ,,(а:), совпадает с центром кривизны кривой Ѕ в точке (1 Є Ѕ.
6. Постройте в плоскости ІК2 с декартовыми координатами 1:, у линии
уровня функции ]'(а:, у) = ту и кривую
5= {(1г,у) Є К2 ІШ2+г/2 = 1)-
Используя полученную картинку, проведите полное исследование задачи
об экстремуме функции 5.
7. На плоскости ІК2 с декартовыми координатами 1:, у определены следу-
ющие функции класса С (°°)(11Є2 ; К):
2 _ -1/:в2 ° Ъ
і($,у):$2_у; Р,($,у)= :в2 у+е 511113, если :с7Є0,
из -у, если а: =0.
а) Нарисуйте линии уровня функции _і(:с, у) и линию Ѕ, заданную соотно-
шением 1-7`(:1:,у) = 0.
Ь) Исследуйте на экстремум функцию ]|5. _ _
с) Покажите, что условие определенности формы дід 1” (:и0){'*{1 на ТЅФО, в
отличие от условия определенности формы д,дЬ(:1:0)Ё€7 на ТЅ,,,0, приведенного
в теореме 2, еще не является достаточным для того, чтобы подозрительная
точка 0:0 Є Ѕ была точкой экстремума функции ]|5.
(1) Проверьте, является ли точка 2130 = (0, 0) критической для функции І и
можно ли исследовать поведение І в окрестности этой точки только с помо-
щью второго (квадратичного) члена формулы Тейлора, как это подразумева-
лось в с).
е) На примере пары функций Р`(а:, у) = 2:в2 + у, _і(:1:, у) = 1132 + у покажите,
что І может иметь строгий максимум в точке кривой 17`(а:, у) = 0, хотя на ка-
сательной к этой кривой в этой точке функция І имеет строгий минимум. Это
еще раз подчеркивает роль функции Лагранжа в формулировке доказанного
выше достаточного признака условного экстремума.
ї) На примере пары функций Р(:1:,у) = а:2 - уз, _Ґ(:с,у) = у покажите,
что при Ь(а:,у) = ](а:,у) + АР уравнение 412 = О может не иметь решения,

628 ГЛ. /`ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
когда экстремум 1” достигается в особой точке кривой Р (12, у) = 0. Это можно
учесть, рассматривая вместо Ь функцию Ё(ш,у) = /0_7 + ×І7`, допуская воз-
можность ×0 = 0.
8. В дифференциальной геометрии при определении главных кривизн и
главных направлений бывает полезно уметь искать экстремум одной квадра-
тичной формы /цдиіид при условии постоянства другой (положительно опре-
деленной) формы уідиіиї. Решите эту задачу по аналогии с разобранным выше
примером 9.
9. Пусть А = [аў] -квадратная матрица порядка п такая, что
Ф.
М=
Р-*
Ґ?
9
9д_ 19.
Ъ)
Ю
Ё
/5
%.
= - =1,...,п),
где Н 1, . _ .,Н,, -фиксированный набор из п неотрицательных действитель-
ных чисел.
а) Покажите, что (1е1;2А при указанных условиях на матрицу А может
иметь экстремум, только если строки матрицы А являются попарно ортого-
нальными векторами в К.
Ь) Исходя из равенства
<1е1;2А = дет А - дет А*,
где А* -транспонированная по отношению к А матрица, покажите, что при
указанных выше условиях
ІПЁХСІЄЁ214 ='- Н1 . . . Нд.
с) Докажите, что для любой матрицы [аў] имеет место неравенство Ада-
мара
Ю
Ѕ
/
%.
¦І1 =
І-1
95.
М=
І-д
/Ж
9
%_ Ф.
#2
ЬЭ
сіеіз (ад)
(1) Дайте наглядно-геометрическое истолкование неравенства Адамара.
10. а) Нарисуйте поверхности уровня функции І и плоскость Ѕ в приме-
ре 10. Объясните на рисунке результат, полученный в этом примере.
Ь) Нарисуйте линии уровня функции І и прямую Ѕ в примере 11. Объяс-
ните на рисунке результат, полученныи в этом примере.
11. В примере 6 из Ё4 главы У, исходя из принципа Ферма, был получен
закон Снеллиуса преломления света на поверхности раздела двух сред в слу-
чае, когда эта поверхность-плоскость. Остается ли этот закон в силе для
произвольной гладкой поверхности раздела?
12. а) Материальная точка в потенциальном поле сил может находиться в
положении равновесия (называемом также состоянием покоя или стационар-
нь1м состоянием) только в критических (стационарных) точках потенциала.

527. ПОВЕРХНОСТЬ В К И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 629
При этом строгому локальному минимуму потенциала отвечает положение
устойчивого равновесия, а локальному максимуму _ неустойчивого. Проверь-
те это.
Ь) К какой задаче на условный экстремум (которую и решал Лагранж)
сводится вопрос о положении равновесия материальной точки, находящейся в
потенциальном поле сил (например, тяжести) и стесненной идеальными связя-
ми (например, точка не может покидать некоторой гладкой поверхности, или
бусинка-гладкой нити, или шарик-желоба)? Связь идеальна (нет трения);
это значит, что ее воздействие на точку (реакция связи) происходит только
в нормальном к связи направлении.
с) Какой физический (механический) смысл имеют в этом случае разло-
жение (31) -необходимый признак условного экстремума и множители Лаг-
ранжа?
Кстати, каждую из функций системы (25) можно поделить на модуль ее
градиента, что, очевидно, приводит к равносильной системе (если ее ранг всю-
ду равен т). Значит, все векторы Ёгаб І7`і(:1:0) в правой части соотношения (31)
можно считать единичными нормалями к соответствующей поверхности.
(1) Не становится ли после приведенной физической интерпретации само-
очевидным и естественным сам метод Лагранжа отыскания условного экстре-
мума?

НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
Введение в анализ (чис.ло, функция, предел)
1. Длину стягивающего земной шар по зкватору обруча увеличили на
1 метр. Образовался зазор. Достаточен ли он для прохода муравья? Како-
вы величины абсолютного и относительного увеличения радиуса Земли при
таком увеличении длины экватора? (Радиус Земли ш 6400
2. Как связаны полнота (непрерывность) действительных чисел, неогра-
ниченность натурального ряда и принцип Архимеда? Почему любое действи-
тельное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным? Объяс-
ните на модели рациональных дробей (рациональных функций), что принцип
Архимеда может быть нарушен и что в таких числовых системах натуральный
ряд ограничен и имеются бесконечно малые числа.
3. Четыре букашки, сидевшие в вершинах единичного квадрата, стали
двигаться друг за другом с единичной скоростью, держа курс на преследуе-
мого. Нарисуйте траектории их движения. Какова длина каждой траектории?
Каков закон движения (в декартовых и полярных координатах)?
4. Нарисуйте диаграмму вычисления /(Ё (а > 0) итерационным процессом
1 а
(І7п+1 = 5 <ІІ7«д+ .
п
Как находить 2/Б?
Как связано решение уравнений с отысканием неподвижных точек? Верно
ли, что каждое непрерывное отображение І : [0, 1] -› [0, 1] имеет неподвижную
точку?
5. Пусть у(:1:) = _Ґ(:с) + о(_7'(:1:)) при из -› оо. Верно ли, что тогда и 1'(ш) =
= у(а:) + 0(у(:с)) при ш -+ оо?
Пусть известно, что о(]' = О(_9(а:)) при :в -› оо. Верно ли, что тогда и
О(у(:с)) = о(]'(:в)) при :1: -› оо (например, когда І = 9) ?

НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 631
Известно, что всегда О(]')+о(_7') = О(_/'), и о(_Ґ)+о(_і) = о(]), и 2о(і) = о(])
при фиксированной базе. Следует ли отсюда, что о(_і) 5 0?
6. Известно, что произведение двух или любого конечного числа бесконеч-
но малых является функцией бесконечно малой. Приведите пример, показыва-
ющий, что для бесконечных произведений это уже не всегда так.
7. Зная степенное разложение функции вт, найдите методом неопределен-
ных коэффициентов (или иначе) несколько первых членов (или все) степенного
разложения функции 1п(1 +
8. Вычис.лите ехр А, когда А -одна из матриц
0 100
20.
0 003
9. Сколько членов ряда для є” надо взять, чтобы получить многочлен,
позволяющий вычислять е“* на отрезке [-1, 2] с точностью до 10“3?
10. Зная степенные разложения функций Ѕіп :в и сов гс, найдите методом не-
опреде.ленных коэффициентов (или иначе) несколько первых членов (или все)
степенного разложения функции Ь5 св в окрестности точки а: = 0.
11. Длину стягивающего земной шар по экватору пояска увеличили на
1 метр, после чего поясок натянули, подперев вертикальным столбиком. Ка-
кова примерно высота столбика, если радиус Земли ю 6400 км.?
12. Вычислите
. 1 -(0
Іпп є - 1 + - _
а:-›оо 11;
13. Нарисуйте эскизы графиков следующих функций:
Шз
(1 - а:)(1 + :1:)2 °
/'
ФФ
ФФ
;/
/',
ФФ
съ-›
_/
ФФФ
ФФ»-1
ь-
Ф
а) 105605,, зіпш; Ь) агс1:5
Дифференциальное исчисление функций
одной переменной
1. Покажите, что если вектор ускорения а(±) в любой момент 13 ортогона-
лен вектору 'и(і) скорости движения, то величина |1›(±)| остается постоянной.
2. Пусть (:с,±) и (:їЭ,ї) -соответственно координата и время движущейся
точки в двух системах отсчета. Считая известными формулы 56 = ош: + Ш,
Ё = 7:: + бі перехода из одной системы отсчета в другую, найдите формулу
0 сіа: .. (із:
преобразования скоростеи, т. е. связь между 11 = Ё и 11 = Ё.
. 1
3. Функция І = :с2 Ѕ1п Б при из 75 0 и 1°(0) = 0 дифференцируема на К,
но Ґ разрывна при 11: = 0 (проверьте). «Докажем››, однако, что если _/' : ІК -› ІК

632 НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
дифференцируема на К, то Ґ непрерывна в любой точке а Є К. По теореме
Лагранжа
мг) - ма) 2 Щ,
где Є -точка между а, и сс. Тогда если :1: -› а, то Є -› а. По определению,
. і(т) -Ла) 1
і21ЪтГ=1'<“>›
и поскольку этот предел существует, то существует и равен ему предел правой
части формулы Лагранжа, т.е. 1“(€) -› 1* (а) при Є -› а,. Непрерывность 1 в
точке а «доказана». Где ошибка?
4. Пусть функция І имеет п + 1 производную в точке 1:0, и ,пусть Є =
= 1:0 + 9,, (11: - шо) -средняя точка в формуле Лагранжа остаточного члена
1 1
Ы_1'()(Є)(а: - т0), так что 0 < да, < 1. Покажите, что да, -› ПТ при 11: -› 1:0,
если ](”+1)(:1:0) уё 0.
5. а) Если функция І Є С'(')([а,Ь],ІК) в п + 1 точке отрезка [а, Ь] имеет
нули, то на этом отрезке имеется по крайней мере один нуль функции ](“) _
производной І порядка п.
:1(:1:2 - 1)
Ь) Покажите, что полином Р,,(:с) = її на отрезке [-1,1] имеет
п корней. (Указание: а:2 - 1 = (Ш - 1)(:1: + 1) и Р,у°)(-1) = Р,/'°)(1) = 0 при
/є=0,...,п-1.)
6. Вспомните геометрический смысл производной и покажите, что если
функция І определена и дифференцируема на интервале І и [а,Ь] С І, то
функция 1 (даже не будучи непрерывной!) принимает на отрезке [а,Ь] все
значения между ]“(а) и 1”
7. Докажите неравенство
011 а
а~1 ...апп<а1а1+...+апап,
где числа а1,... ,а,п,а1,... ,ап неотрицательны и 0:1 + . . . + ап = 1.
8. Покажите, что
пт (1 + 2-)п = щсову +іЅіпу) (2 = т му),
'І'Ъ_›ОО
поэтому естественно считать, что єіу = созу + і Ѕіпу (формула Эйлера) и
е” = еше” = е“”(соЅу + ізіпу).
9. Найдите форму поверхности жидкости, равномерно вращающейся в ста-
кане.

НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 633
2 2
13
10. Покажите, что касательная к эллипсу Ё + %5 = 1 в точке (:1:0,у0) имеет
212113
уравнение % + % = 1 и что световые лучи от источника, помещенного в
(І
одном из фокусов Р1 = (-/0,2 - Ь2, О), Р2 = (/а2 - Ь2, 0) эллипса с полуосями
0, > Ь > 0, собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.
11. Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести
начинает скатываться с вершины ледяной горки эллиптического профиля.
Уравнение профиля: :1:2 + 5у2 = 1, у 2 О. Рассчитайте траекторию движения
частицы до ее приземления.
12. Средним порядка св чисел а:1, ас2, . . . , тп называют величину
а а а 1/0
1121 + :в2 + . . . + 11:
з0,(1:1,:1:2,...,:вп)=( п п)
В частности, при а = 1,2, -1 получаем соответственно среднее арифме-
тическое, среднее нвадратннное и среднее гармонннесное этих чисел.
Будем считать, что все числа 1121, 1:2, , тп неотрицательны, а если сте-
пень а < 0, то будем предполагать, что они даже положительны.
а) Используя неравенство Гельдера, покажите, что если а < Б, то
за(:1:1,:1:2,... ,а:,,.,,) < зд(:1:1,а:2,... ,:сп),
причем равенство имеет место, лишь когда :1:1 = 1:2 = . . _ = тп.
Ь) Покажите, что при стремлении св к нулю величина за(:с1,:п2,... ,шп)
стремится к т. е. к среднему геометрннесному этих чисел.
С учетом результата задачи а) отсюда, например, следует классическое не-
равенство между средним геометрическим и средним арифметическим неот-
рицательных чисел (напишите его).
с) Если св -› +оо, то за(:1:1,ш2,... ,:1:п) -› гпах{:1:1,:1:2,...,:сп},а при ск -›
-› -оо величина за(а:1,:1:2, . . . ,а:,,) стремится к меньшему из рассматриваемых
чисел, т.е. к п1іп{:в1,ш2,. .. ,а:,,}. Докажите это.
13. Пусть 1* = 'г(±) -закон движения точки (т. е. ее радиус-вектор как
функция времени). Считаем, что это непрерывно дифференцируемая функция
на промежутке а < 13 < Ь.
а) Можно ли, ссылаясь на теорему Лагранжа о среднем, утверждать, что
на [а, Ь] найдется момент Є, такой что 1'(Ь) - 1*(а,) = 'г'(Є) - (Ь - а)? Поясните
ответ примерами.
Ь) Пусть Соп/ех{ 'г'} -выпуклая оболочка множества (концов) векторов
т~'(±), Ъ Є [а,Ь]. Покажите, что найдется вектор 11 Є Сопт/ех{т*'}, такой что
1*(Ь) - 1'(а) = 11- (Ь - а).
с) Соотношение |т(І›) - 'г(а)| < зир |т(±)| ~ |Ь - а|, где верхняя грань бе-
рется по Ъ Є [а, І›], имеет очевидный физический смысл. Какой? Докажите это
неравенство как общий математический факт, развивающий классическую те-
орему Лагранжа о конечном приращении.

634 НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
Интеграл и введение в многомерный анализ
1. Зная неравенства Гёльдера, Минковского и Иенсена для сумм, получите
СООТВЄТСТВУЮІЦИЄ НЄРЗВЄНСТВЭ, ДЛЯ ИНТЄГРЭЛОВ.
1
2 О
2. Вычислите интеграл І є_*” сіа: с относительнои погрешностью в преде-
0
лах 10 %.
1 “” _ 2
3. Функция е1°ї(а:) = Т І е Ё аіі, называемая интегралом вероятности
7Г
-а:
ошибок, имеетпределом 1 при а: -› +оо. Изобразите график этой функции и
найдите ее производную. Покажите, что при а: -› +оо
Є,;(,,,)_1__ЁЄ-2:2 і__Ё_+Ё;Ё_їіЁ+0 і
_ /1? 2:1: 22:1:3 23аг:5 24127 1:7 '
Как продолжить эту асимптотическую формулу до ряда? Сходится ли этот
ряд хотя бы при каком-то значении ш Є К?
4. Зависит ли длина пути от закона движения (от параметризации)?
5. Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От второго его
конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 см / с ползет жук. Каждый раз,
как только он проползает 1 см, вы удлиняете резинку на 1 км. Доползет ли жук
до вашей руки? Если да, то приблизительно сколько ему на это потребуется
времени? (Задача Л. Б. Окуня, предложенная им А. Д. Сахарову.)
6. Подсчитайте работу по перемещению массы в гравитационном поле
Земли и покажите, что эта работа зависит только от уровней высот исходно-
го и конечного положений. Найдите для Земли работу выхода из ее гравита-
ционного поля и соответствующую (вторую) космическую скорость.
7. На примере маятника и двойного маятника поясните, как на множе-
стве соответствующих конфигураций можно ввести локальные координаты и
окрестности и как при этом возникает естественная топология, превращаю-
щая его в конфигурационное пространство механической системы. Можно ли
метризовать это пространство в рассмотренных случаях?
8. Является ли компактом единичная сфера в К, в ІК0°°, в С'[а, Ь]?
9. Подмножество данного множества называется его є-сетью, если любая
точка множества находится на расстоянии меньшем чем є от какой-либо точ-
ки этого подмножества. Обозначим через 1/'(5) наименьшее возможное число
точек в є-сети данного множества. Оцените є-энтропию 1052 1ї(є) отрезка,
квадрата, куба и ограниченной области в пространстве К. Дает ли величина
ЁЁЗ при є -› О представление о размерности рассматриваемого множе-
ства? Проверьте, что эта энтропийная размерность стандартного канторова
подмножества отрезка [0, 1] равна 1о53 2.
10. На поверхности единичной сферы Ѕ в КЗ температура Т как функция
точки меняется непрерывно. Обязаны ли на сфере быть точки минимума и

НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 635
максимума температуры? При наличии точек с двумя фиксированными зна-
чениями температуры должны ли быть точки и с промежуточными ее зна-
чениями? Что из этого верно в случае, когда единичная сфера Ѕ берется в
пространстве С'[а, Ь], а температура в точке І Є Ѕ выражается формулой
Ь -1
то) = О |л<$›«1ш 'г
11. а) Взяв 1,5 в качестве исходного приближения для /Ё, проведите две
итерации по методу Ньютона и посмотрите, сколько верных знаков получи-
лось на каждом из двух шагов.
Ь) Найдите итерационным процессом функцию І, удовлетворяющую урав-
НЄНИЮ
Ш
І(:в) = гс + _Ґ(±)<і±.
!
Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
1. Локальная линеаризация. Рассмотрите и продемонстрируйте ее на сле-
дующих примерах: мгновенная скорость и перемещение; упрощение уравнения
движения при малых колебаниях маятника; вычисление линейных поправок к
значениям величин А_1, ехр(Е), <1е'с(Е), (а, Ь) при малом изменении аргумен-
тов (здесь А-обратимая, Е-единичная матрицы; а, Ь-векторы; (-, _
скалярное произведение).
2. а) Какова относительная погрешность 5 = % при вычислении значе-
ния функции [(:1:, у, 2:) в точке (а:,у, 2:), координаты которой даны с абсолют-
ными погрешностями Ааг, Ау, Аг соответственно?
Ь) Какова относительная ошибка в вычислений объема комнаты, размеры
которой таковы: длина а: = 5 ± 0,05 м, ширина у = 4 ± 0,04 м, высота 2 =
= 3 ± 0,03 м?
с) Верно ли, что относительная погрешность значения линейной функции
совпадает с относительной погрешностью значения ее аргумента?
(1) Верно ли, что дифференциал линейной функции совпадает с ней самой?
е) Верно ли, что для линейной функции І справедливо соотношение 1” = І?
3. а) Одна из частных производных функции двух переменных, заданной
в круге, равна нулю во всех точках круга. Значит ли зто, что функция не
зависит от соответствующей переменной в этом круге?
Ь) Изменится ли ответ, если вместо круга взять произвольную выпуклую
область?

636 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
с) А если взять вообще произвольную область?
(1) Пусть 1: = :1:(і) -закон движения точки в плоскости (или в Кп) в про-
межутке времени Ё Є [а, Ь]; 'и(±) -ее скорость как функция времени, а. С =
= Сопуех{и(±) | Ъ Є [о, І›]} -наименьшее выпуклое множество, содержащее все
векторы *и(±) (называемое обычно вьтук./ъой оболочкой того множества, на ко-
торое оболочка натягивается). Покажите, что в С найдется такой вектор 11,
что :1:(Ь) - :1:(а) = 11- (Ь - а).
_ Ёі . Ё . Ёї _ _ ~›
4. а) Пусть Р(:1:,у,2) _- 0. Верно ли, что ду да: ди _ 1. Проверьте это
ту .. ,, РУ
на зависимости _ - 1 = О (соответствующеи уравнению Клапеирона Т = В
2
состояния идеального газа).
Ь) Пусть теперь Р(:в,у) = 0. Верно ли, что % - Ё = 1?
с) Что можно утверждать в общем случае зависимости Р(ш1, _ . . ,:вп) = О?
(1) Как, зная первые несколько членов теилоровского разложения функ-
ции Р(:1:, у) в окрестности точки (130, уо), где Р (120, уо) = 0, а Р,;(а:0, уо) обрати-
ма, найти первые несколько членов тейлоровского разложения неявной функ-
ции у = І (111), определяемой в окрестности (:1:0,у0) уравнением І-7`(:с,у) = 0?
2 2 2
113 2
5. а) Проверьте, что плоскость, касательная к зллипсоиду -5 + Ё + 3 = 1
(1 С
ІСЅВ 221
в точке (шо, уо, 20), может быть задана уравнением Ё9 + % + Ё29- = 1.
Ь) Точка Р(±) = -_ _ і -15 в момент времени 13 = 1 стартовала с
Ы
1132 у2 2 .,
зллипсоида Ё + 35 + 3 = 1. Пусть р(±) _ точка того же зллипсоида, ближаи-
0.~ С
її
[О
Ъ*
Ь°'
шая к Р (15) в момент времени Ё. Наидите предельное положение точки р(±) при
і -› +оо.
6. Если в векторном пространстве У имеется невырожденная билинейная
форма В(а:,у), то каждой линейной функции 9* Є У* на этом пространстве
отвечает единственный вектор 9, такой что у* (11) = В(у, 11) для любого вектора
'и Є У.
а) Проверьте, что если У = К, В(:с,у) = Ьідазіагї, у*и = уші, то вектор 9
имеет координаты 9-7 = Ьііуі, где (ой) -матрица, обратная матрице (од).
Чаще всего в качестве билинейной формы В(~, выступает стандартное
симметричное скалярное произведение (-, в евклидовой геометрии или косо-
скалярное произведение ш(~, (когда форма В кососимметрична) в симплек-
тической геометрии.
11% 'иї
Ь) Пусть В (*и1,'и2) = 1 2 -ориентированная площадь параллелограм-
ма, натянутого на векторы 111,02 Є ІК2. Найдите вектор 9 = (у1,у2), отве-
чающий относительно В линейной функции 9* = (91,у2), заданной своими
коэффициентами.

НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 637
с) Вектор, соответствующий дифференциалу функции 1” : К” -› К в точ-
ке :1: относительно скалярного произведения (-, -) евклидова пространства К,
как известно, называется градиентом функции І в этой точке и обозначается
Ёгао І Итак, сі]'(:с)*и =: (3га<і/(:1с),*и) для любого приложенного к из вектора
11 Є ТДК” ~ К.
Значит,
['(:в)'и = %(:в)т11 + . _ . + Ё`і(1:)т) = (5га<:1І(:1:),11) = |5га<і - |11| сов 90.
тп
0 Убедитесь, что в стандартном ортонормированном базисе, т. е. в декар-
товь1х координатах, Ёгаё = (ЁЁТ, . .. ,%)
0 Убедитесь, что скорость роста функции І при движении из точки 11: с
единичной скоростью максимальна, когда направление движения совпадает
с направлением градиента функции в этой точке, и равна |5га<1 І При
движении в направлении, перпендикулярном вектору 5гас1]`(а:), функция не
меняется.
о Как изменятся координаты вектора Ёгасі ](а:), если в 11%? вместо ортонор-
мированного базиса (є1,е2) взять ортогональный базис (ё1,ё2) = (×1є1,×2є2)?
д д
о Как вычислять дгасі І в полярных координатах? Ответ: (51:-,
'г т <р
(1) Выше в упражнении Ь) была рассмотрена кососимметрическая форма
В (111 , 112) ориентированной площади параллелограмма в ІК2.
Если вектор, отвечающий сі/ относительно симметричной формы (-,
называют градиентом Ёгасі _ї(ш), то вектор, отвечающий сіі относитель-
но кососимметричной формы В называют косым градиентом и обозначают
здгасі І (от английского «з1<еш›› -косой). Запишите 5га<1 І и Ѕёгао 1” в
декартовых координатах К2.
7. а) Покажите, что в КЗ (и вообще в 1К2+1) нет невырожденной кососим-
метрической билинейной формы.
Ь) В ориентированном К2, как мы видели, есть невырожденная кососим-
метрическая билинейная форма (ориентированная площадь параллелограмма).
В 11112 с координатами (:1:1,... ,:в,... ,:в2) = (р1,... ,р,<11,... ,<1) такая би-
линейная форма ш тоже есть: если 11, = (рі, . .. ,рў,<1},... ,(12) = 1,2) , то
рї чї Р? Ч?
ш(1)17и2) =
Рё чё 123 0:?
Т.е. ш(т11,112) -это сумма ориентированных площадей проекций натянутого
на 111,02 параллелограмма в координатные плоскости , (17) (1 = 1, _ . . ,п).
0 Пусть 9* -линейная функция в ІК2, заданная своими коэффициентами
9* = (р1,. _. ,р,,,с11,... ,<1,,). Найдите координаты вектора 9, сопоставляемого
функции 9* посредством формы ш.

638 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
о Дифференциалу функции І: ІК2 -› ІЕЄ. в точке а: Є ІК2 посредством
кососимметрической формы ш сопоставляется вектор, называемый, как уже
было сказано, косым градиентом функции _/' в этой точке и обозначаемый
Ѕ5гас1 І Найдите выражение з5га<і І в канонических декартовых коор-
динатах пространства ІК2.
о Найдите скалярное произведение (5га<і ](а:), Ѕ5га<:1
о Покажите, что вектор Ѕ5га<і І направлен вдоль поверхности уровня
функции І.
0 Закон движения сс = :с(±) точки в пространстве ІК2 таков, что =
= Ѕ5га<ї ](а:(±)). Покажите, что 1” (а:(±)) = сопвід.
0 Запишите уравнение (Ь = з5гас1 ](а:) в канонических обозначениях (рї, . . .
,р,(11, . .. ,(1) для координат и Н = Н (р, Ч) для функции І. Полученная
система, называемая системой уравнений Гамильтона, является одним из цен-
тральных объектов механики.
8. Канонические переменные и система уравнений Гамильтона.
а) В вариационном исчислении и фундаментальных вариационных прин~
ципах классической механики важную роль играет следующая система урав-
нений Эй./вера - Лаеранжа:
дБ сі дБ
{(5; _ дїё-5) (1ї›т›'0) - 0,
11 = :ё(±),
где Ь(і,а:,*и) -заданная функция переменных 13, Ш, 'и, среди которых 13 обычно
является временем, а: _ координатой, а 1) - скоростью. Это система двух урав-
нений на три переменные. Из нее обычно желают найти зависимости 11: = :1:(±)
и 11 = и(±), что по существу сводится к отысканию закона движения аз = а:(±),
ибо 11 =
Запишите подробно первое уравнение системы, раскрыв производную Ё,
с учетом того, что гс = а:(±) и 11 = о(±).
Ь) Покажите, что если от переменных Ъ, :в, 11, Ь перейти к так называемым
каноническим переменным і, сс, р, Н, сделав преобразование Лежандра
_Ё
р: ди?
Н=р'и-Ь
по переменным 11,12, заменяя их на переменные р, Н, то система Эйлера-Ла-
гранжа приобретет симметричный вид
._ дн ._дн
Р--ы› 1”-Ё

НЕКОТОРЬІЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 639
с) В механике чаще всего вместо 1: и 11 = :і: используют обозначения (1 и (1.
В многомерном случае, когда Ь(±,<1,<1) = Ь(±,:11,... ,4',<]1, . .. ,с]т), систе-
ма уравнений Эйлера-Лагранжа имеет вид
дл дал ,_ ._
(1_1›°°°›т)°
Сделав преобразование Лежандра по переменным <1,Ь, перейдите от пе-
ременных Ъ, (1, (1, Ь к каноническим переменным 15, (1, р, Н и покажите, что при
этом система уравнений Эйлера-Лагранжа перейдет в следующую систему
уравнений Гамильтона
. дН . дН .
-=-+ *=_ =1..., .
ра да, <1 дрі (1 , т)

ВОПРОСЬІ К ЭКЗАМЕНУ
І семестр
Введение в анализ (число, функция, предел)
Дифференциальное исчисление функций
одной переменной
1. Действительные числа. Ограниченные (сверху, снизу) числовые множе-
ства. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани множества.
Неограниченность множества натуральных чисел, принцип Архимеда и всюду
плотность множества рациональных чисел.
2. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чи-
сел ІК (вложенные отрезки, конечное покрытие, предельная точка).
3. Предел последовательности и критерий Коши его существования. Кри-
терий существования предела монотонной последовательности.
4. Ряд и его сумма. Геометрическая прогрессия. Критерий Коши и необхо-
димое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Абсолютная сходимость.
5. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Теорема срав-
Х
нения. Ряд ((5) = Е п_з.
п=1
6. Предел функции. Основные базы предельного перехода. Определение
предела функции при произвольной базе и его расшифровка в конкретных
случаях. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение финального
поведения функций, асимптотические формулы и основные операции с симво-
лами о(-),
7. Взаимосвязь предельного перехода с арифметическими операциями и
отношением порядка в К. Предел Ё при а: -› 0.
113
8. Предел композиции функций и монотонной функции. Предел (1 +
при 17 -› оо.

ВОПРОСЬІ К ЭКЗАМЕНУ 641
9. Критерий Коши существования предела функции.
10. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных
функций (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические опе-
рации, непрерывность композиции). Непрерывность многочлена, рациональ-
ной функции и тригонометрических функций.
11. Глобальные свойства непрерывных функций (промежуточные значе-
ния, максимумы, равномерная непрерывность).
12. Разрывы монотонной функции. Теорема об обратной функции. Непре-
рывность обратных тригонометрических функций.
13. Закон движения, перемещение за малое время, вектор мгновенной ско-
рости, траектория и касательная к ней. Определение дифференцируемости
функции в точке. Дифференциал, его область определения и область значений.
Единственность дифференциала. Производная вещественнозначной функции
вещественного переменного и ее геометрический смысл. Дифференцируе-
мость функций Ѕіп Ш, соЅ:1:, ет, 1п|:с|, (са.
14. Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцирова-
ние многочлена, рациональной функции, тангенса и котангенса.
15. Дифференциал композиции функций и обратной функции. Производ-
ные обратных тригонометрических функций.
16. Локальный экстремум функции. Необходимое условие внутреннего
зкстремума дифференцируемой функции (лемма Ферма).
17. Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении
(0 среднем).
18. Формула Тейлора с остаточными членами в формах Коши и Лагранжа.
19. Ряд Тейлора. Тейлоровские разложения функций ет, соз 1:, зіп 1:,
1п(1 + из), (1 + 17)” (бином Ньютона).
20. Локальная формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано).
21. Взаимосвязь характера монотонности дифференцируемой функции и
положительности ее производной. Достаточные условия наличия или отсут-
ствия локального зкстремума в терминах первой, второй и высших производ-
ных.
22. Правило Лопиталя.
23. Выпуклая функция. Дифференциальные условия выпуклости. Распо-
ложение графика выпуклой функции по отношению к касательной.
24. Общее неравенство Иенсена для выпуклой функции. Выпуклость (во-
гнутость) логарифма. Классические неравенства Коши, Юнга, Гёльдера и
Минковского.
25. Преобразование Лежандра.
26. Комплексное число в алгебраической и тригонометрической записи.
Сходимость последовательности комплексных чисел и ряда с комплексными
членами. Критерий Коши. Абсолютная сходимость и достаточные признаки
., . 2 П
абсолютнои сходимости ряда с комплексными членами. Предел 11п1 (1 + -) .
'П-›ОО 'П

642 ВОПРОСЬІ К ЭКЗАМЕНУ
27. Круг сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Определение
функций єг, соз 2, Ѕіп 2 (2 Є С). Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных
функций.
28. Дифференциальные уравнения как математическая модель явления,
примеры. Метод неопределенных коэффициентов и метод ломаных Эйлера.
29. Первообразная, основные общие приемы ее отыскания (почленное ин-
тегрирование слагаемых, интегрирование по частям, замена переменной).
Первообразные основных элементарных функций.
ІІ семестр
Интеграл (функции одной переменной)
Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
1. Интеграл Римана на отрезке. Нижние и верхние суммы, их геометриче-
ский смысл, поведение при измельчении разбиения и взаимные оценки. Теоре-
ма Дарбу, верхний и нижний интегралы Дарбу и критерий интегрируемости
по Риману вещественнозначной функции на отрезке(в терминах сумм колеба-
ний). Примеры классов интегрируемых функций.
2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулиров-
ка). Множества меры нуль, их общие свойства, примеры. Пространство ин-
тегрируемых функций и допустимые операции над интегрируемыми функ-
циями.
3. Линейность, аддитивность и общая оценка интеграла.
4. Оценки интеграла от вещественнозначной функции. Теорема о среднем
(первая).
5. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Существова-
ние первообразной у непрерывной функции. Обобщенная первообразная и ее
общий вид.
6. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в интеграле.
7 . Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора
с интегральным остатком. Вторая теорема о среднем.
8. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл. Об-
щая схема появления интеграла в приложениях, примеры: длина пути (и ее
независимость от параметризации), площадь криволинейной трапеции, объем
тела вращения, работа, энергия.
9. Интеграл Римана-Стилтьеса. Условия сведения к интегралу Римана.
Дельта-функция Дирака и понятие обобщенной функции. Дифференцирование
обобщенных функций и производная функции Хевисайда.

ВОПРОСЬІ К ЭКЗАМЕНУ 643
10. Понятие несобственного интеграла. Канонические интегралы. Крите-
рий Коши и теорема сравнения для исследования сходимости несобственного
интеграла. Интегральный признак сходимости ряда.
11. Метрическое пространство, примеры. Открытые и замкнутые подмно-
жества. Окрестность точки. Индуцированная метрика, подпространство. То-
пологическое пространство. Окрестность точки, отделимость (аксиома Хаус-
дорфа). Топология, индуцируемая на подмножествах. Замыкание множества
и описание относительно замкнутых подмножеств.
12. Компакт, его абсолютность. Замкнутость компакта и компактность
замкнутого подмножества компакта. Вложеннь1е компакты. Метрические
компакты, є-сеть. Критерий метрического компакта и его конкретизация в
пространстве К.
13. Полное метрическое пространство. Полнота К, (С, ІК, С и простран-
ства С[а, Ь] непрерывных функций относительно равномерной сходимости.
14. Критерий непрерывности отображения топологических пространств.
Сохранение компактности и связности при непрерывном отображении. Клас-
сические теоремы об ограниченности, максимуме и промежуточном значении
для непрерывных функций. Равномерная непрерывность на метрическом ком-
пакте.
15. Норма (длина, модуль) вектора в векторном пространстве; важнейшие
примеры. Пространство Ь(Х, У) линейных непрерывных операторов и норма
в нем. Непрерывность линейного оператора и конечность его нормы.
16. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал, его область
определения и область значений. Координатная запись дифференциала ото-
бражения ] : ПЧ -› ІК. Соотношения между дифференцируемостью, непре-
рь1вностью и наличием частных производных.
17. Дифференцирование композиции функций и обратной функции. Ко-
ординатная запись полученных законов применительно к различным случаям
отображений _/* : Вт -› 1К“.
18. Производная по вектору и градиент. Геометрические и физические
примеры использования градиента (уровни функций, градиентный спуск, ка-
сательная плоскость; потенциальные поля; уравнение Эйлера динамики иде-
альной жидкости, закон Бернулли, работа крыла).
19. Однородные функции и соотношение Эйлера. Метод размерностей.
20. Теорема о конечном приращении. Ее геометрический и физический
смысл. Примеры приложений (достаточное условие дифференцируемости в
терминах частных производных; условие постоянства функции в области).
21. Высшие производные и их симметричность.
22. Формула Тейлора.
23. Экстремумы функций (необходимые и достаточные условия внутрен-
него зкстремума).
24. Сжимающие отображения. Принцип Пикара -Банаха неподвижной
точки.

644 ВОПРОСЬІ К ЭКЗАМЕНУ
25. Теорема о неявной функции.
26. Теорема об обратной функции. Криволинейные координаты и выпрям-
ления. Гладкая поверхность размерности І: в ІК” и касательная плоскость к ней.
Способы задания поверхности и соответствующие им уравнения касательного
пространства.
27. Теорема о ранге и зависимость функций.
28. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
29. Условный зкстремум (необходимый признак). Геометрическая, алге-
браическая и физическая интерпретации метода Лагранжа.
30. Достаточный признак условного экстремума.

ДОПОЛНЕНИЕ 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АнАлИз
(вводная лекция для первого курса)
Два слова о математике
Математика-наука абстрактная. Например, она учит сложению,
не спрашивал, считаем ли мы ворон, капитал или что-то еще. Поэто-
му математика одна из самых универсальных и общеупотребительных
прикладных наук. В ней как науке, конечно, есть И еще много чего, по-
чему к математике обычно относятся с уважением, например, она учит
слышать аргумент и ценить истину.
Ломоносов считал, что математика ум в порядок приводит, а Га-
лилей без обиняков сказал: «Великая книга природы написана языком
математики». Подтверждения этому очевидны: все, кто желает читать
эту книгу, изучают математику. Тут не только представители есте-
ственных наук или технических специальностей, но И гуманитарии. На-
пример, на экономическом факультете МГУ есть кафедра математики,
а в системе Академии наук есть Экономико-математический институт.
Бытует даже мнение, что в науке столько от науки, сколько в ней ма-
тематики. Хотя сказано слишком сильно, но в общем-то это довольно
точное наблюдение.
Имея атрибуты языка, математика, конечно, не сводится к соб-
ственно языку (иначе ее изучали бы скорее филологи). Математика уме-
ет не только перевести вопрос на математический язык, но обычно до-
ставляет и метод решения сформулированной математической задачи.
Умение правильно поставить вопрос-большое искусство исследо-
вателя вообще и математика в частности.

646 дополнвнив 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (вводнАя лвкция)
Анри Пуанкаре-замечательный ученый, с именем которого сту-
денты-математики встречаются почти в каждом математическом кур-
се, не без доли юмора подметил: «Математика-это искусство назь1-
вать разные вещи одинаковыми именами». Например, точка_зто и ед-
ва различимая в микроскоп частица, и самолет на планшете диспетчера,
и город на карте, и планета на небосводе, и вообще все то, размерами
чего можно пренебречь в рассматриваемых масштабах.
Итак, абстрактные понятия математики и их взаимосвязи, подобно
числу, обслуживают громадную сферу конкретных явлений и законо-
мерностей.
Число, функция, закон
К чудесам люди привыкают быстро и «Не может быть???›› вскоре
незаметно превращается в «Не может быть иначе!!!››.
Мы уже настолько свыклись с тем, что 2 + 3 = 5, что не видим тут
никакого чуда. А ведь тут не сказано, что два яблока и еще три яблока
будет пять яблок, а сказано, что это так и для яблок, и для слонов, и
для всего прочего. Это мы уже отметили.
Потом мы свыкаемся с тем, что а-і-Ь = Ь+ а, где теперь уже символы
а и Ь могут означать и 2, и 3, и любые целые числа.
Функция, или функциональная зависимость, -это очередное мате-
матическое чудо. Оно сравнительно молодо: ему, как научному поня-
тию, всего три с небольшим сотни лет, хотя в природе и даже в быту
мы с ним сталкиваемся никак не реже, чем со слонами или даже с теми
же яблоками.
Каждая наука или область человеческой деятельности относится к
какой-то конкретной сфере объектов и их взаимосвязей. Эти связи, за-
висимости, законы математика описывает и изучает в отвлеченном и
потому общеполезном виде, объединяя их термином фунниия или функ-
циональная зависимость у = І состояния (значения) одной величи-
ны (у) от состояния (значения) другой
Особенно важно то, что теперь уже речь не о постоянных, а о пере-
менных величинах ат и у, связанных законом 1” . Функция приспособлена
к описанию развивающихся процессов и явлений, к описанию характера
изменения их состояний и вообще к описанию зависимостей перемен-
ных величин.

ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) 647
Иногда закон 1” связи известен (дан) (например, государством или
технологическим процессом) и тогда в условиях действия закона І мы,
например, часто стараемся так выбрать стратегию, т. е. состояние (зна-
чение) доступной нашему выбору независимой переменной :1:, чтобы
получить наиболее благоприятное для нас в том или ином отношении
состояние (значение) нужной нам величины у (учитывая, что у = 1”
В других случаях (и это даже интереснее) ищется сам закон при-
роды 1” , связывающий явления. И хотя это дело конкретных наук, ма-
тематика и здесь бывает удивительно полезна потому, что часто по
казалось бы очень малой исходной конкретной информации, которой
располагают те или иные профессионалы, она, подобно Шерлоку Холм-
су, способна сама дальше найти закон І (решая или исследуя некоторые
новые, так называемые дифференциальные уравнения, которых не было
у древних математиков и которые возникли с появлением дифферен-
циального и интегрального исчисления на рубеже Х/'ІІ-Х/ІІІ веков
усилиями Ньютона, Лейбница, их предшественников и последователей).
Итак, открываем букварь современной математики.
Математическая модель явления
(дифференциальное уравнение, или учимся писать)
Одним из наиболее ярких и долго сохраняющихся впечатлений от
школьной математики, конечно, является маленькое чудо, когда что-то
вам неизвестное вы заколдовываете буквой 11: или там буквами 1:, у, по-
том пишете что-то вроде а - 11: = Ь или какую-нибудь систему уравнений
2:1:-і-у=1,
Ш_у:2а
после чего парой математических заклинаний открываете то, что было
неизвестно: :1: = 1, у = -1.
Давайте попробуем научиться хотя бы писать уравнения в новой
ситуации, когда нам надо найти не какое-то одно число, а неизвестный
нам закон связи важных для нас переменных величин, т. е. когда мы
ищем нужную функцию. Рассмотрим некоторые примеры.
Для определенности мы сначала будем говорить о биологии (размно-
жении микроорганизмов, росте биомассы, экологических ограничениях
и т. п.), но будет ясно, что при желании все это можно перенести в дру-

648 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ)
гие сферы и говорить о росте капитала, ядерной реакции, атмосферном
давлении и так далее, и тому подобное.
Для разминки полушуточный вопрос:
Простейший организм, который ежесекундно размножается делени-
ем пополам (удвоением), положили в пустой стакан. Через одну минуту
стакан наполнился. За какое время наполнится пустой стакан, если в
него положить не один, а два этих простейших организма?
Теперь ближе к делу и обещанным примерам.
1. Известно, что в благоприятных условиях скорость размножения
микроорганизмов, т.е. скорость роста биомассы, пропорциональна (с
некоторым коэффициентом пропорциональности Іє) наличному количе-
ству биомассы. Надо найти закон из = :1:(±) изменения биомассы во вре-
мени, если известно ее начальное состояние :1:(0) = азд.
По нашим представлениям, знай мы сам закон а: = :1:(±) изменения
величины аз, мы бы знали и скорость ее изменения в любой момент
времени 1%. Не вдаваясь пока в обсуждение того, как именно по :1:(15)
находить эту скорость, обозначим ее через :с' Поскольку функция
:в' = :1:'(±) порождается функцией 51: = :1:(і), ее в математике называют
производной от функции сс = (Как находить производную функ-
ции и многому другому учит дифференциальное исчисление. Оно впе-
рЄдИ-)
Теперь можно коротко записать, что нам дано:
т'(1ї) = /Ч °11(і)› (1)
причем :1с(0) = шо. Хотим же мы найти саму зависимость аг =
Мы написали первое дифференциальное уравнение Вообще, диф-
ференциальными называют уравнения, содержащие производные (не-
которые оговорки и уточнения здесь пока неуместны). Кстати, для
упрощения текста в записи уравнения независимую переменную час-
то опускают. Например, уравнение ( 1) пишут в виде :1:' = /с ~ Ш. Если бы
искомая функция была обозначена буквой І или и, то то же уравнение
имело бы вид 1” = /<: - 1 или н' = Іс - н соответственно.
Уже сейчас ясно, что если мы научимся не только писать, но и ре-
шать или исследовать дифференциальные уравнения, то мы сможем
многое узнать и предвидеть. Именно поэтому сакраментальная фраза
Ньютона, относившаяся к новому исчислению, звучала примерно так:
«Полезно решать дифференциальные уравнения».

ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) 649
Упражнение. Свяжите написанное уравнение с рассмотренным
примером размножения в стакане. Каковы тут коэффициент Іс, началь-
ное условие :п(0) = шо и сама зависимость из = а:(±)?
Попробуем по горячим следам записать уравнением еще несколько
конкретных вопросов.
2. Допустим теперь, как это всегда и случается, что еды не бес-
конечно много и среда может прокормить не более чем М особей или
биомассу, не превышающую значения М. Тогда, надо полагать, ско-
рость роста биомассы будет уменьшаться, например, пропорционально
остающимся возможностям среды. За меру остающихся возможностей
можно взять разность М - :с(±) или лучше взять безразмерную величи-
Ё О
ну 1 - Этои ситуации вместо уравнения (1), очевидно, отвечает
уравнение '
:1:'=/є-ап-(1-Ё), (2)
которое переходит в (1) на стадии, когда а:(±) еще много меньше М.
Наоборот, когда а:(±) близко к М, скорость роста становится близкой к
нулю, т. е. рост прекращается, что естественно. Как именно выглядит
закон 11: = :с(±) в этом случае, мы найдем позже, овладев кое-какими
навыками.
Упражнение. Тело, имевшее начальную температуру ТО, остыва-
ет в среде, имеющей постоянную температуру С. Пусть Т = Т (15) закон
изменения температуры тела во времени. Напишите уравнение, которо-
му должна удовлетворять эта функция, считая, что скорость остывания
пропорциональна разности температур тела и среды.
Скорость т1(±) изменения величины а:(±) мы назвали производной
функции ш = :1:(±) и обозначили :1:' Ускорение а,(±), как известно, это
скорость изменения скорости о(±). Значит а(±) = 1/ (15) = (:п' )' (15), т.е.
по отношению к исходной функции это производная от ее производ-
ной. Она называется второй производной исходной функции и часто
обозначается как 3: (Другие обозначения появятся позже.) Если мы
умеем находить первую производную, то, повторяя процедуру, можно
определить производную ш()(±) любого порядка п от исходной функ-
ции а: =

650 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ)
3. Пусть, например, за = а:(±) -закон движения точки массы т, т. е.
координаты положения точки как функции времени. Для простоты бу-
дем считать, что движение происходит вдоль прямой (горизонтальной
или вертикальной), тогда координата только одна.
Классический закон Ньютона т - а = Р, связывающий силу, дей-
ствующую на точку массы т, с вызванной зтим действием ускорением
точки, теперь можно записать в виде
т ° Ш(і) = Р (1) (3)
или, сокращенно, т ~ 1: = Р.
Если действующая сила Р(±) известна, то соотношение т - 1: = Р
можно рассматривать как дифференциальное уравнение (второго по-
рядка) относительно функции
Например, если Р -это сила тяжести у поверхности Земли, то Р =
= ту, где 9 - ускорение свободного падения. В этом случае наше урав-
нение приобретает вид :1:(±) = 9. Как вы знаете, еще Галилей нашел,
что в свободном падении :1:(15) = $919 + 11015 + 1120, где 1120 -начальное
положение, а 110 --начальная скорость точки.
Чтобы хотя бы проверить, что указанная функция удовлетворяет
уравнению, уже надо уметь дифференцировать функцию, т. е. находить
ее производную. В нашем случае нужна даже вторая производная.
Чуть ниже мы приведем табличку некоторых функций и их про-
изводных. Вывод ее будет сделан позже во время систематического
изложения дифференциального исчисления. А сейчас попробуйте сами
сделать следующее.
Упражнение. Напишите уравнение свободного падения в атмо-
сфере. В этом случае возникает сила сопротивления. Считайте ее про-
порциональной первой (или второй) степени скорости движения. (Ско-
рость свободного падения не растет до бесконечности именно ввиду
присутствия силы сопротивления.)
Итак, надо бы научиться вычислять производные.
Скорость, производная, дифференцирование
Рассмотрим сначала знакомую ситуацию, где мы можем обратиться
к нашей интуиции (и сменим обозначение :1:(1ї) на з(±)).

дополнвнив 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (вводн/-хя лвкция) 651
Пусть точка движется вдоль числовой оси, з(і) _ее координата в
момент Ъ, а и(±) = з' (і) -ее скорость в тот же момент 15. За промежуток
времени Ь, прошедший после момента ±, точка сместится в положение
з(± + /1). По нашим представлениям о скорости, величина з(15 + /1) - з(±)
перемещения точки за малый промежуток времени /2, прошедший после
момента і, и ее скорость и(±) в момент і связаны соотношением
з(± + /1) - з(±) ш и(т5) - /1 (4)
~ з(і + /1) - з(±) _
или, иначе, и(15) ~ -____п , и это приближенное равенство тем точ
нее, чем меньше промежуток времени /1,, прошедший после момента 15.
Значит, надо полагать,
з(15 + /1) - з(15)
“Ш 2: ЁЁЁ5 /1 *
т. е. мы определяем и(і) как предел отношения приращения функции к
приращению ее аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Теперь нам ничего не стоит, копируя этот пример, дать общее опре-
деление значения 1* производной 1” фунниии І в тонне 113:
го + Ы - 1<<»›
,, , (Ы
1'<=и› ==,139,
т.е. 1“(:с) есть предел отношения нриращенил А/ = ](:в + /2) - ]”(а:)
фунниии к приращению Аа: = (ш + /1) - а: ее аргумента, когда последнее
СТРЄМИТСЯ К НУЛЮ.
Соотношение (5) можно переписать в подобной (4) другой и, быть
может, самой удобной и полезной форме:
і(=г + Ь) - ПШ) = і'(:г>/1 + <›(/1), (6)
где о(/1) -некоторая величина (поправка), малал по сравнению с /1 при
стремлении /1 н нулю. (Последнее означает, что отношение о(/1) //1 стре-
мится к нулю при стремлении /1 к нулю.)
Проделаем несколько пробных расчетов.
1. Пусть _/' ~ постоянная, т.е. 1” Е с. Тогда, очевидно, А 1” =
= + /Ъ) - Е 0 и /'(113) Е 0, что естественно: скорость изменения
равна нулю, если изменении нет.

652 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ)
2. Если [(02) = аг, то [(12 + /1) - ]”(:с) = /1, поэтому 1“(:1:) 5 1. А если
1“(:1:) =І<:а:, то 1°(:1:+/1)-[(а:)=Іс/1и](:1:)гІє.
3. Кстати, тут можно сделать два очевидных, но весьма полезных
общих наблюдения: если функция 1” имеет своей производной /' , то
функция с І , где с- числовой множитель, имеет своей производной с 1 ' ,
т. е. (с[)' = с['; в этом же смысле ([+у)' = ]+9', т. е. производная сум-
мы функций равна сумме их производных, если последние определены.
4. Пусть [(117) = 1132. Тогда /(:1:+/1) -[(512) = (:1:+/ъ)2-1132 = 2:1:/ъ+/12 =
= 2:1:/1 + о(/1), поэтому ['(а;) = 2:12.
5. Аналогично, если 1” = 1133, то
[(:1: + 11) - [(12) = (1: + /ъ)3 - 1:3 = 3172/1 + За:/12 + /13 = 3:с2/1 + о(/1),
поэтому /' = 31122.
6. Теперь понятно, что вообще, если 1” = Щ, то поскольку
[(113 + /1) - [(а:) = (11: + /1) - ш = п:1:1/1 + о(/1),
имеем _1“(:в) = паг:1.
7. Значит, если имеем многочлен
Р(:с) = а0а:' + а1:с`1 + . . . + а.,,_1а: + ап,
то
Р'(:в) = пада/'-1 + (п -1)а1:с'_2 + . . . + а,,_1.
Пробное прощупывание определения производной сделали. Разра-
батывать и осваивать технику и практику дифференцирования надо
будет отдельно. А сейчас для примера и вашего сведения приведем не-
большую табличку функций и их производных. Потом мы ее получим,
расширим и уточним.
і($) 1” '(110) Ґ”(Ш) 1°() (Ш)
05” ат Іп а сб” Іп2 а аш 111 а
ва: ет єї” ет
Ѕіпш соз гс - Ѕіпа: зіп(:1: + птг/ 2)
сов а: - Ѕіпєв - сов іс соЅ(:с + птг/2)
(1 + а:)°” а(1 + а:)““1 а(а -1)(1+ :с)“2 ?
ага ош:°'1 а(а - 1):в“2 ?

ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ) 653
Здесь є-число (е = 2,7. . . ), такое же вездесущее в анализе, как тг
в геометрии. Логарифм по основанию е вместо 1058 часто обозначают
через Іп, что и отражено во второй строчке таблицы. Использование
логарифмов по этому основанию, называемых натуральными логариф-
мами, упрощает многие формулы (что, например, видно из сравнения
второй и третьей строк таблицы).
Упражнение. Считая, что столбец 1” правильный, проверьте
столбец 1” () и дозаполните таблицу, сняв вопросы.
После этого вычислите в каждом случае значение /(п)
Упражнение. Попробуйте найти производную функции І =
= вы и решение уравнения (1). Выясните, за какое время начальное
состояние 1120 (капитала, биомассы или еще чего-то, подчиняющегося
этому уравнению) удвоится.
Высшие производные, зачем?
Замечательным и весьма полезным развитием центрального соот-
ношения (6), которое можно переписать в виде
1”(Ш+/1) = 1”(Ш)+і'(т)/1+0(д)› (7)
является следующая формула (формула Тейлора)
да + ь) = де) + д;'(Ш)ь + д1(Ш)ь2 + . . . + -1-_ді< >(1;)ь + от ). (8)
Если положить здесь а: = 0, а потом букву /1 заменить буквой гс, то
получим
до = г<0› + %т'<0›ш + %г<<››<:2 + . . . + $і<><0>а= + о<:«:›. <9›
Например, если І = (1 + а:)°', то вслед за Ньютоном найдем, что
а ог(а-1) а(а-1)...(а-п+1)
(1+ш)°*=1+г;›:+-ї-а:2+...+ п, а;+о(а:).
(10)
Иногда в формуле (9) можно продолжить суммирование до беско-
нечности, ликвидировав при этом поправочный член.

654 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ)
Вчастности,
1 1 2 1
е$=1-|~г:с-і-5:1: +...+Бї:1:+... (11)
_ 12 ь 1 2/С
_ 1 1 1
Ѕ1па:= Бас- Ыасз-}-...+ (-1)К ш2К+1 +... (13)
Мы получили представление сравнительно сложных функций в виде
суммы (бесконечной суммы _ ряда) простейших функций, допускаю-
щих вычисления обычными действиями арифметики. Конечные куски
этих сумм -полиномы. Они дают хорошие приближения раскладывае-
мых в такой ряд функций.
Снова к числу
Мы все время молчаливо предполагали, что имеем де.ло с функция-
ми, определенными на множестве веществєнньш: чисел. Но правые ча-
сти равенств (11), (12), (13) имеют смысл и при подстановке вместо гс
комплексного числа 2: = ап + іу. Тогда мы сможем сказать, что бы зна-
чило ег, созг, Ѕіпг.
Упражнение. Откройте вслед за Эйлером связывающую элемен-
тарные функции формулу ет = созср + ізіпф и вытекающее из нее
замечательно красивое соотношение ет + 1 = 0, связь1вающее основ-
ные константы математических наук (арифметики, алгебры, анализа,
геометрии и даже логики).
И что теперь?
Как говорится, «на пальцах», без подробностей и обоснований вам
дано некоторое представление о дифференциальном исчислении -ядре
первого семестра курса математического анализа. По дороге мы встре-
тились с понятиями числа, функции, предела, производной, ряда ,
которых пока коснулись только поверхностно.
Теперь, когда вы знаете, зачем что нужно, придется на время по-
грузиться в подробное, тщательное рассмотрение всех этих понятий и
объектов. Понимание их необходимо для профессионального математи-
ка. Пользователю это не обязательно. Большинство водит автомобиль,
не открывая капот. Но это только потому, что кто-то хорошо разбира-
ется в двигателях и сделал надежно работающий аппарат.

ДОПОЛНЕНИЕ 2
НАЧАЛЬНЬІЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛ_ЕННЬІХ
МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Корни уравнений и неподвижные точки отображений
Заметим, что уравнение 1” = 0, очевидно, равносильно уравнению
о:(:1:)]`(:є) = 0, если а(а:) 75 0. Последнее уравнение, в свою очередь, рав-
носильно соотношению :1: = 11: - ог(а:)[ (лс), в котором а: можно интерпре-
тировать как неподвижную точку отображения <р(ав) := ат - а(а:)
Таким образом, отыскание корней уравнений равносильно отыска-
нию неподвижных точек соответствующих отображений.
Сжимающие отображения и итерационный процесс
Отображение ср: Х -› Х множества Х С ІК в себя будем называть
сжимающим отображением, если существует такое число (1, 0 < 11 < 1,
что для любой пары точек аг', аз” и их образов <р(:1:'), ср(:1:) выполняется
неравенство |<р(а:') - <р(ш)| < с1|:в' - ш”|.
Ясно, что это определение без изменений распространяется на ото-
бражения любых множеств, где определено расстояние сі(а:' , 113 ) между
точками; в нашем случае сі(:с',а:) = |:с' - 1:”
Ясно также, что сжимающее отображение непрерывно и может
иметь не более одной неподвижной точки.
Пусть ср: [а, Ь] -› [а, Ь] -сжимающее отображение отрезка [а, Ь] в се-
бя. Покажем, что итерационный процесс :1:,,,+1 = ср(:в,,,), начинающийся
в любой точке 1120 этого отрезка, приводит к точке а: = 1іп1 тп, непо-
'П-*Х
движной для отображения <р.

656 ДОПОЛНЕНИЕ 2. НАЧАЛЬНЬІЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЬІХ МЕТОДАХ
Заметим сначала, что
|$п+1_ < Ч|$п _ тп-1| Ё Ё Чп|її71 _ 330|›
поэтому для любых натуральных т, п, таких что т > п, вставляя про-
межуточные точки И используя неравенство треугольника, получаем
оценку
Іазт-:с,,| < |а:т-:ст_1|+...+|а:1 -:с0| <
ЧП
< (Чт +--~ +Чп)|ї1ї1 ~1Бо| < ЁІШ1 -Ш0|›
из которой следует, что последовательность --фундаментальная
(последовательность Коши).
Значит, по критерию Коши она сходится к некоторой точке а: отрез-
ка [а, Ь]. Эта точка-неподвижная точка отображения <р: [а, Ь] -› [а, Ь],
ибо переход к пределу при п -› оо в соотношении :1с,,+1 = дает
равенство 11: =
(Здесь мы воспользовались тем очевидным фактом, что сжимающее
отображение непрерывно; кстати, оно даже равномерно непрерывно.)
'П
Переход к пределу при т -› оо в соотношении |:1:т-:в,,| < Ё |:1:1 -41:01
дает оценку
ЧП
|:1: - :1:п| < Ё|а:1 - :1:0|
величины уклонения приближения 112,, от неподвижной точки :1: отобра-
жения ср.
Метод касательных (метод Ньютона)
Доказывая теорему о том, что непрерывная на отрезке веществен-
нозначная функция, принимающая на концах отрезка значения раз-
ных знаков, имеет на этом отрезке по крайней один нуль (точку, где
1” = 0), мы предъявили и простейший (но зато универсальный) ал-
горитм отыскания этой точки (деление отрезка пополам). Скорость
сходимости тут порядка 2.
В случае дифференцируемой выпуклой функции можно пользовать-
ся значительно более эффективным в смысле скорости сходимости ме-
тодом, предложенным еще Ньютоном.

ДОПОЛНЕНИЕ 2. НАЧАЛЬНЬІЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЬІХ МЕТОДАХ 657
Строим касательную к графику данной функции 1” в некоторой точ-
ке (эзд, 1” (030)), где Ш0 Є [а, Ь]. Находим точку 1:1, где эта касательная пе-
ресекает ось абсцисс. Повторяя процесс, получаем последовательность
{а:,,} точек, которые быстро сходятся к точке 112, в которой 1” = 0.
(Можно проверить, что каждая следующая итерация приводит к удво-
ению верных значащих цифр приближения к
Аналитически, как легко проверить (проверьте!), метод касатель-
ных сводится к итерационному процессу
Например, решение уравнения шт - а = 0, т.е. вычисление 'Є/Б, при
этом сводится к итерационному процессу
1 а
'П
В частности, для вычисления /Є методом касательных получаем
1 а
С12'«д+1:ё .
'П
Метод Ньютона, как видно из приведенных формул, ищет неподвиж-
Ш
ные точки отображения 90(:л) = а: - Оно является специальным
Ш
случаем рассмотренного в самом первом разделе отображения <р(а:) =
сс - ог(а:)[(а:) и получается из него при а(а:) =
Заметим, что в общем случае отображение <р(:с) = :1: - а($)[ и
даже отображение 50(а:) = ш - %%, участвующее в методе касательных,
не обязано быть сжимающим. Более того, как показывают простые
примеры, в случае общей функции І даже метод касательных не всегда
приводит к сходящемуся итерационному процессу.
Если же в выражении <р(:1:) = а: - о:(:с)[ функцию а(:с) удает-
ся выбрать так, что на рассматриваемом отрезке |<р'(а:)| < (1 < 1, то
отображение ср: [а, Ь] -› [а, Ь], конечно, будет сжимающим.
1
В частности, если в качестве а взять постоянную --, то получим
1” (то)
90(:1:) = аг- 3% и <р' = 1- }_'ёё%. Если производная функции 1” непре-
рывна по краинеи мере в точке 3:0, то в некоторои ее окрестности будем

658 ДОПОЛНЕНИЕ 2. НАЧАЛЬНЬІЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЬІХ МЕТОДАХ
_ _ Ґ($)
иметь |<р'(:1:)| _- І1 -Ґ($0) <
(1 < 1. Если отображение <р переводит эту
окрестность в себя (что не всегда так), то стандартный итерационный
процесс, индуцированный сжимающим отображением <р этой окрестно-
сти, приведет к единственной в этой окрестности неподвижной точке
отображения цр, в которой исходная функция І обращается в нуль.

ДОПОЛНЕНИЕ 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА
(первое обсуждение)
Начальное определение преобразования Лежандра
и общее неравенство Юнга
Прєобразованиєм Лєжандра функции І переменной а: называется
новая функция 1” * новой переменной :1:*, определяемая соотношением
1”*(11*) == Ѕ1;р(1=*Ш - і(Ш)), (1)
где верхняя грань берется по переменной ай при фиксированном значе-
нии :17*.
Упражнения. 1. Проверьте, что функция І* выпукла на своей
области определения.
2. Нарисуйте график функции І, прямую :с*:1: и укажите геометри-
ческий смысл величины [*(:1:*).
3. Найдите /*(а:*), когда ]`(:с) = и когда [(413) = ш2.
4. Заметьте, что из (1), очевидно, следует, что
2г*:г < і*(11г*) + і(Ш) (2)
при любых значениях аргументов :1:*, 11: из областей определения функ-
ций І* и І соответственно. Соотношение (2) обычно называется общим
неравєнством Юнга или неравенство./и Юнга - Фенаге./ш, а функцию Ґ,
например в выпуклом анализе, часто называют двойствєнной по Юнгу
к функции 1.

660 ДОПОЛНЕНИЕ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА
Конкретизация определения в случае выпуклых функций
Если бы верхняя грань, фигурирующая в определении (1), достига-
лась в некоторой внутренней точке 1: области определения функции 1,
а сама эта функция была бы гладкой (или по крайней мере дифферен-
цируемой), то мы нашли бы, что
Ш* = 1“(Ш) (3)
и при этом
і*(Ш*) =1=*Ш-ПШ) =<П1”'(111) -ї(Ш)- (4)
Тем самым в этом случае преобразование Лежандра конкретизируется
в виде равенств (3), (4), из которых первое дает аргумент :1:*, а вто-
рое-значение І функции 1** -преобразования Лежандра функ-
ции 1. (Заметим, что оператор ш]' - 1” встречался уже у Эйлера.)
Если функция 1” к тому же еще и вьшукла, то,
во-первь1х, условие (З) выделит не просто локальный экстремум, а
локальный максимум (проверьтеї), который в этом случае, очевидно,
будет и абсолютным максимумом;
во-вторых, ввиду монотонного возрастания производной строго вы-
пуклой функции уравнение (3) для такой функции однозначно разреши-
мо относительно 1:.
Если уравнение (З) допускает явное решение 11: = :1:(:с*), то, подста-
вляя его в (4), получим явное выражение 1
... 1
Упражнения. 1. Наидите преобразование Лежандра функции -ага
С!
при а > 1 и получите классическое неравенство Юнга
1 1
аь < да/1 + дл/3, (5)
1 1
где - + - = 1.
01 Ё
2. Какова область определения преобразования Лежандра гладкои
строго вьшуклой функции І, имеющей асимптотами прямые ап: и да:
при 11: -› -оо и гс -› +00 соответственно?
3. Найдите преобразование Лежандра функции ет и докажите не-
равенство
Ё
:1:±<єШ-1-15111-. (6)
е

ДОПОЛНЕНИЕ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА 661
Инволютивность преобразования Лежандра
выпуклой функции
Как уже было отмечено, соотношение (2) или эквивалентное ему
неравенство
НФ) 2 Ш* - 1°*(<11*) (7)
выполнено при любых значениях аргументов 1:, 112* из областей опреде-
ления функций 1 и 1” * соответственно.
Вместе с тем, как показывают формулы (3), (4), если ас и аг* связаны
соотношением (3), то последнее неравенство (7) обращается в равен-
ство, по крайней мере в случае гладкой строго выпуклой функции 1” .
Вспоминая определение (1) преобразования Лежандра, эаключаем, что
в этом случае
(і*)* = і- (8)
Итак, преобразование Лежандра гладкой строго выпуклой функции ин-
волютивно, т. е. повторное его применение приводит к исходной функ-
ции.
Упражнения. 1. Верно ли, что 1” ** = 1 для любой гладкой функ-
ции І?
2. Верно ли, что 1” *** = 1” * для любой гладкой функции 1” ?
3. Дифференцируя соотношение (4), с учетом (3) и при условии, что
75 0, покажите, что а: = [*(:с*) и, следовательно, ]“(а:) = таз* -
- :1:*) (инволютивность).
3,1
і Ё-Т
4. Проверьте, что в соответствующих точках а:,:є*, связанных ра-
І/
<з>, і“<$› -1/<і*›<=с*› И і<3><:›:> = -<г=›<3><э:*>/<<1*› ›2<Ш*›.
5. Семейство прямых ра: + 194, зависящих от параметра р, является
семейством касательных к некоторой кривой (огибающєй этого семей-
ства). Найдите уравнение этой кривой. _
Заключительные замечания и комментарий
В рамках разговора о выпуклых функциях мы дали начальные пред-
ставления о преобразовании Лежандра на уровне функций одной пере-
менной. Однако уже они облегчат восприятие этого преобразования и

662 ДОПОЛНЕНИЕ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА
работу с ним в ряде важных более общих случаях применения преобра-
зования Лежандра в теоретической механике, термодинамике, урав-
нениях математической физики, вариационном исчислении, выпуклом
анализе, контактной геометрии, . . . с которыми многим еще предстоит
иметь дело.
Там будут проанализированы различные детали и возможные раз-
вития самого понятия преобразования Лежандра. Здесь же добавим
только следующее. Как показывает равенство (3), аргументом преобра-
зования Лежандра является производная или, равносильно тому, диф-
ференциал исходной функции.
Если бы аргумент а: был, например, вектором линейного простран-
ства Х со скалярным произведением (-, -), то обобщением определения
(1), естественно, было бы соотношение
і*(Ш*) == Ѕ1;І>(<Ф*›$> - І`(т))- (9)
Если под 1:* вообще понимать линейную функцию на пространстве Х,
т. е. с=штать, что ш* -элемент двойственного Х пространства Х* и
действие аз* на вектор сс, т. е. :1:*(а:), по-прежнему обозначать через
(а:*,а:), то определение (9) сохранится и будет совсем ясно, что если
функция І была определена на области пространства Х, то ее преобра-
зование Лежандра 1” * оказывается определенным в области простран-
ства Х *, двойственного пространству Х.

ДОПОЛНЕНИЕ 4
ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА,
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
И ИДЕЯ ОБСБЩЕННЬІХ ФУНКЦИЙ
(начальные представления)
Интеграл Римана - Стилтьеса
Конкретная задача и наводящие соображения. Мы рассмо-
трели целый ряд примеров эффективного использования интеграла при
вычислении площадей, объемов тел вращения, длин путей, работы сил,
энергии . . . Обнаружили потенциальность гравитационного поля и под-
считали вторую космическую скорость для Земли. Располагая аппара-
том интегрального исчисления, убедились, например, в том, что длина
пути не зависит от его параметризации. Заодно отметили, что некото-
рые вычисления (например, длины эллипса) связаны с неэлементарными
функциями (в данном случае с эллиптическими).
Все перечисленные выше величины (длины, площади, объемы, рабо-
та, как и сам интеграл Римана, аддитивны. Мы знаем, что лю-
бая аддитивная функция І [а, ориентированного промежутка [а, С
С [а, Ь] имеет вид І[а, Б] = Р(В)-Р(ог), если положить Р(:1:) = І[а, :в]+С.
В частности, можно взять произвольную функцию Р и по ней постро-
ить аддитивную функцию І[а,,[3] = 17`(В) - І7`(ог), считая І[а,:1:] =
Если функция Р разрывна на отрезке [а, Ь], то там разрь1вна и функ-
ция І[а, Но тогда она не может быть представлена в виде интеграла
(Б
Римана І р(±) сіі ни от какои интегрируемои по Риману функции (плот-
(1
ности р), т. к. такой интеграл, как мы знаем, непрерывен по аз.

664 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА- СТИЛТЬЕСА
Пусть, например, отрезок [- 1, 1] - нить, в середине которой закреп-
лена бусинка массы 1. Если І [о<,В] -масса, попавшая в промежуток
[а,В] С [-1,1], то функция І[-1,112] равна нулю, пока -1 < а: < 0, и
равна единице, когда 0 < ад < 1. Если попытаться описать такое рас-
пределение массы на отрезке в терминах плотности распределения (т. е.
предела отношения массы, попавшей в окрестность точки, к величине
окрестности, когда последняя стягивается к точке), то мы должны бы-
ли бы считать, что р(а:) = О при сс 75 0 и р(:с) = -4-оо при :с = 0. Физики,
а теперь и все, вслед за Дираком называют эту «функцию» (такую плот-
ность распределения) дельта-функцией, обозначают ее через 6 и пишут,
В В
что]б(:1:)сіа:=1,еслиа<0<Ви_[б(а:)сіа:=0,еслиа<Б<0или
еслиа0 < ог < В, каковы бы ни были чсйсла а и
Разумеется, интеграл, понимаемый традиционно, например по Ри-
ману, здесь не имеет смысла (уже по одному тому, что под интегра-
лом стоит неограниченная «функция››). Вольное употребление символа
интеграла здесь -всего-навсего замена аддитивной функции І [а, Щ,
рассмотренной выше, когда мы говорили о бусинке на нитке.
Пример (центр масс). Вспомним фундаментальное уравнение
ті* = Р движения точки массы т под действием силы Р, где г-_
радиус-вектор точки. Если имеется система из п материальных точек,
то для каждой из них имеется свое равенство тіїі = Ед. Суммируя
'П 'П
эти равенства, получаем соотношение 2 ті, = 2 Щ, которое мож-
і=1 1:1
п т~ П” ..
но переписать в виде М 2 йїщ = 2 Е; или в форме Мтм = Р, где
1:1 1:1
п п п т_
М = 2 ті, Р = 2 Е; и тм = 2 Ёц. То есть если совокупную мас-
і=1 1:1 і=1
су системы поместить в точку пространства, радиус-вектор которой
'П 'П
т' и
*/*М = 2 -Йщ, то под воздеиствием силы Р = 2 Р, она будет двигать-
і=1 'і=1
ся согласно закону Ньютона, какими бы сложными ни были взаимные
ДВИЖЄНИЯ ОТДЄЛЬНЬІХ ЧЕЪСТЄЙ СИСТЄМЫ.
'П
и
Точка пространства, радиус-вектор которои 2 -Йа, мы нашли, на-
Ъ 1
зывается центром масс системы материальныа; точек.
Пусть теперь перед нами стоит задача найти центр масс материаль-
ного тела, т. е. области 'В пространства, в которой как-то распределена

ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА-- СТИЛТЬЕСА 665
масса. Пусть в элементе объема сіи сосредоточена масса єіт, и пусть
М -общая масса тела В. Тогда, надо полагать, М = І сіт, а центр
В
масс надо бы находить по формуле Ё І тсіт, где т-радиус-вектор
элемента массы сіт. В
По объемам мы пока интегрировать не умеем, поэтому рассмотрим
одномерный случай, который тоже вполне содержателен. Итак, вместо
области В рассмотрим отрезок [а, Ь] координатной оси К.
Ь
Тогда М = І сіт, а центр масс надо бы находить по формуле
а›
Ь
1 .,
_ ШСЬТГЬ Г Є (ІІ 1 КОО ИНЭҐГЭ. ЭЛЄМЄНТЗ МЕЪССЫ (іт КОТО ЫИ ПОЭТОМ
М 7 7
0.
можно написать и поточнее как сіт(:с).
Смысл написанного, по-видимому, должен быть следующим. Берем
разбиение Р отрезка [а, Ь] с какими-то отмеченными точками Є
Є [э:,_1,а:,]. Отрезку [ш,_1,:в,д] отвечает масса Аті. Составляем суммы
2 Аті, 2 {,Ат, и, переходя к пределу, когда параметр А(Р) разбие-
'Ь 'І
НИЯ СТРЄМИТСЯ К НУЛЮ, НЕЪХОДИМ СООТВЄТСТВЄННО ТО, ЧТО ОООЗНЗЧЄНО КЕІК
Ь Ь
І сіт и І азсіт.
(1. О.
Мы приходим к следующему обобщению интеграла Римана.
Определение интеграла Римана-Стилтьеса. Пусть 1” и 9-
функции, вещественно-, комплексно- или векторнозначнь1е на отрезке
[а,Ь] С К. Пусть (Р,{) = (а = 1:0 < (1 < 1:1 < < :в,,_1 < 5,, < тп =
= Ь) -разбиение этого отрезка с отмеченными точками и параметром
'П
×(Р)- СОСШВИМ СУММУ Ё 1” (ЫА91, где Ані = ат) - 9(Ш@-1)-
'і=1
Интегра./дом Римини- Сти./ътьеса функции 1” по функции 9 на от-
резке [а, Ь] называется величина
Ь П
/ пт) <и<:в› == ,д;,5їд0;і<е›А9,, <1›
если указанный предел существует.
В частности, когда 9(:1:) = гс, мы возвращаемся к стандартному ин-
тегралу Римана.

666 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА- СТИЛТЬЕСА
Случай сведения интеграла Римана- Стилтьеса к интегра-
лу Римана. Отметим также, что если функция 9 гладкая, а 1” _ функ-
ция, интегрируемая по Риману на отрезке [а, Ь], то
Ь Ь
/г<ш><1у<=с› = / г<«››9'<«:›«1<›:, <2›
т. е. в этом случае вычисление интеграла Римана- Стилтьеса сводится
к вычислению интеграла Римана от функции 1” 9' на рассматриваемом
отрезке.
В самом деле, пользуясь гладкостью функции 9 и теоремой о сред-
нем, перепишем сумму, стоящую в равенстве (1) справа, в следующем
виде:
Ёдёддуі = ЁҐ(€1)(9(Ш1) - 9(Ші-1)): ЁҐ(Єі)9'(Ёі)(Ш@ - ті-1):
і=1 і=1 1І=1
= Ґ(Єі)9'(€і)АШі + Ґ(€1)(9'(Ё1) _ 9'(€г))АШ@-
1:1 1,=1
В силу равномерной непрерывности функции 9' на отрезке [а, Ь] и огра-
ниченности функции І , последняя сумма стремится к нулю при >(Р) -›
-› О. Предпоследняя сумма есть обычная интегральная сумма для ин-
теграла, стоящего в (2) справа. В силу сделанных предположений о
функциях І и 9, функция [9' интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь].
Поэтому указанная сумма при А(Р) -› 0 стремится к значению этого
интеграла, что и завершает доказательство равенства
Задача. Мы провели доказательство, используя теорему о сред-
нем, справедливую для вещественнозначных функций. Используя тео-
рему о конечном приращении, проведите доказательство для векторно-
значных (например, комплекснозначных) функций.
Функция Хевисайда и пример вычисления интеграла Рима-
на- Стилтьеса. Функция Х євисайда Н: Ш -› ІК определяется соотно-
шениями Н(:1:) = 0 при а: < 0 и = 1 при О < 3:.

ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА- СТИЛТЬЕСА 667
Ь
Подсчитаем интеграл І ]аіН По определению (1) составим
(1.
сумму Ё 1<г,›АН, = Ё 1<а›<Н<ш,› - Н<:»›,_1››~ В силу определения
=1 =1
функцгйи Хевисайда зтагсумма, очевидно, равна нулю, если отрезок [а, Ь]
не содержит точки 0, и равна І (Ьд), если точка 0 попала на некоторый
отрезок [:1:,;_1,:с,] (точнее, внутрь него или в его конец В первом
случае интеграл, конечно, равен нулю.
Во втором случае при ›(Р) -› О точка Є, Є [а:,_1, стремится к 0,
поэтому если функция І непрерывна в 0, то пределом рассматриваемых
сумм будет величина ]'(0).
Если же функция 1” разрывна в 0, то малым изменением значения Є,
можно заметно менять значение 1” и, значит, интегральные суммы
не будут иметь предела при А(Р) -› 0.
Ясно, что последнее наблюдение имеет общий характер: совпаде-
ние точек разрыва функций 1” и 9, участвующих в интеграле Римана-
Стилтьеса (1), неизбежно ведет к отсутствию предела, если такая точ-
ка оказалась внутри отрезка интегрирования.
Итак, проведенный подсчет показывает, что если, например, <р-
функция класса С'0(ІК,К), т. е. заданная на всей прямой непрерывная
вещественнозначная функция, тождественно равная нулю вне некото-
рого ограниченного множества, то
/ «›<:›:› дню = «›<<››. <з>
К
Обобщенные функции
Дельта-функция Дирака - эвристическое описание. Как
уже было отмечено выше, физики, и не только они, вслед за Дираком ис-
пользуют дельта-функцию 6. Эта «функция» равна нулю всюду, кроме
начала координат, где она бесконечна. Но вместе с тем (и это главное)
5
/б(:в)аїаз=1, еслиа<0<Б,

668 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА- СТИЛТЬЕСА
и
5
/б(:1:)аї:с=0, еслиа<Б<0илиесли0<а<В,
С!
каковы бы ни были числа 01 и Б.
Естественно считать, что умножение подынтегральной функции на
число приводит к умножению интеграла на это же число. Но тогда если
некоторая функция <р непрерывна в начале координат, то, учитывая,
что она почти постоянна в малой окрестности І/`(0) начала координат,
а интеграл І 5 сізс = 1, заключаем, что должно быть
що)
/ «@<=с›д<ш› «Ш = «›<0›. <4›
К
Сравнивая соотношения (2), (3) и (4) и продолжая эту смелую цепочку
заключений, приходим к выводу, что
н'($> = ды), (5)
Разумеется, ни в какую классику это не укладывается. Но изложенные
соображения вполне конструктивны, и если бы непременно надо было
написать значение Н ' (св), то мы написали бы именно то, что и сейчас:
0,еслиш;Є0,и+оо,если:1:=0.
Соответствие функция-функционал. Один из способов вы-
хода из сложившихся затруднений состоит в следующей идее расшире-
ния (обобщения) самого понятия «функция».
Будем смотреть на функцию через ее взаимодействие с другими
функциями. (Ведь нас обычно не интересует внутреннее устройство
аппарата, например человека, и мы считаем, что знаем объект, если
знаем, как объект отвечает на входные воздействия, на те или иные
входящие вопросы.)
Возьмем интегрируемую на отрезке [а, Ь] функцию 1” и рассмотрим
порождаемый ею функционал А І (функцию на функциях)
Ь
АМ = / і<:1:›«›<:»› аж. <6›

ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА- СТИЛТЬЕСА 669
Чтобы миновать технические затруднения, будем считать пробные
функции ср гладкими и даже из класса С'(Ѕ°°)[а,Ь] бесконечно диффе-
ренцируемь1х функций, обращающихся в нуль в окрестности концов
отрезка. Можно даже продолжить обе функции 1” , ср нулем вне отрезка
[а, Ь] и вместо интеграла по отрезку писать интеграл
Ант = /1<:с›«›<=и>@1:››. <7›
К
Зная значения функционала А Ґ на пробных функциях, мы, если надо,
легко найдем значение І функции 1” в любой точке, где зта функция
непрерывна.
1 ш+є
Задача. а) Проверьте, что величина 5; І 1” (15) сіі (интегральное
ЗС-Є
среднее) при Є -› +0 стремится к 1 в любой точке Щ непрерывности
интегрируемой функции /.
Ь) Покажите, что ступенчатую функцию ЁЄ, равную нулю вне от-
резка [-г,є] и равную 5; на самом этом отрезке (функция ЁЄ имити-
рует 5-функцию Дирака), можно аппроксимировать гладкой функци-
ей 6,5 с теми же свойствами: бЄ(:в) 2 О на К, бЄ($) = О при 2 Є и
Є
[бЄ(:с)сі:1: = 1, т. е. І бЄ(а:)<1:п = 1.
К -є
а:+є
с) Покажите теперь, что если є -› 0, то І [(±)бЄ(а: -›±) сігї -+ ](:в) в
$_Є
любой точке 2: непрерывности интегрируемой функции 1” .
Функционал как обобщенная функция. Итак, интегрируемая
функция порождает линейный функционал А І (линейную функцию на
векторном пространстве функций 0500) [а, Ь] или на Сёоо) (1К)), определен-
ный формулами (6) или (7), причем по функционалу А І сама интегриру-
емая функция восстанавливается во всех точках непрерывности (т. е.
почти всюду). Таким образом, функционал А І можно рассматривать
как иную кодировку или интерпретацию функции 1, рассматриваемой
в зеркале функционалов.
Но в этом зеркале можно увидеть и иные линейные функционалы,
которые не порождаются указанным способом никакой интегрируемой
функцией. Примером может служить уже встретившийся нам функци-

670 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА-СТИЛТЬЕСА
онал І <р(ш)аїН = 9о(0), который мы обозначим как Ад (учитывая
К
желание написать 5 сіа: вместо сіН
Функциональ1 первого типа называют регулярными, а второго-
сингу./ьярными.
На нкционалы и б ем смот еть как на обобщвнные нкции.
У Уд 3/
Множество рассмотренных функционалов содержит наши обычные
функции в виде подмножества, состоящего из регулярных функцио-
налов.
Итак, в связи с рассмотрением интеграла Римана и его обобщения в
виде интеграла Стилтьеса мы дали представление об идее построения
обобщенных функций. Не станем погружаться в детали теории обоб-
щенных функций, связанные, например, с рассмотрением различных
пространств пробных функций и построением линейных функционалов
(обобщенных функций) на них. Лучше продемонстрируем правило диф-
ференцирования обобщенных функций. А здесь, в качестве заключи-
тельного замечания, указывающего на полезную роль интеграла Стил-
тьеса, добавим, что на пространстве С [а, Ь] функций ср, непрерывных
на отрезке [а, Ь], любой (как регулярный, так и сингулярный) линейный
непрерывный функционал представляется в виде интеграла Стилтьеса
Ь
І 9о(:1:) сі9(:в) с некоторой, должным образом подобранной, функцией 9.
(1
(Подобно тому, как сингулярный функционал Ад, представляющий
обобщенную функцию 5, имеет вид І <р(ш) сіН(аг:), указанный в форму-
пач
ле
Мы начали с примера, где при отыскании центра масс нам встре-
Ь Ь
тился интеграл Стилтьеса І :1:сіт(:в). Интеграл Мп = І Ш сіт(ш) назы-
0. 0.
вается моментом порядка п соответственно меры (например, вероят-
ностной) или массы, или заряда, распределенных на отрезке [а, Ь]. Осо-
бенно часто встречаются моменты МО, М 1, М2: МО -совокупная масса
(мера, заряд); М1/МО -дает центр масс в механике, а М1-матема-
тическое ожидание случайной величины в теории вероятностей; М2 _
момент инерции в механике и дисперсия случайной величины с мате-
матическим ожиданием М 1 = 0 в теории вероятностей. Одна из задач
теории моментов-восстановление распределения по его моментам.

ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА- СТИЛТЬЕСА 671
Дифференцирование обобщенных функций. Пусть А _ обоб-
щенная функция. Какую обобщенную функцию А' следовало бы считать
производной от А?
Рассмотрим вопрос сначала для регулярной обобщенной функции,
т. е. для функционала А І, порожденного некоторой классической функ-
цией І, например гладкой финитной функцией класса С51). Тогда про-
изводной АЭҐ от А І естественно считать функционал А 1:, порожденный
функцией 1” -производной исходной функции.
Используя интегрирование по частям, находим, что
А3«<ф› == А;/<«›› = / 1'<=:›«р<ш›<1«› = і<=в›«›<ш›1ї;°: - / і<«:›«›'<Ш› ат =
К В
= - / і<«:›«›'<$›«1Ш == -Ам«›'›.
К
Итак, мы нашли, что в рассмотренном случае
А;<«›› = -Аі<«›'› (8)
Это дает основание принять следующее определение
А'(<Р) 1- -А(<Р')- (9)
Здесь указано, как функционал А' действует на любую функцию 90 Є
СЗФ), и тем самым функционал А' полностью определен.
Действие линейного функционала А на функцию <р вместо А(ф) час-
то записывают в удобном во многих отношениях виде (А, ср), напоми-
нающем скалярное произведение и указывающем явно, что спаривание
линейно по каждой из пары его переменных.
В этих обозначениях, если теперь 1” -~ любая обобщенная функция,
то в соответствии с определением (9)
<1°',<р> == -(1“,<Р'>- (10)
Производные функции Хевисайда и дельта-функции. Под-
считаем, например, производную функции Хевисайда, рассматривае-
мой как обобщенную функцию, действующую по стандартному закону
регулярной обобщенной функции
(Н, Ф) = Н(Ш)<к›(Ш) 411-
1

672 ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА - СТИЛТЬЕСА
В соответствии с определением (9) или (10)
-І-оо
<тмж=+Нм»=-/Немтмш=-/фити-
ІК 0
=-м@ш®=мш.
Мы показали, что (Н ' , 90) = 9о(0). Но ведь по определению обобщенной
функции 5 имеем ((190) = <р(0). Значит, мы показали, что в смысле
обобщенных функций имеет место равенство
І-І'=б.
Подсчитаем, например, еще б' и 6, т. е. укажем действие этих функци-
оналов:
<б,›<р> :: -(61 (рІ> 3: _<р,
<д”,<р> == -(д',</>'> == Ф
Ясно теперь, что вообще (б('*), <р) = (-1)<р('”)
Мы видим, что обобщенные функции бесконечно дифференцируе-
мы. Это их замечательное свойство имеет много разнообразных про-
явлений, разрешая операции, которые с обычными функциями возмож-
ны только при очень специальных ограничениях.
В заключение сделаем еще следующее замечание общего характера.
Пусть Х _ векторное пространство, Х* _ двойственное к Х векторное
пространство, состоящее из линейных функций на Х, и пусть Х ** _
пространство, двойственное к пространству Х *. Значение а:*(:с) функ-
ции зс* Є Х * на векторе аг Є Х будем записывать, как и выше, в виде
спаривания Фиксируя здесь ап, мы получаем линейную функ-
цию относительно а:*. Таким образом, каждый элемент іп Є Х можно
трактовать как элемент пространства Х **, т.е. мы имеем вложение
І : Х -› Х **. В конечномерном случае все пространства Х , Х *, Х ** изо-
морфны и І(Х) = Х**. В общем же случае І(Х) Ё Х**, т.е. І(Х) соста-
вляет только часть всего пространства Х **. Именно это и наблюдалось
при переходе от функций (им отвечали регулярные функционалы) к
обобщенным функциям, которых оказалось больше.
/-`/'
ФФ
_:-К

ДОПОЛНЕНИЕ 5
твоРвмА о нвявной функции
(альтернативное изложение)
Постановка вопроса
Постановка вопроса и наводящие соображения, конечно, обсужда-
лись в реальной лекции, но здесь мы это опустим, поскольку соответ-
ствующий материал можно прочитать в ёб главы /ІП.
Мы продемонстрируем здесь иной подход к доказательству теоре-
мы о неявной функции, отличный и независимый от изложенного в ёб
главы /ПІ. Он, несмотря на идейную простоту, красоту и общность,
предполагает несколько более продвинутую аудиторию слушателей, ко-
торые уже ознакомлены с некоторыми общематематическими поняти-
ями, изложеннь1ми в начале второй части учебника. Во всяком случае
именно такие сведения позволяют оценить реальную общность метода,
который, кстати, без потери общности можно демонстрировать уже на
простейших наглядных примерах в знакомых всем пространствах.
Некоторые напоминания о численных методах
решения уравнений
Фиксировав в соотношении Р(ш, у) = 0 одну из переменных, мы по-
лучаем уравнение относительно другой, поэтому сначала полезно вспо-
мнить, как решают уравнение 1” = 0.
1) В зависимости от свойств функции 1” предлагаются и способы
решения.

674 дополнвнив 5. твоРвмА о нвявной функции
Например, если 1 _ вещественнозначна, непрерывна и на концах от-
резка [а,Ь] принимает значения разных знаков, то мы знаем, что на
этом отрезке есть по крайней мере один корень уравнения [(а:) = О и
его можно искать последовательным делением отрезка. Разделив отре-
зок пополам, мы либо попадаем в корень, либо находим вдвое меньший
отрезок, на концах которого функция имеет значения разных знаков.
Продолжая процесс деления, получим последовательность (концов от-
резков), которая сходится к корню уравнения.
2) Если 1” -гладкая выпуклая функция, то, следуя Ньютону, можно
предложить значительно более эффективный в смысле скорости сходи-
мости алгоритм отыскания единственного в этом случае корня.
Метод Ньютона, или метод носотельныш, состоит в следующем.
Строим касательную в точке шо, находим точку :с1 ее пересечения с
осью абсцисс и, повторяя процесс, получаем рекуррентным соотноше-
нием
33п+1 = Ёп _ (1)
последовательность точек, быстро сходящуюся к корню. (Оцените ско-
1
рость сходимости. Получите соотношение :1:,.,+1 = 5(:сп + а/тп), позво-
ляющее искать положительныи корень уравнения 5132 - а = 0, а > 0.
Найдите /Ё по этой формуле с нужной вам точностью и проследите,
сколько дополнительных верных знаков появляется на каждом шаге).
3) Соотношение ( 1) можно переписать в виде
$п+1 = 9(93п)› (2)
где у(а:) = а: - (['(а:))1] Тем самым отыскание корня уравнения
І сводится к отысканию неподвижной тонни отображения 9, т.е.
такой точки, что
Ф = 9012)- (3)
Эта редукция, как нам известно, относится не только к методу
Ньютона. В самом деле, уравнение ](а:) = О равносильно уравнению
А/ = О (если существует )1), а последнее равносильно уравнению
Ш = 117 + Полагая 9(:1:) = 11: + (здесь А может быть и пере-
менной величиной), приходим к уравнению

дополнвнив 5. твоРвмА о нвявной функции 675
Процесс решения уравнения (З), т. е. отыскания неподвижной точ-
ки отображения 9 в соответствии с рекуррентной формулой (2), когда
найденное на предыдущем шаге значение функции становится ее аргу-
ментом на следующем шаге, как мы уже знаем, называется итераци-
онным процессом или методом итерсщий. Этот циклический процесс
удобен для реализации на компьютере.
Если итерационный процесс (2) ведется в области, где |9' < (1 <
< 1, то последовательность
1:07
5131: 9($0)›
ггг = 9(Ш1)= 92(Шо),
$п+1 = 9(17п) І 9п(-770)
всегда оказывается фундаментальной (последовательностью Коши).
В самом деле, применяя теорему о конечном приращении, имеем
|5ї7п+1 _ 37п| < Ч|~77п _ їїп-1| Ё - -- < ЧП/|371“ 1'0|› (4)
откуда, применяя неравенство треугольника, находим
|$п+т _ 37п| < 'Ёп _ $п+1|+ - - - + |$п+т-1 '_ Шп-{-т| <
_ 9
< (ЧП +--- +<1п+т 1)|41ї1 -Шоі < ЁІШ1-$о|~ (5)
Полезно заметить, что при т -› оо из последнего неравенства по-
лучаем оценку
'П
Ч
Чт _ 17п|< Ёіїт _ тоі (5)
уклонения ссп от неподвижной точки 2:.
Задача. Нарисуйте несколько вариантов кривых у = 9(:с), пересе-
кающих прямую у = ап, и изобразите диаграмму, имитирующую итера-
ционный процесс а:,,+1 = у(а:п) отыскания неподвижной точки.

676 ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
Принцип неподвижной точки. Последние рассуждения (относя-
щиеся к формулам (З) - (6)), очевидно, можно повторить в любом ме-
трическом пространстве, в котором действует критерий Коши, т. е.
где любая фундаментальная последовательность является сходящейся.
Такие метрические пространства называются полными метринесними
пространствоми. Например, К-полное метрическое пространство по
отношению к стандартному расстоянию сі(а:' , :1:) = |а:' - гс” | между точ-
ками :1:',:в“ Є К Отрезок І = {:1: Є К | < 1} -также полное метри-
ческое пространство относительно этой метрики. А если из П-Е. или из І
удалить точку, то полученное метрическое пространство, очевидно, не
будет полным.
Задача. 1. Проверьте полноту пространств К, (С, С.
2. Покажите, что замкнутый шар В(о, 1*) = {:1: Є Х | сі(а,:1:) < 1°}
радиуса 1* с центром о Є Х в полном метрическом пространстве (Х, сі)
сам является полным метрическим пространством относительно инду-
цированной вложением В С Х метрики сі.
Напомним еще следующее
Определение. Отображение 9: Х -› У одного метрического про-
странства (Х, сіх) в другое (У, сіу) называется сжимоющим, если суще-
ствует число (1 Є [0, 1[ такое, что для любых двух точек :1:', Ш Є Х
«із/(9(Ш')›9(Ш>) < Ч <іх(1>'›=г”)-
Например, если дифференцируемая функция 9: К -› К такова,
что всюду |9' < (1 < 1, то по теореме в конечном приращении
|у(:с') - 9(а:” < о|:1:' - а:”| и 9 осуществляет сжимающее отображение.
Это же можно сказать и по отношению к дифференцируемому отобра-
жению 9: В -› У выпуклого подмножества В нормированного прост-
ранства Х (например, шара В С 1К) в нормированное пространство У,
если < (1 в любой точке а: Є В.
Теперь мы можем сформулировать следующий принцип неподвиж-
ной тонни.
Сжимоющее отображение 9: Х -› Х полного метринесноео про-
странства в себя имеет и притом единственную неподвижную тон-
ну сс.
Эта тонна может быть найдено итераиионным процессом :о,,+1 =
= у(:о,,,), начинал с любой точки 0:0 Є Х. Скорость сшодимости и оиен-

ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 677
но погрешности приближения даются неравенство./и
'П
Ч
(і(.'Б,.'ІҐп) < ']Ё(і(І1Ё`1,ІЪ`0).
Доказательство этого утверждения было дано выше при выводе
формул (4) - (6), где теперь вместо |э:' - :1:” | всюду надо писать сі(:1:', сс”
Чтобы оценить пользу и масштаб действия сделанного обобщения,
рассмотрим следующий важный пример.
Пример. Ищется функция у = у(а:), удовлетворяющая дифферен-
циальному уравнению у' = ](а:, у) и начальному условию 3,/(1170) = уо.
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, перепишем задачу в виде
следующего интегрального уравнения относительно неизвестной функ-
ции у(:п):
113
у<:›:› = уо + / г<±,у<±>› 4:. <7›
Справа стоит некоторое преобразование 9, которое делается над
функцией у(а:), и мы ищем неподвижную «точку» -функцию преобра-
зования 9.
Пусть, например, ](:1:,у) = у, ато = 0, а уд = у(т5). Тогда речь идет о
решении уравнения у' = у с начальным условием у(0) = 1, а (7) прини-
мает вид
13
у(:с) = 1 + /3/(15) сіі. (8)
0
Проведем итерационный процесс, начиная, положим, с функции
уд(а:) 5 0. При этом последовательно получаем
у1(Ш) Е 1,
ш
у2(.'1І) = 1 +[ 'у1(Ё)СіЁ = 1 + 113,
О
сп ап 1
у3(а:)=1-і-Х у2(±)сі±=1+/(1+15)сі±=1+а:+ёа:2,
0 0
1 1
уп(а:)=1+їа:+...+Ша:'',
Видно, что мы идем к функции еш = 1 + %:1: + . . . + Ёшп + . ..

678 ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
Задача. Покажите, что если ||[(:с,у1) - [(а:,у2)|| < М||у1 - у2||, то
в окрестности точки а:0 итерационный процесс применим и в случае
общего уравнения
Именно так Пикар (Ешііе Рісагсі, 1856 -1941) искал решение диф-
ференциального уравнения у' = ]°(:в,у(а:)) с начальным условием
у(а:д) = уд как неподвижную точку преобразования
Банах (ЅЪерІ1апе Вапас11, 1882 - 1945) сформулировал принцип непо-
движной точки в приведенной выше абстрактной форме, в которой он
часто называется принципом Банаага неподвижной тонни или принии-
пом Пинара ~Банаша. Истоки его, однако, как мы видели, можно свя-
зывать и с Ньютоном.
Теорема о неявной функции
Формулировка теоремы. Вернемся теперь к основному объекту
нашего рассмотрения и покажем, что справедлива следующая теорема
о нелвной фунниии.
Теорема. Пусть Х, У, 2 -нормированные пространства (на-
пример, Кт, 1К”, К или даже К, К, К), причем У -полное прост-
ранство относительно метрини, индуиированной нормой.
Пусть Р: И/' -› 2 -отображение, определенное в окрестности Й/
тонни (а:0,у0) Є Х × У, непрерывное в (:в0,у0) вместе с частной про-
изводной Р,;(а:,у), ноторал предполагается существующей в И/`.
Р<лл0› = 0 и <Р;<<›:<›м››-1 (и ||<Р;<=›:0м››-111 <
< оо), то найдутсл онрестность П = І/'(500) точки 5130 в Х, окрест-
ность У = ї/(уд) тонни уо в У и танал функция, І: П -› У, непрерыв-
налв:п0,чтоП×ї/СИ/и
(1“(гт/)=08д×У)<=>(у=і(Ш)›ІІІЄШ- (9)
Короче, при условиях теоремы заданное соотношением Р(а:,у) = О
множество в пределах окрестности П × У является графиком функции
2/ = 1” (Ш)-
Доказательство существования неявной функции.
4 Без ограничения общности и для сокращения записи будем счи-
тать, что (4120, уд) = (0, 0), чего всегда можно добиться, перейдя к новым
переменным 1: - то и у - уд.

ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 679
При фиксированном за будем решать уравнение Р(а:, у) = 0 относи-
тельно у. Решение будем искать как неподвижную точку отображения
9ь(у) = у - (1“,ў(0,0))`1Р(Ш,у) (10)
_ это упрощенный вариант формулы Ньютона (1), когда коэффициент
А (см. абзац после формулы постоянен. Непосредственно видно, что
Р(Ш,у) = 0 <=> 9ь(у) = у-
Отображение (10) является сжимающим, если 11: и у близки к 0 в Х
и У. В самом деле,
%<у› = Е - <Р;<0,0››=1Р;<а:,у›. <11›
Здесь Е -тождественное (единичное) отображение, а поскольку
Р,;(а:,у) непрерывно в точке (О,0), то найдется число А Є К такое, что
ПРИ ІІШІІ < А И Н?/ІІ < А
сІ9,,, 1
-_ < -. 12
й ду 2 ( )
Заметим, наконец, что при любом є Є]0, А[ найдется 5 Є]0, А[ такое,
что если < 6, то отображение 9,, переводит отрезок (шарик) < 5
в себя.
Действительно, ведь 1-7`(0,0) = 0, значит, в силу (10), и 90(0) = 0.
Ввиду непрерывности Р в точке (0,0) из (10) следует, что найдется
число 6 Є]0,А[ такое, что < ёє при < 6.
Итак, при < 5 отображение 91,: В(є) -› У отрезка (шара) В(є) =
= {у Є У | < є} смещает его центр не более чем на ёє, при этом, в
силу (12), сжимая В(є) по крайней мере вдвое. Значит, 9,,(В(є)) С В(є)
при < 5.
По условию У-полное пространство, поэтому и В(є) С У тоже
полное метрическое пространство (относительно индуцированной ме-
трики)
Тогда, в силу принципа неподвижной точки, найдется, и притом
единственная, точка у = І Є В(є), неподвижная при отображении
9,,,: В(є) -› В(є).
Тем самым при любом св таком, что < 5, мы нашли, и притом
единственное в пределах В(г), значение у = І І < Є) такое,
что Р(а:, = 0.

680 ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
(Сечение области Р = Є Х × У | < 5, < Є), про-
ходящее через точку (:1:,0), - это отрезок (шарик) В (е), в котором и
находится соответствующая неподвижная точка у =
Итак, показано, что
(Р(Ш,у) = 0 ПРИ ІІШІІ < 5 И Н?/ІІ < Є) <=> (у = ПШ), где ІІФІІ < 5)- (13)
Заметим, что мы не только получили соотношение (9), но, в силу
конструкции, по любому е Є]0,А[ умеем подбирать 5 > 0 так, чтобы
выполнялось (13). Поскольку функция 1” уже найдена и фиксирована,
это означает и то, что [(0) = 0, и то, что І непрерывно при сс = 0. >
Доказанную теорему можно рассматривать как теорему существо-
вания неявной функции у = 1”
Посмотрим теперь, какие свойства функции Р и как наследуются
функцией І.
Непрерывность неявной функции.
Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функции Р,
Р; непрерывны не только в точке (:1:0,у0), но и в некоторой ее окрест-
ности, то и неявноя функция 1” непрерывно в некоторой окрестно-
сти 1:9.
4 Действительно, в этом случае условия теоремы окажутся выпол-
ненными во всех близких к (а:0,у0) точках множества Р(а:,у) = 0 и
каждую из них можно было бы рассматривать как исходную (а:,,,у0).
Функция же І уже найдена и фиксирована.
Внимание! Вспомните задачу: если отображение А -› А_1 (напри-
мер, для матриц А) определено в А, то определено и в окрестнос-
ти А. Ь
Дифференцируемость неявной функции.
Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функция Р
дифференцируемо в точке (:1:0,у0), то неявная функция 1” дифференци-
руема в точке 1:0, причем
]“(Шо) = _(Р;(Шо›уо))_1Р;Ё($о›уо)~ (14)

дополнвнив 5. тЕоРвмА о нвявной Функции 681
4 Учитывая дифференцируемость Р в точке (а:0,у0), можно напи-
сать,что
Ё($›11/)- Р(Шо›?/0) =
= РЁ(Шо›3/о)($ _ 110) + Р;(Шо›у0)(3/ _ ус) + 0(|$ _ Шоі + іу _ уо|)-
Полагая для упрощения записи (а:0,у0) = (0,0) и считая, что мы пере-
мещаемся только вдоль кривой у = 1” (іс), получаем
0 = Р;(0,0>а: + Р;(0, 0>у + <›(І=гІ +11/І),
у=-Миштгтщшшт-@ж&тг%шЫ+ш» по
Поскольку у = 1” = 1” - 1” (0), то формула (14) будет оправдана,
если мы покажем, что при э: -› 0 второй член в правой части (15) есть
о(:1:).
Но
І(Р;(0›0))”10(ІШІ+ІиІ)І < ІІ(Р;(0,0)>'1ІІ-І0<І<1:І+ІуІ)І = <›(ІШІ + ІуІ)-
Далее,
14щшю»*ЩЮюШ<НМшишгЩ-МЫштн=а<®,
поэтому из (15) получаем, что |у| < а|:І:| + а(|:1:| + |у|), где у = -› 0
ио:=о:(:с)-›0приа:-›0.
Значит,
шут < %“ё(:-лм < гаш
при 113, достаточно близких к 0. Учитывая это, из (15) получаем, что
при :1: -+ 0
ПШ) = -(Р;(0,0))“1Ё2(0›0)Ш + 0(1')-
А это с учетом ]“(0) = 0 дает (14). >

682 ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
Непрерывная дифференцируемость неявной функции.
Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функции Р;
и Р; определены и непрерывны в окрестности тонки (:в0,у0), то и
нелвнал функиил І непрерывно дифферениируема в некоторой окрест-
ности точки 1:0.
Короче говоря, если Р Є СШ, то и І Є СШ.
4 В этом случае условия дифференцируемости 1” и формула (14)
оказываются выполнены не только в (а:0, уд), но и во всех точках «кри-
вой» Р(т, у) = 0, близких к (:1:0, уд). (См. ,выше предостерегающее «Вни-
мание!››.) Тогда в некоторой окрестности точки 5120 в соответствии с
формулой (14)
1”'(<г) = -(Р;(Ш›і(Ш)))'1Ё2(Ш›і(Ш))› (14')
откуда видно, что 1” ' -непрерывна.
Внимание! Вспомните, что отображение А -› А_1 непрерывно. Ь
Высшие производные неявной функции.
Если в дополнение к условиям теоремы известно, что функция, Р
принадлежит классу СШ в некоторой окрестности точки (шо, уд), то
и І принадлежит классу СШ в окрестности 1:0.
4 Пусть, например, Р Є СШ). Поскольку І Є СШ, то правую часть
равенства (14') можно продифференцировать в соответствии с пра-
вилом дифференцирования композиции функций. Получается формула
для І” (12), из которой следует непрерывность І”
Более того, как в формуле (14') для /' справа участвуют первые
частные производные Р и сама функция ]` (но не Ґ), так и в формуле
для І участвуют вторые частные производные Р и функции 1, Ґ
(но не І”
Значит, если Р Є С(3), то І” снова можно дифференцировать и
мы снова приходим к формуле, теперь уже для 1” ' (ат), в которой участ-
вуют третьи частные производные Р, а также производные функции
]` (/, 1*, [”) только меньшего порядка.
По индукции получаем то, что и утверждалось. >
Внимание! Вспомните, что отображение А -› А“1 дифференцируе-
мо и даже бесконечно дифференцируемо.

ДОПОЛНЕНИЕ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 683
Задача. 1. Найдите І (т. е. вьшишите формулу для вычисления
]`”(а:)(/1,1,/1,2) при заданных векторах смещения /11, /12).
2. Как выглядит (упрощается) формула для І” в случае, когда
1:, у и 2 = Р(ш, у) - числовые вещественные или комплексные перемен-
ные?
Задача (метод неопределенных коэффициентов). Зная первые
(или все) коэффициенты ряда Тейлора функции Р, найдите первые (или
все) коэффициенты ряда Тейлора неявной функции І.
Задача. 1. Запишите в координатной форме формулировку теоре-
мы о неявной функции для случая Р : К” × К -› К, когда т = п = 1
и когда п > 1.
2. Пусть Р: Кт -› К” (т > п) -линейное отображение максималь-
ного ранга (= п). Какова размерность подпространства Р'_1(0) С Кт и
какова его коразмерность? Пусть теперь Р : Вт -› К (т > п) -произ-
вольное гладкое отображение, Р(0) = О и гап3Р' = п. Ответьте на те
же вопросы (сїіш І7`_1(0) ==? со(1іп1Р_1(0) =?) в отношении множества
І7`_1

ЛИТЕРАТУРА
І. Классика
1. Первоисточники
Ньютон И.
8..
Ь.
Математические начала натуральной философии. Пер. с лат. В
кн.: Крылов А. Н. Собрание трудов. Т. 7.-Л.-М.: Изд-во АН
СССР, 1936, с. 57-662.
Математические работы.-М.-Л.: СНТИ, 1937.
Л е й б н и ц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. У спе-
ази матем. наук, 1948. 3 (1), 165 ~ 205.
2. Важнейшие систематические изложения предмета
Эйлер
а
Ь
с
Коши
а.
Ь.
Л.
Введение в анализ бесконечных. В 2-х т. -М.: Физматгиз, 1961.
Дифференциальное исчисление.-М. -Л.: Гостехиздат, 1949.
Интегральное исчисление. В З-х т. _ М.: Гостехиздат, 1956 - 1958.
О. Л.
Алгебраический анализ. --Лейпциг: Бзр и Хзрманн, 1864.
Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном
исчислении.-СПб.: Имп. Акад. наук, 1831.

ЛИТЕРАТУРА 685
ІІ. Учебники”
Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекциипо
математическому анализу. -М.: Высшая школа, 2000.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический
анализ. В 2-х ч. Изд. 2-е, перераб._М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985, 1987.
Камынин Л. И. Курс математического анализа. В 2-х ч.-М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1993, 1995.
К у д р я в ц е в Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х т. _ М.: Высшая
школа, 1988, 1989.
Никольский С. М. Курс математического анализа. В 2-х т. -М.: Нау-
ка, 1990.
ІІІ. Учебные пособия
Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи
и упражнения по математическому анализу.-М.: Изд-во Моск. ун-та,
1988.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу.-М.: Наука, 1990.
Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкоры-
тов А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу.-М.: Нау-
ка,1992.
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. -Новосибирск: Изд-
во Инс-та матем. Ч. 1, книги 1 и 2, 1999. Ч. П, книги 1 и 2, 2000, 2001.
Рудин У. Основы математического анализа. Изд. 2-е. -М.: Мир, 1976.
Ш илов Г. Е.
а. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1 - 2. -
М.: Наука, 1969.
Ь. Математический анализ. Функции нескольких вещественных пере-
меннь1х. В 3-х ч.-М.: Наука, 1972.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчи-
сления. В З-х т. Изд. 7-е, стереотип. -М.: Наука, 1969.
“Приведенные в этом разделе книги допущены Минвузом СССР, рекомендованы
Комитетом по высшей школе Миннауки России или Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебников для студентов, обучающихся по специ-
альностям «Математика», «Прикладная математика», «Механика», «Прикладная ма-
тематика и информатика».

686 ЛИТЕРАТУРА
І7. Дополнительная литература
Александ р ов П. С., К олмогор ов А. Н. Введение в теорию функ-
ций действительного переменного. - М.: ГТТИ, 1938.
Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Сб. статей. К 100-летию со дня
рождения.-М.: Мир, 1979.
Арнольд В. И.
а. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Г ук- первые шаги математического
анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. --
М.: Наука, 1989.
Ь. Математические методы классической механики. --М.: Наука,
1989.
Б оос В. Лекции по математике. Анализ. -М.: Едиториал УРСС, 2004.
Б ур баки Н. Очерки по истории математики. -М.: Изд-во иностранной
литературы, 1963. (В частности, статья «Архитектура математики››.)
Валле-Пуссен Ш. Ж. Курс анализа бесконечно малых. В 2-х т.-
Л.-М.: ГТТИ, 1933.
В е йл ь Г. Математическое мышление. _ М.: Наука, 1989.
Гел б ау м Б., О л м с т е д Дж. Контрпримеры в анализе. -- М.: Мир, 1967.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. -М.: Добросвет,
МЦНМО, 1998.
Дубровин Б. А., Новиков О. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия: Методы и приложения.--М.: Наука, 1986.
Д ь е д о н н е Ж. Основы современного анализа. _ М.: Мир, 1964.
Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математи-
ки.-М.: Наука, 1967.
Зорич В. А. Математический анализ задач естествознания. -М.:
МЦНМО, 2008.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
- М.: Мир, 1971.
К ол м о г о р о в А. Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа. Изд. 4-е, перераб. -М.: Наука, 1976.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебраигеометрия.--
М.: Наука, 1986.
Кириллов А. А. Что такое число?-М.: Наука, 1993.

ЛИТЕРАТУРА 687
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В
2-х т._М.: Наука, 1970.
Л а н д ау Э. Основы анализа. _ М.: Изд-во иностранной литературы, 1947.
М ан и н Ю. И. Математика и физика. _М.: Знание, 1979. _ (Новое в жиз-
ни, науке, технике. Серия: Математика, кибернетика; Мг 12.)
М и л н о р Д ж. Теория Морса. _ М.: Мир, 1965. _ (Библиотека сборника
«Математика»
Н а р а с и м х а н Р. Анализ на действительных и комплексных многообра-
зиях. _ М.: Мир, 1971.
Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. В 2-х ч. Изд. 3-е._
М.: Наука, 1978.
П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. _ М.:
Наука, 1974.
П у а н к а р е А. О науке. _ М.: Наука, 1990.
С п и в ак М. Математический анализ на многообразиях. _ М.: Мир, 1971
Уи т т е кер Э. Т., В ат с он Д ж. Н. Курс современного анализа. В 2-х ч.
Изд. 2-е. _ М.: Физматгиз, 1962- 1963.
У с п е н с к и й В. А. Что такое нестандартный анализ? _ М.: Наука, 1987.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сзндс М. Фейнмановские лекции по фи-
зике. Т. І: Современная наука о природе. Законы механики._М.: Мир
1965.
7
Х ал м ош П. Конечномерные векторные пространства. _ М.: Наука, 1963.
Шварц Л. Анализ. В 2-х т._М.: Мир, 1972.
Э йншт ейн А. Собрание научных трудов. Том І/. _М.: Наука, 1967.
(В том числе статьи «Мотивы научного исследования» (с. 39-41) и «Фи-
зика и реальность» (с. 200-227).)

пгвдмвтный УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина числа. См. Асимптота наклонная 295
также Модуль действитель- Асимптотика функции 160, 161, 265
ного числа 65 Атомный котел 340, 342, 343
Аддитивность интеграла 407
Аксиома Архимеда. См. также Прин- База (базис фильтра) 148 150
ции Архимеда 60* 61 _ в множестве разбиениії; 385
_ бесконечности 33 Базис 498
_ выбора 34 _ ортонормированный 503
_ выделения 32 Биекция 19
_ Дедекинда 76 Бином дифференциальный 379
* МНОЖЄСТВЭ. ПОДМНОЖЄСТВ і Ньютона 77,
_ непрерывности 43, 76
_ объединения 32 ц
__ Объемности 32 Вектор касательныи 549, 550, 608
_ пары 33 _ нормальныи 548, 550
_ Подстановки 34 Векторы ортогональные 503
_ полноты (непрерывности) 43, 49, Ветвь аргумента комплексного
во 64 76, 78, 79, 81, 85 Числа 319
_ ЦерМел0”34 ” взрыв 342, 343
Аксиоматика действительных (веще- вложение 18
ственных) чисел 41, 60, 80 Выпрямление 581* 582
_ категоричная 44
_ непротиворечивая 44 Гессиан 574, 592, 627
_ теории множеств 7, 32, 34 Градиент 516, 518-520
_ Цермело-Френкеля 34 Граница числового множества
Алгоритм Евклида 77, 122 верхняя (мажоранта) 50
Альтернанс 200 _ _ _ нижняя (миноранта) 50
Аргумент комплексного числа 310 _ _ _ точная верхняя 50, 51
_ функции 13 _ _ _ _ нижняя 51
Асимптота 295 Грань числового множества верхняя
_ вертикальная 295 50, 51
Асимптота горизонтальная 295 _ _ _ нижняя 51

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 689
График функции 26, 197, 293, 297,
303
_ _ многих переменных 546, 547
Группа 41
_ абелева 41, 42, 56
_ аддитивная 41, 42
_ коммутативная 41
_ мультипликативная 42
Делитель 56
_ наибольцшй 77
_ нуля 79
Диаметр множества 483, 487
Диффеоморфизм 577, 589
_ простейпшй 589
Дифференциал отображения 504, 509
_ функции 208-210, 216, 224
_ _ многих переменных 504, 505,
507, 509
Дифференцирование и арифметиче-
ские операции 224, 226, 324,
511,512
_ композиции функций 228, 230, 514
_ неявной функции 238, 246
_ обратной функции 232, 233, 520,
522
_ степенного ряда 324
Длина кривой 17, 441, 443, 445
_ пути 438 -441, 444
_ числового промежутка 64
_ эллипса 445, 446
Дополнение множества 10
Дробь непрерывная 122
_ подходящая 122, 123
_ простеїццая 331, 366
_ цепная 122, 123
Евклидова структура 502
Единица в множестве действитель-
ных чисел 42, 46, 49
Единица в мультипликативной
группе 42
_ мнимая 308
Жесткости коэффициент 348, 355,
449
Зависимость функций 587, 596
Задача Бюффона 456
_ Гюйгенса 544, 545, 555
_ Кеплера (двух тел) 202
_ Окуня 632 - 633
Закон Бернулли 524
_ Кеплера 538
_ Клапейрона 339, 577
_ Ньютона 202, 248, 343, 523, 528
_ Ома 29
_ преломления 279, 628
_ сложения скоростей 239, 241, 242
_ Снеллиуса 279, 628
Замена параметризации пути 444
_ _ _ допустимая 444
_ переменной в интеграле
неопределенном 363
_ _ _ _ определенном 425
Замкнутость алтебраическая поля
комплексных чисел 326 - 329
Замыкание множества 481, 484
Значение главное несобственного
интеграла 472
_ функции 13, 26
_ _ среднее 430
Идеал кольца 201
_ _ непрерывных функций 201
_ _ _ _ максимальный 201
Изоморфизм 45, 171
Индекс критической точки 597
Интеграл вероятности оцшбок 474
_ Гаусса 470
_ гиперэллиптический 376
_ Дарбу верхний 402
_ неопределенный 358, 360, 361, 363
_ несобственный 456 - 458
_ _ расходящийся 457
_ _ с несколькими особенностями
459
_ _ сходящ:иися 457
_ _ _ абсолютно 463
_ _ _ условно 468
_ определенный 383, 385, 386
_ от векторнозначной функции 404
_ Римана 385, 386

590 пгвдмвтный УКАЗАТЕЛЬ
Интеграл с переменным верхним Композиция отображений 20, 155,
пределом 418 185, 228, 230, 402, 487, 500,
_ Френеля 380, 430, 473 514
_ Эйлера 466 Континуум 87, 88
_ Эйлера-Пуассона 381, 470 Координаты декартовы 503
_ эллиптический 376, 377, 379, 380, _ криволинейные 546, 547
446, 467 _ _ В пт 581
_ _ Р-'1`0Р0Ґ`0 Р0дд› 375, 445 _ полярные 579, 580
_ _ _ _ Полный 446 _ сферические 580
_ ” ПЄРВОГО Рода 376» 452› 474 Координаты точки 62, 477
_ _ _ _ ПОЛНЫЙ 45% 474 корень многочлена, 199, 327, 328, 330
_- -_ ТрЄТЬЄГ0 р0д8. 376 __ __ Кратный 273, 331
Интегрирїшание 3561 53581 383 _ п-й степени арифметическии 78,
_~ заменои переменнои 363, 425 138
_ по частям 362* 422 _ _ _ из комплексного числа 311
Интервал деиствительных чисел 64 Косинус гиперболический 235
Инъекция 18 _ интегральный 365
Итерации 21* 37* 198 Котангенс гиперболический 237
4
Канторово множество 90, 403 Коэффицїїзт жесткости 3 8' 355,
Кардинальное число (кардинал) 30, _ полезного действия 352
31
Касательная 206, 213 _ 216, 251, 286, Кратность корня многочлена 331
557 503 Кривая 439
_ плоскость 547, 548, 550, 557, 555, _ “аРаМе'1`Р“3°ВаН“а“ 439
604 _ простая замкнутая 439
_ прямая, см. Касательная 206 _ уникурсальная 378
Касательное отображение 504 582 Кривизна кривой 307
605 , Критерий Дарбу интегрируемости
_ пространство 505, 503, 505 - 507, ФУНКЦИИ 401 403
625 _ Дюбуа- Реймона интегрируемости
Квантор всеобщности 8, 36 функции 403
_ существования 8, 36 _ Коши существования предела по-
Колебание функции в точке 178, 179, СЛЄДОВЗТЄЛЬНОСТИ 99, 312,
492 486
_ _ на множестве 153, 178, 389, 487 _ _ _ _ ФУНКЦИИ 153› 487
Колебания 348 _ _ сходимости несобственного ин-
_ гармонические 350, 355 'ГЄГРа-да 462
_ затухающие 352 _ _ _ Рдда 111, 313
_ маятника 451 - 453, 455, 457, 458, - Лебега интегрируемости функции
475,528 398,400,403
Кольцо непрерывных функций 201 _ непрерывности монотонной
_ ростков непрерывных ФУНКЦИИ 195
функций 201 _ Сильвестра 542
Компакт 189, 482 _ существования предела монотон-
_ в Вт 482 -484, 495 ной последовательности 101
Композиция отношений 26 _ _ _ _ функции 159

пввдмвтный УКАЗАТЕЛЬ 691
Критерий сходимости ряда с неотри- Многочлен Лагранжа 272, 433
цательными членами 114
Круг сходимости степенного ряда
314,315
Лемма Адамара 553, 593
_ Лежандра 433
_ наилучшего приближения 199, 200
_ Тейлора 255, 262, 263, 265
_ Чебьпнёва 200
_ Эрмита 272
_ Больцано-Веиерштрасса 105, 110 Множество 5, 6, 32
_ Морса 592, 593
_ о верхней грани 51, 60
_ _ вложенных компактах 484
_ _ _ отрезках 81, 83
_ _ конечном покрытии 82, 84
_ _ предельной точке 83
_ Ферма 249, 250
Линейность интеграла 404
Линия геодезическая 16
_ тока 523
_ уровня 522, 559
Логарифм 144, 145, 222, 231, 334
_ интегральный 366, 381, 473
_ натуральный 144, 334
Логарифмическая шкала 232
Максимум 50, 79, 188, 495, 544
_ локальный 248, 249, 277, 278, 537,
539,628
Максимум условный 611, 618
Мантисса 80
Масса критическая 342
Матрица Якоби 509, 513, 539
Маятник 451-453, 455, 467, 468, 528
_ циклоидальньпїх 455, 475
Метод градиентньпїх 519
_ исчерпания 384
_ ломаных Эйлера 347
_ множителей Лагранжа 613, 629
_ наименьцшх квадратов 553
_ неопределенных коэффициентов
332,347
_ Остроградского 377
_ размерности 525, 527
Метрика 477-479, 496
_ в Вт 478, 485
Минимум 50, 79, 188, 495, 544
_ локальный 248, 249, 277, 278, 537,
539, 628
_ условньпїі 611, 618
_ бесконечное 31
_ замкнутое 479, 481, 483, 484
_ инвариантное 29
_ индуктивное 33, 52, 77
_ интегрируемых функций 387, 398
_ канторово 90, 403
_ конечное 31
_ меры нуль 398, 400, 403
_ неограниченное 65, 488
_ несчетное 87, 88
_ ограниченное 50, 483, 484
_ _ сверху (снизу) 50
_ открытое 478-480, 482, 494, 497
_ пустое 13, 32
_ равномощное другому множеству
29, 30
_ связное 494, 497
_ _ линейно 494
_ счетное 85, 86
_ устойчивое 29
Модель действительных чисел 43, 44,
67, 75, 79
Модуль действительного числа 65
_ (длшна) вектора. См. также Норма
вектора 203, 309
_ комплексного числа 309, 310
_ непрерывности функции 198
Монотонность интеграла 409
Морфизм 14
Мощность континуума 87- 89
_ множества 30, 31, 88
Мультииндекс 552
Неравенство Адамара 628
_ Бернулли 77, 104, 280
_ Гёльдера 280, 291, 418
_ Иенсена 289, 290, 418
_ Коши-Буняковского 418
_ Минковского 281, 282, 418, 477
_ треугольника 65, 282, 477, 479, 501

692 пввдмвтный УКАЗАТЕЛЬ
Неравенство треугольника
числовое 65
_ Шварца 418
_ Юнга 280, 306, 456
Норма вектора 500, 501, 503
Носитель пути 438, 439, 443
Область в Кт 497
_ значений отношения 23
_ _ функции 14
_ определения отношения 23
_ _ функции 13
Образ 18, 26
Объединение множеств 10, 12
Объем тела вращения 447
Ограничение функции, см. Сужение
функции 14
Окрестность точки 65, 83, 125, 480,
488
_ _ проколотая 125, 488
Окружность соприкасающаяся 307
Оператор 14
_ Лапласа 551, 557
_ сдвига 17
Операция ассоциативная 21, 41, 42
_ дистрибутивная 42
_ дифференцирования 224
_ коммутативная 41, 42
_ логическая 5, 13, 35
_ над множествами 9, 13
_ сложения 41, 42
_ умножения 42
Орбиты планет 355
Основание логарифма 144
_ системы счисления 72
Осреднение функции, см. Усреднение
функции 431, 432
Остаточный член формулы Тейлора
256, 261, 266, 435
_ _ _ _ в интегральной форме
423, 424, 536, 537, 553, 593
_ _ _ _ в форме Коцш 257, 424
Лагранжа 257, 265,
272, 273, 424, 537, 553
_ ~ Пеано 264, 265, 537
Осциллятор линейньпїі 348, 355
_ плоский 355
Ось координатная 62
_ числовая 62
Отношение 5, 23, 24
_ антисимметричное 25, 27
_ включения 8, 25, 78
_ неравенства 25, 43, 47
_ порядка 25, 43, 64
_ _ линейного 25, 43, 64
_ _ частичного 25, 43, 78
_ равенства 8, 9, 24
_ равномощности 30
_ рефлексивное 24
_ симметричное 24
_ транзитивное 24, 27
_ транспонированное 27
-- функциональное 25, 26
_ эквивалентности 24, 27, 30
Отображение. Ом. также Функция
13, 14, 484
_ биективное 19, 28
_ взаимно однозначное 19
_ инъективное 18, 28
_ касательное 504, 582, 605
_ линейное 208, 216, 499, 500, 502,
513,522,579
_ непрерывное 175, 176, 178,
491 -493, 495
_ обратное 19, 22, 233, 520, 577, 579
_ _ левое (правое) 28
_ ограниченное 130, 485, 495
_ постоянное 130
_ равномерно непрерывное 189, 494,
495
_ сюръективное 18, 28
_ тождественное 21
_ финально ограниченное 131, 485
Падение тел 343
Пара неупорядоченная 11, 33
_ упорядоченная 11, 33
Параметр разбиения 385
Параметризация кривой 443, 451
_ _ натуральная 451
Первообразная 357, 358, 361, 363, 418
420
_ обобщенная 420, 421
_ рациональной функции 368, 370

пгвдмвтный УКАЗАТЕЛЬ 693
Переменные канонические 575 Последовательность ограниченная 94
Пересечение множеств 10, 12
_ _ сверху (снизу) 101
Перестановка членов ряда 113, 315 _ постоянная 94
Период колебаний маятника 452, 455, _ расходящаяся 93
467,468,475
_ обращения 355
_ полураспада 340, 353
_ функции 223, 320, 429
_ сходя1цаяся 93
_ убьтвающая 101
_ финально постоянная 94
_ фундаментальная 99, 312, 486
Плоскость касательная 547, 548, 550, _ числовая 66
557, 566, 604
_ элементов множества 81
_ _ к поверхности 550, 566, 604, Постоянная времени 353
605, 607
_ комплексная 309
_ гравитационная 68
_ Планка 68
Площадь криволинейной трапеции -- Эйлера 172
446,447
_ зллипса 447
Потенциал векторного поля 520, 523,
628
Поверхность 546, 547, 565, 597, 599, _ Ньютона 454, 523
604, 610
_ минимальная 574
Поглощение излучения 354
_ силы 449, 451, 454, 455, 523
Почти всюду 400, 403, 404, 417
Правило Лопиталя 291, 292
ПОГРЄШНОСТЬ &бС0ЛЮТІ-І8.Я 68 _ 70, 92, Предел интегрирования верхний
231 Ц
(нижнии) 387 408 418
_ ОТНОСИТЄЛЬНЗЯ 68-' 70, _ КОМПОЗИЦИИ функций
Подмножество 8, 33
_ пустое 9, 32
_ собственное 9
Подпоследовательность 105
Подстановка Эйлера 374, 378
Поле алгебраическое 42
_ архимедово 79
_ векторное 523
_ потенциальное 523, 628
_ упорядоченное 79
Полуинтервал 64
Порядок касания 214
_ числа 72, 80
Последователь 33
Последовательность 66, 81, 92
_ вложенных компактов 484
_ _ множеств 81, 84
_ _ отрезков 81, 84, 99
_ возрастающая 101
_ Коцш 99, 312, 486
_ монотонная 101
_ невозрастающая 101
_ неубывающая 101
_ отображения 485
_ по базе 148, 150, 152
_ последовательности 92-94, 99, 129
_ _ верхнии (нижнии) 106- 109
_ _ частичный 109
_ _ Частичный 108
_ функции 124- 126, 129, 130, 134,
135,150,152,153
Преобразование 14
_ Абеля 412
_ Галилея 15, 29, 239, 241, 243
_ за время 29
_ инволютивное 305, 573
_ Лежандра 305, 573-575
_ линейное 499, 500
_ Лоренца 16, 29, 242
Признак Абеля - Дирихле сходимости
интеграла 469
_ Вейерштрасса сходимости ряда
115, 116
_ Гаусса сходимости ряда 174
_ Даламбера сходимости ряда 117,
261

694 ПРЕДМЕТНЬІЙ УКАЗАТЕЛЬ
Признак достаточньцїі условного зкс-
тремума 617, 618
_ _ зкстремума 276 - 278, 539
_ интегральный сходимости ряда
463
_ Коши сходимости ряда 116, 118
_ монотонности функции 253, 274,
275
_ необходимьпїх (достаточный) 2
_ _ сходимости ряда 112
_ _ условного экстремума 611, 614,
б15,629
_ _ экстремума 249, 250, 276, 538
_ постоянства функции 253, 274, 275
Принцип Архимеда 60, 61, 79, 85
_ Больцано-Вейерштрасса 83, 85
_ Бореля-Лебега 82, 85
_ верхней грани 51, 78
_ Коцш-Кантора 81, 85
_ математической индукции 52, 53
_ Ферма 279, 628
Приращение аргумента 208, 209, 504
_ функции 208-210, 504
Прогрессия геометрическая 112
Продолжение разбиения 389
_ функции 14
Проектирование 16
Проекция 12, 493
_ стереографическая 625
Произведение бесконечное 173
_ множеств декартово 11, 33, 37
_ _ прямое 11, 33, 37
_ рядов 316
_ скалярное 502, 503
Производная 208, 210, 211, 323, 504
_ высшего порядка 243
_ логарифмическая 231
_ односторонняя 305
_ по вектору 517
_ _ направлению 519
_ функции комплексного переменно-
го 323
_ частная 507
_ _ высшего порядка 532, 534
Промежуток многомерный 482
_ числовой 64
Промежуток числовой неограничен-
ный 64
Прообраз 18, 20, 27
_ 7?,[а,Ь] 387, 396, 398, 404
_ Вт 477, 486, 498
Пространство векторное 398, 405,
498
_ евклидово 503, 504
_ касательное 505, 603, 605-607, 625
_ конфигурационное системы п час-
тиц 17
_ метрическое 477
_ _ полное 154, 486
_ фазовое системы п частиц 18
Процесс итерационный 21
Путь 438, 491, 492, 522, 548, 598, 624
_ гладкий 439
_ эамкнутьпїі 438
_ кусочно гладкий 439
_ простой 439
_ _ замкнутый 439
Работа 448
_ выхода 454
Равенство множеств 8
_ функцшїі 14
Радиус кривизны 306, 307
_ критический 342
_ сходимости степенного ряда 314
Разбиение промежутка 385
_ _ С отмеченными точками 385
Разложение диффеоморфизма в ком-
позицию простей:ших 589
_ многочлена на множители 330
_ _ по формуле Тейлора 245, 255,
261
_ рациональнои дроби на сумму
простетїшщх дробей 331,
332, 366
_ функции в ряд Тейлора 258 - 261,
270,326
_ _ по формуле Тейлора, см.
Формула Тейлора 245
Размерность поверхности 598 - 600
_ физической величины 525 - 527
Разность конечная 273
_ множеств 10

ПРЕДМЕТНЬІЙ УКАЗАТЕЛЬ 695
Ранг отображения 582, 583, 597 Среднее гармоническое 112, 124, 303
_ системы функций 597 _ геометрическое 290, 303
Распад радиоактивный 340, 353 _ интегральное 430
Распространение функции, см. Про- _ квадратическое 124, 303
должение функции 14 _ порядка р 123, 124, 303
Расстояние (метрика) 477 Структура евклидова 502
_ в Вт 478 _ логическая математических
_ между множествами 484 высказываний 34
_ _ точками числовой оси 65 Сужение функции 14
Росток функции 200 Сумма Дарбу верхняя (нижняя) 394,
Ряд 111 402
_ гармонический 112 _ интегральная 384, 386
_ расходящийся 111 _ _ верхняя 394
_ степенной 261, 313-315, 324, 326 _ ряда 111
_ сходящийся 111, 312 _ _ частичная 111
_ _ абсолютно 113, 313, 315, 316 Сфера 480, 481, 496, 497, 625
_ Тейлора 261, 326 Сходимость несобственного
_ числовой 111 интеграла 457
_ _ _ абсолютная 463
Свойства непрерывных функций гло- _ _ _ условная 468
бальные 186, 495 _ последовательности 93
_ _ _ локальные 184, 200, 492 _ ряда 111
Свойство, выполненное финально _ _ абсолютная 113, 115, 313
(при данной базе) 152, 161, Сюръекция 18
164,165
_ параболического зеркала 219, 220 Таблшца истинности 5
Секущая 213, 215 _ первообразнь1х (неопределенных
Символ логический 1, 5, 8 интегралов) 360
_ О большое 164, 168 _ производных 238
_ о малое 161, 162, 168 Тангенс гиперболический 237
Синус гиперболический 235, 318 Теорема Абеця 315
_ интегральный 365 _ алгебры основная 328, 329
_ круговой 136, 318 _ арифметики основная 57
Система счисления 71, 75, 81 _ Больцано -Коцш о промежуточ-
_ _ позиционная 71, 75 ном значении 186
_ уравнений Гамильтона 575 _ Валле Пуссена 199
_ _ Копш-Римана 596 _ Вейерштрасса 101
_ _ Эйлера-Лагранжа 574, 575 _ _ о максимальном значении 188
_ функций зависимая 588, 596 _ Дарбу 271, 402
_ _ независимая 587, 596 _ Дедекинда 76, 78
Скорость вторая космическая 455 _ Кантора 31, 87
_ мгновенная 203, 204, 206, 216, 217, _ _ о равномерной непрерывности
227 191
_ света 15, 16, 68, 241, 279 _ Кантора-Гейне 191
Слой 27 _ Коши 254
Среднее арифметическое 124, 290, _ Лагранжа 251, 253, 265
303 _ Лиувилля 78

єюв пРвдмвтньцїукАзАтЕль
Теорема о конечном приращении 251, Узел интерполяции 273, 433
25з,з29
Упорядоченность линеиная 43, 64
_ _ неявной функции 557, 560, 568, _ частичная 43, 78
576, 577
_ _ ранге 582, 583
_ _ среднем 253, 528, 529
_ _ _ для интеграла вторая 412,
416, 432, 469
_ _ _ _ _ первая 410, 432
_ Ролля 251, 553
_ сравнения (для несобственных
интегралов) 464
_ _ (для рядов) 114, 115
Уравнение дифференциальное 207,
336, 339, 340, 342-345, 348,
350,381
_ _ гармонических колебаний 348,
350,355
_ _ с разделяющимися переменны-
ми 381
_ Лапласа 551
_ теплопроводности 552
_ Эйлера (гидродинамическое) 520,
_ теории размерности (П-теорема) 523
527,528
_ Чебышёва 200
_ Шрёдера-Бершцтейна 31, 37
Тождество Эйлера для однородных
функций 525
Топология 126
Точка в Вт 477
_ внешняя 480
_ внутренняя 480
_ граничная 480
_ критическая 539, 628
_ _ вырожденная 627
_ _ невырожденная 592, 597
_ критическая седловая 548
_ локального максимума 248, 249,
276-278, 537, 538, 541
_ _ минимума 248, 249, 276 - 278,
537,538,541
_ неподвижная 29, 197, 198
_ перегиба 287, 288, 573
_ предельная 83, 481
_ разрыва 181
_ _ второго рода 183
_ _ монотонной функции 193, 194
_ _ первого рода 182
_ _ устранимого 182
_ стационарная 539, 628
_ чебьпцёвского альтернанса 200
Трапеция криволинейная 446, 447
Угол между векторами 503
_ _ кривыми 625
Уровень функции 522, 566, 611, 616
Ускорение мгновенное 203, 204, 217,
223,246,306
Условие необходимое (достаточное) 2
Условия выпуклости функции
282 - 286
_ дифференцируемости функции
многих переменных 506,
507, 530
_ интегрируемости достаточные
390, 391, 393
_ _ необходимые 388
_ _ _ и достаточные 395, 400, 403
_ монотонности функции 253, 274,
275
_ зкстремума функции 276 - 278
_ _ _ многих переменных 538, 539
Усреднение функции 431, 432
Форма записи комплексного числа
алгебраическая 310
_ _ _ _ тригонометрическая 310
Формула барометрическая 338, 340,
353
_ Бонне 416
_ Виета 173
_ замены переменной в интеграле
неопределенном 363
_ _ _ _ _ определенном 425, 426
_ интегрирования по частям в инте-
грале неопределенном 362
несобственном 461

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 697
Формула интегрирования по частям Функция бесконечно малая 132, 134,
в интеграле определенном 152, 162
422, 423 _ _ _ более высокого порядка 162
_ интерполяционная Лагранжа 272, _ _ _ по сравнению с другой
273 функцией 161
_ _ Эрмита, 273 _ В0ГНу'І*а.я 283
_ квадратурная 434, 435 _ В03Рд›С'1`д»ЮЩ&Я 159
_ _ пардбод 434, 435 _ выпуклая 282, 283
_ _ прямоугольников 434 _ ВЫПУК-дал Вверх (Вниз) 283
_ _ снмнсонн 434, 435 - гармоническг-Я 551
_ _ трапеций 434, 435 _ гиперболическая 235, 237
_ К0ш1,1_АдаМара 314 _ Дирихле 183, 401, 402
_ Лейбница 244 _ дифференцируемая в точке 208,
_ Маклорена 257 209
_ М ещ ер СК ОГ О 337 _ интегрируемая 387
_ Муавра 311 321 _ комплексного переменного 321
_ Ньютона-Лейбница 384, 421, 422 _ _ _ дифференцирёёёіая 324
_ Ост ог а ского 377 непрерывная
Р Р д
3 _ Лагранжа 613, 617, 622
_ Теилора 256, 265, 535, 536, 539, 552 _ логарифмическал 138, 144, 145,
_ _ ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЄРЄМЄН- 1
ных 535, 536, 539, 593
_ локально однородная 525
_ _ _ _
_ _ В Мультииндексных _ многих переменных 476
обозначениях 552, 553 _ _ _ дифференцируемая 504
_ _ локальная 263, 264, 537 _ _ _ непрерывная 491
_ _ с остаточным членом в инте- _ Монотонная 159
гральной форме 423, 424, _ Невозрастающая 159
536, 553, 593
_ непрерывная в точке 175 - 177, 491
_ _ _ _ _ В форме Коши 257* 424 _ _ на множестве 179, 493
_ _ _ _ _
_ _ Лагранжа 257, __ Неубывающал 159
235, 273, 424, 537, 553 _ неннннн 239, 246, 553, 560, 567,
_ _ _ _ _ ПЄ8,НО 264, 265,
_ обратная 19, 22, 192, 195, 197, 232,
_ ЦИОЛКОВСКОГО 337 520, 577
_ ЭЙЛЄРЭ» 318 _ огрнннненннн 130, 435
Функционал 14, 16, 405 _ _ сверху (снизу) 130
Функция 13, 14, 22, 25 __ Однородндд 525
_ дддитивндя ОРИЄНТИРОВЭ-ННОГ0 _ периодическая 223, 320, 429, 433
промежутка 408, 436, 437 -_ ноннннтеньнан 133, 143, 143
_ аналитическая в точке 262, 326 _ постоянная 130
_ асимптотически одного порядка с _ равномерно непрерывная 189, 191,
другой функцией 164 494, 495
_ _ эквивалентная другой функции _ Римана 184, 197, 401, 402
155 _ силовая 523
_ бесконечно большая 162 _ степенная 138, 147
_ _ _ более высокого порядка 162 _ строго выпуклая 283

698 пгвдмвтньїй УКАЗАТЕЛЬ
Функция тригонометрическая 440, Число сопряженное 308
441, 443 _ трансцендентное 59, 78, 88
_ убывающая 159 _ целое 56
_ финально ограниченная 131, 152, Числовая прямая 62
164,485
_ финально постоянная 130, 152 Шар 478
_ характеристическая множества 16
_ экспоненциальная 143, 221, 317,
344,345,347
-_ 5311 (знак) 127
_ замкнутьпїї 479
_ открыты:й 478, 479
Эквивалентность асимптотическая
Центр кривизны 307, 627 функций 165
Циклоида ЭКСПОНЄНТЭ.
Экспонента интегральная 380, 474
_ комплексная 317, 318, 320, 348, 349
Экстремум внутренний 249, 276, 278
_ условный 597, 609-611, 617, 618
_ функции многих переменных
537 - 539, 541
Элемент единичный 42, 46
_ максимальный (минимальный) 50
Часть действительная комплексного
числа 309
-_ дробная числа 62
_ мнимая комплексного числа 309
_ рациональная интеграла 377
_ целая числа 62
Числа Фибоначчи 123
_- 11 во, 173, 320, 435, 440, 443 _ М“°ЖЄ°'“*а1,6› 8 ,
_ 5 103, 104, 119 - 121, 155 - 158, з2о, _ “а{*б°“ЬШ“,(На“Ме“ь““““) 50
345, 346 _ неитральныи 41, 42
_ нулевои 41, 45
_ обратный 42, 46
_ противоположньпїі 41, 45
Энергия кинетическая 18, 355, 450,
451
_ полная 18, 355, 450
-- потенциальная 17, 18, 355,
449 - 451
Число алгебраическое 59, 78, 87, 88
_ вещественное 41
_ действительное 41
_ иррациональное 58, 77, 88, 89
_ кардинальное 30, 31
_ комплексное 308
_ натуральное 33, 52, 53
_ _ по фон Нейману 33, 38
_ отрицательное 49
_ положительное 49 Якобиан 509
_ простое 57 _ перехода к полярным координа-
_ рациональное 57, 77, 86 там в Вт 580, 581

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель (АЬеІ 1І.Н.) 41, 315, 376, 377,
412,4в9
Адамар (Надашагд З.) 314, 553, 593,
628
Архимед (”Ар×ц.11)бт1;) 60, 61, 384, 385
Бернулли Д. (Вегпо111Іі В.) 524
Бернулли И. (Веп1о111Іі .1 22, 291
Бернулли Я. (Ве1'по11І1і І 77, 104
Бернштейн (Вегпзізеіп 31, 37
Бойяи (ВоІуа.і .1.) 23
Больцано (Во12а.по В.) 83, 99, 105,
1з6,224
Бонне (Воппеід О.) 416
Борель (Воге1 82
Буняковский В. Я. 418
Бурбаки (Вои1'Ьа.1<і 1Т.) 5, 150
Бюффон (В11ҐҐо11 Є. Ь. Ь.) 456
Валле Пуссен (де Іа /аІ1ёе Роизвіп
С11..І.) 199
Ван дер Варден (Уап сіег Уаегс1еп
Ьъ11)224
Вейерштрасс (дїеіегз1:1'азз 83, 101,
1оз,115,1зз,224
Виет (Уіеізе 173
Гашалей (Єа,1і1еі Є.) 2, 15
Гамильтон (Нап1іІ1:оп ?/`. Н.) 574, 575
Гаусс (Саизз С.Р`.) 23, 174, 183, 308,
з29,470,554
Гейне (Неіпе 129, 191
Гёльдер (Нб1<іег О.) 280, 418
Гельфонд А. О. 60
Гильберт (НіІЬег*с ІЭ.) 60, 76
Гук (Ноо1<е В.) 355
Гюйгенс (Ниудепз С.) 455, 544, 545
Даламбер (І)”АІеп1Ьег1: .1.) 117, 329
Дарбу (І)а.гЬо11х Є.) 271, 394, 402
Дедекинд (1Эе(1е1<іпс1 Н.) 30, 31, 76, 78
Декарт (Вевсахіез Н.) 11
дирихле (вігісыеь Р. Є.) 183, 469
Дюбуа-Реймон (Ви Воіз Ееушопсї Р.)
403
Евклид (Еи×Жєьбтд;) 77, 88, 160
Иенсен (.ІепЅеп І. Ь.) 289, 418
Кантор (Сашог Є.) 6, 31, 87, 99, 191
Карно Л. (Сагпоіз Ь.11.) 134
Карно С. (Сашпоіз 1І. Ь. Ѕ) 134
Картан (Сагізап Н.) 150
Кельвин, лорд (Кеічіп), см. Том-
сон У. 339
Кеплер (Кер1ег 3 202, 528
Клапейрон (Сіареугоп В. Р. Е.) 339
Коши (Са11с11у А.Ь.) 67, 81, 99, 111,
116, 118, 124, 126, 153, 186,
254, 257, 262, 314, 335, 418,
472, 596
Коэн (СоІ1еп Р.) 88

700 УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Лагранж (Ьа5гап5е 1. Ь.) 210, 251,
257, 265, 272, 273, 574, 613,
628
Лакруа (Ьасгоіх Ѕ. 23
Лаплас (Ьаріасе Р. Ѕ.) 317, 551
Лебег (ЬеЬез511е Н.) 82, 398, 400
Лежандр (Ьедешїге А. М.) 305, 376,
4зз,446,4з2,57з
Лейбниц (ЬеіЬпі2 Є. М.) 1, 22, 60, 202,
210,2з0,244,зз4,421,422
Линдеман (Ьіпсїешапп 60
Лиувилль (Ьіо111і11е .] 78, 376
Лобачевскнй Н. И. 23
Лопиталь (І/НоЅрі1;а1 Є. Р. А) 291
Лоренц (Ьогепізя Н. А.) 16, 242
Маклорен (МасІаигі11 С.) 257
Максвелл МахшеІІ .І. С.) 526
Мещерский И. В. 337 ~
Минковский (Міп1<ошЅ1<і 281, 418
Морган (де Мог5ап А.) 10
Морс (МогЅе 592, 593
Муавр (с1е Моічге А.) 311
Нейман, фон (чоп 1їе1ппапп І 33, 38
Ньютон (Ъїетізоп І.) 1, 77, 202, 203,
2в1,зз4,421,422,454,52в
Окунь Л. Б. 633
Ом (ОІ1111 Є.Ѕ.) 29
Остроградский М. В. 377
Пеано (Реапо Є.) 30, 264, 265, 439
Пуанкаре (Роіпсагё 1
Пуассон (Роіззоп Ѕ.1Э.) 381, 470
Рассел (НиззеІ В.) 7, 33
Риман (Віещапп В.) 184, 385, 386, 596
Ролль (НОІІЄ 251, 553
Сахаров А. Д. 633
Сильвестр (ЅуІгеЅ1:ег .І. .І 542
Симпсон (Ѕішрзоп Т.) 434, 435
Снеллиус (латинизир. Ѕпе11і11Ѕ, Ѕпе11
/ап Ноуеп 279
Стокс (Ѕ1;о1<еЅ Є. Є.) 422
Тейлор (ТауІог В.) 255, 256, 261, 263,
264,423,424,536,552
Томсон У. (ТІ1оп1Ѕоп Щ/'.), лорд Кель-
вин (Ке1/іп) 339
Ферма (Регшаъ Р.) 11, 249, 279
Фибоначчи (Леонардо Пизанский)
(Р`іЬопассі Ь.) 123
Френель (Ргевпеі А. .] 380, 473
Френкель (Ргаеп1<еІ А.) 34
Цермело (2еппеІо З4
Циолковский К. Э. 337
Чебьпцёв П. Л. 160, 200, 379
Шварц (Ѕсїш/а1'2 Н. А.) 418
Шнайдер (Ѕсїшеіоег ТІ1.) 60
Шрёдер (Ѕсіпбсіег 31, 37
Эйлер (Е111ег Ь.) 103, 172, 308, 317,
318, 346, 374, 378, 381, 466,
470,523,525,574
Эйнштейн (Еіпзіеіп А.) 16, 499
Эрмит (Негщійе СІ1.) 272, 273
Юнг (Уо11п3 280
Якоби (.]асоЬі С. С. І.) 509

Владимир Антонович Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Ч а С т ь І
Директор издательского проекта И. В. Ященко
Технический редактор В. Кондратьев
Верстка: А. Зарубина
Рисунки (с использованием системы МЕТЙРОЅТ): Е. Бунина, А. Зарубина
Подписано в печать 19.10.2011 г. Формат 70 × 100/ 16
Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 45
Тираж 2000. Заказ М 6217.
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Б.Власьевский пер. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография»,
филиал «Дом печати - ВЯТКА» в полном соответствии
с качеством предоставленных материалов.
610033, г. Киров, ул. Московская, 122
Факс: (8332) 53-53-80, 62-10-36
111:'ср: / /и/шш.5ірр.І<ігоу.ги е-п1аі1: огс1ег@5ірр.І<ігоу.ги
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. Е-гпаі1: ЬіЬ1іо@п1ссп1е.ги