в. н. цытович
ТЕОРИЯ
ТУРБУЛЕНТНОЙ
ПЛАЗМЫ
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1971

УДК 553.951.7
Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы.
М., Атомиздат, 1971.
В книге «Теория турбулентной плазмы» система-
систематически излагаются основные физические представле-
представления о турбулентности плазмы и методах ее описания.
Особое вниманде уделяется проблемам спектров ста-
стационарной турбулентности и неустойчивостям, приво-
приводящим к возбуждению турбулентности. В книге рас-
рассмотрен широкий круг вопросов, связанных с турбу^
лентным нагревом, стохастическим ускорением, спект-
спектрами быстрых частиц, ускоренных турбулентными пуль-
пульсациями, прохождением электромагнитных волн через
турбулентную плазму, излучением и низкочастотными
электромагнитными свойствами турбулентной плазмы.
В монографии 53 рисунка, 1 таблица.и библиогра-
библиография из 318 наименований.
2-3-7
11—71

ПРЕДИСЛОВИЕ
Физика турбулентной плазмы за последние несколько лет про-
прошла большой и бурный путь развития, начиная от первых работ,
в которых в той или иной форме упоминался термин «турбулент-
«турбулентность», и кончая фундаментальными исследованиями, содержащими
обстоятельное изучение турбулентного состояния плазмы. Обычно
в физике значение имеют не столько конкретные результаты в той
или иной области, сколько общее мировоззрение и общие взгляды на
проблемы. Подчас старые результаты приобретают совершенно но-
новое значение после того, как вырабатывается такое общее мировоз-
мировоззрение. В физике турбулентной плазмы такое мировоззрение в
основном уже вполне сложилось.
Первому изложению проблем плазменной турбулентности по-
посвящена статья Б. Б. Кадомцева (В сб. «Вопросы теории плазмы».
Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 4. М., Атомиздат, 1964, стр. 188).
В настоящей книге дается изложение основных физических пред-
представлений о турбулентных процессах в плазме и их оформление в
виде логически замкнутой физической теории. Многие вопросы,
лишь затронутые в книге Б. Б. Кадомцева, получили сейчас под-
подробную теоретическую разработку. В первую очередь это отно-
относится к теории турбулентного уширения резонансов (гл. 2), по-
позволившей установить границы применимости используемых раз-
разложений по энергии турбулентности, связать метод усреднения
по статистическому ансамблю с методом элементарных возбужде-
возбуждений, установить физический смысл и границы применимости по-
последнего (о концепции элементарных возбуждений см. книгу
Цытовича В. Н. «Нелинейные эффекты в плазме». М., «Нау-
«Наука», 1967). Основной проблемой теории турбулентности являются
спектры стационарной и однородной турбулентности. Успехи, до-
достигнутые в этом направлении применительно к турбулентности
плазмы, более значительны, чем в теории турбулентности жидко-
жидкостей. Основу нижеследующего изложения поэтому составляет имен-
именно теория стационарной или квазистационарной турбулентности
(гл. 4) и процессов, возникающих в стационарно турбулентной
плазме: ускорение и нагрев частиц (гл. 5), излучение турбулентной
плазмы (гл. 6), прохождение электромагнитных волн через турбу-
турбулентную плазму (гл. 7) и ее электромагнитные свойства (гл. 8).
Этим главам предшествует вступительная глава, излагающая
основы физических представлений о стохастических процессах,
проводится аналогия с турбулентностью жидкостей, определение
слабой и сильной турбулентности и представление о типах турбу?
3

лентных движений в плазме. В гл. 2 изложены основы теории турбу-
турбулентности и ее основные физические следствия, позволяющие дать
наглядную физическую трактовку турбулентности.
В гл. 3 излагаются общие вопросы возбуждения и затухания
турбулентных пульсаций в плазме, важные с точки зрения многих
приложений.
Вопросы динамики турбулентного состояния плазмы, установ-
установления стационарной турбулентности и др. составляют самостоятель-
самостоятельные и большие проблемы, и поэтому целесообразно было ограничить-
ограничиться лишь некоторыми частными задачами такого рода [устойчивость
стационарной турбулентности, второй звук и т. п. (гл. 8)].
Следует отметить, что в естественных условиях плазма благодаря
многочисленным неустойчивостям, как правило, турбулентна. Этим
объясняется все возрастающий интерес и широкое использование
результатов теории турбулентности в астрофизике. По возможности
в ходе изложения материала даются ссылки на некоторые астрофи-
астрофизические следствия, самое важное из которых — ускорение косми-
космических лучей.
Теперь все больше становится ясным, что коллективные свойст-
свойства плазмы, о которых часто и много говорилось в прошлом, так или
иначе связаны с ее турбулентностью. В настоящее время выделилось
два важных направления использования коллективных-эффектов —
это турбулентный нагрев плазмы, предложенный Е. К. Завойским
и Я. Б. Файнбергом, и коллективный метод ускорения частиц,
предложенный В. И. Векслером.
Если в проблеме турбулентного нагрева речь идет об использо-
использовании коллективных эффектов для передачи энергии частицам плаз-
плазмы, то в методе коллективного ускорения —о передаче импульса
частицам. Все, что мы знаем сейчас о природе турбулентности, го-
говорит о возможности эффективного турбулентного нагрева и уско-
ускорения частиц. Идеи В. И. Векслера о коллективном ускорении по-
получили в последнее время большой резонанс, и многие лаборатории
работают над их реализацией. Широкие экспериментальные ра-
работы ведутся по исследованию турбулентного нагрева плазмы.
Автору посчастливилось работать под руководством В. И. Векслера
над одним из вариантов коллективного ускорения. Стремлению
более глубоко разобраться в природе коллективных процессов в
плазме и ее турбулентности автор во многом обязан постоянному
интересу В. И. Векслера к этим проблемам.
Поэтому с глубокой благодарностью памяти одного из замеча-
замечательных физиков—В. И. Векслера автор посвящает настоящую
книгу.
Автор выражает искреннюю признательность Е. К- Завойскому,
С. А. Каплану и Р. 3. Сагдееву, прочитавшим рукопись и сделав-
сделавшим ряд важных замечаний, Л, И. Рудакову и В. Г. Маханькову
за обсуждение проблем, рассмотренных в книге, В. А. Липеровскому,
М. А. Лившицу, А. Г. Кулагину, Э. Н. Криворуцкому за замечания
и помощь в оформлении рукописи.

Г л а в а 1
ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ТУРБУЛЕНТНОМ
СОСТОЯНИИ ВЕЩЕСТВА
§ 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Термин «турбулентность» возник при изучении движения жидко-
жидкостей. В связи с бурным развитием физики плазмы за последние
годы представления о природе турбулентного состояния вещества
существенно расширились. С одной стороны, турбулентные движе-
движения плазмы более многообразны, чем жидкости, что позволяет бо-
более подробно изучать природу этого явления, с другой стороны,
в ряде случаев возможно проследить за процессами развития турбу-
турбулентности и понять различие между собственно турбулентными дви-
движениями и переходными процессами, предшествующими развитию
турбулентности. Было выяснено, что турбулентность развивается
не только в жидкостях или плазме, но и в твердых телах. Это поз-
позволило изложить общую концепцию турбулентного состояния веще-
вещества. Поэтому термин «турбулентность» сейчас имеет значительно
более широкое содержание.
Попытаемся на примере жидкостей разъяснить существующие
общие физические представления о природе турбулентности. Рас-
Рассмотрим движение жидкости по трубе при больших скоростях (точ-
(точнее, при больших числах Рейнольдса [1]), когда движение отдель-
отдельных элементов жидкости очень сложно. Величина скорости элемента
жидкости в некоторой заданной точке внутри трубы может менять-
меняться сложным образом, пробегая за достаточно большие промежутки
времени широкий спектр значений.
Сложность движения отдельных элементов жидкостей не может
служить основанием для того, чтобы считать такое движение турбу-
турбулентным. Например, сложным может быть ламинарное движение
жидкости, обтекающей сложные препятствия. Основным критерием
турбулентности является невоспроизводимость результатов измере-
измерений мгновенных скоростей жидкости.
Предположим, что в некоторый момент времени /о = 0 открыва-
открывается кран и жидкость начинает течь по трубе. Пусть через время tx
на достаточно большом удалении от крана установились средние
характеристики движения. Рассмотрим точку г в области установив-
установившегося движения и проследим за изменением во времени скорости
течения жидкости в этой точке. Начиная с момента t>tt полу-
получим сложную кривую (рис. 1.1). Повторим эксперимент. Откроем
кран и вновь измерим скорость жидкости в той же точке через тот
5

же промежуток tv Повторим этот эксперимент неоднократно. При
этом или будем иметь каждый раз эту же кривую (см. рис. 1.1), или
они будут различными, т. е. результаты эксперимента невоспроиз-
водимы. В последнем случае можно сказать, что жидкость турбу-
турбулентна, а скорость носит случайный хаотический характер.
Выясним причину невоспроизводимости результатов описанных
экспериментов. Если точно знать начальные и граничные условия
для движения жидкости по трубе, то на основании уравнений, ко-
которые описывают движение жидкости, можно определить значения
Рис. 1.1. Изменение во времени скорости элемента турбулент-
турбулентной жидкости.
скорости в последующие моменты времени в любой желаемой точ-
точке внутри трубы. Однако точные начальные и граничные условия
неизвестны. Известны лишь достаточно грубые средние характе-
характеристики течения, связанные с размерами трубы, с пуском жидкости
в трубу и т. д. Существенно, что в турбулентном режиме малые
изменения начальных условий приводят к большим изменениям в
движении элементов жидкости. Итак, невоспроизводимость резуль-
результатов вызывана тем, что при задании макроскопических параметров
движения изучаемая система может иметь различные начальные
условия движения.
Описанная ситуация сходна с той, которая известна при рассмо-
рассмотрении молекулярного движения частиц, составляющих макроско-
макроскопическое тело. Если известны начальные условия движения всех
частиц макроскопического тела, можно предсказать их движение
в дальнейшем. Однако постановка такой задачи практически бес-
бессмысленна, так как невозможно столь детально знать начальное
состояние системы [1]. Поэтому при заданных макроскопических
параметрах системы ее молекулярное движение можно считать
случайным, хаотическим.
Представление, которое обычно вкладывается в понятие турбу-
турбулентности, существенно отличается от понятия молекулярного
движения. Говоря, например, о движении любого элемента жидко-
жидкости, подразумевают движение некоторого макроскопического объе-
объема, содержащего большое число молекул. Все молекулы этого объе-
объема имеют одинаковую направленную скорость, одинаково участвуют
? общем макроскопическом движении, т. е. в пределах указанного
6

макроскопического малого объема участвуют в коллективном дви-
движении. Другими словами, гидродинамические движения жидкости
-соответствуют определенным коллективным степеням свободы. Кол-
Коллективные движения макроскопических тел весьма разнообразны.
Плазма обладает большим числом коллективных степеней свободы.
Обобщая представления, проиллюстрированные на примере турбу-
турбулентности жидкостей, можно следующим образом определить по-
понятие турбулентности: турбулентное движение макроскопических
тел представляет собой такое движение, в котором коллективные
степени свободы интенсивно возбуждены и носят случайный
характер.
Следует заметить, что обычно коллективные степени свободы
макроскопических тел возбуждены также в условиях статистического
равновесия, но энергия их весьма мала. В условиях турбулентного
движения эта энергия должна намного превосходить энергию в усло-
условиях статистического равновесия. Именно такой конкретный смысл
будет в дальнейшем вкладываться в понятие интенсивно возбуж-
возбужденных коллективных степеней свободы.
В понятие турбулентности входит представление о том, что число
интенсивно возбужденных коллективных степеней свободы весьма
велико. Действительно, если возбуждена одна такая степень свобо-
свободы, то задание начальных условий для нее полностью определило
бы дальнейшее изменение системы во времени, которое носило бы
регулярный, а не случайный характер. В принципе возможна ситуа-
ситуация, когда первоначально возбуждается лишь одна степень свободы
и затем энергия перераспределяется между этой и другими степеня-
. ми свободы, и возможен случай, когда возбуждается сразу много
степеней свободы. В первом случае турбулентность возбуждается
-не сразу, и существует конечное время, в течение которого система
переходит в турбулентный режим. В частности, это имеет место для
приведенного выше примера течения жидкости по трубе (необходимо
время tx для установления турбулентного режима).
Чтобы иметь картину турбулентности плазмы, необходимо
в первую очередь знать, какие коллективные движения возможны
в плазме, как они могут быть возбуждены и когда плазма переходит
в турбулентное состояние, в котором коллективные степени свободы
являются случайными величинами, принимающими значения, не-
невоспроизводимые от опыта к опыту.
Прежде чем переходить к этим вопросам, сделаем одно общее за-
замечание, касающееся природы турбулентных пульсаций плазмы.
Плазма представляет собой такое состояние вещества, в котором
атомы или молекулы находятся в ионизированном состоянии. Вза-
Взаимодействие электронов и ионов определяется дальнодействующими
электрическими силами. Это приводит к многообразию коллектив-
коллективных движений плазмы в результате связи движения заряженных
частиц с электромагнитным полем. Поэтому случайной невоспроиз-
невоспроизводимой величиной в турбулентной плазме становится также элек-
электромагнитное поле, сопровождающее движение частиц. Действи-
7

-тельно; измерения показывают, что при развитии турбулентности
возбуждаемые в плазме поля носят случайный характер. На рис. 1.2
в качестве примера приведена заимствованная из работы [2] за-
зависимость от времени электрического поля турбулентных пульса-
пульсаций, возбуждаемых пучком в плазме. Возбуждение стохастиче-
стохастических полей —одна из характерных особенностей турбулентности
плазмы.
J %л ¦ .а. -..¦.-.'' . i" : ¦ ¦ •' ' ¦' ' ¦ Ш А	"' ' ' ¦	' ¦ '¦ • ¦	'	• ' ¦
Рис. 1.2. Зависимость от времени электрического поля турбулентных
пульсаций плазмы в условиях плазменного пучкового взаимодействия [2].
§ 1.2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Случайный характер турбулентных процессов не исключает
того, что средние значения некоторых физических величин за до-
достаточно большой промежуток времени остаются постоянными или
медленно меняются. Для определения этих средних величин целе-
целесообразно использовать статистическое описание турбулентности.
При этом удобно ввести ансамбль систем, отличающихся друг от
друга начальными условиями [3]. Для описания турбулентности
используют средние значения исследуемых величин по указанному
статистическому ансамблю. Характер изменения во времени коллек-
коллективных степеней свободы делает естественной эргодическую гипотезу,
предполагающую, что за достаточно большой промежуток времени
система пройдет через состояние, сколь угодно близкое к любому
наперед заданному состоянию, которое соответствует некоторым вы-
выбранным начальным условиям. Таким образом, начальные состояния
системы слабо влияют на средние значения величин, и средние
по статистическому ансамблю совпадают со средним значением во
времени для данной системы [3].
Эти общеизвестные положения статистической теории, распро-
распространенные на интенсивные коллективные движения макроскопи-
макроскопических тел, и составляют основу статистического описания турбу-
турбулентности.
Если средние величины, характеризующие турбулентность, не
меняются во времени, то такую турбулентность называют стационар-
стационарной. В случае, когда средние значения не зависят от положения про-
пространственной точки, турбулентность однородная. Турбулентность
изотропная, если средние значения величин в данной пространствен-
пространственной точке не зависят от угла с любым наперед выбранным направ-
направлением.
8

Случайным турбулентным изменениям могут подвергаться раз-
различные величины, характеризующие коллективные движения, на-
например скорость частиц или электрическое поле, сопровождающее
турбулентные пульсации плазмы. Скорость v можно разбить на
две части, выделив случайную турбулентную составляющую vr
и составляющую, не испытывающую случайных изменений v^ =
v(r, *) = <v(r, 0> + vr(r, O = v*(r, t) + vT(r, t).	A.1>
Средние значения \т по статистическому ансамблю считают рав-
равными нулю (среднее значение v всегда можно отнести к v*). Интен-
Интенсивность турбулентности можно охарактеризовать средними зна-
значениями квадратичных комбинаций, например
Ы(г,^(г',П> = У„.	A.2)
В A.2) фигурируют компоненты скорости по координатам (индек-
(индексы i, /), взятые в различных точках пространства в различные мо-
моменты времени. Скобки О означают усреднение по статистиче-
статистическому ансамблю. Величина Vfj показывает, насколько скоррели-
рованы скорости турбулентных пульсаций в различных точках про-
пространства в различные моменты времени; i, / = {1, 2, 3} = {#, у, г).
Тензор корреляции Vtj зависит от г—г' и t—f только в том
случае, если поле турбулентных скоростей стационарно и однород-
однородно, так как при этом абсолютные значения координаты и времени
одной из коррелирующих скоростей могут быть произвольными из-за
равноправности всех точек и равноправности различных моментов
времени. Если разложить vT в ряд Фурье (см. [4], стр. 45)
**rf*>	A.3)
где k = {k, со}, х = {г, t}\ dk = dkda>; &# = kr—со/, то тензор кор-
корреляций можно записать в виде
'	*щ.	(L4)
В случае однородной стационарной турбулентности незави-
независимость A.4) от t и г приводит к выводу, что средние значения
vJtvJk' отличны от нуля лишь при со + со' —0 и k + k/^O, т. е.
')f A.5)
где б—-известная дельта-функция Дирака

Для изотропной турбулентности несжимаемой жидкости тензор
Vijk,® сводится к одной величине, характеризующей спектр турбу-
турбулентности. Действительно, для изотропной турбулентности все
направления равноправны. Каждый индекс V//kf© по определению
тензора должен меняться при вращении координатных систем как
вектор. Но единственным вектором в данном случае является век-
вектор к. Из него можно составить единственный тензор:
Л&-,	A.6)
а также тривиальный единичный тензор 8и-. Итак, для изотроп-
изотропной турбулентности
V , — (fi kikj \\У* \2.x-kikj\vl I2	(\7\
У ij k, со— I О а	р~ Kk.col +-р"|*/к>©| •	\[-Ч
ki k •
Здесь произвольные коэффициенты при б^- и -W- обозначены
соответственно
Смысл их в том, что, как оказывается, j Vк, со |2 описывает
продольные турбулентные пульсации скорости, a \Vtf (u|2—попе-
(u|2—поперечные. При этом следует иметь в виду, что в силу A.3) турбу-
турбулентные пульсации представляют собой, грубо говоря, наложение
плоских волн. Для продольных пульсаций амплитуда каждой из
таких плоских волн направлена вдоль ее распространения, тогда
как для поперечных—перпендикулярно к этому направлению.
Легко видеть, что в несжимаемой жидкости продольные пульса-
пульсации невозможны. Действительно, из условия несжимаемости
divv = 0	A.8)
получим
1
— Bя)з JdiVVe 1кГ + Ш^Г^-°>	(L9)
т. е. величина Vk.co ортогональна к.
Отсюда для изотропной однородной стационарной турбулентно-
турбулентности несжимаемой жидкости тензор A.2) описывается единственной
величиной | Ук.ю |2, физический смысл которой можно пояснить, рас-
рассчитав среднее значение энергии турбулентных пульсаций в 1 см3.
Пусть
шт _ / шп \У / \	л ю)
10

Здесь п —плотность жидкости; т —масса отдельной частицы
жидкости.
Ввиду постоянства п в несжимаемой жидкости среднее значение
WT определяется средним значением квадрата скорости
k' A.11)
с учетом выражения A.3). Подставляя A.5) и A.7) в выражение
A.11), получаем
J(^i)K	A.12)
Итак, для несжимаемой жидкости
§ktf»dkd(o,	A.13)
где
Wk,» = nm\vL,a\2.	A.14)
спектральная плотность энергии турбулентности. Случайным из-
изменениям могут быть подвержены и другие коллективные характе-
характеристики жидкости: плотность, температура и т. п.
При описании турбулентности плазмы следует учесть ее специ-
специфические особенности, связанные с тем, что большинство коллек-
коллективных движений плазмы сопровождается появлением электриче-
электрических и магнитных полей. Обычно турбулентные величины (напри-
(например, турбулентные скорости частиц, плотность и т. п.) можно выра-
выразить через значения этих полей. Даже очень медленные, чисто гидро-
гидродинамические движения плазмы* сопровождаются изменением элек-
электрических и магнитных полей. При этом для гидродинамических
движений плазмы основная энергия коллективного движения —
это кинетическая энергия частиц плазмы, тогда как энергия элек-
электромагнитного поля составляет весьма малую величину по отноше-
отношению к энергии движения частиц плазмы. Если движения частиц
связаны с полями, то полную энергию коллективного движения
можно определить по электромагнитной энергии. Поэтому в плазме
турбулентные движения можно описать при помощи связанных
с ними электромагнитных полей.
Аналогично A.1) в электромагнитном поле плазмы можно выде-
выделить регулярную часть Е^ и случайную ЕТ
Е(г, t) = ER(r, t) + ET(r, t).	A.15)
* Они аналогичны турбулентным движениям жидкости и возможны
в условиях, когда характерные времена пульсаций много больше времени
парных соударений частиц.
11

Для амплитуд Ек,« разложения Ет в ряд Фурье дает
Е[ (г, t)= §Eikt «>?[кг-шAкс1(й=: § Eikeikxdk.	A.16)
Для однородной и стационарной турбулентности по аналогии с
A.4) имеем
(ETikETjk>y = /^6(fe + ^) = A7k,w6((o + co'N(k + k/). A.17)
Для изотропной турбулентности аналогично A.7) получаем
Здесь |?"к, (о|2 характеризует корреляцию поперечных полей, а
| ?к, ю 12—продольных полей. Средняя плотность энергии электри-
электрического поля турбулентных пульсаций аналогично A.13) имеет вид
y^dkdxu. A.19)
Из формулы A.19) вытекает физический смысл |?k,co|2 и |?k,co|2
как спектральных плотностей распределения электрического поля
турбулентных пульсаций. Согласно A.19) интенсивность электро-
электромагнитного поля случайных турбулентных пульсаций равна, грубо
говоря, сумме интенсивностей отдельных плоских волн, на которые
может быть разложено поле пульсаций. Это указывает на несуще-
несущественное значение фазовых соотношений, приводящих к интерфе-
интерференционным членам, которые отсутствуют в A.19). Можно сказать,
что фазы волн турбулентных пульсаций случайны. Начальные зна-
значения фаз волн следует рассматривать как величины, характеризую-
характеризующие начальное состояние коллективных степеней свободы. Усредне-
Усреднение по статистическому ансамблю в этом смысле соответствует усред-
усреднению по фазам волн (см. также [1]).
Сделаем замечание, касающееся необратимости турбулентных
процессов. Известно, что статистическое рассмотрение молекуляр-
молекулярных процессов в соответствии с наблюдениями указывает на их
необратимый характер. Турбулентные процессы описывают стати-
статистически. Это приводит, как и в случае молекулярных процессов,
к представлениям о необратимом характере турбулентных процес-
процессов. Если молекулярное трение связано с передачей импульса от
одних молекул к другим, то при турбулентном движении жидкостей
возможна передача импульса от одного элемента жидкости к друго-
другому, т. е. в конечном счете от одного коллектива частиц к другому.
Эта передача импульса осуществляется в результате быстрого пере-
перемешивания отдельных элементов жидкости, совершающих сложное
1 2

движение в турбулентном потоке. Если рассматривать средние ско-
скорости элементов жидкости турбулентного потока, не интересуясь дви-
движением отдельных элементов, то легко обнаружить, что градиенты
этой скорости меньше градиентов скоростей ламинарного потока.
Таким образом, трение в турбулентном потоке усилено. Точно так
же усиленными могут быть другие процессы диссипации —диффу-
—диффузия, теплопроводность и т. п.*
Усиленные процессы диффузии, теплопроводности, увеличение
электрического сопротивления наблюдаются в турбулентной плаз-
плазме, что является одним из важных практических стимулов изучения
природы ее турбулентности. Однако многообразие коллективных
движений плазмы и их связь с электромагнитными полями приводят
также к качественно новым процессам турбулентной диссипации в
плазме, например к необратимому излучению электромагнитных
волн и ускорению заряженных частиц.
Остановимся кратко на связи турбулентного движения с молеку-
молекулярным и возможности перехода энергии турбулентного движения
в тепловое движение. Предположим, что в некоторый момент време-
времени в жидкости исчез источник, генерирующий турбулентность. Она
при этом затухает, например, из-за вязкости, а энергия турбулент-
турбулентного движения переходит в тепло. Естественно предположить, что
турбулентные процессы, приводящие к интенсивным диссипативным
процессам переноса энергии и импульса, содержат механизм более
интенсивного перехода энергии турбулентного движения в энергию
теплового движения.
Из этих соображений (более подробно см. § 1.3) можно заклю-
заключить, что такой механизм действительно будет существовать в том
случае, если стационарная турбулентность может существовать
при различных мощностях возбуждения турбулентности. Хорошо
известно для жидкостей, что стационарная турбулентность уста-
устанавливается при различных мощностях возбуждения, например
при различных скоростях движения жидкости в трубах. Этот эф-
эффект указывает на то, что переход энергии турбулентного движения
в тепловую зависит от интенсивности турбулентного движения.
Аналогичные эффекты в плазме приводят к нагреву, зависяще-
зависящему от интенсивности турбулентности, и носят название турбулент-
турбулентного нагрева. Большое число экспериментов, проведенных в послед-
последнее время [2, 7, 8], указывает на эффективность и практическую
значимость турбулентного нагрева.
Чтобы понять механизм турбулентного нагрева, следует рассмо-
рассмотреть процесс формирования стационарной турбулентности. Обра-
Обратимся снова к примеру турбулентности жидкости.
* Именно эти факты служат основанием для попыток описания турбу-
турбулентных процессов в жидкостях по аналогии с молекулярными, вводя фено-
феноменологическую длину перемещения [5], сходную с длиной свободного про-
пробега в молекулярных соударениях. Такой подход к турбулентности плазмы
использовался в работе [б].
13

§ 1.3. СПЕКТР ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В несжимаемой жидкости единственно возможным колективным
движением является вихревое движение элементов жидкости. Из
условия несжимаемости div v = 0 движение жидкости определя-
определяется лишь rot v. Турбулентность несжимаемой жидкости соответст-
соответствует набору случайных вихрей. Часто вводится понятие масштаба
турбулентных пульсаций / или характерного размера вихря
1 = -,	A.20)
где &=|к|—волновое число, характеризующее турбулентные пульса-
пульсации*. В турбулентном состоянии (точнее, в развитой турбулентности)
обычно присутствуют вихри различных масштабов. Распределение
интенсивности турбулентного движения по масштабам часто харак-
характеризуют спектром турбулентности. Пусть турбулентность изотроп-
изотропна, однородна и стационарна. Обратимся к A.13), введем величины
A.21)
A.22)
Тогда энергия турбулентного движения вихрей** единицы объема
запишется в виде
оо
$	A.23)
Величину Wk называют обычно спектральной функцией турбу-
турбулентности. В отличие от Wk,co, характеризующей распределение тур-
турбулентных пульсаций, отнесенное к единичному интервалу dk dco,
эта величина характеризует энергию турбулентных пульсаций, отне-
отнесенную к dk, т. е. распределение турбулентных пульсаций по мас-
масштабам турбулентности.
* В дальнейшем использование одной и той же буквы k для обозначе-
обозначения четырехмерного вектора {к, со} и |к| в большинстве случае не приве-
приведет к недоразумениям, так как 4-вектор встречается лишь в виде индекса
у компонент Фурье или их средних квадратов [см. A.17)].
** Заметим, что вихревыми движениями можно ограничиться в том слу-
случае, если (vs — скорость звука)
^8вГ	A.24)
^2
-С».-'	-A.25)

Остановимся на примере течения жидкости по трубе. Среднюю
скорость течения будем считать много меньшей vs. При малых ско-
скоростях движение вязкой жидкости ламинарно, при больших — ста-
становится турбулентным. Проследим, как происходит переход от
ламинарного течения к турбулентному. Возникновение турбулент-
турбулентности связано с неустойчивостью ламинарного течения [1]. С рос-
ростом средней скорости < v > потока неустойчивость возникает при
некоторой критической скорости < v >*, при меньших скоростях
течение является ламинарным. Так как скорость жидкости на стен-
стенке равна нулю, то значения скорости элементов жидкости растут
при приближении к оси трубы. Если взять цилиндрическую трубу,
то можно считать, что в ней движутся цилиндрические слои жидко-
жидкости, испытывающие из-за вязкости трение со стороны соседних слоев.
Трение, осуществляющее передачу импульса от слоя к слою, явля-
является молекулярным. С ростом средней скорости потока профиль
скоростей вытягивается и растут градиенты скорости.
При определенных значениях<^^>=<С^>* такое движение ста-
становится энергетически невыгодным; более выгодным будет переда-
передача импульса в результате перемешивания слоев. Характерный мас-
масштаб этого движения порядка L —характерного размера сечения
трубы. В дальнейшем с ростом <.v> крупномасштабное движение
становится также неустойчиво, в результате возникают вихревые
движения более мелких масштабов. Последовательность такого
дробления масштабов приводит к распределению энергии турбулент-
турбулентности по широкому интервалу масштабов, т. е. в широком диапазо-
диапазоне k. Механизм дробления масштабов турбулентности должен быть
нелинейным.
Асимптотический вид спектра турбулентности несжимаемой жид-
жидкости получил А. Н. Колмогоров [9] из простых соотношений раз-
размерностей. При этом были сделаны простые физические предполо-
предположения.
1.	Турбулентность локально изотропна. Другими словами,
спектр турбулентности вихревых движений может быть охаракте-
охарактеризован единственной величиной Wh [см. формулу A.22)].
2.	Существует постоянный поток энергии от крупномасштаб-
крупномасштабных пульсаций к мелкомасштабным. Такой поток устанавливается
для достаточно мелких масштабов турбулентности, значительно
меньших основного масштаба,
A.26)
т. е.* для
?»?<>.	A.27)
Найденный спектр турбулентности является асимптотическим, т. е.
справедливым лишь при достаточно больших волновых числах k>
соответствующих условию A.27).
Второе предположение Колмогорова следует несколько пояс-
пояснить. Постоянство потока энергии означает, что энергия турбулент-
15

ных пульсаций передается каскадным образом лишь пульсациям со-
соседних масштабов. Энергия турбулентных пульсаций должна транс-
трансформироваться от волновых чисел к соседним значениям k + Д&,.
где А/г порядка /г, и только после этого перекачиваться дальше.
Другими словами, делается определенное предположение о природе
нелинейной связи турбулентности разных масштабов, а именно
Рис. 1.3. Спектр турбулентности несжимаемой жидко-
жидкости. Стрелкой отмечено направление трансформации
турбулентной энергии.
это нелинейное взаимодействие наиболее эффективно для
A.28)
Запишем теперь условие постоянства потока энергии, исходя из
размерностей. Поток энергии имеет размерность плотности энергии,
деленной на время. Размерность плотности энергии имеет величина
Wkk. - Величина lit имеет размерность частоты со; ее можно соста-
составить из волнового числа k и v0 лишь как kv0, где v0—величина с
размерностью скорости. С другой стороны, Wkk имеет размерность
т е уж^——1
¦есть Wkkkv0 ~Whk*
\ )
Постоянство Q позволяет определить зависимость Wk от k
(рис. 1.3)
т. е. уож^——1 . Отсюда размерность потока энергии
пт
const
A.29)
Формула A.29) и описывает известный спектр Колмогорова^
Условия применимости A.29) состоят наряду с A.27) также
в том, что вязкость жидкости пренебрежимо мала. Как правило,
вязкость существенна при больших градиентах, т. е. при больших
к. Пусть kv то значение волнового числа, для которого начинает
сказываться вязкость. Тогда необходимое условие справедливости
A.29) запишем в виде
?«?v.	A.30)
16

Когда вязкость существенна, появляется величина с новой раз-
размерностью, и проведенные выше рассуждения, опирающиеся на
соотношения размерностей, теряют силу. Заметим, что спектр A.29)
подтвержден экспериментально с хорошей статистикой в широком
диапазоне k.
На основании сказанного легко понять механизм дополнительного
поглощения энергии при развитии турбулентности. Турбулентность
осуществляет перекачку энергии пульсации из области генерации
k ¦—k0 в область больших k ~ kv до тех пор, пока не начинает
играть роль поглощение пульсаций из-за вязкости. Турбулентность
не приводит к какому-либо истинному поглощению коллективных
движений жидкости. Это отражается в том, что энергия турбулент-
турбулентных пульсаций не теряется в процессе ее перекачки от одних масшта-
масштабов к другим. Однако энергия коллективного движения переходит
в ту область, где истинное молекулярное поглощение становится
весьма интенсивным.
Теперь можно пояснить механизм установления стационарной
турбулентности при различных интенсивностях ее возбужения.
Стационарная турбулентность возникает в результате баланса энер-
энергии в системе. Энергия турбулентности переходит в крупномасштаб-
крупномасштабные движения из-за внешнего возбуждения и диссипируется в мелко-
мелкомасштабных движениях из-за вязкости. С изменением интен-
интенсивности возбуждения меняется лишь поток энергии от крупно-
крупномасштабных пульсаций к мелкомасштабным. Затухание турбу-
турбулентных пульсаций из-за вязкости при больших k является отра-
отражением того факта, что коллективные гидродинамические движения
жидкости при очень больших k вообще невозможны. В жидкости
другие коллективные движения, кроме гидродинамических, отсут-
отсутствуют.
В плазме возможны гидродинамические движения в условиях,
когда соударения велики, а в магнитном поле и в случае, когда со-
соударения малы (см. [10—12]). В этих условиях на плазму могут
быть перенесены результаты, изложенные выше. В. плазме сущест-
существует большое число коллективных степеней свободы, имеющих
длины намного меньше длины свободного пробега. Характерным для
них является также наличие областей «прозрачности», где колеба-
колебания слабо затухают, и областей, в которых поглощение велико.
Трансформацию энергии пульсаций в области поглощения можно
рассматривать как механизм установления стационарного спектра
и как механизм турбулентного нагрева плазмы.
Приведенный пример содержит все элементы, из которых воз-
возникает стационарная турбулентность в плазме, хотя плазменная
турбулентность несравненно богаче возможными каналами взаимо-
взаимодействий, и простые соображения размерностей уже неприменимы.
Первый необходимый элемент состоит в разделении областей
генерации турбулентных пульсаций и областей поглощения их
энергии. Если в какой-либо области волновых чисел турбулентные
пульсации нарастают, то это возможно лишь в силу того, что ин-
17

кременты генерации превышают декременты поглощения пульса-
пульсаций, следовательно, поглощение пульсаций возможно лишь в такой
области волновых чисел, в которой соотношения между декремен-
декрементами и инкрементами противоположны.
. Второй необходимый элемент состоит в наличии трансформа-
трансформации энергии пульсаций из области генерации в область поглощения.
Только такой процесс может установить баланс энергии турбулент-
турбулентности в плазме и привести к стационарной турбулентности. Как пра-
правило, этот процесс трансформации энергии нелинеен.
Эти эффекты станут более ясными, если познакомиться кратко
с возможными коллективными движениями плазмы и в первую оче-
очередь с линейными коллективными степенями свободы. Начать сле-
следует с наглядного качественного их описания.
§ 1.4. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЛЕКТИВНЫЕ СТЕПЕНИ
СВОБОДЫ ПЛАЗМЫ
Коллективные степени свободы плазмы можно разделить на
гидродинамические (гидромагнитные) и бесстолкновительные степе-
степени свободы. Последнее понятие означает, что (хотя соударениями
частиц полностью не пренебрегают) характерные времена движений
плазмы для данных степеней свободы много меньше среднего вре-
времени между соударениями. В условиях, когда соударения часты,
т. е. характерные времена для коллективных степеней свободы
много больше частоты соударений, плазма может быть описана гид-
гидродинамическими уравнениями или, при наличии магнитного поля,
уравнениями магнитной гидродинамики.
В дальнейшем будем придерживаться избранного определения
двух классов степеней свободы плазмы, критерием разделения на
которые является частота соударений со ^ vCT. Необходимость
указанного четкого определения терминологии связана с тем, что
ряд низкочастотных бесстолкновительных степеней свободы имеет
сходство с соответствующими гидродинамическими степенями сво-
свободы и их часто также называют гидродинамическими.
1.4.1. ИЗОТРОПНАЯ ПЛАЗМА В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНИХ
МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
В плазме турбулентные движения можно описывать с помощью
связанных с ними электромагнитных полей. В изотропной плазме
такие поля либо продольные, либо поперечные.
Опишем продольные колебания плазмы,рассмотренные впервые
Ленгмюром [13]. Рассмотрим случай малых линейных амплитуд
колебаний. Пусть в квазинейтральной плазме плоский слой элект-
электронов толщиной А* сместился в направлении х на расстояние А*
(рис. 1.4). В результате смещения в слое возникает избыток элек-
электронов, а в соседнем — недостаток. Появившееся разделение за-
зарядов вызовет электрическое поле. Это поле будет создавать силу,
18

приводящую к притяжению отрицательного и положительного слоев
плазмы, в результате чего электроны плазмы придут в движение.
В момент времени, соответствующий компенсации зарядов отрица-
отрицательного и положительного слоев, электроны будут иметь максималь-
максимальную кинетическую энергию и поэтому «проскочат» состояние рав-
равновесия. В результате возникнут колебания плотности заряда и
электрического поля. Найдем частоту этих колебаний с учетом того,
что поле плоского слоя
равно
? = 4яа*, A.31)
где а*—плотность по-
поверхностного заряда,
о*=еп Ах; п—плотность
плазмы. На каждый
электрон слоя действует
сила
F = еЕ = 4jte2 nAx> A.32)
пропорциональная от-
отклонению от положения
равновесия. Отсюда
Рис. 1.4. Колебания слоя плазмы.
dt*
4-
4ппе2
(йре —плазменная частота колебаний электронов. Выражение
A.33) для линейных колебаний справедливо при пренебрежении
тепловым движением электронов. Учет теплового движения при-
приводит к малым поправкам [14, 15]
СО2 —tiJpe-\-3k2 Vre,	A-34)
где k—волновое число, vTe~\ ——средняя тепловая скорость
электронов плазмы*. При kvTe <cope поправки к ®ре в A.34) малы.
Фазовая скорость колебаний
0)
Т
СО
ре
k
A.35)
меняется в пределах от величины порядка геД.
В бесстолкновительной плазме возможен также другой тип про-
продольных колебаний, которые имеют более низкую частоту и носят
название ионно-звуковых. В отличие от ленгмюровских колебаний
в создании ионно-звуковых принимают участие как электроны, так
* Здесь и в дальнейшем Те измеряется в энергетических единицах.
19

И ионы. Вследствие этого ионно-звуковые колебания представляют
собой относительно медленные волны, фазовая скорость которых
много меньше средней тепловой скорости электронов и электроны
успевают быстро «подстраиваться» под распределение ионов. При
неравномерном смещении ионов появляется пространственный
заряд. Этот заряд создает некое распределение потенциала ф. В
каждый момент времени электроны, подстраиваясь под это распре-
распределение потенциала, будут распределены по Больцману:
A.36)
Для слабых ионно-звуковых волн потенциал еу мал по сравне-
сравнению с Те и A.36) имеет приближенный вид
/ie«/i0(l+^-V	A.37)
Под действием потенциала ф ионы начинают совершать движение,
описываемое уравнением (ионы однократно ионизованы Z=l)
dv
^ E	A.38)
Изменение скорости в силу уравнения непрерывности приводит
к изменению их плотности
д-^+ div(n,v,)- -gf(ni-no) + nodiwvi = O.	A.39)
Для плоской волны, когда все величины зависят от координат
и времени как exp(ikr — ico/), получим:
© (п t — п0) = п0 (kv?); mt <ovf =
kv.
[1^)	A.40)
Уравнение Пуассона дает
ivE = 4ne(ni — пе);
2
или
k2v2s
\f%	(L42)
20

при
б«^г; «> = kvs,	A.43)
т. е. получаются типичные звуковые колебания. При k > —
vTe
2 4яп0 е2
2
получим co = copf—это ионные плазменные колебания; сор/ =
Возникновение ионных колебаний можно легко понять, если
учесть, что смещение ионов из положения равновесия, соответст-
соответствующего квазинейтральности, могло бы приводить к таким же коле-
колебаниям ионов, как и смещение электронов, однако экранировка
пространственного заряда электронами мешает этому. Но существуют
такие длины волн, для которых экранировка невозможна, именно
с этим связано возникновение колебаний с юс^ (opi.
Поле заряда, помещенного в плазму, экранируется на расстоя-
ниях порядка 	. Действительно, рассмотрим уравнение Пуас-
Пуассона
Аф= — 4лр= —4лро-\-4ппое \еТе— 1/, ;	A.44)
где Ро — плотность внешнего заряда, а последний член A.44) опи-
описывает экранировку электронами. При малых у<^Те/е
A.45)
Второй член левой части A.45) описывает экранировку и сравним
с первым ( который имеет порядок	) на расстояния
V	(А#) /
Величина
Vr
A.46)
СО
носит название дебаевского радиуса. Она характеризует те расстоя-
расстояния, на которых поле заряда, внесенного в плазму, экранируется
электронами. Для колебаний со = сор. длина волны меньше деба-
дебаевского радиуса и электроны не могут экранировать ионы. Поэтому
и возникают ионные колебания.
21

Ионно-звуковые колебания в общем случае имеют фазовые ско-
скорости
vp = vs(l + k*d2e)-l/\	A.47)
которые всегда меньше vs. Последняя, в свою очередь, много
меньше vTe: vs = vTe у —. При Те порядка 7\, когда vs порядка
vTp ионно-звуковые колебания отсутствуют из-за интенсивного
поглощения на ионах. Они возможны лишь при выполнении не-
неравенства
7е»7„	A.48)
когда
Кроме продольных колебаний в изотропной плазме возможны
поперечные колебания. Они распространяются в виде волн в плаз-
плазме лишь при
(о>о)ре.	A.49)
Ввиду того, что частота волн велика, в волне смещаются элект-
электроны
Для плоских волн ~ехр(—ico^+ikr) получим
.	в2 tin
h = Mo vft =
me to
A.50)
i
0)	ОJ
где е—диэлектрическая проницаемость, а—проводимость плазмы.
Показатель преломления поперечных волн
Из действительности е следует A.49). Подставляя в A.50) vp =
= (о/&, имеем
со^со^ + ^к2.	:	A.51)
Фазовые скорости поперечных волн больше скорости света. Форму-
Формула A.51) описывает спектр поперечных волн в плазме. Возможные
спектры колебаний однородной плазмы изображены на рис. 1.5.
22

Целесообразно рассмотреть, какая доля полной энергии турбу-
турбулентности в коллективных степенях свободы плазмы приходится
на\энергию электромагнитного поля. Начнем с ионно-звуковых ко-
колебаний.
Энергия движения ионов составит
г *
10
t//co«*c
со2 8я
Рис. 1.5. Зависимость частоты турбулентных-пульсаций
от волнового числа в однородной плазме при #о=О.
т. е. грубо
(О2
\Ек\
dk.
A.52)
В области ионных колебаний со ~ (api\ Wtc^.WE, т. е. полная
энергия турбулентности делится поровну между энергией электри-
электрического поля и энергией колебаний ионов. В области
СО = to =1
т? имеем
A.53)
23

Из выражения A.53) следует, что основная энергия заключена в
движениях ионов. Аналогично приведенному расчету легко получить
выражение энергии для ленгмюровских и поперечных колебаний
соа
A.54)
Для ленгмюровских колебаний энергия турбулентности делится
поровну между энергией поля и энергией электронов, а для попереч-
поперечных волн это имеет место лишь при со~>соре, т. е. в силу A.51)
для очень больших длин волн, значительно превосходящих величину
с/соре. Для волн больших частот со ^> соре основная энергия за-
заключена в электромагнитном поле. Напомним здесь, что электромаг-
электромагнитное поле в турбулентной плазме участвует на «одинаковых пра-
правах» с другими параметрами, такими, как скорости частиц и т. п. Как
будет видно из дальнейшего, даже волны со ^>> соре могут интен-
интенсивно взаимодействовать с турбулентными пульсациями плазмы и,
в частности, порождаться ими.
1.4.2. Однородная плазма в сильном внешнем
магнитном поле
При наличии даже однородного внешнего магнитного поля Но
число возможных коллективных степеней свободы плазмы становит-
становится весьма большим. Ограничимся рассмотрением лишь наиболее
важных из них. Пренебрегая силой Лоренца со стороны самосогла-
самосогласованных полей, можно описать при наличии магнитного поля ма-
малые движения заряда уравнением
^	[0]+^-E.	A.55)
dt тс	т
Если все величины записать в виде плоских волн
ехр(—ico^+ikr), то
Ь] + ^-Е„	A.56)
где со „ = ^; h = ^-. Алгебраическое уравнение A.56) легко
п тс	н0
решается относительно v (Но || г):
2 п0
т
2 п0
т
псо
<
со'
со2
ico / с"
2-со^\
ico /
-юя ^
с+1 со
^я
ю
^):
A.57)
24

В отличие от HQ = 0 поле вдоль х вызывает электрический ток в
плазме не только в направлении х, но и в направлении г/. Это явле-
явление приводит к гиротропии и анизотропии плазмы.
Рассмотрение новых типов волн, появляющихся в плазме при
наличии магнитного поля, начнем с колебаний, частоты которых
много меньше ионно-циклотронных частот
Особый интерес представляют альфвеновские волны [16]. Для
их рассмотрения учтем, что эффекты гиротропии при со <^ <он яв-
являются малыми, так как вклад ионов в j™p в точности равен и про-
противоположен вкладу электронов
.гир __ е2 п0
tn_ со
•я,
A.58)
Итак, при со <? соя/
пг.
. _e
Jz — ~
t
77
tne со
A.59)
где знак _J_ указывает на проекцию, перпендикулярную к внешне-
внешнему магнитному полю.
Уравнения Максвелла
„ 4я	1 дЕ
с dt
дают для плоских волн
• п и 1 4я . . со -^
)[kHft] = — ih—i — Eft;
с	с
.=.^№Ь.
или с учетом A.59)
j (kE)-k2EJ=
A.60)
A.61)
A.62)
= @%Ег — (й*Е2.	A.63)
Так как даже весьма слабое поле Ez создает большой ток в плаз-
плазме, значения Ег должны быть малыми для волн с Е± фО>
25

Действительно, из A.63) следует
Пусть ось х выбрана в плоскости кН, т. е. ky = 0. Проекции A.62)
на х и у имеют вид
A.64)
A.65)
Эти соотношения можно записать в виде
®а =kvA |cosG |;	A.66)
<*M=kvA,	A.67)
Где 0-_уГол между направлениями к и Н0, a vA—альфвеновская
скорость,
v\ jb%i ^ 1 = НУ4пп0тгс*
с*
Волна сол называется альфвеновской, а сож — магнитозвуковой.
В относительно слабых магнитных полях, удовлетворяющих
неравенству
имеет место приближенное выражение для vA, полученное впер-
впервые Альфвеном [16],
Но с
Y4nn0 mt с2
A-69)
Фазовые скорости альфвеновских и магнитозвуковых волн совпа-
совпадают или меньше va и могут быть в сильных магнитных полях весь-
весьма большими. Однако они не могут согласно A.68) превысить ско-
скорость света [17].
При малых va*& vs (vs — скорость ионно-звуковых колеба-
колебаний) соотношения A.66) и A.67) видоизменяются. Пусть далее элек-
электроны плазмы являются замагниченными, т. е. длины рассматривае-
рассматриваемых волн намного превосходят средний ларморовский радиус вра-
26

щения электронов во внешнем магнитном поле. Существенную роль
в данном случае играет лишь значение kx (ky = 0). Принятое усло-
условие может быть записано как
kxre<l,	A.70)
где ге = —	ларморовскии радиус электронов, движущихся

со средней тепловой скоростью vre =}/ГТе/те. Рассмотрим плос-
плоскую волну
?=?10exp(ikr — Ш).	A.71)
Из-за замагниченности действующее на электроны поле имеет при-
приближенный вид
Е ~ Ео A + ikx x) exp (\kzz — i®t).	A.72)
Второй член в круглых скобках A.72) всегда мал, однако, как
будет видно из дальнейшего, иногда его необходимо учитывать. В
силу того, что поле волны приближенно зависит лишь от z, может
быть всегда введен потенциал ф, такой, что
¦ - р _ &Р
Lz~ дг
или для плоской волны
Ez9h=-ikzVk.	A.73)
Из-за замагниченности электронов магнитное поле препятст-
препятствует установлению больцмановского распределения поперек маг-
магнитного поля, однако вдоль магнитного поля свободно устанавлива-
устанавливается больцмановское распределение. Потенциал ф характеризует
как раз распределение электронов вдоль магнитного поля. Так же
как и для звуковых колебаний, концентрация электронов будет
определяться выражением
Поле поляризации, созданное неравномерностью распределения
электронов, будет иметь лишь компоненту Ег вдоль магнитного
поля. Ток электронов /2, созданный этим полем, легко найти из
уравнения непрерывности
g- = O,	A.74)
которое для плоской волны имеет вид
^/z = G)P=— ©е(/ге—по)=— (оп0е-^-.	A.75)
27

Используя A.44), получаем
со2
jie)=	- • 2Р^ соЯ2.	A.76)
Отсюда вместо A.59), учитывая A.57) для ионов, получаем
Если рассматривать только такие колебания, для которых
магнитных полей не возникает т. е. rot Е = 0, то уравнения
Максвелла дают
= 4jiJ,	A.78)
с dt с
и в силу A.77)
k2v2
^ = —^-.	A.79)
Спектр A.79) отличается от A.42) тем, что рместо k2 входит k%
Это тесно связано с замагниченностью электронов плазмы. Итак,
в области kzde<^\ имеем
a^Afs^fo.lcosGI.	A.80)
Эти колебания носят название замагниченных ионно-звуковых.
Замагниченные ионно-звуковые колебания могут существовать в
случае, если va ^> vsy так как только в этом приближении оказы-
оказывается оправданным предположение о равенстве нулю магнитного
поля колебаний. При va — vs вместо двух волн со^ и co^s появляются
две другие, которые носят название ускоренной и замедленной маг-
нитозвуковых волн. Связь этих волн возникает из-за того, что в
токе \у появляется компонента, пропорциональная EZ9 а в токе
jz — компонента, пропорциональная Еу. Последнее легко понять,
если учесть, что плотность электронов модулирована согласно A.37)
полем
Ьпе = пе—по = -^-по.	A.81)
Поэтому ток }у наряду с ранее найденным выражением A.5?)
jy=-^^-Ey^eno(-8v{;)+Hi))	A.82)
4
будет содержать поправку, обязанную модуляции плотности
8jy == — ebne v$, где voej — скорость вр ащения электронов по лар-
28

моровской окружности без учета действия поля волны. Исполь-
Используя A.81), имеем
Искомой величиной является среднее значение тока по всем
частицам плазмы. Однако v{oy = v0sin((OHet + (po) в среднем равно
нулю и следует принять во внимание малый член в A.72), учи-
учитывающий конечность ларморовского радиуса частиц. Если
TO
п(е)
Поэтому
• 2	2
^ ^	A.84)
Попутно отметим, что аналогичные поправки к jx отсутствуют,
так как
<лх»<*>> <•» <sin ((oHe t + фо) cos (соЯв t + ф0 )> = 0. A.85)
Отсюда следует, что альфвеновские волны имеют спектр
сол = kvA j cos G j не только при vA^vs> но и при любом соотно-
соотношении между Va и vs. Легко далее получить, что поправки к \г
имеют вид
^g0?,.	A.86)
4ясо
я/
Последнее доказывается несложно из недиссипативности эф-
эффектов, приводящих к току A.84). Действительно, запишем усло-
условие равенства ну^ю средней за период работы, совершаемой полем
над создаваемым им током
<Ej> = 0.	A.87)
Часть j±, описываемая A.59), имеет сдвиг по фазе я/2 [мнимая
единица в A.59)] по отношению к Е± и выпадает из A.87), тогда
<6/,^>+<6/V?2> = 0.	A.88)
Легко видеть, что как раз (L86) удовлетворяет этому равенству.
29

CD2
С учетом найденных токов и k2 <€~j- вместо уравнения A.65)
имеем из A.61):
A.89)
Система уравнений приводит к спектрам колебаний [17, 18]:
a>l = k*ol;	A.91)
v*=
где
Апппц
Волна со+ называется ускоренной магнитозвуковой волной, а
со_—замедленной. В пределе vA0^vs ©, переходит в со^, а со_—
в (oMs. В случае v2AQ<^c2 получим [19]
Переходя к волнам больших частот, остановимся на продоль-
продольных колебаниях магнитоактивной плазмы. Такими обычно назы-
называют колебания, для которых приближенно электрическое поле
колебаний направлено по волновому вектору волны к. Учитывая,
что для таких волн rot H = 0, имеем
k).	A.94)
30

Из A.57) следует, что
Учитывая kl + ky = k2 sin2 0; kl — kz cos2 0, получаем
ш*е sin* 9 | m-gtsin«e [ mg.cos'9 _{
2	f
|	[	( )
CO2 — CD^	CO2 — (ufj.	0J
Для волн больших частот основной вклад в s вносят лишь
электроны плазмы. Уравнение A.96) может быть записано тогда
в виде
0L —со2 (соя, +&%) + соя, @% cos2 0 = 0.	A.97)
Отсюда
о
j	± /(coL—co^J + 4coLco^sina0]- A.98)
В условиях соре>сояе Две ветви A.98) имеют вид
со+ Ь* со ; со_ ^j соЯе | cos 91.	A.99)
Под углом, близким к я/2, имеем для любых полей
^^ L	A.100)
При (З-мт/2 для ветви сд_частота, согласно A.98), стремит-
стремится к нулю, и ну^кно учесть при малых со вклад ионов. Можно
найти точное решение A.96) при 0 = я/2 из уравнения
СО4 — СО2 (сОяе + ®1е ) + ®Не ®Н1 (®%е + ®Не ©Я/) = 0,	A.101)
Для больших частот можно пренебречь последним членом A.101),
что дает A.100), тогда как для малых частот пренебрежимо ма-
малым оказывается первый член A.101)
В плотной плазме с co^v, ^> соЯе частота со_ равна средней гео-
геометрической электронной и ионно-циклотронной частот:
31

Эту частоту часто называют гибридной. Для малых частот под
углом, не близким к л/2, в уравнении A.96) следует учесть лишь
последние два слагаемых левой части. В условиях copf ^> (оя*
получим решения вида A.99), в которых индекс «?» необходимо
заменить индексом <ц»:
о!?}
со!?} = со//,-1 cos 0 |	A.104)
В частности, к ветви со{!1 стремится ветвь замагниченных ионно-
звуковых колебаний в плотной плазме.
В тех случаях, когда электроны успевают распределиться по
Больцману (для медленных волн), для ]z следует использовать
A.78). Это видоизменяет уравнение (L96) для продольных волн
следующим образом:
+L	(
GJ-©^	GJ	k*V2Te
Здесь отброшены члены, описывающие вклад электронов в j±.
Биквадратное уравнение A.105) имеет следующие решения
i)
______
<4 = } [am + k2 v2s ± V{co2Hi + k* v2s)*-4cos2 вю^ k* vl] - A.106)
При k2 v2 <c ®Hi имеем
n2Q\	A.107)
.	A.108)
Эти формулы описывают известные уже замагниченные ионно-зву-
ковые колебания и новую ветвь A.107), частоты которой не мо-
могут быть меньшими соя/ (эта ветвь естественно выпала из рас-
рассмотрения при со < ©я/). В области Й2^>о)я; имеем
A.109)
.	.	A.110)
Другими словами, ветвь замагниченных ионно-звуковых колебаний
переходит в ионные продольные волны A.104), а ветвь A.107) —
в незамагниченные звуковые колебания. В дальнейшем с ростом k
незамагниченные звуковые волны переходят в ионные колебания
©pf. Описанная-картина имеет место при соя/ <С ®Pi-
Следует осветить вопрос о непродольных волнах больших час-
частот. К ним относятся, в частности, поперечные волны, частоты кото-
32.

рых много больше всех характерных частот плазмы. Для волн,
имеющих частоты порядка со#е и со^, в отличие от изотропной
плазмы (о(к) зависит от углов. При более низких частотах порядка
©я/ такие волны непосредственно переходят в быстрые магнито-
звуковые волны.
Рассмотрим эти волны, считая со#; <^ со <^ со#е. Выше отме-
отмечалось, что гиротропные эффекты в области малых частот со <^g co#e>
(Ohi малы в силу взаимной компенсации вклада электронов и ионов
(вращающихся в противоположных направлениях). В области
<оя/ <С © <С ®не компенсация нарушается и основными становятся
гиротропные члены. Легко из A.57) получить:
4яо)Яе
A.111)
Считая, что компонента Ег мала, что, как показано выше, оправ-
COr
дано при k <?-??, имеем из уравнений Максвелла вместо A.64)
с
=	—Ех.	A.113)
Перемножая последние два равенства, имеем
Указанные типы волн, в которые переходят быстрые магнито-
звуковые волны, носят много названий: вистлеров, геликонов, нако-
наконец, свистящих атмосфериков или просто свистов. При cos 0 = 1,
т. е. при распространении вдоль поля, как легко видеть,
т. е. это волны круговой поляризации. Если со ^> соЯе, то при
k си (йре/с существенную роль начинают играть компоненты Ez и
волны переходят в электронную продольную волну со_ A.99).
Наконец, в плазме существуют так называемые циклотронные
волны (х)е с^ vcotfe, co^ ~ vco#/> v — целое число. Они в основном
распространяются перпендикулярно к магнитному полю и имеют
33

длину порядка ларморовского радиуса. Возможные спектры схе-
схематически изображены на рис. 1.6.
1.4.3. Неоднородная магнитоактивная плазма
В неоднородной плазме, помещенной в постоянное однородное
магнитное поле, появляются специфические дрейфовые волны. Ча-
Частоты дрейфовых волн весьма малы. Следует осветить вопрос, как
&HlC0$6
Рис. 1 6 Зависимость частоты от волнового числа для низкоча-
низкочастотных пульсаций магнитоактивной плазмы низкого давления р
Ъпр
при р= -~2-« 1; vA^vs:
N
Участок
кривой
Тип турбулентных
пульсаций
Закон дисперсии
Замагниченные звуковые
колебания
Ионная продольная волна
Альфвеновская волна
Волна, переходящая в ион-
но циклотронную
Незамагниченные звуковые
колебания
Ионные колебания
Магнитогидродинамическая
волна
Вистлер
Низкочастотная продольная
электронная волна
| cos Э I
. | COS 9 |
\ COS Э I
А
\ cos 9 |
"He
= 0)^, I COS 01
tie

изменяются три рассмотренные выше ветви (альфвеновская и две
магнитозвуковые) при учете неоднородности плазмы.
Рассмотрим случай, когда неоднородность — слабая, т. е. дли-
длину волны будем считать малой по сравнению с характерным раз-
размером неоднородности. Невозмущенную колебаниями плотность
плазмы п0 можно тогда аппроксимировать разложением
Ло = МО) + У —?@).	A.115)
dy
Здесь и ниже считаем, что неоднородность имеется лишь в одном
направлении, принимаемом за ось у. Выберем это направление пер-
перпендикулярным к магнитному полю и будем считать dnjdy =
= const. Характерный размер L неоднородности плазмы удобно
характеризовать величиной
L-1^	—.^>@),	A.116)
т. е.
(iQ	A.117)
Выше отмечалось, что модуляция плотности электронов из-за
установления для них больцмановского распределения в поле волны
создает в однородной ч плазме дополнительные токи [см. формулу
A.84)]. Аналогично возникают токи и из-за наличия неоднород-
неоднородности плазмы
где \т — скорость, связанная с тепловым движением электронов
и ионов по ларморовской окружности (точнее, винтовой линии).
В данном случае бд пропорционально у и отлично от нуля лишь
среднее значение
Для нахождения изменения плотности, обусловленной неодно
родностью, можно воспользоваться уравнением непрерывности
6/
6/za + div/2ova O.	A.119)
01
Учитывая, что производные от v имеют порядок ИХ (X— длина
волны), а производные от п0 значительно меньше этой величины
(порядка 1/L), можно приближенно считать п0 в A.119) постоянным.
Учитывая также, что не зависящая от у часть п0 в среднем вклада
не дает, имеем
|	a.	A.120)
35

Поскольку зависимость от у медленная, можно решение A.120)
в приближенном виде записать как const у exp (i кг — ico?):
co6na,k=-n0@)^-(kva,).	A.121)
Li
Здесь va — пропорциональные Е скорости частиц, связанные с коле-
колебаниями плазмы [например, A.57)]. Усредняя ток б/ с помощью
A.118), имеем
_ еп0 @) (k\i)v2Ti enQ @) (kvg) v2Te
®]#	>	A.122)
или, выражая результат через ток j в отсутствие неоднородности,
получим
6/x = -L(kj«>J!lL +J-(kjO)fli.	A.123)
Найденный дополнительный ток позволяет исследовать новые типы
колебаний плазмы, обусловленные ее неоднородностью.
Начнем с рассмотрения предельного случая va ^> v8. Посмо-
Посмотрим, какое видоизменение претерпевают ветри сом, со^ и qdms при
наличии неоднородности. Рассмотрим малые фазовые скорости
vp <^ va. В однородной плазме с такими фазовыми скоростями рас-
распространяются лишь замагниченные звуковые колебания со^5 =
= kvs | cos 0 |, являющиеся чисто продольной волной. Общее уравне-
уравнение продольных волн при пренебрежении током смещения имеет
вид
(Ч*) = 0.	A.124)
Если электроны распределены по Больцману, то
4я/Гг=-4^?*.	(Ы25)
а для ионов
4яуУ)г = i ^ • — Eh.	A.126)
(О	k
Наконец, в выражение для 8jk x вносит вклад лишь электронный
член A.123)
k i{e) v2
zh>z Te	A.127)
Подставляя токи A.125) — A.127) в соотношение A.124), по-
получаем дисперсионное уравнение [6]
со2—^ v* — (o(oD = 0,	A.128)
36

где
o)?> называется дрейфовой частотой, a Vd — дрейфовой скоростью
электронов. Если kx не мало, a kz мало, спектр, определяемый
A.128), существенно отличается от исследованного выше спектра
замагниченных звуковых колебаний, а именно при
kz^kx^R	A.130)
vs
спектр превращается в
Такая волна называется дрейфовой. Фазовая скорость волн
lz возрастает с падением kz. В случае, когда она становится
сравнимой с vaj волна перестает быть продольной. Для того чтобы
рассмотреть возможные движения плазмы в этом случае, отметим,
что в пределе Va :>> v8 ток jx описывает альфвеновские волны, а
ток jy — магнитогидродинамические со^ = kvA, которые отнюдь
не связаны со звуковыми. Поскольку неоднородность плазмы при-
приводит к дополнительному току вдоль х, то волна со^ = kvA не ме-
меняется из-за наличия неоднородности. Происходит изменение лишь
альфвеновской волны.
Для исследования этого явления рассмотрим уравнения Мак-
Максвелла, отбросив токи смещения:
*;	A.131)
c2kz (kEft) — k2c2 Ektz=—4n>\ ®jkt z.	A.132)
Ток jk, z будет тем же, что и в рассмотренном выше случае, т. е.
суммой A.125) и A.126):
_4я1 (ojktZ = Di ( 1	7-т ) Ek. z.	A.133)
Что касается тока jx, то наряду с A.127), учитывающим неоднород-
неоднородность, необходимо принять во внимание ток A.59), приводящий в
однородной плазме к альфвеновской волне
о / kz vD со	со2	\
= ®р1\ h2 2 ЕЬ.г	2-Ek,x)-	. A.134)
V kzvs	®HL	I
В результате мы получим следующее дисперсионное уравнение:
(со — coD)(co2 + cocoD — klvA)=0.	A.135)
37

со,
D
fly
жУ
'A
/6

Рис. 1.7. Зависимость частоты дрейфо-
дрейфовых пульсаций магнитоактивнои плазмы
f X._^f_		от волнового числа при Р = > — •
Участок
кривой
Тип турбулентных пульсаций	|	Закон дисперсии
10
Замагниченные звуковые колебания в од-
однородной плазме
Альфвеновская волна
Низкочастотная ветвь непотенциальных
дрейфовых волн
Замагниченные звуковые колебания в не-
неоднородной плазме
Низкочастотная ветвь потенциальных
дрейфовых колебаний
Замагниченные звуковые колебания в не-
неоднородной плазме
Непотенциальная дрейфовая волна
Альфвеновская волна в неоднородной
плазме
Дрейфовая волна
= kvs cos0
= kv „ cos 0
А
2 2 2
k va cos 9
kvQ cos 0 -\	¦
3	2
,2 2 2 n
k ис cos 0
a = kvs cos 0 —
2 2 2
k vj± cos 0
(й — kv COS0 -f- -
D
2
Л 2 2
k vs cos i
kv я cos 0
A	2
Альфвеновская волна в неоднородной
плазме
Рис. 1.8. Зависимость частоты дрейфовых
пульсаций магнитоактивнои плазмы от вол-
8пр те
нового числа при р = —у < — ;
Участок! Тип турбулентных I „
кривой]	пульсаций | Закон дисперсии
	2
Замагниченные зву-
звуковые колебания
в однородной плаз-
плазме
Замагниченные зву-
звуковые колебания
в неоднородной
плазме
То же
kVo COS0
0=&п COS 0 -{- -
cos 6 —
38

При kzVA<^G>D имеем, это |co| = coD, т. е. альфвеновская ветвь
переходит в дрейфовые колебания.
Следует обратить внимание на то, что выше рассматривался лишь
случай, когда давление внешнего магнитного поля намного пре-
превосходит давление плазмы р=п (Те-\- Тг). Возможные спектры не-
неоднородной плазмы схематически изображены на рис. 1.7 и 1.8.
Приведенный обзор относится лишь к линейным коллективным дви-
движениям плазмы (о нелинейных движениях см. § 1.5) и дает общее
представление о природе простейших турбулентных пульсаций
в ней.
§ 15. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЛЕКТИВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛАЗМЫ.
СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Уравнения движения плазмы являются нелинейными. Поэтому
в принципе возможны самосогласованные нелинейные движения.
Обратимся, например, к низкочастотным колебаниям типа ионно-
звуковых, не предполагая амплитуду колебаний малой. Рассмотрим
движения типа одномерных бегущих волн, для которых все вели-
величины зависят лишь от х — vpt, где vp = const — фазовая ско-
скорость волны. Из A,38) и A.39) получим
A.136)
OX
ИЛИ	/v 	v \2==v2	??$,
tut
const	novp
л; = -
Vp~V
A.137)
Здесь const найдена из условия пг = п0 при ф = 0.
Уравнение Пуассона при учете A.136) и A.137) приобретает
вид	:
Его первый интеграл
/"^-^+-ee^)=const=a- AЛ39>
Решение уравнения A.139) дает профиль скоростей и потенциа-
потенциала ф в волне. Этот профиль зависит от значения констант vp и а,
одна из которых vp — фазовая скорость, а вторая а — связана
с амплитудой волны. На плоскости U^, <pj уравнение A.139) дает
39

совокупность замкнутых кривых, описывающих периодические
волны. Эта совокупность кривых имеет предельную кривую, назы-
называемую сепаратрисой, для которой период стремиться к оо и
решение превращается в одиночный импульс. Этот импульс, нося-
носящий название солитон, возникает при
а=—4пп0т
т. е. соответствует кривой на плоскости, проходящей через точку
g = 0, Ф =0 [20, 21].
Нелинейные волны с постоянной фазовой скоростью воз-
возможны также и для высокочастотных колебаний, например ленгмю-
ровских. Для них можно приближенно пренебречь смещениями
ионов, а смещение электронов найти из уравнения непрерывности
и уравнения движения
пе (ve — vp) = const;
me(ve— vp)*	.	. .
	ecp = const.	A.140)
2
Уравнение Пуассона приводит тогда к следующему уравнению
для потенциалов:
-?.g=g>».fl- ,	'	. V	AЛ41)
dx* те	l
Отсюда
4т2
(± ?,\2+^(t>-2]^)=const = a,	A.142)
где
Легко видеть, что условию ср = 0; -^- = 0 соответствует a =
4со2
_	Y- и A.142) имеет лишь тривиальное решение v =1;
-^- = 0 во всем пространстве. Это показывает, что уединенные
¦импульсы (солитоны) невозможны, и единственным типом решений
является периодическая нелинейная волна.
Не будем здесь подробно останавливаться на других типах
нелинейных волн [21] в магнитоактивной плазме, отметив, что воз-
возможны как решения в виде солитонов, так и решения в виде перио-
периодических волн. Для дальнейшего обсуждения существенны два
обстоятельства.
Во-первых, нелинейные движения не удовлетворяют принципу
суперпозиции и, следовательно, совокупность двух решений не
40

может быть также решением. Это означает, что возбуждение многих
нелинейных степеней свободы, строго говоря, невозможно. Турбу-
Турбулентность предполагает передачу энергии от одних степеней свобо-
свободы к другим и тем самым в определенном смысле их независимое
существование, т. е. взаимодействие между степенями свободы: сла-
слабым. Таким образом, либо нелинейное движение существует и по-
подавляет другие движения: возбуждены одна или несколько степеней
свободы и турбулентность отсутствует, либо нелинейное движение
неустойчиво: возбуждаются другие движения, тогда нелинейное
движение является начальной стадией турбулизации плазмы, одна-
однако конечное турбулентное состояние может иметь свойства, отлич-
отличные от исходного нелинейного движения. Существует, правда, при-
пример, когда нелинейность не является слабой, а взаимодействие ре-
решений мало, т. е. приближенно выполняется принцип суперпози-
суперпозиции. Это случай солитонов или решений, близких к ним. В настоя-
настоящее время не совсем ясно, каким путем могут быть возбуждены со-
состояния плазмы с большим числом елабовзаимодействующих соли-
солитонов, хотя это и не исключено. Кроме того, одномерные волны с
постоянной фазовой скоростью представляют собой частные нели-
нелинейные движения, которые неустойчивы относительно трехмерных
возмущений.
Во-вторых, нелинейные коллективные движения, как правило,
имеют амплитуды, не сильно превышающие энергию теплового
движения частиц плазмы. Так, для низкочастотных ионно-звуко-
вых волн е<рмакс= 1,3 Те. а для высокочастотных [см. форму-
2
лу A.141)] ?фмакс= е9 р . Условие линейности волн бфмакс « Те
m v
^ е(у соответственно. Если записать эти условия через
энергию частиц в волне в 1 см3 плазмы WB, то WBuaKc^n0Ter
а условие слабой нелинейности для низких частот Wв макс <^п0Те..
Турбулентность плазмы также может характеризоваться отно-
отношением энергии турбулентности W к энергии теплового движения:
частиц плазмы	^ т	¦ у •
Этот параметр может быть мал т] <^ 1 и велик г) > 1. Наличие
в плазме коллективных движений с т]~1, например сильных
нелинейных волн, не означает, что и для турбулентных движений
г) ~ 1, если коллективные движения носят регулярный, а не слу-
случайный характер.
Здесь встает вопрос о сильной и слабой турбулентности. Часто
используется разделение слабой и сильной турбулентности по па-
параметру у\ (т]<^ 1 — слабая турбулентность, г\ > 1 — сильная).
Такое деление недостаточно, во-первых, для несжимаемой жидко-
жидкости, турбулентность которой является сильной, т]<^1. Действи-
Действительно, согласно изложенному выше, условие несжимаемости имеет
Вид W<^nmiV2s = пТ. Во-вторых, г] может быть большим, а
Движение нетурбулентным. Характерно для турбулентности взаи-
41

содействие коллективных движений между собой, так как без такого
взаимодействия нет потока энергии.
Сильной турбулентностью назовем такое состояние турбулент-
турбулентного движения, в котором спектр и корреляция турбулентных пуль-
пульсаций определяются их взаимодействием. Слабой турбулентностью
назовем состояние, в котором взаимодействие пульсаций слабо
изменяет их спектральные характеристики.
Если теперь рассмотреть возможные спектры линейных коллек-
коллективных движений плазмы, то видно, что с ростом их частоты границы
¦абсолютного значения интенсивности взаимодействий, при которых
турбулентность может стать сильной, отодвигаются к все большим
и большим значениям. Это значит, что сильную турбулентность
легче наблюдать для низкочастотных колебаний, чем для высоко-
высокочастотных. Для вихревых движений несжимаемой жидкости от-
отсутствует собственная частота движений, и турбулентность
сильная.
" Существуют также физические аргументы, указывающие на
то, что высокочастотная турбулентность, как правило, является
слабой. Для высокочастотной турбулентности (например, ленгмю-
ровской) относительная роль взаимодействий определяется пара-
параметром т), и условие ц <С1 1 в этом специальном случае эквивалент-
эквивалентно условию слабой турбулентности. Предположим, что увеличен
источник турбулентности, т. е. повысилось W. С увеличением W
/вырастут потоки энергии вдоль спектра. Й если эта энергия погло-
поглощается плазмой, то возрастает пТе. Таким образом, параметр г\ мо-
может даже упасть. Особенно интенсивными эти потоки энергии стано-
становятся при т|, приближающемся к 1, так как вступают в игру про-
процессы трансформации энергии более высокого порядка по т|. Эти
аргументы указывают на то, что наиболее вероятна слабая высо-
высокочастотная турбулентность, когда приближенно можно говорить
о взаимодействии линейных коллективных движений.
С другой стороны, в турбулентной плазме взаимодействие осу-
осуществляется не только между пульсациями одного типа, но и между
разнотипными пульсациями, например высокочастотными и низко-
низкочастотными. И хотя такое взаимодействие для высокочастотных
пульсаций слабо, оно может оказаться сильным для низкочастот-
низкочастотных. Это значит, что слабая высокочастотная турбулентность мо-
может существенно видоизменить дисперсионные характеристики и
природу коллективных движений в области низких частот. Это
возникает в условиях, когда взаимодействие с высокочастотными
пульсациями дает «сдвиги» в частотах, существенно большие, соб-
собственных линейных частот низкочастотных пульсаций. Таким обра-
образом, сильная турбулентность в области низких частот может быть
связана как с взаимодействием пульсаций между собой, так и
с другими пульсациями*.
* Подробный разбор низкочастотных электромагнитных свойств турбу-
турбулентной плазмы содержится в гл. 8.
42

Наконец, следует подчеркнуть, что для сильной турбулентно-
турбулентности безразлична природа ее возбуждения сильными нелинейными
волнами или другими источниками, так как информация об источни-
источниках турбулентности как бы ликвидируется эффектами взаимодей-
взаимодействия, которые формируют спектр пульсаций. Вместе с тем сильные
нелинейные коллективные движения могут возбуждать слабую тур-
турбулентность. Один лишь факт наблюдения пульсаций, для которых
т] — 1, не может поэтому служить свидетельством сильной тур-
турбулентности.
§ 1.6. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФИЗИКИ ТУРБУЛЕНТНОГО
СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ
Приведенный выше анализ некоторых вопросов установления
спектров и типов коллективных движений плазмы позволяет кон-
конкретно сформулировать основные проблемы турбулентности плаз-
плазмы.
1.	Изучение турбулентности плазмы базируется на анализе
возможных коллективных степеней свободы плазмы и их относитель-
относительной роли при том или ином способе возбуждения. Жидкость отлича-
отличается от плазмы тем, что в ней может существовать относительно
небольшое число коллективных степеней свободы. Важную роль в
плазме играют те коллективные движения, которые имеют место
при относительно слабых самосогласованных электромагнитных
полях. Их можно назвать линейными. Однако в плазме возможны
также нелинейные коллективные движения типа нелинейных са-
самосогласованных волн и уединенных импульсов.
2.	Исследование механизмов возбуждения коллективных дви-
движений плазмы и ее турбулентности является важной проблемой.
Согласно общим представлениям [1],возбуждение турбулентности
жидкости связано с неустойчивостью. Эта связь не всегда простая,
так как может существовать довольно широкая область переход-
переходных режимов, когда неустойчивость не приводит к развитой тур-
турбулентности. Однако для возникновения турбулентности нали-
наличие неустойчивости необходимо.
Характерно, что в плазме возможно очень большое число
разнообразных неустойчивостей. Поэтому плазма, встречающаяся
в природе и в условиях лабораторного эксперимента, является
часто турбулентной. Во многих случаях исследование физических
процессов в плазме сводится к изучению турбулентности плазмы.
Эта сторона вопроса не была отчетливо ясна на начальной стадии
исследований по физике плазмы, точно так же как и первоначаль-
первоначальные исследования жидкостей производились для простейших ла-
ламинарных течений. Однако постепенно укрепилось убеждение в том,
что эффекты турбулентности играют в плазме фундаментальную
роль. Если даже реализуются экспериментально идеальные усло-
условия, когда плазма с известным приближением устойчива, то они
представляют собой исключение, а исследование таких условий —
43

частную, хотя, быть может, и очень важную, задачу. Все многообра-
многообразие физических явлений в плазме требует для их объяснения при-
привлечения представлений о турбулентности. Это обстоятельство сде-
сделало проблемы турбулентной плазмы и вопросы устойчивости основ-
основными в физике плазмы.
Развитие теории вначале происходило по пути обнаружения
разнообразных неустойчивостей. Однако не сразу было отчетливо
понято то обстоятельство, что эти неустойчивости в конечном
счете приводят к турбулентности. Общее представление о роли тур-
турбулентности было развито в последние годы в связи с развитием
экспериментов по турбулентной плазме.
3.	Нужно сказать, что не всякие неустойчивости с самого на-
начала переводят плазму в турбулентное состояние. Существует,
однако, широкий класс неустойчивостей, при развитии которых
одновременно возбуждается много коллективных степеней свободы.
Это имеет место, если возбуждение происходит от начального уров-
уровня, связанного с тепловыми флуктуациями, и случайный характер
процессов сохраняется на начальной стадии возбуждения.
К другому классу относятся неустойчивости, которые на на-
начальной стадии приводят к возбуждению лишь одной или несколь-
нескольких степеней свободы. Примером может служить моноэнергетиче-
моноэнергетический пучок в плазме, который резонансно взаимодействует лишь
с одной плазменной волной» Постепенно, однако, из-за взаимодей-
взаимодействия волн между собой и с пучком спектры волн и скоростей пучка
расширяются и система переходит в турбулентный режим (квази-
(квазилинейная стадия). Точно так же в приведенном выше примере тур-
турбулентности жидкости, текущей по трубе, вначале возбуждается
лищь один вихрь и такое движение не турбулентно. Однако взаимо-
взаимодействие вихрей перераспределяет энергию по вихрям разных мас-
масштабов и развивает турбулентность. Одной из важных проблем яв-
является процесс перехода системы в турбулентный режим, процесс
стохастизации и взаимодействия колебаний. Эти проблемы тесно
связаны с общими вопросами эргодичности, и хотя ясно, что любая
система за достаточно большое время должна перейти в турбулент-
турбулентный режим, время стохастизации движений существенно зависит
от начальных условий.
4.	Важной проблемой теории турбулентности является ана-
анализ возможных областей поглощения турбулентных пульсаций
плазмы. Существенно, что коллективные механизмы дают возмож-
возможность не только быстрого возбуждения колебаний, но и быстрой их
диссипации. Одно из первых исследований таких механизмов при- "
надлежит Л. Д. Ландау [15]. С точки зрения теории турбулент-
турбулентности важно расположение областей поглощения на путях транс-
трансформации турбулентной энергии. Возможность быстрой трансфор-
трансформации и эффективного поглощения создает предпосылки для эффек-
эффективного турбулентного нагрева плазмы.
5.	Одним из основных вопросов физики турбулентности являют-
являются нелинейные эффекты взаимодействия турбулентных пульсаций.
44

Выше на примере жидкости разбиралось, какую роль играют та-
такие процессы в понимании динамики установления стационарной
турбулентности. В плазме число коллективных степеней свободы
намного больше, чем в жидкости, поэтому проблемы спектральной
перекачки энергии турбулентных пульсаций и нелинейной конвер-
конверсии одних типов пульсаций в другие играют здесь особую роль.
Последовательное рассмотрение различных нелинейных эффектов
позволяет выделить главные из них для данного исследуемого про-
процесса и рассмотреть динамику развития турбулентности.
Некоторые из нелинейных перекачек могут не определять ди-
динамику турбулентности, так как в энергетическом отношении их
вклад мал. Однако они могут играть важную роль в толковании
наблюдаемых явлений. Примером такой нелинейной конверсии
в плазме может служить превращение турбулентных пульсаций
в электромагнитные волны, которые легко детектируются вне
плазмы.
6.	Исследование стационарных спектров турбулентных пульса-
пульсаций является одной из важных проблем плазменной турбулентности.
Как правило, возникновение таких спектров происходит в резуль-
результате баланса эффектов раскачки трансформации и поглощения тур-
турбулентности. В поглощении турбулентных пульсаций существен-
существенную роль играют процессы спектральной перекачки, переводящие
турбулентные пульсации в области значений параметров, для кото-
которых существенно поглощение. Именно исследование таких спек-
спектральных перекачек, а также анализ возможных^ областей эффек-
эффективного поглощения турбулентных пульсаций играют важную роль
в определении стационарных спектров.
7.	Большое практическое значение имеют исследования процес-
процессов турбулентного переноса. Выше было указано на то, что для
жидкости в условиях турбулентного движения возникает передача
(перенос) импульса к стенке, значительно превосходящая тот пе-
перенос импульса, который связан с молекулярной вязкостью жид-
жидкости. Этот эффект соответствует турбулентной вязкости.
В том случае, когда речь идет о передаче энергии электронов
от одной точки к другой при взаимодействии электронов с тур-
турбулентными пульсациями плазмы, можно говорить о турбулент-
турбулентной теплопроводности. Если речь идет о передаче направленного
импульса от электронов, получающих энергию от внешнего элек-
электрического поля, к ионам в результате эффектов взаимодействия
электронов с турбулентными пульсациями плазмы, можно говорить
о турбулентной электропроводности. Наконец, в том случае, когда
рассматривается перераспределение плотности плазмы при взаимо-
взаимодействии с турбулентными пульсациями, можно говорить о турбу-
турбулентной диффузии. Диффузия турбулентной плазмы тесно связана
со специфическими неустойчивостями, возникающими из-за наличия
неоднородности плазмы.
8.	Взаимодействие заряженных частиц с турбулентной плаз-
плазмой, специфическое именно для плазмы, как ионизованного состоя-
45

ния вещества, является одним из важных объектов исследования
физики турбулентной плазмы. Возбуждение турбулентности плаз-
плазмы сопровождается обычно генерацией случайных электромагнит-
электромагнитных полей. Поэтому заряженная частица, попадающая в турбулент-
турбулентную плазму, начинает испытывать действие этих случайных элек-
электромагнитных полей, блуждая в них и в ряде случаев получая от
них энергию. В отличие от равновесной среды, в которой заряжен-
заряженные частицы теряют энергию, в турбулентной среде частица может
приобретать энергию, т. е. ускоряться.
9.	Другой проблемой, также связанной с электромагнитной при-
природой турбулентности плазмы, является задача о прохождении
электромагнитных волн через турбулентную плазму. В основном
здесь играют роль процессы нелинейного взаимодействия электро-
электромагнитных полей турбулентных пульсаций с внешней электромаг-
электромагнитной волной. С одной стороны, такое взаимодействие может при-
приводить к интенсивному рассеянию электромагнитных волн на тур-
турбулентных пульсациях и к флуктуации их интенсивности. С другой,
так же как и для частиц, электромагнитные волны могут усиливать-
усиливаться, приобретая энергию. В этом отношении турбулентная плазма
резко отличается от равновесной, в которой электромагнитные
волны могут лишь поглощаться. В условиях стационарной турбу-
турбулентности прохождения слабых внешних электромагнитных волн
и их усиления определяются спектрами турбулентности.
10.	Весьма важно исследовать вопросы устойчивости стационар-
стационарной турбулентности относительно' низкочастотных возмущений^
возбуждения магнитных полей турбулентностью, скин-эффекта
и др. Эти вопросы относятся к общей проблеме низкочастотных
электромагнитных свойств турбулентной плазмы. Коренное измене-
изменение свойств турбулентной плазмы в областях низких частот важно
для многих приложений, в частности в проблемах удержания турбу-
турбулентной плазмы.
11.	Наконец, представляет интерес исследование процессов
диссипации турбулентности после прекращения действия источни-
источников, генерирующих турбулентные пульсации. Этот круг вопросов
может быть объединен под названием распад турбулентности.
§ 1.7. ТУРБУЛЕНТНАЯ ПЛАЗМА В ЭКСПЕРИМЕНТЕ
И В ПРИРОДЕ
Постараемся в настоящем параграфе ознакомить в общих чер-
чертах с проявлениями турбулентной плазмы (именно с явлениями,
но не их физической интерпретацией). Часто эти проявления не-
неудачно называют аномальными свойствами плазмы. По сути дела
это означает, что они не соответствуют элементарным классиче-
классическим представлениям, заимствованным из теории парных соударе-
соударений. Отклонения результатов экспериментов от предсказанных
теорией парных соударений возникли уже в самых первых опытах
46

с плазмой. Так, еще Ленгмюр [13] обнаружил эффект большого
рассеяния электронов в газовом разряде, который нельзя было-
объяснить на основании представлений о парных соударениях,
а также обнаружил аномально быстрое установление максвеллов-
ского распределения для рассеиваемых электронов.
Широкий круг экспериментов относится к вопросам взаимодей-
взаимодействия пучков частиц с плазмой. Согласно элементарным представ-
представлениям, соударения частиц пучка с частицами плазмы при большой
скорости пучка весьма малы. Действительно, если плазма сильно
ионизована, то основную роль играют кулоновские соударения
частиц. Величина сечения кулоновских соударений быстро падает
с ростом относительной скорости частиц.
Для длины свободного пробега имеем
п0 о 4nnQrl
rQ = e2/mc2.	A.144)
Как видно из A.144), длина свободного пробега очень быстро растет
с ростом скорости частиц. Произведем простой расчет. Пусть
по~ 1013 см~3, т = теУ г0 ~ 2-Ю-13 см и ^ ~ ^, т. е. энергия
2
электронов пучка ~^-а>^2,Ъкэв. Из A.144) получим /~108сж~103км.
В любом лабораторном эксперименте размер установки L <^ L
Пучок такой энергии должен беспрепятственно проходить через,
плазму. Эта оценка приведена для того, чтобы показать ра-
разительное различие между наблюдаемым эффектом и предсказания-
предсказаниями теории парных соударений.
Еще Луни и Браун [22] и Меррил и Уебб [23] обнаружили по-
потери энергии пучков в плазме и возникновение интенсивных ко-
колебаний плазмы. В дальнейшем большая потеря энергии пучков в
плазме исследовалась во многих работах. Среди них в первую оче-
очередь следует отметить работы отечественных ученых группы
Я. Б. Файнберга [24, 25], Е. К. Завойского [7, 26, 27]. В этих
работах подробно исследуются микрохарактеристики турбулентно-
турбулентности, возбуждаемой пучками, в частности корреляционные функ-
функции, спектры возбуждаемых колебаний и т. п. В этих экспериментах
было продемонстрировано, в частности, что эффективность взаимо-
взаимодействия пучков с плазмой может в 1013 раз превосходить предска-
предсказания теории парных соударений. Эти аномалии в прохождении
лучков связываются также с эффектами разбиения пучка на сгуст-
сгустки под действием возбуждаемых колебаний и когерентными по-
потерями энергии, предсказанными В. И. Векслером [28].
В других работах было показано, что возможно полное за-
запирание даже весьма энергичного пучка в плазме, сопровождаю-
сопровождающееся возбуждением интенсивных колебаний плазмы низких час-
частот [29, 30]. В работе [30] наблюдалось возбуждение низкочастот-
4?

ных ионно-звуковых колебаний энергичными пучками частиц,
а в работах [2, 25] детально анализировалась природа пульсаций,
возбуждающихся при взаимодействии пучков с плазмой. Во всех
опытах взаимодействие пучков с плазмой является весьма сильным.
Близко к этому кругу вопросов примыкают и задачи о турбулент-
турбулентном сопротивлении плазмы. Пусть плазма находится в электриче-
электрическом поле. В достаточно слабом поле на длине свободного пробега
электрон приобретает скорость v = ]^2еЕ1/те. Если эта скорость
меньше VTe, то сечение рассеяния определяется vje и, следова-
следовательно, vCT ~ v, т. е. сила торможения из-за парных соударений
100
30
10'7	1	10	10г Е,д/см
Рис. 1.9. Зависимость турбулентной электропровод-
электропроводности плазмы а от приложенного электрического поля Е\
О — данные работы [32]; 4— работы [35].
тем больше, чем больше скорость. Это приводит к равновесию между
ускоряющей и тормозящей силой и к установлению некой средней
скорости электронов. Иная ситуация имеет место в сильном элек-
электрическом поле, когда электрон на длине свободного пробега при-
приобретает энергию, большую чем Те. Не столкнувшись с ионом,
электрон мог бы достичь vTe, а так как при v> vTe сила торможе-
торможения падает с ростом у, то он w в дальнейшем не будет претерпевать
столкновений, т. е. возникнут беспрепятственно ускоряющиеся
электроны. Они получили название убегающих электронов. Под-
Подчеркнем, что, согласно предсказаниям теории парных соударений,
все электроны плазмы должны в сильном поле убегать и сопро-
сопротивление плазмы должно резко падать.
Величину критического поля, при котором сопротивление
плазмы должно резко падать, согласно теории парных соуда-
соударений, легко оценить из mevCTv = eE*. Считая v = VTe, имеем
Величины Я*, особенно в плазме высоких температур, весьма
малы. Так, при п ~ 1013 см~3 и температуре электронов 20 эв
Е* ~ 1—10 в/см.
48

Эксперименты показали, что при Е > Е* сопротивление резко
возрастает. Обычно это сопровождается также возбуждением низ-
низкочастотных колебаний плазмы. Эффект турбулентного сопротивле-
сопротивления изучался в работах [31—33]. Низкочастотные колебания в
плазме при наложении электрического поля наблюдались также
в работах [34. 35]. На рис. 1.9 приведены экспериментальные
результаты, показывающие характер падения электропроводности
плазмы с ростом электрического поля.
С указанными проблемами тесно связаны вопросы турбулентного
нагрева плазмы. Такой нагрев наблюдался во многих эксперимен-
экспериментах [27, 30]. Быстрый нагрев не может быть согласован с предпо-
предположением о нагреве из-за парных соударений, так как нагрев про-
происходит на много порядков быстрее, нежели по теории парных
соударений. Такой турбулентный нагрев наблюдался в эксперимен-
экспериментах Е. К. Завойского с сотрудниками [27].
Большие надежды долго возлагали на удержание плазмы в
магнитных ловушках. Однако во многих таких установках наблю-
наблюдается аномальный уход плазмы, сопровождающийся развитием не-
неустойчивости.
С этим вопросом связана также диффузия плазмы. Согласно эле-
элементарным представлениям теории парных соударений диффузия
плазмы на стенки поперек сильного магнитного поля должна па-
падать как ~ 1/Я2, т. е. должна быть относительно слабой в сильных
магнитных полях. Именно на этом были основаны надежды на
термоизоляцию плазмы сильным магнитным полем. Хотя в ряде
случаев и возможно возникновение так называемой классической
диффузии, обнаруженной, например, в экспериментах [36] и дру-
других, однако чаще всего диффузия оказывается значительно более
сильной. Такую диффузию называют турбулентной. Впервые иссле-
исследование турбулентной диффузии провел Бом [37]. Он получил:
Турбулентная диффузия сейчас изучена экспериментально, при-
причем полученные значения коэффициента диффузии лежат между зна-
ч'ением, предсказываемым теорией парных соударений, и значением
коэффициента диффузии Бома. Сейчас эффекты турбулентной диф-
диффузии исследуются в любом эксперименте по термоизоляции плаз-
плазмы.
Следующий круг явлений, в котором наблюдались аномалии,
относится к изучению плазмы. Согласно элементарным представле-
представлениям такое излучение должно быть обязано двум причинам:
1)	тормозному излучению электронов при соударении с ионами;
2)	магнитотормозному излучению электронов, возникающему из-за
того, что в плазме, помещенной во внешнее магнитное поле, элек-
электроны движутся по ларморовским окружностям. Если тормозное
излучение имеет непрерывный спектр, то магнитотормозное — диск-
дискретный с частотами, кратными гирочастоте v(i>He. Именно с отно-
относительно малыми лучистыми потерями плазмы из-за соударений
49

(тормозное излучение) и магнитотормозного излучения связаны
были первые надежды нагрева плазмы.
Оказалось вместе с тем, что и лучистые потери плазмы сущест-
существенно превосходят те, которые предполагались по теории парных
соударений. Этот эффект соответствует аномальному излучению
плазмы. Теоретически он рассматривался в работах [38, 39].
Первые эксперименты по пучковым неустойчивостям [24] обна-
обнаружили мощное излучение турбулентной плазмы. Аномальное
излучение плазмы подробно анализировалось в экспериментах
Завойского. Большое количество работ было выполнено японскими
физиками [40], обнаружившими аномальное излучение плазмы на
частотах, кратных гирочастотам электронов. Открытые эффекты дают
возможность использовать плазму в качестве генератора электро-
. магнитных-волн разнообразных частот [41].
Наконец, чтобы закончить рассмотрение различных аномалий,
следует остановиться на проблеме прохождения заряженных час-
частиц через плазму. Согласно представлениям о парных соударениях,
частицы должны терять энергию в плазме. Этому решительно про-
противоречит эксперимент (речь идет о таких процессах, в которых
плазма турбулентна). Уже первые работы по нагреву плазмы в
мощных импульсных разрядах типа пинчей, выполненные под ру-
руководством Л. А. Арцимовича [42], показали, что плазма является
источником ускоренных электронов и ионов. Ускоренные протоны
производят то небольшое число ядерных реакций, которые сначала
приняли за термоядерный эффект. В дальнейшем ускоренные час-
частицы наблюдались почти во всех установках по магнитному удер-
удержанию плазмы. Особенно ярко эффект ускорения проявлялся при
прохождении пучков через плазму. Такие эксперименты провел
А. К. Березин [43], ускорение ионов экспериментально обнаружил
также М. В. Незлин [35]. Алексеф и Найдай [30] и Смулин [291
обнаружили ускорение электронов и, по-видимому, ионов.
Вероятно, при любом сколь-нибудь активном воздействии на
плазму в ней появляются ускоренные частицы. Например, они на-
наблюдались в экспериментах по когерентному радиационному уско-
ускорению, предложенному В. И. Векслером [28, 44].
Особенно отчетлив контраст с предсказаниями теории парных
соударений, когда в плазме обнаруживаются электроны с энергией
большей, нежели энергия исходного пучка.
Остановимся теперь кратко на вопросе о том, каково возможное
объяснение наблюдаемых аномалий поведения плазмы. Следует
еще раз подчеркнуть, что речь идет не о каких-либо исключениях
из правил, а о поведении плазмы, с которым наиболее часто прихо-
приходится сталкиваться. Расхождение возникает лишь с предположе-
предположением, согласно которому определяющими могут быть парные со-
соударения. Вывод, который следует из сделанного краткого обзора,
состоит в том, что в условиях турбулентности основные макроскопи-
макроскопические проявления, основные макроскопические характеристики
плазмы не соответствуют этим представлениям.
50

Согласно существующим сейчас представлениям перечисленные
свойства плазмы связаны с ее турбулентностью. Другими словами,
в плазме возбуждаются те или иные коллективные степени свободы,
в частности колебания плазмы. Определяющими становятся тогда
не парные взаимодействия частиц между собой, а взаимодействия
частиц с указанными коллективными степенями свободы.Так, эффек-
эффективное взаимодействие пучков с плазмой связано с возбуждением
турбулентности плазмы; аномальное сопротивление связано с рас-
рассеянием частиц на колебаниях плазмы, аномальное излучение обя-
обязано переходу колебаний плазмы в волны, которые покидают плаз-
плазму; ускорение частиц связано с передачей энергии коллективных
степеней свободы частицам плазмы и т. п.
Эффекты турбулентности играют большую роль в плазме, встре-
встречающейся в природе. Здесь можно выделить исследования плазмы
ионосферы, плазмы околоземного пространства, плазмы радиацион-
радиационных поясов Земли и отчасти межпланетной плазмы. В настоящее
время ясна большая роль турбулентных процессов в ускорении ча-
частиц радиационных поясов, формировании полярных сияний,
динамики магнитосферы Земли и других процессов. Подробно иссле-
исследуются вопросы возбуждения различных коллективных колебаний
плазмы в радиационных поясах, источников интенсивной турбулент-
турбулентности и механизмов турбулизации плазмы солнечного ветра и т. д.
К другой группе вопросов относятся исследования турбулент-
турбулентности звездной плазмы, межзвездного пространства, Галактики,
Метагалактики и турбулентности, возбуждаемой гигантскими взрыв-
взрывными процессами, происходящими в космосе [45, 46]. Здесь можно
получить лишь ту информацию, которая приходит на Землю, а
именно различные типы электромагнитных волн и ускоренных
частиц, т. е. основные внешние проявления турбулентности
плазмы.
Нужно сказать, что основная масса вещества в космосе является
ионизованной и представляет собой плазму. Поэтому турбулентные
процессы в плазме интересны не только с точки зрения объясне-
объяснения наблюдений, касающихся излучения волн и ускорения частиц,
но и в более широком плане. Большой интерес проявляется в по-
последнее время к проблеме сверхзвезд — квазаров. По-видимому,
излучение этих объектов соответствует аномальному излучению,
связанному с турбулентностью плазмы. Такое предположение со-
содержится в работах [47—49]. Генерация быстрых частиц космиче-
космических лучей возникает из-за турбулентности плазмы. Известно,
что генерация космических лучей носит всеобщий характер, т. е.
во всех случаях, когда наблюдается неспокойное (турбулентное)
движение плазмы, имеются и космические лучи. Это указывает
на то, что возникновение космических лучей является одним из
основных свойств турбулентной плазмы.
Турбулентность косвенно сказывается и в том, что ускоренные
ею частицы становятся источником излучения. На этом основана
интерпретация излучения многих космических объектов.

Г л а в а 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ
§ 2.1. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ПО СТАТИСТИЧЕСКОМУ
АНСАМБЛЮ
Теория турбулентности плазмы может быть построена на осно-
основе представлений о коллективных возбуждениях — так называемых
плазмонах, а также электронных и ионных возбуждениях. Для
того чтобы строго ввести понятие о плазмоне и указать, чем электрон-
электронные и ионные возбуждения отличаются от собственно электронов
и ионов, следует начать с формальных методов описания турбу-
турбулентности, связанных с усреднением физических величин по стати-
статистическому ансамблю. Эти методы позволяют описывать системы,
находящиеся далеко от статистического равновесия. Рассмотре-
Рассмотрение, проводимое ниже, показывает, что в этих условиях можно
использовать метод коллективных возбуждений. Этот результат,
имеющий, как будет видно, глубокий физический смысл, совершен-
совершенно нетривиален и, более того, требует детального обоснования*. Для
систем, далеких от статистического равновесия, рассмотрение облег-
облегчается тем, что позволяет использовать динамические уравнения
движения, пренебрегая тепловыми флуктуациями. Как будет по-
показано в дальнейшем, это сводится к тому, что учитываются все так
называемые индуцированные процессы. Важно также, что с их по-
помощью могут быть найдены конкретные выражения для матричных
элементов взаимодействия возбуждений. В свою очередь, зная эти
матричные элементы, можно вычислить спонтанные процессы. Ре-
Результаты, полученные в условиях статистического равновесия,
соответствуют тем, которые найдены в теории тепловых флуктуации.
Такое совпадение позволяет утверждать, что метод элементарных
возбуждений имеет более общее значение.
Для того чтобы доказать возможность описания турбулентности
на языке элементарных возбуждений, который также широко ис-
используется в твердых телах [52], следует в первую очередь сказать
о статистическом ансамбле, по которому будет производиться ус-
усреднение. Таким статистическим ансамблем являются начальные
значения параметров, характеризующих коллективные степени
свободы плазмы. Для почти линейных коллективных движений это
могут быть начальные значения фаз колебаний.
* Для систем, находящихся в состоянии, близком к статистическому
равновесию, это обоснование было дано в методе функций Грина [50—52].
52

Общий метод усреднения пригоден как для слабой, так и для
сильной турбулентности и, в конечном счете, тот же, что и исполь-
используемый в теории турбулентности жидкостей. Однако представления
о коллективных возбуждениях, слабо взаимодействующих между
собой, возможно ввести лишь в слаботурбулентной плазме. Поэтому
ниже особое внимание уделяется слаботурбулентной плазме. Ме-
Метод усреднения, описанный здесь, весьма удобен для описания низ-
низкочастотных возмущений в турбулентной плазме (гл. 8).
Выделим турбулентные и регулярные составляющие физических
величин L, характеризующих коллективные степени свободы плаз-
плазмы. Запишем
B.1)
По определению турбулентной составляющей будем считать
<Lr> = 0,	B.2)
т. е.
Усреднив уравнения движения плазмы по статистическому ан-
ансамблю, можно получить отдельно уравнения для турбулентных
и регулярных величин. Далее удобно найти уравнения для средних
значений таких комбинаций турбулентных составляющих (напри-
(например, квадратов электрических полей, корреляционных функций
и т. п.), которые могут быть исследованы экспериментально, а
также привести уравнения для регулярных составляющих к виду,
содержащему лишь указанные корреляционные функции. Ре-
Результатом должна быть самосогласованная система уравнений
для регулярных величин и корреляционных функций случайных
величин.
Для описания гидродинамических коллективных степеней сво-
свободы плазмы могут быть использованы гидродинамические уравне-
уравнения и, соответственно, введены турбулентные составляющие для
усредненных параметров, таких, как средняя плотность частиц,
средняя скорость и т. п. Более общим является подход, использую-
использующий кинетические уравнения для плазмы, позволяющий описать
турбулентные процессы, в которых существенную роль играют
Датальные характеристики распределения частиц плазмы.
Пусть f(p, r, t) — функция распределения частиц плазмы, по-
показывающая, какое число частиц плазмы имеют импульсы в интер-
интервале от р до р + dp:
^^ji-"^	B-3)
где n(r, t) — плотность частиц плазмы.
53

Разобьем / на две части — регулярную и турбулентную:
f = fR + F',	B.4)
<Г> = 0.	B.5)
Отметим, что при таком определении не фигурирует условие мало-
малости полей турбулентных пульсаций. Турбулентность приводит к
появлению дополнительной случайной части у электромагнитных
полей. По определению положим:
B.6)
Для магнитного поля соотношения типа B.6) можно не писать,
так как с помощью уравнения Максвелла
,„	1 дЕ
rot Н=
с dt
оно может быть выражено через электрическое поле.
В качестве примера рассмотрим бесстолкновительное кинетиче-
кинетическое уравнение, описывающее движения определенного сорта ча-
частиц плазмы
J+v^ + F-^O,	B.7)
dt	dr	dp
где
([J)	B.8)
F = e(E+[-j-HJ)	B.8)
сила Лоренца. Усреднив B.7) по статистическому ансамблю при
учете B.4) и B.6), получим уравнение для fR
Вычитая B.9) из B.7), получаем уравнение для f
Если разложить f по степеням турбулентного поля Ет (а сле-
следовательно, и FT)
оо
fT= 2 fTW,	B.11)
54

где индекс i указывает, что f пропорционально /-й степени Ет,
то из уравнения B.10), собрав члены одного порядка по Ет, имеем
систему уравнений:
^^^O-	B.12)
dt
rB)
"I~V дг ~|"
dt "I~V дг
агГ B)	у
Ri[^—<F ^
^/ai^) =0. B.14)
дг ГД др ' ж др	\А др
Воспользовавшись формулой преобразования Фурье для про-
произведения *
(LM)k= \^LklMktdk1dk2ib(k — k1—k2),	B.15)
получим при F^ = 0:	B.16)
-h-k,); B.17)
B.18)
k1-k2).	B.19)
Последние соотношения позволяют выразить fT через /R, Fr.
Отсюда нетрудно найти нелинейный турбулентный ток плазмы:
j = f + jr; <f> = 0;	B.20)
B.21)
,	B.22)
а
Напомним, что dk — dkd®, а б (k—k1—k2) = 6(k—кг—к2) б(со—(дх—со2)-
55

Здесь индекс а указывает на суммирование по сортам частиц плаз-
плазмы (электронам и ионам).
Обратимся теперь к уравнениям Максвелла, связывающим на-
напряженность поля Ek с током:
-L^;	rotE=—L.M;	B.23)
с dt	с dt
имеем:
i[kHft] = ^jft--^Eft;	[kEft] = -^-Hft	B.24)
С	С	С
ИЛИ
к (kEfe) Ik -jEft = 4я i — jh.	B.25)
В силу уравнения непрерывности
.^- + divj=O	B.26)
pk можно найти по jh
п 	 ^ /их \	/о О7\
* и	_ \ j и/'	\	/
т. е. достаточно знать ток, возбуждаемый в плазме, как функцию
ЕА, чтобы получить уравнения для описания поля Ek. Усредняя
B.25) по статистическому ансамблю, имеем
^)	^5,	B.28)
и, вычитая B.25), получаем
4)l^J.	B.29)
Если цепочка уравнений B.17) —B.19) может быть оборвана,
то учет конечного числа членов разложения турбулентного тока
в B.29) позволяет найти конкретное уравнение для (?;[', Е\ >
корреляционной функции полей, и правую часть B.9), описываю-
описывающую столкновения между fR и турбулентными пульсациями, вы-
выразить через ( Е\>, El). Обрыв цепочки B.17)—B.19) оправдан
в теории слабой турбулентности. Однако уравнение для корреля-
56

ционной функции
получаемое непосредственно из B.29), не предполагает заранее
определенной связи между частотой и волновым числом турбулент-
турбулентных пульсаций. Следовательно, если имеются физические аргу-
аргументы для выделения определенных членов в этой цепочке, то
B.30) может описывать неслабую турбулентность. Отметим, что в ра-
работах [53, 54] построена графическая техника, с помощью, которой
можно выписать отдельные члены разложения правой части B.30)
по энергии турбулентности, что позволяет в принципе суммировать
ряды, содержащиеся в правой части B.30).
§ 2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ИЗМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ПЛАЗМЫ
Изменение спектра пульсаций в пространстве и во времени воз-
возможно из-за линейных эффектов переноса энергии пульсаций,
групповые скорости которых зависят от характерных длин. В линей-
линейном приближении можно воспользоваться B.17) и B.22)
,гA>= у I v lcq. Ч др,
h **\ i(k+i6) x
ev
i (со — kv + i5)
BяK
B.31)
Заметим, что турбулентный ток определяется регулярной
частью распределения частиц, которая является функцией коор-
координат и времени (зависимость fR от k2 в фурье-представлении).
Эта зависимость может быть медленной (в сравнении с частотой тур-
турбулентных пульсаций). Действительно, из B.9) видно, что изменение
f* пропорционально энергии турбулентности и может иметь порядок
характерного времени нарастания неустойчивости. Если это время
много больше периода возбуждаемых пульсаций, то можно говорить,
что турбулентность развивается на фоне медленных изменений ре-
регулярной функции распределения.
Если в первом приближении пренебречь этим изменением, то
.	B.32)
57

Важно подчеркнуть, что для стационарной турбулентности соотно-
соотношение B.32) естественно точное. Из B.32) получим результаты ква-
квазилинейного приближения [55—57]
где тензор oijf найденный из B.31), тензор электропроводности
.gi.JL, B.зз,
i(co-kv + i6)	dps BяK	V ;
Часто вводят тензор диэлектрической проницаемости, связан-
связанный с ои(к) соотношением [19, 4, 89, 90]
Из выражения B.33) непосредственно следует &и( — &) = &*/(&).
Таким образом, линейное дисперсионное соотношение B.29) при-
приобретает вид
Jj^jlJ = 0	B.35)
и отличается от исследованных в предыдущей главе дисперсионных
соотношений лишь тем, что начальная функция распределения час-
частиц заменена fR.
Обратимся к B.35). Удобно привести сводку решений B.35),
введя единичные векторы поляризации электрического поля соот-
соответствующих колебаний [10] е? (о — индекс, указывающий тип
колебаний)
(е?еО = 1.	B.36)
Так, для продольных колебаний (индекс /) ei = ^»Д^я альфвенов-
ских и магнитозвуковых волн в системе отсчета, в которой ky = 0,
ел = A,0,0); tM = @, 1, 0). Эти векторы легко найти из условия
нормировки B.36) и отношений между различными компонентами
поля, получаемых из дисперсионных соотношений предыдущей гла-
главы или B.35). В табл. 1 приведены значения е\ для наиболее важных
типов пульсаций плазмы.
Удобно также ввести понятие диэлектрической проницаемости
для данной волны
4.	B.37)
58

Таблица!
Значения нормальных ортов и диэлектрической проницаемости турбулентных пульсаций плазмы
Тип пульсаций
Ленгмюровские
Ионно-звуковые коле-
колебания
Вистлеры
Альфвеновские волны
Магнитогидродинамиче-
ские волны
Замагниченные звуковые
колебания
Обозна-
Обозначения
/
S
W
А
М
Ms
Нормальные орты е^ в системе k = 0
?,
sin 6
sin 8
1
]/l+COS2 0
1
0
sin 0
4, у
0
0
i|cos 0|
yi+cosae
0
1
0
cos 6
cos Э
0
0
0
cos Q
Диэлектрическая проницаемость 8е*
и2 С2 0J
+ 8*_ 1- V COS2 0-
0J ОJ
O)^sin20 ^2^2
1 ^Ч ^ 4-^ C2!^
- С02 + k*V2Te+ С02 С02 +6
0J | cos 0| ^2 с2 sin2 9
о 1
* шсйЯе ' l + cos26 co2(l+ cos2 6)
с2 ft2 с2
2 + . Sin2 6
с2

Тогда дисперсионное уравнение для волн а приобретает простой
вид [Ekj = вк/ Ek)
(k2-c~W г° (k)) ETkG = 0.	B.38)
Конечно, для отыскания B.37) необходимо знать е^. Величина zG(k)
играет важную роль, определяя энергию турбулентных пульсаций
и их взаимодействия между собой.
Для продольных пульсаций удобнее ввести
k2c2	k k
e'(k) = e°{k)- — = Bu(k)-LJ	B.39)
и дисперсионное соотношение для них записать в виде
в'(*) = 0.	B.40)
Из,B.33) легко получить
k2 J со —
В таблице приведены значения sG(k) для наиболее важных
типов пульсаций плазмы.
Дисперсионное уравнение B.38) имеет комплексное решение
7k,	B.42)
где уь — инкремент раскачки, или декремент затухания колеба-
колебаний. В условиях Yk <C <oa(k), о которых речь шла выше, приближен-
приближенное выражение для у? легко находится из B.38)
dco
Для продольных колебаний
B-43)
Im	ГХ-=-i(co-kv);
со — kv+io
X
a = <o<(k)
¦ B.44)
60

Этот результат, так же как и B.43), имеет простую наглядную
интерпретацию и может быть получен другим, весьма простым
способом, использующим уравнения баланса (см. ниже).
Обратимся теперь к уравнению B.30), которое, согласно B.38),
примет вид
U2^2?)[??[a> = 0.	B.45)
Записав уравнение для El* и умножив его на Ela, получим сов-
совместно с B.45)
с	с
В условиях стационарности и однородности турбулентности, как
было выяснено [см. A.17)],
Ik'k = (El?Elay = IGk8(k + k').	* B.47)
В силу слабой раскачки или затухания, описываемого B.43), за-
зависимость 1ы' от k-\-k' не является 6-образной, т. е. k'Ф—k,
а размазано на Ak, причем очевидно
процесса раскачки и затухания.
Введем
k	k'	А у
Ak
1 из-за медленности
h.k-=~lK.Lk	B.48)
и корреляционную функцию Ik(r, t) = Ik(x)9 x={r,t}, медленно
зависящую от г и t
§7	B.49)
Уравнение B.46) умножим на е1 Akx и проинтегрируем по ДА,
учитывая, что
Полу
чим
2Akk- -i-Дсв — со2 Re ъ%	L^Ak-l Re e?-2i©2 — Im e^ 1 x
с2 <Эш	с2	дк	с?	J
X е
Здесь учтено, что Imelft= — Ime?.	B.50)
61

Поскольку малыми эффектами порядка ук/^k можно в B.50)
пренебречь, следует считать
; co>0.	B.51)
Учитывая далее,
подставляя
где (Re 8^
что
B.51) в
<(r
dt
eiAfe^
B.50)
' ° 4-
ак
AkdAk= —|-
и интегрируя
5/^ (г, 0
Vg дг
дк^ &/i~~~k
да к
по со>0, получаем:
?2/2(г,о. (
2)
а
B.53)
групповая скорость турбулентных пульсаций.
Удобно ввести понятие о квазичастицах, характеризующих тур-
турбулентные колебания плазмы, — плазмонах, а уравнение B.52)
рассматривать как кинетическое уравнение для плазмонов. Импуль-
Импульсом плазмона назовем величину к (строго говоря, следовало бы
писать Йк, однако уравнения для плазмонов являются классиче-
классическими и Тъ сокращается, поэтому можно с самого начала считать
Тъ = 1), а его энергией Шк.
Функцию распределения числа плазмонов а, указывающую,
сколько плазмонов имеет импульс в интервале от к до k + dk,
обозначим jV?(r, t). Эту величину будем считать пропорциональ-
пропорциональной /g (Г> t)
NZ(r,t) = aklZ(r,t). _	B.54)
Так как уравнение B.52) линейно по /?, имеем
r + Vg	^Vk A/k-	(z
dt	дг
Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности
запишем энергию электромагнитного поля в виде
t
W¦
= Г E^d/ + ^,	B.56)
J dt 8я
62

где Dk, i = ?ij(k)Ek, ,¦ — индукция электрического поля;
Усредняя B.56) по статистическому ансамблю, считая
получаем
/¦ со2 в{
J©=co?
B.57)
Заметим, что найденная энергия содержит не только энергию поля,
но и энергию частиц плазмы, участвующих в турбулентных движе-
движениях заданных типов волн. Это учитывается диэлектрической про-
проницаемостью г% Формула B.54) позволяет записать энергию турбу-
турбулентности как сумму энергии плазмонов
Отсюда
т. е.
Bя)»
-dk.
«)
B.58)
B.59)
д 2 a
¦ — со &k
Частным случаем этой формулы для продольных пульсаций яв-
является
da)
Ii
B.60)
После установления этого соответствия уравнения B.55) можно
рассматривать как уравнения баланса числа плазмонов. Левая
часть описывает их изменение в пространстве и во времени из-за
движения со скоростями, равными групповым скоростям волн,
а правая — изменения в результате баланса излучения и поглоще-
поглощения плазмонов частицами плазмы. Действительно, согласно B.44)
(или аналогичному выражению в общем случае непотенциальных
пульсаций) величина у^ содержит б(со — kv), т. е. закон сохране-
сохранения энергии при излучении
где v = д&р/др, 8Р — энергия частицы г как функция ее импуль-
импульса р. Если вероятность излучения wp(k), то увеличение числа
63

плазмонов из-за излучения есть I шр (к) /р (N^ + 1)—— , а умень-
J	Bя)
f	n	dp
шение из-за поглощения \ i?>p/y_k./Vk то~\з" > т- е-
Здесь оставлены лишь индуцированные процессы. Из сопостав-
сопоставления с B.44) и B.55) получим вероятность излучения продольного
плазмона частицей плазмы
6(©'k —kv).	B.61)
^р(к)=	т
dec
Важно подчеркнуть, что произошла своеобразная «перенорми-
«перенормировка». Функция fR описывает лишь коллективные электронные
возбуждения, a fr — плазмоны. Мы увидим, что вокруг частицы
плазмы образуется «облако» частиц другого знака, и этому комп-
комплексу частиц как раз соответствует функция fR.
§ 2.3. НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ПЛАЗМЫ
Рассмотрим нелинейные эффекты, соответствующие следующим
членам разложения по турбулентному полю по цепочке B.17) —
B.19), точнее токам jr<2> и ]г<3) в B.22) —второго и третьего
порядка по турбулентному полю. Учет двух членов, а не одного
j?B) связан с тем, что ток jr<2) в правой части уравнения B.30)
приводит к среднему трех полей <?/? Е\2Е\^у которое в прибли-
приближении, когда поля можно считать статистически независимыми
<?1I1?'I2?1I3>^<?'I1><?'I2><?j3>, равно нулю в силу определения
Ет. Учет же слабых корреляций полей дает эффекты того же
порядка, что <?Г/ГC>>.
Для того чтобы наиболее просто выявить существо и физический
смысл результата, проиллюстрируем ход рассуждений на примере
продольных колебаний е? = ?. Тогда вместо B.30) [и линейного
B.46)] получим [см. определение г1 B.39)]
т	4jti
64

Здесь учтены равенства: е/-^ = е1*; ?-? =—?** в силу
Девая линейная часть B.61) преобразуется так же, как и в § 2.2.
Умножая на exp (iAkx) и интегрируя по k', со в левой части,
имеем при Yk —О
Ло.	B.63)
Учитывая, что в правой части B.62) из-за слабой нелинейности тур-
турбулентные пульсации приближенно стационарны Ak ^ 0, полу-
получаем уравнение, описывающее изменение числа плазмонов из-за
нелинейных взаимодействий турбулентных пульсаций,
B-64)
Из B.18) и B.22) получим выражение для турбулентн ого тока
второго порядка по турбулентному полю
ilB)k Г	т т	т т
Ь J klkltkt ki *2 кх кг г 2
Я	— е3 Г (fcv)
kkx k% J со — kv-f-i'
X ( ki i) „ Л... fk^)^P B*)-3-	B-66)
Аналогичным образом подставляя /гB> в уравнение для
получаем:
l <ElEly-<ElETklEl2)); B.67)
r (kv) л а
X	1	(k, ±)	!	fk2 -L) /«-^-. B.68)
V dp/ co2—k2v + i6 \ 2 dp) p Bя)» V
)fk2 ) /
dp/ co2—k2v + i6 \ 2 dp) p Bя)»
65

С учетом этого запишем уравнение B.68) в виде [др = о]
оо
д1± = _8яЗ Г dco (dk'{~(ElfElElt}X
Ot	d	J	\ CO
—
CO
X (<?[* ETkl El El3>-(El? EtO <ETkl El)) X
i i i	i eI:>) x
B.69)
В силу слабой нелинейности турбулентные поля слабо скорре-
лированы между собой. Поэтому среднее четырех случайных вели-
величин можно приближенно разбить на произведение средних зна-
значений двух полей. Для среднего трех полей такое разбиение дает
нуль, и необходимо учесть слабую корреляцию полей. Воспользу-
Воспользуемся B.29), учитывая -лишь члены второго порядка по полю турбу-
турбулентных пульсаций
е?4 ?Т4= ¦	dkxdk28 (?4— &х — k2)Sk4, kl9 k2 X
G>4 J
{lllT%	B.70)
Умножив B.70) на E\* El3 и усреднив по ансамблю, найдем при-
приближенное выражение для среднего трех турбулентных полей
через среднее четырех. При этом следует уточнить каждое из трех
полей, входящих в (El> El3 й[4>.
Уравнение B.69) принимает в результате простой вид:
х
X 21Ф1 k2, k3 [<?!-* El El El)-<Elr Eb <El ETk2y] +
, 6(/e' — kx — кг—k3) ^эфф^	\/ft pt* ft* ft*.
66

X
dk9 dk\ dk'9
2 ' 2
—k\ — k'2) S,, ftfi &2
8 8
^, klt k2, k3 2jk, klf ks, k3
x
X
2, klt
B.72)
Разбив средние четырех полей на парные, найдем, что из трех
возможных пар одна выпадает из результата. Учитывая, кроме
того, что турбулентные пульсации приближенно стационарны
получаем
. к
B.73)
B.75)
где
4 n г^эфф	. ^эфф	j_ \?ЭФФ
Vk, kj =	T^e 12.^, ft. fti, —fti+Zift, fti, ft. —fti i-ft, ft, -fti, fti
B.76)
к1( k2
' fti» -ft2 + ^ft, -fti, -ft2)
X
\ day да>1 да>2
k. ft1,ft2 = |
B.77)
B.78)
Таким образом, уравнение B.75), .полученное впервые в работе
[6], содержит квадратичные комбинации от числа квантов и описы-
описывает процессы рассеяния квантов на квантах.
e>k>0. B.74)
да
» —<•¦•>/
67

§ 2.4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ КАК ИНДУЦИРОВАННОГО
РАССЕЯНИЯ ПЛАЗМОНОВ НА ПЛАЗМОНАХ
И НА «ЧАСТИЦАХ» ПЛАЗМЫ
В нелинейных уравнениях B.75) можно выделить два типа чле-
членов. Первые из них интерпретируются как эффекты индуцирован-
индуцированного комбинационного рассеяния одних волн на других. К их
числу относятся все члены второго слагаемого B.75). Эти члены от-
отличны от нуля, если выполняются законы сохранения
к = к^-р к2;
Ч = < + <-	B-79)
Поскольку эти законы сохранения описывают «развал» одной
волны на две, такие процессы называют распадными. Четыре члена
B.77) содержат различные комбинации процессов, отличающихся
от B.79) тем, что некоторые из взаимодействующих волн не излу-
излучаются, а поглощаются.
Второй член B.75) описывает лишь процессы спонтанного рас-
распада. Если ^к1!кJBяK—вероятность процесса B.79) [она соответст-
соответствует первому из четырех членов B.77)], то уменьшение числа
квантов из-за процесса B.79) есть
-<! k.Nk(Nkt+ I) (Nk!+
а увеличение из-за обратного процесса
wi\]k2NklNk2(Nk+l)Bn)\
т. е.
^ J41! k2 (NklNk2-NkNkl-NkNk2) dkx dk2. B.80)
Последние два члена B.80) описывают индуцированные распады,
так как они пропорциональны числу первоначально распадающих-
распадающихся квантов Nk. Эти члены естественно содержатся в vk>kl B.76).
Помимо этого там есть члены, соответствующие другим распадным
процессам. Выражение B.76) также описывает процессы индуци-
индуцированного рассеяния.
Для выделения интересующих нас индуцированных распадов
B.80) заметим, что в силу B.79) кх + &2 есть собственное реше-
решение, т. е. б?1+?2 = 0, и, следовательно, второй член 2эфф B.72),
содержащий 	, играет определяющую роль в этой области
68

волновых чисел. Обозначив б2эфф = 2эфф — 2> получим
Skl+k2, ki, k2 x
,ki+k2,k3) = — 4л i 5(&' — ^ — &2)—L-X
J	со еЛ,
XS. , . (S. . ., + S	\dk'.	B.81)
Рассмотрим теперь вклад 8^ в третий и четвертый * члены
B.76) (обозначенные ^l)
Ю1г ^	-л
dco acoj
X(S*2,*, -*1 + SAJ.-A1.A)(Sft.*v*, + SA.A,A1)[CDs=sCD/ifl) efl)/ . B.82)
к 1 Kj
Используя конкретное выражение B.66) для величины S, легко
проверить, что справедливо тождество **
)
**
— {Sk2, k,—kx + Sk2, —kx, k)=	(S—k, —'klt -k
©2 ¦	CO
B.83)
Последнее равенство нгписано из условия действительности не-
нелинейного тока /1^= —Д2)* и действительности полей E__k = —?*.
Отсюда получаем
^К!'.**	B-84)
Учитывая, что все выражения симметричны относительно за-
замены 1 ^z! 2, видим, что последние два члена B.80) могут быть
записаны как удвоенный второй член, т. е. соответствуют как раз
результату B.84). Тем самым сделанное утверждение доказано.
Покажем теперь, что остальные члены нелинейного взаимодей-
взаимодействия B.76) также имеют простой смысл, они описывают эффекты
индуцированного рассеяния турбулентных пульсаций на частицах
* Первый и второй члены B.76) описывают другие распады, законы со-
сохранения для которых отличаются знаками частот и волновых векторов
в B.79).
** Первое равенство B.83) может быть получено также из общей теоре-
Мы недиссийативности нелинейного тока jj^2* [58].
69

плазмы. Согласно B.76) в результат входит лишь действительная
часть, а в силу B.68) необходимо учитывать лишь мнимые части,
содержащиеся в знаменателях B.68). Например,
Im
= —я8(со —kv).
Закон сохранения со = kv соответствует излучению волны частица-
частицами плазмы и дает малые поправки к линейному инкременту
B.55) (подробнее см. § 2.8), тогда как закон сохранения
©i±a>a = (k1±k2)v	B.85)
описывает процесс излучения двух волн или процесс рассеяния тур-
турбулентных пульсаций на частицах плазмы.
Действительно, пусть частица плазмы имела до взаимодейст-
взаимодействия энергию ер; после излучения двух волн или излучения одной
и поглощения другой ее энергия стала 8р_(к1 ± к2) ~ ?р —
— (кх ± к2)]-^ = 8Р— (k1=h k2) v v =-^ —скорость частицы) .
dp	\ ар	/
dp
ар
С другой стороны, разность энергий sp и ep_(k1±k2) из закона
сохранения энергии равна—(со1=Ьсо2), что и приводит к B.85).
В силу сказанного ограничимся рассмотрением лишь процессов
B.85). Для третьего и четвертого членов* vkikl получим, что вклад
2 [см. B.72)] составит
vk. kt =
delk
X
к,
X
-<-(k-kl) v){(k I
B.86)
/ l	1 \
Нетрудно видеть далее, что член I , _к^—^-kv J
х
* Первый и второй члены описывают процессы излучения двух волн
и рассматриваются аналогично.
70

X (к — | (к-, —) в фигурных скобках B.86) обращается в нуль
V dp Л dp/
из-за 6-функции в B.86), и результат приобретает вид
4е* (kkxJ
vl kl = "
m2 k2 k2
X
X
Kl>
dp
B.87)
Этот результат имеет простую интерпретацию, а именно B.87)
описывает томпсоновское индуцированное рассеяние волны со? на
частицах плазмы. При этом волна со? заставляет колебаться
частицы плазмы, а колеблющиеся частицы излучают волну со? ,
Действительно, пусть wcp(k, kx) — вероятность рассеяния. Тогда
убыль числа плазмонов частоты ш^ из-за индуцированного погло-
поглощения волны ®1к и излучения волны со^ будет
Обратный же процесс пропорционален числу частиц, имеющих
конечный импульс р + k — к^ т. е.
^ = Г w% (к, кх) (^Vkl Nk f«+k-kl -Nk Nkl /?) dp dkx Bи)-в ~
^ Nk^Nklwcp(k, kx)^1 ((k-kO ^) .	B.88)
Из сравнения с B.87) может быть определена вероятность
процесса
¦, B.89)
=ш/
"i^k,
К)
/\2
где
At к = — .
1 \2
B.90)
71

То же выражение для вероятности может быть получено непосред-
непосредственным подсчетом интенсивности излучения волн с частотой со^,
возникающего из-за колебания заряда плазмы под действием волны
частоты «к [59—62].
Существенно, что комптоновское рассеяние не является един-
единственным механизмом рассеяния турбулентных пульсаций на ча-
частицах плазмы. Другой тип рассеяния был назван нелинейным
[59] и интерпретируется как переходное излучение* волны «к на
неоднородностях плазмы, созданных волной со^. Эти эффекты опи-
описываются вторым членом 2ЭФФ в B.72). Третий и четвертый члены**
B.76) дают
16 __ х
X Im \ „, „,t.i	Г (S*-*.. *. -*. + $*-*.. -*,. ft) X
B.91)
X
ъ=n%'
CO =
1
^ vk к содержится член, пропорциональный Im (е^__Л)"~!.
Как было показано, именно такой член приводит к индуцирован-
индуцированным распадам, если &lk_k близко к нулю, т. е. частота волны
к — кг близка к одной из собственных частот турбулентных
пульсаций.
Будем считать, что волна к — к± далека от собственных частот,
т. е. лежит в области непрозрачности плазмы. Такая ситуация
имеет место в случае, когда разности частот взаимодействующих
волн малы (что всегда верно для ленгмюровских волн)
Im et
= 2
101-^=-—^^-
lk-k.i2K-*j2
X б (cok-^-cOki — (к — к±) Va) —^ .	B.92)
Здесь использовано уравнение B.41).
* О переходном излучении см. работы [63—65].
** Первый и второй члены апять-та-ки описывают процессы излучения
двух волн.
72

Как видно из B.92), рассматриваемый член B.90) так же, как
и ^к,кг, пропорционален б-функции, описывающей рассеяния
пульсаций на частицах плазмы. Ввиду того, что со—сс^ лежит в
области непрозрачности, ток является диссипативным. Непосред-
Непосредственно из определения B.65) и B.66), учитывая, что мнимый вклад
дают лишь резонансы, связанные с рассеянием, получаем
	 со — cox
-ki, k, —k\ —
CO
B.93)
где Sk, kt,ik2 — симметризованныи по последним индексам нелиней-
нелинейный ток
Ok, klt k2==ok, k2, &!•	B.94)
Таким образом, B.91) можно записать в виде
64
k, k-klf kj =	Г~1
*. b-klt
B.95)
В B.95) использованы тождественные преобразования, позволяю-
позволяющие результат представить в виде суммы двух членов. Первый из-
них описывает нелинейное рассеяние, а второй — интерференцию
нелинейного и комптоновского рассеяний.
В первом утверждении легко убедиться, используя в первом
члене B.95) соотношение B.92). Получим дополнительный член
в вероятности рассеяния на электронах
dco
де[
B.96)

где в данном случае
X
а bbi J Bя)« ©? —kva+io
. B.97)
<-klva\ ^Pa/J I k~kl I ek
Отметим, что в вероятность B.96) входит исключительно нели-
нелинейный ток. Указанное нелинейное рассеяние может быть найде-
найдено как интенсивность излучения нелинейного тока
B.98)
созданного турбулентным полем падающей волны и продольным
полем равномерно движущегося заряда [62]*,
B'99)
В том, что второй член B.95) описывает интерференцию не-
нелинейного и комптоновского рассеяний, проще всего убедиться,
использовав
Im Sk, k-ku kx = — n LL lt—7-7 X
raQo-ay-tk-kjv) Лк_к0 jfj\JiL. B.100)
@)_kvJ
Полная вероятность рассеяния может быть записана в виде B.96),
где вместо Л^ кх входит
Al l- = Ль- и ~Ь л!У ь	B101)
Таким образом, Лк, кх играет роль амплитуды рассеяния.
Указанная интерпретация и обнаружение интерференционных
эффектов, которые могут сильно снизить полное сечение рассеяния,
были сделаны в работах [66, 67]. Как было отмечено в работе [66],
при рассеянии высокочастотных пульсаций на ионах возможно
* Поле равномерно движущегося заряда легко найти из уравнения
74

|Ak,kJ <dA?kJ из-за большой массы ионов. Таким образом,
сечение рассеяния на ионах может в некоторых случаях намного
превосходить сечение рассеяния на электронах.
Наглядная интерпретация нелинейного рассеяния заключается
в том, что в плазме вокруг рассеивающего заряда создается экрани-
экранирующее облако зарядов другого знака. Рассеивающий электрон
окружен облаком положительного заряда. Оно может возникать
из-за недостатка электронов, так как под действием волн высокой
частоты в основном смещаются электроны. Экранирующий заряд
имеет знак, противоположный знаку рассеивающего заряда, и
волны, рассеянные от экранирующего заряда, уменьшают полное
рассеяние. Более того, колебания экранирующего облака зарядов
и рассеивающего заряда очевидно синфазны. Это объясняет интер-
интерференционные эффекты в рассеянии.
В рассеянии высокочастотных волн на ионах могут участвовать
лишь электроны экранирующего облака. Поэтому рассеяние на
ионах оказывается немалым и интерференционные эффекты от-
отсутствуют.
Приведенная интерпретация показывает, что в процессах, воз-
возникающих в турбулентной плазме, участвуют не отдельные заряды,
а комплексы зарядов или, как говорят, коллективные возбуждения
плазмы. Так, вместо электронов плазмы выступают электроны,
окруженные экранирующим облаком, и вместо ионов — ионы,
окруженные электронным облаком. Мы будем по-прежнему для
краткости называть такие возбуждения электронами и ионами
турбулентной плазмы, имея в виду условность этого названия.
«Настоящие» электроны и ионы участвуют как в турбулентных
пульсациях, так и в усредненных движениях.
Проведенный анализ позволяет понять физический смысл раз-
разделения функции распределения на регулярную и турбулентную
части. Регулярная часть имеет вполне отчетливую интерпретацию,
а именно: fR характеризует распределение коллективных элек-
электронных и ионных возбуждений, или, другими словами, распре-
распределения зарядов, «обросших шубой» других зарядов. Что касается
турбулентной части /г, то она характеризует турбулентные коллек-
коллективные степени свободы — плазмоны. Возможность введения та-
таких понятий, как коллективные возбуждения, в последнее время
была подробно обоснована для систем, близких к термодинамиче-
термодинамическому равновесию или находящихся в полном термодинамическом
равновесии [50, 51]. Новое утверждение, содержащееся в приведен-
приведенной выше интерпретации, состоит в том, что представление о кол-
коллективных возбуждениях можно ввести для систем, находящихся
Далеко от состояния термодинамического равновесия. Физические
представления о возможности описания коллективных взаимодей-
взаимодействий турбулентных пульсаций на языке коллективных возбужде-
возбуждений использовались впервые в работе [68] и развивались в [60—
62, 69, 70]. Ниже будет подробно излагаться общая теория турбу-
турбулентности, основанная на представлении о коллективных возбуж-
75

дениях, и поэтому здесь нет необходимости обобщать результаты,
относящиеся к частному случаю взаимодействия продольных тур-
турбулентных пульсаций. Отметим, здесь, что сходство с коллектив-
коллективными возбуждениями систем, близких к равновесию, имеется лишь
в уравнениях баланса, полученных в § 2.3. Существенное физиче-
физическое различие понятий о коллективных возбуждениях в теории
турбулентности плазмы и в системах, близких к статистическому
равновесию, состоит в характере неоднозначности связи частот и
волновых чисел в турбулентной плазме. Корреляционные эффекты
описывают эту неоднозначность.
§ 2.5. КОРРЕЛЯЦИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ В ПЛАЗМЕ
Полученные в §2.4 уравнения носят характер уравнений ба-
баланса или кинетических уравнений, описывающих возбуждение и
взаимодействие плазмонов. Они пригодны также для нестационар-
нестационарной турбулентности. Для составления уравнений баланса было
удобно оставлять такие комбинации величин, в которые входила мни-
мнимая часть е^ [см. выражение B.62)], характеризующая процессы
изменения числа плазмонов.
Эффекты корреляций турбулентных пульсаций описываются
зависимостью /к,© от со. В линейном приближении корреляции во
времени (зависимость от со) однозначно связаны с корреляция-
корреляциями в пространстве (зависимость от &), т. е. /к,со= /к$(со — сок).
Подчеркнем, что и в том и в другом случае речь идет о зависимости
среднего значения полей < E(rlf ^)E(r2^2) > от t^ — tl9 r2 — тг. За-
Зависимость же от (тг + га)/2 и (tx + t2)f2 учитывается в виде медлен-
медленной зависимости от средней координаты и среднего времени щ +
+ V
В уравнениях баланса оказалось возможным пренебречь кор-
корреляциями, т. е. положить /к, © ж /кб (со— сок). Такая возмож-
возможность связана с тем, что, с одной стороны, уравнение содержит
лишь малые члены (порядка yj^k), а с другой — взят интеграл
J/k,wdco по всем частотам [см. уравнения B.64)], который не чувст-
чувствителен к детальной форме распределения пульсаций по со. В этих
условиях более точный учет корреляций даст малые поправки за
пределами точности записанных уравнений (в которых отброшены
нелинейные токи выше третьего порядка по полю).
Таким образом, можно сказать, что полученные с той же точ-
точностью уравнения могут быть записаны как уравнения для
1 /k,® dco = /к— величин, определяющих спектр турбулентных пуль-
пульсаций, т. е. спектр турбулентности можно искать, не вникая в
характер временных корреляций пульсации.
Корреляции полей измеряются в большинстве экспериментов
по плазменной турбулентности и представляют собой одну из
важных ее характеристик. В турбулентной плазме теряется
76

строго однозначное соответствие между частотой пульсаций и их
волновым числом, т. е. каждому k соответствует спектр частот,
некая линия конечной ширины около со = сок. В случае слабой
турбулентности ширина этой линии Дсо всегда меньше соь а харак-
характерное время корреляции имеет порядок величины Дт/~1/Д(о
(по общим свойствам преобразований Фурье).
Для того чтобы учесть корреляции, составим уравнение для
Ih, считая турбулентность стационарной (^7 + vgir = Oj. Не-
Нестационарность корреляций легко учитывать, используя результа-
результаты § 2.4. Для большей общности не будем конкретизировать зави-
зависимость коэффициентов нелинейных турбулентных токов от регуляр-
регулярных составляющих скоростей частиц, их распределения и т. п.
Это позволяет получить общие уравнения, в которых нелинейные
токи могут быть представлены как решения любых конкретных ди-
динамических уравнений (например, двухжидкостных гидродинами-
гидродинамических уравнений или кинетических уравнений, учитывающих пар-
парные соударения частиц), и тем самым выявить влияние таких факто-
факторов, как парные соударения и другие, на нелинейные взаимо-
взаимодействия и корреляции турбулентных пульсаций.
В условиях стационарной турбулентности
(El, tEl\ ,>= h, цЬ{к-к').	B.102)
Рассмотрим продольные турбулентные пульсации, когда
?2
Общее выражение д,ля нелинейного турбулентного тока вто-
второго порядка по турбулентному полю запишем в виде
k1 — k^,	B.103)
Здесь jh=(k]h)/k\ Ek = (kEk)/k. В правой части B.103) член
(EltEl2) необходим для выполнения </1B)> = 0.
Величину Sk,kltk2 можно всегда симметризовать по перемен-
переменным klf k2
Sk,klfk2 = Sk,k2>kl.	B.104)
Кроме того, Sk,kltk2 удовлетворяет очевидным соотношениям,
следующим из действительности тока jk и полей,
Sjfe,ife1,ife2=—S—k,—kit—k2'	B.105)
77

Общее выражение для тока следующего приближения по тур-
турбулентному полю, удовлетворяющее </1C)> = 0, имеет вид
U = \ {2*. klt k2, k3 {EkxEk%Ekz — (EklEk2 Eks)) +
, klt k2, k3Ekt (Ek2Eks)-\-Gk, klt k2,
^ — k^ — k^.	B.106)
Аналогично B.104) можно считать выполненным условие
/ \k- ki, k2, k3	/ \h. k2, ki, k3 / \k. k2, k3, k\
~-^jkt klt k3, k2 = ^k, k3, kt, k2 =2ik, k3, k2, kx •	B.107)
Заменой переменных во втором члене B.106) легко привести его
к виду
-\%t klt k2, k^El^E^El^-d^dk.dk^ik^k^k^k^ B.108)
где
^jk, klt k2, kz = —Gk, klt k2, kz —Gk, k2, klt kz — Gk, kz, k2, kx • B.109)
Из сравнения B.106) и B.67) видно, что для бесстолкнови-
тельного кинетического уравнения 2' = 2- Используя уравнение
Максвелла для турбулентного поля
умножая его на Е\> и интегрируя по k\ получаем
со2 ei Ih = 4шю J dk' Sk. klt k2 <El',
x\dkr d^dk^dk^ik — kx — кг — k3) X
X (zlk, k1§ k2, kz (Ek' EklEk2Ek3y —
-<ElEb(ETk2El3)^ktkl,k2,k3).	B.111)
Средние от четырех полей можно приближенно разбить на три
парных произведения, тогда как в средних от трех полей каждое
из них следует уточнить, используя приближенное соотношение
Е1 = -Ц { Skt kltk2{ETklETk2-<ETklETO) b{k-kx-k%). B.112)
78

Это приводит к уравнению (ЕткЕ1'У= — Ik 8(k + k'),
-Ш JIkl Ik2 \Sk. klt k2 г*Ь*Ь*(Ь-Ь-Ь*)\. B.113)
( + ) zLkl-k, )
Здесь учтено, что согласно B.67)
Z*k, klf k2, k3 ~2^k, klt k2, k3\	B.114)
Zuk, kx~— \Zjk, klt k,—kt-rZik, ku -klt k) —
8mSkk_kitkiSk_kitk_ki ^	B 115)
@3-0)!) Elk_ki
Sk—kltk, —kt = — (Sk-klt k, —kt -{-Sk—kt.—kt, k)- B.116)
Уравнение B.113) является более общим, чем B.75)*, и
интегральным. Конкретные выражения для корреляционных функ-
функций турбулентных пульсаций могут быть найдены из B.143), если
известны S и 2 для конкретных типов коллективных движений.
Следует заметить, что уравнение B.113) удобно для получения,
уравнения баланса и исследования корреляционных эффектов на
хвостах корреляционных кривых, т. е. при со, существенно отлич-
отличных от значений сок линейной теории. Вблизи же резонанса, т. е.
при со — сок, близких к нулю, его следует уточнить. Действитель-
Действительно, левая часть B.114) вблизи резонанса в силу Ree'^k.k) = 0
имеет вид
со
((со — сок) /к + iYk /k).
Таким образом, со — сок является величиной, пропорциональной
/ [согласно правой части B.113)]. Величина / (точнее, безразмерная
величина WlnT) — малый параметр, и поэтому корреляционное
уширение много меньше сок, что соответствует приближению сла-
слабой турбулентности. В последний член правой части B.113), одна-
* Для получения правой части B.75) из B.113) необходимо взять мнимую
часть от B.114), разделить на со	 и проинтегрировать результат по ок
0@
Воспользовавшись Ih =
"к
легко убедиться в тождественности получаемого таким образом уравнения
с B.75).
79

ко, входит \lsLkl-k2> равная 1/eL* в силу k± + k2 = k. Вблизи
со ж сок 1/sLk —- 1 /со — сок ~ W~l. Это означает лишь, что по-
последний член B.113) вычислен недостаточно точно.
Вернемся к уравнениям B.111), B.112). Используем следующие
'физические аргументы*. Пусть характерная средняя ширина
частот, характеризующих корреляции, есть Лес**. Используем ма-
малый параметр Асо/cok С 1- Выделим поля низкой частоты coL,
имеющие частоты порядка Асо, и поля высокой частоты сои порядка
частот исследуемых турбулентных пульсаций. Будем считать высо-
высокочастотные поля распадными, т. е. три высокочастотных поля
удовлетворяют условиям к = к± + к2, @ = 0)!+ со2. Поскольку
взаимодействие, пропорциональное 8(k — k±—&2), содержит поло-
положительные и отрицательные частоты, то оно может соответствовать
как разности, так и сумме частот щ и со2. Низкочастотные поля
могут возникать лишь в условиях, когда частоты высокочастотных
лолей противоположны по знаку. Итак, в первом приближении для
низкочастотных полей можно записать
r?TL	4tti р Q	(рТН рТН
— <??"?™>)dMM(* —*i-*2).	B.117)
Задачей теории является составление уравнения, содержа-
содержащего лишь поля Е™ (точнее, средние от их квадратичных ком-
комбинаций). Поэтому поля Е\ь должны быть исключены.
Среднее значение (Ek* Е\ХЕ\2}, входящее в B.111), можно за-
записать в следующем виде, учитывая, что поле Е\> может быть
только высокочастотным:]
(El ETkl ETk2y = <?^ El? El?у + (El? ETk\ ETk?) +
T?El?ElL2\	B.118)
Последние два члена B.118), преобразованные с помощью B.117),
дают член, зависящий от 5 в 2эфф fCM- формулу B.115)]. Первый
член B.118) дает как раз особенность \/&Lk, о которой речь шла
выше. Запишем уравнение для Е™ более точно:
к\ к2	к\
* Обоснование можно получить также при помощи техники графиков
•[54].
** Величина Асо может быть характерной полушириной корреляцион-
корреляционной линии, т. е. указывать тот сдвиг частот, для которых интенсивность убы-
убывает в два раза.
:80

4jti С Ah' Ah Ah V	/ FTH P™ P™
j	2лЛ ^ ^ ^ ^ ^ &
X8{kf — k[ — k2 — k3).	B.119)
В последнем члене пренебрежено низкочастотными полями,
которые согласно B.117) дают более высокие степени высоко-
высокочастотных полей. Умножив B.119) на Е™ Е™ и вычислив сред-
среднее значение (Е™Е™' Е™), получаем
ТН рТН \ , рТН рТИ, I рТН рТН \ \
Е ) <? E > ^ Е ^ ) ) X
х б(k'-k[-k'2)-8-4 [sk-. *;, *; dkldk'i { ( El?El?E™ Е?-) -
4jli Г V	It птн птн я™ nTH nT
--, J 2,*.. *;. ur *i ( < *ъ Ek2 Ek. E^ Ek
/ r?TH r?TH, / PTH pTH pTH \	I pTH pTH \ I рТН рТН рТН ч \ K/
-<Ekl Ek2 > ( Ek[ Ek> Ek> ) - ( E^ Ek^ ) ( Ekt Ekz Ek[ ) ) X
X б (&' — k\— k2 — k^)dk\dk2dk^
Здесь использовано свойство симметрии Sk, kx, k2- Разбивая средние
от четырех полей на парные и подставляя B.117), получаем
^1к1 Ik2-
4^i f ^эфф	/ / pTH рТН рТН рТН т?ТН \
	Г \ Zjk' k' k' k\\ ^ki ^k2 *-* u' *-* ь' *-* b' )
Ю J ^k ' ЛГ k2' кЗ V \	k\ k2 k3 I
-(Ekl Ek2 > (Ek^ Ek^ Ek^ )-{Ек1 Ek2 ?^ ) x
X (E™E™))&(k'— k\— k'2 — ks) dkldkidk'z. B.120)
Здесь 2lf^i k2 k3 соответствует симметризованному B.72) (см.
B.115)).
Следует теперь приближенно разбить среднее от произведе-
произведения полей на возможное произведение от средних трех и двух
Нолей (остальные разбиения содержат <?г>, что, по определению,
81

равно нулю). Таким образом, для членов, содержащих 2эфф в
правой части B.120), получим
— <?*' Ekt
с'
Н т?ТН\ Г ^эфф т 11 '
1	2	3	CO' ^2 J k'»-k*> k2' k3
Здесь 2l*f соответствует B.115)
С^эфф	^ЭФФ	I ^ЭФФ	i х^3ФФ
2:k', klt k2, k% = 2jk', klf k2, k9-r-2jk', k2. klt ks-T 2jk'. ka, kz, kt-
Введем понятие нелинейной проницаемости е^, определив ее
соотношением -
«? = -** ГЗЙ*/*,^.	B.121')
© J
Из BЛ20) и B.121) видно, что
<El?ETk?ETk?> = Ikt, k
где Iku k% удовлетворяет уравнению
х
*, Jdk\ Б1Ф*_,, -*, *;. -^; /*;. _*._*;
Полученное уравнение — интегральное. Однако его решение
легко найти с необходимой для наших целей точностью. Действи-
Действительно, интенсивность пульсаций является малым параметром
\пТ ^ *г Необходимость учета членов ~/А в знаменателях
B.122) связана с тем, что eLkt-k2 близко к нулю. Таким образом,
если возникают знаменатели типа 1/ei", где k" не совпадает
9 ki + К, то такие члены не имеют особенностей, т. е. учиты-
82

ватъ поправки порядка Ik в них не требуется. Будем решать B.122)
методом итераций. Пренебрегая в первом приближении интеграль-
интегральным членом в левой части B.122), имеем
Подставляя это выражение в интегральный член B.122), убеж-
убеждаемся в том, что возникают лишь знаменатели 1/е^2, причем по
#2 согласно B.122) производится интегрирование*. Методом индук-
индукции легко убедиться, что этот результат имеет место для последую-
последующих приближений, т. е. решение имеет вид B.123), в котором числи-
числитель — ряд по малому параметру Ik. В силу сказанного достаточно
ограничиться первым членом этого ряда, т. е. использовать B.123).
Учитывая определение е% B.12Г), получаем вместо B.113) [71]
С I k k ь \
Xj	!
Полученное уравнение и является искомым уравнением для кор-
корреляций пульсаций в плазме. Естественно, что уравнения баланса
из него получаются такими же, как и из B.113). Правда, здесь
имеются особенности, о которых будет сказано несколько позже;
Уравнение B.124) представляет собой сложное интегральное урав-
уравнение для корреляционной функции, решения которого могут быть
найдены лишь в конкретных случаях. Ограничимся здесь некото-
некоторыми общими замечаниями. Запишем, во-первых, B.124) с учетом
*
k% б (к-кг-к2) dkl(lk2
+.JT	- BЛ25)
Из этой формы уравнения видно, что Ik всегда положительно,
как и должно быть по определению этой величины. Во-вторых,
числитель B.125) при со-> cot является слабо меняющейся функ-
функцией со и к. То же относится и к е^. Поэтому можно считать, что
корреляционная функция Ik имеет следующую структуру: :
* Аналогично уравнениям баланса величина 1/е, стоящая под
Интеграла, не приводит к особенностям
B.126)
знаком
83

где а*, (Ок^, у?— медленные функции со и к при со, близком к сок,
причем, используя разложение вблизи резонанса, можно записать
ы ' Ree^-;	B.127)
"Л~Р" .	B.127')
Таким образом, возникает нелинейный сдвиг частоты и уширение
спектра. Корреляционная ширина характеризуется y?. При ее
оценке надо иметь в виду, что уравнение баланса означает компен-
компенсацию положительных и отрицательных уь и величина у? может
быть меньше входящих в нее отдельных членов (линейных и нели-
нелинейных).
Из вида B.126) можно получить важный результат о влиянии
корреляции на взаимодействие турбулентных пульсаций. Выра-
Выражения B.125) описывают распадный процесс, что видно из
6(fe — kx — k2). в B.125). Существует широкий класс пульсаций, для
которых распады запрещены слабо, а именно: малые изменения
частот пульсаций могут разрешить такой процесс взаимодействия.
Примером такого рода могут служить почти все пульсации с при-
приближенно линейным законом дисперсии
coft« const k.
Действительно, если три волны распространяются в одном на-
направлении, то из k-L + k2 = k3 будет следовать и со^ + ®к2 =
= @k8. Таким колебаниями являются ионно-звуковые, альфвенов-
ские, магнитогидродинамические пульсации и др. Однако в силу
того, что их спектр не строго линейный, распады запрещены. Уши-
Уширение спектра пульсаций из-за их корреляций может разрешить
распад* Так как Дсо ~ уь, то выполнение распадных условий в
B.126) требуется с точностью до величин ~уЦ. Существенную роль
могут играть не только эффекты корреляций, но и сдвиги частот,
описываемые B.127).
Для строго нераспадной турбулентности либо необходимо учи-
учитывать распады более высокого порядка по энергии турбулентно-
турбулентности, либо корреляционные эффекты связаны с резкой зависимостью
г^ от со — сок (более подробно см. § 4.6).
Для ряда приложений очень важно выяснить возможность
возникновения турбулентных пульсаций в области низких частот.
Выше общее уравнение для корреляций B.124) использовалось для
анализа формы резонансной кривой в области, близкой к резонанс-
84

ной частоте — <g 1. Но крылья резонансной кривой могут за-
ходить и в области частот, много меньших оо^ Такие турбулент-
турбулентные пульсации, очевидно, не будут иметь какой-либо однозначной
связи частоты и волнового числа. Их относительная амплитуда мала.
По грубой оценке
\2
Однако абсолютная величина может существенно превосходить уро-
уровень тепловых шумов, если интенсивность колебаний в области ре-
резонанса достаточно велика. В области резонанса левая часть
B.124) мала в силу г1к « 0, а правая — потому, что содержит лиш-
лишнюю степень энергии турбулентности, являющейся малой величиной
для слабой турбулентности. Вне резонанса значение г1к достаточ-
достаточно велико и малость левой части B.124) обеспечивается малостью
Jk. Поэтому в области низких частот можно пренебречь е? и запи-
записать
Г
J
dkxdk2 V*.6(*-V-W.fr*-r . B.128)
Следует заметить, что форма кривой резонанса не обязательно
непрерывна и могут существовать области, в которых пульсации
отсутствуют. Такова, по-видимому, ситуация для строго нерас-
падного спектра, каким является спектр ленгмюровских пульсаций.
Если рассматривать частоты со, близкие или порядка сорв, то
интеграл B.128) близок к нулю. Для частот, равных разности ча-
частот ленгмюровских пульсаций, величина /? становится достаточ-
достаточно большой, так как вклад вносят максимумы в спектрах I&t и Ik2
правой части B.128). Такой эффект возбуждения пульсаций с ча-
частотами, равными или меньшими разности частот пульсаций,
хорошо наблюдался экспериментально [72]. Это замечание следует
иметь в виду при анализе проблем турбулентного нагрева. Основ-
Основная масса частиц плазмы может быть нерезонансной с высокочастот-
высокочастотными пульсациями в области центра корреляционной кривой B.126),
но будет резонансной с низкочастотными пульсациями B.128).
Таким образом, высокочастотные пульсации могут нагревать плазму
в результате возбуждения пульсаций низкой частоты. Ниже будет
показано, что окончательный итог такого взаимодействия в уравне-
уравнениях баланса для частиц, которые и описывают нагрев, при учете
всех членов одного и того же порядка малости есть нагрев из-за
индуцированного рассеяния плазмонов на «частицах» плазмы
(§2.7).
Наконец, для строго нераспадного спектра наличие низкоча-
низкочастотных пульсаций B.128) может привести эффективно К тому,
83

что правая часть B.125) не равна нулю. Действительно, если в
B.125) одну из Ik считать низкочастотной B.128) и подставить в
B.125), получим правую часть, пропорциональную третьей степе-
степени энергии высокочастотных пульсаций. Очевидно, учет отброшен-
отброшенных нелинейных токов приводит к эффектам того же порядка. При-
Причем оказывается, что сумма всех членов описывает четырехплаз-
монное взаимодействие, т. е. процессы рассеяния плазмонов на
плазмонах (см. § 2.9 и 4.3).
§ 2.6. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Перейдем к рассмотрению уравнения для регулярной части
функции распределения fR. Предположим, что ER =0; уравнение
B.9) приобретает вид
Разложим fT по степеням турбулентного поля Fr. В первом
приближении из B.17)
и вместо B.129) имеем
dfR dfR	/
dt	dr	\ dp /	\J	dp
т т д	1	<
x ei (k+k>) x s {k — ki — kj) dkx dk2.	B.130)
Это уравнение, учитывающее в первом приближении влияние
турбулентных пульсаций на регулярную часть функции распреде-
распределения, называется квазилинейным [56]. Его можно упростить,
если считать, что fR меняется значительно медленнее, чем турбулент-
турбулентные поля, т. е. /?2 в правой части B.130) можно приближенно
заменить fRb(k2). Интегрирование по kx дает
dfR dfR д С т т \ e{{k~k')x	dfR
_i_+v— =i^- \<FT* .FTb .>	dkdk' 4~- B.131)
Уравнение B.131) уже дифференциальное. Его правая часть
описывает «столкновение» коллективных возбуждений плазмы («об-
(«обросших» электронов и ионов) с турбулентными пульсациями.

Простоты ради рассмотрим продольные турбулентные пульса-
пульсации, когда
^г k', irk, j>	'kkr ^и^Пк>-
рассмотрим квазилинейные уравнения в условиях, когда yl < G>j[.
В первом приближении, учитывая, что изменение амплитуд тур-
турбулентных полей является медленным, можно считать, что
Уравнение B.131) приобретает вид
dfR	dfR	a Ckiki
dt
dr
-a—. B.132)
dP K	}
В силу действительности правой части необходимо учесть лишь
мнимую часть знаменателя
Im
— kv + i 6
= — i хсб (со — kv).
i 6
Получим
dt
dr	dPt J k*
dfR
--—- B.133)
dPj	K	'
Это уравнение имеет простую интерпретацию. Выразим 1к
через число плазмонов, пренебрегая в первом приближении кор-
корреляционным уширением по частотам,
B.134)
Имеем
где
dfR . dfR д
} v
dfR
dt
дг
B.135)
Bя)«
б(сок-ку)
B.136)
87

есть введенная выше вероятность излучения плазмона B.61)*.
Уравнение B.134) можно получить как результат баланса индуци-
индуцированного излучения и поглощения плазмонов частицами турбулент-
турбулентной плазмы. В результате излучения плазмона частица теряет им-
импульс к, переходя из состояния р в состояние р—к. В силу деталь-
детального баланса вероятность поглощения плазмона частицей в состоя-
состоянии р— к есть ^р(к), а частицей в состоянии р есть шр+к(к). Из ба-
баланса поглощения и излучения имеем
[Nkfp-(Nk+l)f*+k]}dkBn)-3.	B.137)
Раскладывая по к и учитывая лишь индуцированные процессы,
получаем уравнения B.136) и B.135).
Существенно также то, что в рамках рассматриваемого прибли-
приближения взаимодействуют лишь частицы, удовлетворяющие законам
сохранения для излучения и поглощения. Для B.136) это
Такие частицы плазмы называются резонансными. Часто общее чис-
число резонансных частиц мало по сравнению с полным числом частиц
плазмы. Поэтому представляет интерес также и то, как взаимодей-
взаимодействуют с турбулентными пульсациями нерезонансные частицы. Фак-
Фактически резонанс всегда не бесконечно узок (когда он описывается
б-функцией), и на «крыльях» резонанса могут участвовать во взаи-
взаимодействии частицы, скорости которых отличаются от скоростей
резонансных частиц. К этим эффектам приводят не только корреля-
корреляции турбулентных пульсаций (см. выше § 2.5), но и нестационар-
нестационарность турбулентности.
Запишем основное квазилинейное уравнение B.130) для продоль-
продольных турбулентных пульсаций, заменяя к' ->- —к' и интегрируя к
dfR dfR с
* +v
-*г <2Л38>
Нетрудно убедиться, что B.136) есть вероятность излучения плазмона
равномерно движущимся зарядом (черепковское излучение, см. работу [73]).
рр	у	р	(р	у	ру []
Действительно, подставляя в мощность излучения \ (jE) dv = \ со 1к шр (k) dk X
X Bл;)"~ 3 поле равномерно движущегося заряда ?^= —	6 (со—ку)Bя)
получаем B.136).
88

Уширение резонанса может быть связано с неоднородностью и не-
нестационарностью fR и среднего от полей турбулентных пульсаций
(El* Е^}- Простоты ради для выявления физического смысла ре-
результата рассмотрим здесь эффекты, связанные лишь с нестацио-
нестационарностью, считая турбулентность и fR однородной. Если пренебречь
сй2 и к2 в знаменателе B.138), то возникнет J f*2elk2X dk2 = fR (x) —
локальная функция распределения, учтенная выше. Удержим
следующий член разложения по со2 и k2. В силу однород-
однородности /*: /? = /? б (k2); j со2 е1 k*х /? dk2 = i ^- . Сравнивая полу-
dfR
dfR
ценный член в правой части B.138) с -——в левой части, убеж-
/w \
даемся, что он мал, если турбулентность слабая (— СИ-
Рассмотрим те изменения в квазилинейном взаимодействии,
которые возникают из-за нестационарное™ турбулентных пульса-
пульсаций. Полагая в знаменателе B.138) о2 ~ &2 ~ 0, имеем
dfR , dfR д dfR
где
Dl7= ie2 Г-L-I/ Ek' kl 	.	dkf dkx. B.140)
г-»	(Oi-f-co' . (Oi—со	* кл-\~ k' ,
Запишем со-, = —^—¦— H—	 и соответственно k-, = -LJ	H
2	2	x	2
_|—HZ— # в обозначениях, принятых в § 2.2, —:^- =к\ kx —
— k = Д&; >с — {х, со); cOi^coH	; /еi = >с —[	. Учтем, что для
стационарных пульсаций Д& — 0. Величина Дсо входит лишь в зна-
знаменатель B.140). Разложив знаменатель B.140) по Д? и обозна-
обозначив <????? ) = |?Х(Д?)|2, легко получим поправку к DtJ
B.141)
2 (со —
Заменим х величиной fe, тогда, учитывая однородность тур-
турбулентности, имеем
^^	B.142)
k* (со —kv + i6J dt
89

Интегрируя по частям, получаем окончательное выражение для
6DtJ = — Re Г	-	ii^-.l.A/	B.143)
^ 2 J со —kv+i 6 k* dt дсо h	V	;
Найдем с помощью этой поправки изменения во времени пол-
полного импульса Р* = I pfR t^-ts частиц плазмы
dPR
dt
= —е*п Г — /fe б (со — kv)
dp I Bл)з
k2 со — kv + i 6 I dp/dt'dco h BnK '
B.144)
Входящие в B.144) коэффициенты могут быть выражены че-
через е?*
B.145)
Получим
dPR I
Imei
B.146)
B.147)
Если приближенно учитывать линейные по Ih члены, то Р^
сохраняется. Действительно, первый член в фигурных скобках
B.147) равен — yklk, а второй ук1к. При учете же нелинейных
эффектов в уравнении для —Ik получим
dt
—
dt
dt
дк=
к klx
8л;3
B.148)
Для того чтобы узнать, сохраняется ли ток с учетом нелинейных
эффектов, необходимо вычислить взаимодействие частиц плазмы с
турбулентными пульсациями в следующем порядке по Nk и сложить
результат с B.148). Отметим сразу, что распадные процессы не вно-
90

сят вклада в B.148). Действительно, для распадных процессов
справедливо B.84) и, следовательно, первый член B.148) со-
сокращается со вторым членом B.148). Таким образом, B.148) со-
содержит лишь члены, характеризующие эффекты, связанные с инду-
индуцированным рассеянием. Именно такие эффекты и входят в следую-
следующее приближение для взаимодействия частиц и турбулентных пуль-
пульсаций. Они компенсируют вклад эффектов рассеяния в правую часть
R
B.148) (см. ниже). Итак, ^- =0.
Последний результат легко понять. Действительно, для потен-
потенциальных колебаний импульс электромагнитного поля равен нулю,
поэтому
dtj Г1 Bлу ' \У dt Bя)з/
или
± [pfR-*fL==o.	B.149)
Для энергии частиц №# = 1-?-/#'——, как легко понять,
J 2m BяK
:оответствующее уравнение отличается от B.144) тем, что вместо
к под интеграл входит величина kv = k —.—, которую можно
dp 2т
заменить со как в первом (из-за б-функции), так и во втором
члене (из-за обращения в нуль интеграла, содержащего множи-
множитель со — kv вместо kv). Отличие от B.147) будет в множителе:
со вместо к, что при интегрировании по частям дает лишний
член
— ( (Reejfe*—1) —Ikdk. "Учитывая Reei = 0, получаем
8л J	dt
т. е. сумма энергий частиц и электрического поля турбулентных
пульсаций сохраняется. Соотношения B.150) можно получить не-
непосредственным усреднением точного уравнения для сохранения
энергии.
Малость инкремента в сравнении с частотой связана с тем, что
число резонансных частиц мало по сравнению с полным числом
частиц. В первый из двух членов B.144) вносят вклад лишь резо-
резонансные частицы, а во второй входит малый множитель, описы-
описывающий слабую нестационарность и имеющий в линейном прибли-
приближении порядок Yk/o>k, однако основной вклад вносят нерезонанс-
нерезонансные частицы, число которых в cok/7k раз больше, чем резонансных
[6].
Если выделять отдельно только резонасные частицы (т. е.
интегрировать лишь по области р, в которой выполняется условие
91

резонанса), то можно убедиться в том, что импульс резонансных
частиц не сохраняется. Полный импульс резонансных частиц обоз-
обозначим
Имеем
рез
"рез —
рез
= — [kIm*lk*Ihdk=-№-—ReelkRIkdk. B.151)
4л J	J 4я- dec
dt
Можно ввести понятие импульса плазмонов Рпл так, чтобы
<2Л52>
Так как при учете только резонансных частиц
2yUh = ~h,	B-153)
то имеем
Ii(?")ft^	BЛ54)
Это выражение соответствует наглядному, представлению о
газе плазмонов, каждый из которых обладает импульсом к. Дейст-
Действительно, из
5со	2я2
получим
Рпл= ('kiVk-^-.	B.156)
J	BяK
Согласно изложенному выше этот импульс совпадает с импульсом
нерезонансных частиц, которые адиабатически колеблются в поле
турбулентных пульсаций.
Таким же образом можно ввести понятие об энергии плазмона
R	Г*
пез 1 СО у	IR т ii	dWmi	(О 1 ?7\
?^=1—lrmklbdk=	55-,	B.157)
dt J 4я	к	dt
где
Энергия плазмонов равна энергии электрического поля плюс энер-
энергия движения нерезонансных частиц в поле турбулентных пульса-
92

ций. Последнюю легко найти, если из B.158) вычесть энергию
электрического поля \~ dk.
В случае, когда требуется определить лишь полную энергию
и импульс, переданные нерезонансным частицам, можно ограни-
ограничиться рассмотрением лишь эффектов, связанных с резонансными
частицами. Действительно, квазилинейные уравнения, учитываю-
учитывающие в первом приближении лишь эффекты первой степени по энер-
энергии турбулентных пульсаций или только резонасные частицы,
представляют собой замкнутую самосогласованную систему урав-
уравнений, позволяющую в принципе по начальным значениям fR и
JVk определить fR и JVk для любых других моментов времени. Зная
же Nkj можно найти энергию и импульс плазмонов и тем самым
энергию и импульс нерезонансных частиц.
§ 2.7. ЭФФЕКТЫ КОРРЕЛЯЦИЙ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ
ПРИ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ЧАСТИЦАМИ ПЛАЗМЫ
Выше показано, что корреляции турбулентных пульсаций раз-
размазывают резонансную кривую и приводят к отсутствию строго
однозначного соответствия между частотой и волновым числом
турбулентных пульсаций. Такие эффекты возникают как для внеш-
внешних (стохастических) полей, так и полей, возбуждаемых в плазме
из-за неустойчивости.
Рассмотрим, может ли уширение резонанса привести к более
эффективному взаимодействию частиц плазмы с турбулентными
пульсациями, в частности к более аффективному обмену энергией.
Эта проблема важна для реализации стохастического нагрева плаз-
плазмы внешними случайными полями, исследуемого весьма интенсив-
интенсивно в различных экспериментах [75, 76]. В силу того, что роль не-
нестационарности турбулентности подробно обсуждена выше, будем
считать здесь турбулентность стационарной.
Общее квазилинейное уравнение для стационарной турбулент-
турбулентности B.132) учитывает эффекты корреляций. Лишь конкретиза-
конкретизация B.134), не учитывающая корреляций, приводит к уравнениям
B.135), B.136), в которых во взаимодействия вовлечены только ре-
резонансные частицы. Учет корреляций для резонансных частиц
может незначительно изменить их взаимодействие, так как ушире-
уширение резонанса из-за корреляций Асо всегда много меньше сок.
Пусть фазовая скорость пульсаций w/k много больше средней ско-
скорости частиц. Только малое число резонансных частиц, удовлетво-
удовлетворяющих со = kv, т. е. имеющих скорости, большие co/fe, взаимо-
взаимодействуют с такими пульсациями.
Для частиц строго нерезонансных с пульсациями, а именно
частиц, имеющих скорости, много меньшие фазовой скорости пульса-
пульсаций, важное значение имеют корреляционные уширения. Действи-
Действительно, хотя взаимодействие вдали от центра резонанса и сильно
Уменьшено, однако полное число частиц может намного превосхо-
93

дить число резонансных частиц и, следовательно, можно было бы
ожидать эффектов, сходных с теми, которые были обсуждены выше
для нестационарных пульсаций. Однако в данном случае легко по-
показать, что наряду с эффектами корреляций, учтенными в работе
[74], существуют другие эффекты того же порядка, которые в ряде
случаев сильно компенсируют эффекты корреляций. Результат
при этом имеет простой физический смысл (см. ниже).
Действительно, пульсации в нашем случае могут оказаться
резонансными с большей частью частиц, если их частоты достаточ-
достаточно низки (хвост резонанса). Поэтому можно воспользоваться B.128).
Подставляя это выражение в B.133), получаем следующий ре-
результат для коэффициента диффузии нерезонансных частиц, обя-
обязанного корреляциям пульсаций:
X
B.159)
Оставляя лишь члены с разностью частот со^ — сок2 и исполь-
используя здесь приближение B.134), получаем
X
del
йI=сок<
<2
B.160)
Заметим, что B.160) описывает рассеяние частиц плазмы на
турбулентных пульсациях и только часть полного рассеяния, а
именно нелинейное рассеяние. Действительно, B.160) можно за-
записать в виде
AT IU	U \(U	U \ 1
Dt,=
р
B-161)
где Wp(klt k2) — введенная выше вероятность нелинейного рассея-
рассеяния B.96). Выше было выяснено, что наряду с нелинейным рассея-
рассеянием возможно комптоновское. Так как B.160) квадратично по
энергии турбулентности, следует учесть все эффекты того же по-
порядка.
Общее выражение для интеграла столкновений частиц плазмы
с турбулентными пульсациями имеет вид
dt
дг
94

где
dp.	dp. )
Выше учитывался лишь первый член разложения fT по турбу-
турбулентному полю Ет. Следующие члены в приближении стационар-
стационарности fR имеют вид [см. B.18) и B.19)]
гГB)_ 2 Г dkidkzb
'* - J Ко,-
kv + i 6) V*! аР
х —,	1 _l-^ (т---1г) (ElETkt-<ETklETk,y); B.163)
i (co2 —k2 v + i о) ^2 dp J
— k1 — k2 — k3)
i (со — kv + i 6)
cl {6) 	 6 I utt1u/c2u«3u^ — Ki — «2 — к3)
dp J i(co2 + co3—(k2+k3)v + i
d\	1	/k3 df*
x
i(co3—k3 v + i 6) \k3 dp
X (ElElEl-El <ElETkty-<ETklEltFb). B.164)
Здесь, как и выше, в качестве примера выбран простейший
случай продольных турбулентных пульсаций. Процедура дальней-
дальнейшего расчета повторяет расчет, проделанный для нелинейного
взаимодействия турбулентных пульсаций. Средние от трех турбу-
турбулентных полей могут быть выражены через средние от четырех,
которые разбиваются на возможные парные произведения. Обозна-
Обозначим вклады в интеграл соударения 1Т от /ГB) и /ГC) соответственно
ГB) ГC
/ГC)= 4
ft, ft
A
dp J со —kv ^ dp
Здесь учтен нерезонансный характер пульсации со Ф kv, в соот-
соответствии с чем мнимая часть может возникать из знаменателей
Im	= —яб (со — <% — (к — кх) v).
/1	I \	I • С	^	X	\	X/	/
со — сох — (к—кх) v + i о

Вследствие наличия б-функции в B.165) члены, пропорцио-
пропорциональные (со — (*>! — (к — кх)у), выпадают
dkx dk (kkj) f ,
X fkT") -Л" К "Г"N (ео-сэ1-(к-к1)у) X
\ dp / со —kv V dp I
x(	>	(кг^-)	^fk^Vl- B-166)
ItBH-^v)* [dp J (co-kvJ \ dp jj
Далее в силу той же б-функции выражение в фигурных скобках
B.166) легко преобразуется к виду
©i-^v)» (со —kvJ
Заменяя kx-^±k в B.166) и взяв полусумму этих выражений,
получаем
dp) \ dp У ш,—klV\
х б (<а—©!—(k-kx)v)[	1	х-—1х
L («1—ki v)* (<»-kv)*J
BЛ67)
Выражение в фигурных скобках B.167) можно теперь пре-
преобразовать к виду
){kl)(L_)/k)+
dp / \ ^Р / \ со — kv со! — kt v / m \ dp J (со —kvJ
+ (kkiL/'k A.)	1	.	B.168)
m \ dp ) (o^-kiV)»	;
Первый член B.168) равен нулю в силу наличия б-функции и,
следовательно,
1 -2т*) Й2^(кк1) 7^УЧ( ^^
у.
. х б (со — сй!—(к — k1)v)f(k — кг)-^-\.	B.169)
др
96

Используя теперь приближенные соотношения B.134), для того
чтобы выразить энергию турбулентности через число квантов,
получаем:
др. 13 дР}
u =l(kt-ku)(k}-k1})wcp (k, kx) x
;	B.170)
m
2 -
д4
дг
X
/2 /21
; (<o-kv)«
— k^v).	B.171)
Формула B.171) точно совпадает с найденной выше вероятностью
комптоновского рассеяния B.89).
Нетрудно аналогичным расчетом убедиться в том, что 1Т{2
описывает интерференцию нелинейного и комптоновского рассея-
рассеяния.
Этот анализ имеет важные следствия. Во первых, учет корре-
корреляций пульсаций и взаимодействия частиц с хвостами корре-
корреляционных уширений имеет тот же порядок величины, что и эффек-
эффекты следующего порядка по энергии турбулентности в уравнениях,
описывающих взаимодействие частиц и турбулентных пульсаций.
Во-вторых, полученный результат показывает, что полное описа-
описание этих взаимодействий возможно, если не принимать во внимание
хвосты корреляционных взаимодействий, но учитывать эффекты
индуцированного рассеяния. Индуцированное рассеяние также явля-
является резонансным взаимодействием, однако это резонанс более вы-
высокого порядка со—(?>1 = (к± — kx)v и частицы, отбираемые этим
резонансным условием, отличны от тех, которые отвечают резонансу
(o=kv. Таким образом, можно учитывать лишь резонансные взаимо-
взаимодействия и пренебрегать в первом приближении корреляционными
Эффектами (см. также гл. 4). В -третьих, сильная компенсация нели-
нелинейного и комптоновского рассеяния существенно меняет выводы,
касающиеся эффективности стохастического нагрева электронов
плазмы. Так, для ленгмюровских пульсаций (см. ниже) эффектив-
ность нагрева электронов уменьшается в — раз, где v—фазовая
скорость ленгмюровских пульсаций. При рассеянии высокочастот-
ИЫх пульсаций на ионах комптоновское рассеяние мало (из-за
большой массы иона) и основным является нелинейное рассеяние,
Т. е. все эффекты нагрева обязаны только корреляциям турбулент-
97

ных пульсаций. При нагреве низкочастотными пульсациями это
не так, и учет комптоновского рассеяния для ионов может быть опре-
определяющим.
Полученные уравнения для fR нетрудно найти также из простых
соображений баланса, если учесть, что в процессах рассеяния час-
частицы переходят из состояния с импульсом р в состояние с импуль-
импульсом р — к + кх. Уравнение баланса имеет вид
_kl (/p_/p+k_ki)] Nkl Nk ^.	B.172)
Здесь учтены лишь эффекты индуцированного рассеяния, wp (k, кх)—
полная вероятность рассеяния (нелинейного и комптоновского).
Разлагая выражение B.172) по к и кь получаем:
dt	дг dpt ll dv}
B.173)
что совпадает с результатом, полученным выше.
Из B.173) и уравнения для волн легко получить, что сумма энер-
энергий частиц и волн при индуцированном рассеянии сохраняется.
Таким образом, как бы замыкается вся схема рассмотрения,
в которой fR описывает обросшие электромагнитной шубой элек-
электроны и ионы плазмы (электронные и ионные возбуждения), а
Nu — возбуждения плазмы— плазмоны. Их взаимодействия опи-
описываются вероятностями, и сумма энергий всех квазичастиц со-
сохраняется.
Кстати, из этой картины легко получить физические следствия,
касающиеся нагрева плазмы. Действительно, при индуцированном
рассеянии число плазмонов сохраняется, так как на каждый по-
поглощенный плазмон приходится испущенный. Из закона сохране-
сохранения энергий следует, что нагрев может происходить лишь при из-
изменении полной энергии плазмонов. Так как полное число плаз-
плазмонов сохраняется, то нагрев возможен лишь при уменьшении ча-
частоты плазмонов. Поэтому, если имеется нагрев, то перекачка
энергии турбулентности осуществляется в сторону уменьшения
средней частоты пульсаций. Для ряда пульсаций частоты на всем
спектре мало меняются (например, это верно для ленгмюровских
пульсаций, частоты которых близки к (оре). Следовательно, сущест-
существенная перекачка таких пульсаций по спектру не может привести
к сильному нагреву. Более выгодны для нагрева такие пульсации,
частоты которых резко уменьшаются с падением k. Эффективность
98

нагрева можно оценить, зная характерное время перекачки по спект-
спектру. Если известны время перекачки х на некую разность ча-
частот бсо и энергия турбулентности W, то темп нагрева имеет поря-
Док — W - *.
со
§ 2.8. ТУРБУЛЕНТНОЕ УШИРЕНИЕ РЕЗОНАНСОВ
ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЧАСТИЦ И ПЛАЗМОНОВ
В § 2.7 предполагалась нерезонансность частиц и плазмонов с
большей частью частиц плазмы (со Ф kv). При наличии резонанса
<о = kv, часто выполненного для многих низкочастотных пульса-
пульсаций, линейное затухание и квазилинейные эффекты ярко выражены.
Вычисления нелинейных поправок к ним как в у, так и в DtJ тре-
требуют достаточно аккуратного учета турбулентного уширения ре-
зонансов со = kv. Корреляции, рассмотренные выше, отражают
интегральные по частицам эффекты, могут быть малочувствительны
к этому уширению, которое в определенной степени сходно с эффек-
эффектом корреляций, однако представляют собой независимый эффект.
Его учет необходим наряду с корреляциями только для резонанс-
иых с частицами пульсаций, а точнее, для расчета поправок к ква-
квазилинейным эффектам.
Вопрос об уширении резонансов волна — частица был поднят
Дюпри [77]. В общем виде уравнения, учитывающие указанное
уширение, были записаны Б. Б. Кадомцевым [6], однако их реше-
решения не были найдены и не проанализированы вытекающие из них
физически наглядные следствия. Подробнее эта проблема рас-
рассмотрена в работе [78]; где было показано, что в условиях резо-
резонанса со = kv турбулентные процессы адекватно описываются обыч-
обычными квазилинейными уравнениями, а нелинейные эффекты как
в у, так ив Du всегда являются малыми поправками к квазилиней-
квазилинейна
ным, если -^ <С U и поэтому должны отбрасываться. При рас-
рассмотрении указанных поправок разложение по энергии турбулент-
турбулентности оказывается невозможным.
Ниже изложение следует работе [78]. Заметим здесь, что уши-
уширение резонансов со = kv может сказаться на эффектах корреляций
только через изменение нелинейных токов 5 и 2. Эффект уширения
резонансов проще всего понять, если рассмотреть воздействия
высокочастотных со(к) коротковолновых пульсаций (волновое число
к) на низкочастотные (Q) длинноволновые (q), Q < со, q < k.
Как высокочастотные, так и низкочастотные пульсации предпола-
предполагаются резонансными с частицами, т. е. Q = qv и со = kv, и могут
* Помимо этого нагрева возможен также нагрев, связанный с перекач-
перекачкой энергии в область интенсивного поглощения. Рассматриваемый здесь на-
нагрев связан лишь с самим процессом трансформации турбулентной энергии
По спектру.
9Э

принадлежать к одной и той же ветви турбулентных колебаний
(например, ионно-звуковой). Говоря о воздействии высокочастот-
высокочастотных пульсаций на низкочастотные, будем предполагать, что энер-
энергия высокочастотных пульсаций достаточно велика, тогда как энер-
энергия низкочастотных мала, и, следовательно, обратным влиянием
низкочастотных колебаний на высокочастотные можно пренебречь.
Не претендуя здесь на строгость (точная теория дается ниже),
проиллюстрируем влияние высокочастотных пульсаций на низко-
частотные, учитывая их усредненное действие с помощью квази-
квазилинейного уравнения. Это квазилинейное уравнение записывает-
записывается, что следует особо подчеркнуть, для турбулентной составляющей
функции распределения, и его смысл лишь, в том, что низкочастот-
низкочастотные пульсации «чувствуют» лишь усредненное воздействие высоко-
высокочастотных, так как Q < со и q <^k:
B.174)
Коэффициент Dtj описывает воздействие высокочастотных
пульсаций, которое может рассматриваться как некие эффектив-
эффективные «турбулентные столкновения» для низкочастотных. Эти «тур-
«турбулентные столкновения» и уширяют резонанс. Рассмотрим наибо-
наиболее интересный для приложений случай, когда для основной части
частиц плазмы выполнено условие v ^> Q/q (т. е. средняя тепло-
тепловая скорость частиц много больше фазовой скорости пульсаций).
Тогда условие Q = qv выполняется лишь для частиц, скорости
которых почти перпендикулярны к q. Введя 0 — угол между v
и направлением, перпендикулярным к q, запишем приближенное
резонансное условие в виде Q = qvQ. В силу принятого — =
= 6 < 1. Диффузионный член B.174) в этих условиях записы-
д2 т
вается в виде D-^fq и, изменяя 6, «выбивает» частицу из ре-
резонанса, причем чем меньше 9, тем быстрее частица выбивается
из резонанса. Решение уравнения B.174) при этом приобретает вид:
_ е рт( q
m \ q
Dx3
dx.
B.175)
Вдали от резонанса g =	, а при Q-+qvQ g-*—i (——) x
Q—qvQ	\ 3 /
100

Г С1 /3)	1
X	, т. е. если считать, что при Q->-kvQ g^z—	, то
3	i vэфф
гм /ч / W \ 1/3 хл
vad)d> ~ ^ ~ [— • Из приведенного анализа непосредствен-
\пТ )
но видна неразложимость нелинейных эффектов по энергии ко-
колебаний вблизи резонанса со = kv. Общая теория эффектов уши-
рения резонансов [78] может быть построена на базе общего урав-
уравнения B.10) для турбулентных компонент функции распределения.
Простоты ради, так же как и выше, ER = 0. Уравнение B.10)
для продольных полей Eh=—ikyh может быть записано в виде:
— (со—- kv) fl = ещ (к -^— ] + е— \ к± dk± dk2 x
\ д? I дР J
dk = dkda k = {k, со};
&(k — kx — Л?) = б(к — кх — к2)б(со — cox—co2). B.176)
Выделим из правой части этого уравнения диагональный
по fTk член и обозначим его—i v^ (p) /^, где v^(p) в общем случае
л.
оператор [см. уравнение B.174)]. Введем оператор gk(p), удовле-
удовлетворяющий уравнению
gk (p) (со-kv + i v, (p)) fjt (p) == fk (p).	B.177)
Формальным решением B.176) будет
х(ф1,/Г.-<фГ.'!.>)•	B-178)
Подставив это решение в нелинейный член исходного уравнения,
получим
х \kudkx dk2b{k-kx-k2){4Tki gk.(p)vk,(P)frk,-
101

(р) ?,>) + /-
B.179)
x
В правой части B.179) должны отсутствовать выделенные в v диа-
диагональные по fTk члены по крайней мере в главных слагаемых. Та-
Таким главным членом] является] член, содержащий фJt ф?, fl3 при
&2 = —kx. Это дает выражение для оператора Ikx = \ щх \2к{
"*«/l4>*.l2^-*.(p^dfti- {2Л80)
Для описания уширения резонанса рассмотрим новую теорию
возмущений, в основном приближении которой уже просуммиро-
просуммированы наиболее существенные вблизи резонанса члены общего раз-
разложения по энергии турбулентности. Такому приближению соот-
соответствует учет лишь первого члена первой части B.179), т. е.
B.181)
Учитывая, что g является оператором лишь по импульсам частиц.
можно уравнения B.180) и B.177) записать в виде
dp' ((o_kvM(p-p')-e2^x
X Yuk4\%Jdklgk_ki(p, p')-JJj-jgft(p', p») = 6(p-p"). B.182)
W	1
При ^-^0 g->- ^__ kv и приближение B.181) соответствует
обычному линейному приближению. Таким образом, новая теория
возмущений для нерезонансных пульсаций приводит к тем же ре-
результатам, что и обычная, использованная выше.
При описании нерезонансных пульсаций можно использовать
и новую теорию возмущений, учитывая, что часть нелинейных эф-
102

фектов уже входит в B.181). На базе приближения B.181) легко
строится теория возмущений, которая приводит к нелинейному
уравнению для | yk |2:
ф J2 =
$Ль.;
х
| Фа.
•.-2
л/г2
SAP) k
dp
dp
+ 1;
dp
B.183)
дР ; Bя)
+ 2
¦i.f«.*)[(^-
Ч, fci, k — ki AA-/ir,. A, -*,>
(Р) (к, i
2}fR4?
. B.184)
Здесь гк —модифицированная линейная проницаемость, отличаю-
•I
щаяся от обычной тем, что	т— заменено величиной g(® —kv)r
учитывающей турбулентное уширение резонанса. Нелинейные по
отношению к этой гк члены B.183) имеют в условиях резонанса
(о = kv малость 1—1 . В условиях со Ф kv можно раскладывать
B.183) по Wt и сумма нелинейных членов из g и из B.183), которые
в данном случае имеют один и тот же порядок величины, дает не-
нелинейные взаимодействия, подробно обсужденные выше. Для ре-
зонансных пульсации в окрестности резонанса -~ < 1 можно
найти явное выражение для g. В уравнение B.182) вводим новую
переменную г) = со —kv. Ввиду малости т] вблизи резонанса наи-
наибольший вклад вносят члены, содержащие д/дг[. Тогда
Sk(P' P') = i
B.185)
B.186)
103

Эти уравнения лишь обозначениями отличаются от B.174) и
их решение имеет вид
?„. к(Р)= -i J exP [j ПТ-А,(к, р) -|-] dx, B.187)
где Do (к, р) определено соотношением
i ПТ - Do(kl>P)T3
Te	3 ' BЛ88)
Это решение позволяет исследовать влияние турбулентных уши-
рений на линейные, а точнее квазилинейные, эффекты затухания
и раскачки пульсаций. Для резонансных пульсаций всегда такие
поправки оказываются малыми. Впрочем, в последовательной теории
возмущений это совершенно естественно. Легко видеть, что для
резонансных пульсаций разложение происходит по
еЕ V (w\l'z
Таким образом, можно для резонансных пульсаций фактически
пренебречь нелинейными эффектами и учитывать лишь квазилиней-
квазилинейные, используя обычные выражения для инкрементов и коэффици-
коэффициентов диффузии. Последнее связано с тем, что уширение резонансов
практически слабо связывается на интегральных величинах у и
D. При этом, очевидно, важным физическим результатом является
то, что фактически взаимодействия не строго резонансны, а законы
сохранения при взаимодействии должны выполняться с точностью
до этого уширения. Однако учет этого эффекта в условиях, когда
пренебрегается взаимодействиями более высокого порядка по энер-
энергии колебаний, чаще всего является превышением точности. Мож-
Можно, таким образом, использовать представления об элементарных
возбуждениях, взаимодействующих между собой из-за излучения
и рассеяния плазмонов частицами.
Надо при этом иметь в виду, что рассматривать рассеяние плаз-
плазмонов частицей, которая может одновременно излучать тот же
плазмон, нет смысла, так как этот эффект всегда представляет
собой малую поправку. Так, взаимодействие ионно-звуковых
пульсаций, испытывающих большое затухание или раскачку на
электронах, не может быть обязано рассеянию на резонансных с
этим пульсациями электронах. В уравнениях баланс авзаимодействия
частиц и плазмонов содержится интеграл по всем частотам пуль-
104

саций, и поэтому уширение по частотам из-за корреляций мало
существенно. В уравнения баланса также входит интеграл по
скоростям частиц, и, следовательно, уширение резонансов со = kv
при взаимодействии плазмонов и частиц мало существенно.
§ 2.9. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ДЛЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЧАСТИЦ И ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ПЛАЗМЫ
Выше было показано, что детальное микроописание турбулент-
турбулентных процессов в плазме может быть заменено описанием при по-
помощи неких средних величин — усредненной функции распределе-
распределения fR и усредненного квадрата ам-	5'
плитуды турбулентных пульсаций Ik. /'
Функция /я характеризует распреде- /'
ление квазичастиц электронов и ио-
ионов, отличающихся от обычных элек- U
тронов и ионов тем, что они благодаря
взаимодействию с турбулентными	^^х.б'"
пульсациями обросли шубой—обла-	^
КОМ зарядов ПРОТИВОПОЛОЖНОГО зна- Рис. 2.1. Схематическое изобра-
ка, a iVk характеризует распреде- жение трехплазмонного распад-
ление ПО импульсам к плазмонов ного процесса, описывающего
турбулентной плазмы. Поэтому мож- взаимодействие трех- волн а,
но построить турбулентность, исход-
ным представлением которой являются понятия о плазмонах к
квазичастицах плазмы, взаимодействующих между собой [59].
Для того чтобы такая теория была математически оформлена,,
необходимо записать уравнения баланса для квазичастиц и плаз-
плазмонов и указать независимые способы расчета вероятностей различ-
различных процессов взаимодействия.
Очень удобен для составления уравнений баланса метод графи-
графиков [60]. Учтем следующие типы взаимодействий: плазмонов между
собой и плазмонов с электронами и ионами (электронными и ион-
ионными возбуждениями). Такие взаимодействия можно классифици-
классифицировать по числу плазмонов, участвующих в процессе взаимодейст-
взаимодействия. Простейшим процессом взаимодействия плазмонов между
собой является распад одного пазмона с на два а' и а" (рис. 2.1)
(частным случаем этого процесса есть излучение одним плазмоном
о другого а' (рис. 2.2)). Более сложному процессу соответствует из-
излучение одним плазмоном трех (рис. 2.3, а) или превращения двух
плазмонов в два других (рис. 2.3, б). Частным случаем последне-
последнего процесса будет рассеяние одного плазмона другим (рис. 2.4).
Простейшим случаем взаимодействия частиц и плазмонов явля-
является излучение плазмона частицей плазмы (рис. 2.5). Более слож-
сложному типу взаимодействия соответствует поглощение одного плаз-
плазмона а' и излучение другого о (рис. 2.6). Частным случаям этого
процесса соответствуют рассеяния плазмона а на частице
(рис. 2.7).
105

В принципе вершинные части в этих диаграммах требуют рас-
расшифровки. Так, наряду с истинным взаимодействием четырех
плазмонов возможно также взаимодействие, связанное с повторе-
повторением трехплазмонного взаимодействия (рис. 2.8), и наряду с «ис-
б'
б'
б'
б
\
б б
а
бб
в
Рис. 2.2. Возможные процессы излучения а' волн а вол-
волнами в состоянии kG'
а —излучение и обратный ему процесс; б —поглощение и обратный
ему процесс.
тинным» (комптоновским) рассеянием возможно также такое,
которое обязано включением трехплазмонного взаимодействия
(рис. 2.9, нелинейное рассеяние).
L—'L.
Рис. 2.3. Схематическое изображение возможных четырех-
плазмонных распадных взаимодействий четырех волн а,
о', а", а'".
Общее уравнение баланса для плазмонов а учитывает измене-
изменение числа плазмонов из-за их взаимодействия между собой (рас-
падные процессы) и с квазичастицами плазмы (процессы рассея-
рассеяния)
dt
dt
дг
"Y1T
' расп \ dt /pace
Начнем с рассмотрения распадных процессов. Выше уже было
введено понятие о числе квантов N% данного сорта а. Рассмотрим
106

б
б
б
Рис. 2.4. Рассеяние плазмона плазмоном.
б/
ос
Рис. 2.5. Излучение плазмона частицей плазмы.
а
Рис. 2.6. Рассеяние плазмона а на частице с пре-
превращением в плазмон о'.
6
а
Рис. 2.7. Рассеяние плазмона а на частице без
превращений.
Рис. 2.8. Вершинные части четырехплазмонного
распадного лроцесса.
107

процесс индуцированного распада этих квантов на кванты а' и
а". Пусть к, к', к" —импульсы соответствующих плазмонов,
Wg° (к, к', к") — вероятность указанного процесса распада.
Изменение числа квантов из-за процесса распада а-кванта и обрат-
обратного ему процесса слияния тогда составит:
к',
rk>+ 1)X
dk' dk" _
BлN ~
. B.189)
v
Рис. 2.9. Вершинные части во взаимодействии воли
и частиц.
Здесь отброшены члены, линейные по N^- Более сложные про-
процессы распада на три плазмона или превращения двух плазмо-
плазмонов в два других дают
, к',
dk1 dk" dk"'
B.190)
Аналогичным образом, для процессов, изображенных на
рис. 2.3, б, получим уравнение, отличающееся от B.190) лишь
знаком перед вторым членом правой части.
В описанных процессах частицы плазмы участия не принимают.
Поэтому сумма энергии и импульсов всех плазмонов сохраняется.
В силу законов сохранения вероятности процессов должны иметь
вид
wGo'G" (к, к', kr/) = | Л^'^!2 б (к — к' — к") х
B.191)
ySw"(k, к', к", к"')= \А°о°"о'"\26(к—к' —к"-к'")х
X
B.192)
108

и т. п. Из B.191), B.192) вытекают законы сохранения для пол-
полной энергии и полного импульса
dk - p° = Ct-*TG dk
Bя)з '	J	Bя)з *
Для процесса излучения одной волной а других (а" = а для
рис. 2.2, а и ат = а для рис. 2.3) сохраняется полное число
волн
dt	J Bя)«
В случае, если импульс излучаемой волны мал по сравнению
с импульсом излучающей волны k'^Ji и если A^kC^k's то урав-
уравнение для А/к' может быть записано в дифференциальной форме
dk
Bя)»
с, к')="
Здесь учтено к" —к—к' и разложено по k'lk.
Для того чтобы аналогичное уравнение записать для волн а,
необходимо учесть, что при о" = а уравнение B.189) описывает
не все возможные процессы, а лишь те, которые изображены на
рис. 2.2, а, а не на рис. 2.2, б. Вероятности последних могут быть
выражены через w%' лишь при а" = а. Первый график рис. 2.2, а
отличается от первого графика рис. 2.2, б тем, что начальное со-
состояние плазмона а заменено конечным, которое для рис. 2.2, а
есть к —к', т. е. вероятность процесса первого графика рис. 2.2, а
есть w% (k + к', к;). Отсюда
K к')
dt
109

Разлагая в ряд по к', получаем уравнение диффузии
д
dt dk.
Для дальнейшего важно знать также интенсивность спонтан-
спонтанного процесса излучения одного плазмона а из-за распадного про-
процесса. Рассмотрим, например, процесс трехплазмонного распада,
описываемый уравнением B.189). Переходя в точном уравнении
B.189) к пределу N%->0, имеем
dt
Отсюда нетрудно найти мощность излучения волн а волнами
а' и а"
dWa
dt dt J BitK
= [< N?№k: wV"(k, k', k-)dkdfk'*k" .	B.193)
Эта мощность излучения может быть найдена из нелинейного тока
плазмы.
Рассмотрим далее движение частиц плазмы. Охарактеризуем
движение отдельной квазичастицы при наличии внешних магнит-
магнитных полей значением проекции импульса вдоль магнитного поля
р2, значением энергии частицы 8 и значением координаты центра
ларморовскои, окружности. При квантовом описании для. общего
случая релятивистских частиц (см., например, [79])
Где р2±-= 2\еН\Гг(п + s), где п —целое число, характеризующее
уровни энергии частицы в магнитном поле, s —квантовое число,
соответствующее спину, изменением которого в процессах взаимо-
взаимодействия, вообще говоря, можно пренебречь. Если для потенциала
внешнего магнитного поля выбрана калибровка Ах = —Ну;
Аг = Ау = 0, то сохраняется величина рх. Координата центра
ларморовскои окружности связана с рх соотношением
у=	—.
110

Функция распределения частиц зависит от трех величин рх>
Рассмотрим процесс, в котором частица переходит из состояния
рг, рх, п в состояние р'г, р'х, /г'. Обозначим kz, kx и v соответст-
соответственно величины (как и выше, полагаем Н = \)
Будем считать, что изменение энергии Де является малым, т. е.
e/\e = pzkz + v \eH\.
Пусть, например, изменение состояния частицы связано с
излучением ею волны со?. Вероятность такого излучения зависит
от параметров исходного состояния pzi рХУ п и от изменения
энергии Ае и изменения импульса k: wp p „(к, Ае). Так как
при заданном к (в частности, заданном kz) величина Ае опреде-
определяется целым числом v, то вместо Де можно указывать v, т. е.
w = wp р л (k, v). Из закона сохранения энергии Де = со?
где ®н = ————циклотронная частота частиц плазмы.
8
Составим уравнение баланса для функции распределения f
-kr Px-kx, n-v] + wPz+kr px+k
-W+l) fPz+kz, px+kx, n+v] dk BяГ3.	B.194)
Первые два члена B.194) описывают излучение плазмона Ok в со-
состоянии pz, px, n и обратный этому процесс поглощения плазмона
из состояния рг —kzy рх —kx, п —v, а следующие два —погло-
—поглощение плазмона в состоянии pz, px, n и обратный ему процесс излу-
излучения плазмона из состояния pz + kv px + kx, n + v.
Пусть теперь движение частицы является квазиклассическим,
т. е. значения квантового числа п весьма велики и v < п. Вмес-
Вместо величины п удобно движение частццы характеризовать р±
111

Будем считать, что функция распределения зависит от величины
1	д с	i kx с д
^HVf+
и т. д.
Разлагая функцию / вплоть до вторых производных, полу-
получаем уравнения диффузионного типа:
Oft
df = д
dt dXt
B.195)
\eH0\
Первый член B.195) описывает эффекты индуцированного излуче-
излучения и поглощения волн, а второй — спонтанные эффекты.
Рассмотрим теперь процессы более высокого порядка по числу
излучаемых и поглощаемых волн. К таким процессам относятся
рассеяния волн на частицах плазмы. Обозначим вероятность
рассеяния Wp°'tP±tj (k, к', v). Изменение импульса в данном слу-
случае есть к —к' (волна к поглощается, к' испускается). В соот-
соответствии с этим изменение энергии будет
еАе = pz (kz — kz) + со# ev.
Из закона сохранения энергии Де = со? — со?,', и, следовательно,
Wp°t1p±ty пропорционально
Уравнение баланса записывается аналогично B.194)
dt
112

0 #k'
> + 1) #?]}.	B.196)
Разложение по Арх, Лр?, Ау приводит к уравнению, анало-
аналогичному B.195),
оо
df = д
dt dXj
|вЯ0
B.197)
В B.197) учтены лишь индуцированные процессы.
Нам осталось теперь учесть процессы излучения и рассеяния
плазмонов на частицах плазмы в уравнениях, описывающих из-
изменения числа плазмонов.
Рассмотрим, например, изменение числа плазмонов из-за их
излучения и поглощения частицами плазмы
dt
п, v
B.198)
Первый член B.198) описывает индуцированные процессы, а вто-
второй — спонтанные.
Рассмотрим мощность излучения квантов а при N^~^ О
Г <о? dNl	^ f (oj
QG=\——dk—- G = У] \——w° (k,v)x
— 00
Jl—A-Wa ,	B.199)
113

где —Wpz> p±—мощность излучения отдельной частицы плазмы.
Перейдем теперь к рассмотрению эффектов рассеяния частиц.
Аналогично B.197) получим
п, v
dk' dP* . - V Г dpdk' NiNi' A.\* df
2J	Лк k '5Я
BяK	2jJ Bя)
, k', v)/Pz,Px.	B.200)
Первый член B.200) описывает нелинейные эффекты взаимодей-
взаимодействия волн N% и iV?', а последующи
рассеяния. В пределе Nl~>0 имеем
)
ствия волн N% и iV?', а последующие два — эффекты спонтанного
X <5x(k, k'^)=J/p,.P±-^r •in.^. B-20D
где —^p',°p —мощность рассеяния отдельного заряда плазмы.
dt z' ±
§ 2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССОВ
Можно указать простой способ расчета вероятностей процессов
распада излучения и рассеяния волн, являющийся обобщением ме-
метода, предложенного Ландау [см. работы [4, 60]). Используем
принцип соответствия, а именно, найдем из нелинейных уравнений
мощность излучения волны о* в пределе ее малой интенсивности.
Для этого достаточно суммировать результаты B.193), B.199),
B.201).
Мощность излучения волны а может быть подсчитана как работа
поля волны а, генерируемой в данном процессе, над током, являю-
являющимся источником излучения. Из уравнений Максвелла
(k*&u — kikj — <o*BU)Ek,f = 4ni<ojk,f	B.202)
114

можно найти напряженность поля с поляризацией
k }.
B.203)
Для распадного процесса током, входящим в B.203), является
i2)
нелинейный ток ]i
№t = 2 J Stl, г (k, къ
b{k-kx-k2)
создаваемый полями волн а' и о", Ell = etiEf, а мощность из-
излучения можно найти из
Qa= -<j<2) (r, t) Е<2) (г, 0> = —
<2)
х
20
После усреднения по полям турбулентных пульсаций получим
из нескоррелированности волн а и о', что в B.204) k = k'. В
•силу действительности B.204) войдет лишь мнимая часть -^	=—,
равная в области прозрачности ind(k2 — со2е?). Записав выраже-
выражения, содержащие /?> и /^, через число квантов с помощью
B.134) получим результат B.193). Из сопоставления имеем вы-
выражение для вероятности трехплазмонного распада через нели-
нелинейный ток плазмы
w°'°"(k, к', к") =
д .,/*
Soo>,o»(ky
y k',
X
B.205)
B.206)
где e?—нормальные единичные векторы волн, введенные в §2
настоящей главы (р = 1, в'фо"\ р = 112, о' = о").
Для четырехплазмонных распадов наряду с током jC), описы-
описывающим процесс, изображенный графически на рис. 2.3, а, необ-
необходимо учесть эффекты, возникающие от итерации тока j<2>. Соглас-
Согласно работам [80] матричные элементы указанных двух графиков
115

сильно компенсируют друг друга, например, как и при рассея-
рассеянии волн на частицах плазмы. Общая формула для вероятности
четырехплазмонного распада имеет вид
хв)О'о"о"'(ь9 к', к", к'")=288Bя)86'(к--к' — к" — к"') 6 (cog — со?,' —
/г; <;;;, к'")!2Г— cd2s* — со/2
: — х
да"
1
B.207)
l Ls
(k, k', k",
/г', А-й')Птп(^-^'Mп,.(Л-А!', 6", /г'");
Для вычисления вероятностей излучения и рассеяния удобно
использовать выражение для мощности излучения отдельной ча-
частицы. Создаваемая ею плотность тока есть
j = ev(*N(r —r@).	B.208)
Следует отдельно рассмотреть замагниченные и незамагничен-
ные частицы. Критерием замагниченности является отношение дли-
длины излучаемой волны к ларморовскому радиусу частицы (частица
замагничена, если ее ларморовский радиус много меньше длины
волны).
Рассмотрим общий случай движения частицы в магнитном по-
поле. Так как модуль скорости в магнитном поле постоянен, уравне-
уравнение движения заряда можно записать в виде
dvx	dVij
¦	'	Я
116

отсюда
vff=—v±sin(nHt + y
= const;
z = vzt + z0.	B.209)
Компонента Фурье тока B.208) есть
j.=_L_ Г/(Г, t)e-ikr+iu>tdrdt = —— Г.v (Ле-|Ьг«'>+"">'*. B.210)
Jfe Bл)* J ' V ' ' Bя)* J W	V
Если известно конкретное выражение для v(t) и	r(t) B.209), то
B.210) позволяет несложным путем вычислить jft.	Например, для
jhz имеем, выбирая ось х в плоскости к, Но,
Bл)<
reia
B.212)
Используя известную формулу разложения
e-itsm,= |. е-«*Ф^(?)>	B.213)
V=—00
где Jv — функция Бесселя, без труда вычисляем интеграл B.211)
evz
Bя)«
2 e~lv*°~ikruJv&)u(<*-kzvz-v(oH). B.214)
Точно так же вычисляют остальные компоненты, и общее выра-
выражение для тока принимает вид
,-™Дв); B.215)
А, v, 3 = Vz Jv (go).
B.216)
Воспользовавшись B.203), найдем среднюю по начальным фа-
фазам ф0 работу поля Е°, создаваемого плотностью тока jA, над этой
117

же плотностью тока )к. Эта работа совпадает с мощностью излуче-
излучения
dW° „
dt
x
Усреднение по начальным фазам означает
1	Г*	• I	Г
	 I 6	t/фо = 5v, v' •
2я J
B.217)
B.218)
Имеем
dt
СО2 8?
X
B.219)
Сопоставляя этот результат с B.199), получаем
2 е2
l р± (к, v) = 8л2 е
lrfc-vefc*
*l
д
дсо
б (со^ -йг ог- vcoH). B.220)
Эта формула решает общую задачу о вычислении вероятностей
излучения частиц плазмы. При v = 0 излучение называется че-
ренковским, а при v Ф О —циклотронным. Это название связано
с тем, что в системе отсчета, движущейся со скоростью заряда вдоль
магнитного поля vz, частота сок из-за эффекта Допплера преобра-
преобразуется в (сок)' = «к—kzvz. Поэтому для v = 0 (cok)/==0» т- е- на
частицу действует постоянное поле —частица находится в резо-
резонансе с волной. Для v Ф 0 имеем (сок)' = vco^ т. е. частота кратна
гирочастоте вращения электрона —имеет место циклотронный
резонанс. Заметим, что для продольных волн
(rk>vek*)= kf =-±-Jv(Q
118

я
получим
д 2 о
—-СО Sk
дсо
. B.221)
дсо гл=гл!
Часто возможна ситуация, когда один из сортов частиц (элек-
(электроны или ионы) или оба практически можно считать незамагни-
ченными, т. е. средний ларморовский радиус частицы много больше
1/fejL = X_l —длины волны плазмона поперек магнитного поля.
В этом случае ? > 1, все v вплоть до весьма высоких вносят вклад
и использование B.221) представляется неудобным.
Проще всего с самого начала считать, что заряд движется за
время излучения волны а практически прямолинейно, и использо-
использовать выражение для плотности тока
ev
—kv).
Это дает выражение для вероятности
да)
СО2 8?
а для продольных волн
шр(к)=8л; — —^	i- .
B.222)
B.223)
B.224)
Последними выражениями можно пользоваться в плазме с Яо = 0.
Обратимся теперь к вероятностям рассеяния. Как отмечалось
в первом приближении, амплитуда рассеяния описывается двумя
диаграммами (см. рис. 2.6, 2.9). Физический смысл первой диаграм-
диаграммы на классическом языке состоит в том, что волна а' колеблет за-
заряд, который вследствие таких колебаний излучает волну а (излу-
(излучение происходит всех типов волн, но нас интересует именно этот
процесс). Ток, возбуждаемый колеблющимся зарядом, в первом
приближении пропорционален полю волны Е%
= 2
V = —
X
B.225)
119

Обычно вектор Ас можно несложно вычислить по теории возмуще-
возмущений, если считать, что в первом приближении заряд движется по
винтовой линии, а поле Е%> слабо возмущает это движение.
Второй тип рассеяния, изображенный на рис. 2.9, наглядно
интерпретируется как излучение, возникающее от заряда, который
движется по винтовой линии (без возмущения) в плазме, плотность
и другие параметры которой возмущены волной Е\>. Возникаю-
Возникающее излучение аналогично переходному излучению заряда в среде
с периодически меняющейся в пространстве и времени плотностью
[63—65].
Ток, описывающий такое излучение, есть нелинейный ток,
создаваемый полем Е% и полем заряда ?", движущегося по винто-
винтовой линии,
9!E%%9i).	B.226)
Считая, что Siji обладает свойством симметрии
Siji(k, kl9 k2) = Si, i,j(k, k2i k±)9
имеем
№i = 2lsin(k^\k-k')E%',JEl-k>,ldk'r B.227)
Поле Et, i может быть найдено по току jt, i B.215) из уравне-
уравнений Максвелла
с
B.228)
Обозначим обратный максвелловский оператор Hi
П
Тогда
-Ь k}-± со2 еи) = 6,,.	B.229)
х expf-i^k-kO^-^je^co-co'-^-^^-vco^). B.230)
Здесь Г' —вектор B.216) в произвольной системе координат,
а не системе отсчета, в которой fey = O, когда справедливо B.216),
и отличается от Г тем, что Fi и Г2 являются линейными комби-
комбинациями Гх и Г2. Ток, описывающий нелинейное рассеяние, при-
приобретает вид, аналогичный B.225),
= 2
V= —оо
X exp [-i(k-k')r0-mp0] 8((o-(o'-(kz-k'z) ог—тНа), B.231)
120

где
A?(k k x)- 8jIgi(e>—<*>')
XSI7/ (?, k\ k-k) Iils {k-k) T'k<Lk't s.	B.232)
Полный ток, описывающий рассеяние, является суммой j"^
и ]1С. Это означает, что амплитуды, соответствующие двум графикам,
складываются, однако вероятности, естественно, нет. В класси-
классическом пределе это значит, что два описанных механизма излучения
а-волн интерферируют между собой. В случае незамагниченных
частиц в B.225) и B.331) сумма по v отсутствует, а аргумент
б-функции равен со — со' — (к — к') v.
Вычисление вероятности рассеяния с помощью тока ]ak ~\-)Т
совершенно сходно с фигурировавшими выше. Поэтому мы при-
приведем результат [81]
,.„ , ,	4Bn)S|K:'l2
, p± Viv, tv , vj — —	 X
4'
ю el.
G
X (a>2:J6(a>g-<-(^-A;)t;2-va)/fa)>	B.233)
где
bao'=eluWc + №NY	B.234)
Существует область параметров, где нелинейное рассеяние
может быть преобладающим (при рассеянии на тепловых ионах
и др.). В ряде случаев поэтому можно получить более простые и
явные формулы для вероятностей рассеяния. Отметим, что опе-
оператор IIij есть функция Грина виртуальной волны в нелинейном
рассеянии, изображенном на рис. 2.9. Важным случаем является
такой, когда виртуальную волну можно с хорошим приближением
считать продольной. Часто оказывается, что такое рассеяние наи-
наиболее вероятно. В этом случае
•4*7 ~ г~г * а2 '	B.235)
где е1 определено соотношением B.39). Учитывая равенства
/k-k'
121

получаем в случае, когда преобладающим является нелинейное
рассеяние, для рассеяния продольных волн в продольные выра-
выражения [58]
w
//;< (k,k',v) =
)'k, к, co?',, к', 0)^ — 0)^, к —к')|2
X
X
КJ ? 4
со' =со
к'
Здесь
I к 11 ki 11 к, |
B.236)
B.237)
В случае, когда движение частиц можно считать незамагни-
ченным, можно аналогично B.224) записать вместо B.236) [58]
x б (a>k — ©к' — (k~ k') v) e2 BлN (©к!
—2
X
X
- \-l
а©'
B.238)
Последней формулой удобно пользоваться также в случае изо-
изотропной плазмы. Полученные формулы позволяют конкретно рассчи-
рассчитывать коэффициенты в нелинейных уравнениях как для продоль-
продольных колебаний, так и для произвольных электромагнитных коле-
колебаний.
При рассмотрении эффектов индуцированного рассеяния высоко-
высокочастотных турбулентных пульсаций магнитоактивной плазмы на
ионах согласно B.237) необходимо знать нелинейный ток плазмы,
для которого одна из частот много меньше остальных двух. Этот
нелинейный ток будет определяться электронами. Запишем уравне-
уравнение для поправки к электронной функции распределения Д2):
aP
kv
к (vEft)
B.239)
122

Функция /^2) — поправка второго порядка по полю Ек при
//0=7^=0. Будем считать поле kl9 так же как и й, высокочастот-
высокочастотным. Тогда, пренебрегая членами порядка -^-, можно записать
k.2. B.240)
Умножая B.239) на vz9 vx9 vy и интегрируя по р, получаем
систему уравнений для компонент токов, которая дает:
4пп0((о2-(о%е) J
.B)
Используя
eco2
-6tl)Ekt,h B.241)
получаем соотношения, выражающие нелинейные токи плазмы
через линейную электронную проницаемость [58]:
123

Наряду с выписанными SijL в некоторых случаях необходимо
знать также [см. B.226)] нелинейный ток, в котором k1^k2 и
i ;=± /. Этим решается общая задача отыскания возможных веро-
вероятностей. Рассмотренная процедура легко обобщается на случай
процессов, в которых участвует большее число плазмонов.
Итак, оказывается возможным построить замкнутую систему
уравнений, включающих взаимодействия турбулентных пульсаций
между собой и турбулентных пульсаций с частицами плазмы, и
указать способ вычисления матричных элементов процессов, не
прибегая к сложной процедуре вывода полных уравнений. Основ-
Основные физические представления, лежащие в основе изложенного
метода, были высказаны в работе [59], затем развиты в работах
[60, 61, 68—70] и др. (см. обзор [62]). Выше предполагалось, что
имеется лишь внешнее однородное магнитное поле. В наиболее ин-
интересном случае, когда неоднородность плазмы или внешних полей
является слабой, в нелинейном взаимодействии можно пренебречь
неоднородностью.

Глава 3'
КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИССИПАЦИЯ И КОЛЛЕКТИВНОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ
ПЛАЗМЫ
§ ЗА. КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИССИПАЦИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ
ПУЛЬСАЦИЙ ПЛАЗМЫ
Необходимым элементом установления стационарной турбулент-
турбулентности в плазме является наличие областей диссипации и возбужде-
возбуждения пульсаций. Как отмечалось, в плазме может иметь место весь-
весьма эффективное коллективное поглощение пульсаций помимо по-
поглощения из-за парных соударений, излучения электромагнит-
электромагнитных волн и ускорения частиц. Остановимся подробно на коллек-
коллективных механизмах возбуждения и поглощения пульсаций. Для
теории турбулентности надо знать не только расположение обла-
областей интенсивной диссипации пульсаций, но и тенденции изменения
поглощения с изменением частоты пульсаций. В предыдущей главе
отмечалось, что нагрев частиц при спектральной перекачке умень-
уменьшает частоту пульсаций. При неравновесном распределении теп-
тепловых частиц возможно изменение направления перекачки. Магнит-
Магнитное поле увеличивает число областей интенсивной диссипации и в
этом отношении способствует турбулентному нагреву, так как
может возникнуть такая ситуация, что при любом направлении
спектральной перекачки турбулентная энергия «натолкнется» на
область поглощения.
Эффекты коллективной диссипации могут быть разделены на
линейные и нелинейные. Рассмотрим вначале линейные. Большая
эффективность диссипации имеет место для пульсаций достаточно
низких частот. Низкочастотные пульсации, как правило, имеют
малые фазовые скорости и, следовательно, могут эффективно
поглощаться на частицах плазмы. Для простейшего черенковско-
го резонанса при Но = 0; со = kv = kv cos 9, -|- = Оф = v cos 0,
т. е. фазовая скорость волны должна быть меньше скорости части-
частицы для эффективного взаимодействия. Поэтому пульсации, имею-
имеющие фазовые скорости меньше средней тепловой скорости электро-
электронов, могут эффективно поглощаться на электронах.
Рассмотрим вначале поглощение пульсаций в однородной плаз-
плазме с Но = 0. Согласно B.61) коэффициент поглощения для макс-
велловского распределения электронов есть
125

Подставляя сюда со? = cos для ионно-звуковых пульсаций A.42)
?k = — -
&2 d2	d0	03
Le vTe
2v
Тг
находим
ту ^
C.2)
Затухание волн из-за черенковского поглощения и излучения
на частицах плазмы впервые исследовал Ландау [15] для ленг-
мюровских колебаний. Оно носит название затухания Ландау.
Подчеркнем, что C.2) имеет место для максвелловского распреде-
распределения электронов.
Аналогично C.1) для ленгмюровских нерезонансных пульса-
пульсаций [15]
30
со3
4e
exp —
"ре
C.3)
С учетом эффектов турбулентного уширения резонансов в 7
появится поправка 8у, причем согласно §2,8 имеем для максвел-
максвелловского. распределения [78]
X
X
sin
cos
0
kv.
Те
f)
T30C
^yre У '
а=-п
kv7
126

В интеграле содержатся обрезающие факторы с характерными
= у —— и т2=:а"~1/3 у4/3. Если уровень турбулентности низок
by W т.	W
Эта оценка имеет место при
by W т.
т-,, то — ~ — . —- . Эта оценка имеет место при
V пТ п
V пТ пге	пТе
<Ц-^) и максимальное — ~-^С1- При "-^г~)Н*^ч имеем
Ti > т2 и — ~ (	| < 1. Таким образом, нелинейные по-
у \пТв)
правки, обязанные взаимодействию ионно-звуковых пульсации
с электронами, всегда оказываются малыми, если 	< 1. Из
выражения C.3) видно, что затухание Ландау не мало, когда
фазовая скорость не очень велика по сравнению с тепловой,
а в случае —— ^> vTe затухание экспоненциально мало.
Фазовая скорость ионно-звуковых колебаний больше vTi и за-
затухание Ландау на ионах весьма сходно с затуханием C.3)
C.4)
Для возникновения турбулентного поглощения ленгмюровских
колебаний в однородной плазме необходима либо эффективная пе-
перекачка в область поглощения Ландау, т. е. уменьшение фазовых
скоростей колебаний, либо перекачка ленгмюровских колебаний в
ионно-звуковые. В первом случае частота турбулентных пульса-
пульсаций увеличивается, а во втором —уменьшается.
Если фазовые скорости ленгмюровских колебаний увеличива-
увеличиваются вплоть до скоростей порядка скорости света, то, как правило,
электромагнитные эффекты излучения становятся значительными,
поэтому такая перекачка может привести к диссипативным про-
процессам излучения энергии из плазмы.
Поскольку ионно-звуковые колебания имеют относительно силь-
сильное поглощение^ то их раскачка возможна в том случае, если инкре-
инкремент раскачки превосходит C.2). Если условие раскачки выпол-
выполняется в относительно узком интервале Д&, то перекачка в любом
направлении из этого интервала приводит к поглощению C.2).
Перейдем теперь к рассмотрению пульсаций в магнитоактив-
ной однородной плазме. Рассмотрим, во-первых, затухание Ландау,
соответствующее v = 0. Согласно B.50) для максвелловского рас-
распределения затухание на электронах есть
df dp
Bя)»
127

df aHv df \ dp	1 Г _
— + S-.—— —— =	ш»(к, 0)x
mev\e Bя)з	2я
Интегрируя по vz9 получаем
в
3/2
dp. C.5)
n exp < —
a\2
W)
rj2 I ^
X
дсо
X
е T'v±dv±. C.6)
Учитывая сделанное при выводе вероятностей излучения предпо-
/ к
ложение ky = 0> получаем для продольных колебаний е^ = ~»
к
дС028<
— ©kexp —
Yk.o=-1/ J-
где /0—функция Бесселя мнимого аргумента
а2 „2
fzzV
zVTe
C.7)
C.8)
"Не
В C.7) использовано значение интеграла
оо
128

Формула C.7) может быть использована для разнообразных
спектров. Если электроны замагничены, т. е. длина волны пульса-
пульсаций (точнее, значение X, связанное с проекцией к на направление,
перпендикулярное Яо, соотношением X = т-] намного превосхо-
дит средний ларморовский радиус электронов, то (ы <^ 1 и
«У«>кехр
, о д&1
kzVTe T~
(ЗЛО)
Заметим, что волны, распространяющиеся строго поперек маг-
магнитного поля kz ->- 0, затухают экспоненциально слабо. Поэтому
спектральная перекачка, которая уменьшает угол между к и Но,
увеличивает и поглощение волн. Для высокочастотных пульсаций
в магнитном поле согласно A.39) имеется две ветви. Частота ветви
со+ растет с ростом угла и, следовательно, уменьшение частоты
турбулентных пульсаций приводит к уменьшению угла и увеличе-
увеличению поглощения. Для ветви со_ имеет место обратная ситуация.
В слабом поле со#е С соре,
cousin2 6, (дг/дсо)~
а>+=а>рв
и из C.10)
k*kzv*e
ехр {-
Другая ветвь со_ == co^e |cos 8| затухает слабо
Vk.O =-1/ "Г °>^|COS в |
иЯе
>exp
@7
2k'v
Ге
. C.11)
, C.12)
если ее длина волны больше ларморовского радиуса электронов.
В сильном магнитном поле (oHe > cope для волны
имеет
sin4
,cos61
хехр]
2**4.
C.13)
129

т. е. затухание становится существенным, если длина волн сравни-
сравнивается с дебаевским или ларморовским радиусом, а волна со_ =
= а)ре cos 0 затухает с декрементом C.3), т. е. так, как если бы
поле отсутствовало.
Переходя к низкочастотным пульсациям, заметим, что если элек-
электроны являются замагниченными, а соа <^ kz vTe, то декремент
затухания согласно C.10) имеет вид
1 k2k ь%йдъ11д<ъ\
г le I | co =
Например, для замагниченных ионно-звуковых колебаний
C.14)
Имеем
Для ионной продольной волны со = соЯ; cos 0, к которой стремятся
замагниченные ионно-звуковые колебания, при возрастании k в
плотной плазме имеем
дсо coj^. sin2 6 cos 0
т Л2
C.16)
Незамагниченные ионно-звуковые колебания, частоты которых
много больше соя/, затухают относительно сильно
Для непродольных волн следует использовать C.6). 'Единич-
'Единичный вектор е? альфвеновской волны направлен по л: и согласно
C.6) для нее затухание Ландау обращается в нуль* . Для быст-
* Если учесть следующий член разложения по со/соя/, то затухание альф-
веновской волны не обращается в нуль и равноу? 0 = — l/ — kvA |cos 0|X
т	vTe сод
X	ctg2 0	•	 (незамагниченные ионы).
mi	VA a>Hi
130

рой магнитозвуковой волны в случае, когда ее скорость va =
= . ° > v8, вектор поляризации направлен по у и согласно
у ЫпГП
C.6)
sin20
ДЛЯ ВИСТЛерОВ С0# / С СО С
1
gw = .
x ]/"l+cos20
2 т. ™л vA | cos 0|
eW = i I cos 6 |
y У 1 + cos20
C.18)
= —1/ —Ь7
sin*
соЯе fe2 I cos 0 I c2
__^_ a = 2<| cos 0|
C.19)
Наряду с затуханием Ландау в магнитоактивной плазме воз-
возможно циклотронное поглощение турбулентных пульсаций. Оно
соответствует процессам с v=j=Q.
Для максвелловского электронного распределения из B.220)
X
C.20)
/2 kv
Те
r,
v± dv±.
Для квазипродольных колебаний
C.21)
131

Здесь использовано C.9). Циклотронное поглощение на электро-
электронах может быть существенным в том случае, когда частоты тур-
турбулентных пульсаций близки к частотам, кратным циклотронной
частоте соНе. В слабом магнитном поле coDe > coHe затухание вы-
высокочастотных колебаний ветви со_ = сояе cos 6 описывается фор-
формулой (v = 1)
Для сильного магнитного поля соЯе > со е частоту, близкую к ци-
циклотронной, имеет ветвь co^^coj^ + cousin26. Для этой волны
Xexpj	<s!ne- ].	C.23)
Циклотронное затухание в отличие от затухания Ландау не
обращается в нуль для поперечных волн, если частота их близка к
циклотронным частотам плазмы. Для определения коэффициента
поглощения обратимся к общей формуле C.20). Очевидно, что в
данном случае
k x kv |
—	\е°* /Г
—	CU \ Х к
I к \ к
где (Гкг,)± — проекция вектора Fkv на плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную к к. Для того чтобы найти (Fkv).i, повернем систему координат
вокруг оси у у так чтобы ось z совпала с к. Из B.16) получим
Теперь х' и у' перпендикулярны к к, и поэтому две компоненты
C.24) описывают две возможные поляризации поперечных волн.
Для поляризации по х' при co^-^vco^ из C.20) следует
I cos 6|
/я 2
X ехр )-' ;f; le-.^/vdx).	C.25)
I	2kz VTe
132

Для v = 1
«2 . 2 а 2
/i~—=	 о е	C.26)
2	со
получаем
Если со очень близко к со#е, то 7i может стать больше а)Не, что
уже противоречит исходному допущению при выводе формулы для
поглощения.
Итак, поперечные волны могут весьма интенсивно поглощать-
поглощаться вблизи частот со#? на электронах плазмы. Поэтому любая спек-
спектральная перекачка высокочастотных пульсаций в поперечные
волны с частотами, близкими к циклотронным частотам, может при-
привести к интенсивному нагреву электронов. По-видимому, достаточна
лишь возможность перекачки в поперечные волны таких частот,
для которых спектральная перекачка идет в сторону со#е.
Циклотронный нагрев плазмы внешними электромагнитными
волнами в ряде случаев трудно осуществим из-за того, что вслед-
вследствие интенсивного поглощения в поверхностном слое электромаг-
электромагнитные волны не проникают на большую глубину в плазму и,
следовательно, нагревают лишь малый поверхностный слой. При
турбулентном нагреве пульсации, как правило, возникают вне
области интенсивного поглощения, в частности вне циклотронного
резонанса. Это связано с тем, что раскачка колебаний возможна в
области, где их поглощение невелико. Такие турбулентные пульса-
пульсации, согласно изложенному, могут спектрально перекачаться,
в частности, в область интенсивного циклотронного поглощения.
При этом возникнет нагрев во всем объеме плазмы. Такая возмож-
возможность турбулентного нагрева обсуждалась в работе [81].
Циклотронное поглощение на ионах, т. е. в случае, когда ча-
частоты турбулентных пульсаций перекачиваются в область ионно-
циклотронного поглощения, может привести к турбулентному на-
нагреву ионов. Соответствующая формула для циклотронного погло-
поглощения на ионах отличается от C.20) заменой всех индексов, от-
относящихся к электронам (е), индексами ионов (i).
Таким образом, в плазме в отсутствие соударений имеются
весьма интенсивные механизмы поглощения турбулентных пульса-
пульсаций, поглощение Ландау и циклотронное поглощение, которые мо-
могут приводить к коэффициентам поглощения, намного превосходя-
превосходящим поглощение из-за парных соударений.
Существенный вывод состоит также в том, что низкочастотные
турбулентные пульсации затухают, как правило, более интенсив-
интенсивно* чем высокочастотные, поэтому в проблеме турбулентного нагре-
нагрева существенную роль играют процессы перекачки, приводящие к
понижению частоты турбулентных пульсаций. Наконец, поглоще-
133

ние на электронах низкочастотных пульсаций всегда эффективно,
и поэтому следует ожидать, что от низкочастотных пульсаций бо-
более интенсивно могут нагреваться электроны.
Для эффективного нагрева ионов требуется выполнение ряда
условий. Энергия низкочастотных пульсаций должна успеть по-
поглотиться ионами, не нагрев электроны. Резонансность эффектов
поглощения может особенно сказаться на ионах, приводя не к
нагреву всех ионов, а к ускорению лишь небольшой части их.
Далее в ограниченной плазме существенно, чтобы размер плаз-
плазмы был больше пути, на котором могут поглотиться турбулентные
пульсации,
L>^.	C.28)
у
С этой точки зрения наилучшие условия для поглощения имеются
для волн малых групповых скоростей и больших декрементов за-
затухания. Если спектральная перекачка переводит турбулентные
пульсации в ту область, где их групповые скорости малы, то это
может способствовать нагреву плазмы.
Поперечные волны, имеющие большие vg, порядка скорости све-
света, могут не удовлетворять C.29) даже для частот волны первой
циклотронной гармоники. Тогда слой плазмы толщины L прозра-
прозрачен для циклотронного излучения (оптическая толща меньше еди-
единицы). В этом случае нужно учитывать лишь спонтанное циклотрон-
циклотронное излучение, описываемое формулами B.199). Потери энергии
плазмы из-за спонтанного циклотронного излучения рассматрива-
рассматривались в работах [82, 83].
Наконец, существенное предположение при выводе коэффициен-
коэффициентов поглощения состояло в том* что распределение частиц близко
к максвелловскому. В общем случае знак ук для произвольных
распределений может быть различным. При ук > 0 имеет места
раскачка колебаний. Можно показать, что каково бы ни было рас-
распределение частиц плазмы, если оно изотропно, то для продольных
турбулентных пульсаций всегда имеет место поглощение. Любой
процесс изотропизации распределений частиц приводит к увели-
увеличению поглощения турбулентных пульсаций.
Остановимся коротко на нелинейных механизмах диссипации
турбулентности. Одним из таких механизмов является изменение
частот пульсаций при спектральных перекачках и превращение
рассматриваемого типа пульсаций в другие. В этих случаях общая
энергия колебаний либо не меняется (распадный процесс), либо-
часть энергии переходит к частицам плазмы (процесс рассеяния).
В последнем случае о диссипации энергии турбулентности имеет
смысл говорить лишь тогда, когда частота турбулентных пульса-
пульсаций понижается в результате нелинейных взаимодействий. Другим
эффектом, существенно влияющим на характер поглощения, яв-
является изменение функции распределения резонансных частиц из-за
нелинейных и квазилинейных эффектов. Действительно, механизмы
134

линейного поглощения связаны с черенковским циклотронным ре-
резонансом. Резонансному условию, как правило, удовлетворяет
малое число частиц. Благодаря воздействию турбулентности их
распределение может стать отличным от максвелловского. В част-
частности, из-за диффузии резонансных частиц в пространстве скоро-
скоростей может уменьшиться dfldp, определяющий линейный декре-
декремент. Такое уменьшение поглощения возможно, когда резонанс-
резонансной является малая доля частиц, такая, что энергии турбулентных
пульсаций достаточно для изменения их состояния существенным
образом.
§ 3.2. МЕХАНИЗМЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Возбуждение турбулентности относится к наиболее сложным
проблемам физики турбулентной плазмы. Поэтому здесь будет дан
лишь краткий обзор некоторых механизмов возбуждения. Слож-
Сложность этой проблемы связана с тем, что, во-первых, во многих слу-
случаях начальная стадия возбуждения не является турбулентной,
так как возбуждается небольшое число мод колебаний и лишь по-
постепенно система переходит в турбулентный режим. По-видимому,
такая начальная стадия имеет место для апериодических неустой-
чивостей плазмы, когда инкремент возбуждения порядка или боль-
больше частоты пульсаций. В этих условиях система может пройти че-
через ряд состояний, в которых существенно изменятся некоторые
параметры и произойдет стохастическое возбуждение колебаний.
Проблемы стохастизации тесно связаны с проблемами эргодичности
системы [84—86], и общего ответа на вопрос о времени стоха-
стохастизации нет. Во-вторых, сама стадия перехода системы в режим
стационарной турбулентности (если такой переход происходит)
есть сложный процесс, в котором играют существенную роль как
линейные, так и нелинейные явления. В-третьих, теория устойчи-
устойчивости турбулентной плазмы может приводить к резко отличным вы-
выводам, нежели теория устойчивости нетурбулентной плазмы. Элек-
Электромагнитные свойства турбулентной плазмы для низких частот
существенно иные, чем для нетурбулентной. Например, турбулент-
турбулентная плазма могла бы быть устойчивой относительно возникнове-
возникновения определенного типа колебаний, тогда как нетурбулентная плаз-
плазма неустойчива. В условиях лабораторного эксперимента, естествен-
естественно, может представить интерес постановка такого вопроса для
низкочастотных неустойчивостей, наиболее опасных для проблем
магнитного удержания плазмы. С вопросом о неустойчивости турбу-
турбулентной плазмы тесно связан эффект последействия при возбужде-
возбуждении турбулентности.
Предположим, например, что некий агент возбуждает турбулент-
турбулентность плазмы за время т0, а распадается турбулентность за время
т0 > т0. Пусть таким агентом будет пучок заряженных ча-
частиц, пронизывающий плазму и действующий конечное время т0.
Если после возбуждения турбулентности вновь начинает действовать
135

этот агент, причем промежуток времени между двумя актами воз-
воздействия значительно меньше то, то агент может не возбудить коле-
колебаний плазмы. Турбулентные пульсации, возбужденные в первом
акте, могут из-за спектральной перекачки перейти в область боль-
больших фазовых скоростей и во втором акте взаимодействия будут ста-
стабилизировать пучковые неустойчивости, откачивая все возникаю-
возникающие пульсации в область, где они практически не взаимодействуют
с пучком. Этот пример показывает, сколь важное значение может
иметь в "теории возбуждения даже относительно слабая предвари-
предварительная турбулизация плазмы.
В условиях лабораторного эксперимента плазма ограничена,
а следовательно, неоднородна, что приводит к специфической не-
неустойчивости, связанной с неоднородностью, от которой трудно
избавиться и которая также может приводить к предварительной
турбулизации. Наконец, контакт со стенками камеры, в которую
заключена плазма, может играть отнюдь не второстепенную роль
в механизмах отвода тепла и гибели турбулентных пульсаций.
Из сказанного видно, что в условиях лабораторного эксперимен-
эксперимента часто начальное состояние плазмы до действия агента, возбуждаю-
возбуждающего турбулентность (например, пучка заряженных частиц), точно
неизвестно. Это в ряде случаев затрудняет детальное сравнение тео-
теории с экспериментом, хотя в целом эффекты, предсказываемые тео-
теорией турбулентности, хорошо согласуются с данными наблюдений.
Можно классифицировать механизмы генерации турбулентно-
турбулентности плазмы, указав на начальное состояние системы (например,
плазмы и пучка) или на то, что с чем взаимодействует. Начальное
состояние определяет тип линейной или нелинейной неустойчивости
плазмы, которая в дальнейшем может сильно модифицироваться
благодаря развитию многих каналов, по которым идет процесс
¦турбулизации.
Наиболее просты механизмы возбуждения, которые могут быть
описаны инкрементами у « ©ь.
Обрисовав, таким образом, общие трудности описания про-
процессов возбуждения турбулентности, перечислим те начальные
состояния, являющиеся часто исходными, с которых происходит
развитие турбулентности плазмы [6].
1.	Взаимодействие пучков с плазмой. Пучки или группа ча-
частиц могут создаваться вне плазмы и инжектироваться извне либо
по тем или иным причинам возникать внутри плазмы. Неустойчи-
Неустойчивость появляется тогда, когда скорость частиц пучка достаточно ве-
велика [87, 88]. Апериодические неустойчивости могут развиваться
при малых скоростях пучка. •
2.	Неустойчивость, связанная с анизотропией распределения
частиц по скоростям. Такая анизотропия может быть вызвана
различием температур частиц в разных направлениях вследствие
неравномерности их нагрева, обусловленной геометрией системы.
К числу такого рода неустойчивостей нужно отнести:
136

3.	Конусную неустойчивость, возникающую в магнитных ловуш-
ловушках из-за того, что магнитные ловушки не способны удерживать
частицы, движущиеся в неком конусе углов вдоль внешнего маг-
магнитного поля.
4.	Циклотронная неустойчивость является сочетанием пучковой
и анизотропной. Она возникает, в частности, когда пучок частиц
инжектируется поперек внешнего магнитного поля.
5.	При действии на плазму внешнего электрического поля воз-
возникают неустойчивости пучкового типа и анизотропные и цикло-
циклотронные неустойчивости. Они могут быть связаны с появлением
эффектов турбулентной электропроводности плазмы.
6.	Специфическая неустойчивость возникает при наличии не-
неоднородности плазмы, удерживаемой магнитным полем, это —
дрейфовая неустойчивость. Она связана с тем, что в результате
неоднородности плазмы на поверхности плазмы возникают токи,
которые неустойчивы так же, как и токи, создаваемые внешним
электрическим полем. Эти неустойчивости могут приводить к тур-
турбулентной диффузии и турбулентной теплопроводности [6].
7.	Сходные механизмы возникают при взаимодействии с плазмой
аксиальных нелинейных и ударных волн [21 ]. На фронте таких волн
возникают токи и поля, приводящие к неустойчивостям.
8.	Аналогично действуют механизмы турбулентности при взаимо-
взаимодействии плазмы с сильными высокочастотными полями.
9.	К числу нелинейных механизмов возбуждения турбулент-
турбулентности следует отнести возбуждения турбулентности интенсивным
излучением, в частности высокочастотными полями, и излучением
оптических квантовых генераторов.
§ 3.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ
ЧАСТИЦ С ПЛАЗМОЙ
3.3.1. Линейные эффекты
1. Линейные эффекты неустойчивости пучков в плазме рассма-
рассматривали Бом и Гросс [87], А. И. Ахиезер и Я. Б. Файнберг [88].
В рамках линейной теории возбуждение продольных волн описы-
описывается общим дисперсионным уравнением [89, 90]
^ho,	C.29)
eko,
Если рассматривать моноэнергетические пучки, то диэлектри-
диэлектрическую проницаемость плазмы и пучка можно найти, если извест-
известна отдельно проницаемость плазмы в10 и пучка ei:
е/= ео + ei —1,	C.30)
а диэлектрическую проницаемость пучка можно найти, перейдя
к системе, в которой .пучок покоится [89]. При этом для нере-
нерелятивистских пучков необходимо учесть лишь эффект Допплера
137

(в е[ со заменить (со—к и), где и — скорость пучка). Если тепловое
2
движение несущественно, то ео = 1	^, т. е.
2	со2
(со — kuJ
C.3D
пг
При —- <С 1 решение C.31) есть
щ
C.32)
Это решение записано для ки, не близком к соре. Неустойчивость
возникает при ku</op(?. Максимальный инкремент, однако, имеет
место при соре, близком к ku, когда
00 =(
-) J
Область применимости этих формул довольно узка, и уже при от-
относительно небольшой «немоноэнергетичности» — ~ f —•] мож-
можно пользоваться формулами слабого возбуждения и у^ ®ъе~ (т~)
(см. гл. 2). Этот критерий следует из сравнения, записанного у с ин-
инкрементом C.33). Раскачка C.33) является гидродинамической,
и для ее описания статистические методы, строго говоря, неприме-
неприменимы. Однако, как показано в работе [91], на гидродинамической
стадии может происходить быстрое увеличение Аи, и пучок, не-
незначительно изменив свои параметры, перейдет в область слабого
возбуждения.
Неустойчивость, связанная с анизотропией функции распределе-
распределения системы пучок—плазма [92, 93], согласно работам [59, 94],
также малосущественна для пучков с пх1щ <: 1. Такая ситуа-
ситуация связана с тем, что появление небольшого разброса либо попереч-
поперечных, либо продольных скоростей может ликвидировать такого рода
неустойчивости.
Остановимся более подробно на неустойчивостях, возникающих
для пучков с достаточно большим разбросом скоростей. Для мало-
малоплотных пучков можно пренебречь изменением дисперсионных
свойств пульсаций плазмы из-за присутствия пучка и учитывать
лишь эффект их нарастания, описываемый инкрементом B.198)
„ а , -г-	C-34)
еН ду
138

Пусть f\ —функция распределения частиц пучка, которая может
быть неоднородной в направлении у, перпендикулярном к внешне-
внешнему магнитному полю.
Если пучок движется вдоль магнитного поля, то
Тогда C.34) можно записать для продольных волн в виде
Jv([ia)e а. , ; х
¦&Lk v,a	I Л2Г?„
C.35)
Здесь использовано C.9):
шЯа	-	i«	ша
Из C.34) и C.35) отчетливо видно, что существуют следующие ме-
механизмы возбуждения: черенковский v = 0 и циклотронный v Ф 0.
Кроме того, при наличии неоднородности по у в распределении
плотности и скорости частиц пучка появляются новые возможности
циклотронной и черенковской раскачки.
Если |хамакс<^1, то эффективное возбуждение может быть
лишь на первых гармониках v = 0, ± 1; при этом для v = 0
и электронного пучка
2 д	2 2
X Г(А	t) (l + bp)
Г(А,«. —cot) (l + jb-.p)--^- соЛ, C.36)
L	\	kz®He ду )	\kx\	\
139

где
\kx\vT\\ д ,
@,=	— • -з— In
дрейфовая частота частиц пучка. Отсюда видно, что эффекты неод-
неоднородности плотности пучка могут проявляться лишь при возбуж-
возбуждении частот порядка дрейфовых частот пучка. Если неоднородности
отсутствуют, то раскачки осуществляются для волн с kzue > со к
(черенковское условие). Эффект, связанный с неоднородностью
профиля скоростей пучка dujdy, тоже может вызвать неустой-
неустойчивость — это так называемая слиппинг-неустойчивость, исследо-
исследованная в гидродинамическом пределе в [95—97]. Она может про-
проявляться и при сок < kzue, если
**-..iff!>0.	C.37)
*z ®He ду
В случае однородной плазмы имеем оценку максимального ин-
инкремента для возбуждения ветвей высокочастотных плазменных
волн в сильном магнитном поле (со^е <^ со#е)
l/
k,v = 0 "у а «о й)Яе|созе
C.38)
Ук, v = 0 ~ I/ о „	i,3 r,3	\^zue шр^;с	» t
II
со = со^е | cos в \.	C.39)
Оценка инкремента из-за циклотронной неустойчивости для вет-
ветви соНе имеет вид
1	, / Я п\ ®%	Ue
ук~—1/	— sin26	,	C.40)
2	V 2 п0 щНе	оГц
а для ветви copecos9
/ Т"'	2	•	3-41
140

Таким образом, при циклотронной неустойчивости пучков
имеет место увеличение инкремента с ростом скоростей пучка, пер-
перпендикулярных к направлению магнитного поля. Эксперименталь-
Экспериментально эффект сильного возрастания раскачки частот со ~ сояе с уве-
увеличением vt± наблюдался в работе [98].
Следует отметить важность исследований временного хода раз-
развития турбулентности пучок—плазма, предпринятых в работе
198].
3.3.2. Квазилинейные эффекты при взаимодействии
пучков с плазмой
Эффекты квазилинейной релаксации могут существенно из-
изменить распределение электронов пучка, который может потерять
заметную долю своей энергии [55, 56, 99, 100]. Наиболее отчетливо
это было показано в работе [91]. Согласно работе [91] даже пучки
с малым разбросом по скоростям [«моноэнергетические» пучки; их
неустойчивость описывается C.33)] под воздействием генерируемых
колебаний быстро переходят в режим слабого возбуждения, когда
У~(*ре—[^-)>	C-42)
п0 \ Аи )
увеличивая разброс по скоростям до*
/3.	C.43)
п0 J
В дальнейшем возникает квазилинейная релаксация, которая
в случае одномерности процесса (что возможно лишь в сильном маг-
магнитном поле шне 2^ ®ре) приводит к образованию плато на функции
распределения (рис. 3.1). Экспериментально образование плато на
функции распределения пучка было обнаружено в работе [101].
Из одномерного квазилинейного уравнения может быть получен
спектр ленгмюровских пульсаций, возникающих на стадии плато.
Ограничиться одномерной теорией можно, если все частицы пуч-
пучка имеют одинаковое направление движения не только в начальный
момент времени, но и на протяжении всего процесса квазилинейной
релаксации. Строго говоря, это оправдано при условии, если
имеется сильное внешнее магнитное поле в направлении движения
пучка, ограничивающее возможность появления у частиц пучка
компонент скорости, перпендикулярных к первоначальному дви-
движению. Кроме того, будем считать, что скорость пучка превосходит
* Теория [91] базируется на уравнениях для моментов функции распре-
распределения и позволяет оценить лишь среднее значение (AwJ.
141

Vre, и рассмотрим генерацию ленгмюровских волн лишь в направ-
направлении пучка. Уравнения B.139) и B.52) приобретают вид
dt
dv
dv '
D = -
CO
pe
8n2metioV Pe
v
h> Ук =
dv
y= p*
Рис. З.1. Образование ударной волны в прост-
пространстве скоростей при развитии пучковой неустой-
неустойчивости:
1—4 — различные стадии релаксации функции распреде-
распределения пучка во времени.
Обозначим N(v) = Nk
k=
, тогда
dN(v) <upev2me dfR(v)
dt
dv
N(v).
df^(v)
Подставив ' N (v) из C.49) в C.47), получим из
dv
dfR(v)
dt
d d ©2
5Г "»•
интеграл
C.44)
C.45)
C.46)
(v, t)-fR(v, 0)=— • -?-W{v, t)-N{v, 0)}.
C.47)
C.48)
C.49)
142

Рассматривая те значения N, которые попадают в область вне
начального распределения пучка fR(v, 0) = 0, и считая, что плот-
плотность энергии пульсаций значительно превосходит ее начальное
значение N (v, 0), имеем
V
N(v, oo) = -^-e dpfR(v,
где и — начальная скорость пучка vTe€v<C.u. Спектральная
плотность энергии турбулентных пульсаций имеет вид
^<*<^.	C.50)
Полная энергия, переданная в турбулентные пульсации,
C.51)
Половина этой энергии есть энергия электрического поля турбу-
турбулентных пульсаций, а половина содержится в нерезонансных час-
частицах плазмы, адиабатически колеблющихся в поле турбулентных
пульсаций. Заметим, что спектр турбулентных пульсаций является
степенной функцией k. Однако в отличие от жидкостей вся область
спектра C.50) соответствует области возбуждения (энергосодержа-
щей области).
Динамика образования плато изучалась теоретически в работе
[102]. Согласно [102] образование плато происходит при распро-
распространении нелинейной автомодельной волцы в пространстве скоро-
скоростей. Указанием на то, что такой эффект наблюдается, может слу-
служить работа [103]. Квазилинейный интеграл C.49) позволяет
исключить из C.46) fR (v, t) и получить одно нелинейное уравнение
для N (v)
J	dv	Sn2nm V ;
dt	8я2/г0	J	dv
Автомодельное решение, получаемое ниже из C.52), верно, если
нелинейные взаимодействия не вступают в силу. Это возможно лишь
при достаточно малых скоростях частиц пучка, так что эффекты
индуцированного рассеяния на ионах несущественны [104].
143

Пусть начальный пучок имеет узкий разброс по скоростям
Аи = Av1<^v1 = и*. Рассмотрим те значения v, которые лежат вне
Avx [для них fR (v, 0) = 0], и стадию, когда колебания имеют ин-
интенсивность, существенно большую, чем их начальное значение
N(v, t) ^N(v, 0). Тогда уравнение C.52) имеет вид
vW{vJ),
dt	8n2n0me	dv2
)	C.53)
Согласно предположению [102] динамика развития пучковой не-
неустойчивости сводится к возникновению в пространстве скоростей
волны (типа тепловой или ударной), на фронте которой величина W
меняется относительно быстро, достигая за фронтом плато. Вели-
Величина плато медленно уменьшается, когда фронт волны продвигается
к меньшим значениям v (см. рис. 3.1). Вблизи фронта волны можно
искать решение C.53) в виде
C-54)
водными по времени от W и полагая ?<^(/), получаем
считая, что W, —* — медленные функции t. Пренебрегая произ-
dt
dt dl 8n2n0me
Интегрируя C.55) по ?, имеем
8я2 прШе dv* _!_, W
C.55)
dt
7 (I, 0
^-.	C.56)
1=0	0?
dW
Точка 1=^0 выбрана так, что —
dW
мало в сравнении с —
при l Ф 0. Рассматривая такие g, для которых W (g, <) достаточ-
достаточно [велико, можно с необходимой точностью заменить In в
C.56) In ^	, где №(оо,?) значение W при g->• оо, т. е. за
* Напомним, что для применимости статистического описания необходимо
Afi IJh_\1'3
" 1 "
»i V щ
144

фронтом волны. Отсюда
. — 3 In y(oo>Q .	C.57)
Величина W(oo,t) должна быть найдена из условий сшивки.
Из C.49), интегрируя по области плато за фронтом волны, име-
имеем
\f*(v,t)dv= $ fR(v,0)dv = n1tn7l=f(oo,t)(v1-vJ, C.58)
что выражает закон сохранения числа частиц. С другой сторо-
стороны, в области v вне Av± вблизи фронта волны из C.49)
/(р, 0/(,0 (*% W/m pe
	Lf^in^^^) 8^o.	C.59)
y2 rf^ \^@, 0 (Dpeme
Последнее равенство написано с помощью C.57). Сравнение C.58)
и C.59) позволяет найти уравнение для определения закона дви-
движения фронта волны:
 __ 1 mdv*\n ^(°°»Q .8jt2^o t	C60)
^-^ v2m dt W(O,t) (Dpe
С необходимой точностью] можно не) учитывать зависимость
выражения под знаком логарифма от времени. При v^ — ^i<^i
(v*~ vi > &vi) имеем
vl — V* _	I
ПрИ ^«flx
W(O,t)
3>6
Характерное время изменения энергии пучка, когда изменение ско-
скоростей частиц в пучке составит величину порядка Avlf может быть
оценено из C.61):
t = ±4K4n^2l.Jlo_(^l)\	C.63)
gv	W @) n1\v1)
Изменение энергии пучка mv1Av1 при Av± ~ v± составит
^ mv2u т. е. пучок теряет энергию порядка начальной. По закону
145

сохранения энергии она переходит в колебания, т. е. Щоо) ~
~ n-jnv^v^ С другой стороны, начальная энергия колебаний
3
, т. е.
inZl^/^in —!_/7l_J_ .
W @)	^ ^	со^ J
Выражение под знаком логарифма обычно достаточно большое
число.
По-видимому, вопрос о том, в каком случае квазилинейная ре-
релаксация идет до образования плато, зависит от граничных усло-
условий, нелинейных эффектов (см. ниже) и условий возбуждения (не-
(непрерывная или импульсная инжекция пучка).
Если пучок частиц непрерывно инжектируется в полупростран-
полупространство, занятое плазмой, то возможен эффект накопления колебаний
[105, 106], связанный с тем, что групповые скорости ленгмюровских
пульсаций много меньше- скорости частиц пучка. Благодаря этим
эффектам накопления большая энергия пульсаций концентрируется,
около границы плазмы. Такое неоднородное распределение пульса-
пульсаций может создать неустойчивость, связанную с силой Миллера, и
привести к значительно большей роли нелинейных эффектов.
Локальное увеличение интенсивности пульсаций может привести
к весьма существенной роли нелинейных эффектов в этой области
даже в случае, когда в других областях такие нелинейные эффекты
слабы. В свою очередь, это приведет к локальной изотропизации
турбулентных пульсаций, которые будут интенсивно рассеивать
частицы пучка, проникающие в указанную область.
Нужно отметить также, что изменение функции распределения
пучка в результате квазилинейной релаксации может, вообще го-
говоря, привести к новым неустойчивостям, которые не проявлялись
или слабо проявлялись для исходного распределения, имевшего
место до квазилинейной релаксации [107, 108]. Физически это свя-
связано с тем, что образование плато может стабилизировать один тип
колебаний, однако такое состояние не будет устойчивым для дру-
других колебаний.
Этот эффект может быть просто проиллюстрирован при помощи
C.34). Рассмотрим, например, черенковскую неустойчивость
(v = 0) для двух колебаний — высокочастотного сок и низкочас-
низкочастотного сок'. Инкремент каждого из них пропорционален
a/? kxcm dff
k7
~ dvz	eH ду
Пусть для высоких частот эффект неоднородности пучка, описы-
описываемый вторым числом, мало существен, т. е. их инкремент пропор-
146

ционален -—-. Пренебречь неоднородностями в пучке можно в том
dvz m (АиJ и
случае, если
много больше
Развитие неустойчивости высокочастотных колебаний приводит
к образованию плато и Av ~ и, т. е. неоднородность для высоко-
высокочастотных колебаний несущественна при
Здесь соях — дрейфовая частота пучка (kx~	для основной
МОДЫ ) .
Рассмотрим теперь низкочастотные колебания Ok . Для них
неоднородный член в инкременте может быть весьма существенным,
и если колебание со? является резонансным по отношению к тем
же частицам, то уменьшение ^ приводит к тому, что инкремент
низкочастотных пульсаций возрастает. Характерное значение ин-
инкремента легко оценить из C.34) [108]
у с^. — (&di-	C.65)
Вообще говоря, C.65) весьма мало. Однако для его ликвидации не-
необходимо, чтобы J^- уменьшилась дальше и стала отрицательной,
но при этом высокочастотные пульсации начнут поглощаться.
В силу закона сохранения энергии полная энергия пучка низко-
низкочастотных и высокочастотных пульсаций сохраняется. Однако
пучок теряет энергию и, следовательно, поглощение высокочастот-
высокочастотных пульсаций связано с перекачкой их энергии в низкочастотные.
Этот процесс является достаточно медленным. Если пучок суще-
существует в плазме столь длительное время ~ —, например из-за
инжекции извне, то более существенную роль могут играть нели-
нелинейные процессы спектральной перекачки.
Квазилинейные эффекты циклотронного возбуждения низко-
низкочастотных пульсаций (в частности, альфвеновских волн и вистле-
Ров) размытыми ионными пучками рассматривались в работе [109].
147

3.3.3. Нелинейная стабилизация пучковых
неустойчивостей
Весьма существенная роль нелинейных эффектов для развития
пучковой неустойчивости была продемонстрирована впервые в работе
[104]. Согласно [104] эффекты спектральной перекачки при рас-
рассеянии турбулентных пульсаций на ионах могут переводить пульса-
пульсации в нерезонансную по отношению к частицам пучка область и
2
стабилизировать неустойчивость. При Tt>Te-~ -—- условия
стабилизации имеют вид— ( ~ I ~ ( 1 + -f ] « 1. В этот кри-
И \1л11 / 1 q \	1 i I
терий входят лишь параметры пучка и плазмы, но не энергия турбу-
турбулентных пульсаций. Если выполнено обратное условие Tt <C
v\ mi
<^е^~г -^Г' то спектральная перекачка при рассеянии на ионах
может осуществляться эстафетным образом, сопровождаясь до-
довольно сильной изотропизацией. В этом случае также возможна
стабилизация* при выполнении условия — (—) -^-€1.
При малых скоростях пучка в однородной плазме стабилизация
оказывается невозможной. Так, если перекачка осуществляется из-
U	( till \ 1 /^	о
за рассеяния на электронах и	<М —- , то квазилинейная ре-
лаксация происходит быстрее, чем спектральная перекачка. С уве-
увеличением плотности плазмы роль кулоновских соударений в спект-
спектральной перекачке будет возрастать (см. § 4.5). Увеличение интен-
интенсивности спектральной перекачки в этом случае может привести
к тому, что даже пучки относительно малых скоростей будут устой-
устойчивыми. Эффект зависимости интенсивности возбуждения турбулент-
турбулентности плазмы пучками от плотности плазмы экспериментально
наблюдался в работе [98].
По-видимому, нелинейным эффектам нужно приписать наблюдав-
наблюдавшееся в работах [98, ПО] уменьшение интенсивности высокочастот-
высокочастотных колебаний с ростом тока в пучке, а также расширение их спект-
спектра. Большое значение в проявлении нелинейных эффектов могут
играть неоднородности распределения пульсаций, приводящие
к эффектам накопления. Теоретическое исследование таких эффектов
в рамках модели [105, 106], с учетом нелинейностей показало, что
возникают решения типа периодически следующих срывов рас-
раскачки колебаний, чередующихся с эффектами квазилинейной релак-
релаксации. Такие низкочастотные колебания релаксационного харак-
характера были получены также в работе [111] при исследовании воз-
возможности стабилизации пучковой неустойчивости из-за распадных
* ЕЙизвестном смысле эта стабилизация неполная; нелинейные эффек-
эффекты лишь существенно увеличивают время размытия пучка, которое оказы-
оказывается намного больше величины, обратной линейному инкременту.
148

процессов. При этом возможны два квазистационарных состояния,
которые поочередно срываются. Эти теоретические выводы каче-
качественно согласуются с экспериментальными результатами работы
[98], в которой Низкочастотные релаксационные колебания имели
частоту, близкую к частоте ионно-звуковых колебаний, а также
с эффектами срывов, наблюдаемых в работе [112].
§ 3.4. ВОЗБУЖДЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ИЗ-ЗА АНИЗОТРОПНОЙ
И КОНУСНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
3.4.1. Линейные эффекты
Рассмотрим неустойчивости распределений частиц плазмы в маг-
магнитном поле, для которых отсутствуют направленные скорости
вдоль магнитного поля. Будем считать, что функция распределения
имеет вид
/p = /(f22,Ox)-	C-66)
Примером такого рода может служить пучок частиц, инжекти-
инжектируемый в плазму поперек магнитного поля, что обычно реализуется
при заполнении магнитных ловушек. Как теория, так и общая кар-
картина явлений в данном случае в определенном отношении сходна
с описанной выше теорией и явлениями прохождения пучков через
П'лазму, за исключением того, что циклотронная неустойчивость
в данном случае становится основной. Другим примером, соответ-
соответствующим C.66), является распределение частиц в магнитной ло-
ловушке, когда из-за конуса потерь частицы с малым v± отсутствуют.
Указанная анизотропия приводит к неустойчивости. Наконец,
третьим примером может служить распределение, в котором темпе-
температуры вдоль магнитного поля и поперек него различны. Такое
распределение может возникнуть при циклотронном нагреве плазмы,
когда в основном из-за нагрева увеличиваются скорости частиц
перпендикулярно к внешнему магнитному полю. Все эти примеры
объединены одной общей чертой — анизотропией распределения
частиц плазмы при наличии магнитных полей. Так же как и для
пучковой неустойчивости, в случае, когда степень анизотропии
велика, возникает сильное возбуждение и неустойчивость носит
апериодический характер. Можно считать, что сильная неустойчи-
неустойчивость также приводит к ликвидации сильной анизотропии и относи-,
тельно быстро переходит в слабую неустойчивость, которая разви-
развивается более медленно и тем самым определяет временной масштаб
процесса. В последнем случае можно использовать C.34).
Пусть функция распределения частиц имеет вид
149

Эта функция распределения описывает первый из приведенных вы-
выше примеров. Подставляя C.67) в C.34) для возбуждения продоль-
продольных пульсаций, легко получаем
X exp —
— V/V (za) Jv (Za) "
a.
k7 v ,
dco
со{
?2
J 4a 0J °7-a (
"_!_
^Га
fe±cyra ^ i г	Г
	7ГГ-*Т~1пАж ехР -
вЯ/г2 ду	J	[
C.68)
Если неоднородности малы, то при v = 0, согласно C.68), рас-
раскачка отсутствует. Другими словами, раскачка может носить лишь
циклотронный характер. Из C.68) могут быть получены различные
предельные случаи (горячих и холодных электронов и ионов, ани-
анизотропных ионов и изотропных электронов или наоборот и т. д..).
Они рассмотрены в работах [113—116, 109], а в случае сильного
возбуждения —в работах [117—121].
Приведем несколько примеров. Пусть электроны замагничены,
изотропны, а скорость ионов ut существенно превышает тепловые
скорости электронов ионов. В случае сильного магнитного поля
{®не ^> <йРе)> пренебрегая эффектами неоднородности, рассмот-
рассмотрим возбуждения ленгмюровской продольной волны cop6? cos 0.
Раскачка происходит из-за анизотропии распределения ионов.
Из C.68) имеем
"Hi
v(uHi — со cos 0
kv
X
Ti
X exp
C.69)
2^2 у^г. cos2 0 j
Раскачка возникает при vcOtf^co^cosB. Для того чтобы эф-
klL
фективно раскачивались гармоники, необходимо —~ 1, т. е,
со
7/i
Y ~
150
со
ре-

Рассмотрим теперь волны, распространяющиеся вдоль магнит-
магнитного поля k± = 0. Согласно C.68) при этом v = 0 и, следовательно,
продольные волны затухают. Однако волны другого типа, например
поперечные, могут раскачиваться [114]. Волны, для которых тепло-
тепловое движение несущественно, т. е.
kvTa « | «к —С0Яа | ;
при распространении вдоль поля представляют собой суперпози-
суперпозицию двух волн, поляризованных по кругу, т. е.
V2
Отсюда
X б («,*_*, Ог-пна) (k^+^fl . ^ -Ц ¦ М- C.70)
\ dpz	v± dp± etf dy j
При k± ->0, za-+-0 и для et остается лишь v= 1, а для е^ —
лишь v= — 1, т. е.
x
• Jl*08'
CJ1)
В области со < соя/ для со = ко а * и распределения C.3) получим
4(±)я,^. C.72)
Для распределения, соответствующего анизотропии температур
* Рассматриваемые волны есть суперпозиция альфвеновской и магнитозву-
ковой.
151

получим [114], что максимум инкремента имеет место при
JHi
и	пь
VA
1	±
^ш "ехр —
2v
C.74)
т\\
Аналогично нетрудно из C.68) для распределения C.73) най-
/г2 с2 соЯе
ти раскачку вистлеров соа =	^
Yh макс <
ехр
2vi
C.75)
Аналогично рассматривается конусная неустойчивость, со-
соответствующая] такому распределению частиц, при котором
/ обращается в нуль в определенном конусе углов vz > —v±y
где а = ^мин —пробочное отношение. Очевидно, что в реальных
условиях падение функции распределения при увеличении угла
является достаточно плавным. В работе [122] рассматривалась
конусная неустойчивость для горячих ионов Тг 2^> Те относи-
относительно возбуждения продольной электронной волны со =
= СОре COS 6 (СО <^ СОяе). ЕСЛИ, КрОМе ТОГО, (ОHi <^ С0ре, ТО ИОНЫ
1, т. е. движущимися
kv.
можно считать незамагниченными
Ti
по прямым линиям, и записать вероятности в виде
да
C.76)
Тогда при k
±
да
б ((Di-
das
152
Ei0
ds,
— е
¦J.0
C.77)

где
2k*
Функция cp(eL) описывает распределение частиц по энергиям
mtv2,	~
=—- и удовлетворяет условию нормировки I ф(е±) d г± = 1.
2	о
Рис. 3.2. Функция распределения частиц плазмы
по энергиям 8±——- при конусной неустойчи-
неустойчивости: v^ — скорость частиц, перпендикулярная
к внешнему магнитному полю Но-
Выражение для инкремента C.77) было получено в работе [122].
Функция распределения ф(е±) должна обращаться в нуль при Sj_-^0,
так как таких частиц по условию нет из-за их потерь в пробках, и
естественно <р(оо) = 0. Если у(&±) имеет один максимум (рис. 3.2)
и выесть то значение s±, в котором ф(ех) максимально, то очевидно,
что при 8±0> s#, когда у^-<0, C.77) отрицательно, т. е. дает зату-
затухание. Если же г±0 < s*, то, как правило, имеет место раскачка,
В качестве примера рассмотрим распределение
C.78)
Удовлетворяющее всем поставленным требованиям. Получаем
COS20
sin 8
Лз -
8±0
1 — 2-
m. ir
C.79)
153

Раскачка имеет место при е10 < 4р. При е±0 <С в* инкремент не
зависит от 8j о- Это связано с тем, что основной вклад вносят частицы
с энергией больше е±0.
В этих условиях инкремент C.77) приобретает в общем случае
вид
w-
dco
у 8 , д&±
(з.8О)
Если -д-5—^0 при eL-^0 быстрее е1/2, то, интегрируя по час-
тям C.80), убеждаемся в том, что всегда имеет место раскачка
C.81)
2 -де V2k J 8i/2
j К Z/^.L О
""к
Очевидно, что ликвидация неустойчивости может осуществиться
лишь за счет диффузии частиц в область малых е±.
3.4.2. Квазилинейные и нелинейные эффекты
Квазилинейные эффекты для апериодических неустойчивостей,
связанных с анизотропией распределения в условиях yh <^ kvr,
рассматривались в работе [109] и было показано, что полная энер-
энергия, переданная колебаниям в условиях слабой надкритичности,
пропорциональна малому параметру yjkvr, характеризующему
степень надкритичности. Квазилинейная теория неустойчивости
C.77) рассматривалась в работе [123]. Соответствующая система
квазилинейных уравнений, описывающих процессы диффузии,
без труда находится с помощью общих квазилинейных уравнений
гл. 2.
Остановимся более подробно на квазилинейных эффектах, свя-
связанных с конусной неустойчивостью при ej_ ^> е±0. С помощью
C.77) получаем уравнение для ср(е^)
дх	д&
(з.82)
154

Таким образом, рост энергии турбулентных пульсаций уменьшает
временной масштаб диффузии, описываемой C.82), а изменения
ср(е^) сказываются на временном масштабе раскачки или затуха-
затухания турбулентных пульсаций. Такая ситуация характерна для
общего случая трехмерных процессов квазилинейной релаксации
[107].
Из C.82) следует, что конечному стационарному состоянию соот-
соответствует -	'-—ff- = const. Но согласно C.80) при этом всегда
уех д&±
имеется либо раскачка, либо затухание. Для того чтобы была пол-
полная стационарность, необходимо Nk = 0 либо -^- = 0. Вместе
с тем, плато по ср(ех) не может простираться до оо, так как ц>(г±)
убывает. Поэтому d(p/de± становится отрицательным и, следователь-
следовательно, Nu — 0. Поэтому процесс квазилинейной релаксации происходит
таким образом, что вначале ионы возбуждают турбулентные пульса-
пульсации, а затем, изменив распределение, поглощают все возбужден-
возбужденные пульсации.
В случае инжекции пучка поперек магнитного поля свидетель-
свидетельством развития нелинейных эффектов могут служить последова-
последовательные процессы релаксационных срывов неустойчивости [124].
§ 3.5. ВОЗБУЖДЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПОСТОЯННЫМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ
3.5.1. Линейные эффекты
Если сила, действующая на электроны плазмы со стороны внеш-
внешнего поля, превышает максимальное значение силы торможения из-за
парных соударений электронов и ионов
2 2
еЕ > (vCT макс mevT)= men04nv*Te (—*-Ya = t^El A = eED C.83)
V me VTe )	4e
{A—кулоновский логарифм), то возникает беспрепятственное
ускорение электронов [125]. Здесь ED —поле Драйсера [126].
Когда направленная скорость электронов и = — t превысит
TYIq
VTe, возникает гидродинамическая бунемановская неустойчивость,
рассмотренная впервые в работе [127]. Выражение для соответ-
соответствующего инкремента легко получить из C.31) и C.33), учитывая,
что в данном случае удобно рассматривать эффекты раскачки
в системе отсчета, в которой электроны покоятся, когда вместо
copi войдет сор/, т. е. параметр -- следует заменить —
/2()	ttli
155

Это значение инкремента достигается фактически, если и намного
превосходит vre- Как показано в работе [128] численным расчетом
и в работе [129] аналитически, развитие бунемановской неустой-
неустойчивости приводит к быстрому нагреву электронов, так что условие
vre < и нарушается.
В плазме, в которой Те ^> Ti9 возможно возбуждение ионно-
звуковых, а также других низкочастотных колебаний. Это возбуж-
возбуждение не является апериодическим как для бунемановской неустой-
неустойчивости, и поэтому основные турбулентные эффекты могут опреде-
определяться именно этой, более медленной стадией. Следует отметить,
что бунемановские и ионно-звуковые пульсации представляют
собой одну и ту же ветвь колебаний. Если в самого начала Те ^> Ti9
то ионно-звуковые колебания начинают развиваться при значи-
значительно меньших скоростях дрейфа и: и> 3vTt. Инкремент рас-
раскачки можно получить, если в C.34) подставить
з ч* (exp [_(v-u)»/2i?f]) п0;
о д&*
2я
0@
др
@=0),
= 1 / JL.	^2	е ^''е ( -S- - 1 / ^^-21. C.85)
Если u/vTe^>(fne/miy/2y T0 C.85) всегда описывает генерацию
колебаний. При k > \/de величина yk падает как l/k2, a. при
k<^l/de величина yk-—k. Максимальный инкремент приходится
на k ~ \/de. В этой области затухание Ландау на ионах
8 I T, !
"in I/ T I TJ J "
Требования на неизотермичность с ростом направленной скорости
снижаются и при и ~ vTe (на границе применимости C.85)) неизо-
неизотермичность плазмы роли не играет. Заметим, что при Те ^> Ti9
когда затухание Ландау на ионах экспоненциально мало, инкре-
инкремент C.85) необходимо сравнивать с затуханием ионно-звуковых
волн из-за ион-ионных соударений [130].
Подробный численный расчет инкрементов линейной теории
приведен в работе [131]. Результаты этих расчетов представлены
на рис. 3.3, где изображены значения максимальных инкрементов
как функции неизотермичности и направленной скорости электро-
электронов. На этом пути удается проследить переход от ионно-звуковой
156

к бунемановской неустойчивости. При и = vre, как следует из
этих результатов, умакс ~ 0»2 со, т. е. еще можно говорить о слабом
возбуждении.
Рис. 3.3. Инкременты y/(upi раскачки колебаний
в долях ионной частоты (api при наличии направ-
направленного движения электронов относительно ионов
со скоростью и как функции kula)pe (k — волно-
волновое число возбуждаемых пульсаций). Графики
получены численным расчетом в работе [131]:
№ кривой
;
2
3
4
5
6
7
8
Тс/Те
0
0
0
0
1
1
1
1
u/vTe
0,707
1 ,414
2,83
5,66
1 ,7
2, 12
2,83
3,85
В магнитоактивной плазме инкремент возбуждения различных
низкочастотных пульсаций определяется C.34). Можно фактически
воспользоваться уже полученным результатом C.35), заменив
со?а величиной aJpi. В плазме малого давления {v% >> v2) рас-
раскачка замагниченных звуковых колебаний описывается формулой
C.86)
157

При cosG—1 это дает тот же порядок, что и C.85). Для про-
продольной ионной волны &н. cos 0 в тех же условиях из C.35) имеем
- Аналогичным образом из C.35) при va ^> vs получим инкре-
инкремент возбуждения продольной ионно-циклотронной волны [132,
133]. Для получения инкремента раскачки магнитозвуковых и
альфвеновских волн достаточно в C.34) использовать соответственно
нормальные орты
е? = {1,0,0}; е?* = {0, U 0}.	C.88)
Например,
9
у" = to,sin2e-^(—	^	)л/--	C.89)
Раскачка таких волн осуществляется при и]
Раскачка циркулярно поляризованных волн, распространяю-
распространяющихся вдоль Но, может быть описана C.71). Для возможности такой
раскачки существенное значение имеет анизотропия температур
электронов в направлении электрического поля и перпендикулярно
к нему. Эти неустойчивости весьма сходны с теми, которые рассмот-
рассмотрены в § 3.4*. Существенное значение могут иметь неустойчивости,
связанные с неоднородностью температур и плотности плазмы,
а также профиля цаправленных скоростей электронов [95—97, 135].
Эти неустойчивости в условиях слабого возбуждения могут быть
описаны с помощью C.35) для продольных волн или в более общем
случае с помощью C.34). В области со ^> со#/ ионно-звуковые
колебания не замагничены и их инкремент имеет то же значение,
что и в отсутствие магнитного поля. Его максимум приходится на
k ~ -г-. По сравнению с этим инкрементом все остальные C.86) —
ае
C.89) оказываются существенно меньшими и их следует принимать
во внимание, если условие Те^>Тг не выполнено.
При наличии неоднородности в профиле направленных скоростей
электронов указанный максимальный инкремент может возрасти.
Как следует из C.35), слиппинг-неустойчивость может возникнуть
CD*?	kx U
и при и<С—, если -г	j-^>\. Точно так же анизотропия
kz	2 Не
температур, входящая в C.35) в виде множителя
C.90)
* Гидродинамические неустойчивости такого типа рассматривались в
работе [134].
158

который отсутствует при Тц = 7\, может сказаться весьма сильно
при больших магнитных полях. Если k ~ -г- соответствует неза-
магниченным электронам k 2> юне/vTe, движение которых можно
считать прямолинейным, то инкремент описывается C.85) и указан-
указанная зависимость от (оНе отсутствует.
3.5.2. Квазилинейные эффекты
Начальная стадия квазилинейной релаксации из-за развития
ионно-звуковой неустойчивости в электрическом поле рассматри-
рассматривалась в работе [136] численным интегрированием квазилинейных
уравнений в предположении, что электрическое поле достаточно
слабое Е <С ° Je Ed j/ — или 	<g —-. При выполнении
(дре	' mi	8я/г0 Те mi
этого неравенства можно в первом приближении пренебречь влия-
влиянием электрического поля на эффекты квазилинейного взаимодей-
взаимодействия частиц с турбулентными пульсациями и использовать урав-
уравнения
^- + -i-E-^?- = ^-D^ —;	C.91)
dt me dv °Pi	dvj
*'*' -4K-^)Nl-^-.	C.92)
d&k
В работе [136] было высказано утверждение, что неодномерность
диффузии играет весьма существенную роль. Последнее легко по-
понять, если учесть, что скорости электронов существенно превосхо-
превосходят фазовые скорости волн, и поэтому в основном с электронами
взаимодействуют волны, распространяющиеся почти поперек на-
направленной скорости электронов.
На рис. 3.4 и 3.5 приведены графики зависимости средней ско-
скорости электронов от времени, показывающие, что вначале она растет
линейно во времени, а затем из-за развития интенсивной турбулент-
турбулентности начинает падать, выходя на примерно постоянное значение.
Решение квазилинейных уравнений в квазистационарных усло-
условиях, когда ускорение электрическим полем компенсируется силой
трения ионно-звуковых колебаний, рассматривалось в работе [137],
а с учетом парных соударений с нейтралами в слабоионизованной
плазме —в [138, 6, 139], с учетом кулоновских соударений в пол-
полностью ионизованной плазме —в работе [140]. Не останавливаясь
на подробностях такого анализа, укажем, что согласно [137] ра-
работа электрического поля расходуется в основном на увеличение
энергии колебаний и нагрев электронов, тогда как величина тока
остается примерно постоянной и не зависит от электрического поля
159

/ = еп0 и%у где и% — критическое значение скорости электронов,
начиная с которой возникает ионно-звуковая неустойчивость. В ра-
работе [137] показано также, что энергия ионно-звуковых пульса-
пульсаций линейно растет во времени. Такой рост естественно имеет место
лишь до тех пор, пока не вступят в игру нелинейные взаимодей-
взаимодействия. В работе [140] показано, что учет соударений приводит
к ограничению роста энергии турбулентных пульсаций во времени.
Рис. 3.4. Средняя направленная скорость электронов плазмы и
при наличии электрического поля как функция времени t на
начальной стадии развития неустойчивости (приближение мо-
моментов), полученная в результате численного расчета в ра-
работе [136]:
№ кривой
1
2
3
4
в.,во
60
20
60
20
2.10*
2-10*
2.10'
2- 107
Однако в большинстве случаев нелинейные взаимодействия всту-
вступают в игру при энергии турбулентных пульсаций меньше тех, для
которых наступает насыщение. Вместе с тем, согласно работе [139]
в сильных магнитных полях, ограничивающих диффузию по углам,
существенным будет образование плато на функции распределения
электронов, которое прекращает диффузию, но не ликвидирует пол-
полностью квазилинейный инкремент. •
3.5.3. Нелинейные эффекты
Влияние нелинейных эффектов впервые обсуждалось в работе
[138], где рассматривались эффекты индуцированного рассеяния
ионно-звуковых пульсаций на ионах. Характерный нелинейный
инкремент спектральной перекачки имеет порядок у ~ u>pi X
160

Х-у-6о, где Эо—раствор углов взаимодействующих колебаний.
Благодаря этой спектральной перекачке звуковые колебания транс-
трансформируются в область малых k, где они поглощаются из-за парных
соударений. Это приводит к ликвидации малого инкремента, не
ликвидированного квазилинейной релаксацией. Более строгие ре-
решения нелинейных уравнений, учитывающие эффекты неодномер-
и
30
гв
10
г '
г \ ¦ \ I i I
^^
> I I
О	10 го 30 .40 SO SO 70 \/Eojpet
Рис. 3.5. Направленная скорость электронов в сильном элек-
электрическом поле Eq как функция времени I Е = —:——
№ кривой
50
10
10
10е
106
2- 106
ной спектральной перекачки, рассматривались в работе [141].
Процессы распада ионно-звуковых волн будут приводить к более
интенсивной спектральной перекачке [142] (более подробно
см. гл. 4).
Большое турбулентное сопротивление было обнаружено многими
авторами [26, 31—33]. Одним из свидетельств того, что сопротив-
сопротивление плазмы велико, является равномерное распределение тока по
сечению и отсутствие скинирования внешнего поля. Согласно ра-
работам [143—146] до 30% энергии вкладывается в плазму и электро-
электроны могут быть нагреты до 1,5—10 кэв, а ионы —до 200 эв. Аномаль-
Аномальное сопротивление плазмы было обнаружено также при попытке
создания сильноточного плазменного бетатрона [147] и при работе
источников плазмы [148]. Аномальное турбулентное сопротивление
наблюдалось также в работе [31]. Оно сопровождалось ускорением
частиц. Возбуждение ионно-циклотронных волн в плазме с током
наблюдалось в работе [149]. Спектры ионно-звуковой неустой-
неустойчивости при наличии тока подробно изучали экспериментально
в работах [150, 151].
161

§ 3.6. ВОЗБУЖДЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В НЕОДНОРОДНОЙ
ПЛАЗМЕ. ДРЕЙФОВЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
Вопросы неустойчивости неоднородной плазмы и связанной
с ней турбулентной диффузии имеют важное значение для проблем
удержания плазмы. Конкретно эффекты диффузии нельзя рассмат-
рассматривать без детального анализа структуры и топологии удерживаю-
удерживающих магнитных полей применительно к конкретным установкам
для удержания плазмы. Такие задачи скорее являются технически-
техническими и требуют анализа многих деталей, связанных с устройством
установок.
Отсылая читателя за подробностями такого рода к обстоятель-
обстоятельным обзорам [152, 6, 153], остановимся здесь кратко на некоторых
основных положениях, позволяющих уяснить физический смысл
неустойчивостей неоднородной плазмы.
3.6.1. Линейные эффекты
Не касаясь здесь круга задач, связанных с апериодическими гид-
гидродинамическими неустойчивостями неоднородной плазмы, рас-
рассмотрим, как и выше, лишь эффекты, приводящие к слабому воз-
возбуждению турбулентных пульсаций. Обратимся к C.34), предпола-
предполагая, что функция распределения имеет вид
па (у)
{2п
Г3/2 v%
• ехр —
2vi
, C.93)
т. е. учтем неоднородность плотности участии, и неоднородность и
анизотропию температур. Вместо C.35) легко получим для продоль-
продольных волн, использовав C.9),
A) I	I ./
k V
"pa
Sb(-:
х
dy
162
dna
dy
еН
27,
X
, а
-X
<3-94>

Рассмотрим частоты, лежащие в области
К VTl « Ч « К VTe К « ШЯ/) •
В этом случае в силу множителя
(/	\ о
ехр —
раскачка или затухание на ионах являются экспоненциально ма-
малыми, если только о>к не очень близко к vcd#;. Исключая этот слу-
случай, рассмотрим эффект, возникающий от электронов. Считая элект-
электроны замагниченными \ле <^ 1, видим из C.94), что член, описы-
описывающий неоднородность поперечных температур, мал и существенна
лишь нециклотронная раскачка v = 0
z да
coD-co'-coD-.	M, C.95)
V	к	2 dlnn !
)
k
k р\ | .
где (dD =	—tL • — • — ; I «d I— дрейфовая частота.
ел п dy
Если рассматривать раскач.ку дрейфовых волн, т. е. сУ^со^,
го из C.95) следует критерий неустойчивости [154, 155] (впервые
неустойчивость неоднородной плазмы рассматривалась в работе
[156])
v	дг1 <°р/ ,
«учитывая, что 	= 9 9 со, получаем
^со k vs D
C.97)
Здесь инкремент много меньше частоты в силу ti>D<^kz Vr]le- Кроме
того, (Do ^> kz vsy что необходимо для того, чтобы со? была близка
к дрейфовой. Если учесть слабое отличие со? от coD, т. е.
163

то получим критерий неустойчивости [157]
^^<-4?.	C-98)
Как показано в работе [157], при 	^?. = 0 плазма может
d \nn
оказаться неустойчивой для достаточно малых kz, поскольку при
Jim
	iii-i- = 0 в C.95) очень существенны даже малые отличия со? от
d\nne
со/). Такое отличие имеется даже при kz-+0, если учесть малые
поправки, связанные с возможным смещением ионов в волне
поперек сильного магнитного поля. Частота колебаний находится
из уравнения
k.k.	k2z	к\
8/^8 _i^=8 _?__]_ е_ — ==0,
которое при пренебрежении гхх дает
со2
При сок < со^. значение гхх = 1 + pi , т. е.
и2 2
4^.	C.99)
-ч	dlnT\Ke
Это дает для инкремента при -j]	= 0 выражение
Очевидно, эта раскачка имеет место при
z «о
Заметим, что согласно A.124) — A.127) при Te^>Tt одна ветвь
k2v2
переходит в o)D, а другая стремится к z s при kz-> 0. Таким
164

образом, для нее в пределе из C.95) следует условие неустой-
неустойчивости
d In Гц р
^ >2.	C.101)
Так как по условию со? > kzvfi, то, строго говоря, C.101) от-
относится к случаю холодных ионов Tt ->- 0. Однако и для изотерми-
изотермической плазмы Те — Tiy как показано в работе [154], возникает
условие C.101), если рассмотреть область частот со <^ kzvn и
учесть, что возбуждение может быть неслабым. Фактически уже
в C.100) учтены эффекты конечности ларморовского радиуса ионов,
k2 v2 .
имеющие порядок ±2Tl . Выше уже было проиллюстрировано,
почему учет таких эффектов важен. К этому кругу вопросов интерес
возник в связи с работой [158], в которой показано, что эффект ко-
конечности ларморовского радиуса ионов может привести к стабилиза-
стабилизации некоторых низкочастотных пульсаций плазмы. Исследования,
проведенные в работах [156, 155], показали, что с учетом конеч-
конечности ларморовского радиуса плазма оказывается неустойчивой
ПрИ Любых -r-i	•
и 1Л 1%
В отсутствие градиента температуры, по при наличии боль-
большого градиента плотности величина сод может быть больше со#/;
тогда в условиях Те > Г- могут возбуждаться обычные незамаг-
2
ничейные звуковые колебания co = tos, —— = 2—— и из C.95)
s
получим [159]
-kvs).	C.102)
Таким образом, в данном случае неустойчивость возникает, когда
дрейфовая скорость превышает звуковую.
Для рассмотрения возбуждения непродольных волн достаточно
учесть лишь отличие единичных ортов поляризаций этих волн
в C.34), что приводит к формуле, аналогичной C.94). Учет непотен-
непотенциальности необходим, если —• = t/D > с/д [160]. Раскачка ионно-
циклотронных волн в неоднородной плазме рассматривалась в ра-
работе [161]. В условиях кгФ§ раскачка дрейфовых волн происходит
на электронах при
C.103)
Общее условие нециклотронной раскачки при замагниченных
электронах легко получить из C.34) (см. работу [162])
fe^.iLi>o.	C.104)
dvz ®не ду
165

3.6.2. Квазилинейные и нелинейные эффекты
Функцию распределения частиц при учете обратного влияние
генерируемых волн уже нельзя считать максвелловской, как
в C.93). Для замагниченных электронов получим из C.34) при v = ft
dt
¦ тРп
d(?>
G
дП,
<»
}Не	ду
X б (сок — kz vz)dpz.	(ЗЛ05>
Здесь fpz =^yPdpxdpy — одномерная функция распределения, за-
зависящая от рг и у. Из общего уравнения диффузии аналогичным
образом имеем
д	kx д
т2п л
дш
G
x(kz —	^	-) fv .	(ЗЛ06)
V dvz ®не ду ) Pz	К
Из уравнений C.105) и C.106) видно, что диффузия частиц про-
происходит как по скоростям, так и по координате у, т. е. перпенди-
перпендикулярно к удерживающему внешнему магнитному полю. Заметим,,
что C.106) описывает не только эффекты диффузии под действием
турбулентных пульсаций, связанных с неоднородностью плазмы,,
но и эффекты, возникающие под действием других продольных:
пульсаций, энергетический режим возбуждения и диссипации ко-
которых, а следовательно, и уровень энергии определяются факто-
факторами, не связанными с неоднородностью плазмы.
Отметим, что C.106) описывает диффузию резонансных частиц-
Как показано в гл. 2, можно ограничиться эффектами, связанными
с резонансными частицами, учитывая, что импульс нерезонанс-
нерезонансных частиц однозначно связан с импульсом резонансных.
Изменение среднего значения импульса для резонансных частиц.
при взаимодействии с продольными колебаниями в точности равна
изменению импульса нерезонансных. Импульс нерезонансных ча-
частиц есть импульс плазмонов. Если турбулентные пульсации высо-
высокочастотные, то резонансные и нерезонансные частицы являются
электронами. Поэтому такие процессы не приведут к изменению'
плотности плазмы, т. е. к эффектам турбулентной диффузии. С эф-
эффектами турбулентной диффузии связаны лишь низкочастотные ко-
колебания.
Квазилинейные уравнения C.105), C.106) рассматривались
в работах [162—164]. Согласно [162] квазилинейная раскачка
166

спектра C.99) приводит к тому, что образуется узкий пакет волн
с kx = kx, удовлетворяющий условию
avz
ay
Так же как и в работе [107], замена переменной в уравнениях
C.105), C.106) приводит их к одномерным и диффузия происхо-
происходит вдоль линий
t=-2^ + -?f-L= const.
Отсюда by
Vz Vz x
vTe
, т. е. смещение частиц мало
по сравнению с размером неоднородности. В работе [164] пока-
показано, однако, что неодномерность процесса диффузии, так же
как и в работе [107], оказывается весьма существенной.
Нелинейные эффекты распадного типа рассматривались в рабо-
работах [162, 165]. Они приводят к расширению спектра указанного
пакета волн и эффективной спектральной перекачки дрейфовых
турбулентных пульсаций в область интенсивного поглощения
Ландау на ионах. Нелинейные эффекты взаимодействия дрейфо-
дрейфовых колебаний при рассеянии на частицах рассматривались в ра-
работе [166].
3.6.3. Турбулентная диффузия плазмы
Интегрируя C.106) по импульсам частиц pz и учитывая, что
1^
C.108)
где
k2
/ д
^ dvz
я ——	а
GС0 03=й
kx д \ fn dpz
toHe ду}
C.109)
Таким образом, наряду с обычным потоком вещества поперек
магнитного поля, связанным с макроскопическим движением плаз-
плазмы, существует еще турбулентный поток C.109). Он определяет
эффекты турбулентной диффузии плазмы. Выражение C.109) описы-
описывает полный поток, связанный не только с наличием градиента кон-
167

центрации плазмы. Коэффициентом турбулентной диффузии назы-
называется коэффициент пропорциональности между частью турбулент-
турбулентного потока, пропорциональной -А и -А
(Y\vyy =(nvyy —и1 — .	(о.1Ш)
Если f=*n(y)f'(vz), где f (vz) не зависящая от у функция, кото-
которая характеризует распределение частиц по скоростям, то
62coiL я
пе да)
Bя)з
Заметим, что C.109) содержит полный турбулентный поток плаз-
плазмы поперек магнитного поля, который, очевидно, и представляет
интерес с экспериментальной точки зрения. Этот поток может быть
связан не только с градиентом плотности, но и с градиентом темпе-
температуры. Кроме того, первый член C.109), пропорциональный
dldvz, может вносить вклад в случае, когда распределение пульса-
пульсаций несимметрично по kx. (Если Nk зависит от | kx |, то этот член
выпадает из-за нечетности подынтегрального выражения по kx.)
Поскольку от градиента плотности зависит целый ряд величин,
в частности дрейфовые частоты и т. п., то иногда удобно ввести
эффективный коэффициент турбулентной диффузии, определяемый
по полному турбулентному потоку,
{my=-DT ?±.	C.112)
dy
Не представляет труда написать общее выражение для Оэфф.
Из общих уравнений гл. 2 получаем
Хб (o)k — kzvz — v(oHa) \К-^- — -^---г--\	-1—
а \ dvz «яа ду v± dv±)
(ЗЛ13)
а также общее выражение для полного турбулентного потока.
Так, для циклотронной неустойчивости ионно-циклотронных
волн в плазме с током (см. § 3.4) оценка по квазилинейной тео-
теории дает [132] ?эфф ^ —- [— ) I -^- ) , где и < vTe — скорость
еН \ Ti I \vTe I
168

направленного движения электронов относительно ионов. Учет
парных соударений [167] увеличивает коэффициент диффузии в
/ VCT X1/2 /vTe\7/2
а = [	| (	 раз, если а^> 1. Оценки для дрейфовой
\ юя/ / \ и I
неустойчивости дают [ 162] ?>Гфф ъ — • —-— • —— . Соглас но ра-
еН ^D no dy
^ гт	8лпТ пи
боте [6], если 	>—-, то
Я2	те
сТ с2 ®не 1 dn0
— •	 •	 • — • —
еН а2 "те по dtJ
Оценки коэффициентов диффузии содержатся также в работах [6Г
166, 168, 169]. Во всех приведенных формулах коэффициент диффу-
сТ
зии пропорционален бомовскому -jf. По-видимому, максимально'
сТ
возможный коэффициент диффузии соответствует -т/. Эксперимен-
Экспериментальное изучение турбулентной диффузии плазмы проводилось, ва
многих работах [6, 170].
Нужно сказать, что оценки коэффициентов диффузии в ряде
случаев достаточно грубы (это связано с тем, что ни квазилинейные,
ни нелинейные уравнения точно не решались), и поэтому точное
количественное соответствие с теорией установить трудно. Исклю-
Исключение составляет работа [171], в которой показано прекрасное соот-
соответствие с экспериментом.
3.6.4. Турбулентная теплопроводность плазмы
Для нахождения турбулентной теплопроводности можно, на-
например, с помощью C.106) вычислить изменение энергии электро-
электронов плазмы перпендикулярно к Но
JL Г/
dt J
/
dt J	2 BяK
J д mv\ fpaP
.**«?«¦-- ду 2 Bя)8
i
e
дсо
Здесь, простоты ради, пренебрегли частью потока тепла, не зави-
зависящей от J- [так же, как и в C.111), считая, например, что Nk
169

четно по kx]. Результат C.114) можно записать так (f =
= f(v±)F (vz):
¦—G = 0; q=— к—-^
©jL k2 m\ n ——
"Bл)з
(ЗЛ15)
Здесь Т± = f(y±)—^ dp±, а величина q—поток тепла. Коэффи-
Коэффициент к называется коэффициентом турбулентной теплопровод-
теплопроводности плазмы поперек магнитного поля. Не представляет труда
написать общее выражение для хэфф, аналогичное ?>эфф C.113).
Эффекты турбулентной теплопроводности с учетом парных со-
соударений изучались в работе [172].
§ 3.7. ВОЗБУЖДЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ
ВОЛНАМИ И ЛАЗЕРАМИ
3.7.1. Взаимодействие сильных нелинейных
и ударных волн с плазмой
Если в плазме распространяется интенсивная нелинейная волна,
то на ее фронте, с одной стороны, возникают достаточно большие
электрические поля, создающие большой направленный поток
электронов, с другой стороны, распределение плазмы становится
неоднородным и анизотропным, т. е. создаются условия, необходи-
необходимые для проявления рассмотренных выше неустойчивостей пучко-
пучкового типа, связанных с током, анизотропной и дрейфовой неустой-
неустойчивостей.
Эти эффекты должны хорошо проявляться, в особенности для
волн низкой частоты и большой длины волны, создающих относи-
относительно слабые неоднородности. Таким образом, на фронте нелиней-
нелинейной низкочастотной волны могут возникнуть условия, необходимые
для проявления процессов турбулентной электропроводности,
турбулентной диффузии, турбулентной теплопроводности и т.. п.
Сильные низкочастотные волны в жидкости могут превращаться
в ударные [1]. В плазме именно турбулентные процессы определяют
структуру бесстолкновительных ударных волн [21]. Теоретически
такая структура с учетом нелинейных эффектов изучалась в работах
[173—175]. Структура нелинейных волн без учета эффектов турбу-
турбулентной диссипации рассматривалась в работах [176—180]. Сле-
Следует заметить, что турбулентная структура и ширина фронта удар-
ударных волн могут быть получены из общей феноменологической теории
[181], если воспользоваться оценкой коэффициентов турбулент-
турбулентного переноса (см. § 3.6). Экспериментально турбулентная струк-
структура ударных волн изучалась во многих работах (см. [182]).
170

3.7.2. Взаимодействие интенсивных высокочастотных
полей с плазмой
Вопрос о турбулентных процессах при взаимодействии интен-
интенсивных высокочастотных полей с плазмой был поднят В. И. Вексле-
ром [28] в связи с предложенными им новыми методами ускорения.
Интенсивная высокочастотная волна, которая при со < соре не
проникает в плазму, может оказывать интенсивное давление на
плазму и ускорять ее. В силу того, что действие электромагнитной
волны испытывают лишь частицы в скин-слое и распределение элект-
электромагнитного поля на границе плазмы резко неоднородно, то в пер-
первую очередь должны развиваться низкочастотные неустойчивости
в- плазме. Они могли бы быть механизмом турбулентной передачи,
импульса плазме. Наряду с неустойчивостями, связанными с не-
неоднородностью электромагнитного поля волны, проникающей
в плазму, возможны также специфические неустойчивости, связан-
связанные с анизотропией функции распределения. В данном случае ани-
анизотропия создает внешнее высокочастотное поле, колеблющее за-
заряды плазмы лишь в направлении, соответствующем электриче-
электрическому полю волны. Теория такой неустойчивости развивалась в ра-
работе [183]. Если внешнее высокочастотное поле окажется доста-
достаточно сильным еЕ0/тсд> vTe, то возникает неустойчивость, сходная
с бунемановской [184]. По-видимому, она приведет к быстрому
нагреву плазмы, так что условие еЕ0/т® > vTe нарушится и оста-
останутся лишь слабые неустойчивости [185].
Аналогичные эффекты возникают при взаимодействии лазеров
с плазмой [185—192].
Обратимся к уравнениям B.113) и B.124), которые учитывают
эффекты корреляций при взаимодействии пульсаций между собой.
Будем интересоваться возбуждением продольных полей, считая,
что их источником являются интенсивные высокочастотные поля.
Отличие уравнений, учитывающих поперечные высокочастотные
поля от B.124), будет состоять в том, что &% и R% зависят от плот-
плотности энергии высокочастотных полей Wi. Коэффициенты при
этих членах отличаются от записанных тем, что нелинейные токи
плазмы необходимо помножить не на продольные, а на поперечные
^¦(например, 2*t *i. *«. kz в е? будет 2///г/-^-у-42 n^L/) • Если
уровень энергии продольных полей невелик, то можно прене-
пренебречь взаимодействием продольных пульсаций между собой (ли-
(линейная стадия возбуждения), а плотность энергии высокочастотных
полей считать заданной:
C.116)
8Ш
C.117)
171

Величина Rk играет роль внешнего источника возбуждения, &%
описывает нелинейные инкременты возбуждения.
Если частоты достаточно высоки со > соре, то Rk, вообще го-
говоря, весьма мало (см. работы [185—187]), а при относительно низ-
низком уровне энергии Wlk,' когда можно пренебречь нелинейными
эффектами взаимодействия продольных волн, и левая часть C.116)
много больше правой. Последнее означает, что можно использовать
для анализа возбуждения дисперсионное уравнение
Для волн высоких частот наиболее существенны распады, так
как рассеяние мало на тепловых частицах плазмы. Это значит,
что следует учесть лишь выражение, аналогичное второму члену
B.117), имеющее резонансный знаменатель для частот, близких
к линейным собственным частотам [Ve? в B.117) ].
Рассмотрим возбуждение ионно-звуковых колебаний. Пусть
(о| — линейный спектр ионно-звуковых колебаний
«1,
и спектр поперечных волн имеет среднюю ширину Дсо^, среднюю
частоту со* и средний угловой разброс А8. Обозначив разность
между со и (os (k) величиной Q, получим следующее выражение
ДЛЯ &k + &k'.
со*
X d\ —^i	=0.	C.118)
4tnev~Te Q + co4 (k) — kvg
В том случае, когда й<А(ку„), в знаменателе C.118)
1
можно пренебречь Q. Заменяя же 	= —jk6((os — kvJ, полу-
(о — kv^	*
чаем эффект распадной неустойчивости поперечных волн (на зву-
звуковые волны)
¦ р_ in (a* (k)K f <»%
X ^.—6((os(k) — kvjdkr	C.119)
4jx (dt	*>
172

Если частоты возбуждаемых колебаний близки к ленгмюров-
ским частотам плазмы, дисперсионное уравнение, описывающее
процесс возбуждения, имеет вид (Q = co—-со^)
г1к = — + Г
Ыре J
t X
X —^	r—7^ =0;	C.120)
Если ^ С Асомакс(к), где Асомакс (k)—максимально возможное
значение разности «к—cok14-cok1-k = Дсо (к), когда kx в Ikl пробе-
пробегает возможные значения, соответствующие спектру поперечных
волн, то возникает распадная неустойчивость
±\ C.121)
Подробное исследование инкрементов распадной неустойчивости
было проведено в работах [185 — 189]. Если изменения импульса
поперечной волны в распадном процессе малы, т. е. к <С къ то
закон сохранения энергий при распаде, описываемый б-функцией,
дает со = k v^. В направлении пучка поперечных волн генерируют-
генерируются плазменные волны, фазовая скорость которых совпадает с группо-
групповой скоростью поперечных волн. Фактор релятивизма волн
7	\ vn = -г- может достигать больших значений
Если ширина спектра поперечных волн Лес* ^> соре, т. е.
спектр является широким, для нахождения инкремента можно ис-
использовать разложение по импульсам отдачи к. В направлении
пучка имеем
Л7 /^ \ 7П) I h	\ hit (h \ Ah	СХ \с)с)\
где
C.123)
173

Таким образом,
; vp = -^-. C.124)
(йре "р
У 1-4
Инкремент генерации волн вдоль пучка оказывается пропорцио-
пропорциональным производной по частоте от функции распределения попе-
поперечных волн. Вводя спектральную плотность энергии поперечных
волн Wi (со) соотношением
		со
w'=~тз J2 Vk^ + с°2ре N'kl dkx=J ^((Ol) йщ'
О
можно в C.124) при Асо;.: < соЯ: величину yk записать в виде [185]
.	C.125)
у coD_
Xk pe A nmec2
Считая
, имеем
2
C.126)
Еще большие инкременты возникают для «монохроматических»
пучков, а именно, если Аоз^ <^ со7>е. В направлении пучка
-	(зл27)
При получении C.127) учтен лишь эффект распада, так как эф-
эффекты слияния при Асо^ <^ соре возможны лишь для других k.
Интервал фазовых скоростей генерируемых волн Avp около ур для
C.127) меньше, нежели для C.126). Для монохроматических пучков
поперечных волн инкремент имеет величину C.133) вплоть до углов в
порядка л/ ——. Для монохроматических пучков в результате раз-
развития неустойчивости появляются боковые частоты — сателлиты.
Эти результаты относятся к случаю генерации плазменных волн
пучком поперечных волн малой апертуры
174

При неравенстве Д0 > 1-^-1 инкремент при той же полной?
энергии пучка электромагнитных волн оказывается меньшим [189]'
)	(ЗЛ29)
Рассмотрим в C.120) предел &>Дсоыакс, когда мнимая часть
знаменателя в нем несущественна. Для пакета поперечных волн,
имеющих широкий разброс по углам 0~1 при \Q\<<C.kcn
V	М2
— J при |^|>( —] kc, получим
—)^-e>	C.130)
Для 0 ~ 1 и | Q К kc в случае 0 < (—) и | Q | <( -^-j ^c имеем<
C.131)
Подставляя в C.130) выражение C.120'), находим
C.132)
J
Если в линейном приближении волны не затухают и не раска-
раскачиваются, т. е. yi — 0, то для волн, распространяющихся в на-
направлении пучка поперечных волн, имеет место раскачка колеба-
колебаний. Из C.139) можно оценить нелинейный инкремент
C.133)
Динамика распадной генерации ленгмюровских волн при
Дсо^ ^> соре во многом аналогична рассмотренной выше динамике
развития пучковой неустойчивости.
При этом доля теряемой пучком поперечных волн энергии может
иметь порядок величины исходной энергии, а могут также разви-
развиваться процессы, аналогичные пучковой неустойчивости, в част-
частности пространственная неустойчивость, которая вызовет запира-
запирание пучка поперечных волн. Динамика распадной генерации для
узких линий лазера соответствует появлению сателлита. При
этом диффузия по сателлитам соответствует ударной волне в про-
пространстве волновых чисел волн к'.
175

Качественно о возбуждении турбулентности при взаимодействии
высокочастотных полей могут свидетельствовать эксперименты
[193], а при взаимодействии лазеров с плазмой — аномальное по-
поглощение энергии в экспериментах [194, 195].
§ 3.8. МЕХАНИЗМЫ ГЕНЕРАЦИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В АСТРОФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
В астрофизических условиях осуществляется большое разно-
разнообразие физических условий, которые могут приводить к неустой-
чивостям и турбулизации плазмы [46].
Однако, несмотря на многообразие механизмов турбулизации,
имеется ряд характерных черт, которые приводят к тому, что турбу-
турбулентные процессы в космической плазме играют особо важную роль.
Во-первых, основная масса вещества во Вселенной находится
в ионизованном состоянии, т. е. представляет собой плазму.
Во-вторых, не вызывает сомнения то, что многие наблюдаемые
в астрофизических условиях процессы носят нестационарный, а
иногда и взрывной характер. Например, часто происходят
взрывные процессы на поверхности Солнца, взрывы сверхновых
звезд. Далее, нестационарными являются такие объекты, как ква-
квазары [196], происходят взрывы в ядрах галактик [46] и т. п. Нако-
Наконец, Метагалактика также, по-видимому, образовалась в резуль-
результате взрыва [197]. Во всех перечисленных нестационарных про-
процессах плазма, по-видимому, турбулентна.
В-третьих, существуют непрерывно действующие энергетиче-
энергетические источники, которые могут поддерживать долго турбулентное
состояние плазмы, в частности ядерная энергия звезд и гравита-
дионная энергия.
В-четвертых, с механизмами ускорения частиц в турбулентной
•плазме обычно связывают происхождения космических лучей [46,
45]. Космические лучи играют существенную роль в энергетиче-
энергетическом балансе Галактики, так как их энергия сравнима с энергией
магнитного поля и тепловой энергией межзвездной плазмы. Все
сказанное позволяет понять большой интерес, проявляемый в по-
последнее время к проблемам турбулентности космической плазмы.
Имеются также способы [198] оценки энергии низкочастотной тур-
турбулентности из данных наблюдений.
Говоря о специфических механизмах возбуждения турбулент-
турбулентности в астрофизических условиях, необходимо выделить три меха-
механизма. Один из них приводит к притоку энергии от низкочастотных
возбуждений—это гравитационные неустойчивости [199]. Дру-
Другой механизм связан с притоком энергии турбулентности от весьма
высоких частот —это нелинейная неустойчивость излучения в плаз-
плазме. Наконец, третий связан с генерацией турбулентности косми-
космическими лучами. При гравитационной неустойчивости возникают
возмущения гидродинамического типа, соответствующие бесстолк-
176

новительным ударным волнам, магнитогидродинамическим или
альфвеновским волнам большой амплитуды.
Такие низкочастотные волны могут стать источником высоко-
высокочастотной турбулентности, если на фронте волны скорости частиц
будут превышать средние тепловые скорости и возникнет пучковая
неустойчивость [200, 201]. На фронте нелинейных гидромагнитных
волн может возникнуть также специфическая неустойчивость, свя-
связанная с появлением встречных электронных потоков [202]. Весьма
большие потоки излучения возникают в процессах взрывного ха-
характера. Такое излучение может носить также направленный ха-
характер. В этом случае для оценок необходимо использовать формулы
§ 3.7. Они приводят к большим инкрементам. Особенно эффективной
оказывается в данном случае генерация нерелятивистских плазмен-
плазменных волн. Весьма эффективной является также генерация ионно-
звуковых волн.
Заметим, что в космических условиях часто электромагнитное
излучение может быть локально изотропно. Тогда найденные из е ^
инкременты оказываются отрицательными, т. е. турбулентность не
генерируется. Однако согласно C.116) возможен также другой меха-
механизм генерации, связанный с тем, что электромагнитное излучение
играет роль внешней силы, возбуждающей турбулентность. Коли-
Количество энергии, которое генерируется этим источником в 1 сек [203],
определяется квадратом спектральной интенсивности поперечных
волн;^ = ^ f /ю dan энергия волн в 1 см3, В большинстве при-
приложений генерация ленгмюровских пульсаций на много порядков
эффективнее пульсаций других типов и сильно возрастает с умень-
уменьшением частоты электромагнитных волн. Если со^ — минимальная
частота в их спектре, то согласно [203]
/.	C.134)
Остановимся теперь на вопросе генерации турбулентности косми-
космическими лучами. Если, например, космические лучи образовались
в процессе взрыва, то их проникновение в окружающую плазму
приведет к локальной анизотропии космических лучей и появлению
неустойчивостей пучкового типа [201]. Соответствующие инкремен-
инкременты генерации ленгмюровских пульсаций максимальны для фазовых
скоростей порядка с [199]
Щ^- ~gv^.^-L. C.135)
dp ) Bя)8 ре nQ m M	V	'
Здесь пг и п0 — концентрации соответственно космических лучей
и плазмы, т — масса частиц космических лучей, 1/А6 — степень
•анизотропии распределения космических лучей. Существенно, что
неустойчивость легко стабилизируется нелинейными эффектами.
177

Эти выводы, однако, относятся к случаю, когда отсутствуют
ускоренные частицы меньших энергий, например субкосмические
лучи, т. е. частицы нерелятивистских энергий [46], продолжением
спектра которых являются космические лучи. Максимум энергии
может приходиться на эти частицы, и они будут в основном ответ-
ответственны за генерацию турбулентности. В этом случае можно гово-
говорить о генерации турбулентности субкосмическими лучами. Вместе
с тем для частиц нерелятивистских скоростей нелинейные эффекты
не могут сорвать неустойчивость, и энергия генерированной ими
турбулентности порядка энергии быстрых частиц. Таким образом,
на фронте разлетающейся оболочки, возникшей, например, при
взрыве сверхновой звезды, должна образоваться турбулентная
область, продвигающаяся в плазме со скоростью медленных частиц.
Космические лучи, рассеиваясь на этой области, могут быть за-
запертыми внутри оболочки [201].
Отметим также, что неустойчивость плазмы солнечного ветра
[205] приводит к турбулизации межпланетной плазмы. Интенсив-
Интенсивная турбулентность возникает в хромосферных вспышках [206].
В плазме околоземного пространства, по-видимому, имеет место
циклотронная неустойчивость и анизотропная конусная неустой-
неустойчивость для частиц, запертых в магнитную ловушку радиационных
поясов [207]. Кроме того, неустойчивости развиваются на фронте
ударной волны, образующейся при обтекании Солнечным ветром
магнитосферы Земли [208].
Вопросы турбулентного нагрева космической плазмы привле-
привлекали до последнего времени небольшое внимание, хотя такие про-
процессы нагрева, возможно, широко распространены. Вопрос о на-
нагреве межзвездной и межгалактической плазмы космическими лу-
лучами обсуждался в работе [209]. Турбулентный нагрев, по-ви-
по-видимому, весьма эффективен во всех процессах, в которых низко-
низкочастотные пульсации возбуждаются непосредственно, например
из-за гравитационной неустойчивости или ударными волнами.
Процессы турбулентного нагрева могут быть ответственны за
рентгеновское тормозное излучение нагретого газа [144]. Согласно
работе [144] такими процессами может быть объяснено мощное
рентгеновское излучение, рентгеновских источников.

Глава 4
СПЕКТРЫ СТАЦИОНАРНОЙ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ
§ 4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ СТАЦИОНАРНОЙ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ
Результаты предыдущих глав позволяют подойти к одному из
важных вопросов теории турбулентности — определению спектров
стационарной турбулентности плазмы. Стационарная турбулентность
возникает при балансе генерации поглощения и трансформации
энергии пульсаций по спектру. Такая трансформация необходима,
так как в области волновых чисел, в которой происходит генерация,
естественно, нет поглощения (баланс раскачки и затухания таков,
что раскачка доминирует), а в области поглощения отсутствует гене-
генерация. Стационарность в области генерации обеспечивается балан-
балансом притока энергии колебаний из-за возбуждения и оттоком ее
из-за нелинейной перекачки по спектру, в области поглощения —•
балансом притока из-за спектральной перекачки и оттоком энергии
из-за поглощения. Наконец, в области, в которой отсутствуют по-
поглощение и генерация, баланс для данного k возникает из-за при-
притока и оттока энергии при нелинейной трансформации энергии.
В этой области спектр пульсаций не зависит от типа неустойчивости,
приводящей к возбуждению колебаний, и, следовательно, в этом
смысле универсален.
Однако соображения размерности, использованные в турбулент-
турбулентности жидкостей, в данном случае неприменимы, так как для пульса-
пульсаций, имеющих вполне определенные собственные частоты, всегда
можно ввести специфические для данных пульсаций величины раз-
размерности длины. Спектр пульсаций для различных коллективных
движений плазмы существенно различен. В области перекач-
перекачки энергии пульсаций от источников турбулентности остается
одна характеристика — мощность генерации турбулентности Q
(энергия пульсаций, генерируемая в 1 см3 в 1 сек), которая опреде-
определяет поток энергии вдоль спектра. Вместе с тем возможный тип
механизма поглощения пульсаций может более существенно ска-
сказаться на спектре турбулентности. Связано это по крайней мере
с двумя обстоятельствами. Во-первых, если темп поглощения не
очень велик или существуют определенные полосы поглощения на
спектре, указывающие на неравномерный характер поглощения, то
перекачка может приводить к концентрации турбулентных пульса-
пульсаций в определенных областях и в этих областях могут вступить
в действие другие типы нелинейных перекачек, которые малы в об-
179

ласти более низкого уровня турбулентных пульсаций. Наличие
этих перекачек существенно изменит спектр турбулентных пульса-
пульсаций. Во-вторых, возможны нелинейные механизмы потерь энергий,
которые будут действовать в некотором смысле наравне с нелиней-
нелинейными спектральными перекачками.
Целесообразно классифицировать типы турбулентности плазмы
по тем механизмам поглощения, которые указывают на окончатель-
окончательную стадию процесса трансформации пульсации для данного типа
турбулентности [58]. Такой тип классификации наиболее удобен
для практических приложений, так как указывает на окончатель-
окончательный результат развития неустойчивости в системе (нагрев, излу-
излучение и т. п.).
Выделим следующие классы стационарной турбулентности
плазмы.
1.	Турбулентность, диссипируемая из-за поглощения пульсаций
при парных соударениях частиц. Такой тип турбулентности воз-
возможен для слабоионизованной плазмы, а также в условиях, когда
энергия колебаний эффективно откачивается из области коллектив-
коллективного поглощения и возможным оказывается лишь поглощение из-за
парных соударений (это имеет место для изотропной ленгмюровской
турбулентности). Этот тип турбулентности аналогичен турбулент-
турбулентности жидкостей, где диссипация осуществляется благодаря вяз-
вязкости, обязанной эффектам парных соударений частиц.
2.	Турбулентность, диссипируемая из-за коллективного погло-
поглощения пульсаций. Такая турбулентность приводит к эффективному
турбулентному нагреву плазмы.
3.	Турбулентность, диссипируемая из-за ускорения быстрых
частиц плазмы. Как правило, низкочастотные пульсации либо эф-
эффективно поглощаются электронами, либо эффективно взаимодей-
взаимодействуют с пульсациями, поглощаемыми электронами. Поэтому для
ускорения наиболее эффективны высокочастотные пульсации. Мож-
Можно полагать, что тип турбулентности, диссипируемой из-за уско-
ускорения частиц, наиболее вероятен для высокочастотных пуль-
пульсаций.
4.	Пульсации, диссипируемые из-за аномального излучения
электромагнитных волн турбулентной плазмы. С ростом магнитного
поля, как правило, возрастают процессы излучения, точно так же
как и с ростом числа быстрых частиц, ускоренных турбулентностью.
Поэтому в сильных магнитных полях ив условиях интенсивного
ускорения частиц может существовать турбулентность, диссипируе-
диссипируемая в излучение.
Ясно, что в смысле практических приложений создание турбу-
турбулентности второго типа желательно для турбулентного нагрева,
третьего — для ускорения частиц, а четвертого — для использова-
использования плазмы как генератора электромагнитного излучения. В реаль-
реальных условиях не всегда можно строго провести деления на указан-
указанные типы, т. е. все процессы диссипации в той или иной мере имеют
место. Однако указанное деление удобно и его следует понимать
180

в смысле наиболее важного доминирующего процесса диссипации
турбулентности данного типа.
§ 4.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ
ПЕРЕКАЧКИ ЭНЕРГИИ ЛЕНГМЮРОВСКИХ ПУЛЬСАЦИЙ
В ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
Наиболее существенными взаимодействиями ленгмюровских
пульсаций являются процессы индуцированного рассеяния плаз-
монов I на электронах е и ионах i плазмы и взаимодействие плаз-
монов I между собой, обязанное рассеянию плазмона на плазмоне.
Символически эти процессы записываются так:
l + i+±l' + i';	D.1)
l + e+=±l' + e'\	D.2)
l + llT±l' + l\.	D.3)
В неизотермической плазме (Те ^> Tt) возможен также процесс
возбуждения ионно-звуковых пульсаций
/^±/' + s.	D.4)
Рассмотрим здесь взаимодействие пульсаций в изотермической
плазме, когда процесс D.4) невозможен. Процессы D.1) и D.2) при
взаимодействии с тепловыми электронами и ионами трансформируют
энергию пульсаций в сторону меньших частот. Действительно, из
B.88) следует
D.5)
т. е. рост волн Nl происходит в случае cok<©kx. Из D.5) сле-
следует сохранение полного числа волн, а так как частота (энергия)
каждой волны слабо зависит от к
то приближенно сохраняется энергия. Таким образом, D.1) и D.2)
являются процессами, трансформирующими энергию турбулент-
турбулентности к малым k.
181

Приближенное выражение для вероятности рассеяния на элек-
электронах плазмы согласно B.90), B.97) и B.101) имеет вид
7ПУ (v \Z 1	' K»K1	\ «•	^1	ч	J"/	/4	'	.	/ Л Г>\
^pIk> Ki)	—i	Ti	i D.D)
o to
= k — k1#
Подставляя это выражение в D.5) при условиях, когда фазовые
скорости vp = (upe/k удовлетворяют неравенству
vp /ЗтЛ1/3
VTe	\me I
а член ег/г в D.7) много меньше kv/cok, получаем выражение для
нелинейного взаимодействия
,dkl (kkx)» [kkx]» /,2 ,24	,ддч
</2 ^2^ |kk|^	>• ^^
Из D.9) можно оценить характерное время спектральной пере-
перекачки энергии т на Ak ~ k
Так как в процессе перекачки возбуждаются волны со всевозмож-
всевозможными направлениями с тем же характерным временем, то перекачка
сопровождается быстрой изотропизацией колебаний. Особенно
быстро изотропизация происходит при рассеянии на ионах, которое
эффективно, если а)_ < | k_ | vTi (для электронов аналогичное
условие co__<<|k_| Vje всегда выполнено в силу Ур>^ге). Это
условие означает, что модуль вектора изменяется мало (со_ = О
при k = k^). Но направление распространения пульсаций может
измениться на угол порядка единицы. Величина Ak,kl для ионов
велика, так как отсутствует -компенсация: нелинейного и компто-
новского рассеяний (комптоновское рассеяние мало из-за большой
массы иона)
182

Нелинейное взаимодействие описывается формулой
I?-
D.12)
Следует выделить две области фазовых скоростей. Если vp ^>
^> 3vTe/vTi> то немалой является перекачка на Д& порядка fe
й экспоненту в D.12) можно опустить. В результате интегрирова-
интегрирования по углам для изотропных турбулентных пульсаций получим:
00	к
dW	Г	Г
-~ = Wi\Q(k, kJWidkt-Wi] Q(klt k)Wkldki, D.13)
dt	%	о
V^Te(klk)(kl+2k/5)
Q(k, *,) = -	—		о , •	¦ D.14)
Если же vp<^3yTe/VTi, то экспонента в D.12) разрешает процес-
процессы взаимодействия лишь между пульсациями, для которых
Ak vpvTlbk*
Для плавных спектров турбулентности, существенное изменение
спектральной плотности которых происходит на интервале волно-
волновых чисел, намного превосходящих Afe^, величина Д/г* играет роль
физически бесконечно малой величины. В этом приближении спект-
спектральная перекачка является дифференциальной. Конкретное выра-
выражение для нее легко получается из D.12), если воспользоваться соот-
соотношением
со2
2k2 -2
6'(eo_)-»-	A_~ з е ZK-"™.	D.15)
В результате имеем
D.16)
183

Оценка характерного времени спектральной перекачки D.16)
имеет вид
D17)
1 (vp\
30 \уТе/
п0Те
Сравнивая это выражение с D.10), легко находим, что рассеяние
на ионах доминирует над рассеянием на электронах при выполнении
неравенства
Поскольку vp/vTe >3-г2, то область применимости рассеяния
на электронах относительно узкая и имеет заметную ширину
15 Vre > vp > Vre лишь для плазмы с очень тяжелыми ионами.
Энергия колебаний весьма эффективно перекачивается в сторону
малых k. Все пульсации будут стремиться сосредоточиться вблизи
k = k0 -> 0. Однако фазовый объем пульсаций, пропорциональный
ko, будет также весьма малым и должно возникнуть интенсивное
столкновение пЛазмонов*. Это есть процесс D.3), который должен
привести к разбрасыванию плазмонов из области малых k. Нели-
Нелинейное уравнение, описывающее указанное взаимодействие плазмо-
плазмонов D.3), имеет вид
klf k2,
^^L^Ly^^ .	D.19)
Вероятность четырехплазмонного взаимодействия D.3) находится
изложенными выше методами из нелинейного тока третьего порядка
2, а также при учете процессов итерации взаимодействий более низ-
низкого порядка по полю [59, 80, 210] (см. графики рис. 2.8). Соглас-
Согласно [210] взаимодействие D.3) резко падает при vp<^3vTe/VTi,
где оно для плавных спектров не может превосходить нелинейное
рассеяние на ионах D.16). В области же vp^>3vTelvTi вероят-
вероятность процесса D.3) имеет вид
к к к- ч	Bjl6g4 Г
, klf к2, к3) = ———
8ml vta L
(кх k2) (kk3) + (kk2)(k1k3)-|2 x
D.20)
* Отметим здесь, что уменьшение фазового объема при рассеянии сопро-
сопровождается ростом энтропии из-за нагрева ионов, забирающих энергию ко-
колебаний.
184

Оценка характерного времени взаимодействия плазмонов в процессе
D.3) есть
^и^У-Й".	D.21)
Эффективность взаимодействия растет с ростом vpy что и не позво-
позволяет сконцентрироваться плазмонам при очень малых k.
§ 4.3. СПЕКТРЫ СТАЦИОНАРНОЙ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ
Будем считать, что турбулентность изотропна, а источник ее ге-
генерации сосредоточен в области больших k. Нужно сказать, что все
линейные и нелинейные механизмы генерации турбулентности соот-
соответствуют возбуждению пульсаций с vp<ic (пучки частиц и электро-
электромагнитные волны, например, не возбуждают пульсаций с vp > с).
Однако наиболее эффективное возбуждение имеет место при vp <^ с
(гл. 3). Источник возбуждения будем характеризовать мощностью
генерации турбулентности Q (энергией, генерируемой в I см3
в 1 сек). Так как энергия турбулентности в изотропной плазме пере-
перекачивается к малым k, то одним из важных механизмов диссипации
является поглощение плазмонов из-за парных соударений
(d^f) =-2veWk,	D.22)
\ dt Уст
где Wk есть спектральная плотность энергии турбулентности
Wh = ?ykNlk9	D.23)
ve — средняя частота соударений электронов в плазме
'-4;	<4-24)
V3
А = In 4л/20-^у—кулоновский логарифм.
Трансформация в поперечные колебания из продольных в одно-
однородной изотропной плазме происходит таким образом, что частоты
поперечных колебаний меньше частот продольных. Это видно не-
непосредственно из соотношений типа D.5) для такой трансформации.
Такие поперечные колебания имеют частоты, очень близкие к соре,
D.25)
185

Выход этих колебаний из плазмы весьма затруднен, так как по-
показатель преломления этих волн близок к нулю. Действительно,
из со! <ooi1 следует
4тт»	D-26)
где vp — фазовая скорость продольных ленгмюровских пульсаций.
Таким образом, целесообразно называть волны D.25) поперечными
плазмонами, подчеркивая близость их частоты к плазменной и то,
что около половины их энергии сосредоточено в движении плазмы,
так же как и для ленгмюровских плазмонов.
Эффекты взаимодействия продольных и поперечных плазмонов
специально обсуждаются в гл. 6. Здесь мы будем рассматривать
чисто ленгмюровскую турбулентность, не учитывая взаимодей-
взаимодействие продольных плазмонов с поперечными. В ограниченной или
неоднородной плазме взаимодействие с поперечными плазмонами
может приводить к радиационным потерям турбулентной энергии на
плазменной частоте.
Начнем рассмотрение с области больших фазовых скоростей
Vp^SvTelvn, когда существенны лишь процессы D.22), D.1) и
D.3). Считаем, что источник генерации турбулентности находится
вне области, т. е. при vp < 31^/077. Это охватывает большую
часть неустойчивостей достаточно горячей плазмы, включая также
неустойчивость релятивистских пучков, если
3^>С,	D.27)
т. е. для водородной изотермической плазмы Тг = Те > 15 эв.
Изложенные выше качественные соображения о природе взаимо-
взаимодействия турбулентных цульсаций позволяют предположить, что
энергия, входящая в область юъ ~ —-, перекачивается к весьма
* vTf
малым k на ионах, а затем разбрасывается процессом D.3), т. е.
спектр должен иметь характерный максимум при некотором k = k0
(рис. 4.1). Обозначим
ko = 2n/L	D.28)
и назовем L основным масштабом турбулентности. В данном случае
в отличие от жидкостей он определяется мощностью генерации турбу-
турбулентности Q, так как от этой величины зависит уровень энергии
турбулентных колебаний, а следовательно, и эффективность нели-
нелинейных взаимодействий. Рассмотрим вид асимптотического спектра
при k ^> Aj0. Уравнение, описывающее процессы D.1), D.3) и D.22),
186

и возбуждение пульсаций с инкрементом yk имеют вид
, /?]_, /?2> ^3/ ^
X {kWkl Wka Wkt + k\ Wk2 Wk Wk3 -
-kiwkwktwkz-klwkwklwk2),
const
D.29)
Рис. 4.1. Схематический вид спектра ленгмюровских
пульсаций турбулентной плазмы, ko = 2n/L — основ-
основной масштаб турбулентности, зависящий от величины
потока турбулентной энергии. Стрелкой отмечено
направление потока турбулентной энергии
3v
Te
где Q(k, k±) задается D.14), a R (k, klt k2, kd) из D.20) есть
X
\ D.30)
Здесь Wk =
fe
з
—элементы телесных углов век-
векторов k1? k2, k3. Выражение D.30) справедливо для изотропной
турбулентности. Интегрирование D.30) по углам элементарно,
187

но весьма громоздко [211]. При ??1<&2&3 и k>kx получим
р
L b(k + k\k\kl)
ks)\	2
15 {k*-
315
D.31)
Если k<iklf но kk1<^k2k3y то следует в D.31) сделать замену
k^=±kv Если kkx>k2k3 и k2>k3, to k^k2, ks+±kl9 и если
kkx>k2k3, k2<Zk3, то &z±&3, k2+±kv Для нахождения асим-
асимптотического спектра форма спектра при k ~ k0 не очень сущест-
существенна и можно считать, что спектр имеет вид
°;	D.32)
О»
или, вводя ^i==(k1/k)^ и т] = (k2/kJ для kk±<ik2k3, ! = (&3/^J>
т] = (^2/^J для kk1>k2kZ9 получим следующее уравнение, опи-
описывающее процесс D.3):
2	9
2 conp(v- ) fcV_ . Л - - '=0; D'.33)
Л) ° (I» Tl)j	D.34)
!|М(|, т))о(|, т]);	D.35)
1	ос
G3 = 2 ^ d? ^ dr]iV (|, T))w(|, т]).	D.36)
Здесь
lo==(ko/kJ;	D.37)
v , , v , .	v . .
Л I (l + i-n):
188

и (?, т,) = '-™т-ч-"	=5	ИЗ	,	D.39)
—+2 —+2	J5L+2
а коэффициенты L, М и N есть
fc5/2 ^ 1	3 g) ) 6 BЛ —S—1) х
(-5' ^~ 5 A-ЕK S I	7 Sj+ 15 A-
еЗ/2
Х(—5 + 241 — 43?2) + -|Ig-F22?3+825?2+672?+ 105); D.40)
+ — F22 + 825I + 672?2+105?3);	D.41)
ol5
9 t „ч4?5/2/	о \	?3/2
f ( г	П
t3/2
X (— 5r]2 + 24gri — 43g2) + ijg- F22g3 + 825?2r)+672|r]2+105r]3).
D.42)
В асимптотической области g0 <^ 1. Из D.34) и D.38) следует,
что основной вклад в G1 вносят: а) область малых ? и малых ц,
когда ? порядка ^ и порядка ?0; б) область малых ?, но т], близких
к единице, когда | порядка 1 — т) и порядка 10. Основной вклад
в G3 вносит лишь вторая область. Величина G2 не содержит боль-
больших множителей типа 1/1 о и является пренебрежимо малой.
В области ?, г] <^ 1 из D.40) получим
^)	D.43)
о (?, л) = V\ ' 	.	D.44)
g
Вклад этой области в Gx составит при v > —
6G1=	16Dv~3)	.	D.45)
189

Вклад области ? <^ 1,1 — т) <^ 1 в Gx совпадает с D.45),
в чем можно убедиться, изменив порядок, интегрирования и сделав
замену 1 + ? — т] = т]\ Итак, Gx = 28G1. Для G3 удобно перей-
перейти к интегрированию по т)' = ? + г] — 1. Для г] — 1 ~ ?0,
т) << 1 имеет место иA, т)') ~ — v (?, г]'), N (ё, Л') — Ц?» *]')•
Это позволяет легко вычислить G3. Получим, что в этом приближе-
приближении G3 и Gx точно компенсируют друг друга. Можно учесть следую-
следующие члены разложения по I и т). Они должны дать Gx ~ 1/?о~5/2,
если v>5/2, и то же самое G3 ~ 1/?о~5/2 (компенсация в этом
приближении отсутствует). Наряду с областью малых т] следует
рассмотреть также область конечных и произвольных т), но малых ?.
Так как L и М пропорциональны ?3/2, a v и а пропорциональны
то результат будет Gx+. G3^^0 I2 2/.Сравнивая эту
зависимость с S^~(v~5/2), убеждаемся в том, что при v>4 преоб-
ладают члены g0 (v~5/2), а при v<4 преобладают g0
Рассмотрим вначале v > 4. Используя более точные разложе-
разложения L, М и u, v, получаем
D'46)
Выражение D.46) не имеет нулей при v > 4, т. е. решения не-
нелинейных уравнений отсутствуют. Это утверждение верно для до-
достаточно сильной турбулентности, когда эффекты столкновений и
спектральной перекачки на ионах являются лишь малыми поправ-
поправками к взаимодействию D.3). Рассмотрим теперь v < 4. Преобра-
Преобразуем G1? изменив порядок интегрирования по | и т] и введя новую
переменную rj' = ' —1. В переменной г]' интегрирование проис-
происходит в симметричных пределах, а подынтегральная функция четна
по т)'. Записывая получающийся интеграл в виде удвоенного ин-
интеграла от 0 до т]макс и возвращаясь к старым переменным, полу-
получаем
*)М?, г]).	D.47)
Этот интеграл имеет особенность лишь при малых ?. Особен-
Особенность при малых г] в D.47) компенсируется такой же в G3, т. е.
полный интеграл Gx + G3 не имеет особенности при малых т). Это
позволяет использовать разложения L и М при малых ?, но произ-
произвольных Г)
L(g, T]) = — т)A— r])g3/2.	D.48)
190

Отсюда
1	1/2
Gx= 4- -^7- *^Ц?	^7^	'-¦ D-49)
3 1 Z+i I	jv
		v i 1
^—	. J	"о" "Г l
Аналогичным образом
i
G *
3
Воспользовавшись значением интеграла
г,2 (l±nJ
f	)	D.51)
где F — гипергеометрическая функция, а также его асимптотичес-
асимптотическим разложением
А	;2+' ¦	D.52)
получим
3v(v-l)g0
2
Y' -f+1' TJJ- D'53)
Таким образом, искомое уравнение для спектра имеет вид
W-J-+1, -±, —^-+1, -)=Г0)	D.54)
\2	2	22/
где
D.55)
191

На рис. 4.2 изображены правая (кривая 2) и левая (кривая 1)
части уравнения D.54) как функции v. Пересечение этих кривых
дает
v = 2,84.	D.56)
Такой спектр в асимптотической области имеет место при условии,
если можно пренебречь столкновениями и перекачкой на ионах.
Их учет приводит к тому, что в D.54) величину Го нужно заменить
г0	Г = Г0—6Г<з— 61\, D.57)
где
/и
0
¦10
-20
-30
V
\
_ ч
-
-
2
\
\
\
6IW
kQvTe Х2
v -+•
™pe^(v-lJ2 g0*
D.58)
описывает эффекты поглощения из-за
столкновений, а
бГC =	^	х
<v+*>
W\Tn2 2 (v— 1)
-JLIL) —тъят- D-59)
Рис. 4.2. Численное решение	спектральной перекачки на ионах,
уравнения D.54), определи-	В силу резкой зависимости кривой 1
ющего показатель v в спектре	от v спектр остается приближенно сте-
турбулентности:	пенным, однако величина спектрально-
/4^4^в/-прТв7я\асУтРьВуравЯ го инДекса v» характеризующего спектр
нения D.54).	турбулентности, возрастает вплоть до
v = 4.
Уравнение D.29) строго решалось в работе [212] при использо-
использовании метода введения непрерывного параметра. В качестве на-
начального вида спектра использовался спектр, найденный прибли-
приближенными аналитическими методами, а именно в области k ^> k0
степенной спектр с v = 3, а при k <! k0 Wh = const (klk0J x
X exp (— k2/kl). Эти два решения сшивались при k ~ k0.
Начальное решение оказалось очень близким к конечному, а схо-
сходимость процедуры очень быстрой. Результат расчета для значений
параметров
—^——Ю-6; шре = 5,6.103 сек-1; ve = 2,4.10-6 сек~и D.60)
е = 1 i, no-^\\j-z\ U7e^4,o«107 см/сек; У7/ = 1»Ы0ь см/сек
192

приведен на рис. 4.3. В области k > k0, которая, строго говоря,
не достигала асимптотических значений k ~ 7k0, методом наи-
наименьших квадратов получено, что лучшей аппроксимацией точного
спектра является v = 3,9. Нужно отметить также, что при значе-
значениях параметров D.60) вклады 6FV и 6Г$ сравнимы с Го и следует
ожидать по формулам D.57), D.54) значение v = 3,7.
Таким образом, численный расчет подтверждает правильность
аналитической теории спектра. Кроме того, он доказывает устой-
устойчивость стационарного спектра в малом, т. е. в рамках техотклоне-
Рис. 4.3. Результаты численного расчета спектра
турбулентности на вычислительных машинах.
ний от истинного распределения, которые соответствуют различию
между начальным аппроксимационным спектром и конечным, полу-
полученным в результате численного эксперимента. Наконец, численные
расчеты позволяют определить вид спектра в области основного мас-
масштаба турбулентности. Для использованных параметров D.60) он
хорошо аппроксимируется следующей формулой:
0<k<
D.61)
Перейдем теперь к анализу спектров турбулентности в области
[213]. В достаточно горячей плазме это может быть
vTi
область вне источников генерации турбулентности. Однако и в хо-
холодной плазме (Те < 15 эв) источники турбулентности могут нахо-
находиться при фазовых скоростях, существенно меньших интересую-
интересующих. Характерным для vp <^J 3vTe/vn является пренебрежимо
193

малый вклад процесса D.3) * и существенно дифференциальный ха-
характер трансформации энергии на ионах D.16). Пусть . vp ^>
5^> vje (Зт^/т^I/5, когда рассеяние на электронах пренебрежимо
мало. Тогда
dt ~~~~ Ve h	h~dk~~	^
и в пренебрежении ve, W7fe = const = ^. Если обозначить k# ха-
характерное значение k, при котором этот спектр должен быть
Рис. 4.4. Изменение ленгмюровского спектра турбулен-
турбулентности при увеличении поглощения ve турбулентных
пульсаций в условиях неизменного значения потока
турбулентной энергии по спектру.
w/
СШИТ С Wk =
и,
= — О..2 иТР
ovTe
то значение const в спектре при &>&* есть А =
Если учесть поглощение пульсаций, то
; В = const,
	(
D.63)
—— ) Wo.
^ 7
a
D.64)
Этот инкремент превосходит D.17) или D.10), только если vp близко к
vTe (mi/meI^y а энеРгия турбулентности W удовлетворяет неравенствам
* Оценка инкремента D.3) в этом случае имеет вид [214,80]
Таким образом, получаемая область столь узка, что спектры работы [214], в
которой учитывался лишь процесс D.3), здесь не рассматриваются.
194

т. е. спектр спадает в сторону меньших к. При сшивке с решением
при &«<&* надо учесть, что столкновения увеличивают v. Таким
образом, с ростом v увеличивается провал в спектре турбулентности
(ср. кривые 1—3 на рис. 4.4). При достаточно большом поглощении
в условиях, когда область генерации соответствует k <^J k%,
этот провал может дойти до нуля, т. е. исчезнет максимум в спектре
и энергия турбулентности не сможет просочиться через область по-
поглощения (кривая 4 на рис. 4.4)
Критерий исчезновения максимума зависит от мощности генера-
генерации турбулентности Q. Для нахождения такого критерия рассмотрим
область генерации турбулентности при Vp>vTQ(($tniltneylb. Пред-
Предположим, что инкремент в области
kg<k<kg — Akg	D.65)
постоянен и равен yg. Надо иметь в виду, что yg есть некий эффек-
эффективный инкремент, характеризующий скорость нарастания всех
пульсаций с заданным k в интервале Ak независимо от их направле-
направления. Возможность введения такого эффективного инкремента свя-
связана с быстрой изотропизацией пульсаций из-за рассеяния на ионах
[59]. Как следует из D.12) и D.13), характерное время т изотропи-
зации имеет порядок
1	w
т - ре п0Те '
W — энергия, заключенная в данном интервале Ak = hkg.
Считая уg > ve (существенно надкритический режим возбуж-
возбуждения), получаем в области возбуждения
А из сшивки с D.64) получим
и мощность генерации в виде
т.е. В А	— — 1/ 	. Итак, вместо D.64) можно написать
а |/ а
5-.	D.67)
(	)
195

Условие исчезновения максимума в спектре при kg > k* соот-
соответствует из D.67)
a b *	а § \ а
ИЛИ
22	2v^27m(l+-^-J v\e
v\
поте.
D<68)
По-другому это условие можно записать как условие на инкремент
ШГ-	D'69)
Сделаем теперь оценку основного масштаба турбулентности или
параметра k0, характеризующего значение максимума спектра
в условиях, когда неравенства D.68), D.69) не выполнены с боль-
большим запасом. Тогда можно пренебречь поглощением в D.64) и,
следовательно, А = В или
ЗД"^ wo(v-\) / koy
)
Будем считать, что основная энергия турбулентности заключена
при k<k%. Положим, простоты ради, что при k<C.kQ спектр ап-
аппроксимируется — (—] W0(v—1). Тогда полная энергия тур-
булентности имеет оценку
W =^Whdk = 2^-W0.	D.71)
С другой стороны, по уравнению баланса
Q = 2veW = 2ve ^^ Wo.	D.72)
1 + s
Исключая Wo из D.72) и D.70), получаем
*•-*.((ГгНЬг) (Ъ)	<4-73>
где
Q*=-^?-JL.	D.74)
Ч*	2а	V У
196

При такой оценке численному фактору перед k^ в D.73) прида-
придавать значение нельзя и поэтому
""-	D-75)
Заметим, что Q^ в (kJkgY раз меньше значения Qg [см. D.68)],
для которого пропадает максимум в спектре. Для справедливости
D.75) необходимо k0 <§: k%. Следует также обратить внимание на
весьма медленную зависимость k0 от Q.
Перейдем теперь к рассмотрению области самых больших k,
а имёйно vp <^ i^* C m^/mj1/5, в которой основным процессом
трансформации энергии вдоль спектра является индуцированное
рассеяние на электронах плазмы. Эта область узка, так как vp >
> B -f- 3)u7-e. Однако, если источник турбулентности возбуждает
колебания с фазовыми скоростями, очень близкими к vje, и масса
ионов плазмы велика, ее необходимо учитывать. Интегрируя D.9)
по углам, получаем для изотропной турбулентности
Stt/7	11	1 / n	„9\/1*9.4„9\1	Г\	IЛ 7С\
где
a* = 6Vle r  .	D.77)
При многократном последовательном дифференцировании и
умножении на l/k уравнение D.76) можно свести к дифферен-
дифференциальному
. 21 d*Wk , 46 dWk
Три линейно независимых решения уравнения D.78) представ-
представляют собой^степенные функции Wk = ——, где v—один из кор-
к
ней уравнения
2v3*- 15v2 + 29v— 10 = 0,	D.79)
т. е.
г-	С i 1 Г Л II
D.80)
197

Легко видеть, что лишь vx удовлетворяет условию локальности пе-
передачи энергии вдоль спектра, т. е. независимости спектра от ис-
источников и затухания турбулентности. Это условие есть 2 < v < 3.
Если v лежит вне указанного интервала, то формально оно не яв-
является решением интегрального уравнения D.76), так как либо пер-
первый, либо второй интеграл расходятся. В случае же 2<v<3
основной вклад как в первый, так и во второй интеграл D.76)
вносят лишь klt близкие к k (условие локальности передачи взаимо-
взаимодействия). Уравнение D.76) имеет ограниченную применимость,
и значения k ограничены сверху необходимостью учета поглощения
Ландау, а снизу вкладом ионов в перекачку. Поэтому решение v2, з
фактически требует использования других уравнений.
Таким образом, единственно приемлемым решением, удовлетво-
удовлетворяющим предположению о том, что только рассеяние на электро-
электронах определяет спектр, является
$	D.81)
§ 4.4. СПЕКТРЫ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ,
ВОЗБУЖДАЕМЫХ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ
В ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ
Как отмечалось в § 2.5, корреляция ленгмюровских пульсаций
может привести к возникновению низкочастотных пульсаций на час-
частотах, равных разности частот ленгмюровских пульсаций и не имею-
имеющих однозначной связи частоты и волнового числа. При взаимодей-
взаимодействии с частицами плазмы эти корреляционные хвосты играют роль
части индуцированного рассеяния. Однако эти пульсации могут
быть непосредственно детектированы экспериментально и ряд экспе-
экспериментов по пучковым взаимодействиям указывает на то, что мак-
максимум частоты в спектре низкочастотных пульсаций совпадает
с разностью частот высокочастотных пульсаций. Приближенное
выражение для нелинейного тока Sk, ku k2 при ((о± + со2) <^ cot
(со2 имеет знак, противоположный 0Х) имеет вид
MM-1>- <4-82>
И, следовательно, согласно B.124)
8jx	8я
(ki k2J
1 2 4 k\ k\ ®2pe nQ me
X WLX Wl2 8 (со — ©ix + coi2) б (к — kx + k2).	D.83)
198

Для изотропной турбулентности, интегрируя это выражение
по углам, получаем
8я	512ят пл(о?
еп0(йре
X
X
— co^ + coij. D.84)
Здесь Ik, а характеризует распределение электрических полей
ОО
низкочастотных пульсаций, a ^/ = j Wlkdk=}dkWlk. Пусть со>0.
о
Тогда из б-функций D.84) следует, что
2	2 2(D(Dpg
—о
3v2Te
Это значение k2 попадает в интервал интегрирования, если
/г (О(о
ре
Итак,
•Wi
192ясо -реЩТе
Л?
"ре
V
D.85)
х
X
k2 ЮЮпе \2
«*.
^1 — —г~
3vTe
Рассмотрим k > /г# и со С fef rg . Тогда -г— <С 1.
8я
96я
D.86)
199

Здесь использовано D.67) Wh = Y%Q/a • Из D.87) имеем
-^- = JL. m'VTeQ	D.88)
или для Wk, о — 4яй2/^/8я (Ik=Ikt ш, W^)@ =U7|k|>@)
to|e.	D.89)
Полная энергия электрического поля флуктуации получится из
D.89) по формуле
\	D.90)
В рассматриваемой области частот спектр пульсаций белый,
т. е. не зависит от частоты. Рост энергии с ростом k не беспре-
беспредельный, а имеет место лишь при —С ke, где ke— волновое
1	О	о	о
число ленгмюровских пульсаций, соответствующее области гене-
генерации турбулентности. Из D.87) видно, что Wk, ш = 0 при k>2kg.
т	*	уу Зк* VTe
1ОЧНО так же спектр по со является белым лишь при со <	.
2@
3fc2 vl, „
Максимум энергии пульсаций достигается при со~	. По-
2о)рв
Zk2 vl,
лагая @ =	- + Ав>, где АюСсо, получаем
2со
dkx X
Из D.91) следует, что резкое возрастание энергии Ik/8n
возможно из-за того, что W1		 приблизится к мак-
1/ k2{-k2 (l-j-Aco/co)
симуму в спектре &~&0. Минимальное значение k\ — k2 ( 1 Н
200

. Таким образом, возрастание имеет место
в D.91) есть k2 ^
в частотном интервале ——я^—-. Полагая Дсо^О, получаемэнер-
00	k
гию пульсаций в максимуме
/г/0/а
8зт
D.92)
Учитывая, что основной вклад в интеграл D.92) вносят k2< k,
и считая, что основная энергия ленгмюровской турбулентности
сосредоточена при k с^. k0; Wk=W0	 ( —- , получаем оценку
Wk,<* согласно D.72), D.74) и D.75):°
Q
W
k, @ ;
2n<s>2pek
<4-93>
Здесь
опущена как величина порядка единицы.
W
Значение D.93) больше D.89) в (—^1 —j- раз. Интеграл
по частотному интервалу Асо имеет оценку
k ~ 2 Х
X
kk0vTe
соп
%T~Vi-
D.94)
В то же время }Wk,ad(u вне Дсо, оцененный по D.89), равен
24Я (O
pe
^•-V^r D-95)
и быстро растет с ростом k. Максимальное k есть ku, т. е. от-
/ Ь \ 3
ношение полных энергий D.95) к D.94) имеет порядок [-?-) X
[ fc \v-3
X [~г- I ; и при v = 3 всегда велико (kg > fe#). Для частот, много
201

больших 3k2 VTe/2®pe> спектр пульсаций быстро падает:
8\Qml
JTe
т.
§ 4.5. СПЕКТРЫ ЛЕНГМЮРОВСКИХ ПУЛЬСАЦИЙ
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ
В неизотермической плазме (Те > Tt) разрешен процес распа-
распадов ленгмюровских волн на ионно-звуковые пульсации [59]
1Пе	6vTe
Это соответствует в изотермической плазме области, в которой имеет
место дифференциальная перекачка на ионах или перекачка на
электронах. Распадное взаимодействие является резонансным, по-
поэтому эффекты рассеяния рассматривать не следует. Вероятность
распада при ks <^ a)pe/vrc имеет вид [69]
\xJ I I tvi, l\n. tV J 		су о	/>
X
x — k2 —k) б (cok, — o)L2 — «к ).
Уравнение для ионно-звуковых (s) волн приобретает вид
/'s(ki, k2, k) ^^(<<	<<
Здесь написано стационарное уравнение баланса, когда приток
энергии ионно-звуковых плазмонов идет из-за нелинейных взаимо-
взаимодействий с ленгмюровскими, а убыль энергии происходит из-за
поглощения ионно-звуковых пульсаций электронами плазмы,
Yk —декремент затухания ионно-звуковых пульсаций.
Будем считать, что непосредственное возбуждение ионно-звуко-
ионно-звуковых пульсаций не происходит или им можно пренебречь, а источ-
источником ионно-звуковой турбулентности является лишь конверсия
энергии из ленгмюровских пульсаций (источник турбулентности
имеется лишь для /-волн). Будем считать как ленгмюровскую,
так и ионно-звуковую турбулентность изотропной. Уравнение
D.94) можно записать в виде
—(Vk + YkO Nsk = \wlis(къ к2, к) -—-^-d^d^ = —^——- , D.97)
202

где v^—нелинейный декремент
В условиях изотропной ленгмюровской турбулентности ук < 0.
Ясно поэтому, что для проявления непосредственного возбуждения
турбулентности внешним источником необходимо, чтобы линейный
инкремент превосходил нелинейный декремент— ук или ук > ук.
Таким образом, непосредственное возбуждение низкочастотных ко-
колебаний может быть сильно подавлено высокочастотными колеба-
колебаниями. Этот эффект имеет значительно более общее значение, на-
например, для подавления дрейфовых колебаний, которые препят-
препятствуют удержанию плазмы. Известно, например, что при развитии
пучковой неустойчивости или неустойчивости ВЧ-полей инкре-
инкременты нарастания высокочастотных пульсаций могут быть на много
порядков больше, чем низкочастотных. Утверждение о стабилиза-
стабилизации нужно понимать лишь в том смысле, что характерные линейные
инкременты низкочастотных пульсаций не влияют на их спектры.
Возбуждение же низкочастотных пульсадий имеет все же место и
связано с их генерацией высокочастотными. Источник такой гене-
генерации описывается правой частью D.97). Правая часть D.97) сходна
с источником возбуждения, рассмотренным в предыдущем параграфе
в отсутствие распадного резонанса *.
Несмотря на то что в рассматриваемом резонансном случае, соот-
соответствующем распаду, уровень низкочастотных пульсаций намного
выше, чем в отсутствие резонанса, однако в силу большого линей-
линейного поглощения ионно-звуковых пульсаций (yl ~ co| У те1т^)>
а также нелинейного, величина Ni может быть много меньше Nlk.
В этом случае в общем уравнении распадного взаимодействия для
/-волн
)p(k2, klf к) {NlklNlk2-NskNlkl + NskNlki)^. D.99)
можно пренебречь членами, содержащими Nk, и записать уравне-
уравнение баланса в виде
2veWlkl = B7i;J [w\s (k2, klf k)-w\s (klf k2, k)] X
x№?2^^.^.	D.99a)
* В § 4.4 в силу Re elk > 1 мнимой частью еиу^ можно пренебречь. Это вид-
видно из того, что для слабой турбулентности у^ <С со< coRee^. В условиях
резонанса Re elk = 0 и учет у^ необходим .
203

В дальнейшем будет найдено, когда выполняется неравенство
Nsk « Nl
Интегрируя по к и Q2, получаем уравнение для определения
спектра ленгмюровской турбулентности
Ikt+2kS
J ^ k\
,-2k°
, D.100)
где kl = союе 1 / -^-/3vre, k2>2ks — k-y. Рассмотрим предельный
случай k± > k\. Раскладывая по ksjkl9 получаем
D.101)
D.102)
Л dk
где
I
Так как Te»Tit то a' в {Te/Ttf раз больше a.
В интервале от k\ до k^ = ^^ 1 / — во взаимодействии участ-
вуют пульсации с &2>&*- Они нерезонансны и, следовательно,
взаимодействуют из-за индуцированного рассеяния на ионах. Если
пренебречь столкновениями, то
Согласно D.101) при k<kl Wk= const = 1/ —, если ve мало.
Этот уровень турбулентности в два раза меньше, чем в изотер-
изотермической плазме при той же мощности генерации. В области же
k#<.k€kl этот уровень поднимается. Сделаем грубую оценку
204

/9О	^ 9О Т •
-^ = l/ —±-. —1—. Получим со-
согласно D.103)
sJ JtG)n. /20	Т f 20
D.104)
При меньших ^ существенны четырехплазмонные взаимодействия*.
Схематически вид турбулентного спектра в сильно неизотермиче-
неизотермической плазме приведен на рис. 4.5 (кривая 1), где для сравнения (кри-
щ
W,
2
Рис. 4.5. Схематическое изображение спектр в турбу-
турбулентности изотермической и неизотермической плазмы
при одинаковых потоках турбулентной энергии:
/—-Te>Ti\ 2 — Те = Т^Лля кривых / и 2 величины Tg, n0, Q...
совпадают, Г- разные.
вая 2) приведен спектр турбулентности изотермической плазмы
при той же мощности генерации. Основной масштаб турбулентности
в неизотермической плазме меньше по сравнению с изотермической
1
s \2(v-l)
D.105)
* Вообще говоря, четырехплазмонные взаимодействия падают при
Те > Tt, однако это сказывается лишь на уровне энергии, начиная с которой
они существенны. Кроме того, такие взаимодействия могут заходить и в
область k* < k < kl.
205

Обратимся теперь к выражению для нелинейного декремента
D.98), получим
32 п0Те
С dk2Wk2
J . kl 2 '"
k%-k/2
¦2kks —
f,2\2
Если
oo
- I
s, то
k% + 2kk\
2J
dk9
¦^2)
k\-2kks
D.106)
2n0Te
J
A/2
D.107)
Считая Wb = const =
, имеем
D.108)
6 n0Tek у а'	7
Таким образом, у% растет с падением k и достигает максимума
при k — kl. При k < kl
*k ^ 8 /20Ге
Оценка максимума инкремента
/v, со 1 /	-
D.109)
D.110)
Поскольку зависимость от k в D.109) и линейном инкременте
одинакова, то доминирование D.110) над линейным инкрементом
в максимуме означает доминирование и при всех меньших k. Кри-
Критерий доминирования D.110) над у\ есть *
D.111)
* Число частиц Л^ в сфере дебаевского радиуса должно удовлетворять
порядковому неравенству ND < 1 21пЛ (rnjm^.
206

Нелинейный инкремент D.109) или D.110) может оказаться боль-
большим col. Это имеет место при
(^)\	D.112)
В этом случае вообще теряет смысл говорить об ионно-звуковых
колебаниях, т. е. турбулентность на высокой частоте коренным
образом меняет свойства плазмы на низкой частоте*. Подробно
теория этих эффектов излагается в гл. 8.
Интерес представляет также величина нелинейного декремента
для максимальных k порядка a)pe/vTe, когда максимум имеется
в линейном затухании и линейном возбуждении. Для таких k плот-
плотность энергии ленгмюровских пульсаций W{j2 не может быть боль-
большой ввиду большого затухания Ландау на электронах. Однако
при k ~ — • ^^; — ~— • ^- и поглощение Ландау мало. Кстати,
при Те ^> Тг области, где происходит трансформация энергии
/-плазмонов на электронах, не существует и спектр высокочастот-
высокочастотных пульсаций Wk = const практически продолжается до k по-
порядка (upeIvTe и минимальные k лимитируются источниками и по-
поглощением Ландау. Таким образом, полагая k ~ — • ^, получаем
а'
Условие доминирования над линейным поглощением имеет вид
D.114)
Рассмотрим теперь вопрос о мощности источника Qi возбуж-
возбуждения ионно-звуковой турбулентности ленгмюровской
Xb{kl—k\-2kk%).	D.115)
Более строго надо сравнивать не только у^ с cosk, но также нелиней-
207
ный сдвиг частоты сок (см. гл. 8).

Это выражение аналогично D.84), однако отличается от него тем,
что частота и волновое число низкочастотных пульсаций связаны
между собой соотношением со^ = k vs. Полная мощность генера-
генерации ионно-звуковых колебаний
Uk.	D.116)
Соотношение D.115) удобно записать в виде
Легко видеть, что как при &>&*, так и при k<tk\ в DЛ17)
существенны значения W[L и Wlr-^	F лишь при &х > &*. Ана~
логично предыдущему имеется узкая область около k = 2k\, ког-
когда в № V~2	j- вклад могут вносить k> близкие к основному
масштабу порядка k0. Поскольку исследование этой области
производится аналогично, должна существовать специфическая
концентрация энергии ионно-звуковых колебаний при k ^2&*.
В областях k > k\ и k < kl в D.117) можно вместо Wkl и
_2kks подставить значения 1/ -~ . Получим после интегри-
интегрирования по
D.118)
При k^kl
*	Pe
а при k > ^
4.	D.120)
Энергия ионно-звуковой турбулентности может быть найдена
из D.97)
.	D.121)
208

Если критерий D.111) не выполнен и доминирует линейное за-
затухание, то
W:
.= 11/1. -Я- б;
3 V л fe2
D.122)
6 =
; ft.
ft » ft,s-
D.123)
raw?
Рис. 4.6. Спектры ионно-звуковой турбулент-
турбулентности, возбуждаемой ленгмюровской турбулент-
турбулентностью. Кривая / соответствует Q С <2кр; Р —
Q » QkP-
Если же критерий D.111) выполнен, то
D.124)
как при &<&*, так и при ?> ^.
Характерный вид спектра при Q с QKp и Q »<?кр изображен
на рис. 4.6. При Q < QKP основная энергия заключена в области
k>k% играющей роль основного масштаба турбулентности ион-
но-звуковых пульсаций, причем Ws ^ Qruja)^ me <^Wl^Q/ve,
если ve/(x>pe<^fne/miy т. е. ND>—L In Л.
При Q > QKp оценка полной энергии ионно-звуковых колебаний
имеет вид
2кр
^2. D.125)
209

Можно теперь поставить вопрос о том, оправдано ли предполо-
предположение о Nk < Nlk. При сравнимых волновых числах ионно-зву-
ковых и ленгмюровских пульсаций отношение & = Nsk/Nlk для
Q^QKV при ?>&* имеет порядок &~ksjke. Для сравнимых ks и
ki k > kl невозможно, так как такое взаимодействие запрещено.
Для ks < &г воздействие s-волн на /-волны ослаблено в kl/k] раз
и согласно D.123) еэфф да eks/k* да kjk^ « 1. Точно так же мож-
можно проверить, что для Q « QKp
L.	D.126)
QkP
Следует, наконец, рассмотреть узкую область волновых чисел
ионно-звуковых пульсаций около k = 2k\ с шириной Ak ~ k0>
когда вклад может давать основной масштаб ленгмюровской турбу-
турбулентности. Имеем из D.106) по порядку величины
D.127)
D.128)
т. е. при yk >> yl и Q» QKp при k~ 2k\ имеется провал в спект-
спектре ионно-звуковых пульсаций, где интенсивность падает B(ko/ksJ2
раз.
§ 4.6. КОРРЕЛЯЦИИ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СДВИГИ ЧАСТОТ
ЛЕНГМЮРОВСКИХ ПУЛЬСАЦИЙ В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
Корреляции ленгмюровских пульсаций специфичны ввиду за-
запрета распадного взаимодействия трех ленгмюровских волн. По-
Поэтому следует остановиться на этом вопросе, учитывая эффекты
четырехплазмонных взаимодействий, играющих большую роль
в формировании спектра ленгмюровской турбулентности.
Учтем влияние процессов четырехплазмонного взаимодействия
на корреляционные эффекты. Опуская подробности расчетов, ана-
аналогичных § 2.5, отметим, что члены, пропорциональные Pk, должны
быть включены в нелинейную проницаемость е^, которая учитьг
вает, таким образом, и процессы четырехплазмонного взаимодей'
210

ствия. Результат расчетов имеет вид
OOjr2 Г* ^Эфф	I 2 т г т
h = —	\tfl\ 5'*'*' б {k-k.-k.-k,) dkx dk2 dks. D.129)
со *j	\ek-r &k \
В области, где четырехплазмонными взаимодействиями можно
пренебречь, уравнение для Ih сводится к
/ft(ei+>^) = 0.	D.130)
Это уравнение можно использовать при k > k^ ks*. Оно имеет вид
нелинейного дисперсионного уравнения
D.131)
D.132)
;
(со —сох) elk_ki
Отличие D.130) от обычных дисперсионных соотношений состоит
в том, что ни частота, ни волновой вектор по смыслу не могут быть
комплексными (со, k, входящие в действительную Ik, также дей-
действительны). Приравнивая действительные и мнимые части уравне-
уравнения D.131), получаем два уравнения:
/^-^^i;	D.133)
/ dk
CO
D.134)
Конкретное приближенное выражение для 2Й*4 легко вычис-
вычисляется, если считать, что (u^kvTe, Щк
8п уэфф ^ i(k —
Рассмотрим уравнение D.133), так как D.134) описывает энерге-
энергетический баланс, обсужденный выше. Выражение 2!?*i весьма
велико для малых со — соъ а /&, имеет максимум при сох = сок^
где имеет место Reei» (со — со[)—
дсо
/ » -
ю==Сйк	СО
Обозна-
ре
8*	211

чим далее со' = со — cozk
D.136)
Тогда уравнение D.20) запишется в виде
x1=cos(k,k1),
где
^,<o'=^,co-+(o'^2; Wl = [wlk,adkdo;>.	D.138)
Заметим, что левая часть D.137) не зависит от k, тогда как правая
является функцией k. Поэтому со' должно быть функцией k. Это
возможно, если Wk, ш' = Wk8((o' —со^), т. е. сокращение на Ih
в D.131) возможно лишь при со' = со^. Это означает сохранение
определенной зависимости частоты от k, но возникает нелинейный
сдвиг частоты. Аргументом в пользу именно такой ситуации являет-
является баланс мнимых частей, описываемый DЛ34), и, как следствие
этого, Yk + Tk = 0. Пусть Те = Ти пренебрегая в правой части
D.136) со' и соь получаем оценку со^
а 2п0Те
что много меньше соре и со^ не зависит от k. Это оправдывает пре-
пренебрежение со' —coi в D.137).
В изотермической плазме распады запрещены и корреляции
пульсаций связаны только с четырехплазмонным взаимодействием.
В области k :> k* эти процессы сильно подавлены компенсацией
двух типов четырехплазмонных взаимодействий, yN имеет оценку
[210]
"" ^-%-^9 ' D.140)
4 \ пТе I V k ! k* v2Te	^е me
k2 me
т. е. меньше разности частот ленгмюровских волн со„р —5—-
при выполнении следующего неравенства:
пТ^^ \пц) \~vT) \К ) \fejj =\"ч) ~v7
212

Рассмотрим теперь корреляции при k <^ k^. Пусть четырех-
ллазмонные процессы доминируют.
Для оценки у%, обязанного четырехплазмонному взаимодей-
взаимодействию, следует обратиться к уравнению D.33), оставив только ин-
индуцированные процессы, пропорциональные WL Это значит, что
необходимо произвести замену v и и в D.34) и D.35) величинами
и' и и':
V = ¦
1+2 1+2
п2 I2
1+2
2
а вместо D.33) следует записать
D.141)
N
W
k\ v2Te
D.142)
где G\y G2, G3 отличаются от Gv G2, G3 заменой v и и величи-
величинами v' и и'. Ввиду иной структуры последних лишь область
малых ?~?о и Ц ~ So Дает вклад в G[. Производя замену пе-
переменных в G3; ц'^^ + ц — 1, легко видеть, что существенны
лишь I ~Н0, г]' ~ 10 и G3 = 2Gi. Наконец,
„> , „' «„>	8(8v + 5)
Отсюда при Te =
W
где
? = ¦
я (у— 1J(8у + 5)
960v(v-l/2) (J
Оценим y^ для k ~ /г0.
0,06; v
0,025; v
= 4.
D.143)
D.144)
• D.145)
213

Используя D.75), получаем условие того, что у" не превос-
превосходит разности частот взаимодействующих волн порядка
ь2 2
R0VTg
плТе me
или если ko«k,; JL<^, fco = W^
nT rut	\ Q
TO
( ^
D.146)
^.	DЛ47)
Отсюда видно, что для наличия максимума при k ~ k0 и спект-
спектра того вида, который описан в § 4.3, необходимо
]nAH<ND.	D.148)
me
Впрочем, столкновения сказываются и в том, что все взаимодействия
существенно меняются, когда разность частот взаимодействующих
пульсаций "становится сравнимой с частотой столкновений
k2v2
(см. § 4.7). Тогда для основного масштаба ° Те > ve получим ус-
р
ЛОВИЯ
J^^VV)^	D.149)
что также требует выполнения D.148).
§ 4.7. ВЛИЯНИЕ ПАРНЫХ СОУДАРЕНИЙ ЧАСТИЦ
НА КОРРЕЛЯЦИИ И СПЕКТРЫ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Помимо учтенного выше тривиального влияния парных соуда-
соударений на спектры турбулентности плазмы, связанного с поглоще-
поглощением энергии пульсаций, парные соударения могут изменить ха-
характер взаимодействия пульсаций между собой. Это имеет место
в условиях, когда разность частот взаимодействующих волн может
быть меньше частоты парных соударений. Точнее, должно осуще-
осуществляться неравенство [215]
a = e,i.	D.150)
Здесь ve — полная частота соударений электронов и v^ — ионов
со всеми частицами плазмы (электронами, ионами, нейтралами).
.214

Следует отметить, что парные соударения, согласно современным
воззрениям [216], связаны с процессами флуктуации электромаг-
электромагнитных полей. Однако частоты соответствующих флуктуационных
полей много больше турбулентных частот и можно пользоваться
обычным интегралом соударений. Учет коллективных эффектов
{обмен плазмонами и спонтанное их излучение) дает в столкнове-
столкновениях малые поправки, лишь слегка изменяя значение кулоновского
логарифма. Можно при этом использовать интеграл соударений
б форме, полученной Л. Д. Ландау [217].
Задачей теории является вычисление нелинейных токов плазмы
с учетом парных соударений частиц. Если известны нелинейные
токи, то спектры турбулентности могут быть получены, например,
из D.131) или D.129). Значения нелинейных токов с помощью кине-
кинетических уравнений были рассчитаны в работе [215].
В целях большей наглядности и выявления физического смысла
результата удобно исходить из уравнений гидродинамики, полу-
полученных из кинетических уравнений с интегралом соударений Лан-
Ландау в работе [218]. Для обоснования этого заметим, что в D.132)
лишь одна из частот нелинейных токов 5 попадает в гидродинами-
.ческую область D.146), тогда как две другие находятся в области
редких соударений. Уравнения гидродинамики предполагают, что
все [частоты находятся в области частых соударений. Несмотря
на это, если отбросить все диссипативные члены, которые пренебре-
пренебрежимо малы в области высоких частот, из уравнений гидродинамики
могут быть получены спектры ленгмюровских пульсаций. Эффекты
теплового движения в нелинейных токах оказываются пренебре-
пренебрежимо малыми (так же, как и в бесстолкновительном случае). Что же
касается частоты пульсаций, то при расчете нелинейного тока она
произвольна, а конкретная зависимость со = со? (если пренебречь
корреляциями) получается лишь послетого, как/^в D.131) конкре-
конкретизируется с помощью B.51). В B.51) естественно фигурируют час-
частоты, правильно учитывающие тепловое движение. Строгое дока-
доказательство возможности использования гидродинамических взаимо-
взаимодействий состоит в совпадении расчетов с результатами кинетиче-
кинетического рассмотрения [215].
Уравнения гидродинамики, которые следует использовать для
вычисления нелинейных токов, имеют вид уравнений непрерыв-
непрерывности
и гидродинамических уравнений для электронов и ионов:
тепе
dt \ дг II '	дх} е е dxt
- епе [Ej + - [v<«> H],) + Rt;	D.152)
V	с
215

+ eni[Ej+ -[vWH]j)—Rj,	D.153)
V	с
где члены — пТ описывают вклад давления газа электронов
и ионов, а я/f и jtjj*—тензоры электронной и ионной вязкости
711 j = —(J,/О	wlj у ЗТ// — —и,Уо 	 Wij ,
д , з' 2Е a	V'	1 D-154)
R—сила трения между электронами и ионами
R== Ru ~г Rt '¦>
D.155)
Ru — сила относительного трения, зависящая лишь от относитель-
относительной скорости электронов и ионов u = v<e> — vW,
Rtt=—0,51nemeveu; co«ve;
Ru=—nemeven; co>ve.
D Л 56)
D.157)
Различие в численных коэффициентах для со ^> ve и со <^ ve
легко получить, если вычислить по теории возмущений силу трения
между электронами и ионами из кинетического уравнения. Коэф-
Коэффициент 0,51 получен в гидродинамическом пределе в работе [218],
RT —термосила
?Гв.	D.158)
Наконец, следует использовать уравнение баланса температу-
температуры электронов и ионов:
D.159)
D.160)
216

Здесь q = qu + qT — поток тепла;
qi,e)=0,71/ie7>; q<e) = _3,16-^L .±Te; D.161)
me ve dr
i^^	;	D.162)
Qi = 3^-neveG1e-rJ).	D.163)
Рассмотрим здесь лишь случай
©i-©2»3^-ve>	D.164)
т\
т, е. будем считать, что разность частот пульсаций хотя и меньше
частоты парных соударений, однако превосходит характерную час-
частоту 3-^ve, равную величине обратного времени выравнивания
температур между электронами и ионами. Рассмотрим потенциаль-
потенциальные пульсации (Н — 0). Разложим все величины по степеням элект-
электрического поля Е. В Sk-klt k, kx частоты k и kx высокие и для вели-
величин первого порядка по полю можно пренебречь всеми членами
правой части D.152), за исключением —еп Е> а в левой —нели-
—нелинейным членом и написать
i^^(I).	D.165)
vjt	EA?ft4
me ico	me ico/e	k
Соответственно из уравнения непрерывности получим
со
а из уравнения баланса энергии D.159)
DЛ66)
q дТ{1)	я	duA)
f Пе ~ir +neTej;^e) A) - - 0,71пеТв -^- ; D.167)
w(O»y(O(i); Ti4 = — 1J1		.	D.168)
3	со
Из выписанной выше системы уравнений легко составить соот-
соотношение, связывающее v^2) с v^1 •. Учтем, что частота и волновое
число в v?2) весьма малы и удовлетворяют D.150), Этим можно вос-
воспользоваться, чтобы сразу отбросить ряд членов в уравнении для
217

vi2), имеющих относительный порядок ——— или более высокий
порядок по —	-, где ю —высокая частота порядка соре>
со± —со2 = со, удовлетворяющая D.150). Рассмотрим сначала урав-
уравнение баланса энергии электронного газа D.159). При частотах
о
со >> -^- ve обменом энергии между электронами и ионами
можно пренебречь Qt <g: Qe, с другой стороны, и<<1> ж — v{e) A)
согласно D.165), и, следовательно,
Qe~ — (Rv<e>) = 0,51 nemeve(w^)f.	D.169)
Фурье-компонента Qe имеет вид
,. D.170)
Этот нелинейный член является основным в уравнениях для i42).
Для оценки остальных нелинейных членов надо иметь в виду,
что Qk пропорционально Е2/со^. Нелинейный член п{е1)Те —\(е)A)
дг
согласно D.166) ~(оA>Jсо^1 ^ Е2/(дъре, то же имеет место для
Пе.ъТ^ — v^X1) и у^)^1)— Т11}. Таким образом, в левой час-
ти D.159) остаются лишь члены, линейные по возмущениям
второго порядка. То же, как легко убедиться, верно для
л	k2 v2
члена —qe. Наконец, я(//)A) dv\e) {l)/dxj имеет порядок——Qe<?
дг	ve
< Qe в силу D.150), и этим членом можно пренебречь
-0,71ikul2)+ —^т-О..*.	D.171)
"о П0)
Аналогичным образом получаем для ионов
j«<«>.	D.172)
В уравнении движения электронов членом —/41)?11)~
218

можно пренебречь, а п$ положить равным
	'	w)j .	D.173)
Сравнивая это с первым членом в выражении для силы трения
R»-—no/72eveO,51uB) —0,71/20—%	D.174)
убеждаемся, что он имеет относительную малость ^2-ите^е и
должен быть отброшен. Окончательно уравнение для электронов с
учетом нелинейного члена v*1*— v<!> запишется в виде
дг
_i Г (kk2)(klk2) ^X'l^Oe^-^-fe,)^^. D.175)
Сравним нелинейный член D.175) с нелинейньш членом D.173).
Если по порядку величины приравнять силу трения в D.175)
нелинейному члену, то
и, приравнивая kv(ke)B) нелинейному члену Qe,k/nQTl0\ полу-
получаем
kv2Te
т. е. величину, в Ve/k2vre> 1 раз большую. Таким образом, в
уравнении D.175) нелинейным членом можно пренебречь
ie> <2> = -0,51veu?2> - 1,7Ukv2Te Tl>l/Ti0).
D.177)
Аналогично для ионов получим
-ico+1,28li
1
vt	со J	7(
= 0.	D.178)
8B*	219

Одним из важных следствий проведенного анализа является вывод
об изменении характера нелинейных взаимодействий в области,
когда разность частот или одна из частот взаимодействующих пульса-
пульсаций лежит в области частых соударений, т. е. удовлетворяет D.150).
Именно более важными становятся нелинейности, обязанные дис-
сипативному нагреву плазмы пульсациями, нежели обычные не-
нелинейности, возникающие из-за членов (v^-Jv в уравнениях дви-
движения частиц (см. работу [219]).
Система уравнений D.171), D.172), D.177) и D.178) легко ре-
решается и определяет ток
Д2)	eno(t;ir)B) — tii0 B)) =-55Л.Л1.Л,?Л1 ЯЛ, в (*_*! — *,)rf*xd*a-
D.179)
Заметим, что в силу D.166) член е \ п{^ v^J б (k — kx — k2) ~ ——
пренебрежимо мал. Обозначим SiW^ k2 компоненты нелинейного
тока, симметризованного по kx и к29 для которого k соответствует
низким частотам D.150), a kx и k2 —высоким частотам порядка час-
частот турбулентных пульсаций. Пусть S^ kt, k2 аналогичные ком-
компоненты, в которых одна из частот векторов kx и k2 является
низкой, а две остальные —высокими. Тогда
D.180)
Здесь
т2е ы2ре QQ^ kx k2
Q = -icD + 0,51ve+i-^4 1 — 2,96— ] ;
D.181)
Расчет S{k\Xtk% несколько проще расчета Sk]lltk2. Так как k
соответствует высокой частоте, то для v{k2) нужно использовать
уравнения гидродинамики, выбросив все диссипативные члены и
силы газового давления. Отсюда vie) B) пропорционально ?2Л°ре-
В
второй член содержит один из множителей низкой частоты и
поэтому имеет порядок Е2/(дре(х).
220

Итак, с необходимой точностью
D-182)
Далее легко понять, что в D.182) существен лишь случай, ког-
когil\	$ A)
il\
A)
да nil\ соответствует низкой частоте, a v$ A) — высокой. Это
следует из соотношения D.166), показывающего, что п{^ высо-
высокой частоты пропорционально 1/cojL- Воспользовавшись D.166),
можно записать
D.183)
Остается найти nil) для низких частот, что легко делается ли-
линеаризацией записанных гидродинамических уравнений. Удобно
записать результат для компонент нелинейного тока, поменяв
обозначения k^kx\
SB)
kl\k2,k =
k2)
D.184)
me
где
0,51ve + 1,22
mi
0,= — iCD+i	il 1—1,71^- ;
CO
)г= —ico+ i
q	ft4 Vt
2 =_?i(o + 3,9—-
2	v,-
Qe
D.185)
Из линеаризированной системы уравнений легко найти также ли-
линейную диэлектрическую проницаемость плазмы в области низких
частот
хсосо.
XCOCOi
D.186)
Для окончательного вывода нелинейных уравнений необходимо
найти компоненты нелинейного тока третьего порядка. Аргументы,
которые использовались при получении D.183), дают
'=i?l D
D.187)
221

где п^У2) — возмущение плотности низких частот, легко получа-
получаемое из системы D.170) —D.178). Окончательно имеем
~ (S*i. k2, kx ,-k2+2*i .a. ,-k, ,kt) =
= @, —0J.
D. loo)
Эти результаты можно использовать для анализа роли соударений
частиц при взаимодействии турбулентных пульсаций [216]. За-
Заметим в первую очередь, что в области низких частот, удовлетво-
удовлетворяющих
max (со, kvTa) « va,	D.189)
всегда существуют колебания звукового типа —это обычные аку-
акустические колебания (правда, для их существования необходимо,
чтобы длины волн были достаточно велики или частоты соударений
велики: k Vra <^i va). В этом существенное отличие области
частот, меньших частот парных соударений, от области кинетиче-
кинетической, когда звуковые колебания возможны лишь при Те ^> Tt.
В условиях D.189) слабо затухающие звуковые колебания возможны
при Те = Tt. Считать Те Ф Тг для таких колебаний имеет смысл,
если их частота много больше 3— ve —частоты, характеризующей
выравнивание температур электронов и ионов. В сделанных утверж-
утверждениях легко убедиться, решая дисперсионное уравнение г{ = 0,
где г[ есть D.186).
Получим при со? ve <C k2 vre (т. е. примерно со5 > ^- vei кроме
V	i
того, единицей пренебрежем)
{) D.190)
Затухание этих колебаний определяется
где y{ke) и 7^° —соответственно затухания на электронах и ионах:
1,92 + 0,64-г Л2 2
7(^_0,41^-v ;vi° =	Tl-.L?IL. D.191)
222

В области «4 ve > k2 Vj-e (низкочастотные акустические колеба-
колебания co|<-^-ve и, следовательно, Те = Т
D.192)
D.193)
В основном затухание этих колебаний происходит из-за элёкгрон-
ной теплопроводности.
При взаимодействии ленгмюровских пульсаций акустические
колебания играют важную роль, так как именно распады на
акустические колебания могут определять спектральную пере-
перекачку их энергии. Это имеет место лишь при k>k\ 11 -|— . -~)
° = ^]/~
для D.190) и при k>klj/lj для D.192) k°m = ^]/~
Только при этих условиях выполнены резонансные условия
распада, когда zlk-kt в D.132) проходит через нуль. Используя
т	1	CD — COi	с / /	\
для Im 	—	— яо (Ek-kJ> получаем с помощью конкрет-
4	i»»i
ных выражений для S1" k: S{k\ при ш^> ^-
wi.dk, Ч4-к1)(^-^^<М2 DЛ94)
|в,-в,1|3,16|к-к1|*»*.«0Т-Л2Л?
S у у tTlp
и при (Ok€-^ve
При выводе D.195) необходимо использовать более точные выраже-
выражения для SkWlt k% и SiVku k2, учитывающие выравнивание темпе-
температур, которые нетрудно найти с помощью описанной выше методики
из гидродинамических уравнений.
Следует в первую очередь сравнить результат D.194) с тем, ко-
который был получен в неизотермической плазме (Те :§> Tg) для
перекачки ленгмюровских волн при распаде на ионно-звуковые
D.99а). Если воспользоваться приближенным выражением для ди-
223

электрической проницаемости в области низких частот, следующим
из D.186),
А .Л
з те
D.196)
то нетрудно D.194) записать в виде
2veWL,b=0,
|k~kl|4e	k
X—|k""kl1^— [6(<o —©i+lk—ki|t;e) —6((D —©!—|k—kil^)].
D.197)
Для сравнения удобно D.99а) привести к виду
х lK~Ki'^ [б(со — шх +|к — kil^s) — 6@0 — 00!— |к —kj^)]. D.198)
Здесь as = 1 / —- vTe и совпадает cosb D.196) лишь при Те^>Тi%
Уравнение D.198) также несколько точнее D.99а), так как не
предполагает б-образными корреляции. Самое существенное раз-
различие D.197) и D.198) в появлении в D.197) большого фактора
0,54	е 2 2 . Интегрирование в D.197) происходит по области,
I * Ki | Vje
удовлетворяющей неравенствам D.150), тогда как в D.198) по обла-
области, удовлетворяющей противоположным неравенствам. Хотя первая
область меньше второй, фактор ve2/|k — kx|2 v\e может скомпенси-
скомпенсировать это различие, и поэтому столкновения частиц могут су-
существенно влиять на взаимодействие ленгмюровских пульсаций.
Здесь следует сразу выделить, по крайней мере, два обстоятельства.
Во-первых, звуковые пульсации имеют, как правило, довольно
большие длины волн и соответственно для проявления взаимодей-
взаимодействия D.197) необходимо, чтобы характерные размеры а объема,
который занимает плазма, или ее плотность были достаточно ве-
велики. Если для k ~ \1а условия оо, k vTa ^ va не выполняются,
то акустические колебания не существуют и взаимодействие D.197)
224

не имеет места. Во-вторых, парные столкновения сказываются на
квазистационарных спектрах, если характерные времена их суще-
существования много больше частоты парных соударений. Если источник
турбулизации плазмы действует в течение времени, меньшего l/ve,
то столкновения не могут существенно сказаться на спектрах. Фор-
Формально же это видно из того, что нестационарность пульсаций при-
приводит к зависимости W от двух со (или Wk (t, t')) и зависимость
от ft)"^ca дает «размазку», большую частот va, если турбулентность
нестационарна за времена, меньшие l/va. Наконец, корреляции
турбулентных пульсаций размазывают по частотам спектры пульса-
пульсаций и уменьшают относительное число волн, удовлетворяющих
D.150) даже в условиях полной стационарности турбулентности.
Выпишем взаимодействие D.195), использовав конкретное выра-
выражение ДЛЯ Ek-kl,
2v Wl i - 0 0^v Wl ,

	-g	;—2 2 1
-«>i) -| k~ki Г vs J
X [(со — щJ— 1,19 Ik—k^vh] -^^-dcoidk!. D.199)
Из сравнений с D.198) видно, что и в этом случае эффективность
взаимодействия возрастает в 	^	*Ъ 1 раз. Относительная
доля волн, разности частот которых удовлетворяют условию
| со — со^^З — ve, необходимому для справедливости D.199),
i
существенно меньше, чем число волн, удовлетворяющих D.150).
Ограничимся рассмотрением взаимодействия D.197). Составим
уравнение баланса, проинтегрировав D.198) по частоте,
<
X [6(co —^-f |k—kil^) —6((d —©!—|k—kil^)]. D.200)
Будем считать, что |k — ki\vs удовлетворяет условию D.150).
Интегрирование по со и сог в D.200) происходит в таком интер-
интервале, где со — сог может быть больше |к — кх | t^s. В этих условиях
можно использовать разложение б-функций
б (со —со! ± | к—кг | vs) ж б (со —сох) ± | к—кг \ vs 8' (со —сог). D.201)
225

Получаем
<4-202>
Дальнейший ход расчетов зависит от соотношения между
корреляционной шириной у% и частотой Ik — kJ^. Предполо-
Предположим, что в соответствии с выявленным выше характером зави-
зависимости корреляционных функций от частоты
N
Wl ь = — Wk	-	.	D.203)
я	2 + К)8
так что Jj Wa, kd(D = Wk. Воспользовавшись соотношением
уМ _, N
	^тг>	D-204)
лолучим
J^ll	D.205)
Интегрирование по кг в D.205) должно быть распространено
.лишь на те значения къ для которых |k~k1|ys<ve, v^ и
выполнено D.150).
Будем считать Те = 7V Тогда с/ —vTl и У--^]/ — ^е, т. е.
лри
|k—k1jt;e<vi.	D.206)
выполнены все условия D.150).
Если kvs > vt, to D.206) выполняется лишь при klt близких
к ky и при k = kly если угол к и кх удовлетворяет соотношению
•6<|/2 V!/Ajue = 0MaKC. Разница абсолютных значений волновых
чисел Ak = k — kx также не должна превосходить vt/vsy следова-
326

тельно, Дсо = со. —со. ж	-k-J-. Когда Асо много больше
 " (а по v с
корреляционной ширины у^, то правая часть D.205) имеет
оценку
9 д С Wb б (со,— со, \dk. о
Ще	D.207)
18 ^з V6 dk k т(П0Те
Сравнивая коэффициент в D.207) с коэффициентом а в D.62),
получаем, что столкновения будут определять взаимодействия
лишь при
1 •	D.208)
JTe
Это условие может быть выполнено лишь в весьма плотной плазме.
Условия плотной плазмы встречаются в экспериментах по лазерной
искре [190, 194] или в экспериментах, в которых плазма создается
при взаимодействии луча лазера с поверхностью твердых тел.
3vT
Заметим, что если Лео ~	kvp < y%, то взаимодействие
D.205) сильно ослабляется, примерно в (Асо/у^K раз. Пусть
bs«vf. Для &=&* это означает Ыо<щ1щ* и тогда в D.205)
можно провести интегрирование по углам. Если при этом
%	(
tope
то уравнение D.205) приобретает вид
72 k dk k n0Te
D.210)
Решение D.209) легко находится. В частности, если турбулентность
достаточно сильная и левую часть D.209) можно положить равной
нулю, то
'-й1 при *<V D-211)
Парные соударения могут быть особенно существенными для
больших фазовых скоростей, так как с ростом фазовых скоростей
улучшаются возможности выполнения условий D.150). Известно,
227

что с ростом мощности генерации Q максимум в спектре турбулент-
турбулентности сдвигается в область больших фазовых скоростей. Можно
думать, что с увеличением Q роль столкновений возрастает. Однако
при k > k^ взаимодействия могут быть резонансными и соответ-
соответствовать распаду на акустические колебания. Нерезонансный ха-
характер взаимодействия сказывается в том, что D.188) начинает
вносить вклад, сравнимый zS^— S^2\ и происходит существенное
уменьшение 2>э* [см. D.132) ] из-за компенсации двух членов
D>212)
Мнимая часть 2?***, играет роль аналога рассеяния на электро-
электронах и ионах. Однако если рассеяние связано с бесстолкновительным
затуханием Ландау виртуальной волны частоты о^ — со2, то взаимо-
взаимодействие, описываемое D.212), соответствует затуханию вирту-
виртуальной волны из-за парных соударений. Отметим, что во многих
случаях характерное время трансформации оказывается меньшим
V71 при —=- <С 1 и, тем самым, относительный вклад парных
соударений во взаимодействие невелик [215]. Наиболее существен-
существенным эффектом оказывается нелинейный сдвиг частот, описываемый
действительной частью D.212). Он существенно зависит от k. Дей-
| к — к|2 v2
ствительно, при | щ — со | < -L-i	!—— получим из D.212)
—г ¦ D-213)
к-к2| k й, «„7Ц1 + 2I4Ге ]
а при | сох—со | ^> | кг—к| Vrehe
/fir	k_k I ,,_. ^	D.214)
Из D.213) и D.214) следует, что сдвиг частоты увеличивается на
v:
2
большой параметр	> 1 при | сох — od
i— к
12 2
а затем падает с ростом разности частот. Поэтому при интенсив-
интенсивной турбулентности в области kvTe <^ ve, когда взаимодействую-
взаимодействующие волны при любых углах распространения и разности волно-
волновых чисел Д& порядка k находятся в области частых соударе-
соударений (| ©ij — coi | < ve), порядок величины разности частот взаимо-
228

действующих пульсаций есть
1,2 2
D.215)
Это намного больше бесстолкновительной разности частот Асо-
3k2 v2Te
2 v2
и всегда меньше ve в силу
k2 v
Те
1. Такая ситуация
имеет место, если в области максимума спектра
ПТ ~
D.216)
Увеличение разности частот взаимодействующих пульсаций
имеет важное значение во многих отношениях. Во-первых, эту
разность частот следует сравнивать с корреляционным уширением
[см. D.209) ] и увеличение Асо облегчает соответствующие условия.
В условиях, когда дисперсионные эффекты определяются нелиней-
нелинейным эффектом, изменяются и взаимодействия D.210), записанные для
/	24\
линейной дисперсии
/ .
I со^ =
\
со
ре
-}- 3
Во-вторых, увели-
чение разности частот скажется на оценке роли корреляционных
эффектов в четырехплазмонном взаимодействии (см. § 4.6). Однако
соударения меняют также интенсивность четырехплазмонных взаи-
взаимодействий, вероятность которых определяется вычисленным выше
2эфф [см# D.212) ]. Результирующее уравнение баланса, используя
выражение для 2Э*Ф, можно записать через вероятность четырех-
плазмонного взаимодействия в стандартном виде
2ve Nlk = J w\\ (k, kl9 k2, k8) (Nlkl Nlk2 NlK +
где
X
x б
DЯГ те
ZTl)
X
—k.-k,,)б
^={<-<„ kx-k2}
-< -©?). D-218)
D.219)
229

В области ?> V> 8^0«е1_ отличие вероятности D.228) от
бесстолкновительной состоит лишь в множителе
V*T.
1,71 ve^i
D.220)
который при со_ ^>
имеет вид
л,4
0,29
D.221)
Этот фактор весьма велик, так как
kv
D.222)
Те
и физически это означает сильное увеличение расталкивания плаз-
монов.
Предположим, что мощность генерации турбулентности доста-
достаточно велика, так что максимум в спектре по оценкам, соответствую-
соответствующим бесстолкновительному пределу, подходит или расположен
в области, где выполнены условия D.150). Пренебрежем здесь так
называемой эстафетной трансформацией энергии. Тогда, грубо
ГОВОрЯ, ПрИ k VTe ~ Vg, Т. е. ПрИ
JTe
D.223)
включаются эффекты столкновений. Фактически они могут быть
существенны значительно раньше, и эстафетная перекачка сглажи-
сглаживает переход. Когда vp меньше предела D.223), то четырехплазмон-
ное взаимодействие хотя и разбрасывает плазмоны по волновым
числам, но оно не в состоянии остановить систематический поток
энергии, обязанный рассеянию на ионах. Если vp переходит предел
D.223), то систематический поток резко уменьшается и становится
пренебрежимо малым по сравнению с тривиальным поглощением
пульсаций из-за парных соударений. Бесстолкновительный поток
может остановиться раньше предела D.223) при малой мощности
генерации. Если этого не произошло, то он должен остановиться
при vp, соответствующем D.223).
Можно сказать, что взаимодействие D.217) описывает дробление
масштабов турбулентных пульсаций *. Поток энергии, подходя
* Для бесстолкновительной области укрупнение масштабов сопровож-
сопровождалось ростом энтропии из-за бесстолкновительности нагрева ионов плазмы.
230

к значению масштабов, определяемых D.223), как бы наталкивается:
на эффективную стенку и останавливается. Эстафетные процессы
могут существенно уменьшить значение критических фазовых ско-
скоростей, при которых возникает такая ситуация [216].
§ 4.8. СПЕКТРЫ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В отличие от проведенного выше анализа здесь будем считать,,
что источник турбулентности возбуждает ионно-звуковые колеба-
колебания. Появление же других типов пульсаций представляет собой
эффект взаимодействия пульсаций между собой. Вначале рассмот-
рассмотрим случай, когда возбуждены лишь ионно-звуковые пульсации
(что имеет место в изотропной плазме).
Как показано в § 2.8, взаимодействие пульсаций определяется;
ионами, нелинейный ток 2 для которых имеет вид
klt k,—kx
k, klt—k, k
X
X
Bx1K
dp
Весь эффект в силу доказанного выше сводится к индуцированному
рассеянию ионно-звуковых колебаний на ионах плазмы и может быть-
найден через вероятность рассеяния. Величина 2Э*Ф, входящая в не-
нелинейное взаимодействие, отличается от D.224) тем, что вместо-
, , ,4 необходимо поставить
D.225>
L (со —kvJ со2
Первый член в квадратных скобках учитывает комптоновское
рассеяние, описываемое D.224), а второй —нелинейное рассеяние.
В пределе Те :>> Ти когда только и существуют ионно-звуковые
колебания,
.226).
Х((к-Ц^1^« <y«WW бЧсо-co,). D.5
\	dp J Bя)з	8ясо2л0т?^2^со?
Отсюда
Г1 8я Re ^эфф lk dk.
-^^ .	D.227)
dm
23t

Здесь Yk —линейное затухание Ландау ионно-звуковых волн
плюс инкремент неустойчивости, приводящей к возбуждению
ионно-звуковых колебаний. Если корреляциями ионно-звуковых
колебаний можно пренебречь, то
Iki = 2я(У {W^ б (©, -О + WLkl б (со, + О ) D.228)
и уравнение D.227) приобретает вид
7^ K-mU. D.229)
Для изотропной турбулентности легко получим
D.230)
Взаимодействие D.229) было найдено впервые в работе [220], а ана-
анализ спектров колебаний для слабоионизованной плазмы дан в ра-
работе [6].
Рассмотрим область, в которой имеются лишь затухания Ландау
и нелинейная перекачка колебаний, т. е. отсутствует генерация
(имеющая место при больших значениях волновых чисел). Тогда
из D.230) следует
W8k= l5_ .-I*- -xfn^.L пТАп—.	D.231)
4]/2я Ti V mi k	e ko	.
Значение k == k0 соответствует точке, в которой энергия турбулент-
турбулентности обращается в нуль. Величина k0 близка к максимуму в спект-
спектре, который достигается при k = koe, где е — основание натураль-
натуральных логарифмов (рис. 4.7). Общая энергия, заключенная в ионно-
звуковых колебаниях, составляет
WS	| " к —"	1U	л..о tvS	I р. 1 / Ш>е	/л 9^9^
nQTe J п0 Т
Величина kg определяется значением волновых чисел, для которых
генерация превосходит поглощение Ландау. Если область генера-
генерации очень узкая от kg до kg + Akg, то в этой области инкремент
можно приближенно заменить его средним значением yg. Предпо-
232

ложив, что yg J^> yI, легко получить в этой области
Wsk =	l ° e rgV g	i	L l / Ijl ,	D.233)
и мощность генерации турбулентности есть
Q-
Т. (An) kg
-^- D.234)
Wk=k =
W
7
0,5
0%5 1 ..7,5 Z 2,5 3 3,5к/к0
Рис. 4.7. Спектр ионно-звуковых колебаний,
возникающий как результат баланса нелиней-
нелинейной трансформации энергии по спектру и за-
затухания Ландау
D.235)
Это позволяет с помощью сшивки с D.231) найти зависимость
k0 от Q:
«5	D'236)
1 С	гр
In
-V-3--
D.237)
Таким образом, полная энергия турбулентности выражается через
мощность генерации следующим образом:
D-238)
D.239)
233

Записанные результаты справедливы лишь в условиях, когда
генерация турбулентности происходит в ограниченном интервале
волновых чисел, что возможно, например, при генерации турбулент-
турбулентности высокочастотными полями и другими нелинейными процес-
процессами. Существенно, чтобы инкремент не зависел от &, подобно де-
декременту, и были бы области пересечения yl и yg.
К рассмотренному случаю не подходит декремент, линейно за-
зависящий от k, когда отсутствуют пересечения с бесстол кновитель-
ным затуханием Ландау, и если при некоторых k инкремент пре-
превосходит декремент, то он превосходит всюду в бесстолкновитель-
ной области.
Такова ситуация, когда в плазме имеется направленная скорость
электронов относительно ионов —ток. Легко сообразить, что при
наличии постоянного внешнего электрического поля направленная
скорость электронов в m.ilme раз больше скорости ионов и в этом
случае целесообразно учитывать лишь движение электронов. По-
Поэтому нелинейность, которая определяется ионами, остается той же,
наличие направленной скорости у электронов скажется лишь на yl,
в котором следует учесть допплеровское изменение частоты заменив
<Dk величиной «к — ku, где и — скорость дрейфа (напра вленного
движения) электронов
Y| = - у ?L . ?Llk(vs- ^-) .	D.240)
Если и существенно больше vs, то для всех k, но не для всех углов
возникает неустойчивость. Для создания стационарного спектра
нелинейные процессы, помимо изменения частот, должны изменять
угловое распределение пульсаций, переводя их из области генера-
генерации в область поглощения.
Если спектр оценить из D.229), то (см. раиоту [220])
п^-.	'4.241)
Область же поглощения колебаний возникает лишь при малых зна-
значениях k, когда вступают в игру эффекты поглощения из-за парных
соударений частиц. Согласно работе [130] затухание ионно-звуко-
вых колебаний из-за ион-ионных соударений имеет вид
Ti ,	D-242)
Таково затухание колебаний в полностью ионизованной плазме.
В слабоионизованной плазме затухания определяются соударе-
234

ниями ионов с нейтралами [220]. Порядок величин k, для которых
столкновения существенны, можно оценить из
/	D.243)
vTe те \/ п	v	'
Приведенный выше спектр D.231) возможен при k0 :> kv. В об-
области, где доминирует затухание из-за соударений,
D.244)
2nTtk
Пусть ko<^ky. Сшивая D.244) с D.231), получаем
	 ~ — In — ,	D.245)
К kv kv	ko
т. е. k% может быть меньше kv лишь в ln-тр- раз. Другими словами,
при k < kv спектр быстро обращается в нуль. Таким образом, основ-
основной масштаб турбулентных пульсаций llk% в этом случае имеет
порядок l/kv. Та же оценка имеет место и при наличии направлен-
направленного дрейфа электронов [220]. Однако согласно работе [137] внеш-
внешнее электрическое поле может создать анизотропное распределение
ионно-звуковых колебаний с максимумом интенсивности вдоль
направления поля. Нелинейные эффекты определяют максимальную
амплитуду пульсаций в первую очередь в этом направлении.
Корреляции ионно-звуковых пульсаций приводят к трехплаз-
монному распадному взаимодействию [142]
s-+s' + s\	D.246)
Сам же процесс D.246) может приводить к уширению резонансной
кривой корреляций. Распадные процессы определяются значением
действительных \ частей Sk,kltk2, на которых рассмотренные
в гл. 2 эффекты насыщения резонансов практически не сказываются.
Итак,
5 (в) & @/1 о	/л Оу17\
ь ь и —	7г •	D.247)
Покажем, что корреляционное уширение из-за процесса D.248).
в случае изотропной турбулентности больше уширения, связанного
с индуцированным рассеянием на ионах. Нелинейный распадный
инкремент у% имеет порядок
D.248)
235

где б —относительный фазовый объем, в котором может выпол-
выполняться резонансное распадное условие. Запрет на распад в области
&2 d2e <^ 1 связан с тем, что частоты колебаний отличны от k vs на
величину порядка k2d2e. Таким образом, для возникновения рас-.
пада необходимо
y%X*>k*d2e.	D.249)
В этих условиях резонансный знаменатель имеет порядок у%
а б также порядка у%. Действительно, для волн, распространяю-
распространяющихся в одинаковом направлении, тождественно выполнено
kvs ==k1vs + vs (k — kx)	D.250)
при любых kx и k, т. е. нарушение резонанса происходит лишь из-за
различия углов кг и к. При kx ~ k резонансный знаменатель имеет
порядок б2©!, где 0 — угол между kx и k. Нарушение резонанса воз-
возникает при
92cd~y?.	D.251)
Относительный фазовый объем, в котором разрешен распад,
имеет порядок у%/®9 т. е. у% выпадает из правой части D.297).
Отсюда следует оценка
у^&_Ж_.	D.252)
Щ 1
Этот результат справедлив лишь для малых k> когда выполняются
условия
VTe V П0 Те	V	7
Заметим, что D.252) определяет также по порядку величины
интенсивность нелинейного взаимодействия, которое из-за разре-
разрешенное™ распада в Те/Тг раз превосходит рассеяние на ионах.
При выполнении неравенства D.253) распадный резонанс ра-
работает (фактически) как б-функция, поэтому можно написать обыч-
обычные распадные уравнения, пренебрегая отличием частоты от kv8.
Для наглядности запишем их как уравнения баланса для числа
ионно-звуковых квантов [142]
dNsk жо3к Г rfkx | к—кх | , , s s	s v
k
8((*sk-(*ski-(*sk_ki)}. D.254)
236

Выражение для вероятности распадного процесса [коэффи-
[коэффициента в D.254)] легко получить из D.251), а также непосред-
непосредственно из гидродинамических уравнений. Если турбулентные
пульсации изотропны, то D.254) дает
dt
-NskNl). D.255)
Здесь ?макс соответствует D.253). Подробный анализ решения урав-
уравнения D.255) с учетом затухания и раскачки D.240) дан в работе
[142]. Рассмотрим здесь качественно эффекты, описываемые взаимо-
взаимодействием D.255), положив, что большая часть энергии колебаний
сосредоточена в области k ~ k0. При k >> kOi т. е. в асимптоти-
асимптотической области, взаимодействие пульсаций с пульсациями энерго-
содержащей области легко найти разложением D.255) по малому
параметру ko/k9 считая члены, содержащие N1, малыми,
k
—- =	D№—-;D = \ ———^ . D.256)
dt k2 dk	dk	J 4n2nQm.
Строго говоря, D.256) справедливо при ko/k <^ 1, однако для ка-
качественных оценок можно интегрирование распространить до
k0 ~ /г. Из баланса затухания Ландау и нелинейного взаимодей-
взаимодействия D.256) получим при In ~ ^> 1'
пТР
D.257)
Этот спектр близок по структуре к D.231), однако (если не учитывать
изменения логарифмического множителя) исчезает большой параметр
15 Т
— ~. Уменьшение плотности энергии ионно-звуковых волн свя-
связано с усилением нелинейного взаимодействия и находится в соот-
соответствии с измеренной шириной бесстолкновительных ударных волн.
При наличии дрейфа электронов в D.257) в области генерации по-
появляется множитель порядка —, спектр становится анизотропным,
изменяется логарифмический множитель [142]. Диффузия D.256)
ограничена сверху «стенкой» в пространстве волновых чисел, что
видно из D.253). Диффузия приводит к трансформации спектра
237

к меньшим волновым числам с одновременной диффузией по углам,
переводящим в конце концов пульсации в область вне черенковского
конуса cos 0 = ~, где они и поглощаются. Шаг диффузии по углам
определяется D.251). Спектр типа D.257) соответствует измеренному
в сильном электрическом поле [151 ] и на фронте ударных волн [150].
Наблюдениям соответствует и предсказание анизотропии: преиму-
преимущественного распределения пульсации в направлении электриче-
электрического поля. Используя угловое распределение пульсаций [142]„
можно найти величину аномальной проводимости плазмы
^	°*	D.258)
ф	Эфф vs 100
которая находится в хорошем согласии с наблюдениями [150, 151L
В относительно несильном электрическом поле	<( — ] • Ю~3„
8ппТе \mj
как показано в работе [137], колебания в квазилинейном прибли-
приближении сосредоточиваются по модулям при некоторых k ~ k0, од-
однако остаются анизотропными, и энергия колебаний в направле-
направлении внешнего электрического поля растет во времени до тех пор,
пока она не ограничивается нелинейными эффектами.
§ 4.9. ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И СПЕКТРЫ ПРОДОЛЬНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ПЛАЗМЫ
Магнитное поле сказывается как в том, что появляются новые
ветви колебаний, так и в связи с видоизменением взаимодействия
колебаний в пределах одной ветви. Для высокочастотных пульсаций
можно воспользоваться выражениями B.242) — B.244) для не-
нелинейных токов. В случае продольных волн получим
*, k,, ft-*, =
kkx (or — (o^e)
x{ (kk.jffl-^k.hjtkhj + i^^fkk.jh)}. D.259)
| r
Здесь h = —-. Вероятность рассеяния на ионах через виртуаль-
виртуально
ную продольную волну задается B.238).
Использовав эти выражения, нетрудно получить для нелиней-
нелинейных взаимодействий продольных волн
"f
X
238

D.260)
Здесь | К^Кг — ^т | ^ | k\z—kz\ vn- Последнее неравенство
для незамагниченных ионов (kvTt^> соя/) выполнено для всех
v, если | ©к — о)к31 достаточно мало. Для замагниченных ионов
неравенство выполняется лишь.для v = 0. Однако легко видеть,
что циклотронное рассеяние с v^O для замагниченных ионов
мало и поэтому D.260) справедливо и в этом случае.
Нетрудно получить выражения для спектральной перекачки.
В слабом магнитном поле соЯе <С со перекачка на ветви coj^co e
приближенно совпадает с D.12), а для ветви cojJ^co^cosG полу-
получим
dt
x/fcosB ^	cosecosGiVH	— ([kkxlhW. D.261)
В сильном поле юЯе><»ре Для ветви со? = о>р(, cos 8 имеем для
замагниченных ионов kv
Tl
хеХр(- («*-» ).	D.262)
Для незамагниченных ионов | fez — klz\ следует заменить |к
Аналогично для ветви cog «соя^ имеем (й^7/ < соя/)
— —7V
Xexp j-K-<xJ/2|^-fel2|2^.).	D.263)

Заметим, что спектральная перекачка D.262) падает с увеличением
угла ленгмюровских волн с магнитным полем, т. е. магнитное
поле препятствует изотропизации колебаний. Существенно, что
рассеяние на ионах при наличии магнитных полей может проис-
происходить не только в том случае, когда разность частот мала, но и
в том случае, когда она достаточно близка к v(dHi.
Однако ленгмюровские пульсации способны изотропизироваться
даже в бесконечно сильном магнитном поле. Фактически огра-
ограничение на раствор углов волн, эффективно взаимодействующих
друг с другом, задается экспоненциальным множителем. Рассмот-
Рассмотрим взаимодействие волн с k = кг. Тогда экспоненциальный мно-
множитель имеет вид
ехр (	<- f"cos6|-'cosei1 У]	D.264)
\ 2k2v2Tl\ COS0-COS0! )\
и, следовательно, эффективно взаимодействуют лишь волны проти-
противоположных направлений. В результате двукратного процесса та-
k,Vj;
кого взаимодействия изменение угла волны составит (А0) ~	X
X C0Sq . Если не рассматривать углы, близкие к зх/2, можно сказать,
что процесс изотропизации замедляется в vjvn раз.
Увеличение угла между направлением колебаний и магнитным
полем может привести к существенному снижению частоты и спол-
сползанию пульсаций к гибридному резонансу со = У®т(йне> осущест-
осуществляющемуся при
вести к заметному турбулентному нагреву плазмы, параллельно
с ним идет процесс увеличения фазовых скоростей пульсаций, кото-
который этому препятствует. Одномерная трансформация энергии
ленгмюровских волн вдоль Я при рассеянии на ионах мало чем
отличается от аналогичной трансформации в случае изотропной
турбулентности без магнитного поля. Когда взаимодействие осу-
осуществляется через замагниченные частицы (v = 0), возникает но-
новый эффект насыщения взаимодействия [221]. Особенно наглядно
он проявляется для электронов при трансформации энергии между
волнами, распространяющимися вдоль Я. Тогда только электроны,
1/ —. Хотя этот эффект и может при-
V
имеющие vzc^—<^ vre, участвуют во взаимодействии. Их число
мало по сравнению с полным числом электронов, и энергия, пере-
переданная им при взаимодействии (~W), может быть сравнима с их
энергией. Это значит, что при малых скоростях может установиться
плато по vz на функции распределения электронов и, следователь-
следовательно, трансформация энергии, пропорциональная dfRldvz, резко
уменьшится.
240

3v2
Для ионов такие эффекты наступают при vp ^>	-. В об-
области дифференциальной спектральной перекачки они невозможны,
так как при этом взаимодействии участвуют все ионы. Точно так же
при vp^>3vTe/vTL перекачка по углам может осуществляться
всеми ионами, и поэтому переход колебаний в области гибридного
резонанса мало чувствителен к указанным эффектам насыщения.
Магнитное поле, создавая новую область эффективного поглоще-
поглощения при гибридном резонансе, открывает новый канал диссипации
турбулентной энергии, т. е. создает возможность турбулентного
нагрева плазмы. Другая возможность нагрева связана с изменением
направления спектральной перекачки в случае анизотропно рас-
распределенных электронов и ионов. Возникновение таких распре-
распределений значительно более вероятно при наличии магнитных полей.
Они возникают естественным образом в магнитных ловушках из-за
конуса потерь. Анизотропная неустойчивость может развиваться
за времена, много большие характерных времен трансформации
энергии по спектру, и поэтому пульсации могут быстрее поглотить-
поглотиться, нежели разовьется анизотропная неустойчивость. Изменение
направления перекачки приведет к тому, что колебания могут дис-
сипировать из-за поглощения Ландау. При рассеянии на электро-
электронах для изменения направления перекачки, как показывают оценки,
необходимо, чтобы степень анизотропии а~Д0/9 удовлетворяла
неравенству aez>vTeIvp и соответственно для ионов а,- >
> v2Te/vpvn.
Наиболее благоприятная ситуация имеет место для ловушек
с горячими ионами, когда конусная неустойчивость соответствует
черенковскому возбуждению ионами ленгмюровских пульсаций
соре cos Э. Рассеяние на ионах неэффективно в силу тех же аргу-
аргументов, согласно которым рассеяние на электронах неэффективно
для ионно-звуковой неустойчивости. Поэтому нелинейная транс-
трансформация энергии осуществляется электронами, для которых усло-
условие изменения направления перекачки наиболее легкое. В ловушках
с горячими ионами могут быть выполнены условия, необходимые
для турбулентного нагрева электронов. Ионы же находятся в ре-
режиме статистического ускорения, когда лишь небольшая их доля
может получить энергию от колебаний.
Обсуждение эффектов взаимодействия колебаний с частотой
со ~ (оНе отложим до гл. 6, так как наиболее сильным нелинейным
эффектом для них является превращение колебаний в электромаг-
электромагнитное излучение.
Взаимодействие незамагниченных ионно-звуковых колебаний
остается практически таким же, каким оно было в отсутствие маг-
магнитного поля, поэтому все оценки § 4.8 сохраняют силу. Можно
указать два новых существенных момента. Во-первых, появляется
сильное поглощение пульсаций на ионах вблизи ионно-циклотрон-
241

ного резонанса при k ~co#;/f s. Это поглощение является механиз-
механизмом эффективного турбулентного нагрева ионов.
Практический вопрос о том, какова эффективность турбулент-
турбулентного нагрева ионов при ионно-звуковой неустойчивости и каково
соотношение между нагревом электронов и ионов, зависит от
величины магнитного поля. Для нагрева ионов необходимо, что-
чтобы по пути трансформации энергии к волновым числам порядка
®Hilvs энеРгия пульсаций не была потеряна из-за поглощения на
электронах. Трансформация энергии осуществляется из-за рас-
рассеяния на ионах и поэтому при сохранении числа квантов изме-
изменение их частоты на Лео порядка со приводит к нагреву ионов
I	гр	\	Г1 Т*
на W. Время такого увеличения — ~~ —L. — . ° / , т. е.
• /г	' i ®&
dT -	I Ws \2
—- ~ со| ТА	 . Нагрев же электронов из-за нелинейного
dt	\ п0Те J
затухания оценивается как *?_ ^ ?s ZI^* J/^Te(-^
Из этих оценок можно заключить, что нагрев ионов может быть
Ws т ГпГ
более существен при —=- > I/ —- . Наличие магнитного поля
щте V mi
дает дополнительный сток энергии в области ионно-циклотрон-
ного резонанса. При этом плазмоны поглощаются на ионах, уве-
увеличивая их энергию. Время этой трансформации составляет
1 пот1
	.	 и падает с ростом магнитного поля.
Во-вторых, магнитное поле оказывает существенное влияние
на ионно-звуковую турбулентность в результате появления канала
превращения энергии колебаний в вистлеры, что может служить,
как отмечено в работах [222, 223], эффективным методом диагности-
диагностики ионно-звуковой турбулентности. Наконец, замагниченные зву-
звуковые колебания, имеющие &<^со#*7у8, взаимодействуют между
собой примерно так же, как и незамагниченные. В частности, рас-
рассеяние на ионах имеет тот же порядок, что и в отсутствие магнит-
магнитного поля.
§ 4.10. СПЕКТРЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ВИСТЛЕРОВ
Вистлеры, имеющие частоты
К = k*c*\jHe^2C°2s*] ,	D.265)
могут возбуждаться из-за анизотропной неустойчивости при кон-
конверсии из ионно-звуковых и ленгмюровских пульсаций и т. п.,
они слабо затухают при распространении преимущественно вдоль
магнитного поля и при со^ >> kvre- Рассмотрим длинноволновую
242

часть спектра D.265), в которой ?<: соре/с и соответственно «
Собственно при k^>a)pe/c спектр D.265) совпадает со спектром про-
продольной гирочастотной плазменной волны и взаимодействия таких
пульсаций описываются D.261). Итак,
/г2с21соя Mcos6|
к=—Ч^—•
Распадные процессы
w-> w' + w"	D.267)
для такого спектра запрещены, только если все волны распрост-
распространяются вдоль Яо. В изотермической плазме Те = Тг процессы
распадов на ионно-звуковые колебания невозможны. Если kvTe/u^l,
то линейное затухание на электронах не мало (при 9 ^=0) и спектры
турбулентности могли бы формироваться в результате возбуждения
вистлеров вдоль Н нелинейной трансформацией к Э^О с последую-
последующим затуханием на электронах. Рассеяние на электронах, как
показывают оценки (см. работу [224]), существенно при
ет,	D.268)
и так же, как для ионно-звуковых колебаний, рассеянием на элек-
электронах следует пренебречь в области, где одновременно возможно
линейное затухание и рассеяние на электронах. Значения маг-
магнитных полей, определяемых неравенством D.268), лежат в весь-
весьма узких пределах, и мы органичимся здесь рассмотрением рас-
падных взаимодействий, рассеяния на ионах и линейного зату-
затухания на электронах. Заметим, что если распады разрешены за-
законами сохранения, то они доминируют над процессами рассеяния
на ионах.
В общем случае решение распадных уравнений представляется
довольно сложной задачей. Однако если именно распады определяют
спектры и энергия колебаний концентрируется в некой области
волновых чисел k ^ k0, которую целесообразно назвать энергосо-
держащей, то можно предположить, что спектры асимптотической
области k^>k0 определяются их взаимодействием с наиболее интен-
интенсивными колебаниями, имеющимися в энергосодержащей области.
Тогда уравнения для спектра описывают процессы диффузионного
рассеяния колебаний:
дК д г-
dt dkt
fk k
" dkj '
k BnK '
D.269)
D.270)
243

где ш(ккх) — вероятность распада,
scos*e \ k l kz ) k*ki
Мы не будем обсуждать решения уравнений D.270) (см. работу
[224)]. Отметим лишь, что согласно D.265) с колебаниями, имею-
имеющими угол 0 с магнитным полем, взаимодействуют лишь энерго-
содержащие колебания с
<jf.	D-272)
Поэтому если в энергосодержащей области вистлеры имеют направ-
направления вдоль #0, то их воздействие на асимптотические коле-
колебания оказывается равным нулю. В тех случаях, когда это не так,
спектры вистлеров в асимптотической области могут иметь вид
~ W(x)/(ov, причем численное значение v зависит от деталей рас-
распределения колебаний в энергосодержащей области [224].
Рассмотрим здесь более подробно процессы рассеяния на ионах.
Согласно B.242) и таблице ортов гл. 2 нелинейный ток, определяю-
определяющий рассеяние на ионах, создается электронами
X(icos(cp — ФхК!cose | + |cos 0x1) — sin (у — Фх)A +1 cos в 11 cos0
D.273)
Здесь учтены по теории возмущений дополнительно малые поправки*
порядка ^н^., уточняющие B.273). Максимальным матричный эле-
элемент S является при 0 = 0Х = 0 и 0 = 0; 0 г = я; 0 = я; 0Х = 0.
Легко видеть, что наиболее вероятным процессом будет рассея-
рассеяние вистлера при приблизительном равенстве частот взаимодейст-
взаимодействующих волн
Л? | cos вх | = Л21 cos 0 |-	D.274)
Таким образом, турбулентность принципиально неодномерна, а ба-
баланс между генерацией и поглощением может осуществляться из-за
перекачки по углам.
* Их необходимо учесть, так как в первом приближении по этому пара-
параметру матричный элемент оказывается равным (со — (OiN (со — Wi), т. е.
нулю.
244

Для замагниченных ионов легко получим
x j^^^j [(! cos e | +1 cos ex |J+(i+1 cos о cos e#] x
Xexp(- «"О2).	D.275)
Для незамагниченных ионов необходимо \kz — klz\ заменить
|к —кх[, а также klz величиной —^	— . Выражение D.275) не
имеет особенности при 0, 0х->—, так как cog' и со^ пропорцио-
пропорциональны | cos 9Х11 cos 6 |. Если ввести функцию распределения вист-
леров по частотам и углам W&Q
\jW ,^W A\r
D.276)
®pe
причем в силу k <^ —— в D.266) интегрирование по углам ог-
_^	с
раничено условием cos 0 > ~^— , то уравнение D.275) можно
записать в виде
(О, Q	^т \\
+ A + |cos0 cosвх|)»I M — W»Qt (-^±=:--^==J +
L \ ^со	\у \ cos 8 | у \ cos 0Х | /
I „iir/	COS 8 /' COS 8	COs8i М	/И 077\
—f-0>1к coQt—==. —	•		— ,	D.^//)
где
2
-"• я	De	.	D.278)
4
Заметим, что ионы можно считать замагниченными —— < 1 до
максимальных k в спектре D.265), если vA > vTe. При vT[ < ул<С
245

t>2
<и7е условие замагниченности выполняется, если со<соя. —?-.
Уравнение, аналогичное D.277), которое описывает процессы
рассеяния на незамагниченных ионах, имеет вид
~J^L~aWWW [dQ tO COS 0 | + 1 COS 0! IJ + A + 1 COS 0 COS 0!
dt	wQJ -1	I cos 9 11 cos 02 1
1	1	2 cos 0 cos 0X
X
W (	1
6@	l { | cos 0i [ I cos 0 [ /"[ cos 0 cos 0! I /
Jcqs9cqs91
1 V I cos 0 I V ICOS0COS0!!
D.279)
Стационарные решения уравнения D.279), как легко видеть,
должны иметь вид
Отсюда
1
V
—1
1
=±-W (cos 6).	D.280)
СО
— 1
В тех же предположениях D.277) уравнение, заменяющее
D.281) для рассеяния на незамагниченных ионах, имеет вид
|xX1|)]	f
1 / [ |[	I /	I	\ X/	J. l \ I I '	XI/	' \	'I	JL(/Ji	i'4
М ^ 11 xi I / J	I xi I
— 1
Х^-Л-77=т)-	D-282)
При заданном v из D.281) и D.282) следуют интегральные условия
на W(#i), ограничивающие возможные типы угловых зависимостей
спектра турбулентности. Из D.281) и D.282) видно, что угловая
зависимость становится б-образной, т. е. все волны концентрируются
к определенному направлению.
246

При v = y пучки волн вдоль поля и против поля устойчивы,
а пучки, распространяющиеся под углом х = х0, неустойчивы от-
относительно возбуждения колебаний с |#|>|*ol- Это значит, что
пучки с \х0 \ф1 концентрируются в два пучка, распространяю-
распространяющихся вдоль и против поля. Для v = 1 пучки с | х [ = | х01 неустой-
неустойчивы только относительно возбуждения волн с л:>|лсо|, а пучки
с х = — \хо\ — относительно волн с х <С — \хо\.
Таким образом, спектры с v = —должны перейти к стационар-
стационарным спектрам, распространяющимся вдоль поля. Этот эффект само-
самоканализации вистлеров вдоль магнитного поля, где отсутствует
линейное затухание, представляет интерес как для интерпретации
геофизических явлений в магнитосфере Земли, где возбуждение
вистлеров играет существенную роль, так и в лабораторном экс-
эксперименте. Заметим также, что в случае распространения вдоль
поля распадные взаимодействия, как отмечалось, несущественны.
Рассмотрим теперь вопрос о роли затухания на электронах. Оно
существенно при со < kvre, т. е.
о
<»«»т^Г'	D-283)
V
и имеет вид
А
йK/2	vTe
Максимальное значение затухания в области D.283) имеет
оценку
тогда как характерное время спектральной перекачки на Асо~со
есть
_^_^ ^_	D.284)
Hi	(пц\1'А
Если IF < —, a vA<v —L , то нелинейное взаимодействие
4л	a s \ те )
не сможет сбалансировать затухания и это означает, что коле-
колебания будут поглощены. Таким образом, при va <ivs{milme)X^
в условиях, когда генерация колебаний происходит при
со > о)я/i^/ir-p вистлеры перекачиваются до (о~со//^7е/^» где
будут поглощены. Энергия колебаний сосредоточивается при
<о^ соя. v\Jv2A, соответствующей обратным длинам волн
k = ko = -?-.-p-.	D.285)
с vA
247

Величина k0 играет роль основного масштаба турбулентности.
Надо, однако, также иметь в виду, что затухание колебаний проис-
происходит на электронах и вызывает нагрев электронов. Нагрев элект-
электронов приведет к выполнению Te^>Tt) и вступят в силу, вообще
говоря, более мощные взаимодействия вистлеров с ионно-звуковы-
ми колебаниями (см. ниже)*.
Легко видеть теперь, что декремент становится порядка со #;, если
частота вистлеров имеет порядок
2/3/ ПЦ \ 1/3
Эта величина больше соя.v2Alv\. при vA<Zvsl—\ . В усло-
условиях, когда yN7:(dHi, линейный декремент может быть скомпен-
скомпенсирован нелинейными эффектами D.284), если они достаточно
сильны.
Рассмотрим теперь неизотермическую плазму Te^Tti когда
существуют ионно-звуковые колебания. В этих условиях даже
в отсутствие ионно-звуковых колебаний появляется новый канал
трансформации энергии. В результате возникает вопрос, будут ли
возбуждены при этом ионно-звуковые колебания? Если же сущест-
существует источник ионно-звуковых колебаний, то такие колебания могут
перекачивать свою энергию в вистлеры, и тем самым как спектры
вистлеров, так и спектры ионно-звуковых колебаний зависят в опре-
определенной мере от их взаимодействия. Такая ситуация возникает
из-за того, что частоты вистлеров и ионно-звуковых колебаний
могут совпадать. Области совпадения частот имеются всегда, если
<oPi>®m, т. е. при
^1<1.	D.287)
с
При совпадении частот эффективным становится индуцирован-
индуцированное рассеяние на электронах и ионах. Возможны также распадные
процессы. Однако они разрешены в относительно узком интервале
частот и углов (см. ниже). Рассеяние на ионах, если ионно-звуковые
колебания изотропны, получим с помощью B.242) (см. также [225])
ас г;,,,¦.(!-»,¦ е>. а 8	DШ)
2j	(ff! ** '
* Взаимодействие w -> s, как оказывается, не приводит к генерации
s -волн для спектров D.280), но приводит к генерации ш-волн из s-волн.
248

Если имеется ионно-звуковая турбулентность, но отсутствуют
вистлеры, то можно прийти к выводу о возможности раскачки вист-
леров ионно-звуковыми колебаниями. Действительно, если вос-
воспользоваться спектром ионно-звуковых колебаний D.238)
со0
то согласно D.288) получим раскачку вистлеров. Это значит, что
ионно-звуковая турбулентность сопровождается турбулентностью
вистлеров, и полное стационарное турбулентное состояние в маг-
магнитном поле должно учитывать это обстоятельство. Характерные
времена раскачки вистлеров определяются порядковым соотно-
соотношением для инкремента их возбуждения
-^-T-	D.291)
Надо также отметить, что весьма существенно соотношение меж-
между ($pi и (оНе. Максимальные эффекты возникают при cdHe = (opi
или при
v а те
с ~Г'	D.292)
Если понижать магнитное поле, то все s-волны, частоты кото-
которых больше соне, регулируют свой спектр из-за s-> s-взаимодействия
и картина остается той же, что и в отсутствие поля. Раскачка вист-
вистлеров происходит до тех пор, пока либо откачка энергии из-за
до->-до-рассеяния не сбалансирует приток энергии из s-волн, либо
интенсивность s-волн не упадет из-за генерации до-волн. При этом,
если взаимодействие D.289) станет сильнее линейного затухания
s-волн и взаимодействия s-+s, a D.288) превзойдет взаимодействие
D.275), то стационарному условию соответствует равенство нулю
правых частей D.288) и D.289), т. е.
tT/7s const
С?.о = const.	D.293)
Рассмотрим теперь распадные процессы. В принципе возмож-
возможны следующие взаимодействия вистлеров и ионно-звуковых пуль-
пульсаций: до^до' + s; до + w'+^s\ s+^s'-\- w'\ w ^zts-j-s'. Первый и
второй процессы практически запрещены законами сохранения.
Действительно, из
Iki + kJl^ + ^l^^l^l^^i.-^-^, D.294)
с vA
249

а также из того, что максимальное ks не может превосходить 2kl9
левая" часть D.294) меньше или порядка 2k1ksi т. е. ^<уХ
Х^-—, что невозможно при vA >t/s. Для процесса s^.s' +^
получим
&2 vAc I cos 0 I
iki+M-fci=—?4б—•	D>295)
Так как А вистлеров много меньше, чем для ионно-звуковых коле-
колебаний, и va ^> us, то D.295) можно записать в виде
Up	XJ Л
cos 6 cos 0! + sin 0 sin вг cos (cp — ф2) = -^ • -f- | cos 0 |. D.296)
Так как—— ^> 1, — ^> 1, то правая часть D.296) велика, тогда как
в левой части стоит величина меньше единицы. Таким образом,
| cos Э | <<; 1. С другой стороны, cos (kk^j не должен быть малым, т. е.
ионно-звуковые волны будут распространяться под углом, близким
я/2, к направлению магнитного поля. Общий фазовый объем для
таких колебаний мал и они не играют заметной роли.
Остается единственный процесс s-{-s'^w, вероятность кото-
которого легко находится из B.242). Выражение для вероятности
максимально при kl9 k2^~~ и имеет вид
D-297)
Отсюда получим оценку мощности генерации вистлеров в условиях,
когда их реабсорбцией из-за обратного процесса w->s + s' можно
пренебречь для изотропной турбулентности и ,k{^k:
'"'Л»..»/, (У* )'•	D-298>
d?	с3 I cos0 | I
Полная энергия, генерируемая в 1 см3 в 1 сек, есть
250

Наблюдение частоты 2a)pi в спектре вистлеров может служить
хорошим методом диагностики ионно-звуковой турбулентности,
так как измерения амплитуд колебаний вистлеров представляются
существенно более простыми, нежели измерения амплитуд ионно-
звуковых волн.
§ 4.11. СПЕКТРЫ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ
Перейдем теперь к рассмотрению спектров турбулентности самых
низкочастотных колебаний однородной плазмы — магнитогидро-
динамических [226]. Считая va ^> vs, можно в изотермической плаз-
плазме ограничиться анализом взаимодействия альфвеновских и бы-
быстрых магнитозвуковых волн
®% = kv\'> ®k=\K\ va-	D.300)
Если использовать уравнения магнитной гидродинамики, как
это было сделано в работах [227, 228], то можно получить распад-
ные взаимодействия альфвеновских и магнитозвуковых волн.
Законами сохранения разрешены лишь распады М 7""*М + А;
А ^ А + М. Мы рассмотрим здесь лишь специальный случай одно-
одномерной магнитогидродинамической турбулентности, когда распады
при пренебрежении корреляциями запрещены. Тогда рассеяние
на ионах является определяющим. Характерное время взаимодейст-
взаимодействия может быть оценено из нелинейного инкремента
"»-¦" W	-W	D.301)
n0m.v2A	Щ
и имеет тот же порядок величины, что и распадное взаимодействие
волн, распространяющихся под углом порядка единицы к Яо. По-
Помимо процесса рассеяния на ионах следует учитывать затухание
Ландау магнитогидродинамических волн, которое может сказывать-
сказываться на спектрах при VA<ZVre-
Нелинейные уравнения, описывающие такое рассеяние на ионах
для процессов
А^А; М+±М\ Л^М,	' D.302)
имеют вид
D.303)
D.304)
251

T-*(i+?)WW?fe- D-305)
Здесь Wa = HPqj + W7^1 — сумма спектральных функций — альф-
веновских и магнитогидродинамических пульсаций, а индексы
плюс и минус соответствуют волнам, распространяющимся вдоль
магнитного поля и в противоположном направлении. Полная энер-
энергия магнитных возмущений имеет вид
W+ + Wu)d(*.	D.306)
Из D.304) и D.305) следует, что стационарные решения имеют
вид Wt = ^-, т.е.
v=l.	D.307)
При этом возможны решения, когда: 1) Wu =--0; W®= cons ;
Рассмотрим далее кратко случай неизотермической плазмы,
когда возможны взаимодействия с замагниченными ионно-звуко-
выми колебаниями. Так как эти взаимодействия существенно
зависят от отношения энергий ионно-звуковых и магнитных пуль-
пульсаций, то при достаточно большом уровне магнитозвуковых пуль-
пульсаций распадами магнитных пульсаций на магнитные можно пре-
пренебречь по сравнению с рассеянием на ионах в ионно-звуковые
волны. Распадные взаимодействия типа Ms^IlMs' + А либо
запрещены, либо относительный фазовый объем, в котором они
разрешены, мал. Указанные взаимодействия записываются в сле-
следующем виде:
	\л „		дл-„
dt	4 ' т. п0 v2A	х* ч i е ; шя.
dW
M
dt	4 " m.n0v2A ' ш2Н1 \Т
0vA
X | —^ dxx to -^- + 2<sVl ;	D.309)
2	\ о®	J
252

I dWs	\
x оь-^-гС ;	D.310)
\ dco	/
Во-первых, небезынтересно отметить, что спектр замагниченных
ионно-звуковых колебаний
wMs=cor*l]n<»r	D312)
СО	COq
устанавливающийся благодаря процессам взаимодействия Ms-волн
между собой согласно D.310) и D.309), устойчив относительно воз-
возбуждения альфвеновских волн и неустойчив относительно возбуж-
возбуждения магнитозвуковых волн. Накопление последних может при-
привести к обратному действию на ионно-звуковые колебания. Спектр
М-волны должен перестраиваться так, чтобы это воздействие обра-
обращалось в нуль, тогда из D.308) получим
^L	D.313)
со2
или v = 2.
С уменьшением со роль взаимодействия Ms-волны с М-волнами
уменьшается и спектр стремится к D.307).
В заключение следует сказать о некоторых направлениях раз-
развития теории стационарной турбулентности. Одно из таких нап-
направлений—исследование роли анизотропии турбулентности, осо-
особенно вблизи области генерации. Другое направление — исследо-
исследование единственности стационарных состояний. Часто важно знать,
может ли существовать несколько стационарных состояний при
заданной мощности генерации турбулентности, и если это воз-
возможно, то при каких начальных условиях система приходит к
какому-либо из них и возможна ли ситуация, когда система не
приходит ни к одному из таких стационарных состояний.
К этим вопросам примыкает более общая проблема—динамика
развития турбулентного состояния плазмы. Определенную инфор-
информацию об этой динамике вблизи состояния стационарной турбу-
турбулентности может дать изучение второго звука (гл. 8).

Глава 5
СТОХАСТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦ
В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 5.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
Взаимодействие заряженных частиц с турбулентной плазмой ха-
характеризуется эффективным обменом энергией между частицами и
пульсациями, который может привести к эффективному ускорению
частиц [229]. Характерно, что обмен энергией может быть сильным
для быстрых частиц, энергия которых намного превышает среднюю
тепловую энергию основной массы частиц. В жидкостях отсутствует
разделение зарядов в коллективных движениях, и для проявления
взаимодействий с быстрыми частицами необходимо, чтобы турбулент-
турбулентные пульсации несли магнитные поля. Движущийся элемент жид-
жидкости с вмороженным магнитным полем создает электрические поля,
пропорциональные его скорости. Эти поля могут ускорять частицы.
Исторически исследование эффектов ускорения быстрых частиц
началось именно с этих малоэффективных механизмов, являющихся
тем или иным видоизменением механизма Ферми [230], описываю-
описывающем ускорения частиц при столкновении со случайно движущимися
магнитными облаками [46, 231]. Ясно, что в этих условиях уско-
ускорение возникает при наличии градиентов магнитного поля, а они
в магнитогидродинамических пульсациях весьма малы — порядка
длин свободного пробега (см. также ниже), и поэтому эффективность
ускорения такими пульсациями весьма низкая. Однако уже в пер-
первых работах по теории высокочастотной турбулентности [56] было
показано, что существует эффективное непосредственное взаимодей-
взаимодействие частиц и турбулентных пульсаций [229]. Эффективность
статистического ускорения быстро растет с увеличением частоты
пульсаций. Это связано с тем, что с ростом частоты все большую
долю полной энергии турбулентных пульсаций составляет энергия
их электрического поля. С другой стороны, характерные длины
волн высокочастотных пульсаций, как правило, существенно мень-
меньше низкочастотных. Стохастический характер взаимодействия час-
частиц в турбулентной плазме обеспечивается случайностью полей
турбулентных пульсаций.
Из простого подсчета «числа турбулентных столкновений» сле-
следует, что ускорение тем эффективнее, чем меньше время между та-
такими столкновениями. Если, например, Ae_j_ — энергия, получае-
получаемая частицей в отдельном акте взаимодействия, а Де_ — энергия,
теряемая в отдельном акте, то в результате большого числа N актов
254

взаимодействия, в каждом из которых частица может случайно
терять или приобретать энергию, частица получит энергию vAs;
Среднее значение энергии ускоряемых частиц может возрастать
во времени либо из-за того, что As+ несколько больше Д&_, либо
из-за того, что число актов взаимодействия, приводящих к увели-
увеличению энергии частицы v_j_, несколько превосходит число актов
- уменьшения энергии v	Для фермиевского ускорения Д&+ =
= As_ и v-j- > v	Отдельным актом взаимодействия в этом слу-
случае является соударение заряда с движущейся магнитной стенкой.
Из элементарной кинематики соударений следует, что при встреч-
встречных соударениях заряд приобретает энергию А8+ = 2& -% v, где
и — скорость стенки, s и v — энергия и скорость заряда. При до-
догоняющих соударениях заряд теряет такую же энергию. Если L —
среднее расстояние между магнитными стенками, то число встреч-
встречных соударений v+ = v + —-, а догоняющих v_ = v — u/L,
поэтому
,- 1Ч
<8>	e(v+ V_)	^.	E.1)
Выражение E.1)—формула фермиевского ускорения. В конкрет-
конкретных приложениях (см. монографию [46]) величина L принималась
равной среднему расстоянию между двумя турбулентными эле-
элементами, несущими магнитное поле. Следует отметить, что ста-
статистическое ускорение частиц можно осуществить в лабораторном
эксперименте с помощью специально создаваемых полей, меняю-
меняющихся по закону случая. Такой механизм ускорения был предложен
Э. Л. Бурштейном, В. И. Векслером и А. А. Коломенским [232].
На этом принципе работают ускорители, получившие название
стохатронов [233]. В плазме случайные поля создаются естествен-
естественным образом при возбуждении турбулентности.
Характерно, что ускорение [см. формулу E.1I тем эффективней,
чем меньше масштаб турбулентности. Указанные факторы де-
делают как бы наиболее «приспособленными» для ускорения быстрых
частиц именно высокочастотные пульсации, среди которых следует
выделить ленгмюровские. Заметим, что ленгмюровские пульсации
весьма быстро возбуждаются и быстро устанавливается стационар-
стационарная турбулентность. Вместе с тем все высокочастотные пульсации
имеют экспоненциально малое затухание на тепловых частицах,
что отражает нерезонансность их с тепловыми частицами. Такие
пульсации резонансны именно с быстрыми частицами и поэтому
«приспособлены» к ускорению быстрых частиц. Низкочастотные
пульсации обычно резонансны с тепловыми частицами и поэтому
сильно затухают и приводят к турбулентному нагреву основной
массы частиц. Быстрая частица отличается от других частиц тем,
что имеет резонансные взаимодействия, которые невозможны для
255

тепловых частиц. Например, ленгмюровские пульсации, фазовые
скорости которых больше vTe, могут ускорять лишь быстрые ча-
частицы со скоростями больше vre-
Надо также отметить, что с общей точки зрения трудно выделить
электромагнитные поперечные волны из общего числа турбулент-
турбулентных пульсаций. Во-первых, в пределе малых частот со ->- сорб они
не сильно отличаются от плазмонов. Во-вторых быстрые частицы,
ускоренные в турбулентной плазме, становятся источником электро-
электромагнитного излучения на частотах со ^> соре из-за их рассеяния на
турбулентных пульсациях. Это излучение приходит в квазиравно-
квазиравновесное состояние с быстрыми частицами и турбулентностью. По-
Поэтому окончательное квазиравновесное распределение быстрых
частиц и турбулентности устанавливается вместе с установлением
квазиравновесного распределения высокочастотного излучения. Так
как с ростом частоты стохастического поля растет эффективность
ускорения, то следует специально учитывать эффекты ускорения
на высокочастотном излучении. Существенно в данном случае,
находится ли это излучение в равновесии с быстрыми частицами и
турбулентностью, что зависит от характерной длины L, на которой
такое равновесие может установиться. В астрофизических условиях
часто характерные размеры плазмы много больше указанного L,
тогда как в лабораторных — меньше. В этом существенное раз-
различие в типах турбулентности лабораторной и астрофизической
плазмы.
Статистическое ускорение частиц в турбулентной плазме —
весьма распространенное явление. Достаточно сказать, что именно
с наличием турбулентности плазмы связывается ускорение косми-
космических лучей. Это было отправной точкой во многих исследовани-
исследованиях по проблеме ускорения космических лучей [46, 229]. С разви-
развитием лабораторных экспериментов, в которых тем или иным путем
(по желанию экспериментаторов или вопреки ему) возникает тур-
турбулентность в плазме, были сразу обнаружены быстрые ускоренные
частицы [42—45]. Возникли также практические возможности
использования этого эффекта для заполнения магнитных ловушек,
получения мощных источников излучения и т. д. Наиболее сущест-
существенной является энергетическая проблема, а именно: какая доля
турбулентной энергии может быть передана в конкретных экспе-
экспериментальных условиях быстрым частицам и какая идет на нагрев
плазмы? Ответ на этот вопрос зависит от типа турбулентных пуль-
пульсаций, конкретных условий и целей эксперимента. Нагрев наиболее
эффективен, когда на пути потоков турбулентной энергии расстав-
расставлены «ловушки» — области интенсивного циклотронного и че-
ренковского поглощения, тогда как для ускорения необходимо сла-
слабое поглощение пульсаций на тепловых частицах. Обе ситуации
могут быть экспериментально реализованы.
Эффект ускорения частиц, вообще говоря, не безобиден для
турбулентности, так как при большом числе ускоряемых частиц
он может существенно сказаться на спектрах турбулентности. При
256

малом числе ускоряемых частиц можно считать, что спектры турбу-
турбулентности регулируются внутренними процессами генерации погло-
поглощения и спектральной перекачки. Число ускоряемых частиц за-
зависит от мощности инжекции частиц в режим ускорения. Если
нет специфического механизма инжекции, то она осуществляется
естественным путем с хвостов максвелловских распределений самой
турбулентностью (из-за эффектов взаимодействий частиц и пуль-
пульсаций, пропорциональных W2, №3, ...) либо парными столкнове-
столкновениями частиц. Следует также подчеркнуть, что плотность энергии
ускоренных частиц может существенно превосходить плотность
энергии турбулентных пульсаций. Действительно, если имеется
стационарная турбулентность, то имеется и постоянный поток
турбулентной энергии по спектру. Ускоряемые частицы будут сла-
слабо влиять на значение W и спектр турбулентности, если энергия,
отобранная ими за время, в течение которого турбулентные пуль-
пульсации переходят из области генерации в область поглощения,
меньше W.
Как было показано в гл. 2, взаимодействие частиц и турбулент-
турбулентных пульсаций приводит к эффектам, описываемых уравнениями
диффузии частиц в пространстве скоростей или импульсов час-
частиц. Эти уравнения могут быть использованы для исследования
обмена энергией между быстрыми частицами и турбулентными
пульсациями
*!». = Л-ОиУ*-.	E.2)
dt dPi	dPj
Коэффициент диффузии может быть разложен по степеням энергии
турбулентности W. Линейный по W член описывает индуцирован-
индуцированное излучение и поглощение волн частицами, квадратичный по
W член — индуцированное рассеяние и т. д. Вероятности этих
процессов найдены выше (см. гл. 2). Диффузию [формула E.2)]
можно рассматривать как процессы, приводящие к изменению
модуля импульса |р| = р и направления движения частиц. Если
турбулентность изотропна, то
UЩ	E.3)
Щ
Р"
Коэффициент D1 описывает диффузию по модулям р, a Df — по
углам. Диффузия по углам приводит к изотропизации ускоряемых
частиц. В изотропной плазме Dt^>Dli если v^> vp, т. е. частицы до
приобретения энергии успевают быстро изотропизироваться. Если
частицы распределены изотропно, то член с Df выпадает из E.2) и
оно приобретает вид*
*I ±*lA.	E.4)
dt р2 dp
, 2и2
*• Для фермиевского ускорения Dlp =	ер [234].
257

Пусть Lp — среднее значение величины Lp) относящейся- к уско-
ускоряемым частицам*, т. е.
'" '10f-	>5)
Из E.4) легко найти скорость увеличения средней энергии час-
частиц
— el = el	E.6)
Я4- Р	Р	ч	'
и скорость увеличения среднего квадратичного разброса
-^{Щ-(грJ\=~Щ)\	E.7)
Тогда
гР = ~1Г-4-Р21)р^7Е'>	E-8)
ep-7p)sp.	E.9)
Для нерелятивистских скоростей удобно E.8) записать в виде
?JL3Jly, гр=-?-.	E.8а)
* 2т
Предположим теперь, что при t = 0 в турбулентной плазме по-
появляются частицы с энергией е = е0, т. е. /(е, 0)=я1б(е — ео).
Тогда при ^ = 0 ер = еотемп набора энергии есть ер|8=ео, а увели-
увеличение разброса по энергиям (Де J |*=о = 2Dlp ( -^-) =G(e0).
V dp I 8=80
Поскольку значения средних не зависят от числа ускоряемых частиц
л1э то можно сказать, что в пределе п1->0ер(е0) описывает
систематическое ускорение отдельной частицы, a G(e0) — флук-
туационное ускорение частицы.
Для описания эффектов ускорения часто используется функция
распределения, нормированная на энергию /8
С	1	^8Р - /с\ \Q	(К \(\\
'Р 4др2 dp 1вК ' >
h=nv	E.11)
* Усреднение по распределению быстрых частиц обозначается чертой
•сверху в отличие от усреднения по статистическому ансамблю, обозначае-
обозначаемого <>; масса ускоряемой частицы обозначается т.
:258

Уравнение E.4) для этой функции распределения записывается
в виде
dt ~дг*и \d?) !г дг[р* dp P U dp]'*'	{-0AZ)
В E.12) отчетливо виден физический смысл отдельных членов.
Последний член описывает систематическое ускорение, а первый —
флуктуационное. Уравнение E.12) можно также записать через
величины &р и G(e), характеризующие изменение средних парамет-
параметров ускоряемых частиц во времени [9],
Следует заметить, что уравнение E.4) может быть получено для
неизотропной турбулентности, если считать распределение уско-
ускоряемых частиц изотропным. Тогда, усреднив E.2) по направлениям
вектора р, получим E.4), в котором коэффициент диффузии D ус-
усреднен по углам ускоряемых частиц. Так, для индуцированного
излучения и поглощения пульсаций частицами магнитоактивной
плазмы из B.195) получим в результате такого усреднения
где dQp — элемент телесного угла вектора] р. Для изотропной
турбулентности можно записать
оо	оо	I	l	2я
D'p =2 2 i^T.f W°dk S <&dx \ йУ I d(PwP.»(k,x, v), E.14')
l	l
a v= —оо	о	— l	о
x = cos (k, Ho); у = cos (p, Ho). Для замагниченных частиц удобно
пользоваться вероятностями B.220), тогда как для незамагничен-
ных — B.223). Следует заметить, что быстрые частицы чаще можно
считать незамагниченными, чем тепловые.
В случае неизотропного распределения частиц также может быть
получено уравнение E.4). Однако коэффициент D1 представляет
собой выражение, усредненное по угловому распределению уско-
ускоряемых частиц, если их функция распределения есть произведение
угловой части на функцию распределения по энергиям. Для изот-
изотропных частиц, но неизотропных пульсаций вместо D1 фигурирует
величина, усредненная с функцией, описывающей распределение
пульсаций по углам. Быстрая изотропизация пульсаций из-за
нелинейных эффектов и ускоряемых частиц в поле изотропных пуль-
пульсаций делает наиболее интересным анализ эффектов ускорения для
изотропных частиц и пульсаций. В магнитном поле, как было выяс-
259

нено, для некоторых спектров пульсаций не существует изотроп-
изотропных распределений. В этом случае следует учитывать эффекты
анизотропии*. Ускоренные частицы, наблюденные в экспериментах,
могут быть обязаны эффектам ускорения на различных модах тур-
турбулентности, но, как правило, распределение ускоренных частиц
по направлениям оказывается более или менее изотропным. По-
Рис. 5.1. Спектр частиц, ускоренных в турбу-
турбулентной плазме.
этому ниже мы разберем ускорения на разных типах турбулентных
пульсаций, предполагая изотропными быстрые частицы и турбулент-
турбулентность (там, где это возможно). Ускоренные быстрые частицы на-
наблюдались уже в первых опытах по мощным импульсным- самосжа-
самосжатым разрядам [236—238] в экспериментах, где плазма возбуждалась
быстрыми пучками заряженных частиц [43, 239—241], в экс-
экспериментах по турбулентному нагреву [26] и других, когда плаз-
плазма находилась во внешнем электрическом поле [31, 148], а также
при воздействии мощных высокочастотных полей на плазму [44].
Спектры ускоренных частиц, как правило, имеют максимум с от-
относительно слабым спадом в область больших энергий (рис. 5.1).
Любопытно, что они как бы в миниатюре напоминают спектры кос-
космических электронов и ионов и указывают, по-видимому, на то, что
мы сталкиваемся с одним и тем же явлением, характерным для
турбулентной плазмы, разнящимся по масштабам. Часто в лабора-
лабораторных экспериментах эффекты ускорения скоррелированы с воз-
возбуждением определенного типа турбулентных пульсаций (высоко-
(высокочастотных или низкочастотных) [43, 148, 98]. Это не оставляет
сомнений в том, что ускорение возникает из-за обмена энергией
между быстрыми частицами и турбулентными пульсациями.
Задачей теории является исследование относительной эффек-
эффективности ускорения быстрых частиц различными типами турбулент-
турбулентных пульсаций, влияние эффектов ускорения на спектры турбулент-
турбулентности и объяснение наблюдаемых спектров ускоренных частиц.
Часть этих вопросов переплетается с вопросами излучения турбу-
турбулентной плазмы (см. гл. 6),
* О влиянии эффектов анизотропии турбулентности на ускорение
при #0 = О см. работу [235].
260

§ 5.2. СТОХАСТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ
ЧАСТИЦ ЛЕНГМЮРОВСКИМИ ПУЛЬСАЦИЯМИ
Высокочастотными мы называем пульсации, в создании ко-
которых участвуют лишь электроны плазмы, а ионы представляют
собой неподвижный фон. Для ленгмюровских пульсаций при
#0 = 0 из E.14) получим
-±dk.	E.15)
Существенная зависимость коэффициента диффузии от энергии
частиц возникает для нерелятивистских частиц. Из E.8) следует
[242, 229]
Для нерелятивистских скоростей второй член E.16) имеет относи-
относительно первого порядок % <^ 1, т. е. темп ускорения полностью оп-
с
ределяется спектром турбулентности
Г.	E.17)
р2
Здесь ер = |	нерелятивистская кинетическая энергия частиц.
Наоборот, для ультрарелятивистских частиц темп ускорения падает
с ростом энергии
Этот эффект имеет простое объяснение. Дело в том, что частица
с заданной скоростью взаимодействует со всеми пульсациями, фа-
фазовые скорости которых меньше ее скорости. С увеличением скоро-
скорости частиц увеличивается число турбулентных пульсаций, участ-
участвующих в ускорении, и эффект может быстро расти с ростом энер-
энергии частиц. Скорость ультрарелятивистских частиц близка к с, и
она взаимодействует с одними и теми же пульсациями вне зави-
261

симости от энергии частиц. Коэффициент диффузии по энергиям
постоянен и не зависит от энергии. Отсюда из простой формулы
8 D
E2^4Dt получим - ——, что фактически и содержится в E.18).
Для ультрарелятивистских частиц уравнение E.12) приобретает
вид
^=??4— 2d4\ D=Dc\	E.19)
dt ds2 дг 8	v '
Для нерелятивистских энергий E.12) можно записать	в виде
^АА АА	E.20)
.81)(е) .; е	.
dt т дг	дг у~\	2т
Рассмотрим теперь эффекты ускорения, учтя конкретные спектры
турбулентности (см. гл. 4), пренебрегая вначале влиянием уско-
ускорения на спектры. Для процессов ускорения быстрых частиц су-
щественное значение имеет отношение
^	E.21)
Если т|<1, то существуют нерелятивистские частицы, ускоряе-
ускоряемые спектром QOn* ; 2,84<v<4, найденным в работе [211].
к
V— 1	V— 1
Тогда D — е 2 и ер~е 2 .
При v = 2,84 имеем гр ~ е0-92, а при v = 4: 8 ~ е3/2. Эти меха-
механизмы ускорения значительно более эффективнее фермиевского, для
которого при нерелятивистских скоростях 8 — У г (не говоря уже
о том, что безразмерная константа фермиевского ускорения много
меньше аналогичной безразмерной константы для ускорения ленг-
мюровскими пульсациями). При e<^mc2irJ в ускорении участвует
спектр Wk = const, т. е. v = 0 ие^ 1/]/е. При tj> 1, т. е. в доста-
достаточно горячей плазме, участок эффективного ускорения исчезает,
так как спектр v = 0 простирается до фазовых скоростей, равных
скорости света (?~с^?). Наконец, при малых энергиях 8<^Те (^)
ускорение определяется спектром v = 5/2 и 8 ~ е3/4. Наконец, для
ультрарелятивистских частиц 8 ~ 1/е темп ускорения электронов и
ионов одинаков при &^>тгс2. Схематически темпы ускорения элек-
электронов и ионов изображены на рис. 5.2 и 5.3 соответственно для
г] <^ 1 ит]^1. Кривая ускорения имеет два максимума — первый
в области скоростей частиц порядка (——1) vTe, лишь в несколько
раз превышающих тепловую скорость электронов плазмы, а вто-
второй — при 8 = тс2. Для ионов этот максимум соответствует зна-
262

чению энергии в тг1те раз большей, а темп ускорения в макси-
максимуме г=тес2 для электронов в milme раз больше, чем в максиму-
максимуме е = mfi1 для ионов. В области v<L vTe[jf) ускорение элек-
электронов эффективнее в (m.//neO/4, a в области v>VTe(tnilme)]/s до v =
AУ^	Кфф
р	фф	(
= цс — в (тг1теУ^ раз.
в законах ускорения е
б
(ie)
Коэффициенты пропорциональности
V—1
р	ер ~ е~2~ легко находятся через мощность
генерации турбулентности Q, если подставить конкретные спектры,
найденные в гл. 4. В качестве примера приведем выражение E.17)
для W = const = УЩа
at
<m*-?
г Электроны
т- с
щ9Т§
Юр
Тс
1
1
1
1 р
1
1
У'
7
1
ui
Щ
У'7 V
Т \
X
Ионы
sri
' rL
1
L
\
1 х
1 N
1
mLcz
1
Рис. 5.2. Темпы ускорения электронов и ионов для
ленгмюровской турбулентности при ц < 1;
Че
vTl
me2
me* ,
8
3 ]/'Зя
'Те
E.22)
Спектры ускоренных частиц устанавливаются тогда, когда воз-
возникает баланс ускорения и торможения. Торможение обязано мно-
многим эффектам, среди которых можно выделить специфические для
турбулентной плазмы механизмы торможения и механизмы обыч-
обычные, которые имеют место как в турбулентной, так и нетурбулент-
нетурбулентной плазме. В качестве примера механизма первого типа можно
назвать обратный комптон-эффект ускоренных частиц на турбулент-
турбулентных пульсациях, а в качестве второго — ионизационные потери.
263.

Обратный комптон-эффект наступает при больших энергиях и
связан с процессами излучения, которые будут рассмотрены в сле-
следующей главе. Наряду с ионизационными потерями возможны и
другие, например связанные с адиабатическим расширением плаз-
плазмы после ее турбулентного нагрева или после ее создания лазером,
а в астрофизических условиях — как результат разлета оболочки
Сверхновой [243—245]. Устойчивое равновесие между ускорением
и торможением возможно в том случае, если кривая торможения
at
\-±^Электроны
О
тес2
mLcz
Рис. 5.3. Темпы ускорения электронов и ионов для
ленгмюровской турбулентности при tj > U
3v
Г] =
Те
8дисс — Я8) является более крутой, нежели кривая ускорения*
(см. рис. 5.2 и 5.3). Если торможение осуществляется из-за иони-
ионизационных потерь,то в сильно разреженной плазме (&<^тс2) [246]
]/~2е1/2
:1п
E.23)
Из рис. 5.2 и 5.3 видно, что участки перед максимумом кривой
ускорения не могут давать устойчивых распределений — частицы
будут «проскакивать» эти участки. Это не значит, что в указанных
областях не может быть равновесных распределений ускоряемых
частиц. Однако такие равновесные распределения существуют лишь
в условиях, когда ускорение намного превосходит торможение.
Действительно, уравнение E.4) имеет стационарное решение
-— = const.
dp
E.24)
* Действительно, если это имеет место, то частица с энергией большей,
чем равновесная е* (соответствует пересечению кривых ускорения и тормо-
торможения), будет тормозиться и частица с энергией меньше е# — ускоряться.
264

Это решение означает постоянство потока частиц по энергиям и
имеет место, если существует непрерывная инжекция. Ясно, однако,
что этот поток останавливается балансом ускорения и торможения.
Другими словами, кривая торможения в участке E.24) всюду зна-
значительно ниже кривой ускорения на рис. 5.2 и 5.3. Сделанное
утверждение означает, что пересечение кривых ионизационного
торможения и ускорения не может приходиться на области энергий
максимумов кривых, где -т-8>0.
Из E.24) легко определить спектры ускоренных частиц, так как
V—1	—V+1
?>~е 2 , то /р~ е-*/2 и /е ~ fpe1'2 ~ е^~7 т. е. при v = 2,84
fe ~ 1/е0'92, при v = 0 /е ~ /е, при v = 4 /8 ~ Г/е3/2 и v - 5/2
fQ—1/е3/4. Мы видим, что спектры ускоренных частиц — степенные,
т. е. довольно плавно спадают в область больших энергий, а в ряде
случаев и растут (v = 0). Резкие падения числа ускоренных час-
частиц с ростом энергии наблюдаются в областях эффективного уско-
ускорения, темп которого быстро растет с ростом энергии. Это связано
с тем, что в таких областях приобретение энергии частицей делает
более эффективным дальнейшее ускорение. Следовательно, ста-
стационарный поток E.24) как баланс числа частиц, попадающих в
данный интервал энергий d& со стороны меньших е и уходящих из
de к большим 8, возникает тогда, когда число частиц больших энер-
энергий меньше, чем число частиц меньших энергий. Равновесие с иони-
зацйон ными потерями в области нерелятивистских энергий возмож-
возможно на участке е~1/"[/"е, когда согласно E.15)
Здесь Wk = const =y -=Ц е = -^-, Qo задается E.22).
Уравнение E.20) с учетом ионизационных потерь приобретает
вид*
/.
E.26)
Если бы отсутствовала турбулентность Q = 0, то ионизационные
потери привели бы быстрые частицы в равновесие с электронами
* Второй член E.26) в ионизационных столкновениях дает флуктуацион
ный разброс энергий, т. е. & = 0, а первый — систематическое торможение
в ф 0.
265

/8 = const У г е~е/Те. При наличии турбулентности условие ра-
равенства полного потока нулю дает
71 j " Qo дг' у~?
u6M=0.	E.27)
Отсюда
/8 = const У~е	, .	E.28)
где
7 = m j/"-J^ .	^	-^ |/-^-.	E.29)
Если в ^> Теу, то спектр практически является степенным. Заме-
Заметим здесь также, что E.29) собственно справедливо при Те < Tt.
(Т \ 2
1 + -=?) и, следовательно,
т-
множитель -т ,Тт в E.29) должен быть опущен. Формула E.28)
показывает, что в турбулентной плазме функции распределения
частиц при больших скоростях никогда не являются максвел-
ловскими, а «отрастают» длинными хвостами ускоренных частиц,
плавно по степенному закону спадающими в область больших
энергий. Величина показателя степенного спектра у зависит от
мощности генерации Q и резко различна для электронов и ионов.
Для электронов величина 7~A—5) при Q—Qq-^t— = QeP>
а для ионов при Q — Q0—o— = Q?P- Ввиду того, что ND в реаль-
NZD me
ных условиях весьма большое число, даже Qfp невелико. При
Q^Qfj 7~^0, т. е. fe~y&. Но это есть решение, которое возни-
возникает, если вообще отбросить столкновения. Последнее означает,
что для нерелятивистских энергий имеет место постоянный поток
ускоряемых частиц по энергиям, а равновесие между ускорением
и торможением может наступить лишь при ультрарелятивистских
энергиях ускоряемых частиц. Для нахождения спектра ускоренных
частиц в этом пределе необходимо использовать уравнение E.19)
dt	дг дг г2	с	дг
266

Здесь записан лишь эффект систематического уменьшения энергии
частиц из-за ионизационных потерь*, уэе^ — эффективная частота
столкновений, которая лишь численным множителем порядка
единицы отличается от ve\ ^фф описывает эффективную силу тре-
трения релятивистских частиц о плазму. Из E.30) получим
8
fe= conste2e~~^7\,	( 5.31)
где
играет роль ?(|фективной температуры ускоренных частиц в еди-
единицах тс2. Если т]>1 [см. E.21)], то согласно E.15)
и, следовательно, Т* = 1/2 у, где у выражено формулой E.29)»
Последнее соотношение и показывает, что при у<^: h когда для
нерелятивистских скоростей /е ~ Y г и столкновения не останавли-
останавливают потока ускоряемых частиц, эффективная температура Т*тс2
оказывается ультрарелятивистской. Если т]<^ 1, то 7^ оказывается
— раз больше E.33), где v — показатель спектра турбу-
2 + v
лентности. Значение Qkp, при котором у< 1 и, следовательно, уско-
ускорительные процессы приводят, так сказать, автоматически к на-
наличию релятивистских частиц в турбулентной плазме, весьма
низко. Так, если ND ~ 108 -f- 1010, что характерно для астрофизи-
астрофизических условий, то Q*p ~ A0~20 -т- 10~22)Q0. Если теперь обра-
обратиться к формуле D.66), то легко получить оценку, например, при
а	/ tTLj\ '/5 ^\	~i / /72; \3/5 108 / ТЬл
генерации пучком Д^р~ v ^vTe[—- ; Q'^Qo	—
\ me/	\ tne]	Я \ По
y^Ul. (о Сопоставление этого выражения с Q?p, как, впрочем, и
п0
с Q*p, показывает, что даже пучки чрезвычайно малых концентра-
концентраций уже дают Т.#^> 1, т. е. ультрарелятивистские ускоренные элект-
электроны и ионы. Фактически минимальные пх определяются условием
наличия неустойчивости. Граница устойчивости оценивается как
Y>V?> т- е. ^i>^o 	~ л7^~ или Qmhii^^Q^	 I "~~M S> QeP#
Естественно, при Q ~ QMmi нельзя пользоваться спектром Wk= у -^.
* Флуктуационный член пренебрежимо мал, если Те С те с2.
267

Однако вывод, который получается из этой оценки, весьма ясен и
состоит в том, что в условиях сколько-нибудь развитой надкрити-
надкритической турбулентности появление релятивистских ускоренных
частиц становится совершенно необходимым, если только турбулент-
турбулентность существует время, достаточное для установления стационар-
стационарности в спектре турбулентности и спектре ускоренных частиц. Этот
вывод имеет важное значение для проблемы происхождения косми-
космических лучей и фактически объясняет, почему космическая плазма,
которая обычно турбулентна, является универсальным источником,
генерирующим релятивистские электроны и ионы.
Следует также отметить, что при больших энергиях частиц всту-
вступает в игру торможение из-за обратного комптон-эффекта на турбу-
турбулентных пульсациях, имеющего оценку (см. гл. 6)
-±.	E.34)
Эти потери [больше ионизационных при -^ = Т^ если
Если Q^>Qkp, to потери E.34) превосходят ионизационные при
-^-*<^Т±. В плотной высокотемпературной плазме Q*D лишь
тс2 ^ *	r J r	.
на несколько порядков отличается от Qkp. Важно, однако, абсолют-
абсолютное значение QkP, которое достаточно мало. Действительно, тре-
требования W ^ щ Те приводят Q < QMaKC ^ ve п0 Те ^ Qo -^- и
Q кр/Фмакс ^ 1/ ~ * ~ |/ "^- Таким образом, спектр ускоренных
частиц при больших ультрарелятивистских энергиях определяется
уже радиацонным торможением из-за обратного комптон-эффекта,
и как будет видно из дальнейшего, здесь возникают и более мощные
радиационные механизмы ускорения (см. гл. 6)*. Механизм уско-
ускорения на ленгмюровских колебаниях, таким образом, приводит
к генерации ультрарелятивистских электронов и ионов, т. е. в кос-
космических масштабах космических и субкосмических лучей. Он
может рассматриваться как механизм инжекции для радиационных
механизмов ускорения, работающих при Q>QkP (гл. 6). Быстрые
ускоренные частицы становятся мощным источником излучения
турбулентной плазмы (гл. 6). На рис. 5.4 изображены спектры
ускоренных электронов и ионов при Qkp<Q<QkP и на рис. 5.5
при Q<^QKv и Q>QkP. В лабораторных экспериментах очень боль-
268
Причем спектры ускоренных частиц становятся степенным const — .
8 у

,лйе энергии не достигаются либо потому, что плазма существует
относительно небольшое время, либо потому, что ускоренные час-
частицы не в состоянии удерживаться магнитным полем, и, тем самым,
-выходят из объема плазмы. Последний эффект может быть грубо
учтен в E.26) членом с «катастрофическими потерями» — /е/т.
Максимальная энергия частиц тогда будет порядка энергии, при
которой ларморовский радиус частиц сравнивается с размером
системы.
тУте
~2~
/77,
mczqz me1
me
me
z —mr?
Рис. 5.4. Примерный вид спектров электронов и ионов,
ускоренных ленгмюровской турбулентностью при
QKp <Q
«кр*
f\
! I v7
i
!
1
I \
V
/
у \
i4 1
2 fa
/77Г >7
?=¦
-me*
7--Ч
Рис. 5.5, Примерный вид спектров электронов и ионов, уско-
ускоренных легмюровской турбулентностью при Q < Qкр и Q>Q*p.
269

§ 5.3. СТОХАСТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ
ПУЛЬСАЦИЯМИ В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
При наличии магнитных полей возникает новый параметр, ха-
характеризующий замагниченность ускоряемых частиц
Р=!^	E.36)
При E <^ 1 частицы замагничены, а при |3 ^> 1 —нет. В слабом маг-
магнитном поле (?>ре <^ ыне ленгмюровские пульсации и их спектр мало
<?)ре ®Не	юя
меняются. С другой стороны, v > —г- > —г- > —г- (последнее равен-
равенство только для иерелятивистских электронов), т. е. Р ^> 1. Поэтому,
казалось бы, можно использовать вероятность B.223) для незамаг-
ниченных частиц, и результаты совпадут с полученными в § 5.2.
Это в общем и подтверждается непосредственным расчетом с по-
помощью коэффициента диффузии E.14). Применительно к про-
продольным пульсациям E.14) может быть записано в виде
2jx2e2
dk \dx \dy
— l —l
X б (сок — kvxy—vcoя);
k2
д<?>
E.37)
E.38)
При Р » 1 законами сохранения разрешены процессы до очень
больших v (P~v), и следовательно, суммирование по v можно
заменить интегрированием, так как — — —<^ 1. Получим
2л2 е2
dk—
k2
dx \dy
J
a =
dco
X
E.39)
Наибольший вклад дают точки, в которых аргумент функции
Бесселя равен индексу (olk = kvxy + kv У\—х2 У\ — y2=fezuz +
-\-k±v±. Но это как раз соответствует резонансному черенков-
скому условию без магнитных полей. Фактически функция Бес-
Бесселя, входящая в E.39), заменяющая б-функцию, дает конечную
ширину резонанса со = kv. Из асимптотики функции Бессе-
270

ля [247]
=W'
X
X/Ci/з
-^ 02 A -Л A -/)]
Зсо
E.40)
я
Рис. 5.6. График Ф1 (ос, Р).
записанной для (со?—kvxyJ> k2v2A —х2)(I—у2), можно оценить
ширину резонанса
kv
р
2/3
E.41)
Асимптотика E.40) дает экспоненциально быстрое убывание,
если смещение от резонанса превосходит E.41). Это соответствует
тому, что подынтегральное выражение E.39) попадает в область,
запрещенную б(со — kv) (co^>kv). При выполнении обратного нера-
неравенства (со? — kvxyJ < k2v2(l — х2) A — у2) необходимо исполь-
использовать асимптотику функций Бесселя через Ji/3 и J-i/з (см. ра-
работу [248]). Она дает затухающие осцилляции. Это соответствует
области, разрешенной б(со — kv). Коэффициент диффузии можно
записать в виде, близком к E.15) [249],
Wk	(Dve	kv
— Фх(а, Р); а=-^, Р = —, E.42)
где при а =
имеем Ф,. „(а,
ax/2 &>a
271

Вид Фх(а, Р) как функции р для а = 5; 10; 20, полученный чис-
численным распетом, приведен на рис. 5.6. Из рисунка видно, что кри-
кривые очень мало заходят в область, запрещенную резонансом.
Однако осцилляции в разрешенной области при не очень больших
а затухают не очень быстро. Для другой ветви продольных колеба-
колебаний со? = (Dtfe|cos0| получим:
E.43)
соя ^ соя
В данном случае условие со = kv фактически означает
' соя | х |
—	-— ., и в принципе при х-^0 возможны
v(xy + coscp Vl— x2v 1 — У2)
весьма малые значения k. Однако минимальные k определяются
СО
гг
СОгг
либо условием замагниченности k>—, либо условием существо-
вания продольных гирочастотных плазменных волн k^> —. Уело-
с
вие замагниченности легче всего получить из E.37). При 0)^-^0
работает только v=l и отсюда &а>оо#. В соответствии со
сказанным Ф2 (а, Р) не обращается быстро в нуль при Р < а
в отличие от рис 5.6. На рис. 5.7 изображен график Ф2, из
которого видно, что Ф2 обращается в нуль при Р<1. Асимпто-
Асимптотическое значение Ф2 при |3->оо равно -j^-. Оно достигается при
Р > а. В области k С —— ветвь оо? = а)Не I cos 9 | непрерывно пе-
с
реходит в вистлеры. Для электронов наибольшее значение пара-
о	®Ре V
метра р ^г	•—, и их можно считать незамагниченными при
со
Не С
v	®Не гт	о	т @Ре V луг
— > —-. Для ионов же ргтп^^ — • ——•—. Минимальное зна-
с "У соре ^ 		Кмакс пге ®не с
чение Р в 1/ — раз меньше, и поэтому в не очень слабом маг-
Г 1711
нитном поле электроны могут быть замагниченными. В условиях
незамагниченности
w°kkdk.	E.44)
272

Нижний предел здесь приближенный и соответствовал бы в E.43)
замене Ф 2 асимптотическим значением п/1ъ вплоть до р ~ 1
(см. графики функций Ф2 на рис. 5.7). Однако для оценки эффекта
E.44) является удобной формулой. На рис. 5.8 приведены значе-
значения Ф3(«> Р) Для вистлеров в формуле
D' =
4яоо^е е2
E.45)
Рис. 5.7. График Ф2 (а, Р).
Надо также иметь в виду, что нижний предел в E.44) следует
V	СОгг
опустить, если — :§>—, так как минимальные k для вистлеров
есть <йрг1с и в этом случае коэффициент диффузии E.44) хорошо
аппроксимирует точный результат. Условие
со
н
соп
E.46)
может быть хорошо выполнено для ионов, и особенно тяжелых.
Эффект ускорения на вистлерах в пределе E.46) не зависит от спект-
спектра турбулентности вистлеров. При этом D пропорционально 1/|/"е,
а следовательно, согласно E.8') 8 ~ 1/]/^ и, вообще говоря, ускоре-
ускорение вистлерами значительно менее эффективно, чем ленгмюровскими
пульсациями. Однако оно обладает тем преимуществом, что уско-
ускоряться могут частицы весьма малых энергий и, в частности, тяже-
тяжелые ионы, тогда как ленгмюровские пульсации могут эффективно
ускорять лишь частицы, скорости которых больше vre. Для случая
замагниченных частиц основной вклад в коэффициент диффузии
дают резонансы v = ± 1 и
Зсо
ре
2 со:
k >_
Wwkdk{ 1 —
ре
E.47)
273

Так как fe<^cope/c, то коэффициент диффузии E.47) не обращается
в нуль лишь для ионов или ультрарелятивистских электронов.
В сильном магнитном поле со#е ^> (оре ускорение на ветви со = ыИе
обычно соответствует незамагниченным частицам
4
и ~ '
E.48)
Рис. 5.8. График Ф3 (ее, р).
Для нерелятивистских электронов нижний предел является приб-
приближенным, так как на этом пределе электроны становятся незамаг-
ниченными. Точное значение форм-фактора Ф4(сс, Р) при Р ~> 1 есть
о
10
Z0
зо р
Рис. 5.9. График Ф4 (a, P).
¦g- A — РK, а при Р^> 1 есть ^. Для релятивистских электронов и
ионов а ^> 1 и поэтому формула E.48) с Ф4 = \ может хорошо аппрок-
о
симировать результат. На рис. 5.9 изображены функции Ф4(а,
Для ветви замагниченных ленгмюровских колебаний со = соре
в сильном-магнитном поле
I cos e I
274
Ф5КР).
E.49)

Величина Ф5 при а > р, Р >> 1 равна я/6. Однако для колебаний
ФНе | cos 8 | (в слабом поле) нижний предел E.49), грубо говоря,
определяется условием замагниченности частиц k > -^. На рис. 5.10
изображена функция Ф5. Из этого рисунка также следует, что
замагниченность колебаний снижает запрет на ускорение частиц
малых энергий.
Приведем, наконец, для замагниченных потенциальных коле-
колебаний результат, соответствующий пределу р<^1, т. е. в области,
70	20
Рис. 5.10. График Ф5 (а,
30 J3
в которой частицы являются замагниченными. Кривые рис. 5.7 и
5.10 весьма слабо заходят в эту область, однако относящиеся сюда
результаты важны для проблем инжекции. В этой области можно
получить явные аналитические выражения для коэффициентов
диффузии.
Из E.14') легко получить, что в слабом магнитном поле для
.<о? = (D//g | cos0 | лишь v—1 дает вклад
0
Не*
СО
ре
1-^1 \ Wkdk.
«>Не
E.50)
Для ультрарелятивистских электронов и ионов соя<^ соЯ?? коэф-
коэффициент диффузии оказывается одинаковым. Для ветви & \ cos0|
в сильном магнитном поле получим в условиях сильной замагни-
замагниченности И V<^(dpe/k
(>-т
Wbdk.
E.51)
Темп инжекции E.51) трудно сравнивать с E.50), так как они от-
относятся к разным значениям магнитных полей. Условие (Он<.(оре
вместе с а)Не ^> сор?? указывает, что в очень сильных магнитных полях
ю#/^>соре инжектироваться механизмом E.51) могут только тяже^-
лые ионы т> тг. Как E.50), так и E.51) не зависят от детального
вида спектра турбулентности.
275

§ 5.4. СТОХАСТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦ
ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ
В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
Как было выяснено, возникновение релятивистских электронов
в турбулентной плазме является совершенно естественным ее про-
проявлением. При наличии магнитных полей также по необходимости
должно возникнуть интенсивное синхронное излучение [46]. Однако
частицы, находящиеся в поле этого излучения, не только спонтанно
теряют энергию на излучение, но могут приобретать ее за счет инду-
индуцированного поглощения и излучения [250]. Действительно, вы-
вывод о том, что эффект ускорения должен существовать непосредст-
непосредственно, следует из E.14). В пределе весьма высоких частот.со^> соре
можно пренебречь наличием плазмы. Проектируя Tv на два ортого-
ортогональных поперечных орта [см. B.216)], получаем
V(?); r2,v=-\v±j'v(t).	E.52)
Усредненная по поляризациям вероятность излучения приобретает
хорошо известный вид [247]
w
е2 Г (cos0 — vzJ o
(k, v) = BяJ — —-—— A
v y	*> 1 sin2e v ®H I
E.53)
При больших частотах спектр излучения практически непрерывен
и можно сумму по v в E.14) заменить интегралом
J \ \
-1-1 0
Здесь W* = ] W^do) — плотность энергии электромагнитного из-
излучения.
Рассмотрим два случая: 1) релятивистские частицы движутся
почти поперек магнитного поля; 2) распределение релятивистских
частиц изотропно.. В первом случае можно в E.54) опустить интег-
интегрирование по у, положив у = 0. Еслр использовать далее асимпто-
276

хяческое разложение
Н	71*3	' E.55)
о т2с*
[хг <^ 1 в силу того, что релятивистская частица излучает в основ-
основном по направлению своего движения), то E.54) приобретает
вид 1250]
—
9/3 Я 2 3
ер= -1_ е соя () j
О
7 Г Wi
~c43K5!3(Z)dt, E.56)
J со3
E.57 )
где
с.	 2 со / /ггс
Распределение электромагнитного излучения по частотам может
быть различным, но наибольший интерес представляет тот спектр,
который естественным образом вырабатывается самими релятивист-
релятивистскими электронами. Как показано в работе [46] (см. также гл. 6),
в области низких частот, где существенную роль играет реабсорб-
ция,
Wl~ const co5/2.	.	E.58)
Тогда легко получить из E.56) гр~ const e2, т. е. значительно
более быструю зависимость эффекта ускорения от энергии, нежели
для фермиевского ускорения. Спектр E.58) не может простираться
до со ~> оо и обрывается обычно при со*, величина которой зависит
от размеров объекта и длины реабсорбции излучения. В условиях,
когда спектр излучения Wl обрывается на со* или спадает по сте-
степенному закону ^03 = ^^; v>l, эффективное ускорение — е2
/ 8* \2 со* тс
прекращается при —i ~ ——, коэффициент диффузии по энер-
у ттьс I	&ti
гиям становится постоянным, а е c±z cons . Сходные результаты полу-
s
чаются при изотропном распределении релятивистских частиц.
В этом случае коэффициент диффузии согласно E.53) и E.14) может
быть записан в виде
— 1	— 1
277

X б ( усол - со ) v2f )\v* ' 'f 4 (Г) + -^ 4 (ГI; E.59)
\	1— vxf у ) у .1—и2*/2	1—Л'	J	у
где а;' — косинус угла между направлением к и Но в системе отсче-
отсчета, в которой частицы имеют vz = 0. Интегрирование по углам
х' производится так же, как и для отдельной частицы в вакууме
(см. работу [247]), если учесть, что х' <: 1, так как частица излучает
в основном в направлении своего движения,
D'=
X \±-uf2vBvu)— ±^'b2vBvl)dA	E.61)
/\ m2c4 со	/с лоч
1	.	E.62)
82 VCO//	V	У
Используя асимптотику функций Бесселя [247], получаем [251]
о
Х|/ ~л/ 1-^тг.	E-63)
у ну	ё
Если вместо E.58) записать
'""".	E.64)
со*
е /.I / тш*.	men
то при —2^ I/ —if получим ]251]
x
. E.65)
278

Таким образом, при v' =-^ , D ~е3 и г ~ е2, т. е. изотропный случай
качественно совпадает с рассмотренным выше (отличаются чис-
численные коэффициенты в D). Однако анизотропные распределения
релятивистских частиц могут быстро ликвидироваться хотя бы из-за
синхротронной неустойчивости [252] и изотропные распределения
оольше соответствуют реальным распределениям в космических
объектах.
Рис. 5.11. Темп ускорения релятивистских
электронов синхротронным излучением.
На рис. 5.11 схематически изображен ход кривой е = /(е)
при ускорении высокочастотным излучением. Кривая сходна по виду
с кривой ускорения ленгмюровскими пульсациями, однако макси-
максимум находится в области ультрарелятивистских энергий и зависит
существенно от размера объекта, плотности излучения и других
характеристик. Увеличение темпа ускорения с ростом энергии ча-
частиц аналогично случаю ленгмюровских пульсаций происходит
от увеличения интенсивности с частотой и, следовательно, связано с
тем, что на частицы больших энергий действует большая суммарная
плотность.излучения. Падение эффекта ускорения объясняется на-
насыщением D.
Обсудим теперь роль плазмы в рассмотренных механизмах уско-
ускорения. Пусть, как и выше, со ^> со#е. В тензоре диэлектрической про-
проницаемости можно пренебречь
E.66)
е(©) = 1—^.
Несмотря на то, что показатель преломления слабо отличается от
единицы, наличие плазмы может существенно сказаться на ускоре-
ускорении ультрарелятивистских частиц [253]. В данном случае важно,
т2с*\ .	с2
насколько
1—•
близко
•= с"
-3 . Из
е2 / ^"^"^ 8 (со)
сравнения следует, что плазма существенно сказывается при
<о<;соре -!Ц. Вероятность излучения при s(co) Ф 1 легко найти из об-
ших формул, если использовать E.52) и &2с2 =02е(со),и является
несложным обобщением результата, полученного впервые в ра-
• 279

боте [248] (см. также [254])
wp , р (k,v)= —L_5E?2— б (со — соя v — соу2л;|/е(со)) х
z -L	8 (СО) СО
X V-v^)W rv (g') + 0^_ 8 (о,) Jv (g') .	E.67)
5'= A— /в»,*)-1 vl/et>x|/ 1-х2; x = cos6.
Поскольку качественно изотропный случай и случай движения
частиц перпендикулярно к магнитному полю дают одинаковые ре-
результаты, рассмотрим здесь более простой случай vz = 0. Тогда
получим соотношения, сходные с E.56):
i=%v; 411 =	; 4=1 — e2(co)=-
Зависимость ^ от v схематически изображена на рис. 5.12.
Можно выделить три области для v:
2v о/о
SE?'
В этой области плазма на ускорение не влияет и результат сов-
совпадает с E.56);
Здесь
ОО
Ф(У = 2 J
280	'6t

График ФAг) изображен на рис. 5.13. При ?х:> 1 Ф(^) отрицатель-
отрицательно и ускорение заменяется торможением. Это означает, что частицы
отдают энергию на излучение, т. е. возникает возможность генера-
генерации поперечных волн [255]. Однако относительный вклад области
g ^> 1 для многих распределений невелик;
в) v ~ реи (—2) или г]! ~ т). Это область минимума
на кривой рис. 5.12. Наименьшие значения
есть
О
.'ОЛ
1	1	1	L
Рис. 5.12. Примерный вид кривой ^ (v)
(пунктир — асимптотические предель-
предельные кривые). Отмечены три области
(а, бив) изменения gx.
Рис. 5.13. График Ф
¦Ope V Sm2c3
еН
> тс
—	тс ¦ е \ 2	о
, при этом v = vm = у 2 о)юе — — . Если —
^ еН \ тс2!	тс
	, то SiMI1IIC 1 и в E.68) можно воспользоваться асимпто-
&Г1
. мин
тической формулой
тогда
_3_ 22/3 ГE/3)
2 ' ?2/3
Область применимости этой формулы перекрывается с E.56) и
E.68). Отсюда следует, что E.56) применима при v
а E.68) —при v« ( — -)\
\ тс2 1
Наряду с синхронными эффектами ускорения в турбулентной
плазме возникают другие эффекты, связанные с наличием турбу-
281

лентных полей. Они во многом сходны с описанными здесь и должны
трактоваться совместно. Поэтому обсуждение вопроса о спектрах
частиц, ускоренных излучением, мы отложим до следующей главы,
в которой разбирается вопрос о спектрах излучения турбулентной
плазмы.
§ 5.5. СТОХАСТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦ
НИЗКОЧАСТОТНЫМИ ИОННО-ЗВУКОВЫМИ ПУЛЬСАЦИЯМИ
Рассмотрим теперь пульсации, связанные с такими коллектив-
коллективными движениями, в которых принимают участие ионы плазмы.
kvs
ДЛЯ ИОННО-ЗВуКОВЫХ ПуЛЬСацИЙ G)? = —	- ПрИ V^>VS] kv »
Y\ + k2d2e
> (он получим
Пределы интегрирования в E.70) не зависят от скорости ускоряемой
частицы, если эта скорость больше скорости звука, а поэтому ускоре-
ускорение на ионно-звуковых колебаниях не зависит от спектра ионно-зву-
ковой турбулентности. Из E.70), в частности, следует, что в первом
приближении систематическое ускорение равно нулю. Однако при
этом флуктуационное ускорение весьма велико. Из-за гр = 0
(ДеJ = е2
82 = 2DV = D0^J^; ep=A	E.71)
Последняя формула показывает, что темп ускорения (или нагрева)
быстрых частиц тем больше, чем больше их масса и заряд, т. е.
многозарядные тяжелые ионы ускоряются лучше всего. Э^гот вывод
важен для теории происхождения космических лучей [46]. Сущест-
Существенное различие в ускорениях на ионно-звуковых и ленгмюровских
колебаниях состоит в том, что ускорение на ионно-звуковых коле-
колебаниях возможно при существенно меньших скоростях (v~vs^•
— 1, что важно для ускорения ионов и инжекции в режим
ускорения высокочастотными колебаниями. Как показано в гл. 4?
развитие высокочастотной турбулентности приводит к нагреву элек-
электронов плазмы и к генерации ионно-звуковой турбулентности, даже
если отсутствуют непосредственные источники ее возбуждения.
Отсюда следует, что эффекты E.71), приводящие к инжекции, воз-
возникнут с необходимостью при длительном существовании турбу-
турбулентности. Целесообразно сравнить коэффициенты диффузии D1 и
Ds в условиях, когда ионно-звуковые и ленгмюровские пульсации
создаются источником ленгмюровских пульсаций мощностью Q-
282

Wpe
Тогда при —f>c, т. е. для достаточно горячих электронов,
Тогда при f
b e"=Ze- EJ2)
С Другой стороны, используя D.123), получаем из E.70)
Q 5 («f 72.
/с уоч
Формулы E.73), E.74) написаны с точностью до численного коэф-
коэффициента порядка единицы. При v ~ Vre величина Ds в —- раз
меньше D1 и, кроме того, существенно быстрее падает с ростом энер-
энергии частиц. Таким образом, действительно механизм E.73) может
играть роль естественного механизма инжекции.
Если ионно-звуковая неустойчивость возбуждается непосредст-
непосредственно и можно использовать D.231) и D.236), то
Коэффициент диффузии Ds при Q С Ql линеен по Q, а при
Q>Ql пропорционален i / -^-. Если воспользоваться спектром
D.257), то
e\3/2	_
*) ,	E.76)
что в общем меньше E.75), т. е. основное ускорение производится
пульсациями с частотами, близкими к сор/. Если равновесное распре-
распределение частиц возникает как баланс между ускорением E.70) и
торможением из-за столкновений, то
283

т. е.
/8 - const /1е"~8/гэфф.	E.78)
Для быстрых электронов и ионов (v^>VTe) необходимо учитывать
столкновения с электронами, и для E.73) получим
]/ У q^	E.79)
Последнее соотношение дает представление о том, каков должен
быть поток турбулентной энергии, чтобы инжекция была эффек-
эффективной, т. е. Гэфф»Те(^)
\tne
E.80)
ре
Таким образом, видно, что при большой мощности Q ускори-
ускорительный механизм диссипации становится необходимым элементом
развития турбулентности. В условиях, когда справедливо E.74),
эффективная температура инжекции имеет оценку
*W «Л»/'к, « . . ¦ ^_н E.81)
Так как в силу D.23,6) Q > Ql, то Гэфф всегда больше Те, если
Последнее условие легко удовлетворяется, и ионно-звуковая турбу-
турбулентность является хорошим инжектором быстрых частиц.
Рассмотрим теперь качественно эффекты, возникающие при
возбуждении турбулентности постоянным внешним электрическим
полем. Если скорость направленного движения электронов близка
к vs (см. [137]), то
Q~eEnov8,	E.83)
и, следовательно, при Q > Q*, т. е. согласно D.237) при
E.84)
8пп0Те пц	mt Tf
.284

получим
тЛЧ2< EmiTi V/2. E.85)
Заметим, что в силу D.243) Q<Q*lYE- Если Q<LQ*, to нелиней-
нелинейность мала и равновесие может возникнуть за счет квазилинейного
уменьшения инкремента. При этом очевидно 2Wyl = Q, т. е.
mieEtloVs -,/2	^	vTe г-	/г олч
Ц/ ;w 	 I / 	•	^} /V^	^jC/T f .	E.86)
me tope * n	to2pe
Отсюда
Формула E.87) была получена в работе [256].
§ 5.6. УСКОРЕНИЕ АЛЬФВЕНОВСКИМИ
И МАГНИТОЗВУКОВЫМИ ПУЛЬСАЦИЯМИ
Условие незамагниченности ускоряемых частиц выполнено при
со = kvA>®HVAlv. Таким образом, для нерелятивистских электро-
электронов со>соя^^л/у, но со<со#/, т. е. v>va — = уинж и порог инжекции
весьма высок. Даже при va = vs имеем уИнж^1/— Vre, и энер-
г Ше
гия электронов по крайней мере в 103 раз превосходит тепловую.
Обычно же vA^> vsn энергия инжекции для электронов еще больше
(при va ~ Vre она составляет (—) Тв). Это говорит о том, что нере-
лятивистские электроны практически не могут эффективно уско-
ускоряться такими пульсациями. Ультрарелятивистские электроны
могут ускоряться. Наоборот, для нерелятивистских ионов условия
незамагниченности практически выполнены всегда, если v~>Va>
и особенно хорошо для тяжелых ионов mj^> ть. Коэффициент диф-
диффузии для альфвеновских и магнитозвуковых пульсаций имеет
вид [257, 249]
	1
1
Г v2 /2 (I)
X \ (ir/	б (со — kvxy—vco//);	E.88)
J	1-х2
— l
285

WA(x)dx
x (Л, ©J б (w—kvxy— vuH);	E.89)
M
, Q = 1F^ WM (x); J WM (x) dx = 1; л = cos 9.
Для незамагниченных частиц можно использовать вероятности
B.223)
Г
E.90)
Верхний предел E.90) несуществен, так как плотность энергии
альфвеновских пульсаций стремится к нулю при со ->¦ соя/ (по" опре-
определению альфвеновской ветви). Нижний предел cohVaIv написан
приблизительно из условий незамагниченности. Заметим, что угло-
угловая зависимость альфвеновских пульсаций оказывается малосу-
малосущественной при v^$>va. Действительно, в Da б этом случае войдет
1
лишь интеграл J [ x\3WA (x)dx, определяющий лишь численную
i
J
— i
константу*. Эта константа в силу условия нормировки порядка
единицы. Если v<^ Va> to E.90) имеет приближенный вид
"? I'
vA
* Нижний предел можно приближенно положить со^	, так. как х—1.
286

E.88) следует, что в условиях замагниченности kv < соя имеем
@-
:С0,
т. е.
.vAi и интегрирование распространяется
область, которая не охватывается E.90). Из E.88) следует
3cMl+Id
Wi
WA(x)dx.
E.92)
Рис. 5.14. График ФА (а, р).
Из сравнения E.92) с E.91) получим, что область незамагничен-
ных частиц вносит пренебрежимо малый вклад и можно использо-
использовать E.92) (естественно, в условиях, когда угловое распределение
более или менее изотропно, а точнее, если нет такого поло-
положения, когда все волны идут вдоль поля). Формулы E.92) и
E.90) являются приближенными (предельными случаями). Даже
при v^>vA нижний предел E.90) приближенный и в точной формуле
имеется форм-фактор, зависящий от а = — и
В — — — —
DA =
ин ил
VA
аН\
\
da.
E.93)
Ha рис. 5.14 изображена функция Фл для случая изотропной турбу-
турбулентности.
Для магнитогидродинамических пульсаций и незамагниченных
частиц получим
DM=-
Зя2 v\
мн-
287

Здесь интеграл не нуль лишь при v>va. Угловая зависимость
в E.94) вообще выпала в силу J WM(x)dx=l и эффекты ускорения
не зависят от угловых распределений турбулентных пульсаций.
В общем случае коэффициент DM может быть представлен в форме,
аналогичной E.93). Функция Ф^ (а, C) изображена на рис. 5.15.
В условиях замагниченности kv<^coH имеем о)# = co(v = 1) и
w	го
Рис. 5.15. График Ф^ (а, C).
Тогда из E.89) получим
2л2 е2 Z2 v \
dxWM(x).
E.95)
— i
Из E.92) и E.95) следует, что инжекция в режим ускорения
альфвеновскими и магнитозвуковыми колебаниями определяется
спектральной плотностью альфвеновских и магнитозвуковых пуль-
пульсаций при со = со#. Согласно гл. 4 для одномерного спектра
0)v
= 1, т. е.
D = const
е2 v\ mcZ2
E.96)
-4 \eH\Z
и, следовательно, е~^- D ~ Z не зависит от массы частиц. Для маг-
магнитозвуковых пульсаций при Те J$> Tt возможно v = 2, т. е. D — гпг
и 8 = const e. Этот механизм ускорения более эффективен, чем
фермиевский е = const У"в. Очевидно, что в силу со <^ ©я/ и со = со я
протоны, так же как и электроны, не могут инжектироваться этим
механизмом.
288

Общий вид ускорения, следующего из E.92), E.96),
E.97)
1+-1 \т
был получен в работе [258] (при Va<^c), где было показано, что»
преимущественное ускорение тяжелых ионов возникает при v > L
Если считать, что в одномерном случае
W	,	E.98)
то равновесное распределение ионов будет
/е = const]/eeV s
Значение 7эфф указывает на ту энергию, для которой распределение
выходит на / = const "jAe. Если инжекция производится магнито-
звуковыми колебаниями при v = 2, то
/е = const l^e е
E.100)
VA
zMi+!4i.
mv\
Распределения E.100) и E.99) имеют место лишь при
>-—-. В E.100) предположено, что спектр WM = ^2 имеет ме-
место лишь до к>ko = -j^, где L — основной масштаб турбулент-
турбулентности, т. е.
W% = —vA—	E.101)
L	со2
289

Величины ТЭфф играют роль тех энергий, для которых столкно-
столкновения не способны сбалансировать ускорение и частицы, непрерыв-
непрерывно ускоряясь, достигают р = Va-
В области v<^vTi вместо E.99) получим
fe = const Уеехр(-е/Гвфф);	E.102)
	7^ 	A	 .
Zv. m.nncv aV2t; m. In
шмакс
^мин
E.103)
Это указывает на то, что эффективные температуры для тяжелых
ионов больше, т. е. имеет место преимущественное ускорение тяже-
тяжелых ионов. Аналогичный результат был получен и для фермиевского
ускорения [46]. Рассмотрим теперь ускорение частиц больших
энергий v^> va. Учитывая, что одномерный спектр есть v = 1,
получаем с точностью до коэффициента порядка единицы
с2
8 <8 ;
E.104)
/ 2 \2mf Я2 со^. L2
где для нерелятивистских энергии 8* = I 2зГ ) ~т Sc2n п ' а для
ультрарелятивистских 8* = LeHZ. е*—энергия, при которой основ-
основной масштаб турбулентности сравнивается с л арморовским радиусом
ускоряемой частицы.
т ( с \
Если va>c ^— 	г » т0 е^^>тс2. В астрофизических ус-
LtTLi \ COpj L /
ловиях обычно &^^>тс2. В лабораторных — величина L мо-
может быть порядка размера системы и соответственно е* —
нерелятивистской. Считая г^,^>тс2, получаем для E.104) при
' 1
8<^е^ 8 = const; 8^>8^; 8~—.
с
Для магнитозвуковых пульсаций при Те^> Tt картина сущест-
существенно иная, если v = 2. При этом согласно E.94) с точностью до
константы порядка единицы
vs* 9WM{ !•- 8<<е*:	EЛ05)
L H* If*.. e.»	E.106)
Результат E.105) был получен в работах [258, 45]. Сходный
результат для одномерного случая — в работе [259]. Формула
E.105) аналогична формуле фермиевского ускорения, где вместо
290

скорости облака входит vA, а вместо расстояния между облаками —
основной масштаб турбулентности. Из-за того что спектральная
перекачка в бесстолкновительной области уменьшает частоты пуль-
пульсаций, основной масштаб должен определяться длиной свободного
пробега, если она меньше размеров системы, т. е. областью приме-
2л	vA
нимости бесстолкновительной теории со~-р гм~^ или L~ —.
О
Рис. 5.16. Темп ускорения ионов магнито-
гидродинамическими и альфвеновскими турбу-
турбулентными пульсациями (е* = ZeHL).
Это верно, конечно, если источник турбулентности действует время,
достаточное для того, чтобы энергия турбулентности перекачалась
в эту область. В столкновительной области направление перекачки
противоположное. Таким образом, первоначальная, сделанная еще
в работе [260], грубая оценка L~— оказывается правильной. На
рис 5.16 приведена характерная кривая, описывающая эффектив-
эффективность ускорения как функцию энергии частицы. Падение ускорения
при 8>е^ имеет объяснение, сходное с приведенным выше. Оно
связано с тем, что все пульсации ускоряют частицы и коэффициент
диффузии становится постоянным [см. E.106I. Функции распре-
распределения ускоренных частиц для s-^s* согласно E.105) являются
j
степенными ~ -у, где у существенно зависит от природы частиц
и т. п.
Хотя s* обычно релятивистская, механизм E.105) не может
объяснить происхождения космических лучей по двум причинам:
1) Y в законе 1/в^ не универсально, 2) эффективность ускорения
очень мала ввиду больших значений L ~-~(см. [46]). В следующей
главе будут рассмотрены специфические механизмы ускорения,
связанные с излучением турбулентной плазмы, которые могут быть
также эффективными для ультрарелятивистских энергий.
291

§ 5.7. УСКОРЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
ПРИ ИНДУЦИРОВАННОМ РАССЕЯНИИ
НА ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЯХ
Эффекты ускорения при индуцированном рассеянии пропорцио-
пропорциональны второй степени энергии турбулентных пульсаций и поэтому
более слабые, нежели рассмотренные выше эффекты, возникающие
при индуцированном излучении и поглощении. Такого рода эф-
эффекты интересны тем, чтов ряде случаев ускорение, связанное с из-
излучением и поглощением пульсаций, либо строго запрещено за-
законами сохранения, либо малоэффективно в силу того, что законы
сохранения разрешают процессы лишь в узком интервале углов
между частицами и волнами или узком интервале скоростей и т. п.
Например, законы сохранения запрещают (в отсутствие маг-
магнитных полей) взаимодействие между ленгмюровскими пульсациями
и частицами, имеющими скорость v<Cvre- Процессы такого рода
интересны как механизмы инжекции ионов в ускорительный меха-
механизм, связанный с воздействием ленгмюровских пульсаций. Другой
пример также касается ленгмюровских пульсаций. Как показано
в гл. 4, ленгмюровские пульсации в изотропной плазме перекачи-
перекачиваются в область больших фазовых скоростей. Для нелинейных
взаимодействий значение vp = с ничем не выделено и пульсации
перекачиваются в область vp>c, где черенковское взаимодействие
и ускорение частиц невозможны.
Если k > соре —^-; v<VTe, то для ионов массы т получим
vTe
D = const
4я2 е2 Z*
8 =
9пгп0 Те
Г k (WlkJdk ( 1 +—1 2 .	E.107)
J	V Ti )
*4е
Если v>vti, то нижний предел больше ыре —-^- и можно
3vTe
IV/	1 A2Q	и	0)_ , m_ \ 1/5
использовать Vv^ = I/ —-у т. е., полагая kM.u<
vTe
п2тсо2ре V
E.108)
Механизм инжекции E.108) весьма эффективен для протонов.
Если йСсОре-^-, то ускорение резко падает.
v.
Те
292

Эффекты индуцированного рассеяния для v^>vre и vp<Z с рас-
рассматривались в работе [60]. Здесь мы остановимся на случае vp^c,
так как именно в этой области фазовых скоростей сосредоточена
основная энергия ленгмюровских пульсаций, а черенковское ус-
ускорение запрещено. Получим
(sJ^Z^^^^j\pe]/
vTe
28
•(*„(—] (—) I/ -—' EЛ09)
2s
Здесь использовано /e0¦= k^(QJQ)^2^v~~lK Эта формула также опи-
описывает преимущественное ускорение нерелятивистских тяжелых
многозарядных ионов.
§ 5,8. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ
МЕХАНИЗМОВ УСКОРЕНИЯ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА СПЕКТРЫ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Все рассмотренные механизмы описываются характерными кри-
кривыми с максимумами. Поэтому целесообразно сравнивать эффектив-
эффективность ускорения по значению 8 в максимуме. Сравнивая E.109)
с ускорением на резонансных плазмонах, находим, что E.109) мень-
меньше. При сравнении эффектов ускорения частиц больших энер-
энергий следует иметь в виду, что ускорение ионно-звуковыми пуль-
пульсациями имеет максимум при v ~ vs и неэффективно для частиц
очень больших скоростей. Сравнивая же ускорение магнитогидро-
динамическими пульсациями с ускорениями ленгмюровскими,
получаем
WM
Здесь Ql =Wl ve. Важным является временной масштаб уско-
ускорения, т. е. время, в течение которого частица достигает макси-
максимума *макс, грубо говоря (ел	8макс ~1 
Ясно, что
( 'J\
\В /ма
лаке макс
'макс смакс
293

тогда
^f^.J!z>z^- —i/ — l/
тс2 vA m WM V n0Te V
Если
~i	eHL mi о (Ope _9
	 TO 	 =	VA 	c "
ip	тс2 т ve
И
y;
у
vAvTec~\ E.113)
Как правило, большой множитель у ~- в астрофизических усло-
условиях делает ускорение высокочастотными ленгмюровскими пуль-
пульсациями наиболее эффективным. Ускорение на магнитогидродина-
мических пульсациях играет чаще всего роль инжекции.
В свою очередь, ускорение ленгмюровскими пульсациями служит
инжекцией в ускорение электромагнитной радиацией (см. также
гл 6). Каскад взаимодействий приведет к возникновению в плазме
частиц очень большой энергии (космических лучей) и к следующему
2
Рис. 5.17. Изменение спектра ленгмюровской
турбулентности из-за ускорения частиц. По-
Последовательные состояния /, 2,3 соответст-
соответствуют увеличению числа ускоренных частиц.
изменению состояния высокочастотных пульсаций. Число ускоряе-
ускоряемых частиц возрастает благодаря тому, что сама турбулентность
осуществляет инжекцию. Высокочастотные пульсации не имеют
другого поглощения, кроме поглощения на быстрых частицах,
ускоряемых ими. Поглощение возрастает и это продолжается до тех
294

пор, пока основными в поглощении пульсаций не станут эффекты
ускорения. Число ускоряемых частиц возрастает медленно из-за
малой эффективности механизмов инжекции. Последнее является
необходимым, ибо в противном случае быстро нагрелась бы основ-
основная масса частиц и турбулентность упала. Следовательно, строго-
говоря, высокочастотная турбулентность квазистационарна и по-
постепенно переходит в режим ускорительной турбулентности, когда
вся мощность Q расходуется на ускорения частиц. Последователь-
Последовательные стадии такой деформации с исчезновением максимума в спектре
изображены на рис. 5.17. Поглощение ленгмюровских пульсаций
релятивистскими частицами с /8 = const е2е~8/ГэФФ
я-1 п0 Гэфф k*c*[O; ape>kc
максимально при k ~ соре/с и растет с падением Тъ^ и увеличением;
числа быстрых частиц пг. Как только максимум в спектре исчезает
из-за накопления ускоренных частиц, ускорение резко снижается и;
уменьшение плотности энергии W (при постоянном Q) резко за-
замедляется. Еще до исчезновения максимума вступают в игру радиа-
радиационные процессы на быстрых частицах, и энергия, отданная быст-
быстрым частицам, идет на излучение. Установление равновесия в излу-
излучении приводит к спектрам частиц Ve?, которые, вообще говоря,
вырабатываются до исчезновения максимума в спектре турбулент-
турбулентности. Поглощение турбулентности на космических лучах играет
важную роль в равном распределении энергии между космическими
лучами и турбулентностью.

Глава б
ИЗЛУЧЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ
ПЛАЗМЫ
§ 6.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Излучение — важнейшее проявление турбулентности плазмы и
имеет многочисленные приложения. С излучением турбулентной
плазмы пришлось встретиться* в первых же лабораторных экспе-
экспериментах, в которых возбуждалась турбулентность плазмы пучками
заряженных частиц, электрическим полем и т. п. (см. [24, 31, 32]).
Одним из важных приложений излучения турбулентной плазмы
является возможность получения определенных сведений о пара-
параметрах плазмы (температуры, плотности и т. п.), а также диагно-
диагностика спектров турбулентности плазмы. Излучающую турбулентную
плазму можно использовать как источник электромагнитных волн.
Как правило, спектр излучения довольно широк. Эффекты излуче-
излучения турбулентной плазмы могут приводить к излучательной дис-
диссипации турбулентности плазмы и возможности установления ста-
стационарной турбулентности, диссипируемой на излучение. Излуче-
Излучение турбулентной плазмы вместе с механизмом спектральной пере-
перекачки способно демпфировать (стабилизировать) раскачивающиеся
.пульсации.
Среди механизмов излучения турбулентной плазмы можно -выде-
-выделить такие, которые связаны с нелинейной конверсией пульсаций
в электромагнитное излучение на основной массе частиц и на быст-
быстрых ускоренных частицах (см. гл. 5). Фактически функция распреде-
распределения частиц в турбулентной плазме не максвелловская и имеет
длинные хвосты в сторону больших энергий. Отсюда следует, что
само деление частиц на частицы, составляющие собственно плазму,
и быстрые частицы условно. Вместе с тем излучение быстрых час-
частиц обладает некоторыми специфическими особенностями. Одна из
особенностей излучения быстрых частиц — существенное повышение
частоты излучаемых волн, которая для ультрарелятивистских
частиц может намного превосходить частоту турбулентных пуль-
пульсаций. Наоборот, при конверсии в электромагнитное излучение на
основной массе тепловых частиц плазмы частота, как правило, либо
меняется очень мало, либо может удвоиться, т. е. не может изме-
измениться по порядку величины. Действительно, в процессах нелиней-
нелинейного слияния и распадов турбулентных пульсаций могут появиться
частоты
со< = соа ± со0'.	F.1)
:296

Так как при слиянии двух ленгмюровских волн возникают волны
с частотой ~ 2соре, при слиянии двух волн со ~ (оНе в сильном маг-
магнитном поле появляются волны с частотой 2со#е, слияние плазмен-
плазменной и любой низкочастотной волны дает излучение на частоте,
близкой к плазменной, и т. п. При рассеянии пульсаций на тепло-
тепловых частицах изменение частоты может быть лишь порядка доп-
плеровского смещения частоты, связанного с тепловым движением
частиц kvTe, kvn. Для ленгмюровских пульсаций эта величина
много меньше самой частоты —~— <<г 1. Это означает, что изме-
измене vp "
нения частоты практически не происходит. Из равенства частот
поперечных и продольных волн находим
k = ys — kl9 т. е. длины поперечных волн в clvTe раз больше,
чем продольных. Такие поперечные волны с частотами, близкими
к соре, мы условились называть поперечными плазмонами. Возбуж-
Возбуждение поперечных плазмонов еще не означает излучения плазмы на
частотах, близких к соре, так как выход таких волн из плазмы силь-
сильно затруднен из-за того, что их показатель преломления п близок
к нулю, а нелинейные эффекты спектральных перекачек лишь приб-
приближают его к нулю. Имеется все же ряд обстоятельств, которые
делают возможным и эффективным излучение на частотах, близких
к соре. Во-первых, это неоднородности плазмы, из-за которых воз-
возникает поток в сторону увеличения волновых чисел. При этом,
однако, градиенты концентрации должны быть весьма большими,
чтобы «противостоять» нелинейному потоку энергии из-за спект-
спектральных перекачек в противоположном направлении. Во-вторых,
это возбуждение турбулентности при больших волновых числах,
г2 2
когда (оре+ 21а)Те заметно отлично от соре (со — соре может быть
порядка -g-Юре). Правда, при интенсивной турбулентности основная
энергия быстро перекачивается в область vp^>c и доля энергии,
приходящаяся на vp ~ vTe, относительно мала. В-третьих, эффекты
анизотропии распределения тепловых частиц могут изменить на-
направления перекачки. В-четвертых, наконец, спектральная пере-
перекачка может быть для поперечных плазмонов подавлена их выходом
из системы. Действительно, согласно F.2) групповая скорость
поперечных плазмонов в c/vTe раз больше, и если у^ — нелинейный
инкремент перекачки, то длина, на которой происходит процесс,
описываемый у^ для поперечных плазмонов, в clvre раз больше.
•Если размеры системы L меньше этой длины конверсии, то о пере-
Качке поперечных плазмонов говорить нельзя. Это не мешает про-
297

дольным плазмонам сконцентрироваться в области, где их конверсия
в поперечные затруднена.
В силу малого изменения частоты на тепловых частицах другие
моды пульсаций, кроме ленгмюровских, превратиться в электромаг-
электромагнитное излучение не могут, если сояе<^соре: В сильном поле сояе^>соре
в электромагнитное излучение могут легко превращаться пульсации
<оа»сояе, причем, так как для электромагнитных волн, возникаю-
возникающих при конверсии, п^> 1, то трудностей с выходом излучения из
плазмы не возникает и конверсия на тепловых частицах может
дать интенсивное излучение турбулентной плазмы на частотах,
блИЗКИХ К СОяе-
Наличие в турбулентной плазме быстрых ускоренных частиц
значительно упрощает всю проблему выхода излучения при соя* <С
<^ соре. Действительно, допплеровское изменение частоты для нере-
нерелятивистских частиц составляет уже kv ~ — соре и при v ^> vp может
быть существенно большим соре. Кстати, экспериментальные данные
по излучению турбулентной плазмы на Солнце [261] указывают на
то, что частоты излучения, как правило, близки к соре, но система-
систематически превосходят Фре.
В предыдущей главе было показано, что турбулентная плазма по
необходимости генерирует релятивистские частицы. Изменение
частот при конверсии на релятивистских частицах оказывается еще
более значительным.
Действительно, если частицы не замагничены, то из закона сох-
сохранения энергии при рассеянии
со — со* = (к —k*)v	F.3)
получим
соа—kav
1 — vcos
F,4)
где 0 — угол между направлением излучаемой волны и скоростью
частицы. При 6<;	 имеем
8
(-^-	F.5)
Если — = vp — фазовая скорость пульсаций много меньше с,, то
а если Vp > с, то
со с^ 2соа 	1 •	W**)
298

Сильное отличие максимальной излучаемой частоты от частоты
турбулентных пульсаций приводит к возможности возникновения
излучения от низкочастотных пульсаций. С ростом в/тс2 могут
излучать даже самые низкочастотные магнитогидродинамические
И альфвеновские пульсации. Такое излучение становится уже сход-
сходным с синхротронным излучением в случайных магнитных полях.
Однако, поскольку F.6) возможно для незамагниченных частиц,
возникающие эффекты могут качественно отличаться от эффектов
синхротронного излучения.
Итак, мы видим, чтн турбулентная плазма может быть источни-
источником электромагнитного излучения в очень широком диапазоне час-
частот. Для описания эффектов возбуждения и распространения элект-
электромагнитных волн в турбулентной плазме можно воспользоваться
уравнениями для числа квантов, описывая их взаимодействие с пуль-
пульсациями и частицами с помощью вероятностей распада и рассея-
рассеяния. Приведем здесь общий вид таких уравнений, записав их для Ik:
^a= сокл4Bя)-3; F-8)
оо
/к = I
4ясо
F.9)
Здесь выделен член, пропорциональный интенсивности излучения
/к. Он описывает эффекты реабсорбции излученных волн (если
Yk<0)> тогда как последний член F.9) — эффекты спонтанного из-
излучения. Наряду с реабсорбцией возможна и раскачка электромаг-
электромагнитных волн (Yk>0), когда возникает усиление электромагнитных
волн турбулентной плазмой. Часто удобно ввести интенсивность
излучения
W?)V-.	F-Ю)
Спектральная плотность электромагнитного излучения тогда за-
запишется в виде
».QdQ,	F.11)
а полная интенсивность
оо
3d(D.	F.12)
299

В случае изотропного и однородного распределения излучения
уравнение F.9) можно записать в виде
^f=-?*/*+Q*.	F.13)
Здесь Qco = j Qk k2 -j^ dQ, y©=Ym©). В общем случае Qk и yk
могут быть записаны в виде
2S Vk.kt, ^k,dki;	F.14)
S^k,. к* ^.<^^к2.	(& 15)
а, а'
В 7к достаточно ограничиться линейным по энергии турбулент-
турбулентности членом, тогда как в Qk необходимо учесть и квадратичный,
так как уравнения переноса учитывают все члены, квадратичные
по /к и Wb)- Первый член F.15) возникает из-за процессов спонтан-
спонтанного рассеяния пульсаций на тепловых и ускоренных частицах.
Если слой плазмы достаточно тонок (оптически тонок), а именно
его толщина L много меньше длины реабсорбции vglyu, то инду-
индуцированные процессы в F.9) несущественны и мощность излучения
dljdt определяется спонтанным излучением. Величина Qk дает
энергию, излучаемую спонтанно в 1 сек из 1 cms плазмы и отнесен-
отнесенную к dk. Qco — спектральная плотность мощности излучения.
Если слой плазмы толстый L^>^, то интенсивность излучения при
^к
достигает насыщения
4 ясо
д(*
FЛ6)
w=wk
Если Yk<0 (T- е- имеет место мазер-эффект), то в стационарных
условиях (—=0j
4ясо
		F.17)
@=0),
к
т. е. Qk/|Yk| определяет начальный уровень интенсивности, с кото-
которого можно считать рост интенсивности с расстоянием экспоненци-
экспоненциальным.
300

§ 6.2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ИЗЛУЧЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
С ПОМОЩЬЮ ПАРАМЕТРОВ СТОКСА
Будем считать, что излучаемые волны поперечны. В слабом
магнитном поле <яЯе <С соре поперечными будут приближенно волны,
имеющие частоты, близкие к сор??, и все волны с со ^> соре. В сильном
поле поперечными будут приближенно волны с со ^> озре. Исследуем
поляризационные свойства таких волн, испускаемых турбулентной
плазмой. Удобно ввести параметры Стокса [46, 262]. Рассмотрим
случайное поле поперечных электромагнитных волн Ек. Так как
Eftk = о, то Ek имеет лишь две ортогональные компоненты, пер-
перпендикулярные к и обозначенные ниже Ek, i и Ek, 2- Среднее по
статистическому ансамблю от произведений этих компонент обоз-
обозначим*
<Eik,iEik>,f) = h,if6(k + k');	F.18)
t = l,2	fe = {к, со}.
Введем далее
оо
/к, //= J dco/kf-©,//.	F.19)
о
Если пренебречь корреляциями электромагнитных полей, то
/ксо, Ц = /к, // б (@ — @к) + /_к> tj б (@ + ©к).	F.20)
Из четырех величин /k>i7 можно составить четыре комбинации,
обозначаемые /k, Gk, ?/k, Fk и носящие название параметров
Стокса:
1к = /к, 1 1 + 1к, 22)	Gk = /k>n—/к-, 22J"
f/k = /k, 12 + /к,2Ь	Ук =— (^к,В 12— h,2\)
Смысл компонент /k, 11 и /к> 22 очевиден — это величины, пропор-
пропорциональные интенсивности излучения; компоненты /к, \2 и /к, 21 =
= /к> 12 характеризуют корреляцию проекций напряженностей
поля излучения на два взаимно перпендикулярных направления,
т. е. поляризацию излучения. Все четыре введенных параметра дей-
действительны (не комплексны) и обладают свойством аддитивности
для совокупности независимых электромагнитных излучений. Для
* Здесь записано соотношение для однородного и стационарного поля
излучения, которое может быть обобщено на случай слабой неоднородности
электромагнитного поля, в приближении геометрической оптики (см. [262]).
301

того чтобы более отчетливо выявить смысл отдельных параметров
Стокса, рассмотрим некоторые частные примеры.
Удобно ввести ?ь если пренебречь корреляциями
S(CD	(D) + ?L6((D + (D)	F.22)
Тогда	/к,;/~<?к/?к*/>.
Рассмотрим поле излучения, для которого разность фаз между
проекциями Еь на два заданных направления неизменна, тогда как
сама фаза испытывает случайные изменения. При заданной раз-
разности фаз конец вектора Ек в плоскости, перпендикулярной к к, как
известно [263], всегда описывает эллипс. Если фаза такого колеба-
колебания испытывает резкое изменение, то вектор Ек скачкообразно (до-
(достаточно быстро по сравнению с периодом) изменяет свое значение,
оставаясь все время на одном и том же эллипсе. В среднем за до-
достаточно большой промежуток времени конец вектора Ек с одина-
одинаковой вероятностью можно встретить в любой точке эллипса.
Среднее значение поля равно нулю. Не равны нулю средние квадра-
квадратичные комбинации. Среднее во времени равно среднему по статис-
статистическому ансамблю.
Пусть ось 1 направлена вдоль большой оси эллипса, а 2 —
вдоль малой. Сдвиг фаз двух колебаний в-этом случае равен ± я/2,
т. е.
()
kJ
V
ИЛИ
1 I c(°)
Ы0) 12
к 2 I
qi — «¦,! i k, 2 [ •
где ?к°ь ?(k0J —полуоси эллипса. Если оси 1 и 2 не направлены
по главным осям эллипса, то проекции Ек>\,Ек>2 можно выра-
выразить через проекции по главным осям
?k,i=?k!>icos9+ E^^smy,	F 23)
^k,2:
Отсюда
т	/и и* \
*к, 12'—' \?к, 1 ?к,2/
—?k/i sin ф + El/2 cos ф.
, о
	l- sin
302

Итак,
Uk= —sin2cpQk.o + cos2(p(/k,o;
V V	F-24)
Vk = Vk, o.
Аналогичным образом легко показать, что
Qk=Qk, oCOs2(p + [/k.osin2(p. '	F.25)
Эти формулы справедливы также при переходе между любыми
парами осей 1,2 и показывают, что существует ряд инвариантов.
Так, V является инвариантной величиной. Лишь инварианты имеют
определенное физическое толкование. Смысл инварианта V можно
уяснить следующим образом. Пусть одна из полуосей эллипса об-
ращается в нуль. Тогда ?(k0)i = 0 и Vk = Vk, о = 0, т. е. излуче-
излучение будет линейно поляризовано. До сих пор предполагалось, что
все элементы ансамбля описывают одни и те же эллипсы. Более
сложный случай соответствует смеси элементов с различными эллип-
эллипсами, что можно трактовать как смесь ансамблей рассмотренного
выше типа. Если для каждого из них V = 0, то V = 0 и для всего
ансамбля. В этом случае имеется смесь линейных поляризаций.
Исходя из этих соображений, нужно считать, что инвариант V ха-
характеризует эллиптичность электромагнитного поля. Степенью
эллиптичности называют отношение двух инвариантов
Ц-=~	F.26)
Из F.24) и F.25) следует также, что инвариантной является вели-
величина U2 + G2. Она характеризует степень поляризации излучения.
Степенью поляризации называют величину р
Легко уяснить смысл такого определения. Для этого достаточно рас-
рассмотреть «интенсивность» излучения в заданном выделенном на-
направлении поляризации 1к> \ \ —(Еь, i Як, i >. Из F.23) следует
^к, 11 =/к, 11,0 +(/к, 22, 0 — /к, 11, o)Sl'n29 +(/k, 12, 0 +/к, 21, о) X
X sin(pcoscp = /k> и, о — Gk, osin29 + f/k, о sin ф cos ф.
Проследим за значением /к, 11 при изменении ср, что соответству-
ет изменению положения анализатора. Легко найдем экстре-
303

мумы /к,
2 J 2
г г ^к, О	1 l/~/~/2 | 7^2
' к, 11, мин — i к, 11, 0	2	2~ " ^к, 0+ ^к, О-
Отсюда
к, 11, макс ¦« к, 11, мин == (/ ^к,0"т~ ^к, 0»
^к, И, макс + /к, 11, мин =2/к, 11, 0 — ^к, 0 = ^к, 0-
Таким образом,
2_ ( ^к. 11, макс -^к, 11, мшЛ2
Р — /	I /
\ к, 11, макс «^ к, 11, мин
что соответствует часто употребляемому определению степени поля-
поляризации через интенсивность /макс и /мин (обозначаемую здесь
/к, и, макс и /к, и, мин), регистируемой анализатором. Заметим,
что при степени поляризации, равной нулю, р = 0, эллиптичность
может быть не равной нулю дфО. Иногда поляризационные свой-
свойства излучения характеризуют величиной я
F.29)
Неполяризованным называют излучение, для которого п = 0, что
эквивалентно р = 0, G = 0. В этом случае излучение характери-
характеризуется единственной величиной — интенсивностью / и
/к.//=™/6*/, *\/=1,2.	[F.30)
Здесь ?, / проекции на направления, перпендикулярные к к. В об-
общем случае в системе координат, в которой ни одна из осей не
направлена по к,
4()к: *./=!. 2,13.	F.31)
При анализе космического излучения особое внимание уделяется
поляризационным свойствам излучения турбулентной плазмы. Это
связано с тем, что принимаемое космическое излучение часто
является поляризованным.
Уравнения, описывающие изменения параметров Стокса в ре-
результате процессов, происходящих в турбулентной плазме, могут
быть найдены следующим образом. Пусть /*, i — ток в плазме,
приводящий к излучению электромагнитных волн. Уравнения для
304

доля поперечных волн, возбуждаемых током /&,/, имеют вид
(^2-«Ч)?!,(-=4я1соД .,	F.32)
где jk,i = ik,i	l k2. • Из F.32) легко получить
= 4я i со </l , ?**/*/> + 4я i oh </?, /?*. />.	F.33)
Простоты ради считаем плазму однородной, характерное время изме-
изменения параметров Стокса много больше частоты поперечных волн,
характерный масштаб длины, на которой изменяются параметры
Стокса, много больше длины волны поперечных волн. Так же, как
и в гл. 2, вместо <?&,;??*,/> = /^-(н, Ak)\ 2n = k + kx\ | Ak =
= k — &! удобно ввести параметры Стокса, зависящие от времени
координат,
$	!x={r, t)\ А^={Дк, Дсо}. F.34)
Учитывая Ak <^K^k, получаем, что выражение в скобках
левой части F.33) имеет приближенный вид
дк(^со4)ДсооL соеЦ
дк	дсо	дса
Здесь использовано то, что для коэффициентов перед малыми
Дсо и Дк можно пренебречь слабой нестационарностью и неодно-
неоднородностью поля поперечных волн и считать, что оно удовлетво-
удовлетворяет дисперсному уравнению k2c2—со2 s| = 0. Умножая F.33)
на ef Akx и интегрируя по Ak, получаем
^со4 (jh. ц + gfh. а) 4л ferfAfe X
X [со </l, iEZ, /> + wi (jZ, jEl, />]•	F.35)
Удобно ? из F.32) выразить через /
jrh.ii + Vg^-h, ц= лDЯJ fe^^icocOidA^x
х</1Х;> [(^-cobD-1- (^--««ei)-1]. F.36)
Так как Ef — случайное поле, то согласно F.32) и \1 также слу-
случайное, т. е.
<ji,iit!y = Rk,ij8(k-k1).	F.37)
305

Подставляя F.37) в F.36) и учитывая, что
1 1
~2~1	ТТ*	2~г	2—1 = —2ш'6(й2с2— со е^), получаем
W'*• '•/ + vi ? '*• '/)? <** е* = 4 BяK ^*. '/й2 б (^2-«2 ei). F.38)
Так как Ik, i\ в рассматриваемом приближении удовлетворяет
k2c2 — со2 е^ = 0, то оно должно быть пропорционально б (k2c2 — со2 8*).
оо
Обозначая /к,¦;/= J h, ц dco и интегрируя F.38) по со, получаем
о
Отметим, что плотность энергии поля излучения определяется по
следующей формуле:
'к.
¦ Bя)»
F.40)
Как видно из F.40), уравнение F.39) для диагональных матрич-
матричных элементов матрицы /к, //, определяющей коэффициенты Стокса,
совпадает с общим уравнением для числа квантов N?, т. е. описы-
описывает процессы спонтанного и индуцированного рассеяния турбулент-
турбулентных пульсаций в электромагнитное излучение, а также нелинейные
процессы слияния турбулентных пульсаций в электромагнитные
волны. Уравнение F.38) более общее, так как учитывает корреля-
корреляционные эффекты. Рассмотрим параметры Стокса для электромаг-
электромагнитного излучения из-за спонтанного рассеяния турбулентных
пульсаций на частицах плазмы. Общее выражение для тока, линей-
линейного по полю рассеивающихся турбулентных пульсаций, имеет
вид (#0 = 0)
iJ(k9 fe1)ei(k-k1)rodfei6(co-co1-(k-k1)v)^1,/. F.41)
Здесь записан ток, создаваемый отдельной рассеивающейся части-
частицей, которая в начальный момент времени имела координату г0.
При вычислении среднего значения (fk . f*, y> усредним резуль-
результат по начальным г0 (так как рассеивающаяся частица может
иметь произвольное г0) — \ drQ(fk . fk* .> и также по скоростям,
.-¦¦-.¦	v j	,
зоа

умножив результат на число частиц со скоростью v в объеме V:
f dpBJt)~3V [Bзх)-3 § fpdpV =nV = N, где п — число частиц
в единице объема, N — число частиц в объеме VJ. Итак,
ХBп)~3ехр [i(k —k! —k' + ki)ro]6(co—©1 —(к—
—kj)v) <??,??
k- k К - (k k \ \
Хб(ю'—ю', —(к—kj)v) <??,??>,	F.42)
/ —нормальный
орт для рассматриваемых турбулентных пульсаций. Учитывая
-k')y получаем
F.43)
В случае, когда рассеяние происходит на пульсациях, уровень
которых соответствует тепловому равновесию, формула F.43) при*
водит к обычным формулам, описывающим рассеяния из-за флук-
флуктуации плотности плазмы [264, 265].
Рассмотрим далее параметры Стокса для электромагнитного из-
излучения из-за спонтанного нелинейного слияния волн а и а'. Не-
Нелинейный ток, описывающий такой процесс, имеет вид
/*.!/ = 2 JSj/Kft, К fca)eklf
Отсюда
Rk.a = J A4(fe, К k2)A*(k, К k^lljXMk-K-k^ F.45)
где
At(k, К k2)^2Smjl(ky%^2)elJeGk[l^im-^^ . F.46)
Рассмотрим параметры Стокса для спонтанного излучения
электромагнитных волн частицами плазмы. Ток, создаваемый заря-
Дом, движущимся по винтовой линии в плазме, находящейся во
внешнем магнитном поле, имеет вид
^zW2-vco*), F.47)
307

где ф0 — начальная фаза вращения заряда по окружности. Для
нахождения (fkt tf? t ^ усредняем результат как по r0, v± vZJ так
и по ф0. Учитывая —\ <1уое1 (v~y/) (po = 6v v,f получаем
2я J
X 6 (со—kzvz — vo)H>j б (со' — к2и2 — У(дн)у	F.48)
F-49)
т. е.	г* . _г . (я..
1 Vtt — 1 Vf/ ^Oiy — 2 I ,
« /
Этим исчерпываются спонтанные процессы, возможные с точностью
до членов, квадратичных по энергии турбулентности.
Мощность спонтанного излучения, входящая в F.9), очевидно,
выражается через сумму найденных Rk, // по формуле
2BЯJ- —	F.50)
д 2 t
— СО2 8^
Перейдем теперь к нахождению уравнения для параметров
Стокса при индуцированном рассеянии частиц на турбулентных
пульсациях. Эффекты индуцированного рассеяния относятся к чис-
числу нелинейных процессов, и поэтому удобно использовать уравне-
уравнения. F.35), подставив в правую часть вместо тока j{ нелинейный ток,
квадратичный и кубичный по полям Е. Использовав известную
(см. гл. 2 § 3) процедуру усреднения трех и четырех случайных
полей, получим
'ifUk, k-klt k1)dk1(<u-e>1)U*la(k-k1)'X.
X
308
dk, S^// (ft, К k, -АО < „ e!!ki_ s 11 fk. }. F.51)

Здесь
^. симметризованные по осям 1 и 2 компоненты нелинейного тока
второго порядка по полю; 2///s(&, kv k2, k3) = -^ B///s (/>, kl9
k.& ^з) ~b 2//s/ (&, ?x, k3,k2) — симметризованные по осям З и 2
компоненты нелинейного тока третьего порядка по полю; ejf —
орт полей турбулентных пульсаций; верхние индексы tit tt оз-
означают, что для соответствующих индексов (i, l) должны учиты-
учитываться лишь составляющие, перпендикулярные к k /например,
S*i ** Sj [8tj — —-} . В уравнении F.51) учтены лишь инду-
индуцированные процессы излучения, пропорциональные /^ (эффекты
индуцированного рассеяния и индуцированных распадов).
Рассмотрим, наконец, уравнения для параметров Стокса при
индуцированном излучении волн частицами плазмы. Эффекты
индуцированного излучения и поглощения электромагнитных волн
частицами плазмы описываются мнимой (точнее, антиэрмитовой)
частью диэлектрической проницаемости плазмы. О поперечных
волнах и, следовательно, поляризационных эффектах имеет смысл
говорить лишь для высоких частот, для которых действительная
часть 8и- с необходимой точностью соответствует изотропной плазме.
Антиэрмитова часть etj может быть различной для различных поля-
поляризаций. Поляризации раскачиваются или затухают с разными у.
Для рассмотрения эффектов поляризации при излучении волн до-
достаточно воспользоваться линейным уравнением
(k*c* — G>*et)Eiti — n2eflEtk.t = 0,	F.52)
где ef/ — антиэрмитова, а е' — эрмитова часть. Составим уравне-
уравнение для Е** ., умножим соответствующие уравнения на ?^* . и
?>kt . и вычтем одно из другого
./^/>- F.53)
Левая часть уравнения F.53) совпадает с левой частью F.33) и
преобразуется таким же образом. В правой же части F.53) в силу
малости гл можно приближенно считать поперечное поле ста-
стационарным и использовать (Elt 1 Е^\ /> = /At цЬ{к—k'). В резуль-
309

тате имеем
?<*г{ (~h. ч+yg — h, iA-ivfkuh.u-ef^llu). F.54)
Соотношения F.51) и F.54) описывают все индуцированные
процессы и совместно с найденными выше Gk, // для спонтанных
процессов дают общее уравнение для параметров Стокса [266].
Заметим, что правая часть F.51) имеет ту же структуру, что и пра-
правая часть F.54), т. е. может быть введена эффективная нелинейная
проницаемость гм, зависящая от энергии турбулентных пульсаций,
так что полное уравнение имеет структуру F.54), в котором etj —
сумма линейного sfj и нелинейного 8$. Далее полное уравнение
может быть преобразовано к более простому виду, если исполь-
использовать соотношение /*,• = Iit
— /k, lj + Vg —Ik, // = Yi/^k, // + У\l Ik, il + Qkij'y
F.55)
— гл2 J
Найдем eft / для плазмы в постоянном магнитном поле. Заметим,
что Imea = ek*/8f/ekf / затухание волны о из k2c2—со28су = 0 при
co2lm8a r,	о	dN%
малом 1т в0 имеет вид у =	5	. С другой стороны, —Ь. =
2	dt
5ру	р	—Ь
-со2 8°	dt
д
-tI
dco
310

Здесь использовано выражение для вероятности B.220). Так как
с . произвольны, то из этого сопоставления получаем
СО 8/,- = -— Zj lapiv./iv./и\ш — к„у„ — vwu)X
F.56)
Естественно, что выражение может быть получено путем непосред-
непосредственного решения кинетического уравнения [267, 83].
Уравнения F,55) совместно с F.56) в отсутствие турбулентности
описывают перенос и генерацию поляризованного синхротронного
излучения [268].
• Уравнение F.55) несложно обобщается для учета слабых эф-
эффектов вращения плоскости поляризации высокочастотного излу-
излучения (со ^> соре), если учесть малые эрмитовы части г^ [269]. Полу-
Полученные уравнения сходны с F.9). Уравнение F.9) получится из
F.55), если считать излучение неполяризованным, т. е. для /к, //
считать выполненным F.30). Для качественного суждения о новых
эффектах, содержащихся в F.55), рассмотрим простейший случай
однородной турбулентности (^ = 0J
K y^ + fK + ^r	F-57)
Если происходит раскачка электромагнитных волн, то спонтанным
излучением QtJ- можно пренебречь. В этом случае можно исполь-
использовать однородную систему уравнений, решения которой, как обыч-
обычно, следует искать в виде е1 к *, причем для % получится в общем
случае дисперсионное уравнение четвертого порядка. Если решение
этого уравнения известно, то по начальным коэффициентам Стокса
можно определить коэффициенты Стокса для момента t, а следова-
следовательно, и величины р, q, т. е. степень поляризации и эллиптичности.
Рассмотрим простой пример, когда коэффициенты ytJ- являются
действительными и Yn = Тгг- Учитывая действительность Iг1 и
/22> -получаем уравнения для V = Im/12 и G:
dt ni	dt	ni
Если при t = 0 G = V = 0, то V = G = 0. В этом случае урав-
уравнение F.57) дает уравнение второго порядка для Я. Отсюда
= 2 Gu ± Y»); / = !л±^- exp 2t (Yll + Yla) +
exp 2f(yn-7l2); U = ^±^ exp 2t (yn + Yl2) -
V^_Ti2))	F#58)
311

где /0 и UQ—значения параметров / и U при t = 0. Пусть конкрет-
конкретности ради f/0>0, тогда начальная степень поляризации ро =
и к моменту ? она будет
\
+1±?о.е^»Л \	F.59)
е	h +
Заметим, что при любом знаке у12 поляризация стремится к еди-
единице, т. е. излучение станет полностью поляризованным вне за-
зависимости от начальной степени поляризации (в частности, и пол-
полностью не поляризованное излучение р0 = 0 превращается в поля-
поляризованное). Этот пример качественно иллюстрирует ситуацию,
возникающую в турбулентной плазме. Для возникновения поляри-
поляризационных эффектов требуется наличие некоторых выделенных
направлений. Например, турбулентные пульсации при Н0ф0
могут быть распределены анизотропно по отношению к магнитному
полю. Спонтанные процессы, так же как и для поляризованного
излучения, определяют начальные интенсивности /0 и Uo.
Если раскачка отсутствует, то в оптически толстой плазме
F.55) определяет стационарное' значение интенсивности и других
параметров Стокса. Как правило, степень поляризации этого излу-
излучения невелика.
§ 6.3. ИЗЛУЧЕНИЕ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ЧАСТОТАМИ ПОРЯДКА соре
Излучение частот от соре до 2соре может происходить без уско-
ускоренных быстрых частиц. Возможность излучения частот ыре свя-
связана с процессами рассеяния на электронах и ионах
l + e-^t + e'; l + i-+t + if,	F.60)
при наличии ионно-звуковых пульсации s с процессами слияний
l + s-+t; l-+t + s.	F.61)
В магнитном поле возможны также процессы слияний с другими
низкочастотными пульсациями.
Излучение на частотах 2(оре дают процессы
/ + /'-**.	F.62)
Процессы излучения могут относительно слабо сказываться на
спектрах турбулентности, а могут служить основным механизмом
диссипации. Для оценки роли тех или иных механизмов излучения
необходимо в первую очередь знать оптическую толщу плазмы для
данного процесса, так как если размер плазмы меньше оптической
толщи, то излучение определяется спонтанными процессами, если
больше, то индуцированными. Начнем с оценок и сравнения про-
312

ессов F.60). Наибольший интерес с точки зрения излучения пред-
представляет область малых vp ленгмюровских волн, генерирующих
Электромагнитное излучение, которое может более или менее
свободно покидать плазму. Рассмотрим процесс рассеяния на ионах
/6.60) при — <§; 3 1/ — , где такой процесс может идти лишь диф-
дифференциально на Асо < klvn. Используя выражение для вероятности
рассеяния (гл. 2), получаем
Так как частота практически не меняется при конверсии, удобно
поперечные волны относить к тем значениям k продольных волн,
частоты которых совпадают с частотами поперечных, вводя
4л^со ^/3 vTe
к	{2nfc
так что плотность энергии поперечных волн есть
yfkldkl.	F.65)
В дальнейшем индекс / у k будем опускать. Используя
8'^=-^4rviSh\'	F-65)
получаем
1 д
Здесь Wi = Bn)~3 (dpe4nk2Nl, a a — константа, точно равная
D.16). Аналогичные уравнения для изменения /-волн есть
^ aWkkWi + aw№.	F.68)
Здесь учитывается также член, описывающий //-взаимодействия.
2
Член //-рассеяния в F.67) имеет относительную малость -^
с*
313

и отброшен. Согласно определениям F.64) величины WL Wl от-
отличаются лишь множителем соре от числа квантов. Из F.67) и F.68)
легко получить
dt
что отражает закон сохранения числа квантов при рассеянии. Мож-
Можно сравнить рассеяния на электронах и ионах. В области со_<^: kvTi
рассеяние на электронах по крайней мере в — раз менее эффектив-
Те
но. Поэтому разумно сравнить перекачку на Ak~ k. При рассеянии
на электронах имеем согласно работе [59] следующую оценку:
F.69)
иТе '
югда как F.67) приводит к оценке
Ю m. \vTe J п0Те
Так как vp<^3vTe Л/ —, то F.69) всегда меньше F.70) и рас-
сеяние на электронах практически можно отбрасывать.
Уравнение F.68) имеет стационарное решение Wi = 0, Wl =
= const = 1/ —, которое было найдено выше. Это решение,
однако, согласно F.67) неустойчиво относительно возбуждения по-
поперечных квантов в области vp ^> vTe \^f) . В области же vp <
< VTe\ —) , если Wlk ^const k~bl2 , согласно F.67) имеет место за-
тухание поперечных плазмонов, т. е. они не возбуждаются. Очевидно,
что индуцированное возбуждение существенно, если толщина L плаз-
плазмы (ее характерный размер) больше оптической толщи относительно
этого процесса. Подставив Wi = 1/ —, получим для оптической
толщи L*
у? k /a
Характерно, что vg= yr3kvTe cjcope достаточно велико, и Z^ при-
принимает вид
314

11	VTe
, на которой устанавливается равновесие //-рассеяния, в —
раз меньше. Если L<^L^ то необходимо учитывать лишь процессы
спонтанного излучения *-волн.
Мощность излучения согласно F.50) и F.43), если учесть, что
ie2	кл.	1
At =	 . —^- •	,	F.73)
тBп)з k(d ( ТЛ
имеет вид
Qk,
i. F.74)
Здесь мощность излучения отнесена к значениям продольных волн,
частоты которых совпадают с частотами поперечных. Результат
F.74) совпадает с тем, который был впервые получен в работах
[264, 265] при Те = Тг. Подставляя Wl = у -? и учитывая, что
вклад вносят максимально возможные k порядка —— ( — ) ,
VTe \ tUi I
получаем оценку полной мощности излучения
Q' = \Qidk « Те -f copel/ Я. .	F.75)
1/5
_??(_?) ' , то интенсивность порядка F.75)
Если L<Z
теряется плазмой на излучение. Без учета радиационных потерь
вся мощность расходовалась на нагрев плазмы из-за поглощения
пульсации при парных столкновениях частиц. Мощность излучения
может сравниться с мощностью генерации Q, если Q настолько мало,
что уровень турбулентности меньше уровня тепловых флуктуации.
Величина L* согласно F.72) достаточно велика из-за Q<^Q0, и
поэтому условие L<^L* в лабораторных условиях часто выполнено.
Наоборот, в астрофизических условиях может выполняться про-
противоположное неравенство. Считая Ь^>Ь.^и пренебрегая спонтан-
спонтанными процессами, рассмотрим более подробно решение F.67) и
F.68). В области, в которой нет источников возбуждения турбулент-
турбулентности, пренебрегая парными столкновениями, получаем из урав-
уравнения F.67) при dj- = О
WJ = consi = л	F 76)
* k k '	v ' ;
315

а из F.68)
где k* — значение k, при котором интенсивность поперечных волн
обращается в нуль.
Учтем теперь, что возникновение поперечных плазмонов есть
вторичный эффект, а в области генерации, где Wi круто падает,
F.67) не дает возбуждения г'-волн. Поэтому k* должно быть равным
kg. Но при k<Ck^W{<iQ, что невозможно, т. е. либо стационар-
стационарного решения нет, либо W{ = 0. Численный расчет, проведенный
в работе [270], показал, что имеет место непрерывная пере-
перекачка из продольных волн в поперечные и наоборот, и эти
осцилляции затухают весьма медленно. В этом случае спектр
Wk = у -— можно рассматривать лишь как приближенное выра-
выражение, усредненное по указанным осцилляциям.
Четырехплазмонные взаимодействия t + tf'^t1-\- t[\ t-\- l->-
-»- t± +7i имеют тот же порядок величины в переменных kl [см.
F.64)], что и взаимодействие I + I' '^111+ l[. Таким образом,
расталкивание поперечных плазмонов при малых k имеет качест-
качественно тот же характер и порядок величины, что и описанное в гл. 4
расталкивание продольных плазмонов. '
Рассмотрим теперь процесс F.62). Вероятность его имеет вид
[39]
2 Чк\-к\J fk.k2l2
V ¦
F.78)
Мощность спонтанного излучения будет задаваться формулой
kiktik,^k1^k,rfk1dka;	F.79)
X б (/tfc. + .o,.- 2соре - ^!р±Щ .	F.80)
Тепловые поправки к спектру продольных волн малы, поэтому
о 2
(кг + к2J~—%г- Если для обеих сливающихся волн vp<^cy то
316

слияние возможно в случае, когда их направления распространения
почти противоположны. Если одна из сливающихся волн имеет
v я?с,то вторая должна иметь vp^c. Еслиир:^>с, то первая, в свою
очередь, иметь vp в узком интервале около г/|/*3. Относительная
доля волн, распространяющихся навстречу друг другу, невелика, и
поэтому с уменьшением фазовых скоростей волн излучение падает.
Считая kl9 &2J>—, получаем
-2^- ИЩ. F.82)
Для изотропной турбулентности, вводя
"
t
rfM2s(Wc4<-
*?«&
»pe
60k{men0 ape
Эта формула позволяет описать крыло линии излучения на ча-
частоте — 2®ре. Очевидно, что излучение частот, меньших 2сор,
невозможно, т. е. интенсивность при со<2со равна нулю. Если
V2
(о—2соре^> —— wpe, то могут вносить вклад лишь ир 3> с, т. е. ре-
Г 2Q
зультат описывается F.83). Принимая Wfe = const = l/ -1-, полу-
получаем для интенсивности излучения на крыле линии
dm
F.84)
Здесь пренебрежено разностью между со и 20)^ в коэффициенте
1	f Т \
перед резонансным множителем —————— . Множитель 1 + —)
при Те ^> Т1^ должен быть заменен единицей. Формула F.84)
*4,
справедлива до v порядка с, если 	>
v Ti
Полная мощность,
317

излучаемая на частотах, больших со^, имеет вид
. F-85)
Этой формулой можно пользоваться для оценок по порядку ве-
VTp
личины при со^—2со ~2со е—-
F.86)
Очевидно, если Qt ~ Q, то вся мощность расходуется на излучение
при прохождении через интервал значений k, соответствующих
vp<ic. В этом случае турбулентность становится излучательной.
Наличие большого численного коэффициента в F.86) показывает,
что такая ситуация возможна при ~ ~ зк. Для этого, естественно,
С	OvJ
надо, чтобы размер плазмы был меньше оптической толщи. Прежде
чем ее оценивать, рассмотрим более подробно вклад в излучение
волн ар~си vp^>c. Для этого приведем общий результат для
изотропной турбулентности, получаемой из F.79) после интегриро-
интегрирования по углам,
1
1	П	/\
^ _ ^ со _ соре
F.87)
Из F.87) нетрудно получить приближенную формулу F.83) для
области ир « с.
В условиях, когда одна из волн kx имеет vp^>c, из F.87)
следует приближенная формула
я Уз ш2 Г
Ql = ~	?¦ Wkl dkx Wysa /c X
Зс2 m5 л0 J	Pe
При
pe/c	F.89)
318

имеем	_
2 Vn (O i	T v Г Q v	fm (vl)(Qpe

Te v Г Q vT fm. (v-l)(Q
7Г) |/ ^—У ^-1^
-v/2
. F.90)
Таким образом, интенсивность возрастает до тех пор, пока
•'	2 \
й)—2сор( 1 +— • -—¦ ) не станет равной по порядку величины
9 2 2 { 1	®ре \
ko VTel^pe I kQ <C	I . Полная интенсивность излучения найдется
из F.88).
F.91.)
Зс3те п0
Если считать, что турбулентность диссипирует из-за столкнове-
столкновений, то Wl = Q/ve, т. е.
F.92)
Значение потока турбулентной энергии Q, начиная с которой
доминирует излучение F.92) в сравнении с F.86), есть
v2	m v2
Qf = QQ—е Ю4 -Л. -IL.,	F.93)
а значение Q, для которой мощность излучения F.92) сравни-
сравнивается с Q, есть
Q Qo44	()
Естественно, что если энергия турбулентности сможет диссипи-
ровать в излучение при ию<с, т.е. 102 — fl+-^| Vre/cA > 1,
те\ Tt J
то Qf>Qf, если же имеет место обратное неравенство, то
Q? < Q2. В этом случае вся энергия турбулентности сосредото-
сосредоточивается при vp > с и при Q>Q§ турбулентность становится
излучательной.
Для описания излучательной турбулентности заметим, что
излучаемые волны по условию покидают систему, и поэтому их
плотность энергии внутри плазмы мала. Это означает, что в уравне-
319

ниях, описывающих изменение спектра турбулентности из-за излу,
чения, можно пренебречь членами, пропорциональными интенсив-,
ности излучения. Если интересоваться vp<^c, то с помощью F.78)
получим
+av
dt	5n0mecbk*	dk
F.9
Здесь учтено также взаимодействие, связанное с рассеянием на
ионах плазмы. Равновесный спектр, получаемый из F.95), имеет
вид
^VWH'Hi (l+TA2. F.96)
5с4	с те\
Условие kr > соре/с лишь численным множителем отличается от ус-
условия излучательной диссипации, получаемого из F.86). Если гене-
генерация турбулентности происходит при k^> kn то, как видно из
F.96), в области генерации излучением можно пренебречь и при
\1/5
F.97)
Следовательно, излучение практически не сказывается на спектре
турбулентности до k ~ kri а затем круто уменьшает интенсивность.
Рассмотрим теперь vp ^> с, предполагая, что на области vp<^c
излучение сказалось слабо. Тогда получим интенсивность излуча-
тельного поглощения в виде
Pixv/l	/--»2
WL »oe ¦	С6-98)
dt	4 1/3 °3п
Если УЗ -^->k^ то F.98) может быть записано как эффектив-
с
ное поглощение
F.99)
Условие доминирования Vg^j^, над парными столкновениями совпа-
совпадает с Q>Qf [см. F.94)]. Таким образом, в режиме излучательной
диссипации получим качественно такие же спектры турбулентно-
турбулентности, которые были исследованы в гл. 4, причем ve необходимо заме-
заменить v^ согласно F.99). В частности, основной масштаб турбулент-
320

цости будет определяться формулой
F.100)
j(aK видно из этого результата, основной масштаб турбулентности
перестает зависеть от мощности генерации Q. Как отмечалось
выше (см. гл. 4), максимум в спектре турбулентности имеет место,
если ko<^ ^*- Таким образом, если температура плазмы достаточно
высока (для водородной изотермической плазмы —- ~ Ю~1 и
, максимум в спектре турбулентности исчезает. Все эти
результаты относятся к оптически тонкому слою плазмы, когда
излучение свободно покидает плазму. Необходимо теперь получить
выражения для оптической толщи, т. е. длины, на которой реабсорб-
ция излучения становится существенной.
2
Если со — 2со > со—-, то основной вклад дают kt > k и
F.101)
п0 те с2
Приняв W^1 = ]/2Q/a, получим
Отсюда и из F.84) спектр излучения в оптически толстой плазме
имеет вид
То У л V Qome Сз V" ' T.J ((о^2^)-FЛ03>
Полная интенсивность излучения для частот, больших со^, отли-
отличается от F.103) тем, что 	— заменено In
СО — 2С0ре
тг I	иТе
Таким образом, порядок величины интенсивности электромаг-
электромагнитных волн на крыле линий есть
^К^/.А,	F.104)
п0Те	У Qome с» '
321

что примерно в 102 v\el(? меньше энергии ленгмюровских коле-
колебаний. Оптическая толща L^ из F.102) имеет вид
L. = ^L?.	F.105)
Если со— 2соре^ (x)peVTe/c2, то основной вклад вносят ^«^
со
ре
если спектр имеет максимум при k0 ^>
. F.106)
Вместе с F.89) получим, что при этом
F.107)
Это по порядку величины соответствует F.103) при со — 2соре~
~ сореу|е/с2. Последнее означает, что оценка F.104) сохраняет
силу для полной интенсивности излучения. Так как энергия излу-
излучения в оптически толстой среде составляет относительно небольшую
долю всей энергии турбулентности, то ее влияние на спектры турбу-
турбулентности незначительно.
Наконец, следует в неизотермической плазме Те^> Tt рассмот-
рассмотреть роль процессов l^llt+s, l+ s^l t. Вероятность первого
из этих процессов имеет вид
0/jfe 0Л k
,-кв)бЦ-©^-©8кв), F.108)
а второго отличается от F.108) знаком ks и o)ks в 6-функции. При
расчете мощности спонтанного излучения необходимо учитывать
оба указанных процесса. Для изотропной турбулентности, прене-
пренебрегая cos, в сравнении со^ и со^, получаем
4б К-«Ч) dkh	F.109)
Это показывает, что излучаются частоты, равные частотам ленгмю-
]/"Зс/г
ровских пульсаций. Вводя kt = ——— k, получим, что мощность
322

зЛучения согласно F.74) можно записать при kf<С&/ в виде
где г]к связано с коэффициентом w(kt, k) перед 8-функцией в веро-
вероятности F.108) соотношением
со	i__./f_ ,.ч .М1	FЛИ)
* BяKсо'со<
рде fii—телесный угол кг.
Полученные формулы носят более общий характер и могут быть
использованы для слияния высокочастотных пульсаций с любыми
низкочастотными в магнитоактивной плазме. Для вероятности
F.108)
Итак,
Qt У ре Те тхг/1 гтг/s	/о 1 1 о\
k ===	 W k w k'	{pAlo)
6^0 Те kc
Считая ks > k\ и используя D.123) при Q <^ Qo — (—] ,
получаем
Гп '-чч'2^.	F.114)
Если же Q>Q0—(—j , то следует использовать D.124)
$ = LLL fe r« q _*.-i> .	F.115)
2	<V m, c3	V
Из последнего соотношения следует, что основное излучение проис-
происходит на больших k порядка ^^ (—) . Но в этом случае мощность
излучения может сравниться с Q лишь в очень горячей плазме — >>
^ \~) . Если в плазме возбуждена только ионно-звуковая турбу-
турбулентность, то излучение F.113) возникает на тепловых ленгмю-
ровских плазмонах. Если использовать D.231), то можно интен-
323

сивность излучения записать в виде
Qk= 5V* .<-уТеТАл/^Хп±.	F.116)
Рассмотрим теперь эффекты реабсорбции излучения. В случае,
когда возбуждены ленгмюровские пульсации,
ХшГ(кь к', ks)dkldksBn)-\	F.117)
Введя k' = kYb — при к > /г! = ^i l/ ^, получим
а определяется формулой D.16). Так же как и в динамике взаимо-
взаимодействий /-волн отличие рассеяния на ионах от распадов заключается
в замене а величиной а' [см. F.67)]. Из F.118), так же как и из
F.67), следует неустойчивость ленгмюровской турбулентности от-
относительно возбуждения поперечных волн. Это непосредственно
видно из F.118), если подставить wL = 1/ ^.
Если возбуждены ионно-звуковые пульсации с &sJ^>-^? то
yk=	!<_.Zi.	F.119)
Используя F.116) и F.119), получаем для интенсивности попереч-
поперечных колебаний формулу Рэлея — Джинса, т. е. возбуждение попе-
поперечных волн чисто ионно-звуковой турбулентностью невозможно
(о других нераспадных возбуждениях см. ниже). В неизотермической
плазме уравнение для изменения /-волн из-за //s-распадов приоб-
приобретает вид F.68) с заменой а величиной а'. Узкие линии поперечных
волн с частотой ~ соре всегда должны возбуждать ленгмюровскую
турбулентность, что наблюдалось в ряде экспериментальных работ.
Согласно F.119) внешние электромагнитные волны эффективно пог-
поглощаются в плазме с ионно-звуковой турбулентностью.
§ 6.4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМОЙ, НАХОДЯЩЕЙСЯ
ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В слабом магнитном поле а>яв<<(оре процессы излучения на
частотах 2оре, процессы /^ t рассеяния и // s-распады мало из-
изменяются. Новым процессом является слияние ленгмюровских
волн с вистлерами и плазменными гирочастотными волнами
324

iJ^w^tyl^lt+w и слияние с альфвеновскими и магнитогид-
родинамическими волнами
Вероятность распада на вистлеры имеет вид
2n0 me
X б (ю^—©i—со J [sin2 cpw cos2 9^+-cos2 9W (cos2 Фт,—sin2 ф J2]. F.120)
Если —- >
He XN uTe
то
| kz |, | kw | из законов сохранения,
Ope
поправки на тепловое движение много меньше со^, т. е.
г7Г
7Г
отличается от со;е на соЯе. В записанных условиях процесс
l-*-t-\-w не идет. Интенсивность излучения удобно ввести так,
чтобы она была нормирована на dkb
. F.121)
Считая распределение пульсаций симметричным относительно на-
направления магнитного поля, из F.120) получаем
с*
— sin2 G sin2 Qw — ( cos2 Qw + 1
F.122)
Формулу F.122) можно сравнить с F.113). При сравнимых энер-
энергиях w- и s-волн мощности излучения на вистлерах сравнимы с мощ-
мощностями излучения на ионно-звуковой турбулентности при -—- ~
. Нужно при этом иметь в виду, что излучаемые частоты
всегда достаточно близки к соре (coMdKC = соре + ®не) и их выход
плазмы затруднен.
325

Выпишем здесь еще поглощение поперечных волн в плазме с
бужденными вистлерами
Это поглощение при сравнимых энергиях вистлеров и ионно-зву.
ковых пульсаций может превосходить поглощение F.119) на-ионно-
/	®Не (vTeV/3\
звуковых колебаниях при —-~ — , однако при этом час*
V	^ре	\ С J J
тота поперечной волны должна быть достаточно близкой к соре.
В оптически толстой среде интенсивность излучения имеет
оценку
, sail = \ —	«Wk 	I ,	F.124)
pe
т. е. полная энергия, трансформируемая в поперечные волны из-за
этого процесса, много меньше энергии ленгмюровских волн.
Частоты, еще более близкие к ыре (^акс<соре + соя.), участ-
участвуют во взаимодействиях t^l + A, t+^l-\-M. Вероятность это-
этого взаимодействия имеет вид
wltM= *"' ~*- ~" 6(k,-k/-kj|fN.(co<-a)/-a)Af)x F.125)
X
4/fe; /ef
9
COTr
A
Если ^ < 3cope vA/2v2Te (в силу kt<^k[y kM имеем ^ « i^ «-ш^/с
и записанное условие всегда выполнено, если ^л>^п-	1>
то лишь процесс /^=±/ + УИ является существенным, причем
kt= Y~ki \/ —^—^. Мощность излучения, нормированная на dkb,
у с2
дается выражением
л/	о	л» • 8 О Л/Г
ре,в;и = |1— cos29cos2eM— ^sin20sin2eM| ,	F.126)
326

а декремент затухания поперечных волн на магнитозвуковои тур-
турбулентности
п2.	Г*	..	c!n2f)
2C2 x F.127)
@=-
X
Перейдем далее к рассмотрению сильных магнитных полей
а ^> со е. Новым в этом случае будет появление колебаний
плазмы с частотами, близкими к соЯе,
F-128)
Характерным для конверсии таких волн в излучение является
то, что электромагнитные волны, частоты которых близки к ыце>
имеют показатели преломления, близкие к единице (за исключением
направления распространения, очень близкого к Но). Поэтому
конвертированные волны свободно могут покидать плазму. Одним
из эффективных механизмов превращения волн F.128) в электро-
электромагнитные служит рассеяние на ионах. Другой характерной осо-
особенностью конверсии F.128) является то, что нелинейное взаимо-
взаимодействие волн F.128) в (-^^1 раз меньше их конверсии в электро-
\ Не/
магнитное излучение [270].
Таким образом, указанная конверсия представляет собой един-
единственный нелинейный процесс и турбулентность на частотах F.128)
всегда излучательная. Ионы можно считать незамагниченными, если
v =—%L <^— vti- Условие слабого затухания h-волн есть v ^>
^$>	vTe- Таким образом, область, в которой рассеяние происходит
на незамагниченных ионах, существует при
— «l/-4f-	F-129)
Вероятность рассеяния в условиях F.129) имеет вид
2/г0	kt kh
~2 б (со?—соЛ—(к^—кЛ) v).	F.130)
327

Отсюда получим следующее выражение для взаимодействия t
и /i-волн
3 )_±_ю№~ о ; F.131)
а/
со2
со = со — соЯе	^- sin2 0Л;
F.133)
Отсюда следует, что стационарному спектру соответствует
и	ДМ или < ^ZiM. ,	F.134)
ft)
а также белый спектр для поперечных волн Wq,q = W@/). Есте-
Естественно, эти результаты имеют место вне области генерации и воз-
возможного циклотронного поглощения поперечных волн.
Полная мощность излучения при слиянии двух /i-волн при их
изотропном распределении имеет вид [270]
F.135)
Наконец, стоит сказать еще об одном механизме излучения
магнитоактивной плазмы, связанном с наличием границ. Вообще
говоря, размеры плазмы поперек поля ограничены. В процессе
спектральных перекачек длины волн пульсаций могут сравниться
с поперечным размером, т. е. будут возбуждены самые первые моды
колебаний плазменного столба. Такие колебания, будучи, например,
328

дипольными, хорошо излучаются из плазмы. Суть этого эффекта
в том, что длины излучаемых волн намного превосходят размеры
плазмы. Такая ситуация возможна для ленгмюровских пульсаций
и, особенно, для волн, распространяющихся только поперек маг-
магнитного поля, например циклотронных [271]. Возможно также уве-
увеличение сечения слияния двух ленгмюровских волн (длины волн
которых существенно меньше размеров плазмы) в поперечную
2соре с длиной волны, превышающей размеры плазмы [272].
§ 6.'5. ИЗЛУЧЕНИЕ НАДТЕПЛОВЫХ И РЕЛЯТИВИСТСКИХ
ЧАСТИЦ ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ
Как было показано в гл. 4, турбулентность не может существо-
существовать без возбуждения быстрых частиц, максимальные энергии кото-
которых для стационарной турбулентности ультрарелятивистские.
Излучение таких частиц может происходить на частотах, много
больших ленгмюровских, и такие волны могут свободно покидать
плазму, если ее оптическая толща мала. Сама оптическая толща
определяется реабсорбцией на быстрых частицах. Это указывает
на то, что излучение электромагнитных волн в оптически толстой
плазме должно существенно видоизменять спектры быстрых частиц.
Рассмотрим эффекты излучения быстрых частиц на леигмюровской
турбулентности, которая наиболее эффективна для ускорения час-
частиц и излучения ими электромагнитных волн. Излучение на других
модах турбулентных движений можно найти в работе [261]. Для
ленгмюровской турбулентности быстрые частицы излучают со J^> cope.
Процессы излучения таких больших частот допускают простую
наглядную интерпретацию, с которой мы и начнем рассмотрение
[66]. В этом случае за время одного периода высокочастотной волны
распределение электрических полей турбулентных пульсаций из-
изменяется слабо.
Пусть электрическое поле плазменной волны имеет вид
El = Eo cos (o)! t — kx r);QE0?J k1#	F.136)
Для нахождения взаимодействия между волной и электроном
используем метод последовательных приближений. В нулевом
приближении считаем, что электрон движется равномерно и пря-
прямолинейно со скоростью v. Со стороны волны на него действует
сила eEQ cos (% t—kjW). В первом приближении к равномерному
движению добавляются малые колебания г = vt + q cos Q t
e!=	%7-(ki-v(ki'v)); ^ = oI-k1v = co1-^1
Если электрон движется в вакууме, то для подсчета возникаю-
возникающего излучения достаточно найти осциллирующую часть диполь-
дипольного момента ер и подсчитать интенсивность дипольного излучения.
Однако рассматриваемый электрон движется в существенно неод-
неоднородной плазме. Неоднородность ее вызвана колебаниями элект-
329

ронной плотности п в волне, связанной с полем волны уравнением
—/zo)	F.137)
(п0 —среднее значение электронной плотности). Одновременно
с изменением плотности меняется диэлектрическая проницаемость,
зависящая от п	Ш
е(со) = 1 — f!!f!i= I + ^ML'sin (kx r—со/0. F.138)
тсо2	тсо2
Вместе с электронами в плазме движется вызванная им поляриза-
поляризация. Из-за неоднородности 8 возникает дипольный момент, частично,
а для нерелятивистского электрона — полностью компенсирующий
дипольный момент осцилляции электрона.
Заряд, движущийся в среде с переменной во времени и простран-
пространстве е, излучает поперечные волны. Заметим, что соответствующий
механизм излучения имеет известную аналогию с излучением заряда
в слоистой среде (см. [64, 65]). Такая трактовка возможна, когда
частоты излучаемых поперечных волн значительно превосходят
частоты продольных волн, создающих неоднородности в плотности.
Весьма существенно то, что фазы колебаний электрона и измене-
изменения е не независимы. Полное рассеянное излучение не является
суммой излучения, вызванного колебаниями электрона, и излуче-
излучения за счет неоднородности среды.
Легко найти мощность излучения заряда, движущегося в среде
с переменным е и колеблющегося под действием волны. Для этого
достаточно найти работу поля, создаваемого зарядом, над самим
зарядом
j	^j	F.139)
Г-*оо о
Для нахождения поля Ек используем уравнения Максвелла
FЛ40)
В этом уравнении ей/ известны. Решая F.140) методом последо-
последовательных приближений по Ео, получаем (vp<^c)
F.141)
330

.'_ ki Г Vl-vVc*
e~~c7 7 v
1	CO!
L V с
ki—coc-2(klV))
(kx-kJ—Й2).	F.143)
Первый член Ае соответствует комптоновскому рассеянию, а вто-
второй — нелинейному. Этот же результат может быть получен с по-
помощью общих выражений для вероятностей излучения при рас-
рассеянии на быстрых частицах, если для обратного максвелловского
оператора П-7- использовать его выражение для со ^> оьре
б •- kikJ
13 k2
F.144)
а для нелинейных токов использовать справедливое для больших
частот выражение
bllZL +btt*L+6l,?L) ¦ F.145)
(Do	^1	'
и,наконец, для комптоновского рассеяния Л= —1^—±—Л' (см.B.225))
те BзхK
Л =	^	1/ 1- —	X
BnKmek1 у	с2 (со —kvJ
X { v (kkx- J(klV) j + Mco-kv)}.	F.146)
Найденный из F.144) и F.146) результат соответствует замене в
F.141) энергии отдельной волны Ellin величиной Wl1dk1 и ин-
интегрированию по кг. Таким образом, излучение высокочастотных
волн co^co^g слабо зависит от характера плазменных колебаний —
отдельная волна или широкий турбулентный спектр. Этот результат
имеет простую интерпретацию, а именно излучение высокой ча-
частоты со автоматически усреднено по периоду и, следовательно, по
фазам турбулентных пульсаций.
331

Из^F.141) в пределе v^c получаем следующие выражения для
полной интенсивности излучения отдельных электронов и ионов:
еА Е2 v2
Q(e)=	о_. _ (з+ 13 cos2 б^;	F.147)
15т: с
F.148)
3m,2 с3
,
Как ионы, так и электроны при v<^c излучают частоту со =
= ^i^lcosGil. Для быстрых (в общем случае релятивистских) частиц
при изотропном распределении ленгмюровских пульсаций усредним
Q по всем углам между плазменной волной и импульсом частицы:
1	оо
Qp = -i Г dcos61Q = Г Q?da>;	F.149)
1
— 1
X
X [б (со A — t; cos 6) + &i и cos 6^ + б (со A — t; cos 0) — &x и cos 0г) ]
F.150)
(ф — угол между плоскостями, в которых лежат векторы къ v
и k, v). Вычисление интеграла приводит к выражению [66]
QS=tT?-7° -T'^ ;	FЛ51)
4/пе4 сое7 V тс2
m(lp/c). ф/^^^о при
v	\ тс2' ]
где ^—отношение частоты излученных волн к максимально возмож-
ной частоте при данных k± и 9. Функция Ф —2, q) представ-
\TYIC	I
ляется громоздким выражением. Поэтому приведем лишь графики
( )
Наличие двух максимумов на кривых рис. 6.1 вызвано наложе-
наложением двух рассмотренных механизмов рассеяния. При ультрареля-
ультрарелятивистских энергиях ( -^г>> 1) основную роль играет излучение за
\ ttlC	/
счет колебаний электрона, которые создают широкий плавный мак-
максимум. Узкий максимум при малых q вызван механизмом, сходным
332

р механизмом переходного излучения (излучения на неоднородно-
стях плотности, создаваемых плазменной волной). Поскольку по-
последнее излучение имеет в пределе —г-^оо не растущую
с eftnc2 постоянную интенсивность и среднюю частоту, в то время
как в излучении за счет колебаний электрона эти величины растут
—^- ] , то при -^2- ->- оо левый
максимум снижается и сдвигается влево. Предельное значение Ф
при е/тс2-^оо легко вычисляется, если учесть лишь компто-
новское рассеяние
=т q[(l-qK-3q4l-q+lnq)].
О
F.153)
0
ол
0,2
О
Рис. 6.1. Зависимость интенсивности спонтанного излучения
электронов при рассеянии на изотропных ленгмюровских
пульсациях от частоты:
< 1—отношение излучаемой частоты к максимально
-г— A ——
kxv \ с
8
возможной. На кривых отмечены значения параметра у =	.
тс2
В нерелятивистском пределе
тс*
1 два максимума сли-
сливаются и оба механизма излучения подавляют друг друга. Для
тс*
без
сравнения на рис. 6.2 приведены кривые для Фг
учета неоднородности плотности в плазменной волне. Эти кривые
имеют ту же самую предельную кривую F.153) при
оо,
но совершенно по-другому ведут себя при
тс*
1.
При рассеянии плазменных волн на ионах для возникающего
поперечного излучения имеет место формула F.143), в которой
/ 8	\
Ф2 —a", q) имеет вид, представленный на рис. 6.3.
\ file	j
333

Суммарную излученную электроном мощность находим, проин-
проинтегрировав численно F.150)
D)	F.154)
Зависимость H(v) показана на рис. 6.4. Коэффициент перед
Щи) в формуле F.154) подобран из условия П(и)-> 1 при и->- 1.
Интенсивность спонтанного излучения отдельного ультрареля-
ультрарелятивистского электрона может быть записана согласно F.153)
в виде Q? =
р4	Г	,ЛИЬ. ( /	mw2 „3 \ 3
F.155)
М	0,15	0,5	0,75"-	7,0 $
Рис. 6.2. Зависимость интенсивности спонтанного излуче-
излучения электронов при рассеянии на ленгмюровских пульса-
пульсациях от частоты без учета нелинейного рассеяния (у=—Л *
334

Интенсивность излучения всех ультрарелятивистских элек-
электронов имеет вид
,.Лх
F.156)
X {A — ^K—3^2A —
Здесь /sde — число частиц в интервале энергий de,
Используя Wlkt = у — = const, введем вместо интегрирования
, со [тс2\2 ^
по k интегрирование по q =	(~~т~ ) • Обозначим дмакс =
тс2 \2
» ?мин=="
ире
8 /	2сОр
. Vje | mj I [IHfJ] . Эти значения qb
tYle
Рис. 6.3- Зависимость интенсивности спонтанного излуче-
излучения ионов при рассеянии на изотропных ленгмюровских
/	8 \
пульсациях от частоты т=—'о •
\ тс2)
335

и qMim соответствуют тем предельным значениям волновых чисел
турбулентных пульсаций, для которых справедливо F.156) и
спектр W\x = 1/ —- . По условию q <с 1. Для тех энергий частиц,
ДЛЯ КОТОРЫХ <7макс>1>
X 1П
l/—
V mi
<?мин < '
2 3
— X
F.157)
Подлогарифмическое выражение в F.157), так же как и верхний
предел по энергиям, носит приближенный характер. При <7макс<1
0,5
Рис. 6.4. Полная интенсивность излуче-
излучения электронов как функция
^ /о/ч 9m*Qfi*\
0	0,5 рг
получим
'•*/?
X
X
me\l/s
2 со3 /mc2\6 3 со
I )
2wpe V e / 3 Bире)з \ е
2 B<VJ
8 /	2O3pe	8
Если /e — падающая функция энергии частиц, например
F.158)
F.159)
336

то значение верхнего предела в F.157) мало существенно и излу-
излучение F.157) намного превосходит F.158) и имеет оценку
г(
а(у) — численный коэффициент порядка единицы. Для степенного
спектра F.159) можно получить выражение для интенсивности из-
излучения, справедливое при произвольном спектре турбулентности
[66]
^(^\ix^ F.161)
LJ	_з_+-^-+—_б_ 1. FЛ62)
Ly-1 V+l V + 5 (V + 3JJ V	;
Для спектра у~ из F.161) получим при у>1 F.160),
Чтобы оценить полную интенсивность излучения, необходимо
иметь представление об оптической толще. Из общего выражения
для инкремента рассеяния легко установить в случае изотропной
турбулентности и изотропного распределения излучающих частиц,
что
Jf	I(i)e- FЛ63)
Используя F.155), получаем
Ук =	тт~ \-ф*(°°>&Wk< -17 ' F'164)
по с J
где
Для степенного спектра F.159) ускоренных частиц получим
'с(у) dkxkx2 Wkl, F.166)
d
337

где
±\± ^^±\	F.167)
7
Как видно из результата F.116), оптическая толща L^^c/y^
относительно самопоглощения очень сильно зависит от частоты
и тем больше, чем больше частота. Для спектра турбулентности
Y	имеем:
^-.-.	F.168)
Предположим, что слой плазмы настолько тонок, что при со по-
порядка ыре плазму можно считать оптически прозрачной. Тогда из-
излучаются все частоты от соре до тех максимальных частот, для ко-
которых спектр частиц является степенным (точнее, не спадает круто
по энергиям). Предположим, что спектр является степенным до
8 = е*. Согласно F.160) при 7 < 3 основная мощность излучения
приходится на максимальные частоты. Из условия q < 1
¦ (uve С / те
2—— —
тс*
/П.
3-Y - \ тс2 I \ те I щ у QoX
Х®%/посг] Q0 = (open0Te.	F.169)
Фактически F.169) пригодна, когда низкие частоты не удовлет-
удовлетворяют условию прозрачности. Важно лишь, чтобы частоты порядка
сомакс и на порядок меньше удовлетворяли условию оптической
прозрачности.
В предыдущей главе показано, что реализуются условия, когда
энергия высокочастотной турбулентности почти целиком диссипи-
рует в быстрые частицы, которые ускоряются турбулентностью.
Необходимо определить условия, при которых энергия быстрых
частиц диссипирует в излучение. В рассматриваемых здесь процес-
процессах энергия турбулентности практически не расходуется. Легко
показать, что при пг<Сп0 затухание ленгмюровской турбулентности
из-за процессов конверсии всегда меньше, чем из-за парных соуда-
соударений частиц. Энергия излучения почти полностью черпается из
энергии ускоренных частиц. Таким путем может быть реализован
канал диссипации турбулентности в излучение через ускоренные
частицы. Очевидно, что излучение электронов (если они инжекти-
инжектируются в достаточном количестве и п\е) не очень мало) играет наи-
338

большую роль. Чтобы получить соответствующую оценку, можно
использовать F.169), однако для этого надо знать величину е% и ее
зависимость от Q, а также знать величину 7 (в § 6.6 и гл. 7 показано,
что эффекты рассеяния в турбулентной плазме могут увеличи-
увеличивать ej.
Прежде чем обсуждать здесь эти проблемы, следует рассмотреть
конверсию на пульсациях vp^>c. Как правило, оптическая толща
относительно радиационных процессов на соре и 2ыре много меньше
оптической толщи радиационных процессов на ускоренных части-
частицах. Поэтому если предполагается, что плазма оптически толста
относительно последних процессов, хотя бы до некоторых <о,„:^>(омакс,
то она оптически толста относительно процессов на частотах соре и
2(оре и в силу доказанного энергия в этих частотах мала и максимум
турбулентного спектра при заметных Q лежит при vp ^>c. Поэтому
излучение на пульсациях vp^c может быть более существенным не
только по мощности, но и по обратному воздействию на спектры излу-
излучающих частиц. Будем считать в соответствии со сделанным предпо-
3 k2v2
ложением, что существуют как ленгмюровские со^ = со + -^	Il9
" шре
так и поперечные (буква р) плазмоны со? = а>ре + -^—.
Вероятности /-»¦ t и р->- t рассеяний на релятивистских части-
частицах, усредненные по направлениям пульсации и направлениям
скоростей частиц, есть [251]
а е± BлKс4 / .со ш2с4 / /п2с4 о \\ ,а л 7т
Wi=	-^—^—/со^ 4-	.	/со	2со \\; F.170)
а 2 2 2 1 Р**	Of	2 I	2	Ре i /
Р ре \	р \	р	I I
w\~w\.	F.171)
Эти вероятности при со > 2co^e ^2P4 равны нулю. Таким образом,
максимальная излучаемая частота не зависит от волнового числа
турбулентных пульсаций, если kx<^^^-. Этот результат имеет
важные следствия. Одним из них является независимость мощности
излучения и оптической толщи пульсации от спектра турбулентно-
турбулентности, а именно:
Оре
	 со /тт^/ , w/p\ С ...х 2 j d
f ¦¦«'/Me;	F-172)
J
Г wU2dz — .A. F.175)
339

Здесь входят лишь полные энергии колебаний W1 и Wp. Для
степенного спектра F.159)
(о. 174)
Считая, что W == -^-, получаем оценку для
Г .	F.175)
Сравнивая с F.160), имеем, что уже при
^Г (вЛ76)
доминирует излучение F.175). Таким образом, при выполнении
F.176) необходимо учитывать в основном излучение на i/p>c.
Однако сомакс в F.175) меньше, чем F.160), в -~-(—)
так как здесь сомакс = 2соре ( 8*
k тс*
Если же степенной спектр справедлив лишь до энергий, для
которых среда оптически толстая относительно F.175), то при
со = сомакс излучение F.175) еще оптически непрозрачно и не
служит источником радиационных потерь, поэтому только F.169)
дает радиационные потери, так как максимальные частоты здесь
будут прозрачны*. Коэффициент реабсорбции излучения на волнах
vp^>c и релятивистских частицах, имеющих степенной спектр
F.159), легко найдется из F.173)
Fl77)
Заметим, что F.168) применимо для частот, для которых F.177)
не имеет места.
* Надо иметь в виду возможность «расстройки» частот оптически про-
прозрачных и излучаемых механизмов F.175) из-за влияния синхротронного
излучения (§ 6.б) и рассеяния (гл. 7).'
340

Спектр излучения для оптически толстых частот найдется из
F.174) и F.177)
|Vco|	*
1(у* + 4у+П) (W + WP)]	F
[(» + 6y+16)(^ + ^)]
Спектр /ш ~ со5/2 характерен также для синхротронного излучения
в области реабсорбции.
§ 6.6. ВОЗДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОЙ
ПЛАЗМЫ НА СПЕКТРЫ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
Обратное воздействие излучения на частицы, которые излучают,
сводится не только к потерям их энергии, но и к приобретению
энергии под действием турбулентности и излучения. Если потери
энергии соответствуют спонтанным процессам рассеяния быстрых
частиц на турбулентных пульсациях с излучением электромагнит-
электромагнитных волн, то процессы ускорения обязаны вынужденным процессам
рассеяния. Считая турбулентность достаточно сильной, будем
учитывать лишь эффекты, возникающие от vp*^>c. Тогда уравнение
для релятивистских частиц приобретает вид [251 ]
^k°±l JL v	F.179)
dt дг	д& е2 де
где Ae = Qe описывает спонтанное рассеяние (р — плазменный
механизм)
я2	J	аР
Г w\^^-,	F.180)
J	аРес3
a Dg—индуцированное
2o
2oV ^^
= Г {Wl + Wp)w\— /co^co.	F.181)
Учтем далее синхротронное ускорение, рассмотренное в гл. 5, и
синхротронное торможение, связанное с наличием магнитных полей
(Я — синхротронный механизм).
Тогда
»^^'	-^), F.182)
341

где Ле — синхротронное торможение [46]. Для расчета ускорения
необходимо знать /w. Рассмотрим частоты, меньшие тех, для кото-
рах плазма становится оптически прозрачной, тогда как синхро-
синхротронное, так и плазменное излучения дают спектр — со5/2. Учет
синхротронного излучения сводится к тому, что следует изменить
лишь некоторые численные факторы в F.174), F.177) и F.178), так
как зависимости от частоты интенсивности излучения и коэффи-
коэффициента реабсорбции для синхротронного и плазменного механизмов
совпадают. В частности, квадратная скобка в F.174) и числителе
F.178) должна быть заменена
у-з „а
) + a1(y)Z 3 -f-;	F.183)
г
12 ; v 12 ; у 4 ;.
у2^г(ЛХ1_)	' F.184)
еН
а квадратная скобка в F.177) и знаменателе F.178) соответ-
соответственно
Y
2(т)?Т~'4^	F.185)
4я
г /?Y±22\
\ 12 j
г
12 ) \ 12 j
Выражения для синхротронных коэффициентов реабсорбции и
излучения получены в работе [46].
Наконец,
DS = D» + D%,	F.187)
где D%—коэффициент диффузии на синхротронном излучении,
рассчитанный в гл. 5. В соответствии с F.178) аппроксимируем
/аз формулой
/ / со \v
	 		При CD<GV,
w^w^	F.188)
f)	При СО>СО.,,
СО* V © /
где со^ частота, для которой плазма становится оптически
прозрачной; для F.178) v' = 5/2. Коэффициент D8 является
342

быстро растущей функцией энергии частиц до е* = т л/
При
2(Dpe
v'(v' + l) (v' + 2) X
r-2 IJ-1; F.189)
a8(v')='M' *VKV T'MTT"['^V' Г|-|х
Отсюда легко получить среднее возрастание энергии частиц
v'4h {6Л91)
1	<е(У + )G + )
Г 315д n§
X
	1
. F.192)
Здесь подставлено конкретное значение /. из F.178) с учетом синх-
ротронных эффектов. Ускорение F.191) является весьма мощным и
может полностью компенсировать синхротронные потери.
Уравнение F.179) может служить для определения равновесного
спектра
или Ае =
^^ + ^e/e const0	F.193)
5 де s
где аТ есть F.192). Тогда из F.194)
const
/е
81
343

где
F.195)
Последнее соотношение служит уравнением для определения у.
Таким образом, показано, что спектр частиц становится степенным
ВПЛОТЬ ДО 8 ==
2со
ре
. Кстати, именно это значение 8^ долж-
должно фигурировать в F.169).
Степенные спектры распределения релятивистских частиц по
энергиям соответствуют наблюдаемым спектрам электронов и
ионов космических лучей. Решения F.195) дают представление
о величинах у. При #-»- 0 7 = 3. При конечных Н значения у лежат
между 1,9<7<3 (рис. 6.5). По у можно найти v = т "Г , и оказы-
вается, что спектры большинства наблюдаемых источников косми-
космического радиоизлучения имеют степенные спектры со значением v,
попадающим в интервал, даваемый теорией. Наконец, у, иаблюдае-
10
\=10'3
0,5 1,0 7,5 2,0 2,5 %
Рис. 6.5. Значения спектрального
индекса у при различных пара-
параметрах— lgx, 1= —-, где х=
W
потес*
W — энергия турбу-
лентности.
мое для космических лучей, попадает в этот интервал. Подчеркнем
важный вывод общей теории турбулентности плазмы, состоящий в
том, что в плазменном объекте достаточно больших размеров (опти-
(оптически толстом относительно излучения быстрых релятивистских час-
частиц, ускоренных турбулентностью) автоматически должен вырабаты-
вырабатываться степенной спектр частиц, простирающийся до больших энер-
энергий. Максимальные значения энергий определяются условием за-
пертости излучения. Условие запирания может зависеть как от
344

конкретных свойств объекта, так и от ряда эффектов, возникающих
в турбулентной плазме. В частности, возможно самозапирание
излучения, связанное с тем, что при выходе из любого объекта излу-
излучение становится локально анизотропным, а следовательно, соглас-
согласно гл. 3 возбуждает интенсивную турбулентность. Запиранию
излучения способствует рассеяние (гл. 7).
Итак, турбулентная плазма ускоряет частицы до релятивист-
релятивистских энергий (ТЭфф^>тс2гл. 5), их излучение распределяет частицы
iW3
так, что их спектр становится степенным при &>&к =
\ ат
где Dlk>lOpe/c — коэффициент диффузии на резонансных плаз-
монах. Этот критерий следует из сравнения F.189) с Dlk>@ е/с,
найденным в гл. 5. Качественно именно такой вид спектра характе-
характерен для космических лучей. Таким образом, теория турбулентно-
турбулентности плазмы предсказывает существование ультрарелятивистских
частиц в турбулентной плазме со спектрами, соответствующими
наблюдаемым спектрам.

Глава 7
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ЧЕРЕЗ ТУРБУЛЕНТНУЮ ПЛАЗМУ
§ 7.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В гл. 7 и 8 будет рассматриваться распространение электромаг-
электромагнитных волн и развитие неустойчивостей в турбулентной плазме.
В этой главе исследуются эффекты, возникающие в турбулентной
плазме, для волн, которые могут распространяться свободно в плаз-
плазме в отсутствие турбулентности (распространяющиеся волны), тогда
как в гл. 8 — низкочастотные волны и возмущения.
Постановка задачи в случае высоких и низких частот имеет су-
существенные различия. Они состоят в том, что в области высоких
частот турбулентная плазма не в состоянии изменить коллективные
моды колебаний плазмы, тогда как в области низких частот появ-
появляются новые моды, например колебания типа второго звука, новые
специфические неустойчивости, а также стабилизация тех неустой-
неустойчивостей, которые были в отсутствие турбулентности. Вместе с тем,
как для высоких, так и для низких частот будет предполагаться,
что электромагнитное возмущение или волна является слабой, т. е.
такое возмущение не в состоянии изменить спектра турбулентности.
Ограничимся в этой главе рассмотрением достаточно высоких частот
волн, проходящих через турбулентную плазму, предполагая
со^хояе, со^, т. е. со много больше всех возможных частот турбу-
турбулентных пульсаций. Такие частоты могут излучаться ускоренными
частицами турбулентной плазмы. Для дальнейшего мало сущест-
существенно происхождение высокочастотных волн: возникли ли они
из-за некоторых турбулентных процессов в плазме или являются
волнами, попадающими в шнгзму извне. Наиболее важными для
приложений являются три процесса, которые будут рассмотрены
ниже: 1) рассеяние волн на турбулентных пульсациях; 2) усиление
электромагнитных волн из-за анизотропии турбулентности или
быстрых частиц; 3) флуктуации интенсивности электромагнитных
волн.
Естественно, рассеяние не играет роли при изотропном распре-
распределении электромагнитного излучения пульсаций и частиц и по-
поэтому им можно пренебречь в рассмотрении, проведенном в преды-
предыдущей главе. Однако при выходе излучения из плазмы автомати-
автоматически возникает анизотропия, хотя бы вблизи поверхности. Рас-
Рассеяние увеличивает путь луча в плазме и поэтому изменяет опти-
оптическую толщу. Следовательно, для оценки оптической толщи
нужно принимать во внимание рассеяние.
346

Рассеяние влияет также на усиление электромагнитных волн,
увеличивая путь луча. При однократном рассеянии изменение на-
направления электромагнитной волны может быть не малым, а так
как усиливаться могут лишь волны определенных направлений,
то возможно усиление именно рассеянных волн. Таким образом,
усиление волн может увеличивать рассеяние.
Если спектр падающего излучения достаточно узкий, то спектр
волн, рассеянных на турбулентности, будет смещен вверх и вниз
от частоты падающего излучения на частоту турбулентных пуль-
пульсаций (комбинационное рассеяние). Действительно, в отсутствие
быстрых частиц высокие частоты взаимодействуют с турбулентными
пульсациями а лишь в результате распадных процессов
t+±f + o,	G.1)
которые есть не что иное, как индуцированное комбинационное рас-
рассеяние. В тех случаях, когда ширина спектра рассеиваемой волны
много меньше соа, рассеяние приводит к возникновению комбина-
комбинационных частот cot + vcoa, где v — целое число. Как правило, для
слабой волны v = ± 1, так как последующие комбинационные ча-
частоты могут появиться лишь в результате повторного рассеяния уже
рассеянных волн.
Если coa <g: со*, то изменение энергии поперечного кванта являет-
является достаточно малым и в первом приближении процесс рассеяния
можно считать упругим. Для квазиупругости рассеяния необхо-
необходимо, чтобы изменение импульса рассеиваемой волны намного
превосходило изменение ее энергии. Если изменение импульса
равно .импульсу турбулентных пульсаций, то необходимым усло-
условием является
Иными словами, рассеяние квазиупруго в том случае, когда оно
происходит на турбулентных пульсациях, фазовые скорости кото-
которых много меньше скорости света.
Максимально возможный угол рассеяния равен 2я. 'Изменение
импульса рассеиваемой волны составляет в этом случае 2 kt9 где
kt — импульс падающей волны. Это изменение импульса равно мак-
максимальному импульсу турбулентных пульсаций, на которых еще
может рассеиваться волна, т. е.
ko<2kt	G.3)
или %t < 2Яд, т. е. рассеиваемая волна «чувствует» лишь те турбу-
турбулентные пульсации, длины волн которых больше половины длины
рассеиваемой волны.
Появление рассеянных комбинационных частот играет важную
роль в диагностике плазмы. Действительно, наблюдение комбина-
347

ционных частот позволяет идентифицировать тип турбулентных
пульсаций, возбужденных в плазме, не меняя заметным образом
состояние плазмы (ее турбулентности). Возможные другие методы
диагностики (зонды и пр.) связаны с существенным, хотя, может быть
и локальным изменением свойств плазмы. Особенно трудно иденти-
идентифицировать низкочастотные турбулентные пульсации известными
методами, тогда как эффекты комбинацонного рассеяния открывают
принципиальную возможность для измерения частот турбулентных
пульсаций. Если имеются данные о том, что в плазме возбуждены
именно турбулентные пульсации данного типа, то измерение со^
позволяет получить целый ряд сведений о параметрах плаз-
плазмы: ее плотности, температуре электронов и ионов и т. п., так
как частоты турбулентных пульсаций зависят от всех этих пара-
параметров.
Наконец, по интенсивности и угловому распределению рассеян-
рассеянного излучения можно судить об интенсивности и спектре турбу-
турбулентных пульсаций.
На возможность использования процессов рассеяния волн в тур-
турбулентной плазме для ее диагностики по спектрам сателлитов обра-
обращалось внимание в работах [185, 273, 274]. Теория рассеяния раз-
развивалась во многих работах [265, 275, 272, 276]. Вопросы рассея-
рассеяния в ограниченной плазме рассматривались в работе [272].
Первое экспериментальное подтверждение эффекта рассеяния
в турбулентной плазме получено в работах [277—279] (см. также
в [280—282]). Изучалось также рассеяние на крупномасштабных
колебаниях всего плазменного столба [283, 284].
Эффекты рассеяния в турбулентной плазме играют важную роль
в астрофизике [285—287]. По-видимому, они наблюдались также
[288] в радиоизлучении квазаров [287], а эксперименты по радио-
радиолокации Солнца [289] находят объяснение на основе представлений
о рассеянии в турбулентной плазме [290].
Усиление электромагнитных волн в турбулентной плазме имеет
важное значение для использования плазмы как излучателя элект-
электромагнитных волн, интерпретации излучения космических объектов
[291], а также для процессов возбуждения высокочастотной турбу-
турбулентности посредством генерации интенсивных электромагнитных
волн (уже в нелинейном режиме). Наконец, флуктуации интенсив-
интенсивности также играют важную роль в диагностике турбулентности
[292]. Использование теории флуктуации позволяет интерпрети-
интерпретировать широко ведущиеся наблюдения по флуктуациям радиоизлу-
радиоизлучения, проходящего через плазму околоземного пространства и
солнечного ветра [293]. Общий круг приложений теории прохож-
прохождения электромагнитных волн через турбулентную плазму, таким
образом, весьма широк. Ограничимся здесь изложением наиболее
важных и принципиальных сторон теории и используем найденные
выше спектры турбулентности для предсказания качественных
свойств рассеяния излучения, усиления и флуктуации его интен-
интенсивности.
348

§ 7.2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Общие уравнения предыдущей главы, учитывающие поляри-
поляризационные эффекты, могут быть использованы для описания рас-
рассеяния, если ограничиться распадными процессами и считать ин-
интенсивность малой. Если усреднять по поляризациям, то удобнее
использовать непосредственно уравнения баланса для поперечных
квантов и плазмонов, полученные в гл. 2.
Уравнение для изменения числа ^-квантов можно записать:
X [ш\а{къ kN(?1-? + ?') + a4a(ki, Ю &(кг-к' + к)], G.4)
где wfta (к19 к)б (&! — k + k) вероятность распадного процесса.
Интегрируя по к', можно записать уравнение G.4) в виде
В форме G.5) уравнения особенно удобны в том случае, когда мак-
максимально возможное lk.il турбулентных пульсаций много меньше
|к| рассеиваемых электромагнитных волн. Тогда, если спектр ча-
частот рассеиваемых волн достаточно широк Док^хс^, т. е. ширина
спектра намного превосходит частоту турбулентных пульсаций,
допустимо разложение G.5) по кх, что дает уравнение диффузион-
диффузионного типа
dt	ё дг dkt lJ dkj
wf (klt к) б « -
Такой способ описания рассеяния непригоден даже при Acok^coki»
если |кх| может быть сравнимо с |к|. Тогда рассеяние происходит
на значительный угол и диффузионное приближение не описывает
процесса. В ряде случаев при этом изменении частоты рассеянного
фотона бывает малой по сравнению с изменением направления дви-
движения, т. е. рассеяние квазиупругое.
В приближении квазиупругого рассеяния уравнение G.4) также
допускает упрощение. Заметим, что для получения таких урав-
уравнений удобно в G.4) использовать б(кх — к + к') для интегриро-
интегрирования по к1э а 6((о? — о)к + озк/) —для интегрирования по моду-
1	349

лю k'. Уравнение G.5) при этом приобретает вид
fe'Xn-*'n'	a
n/o^e {Nk'n. — Nkn)dn X
dt ' *S-K dr
Хш|а(Ь-№, fen) + j o *'" (N{~n ¦ - N[n) Nt"n --knX
xw'ta(k"ri — kn,k"ri)dri.	G.7)
Здесь dn' — интеграл по телесному углу рассеянных фотонов;
n' — единичный вектор направления рассеянного фотона; п—па-
п—падающего; k', k" — функции k, n, n', определяемые из решения
уравнений:
а>к1 = ш2п-*'„'.=в>к-й>к';	G-8)
К1 = К"п'-кп=^-(Лк-	G-9)
Уравнения G.7) являются строгим следствием уравнений G.4) и
справедливы также для неупругого рассеяния. Случай упругого
рассеяния соответствует приближению, когда можно считать
k' « k" ж k\ (ok' ж юл- «coft.	G.10)
В этом случае G.7) приобретает вид
где
Vnn ^(^ (п„) ^((), ) +
+ A^-n)^a(&(n'-n), fen'))Bjtre.	G.12)
Записанное в форме G.11) уравнение — обычное в теории переноса
излучения [9]. Существенно, что в турбулентной плазме рассеяние
волн может намного превосходить томсоновское и поэтому указан-
указанные процессы рассеяния играют весьма важную роль. Наконец,
следует указать еще на одну форму уравнений, описывающих рас-
рассеяние электромагнитных волн в турбулентной плазме в пределе,
когда G.11) и G.6) неприменимы, а именно при Асок^о)^. В этом
случае рассеянные волны имеют частоты, отличные от падающей на
vcokj v = ±1,±2... и т. д., т. е. мы имеем характерное для инду-
индуцированного комбинационного рассеяния сателлитные спектраль-
спектральные линии. В указанном случае частоты линий оказываются вполне
определенными и можно ввести функцию распределения для v-ro
350

сателлита A/"t,n> частота которого близка сок + vcoj^, где сок —
частота падающего фотона.
Общее уравнение такого типа есть
• V, П, П'	• V+ 1, 11, П' ' • V— 1, П, П' >
;_l. „,
G.14)
В проблемах, связанных с диагностикой плазмы, когда интенсив-
интенсивность рассеянных волн достаточно мала, фактически достаточно
ограничиться рассмотрением лишь первых двух сателлитов, т. е.
v = 0,±1:
dt	bf or
dt ' Z'[ dr
G.15)
^ + vg, _
g, _, —=iiJL = С < „- Yi. п. „- dn'.
+ vg, _,
В общем случае магнитоактивнои плазмы вероятности w\a (k1} k)
могут быть найдены из нелинейного тока, полученного в § 2.10.
Предполагая, что частота рассеиваемой (и рассеянной) волны много
больше всех характерных плазменных частот (соре, co#e), получаем
G.16)
4зхтесо
Здесь г^) — электронная часть линейного тензора проницаемости
плазмы. Вероятность рассеяния определяется |S? I2
i,	G.16a)
351

где ej^ — орт, характеризующий поляризации турбулентных
пульсаций рассматриваемого типа (см. B.205))
Bп\6 е2	аJ I <?? I2
	. G.17)
(Т
(?) = CDj,
В формуле G.17) произведено усреднение по поляризациям рас-
рассеянной и рассеиваемой волн. При рассеянии на продольных
колебаниях Sil = fe1(eielu—1). Для высокочастотных пульсаций
8ie) l == 0; S^ == — &х, а в области сох < ^х иГе
1; 5' = -^-.	G.18)
R\ vTe
Точная вероятность рассеяния на ленгмюровских пульсациях
изотропной плазмы при любых со есть
^^ (kj_, k) =	(l + (nnj),	(/.1У)
163t/7Ze C0k C0k	k
а на ионно-звуковых
(l + (nn'J). G.20)
Точно так же легко могут быть найдены вероятности других про-
процессов, описывающих рассеяния на А, .до, А, М, Ms и дрейфовых
волнах d (см. [294]). Они приведены ниже. Чтобы в дальнейшем
было проще обсуждать конкретные вопросы рассеяния электро-
электромагнитных волн на тех- или иных типах пульсаций, рассмотрим
более подробно изотропную турбулентность. Уравнение диффузии
G.6) отличается от уравнения E.2), описывающего рассеяние и
ускорение заряженных частиц в турбулентной плазме лишь обоз-
обозначениями (вместо /р — функции распределения частиц — входит
Nl — функция распределения фотонов, а вместо скорости v входит
групповая скорость волн). Из этой аналогии ясно, что рассеяние
фотонов должно сопровождаться изменением как средней частоты,
так и изменением распределения по частотам (аналогично систе-
систематическому и флуктуационному ускорению для частиц). Для изо-
изотропной турбулентности можно записать
u % + (a-**¦). G-21)
352

Коэффициент Dl описывает изменения частот фотонов, D* —
их рассеяние по углам. С помощью G.6) и G.17) можно записать
При
k^, G.22)
lxdkx. G.23)
k2"len0
G
k,
KC0
д
k4 n0 me
д
2
ре
со? в
со?
D ^^
к,
2
2
"I"
С4
G
С
О
(
2 ^
С2 /
»рJ
ккхс^
^ 1
кк]С
L /г
Особенно существенно изменение спектра для узких линий и
менее существенно для широких спектров. Это уширение отлично
от обычного штарковского уширения, связанного с воздействием
электрических полей турбулентных пульсаций на излучающий
атом.
В условиях vGp<^jc при анализе рассеяния можно выбросить
член -1J- перед D1 в G.21). Учитывая, что при рассмотрении рас-
рассеяния можно пренебречь изменением частоты, получаем, что рас-
рассеяние описывается угловой частью оператора Лапласа. Введя
интенсивность электромагнитных волн
dk
G.24)
получим для диффузионного рассеяния
dL,n , rn dIu,n Gd д
-—— +СП—	= —- Дв
or	or	2
sin
Для больших частот согласно G.22)
D' = const — =
а3
sirr
G.25)
. G.26)
G.27)
353

и, таким образом, флуктуационное размытие частот излучения и
уширения спектральных линий описывается следующим допол-
дополнительным членом правой части G.25):
ц©-^- .-%-=?/„,„.	G.28)
дсо2 со3
Вблизи частоты со%, соответствующей центру спектральной линии,
зависимость 1^>п от частоты наиболее сильна и можно использовать
приближенное выражение для оператора \х
со*
Угол 8 в G.25) удобно отсчитывать от направления первоначального
распространения электромагнитных волн. Тогда, если начальные
условия не зависят от ср, имеем
^--^-.	G.30)
Это уравнение отличается от уравнений переноса излучений пре-
предыдущей главы учетом рассеяния и уширения линий. Как видно
из G.30), для анизотропных распределений интенсивности пренеб-
пренебрежение рассеянием является, вообще говоря, незаконным. Для
качественной оценки при малых углах рассеяния имеем
<02>-g-L,	G.31)
где L — путь луча в плазме а есть величина, играющая роль сечения
рассеяния. Уравнение G.11), описывающее упругое рассеяние на
угол порядка единицы, может быть представлено в виде
Т + ™ Т= -°Un + ol*m> /con' dn',	G-32)
где
'; %nn- = — у™-.	G.33)
a
Первый член описывает убыль квантов из направления п из-за
рассеяния в другие направления п', а второй — обратный эффект
рассеяния из п' в п. Если рассеяние происходит на малый угол и п'
близко п, то в G.32) можно произвести разложение по п' — n = An.
354

Получим уравнение
d/(dn _|_ctl /(dn —	 Dif a/(dn ;	G.34)
D(if--=[—AniAnjN°kAnwtta(kAny kn)dAny	G.35)
J vg
которое преобразуется к виду G.25).
Рассмотрим качественно эффекты, возникающие при выходе из-
излучения из плазмы. Пусть внутри плазмы из-за интенсивного рас-
рассеяния, а также изотропности и однородности источников, гене-
генерирующих излучение Qon = Qw> излучение полностью изотропно
Посмотрим, что произойдет при приближении к границе плазмы.
Если расстояние до границы еще достаточно велико (критерий см.
ниже), то излучение будет слабо анизотропно и 1ап можно разложить
по полиномам Лежандра. Ограничимся первыми двумя членами
/con=Ao + jBfflCOS0.	G.36)
Подставив G.36) в G.30) и усреднив по углам, получим, если пре-
пренебречь уширением спектра,
fJA
О	СО	О/	1\	Л	i О /	I	\ Г\	/п П>-7\
с*——-— = 3 (у +cr,jv А 4- о (у -\-о Л О ,	G.о7)
СзУ*	V СО	&/ СО СО	V ' СО	Ci/ ^^С0	'
т. е. характерная длина, на которой существенно меняется ин-
интенсивность
г . х —	-		G 38)
видоизменяется из-за рассеяния> если
ed»yu,	G.39)
равновесное же значение интенсивности
Л*--—	G.40)
Y©
остается тем же. Таким образом, при сг^^у^ существенно умень-
уменьшается оптическая толща плазмы. Уменьшение оптической толщи
возникает и при раскачке излучения у>0 [286]. Такой же резуль-
результат следует из G.32) при рассеянии на угол порядка единицы, при-
причем в G.38) необходимо в этом случае заменить ad сечением а [286].
Точно так же из G.32) и G.36), составив одно уравнение для Ат
типа G.37), легко оценить эффекты уширения спектральных ли-
линий. В этом случае получим оценки уширения:
355

1) когда путь луча L много меньше длины рассеяния с/о
(АсоJ ~3-^Lc~l;	G.41)
со?
2) когда путь луча много больше длины рассеяния с/а
(ДсоJ~ 3 ^oL4~\	G.42)
со?
т. е. уширение возрастает в oL с > 1 раз.
§ 7.3. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
Рассмотрим эффекты рассеяния на ленгмюровских пульсациях.
Из законов сохранения при распаде следует, что с поперечными
волнами взаимодействуют лишь пульсации с vp < с. Если
3 v\JvtOc, to практически спектр турбулентности можно считать
плоским до vpxc. Рассеяние на угол порядка единицы возможно,
если &~ kl
.-?-.	G.43)
При coj^co^ рассеяние на угол порядка единицы на vp^-c невозмож-
невозможно. Итак, при использовании G.12) можно считать Wh = const =
= уЩ* С помощью вероятности G.19) и G.12) найдем
G.44)
с (теу/5 Г1
7п п' не зависит от частоты лишь до частот со^со,^	—| . При
VTe *'
больших частотах рассеяние на угол порядка единицы возможно, но
как 1/со5/2 падает с частотой, а при со^хо^	 рассеяние всегда
происходит на малые углы и справедливо диффузионное прибли-
приближение. Из G.44) получим
4
356

При Te>Tt множитель (l + Te/Tt) должен быть опущен. В слу-
случае диффузионного рассеяния
п<ь2р
ad = —р—\ —т Wi / * 8(copg — fe1n1g)ga.	G.46)
8me J со4 х 4лл0
Учитывая, что основной вклад в интеграл G.46) ввиду Wk = const
дают kx > ®pe/c, получим
х	_	GА7)
Здесь felMaKC = ©pe ( —— ] /vTe, т. е. рассеяние падает как 1/о4.
Целесообразно G.45) сравнить с томсоновским рассеянием, для
которого а = ат
4со	со
_.	ре	ре	/i-> aq\
Критическое значение QKp, для которых G.45) превосходит
G.48), весьма мало
' 2 Y2	<*% У	me	^_VV_^.
ЗяM^2 n0t4e J	°^^	V^J mf '
G.49)
Таким образом, в турбулентной плазме рассеяние всегда аномально
велико и обычно на много порядков превосходит томсоновское
рассеяние.
Если в плазме возбуждены ионно-звуковые пульсации, то рас-
рассеяние хотя и всегда упруго (ввиду cos<^co), но возможно на угол
порядка единицы. При этом из G.20)
Tnn' ScnQTeco2 (n-n'J A + 4со2 4, (!-""')/< ^2) '
При п-*- п' Ws-*0. С другой стороны, при п ->¦ п необходимо поль-
пользоваться диффузионным приближением. Если воспользоваться
спектром D.231), то
_ ясоре15Г^Зе A+(ппТ) /"Г (oln-n-l
1б/2я7>з |п-п'|3 У тг	koc	К ' }
357

При |n — n'| —1 это рассеяние хотя и падает быстро с частотой,
может в широком диапазоне параметров превосходить рассеяние
на ленгмюровских пульсациях G.45), что имеет место при
G.52)
VTe<» J
В диффузионном приближении, которое справедливо всегда при
со >	, имеем
vTe
п со
q __	 . ... 1JC I	i i «i ___	g -| / 	e_ п у
/ 16 eo4 J /го7^	M/btTiY nit пй
G.53)
В последнем равенстве G.53) приближенно kMaKC ~ J^lL.. Таким
образом, в сравнении с G.51) появляется дополнительный малый
множитель . юРеС <^; 1.
Рассмотрим теперь плазму, помещенную в магнитное поле. Рас-
Рассеяние на ленгмюровских и ионно-звуковых пульсациях имеет
примерно тот же характер зависимости от частоты, что и в отсутст-
отсутствие магнитных полей. В сильном поле сояе^>соре появляется ветвь
Юк^з соне- Расчет ш/Л(к1э к) для этой ветви по формуле G.17) дает
<(kl, H-f*""-^ (I+(«.'« [¦-^г^], G.54)
^	4/г0со2|соЯе|DлJте	|_	(к —к'J J
где h = H0/#0. Из G.54) следует
Я?ое	4A —пп')
G.55)
На поперечных волнах частоты со~сояе, в которые превращаются
/z-волны, рассеяние отсутствует, так как поперечные волны нерас-
падны. Для рассеяния на замагниченных ленгмюровских пуль-
пульсациях со = copjcos9| единственным различием с результатами,
рассмотренными выше, для Я = 0 будет появление в формуле G.19)
(h,n — п')
дополнительного множителя -~	—.
(п — п )
358

В слабом магнитном поле соЯе С со возникает новая ветвь
вистлеров и соИе | cos 0 |. Для вистлеров имеем
, I cos 0, I
^^i G.56)
6е2	со2 к\ sin2 0, I cos 0,
со2 16ят2
Так как со > cope, йх < cope/c, а со > ^xc, всегда справедливо диф-
диффузионное приближение
Г
		\
Здесь ^i = cosOi, x = cos 0, W^ltQt — введенная в гл. 4 энергия
турбулентности вистлеров, нормированная на d^^x^ Согласно
гл. 4 WtolXl ~ —^ , v = -к- в отсутствие ионно-звуковых
пульсаций и v = 0 при наличии интенсивных ионно-звуковых
пульсаций. Подынтегральное выражение G.57) пропорционально
- fv - —)
со v 2 /, и при любом из выписанных v основной вклад дают мак-
максимально возможные частоты ~ со^. Отсюда следует оценка
2D	Ww ( (дреУ( (оре \2
(^)(^	G.58)
Переходя к низкочастотным пульсациям, стоит отметить, что рас-
рассеяние на замагниченном звуке со = kvs\cos Q\(va^> Vs) качественно
мало отличается от рассмотренного выше незамагниченного звука
[в вероятности G.20) следует приписать дополнительный множитель
h(n — п')
п _ п/— . Вероятность рассеяния на продольной ионной вол-
волне соя/ |cos 6Х| имеет вид
f8ln29'C°'9|	). G.59)
СОгг;
Считая kx ~	, получаем оценку
vs
g.^col
Vs V со J п0Те '
Для альфвеновских пульсаций сол = kvA \ cos Q1 \
G.60)
G.61)
359

Коэффициент диффузии может быть записан в виде
DA [ II I/ 1 1 (oJt Qx 1 ре \ 1/	/гу г»о\
i\— I	—2 /"		'	(/.OZ)
«k^cosGx, # = cosG. Введенная в гл. 4 w?t в стационарных од-
одномерных условиях имеет вид const/G^ и основной вклад в интег-
интеграл G.62) дают максимальные частоты порядка соя/. Это позво-
позволяет получить оценку
9ПС2	AjrW
Для магнитозвуковых волн со^ = kvA имеем
а коэффициент диффузии
<л Ч ~xi) ^м dcoxdQi. G.64)
—xz—
Если спектр имеет вид W^it Qt=^—-WXl1 где v = 2, то
где WM — полная энергия магнитозвуковых пульсаций; а>мин =
= kovA — минимальная частота, 2n/k0 c^ Lo—основной масштаб
турбулентности. В этих условиях оценка ad имеет вид
G.65)
и гг2 *	k r
§ 7.4. УСИЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
Усиление возникает обычно либо при анизотропном распреде-
распределении пульсаций, либо при анизотропном распределении быстрых
частиц, ускоренных турбулентностью.
Рассмотрим вначале эффекты, связанные с анизотропией тур-
турбулентности. Ограничимся высокими частотами, много большими
360

всех характерных частот плазмы со/^, со^. В присутствии турбулент-
турбулентных пульсаций возникают эффективные соударения тепловых час-
частиц плазмы с турбулентными пульсациями. Высокочастотная волна
заставляет осциллировать частицы плазмы. Их столкновение с тур-
турбулентными пульсациями могло бы диссипировать энергию колеба-
колебаний, а следовательно, и энергию высокочастотной волны. В дейст-
действительности, однако, высокочастотная волна может нарушить ре-
резонансное условие, благодаря которому осуществлялось эффектив-
эффективное взаимодействие частиц и пульсаций, и ликвидировать указанную
диссипацию. Возможность такой ситуации для высокочастотных
электромагнитных волн видна хотя бы из общего квазилинейного
уравнения B.130). Действительно, учитывая 8(k — &х — k2), можно
резонансный знаменатель B.130) записать в виде
	1
(й1 + со2 — (кг + k2) v + id
Для медленных низкочастотных движений частота со2, характери-
характеризующаяся изменением регулярной составляющей функции распре-
распределения, мала и может выполняться резонанс озх = kx v, тогда как
малые осцилляции высокой частоты дадут нерезонансный знамена-
знаменатель —	:	(так как со2/^2 = ур — ?> a v <^ с).
Влияние турбулентных соударений на распространение элект-
электромагнитных волн описывается поправкой к интегралу столкно-
столкновений, обязанной возмущению распределения частиц электро-
электромагнитной волной. Таким образом, эффективные турбулентные
частоты для высокочастотного излучения имеют совершенно иную
природу, нежели для возмущений низких частот. Поскольку турбу-
турбулентность слабая, а частоты большие, следует найти нелинейное
уь для поперечных волн при наличии низкочастотных пульсаций
типа а. Последние будем считать резонансными с частицами плазмы,
т. е. при Я = 0 сокг = kxv, при НфО со^ — kzvz — vcotfa = 0.
Используем уравнение, аналогичное B.124), оставив линейные
члены по интенсивности поперечных волн,
(k*c* - со2 8,) l{ = Snico/l \ 2$* Их dkx +
kW-fe_klk>k>>k> |2 ^^(k-K-k^dk^dK G.66)
Здесь
5л,л1.л1 = 5ш(А,А1,*2)ек1,/е^е^/;
+ ^ijsi(k, kl9 k, — k^) + Sinj(ky k — kl9 kjuni (со—cox) X
xnnm(^ySms/(^^*,-y.	G.68)
361

Здесь Unm(k)— обратный максвелловский оператор
(k4iJ-kikj-^suynn(k) = 8il.	G.69)
Уравнение G.66) получается аналогично B.124), от которого оно
отличается лишь типом взаимодействующих колебаний, попереч-
поперечных t и турбулентных а, что отражается в ортах е'и еа, с которыми
свертываются коэффициенты нелинейных токов второго порядка
Sijl и третьего 2^Zs. Ограничимся в G.66) областью высоких
частот со^со^, со#е. Тогда в операторе G.69) е^ ^б(соN^- ~ 8и
G.70)
k2 )
Для дальнейшего существенно лишь то, что в Uu(k) имеется полюс
при &2=со2/с2, соответствующий собственной моде поперечной волны.
Используя конкрет ое выражение для Sinj G.16), легко видеть?
что во второй член G.68) войдет лишь |S?|2, где Sak определяется
G.16)*. Но это означает, что в уравнениях баланса, которые полу-
получаются из G.66) взятием мнимой части и интегрированием по со, мни-
мнимость будет возникать лишь от знаменателя G.70), т§	ггъ ^
= in6(&2—со2/с2). Аналогичный результат получается и для послед-
последнего члена G.66). Отсюда следует, что последний член G.68) и по-
последний член G.66) описывают только рассеяние и при любом ани-
анизотропном распределении турбулентных пульсаций не дают неустой-
чивоетей.
Рассмотрим подробнее 2-77s. Собственно и этот член учитывает
как анизотропию пульсаций, так и анизотропию быстрых частиц
(последнее связано с тем, что нелинейный ток третьего порядка пол-
полностью описывает комптоновское рассеяние, которое только и су-
существенно для релятивистских частиц). Рассмотрим влияние теп-
тепловых частиц. Как ясно из результатов гл. 2, 2 ijls содержит зна-
знаменатель типа——г—для первого аргумента, разности второго и
третьего и для четвертого аргументов. Резонансный знаменатель,
который может приводить к раскачке, содержится лишь во втором
члене G.68). Первые два знаменателя этого 2 содержат высокие
частоты со и со — сог^со и могут быть несложным путем разложе-
kv' ®He тт о
ны по ~^~ и	. Действительно, при решении, например, урав-
уравнения
i (со -lev) + co^)f*3)=e^Fki — Sik-^-kJdkidk, G.71)
* Это следует из е_ k =
362

можно в первом приближении пренебречь в левой части kv и соя*? -5-,
а затем найти вклад этих членов в первом приближении теории
возмущений по kv/co и оояе/оо. Точно так же /<2> выражается через
/<1>. Интеграл от f^ без всяких разложений может быть выражен
через линейную диэлектрическую проницаемость. Получим
Для продольных пульсаций большие члены
щаются и
O-	G-72)
ар в G.72) сокра-
сокраG-73)
Нелинейная проницаемость будет иметь вид
со
kkj /'ftl d^ (в«Й-1). G.74)
Последнее равенство написано для продольных турбулентных пуль-
пульсаций. В G.74) в силу нечетности (kkx) остается лишь мнимая часть
sj?e). Выражение G.74) справедливо и в том случае, когда для пуль-
пульсаций отсутствует однозначная связь со и k. Если такая связь
имеет место, то
/*.=
ч
6 (ю-
-k, 8 (<в+ <»?,)), G.75)
т. е.
G.76)
G.77)
Итак, мнимая часть е^ противоположна мнимой части s^. Это
значит,"что если есть выделенное направление распространения
турбулентных пульсаций, то волны, имеющие острый угол с этим
направлением, раскачиваются. Для изотропной турбулентности рас-
раскачка отсутствует. Возникающее затухание является следующим
363

порядком малости по параметру — ~—. В силу того, что затуха-
затухание электромагнитных волн возникает лишь в следующем порядке,
для раскачки достаточна весьма малая степень анизотропии — vTelc.
Для ленгмюровской турбулентности
Im ei = 0	G.78)
и к неустойчивости могут привести лишь быстрые частицы, которые
создают эффективное поглощение Ландау. Для ионно-звуковой
турбулентности
,7.79)
— СО2 8^
дсо *
¦ 1) г~ Г Ws
По порядку величины \эфф в — 1/ — раз меньше эффективной час-
тоты квазилинейных столкновений тепловых частиц с турбулентны-
турбулентными пульсациями. Если Ime в G.73) связано с синхротронным излу-
излучением релятивистских частиц, то а описывает электромагнитные
волны. Этот процесс раскачки излучения высоких частот на ани-
анизотропных пульсациях низких частот качественно отличен от ин-
индуцированного комптоновского рассеяния.
Индуцированное комптоновское рассеяние турбулентных пуль-
пульсаций в электромагнитное излучение описывается другим резонан-
резонансом в выражении для Б, а именно резонансом на частоте со — ®х.
Возможность раскачки излучения в этом случае обязана анизо-
анизотропному распределению релятивистских частиц. Впервые такой
эффект для резко анизотропного распределения пучка релятивист-
релятивистских электронов в турбулентной плазме рассматривался в работе
[68] и для слабо анизотропного распределения—в работе [261].
Ограничимся здесь именно последним случаем.
Пусть распределение электронов имеет вид
/е = /?0) A + a cos 0),	G.81)
где 0 — угол скорости частиц с неким выделенным направлением.
Для нахождения инкремента необходимо воспользоваться общим
выражением для инкремента через вероятность рассеяния [см.
F.146) и B.233)]. Тогда получим формулу F.164), в которой вместо
Ф+ будет
cos0)},	G.82)
364

где 0 —угол между k и Н. Для спектра F.159) получим
Зсо2 п\съте \ со )	J l	кх ъ
сф(у) = с(у)+-аcos G (у— 1)A --i-	—) . G.84)
*w/ w/ 2	\ 7 7+2	7 + 4	'"* ' лч9'
При а порядка 1 величина 7© может стать положительной, описы-
описывая раскачку колебаний. Раскачка излучения возможна без плазмы
за счет индуцированного синхротронного излучения [269], однако
для этого требуется степень анизотропии а ~ —^
§ 7.5. ФЛУКТУАЦИИ ИНТЕНСИВНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ЧЕРЕЗ ТУРБУЛЕНТНУЮ ПЛАЗМУ
Наряду с рассмотренными эффектами рассеяния и усиления излу-
излучения в турбулентной плазме возможны флуктуации интенсивности.
Согласно работе [295] такие флуктуации могут быть интерпретиро-
интерпретированы как результат интерференции волн, которые при прохождении
через среду со случайными электромагнитными неоднородностями
приобрели различные сдвиги фаз (о флуктуациях при прохождении
турбулентных жидкостей и газов см. [296—298]). В турбулентной
плазме случайные неоднородности и случайные электромагнитные
характеристики создаются турбулентными пульсациями, а распре-
распределение иеоднородностей по масштабам может быть найдено из
спектров турбулентности (см. гл. 4). В принципе для интерференции
волн наличие плазмы не является необходимым, плазма может
создать, например, случайное распределение фаз электромагнитной
волны на выходе из плазмы, а интерференция будет происходить
в вакууме вне плазмы. Поэтому часто используются представления
о фазовом экране, т. е. считается, что слой плазмы узкий и лишь
модулирует по фазам проходящую электромагнитную волну. В ре-
реальных условиях, естественно, такое предположение слишком грубо,
так как в действительности и изменение фазовых соотношений, и
интерференция происходят одновременно. Кроме того, как мы ви-
видим на примере эффектов рассеяния, длины волн турбулентных
пульсаций и проходящего электромагнитного излучения могут быть
сравнимыми (k—k^), и наглядная геометрико-оптическая картина
с набегом фазы на неоднородности в этом случае непригодна.
Предположим, что на плазму послана монохроматическая вы-
высокочастотная волна
^ = ?иеш+|кг.	G.85)
365

Волна, которая провзаимодеиствует с турбулентной плазмой, будет
промодулирована во времени и в пространстве
?< = Якш(г,0е~1шЖкг.	G.86)
Интентивность волны задается \Е*ь,о (г, t) |2, а флуктуация интен-
интенсивности
<Л/2) = < |4.ш[(г, О I 4> -« I ?ko(r, О I2»2-	G.87)
Последний член G.87) —квадрат интенсивности, он может быть
найден из уравнения рассеяния, поэтому рассмотрим более под-
подробно первый член G.87). Разложим ?k,©(r, t) в ряд Фурье
dk,.	G.88)
Если ?к,© — полная компонента Фурье поля, то очевидно
G.89)
Среднее значение четвертой степени поля G.87) можно записать
в виде
( |?к©(г, 0 | 4> = ^(^к+к^со+со^к+кг.со+сог X
X ?к+кг,©+©8 ?к+к4.©+©4 >dkx dk2 dk3 dk4 x
xexp{ — i^ + coa — co3 — co4)/+i(k1 + k2 — k3 — k4) r}. G.90)
Изменяя знаки dk3, dk± и используя ?к*© =?"—к,—©, получаем
X exp J — i(a)i + 0J + 0K + 0L)^+ i (ki
G.91)
где
\	'	\k'z = kb—k\kA = ki — k. G.92)
Таким образом, задача сводится к вычислению среднего зна-
значения четырех поперечных полей, первые два из которых имеют
значения четырехмерных волновых векторов, близкие к +&, а
последние два— к — k. В условиях стационарности флуктуации,
366

как видно,
G.93)
Таким образом, лишь три вектора в G.93) являются независи-
независимыми.
Если ввести
	 L? —— t? * Л/ 	 t? ¦	г? •	Л-/ « 	 г? 1 , I , гЭ	| / \Л /1 |
то xx = — x — x'. Будем считать Ik, kt, w, k\ функцией k, xv у!.
Составим уравнение для <kk-^kr, k\>. Учитывая, что поле t яв-
является слабым и высокочастотным (со^>со#е> ооре), оставим лишь
линейный по этому полю член в нелинейных уравнениях
(?2 — 1 со2) Е{ = 8я1со С Sk, ^сг, kx Е% Е{ б (k—k«—k^ dk*dkx c~2, G.95)
Sk,kQ,kt —компонента нелинейного тока второго порядка, свер-
свернутая с поперечными ортами и ортами турбулентных а-волн, усред-
усредненная по поляризациям. В G.95) входит полное поле. Его деление
на случайные и неслучайные компоненты в данном случае неудобно.
Умножив G.95) на три поля, усреднив по ансамблю, можно
в правой части уточнить поперечные поля с помощью G.95) и тем
самым получить уравнение для < kkx \k'k\>
(k2— ~2 со2) <( kk-L | k' k\ ) = 8rcico < kk-^ | k' k\) \ 5 G o x
8jij (o)—o)g) с 4 о	r0 ib0 64o)O)! n2c 4
(k — k°) — (a — t^2"-2	' '	fef —rnfr:
2
c~
k0> k_k0 Skt. -ko, kl+ko <k-k°, h + k^ k k\ ) Il*dk°-
64jl2 COCO'C"
X
fc'2—0)/2c":
,	64л2 0H) I c~4
a'2 '5
«j —O)j
G.96)
367

Аналогично можно получить уравнение, содержащее слева
(*? — ©? с~2) < kkx | k\ fei>; (fe'2 —со'2с) < kkx | /г', *i > и
(*;2_©;v») <**!!*',*;>.
Будем теперь считать, что разница четырехмерных векторов kl9
k' и fei и k мала в сравнении с k, т. е.
(fe? — со? Г2) = (к + ХхJ — с (со + VlJ« 2кхх—2covx с + /г2—со2 с;
/г'2 —со'2 с = — 2кх + 2cov с~2 + ^2—со2 с~2;
;2;V;	j	2— со2с; x=={x,v}. G.97)
Складывая G.96) с уравнением (k\ — <?~2со?) < kkx \k\k\} и вычитая
два уравнения, содержащие &'2 — с~2со/2 и k\2 — ссоД получаем
в левой части 2k(x1-f-x/ + xi) — 2co (vi + v' + vi) с. Умножаем
результат на
exp. fi (xx + и' + xi) г — ico (vx + vi + v') f	G.98)
и интегрируем по хх, vx. В правой части пренебрежем слабой
нестационарностыо, т. е. будем считать выполненным G.93). Тог-
Тогда для /л,*,*' (г, t), определяемой равенством
получим уравнение
l + 7-f)/--i=SlS-H2OM,^>,^. G.100)
Здесь
В G.100) учтен первый член разложения произведений нели-
нелинейных токов, входящих в G.96), по малым параметрам y.'Ik,
368

к-Jk и усреднено по поляризациям поперечных волн. Дел ее
— V —@а — СОк__и'_к
,' X
X { б (С0к_ка + 0>^ — V,' - 0>к_^) +6 @)к_к(У +®а_ 0)kJ J
(cok —vi —сок„н^ + б(сок—vi —v'—cok^,_K
cok —vj—@k_K') + 6 (^k — v|— V' — ©k^x'-Kj)} —
- v' -v[ -<
k^ka +©°-©k) J-/k.x^a,K/+,a X
X {6(©k —vl—©k_xj) + 6(©k —v' —©k_K')}. G.102)
а порядка k> а по необходимости х', ^1<^&, то во все члены
G.102), кроме первого, входят 7, в которых вместо хотя бы одного
х' стоит k°. Они равны нулю и вследствие отрицательности первого
члена флуктуации затухают. Если kG<^k, то возможно как K<^kG>
так и тф?>к0. При оценках вклада тех или иных членов надо учиты-
учитывать, что б-функции, не содержащие k°, имеют порядок 1/х, а со-
содержащие k° — порядок l/k°. Таким образом, при х', %\<^k? по-
получим приближенно
MkJ
G.103)
369

Здесь предположено v/ , —i— <^ 1. При х', xj > fea
i^i (я; I
Из-за вычитаний в GЛ04) флуктуации сильно уменьшаются. Таким
образом, наиболее существенными являются значения х' и %\ вплоть
до значений порядка ka.
Однако для полной флуктуации (/2) —((/)J ~ (/2>— Iht к, %'Х
Xdudu'clvdv' фазовый объем dudy! — x2dxdx'x'2 и поэтому основ-
основной вклад дают х' порядка kG. Это позволяет получить оценку
флуктуации интенсивности. Например, для ленгмюровских пуль-
пульсаций из G.102) и G.100) получим
^8_?_e^dftt	G.105)
со ) потес* J
где L—путь луча в плазме. Формула G.105) справедлива при
k2 > —. При спектре Wk = 1/ — получим, что последнее условие
Lc	'a
будет выполнено, если
vTe \mt
/
В практически интересных случаях L настолько велико, что G.105)
является хорошей оценкой.
Ограничимся здесь . указанными оценками, отсылая читателя,
интересующегося деталями анализа этих уравнений, к оригиналь-
оригинальным работам [295, 297].

Глава 8
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ
§ 8.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть в плазме установилась стационарная турбулентность.
Проследим за поведением слабого электромагнитного поля ER,
возникшего в плазме либо как результат флуктуации, либо из-за
внешнего воздействия. Под действием поля ER в турбулентной
плазме изменятся потоки турбулентной энергии и распределение
плазмонов, а также распределение заряженных частиц плазмы.
Это изменение плазмонов и частиц вызовет дополнительный ток
в плазме, который изменит поле. Этот эффект описывается диэлект-
диэлектрической проницаемостью турбулентной плазмы, являющейся откли-
откликом плазмы на слабое поле ER. Существенное отличие турбулентной
плазмы от нетурбулентной состоит в том, что в нетурбулентной
плазме поле ER может изменить лишь распределения частиц, тогда
как в турбулентной плазме существенно могут изменяться состояния
плазмонов. Важное значение имеет величина частоты со поля воз-
возмущения. Если эта частота является достаточно низкой, например
много меньшей характерных времен нелинейной трансформации
турбулентной энергии вдоль спектра, то можно ожидать сущест-
существенного отличия электромагнитных свойств турбулентной и нетур-
нетурбулентной плазмы. В настоящей главе рассмотрим лишь область
низких частот, в которой проявляются новые электромагнитные
свойства, обязанные турбулентности плазмы. Целесообразно ввести
понятие об эффективных турбулентных соударениях vT как эф-
эффективных частотах соударений пульсаций между собой и с части-
частицами плазмы. Они зависят от энергии турбулентности.
В случае слабой турбулентности, которая только и будет пред-
предметом дальнейшего рассмотрения, эффективные турбулентные соуда-
соударения, пропорциональные более высоким степеням энергии турбу-
турбулентности, имеют более низкую частоту. Наибольшую частоту
имеют турбулентные соударения, пропорциональные первой сте-
степени энергии турбулентности. Они описывают процессы квазили-
квазилинейной релаксации, распадного взаимодействия и индуцированного
рассеяния. В области частот возмущений, меньших эффективных
турбулентных частот, тензор диэлектрической проницаемости не
может быть разложен по эффективным турбулентным частотам,
а следовательно, и энергии турбулентности. Последнее и показы-
371

вает, что электромагнитные свойства плазмы в этой области частот
должны измениться коренным образом.
В области частот, больших эффективных турбулентных частот,
диэлектрическая проницаемость разложима по турбулентным час-
частотам и энергии турбулентности. В этом случае приближенно моды
колебаний плазмы остаются такими же, как и в отсутствие турбу-
турбулентности, а поправки, пропорциональные энергии турбулентности,
описывают слабое изменение частоты, слабую линейную раскачку
или затухание колебаний и рассеяние колебаний (см. гл. 7). Для
возмущений низких частот в турбулентной плазме нельзя говорить
о нелинейном взаимодействии различных мод, а следует говорить
о коренном изменении мод и, в частности, об исчезновении старых и
появлении новых мод. Заметим, что изменение низкочастотных
свойств плазмы при наличии турбулентности представляет особый
интерес ввиду того, что в области низких частот лежат наиболее опас-
опасные для удержания плазмы магнитогидродинамические и дрейфо-
дрейфовые неустойчивости. Изменяя условия возбуждения и диссипации
высокочастотной турбулентности, ее интенсивности, тип турбулент-
турбулентных пульсаций, можно в широких пределах регулировать низкочас-
низкочастотные свойства и неустойчивости плазмы.
Задачей является отыскание аналитического вида низкочастот-
низкочастотного тензора проницаемости плазмы 8^(о>, k, W^), функционально
зависящего от спектральной энергии турбулентности W^
kldkv	(8.1)
Здесь W — энергия турбулентных пульсаций в 1 см3, со — частота,
к — волновой вектор возмущения. Для построения теории могут
быть использованы физические представления, сходные с употреб-
употребляемыми для описания слабой турбулентности. А именно, следует
раскладывать по энергии турбулентности в ядрах интегралов соуда-
соударений и учитывать процессы со все возрастающим числом внешних
плазмонных линий. Общая схема расчетов обобщает ту, которая
использовалась в гл. 2. Функции распределения частиц /а и электри-
электрическое поле Е разбиваются на сумму турбулентных fTa, ET и регу-
регулярных /^а, ER составляющих
fa = fTa + fRa : Е = Ет + Е«,	(8.2)
где </Га> = 0, <ЕГ> = 0, усреднение производится по статисти-
статистическому ансамблю. В результате усреднения по статистическому ан-
ансамблю уравнений движения и уравнений Максвелла и вычитания
усредненных уравнений из исходных могут быть получены системы
уравнений для регулярных и случайных компонент. Далее следует
выделить величины, характеризующие стационарное турбулентное
372

состояние, обозначаемое ниже индексом @): /ж°)а, рчо)^ Е^@) Е7@).
Рассматривается возмущение турбулентного поля и связанное с ним
поле Е^О) (индекс A) для возмущения). Все величины (Ег, Е^,
fT, fR) раскладываются по Е^О) и оставляются лишь линейные
по Е^A) члены*. Тем самым получается две системы уравнений
для основного турбулентного состояния @) и отклонения от него
A). Такие уравнения носят общий характер и в принципе пригодны
для неслабой турбулентности. Для получения усеченных уравнений,
описывающих слаботурбулентное состояние, можно, как обычно,
в ядрах интегрального уравнения для исходного турбулентного
состояния произвести разложение по турбулентному полю ЕГ@).
Можно также использовать разложение по полю ЕГ@) в ядрах
уравнения, описывающего отклонения от основного турбулентного
состояния. Принимая во внимание лишь конечное число членов
разложения, можно надеяться учесть лишь первые турбулентные
частоты столкновений.
Это позволяет описать электромагнитные свойства плазмы при
частотах, меньших этих турбулентных частот, но больших неучтен-
неучтенных турбулентных частот более высокого порядка по энергии тур-
турбулентности. Необходимость именно такого подхода к проблеме
диктуется тем, что эффективные турбулентные частоты оказываются
в ряде практически важных случаев зависящими не только от
энергии турбулентности, но и от частоты со и волнового возмущения
к. Поэтому условие доминирования турбулентных соударений
(co<^vr) представляет собой обычно условие, включающее в себя
значения со, к и энергии турбулентности.
Границы применимости подхода, основанного на разложении
интегралов соударений частиц и турбулентных пульсаций по энергии
турбулентности, в ряде случаев довольно жесткие. Эти критерии
тесно связаны с эффектами нелинейного изменения дисперсионных
свойств высокочастотных пульсаций. Хотя изменения частот высо-
высокочастотных пульсаций в условиях слабой турбулентности, как
отмечалось, всегда малы, низкочастотные возмущения могут их
эффективно «чувствовать» при частотах, грубо говоря, меньших
этих нелинейных сдвигов. Учет этих эффектов приводит к «перенор-
«перенормировке» пропагаторов высокочастотных плазмонов и заряда час-
частиц. Учесть эту перенормировку можно путем составления уравне-
уравнения для интегралов соударений частиц и турбулентных пульсаций
(ср. с эффектами корреляций гл. 2). Такие эффекты оказываются наи-
наиболее существенными для ленгмюровской турбулентности. Неустой-
Неустойчивость турбулентной плазмы, соответствующая неустойчивости газа
холодных ленгмюровских плазмонов, исследованная впервые в ра-
работе [229]**, возникает в рамках подхода, использующего разложе-
разложения интегралов соударений частиц и турбулентных пульсаций по
* Если Е^@)=0, то Е*A>=ЕГ< .
** Критерий неустойчивости [299] был получен также в работе [300]
с помощью энергетического принципа.
373

энергии турбулентности. Такая неустойчивость оказывается воз-
возможной в узком интервале параметров плазмы и ее турбулентности
и, в частности, лишь при малых фазовых скоростях плазмонов.
Использование диэлектрической проницаемости, найденной сум-
суммированием рядов теории возмущений по энергии турбулентности
в ядрах интеграла соударений частиц и турбулентных пульсаций,
позволяет выявить новые неустойчивости турбулентной плазмы
[301], которые развиваются при больших фазовых скоростях плаз-
плазмонов. Такие неустойчивости представляют интерес в связи с тем,
что энергия турбулентности из-за спектральных перекачек в ос-
основном сосредоточена при больших фазовых скоростях. Далее
в неоднородной плазме возникают эффекты стабилизации дрейфо-
дрейфовых колебаний высокочастотной турбулентностью и стахостически-
ми ВЧ-полями [302]. Возможно также возбуждение магнитных
полей турбулентными пульсациями потенциальной природы, на-
например ленгмюровскими [303]. Это аналогично спонтанному возбуж-
возбуждению магнитных полей в турбулентной жидкости [304].
Известно, что электромагнитные волны низких частот не прони-
проникают в плазму (так называемый скин-эффект). Обычно толщина скин-
слоя в нетурбулентной плазме существенно зависит от частоты пар-
парных соударений частиц. В турбулентной плазме роль соударений
играют нелинейные эффекты взаимодействия турбулентных пуль-
пульсаций между собой (столкновения плазмон — плазмон) и взаимодей-
взаимодействия частиц с турбулентными пульсациями (столкновение плаз-
плазмон — частица, два плазмона — частица и т. п.). Нужно полагать,
что именно частоты таких процессов должны определять скин-
эффект турбулентной плазмы. В частности, толщина скин-слоя
должна зависеть от характерных спектральных перекачек, времен
установления стационарной турбулентности и т. п.
Изучение скин-эффекта позволяет поэтому детектировать ука-
указанные процессы. Так как частоты этих эффективных соударений
много больше частот парных соударений частиц, то и толщина
скин-слоя в турбулентной плазме должна быть существенно
большей, чем в нетурбулентной. Хотя в общем случае низкочастот-
низкочастотные возмущения затрагивают как частицы плазмы, так и плазмоны,
возможны случаи, когда доминирующим будет смещение плазмонов.
Возмущения этих взаимодействий сказываются лишь на распреде-
распределении плазмонов. В указанных условиях можно приближенно го-
говорить о возмущениях в газе плазмонов, т. е. в терминологии Лан-
Ландау [305], о втором звуке в турбулентной плазме. Вопрос о втором
звуке в этом аспекте рассматривался в работе [306].
В целях упрощения при изложении принципиальных вопросов
мы ограничимся случаем замагниченных электронов и ионов, находя-
находящихся в бесконечно сильном магнитном поле. В этих условиях дви-
движение частиц (но не плазмонов) становится одномерным вдоль си-
силовых линий поля, которые предполагаются прямыми. Учет конеч-
конечной величины поля позволяет несложно рассматривать дрейфовые
неустойчивости, а обобщение на случай Н — 0 и изотропной турбу-
374

лентности не представляет большого труда, и мы приведем лишь
некоторые окончательные выражения для этих случаев.
§ 8.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ СОУДАРЕНИЙ ЧАСТИЦ
И ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ
ПО ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Дрейфовое кинетическое уравнение, описывающее распреде-
распределение центра ларморовских кружков в пределе Н ->¦ оо (т. е. в пре-
пренебрежении дрейфовыми эффектами в неоднородной плазме), имеет
вид [307[
i? + or+±LEf = o,	(8.3)
dt	dz ma dvz
где vz — скорость частицы, а Е — компонента электрического
поля вдоль Я. Описанным выше путем получим систему уравнений
для основного турбулентного состояния [индекс @), E*<°> = 0]
и возмущения этого состояния [индекс A)]
X ^ММ(*-*1-*2)(Я*70) fi{0)a-<Eir fir » = 0; (8.4)
>); (8.6)
R(O)a
dvz
^.±\ dkxdk,b{k-
a dv2 J
375

Основное турбулентное состояние стационарно, т. е. fk@)a =
= Фа8 (А), а спектр стационарной турбулентности 1к определяет-
ся из
Tki0) Eli0)
= Ikl б (fex + k2); na = ]ф« &/,.	(8.10)
Частота линейных турбулентных пульсаций определяется диспер-
дисперсионным уравнением
k2 с2
k с
= e@e)(<o, к) + в(о°(со, к)—1+ -^	^=0; (8.11)
(8.12)
Для высокочастотных пульсаций, фазовые скорости которых
много больше средних тепловых скоростей электронов, из (8.11),
пренебрегая пространственной дисперсией, имеем
(8ЛЗ)
а величина Ikl связана с введенной выше спектральной плотностью
турбулентности Wut соотношением
Для ленгмюровских пульсаций вдоль Н имеем (о^=
(8Л4)
3/fef vle
Ограничиваясь высокочастотными пульсациями, можно ионы
трактовать линейно, в частности
A) i )	. (РТ A)
g|	^l \Ek	/815)
im(co^;+i6)'ao |?f
Рассмотрим интеграл соударения электронов с турбулентными пуль-
пульсациями, входящими в правую часть (8.6). Будем раскладывать
этот интеграл по энергии турбулентности hx или, что то же самое,
по Eli°\ учитывая <i?Ix@)> == 0. Ограничимся вначале членами,
линейными по /^. Тогда согласно вышеизложенному можно
376

получить
я х_„_ , Ji+EgDjp;	(8.16)
.= i4l /..<№.	 ' „ 	„ ; (8.17)
me J
x
X—.-7	r^	t-t^-;	(8.18)
Г	Ikidkl
(m-kzvt)
-klz Vz+i8)
1
(8.19)
m~ -1У	x
X	¦	 \dv'x-.	;	r- X
( + i-(kz+klz)vz+i8) J ( + ^ + ^+iS)
(8-20)
Различные члены интеграла соударений (8.16) имеют простой фи-
физический смысл. Коэффициент диффузии Do описывает изменение
квазилинейных эффектов релаксации резонансных частиц, связан-
связанное с отклонением их распределения от равновесного Ф. Это утверж-
утверждение верно при co^cOi, k<^kv В отсутствие резонансных частиц,
что является предметом рассмотрения в условиях (о<^сох, k^k
два члена (8.14) сильно компенсируют друг друга и
Сравнивая (8.21) с первым членом левой части (8.16), легко уста-
новить, что (8.21) имеет относительную малость —^г-<С1 и должен
Щ1 е
быть отброшен. Член с D в (8.16), описывающий изменение эф-
377

фектов индуцированного комптоновского рассеяния в тех же усло-
W
виях, имеет малость —— относительно второго члена левой части
по* е
(8.16). Коэффициент диффузии D2 описывает нелинейное индуци-
индуцированное рассеяние и Dx — распадное взаимодействие*. Если на-
наряду с ox^coi, k^k^ ^- ^> vTe выполнено неравенство ^<Сог-> то
D2 мало в сравнении с Dv имеющим приближенный вид:
(8.22)
<*>pe X^ 4яе2	dk,	[id
(8.23)
Г	(к д ) П' х
п0 —J m\ J (k»	16) I akj
s=± 1
s = ± 1 соответствует двум знакам в (8.13), a v|t Al = —coki s —
групповая скорость линейных спектров (8.13). Обратим внимание
на наличие малого множителя Yl(k-\-k1) в знаменателе (8.19).
При получении (8.23) принято, что для линейных спектров (8.13)
= 0 и, следовательно, П (kx + k)
(со— kvg,kl).
Покажем вначале, как получить распадные неустойчивости.
Они возникают, грубо говоря, при со > vr, когда турбулентные
соударения можно трактовать по теории возмущений. В уравнении
те
(8.24)
в первом приближении можно пренебречь членом с dl9 найти
fk A) е и подставить в /гУ]. Тогда при kz vTi < со < ^z vTe легко
2 2
получить
24;
К~ С — (О
»(*)=1+р§—§-^-«0^	(8-25)
что совпадает с нелинейной проницаемостью, описывающей рас-
распадные неустойчивости. Уравнение (8.24) допускает точное реше-
* Точнее, Dx описывает такие турбулентные соударения, которые в усло-
условиях со > чт являются распадными.
378

e(*)=ei°(*)+	2 fjk) \	r.	(8.26)
В качестве примера, иллюстрирующего коренное изменение
дисперсионных свойств плазмы в области низких частот, рас-
рассмотрим одномерную ленгмюровскую турбулентность со^1 = соре +
3 k2 v2
^	\LJEl 9 когда все пульсации направлены по Я. Имеем
2 ®ре
(8.27)
Чте
О	0)—-
Если со > kz vg, то
dx ж 3^г% Г,	(8.28)
и при /j2 ^г/ С со С kzvTe\ е(о° (^), 8(ое) (&) » 1 имеем
(8.29)
со2 ' kzvi /	™"z v '
4/г,
omecov
Решение со знаком минус апериодически неустойчиво. Эта неустой-
неустойчивость имеет сходство с той, которая найдена в работе [299] для
холодных изотропных плазмонов.
Если @<^kzvg для всего турбулентного спектра (т. е. включая
наименьшие vg в спектре), то
k dklz
3

\2n20mev2TeJ k\z
* Оно находится формальным решением (8.24) относительно f^^e и со-
составлением линейного уравнения для п^ е.
379

и в тех же условиях, что и (8.29), получим
(8.32)
K\z uTe
Решение (8.32) указывает на возможность существования зву-
звуковых колебаний в изотермической плазме, которые в отсут-
отсутствие турбулентности сильно затухают из-за поглощения Ландау
2
на ионах. Если 	>12-^, где vp = —— — фазовая скорость
п0 Те	vp	klz
пульсаций, то скорость звука возрастает aJ = k2v2s, где v2sx
~ -^-v2pW/n0Te, а затухание на ионах становится экспоненци-
ально малым ~ехр { — Wv2p/\2vTen0Te). Обнаруженный эффект име-
имеет сходство с возможностью существования звука в плазме,
находящейся в интенсивном ВЧ-поле [183]. Возможность возник-
возникновения изотермического звука (8.32) имеет порог по W. В силу
,	vl 9mj	W Ame
со « kz v~ имеем -f- <^ —- и, следовательно, 	 > —-.
&	vzTe me	n0 Te 3mt
В турбулентной плазме к оператору распространения плазмоиа
Щк) [функция Грина П-1 (k)] появляются нелинейные поправки,
пропорциональные в первом приближении энергии турбулентности
Ik и описывающие электромагнитную шубу плазмона. В отличие
от обычной перенормировки зависимость П(&) от Ik представляет
собой реальный эффект. Раскладывая в уравнениях (8.4) и (8.5) для
соударений частиц и турбулентных пульсаций все величины по тур-
турбулентному полю El{0\ получаем
ki-^ka)IktIkt\Skl,kl,kt\tn-4-k2-ks). (8.33)
Это уравнение аналогично B.113). Здесь
2&, klt k2, k3 = 2^» klt k2, k3—Sk, klt k—kx x
X П-1 (*-*!> Sft-A,, *,.*,;	(8.34)
2 (~*
Sktkxtk% = ^\ dvzd-^(co~kzvz + i8)-^x
n0 J	dvz
X K — kuvz+i&)-1 (co2 — k2zvz+ ifi)-1;
380

У '	= ^Е1 Г	dv*	Г	2kz	,
J'1*"'"*> «о J (a>-M2+i6L0»-*zD*+i6)
iS)
z
Для нераспадной турбулентности, каковой является ленгмюров-
ская, из (8.33) имеем вместо П(?) = 0
П (*!)/*, = 0;
*,S*,.ft,,ft..-ft,d*8.	(8.35)
Заметим, что согласно (8.35) П (<%, кг) ^((ог—cokj ——
а это означает, что множитель —и	при k-+0 не обладает
резонансными свойствами. Отсюда можно заключить, что условие
П/ / ч 6П (k-l)	,	f	|
г --.,.- 		(#i) <	L-L __ КО—^^! ,
или, точнее, если учесть компенсацию положительно частотных
и отрицательно частотных частей в (8.23) (малый фактор
— max (со, /eig»!^ — ©k Ij.	(8.36)
Этот же критерий можно получить, если рассмотреть в интеграле
соударений с турбулентными пульсациями члены следующего по-
порядка по энергии турбулентности [308] (~/|).
Применив критерий (8.36) для турбулентных звуковых колеба-
колебаний (8.32), получим
—.—.-^«-S-*1-	(8.37)
Это соответствует критерию пренебрежения нелинейной дисперсией
и условию (o<^kvgi при котором такие звуковые колебания воз-
возможны. Таким образом, звуковые турбулентные колебания (8.32)
могут существовать в относительно широком диапазоне параметров,
например для радиационной турбулентности (см. § 6.3).
381

Условия проявления неустойчивости (8.30) согласно критерию
{8.36) весьма жесткие
^ 9Те пц • Т ъТ •	¦
T
me v*.e Tt m
Тг me SW пге
Те mt 4n0 Te mi
Заметим, что ограничения, накладываемые (8.36), становятся менее
жесткими для турбулентных пульсаций, разности частот которых
больше, чем ленгмюровских. Это имеет место для непотенциальных
пульсаций поперечных плазмонов.
§ 8.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СУММИРОВАНИЯ
РЯДОВ ПО ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ИНТЕГРАЛЕ
СОУДАРЕНИЙ ЧАСТИЦ И ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ
Перенормированная групповая скорость плазмона, учитываю-
учитывающая нелинейную поправку к частоте, является физической вели-
величиной, и, следовательно, интеграл соударений частиц плазмы и
турбулентных пульсаций должен содержать полную функцию
Грина плазмона rr(fe , k\ , а не П(, ,. , как в (8.19). Легко ви-
деть, что при k->- 0 Щк + k±) имеет порядок /fe, и, следовательно,
все члены такого порядка должны быть учтены. В настоящем па-
параграфе мы будем раскладывать интеграл соударений частиц и
W
турбулентных пульсаций по малому параметру —=- <С1 и учи-
Щ1 е
тывать, например, лишь первый член разложения по этому пара-
параметру. Однако будем считать, что H(k1 + k) имеет в первом приб-
приближении малость порядка Ik.
Составим уравнение для ядер интеграла соударений частиц и
турбулентных пульсаций. Покажем, что такое уравнение естествен-
естественным образом может быть получено в рамках предположения о сла-
слабой корреляции полей ??@) между собой и с полем возмущения
е1{1) (т. е. в предположении, обычно используемом в теории слабой
турбулентности). Удобно записать уравнение (8.6) в несколько иной
форме. Вводя величины
77-A) a __fT(\) a	a к dvz
'*	'*	т i (ю-М+
Т<о)а г«»« eaEkd&/dvz
382

имеем
а dvz dvz
д б° Г AU AU K(U U U \ /ПТ ОПТ- @) а , РТ @)~гТ A) ач.
=—т——\ dk1dk2o(k — k1—k2){tkl fkt +tkt fkt >>
(8.40)
(8.41)
X 5dkx dk% b(k-k,-K) {El flw a
l|01?l|llo-D(llfL@14?l1@1/LA|a) = 0; (8.42)
X (Eirfli0)a-<EirflWa>)-	(8.42a)
Здесь
kL dk2 6 (k — ki — k^ pt @) vT (*)
Из (8.40) можно усмотреть, что при малых частотах (&->- 0)
интеграл соударений, содержащий D*, много больше остальных, от-
отнесенных к правой части (8.40). Действительно, при й-^0, k2-+-—k1
и в силу того, что ЕЦ0) близко к линейному полю, получим, что
ETk[x\ которое в силу (8.41) содержит ш, >, есть большая ве-
личина. В правой части (8.40) /?A) не содержит указанного больше
множителя, а 71(°)а согласно (8.42а) является нелинейным по
2??@),т. е. (Е1^1) /Г2@)) пропорционально более высоким степе-
степеням энергии турбулентности.
Поэтому начнем вычисления с составления уравнения для D*.
Правая часть (8.40) ниже не используется, однако мы покажем, что
использование тех же методов при известном <D*> позволяет вы-
вычислить также эти интегралы. Из (8.41) и (8.42) можно составить
383

выражения для (ЕЦ0) Етк[Х)>>
Il(k2)<ETkl{0)ETk2{l)> + i—
1	2 /	H>Q &2Z %) (©2	^2z ^z)
dvz \ \ k\	* k2 I
С0?„ Г	К1Ъ.Л-Ъ~	h'\dh'
2 (*
T @) pT @) r^^l) е \ ч 	 	^pg I г б (/gi-+ /g2 — k') dk'
^1	k2	I )	«о J	X /^2Z (©2	/^22^+^)
X /?^i /?,' \ ?ь'6 V^2 — *i — k2) = G.	(8.44)
Правая часть (8.44) не содержит Ek и может быть вычислена
стандартным образом при помощи (8.42а) как сумма по степеням
Ikx • В первом приближении она имеет вид
G=	ре, fel \ —	—-—^—-— X
/«^_^i?« a 	1	М	(845)
\ 5и2	Ше	OVZ (О)!—/2izU2+i^) ^^2/
Для преобразования среднего / ?'I1@) ETJ0) ETJX) \ в среднее
\	k\ *2 /
от четырех ?^ используем предположение о слабой корреляции
полей. Для выражения ?l1@) через квадратичные комбинации по-
полей следует использовать
Il(kJETkli0) = ?- Uk2dk36(k1-k2-k3)Skl,k2,k3 x
2meJ
w (pT @) т?Т {0) , рТ @) РТ(О),\	(& ДрЛ
X \tk2 tk3 —\tk2 tk3 )),	(o.4b)
а для ?л4A) — соотношение, получающееся из (8.41), (8.42), если
ограничиться линейными и квадратичными членами по Ek и
jfc^ '. Линейные члены в этом соотношении содержат лишь tk
и в / El@) Ет>{0)Ет>{1) \ они дадут члены —/|, которые долж-
\	к\	k2 I
ны быть отнесены к правой части (8.44) (не зависящей от ?&A))
и в приближении (8.45) отброшены. Поэтому уточнение ?1A)
384

можно сделать с помощью соотношения
.A(D»_<D«>)g^f. (8.47)
dv	dv
El	(D<D>)
tne	nokzj (a — kzvz) dvz	dv
Аналогичные соображения приводят к тому, что при вычис-
вычислении //Г2A) е ETkl{0) ETJ0) \ можно для fl{l)e записать соотно-
соотношение
_i(ffl_*,0,OJ<»' = ±(D«_<D-»^.	(8.48)
ovz	ovz
Наконец, при вычислении </Г(/0) El[0) ЕТ{>1)) достаточно исполь-
использовать первое приближение для fl{0) из (8.42). В результате этих
расчетов левая часть (8.44) приводится к виду, содержащему лишь
средние от четырех турбулентных полей, которые приближенно
можно разбить на возможные произведения от средних двух полей.
Получаем
Sdktdki x
J
)¦ (8'49)
4
Заметим, что в (8.49) автоматически возник оператор П(й2)
и дополнительные члены ~/А, которые имеют тот же порядок,
что и U(k2) или П(й2). Для нераспадной турбулентности послед-
последний член (8.49) равен нулю и искомое уравнение приобретает
вид
d
na(kz— klz) J w — cox — (kz—klz)vz
dvz	me dvz
(8-5°)
385

Если интегральное уравнение (8.50) решено, то легко находится
и интеграл столкновений, содержащий D*. Наконец, интеграл
столкновений в правой части (8.40), содержащий (ЕЦ1) /Г2@)а>>
W
имеет порядок —=— относительно члена с D*.
Решим полученное интегральное уравнение в предельном случае
|coj — cOj |< | k\z—k\z\vTi\ (ui^kizVTh который соответствует для
рассмотренного выше примера одномерной ленгмюровской турбу-
лентности vB ^>	, т. е. пределу, в котором отсутствует оо-
ласть применимости результатов, получаемых при разложении
интеграла соударений по Ih. Из (8.34) имеем
со2 Т
L\\	^0)С0(С0С0)(С0С0) ' '
Этот результат имеет место, если знаки частот щ и сэ|
противоположны, в случае одинаковых знаков cOj и со| (8.51)
равно нулю. Величина 2-Л_Л k_k> _k k* не нуль при одинаковых
знаках cOj и со| и равна (8.51). Разделим (8.50) [на TL(k — k±) и
составим уравнения для
S+ (к) =
где в S+ интегрирование распространяется на область положи-
положительных частот, а в S_ — отрицательных. Для S± получаем ли-
линейную алгебраическую систему уравнений, решение которой
имеет вид
«о J П (*! + *) (feu + *t)J
dv 	!	х
г ( + (*+*)+ 1в)
X I —	+ i — Е% —	1-	.— \. (8.53)
dvz	me dvz (со!—klzvz-\-i6) dvz
Здесь интегрирование распространено на всю область частот.
С необходимой точностью
386

это позволяет получить коэффициенты D1 и D2 в уравнении
(8.16). Например,
X
x[l+	^	f-	^ф	Г.	(8.55)
Это выражение отличается от полученного выше путем разложе-
разложения по Ik тем, что в знаменателе стоит выражение, отличное от
единицы, а в числителе функция Грина плазмона frprr- замене-
на П—1(k). Результат, таким образом, сводится к перенормировке
пропагатора плазмона и перенормировке эффективного заряда
электрона. Знаменатель, аналогичный знаменателю (8.55), входит
также в D2, и оценка -~ <^ 1, полученная выше при -^- <С! -rs
Ui	R	Ri
lt сохраняется ив данном случае. Из (8.55), (8.16)
получим диэлектрическую проницаемость
Х[ l+i!°	} о ^ П° z dx + - ~
П (*+*!) (
Рассмотрим, например, одномерную ленгмюровскую турбулент-
турбулентность. В области vp ^> —— групповые скорости плазмонов не ме-
меняются. Поэтому в (8.57) П можно заменить П. Далее в пределе
ox^cOi, k<^klf — <С~^- получим d2^^d1 и равным (8.23). В пре-
пределе со > kz vg9 d± совпадает с (8.28). Если еще kz vTi < со < kz vre>
то (8.56) дает
X
х|1+-	^п)/
387

(8.59)
?>w
Здесь v2 —	. Неустойчивость (8.59) качественно отлична от
4/г0 те
(8.30). При vH > v2s квадрат инкремента (8.59) пропорционален W.
Наконец, при co<^kzVTi9 w«4z^ получим
(8.60)
§ 8.4. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ИЗОТРОПНОЙ
ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ
Считая # = 0, предположим, что в плазме установилась ста-
стационарная турбулентность на ленгмюровских частотах
3k2 v2
Уравнение для возмущенной функции распределения
заменяющее (8.16), приобретает вид
(8.62)
i}J-btUJ-O + J-
dvt	dvi	dvt	j
(	[?])(?f^W!L(?)). (8.63)
Причем выражения для коэффициентов Д.у имеют вид
Д.. ^j
[
еЛ1_/е [ /sf (кг — кJ («! — со — (к± — к) v— i
fe2(kx-kJ a (co^kiV + ie) JJ (oI-cu-(k1-k)v'-i6) X
388

n0 J e&i-&
X
i-M + iSj
л?(к —^		°*[Гк~-
ХЮ1-^-1б(к^)Ф(^^;	(8'65)
х	Г	(
ь2 (и 	ь\2 \ (со,—со — (к,—к) v' — io) V
Л1 ) J
i6)'	;
,= - f 2 /*.^1*»*ц^	a_ t	i__.
J fef^-ffl-ckj-kjv-ie) a^- (Mi_klV_i6)>
Ej = 4^*.	(8-68)
Приближенные выражения для коэффициентов диффузии
Dtjt lf Dtjy 2 в области со <^ cot, и k <^ кг имеют вид
X	 к-^- -^;	(8.69)
n 2 = -^-(« — kv) dkx V "v 1
"ре
E^Wk-^-
!?- , (8.70)
где
к (kfeg)
L^ = bfe	.
Введем следующие обозначения:
(8.71)
DiIt 2 = (со - kv) ^- d,;/ ?« z.	(8.72)
Ttle	'
389

Ограничиваясь здесь учетом Оц \ и Д7 2, так как остальные
одр
коэффициенты дают пренебрежимо малый вклад при —< 1,
получим	пТ
'	i(cokv)V dv J	i(co
i(co-kv)V dv J	i(co-kv) dvtK
(8J3)
Отсюда имеем для
J
i (со —
	^(co^kv)^.)-1. (8.74)
i6) ^ V	; dVj	V	^
J (CD-kv+i6) ^ V	; dVj
Из (8.74) легко находим ток
ш / ш J
(8.75)
И, следовательно, выражение для диэлектрической проницаемости
плазмы
e<*)=8..
4 lJ
Г
J
¦ +
Л	(ю — kv)	{dls
meco J со — kv + io dvt	dvs [ J со—kv' + io
х
Особенно простое выражение получается для продольной диэлект-
диэлектрической проницаемости sl= J e^-, которая определяет коле-
к
390

бания плотности плазмы
dv
дФ
те k*
1 +
dv
дФ
(8.77)
,_kv+i6 K^ljrdvj
Эта диэлектрическая проницаемость описывает потенциальные
колебания турбулентной плазмы.
В том случае, когда частицы и турбулентные пульсации рас-
распределены изотропно, можно говорить о поперечных возмуще-
возмущениях в турбулентной плазме. Диэлектрическая проницаемость
et <c) =
имеет вид
f	*L
теа J со—kv + iS
dv I \	со ,/ со
dv'kidu аб(у') -pi
X
дФ
j
со—kv + i6 J
i
со J со—kv"+i6
X
X
X
kt dv
j kt
) —kv + i6
Предельное выражение для
вид
при
I
кт umsj
kskj
X
kj du n0
k2v2
Те
kt
X
(8.78)
имеет
X
(8.79)
При изотропии в распределении волн коэффициенты Aи и kmdmij
могут быть лишь комбинациями тензоров 6^- и -—^-
391

(8.80)
Имеем
¦ A—АО.	(8.82)
Общие выражения для коэффициентов Д' имеют вид
^—Wkl; (8.83)
д< = ю^ Г JL J^E . :	ЁЬ	,'k A) U7kl + ДГ; (8.84)
Д2' = 0 при №kl = №,kll.	(8.85)
Учет перенормированных эффектов для изотропной турбулентности
производится так же, как в § 8.3.
§ 8.5. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ
Рассмотрим продольные потенциальные возмущения Е& = j
в изотропной плазме. Они могут оказаться неустойчивыми. Физи-
Физическая причина возникновения такой неустойчивости состоит в сле-
следующем. Предположим, что в некой области пространства интен-
интенсивность турбулентных пульсаций флуктуационно возросла по
сравнению с другими областями. Возникшая неоднородность в рас-
распределении турбулентных пульсаций приводит к тому, что на элект-
электроны плазмы начинает действовать сила, стремящаяся вытолкнуть
их из области с повышенной энергией турбулентных пульсаций (си-
392

ла Миллера [309]). Вместе с электронами из-за квазинейтральности
плазмы будут уходить и ионы. В результате плотность плазмы
в этом месте уменьшится. Этому процессу препятствует тепловое
движение частиц, стремящееся выравнять плотности. Если сила,
выталкивающая плазму, способна преодолеть силу газокинети-
газокинетического давления, то возникает неустойчивость [299, 300]. Крите-
Критерий неустойчивости проще всего получить из энергетических сообра-
соображений [300]. Пусть квазинейтральное изменение плотности плазмы
имеет вид, изображенный на рис. 8.1,
(8.86)
по — 8п, х<:х0
При изотермическом создании такой неоднородности на сжатие
плазмы затрачивается работа
п t
6п
Рис. 8.1. Возникновение неоднородности в турбу-
турбулентной плазме.
Изменение же энергии волн составляет [300]
= _	ре
24kiv
2 „.2
\vTe
Bя)8
п0
(8.87)
(8.88)
Таким образом, турбулентной плазме энергетически выгоднее
перейти в состояние с неоднородным распределением плотности
при
j 1?к1*\
Выражение (8.77) для продольных волн описывает любые потен-
потенциальные колебания даже неизотропной плазмы. Рассмотрим здесь
393

изотропную плазму. При со <? kvTe (8.77). дает
(О	1
(8.90)
vfe
(а>—kvg>ki+i
При со ^> kv
lfdk	15(к—Ifb (8.91)
(8.92)
Существенное изменение дисперсионных свойств плазмы про-
происходит при ^-<.vl
(8.93)
При этом, если — < Угг, получаем
2 2 1
/ 1 .	pi ,	ре		/q г\л\
22*22	/i	V /1
Отсюда (ег > 1)
k2 (vl J
«2=	Чг-	(8-95)
Это показывает, что имеет место апериодическая раскачка коле-
колебания
со- ±\k[v[ M+Ii]-1/2.	(8.96)"
ЕСЛИ kvTi < СО « ^и^е, СО > &U , ТО
0)^ = У
I ^ о	Т / '•'о	О / /\О I	/О r4^7\
,2—Ь2 __?_ _|_ 1/ __?.+ t;2ft;/J .	(8.97)
Эта неустойчивость аналогична (8,30).
Рассмотрим изотропную турбулентность с достаточно узким
спектром, так что kAvgkl < со*. В этом случае все плазмоны могут
2 л	со
Если считать А/г ~ k0 = —, то записанное условие означает—— >
394

находиться как бы в резонансе с одной волной и вместо со2 в дис-
дисперсионное уравнение войдет со2 — k2 v2g1 т. е. при -j- < vn
1 1 i pi i Pe	/"ft Qft\
g^ = X ~j~	j	]—к	•	yO.zJO)
\	CO	Vg ]
Отсюда
(8.99)
а условие раскачки колебаний имеет вид
2
W ^	(8.100)
v2p
В такой форме это условие неустойчивости было получено в ра-
работе [299, 300]. При -|- »игг имеем [299]
(8.101)
При со < &flg. получим
^.J^fZiA.	(8.102)
12 л„ J- k\nje
Это выражение отличается знаком от (8.31), что связано с различием
фазового объема в трехмерном и одномерном случаях. Таким обра-
образом, турбулентные звуковые колебания в изотропной плазме невоз-
невозможны. Вместо этого при выполнении неравенства (8.100) возникает
неустойчивость, при этом
^f^H	(8.103)
Критерий возникновения неустойчивости (8.97) весьма жесткий и
практически совпадает с (8.38), W — есть полная энергия турбулент-
3v2Te
ности лишь в области vp <^	, поэтому спектр должен обры-
3vTe
ваться довольно резко при vp —	, что может быть, например,
из-за интенсивного излучения в оптически тонком слое плазмы (см.
гл. 6).
14*	395

3v
Если vp ^> Te , то необходимо учитывать перенормировку.
Для поперечных плазмонов coft = сор(? + -^	 ввиду большой
разности частот критерий (8.36) значительно легче выполнить.
Выражение для нелинейной проницаемости изотропной плазмы
для частот со<Ссоре при наличии поперечных плазмонов имеет вид
[308]
X
пге k2 J со — kv+i6
1 —
к— )dv
dv J
me
-1
. (8.104)
Ограничимся здесь несколькими примерами. Если со
со> kvn\ со > Луg, то
Г 2 feyre
где
, (8.105)
(8.106)
Пренебрегая мнимыми вкладами, получим I de =
@
Л.
Ре
±
со, —
г 2 2 2
(8.107)
Если kvre ^ cope, то cos = ^^s и (8.107) соответствует неустойчивому
корню при v^y>vs cope/kvTe. Оценка инкрементов (y=lmco)
y,=k2devj T_ = 0.	(8.108)
При v+ « ys
396
"ре
kv
Те
(8.109)

ЕСЛИ kVTe/(Ope> l\ u>s = CDpf, ПРИ V* ^ ~P
У+=0) Y_=fov>	(8.110)
при v^ > —y~
v_^0; y+ = kv^.	(8.111)
Как говорилось, эти неустойчивости представляют интерес для
проблем взаимодействия интенсивных высокочастотных полей
с плазмой [310], а также взаимодействия лазеров и плазмы. Выше
везде частота много больше частоты парных соударений частиц*.
§ 8.6. ДРЕЙФОВЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ
Коренное изменение электромагнитных свойств плазмы в об-
области низких частот из-за влияния высокочастотной турбулентности
имеет важное значение для дрейфовых неустойчивостей. Действи-
Действительно, наиболее опасные для удержания плазмы дрейфовые неустой-
неустойчивости носят апериодический характер [6]. Малое изменение час-
частоты не может стабилизировать такие неустойчивости. Лишь корён-
корённое изменение электромагнитных свойств может дать новые типы
дрейфовых мод, которые либо будут стабильны, либо менее неустой-
неустойчивы. Стабилизация дрейфовых колебаний турбулентностью имеет
ряд общих черт со стабилизацией высокочастотными полями [313,
314], тем более что, как было выяснено, условие для изменения
электромагнитных свойств плазмы поперечными плазмонами более
благоприятно. Вместе с тем существенное отличие, естественно,
состоит в том, что рассматриваются реальные высокочастотные
моды, которые могут распространяться в плазме, а не ВЧ-колеба-
ния типа sin co^, которые либо скинируются плазмой, либо требуют
ограниченности размеров плазмы (размер меньше Ilk). В каждом
из таких случаев строгая постановка задачи сталкивается с боль-
большими трудностями описания структуры переходного слоя на гра-
границе плазмы.
В общей постановке проблем турбулентности, изложенной выше,
уровень энергии и распределение ее по спектру регулируются внут-
внутренними процессами нелинейного взаимодействия при любом спо-
способе возбуждения (внешним высокочастотным полем или другим
источником). Поскольку изменение электромагнитных свойств плаз-
плазмы связано именно с наличием турбулентности, можно считать, что
при возникновении дрейфовых неустойчивостей обратное их влия-
влияние в первую очередь может привести к изменению спектра и про-
пространственного распределения турбулентных пульсаций. Уже из
* Противоположный предел рассмотрен в работе [311, 312].
397

приведенного в § 8,5 анализа видно, что в отсутствие неоднородно-
неоднородности турбулентность стремится стать неоднородной, разбиваясь на
области, разделенные промежутками, в которых интенсивность
ВЧ-турбулентности более высокая. Обычно дрейфовая неустой-
неустойчивость, наоборот, стремится ликвидировать градиенты плотности.
В противоборстве этих эффектов можно видеть возможности ста-
стабилизации дрейфовых неустойчивостей. Рассмотрим дрейфовые
неустойчивости замагниченной турбулентной плазмы, т. е. будем
базироваться на результатах § 8.2, учтя неоднородности плотности и
температуры плазмы (см. [302]). Будем считать справедливым ло-
локальный подход, т. е. предполагать, что длины волн намного меньше
характерного размера неоднородностей [6].
Мы рассмотрим два приближения.
1. Одномерная ленгмюровская турбулентность со^1 = со +
+ - lVTe (со#еЗ>> соре). Однако поскольку результаты зависят лишь
от групповых скоростей волн, то качественно этот случай описывает
также результаты, возникающие для изотропной турбулентности,
НО
k\ , с2
2. Изотропная турбулентность на частотах со^ — со + 0 ~ •
Для ленгмюровской турбулентности диэлектрическая проницае-
проницаемость имеет вид (см. (8.26))
дФ kx дФ
__i I mek2 J со — kzvz+\d V dvz <*He ду
kzVTe
по J со — kzvz-{-\6 dvz
где б ->• + 0
d=	^i-Cdk 	_!_^.Ав7Л1. (8.113)
В области частот, определяемой неравенством (?>€kzVTe,
Б
Те
Те kx	д л	/о 1 1 г\
= со. =	ln/i0;	(8.H5)
m со	ах
(8.П6)
m. соя/
398

Из (8.114) видно, что наиболее сильно турбулентность сказы-
сказывается на электромагнитных свойствах плазмы, если d > 1. При
этом
.)). (8.117)
Таким образом, при г)>2 происходит стабилизация дрейфовых
колебаний для той ветви колебаний, которая в линейном приближе-
приближении соответствует наиболее раскачивающейся быстрой дрейфовой
волне [6]. Если d зависит от со, то могут появиться новые нелиней-
нелинейные ветви колебаний, в том числе и неустойчивые. Однако проявле-
проявление таких неустойчивостей, вообще говоря, затруднено. Учитывая,
ЧТО При @^>kzVTi
<^L*	(8.118)
k2v2Te
можно ограничиться учетом лишь второго члена
(8.118). Получим
<° = -у- ±у —d (o*+kzvsd,	(8.119)
т. е. при &2 ys <^J co^. ]/d один из корней равен
co^co^d.	(8.120)
При vp<^.——, например, условие существования спектра (8.120)
VTl
накладывает ограничения на величины градиента плотности
^ z Tl 12
Условие (d^kzvTi выполняется при 	^> z Tl 12-^-. Мед-
ленная ветвь в (8.118) при kz z^^co* Yd не зависит от энер-
энергии турбулентности.
Рассмотрим теперь co^>kzvg, когда величина d оказывается
равной
de-L.«!.J?_.	(8.122)
399

В этом случае возможно появление новых нелинейно-дрейфовых
неустойчивостей. При (n^>kzvTi и d^>l получим
Условие существования неустойчивости (8.123) имеет вид (из
^-)\	(8.124)
иТе1
т. е. неустойчивость может развиваться на малых длинах, удов-
удовлетворяющих неравенству kz^> —— . Кроме того, совместное вы-
полнение неравенств kzvTly kzvg<^(xx^kzvTe приводит к усло-
условию
3/2
(8.125)
которое ограничивает длины неустойчивых волн снизу
>^- <8Л26)
k	3vTe
Наконец, условие со :> (со — (x)kt) — дает при ^р^
Г- <8127>
Выписанные неравенства дают представления об условиях проявле-
проявления рассмотренной неустойчивости. Следует подчеркнуть, что ре-
результатом развития такой неустойчивости будет в первую очередь
изменение пространственного распределения турбулентных пуль-
пульсаций. Это видно из исходных уравнений, показывающих, что ос-
основной вклад в е вносят эффекты изменения спектра турбулент-
турбулентности.
Рассмотрим теперь дрейфовые колебания при наличии в плазме
k2 с2
изотропных непотенциальных пульсаций оо^ = сор?? + _!?_ .
Поскольку условия применимости используемых приближенных
проницаемостей для этого случая подробно обсуждались выше, мы
ограничимся здесь рассмотрением ряда частных дрейфовых спектров.
400

Если (i)<^kzVTe) <d^k±vg, т. е. vg<^VTe, то дисперсионное
уравнение имеет вид*
** |
X
*¦ ^v\e * k*v*.l	У *	kzvTe
X I 1 + ( 1 + i 1 / — co/?z vTe I k\ c2 H7/co2 4n0 Te . (8.128)
Если Wln^Te^>klvTetnllk21_c2^m]y то последний член (8.128)
мал и в области низких частот
l	a^ mt.	(8.129>
Эти колебания затухают при ц>2 с декрементом
-lV	(8.130>
Если &г af-^ciko.,., то при выполнении ряда неравенств, которые
здесь не выписываются,
©зсо kW	.	(8.131>
Если (o^^j.yg, но (o^>fe2t»re, то дисперсионное уравнение при-
приобретает вид
X
x
l+JJi.-SL _*!_L +_?L^L(i+J.)=o. (8.132)
При выполнении условия
?k Г 7ftl^L>ifei ^-	(8.133>
:H Уравнение (8.128) получено для максвелловского распределения ча-
частиц. В общем случае следует учитывать влияние поперечных волн на функ-
функцию распределения, которое при k± « (Dpe/c мало.
401

дисперсионное уравнение приобретает вид со^
со2 k2 f	со2 Г	нь	\
ре 	z^ / (д*	ре I -ту/ ^1 i 1 ___ "^* I	Г)	/О 1 ^Л.\
со2 ' ^2 1 со 4/гоГ,, J ^Ч2с2	w ) ~ '
т. е. дрейфовые колебания гидродинамически устойчивы. Согласно
работе [302] возможна стабилизация температур но-дрейфовой не-
неустойчивости.
§ 8.7. СПОНТАННОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
Известно [304], что в проводящей турбулентной жидкости могут
спонтанно возбуждаться магнитные поля, т. е. турбулентная прово-
проводящая жидкость неустойчива относительно возникновения возмуще-
возмущений, несущих магнитные поля. Энергия магнитного поля черпается
из гидродинамических турбулентных пульсаций жидкости. В тур-
турбулентной плазме также могут спонтанно возбуждаться магнитные
поля, энергия которых, однако, может черпаться из высокочастот-
высокочастотных турбулентных пульсаций плазмы [303].
Рассмотрим пример плазмы, в которой возбуждены интенсивные
ленгмюровские турбулентные колебания. Турбулентные пульсации.
потенциальны, и поэтому магнитные поля отсутствуют. Покажем,
что даже при изотропном распределении ленгмюровских пульсаций
турбулентная плазма может стать неустойчивой относительно воз-
возмущений, основная энергия которых заключена в энергии магнит-
магнитного поля.
Рассмотрим развитие возмущений в турбулентной плазме с изо-
изотропным распределением частиц и турбулентных пульсаций. В силу
предполагаемой изотропии распространение возмущений, несу-
несущих магнитные поля, описывается уравнением k2c2 = ooV(e>, где
гНе) — поперечная диэлектрическая проницаемость турбулент-
турбулентной плазмы.
Для выявления эффектов неустойчивости достаточно получить
решения дисперсионных уравнений в виде со как функции k.
В пределе co^kvgk, из (8.84) и (8.83) получим
. г w нк	(8.135)
402

Заметим, что в (8.84) (o<kvre, и поэтому поправка А{, имею-
к2 w к2 v\e
щая порядок 	5 '	'	» может быть больше единицы.
\2к\ п0Те со2
it NN
При А2 > 1 имеем
y *<?[ dk^\ .	(8Л36)
Уравнение ?2 = со2 е*(е> с дает
& = ikv[;	(8.137)
,-PL. ^—, (8.138)
k0c2 n0 Te
Последнее равенство (8.138) справедливо для интенсивной турбу-
турбулентности, когда основная энергия сосредоточена при k — k0 €
3v2Tp
€ —- (см. гл. 4).
vTl
В общем случае в пределе со > kvg\ со <С kvre получим диспер-
дисперсионное уравнение
(lipl). (8.139)
Его решение всегда содержит неустойчивый корень
) (8.140)
ikC
В пределе v^ <t Vre —у- имеем решения типа апериодически на-
растающего второго звука cd = i#i;,, а при v^>vTe
* Й'С 1/	t ¦	/о
	 г ^Ге V ' (о.
Для того чтобы пояснить физический смысл найденной неустойчи-
неустойчивости, заметим, что величина магнитного поля поперечных волн
[к 	к
— Е порядка — Е = е*Е. Для рассматриваемых неустойчи-
востей 8^^>1 и, следовательно, их развитие означает спонтанные
возрастания магнитных полей в турбулентной плазме. Этот эф-
403

фект возникновения спонтанных магнитных полей в турбулентной
плазме аналогичен эффекту Батчерола (спонтанное возникновение
магнитных полей при турбулентном движении проводящей жид-
жидкости).
Обсудим теперь критерий (8.36) для этой неустойчивости.
3t4e
В случае vp< 	 получим
те с1	k v-n me
&>>сояе~^	, т. е. _»_?..—1,	(8.142)
а так как k < klf то v < ——, что заведомо выполняется при
•*	/72 g
vn < 	. Ьсли vn >	, то возникающий критерии имеет вид
?>>ov^^-	(8Л43>
Если при больших потоках турбулентной энергии Q фазовые ско-
скорости ленгмюровских колебаний велики, то минимальные k доста-
достаточно малы, т. е. могут возбуждаться магнитные поля достаточна
крупных масштабов. Это важно для астрономических приложений.
Хотя инкременты возбуждения и уменьшаются с падением k, од-
однако представляет интерес их оценка для минимально возможных k>
так как это соответствует максимально большим масштабам.
Пусть
vt с
Й2«со^^~	(8.144)
3v2T
и имеет место неустойчивость (8.141). Тогда при vv€—-
t,2w 2 / W \1/2
0
\ П Te
\1/2 me VP ( с \2 c,
I	9ГЩ vTe \vTe )	V
Совместно с (8.144) это дает
(^Y	(8-146)
п0 Те 9mt vp \ vTe
Последнее неравенство предъявляет требования на температуру
плазмы, которая должна быть достаточно высокой.
Если vp >——, то условие (8.145) следует заменить
404

Совместно с (8.144) это дает
W с2
	 ч\
п0Те У vi
(8Л48)
Подчеркнем, что возбуждаться могут достаточно длинноволновые
возмущения и условия возбуждения улучшаются с повышением
температуры плазмы.
§ 8.8. СКИН-ЭФФЕКТ В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
Рассмотрим проникновения электромагнитных волн низких
частот в турбулентную плазму. Если частота волн много меньше
озре, то проникновение поля в турбулентную плазму связано либо
с эффектом парных соударений, либо с диссипацией из-за поглоще-
поглощения Ландау (аномальный скин). В турбулентной плазме скин-
эффект существенно изменяется, если частоты падающих электромаг-
электромагнитных волн много меньше характерных турбулентных частот.
Строго говоря, задача о проникновении электромагнитного поля
в турбулентную плазму должна решаться с учетом граничных усло-
условий. Однако качественный ответ на вопрос может быть получен,
если предположить, что на какой-либо мысленно плоской поверх-
поверхности внутри плазмы задано электромагнитное поле определенной
частоты, и рассмотреть, как поле такой частоты будет изменяться
при удалении от этой поверхности.
Для Е на расстоянии х от этой поверхности имеем
Е(х, t)= J ?© е-1 ^-Н ***/©,	(8.149)
где Е{0 — компонента Фурье поля E(t) на поверхности х = 0.
Выражение (8.149) дает ответ на поставленный вопрос, если решения
дисперсионного уравнения найти в виде k =• /е(со). Тогда глубина
«проникновения» поля (толщина скин-слоя) имеет оценку
6~	(8.150)
lm /г(со)
Если поле убывает с ростом х, то это может быть связано либо с тем,
что электромагнитное поле не может распространяться в плазме
{со<С;соре. но со^>&^гев нетурбулентной плазме), либо с диссипатив-
2
ными процессами. В нетурбулентной плазме из 8 = 1— ^11 (a)^>kvTe)
СО2
получим, что при со <С! соре
6 = -—.	(8.151)
405

Как известно, в плазме в условиях (o<^kvre в отсутствие турбу-
турбулентности
(8.152)
Наконец, в области частых электрон-ионных соударений
(8.153)
Посмотрим, как видоизменяются эти формулы для скин-эффекта
при наличии турбулентности. Решая (8.139) относительно k, по-
получаем при выполнении неравенств
2 у/з f_©_y/3	(8Л54)
и со > kvg выражения для толщины скин-слоя
& 1	с
/ffifjEA.	(8.155)
Im^(co) сор^г со	офф ре ?Г J 12 л Те	V	;
При выполнении неравенства, обратного (8.154),
--^-.	(8.156)
Первое решение (8.156) описывает нарастающее в пространстве
поле, тогда как второе — обычный аномальный скин. Возможность
пространственного усиления поля связана с рассмотренным эффектом
возбуждения магнитных полей.
В пределе (x)<^kvgi когда такое возбуждение невозможно, скин-
эффект при
(8.157)
Jje 1V7U П{
описывается формулой
l08/i0mec-
(8.158)
л%г
Наконец, при выполнении неравенства со^> kvTe и v\ ^> -^-скин-
эффект описывается (8.155). Подчеркнем, что рассмотренные эф-
406

фекты связаны с тем, что поле внешней волны смещает не только
электроны плазмы, но и ленгмюровские плазмоны, которые бла-
благодаря неоднородностям распределения в поле волны начинают
взаимодействовать и рассеивать электроны.
Рассмотрим теперь скин-эффект в плазме с ионно-звуковыми.
турбулентными пульсациями. Ионно-звуковая турбулентность от-
отличается тем, что электроны, являясь резонансными с плазмонами,
интенсивно с ними взаимодействуют. Такое взаимодействие в опре-
определенной мере эквивалентно электронно-ионным соударениям,
так как в ионно-звуковых колебаниях принимают участие ионы
плазмы. Нужно ожидать, что в этом случае скин-эффект будет опре-
определяться формулой, аналогичной (8.153), в которой эффективная
частота соударений характеризует соударения электронов и плаз-
монов. Необходимо учесть Do в уравнении (8.62), сохраняя мни-
мнимые составляющие, а остальными коэффициентами диффузии можно-
пренебречь.
Считая турбулентность стационарной и изотропной, имеем
(8.159)
Коэффициент D1 описывает нагрев электронного газа ионно-зву-
ионно-звуковыми пульсациями, a Df — упругое рассеяние электронов на
турбулентных пульсациях, причем О'<\0* —.
Считая, что частота поля много меньше частоты рассеяния,
но много больше частоты, связанной с нагревом, будем пренебре-
пренебрегать D1. Тогда уравнение для функции Ф, не возмущенной внеш-
внешней волной, удовлетворяется произвольной изотропной функцией
распределения, зависящей лишь от модуля скорости частиц. По-
Поскольку соударения, приводящие к рассеянию, являются часты-
частыми ^Эфф^> о), то естественно предположить, что внешнее поле соз-
создает лишь слабую анизотропию в распределении частиц, и искать
/fA) (v) в виде ffA) (v) \/v. Тогда, умножая уравнение, получаю-
получающееся при сделанных предположениях из (8.62), на v/f и интегри-
интегрируя по углам вектора v, получаем
:,4f#U)	е р^дФ	г#A).	/oicm
me ди	*
\b*W fiT1 dkp$(8.161)
Отсюда легко найти выражения для тока
(8.162)
407

Последнее неравенство написано из условия со < чдффу причем
4" ^ *Г! d*x.	(8.163)
По порядку величины получим следующую оценку для скик-слоя:
S^^-l/^L; -A^Zi — 1."	(8.164)
§ 8.9. ВТОРОЙ ЗВУК В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
Второй звук согласно Л. Д. Ландау [305] есть колебания газа
возбуждений. Он хорошо изучен в гелии [315, 305] и твердых телах
[316]. Для его возникновения в плазме необходимо существование
стационарного равновесного распределения плазмонов, которое как
раз реализуется в случае стационарной турбулентности. Малые от-
отклонения и возмущения от этого стационарного состояния и описы-
описывают колебания, которые целесообразно назвать вторым звуком
в плазме. Заметим, что рассмотренные выше электромагнитные
возмущения стационарного турбулентного состояния имели вид
<u=\kv^ т. е. были звуковыми в смысле пропорциональности ши^
Однако их частоты являются чисто мнимыми, т. е. соответствуют
апериодической неустойчивости.
В первую очередь следует подчеркнуть существенное различие
между вторым звуком и этими неустойчивостями. В проводимой выше
постановке задачи электромагнитных свойств турбулентной плазмы
рассматривался отклик турбулентной плазмы на регулярное поле
ER. Помимо возмущений, пропорциональных ER, может сущест-
существовать часть, не зависящая от ER, т. е. возмущения турбулент-
турбулентного поля. Именно эти возмущения и описывают второй звук.
Все эффекты, связанные со вторым звуком, содержатся в урав-
уравнениях, описывающих изменение турбулентного состояния, т. е.
содержатся в уравнениях типа (8.4), учитывающего дополнительно
слабую нестационарность турбулентных пульсаций (см. гл. 2).
Имеется ряд существенных различий таких возмущений и возмуще-
возмущений, описываемых (8.16). Например, в (8.16) содержатся лишь ин-
индуцированные распады, тогда как для второго звука также и воз-
возмущения спонтанных распадов. Более подробное (с точностью /2)
рассмотрение возмущений, обязанных регулярным полям, пока-
показывает, что в них не содержатся процессы типа возмущений четы-
рехплазмонных взаимодействий. Последнее понятно, так как сами
представления о четырехплазмонном взаимодействии возникают
лишь при рассмотрении взаимодействия четырех случайных полей
и учета их взаимной корреляции.
Вопрос о втором звуке в плазме рассматривался в работах [306,
317, 318]. В работе [305] рассмотрены примеры, когда стационар-
408

ность спектра обеспечена нелинейными распадными процессами и
квазилинейными процессами, а в работе [317] — специально для
ионно-звуковой турбулентности. Здесь рассмотрим второй звук на
примере интенсивной ленгмюровской турбулентности, максимум
интенсивности которой, согласно гл. 2, сосредоточен при v ^> ——.
VTl
Пренебрегая рассеянием на ионах и считая основным четырех-
плазмонное взаимодействие, можно, следуя Ландау [304], соста-
составить уравнение баланса для плазмоноз. Они следуют из сохранения
числа плазмонов, их импульса и энергии при четырехплазмонных
взаимодействиях
kNi dk , Г Ni dk
яр	Г k/Vi dk	f Nk dk
_^ = 0; P= \ —^—; N= -*—; (8.165)
dr	J Bji)»	J Bji)«	;
dt ®pe dr	J ()	J ()
q	С	Nldk
j; <8-i66)
+	^O; W[; а[. (8.167)
dt (o	ar Ч	J Bji)«	J Bji)8 V	;
Этой системой уравнений можно воспользоваться для нахождения
вида линейных возмущений, если их частоты много меньше харак-
характерной частоты четырехплазмонных столкновений. В этих усло-
условиях в каждый момент времени успевает установиться квазиравно-
квазиравновесное состояние. Различие в этих мгновенных распределениях
может быть в значении среднего импульса и средней энергии и
числа плазмонов.
Задача становится весьма похожей на обычную гидродинами-
гидродинамическую задачу. Надо знать формально общий класс решений,
удовлетворяющих четырехплазмонному интегралу и слабо отли-
отличающихся от начального. Очевидно, что этому интегралу удовлет-
удовлетворяет yV//, зависящая лишь от k/kQ. Малое изменение k0 на 8k0
дает решение pjs? 6k k. Если ввести кинетическую энергию плаз-
0
мона (Ok = o)k — со е, то можно считать YVk = Nst —^	• —~ .
Четырехплазмонному интегралу удовлетворяет газ плазмонов,
движущийся как целое. Так как энергия плазмона изменяется
при изменении системы отсчета на kv, где v — скорость системы
отсчета, то Nk = Nst 	~— . Здесь v — параметр распределе-
V Ю1 ;
ния.
Итак,
(8.168)
409

Разлагая v и 8k0 в интеграл Фурье
v = jvx,veiXr-iv'dxdv	(8.169)
и подставляя в (8.165) и (8.166), получаем дисперсионное соот-
соотношение [318]
„ ~ dNl* .;
Если ввести обычным образом спектральную плотность энер-
энергии турбулентности W[ (J Wi dk = W), то (8.170) запишется в виде
Аппроксимируя W'k выражением ^v~ 'W { —- ) при ^>^0 и 0 при
k < ^0, получаем для квадрата скорости второго звука (v >3)
Л«10о»г.<^.^.	(8.172)
Учет парных соударений и спектральной перекачки при рас-
рассеянии на ионах дает затухание второго звука.
Подчеркнем в заключение, во-первых, что различие между
регулярными и стохастическими возмущениями возможно невелики,
так как при развитии неустойчивости происходит стохастизадия
возмущений. Во-вторых, учет турбулентного уширения резонан-
сов сужает, если не ликвидирует, область проявления ряда не-
устойчивостей турбулентной плазмы. Наконец, коренное измене-
изменение свойств слаботурбулентной плазмы в области низких частот
следует отнести к эффектам сильной турбулентности. Достигнутые
здесь определенные успехи в понимании физической природы та-
такого изменения, а также общая теория турбулентного уширения
резонансов и корреляции турбулентных пульсаций (гл. 2) могут
рассматриваться как шаги к развитию теории сильной турбулент-
турбулентности .

Л ИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.
М., Гостехиздат, 1954.
2. Яременко Ю. Г. и др. «Атомная энергия», 24, 213 A968).
3. Ландау Д. Л., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.,
«Наука», 1963.
4. Ландау Д. Л., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных
сред. М., Гостехиздат, 1957.
5. Prandtl L. Z. Angew. Math, und Mech., 5, 136 A925); 22, No. 5
A942).
6. Кадомцeв Б. Б. В сб. «Вопросы теории плазмы». Под ред.
М. А. Леонтовича. Вып. 4. М., Атомиздат, 1964, стр. 188.
7. Завойский Е. К- «Атомная энергия», 14, 57 A963).
8. Завойский Е. К.,Рудаков Л. И. Физика плазмы
(коллективные процессы в плазме и турбулентный нагрев). М., «Знание», 1967.
9. Колмогоров А. Н. «Докл. АН СССР», 30, 299 A941).
10. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в
плазме. М., «Наука», 1967.
II. Chew G. F., Gо1dbеrgеr М. L., Low F. Е., Proc. Roy.
Soc, А 236, 1212 A956).
12. Климонтович Ю. Л., Силин В. П. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 40, 143 A961).
13. Langmuir I. Phys. Rev., 26, 585 A925); Z. Phys., 46, 271 A927).
14. Власов А. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 8, 291 A938).
15. Ландау Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 16, 574 A946).
16. Альфвен X. Космическая электродинамика. Перев. с англ. М.,
Изд-во иностр. лит., 1952.
17. Xалатников И. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 27, 529 A954).
18. Цытович В. Н. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 44, 946 A963).
19. Ахиезер А. И. и др. Коллективные колебания в плазме. М.,
Атомиздат, 1964.
20. Карпман В. И. Препринт ИЯФ СО АН СССР, № 25.
Новосибирск, 1968.
21. Сагдеев Р. 3. В сб. «Вопросы теории плазмы». Под ред.
М. А. Леонтовича. Вып. 4. М., Атомиздат, 1964.
22. Lооnеу D. Н., Вrоwn S. С. Phys. Rev., 83, 695 A954).
23. Меrill Н. J., Wеbb Н. W. Phys. Rev., 55, 1191 A939).
24. Xapчeнко И. Ф. и др. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 685
A960).
25. Березин А. К. и др. «Атомная энергия», 14, 249 A963).
26. Бабыкин М. В. и др. «Ядерный синтез». Дополнение, т. 3, 1962,
стр. 1073.
27. Бабыкин М. В., Завойский Е. К. и др. «Ж- эксперим. и
теор. физ.», 43, 411 A962).
28. Векслер В. И. «Атомная энергия», 2, 427 A957).
15* 411

29. Smulin R., Getti G. Phys. Rev. Lett., 9, 3A962).
30. Alexeff I., Neidigh R. V. Phys. Rev., 129, 516 A963).
31. Супpуненко В. А. «Атомная энергия», 17, 83 A964).
32. Демидов Б. А. и др. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 46, 497 A964).
33. Hamberger S. Phys. Rev. Lett., 21, 674 A968).
34. Heдоспасов А. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 34, 1338 A958).
35. Незлин М. В., Солнцев А. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
48, 1237 A965).
36. Голант В. Е. «Успехи физ. наук», 79, 377 A963).
37. Воhm D., Вurhор Е. The Characteristics of Electr. Dicharges
in Magn. Fields, Guthrie A., Wakerling R. K-, N.—Y., 1949.
38. Axиeзep И. А., Данелия И. Л., Цинцадзе Н. Л.
«Ж- эксперим. и теор. физ.», 46, 300 A964).
39. Aamоdt R. Е., Drummоnd W. E. Nucl. Energy, Part С 6,
147 A964).
40. Tanaka S., Takауama K. J. Phys. Soc. Japan, 21, 2372
A966).
41. Данилкин И. М. и др. «Тр. Ин-та физ. АН СССР», 32, 112 A966).
42. Арцимович Л. А. и др. «Атомная энергия», 1, 84 A956).
43. Березин А. К. и др. Plasma Phisics and Contr. Nucl. Fusion Res.
Proc. Conf Culham 1965. England, 1965.
44. Вeкслep В. И. и др. «Атомная энергия», 18, 14 A965).
45. Цытович В. Н. «Успехи физ. наук», 89, 89 A965).
46. Гинзбург В. Л., Сыроватский С.И. Происхождение
космических лучей, М., Изд-во АН СССР, 1963.
47. Гинзбург В. Л., Озерной Л. М. «Изв. вузов.
Радиофизика», 9, 221 A966).
48. Каплан С. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 29, 406 A955).
49. Цытович В. Н. «Астрон. ж.», 40, 612 A963).
50. Киржниц Д. А. Полевые методы теории многих частиц. М.,
Госатомиздат, 1963.
51. Бонч-Бруевич В. Л., Тябликов С. В. Метод функций
Грина в статистической механике. М., Физматгиз, 1961.
52. Абрикосов А. А., Горьков Л. П.,
Дзялошинский Е. И. Метод квантовой теории в статистической физике. М.,
Физматгиз, 1962.
53. Михайловский А. Б. «Ядерный синтез», 4, 321 A964).
54. Цытович В. Н. «Докл. АН СССР», 154, 76 A964).
55. Романов Ю. Л., Филлипов Г. Ф. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 40, 123 A961).
56. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3.
«Ядерный синтез», 1, 82 A961). Дополнение 2, 465, 1962.
57. Drummond W. E., Pines P. Nucl. Fusion Supl. Part, 3, 1049
A962).
58. Цытович В. Н. «Кинетическое уравнение для элементарных
возбуждений и нелинейные взаимодействия волн в плазме». Препринт Физ. ин-та
АН СССР, № 12, 1968.
59. Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М., «Наука»,
1967.
60. Гайлитис А. К., Цытович В. Н. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 47, 1463 A964).
61. Гайлитис А. К., Цытович В. Н. «Изв. вузов. Радиофизика»,
7, 1190 A964).
62. Цытович В. Н. «Успехи физ. наук», 90, 435 A966).
63. Гинзбург В. Л., Франк И. М. «Ж. эксперим. и теор.
физ.» 16, 15 A946).
64. Фаинберг Я. Б., Xижняк Н. А. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 32, 883 A957).
65. Барсуков К. А., Болотовский Б. М. «Ж- эксперим. и
теор. физ.», 45, 303 A963).
412

66. Гайлитис А. К., Цытович В. Н. «Ж.эксперим. и теор. физ.»,
46, 1726 A964).
67. Гайлитис А. К. и др. Элементарные процессы нелинейного
взаимодействия заряженных частиц с плазмой и уравнения
слаботурбулентной плазмы. Доклад на седьмой конференции по явлениям в
ионизированных газах. Белград. Югославия, август, 1965.
68. Коврижных Л. М., Цытович В. Н. «Ж. эксперим. и
теор. физ.», 46, 2212 A964).
69. Липеровский В. А., Цытович В. Н. «Прикл. мех. и
техн. физ.», 5, 15 A965).
70. Коврижных Л. М. «Тр. Физ. ин-та АН СССР. Сер. Физика
плазмы», 32, 173 A966).
71. Цытович В. Н. «Стохастические процессы в плазме». Материалы
9-й межд. конф. по явл. в ион. газах. Бухарест, 1969. Препринт Физ. ин-та
АН СССР. 1969.
'72. Корнилов Е. А. и др. «Письма ЖЭТФ», 3, 354 A966).
73. а) Тамм И. Е., Франк И. М. «Докл. АН СССР», 14, 107 A937).
б) Болотовский Б. М. «Успехи физ. наук», 62, 201 A957).
74. Басс Ф. Г., Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д. «Ж- эксперим.
и теор. физ.», 49, 329 A965).
75. Шапиро В. Д. «Письма ЖЭТФ», 2, 469, вып. 10 A965).
76. Alexeff J., Neidigh R. V., Peed W. F. Phys. Rev., 136,
689 A964).
77. Duprее Т. H. Phys. Fluids, 9, 1773 A966).
78. Pудаков Л. И., Цытович В. Н. «Plasma physics». Препринт
Физ. ин-та АН СССР, №28, 1970.
79. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая
электродинамика. М., Физматгиз, 1962.
80. а) Липеровский В. А., Цытович В. Н. «Изв. вузов.
Радиофизика», 9, 469 A966).
б) Коврижных Л. М. «Ж. эксперим. и теор физ.», 49, 237,
1376 A965).
81. Цытович В. Н., Шварцбург А. Б. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 49, 797 A965).
82. Трубников Б. А., Бажанова А. Е. В сб. «Физика плазмы
и проблемы управляемых термоядерных реакций». Т. 3. М., Изд-во АН СССР,
1958, стр. 121.
83. Трубников Б. А. «Докл. АН СССР», 118, 913 A958).
84. Чириков Б. В. Препринт № 191 ИЯФ СО АН СССР.
Новосибирск, 1966.
85. Арнольд В. И. «Усп. матем. наук», 18, 91 A963).
86. Заславский Г. М., Чириков Б. В. «Докл. АН СССР»,
159, 306 A969).
87. Воhm О., Grоss Е. P. Phys. Rev., 75, 1851 A949).
88. Ахиезер А. И., Файнберг Я- Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
21, 1262 A951).
89. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства
плазмы и плазмоноподобных сред. М., Госатомиздат, 1961.
90. Стикс Т. Теория плазменных волн. М., Атомиздат, 1965.
91. Шапиро В. Д., Шевченко В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
42, 1515 A962).
92. Nеufеld S., Dоуlе P. Н. Phys. Rev., 127, 846 A962).
93. Маханьков В. Г., Шевченко В. И. В сб. «Физика плазмы
и управляемые термоядерные реакции». Киев, «Наукова думка», Т. 4, 1965.
Препринт ОИЯИ Р-1659. Дубна, 1964.
94. Маханьков В. Г., Цытович В. Н. «Ж- техн. физ.», 38, 809
A968).
95. Масfарlanе G. G., Нау Н. G. Pros. Phys. Soc, В 63, 409
A950).
96. Harrison Е. R. Proc. Phys. Soc, В 82, 889 A963).
413

97. Ловецкий Е. Е., Рухадзе А. А. «Тр. Физ. ин-та АН СССР»,
32, 218 A966).
98. Корнилов Е. А. и др. В сб. «Взаимодействие пучков заряженных
частиц с плазмой». Киев, «Наукова думка», 1965, стр. 36.
99. Веденов А. А. «Атомная энергия», 13, 5 A962).
100. Шапиро В. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 44, 613 A963).
101. Левитский С. М., Шашурин И. П. «Ж- эксперим. и теор
физ.», 52, 350 A967).
102. Иванов А. А., Рудаков Л. И. «Ж- эксперим. и теор. физ »
51, 1522 A966).
103. Levitskii S. M., Shashurin LP. Ninth Int. conf. on
Phenomena in Ionized Gases 1969. Bucharest, 1969, p. 566.
104. Цытович В. Н., Шапиро В. Д. «Ядерный синтез», 5, 228
A965).
105. Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
47, 1389 A964).
106. Цытович В. Н., Шапиро В. Д. «Ж. техн. физ.», 35,
1925 A965).
107. Андронов А. А., Трахтенгерц В. Ю. «Ж- эксперим. и
теор. физ.», 45, 1009 A963).
108. Михайловский А. Б., Юнгвирт К. «Ж- эксперим. и
теор. физ.», 50, 1036 A966).
109. Роуландс Дж., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.
«Ж. эксперим. и теор. физ.», 50, 979 A966).
110. Березин А. К. и др. В сб. «Взаимодействие пучков заряженных
частиц с плазмой». Киев, «Наукова думка», 1965, стр. 7.
111. Липеровский В. А. «Прикл. мех. и техн. физ.», 2, 23 A967).
112. Федорченко В. И. и др. «Ж- техн. физ.», 32, 958 A962).
113. Шафранов В. Д. В сб. «Вопросы теории плазмы». Под ред.
М. А. Леонтовича. Вып. 3. М., Госатомиздат, 1963, стр. 3.
114. Шафранов В. Д., Сагдеев Р. 3. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 39, 181 A960).
115. Степанов К. Н., Толок В. Т. «Ядерный синтез», 3, 251
A963).
116. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В.,
Ситенко А. Г., Степанов К. Н. Коллективные колебания в плазме. М.,
Атомиздат, 1964.
117. Harris Е. Phys. Rev., Lett., 2, 234 A959).
118. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. В сб. «Физика плазмы и
проблемы управляемых термоядерных реакций». Вып. 3. М., Изд-во АН
СССР, 1958, стр. 278.
119. Drummond W. Е., Rosenbluth М. N., Johnson М.
Bull. Amer. Phys. Soc, 6, 185 A961).
120. Тимофеев А. В., Пистунович В. И. В cб. «Вопросы
теории плазмы». Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 5. М., Атомиздат, 1967,
стр. 351.
121. Красовицкий В. Б., Степанов К- Н. «Ж- техн. физ.»,
34, 1013 A964).
122. Rоsеnbluth М. N., Роst R. F. Phys. Fluids, 8, 547
A965).
123. Galeev A. A. International centre for theoretical physics.
Trieste, 1966.
124. Тимофеев А. В., Пистунович В. И. «Вопросы теории
плазмы». Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 5. М., Атомиздат, 1967, стр. 35.
125. Будкер Г. И. В сб. «Физика плазмы и проблемы управляемых
термоядерных реакций». Т. 3. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 32.
126. Drieser Н. Phys. Rev., 117, 329 A960).
127. Buneman O. Phys. Rev., 115, 503 A959).
128. Harrisоn E. R. Plasma Phys., 4, 7 A962).
129. Шапиpо В. Д. «Ж- техн. физ.», 31, 552 A961).
414

130. Ловецкий Е. Е., Рухадзе А. А. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 41, 1845 A961).
131. Stringer Т. Е. Nucl. Energy Part С, 6, 267 A964).
132. Drummond W. Е., Rosenbluth М. N. Phys. Fluids,
5, 12 A962).
133. Степанов К. Н., Михайловский А. Б. «Ж. техн.
физ.», 35, 1933 A965).
~134. Баканов С. М., Рухадзе А. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
48, 1656 A965).
135. Богданкевич Л. С, Рухадзе А. А. «Ядерный синтез»,
6, 176 A966).
136. Field Е. С, Friеd В. D. Phys. Fluids, 7, 1937 A964).
137. Рудаков Л. И., Кораблев Л. В. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 50, 220 A966).
138. Петвиашвили В. И. «Ж. эксперим и теор. физ.», 44, 1933
A963).
139. Петвиашвили В. И. «Докл. АН СССР», 153, 1295 A963).
140. Коврижных Л. М. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 51, 915 A966).
141. Ахиезер И. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 47, 2269 A964).
142. Цытович В. Н. «Plasma Physics», 13, 100 A971).
143. Файнберг Я. Б. Взаимодействие пучков заряженных частиц
с плазмой. В сборнике «A Survey of Phenomena in Jonized Gases». J. Jnv.
papers. IAEA, Vienna, 1968.
144. Smulin L. O. Recent results on the beam-plasma dischages in
«A Survey on Phenomena in Jonized Gases». Jnv. papers IAEA, Vienna, 1968.
145. Бабыкин М. В. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 47, 1631
A964).
146. Аlехеff et al. Phys. Rev., Lett., 18, 25 A967).
147. Стефановский A. M. «Ядерный синтез», 5, 215 A965).
148. Андрюхина Э. Д., Шпигель И. С. «Ж- техн. физ.», 37,
894 A967).
149. Бучельникова Н. С. «Ядерный синтез», 6, 122 A966).
150. Jancarik J., Hamberger S. М. Report on 8 Europ. conf.
on plasma phys., Rome A970).
151. Dauqhney С. С et al. Report on 8 Europ. conf. on plasma
phys., Rome A970).
152. Кадомцев Б. Б., Погуцe О. П. В сб. «Вопросы теории
плазмы». Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 5. М., Атомиздат, 1967, стр. 209.
153. Михайловский А. Б. В сб. «Вопросы теории плазмы». Под ред.
М. А. Леонтовича. Вып. 3. М., Госатомиздат, 1963, стр. 141.
154. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. «Докл. АН СССР», 138, 581
A961).
155. Галеев А. А., Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. «Ж.
эксперим. и теор. физ.», 44, 903 A963).
156. Церковников Ю. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 32, 67
A957).
157. Кадомцев Б. Б., Тимофеев А. В. «Докл. АН СССР»,
146, 581 A962).
158. Rosenbluth М. N., Кrall N. A., Rostoker N.
«Ядерный синтез», Прил. 1, 143 A962).
159. Тимофеев А. В. «Докл. АН СССР», 152, 84 A963).
160. Михайловский А. Б., Рудаков Л. И. «Ж. эксперим. и
теор. физ.», 44, 912 A963).
161. Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. «Ж. эксперим.
и теор. физ.», 44, 919 A963).
162. Галеев А. А., Рудаков Л. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
45, 647 A963).
163. Hoh F. G. Phys. Fluids, 8, 968 A965).
164. Иванов А. А. Автореферат диссертации. МФТИ, 1967,
165. Рудаков Л. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 48, 1372 A965).
415

166. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3. «Ядерный
синтез», 5, 20 A965).
167. Карпман В. И. «Прикл. мех. и техн. физ.», 6, 34 A963).
168. Галеев А. А., Моисеев С. С, Сагдеев Р..З.
«Атомная энергия», 15, 451 A963).
169. Ахиезер И. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 48, 1159 A965).
170. Бучельникова Н. «Теплофизика высоких температур», 2,
309 A964).
171. Kadomtsev В. В., Nedospasov A. V. J. Nucl. Energy
Part С, 1, 230 A960).
172. Петвиашвили В. И., Рамазашвили Р. Р.,
Цинцадзе М. Л. «Ядерный синтез», 5, 23 A965).
173. Сamас М. et al. Nucl. Fusion, Supl,. 2, 423 A962).
174. Галеев А. А., Карпман В. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
44, 592 A963).
175. Moiseev S., Sagdeev R.J. Nucl. Energy Part С, 5, 43 A963.)
176. Ахиезер А. И., Файнберг Я. Б., Любарский Г. Я.
Ученые записки. Т. 62. «Труды физ.-мат. факультета ХГУ», 6, 73 A955).
177. Ахиезер А. И., Любарский Г. Я. «Докл. АН СССР»,
80, 193 A955).
178. Сагдеев Р. 3. «Ж. техн. физ.», 31, 1185 A961).
179. Цытович В. Н. «Докл. АН СССР», 142, 63 A962).
180. Цытович В. Н. «Ж. техн. физ»., 32, 1042 A962).
181. Сыроватский С* И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 1788
A961).
182. Куртмулаев Р. X. и др. Материалы конференции в КАЛЭМ
Англия, 1965. Plasma Phys. and Contr. Therm. Fus. Res. Proc. Conf. Kalham,
England A965).
183. Алиев Ю., Силин В. П. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 48,
901 A965).
184. Алиев Ю. М., Силин В. П., Уотсон X. «Ж. эксперим. и
теор. физ.», 50, 943 A966).
185. Цытович В. Н. «Ж. техн. физ.», 35, 773 A965).
186. Липеровский В. А., Цытович В. Н. «Ж- техн. физ.»,
36, 575 A966).
187. Липеровский В. А, Цытович В. Н. «Прикл. мех. и техн.
физ.», 2, 116 A966).
188. Цытович В. Н., Шварцбург А. Б. «Ж- техн. физ.», 36,
1915 A966).
189. Липеровский В. А., Цытович В. Н. «Доклад на VII
конференции по ионизированным явлениям в газах. Белград, август, 1965».
190. Мандельштам С. Л. и др. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 47,
2003 A964).
191. Цытович В. Н. «Ж. техн. физ.», 39, 1756 A969);
Тsуtоviсh V. N. «Eight Int. Conf. on Phen. in Ionized Gases 1967 Contr. papers.»,
Vienna, Austria, Printed IAEA, 1967, p. 408.
192. Maxаньков В. Г., Цытович В. Н. «Ж- техн. физ.», 40,
681 A970).
193. Geker J. R. at al. «Nine Int. Conf. on Phen. in Ionized Gases
1969. Contr. papers». Bucharest, Romania IAEA, 1969, p. 427.
194. Сarusо A., Grattоn R. Some properties of the plasmas
produced by irradiating light solids by lasers. Laboratorio gas ionizzati Fras-
cati, Rome 1968. Caruso A., Guipponi. lonisation and heating of a
solid hydrogen pellet by means of a laser pulse. Laboratorio gas ionizzati,
Frascati Rome, 1968.
195. Basov N.G., Кrоkin O. N. Proc. of Conference on Quantum
Electronics, Paris, 1963.
196. Озерной Л. M. «Астрон. ж.», 43, 300 A966).
197. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. «Успехи физ. наук»,
86, 447 A965).
416

198. Каплан С. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 27, 699 A954).
199. Цытович В. Н. «Астрон. ж.», 42, 33 A965).
200. Пикельнер С. Б., Гинцбург М. А. «Астрон. ж.», 40,
842 A963).
201. Гинцбург В. Л. «Астрон. ж.», 42, 1129 A965).
202. Трахтенгерц В. Ю. «Астрон. ж.», 43, 357 A966).
203. Криворуцкий Э. Н., Цытович В. Н. «Астрон. ж.», 46,
1003 A969).
204. Гордон И. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 37, 853 A959).
205. Ковнер М. С, Чертог И. М. «Геомагнетизм и аэрономия»,
3, 1014 A963).
206. Пикельнер С. Б. «Успехи физ. наук», 88, 505 A966).
207. Трахтенгерц В. Ю., Гершман Б. Я. «Успехи физ. наук»,
89, 201 A966).
208. Sonett С. J. Geophys. Res., 68, 1265 A963).
209. Гинзбург В. Л., Озерной Л. М. «Астрон. ж.», 43, 27
A965).
210. Липеровский В. А., Цытович В. Н. «Изв. вузов.
Радиофизика», 12, 823 A969).
211. Пикельнер С. Б., Цытович В. Н. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 55, 977 A968).
212. Жидков Е. П., Маханьков В. Г., Цытович В. Н.,
Чой Зай Хен. Препринт ОИЯИ Р9-4464 Дубна A969).
213. Липеровский В. А., Цытович В. Н. «Ж. эксперим. и
теор. физ.», 57, 1252 A969).
214. Захаров В. Е. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 51, 689A966).
215. Маханьков В. Г., Цытович В. Н. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 53, 1789 A967).
216. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория неравновесных
процессов в плазме. Изд-во МГУ, 1964.
217. Ландау Л. Д. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 7, 203 A936).
218. Брагинский С. И. В сб. «Вопросы теории плазмы». Под ред.
М. А. Леонтовича. Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963, стр. 191.
219. Маханьков В. Г., Цытович В. Н. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 56, 1872 A969).
220. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. «Ж. эксперим.
и теор. физ.», 43, 2234 A962).
221. Чихачев А. С, Цытович В. Н. «Изв. вузов. Радиофизика»,
12, 26 A969).
222. Калинин Ю. Г. и др. «Докл. АН СССР», 189, 137 A969).
223. Кингсеп А. С. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 58, 1040 A970).
224. Лившиц М. А., Цытович В. Н. «Ж- эксперим. и теор.
физ.» A971); Препринт ФИАН СССР, 100, 1970.
225. Кингсеп А. С. Автореферат диссертации Моск. инж.-физ.
ин-та, М., 1970.
226. Лившиц М. А., Цытович В. Н. «Ядерный синтез», 10, 241
A970); Препринт ФИ АН СССР, № 160 A969).
227. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. «Ж. техн. физ.», 32,
1291 A962).
228. Ораевский В. Н. «Ядерный синтез», 4, 263 A964).
229. Цытович В. Н. «Изв. вузов. Радиофизика», 6, 641 A963);
«Изв. АН СССР», Сер. Физика, 33, 1800 A969).
230. Fermi Е. Phys. Rev., 57, 485 A940).
231. Пикельнер С. Б. Основы космической электродинамики.
М., «Наука», 1965.
232. Бурштейн Э. Л., Векслер В.И., Коломенский А. А.
Некоторые вопросы теории циклических ускорителей. М., Изд-во АН СССР,
1955, стр. 3.
233. Барбиер М., Келлер Р. В кн. «Труды Международной
конференции по ускорителям». ЦЕРН, Женева, 1959, стр. 187, 636.
417

234. Гуревич А. В. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 38, 1597 A960).
235. Данилкин И. С., Цытович В. Н. «Ж- техн. физ.», 34,
1365 A964).
236. Лукьянов C. Ю., Подгорный И. М. «Атомная энергия»,
3, 97 A956).
237. Ковальский И. Г., Подгорный И. М.
Хвощевский С. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 35, 940 A958).
238. Райзер М. Д., Цытович В. Н. «Атомная энергия», 17,185
A964).
239. Аlехеff I. et al. Phys. Rev. Lett., 10, 273 A963).
240. Незлин М. В., Солнцeв А. М. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
45, 840 A963).
241. Веrеzin et al. Nucl. Energy Part С, 7, 593 A965).
242. Цытович В. Н. «Астрон. ж.», 42, 33 A965).
243. Гайлитис А. К., Цытович В. Н. «Астрон. ж.», 41, 452
A964).
244. Цытович В. Н. «Астрон. ж»., 41, 7 A964).
245. Цытович В. Н. «Астрон. ж»., 40, 612 A963).
246. Цытович В. Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 43, 327 A962).
247. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Теория поля. М.—Л., «Наука»,
1968, стр. 170.
248. Цытович В. Н. «Вестн. Моск. ун-та», 11, 27 A951).
249. Цытович В. Н., Чихачев А. С. В сб. «Физика плазмы».
Вып. 2. Сб. ст. под ред. С. Ю. Лукьянова. М., Атомиздат, 1969, стр. 87.
250. Цытович В. Н. «Изв. вузов. Радиофизика», 6, 918 A963).
251. Цытович В. Н., Чихачев А. С. «Астрон. ж.», 46, 486 A969).
47, 479 A970).
252. Сазонов В. Н, Цытович В. Н. «Изв. вузов.
Радиофизика», 1968.
253. Гайлитис А. К., Цытович В. Н. «Изв. вузов.
Радиофизика», 6, 1103 A963).
254. Разин В. А. «Изв. вузов. Радиофизика», 3, 584 A962).
255. Железняков В. В. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 52, 1406
A967).
256. Коврижных Л. М. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 52, 1406 A967).
257. Цытович В. Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 42, 803 A962).
258. Melrose D. В. Preferential Acceleration of Heave Ions from
Thermal Velocities, preprint Belfer Graduate School of Science Yeshiva
University, N. Y. A967).
259. Тверской Б. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 53, 1417 A967).
260. Гинзбург В. Л., Пикельнер, С. Б. Шкловский И. С.
«Астрон. ж.», 32, 503 A955).
261. Каплан С. А., Цытович В. Н. «Успехи физ. наук», 97. 77
'A969).
262. Розенберг Г. «Успехи физ. наук», 56, 77 A955).
263. Борн М. «Оптика». Харьков — Киев, Гос. науч. техн. изд., 1937.
264. Гинзбург В. Л., Железняков В. В. «Астрон. ж.», 35,
694 A958).
265. Ситенко А. Г. Электромагнитные флюктуации в плазме. Изд.
ХГУ, 1965.
266. Цытович В. Н. «Астрон. ж.», 45, 1016 A958).
267. Галицкий В. М., Мигдал А. Б. В сб. «Физика плазмы и
проблемы управляемых термоядерных реакций», Т. 1. М., Изд. АН СССР,
1958, стр. 16.
268. Гинзбург В. Л., Сазонов В. Н., Сыроватский С. И.
«Успехи физ. наук», 96, 63 A968).
269. Сазонов В. Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 56, 1075 A969).
270. Каплан С. А., Цытович В. Н. «Астрон. ж.», 45, 777 A968).
271. Лившиц М. А., Цытович В. М. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
53, 1610 A967).

272. Рютов Д. Д. «Докл. АН СССР», 164, 1273 A965).
273. Данилкин И. С. и др. «Тр. Физ. ин-та АН СССР», 32, 112
A966).
274. Коврижных Л. М. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 59, 1795 A966).
275. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Ситенко А. Г. «Ж.
эксперим. и теор. физ.», 41, 478 A966).
276. Кропоткин А. П., Пустовалов В. В. »Ж- эксперим. и
теор. физ.», 49, 1345 A965).
277. Демидов Б. А., Фанченко С. Д. «Письма ЖЭТФ», 2,
533 A965).
278. Демидов Б. А., Фанченко С. Д. «Атомная энергия»,
20, 516 A966).
279. Chen J. G., Leheny R. F., Marshall Т. С Phys. Rev.
Lett., 15, 84 A965).
280. Jannuzzi M., Magistrelly F. Nuovo Cimento, 40, 424
A965).
281. Enriques L., Jannuzzi M., Riсhetti G. B. Nuovo
Cimento, 49, 66 A968).
282. Dоghertу L. P., Farley D. T. Proc. Roy. Soc, A 259, 79
A960).
283. Vaniek R. W., Swason D. G., Geannon R. T. Phys.
Rev. Lett., 15, 444 A965).
284. Massian A., Vandenplas P. A. «Eight int Conf. on Phen
in Ionized Gases. 1967. Contr papers». Vienna, Austria, Printed IAEA, 1967,
p. 407.
285. Цытович В.Н. «Астрон. ж.», 41, 992 A964).
286. Каплан С. А., Цытович В.Н. «Астрофизика», 4, 337 A968).
287. Гордон И. М. «Астрон. ж.», 44, 702 A967).
288. Каплан С. А., Цытович В.Н. «Астрон. ж.», 44, 1036 A967).
289. James J. Astroph. J., 146, 356 A966).
290. Gordon I. M. Astroph. Lett., 2, 49 A968).
291. Каплан С. А., Цытович В.Н. «Астрон. ж.», 46, 192 A969).
292. Кулагин А. Г., Сахокия Д. М., Цытович В. Н.
«Ядерный синтез» (в печати).
293. Виткевич В. В., Антонова Т. Ф. «Астрон. ж.», 45, 991
A968).
294. Сахокия Д. М., Цытович В. Н. «Ядерный синтез», 8, 241
A968).
295. Sаlреtеr Е. Е. Astrophys., 147, 433 A967).
296. Рытов С. М. Теория электрических флюктуации и теплового
излучения. М., Изд-во АН СССР, 1953.
297. Кулагин А. Г., Сахокия Д. М., Цытович В. Н. «Изв.
вузов. Радиофизика» (в печати).
298. Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными не-
однородностями. М., Изд-во АН СССР, 1958.
299. Введенов А. А., Рудаков Л. И. «Докл. АН СССР», 159,
767 A954).
300. Гайлитис А. К. Диссертация, ФИ АН СССР, 1964.
301. Цытович В. Н. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 57, №6 A969).
302. Криворуцкий Э. Н., Маханьков В. Г.,
Цытович В. Н. «Ядерный синтез», 9, 97 A969). Препр. ОИЯИ Р9-3982. Дубна,
1968.
303. Цытович В. Н. «Докл. АН СССР», 181, 60 A968).
304. Бетчерол Г. В кн. «Проблемы космической электродинамики».
М., Изд-во иностр. лит., 1953, стр. 179.
305. Ландау Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 11, 592 A941).
306. Липеровский В. А., Цытович В. Н. «Ж- техн. физ.»,
36, 576 A966).
307. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. «Докл. АН СССР», 138,
581 A961).
419

308. Цытович В. Н. Электромагнитные свойства турбулентной
плазмы. Препринт Физ. ин-та АН № 150, 1969.
309. Гапонов А. В., Миллер М. А. «Ж- зксперим. и теор. физ.»,
34, 242, 751 A958).
310. Геккер И. Р. и др. Препринт Физ. ин-та АН СССР, № 58, 1969.
311. Machan'ckov V. G., Tsytovich V. N. «Plasma Phys.»,
12, 741 A970). Препринт ОИЯИ P9-4854. Дубна, 1969.
312. Маханьков В. Г., Щинов Б. А. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 57, 877, 2969. Препринт ОИЯИ Р9-4337. Дубна, 1969.
313. Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 52, 293 A967).
314. Рудаков Л. И. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 53, 1690 A967).
315. Пешков В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 16, 1000 A946).
316. Питаевский Л. П. «Успехи физ. наук», 95, 139 A968).
317. Ichimary S. Phys. Rev., 165, 251 A968).
318. Канер Э. А., Яковенко В. М. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
8, 587 A970).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Общие представления о турбулентном состоянии вещества
§ 1.1. Определение турбулентности 5
§ 1.2. Статистическое описание турбулентности 8
§ 1.3. Спектр турбулентных пульсаций несжимаемой жидкости 14
§ 1.4. Линейные коллективные степени свободы плазмы ... 18
§ 1.5. Нелинейные коллективные движения плазмы. Сильная
и слабая турбулентность 39
§ 1.6. Основные проблемы физики турбулентного состояния
плазмы 43
§ 1.7. Турбулентная плазма в эксперименте и в природе .... 46
Глава 2. Основные положения теории турбулентности плазмы
§ 2.1. Метод усреднения по статистическому ансамблю ... 52
§ 2.2. Линейные эффекты изменения распределения
турбулентных пульсаций плазмы 57
§ 2.3. Нелинейное взаимодействие турбулентных пульсаций
плазмы 64
§ 2.4. Интерпретация нелинейных взаимодействий
турбулентных пульсаций как индуцированного рассеяния плазмо-
• нов на плазмонах и на «частицах» плазмы 68
§ 2.5. Корреляция турбулентных пульсаций в плазме .... 76
§ 2.6. Квазилинейное приближение 86
§ 2.7. Эффекты корреляций турбулентных пульсаций при их
взаимодействии с частицами плазмы 93
§ 2.8. Турбулентное уширение резонансов во взаимодействии
частиц и плазмонов 99
§ 2.9. Общие уравнения баланса для взаимодействия частиц и
турбулентных пульсаций плазмы 105
§ 2.10. Вычисление вероятностей процессов 114
Глава 3. Коллективная диссипация и коллективное возбуждение
турбулентных пульсаций плазмы
§ 3.1. Коллективная диссипация турбулентных пульсаций плазмы 125
§ 3.2. Механизмы возбуждения турбулентности 135
§ 3.3. Взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой . . 137
§ 3.4. Возбуждение турбулентности из-за анизотропной и
конусной неустойчивостей 149
§ 3.5. Возбуждение турбулентности постоянным электрическим
полем 155
§ 3.6. Возбуждение турбулентности в неоднородной плазме.
Дрейфовые неустойчивости плазмы 162
421

§ 3.7. Возбуждение турбулентности электромагнитными волнами
и лазерами 170
§ 3.8. Механизмы генерации турбулентности в астрофизических
условиях 176
Глава 4. Спектры стационарной турбулентности плазмы
§ 4.1. Классификация типов стационарной турбулентности
плазмы 179
§ 4.2. Нелинейные взаимодействия и спектральные перекачки
энергии ленгмюровских пульсаций в изотропной плазме 181
§ 4.3. Спектры стационарной ленгмюровской турбулентности
изотермической плазмы 185
§ 4.4. Спектры низкочастотных пульсаций, возбуждаемых
ленгмюровской турбулентностью в изотермической плазме . 198
§ 4.5. Спектры ленгмюровских пульсаций неизотермической
плазмы 202
§ 4.6. Корреляции и нелинейные сдвиги частот ленгмюровских
пульсаций в турбулентной плазме 210
§ 4.7. Влияние парных соударений частиц на корреляции и
спектры ленгмюровской турбулентности 214
§ 4.8. Спектры ионно-звуковой турбулентности 231
§ 4.9. Влияние магнитного поля на взаимодействие и спектры
продольных пульсаций плазмы 238
§. 4.10. Спектры турбулентности вистлеров 242
§ 4.11. Спектры магнитогидродинамической турбулентности плазмы 251
Глава 5. Стохастическое ускорение частиц в турбулентной плазме
§ 5.1. Общие вопросы теории 254
§ 5.2. Стохастическое ускорение заряженных частиц ленгмюров-
скими пульсациями 261
§ 5.3. Стохастическое ускорение высокочастотными пульсациями
в магнитоактивной плазме 270
§ 5.4. Стохастическое ускорение частиц высокочастотным
электромагнитным излучением в магнитоактивной плазме 276
§ 5.5. Стохастическое ускорение частиц низкочастотными ионно-
звуковыми пульсациями 282
§ 5.6. Ускорение альфвеновскими и магнитозвуковыми
пульсациями 285
§ 5.7. Ускорение заряженных частиц при индуцированном
рассеянии на турбулентных пульсациях 292
§ 5.8. Эффективность различных механизмов ускорения и их
влияние на спектры турбулентности 293
Глава 6. Излучение турбулентной плазмы
§ 6.1. Общая постановка проблемы 296
§ 6.2. Описание процессов излучения и распространения
электромагнитных волн в турбулентной плазме с помощью
параметров Стокса 301
§ 6.3. Излучение ленгмюровской тербулентностью
электромагнитных волн с частотами порядка соре 312
§ 6.4. Излучение электромагнитных волн турбулентной плазмой,
находящейся во внешнем магнитном поле 324
§ 6.5. Излучение надтепловых и релятивистских частиц турбулент- •
ной плазмы 329
§ 6.6. Воздействие излучения турбулентной плазмы на спектры
быстрых частиц 341

Стр.
Глава 7. Прохождение электромагнитных волн через турбулентную
плазму
§ 7.1. Общая постановка задачи 346
§ 7.2. Общая теория рассеяния 349
§ 7.3. Рассеяние электромагнитных волн в турбулентной плазме 356
§ 7.4. Усиление электромагнитных волн при распространении в
турбулентной плазме 360
§ 7.5. Флуктуации интенсивности электромагнитных волн при
прохождении через турбулентную плазму 365
Глава 8. Электромагнитные свойства турбулентной плазмы
§ 8.1. Общая постановка задачи 371
§ 8.2. Разложение интегралов соударений частиц и турбулентных
пульсаций по энергии турбулентности 375
§ 8.3. Интегральное уравнение для суммирования рядов по
энергии турбулентности в интеграле соударений частиц и
турбулентных пульсаций 382
§ 8.4. Диэлектрическая проницаемость изотропной турбулентной
плазмы 388
§ 8.5. Потенциальные неустойчивости изотропной турбулентной
плазмы 392
§ 8.6. Дрейфовые неустойчивости турбулентной плазмы .... 397
§ 8.7. Спонтанное возбуждение магнитных полей в турбулентной
плазме 402
§ 8.8. Скин-эффект в турбулентной плазме 405
§ 8.9. Второй звук в турбулентной плазме 408
Литература.. 411

Цытович Вадим Николаевич
ТЕОРИЯ ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ
Редактор В. Н. Безрукова
Художественный редактор А. С. Александров
Художник А. И. Шавард
Технический редактор А. Л. Г улана
Корректор 3. Л. Авдюшева
Сдано в набор 13/Х 1970 г.
Подписано к печати 28/VI 197 1 г. Т —08492.
Формат 60Х90/1е Бумага типографская № 2
Усл. печ. л. 26,5 Уч.-изд. л. 25,27
Тираж 2 775 экз. Цена 2 р. 74 к. Зак. изд. 1527.
Зак. тип. 1447
Атомиздат, Москва, К-31, ул. Жданова, 5/7
Московская типография Л° 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46

В.Н.ЦЫТОВИЧ
ТЕОРИЯ
ТУРБУЛЕНТНОЙ
ПЛАЗМЫ