I1 I Uflit .
Ho *
1ИИИ-ЧИгЕ1
1.

VORLESUNGEN
UBER
ZAHLENTHEORIE
VON
P. G. LEJEUNE DIRICHLET
HERAUSGEGEBEN UND MIT ZUSATZEN VERSEHEN
von
R. DEDEKIND,
Profesvor an der Techniscken Hochschttle Carolo-Wilhelmiru^
zu Braunschweig
Vier.e
umgearbcittie und vtrmehrte Aufla^e
BRAUNSCHWEIG,
DPUCK UND VEPLAG VON FPIEDRICH VIEWEG UND SOHN.

П. Г. ЛЕЖЕН ДИРИХЛЕ
ЛЕКЦИИ
по
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В ОБРАБОТКЕ И С ДОБАВЛЕНИЯМИ
Р. ДЕДЕКИНДА
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
А. И. и С. И. КАМЕНЕЦКИХ
под редакцией проф. Б. И. СЕГАЛА
с приложением статьи проф. Б. Н. ДЕЛОНЕ
ГЕОМЕТРИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВ ЧНШ11 LLCP
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОЕЩаТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ
МОСКВА 193 6 ЛЕНИНГРАД

/7 х
Л ЕЖ ЕН ДИРИХЛЕ
1805 — 1859

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА.
Книга П. Г. Лежен Дирихле „Лекции по теории чисел" принадлежит
к лучшим классическим книгам по теории чисел. Несмотря на то, что
она составлена Р. Дедекиндом по лекциям Дирихле, читанным в
1856/1857 г., она до сих пор не потеряла своего актуального значения.
Все желающие получить серьезную математическую подготовку и в
настоящее время не могут пройти мимо этой замечательной книги.
В ней содержатся основные результаты теории квадратичных форм,
изложенные Гауссом в его знаменитом сочинении „Disquisitiones Arith-
meticae" („Исследования по арифметике*), и дано систематическое изло-
изложение исследований самого Дирихле. Эти исследования служат основа-
основанием современной теории чисел и принадлежат к наиболее пубоким
результатам математики XIX в.
На немецком языке книга Дирихле-Дедекинда выдержала четыре
издания A863, 1871, 1879, 1894). На русском языке она появляется
впервые, если не считать изданного в 1899 г. перевода первых трех
глав (о делимости чисел, о сравнениях и о квадратичных вычетах) Я. М.
Назаревского. Настоящий перевод сделан по четвертому немецкому
изданию и включает весь материал оригинала, за исключением допоь
нения XI (о теории целых алгебраических чисел). Ввиду того что допол-
дополнение составлено самостоятельно Р. Дедекиндом и его содержание не
находится в тесной связи с содержанием всей книги, издательство решило
выпустить перевод этого дополнения отдельной книгой.
В настоящем издании использован упомянутый перевод первых трех
глав Я. М. Назаревского, однако это* перевод пришлось значительно
исправить.
Так как в книге Лежен Дирихче дано чисто арифметическое изло-
изложение теории квадратичных форм, мы сочли полезным в конце книги
поместить статью проф. Б. Н. Делоне „Геометрия бинарных квадратич-
квадратичных форм*'. Эта статья даст возможность читателю более глубоко
понять смысл важнейших теорем, относящихся к теории квадратичных
форм, а также получить некоторые первоначальные сведения из дискрет-
дискретной геометрии, представчяющей собою весьма интересную ветвь совре-
современной математики.
Б Я. Сегал.

ПРЕДИСЛОВИЕ СОСТАВИТЕЛЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Тотчас же после смерти Дирихле ко мне стали часто обращаться
с предложением опубликовать в возможно более точном виде читанные
им университетские лекции, которые в высокой мере содействовали
широкому ознакомлению с новыми и тонкими частями математики.
Я думал, что тем более сумею выполнить эти предложения, что я слу-
слушал важнейшие из этих лекций в Геттингене в 1855—1858 гг. и, кроме
того, много раз имел возможность в личных разговорах выяснить осно-
основания метода, которому следовал Дирихле при чтении лекций. Так как
родственники Дирихле также уполномочили меня на это издание, то я и
предлагаю математическим кругам настоящую обработку лекций по
теории чисел, в которой в существенных чертах сохранен порядок изло-
изложения, которому следовал Дирихле зимой 1856/1857 г.: он сам думал
тогда об издании этих лекций, и так как он их никогда не обрабаты-
обрабатывал в письменном виде, то для определения примерных размеров отдель-
отдельных разделов ему служила тетрадь моих записей, содержащая, правда,
лишь основные моменты доказательств. Возвращаясь часто в разговорах
к этому плану, он высказывал намерение добавить при опубликовании
многие отделы, которые необходимо включить в учебник, но которые
в ту зиму пришлось опустить в лекциях за недостатком времени.
Поэтому в основу настоящего издания положена, главным образом,
вышеупомянутая тетрадь; однако, мною сделаны добавления довольно
значительных размеров частью по более ранним тетрадям, частью по
работам Дирихле и, наконец, также целиком по собственному усмотре-
усмотрению; эти добавления я считаю нужным здесь перечислить, чтобы при-
принять за них ответственность на себя: они содержатся в § 105—110,
121—-144 и непосредственно в подстрочных примечаниях.
Вслед за этим первым томом, завершение которого, вследствие дру-
других работ, затянулось до настоящего времени, я имею намерение выпу-
выпустить второй том, меньшего объема, в котором будут изложены лекции
о силах, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния.
А Дедекинд.
Брауншвейг,
октябрь 1863.

СОДЕРЖАНИЕ.
Глава первая.
О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ.
<§ 1. Произведение дв>х или трех множителей не зависит от порядка,
в котором производится умножение * . 13
§ 2. Произведение любого числа множителей 14
§ 3. Понятие о делимости одного числа на другое 16
§ 4. Общий наибольший делитель двух чисел 16
§ 5.. Числа взаимно простые 18
§ 6. Общий наибольший делитель нескольких чисел 19
§ 7. Наименьшее кратное нескольких чисел 20
§ 8. Числа простые и составные; разложение составных чисел на про-
простые множители. Число простых чисел бесконечно велико .... 20
§ 9. Нахождение всех делителей числа, если известны все его простые
множители. Число и сумма этих делителей 23
§ 10. Нахождение общего наибольшего делителя и общего наименьшего
кратного нескольких чисел, если даны разложения этих чисел на
простые множители 25
§ 11. Определение числа у(т), которое показывает, сколько существует
чисел в ряду 1, 2, 3, ..., т, взаимно простых cm 26
$ 12. Доказательство теоремы у (mm') =- rf (m) *'f (mr), если т и т/—числа
взаимно простые 28
§ 13. Доказательство теоремы 2 ср (п) *» т, где знак суммы относится ко
всем делителям л числа т 29
§ 14. Другое доказательство той же теоремы 31
§ 15. Определение наивысшей степени простого числа, входящей в произ-
произведение 1 - 2 • 3 • • -т. Следствия 31
§ 16. Общее заключение 34
Глава вторая.
О СРАВНЕНИЯХ.
¦$ 17. Понятие о сравнимости двух чисел по отношению к третьему.
Простейшие свойства сравнений 36
§ 18. Полная система вычетов по отношению к данному модулю .... 39
§ 19. Доказательство обобщенной теоремы Ферма 40
•§ 20. Другое доказательство той же теоремы 42
§ 21. Сравнения, содержащие неизвестные величины; степень таких
сравнений 44
§ 22. Сравнения первой степени с одним неизвестным; условие их воз-
возможности; первый способ решения таких сравнений 46
§ 23. Об алгорифме Эйчера 47
§ 24. Второй способ решения сравнений первой степени с одним не-
неизвестным 51
§ 25. Решение задачи: найти все числа, которые при делении на данные
числа дают данные остатки • 54
§ 26. Сравнение с одним неизвестным при простом модуле не может
иметь несравнимых корней более, нежели единиц в его степени . 56
§ 27. Влвод теоремы Вильсона из теоремы Ферма 59

Содержание
стр.
§ 28. Степенные вычеты; показатель, к которому принадлежит данное
число • 60
§ 29. Если р — число простое и 5—делитель р — 1, то к показателю о при-
принадлежит <р(&) чисел, не сравнимый по модулю р 62
§ 30. Первообразные корни простого числа. Индексы. Третий способ
решения сравнений первой степени 64
§ 31. Двучленные сравнения, модуль которых простое число. Условие
их возможности; число корней 6&
Глава третья.
О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ.
§ 32. Квадратичные вычеты и невычеты 71
§ 33. Если модуль/? — число простое и нечетное, то совокупность чисел,
не делящихся на р, распадается на одинаковое число вычетов и
невычетов. Характер произведения нескольких множителей. Сим-
Символ Лежандра 71
§ 34. Элементарное доказательство предыдущей теоремы, а также тео-
теорем Ферма и Вильсона 74
§ 35. Сличай, когда модуль есть степень простого нечетного числа . . 75
§ 36. Случай, когда модуль есть степень двух 77
§ 37. Случай, когда модуль есть какое угодно число 80
§ 38. Обобщенная теорема Вильсона 82
§ 39. Приведение задачи нахождения всех "модулей, для которых данное
число есть квадратичный вычет, к трем случаям 83
§ 40. Число —1 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида Ап+1
и невычет всех простых чисел вида 4п -f- 3 84
f>§ 41. Число 2 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида 8/t -f-1
и 8л+ 7 и невычет всех простых чисел вида 8п~\- 3 и 8п-{-Ь . . 85
§ 42. Закон взаимности 87
§ 43. Первая часть доказательства этого закона; видоизменение преды-
предыдущего критерия для определения характера данного числа. Новое
доказательство теоремы для числа 2 89
§ 44. Вторая часть доказательства 92
§ 45. Применение закона взаимности к решению задачи определения ха-
характера заданною числа по отношению к данному простому числу 95
§ 46. Символ Якоби как обобщение символа Лежандра. Обобщенный
закон взаимности 96
§ 47. Применение этого закона к определению значения символа Якоби 101
§ 48. Второе доказательство закона взаимности; предварительные заме-
замечания , 103
§ 49. Первая часть доказательства 104
§ 50. Лемма: если q есть простое число вида 8п-\-\, то существует по
крайней мере одно простое нечетное число, меньшее 2Yq + 1» по
отношению к которому д есть квадратичный невычет 106
§ 51. Вторая часть доказательства закона взаимности 107
§ 52. Определение линейных форм, в которых содержатся все простые
числа, по отношению к которым данное число есть квадратичный
вычет или невычет 111
Глава четвертая.
О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ.
§ 53. Бинарные квадратичные формы; их коэфициенты и переменные; их
детерминант. Исключение форм, детерминант которых является
точным квадратом 11?
§ 54. Преобразование форм. Собственные и несобственные подстановки 118

Содержание
сгр.
§ 55. Соединенные подстановки 120
§ 56. Собственная и несобственная эквивалентность форм • 122
§ 57. Формы, не собственно эквивалентные самим себе . 124
§ 58. Двусторонние формы. Каждая форма, несобственно эквивалентная
самой себе, эквивалентна некоторой двусторонней форме .... 126
§ 59. Распределение всех форм с определенным детерминантом но клас-
классам; полная система неэквивалентных форм. Две основные про-
проблемы учения об эквивалентности 128
§ 60. Собственное представление чисел посредством квадратичных форм;
корни сравнений, к которым принадлежат представления. Сведение
к двум основным проблемам • Г29
§ 61. Приведение второй проблемы: из одной заданной подстановки,
посредством которой форма переходит в эквивалентную ей форму,
найти все подобные подстановки,—к случаю, в котором обе формы
тождественны. Делители форм и классов 132
§ 62. Приведение проблемы: найти все подстановки, посредством кото-
которых форма переходит сама в себя,—к задаче полного разрешения
уравнения Пелля. Решейие этого уравнения для случая отрица-
отрицательного детерминанта 135
§ 63. Постановка первой проблемы в учении об эквивалентности: решить,
эквивалентны ли две формы одинакового детерминанта или нет,
и в первом случае найти подстановку, посредством которой одна
из обеих форм переходит в другую. Соседние формы 137
§ 64. Отрицательные детерминанты. Положительные формы. Приведенные
формы. Каждая форма эквивалентна некоторой приведенной форме 138
§ 65. Исключительные случаи, когда две нетождественные приведенные
формы эквивалентны 141
§ 66. Эквивалентность или неэквивалентность двух форм одинакового
отрицательного детерминанта узнается путем сравнения их с при-
приведенными формами . . . 143
§ 67. Число классов форм для отрицательного детерминанта конечно . . 144
§ 68. Разложение чисел на сумму двух точных квадратов 147
§ 69. Разложение чисел на сумму точного квадрата и удвоенного точ-
точного квадрата 149
§ 70. Представление чисел посредством форм х~-\-2>у2 и 2х'2-\-2ху-\-2у- 150
§ 71. Представление чисел посредством форм x2Ji-5y2n 2дг2 -f- 2ху -\- 3j2 153
§ 72. Положительные детерминанты. Первый и второй корни формы . 154
§ 73. Соотношения между одноименными или разноименными корнями
двух собственно или несобственно эквивалентных форм. Соседние
формы 155
§ 74. Приведенные формы с положительным детерминантом; свойства
их корней 157
§ 75. Существует лишь конечное число приведенных форм с данным
положительным детерминантом 159
§ 76. Каждая форма с положительным детерминантом эквивалентна неко-
некоторой приведенной форме . 161
§ 77. Каждая приведенная форма с положительным детерминантом имеет
одну и только одну соседнюю справа приведенною форму и точно
так же одну и только одну соседнюю слева приведенную форму . 163
§ 78. Распределение приведенных форм с положительным детерминан-
детерминантом на периоды с одинаковым числом членов • . 165
§ 79- Разложение корней приведенных форм с положительным детерми-
детерминантом в периодические непрерывные дроби 168
§ 80- Отступление, касающееся преобразования неправильных непрерыв-
непрерывных дробей в правильные 171
§ 81. Лемма из теории непрерывных дробей 173
§ 82. Две любые эквивалентные приведенные формы с положительным
детерминантом принадлежат к одному и тому же периоду. Окон-
Окончание решения проблемы об эквивалентности дв\х форм с одина-
одинаковым положительным детерминантом 175

10 Содержание
стр.
»§ 83. Решение уравнения Пелля в положительных числах для положитель-
положительных детерминантов путем рассмотрения периодов приведенных форм 178
*§ 84. Наименьшее положительное и решение уравнения Пелля 184
¦§ 85. Представление всех решений уравнения Пелля посредством его
наименьшего положительного решения 185
Г Л А В А П Я Т А Я.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ, НА КОТОРЫЕ РАСПАДАЮТСЯ
БИНАРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ С ЗАДАННЫМ ДЕТЕРМИНАНТОМ.
•§ 86. Установление области чисел, которые могут быть собственно пред-
представлены посредством полной, системы начальных форм первого
или второго вида 189
-§ 87. Число этих представлений в случае отрицательного детерминанта;
в случае положительного детерминанта число представлений при-
приводится к конечному посредством новых ограничений, налагаемых
на представляющие числа 190
§ 88. Краткое обозрение. Два способа получения одной и той же области
чисел. Фундаментальное уравнение • .... 193
§ 89. Преобразование его правой части. . • 195
§ 90. Фундаментальное уравнение преобразуется так, что допускаются
и несобственные представления 198
§ 91. Отступление, касающееся числа всех представлений некоторого
числа посредством системы форм. Применение к разложению чисел
на сумму двух точных квадратов 200
§ 92. Отступление, касающееся некоторых бесконечных рядов, встре-
встречающихся в теории эллиптических функций 203
§ 93. Ограничения, налагаемые на формы, являющиеся представителями
классов форм 204
§ 94. Распределение пар представляющих чисел на определенное число
двойных арифметических прогрессий 206
§ 95. Предельное значение левой части фундаментального уравнения
в случае отрицательного детерминанта 209
§ 96. Выражение числа классов для отрицательного детерминанта в виде
предельного значения некоторого бесконечного ряда 212
§ 97. Соотношение между числом классов форм первого вида и числом
классов форм второго вида для отрицательного детерминанта . . 213
-§ 98. Предельное значение левой части фундаментального уравнения
в случае положительного детерминанта; выражение числа классов
в виде предельного значения некоторого бесконечного ряда . . . 214
§ 99. Соотношение между числом классов форм первого вида и числом
классов форм второго вида для положительного детерминанта . . 218
§ 100. Приведение определения числа классов к .случаю, когда детер-
детерминант не делится ни на какой квадрат 220
§ 101. Исследование сходимости и непрерывности подлежащих рассмот-
рассмотрению бесконечных рядов 223
§ 102. Особое рассмотрение первого главного случая, в котором детер-
детерминант имеет вид 4/2 + 1 226
§ 103. Суммирование бесконечного ряда в этом случае . 227
§ 104. Окончательный результат в этом случае 230
§ 105. Суммирование бесконечного ряда в остальных случаях 234
§106. Сводка формул, посредством которых определяется число классов. 240
§ 107. Рассмотрение формул, соответствующих положительным детерми-
детерминантам; преобразование окончательного результата в случае DEEl
(mod 4) ". 1 242
§ 108. Преобразование в случае De=3 (mod 4) 244
§109. Преобразование в случае D^2 (mod 8) 246
•§ НО. Преобразование в случае D^6 (mod 8) 247

Содержание 11
стр.
ДОПОЛНЕНИЯ.
I. О некоторых теоремах из гауссовой теории деления окружности.
§111. Лемма из теории рядов Фурье 251
§ 112. Определение значения суммы 9(h, п) в случае, когда я~0 (mod 4)
и h = 1 252
§ 113. Общие'теоремы относительно сумм у (h, п) 256
§ 114. Определение срA, п) 257
§ 115. Определение <р (/г, п), когда п есть нечетное простое число; третье
доказательство закона взаимности и теорем относительно харак-
характера чисел —1 и 2 • 259
§ По. Доказательство одной теоремы, использованной в § 103, 105 . . . 262
II. О предельном значении одного бесконечного ряда.
•§ 117. Доказательство одной теоремы из теории гармонических рядов . 266
§ 118. Формулировка и истолкование более общего предложения .... 267
§ 119. Его доказательство 268
Ш. Об одном геометрическом предложении.
§ 120. Соотношение между величиной/площади плоской фигуры и чис-
числом точек числовой решетки, лежащих внутри этой фигуры . . 271
IV. О родах, на которые распадаются классы квадратичных форм
с определенным детерминантом.
§ 121. Предложения относительно характера всех чисел, представимых
посредством одной и той же квадратичной формы 272
§ 122. Распределение квадратичных форм по родам 274
§ 123. Доказательство того, что половине возможных полных характеров
не соответствует действительно существующих форм 277
§ 124. Вывод некоторого равенства между двумя произведениями из
двух бесконечных рядов каждое 278
§ 125. Доказательство того, что половине возможных полных характе-
характеров соответствуют действительно существующие роды и что каж-
каждый из этих родов содержит одинаковое число классов форм . . 2&0
§ 126. Завершение этого доказательства .' . . 284
V. Теория степенных вычетов для составных модулей.
§ 127. Третье доказательство обобщенной теоремы Ферма Х§ 19) .... 287
§ 128. Доказательство существования первообразных корней для модуля,
являющегося произвольной степенью нечетного простого числа . 288
§ 129. Теория индексов для таких модулей 291
§ 130. Случай, когда модуль равен степени числа 2; индексы 292
§ 131. Случай, когда модуль есть произвольное составное число; индексы. 294
VI. Доказательство теоремы, что всякая бесконечная арифметиче-
арифметическая прогрессия, первый член и разность которой суть целые числа,
не имеющие общего множителя, содержит бесконечно много про-
простых чисел.
§ 132. Доказательство одного общего равенства между некоторым бес-
бесконечным произведением и некоторым бесконечным рядом . . . 296
§ 133. Уточнение этого предложения; распределение рядов L по трем
классам Lb /2, Ц 298
'§ 134. Предельные значения этих рядов 300
*§ 135. Доказательство того, что предельные значения рядов L2 отличны
от нуля; связь с теорией квадратичных форм 303

YZ Содержание
стр.
§ 136. Доказательство того, что предельные значения рядов Z3 отличны
от нуля 305*
§ 137. Доказательство теоремы об арифметической прогрессии 308
VII. О некоторых предложениях из теории деления окружности.
§ 138. Доказательство одного свойства выражения у(т) 310
§ 139. Построение уравнения, корни которого являются первообраз-
первообразными корнями m-Pi степени из единицы; разложение левой части
его на два множителя в случае, когда т есть нечетное число Я,
не делящееся ни на какой квадрат 313
§ 140. Вычисление коэфициентов этих множителей 316
VIII. Об уравнении Пелля.
§ 141. Предложение о рациональных приближенных значениях для квад-
квадратного корня из положительного числа ?>, не являющегося
квадратом 319
§ 142. Доказательство предложения, что уравнение t2—Du2 = 1 всегда раз-
разрешимо в целых числах t, и, из которых последнее, и, отлично
от нуля 321
IX. О сходимости и непрерывности некоторых бесконечных рядов.
§ 143. Метод частного суммирования . • 32S
§ 144. Свойства рядов Дирихле '.' 327
X. О композиции бинарных квадратичных форм.
§ 145. Лемма относительно сравнений второй степени ......... 332
§ 146. Композиция двух согласных форм. Фундаментальная теорема . . 333
§ 147. Композиция двух или большего числа согласных классов .... 335
§ 148. Важнейшие частные случаи композиции 337
§ 149. Периоды и группы начальных классов первого вида 338
§ 150. Сравнение числа классов произвольного делителя с числом началь-
начальных классов первого вида *. 340
§ 151. Результат этого сравнения 342
§ 152. Композиция родов _ 347
§ 153. Число двусторонних начальных классов первого вида 349
§ 154. Четвертое доказательство закона взаимности 352
§ 155. О числе действительно существующих родов . . . 355
§ 156. Получение всех решений уравнения ах2 + Ъ'2 + сг'г = 0 из одного
заданного 356
§ 157. Основная теорема о разрешимости этого уравнения 365
§ 158. Каждый класс главного рода получается посредством сдваивания. 36&
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Геометрия бинарных квадратичных форм.
Б. Н. Делоне.
§ 1. Определения и некоторые общие теоремы о параллелепипедалышх
системах точек * . . . . 370
§ 2. Дальнейшие теоремы о нараллелограматической системе точек на
плоскости • . . 375
§ 3. Теория расположения точек параллелограматнческой системы отно-
относительно некоторых заданных асимптот . 380
§ 4. Теория положительных бинарных квадратичных форм ....... 390
§ 5. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм 395

Глава первая.
О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ.
§ 1.
Мы рассмотрим в этой главе некоторые арифметические теоремы,
которые хотя и встречаются в большинстве учебников, однако имеют
столь важное значение в теории чисел, что строгое обоснование их
является безусловно необходимым. Сюда относится прежде всего тео-
теорема, в силу которой произведение нескольких целых положительных
чисел не зависит от порядка, в котором мы производим умножение.
Рассмотрим сначала тот случай, когда даны три числа а, Ь, с, и
составим таблицу
су с, с, с, . . ., с
с, с, с, с, . . ., с
с, с, с, с, . . ., с
с, с, с, с, . .., с,
которая состоит из Ь горизонтальных рядов, каждый из которых содер-
содержит а раз число г. Теперь определим сумму всех чисел, входящих в эту таб-
таблицу. При этом мы рассуждаем так: число с входит а раз \в каждый
горизонтальный ряд, следовательно, сумма всех чисел этого ряда равна
са, причем мы множимое с ставим впереди множителя а. Так как
число таких горизонтальных рядов равно Ь, то сумма всех чисел таб-
таблицы равна (са)Ь. где са—-множимое, b — множитель. Но мы можем
определить ту же са4мую сумму другим способом, замечая, что данная
таблица состоит из а вертикальных рядов, а каждый из этих рядов со-
содержит Ь раз число с. Поэтому сумма чисел каждого вертикального
ряда равна cb, а следовательно, сумма всех чисел таблицы равна (cb)a.
Значит,
Полагая здесь произвольное число с равным единице, приходим
к такому следствию:
ab = Ьа,
т. е. при умножении двух целых положительных чисел множимое
можно заменить множителем и обратно. По этой причине исчезает
различие между названиями „множимое** и „множитель", и они оба на-
называются сомножителями.

14 Глава первая [§ 2
Мы можем, наконец, определить сумму всех чисел таблицы еще
третьим способом, сосчитывая, сколько раз число с содержится в этой
сумме. Число с входит а раз в каждом горизонтальном ряду, таких
рядов by следовательно, число с содержится во всей сумме ab раз.
Отсюда следует, что означенная сумма равна c(ab), следовательно
(са) Ь = (cb) а —с (ab).
Соединяя этот вывод с предыдущим, относящимся к произведению
двух множителей, мы приходим к следующему предложению.
Если мы имеем три целых положительных числа и произведение
двух каких-нибудь из них умножим на третье, то произведение имеет
одну и ту же величину, как бы ни были выбраны первые два числа
из данных трех чисел.
Так как величина произведения трех целых положительных чисел не
зависит от порядка перемножения, то все эти числа безразлично назы-
называются сомножителями произведения.
§2.
На основании предыдущего нетрудно теперь показать, что та же
самая теорема имеет место для какой угодно системы ? целых положи-
положительных чисел
а, Ь, с, ...
Самый общий способ для перемножения этих чисел посредством
выполнения каждый раз перемножения двух чисел состоит в следующем»
Берем какие-нибудь два числа, принадлежащие системе S, и составляем
их произведение; система чисел S', состоящая из этого произведения
и остальных чисел системы S, содержит одним числом меньше, нежели
система 5.
Если мы опять перемножим два числа, принадлежащие системе. S',,
не изменяя прочих чисел этой системы, то придем к системе S", ко-
которая содержит двумя числами меньше, нежели первоначально данная.
Продолжая таким образом далее, мы приходим к одному числу, и под-
подлежащая доказательству теорема состоит в том, что это число, получаемое
в результате указанного процесса вычислений, остается одним и тем
же, в каком бы порядке ни были произведены отдельные перемно*
жения.
Для доказательства мы воспользуемся способом полной индукции,,
т. е. допустим, что теорема имеет место для п множителей, и докажем,,
что в таком случае она справедлива и для п-\-\ множителей.
Возьмем систему S, состоящую из /г-j-l чисел
а, Ь, с, d, е, . . .
Выберем два какие-нибудь числа, например а и &, и составим их
произведение ab. Тогда образуется числовая система, содержащая п чисел:
ab, cyd, e, . . .,
и, следовательно, конечный результат, согласно нашему предположению,
не зависит от порядка выполнения отдельных перемножений. При другом

Щ 21 О делимости чисел 15
Порядке перемножения можно было бы ожидать другого результата
только тогда, когда первая пара чисел отличалась бы от а, д, причем
надо различать два случая.
Во-первых, может случиться, что при новом расположении системы
одно из двух чисел я, д, например а, сочетается с одним из остальных
чисел с, d, e>. . ., например с с, так что новая система содержит п чисел*
ас, д, d, e,
Так как расположение чисел прежней и новой систем не оказывает
никакого влияния на окончательный результат, то мы первую систему
чисел располагаем так, что числа ab к с стоят рядом, а вторую — так>
что числа ас и b стоят рядом. Таким образом в первом случае имеем
систему
(ад) с, d, е, .. .,
а во втором
(ас) д, d, е, . . .
Так как, в силу доказанного в предыдущем параграфе, произведения
(ад) с и (ас) д равны, то обе системы чисел тождественны, и оконча-
окончательный результат перемножения будет один и тот же для обеих си-
бтем, из которых каждая содержит п—1 чисел.
Во-вторых, может случиться, что при новом расположении системы
не будет взято ни одно- из чисел а, д, а два из остальных чисел, на-
например ?, d, так что имеем систему чисел
а, д, cd, e, ...
Теперь мы можем как в новой системе, так и в данной производить
перемножение в каком угодно порядке. Поэтому мы соединяем в данной
системе числа ct d, а в новой — числа a, b и получаем следующую
систему п — 1 чисел:
ад, cd, е, ...
Для обеих систем, следовательно, окончательный результат один
и тот же, а потому теорема доказана вообще.
В самом деле, на основании предыдущего параграфа теорема спра-
справедлива для трех чисел; значит, она имеет место и для четырех, пяти,,
шести и т. д. чисел. Результат перемножения называется произведе-
произведением данных чисел, а эти последние — сомножителями произведения
и ставятся одно возле другого в произвольном порядке.
Только что доказанную теорему можно применять и тогда, когда
при перемножении какого угодно числа сомножителей мы соединяем
эти сомножители в группы и находим произведения чисел, входящих:
в каждую из этих групп. Эти последние произведения, будучи пере-
перемножены, дают результат, тождественный с произведением всех даншх
чисел. Это следует из того, чтб подобный порядок перемножения со-
соответствует одному из возможных способов расположения данных со-
сомножителей, например
adcde = (ад) с (de) = (abed) e = (аде) (cd).

16 Глава первая [§ 4
Нетрудно распространить эту теорему и на тот случай, когда между
сомножителями встречается какое угодно число отрицательных чисел;
знак произведения будет положительный или отрицательный, смотря по
тому, будет ли число отрицательных сомножителей четное или нечет-
нечетное. Наконец, нужно иметь в виду, что и целое число нуль может
быть сомножителем. В этом случае произведение всегда равно нулю.
§ з.
Когда число а {) есть произведение двух чисел b и ту так что
и = mb, то а называется кратным Ь. Вместо этого говорят также, что
а делится на Ь, или b есть делитель а, или, наконец, b входит мно-
множителем в а. Все эти термины одинаково употребительны, и так как
в теории чисел очень часто приходится обозначать подобную зависи-
зависимость между двумя числами, то весьма удобно иметь для этой цели
несколько различных терминов. Из определения кратных чисел выте-
вытекают следующие положения, которыми впоследствии придется часто
пользоваться.
1. Если а — кратное b, b — кратное чс, то и а — кратное с.
В самом деле, по предположению а — mb, b = пс, где тип — какие-то
целые числа; следовательно, а = т (пс) = (тп) с и а делится на с.
И вообще, если в ряду чисел каждое делится на следующее за
ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.
2. Если числа а и b — кратные числа с, то их сумма и разность
также кратные числа с. Действительно, из того, что а = тс, Ь = пс,
следует, что й ± b = (т z±z n) с.
§ 4.
В учении о делимости чисел весьма важное.значение имеет следую-
следующий вопрос 2).
Даны два целых положительных числа а и Ь; требуется найти
общие делители этих чисел, т. е. такие числа 8, которые делят
одновременно а и Ь.
Мы можем допустить, что а больше или, по крайней-мере, не меньше Ь.
Пусть а от деления на b дает в частном т и в остатке с, причем с
„меньше Ь, следовательно
a = mb-\-c.
Положим, что 8 делит а и Ь, тогда это же. число о делит и с. В са-
самом деле, а и b являются кратными 8, следовательно (§ 3), и mb
и а — mb = с — также кратные о. Отсюда мы заключаем, что всякий
общий делитель чисел а и b есть также общий делитель b и с. Обратно,
если 8 есть общий делитель чисел Ь, с> то тогда mb и a~mb~\-c также
делятся на о, следовательно, всякий общий делитель чисел b и с есть
в то же время общий делитель чисел а и Ь. Значит, общие делители
чисел а и b вполне совпадают с общими делителями чисел b и с> и на-
нахождение общих делителей первой нары^чисел сводится к нахождению
1) Под словом число мы всегда будем подразумевать ц&лое число.
2) „Начала1" Евклида, книга VII, теорема 2.

§ 4] О делимости чисел 17
общих делителей второй пары. Так как при этом b не больше а, а с
меньше Ь, то мы можем сказать, что решение данной задачи сведено
к решению более простой задачи.
Если с не равно нулю, то мы можем b разделить на с, и в резуль-
результате получаем равенство
b = пс
причем остаток d меньше первого остатка с. Рассуждениями, совершенно
аналогичными предыдущим, мы убеждаемся в том, что общие делители
чисел cud вполне совпадают с общими делителями чисел b и с, и,
значит, также с общими делителями чисел а и Ь.
Будем продолжать этот ряд последовательных делений, пока не
дойдем до остатка, равного нулю. Это непременно должно случиться
после конечного числа действий, ибо числа а> Ь, с, d>... идут по-
постоянно убывая, и существует конечное число чисел, меньших числа Ь.
Поэтому мы получаем ряд таких равенств:
а = mb ~\~ с,
b = nc-\-d,
c = pd\-ei
g=th.
Всякий общий делитель 8 чисел а и b есть также делитель после-
последующих чисел су df . . ., наконец, есть также делитель h\ обратно, если
5 делит /г, то, как видно из последнего равенства, 3 делит также и gf
следовательно, 8 есть общий делитель g и h и всех предшествую-
предшествующих чисел, значит и чисел b и а. Мы приходим, таким образом,
к следующему выводу.
Общие делители чисел а и b вполне совпадают с общими делите-
делителями некоторого определенного числа h, которое всегда может быть
найдено при помощи указанного алгорифма.
Так как число h само принадлежит к этим делителям и по величине
больше всех других делителей, то это число h называется общим наи-
наибольшим делителем чисел а и Ь.
Этим наша задача решена не вполне, а сводится к решению другой
задачи — найти все делители данного числа /г. Хотя этот последний
вопрос и не допускает непосредственного решения, однако, как это
обнаружится впоследствии, вышеприведенный алгорифм образует тот
фундамент, на котором могут быть прочно установлены основные на-
начала теории чисел. Сюда надо прибавить еще несколько замечаний, чтобы
не осталось никаких сомнений в полной общности основной теоремы
и вытекающих из нее следствий. Мы предполагали, что а не меньше Ь\
но и для того случая, когда а меньше Ь, нужно только положить т = О
и с —а, чтобы возвратиться к вышеозначенному алгорифму. Нетрудно
видеть также, что числа а и b могут быть как положительны, так и
отрицательны; одно из этих чисел может даже быть равно нулю; только
в том случае, когда оба числа а и b равны нулю, „мы вовсе не можем
говорить об их общем наибольшем

18 Глава первая [§ 5
§ 5.
Особенного внимания заслуживает тот частный случай, когда общий
наибольший делитель чисел а и Ъ равен единице; такие числа назы-
называют взаимно простыми или числами, не имеющими общего делителя^
или же говорят: а число взаимно простое с b или простое относительно
Ь. В силу этого определения, мы считаем два числа взаимно простыми,
если в алгорифме общего наибольшего делителя мы приходим к остатку,
равному единице (когда одно из чисел a, b равно нулю, другое,
очевидно, равно ±1). Для чисел взаимно простых имеет место следую-
следующая основная теорема:
Если а и b — числа взаимно простые, a k — какое угодно число,
то всякий общий делитель чисел ak и b есть в то же время общий
делитель чисел k и Ь.
Чтобы убедиться в этом, возьмем равенства, которые послужили нам
для отыскания общего наибольшего делителя чисел а и Ь. Предпослед-
Предпоследнее из этих равенств обращается в f=sg-\-l, так как А=1. Умно-
Умножая все эти равенства на kt приходим к ряду таких равенств:
ak = mbk -j- ck,
bk = nek ~{- dk,
ck = pdk -j- ek,
fk^sgk + *.
Пусть общий делитель ak и b есть S; тогда 8 входит множителем
в mbk и в ak—mtk = ck; затем 8 входит множителем в nek, а, следо-
следовательно, и в bk — nck = dk. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся
в том, что 8 входит множителем в/&, в sgk и, наконец, в fk—sgk — k,
что и требовалось доказать.
В последующем нам придется пользоваться преимущественно двумя
частными случаями этой теоремы.
1. Если auk суть числа простые относительно Ь, то и произ-
произведение их ak есть число простое относительно Ь.
В силу доказанной теоремы, ak и b имеют тех же общих делителей, что
k и Ь\ но так как k и b — числа взаимно простые, то их единствен-
единственный общий делитель есть единица, следовательно, и числа ak и b имеют
общим делителем только единицу, т, е. они взаимно простые.
2. Если Ьу будучи простым относительно а} делит произведение
ak, то оно делит и k.
Так как, поуслоьию, ak и b имеют общим делителем Ь, то, в силу
основной теоремы, b должно быть общим делителем k и Ь, следова-
следовательно, k делится на Ь.
3. Первое следствие основной теоремы нетрудно обобщить. Пусть
числа а, Ь, с, d, ... простые относительно чьисла а; тогда ab, и аЬс
(произведение чисел ab и с), и abed (произведение чисел аЪс и d)y и, на-
наконец, abed. ..— произведение всех данных чисел, простое относительна
числа а. Вообще, если имеем два ряда таких чисел
а, Ь, с, d, .. . и а, р, т> 8, ...,
что каждое число первого ряда простое относительно каждого числа вто~

"§ 6] О делимости чисел 19
рого ряда, то произведение abed. .. всех чисел первого ряда должно быть
простым относительно произведения афуЪ. .. всех чисел второго ряда9
Сейчас было доказано, что каждое из чисел а, C, ^ ^ • • • простое
относительно произведения abed..., откуда следует, что и произве-
произведение их af^S... также простое относительно произведения abed...
4. В частном случае, когда числа Ь, с, dy ... рзвны а и числа
р, <Y> 8, ... равны а, мы приходим к такому предложению:
Если числа а и а взаимно простые, то всякая степень числа а
должна быть взаимно простой относительно всякой степени числа ее.
Этим предложением мы пользуемся при доказательстве теоремы
о том, что корень степени т из целого числа А должен быть числам
либо целым, либо иррациональным. В самом деле, всякое рациональное
число имеет вид —, где г и s—- целые числа, не имеющие общего дели-
т __ г
теля. Пусть У А рациональное число, равное —. Так как, rm = Asmf то
о
гт делится на sm; но г и s, а, следовательно, и гт и sm— числа вза-
взаимно простые, поэтому sm=l% значит 5=1, и корень степени т из А
равен целому числу г.
§6.
Вопрос, поставленный в § 4, может быть обобщен, и нахождение
общих делителей ряда чисел а, Ь, с, d, .. . приводит нас к тем же самым
выводам.
Пусть h будет общим наибольшим делителем чисел а и Ь; тогда,
как уже известно, всякий общий делитель а и b есть также делитель h>
и обратно; поэтому всякий общий делитель трех чисел a, b, с есть
в то же время общий делитель чисел h и с> и обратно. Если мы обоз-
обозначим через k общий наибольший делитель чисел hue, то всякое
число, входящее множителем одновременно в а, Ь, с, должно делить k,
и обратно: всякое число, делящее &, должно делить все три числа at b, с.
Отыскиваем затем общий наибольший делитель / чисел k и d; тогда об-
общие делители чисел я, #, с, d те же, что и делители числа / и т. д.
Мы приходим, таким образом, к следующему выводу:
Если дан ряд чисел a, b, cfd,.. ., то существует одно и только одно
число т, имеющее то свойство, что всякое число, входящее множителем
одновременно в а, Ьу с, dy ..., входит также в т, и обратно, всякий
делитель числа т должен делить все данные числа а, Ьу с, d, ...
Это вполне определенное число т называется общим наибольшим
делителем данных чисел. Исключение составляет тот случай, когда
все данные числа равны нулю. Если мы положим, что а = та\ b = mb\
е = mcr, d = mdf, ..., то числа а', Ь', с', d't . .. имеют общим наиболь-
наибольшим делителем единицу или, как говорят, эти числа не имеют общего
делителя. Обратно, если числа а\ У, с', df, .. . не имеют общего де-
делителя, то очевидно, что т есть общий наибольший делитель чисел
та\ mbr, mcr, md\ ...
Кстати заметим здесь раз навсегда, что когда числа a, b, cy d, ...
называют взаимно простыми, то это значит, что всякие два из них

20 Глава первая [§ 6
взаимно простые. Такие числа, конечно, не имеют общего делителя, но
не все числа, не имеющие общего делителя, должны быть числами
взаимно простыми.
§7.
Вопрос, в известном смысле обратный только что исследованному,
заключается в следующем:
Дан ряд чисел а, Ь, с, d, . . . и требуется найти все общие крат-
кратные данных чисел, т. е. такие числа, которые делятся на каждое
из данных чисел.
Так как искомое число должно делиться на а, то оно имеет вид sa,
где 5 — какое-нибудь целое число. Если 6 есть общий наибольший
делитель чисел а = Ъа' и b — W, то а' и Ь' — числа взаимно простые.
Так как sa = sa'<> должно делиться на Ъ = ?'8, то sar должно делиться
на Ь\ следовательно (§ 5, 2), и 5 должно делиться на V и должно быть
вида s'b', где s1 означает целое число. Таким образом все кратные
чисел а и b должны быть вида sa = srar brb, и обратно, все числа этого
вида делятся как на я = а'8, так и на Ь = Ь'Ъ.
Отсюда видно, что все кратные а и b совпадают с кратными
определенного числа
которое называется поэтому общим наименьшим кратным чисел а и Ь.
Для того чтобы распространить эту теорему на ряд чисел a,b,cyd% . . .,
нужно только заметить, что всякое кратное чисел
а, Ь, с, d, ...
необходимо должно быть кратным чисел
V-, с, d, . ..,
и обратно. Поэтому мы отыскиваем сначала общее наименьшее кратное v
чисел \l и су затем общее наименьшее кратное р чисел v и d, и т. д.
Таким образом обнаруживается, что все кратные чисел а, Ь, с, d, . . .
совпадают с кратными некоторого вполне определенного числа ю, кото-
которое называется поэтому общим наименьшим кратным данных чисел.
Особенного внимания заслуживает тот случай, когда числа а, Ь, с> d,...
взаимно простые. Здесь 8 = 1, поэтому общее наименьшее кратное двух
взаимно простых чисел а и b равно их произведению ab. Далее с—про-
с—простое по отношению к числам а к Ь, а, следовательно (§ 5, 1), и по отно-
отношению к произведению их ab\ значит, abc есть общее наименьшее крат-
кратное чисел а, Ь) с и т. д. Словом, мы приходим к такому результату:
Всякое число, которое делится на каждое из ^взаимно простых
чисел а, Ь, с, ds . . ., делится также и на их произведение abed. . .
§8.
Всякое число делится па единицу и на самое себя, поэтому вся-
всякое число, исключая единицу, имеет по крайней мере двух делителей.
Число, которое не имеет других делителей, кроме этих двух, назы-
называется простым числом) при этом единицу не следует причислять

Щ 8] О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ 21
Ы простым числам, ибо многие теоремы относительно простых чисел не
имеют места для единицы. Из этого определения следует, что, если
р — простое число и а — какое угодно целое число, то либо а делится
на р, либо р и а — числа взаимно простые, так как общий наиболь-
наибольший делитель чисел аир равен или р или 1.
Отсюда далее следует: если произведение нескольких чисел a, b,c,d>.. .
делится на простое число р, то по крайней мере одно из чисел
а, Ь, с, d, ... делится на р. В самом деле, если бы ни одно из данных
чисел не делилось на р, то р было бы взаимно простым по отношению
к каждому из них, а, следовательно, по отношению к их произведе-
произведению, что противоречит предположению, в силу которого произведение
данных чисел делится на р.
Всякое число, которое, кроме единицы и самого себя, имеет и других
делителей, называется составным. Это название оправдывается следую-
следующей основной теоремой:
Основная теорема. Всякое составное число всегда может быть
представлено и притом только одним способом в виде произведения
конечного числа простых чисел.
Доказательство. Так как всякое составное число т, кроме
1 и /я, имеет и других делителей, то пусть а — один из таких дели-
делителей; если а — число не простое, а составное, то оно имеет, кроме
1 и а, какой-нибудь делитель Ь\ если b— число составное, то оно имеет
делитель с, отличный от 1 и Ь. Продолжая итти таким образом далее,
мы дойдем, наконец, до какого-нибудь простого числа, так как числа
т, а, Ьу с,... убывают и ряд этих чисел содержит конечное число
членов, иначе существовало бы бесконечное множество чисел, меньших
числа т. Итак, последний член этого ряда — число простое. Обозначим
его через р\ так как каждый член этого ряда — число, кратное сле-
следующему за ним, то первый член т должен быть кратным последнего р,
следовательно
Если тг — число простое, то т уже представлено в виде произве-
произведения простых чисел; если же tnr — чисгсо составное, то должно суще-
существовать такое простое число //, что
следовательно
т'=р'т\
т = рр'т".
Если т" — число составное, то мы продолжаем разложение т до тех
пор, пока т не будет представлено в виде произведения одних только
простых чисел. Таких разложений должно быть конечное число, ибо
ряд целых чисел т, тг, т!\ ..." убывающий и потому конечный.
*) Для каждого числа т. до девяти миллионов можно найти его наимень-
наименьший простой делитель р в превосходных таблицах Буркгардта (Burckhardt,
Paris 1814—1817), Глешера (Glaisher, London 1879—1883), Дазе и Розен-
берга (D a s e tmd Rosenberg, Hamburg 1862—1865). [Таблица наименьших
простых делителей целых чисел от 1 до 107999 помещена также в книге
^Д. Граве, Элементарный курс теории чисел, 1913. Ред.]

22 Глава первая [§ 8
Таким образом доказана та часть теоремы, которая указывает на
возможность разложения составного числа. Но очевидно, что порядок
последовательного выделения простых множителей до известной сте-
степени произволен, и поэтому остается еще доказать, что результат раз-
разложения остается один и тот же, каким бы способом это разложение
ни было выполнено.
Допустим, что существуют два различных разложения числа т:
одно разложение
т = рр'р"
и другое
m = qq'q". . .,
где все числа р, р'у //',. . . и q, q\ q'\ .. . —простые. Так как произ-
произведение рр'р".. . делится на простое число #, то по крайней мере
один из множителей, например р, делится на q\ p, как число простое,
делится только на 1 и на р, следовательно, q== p, так как q не равно 1.
Отсюда следует, что
р'р"...=д'д"...,
и таким же точно образом можно доказать, что q' должно быть равно
одному из простых чисел /г, р ,..., например /г, следовательно
Так же убеждаемся в том, что всякое простое число, входящее множи-
множителем во второе разложение один или несколько раз, входит по крайней
мере столько же раз и в первое разложение. Но то же самое простое
число входит во второе разложение по крайней мере столько же раз,
сколько раз оно входит в первое, что доказывается тем же самым спо-
способом, поэтому всякое простое число входит множителем в оба разло-
разложения одинаковое число раз, и, следовательно, эти два разложения
совершенно одинаковы.
Таким образом теорема доказана полностью. Мы можем разложению
составного числа т дать более удобную форму, если произведения
одинаковых простых чисел представим в виде степеней.
Пусть, например, простое число а входит множителем в разложе-
разложение числа т ровно а раз, тогда все эти множители могут быть заме-
заменены степенью а*; если есть и другие простые множители и один из
них, например Ь, входит J3 раз, то эти множители заменяются сте-
степенью Ь^у и мы продолжаем таким образом далее, пока не будут исчер-
исчерпаны все простые множители, входящие в состав числа т. Следова-
Следовательно, всякое составное число может быть представлено в виде
lit/ —— \Л> *s С/ « . • ,
где а, Ь, с,... означают различные простые числа, входящие в т, и
<*> Р> Т» • • • — Целые положительные числа J). Понятно, что эта фор-
формула содержит в себе не только все составные, но и все простые числа.
г) В современных курсах теории чисел такое представление целого числа
называется его каноническим разложением. Ред.

О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ 23
Таким образом простые числа представляют тот материал, из кото-
которого образуются все прочие числа. Простых чисел существует бес-
бесчисленное множество. Это предложение было доказано еще Евклидом г)
Следующим образом. Предположим, что существует конечное число про-
простых чисел, и пусть последнее, т. е. наибольшее из них, равно р. Если
мы возьмем все эти простые числа
2, 3, 5, 7, 11, ...,/?,
тогда всякое число, большее р, должно быть составным и должно делиться
по крайней мере на одно из этих простых чисел. Но нетрудно найти
такое число, которое, во-первых, больше р, а, во-вторых, не делится
ни на одно из этих простых чисел. Для нахождения такого числа нужно
к произведению простых чисел от 2 до р прибавить 1, тогда число
0 = 2- 3- 5- • -Р+1
больше р, так как уже 2р больше р, и затем не делится ни на одно
из простых чисел в пределах от 2 до р, так как z при делении на
каждое из таких чисел дает в остатке 1. Таким образом мы прихо-
приходим к противоречию со сделанным предположением, и, следовательно,
существует бесчисленное множество простых чисел.
Это предложение представляет частный случай другого более общего,
состоящего в том, что всякая бесконечная арифметическая прогрессия,
общий член которой равен kx-\-m> причем первый член т и раз-
разность k—числа взаимно простые, содержит бесчисленное множество
простых чисел. Но насколько просто было доказательство этой теоремы
для частного случая k=l, настолько же трудно доказать теорему
в общем виде. Это удалось сделать только с помощью принципов,
принадлежащих исчислению бесконечно малых2).
Только что доказанная основная теорема дает весьма удобный кри-
критерий для решения вопроса, делится ли число т на число п> если
только мы допустим, что оба числа разложены на простые множители.
Положим, что т делится на я, так что m = nq\ тогда всякое простое
число, входящее в п, должно входить также и в т; поэтому число п
не может содержать других простых множителей, кроме тех, которые
входят в т, и притом каждый из таких множителей входит в п не
большее число раз, чем в т. Обратно, если каждый простой множи-
множитель числа п входит по крайней мере столько же раз в число т, то
т делится на я.
Пусть а, Ъ, с}, . . —различные простые числа, входящие в т, так что
тогда все делители п этого числа т заключаются в формуле
1) „Начала* Евклида, книга IX, теорема 20.
2) См. дополнение VI, § 132—137.

24 Глава первая [§ 9
причем
а/ принимает ос —J— 1 значений 0, 1, 2, . . ., а,
?' „ 3+1 * 0, 1, 2,..., р,
т' » Т + 1 „ 0, 1, 2, ..., ъ
и т. д.
Каждое из этих чисел п действительно является делителем числа т.
Пользуясь этой формулой, можно доказать несколько интересных теорем.
Прежде всего, очевидно, что всякая комбинация значений а', C', -(',...
доставляет одно из значений делителя числа т, и так как две такие
различные комбинации соответствуют (по § 8) двум различным дели-
делителям числа т, то число всех делителей m равно
Число делителей зависит, следовательно, от показателей а, |3, 7,..., на
не от простых чисел ау Ь> с,. ..
Возьмем далее ряды чисел
1, а, а2, . . ., а*
1, ft, ft*,..., ftp
1, с, С2, ..., с<
и т. д.
а' ,9' v
и составим все произведения вида а сг с' ..., причем в состав каждого
произведения входит по одному множителю из каждого горизонтального
ряда таблицы. Все эти произведения различны между собой и предста-
представляют собою все делители числа пг. Мы можем поэтому найти сумму
всех этих делителей по тому же правилу, по которому перемножаются
многочлены
И Т. Д.
Следовательно, сумма всех делителей числа m равна
Возьмем, например, /и = 60 = 22 • 3 • 5; совокупность делителей
этого числа такова:
1, 2^ 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60;
число их равно
B 4-1) A + 1) A + 1)= 12,
а сумма их равна
^=1.^:1.^11 = 7 • 4 • 6 = 168
2-1 3-1 5-1 '

§ 10] О делимости чисел 25
§ ю.
Возвратимся теперь к одной из предыдущих задач- (§ 6), именно
к нахождению общего наибольшего делителя нескольких чисел, пред-
предполагая, что эти числа разложены на простые множители. Из этих
последних мы исключаем все те, которые не входят в одно или
в несколько данных чисел. Если бы таким образом пришлось исклю-
исключить все простые множители, тогда общим наибольшим делителем дан-
данных чисел являлась бы единица. В противном случае остается после этого
предварительного исключения, например, число а, которое входит по
крайней мере один раз в каждое из данных чисел. Затем сосчитываем,,
сколько раз это число а входит множителем в каждое из данных-
чисел, и обозначаем наименьший из показателей числа а через а, так
что а входит в одно из данных чисел множителем а раз, во все же
остальные числа — не менее а раз. Подобным образом поступаем
со всеми остальными числами Ь, с,... и находим для числа b пока-
показатель |3, для числа с показатель y> и т. д., точно так же, как для а
мы нашли показатель а. Тогда искомый общий наибольший делитель
равен
Этот способ нахождения общего наибольшего делителя основан на том,
что общий наибольший делитель может содержать только те простые
множители, которые входят в каждое из данных чисел, и притом
каждый из этих множителей входит в общий наибольший делителе
не чаще, нежели в любое из данных чисел.
Подобным же образом решается и другая задача — найти наимень-
наименьшее кратное нескольких чисел (§ 7). В состав наименьшего кратного
должны входить все простые числа, входящие в состав данных чисел,
и притом с наибольшими показателями. Если, например, а, Ь, с,...
простые множители, входящие в состав данных чисел, то искомое
наименьшее кратное выражается формулой
где показатель а' определяется тем условием, что простое число а
входит множителем по крайней мере в одно из данных чисел а' раз,,
во все же прочие числа не более а/ раз. Этот способ нахождения наи-
наименьшего кратного основан на том, что искомое число должно содер-
содержать всякий простой множитель, входящий в состав данных чисел, и
притом по крайней мере столько же раз, сколько раз его содержат
данные числа.
Наконец, предыдущие положения дают возможность узнать, будет ли
данное число
точною г-ю степенью какого-нибудь целого числа k. Условие, необхо-
необходимое и достаточное для этого, заключается в том, что все показа-
показатели а, Э, "f*'- Должны делиться на г, что следует из равенства

Глава первая [§ 11
§11.
Мы переходим теперь к исследованию вопроса, который интересен
и сам по себе и кроме того играет важную роль в последующем изло-
изложении. Возьмем ряд натуральных чисел
1, 2, 3, 4, ..., т
до какого-нибудь числа т и определим, сколько в этом ряду чисел,
взаимно простых с числом т. Число таких чисел обозначается обык-
обыкновенно через <р(т), где буква <р имеет значение функционального
символа *). Так как единица — число, взаимно простое с единицею, то
далее мы определяем непосредственно:
?B) = 1, <?C) = 2, <? D) = 2, ? E) = 4, ...
Теперь нужно найти общее выражение для функции <?(т)> и мы
увидим, что для этого достаточно знать все отличные друг от друга
простые множители а, ft, ?,..., входящие в состав т. Наша задача
приводится к следующей: определить число тех чисел ряда 1, 2, 3,
4,. . ., т, которые не делятся ни на одно из простых чисел а, ft, с,. . .,
последняя же задача в свою очередь представляет частный случай
следующей задачи:
Числа а, ft, с>.. . — взаимно простые и входят все множителями в т\
требуется определить, сколько чисел в ряде
1, 2, 3, ..., т {М)
не делится ни на одно из чисел а, ft, с,...
При этом оказывается, как это часто бывает, что задача в общем
Биде решается легче, нежели в частном случае. Для решения вопроса
в общем виде мы исключаем из ряда (М) все те числа, которые де-
делятся на а\ это — числа
а, 2а, За, ..., —а;
число их равно —; если э?и числа исключить из ряда (Ж), то остается
—= —О-т) 0)
чисел, которые не делятся на а. Обозначим совокупность всех этих
чисел через (Л).
Из этой совокупности нужно исключить все числа, кратные Ь. Это,
очевидно, те лисла ряда (Af), которые удовлетворяют двум условиям:
они не делятся на а и делятся на Ь. Числа, удовлетворяющие второму
условию, следующие:
ft, 2ft, Uy ..., у ft;
*) Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, art. 38.
Так как эта книга часто цитир)ется, то в дальнейшем она будет кратко
«обозначаться через D. А. Перев.

О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕ/Г 27
*ля того, чтобы одно из этих чисел, например rb, удовлетворяло и
йервому условию, необходимо и достаточно, чтобы коэфициент г
яе делился на а. Это следует из того, что числа а и b — взаимно
'Простые и> следовательно, rb делится или не делится на а, смотря
@о тому, делится ли г на а или нет (§ 5, 2). Поэтому из ряда (А)
йридется исключить еще столько чисел, сколько чисел ряда
1. 2, 3 if
не делится на а. Но т делится и на а, и на Ь, следовательно, и
на ab; поэтому -^- делится на а. Наша задача по отношению к числу
?- та же самая, какую мы решили по отношению к числу т при
помощи формулы A). Следовательно, из ряда (Л) придется исключить
\ а
чисел, и, таким образом, оказывается, что
есть число тех чисел ряда (А), которые не делятся на Ь, или, что то же
самое, число тех чисел ряда (Ж), которые не делятся ни на а, ни на Ь.
Обозначим совокупность этих последних чисел через (В). Рассуждая та-
таким же точно образом, мы по аналогии заключаем, что число (К) тех чисел
ряда (Ж), которые не делятся ни на одно из чисел а, Ь, с,. . ., k, равно
mi 1
Чтобы доказать эту теорему в общем виде, допустим, что она имеет
место для чисел а, Ь> с,..., к, и посмотрим, как изменится последняя
формула C), если к данным числам а, Ь> с,. . ., к присоединим число /,
которое, во-первых, входит в состав т, а, во-вторых, должно быть
взаимно простым с каждым из чисел я, Ь, с,..., к.
Чтобы найти число тех чисел ряда (Ж), которые не делятся ни на
одно из чисел а, Ь, с,..., к, /, мы должны из совокупности (К) тех
чисел, которые не делятся ни на одно из чисел а, Ь, с, .. ., к и число
которых определяется формулой C), исключить числа, кратные /. Это —
те числа ряда (Ж), которые, во-первых, не делятся ни на одно из
чисел а, Ь, с, ..., к, и, во-вторых, делятся на /. Все числа ряда (Ж),
кратные /, суть следующие:
/, 2/, 3/, ..., ULl,
и для того чтобы одно из них, например г/, не делилось ни на одно
из чисел а, Ь, с,.. ., к, необходимо и достаточно, чтобы этим свой-
свойством обладал коэфициент г. Поэтому из ряда (К) придется исключить
столько чисел, сколько найдется в ряду
1, 2, ..., —

28 Глава первая [§ 11
таких чисел, которые не делятся ни на одно из чисел а, Ь, .. ., k a именно
на основании допущенной нами формулы C).
Если мы исключим эти последние числа из ряда (К), то у нас
останутся те числа этого ряда, которые не делятся ни на одно из
чисел а, Ь, с, . . .у k, l\ число их равно
Таким образом теорема доказана в общем виде. Возвращаясь к перво-
первоначальной задаче, мы получаем следующий вывод 1):
Если а, Ь, . . .. k, I — различные простые числа, входящие в состав
Шу то число чисел, взаимно простых с т и заключающихся в ряду
1, 2, ..., т,
определяется формулой
Это следует из того, что всякое число, не делящееся ни на один
из простых множителей, входящих в состав /и,-должно быть взаимно
простым с т.
Только что найденной формуле мы можем дать другой вид. Если
a, by Су ...—различные простые числа, входящие в состав ту то т
можно представить в виде произведения степеней простых чисел:
и тогда
о(т) = {а— \)
Применим эту теорему к, частному случаю, полагая т = 60. Числа,
простые относительно 60 и" не большие 60, суть следующие: 1, 7, 11Ч
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59; таких чисел 1б'.
Пользуясь доказанной формулой и имея в виду, что в состав 60 входят
простые числа 2, 3, 5, мы действительно находим
§ 12.
Из найденного нами выражения для о (т) следует еще такая
теорема.
х) Е и 1 е г. Theoremata arithmetica nova methodo demon strata, Comm. nov. Ac.
Petrop. VIII, стр. 74, Speculationes circa quasdara insignes proprietates numero-
rum, Acta Petrop. IV, 2, стр. 18. См. также очень хорошее двухтомное собрание
арифметических работ Эйлера, изданное братьями Fuss под названием Leonhardi
Eulerl Commantationes Arithmeticae Collectae, Petropoli 1849.

§ 13] О делимости чисел 29
Если т и т' — числа взаимно простые^ то
9 (mm') = 9 (т) о {т').
В самом деле, если ау Ь> с, ...—простые числа, входящие в со-
состав т, и а\ Ь', с\ ... — простые числа, входящие в состав т\ то
все простые числа
a, by с, . . .; аг, Ь'', с'у ...
различны между собой, так как числа т и mf взаимно простые. Все
эти простые числа входят в произведение тт\ и обратно, всякое
простое число, входящее в произведение тт\ должно быть тождест-
тождественно с одним из чисел
а, Ь, су . . .; а у Ь\ с', . . ., A)
ибо такое число входит множителем или в т или в т'.
Таким образом числа ряда A) представляют собою совокупность
всех простых чисел, входящих в сЪстав тт\ следовательно
Так как, с другой стороны,
ТО
9 {mm') = <р (т) о {m')t
что и требовалось доказать.
Например
?F0)== ?D • 15) = 9D)?A5)=:2 -8=16.
Очевидно, что эта теорема имеет место для произведения какого
угодно числа сомножителей т, т'> т!\ ..., если только эти сомно-
сомножители числа взаимно простые. Так, например,
ср {тт'т") = о {т) <р (mfmr/) = 9 (//г) 9 (mr) 9 (^О
и аналогично для большего числа сомножителей.
§ 13.
Вопрос об определении функции о(т) представляет, собственно
говоря, частный случай следующей задачи:
Дан ряд чисел
1, % 3, . . ., т
и требуется найти число тех чисел этого ряда, которые имеют
общим наибольшим делителем с т число 8, причем Ь есть один из
делителей числа т = пЪ.

30 Глава первая [§ 13
Мы можем свести эту задачу к предыдущей. Прежде всего, оче-
очевидно, что искомые числа находятся между числами, кратными 8,
т. е. между числами
8, 28, 38, . . ., пЪ.
Для того чтобы 8 было общим наибольшим делителем числа т = пЬ
и какого-нибудь числа вида г8, необходимо и достаточно, чтобы г и п
были числами взаимно простыми. Следовательно, искомых чисел
столько, сколько найдется чисел ряда
1, 2, 3, . .., л,
простых относительно п\ число таких чисел равно ср (п). В том случае,
когда 8=1, мы приходим к частному случаю, рассмотренному в пре-
предыдущем параграфе.
Из решения последней задачи вытекает одно замечательное сройство
функции ср (т), которое имеет большое значение для последующего.
Выпишем все делители
В', 8", &'", ...
числа
т = п о = п о =п о =...
и разобьем т чисел
1, 2, 3, . . ., т
на столько групп, сколько число т имеет делителей 8, причем к первой
группе мы ртнесем все те числа, которые имеют с т общим наибольшим
делителем 8' и число которых равно cp(V), ко второй группе — те
числа, которые имеют с т общим наибольшим делителем 8" и число
которых равно ср (п")у и т. д. Очевидно, что каждое из т чисел принадле-
принадлежит к одной и только к одной из этих групп, и потому сумма чисел
показывающих, сколько членов содержится в первой группе, во второй*
в третьей и т. д., должна равняться числу всех данных чисел, т. е. т.
Так как числа п', п", пт, . . . представляют совокупность всех дели-
делителей числа //г, то мы приходим к такому выводу 1):
Если п пробегает значения всех делителей числа т, то имеет
место равенство
2 ср (п) = т.
Проверим эту теорему на каком-нибудь частном примере. Пусть
т = 60; тогда п принимает следующие значения:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Но
?A)=1, ?B) = 1, ?C) = 2, ?D)= 2, .
9 E) = 4, 9 F) = 2, срA0) = 4, о(\2)= 4,
<рA5) = 8, срB0) = 8, ?C0) = 8, ср (G0) = 16,
и сумма всех этих чисел действительно равна 60.
Gauss, D. A., art. 39.

§15] О делимости чисел 31
§ U.
Вышеприведенное доказательство этого важного свойства функции
<р(/#) получается непосредственно из определения этой последней и
не требует предварительного определения вида самой функции ®(т) *).
Будет, однако, нелишним дать другое доказательство для того же
свойства, опирающееся на известное уже нам выражение о (т) и на
следствия, из этого выражения вытекающие.
Всякий делитель п числа
имеет вид
где а, Ь, с,... означают, как и прежде, различные простые числа. Так.
как числа a*', b^\ ?Y, ... —взаимно простые, то
Чтобы найти все делители п числа т, нужно
а' дать значения 0, 1, 2, ..., а,
Г „ . О, 1, 2, ..., р,
Y » . О, 1, 2, ..., т,
и т. д.
Если мы возьмем сумму всех значений ср(п)» то> очевидно, эта сумма/
нравна произведению следующих сумм:
и т. д.
Но первая из них равна
вторая равна b^, третья равна с{ и т. д. Следовательно
что и требовалось доказать.
§ 15.
Мы переходим теперь к вопросу, решение которого доставляет
чисто арифметическое доказательство одной теоремы, доказываемой
обыкновенно при помощи других соображений. Вопрос заключается
А) Обратно, это свойство вполне определяет функцию <р (т), так что выра-
выражение самой функции (§ 11) может быть выведено из этого ее свойства;
см. дополнение VII, § 138.

32 Глава первая [§ 15
в определении показателя наивысшей степени простого числа р, вхо-
входящей множителем в факториал
т\ = 1.2.3... т,
где т означает какое угодно целое число.
Если мы обозначим через mf наибольшее целое число, содержа-
содержащееся в дроби —, то из числа т сомножителей произведения т\
на р делятся следующие т' сомножителей:
/?, 2/?, 3/?, . . ., т'р.
Так как прочие сомножители при нашем исследовании не имеют ника-
никакого значения, то искомый показатель разен показателю наивысшей
степени числа /?, входящей в произведение
и, следовательно, равняется сумме двух слагаемых: т! и показателя
наивысшей степени /?, входящей в произведение
т'\=\ • 2- 3.../Л'.
Отсюда непосредственно следует, что искомый показатель равен
/л'4-/л-'и'"+--->
где т", т", . . . означают наибольшие целые числа, содержащиеся
в дробях —, — , . . . Очевидно, что ряд чисел т\ т", т"\ . . —
убывающий и потому конечный. Искомый показатель равен нулю, если
/? > /га, ибо в этом случае уже т! = 0. При этом можно заметить, что
т'9 т", тг"у . . . представляют также наибольшие целые числа, содер-
содержащиеся в дробях — > "т» "у > • • • Эт0 следует из того, что если
г есть наибольшее целое число, содержащееся в — , ns — наибольшее
целое число, содержащееся в -т-, то 5 — наибольшее целое число, со-
содержащееся в — .
Положим, например, т = 60 и р = 7. Тогда наибольшее целое
число т\ содержащееся в -у, равно 8; наибольшее целое число т",
8 60 л
содержащееся в у или —, равно единице, и, наконец, наибольшее
т 1 60
целое число т , содержащееся в--^- или в ~jx, равно нулю; следо-
вательно, наивысшая степень 7, входящая в произведение 60!, есть
7ч+1=79.

ж 15] О делимости чисел 33
Только что полученные результаты дают возможность доказать
следующую теорему:
Если
то отношение
есть число целое.
Обозначим через р какое-нибудь простое число, входящее в знаме-
знаменатель данной дроби; тогда, пользуясь прежними обозначениями, на-
находим, что показатели наивысших степеней /?, входящих в произведения
/!, g\, hi, ..., равны соответственно
и. т. д.,
а показатель наивысшей степени р, входящей в состав всего знамена-
знаменателя, равен
С другой стороны, показатель наивысшей степени р, входящей
в числитель дроби, раиен
остается только показать, что последняя сумма не меньше первой.
Так как
то очевидно, что
Отсюда следует, что
следовательно a fortiori
н т. д., откуда следует справедливость вышеуказанного утверждения.
Так как каждое простое число, входящее в знаменатель, входит
по крайней мере столько же раз и в числитель, то, значит, числитель
делится на знаменатель, н данное отношение равно целому числу.
Из этого следует, что произведение т последовательных целых
чисел

34 Глава первая
всегда делится на произведение первых т чисел натурального ряда
т\= 1 • 2 • 3- • -О—1)т.
Действительно, частное
равно
и, следовательно, есть целое число.
§ 16.
Этим мы и заканчиваем ряд теорем, относящихся к делимости чисел;
но при этом будет нелишним бросить общий взгляд на логическую
связь и последовательность всех предыдущих исследований. Мы
замечаем, прежде всего, что вся теория делимости .чисел покоится
на одном основании, а именно на алгорифме, служащем для отыскания
общего наибольшего делителя двух чисел.
Все последующие теоремы, при изложении которых приходится
пользоваться понятием о числах взаимно простых и абсолютно простых,
представляют только следствия основной теоремы. Это настолько
очевидно, что мы вправе сделать такое заключение: во всякой теории,
в которой существует алгорифм, подобный алгорифму общего наи-
наибольшего делителя, должны иметь место теоремы, вполне аналогичные
теоремам, относящимся к делимости чисел.
Такие теории действительно существуют; если, например, а озна-
означает какое-нибудь данное положительное целое число, а / и и — пере-
переменные действительные целые числа, то числа вида
называются целыми комплексными числами или просто целыми числами,
и из двух чисел такого вида одно называется кратным другого, если
первое есть произведение второго и какого-нибудь третьего числа
того же вида. Но только при некоторых определенных значениях а>
например при я=1, отыскание общих делителей двух чисел требует
конечного числа действий, точно так же, как это имеет место для
алгорифма общего наибольшего делителя двух действительных чисел;
поэтому теория чисел вида t-j-иУ—1 вполне аналогична теории дей-
действительных чисел. Совсем иное оказывается, если, например, а = 5;
для чисел вида t-j-иУ—5 уже не имеет места теорема, в силу ко-
которой всякое число может быть только одним способом представлена
в виде произведения неразложимых чисел. Так, например, число 21
можно представить или в виде произведения 3 • 7 или в виде про-
произведения

§ 16]
О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
35
хотя ни одно из чисел
3, 7, 1+2/=5, 1—2/35
не разлагается более на множители вида t-\-uY—5. Причина этого
интересного факта заключается в том, что для чисел указанного вида
алгорифм, служащий для нахождения общих делителей двух чисел,
не может быть построен при помощи конечного числа действий 1).
х) Целые комплексные числа вида /+нУ"—1 были введены впервые
Гауссом. Краткое изложение элементов этой нояой теории чисел можно найти
в его сочинении Theoria residuorum biquadraticorum II, или в работе Ди-
Дирихле, Recherches sur les formes quadratiques a coefficients et a indeterminees
complexes (Crelle's Journal, т. 24). Упомянутое выше неправильное поведение
других числовых форм псклужило KjMMtpy поводом для введения идеальных
чисел (Creile's Journal, т. 35).

Глава вторая.
О СРАВНЕНИЯХ.
Если k означает какое-нибудь положительное целое число, то вся-
всякое целое число а всегда и притом одним только способом может
быть представлено в виде
а = sk -\- г,
где s — любое целое число и г—одно из k чисел 0, 1, 2, .»., k—1.
Действительно, если s пробегает все целые значения от — оо до \- °°> то
числа sk представляют собою совокупность всех чисел, кратных &, и
от одного такого кратного sk (включая его самого) до непосредственно
следующего (s-\- I) k (исключая это последнее) всегда находится k чисел
sk,
Если поэтому придавать s всевозможные целые значения и г — каждое
из вышеуказанных k значений, то выражение sk-{-r — a получает все-
всевозможные целые значения, как положительные, так и отрицательные.
При этом каждое число а встречается только один раз, что нетрудно
доказать следующим образом. Положим, что
тогда
rr — r=(s — s'-)k.
Так как / равно одному из k чисел -0, 1, 2, ..., k—1, то абсо-
абсолютная величина разности г' — г также равна одному из этих чисел и,
следовательно, меньше k. Но в то же время / — г есть кратное kt
следовательно, г' — г—0, и, значит, г'— г и s' = s.
Мы будем называть число г вычетом числа а по модулю k. Если
два числа а и b при делении на k дают один и тот же остаток г,
то такие числа называются равноостаточными или (по Гауссу) сравни-
сравнимыми по модулю k. Так как в этом случае a — sk-\-r и b — srk-\-r>
то разность а — b — (s — sf)k делится на модуль k. Обратно, если
разность двух чисел а и b делится на k, то эти числа сравнимы
по модулю k. В самом деле, если обозначить через г н г' остатки от
деления а и b на k, то имеем
а = sk 4- г, b — s'k -f- r',
откуда

§ 17] О сравнениях 37
По предположению а — Ь делится на к, следовательно, и г—г' также
делится на к, что возможно только в том случае, если г' = г. Поэтому
сравнимые числа можно определять как такие числа, разность которых
делится на модуль. (На этом основании значение слова „вычет" можно
расширить, так что из двух чисел а и Ь, сравнимых по модулю kt
одно называют вычетом другого.)
Если нужно записать, что два числа а и b сравнимы между собой
по модулю k, то пользуются обозначением, введенным Гауссом 2):
a zee Ъ (mod к).
Так, например,
3 s — 25 .{mod 4), 65 = 16 (mod 7).
Так как оба числа а и Ь в сравнении играют одинаковую роль, то»
очевидно, числа, стоящие по правую и по левую сторону знака = >
можно перемещать одно вместо другого. Далее из определения сравне-
сравнений вытекают следующие их свойства:
1. Каковы бы ни были числа а и к> всегда
а === a (mod к).
2. Если два числа а и с сравнимы с числом b по модулю &, то
а и с сравнимы между собой по тому же модулю, т. е. если
a~b (mod &), б==с (mod k)>
то
а===с (mod k).
Это следует из того, что числа а, Ь, с равноостаточны по модулю к,
или же из того, что а — b и b — с делятся на к, следовательно, и
{а — *) + (* — с) = а — с
также делится на k.
3. Если
a~b (mod к) и т = п (mod &),
то
a-\-mi==b-\-n (mod k) и а — m = b — n (mod к).
Действительно, так как а — b и m — п делятся на &, то
(fl —*)+ (m — /i) = (a + w) —(ft + л)
и
(а — Ь) — {т — п) = {а — т) — (Ь — п)
также делятся на к.
Это свойство можно распространить на какое угодно число сравне-
сравнений, имеющих один и тот же модуль; такие сравнения складываются п
вычитаются как уравнения.
4. Если
а===Ь (mod к) и т = п (mod k),
то
ат = Ьп (mod k).
*) Gauss, D. A., art. 2.

38 Глава вторая [§ 17
В самом деле, так как а — ft делится на k, то и (а — Ь)т==ат — Ьт
также делится на к, следовательно
ат^= btti (mod k)\
далее т — п делится на к, следовательно, и Ь(т — п)-=Ьт— Ьп так-
также делится на k> значит
bm = bn (mod к);
таким образом два числа am и Ьп сравнимы с одним и тем же чи-
числом Ьт, следовательно, они сравнимы также между собою.
Это свойство также можно распространить на целый ряд сравнений
с одним и тем же модулем; такие сравнения можно перемножать как
уравнения. Отсюда следует, что одинаковые степени двух сравнимых
чисел также сравнимы между собой по тому же самому модулю.
5. Все предыдущие свойства сравнений заключаются в следующем
общем положении.
Если /(лг, у у z, ...) —целая рациональная функция количеств
х, у, z, ... с целыми коэфициентами и если по отношению к одному
и тому же модулю к
a s a\ ft = ft7, с === с', . . .,
то
/(a, ft, с, ...)=/(а', ft', С, л.) (mod к).
6. Нечто иное мы встречаем при делении. А именно, из сравнения
am== bm (mod к)
не всегда следует сравнение
а == ft (mod k).
В самом деле, обозначим через 8 общий наибольший делитель чисел
т — т'Ъ и k = k'b\ тогда из данного сравнения следует, что
a = b (mod
Действительно, так как т(а — ft) делится на k, значит, т!(а — ft) де-
делится на к', но т' и kr — числа взаимно простые, следовательно, а — b
делится на k\
7. Если
a==ft (mod k)
и т есть один из делителей числа к, то
a^b (mod т),
потому что а — ft делится на к, к делится на т, следовательно, а — Ь
делится на т.
8. Если
a = b (mod к), a = b (mod /), a===ft (mod я*), и т д.,
то
а== ft (mod й),

§ 18] О сравнениях 39
где h означает общее наименьшее кратное чисел &,/,#*,... В самом
деле, разность а—Ь должна быть числом, кратным k, /, т, .. ., и,4 следо-
следовательно, должна быть кратным /г.
Здесь надо обратить внимание на тот частный случай, когда сравне-
сравнение имеет место для нескольких модулей, причем эти модули — числа
взаимно простые. Тогда это сравнение имеет место и для модуля, рав-
равного произведению всех данных модулей.
Наконец, надо заметить, что можно допустить и отрицательные
модули; сравнение a = b (mod &) означает и в этом случае, что раз-
разность а — Ъ делится на k. Очевидно, что все свойства сравнений
остаются в силе и для отрицательных модулей.
§ 18.
Так как всякое число а сравнимо по модулю k (положительному)
со своим вычетом г, то всякое число а сравнимо с одним из k чисел
О, 1, 2, ..., k—1
и притом только с одним, потому что иначе между этими k числами
нашлось бы по крайней мере два числа, сравнимых по модулю k> что
невозможно. Разделим поэтому все числа на классы1)^ относя два числа
к одному или к различным классам, в зависимости от того, сравнимы
ли эти числа по модулю k или нет. Очевидно, что число таких классов
равно k\ один из них содержит все числам0 (mod &), т. е. все числа,
кратные k, другой — все числа =1 (mod &), и т. д.
Если взять по одному представителю от каждого из этих классов,
то образуется система k чисел, имеющая то характеристическое свойство,
что всякое число сравнимо с одним и только с одним из этих k чисел.
Подобная система, как, например
О, 1, 2, ..., k— 1,
называется полною системою чисел, не сравнимых по модулю k, или
полною системою вычетов по модулю k. Очевидно, что числа
1, 2, 3, . .., k
и вообще всякие k последовательных чисел образуют такую систему.
Все числа, принадлежащие к одному классу, имеют много общих
свойств, так, что по отношению к модулю их можно рассматривать
как одно число. Мы уже раньше видели, что всякое число, входящее
в сравнение как слагаемое или как множитель, может быть заменено,
без нарушения сравнения, числом, сравнимым с ним, т. е. принадлежа-
принадлежащим к одному и тому же классу. Другой элемент, общий всем числам
одного класса, есть общий наибольший делитель каждого из этих чи-
чисел и модуля k. В самом деле, если а и Ъ сравнимы по модулю k, то
а = Ъ -f- sk\
следовательно, всякий делитель чисел а и k, должен быть делителем
х) В этом смысле слово класс было, повидимому, впервые употреблено
Гауссом в его сочинении Theoria residuurum biquadratlcorum II, art. 42.

40 Глава вторая [§ *§
чисел Ь н k, и обратно. Поэтому можно сообразно с этим общим
наибольшим делителем распределить классы по группам, и так как
числа
1, 2, 3, ..., k
представляют полную систему чисел, не сравнимых по модулю k, то,
следовательно, число классов, представители которых имеют с модулем к
общий наибольший делитель 8, причем k = я8, равно (по § 13)<р(л)»
В частном случае 8=1 число соответствующих классов равно о (k).
Особое значение для последующего изложения имеет еще следую-
следующая теорема:
Вели подставим в линейное выражение ах-\-Ь вместо х последо-
последовательно все k членов полной системы чисел, не сравнимых по мо-
модулю k, то при auk взаимно простых получим опять полную си-
систему чисел, не сравнимых по модулю k.
В самом деле, если
ax-\-b = ay-\-b (mod k),
то
ах~ау (mod k),
но ввиду того, что а и k — числа взаимно простые, мы заключаем
(§ 17, 6), что
х=у (mod k).
Поэтому значения выражения ах-\-Ь, соответствующие значениям х>
не сравнимым между собой, также не сравнимы по модулю k. Следо-
Следовательно, при упомянутой подстановке выражение ах-\-Ь дает k чисел,
не сравнимых по модулю &, т. е. полную систему таких чисел.
§ 19.
Возьмем выражение ах, причем а и модуль & — числа взаимно прос-
простые, и подставим вместо х члены полной системы чисел, не сравни-
сравнимых по модулю k, но не все, а только те из них
av a2, д8,
которые будут взаимно простьши с k и число которых равно, по пре-
предыдущему, <?(k). Тогда очевидно, что, во-первых, все произведения
aav aa2i aaQ> ...
не сравнимы между собою, и, во-вторых, что эти произведения взаимно
просты с k. Значит, каждое ^з этих произведений сравнимо с одним
и только с одним из чисел
av av a3, ...
Поэтому мы вправе положить, что
аах = bv
аап = 03,
и т. д.
(mod k)y

§ 19] О СРАВНЕНИЯХ 41
где числа
bv b2, b3i ...
представляют собою числа
Др «2» % . . .,
только взятые в другом порядке, следовательно
Обозначим каждое из этих произведений через Р и перемножим
предыдущие ср (k) сравнений; тогда получим
а?{к)Р=Р (mod A).
Здесь Р есть произведение чисел, взаимно простых с ?, и, следова-
следовательно, само Р взаимно просто с А, а потому (на основании § 17, 6)
можно обе части предыдущего сравнения разделить на Р. Тогда оказы-
оказывается, что
c?(k)sl (mod k).
Эту весьма важную теорему можяо сформулировать следующим образом:
Если а — число простое относительно k, то а?^к\ где o(k) озна-
означает число чисел, взаимно простых с k и не бдльших k> при делении
на k дает в остатке 1.
Положим, например, k =15, а = 2; здесь а и k — числа взаимна
простые. Так как
то, следовательно, 28 при делении на 15 должно дать в остатке 1; и
действительно,
28 = 256 = 17 -15+1.
Может, впрочем, случиться, что степень а с показателем, меньшим
чем v(k), при делении на k дает тот же остаток 1. Это как раз имеет
место в последнем примере, так как
2^=16=1 . 15 + 1.
Возьмем частный случай, Когда k представляет степень простого
числа р, так что
Тогда мы приходим к такому выводу:
Если а не делится на простое число р, то
«"¦'^'sl (mod />*).
Если, наконец, мы положим ir=l, то придем к знаменитому пред-
предложению, высказанному впервые Ферма (Fermat) н известному под
именем теоремы Ферма:
Если р — число простое и а не делится на р, то
a*—! (mod/?).

42 Глава вторая [§19
Это последнее сравнение можно видоизменить так, чтобы оно имело
место и в том случае, когде а делится на /?; с этою целью умножаем
его на а и получаем сравнение
ар == a (mod p).
Если а делится на р, тогда обе части сравнения = 0 (mod /?), и по-
потому сравнение удовлетворяется. Обратно, от последнего сравнения
можно перейти к предыдущему. Действительно, если а не делится на р,
то а и р — числа взаимно простые, и мы имеем право обе части
сравнения разделить на а, не изменяя модуля.
Возвращаясь к общей теореме, которая впервые была доказана
Эйлером 1) и носит название обобщенной теоремы Ферма, мы можем ее
высказать в следующей форме: Если р, г, s, ...—различные простые
числа и а не делится ни на одно из этих чисел, то всегда
a(p-i)p-4r-i)rf-4e-i)e-*... s j (mod pVV> _)(
где it, p, a, ... означают какие-то целые положительные числа.
§20.
Будет нелишним дать другое доказательство теоремы предыдущего
параграфа, которое основывается на формуле бинома Ньютона. Если р —
какое-нибудь целое положительное число, то, ка:< известно,
причем все коэфициенты этого разложения — числа целые (§ 15).
Если р — число простое, то Kpove того все коэфициенты, за исключе-
исключением крайних, равных единице, делятся на р.
В самом деле, числитель дроби
г\ (р - г)! •
где г означает одно из чисел 1, 2, 3, ..., р—1, содержит множите-
множителем ру знаменатель же этого множителя не содержит, следовательно,
эта дробь имеет вид -—, причем п не делится нар, т. е. п и р — чис-
числа взаимно простые. Но в то же время эта дробь равна целому
числу, значит, рт делится на я, следовательно, т делится на п> и
дробь может быть представлена: в виде ps, где 5 — целое число. Итак,
если а и b — какие-нибудь целые числа и р — число простое, то имеет
место сравнение
(a-^bf^cf + f (modp).
Далее очевидно также, что
!) Theoremata arithmetica nova methodo demonstrate, Conun. nov. Ac.
Petrop. VIII, стр. 74.

§ 20] О сравнениях 43
и вообще для какого угодно ряда п чисел ау Ъ, .. ., h имеем сравнение
(a + b-\-...+Kf 1 = a|l + ftp+... + А* (mod/7).
Если положим здесь а=1, ?=1, ..., А=1, то для всякого це-
целого положительного п имеем сравнение
пр = п (mod/?).
Далее для всякого нечетного простого числа имеем
(—1)* = —1 (mod/О,
и для единственного четного простого числа р = 2 также имеем
(—1)*= lss—l (mcdp).
Перемножая предыдущее сравнение и сравнение
(— 1^ = —1 (mod р),
находим, что
(—я^ез—я (mod/?).
Следовательно, теорема Ферма
d? = a (mod/?)
имеет место для всякого целого положительного и отрицательного а,
а также и для а = 0, что само собой очевидно. Предположим, что а
не делится на р, тогда
o^ssl (mod/?),
т. е.
о^-1 = 1 + Ар,
где Л — целое число. Возведем о :е части этого уравнения в степень р
и разложим вторую часть по формуле бинома Ньютона; тогда, оче-
очевидно, все члены второй части, кроме первого, делятся на р2; следо-
следовательно
или
где hf опять означает целое число. Таким образом, возводя последо-
последовательно каждый раз в степень р, мы дойдем до сравнения
а р === 1 (modp*),
справедливость которого можно доказать методом полной индукции.
Если г, s,...—простые числа, не делящие а, то, по доказанному
Положим для краткости
h = (p — l)p«~l. (r— I)?-1 ¦ (s—

44 Глава вторая [§ 20
и заметим, что из сравнения
аа = 1 (mod /я)
следует, что
ah == 1 (mod /я),
если только А есть кратное а. Значит, сравнение
имеет место для каждого из модулей pr\ rp, s°, ..., и так как эти мо-
модули— числа взаимно простые, то это сравнение имеет место и для
модуля
t = pW. ..
Таким образом мы снова доказали обобщенную теорему Ферма.
§ 21.
Часто случается, что одна или обе части сравнения содержат одно
или несколько неизвестных х, уу . .., и требуется найти такие целые
значения дляд:,^, . .., которые, будучи подставлены в обе части сравнения,
дают числа, сравнимые по данному модулю. По числу неизвестных
*> У> ¦ • • сравнения, так же как и уравнения, разделяются на сравне-
сравнения с одним, двумя и многими неизвестными. Те значения неизвестных
ху у, ..., которые обращают сравнение в тождество, называются
корнями сравнения, и решение сравнения сводится к нахождению всех
его корней.
Мы будем изучать только те сравнения, которые содержат одно неизвест-
неизвестное х и могут быть приведены к виду
ахт + Ьхт~г + ... -f gx-\-h = 0 (mod A),
где т — данное целое положительное число и я, by ...yg, h — данные
целые числа. Всякое значение х, которое, будучи подставлено в левую
часть сравнения, дает число, кратное А, называется, следовательно,
корнем этого сравнения. Если х есть корень сравнения, то (§ 17,5) н
все числа, сравнимые с х по модулю k, т. е. все числа, принадлежа-
принадлежащие к тому классу, к которому принадлежит х, будут корнями того же
сравнения. Все эти числа принимаются за одно решение данного сравне-
сравнения, так что решение сравнения сводится к определению всех его
корней, не сравнимых между собою по данному модулю.
Очевидно, что всякий корень данного сравнения есть в то же
время корень сравнения
„V» 4- ь'х™-14-... 4-1* + h' = ° (mod *)¦
если только
а = а' (mod A), h^bf (mod А), ..., g = gf (mod A), h = /^(mod ?),
и обратно, всякий корень второго сравнения удовлетворяет первому.
Оба эти сравнения нельзя поэтому считать за различные, ибо все их
корни общие. Отсюда непосредственно вытекает, что из всякого сравне-

§ 22] О сравнениях 45
ния можно удалить те члены, коэфициенты которых делятся на А;
показатель наивысшей степени ху которая останется после этого пред-
предварительного исключения, называется степенью данного сравнения.
Если, например, в вышеприведенном сравнении коэфициент первого
члена а не делится на ky то это сравнение есть сравнение степени т.
Применяя все это к сравнению
х*(к)^1 (mod Л),
мы должны сказать, что это сравнение имеет столько (несравнимых)
корней, сколько единиц в его степени <?(k). Это следует из того, что,
во-первых, этому сравнению удовлетворяют все числа, взаимно про-
простые с ky число же таких чисел равно <?{k), и, во-вторых, кроме этих
корней, других данное сравнение иметь не может. В самом деле,
общий наибольший делитель 8 какого-нибудь корня х и модуля k есть
в то же время общий делитель чисел х*(Л) и k, а следовательно, также
(§ 18) и чисел 1 и k\ поэтому 8 может быть равно только единице.
§22.
После предыдущих общих замечаний мы обратимся теперь к про-
простейшему частному случаю, а именно к сравнению первой степени,
которому после надлежащего размещения членов всегда можно придать
вид
ах^Ъ (mod k). A)
Рассмотрим сначала тот случай, когда коэфициент а и модуль k —
числа взаимно простые. Нетрудно показать, что такое сравнение
всегда имеет один и только один корень. Мы уже видели (§ 18), что
выражение ах при подстановке вместо х полной системы чисел, не
сравнимых по модулю k, дает опять такую же систему чисел. Между
этими последними находится одно и только одно число, принадлежа-
принадлежащее к тому же классу, что и Ь, т. е. сравнимое с b по модулю k.
Обобщенная теорема Ферма дает нам возможность сразу определить
корень этого сравнения; очевидно, что сравнению первой степени
удовлетворяет всякое число
jcsia*1*1 (mod k).
Так, например, все корни сравнения
2лге== — 3 (mod 15)
даются формулой
л: = — 3-27s6 (mod 15).
Обращаясь к общему случаю и обозначая через 8 общий наиболь-
наибольший делитель чисел а и к, мы замечаем прежде всего, что сравнение
возможно только тогда, когда Ъ делится на 8. Это следует из того,
что ах и k делятся на 8, следовательно, и ? = ал; также должно де-
делиться на 8. Таково необходимое условие для возможности сравнения;
мы сейчас покажем, что это условие кроме того и достаточное.
Положим, что х есть корень сравнения, так что
ах = b + mky

46 Глава вторая [§ 22
где т — какое-нибудь целое число. Если
а = а% Ъ = Ь'Ь, k = k%
то
a'x = b' -\-mk'y
т. е. всякий корень данного сравнения есть в то же время корень
сравнения
а'х=У (mod k% B)
и обратно, всякий корень второго сравнения удовлетворяет первому
сравнению. Следовательно, у обоих сравнений A) и B) все корни
одинаковы. Но в последнем сравнении коэфициент а' и модуль k! —
числа взаимно простые, следовательно, на основании предыдущего, мы
заключаем, что это сравнение всегда имеет решение, и все числа, ему
удовлетворяющие, по отношению к модулю k' принадлежат к одному
классу, так что если одно из этих чисел обозначим через а, то все
прочие выражаются формулой
x = a-\-zk', C)
где z означает какое угодно целое число. Так как все эти числа пред-
представляют корни сравнения A), то спрашивается, сколько между ними
чисел, не сравнимых по модулю k. Два какие-нибудь числа ряда C),
например a -\-zk' и a-\-z'k\ тогда и только тогда сравнимы по мо-
модулю ky когда (z/—z)kf делится на k = k'b, т. е. когда z' — z делится
на 8. Следовательно, числа a-\-zk' и a-\~z'k' принадлежат к одному
или к различным классам по модулю к, смотря по тому, будут ли
числа z и z' принадлежать к одному или к различным классам по мо-
модулю 8. Значит, ряд C) содержит все члены, принадлежащие к S раз-
различным классам по модулю k> и ряд чисел
..., а-f (8— \)k'
содержит по одному представителю от каждого из этих 8 классов.
Мы приходим, таким образом, к следующему выводу:
Сравнение
ах= b (mod k)
возможно только тогда, когда общий наибольший делитель 3 чисел
auk делит Ь\ если это условие выполнено, то сравнение имеет 8
корней.
Надо заметить, что в частном случае, когда а и k — числа взаимно
простые, 8=1, и это условие всегда выполнено. Далее эта теорема
имеет место и для 8 = ky причем а~==0 (mod k). Если в этом случае
и b s 0 (mod k)y то всякое число удовлетворяет этому тождественному
сравнению.
Чтобы показать применение последней теоремы, возьмем пример
8л: = — 12 (mod 60).
Общий наибольший делитель коэфициента 8 и модуля 60 равен 4; так
как —12 делится на 4, то сравнение возможно и имеет четыре корня,

§ 23] О сравнениях 47
не сравнимых по модулю 60. Чтобы найти эти корни, мы решим
сравнение
2ЛГЕ- — 3 (mod 15).
Мы уже видели, что корни этого сравнения выражаются формулой
лг=ее6 (mod 15);
следовательно, четыре корня данглого сравнения суть следующие:
л;е=6, ==21, =36, е=51 (mod 60).
т».
Хотя вопрос о возможности сравнения первой степени и о нахо-
ждении его корней решен полностью, однако, изложенный способ решения
при большом модуле k крайне неудобен в практическом отношении,
ибо требует, в связи с необходимостью возвышения в степень, про-
продолжительных вычислений. Мы поэтому изложим другой способ, более
удобный. При этом мы можем ограничиться тем случаем, когда коэфи-
циент при неизвестном и модуль — числа взаимно простые. Кроме того,
можно допустить, что правая часть равна единице, потому что, зная
корень последнего сравнения и умножая этот корень на Ь, найдем ко-
корень сравнения ax==b (mod k). Если мы обозначим теперь модуль не
через &, а через Ьу то решение нашей задачи сводится к решению
сравнения
алг=з 1 (mod b),
или, что то же самое, к решению неопределенного уравнения первой
степени
Прежде чем приступить к решению этого уравнения, мы докажем
несколько теорем, относящихся к алгорифАму, предложенному вчервые
Эйлером2) и имеющему важное значение как в теории непрерывных дро-
дробей, так и в наших последующих изысканиях. Пусть
a, b A)
означают две какие-нибудь неопределенные величины, и
•у, 8, е, . . ., X, p., v B)
— ряд других неопределенных величин.
1) Решение этой задачи дал впервые Bachet de M ezir i ас в своей
известной книге Probjemes plaisants et delectables, qui se font par les nom-
bres, 2-е изд., 1624. Эту интересную работу вновь издал Labosne (Paris
1874 и 1879).
2) Solutio probiematis arithmetici de inveniendo numero qui per datos nuraeros
divisus, relinquat data residua, Comra. Ac. Petrop. VII, crp. 46.— De usu novi
algorithm! in probltmate Pelliano solvendo, Nov. Comm. Petrop. XL стр. 28.— Ср.
Gauss, D. A., art. 27.

48 Глава вторая [§ 23
Составим теперь ряд новых величин с, d, е% . . ., I, m, n по сле-
следующему закону:
с = чЬ-\-а
e = erf -{- с,
n = vnt -{- A
C)
Если во второе из этих равенств подставим вместо с его выраже-
выражение, взятое из первого, тогда d можно представить в виде
т. е. в виде суммы двух слагаемых, из которых одно содержит множи-
множителем а, а другое содержит множителем Ь, Пользуясь последней фор-
формулой для d и первым из равенств C), мы можем и е представить
в такой же форме. Поступая таким обгазом далее, мы можем коли-
количества /, т, и, наконец, п представить в такой же форме. Следова-
Следовательно, можно положить
где G и Н не зависят от а и Ь. Обозначим козфициент Я, зависящий
от количеств ряда B), символом1)
[Т, 8, е, ..., X, ^ v] D)
и докажем некоторые интересные свойства этого символа.
Прежде всего очевидно, что если мы с начальными величинами
ft, с = чЬ + а (V)
и рядом
8, е, ...; X, jx, v B0
поступим так же, как и выше, то для rf, e, ...,/, т, п мы получим те
же значения, что и прежде. Таким образом мы имеем одновременно
е, ..., |х, v]<i
Если с заменить через ^Ь-\-а} то оказыЕается, что
я = [8, е, ..., ъ v]a-h(T[8> в, ..., ji,
Сравнивая коэфициенты при а в обоих формулах для п, находим, что
0 = [8, з, . .., |х, v],
т, е. коэфициент О можно обозначить тем же символом, что и Я, и
написать
/г=[8, ..., |х, v]a-{-[T» 8, ..., |х, v]ft.
Так как
G'=[8, ..., |i, V],
Gauss, D. AM art 27.

§ 23] о сравнениях 49
то, сравнивая коэфициенты при Ь в двух формулах для п, получаем
следующее соотношение:
[Ъ 8» «. .... v] = t[8, в, ..., v] + [ef . .., v], E;
которое дает возможность последовательно вычислять выражение вида
D) справа налево.
Совершенно аналогичное соотношение, служащее для вычисления
выражения D) в обратном направлении, мы можем получить, полагая
# = 0, Ь=1. Тогда /, т и п переходят соответственно в
[т. •••» Ч> 1ъ • ••» х> i4 [т> • ••> К {I, v],
и между этими тремя значениями выражения D) существует соотно-
соотношение
[Т. .... a, \h v] = Wi ..-, К rfv+fr, ..., X]. F)
Сопоставляя эти два соотношения, нетрудно доказать и такое соот-
соотношение:
[v, а, ..., S, Т] = [Т> 8, ...,!*, v]. G)
В самом деле, допустим, что последнее соотношение имеет место при
всяком меньшем числе количеств ряда B), так что, например
[8, s, . . ., v] = [v, . . ., г, 8] и [е, . . ., v] = [v, . . ., г};
тогда, на основании E), заключаем, что
[Ъ 5> s> •••» vJ = [vi •••> *> 8]T + lv> • .., в]-
Сопоставляя последнее равенство с равенством F), мы и приходим
к соотношению G). Но это соотношение имеет место для одной вели-
величины у» что очевидно само собой, и кроме того
следовательно, это соотношение имеет место для какого угодно числа
величин y> 8, . .., {х, v.
Равенства C), указывающие закон образования количеств c*df , ,.,я,
могут быть написаны еще в такой форме:
причем в последнем равенстве нужно взять верхний или нижний^знак,
смотря по тому, будет ли число количеств f, 8, .. ., \х, v четным или
нечетным.
Отсюда следует, что, взяв за начальные члены
— a, b A")
и взяв ряд количеств
— т, -8, -е, .... ->,:-[., -v, ' B")

50 ГЛАВА ВТОРАЯ [§23
мы при помощи такого же ряда действий, как и прежде, приходим
к ряду ,
Отсюда следует, что
+ п=[-Ъ, — г, ..., — v](— а) + [-Т, —8, —г, .... — v] *
и, значит,
[-Ъ -8 -v]-±[T, 8, ..., v]. (8)
Здесь во второй части равенства снова нужно взять верхний или ниж-
иий знак, в зависимости от того, будет ли число количеств y> 8, ...,.v
четным или нечетным.
Наконец, равенства C) можно написать в обратном порядке следую*
щим образом: , ч ,
* = (-- i)b-\-c
Поэтому
или на основании соотношения (8):
и, наконец, в силу G):
zta=: — [f, 6, . .., !Ф*
Если положить а==1, ^ = 0, тот и я переходят соответ-
ственно в
и мы приходим к такому соотношению:
[8, ..., {х][т, 8, .... a, v] —[8, ..., а, v][T, 8, ..., rf = ±l, (9)
где верхний знак соответствует четному числу количеств ^? 8, ,.,, a, v?
а нижний-—нечетному.
В заключение заметим, что все эти соотношения играют важную
роль в теории непрерывных дробей. В самом деле, обозначим обыкно-
обыкновенную непрерывную дробь, в которой все числители равны единице,
а так называемые неполные частные равны ^,8, ..., a, v, символом
(Ъ 8, ..., а, v), так что
(т,8,..., х, ц, v) = Д
тогда можно доказать, что
В самом деле, допустим, что эго соотношение имеет место для
бсякого меньшего числа количеств -f, 8, s, .,., a, v, так что, например,
/* \ [О, ?. ,,., [Л, V]

§ 24] о сравнениях 51
тогда
откуда, если принять во внимание равенство E), и следует соотноше-
соотношение A0). Так как соотношение A0) может быть проверено непосред-
непосредственно для двух величин 7» ^, a именно,
то, следовательно, это соотношение имеет место вообще.
Если у, 8, ..., a, v — целые числа, то и числители и знаменатели
дробей
ill bdl Iv> ».¦-. * ^]
1 ' 14 J "#) [В, ..., и, vj
также целые числа. Притом все эти дроби несократимы, что следует из
соотношения (9), показывающего, что числители и знаменатели этих
дробей не имеют общих делителей.
§24.
Предыдущие теоремы, относящиеся, собственно, к теории уравнений
в конечных разностях второго порядка1), приведены здесь полностью,
с тем, чтобы впоследствии не пришлось более возвращаться к этому
алгорифму. Для нашей ближайшей цели, т. е. для решения неопреде-
неопределенного уравнения
ах — by = 1,
где а и b — числа взаимно простые, придется пользоваться только не-
немногими из вышеупомянутых соотношений. Для решения этого уравне-
уравнения мы поступаем так, как при нахождении общего наибольшего дели-
делителя чисел а и b Гили при обращении дроби ~ в непрерывную J, и по-
получаем ряд таких равенств:
а =
I = v/« -f-1,
причем в конце мы должны получить остаток, равный единице (§ 5),
Эти равенства можно написать так:
х) Ср. Jacobi, Allgemeine Theorie der Kettenbruchahnlichen Algorithmen, in
welchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird, Crelle's Journal, т. 69.

52 глава вторая [§ 24
откуда следует, что
1 = [— 8, —е, ..., — jx, — v]a + [—-у, —8, — е, ..., — ja, — v]?,
или же, на основании § 23, (8),
1 = qz [8, е, . . ., |х, v] а ± [-у, 8, е, ... jx, v] ?,
где верхний знак соответствует четному числу чисел ?» 8, ..., jx, v,
а нижний — нечетному. Таким образом мы находим следующее решение
неопределенного уравнения:
а также корень х сравнения
ах= 1 (mod ?).
Все же прочие корни сравнимы с л: по модулю Ь.
Применим этот способ к решению сравнения
2х =1 (mod 15).
В этом случае имеем
2 = 0. 15 + 2; 15 = 7-2+1,
следовательно
т = 0, 8=7, х== — [8]= — 7 ==8 (mod 15).
Отсюда следует, что
хг =в — 7 • (— 3) = 21 = б (mod 15)
есть корень сравнения
2*'== — 3 (mod 15).
В качестве второго примера возьмем сравнение
37* ==1 (mod 100).
В этом случае имеем
37 = 0- 100 + 37; 100 = 2-37 + 26; 37=1 -26 + 11;
26 = 2-11 + 4; 11=2-4 + 3; 4 = 1-3 + 1,
следовательно
* = — [2, 1, 2, 2, 1] (mod 100).
Вычисляя последовательно справа гцлезо, находим
{1] = 1; [2, 1] = 3; [2, 2, 1] = 7; [l^f^, 1] = 10; [2, 1, 2, 2, 1] = 27;
следовательно
х = — 27 ?=73 (mod 100).
Так как
7A00) = ? D)9 B5) = 2 • 20 = 40,
то, решая данное сравнение по первому способу, мы нашли бы, что
л:==3739 (mod 100).
Хотя вычисления, необходимые для нахождения остатка от деления 3739

§ 24] о сравнениях 53
на 100, можно значительно упростить при помощи различных искусст-
искусственных приемов, однако эти вычисления гораздо продолжительнее, чем
при решении сравнения по второму способу.
Если нужно определить также и
у = + [*(, 8> г> • • •» У> VL
то удобно вычисление величины
X = =р [3, з, ... a, v]
вести именно справа налево, ибо, зная [е, .. ., {х, v] и [8, е, . . ., <х,v],
мы на основании соотношения E) § 23 сразу определяем у.
Если Т = 0, т. е. если а < Ь, то
У= =+=[?> • • ->У> '']•
Так, во втором примере мы имеем
у = — [0, 2, 1, 2, 2, 1] = —[1, 2,2, 1] = — 10,
и действительно
37 . (—27) —100- (—10) = 1.
При решении в целых числах неопределенного уравнения ах — Ьу= 1
мы предполагали, что данные взаимно простые числа а и Ь суть числа
положительные; нетрудно видеть, что это обстоятельство нисколько
не нарушает общности изложенного способа.
Как только найдено одно решение данного уравнения, т. е. найдена
пара чисел х, у> удовлетворяющих данному уравнению ах — ?у=1, то
легко дать общую форму для всех решений х\ у' того же уравнения.
Пусть, например,
ах' — Ь/ = \\
тогда
а(х' — х) = Ь(/—у),
и так как а и b — числа взаимно простые, то х/ — х делится на Ьу и
следовательно
x/ = x + dzi /=y-\-az,
где z обозначает какое-нибудь целое число. Обратно, всякому произ-
произвольно выбранному целому значению z соответствует одно из решений
х'\ уг неопределенного уравнения, и притом каждое из таких решений
х\ у' мы получаем один и только один раз, когда z пробегает все
целые значения от — оо до -j- oo. Понятно, что этот вывод остается
в силе и тогда, когда одно из данных взаимно простых чисел равно
нулю, а другое, следовательно, раЕно dzl.
Далее мы заметим, что тем же самым способом можно решить сле-
следующую более общую задачу:
Найти целые числа х, у, z, . . ., удовлетворяющие уравнению
ах'-{- by-\-cz-\- . .. = т,
если, а, Ь, с, ... —данные целые числа, имеющие общим наибольшим
делителем ш.

54 ГЛАВА ВТОРАЯ [§ 25
В самом деле, предположим, что к числам Ьу с,..,, общий наи-
наибольший делитель которых т! должен быть кратным т, подобраны
такие целые числа у\ z\ ..., которые удовлетворяют условию
Так как т есть общий наибольший делитель чисел а и т\ то можно
указанным способом решить в целых числах уравнение
ах -(- т'х' = т\
вместе с тем мы найдем и решение данного неопределенного уравне-
уравнения, а именно
х, у = х'у\ г = x'z', . . .
§ 25.
К решению сравнения первой степени сводится следующая задача:
Найти все числа х, сравнимые с двумя данными числами ос, %
соответственно, по модулям а, Ь, или, иначе говоря, найти числа,
удовлетворяющие одновременно двум сравнениям
лг==ос (mod a), x^=fi (mod b).
Так как все числа, удовлетворяющие первому сравнению, заклю-
заключаются в формуле x=a-{-at, где t—какое угодно целое число,
то необходимо найти такое значение t, которое удовлетворяло бы
сравнению
at==fi — a (mod b). A)
Если обозначим через 8 общий наибольший делитель модулей а и Ь,
то (§ 22) сравнение A) возможно только тогда, когда 43 — а делится
на 8, т. е. когда
<*==$ (mod 8). B)
Если это условие не имеет места, то не существует ни одного чис-
числа, удовлетворяющего требованиям задачи. В противном случае все
числа t, удовлетворяющие сравнению A), заключаются в формуле
t = t0 Tmod -—<
или
у и>
где t0 есть одно из значений для t, а и — какое угодно целое число»
Отсюда следует, что все искомые числа определяются формулой
i . . ab
или
(mod ^)f
причем jco = a-f-a/o есть одно из исковых чисел, а модуль есть наи»
меньшее кратное данных модулей а и Ь.

§ 25] о сравнениях 55
Положим, например, что нужно найти такие числа, которые при
делении на 12 дают в остатке 7, а при делении на 15 дают в остатке 4.
В этом случае мы имеем сравнения
х = 7 (mod 12), х е~= 4 (mod 15).
Полагаем х — 7 -J- 12 t, и для определения t получаем сравнение
Ш== — 3 (mod 15),
которое сводится к
4/==—1 (mod 5),
ввиду того, что условие B) выполнено. Отсюда имеем
*== 1 (mod 5),
и, значит,
лг = 7 + Ш=19 (mod 60).
Необходимо отметить тот частный случай, когда данные модули а
и b — числа взаимно простые. Тогда 5 = 1, и условие B) всегда удо-
влетвспено; поэтому задача всегда возможна, и решение ее дается фор-
формулой
х~х0 (mod ab).
Предыдущую задачу нетрудно обобщить, распространяя ее на целый
ряд модулей и ряд соответствующих этим модулям остатков.
Для нас особенно важен тот случай, когда модули а, Ь, с, ... —
числа взаимно простые; ограничиваясь этим случаем, мы решим сле-
следующую задачу: найти все числа лг, удовлетворяющие системе срав-
сравнений
х\= a (mod a), x=3 (mod ft), =^7 mod с), ...
Мы уже знаем, что все числа, удовлетворяющие первым двум срав-
сравнениям, даются формулой х==${ (mod ab), где Рх определяется, выше-
вышеуказанным способом, а потому решение данной задачи сводится к
решению другой простейшей, а именно: найти все числа, удовлетво-
удовлетворяющие системе сравнений
vsslPj (mod ab), at===j (mod c)y .•„
Так как ab, модуль первого из этих сравнений, — число прос" ое отно-
относительно каждого из следующих модулей с, .. ., то, продолжая таким
образом далее, мы найдем, что все числа лг, удовлетворяющие поста-
поставленным условиям, даются формулой
rx~x0 (mod m),
где х0 — одно из искомых чисел и т — произведение всех данных
модулей.
Вместо того, чтобы определять х0, реша|[ ряд сравнений первой
степени по модулям Ь, с, ..., можно употребить следующий более
удобный прием.
Положим, что т = аА = ^Я = ^С=в .,., и определим (§ 24) числа
а\ Ь'у с\ ..., удовлетворяющие сравнениям
Aa'~l (mod a), Bb'==\ (mod ft), С/si (mod с), .».;

56 ГЛАВА ВТОРАЯ [§ 26
тогда
х ss Аа'а + BV§ -f Сс'ч + ... (mod /л).
Действительно, В, С, ... делятся на а; следовательно
x==Aafa=Ezai (mod a);
точно так же
лг=Е=р (modb), х = ч (mode), ...
Преимущество этого способа заключается в том, что вспомогатель-
вспомогательные числа а', У, с',. . . совсем не зависят от а, ,3, ^> . • • и при изме-
изменении этих последних остаются одними и теми же, если, конечно,
система модулей ау bf с, ... остается без изменения.
Далее из этого следует, что х принимает полную систему значений,
не сравнимых по модулю т, если остатки ос, р, -j, ... пробегают пол-
полную систему значений, не сравнимых соответственно по модулям а>
by с, .... В самом деле, пусть а', |3', -у', ... означают какую-нибудь
другую систему данных остатков, тогда
может быть сравнимо по модулю т с
Ла'ос
лишь в том случае, когда одновременно
а' == а (mod а), 3' = ;3 (mod 6)
Затем а, |3, у, • • . принимают соответственно а, Ь, су ... различных
значений; следовательно, число систем различных остатков или же число
значений х, не сравнимых по модулю т, равно abc... =т. Таким обра-
образом значения х представляют полную систему вычетов по модулю т.
Если а и а, ,3 и b, f и с и т. д. — числа взаимно простые, то х
и т — также числа взаимно простые, и обратно. Отсюда нетрудно снова
доказать, что y(ab) = v(a)® (b).
Наконец, отсюда же следует, что если х означает какое-нибудь
целое число, то всегда можно положить
_=й + _ + _ + _ + ...,
где h, и, v, w9... —числа целые. В самом деле, пусть х при делении
на а> Ь, с, f.. дает остатки а, 43, ?, ...; тогда по предыдущему
х = hm + Аа'а + ВЬ'
где Л — целое число, и следовательно
§ 26.
Обращаясь теперь к изучению сравнений высших степеней, мы огра-
ограничимся при этом тем простейшим случаем, когда модуль р — число
простое. Самый общий вид сравнения степени п следующий:
ахп -4- Ьх11-1 + ex" 4- . .. -f h == 0 (mod p),

§ 26] о сравнениях 57
причем а, коэфициент высшего члена, не должен делиться на р. Как
известно, всякое уравнение можно привести к такому виду, что коэ-
коэфициент высшего члена равен единице. То же самое можно сделать и
здесь, умножая сравнение на число а', удовлетворяющее условию
аа!'==1 (mod р). Это число а' есть корень сравнения ал:?==1 (mod p),
всегда допускающего решение. Такое приведение сравнений к простей-
простейшему виду нисколько не влияет на применимость нижеследующих
теорем, относящихся к свойствам сравнений. Обозначим для краткости
многочлен степени п, составляющий левую часть сравнения, через / (х),.
и пусть такое сравнение
/(*) = 0 (mod p) (I)
имеет корень
х=== a (mod p).
Делим / (лг) на х — а; тогда остаток гг должен делиться на р, ибо,
обозначая частное, которое должно быть целой функцией степени п — 1
с целыми коэфициентами, через /х (лг), имеем
(x — *)fx(x)+rx B)
и r1=f(cn)> по предположению, =0 (mod p).
Если сравнение A) имеет еще корень |3, не сравнимый с а по мо-
модулю р, то из B) следует, что
(Р —а)/,(?) = 0 (mod/)),
и так как р — ос не делится на р, то /х DЭ) ^ 0 (mod р), т. е. J3 есть
корень сравнения fx (x) == 0 (mod p). Поэтому мы можем положить,
что
где г2 делится на /?, а /2(х) — целая функция степени п — 2 с целыми
коэфициентами. Если значение для /х (х) подставить в уравнение B),,
то это последнее принимает вид
или же, так как гх и г2 делятся на
/(*) = (* — а)(х — ?)/2{х)-\-рAх
где / и т — целые числа.
Если сравнение A) имеет третий корень if, отличный от а и ?, то
оказывается, что 7 должно быть корнем сравнения /2(л:)==0 (mod /?),
так как ни -у — а, ни у — 3 не делятся на р. Поэтому получаем ра-
равенство вида
= (* — а)(х — ?)(х
где г, 5, t означают целые числа. Рассуждая таким образом далее, мы
приходим к следующей теореме:
Если сравнение степени п
/(*)== 0 (mod p),

58 ГЛАВА ВТОРАЯ [§ 26
где р — простое число, имеет п различных корней а, ;3, ^, • • • i К то
левая часть этого сравнения может быть представлена в виде
(x), C)
где а означает высший коэфициент многочлена /(л:), а 6 (л:)—мно-
(л:)—многочлен с целыми коэфициентами.
Следствием этой теоремы является другая теорема1):
Сравнение степени п> модуль которого — число простое, никогда
не может иметь более п различных корней.
В самом деле, если бы сравнение A) имело, кроме п корней а,
|5, . . ., л, еще корень jx, не сравнимый ни с одним из данных, тогда,
как видно из C), произведение
а (у. — a) (|i — 3) (<х — т). . . {V- — >0
должно было бы делиться на р, что невозможно, ибо ни один из мно-
множителей, по предположению, не делится на р.
Обе эти теоремы, имеющие весьма важное значение для теории
сравнений, можно доказать в обратном порядке, исходя из уравнения B).
В самом деле, всякий отличный от а корень C сравнения A) служит
в то же время корнем сравнения
fx (х) зз 0 (mod p),
степень которого на единицу меньше; следовательно, число корней
первого сравнения превышает не более как на единицу число корней
второго сравнения. Но сравнение первой степени (при простом модуле)
имеет только один корень, следовательно, сравнение второй степени
имеет не более двух корней, сравнение третьей степени — не более
трех корней и т. д., вообще сравнение степени п имеет не более п
различных корней. Доказав вторую теорему, не трудно доказать и пер-
первую. Допустим, что сравнение A) степени п действительно имеет //
различных корней ос, {3, f, ...> а; возьмем разность
где а означает коэфициент высшего члена в /(#), и положим, что эта
разность расположена по степеням лг. Нужно теперь доказать, что все
коэфициенты многочлена <р(#)> степень которого не выше п—1, де-
делятся на р. Допустим противное, и пусть хг — высшая степень х, коэ-
коэфициент которой не делится на р\ тогда сравнение степени г
ср (л:) == 0 (mod p)
имело бы п различных корней а, C* Т» ..•> К т. е. имело бы корней
более, чем единиц в его степени, так как г<я. Но это противоречит
предыдущей теореме; следовательно, все коэфициенты многочлена о(х)
должны делиться на /?, т. е.
г) Lagrange, Nouvelle methode pour resoudre les problemes indetermines
эп nombres entiers, Mem. de Г Ac. de Berlin, т. XXIV.

§ 27] о сравнениях 59
где все коэфициенты многочлена »]/(лг) — целые числа, что и требова-
требовалось доказать.
К этим двум теоремам можно присоединить следующую третью:
Если
/(*) = ?(*)¦•,(*),
где коэфициенты многочленов v>(x) и 'у(лг)— целые числа, и если срав-
сравнение
f(x) e= 0 (mod p) D,)
(р — число простое) имеет столько корней, сколько единиц в его сте-
степени, то и каждое из сравнений
<?(#)== О (mod p), b(x) = 0 (mod p) E)
имеет столько корней, сколько единиц в его степени.
Прежде всего мы видим, что всякий корень ос сравнения D) должен
быть корнем по крайней мере одного из сравнений E), ибо
?(«) *(«)=/(«) = 0 (mod р);
следовательно, по крайней мере одно из чисел <р(а)> гМа) должно де-
делиться на р. Если бы какое-нибудь из сравнений E) имело корней
меньше, нежели единиц в его степени, тогда число корней другого
сравнения непременно превышало бы его степень, так как сумма сте-
степеней многочленов о(х) и ty(x) равна степени многочлена/(дг). Так
как это противоречит второй теореме, то число корней каждого из
сравнений E) должно быть равно как раз их степени *).
§ 27.
Укажем на одно применение доказанных теорем. В силу теоремы
Ферма, каждое из р—1 чисел
1, 2, 3, ..., р— 1,
не сравнимых по модулю р, удовлетворяет сравнению
хр~~1— 1 = 0 (mod p),
и эти числа представляют собою все без исключения корни данного
сравнения.
Поэтому на основании первой теоремы предыдущего параграфа мы
ммеем
где ty(x) означает многочлен с целыми коэфициентами.
Если произведение, входящее в правую часть равенства, располо-
расположим по степеням х, то коэфициенты всех членов должны быть сравнимы
1) Дальнейшее развитие этих исследований можно найти в моей работе
Abriss einer Theorie der hoheren Congruenzen in Bezug auf einen reellen Prim-
zahl-Modulus, Crelle's Journal, т. 54. Ср. посмертное сочинение Гаусса Analysis
Kesiduorum, Gauss'Werke, т. II, 1863,

60 ГЛАВА ВТОРАЯ [§*28
по модулю р с коэфициентами соответственных членов левой части.
Возьмем те члены обеих частей равенства, которые не зависят от х.
Для нечетного простого числа р число множителей р—1 четное, и мы
в правой части имеем
1 .2.3... (р—1),
в левой же части находится —1. Отсюда получаем теорему Вильсона:
Если р — число простое, то произведение ряда натуральных чи-
чисел, меньших р, увеличенное на 1, делится на р, т. е.
1 . 2-3... (/?—l)ss —Г (mod/7).
Так, например,
1 .2.3- 4-5. 6 + 1 = 721
делится на 7.
Теорема Вильсона имеет место и для простого числа 2, ибо в этом
случае -fl и —1 сравнимы между собою.
Эта теорема замечательна тем, что дает характеристическое свой-
свойство простых чисел, ибо справедлива и обратная теорема: если
1 .2 .3-.. (р — 1L-1
делится на /?, то р — число простое. Действительно, если бы р было
числом составным, то оно делилось бы, кроме 1 и р% на какое-нибудь
число а, и этим делителем должно быть одно из чисел 2, 3, ...,/?— 1.
Так как сумма и одно из слагаемых делятся на а, то и другое сла-
слагаемое 1 также должно делиться на а, что невозможно.
Другую интересную теорему мы можем доказать применяя третью
из теорем предыдущего параграфа. Если 8 означает какой-нибудь де-
делитель р—1, то, как известно,
где ^ (х) — многочлен с целыми коэфициентами. Отсюда следует, что
сравнение 5
х == 1 (mod /?),
степень которого 8 есть делитель р—1, имеет всегда 8 корней.
§ 28.
Последняя теорема принадлежит, собственно говоря, к теории
двучленных сравнений вида
ахп=вЬ (mod k).
Эта теория основывается на рассмотрении так называемых степенных
вычетов, т. е. остатков, получаемых от деления последовательных сте-
степеней какого-нибудь числа. К изучению этой теории теперь и перейдем.
Пусть k означает какое угодно число и а — число взаимно простое
с k. Составим ряд
1, а, а'2, л3, ...
последовательных степеней числа а и продолжим его достаточно да-
далеко; тогда два каких-нибудь различных члена этого ряда, например а*

§ 28] О СРАВНЕНИЯХ 61
и а8+*1, будут сравнимы по модулю k. Это непременно должно слу-
случиться, ибо существует лишь конечное число чисел, не сравнимых по
модулю ft. Из сравнения
fl^ = aV = as (mod ft)
следует, так как as и ft— числа взаимно простые, что
a1t= I (mod ft).
Таким образом оказывается, что одна из степеней а при делении
на ft дает в остатке единицу, что нам уже известно из обобщенной
теоремы Ферма (§ 19). Между всеми степенями а, имеющими это
свойство, особенного внимания заслуживает та, которая имеет наимень-
наименьший показатель, причем, само собою разумеется, показатель нуль не
принимается в расчет, ибо нулевая степень всегда = 1. Обозначим
через 8 тот наименьший показатель, для которого
а = 1 (mod ft).
Тогда говорят, что а принадлежит к показателю 8. При этом
очевидно, что все первые 8 членов ряда
1, а, а2, . . ., а'~{
не сравнимы по модулю ft, ибо из сравнения вида a8+n =s а8, где s и
s-j-n меньше 8, следовало бы, что ап = 1 (mod ft), что противоречит
предположению, в силу которого ни одна из степеней а ниже а не
дает при делении на ft в остатке единицу.
Следующие члены ряда дают те же самые остатки и в той же
самой последовательности, ибо
а =1, a ^a, a^ s= a , ..., a == a ,
И Т. Д.
Чтобы узнать, какой остаток дает степень а% делим показатель s
на 8 и представляем s в форме s = w8-f-r, где г означает одно из
чисел 0, 1, 2, ..., 8—1. Тогда
a' = amHr = ar (mod k).
Отсюда далее следует, что две каких-нибудь степени а8 и а* тогда
и только тогда сравнимы по модулю &, если s==s' (mod 8). В самом
деле, пусть / — остаток от деления s' на 8; тогда
Поэтому, если
то и
a8' ~ar' (mod k).
as==a8' (mod ft),
a = ar (mod

62
ГЛАВА ВТОРАЯ
[§29
Так как каждое из чисел г и / меньше 8, то это сравнение возможно
только тогда, когда г = г/, откуда следует, что
s = s' (mod о).
Обратно, если
s = s' (mod 8),
т. е. если г — /, то
а*==а8 (mod k).
В частном случае, когда а*===1, т. е. когда as==*a°, необходимо,
чтобы
* ?-0 (mod 8),
т. с, $ должно делиться на 8. Мы уже знаем, что, в силу обобщенной
теоремы Ферма, всегда
«f{i)sl (mod k);
следовательно, число 8, к которому принадлежит число я, всегда
должно быть делителем y(kI).
§ 29.
Если мы ограничимся тем случаем, когда модуль р— число про*
стое и а не делится на р, то из предыдущего следует, что число о.
к которому принадлежит а, должно быть делителем
?(Р)=Р— Ь
Можно поставить и обратный вопрос: если 8 есть один из делителей
р — 1, то существуют ли числа, принадлежащие к показателю §, и
сколько таких чисел? Рассмотрим сначала частный случай, полагая
/7 = 7. Так как при
a s= b (mod p)
всегда
а'яяЬ* (mod p),
то все числа, сравнимые между собой по модулю р> принадлежат
к одному показателю, и нам нужно рассмотреть только числа 1, 2, 3,
4, 5, 6. Возводя эти числа в степень и определяя остатки, причем для
сокращения вычислений всякую из степеней можно заменить наимень-
наименьшим вычетом, мы получим результаты, выраженные в следующей таблице:
а
0
1
1
2
3
з
6
4
3
5
6
6
2
Таким образом показателю 8=1 принадлежит одно число 1; пока-
показателю 8 = 2 принадлежит число б; показателю 8 = 3 принадлежат
1) Другое доказательство этой теоремы содержится в дополнении V, §

§ 29] о сравнениях 63'
два числа, именно 2 и 4, и, наконец, показателю 8 = 6 принадлежат
числа 3 и 5.
Предположим, что существует по крайней мере одно число а, при-
принадлежащее показателю 8; тогда все 8 чисел
1, а,а2,..., а"-1 <А\
несравнимы между собою; но так как а~\, то и
(а'M = (аУ=1 (mod р),
т. е. 8 чисел (А) суть корни сравнения
х* = 1 (mod р).
Так как все эти числа (А) несравнимы между собой и модуль сравне-
сравнения р — число простое, то эти числа представляют собою все без
исключения корни этого сравнения степени 8. Но всякое число, при-
принадлежащее к показателю 8, должно быть прежде всего корнем этого
сравнения, и потому все числа, принадлежащие к показателю 8, нужно
искать между числами ряда (А). Мы ставим вопрос так: к какому по-
показателю h принадлежит одно из этих чисел, например аг, т. е. каково
наименьшее положительное число h, для которого
(ar)h = arh = 1 (mod р)?
Очевидно, что rh должно делиться на 8, так как а принадлежи!
к показателю 8. Пусть г — общий наибольший делитель чисел г — ггг
и 8 = е8'; тогда h должно делиться на 8'. Наименьшее число Л, удо-
удовлетворяющее этому условию, есть само число 8', и действительно
(яг)8'=(лУ=1 (mod p);
значит, аг принадлежит к показателю о'. Поэтому если аг принадлежи!
к показателю 8, то s=l, и г должно быть взаимно простым с 8»
И обратно, если г и 8 — числа взаимно простые, то е=1 и ат при-
принадлежит к показателю 8. Мы приходим, следовательно, к тому заклю-
заключению, что между числами (А) находится столько принадлежащих к по-
показателю 8, сколько между показателями
О, 1, 2, ..., 8 — 1
найдется чисел, взаимно простых с о. Поэтому имеется у (о) таких чисел..
Так как мы допустили, что существует по крайней мере одно та-
такое число а, то предыдущий вывод можно сформулировать следующим
образом: если р — число простое и 8 — один из делителей р—1, то
число несравнимых чисел, принадлежащих к показателю 8, равно или
нулю или ср (8). Чтобы разрешить эту альтернативу, возьмем все р—1
чисел, не сравнимых по модулю р и не делящихся на р, и распреде-
распределим их на группы, относя два какие-нибудь из этих чисел к одной
или к различным группам, смотря по тому, принадлежат ли данные
числа к одному показателю 8 или к различным.
Если обозначим через\,Ф(8) число тех из этих чисел, которые при-
принадлежат к группе, соответствующей показателю 8, то ввиду того,

64 ГЛАВА ВТОРАЯ [§ 30
что каждое из р—1 чисел принадлежит к одной и только к одной
группе, мы имеем следующее равенство:
где 8 пробегает все делители числа /?—¦- 1. Далее нам уже известно,
что ^(8) или равно нулю или равно <р(^)> в т0 же вРемя (§ 13)
Из этого необходимо следует, что ^(8) никогда не равно нулю,
а всегда равно <р (8), ибо каждый член ф (8) первой суммы никогда не
может быть больше соответственного члена второй суммы, так что
если бы один или несколько раз ^(^) было равно нулю, то непре-
непременно первая сумма была бы меньше второй, чего быть не может.
Таким образом мы имеем следующую важную теорему1):
Число всех несравнимых чисел, принадлежащих к показателю 8%
где 8 есть делитель р — 1, всегда равно у(Ъ).
Легко видеть, что теорема эта оправдывается для рассмотренного
нами частного случая, когда р = 7.
§ 30.
Наиболее интересен и важен тот частный случай, когда 8=^— 1.
Существует всегда <р(р— 1) несравнимых чисел g, принадлежа-
принадлежащих к показателю р — \ и имеющих^ следовательно^ то характери-
характеристическое свойство, что р — 1 степеней
1, g, g\g\---,gP~2 (G)
see не сравнимы между собой по модулю р.
Так как существует только р — 1 чисел с, не сравнимых по мо-
модулю р и не делящихся на р, то, следовательно, каждое такое число с
сравнимо с одним и, естественно, только с одним из чисел ряда (G).
Всякое число g, принадлежащее к показателю р — 1, называется
первообразным корнем простого числаj>2), и мы можем сказать также:
если g — первообразный корень р и с — какое-нибудь число, не деля-
делящееся на /?, то в ряду 0, 1, 2, ..., р — 2 существует одно и только
одно число -f, удовлетворяющее условию
c^g4 (mod /?).
Если все числа, не сравнимые по модулю р и не делящиеся на /?,
рассматривать таким образом как степени основания g, то показатели -у
называются индексами соответствующих чисел с по отношению к осно-
основанию g, что записывают так:
\ndc = -у,
1) Gauss, D. A., art. 54.
2) Euler, Demostrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros
^rimos resultantia, Nov. Comm. Pertrop. XVIII, стр. 85.

§ 30]
О СРАВНЕНИЯХ
65
причем основание g} если оно остается без изменения, в обозначении
опускается.
Возьмем, например, р = 13; тогда легко убедиться в том, что 2
есть первообразный корень. В самом деле, возводя в степень, находим:
2° =1; 21 = 2; 22s==4; 23==8; 2±==3; 26=s6;
2б ==12; 27=11; 28 = 9; 29== 5; 210=10; 2" = 7.
Если поэтому взять 2 за основание системы индексов, то можно со-
составить следующие таблицы:
с
Ind с
1
0
2
1
3
4
4
2
5
9
б
5
7
11
8
3
9
8
10
10
11
7
12
б
Ind с
с
0
1
1
2
2
3
8
4
3
5
6
6
12
7
11
8
9
9
5
10
10
И
7
из которых первая дает возможность по данному числу с найти соот-
соответствующий индекс, а вторая — по данному индексу найти соответ-
соответствующее число1).
Очевидно, что этот способ представляет большую аналогию с кон-
конструкцией таблиц логарифмов, которые основаны на том принципе, что
всякое число можно рассматривать как степень одного и того же
основания. Оказывается также, что в теории чисел индексы подчи-
подчиняются тем же законам и для практических целей имеют то же значе-
значение, что и логарифмы. Прежде всего очевидно, что два сравнимых
числа имеют один и тот же индекс, т. е. если
то
Далее, если
то
или же
a = b (mod p)t
Ind a = \ndb.
c~ab (mod/?),
Ind с = Ind a -f- Ind b (mod p — 1), *
Ind (ab) = Ind a -j- Ind b (mod p—1).
*) В книге Якоби Canon Arithmeticus A839) можно найти такие таблицы
для всех простых чисел, принадлежащих первой тысяче. [Таблицы индексов
для всех простых чисел, не превосходящих 200, помещены также в книгах:
П. Л. Чебышев, Теория сравнений, 1849 и Д. А. Граве, Элементарный
курс теории чисел, 1913. Ред.].
5 Г*ЯК' 'Л 1ПП .ne^nu.THnrrv^

66 ГЛАВА ВТОРАЯ [§ 30
Действительно
a^gXaia (modp);
b^gmb (modp);
следовательно
аЬ = ?лйа + шь (modp);
но в то же время
abs3fp*w (modp)>
стало быть
Но g есть первообразный корень р и, следовательно, принадлежит
к показателю о = р—1; поэтому на основании § 28 убеждаемся
в справедливости доказываемого сравнения по модулю р—1.
Возьмем предыдущий пример, когда /7=13. Тогда, скажем,,
Ind G) = 11, Ind(9) = 8,
следовательно
Ind F3) =19 (mod 12)
или
Ind F3) = 7.
И действительно,
63= 11 (mod 13)
и
Ind A1) = 7.
Из этого примера можно видеть, каким образом, имея таблицы
индексов, определить тот класс A1)» к которому принадлежит про-
произведение F3) дзух данных чисел G и 9).
Само собою разумеется, что эту теорему можно распространить на
какое угодно число множителей, так что имеем
Ind [abc. . .) е^ее Ind a-j-Ind b-\-lndc ¦[-••» (mod p— 1).
Если все эти множители сравнимы по модулю р9 то получаем
Ind (a71) see n Ind a (mod p — 1),
где п означает целое положительное число.
Легко было бы доказать, что переход от одной системы индексов
к новой системе, для которой основанием служит какой-нибудь другой
из ср (р—1) первообразных корней, подчиииется тем же законам, как
переход от одной системы логарифмов к другой. Мы ограничимся,
однако, следующими замечаниями.
Как бы ни было выбрано основание g, индекс 1 всегда равен нулюг
ибо g°z=l. Далее для всякого р (за исключением /; = 2) индекс числа
— 1 всегда равен —- (р—1). В самом деле, на основании § 19
g* - 1 = (/~Г — 1) (/Г +1)^-0 (mod p):

§ 30] О СРАВНЕНИЯХ 67
значит, одно из двух чисел
g 2 — 1, ff 2 -f 1
должно делиться на р. Но первое не может делиться на /?, иначе
g 2 ~l (mod/7),
чего быть не может, ибо g принадлежит показателю р—1; следова-
следовательно
g 2 ~ — 1 (mod/?),
т. е.
l)_.
К этому можно еще прибавить, что индексами могут быть как
числа 0, 1, 2, ..., р — 2, так и всякая система чисел, не сравнимых
по модулю р—1; все доказанные для теории индексов теоремы
остаются при этом в силе.
Применим теорию индексов к решению сравнений первой степени
ax~b (mod p).
Это сравнение на основании теории индексов может быть заменено
другим:
Ind х = Ind b — Ind a (mod p — 1).
Возьмем, например, сравнение
блг — б (mod 13)
и за основание системы индексов примем число 2; тогда
Ind*=Ind6 —Ind5 = 5 —9 = 8 (mod 12),
и, следовательно
х = 9 (mod 13).
На первый взгляд может' казаться, что этот способ решения
сравнений первой аепени применим только тогда, когда модуль
сравнения — число простое. Но легко показать, что решение всякого
сравнения первой степени
ах == Ъ (mod k)
при k составном сводится к решению ряда сравнений, модули ко-
которых— числа простые. Предположим при этом, что а и k — числа
взаимно простые. Сначала мы решаем сравнение
ax~b (mod /?),
где р — простое число, входящее в состав k = pk\ при помощи теории
индексов и получаем результат вила
х == a (mod р) или х = а -[-рх',

68 ГЛАВА ВТОРАЯ (§ 31
где хг— произвольное целое число. Подставляя это выражение х
в данное сравнение, мы находим
pax' =="# — яос (mod k).
Так как Ь — аа должно делиться на р, т. е. иметь вид Ь'р, то все
корни последнего сравнения должны быть корнями сравнения
ах? = Ъ' (mod k').
Последнее сравнение мы опять решаем относительно какого-либо простого
чисел //, входящего в состав &', и т. д. Определив корень последнего из
этих сравнений, мы посредством последовательных подстановок находим
корень данного^сравнения.
§31.
Применим теперь теорию индексов к исследованию свойств дву-
двучленных сравнений при простом модуле р. Каждое из таких двучленных
сравнений, как известно, может быть представлено в виде
Af е=?> (mod р), A)
где коэфициент при неизвестном равен единице. Далее тот случай,
когда
?>==0 (mod p)
и, следовательно* также
лг==О (mod p)y
не представляет интереса, а потому исключается из наших исследований.
Если мы обозначим индексы D и х соответственно через ^ и Е (за
основание принят какой-нибудь^ервообразный корень g,числа р), тр
решение сравнения A) сводится к определению всех корней 6 сравне-
сравнения первой степени
л5 = т (modp— 1), B)
так как каждому ко?шю сравнения A) соответствует корень сравнения
B), и обратно.
Пусть 8 будет общим наибольшим делителем чисел р—1 и п\
тогда (§ 22) сравнение B) возможно только когда удовлетворяется
условие
Т ^0 (mod 8) C)
и в этом случае имеет 8 корней ?, не сравнимых по модулю р—-1.
Отсюда вытекает такая теорема:
Если 8 есть общий наибольший делитель степени п сравнения A)
и числа р—1, то это сравнение возможно только тогда, когда
выполняется условие
IndD^O (mod о), . D)
и тогда сравнение имеет 8 корней, не сравнимых по модулю р.
Пусть, например, дано сравнение
*~8-e3 (mod 13).

§ 31] о сравнениях 69
В этом случае 8 = 4, и при основании g"=2 имеем Ind3 = 4; следо-
следовательно, условие D) удовлетворено и сравнение имеет четыре корив1,
не сравнимых по модулю 13. Для нахождения этих корней мы решаем
сравнение первой степени
8$е=4 (mod 12) или 2&=1 (mod 3),
откуда находим
1 = 2 (mod 3),
или же
6 = 2, Ess5, 5 = 8, 6 s И (mod 12).
Наконец, переходя от индексов к числам, имеем
х = 4, х 2=6, х s==9, at =7 (mod 13).
Так как возможность двучленного сравнения не должна зависеть от
выбора первообразного корня g, к которому отнесены индексы т и 6,
то и вышеуказанный критерий, в силу которого индекс *у числа D
должен делиться на один из делителей 8 числа р—1, может быть дан
в форме, независимой от теории индексов. Это делается следующим
образом. Если по отношению к какому-нибудь основанию g индекс -у
числа D делится на один из делителей 8 числа р—1, то ^ = hb и
D = gm (mod»,
откуда по возведении в степень имеем
D"»"s/Msl (mod/?),
Обратно, если число D удовлетворяет сравнению
D ъ =1 (mod/7) E)
то индекс 7 числа Д взятый по отношению к какому-либо основанию
g, должен делиться на 8. В самом деле, если
О = дГ) (modp),
то
g ° ^1 (modp),
и так как ^—первообразный корень, т. е. число, принадлежащее
к показателю р—1, то показатель ^- . должен делиться на р—1,
т. е. Y должно делиться на 8.
После того, как мы таким образом преобразовали }словие C) или
D) в найденный Эйлером г) и названный его именем критерий E), мы
можем предыдущую теорему формулировать, независимо от теории
индексов, следующим образом.
!) Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta, artt. 64, 72, Nov.
Comm. Petrop. VII.

70 ГЛАВА ВТОРАЯ [§31
Если 8 есть общий наибольший делитель чисел пир — 1, то
сравнение
xn=^D (mod p) A)
имеет или 8 корней или ни одного, смотря по тому, удовлетворяет
ли число D условию
¦Р-1 /г-Ч
р ь = 1 (mod /7) W
нет.
Тот частный случай, когда 8 = я и D=l, исследован нами раньше
(§ 27) другим способом, и нетрудно было бы, пользуясь теми же прин-
принципами, доказать и общую теорему, независимо от теории индексов.
Однако мы предоставим это исследование самому читателю.
Можно еще поставить такой вопрос: дана степень п сравнения A);
сколько существует несравнимых по модулю р чисел D, для которых
это сравнение возможно? Предыдущая теорема сразу дает ответ
на этот вопрос, так как числа D представляют собою все корни
двучленного сравнения
р-\
х 3 = 1 (mod p).
Так как общий наибольший делитель показателя "~ и числа р—I
о Г
р — I
равен показателю -^— и так как условие возможности этого сравне-
сравнения выполнено, то, следовательно, число не сравнимых по модулю /;
чисел D, для которых сравнение A) возможно, в точности равно ^Т -.
Такие числа D, которые сравнимы с я-ю степенью какого-нибудь числа,
называются вычетами степени /г; следовательно:
Число всех вычетов степени п равно р 7" , где 8 означает общий
о
наибольший делатель чисел пир — 1.
Такие вычеты можно определить, возвышая в степень п числа, не
сравнимые по модулю /?, и находя остатки от деления этих степеней
на /?. Если п =2, 3, 4, то такие вычеты называются соответственно
квадратичными, кубичными, биквадратичными. С теорией квадратич-
квадратичных вычетов, которая сама по себе уже достаточно обширна, мы под-
подробно ознакомимся в следующей главе.

Глава третья.
О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ.
§ 32.
Мы переходим теперь к подробному изучению сравнений вида
x? = D (mod k), A)
причем всегда будем предполагать, что D и k— числа взаимно про-
простые. Легко было бы показать, что всякое сравнение второй степени
может быть приведено к этому виду; на зтом, однако, мы не будем
останавливаться. Если сравнение A) возможно, т. е. если оно имеет
корни, то число D называется квадратичным вычетом числа k, в про-
противном случае — квадратичным невычетом числа k.
В дальнейшем в тех случаях, когда от этого не может произойти
недоразумений, прилагательное „квадратичный" пропускается, и число D
называется просто вычетом или невычетом k, смотря по тому, воз-^
можно ли сравнение A) или нет. Очевидно, что два числа, сравнимые
по модулю ky должны быть одновременно или оба вычетами или оба не-
невычетами числа k, т. е. Есе числа одного и того же класса имеют
одинаковый характер, так что если одно из них будет вычетом или
невычетом k, то и все остальные будут вычетами или невычетами k.
Теория квадратичных вычетов распадается на две основные части;
именно, можно поставить сначала такой вопрос:
Дан модуль k; спрашивается, каковы все квадратичные вычеты
числа k и сколько корней. имеет сравнение, соответствующее одному
из этих вычетов?
Гораздо труднее дать ответ на другой основной вопрос:
Дано число D; спрашивается, каковы модули k) для которых
сравнение A) возможно, т. е. каковы числа k> no отношению к ко*
гпорым данное число D служат квадратичным вычетом?
§33.
Мы займемся сначала решением первого вопроса и начнем наши
исследования с того простейшего случая, когда модуль — простое
нечетное число р (в случае/? = 2 всякое нечетное число s= 12, а потому
будет квадратичным вычетом 2). Полный ответ на этот вопрос дает
вышеизложенная (§31) теория двучленных сравнений. В настоящем
случае степень двучленного сравнения я — 2, и так какр — 1 —четное
число, то общий наибольший делитель пир — 1 есть 8 = 2; следова-
следовательно, сравнение
x2===D (mod p)

72 глава третья [§ 32
возможно только тогда, когда
D 2 == 1 (mod /?),
и в этом случае оно имеет два корня, не сравнимых по модулю р. Числа
квадратичных вычетов равно -^ (р—1), а так как чисел, не сравнимых
по модулю р и не делящихся на р, всего р—1, то число невычетов р
также равно -~- (р — 1).
Далее на основании теоремы Ферма имеем
(mod /?),
Dp~l—l=\D 2 —l)\D* +1/ззО
следовательно, если D есть невычет р, то должно иметь место срав-
сравнение
р-1
D 2 =—1 (mod р).
Таким "образом число D будет вычетом или невычетом /?, смотр»
по тому, будет ли
D 2 s + 1 или D 2 ~ — 1 (mod /?).
Если мы назовем это свойство числа D — быть вычетом или невы-
невычетом— его характером, то этот последний вполне устанавливается
приведенным только что критерием.
Можно доказать и элементарным путем, что как число вычетов, так
и число невычетов равно -к{р—!)• Возведем в квадрат -^{р—1)
чисел у
1 9 3 Р--1
1, л, о, . . .,
2 ,
тогда все эти квадраты будут несравнимы по модулю р> потому что
разность квадратов двух каких-нибудь из этих чисел
Г2 52 = (г + s) (г s)
не может делиться на р, так как и r+s и г — 5 меньше р. Таким
образом квадраты этих -^(р — 1) чисел дают -^ (р—1) квадратичных
вычетов, не сравнимых по модулю р; напротив, квадраты чисел
?+1 L±± л—1
2 ' 2 ' • • •' Р 1
дают снова те же самые остатки, что и квадраты чисел
1,-2, 3, . . ., ?=i,
потому что вообще
(р — гJ = р2 — 2/т? + г2 = /*2 (mod p).

§ 33] о квадратичных вычетах 73»
Следовательно, -т?(р—1) есть число всех квадратичных вычетов, а
также и число всех невычетов.
Так как произведение нескольких множителей, не делящихся на рг
также не делится на р, то можно поставить вопрос об определении
характера произведения по данным характерам множителей. Если мы
ограничимся сначала двумя множителями, то нам придется рассмотреть
следующие три случая.
I. Произведение двух вычетов есть также вычет. В самом деле, если а
и а!— вычеты, то существуют такие числа х, х', что.
а = х2 (mod р) и a' s= x'2 (mod p).
Отсюда следует, что
аа'^=(ххУ (mod p),
т. е. ааг есть вычет р.
II. Произведение вычета на невычет есть невычет. Действительно^
полная система чисел, не сравнимых по модулю р и не делящихся на ру
распадается на две группы, из которых первая содержит -^(р—1) вы-
вычетов— будем обозначать их через а—и вторая -х(р—1) невычетов р.
Умножим затем все эти числа а и ,3 на какой-нибудь вычет а\ тогда
произведения аа и а$ представляют полную систему не сравнимых и не
делящихся на р чисел, и эта система содержит опять -^ (р— 1) вы-
вычетов и -^(р— 1) невычетов. Но все произведения аа (на основании \у
суть вычеты, значит, все прочие ^(Р—1) произведений а§ суть невы-
невычеты, и, следовательно, произведение вычета на невычет представляет
невычет.
III. Произведение двух невычетов есть вычет. В самом деле, если
систему всех вычетов а и невычетов {3 умножить на какой-нибудь не-
невычет by то произведения Ья (на основании II) все представляют невы-
невычеты, следовательно, остальные у(р—1) произведений Ь$— все вы-
вычеты. Эту важную теорему можно, конечно, обобщить следующим,
образом:
Произведение скольких угодно чисел, не делящихся на простое*
число ру есть вычет или невычет р, смотря по тому, будет ли
число невычетов, входящих множителями в это произведение, четное
или нечетное.
Эта теорема представляет непосредственное следствие из выше-
вышеуказанного критерия для определения характера числа, а именно*.
р—1 р—1 р—1 р—1
{abc . . .) 2 =а 2 Ъ 2 с 2
следовательно
jp—1 р— 1
(abc . . 2 ь= -{-1 (mod р) или (abc . . .) 2 г= — 1 (mod />)„

74 ГЛАВА ТРЕТЬЯ [§ 34
смотря по тому, будет ли число множителей
р—1 р—1 jp—1
а 2 , b \ с 2, . . .,
которые ==—1, четным или нечетным.
Последнее соотношение можно представить в виде равенства, если
воспользоваться символом, введенным впервые Лежандром *) и играющим
весьма важную роль в теории чис^л. А именно, Лежандр обозначает
символом (—) положительную или отрицательную единицу, смотря
по тому, будет ли число т, не делящееся на р, квадратичным вычетом
или невычетом /?. Поэтому всегда
-){-) =+ 1, и т вG) (mod,?).
Пользуясь символом Лежандра, мы можем представить предыдущий
результат в виде такого равенства:
mnl .
. Л _(т\ (п\ (Г\
Р )\Т)\р)\р
Очевидно далее, что если т~ п (mod p), то
§ 34.
Нелишне будет указать, что предыдущие результаты, которые
являются следствием теории двучленных сравнений, мы можем получить
элементарным путем, исходя из~ основных положений теории чисел.
При этом мы приходим к новому доказательству теорем Вильсона
и Ферма.
Обозначим через D какое-нибудь число, не делящееся на простое
(нечетное) число /?, и через г — одно из чисел
1, 2, 3, . . ., р—1) A).
тогда в последнем ряду всегда существует "одно и только одно число s>
удовлетворяющее условию
rs~D (mod p),
ибо s есть корень сравнения первой степени
rx = D (mod p).
Такие два числа г и s ряда A), произведение которых === Д мы будем
называть дополнительными числами. Очевидно, что одно из этих чисел
вполне определяет другое. Эти два числа могут быть равными только
тогда, когда возможно сравнение
л;2 = ?> (mod /?). B)
Theorie des Nombres, 3-е изд., т. I, стр. 197.

§ 35] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 75
Ввиду этого нам придется различать два случая.
Первый случай: сравнение B) невозможно.
Тогда все дополнительные числа различны между собой, итак как две
пары таких чисел тождественны, * если только они имеют одно общее
число, то все р—1 чисел ряда A) составляют — (/;—1) таких пар, и
1 • 2 . 3 • • • (р — 1) = D 2 (mod p). C)
Второй случай: сравнение B) возможно.
Тогда в ряду A) существует по крайней мере одно число р, удовле-
удовлетворяющее условию p2===D. Посмотрим, нет ли в ряду A) другого
такого числа о. Если такое число существует, то а2^^, следова-
следовательно, (з — p)(a-f-p) должно делиться на р\ но о и р различны между
собою, о — р не делигея на р, значит, o-j-p делится на р, т. е. а — р— р,
и действительно, (р — рJ = D. Отделим эти два различных числа р
и с = р — р, произведение которых рз = — р2 == — D, от прочих
чисел ряда A); тогда эти последние составят -тг (р—3) пар дополни-
дополнительных чисел, причем каждая пара будет состоять из двух различных
чисел. Следовательно, в этом случае
1-2-3- • .(/?—1)е= —# 2 (mod /7). D)
Но в том случае, когда D=l = l2, сравнение B) всегда возможно,
и таким образом из сравнения D) мы находим теорему Вильсона:
Л -2-3. • .(/?—1) = —1 (mod/?). E)
Сопоставляя последнее сравнение с сравнениями C) и D), на-
находим, что
р-1
D 2 = -|- 1 (mod p)
И'! И
Р-1
D 2 = — 1 (mod p),
смотря по тому, возможно ли сравнение B) или нет. Так как третий
случай невозможен, тЪ, следовательно
l)* = + l (mod p)9
а это и есть теорема Ферма.
Таким образом при помощи весьма простых соображений доказы-
доказываются те свойства квадратичных вычетов, которые раньше были вы-
выведены нами из теории двучленных сравнений.
§35.
Перейдем теперь к исследованию того случая, когда модуль k срав-
сравнения второй степени
x*===D (mod *)
^^D * ) =

76 ГЛАВА ТРЕТЬЯГ [§ 35
представляет степень нечетного простого числа р. Случай, когда р = 2*
будет рассмотрен особо *)•
Пусть р означает какое-нибудь простое нечетное число и & = /Л где
те — целое положительное число. Положим, что сравнение
x*~D (mod /) A>
возможно. Тогда легко убедиться в том, что это сравнение имеет всего-
два несравнимых керня. Если а — данный корень, а х— какой-нибудь
другой корень, то
х* — а* = (х — а)(д: + я) = О (mod рк).
Из двух множителей х — а и х~\-а только один делится на р, ибо»
если бы они оба делились на р, то и разность их 2а, а, следовательно*
и а, также делились бы на /?, чего быть не может, так как ?)=а2 мы
предполагаем не делящимся на р. Таким образом из двух множителей,
один — Езаимно простой с /Л значит, другой должен делиться на рп, и„
следовательно, или
AT=s<x (mod /7я),
или
х ss — a (mod р*)
и сравнение A) или не имеет ни одного корня или имеет два корня
аи —а.
Теперь нужно решить вопрос, когда имеет место первый случай
и когда — второй. Так как всякий корень а сравнения A) должен быть
также корнем сравнения
x* = D (mod /?), B)
то очевидно, что сравнение A) возможно только тогда, когда D есть
квадратичный вычет числа р. Теперь спрашивается: если D есть квадра-
квадратичный вычет р, следует ли отсюда, что сравнение A) возможно.
Чтобы ответить утвердительно на этот вопрос, мы должны доказать,
что если а — корень сравнения B) (следовательно, D есть квадратичный
вычет /?), то мы можем определить такой корень сравнения (!), кото-
который s=a (mod /?}.
Так как то же самое должно относиться ко всякому сравнению
x* = D (mod k\
причем D остается одно и то же, a k означает какую-нибудь степень
простого числа р, то вопрос сводится к тому, чтобы, зная корень а
сравнения A), определить такой корень сравнения
+1), C)
который s= a (mod pK). Пусть
а2 = D (mod pn)
1) Последующие результаты можно также вывести из теоремы, доказы-
доказываемой в § 145.

^§ 36] о квадрдтичных вычетах 77
или
a2 — D = hpr-t
тогда мы полагаем
х = я -4- рг"у,
откуда следует, что
х* — D = hpK + 2ар> -|- р2у = рп (Л -f 2ау) (mod p*+1).
Для того чтобы было
** в D (mod p*+1),
нужно ^ выбрать так, чтобы
2ау=== — h (mod p).
Так как D, а, значит, и а и, следовательно, 2а не делятся на р
{ибо р— число нечетное), то последнее сравнение первой степени всегда
имеет решение х).
Таким образом мы видим, что возможность сравнения A) всегда
обусловливает соб.ою возможность сравнения C), а применяя последо-
последовательно этот же способ доказательства, мы убедимся в том, что если
сравнение B) имеет решение, то и сравнение A) всегда имеет реше-
решение. Кроме того, этот Mte способ указывает, каким образом, зная
^корень сравнения x2=D для какого-нибудь модуля р, последова-
последовательно найти корень того же сравнения для модулей р2, р3, . . ., рг\
Таким образом мы приходим к следующему выводу:
Если р — нечетное простое число и D не делится на р, то для
возможности сравнения
х*==Ь (mod рг)
необходимо и достаточно, чтобы
т. е. D должно быть квадратичным вычетом р. Если это условие
удовлетворяется, то данное сравнение имеет два не сравнимых
по модулю р корня аи —а, которые могут быть найдены^ если
только Мы определим корень сравнения
X2 = D (mod p).
§ 36.
Переходим теперь к частному случаю, когда модуль k есть степень 2,
a D — какое-нибудь нечетное число. Возьмем сначала сравнение
лг2=?> (mod 4).
Очевидно, это сравнение имеет решение только тогда, когда
D=\ (mod 4).
г) Вместе с тем 2xr = D-f~ct2 (mod

7& ГЛАВА ТРЕТЬЯ [§ 36
В самом деле, если сравнение возможно, то х— число нечетное,
а квадрат нечетного числа 2п -j- 1 есть
я+1 = 1 (mod 4).
Обратно, если
Z)=l (mod 4),
то сравнение имеет два корня, не сравнимых по модулю 4, jl именно
х = 1 (mod 4)
и
л;^= — 1 (mod 4).
Перейдем теперь к сравнению
*s = D (mod 8).
Так как квадрат всякого нечетного числа 4п±\ равен
16п2±8л + 1 = 1 (mod 8),
то данное сравнение возможно только тогда, кохда
D=l (mod 8).
Обратно, если последнее условие удовлетворено, то данное сравнен ie
имеет четыре корня, а именно
х = 1, хее=3, х = 5, х ==7.
Возьмем, наконец, сравнение
x^ = D (mod 2"),
гдетс^-3; это сравнение возможно толькр тогда, когда возможно сравнение
X2 = D (mod 8).
Таким образом для возможности данного сравнения необходимо,
чтобы
D~\ (mod 8).
Покажем, что это условие в то же время достаточно и что срав-
сравнение в этом случае имеет четыре корня. С этой целью допустим,
что теорема имеет место для модуля 2Г\ и докажем, что она верна
и для модуля 2л+1« Пусть а есть корень .сравнения
x^ — D (mod 2*),
так что
а2 — D = h2K;
если мы положим
то
2K + 2"а
_ о = h2K + 2"ау

§ 36] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 7Ф
Так как т: ^ 3, то 2тг — 2^>тг-|--1, следовательно
x* — Dz==2K(h + ay) (mod 2TC+1),
и для того чтобы х2 — D делилось на 2п+1> нужное выбрать так, чтобы
ау =— h (mod 2) *),
а это всегда возможно, так как а — число нечетное. Значит, если
сравнение
jfls=D (mod 2"),
где ти ^> 3, возможно, то всегда возможно и сравнение
х* = D (mod 2*+1).
Отсюда мы заключаем:
Для того чтобы сравнение
*2 = D (mod 2"),.
где тс ;> 3, имело решение, необходимо и достаточно, чтобы
D=\ (mod 8).
Пусть а — один из корней этого сравнения (такой корень всегда
может быть найден вышеуказанным способом) и х — какой-нибудь
другой корень того же сравнения; тогда
л;2_а2==(х — а)(х + а) ~ 0 (mod 2TC).
Числа а и х — нечетные., следовательно, оба множителя х — а и
х -{-"а — четные, а потому
¦'f^eO (mod 2^).
Так как разность двух множителей -^- (д: — ос) и у(дг-}-а) есть число
нечетное, то один из этих множителей — число нечетное, а другой-
должен делиться на 2ТС~~2. Это может быть в двух следующих случаях:
х = <х (mod 2я")
или
х~--а (mod 2К~1I
а эти два случая приводят к следующим четырем:
х = ос (mod 2я); лг=-а + 27С (mod 2*);
д;==_а (mod 2TC); x=—a — 2K'1 (mod 2").
И обратно, нетрудно убедиться в том, что каждое из этих четырех
чисел, не сравнимых по модулю 2Г\ удовлетворяет данному сравнению.
Вместе с тем будем иметь 2ax = D + a2 (mod

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
[§37
Результаты всего нашего исследования можно сформулировать так:
Сравнение
x*==D (mod 2K)
при тг = 1 всегда возможно и имеет один корень; при тс = 2 оно воз-
возможно только тогда, когда
D === 1 (mod 4), ^
и имеет в этом случае два корня; при тг^З оно возможно только
jipu условии
D==l (mod 8)
и имеет тогда четыре корня.
§37.
На основании предыдущего нетрудно сделать заключение о возмож-
возможности и о числе корней сравнения лг2=?) при каком угодно модуле,
если только этот модуль и D — числа взаимно простые. Решим этот
вопрос в общем виде.
Положим, что нужно решить какое-нибудь сравнение
/(л;)=0 (mod abc . . .). С1)
где a,- by сУ . . . — числа взаимно простые; тогда решение этого
сравнения сводится к решению системы следующих сравнений:
f(x)~0 (mod a\
f(x) = 0 (mod b),
B)
и т. д.
Прежде всего очевидно, что всякий корень х сравнения A) должен
удовлетворять всем сравнениям B); поэтому сравнение A) невозможно,
если невозможно хотя бы одно из сравнений B). Обратно, если а
есть один из корней сравнения /(лг) = 0 (mod а), [3 — один из корней
сравнения /(л;) = 0 (mod b), 7 — один из корней сравнения f(x) = Q
(mod с) и т. д., то мы можем определить (§ 25) число х, удовлетво-
удовлетворяющее системе таких сравнений:
х = a (mod a),
л;= р (mod 6),'
х===ч (mod с)
и т. д.
C)
'Но тогда
/(х)зз/(а)з=0 (mod а),
Дх)==/(р)==0 (mod b),
=/(^0 (mod с)
и т. д.

§ 37] о квадратичных вычетах 81
и так как числа а% Ь} с, . . , — взаимно простые, то
/(лг)==О (mod abc • . . ),
т. е, всякое число х, удовлетворяющее системе C), есть в то же
время корень сравнения A). Но системе C) удовлетворяет (на осно-
основании §' 25) бесконечное множество чисел л:, которые, однако, все
сравнимы по модулю abc . . . ; поэтому система C) дает один и только
один корень сравнения A). Далее, если
X есть число всех корней <х, не сравнимых по модулю а,
V- « Р, » » по модулю Ь.
v » » Ti » . » по модулю с,
и т. д.,
то существует Xjiv . . . различных систем C), которым соответствует
столько же различных корней сравнения A). Других корней сравне-
сравнение A) иметь не может, ибо, как выше было указано, всякий опреде-
определенный корень х сравнения A) должен быть корнем всех сравнений B),
и потому х должно быть сравнимо с определенным числом a (mod а),
с определенным числом [3 (mod b), с определенным числом f (mod с)
и т. д. Поэтому число всех корней данного сравнения, не сравнимых
по модулю abc . . . , равно Хр . . .
Пользуясь этим выводом, мы получаем критерий для решения вопроса,
возможно ли сравнение
*2 = D (mod k),
где D и k — числа взаимно простые, и как велико число а его не-
несравнимых корней. Если р означает любое из простых нечетных чисел,
входящих в k (и, следовательно, не входящих в D), то, необходимо,
чтобы
если это условие удовлетворено, то сравнение х2 = D имеет по отно-
отношению ко всякому модул^о вида рк два несравнимых корня. Поэтому,
если модуль k — число нечетное и ja — число различных простых чисел,
входящих в k9 то
Число корней сравнения остается то же и в том случае, если k
есть удвоенное нечетное число, так как сравнение
x*e=D (mod 2)
имеет всегда только один корень.
Если k равняется учетверенному нечетному числу, то, кромз вы*
полнения вышеуказанных [л условий, необходимо еще, чтобы
D е= 1 (mod 4),
м так как сравнение
a;2==D (moi 4)

ГЛАВА ТРЕТЬЯ[§
имеет два корня, то в этом случае
Наконец, если &s==0 (mod 8), то, кроме выполнения прежних
условий, необходимо еще, чтобы
D ~ 1 (mod 8)r
и так как сравнение
x2 = D (mod 2*)
при ir]>3 имеет четыре корня, то, значит
§38.
Применим результаты предыдущих параграфов к доказательству
теоремы, представляющей обобщение теоремы Вильсона (§ 27). Есля
положить, что Z)=l, то сравнение
\*2=1 (mod k) (I)
возможно при всяком модуле ?.
Число о его корней равно единице, если k=l или &=2; числа
корней равно 2, если k есть степень нечетного простого числа или;
удвоенная степень такого же числа или число 4; во всех прочих,
случаях о делится на 4.
Если мы исключим те случаи, когда &=1и&=2Атоа корней
сравнения распадается на тт ° паР корней р и —р> ибо р и —р одно-
одновременно должны быть корнями сравнения, и в то же время р и —р.
не сравнимы по модулю k, так как р и k — числа взаимно простые*
и, следовательно, 2р не сравнимо с нулем по модулю k. Произведение
р(—р) = — р2 двух таких корней === 1, и, следовательно, произведение
всех а корней сравнимо или с —f-1 или с —1, смотря па тому, де-
делится ли о на 4 или нет.
Между ф (k) числами z, которые не больше к и взаимна просты с &„
находятся а корней сравнения A); остальные ср(^) —G этих чисел z
(если таковые окажутся) разлагаются попарно на произведения таких
чисел г и s, произведение которых rs==z 1, ибо каждому числу г при-
принадлежит (§ 22) одно и только одно такое число s и„ кроме того*
5 не может быть сравнимо с г, ибо иначе г2 ===== 1, и, следовательно» г было бы
одним из корней о сравнения A). Значит, произведение всех этих <р (k) —a
чисел = 1.
Если мы перемножим теперь <р (k) чисел zy то произведение будет
= — 1, если k есть степень нечетного простого числа, или удвоенная
степень простого нечетного числа, или, наконец, число 4; во всех
-остальных случаях это произведение будет ===-{-1. (В тех двух случаях»
которые были исключены нами, а именно когда k= 1 и k— 2, <р(&) = 1
и единственное число z = z±z 1.) Эго и есть обобщенная теорема
Вильсона х).
Gauss, D. A., art. 78.

§ 39] о квадратичных вычетах 83
§39.
В предыдущих параграфах было дано полное решение первого
из вопросов, поставленных в § 32; теперь мы обратимся к решению
второго вопроса, не менее интересного и в то же время гораздо более
трудного:
Найти все модули k, no отношению к которым данное число D
есть квадратичный вычет.
Прежде чем приступить к решению этой задачи, следует упомянуть
о том, что весьма часто, особенно в сочинениях прежнего времени,
эту задачу формулировали иначе. Модули А, для которых сравнение
/(x)=sO (mod k)
возможно, называются также делителями формы f(x)> так как суще-
существуют такие значения л:, при которых форма f(x) делится на k.
Искомые нами числа k суть поэтому делители формы х2— D\ они
вполне совпадают с делителями формы t2— Du2, где t и и означают
целые числа и притом непременно взаимно простые. Что всякий дели-
делитель формы х2 — D есть в то же время делитель формы t2 — Du2,
видно непосредственно, так как вторая форма переходит в первую,
если положить t = x, u—\. Обратно, если k есть делитель формы
t2 — Du2> то « и k — числа взаимно простые, потому чю иначе какое-
нибудь простое число, входящее в k и и, входило бы и в /2, а следо-
следовательно, и в tj и числа t и и не были бы взаимно простыми. Значит,
можно найти число х, удовлетворяющее сравнению
ux = t (mod k),
и так как
?2_?)ц2 = о (mod k)y
то также и
и2(л:2_?))==о (mod k).
Но и2 и k — числа взаимно простые, следовательно
х2 — D = 0 (mod A),
т. е. всякий делитель k формы t2 — Du2, где t и и — числа взаимно
простые, есть в то же время делитель (Ьормы'\хг2 — D.
Таким образом поставленный вопрос может быть выражен так:
найти все делители формы t2 — Du2y где D — данное число, a t и и —
два неопределенные числа, взаимно простые между собою.
Мы ограничимся и здесь такими модулями k (взятыми всегда со зна-
знаком -j~)> которые будут взаимно простыми с D. Так как возможность
сравнения
О
зависит от простых чисел, входящих в ky и для модуля вида 2п может
быть определена сразу, то вопрос сводится к определению всех нечет-
нечетных (не входящих в D) простых чисел р, по отношению к которым
D есть квадратичный вычет. Если мы припомним, далее, что (§ 33)
характер числа D по' отношению к такому модулю р зависит от

84 ГЛАВА ТРЕТЬЯ [§ 40
множителей, входящих в D, то в конце концов мы придем к следующему
вопросу:
Найти все нечетные простые числа р, для которых возможно
одно из трех сравнений
х2== — 1, х2 = 2, x2~q (mod p),
где q означает данное положительное нечетное простое число.
§ 40.
Нахождение всех нечетных простых чисел /?, для которых сравнение
лг2=2— 1 (mod p)
возможно, не представляет никакого затруднения. Так как (§ 33)
р-1
то в настоящем случае имеем
Г-И_Л===(—1) 2 (mod p),
и следовательно
Таким образом доказана следующая важная теорема 1):
Число — 1 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида
4я-{-1 и квадратичный невычет всех простых чисел вида 4я-^-3.
Тот же самый результат можно получить следующим образом.
Положим, что сравнение
возможно, и х — один из корней этого сравнения. Тогда, возводя обе
р — 1
части этого сравнения в степень —-—, находим
jp-i
х^ = (—IJ (mod /О,
и, следовательно (на основании теоремы Ферма, § 19), (—1) 2 = 1,
т. е. р == 4лг —]— 1; значит, —1 есть квадратичный невычет всех простых
чисел вида 4п-\-3. Обратно, если р имеет вид 4п-\-\у то лгр~*—1
делится на х4 — 1, следовательно, и на х2~|-1, поэтому
где ф (х) есть многочлен с целыми коэфициентами. Так как на основании
теоремы Ферма (§ 19) левая часть этого равенства сравнима с нулем
^r, Demonstratio theorematis Fermatiani, omnem numerum primum
formae 4n -f 1 esse sumraam duorum quadratorum, Nov. Comm. Petrop. V, стр. 3.

§ 41] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 85
для р — 1 значений л:, не сравнимых по модулю р, то (§ 26) х2-\~1
также сравнимо с нулем по модулю р для двух значений х) х9 не срав-
сравнимых между собою, т. е. число — 1 есть квадратичный вычет всех
простых чисел вида 4n-f-l-
Таким образом получено новое доказательство теоремы.
§ 41.
Перейдем теперь ко второму случаю, т. е. к сравнению
л? ==2 (mod p).
Ферма, вероятно индуктивным путем, пришел к следующему резуль-
результату, впервые доказанному Лагранжем 2):ч
Число 2 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида 8/г «j- 1
или вида 8/1-}-7 и квадратичный невычет всех простых чисел вида
8/г + З или тда 8/г+5.
Докажем сначала вторую часть теоремы, а именно, что 2 есть не-
невычет всех простых чисел вида 8/г±3. Теорема, очевидно, имеет место
для р = 3, ибо это число 3 имеет один только вычет, именно 1. По-
Положим, что теорема вообще не имеет места; тогда должно существо-
существовать наименьшее простое число вида 8/г ±3, положим число р, для
которого теорема не имеет места и для которого, следовательно, срав-
сравнение
х2 = 2 (mod p)
возможно. При этом мы можем всегда корень х предполагать мень-
меньшим р и притом нечетным, ибо в случае х. четного другой корень
х' — р— х будет нечетным. Мы можем положить
где /—число положительное и меньшее р\ далее, х2 имеет вид 8п-\-1,
следовательно, р/ имеет вид 8/г—1, а /§—вид 8/г=^3. Отсюда сле-
следует, что число / имеет по крайней мере один простой делитель рг
вида 8я-|-3 или вида 8/г — 3, так как произведение одних только
множителей вида 8/г =±z 1 дает числа того же вида 8я±1. Значит,
для простого числа р', которое также меньше ру мы имели бы
х2 == 2 - (mod //),
а это противоречит предположению, что р есть наименьшее число
Еида 8/izt3, для которого 2 есть квадратичный вычет. Следовательно,
такое предположение не может быть допущено, и, значит, всегда
(Njr) = — 1» если p = 8nz*z3.
1) С помощью теоремы Вильсона (§ 27) легко показать, что эти корни
= ±1..2.3 • • . ~(Р-1).
2) Recherches d'Arithmdtique, Nouv. Mem, de l'Acad. de Berlin, 1775
стр. 349, 351.

86 ГЛАВА ТРЕТЬЯ [§41
Теперь мы докажем, что число 2 есть квадратичный вычет всех
простых чисел вида 8я + 7. Так как (§ 40) —-1 есть квадратичный
невычет всех простых чисел этого вида, то нам остается только пока-
показать, что число —2 есть также невынет всех этих чисел. Вместо
этого мы докажем положение более общее, а именно: число —2 есть
невычет всех простых чисел вида 8/г-|— 5 и вида 8п -J- 7, хотя для
чисел вида 8п-\~5 это свойство уже не требует доказательства ввиду
того, что (§ 40) —1 есть квадратичный вычет чисел вида 8п-\~5.
Прежде всего заметим, что теорема имеет место для наименьшего числа
вида 8п-\~5, т. е. для 5. Если бы теорема вообще не имела места, то
должно было бы существовать наименьшее число р вида 8п-\-Ь или
вида 8п + 7, для которого
*2 X 2 = ° (mod РХ
Здесь мы опять можем допустить, что х — число, меньшее р и не-
нечетное, так что есЛи положить, что
то / должно быть числом положительным, нечетным и меньшим /?¦ Далее,
так как
л;2 + 2~=3 (mod 8)
и
р = Ь или /7 2== 7 (mod 8),.
то / должно быть соответственно = 7 или = 5 (mod 8). Но произве-
произведение одних множителей вида 8/г -f- I или вида 8# + 3 дает числа того
же вида, но никогда не дает чисел вида 8п-\-Ь или вида 8п-\-7,
Поэтому число / должно иметь множителем по крайней мере одно
простое число р' вида 8лг -f- 7 или вида 8n-J-5, и для этого4 числа рг
теорема также не имеет места, ибо
#2-f 2e=0 (mod р').
Но р' < /?, а это противоречит предположению, что р есть наименьшее
простое число, для которого теорема не оправдывается. Значит, это
предположение не может быть принято, и, следовательно, вообще
I = — 1 для p — Ъп -4- о и для р =
т. е.
/2\
) = — 1 для р =
l^^l для р = 8/1+7.
Теперь остается только доказать, что 2 есть квадратичный вычет
всех простых чисел вида 8/z-f-l. Но здесь предыдущий способ дока-
доказательства оказывается неприменимым, потому что предположение,
противоположное доказываемой теореме, не может быть представлено
в виде сравнения, обнаруживающего его невозможность. В этом случае
доказательство можно вести следующим образом. Так как р = 8п-\-1,

4§ 42] о квадратичных вычетах 87
го хр~~х—1 делится на Xs— 1 и, значит, на лг4+Ь а потому (на
основании § 26) заключаем, что сравнение
х± -f-1 = 0 (mod p)
&шеет корни. Если х означает один из таких корней, то
д-4 -J- 1 = (х2 ± IJ zp 2аг2 ^ 0 (mod p),
следовательно
(д:2 ± IJ =з it 2дг2 (mod p)\
яоэтому ±2jc2, а значит и ±2 есть квадратичный вычет р, т. е.
1 = 1, если р = \
Таким образом теорема доказана для всех возможных случаев и мо-
экет быть выражена равенством
мбо sip*—1) есть число четное или нечетное, смотря по тому, бу-
будет ли /? = 8я±:1 или р — 8п±3<.
§42,
Приступим теперь к решению третьего вопроса:
Для каких нечетных простых чисел р данное нечетное простое
число q служит квадращичным вычетом?
Полный ответ на этот вопрос дает нам одна из самых важных
и самых интересных теорем теории чисел. Эта теорема вследствие своего
особенного характера известна под именем закона взаимности и может
быть сформулирована следующим образом:
Если из двух нечетных простых чисел р и q no крайней мере
одно имеет вид 4п -\- 1, то q будет квадратичным вычетом или не-
невычетом р, смотря по тому, будет ли р квадратичным вычетом
шли невычетом q\ если же оба числа — вида 4я-{-3, то q есть ква-
квадратичный вычет или невычет р, смотря по тому, будет ли р ква-
квадратичным невычетом или вычетом q.
Очевидно, что эти два случая содержатся в одной формуле
В самом деле, если одно из чисел р и q имеет вид 4/г-(-1, то один
из множителей -^ (р—1) или -^ (q—1), а следовательно, и произ-
произведение их, есть число четное, так что
этим равенством выражается первая часть теоремы. Напротив, если оба

88 ГЛАВА ТРЕТЬЯ [§ 42
числа р и q имеют вид 4п-\-3, то оба множителя ¦= (р—1) и -^ iff—1)»
а следовательно, и произведение их есть число нечетное, так что
это равенство соответствует второй части теоремы.
Пусть, например, р = 3, q = 5; тогда р есть квадратичный невычет
</ и одновременно q — невычет р, т. е.
Если /? = 3, <7=13, то р есть квадратичный вычет q и одновре-
одновременно q — вычет р, т. е.
Если же р = 3, </ = 7, то /? есть квадратичный невычет # и одновре-
одновременно q — квадратичный вычет р, т. е.
(*)--(*)—¦
Что касается открытия и доказательства этой замечательной теоремы,
то в настоящее время уже установлено *), что это положение в полном
его объеме, хотя и в иной форме, впервые было высказано Эйлером2), но
без доказательства. Затем та же самая теорема была дана, повидимому, не-
независимо от Эйлера, Лежандром 3), который доказал эту теорему, по край-
крайней мере в одной ее части, весьма остроумным способом. Наконец, Гаусс
дал не одно, а шесть вполне строгих, основанных на различных прин-
принципах доказательств4) этой теоремы, которую вследствие ее важности
он назвал Theorema fundamentale (основной теоремой) теории квадра-
квадратичных вычетов.
Мы изложим здесь третье из этих шести доказательств, которое
основывается на лемме, при помощи которой эйлеровскйй критерий
(§ 33) харзктера числа D по отношению к простому числу р может
быть заменен другим.
1) Ср. Kum mer, Ueber die allgemeinen Reciproeitatsgesetze tmter den Re-
sten und Nichtresten der Potenzen, utren Grad eine Primzahl ist (Abh. der Berli-
Berliner Akademie, 1859) и Kronecker, Bemerkungen zur Geschichte des Recipro-
citatsgesetzts, Monatsbericht der Berliner Akademie от 22 апреля 1875 г).
2) Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos в I томе
Opuscula Analytica (Петербург 1783) или в Commentationes Arithmeticae, т. 1„
стр. 477.
3) Recherches d'analyse indeterminee (Hist, de Г Ac. d. Sc. 1785, стр. 465).
4) D. A. artt. 125 — 145 (cp. §48—51 этой книги); D. A., art. 262 (cp. §152—
154); Theorematis. arithmetici demonstratio nova, 1808; Stimmatio quarumdam serie-
rum singularium, 1808 (cp. § 115); Theorematis fundamentalis in doctrina de resi-
duis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae, 1817. В посмертном Ana-
Analysis Residuorum, art. 365 (Gauss' Werke, т. II) имеется еще седьмое доказатель-
доказательство, заслуживающее того, чтобы быть отмеченным как самостоятельное, хэтв

§ 43} о квадратичных вычетах 89
§ 43.
Мы уже раньше (§ 33) видели, что число Д не делящееся на рР
есть квадратичный вычет или невычет р> смотря по тому, будет ли
р-1 р — \
О 2 =4-1 или D 2 = — 1 (mod p).
Если мы возьмем произведения
D, 2D, ЗА ..., I(p_l)D .
числа D на первые -к{р — 1) чисел натурального ряда, то наименьшие,
положительные вычеты этих чисел
2
взятые по модулю р, йсе различны между собой, меньше /?, и отличны
от нуля. Разобьем все эти вычеты, число которых равно ^-^—, на*
две группы, относя к первой те вычеты, которые больше -^ р, а ко вто-
второй— те, которые меньше-у р, и обозначим первые, число которых,
положим равным у., через
av а2> •• ' V
а вторые, число которых ^ = -2" (Р—*)— ^ — через
Pi. Р* ••- рх-
Если мы возьмем дополнения первых \ь вычетов до числа р} то числам
заключаются, так же как и X чисел Р1? ^9, ..., j3x между границами О
и -кр и все различны между собой. Наконец, можно показать, чта
оно, вместе с четвертым и шестым доказательствами, имеем своим источником
теорию деления окружности. Большинство доказательств, опубликованных дру-
другими математиками, например Якоби и Эйзенштейном, основывается на тех же
принципах, как и доказательства Гаусса; особенно простое доказательство дана
Целлером в Monatsbericht der Berliner Akademie от 16 декабря 1872 г. Совер-
Совершенно оригинальным является доказательство Эйзенштейна в статье Applica-
Applications de l'Algebre a rArithmetique transcendante (Crelle's Journ., т. 29). Ср. также
введение к статье Куммера Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocita4sge-
setze etc: (Abh. der Berliner Akad., 1861). Большой интерес прелгставляют, нако-
наконец, статьи Шеринга и Кронекера в Monatsbericht der Berliner Akademie от
22 июня 1876 г., 7 февраля и 12 июня4884 г., 15 января, 39 апреля и 26 ноября
1885 г:, равно как и работы Шеринга в Gottinger Nachrichten от 26 марта 1879 г.
и в Acta Mathematica, т. I, 1882. Ср. также Baumgart, Ueber das quadratische
Reciprocitatsgesetz (Лейпциг 1885).

DO гллва третья f§ 43
ни одно из этих \ь чисел не может быть равно* ни одному из X чисел
Pi» р2»'ф" Рх# В самом Деле» если» например, р— а = |3, то
а + Р — Р = 0 (mod -р)
и так как а есть вычет, например, sD, a C— вычет tD, то
> = 0 (mod/?),
и; следовательно, s-j-tf должно делиться на р. Но каждое из чисел s
и / заключается между 0 и ур, а сумма s-\-t лежит между преде-
пределами 0 и р(но не достигает этих пределов); значит, s-j-t не может це*
литься на /?, а потому р — а не может быть равно C,
Поэтому все -у(р—1) чисел
/> — «!• Р — а2> •••> Р —V ^ Р* •••• Рх
различны между собою и все заключены в пределах от 0 до -~- р, а по-
потому эти числа, взятые в совокупности, должны быть тождественны
с -к (Р—1) числами
1, 2,3 { (р— 1),
так что их произведение
(р-«№-«2) • • •(/»-«,)& Р,- • -рх= 1.2-3. . .1(^ — 1)-
Отбрасывая числа, кратные р, мы имеем сравнение
(-.l)\«,.<.«ifc.pi'P8...pxsl.2.3. • 4 (р-1) (modp),
но так как, с другой стороны,
1
«iV- ^'PiPa' ft,—1-2-3... 2"(Р
то
яли же
D 2 =(— If (modp).
Последнее сравнение можно представить и так1):
(у)=<-»'•
!) Важное обобщение этой теоремы Гаурса найдено Шерингом; см. сноски
к § 42 и 46.

§ 43] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 91
Отсюда мы видим, что вышеуказанный критерий, посредством кото-
которого мы узнаем, будет ли число D квадратичным вычетом или невы-
невычетом нечетного простого числа /?, может быть видоизменен следующим
образом:
Число D есть квадратичный вычет или невычет числа р> смотря
по тому, будет ли число ц тех наименьших положительных выче-
тов_ чисел
D, 2Д 3D, ..., I(p_l)Z>,
которые больше -^ р, четным или нечетным.
С помощью этой теоремы мы можем для всякого данного числа D
определить вид тех простых чисел, по отношению к которым D есть
квадратичный вычет или невычет. Поясним эту теорему на примере
числа D = 2 (случай этот был исследован уже раньше в § 41 другим
приемом). Числа
2, 4, 6,...,/7—1
сами себе служат наименьшими положительными вычетами по модулю
р, и число jx тех вычетов, которые больше -^ р, определяется усло-
условиями
р_1_21х<1р<р+1_21г или .?^2 < ц <¦?+*.
Если мы обозначим через [х] наибольшее целое число, содержащееся
в действительном числе лг, так что О^х—[х] < 1, то найдем, что
Смотря по тому, будет ли р вида
8п+1, 8л + 3, 8л+ 5,
будет
= 2^ 2л4-Ь 2п-\-1, 2п-\-2.
Значит, |л есть число четное, т. е.
(— J=-j-l, если р==±1 (mod8),~
и {х есть число нечетное, т. е.
(-) = — 1, если р = ±3 (mod 8).
Таким образом мы приходим к тем же результатам, которые были
получены и раньше (§ 41). Подобным же приемом мы можем иссле-
исследовать и другие частные случаи, например, полагая D= — 1, D = 3,
/) = 5 и т. д.

92
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
[§44
§44.
Оставляя в стороне рассмотрение частных случаев, обратимся
к дальнейшим преобразованиям формулы предыдущего параграфа,
а именно
причем мы вместо D поставим q.
Если мы обозначим, как и прежде, через [х] наибольшее целое
число, содержащееся в *, и для сокращения положим, что p = 2f/-j- I,
to можем написать ряд таких равенств:
A)
где (§-43)
1' Г2' • • •' Гр'
означают числа, лежащие в пределах от 0 до р (но не достигающие
этих пределов). Разобьем все эти наименьшие положительные вычеты
на две группы
Pi» ?2' • • ' > Px
1
причем все числа первой группы больше -к р, а все числа второй
группы меньше ~ р, и обозначим через А сумму |х чисел первой группы,
через В — сумму X чисел второй группы и, наконец, через М сумму
B)
Тогда, складывая равенства A), находим
но так как (§ 43) комплекс чисел
тождественен с комплексом
1, z, о, .. .,
——•,
то сумма их

§ 44] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 93
Вычитая последнее равенство из B), находим
Но нас занимает1 исключительно вопрос, будет ли р Четным или
нечетным; поэтому мы отбрасываем все числа, кратные 2, и имея
в виду, что р = — 1 (mod 2), приходим к сравнению
Смотря по тому, будет ли^чиcлo, стоящее во второй части этого
сравнения, четным или нечетным, q будет квадратичным вычетом или
невычетом р. Если, например, <7 = 2, то очевидно, что М=0 и
^=^=-1 (mod 2),
следовательно
а это как раз та самая формула, которую мы нашли в § 4L
Прежде чем продолжать далее наше исследование, мы введем одно
ограничение относительно q, а именно предположим, что q — число не-
нечеткое. Тогда q — 1—число четное, и
^Af (mod 2), (-J-) =(_!)*;
значит, весь вопрос сводится к тому, чтобы определить, будет ли
сумма, обозначенная через М, числом четным или нечетным.
Наконец, будем предполагать, что q — число положительное ц мень-
меньшее р. В таком случае, очевидно, каждое слагаемое суммы %М превы-
превышает предыдущее не более чем на единицу, потому что разность двух
рядом стоящих дробей
меньше единицы и между ними может заключаться не более одного
целого числа. Далее, последняя дробь
Р'<1 _(Р-1)Я== Я— 1 гР — Ч
р 2р 2 "г 2р '
а потому значение последнего слагаемого суммы М есть
Следовательно, в сумме М встречаются последовательно члены, равные
О, 1, 2, ..., (f. Мы отыщем,те места, где два последовательных члена
_, и j___j

94 ГЛАВА ТРЕТЬЯ [§ 44
действительно разнятся на единицу, так что если t означает одно из
чисел 1, 2, .. .{If, то
— < t <
(так как q и р — числа взаимно простые и 5 </?, то ни одна из дро-
дробей — не может быть целым числом). Из последнего неравенства
следует, чхо
.<¦? <.+ 1, т.е. ,-[*],
и число членов ряда ЛГ, равных t—1, определяется формулой
а число последних членов, равных q/\ очевидно, есть
'-№¦]¦
Если мы все слагаемые суммы М распределим на группы, относя
к одной группе те слагаемые, которые имеют одинаковую величину,
и затем число членов каждой группы умножим на значение членов
этой группы, то сумма всех этих произведений будет равна М. Но
~ Ы Ы ••• \.ч\+Ч
Если мы положим
то придем к результату
который, очевидно, имеет место для всяких двух неравных нечетных
простых чисел р и q. Последнее равенство ^симметрично относительно
чисел р и <7> и так как из этих двух чисел одно непременно должно
быть больше другого, то сделанное нами допущение, что р^> q,
нисколько не влияет на общность доказательства.
Таким образом хотя сама сумма М не определена, однако указано
соотношение между нею и суммою N; но этого вполне достаточно
для доказательства закона взаимности простых чисел. Выше было по-
показано, что если р — положительное нечетное простое число и q —
какое-нибудь нечетное число, не делящееся на р, то

§ 45} о квадратичных вычетах 9&
если мы предположим, что q — также положительное нечетное простое
число, тогда
и, следовательно, имея в виду предыдущий вывод, находим
р—1 д—\
а это и есть закон взаимности простых чисел.
§45.
Покажем теперь на примере, каким образом закон взаимности
простых чисел применяется к решению вопроса о возможности срав-
сравнения вида
x2==zD (mod p).
Если дано, например, сравнение
*2=365 (mod 1847),
то здесь приходится определять значение символа
/365\
\1847/"
Ддя этого мы разлагаем 365 на простые множители, хотя, как:
увидим впоследствии, можно обойтись и без этого разложения.
Так как 365 = 5-73, то
/ 365 \ / 5 V 73 N
U847/ \1847Д1847У*
Число 5 имеет вид 4/z-j-l, а потому на основании закона взаимности
простых чисел имеем
5 \ _ (Щ\
7j — \ 5 ;•
« так как 1847^2 (mod 5), то ^
на основании § 41. Так как 73 имеет вид 4я-|-1 и так как 1847==
5=s22 (mod 73), то
( 73 \ _ (]Ш\ _ /22\ _ B\(П\ .
\1847; "" V 73 J "" V737 " \73Д73У J
но 73 ^ 1 (mod 8), а потому (§41) (jr) = 1, следовательно

96 ГЛАВА ТРЕТЬЯ [§ 46
Применяя снова тот же закон, находим
и так как оба числа 7 и 11 имеют вид 4п-\-3, то
(й—(У)—D)—(Я1—¦
он, следовательно
f2LW^W-W-i
V1847/ " VJ3/ VII/
так что, наконец
\Ш) ~ V1847AT847; ~ ( ~ 1} ( ~~ 1} ~ + *'
•т. е. 365 есть квадратичный вычет простого числа 1847, и, значит, данное
сравнение возможно; и в самом деле,
(± 496J = 246 016 = 365-4- 133 • 1847.
§46.
Алгорифм, которым мы сейчас пользовались, применяется ко всем
подобным примерам и требует выполнения конечного числа действий.
Однако необходимые при этом вычисления могут быть значительно
сокращены, если воспользоваться обобщенным символом Лежандра.
Этот обобщенный символ Лежандра впервые был предложен Якоби *)
и необходим для наших дальнейших исследований; поэтому мы сна-
сначала займемся изложением свойств этого символа.
Пусть Р означает какое-нибудь нечетное число и пусть оно раз-
разложено на простые множители /?, р', р" и т. д., так что
a m означает какое-нибудь число, взаимно простое с Р\ тогда символ
Якоби определяется следующим равенством:
' т\{ т\( т
Очевидно, что значение этого символа есть -|- 1 или —1, смотря
по тому, будет ли ч^исло простых множителей /?, р', р'\..., по отно-
отношению к которым m есть квадратичный невычет, четным или нечетным.
Если m есть квадратичный вычет Р и, следовательно, вычет всех про-
¦я =Ь Ь Ь» ... = 1.
стых чисел
значит, и
Р,
Р ,
Р
/
\
, . . . 5
Р)~
( т \ —
\~PJ~
то
\?)
( т \
лТ)
(
~v
m
7'.
V
Л
/=
m
7
!) Monatsbericht der Berliner Akademie, 1837 (Crelle's Journal, т. 30). Ср. упо-
упомянутые в последней сноске к § 42 работы Шеринга и Кронекера,

§ 46] О квадратичных вычетах 97
Но обратное предложение не имеет места; в самом деле, если т
есть квадратичный невычет двух, четырех, шести и т. д. простых мно-
множителей р, р\ р'\ . . . , то символ Якоби равен -J- 1 и все-таки т есть
квадратичный невычет числа Рл В том случае, когда Р само означает
простое нечетное число, символ Якоби тождественен с символом Лежандра.
Далее, мы допустим, что для Р=1 значение символа Якоби всегда
равно -f- Ь
Из этого определения символа Якоби вытекают следующие его
свойства:
1. Если т — взаимно простое с каждым из двух нечетных чисел Р
и Q, а следовательно, и с нечетным числом PQy то
т\ ( ш \ * / tti \
N_P/ ^-^-j \PQ ' '
Действительно, если
где /?, рг, р'\ . . ., q, q\ q". . . . означают простые числа, то
( т \ -.(™\(HL\(HL\ ( HL\(Л1Л (HL\ ч — (т \( т
\TQ)~\p)\p')\P")' ' ' \q )\qr)\q")' ' * VP Д О,
2. Если числа /, т% п,... — взаимно простые с нечетным числом Р, то
1тп . . /
В самом деле, если
р^рр'р" ...,
то
Р)~\р)\Р' )\р") " * ''
и т. д.
Но раньше (§ 33) было уже доказано, что
( L\( ?L\( п\ _Aтп.
\р)\р)\р)'тл ~\Р
и так как подобное соотношение имеет место и для прочих простых
множитей \ "
находим
( JL\( И\( Ш\ (lmn...\ (lmn...
\р)\р)\р)'лт ~\Т~) K^P^
а в этом и состоит доказываемая теорема.
множителей р\ р", . . ., то, перемножая предыдущие равенства,
Imn. .\
)

98 Глава третья [§ 46
3. Если т — число взаимно простое с нечетным числом Р и
т === mr (mod Р), причем, конечно, Р и т' — также числа взаимно
простые, то
Действительно, если Р=:рр'р". . .,то
т==т' (modр), ms==m' (modp/), ...,
следовательно
а потому
что и требовалось доказать.
4. Две последние теоремы показывают, что символ Якоби подчи-
подчиняется тем же законам, что и символ Лежандра. Теперь мы докажем, что
то же самое относится к вычислению символов
(—1\ / 2
и, наконец, что для символа Якоби имеет место теорема, совершенно
аналогичная закону взаимности простых чисел. Доказательству этих
теорем мы предпошлем нижеследующие замечания.
Если
означает какое-нибудь нечетное число, то все разности г' — 1, г"—1,
/"—1,...—числа четные и произведение двух или большего числа
этих разностей = 0 (mod 4). Поэтому если представить JR в виде
/?= [1 + (г'- 1)] [1 +(г"- 1)] [1 + (/"- 1)]...
и произвести умножения во второй части равенства, то оказывается,
что
R в 1 + (/- 1) + (/'- 1) + (/"-1)+ ... (mod 4)
или же
^=^2^- (mod 2),
причем суммирование распространяется на множители г', г", г"\...
числа /?.
Аналогичнцу путем при тех же предположениях получается и другая
лемма; а именно, имеем
г2 == 1 (mod 8),
следовательно
R2 = [1 + {г'2 - 1I [1 + (г - 1)] [1 + С'"'2 -!)]••• =

§ 46] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 99
откуда
^-2^ 0-od 2).
После этих предварительных замечаний продолжим исследование
свойств символа Якоби.
5. Если Р означает положительное нечетное число, то
В самом деле, так как Р есть произведение простых нечетных чисел
Р\ Р"У Р"Г1 • • • » Т0
v р—1
где знак суммы относится ко всем простым множителям //, р"\ //",. .
числа А Так как на основании первой из лемм 4
Я^^^т1 (mod 2>>
то справедливость теоремы очевидна.
6. Если Р есть нечетное число, то
2 \
)
Действительно, удерживая предыдущие обозначения, имеем]
) ) iJ 8
И так как на основании второй из лемм 4
то справедливость теоремы очевидна.
7. Если два положительных нечетных числа Р и Q взаимно просты, то
Р-1 Q-1
_ / 1) 2 2
В самом деле, если Р есть произведение простых чисел
р'. /Л /7/,... (Р)
и Q есть произведение простых чисел
ч\ ч\ я"',..-, (q)
причем числа Р и Q не имеют ни одного общего множителя, то на
основании определения символа Якоби и теоремы 2 находим

tOO ' Глава третья [§ 46
где знак произведения П относится ко всевозможным сочетаниям каждого
из простых чисел р с каждым из простых чисел q. Точно так же
и, следовательно,
где знак П имеет то же самое значение. Но на основании закона
взаимности простых чисел
следовательно,
где знак суммы распространяется на всевозможные сочетания простых
чисел р и q\ поэтому
2j 2 Г~=^ 2~2j 2~~>
где в правой части первый знак суммы относится ко всем простым
числам р, а второй знак суммы — ко всем простым числам q. Далее,
на основании вышедоказанной леммы имеем
^EjzI^j^I (mod 2)
2 ~ 2
следовательно
^т-^^т- (mod 2),
(mod 2)
и, значит,
Р—1 Q—1
2 2
что и требовалось доказать.
Теперь остается сделать еще одно замечание относительно символа
Якоби. Мы определили этот символ, предполагая, что Р — положи-
положительное нечетное число am — положительное или отрицательное число,
взаимно простое с Р. Теперь мы можем расширить значение этого
символа, допуская, что Р — число нечетное отрицательное, но непре-
непременно .взаимно простое с т1), причем полагаем, что всегда
т
х) Ниже (дополнения, § 116) мы установим, что этот символ должен
быть равен нулю, если Р — нечетное число, не взаимно простое с щ.

§ 47] О квадратичных вычетах 101
При Этом очевидно, что теоремы 1, 2,3 и 6 остаются в силе, без
всякого ограничения; теорема 5 имеет место только для Р положитель-
положительного, а для Р отрицательного становится неверной, и, наконец, теорема
7 имеет место только тогда, когда одно из чисел Р и Q положительно;
если же оба числа Р и Q отрицательны, то теорема становится неверной.
§47.
Разрешенная нами (§ 45) в применении к одному примеру задача
определения символа Лежандра составляет, очевидно, частный случай
более общей задачи — определения значения символа Якоби. Разложе-
Разложение числа на простые множители, бывшее там необходимым, здесь
становится совершенно излишним (исключение составляет множитель 2),
и алгорифм, который приходится применять, вполне аналогичен алгорифму
нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Достаточно
немногих примеров, чтобы пояснить этот весьма простой способ.
Пример 1. Возьмем пример, рассмотренный в § 45, т. е. определим
значение символа
U847 ) '
Пользуясь обобщением закона взаимности простых чисел и замечая, что
365 есть число вида 4я-{-1, мы находим
/ 365 \ __ / 1847 \
V1847 У V 365 У '
Далее, так как 1847 = 22 (mod 365), то на основании § 46, 3 и
2, имеем
Л1847Ч /22\_ / 2\/11\
V 365; ~ V365; ~ V365y V365; *
Но 365 = 5 (mod 8), следовательно (§ 46, 6)
(я)— ¦
1847; ~ V365;'
Применяя опять обобщенный закон взаимности простых чисел, находим
fiLW—Wf-V-i
и, следовательно,
Тот же самый результат мы нашли и в § 45.
Пример 2. Определить значение символа
1901

102 Глава третья [§ 47
Применяя тот же закон взаимности, находим
( 195 \ _ A901 \
V 1901 ) "~* V 195 ) '
и так как 1901 = —49 (mod 195), тох
1901 \ /— 49\
1 \ _
5 У ~
(
195 У ~ V 195
Так как одно из чисел —49 и 195 положительное, то здесь можно
применить обобщенный закон взаимности; принимал во внимание, что
оба числа имеют вид 4п -(-3, находим
/ — 49\ _ _/ 195_\ _(]Щ
V 195 / 1Ч -49') — V 49 Г
Далее, 195 s=—1 (mod 49), и 49 есть число вида 4//-J-1, следова-
следовательно,
49
значит,
1901
т. е. 195 есть квадратичный невычет простого числа 1901. Разумеется,
эти вычисления можно значительно сократить посредством разложения
чисел на множители; так, например, замечая, что 49 = 7 • 7, мы находим
сразу, что
(95"
Вообще мы можем в числителе и знаменателе отбрасывать множи-
множители, представляющие точный квадрат, и таким образом упростить
вычисление символа Якоби.
Пример 3. Требуется определить значение символа
'74'
Так как 74 = 2-37 и 101 ==5 (mod 8), то
\ioi; vioi/ U
Далее, на основании закона взаимности простых чисел
\IO1J \37 J \ 37 ) \Ъ1
и так как 37 есть число вида 8n-j-5, то
применяя снова закон взаимности простых чисел, находим
Ш=(!) -D)—>•

§ 48] О квадратичных вычетах 103
и, следовательно,
Скорее можно притти к цели следующим образом:
G4\_f —27 \ _ / 101 \ _ Л-7\ __ /_27_\ _ (-Л\ _ _-
Viol/ ~ V~ToT') ~ \ -27 у V 27) ~ w; ~~ V 7 ) ~"
§48.
Вследствие особой важности закона взаимности простых чисел
приведем еще одно доказательство этой теоремы, а именно, первое из
шести доказательств, данных Гауссом!). Сделать это будет кстати
именно теперь, когда обобщение символа Лежандра дает возможность
соединить вместе некоторые из восьми случаев, разобранных Гауссом,
и таким образом значительно сократить и упростить это доказательство 2).
Сущность этого доказательства состоит в применении так называемой
полной индукции, а именно: если теорема верна для всяких двух простых
чисел р, //, которые меньше определенного простого числа q, то можно
будет показать, что теорема имеет место и для комбинации каждого из
чисел р с самим числом q. Но теорема оправдывается для двух наимень-
наименьших простых нечетных чисел 3 и 5; отсюда следует, что теорема имеет
место вообще.
Здесь нужно обратить внимание на то важное обстоятельство, что
если доказан закон взаимности для всяких двух простых чисел ру р\
меньших q, то тем самым доказан этот закон в обобщи ином виде
(§ 46, 7):
если только нечетные взаимно простые числа Р и Q (из которых, по
крайней мере, одно должно быть положительным) содержат лишь такие
простые множители, которые меньше q. Это следует из того, что доказа-
доказательство обобщенной теоремы основывается исключительно на примене-
применении этого предложения ко всем парам таких простых множителей, из которых
один входит в Р, а другой — в Q.
При доказательстве того положения, что закон взаимности имеет
место для всякой комбинации числа q с любым простым числом /?,
меньшим q, нам придется различать два случая. Первый случай — ипри-
ипритом наиболее трудный для исследования — тот, когда q имеет вид
Лп*\-\ и р есть квадратичный невычет q\ в этом случае требуется
доказать, что и q есть квадратичный невычет р. В каждом из других
случаев, именно, когда q имеет вид 4я-{-~3 или когда q хотя и имеет
вид4#-[^1> но р является квадратичным вычетом числа qy можйо,
очевидно, простому числу р всегда придать один из знаков -\- или
—, чтобы при (D=sdt/7 по меньшей мере для одного из этих знаков
!) D. A., artt. 135 - 144.
2) Dirichlet, Ueber den ersten der von Gauss gegebenen Beweise des Reci-
procitatsgesetzes in der Theorie der quadratischen Reste (Crelle's Journal, т. 47).

104 Глава третья [§ 49
<о являлось квадратичным вычетом числа q. Тогда, следовательно,
требуется доказать, что
Этот последний случай потому легче для исследования, что данные
условия сразу доставляют нам равенство, которым нужно лишь воспользо-
воспользоваться, чтобы получить доказательство теоремы. Поэтому мы рассмотрим
сначала второй случай.
§49.
Если, таким образом, <& — ±р есть квадратичный вычет qf то. сравне-
сравнение
л;2==@ (mod q)
имеет два корня х, которые заключаются между 0 и q и сумма которых
равна q, так что, следовательно, один из них, положим е, есть число
четное. Тогда
где / означает некоторое целое число, не равное нулю, потому что
иначе простое число ш было бы квадратом. Это число / не может
также быть отрицательным, потому что иначе со было бы положитель-
положительным числом, равным р, и р— е2 — также положительным числом,
кратным q, что, однако, невозможно, ибо р — е2</? и по предположе-
предположению р < q. Это положительное число / должно быть притом нечетным,
ибо е есть число четное, а е2 — ш—число нечетное, и всякий делитель
е%— о, следовательно и /, должен быть числом нечетным. Наконец, это
положительное нечетное число / непременно должно быть меньше q — 1,
потому что
e^Cq— 1, и p<q— 1,
следовательно,
так что действительно
/<?—1.
Здесь возможны два случая:
1. Если /не делится на /?, то из равенства е2 — со = qf следует,
что
G)-+'-
и так как qf есть квадратичный вычет /?, то

§ 49] О квадратичных вычетах
Так как нечетные числа / и со — взаимно простые, оба меньше q и п$.
крайней мере одно из них положительно, то здесь имеет место обобщен-
обобщенный закон взаимности простых чисел, т. е.
I (и>-1) . j (f-l)
или же, принимая во внимание оба предыдущие равенства,
Далее, е есть число четное, поэтому
— со = qf (mod 4),
и на основании первой из лемм § 46, 4 находим
... ii Л^1 Л^1 /1
2).
Если мы умножим обе части этого сравнения на х (со—1), то в левой-
части получим произведение двух последовательных чисел, т. е. число»
четное, и, следовательно,
~Y~ T~-—2—S~ (mod
откуда
что и требовалось доказать.
2. Если теперь / делится на р9 то можно положить /= охр, где <?
есть нечетное число одинакового знака с <о и по абсолютной величине
меньшее q. Так как г9 — а> = #ш<р, то ? делится на о>, и, следовательно,.
? = еа>, где е означает опять четное число. Отсюда следует, что
е2ш — 1 = да,
и поэтому <р не делится на ш. Так как со есть квадратичный вычет
fz^ziutp, а следовательно и <р, то
Кроме того, из предыдущего равенства следует, что —q<p есть квадра-
квадратичный вычет числа со, так что
так как из двух нечетных чисел — <р и <о одно положительно, далее эти-
числа — взаимно простые и, наконец, оба эти числа меньше </> то на-

106 Глава третья [§ 50
основании обобщенного закона взаимности простых чисел
и, следовательно, принимая во внимание два предыдущие равенства,
^находим
Но так как е есть число четное и, следовательно,.
qv = —1 (mod 4),
то одно из чисел о и q должно быть виДа 4/х —[— 1, другое же — вида
, откуда следует, что
lil^i^l (mod 2)
»и, следовательно,
Таким образом теорема доказана и в этом случае.
§50.
Теперь перейдем к рассмотрению второй части, в которой предполага-
предполагается, что р есть'невычет числа q, имеющего вид 4я—|— 1, и требуется
доказать, что q есть. невычет /?. Здесь у нас пока нет равенства,
которым мы могли бы пользоваться при доказательстве, и для того,
чтобы его получить, нам нужно доказать, что существует по крайней
мере одно простое число р' < qy по отношению к которому q есть
квадратичный невычет, или, другими словами, нужно доказать, что
простое число q не может быть квадратичным вычетом всех простых
чисел, меньших д.
В том случае, когда q = 5 (mod 8), это доказательство не представ-
представляет никаких затруднений, потому что тогда
I 0 + 1)^3 (mod 4),
и, следовательно, между простыми множителями числа ~к*{я ~Ь 1)>
которые, конечно, все меньше qy должен быть по крайней мере один
,// вида 4/T-J-3. Но тогда q = — 1 (mod //) и, следовательно, q есть
квадратичный невычет числа //, которое меньше q. Но несравненно
труднее это доказательство для того случая, когда q=z\ (mod 8),
и_ Гаусс сам сознается *), что ему удалось преодолеть эти трудности
только после многих бесплодных попыток. Доказательство Гаусса
.основывается на следующих исключительно остроумных соображениях.
D. A., art 125.

§ 51] О квадратичных вычетах 107
Пусть 2/Я+1 означает какое-нибудь нечетное число, меньшее q.
Если предположить, что q — квадратичный вычет всех нечетных простых,
чисел z, не превышающих это нечетное число 2/я+1, то по преды-
предыдущим теоремам (§ 37) простое число qy которое =1 (mod 8) и, сле-
следовательно, представляет квадратичный вычет всякой степени 2, является
квадратичным вычетом всякого числа, не содержащего иных нечетных
простых множителей, кроме чисел z, следовательно, например, числа
М= 1-2.3.4. • . Bт) B/71+ 1).
Поэтому должны существовать положительные числа kf удовлетво-
удовлетворяющие условию
q~№ (mod Ж),
причем k должно быть взаимно простым с ЛТ, потому что 2/#+1 <С q
и, значит, q и М—взаимно простые. Из этого сравнения следует, что,
по отношению к модулю МУ
=== ? (?2 _ 12) (#* — 22) (А2 — 32) ... (*2 — ПР) ==
2= (k + т) (k + т — 1)... (k + 1) k (k — 1)... (k — m + 1) (k — m).
Но, как известно (§ 15), произведение 2/и+1 последовательных целых
чисел должно делиться на М\ кроме того, k и М — числа взаимно
простые; значит, произведение
(q — I2) (q — 22) (q — 3*). . . (q — nfi)
должно делиться на произведение
М = (W+ 1) [(/Д + I2) — 12] [(/Л+ 12) — 22] . . . [(W + 1K — ,Я2],
или, что то же самое, произведение
_J g— I2 ^ — 22 q — rri±
J— I2
должно быть числом целым.
С другой стороны, легко показать, что это произведение не может
быть целым числом, если для т взято наибольшее целое значение,
меньшее \/q\ действительно, если т < \/q < т-\- 1, то все множители
этого произведения — правильные дроби. Значит, для такого числа т
наше предположение не может быть допущено и так как, кроме того,
2/я + 1 <2}/<7+1 <<7> т0 мы приходим к следующему выводу:
Если q есть простое число вида 8п +1, то между числами, мень-
меньшими, 2 \/q +1 и, следовательно, меньшими q, существует по край-
крайней мере одно нечетное простое число р/', по отношению к которому q
есть квадратичный невычет.
§ 51.
После того как для всякого простого числам вида 4/г+1 доказано
существование простого числа р' < qy по отношению к которому q
есть квадратичный невычет, мы можем перейти к доказательству теоремы

108 Глава третья [§51
для второго случая. Всякое такое число р' должно быть невычетом q%
потому что в противном случае (на основании § 49) мы имели бы
что противоречит предположению. Таким образом закон взаимности
имеет место для пары чисел р' и q. Если кроме р\ существуют еще
другие нечетные простые числа р <Cq, которые будут невычетами по
отношению к q> то остается только доказать, что
потому что отсюда следует, что q есть невычет р. Так как р' и по
предположению р — квадратичные невычеты </, то рр' есть квадратичный
вычет qf и, следовательно, существует четное число е < q, удовлетво-
удовлетворяющее условию
где ср есть целое число. Левая часть последнего равенства представляет
нечетное число, которое по своей абсолютной величине меньше q*%
следовательно, и ср есть также нечетное число, меньшее q. В зависи-
зависимости от свойств этого числа ср мы различаем при доказательстве три
случая.
1. Если ср не делится ни на /?, ни на //, то
и так как q$ есть квадратичный вычет ppfy то
следовательно,
xpp'J ~ \WJ'
Далее, нечетные взаимно простые числа <р и ррг (из которых последнее
положительно) содержат только такие простые множители, которые
меньше q; значит, для этих чисел имеет место обобщенный закон вза-
взаимности, т. е.
и, следовательно, принимая во внимание два предыд}щих равенства,.
Так как е есть число четное, то
4),

§ 51] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ 109
и так как, кроме того, q = I (mod 4), то
<р=== — ppr (mod 4),
l^L^-??l+l (m0d2),
значит
2 2
и, наконец,
-l..PP^-.le0 (mod 2)
W'
что и требовалось доказать.
2. Если с? делится на р', но не делится на р, то полагаем Ф = р'ф. Но
при этом е должно также делиться нар', е = р'г] тогда ^ есть нечетное
число, меньшее q и не делящееся на р, число же е четно и
Отсюда опять следует (так как ф и РРГ — числа взаимно простые), что
далее
следовательно
следовательно
значит
\Р')~\ Р' ) \Р')'
Но ф и рр' содержат только такие простые множители, которые
меньше q> поэтому на основании обобщенного закона взаимности про-
простых чисел имеем
My принимая во внимание предыдущие равенства, находим
/J_\
7N-D.5teP'-i>

110 Глава третья [§ 51
Но так как е2 = 0 (mod 4) и q = \ (mod 4), то <} = — р (mod 4),
следовательно
Ii) (mod2)
2-vj" i *j \j(p'—1) +j(PP'—l)] (mod 2).
Далее, на основании первой из лемм § 46, 4
-тг(/7/?/—1)^-о (Р—1) + -о-(/7'—1) (m°d 2),
~ Z Z
поэтому
1 1 Г 1
~(/?— 1) = 0 (mod 2),
следовательно
что и требовалось доказать.
При этом доказательстве нам не приходилось пользоваться тем
допущением, что q есть невычет числа /?'; поэтому, заменяя р через //,
а р' через /?, мы получаем доказательство теоремы для того случая,
когда <р делится на р и не делится на /?', так как все прочие пред-
предположения и окончательный результат совершенно симметричны отно-
относительно чисел р и //.
3. Если ср делится на р и на //, а значит (так как р и // — раз-
различные простые числа), и на /?/?', то мы полагаем <р =/?/?'<]>; но тогда
и ? должно делиться на /?//, е = рр'г. Тогда ф — нечетное число,
меньшее q, a e — четное число, и притом
Отсюда следует, что рр'—взаимно простое с ty и, кроме того, есть
квадратичный вычет ^, значит
точно так же оказывается, что —#6 есть квадратичный вычет рр\
так что
, РР' У V РР' / '
На основании обобщенного закона взаимности, который, очевидно*
имеет место для чисел —ф и /?//, находим

§ 52] О квадратичных вычетах 111
сопоставляя это с предыдущими равенствами, имеем
\РР' )= \—
Но е—число четное, и qz=z\ (mod 4), значит, ф =—1 (mod 4)
и -у(^+1) — число четное; следовательно
что и требовалось доказать.
Таким образом теорема доказана вполне и для второго случая, й
вместе с тем снова доказан закон взаимности простых чисел.
Подобным же образом могут быть доказаны теоремы о характере
чисел ¦— 1 и 2, но мы предоставляем сделать это самому читателю а)»
§ 52.
После всех этих исследований мы можем дать ответ на второй
из вопросов, поставленных в § 32; этот вопрос, как было указана
в § 39, сводится к следующему:
Для каких нечетных простых чисел q данное число D есть ква-
квадратичный вычет?
При этом мы будем иметь в виду только те (положительные) про-
простые числа qt которые не входят в Z>, и, кроме того, предположим
длят упрощения, что D не есть квадрат и не делится ни на какой
квадрат (кроме 1), потому что решение задачи в общем случае, оче-
очевидно, может быть сведено к этим простейшим случаям. Мы докажем,,
что не только все эти простые числа q (так называемые делители
формы t2 — Du2 no § 39), но и вообще все положительные числа пг
взаимно простые с 2D и удовлетворяющие условию
(!)=+'¦
заключаются в некотором числе определенных линейных форм, т. е. ариф-
арифметических прогрессий, имеющих разностью или 2D или 4D. Так как мы
предположили, что положительное или отрицательное число D не де-
делится на квадрат другого числа, то, обозначая через Р произведение
всех положительных нечетных простых чисел р, /?', //', . . ., входящих
в D, находим, что или D = ±P, или D = ±2P; если же D не со-
содержит множителем ни одного простого нечетного числа (для этого
случая результат уже приведен в §§ 40, 41 или же в более общем виде
в § 46, 5 и 6), то нужно положить Р=\. Нам придется рассмотреть
четыре случая.
I. D = =tP= I (mod 4).
l) Dirichlet, см. сноску на стр. 103.

jj2 Глава третья [§ 52
В этом случае, если п означает какое-нибудь положительное число,
взаимно простое с 2D, мы имеем в силу обобщенного закрна взаим-
взаимности (§ 46, 7)
Так как символ, входящий в правую часть равенства, для всех чисел п,
принадлежащих к одному и тому же классу по модулю Р, на осно-
основании § 46, 3, имеет одно и то же значение, то вопрос сводится к иссле-
исследованию системы ср (Р) чисел т, несравнимых по модулю Р и взаимно
простых с Р, и определению значения символа для каждого такого
числа. Необходимо рассмотреть этот вопрос несколько подробнее.
Прежде всего докажем, что существуют числа Ь, взаимно простые
с Р и удовлетворяющие условию
Так как D не равно ~\- I и, следовательно, Р содержит по крайней
мере одно простое число ру то мы берем какой-нибудь невычет р числа р
и определяем b (§ 25) так, чтобы удовлетворялись условия
b = р (mod p\ ? == 1 (mod P'),
где Р = рР'; тогда
После этого нетрудно доказать, что число всех чисел Ь, несравни-
несравнимых по модулю Р и удовлетворяющих условию A), равно 9-<р(Р),
а следовательно, и число тех несравнимых по модулю Р чисел а, для
которых
(т) = + 1- B)
также равно я-?(^)- В самом деле, если мы положим
s=2 f?
где пг принимает все значения, соответствующие системе о(Р) чисел,
не сравнимых по модулю Р, то 5 не должно зависеть от выбора пред-
представителей т различных классов, на которые распределяются все
числа, взаимно простые с Р. Поэтому если Ь означает какое-нибудь
определенное число, удовлетворяющее условию A), то произведения
вида Ьт также образуют такую полную систему чисел, следовательно,
и, значит,
(?)о, C)

§ 52] О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ * 113
щ : ч ¦ —
т. е. число слагаемых этой суммы, равных -|-1, и число слагаемых,
равных —1, одинаково, так что числовых классов а столько же,
сколько числовых классов Ь.
Да.тее очевидно, что для представителей т (или а и Ь) можно
выбирать нечетные значения, потому что если т есть число четное,
то т-\-Р есть нечетное число, принадлежащее к тому же классу*
Таким образом
^)= + 1> если /is-a (mod 2P),
— — if если n = b (mod 2P),
и всякое (положительное) число п, взаимно простое с 2D, непременно
содержится в одной и только в одной из этих арифметических про-
прогрессий (имеющих разностью 2D).
Пример 1. Положим, что D — -J-P— 21; тогда ©(Р) = 12, и числа,
меньшие Р и взаимно простые с Р, суть следующие
±1, ±2, ±4, ±5, =?8, =?10.
Определяя для каждого из этих чисел значение символа Якоби (§ 47),
находим:
л===?1, =?4, =?5; Ь = ±2, =?8, z? 10 (mod 21),
ноэтому
если п= I, 5, 17, 25, 37, 41 (mod 42),
^~J = — 1, если я== 11, 13, 19, 23, 29, 31 (mod 42).
Пример 2. Если D = — Р= —15, то здесь н^жно определить
значение символа Якоби для чисел z? 1, =?2, ±4, 7, находим, что
Л=з-}- 1, -f 2, +4, —7 и * = —1, —2, — 4, -f/ (mod 15).
Следовательно,
если /г=1, 17, 19, 23 (mod 30),
:=—)= — 1. если п = 7, 11, 13, 29 (mod 30).
Теперь переходим ко второму случаю:
И. D = i?P = 3 (mod 4).
Если я означает положительное число, взаимно простое с 2О, то
на основании обобщенного закона взаимности имеем

114 Глава третья [§ 52,
а потому, удерживая предыдущие обозначения, находим, что
= -{-1, если #===1> (mod 4) и п===а (mod Я),
- или если п == 3 (mod 4) и п = ? (mod Я),
—-j= —1, если я===1 (mod 4) и я==? (mod Я)
или если я = 3 (mod 4) и п = a (mod Я).
Каждой паре таких сравнений соответствует (по § 25) определенный
класс чисел «(mod 4Я), и при этом мы имеем v(P) — ~ ?DЯ) классов
"чисел пу принадлежащих к первой категории, и столько же классов
чисел я, принадлежащих ко второй категории. Эти классы образуют
арифметическую прогрессию, разность которой равна 4D. Этот вывод
имеет место и для D= — 1, хотя в этом случае^ не существует ни
одного числа д.
Пример. Для D==-\-15 мы находим
С—W +Ь если лн= 1 (mod 4) и n = -j- I, -i-2, +4, — 7 (mod 15)
или если п=== 3(mod 4) и п = — 1, — 2, — 4, ~j~ 7 (mod 15);
с другой стороны,
^)~ — 1, если л==1 (mod 4) и /2 — — 1, — 2, — 4, -f- 7 (mod 15)
или если п == 3 (mod 4) и я = -j- I, -f- 2, -j~ 4, — 7 (mod 15)*
Отсюда следует, что
+1, если п = ], 7, 11, 17, 43,49, 53, 59 (mod 60),
= — 1, если л =13, 19, 23, 29, 31, 37, 41,47 (mod 60).
Проще всего можно выполнить эти вычисления, определяя, какие
из положительных чисел, взаимно простых с 4Я, принадлежат к первой
категории и какие — ко второй. При этом можно еще сократить вы-
вычисления путем различных искусственных приемов, изложением кото-
которых, однако, мы здесь не можем заниматься.
III. D = ±2P~2 (mod 8).
В этом случае, если п означает положительное число, взаимно
простое с D, имеем
и, следовательно,
(~У=-(- 1, если я~=г=1 (mod 8) и а~а (mqd Я)
или если /2ее=:±:3 (mod 8) и n===b (mod Pf>

"§ 52] . О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ Ц5
^с другой стороны,
(?Л = —\, если n = ±l (mod 8) и л==? (mod Я)
или если /i = :±i3 (mod 8) и п = а (mod P).
Каждой паре сравнений соответствует определенный класс чисел
п (mod 8Я); числа п распадаются поэтому на две арифметические про-
прогрессии, которые имеют разностью 4Z); каждой из двух категорий при-
принадлежит одинаковое число классов.
Пример. Если D = — 6, то нахТЗдим
(— )=+1, если п= 1, 5, 7,11 (mod 24),
(~j = ^lt если я =13, 17, 19, 23 (mod'/24).
IV. D = ±:2P=6 (mod 8).
В этом случае
и, следовательно,
—-W + 1, если я 5=1,3 (mod 8) и п = а (mod Я)
или если я 5=^5, 7 (mod 8) и я===# (mod Я);
с другой стороны,
^-1== — 1, если я =51,3 (mod 8) и я===? (mod Я)
или если я = 5, 7 (mod 8) и я===я (mod Я).
Числа я опять распределяются в арифметические прогрессии с раз-
разностью 4D; каждой из двух категорий принадлежит одинаковое число
классов.
Пример. Для D = -f- 6 находим
-j=+l, если л==1, 5, 19, 23 (mod 24);
^i = —1, если я = 7, 11, 13, 17 (mod 24).
Наконец, мы заметим, что все эти четыре случая можно соединить
вместе, если ввести две положительных или отрицательных единицы о и е,
причем 3 == —{— 1 или 8 = — 1, в зависимости от того, будет ли
±:Я^1 (mod 4) или -^Я~3 (mod 4), а е = -j~ 1 и.шер= — 1?
Я1 - -

116 Глава третья [§ 52
смотря по тому, будет ли D нечетное или четное. Тогда эти четыре
случая представятся в следующем виде:
D — z±z Pssl (mod 4), S ===== —|— 1, e = -j-l;
D = ± P = 3 (mod 4), 8==—1, 8 = + l;
D = ±2P~=2 (mod 8), 8 = -j-l, e= - 1;
Z) = =t2P == 6 (mod 8), 8 = —1, e =— 1.
Тогда в силу обобщенного закона взаимности и дополнительных тео-
теорем (§ 46)
V п ) s \Р;'
где п означает положительное число, взаимно простое с 2D.
Если п принимает все значения, соответствующие полной системе
чисел, не сравнимых по модулю 4D и в то же время положи-
положительных и взаимно простых с 2D, то во всех четырех случаях оказы-
оказывается, что соответственная сумма
Д«)
Впрочем, в первом случае достаточно, чтобы п пробегало значения
такой полной системы вычетов по модулю 2D.

Глава четвертая.
О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ.
§53.
Под формой в теории чисел понимают целую рациональную функ-
функцию нескольких переменных, коэфициенгы которой являются целыми
числами (ср. § 39). В зависимости от степени различают формы ли-
нейные, квадратичные, кубичные и т. д.; в зависимости же от числа
входящих реременных говорят о формах бинарных, тернарных и т. д.
В дальнейшем мы будем заниматься исключительно выражениями вида
ах2-\-2Ьху-\- су*,
где а, Ь, с — заданные определенные целые числа, а х, у — неопреде-
неопределенные, переменные целые числа ]); в тех случаях, где это не может
привести к недоразумению, мы будем называть эти однородные бинар-
бинарные квадратичные формы просто формами.
Коэфициенту при произведении ху обоих переменных предан сразу
вид четного числа, так как этим облегчается исследование; если этот
коэфициент формы является числом нечетным, то достаточно умножить
всю форму на 2, чтобы свести это г случай к предыдущему. Из свойств
полученной таким образом формы можно легко вывести заключение о
свойствах первоначальной формы.
Если все три члена формы написаны в вышеуказанном порядке, то а
называется первым, b (а не 2Ь)— вторым, с—третьим коэфициентом.
awe объединяют также под общим именем крайних коэфициентов;
Ь же, наоборот, называется средним коэфициентом. Аналогично х на-
называется первым, а у — вторым переменным. В тех случаях, когда
нужно указать лишь коэфициенты формы, от которых только и могут
зависеть ее свойства, форма может быть кратко обозначена сим-
еолом (а, Ь, с).
Мы раз навсегда исключаем те случаи, в которых форма может
быть разложена на два линейных множителя с рациональными коэфи-
циентами, так как они допускают другое, и притом более простое,
'исследование. Отсюда, во-первых, следует, что в формах, которыми мы
только и будем заниматься, ни один из крайних коэфициентов не мо-
может быть равен нулю. Далее, так как
ах* ¦\-2bxy-\- су* = ~ [(ах + by)* — <JP—ac))P\,
*) В современных курсах теории чисел общий вид бинарной квадратичной
формы представляется следующим образом: ах2 -}- Ьху -f- су2 Ред.

118 Глава четвертая [§ 53
то отсюда вытекает, что чисдо д2 — ас не должно быть точным квад-
квадратом, так как в противном случае форма
\-\- 2дху + су* = i [ ах -f F -f V/** —<
ах
разложилась бы на произведение двух линейных множителей с рацио-
рациональными коэфищиентами. Число Ь2 — ас, от которого, как мы увидим,
в основном зависят свойства формы (а, Ь, с),- называется детерминан-
детерминантом1) этой формы; в дальнейшем мы будем обозначать его буквой D.
Тем самым ограничение, накладываемое на наши формы (а, Ь, с), со-»
стоит в том, что D не является квадратом, следовательно, в частности,
не может быть равным нулю.
Некоторые в высшей степени замечательные теоремы Ферма при-
привели Эйлера к обстоятельному изучению квадратичных форм; но его
исследования распространяются главным образом на частные случаи.
Начало общей теории квадратичных форм положил Лагранж2); позднее
она была пополнена Лежандром3) и особенно Гауссом.
Вся теория квадратичных форм (Йзязана своим возникновением сле-
следующей задаче: определить, представимо ли данное число т данной
формой {а, д, с), т. е. существуют ли такие значения х, у, при кото-
которых форма принимает значение т. Для полного решения этой задачи
необходима теория преобразований, которой мы сейчас и займемся.
§54.
Уравнения кривых в аналитической геометрии меняют свой вид
при выборе новой системы координат. Точно так же квадратичная
форма (я, Ь> с) при замене переменных переходит в новую квадра-
квадратичную форму (а', Ь', с'). В самом деле, пусть х, у — переменные
формы (а, Ь, с), и положим
где а, E, y> 8 — четыре определенных целых числа, а х'\ у' — новые
переменные. Тогда
ах* -f 2bxy + су* = а'х'* -f 2*V/ + с'/*,
причем коэфициенты а!', У', с' новой квадратичной формы зависят от
коэфициентов первоначальной формы и четырех коэфициентов a, j3, y> 8
следующим образом:
B)
J
1) Gauss, D. A., art. 154. [В современных курсах теории чисел это число
называется1 дискриминантом квадратичной формы. Ред.]
2) Recherches d'Arithmetique, Nouv. Mem. de Г Ac. de Berlin, 1773, 1775.
3) Theorie des Nombres, 3-е изд., Paris 1830. Немецкий перевод Мазера,
1886—1887.

§ 54]. О ^КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 119.
V ' ' ' ————————
Связь между обеими формами кратко выражают так: форма
ах- -L- 2bxy -f- СУ2 переходит в форму1 q'x'2 = 2tfx?y' -)- с'У* посред-
посредством преобразования или подстановки A). Числа ос, [3, ,7» § называются
последовательно первым, вторым, третьим и четвертым коэфициен-
тами подстановки. Так как выбор букв для обозначения переменных
имеет второстепенное значение и природа формы и подстановки зави-
зависит только от их коэфициентов, то часто выражаются еще короче:
форма (а, Ь, с) переходит в форму (V, Ь\ с') посредством подст#-
новки 7, 4% -у, 8, или ( ' U . Такой способ выражения означает не более
и не менее, как то, что имеют место три равенства B). При этом
необходимо обращать внимание на расстановку коэфициентов как само^
формы, так и подстановки. Так, например, придерживаясь вышеприве-
вышеприведенных обозначений, мы должны сказать, что имеет место одновремен-
одновременный переход
{а> by с) в (V, Ь\ с') посредством подстановки
(а, д, с) , {с', Ь', а') „ „ (J *);
(с, Ь, а) „ (а', Ь', с')
{с, Ь, а) „ (с\ V, а')
Очевидно, что всякое число, представимое второй формой (af, br, сг),
может быть представлено и первой формой (а, Ь, с). В самом &еле,
если число т представлено формой (а', Ь\ с'), когда переменные л/, уг
принимают частные значения г', s'y то достаточно положить
и форма (а, Ь, с) будет представлять то же самое число т при
х = г, y — s. Поэтому говорят также: форма (а, Ь, с) содержит форму
{агу Ь', с')> или, точнее.: форма (а', br> с') содержится1) в форме
(а, Ь, с), именно потому, что все числа, представимые формой {ar,br,c?)y
содержатся в тех, которые представимы формой (а, Ь, сJ).
Особенно важным является соотношение, которое существует между
детерминантом
D'==*'« —а V
новой формы и детерминантом D старой формы. Подставляя вместо
а\ bf\ сг их-' выражения из формул B), получим после простых пре-
преобразований
[) Ga uss, D A., art. 157.
2) Об обращении этой теорены см. Sc he r ing, Theoremes relatifs^aux
formes binaires quadratiques, qui reprdsentent les memes nombres, Journal de
Mathematiques publ. p. Ltouville, т. IV, 2е serie, 1859.

120 Глава четвертая [§ 54
Таким образом, новый детерминант всегда равен сщарому, умно-
умноженному на точный квадрат] следовательно^ оба детерминанта имеют
один и тот же знак. Так как мы заранее исключили из рассмотрении
формы, детерминант которых равен нулю, то поэтому будем рас-
рассматривать только такие подстановки ( ' *Ь Для которых а8 — р-f (так
называемый детерминант подстановки) имеет значение, отличное от
нуля. При этом, однако, мы делаем существенное различие между
двумя ^случаями, а именно, подстановка ( ' LJ будет называться соб-
собственной или несобственной, в зависимости от того, имеет ли выражение
«8 — J3-f положительное или отрицательное значение. Этот же способ
выражения перенесем и на соотношение между формами (я, Ь, с\
и (а', Ь', с'), а именно, мы скажем, что форма {а\ Ь\ с') содержится
в форме (ау Ь9 с) собственным или несобственным образом, в зависи-
зависимости от того, является ли подстановка fa> П, посредством которой
последняя переходит в первую, собственной или несобственной. Во
избежание недоразумений мы немедленно прибавим, что одна форма
может содержать другую одновременно как собственно, так и несоб-
несобственно, так как часто форма может быть преобразована в одну и ту
же-другую форму один раз собственной, другой раз — несобственной
подстановкой. Так, например, форма C, 13, 18) переходит в форму
(—5, — 5, 18) как посредством собственной подстановки ( / . Л) t
так и посредством несобственной подстановки) ' Л'~Г Q), так что пер-
\ — 1, — о/
' вая, форма содержит вторую как собственно, так и несобственно.
Далее, назовем две подстановки однотипными, если они обе
одновременно или собственные, или несобственные, и неоднотипны ми у
если одна из них собственная, а другая — несобственная.
§ 55.
Сохраним предыдущие обозначения и предположим, что форма
(#', bFу сг) посредством новой подстановки
переходит в форму
{а", Ь"у с") = а"х"
Тогда, очевидно, первая форма (а, Ь, с) переходит в третью форму
(а"у Ь", с") посредством подстановки
X = а (аV + .ЗУ) + ?
у = т (а'У + ?'/') + Ъ

§ 55] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 121
или
х = (fee' + Ю х" + 0,3' + ,33')/',
у = (Та' + З-f') х" + (f У + 33')/'.
Отсюда следует теорема:
?*?ли одна форма содержит вторую, а вторая — третью, то ш
первая форма содержит третью.
Обозначим выражение
(аа' + Ю (# + 88') - (аЗ' + ,33') (Та' -f 87')
через з. Тогда необходимо детерминант третьей формы D4 =
Но так как, с другой стороны,
?У = (а8 — $Ч)Ю, D" = (a'V — 3 YJ#'
и, стало быть,
?>" = (аз _ (Зт)а (а'3' — ?^02О,
a D отлично от нуля, то заключаем, что
Сравнивая обе стороны, мы легко убеждаемся, что квадратный ко-
корень извлекается следующим образом:
в = (а8 —?T)(a'8' —3Y)-
Из этого соотношения (которое содержит одну из простейших теорем
теории детерминантов) следует еще существенное пополнение преды-
предыдущей теоремы, а именно:
Первая форма содержит третью собственно или несобственног
в зависимости от того, содержит ли первая форма вторую по тому
же гпипу, как вторая третью, или по противоположному типу,.
Продолжая далее таким же образом, т. е. преобразуя третью форму
в четвертую, четвертую в пятую и т. д., непосредственно получаем
общую теорему:
Если в ряду форм каждая содержит последующую, то первая
форма содержит и последнюю, и притом собственно или несобст-
несобственно, в зависимости от того, будет ли число участвующих здесь
несобственных подстановок четным или нечетным.
Подстановка, посредством которой первая форма непосредственно
преобразуется в последнюю, называется соединенной1) из отдельных.'
последовательных подстановок. Соединение двух подстановок будем-
обозначать следующим образОхМ:
Ъ 8/ W. 8'J"Ta'
г) В настоящее время результат соединения двух или нескольких последо-
последовательно произведенных подстановок называется произведением этих подстано-
подстановок. Ред.

122* Глава» четвертая _ [§ 55
В общем случае нельзя, очевидно, изменить порядок расположения двух
последовательных подстановок, так как при этом изменился бы и ре-
результат. Так, например,
• 1| °' _
¦1,+ lj { — 1,-3/ "I — 2, — 5/
2O ) *
, O/
При этом, если даны три последовательных подстановки S, S\ S", то без-
безразлично, соединяют ли сначала 5 и У, а затем результат SS' с S",
яли же S соединяют с результатом SfS" второй и третьей подстановки.
Это можно записать так:
Это утверждение непосредственно следует из самого понятия соедине-
соединения подстановок. В самом деле, если (лг, у), (х\ у'), (х'\ /') и (*'", У")
.являются парами последовательных переменных, то для выражения х,у
через х'", у'" безразлично, являются ли промежуточными переменными
х\ у' или х", у". Подстановка, составленная указанным образом из
трех следующих друг за другом подстановок S, 6", У, может, следо-
следовательно, быть кратко обозначена через SS'S". Так же, как и в § 2,
«заключаем, что то же самое справедливо для любого большего числа
подстановок, следующих друг за другом в определенном порядке, при-
причем они приводятся к единственной подстановке последовательным
соединением двух соседних подстановок. Так, например, полагая
SSf = Т SfSrr = Тг 9" 9"' = Тг
получаем
in, следовательно,
{TSf)srrr = (sr)sm = s(rsm) = s(ST) = tl" = ssrsrsr'.
Отметим для дальнейшего, что подстановка (^ , ) при соединении
-нескольких подстановок всегда может быть опущена, так как она не
сит никакого изменения.
Наконец очевидно, что вышеизложенная теорема может быть сфор-
сформулирована следующим образом:
Подстановка SS'S"..., составленная из подстановок S> S\ S",...,,
будет собственной или несобственной, в зависимости от четности
ши нечетности числа входящих в нее несобственных подстановок.
§ 56
Особенно, важен следующий вопрос, когда две формы взаимно со-
содержат друг друг#? Очевидно, в этом случае система чисел, предста-
вимых первой формой, тождественна с системой чисел, представимых
второй формой. Две такие формы, взаимно содержащие друг друга, мы

§ 56] О, КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАМ 123
будем называть эквивалентными1). Если D, D' — их детерминанты, то
D' D *
как отношение уг , так и отношение jy должно быть точным квад-
квадратом, следовательно, целым положительным числом. Отсюда следует,
что необходимым условием эквивалентности двух форм является
равенство их детерминантов D и ?>'.
Однако это условие не является достаточным для эквивалентности
двух форм. Оно является достаточным только тогда, когда нам, кроме
того^ известно, чю одна из форм содержит другую. В самом деле,
если обе формы (а, Ь, с) и {а'у br, с') имеют равные детерминанты
и если, кроме того, первая посредством подстановки
переходит во вторую, то из соотношения
D' = («8 —
и равенства D' и D следует равенство
aS — рт = =±= 1.
Полагая, для сокращения, аЬ — ft* = ztz I = з, получим
xr i= -j- eS# — е.Зу,
Итак, форма (а', #', сг) может быть переведена в форму (а, 6, с) по-
посредством этой -подстановки с целыми коэфициентами. Следовательно,
обе формы действительно эквивалентны друг другу.
Подстановки
каждая из которых называется обратной к другой и соединение кото-
которых всегда дает подстановку (j - J, очевидно, или обе собственные,
или обе несобственные. В зависимости от того, какой из этих случаев
имеет место, обе формы будут называться собственно или несобственно
эквивалентными 2).
Как мы только что видели, одна из эквивалентных форм всегда пере-
переходит в другую посредством подстановки fa' v), в которой аЗ — Ру =
= ±1. Точно так же следует и обратное, что каждая такая под-
подстановка необходимо преобразует произвольную форму в ей эквива-
лентную* так как детерминанты обеих форм будут равны. Таким обра-
образом существование такой подстановки является необходимым и доста-
достаточным условием эквивалентности двух форм.
l) Gauss, D. A., art 157.
•*) Gauss, D A , art. 158

124 Глава четвертая
————
Из понятия эквивалентности непосредственно следует, что каждая
форма собственно эквивалентна самой себе, так как #он? переходит
сама в себя посредством собственной подстановки L/ ч J. Эго предло-
предложение является лишь частным случаем следующей теоремы, которая
очень часто применяется:
Если две формы (а, Ь, с) и (a't b\ с') с равным детерминантом ГУ
имеют одинаковый первый коэфициент а, а их средние коэфициенты
b и bf сравнимы друг с другом по модулю а, так что br — а$-\-Ь,
то обе формы собственно эквивалентны, и первая переходит во вто-
вторую посредством собственной подстановки (' П.
Далее отметим следующие случаи несобственной эквивалентное i и.
Две противоположныех) формы (formae oppositae)> т. е. две формы
(ct, by с) и (а, — Ьу с), отличающиеся лишь знаком среднего коэфи-
циен1а, всегда несобственно эквивалентны, так как одна переходит
в другую посредством подстановки (^ . j. To же самое имеет место-
для двух союзных) форм (formae sociae),i. е. для двух форм (я, Ь, с)
и (с} Ь, а), имеющих одинаковые коэфициенты, но в обратном порядке;
одна переходите другую посредством подстановки (* Л.
Соединяя обе эти подстановки, получаем, что формы (а, Ь, с)
и (с, — Ь, а) собственно эквивалентны, так как первая переходит во
вторую посредством подстановки ( ' п;)#
§57.
И здесь один тип эквивалентности форм не исключает другого;
а именно, часто случается, что две формы эквивалентны друг другу как
собственно, так и несобственно. Так, в приведенном выше (§ 54)
примере обе формы C, 13, 18) и (—5, —5, 18), действительно,
и собственно и несобственно эквивалентны друг другу; первая пере-
ходит в последнюю посредством подстановок f ]]1 / А ( ^ / о)>
и, обратно, последняя переходит в первую посредством обратных под-
становок^и ( + J;
1) Gauss, D A, art. 159.
2) Gauss, D A., art. 187.
5) Этот, а также лругой упомянутый выше случай собственной эквиватент-
ности настолько часто встречаются, что будет вполне уместно дать им специаль-
специальное наименование. Следуя сделанному в одном из предыдущих изданий этой
работы предложению, можно назвать параллельными формами две формы
{а, Ь, с) и (а', Ь\ с'), переходящие друг в друга посредством подстановки вида
/1 ft \
'о I/1 и дополнительными формами — формы (а, Ь, с) и (с,— bt а) [(ср. § 63>
сноску 2) на стр ' 138].

<§ 57] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 125
Если две формы как собственно, так и несобственно эквива-
эквивалентны друг другу, то каждая из них несобственно эквивалентна
^амой себе.
В самом деле, если форма (а, Ь, с) переходит в форму (аг, Уу сг)
посредством подстановок
/в',' Р'
к которых
я'З' _ р у = + 1, <х"б" — $"f == — 1 •
го (ar, ft', с') переходит в (я, ft, с) посредством обратных подстановок
Ч-Т'. +«7 Ч+т", -«*/'
Отсюда следует, что (а, Ь, с) переходит сама в себя посредством
соединенных и притом необходимо несобственных подстановок
Так, например, форма C, 13, 18) переходит сама в себя посредством
«есобственных подстановок
+ 1, o\f+3.+2\_f+3,+2
-1, +1Д-1. — 1/ " V—4, -3
1,-3Д1, 1J-U4. -ЗУ"
He случайно, что обе эти подстановки, составленные различным
образом, оказываются тождественными. В самом деле, положим
гогда получим
¦и, для того чтобы доказать тождественность обеих этих (обратных)
подстановок, нам остается только показать, что в каждой несобст-
несобственной подстановке (*' и , посредством которой форма переходит сама
в себя, первый и четвертый коэфициенты всегда равны друг другу
>по величине, но противоположны по знаку. Это легко получить сле-
следующим образом. Если форма (а, Ь, с) переходит сама в себя по-
посредством несобственной подстановки ( ' к ), то
«s —этг = —х.

126 Глава четвертая [§57
Если заменить во втором из этих трех уравнений ^согласно третьему
через а8 —[— 1, то оно переходит в следующее:
Исключая из этого и из первого из трех вышенаписанныхуравнений
величину 26a-j-CT и отбрасывая множитель а (который отличен от
нуля, иначе детерминант D был бы точным квадратом), получаем соот-
соотношение
Отсюда, принимая во внимание соотношение осо—jfy =#—1, действи-
действительно получаем 8 =— ос, что и требовалось доказать.
§58.
Таким образом всякая несобственная подстановка, посредством
которой форма (a, Ь, с) переходит сама в себя, необходимо имеет
вид( ' ' Ч, причем одновременно aa-j-3-f=l. Особый интерес пред-
ставляет частный случай f = 0; тогда a = zjz 1 и соответственна
г±:ар==2?. Такая форма, в которой удвоенный средний коэфициент
делится на первый, будет называться forma anceps1), или двусторонней2)
формой. Обратно, легко видеть, что всякая двусторонняя форма
несобственно эквивалентна самой себе. В самом деле, если (а, Ь, с) —
такая форма и, стало быть, 2?=а>3, то (а, #, с) действительно пере-
переходит сама в себя посредством несобственной подстановки \г% \\
Это же, очевидно, справедливо и для всякой формы, эквивалентной
двусторонней форме. Однако имеет место и обратная теорема3).
Если форма несобственно эквивалентна самой себе, то всегда
существует эквивалентная ей двусторонняя форма.
Доказательство. Пусть о такая форма, которая переходит
сама в себя посредством несобственной подстановки \> ' Н. Если
«Y = 0, то мы знаем, что <р сама будет двусторонней* формой, и, сле-
следовательно, теорема справедлива. Если же -у отлично от нули, то будем
искать такую собственную подстановку ( * м, посредством которой
форма <р переходит в эквивалентную ей двустороннюю форму; послед-
последнюю мы обозначим через 6. Так как лр — av= -f- 1 и, следовательно*
!) Gauss, D. A., art 163.
2) Устно Дирихле всегда употреблял термин forma anceps, который и я
удержал при обработке первого издания A863). Во втором и третьем изданиях
A871, 1879), где эти формы и соответствующие им классы форм встречаются
чаще, я назвал их в связи с термином, примененным в родственной области
Куммером (Monatsbericht der Berliner Akademie or 18 февраля 1858 г ), ambige\
Formen (formae ambiguae) Но так. как это словообразование резонно оспари-
оспаривается, я предлагаю сейчас вышеприведенный термин, который без затрудне-
затруднения может быть обобщен (ср. § 149).
а) Gauss, D. A., art. 164.

§ 58] О квадратичных формах 127"
«^переходит в <р посредством обратной подстановки ¦( J^'Ilx')' to О,
очевидно, должна переходит сама в себя посредством несобственной
подстановки, составленной из трех последовательных подстановок
/Ч- Р. ~ Л /Ч + А Л. \Л
Третий коэфициент этой подстановки ""равен
Ч№ — 2<хЬ — 3v2,
и рее сводится к определению таких двух взаимно простых чисел a, v,._
чтобы этот коэфициент был равен нулю, потому что тогда ф будет
двусторонней формой. Если умножить вышенаписанное выражение на ?
и вспомнить, что а2-|~р^в=1, то это требование сведется к сле-
следующему:
2lL
GХ —av) —v* = 6; 2Lssl=lz=J^Lm
Так как согласно нашему предположению -у отлично от нуля, то
можно определить два взаимно простых числа X, v, удовлетворяющих.
этому требованию, если привести дробь ¦-" к простейшему виду.
Последнее необходимо ввиду того, что четыре коэфициента X, u, v, [>•
должны удовлетворять уравнению -1о — jav = 1. После того как X и v-
определены указанным образом, можно найти бесчисленное множество
пар значений р и \х (по § 24)^ удовлетворяющих этому последнему тре-
требованию. Таким образом при помощи (' ' Ч действительно найдена
собственная подстановка (' ^ J, которая преобразует данную форму ср.
в эквивалентную ей двустороннюю форму ^. Этим теорема доказана.
Рассмотрим в качестве примера еще раз форму C, 13, 18), которая,
переходит сама в себя посредством несобственной подстановка
(1 а — я)# ^Ужно только положить
если мы возьмем верхний знак, то нужно положить X ===== z±z 1, 7 = 1^1^
и соответственно р —|— и. = i±z 1. Если взять верхние знаки и p=:lv
a = 0, то получим подстановку ( / -i) > переводящую, как мы уже
раньше заметили, форму C, 13, 18) в форму (—5, —5, 18), которая
действительно является двусторонней формой.
Далее, форма G, J, —1) переходит сама в себя посредством,
несобственной подстановки ( ' Q' ' о). В этом случае мы должны
положить

128 ' - .Глава четв^ай *^^-^-—¦¦ [§ 58
возьмем для простоты опять верхний знак. Тогда мн. можем снова по
ложи1ьл==1, v = — 1, р=1, |а = 0; и в самом деле подстановка ^ ^ j
переводит форму G, 1, — 1) в двустороннюю форму D, 2>—!)•
§.59.
Теперь мы оставим эту интересную тему и в дальнейшем будем зани-
занижаться исключительно собственной эквивалентностью. Под термином
„эквивалентность" в дальнейшем будем понимать только собственную
эквивалентность, точно так же под подстановкой будем всегда пони-
понимать только собственную подстановку. Поэтому если две формы /
м f будут названы эквивалентными, то это выражение всегда будет
^означать (§ 56), что существует подстановка ' П, коэфициенты ко-
которой удовлетворяют условию «8 — ^=-|-1 и посредством которой/
переходит в /'. Обратно, f переходит тогда в / посредством обратной
подстановки ( 5 Ь коэфициенты которой удовлетворяют тому
^ \ — Ъ а/
¦же условию оа — ( —13) ( — f)== 4~ *• Из общей теоремы § 55 выте-
вытекает следующая частная теорема: Две формы, эквивалентные третьей,
эквивалентны друг другу. Эта теорема образует основу самого важ-
важного понятия во всей теории квадратичных форм.
Пусть /—определенная данная форма с детерминантом D и F —
совокупность всех форм /, /', /',..., эквивалентных /. Вследствие
вышеупомянутой теоремы, любые две формы f, /', принадлежащие
системе F, эквивалентны также и друг другу. Поэтому если f — какая-
нибудь, форма, принадлежащая F, то система всех эквивалентных f
форм тождественна с системой F. Такая система эквивалентных друг
др}гу форм называется классом форм1).
Из этого определения явствует, что произвольный индивидуум
такого класса вполне определяет все остальные формы, принадлежащие
этому классу. Поэтому всегда можно рассматривать этот индивидуум
как представитель класса форм.
Было бы нетрудно доказать, что в каждом таком классе форм
содержится бесчисленное множество индивидуумов, т. е. что число
форм, в которые переходит данная форма /посредством бесконечного
числа различных подстановок ( ' F] с детерминантом ао — $Ч~ ~\~У>
-бесконечно велико, хотя может случиться, а при положительных детер-
детерминантах это всегда имеет место, что бесчисленное множество таких
подстановок преобразует форму / в одну и ту же форму f. Само по
себе это доказательство не представляет сейчас для нас никакого,
интереса. Большую важность и величайший интерес представляет,
«напротив, следующая проблема.
Представим себе все формы с одним и тем же детерминантом D
распределенными по соответствующим им различным классам и из каж-
цого класса выберем произвольно по форме в качестве представителя
Gauss D. А . art 223

*§ 60] О квадратичных формах 129
этого класса. Мы получим, таким образом, так называемую полную
систему неэквивалентных форм для данного детерминанта D. Основ-
Основное свойство такой полной системы форм S, полностью ее характе-
характеризующее, состоит в том, что любая форма с детерминантом D всегда
эквивалентна одной и только одной из форм, содержащихся в этой
системе 5. Число этих различных классов (а вместе с тем и их пред-
представителей в полной системе форм S)y как выявится сперва для отри-
отрицательных, а потом и для положительных детерминантов, всегда
конечно. Мы намеренно уже сейчас намечаем проблему точного опре-
определения этого числа классов для данного детерминанта, тесно свя-
связанную с прекраснейшими алгебраическими и аналитическими изыска-
изысканиями настоящего столетия, как последнюю и важнейшую из разре-
разрешаемых нами задач.
Путь к* этой цели ведет через решение двух следующих основных
проблем в теории эквивалентности:
I. Определить, эквивалентны ли две данные формы с одинако-
одинаковыми детерминантами, т. е, принадлежат ли они одному и тому же
классу, или нет.
II. Найти все подстановки, посредством которых одна из двух
данных эквивалентных форм переходит в другую.
Однако внимание, уделяемое нами этим проблемам, нелишне будет
мотивировать, показав, * как к ним полностью может быть сведена
теория представления чисел посредством квадратичных форм. Поэтому
•в дальнейшем мы начинаем с изложения некоторых основных теорем
этой теории.
§ 60.
Как уже было упомянуто в началу этой главы, целое число т
называется представимым посредством квадратичной формы (я, Ь, с),
если существуют два целых числа х и у, удовлетворяющие уравнению
ал;2 -f 2Ъху -\-су* = т. A)
Но мы можем прежде всего ограничиться так называемыми собствен-
собственными представлениями х, у, в которых оба представляющих числа
х, у взаимно простые. В самом деле, если 8 — общий наибольший
делитель х и уу то т необходимо делится на 82. Если положить теперь
х = х'Ъ, yz=zy'h и т = м'о2, то т' будет, очевидно, представлено
посредством формы (а, Ь, с), причем за представляющие числа взяты
хг и у. Так как последние являются взаимно простыми числами, то
легко убедиться, что как только известны все собственные представ-
представления чисел, то отсюда все остальные {несобственные) представления
легко могут быть найдены. Поэтому мы целиком исключаем последние
из наших ближайших рассмотрений. Предпослав эти соображения,
переходим к изысканию необходимых и достаточных условий для
представимости заданного числа т посредством данной формы (а, Ъ, с).
1. Итак, мы предполагаем, что вышеприведенное представление
A) числа т посредством формы {а, Ь, с) с детерминантом ?> = ?2— ас
является собственным, т. е. х и у — взаимно простые числа. В этом

130 Глава четвертая [§ 60
случае всегда существует (по §§ 22, 24) бесконечное множество пар
целых чисел ?, т], удовлетворяющих неопределенному уравнению пер-
первой степени
хч\—&=+1. B)
Выберем произвольно такую пару ?, [х; тогда форма (я, Ь, с) посред-
посредством подстановки ( J J переходит (по § 56) в эквивалентную форму
(т, п, /), первый коэфициент которой, вследствие A), будет равен
представляемому числу т\ средний коэфициент будет
п = (ах -f by)t-\-{bx-\-cy) % C)
третий же коэфициент / определяется из уравнения п2 — ml=D
(от не может быть равно нулю, так как иначе D было бы точным квад-
квадратом), потому что обе формы (по § 56) имеют один и тот же детер-
детерминант. Так как этот третий коэфициент / необходимо является целым
числом, то отсюда следует, что D является квадратичным вычетом т,
а п — корнем z сравнения
z* = D (mod от). D)
2. Положим теперь, что вместо обоих чисел ?, y] взята какая-
нибудь другая пара чисел ?', tj', удовлетворяющих тому же условию B).
/х ?г\
Тогда форма (а, Ь, с) посредством подстановки ( /) также пере-
переходит в эквивалентную ей форму (от, /г', /'), и мы опять получаем
корень
' ' {
сравнения D). Важно исследовать соотношение между этим корнем
и корнем п. Согласно нашим прежним исследованиям (§ 24) каждое
решение 6', ч{ неопределенного уравнения хп(—у\'-=z\ получается,
и притом единственным образом, из формул
?' = $ + **'» т]' = т] -\-yvt
где v пробегает все целые числа от — оо до -\- оо.
Подставляя эти выражения в формулу для п' и принимая во вни-
внимание A) и C), получаем следующий результат:
п! == п -j- ntVy
и, значит,
n'z==n (mod m).
Отсюда следует, что все корни л, п! сравнения D), которые могут
быть получены вышеуказанным образом из одного заданного собствен-
собственного представления (х, у) числа т посредством формы (а, Ь, с),
исчерпырают все элементы одного и того же класса чисел (mod m)
и, следовательно, образуют один и тот же корень этого сравнения (§21).
Каждый элемент этого класса чисел порождается один и только один
раз, когда v пробегает все целые числа, т. е. когда последовательно
применяются все решения ?, iq уравнения B). Поэтому говорят, что

§ 60] О квадратичных формах 131
представление (х, у) числа т принадлежит этому корню п (mod m)
сравнения D), так как применение указанного процесса обнаруживает
только эти и никакие другие корни.
(х ? \
* ) , первым и тре-
третьим коэфициентом которых служат представляющие числа х иу, пере-
переводят форму (a, by с) в бесчисленное множество эквивалентных (парал-
(параллельных) форм (т9 я, /) (ср. § 56), общий первый коэфициент кото-
которых есть представляемое число т, в то время как средний коэфи-
коэфициент п пробегает все числа вполне определенного класса (mod m)>
и притом каждый его элемент только один раз*).
3. Вышеизложенного достаточно, чтобы убедиться в том, что
задана о нахождении всех собственных представлений данного числа т
посредством данной формы (а, Ь, с) сводится к разрешению обеих
проблем, поставленных в конце предыдущего параграфа. Сперва надо
исследовать, является ли D квадратичным вычетом т или нет.
В последнем случае т нельзя представить собственным образом ника-
никакой формой с детерминантом D. В первом случае надо определить
все несравнимые корни сравнения D) и с каждым в отдельности
поступать следующим образом. Пусть п определенный представитель
некоторого определенного корня, а именно n2 = D-\-ml, тогда
(//г, п, I) является определенной формой с детерминантом D. Теперь,
если существует представление (х, у) числа т посредством (я, 6, с)Т
которое принадлежит представленному посредством п корню сравнения
х) Естественно заняться определением класса чисел п (mod m) непосредст-
непосредственно из самого данного представления (дг, у), не прибегая к числам ?, ч\.
Решение уравнений B) и C), которые оба первой степени относительно ? и -q,
дает
тч\ = ах -}- (Ь + п)у, — пй = (Ь — п) х + су;
отсюда следуют сравнения
— уп = ах + by, xn~bx + су (mod m),
посредством которых, как легко видеть, полностью определяется класс чисел п
(mod m).
Мы включаем сюда еще следующую теорему, которая будет использована
позднее: если существуют два целых числа х, у% удовлетворяющие условиям:
ал-з + ЧЬху + су- = т%
ax + (b + n)y~0, {b — n)x+cy~Q (modm),
где т, п, а, Ъ, ? —данные числа, первое из которых отлично от нуля, то
форма (а, Ь, с) эквивалентна форме (т, п, I) с первыми двумя коэфициентзми
ту п. В самом деле, если положить выражения, находящиеся в левых частях
обоих сравнений, равными соответственно тч\, — /и?, то, умножая на х, у
и складывая, получаем т (x-q — у%) = т\ значит, хч\— у$= -\-1, откуда легко
следует остальное. Далее, из вышеизложенного непосредственно следует и обрат-
обратное, т. е. если две формы (а, Ъ, с) и (т% л, /) эквивалентны, то всегда суще-
существуют два числа л:, у, удовлетворяющие предыдущим условиям. Таким обра-
образом существование двух, таких чисел х, у полностью характеризует эквива-
эквивалентность обеих форм.

132 Глава четвертая [§ 60
D), то форма (а, Ь, с) эквивалентна (/я, п, /), и представление (л;, у)
fx ?\
определяет единственную подстановку ( ' ), переводящую первую форму
во вторую. Итак, сперва нужно решить, эквивалентны обе данные
формы (a, by с) и (т, п, I) с детерминантом D или нет, — это первая из
обеих сформулированных проблем. Если обе формы окажутся неэкви-
неэквивалентными, то не существует ни одного представления числа т
посредством формы (а, Ь, с), принадлежащего этому корню п. Если
же оказывается, что обе формы эквивалентны, то надо отыскать все
(х ? \
подстановки ( ' J, переводящие форму (а, д, с) в (т, пу /), — это вторая
проблема. Тогда первый и третий коэфициенты (х и у) каждой такой
подстановки действительно образуют собственное представление числа m
посредством формы (я, Ь, с), принадлежащее корню п. Но, как мы уже
заметили, каждому такому представлению (х,у), обратно, соответствует
(х Е\
9 J, а потому посредством
всех подстановок указанного вида мы получаем все принадлежащие п
представления, и притом каждое только один раз. Точно таким же
образом поступаем с остальными корнями сравнения D), число кото-
которых, в случае если т и D — взаимно простые числа, определяется
по § 37.
§ 61.
После того как предыдущее отклонение от темы позволило нам
убедиться в том, что теория представимости действительно может
быть полностью сведена к обеим сформулированным (в § 59) пробле-
проблемам учения об эквивалентности, обратимся теперь к их решению.
Первая из них—' узнать, эквивалентны ли две формы с равными
детерминантами или нет, — требует с самого начала совершенно раз-
различных методов, в зависимости от того, положителен детерминант
или отрицателен1). Но в обоих случаях решение таково, что если
эквивалентность обеих форм доказана, то одновременно находится
и преобразование одной в другую. Следовательно, так как в случае
двух действительно эквивалентных форм уже при разрешении первой
задачи всегда находится хоть одно такое преобразование, то вторая
проблема состоит лишь в получении всех остальных преобразований
из одного, уже известного. И так как решение ее вначале не зависит
от знака детерминанта, а допускает один и тот же метод как для
положительных, так и для отрицательных детерминантов, то мы пред-
предпошлем ее первой.
Итак, наша задача состоит в следующем: зная одну подстановку L,
переводящую форму 9 в эквивалентную форму 6, найти все подста-
подстановки S, приводящие к тому же результату. Путем некоторых заме-
!) Ниже (§ 64) будет показано, что все числа, представимые формой
с отрицательным детерминантом, имеют один и тот же знак. Поэтому такие
формы называются определенными; если при этом все числа, представимые
формой, положительны, то форма называется положительной. Квадратичные
формы с положительным детерминантом называются неопределенными. Ред.

§ 61] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 133
чаний мы можем сразу значительно упростить эту задачу, сведя ее
к простейшему случаю, в котором обе формы тождественны. В самом
деле, предположим, что мы знаем все подстановки Т, посредством
которых форма <р переходит сама в себя; тогда, очевидно, <р перехо-
переходит в другую форму ty посредством всех подстановок TL. Следова-
тельно, все эти подстановки TL принадлежат к искомым подста-
подстановкам S. Теперь мы утверждаем и обратное, что таким путем порож-
порождаются все подстановки 5, причем каждая только один раз. В самом
деле, обозначим через V подстановку, обратную L (посредством кото-
которой, следовательно, форма ф переходит обратно в форму <р)*> тогда
каждая подстановка вида SU такова, что посредством нее форма <р
переходит сама в себя, и тем самым она содержится среди подстано-
подстановок, обозначенных через Г, так что мы можем положить SLr = Г. Так
как составленная из V и L подстановка Z/L = [ ' 1 ], то отсюда сле-
следует, что SL/L = S==TLi т. е. каждая подстановка S действительно
порождается указанным образом. Отсюда же, наконец, следует, что
каждая подстановка S порождается единственной подстановкой Т.
В самом деле, если TL = S, то T=SLr, т. е. подстановка Г, порож-
порождающая определенную подстановку S, всегда сама вполне определена,
тая что две различные подстановки Т порождают и две различные
подстановки S.
Так как совокупность всех подстановок 5 полностью совпадает
с совокупностью всех подстановок TL, где L означает заданную под-
подстановку, переводящую форму у в эквивалентную форму ф, то нам
остается лишь найти все подстановки Т. Таким образом наша проб-
проблема сведена к следующей:
Найти все подстановки, посредством которых форма переходит
сама в себя.
Прежде чем приступить к ее разрешению, выдвинем одно сообра-
соображение, чрезвычайно важное для дальнейшего.
Если а означает общий (положительный) наибольший делитель
трех чисел а9 2Ь, с, то очевидно, что все числа, представимые посред-
посредством формы (а, Ь, с), делятся на а; везде, где это не может привести
к недоразумению, мы будем кратко называть это число а делителем
формы (a, by с). Тогда возможны два случая:
1. Если 2Ь: а — число четное, то а входит множителем в Ь, и, сле-
следовательно, о2 входит множителем в детерминант D = b2 — ас, и об-
обратно,— если о2 вводит множителем в ?), то b делится на а, следо-
следовательно, 2b: a—число четное. Тогда а является одновременно и об-
общим наибольшим делителем трех коэфициентов а, Ь, с.
2. Если 2Ь: а— число нечетное, то а во всяком случае четно и а2,
хотя не входит множителем в D, тем не менее входит множителем
в 4D и притом
4D /2#\2 .ас л , л л\
— ==() —4—. — ===1 (mod 4),
т. е. 4D==c2 (mod 4а2). И обратно, если 4D===ok2 (mod 4c2), то

134 Глава четвертая [§61
также и B?Jн==а2 (mod 4а2); следовательно, 2b\ a — число нечетное.
Вместе с тем ~ является общим наибольшим делителем трех коэфи-
циентов а, Ь, с.
Таким образом делитель о каждой формы с детерминантом D
удовлетворяет и*Ги условию D = 0 (mod о2), или условию 4D = а2
(mod 4а2). Обратно, если о положительное число, удовлетворяющее
первому или второму из этих условий, то существуют формы (а, Ь, с)
с детерминантом D, делителем которых является о. Действительно,,
в зависимости от того, удовлетворяет ли о первому или второму
условию,
q, —) или (о, -о, -^—j
является формой с детерминантом D и делителем о, а именно, так
называемой простейшей формой (forma simplicissima) этого типа.
Простейшая форма A, 0, —D) с делителем 1 называется главной
формой (forma principalis) детерминанта D1).
Общий наибольший делитель х трех коэфициентов а, Ъ, с формы
(a, Ь, с) в первом случае равен с, во втором -^ о; если т = 1, то форма
называется начальной 2) {forma primitiva), причем формой первого вида3)
(forma proprie primitiva, или forma propria no Гауссу), если о=1,
и формой второго вида (forma improprie primitiva, или forma impropria),
если а = 2, и, следовательно, D=l (mod 4). Далее, если т>1
и a~ia\ b = ib\ c = icr, b'br — arc' = D\ D = t2D', to форма
(а, Ь, с) называется произведенной (derivata) от начальной фбрмы
(а', V, сг) с детерминантом D'.
Из формул преобразования § 54, B) вытекает, что если форма
(а\ Ь\ с') содержится в форме (а, Ь, с)} то каждый общий делитель
чисел а, 2Ь, с должен быть также и общим делителем чисел а'9 2У, с't
откуда непосредственно следует, что любые две эквивалентные формы
обладают одним и тем же делителем о. Следовательно, этот делитель
является общим для всех форм, принадлежащих одному и тому же
классу, и поэтому может по праву быть назван делителем класса
форм. То же самое, очевидно, имеет место и для общего наибольшего
делителя т коэфициентов а, Ьу с каждой формы (а, Ь, с), принадлежа-
принадлежащей определенному классу. Отсюда само собой явствует, что следует
понимать под простейшим классом с делителем а, под главным клас-
классом, под начальным классом первого или второго вида, или под
произведенным классом. Наконец, совокупность всех форм с равным
детерминантом D и равным делителем о образует так называемый
порядок1) (ordo), и из предыдущего следует, что это есть комплекс всех
классов с детерминантом D и делителем а.
1) Gauss, D. A., artt. 231, 250.
2) Gauss, D. A., art. 226.
3) Dirichlet, Recherches sur diverses applications de 1'analyse infinitesi-
mnle a la theorie des nombres. 2-я часть, § 7. Crelle's Journal, т. 21.
J) Gauss, DA., art. 226.

§ 62] . О квадратичных формах 135
§62.
Пусть ( ' м — некоторая подстановка, посредством которой форма
\v, р/
(а, Ь, с) с детерминантом D и делителем о переходит сама в себя; тогда
Хр— uv = l; A)
и далее (по § 54)
Ь + с^ = а, B)
p>v) 4- cvp = b. C)
Так как уже из этих трех уравнений следует, что (а, Ь, с) переходит
в эквивалентную форму, первым и вторым коэфициентом которой
являются а и ht то вследствие равенства детерминантов последний
коэфициент сг новой формы необходимо равен с. Следовательно, эти
уравнения полностью выражают, что ( ) является подстановкой
требуемого типа (это не было бы показано с такой же полнотой,
если бы мы хотели заменить уравнение Хр — jjlv ===== 1 другим уравне-
уравнением a\i2 -f- 2d[xp -{- ср2 = су так как обратно можно было бы только
заключить, что Хр — |xv = zjzl).
С этими тремя уравнениями с четырьмя неизвестными X, р, jx, v мы
поступим следующим образом.
Если заменить Хр через y.v-{-l, то уравнение C) принимает вид
al\L + 2?|xv + cvp = 0;
присоединяя к нему уравнение B) и исключая сначала 2Ь, потом су
получим, принимая во внимание уравнение A), два следующих уравне-
уравнения:
a\i + м = 0; а (X — р) 4" 2?v = 0.
Так как а отлично от нуля (потому что иначе D было бы точным
квадратом), то можно положить
v = — и, ^ = и, X — р = и> D)
где // обозначает новое неизвестное и притом целое число, так как
v, |х, X — р суть целые числа, а а — общий наибольший делитель а> с,
2Ь. Подставив эти выражения \i и v в уравнение A), получим
а отсюда, в соединении с предыдущим выражением для X — р, — уравнение
ИЛИ

136 Глава четвертая [§ 62
Отсюда следует, что -^(X-j-p) должно быть во всяком случае це-
целым числом; обозначив его через t, получим
=Ц и /* = Dtt2 + a2- E)
Принимая во внимание D) и E), мы можем сформулировать резуль-
результат предыдущего исследования следующим образом1):
Если форма (а, Ь, с) с детерминантом D и делителем а посредством
подстановки ( ' *J переходит сама в себя, то всегда
t — bu cu
р, = ,
а * l a
аи t t-X-bu
a ' a
0)
гдг ^, и означают два целых числа, удовлетворяющих неопределен-
неопределенному уравнению
** —?>И* = о2. (И)
Но эта теорема допускает и обращение:
Если t, и —два целых числа, удовлетворяющих уравнению (II),
то определенные посредством уравнений (I) числа X, jx, v, p являются
целочисленными коэфициентами подстановки ( у **j, посредством ко-
которой форма [а, Ь, с) переходит сама в себя.
Это получается следующим образом. Сначала надо доказать, что
X, tx, v, р будут целыми числами. Так как а входит множителем в а
и с, то v и у. — целые числа; далее, так как а2 входит множителем
в 4D и, вследствие (II), также и в 4^2, то 2t делится на а, а так
как а входит множителем также и в 2ду то 2Х и 2р — равным образом
целые числа, сумма которых, равная At:a, есть, следовательно, число
четное. Тем самым 2Х и 2р — или оба четные, или оба нечетные; но
так как их произведение, равное
:* Л ?.?
4=4 ?.?
a2 a2 \ a a
— четное число, то 2Х и 2р — числа четные, следовательно, X и р —
числа целые.
После того как этот первый пункт установлен, легко можно найти
непосредственной подстановкой выражений (I), если принять во внима-
внимание уравнение (II), что три соотношения A), B) и C) тождественно
удовлетворяются, т. е. что форма [а, Ь, с) действительно переходит
сама в себя посредством подстановки ( ' l j.
Итак, из каждой известной подстановки ( ' *М (например посред-
посредством уравнений # = —, / = оХ-}-6и) можно найти решение t, и
Ср. G auss, D. A., art. 162.

§ 63] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 137
уравнения (II), и обратно. Важно, однако, отметить, что двум различ-
различным подстановкам соответствуют и два различных решения уравне-
уравнения (II), и обратно, двум различным решениям уравнения (II) соот-
соответствуют две различных подстановки, посредством которых форма
(я, Ъ, с) переходит сама в себя. Действительно, соотношения (I) таковы,
что данным значениям /, и соответствует одна и только одна система
значений X, jx, v, р и, обратно, данным значениям X, ^, v, p соответ-
соответствует одна и только одна система значений tf и.
Этим, таким образом, наша проблема не решена, а сведена лишь
к следующей:
Найти все целочисленные решения неопределенного уравнения (II).
Эта последняя пробдема не представляет ни малейшей трудности,
если только детерминант D отрицателен* В самом деле, если А — его
абсолютное значение, так что D = — А, то уравнение (II)
допускает только конечное число решений tt и. А именно:
1. Если D = О (mod о2), то в случае, когда А > а2, число реше-
решений уравнения всегда равно 2; эти решения, очевидно, будут
* = 4-°* и = 0 и *= — а, и = 0;
в случае же, когда Д = а2, число решений равно 4; они таковы:
/=а, и = 0; t= — а, и = 0;
t = 0, а=1; * = 0, и==—1.
2. Если 4/)== а2 (mod 4а2) последовательно, 4Д==За2 (mod 4o2),
то число решений уравнения всегда равно 2, если только 4Д > Зо2»
т. е. 4А ^> 7а2; это будут
?=а, и —0 и ?== — а, м = 0;
если же 4А = За2, то число решений равно 6; это будут
t——а, м = 0; /== — -а, м= — 1; t= — -^ о, и = -\-\.
§63.
В случае положительного детерминанта D теория уравнения (II)
значительно труднее, и здесь впервые выявляется существенное раз-
различие между природой форм с положительным и отрицательным детер-
детерминантом. Поэтому мы теперь оставим это исследование с тем, чтобы
возобновить его позднее (в § 83), после того как будет разрешена
первая упомянутая в § 59 проблема учения об эквивалентности. Также
и здесь будет иметь место нечто подобное предыдущему, так как
окажется, что абсолютно необходимо рассматривать формы с положи-
положительным и отрицательным детерминантом совершенно отдельно. А так

138 Глава четвертая [§ 63
как и тут формы с отрицательным детерминантом представляют гораздо
меньше затруднений, то мы начнем с них.
Но, для того чтобы не прерывать хода исследования, мы пред-
предпошлем одно замечание, относящееся равным образом как к формам
с положительным, так и к формам с отрицательным детерминантом.
Очевидно, форма (а, Ьу а'), в которой мы намеренно обозначили по-
последний коэфициент через а', а не через с, переходит посредством
подстановки вида (_,' *) в эквивалентную форму, коэфициенты кото-
которой равны
a', Ь' = — Ь — а'о,
Назовем эту форму (#', Ь\ а") соседней справа1) форме (а, Ь, а')\
точно так же форма (а, Ь, аг) будет называться соседней слева форме
(#', Ь', а"). Характеристическое соотношение между двумя такими со-
соседними формами (formae contiguae) ср и сг/ состоит, во-первых, в том,
что они имеют равные детерминанты; во-вторых, что последний коэфи-
коэфициент а' одной формы ср является вместе с тем первым коэфициентом
другой формы у'\ в-третьих, что сумма их средних коэфициентов
b-\-br делится на этот общий коэфициент а\ В самом деле, если две
формы о и ср' обладают этими тремя свойствами и если положить b -\~ br —
= — я'8, то форма ср посредством подстановки
действительно переходит в новую форму, оба первых коэфициента а', Ьг
которой совпадают с соответствующими коэфициентами формы ср';
и так как новая форма во всяком случае эквивалентна форме ср> то
она имеет общий детерминант с ср, а следовательно, и с ср'; а потому
она должна быть тождественна ср'2).
§ 64.
Обратимся теперь к исследованию вопроса о том, эквивалентны ли
две данные формы с равным отрицательным детерминантом D = — Д,
1) Gauss, D. A., art. 160.
2) Так как ( ' ) = ( ' J ( ' "" °), то переход or (я, b, ат) к сосед-
ней справа форме (ar, b\ а") составляется из перехода от (я, b, ar) к (дополни-
(дополнительной) форме (аг, — bt а) и из перехода от (а\ — Ь, а) к (параллельной)
форме (я', Ь\ а") (ср. § 56). Последнее обстоятельство, вследствие которого
0, 1
подстановки вида I i - ! играют такую важную роль, состоит в том, что
из них могут быть составлены все другие. Можно еще подчинить последова-
последовательность коэфициентов 5 известным ограничениям, а именно, в отношении их
знаков, таким образом, чтобы каждая произвольная подстановка могла быть
составлена лишь единственным способом из таких простых подстановок. Это
замечание находит важное применение, например, в теории бесконечного числа
форм ft-функций и в теории эллиптических модулярных функций. Далее, легко
убедиться в том, что и рассмотренный в § 23 алгорифм содержится в теории
этих подстановок и их соединений (ср. далее § 81).

¦§ 64] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 139
или нет. Сначала следует заметить, что оба крайних коэфициента а и
с такой формы
ср == ал:2 -f- 2bxy -f- су'2
необходимо имеют одинаковые знаки, так как ас — Ь2-\-& положи-
положительно. Далее, так как
то отсюда видно, что все числа, представимые посредством формы ср,
имеют тот же знак, что а и с. Поэтому, если (я, Ь, с) и (af, b\ сг) —
две эквивалентные формы, то крайние коэфициенты а\ с' второй
формы имеют тот же знак, что и крайние коэфициенты первой. Далее,
из эквивалентности обеих этих форм следует также и эквивалентность
обеих форм (—я, —Ь, —с) и (—а', —Ь', —с'), а потому мы можем
в дальнейшем ограничиться рассмотрением так называемых положи-
положительных форм, в которых оба крайних коэфициента имеют положи-
положительный знак.
Для того чтобы решить теперь вопрос об эквивалентности двух
форм этого типа, их сравнивают не непосредственно друг с другом,
а с так называемыми приведенными J) формами. Форму (Л, В, С) с отри-
отрицательным детерминантом (и положительными крайними коэфициентами)
называют приведенной, если последний коэфициент С не меньше, чем
первый Л, а первый А в свою очередь не меньше, чем абсолютное
значение удвоенного среднего коэфициента 2В, т. е. если
где (В) означает абсолютную величину В. Сперва мы докажем сле-
следующую теорему:
Каждая форма с отрицательным детерминантом эквивалентна
некоторой приведенной форме.
Для этой цели рассмотрим формы (а!, Ь'у а"), соседние справа
данной форме (а, Ь, а'). Среди них всегда найдется одна (иногда и
две), для которой выполняется по крайней мере условие а'^2(Ь').
В самом деле, среди всех чисел, сравнимых с — b по модулю а\
существует число Ь', абсолютная величина которого будет наименьшей,
а именно, меньше или хотя бы не больше -?¦ а' (если а' четно и
Ь=^-тгаг (mod а'), то таких чисел Ьг будет два, именно zt -~ а'), так
что во всяком случае Ъ' = — b (mod ar), и, кроме того, 2 (?') ^ а'.
Если V найдено указанным образом и Ь-\-Ь' = — я'о, то форма
(я, b, af) переходит посредством подстановки
( 0> 1)
l) Gauss, D. A., art. 171. Условие Л<:т/ -^ Д является уже следствием
¦обоих других (ср. § 65).

140 Глава четвертая [§ 64
в соседнюю справа форму (а', У, а"), в которой 2(b')^ar. Если
оказывается, что одновременно также а! <;#", то (а\ b'\ а") — при-
приведенная форма, и процесс закончен. Если же имеет место обратлое, т. е.
а' > а\
то (a', b\ а") — еще не приведенная форма. С нею поступаем точно
так же, как с (а, Ь, а')> т. е. преобразуем ее в соседнюю справа форму
{а"> Ь", а"'), в которой 2 (р") <[ а"; если при этом одновременно а" <; а'">
то (a", br\ а"') — приведенная форма, следовательно, процесс закончен-
Если же это не так, т. е.
а" > а"',
то продолжаем процесс аналогичным образом дальше. Однако он.
всегда будет закончен после конечного числа операций. Действительно,,
в противном случае мы имели бы бесконечную последовательность
целых положительных чисел
а\ а", а'", . .
в которой каждое последующее было бы по крайней мере на единицу
меньше непосредственно предшествующего, что невозможно, так как всегда
существует лишь конечное число целых положительных чисел, мень-
меньших данного. Таким образом доказано, что в конце концов мы должны
притти к форме (а{п\ Ь{п\ а(п+1)), в которой не только 2 (?(п))< а{п\ на
и а(п)<Уя + 1).
Одновременно путем действительного выполнения всех операций
получаем подстановку, составленную из последовательных подстано-
подстановок вида
посредством которой данная форма (а, Ь, а') переходит в эквивалент-
ную ей приведенную форму (а{п\ Ь{п\ а(п + 1)).
Рассмотрим в качестве примера форму B00, 100, 51), детерминант
которой D = — 200. Мы должны положить V s= — 100 (mod 51); отсюда
находим Ь' = 2 и 8 = — 2. Таким образом подстановка, посредством
которой должна быть преобразована данная форма B00, 100, 51),
найдена. Но так как нам известны первый и второй коэфициенты аг
и Ь' и детерминант Д то нет нужды в фактическом выполнении этого
преобразования, и последний коэфициент а" находится по формуле
в нашем случае мы находим а" = 4. Таким образом соседней формой
будет E1, 2, 4); она не будет приведенной, так как последний коэфи-
коэфициент меньше первого. Поэтому повторяем предыдущую операцию,
полагая Ь"'=== — 2 (mod 4); следовательно, Ь" — ±2, причем оба
знака допустимы; тогда получаем 8' = — 1 или 0, в зависимости от
того, берется ли верхний или нижний знак, и, кроме того, а"'= 51.
Итак, новая форма будет D, ±2, 51), и она — приведенная, вне

§ 65] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 141
зависимости от выбора верхнего или нижнего знака. Далее, данная форма
B00, 100, 51) переходит в форму D, 2, 51) посредством подстановки
/ 0, +14/ 0, +1N/-1. -1\
\-1, -2Д-1, -lJ-U-2, +V'
и в форму D, —2, 51) посредством подстановки
/ 0, +1\/ 0, 1\_ /-1, 0\
{-I, -2Д-1, 0J-U2, -\)'
На этом примере видно, насколько простым оказывается указанный
алгорифм.
§65.
Из только что рассмотренного примера мы видим, что одна и та же
форма может быть эквивалентна двум различным приведенным формам,
откуда следует, что и две различные приведенные формы могут быть
эквивалентны друг другу, следовательно, могут принадлежать одному
и тому же классу. Так как общее исследование этого вопроса имеет
весьма важное значение, то мы поставим следующий вопрос:
В каком случае две приведенные формы (а, Ь, с) и (аг, b'f 'с')
с одинаковым отрицательным детерминантом D = — А эквивалент-
эквивалентны друг другу?
Сперва выведем некоторые следствия из обоих условий
2 (*)<*, я<?,
которые выражают, что форма (я, Ь, с) является приведенной. Именно,
из первого следует, что 4Ь2^а2, из последнего—-что а2<^ас, значит
и ib2^ac или ЗЬ2^ас — Ь2, следовательно
Далее, так как Ъас = ЗА 4- 3#2 ^ 4Д и а2^ас, то отсюда следует, что
Предположим теперь, что обе приведенные формы (а, Ь, с) и (я/, У, с')
эквивалентны; тогда, не нарушая общности, мы можем принять, что
Пусть {*' Л—та подстановка, посредством которой (я, д, с) пере-
переходит в (а', д\ с')\ значит,
1=«8-?т, A)
а' = аа^ + 2*ау + cft B)
У = аа?+^(а5 + Рт) + а^ C)
Умножив обе части уравнения B) на а, получим
aaf = (да -f btf* -j- Af;

142 Глава четвертая [§ 65
но так как а и а! — оба меньше или равны |/ — Д, то
отсюда следует, что в предыдущем уравнении ^2 должно быть равно
или нулю или единице. Действительно, если бы ^2 было больше или
равно 4, то ааг было бы больше или равно 4А, что противоречит
условию ааг ^ -^ Д. Исследуем теперь отдельно оба случая.
Тогда три вышеуказанных уравнения принимают следующий вид:
а8 = 1; а' = да2; v V =
Из первого следует a = 8 = ztl; тогда а' = а, и третье уравнение
указывает, что 6/ — b = dz а[3 делится на а = а7. Но так как (J)^^ a
и (*')<^ Та^ т- е* также (^')^'о"л>то возможны только два случая:
либо д'—.^ = 0, значит Ь' = д, и, следовательно, так как уже
а' = а, то и с' —с, т. е. формы тождественны, в каковом случае
эквивалентность подразумевается сама собой. Либо же абсолютное
значение bf—b равно а, так как оно не может быть больше а и
все же должно делиться на а. В этом случае одно из чисел Ь, У
должно быть равно +"о"а> Другое должно быть равно — тт ^, и тогда с
должно быть равно с\ Таким образом мы приходим к двум не тождественным
двусторонним формам (а, -^а, с) и (а, —-у а, с). Эти формы дей-
действительно эквивалентны, и первая переходит в последнюю посред-
посредством подстановки (* T
II. т = ±1.
В этом случае уравнение B) принимает вид
так как мы предположили, что а' не больше а, значит, и не больше
с\ то отсюда следует, что
Но, с другой стороны, 2 (?)<;# и (а) всегда меньше или равно а2г
значит, абсолютное значение 2Ьа не больше, чем aa2, а потому во
всяком случае
Итак, acfi±2bcn не может быть ни положительным, ни отрицательным;
следовательно,
а& ±l 2b* = 0;

§ 66] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 143
значит, а'=*с; так как а' <^а и а^с, то отсюда следует далее, что
и а'— а и с = а. С помощью уравнения A) можно привести уравне-
уравнение C) к виду
и так как с = а и 2Ьа = г+: аа2, то получаем
т. е. b-\-b' делится на а. Отсюда вполне аналогично случаю I сле-
следует, что либо ?-{-#' = О, либо абсолютная величина b-\-b' должна
быть равна а. В последнем случае b и Ь/ должны быть равны друг другу,
. 1
а именно, равны it-у а, и мы опять приходим к случаю двух тождест-
тождественных форм, который не представляет никакого интереса. В пер-
первом же случае, напротив, Ь' = — Ь\ следовательно, так как а! = а и
с = ау также с' = с = а. Мы получаем, таким образом, две формы
(а, Ьь а) и (а, —Ь> а), которые не тождественны (если b отлично
от нуля). Эти формы действительно эквивалентны, и первая переходит
Q
(
Мы формулируем результат нашего исследования следующим образом:
Возможны всего лишь два случая, в которых две не тождествен-
тождественные приведенные формы принадлежат одному и тому же классу,
а именно, формы (а, у я, с\ и (а, Ьу а) переходят соответственно
посредством подстановок
а, о,
в противоположные формы
а> —Та, с^ и (а, —Ь, а).
§ 66.
Этим разрешен и интересующий нас вопрос — эквивалентны ли
две формы с равными отрицательными детерминантами, или нет. Пусть
ср и ф— две таких формы; тогда, если они еще не приведены, то,
следуя изложенному выше методу (§ 64), преобразуем каждую из них
в приведенную форму: ср в ср', ф в ф'. Если оказывается, что ср' и ф'
тождественны или представляют один из двух только что исследован-
исследованных случаев, в которых две не тождественные приведенные формы
все же эквивалентны (в чем моментально можно удостовериться при
взгляде на обе формы), то данные формы ср и ф наверное эквивалентны.
Одновременно мы получаем и подстановку, посредством которой одна
форма переходит в другую; в самом деле, в процессе приведения
получается подстановка S, переводящая ср в ср', и подстановка 7", пере-
переводящая ф в ф'. Если ср' и ф' тождественны, то форма ср переходит
в форму ф посредством составной подстановки ST', где V означает

144 Глава четвертая [§ 66
подстановку, обратную Г. Если же <?' и у не тождественны, но все-
таки эквивалентны, то, как мы только что видели, всегда известна
подстановка ?/, переводящая ©' в У; тогда ср переходит в <]> посред-
посредством составной подстановки SUT\
Если же оказывается, что формы <р' и <J/ не тождественны и
не принадлежат ни одному из обоих упомянутых в предыдущем пара-
параграфе частных случаев, значит, обе эти приведенные формы не экви-
эквивалентны, то тогда обе данные формы ср и 6 также не эквивалентны,
что немедленно следует из § 59.
Этим в случае отрицательных детерминантов полностью разрешены
обе проблемы учения об эквивалентности, поставленные в § 59. Именно,
только что была решена первая проблема: узнать, эквивалентны ли
две данные формы, или нет; вместе с тем каждый раз при решении
первой проблемы мы умеем найти и подстановку, переводящую одну
форму в другую. Вторая проблема — как из данной подстановки, пере-
переводящей данную форму в эквивалентную (и тем самым вполне опре-
определенную) форму, вывести все подстановки, переводящие первую форму
в ту же самую вторую, — также полностью разрешена в §§ 61, 62.
§67.
Теория приведенных форхМ дает нам также возможность построить
полную систему неэквивалентных форм (§ 59) для каждого данного
отрицательного детерминанта, причем мы опять ограничимся такими
формами, крайние коэфициенты которых положительны. Именно, так
как каждая форма с отрицательным детерминантом D = — А всегда
эквивалентна приведенной форме и в общем случае только одной
такой приведенной форме, то для получения полной системы форм нам
нужно лишь найти все приведенные формы; при этом каждый раз,
как две такие не тождественные формы представляют один из двух
разобранных в § 65 случаев, одну из них произвольно отбрасываем,
а другую сохраняем. Число остающихся таким образом неэквивалент-
неэквивалентных приведенных форм конечно, что легко получается из условий
которым должна удовлетворять приведенная форма, и выведенного от-
отсюда (в § 65) следствия
В самом деле, обозначим через X наибольшее целое число, содержа-
содержащееся в у у А (так что X < |/ -g- А < X-j-1) ; тогда средний коэфи-
циент b может принимать только следующие 2Х -|~ 1 значений:
О, ±1, ±2, ..., ±Х.
Если придать среднему коэфициенту b какое-нибудь из этих значений,
то ас = Ь2-\-&. Таким образом приходится разлагать число #2~|-Д
всевозможными способами на два положительных множителя, и каждый

§ 67} О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 145
раз меньший из них брать за а> другой—за с. Если вместе с тем
оказывается, что 2(д)^а, то построенная форма — действительно при-
приведенная* ц должна быть записана; в противном же случае она должна
быть опущена. Таким путем мы необходимо получим все приведенные
формы; число их обязательно конечно, так как число всех разложений
2Х -j-1 чисел вида ?2-|-Д на два множителя само конечно. Итак,
имеем результат:
Число всех неэквивалентных приведенных форм с отрицатель-
отрицательным детерминантом^ т. е. само число классов, конечно.
Пример 1. Для детерминанта D = —12 имеем А =12; с^тсюда
поэтому мы должны придать b следующие значения:
О, =±:1, ±2,
а затем разложить числа Ь2-\-А, т. е. числа
12, 13, 16,
всевозможными способами на два множителя; мы получим
12 = 1 • 12 = 2- 6 = 3 • 4;
13=1 • 13;
16 = 1 • 16 = 2 • 8 = 4 -4.
Полагая всегда первый множитель равным а, второй равным с, будем
иметь одиннадцать форм:
A, 0, 12), B, 0, 6), C, 0, 4);
A, ±1, 13);
A, ±2, 16), B, ±2, 8), D, ±:2, 4);
из них формы
A, ±1, 13), A, ±2, 16), B, ±2, 8)
tie будут приведенными, так как в них не выполняется условие 2{Ь) <^а.
Итак, в качестве действительно приведенных форм остаются только *
пять следующих:
A, 0, 12), B, 0, 6), C, 0, 4), D, Ш2, 4);
из них только формы D, 2, 4) и D, —2, 4) принадлежат исключи-
исключительному случаю § 65, значит эквивалентны. Следовательно, полная
система форм содержит только четыре формы, а именно
A, 0, 12), B, 0, 6), C, 0, 4), D, 2, 4),
которые являются представителями такого же числа классов. Из этих
четырех форм только две формы
A, 0, 12), C, 0, 4)

146 Глава четвертая [§ 67
являются начальными и притом [так как D не = 1 (mod 4)] обе
первого вида.
Пример 2. Если D =— 35, т. е. А = 35, то Х = 3; следовательно,
b может пробегать только следующие семь значений:
О, dzl, ±2, ±3;
им соответствуют числа
35, 36, 39, 44;
разложения их на два множителя таковы:
35=1 .35 = 5 • 7,
36 = 1 • 36 = 2 . 18 = 3 ¦ 12 = 4 . 9 = 6 • 6,
39 = 1 .39 = 3-13,
44 = 1 -44 = 2-22 = 4 • 11.
Но из 22 соответствующих форм только для следующих 10 выпол-
выполняется условие 2(Ь)ь^а:
A, 0, 35), E, 0, 7), B, ±1, 18),
C, ±1, 12), D, dzl, 9), F, dzl, 6).
Далее,, так как обе формы B, dzl, 18) относятся к случаю I, а обе
формы F, dzl, 6) — к случаю II § 65, то существуют только восемь
неэквивалентных приведенных форм
A, 0, 35), E, 0, 7), B, 1, 18),
C, dzl, 12), D, dzl, 9), F, 1, 6);
они Есе являются начальными; шесть из них, а именно
A, 0, 35), E, 0, 7), C, dzl, 12), D, dzl, 9)
— первого вида, обе других
B, 1, 18), F, 1, 6)
— второго вида.
Пример 3. Если D — — 48 = — А, то Х = 4, так что b должно
пробегать следующие числа:
0, dzl, dz2f ±3, ±4;
разложения соответствующих чисел Ь2-{-А таковы:
48 = 1 • 48 = 2 . 24 = 3 . 16 = 4 • 12 = б - 8,
49 = 1 -49 = 7 -7,
52 = 1 -52 = 2- 26 = 4- 13,
57 = 1 -57 = 3. 19,
64 = 1 • 64 = 2-32 = 4 • 16 = 8. Я„

§ 68] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 147
Из соответствующих 27 форм приведенными являются лишь следующие 11:
A, 0, 48), B, 0, 24), C, 0, 16), D, 0, 12),
F,0, 8), G, ±1, 7), D, ±2| 13), (8, ±4, 8).
Среди них каждая из трех пар G, dzl, 7), D, ±:2, 13), (8, п=4, 8)
состоит из двух эквивалентных форм, таким образом остаются только
восемь неэквивалентных форм:
A, 0, 48), B, 0, 24), C, 0, 16), D, 0, 12),
F, 0, 8), G, 1, 7), D, 2, 13), (8, 4, 8).
Следующие четыре являются начальными формами первого вида:
A, 0, 48), C, 0, 16), G, 1, 7), D, 2, 13);
остальные четыре являются произведенными формами.
§ 68.
Для того чтобы уже сейчас дать понятие о плодотворности этих
исследований, покажем на некоторых примерах применение получен-
полученных ^результатов к предпосланной в § 60 теории представимости чисел
посредством определенных квадратичных форм, причем заранее заме-
заметим, что последующие теоремы являются лишь частными случаями
гораздо более общего предложения.
Формы с детерминантом /) = — 1 образуют один единственный
класс, потому что, как нетрудно увидеть, для этого детерминанта
существует лишь единственная приведенная форма
A, 0, 1)=
Зададимся вопросом о системе предстанимых посредством этой формы
чисел /я, т. е. чисел, разложимых на два квадрата. Для того чтобы
можно было непосредственно приложить данную выше теорию, мы
будем рассматривать только собственные представления (х, у), в кото-
которых оба представляющих числа лг, ^являются взаимно простыми. Далее,
ради простоты мы ограничимся нечетными представимыми числами т.
Итак, пусть т — одно из таких представимых нечетных чисел; во-пер-
во-первых, т положительно. Далее, так как детерминант D — — 1 явдяется
квадратичным вычетом ту то все входящие в т простые числа должны
быть вида 4A-J-L Обратно, если это условие выполнено, то детерми-
детерминант — 1 является квадратичным вычетом т, и сравнение
г2 = — 1 (mod m)
имеет *сего (по § 37) 2й" несравнимых корней, если \i означает число
различных между собою входящих в т простых чисел (это имеет
место и для случая ^ = 0, /я=1). Пусть п — определенный представи-
представитель определенного корня и /г2-|-1=т/; тогда образуем квадратичную
форму (/я, пу /) с детерминантом —1. Так как существует только
один класс форм, то эта форма необходимо эквивалентна приведенной
форме A, 0, 1), и посредством данного в § 66 метода мы найдем

148 Глава четвертая [§ 68
одну, а отсюда по § 61, 62 и все подстановки, посредством которых
A, 0, 1) переходит в {т, п, /). Число таких отличных друг от друга
/' х ^\
подстановок ' ч (по §§ 61, 62) всегда равно четырем; поэтому суще-
\у> v
ствует столько же представлений (х, у) числа т, принадлежащих тому
корню, представителем которого является п. Так как подобное рас-
рассуждение приложимо к любому из 2[i' корней написанного выше сравне-
сравнения, то всего существует
2
различных представлений числа т.
Но если поставить вопрос, сколькими различными способами такое
число т может быть разложено на два квадрата, не обращая при этом
внимания ни на порядок обоих квадратов, ни на знаки их корней, то
восемь различных представлений вида
(±х, ±у) и (~±.у, ±х)
приводят только к одному разложению ш — х'2-\-у~ (из этих восьми
представлений четыре, а именно
(л:, у), (- х, —у), (—у, х), {у, —х),
принадлежат одному корню сравнения, а четыре остальных
(*, —j/), (— х, у), {—у, —х), {у, х),
— противоположному). Следовательно, число этих различных разложе-
разложений равно 2"', за исключением единственного случая /#=1, так как
тогда существует не восемь, а только четыре различных представления
(±1, 0) и @, =±=1),
которые соединяются в единственное разложение 1 = 1--}-О2.
В этом общем результате содержится, как частный случай, знамени-
знаменитая, поставленная Ферма и впервые доказанная Эйлером *) теорема:
Каждое {положительное) простое число вида 4/г -f-1 может быть
всегда, и притом единственным образом, разложено на сумму двух
квадратов.
Условие, чтобы оба квадрата не имели общего множителя, здесь
отпадает, так как оно само собой разумеется.
Пример 1. Число 37 является простым числом вида 4/z-f-l; оба
корня сравнения z2 ~ — 1 (mod 37) находятся (например, при помощи
теоремы Вильсона) ===±6; если положить /г ==6, то придется рас-
рассматривать форму C7, б, 1), которая переходит в приведенную форму
A, 0, 1) посредством подстановки ( ' ^); значит, обратно, A, 0, 1)
\ — ] 9 — о j
l) Demonstratio theorematis Fermatiani, omnem numerum primum formae An + 1
esse summam duorum quadratorum, Nov. Comm. Petrop. V, стр. З. Среди
многочисленных позднейших доказательств выделяется своей простотой доказа-
доказательство Смита (Н. J. Smith) в статье De compositione numerorum primorum
formae 4/.-J-1 ex duobus quadratis (Crelle's Journal, т. 50). (Ср. также
§ 83, сноску 1) на стр. 180—181).

§ 69] О квадратичных формах 149
переходит в C7, 6, 1) посредством обратной подстановки Г7 ' ~~ ].
Следовательно, искомое разложение таково: 37 = б2-}- I2; при этом нет
надобности выписывать отдельно четыре представления, принадлежащие
этому же корню -f~6, и четыре остальных, принадлежащих противопо-
противоположному корню — 6.
Пример 2. Число т = 65 = 5-13 является произведением двух
простых чисел 5 и 13, которые оба имеют вид 4/г —j— 1. Следовательно,
существует 24=1б различных представлений, значит, только два раз-
различных разложения числа 65. Четыре корня сравнения z2=== — 1 (mod 65)
суть ±8 и ±18; поэтому мы образуем формы F5, 8, 1) и F5,18, 5),
которые переходят в приведенную форму A, 0, 1) посредством
подстановок
/ 0, +
Обратные подстановки суть
и (/+7'+2V
и (V
следовательно, оба искомых разложения будут
65 = 82-f 12 = 72+42.
§69.
Все формы с детерминантом D = — 2 точно так же образуют
только один класс, так как существует единственная приведенная форма
A, 0, 2)=^+2yV
Мы и здесь опять зададимся вопросом о всех нечетных числах т,
представимых посредством этой формы. Первое условие состоит в том,
что — 2 должно быть квадратичным вычетом т\ для этого необходимо
и достаточно, чтобы для каждого входящего в т (значит, нечетного)
простого числа /;
следовательно, р должно быть или вида 8/г —j— 1, или вида 8h-\-3.
Обратно, если все у входящих в т простых чисел имеют вид 8/? ~|- 1
или 8/гМ-З, то сравнение
2'2== — 2 (mod m)
всегда имеет 2[Х несравнимых корней. Если п является определенным
представителем одного такого корня и /г2-)-2 = ш/, то форма
(т, /2, /) необходимо эквивалентна форме A, 0, 2). Отсюда (по § 66)
определяется подстановка ( ' с), посредством которой последняя форма
переходит в первую; кроме этой существует (по § 62) еще только одна
подстановка ( ' __yji обладающая тем же свойством; поэтому суще-

Глава четвертая [§ 69
ствуют два различных представления (х1 у) и (—х, —у) числа т,
принадлежащие этому корню. Следовательно, всего существует
различных представлений ^числа т посредством формы A, 0, 2).
Далее легко обнаружить, что если оба представления ziz (лг, у)
принадлежат корню я, то представления ± (х, —у) принадлежат соответ-
соответственно противоположному корню — п. Следовательно, четыре таких пред-
представления дают одно и то же разложение числа т на сумму квадрата и
удвоенного квадрата. Поэтому число всех различных разложений равно 2^~Л*
единственное исключение опять представляет случай |а = 0, т.е. т=19
потому что тогда двд различных представления [ + я тогда = — п
(mod 1)] соединяются в единственное разложение 1 = I2 —[— 2 • О2. Самым
интересным частным случаем *) опять является тот, когда |а=1:
Всякое простое число р вида Sh -j~ 1 или Sh -\- 3 всегда может
быть разложено, и притом единственным образом, на сумму квад-
квадрата и удвоенного квадрата.
Пример 1. Если т = 41, то условие выполнено; jjl=1; корни
сравнения ?2=s— 2 (mod 41) суть ztzll; форма D1, 11, 3) переходит
в форму A, 0, 2) посредством подстановки 1Т/4-3)' слеД°вательн°1
обратно, последняя переходит в первую посредством подстановки
( _ 4* _ 1) • Значит, х = 3, у = — 4, и отсюда
Пример 2. Если т = 33 = 3 • 11, то условие выполнено; |а = 2,
следовательно, должны существовать два различных разложения. Корни
сравнения г2 = — 2 (mod 33) суть ±8 и =±z 14; поэтому мы образуем
формы C3, 8, 2) и C3, 14, 6), которые переходят в форму A, 0, 2)
соответственно посредством подстановок
Обратными подстановками являются
U4f -l) И (-2, -l)'
и, следовательно,
33 = I2 + 2 . 42 = 52 -{- 2 . 2*.
§ 70.
Все формы с детерминантом D = — 3 образуют два класса, в ка-
качестве представителей которых можно принять приведенные формы
A, 0, 3)
и
B, 1, 2) = 2лг2
-1) Lagrange, Recherches d'Arithmetique, Nouv. Mem. de ГАс. de Berlin,
1775.

§ 70] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 151
они соответственно первого и второго вида. Очевидно, нечетные числа
могут быть представлены только посредством первой формы. Поэтому
пусть т — нечетное число, которое примем ради простоты не делящимся
на 3; для того чтобы оно было представимо посредством формы
A, 0, 3), необходимо, чтобы для любого входящего в него простого
числа р
(т) -(*)-+'•
следовательно, р должно быть вида Ък -}-1. Обратно, если это условие
выполнено для всех \i входящих в т простых чисел /?, то сравнение
*2=: — 3 (mod m)
имеет всегда 2^ несравнимых корней. Пусть п — определенный предста-
представитель одного такого корня и л2-}-3 = т/; тогда форма (т, п, I) —
первого вида (так как т — нечетное) и, следовательно, эквивалентна
форме A, 0, 3). Значит, существуют (по § 62) две подстановки
С; Э ¦(=;: iO'
посредством которых форма A, 0, 3) переходит в форму (т, п, /), а
следовательно, — и два представления (л:, у) и (—л\ —у) числа т,
принадлежащие этому корню. Всего таким образом существует
различных представлений такого числа т посредством, формы A, 0, 3);
но они опять приводятся только к
различным разложениям числа т на сумму простого и утроенного
квадрата (последняя формула опять-таки неприменима только в случае
jx = O, т. ^е. /п=1). Особо замечателен доказанный впервые Эйлером1)
частный случай:
Каждое простое число вида Sh -f- 1 всегда и притом единственным
образом разложимо на сумму простого и утроенного квадратов.
Переходим теперь к числам, представимым посредством второй
формы B, 1, 2), необходимо четным. Мы ограничимся числами вида 2т,
где т опять означает нечетное и неделящееся на 3 число. Тогда легко
обнаружить, что совокупность этих чисел т полностью совпадает
с только что рассмотренными. В самом деле, из возможности срав-
сравнения z2 === — 3 (mod т) вытекает и возможность сравнения z2 = — 3
(mod 2т), и обратно (§ 37); кроме того, число корней опять равно 2(J.
Далее, если пг — определенный представитель такого корня и nf« -J- 3 =
= 2/я/, то форма Bт, //, /) необходимо второго вида (так как средний
l) Suppleraentum quorundam theorematum arithmeticorum, Nov.
Petrop. VIII.

152 Глава четвертая {§ 70
коэфициент nf нечетен, следовательно, / четно), Значит,, наверное экви-
эквивалентна форме B, 1, 2). Вследствие этого можно (по § 62) найти
шесть различных преобразований последней формы в первую, из ко-
торых вытекают шесть следующих представлений:
=и (лг, у), ±(у, —х —у), ± (х -\-у, — х),
которые все принадлежат одному и тому же корню п' (шесть пред-
представлений, принадлежащих противоположному корню —п', получаются
из этих путем замены первого представляющего числа на второе, и
обратно) *). Итак, всего существует
6 . 2" = 3 . 2v' + l
различных представлений числа 2т посредством формы B, 1, 2), или,
что то же самое, — числа т посредством формы х2-\-*ху-\-у2. Если
рассматривать все четыре соответствующих друг другу представления вида
(х, у), {—х, —у), (у, х), {—у, ~х)
как не существенно различные, то число существенно различных пред-
представлений будет только
Следовательно, для простого числа р вида 3h-\-l всегда имеются
три существенно различных представления посредством формы х2 -\-
Пример. Если т = 13, то п — ±1 являются корнями сравнения
г2== — 3 (mod 26), а также и сравнения z2 = — 3 (mod 13). Поэтому
мы образуем формы A3, 7, 4) и B6, 7, 2). Они переходят соответ-
соответственно в формы A, 0, 3) и B, 1, 2) посредством подстановок
f~~h-l\ ( 0, +1
1+2, +1) И U
Обе обратных подстановки суть
следовательно,
13 = 12+3(— 2J = (— 4J+ (— 4)- 1 + 12;
отсюда легко находим оба других представления:
13 = 42 +- 4 (— 3) +¦ (— 3J = 32 + 3 • 1 + I2.
1) Так как из чисел х, у, х-\-у всегда одно и только одно является
четным, то среди шести принадлежащих корню nf представлений числа 2пг
всегда существуют два it (xf, yr)> в которых у1 четное, равное 2«. Если поло-
положить далее xf \u — t, то уравнение х'хТ -\- x'yr -\-y'yf = m переходит в tt-\-
4- Sun = m, т. е. мы получаем представление (t, и) числа m посредством
формы A, 0, 3), причем это представление принадлежит тому же корню п\
В этом у состоит связь между представлениями чисел m и 2т соответственно
посредством форм A, 0, 3) и B, 1, 2). , .

§ 71] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 153
§71.
В качестве последнего примера мы выберем детерминант D — — 5;
существуют две неэквивалентные приведенные формы
A, 0, 5) и B, 1, 3);
обе являются начальными и первого вида. Мы опять стараемся опре-
определить систему всех нечетных и не делящихся на 5 чисел т, которые
представимы этими формами. Необходимое для этого условие состоит
в том, что для каждого простого числа /?, входящего в //г, должно
иметь место равенство
отсюда следует (§ 52, II), что каждое такое простое число должно
принадлежать к одному из следующих четырех видов:
20*+1, 20*+ 9, 20*+ 3, 20* + 7."
Если это условие выполнено и число различных простых множителей /;
равно у, то сравнение
z2 ее= — 5 (mod m)
опять имеет 2[Х несравнимых корней.
Пусть п — определенный представитель такого корня и и2 + 5 = /и;;
тогда форма (т, п, I) необходимо эквивалентна одной и только одной
из двух указанных приведенных форм. Тогда в любом случае (по § 62)
существуют две подстановки, посредством которых эта приведенная
форма переходит в (т, п, /), а значит, и два принадлежащих корню п
представления числа т посредством этой приведенной формы. Всего,
таким образом, существует
представлений такого числа посредством указанных приведенных форм.
Остается только невыясненным, которая из обеих приведенных форм
дает оба представления, принадлежащие определенному корню п. По-
Подобный же вопрос возникает каждый раз, когда существует несколько
неэквивалентных форм одного и того же вида. В нашем случае не-
нетрудно устранить эту неясность.
В самом деле, если число т представимо посредством формы A,0, 5),
так что, например, т = х2-\-5у2, то отсюда следует т — х1 (mod 5)>
т. е. т является квадратичным вычетом 5.
Если же, напротив, число т представимо посредством второй
формы B, 1, 3), так что, например, т = 2л:2 + 2ху + 3у*2, то
2т = Bх-+-у?-\-оу2=Е=Bх~\-уJ (mod 5),
и так как 2 является квадратичным невычетом 5. то и т также
является квадратичным невычетом 5. Итак, здесь мы имеем дело с осо-

154 Глава четвертая [§ 71
бенно простым явлением, а именно с тем, что все представления числа т
получаются или посредством формы A, 0, 5), или посредством формы
B, 1, 3), в зависимости от того, является ли т квадратичным вычетом
или невычетом 5, т, е. в зависимости от того, будет ли msrtl,
или = ± 2 (mod 5). Отсюда, в частности, следуют теоремы:
Каждое простое число вида 20h +1 или 20h + 9 представимо
четырьмя способами посредством формы A, 0, 5) {которые по су-
существу образуют единственное разложение на сумму простого
и упятеренного квадрата)] каждое простое число вида 20/е -f- 3
или 20/г + 7 представимо четырьмя способами посредством формы
B, I, 3).
Пример 1. Если т = 29, то п = ± 13 определяет оба корня срав-
сравнения z2==z — 5 (mod 29); получаемая отсюда форма B9, 13, 6) пе-
переходит в приведенную форму A, 0, 5) посредством подстановки
(-1. +1\.
V+2, -ЗУ'
обращением этой подстановки получаем разложение
Пример 2, Для т = 27 находим п = ±7; обе соответствующих
формы B7, 7, 2) и B7, —7, 2) переходят в приведенную форму
B, 1, 3) соответственно посредством подстановок
/ 0, +1\ / 0, 1\
V-1.-4J и Ui.aJ-
Их обращение приводит к четырем представлениям:
27 = 2 (i? 4J + 2 (q= 4) (zi= 1) + 3 (± 1 J,
27 = 2 (zt 3J + 2 (zt 3) (zfc 1) + 3 (z? 1J,
причем оба первых принадлежат корню + 7, а оба последних — кор-
корню — 7.
§ 72.
Обратимся теперь к формам с положительным детерминантом D,
чтобы и для них разрешить основную проблему теории эквивалент-
эквивалентности. Вторая проблема (§ 59) — о получении всех преобразований
одной формы в другую из одного — сведена при помощи ранее приве-
приведенного исследования к задаче о нахождении всех целочисленных
решений уравнения
Эту задачу для положительных детерминантов гораздо труднее разре-
разрешить, чем для отрицательных. То же самое относится и к первой
основной проблеме: определить, эквивалентны ли две формы с равными
детерминантами-, или нет. Для разрешения этой проблемы мы избираем
путь, весьма отличный от того, которым мы шли в случае отрица-

§ 73] . О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 155
тельных детерминантов, но такой, который одновременно даст нам
и средство для полного разрешения вышенаписанного уравнения 2).
Характерная особенность этого метода состоит в том, что мы
вводим в область наших рассмотрений и иррациональные величины.
Именно, если {а, Ь> с) или
ах* -f 2Ьху -|~
— форма с положительным детерминантом b2—ac — D, то соответствую-
соответствующее квадратное уравнение
а 4- 2?<о -\- с<*2 = О
имеет два действительных корня
которые мы будем отличать друг от друга и называть первым или
вторым корнем формы {а, Ь, с) в зависимости от того, возьмем ли
верхний или нижний знак, причем мы раз навсегда условимся, что }/d
означает положительный квадратный корень из детерминанта. Таким
образом коэфициенты формы (а, Ьу с) полностью определяют каждый
из ее обоих корней, и при этом однозначно. Но и, обратно, каждая
форма (я, Ь, с) полностью определяется заданием одного из ее корней, в./гом
смысле, что две формы (а, Ь, с) и (а', Ь', сг) с одним и тем же де-
детерминантом D необходимо тождественны, если они имеют равные
первые или вторые корни. В самом деле, из равенства
— Ь'тУТ) — Ь щ
где надо брать или оба верхних, или оба нижних знака, вследствие
иррациональности \/D сперва следует с' = с, а затем и br — b> следо-
следовательно, и а' = а.
В дальнейшем мы будем называть корни ш и о/, принадлежащие
соответственно формам (а, Ь, с) и (а\ Ь\ с'), одноименными, если они
оба являются первыми или оба — вторыми корнями, и неодноименными,
если один из них является первым, а другой — вторым корнем. Тогда
мы можем сформулировать только что полученный результат следующим
образом:
Две формы с равными (положительными) детерминантами тож-
тождественны, если корень одной формы совпадает с одноименным корнем
другой.
§ 73.
Предположим теперь, что (а, Ь, с) и (ar, br, сг)—две эквивалент-
эквивалентные формы, причем мы временно не будем исключать несобственной
эквивалентности, так как это допущение яснее выявит основную идею
l)Lejeune Di rich let, Vereinfachung der Theorie der binaren quadra-
tischen Formen von positiver Determtnante, Berliner Akad. 1854.

[56 m . Глава четвертая [§ 73
исследования. Пусть (a't) — подстановка, переводящая (а, Ь, с) в (а\ Ь\ с');
следовательно,
ао — 37 = ? = — 1.
Так как эта подстановка
# = ах' 4- 3./> >> = 7*' -f- 8/
приводит к тождеству
су* == а'х'2 +
то отсюда следует, что с помощью формул
ос -J- So)' ' о — Зш
из корня сог формы (а', ?г, с') можно получить корень ш формы
(а, *, с), и обратно; действительно, корни этих форм являются значе-
значениями отношений у : х и уг : лгг, для которых формы исчезают. Но
раньше всего надо установить, являются ли два соединенных с этими
формулами корня со и о/ одноименными или нет.
Так как
то отсюда следует, что
Сделаем знаменатель рациональным, для чего умножим дробь на
— dp — c8 rt C |/Д* принимая во внимание, что
получим
Таким образом получаем следующий резулыат.
Если форма (а, Ьу с) переходит в эквивалентную форму (a', bf, с')
посредством подстановки ( а> : ), то каждый корень со первой формы
связан с одним из корней о/ второй формы соотношениями
Y + о о/ , __ — 7 ~Ь яш
(.0 -г т ; , Ш -— - г у
///;« 5//ic?jr со- и о/ образуют пару одноименных или неодноименных
корней обеих форм в зависимости от того, является ли подстановка
собственной или несобственной.
С этого момента мы совершенно исключаем несобственную эквива-
эквивалентность и несобственные подстановки* тогда, гка. ~*шым пыше обпазом

§ 74] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 157
связаны всегда одноименные корни обеих эквивалентных форм Эта
теорема может быть обращена следующим образом:
Если две формы (а, Ь, с) и {а\ b', cf) имеют равные детерми-
детерминанты и два одноименных корня их ш и о/ связаны равенством
в котором четыре целых числа а, J3, -*% 8 удовлетворяют равенству
*8 —.3Т=1,
то обе формы эквивалентны и первая переходит во вторую посред-
ством подстановки { . .
В самом деле, aia подстановка переводит форму (а, ?, с) в экви-
эквивалентную форму (а'\ Ь", с"), если обозначить через <о" ее корень,
одноименный с ш, то по только что доказанной теореме
л 4- W '
и, следовательно,
со' = о/'
Далее, так как по предположению о/ одноименно с ш, следова-
следовательно, и с (о", и так как (а', Ьг, сг) имеет тот же детерминант, что
и (а, Ь, с), а следовательно, что и (а", Ь", с"), то, вследствие заклю-
заключительного замечания предыдущего параграфа, (a't b', с') тождественна
с (а", Ь'\ с"), т. е. (а, Ь, с) переходит в (V, Ь\ с') посредством ука-
указанной подстановки.
Для дальнейшего особенно важно рассмотрение двух соседних форм
(а} Ь, а') и (а'у Ь\ а"), в которых по определению (§ 63) сумма b~br
делится на а\ b-\-b' = — я'§, и первая из которых, кроме того, пере-
переходит в последнюю посредством подстановки ( / * ). Одноименные
\ — 1, о У
корни о и о/ обеих этих форм связаны равенствами
1 , 1
§ 74.
В сл}чае пиюжидельного детерминанта при разрешении слроса
об эквивалентности двух форм их также не сравнивают непосредственно
друг с другом, а преобразуют каждую из них в так называемую при-
приведенную 1) форму. Однако в этом случае понятие приведенной формы
существенно обличается от того, которое было дано ранее (§ 64^ д 1Я
случая отрицательного де!ерминанта.
Форма (а, Ь, с) с положительным детерминантом D называется
приведенной, если, отвлекаясь от знака, ее первый корень
Gauss, D A, art 183.

158 Глава четвертая [§ 74
второй корень
и, кроме того, оба корня имеют противоположные знаки.
Выведем сначала из этого определения некоторые следствия. Так
как первый корень численно больше второго, то сумма обеих величин b
и у D численно должна быть больше их разности; а потому, так
как \/О положителен, i;o и Ъ должно быть положительно (не равно 0).
Далее, так как оба корня имеют противоположные знаки, то это отно-
относится и к величинам
Так как первая из них несомненно отрицательна, то вторая должна
быть положительна; поэтому
0<b<\/D.
Далее обозначим опять через (с) абсолютную величину коэфи-
циента с; тогда и в алгебраическом смысле (т. е. с учетом знака)
должно быть
(с) ^ " " ^ (с) ^ iJ
т. е.
0<yD—b< (с) < j/D+ft. A)
Легко видеть, что и обратно, каждая форма (а, Ь, с),% коэфициенты
которой удовлетворяют этим последним неравенствам, непременно
будет приведенной, так как из неравенств A) можно обратными рас-
рассуждениями вывести первоначальные условия.
Из определения вытекают и дальнейшие следствия. Так как D =
= b2— ас, и b2 < D, то а и с должны иметь разные знаки; затем, так
как первый корень и с также разных знаков, то первый корень одного
знака с первым коэфициентом а формы. Далее, второй корень имеет
знак, противоположный знаку первого корня, значит, тот же знак, что
и третий коэфициент с формы, что вытекает непосредственно также
из того, что \/D — b положительно.
Для абсолютной величины первого коэфициента а имеют место
те же условия, что и для с\ в самом деле, так как
D = b*-\-(a){c)
И
(я) =
(с)
то из условий
^+•-1, 0<JO^J.<i
(с) -"» " - (с)

§ 75] О квадратичных формах 159
следует, что
{a)>\/D — Ь и (аХуЪ+Ь1).
Для дальнейшего стоит отметить еще тот частный случай, когда
\/Ъ— (a)<b<]/D и (*)>(*); B)
а именно, из этих условий всегда можно вывести, что форма (а, Ьл с)
является приведенной, хотя обратное не имеет места. В самом деле,,
если придать этим условиям вид
О </Л —*<(
то сперва получаем, что второй корень
численно меньше единицы; далее, что первый корень
_ ь — Y~D = a
с "~~ УЪ — ь
численно больше единицы. Отсюда следует, как и выше, что Ь поло-
положительно, так как \ZD-\-b численно больше, чем \/D — b\ и, наконец,
так как, кроме того, ?<}/D,— что оба корня имеют разные знаки.
Итак, форма действительно является приведенной.
§75.
Из определения приведенной формы можно получить следующую*
важную теорему2) (ср. § 67):
Для каждого положительного детерминанта существует только
конечное число приведенных форм.
В самом деле, обозначим через X наибольшее целое число, содер-
содержащееся в "]/D, так что X < \/D < X -j- 1 и, следовательно, X по хмень-
шей мере равно единице. Тогда средний коэфициент b приведенной
формы (a, bf с) может принимать только X различных значений 1У
2, . . ., X. Для каждого из этих значений b надо разложить D — Ь2 =
= (а) (с) всеми возможными способами на два множителя, которые
лежат между X — b и X-j-1-j-ft исключительно (или между X -f- 1—¦/>
и X-j-# включительно). Нужно придать двум таким множителям а и г
разные знаки и переставить их, если они не равны. Таким путем дей-
действительно будут найдены все приведенные формы, и, очевидно, их
будет лишь конечное число.
*) Это же непосредственно вытекает из того, что первый корень формы
(а, Ьу с) равен обратной величине второго корня ее союзной формы (ct b, д);-
поэтому или обе формы являются приведенными, или обе — неприведеннымн
2) G auss, D. A., art. 185.

160 Глава четвертая [§ 75
Пример 1. Если ?>=13, то к = 3; поэтому мы имеем следующие
случаи и разложения*
6 = 1; 12 = 3-4;
Ь = 2; 9 = 3 • 3;
? = 3; 4 = Ь 4 = 2-2,
они определяют следующие 12 приведенных форм:
(±3, 1, гцг4), (±:1, 3, hi4), (±:3, 2, ip3),
(±4,1,^3), (±:4, 3, ц=1), (±2.3,^2)
Пример 2. Для Z> = 19 имеем К = 4, мь! строим следующую
^ таблицу
&=1; 18 не дает ни одного разложения,
* = 2, 15 = 3-5;
? = 3; 10 = 2.5;
* = 4; 3=1-3,
отсюда получаются следующие 12 приведенных форм
/_+_ з 2 —5) (~'г~ 2 3 —5) Г"-**" 1 4 —3)
(it5, 2, hi3), (±:5, 3, zp2), (±3, 4, z^l).
Пример 3. Для D = 35 имеем л = 5, итак, мы строим таблицу
^=1, 34 не дает ни одного разложения
А О. О1
и — ^ > °А » » » я »
& = 3; 26 „ „ „ „ ,
? = 5; 10=1.10 = 2-5,
мы получаем отсюда 8 приведенных форм
(it: 1, 5, hi ЮO (±2, 5, hi 5),
(±zl0, 5, hi 1), (±5, 5, =i=2).
Пример 4 Для D = 79 имеем Х = 8, мы строим следующую та-
таблицу;
b=l, 78 не дает ни одного разложения,
^ — 2; 75 „ ,, w „ „
^^3, 70 = 7.10,
? = 4, 63 = 7-9,
в = 5, 54 = 6-9,
& = 6, 43 не дает ни одного разложения,
fr = 7, 30 = 2 • 15 = 3 • 10 = 5 . 6,
о = 8, 15 =^ 1 • 1 о = о * о,
мы получаем 32 приведенных формы:
(=7, 3, гпШ, (±7, 4, =р9), (гпб, 5, — 9), (=2, 7, ^15),
^3, 7. =10), (±5, 7, грб), (—1,8, =15), (-±=3, 8, -{= 5),

§ 76] О квадратичных формах * 161
м
(^=10, 3, =р7), (it 9, 4, ~р:7), (±: 9, 5, =рв), (±15, 7, =р 2),
(it 10, 7, =цЗ), (it: 6, 7, ^z5), (±15, 8, zp 1), (±: 5, 8,s=p3).
§ 76
Аналогично случаю отрица!ельных детерминанюв (§ 64) докажем
справедливость следующей теоремы !):
Каждая форма с положительным детерминантом эквивалентна
некоторой приведенной форме.
Обозначим данную форму с положительным детерминантом D через
(я, Ь, а') и постараемся так определить соседнюю ей справа форму
(а\ Ь\ а"), чтобы
Вследствие определения ссседяей формы ее средний коэфициент Ьг
может принимать любое значение, которое === — b (mod я'), и только
такое, спрашивается, всегда ли существует 1акое значение, заключенное
между } D — [аг) и \/D.
Очевидно, это имеет место, потому что все заключенные в этих
границах целые числа
Ь+1—(я'), л + 2 — (а'), . . . , X —1, X
образуют полную систему вычетов по модулю а'\ на этом же основа-
основании заключаем, чго существует только одно такое число У'. После
того, как определено Ь' = —b — а'Ъ, можно посредством подстановки
(—1, fj перевести форму (а, Ь, а') в соседнюю форму {a\b\dr), коэ-
фициенты а'у Ьг которой удовлетворяют вышеуказанному условию. Если
окажется, что вместе с тем (a")^(af), то по особо отмеченному в конце
§ 74 частному случаю B) полученная форма (a't b\ а") будет приве-
приведенной. Если же, напротив,
(«0 > («").
то поступаем с найденной формой (а', Ь', а")у точно так же, как с дан-'
мой формой (a, by а'), i e. образуем соседнюю ей справа форму
{а", Ь'\ а), в которой
\Ъ—{а")<Ьп<\Ъ
%\ которая наверное будет приведенной, если (#'") ^> (#")• Если, однако,
vHoea
(а") > (а'"),
го продолжаем тот же процесс указанным образом. Так как существует
долько конечное число целых положительных чисел, меньших данного
J) Gauss, D. A, art 183
И Злк Ш0 1ежен :1нпп\те

162 Глава четвертая [§ 76
положительного числа (#'), то после конечного числа преобразований
мы должны притти к некоторой форме (a(n), b{n\ я{п+1)), которой как
у О — (а{п))<Ь{п)<у%
так и
т. е. к приведенной форме, что и требовалось доказать.
Следует отметить, что при этом процессе не обязательно, чтобы
лишь последняя форма была приведенной, так как существуют приве-
приведенные формы, для которых второе условие особого, примененного
здесь частного случая не выполняется. Более важно, однако, обратить
внимание на то, что применение вышеуказанного процесса позво-
позволяет каждый раз найти и подстановку, посредством которой данная
форма переходит в приведенную, причем эта подстановка получается
путем композиции последовательных подстановок, появляющихся в дан-
данном процессе. Сам алгорифм не представляет никаких затруднений
(ср. § 64), как показывают следующие примеры.
Пример 1. Форма D, 6, 7) имеет детерминант D — 8] такИхМ обра-
образом X = 2. Среди чисел
4, о> Zy I, U, 1, Z
i'=l= — 6 (mod 7); это дает соседнюю форму G, 1, — 1), которая
еще не является приведенной. Так как (й") = 1, то Ь" — \ = 2> и, сле-
следовательно, мы получаем соседнюю форму (— 1, 2, 4), которая действи-
действительно является приведенной. Данная форма переходит в найденную
посредством подстановки
/ 0.+1W 0,1\_/-1,+3\
\ -1,-1/ \ _1,3/-\ + 1,-4/-
Пример 2. Форма G13, 60, 5) имеет детерминант D = 35; указан-
указанным методом находим соседнюю справа форму E, 5,-2), и ей опять
соседнюю справа форму (— 2, 5, 5), в которой последний коэфициент
действительно больше первого. Но в этом примере уже предшествую-
предшествующая форма E, 5, — 2) является приведенной. Данная форма переходит
в E, 5, — 2) посредством подстановки f j' _Г]з) и в ( — 2, 5, 5) —
посредством подстановки
/ 0,+ 1\ / 0, 1 \/_1,+ 5\
\ —1,—13/ \ —1, 5/ \ 13,-66/'
Пример 3. Форма F2, 95, 145) с детерминантом D = 85 посред-
посредством последовательных подстановок
\ _1, о/' \ -1, 2)' \-\, 2/' 1
1,4

§ 77] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 163
переходит последовательно в формы
A45, —95, 62), F2, —29, 13), A3, 3, —2), (—2, 5, 5),
из которых лишь последняя является приведенной. Соединение этих под-
подстановок дает подстановку (_i~2^ *t) » которая и переводит F2, 95, 145)
B 5 5)
в (—2, 5, 5).
§ 77.
В обоих предыдущих параграфах доказано, что каждая форма с по-
¦ ложительиым детерминантом эквивалентна некоторой приведенной форме
и что для каждого данного детерминанта существует лишь конечное
число приведенных форм; отсюда непосредственно следует:
Число классов форм с положительным детерминантом всегда конечно.
Остается ответить на основной вопрос, могут ли быть эквивалентны
друг другу две нетождественные приведенные формы с равными детер-
детерминантами, так как только тогда мы получаем возможность (как в §§ 65,
66 для отрицательных детерминантов) судить об эквивалентности двух
данных форм с одним и тем же положительным детерминантом. В слу-
случае положительного детерминанта это исследование наталкивается на
значительные трудности, так как действительно всегда существует не-
несколько нетождественных и все же эквивалентных приведенных форм.
Для того чтобы заложить твердый фундамент этому исследованию,
поставим сначала следующий более определенный вопрос *):
Может ли приведенная форма (a, b, af) иметь соседнюю ей справа
форму (а/, Ь', а")> поторая также являлась бы приведенной?
Предположим, что это возможно, и пусть ( ^ $J — подстановка,
переводящая приведенную форму (я, Ь, а') в приведенную же форму
(а', Ь', а"). Тогда два одноименных корня со и о/ первой и второй
формы связаны между собой (по § 73) соотношениями
Ради простоты мы будем считать ш и о/ первыми корнями обеих
форм (хотя то же соотношение имеет также место и для вторых кор-
корней). Так как в приведенной форме оба крайних коэфициента имеют
разные знаки, а первый корень исёгда одного знака с "первым коэфи-
циентом, то обе неправильные дроби шиш7 совпадают по знакам со-
соответственно с а к а' и, значит, имеют разные знаки, так как первый
коэфициент а/ ьторой формы является вместе с тем последним ь.озфи-
циентом первой формы. Поэтому вследствие вышеприведенных соотно-
соотношений разность ш — 8 должна быть правильной дробью того же знака,
что и со. Следовательно, 8 должно быть тем вполне определенным це-
целым числом, которое по абсолютной величине есть ближайшее меньшее
к ш и совпадает с со по знаку. Отсюда мы заключаем, что приведенная
форма (а> Ь, а') может иметь не более одной соседней справа формы
(а\ Ь\ а"), являющейся также приведенной.
Gauss, D. A., art 184.

164 Глава четвертая [§ 77
Но для каждой приведенной формы (а, Ь} а') такая соседняя справа
и приведенная форма (а\ Ь', а") действительно всегда существует.
В самом деле, пусть ш—-первый корень приведенной формы (a, b, af),
следовательно, о> есть неправильная дробь, знак которой совпадает
со знаком а. Выберем тогда целое число 8 так, чтобы его абсолютная
величина (о) была наибольшим целым числом, заключающимся в (ш)
(значит, неравным нулю), и придадим 8 знак о>. Определенная таким
образом подстановка (__]' $) переводит данную форму (а, Ь, а') в со-
соседнюю форму (а', Ь'} а"), первый корень
о — ш »
которой является неправильной дробью, знак которой противоположен
знакам а> и а, следовательно, совпадает со знаком а'. Обозначим че-
через ш^ и (о^ оба вторых корня; тогда между ними существует анало-
аналогичное соотношение
«' = Д—.
Но так как <о1— правильная дробь, знак которой противоположен знаку
ш, следовательно, и знаку 8, а 6 — целое число, отличное от нуля, то
отсюда следует, что разность 8 — ш1 является неправильной дробью;
таким образом ш/—правильная дробь, знак которой совпадает со зна-
знаками о, со и а, следовательно, противоположен знакам а/ и а!. Таким
образом доказано, что оба корня а/ и ю/ новой формы (а\ д\ а")
имеют разные знаки и, далее, что первый корень а/ является непра-
неправильной, а второй корень со/ — правильной дробью; следовательно, эта
форма действительно является приведенной, что и требовалось доказать.
Итак, для каждой приведенной формы всегда существует одна и
только одна соседняя справа форма,, которая также является при-
приведенной, и эта форма всегда легко может быть найдена вышеука-
вышеуказанным способом.
Точно таким же образом можно доказать, что каждая приведенная
форма обладает одной и только одной соседней слева приведенной фор-
формой. Но удобнее свести этот случай к только что рассмотренному посред-
посредством того очевидного замечания (§ 74, сноска х) на стр. 159), что обе
формы (а, Ь, аг) и (а\ Ьу а) являются приведенными или неприведенными
одновременно. Итак, если приведенная форма (а, Ь} а') обладает
соседней слева и тоже приведенной формой ('а, *Ь, а), то приведенная
форма (а', Ь, а) обладает соседней справа формой (а, 'Ь, 'а), кото-
которая также является приведенной; и обратно, если форма (я, 'Ь% 'а)
является соседней справа относительно приведенной формы (ar, b, а)
и вместе с тем сама является приведенной, то форма Gа, 'Ь, а) также
является приведенной и соседней слева относительно формы (а, Ь, а').
Как мы уже видели, приведенная форма (а\ Ь, а) всегда имеет одну
и только одну соседнюю справа приведенную форму (a, fb, 'а); отсюда
следует:
Каждая приведенная, форма (а} 1\ а') всегда имеет одну и только
одну соседнюю слева приведенную форму ('а, 'Ь, а).

§ 78] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 165
§ 78,
Из только что доказанных теорем о соседних справа и слева при-
приведенных формах вытекает, что все приведенные формы с положитель-
положительным детерминантом D можно распределить по периодам *)> которые
строятся следующим образом. Выберем какую-нибудь приведенную
форму ср0 и образуем продолженный направо ^ налево ряд
ff\ er\ гг. (г tr\
• • • » Г-2> .-1' ^0' 7V Т2> • • *
последовательных соседних справа и слева приведенных форм, которые
всецело определяются одним членом ср0. Так как число приведенных
форм с детерминантом D конечно и первые коэфициенты двух после-
последовательных форм всегда имеют противоположные знаки, то произ-
произвольная форма ср вышенаписанного ряда должна быть тождественной
со следующей через четное число 2п членов формой <ра , >>>г Кроме
того, так как форма <ру, или ?а , ,Vt, обладает единственной соседней
справа, а также и слева приведенной формой, то должны быть тожде-
тождественны и обе формы ^+1 и ?^ + 1 + 2„, а также и формы и^_г и ?н_1+2м
вообще, две любых формы этого ряда, индексы которых разнятся на
одно и то же число 2я, должны быть тождественны. Итак, во всей
последовательности имеется не более 2я различных форм
эти формы будут действительно отличны друг от друга, если ни одна
из форм сро, ср4,. .., %п__2 не тождественна с ?0. В самом деле, если
бы <pv и '?V + 2M, были тождественны друг другу, то и уч>п, была бы
тождественна с о0. Итак, предположим, что 2п является числом дей-
действительно различных форм этого ряда; тогда он состоит из простира-
простирающейся в обе стороны и бесконечное множество раз периодически
повторяющейся последовательности этих 2п форм. Любые две формы
Фа и cpv разность индексов которых^ — v делится на 2л, тождественны;
и обратно, если формы <ра и ?v тождественны, то ja = v (mod 2я).
Может случиться, что эти 2п форм исчерпывают все приведенные
формы детерминанта />, но возможно, что кроме них существуют и дру-
другие приведенные формы с тем же детерминантом D. Если имеет место
последний случай, то пусть ф0 — такая приведенная форма, не содержа-
содержащаяся в предыдущем периоде; ей точно так же соответствует период
из 2т различных между собою форм
Все эти формы второго периода будут отличны от форм первого пери-
периода; в самом деле, если бы оба периода имели одну общую форму,
то оба ряда были бы целиком тождественны, так как от этой общей
формы ряд мог бы быть продолжен вправо и влево единственным
образом.
l) Gauss, D. A., art. 186.

166 Глава четвертая [§ 78
Подобным же образом можно продолжать до тех пор, пока все
приведенные формы не распределятся по различным периодам; число
периодов необходимо конечно; число членов в разных периодах может
быть различно, но во всяком случае всегда четно х).
Пример 1. Мы построили (§ 75) систему приведенных форм для
детерминанта D=13; возьмем, например, за ср0 форму C,1,-4), тогда
мы получим следующий период из десяти форм:
<ро = C, 1,-4); ?1 = ( — 4, 3, 1);
?а = A, 3,-4); ?3 = ( —4, 1. 3);
?4 = C, 2,-3); ?б = ( —3. 1, 4);
?6 = D, 3,-1); 97 = (—1> 3, 4);
?8 = D, 1,-3); 9*-( —3. 2, 3).
Эги вычисления проще всего произвести следующим образом: для
того» чтобы из приведенной формы (а, Ь, аг) вывести соседнюю ей
1) Особый интерес представляют еще следующие замечания (Gauss, D. А.,
artt. 187, 194). Если (я, Ь% с) — приведенная форма» то и ее союзная форма
(с, bf а) также является приведенной (§ 74). Пусть развернуты периоды обеих
форм, а сами формы в зависимости от мест, которые они занимают в этих
периодах, обозначены через ^ и <j^ . Тогда очевидно, что и формы у^ + 1
и *К_1 будут союзными, как и вообще любые две формы 9^+/* и <]\_7t, где h
означает произвольное целое число. Отсюда вытекает, что оба периода будут
состоять из одинакового числа членов.
Возможно, что оба периода тождественны, т. е. <\>м сама является одним из
членов периода формы ср^; тогда, очевидно, каждая форма, союзная любой
форме этого периода, сама будет одним из членов этого же периода. Пусть
теперь <рг —форма, союзная ср# ; торда, так как крайние коэфициенты приве-
приведенной формы имеют разные знаки и, кроме того, первые коэфициенты двух
последовательных форм чередуются по знакам, то г необходимо нечетно
и равно 2т—1. Так как сро и ?2w — t являются союзными формами, то и
формы yh и Yaw —1 —л также союзны, рашю как и формы cp,w и ?w__1; если
2п означает число членов периода, то точно так же союзными являются формы
?« + * и <pm_1_,l==<Pm + »-i- Обозначим одну из двух форм %п и?„1 + и
через (А, В, С); соседняя ей слева форма тождественна с {С, В, Л) и, сле-
следовательно, 2i? = 0 (mod А), т. е. срш и yl№in являются двусторонними фор-
формами (§58); при этом они различны между собой, так как т не = т ~\-п (mod 2n).
Обратно, если в каком-нибудь периоде содержится двусторонняя форма
(Л, В, С), то ее левым соседом является ее союзная форма (С, В, Л), и, сле-
следовательно, в том же периоде найдется еще одна двусторонняя форма. Однако
кроме этих двусторонних форм <?т и <рм*4-л в этсш же периоде не имеется
никакой другой двусторонней фэрмы. В самом деле, если <ps — двусторонняя
форма, то формы <ps _ t и cpg, а следовательно, и формы <p2s — i H ^о являются
союзными. Тем самым <р2.$ —i тождественна <p2w-~i' следовательно, 2s~2m
(mod 2я), значит, s = m или s^m-^-n (mod 2я).
Очевидно, этот случай может иметь место только в периоде такой формы
(§§ 56, 58), которая собственно эквивалентна своей союзной форме и, следова-
следовательно, несобственно эквивалентна самой себе, т. е. только тогда, когда форма при-
принадлежит двустороннему классу (ср. § 149). Обратное утверждение — а именно,
что каждый раз, когда это условие выполняется, период формы должен со-
содержать и ее союзную форму и, следовательно, две двусторонних формы —
является непосредственным следствием доказываемой ниже (§ 82) основной
теоремы всей этой теории. Ср. примеры в тексте.

•§ 78] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 167
справа приведенную форму (а!\ Ь\ а"), нужно найти только ее сред-
средний коэфициент Ь\ который всегда вполне определяется условием
Ь' = — b — я'8 =—b (mod а') и дополнительными условиями
и всегда может быть определен при одном взгляде на форму. В нашем
случае X = 3; поэтому средний коэфициент br формы о1 находится из
условий
у == — 1 (mod 4), О ^У ^ 3,
л именно Ь' = 3. После того, как найдены V и 8=1, мы получаем
итак, в нашем случае а" = 1. Нужно продолжать подобным же обра-
образом пока не воспроизведется первая форма <р0. В нашем примере
средний коэфициент о10 определится тем, что он должен быть=== — 2
(mod 3), и, кроме того, не должен лежать вне пределов 1 и 3, откуда сле-
следует, что он равен единице; таким образом <pi0 будет тождествена с ъ0.
Найденные таким путем десять первоначальных форм первого
вида еще не исчерпывают, однако, всех приведенных форм детерминанта 13;
остаются еще две первоначальные формы второго вида
% = B, 3, — 2), ^i = ( — 2, 3, 2),
которые, очевидно, образуют еще второй период.
Пример 2. Для Z)=19 мы получаем следующие два периода, ка-
каждый из шести членов:
сро = C, 2,-5); ?! = ( — 5, 3, 2);'
ср2 = B, 3,-5); ?3 = ( —5, 2, 3);
?4 = C, 4,-1); % = (—1. 4> 3)
м
,1 / О О С\. J. /С О О\.
Vo === \— ' > )> Т1 — W» о» *)>
фо = ( —2, 3, 5); «^ = E, 2,-3);
^ = (—, 4, 1); ф6 = A, 4,-3).
Пример 3. Для D = 35 получаем следующие четыре периода, ка-
каждый из двух членов:
о0 = ( 1, 5,—10), ?1 = (— Ю, 5, 1);
7, = ( 2, 5,— 5), 7л = (— 5, 5, 2);
во = ( 5, 5,— 2), 01==(— 2, 5, 5).

168 Глава четвертая [§ 78
Пример 4. 32 приведенных формы детерминанта D = 79 распадаются
на четыре периода по шести членов и два периода по четыре члена;
одним из шестичленных периодов является следующий:
?о = G, 3,-10); ?! = (— Ю, 7, 3);
?2 = C, 8,— 5); %==(— 5, 7, 6);
?4=Ч6, 5,— 9); ?ft = (— 9, 4, 7).
Остальные три получаются из него перестановкой крайних коэфициен-
тов (с чем связана перестановка справа налево в последовательности
членов), а затем изменением знаков крайних коэфициентов на обрат-
обратные. Одним из двух четырехчленных периодов будет
фо = A, 8,-15); 4*1 = ( — 15, 7, 2);
фа = B, 7,-15); 68 = (—15, 8, 1);
второй период получается из этого изменением знаков крайних коэфи-
коэфициентов.
§ 79.
Предшествующие исследования, касающиеся периодов приведенных
форм с положительным детерминантом, теснейшим образом связаны
с разложением корней этих форм в непрерывные дроби. Если мы'
всегда будем выбирать за начальную форму о0 периода такую, первый
коэфициент которой положителен, то ее первый корень <оо будет так-
также положителен. Обозначим через <оа первый корень формы <ра, через
§а— четвертый коэфициент подстановки
{ 0, 1
переводящей ©^ в соседнюю справа форму ?и+1, и, наконец, через ? —
абсолютную величину 6и. Так как (по §77) коэфициент 8, совпа-
совпадает по знаку с а) , а по абсолютной величине является наибольшим
целым числом, содержащимся в абсолютной величине шо, и так как
•корни ш0, <Oj, <o2,... попеременно положительны и отрицательны,,
то (— 1):хв>,,. всегда положительно, и, следовательно,
Но между последовательными корнями <оа, а>и , г,... имеют место сле-
следующие соотношения (§ 77):
<0 =8 1—; (о —S !_
Умножая эти уравнения последовательно на ztzl, rp 1 и т. д. так, чтобы
левая часть всегда была положительна, получим
^~ф =k -4-—-— • nzco —k -J I
— v- v-^ q=<vn ' -*- *+i~*v+i • iV2» • • •
Отсюда для неправильной положительной иррациональной дроби

§ 79] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 169
(—lI*0^ получаем следующее разложение в бесконечную непрерывную
дробь (§*23):
Очевидно, эта непрерывная дробь периодична; в самом деле, если пе-
период приведенных форм <р состоит из 2п членов, то 8 .2/i = 3a» зна-
значит, и k.2n = k ; таким образом последовательность чисел k повто-
повторяется снова не позднее, чем через 2п членов.
Пример 1. Возьмем /)=13; для разложения первого корня ш0,
формы <?о = C, 1, — 4) в непрерывную дробь нужно построить ее пе-
период (§'78):
% = C, 1, -4); ?, = ( —4, 3, 1);
%=A, 3,-4); ?3=( —4, 1, 3);
<?4 = C, 2, ~3); ?3 = ( —3, 1, 4);
% = D, 3,—.1); ?7 = ( — 1, 3, 4);
% = D, 1,-3); %=(-3, 2, 3);
коэфициент 8 подстановки принимает последовательно значения
отсюда получаются абсолютные величины
Kq -—- 1, tZ^ •—• О, г?2 ==: 1, &$ '¦— 1) &± '¦—
Здесь надо отхметить своеобразное явление, а именно, что период непре-
непрерывной дроби состоит только из пяти членов, в то время как период
формы содержит вдвое больше членов; мы вернемся к этому позднее
(§ 83). Отсюда следует, что искомое разложение в непрерывную дробь
имеет вид
1 4- УТз
^fA, б, 1, 1, 1; 1, 6, 1, 1, 1; ... ).
Точно так же обе оставшиеся приведенные формы с тем же детерми-
детерминантом Z)= 13, а именно
*0 = B, 3, —2), ^ = (-2, 3, 2),
дают следующие значения:
значит
Kq = о, к\ = о,
и, следовательно,
г + УГз
2 ^i3' o> • • • )•
И здесь период непрерывной дроби содержит лишь половину числа
членов периода приведенной формы.

170 Глава четвертая [§ 79
Пример 2. Для Z) = 19 шестичленный период формы
?0 = C, 2,-5); ?1 = ( —5, 3, 2);,
<Р2 = B, 3, -5); ?8 = ( — 5, 2, 3);
ф4 = C, 4,-1); % = ( — 1, 4, 3)
дает числа
«о = + 1, 8! = — 3, 82 = + 1, 8S = —2, 84 = + 8, Ь5 = — 2;
«о=1, ^=3, *а=1, А3 = 2, *4 = 8, *i = 2;
следовательно,
2+/19 = A, 3, 1, 2, 8, 2; ... ).
Пример 3. Для D = 79 шестичленный период
<ро = G, 3,-10); ?1 = (—10, 7, 3);
<ра = C, 8,— 5); «, = (— 5, 7, 6);
Ъ = F, 5,- 9); % = (— 9, 4, 7)
дает числа
80 = + 1- 8! = —5, 82 = + 3, S3 = —2, 64 = + 1, 85 = —1;
таким образом получается разложение
щ = A, о, 6, 2, 1, 1, ... ).
Точно так же четырехчленный период
1 Фо = О. 8,-15); ф1 = ( — 15, 7, 2);
62 = B, 7,-15); ф8 = ( —15, 8, 1)
дает числа
80 = +1, 81 = — 7, 82 = -f 1, 83 = — 16;
Ао == 1, &J = 7, ^2 = 1, &3=16
и, следовательно, непрерывную дробь
8-f- 1/79
15
= A, 7, 1, 16; . . . ).
Вместе с тем, конечно, получаются простым смещением периода
разложения корней и трех других форм:
7+У79 /7 1 1R 1- ^
7+ V 79
15
¦ = A, 16, 1, 7; ... ),
= — A6, 1, 7, 1; ... )i).
1) Форма A, 0, — D) эквивалентна приведенной форме сро = (Ь^ ^2 —Z));
последняя форма соответствующего периода будет, очевидно»
<P2»-i = (>-2-A >s 1);

§ 80] О квадратичных формах 171
§ 80.
Остается еще ответить на самый трудный вопрос, а именно: мо-
могут ли быть эквивалентными две приведенные формы с одинаковым
детерминантом, принадлежащие различным периодам? Для этого мы
должны сделать отступление в теорию непрерывных дробей, где дока-
докажем некоторые относящиеся к ним менее известные теоремы.
Непрерывная дробь (а, Ь, с, d>...)> все элементы а> Ь, с, d,...
которой являются целыми положительными числами, (за исключением
первого, ау который может принимать и нулевое значение), в дальней-
дальнейшем будет называться правильной. Как известно, значение такой ко-
конечной или бесконечной непрерывной дроби всегда положительно, и,
обратно, каждая положительная величина всегда и притом единствен-
единственным образом может быть обращена в правильную непрерывную дробь.
Для нашей цели очень важно обращение в правильную дробь непра-
неправильной бесконечной непрерывной дроби
(а, р, 7> • • • > t*. v> Р> Ь г>- •' и> v> • • •)»
элементы которой являются целыми числами, причем, начиная с неко-
некоторого определенного элемента /?, все последующие элементы положи-
положительны. Мы увидим, что при таком преобразовании все элементы
«,#,..., начиная с некоторого элемента и, расположенного в конечном
отдалении от начала дроби, остаются неизменными, а разность
между числом измененных и числом их замещающих элементов будет
четным или нечетным числом в зависимости от того, имеет ли
непрерывная дробь положительное или отрицательное значение.
Для доказательства обозначим через v последний неположительный
элемент непрерывной дроби и, кроме того, предположим, что v не
является первым элементом всей непрерывной дроби. Мы будем ста-
стараться удалить неправильность непрерывной дроби с этого самого
крайнего места v и сдвинуть ее влево по меньшей мере на одно место.
Для этого нам, очевидно, достаточно рассмотреть бесконечную
непрерывную дробь (jx, v, p, q,...), которую мы можем писать и
в конечном виде (u, v, /?'), или (p., v, /?, q'), или (а, v, /?, q, r')t и т. д.,
если для сокращения обозначим бесконечные правильные непрерывные
дроби
(р, q, r, s,...), (q, г, б\...)» (г, 5,...) и т. д.
через //, q\ / и т. д. Мы должны различать следующие случаи.
отсюда следует разложение вида
— (Ь Ь h k k °>) • )
И
YЪ = fo &0. • • • . К - 2' К - 1» К - 2" * • » К . 2Х' • • •)•
Подобное разложение всегда имеет место,, если в периоде содержатся две
двусторонние формы (§ 78).

172 Глава четвертая [§ 80
1. Если v = 0, то
или, следовательно,
(и, 0, /л ?') = (!* +Л ?'
Таким образом неправильность сдвинута с места v = 0 по меньшей
мере на одно место влево, и одновременно три измененных элемента
а, 0, р заменились одним элементом \*-\-р.
2. Если v отрицательно, равно —п, и я>1, то, применяя тожде-
тождество
(ft —*) = (?—1, Ь А—1)»
получаем путем последовательного преобразования
= (}i —1, 1, л —i,—/>');
отсюда, применяя еще раз прежнее тождество, получаем
(и, — я, /?, <7') = (и— 1, 1, я — 2, 1, рг—\) =
= (и—1, 1, л — 2, 1, р — 1, ?').
Место трех изменившихся элементов а, —w, /? заняли пять элементов
и.— 1, 1, п—2, 1, р—1, из которых только первый может быть отри-
отрицательным. Если при этом п — 2, или р—1, или оба эти числа ока-
окажутся равными нулю, то путем однократного или двукратного приме-
применения установленного в п. 1 правила все элементы, за исключением
первого, могут быть сделаны положительными. При этом разность
между числом измененных и их заменивших элементов останется чет-
четным числом, а неправильность сдвинется по меньшей мере на одно
место влево.
3. При v = —1 вышеуказанное правило неприменимо; если одно-
одновременно р > 1, то мы получим
(а, —1, р, /) = (а — 2, 1, /? — 2, q');
при /?~2 надо поступать согласно правилу, установленному в п. 1.
При р = 1 эта формула не помогает; но тогда
и, следовательно,
(а, —1, 1, Чл ry s') = (\i — 2 — q, 1, г—1, 5х);
если г=1, нужно поступать, как в п. 1.
Таким образом во всех без исключения случаях неправильность
непрерывной дроби оттесняется с места v по меньшей мере на одно
место влево, и вместе с тем разность между числом изменяющихся и
их заменяющих элементов каждый раз будет четным числом. После-

§ 81] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 173
довательным применением указанного процесса можно будет преобра-
преобразовать каждую заданную первоначально непрерывную дробь
(а, р, y> . • • > \><> v, p, q> г, ..., t, и, г»,...)
в новую дробь
(«', *, ?,.. ., А, /, и, г», ...),
все элементы ?, с,... которой, следующие за первым, будут положи-
положительными целыми числами, причем все элементы, следующие за не-
некоторым расположенным в конечном отдалении элементом и, совпа-
совпадают с элементами заданной непрерывной дроби. При этом разность
между числом изменяющихся элементов
я, Р, 7> • • • > У. v> Р, q* П. .., t
и числом их заменяющих элементов
а', *,<:,...,*,/
будет четным числом, так как это обстоятельство имеет место на
каждой отдельной ступени всего преобразования.
Если теперь ос' положительно или равно нулю, то преобразование
закончено и значение непрерывной дроби положительно. Если же,
наоборот, а' отрицательно, равно — а, то непрерывная дробь отрица-
отрицательна и равна
— (а — 1, 1, b—h с,...),
или, если #—1, равна
— (а— 1, *+1, <*,...).
При этой последней ступени число измененных элементов на еди-
единицу меньше или больше числа их замещающих элементов; и этим
доказан последний пункт нашего утверждения.
§ 81.
Для исследования эквивалентности двух форм нам нужна еще сле-
следующая теорема.
Пусть а, р, у, о — четыре целых числа, удовлетворяющих условию
«S — ?y = I,
причем первое из них, of, отлично от нуля; тогда, если между двумя
se личина ми ш я 9 имеется соотношение
_ т + bQ
то можно всегда положить
а) = (т', т, п,..., г, ?', Q),
едг «шсло целых положительных чисел т% п,..., г четно, a Y
и $' могут принимать как нулевые, так и целые отрицательные
значения.

174 Глава четвертая [§81
Для доказательства этой теоремы мы можем, не уменьшая общности,
предположить, что отличное от нуля число а положительно. В самом
деле, если а отрицательно, то переменим знаки всех четырех чисел
ot, p, f, 8 на обратные; при этом существующее между ними соотно-
соотношение останется неизменным, так же как и соотношение между (ои О.
Предположим сперва, что а=1, следовательно, 8 = ^+^1 тогда не-
непосредственно получаем
= Y 4-:
значит, в этом случае наша теорема справедлива. Если же а> 1, то
7
разложим дробь — в непрерывную дробь (y , т> я,. .., г), все элементы
которой являются положительными целыми числами, за исключением
первого, Y> который положителен, равен нулю или отрицателен, в за-
зависимости от трех возможностей: ^ положительно и больше а, поло-
положительно и меньше а или, наконец, отрицательно.
Далее, мы можем предположить, что число положительных элемен-
элементов т, п,..., г четно; в самом деле, так как при обычном методе
преобразования простой дроби -=- в непрерывную последний элемент
а
г по меньшей мере равен 2, то в случае, когда число элементов т*
п,.. ., г нечетно, можно преобразовать последний элемент г в непрерыв-
непрерывную дробь г— 1 -\- — , и, следовательно, брать вместо указанной не-
непрерывной дроби дробь (-у', т, я,..., г—1, 1), в которой число поло-
положительных элементов /я, я,..., г—1, 1 уже четно. Образуем теперь*
следуя данному ранее (§ 23) методу, так называемые подходящие
дроби
',/я, я,...,?,
1 [т] [ту п] ' [т, п,. .., q, r]
легко убедиться, что все их знаменатели положительны. Тогда, как уже
было доказано, эти дроби несократимы; так как вследствие соотно-
соотношения аЬ — $4=1 последняя из вышеуказанных дробей равна также
несократимой дроби —- и а положительно, то необходимо
а = [т, п, ...,q,r], -у = [?', т, п,..., q, г],
ибо произвольная дробь может быть преобразована в несократимую
дробь с положительным знаменателем лишь единственным образом.
Далее, так как число элементов ^', /я,//г,..., q, r нечетно, то из фор-
формулы (9), § 23, следует, что
[т, я,. . . , q] |У, /я, п, . . . , q, r] —
— [//г, п, . . . , q, r] h', т, п, . . .,<?]= — 1,

§ 82] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 175
или
a [Y, т,п, . . . , q) — [т, п, . . . tq]^ = l.
Сравнивая это соотношение с аЬ — pY == 1» получаем (подобно тому,^
как в § 24), что можно положить
т. е.
8 = ft',/ю, л, . . . ,?,г,р'],
$ = [т,п, . . . ,?,г,р'],
следовательно
у = (У,яг, л, . . . ,?,/•,?')»
где р' означает некоторое целое число1).
Следуя этому же закону образования, имеем
и, следовательно,
a> = (
что и требовалось доказать.
§ 82.
После того как разобран и этот второй пункт из теории непре-
непрерывных дробей, подойдем к окончательному разрешению вопроса, могут
ли два различных периода приведенной формы с положительным детер-
детерминантом содержать эквивалентные формы. Итак, пусть (а, Ъ, с) и
(Л, В, С) — две приведенные (собственно) эквивалентные формы; так
как все формы одного и того же периода всегда эквивалентны
друг другу, то мы можем предположить, что первые коэфициенты а
и Л, а следовательно, и первые корни обеих этих форм положительны^
потому что в противном случае непосредственно соседние формы обла-
обладали бы этим свойством. Обозначим (а, Ь, с) через ср0, (Л, В, С) /
через Фо и построим для каждой из этих форм (по § 78) содержащий
ее период; отсюда (по § 79) мы получим для первых корней a>0, So
обеих форм разложения в правильные непрерывные дроби
ш0 = (kQ9 kv k2,...),
Q0 = (K0,KVK2,...).
V P
!) Так как дроби ~ , ~ соответственно равны непрерывном дробям
a a
(?', т, ...,г), (РЛ г,..., т), то -у7» $' являются наибольшими содержащимися
в них целыми числами (в смысле § 43).

176 Глава четвертая [§ 82
Пусть теперь! ' g)—подстановка, переводящая <ро.в Фо; тогда первые
л<орни со0, i20 связаны соотношением
-та
м, кроме того,
а& —fr = l. B)
Далее, так как а не может быть равно нулю, потому что тогда Л
-было бы равно с, стало быть, Л было бы отрицательно, то по только
что доказанной теореме можно положить
% = (ч'> m, п,...,г, Э', ^o)'
следовательно, и
«о = (Т/1 т, п,...9 г, р', /Со, /Clf /Со,...); .C)
в этой бесконечной непрерывной дроби, которая во всяком случае,
начиная с Ко (или раньше), не содержит ни одной неправильности,
число элементов -у', т, п,..., r, J3' четно, равно 2g\ Если C' положи-
положительно, то, так как а>0 > 1, также и Y положительно, т. е. дробь
правильная1). Если же $' = 0у или отрицательно, то по указанным
выше правилам (§ 80) преобразуем непрерывную дробь в правильную.
Если взять {х достаточно большим, то элементы К , К , v ... оста-
останутся при этом преобразовании неизменными, а 2g-\-\x предыдущих
элементов
Y,m,n, . . ., г, р', АГ0,/С1Э . ...,/С[А_1
заменятся другими, число v которых будете a (mod 2) (по § 80),
ибо значение всей непрерывной дроби положительно. Так как <ю0 мо-
может быть представлено в виде правильной непрерывной дроби лишь
единственным образом, числа
1) Оставив в стороне простой случай 2 = 8 = :±:1, [3 = ^ = 0 и приняв во
внимание, что соотношение (П, которое, вследствие B), может быть написано
я в виде
имеет место не только для положительных неправильных дробей оз(), Ц), но
также и для отрицательных правильных дробей <о0', Qo', нетрудно получить,
что ни одно из чисел а, &, у, о не обращается в нуль и
либо — >1, — >1, либо —т^ > 1, —~ > 1.
ал о о
В первом случае обозначенные выше через J3', у' числа положительны
и, следовательно, уже C) определяет оз0 как правильную непрерывную дробь.'
Второй случай сводится к первому переходом к обратной подстановке, выра-
выражающей Qq через ш0. Этим совершенно устраняется необходимость содержа-
содержащегося в § 80 исследования, которое, однако, и само по себе представляет
-большой интерес.

^ 82] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 177
должны соответственно совпадать с числами
Если \i-\-h является кратным числа форм, образующих период формы
•Фо, и, значит, числом четным, то и v-f- h — четное число, равно 2т\
тогда числа
совпадают с числами
а эти последние — с числами
Отсюда непосредственно следует, что
Но форма полностью определяется ее первым корнем (§ 72); отсюда
мы заключаем, что форма Фо должна быть тождественна форме о2т;
следовательно, Фо должна находиться в периоде, образованном из <?0.
Таким образом мы получили следующую основную теоремух):
Две приведенные эквивалентные формы с положительным детер-
детерминантом принадлежат одному и тому же периоду; две приведен-
приведенные формы, принадлежащие разным периодам, не могут быть экви-
эквивалентны.
Эта теорема дает метод для проверки, эквивалентны ли две данные
формы с равным положительным детерминантом, или нет. Надо искать
для каждой из обеих форм (по § 76) эквивалентную ей приведенную
форму; данные формы будут эквивалентны или нет в зависимости от
того, будут ли найденные таким образом приведенные формы принад-
принадлежать одному и тому же периоду или различным периодам. Очевидно,
в первом случае одновременно получается и подстановка, переводящая
одну форму в другую (§ 66).
Пример. Пусть даны формы G13, 60, 5) и F2, 95, 145), с одним
и тем же детерминантом Z) = 35. Первая посредством подстановки
( / ' iq| переходит в приведенную форму E, 5, —2), вторая по-
V—*» — lt5/
средством подстановки ( i о' 2- 7) пеРеходит в приведенную форму
(—2, 5, 5) (§ 76). Но обе эти приведенные формы принадлежат од-
одному и тому же двучленнохму периоду E, 5, —2), (—2, 5, 5), причем
первая переходит во вторую посредством подстановки! /с). Тем
самым обе заданные формы G13, 60, 5) и F2, 95, 145) эквивалентны,
и так как \ J ГЛ является подстановкой, обратной по отношению
ч <^> о /
l) Gauss, D. A., art. 193.

178 Глава четвертая [§ 82
к ( , о; ~^~ 7), то первая из этих форм переходит во вторую по-
средством подстановки
О, + 1\/ 0, 1\/ — 7, — Ю\ _ /— 3,-5
-1,—13Д —1.5Д —2,— 3j —V + 41,+68
§ 83.
Наши последние изыскания разрешили и для форм с положитель-
положительным детерминантом первую из двух поставленных в § 59 основных
проблем; вторую из них мы свели в § 62 к разрешению неопределен-
неопределенного уравнения
Итак, для того чтобы теорию форм с положительным детерминантом
довести до той же завершенности, как это было сделано для форм
с отрицательным детерминантом, остается только полностью разрешить
это уравнение для каждого положительного (не являющегося точным
квадратом) значения детерминанта D. Ферма первый предложил мате-
математикам это уравнение, а решение его было дано англичанином
Пеллем (Pell). Хотя его метод действительно дает решение в каждом
случае, но в нем не содержится доказательства, что этот путь всегда
приведет к цели и что уравнение, кроме очевидного решения t =±з9
а = 0, имеет и другие решения. Этот пробел впервые был заполнен
Лагранжем х); эта работа великого математика является одной из замеча-
замечательнейших его работ в области теории чисел, так как принципы, поло-
положенные им в ее основу, допускают значительное обобщение, а потому
могут быть приложены к подобным же проблемам большей трудности 2).
Мы пойдем сейчас совершенно другим путем, который непо-
непосредственно примыкает к предшествующим исследованиям. Между
указанным неопределенным уравнением и второй основной проблемой
теории эквивалентности была установлена следующая связь. Если
(а, ЬЛ с) — форма с детерминантом D и делителем з, и j. ' *]—какая-
нибудь собственная подстановка, посредством которой (а, Ь, с) пере-
переходит сама в себя, то всегда
t—Ьи г о си ^ аи, > t-\-bu
1) Solution d'un Probleme d'Arithmetique, Miscellanea Taurinensia, т. IV
(Oeuyres de Lagrange, publ. par Serret, т. I, 1867, стр. 669); Sur ia solution des
problemes indetermines du second degre, Mem. de ГАс. de, Berlin, т. XXIII
(Oeuvres de Lagrange, т. II, 1868, стр. 375); Additions aux Elements d'Algebre
par L. Euler. § II, VIII. Заслуга выявления глубокого значения уравнения
Пелля для общего разрешения неопределенного уравнения второй степени
принадлежит Эйлеру; ср. De solutione problematum Diophanteorum per numeros
integros. Comm. Petrop. VI, стр. 175. De resolutione formtilarum quadraticarum
indeterminatarum per numeros integros, Nov. Comm. Petrop. IX, стр. 3. De usu
novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo, Nov. Comm. Petrop. XI, стр. 28.
Nova subsidia pro resolutione formulae axx -f- 1 — vv, Opusc. anal. I. cip. 310.
См. креме того, Gauss, D. A., artt. 197 — 202.
2) См. дополнение VIII.

§ 83] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 179
где /, и означают два целых числа, удовлетворяющих уравнению
t* — Du* = 3*
и обратно, каждому решению t, и неопределенного уравнения со-
ответствует посредством предыдущих формул подстановка ( ' k J, с по-
помощью которой форма (а, Ь, с) переходит сама в себя. Наши послед-
последние изыскания предоставили нам, как мы сейчас увидим, способ, позво-
позволяющий непосредственно найти все подстановки ('' И, посредством
которых приведенная форма с положительным детерминантом пере-
переходит сама в себя; следовательно, отсюда мы можем получить все
решения /, и неопределенного уравнения. Выполнению этого исследо-
исследования мы предпошлем еще одно замечание о периодах приведенных форм.
Мы знаем, что последовательность положительных чисел k, обра-
образующих элементы непрерывной дроби, в которую разлагается первый
корень <оо приведенной формы сро> содержит четное число членов
k k k
которые периодически повторяются, причем это число 2/г равно числу
приведенных форм, содержащихся в том же периоде, что и <р0. Но мы
видели выше (§ 79) на отдельных примерах, что числа k могут
состоять и из меньших периодов; например, из десятичленного периода
форм, соответствующего детерминанту Z) = 13, мы нашли следующие
числа:
30=+1, 81=—6, За=+1, 83=—1, 84==+1;
33=—1, 86=+6, 87=—1, 8в= -Ь1, 89=—1;
следовательно,
?0=1, k{ = 6, *2=1, А3=1Э ki=\\
а дальше повторяется эта же последовательность
Весьма важно исследовать, когда это может иметь место. Итак,
пусть 2п — число членов периода формы, а т — число членов какого-
нибудь периода в последовательности чисел k. Тогда, удерживая прежние
обозначения для форм и их первых корней, имеем, если т четно,
со ==(k , k ,,,...) = (kn, kAi...);
следовательно, ш/п = со0; тогда и <pwt тождественна с ср0, а поэтому т
необходимо кратно 2п\ значит, во всяком случае не существует периода
с четным числом членов, меньшего, чем весь период формы. Пусть,
напротив, т нечетно, тогда точно так же и 2т будет числом членов
некоторого периода в последовательности чисел k\ следовательно, по
только что доказанному, 2т является кратным 2п\ значит, т по мень-
меньшей мере равно п. Итак, случай, когда период чисел k короче, чем
состоящий из 2п членов период формы, может иметь место только

180 Глава четвертая [§ 83
при нечетном п\ при этом, как мы видим все на том же примере,
период чисел k может состоять из п членов; тогда оьп = —а>0, сле-
следовательно, ?п = — с0, ^» —^о» ап~ — ао- ^е следует, однако, думать,
что это обстоятельство должно иметь место при каждом нечетном п;
мы, собственно, показали, что только в этом случае оно может
иметь место. Например, для Z)=19 оба периода форм шестичленны
{§ 79), следовательно п = 3; но периоды чисел к не трехчленны,
а тоже шестичленны х).
Для того чтобы разрешить неопределенное уравнение t- — Ои-=з2,
в котором D — произвольное положительное число, не являющееся
точным квадратом, причем или D===0 (mod о2), или 4D == a2 (mod 4o2),
рассмотрим произвольную приведенную форму (а, Ь, с) с детерминан-
детерминантом D и делителем а. (Из §§ 61, 76 непосредственно следует, что
такая форма всегда существует.) Предположим далее, что а положи-
тельно, следовательно, с отрицательно, что всегда возможно; тогда
первый корень о этой формы положителен, и, следовательно,
а> = (А0, Ар . . ., k2}n}_v А^^ш), ^
где 2п — число членов периода формы, a h — произвольное целое по-
положительное число. Если положить
— = (&0, kv . . ., А2/ш_2), у = (Ао, Ах, . . ., ^2///?-i)»,
l) Случай, в котором разложение непрерывной дроби имеет лишь половину
длины периода формы, может, как мы только что показали, иметь место только
в случае эквивалентности форм (а, Ь, с) и (— а, Ь, — с); и легко показать
(из § 82), что в этом случае он всегда должен иметь место. Если провести
исследование эквивалентности обеих форм точно так же, как в § 62, то полу-
получаем результат: коэфициенты каждой подстановки Р' м , переводящей форму
(а, Ь, с) с детерминантом D и делителем с в форму (—а, Ь, — с), содержатся
в формулах
. t — bu си аи t -f- bu
где t, и означают два целых числа, удовлетворяющих неопределенному урав-
уравнению
** — Dtf-4 = — с* ; (И)
и обратно, если существуют два таких целых числа t, и, то формулы (I)
всегда определят подстановку, обладающую вышеуказанным свойством. Итак,
упомянутое обстоятельство будет иметь место всегда в том и только в том
случае, когда уравнение (II) возможно; если оно имеет место в периоде какой-
нибудь формы, то оно будет иметь место и в периодах всех форм, принадле-
жащих тому же порядку (§61); далее, если уравнение /- — Dii1 = — 1 возможно,
то указанное обстоятельство будет иметь место во всех периодах этого детер-
детерминанта D. Так, например, это всегда имеет место, когда D === p2s~^~1t где
р — некоторое положительное простое число =1 (mod 4); в самом деле,
если Г, U — наименьшие положительные числа, удовлетворяющие уравнению
Т1 — DU'1 = + 1 (§' 84), то Т нечетно, U четно, и

§ 83] О квадратичных формах 181
т. е (по § 23)
%=[kv . . ., k2}m <2], 3 = [?р . . ., *2й/*-2> *2ftrt-J»
•y = \k0, kv . . ., *2/ш—2-Ь ° == I 0> #р • • • э ^"ihn—V 2hn-Uy
то, по уже применявшейся неоднократно теореме, ао — 3**=1, и
а + р« = [А1, . . ., *2/lw_2, *2ftn-1,H.
Tf + 8« = [A0, Л1Э . . ., *2Ли_2> *2Л/|_,, «];
таким образом
з-^-ЗаГ 1 0' 1» ' " ' ' *2hn-2* *27i/z—1' ' '
откуда непосредственно следует (§ 73), что форма (а, Ь, с) переходит
сама в себя посредством подстановки ( * Lj.
Поэтому, если подставлять вместо к последовательно все положи-
положительные целые числа 1, 2, 3,..., то числитель и знаменатель подходя-
подходящих дробей порядка 2hn — 1 и 2hn каждый раз будут определять
соответствующую подстановку (а> 0, посредством которой форма
(я, Ь, с) переходит сама в себя (если при ;г=1 взято Л=1, то надо
положить а==1, 3 = АР ^ = ^о> о=^ koki-\-1), Четыре коэфи-
так как оба сомножителя слева являются взаимно простыми числами, то только
один из них делится на ?>, а частное, наверное, будет точным квадратом.
Если бы мы имели Т—1 ==t 2Д/2, Т+\ =2g2, U = 2fg, то мы имели бы также
g1 — Dfl = + 1 и /<С ?А чт0 противоречит сделанному предположению. Итак,
должно быть Г— 1 = 2/2, :Г+1=2?>?2, U — 2/g', следовательно, Я —D^2 =
= —1, что и требовалось доказать. Вместе с тем очевидно, что T-\-UyD =
= (f -\- gY DI* что является лишь частным случаем одной более общей теоремы.
Если уравнение (II) возможно, то особенно интересные результаты полу-
получаются при рассмотрении периодов двусторонних форм (§ 78). Для того
чтобы ограничиться простейшим случаем, мы предположим, что возможно
уравнение t- — Du1 = —-1. Если X —наибольшее целое число, содержащееся
в YD , то 'f0 = A, \ Х2—. О) будет приведенной и в то же время двусторон-
двусторонней формой, период которой содержит 2л членов (§ 79); тогда п будет нечет-
нечетным, равным 2т + Ь Далее, так как для любого индекса h одновременно
<р/4 = (я, ?, *), ?2л -1 - Л = (*• *» Л)« 'f Л + л = (— Л» *. — с>»
то отсюда следует, что ^w=(a, b, — а), <рзж + 1 = (—я» ^» Л). следовательно,
D = a2 + ^/2, где д—нечетное и взаимно простое с b число, потому что <f0
является начальной формой первого вида. Так как мы уже раньше видели,
что этот случай всегда имеет место, если D—простое число = 1 (mod 4), то мы
имеем новое доказательство теоремы Ферма (§ 68) и одновременно непосред-
непосредственный метод, позволяющий получить разложение такого простого числа D
на сумму двух квадратов из разложения Y"D в непрерывную дробь [ср»
Gauss, D. A., art. 265; Legendre, Theorie des Nombres, 3-е изд., т. Ь
§ VII E2)]. Этот результат находится в теснейшей связи с вспомогательным
биквадратным уравнением, появляющимся при делении круга на D равных
частей.

182 Глава четвертая [§ 83
циента a, J3, у, 8 всегда положительны, и так как, кроме того, с воз-
возрастанием h числители и знаменатели подходящих дробей необходимо
все время возрастают, то двум различным значениям h соответствуют
и две различных подстановки ( "' is J.
Покажем теперь обратное, а именно, что таким путем получаются
все подстановки (а' U , посредством которых форма (а, Ьу с) перехо-
переходит сама в себя и в которых все четыре коэфициента а, р, у, 8 поло-
положительны 1). В самом деле, пусть Г а' U — такая подстановка;
тогда (§ 73)
«о _ рт = 1 и « =
значит, и
а — S)cd — т = 0,
причем оба корня формы должны удовлетворять этому квадратному
уравнению. Так как один из них лежит между 1 и -\- со, другой —
между—1 и 0, то для со = 1 левая часть этого уравнения должна
быть отрицательна,* а для со = — 1 положительна; отсюда следует, что
причем в обоих случаях равенство исключено. Так как мы хотим
доказать, что — и ~ являются двумя последовательными приближе-
приближениями правильной непрерывной дроби (&0, ki9...)> то раньше всего
нужно показать, что ? ^ а и 8 > у« Это действительно вытекает из
предыдущих неравенств. В самом деле, если бы мы имели 8 ^ -у» то из
второго неравенства следовало бы, что а < J3, значит, ао < (Зу, в то
время как ocS = E-у —|- 1; итак, во всяком случае 8 > *р Далее, если бы
мы имели у < а, значит а = у-[~Р> где р означает целое положитель-
положительное число, то из первого неравенства следовало бы, что 8>13~|-р,
значит,
«5 —Рт
но это опять невозможно, так как левая часть равна 1, правая
же по меньшей мере равна 3, потому что J3, у> Р означают целые
положительные числа; итак, действительно -у ^> а.
Отсюда следует далее, что можно положить
-1 = <У, /я,..., у, г),
где все элементы ^г, т,..., </, г положительны, причем можно пред-
предполагать их число нечетным, так как в противном случае можно за-
заменить г на г—1 —J—=-. Далее предположим сначала, ^ что си > 1;
1) Нижеследующее является лишь частным случаем исследования, намечен-
намеченного в сноске 1) на стр. 176 (§ 82).

•§ 83] О квадратичных формах 183
тогда и y > а и не делится на а, и, следовательно, непрерывная дробь
содержит по меньшей мере три элемента. Если мы образуем непосред-
непосредственно предшествующую подходящую дробь
то из wo—fy = l и ао — 3y=1 следует, что опять можно положить
р ==/—[— а^г, 8 = <р -[- тЗ', где $' будет целым положительным числом.
В самом деле, если бы (Зг было равно нулю, то 8 было бы равно ср,
а так как о наверное меньше у> то 8 было бы меньше у> между тем
как 8 > 7> Далее, если бы р' было отрицательно, то 8 также было бы
отрицательно, что противоречит нашему предположению, что а, [3, у» 8 —
целые положительные числа. Отсюда
— — ' 3')
следовательно, подобно предыдущему,
где число положительных элементов уг> *я».«.» #> Л ?г — четноех).
В исключавшемся до сих пор случае а = 1 получается подобный же
результат, так как тогда
Итак, мы всегда получаем для со правильную периодическую непре-
непрерывную дробь
ш = (у, ад,..., у» г, ^'; y'i /»,...)»
в которой число членов y'i w,..., <7, г, {Зг четное. Но так как вели-
величина (о может быть разложена в непрерывную дробь лишь единствен-
единственным образом, то числа у'» w>... должны последовательно совпадать.
с числами ?0, ^j,... Кроме того, мы выше убедились, что каждый
период чисел k с четным числом членов или тождественен с последо-
последовательностью соответствующих всем 2п формам чисел k, или состоит
из многократного повторения этого наименьшего периода с четным
числом членов; а потому г=?.)/ш_9, [if — k2hn_v где h означает про-
произвольное целое положительное число, и, следовательно,
что и требовалось доказать.
После того как мы показали, как можно найти все состоящие из
четырех положительных коэфициентов подстановки, посредством кото-
1) Это непосредственно получается из того, что наибольшие целые числа
7'. ?'i содержащиеся в дробях -1, —, вследствие вышеприведенных неравенств
(ср. § 81) положительны.

184 Глава четвертая [§ 8$
рых приведенная форма (а, #, с) с положительным первым коэфи-
циентом а переходит сама в себя, нам достаточно еще раз взглянуть
на приведенные выше формулы
t~~bit я си ^ аи * /-г Ьа
и
чтобы немедленно убедиться в том, что получающиеся отсюда реше-
решения /, и неопределенного уравнения всегда состоят из двух положи-
положительных чисел /, и. Для и это следует из третьей формулы; далее,,
как мы видели, $>7 и у>а, значит, 6 > а; отсюда следует, что*
и ? положительно. Обратное тоже верно; если tt и — два положитель-
положительных числа, удовлетворяющих неопределенному уравнению, то опреде-
определяемая ими подстановка [ ' L) состоит из четырех положительных-
чисел. В самом деле, так как форма (а, Ь, с) — приведенная, т. е. h
положительно, и а, по предположению, положительно, значит с отрица-
отрицательно, то сперва получаем, что ;3, у, о положительны. Наконец,,
/2 — 1Ри2=з2 — аси2 положительно; отсюда/—ЪиЛ а значит, и ос имеет
тот же знак, что t-\-bu, а именно, положительный.
§ 84.
Итак, мы можем утверждать, что все решения, состоящие из двух
положительных чисел Л «, — а только с такими нам и придется сна-
сначала иметь дело, — могут быть найдены путем разложения корня оо формы
(а, д, с) в непрерывную дробь, причем каждое решение получается
только один раз. Но из неопределенного уравнения t2 — Du2=o~
явствует, что соответствующие друг другу положительные величины /, и
возрастают и убывают одновременно. То же самое следует и из
природы числителя и знаменателя подходящих дробей; //, а следова-
следовательно, и t, возрастает одновременно с f> значит, и с числом, обозна-
обозначенным нами через h. Возьмем /г=1, тогда соответствующее реше-
решение, которое мы обозначим через (Г, U)> будет состоять из наимень-
наименьших чисел, т. е. Т будет наименьшим из всех чисел /, и одновре-
одновременно U будет наименьшим из всех чисел и (решение ^==0, и — О?
разумеется, не принадлежит к положительным решениям). Это наимень-
наименьшее решение Г, U очень легко найти, развертывая период приведен-
приведенной формы.
Пример 1. Для детерминанта ?)== 79 возьмем приведенную форму
G, 3,—10), которая, конечно, первого вида; тогда получим (§ 79)
последовательные подходящие дроби таковы:
I ? И) 44 63 107.
1 ' 5 * 16' 37* 53' 90 '
из двух последних вытекает подстановка («Q* 1ЛТ); если желательно»
\ОО, Х\) /j
иметь наименьшее решение уравнения t2—Du2 = a21 то достаточна
построить знаменатели подходящих дробей до 3 = 90 или их число

§ 85] О квадратичных формах
тели до f= 63; тогда посредством формул ,3а = — си или -*0 = <w
находят наименьшее из чисел и, а именно, G=9, а отсюда соответ-
соответствующее Т = ya2-j-DU'i ===== 80. Можно определить Г и по формулам-
av-\-bU или 8а — bU.
Рассматривая приведенную форму A, 8,—15), находим следующие-
числа (§ 79):
?0=1, k{ = 7, &2=1, Ag==16,
следовательно, подходящие дроби
JL J*. 9 ]52 •
I.1 7.' 8' Ш-'
две последние дают подстановку f' 152)' а отсюда опять получается
G=9, Т =80, как и раньше.
Пример 2. Пусть ?>—13==1 (mod4); для того чтобы найти?
наименьшее решение уравнения t2 — 13 и2 = 4, Еозьмем приведенную
форму B, 3, —2); тогда (§ 79)
k0 ==3, k{ = 3;
3 10
таким образом подходящие дроби будут •=- и — ; поэтому мы полу-
чаем подстановку
/1, 34
V3, Ю/
и отсюда
G=3, 7=11.
§ 85.
После того как мы показали, как всегда может быть найдена
наименьшее положительное решение (Г, U) неопределенного уравнения^
переходим к задаче: свести все остальные решения (t, и) к наимень-
наименьшему. Если /, и — два каких-нибудь (положительных или отрицатель-
отрицательных) числа, удовлетворяющих уравнению /2— ?>#2 = а2, и У Л всегда
берется положительным, то для удобства назовем выражения
/ + и У~Р t — иУЪ
принадлежащими этому решению (t, и) множителями и будем отличать
их друг от друга как первый и второй множители. Произведение их
всегда равно единице; поэтому они всегда имеют одинаковые знаки,
а именно, положительные или отрицательные, в зависимости от того;.
положительно или отрицательно t Далее, если t и и — одного знака,
то первый множитель численно больше второго; следовательно, тогда
первый множитель численно больше единицы, второй численно меньше
единицы. Обратное имеет место в том случае, когда t \\ и — разных
-знаков; если же и = 0, то оба множителя равны ztzl. Так, например,
если (t, и) — решение, состоящее из двух положительных чисел, то era

186 Глава четвертая [§ 85
первый множитель является неправильной положительной дробью;
и обратно, если первый множитель — неправильная положительная дробь,
го оба числа t, и положительны.
Если (t'', иг) и (/", и") — два каких-нибудь тождественных или раз-
различных решения, то можно положить
t' + и'УЪ ^ t« +
тде (Y, и) опять означает решение. В самом деле, произведя слева пере-
перемножение и отделяя рациональную часть от иррациональной, найдем
___ t't" + Dvl'u" _ Vu" + tiftfr
Далее, заменяя в указанном равенстве \/D на — |/Д сразу получаем
другое равенство:
что, впрочем, можно и непосредственно усмотреть из самих выраже-
выражений t и и) перемножение соответственных частей обоих уравнений
дает:
Р — Du1 = Л
Теперь остается только показать, что и является целым числом,
потому что тогда из указанного уравнения само собой вытекает,
что fit значит, и t, является числом целым. Если а2 входит множите-
множителем в D, следовательно, и в t'2, ty то t\ f делятся на а, значит, и
будет целым числом; если же 4Z)=== a2 (mod 4з2), то B*'J = (оа'J
(mod 4з2), а отсюда 2//=е=<ш' (mod 2a); точно так же 2f'====au"
(mod 2з), следовательно, 2(t'и"-\--и'Г) =в 2ои'и" === Q (mod 2a); значит,
и в этом случае и является целым числом, что и требовалось доказать.
Эта теорема может быть немедленно распространена на случай
произвольного числа решений (?', и')} (trrt ur')} (t"\ и"'),...: положим
tr4-urYd t» + и"УЪtrrt + и'"Yd
{/, й) всегда будет опять целочисленным решением. Далее, если все
данные решения состоят из двух целых положительных чисел, то все
сомножители слева являются неправильными положительными дробями,
значит, то же справедливо и для первого множителя решения (t, и),
и, следовательно, /, и — два целых положительных числа.
Предположим, что все отдельные решения (?', и')у (tr\ urr)y... тож-
тождественны наименьшему положительному решению (Г, U)\ тогда мы
можем положить
где п означает произвольное целое положительное число, и (tnJ un)
будет в каждом случае положительным решением. Вместе с тем оче-

§ 85] О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ ' 187
видно, что с возрастанием показателя п величина стоящей слева
степени неправильной дроби, а следовательно, и ^-{-иЛ 1/7?, все время
возрастает, так что различные значения п опеределяют и различные
решения (tn, un)\ а так как числа tn< uH или оба одновременно возрастают,
или оба одновременно убывают, то, очевидно, имеет место первое или
второе, в зависимости от того, возрастает ли п или убывает.
Обратно, мы можем показать, что каждое положительное решение
(/, а) действительно может быть получено из предыдущей формулы.
В самом деле, если бы первый множитель такого решения не был неко-
некоторой степенью первого множителя наименьшего решения (Г, U), то,
так как оба они являются неправильными положительными дробями, он-
должен был бы лежать между двумя последовательными степенями
/ т+ uYd\"
этого последнего, где п по меньшей мере равно единице.
Итак, мы имели бы
t» + u,,YD t + иУЪ
<<
и, следовательно, полагая
t + uYP tH-unYD
мы имели бы
1 ^
таким образом существовало бы положительное решение (Т, и'), ко-
которое состояло бы из меньших чисел t\ u\ чем наименьшее реше-
решение (Ту ?/), а это невозможно.
Итак, все решения, состоящие из двух положительных чисел, можно
найти по формулам
подставлять вместо п последовательно все положительные целые
числа. Далее, так как
tn-u,,Yp
то отсюда следует, что формула

188 Глава четвертая 1§ 85
определяет все решения tn, un, в которых tn положительно, если под-
подставлять вместо п все целые положительные и отрицательные числа,
и- положить и_п = — ипу t_n = tn. Для п — 0 получается t0 = -f- о, uQ — (L
Поэтому, если мы хотим соединить все без исключения решения ty и
в одну формулу, то нужно положить
t + иУЪ _ ^_ (Т-\-иУЪ\п
1 ~ — \ а )
и комбинировать каждый из обоих знаков с каждым целочисленным по-
показателем п. Что таким путем не будет пропущено ни одно решение
и каждое получится только один раз, непосредственно следует из того,,
что из четырех различных решений
(/, и), (/, —«), ( —/, u)t { — U —и),
если и не = 0, всегда одно и только одно состоит из двух положитель-
положительных чисел.
Этим вторая основная проблема теории эквивалентности полностью-
разрешена и для форм с положительным детерминантом. Посредством
полного разрешения неопределенного уравнения t2 — Du2 = а2 мы в со-
состоянии найти все подстановки, посредством которых такая форма пере-
переходит сама в себя, а следовательно, и получить все преобразования
формы в ей эквивалентную из одного такого заданного преобразования
(§§ 61, 62). Вместе с тем можно считать полностью разрешенной и
задачу о нахождении всех собственных представлений данного числа
посредством данной формы с положительным детерминантом (§ 60).

Глава пятая.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ, НА КОТОРЫЕ РАСПАДАЮТСЯ
БИНАРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ С ЗАДАННЫМ
ДЕТЕРМИНАНТОМ.
§ 86.
После того как разобраны элементарные отделы теории квадратичных
форм, переходим к более глубоким исследованиям, а именно, к опреде-
определению числа классов форм с заданным детерминантом 1). При этом
мы можем ограничиться начальными формами первого или второго
видов, потому что число классов производных форм (za\ ~b''. тс') по-
получается, очевидно, из числа классов начальных форм (а', Ь', с') (§ 61).
Далее, если детерминант отрицателен^ то мы ограничимся формами
с положительными крайними коэфициентами, так как число классов
остальных форм, очевидно, в точности такое же (§ 64). При этих
ограничениях представим себе, что построена полная система форм S
вида з для детерминанта D (§ 59). Для определения числа форм (а, Ь, с),
содержащихся в этой системе S, необходимы рассмотрение и точное
определение всех представимых ими чисел. Так как посредством формы
второго вида могут быть представлены только четные числа, то, для
того чтобы соединить вместе оба случая, мы обозначим все предсха-
вимые числа через am. и, кроме того, ограничимся рассмотрением тех
мз них, в которых т — число положительное, нечетное и взаимно
простое с детерминантом D. Наконец, мы ограничимся пока собствен-
собственными представлениями, т. е. будем предполагать, что оба представляю-
представляющих числа х, у—взаимно простые числа (§ 60).
Для того чтобы точно установить природу этих чисел т, вспомним,
что детерминант D является квадратичным вычетом каждого предста-
вимого числа зш, т. е. что сравнение
z*~D (mod от)
возможно (§ 60). Поэтому в нечетное число т могут входить только
такие простые числа /, для которых
l) G. L e j e u n e D i r i с h I e t, Recherciies sur diverses applications de l'analyse
infinitesimale a la theorie des nombres, Crelle's Journal, тт. 19,21. Ср. Gauss, D. A.,
Additam. ad art. 306. X, и посмертные работы: De nexu inter multitudinem clas-
sium in quas formae binariae secundi gradus distribuuntur earumque determinantem,
Gauss Werke, т. II, 186.3. Ср. далее Hermit, Sur la theorie des formes quadra-
tiques (Comptes rendus de l'Ac. de Paris от З ноября 1862 г.).

190 Глава пятая [§ 86
Обратно: .если т содержит только такие простые числа /и среди mix.
имеется у. различных между собой (случай а = 0 не исключается), то D,
а следовательно, и от, является квадратичным вычетом т. и указанное
сравнение имеет в точности 2^ несравнимых корней (§ 37). Пусть п —
определенный представитель одного из этих корней; можно положить
п2 — D = о2т/, где / означает некоторое целое число (так как если з = 2t
а, стало быть, D==\ (mod 4), то п нечетно, следовательно, п2— D де-
делится на з2 = 4). Так как т — взаимно простое с 2D, то (от, п, з/)
является начальной формой а-го вида с детерминантом D и, следова-
следовательно, эквивалентна одной и только одной форме, содержащейся в си-
системе 6* 2). Если (а, Ь, с) — эта форма системы, то только она дает те
представления (л:, у) числа am, которые принадлежат представленному
посредством п корню вышеприведенного сравнения, и притом ровна
столько различных таких представлений (х, у), сколько существует
преобразований (* ' * J формы (а, Ь, с) в форму (зт, п, з/), т. е. столько же,
сколько решений (t, и) допускает неопределенное уравнение t2 — DvC1 = &
(§ 60, 61, 62). Совокупность всех таких представлений числа zm, ко-
которые принадлежат одному и тому же представленному посредством п
корню вышеприведенного сравнения, мы назовем группой представлений»
Поэтому 2* несравнимым корням этого сравнения соответствуют 2^ таких
групп представлений этого же числа zm посредством форм системы S,
и в каждой группе содержится столько же представлений, сколько,
существует решений уравнения t2 — ?)w2 = з2.
Итак, система чисел т полностью определена следующими условиями:
1) т положительно;
2) т — взаимно простое с 2D;
3) D является квадратичным вычетом т.
§ 87.
Рассмотрим теперь подробнее представления ът, принадлежащие
одной и той же группе.
В случае отрицательного детерминанта D число •/ решений (t9 и)
неопределенного уравнения f2 — Du2~o2 конечно; оно же является
одновременно и числом всех принадлежащих одной группе представлений
.каждого из чисел от. Итак, если и опять означает число различных
простых чисел /, входящих в т, то 2^ будет числом групп, каждая
из которых содержит х представлений. Следовательно,
х • 2[Х
будет общим числом всех представлений числа zm\ при этом (§ 62)
х = 2 в общем случае;
х — 4, если D = — 1;
х = 6, если D = — 3 и з = 2.
!) Так как коэфициент ?т положителен, то это справедливо и для ел у
в котором D отрицательно, п, значит, 5 содержит только формы с поло
тельными крайними коэфициентами.

§ 87] Определение числа классов 191
В случае положительного детерминанта D, напротив, число решений
(t, и) неопределенного уравнения t2 — Du2 = o2, следовательно, и числа
содержащихся в каждой из 2^ групп представлений числа а//г, беско-
бесконечно велико. Переходим поэтому сперва к следующей задаче: посред-
посредством новых условий, которые должны быть наложены на представляю-
представляющие числа х, уу всегда изолировать из бесконечного множества пред-
представлений, содержащихся в одной и той же группе, одно единственное.
Для этого рассмотрим общий вид всех представлений (л;, у) числа зт,
принадлежащих одной и той же группе. Пусть опять (а, Ь, с) — та
форма системы S> которой эквивалентна форма (от, п, а/), и (/ () —
некоторое определенное преобразование первой формы во вторую.
Тогда из этого одного преобразования (по § 61) можно получить все
остальные соединением
'А, ;л\ [О., 3\ /A3 -4- 'J.7, A3 -}- >j.o ч
всех подстановок -; *' {r), посредством которых (a, b, с) переходит сама
в себя, с этой определенной подстановкой [а< ^ •. Так как (по § 60)
первый и третий коэфициенты такой подстановки каждый раз дают пред-
представление, принадлежащее корню п, и, обратно, каждое такое предста-
представление (л:, у) получается таким путем и притом только один раз, то
общий вид всех этих представлений таков:
Так как (а, у) само является таким представлением, то можно сказать,
что оба эти равенства показывают, как из одного определенного пред-
представления (а, у) получить все представления (л:. у)у принадлежащие
той же группе. Но мы имели (§ 62):
» t — bit en
Ш? t — bll
где G, и) означает произвольное решение уравнения t- — Du2 = з2. Сле-
Следовательно, мы получаем
Таким образом для всех этих значений
ах2 -f- 2bxy + су2 = от;
умножая на первый коэфициент, получаем, как и раньше,
опт = [ддг+(* + VD)y] [ax-f (b — ]/Ъ)у],
и выясняется весьма примечательное обстоятельство: каждый из ирра-
иррациональных сомножителей справа дает геометрическую прогрессию.

192 Глава пятая [§ 87
В самом деле, подставляя вышеприведенные выражения х и у, «егко
.тюлучим
ах
^Если теперь обозначить, как и ранее, через 7', U наименьшие положи-
положительные значения /, а и для сокращения положить неправильную поло-
.ткительную дробь
t+uYd _h
.то будем иметь (по § 85)
ах4- (* + V'D)y = zt [в. + (* + |/O)т] 8",
ах + (* — j/D).у = гЬ [а* + (ft
тде /z может быть любым положительным или отрицательным целым
^числом, а также и нулем. Мы рассмотрим только первое из этих двух
уравнений, так как из него второе вытекает само собой. Пусть теперь
к — какое-нибудь отличное от нуля действительное числовое значение;
.очевидно, что всегда можно определить и притом единственным образом
знак правой части и показатель п так, чтобы алгебраическая величина
ах-\~ [b ~\~ \ D)у лежала между k и kb. В самом деле, после того,
,как знак rt выбран так, чтобы zt [aa -\- {b -\- ]/ D) -\\ было одного знака
>с ky между указанными границами k и kb будет заключаться только
один член геометрической прогрессии, если, во избежание всякой
неопределенности, исключить из интервала один из его. концов, на-
например Ш. Этим требованием, наложенным на значение ах-\- {b-\-\/ D)уУ
окончательно отделяется одно единственное из бесчисленного множества
представлений (х, у). Теперь остается только выбрать подходящим
образом k.
Мы всегда можем предположить, что форма (а, Ь, с) системы 5,
представляющая целый класс форм, обладает положительным первым
коэфициентом а, так как в каждом классе имеются даже приведенные
формы, обладающие этим свойством. Итак, с энного момента мы делаем
это предположение относительно выбора всех содержащихся в S форм
(для отрицательных детерминантов мы уже раньше потребовали того же,
чтобы совсем исключить из рассмотрения половину всех классов) и,
разумеется, должны удержать его и в дальнейшем. Тогда мы выбираем
для k положительный квадратный корень из положительного числа iam,
и получаем условия
~D)у < 0
которые выделяют одно единственное представление (х} у) из всех
лредставлений zm посредством формы (а, Ь, с), принадлежащих одной

§ 88] Определение числа классов 193
и той же группе. Все три их члена положительны, а потому они допус-
допускают следующее - преобразование: возводим в квадрат и замечаем, что
zam = [ах + (/? + у'~5)у] [ах -|- (* — \/~5)у],
тогда делением получаем
ах + (* — \/Ъ)у < ах -f (Ь
так как j/ Z) всегда берется положительным, то из сравнения обоих
первых членов получается условие
у > 0;
оба последних члена при делении на Ь дают сначала
(Ь — Ь~х) {ах + Ьу) > @ + *ГХ)^ ]' Ъ,
а затем, заменяя f), f)~~l их значениями
получаем
Наоборот, легко убедиться, что из обоих условий
обратно, можно получить вышеуказанные первоначальные условия изо-
изолирования. Кроме того, оказывается, и это надо особенно отметить,
что вследствие обоих этих условий значение формы ах2 + 2Ьху -\- су2
само собой получается положительным. В самом деле,так как Г>> Uy D9
то прибавлением rt:/Ту j/ D к обеим частям второго условия получаем,
что оба множителя
ах-\-{д~\~ }/~D)yy ax-^(b — ]/Ъ)у
положительны; тогда то же самое имеет место и для их произведения оат,
следовательно, так как а положительно, и для представленного числа от
(для форм с отрицательным детерминантом это разумеется само собой,
так как мы рассматриваем только такие формы, крайние коэфициенты
ьоторых положительны).
§ 83
Принимая во внимание последнее замечание, мы можем представить
полученные результаты в виде следующей схемы:
Пусть S — полная система начальных форм
[а, *, с)у (д', У, с'), • • •
вида з для данного детерминанта D, с положительными первыми
коэфшщентами а, а\ .... Будем последовательно заменять пере-
13 ;-&к. 3400. Лежен Липи\.м.

194 Глава пятая [§ 88
менные каждой формы, например (а, Ь, с), всеми парами целочислен-
целочисленных значений х, у, удовлетворяющих следующим услдвиям:
I.
II. В случае положительного детерминанта D
^>0, U{ax-\-by)>Ty,
где Т, U означают наименьшие положительные целые числа, удовле-
удовлетворяющие условию
III. x и у — взаимно простые числа.
Тогда посредством форм системы S будут представлены все те
целые числа от и притом только те, которые удовлетворяют сле-
следующим условиям:
1) т положительно-,
2) т взаимно просто с 2D\
3) D является квадратичным вычетом т,
и общее число этих представлений каждого такого числа от равно
где [х означает число всех различных простых чисел, входящих в т>
между тем как х не зависит от т, а именно
х = 1 для положительных детерминантов D,
х = 4 для D = — 1,
х = 6 для D = —3 и о — 2у
х = 2 во всех остальных случаях.
Итак, одна и та же система бесконечного множества чисел т может
быть получена двояко: во-первых, соединением простых чисел /, для
которых D является квадратичным вычетом; во-вторых, подстановкой
всех допустимых пар чисел х, у в формы системы S. Этот результат
предыдущих изысканий об эквивалентности форм и представимости
чисел является основным принципом последующего исследования. Сперва
заметим, что тождественность полученных обоими различными способами
систем чисел не нарушится, если от каждого из полученных чисел взять
определенную функцию ф, т. е. снова будет иметь место тождество
между совокупностью чисел
х + у + су\ у/ + у + су\
и системой чисел ty(m), предполагая, что значение функции ф (т)у соот-
соответствующее определенному элементу т% входит в последний комплекс
в точности х • 2^ раз. Если теперь в остальном совершенно произ-
произвольная функция <J* выбрана так, что сумма всех этих значений образует
независящий от их порядка сходящийся ряд, то из указанного тожде-
тождества следует фундаментальное равенство

§ 89] Определение числа классов 195
Левая часть его состоит из стольких же сумм, сколько форм (а, Ь, с),
(а', Ь'> с')у . . . содержит система 5, т. е. сколько имеется классов
форм для данного детерминанта. Каждая сумма, как, например,
представляет собой двойной бесконечный ряд, члены которого соот-
соответствуют всем парам чисел лг, у, определенным условиями I, II, III [условия
I и II, конечно, должны быть изменены для, последующей суммы так,
чтобы форма (а', Ъ\ с') заместила (а, Ь, с)]. Наконец, суммирование
в правой части распространяется на все числа т, составленные из простых
чисел fy причем х и \ь сохраняют свои прежние значения. Выберем
теперь в качестве функции &
где s — произвольная^положительная величина, однако большая, чем еди-
единица. Как мы позднее дополнительно покажем, это последнее условие не-
необходимо для того, чтобы вышеприведенные бесконечные ряды сходились.
В силу этого наше предыдущее равенство переходит в следующее:
) + А
где ради удобства слева выписана только одна из сумм, соответствующих
различным формам.
§ 89.
Займемся сначала преобразованием *) правой части этого равенства;
с этой целью рассмотрим систему
Л» Л» /з>
всех простых чисел /, не входящих в 2D, и для которых D является
квадратичным вычетом. Тогда каждое из определенных выше чисел т
будет иметь вид
х ЩхЩхПг
где показатели nv п2> «3> . . . являются целыми положительными числами
или нулями, причем каждое т может быть приведено к этому виду
только единственным образом. Образуем соответствующие этим простым
числам бесконечные ряды
2^22 2
* 1~ у S I х 2S I х 3S » " • • I "TnJ7 I • • • >
999 9
I /8 I jt 23 I /• da ' I /• W«S I '
H /2 /2 /2
2 2 9 2
I yr S 1 x 28 ' ^ 3S I 1 yf n8S I
И Т. Д.
*) Мы обращаем внимание на то, что это преобразование применимо и
к более общему ряду 2 2^ (т), если только функция 6 удовлетворяет условию
' ' ) Ф (^0 = +'О**') Для целых аргументов (ср. § 124).
1.4*

196 Глава мммь [§» 89
Тогда, принимая во внимание только что сделанное замечание, нетрудно
убедиться в- том, что произведение всех этих рядов, дает не что иное,
как сумму
В самом деде, произведение, состоящее из произвольных членов?первого,
второго, третьего ряда и т. д., имеет вид
где kj> означает число фактически входящих в т простых чисел /, т. е.
таких, показатель п которых отличен от нуля. Таким образом действи-
действительно получается каждый член означенного ряда, и притом каждый
только один раз. Так как, с другой стороны,
' • 14-Л-
Ы_ 2 4—2--J--2-4- 4-i-J- -14--? L___/"
то мы получаем следующее равенство:
O!J- i >
V 2 TT /
1— '
в котором знак произведения II распространяется на все определенные
выше, простые числа /.
Если обозначить вообще каждое положительное простое цйсло,
не входящее в 2D, через q, то можно написать предыдущее равенство
также в следующем виде:
так как для каждого qy не принадлежащего к простым числам /, соот-
соответствующий множитель произведения приводится к -|-1. Умножим
числитель и знаменатель общегр члена правой части полученного ра-
равенства на 1 — g"hy благодаря чему он перейдет в

§ 89] Определение числа классов 197
разлагая все бесконечное произведение на три отдельных бесконечных
произведения, мы получаем:
1
п-1,
1 *__
q2s
Наконец, каждое из трех находящихся справа бесконечных произ-
произведений мы можем, в свою очередь; превратить в бесконечный ряд.
А именно, так как
1 л^/DY 1
Я J Я
, при последовательной замене д всеми не входящими в 2D простыми
то
числами
произведение всех этих множителей станет равно сумме всех членов
вида
/ D у'1 / Z>y* / D у'3 1
где показатели rv /*2, г3, ... должны пробегать все положительные
целые числа, включая и нуль. Система всех стоящих в знаменателе под
знаком показателя s чисел
состоит, очевидно, из всех целых положительных чисел п, взаимно
простых с 2D. Каждое такое число п порождается определенной системой
показателей rv /*2, /*3, ... один и только один раз. Применяя одновре-
одновременно обобщенное Якоби понятие символа Лежандра, будем иметь
^У BЛ (RY _ (JL\ (..) (?.
qj \qj \q,) V ft) \qr,)\ qr
Таким образом мы приходим к следующему преобразованному ра-
равенству:
1
, fD\ 1
\1JY
где знак суммы справа распространяется на все положительные числа я,
взаимно простые с 2D.

198 Глава пятая [§ 89
Поступая точно так же при перемножении всех разложений
_J 1,1. , 1 ,
Г= 1+^+' '•• ~гу*+ •••>
очевидно, получаем
а следовательно, и
Таким путем мы получим важное преобразование
2-=- = ——
§ 90.
Умножим обе части нашего основного равенства (§ 88) на беско-
бесконечный ряд
после чего, в силу только что полученного результата, оно перейдет
в следующее:
Если в первом члене слева произвести перемножение обеих сумм, то
результат может быть написан в виде тройного бесконечного ряда
2{ап*х* + ibtPxy + cri*y*\-8
К - ) ,
в котором Ху у изменяются по всем значениям, удовлетворяющим прежним
условиям I, II, III (§ ^), а п — по всем положительным числам, взаимно
простым с 2D. Но этот ряд опять можно рассматривать как двойной
бесконечный ряд, если положить
так как при этом он принимает вид
(ах'2 + 2Ьх'у'
и остается указать, какие условия должны быть наложены на новые
переменные суммирования х\ /. Они получаются из условий для х, у, п

ь
§ 90] Определение числа классов 199
следующим образом. Во-первых, так как в силу условия I х, у должны
быть выбраны так, чтобы
ах2 + 2Ьху + су2
а
было взаимно простым с 2D, и так как п — также взаимно простое
с 2Д то это же условие остается в силе и для
ах'* + 2Ьх'у' + ьУп _ ъах2
————————————————— — fi • -————
а а
Во-вторых, в случае положительного детерминанта, числа х, у были
подчинены условиям изолирования II:
.у>0, U{ax±by)>Ty,
если умножить их на п, то получаются вполне аналогичные условия
В-третьих, из условия, что л;, j/ должны быть взаимно простыми числами,
теперь будет следовать только то, что общий наибольший делитель п
чисел х', у' должен быть взаимно простым с 2D. Но это условие можно
полностью отбросить, так как оно уже содержится в первом; в самом
деле, если бы хг, уг имели^ общего делителя, который не был бы вза-
взаимно простым с 2D, то и
gjr'2 + 2Ьх'у' + су'2
а
не могло бы быть взаимно простым с 2D.
Итак, оказывается, что новые переменные х\ уг должны быть под-
подчинены только двум условиям I и II, в которых переменные снабжены
штрихом, и что условие III, напротив, полностью отпадает. Легко убе-
убедиться и в обратном, что каждая такая пара значений х\ у' поро-
порождается парой значений х9 у и некоторым числом п один и только
один раз.
Ради удобства мы теперь опять отбрасываем штрихи при переменных
и пишем наше основное равенство в следующем виде 1):
где переменные х, у первой суммы, относящейся к форме (а, Ь, с),
должны быть еще подчинены лишь следующим двум условиям:
I. Значение ах ¦ — должно быть взаимно простым с 2D.
II. В случае положительного детерминанта должно быть
где Г, U имеют прежнее значение.
г) Точно таким же путем может быть получено и более общее равенство,
в котором функция z~s заменена какой-нибудь функцией ф (z), (удовлетворяю-
(удовлетворяющей условию & (z) Ь (z') = & (zz') при целых z и z'\

200 Глава пят!я [§ 91
§91.
Прежде чем итти далее, выведем некоторые4 интересные следствия
из нашего последнего равенства: первое из них по своей природе от-
относится к чистой теории чисел и дополняет нашу прежнюю теорию
представимости. Перемножим оба бесконечных ряда
2 (л")'
1 ^ f D\ J_
правой части, причем переменные суммирования снабжены штрихалш,
чтобы отличать их друг от друга; тогда в качестве произведения мы
получим двойной бесконечный ряд
{n'n»)*'
в котором как п\ так и п" должны пробегать область всех чисел пу
т. е. всех целых положительных чисел, взаимно простых с 2?>. Очевидно,
каждое произведение вида п'п" опять содержится в той .же области;
поэтому, объединяя все члены двойной суммы, в которых произведение
пгtf имеет одно и то же значение п, в одно слагаемое, мы можем
опять привести эту двойную сумму к виду простого бесконечного ряда
если обозначить через 8 все делатели числа я, то, очевидно,
Разделим далее обе части равенства на а*; тогда оно примет следующий
вид;
;у \ 4- = У ™»
Ли (ахг -|_ 2Ьху + &)* ' * ' * *а (Qny '
Объединяя и слева все члены различных двойных сумм, имеющие одно
и то же значение, в одно слагаемое, получим следующее равенство:
где через у обозначены все числа, представимые посредством различных
форм (а, Ь, с) системы 5, а Х; означает число различных представлений
каждого такого числа у. Здесь не лишне заметить, что теперь допус-
допускаются как собственные, так и несобственные представления, так как
представляющие числа rv, у подчинены только условиям I и II преды-
предыдущего параграфа, в то время как раньше они должны были быть еце
и взаимно простыми друг относительно друга.
Если для каждого положительного значения показателя $f лежащего
выше некоторой определенной границы, имеет место равенство вида
'у Я -г ъг kf v'

§ 91] Определение числа классов 201
где как а, Ь, с, . .., так и а\ Ь', с', ... означают положительные и
возрастающие в своей последовательности числовые .величины, а все
коэфицленты a, {J, ?» • • •» а'> Р', т'» ••• отличны от пуля, то.отсюда
следует полное тождество обоих рядов, т. е.
Для доказательства мы можем предположить, что а <^ я'; умножив
обе части уравнения на а8, получим
a
b '
a
a
с
a
~cf
Так как и величины
и величины
представляют собой монотонно убывающие правильные дроби и оба
ряда сходятся, то легко убедиться !), что при неограниченном возра-
возрастании s левая часть предыдущего равенства стремится к предельному
значению а, а правая — к предельному значению а' или к нулю, в за-
зависимости от того, имеем ли мы а = а' или а<^аг. Но так как
обе части равенства необходимо должны стремиться к одному и тому же
предельному значению и а отлично от нуля, то должно быть a = ar,
а следовательно, и а^= а'. После того как доказано тождество первых
членов в обеих частях равенства, их можно откинуть; из получающегося
после этого равенства
Ь« ^" с» •" " ' Ь§* ' с* ' " " '
точно таким же образом следует, что должно быть b = b' и ,3 = rir\
так можно продолжать и дальше.
Применяя этот принцип к нашему предыдущему равенству, получаем,
что каждое зя, которому соответствует отличное от нуля тл, необходимо
является одним из чисел v, т. е. представимым посредством форм *S
числом, и что число \ различных представлений каждого jакого v = ж
равно хти; если же, напротив, тп = 0, то и zn не может быть ни одним
из чисел v, представимых посредством форм S; поэтому в обоих случаях
мы можем сказать: число всех представлений числа -т посредством
форм S всегда равно
? должно пробегать все делители числа п *2).
1) Ср. дополнение IX, § 143.
-) Ср. § 124.

202 Глава пятая [§ 91.
Приложим этот результат к некоторым примерам.
1. Если D== — 1 (и, следовательно, о=1), то система S содержит
только одну форму, в качестве которой мы можем выбрать форму
A, 0; 1). Система чисел an совпадает с системой нечетных положитель-
положительных чисел, и так как х = 4, то мы получаем результат:
Число всех представлений произвольного нечетного положительного
числа п посредством формы A, 0, 1) = лг2+^у2 равно
.4 2с—1) =4(Л1 — ЛО,
т. е. равно учетверенному избытку числа М его делителей 8 вида
4/z-J-l над числом N его делителей 8 вида 4Л-{-3.
Представляющие числа х, у не подчинены никакому ограничению.
Далее очевидно, что каждый раз восемь различных представлений дают
единственное разложение на сумму двух квадратов. Исключение имеет
место только тогда, когда одно из двух представляющих чисел равно
нулю, так как в этом случае только четыре различных представления
дают одно и то же разложение, что может иметь место только тогда,
когда п является точным квадратом.' Поэтому число различных разло-
разложений равно y(Af — TV-j-l) или -к {М—N) в зависимости от того,
является ли п точным квадратом, или нет. Так, например,
45 = 32-4-62,
49 = О2 + 72,
Наконец, если п является простым числом, то опять получается,
что п может быть разложено на сумму двух квадратов единственным
образом или совсем не может быть разложено, в зависимости от того,
имеет ли п вид 4A-J-1 или 4Л-|-3 (§ 68).
2. Для положительного детерминанта D = 2 существуют только две
эквивалентные друг другу приведенные формы A, 1, — 1) и (—1, 1, 1),
следовательно, единственный класс; в качестве представителя можно
поэтому выбрать форму A, 0, — 2) = л:2 — 2у2. Так как наименьшими
числами, удовлетворяющими уравнению Т2 — 2?/2=1, являются Г=3,
G=2, то будут рассматриваться только такие представления, в которых
у >- 0, 2х > Зу. Так как, далее,
(|) = (-1)8 =+1 или -1
в зависимости от того, имеем ли мы 8==8Azizl или 8 = 8Ai±:5, то
получаем следующий результат:
Число всех удовлетворяющих вышеприведенным условиям представ-
представлений (л:, у) произвольного нечетного положительного числа и по-
посредством формы х2—2у2 равно избытку числа тех делителей п,
которые имеют вид 8Adzl, над числом остальных делителей.

§ 92] Определение числа классов 203
§ 92.
Второе интересное приложение предыдущего исследования мы сде-
сделаем в области анализа. Мы видели, что при подстановке всех удовле-
удовлетворяющих условиям I и II целочисленных пар значений х, у в формы
(а, Ь, с), ... системы S получаются числа оя, и притом
-=.=¦2A)
является числом различных порождений такого числа о/г, если $
опять пробегает все делители я. От каждого из чисел ах2-\-2Ьху-\~су2
возьмем определенную функцию ф, тогда каждое значение ф получится
столько раз, сколько единиц содержится в улп. Отсюда опять следует, что
если только функция ф выбрана так, что суммы этих бесконечных рядов
не зависят от порядка их членов. Это имеет место, если положить
где q означает действительную или комплексную величину, модуль
которой есть правильная дробь. Таким путем получаем следующее
чрезвычайно общее уравнение:
так как коэфициент хп в правой части сам является суммой, в которой
8 должно пробегать все делители п, то, заменяя п на #'8, можно на-
написать уравнение и так:
где справа стоит двойная сумма, в которой каждое из обоих переменных
суммирования п' и 8 должно пробегать область всех чисел п.
Мы приложим предыдущее равенство к некоторым частным случаям.
Возьмем, например, Z> = — 1, значит а=1; тогда слева мы имеем
единственную двойную сумму. Если взять в качестве представителя
опять форму A, 0, 1), то эта сумма равна
где х, у должны пробегать все пары знач.ений, для которых \у
будет нечетно; поэтому одно из чисел х, у должно быть четным,
другое — нечетным. Так как в каждой из допустимых комбинаций х и у
можно менять местами, то будем считать, что х должно пробегать
только нечетные, а у — только четные значения, причем, конечно, нужно
умножить ограниченный таким образом двойной ряд на 2. Итак, мы
получаем
2 2<7W = 2 2 f ?^2 2 <Г X -2 qV\

204 Глава пятая [§ 92
где х должно пробегать все нечетные положительные и отрицательные
числа> а у—все четные положительные и отрицательные числа и нуль.
Ограничивая, однако, х всеми положительными нечетными, а у— всеми
пояо*к«те?н>ными четными числами, мы можем написать предыдущее
произведение и так:
С правой стороны мы имеем (по § 88) двойную сумму
где w; и о должны пробегать все нечетные положительные числа. Сум-
Суммирование по п! дает
тогда правая часть становится равной
и мы получаем следующее замечательное равенство:
которое, как и другие равенства, соответствующие отрицательным детер-
детерминантам, может быть выведено и из теории эллиптических функций 1).
Для положительных детерминантов соответствующие равенства имеют
менее простой вид, потому что переменные лг, у в левой части все еще
подчинены условию II. Возьмем, например, /) = 2, значит а = Л, v. = ,lmy
тогда подобным же образом получаем равенство
In' _ _Л f f_ . <Г ,
"t
где в левой части х, у должны принимать все пары значений, удовле-
удовлетворяющие условиям^^> 0, 2х > Ъуу и для которых, кроме тосо, х2 — 2у2,
а значит, и х нечетно.
§93.
Мы возвращаемся теперь к основному предмету нашего исследо-
исследования, а именно к дальнейшему изучению равенства (§ 90)
^ (д& + ЧЪху + О'2 \~* 4 J. v I v
2{ — ; -r /zx
l) J а с о b i, Fiindarnenta nova theoriae functionum ellipticarum, 1829, стр. 92,
103; 184.

§¦ 98} Определение* числа классов 205
причем нелишне наметить здесь заранее в немногих словах путь иссле-
исследования. Если бы мы захотели действительно выполнить указанное слева
суммирование для некоторого произвольного значения s>l, мы на-
натолкнулись бы на непреодолимые трудности. Если же, наоборот,
заставить показатель s убывать и стремиться к единице, то одновре-
одновременно каждая- из этих сумм будет неограниченно возрастать, и при
ближайшем* рассмотрении окажется, что произведение такой суммы
на s— 1 стремится к определенному конечному пределу Z,, который
зависит только от общего все№<формал1 детерминанта Di следовательно,
предеяьиое значение всей умноженной" на s — 1 левой-' части будет
равно kL, если через h обозначить число сумм, т. е. число- фЬрм
(а, Ь, с), ..., сод$рэюащ&хся в сштем&форм S. Далее, так* как пре-
предельное значение умноженной; на s— 1 правой- части может быть опре*
делено непосредственно, то такт*- образом получается" выранееяие для
числа, классов /г, определение которого и составляет предмет всего
нашего исследования.
Однако, прежде? чем перейти к-проведению этого перехода к пре-
пределу, мы должны" предварительно разобрать еще1 некоторые вопрбсы,
разрешение которых совершенно необходимо для» нашей цели. Сначала
постараемся так преобразовать наложенное на переменные суммиро-
суммирования х% у условие I (§^90), чтобы: получить ясное представление
о системе удовлетворяющих ему значениЛ х* у. Для этого мы должны-
предположить, что представитель (а, д; с) целого класса всегда"выбран
так, что частное не только, как уже было установлено ранее, поло-
положительное, но и взаимно простое с 2D число. В законности этого пред-
предположения убеждаемся путем следующего рассуждения. Пусть
— произвольная форма с делителем з и г — какое-нибудь простое число;
обоим переменным лг, у формы всегда можно прядать такие значения,
чтобы значение F не делилось на г. В самом деле, если одно из двух
чисел Лу С, например Л, не делится на г, то дадим х значение, не де-
делящееся на г, а у> наоборот, — делящееся; если- же оба коэфициента
А, С делятся на г, то ZT непременно не делится на г и, следовательно,
достаточно придать х и у значения, которые бы оба не делились на г.
Следовательно, х и у всегда можно выбрать так, чтобы значение F
было взаимно простым с любым заранее написанным числом k. Дей-
Действительно, если обозначить все входящие в k простые числа через г',
г", г"', ..., то достаточно устроить так, чтобы F не делилось ни на
одно из них, что, по только что сказанному, всегда может быть до-
достигнуто тем, что оба переменных л:, у выбираются делящимися на
одно из этих простых чисел и не делящимися на другие — условия, ко-
которые всегда могут быть выполнены бесчисленным множеством различных
способов. Можно прибавить, что лг, у, кроме того, могут быть выбраны
так, чтобы значение F получилось положительным. В случае отрица-
отрицательного детерминанта D это разумеется само собой, так как мы исклю-

206 Глава пятая [§ 93
чаем формы с отрицательными крайними коэфициентами. В случае по-
положительного детерминанта, так как
asF = (ax ~\- byJ — Dy2>
нужно позаботиться лишь о том, чтобы в зависимости от того, поло-
положительно а или отрицательно, абсолютная величина (ах-\-Ьу) полу-
получилась соответственно больше или меньше у\/ D; очевидно, наложенные
до сих пор на переменные х, у условия — делиться на одни простые
числа и не делиться на другие — оставляют еще столько простора
соотношениям между их величинами, что и это требование может быть
удовлетворено бесчисленным множеством различных способов. Наконец,
мы можем еще утверждать, что для переменных х, у могут быть, кроме
того, выбраны такие взаимно простые друг с другом и удовлетворяющие
притом и остальным условиям значения, что F будет положительным и
взаимно простым с заранее предписанным числом k. В самом деле,
если хну имеют общий делитель, то достаточно делением освободить
их от него; тогда частные, которые будут взаимно простыми друг
с другом, образуют такую удовлетворяющую всем требованиям пару
чисел.
Применим предыдущее (полезное и для других исследований) сооб-
соображение к частному случаю, в котором & = 2D. Тогда можно сказать:
если (а, Ь, с) — какая-нибудь форма с делителем о и детерминантом D,
то всегда можно найти два таких взаимно простых числа а, ?> что
аТ а
а j
будет положительным и взаимно простым с 2D. Так как а, ^ — взаимно
простые числа, то можно (§ 24) выбрать некоторую пару чисел C, о,
удовлетворяющих равенству ссо — [3^=1, и тогда подстановка (а'
переведет форму (а, &, с) в эквивалентную форму, первый коэфициент а!
которой положителен и, кроме того, обладает тем свойством, что —
будет взаимно простым с 2D. Этим действительно дано требуемое до-
доказательство, что в каждом классе форм могут быть выбраны такие
представители, которые удовлетворяют поставленному выше новому
условию.
§ 94.
Итак, предположим теперь, что представляющая форма (а, Ь> с)
выбрана так, что не только положительное, но и взаимно простое
с 2D число, и будем искать систему всех пар значений х, у, удовле-
удовлетворяющих условию I, а именно, что

§ 94] Определение числа классов 207
взаимно просто с 2D х). Если обозначить, как и раньше, через А абсо-
абсолютную величину детерминанта D, то всегда можно положить
х = 2Дг> -f- ос, у
где ос и 7 означают какие-нибудь два из 2Д чисел
0, 1, 2, ..., 2Д—1,
a v и -ад — произвольные целые числа; каждая комбинация двух целых
чисел х, у всегда может быть приведена к этому виду и притом един-
единственным образом. Так как из
х = а (mod2A) и у = ^ (mod2A)
следует и
ах* + 2Ьху + су* _
то отсюда видно, что из всех 4Д2 комбинаций (ос, f) нужно выявить
только те, для которых
будет взаимно простым с 2Д. Тогда искомые комбинации (л:, у) распре-
распределяются по соответствующим парам двух арифметических прогрессий,
разность которых 2Д, а первые члены а, ^ являются частными комби-
комбинациями, удовлетворяющими этому же условию. Нам не так важно
в точности определить фактически все эти комбинации (ос, •()> гораздо
важнее точно установить их число, потому что только оно играет роль
в дальнейшем переходе к пределу. Здесь необходимо, однако, выделить
различные случаи.
Во-первых, о=1. Мы ищем число комбинаций (ос, ^)> для которых
аса2 -|~ 2ЛаТ -\- п2» или, так как а взаимно просто с 2Д, для которых
будет взаимно простым с 2Д. Если подставить сначала вместо f какое-
нибудь из Д четных чисел
О, 2, 4, ..., 2Д —2,
то необходимо и достаточно, чтобы (#a-{-#fJ, а следовательно, и
аа-\~Ьч было взаимно простым с 2Д; если теперь а пробегает полную
систему вычетов по модулю 2Д
О, 1, 2, ..., 2Д—1,
в то время как f сохраняет свое значение, то, так как а взаимно
просто с модулем, выражение aa-j-#Y также пробегает (по § 18)
полную систему вычетов; следовательно, каждому такому четному ^ при-
*) Точно так же можно поступить и в том случае, когда (a, b% с) не является
начальной формой; тогда можно сразу начать с определения числа классов
для произвольного делителя сг и таким путем притти к получаемому ниже
(§ 100) результат/.

208 Глава* пятая [§ 94
яадлежат в точности ср BА) допустимых значений «, где символ ср упо-
употребляется в прежнем смысле (§ 11). Каждому из А нечетных значений
1,3, .. ., 2А—1
1 точно так же соответствуют срBА) допустимых значений а; это не-
непосредственно очевидно в том случае, когда А четно, так как тогда
наше требование опять приводится к тому, что aa-j-by должно быть
взаимно простыне 2А. Если же А, а значит, и ztA^2 нечетно, то,так как
(да + frfJ ztzAf2
должно стать нечетным и взаимно простым с А, аа~\-Ь^ должно быть
четным и взаимно простым с А; следовательно, и вычет aa-\-bt по
модулю 2А должен быть четным' и взаимно простым с 2А, и обратно,
как только это имеет место, предыдущее требование выполняется. Итак,
¦если а пробегает все свои 2А значений, то вычет a<t-\-b*{ пробегает
те же 2Д значений; из них четными будут следующие А вычетов:
0, 2, 4, ..., 2(А —1),
а из этих последних ср (А) являются взаимно простыми с нечетным числом А.
Таким образом это и будет числом допустимых значений а, принадле-
принадлежащих каждому нечетному ^\ но так как А нечетно, следовательно,
взаимно просто с 2, то и ср BД) = 9 B) ср (Д) = 9 (д)- Следовательно,
во всех случаях мы имеем один и тот же ответ: каждому четному или
нечетному у всегда принадлежат ср BД) допустимых значений ос; тем
самым всего существует 2АсрBА) допустимых комбинаций (а, 7).
Во-вторых, а = 2; а и с четны, b нечетно и Dz-zl (mod 4).Спра-
4).Спрашивается: для скольких комбинаций (а, ^)
будет нечетным и взаимно простым с А числом? Ограничимся сперва
определением тех комбинаций, для которых эта величина получается
нечетной. Так как представитель (а, Ь, с) выбран нами так, что —а
является взаимно простым с 2А, а следовательно, также нечетным
числом, то будем иметь
D = b* — ac=l~ или 5Е5 (mod 8)
в зависимости от четности или нечетности — с. В первом случае
aj— a%-\~b*() должно быть нечетно, значит, а нечетно и f четно;
во втором случае по крайней мере одно из двух чисел а и f должно
быть нечетным. В силу этого число допустимых комбинаций снижается
,;о А- в первом случае и до ЗА'- во втором.

§ 95] Определение числа классов 209
Если же значение -j да2 -{- 6<xf -j—^ с*{* должно быть и взаимно
простым с А, то необходимо и достаточно, чтобы
(аа
или, следовательно, аа -f- b*[ было взаимно простым с А. В первом случае,
когда D ?= 1 (mod 8), для -у следует брать только четные, для а только
нечетные значения. Если придать «j одно определенное из А значений
0, 2, 4,...,2Д —2
и заставить а пробегать все А значений
1, 3, 5,...,2Д— 1,
которые, очевидно, образуют полную систему вычетов по модулю А,
то (так как а взаимно просто с А) то же самое справедливо для А
соответствующих чисел act.-{-by и, следовательно, ср(Д) = <рBД) из них
являются взаимно простыми с А. Итак, в этом случае всего суще-
существует АсрBА) допустимых комбинаций (а, f). Во втором случае, когда
D = 5 (mod 8) и хоть одно из двух чисел ос, ^ должно быть нечетным,
точно так же находим, что каждому четному значению f опять соответ-
соответствуют ср(Д) = <рBД) нечетных значений ос, откуда сперва получаются
А ср BА) допустимых комбинаций. Если же Т нечетно и а пробегает все
свои 2А значений, то выражение аъ-\-Ь*{ дважды пробегает ту же
полную систему вычетов по модулю А. Итак, всегда существует
2<р (А) = 2<р BА) допустимых значений а, так что А нечетным значе-
значениям ^ соответствуют ровно 2Д<?BД) допустимых комбинаций (а, *[)•
Итак, в этом втором случае всего существует ЗА <р BА) допустимых
комбинаций (ос, ^).
Все эти случаи мы можем объединить следующим образом: число
пар из соответствующих арифметических прогрессий
X = 2llV -}- ОС, у =
которые удовлетворяют условию I, равно
ш . Д<р BА),
где
(о = 2, если о== 1;
(о=1, если о = 2 и D==l (mod 8);
(о = 3, если о = 2 и ?)е=5 (mod 8).
§ 95.
Вернемся к нашему основному равенству; положив s = 1 -{- р, умно-
умножив на р и разделив на а ~^р, напишем его в виде
0у \ i =
4 ^ (ax* + 2bxy + cy*I+> ~#"

210 Глава пятая [§ 95
Пусть теперь положительное число р стремится к нулю; нам нужно
определить предельные значения отдельных членов, находящихся в правой
и левой частях. Мы начнем с рассмотрения левой части, причем опять
окажется необходимым полностью отделить случай отрицательного детер-
детерминанта от случая положительного детерминанта.
Итак, мы предположим сначала, что детерминант D отрицателен,
равен —Л. Тогда переменные лг, у суммы, соответствующей форме
(а, Ь, с)у подчинены только условию I, и мы только что видели, что
такая сумма распадается на со Д <р BА) отдельных рядов, которые соответ-
соответствуют отдельным допустимым комбинациям (а, ?)• Рассмотрим сперва
отдельно одну такую частичную сумму
VI 1
' ^ (ад:2 -f- 2bxy+
в которой лг, у пробегают все значения
х =
соответствующие определенной допустимой комбинации (а, у) и всем
возможным целочисленным значениям v, w. В силу установленных в допол-
дополнениях (II, § 118) принципов предельное значение предыдущего произве-
произведения тождественно с пределом частного —-, где / — неограниченно
возрастающее положительное число, а Т означает соответствующее число
представленных чисел ах2 -j- 2&cy -f~ су2, не превосходящих /, для кото-
которых, следовательно,
' yi у*
т
Это предельное значение частного -у может быть легко определено
при помощи геометрических соображений. А именно, положим
X у у
тогда Т является числом пар
г 2Д I а 2Д . 7 /1Ч
для которых
аР + 2К71 + ст^<1. B)
Если рассматривать теперь (•, ч\ как прямоугольные координаты точки
на плоскости и заставить v и w пробегать все целочисленные значения,
то определенные посредством формул A) точки (;, г\) образуют числовую
решетку, получающуюся при пересечении двух систем прямых, парал-
параллельных осям координат, под прямым углом, причем расстояние 8

§ 95] Определение числа классов 211
2Л
между двумя соседними прямыми постоянно: 8= ;. Таким образом
вся плоскость будет разложена на квадраты с площадью
вершинами которых будут вышеуказанные точки (?, *)). Следовательно,
Т является числом тех точек решетки ($, г\)у которые не лежат вне кри-
кривой, представленной уравнением
а?2Н-2^ + с,}2=1. C)
Так как Ь2— ас= —А отрицательно (и а положительно), то эта кривая
представляет эллипс, центр которого совпадает с началом системы коорди-
координат. Следовательно, в силу одного вспомогательного предложения, уста-
установленного также в дополнениях (III, § 120), при безграничном возрас-
возрастании /, т. е. при безграничном убывании 8, произведение
имеет пределом площадь А этого эллипса; итак, искомое предельное
значение
v T А
Ьт 7 = 4Д* '
откуда следует, что оно не зависит от (<х, ^) и, значит, будет одина-
одинаково для каждой из шД<рBД) частичных сумм, составляющих нашу
основную сумму. Следовательно, предельное значение этой соответ-
соответствующей форме (а, Ь, с) основной суммы
равно
где А означает площадь эллипса C) J). Для определения этой площади
преобразуем уравнение эллипса, вводя такую прямоугольную систему
координат, оси которой совпадают с главными осями эллипса, вслед-
вследствие чего оно примет вид
Как известно, при таком преобразовании детерминант Ь2 — ас остается
без изменения, так что
асг-^=ас — Ь2 = А;
х) Из того, что частное -— стремится к определенному пределу, вследствие
установленной в дополнениях (II, § 118) теоремы, дополнительно вытекает, что
рассматривавшиеся до сих пор бесконечные ряды сходятся для каждого поло-
положительного значения р, т. е. для всех значений $>1.

212 Глава пятая [§ 95
с другой стороны \/а' и у с' являются обратными величинами обеих
полуосей, следовательно
- « ТС
где квадратный корень, разумеется, считается положительным. Отсюда
получается замечательный результат, что эта площадь, а следовательно,
и выше приведенное предельное значение
41
суммы, относящейся к одной форме (a, ft, г), совершенно не зависит
от отдельных коэфициентов #, Ь, сщ а следовательно, и от индиви-
индивидуальной природы этой формы 1). Следовательно, всякая другая сумма,
соответствующая другой форме {art Ь\ сг) системы S, будет иметь то же
самое предельное значение; обозначим поэтому через h число этих
отдельных сумм в левой части нашего уравнения, т. е., иными словами,
число классов начальных форм <з-го вида для отрицательного детер-
детерминанта D== —Д; тогда предельное значение всей левой части будет
равно
о>тс<рBД) ,
§96.
Переходим теперь к правой части равенства; нам придется опять
с помодью установленных в дополнениях (П, § 117) принципов полу-
получить предельное значение произведения
1
где знак суммы, распространяется на все целые положительные числа я,
взаимно простые с 2А. Обозначим через v, v', v",... первые 9 BД)
таких чисел, а именно те, которые меньше 2Д;~ тогда предыдущую
сумму можно разложить на <рBД) частичных сумм вида
в которых числа с показателем X —|— р каждый раз образуют арифме-
арифметическую прогрессию с разностью 2Д. Так как вследствие рассмотрен-
рассмотренного ц дополнениях частного случая предельное значение такого частич-
частичного ряда равно
1
2Д '
!) Путем более глубокого исследования поведения вышеприведенных рядов
при бесконечно малых значениях р Кронекер пришел к теореме, которая
является одной из основ комплексного .умножения эллиптических функций
(Monatsbericht der Berliner Akademie от 22 января 1863 г. и Sitzungsberichte за 1883,
1Ь86, Ь89 гг.).

§ 97} Определение числа классов 213
стало-быть, не зависит от v, то предельное значение всей суммы будет:
1J
2Л »
следовательно, предельное значение всей правой части основного ра-
венства будет
а.2А ^\п
Но так как обе части равенства тождественны для каждого значения
$> 1, т. е. для каждого положительного значения р, и, следовательно,
их предельные значения, если только они вообще существуют, необхо-
необходимо одинаковы, то, сравнивая обе части равенства и полагая опять
/) = — Д, получаем
в качестве выражения для числа классов начальных форм о-го вида
(с положительными крайними коэфициентами) в случае отрицатель-
отрицательного детерминанта D. Здесь (по § 88)
х = 4, если ?) = —1;
х==6, если Z) = — 3 и о== 2;
х = 2 в остальных случаях;
и (по § 94)
ш = 2, если о=1;
«0=1, если о = 2 и ?>=1 (mod 8);
ш = 3, если о = 2 и D==5 (mod 8).
§97.
Для форм первого вида, полагая о=1, х = 2и<ю = 2, получаем
за исключением единственного случая D= — 1, в котором х равно
не 2, а 4, и, следовательно, -
Далее (§ 101) будет вообще показано, что
в предположении, что <права члены расположены в порядке их возра-
возрастания; в частном случае ?> = — 1 будем иметь

214 Глава пятая [§ 97
потому что, как известно, сумма стоящего в скобке ряда Лейбница
равна j тт; этот факт, таким образом, является подтверждением нашего
принципа, так как для детерминанта D =—1 действительно существует
только один класс форм (с положительными крайними коэфициентами).
Сравним теперь предыдущую формулу для числа классов h форм
первого вида и соответствующую формулу для числа h' форм второго
вида. Для эт$й цели мы будем рассматривать отдельно оба случая:
De==1 (mod 8) и D==5 (mod 8). В первом случае х = 2 и а> = 1,
следовательно
тс \
во втором же случае а> = 3 и х = 2, следовательно
за исключением единственного случая D = — 3, в котором х равно
не 2, а 6, следовательно, опять
h' = h.
Итак, мы можем резюмировать:
А' = й, если Dsl (mod 8) и для D — — 3;
Л' = — А, если Ог=з5 (mod 8), исключая случай D = —3.
Эти соотношения между числом форм первого и второго вида были
найдены еще Гауссом, но совершенно другим путем *).
Нам придется повторить то же самое исследование для случая по-
положительного детерминанта D — Д. Рассмотрим сначала левую часть
и опять разложим каждую основную сумму, относящуюся к определен-
определенной форме (а, Ь9 с), на a>&9BA) частичных сумм вида
Р 2а (ад:2 + 2Ьху + су*) х+ Р'
в которых каждое из переменных суммирования пробегает все пары
чисел
лг = 2Дг>-)-ос, ^ = 2Дт0 + Т, A)
соответствующие определенной комбинации (а, у) и всем целочислен-
целочисленным значениям vt w. Но теперь, кроме того, присоединяются еще
условия изолирования И, в силу которых должно быть
„V>0, U (ах + by) > Ту. B)
Как мы уже видели раньше (§ 87), из этих последних условий сле-
следует, что *
D. A., art. 256, VI. Ср. § 151, I.

§ 98] Определение числа классов 215
а стало-быть, и
являются положительными числами, и поэтому мы можем опять приме-
применить установленные в дополнениях принципы. Обозначим через t произ-
произвольную положительную величину, а через х — число тех содержащихся
в рядах A) и одновременно удовлетворяющих условиям B) пар чисел
дг, у, для которых
C)
Тогда нам достаточно определить предельное значение частного ~ при
неограниченном возрастании /, чтобы найти одновременно и предельное
значение приведенной выше частичной суммы, которая соответствует
определенной комбинации (a, у). Положим опять (считая |/ t поло-
положительным)
?—-_?- ^ — У
и будем рассматривать Е, ч\ как прямоугольные координаты точки на
плоскости; тогда х означает число тех содержащихся в двойном ряду
2А _. , а .. 2Д _ , т
*~ VI ^ }Л ' '~ V~t ^ V~t
точек числовой решетки, которые удовлетворяют трем неравенствам
Т
т. е. которые лежат внутри части плоскости Е, v\, ограниченной частично
осью Е, частично—-некоторой прямой, проходящей через начало коорди-
координат, и, наконец, некоторой гиперболой с центром в начале координат.
Обозначим через В площадь этой части плоскости Е, т\; тогда, в силу
установленного в дополнениях принципа, при безграничном возрастании t
и, следовательно, при безграничном убывании стороны 5== ¦ квадрата
\/ t
числовой решетки будем иметь
lim х . 22 = 4Д2 • lim ~ = В,
т. е.
,. т В
Так как это предельное значение является одновременно н предельным
значением частичной суммы, относящейся к определенной комбинации
(а, 7)» и так как величины a, f совершенно выпали отсюда, то каждая
из ш Д о BД) частичных сумм, соответствующих различным комбинациям

216 Глава пячая [§ 98
(я, 7) и составляющих в совокупности всю сумму, относящуюся к форме
(я, Ь, с), имеет то же самое предельное значение; следовательно,
сосрBА)р
будет предельным значением всей суммы
^» 1
Для того чтобы найти плошадь В гиперболического сектора, опреде-
определенного тремя вышеприведенными неравенствами, лучше всего ввести
полярные координаты г, 9> полагая
где, как обычно, г считается всегда положительным, а 9 берется между
О и 2тг, что достаточно, чтобы получить каждую точку ($, т\) плоскости
один и только один раз. Это преобразование превращает предыдущие
граничные условия в следующие:
Т
sin 9 ^> 0; Д ctg9-|- # > -ту;
г2 (a cos2 9 -f- 2# cos 9 sin 9 + ? sin2 9)<! 1,
и мы повторяем прежнее замечание, что для каждого угла 9> который
удовлетворяет обоим первым условиям, величины
a cos 9 + (р + V^) s*n ?» я cos ?т(^ — j/^O sln ?>
a cos2 9 + 2? cos 9 sin 9 -f" ^ sin2 9
положительны, так что внутри сектора, определяемого двумя этими
первыми условиями, не проходит ни одна из асимптот, а только конеч-
конечная дуга гиперболы, откуда уже следует, что площадь соответствую-
соответствующего сектора во всяком случае конечнах). Ее, очевидно, можно вычис-
вычислить по формуле
1
~ 2
где в простом интеграле справа вместо г3 нужно подставить имеющее
место на границе гиперболы значение
a cos2 <р + 2? cos 9 sin 9 -\- с sin« у
Рассматривая ctg9 как новое переменное и полагая
J) Отсюда опять дополнительно следует сходимость рассматривавшихся до
сих пор рядов для каждого положительного значения р, т. е. для каждого зна-
значения 5>1.

§ 98] Определение числа классов 217
мы получаем неопределенный интеграл
a dctg у 1 Г adctgy
a ctg <p + b + Y^D 4 V75 У a ctg 9 + b —
~~ 4/D
Это интегрирование распространяется на все значения ср, имеющие
положительный синус, следовательно, от ср = О до того значения, для
которого U (a ctg ср -|- Ь) — Т\ это крайнее значение ср полностью опре-
определяется тем условием, что sin ср должен быть положителен. Как мы
уже указывали ранее, внутри всего рассматриваемого сектора обе вели-
величины
>, tfctgcp-{-? — ]
все время сохраняют положительный знак, так что написанный выше
неопределенный интеграл является непрерывной действительной функ-
функцией ср, откуда следует, что остается только подставить в нее оба
предела. Таким образом мы получаем
я * in t+uVd 1 ln т+иУЪ
4УТ5 г— и Yd iYd a
Следовательно, если вместо А опять писать ?), предельное значение
суммы, относящейся к форме {а, Ь% с), будет равно
где, как и раньше, Г, ?/ означают наименьшие положительные чисяау
удовлетворяющие условию Г2 — Z)f/2 = o2. Этим самым выясняется
и здесь, как и раньше в случае форм с отрицательным детерминантом,
что предельное значение суммы, относящейся к определенной форме
(а, Ь, с) системы Sy зависит только от детерминанта D (и вида о)
и, напротив, совсем не зависит от индивидуальных свойств формы;
следовательно, оно одинаково для всех этих форм. Обозначим опять,
через h число всех форм, содержащихся в Sy т. е. число всех классов
начальных форм а-го вида для положительного детерминанта D; тогда
при бесконечно убывающих положительных значениях р левая часть
нашего основного уравнения будет стремиться к предельному значению
h ± \п
&DYD a
В правой части х = 1; далее, как и раньше для форм с отрицательные
детерминантом,
TT- =^ = ^;
1 + р 2Д 2D

218 Глава пятая [§ 98
следовательно, сравнивая обе части основного равенства, получаем
результат:
In
§ 99.
Для форм первого вида о=1, ш — 2 (§ 94); следовательно, для
-числа классов начальных форм первого вида получаем выражение
2 Yb ,:_ Ч
п =
\n(T+U
где Г, ?/ означают наименьшие целые положительные числа, удовлетво-
удовлетворяющие условию
Далее, если D==\ (mod 4), то существуют и формы второго вида,
число которых мы обозначим через h'. Тогда надо положить а = 2,
а а>=1, или 3, в зависимости от того, имеем ли мы /)=1 (mod 8)
или D = 5 (mod 8); обозначив через Vу U' наименьшие целые положи-
положительные числа, удовлетворяющие условию
получим
Очевидно, что каждое решение (/, w) уравнения Z2 — Du2—l путем
удвоения дает решение (? = 2/, иг = 2и) уравнения f2 — Du'2 = 4,
и обратно, при делении на 2 каждого четного решения (^, а') послед-
последнего уравнения получится решение (/, и) первого уравнения. Отсюда
непосредственно следует, что (^==27, u/ = 2U), во всяком случае,
является наименьшим четным решением уравнения f2 — Da'2 = 4. Пусть
сначала D = 1 (mod 8), тогда это уравнение вообще может иметь
только четные решения. В самом деле, если бы одно из двух чисел
/, и', а следовательно, и другое, было нечетным, то левая часть дели-
делилась бы на 8, в то время как она должна быть разна 4; итак, в этом случае
Г = 27; lf = 2U, I^t
•и так как, кроме того, о>=1, то
А' = А, если D =3 1 (mod 8).
В случае D == 5 (mod 8) это правило не может быть сформулировано
так определенно, так как для некоторых из этих детерминантов наи-
наименьшее решение GУ, Uf) будет опять четным, для других же—не*

§ 99] Определение числа классов 219
четным. В первом из этих двух случаев снова Г' = 2Г, Ur —2U и,
следовательно, так как о = 3,
/г/ = —Л, если Z)=s5 (mod 8), и Г, Ur — четные;
о
среди чисел, меньших 200, имеется всего пять детерминантов, для кото-
которых имеет место этот случай1), а именно 37, 101, 141, 189, 197.
Во втором случае, когда Т, Ur — нечетные, мы должны отыскать
наименьшее четное решение среди всех положительных решений (t\ uf),
которые (§ 85) получаются из формулы
при положительных значениях я.
Испытываем ближайшее большее решение, соответствующее пока-
показателю п = 2, тогда получаем
так как иг очевидно нечетно, то переходим к следующему показателю
а = 3, чтобы испытать ближайшее большее решение; тогда находим
и так как
Г2 == и'* S3 1 (mod 8), 3D = — 1 (mod 8),
то отсюда следует, что f> а значит, и и' будут четными числами,
стало-быть, // = 2Г, u' = 2U. Итак, в этом случае мы имеем
далее, принимая во внимание, что ш = 3, получаем соотношение
/z' = /r, если D=z5 (mod 8), и V, Uf — нечетные.
Соотношения между числом форм первого и второго вида в случае
положительных детерминантов были также установлены Гауссом2), но
в последнем случае, для D = 5 (mod 8), в совершенно другом виде;
а именно, он показывает, что три начальные формы
A, 0, — D), (Ч 1, Ц-5-), D,3,
9-Z)
х) Ср. С а у 1 е у, Note sur liquation x2 — Dy2 = itz4, В = 5 (mod 8), Crelle's
Journal, т. 53, стр. 369. Там же мож'но найти таблицу, которая достигает
?> = 997.
2) D. A., art. 256, VI. Ср. § 151, I.

220 Глава пятая [§ 99
или все эквивалентны, или принадлежат трем различным классам; и в за-
зависимости от того, имеет ли место первое, или второе, h!= h или
§ юо.
После того как в предыдущих, параграфах было показано, как
в любом случае число классов форм второго вида может быть выведено
из числа классов форм первого вида, мы ограничим дальнейшее иссле-
исследование исключительно определением - последних. Но прежде чем
перейти к этому, мы можем предпринять дальнейшее сужение нашей
задачи, показав, что достаточно рассмотреть только такие детер-
детерминанты Z), которые не делятся ни на какой квадрат (кроме 1).
Пусть D — произвольный детерминант; мы всегда можем положить
Z) = D/S2, где S2 — наибольший г) входящий в D квадрат; следова-
следовательно, /У является произведением одних простых нечетных чисел
(или также равен — 1) и совпадает по знаку с D; тогда число клас-
классов форм с детерминантом D может быть сведено к числу классов
форм с детерминантом /У. Снабдим все соответствующие детерминанту
/У величины штрихом и сравним сначала друг с другом суммы
в которых для удобства вместо 1 ¦+¦ р написано s. Во второй сумме
буква п' должна пробегать все положительные числа, взаимно простые
с 2D'. Обозначим через qf все положительные нечетные не входящие
в /У простые числа, а через #, как и раньше, — все положительные
нечетные не входящие в D простые числа; тогда, как мЫ ви-
видели ранее,
¦"(т)?
я"
и, разумеется, точно так же
1
яЧ Я'8
Система простых чисел q, очевидно, образует лишь часть простых чисел
q\ так как каждое не входящее в D = D'S2 простое число q не вхо-
входит также и в /У, следовательно, является одним из простых чисел qr.
Отсюда следует, что система простых чисел qf состоит из системы про-
простых чисел q и из таких нечетных простых чисел г, которые не вхо-
входят в /У, но входят в D, а стало-быть, входят в 5, и число которых,
1) Дальнейшее исследование действительно и в том случае, когда ТУ само
еще имеет множителями точные квадраты.

§ 100] Определение числа классов ^^ 221
очевидно, конечно. Поэтому бесконечное произведение, соответствую-
соответствующее детерминанту D', разложится следующим образом:
? тт \ ., тт
i-(?L\ _L
\q'l q'a ' \ q) q° ' \ Г J r*
далее, так как D = D'S* к, следовательно,
(т)-(^)-(т)-
то, заменив опять оба бесконечных произведения бесконечными рядами,
мы получим в результате
и отсюда
где знак произведения распространяется на все нечетные простые числа г,
входящие в S, но не входящие в D'.
После того как мы таким образом определили соотношение между
обоими аналогичными предельными значениями, входящими в качестве
множителей в числа классов huh' для детерминантов D к D' как
положительных, так и отрицательных, мы опять должны отделить друг
от друга оба основных случая.
Пусть сначала D', а следовательно и D, отрицательно; тогда имеем
{так как мы ограничиваемся формами первого вида) ч
и, за исключением единственного случая, в котором Dr = — 1,
Итак, принимая во внимание только что найденное соотношение между
обоими предельными значениями бесконечных рядов, за исключением
случая D' = —1, получаем
если же ?)' = — 1, а стало-быть, х'==4, А/ = 1, и в то же время
D=— S2 не равно — 1, значит, 5> 1, то для такого детерминанта D
число классов равно

222 Глава пятая (§ 100
Для положительных детерминантов мы получили следующие фор-
формулы:
2
где Т, If означают наименьшие положительные числа, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию Г'2 — D'U'2=\; отсюда следует
и остается только привести отношение обоих логарифмов к рацио-
рациональному виду. Очевидно, каждое решение (tt и) уравнения
Р — ?>й2=1, т.е. /2 —
дает решение уравнения
в котором
следовательно, второй элемент wr делится на S\ обратно, если в реше-
решении (f9 uf) второй элемент и' делится на 5, то из него можно полу-
получить решение первого уравнения. Отсюда следует, что оба числа
f = Г, ur = SU
образуют наименьшее положительное решение второго уравнения, в ко-
котором второй элемент делится на S; поэтому можно положить
где X — наименьший целый положительный показатель, для которого
коэфициент при иррациональном слагаемом всей степени делится на S;
тогда
Если положить, как и раньше,
то значение X может быть непосредственно определено в том случае,
когда для каждого простого числа /?, входящего в S, известно наи-
наименьшее число v, для которого и / делится на р, г» одновременно дана

§ 101] Определение числа классов 22S
наивысшая степень /?, которая входит тогда в я/1)'» но мы не будем
в это углубляться, так как основная цель — найти соотношение между
числом классов h и К для детерминантов D и D'—достигнута.
Эта же задача, по крайней мере для отрицательных детерминантов,
полностью решена еще Гауссом 2).
§ 101.
В силу предыдущих исследований мы можем ограничиться случаемг
когда детерминант D не делится ни на один квадрат, кроме едини-
единицы, и остается только фактически определить предельное значение
бесконечного ряда
при бесконечном убывании положительной величины р.
Пока р остается положительным, этот ряд всегда сходится, причен
его сумма совершенно не зависит от порядка, в котором расположены
его члены; если же р = 0, то этот ряд принадлежит к классу тех рядов,
в которых сумма как положительных, так и отрицательных членов,,
взятых в отдельности, бесконечно велика. Так как под суммой бес-
бесконечного сходящегося ряда всегда понимается предел, к которому
стремится сумма его п первых членов при безграничном возрастании
их числа, то легко видеть, что в случае бесконечного ряда, обладаю-
обладающего таким особым свойством, речь о его сходимости и его сумме
может итти только после того, как все его члены расположены в опре-
определенном порядке, по которому они следуют друг за другом. Действи-
Действительно, сумма, если только она существует, существенно зависит от
компенсации между положительными и отрицательными составными
частями, каждая из которых, взятая в отдельности, бесконечно возра-
возрастает,— от компенсации, которая обусловливается именно определенным
порядком слагаемых. Если даже предположить, что это не так, т. е.
что и при р = 0 ряд имеет вполне определенное значение, то еще не-
неизвестно, будет ли это значение пределом, к которому стремится сумма
ряда при бесконечном убывании р,. т. е. еще неизвестно, будет ли
сумма бесконечного ряда непрерывно изменяться вместе с р при значе-
значении р = 0.
Все эти сомнения разрешаются следующей общей теоремой3). Если
av av> аз> • • •—бесконечное множество таких констант, что как бы
велико ни было п> сумма
• • • Т" пп
г) Dirichlet, Ueber eine Eigenschaft der quadratischen Formen von positiver
Determinante, Crelle's Journal, т. 53.
2) D. A., art. 256, V. Впрочем, очень правдоподобно, что Гаусс полностью
нашел вышеприведенное- решение и для положительных детерминантов; ср.
работу Дедекинда, Uebtr die Anzahl der Ideal-Classen in den verschiedenen
Ordnungen eincs endlichen Korpers (Braunschweig 1877). Cp. § 151, II. Предыду-
Предыдущие теоремы доказаны также другим путем Липшицем, Crelle's Journal,
т. 53.
3) Dirichlet, Recherches etc., § 1. Ср. § 143.

224 Глава пятая {§ 101
по абсолютной величине всегда остается меньше некоторой фикси*
рованной константы С, то бесконечный ряд
I8 ^ 28 ^ З8 ~ ' ' " ^ w8 ~ * ' "
сходится для любого положительного значения показателя $ {исклю-
{исключая 5 = 0) и при этом является непрерывной функцией s.
Для доказательства сравним предыдущий ряд со следующим:
Суммы первых л членов первого и второго ряда отличаются друг от
друга только на
так как по предположению Рп по абсолютной величине все время остается
меньше конечной величины С и s положительно, то при безграничном
возрастании п эта разность стремится к нулю. Отсюда, если сумма
первых п членов одного ряда стремится к определенному пределу, т. е.
если один ряд сходится, то и другой также сходится, причем имеет
ту же сумму. Следовательно, достаточно доказать вышеприведенные
утверждения лишь для второго ряда. Для этого рассмотрим сумму
произвольного числа членов, следующих за п первыми членами:
8 (-1 L_^i +8 ( \ L
l»-M\(rt + l)s (/i + 2)V I* » п+т\ (П + m)s (п + т-
Так как все разности
1 1_ _1 1_
положительны, и коэфициенты
по абсолютной величине все меньше С, то и сумма выбранных т чле-
членов по абсолютной величине будет меньше произведения С на сумму
этих т разностей, т. е. меньше, чем
1 1
а следовательно, также меньше, чем независящая от числа слагаемых т
величина
с <с f
(п + I)8 ^ ns
Итак, как бы велико ни было число т этих членов ряда, сумма их
выбором достаточно большого п может быть сделана меньше любой
наперед заданной величины. Но это обстоятельство является, как
известно, не только необходимым, но и достаточным признаком сходимо-
сходимости любого бесконечного ряда.

§ 101] Определение числа классов 225
После того как показана сходимость ряда для любого положитель-
положительного значения s, нам остается доказать, что сумма ряда непрерывно
изменяется вместе с $. Мы докажем это для области всех положитель-
положительных значений s, которые больше некоторой определенной положитель-
положительной величины о. Но как бы мало ни было отличное от нуля положи-
положительное значение s, всегда может быть задана положительная величина а,
меньшая s) следовательно, наше доказательство будет действительно
для всех положительных значений s (исключая ? = 0). Мы можем рас-
рассматривать весь ряд как состоящий из двух частей, первая из которых
является суммой его п первых членов
i (р~ 2V + • • • + ?» (т?~
стало-быть, непрерывной функцией s, в то время как вторая, как только
/ С С
что показано, наверное меньше —, значит и меньше —. Итак, выбо-
п* п
ром достаточно большого #, т. е. подходящим разбиением всего ряда,
эта вторая часть может быть сделана меньше любой наперед заданной
величины, причем, что особенно важно, для всех значений s > а это
достигается одним и тем же значением п, т. е. одним и тем же раз-
разбиением бесконечного ряда. Так как первая составная часть непре-
непрерывна, то разрывность целого возможна только при разрывности вто-
второй составной части, и, следовательно, так как для всех рассматривае-
рассматриваемых значений 5 эта вторая часть по абсолютной величине меньше Ся""*,
то и величина внезапного скачка, появляющегося при определенном
значении s, должна быть во всяком случае меньше 2Сп~°. Но так как
подходящим выбором п эта величина может быть сделана сколь угодно
малой, то отсюда следует, что не может появиться никакого разрыва.
В самом деле, есди бы действительно имел место скачок на величину и,
то стоило бы только выбрать п настолько большим, чтобы 2Сп~~3 стало
меньше »j., и мы немедленно получили бы противоречие.
После того как вышеприведенная теорема доказана полностью, при-
приложим ее к нашему ряду г)
D\ 1
в котором члены теперь должны быть всегда расположены в порядке
возрастания п. При этом предположении легко убедиться, что этот
ряд является частным случаем исследованных в предыдущей теореме
рядов; а именно, положим
или
в зависимости от того, является ли т взаимно простым с 2D числом
х) Свойства его как функции неограниченно изменяющегося переменного
s = 1 -f р исследованы Гурвицем (S с h 1 б m i I ch, Zeitschr. f. Math. u. Phys., Jahrg.
27; 1882).
15 Я40П. Лржнрн ГТиппуир

226 Глава пятая [§ 101
(значит, одним из чисел п) или нет, и пусть т пробегает полную
систему вычетов (mod 4/)); тогда сумма соответствующих коэфициен-
тов ат всегда равна нулю, так как эти коэфициенты ост частью сами
равны нулю, а остальные, как показывает одно из прежних исследова-
исследований (§52), наполовину имеют значение -|~1, наполовину же—1. Отсюда
непосредственно следует, что сумма какого угодно числа последова-
последовательных коэфициентов «^всегда остается меньше некоторой конечной
величины (±2D). Тем самым расположенный указанным выше
образом ряд
Jj т* — j
сходится, пока 5 остается положительным, и является при этом непре-
непрерывной функцией s\ следовательно, когда о стремится к нулю,
где, как мы еще раз подчеркиваем, члены ряда расположены так>
что п постоянно возрастает.
§ 102.
При определении суммы бесконечного ряда
целесообразно рассмотреть отдельно те же четыре случая, которые мы
установили раньше (§ 52). Обратимся сначала к случаю, когда
D = ±P=1 (mod 4), значит, (?) = (?),
где Р означает абсолютную величину D, следовательно, является поло-
положительным нечетным числом, большим единицы, не делящимся ни на
какой квадрат. Тогда ряд
легко можно свести к ряду
где т, постоянно возрастая, пробегает все положительные числа, взаимно
простые с Р, включая и четные. Так как каждый раз, как т пробегает
полную систему вычетов (mod Я), вследствие § 52, C)
т \ о
то ряд М сходится. Далее пусть k — произвольное целое положитель-
положительное число; рассмотрим все те числа /я, которые меньше 2kP\ они будут
частью нечетными, частью — четными; первые, очевидно, совпадают со

§ 103] Определение числа классов 227
всеми числами п < 2kP, а последние имеют вид 2т', где т' пробегает
все те числа т, которые меньше kP. При этом разбиении
\п ^\PJ 2 2u\P ) mf
а отсюда, при безграничном возрастании, k, следует
В общем случае легко получить
для этого достаточно превратить обратную величину первого множи-
множителя в правой части в геометрическую прогрессию и перемножить ее
с рядом в левой части; в результате получится второй множитель пра-
правой части. Или же можно поступать точно так же, как и выше, разла-
разлагая числа т на числа п и 2т'.
§ 103.
Суммирование, которое осталось выполнить, может быть осущест-
осуществлено с помощью доказанной в дополнениях теоремы (I, § 116) раз-
различными способами — или сведением к рядам Фурье, или интегрирова-
интегрированием рациональной дроби. Мы выбираем второй путь как более пря-
прямой. Пусть т — какое-нибудь целое положительное число; как известно,
1
т
следовательно,
о
Так как символ Якоби имеет одно и то же значение для всех чисел т9
сравнимых по модулю Я, то сумма членов нашего ряда, для которых
т < kP, равна
о
где для сокращения положено
а переменное суммирования а пробегает те значения w, которые
меньше Я. Так как они образуют полную систему вычетов относительно
модуля Р, то по применявшейся уже часто теореме (§ 52)
15*

228 Глава пятая ; [§ 103
следовательно, f(x) делится на х(х—1), и дробь
JL
принимает поэтому конечные значения в действительном интервале
интегрирования 0<^л;^1. Отсюда немедленно следует, что при неогра-
неограниченном возрастании k интеграл
rdx f(x)x7{P
становится бесконечно малым, и в силу этого мы получаем
1
2(т\ _ Гйх_ f(x)
\р) т ~ J х \-хр '
Тем самым задача сведена к интегрированию правильной рациональной
дроби, что, как известно, достигается ее разложением на так называе-
называемые элементарные дроби. Положим, для сокращения,
2кг
тогда наш знаменатель
Р ft Ч
где знак произведения относится к показателю а, который должен про-
пробегать полную систему вычетов по модулю Р. Пусть а пробегает зна-
значения
О, 1, 2, ..., Р— 1;
тогда по известным правилам получаем
х \—хр~~ р ^х — еа>
где суммирование производится по переменному а. Согласно только
что введенному обозначению
и, в силу доказанной в дополнениях (I, § 116) теоремы, эта сумма
равна
где квадратный корень \/р берется положительным, а

§ ЮЗ] Определение числа классов 229
если а не взаимно простое с Р. Итак, разложение на элементарные
дроби дает нам результат
- (P-i)« A
1 fix) _il ^ {P
\—хр
л:-
где знак суммы относится к показателю ос, который должен пробегать
все целые положительные числа, меньшие Я и с ним взаимно простые.
Все интегрирования, которые осталось выполнить над отдельными
9 (Я) элементарными дробями, содержатся в формуле
ИЛИ
X — COS О
из которой при 0 < 8 < 2тг следует
1
f-^ZJi = Ш B sin 1 о) + i {arctg (tg \ 8 ) + arctg (ctg 3)},
предполагая, что обе дуги, стоящие в скобке, берутся в интервале от
;г7г до -{-— тс. Если теперь 8 лежит между 0 и ти или между тс и
2т:, то отсюда легко получается, что всегда
J х — еог
о
Применяя это к нашему случаю, получаем
1
У* cfx
J х — еог \ 2 J ' 4 2 2
о
0
и, следовательно,
jn_\ \_ i^_ y/'Mfi (n ¦ a7l\ 1 • /я
1 [
\2 P
где знак суммирования справа распространяется на все ^(Я) значений а.
Так как
то те из находящихся в скобке членов, которые не зависят от а, как
In 2 и -у тс/, могут быть опущены, после чего мы получаем
m

230 Глава пятая [§ 103
Этот результат принимает еще более простой вид, если рассмотреть
отдельно оба случая Р = 1 (mod 4) и Я==3 (mod 4). А именно, в
первом случае
и, следовательно, так как левая часть действительна,
во втором случае, напротив,
и, следовательно,
VI РП \ 1
Оба эти упрощения можно проверить следующим образом. Если при-
принять во внимание, что Р — а пробегает те же значения, что и а, то
получим
-pj In sin -р- = 2 (—р—j ln sin p = ^
Если Р=\ (mod 4), то отсюда следует
если же Р = 3 (mod 4), то получается
§ Ю4.
Итак, в рассмотренном нами случае, когда детерминант D = JzP^
= 1 (mod 4) и не делится ни на какой квадрат, искомое предельное
значение
действительна найдено в виде законченного выражения, и для того
чтобы определить число k начальных форм первого вида, принадлежа-

§ 104] Определение числа классов 231
щих этому детерминанту D, остается еще рассмотреть в отдельности
случай отрицательного и положительного D.
Во-первых, пусть D отрицательно, равно —Р, значит, Р==3
(mod 4); тогда (§ 97)
и так как в этом случае
то мы получаем
где а попрежнему должно пробегать все целые положительные числа,
меньшие Рис ним взаимно простые. Очевидно, это выражение для
числа классов должно допускать еще такое преобразование, при кото-
котором делитель Р исчезает. В самом деле, этого можно достигнуть
путем следующих рассуждений. Обозначим через <а/ те числа а, кото-
которые меньше ~-Я; тогда числа Я — а' совпадают с теми числами а, которые
больше —Я. Отсюда
где знаки суммирования справа относятся к переменному а'; так как
Р === 3 (mod 4), следовательно
Р—а'\ _ / --1 \ /а'\ ( а' \
Р~) — \~Р) )
то мы получаем
Очевидно, последовательность всех чисел а исчерпывается совокупностью
чисел 2с/ и Я—2«'; следовательно,
«ли, после нетрудных преобразований,
/^'4УГ i' РУ( )
Вычитая это равенство из предыдущего, умноженного на 2, получаем

232 Глава пятая [§ 104
после чего вышеприведенное выражение для числа классов приобретает
следующий наиболее простой вид:
Итак, в этом случае результат всего нашего исследования мы можем
сформулировать в виде следующей теоремы:
Если Р—положительное число вида 4/z-f-3, не делящееся ни
на какой квадрат, и через я' обозначены все взаимно простые
с Р числа, которые меньше -=¦ Р, то число h классов форм первого
вида, принадлежащих детерминанту D = — Р, находится вычита-
вычитанием из числа тех чисел а', для которых
числа остальных чисел а'.
В том частном случае, когда Р само есть простое число, фор-
формулировка этой теоремы упрощается следующим образом:
Если абсолютная величина р отрицательного детерминанта
D = — р является простым числом вида 4«-f-3, то число h классов
принадлежащих ему форм первого вида равно избытку числа лежа-
лежащих между О и -тг р квадратичных вычетов р над числом лежащих
в тех же границах квадратичных невычетов р.
Еще за некоторое время до опубликования решения общей про-
блемы х) эта теорема в несущественно отличной форме была найдена
Якоби2) путем индукции.
Для примера выберем детерминант D — —11; среди чисел 1, 2, Зэ,
4, 5 имеются четыре квадратичных вычета одиннадцати: 1, 3, 4, о и один
квадратичный невычет 2; следовательно, число форм первого вида равно
4—1=3. И в самом деле, для этого детерминанта существуют только
три (не эквивалентные) приведенные формы первого вида, а именно.,
A, 0, И), C, 1, 4) и C, — 1, 4).
Попутно здесь можно заметить, что вследствие полученного резуль»
тата число чисел о/, идя которых
всегда больше числа чисел а', для которых
так как h — всегда положительное, никогда не равное нулю число; это
предложение даже в простейшем случае простого Я вида 4я-~-3 никому
*) Dirichlet, Recherches sur diverses applications de I'analyse infinitesimale
a la theorie des nombres, Crelle's Journal, тт. 19, 21.
2) Observatio arithmetica, Crelle's Journal, т. 9; Di r i с h 1 et, Gedachtnissrede
auf CG.J. Jacobi и Kummer, Gedachtnissrede auf G. P. Lejeune Dirichlet.

§ 104] Определение числа классов 23&
еще не удалось доказать другим путем х) (ср. теорему об арифметиче-
арифметической прогрессии, дополнение VI).
Во-вторых, если детерминант ГУ положителен, равен -]- Р, следова-
следовательно, Ps=l (mod 4), то (по § 99) число классов
А = -
1
и так как в этом случае
*\р) т
Y р
то мы получаем
Если обозначить числа а через а или b в зависимости от того, имеем;
ли мы
'-рг ) = + 1 ИЛИ
то предыдущее равенство принимает следующий вид:
W- In
2 —(J
знаки произведения в числителе и знаменателе распространяются соот-
соответственно на все b и на все а\ кроме того, Г, U означают наимень-
наименьшие целые положительные числа, удовлетворяющие уравнению Пелля
Истинная природа этого результата станет еще яснее при дальнейшем
преобразовании (§ 107).
х) В 1928 г. ленинградский математик Б. А. Венков впервые дал чисто ариф-
арифметический вывод формул Дирихле для числа классов квадратичных форм отри-
отрицательного детерминанта — т. Б. А. Венкову удалось с помощью своего метода,
исчерпывающим образом рассмотреть случаи, когда т представляется в одной
из следующих форм: 4/z-f-1, 4п-{-2, 8/г —Р 3. Таким образом для всех положи-
положительных детерминантов и для отрицательных детерминантов — ///, где т имеет
форму 8я + 7, даже после появления работы Б. А. Венкова, нам до сих норне
известен метод более простой, чем предложенный Дирихле. Работа Б. А. Вен-
Венкова напечатана в Известиях Академии наук СССР по Физико-математическому
отделению за 1928 г. и в Mathematische Zeitschrift, т. 33, 1931. Ред.

234 Глава пятая [§ 105
§ Ш5.
После того как в предыдущем (§§ 102 до 104) было полностью
закончено рассмотрение случая D = 1 (mod 4), удовольствуемся тем,
что наметим основные моменты общего исследования. Сначала дело
идет об определении величины ряда
в котором п должно, постоянно возрастая, пробегать все целые поло-
положительные числа, взаимно простые с 2D.
Если мы придадим буквам Я, 8, е точно такой же смысл, какой
был установлен для них в конце § 52, то получим
и, следовательно, всегда
(?•) = (?.
\ п J \ n
если п == v (mod SP). Полагая поэтому
где v пробегает все те числа п, которые меньше 8 Р, и принимая во
внимание, что/П)==0 (§ 52), в предположении, что модуль х остается
меньше единицы на пути интегрирования, находим, так же как и в § 103,
1 1
~ J \— Х*Р X ~~ SP J ^ X — со '
о о
где о) должно пробегать все корни уравнения
Эти корни, как известно, имеют вид
где для сокращения положено
если гиб' пробегают полные системы вычетов соответственно по мо-
модулям 8 и Я, то о) принимает все свои 8Р значений.
Пусть и и т означают наименьшие положительные вычеты числа v
соответственно относительно модулей 8 и Р; тогда и будет одним из
четырех чисел 1, 3, 5, 7, а т — одним из ? (Р) чисел, взаимно простых.

*§ 105] Определение числа классов 235
с Я; и так как, обратно, каждой такой паре вычетов jjl, m соответ-
соответствует одно и только одно определенное число v (§ 25), то с помощью
доказанной в дополнениях (§ 116) вспомогательной теоремы находим
/и = 2 (DA .' =
=/A+з.лОA + в(-1)г)(?)-Л * /,/р, •
где ]/Я положителен, а символ Якоби имеет значение нуль, если 5
не взаимно простое с Я число. Если Я==1, то множители, в которых
встречается Я, должны быть опущены. Положим для" сокращения
i
Ь(Г\— Г V ( JL ) dx ,
6
где 5 должно пробегать все несравнимые (mod Я) числа, взаимно про-
простые с Я; тогда получим
где г должно пробегать полную систему вычетов (mod 8). Рассматривая
зв отдельности четыре случая, мы получим следующие результаты:
I. ?> = =!=/>= 1 (mod 4), 8 = -fl, з = +1;
= — Л 2 ; {^@) — fH4)i-
II. D = =t:P=3 (mod 4), -8 = —1, s = +l;
N.2)/P— — i-iy *} {'H2) — ^F)j
1\\. D = ~±:2P=2 (mod 8), 8 = -f-l, г = —1;
^.2]/2Р = -Д^ {6(i)_,LC) —6E) +
IV. Л = ^2Я = б (mod 8), 8 = —1, e = —1;
— i-iy 2 ; {.^(l) + 6C) —6E) —'M7)J-
Эти же формулы действительны и для случая Я=1, т. е. для слу-
случаев D = — 1, D=-\-2, D=. — 2, если положить

236
Глава пятая
[§
Теперь все сводится к определению значений 6 (г). Для этого опять
пользуемся имеющим силу при 0 < <р < 2т: равенством:
г
отсюда для случая Я=1 легко находим следующие результаты:
—2; N=-4=,
A)
где \/2 нужно брать положительным. Начиная с этого момента, совер-
совершенно исключаем случай Я=1; тогда
/• dx
I х — уъ*:
где т означает наименьший положительный вычет числа Pr-L-8s по
модулю 8Я, так что
/га = Яг (mod 8), m = 85 (mod Я), 0 < т < 8Я.
Отсюда следует
где т должно пробегать те ?(Я) положительных чисел, которые
являются взаимно простыми с Я, меньше 8Я и одновременно = Рг
(mod 8). Так как эти числа несравнимы по модулю Я, то (§ 52)
вследствие чего предыдущее равенство принимает следующий более
простой вид:
B)
m = Яг (mod 8), 0 < m < 8Я.
Этим величина бесконечного ряда N во всех случаях сводится
к сумме конечного числа слагаемых; но эта сумма может быть значи-
значительно упрощена, благодаря некоторым свойствам восьми выражений ^ (г),
которые могут быть легко выведены либо из только что найденной

^ 105] Определение числа классов 237
формулы, либо из первоначального определения функции ^(г)- Избрав
последний путь, положим для сокращения
Щх-*№-*?=%. C)
где буквы а и b имеют установленное в § 52 значение. Тогда^вслед-
ствие вышеприведенного определения
$(/¦)= fd In F(xrr),
где модуль переменного х все время остается меньше единицы на пути
интегрирования от нуля до единицы; или же
= I d\nF(x),
где, при известном геометрическом представлении комплексных величин
точками плоскости, точка х должна так двигаться от 0 до f , чтобы
оставаться внутри круга радиуса 1 с центром в точке 0. Восемь
точек f разбивают окружность этого круга на восемь равных октантов,
по которым распределяются <?(Р) точек Q*, распадающихся в свою
•очередь на два класса На и О*.
Из определения функции F (х) сначала вытекает, что она сопря-
сопряжена с
где хг означает комплексную величину, сопряженную с х\ отсюда не-
непосредственно следует, что & (г) и
о
также сопряжены. Положим для сокращения
D)
тогда R будет действительным, a J—чисто мнимым или равным нулю;
и легко видеть, что сумма N приводится к выражениям вида R или /
в зависимости от того, положителен или отрицателен детерминант D.
Далее из определения функции F (х) легко следует соотношение
F(x)F{—x)=F{x*y*'. E)

238 Глава пятая [§ 105
Так как при движении х внутри круга от 0 до j~~r одновременно —х
перемещается от 0 до у~(г+4), ал;2 — от 0 до j~2r, то получаем
это же свойство принадлежит, очевидно, и выражениям R и У. »
Наконец, функция F(х) обладает еще следующим свойством:
11^) ^); G)
так как при движении х внутри круга от 0 до j~r обратная величина
у перемещается вне круга от оо до /, то
и отсюда получаем
эо
J(r)= f d In F(zr),
0
причем zr движется сначала внутри круга от 0 до /, а потом вне его
от/ до со. Поэтому разность J(г) — J(r-\-l) будет интегралом по
замкнутому контуру, в котором переменное интегрирования совершает
положительный обход вокруг тех точек Ь\ которые лежат на октанте,
ограниченном точками f м / , следовательно, по известной теореме
интегрирования в комплексной области
Н-1
где 5 пробегает все значения, удовлетворяющие условию
8 ^ Р ^ 8
Отсюда следует далее
и точно так же, при положительном г,
/(г) —УBг) = 2м 2(?)-
Подставляя вытекающие отсюда для У(г-{-4) и УBг) значения в полу-
получающееся из F) уравнение

§ 105] Определение числа классов 239
имеем
Далее, принимая во внимание, что
получаем
Наконец, так как вследствие F) и D)
(
у @),
•Мб)-(=^B)
то при отрицательном детерминанте D, т. е. при Р=3 в первом и
третьем случаях, при Я== 1 (mod 4) во-втором и четвертом случаях, будем.
иметь
I. лг=_^ 2 U
2V Р о \Р
если принять во внимание, что во втором и четвертом случаях

240 Глава пятая [§J_05
Точно так же*можно добиться упрощений и для положительного
,детерминанта путем рассмотрения действительного выражения D):
1
¦= У
-в') (Г-О) =ш {^(Л f (
^которое в силу G) переходит в следующее:
R(r) = In j
где
или
;в зависимости от того, будет ли Р равно 3 или отлично от 3 (§ 140).
Так как вследствие F) и D)
*G)+''-1
то, так как в первом и третьем случаях Р= 1, во втором и четвертом
случаях Р==3 (mod 4), получаем
II. Л^ 2|/P" = —In
III. 7V.
IV. /V- 2 |/2Я = — In {с*
§ 106.
После того как величина бесконечного ряда N определена для всех
случаев, в которых детерминант D не делится ни на какой квадрат
(кроме единицы), мы можем дать выражение числа h классов начальных
форм первого вида в законченной форме *).
х) Ср. Кто песке г, Ueber die Anzalil der verschiedenen Classen quadratischer
Formen von negativer Determinante, Crelle's Journal, т. 57. Там же можно найти
существенно новые формулы для отрицательных детерминантов, полученные
из теории эллиптических функций.

•§ 106] Определение числа классов 241
А. Для отрицательных детерминантов D имеем (по § 97)
за исключением случая D = —1, когда выражение справа должно быть
удвоено. Отсюда получаются следующие четыре формулы:
I. D = — P=l (mod 4), A=2(-J
II. D = — P = 3 (mod 4), h = 2 2 (i)>
о ч^'
3
III. D = — 2P==2 (mod 8), A = 2 2
IV. Z? = -2Ps6 (mod 8), A = 2 { 2 (^) = S(^
где пределы суммирования везде относятся к величине -^ х). Из II и IV
нужно исключить соответственно случаи D = — 1 и ?) = — 2, в ко-
которых h = 1.
В. Для положительных детерминантов D имеем (по § 99)
где Г, U означают наименьшие целые положительные числа, которые
удовлетворяют условию
"и всегда могут быть найдены изложенным методом (§ 84). Величина
N • 2 у D была определена в конце предыдущего параграфа; вместо
данных там формул из уравнения B) предыдущего параграфа можно
получить следующие:
I. ?) = Р==1 (mod 4),
= _{4-2(|)} 2 (?
II. D = P = S (mod 4),
III. ?> = 2P==2 (mod 8),
i) Обратно, можно воспользоваться этими формулами для определения
распределения чисел а и Ь по восьми октантам с помощью числа классов для
детерминантов — Р и — 2Р (Gauss' Werke, т. II, 1863, стр. 288).
Ifi Qav 34ПП Ilowen Пипнтле.

242 Глава пятая [§ 10©
IV. Z) = 2P=6 (mod 8),
8
о
где п должно пробегать все взаимно простые с 2Р числа, для кото-
которых -р- лежит в указанных пределах суммирования. Три последних:
случая могут быть объединены в одну общую формулу
где п должно пробегать все взаимно простые с 4D числа, лежащие,»
между 0 и 4D.
§ Ю7.
При рассмотрении полученных результатов выявляется существенная
разница между положительными и отрицательными детерминантами».
А именно, в то время как в случае отрицательного детерминанта вы-
выражение для числа классов явно имеет вид целого числа, — хотя тог
что оно одновременно положительно, и по настоящее время никемь
еще не доказано элементарным путем, — в случае положительного де-
детерминанта это никоим образом не следует непосредственно из выра-
выражений, определяющих число классов. Чрезвычайно интересно, что»
с помощью одной теоремы из основанной Гауссом *) теории деления
окружности (дополнение VII) приведенные выше выражения для
h In (T-\-U\/D) действительно всегда могут быть приведены к виду
ln(/ -\- u\/D), где /, и означают целые числа, удовлетворяющие урав-
уравнению t2 — Du2—1. Это мы сейчас и докажем 2).
Удерживая употреблявшиеся до сих пор обозначения, мы всегда^
как показано в дополнении VII, можем положить
— 6а)= У{х) —
2В(х)=2П(х — 6ь)=
(Р-1 \2 __
Л 2 ;\/p
где |/Р положителен, a Y(x) и Z(x) означают целые функции от хр
коэфициенты которых являются целыми числами. Вместе с тем
1) Gauss, D. A., Sectio VII.
2) Lejeune Dirichlet, Sur la maniere de resoudre l'equation t2 — pa2 = 1 •
au moyen des fonctions circulaires, crelle's Journal, т. 17. Ср. Jacobi, Ueber
die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie,. Berliner Monatsbe-
richte, 1837.

§ 107] Определение числа классов 243
где |Xj означает каждое положительное, а [х2 —каждое отрицательное
слагаемое развернутого произведения
<р (р) ~ (р — 1)(р' — 1)(р"— 1)... =
а
fts\VF/ Л(х)
Полагая в основу найденные в конце § 105 выражения для произве-
произведения hIn{T-\-U\/D) = N- 2\/D, обратимся сначала к случаю I,
в котором D = Р = 1 (mod 4), и следовательно
h in (T-\- Ul/W) = — {1 — (-р) 2"} in { F2(l) }.
Так как
где х = 1 или 0, в зависимости от того, является ли Р простым числом,
или составным (§ 138), то получим
Так как далее
где целые числа F(l), Z(l) для сокращения обозначены через у и z,
то
и, следовательно, в случае простого Я, у должно делиться на Р; тем
самым во всех случаях можно положить
где a, p означают целые числа, удовлетворяющие уравнению
а»
и мы получаем
Если числа ^, z — четные, что во всяком случае должно иметь
место при Я=1 (mod 8), то можно положить a = 2ar, j3 = 2^, где
целые числа о/, (}' удовлетворяют уравнению
Если положить далее
16*

244 Глава пятая [§ 107
то целые числа t, и будут удовлетворять уравнению t2— Ри*—\, и
мы получим
(Г+ U\/P)h = (' + и
Если же, напротив, числа у, z, а следовательно, и а, |3 — нечетные,
что может иметь место только при Р=5 (mod 8) (например, при
Р = 13, в то время как, например, при Р =?37 имеет место предыду-
предыдущий случай), то можно положить
где а',, р' — целые числа, удовлетворяющие уравнению
a'2 —Pf =( —1)х.
Полагая опять
будем иметь
Очевидно, что при Я=5 (mod 8) будет иметь место первый слу-
случай или второй, в зависимости от того, делится ли число классов h
на 3 или нет (ср. § 99). Точно так же легко убедиться, что во всех
случаях h = х (mod 2), т. е. что число классов h будет четным или
нечетным в зависимости от того, является ли Р простым числом или
составным (ср. § 83, сноску на стр. 180 — 181). Наконец, можно еще отме-
отметить, что оба числа у, z положительны; а именно, так как Я== 1 (mod 4),
то числа а распадаются на пары вида а и — а, числа b точно так же
распадаются на пары вида b и — Ь, и, следовательно, ЛA), ВA) и
А A)-\-В A) —у- положительны. Далее, так как
положительно, потому что h положительно и T-\-U\/P > 1, то В (I)
должно быть больше ЛA), и, следовательно, z должно быть положи-
положительным. Этот результат до сих пор еще не получен другим путем.
§ 108.
Для второго случая D = Р = 3 (mod 4) мы получили выше результат
hln (Г+ ?/|/Р) = — In { cF2(i)}.
При любом нечетнрм т

§ 108] Определение числа кассов 245
и так как далее
Ни*— 2>2=(p-i)(p'-D(p"-i)--->
то легко находим
где опять х = 1 или 0 в зависимости от того, является ли Р простым
числом или составным. Следовательно
Г [Ч~ B(i)~~ B2(i)'
и, стало-быть, так как с3 = 1,
За исключением случая Р = 3, имеем с=1 (по § 140), и
где положено <р (Р) = 2т; следовательно,
а также
Если принять во внимание, что
С = — (^) / или 1,
в зависимости от того, является ли Р простым числом или составным,
то отсюда следует, что можно положить
и, следовательно,
2А (i)
где у, z означают целые числа, которые удовлетворяют получающемуся
посредством перемножения уравнению
Отсюда следует далее, что можно положить
(У + г Vh 1+" = 2

246 Глава пятая * [§ 109
где t9 и означают целые числа, удовлетворяющие уравнению f* — Ри2 = 1.
Вместе с тем будем иметь
и, следовательно,
Мы напоминаем, что /г == 2х (mod 4) и что числа у, z всегда имеют
одинаковые знаки.
В исключавшемся до сих пор случае Я = 3 будем иметь Г =2,
U=l, с = Ь, B(i) = i — б2, откуда легко следует, что
значит, h = 2.
§ 109.
Для третьего случая Z)=:2P==2 (mod 8) мы нашли выше
Принимая во внимание, что для любого нечетного т
(/-1)(;3-1)
находим
и, следовательно,
где опять х = 1 или 0, в зависимости от того, будет ли Р простым
или составным числом. Так как Р = 1 (mod 4) и, значит, К(/) =
= jxY{j~~1),Z(j)=fZ(r1) (§ 140), то можно положить
где у, у, z\ zrr означают целые числа. Далее, так как j—У3==|/2, то
полагая г
1
—г X
P = (-l)« 2{y'z"-y"z'),
получаем

^§ ПО] Определение числа классов 247
где целые числа а, р удовлетворяют уравнению
fi, следовательно, оба делятся на 4. Значит, можно положить
где целые числа у, z удовлетворяют уравнению
Отсюда следует, что в случае простого Р вида 8n + 5, А = 2
(mod 4), в остальных же случаях /г = О (mod 4).
В исключавшемся до сих пор случае D = 2 было /V|/D=ln(l-j-]/2);
далее, так как Г=3, U=2, то отсюда следует
A In C + 21/2) = 2 In A+1^2)»
значит, А= 1.
§ ИО.
Для четвертого случая D — 2P=6 (mod 8) мы нашли выше
(§§ 105, 106) результат
h In (T + U \/Щ = — 1 п { г2/72 (/) F* (У3) },
который, в силу равенства
переходит в
(Г+ U\/2P)h = сВ* (У) В* (/3),
потому что с3 = 1. Оставив в стороне случай Я==3, имеем (по § 140)
?=1. и
Далее, так как т нечетно или делится на 4 в зависимости от того,
имеем ли мы х = 1 или 0, т. е. в зависимости от того, будет ли Р
простым числом или составным, то можно положить
(дхA+х>-

248 Глава пятая [§ ПО
где у, yr/9 z\ z!f означают целые числа. Принимая во внимание, что*
j—/* = }/2, и полагая
а = у 2 — Pzf* — 2/'2 + 2Pz,
получим
4Л г;) л о'3) = (-/ -Л* («
где целые числа а, |3 удовлетворяют получающемуся посредством пере-
перемножения уравнению
Таким образом можно положить
(а
где целые числа /, « удовлетворяют уравнению
Р — 2Ри*=1 ;
тогда
и, следовательно,
(Г+ U\/2P)h = (/+ и ]/2РLх,
откуда легко следует, что /г==2х (mod 4).
В исключенном случае Р=3 имеем с = 6 = 64, Г= 5, i/=2, и
мы получаем
в(/ — 62) (уз — ва) = —/
= _ E + 2 |/б) = - (Г +
а отсюда h = 2.

ДОПОЛНЕНИЯ

ДОПОЛНЕНИЕ I.
О некоторых теоремах из гауссовой теории деления окружности.
§ Ш.
Предпошлем сначала лемму из теории рядов Фурье, члены которых
расположены по косинусам последовательных кратных углов. В этой
лемме доказывается *), что для всех действительных значений х между
х = О и х = тг, включая эти границы, всегда
If r f
<р (х) = y ао + aicos хЛ"а2cos 2# 4" лз cos iJ* + • • •.
если <р (лг) означает конечную и непрерывную внутри этого интервала
функцию, имеющую лишь конечное число максимумов и минимумов, и
где коэфициенты а0} аи а.2,. .. определяются соотношением
к
2 Г
as = — / ср (лг) cos sx dx.
V
Отсюда при х = 0 следует
тгср @) = У / ч
cos
причем суммирование распространяется на переменное s, последовательно
пробегающее все целые положительные и отрицательные значения,
включая и нуль. На это предложение, заимствованное из вышеупомяну-
вышеупомянутой теории, мы и будем опираться в дальнейшем.
Сначала обобщим его. Для этого рассмотрим интеграл
f(x) cossxdx,
где h — целое положительное число, s — целое положительное или
отрицательное число, a f(x) — функция, удовлетворяющая в интервале
I) Dirichlet, Sur la convergence des series etc., Crelle's Journal т. 4; это же
доказательство упрощено в Repertorium der Physik Дове и Мозера, т. I. Ср.
В. Riemann, Ueber die Darstellbarkeit einerFunktion durch eine trigonometrische
Reihe, 1867, Riemann's Werke, стр. 213.

252 Дополнение I [§111
интегрирования поставленным выше условиям. Этот интеграл можно
разложить на 2h интегралов вида
(H-D*
f (x) cos sx dx9
/ f
причем г пробегает последовательно ряд значений от 0 до 2h—1.
В зависимости от четности или нечетности числа г переменное инте-
интегрирования х заменяем через nz-j-x или через (r-f- 1) 7г — х. Преды-
Предыдущий интеграл переходит при этом в
к к
ff (лг -\- х) cos sx dx, или в //((г+1)гс — х) cos sx dx;
о о
отсюда вследствие вышеприведенной теоремы вытекает% соответственно
4-со
2
cossx dx = Tzf(nz) или
где суммирование слева попрежнему распространяется на все целые
значения s. Придавая г целые значения 0, 1, 2,...,2/z— 1 и складывая
получающиеся при этом равенства, имеем соотношение
f(x)cos sx dx.
§ П2.
Займемся теперь рассмотрением двух следующих определенных
интегралов:
-|-оо -|-оо
р = / cos (л:2) dx, q= I sin (л;2) dx.
—со —со
Несмотря на то, что функции под знаком интеграла не стремятся
к нулю при бесконечно больших значениях л;, эти интегралы все же
имеют определенные конечные значения, в чем легко убедиться посред-
посредством преобразований
В самом деле, если весь бесконечный интервал интегрирования поло-
положительного переменного у разбить на такие интервалы, в каждом из

§ 112] Суммы Гаусса 253
которых функция, находящаяся под знаком интеграла, не меняет знака,
то слагаемые, соответствующие этим интервалам, будут образовывать
бесконечный знакопеременный ряд, члены которого по абсолютной
величине постоянно и неограниченно убывают. Отсюда следует, что для
обоих интегралов р и q этот ряд будет сходящимся. Для нашей цели
достаточно лишь доказательство конечности чисел р и д. Числовые
значения этих интегралов получаются сами собою из последующих
изысканий г).
Оба интеграла являются лишь частными случаями следующего:
Д= / cos(b-\-x*)dx=pcosb — q sin 8,
—оо
где 8 означает произвольную константу. Обозначим далее через а
произвольную положительную постоянную величину и через \/а ко-
корень квадратный из а, взятый с положительным знаком. Заменяя пе-
переменное интегрирования х через х\/а , получаем следующее соотно-
соотношение:
-j-oo
-4=.= / cos{b+ax*)dx
—ОО
(если бы у а был отрицательным, то в интеграле в правой части при-
пришлось бы поменять местами пределы). Введем вторую положительную
константу C и разобьем предыдущий интеграл на бесконечное число
слагаемых вида
(H
J
cos
где s пробегает последовательно все целые числа от —оо до -|-оо.
В каждом таком интеграле в отдельности заменим переменное инте-
интегрирования х через sfi-j-х, отчего интеграл перейдет в следующий:
ft
/ cos (8 + as2P2 + 2as$x + ах*) dx.
Распорядимся теперь обоими до сих пор совершенно произвольными
положительными постоянными аир следующим образом: под т будем
понимать какое-нибудь положительное целое число, и положим aJ32==
ф1, стало-быть,
а =
х) Dirichlet, Recherches sur diverses appl. etc., § 9. Cp. Dirichlet, Sur
Tusage des integrales definies dans lasommation des series finies ou infinies, Crelle's
Journal, т. 17.

254 Дополнение I [§ 112
Так как s — число целое, то
cos (8 + <xs2j32 + 2aspAT + ах*) = cos (8 + sx + ax2) =
= cos (8 +lL
и, следовательно,
l) P
4wi»c
Второй интеграл в правой части, содержащий под знаком интеграла
множитель sin sat, очевидно, пропадает при 5 = 0, а для двух равных,
но противоположных по знаку значений s точно так же принимает
равные и противоположные по знаку значения. Поэтому, суммируя
предыдущее выражение по всем целым значениям s, от—оо flOv+oo,
получаем
д +ОО у ^
—7= = Al/8/tt7r= 5 / cos (8 -4-3—
IT*
Правая часть этого равенства имеет теперь точно такую же структуру,
как и в заключительной теореме предыдущего параграфа. Обозначая
ддя краткости
получаем
AV/8^=2:r|I/@)+/B7:)+...+/BB/n— 1)*)+1
причем квадратный корень слева
должен быть взят положительным. Далее, при любом целом
а потому
/B57С) = |/BS7T) -f J/DЛ17С + 2S71) .
J
Тем самым сумма в фигурных скобках может быть представлена в виде
-5 2/B**),
где буква s пробегает значения
0, 1, 2, . . ., 4т— 1 ,

§ 112] Суммы Гаусса 255
или любую другую полную систему вычетов по модулю 4т.
имеем
A r/8nnz = тг У, cos (8 4- s2 ~ ).
** \ imj
Если положить далее 4т = п, причем п означает любое целое по-
положительное число, кратное четырем, и обозначить через \/п w
у
—п положительные значения квадратных корней из п и -^ it, то
это равенство принимает следующий вид:
где s должно пробегать полную систему вычетов по модулю п. Но
A=^cos 8 — qsinb,
где р и q являются значениями интегралов, совершенно не зависящими?
ни от п, ни от произвольного 8. Следовательно, р и q можно опреде-
определить при частном значении п, проще всего при я = 4. Таким образом*
получаем
2 {р cos 5 — #sin§) = 2 (cos8 — sin S) |/ i тг,
и вследствие произвольности числа 8
После того как значения р и q найдены, наше прежнее равенства
принимает следующий вид:
2 cos(8+ s*!?) = (cos 8 — sin8) j/я,.
и распадается на два следующих:
здесь п означает любое целое положительное число, которое = 0 (mod 4)^
а \/п положительное значение корня квадратного из п. Обозначая длят
краткости |/— 1 через / и, как всегда, основание натуральной си-
системы логарифмов через е, можно оба эти равенства соединить в~
одно
2 а*?
где буква 5 должна пробегать полную систему вычетов по модулю ги.

256 Дополнение I [§ ИЗ
§ из.
Займемся теперь рассмотрением сучмм, для которых предыдущие
суммы являются частным случаем. Обозначим через п какое-нибудь
целое положительное число, через А — положительное или отрицатель-
отрицательное целое число и положим для сокращения
2 2Нкг
где суммируемая буква s должна пробегать какую-нибудь полную си-
систему вычетов по модулю п. При помощи этих обозначений доказан-
доказанное в предыдущем параграфе предложение может быть выражено сле-
следующим образом:
срA,п) = A -}-/)}/л, если я==0 (mod 4).
Выражение ср (А, п) -обладает следующими тремя свойствами:
1. При h==hf (mod n),
это непосредственно вытекает из равенства
2liKi 2Ъ'кг
S2 S2
е п = е п
справедливого для любого целого значения s.
2. Если а и п — взаимно простые числа, то
y(ha\ n) = y(h, n),
так как
(а8)
и когда s пробегает полную систему вычетов по модулю я, то же
(по § 18) имеет место и для as.
3. Если т, п—-два каких-нибудь взаимно простых числа, причем
оба они положительны, то
®(hm, ri) о {tin, m) = <?(h, run).
В самом деле,
(о (hm, п) = 2 е п » ? (*и> т) = 2 е
т
где буквы s и t должны пробегать полную систему вычетов соответ-
соответственно по модулям пит. Следовательно,
y(hm, n)<D(hn, т) = ^е^ ш) т»
та^ знак суммы справа распространяется на все тп комбинаций каж-
каждого из значений s с каждым из значений t. Но так как
9
Ш zs['

114] Суммы Гаусса 257
а все слагаемые, кратные 2~i, в показателе могут быть опущены, то
9 (hm, n) 9 (Ал, т) = 2 е тп '
где суммирование опять распространяется на все значения sat. Если
положить теперь
ms -f- nt = г,
то когда 5 и t пробегают все полагающиеся им значения, г принимает
всего тп значений, причем все они несравнимы между собою по мо-
модулю тп. В самом деле, из
ms -f- nt == msr -|- ntr (mod mri)
следует
ms^ms' (mod л), nt = nf (mod/л),
и, следовательно, так как тип взаимно простые числа,
$ = sf (mod л), t~tf (mod/л);
т. е. число г принимает сравнимые по модулю тп значения только
тогда, когда значения 5 сравнимы по модулю л и одновременно с этим
значения t сравнимы по модулю т. Таким образом, тп различным ком-
комбинациям s и t соответствуют тп несравнимых между собою по мо-
модулю тп значений г, а следовательно, эти значения г образуют полную
систему вычетов по модулю тп. Итак,
9 (hm, п) 9 {hn, т) = 2 е* тп == ? (h, тп),
что и требовалось ^доказать.
§ П4.
При помощи этих теорем мы можем теперь определить значение
9A, п), которое для случая п = 0 (mod 4) уже было найдено в § 112,
также и для всех других значений числа п. Пусть сначала п — какое-
нибудь нечетное число. Тогда в последней теореме предыдущего пара-
параграфа полагаем
А = 1, т==4
и получаем
9D, л) о (л, 4) = 9A, 4л).
Но в силу второго предложения предыдущего параграфа
?1D, я) = ?B8, *)=?A, п)\
далее,
9 (л, 4) = 2A+/%
и в силу результата, полученного в §112,
9A, 4л) =

258 Дополнение I [§ 114
причем корень квадратный \/п опять нужно брать положительным. Та-
Таким образом получаем
или
В зависимости от того, будет ли /г = 1 или == 3 (mod 4), имеем
in = i или — /,
и, следовательно,
значит
<рA, л) = |/"л или /"(/"л.
Оба эти случая можно, однако, объединить одной формулой
ел \ .t
срA, n)==i4
Пусть, наконец, п делится на 2, но не делится на 4, т, е. равно
удвоенному нечетному числу. Тогда в третьем предложении предыду-
предыдущего параграфа полагаем А=1, т = 2> а вместо п берем -^ , вслед-
вследствие чего все условия его удовлетворяются, и мы получаем.
) ( )=?A, л).
Но
а следовательно, и
?A,я) = 0.
Полученные таким образом результаты объединим в следующей
таблице:
<рA, л) = A-{-/) У"я> если л==0 (mod 4);
o(lfn) = l4t U Vny если az^I (mod 2);
9A,л)=зО, если « = 2 (mod 4).
Чрезвычайно важно отметить, что корень квадратный Yn B ДВУХ
первых формулах всегда нужно брать положительным, как это выяс-
выяснило исследование, проведенное в § 112. Без этого точного опреде-
определения знака предыдущие предложения можно было бы доказать горазда
более простым способом. Гаусс впервые пришел к рассмотрению таких
сумм в своей теории деления окружности *); там без затруднений полу-
Gauss, D. A., art. 356,

§ 115] Суммы Гаусса 259
чается величина их квадрата. Но гораздо более глубокому исследованию
для определения знака квадратного корня он посвятил отдельную
работу !), в которой добился полного разрешения вопроса совершенно
иным путем, нежели это было проведено здесь (§ 112), а именно путем
чисто алгебраического разложения этих сумм в произведения.
§ П5.
Займемся определением значения <р(/г, п) также и для любых зна-
значений h\ при этом ограничимся случаем, когда п есть нечетное простое
число, которое мы будем обозначать через р. Обозначив через а все
-к{р—1) несравнимых между собою квадратичных вычетов р, череа
р все -х(р—1) квадратичных невычетов*, получим (по § 33):
„ 2Ыъ 2hrti
Далее, так как при h, не делящемся на р,
27nti n 2hni
то, пользуясь символом Лежандра, мы в этом случае можем положить
2Ы% 2hrd 2hni
где s пробегает значения 1, 2,..., р—1. Далее, так как
®-Ш- (I)(!)='•
или, так как h не делится на р> и, следовательно, hs пробегает полную
систему вычетов по модулю р одновременно с s (за исключением
чисел = 0),
При h = 1 получаем
2кг
р
и, следовательно (по § 114),
причем корень квадратный "^р опять нужно брать положитель-
положительным. (Если h делится на р, то из определения этих сумм непосред-
непосредственно вытекает, что <р (h, р) = р.)
А) Summatio quarumdam serierum singularium, 1808,
17

260 Дополнение I [§ 115
Предыдущие результаты в связи с третьим предложением § 113
позволяют теперь весьма просто получить закон взаимности в теории
квадратичных вычетов (§ 42) для любых двух положительных нечетных
простых чисел р и д. А именно, имеем
и точно так же
по предыдущим параграфам
^ pq Vp9
причем все квадратные корни нужно брать положительными, откуда сле-
следует, что
Vp~q = V7- vi-
vino третьей теореме § 113
?О> 9)9(9* P) = ?Oi P9),
а следовательно,
и, таким образом,
где для краткости X означает
Но
(Р +1H7+1) — 2 ===2 (mod 4),
откуда мы получаем
что и доказывает снова закон взаимности. Это доказательство также при-
принадлежит Гауссу *).
Точно таким же образом можно доказать теоремы (§§ 40, 41) отно-
относительно чисел — 1 и 2. А именно, из предыдущего предложения
^Summatio quarumdam serierum singularium, 1808. Ср. Кг one eke r, Ueber
den vierten Gauss'schen Beweis des Reciprocitatsgesetzes fur die quadratischen
Reste, Berliner Monatsbericht от 29 июля и 28 октября 1880 г.

§ 115] Суммы Гаусса 261
следует, что
с другой стороны,
а отсюда следует, что <р (—1, р) получается из 9A, р) заменой i через — ir
т. е. что
ф(—1, р) = (—/L ]/р.
Из сравнения обоих этих выражений, в которых |/роба раза берется
положительным, получаем
Полагая далее, в третьей теореме § 113,
й=1, т = 8у п = р,
получаем
?(8, р) <р(р, 8) = ?(lf 8p).
Но
?(l,8/7) = (l+0l/8p = 4v7^
затем
далее (по второй теореме § 113)
<р(8, р) =
т. е.
Подставляя эти значения для ср (8, р), ср(р, 8) и <р(*>8р) в предыдущее
равенство, получаем
jI УР4е =4|/р^4
и отсюда легко следует
Таким образом все основные предложения теории квадратичных выче-
вычетов заново доказаны.

262 Дополнение I [§ 116
§ И6.
В случае, когда р — нечетное простое число, a h — какое-нибудь целое
число, не делящееся на ру в предыдущих параграфах нами было полу-
получено следующее равенство:
Если срA,/?) заменить найденным для него значением, то это равенство
переходит в следующее:
Для того чтобы оно сохраняло силу даже и для ранее исключенного
случая h = О (mod /?), мы должны условиться всегда полагать
когда h делится на р; в самом деле, левая часть равенства обращается в
так как число квадратичных вычетов в точности равно числу квадра-
квадратичных невычетов. После подобного обобщения символа Лежандра,
если попрежнему придерживаться данного в § 46 определения символа
Якоби, всегда
если т не взаимно простое с Р.
Равенство A) справедливо теперь Вообще для всякого положитель-
положительного нечетного простого числа р, причем h обозначает какое-нибудь
целое число, а суммирование слева должно распространяться также и
на класс чисел s===0 (mod p). Мы покажем теперь, что это предло-
предложение относительно нечетных положительных простых чисел р может
быть в точно таком же смысле обобщено и на случай каждого поло-
положительного нечетного составного числа Я, которое не делится ни на
один квадрат (кроме 1). Итак, положим
где ру рг, р",.. .означают только положительные нечетные и отлич-
отличные друг от друга простые числа, и введем для удобства следующее обо-
обозначение:

§J16] Суммы Гаусса 263
Выпишем теперь для каждого из простых чисел р, //, р''у.. .равенство A):
и положим для сокращения
sG + s'Q' + ^e"+.-•=«•
Так как и после нового обобщения символа Лежандра всегда
Ш(?> ¦¦-&)¦
то перемножение всех этих равенств дает следующий результат:
где \/Р опять надо брать положительным, а суммирование слева рас-
распространяется на все рр'р"'.. . =Р комбинаций всех значений s, s', s",...
Прежде всего очевидно, что двум каким-нибудь различным из этих ком-
комбинаций соответствуют и два несравнимые между собою по модулю Р
значения т. В самом-деле, если бы
sq _|_ S'Q' _j_ S"Q" + . . . = tQ -f- t'Q' + /"Q" + . . . (mod />),
то, так как все Q', Q", ... ^0 (mod /?), отсюда следовало бы, что
sQ==tQ (mod/?),
а так как Q и р — взаимно простые числа, то и
5 === t (mod p).
Подобным образом из этого же предположения вытекали бы одновре-
одновременно сравнения
s' == t' (mod //), s" ~ f (mod p"),. ..
и, таким образом, обе'комбинации s9 /, is",. . . и tf, /', ^'f. . . были бы тож-
тождественны. Итак, т действительно пробегает полную систему вычетов
по модулю Р. Далее, имеем
/т\ (sQ-\-srQr-\-srfQfr-\-.. .\ / sQ\ ( s \ ( Q\
и точно так же
( т
V
Pf) Kp'JKp'J* \ргг)~~\р")\p")""

264 Дополнение I [§ 116
Следовательно, перемножение всех этих равенств дает
Умножая поэтому обе части вышеуказанного равенства B) на
(?)(?)(?)¦¦¦¦
получаем
причем справа для сокращения положено
Далее, так как
\Т)~\р) \~р
Vj\F) \F
то, перемножая, получаем
\р) Kp'J \p"J nlW \р)'
причем знак произведения П распространяется на все возможные пары
двух каких-либо различных простых чисел р и //. По закону взаим-
взаимности
а потому получаем
где суммирование справа опять распространяется на все комбинации
двух каких-либо различных простых чисел р и р'.
Далее,
I "¦' j?ji О О \ О " I Q I " »-)
Л л> \ Z. — Z
и, следовательно,
/ «\ ш^ = /Ах .[i-

§116] Суммы Гаусса 265*
Наконец (ср. § 46),
'-1)+... (mod 4),
и, следовательно,
2 ~ 2 ' 2"~" 2 г* • • • (mod 2).
Отсюда
4),
и, таким образом, окончательно получаем
что и требовалось доказать. Полагая h = О (mod Р), получаем снова (уже
доказанную в § 52, I) теорему

ДОПОЛНЕНИЕ II.
О предельном значении одного бесконечного ряда.
§ П7.
Теорема. Если а и b— две положительные константы, то беско-
беско, 1 , * .
(Ь + 2дI+Р (Ь + ЗаI+?
нечный ряд
сходится для каждого положительного значения р, и при неограни-
неограниченном убывании этого положительного числа р произведение pS при-
приближается к предельному значению аГ1 .
Доказательство. Построим для некоторого определенного
положительного значения р кривую, имеющую в прямоугольной системе
координат уравнение
,— -JL
Площадь, заключенная между кривой, положительной частью оси
абсцисс и ординатой в точке х — Ь, имеет конечную величину
Ту*х- 1- .
О
Ординаты кривой, соответствующие абсциссам
Ь, b—\-ay b-\-2a, b—[-3^,.. .,
равны
11 1 1
Их основания равноудалены друг от друга и разбивают ось абсцисс
на бесчисленное множество отрезков длины а. Построим на каждом
из этих отрезков как на основании прямоугольник, высота которого равна
его крайней правой ординате; площади этих прямоугольников последо-
довательно равны
а а а
(b+a)l+? ' {Ь + 2аI+? ' (Ь {- ЗаI+Р
Так как при возрастании х ордината у кривой все время убывает,
то каждый такой прямоугольник меньше, чем полоса с тем же осно-
основанием, простирающаяся до кривой, и, следовательно, сумма любого

$118 О ПРЕДЕЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ ОДНОГО БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА 267
числа этих прямоугольников всегда меньше, чем вся площадь, ограни-
ограниченная кривой, т. е.
а I а . а I <eL
x+? (b-\-2aI+? ^ (b + 3a)l+? ' " р#> '
Прибавляя к обеим частям по ab~~l~?, получаем
откуда следует, что ряд S, состоящий из одних положительных чле-
членов, действительно сходится при любом положительном значении р.
Построим теперь на каждом из предыдущих отрезков оси х как
на основании второй прямоугольник, высота которого равна крайней
левой ординате отрезка. Эти прямоугольники, площади которых равны
очевидно, больше полос с теми же основаниями, продолженных
до кривой, в силу уже сделанного замечания, что с возрастанием х
ордината у непрерывно убывает. Поэтому сумма всезивтих прямо-
прямоугольников больше всей площади, ограниченной кривой, т. е.
Таким образом значение бесконечного ряда S, а следовательно, и про-
произведения pS> заключено между двумя границами, а именно
Если положительная величина р становится бесконечно малой, то обе
величины
1 1 , о
стремятся к одному и тому же пределу аГ1 . Тем 'самым произведе-
произведение pS должно стремиться к этому же предельному значению аГл , что
и требовалось доказать.
§ П8.
Только что доказанная теорема является лишь частным случаем
следующего предложения, чрезвычайно важного по своим многочислен-
многочисленным приложениям:
Пусть К представляет систему положительных чисел k, a T
есть разрывная функция положительного непрерывного перемен-
переменного ty показывающая, сколько чисел k, содержащихся в К, не пре-
Т
восходят по величине /; если частное ~г при неограниченном возраста-
возрастании t стремится к некоторому определенному конечному пределу со,
то ряд

268
Дополнение II [§
распространенный на все значения k, сходится для всех положи-
положительных значений р, и произведение pS при бесконечно убывающем р
стремится к этому же предельному значению <о.
Доказательству этого общего принципа *) уместно предпослать
некоторые пояснительные замечания. По самому определению Т каж-
каждому конечному значению t соответствует также конечное значение Т.
В самом деле, если бы в К содержалось бесконечно много чисел k,
не превосходящих конечной величины t, то каждому большему зна-
значению t также соответствовало бы бесконечное значение Т\ поэтому,
Т
начиная с этого момента и далее, отношение — было бы бесконечно
Т
велико. Но это противоречит предположению, что у при возрастании
t стремится к конечному пределу ш. Далее легко усмотреть, что целое
число Т только тогда изменяет свою величину, когда t достигает
значения, которое равно одному или нескольким одинаковым содержа-
содержащимся в К числам ky причем Г увеличится тогда сразу ровно на столько
единиц, сколько имеется чисел ?, равных этому значению t
В простейшем случае, когда К состоит лишь из конечного числа
элементов ky справедливость предыдущего предложения усматривается
непосредственно. В самом деле, как только t достигает наибольшего
из этих значений ?, Т при дальнейшем возрастании t остается неиз-
неизменным и, следовательно, ш = 0. Но так как, с другой стороны, сумма
имеет конечную величину, то при бесконечно малом р произведение
pS также должно сделаться бесконечно малым.
Точно так же доказывается это общее предложение в частном
случае, который рассмотрен в предыдущем параграфе. Система К
состоит там из всех чисел вида Ь-\-па> соответствующих всем значе-
значениям 0, 1, 2, 3,... числа я. Если t — b-\-na или больше Ь-\-па, но
меньше Ь-\-(п-\-\)ау то соответствующее Т=п-\-1, вследствие чего
частное у при неограниченном возрастании /, а следовательно, и при
неограниченном возрастании п, стремится к предельному значению
а
В самом деле, мы нашли, что это значение является вместе с тем
и пределом произведения p<S, когда положительная величина р стано-
становится бесконечно малой.
§ П9.
Переходим теперь к доказательству общего предложения. Располо-
Расположим содержащиеся в К числовые значения k в порядке возрастания их
величин и снабдим их индексами так, чтобы
l) D i r i с h 1 с t, Recherches etc., § 1; D i г i с h 1 е t, Sur un theoreme relatif aux
series, Crelle's Journal, т. 53.

§ 119] О ПРЕДЕЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ ОДНОГО БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА 269
Это, очевидно, возможно, так как всегда имеется лишь конечное число
элементов k, меньших произвольной конечной положительной величины L
Если несколько из чисел k равны между собою, то каждое из них
в отдельности должно получить свой особый индекс, и тогда несколь-
нескольким последовательным индексам соответствуют равные по величине
числовое значения k.
Отвлекаясь от того мало интересного случая, когда имеется лишь
конечное число значений &, можно показать, что при неограниченном
возрастании п частное
h — ~
кп
стремится к тому же пределу со, и это замечание позволяет свести
общее предложение к уже ранее рассмотренному (§ 117) частному
случаю.
В самом деле, пусть 8 означает произвольно малую положительную
заданную величину; всегда можно соответственно выбрать настолько
большое положительное значение т, чтобы для всех значений t^>~
выполнялось условие
ш 8<<
Далее, пусть v есть то значение Г, которое соответствует значению
/ = т, т. е. &v<^<& <,х, а п — какое-нибудь из положительных целых
чисел v —[— 1, V—{—2, v -f- 3,. .. Тогда во всяком случае &л > т и если не-
несколько последовательных величин k имеют то же значение, что и kn,
то пусть кт,г будет первое, a kr — последнее из них; таким образом
я есть одно из чисел m-\-l, w-f-2,..., г. Если теперь t, начиная
с kmJ возрастает и будет все более и более приближаться к значению
kn, то Т остается равным ?п, и частное — , убывая, неограниченно
приближается к значению — ; а так как пг < я, то отсюда следует,
что
если только t очень близко к kn, оставаясь меньше его; для t = ku
мы, однако, имеем
и, следовательно,
Но так как при этом возрастании от t<^kn до t=kn>z частное
т
-г все время заключено между а> — 8 и <о—[—S, и вместе с тем, как
только что показано, оно скачком переходит от значений, меньших
Ап, к значениям, большим или равным hn9 то должно быть также
& — 8 < un<@-f-8. Итак, как бы ни было мало 8, п всегда может
быть выбрано настолько большим, чтобы hn в конце концов отличалось

270 Дополнение II [§119
от ш меньше, чем на 8, т. е., при неограниченном возрастании п, hn
стремится к тому же предельному значению со.
Этот результат позволяет легко провести доказательство общего
предложения. Имеем
"Г 2i+P "Т 3i+p Г---1
где /гп при неограниченном возрастании п стремится к предельному
значению ш и, следовательно, остается конечным, т. е. меньшим неко-
некоторой заданной константы Н\ поэтому сумма 'S' первых я членов ряда S
меньше, чем произведение И1+? на сумму R первых п членов ряда
Но этот последний ряд сходится для любого положительного значения р
(по § 117), а потому сходится и ряд S. Полагая S — S'-\-Sr't
R = R' -J- /?", имеем Srf = h1^9 Rtr, где h означает некоторое среднее
(во всяком случае положительное) значение из значений hn,v Aw+a» .. •
Пусть теперь 8— некоторая произвольно малая положительная заданная
величина, а п выбрано настолько большим (что всегда возможно), что
все эти значения h заключены между ш — 8 и (о-J-S; тогда h, а при
достаточно малых значениях р и й1"^, тоже будет заключено между
этими же границами. Далее, так как произведение р/?" (по § 117) при
неограниченном убывании положительной величины р неограниченна
приближается к единице, то при достаточно малых значениях р про-
произведение рУ = hl^? pR" также будет заключено между границами
<о — 8 и ©-(-8. Наконец, pSf делается бесконечно малым одновремелна
с р, так как S' содержит лишь конечное число членов, а потому для
очень малых значений р pS = pS' -f- pS" тоже будет заключено в тех же
границах со — 3 и ю-(-8. Итак, тем самым доказано, что при неогра-
неограниченном убывании р произведение pS стремится к предельному зна-
значению со J).
г) Следует отметить, что вышеизложенное общее предложение не поддается
обращению. Пусть, например, система К состоит из одного числа &=1, из
6 — 1 чисел k = 6, из 62—0 чисел k = б2, из 63 — б2 чисел k = №, и т. д., где 9
означает некоторое целое положительное число, большее единицы. Тогда дчя
любого положительного значения р
и при неограниченном убывании р произведение pS стремится к предельному
значению
_ 6-1
03 61п0 '
Т
Между тем частное — при неограниченном возрастании t убывает, начиная
от значения 1, проходит через значение ш и продолжает убывать до значе-
значения тг, после чего скачком опять принимает значение 1 и далее снова под-
подвергается тому же процессу изменения (ср. § 144).

ДОПОЛНЕНИЕ III.
Об одном геометрическом предложении.
§ 120.
Пусть в плоскости построена замкнутая плоская фигура F, все
измерения которой конечны и величину площади которой мы обозна-
обозначим через Л. Возьмем две взаимно перпендикулярные оси X и У и
построим две системы параллельных им равноотстоящих прямых, обра-
образующих числовую решетку на всей плоскости. Пусть расстояние между
двумя соседними параллелями равно 8, а Т есть число точек решетки,
лежащих внутри F. Тогда при неограниченном убывании 8 произве-
произведение Г82 стремится к предельному значению А !).
Для доказательства этого предложения рассмотрим систему прямых,
параллельных оси К, и для простоты предположим, что каждая из них
пересекает контур фигуры лишь в двух точках. Обозначим через h
длину отрезка какой-нибудь одной из таких параллелей, лежащего
внутри F. Площадь части плоской фигуры F, заключенной между этой
и последующей параллелью, приближенно выражается величиной А8, и
в учении о квадратурах доказывается, что при бесконечном уменьшении
8 сумма всех таких прямоугольников hb неограниченно приближается,
к истинной величине площади А плоской фигуры F. Обозначим через п
число лежащих на h точек числовой решетки (причем -безразлично,,
включаются или исключаются из этого числа случайно расположенные
на контуре F точки решетки). Тогда h состоит из я — 1 отрезков,
равных 8, и из остатка, который самое большее равен 28, так что
можно положить й = я8-}-е8, где г означает положительную или отри-
отрицательную правильную дробь. Отсюда
Далее, е по абсолютной величине не превосходит единицы; таким
образом сумма 2е8 самое большее равна конечному протяжении*
плоской фигуры F вдоль оси X, а потому S^sS становится беско-
бесконечно малой вместе с 8. Следовательно, произведение 7"82 стремится
к тому же предельному значению Л, к которому стремится и 2 ^>
что и требовалось доказать.
Впрочем, довольно очевидно, что это предложение не связано огра-
ограничением, в силу которого параллели оси У только один раз входят
и только один раз выходят из фигуры F. F всегда можно рассматри-
рассматривать как сумму положительных и отрицательных плоских фигур, удо-
удовлетворяющих в отдельности поставленным условиям. Применяя эта
предложение к каждой такой части в отдельности, немедленно убе-
убеждаемся в справедливости его относительно всей фигуры F,
l) D i г i с h I e t, Recherches etc., § 1.

ДОПОЛНЕНИЕ IV.
О родах, на которые распадаются классы квадратичных форм
с определенным детерминантом 1).
§ 121.
Пусть (а, Ь, с) — квадратичная форма с детерминантом b2— ac = D,
я п и п' — два каких-нибудь числа, представимых посредством этой
формы (причем безразлично, являются ли представляющие числа взаимно
простыми или нет). Произведение ппг всегда можно преобразовать
к виду х2— Dy2, где х и у означают целые числа; действительно, из
предположения
п = а
следует (по § 54), что форма (а, Ь, с) переходит посредством подста-
подстановки (а* П в форму (я, Ху п')у детерминант которой х2 — nnf имеет
вид Dy2. Из этого замечания можно вывести следующие заключения 2).
1. Если / есть нечетное простое число, входящее в D, то символ
имеет одну и ту же величину для всех чисел я, не делящихся на / и
представимых посредством формы (а, Ь, с). В самом деле, пусть п и nf —
два таких числа, т. е. не делящиеся на / и представимые посредством
формы (а, Ь, с). Тогда из ппг — х2 — Dy2 вытекает, что ппг === х2 (mod /),
и, следовательно,
(ппг\ , (п\ (ri\
\~г) — +lj стал°-быть [т)^кг)•
2. Если D^3 (mod 4), то выражение
имеет одну и ту же величину для всех нечетных чисел п9 представимых
посредством формы (я, Ьу с). Действительно, пусть п и пг — какая-
нибудь пара таких нечетных чисел; тогда
(mod 4).
х) Di rich let, Recherches sur diverses applications etc., § 3,6, Crelles's
Journal, т. 19.
2) Cp. Gauss, D. A., artt. 229—231.

§ 121] О РОДАХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 273
Далее, так как пп! есть нечетное число, то одно из чисел х, у должно
быть четным, а другое нечетным. Отсюда следует, что пп' === 1 (mod 4),
значит и n = nr (mod 4), а отсюда
3. Если D = 2 (mod 8), то для всех нечетных чисел я, предста-
представимых посредством одной и той же формы, выражение
имеет одну и ту же величину. В самом деле, из
^ = jc2-D/ = a:2-2/ (mod 8)
следует, ввиду нечетности лг, что nn' = ±l (mod 8), значит и
я = ± nr (mod 8), откуда непосредственно вытекает предыдущее
утверждение.
4. Если Z)===6 (mod 8), то*для всех нечетных чисел п, представимых
посредством одной и той же формы, выражение
сохраняет одну и ту же величину. Действительно, из
пп' =х2 — Dy* ==x* + 2y* (mod 8)
следует, ввиду нечетности х, что пп' = 1 или === 3 (mod 8), в зави-
зависимости от того, является ли у четным или нечетным; * тогда соответ-
соответственно п = пг или = 3nf (mod 8), и легко обнаружить, что в обоих
случаях
п — 1 . п2 — 1 __л' — 1 л'2 — 1
+ =+
что и требовалось доказать.
5. Если D = 4 (mod 8), то для всех нечетных чисел /г, представимых
посредством одной и той же формы, выражение
сохраняет одну и ту же величину. Действительно из пп' = х2 — Dy2
следует, ввиду нечетности д:, что ппг = 1 (mod 4), т. е. п = /гг
(mod 4).
б. Если D^O (mod 8), то для всех нечетных чисел п, предста-
представимых посредством одной и той же формы, каждое из двух выражений
б отдельности сохраняет неизменную величину. В самом деле, из
пп' = л? — Dy2 = x2 = 1 (mod 8)
следует
n==nr (mod 8).
18 ~Лежеж Дирихле.

274 дополнение iv [§ 122
§ 122.
На теоремах предыдущего параграфа основывается распределение
квадратичных форм с данным детерминантом D по родам. Мы ограни-
ограничимся здесь лишь начальными формами, так как то, что справедливо
для них, легко может быть распространено и на другие формы. Кроме
того, в случае отрицательного детерминанта мы будем рассматривать
лишь положительные формы, т. е. такие, крайние коэфициенты кото-
которых положительны. Итак, пусть (а, Ь, с) есть начальная форма с-го
вида (§ 61); мы знаем (§ 93), что ее переменным всегда можно при-
придать такие значения х, у, чтобы
ах2 + ЪЪху + су- _
а
было положительным и взаимно простым с 2D; при этом безразлично,,
будут ли х и у взаимно простыми числами или нет. Обозначим теперь
через /, V, /",... все различные между собою нечетные простые числа,
входящие в D. Тогда лля всех чисел <зп, порожденных одной и той же
формой (а, Ь, с), каждый из символов
(zn\ (Qn\ (Qfl\
а следовательно, и каждый из символов
сохраняет свою величину неизменной. Далее, пусть D не == 1 (mod 4)?
т. е. о=1. Тогда, в зависимости от того, будет ли D = 3 (mod 4), или
D = 2 (mod 8), или D==6 (mod 8), или D~4 (mod 8), или D = G
(mod 8), то же будет справедливо соответственно и для выражений
или же для каждого из обоих выражений
1
(— IJ и (— 1
Число этих выражений
и т*
(п\ (п\
которые мы назовем характерами С, зависит только от детерми-
детерминанта D и в дальнейшем всегда будет обозначаться через I. Если
D==l (mod 4), то X, очевидно, равно числу входящих в D нечетных
простых чисел /, V, lf\...; в остальных случаях, за исключением
D==0 (mod 8), оно на 1 больше, а в случае D == 0 (mod 8) оно
больше на 2. Систему определенных значений =?1, которые эти X
характеров С получают для какой-нибудь определенной формы (a, h, c)y
мы назовем полным характером этой формы. В зависимости от зна-
значения этого полного характера мы распределим все начальные формы
с равным детерминантом и одинакового вида на роды, а именно, две
формы мы отнесем к одному и тому же роду или к двум различным.

§ 122]
О РОДАХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
275
родам, в зависимости от того, будут ли полные характеры этих двух
форм тождественны друг другу или нет. Таким образом род является
совокупностью всех начальных форм с равным детерминантом и оди-
одинакового вида, для которых каждый из X характеров С, взятый
в отдельности, имеет одну и ту же величину. Но так как все члсла з/г,
нредставимые посредством некоторой определенной формы, могут быть
представлены также и посредством всех эквивалентных ей форм, то
все формы одного и того же класса принадлежат также одному и
тому же роду. Итак, род является всегда совокупностью некоторого
определенного числа классов форм. Далее, так как каждый из X ха-
характеров С может принимать два взаимно противоположных значения,
то отсюда вытекает, что максимальное число родов, которые могут
образовывать все начальные формы с данным детерминантом D и
вида а, равно 2х.
Отметим еще, что крайние козфициенты формы всегда могут быть
представлены посредством этой же формы, если одному из перемен-
переменных придать значение 1, а другому значение 0. Таким образом харак-
характеры этой формы всегда можно узнать посредством одного из этих двух
коэфициентов.
Пример 1. Для детерминанта ?) = —35 == 1 (mod 4) шесть форм
A, 0, 35), E, 0, 7), C, ±1, 12), D, ±1, 9)
образуют (§ 67) полную систему неэквивалентных (положительных)
форм первого вида, а обе формы
B, 1, 18), F, 1, 6)
— подобную же систему форм второго вида. Для того чтобы эти формы
(или классы, представителями которых они являются) распределить
по родам, мы должны рассмотреть оба характера
(S) - (т).
и так как X = 2, то для каждого из двух видов форм можно ожидать
не больше четырех родов. Фактическое вычисление дает в результате
следующую таблицу:
<"¦ >¦* Ш (т)
A, 0, 35)
E, 0, 7)
C. +1, 12)
D, + 1, 9)
B, 1, 18)
F, 1, 6)
18*

276 Дополнение iv [§ 122
Таким образом выясняется, что каждая из обеих систем распадается
всего на два различных рода. Три формы
A, 0, 35), D, ±1, 9)
образуют один род, полный характер которого определяется значениями
три остальные формы
E, 0, 7), C, ±:1, 12)
образуют второй род, полный характер которого определяется значе-
значениями
Каждая же из обеих форм второго вида образует по отдельному роду.
Пример 2. Для детерминанта D = — 5 = 3 (mod 4) обе формы:
A, 0, 5), B, 1, 3)
образуют (§ 71) полную систему неэквивалентных (положительных)
форм. Для распределения их по родам нужно рассмотреть оба ха-
характера
(-1)- и (т).
Форме A, 0, 5) соответствуют
а форме B, 1, 3) соответствуют
(?) —1.
Таким образом каждая из этих двух форм образует отдельный род;
так как Х = 2, то и здесь число родов равно не 2х, а только 2~"~1»
Пример 3. Для детерминанта D = 24~=0 (mod 8) легко находим
(по §§ 75, 78, 82), что четыре следующие формы:
A,4,-8), (-1,4,8), C,3,-5), (-3,3,5)
образуют полную систему форм. Здесь приходится рассматривать сле-
следующие три характера:
Первой из вышенаписанных форм соответствуют значения

§ 123] О родах квадратичных форм 277
второй — значения
третьей — значения
и, наконец, четвертой — значения
Таким образом и здесь оказывается, что число имеющихся в дей-
действительности родов равно не 2х, а только 2х" •
§ 123.
При помощи закона взаимности можно действительно показать,
что число различных родов самое большее равно 2х". Положим
D = D'S2t где S2 означает наибольший квадрат, входящий в Z),
и припишем буквам 8, е, Р те же значения по отношению к /У,
какие они получили в § 52 относительно числа, обозначенного там
буквою D. Тогда
где п означает любое положительное целое число, взаимно простое
с 2D. Так как детерминант D не является квадратом и, следовательно,
D' ф 1, то 8, е и Р также не могут быть одновременно равны единице,
и отсюда легко следует, что выражение
тождественно совпадает или с одним из характеров С, или с про-
произведением нескольких из них. Обозначим эти характеры через С,
а их произведение через ПС; тогда всегда будет
если только п положительно и взаимно просто с 2D. Так как по-
посредством каждой начальной формы о-го рода всегда могут быть пред-
представлены числа сп, в которых п удовлетворяет этому условию (§ 93),
и притом такие числа an, для которых D является квадратичным
вычетом (§ 60), то отсюда вытекает, что полный характер каждой
формы по самой своей природе таков, что всегда
и никогда ЦС не равно —1. Но из всех 2х комбинаций знаков, ко-
которые получаются, если каждому из X характеров С придавать как

278 Дополнение iv [§ 123
значение -{-1, так и значение —1, половина, очевидно, такова, что
для них Пс/== — 1; отсюда следует, что этим комбинациям знаков
или полным характерам не могут соответствовать фактически суще-
существующие формы. Таким образом число действительно существующих
родов самое большее равно 2"~~1-
В дальнейшем будет показано, что всем тем полным характерам,
для которых выполняется вышеуказанное соотношение, действительно
соответствуют фактически существующие формы, т. е. что число имею-
имеющихся в наличии родов равно 2*"~~\ и, кроме того, что каждый род
содержит одинаковое число классов форм.
§ 124.
Обозначим опять (как в § 89) через п все положительные целые
числа, взаимно простые с 2D, далее, через т все те числа /г, для
которых D является квадратичным вычетом, а через jx число различных
между собою входящих в т простых чисел. Пусть, далее, ф (/г) — не-
некоторая функция, удовлетворяющая условию ф (п') ф (пг/) = ф (п'пп)\
тогда мы всегда имеем
2 * («2) 2 2^ (т) = 2 <f (n) 2 (-?¦) 4 (я),
причем предполагается, что стоящие здесь бесконечные ряды имеют
определенные суммы, не зависящие от порядка членов. Если положить,
в частности, ф(я) = nTs, то это равенство переходит, очевидно, в по-
последнее равенство § 89, и справедливость его может быть доказана
точно таким же образом, как и справедливость того равенства. Мы
произведем здесь следующую проверку.
Поступая, как в § 91, и выполняя перемножение обоих бесконеч-
бесконечных рядов в правой части, получаем
где
причем 8 должно пробегать все делители числа /г. Представим себе
теперь, что число п разложено на произведение степеней простых
чисел Л, В,..., и обозначим через а все делители Л, через Ь все
делители В и т, д.; отсюда вытекает, что %п является произведением
сумм
Пусть, например, A =q*> где q — простое число; тогда, если D
есть квадратичный вычет qf то

§ 124] О РОДАХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 279
если же, наоборот, D является невычетом q, то
—^ = 1 или О
в зависимости от того, является ли а четным или нечетным, т.е. в за-
зависимости от того, является ли А квадратом или нет. Если
обозначить поэтОхму через k все числа я, состоящие лишь из таких
простых множителей, для которых D является невычетом, то отсюда
следует, что каждое число п, для которого тп отлично от
нуля, имеет вид mk2; при этом хп ,равно тогда числу im всех дели-
делителей т. Далее, так как •} (mk2) = ф (т) ty (k2), то правая часть нашего
равенства принимает вид
2 тлф (т&) = 2
Обратимся теперь к левой части; так как каждое число п имеет
вид km, то сперва получаем
и, следовательно, остается только показать, что
Выполним слева перемножение, причем все члены произведения,
содержащие общий множитель ty(m), соединяем в одно слагаемое; тогда
получаем результат вида
где коэфициент
содержит ровно столько членов, сколько число т имеет делителей
вида 82, т. е. квадратов, а число v для каждого разложения
вида /я = е82 показывает, сколько входит в s различных простых чисел.
Итак, остается теперь только показать, что тя/ = тш, т. е. требуется
доказать следующую теорему:
Пусть целое положительное число т разложено всевозможными
способами на два множителя, один из которых является квадра-
квадратом 82. Если v каждый раз означает число различных между собою
простых чисел, входящих во второй множитель е, то 2 ^ равна числу
~t)l всех делителей числа т.
В справедливости этого предложения легко убедиться следующим
образом. Пусть
где я, Ь, с,.., означают различные между собою простые числа; тогда
каждый делитель г имеет вид
1) Общая величина обеих частей равна квадрату

280 Дополнение iv [§ 124
где каждое из Л, В> С,... означает соответственно какой-нибудь из
членов последовательностей
и т. д., причем ряды эти следует продолжать до тех пор, пока пока-
показатели степени не станут отрицательными. Пусть теперь каждому
множителю Л, В, С,. .. соответствует свой множитель Л', В', С, .. .,
равный 2 или 1, в зависимости от того, будет ли соответствующий
показатель степени больше или равен нулю; тогда
и, следовательно,
Но легко непосредственно убедиться, что
поэтому
2
что и требовалось доказать.
Тем самым справедливость вышеуказанного равенства тоже доказана.
При внимательном исследовании предыдущего доказательства легко
усмотреть связь между этой теоремой и (доказанной в § 91) теоремой
о всех представлениях числа an посредством полной системы 6" началь-
начальных форм о-го вида. Таким путем можно притти к очень простому
доказательству этой последней теоремы, а именно, если исходить из
полученного в § 60 или § 86 результата, что число различных групп
собственных представлений числа от посредством форм системы S
равно 2^, где а означает число различных входящих в т простых чисел.
В заключение заметим, что эта теорема поддается значительному
обобщению, а именно, можно вместо участвующего здесь символа
Якоби ввести какую-нибудь функцию 6 (//), удовлетворяющую условию
6 (пг) 6 (п") = 0 (п'п") и принимающую лишь конечное число различных
значений.
§ 125.
По § 123 все (положительные) формы с детерминантом D и вида а>
а следовательно, и все h классов форм, распадаются самое большее
на т = 2 ~~ различных родов, все полные характеры которых удовле-
удовлетворяют условию
эти роды мы обозначим через
о,, о,, ...,ot

§ 125] О РОДАХ КРАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 281
Число классов форм, содержащихся в каждом из этих родов, обозна-
обозначим соответственно через
при этом, если бы один из этих родов, например Gr, в действитель-
действительности не существовал, то gr надо было бы положить равным нулю.
Мы теперь как раз и покажем, что этого никогда не бывает, т. е.
что указанные т родов действительно существуют, и, кроме того, что
все они содержат одинаковое число классов форм, т. е. что
ё\=ёъ = ёъ = •••=7'
Для этой цели воспользуемся доказанным в предыдущем параграфе
равенством *), полагая
где у (п) означает один из 2х = 2т членов суммы, получающейся при
развертывании произведения
распространенного на все X характеров С. При таком частном выборе
функции условие ф (n)ty (nr) = ty(nn'), очевидно, выполняется, так как
все множители С, из которых составлена подобная функция y{n)t
удовлетворяют этому же условию. Так как, кроме того, у(п) — ±1
для каждого числа я, взаимно простого с 2D, то все четыре бесконеч-
бесконечных ряда, входящих в это равенство, сходятся для любого положи-
положительного значения s>l, независимо от порядка их членов. На
у (#2) = у (п) ^ (/г) = -f- I, a потому при этих предположениях
vi 1 VI .. /.л 211 vi7Wvi /^>N
Представим себе теперь, что снова выписана (как в § 88) полная
система S из h форм
(я, ft, c)f {a\ b\ cf), . ..
с детерминантом D и вида а, и подчиним переменные дг, у каждой
формы заданным там условиям I, И, III. Тогда каждое число am будет
порождено всего х 2^ различными способами; причем х имеет прежнее
определенно установленное значение, т. е. зависит лишь от D и с
Все h форм системы 5 распадаются на две группы, а именно на группу
!) Нашей цели можно достичь и без помощи этого равенства, другим,
несколько более коротким, хотя принципиально и не отличным от выбраннога
путем, а именно, исходя из вытекающего из §91 равенства % 2т» Ф (п) =
= 2 ^ М' где ^ есть пРоизвольная функция, a gv означает все те числа, ко-
которые порождаются системой форм (а, Ь, с) при условиях I, II § 90. Если,
положить теперь 6 (п) = n~s П A + ЧГС), где уг означает величину характера С
в роде Gr, то последнее выражение в правой части немедленно изолируется, между
тем как процесс перехода к пределу в левой части может быть выполнен для
каждой составной части сгх(п) произведения П A +TrO B отдельности.

282 Дополнение iv [§ 125
из И форм, которые мы обозначим через (а, Ь, с) и для которых
у (/и) = -|-1, и на вторую группу из Н' форм, которые мы обозначим
через [а\ У, с') и для которых у(т) =— 1. Очевидно, все gr форм
системы S, принадлежащие одному и тому же роду Ог, попадут при
этом в одну и ту же из этих групп. В самом деле, для всех этих
форм каждый множитель С функции /(/я), взятый в отдельное!и,
а следовательно, и сама у{т) имеет °ДНУ и ТУ же величину. И обратно,
легко усмотреть, что все числа от> которым соответствует у(т)=-\-\,
порождаются исключительно формами первой группы, а все числа am,
которым соответствует у (т) = — 1, — исключительно посредством'
форм второй группы. Таким образом
'• 2* 'L W ms \ _y /a>x* + 2b'xy + C#y8 _ I
причем двойные суммы в правой части, соответствующие Н формам
(a, by с) первой группы, снабжены положительным знаком, а соответ-
соответствующие Я/ формам (а\ У, с') второй группы — отрицательным знаком.
Перемножим теперь обе части этого равенства с бесконечным рядом
в силу вышеприведенного равенства получаем слева результат
Выполним, далее, умножение в правой части, как в § 90; при этом
внешний вид ее не меняется, но отпадает только прежнее условие III,
в силу которого придаваемые переменным х и у значения должны были
быть взаимно простыми. Итак, получаем
\
J
ns
Положим теперь s=l~\-p и умножим все на р. При неограничен-
неограниченном .убывании положительного числа р каждое из h произведений
ах* + ЪЪху + су2
[а'.к*
•стремится к одному и тому же отличному от нуля предельному зна-
значению W> которое было определено в § 95 для отрицательного детер-
детерминанта, и в § 98 для положительного. Тем самым произведение р
на правую часть предыдущего равенства стремится к предельному
значению (H—H')W.
В обоих случаях, в которых за у (п) берется либо первый член 1
либо член 11G разложения произведения П A -j~С), имеем H==h и
/// = 0; вышеуказанное равенство в точности совпадает с равенством

§ 125] О родах квадратичных форм 283
§ 90, которое в дальнейшем привело к определению числа классов h.
В остальных же 2т — 2 случаях, т. е. когда под у (п) понимается
какой-либо из членов развернутого выражения
ПA+С)— 1 — ПС,
каждый из обоих бесконечных рядов
~ 7 (/?)
при неограниченном убывании р стремится, как это будет дополни-
дополнительно показано в следующем параграфе, к некоторому конечному
предельному значению, а следовательно, произведение
стремится к предельному значению нуль. Сравнивая этот результат
с найденным выше предельным [значением (Н — Hf) W, где W было
отлично от нуля, получаем
Я—Я' = 0,
т. е. каждому из этих 2т — 2 случаев соответствует распределение
всех h форм системы S на две группы, каждая из которых содержит
равное число Н=Нг = -кН форм.
Вследствие приведенного выше замечания, по которому gr форм
системы S, принадлежащие одному и тому же роду Ог? при каждом
частном выборе х{п) попадают или все целиком в первую, или все
целиком во вторую группу, каждое такое равенство вида Н—Н' = 0,
соответствующее одному из этих 2т — 2 случаев, может быть перепи-
переписано следующим образом:
Здесь число gx имеет всегда положительный знак; знак же какого-
либо из чисел gr будет положительным или отрицательным, в зависи-
зависимости от того, принадлежат ли в этом случае формы рода Gr той же
группе, что и формы рода Ov или нет, т. е. в зависимости от того,
принимает ли у\п) для рода Gx и для рода Gr одинаковые или про-
противоположные значения. Пусть Д есть избыток числа случаев, когда
имеет место первое из этих предположений, над числом остальных
случаев. Складывая все равенства {g), соответствующие 2т — 2 раз-
различным случаям, замечаем, что коэфициент при g1 будет равен 2т — 2,
а при gr равен Д. Для определения этого избытка Д обозначим через
^ и -(г те определенные значения ±1, которые принимает какой-либо
из X характеров С соответственно в родах Gt и GT\ а среди нмх
через т/ и т/ обозначим те значения, которые соответствуют харак-
характерам С. Легко убедиться, что тогда

284 Дополнение iv [§ 126
В самом деле, если развернуть первое произведение в правой части,
состоящее из X множителей вида 1 -f-YiTr» и сократить оба получаю-
получающихся при этом члена 1 и П^'-у/ с двумя другими членами, то остаются
2х — 2 = 2т—2 членов, каждый из которых соответствует определен-
определенному члену развернутого выражения
ПA + С) —1—ПС,
т. е. определенному частному выбору •/ (/г), и притом такой член будет
равен -f-1 или —1, в зависимости от того, окажутся ли оба значения,
которые соответствующее ~/(п) принимает для рода Gt и для рода Gr,
равными или противоположными. Таким образом алгебраическая сумма
всех этих членов действительно равняется избытку А, что и требова-
требовалось доказать. Но так как оба рода Gx и Gr различны, то по крайней
мере один из X множителей 1+TiTr равен нулю; а так как, кроме
того, II'Y1/=lf II-f/=lf а следовательно, и Hf/y/ =1, то получаем,
что А = — 2. Итак, этот избыток А для всех родов, отличных от Gv
имеет одинаковую величину; складывая все 2т — 2 равенств (g)> полу-1
чаем поэтому в итоге
Bт —2)^ — 2 ( +
и так как, кроме того,
то отсюда следует
2tft-2A = 0, или г1 = ^^.
Но для каждого из родов G2, G3,... , G^ это исследование может
быть проведено точно так же, как и для рода Gv а потому в конеч-
конечном итоге получаем следующую теорему *):
Число действительно существующих родов равно 2х", и все эти
роды содержат одинаковое число классов форм.
§ 126.
Для завершения предыдущего доказательства остается только пока-
показать, что для каждого из 2т — 2 частных определений функции у (п)
соответствующих членам указанного развернутого выражения, каждый
из двух бесконечных рядов
г) Gauss, D. A., artt. 252, 261, 287. При помощи теоремы об арифметиче-
арифметической прогрессии (дополнение VI) вышеизложенная теорема может быть дока-
доказана очень коротко. А именно, так как все числа п, для которых каждый из X
характеров С обладает предписанным значением it 1, содержатся в определен-
определенных арифметических прогрессиях с разностью 4Z), первые члены которых при
этом взаимно простые с 4D (ср. § 52), то среди этих чисел п имеются также
и простые числа р. Если заданные для характеров С значения ~\-1 удовле-
удовлетворяют условию ПС/ = + 1» то D является квадратичным вычетом р, и,
следовательно, существует некоторая (положительная) начальная форма пер-
первого вида, первый коэфициент которой равен р, обладающая поэтому заданным
полным характером. Ср. далее §§ 152—158.

§ 126] О РОДАХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 285
сходится при неограниченно убывающем положительном р к некото-
некоторому конечному предельному значению. Принимая во внимание прежние
исследования (§ 101), это можно сделать следующим образом.
Каждая из двух сумм, о которых идет речь, имеет вид
2 7? = ^°2 ^8 (т) /F '
где в2=1, т}2=1, a L является одним из нечетных делителей D. Так
как множители в знаменателе символа Якоби, являющиеся квадратами,
могут быть отброшены, то мы в праве предположить, что L не делится
ни на какой квадрат (кроме 1). Далее, во всяком случае не может
быть одновременно 8 = + Ь iq == —J— 1, 1=1, так как тогда было
бы или у(п) = 1, или ^(/г)==Пс/, что противоречит нашему пред-
предположению.
Обозначим через LU произведение всех различных между собою
входящих в D нечетных простых чисел; тогда система чисел п тожде-
тождественна с системой всех положительных целых чисел, взаимно простых
с 8LL'. Рассмотрим сначала лишь первые v(8LL') чисел я, т. е. те из
чисел п, которые меньше 8LL', и покажем, что сумма соответствующих
значений ап равна нулю. С этой целью обозначим через а какое-нибудь
из четырех чисел 1, 3, 5, 7; через b какое-нибудь из y(L) чисел,
взаимно простых с L и не превосходящих Ц наконец, через bf какое-
нибудь из <p(L') чисел, взаимно простых с V и не превосходящих Z/.
Тогда (по § 25) посредством трех сравнений
п==а (mod 8), n==;b (mod Z,), n==br (mod U)
определится одно и только одно число п, взаимно простое с 8LV и
вместе с тем меньшее, чем 8LLJ'. Пусть теперь каждое из трех чисел
Ну by br независимо от остальных пробегает все полагающиеся ему
значения; тем самым будут порождены и все <?(8LLf) чисел п, взаимно
простых с 8LU и меньших, чем 8LI/. Но каждый раз при этом
а потому распространенная на эти значения п сумма
Но (по § 52, I)
за исключением случая, когда 1=1; кроме того, легко обнаружить,
что и
^62 т|8 =0,
за исключением случая, когда в ===== tq == —|— 1. Но выше уже было отме-

286 Дополнение iv [§ 126
чено, что оба эти исключения во всяком случае не могут наступить
одновременно, ча потому
причем знак суммы распространяется на указанные значения я.
Далее, если только п! = п (mod 8LZ/), то и ап> = ап, а потому
всегда
2«„ = о,
если суммирование распространяется на любые о (8LL') последователь-
последовательные, а значит, несравнимые по модулю 8Z.Z/, значения п. Отсюда не-
непосредственно вытекает, что сумма всех значений <хп, соответствующих
произвольному количеству последовательных значений п (начиная
с /г=1), всегда остается ниже некоторой конечной границы. В силу
проведенного ранее исследования (§ 101) ряд
члены которого расположены по возрастающей величине знаменателя,
при всяком положительном значении 5 представляет конечную и не-
непрерывную функцию от s. Следовательно, каждый из обоих предыду-
предыдущих рядов при неограниченно убывающем положительном р стремится
также к некоторому конечному предельному значению, что и требо-
требовалось доказать.

ДОПОЛНЕНИЕ V.
Теория степенных вычетов для составных модулей.
§ 127.
В § 28 было показано, что если число а — взаимно простое с моду-
модулем k, то всегда существуют такие целые положительные показатели п,
при которых an===l (mod k). Эти показатели п принимают все значе-
значения, кратные наименьшему из них, который обозначается через 8; тогда
говорят, что чисдо а принадлежит к показателю 6; при этом о чисел
1, я, а*,..., а* . (А)
все несравнимы между собою. При помощи обобщенной теоремы Ферма
там также показано, что 8 всегда является делителем <?{&)• Однако
этот результат может быть получен и без помощи теоремы Ферма,
применением своеобразного метода, которым весьма часто можно поль-
пользоваться при доказательстве делимости одного числа на другое. В на-
нашем случае он применяется следующим образом.
Пусть а! — некоторое число, взаимно простое с k\ тогда о чисел
а', а'а, а'а*, ..„а'а8 (АО
все несравнимы между собою (по § 18); то же имеет место и для 8
чисел
a\ct'a, а"а*, ...,а"аь~\ (А")"
если только а"— тоже взаимно простое с k. Каждый такой комплекс,
как А' или А", солоржит 8 несравнимых между собою чисел, причем
все они — взаимно простые с k и, следовательно, могут быть рассма-
рассматриваемы как представители 8 классов чисел относительно модуля k.
Предположим, что один и тот же класс чисел оказался представлен-
представленным в каждом из обоих комплексов А' и А"; тогда существуют два
таких показателя р/ и \х", что
fl'./s// (mod k).
Ввиду симметрии мы можем предположить, что \l" ;>«/; посредством
деления на а^ получаем сравнение
а' = а"а*"-*' (mod A),
а отсюда немедленно вытекает, что каждое содержащееся в {к') число
а'ат сравнимо с числом вида aVS т. е. с одним из содержащихся

238 Дополнение v [§ 127
в классе (А") чисел. Отсюда мы в праве заключить, что либо два таких
комплекса (А') и (А") содержат те же самые 8 классов чисел, либо же
ни один из классов не представлен в обоих комплексах одновре-
одновременно.
Образуем теперь последовательно все такие комплексы вида (А'),
{А"),. . . состоящие из 8 классов чисел, причем выбираем только те
из них, которые различны между собою. При этом каждый из о (k)
классов чисел, содержащих числа взаимно простые с ky должен в конце
концов оказаться представленным в одном и только одном из этих
комплексов. Пусть число таких различных между собою комплексов
равно е; тогда <р (k) = eS, значит, <р (k) должно делиться на 8, что и
требовалось доказать.
Отсюда, как следствие, получается теорема Ферма. В самом деле,
возводя сравнение
а=1 (mod k)
в степень г, получаем
a*(fc)E=l (mod А).
§ 128.
В случае, когда модуль k есть простое число /?, в § 29 было по-
показано, что к каждому делителю 8 числа <р (/?)=/?— 1 принадлежит
в точности <р (8) чисел, несравнимых по модулю р; а в § 30 рассматри-
рассматривались свойства так называемых первообразных корней р, т. е. тех
<р(/7 — 1) несравнимых чисел g, которые принадлежат к самому пока-
показателю р — 1. Мы займемся теперь исследованием, сохраняют ли подоб-
подобные законы силу также и для составных модулей.
Сначала ограничимся случаем, когда модуль k является степенью
нечетного простого числа р. По аналогии, под первообразным корнем
модуля k мы будем понимать всякое число g, принадлежащее к пока-
показателю ?(?). Доказательству действительного существования таких
первообразных корней мы предпошлем следующее вспомогательное
предложение:
Если h есть какое-нибудь целое число, а тс— положительное целое
число, то всегда
(l + hpK)p г 1 + Ар" +х (mod p« +2).
В этом легко убедиться посредством разложения левой части по
формуле бинома. А именно, ограничиваясь тремя первыми членами,
лаходим сначала
A +Нр*У*=1 + Ар" + 1+ 1 (р_ 1)йУ" + 1 (mod Л
«ели принять во внимание, что р — нечетное, а следовательно, у (р — 1) —
целое число и, далее, что как /?2л~*"\ так и pSK делится на рк^2, то
лолучаем написанное выше сравнение.

§ 128] Теория степенных вычетов для составных модулей 289
После этого предварительного замечания перейдем к нашему иссле-
исследованию и предположим сначала, что для модуля рг"^х действительно
существует первообразный корень g, причем к^> 1. Естественно задаться
вопросом: к какому показателю принадлежит подобное число g отно-
относительно модуля рк? Пусть 8 есть этот показатель, т. е.
только что доказанное предложение дает
/^1 (mod/
Но g есть первообразный корень рк + \ а потому ор должно делиться на
<р (/?* + *) =я (р — 1) рг\ следовательно, о должно делиться на (р — 1) рк~~*.
С другой стороны, так как g принадлежит к показателю 8 относительно
модуля рт\ то ®(рг:) — (р—1) р^" необходимо должно делиться на 8.
Тем самым 8 = © (р*), т. е. g является также первообразным корнем
и для рг\ Вместе с тем очевидно, что число h в равенстве
не может делиться на р; в самом деле, тогда было бы
т, е. g не было бы первообразным корнем р*^1..
Продолжая и дальше эти заключения, получаем сначала результат:
Каждый первообразный корень g некоторой высшей степени не-
нечетного простого числа р необходимо является первообразным корнем
usсамого числа р, причем таким, что gp~1—1 не делится на р2.
Предположим теперь обратное. Итак, пусть g—первообразный
корень рк, причем такой, что число h в равенстве
не делится на р. Спросим себя теперь: к какому показателю принад-
принадлежит это число g относительно модуля рк ? Пусть этот показатель
равен 8, т. е.
тогда также
/ = 1 (mod /),
и, следовательно, 8 делится на ?(pz). Но, с другой стороны, о должно
быть делителем ср(р* + 1) = ру (/?*), а потому 8 равно либо ср(рГ)» либ©
cp(/7TC + 1). Но первое не имеет места, так как согласно нашему пред-
предположению число h не делится на р. Таким образом 8 = © (/?к + 1), т. е.
19 — Лежен Дирихле.

290 Дополнение V [§ 128
число g является первообразным корнем р*"*. Вместе с тем из срав-
сравнения
JP-DP* =s(i + hpy=i^.hp' + ^ (mod р- + *)
вытекает, что число h' в равенстве
не делится на р.
Повторно применяя это рассуждение, получаем второй результат:
Каждый первообразный корень g нечетного простого числа р, для
которого разность gp~* — 1 не^делится на р*9 является также
первообразным корнем всех высших степеней р.
Таким образом для доказательства существования первообразных
корней g высших степеней р и для нахождения всех таких чисел g
остается только показать, что действительно существуют первообраз-
первообразные корни g числа /?, для которых gp~~1—1, или, что то же самое,
для которых gp — g не делится на р2. Этого легко достичь следую-
следующим образом. Пусть /—какой-нибудь из первообразных корней р\
тогда все числа вида
точно так же являются первообразными корнями р. По формуле бинома
gp = f (mod p»);
полагая поэтому
fP=f+fp (mod p%
имеем
» x) (mod р*),
а следовательно, g—f-\-px является первообразным корнем всех сте-
степеней р, за исключением тех случаев, когда x=f (mod p), т.е. когда.
g = f (modp%
Но так как существует о(р—1) несравнимых по модулю /? чисел/„
и из каждого числа / может быть получено ровно р—1 несравнимых
по модулю р2 чисел g = f-[-px таких, что gp~x — 1 не будет делиться
на р2у то мы получаем следующий результат:
Совокупность всех первообразных корней высших степеней нечет-
нечетного простого числа р совпадает с совокупностью всех представите-
представителей (р— 1)?(р— 1) различных классов чисел относительно модуля р*
Пример. Все первообразные корни простого числа р = 7 содер-
содержатся в обеих прогрессиях 7х-\-3, 7х-\-5. Так как
37==31, 57=ее19 (mod 49),
то все числа, содержащиеся в арифметических прогрессиях 7х-\-3^
7а:-j-5, за исключением тех из них, которые =31 или === 19 (mod 49M>
являются также первообразными корнями всех высших степеней 7.

§ 129] Теория степенных вычетов для составных модулей 291
§ 129.
После того как существование первообразных корней g для каждого
модуля /?тс, являющегося cfепенью нечетного простого числа р, уже до-
доказано, остальные элементарные вопросы относительно степенных выче-
вычетов разрешаются легко. Введем сокращенное обозначение
? (р)
Степени
g°>g\& ...>/~1 (mod/)
все несравнимы между собою и потому образуют полную систему не-
несравнимых чисел, за исключением чисел, делящихся на р. Пусть теперь
п — некоторое число, не делящееся на р; всегда существует бесконечно
много показателей f, которые все, однако, сравнимы между собою по
модулю с, обладающих тем свойством, что
n~g( (mod//1);
«Y называется тогда индексом числа п по основанию g, и записывается это
так:
Indn== «y (mod с).
Пусть «y пробегает полную систему вычетов по модулю с, тогда п
пробегает полную систему чисел, взаимно простых с / и несравни-
несравнимых между собою по модулю рг\ Для вычислений гри помощи этих
индексов справедливы т,е же законы (данные в § 30), что и для слу-
случая тс=1. Мы здесь особенно подчеркиваем, что
Ind(l)E=0, Ind( — \)=~c (mode)
и, далее, что п является квадратичным вычетом или невычетом рк в за-
зависимости от того, будет ли Ind я четным или нечетным.
По индексу числа п можно легко определить показатель t, к кото-
которому принадлежит п относительно модуля рг\ А именно, из сравнения
Ind п ( Л т\
nn=Bg (mod p )
следует
t - t Ind n ( л r\
п =g (modp).
Таким образом, если я*=1, то tln&n должно делиться на с, а
следовательно, t должно быть кратным ~ , где 8 обозначает общий
наибольший делитель с и Ind n\ поэтому наименьшее из всех этих чисел t,
т. е. показатель, к которому принадлежит п, равно -¦? .
о
Отсюда следует, что п тогда и только тогда будет первообразным
корнем р\ когда Ind я есть число взаимно простое с с\ поэтому число
19*

292 Дополнение V [§130
всех первообразных -корней Рг\ несравнимых по модулю рк, равно
числу взаимно простых с членов последовательности
О, 1, 2, ..:, с—1,
т. е. равно
Этот результат является также непосредственным следствием
заключительной теоремы предыдущеро параграфа.
§ 130.
Простое число 2 ведет себя иначе, чем нечетные простые числа»
исключительно рассматривавшиеся до сих пор.
Для модуля 2 каждое нечетное число может рассматриваться как
первообразный корень.
Для модуля 22 = 4 3 == — 1 является первообразным корнем. Для
каждого нечетного числа п имеется соответственно такой показатель а,
что
я== (— 1)а (mod 4);
при этом сх==О (mod 2) или = 1 (mod 2), в зависимости от того, будет
ли п==\ или ==3 (mod 4).
Итак, до сих пор имеется еще полная аналогия с нечетными про-
простыми числами; но эта аналогия прекращается, как только рассматри-
рассматривается модуль 2х, в котором показатель Х>-3. А именно, можно по-
показать, что в случае какого-нибудь нечетного числа п уже всегда
п 2 = /Г" " == 1 (mod 2').
В самом деле, это предложение справедливо для X = 3, ибо квадрат
всякого нечетного числа п будет = 1 (mod 8). Предположим далее,
чго это предложение уже доказано для некоторого произвольного по-
показателя X ^ 3. Итак, пусть
иа>-~2=1+*2\-
возводя в квадрат, получаем
п2'' = 1 + fit+ х + й*2=*= 1 (mod 2' + %
т.е. предложение верно также и для последующего показателя X-J-1.
Тем самым оно верно вообще, так как для X = З^оно справедливо.
Спрашивается теперь, существуют ли в этих случаях числа, принад-
принадлежащие хотя бы к показателю — о BЛ)=2Х~~2. Легко убедиться, что
число 5 обладает этим свойством для каждого модуля 2К ^> 8. А именно»
5=1+4 (mod 8),
&= 1+ 8 (mod 16),
54=1 + 16 (mod 32),
58=1+32 (mod 64),

§ 130] Теория степенных вычетов для составных модулей 293
и вообще
5^-3^1+2*-1 (mod2x).
Таким образом
52>~3 никогда не = 1 (mod 2'),
откуда непосредственно вытекает, что показатель, к которому принад-
принадлежит число 5 по модулю 2 , не может быть делителем 2У~~3; но так как он
должен быть делителем 2 ~2, то тем самым он необходимо равен 2 ~2.
Отсюда, полагая для сокращения
получаем, что b чисел
50, 5', 52, ..., 56-1
все несравнимы по модулю 2 ; то же имеет место и для чисел
— 50, — 51, —52, ..., —Ъь~\
Далее, так как все числа первой последовательности == 1 (mod 4),
а все числа второй == 3 (mod 4)y то взятые вместе они образуют си-
систему <?\2') несравнимых по модулю 2К нечетных чисел. Пусть теперь
п — какое-нибудь нечетное число; всегда можно положить
п={— 1)*5Р (mod 2'),
причем а вполне определено относительно модуля 2, а р относительно
модуля Ь. Пусть а пробегает полную систему вычетов относительно
модуля 2, а р, независимо от а, — полную систему вычетов относительно
модуля Ь\ тогда п пробегает полную систему чисел, несравнимых по
модулю 2х и взаимно простых с 2х, т. е. нечетных чисел. Оба этих
числа а и C можно назвать индексами числа п. Они подчиняются совер-
совершенно тем же законам, что и индексы для ранее рассмотренных моду-
модулей. Мы особенно подчеркиваем, что я==:±:1 или ==е:±:3 (mod 8)
в зависимости от того, является ли р четным или нечетным.
Следует отметить, что предыдущий вид, к которому может быть
приведено всякое нечетное число, годится также и для случая Х = 2;
а именно, число b значений C приводится к единице, и так как 5 == 1
(mod 4), то этот вид переходит в прежний я == (—1)* (mod 4). Для
дальнейших рассмотрений даже целесообразно распространить этот вид
представления всех чисел, взаимно простых с модулем вида 2я, также и
на случаи 1 = 0 и Х=1. Так как в этих случаях подлежит предста-
представлению всего лишь один класс чисел, то аир придется придать также
лишь по одному значению. Полагая поэтому a = b—lt когда Х = 0
или Х=1, а во всех остальных случаях (X > 2) а = 2, b — ~v{2x)i
мы можем сказать, что когда аир пробегают соответственно полную
систему вычетов относительно а к Ь, выражение
/z==(-l)*5p (mod 2х)

294 Дополнение V [§131
пробегает все числа, несравнимые и взаимно простые с модулем, при-
причем всегда о Bх) = ab.
§ 131.
Пусть -теперь модуль есть любое составное число
где р, p'j ... означают отличные друг от друга нечетные простые числа,
а X, т:, т/, ... —целые положительные показатели, первый из которых
X может также быть равен нулю. Пусть п — какое-нибудь число, взаимно
простое с k. Всегда можно положить
яе=(— \ftf (mod 2х),
n=^g{ (mod/),
где g, g', ... означают соответственно первообразные корни р2, //2,. . .
Пусть числа а и b имеют установленный в предыдущем параграфе смысл,
и положим для краткости
тогда показатели или индексы
«, Р, Т. /-•••
вполне определены относительно соответствующих модулей
ау Ь, с, с\. . .;
и обратно, каждой такой системе индексов соответствует (по § 25)
определенный класс чисел п относительно модуля k, взаимно простых
с k. Пусть индексы а, ?), ^, ?',... независимо друг от друга пробегают
свои а, Ь, су с',... значений; п пробегает при этом все
abcc'. . . = ср (k)
классов чисел относительно модуля k, содержащих числа, взаимно про-
простые с k.
Если индексы а, р, ^, ^, ... некоторого числа п известны, то легко
определить показатель 8, к которому принадлежит число п. В самом
деле, 8, очевидно, является общим наименьшим кратным всех тех пока-
показателей, к которым принадлежит число п относительно каждого из
модулей 2\рп, ргТ*, ... в отдельности. Тем самым этот показатель 8
всегда является делителем общего наименьшего кратного ix чисел а,
Ь, с, с\ ... Первообразные корни k, т. е. числа, принадлежащие
к показателю ср (k), могут существовать поэтому только тогда, когда
jj. = ©(?); легко удостовериться, что это будет лишь в том случае,
когда модуль &=1, или 2, или 4, или есть степень некоторого
нечетного простого числа, или вдвое больше такой степени. И обратно,
очевидно, что в этих случаях всегда существуют первообразные корни.

§ 131] Теория степенных вычетов для составных модулей 295
Так как, далее, возможность двучленного сравнения вида
хт s= n (mod k)
и число его корней зависят (по § 37) лишь от возможности этого же
сравнения относительно каждого из модулей 2'"> Рг',р'г'\. . . в отдель-
отдельности, то легко убедиться, что для разрешения этого вопроса и для
нахождения корней сравнения вполне достаточно знать индексы числа п.
Действительное выполнение этого исследования мы здесь опускаем, ибо
оно проводится точно так же, как в § 31. Применяя этот способ к слу-
случаю яг = 2, мы приводим его к результату, полученному в § 37. Точно
так же легко снова доказать обобщенную теорему Вильсона (§ 38).

ДОПОЛНЕНИЕ VI.
Доказательство теоремы, что всякая бесконечная арифметическая
прогрессия, первый член и разность которой суть целые числа,
не имеющие общего множителя, содержит бесконечно много
простых чисел.
§ 132.
Общее доказательство этой теоремы *) опирается на рассмотрение
класса бесконечных рядов вида
l=2 и*)>
где буква п должна пробегать все целые положительные числа, аТдей-
ствительная или комплексная функция ty(ri) удовлетворяет условию
Отсюда следует, что при я = я/ = 1, ^ A) ===== 1 или 0; но так как *во
втором случае ty (п) = & A) ty (п) обращалась бы в нуль при всех значе-
значениях я, то мы всегда предполагаем, что фA) = 1. Мы предполагаем»
далее, что функция ty(n) такова, что сумма модулей всех значений^ (я)
конечна, откуда следует, что ряд L обладает конечной суммой, не за-
зависящей от* порядка его членов. Теперь легко убедиться в справедли-
справедливости следующего равенства:
где знак произведения относится ко всем расположенным в произволь-
произвольной последовательности простым числам q 2).
Прежде всего очевидно, что, так как ряд L содержит члены
и сумма всех этих членов имеет конечную величину» то й (q) по модулю
меньше единицы, и, следовательно,
1) Dirichlet, Abhandlungen der Berliner Akademie> 1837.
2) К этому классу рядов принадлежат также и ряды., рассмотренные
в главе V. Ср. §§ 124, 135. Значение такой функции ф, очевидно, вполне опреде-
определено для всех чисел, после того как оно произвольно выбрано для всех про-
простых чисел. Наиболее ранние исследования о таких рядах и произведениях
ыожно найти у Эйлера: Е ul e г, Introductio in analysin infinitorum, Cap. XV (выШед
из печати русский перевод: Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых)»

§ 132] Простые числа в арифметической прогрессии - 297*
Пусть тедерь qv q2, ^3>---—все простые числа q, взятые в той же
последовательности, как они расположены в произведении слева. Про-
Произведение Q первых т сомножителей
1 1 1
каждый из которых в силу предыдущего равенства разложен в бес-
бесконечный ряд, после перемножения дает 2 Ф 00> гДе суммирование рас-
распространяется на все целые положительйые числа /, в которые не*
входят никакие простые числа помимо qv q^^^qm* Пусть Л —неко-
—некоторое положительное целое число; выберем теперь т настолько боль-
большим, чтобы в совокупность qv q2, ,.. ., qm попали все простые числа,*
меньшие h. Тогда 2 <}>(/) содержит все члены ряда 2*МЛ)» в которых:
я < /г, и, кроме того, еще бесконечно много других членов, в которых
п > Л. Тем самым произведение Q отличается от суммы 2)Ф(л) на
сумму вида 2 Ф (Л')> в которую входят только такие числа п\ которые-
больше или равны h. Но сумма модулей всех членов ty(n) конечна;:
поэтому Л, а также и т, можно выбрать настолько большим, чтобы
сумма модулей всех членов ф (я'), а следовательно, и модуль разности?
Q — 2*КЛ)» сделались меньше любой наперед заданной величины. Дру-
Другими словами, при неограниченном возрастании m, Q стремится к пре-
предельному значению 2 $(п)> чт0 и требовалось доказать.
Кроме этих рядов вида L = ^ty{n) нам еще нужно рассмотреть.
ряды,. получающиеся при разложении их натуральных логарифмов. Еслш
модуль z есть правильная дробь, то, как известно,
причем мнимую часть логарифма справа всегда нужно брать между грани-
границами — у ш и _ -j- «s- гл.' Подставляя сюда z = ф (q), а вместо q все*
простые числа, вследствие равенства (I) получаем
2К?2)+
Очевидно, что состоящая из бесконечно большого числа бесконечных,
рядов левая часть имеет конечное значение, не зависящее от порядка
суммирований, ибо сама сумма модулей всех ее членов обладает ко-
конечным значением. Мнимая часть логарифма справа является суммой
всех мнимых частей логарифмов отдельных множителей, из которых,
состоит вышенаписанное бесконечное произведение.
Присоединим к этому результату еще несколько замечаний. Пусть»
сначала ф (п) есть действительная функция; все множители бесконечного-
произведения тогда положительны, и In L действителен, а так как ряд.
In L имеет конечное значение, то L есть положительная отличная от
нуля величина. Пусть теперь ф (п) комплексная величина, a Y (п)—со~
пряженная с ней комплексная величина; тогда ф' (п) <J/ (nf) = у (пп')>

:298 Дополнение VI [§ 132
чи распространенная на все целые положительные числа п сумма
L' = ^? (п) есть число, сопряженное с L = ^ty(n). Вместе с тем
получаем
2*'(*) + у 2*'(?">+ i 2f (
причем In Z/ сопряжен с In I, так что сумма In L -J- In Z/ = In (A^)'
сбудет действительна.
Пусть, наконец, значение функции 6 равно нулю для всех простых
чисел, входящих в определенное число k. Тогда каждый раз, когда п
не будет взаимно простым с k, ty (п) = 0 и равенства (I) и (II) остаются
в силе, если заставить п пробегать все числа, взаимно простые с k,
a q — все простые числа, не входящие в k.
§ 133.
Пусть теперь (как в § 131) k — произвольное положительное
целое число, а именно
где р, //,... означают отличные друг от друга нечетные простые числа.
Придадим, далее, буквам
ау Ь, с, с\...
.их прежнее значение (§ 131) и обозначим соответственно через
6, % о), со',. . .
какие-нибудь корни уравнений
Ьа=1, ^ = 1, сос=1, ш'с'=1,...
-Пусть теперь п — какое-нибудь положительное целое и вместе с тем
взаимно простое с k число, и пусть его индексы равны
a (mod а), C (mod b), у (mode), 7' (mode'), ...;
тогда, как легко видеть, выражение
удовлетворяет условию 6 (n) <J* (w') = 6 (wnO J). Если показатель 5 > 1,
что мы в дальнейшем и будем предполагать, то сумма модулей п~~8
х) Числитель / (л) = 6а у]8 со W*' ... обладает характеристическими свой-
свойствами х(/г) у (nf) = у (ппг) и при n'^Ezti" (mod fc), у (л')=Х С72'')- Обратно, если не-
некоторая функция у (/г) обладает первым свойством и если, кроме того, она прини-
принимает лишь конечное число т (отличных от нуля) значений озь ю2>...» озш» т0 эти
.последние необходимо представляют собою все корни уравнения a>w = l.

§ 133] Простые числа в арифметической прогрессии 299
всех членов ^(п) конечна (§ 117), и, следовательно, имеют место равен-
равенства (I) и (II) ппедыдущего параграфа:
в которых q должно пробегать все простые числа, не входящие в &,
а п — все числа, взаимно простые с k. Пока 5 > 1, каждый из этих рядов
имеет определенную сумму, не зависящую от порядка его членов. Мы
можем прибавить, что оба ряда являются, кроме того, непрерывными
функциями от 5 при 5> 1. Мы докажем это утверждение для всех зна-
значений 5, больших произвольной неправильной дроби а, ибо отсюда,
очевидно, вытекает непрерывность этих рядов для всех значений s > 1
(исключая 1),
Каждый из обоих рядов L и In L имеет вид
fL 4- ^ 4- -^- 4-
Iе ~ 2s ~Г З8 ~""
причем модули коэфициентов av a2, а3, ... все не превосходят неко-
некоторой конечной величины Л( = 1). Для доказательства непрерывности
некоторой функции от 5 внутри известного интервала (s ;> а) доста-
достаточно показать, что как бы мала ни была заданная положительная
величина 8, функция каждый раз может, быть разложена на две состав-
составные части, первая из которых непрерывна, а модуль второй внутри
всего интервала (s ]> о) меньше 8. В самом деле, отсюда вытекает, что мо-
модуль внезапного изменения значения всей функции, которое может быть
обусловлено лишь второй частью, меньше чем 25 и, следовательно,
необходимо должен быть равен нулю, ибо заданная величина 8 может
быть произвольно мала (ср. §§ 101, 143). В нашем случае возможность
подобного разложения выявляется следующим образом. Пусть п — про-
произвольное целое число; тогда сумма первых п членов
ii4--^-4- -4--^-
\8 ~ 28 ~ ' " Т ns
является непрерывной функцией. Модуль суммы всех последующих чле-
членов меньше, чем
А (-1 I-—Х U...V
и, следовательно, для всех значений s^> з также меньше, чем
а
Но а есть неправильная дробь, и, следовательно (по § 117), ряд

300 Дополнение VI [§ 134
сходится, а потому для каждой заданной величины 8 может быть вы-
выбрано п соответственно настолько большим, что
Ь ..Л<8.
Тем самым доказана возможность разложения наших рядов на две
составные части вышеуказанного рода для каждой заданной величины 8Г
а следовательно, и непрерывность рядов L и In L для каждого значе-
значения 5 > 1.
Доказательство теоремы об арифметической прогрессии основы-
основывается на исследовании поведения рядов L и In L при неограниченном
приближении показателя 5 к значению 1. Заметим сначала, что эти;
ряды ведут себя весьма различно в зависимости от выбора корней
из единицы 6, Y], со, а/,.. . в выражении й (п). Так как эти корни могут
иметь соответственно а, Ь, с, с',... различных значений, то в выра-
выражении L содержится
abccr... = ср (k)
различных отдельных рядов. Эти ряды L мы распределяем по трем
классам:
В первый класс мы включаем всего лишь один ряд Lv а именно
тот, в котором все корни из единицы 6, % со, а/,... имеют значе-
значение -j- 1.
Во второй класс мы включаем все остальные ряды L2, в которых
все корни из единицы имеют действительные значения, т. е. значе-
значения zt: 1.
В третий класс мы включаем все остальные ряды Z.3, т. е. все те
ряды, в которых хоть один из корней из единицы будет комплексным.
Число этих рядов во всяком случае четное, и они попарно сопряжены
друг с другом; действительно, если один из таких рядов Z.3 соответ-
соответствует КОрНЯМ 6, Y], СО, о/, ..., ТО КОрНЯМ б", Y]-, СО ~~ \ <О/ ~~ *, ...
всегда соответствует второй такой ряд Z,3', и обе эти системы корней
не тождественны.
Проведем теперь подробное исследование поведения всех этих рядов,
когда показатель s=l-j-p приближается к значению 1, т. е. когда
положительная величина р делается бесконечно малой.
§ 134.
Рассмотрим сначала поведение первого ряда
7 чг-1 1 вгч 1
в котором п должно пробегать все числа, взаимно простые с k\ легко
заметить, что этот ряд можно рассматривать как соединение <р (k) частич-
иых рядов вида
* i \ 1 1 I

§ 134] Простые числа в арифметической прогрессии 301
где v — взаимно простое с k и "меньше k. Так как (по § 117)
"произведение каждого из таких. '|рядов на р при бесконечно убы-
ваюдем р стремится к конечному, положительному, отличному от
нуля предельному значению^ ~ \ то можно положить
при бесконечно убывающем р / стре!мится к некоторому конечному, па-
ложительному, отличному от нуля предельному значению.
Однако совершенно иначе ведут себя ряды L второго и третьего
классов. Мы видели, что при 5 > 1 все эти ряды обладают определен-
определенными значениями, не зависящими от расположения их членов. Начиная
с этого момента, мы расположим их члены <|» (п) таким образом, чтобы
яисла п следовали друг за другом, возрастая по величине. Упорядочен-
Упорядоченные подобным образом ряды L второго и третьего классов сходятся,
для всех положительных значений 5 и, кроме того, являются вместе
«со своими производными непрерывными функциями положительного
показателя 5.
Для доказательства рассмотрим сначала целую рациональную функцию
переменного х
где зняк суммы относится к <?(k) положительным целым числам v,
взаимно простым с k и меньшим k, и где a, J3, ¦у, ^',.. . означают индексы
числа v. Полагая х=1, получаем
причем индексы a, J3, ¦у, f',. . . независимо друг от друга должны про-
пробегать соответственно полные системы вычетов по модулям а, Ь, с,с\.
Отсюда
Так как по нашему предположению ряд L принадлежит ко второму или
третьему классу, и, следовательно, хоть один из корней из единицы
#, Y), о, ш7,. . . не равен + 1, то также хотя бы одна из сумм
равна нулю, а отсюда следует, что
При помощи этого результата формулированные выше свойства
.рядов L можно доказать различными способами. Один из них состоит
в том, что ряд L преобразуют в определенный интеграл. По обозначе-
обозначению, введенному Лежандром,
А
л \8—1
ml) dx
)

302 Дополнение VI [§ 13
является конечной и непрерывной функцией от 5 для всех положитель-
положительных значений s. Пусть теперь п есть какая-нибудь положительная вели-
величина; заменяя х через х\ получаем
а отсюда легко следует (подобно тому, как в §§ 103, 105), что сумма
первых /;кр(А) членов ряда L равна
() x l—xk
Ho f(x) есть делящаяся на х целая функция от х, обращаю*
щаяся в нуль при аг=1, а потому модуль функции
1 /(*)
х 1 — д;л
внутри всей области интегрирования остается меньше некоторой конеч-
конечной величины, которая может быть задана; отсюда же, при бесконечном
возрастании т, легко следует, что '
Г (*) •/ * 1 — л* V х
О -
Итак, действительно оказывается, что бесконечный ряд L второго
или третьего класса, члены которого расположены вышеуказанным
образом, сходится для каждого положительного значения s. Принимая,
далее, во внимание, что Г (s) для всех положительных значений s тоже
положительна и отлична от нуля, а также, что производная от Г (s)
есть непрерывная функция от s9 из вышеуказанного окончательного
выражения для ряда L заключаем, что, пока s остается положитель-
положительным, этот ряд вместе со своей производной является непрерывной
функцией от s.
К этому же результату можно притти, однако, и другим путем,
а именно, при помощи общей теоремы, которая будет доказана далее
в § 143. В самом деле, вследствие равенства /A) = 0, сумма коэфи-
циентов
»« Р 1 /уг
О Ti GO ft)
любых <р (k) последовательных членов ряда L равна нулю, и ряд L
является бесконечным рядом типа, рассматриваемого в § 143. Стоит
лишь под kv k2, &3,... понимать там значения последовательных чисел.
п, чтобы непосредственно получить наши утверждения относительно
сходимости и непрерывности ряда L и его производной.
Итак, из этого результата вытекает, что когда показатель s= I -}-P,-
убывая, неограниченно приближается к значению 1, каждый ряд L

§ 135] Простые числа в арифметической прогрессии 303
второго или третьего класса стремится к вполне определенному конеч-
конечному предельному значению, а именно к значению
которое принимает ряд L при вышеуказанном расположении его членов-
для 5=1.
§ 135.
Не представляет никаких затруднений выразить значение предыду-
предыдущего интеграла при помощи логарифмов и круговых функций *), но
это выражение с трудом или даже совсем не дало бы возможности
усмотреть, что это конечное предельное значение ряда L второго ил»,
третьего класса отлично от нуля, а в этом именно и заключается
основной пункт всего последующего исследования. Чрезвычайно инте-
интересно, что это доказательство для рядов L2 второго класса может быть
проведено при помощи исследований пятой главы о числе классов
квадратичных форм; мы можем даже прибавить, что исторически именно
это и послужило исходным пунктом для указанных исследований 2).
Рассмотрим определенный ряд L2 второго класса, соответствующий:
корням
о —I— 1 „ ___ —|— 1 ^ _1— 1 ф/ —\— 1
Пусть Р есть произведение всех различных входящих в k нечетных
простых чисел р, которым соответствует отрицательный корень od = — 1,
a S—произведение остальных входящих в k нечетных простых чисел
(если в той или другой из этих двух групп не будет содержаться ни
одного простого числа, то Р или 5 нужно положить равным единице).
Так как число п является квадратичным вычетом или невычетом про-
простого числа р в зависимости от того, будет ли его индекс у четным,
или нечетным (§ 129), то отсюда вытекает, что
п
Далее/ если^ 0 = — 1, значит а = 2, и &==0 (mod 4), то все числа.
п — нечетные, и (по § 130)
!) При действительном проведении вычислений посредством разложения
на элементарные дроби (подобно тому, как в §§ 103, 105) нам пришлось бы
иметь дело с суммами /(/-), встречающимися в теории деления окружности,,
причем г означает какой-нибудь корень уравнения гк = 1.
2) В настоящее время известно сравнительно простое доказательство того
факта, что предельное значение ряда L второго класса отлично от нуля, когда s
стремится к единице. Это доказательство совершенно не зависит от исследова-
исследований Дирихле о числе классов квадратичных форм. См., например, Е. Landau*.
Vorlesungen uber Zahlentheorie, т, I, теорема 152, стр. 93—95. Ред.

304 Дополнение VI Г§ 135
•точно так же, если т) =— 1, значит b > 1, и k = 0 (mod 8), то все
числа п — нечетные, и (по § 130)
Эти замечания приводят нас (ср. §§ 101, 123) к рассмотрению четы-
четырех различных детерминантов Ь в зависимости от четырех различных
«комбинаций знаков Ь и т]. А именно, принимая во внимание знак:±:1,
/полагаем
D = ± PS2===l (mod 4), если 6 = -f-l, -^ = -f-1;
D = ± PS* = 3 (mod 4), если 6 = — 1, Y] = -f-l;
D = ±2PS* = 2 (mod 8), если 6 = -fl, y) = —1;
D = ±2PS*==6 (mod 8), если 6 = —1, 7) = —1.
*Ho все нечетные числа п являются также взаимно простыми с 2D и,
обратно, все числа, взаимно простые с 2D, являются также нечетными
числами п и вместе с тем
7] 8
n_\ { D
P
Пусть k — четное; тогда все числа п совпадают со всеми взаимно
простыми с 2D числами и
же k—нечетное, то среди чисел п имеются также и четные числа.
Но .в этом случае необходимо Ь = -}-1> r\= -f- 1, т. е. Dsl (mod 4),
а потому (ср. § 102)
P J 2s
хПричем в последней сумме справа буква п должна пробегать только
Bte нечетные числа, взаимно простые с k, т. е. все числа, взаимно
-простые с 2D.
Итак, для того чтобы доказать, что ряд L2 стремится jk отличному
от нуля предельному значению, остается лишь показать это*же для ряда
D
.Легко усмотреть, что число D никогда не может быть квадратом.
В самом деле, так как квадрат никогда не ===3 (mod 4),, или =2
(mod 8), или == 6 (mod 8), то остается лишь единственная возмож-
возможность D==zl (mod 4). Но в этом случае Ь = —{— 1, -у] = —j— 1, и так
как L2 есть ряд второго класса, то хоть один из корней со, со7,...
должен быть равен—1, а следовательно, Р должно делиться по
меньшей мере на одно нечетное простое число /?, т. е. не должно
сбыть равно единице; тем самым D ни в коем случае не является

§ 136] Простые числа в арифметической прогрессии 305
квадратом. .Мы уже видели (в §§ 96 и 98), что для такого* детер-
детерминанта D число классов h квадратичных форм является произведением
нескольких множителей, одним из которых и является предельное зна-
значение указанного выше ряда
Но так как всегда существует по крайней мере форма A,0, —D),
т. е. h никогда не равно нулю, и так как далее остальные множители,
составляющие Л, не, бесконечно велики, то это предельное значение
также отлично от нуля. А отсюда вытекает, что предельное значение
каждого ряда L2 второго класса также отлично от нуля и, следова-
следовательно, является положительной величиной, что и требовалось доказать»
В простейшем случае, когда k является степенью нечетного простого
числа р или вдвое больше такой степени, существует лишь один ряд
второго класса. В этом случае даже не требуется привлечения теории
квадратичных форм для того, чтобы покас*ать, что предельное значение
этого ряда отлично от нуля. А именно, в § 103 мы нашли для этой
суммы выражение, которое наряду со множителями, явно отличными
от нуля, содержит еще множитель
или
в зависимости от того, будет ли р = 3 или === 1 (mod 4), причем т
должно пробегать все числа 1,2, 3, ..., р—1. Но в первом случае
2 т, а следовательно, и
— нечетно и, стало-быть, отлично от нуля; во втором же случае (§ 107)
где целые числа yt z удовлетворяют уравнению у2— pz2 = 4p; следо-
следовательно, z, а стало-быть, и предыдущее выражение не может быть
равно нулю.
§ 136.
Для того чтобы доказать то же самое и для каждого ряда ?3 третьего
класса, сложим все <р (k) равенств вида
соответствующих различным системам корней 6, ij, ш, а/,... Пусть q
означает какое-нибудь не входящее в k простое число, а |х — какое-

306 Дополнение VI [§ 136
нибудь положительное целое число; тогда левая часть каждого такого
равенства содержит член
в котором *
J JL
имеет своим коэфициентом
причем а, C, f, у,... означают индексы ^. Таким образом сумма всех
этих коэфициентов, соответствующих различным системам корней 6, г\9
ш, а/,. . ., равна произведению
где суммирование распространяется последовательно на а, Ь, су с',...
различных значений 6, yj, ш, а/,.. . Но сумма одинаковых степеней всех
корней уравнения вида хт=\, как известно, тЪлько тогда отлична
от нуля, а именно равна т, когда показатель этих степеней делится
на т. Тем самым, предыдущее произведение только тогда отлично от
нуля, а именно — abcc'... =ср(&), когда показатели ajx, Jfy, -щ, -^[а, . . .
делятся соответственно на а, Ъ, с, с\...; но так как a}A, (fy, ^[Jb, fV>- • •
являются индексами д^, то это будет тогда и только тогда, когда
/ = 1 (mod 2х), / = 1 (mod /), / = 1 (mod /?/TC'),
т. е. другими словами, когда
q* ^(mod k).
Итак, сумма всех указанных равенств принимает следующий вид:
,= In ^ + 2 In L2 + 2 In (L34'),
где первое, второе и т. д. суммирования слева относятся ко всем не
входящим в k простым числам q, удовлетворяющим соответственно
условиям q = 1, q2 ^ 1 (mod k) и т. д.; первый знак суммы справа отно-
относится ко всем рядам L2 второго класса, а второй — ко всем различным
парам L%L% сопряженных рядов третьего класса. При помощи этого
равенства мы в состоянии доказать, что конечное предельное значение,
к которому стремится любой ряд Ls третьего класса, отлично от нуля.
Эго доказательство опирается на уже ранее (§ 134) полученный
результат, что каждый такой ряд Z.3 является непрерывной функцией
от 5 при всех положительных значениях s, причем это относится также
и к его производной. Мы можем поэтому положить

§ 136] Простые числа в арифметической прогрессии 307
где f(s), F(s) и производные f ($)> F' (s) являются непрерывными функ-
функциями от 5, пока 5 остается положительным. Итак, предельное значение
13=/A) + //7A), а потому, если оно равно нулю, необходимо/A) = О
и F(l) = 0. Отсюда по известной теореме диференциального исчисле-
исчисления следует, что для каждого значения s == 1 -f~ p, которое больше единицы.
причем S и s лежат между нулем и единицей. Таким образом
= Р2 (Л A + *р) + F'2 A + "Р)} =
причем R вследствие конечности и непрерывности производных f (s);
F/ (s) при бесконечно убывающем положительном р стремится к конеч-
конечному (не отрицательному) предельному значению
f
Отсюда следует, что
ln(L3V) = — 2 In i
причем In/? при бесконечно убывающем р или стремится к конечному
предельному значению, или же, если /? становится бесконечно малым,
неограниченно возрастает, оставаясь отрицательным.
Пусть всего имеется т таких пар рядов третьего класса, которые
становятся бесконечно "малыми вместе с р; следовательно,
где / во всяко'м случае не может неограниченно возрастать, оставаясь
положительным, а остается конечным, или неограниченно возрастает,
оставаясь отрицательным; действительно, всякое другое произведение L%L/
стремится к конечному положительному значению, и, следовательно,
соответствующий член In (LbL§) остается конечным при убывании р.
Далее, так как уже показано, что предельное значение каждого
ряда L2 второго класса отлично от нуля, то сумма
(во всяком случае действительных) рядов In L2 стремится к конечному
предельному значению..
Кроме того, [уже доказано, что произведение pLt стремится к ко-
конечному положительному значению; таким образом
^ + ,
где ? остается конечным. Следовательно, вся правая часть вышепри-
вышеприведенного равенства имеет гид
— Bт— l)ln--f Г,
причем Т при бесконечно убывающем р во всяком случае не может
неограниченно возрастать,-оставаясь положительном. Итак, если бы
90*

308 Дополнение VI [§ 136
существовал хоть один ряд L3 третьего класса, который становился бы
бесконечно малым вместе с р, т. е. если бы т по меньшей мере
б;ыло равно единице, то вся правая часть нашего равенства при бес-
бесконечно убывающем положительном р неограниченно возрастала бы,
оставаясь отрицательной. Но это невозможно, так как левая часть
остается положительной для всех значений р. Таким образом /я = 0,
т. е. каждый ряд третьего класса стремится к отличному от нуля
предельному значению, что и требовалось доказать.
Отсюда, наконец, следует, что каждый из рядов lnZ.3 также должен
иметь конечное предельное значение, если принять во внимание, что
по ранее доказанному (§ 133) каждый такой ряд непрерывно изме-
изменяется вместе с s, пока s остается больше единицы.
§ 137.
Результат предыдущего исследования состоит в том, что при бес-
бесконечном убывании положительной величины p = s—1 ряд \nLx не-
неограниченно возрастает, оставаясь положительным, между тем как все
остальные ряды lnL стремятся к конечным предельным значениям. При
помощи этого результата мы в состоянии полностью доказать теорему
об- арифметической прогрессии.
Пусть т — некоторое определенное взаимно простое с k число;
умножим каждый из <р (k) рядов вида
который соответствует определенной системе корней из единицы 6,
(о, о/,..., на соответствующее значение
где av j3j, Yi» 7/>* • • означают индексы числа яг, и сложим все про-
произведения. Тогда член
~Р IF
будет иметь коэфициент
причем а, |3, f» •{>••* снова являются индексами определенного про-
простого числа q, а знак суммы относится ко всем y(k) системам корнеЛ.
Отсюда видно, что этот коэфициент равен также произ: едению отдель-
отдельных сумм
в которых буквы 6, yj, ш, о',... должны пробегать соответственно
свои а, Ьу с, с',... различных значений. Следо* ательно, этот клэфи-
циент будет только тогда отличен от нуля, и приюм равен идее'..-. =
а=<р(*}> когда показатели аа — av (Ь — ?v ЧР — Ti> TV — т/>--- °УДут
делиться соответственно на ау Ь, с, с',..*, т. е. когда
cf~m (mod k).

§ 137] Простые числа в арифметической прогрессии 309
Суммирование всех произведений х*п^ Да^т, таким образом, результат
причем первый, второй, третий и т. д. знаки суммы слева относятся
ко всем простым числам q, удовлетворяющим соответственно условиям
q===m, q2==m, q*==m (mod k) и т. д., между тем как знак суммы
справа относится ко всем о (k) различным системам корней 6, yj, <о, о/,. ..
Полагая теперь для краткости-
J-V -L -4-1 V — 4- —V — 4- =0
и обозначая через z все положительные целые числа за исключением
единицы, очевидно, имеем
W " 2 ** z2 ~ 2 * z3 ^ 2 * z* ^ " "
причем в каждой С)мме z пробегает все свои значения. Но так как
при z ^2'всегда
JL<f!J- i<-ii- ±<-i,JL
то отсюда получаем
Таким образом, когда s, убывая, стремится к значению 1, Q все время
остается меньше некоторой конечной величины. Так как, далее, в равенстве
все члены х In L стремятся к конечным предельным значениям, за исклю-
исключением единственного члена lnL1} который неограниченно возрастает,
то сумма
Я8
также должна неограниченно возрастать. Но это было бы невозможно,
если бы эта сумма состояла из конечного числа членов, и, следова-
следовательно, должно быть бесконечно много простых чисел q, которые = т
(mod q)y т. е.:
Всякая бесконечная арифметическая прогрессия kx-\-m, первый
член т и разность k которой являются взаимно простыми яисламщ
содержит бесконечное множество положительных простых чисел q 1).
1) О распространении этой теоремы на линейные формы с комплексными
коэфициентами, так же как и на квадратичные формы, см. Di rich let, Unter-
suchungen tiber die Theorie der compkxen Zahkn, Abhandlungen der Berliner
Akademie, 1841; Monatsbertcht der terliner Akademie (март 1840) или Crelle's
Journal, т. 21; Comptts Rendus de FAcademie des sciences de Paris 1849, т. X,
стр. 285. H. Weber, bewtis dts Satzts, dass jede eigentlich primitive quadra-
tische Form unendlich viele Primzahlen darzustelien fahig ist. Math. Annalen,
т. 20; A. Meyer, Ueber einen Satz von Dirichlet. Crelle's Journal, т. 103.

ДОПОЛНЕНИЕ,VII.
О некоторых предложениях из теории деления окружности.
§ 138.
Пусть р, р\ р'\... — положительные и отличные друг от друга
простые числа; Члены развернутого произведения
совпадают (по § 9) со всеми делителями произведения
Эти же делители получаются, очевидно, и посредством развертывания
произведения
(р—1)(р'_1)(р"_1)...
но половина из них получит при этом положительный, другая же по-
лавнна — отрицательный знак. Первую половину делителей обозначим
через 8lf вторую — через 82> так что
и отметим, что само число Р принадлежит к первой половине.
Пусть теперь 8 — один из делителей Р, но меньше Р\ легко можно
показать, что число делящихся на 8 чисел 8Х в точности равно числу
делящихся на 8 чисел 82. В самом деле, положим P = bqq'q". . .,
где </, q\ q",. .. обозначают все те из простых делителей Р, которые
не входят в 8. Делящиеся на 8 числа Ьу и —82 совпадают соответствен-
соответственно с положительными и отрицательными членами развернутого произ-
произведения
а так как о < Р и, стало-быть, имеется по крайней мере одно такое
простое число qt то число положительных членов этого произведения
в точности равно числу его отрицательных членов.
Это предложение легко поддается обобщению. Пусть т означает
какое-нибудь положительное целое число, большее единицы, а р,
р\ рг\, . .—все отличные друг от друга входящие в т положитель-
положительные простые числа. Можно положить
mi I 1 —

§ 138] Из теории деления окружности 311
где через ^ и —}х2 обозначены соответственно все положительные и
отрицательные члены развернутого произведения в левой части. Все
эти числа ^ и |х2 являются делителями числа т, которое само является
одним из чисел \iv и справедливо следующее предложение *):
Если р- есть один из делителей т, меньший, чем т, то число
делящихся на |х чисел p-t в точности равно числу делящихся на ^
чисел \к2.
Для того чтобы это доказать, сохраним за числами Р, 8р 82 преж-
прежние значения и положим т — пР; тсйгда п есть целое число, и очевидно,
что числа \i>v р2 совпадают соответственно с произведениями я8р п\.
Пусть теперь ^ есть один из делителей /я, a v — общий наибольший
делитель обоих чисел р. = vS и п — vr, тогда 8 наверное является дели-
делителем Р, ибо
/и еР
есть целое число, а о и з — числа взаимно простые. При \ь — т оче~
видно е=1 и 8 = Р. Обратно, если 8 = Р и, следовательно, имеет
множителями все простые числа, входящие в т, то число е необхо-
необходимо должно быть равно единице, ибо оно есть делитель т и вместе
с тем взаимно просто с 8, а следовательно, jx = т. Исключим поэтому
случай р = т\ тогда 8 всегда меньше Р, и, следовательно, среди чи-
чисел 8j имеется столько же делящихся на 8, сколько среди чисел 82.
Так как, далее, числа jxt = n8j = vs8x и |л2 = nb2 = vs82 делятся на
|х = v8 тогда и только тогда, когда 8Х или 82 делится на 3, то отсюда
следует, что на а делится столько же чисел \*.v сколько и чисел [х2,
что и требовалось доказать.
Это свойство чисел ji4 и \i2 имеет много различных приложений.
Пусть, например, две функции f(jn) и F(m) произвольного целого
числа т связаны между собою одним из двух соотношений
причем знак суммы или произведения каждый раз относится ко всем
делителям \l (включая т) числа т\ тогда отсюда получается соответ-
соответственно обращение
или же
причем знаки суммы или произведения относятся ко всем значениям ^
или же ко всем значениям |х2. В самом деле, если заменить справа
каждое значение F($.^) и F(|a2) суммой или произведением значений
f(\i), соответствующие всем делителям |х числа \i1 или jjl2, to вслед-
l) Dedekind, Abriss einer Theorie der hOheren Congruenzen in Bezug auf
tinen reellen Primzahl-Modulus, Crelle's Journal, т. 54, стр. 25.

312 Дополнение VII [§ 139
ствие вышеуказанного свойства чисел \iv \ь2 все значения f(\i), в кото-
которых [1 < т, взаимно уничтожатся, и останется лишь одно значе-
значение f(m) *)•
В* качестве примера выберем задачу определения числа <р(т) целых
чисел, взаимно простых с/кине превосходящих т. Из этого опреде-
определения функции <о(т) было получено в § 13 без всяких вычислений
предложение, что
2 ?0О = >и>
где знак суммы относится ко всем делителям ц числа т. Полагая
F (т) = т, получаем обратно
=2 t*i—
и, стало-быть,
таким образом эта функция уже вполне определена теоремой § 13.
Рассмотрим еще следующий пример. Пусть значение функции
f(ni) равно р, если только число т является степенью простого числа pf
и, напротив, равно единице, если т равно 1 или же делится на несколько
различных простых чисел. Очевидно, что
где знак произведения распространяется на все делители jx числа т.
Отсюда по вышеприведенному предложению следует, что, обратно,
частное
я, стало-быть, лишь тогда отлично от единицы, когда т является
степенью простого чи,сла; и тогда это частное равно этому простому
числу.
Наконец, из определения делителей ^ и [ха следует также, что
если функция ^ обладает свойством ф (z) ty (zf) = ty (zz% то всегда
§ 139.
Все корни р уравнения
хт=1 A)
*) Это остается справедливым также и для исключенного в предыдущем
предложении случая т = 1, если принять во внимание, что тогда имеется
•сего лишь одно число ^ = 1 и совсем нет чисел р^.

§ 139] Из теории деления окружности 31$
заключаются, как известно, в формуле
2Ы . . . 2Лтс
р == cos h * sin — ,
причем ^ должно пробегать какую-нибудь полную систему вычетов (mod т)~
Если h — взаимно простое с /и, то степени
1, р,р2,..., р"-1
все не равны между собою и дают все корни вышеприведенного
уравнения A); в этом случае р называется первообразным корнем этого
уравнения, и число этих первообразных корней, очевидно, равно у(т).
В более общем случае, когда k есть общий наибольший делитель
чисел h и т = pk, p есть первообразный корень уравнения
а так как, обратно, каждый корень последнего уравнения B) является
также и корнем уравнения A), то очевидно, что все корни уравнения
A) тождественны со всеми первообразными корнями всех уравнений:
вида B), соответствующих всем делителям рь числа т. Обозначая:
поэтому через р' все <р(ц) первообразных корней уравнения B) к
полагая
где знак произведения относится ко всем корням р'> имеем
причем знак произведения распространяется на все делители р числа т.
Обращая это соотношение, справедливое для всякого числа т, в силу
предыдущего параграфа получаем
откуда следует, что все коэфициенты целой функции f{m) суть целые
рациональные числа.
Начиная с этого момента, мы будем рассматривать только тот
случай, когда т = Р — рр'р(/... есть нечетное целое число, не деля-
делящееся ни на один квадрат и большее, чем единица. Тогда
будет четным числом, которое мы обозначим через 2т, и все 2т взаимно-
простых с Р чисел, которые меньше Р9 распадаются на т чисел а и г
чисей Ь таких, что
(*)- + «¦ (?)="¦
(§ 52, I, или § 116). Итак, положим
= cos -p -{-.jsin-p- =e p

314 Дополнение VII [§ 139
Л(х) = П(х-Ь% В(*) = Щ* —в1);
тогда
Мы займемся теперь определением общего вида коэфициентов в функ-
функциях А (лг), В (лг).
Для этой цели вспомним сначала формулы Ньютона, которые поз-
позволяют выразить сумму одинаковых степеней всех корней уравнения
через его коэфициенты и, обратно, коэфициенты выразить через эти
суммы. Пусть
wv wv ..., wm
— корни уравнения
5, = «* + «*+...
Тогда формулы Ньютона гласят следующее:
Из самого их вида следует, что если только все коэфициенты с1У
с2, ..., ст суть целые рациональные числа, Sv 52, ..., Sm также будут
целыми рациональными числами. Применяя это к уравнению
лолучаем, что
есть целое число для каждого значения k=lf 2, 3,... С другой
стороны (§ 116),
следовательно,
Тем самым суммы ^-х степеней корней каждого из обоих урав-
.нений
А (х) = 0, В (лг) = 0

§ 139] Из теории деления окружности 315
найдены, и так как они не содержат никакой другой иррациональности
кроме квадратного корня
то вследствие формул Ньютона то же справедливо и для всех коэфи-
циентов этих обоих уравнений; при этом два коэфициента при одина-
одинаковых степенях в обоих уравнениях будут отличаться друг от друга
лишь знаком этого квадратного корня, т. е. два таких коэфициента
будут иметь вид
где у и z означают рациональные числа. Можно, далее, утверждать, что
у и z — либо целые числа, либо дроби со знаменателем 2, хотя это и
не вытекает непосредственно из формул Ньютона. Наметим доказатель-
доказательство этого утверждения. Будем называть всякое уравнение, коэфициент
при высшей степени которого равен единице, а все остальные коэфи-
коэфициенты — целые рациональные числа, первичным уравнением. Тогда
легко убедиться, что сумма и разность двух корней первичных уравне-
уравнений (а также их произведение) являются корнями первичных же урав-
уравнений. Но 0 является корнем первичного уравнения, а потому это же
справедливо и для каждого коэфициента функций А(х) и В (х),
а следовательно, также и для
2у и
отсюда немедленно вытекает, что рациональные • числа 2у и 2z должны
быть целыми.
Соединяя все это вместе, получаем, что можно одновременно
положить
2А{х)= Y(x) — Z(x)il{P1)a
2В(х) = Y (х) + Z(х) **"(Р
причем К(дг) и Z(x) означают целые функции, все коэфициенты кото-
которых являются целыми рациональными числамиJ). Перемножая оба ра-
равенства друг с другом, получаем
1) Ср. G a u s s., D. A., art. 357.

316 Дополнение VII [§ 140
-§ 140.
Заметим еще, что всегда достаточно вычислить лишь половину
коэфициентов Y(x) и Z(x). Именно, имеем
*А (I) = П О - в° х) = (-1)т
В зависимости от того, будет ли Р=1 или Я=3 (mod 4), имеем
(=!) = +1 или (:?) —1.
и, следовательно,
или
Далее, если Я ф 3, то среди чисел а существует такое число а\ что
а' — 1 будет взаимно простым с Я 1)\ по вычеты произведения ааг
совпадают в совокупности с числами а, а вычеты произведения Ьа! —
с числами Ь\ поэтому
п/\? /у = ^/у п'^Р Л ^Р h ( пН Р\
следовательно,
2# = 0, 2*^^ (modЯ),
и, таким образом,
Итак,, получаем (так как т четное при Я s I (mod 4))
,*' У, если Я=1 (mod 4),
х) Действительно, если Я>3, то имеется также входящее в Р простое
число р > 3, и так как существуют по меньшей мере два несравнимых квадра-
квадратичных вычета р, то, положив P=pq, можно всегда выбрать такое число h,
чтобы
но при этом чтобы А не было = 1 (mod p). Тогда определенное посредством
сравнений
a' = h (modp), a' ^2 (mod^r)
число а' удовлетворяет, очевидно, поставленным требованиям.

§ 140] Из теории деления окружности 317
и, за исключением Я = 3,
}, если Р=3 (mod 4),
а отсюда
* -, если Р=\ (mod 4),
и, за исключением Р = 3,
, если Я^З (mod 4).
Эти равенства заключают в себе соотношения между любыми двумя
равноотстоящими от концов коэфициентами функций Y{x) и Z(x).
Действительное вычисление коэфициентов обеих функций
Z(x) = t
проводится следующим образом. Сначала образуем суммы степеней
для А = 1, 2, 3,... до -о-1 или "о" (т—1)» в зависимости от того,
является ли т четным или нечетным. В силу вышеизложенного, это
может быть достигнуто тем, что путем деления определяются столько же
коэфициентов целой функции
—1)'
начиная с коэфициента при высшей степени, а затем применяются фор-
формулы Ньютона. При этом посредством рассуждений, которые также
покоятся на основном свойстве чисел ^ и ii2, доказанном в § 138,
нетрудно установить следующее правило: пусть Q есть общий наиболь-
наибольший делитель чисел k и P=QR> а г—число входящих в R простых
чисел; тогда1)
r
!) В более общем виде это правило гласит так: если т = тгР есть произ-
произвольное положительное целое число, Р—произведение всех различных между
собою входящих в т простых чисел, a Sk — сумма k-x степеней всех перво-
первообразных корней уравйения хт = 1, то Sk = 0, если k не делится на тТ\ если
же k = m'K, Q — общий наибольший делитель К и Р =(?/?, а г—число вхо-
входящих в /? простых чисел, то

318
Дополнение VII
.[§ 140
После того как эти значения St найдены, коэфициенты функций Y(x)
и Z{x) определяются посредством двух получаемых из формул Ньютона
рекуррентных соотношений
при этом нужно принять ео внимание, что
Пример 1. Р=3; т=1. В этом случае должны быть вычислены
все коэфициенты; так как
то получаем
и, следовательно,
F(at) = 2x+1, Z(at)
Пример 2. Р==5; т=2. Так как снова
то опять получаем
и, следовательно,
Пример 3. Р= 15 = 3-5; т = 4. Здесь
стало-быть, последовательно получаем
Л = — J,
таким образом
v2 == — 4, z2 = 0;

ДОПОЛНЕНИЕ VIII.
Об уравнении Пелля.
§ U1.
Пусть D означает положительное целое ^исло, которое, однако, не
является квадратом. Посредством рассмотрения периодов приведенных
квадратичных форм, принадлежащих детерминанту ?>, в § 83 было
показано, что уравнение Пелля или Ферма
fi — Du*=l
всегда имеет бесконечное число решений в целых положительных
числах t, и, причем там был также указан метод, посредством которого
все эти решения могут быть найдены. Обнаружение связи между всеми
этими решениями не представляет решительно никаких затруднений,
лишь только доказан основной пункт, что действительно существует
решение, в котором и отлично от нуля (§ 85). Лагранж первый пол-
полностью преодолел это затруднение, введя новые принципы в теорию
чисел; эти принципы позднее были значительно обобщены Дирихле х)»
Мы сообщим поэтому здесь еще одно доказательство разрешимости
уравнения Пелля, в существенных чертах покоящееся на этом осно-
основании.
Фундаментом этого доказательства служит тот факт, что всегда
существует бесконечное множество пар целых чисел х, у, для которых, j
отвлекаясь от знака,
В этом легко убедиться, если позаимствовать из теории непрерывных
дробей теорему, что каждое приближенное значение —, которое полу-
получается при разложении некоторой величины со в непрерывную дробь,
отличается от со меньше чем на у~~2. Поэтому, если взять <о = |/д то,,
так как ]//) — иррациональное число, имеется бесконечное множество
таких пар чисел х, у> что, отвлекаясь от знака,
j/D < — , и, стало-быть, х—y\/D——,
где 8 означает положительную или отрицательную правильную дробь.
х) Monatsberichte der Berliner Akademie, октябрь 1841 г., апрель 1842 г., март
1846 г.; Comptes rendus de l'Academie des Sciences de Paris, 1840, т.Х, стр. 286—288.
Ср. P. Bach ma nn, De unitatum complexarum theoria, 1864.

320 Дополнение VIII [§ 141
Отсюда следует
л после перемножения
л:2 — />у2 = -^
Однако, для того чтобы ничего не заимствовать из теории непре-
непрерывных дробей, мы докажем это предложение еще и другим и притом
весьма простым путем. Пусть т есть некоторое положительное целое
число; придадим числу у последовательно т-\-\ значений
0, 1, 2,..., т — 1, т,
:и для каждого из этих значений определим соответствующее целое
число х посредством условия
которому, очевидно, каждый раз удовлетворяет одно и только одно
целое число "лг. Разобьем теперь интервал от нуля до единицы на т
равных интервалов, ограниченных значениями
0 12 т — 1 т_
т ' т ' т '' " ' т ' т '
так как число т -f-1 пар чисел х, у больше, чем число т этих интер-
интервалов, то хотя бы один из этих интервалов должен содержать более чем
одно, стало-быть, по крайней мере два из значений х—у \/D, соответ-
соответствующих двум различным значениям у. Обозначим эти значений через
V У тогда, отвлекаясь от знака, их разность
и так как у\ у" не равны, не отрицательны и не превосходят т, то
(отвлекаясь от знака) и у=у—у ^т и отлично от нуля. Тем самым
х—yV^ будет также меньше у~х и отлично от нуля, ибо \/D ирра-
иррационален. А отсюда, как и выше, вытекает, что
лг2 — Dy* < 1 +
и отлично от нуля.
Теперь легко показать, что существует бесчисленное множество таких
пар чисел лг, у. В самом деле, пусть уже найдено произвольное коли-
количество этих пар; всегда можно выбрать целое число т настолько
большим, чтобы т~х было меньше наименьшего из соответствующих
значений х—y\/D; но для этого числа т указанным уже образом
снова получаем такую пару чисел лг, у, что х—#у]/7)</и~1 и, следо-
следовательно, также меньше, чем все ранее найденные значения х — • j//X
Отсюда следует, что эта пара чисел лг, у отлична от предыдущих; тем
самым число этих пар неограниченно.

§ 142] Ов уравнении Пелля 321
§ 142.
При помощи того результата, что всегда существует бесконечное
множество пар целых чисел х, у, для которых абсолютная величина
х2 — Dy2 <l-f-2j//> и отлична от нуля, можно теперь легко дока-
доказать, что уравнение /2 — Du2= 1 всегда разрешимо в целых числах /, и,
и притом так, что и отлично от нуля.
Так как число целых чисел, которые, отвлекаясь от знака, меньше
1-\-2\/О, конечно, то выражение х2 — Dy2 должно равняться одному
и тому же (отличному от нуля) числу для бесконечного множества
пар чисел ху у. Далее число различных пар вычетов а, |3, которые
порождаются двумя числами х, у (mod k), конечно, а именно равно
k2; поэтому очевидно, что по крайней мере одна система вычетов а, р
также должна появляться бесконечное число раз. Итак, среди бесконеч-
бесконечного множества пар чисел дг, у, для которых л:2 — Dy2==k, снова должно
оказаться бесконечно много пар ху у, в которых л; = а, у^==$ (mod &)?
причем аир означают два определенных вычета. Пусть теперь л/, уг
и х", у" — какие-нибудь две такие пары чисел, т. е. одновременно
*'2 _ Dy 2 = ^2 _ Df 2 = k
х'ess*", /essу7 (mod k);
в таком случае можно положить
(д/ —/ Y'D) {xlf +/' \/Ъ) = k (/+ и
где t, и означают целые числа, удовлетворяющие, очевидно, уравнению
t2 — Du2=l.
При этом мы можем считать, что и отлично от нуля; в самом деле,
из и = 0, t = z±zl в силу вышеуказанного равенства вытекает
хг—/ \/d = =t {x"—yr']/D); но так как существует бесконечно
много таких пар чисел л/, / и л;", /', то мы всегда сможем выбрать
две такие пары, чтобы лг", /' были отличны от ±х\ ±у\ и, сле-
следовательно, чтобы и было отлично от нуля.
Итак, действительно доказано, что всегда существует решение tf и
предыдущего уравнения Пелля, в котором и отлично от нуля.
Теперь можно показать (как в § 85), также без помощи теории
приведенных форм, что все решения t, и получаются из равенства
t^u\/D = ±(T+U \/D)n,
где Tf U означают наименьшие положительные целые числа, удовле-
удовлетворяющие уравнению Пелля, а показатель п пробегает все положи*

322 Дополнение VIII [§ 142
тельные и отрицательные целые числа.- Развитая здесь теория уравне-
уравнения Пелля остается незаконченной лишь в том отношении, что из нее
не вытекает никакого прямого метода для непосредственного нахожде-
нахождения этого наименьшего положительного решения Г, U. Для этого*
а также для разрешения вопроса об эквивалентности двух форм,
стало быть, и о представимости числа посредством некоторой формы,,
теория приведенных форм является незаменимой.

ДОПОЛНЕНИЕ IX.
О сходимости и непрерывности некоторых бесконечных рядов.
§ 143.
Принадлежащий Абелю г) метод частного суммирования, приложен-
приложенный в § 101 к исследованию сходимости и непрерывности одного
бесконечного ряда, приводит к доказательству следующего общего
предложения, в котором из некоторых независимых друг от друга
предположений относительно двух последовательностей действительных
или комплексных величин
av a2, а3, ..., (а
bv ftai *8, ¦.. (*)
выводятся следствия относительно составленной из них последователь-
последовательности величин
axbv аф%> %*8> • • •
Если при неограниченном возрастании п модуль суммы
Ап = а\ + а2 + •••+*»
остается конечным, если, далее, сумма р, составленная из модулей
разностей
*i — *2> *2 — *8> *з — ^4 >
конечна, и, кроме того, при возрастании п, Ьп становится бесконечно
малым, то ряд
Т = 01*1 + 0а*а +0А+ •••
сходится] если величины ряда (Ь) непрерывно изменяются таким
образом, что и J3 изменяется непрерывно, то это же справедливо и
относительно *у.
В самом деле, из предположения, что модуль Ап всегда остается
меньше некоторой константы Я, и что сумма C обладает конечным
значением, сначала вытекает абсолютная сходимость ряда
ибо модули его членов образуют сходящийся ряд, сумма которого
А) Recherches sur la serie etc., Oeuvres completes, 1839, т. I, стр. 66; Crelle's
Journal, т. I, стр. 311.

324 Дополнение IX [§ 143
меньше //р. Обозначая суммы п первых членов рядов -у» 8 соответ-
соответственно через Сп, Dn, имеем
но ftn при возрастании п становится бесконечно малым, а потому ряд у
тоже сходится, и его значение равно значению ряда 8.
Таким образом достаточно доказать последнюю часть предложения
для ряда 8. Этого можно достичь даже в несколько большем объеме
следующим образом. Полагая 8 = Dn -\-Ьп и р = Вп -f- Рп, где #w означает
сумму я первых членов ряда р, очевидно, имеем, что модуль остаточного
члена о^ меньше Н$п. Обозначим, далее, через 8', /У, р7, . . . те опре-
определенные значения 8, Dn, Р,.. •, которые соответствуют определенной
системе^величин (ft7); если переменные величины Ьп системы (Ь) неограни-
неограниченно приближаются к величинам Ьп системы (Ьг) и притом так, что р
стремится к значению р', то рп=р— Вп тоже будет стремиться к пре-
предельному значению Рл, ибо состоящая из конечного числа членов сумма
Вп, очевидно, имеет своим пределом значение Вп. Но как бы мала ни
была данная положительная величина е, можно всегда выбрать п настолько
большим, чтобы было #Р'П < е; тем самым в процессе приближения
и Н$п, а следовательно, и модуль остаточного члена 8П определенно
окажутся меньше е, в то время как другая содержащаяся в 8 составная
часть, DnJ будет <\ремиться к своему предельному значению D^. Но
8 — 8'= (Dn — D?)-j-S.n — 8п; следовательно, модуль разности 8 — 8'
в конце концов станет меньше 2з, и таким образом будет стремиться
к предельному значению 87, что и требовалось доказать х).
К предыдущему доказательству вышеприведенного предложения
прибавим еще следующие замечания. Второе предположение, — что
сумма р конечна, — взятое в отдельности, имеет своим следствием, что
бесконечный ряд
также сходится, т. е. что сумма Ьп его п первых членов при возра-
возрастании п стремится к определенному предельному значению Ь, которое,
однако, может быть и отличным от нуля. Все же отсюда, в соединении
с первым предположением относительно АПУ вытекает абсолютная схо-
сходимость ряда 8. Но если теперь отбросить третье предположение, — что
й = 0, — то из соотношения Сп= Dn_1-\-Anbn легко усмотреть, что
о сходимости ряда у можно с уверенностью заключить лишь тогда,
когда первое предположение относительно Ап дополнено в том смысле,
что бесконечный ряд
а = ai + «2 + Ч + ai + - - •
тоже сходится, причем тогда
г) Очевидно, Ь, а стало быть, и само y остается непрерывным и тогда,
когда величины системы (а), предполагавшиеся выше постоянными, непрерывно
изменяются, лишь бы максимум Н модулей Ап оставался конечным во время
этого изменения.

^ 143] Ряды Дирихле 325
Вместе с тем, полагая а — Ап~\-ап и, стало быть, ап = ап_х— «п, по-
получаем
T = a*i + «i(*a —*i) + «2(*e —*2)+ ...;
в самом деле, сумма п первых членов ряда справа равна Cn-\-anbn,
и при возрастании п ап, а следовательно, и anbni станет бесконечно
малым. Особенно важно здесь отметить, что при наших предположе-
предположениях величина -у изменяется непрерывно вместе с величинами системы
(Ь) уже тогда, когда р в процессе изменения остается, конечным, в то
время как 8 при изменении C и b может стать и разрывным. Действи-
Действительно, пусть задана произвольно малая положительная величина е; всегда
найдется определенный индекс v такой, что для всех значений л, кото-
которые больше или равны v, модуль ап меньше е х). Таким образом в то
время как сумма v первых членов в предыдущем выражении f непре-
непрерывно изменяется вместе с величинами системы (?), модуль остаточного
члена остается меньше е|3 и следовательно, если р во время изменения
остается конечной, т. е. меньше некоторой определенной константы,
то этот модуль может быть сделан сколь угодно малым вместе с е;
итак, «у изменяется непрерывно, что и требовалось доказать.
Приложим предыдущие принципы к рядам Дирихле; под этим
наименованием мы подразумеваем ряды следующего вида 2):
f{ }~ k8 ^ k* ^ ks ' " ' "
Ki кг кз
г) Если система (а) тоже является переменной, то предыдущее доказатель-
доказательство непрерывности ? теряет свою силу, даже если предположить, что а изме-
изменяется непрерывно с изменением величин системы (а). Действительно отсюда
еще не следует, что для любого заданного е можно выбрать определенный
индекс v так, чтобы для всех значений /z>v модуль ап и при изменении
системы (а) оставался бы все время меньше е. Детальная проверка следую-
следующего примера показывает, что y действительно может стать разрывной, не-
несмотря на непрерывность а и конечность р. Пусть <Ь (х) есть непрерывная
функция, которая становится бесконечно малой как для бесконечно больших,
так и для бесконечно малых значений х, как например
Пусть, далее, величины, содержащиеся в системах (а) и (Ь), определены как
непрерывные функции переменного h^-О посредством соотношений
ап = <1> (nh) — ф (nh — /г),
Ьп = 1 — nh при h <; —,
Ьп — 0 при h ;> — .
п
Если h становится бесконечно малым, то f стремится не к значению нуль,
соответствующему значению h = 0, а к значению
1
Г 6 (х) dx,
о
несмотря на то, что а. все время равно нулю, а р хотя и не непрерывно, но
все же остается конечным.
2) Если положить s= —1пл\ то они принимают вид степенных рядов.

326 "Дополнение IX [§ 143
причем kv k2, &3,... означают положительные константы, такие,, что
k -^.k ,±, и kn неограниченно возрастает вместе с п\ константы
#1» %> азу • • • СУТЬ произвольные действительные или комплексные
величины; точно так же переменное 5 может принимать произвольные
действительные или комплексные значения, но ради простоты мы огра-
ограничимся здесь лишь действительными значениями s. Полагая, как и выше,
получаем следующее предложение:
Если Ап остается конечным при возрастании п, то ряд f(s) схо-
сходится для всех положительных значений s и будет непрерывным
вместе со всеми своими производными; если же ряд сходится и для
s = О, то он продолжает оставаться непрерывным и в этой точке.
Утверждения относительно f{s) непосредственно вытекают из пре-
предыдущего общего рассмотрения, если положить bn = k^8> в силу чего
•у =/($); в самом деле, при этом {3 равно kT* или равно нулю в за-
зависимости от того, будет ли s > 0 или равно нулю. Конечность
и непрерывность производной f (s) получается, однако, посредством
еще одного уточнения. Пусть s имеет фиксированное положительное
значение, а е — очень малая (положительная или отрицательная) вели-
величина;-положим
откуда
Если выбрать теперь v столь большим, чтобы sln?v стало больше еди-
единицы, а е — столь малым, чтобы было
то bs^>byt,1^b4,^^...i ибо производная функции
7 \х~8~~
отрицательна для всех значений x^k^; кроме тото, ?==0, и, стало
быть, [3v _ t = ftv. Пусть теперь е становится бесконечно малым; Ьп стре-
стремится к предельному значению
*» = ^5
так как Ь'ч^Ь[ + 1 >- Ь[+2 >-..., далее V = 0, и стало быть, (^_х =
"=^, то Pv__1 непрерывно переходит в свое предельное значение
Pv—1» а слеДОвательно, и C непрерывно переходит в значение (З7. Итак,
If также стремится к предельному значению ^'» т. е.
^ дд 3n kt , a2lnfe2 ,
ь» ' fe8 ~Г • • • >

§ 144] Ряды Дирихле 327
ло этот ряд обладает теми же свойствами, а потому f(s) также
является непрерывной функцией положительной величины s. Подобным
же образом проводится доказательство и для производных высших
порядков.
§ 144.
Действительный смысл последнего из доказанных предложений со-
состоит в том, что поведение ряда Дирихле f(s) при 5 = 0 позволяет
вывести заключение о поведении его для всех положительных значений s
j(9to предложение можно легко видоизменить так, что от произволь-
произвольного значения s = а выводится заключение ко всем значениям 5 > о).
С этой точки зрения особенно интересным оказывается сравнение этого
предложения с общим принципом § 118. А именно, принимая во вни-
внимание, что обозначенная там через t величина заключается между kn
И ^n + i^ ^п> и соответствующая величина Т—п является не чем иным,
как суммой п первых членов ряда
при s = — 1, мы усматриваем, что там из поведения ряда при 5 = —1
выводится заключение о поведении его для всех положительных значе-
значений s, особенно же о его поведении в точке s = 0. Более точное
исследование, имеющее целью соединение и обобщение обоих предло-
предложений, приводит к нижеследующим результатам, в которых для крат-
краткости положено
W""" к8 «^ Ь» + '• " * Ь»*
К[ К2 кп
между тем как Лп сохраняет свое прежнее значение.
1. Если для некоторого определенного отрицательного значения s
Snksn при ^возрастании п остается конечным, то это же справедливо
для любого отрицательного значения s, и ——- также остается ко-*
печным,
2. Если -—|— при возрастании п остается конечным, то ряд f(s)
сходится для любого положительного значения s*
3. Если sSnksn и sSnksn+l для некоторого определенного отрица-
отрицательного значения s при возрастании п стремятся к общему пре-
предельному значению — о>, то это же справедливо для любого отрица-
А А
тельного значения s, и ?•«, -—~—стремятся к общему предельному
m яп in /ew+1
значению -j- ш.
A A
4. Если y~t" u\ kn— стремятся при возрастании п к общему
предельному значению ш, то sf (s) при бесконечно малом положитель-
положительном s стремится к этому же предельному значению о>.

328 Дополнение IX [§ 144
Теорема предыдущего параграфа вытекает, очевидно, из п. 29
а теорема § 118 — из пп. 3 и 4. Наметим вкратце доказательство; для
этого заметим, что, полагая
имеем
Разбивая сумму справа на две части, одна из которых содержит пер-
первые т—1 членов, а вторая — остальные п — т членов, и принимая во
внимание, что вообще можно положить
где AV<AV<^V + 1, получаем
причем М и N представляют средние значения*) величин RJi^ со-
соответственно otv=1 до v = w — 1 и от v = w до v = ft — 1. Пред-
Предположим теперь, как в третьем предложении, что существует такое
(отрицательное) значение г, для которого величины rR^kr^ rRfi.lf
а следовательно, и величины rR^, при возрастании v стремятся к не-
некоторому предельному значению —со, и пусть т неограниченно воз-
к
растает вместе с /г, но настолько медленно, что ~ становится беско-
нечно малым; тогда rN стремится к предельному значению —со, между
тем как М остается конечным, и, следовательно, при отрицательном s
sSnk^ также будет стремиться к предельному значению —со. Если же
5 = 0, то
и если т неограниченно увеличивать вместе с п таким образом, чтобы
In кш л Ап
-—~- становилось бесконечно малым, то получим, что -л—~- стремится
in kn J In kn
к значению ~)-<о. Утверждения относительно sSnk8.x и j-~— по-
получаются сами собою, так как из нашего предположения вытекает, что
К
когда со отлично от нуля, необходимо стремится к единице.
п+1
х) Под средним значением комплексных величин z следует понимать любую
такую комплексную величину С, что действительные части величин С и Cl
являются соответственно средними значениями для действительных частей
величин z и zL

§ 144] m Ряды Дирихле 329*
Вместе с тем ясно, что таким же образом может быть про-
проведено доказательство первого предложения, и даже гораздо проще,,
ибо в нем можно обойтись без разложения вышеуказанной суммы на-
две составные части1).
Доказательство второго и четвертого предложений проводится по-
подобным же образом. А именно, полагая при положительном s
оо
К
n~~J
s\nxdx I -\-s\nkn
ДГ8 + Х
имеем
*.
поэтому, предполагая, что т~~ остается конечным, легко получаем2)^
что бесконечный ряд
Ах (kTs - ks s Ы+
сходится и что его сумма совпадает с f(s), что и доказывает второе-
предложение. Обозначая далее через М и № средние значения величин
-.—— соответственно от «=1 до n==w — 1 и от п = т до л = оо..
\r\hn
можем положить
Предположим теперь (как в четвертом предложении), что величины
А А
-—¦—- и —¦—— стремятся к общему предельному значению со; тогда тоже
1пй 1пк^
справедливо и для у- ¦¦"¦¦. Пусть 5 стремится к нулю, оставаясь положи-
jn пп
!) Предложения 1 и 3 по легко объяснимой причине сформулированы так,,
что фигурирующее в допущениях определенное значение s предполагается
отрицательным, хотя данное выше доказательство, в котором это значение s
обозначено через /*, сохраняет свою силу и при положительном г. Это на
первый взгляд поразительное явление связано с тем, что указанным предложе-
предложениям соответствует ряд подобных же предложений, трактующих об исчезновении
остаточного члена S^ =f(s) — Sn для положительных значений s при воз-
возрастании п. Из этих предложений (которые, подобно предыдущим, могут
быть перенесены также на некоторое интегралы) укажем в качестве примера?,
на следующее: если ряд f(s) сходится при некотором определенном положи-
положительном значении s, т. е. если остаточный член S'n при возрастании п стремится
к нулю и притом так, что произведения sS'nkns и sS^ksn+1 стремятся
к общему предельному значению ш, то произведения s Snk^t и s Snk^+t
для любого отрицательного значения s стремятся к предельному значению — а>^.
2) Очевидно, не ограничивая общности предложений, можно при их доказа-
доказательстве предполагать, что уже kL^>l.

330 Дополнение IX [§ 144
дельным, а т одновременно неограниченно возрастает, но настолько
медленно, что s\nkm становится бесконечно малым; тогда М! стремится
к предельному значению со, в то время как М остается конечным, и так
как sKi и sKm стремятся к общему предельному значению 1, то sf(s)
.стремится к предельному значению со, что и требовалось доказать1).
После того как вышеприведенные предложения доказаны, приведем
несколько примеров, главным образом, для того, чтобы показать, что
эти предложения не могут быть непосредственно обращены.
Пример 1. Если с > 1 и 5 > 0, то
-a_i-^_ia.j_^_i_ ас* -\-Ъ
При возрастании п для любого отрицательного значения s
таким образом Snk8n колеблется, и только при b = a
.Несмотря на это, и при неравных а и b
Ит -А. _ нт Ап = i±
11111 - f '¦' ¦ — XI 111 « 1 ' ' -^v ч
ln^ 1п^п^.х 2In
и 5/E) при бесконечно малых положительных значениях s действительно
стремится к этому же предельному значению.
Пример 2. Если опять с>1 и 5 > 0, то
f(s\ = =
JK) cs c2s^c3s cis^'" (cs+lJ'
д
Так как Л2?г = — n, Лп_1 = + «, то -j^- колеблется; тем не менее,
когда 5, оставаясь положительным, становится бесконечно малым, sf(s)
стремится к определенному предельному значению, равному нулю.
Пример 3. Больший интерес представляет следующий ряд:
где с опять больше единицы. Так как
то при возрастании п получаем
А /»
lim
—Г
J) Дальнейшие изыскания можно найти в работе Прингсгейма, Zur
Theorie der Dirichlet'schen Reihen, Math. Annalen, т. 37.

§ 144] Ряды Дирихле 331
и можно показать, что для бесконечно малых положительных значений
s величина sf(s) не стремится ни к какому предельному значению,
а будет колебаться. В самом деле, пусть г есть определенная положи-
положительная величина; заставим s = rc~9 стремиться к нулю, для чего пусть
р, возрастая, пробегает все положительные целые числа; тогда sf(s)
стремится к определенному, но зависящему от г предельному значению
причем п должно пробегать все целые числа от —со до -J-co.
ф(г), очевидно, является периодической функцией от In г, разлагаю-
разлагающейся в ряд Фурье
где In z In с = — 2ic/lnr, II означает эйлеровский интеграл второго
рода, а п пробегает все целые числа от —со до -}-оо; этот ряд
сходится для любого комплексного значения г, действительная часть
которого положительна; вместе с тем он является предельным значе-
значением интеграла
для бесконечно больших значений целого положительного числа п.
Если s непрерывно стремится к нулю, оставаясь положительным, то sf(s)
колеблется вокруг среднего значения -— , которое также заключается
Л А
между предельными значениями л—?- и -л—¦——.

ДОПОЛНЕНИЕ X.
О композиции бинарных квадратичных форм.
§ 145.
Нашему изложению основанной Гауссом*) теории композиции мы
предпошлем две вспомогательные теоремы из теории сравнений. Первая
из них содержит полезное обобщение задачи, разобранной в § 25,
тогда как вытекающая отсюда вторая теорема является основанием для
указанной теории.
1. Если модуль т не имеет общего делителя с целыми числами
Pv Ръ> • • •> Рп и если 6се детерминанты prq8— qrp8, образованные из
них и из целых чисел qv q2,. . ., qn, делятся на т, то имеется
один и только один класс чисел В (mod m), удовлетворяющих одно-
одновременно линейным сравнениям
рхВ == qv р2В =?2, .. ., рпВ = qn (mod m) 2). A)
Для доказательства выберем (по § 24) определенную систему целых
чисел /г, hv h2i..., hn, удовлетворяющих условию
а, стало быть, и сравнению
2 РА = РА + P2h2 + • • • + РгАг = ! (mod *»),
И ПОЛОЖИМ
2 я А = ^1*1 -Н А + • • • + 7 А = ^о-
Если существует число В, удовлетворяющее сравнениям A), то умножая
эти последние на hv h2,..., hn и складывая, получаем как следствие,,
что необходимо В==В0 (mod m). И обратно, если В означает какое-
нибудь число класса, представителем которого является Во, то иа
РгЯз^ЧгР* (mod m) следует, что
Ргв = Рг 2 7А = 2 Рг?А = 2 ЯгРА = Яг 2РА = 7r (mod w);
итак, В удовлетворяет сравнениям A), что и требовалось доказать.
*) Gauss D. A., art. 234 и ел. Ср. Lejeune Dirichlet, De fornurum
binariarum secundi gradus compositione, 1851.
2) Легко убедиться, что обращение этой теоремы также справедливо.

§ 146] О КОМПОЗИЦИИ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 333
2. Если
bb = D (mod a), b'b'==D (mod а7) B)
и три числа a, af, b-\-b' не имеют общего делителя, то существует
один и только один класс чисел В относительно модуля аа\ удовле-
удовлетворяющих трем условиям
B~b (modа), B = b' (modа7)» BBzzzD [той аа'), C)
и числа а, а', 2В тоже не имеют общего делителя.
Это непосредственно вытекает из предыдущей теоремы. В самом
деле, так как
(В — b){B — b') =BB — (b-\-b')B-\- bb',
то легко видеть, что условия C) вполне равнозначащи с линейными
•сравнениями
a'B — a'b, aB~ab\ (Ь + Ь') В = Ы/+ D (mod аа');
но коэфициенты ar, a, b-\-br не имеют общего делителя, и вслед-
вследствие B) все детерминанты
а' • aV — a'b-a = aaf (V — b),
a' (bbf + D) — aFb {b + V) = a'{D — bb),
a {bbf + D) — abr (b + V) = a {D — VV)
делятся на модуль аа\ а потому первая часть нашей теоремы доказана.
Пусть далее Ь есть общий делитель а, а', 2В\ из C) следует,
что B==zb===b' (mod6), стало быть * + *' = 2BsO (mod8). Итак, 8
•является также и общим делителем чисел a, a', b -\-b'', и следовательно
равно единице, что и требовалось доказать 1).
§ 146.
Две бинарные квадратичные формы (а, Ь, с), (#', Ь\ сг) с одинако-
одинаковым детерминантом D будем называть согласными, если числа а, а\
b-\-b' не имеют общего делителя. Так как bb = D (mod a)y brbr===D
(mod ar\ то из предыдущей леммы непосредственно вытекает существо-
существование бесконечного множества параллельных (по § -56 эквивалентных)
форм (аа\ Ву С) с тем же детерминантом D, средние коэфициенты В
г) Если рассматривать теорию бинарных квадратичных форм лишь как
частный случай общей теории целых алгебраических чисел, то имеется много
оснований за то, чтобы вместо взятой за основную Гауссом и Дирихле формы
ах2 + 2bxy -f- су2, в которой коэфициент при ху всегда число четное, выбрать
более общую форму ах^ -j- bxy -f- су2 и под ее дискриминантом всегда понимать
величину d = bb — 4ас. Вышеуказанную лемму нужно заменить тогда следующей,
несколько более общей: Если bb^d (mod Аа), b'b'^d (mod4a') и три числа
а* а'' ~2 ^ ~^~ ^ не имеют общего делителя, то относительно модуля 2ааг
существует один и только один класс чисел В, удовлетворяющих трем усло-
условиям B~b (mod2a), B^br (mod2a')t BB~d (mod4aar), причем числа а,а'9 В
не имеют общего делителя.

334 Дополнение X [§ 146
которых удовлетворяют условиям B^b (mod a), В===Ъ' (mod а')~
Каждую такую форму (аа\ В, С) назовем составленнойг) (compostta}
из (а, ЬУ с) и {а', Ъ'% С).
Отметим сначала, что (по § 56) формы (а, Ь> с), (а', Ь\ с') соот-
соответственно эквивалентны формам (ау В, а'С), (а'у В, аС); эти послед-
последние также являются согласными формами, так как числа а, а\ 2В не
имеют общего делителя (§ 145), и из них равным образом составлена
форма (аа\ В, С). Пусть дг, у, х', уг означают переменные величины;
положим
+ у; A)
тогда
(ах + (В + }/D)y) (а'х' + (в + \/Ъ)/) = ааГХ + (в + ]/п) У. B)
Заменим здесь |/D через —]/d и перемножим получившееся равенства
с предыдущим; отбрасывая в обеих частях общий множитель аа\ полу-
получаем равенство
(ах* + 2Вху + а'Су*) (а'х'* -f 2Bx'y' + аСу'2) =
C)
т. е. форма {ааг, В, С) переходит посредством билинейной подста^
теки A) в произведение форм (а, В, а'С) и (а', Л, аС).
На предыдущем результате основано вместе с тем доказательство
следующей основной теоремы2):
Если две согласные формы (а, Ь, с), (а'9 Ь\ с') соответственно
эквивалентны двум согласным формам (т, п, /), {mry п\ /'), то и со»
ставленная из двух первых'форма (аа'9 В, С) также эквивалентна
составленной из двух последних форме (тт\ N9 L).
Из условий теоремы сначала следует, что формы (а, В> а'С),
(а', В, аС) соответственно эквивалентны формам (т, N, m'L), (/#', Л/, тЦР
г отсюда вытекает (согласно сказанному в сноске к § 60, стр. 131)
существование четырех целых чисел дг, у, хг> у', удовлетворяющих
следующим условиям:
ах* + 2Вху -f а'Су* = /ю, а'х'* +¦ 2Д</ + "С/2 = т'9 D)
ах-f (В-f-% = 0, (В — N) x-\-a'Cy==Q (mod m), E)
^0 (mod m')\ F)
точно так же, для того чтобы обнаружить эквивалентность обеих форм
(аагу Ву С), (тт\ N, I), нужно только доказать существование двух
целых чисел X, У, удовлетворяющих требованиям
аа'Х*~\-2ВХУ-{-СУ* = тт', G)
aa'X+(B + N) У=0 (mod ш7), (8)
(В — Ы)Х-\-СУ^Ъ (mod mm!). , (9>
Ср. G a u s s, D. A., artt. 235, 242, 243, 244.
Gauss, D. A., art. 239; Dirichlet, см. сноску 1) на стр. 332.

8§ 147] О композиции бинарных квадратичных форм 335»
Легко теперь показать, что (очевидно, целые) числа X, К, образован-
образованные по A) из четырех целых чисел х, у, х\ у'9 действительно удовлет-
удовлетворяют предыдущим условиям. Сначала из C) и D) недосредственно
следует G). Далее из каждого равенств^ вида
(t -{- и УЪ) {if + и' \ГЬ) = {f+u? /d) (r + и!" /75),
где t9 и, if и т. д. означают целые числа, вытекает тождественное
относительно переменного z равенство
(* + **) {if + u'z) = (/" + и"г) (if" + ti'"z) -f (uuf — vPvt") (zz — D)%
а отсюда, так как NN=D (mod mmf), вытекает также сравнение
mN) (mod mm')]
поэтому, если принять во внимание E) и F), из B) непосредственна
следует (8). Наконец, это же равенство B) посредством умножения на
Б — j/D или на С, и посредством деления на а или на а' можно при-
привести к следующим четырем видам:
[(В —
+ {В + }рУ)У\ \{В — Yb) х' + аСу'] =
где для краткости положено
E — Y~D)X+CY=U.
Если заменить везде |/d через /V, то эти равенства по вышеупомяну-
вышеупомянутому принципу опять перехолят в сравнения по модулю mmf. Обозна-
Обозначим получающееся из U выражение, т. ё. левую часть доказываемое
^сравнения (9), через V; принимая во внимание E) и F), получаем,,
J^to произведения a'V9 aV, (В — N)V9 (B-\-N)V, а следовательно^.
% 2BV делятся на mm'. Но множители а, а'9 2В не имеют общего
делителя, а потому остающийся еще множитель V сам должен делиться
на mm'; таким образом сравнение (9) действительно имеет место.
Итак, оба целых числа X, У удовлетворяют условиям G), (8), (9),
а отсюда вытекает (согласно сказанному в сноске к § 60, стр. 131);
эквивалентность форм (аа', В, С), {mm', N9 L)y что и требовалось,
доказать.
§ 147.
Для того чтобы должным образом осветить смысл только что дока
занной основной теоремы, заметим сначала следующее. Если {а, Ь, с)у,
{а', Ь', с') — две согласные формы9 то их делители о, о' (§ 61) будут
взаимно простыми числами и оо' есть делитель составленной из них
формы (аа', В, С). В самом деле, так как формы (а9 Ь, с), (а\ Ь'9 с')
соответственно эквивалентны формам (а9 В, а'С), (а'9 Ву аС), то (по*

:336 Дополнение X [§ 147
§ 61) о есть общий наибольший делитель чисел а, 2В, а'С, а о'—общий
наибольший делитель чисел а', 2В, аС Но я, а', 2В не имеют общего
делителя, а потому входящее в а и 2В число о должно быть взаимно про-
простым с а' (а следовательно, и с входящим в а' числом о'); и так как
о входит в а'С, то о должно входить также и в С. Точно так же о'
должно быть взаимно простым с а, а следовательно, должно входить
и в С. Далее, уже показано, что о и о' — взаимно простые числа, атак
как они оба входят как в 2В, так и в С, то ос/ является, очевидно,
общим делителем трех чисел аа', 2В, С. Если предположить теперь,
что оо' не является их общим наибольшим делителем, так что после
деления на оо' их еще Можно делить на простое число р, то р должно
входить хотя бы в одно из двух чисел — или -7 . Если бы, однако,
G G'
мы допустили, что р входит, например, в — , то три числа я, 2В, а'С
имели бы общим делителем /?з, между тем как их общий наибольший
делитель равен о. Точно так же р не может входить в — и, следо-
следовательно, оо' является общим наибольшим делителем чисел аа\ 2В, С,
т. е. оо' есть делитель формы {аа'\ В, С), что и требовалось доказать.
Обратно: если имеются два класса форм К} К! с одинаковым де-
детерминантом D, делители о, о' которых суть взаимно простые
числа, то из классов К, К можно всегда выбрать соответственно
две согласные формы {а, Ь, с), (а', Ь'у с'\ В самом деле, сначала
можно (по § 93) так выбрать представителя (а, Ь, с) класса Ку чтобы
а было взаимно простым с о', после чего представитель (а', Ь', с')
класса К! может быть выбран так, чтобы а' было взаимно простым
с а\ но тогда {а, Ь, с), (а', Ь', сг) будут, наверное, двумя согласными
формами. Два таких класса К К! будем поэтому также называть со-
согласными. Как бы ни были выбраны из классов К, К' две согласные
формы, вследствие доказанной основной теоремы составленная из них
форма всегда будет принадлежать к одному и тому же классу форм L
с тем же детерминантом D, делитель которого по вышеизложенному равен
оо'. Мы скажем поэтому, что этот класс L составлен из обоих соглас-
согласных классов /С, К\ и будем это выражать посредством символического
равенства 1)
Если теперь три класса /С, К\ Л" попарно согласны, то из них
можно путем двух последовательных композиций составить один класс,
причем этот результирующий класс совершенно не будет зависеть от
порядка обеих последовательных композиций2), т. е., в символических
обозначениях,
(КК) К' = {№') К! = {1С К') К.
Действительно, представителей (а, Ь, с), (а', Ь\ с'), (а", Ь", с") трех
!) Гаусс обозначает составленный из К и К? класс через К Л-К! (D« A.,
-art. 249).
2) Gauss, D. A., artt. 240, 241.

§ 148] О композиции бинарных квадратичных форм 337
классов К, К\ K!f можно (по § 93) выбрать так, чтобы а, а\ а!г были
взаимно простыми числами. Если определить теперь (по § 25) В по-
посредством сравнений
B = b (mod a), B==br (moda')> B = b" (mod а"),
то само собою будет BB = D (modtfaV), следовательно, D = ВВ —
— аа'а" С, где С означает целое число. Тогда
класс К содержит форму (а, В, а'а"С),
п Кг „ „ (а', В, аа"С\
п К" „ „ (а", В, аа'С),
„ КК' „ „ {аа\ В, а"С)у
„ КК' „ „ (ааГ, В, а'С),
п К'К" „ „ (а'а\ВъаС),
и, следовательно, каждый из классов (КК')К", (КК")К', {KfK")K со-
содержит одну и ту же форму (аа!а!\ В, С); тем самым эти три класса
тождественны. Этот единственный класс можно поэтому просто обо-
обозначить посредством символа ККГК"У причем расстановка трех символов
it, K'} К" безразлична.
Применяя теперь то же рассуждение, что и в § 2, получаем, что и для
любого большего числа классов К, К\ ..., образованный посредством их
последовательных композиций кла.сс вполне определен и совершенно не
зависит от порядка композиций. Необходимым, однако, остается условие,
чтобы эти классы К, К\... принадлежали к одному и тому же детерми-
детерминанту и чтобы их делители о, с/,... были взаимно простыми числами,
ибо только тогда композиция может быть выполнена вышеуказанным
образом. Для нашей цели, однако, этот частный случай общей теории
композиции совершенно достаточен.
§ 148.
Рассмотрим сначала несколько- особенно важных частных случаев
композиции классовх).
1. Главная форма A, 0, — D) является, очевидно, согласной с каждой
формой (а, Ь, с) этого же детерминанта, и композиция обеих форм
дает з результате эту же форму (а, Ь} с); итак, в результате компо-
композиции какого-нибудь класса К с главным классом получается всегда
класс К Обозначая таким образом главный класс символом 1, имеем
всегда 1К=К, причем К означает произвольный класс.
2. Если (а, Ь, с) есть начальная форма первого вида, то она со-
согласна с формой (с, by а), и из обеих составляется форма [ас, Ь\ 1).
Но так как (с, Ь, а) эквивалентна (а, — ?, с), и точно так же {ас, Ь, 1)
эквивалентна A, — Ь, ас), а следовательно, и главной форме A, 0, — D)
(§ 56), то этот результат кратко можно сформулировать так: композиция
двух противоположных начальных классов первого вида Н, Нг дает
всегда главный класс НИ' = 1.
Отсюда мы выводим важное следствие, которым весьма часто поль-
пользуются: если Н означает начальный класс первого вида, то из НК= HL
!) G a u s s, D. A., artt. 243, 250

338 Дополнение X [§ 149
всегда следует и К= L. В самом деле, если Я' противоположен классу
Я, т. е. ЯЯ'=1, то из HK=*=HL вытекает сначала (Я?) Н' = (HL) Н\
а отсюда (НН') К = (НН') L, стало быть, K=L.
3. Если К есть класс с делителем о, то его представителя (ас, Ь, с)
можно (по § 93) выбрать так, чтобы а было взаимно простым с с/
Тогда эта форма, очевидно, будет составлена из двух согласных форм
(a, by со) и (о, Ь, ас), из которых последняя имеет делитель о и при-
надлежит к простейшему классу этого делителя (§ 61), откуда само
собою следует, что -первая форма должна быть начальной формой
первого вида, что можно было бы легко доказать и прямо. Таким
образом имеем результат: если S есть простейший класс, а К—какой-
нибудь класс с делителем о, то всегда существует хотя бы один
такой начальный класс первого вида Я, что SH=K.
С помощью сказанного в-п. 2 легко можно убедиться, что предложе-
предложение 3 справедливо и тогда, когда S и К означают какие-нибудь классы
одного и того же делителя; точно так же очевидно, что из простейших
классов с делителями о, о' всегда составляется простейший же класс
с делителем ас/, конечно в предположении, что о и а'— взаимно про-
простые числа. Мы не будем, однако, больше останавливаться на этом и
других, столь же легко доказуемых предложениях, поскольку в после-
последующих исследованиях они нам не будут нужны.
§ 149.
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением всех, начальных
классов первого вида (а=1), принадлежащих к некоторому определен-
определенному детерминанту D. Систему этих классов обозначим через ф, а
число их (по §§ 67, 77 конечное)—через h. Два любых таких класса
будут попарно согласны, и композиция их всегда дает снова класс
этой же системы ф. Это справедливо и тогда, когда оба класса тож-
тождественны, и класс ЛА, образуемый композицией некоторого класса
Л с самим собою, или, короче, сдваиванием1) класса Л, будем обо-
обозначать через А2. Подобным же образом следует понимать li общее
обозначение Ат> где т означает какое-нибудь положительное целое
число. Применяя те же выводы, что и в § 28, легко находим, *что
всегда существует наименьший положительный показатель 8, удовле-
удовлетворяющий условию Л3=1. Классы
1 у /±9 /1,..., /\ ,
образующие так называемый период2) класса А, будут тогда между
собою различны, и мы скажем, что класс А принадлежит к показа-
показателю 8. Из АГ = А8 следует r==s (mod 8), и обратно; поэтому можно
обобщить обозначение Ат, распространив *его и на отрицательные
показатели т (а также и на т = 0). Так, например, А~г = Л5" будет
символом для класса, противоположного классу А (§ 148, п. 2).
г) G a u s s, D. A., art. 249.
2) Gauss, D. A., art 306, II.

§149] О композиции бинарных квадратичных форм 339
Если Л2=1 и, сталсГбыть, А — А~г, то каждая.^ форма (а, Ь, с)
класса Л собственно эквивалентна противоположной ей форме (я,— Ь9 с)>
а следовательно, несобственно эквивалентна самой себе. Класс Л содержит,
таким образом (по § 58), двустороннюю форму и будет поэтому назы-
называться также двусторонним классом (classis anceps) 1).
Такой период класса является лишь частным случаем следующего
нового понятия, представляющегося в высшей степени важным для законов
композиции: систему 51 начальных классов первого вида назовем
группой2), если композиция двух любых классов системы 51 всегда
снова дает класс этой же системы. Число -а содержащихся в 51 раз-
различных классов называется степенью этой группы 31. Система ф,
очевидно, сама является группой степени h.
Из этого определения немедленно следует, что если класс А со-
содержится в некоторой группе 51, то и весь период класса Л, а следо-
следовательно, и противоположный класс Л» и главный класс, также нахо-
находятся в 51. Далее, если соединить каждый из содержащихся в группе 51
классов Av Л2,..., Аа с некоторым начальным классом первого вида В> то
полученные классы Лх?, Л2?,..., АаВ отличны друг от друга (§ 148, п. 2)
и образуют комплекс, который мы кратко можем обозначить через 5Ш.
Два комплекса ЗШ и 5Ш', составленные подобным образом, либо
полностью тождественны (что опять должно обозначаться знаком =),
либо не имеют ни одного общего класса. Действительно, если они
имеют общий класс АВ = А'В\ причем А и Аг содержатся в 51,
то отсюда следует В = Л AfBf = А!ГВ\ где А!' — А~ХА' означает
также содержащийся в 5С класс; а отсюда 5Ш = 51 $'ВГ = 5Ш',
так как комплекс 5L4", очевидно, тождественен с самим комп-
комплексом 51.
Опираясь на это основное свойство группы и применяя те же выводы,
что и в § 127, непосредственно получаем следующее предложение:
Если все а классов группы 51 содержатся одновременно в некоторой
группе 5Ш степени т, то а является делителем т = [Ш, и группа 9Л
состоит из «х комплексов вида 5Ш; вследствие этого группу 51 будем
называть также делителем группы Шу а последнюю — кратным первой
группы.
Таким образом каждая группа 51 является делителем группы ф, а ее
степень а делителем h. Так как период класса Л, принадлежащего
к показателю 8, образует группу степени 8, то 8 есть делитель h, и,
следовательно, каждый класс Л удовлетворяет урловию Лл=1.
Пусть далее 51 и 33— две произвольных группы; система 35 всех
классов, одновременно содержащихся в 51 и 33, также образует группу,
которую можно назвать общим наибольшим делителем {u5t и S3; если
степени этих трех групп равны a, b, d> то d является общим делителем
a = ad и b — $d. Далее, если группа 93 состоит из C комплексов ^)В1У
?? то, как легко видеть, и р комплексов 5ШР 5Ш2,...>
х) Gauss, D. A., art. 224. Вообще класс А, для которого Ли=1, можно
назвать посторонним классом.
2) Ср. Galois, Sur les conditions de resolubiiite des equations par radicaux,
Journal de Liouville, т. XI, 1846.

340 Дополнение X [§ 150
2Шр также образуют группу $Щ степени т = а§ = Ьъ = —, причем
эта группа 5Ш является общим наименьшим кратным обеих групп 51 и 93 *).
Легче всего изучить те группы, которые образованы вышеупомяну-,
тыми периодами. Каждую такую группу, классы которой получаются
повторной композицией единственного класса, мы будем называть регу-
регулярной группой. Каждую иррегулярную группу можно рассматривать как
наименьшее кратное некоторых регулярных групп, и притом классы \4,
В, С,... можно выбрать из нее так, что каждый содержащийся в ней
класс всегда и существенно единственным образом может быть пред-
представлен в виде АтВпСг... Но этими представлениями и связанными с ними
теоремами Гаусса2), доказательство которых легко может быть основано
на предыдущем, мы здесь больше заниматься не будем.
§ 150.
Одно из важнейших приложений, которое было получено Гауссом из
теории композиции, состоит в определении соотношения между числом
hr классов делителя о и числом h начальных классов первого вида3);
очевидно, это та же самая задача, решение которой по принципам
Дирихле было уже изложено выше (§§ 97, 99, 100).
Пусть S означает простейший, а К—какой-нибудь класс делителя о;
существует (по § 148, п. 3) по меньшей мере один начальный класс
первого вида Я, который композицией с S порождает класс К\ таким
образом посредством композиции S со всеми h классами Н должны
быть непременно получены все классы К делителя о, каждый хотя бы
один раз. Пусть теперь Rv /?2,..., Rr— все г отличных друг от друга
начальных классов первого вида, которые композицией с S порождают
сам класс S. Так как из SR = S и SR' = 5 следует также S(RR') = S,
то эти г классов образуют группу dt степени г; а так как система всех
h начальных классов первого вида точно так же образует группу ф,
кратную группе 91 (§ 149), то /г = г&, и группа ф распадается на k
комплексов вида 9Ш. Все г классов одного такого комплекса ШН
композицией с S дают один и тот же класс SH делителя о; и обратно,
если SH' = SH, то отсюда следует SH'H = 5, стало быть, HrH~x = R
содержится в 5R, и тем самым H' — RH содержится в комплексе 9Ш.
Отсюда число hr различных классов делителя о равно k, и мы приходим,
таким образом, к следующему результату:
Число h начальных классов первого вида делится на число hr
классов делителя о; те г начальных классов первого вида, которые
1) При таких композициях, где символы АВ и ВА имеют различные значе-
значения (ср., например, § 55), изложенное предложение относительно Ш теряет
в общем случае свою силу.
2) Gauss,D. A., artt.305—307; далее Demonstration dequelquestheoremes con-
cernants les periodes des classes des formes binaires du second degre (Gauss' Werke,
т. II, стр. 266; 1863). Ср. S с h e r i n g, Die Fundamental-Classen der zusammensetz-
baren arithmetischen Formen, Gcrttingen 1869; Kronecker, Auseinanderset-
zung einiger Eigenschaften der Classenanzahl idealer complexer Zahlen, § 1,
Monatsbericht der Berliner Akademie от 1 декабря 1870 г.
3) G a u s s, D. A.> artt. 253—256.

§ 150] О композиции бинарный квадратичных форм 341
при соединении с простейшим классом делителя о снова порождают
этот же простейший класс9 образуют группу $1, и hz=rhf.
Этот результат сохраняет, очевидно, свою силу для отрицательного
детерминанта и в том случае, когда учитываются не все, а только так
называемые положительные классы (§ 64).
Теперь, очевидно, остается только определить степень г группы Я,
и с этой целью Гаусс устанавливает следующую прекрасную теорему:
Группа 9t состоит из тех г классов R, формы которых дают
собственное или несобственное представление квадрата делителя о.
Для доказательства этой теоремы заметим сначала, что в качестве
представителя каждого начального класса Н первого вида всегда можно
взять форму {а, Ву Со), в которой а—взаимно простое с о, а 2В и С
делятся на о. В самом деле, выберем сначала (по § 93) в качестве
представителя форму (а, Ь, с), в которой а — взаимно простое с о;
композицией этой формы с формой (о, Ь\ с') из простейшего класса
5 делителя о получаем (§§ 146, 147) форму (ао, В, С) делителя о, и притом
такую, что формы (a, bt с), (о, Ь\ с') соответственно эквивалентны
формам (а, В, Со), (о, В, аС). Итак, форма (а, В, Со), коэфициенты
которой, очевидно, обладают вышеуказанными свойствами, может быть
выбрана в качестве представителя класса Н вместо формы (а, Ъ, с).
Пусть теперь SH — S, т. е. Н один из г классов группы 9?; тогда
(яо, В, С) эквивалентна с (о, В, аС), и, следовательно, существуют два
целых числа х, у, удовлетворяющих условию
аох2 -f- 2Вху + Су2 = о;
но отсюда следует
а (сиг)» + 2Воху + Coy* = о»,
т. е. о2 представляется посредством формы (а, В, Со) класса Я, когда
переменным приданы значения а#, у.
Обратно, если о2 представимо посредством форм класса Я, стало
быть, и посредством формы (а, В, Со), то существуют два целых числа
г, у, удовлетворяющих условию
az2 + 2Bzy + Coy2 = <А
Отсюда сначала вытекает, что z должно делиться на о; действительно,
обозначим через 8 общий наибольший делитель обоих чисел z = bx и
о = 8р; тогда предыдущее равенство можно сократить на 82, так как
числа 2В и С делятся на а, и мы получаем
так что ах2 делится на р; но так как р (как делитель о) — взаимно
простое *с а, а также (по определению числа 8) и с х, то необходимо
р=1, следовательно 8 = о и z — ox. Вместе с тем из предыдущего
равенства вытекает, что х, у—^взаимно простые числа; тем самым
число
о = аох* + 2Вху +. Су2

342 Дополнение X [§151
допускает собственное представление посредством формы (яз, В, С)
делителя а, которая, следовательно (§ 60), должна быть эквивалентна
форме (о, Ь\ с'), первый коэфициент которой равен о, а потому при-
принадлежит простейшему классу 5 делителя а. Но так как (яо, Л, С)
принадлежит также и классу SH, то SH=S, т. е. И является классом
группы 9t, что и требовалось доказать.
Доказанная тем самым вышеприведенная теорема ,дает нам возмож-
возможность точно определить степень г группы 9t Пусть/? — один из классов
этой группы, и о2 так представлено его формами, что оба предста-
представляющих числа xf у имеют общий наибольший делитель 8; тогда S2
входит в о2, а следовательно,^—в о = 8р. Тем самым (по § 60), р2 соб-
собственно представимо посредством форм класса /?, и, следовательно, в
качестве представителя /? мЪжно (по § 60) выбрать форму, первый
коэфициент которой равен р2. Так как, обратно, каждая такая форма
да^ет представление и для а2, когда переменным придаются значения
х = 8, у = 0, то если она вместе с тем является начальной формой
первого вида, она принадлежит одному из классов R группы 9t. Итак,
мы получили следующую теорему:
Степень г группы 9? равна числу всех неэквивалентных начальных
форм первого вида, первым коэфициентом которых является входя-
входящий в о2 квадрат р2.
В заключение заметим, что для каждого такого числа р2 (согласно
§ 56) нужно исследовать лишь все такие формы, средние коэфициенты
которых несравнимы по модулю р2.
§ 151.
После того как в предыдущем в общих чертах намечен путь, следуя
которому можно достигнуть определения соотношения числа классов
h и h'9 приступим к рассмотрению частных случаев, в которых а есть
простое число, так как из них может быть получен общий результат.
I. Если детерминант D==l—4я =1 (mod 4), и а = 2, то дело
идет о сравнении числа классов начальных форм первого и второго
вида. Обозначим их снова через h и hr\ тогда h = rhf, причем г озна-
означает число неэквивалентных начальных форм первого вида, первый
коэфициент которых равен 1 или 4. Так как во втором случае средний
коэфициент должен быть нечетным, то придется рассматривать лишь
три формы
A, 0, —D), D, ±1, п).
Если D==z\ (mod 8), стало быть, п — четное, то лишь первая из
этих форм будет начальной формой первого вида, следовательно,
г=\ и h = hr.
Если же Z) = 5 (mod 8), стало быть, п — нечетное, то все три
формы будут начальными формами первого вида, и остаемся только
исследовать, принадлежат ли они ^различным классам или нет. Сначала
можно доказать, ^что они принадлежат либо одному и тому же классу,
либо же трем различным классам. Гаусс показывает это посредством
композиции соответствующих им классов 1, Р, Q. Так ка,к классы Р,
Q являются противоположными, то PQ = 1; далее, легко можно

151] О КОМПОЗИЦИИ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 343
показать, что PP — Q и QQ — P (ибо из обеих содержащихся в Р со-
согласных форм D, 1, п), (п, — 1, 4) составляется форма D/г, 2п—1, я),
а так как она эквивалентна с (п, 1—2п, 4п), (п, 1, 4), D, —1, п), то
получаем PP=Q)\ если предположить теперь, что два из трех классов
1, Р, Q тождественны, то отсюда немедленно получается, что и третий
класс совпадает с ними. Это же может быть доказано и посредством
следующих теорем:
Если какие-нибудь две из трех формA, 0, — D), D, ±1, п) экви-
эквивалентны, то уравнение t2 — Du2 = 4 разрешимо в нечетных числах t, Ъ.
Действительно, пусть первая форма эквивалентна одной из двух
остальных; тогда (по § 60) первый коэфйциент 4 этих последних до-
допускает собственное представление посредством формы A, 0, —D);
следовательно, существуют4 два взаимно простых числа t, и, удовле-
удовлетворяющие уравнению t2— Du2 = 4; а так как г и а не могут быть
оба четными, то отсюда следует, что они оба необходимо должны быть
нечетными. Пусть, далее, эквивалентны обе последних формы; тогда
(по сказанному в сноске к § 60, стр. 131) существуют два целых
числа х, уу удовлетворяющие условиям
4х2-\-2ху-\-пу2 = 4, 2лг + лу=Ь0 (mod 4).
Так как п нечетно, то у должно быть четным, равным 2и\ если поло-
положить 2х -\-u = t, то эти условия перейдут в следующие:
t2 — Du2 = 4y t]= — u (mod 4);
так как из последнего вытекает t2 = u2 (mod 8) и, кроме того,
— D = 3 (mod 8), то из первого следует 4и2 = 4 (mod 8); тем
самым и, а стало быть, и t, нечетно, что и требовалось доказать.
Если уравнение t2 — Du2 = 4 разрешимо в нечетных числах t, и,
то все три формы A, 0, — D), D, ±1, п) эквивалентны.
Действительно, если взять t с произвольным знаком, а затем выбрать
и = — / (mod 4), то форма A, 0, — D) посредством подстановок
t + Du'
4
переходит в обе формы D, =±z I, n). Соединяя обе предыдущие теоремы,
олучаем:
Три вышеуказанные формы эквивалентны или принадлежат к трем
различным классам в зависимости от того, разрешимо ли уравнение
t2 — ?>и2 = 4 в нечетных числах /, и> или нет; в первом случае h = hf,
so втором h = 3/z'.
Если D положительно, то имеет место первый случай или второй в за-
зависимости от того, состоит ли наименьшее решение t=T, u = Ur из
нечетных или из четных чисел (§ 99). Если D отрицательно, то, вообще
говоря, уравнение допускает всего два решения / = ±2, и = 0 и таким
образом h = ЗА'; единственное исключение представляет детерминант
D = —3, так как кроме обоих решений t2 = 4, и = 0 уравнение имеет
еще четыре решения ^ = k3i=1, и, следовательно, в этом случае опять

344 . Дополнение X [§ 151
Эти результаты полностью совпадают с теми, которые были полу-
получены нами ранее (§§ 97, 99) при помощи совершенно иных принципов.
II. Если D = /Уз2, jo легко усмотреть, что hr является одновре-
одновременно числом начальных классов первого вида с детерминантом /У.
По предположению а есть простое число, а потому для определения
h
отношения г~~~п7 нам придется рассмотреть лишь / форм
A, 0, — D) = E и (о*, bo, b2 — D')=Fb, A)
причем b должно пробегать полную систему вычетов (mod о), за исклю-
исключением тех значений, для* которых b2==Dr (modo), так как им не
соответствуют начальные формы; поэтому для числа форм A) имеем
/—2 или о—(—
в зависимости от того, будет ли о = 2 или нечетному простому числу.
Определение числа г различных классов, которым принадлежат эти /
различных форм A), достигается посредством следующих предложений.
Обе формы Еу Fq эквивалентны всегда и только тогда, когда
уравнение
>ff — D'u'u'=\ C)
допускает решение в целых числах it\ и\ удовлетворяющих условию
*/ + Ра/==0 (mod о). D)
В самом деле, упомянутая эквивалентность имеет место (по сказан-
сказанному в сноске к § 60, стр. 131) всегда и только тогда, когда суще-
существуют два целых числа х, у, -для которых выполняются условия
= 0, — ролг — D'o2j/==0 (modo2).
Так как из первого следует, что х делится на а, и так как эти усло-
условия посредством подстановки лг==о?', у = и' переходят в условия C)
и D), из которых они обратно следуют,^ то предложение доказано.
Обе формы Fb, Fb, эквивалентны всегда и только тогда, когда
уравнение C) допускает решение, удовлетворяющее условию
{b — b')t-\- {bbr — DO и' == 0 (mod о). E)
Действительно, эта эквивалентность равнозначаща с существованием
двух целых чисел ху у, удовлетворяющих условиям
о2 х2 + ЪЫху -f (b2 — D'\y2 = о2,
02д: 4- (Р + Ъ') су = 0, {Ь — bf) ox + (b2 — D')y = 0 (mod о2).
Так как по предположению b2 — Dr не делится на а, то у должно
делиться на простое число о; далее, посредством подстановки у = ои',
х*=? — bur предыдущие условия переходят в услрвия C) и E), из
которых они обратно вытекают, что и доказывает предложение.

§ 161] , О композиции бинарных квадратичных форм 345
Если X означает число тех из форм A), кото.рые принадлежат
главному классу, то f=rX.
Если форма Fa принадлежит главному классу, то существует реше-
решение (/', uf) уравнения C), удовлетворяющее сравнению D), и, следо-
следовательно, и' не может делиться на а. Если, обратно, (/', и') — решение
уравнения C) и и' не делится на а, то всегда существует один и только
один класс чисел C (mod о), удовлетворяющий сравнению D), и, сле-
следовательно, ему соответствует некоторая форма 'F^ принадлежащая
главному классу. Таким образом, для тогб чтобы получить все эти
формы, нужно отыскать все решения (?', иг) уравнения C), в которых
и' не делится на а, и каждый раз посредством сравнения D) определять
соответствующий числовой класс р (mod а). Так как, кроме того,
форма Е принадлежит главному классу и X означает число всех при-
принадлежащих к главному классу форм A), то число всех ^несравнимых
классов чисел р (mod а), которые могут быть порождены решениями
(f, и') уравнения C) в силу сравнения D), равно X—1.
Если этим исчерпаны уже все формы A), то /=Х, а г=1, следо-
следовательно, теорема верна. Если же в A) существует некоторая форма
'Fbn не принадлежащая к главному классу, т. е. существует такой класс
чисел br, отличный от X—1 классов чисел р (mod о), что W — Dr
не делится на а, то мы покажем, что среди / форм A) имеется ровно
X—1 различных форм Fb, которые все эквивалентны форме Fv и от-
личны от нее. Действительно, пусть Fb — одна из таких форм; по дока-
доказанному выше существует решение (f, и') уравнения C), удовлетворяю-
удовлетворяющее сравнению E), а так как Fb отлично от Fbn стало быть, b— V
не делится на а, то и иг тоже не может делиться на о. Таким образом
к этому решению принадлежит некоторое -удовлетворяющее сравнение
D) число Р; исключением же ? из D) и E) получаем, что этот класс
чисел р полностью определяется посредством сравнения!)
bbr — Dr (mod a). F)
Таким образом каждой из форм Fh, эквивалентных с данной формой.
~Fb,, но отличных от нее, соответствует одно и только одно из X — 1
*) Это сравнение имеет следующее более глубокое значение. Пусть Fb>.
.Fbr — произвольные формы системы A), a Rbi Rb, — классы, которым они
принадлежат. Очевидно, что при b-\-b'E=0 (mod a) RbRbr = 1, если же b -\-bf не
делится на а, то J?j/?br = Rb,t, где b" определяется посредством сравнения
(b + b')b"=:bb' + D' (mod a).
Короче всего в этом можно убедиться имеющимися в нашем распоряжении
средствами (§§ 60 и 145) следующим образом. Сначала легко усмотреть, что Fb»
является содержащейся в A) и отличной от Fb формой. Подстановка, первый,
и третий коэфициенты которой суть взаимно простые числа b — b" и а, пере-
переводит ее в эквивалентную форму (са2, п} р), где с = № — /У, /г== — Ы (mod с),
п^Ь'ъ (mod а2); таким образом эта форма составлена из эквивалентной с Fb
формы (с, — Ы, с2) и Fy% что и требовалось доказать. Итак, сравнение F) по-
показывает, что R$Rb = Rb,, стало быть, Rb = Rb,, так как R^ = 1. Все исследо
вания относительно композиции принимают гораздо более простой и ясный;
вид в теории целых алгебраических чисел.

346 Дополнение X [§151
чисел р. Обратно, если j3 — одно из X — 1 чисел, которым соответствуют
формы Fa, принадлежащие к главному классу, то р — V не может
делиться на о, так как Fb, не принадлежит к главному классу, и, сле-
следовательно, существует один и только один класс чисел Ь, удовлетво-
удовлетворяющий тождественному с F) сравнению
{$ — b')b = pb' — D' (mod о). F)
Если бы Ь2 было = Df (mod а), то предыдущее сравнение перешло бы
в (ft + P) (Ь— й') = 0 (mod а); следовательно, одно из двух чисел
?-(-C, b — b\ а стало быть, и одно из двух чисел (З2 — D/,
j/2 — /у делилось бы на о, что, однако, не имеет места; тем самым
b2—Df не делится на о, и, следовательно, числу b соответствует дей-
действительно содержащаяся в A) форма Fb. Эта форма отлична от Fb,,
так как из предположения # = #' (mod о) опять следовало бый/2 = /У
(mod о). Но она эквивалентна с Fb,\ в самом деле, так как существует
решение (f, uf) уравнения C), из которого в силу D) находится [3,
то из F) умножением на иг получаем сравнение E), которое вместе
с C) характеризует эквивалентность обеих содержащихся в A) форм
Fb, Fb,. Следовательно, мы найдем все эквивалентные с Fb,t но отлич-
отличные от нее формы Fb системы A), и притом каждую только один раз,
если для каждого из \— 1 чисел J3 определим соответствующее число b по-
посредством сравнения F). Таким образом из /форм A) к одному и тому же
классу принадлежат всегда именно X форм, и не больше; следовательно
1 — г\, что и требовалось доказать.
Если детерминант D = D'a2 отрицателен, то в общем случае
h = lh', и только для D'=— 1 будет h — -~/h'.
Действительно, только в последнем случае уравнение C) допускает
решения (f = 0, u'-*=±lj, в которых и' не делится на о; так как им
соответствует всего один класс чисел [3 = 0 (mod о), то Х = 2, стало
быть, г==^-/. Во всех остальных случаях Х=1, #тало быть, г = /.
Если детерминант D = D'o2 положителен, а (Г, U), (Г', U')
означают соответственно ^наименьшие положительные решения урав-
уравнений T* — Dlfl=l, 7** — D'U'*=l, то
h 1п (Г+ U\/D) = lh! In (Г + J/j/D"').
Предпошлем доказательству этого соотношения замечание относи-
относительно решений уравнения C). Если два таких решения (f, uf),
{fr, urf) удовлетворяют условию
/V' — вГзО (mod а), G)
то считая, что j/ZX и ]/d = o\/D/ всегда берутся положительными,
можно положить
? + и' ]/!)' = (f + и" \/W) (t-t-и \/D), (8)

§ 152] О композиции бинарных квадратичных форм 347
причем целые числа t, и образуют решение уравнения
&-*-Du*=l. (9)
Обратно, если (Jf\ if\ (t, и) являются соответственно решениями урав-
уравнений C), (9), то уравнение (8) всегда дает решение (f, и') уравнения
C), удовлетворяющее вместе с тем условию G). Каждые два таких
решения (f, и'), (/', и") уравнения C) мы назовем эквивалентными;
отсюда немедленно вытекает, что два решения, эквивалентные третьему,
должны быть также эквивалентны друг другу. Таким образом все ре-
решения уравнения C) можно распределить по классам, каждый из которых
содержит все и только такие решения, которые эквивалентны друг
другу. Один из этих классов состоит, очевидно, из тех решений (t\ и'),
вторые элементы и! которых делятся на о. Каждое же другое решение
(/', и') определяет посредством сравнения D) соответствующий класс
чисел |3 (mod о); a так как, очевидно, два таких решения всегда и
только тогда эквивалентны, когда "они порождают сравнимые числа [3,
то X является также и числом всех различных классов, на которые
распадаются все решения {t\ и').
Уравнение (8) позволяем по данному решению (/", и") найти все
эквивалентные ему решения {fy ur), а так как
г-\-и\/Ъ= ±(T-\-U\/~D)n ,
причем знак можно взять произвольный,, а п может принимать любое
целое значение (§ 85), то ясно (ср. § 87), что в каждом из X классов
решений существует один и только один представитель (tr, и'), удов-
удовлетворяющий условию
<T-\-U\/~D =T-\-oU\/W.
Но так как эти \ величин t'~\-u'\/D', также как и r~j-(/j/Z), имеют
вид
вид
где nr ^ 0, и так как эта степень возрастает одновременно с показа*
телем пг, то должно быть
т 4- и }/Ъ= (Г + w }/~ог У,
откуда, принимая во внимание что h — rh' и / = гл, получаем доказы-
доказываемое уравнение.
Из разобранного зд сь частного случая, очевидно, без затруднений
можно вывести полученный в § 100 результат для общего случая,
в котором о есть произвольное составное число.
§ 152.
Мы ограничимся снова (как в § 149) композицией начальных классов
первого вида, и, кроме того, в случае отрицательного детерминанта,
оставим только положительные классы, соединение которых, очевидно

348 Дополнение X [§ 152
всегда опять приводит к положительным же классам. Эти h классов,
образующие группу ф, распадаются (§ 122) на роды в зависимости от
значения "системы \ характеров С, соответствующих этому детерми-
детерминанту D\ при помощи закона взаимности было показано (§ 123), что
реально существующие классы соответствуют самое большее половине
всех возможных полных характеров. Гаусс2), однако, получает это
последнее предложение из теории композиции, и он использует его,
наоборот, как основание нового, своего второго доказательства закона
взаимности. Так как эти глубокие принципы могут быть применены
к доказательствам высших законов взаимности2), то мы изложим их
в этом и последующих параграфах.
Если е, е' сушь значения характера С соответственно для классов
Я, #', то для класса НН' будет C = se'.
В качестве представителей классов Я, Н' всегда можно взять две
согласных формы, первые коэфициенты a, af которых — взаимно простые
с 2?> числа. Так как составленная из них и, стало быть, принадлежа-
принадлежащая классу НН1 форма имеет первым коэфициентом аа', т. е. тоже
взаимно простое с 2D число, то доказываемое предложение получается
непосредственно, если принять во внимание, что характер С пли С(п)
представляет собою выражение вида
(«.)
(§ 122), и что, следовательно, три значения С (а), С (а'), С(аа'), ко-
которые принимает этот характер соответственно в трех классах Н, //',
НН', удовлетворяют условию С(а) С(а') = С{аа').
Из _этого предложения вытекает, что если классы К, К! принадлежат
соответственно тем же родам G, G', что и классы Н, //', то классы КК'
и НН' также находятся в одном и том же роде, который будем назы-
называть составленным из G' родомъ).
Если далее N, N' — два класса главного рода, т. е. того рода,
в котором находится главная форма A, 0,—D)> и, следовательно, все
характеры С имеют значение -j-1, то составленный класс NN' также
принадлежит этому роду; следовательно, все h классов главного рода
образуют группу 9?ч степени п (§ 149). Вместе с тем все h клас-
классов распадаются на g комплексов ШН из п классов каждый, при-
принадлежащих каждый раз одному и тому же роду. Два различных таких
комплекса принадлежат, как легко усмотреть, также к различным ро-
родам; поэтому A = ng- и g есть число действительно существующих
отличных друг от друга родов 4).
Детерминант. D называется регулярным или иррегулярным в зави-
зависимости от того, является ли образованная из п классов главного
х) G a u s s, D. A., artt. 257—262>
2) К u m m е г, Ueber die allgemeinen ReciprocitStsgesetze unter den Resten und
Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, 1859. Cp. Berl. Monatsbe-
richt от 18 февраля 1858 г.
3) Gauss, D. A., artt. 246, 247.
4) Gauss, D. A., art. 252.

§ 153] О композиции бинарных квадратичных форм 349
рода группа регулярной или нет (§ 149); если в последнем случае о
означает степень наибольшей из содержащихся в ней регулярных групп,
п
то целое число у называется показателем иррегулярности детерми-
детерминанта х).
Далее, из вышеприведенного предложения относительно характера
составленного класса непосредственно вытекает следующее:
Каждый класс Q, получающийся посредством сдваивания некото-
некоторого класса, принадлежит главному роду.
Тем самым число q различных классов Q, получающихся посред-
посредством сдваивания всех h классов, меньше или равно п (так как эти
классы, как легка усмотреть, образуют группу &, то q конечно должно
быть делителем п). Для более точного их определения предположим,
что Q получается посредством сдваивания определенного класса //, и
будем искать все классы #', сдваиванием которых получается этот же
класс Q. Из предположения Н'Н' = Q== НН следует, если положить
Н' = АНу что /L4=l, стало быть, А = А-1, т. е. А является двусто-
двусторонним классом E 149). Обратно, если Я' = АН м А является двусто-
двусторонним классом, то имеем также Н'Н' = НИ. Если выписать поэтому
все а двусторонних классов Л, образующих, очевидно, группу §1, то
все h классов распадаются на q комплексов 21// из а классов каждый,
сдваивание которых порождает один и тот же класс НИ, между тем
как два класса, принадлежащие двум различным таким комплексам,
посредством сдваивания порождают тоже два различных класса; сле-
следовательно, k = aq.
Но так как h равно также ng и, кроме того, q ^ А, то получаем
g^a, т. е. имеет место теорема: число действительно существующих
различных родов самое большее равно числу двусторонних классов.
§ 153.
Таким образом мы пришли теперь к задаче точного определения
числа а всех двусторонних классов Л, начальных и первого вида,
для заданного детерминанта D.
Так как во всяком двустороннем классе А^А-1 всегда найдется
хотя бы одна двусторонняя форма {а, Ь> с) (§ 58), то если мы выпи-
выпишем все двусторонние формы, ни один из этих а классов наверное
не окажется пропущенным. Но так как в такой форме 2д делится на
а, следовательно, b или = 0, или = -^ a (mod а\ и, стало быть, (я, #, с)
?ама эквивалентна (§ 56) форме, средний коэфициент которой равен
или нулю, или половине первого коэфициента, то достаточно рассмо-
рассмотреть все формы
(а, 0, ^ Ь^
которые являются начальными первого вида.
Пусть [а означает число всех различных нечетных простых чисел,
входящих в D; если, далее, v = 0 или 1 в зависимости от того, является
G a u s s, D. A., art. 306, VII.

350 Дополнение X [§ 153
ли D нечетным или четным, то [x-f-v есть число всех различных вхо%
дящих в D простых чисел. Тогда ясно, что число всех начальных форм
типа
(а, 0, а')
равно 2tJ' + v + 1; половина из них имеет положительные первые коэфи-
циенты, другая же половина — отрицательные.
Рассмотрим теперь другие двусторонние начальные формы первого
вида, а именно формы типа
b должно быть таким делителем ?>= —ЬУ, чтобы третий коэфициент
~п-(Ь-{-У) представлял собою целое и взаимно простое с 2Ь число;
таким образом сперва должно быть b + У = 2 (mod 4), и далее
b и У не должны иметь общего нечетного делителя. Пусть b и У —
нечетные, откуда b'ssb,D=—bb' = 3 (mod 4); обратно, если?> = 3
(mod 4), то b может быть только нечетным, и из ЬУ = —D = 1 (mod 4)
само собою вытекает, что b = У, стало быть, b -}- У = 2 (mod 4).
Следовательно, b может быть любым из делителей Д для которого b
и У будут взаимно простыми числами. Число этих форм
{2b, b, ~ {Ь + 1
равно поэтому 2й"+ 1; среди них будет столько же с положительным
первым коэфициентом, сколько и с отрицательным. Если же b и У —
четные числа, то одно из них == 0, а другое === 2 (mod 4); поэто-
^му D = 0 (mod 8), и —- ф, —У суть взаимно простые числа. 06-
2 2
ратно, если Z)^0(mod 8), то b должно быть четным и в качестве чис-
числа —- b можно выбрать любой из делителей -- D= — — b • — У, для
2 ' *т2 2
1 и 1 и, «
которого ~ Ь, — о будут взаимно простыми числами; тем самым число
2 2
этих форм равно 2^+2, так как — D — четное, и среди них содержит-
содержится столько же с положительным, сколько и с отрицательным первым
коэфициентом.
Итак, число всех этих двусторонних начальных форм первого вида
равно
, если D = 1 (mod 4),
, если ?>е=2, 3, 4, 6, 7 (mod 8), •
, если De==0 (mod 8);
следовательно, во всех случаях оно ровно вдвое больще числа 2х = 2т
всех возможных полных характеров для детерминанта D (§122). Теперь

§ 153] О композиции бинарных квадратичных форм 351
вопрос сводится к определению числа различных классов, представи-
представителями которых являются эти 4т форм.
Совершенно отвлекаясь временно от частного случая D = —1^
легко усматриваем, что коэфициенты а и а', также как и числа ft и Ь\
должны отличаться друг от друга даже по своим абсолютным величи-
величинам. А именно, если бы взаимно простые числа а, а' имели одинаковую^
абсолютную величину 1, то D было бы равно dtl; то же самое полу-
получилось бы из предположения, что нечетные числа ft и ft' одинаковы па
абсолютной величине. Если же, наконец b и br — четные, то одно из.
11, . -
чисел ~ by — ft—четное, другое — нечетное, так что их абсолютйые
величины различны. Отсюда следует, что все вышеуказанные формы
всегда распадаются на пары из двух отличных друг от друга форм,
(а, О, а'), (а', О, а) и Bft, ft, I (ft + ft')), (B^, *',$ (* + *')); а так как
первая форма каждой пары переходит во вторую соответственно по-
/ О,1\ / — 1, — 1\
• средством подстановок I *_j q) I _i_ 2 4-1/' т0 Д°статочно оставить
лишь те из них, у которых первый коэфициент меньше. Итак мы имеем
уже только 2т форм (а, 0, я'),Bft, bf — (ft -\- bf)j , в которых абсолют-
абсолютные величины (а) и (Ь) <}//); и среди этих форм снова столько же будег
с .положительным первым коэфициентом, сколько и с отрицательным.
Пусть D отрицательно; тогда мы удержим лишь те т форм, крайние-
коэфициенты которых положительны, и покажем, что они являются,
представителями такого же числа различных классов. Во-первых, все
формы (#, 0, аг) и те из форм \2b:,b, — {b-\-b')j, в которых ЪЬ <^,,
являются приведенными ^(§ 64), и каждую неприведенную форму
Bb, b, — {b-\-bf)\ в которой, значит, ЪЬ >&', можно заменить сосед-
соседнею ей справа приведенной формой [-?r(b-\-bf),~(bf — ft),— (b-\-b'))..
Легко усмотреть, что все эти т приведенных форм отличны друг от
друга и что среди них нет ни одной пары друг другу противополож-
противоположных форм, так как ни один из средних коэфициентов не отрицателен;,
в силу этого (§ 65) они принадлежат такому же числу различных
классов. Таким образ<8м имеем результат: число <х всех положительных
двусторонних начальных классов первого вида с отрицательным детер-
детерминантом D вдвое меньше Числа 2т всех возможных полных харак-
характеров. Это справедливо, очевидно, также и в исключенном ранее част-
частном случае D= — 1, так как обе формы A, 0, 1), B, 1, 1) эквивалентны.
Если же детерминант D положителен, то каждой из вышеупомяну-
вышеупомянутых 2т двусторонних форм (Л, В, С) соответствует единственная экви-
эквивалентная ей двусторонняя форма (Л, В\ С), где В' полностью опре-
определяется условиями
B's=B (mod Л), 0 < \/ТГ— Вг < (А);

352 Дополнение X [§ 154
подобным образом получаем, очевидно, снова 2т двусторонних и отлич-
отличных друг от друга форм (Л, В\ С). Для того чтобы доказать, что
все эти формы являются вместе с тем и приведенными^^ 74), остается
только показать, что (Л) < ]/7) + Вг. Если (Л) < ]/D , то это непо-
непосредственно вытекает из того, что вследствие вышеуказанных, условий
В' положительно; если же (Л)>|/?), что может иметь место лишь
для форм второго ' типа, то Л = 2В и (В) < \/D, следовательно
Вг = (в\ так как это значение удовлетворяет всем поставлен-
поставленным для В' требованиям, и таким образом снова (Л) < ]/D-j- В'.
Наконец, мы утверждаем, что каждая двусторонняя приведенная форма
(a, by c)y являющаяся вместе с тем начальной формой первого вида,
необходимо должна быть тождественна с одной из этих 2т форм
(Л, Bry C'YJb самом деле, если b делится на я, те (я)_ должно быть
меньше ]/D, так как в приведенной форме 0 < b < \/D, и эквива-
эквивалентная с (a, by с) форма (а, 0, а') является одной из 2т форм (Л, By С);
отсюда следует, что (я, by с) сама должна быть тождественна с соот-
соответствующей формой (Л, В'у С)у так как Ь, будучи средним коэфи-
циентом приведенной формы, удовлетворяет тем же характеристическим
условиям, что и В'. Если же b не делится на я, то по крайней мере
(а) < 2]/Dу и следовательно, эквивалентная с (а, Ьус) форма (ау — а, с'\
является одной из форм (Л, Bt С), откуда опять вытекает, что (a, by с)
тождественна с соответствующей формой (Л, В'у С). На основании
предыдущего мы должны заключить, что число всех двусторонних
«ачальных и вместе с тем приведенных форм первого вида в точности
равно 2т; а так как в каждом двустороннем классе находятся всегда
лве и только две таких формы (§ 78, сноска на стр. 166), то мы по-
получаем тот же результат, что и для отрицательных детерминантов.
Число а всех двусторонних начальных классов первого вида с положи-
положительным детерминантом D ровно вдвое меньше числа 2т всех воз-
возможных полных характеров.
Связывая эти результаты с результатами предыдущего параграфа,
получаем следующее предложение 1):
Число действительно существующих различных родов самое боль-
большее равно половине числа возможных полных характеров.
§ 154.
Только что полученный результат приводит к новому доказатель-
доказательству закона взаимности, а также к дополнительным предложениям отно-
относительно характера чисел — 1 и 2. Но этому мы предпошлем рассмо-
рассмотрение трех случаев, когда детерминант D таков, что начальные формы
первого вида образуют единственный род, а именно всегда имеющийся
в наличии главный род, представляющийся главной формой A, 0, — D).
1) Ср. § 123.

§ 154] О композиции бинарных квадратичных форм 353
1. Если D = — 1, то существует (§ 122) единственный характер
и, следовательно, число всех возможных полных характеров равно
2х = 2; поэтому в силу полученного в предыдущем параграфе результата
все положительные формы (а, Ь, с) принадлежат единственному роду,
а именно главному роду, представителем которого является форма
A,0,1) (что непосредственно следует-также из того, что все эти формы
образуют всего лишь один класс). Но так как в главном роде все
характеры С имеют значение -f"l, то при нечетном а всегда
(— IJ = —[— 1, а стало быть, а=\ (mod 4).
2. Если D= -J-2, то существует (§ 122) единственный характер
все формы (а, Ь, с) этого детерминанта принадлежат поэтому (§ 153)
главному роду, и, таким образом, всегда при нечетном а
(— 1)8 =+1, а стало быть, a==±l (mod 8).
3. Если D = dtzp~l (mod 4), где р (как и всюду в дальнейшем)
означает положительное нечетное простое число, то существует (§ 122)
единственный характер
в силу этого все (в соответствующем случае положительные) формы
(я, Ь, с) первого вида принадлежат главному роду (§ 153), и, следо-
следовательно, если а не делится на р, всегда
4. Обратимся теперь к доказательству теоремы (§ 40) относительно
характера числа —1. Так как обе части подлежащего доказательству
равенства
могут принимать всего лишь два значения zt 1, то, очевидно, доста-
достаточно показать, что если только одна из двух этих величин равна -|-1>
то и другая должна быть равна -{-1» так как отсюда само собою
вытекает, что если одна из них равна —1, то и другая должна быть
равна — 1 (это же замечание справедливо и для двух последующих
теорем). Пусть сперва правая часть равна -j- 1; тогда (— 1,0, р) является
формой первого вида с положительным детерминантом ?> = /?==1
(mod 4), откуда (по п. 3) следует, что и левая часть равна -{-1.
Обратно, если имеет место последнее, т. е. — 1 есть квадратичный

354 Дополнение X [§154
вычет р, то существуют два числа Ь, с, удовлятворяющие условию
Ь2—/?? = —1; тогда (/?, Ь, с) есть положительная форма с детерминан-
детерминантом /) = —1, откуда (по п. 1) следует, что и правая часть равна +U
что и требовалось доказать.
5. Подобным же образом проводится доказательство теоремы (§41)
относительно характера числа 2. Если правая часть подлежащего дока-
доказательству равенства
-?)=(_,)!«¦-«
равна +1, стало быть, p = zHz\ (mod 8), то положим Ь=\ или 3
в зависимости от того, будет ли ±р =9 или 1 (mod 16); тогда
Ь2 =р р — 8с, где с — нечетное число; тем самым (8, Ь, с) является
(в соответствующем случае положительной) формой первого вида
с детерминантом D — dzp=l (mod 4), откуда (по п. 3) следует, что
-)=-|-1, а стало быть, и (-)=4-1.
Обратно, если последнее имеет место, то существуют два числа Ь, су
удовлетворяющие условию Ь2—рс=2\ тогда (/?, Ьу с) является
формой с детерминантом D = -j- 2, откуда (по п. 2) следует, что также
Что и требовалось доказать.
6. Если хоть одно из двух положительных нечетных различных между"
собою простых чисел рад имеет вид 4/z-f-l» то мы докажем, что
В силу симметрии мы можем предположить, что р == 1 (mod 4),
Если правая часть имеет значение +1, то (поп. 4 и § 33, I) —q
также является квадратичным вычетом р; поэтому, после того как
знак ± выбран так, чтобы ±q было = 1 (mod 4), всегда можно
найти два числа Ьу с, удовлетворяющие условию Ъ2—рс= ± q\ тогда
(р, Ь, с) является (в соответствующем случае положительной) формой
первого вида с детерминантом D = ± q = 1 (mod 4), откуда (по п. 3)
следует, что и левая часть равна -j- 1. Обратно, если последнее имеет
место, то существуют два числа Ь, с, удовлетворяющие условию b2—qc=p,
тогда (q, b, с) есть форма первого вида с положительным детерми-
детерминантом ?>=/?=1 (mod 4), откуда (по п. 3) следует, что и правая
часть равна +1» чт0 и требовалось доказать.
7. Если же оба простых числа /?, q имеют вид 4А + 3, то тре-
требуется доказать, что
Это проще всего достигается путем рассмотрения положительного

§ 155] О композиции бинарных квадратичных Форм 355
детерминанта D=pq=== I (mod 4), для которого (§ 122) существуют
два характера С, а именно
(т) "
поэтому можно составить четыре полных характера, и, следовательно
(§ 153), все формы первого вида распадаются самое большее на два
различных типа. НоA, 0,—pq), (—1, 0, pq) являются как раз двумя
такими формами, и их первые коэфициенты показывают, что первая
из них обладает полным характером
;;)_+,. E)-+,.
а вторая (в силу п. 4) — противоположным полным характером
Таким образом всякая другая форма первого вида, принадлежащая
этому же детерминанту, например форма (р, 0, —q), должна обладать
или первым или вторым из этих полных характеров. Применяя это
к обоим числам р и — q, представимым посредством этой формы, по-
получаем, что в первом случае одновременно
(f)- + l и (=*)» +1, стало быть, (-J) —1,
во втором же случае одновременно
i) — 1 "(пг) — 1' сталобь"ь, (J)- + i;
этим, очевидно, выполнена также и последняя часть нашей задачи.
§ 155.
При помощи заново доказанного таким образом закона взаимности
можно опять, как это уже было сделано в § 123, показать, что могут
существовать, самое большее, те т родов, полные характеры которых
удовлетворяют поставленному там условию ПС/=+1. Но гораздо
более глубокая теорема, полученная Дирихле указанным в § 125
образом на основании его принципов, а именно, теорема, что все
эти т родов действительно существуют^ была открыта и доказана
Гауссом *) при помощи основанной им теории тернарных квадратичных
форм
Ах* + By* + Cz* + 2A'yz + 2B'zx + 2Cxy.
Так как выше (§ 152) было показано, что «g* = a<7,~ причем g означает
число действительно существующих родов, п — число содержащихся
в каждом из них классов, a = т — число двусторонних классов или
Gauss, и. A., art. 287.

356 Дополнение X [§ 156
же число полных характеров, удовлетворяющих условию ПС/ = -|-1,
a q — число классов, получающихся посредством сдваивания, то ясно,
что подлежащее доказательству предложение g = ? по существу то-
тождественно с предложением я = #г. Далее, так как п есть число всех
классов главного рода и каждый из q классов, получающихся посред-
посредством сдваивания, во всяком случае принадлежит главному роду (§152),
то подлежащая доказательству теорема (§ 125) по существу тожде-
тождественна со следующей1):
Каждый класс глазного рода получается посредством сдваивания.
Нам не представляется возможным привести здесь доказательство
Гаусса, основанное им на теории тернарных форм. Но так как эта
глубокая теорема представляет собой прекраснейшее завершение учения
о композиции, то мы не можем отказать себе в получении ее без
помощи принципов Дирихле, уже иным путем, который вместе с тем
является основанием для других важны* изысканий.
Для того чтобы подвести определенное основание под это исследование,
отметим сперва характеристическое свойство всех тех классов Q,
которые получаются посредством сдваивания: квсе формы этих классов
и притом только эти формы способны представлять квадраты, вза-
взаимно простые с 2D. В самом деле, если Q получается сдваиванием
некоторого класса /С, то из К всегда можно выбрать такую форму,
первый коэфициент х которой есть число взаимно простое с 2D. Но
тогда эта форма является согласной самой себе, а потому сдваиванием
ее получается принадлежащая классу Q форма, первый коэфициент
которой равен х2у и, следовательно, этот квадрат допускает собствен-
собственное представление посредством форм класса Q. Обратно, если Q озна-
означает класс, посредством форм .которого может быть представлен квад-
квадрат, взаимно простой с 2Д то найдется и такой квадрат а:2, который
собственно представим посредством этих форм, и, следовательно, в
этом классе Q находится форма (л:2, х\ х"\ получающаяся, очевидно,
посредством сдваивания формы (х, х\ хх")\ в силу этого Q =/С2, при-
причем К означает класс, которому принадлежит форма (х> х\ хх").
Итак, подлежащая доказательству теорема тождественна со следующей:
Если (Л, В, С) есть форма главного рода с детерминантом D, то
уравнение
всегда разрешимо в целых числах z, у, х, последнее из которых вза-
взаимно просто с 2D.
§ 156.
Предыдущие соображения приводят нас к исследованию разреши-
разрешимости уравнения вида
+ cz* + 2а'уг + 2brzx + 2сгху = О
1) G a u s s, D. A., art. 286.

§ 156] О КОМПОЗИЦИИ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОрМ 357
в целых числах л:, у, z (или, что то же самое, разрешимости более общего
уравнения
аи2 + bv2 -f 2c'wo -J- 2b'и -f- 2a'v + с = 0
в рациональных числах и, v). Оно может быть сведено, вообще
говоря, к частному случаю, в котором коэфициенты аг, Ь\ сг равны
нулю *), а потому в дальнейшем мы будем заниматься лишь уравнени-
уравнениями вида
+«2 = °» О)
причем а, Ь, с означают три заданных отличных от нуля целых числа,
которые мы, кроме того, всегда будем предполагать взаимно простыми,
ибо всякий другой случай, как легко усмотреть, можно свести к этому2).
Мы назовем решение х, у, z собственным решением, если три числа
ах, by, cz не имеют общего делителя. Тогда ясно, что они будут
и взаимно простыми; действительно, если бы простое число р входило
в два из них, то вследствие A) р, должно было бы входить и в третье
число; отсюда следует, что х, у, z — тоже взаимно простые числа.
Обратно, если это так, то они образуют собственное решение;
в самом деле, если бы ах, by, cz делились на простое число /?, кото-
которое может, однако, входить не более чем в одно из чисел х, у, z, то
по меньшей мере два из коэфициентов а, Ь, с должны были бы
делиться на /?, что невозможно, так как они взаимно простые числа.
После этого предварительного замечания мы начинаем наше иссле-
исследование 8) постановкой следующей задачи:
I. Из одного заданного собственного решения х = и, y = v, z = w
уравнения A) получить все его решения.
Так как аи, bv, cw — взаимно простые числа и одно из них, на-
например аи, в силу уравнения
а^ + ^2 + от2 = 0, B)
четно, то числа 2аи, bv, cw также не имеют общего делителя, а по-
потому (по § 24) уравнение
aul ~-\- bvm 4~ cwn = 1
можно разрешить так, чтобы / было четным, и, следовательно, чтобы
одно из двух чисел ту п было четным, а другое — нечетным. Положим
теперь
hu, vf = 2m — hv, wr = 2n — hw\
*) Gauss, D. A., artt. 299, 300.
2) G a u s s, D. A., art. 298.
3) Для краткости оно проводится синтетически; этот же вопрос изложен
другим способом в работе Г. Кантора De aequationibus secundi gradus
indeterminatis, 1867.

358 Дополнение X [§156
тогда h будет нечетным, и мы получимг):
аи'2 -f bv'2 + cw'2 = °> C)
аии' -\- bvv' -j- cww' — 2, D)
и===и', v = v', w === w' (mod 2); E)
в силу этого можно положить
vw'— wv' = 2u", wur — uw' = 2v", uv'— vu' = 2wr'y F)
где и", v", wrr означают целые числа, связанные с прежними еще по-
посредством следующих соотношений2):
аии' = 1 + Ьси'%
bvv' =\-\-cav"*, \ G)
cww' = 1 -[- abw, j
bcif* + ra/2 + abw"* == — 1, (8)
Ф'й»'' -(- ^^' = 2avr/wr'} )
wu'-\-uw' = 2bw"u", \ (9)
j
С их помощью легко дать общее решение нашей задачи. Если
а:, ^у, 2Г — три произвольных целых числа, то
t = а/г^ -j- bv'y -\- cw'Zy
tf = aux -\- bvy -J- cwz,
"y -\-w"z
A0)
тоже будут целыми числами, удовлетворяющими вследствие E) усло-
условию
t = f (mod 2); A1)
и, обратно, если t, t\ f — три произвольных целых числа, подчинен-
!) Обратно, исходя из B), C), D), E), можно легко доказать, что а, Ь, с —
взаимно простые числа и что как uf v, wy так и и', v', wf образуют собствен-
собственные решения уравнения A). Но для наших целей это не нужно.
2) Так, например, первое из равенств G) находим из тождественного со-
соотношения
(bv2 -f cw?) (bvf* + cw'2) = (bvvr + cww'f + be (vwr — wvrf,
если принять во внимание B), C), D), F). Равенство (8) получаем сложением
из G), учитывая D); а первое из равенств (9) следует из тождества
{аии/ -f bvvr -f- cww') {vwr + ^V) — a (wu' — uwr) (uvr — vur) =
= {аФ -f bv2 + cw^) vrwr + {aur2 + bvT1 + cw'2) vw.

§ 156] О композиции Бинарных квадратичных форм 359
ных лишь условию A1), то, принимая во внимание E), G) и <9), по-
получаем из A0), что
2x*=ut-{-u'f — 2bcu"t\ )
2y = vt+ vrt' — 2ca v"f, j A2)
rt' — 2abw"f j
— четные, а стало быть, x, у, z— целые числа1). Умножая эти послед-
последние соотношения соответственно на ах, by, cz, складывая их и при-
принимая во внимание A0), получаем
Итак, мы имеем следующий результат: если целые числа х, у, z
образуют решение уравнения A), то t, if, f будут в силу A0)
целыми числами, удовлетворяющими условиям A1) и
tt' = abc; A3)
обратно, если целые числа t, t', t" удовлетворяют условиям A1) и A3),
то х, у, z будут в силу A2) целыми числами, удовлетворяющими
уравнению (I)9).
*) Если вместо /, t\ t" ввести в качестве новых переменных величины
то они будут связаны с величинами х, у, z линейными уравнениями, детерми-
детерминант которых равен единице. Вместо уравнения A3) появится следующее:
S2 _ s?2 __ abcs^ = 0,
того же вида, что и A), и для того чтобы ху у, z образовали собственное ре-
решение, необходимо и достаточно, чтобы s и s' были взаимно простыми чи-
числами. Но сохранение величин /, t\ trT представляет зато другие преимущества
^Наибольшее общее решение уравнения A3), которое, правда, нам в даль-
дальнейшем не понадобится, дается, как легко видеть, формулами
причем d, d\ т, со, озЛ означают произвольные целые числа, подчиненные един-
единственному условию
ddf = abc.
Не нарушая, однако, общности, можно также предположить, что % является
общим наибольшим делителем чисел t, V, tr\ а id и id' — общими наибольшими
делителями числа iabc соответственно с t и tf. Подставляя эти выражения
в A2), получаем бинарные квадратичные формы
~ = (rf«, — bcnny drur), Ц- == (dv, — cavr\ d'vr), — = (dw, — abwr\ d'w')
с переменными oj, to', причем детерминанты этих форм, вследствие G), равны
соответственно — be, — са, — ab. Преобразуя ту из этих форм, детерминант
которой отрицателен, в приведенную форму (§ 64), получаем простейшие
решения.

360 Дополнение X [§ 156
Для законченности прибавим: для того чтобы числа х, у, z обра-
образовали собственное решение уравнения A), необходимо и достаточно^
чтобы числа t, f не имели общего нечетного делителя^ а если они
оба четные^ — чтобы было
t + fsi2 (mod 4). A4)
Для нашей цели достаточно доказать, что оба поставленных усло-
условия достаточны. Если предположить, что некоторое простое число р
входит в три числа ах, by, cz, то вследствие A0) оно должно было
бы входить также и в t и f. Но так как t и ? по предположению
не имеют нечетного общего делителя, то р должно было бы равняться
2, и> стало быть, t, Vy ax, by, cz были бы четными числами; но тогда
в силу E) из A0) следовало бы, что t-\-?~0 (mod 4), между тем
как мы предположили, что t-\-t'==2 (mod 4), если только t и if —
четные числа. Итак, отсюда следует, что ах, by, cz не имеют общего
делителя, что и требовалось доказать1).
II. Если числа х, у, z образуют собственное решение уравнения A),
то ах, by, cz — взаимно простые числа; следовательно, можно опреде-
определить три числа 91, 95, (?, удовлетворяющие сравнениям
91г = by (mod a),$5x===cz (mod b), &y = ax (mod c\ A5)
откуда в соединении с A) вытекает
"' %ъ = — Ьс (mod a), %>* = — ca (mod b), № = — ab (mod с). A6)
Таким образом мы получили следующее предложение:
Если уравнение A) разрешимо собственным образом, то числа
— be, —са, —ab являются соответственно квадратичными вычетами
чисел а, Ь, с, и каждое собственное решение х, у, z посредством срав-
сравнений A5) приводит к трем вполне определенным числовым классам
% (mod a), 33 (mod b), (? (mod с), удовлетворяющим сравне-
сравнениям A6J).
Для наших исследований, однако, чрезвычайно важно, что это пред-
предложение можно обратить следующим образом:
Если уравнение A) разрешимо собственным образом и заданы три
числа 91, 23, (?, удовлетворяющие сравнениям A6), то всегда можно
найти собственные решения х, у, z, для которых выполняются усло-
условия A5).
г) Оба заданных условия легко перенести на числа d, dr, z, w, о/, хотя для
нашей цели это и не необходимо: числа d, dr должны быть взаимно простыми,
и только в случае abcEEO (mod 8) они могут иметь общим наибольшим дели-
делителем 2. Обратно, если разложение abc = ddr удовлетворяет этим условиям, то
?, ш, а/ можно выбрать так, чтобы х^.у> z образовали собственное решение
уравнения A).
2) Если отнести два собственных решения к одному и тому же или к раз-
различным классам в зависимости от того, приводят ли они к тем же трем чис-
числовым классам % (mod а)> 35 (mod b), (S (mod с) или нет, то число всех
различных классов самое большее равно числу несравнимых корней сравнения
т.2Н=:1 (mod abc), и последующее предложение утверждает, что все эти классы
обственных решений действительно существуют.

§ 156] О КОМПОЗИЦИИ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 361
Для доказательства определим сперва* три числа X, К, Z посред-
посредством всегда совместных (§ 25) «ар сравнений
Х=с (mod b), Y=a (mod с), Z = b (mod a), 1
X=(i (mod с), У =81 (mod a), Z = % (mod *); J
если принять во внимание предположение A6), то из них вытекает
сравнение
= 0 (mod abc), A')
похожее на уравнение A), так как его левая часть делится на каждое
из трех взаимно простых чисел <z, by с. Далее, так как мы предполо-
предположили существование некоторого собственного решения и, v, w урав-
уравнения A), то сохраним все прежние обозначения и положим
Т =au'X-\-bv'Y-\-cw'Z,
Г = auX-\-bvY-}-cwZ
} (mod
откуда в силу E) вытекает
Т=Г (mod 2); .A1')
принимая во внимание G) и (9), получаем
2Х = и Т + а' V (mod 2bc),
2Y==vT -\~v'T' (mod 2ca),
2Z=wT-\-w'}T (mod 2ab).
A2')
Умножим эти сравнения соответственно на аХ, bY, cZ, отчего они
перейдут в сравнения по модулю 2abc\ складывая их и принимая во
внимание (Г) и (lC), получим
ГГ==О (mod abc). A3')
Мы утверждаем теперь, что три числа Г, Т> abc не имеют, общего
нечетного делителя и что при четном abc
Т-\-Т'==2 (mod 4). A40
В самом деле, если бы нечеткое простое число р входило в Г, V и
abc, а втало быть, например, и в с, то вследствие A2r) Y делилось .
бы на р; а так как a= Y (mod с), то а и с имели бы общего дели-
делителя /?, что невозможно. Далее, если abcy а стало быть, например, и
с — число^ четное, то вследствие A1') и A3') Т и V — также четные
числа. Если бы сравнение A4') было неверно, то было бы V = Т
(mod 4), и из A2') вытекало бы, что 2Yz=(v-\-v')T=Q- (mod 4);
таким образом Y было бы четным, что опять противоречит сравнению
а = ? (mod с), так как а и с — взаимно простые числа.
После этих приготовлений мы в состоянии указать собственное
решение л:, у, z, удовлетворяющее условиям .A5). Эти последние

362 Дополнение X [§156
в силу определения A7) чисел X, У, Z переходят в следующие:
Yz = Zy (mod a), Zx=z=Xz (mod b)y Xy==±Yx (mod c).
Далее, так как из определений A0) и A0') чисел /, if, T, V выте-
вытекает сравнение
== 2bcu" (Yz — Zy) -f- 2cav" {Zx — Xz) + 2abw" (Xy — Yx)
\ (mod 2abc),
и так как и", v", w" вследствие G) являются соответственно взаимно
простыми с a, by с, числами, то условия A5), которые должны выпол-
выполняться числами лг, у, z, полностью совпадают с единственным требо-
требованием
Tt~Ttf (mod 2abc),
которому должны удовлетворять числа t, t\ Далее, если числа лг, у, z
образуют собственное решение уравнения A), то числами ? и f должны
еще, кроме того, выполняться ранее упомянутые условия A1), A3),
A4). Все это действительно может быть достигнуто следующим образом.
Если abc нечетно, то пусть d есть общий наибольший делитель
обоих чисел Т и abc = dd\ Так как вследствие A3') ТТ делится на
abc, то dr входит множителем в Тг\ но выше было показано, что
числа Г, V, abc не имеют общего нечетного делителя; поэтому
d и df — взаимно простые числа, и df является вместе с тем общим
наибольшим делителем обоих чисел V и abc. Тогда легко видеть, что
мы удовлетворим всем требованиям, %если возьмем, например, / = */,
if = d\ f'=1. В самом деле, так как t= f~l (mod 2), то х, у, z
будут целыми числами, образующими в силу ttr — abcf* решение
уравнения A); это решение будет собственным, потому что t, if — не-
нечетные взаимно простые числа; наконец,* так как t=t\ T=~V (mod 2),
и Tt^Tf^O (mod dd')9 то отсюда вытекает, что Vt== Ttf (mod 2abc)i
т. е. собственное решение лг, у, z удовлетворяет заданным сравнениям A5).
Если же abc, а следовательно, и Г, V — четные, и притом
T-\-Tr=2 (mod 4), то ввиду симметричности мы можем предполо-
предположить, что Г==0, V ==z2 (mod 4); пусть d — снова общий наибольший
делитель обоих чисел Т и abc = dd', так что dr входит множителем в Т\
Если dr нечетно, то мы удовлетворим всем условиям, если возьмем,
например, t—2d, f = 2d\ f = 2; действительно, t= 0, if == 2 (mod 4),
tif = abcf\ T't=zTfz=zO (mod 2abc), и t, f не имеют общего
нечетного делителя. Если же df четно, то можно опять удовлетворить всем
Т
условиям, полагая t = d, if = dr, f—\. В самом деле, —г есть число
взаимно простое с d! и, следовательно, нечетное, а потому в силу Г = 0
(mod 4) должно быть также и d=0 (mod 4); далее, так как dr входит
в V и V = 2 (mod 4), то и dr должно быть = 2 (mod 4), что дает
/ = 0, f ?==2 (mod 4); далее tf — abcf'2, и числа /, if не имеют обгдего
Т V
нечетного делителя; наконец, так как частные— и -^ —числа нечет-
d dr

§ 156] О КОМПОЗИЦИИ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 363
ные, то их разность будет числом четным, и, следовательно, умножая
на dd' = abc, получаем Td' — Vd=Ttf—T't = O (mod 2abc), что
и требовалось доказать.
Не представляет никаких затруднений определить, кроме указанных
выше частных решений, для которых выполняются предписанные срав-
сравнения A5), также и все остальные; а именно, легко найти, что два
собственных решения х, у, z и xv yv zv порождаемые соответственно
значениями t, t', f и tv //, t", всегда и только тогда удовлетворяют
тем же сравнениям A5), когда ttlr^ftl (mod 2abcI). Однако все
эти интересные сами по себе дополнения для нашей цели не необхо-
необходимы. Поэтому мы удовольствуемся тем, что выведем из вышеизложен-
вышеизложенных результатов доказательство следующего предложения, которое нам
понадобится позднее.
III. Если уравнение A) разрешимо собственным образом и —be
является квадратичным вычетом ар2, причем р означает некоторое
не входящее множителем в be простое число, то уравнение A) имеет
и такие собственные решения лг, у, z, которые удовлетворяют усло-
условию х==0 (mod p).
По предположению уравнение A) обладает некоторым собственным
решением и, v, wy и мы вправе воспользоваться всеми выведенными
отсюда в I следствиями. Само собою разумеется, что нам нужно дока-
доказать предыдущее предложение лишь для того случая, когда ни одно
из двух чисел и, иг не делится на р.
Пусть р нечетно; так как по предположению — bc = cfi (mod/?),
то знак а можно выбрать так, чтобы bcu" -f- а не делилось на р; в са-
самом деле, если бы оба числа Ьси"-\-а. и bcu" — а делились на р, то
их разность 2а, а значит, и а также должны были бы делиться на не-
нечетное простое число р, что противоречит сравнению —bc==a2 (mod p)
и предположению, что р не входит множителем в be. Так как и также
не делится на р, то всегда можно определить такое число со (§ 25),
чтобы оно удовлетворяло сравнению
им = bcur/ ~\- a (mod p)
и, кроме того, было взаимно простым с 2abc, потому что если
бы р должно было входить в 2abc> а значит, и в а, то со уже в силу
этого сравнения было бы взаимно простым с р. Полагая теперь
t = то>2, if = iabc, f = х<о,
причем т надо брать равным 1 или 2 в зависимости от того, является
!) Отсюда следует, что всем собственным решениям, принадлежащим
к одному и тому же классу, соответствует одно и то же разложение abc = ddr\
единственное исключение представляет случай abcE=2 (mod 4), в котором
множитель 2 может быть произвольно отнесен как к d, так и к d\ отчего класс
не изменяется. Таким образом получаем (ср. предыдущие сноски), что число
существенно различных разложений, а стало быть, и число действительно су-
существующих классов в точности совпадает с числом несравнимых корней
сравнения %2;EEl (mod abc); в этом заключается, следовательно, новое дока-
доказательство вышеуказанного предложения. Но нам казалось более целесообраз-
целесообразным вести его так, чтобы одновременно найти решение, удовлетворяющее
заданным сравнениям.

364 Дополнение X § 156]
ли аде нечетным или четным, получим соответствующее собственное
решение „х, у, z3 удовлеторяющее также условию х^О (mod p).
В самом деле, если аде нечетно, значит т=1, то t = f = l (mod 2);
если же аде четно, значит т = 2, то t=2, tf ==0 (mod 4); далее
со взаимно просто с адс\ поэтому t, f не имеют общего нечетного
делителя, а так как tt' = adct, то х, у, z образуют собственное реше-
решение уравнения A). В силу A2)
2х = а* + u'f — 2dcu!rf = т(м(о2 — 2bcu"<a + abcu')\
стало быть, если принять во внимание G),
2ил; = т{(исо — дси"J ~\-ос] === 0 (mod р),
так как исо— дси" = а, ?с = — а2; наконец, так как 2м не делится нар,
то отсюда следует, что х===0 (mod p).
Переходим теперь к случаю р = 2. Во-первых, если а — четное, но
не = 0 (mod 8), то, так как по предположению —дс есть квадратичный
вычет 4а, стало быть дс = — 1 (mod 8), легко получаем, что и ни-
никак не может быть нечетным. В самом деле, а — четное, значит dvy
cw — нечетные, и д= —с (mod 8); поэтому из аи2 -\- dv2 -}- cw2 = О
вытекает, что аи2 = 0 (mod 8), и, следовательно, так как а не = 0
(mod 8), и во всяком случае должно быть четным. Очевидно, все
остальные собственные решения х, у, z обладают тогда тем же свойством
х==0 (mod 2). Во-вторых, если,#=0 (mod 8), значит —bc= I (mod8),
то возьмем f'=l, a tf = аде подберем так, чтобы один из двух мно-
множителей, например t, был =2 (mod 4), стало быть, другой, f, был ==О
(mod 4), и чтобы они не имели нечетного общего делителя, что всегда
может быть достигнуто. Отсюда следует, что числа х, у, z будут опре-
определять собственное решение. Так как по предположению и нечетно,
а из 1 -}- дси = аии' = 0 (mod 8) следует, что и и" тоже нечетно,
то получаем
2х = ut + u'V — ЧЪЫ'Г = 2 + 0 — 2 = 0 (mod 4),
и, значит, лг^О (mod 2). Наконец, в-третьих, если а нечетно и
— дс является квадратичным вычетом 4а, стало быть дс == — 1 (mod 4),
то возьмем f —1, и tf — abc по произволу, но только так, чтобы t и f
были взаимно простыми числами; тогда х, у, z образуют собственное
решение, потому что, кроме того, / = /'=1 (mod 2). По предположе-
предположению ни одно из чисел и, и! не является четным; поэтому из аии' =
= 1 -f- bcu вытекает, что и" четно, а следовательно, auu'=l (mod 4).
Следовательно, ut • u'f = auur • bc= — 1 (mod 4), и значит, ut =
^ — u'f (mod 4); отсюда получаем
2x-^=ut-)ru'f — 2bcur'f'==0 (mod 4),
и, значит, х==0 (mod 2).
Тем самым наше предложение полностью доказано, и это доказа-
, тельство содержит, очевидно, метод получения из собственного реше-
решения a, v, w уравнения с коэфициентами а, д, с собственного решения

§ 157] О композиции бинарных квадратичных форм 365
X
—» У* z уравнения с коэфициентами ар2, Ь, с, причем предполагается,
что —be является квадратичным вычетом ар2 и не делится на простое
число р. Повторным применением этого же предложения приходим,
очевидно, к следующему результату:
Если числа А = аР2, В = bQ2, С == cR2 — взаимно простые, а числа
— ВС, —С А, —АВ являются соответственно квадратичными выче-
вычетами А, В, С, то из существования некоторого собственного решения
уравнения
всегда следует существование некоторого собственного решения
уравнения
§ 157.
Последним из доказанных предложений вопрос о разрешимости
собственным образом уравнения
+ cz2 = 0 A)
сводится, очевидно, к случаю, когда ни одно из взаимно простых
чисел а, Ь, с не делится на квадрат; далее в предыдущем параграфе (II)
в качестве необходимого условия разрешимости было установлено, что
числа —be, —са, —ab должны быть соответственно квадратичными
вычетами чисел а, Ь, с, и, кроме того, очевидно, что эти последние
не могут иметь все один и тот же знак. При помощи метода редукции,
принадлежащего в главных чертах Лагранжу1), можно действительно
доказать, что эти условия являются вместе с тем и достаточными, т. е.
что имеет место следущее предложение2):
Если а, Ь, с — три отличные от нуля и не делящиеся ни на
какой квадрат взаимно простые числа, не имеющие все три одного
и того же знака, и если числа —be, —са, —ab являются соот-
соответственно квадратичными вычетами чисел а, Ь, с, то уравнение A)
разрешимо собственным образом.
Сначала заметим, что это предложение справедливо в частном слу-
случае, когда один, из коэфициентов, например а, равен + 1, а другой, на-
например Ь, равен — 1; действительно, тогда уравнение A) удовлетворяется
взаимно простыми числами х=у=1, 2 = 0.
Будем обозначать абсолютное значение величины k через {k)\ то из
трех произведений (be), {ca), {ab), которое по величине заключено
между двумя остальными, назовем для большего удобства изложения
индексом уравнения A); если же два из этих произведений или все
х) La grange, Sur la solution des problemes indetermines du second degre,
Mem. de l'Acad. de Berlin, т. XXIII, U69. (Oeuvres de Lagrange, т. И, 1868,
стр. 375); Additions aux Elements d'Algebre par L. Euler, § V.
2)Legendre, Theorie des Nombres, 3-е изд., т. 1, §§ III, IV; Gauss,
D. A., artt. 294, 295. Приводимое ниже доказательство может быть распростра-
распространено на случай, когда а} Ь, с имеют делителями квадраты.

366 Дополнение X [§ 157
три окажутся равными друг другу, то под индексом мы будем пони-
понимать общую величину этих двух или всех произведений. Из этого опре-
определения непосредственно вытекает справедливость теоремы для случая,
когда индекс уравнения равен единице. Действительно, легко видеть,
что тогда должно быть (а) = (Ь) = (с) = 1, а так как все коэфициенты
не могут иметь один и тот же знак, то разрешимость уравнения выте-
вытекает из предыдущего замечания.
Для проведения доказательства в общем случае предположим, что
оно уже установлено для всех уравнений, индекс которых меньше не-
некоторого определенного положительного целого числа 7, и покажем,
что тогда теорема должна быть справедлива и для всех уравнений,
индекс которых равен 7. Если это удастся, то теорема справедлива
вообще, так как для 7=1 она верна.
Итак, пусть 7!>2 есть индекс уравнения A). Ввиду симметрии мы
можем считать, не нарушая общности, что (а) ^ (Ь) ^ (с), стало быть,
и (ab) ^ (ас) <; (be); тогда J=(ac). Если бы (Ь) было равно (с), то
ввиду того, что b и с — взаимно простые числа, должно было бы быть
(Ь) = (с) = 1, откуда следовало бы и 7=1, что противоречит нашему
предположению; поэтому
(*)<(*)< (с), (ab)<(ac)=J^(bc). B)
По предположению —ab является квадратичным вычетом с; и, следо-
следовательно, можно определить такое число г, чтобы ат2==— b (mod с)
и вместе с тем (г) ^ -^ (с); если положить теперь
аг*-\-Ь = сС, C)
то С будет целым числом, абсолютная величина которого
потому что
Если С=0, то Ь=—а/*2; а так как b взаимно просто с а и
не делится ни на какой квадрат, то (г) = 1 и #= —а=±1; таким
образом и в этом случае уравнение A) допускает собственное реше-
решение х — у=1> 2 = 0.
Если же С отлично от нуля, то мы сводим уравнение A) к дру-
другому, меньшего индекса, следующим образом. Пусть а! — общий наи-
наибольший делитель трех членов аг2, Ь, сС уравнения C); тогда а'
является одновременно общим наибольшим делителем любых двух из них
попарно, так что три члена уравнения
ш* Ь сС
— наверное взаимно простые числа. Так как а' входит множителем
в b и, значит, взаимно просто с с и с а, то а' должно входить мно-
множителем в С и в г2, а стало быть, и в самое г, потому что а' как

§ 157] О композиции бинарных квадратичных форм 367
делитель b не делится ни на какой квадрат. Поэтому можно положить
г = а'а, Ь = а'$, С= а'С = a'c'f, E)
причем 72 означает наибольший квадрат, входящий множителем
в С = с'ч2', тем самым уравнение C) переходит в следующее:
аа'а? + р = cc'f, F)
три члена которого, стало быть, — взаимно простые числа; положим,,
наконец, еще
таким образом будут определены три числа а\ Ь', с', обладаю-
обладающие, как мы покажем, теми же свойствами, что и данные числа
a, Ь, с.
Во-первых, очевидно, что ни одно из трех чисел а'> Ь\ с' не
равно нулю, потому что a!bf = а'а$ = ab, а с' входит множителем в С.
Далее, из а'Ь' = ab следует, что а', Ъг — взаимно простые числа и не
делятся ни на какой квадрат, так как я, b обладают этими же свой-
свойствами. Далее, *f есть наибольший квадрат, входящий множителем
в С' = с'ч21 поэтому с' не может делиться ни на один квадрат; а так
как члены уравнения F) — взаимно простые числа, то с' является также
взаимно простым с аа$ = а'Ь'.
Числа а', У, с' не могут также все быть одного знака. В самом
деле, если ab = a'br отрицательно, то а', У имеют противоположные
знаки; если же ab положительно, следовательно, са и be отрицательны,
то из равенства аг2 -}- b = саVf2 вытекает, что а'с' отрицательно, и
значит, аг, с' имеют противоположные знаки.
Далее, так как вследствие уравнения F), члены которого взаимно
простые числа, числа фес', аса'с\ —аа'$ = — а'Ь' должны быть соответ-
соответственно квадратичными вычетами чисел aaf\ {¦), с' и так как по предпо-
предположению числа — be = — $а'с, — са являются соответственно вычетами
чисел а, Ь=а'$, то отсюда легко получаем, что числа — Ь'с', — с'а',
— а'Ь' являются соответственно вычетами чисел а'> Ь', с'.
Наконец {a'b') = {ab)< J вследствие B), и {с'а') ^(c'a')f = {C)< J
вследствие D); а потому индекс уравнения
наверное меньше J и, следовательно, по ранее сделанному нами пред-
подожению это уравнение разрешимо во взаимно простых числах
лг/, У, z'. Так как числа а'сих' — $у'> х'-\-аау' не обращаются в нуль
одновременно, ибо тогда х' и у' также были бы равны нулю, то можно
положить
тх = а'ах' — §у'\ ту = х' -j- aay'\ mz = c'^z',
где т означает общий наибольший делитель трех чисел справа; на
в силу E), F), G) отсюда вытекает
т* (ах2 + by2 -{- cz2) •=. ее'-? (а'х'2 + VyT* -f c'z'*) = 0,

368" Дополнение X ' [§158
а значит, так как т ф'О, —также
Наконец, так как числа х, у, z не имеют общего делителя, и ни одно
из чисел а, Ь, с не делится на квадрат, то х, у, z — тоже взаимно про-
простые числа и,-следовательно, образуют собственное решение уравнения A).
Этим наше рассуждение полностью проведено, и, значит, теорема
доказана в общем случае. Далее очевидно, что в последовательном
. сведении уравнения A) к подобным же уравнениям с уменьшающимся
индексом и в конечном счете к уравнению, один из коэфициентов кото-
которого равен -{-1, а другой равен —1, содержится уже метод нахожде-
нахождения его решения.
После того как для уравнений, коэфициенты которых не делятся
ни на один квадрат, указанные выше необходимые условия для суще-
существования собственных решений были признаны вместе с тем и доста-
достаточными, из последней теоремы предыдущего параграфа вытекает, что
точно такое же утверждение имеет место для всех уравнений A),
коэфициенты которых суть отличные от нуля взаимно простые числа.
Итак, общий результат наших исследований мы можем формулировать
в виде следующей важной теоремы:
Если a, bt с — взаимно простые и отличные от нуля числа, то
уравнение
всегда и только тогда разрешимо во взаимно простых числах х, у> z,
когда числа —be, —сау —ab являются соответственно квадратич-
квадратичными вычетами чисел а, Ь, с, причем эти последние не все одного
знака; далее, если
— Ьс = Ж* (mod а), — аг = 232 (mod b), — а? = &2 (mod с),
то указанное уравнение допускает такое решение во взаимно простых
числах х9 уу zy что
%z = by (mod a), $5x = cz (mod b\ (&y = ax (mod c).
§ 158.
При помощи этого предложения легко может быть доказана упомя-
упомянутая в § 155 фундаментальная теорема Гаусса:
Каждый класс главного рода получается посредством сдваивания.
В качестве представителя класса, принадлежащего главному роду,
детерминанта D, выберем форму (Л, В, С), первый коэфициент кото-
которой А взаимно прост с 2D (§ 93). Так как число А представимо по-
посредством этой формы и все отдельные характеры ее имеют значе-
значение -{-1, то А является квадратичным вычетом всякого нечетного простого
числа, входящего в D, а также числа 4 или 8, если D делится на 4 или на 8
(§§ 121, 122); в силу этого (по § 37) А является квадратичным выче-
вычетом самого D (и, обратно, легко получить, частично при помощи за-
закона взаимности, что форма (Л, В, С) наверное принадлежит главному
роду, если А взаимно просто с 2D, является квадратичным вычетом D,

§ 158] О композиции бинарных квадратичных форм 369
a s случае отрицательного D еще и положительно)* Более того, можно
даже предполагать, что А является квадратичным вычетом 4Д т. е.
что A s= I (mod 4) или A s= I (mod 8) в зависимости от того,
является ли D нечетным или четным. В самом деле, если Z) = 3 (mod 4),
или Z)==;0 (mod 8), то это имеет место автоматически; далее, если
бы в остальных случаях А не удовлетворяло этому условию, следо-
следовательно, было бы Л===3 (mod4), е=~7 (mod 8), =s 3 (mod 8), = 5
(mod 8) в зависимости от того, будет ли ?>з==1 (mod 4), =s=2 (mod 8),
=s~6 (mod 8), ==з 4 (mod 8), то посредством подстановки к'~~0J форм у
(Д, 5, С) можно было бы преобразовать в форму, первый коэфициент кото-
которой Аг =5 Ла2 + 2?а -{- С есть взаимно простое с 2D число, обладающее
вместе с тем требуемым свойством. Действительно, так как ЛД'=
= (Аса -\- ВJ— D, то нужно было бы лишь выбрать а так, чтобы в пер-
первом случае Аа-\~В было четным, в остальных же трех случаях—не-
четным, чего всегда можно достигнуть таким образом, чтобы Аи-\~-В
оказалось одновременно с этим взаимно простым с 2D числом.
Мы предполагаем поэтому, что А есть квадратичный вычет 4О и
взаимно просто c4D. Так как 4D===B?J (mod А) и, значит, есть ква-
квадратичный вычет Л, и числа A, 4D оба неотрицательны, то уравнение,.
всегда обладает собственными решениями х, у, 2, удовлетворяющими
условию
2Bz~Wy, т. е. 0s2fiy (mod A)
(§ 157); поэтому можно положить z = At-\~2By1 отчего вышеуказанное
уравнение переходит в следующее:
АР + 2Bt Bу) + С Bу)» = хК
Так как Ах, 2Dy, г — взаимно простые числа, то /, 2у — тоже взаимно
простые числа; следовательно (Л, В, С) эквивалентна форме (§ 60)» пер-
первый коэфициент х2 которой есть точный квадрат и взаимно прост с 2Д
и которая, следовательно (по § 155), получается сдваиванием некото-
некоторой формы, первый коэфициент которой равен лг, что и требовалось
доказать *).
Бесконечное множество собственных решений лг, у, z вышеуказан-
вышеуказанного уравнения, удовлетворяющих условию z ss 2By (mod Л), распа-
распадается еще на различные классы относительно модуля 4D (§ 156, II).
Однако нам не представляется здесь возможным уделить больше вни-
внимания связи этих решений с различными классами, сдваиванием которых
•получается один и тот же заданный класс главного рода.
1) Сведение этой теоремы Гаусса к теоремам Лагранжа и Лежандра было
в первый раз проделано Арндтом (Arndt, Ueber die Anzahl der Genera der
quadratischen Formen, Crelle's Journal, т. 56), однако данное выше изложение во
многих пунктах отклоняется от его доказательства. По сути дела теорема Ла-
Лагранжа по содержанию и методу доказательства принадлежит к теории тер-
тернарных форм. Ср. далее Кг о песке г, Ueber den Gebrauch der Dirichlet'schen
Methoden in der Theorie der quadratischen Formen, Monatsbertcht der Berliner
Akademie, 12 мая 1864 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.
Б. Н. Делоне.
§ 1. Определения и некоторые общие теоремы о параллелешшедаль-
ных системах точек.
1. Определение. Равномерный ряд точек на некоторой прямой,
в котором расстояние между двумя соседними точками равно а, назы-
называется рядом точек с параметром а или одномерной системой точек
и обозначается через Ev
Пусть ОР и OQ—два отрезка заданной длины, образующие задан-
заданный угол POQ между собою. Фигуру OPQ мы будем называть двусто-
ронником, точку Р — концом первой стороны, а точку Q — концом
второй стороны двусторонника. Совокупность точек плоскости OPQ?
координаты которых суть целые рациональные числа относительно
двусторонника OPQ, т. е. относительно косоугольной системы коорди-
координат с началом в точке О, осями ОР и OQ и масштабными единицами
на этих осях, равными ОР и OQ, мы будем называть двумерной парал-
лелограматической 1) системой точек и обозначать через Z:^ двусто-
двусторонний OPQ мы будем называть основным двусторонником и построенный
на нем параллелограм — основным параллелограмом системы точек Е2*
Точно так же, три заданных отрезка OP, OQ, OR в пространстве,
образующие друг с другом заданные углы, называются трехсторон-
ником. Совокупность точек пространства, координаты которых суть
целые числа относительно трехсторонника OPQR, т. е. относительно
косоугольной системы координат с началом в точке О, осями ОР9 OQ>
OR и масштабными единицами на этих осях, равными OP, OQ и OR,
мы будем называть трехмерной параллелепипедалъной системой то-
точек и обозначать через Е3, трехсторонник OPQR мы будем называть
основным трехсторонником и построенный на нем параллелепипед —
основным параллелепипедом системы точек Еъ.
Если дана произвольная система точек, то параллелограмом системы
и параллелепипедом системы мы назовем такой параллелограм и такой
параллелепипед, для которых все вершины являются точками системы.
Параллелограм или параллелепипед системы называется пустым, если
ему не принадлежат никакие другие точки системы, кроме вершин.
г) Термины параллелепипедальная система и параллелограматическая
система часто будут встречаться в дальнейшем; для удобства мы кратко будем
обозначать их двумя начальными буквами: п. с.

§ 1] Геометрия бинарных квадратичных форм 371
Эти определения можно распространить на параллелепипедальные
системы любого числа измерений.
2. Теорема I. В п. с. не содержится ни одной пары точек, рас-
расстояние между которыми было бы меньше некоторой заданной вели-
величины г. Если D, Е, F — три произвольных точки п. с, и отрезок FG
равен и параллелен отрезку DE, то G также является точкой п. с.
Последнее свойство называется свойством параллельной перенос-
переносности. Эта теорема легко выводится из определений.
Мы будем называть две фигуры или две системы точек гомологич-
гомологичными по отношению к данной п. с, если одна из них получается из
другой путем параллельного переноса этой п. с.
3. Теорема II. Параллелограм некоторой системы Е2 или парал-
параллелепипед некоторой системы Е% являются основным^параллелогра-
мом Е2 или основным параллелепипедом Е§ тогда и только тогда,
когда они пустые.
Доказательство. То, что основной параллелограм некоторой
системы Е2— пустой, следует непосредственно из его определения.
Если же, обратно, некоторый параллелограм системы Е2 — пустой, то
в силу свойства параллельной переносности в Е2 система Е2 содержит
п. с. Е2, построенную на этом параллелограме. Но в Е2 не может
содержаться никаких других точек, так как иначе, опять-таки в силу
свойства параллельной переносности, также и данному параллелограму
должны были бы принадлежать, помимо его вершин, еще другие точки
системы Е2. Но это невозможно, так как этот параллелограм предпо-
предполагается пустым. Таким образом система Е2Г тождественна с ?2, и
данный пустой параллелограм является основным параллелограмом
системы Е2.
Это же доказательство остается в силе и для случая трехмерной
п. с.
4. Примечание. Треугольник некоторой системы ?2 будет основ-
основным треугольником этой системы (треугольником, построенным на
основном двустороннике -системы Е2) тогда и только тогда, ко да он
пустой, так как тогда построенный на нем параллелограм также будет
пустым. Однако тетраэдр системы Es может быть пустым, а построен-
построенный на нем параллелепипед этой системы может оказаться и не пустым,
т. е. не будет для нее основным параллелепипедом.
5. Теорема III. Если в некоторой совершенно произвольной системе
точек 1) имеется по крайней мере одна такая точка% что расстояние
между нею и всякой другой точкой системы не меньше чем некото-
некоторая заданная величина г, и 2) система обладает свойством па * ал-
лельной переносности, то она является параллелепипедальной системой
точек.
Эта основная теорема представляет, так сказать, обращение теоремы I.
Доказательство. Пусть О—та точка рассматриваемой системы
точек, от которой ни одна другая точка системы не удалена на рас-
расстояние, меньшее чем г. Тогда, в силу свойстра параллельно.'* пере-
переносности, нигде в системе не может быть двух точек, расстояние между
которыми было бы меньше чем г. Следовательно, ни одна ограниченная
область не может содержать неограниченного множества точек системы.
24*

372 Б. Н. Делоне _ [§ 1
Если система не состоит из одной только точки О (случай, который,
собственно говоря, не противоречит теореме), то пусть Р — некоторая
точка системы, отличная от О. На отрезке ОР расположено лишь
ограниченное число точек системы, и, значит, имеется точка, ближайшая
к О. Пусть это будет точка Р. Если внутри отрезка ОР нет ни одной
точки системы, то этой точкой Р является сама точка Р. Прямая ОР
несет на себе, в силу свойства параллельной переносности, все точки
точечного ряда ОР (если взять за точки D, E, F точки О, Р} Я, и т.д.),
причем никаких других точек системы на ней нет, ибо в противном
случае, опять-таки в силу свойства параллельной переносности, такие
точки должны были бы тогда находиться также и внутри отрезка ОР,
что противоречило бы тому обстоятельству, что за точку \Р была
выбрана ближайшая к О точка отрезка ОР. Итак, если рассматриваемая
система одномерна, то она тождественна с рядом точек ОР и является
таким образом одномерной п. с.
Если же система не одномерна, т. е. обладает точками, не лежа-
лежащими на прямой ОР, то в силу свойства параллельной переносности
из каждой такой ее точки исходит ряд точек, равный и параллельный
ряду ОР, так называемый гомологичный ряду ОР ряд точек. Пусть
Q — некоторая точка системы, не лежащая на прямой ОЯ, a QQ' —
проходящий через Q ряд точек, гомологичный ряду ОР. Если в пло-
плоскости OPQ имеется некоторый ряд точек QQ' данной системы, го-
гомологичный ряду точек ОР, прямая которого Q Qr проходит между
прямыми ОР и QQ\ то прямая QQr имеет с параллелограмом OPQ
общий отрезок, равный по величине и направлению отрезку QQ\Таким
образом в ряде точек QQ' несомненно имеется точка, принадлежащая
этому параллелограму (лежащая внутри, или на его границе). Следова-
Следовательно, таких промежуточных рядов (если они вообще имеются) может
быть лишь ограниченное число. Значит, имеется некоторый ряд QQ\
являющийся ближайшим к ряду ОЯ, так что между прямыми ОР и
QQ' не проходит ни один ему параллельный ряд. Тогда в плоскости
OPQ лежит, в силу . свойства параллельной переносности данной
системы, двумерная параллелепипедальная система точек с основным
параллелограмом OPQ. Кроме точек этой п. с. никаких других точек
из рассматриваемой системы в этой плоскости быть не может, так как
в противном случае, снова в силу того же „свойства параллельной
переносности, параллелограму OPQ должны были бы принадлежать
также и другие точки системы, помимо его вершин. Но это противо-
противоречит предположению, что Р — ближайшая к О точка прямой ОР,
a QQf—ближайший к ОР параллельный ряд точек плоскости OPQ.
Итак, если сиотема двумерна, то она тождественна с указанной
двумерной п. с.
Если, наконец, система трехмерна, то она обладает точками, не
лежащими в плоскости OPQ. Пусть R — одна из таких точек. Через
нее проходит, в силу свойства параллельной переносности, п. с, равная

§ 1] Геометрия бинарных квадратичных Форм 373
и параллельная двумерной п. с. OPQ, так называемая гомологичная OPQ
п. с. Пусть RR/ R"— эта двумерная п. с. Если в системе существует
гомологичная OPQn.c. RR'Rr\ плоскость которой проходит между
плоскостями OPQ wRR' R", то плоскость ~R Rf ~Rff имеет с параллепипедом
OPQR общий параллелограм, равный по _величине и направлению парал*
лелограму R Rr R". Таким образом в п. c^RR' R" имеется несомненно точка»
принадлежащая этому параллелограму, а значит, и параллелепипеду
OPQR. Таких промежуточных систем может быть во всяком случае
лишь ограниченное число (если вообще они существуют). Значит, имеется
некоторая гомологичная системе OPQ двумерная п. с. нашей системы,
RR'R", ближайшая к OPQ, так что между плоскостями OPQ и RR/RV
не расположена ни одна параллельная им двумерная л. с. нашей системы
точек. Тогда рассматриваемой системе точек принадлежит трехмерная
п. с. с основным трехсторонником OPQR, и притом никаких других
точек в рассматриваемой системе не имеется, ибо в противном случае,
опять-таки в силу свойства параллельной переносности, параллелепи-
параллелепипеду OPQR также должны были бы принадлежать еще другие точки
системы, помимо его вершин, что противоречит тому обстоятельству,
что в плоскости OPQ параллелограму OPQ не принадлежат никакие
другие точки системы, и предположению, что RR'R" — ближайшая
к OPQ гомологичная двумерная п. с. нашей системы точек. Таким
образом данная система тождественна с трехмерной п. с. OPQR, и теорема
таким образом доказана.
6. Теорема III показывает, что параллелепипедальиую систему точек
можно, обратно, определить как систему точек, обладающую с&ойством
дискретности (т. е. тем свойством, что расстояние между любыми
двумя точками системы не меньше некоторого определенного положи-
положительного числа г) и параллельной переносности. Имея в виду свойство
параллельной переносности, можно первое требование ослабить,
потребовав лишь существования одной такой точки системы, чтобы
в шаре или круге некоторого положительного радиуса г с центром
в этой точке не содержалось ни одной другой точки системы. С этой
точки зрения п. с. можно охарактеризовать еще иначе: это — система
всех точек, в которые переходит некоторая точка плоскости (или
пространства) с помощью некоторой дискретной группы параллельных
переносов.
Группа параллельных переносов пространства, если она не сводится
просто к тождеству, очевидно, всегда бесконечна и абелева; но она
может быть, вообще говоря, как дискретной, так и не дискретной. Т. е.
она может как обладать бесконечно малыми переносами, так и не обла-
обладать ими. Очевидно, что совокупность всех параллельных переносов
параллелепипедальной системы образует дискретную группу параллель-
параллельных переносов. Теорема III показывает, что, обратно, совокупность
всех точек, гомологичных некоторой заданной точке пространства в от-
отношении некоторой заданной дискретной группы параллельных пере-
переносов, т. е. получаемых из этой точки всеми переносами этой группы,
есть параллелегшпедальная система точек, n-мерная п. с. дает реализацию.

374 Б. Н. Делоне [§ 1
самой общей бесконечной абелевой группы с п независимыми образующими
элементами, все элементы которой, кроме нуля, бесконечного порядка.
7. Относительно свободы выбора основного двусторонника в си-
системе Е2 и основного трехсторонника в системе Es можно сделать
следующее замечание.
Под понятием параллелепипедалъная система точек понимается
лишь система образующих ее точек, и в понятие это не включаются
те прямые линии, на которых эти точки лежат. Одну и ту же систему
Е2 или Es можно задать посредством весьма различных основных
двусторонников и соответственно основных трехсторонников.
Из доказательства предыдущей теоремы легко усмотреть, что не-
необходимые и достаточные условия того, чтобы двусторонник OPQ был
основным двусторонником в некоторой заданной системе Е2, состоят
в следующем: 1) О—произвольная точка системы Е2\ 2) Р — другая
произвольная точка Е2, удовлетворяющая единственному условию, чтобы
внутри отрезка ОР не было ни одной точки системы Е2\ 3) Q —
произвольная точка одного из двух рядов точек системы Е2, гомоло-
гомологичных ряду точек ОР и ближайших к нему. Необходимые и достаточ-
достаточные условия того, чтобы трехсторонник OPQR был основным трех-
трехсторонником некоторой заданной системы Я3, заключаются в следующем:
1) О — произвольная точка Е3; 2) Р — другая произвольная точка ?3,
при единственном условии, чтобы отрезок ОР был пустым; 3) Q — точка?3,
принадлежащая в плоскости OPQ одному из двух рядов точек системы Е3,
лежащих в этой плоскости, гомологичных ряду точек ОР и ближайших
к нему; 4) R— произвольная точка одной из двух двумерных п. с.
системы ?3, гомологичных двумерной п. с. OPQ и ближайших к ней.
8. Теорема IV. Все основные параллелограмм, одной и той же
системы Е2 имеют одинаковую площадь, и все основные параллелепи-
параллелепипеды одной и той же системы Ев имеют одинаковый объем.
Доказательство. Так как метод доказательства для систем Е2 и Es
совершенно одинаков, то мы докажем эту теорему лишь для системы Z:3.
Пусть OPQR и OPQ R— два различных основных трехсторонника
одной и той же системы ?3, a v и v — объемы построенных на них
основных параллелепипедов. Легко подсчитать, что v == Дг>, причем А
р q r
есть абсолютная величина детерминанта
где (р, q, r),
(//, q\ /), (//', q", r") — координаты точек Р, Q, R относительно трех-
трехсторонника OPQR. Но эти координаты суть целые числа. Таким обра-
образом А есть целое число, отличное от нуля. Так как OPQR в свою
очередь является основным трехсторонником, то координаты точек Я, Q, /^
относительно трехсторонника О р Q R — также целые числа, и
значит аналогично имеем v = kv, где А снова есть целое рациональное
число, отличное от нуля. Итак, имеем
v = A v = АДг/,
откуда ДД=1, т. е. Д=1, и, следовательно, v = v.

§ 2] Геометрия бинарных квадратичных форм 375
Другое доказательство этой же теоремы. Возьмем
большой шар радиуса /?, и пусть в нем заключается N точек нашей
системы ?*3. Пусть Л и В— два разных основных параллелепипеда
системы Я3, т. е. В не может быть получено параллельным переносом
из Л. Поставим в соответствие каждой из N рассматриваемых точек
по параллелепипеду Л, например каждый раз тот, для которого взятая
точка является передней левой нижней вершиной. Все эти параллеле-
параллелепипеды заполняют шар радиуса /?, не входя друг в друга, причем ряд
из них выступает за шар, и часть шара, у его поверхности, не вполне
ими заполнена. Если объем такого параллелепипеда есть VA, то, значит,
объем шара VR приблизительно равен A/VA, V^» NVA, т. е,
Vp Vr
^А~-т7* Аналогично найдем, что Ув~-? - Увеличивая радиус
м
Черт. 1.
шара R до бесконечности и переходя к пределу, мы убеждаемся, что
Замечание. Все определения, теоремы и их доказательства, дан-
данные в этом параграфе, имеют место и для параллелепипедальных
систем любого числа п измерений, рассматриваемых в я-мерном евкли-
евклидовом пространстве.
ч§ 2. Дальнейшие теоремы о параллелограматической системе точек
на плоскости.
9. Теорема V. Если площадь основного параллелограма системыЕ2
равна 5, то расстояние между точкой О системы Е% и ближайшей
к ней точкой той же системы во всяком случае не превосходит
2 s
величины - '
/"ТГ
у
Доказательство. Пусть Р — точка системы ?2, ближайшая
к точке О (черт. 1). Другими словами, внутри окружности радиуса а = ОР,
описанной из точки О как из центра, не лежит никакая другая точка
системы Е2. То же самое справедливо для аналогичных окружностей,
описанных вокруг всех остальных точек ряда ОР. Если мы теперь
проведем через точки пересечения этих окружностей прямые MN и
M'N\ то внутри полосы MNy M'N* наверное не лежат никакие другие
точки п. с. Е2, кроме точек ряда ОР, так как каждая внутренняя
точка этой полосы лежит по крайней мере внутри одного из наших
кругов. Ближайший к ряду ОР гомологичный ряд точек лежит, таким

376_ Б. Н. Делоне ; [§_2
образом, по меньшей мере на расстоянии h ==—к—. Следовательно,
площадь s основного параллелограма системы Е2 не может быть меньше
чем а У 3 9 откуда а ^ л/ —^=z. Равенство, очевидно, будет иметь
а ^ I /
место тогда и только тогда, когда точки ближайшего к ОР гомоло-
гомологичного ряда совпадут с точками Q, Q',..., т. е, когда основной тре-
треугольник OPQ будет равносторонним. Итак, в этом и только в этом
случае достигается точная граница.
10. Если мы из каждой точки системы Е2 опишем, как из центра,
окружность радиуса у, где а — наименьшее расстояние между двумя
точками системы Е%, то эти круги не
будут перекрываться, так как никакие
две точки системы ?2 не удалены друг
от друга на расстояние, меньшее а.
Таким образом найденная только что
п. с. с основным треугольником OPQ
дает плотнейшее расположение равных
кружков диаметра а, при котором
никакие два кружка не перекрываются,
q 2 н Центры кружков образуют п. с.
рт* ч 11. Теорема VI. В каждой системе
Е2 имеется в обыщем случае один и
только один остроугольный основной треугольник (если не считать
симметричного ему треугольника).
Доказательство. Пусть Р—одна из ближайших к О точек
системы Ег Если в точках О и Я восставить к отрезку ОР перпен-
перпендикуляры X и |а (черт. 2), то либо внутри полосы, образованной этими
перпендикулярами, лежит по одной точке каждого из двух ближайших
к ряду ОР гомо4огичных рядов точек системы ?2, либо же в каждом
из этих рядов имеются по две точки, лежащие на самих перпендику-
перпендикулярах X и ja. Пусть Q — одна из этих точек. Треугольник OPQ будет
тогда пустым и, следовательно, основным треугольником системы ?\2.
В этом треугольнике нет тупых углов. Действительно, угол Q — во
-всяком случае острый, так как сторона ОР треугольника OPQ является
кратчайшим отрезком системы ?2, а потому во всяком случае не
может быть длиннее других сторон этого треугольника. Углы же О
и Р—не тупые вследствие того, что точка Q лежит либо между пер-
перпендикулярами X и tx, либо на одном из этих перпендикуляров. Тре-
Треугольник PQQ' также является не тупоугольным основным треуголь-
треугольником, но он симметричен треугольнику OPQ.
~12. Остается разрешить вопрос, нет ли в системе Е% еще и других
таких не тупоугольных основных треугольников.
Назовем ту часть плоскости системы Е2, каждая точка которой
лежит от точки О системы не дальше, нежели от всякой другой точки
той же системы, областью Дирихле точки О в системе Е2. Пусть
OPQ — остроугольный основной треугольник системы ЕТ Рассмотрим
шесть треугольников OPQ, OQR, ORP', OP'Q\ OQ'R', OR'P (черт. 3)%

§ 2]
Геометрия бинарных квадратичных форм
377
Три из этих треугольников равны между соббю, а три остальных им
симметричны. Если в любом из этих треугольников восставив
перпендикуляры к серединам его сторон, то они пересекутся внутри
треугольника, т.ак как он остроугольный, и разрежут его на три
четырехугольника. Построим такие треугольники для всех точек си-
системы Ег, для чего нам нужно только разделить пополам все основные
лараллелограмы системы Е2, гомологичные основному параллело-
граму OPQR, посредством диагоналей, гомологичных диагонали OQ.
Разрежем все Э1И треугольники на малые чешрехугольники, указанные
.на чертеже. Каждая точка системы ?2 будет тогда окружена шестью
^такими четырехугольниками, образующими в совокупности шестиуголь-
'ник, юмологичный шестиугольнику abca'b'c'. Эти шестиугольники
покрывают, гаким образом, всю плоскость, не перекрывая друг друга.
Область Дирихле точки О лежит во всяком случае внутри шесги-
R
R'
Черт. 4.
угольника abca'b'c', jaK как всякая ее ючка ближе, например, к О,
чем к Я, т. е. лежит „с внутренней стороны" прямой ас'; далее ближе
, к О, чем к Q, г. е. лежит „с внутренней стороны" прямой afr, и т. д.
Области Дирихле других ючек системы ?*2 имеют аналогичное распо-
расположение в соответствующих им шестиугольниках. Но по своему опре-
определению области Дирихле покрывают всю плоскость, так как всякая
точка плоскости октоит по меньшей мере от одной из точек системы Е.2
не дальше, чем от всех других. Следовательно, не может быть, чтобы
каждая облааь Дирихле заполняла лишь часть шестиугольника; она
должна с ним юждественно совпадать. Таким образом шестиуголь-
шестиугольник abca'b'c' является областью Дирихле точки О в п. с. Е^.
По самому своему определению область Дирихле однозначно опре-
определяется параллелограматической системой точек ?. Как мы, однако,
видели, остроугольные основные треугольники однозначно связаны
с этими „шеаиугольниками Дирихле": вершины треугольника являются
центрами тех трех областей Дирихле, которые имеют внутри феуголь-
ника общую вершину. Таким образом остроугольный основной треуголь-
треугольник однозначно определяется системой Ег
13. В предельном случае, когда треугольник OPQ прямоуголен,
область Дирихле также вырождается: эго уже не шестиугольник, а
четырехугольник (черт. 4). Две из сторон шестиугольника, be и Ь'с\

378
Б. Н. Делоне
[§ 2
стали равны нулю. В этом случае в точке О встречаются кроме шести
прежних не тупоугольных основных треугольников еще шесть следую-
следующих: ОРК, OKQ, OQP", OPK', OKQ\ OQ'P.
14. Теорема VII. Стороны остроугольного основного треугольника
представляют собой три кратчайшие параметра системы Е%.
Параметром параллелограматической системы точек называется
отрезок, соединяющий две точки этой системы, внутри которого не
имеется ни одной ее дочки.
Доказательство. Пусть OPQ — остроугольный основной тре-
треугольник системы Я2, причем PQ <OP ^OQ, и OD — перпендикуляр,
опущенный из точки О на прямую ряда точек II (черт. 5). Тогда
/PQO> 45°. В самом деле, IPOQ^ / PQO и если бы /.PQO был
меньше 45°, то / OPQ должен был бы быть больше 90°; треугольник
же OPQ не имеет тупых углов. Отсюда следует, что / OQD > 90°,
т. е. OD > OQ.
0
Черт. 5.
Черт. б.
Само собой понятно, что ОР и OQ — два наименьших параметра»
идущих от точки О к точкам ряда I. Все же параметры, идущие
к точкам рядов II, III и т. д., больше чем OD, т. е. и подавно больше
чем OQ. Таким образом PQ, ОР и OQ — три наименьших* параметра
системы ?2.
15. Во всем. дальнейшем изложении мы будем называть некоторое
определенное направление вращения в плоскости системы Е2 правым
в отличие от противоположного ему левого вращения. Соответственно
этому, мы будем говорить о правых и левых двусторонниках, называя
углом дву'сторонника тот угол между его сторонами, который меньше 180°,
всегда считая направление вращения угла двусторонника от его первой
стороны ко второй.
16. Мы будем называть двусторонник приведенным, если его первая
сторона является наименьшим, а вторая сторона — следующим по вели-
величине параметром п. с, и если это правый двусторонник. Три наимень-
наименьших параметра X^jx^v могут иметь двоякое расположение относи-
относительно установленного положительного направления вращения: либо
в последовательности X, [х, v, либо же в последовательности X, v, ji.
В первом случае приведенный двусторонник будет остроугольным, а во
втором — тупоугольным (черт. 6).
Если двусторонник OPQ — приведенный, то в общем случае, как это
непосредственно вытекает из теорем VI и VII, лишь обратный ему дву-
двусторонник OPrQ/ будет также приведенным (черт. 3).

§2]
Геометрия бинарных квадратичных форм
379
17. Исключения представляют лишь следующие три случая: 1) когда
\ = р, < v; 2) когда X < ц = v; 3) когда \ = jt = v. В этих случаях
имеются соответственно 4, 4 и 12 приведенных двусторонников, попарно
обратных друг другу (черт. 7).
Случай прямоугольной или квадратной области Дирихле в этом
смысле не представляет никакого исключения.
Черт. 7.
18. Теорема VIII. Основной двусторонних OPQ будет приведенным
тогда и только тогда, когда: 1) проекция его второй стороны OQ
на прямую его первой стороны ОР по абсолютной величине меньше
или равна половине этой первой стороны; 2) его первая сторона ОР
меньше или равна его второй стороне OQ;
3) он является правым двусторонником. • + • • •
Доказательство. В самом деле, если
эти условия выполнены и угол двусторонника
не тупой, то в основном треугольнике
PQ>OQ^>OP (черт. 8). Значит, его наиболь-
наибольший угол находится при точке О, т. е. тре-
треугольник не тупоугольный, откуда по теореме
VII следует, что двусторонник OPQ — приве-
приведенный. Если же угол двусторонника тупой, то
указанными свойствами обладает треугольник
OQP'y откуда опять видно, что двусторонник
OPQ — приведенный.
19. Алгорифм приведения. Пусть задан не-
некоторый двусторонник OPQ. Если точка Q7
симметрична точке Q относительно О и R —
произвольная точка ряда, проходящего через
Черт. 9.
Р параллельно ряду OQ, то мы будем называть двусторонник
соседним справа к двустороннику OPQ. Этот двусторонник имеет то
же направление вращения, что и двусторонник OPQ.
Переход от произвольного основного двусторонника п. с. (направле-
(направление вращения которого мы считаем положительным) к приведенному
двустороннику можно провести (следуя Гауссу) следующим образом
(см. черт. 9).
Построим двусторонник OPXQV соседний справа заданному двусто-
двустороннику OPQ, так чтобы проекция его второй стороны OQX на прямую
его первой стороны ОРХ была по абсолютной величине меньше или
равна половине этой первой стороны, т. е. так, чтобы точка Qt лежала
между перпендикулярами тс и х. Всегда имеется либо одна такая точка,
либо две (если они лежат на самих перпендикулярах те и х). Далее снова

380 _ Б. Н. Делоне [§ 3
строим двусторонний OP2Q2j соседний справа двустороннику OPXQ{ и
обладающий тем же свойством, т. е. такой, для которого точка Qo
лежит между перпендикулярами тч и хр и т. д.
Для каждого такого двусторонника выполняется условие 1) тео-
теоремы VIII, и не может случиться, чтобы все время не выполнялось
условие 2). В самом деле, тогда было бы OQt > OQ2 > OQn >.. . Но
в круге радиуса OQ1 с центром в О расположено лишь ограниченное
число точек системы. Следовательно, после ограниченного числа таких
преобразований наступит, наконец, момент, когда будет выполнено
также и условие 2). А тогда двусторонник будет приведенным.
^— 20. Угол Пелля параллелограматической системы точек. Всякая п. с.
совмещается сама с собою при повороте вокруг своей точки Она 180°.
Но может случиться, что п. с. совместится сама с собою и при пово-
повороте на меньший угол. Так как область Дирихле системы является
прямоугольником или шестиугольником с центром симметрии в точке Q,
то это может иметь место только тогда, когда область Дирихле пред-
представляет собою квадрат или правильный шестиугольник, и тогда этот
угол равняется 90° или 60°. Мы будем называть этот наименьший угол
повторения углом Пелля параллелограматической системы точек,
21. Двусторонник, соответствующий данному параметру параллечо-
граматической системы точек. Каждый параметр ОМ системы можно
принять за первую сторону некоторого основного двусторонника систе-
системы. Тот из этих двусторонников, который имеет правое направление
вращения и удовлетворяет условию 1) теоремы VIII, мы будем называть
дву сторонником, соответствующим параметру ОМ, а сам двусторон-
двусторонник назовем полуприведенным.
В общем случае имеются всего два равных полуприведенных дву-
двусторонника, в случае же, когда угол Пелля равен 90° или 60°, имеется
всегда соответственно 4 и 6 таких равных между собою двусторонников,
но не больше, так как если имеется двусторонник, равный данному, т. е.
получаемый из него путем поворота вокруг точки О, то и п. с. совме-
совмещается с собой при этом повороте, так как этот двусторонник является
основным.
§ 3. Теория расположения точек параллелограматической системы
относительно некоторых заданных асимптот.
Мы переходим теперь к теоремам о параллелограматических системах
точек, имеющим несколько иной характер и касающимся распределения
точек системы Е2 относительно некоторой бесконечной прямой.
*22. Определения. Пусть в плоскости некоторой заданной системы Е2
даны две прямые О\ и От], проходящие через точку О системы и иррацио-
иррациональные по отношению к системе ?2, т. е. не встречающие дальше
никаких других ее точек. Мы будем называть эти прямые осями или
асимптотами.
Пусть Р—произвольная точка системы /:2. Во всем дальнейшем
изложении мы будем называть координатным параллелограмом точки Р
такой параллелограм, который имеет центр в точке О, одну из вершин
в точке Р, и стороны которого параллельны осям 01 и Ог\. Так как

§ 3] Геометрия бинарных квадратичных форм
оси иррациональны, то на одной и той же стороне координатного
параллелограма не могут лежать две точки системы Ev ибо в про-
противном случае на соответственной оси также должна была бы лежать
еще одна точка системы, кроме точки О. Итак, если Р — точка си-
системы Е%, то на границе ее координатного параллелограма лежит еще
только одна точка Р' системы, симметричная с Р относительно точки О
и находящаяся в противоположной вершине параллелограма.
Точка Р системы Е2, для которой координатный параллелограм не
содержит внутри себя никаких других точек системы, кроме точки О,
называется относительным минимумом системы Е2 по отношению
к асимптотам 01 и Oj.
*23. Теорема IX. В заданной системе ?2 по отношению к задан-
заданным асимптотам OS, Оч\ имеется бесконечно много, относительных
минимумов.
fy i и
И
t-#
Г 1 ' /
Черт 10.
Доказательство. Во-первых, нужно показать, что существует
по крайней мере один относительный минимум. Это очевидно, ибо
если, например, точка Q системы Е2 не является относительным мини-
минимумом, т. е. внутри ее координатного параллелограма лежат еще другие
точки системы, то можно перейти к одной из этих точек, и т. д.
В конце концов мы таким способом придем к относительному мини-
минимуму, так как в координатном параллелограме точки Q лежит лишь
ограниченное число точек системы Е%.
24. Пусть теперь Р—относительный минимум, имеющий, например,
положительную абсциссу 5 (черт. 10). Если мы бесконечно продолжим
стороны координатного параллелограма точки Я, параллельные оси ?, то
получим полосу, заключающую в себе ось I Заставим теперь правую
сторону координатного параллелограма точки Р, параллельную оси %
скользить внутри этой полосы параллельно самой себе в направлении
возрастающих абсцисс. В конце концов она несомненно натолкнется
на некоторую точку системы ?2, так как всякий ряд точек системы Е^
параллельный ряду точек ОР, имеет внутри полосы две точки. В самом
деле, отрезок прямой такого ряда точек, лежащий внутри полосы,
имеет длину РР' — 2ОР, а на оси ? кроме точки О нет точек си-
системы Ег
Пусть Р^ — первая точка, на которую наталкивается эта скользящая
сторона. Тогда на ней лежит только одна эта точка, так как ось т^
также не ^содержит никаких точек системы, кроме точки О.
Итак, Рх является, очевидно, относительным минимумом. Можно теперь

382
Б. Н. Делоне
[§
повторить этот же прием, исходя из точки Pv и т. д. Мы получим
таким способом бесчисленное множество относительных минимумов Pv
Р2> Я3,..., лежащих вдоль положительной полуоси (-.
25. Точки Я/, Я2', Я/,..., симметричные этим минимумам отно-
относительно точки О, также являются относительными минимумами, однако
лежащими вдоль отрицательной полуоси I.
Если, оставаясь в полуплоскости ? > 0, применять этот прием, отпра-
отправляясь от той же точки Р, по направлению к оси т), то получится
цепочка относительных минимумов Р_1, Я_2, Я_3,..., прижимающихся
к оси т]. Имеются также относительные минимумы Р/_1,Р/__2Р/_ъу •••>
симметричные с ними относительно точки О (черт. 11).
Черт. 11.
26. Теорема X. Методом теоремы IX получаются все относи-
относительные минимумы системы Е2.
Доказательство. В самом деле, каждый относительный мини-
минимум, имеющий ббльшую абсциссу чем Я, должен иметь ординату, мень-
меньшую по абсолютной величине чем ордината точки Р\ в противном
случае Р лежала бы в его координатном параллелограме. Следовательно,
каждый такой относительный минимум должен лежать в полосе, рас-
рассмотренной в теореме IX.
Но Рх была первая точка системы Е2 в этой полосе, имевшая
ббльшую абсциссу чем точка Р. То же самое справедливо для Р2 отно-
относительно Pv и т. д.
Два относительных минимума, расположенных друг по отношению
к другу как точки Р и Pv мы называем смежными минимумами, а Рх —
первым последующим по отношенинэ к минимуму Я вдоль полуоси -)-$. Так,

§ 3) Геометрия бинарных квадратичных форм 383
например, Р'_2 и Р'_3 являются смежными минимумами и P__z — первый
последующий по отношению к минимуму Р'_2 вдоль пoлyocиJ—5.
27. Теорема XI. Двустороннюю, построенный на двух смежных
минимумах, является основным двусторонником системы Е2.
Доказательство. Треугольник ОРРХ (черт. 12) лежит в парал-
лелограме abed, и этот параллелограм пустой внутри, если не считать
точки О. Треугольник ОРРг является, таким образом, пустым и, сле-
следовательно, основным треугольником. Значит, двусторонник ОРРХ есть
основной двусторонник системы Е2.
Из этой теоремы вытекает, что Рх лежит в ближайшем к ряду ОР
параллельном ряде точек системы Е2-
28. Теорема XII. Смежные минимумы лежат по разные стороны
соответствующей оси.
Доказательство. В самом деле, обе точки ряда, параллельного
ряду ОР, содержащиеся внутри полосы теоремы IX, лежат по разные
стороны оси ?, и обе расположены
справа от правой стороны координат-
координатного параллелограма точки Р, так как
он пустой. При проведении приема,
употребленного при доказательстве
теоремы IX, эта сторона встретит, оче-
очевидно, первой ту из указанных двух
точек, которая лежит по другую сто-
сторону оси Л по сравнению с точкой Р.
29. Определения. Мы снова будем
называть углом двусторонника тот
из углов, образованных сторонами двусторонника, который мень-
меньше 180°.
Мы будем говорить, что двусторонник охватывает некоторую ось
или асимптоту (оба эти термина равнозначащи), параллельную одной
из двух выбранных осей, есци эта асимптота проходит внутри угла
двусторонника. Очевидно, что имеются всего лишь три возможности:
двусторонник может: 1) не охватывать ни одной асимптоты; 2) охваты-
охватывать одну единственную асимптоту; 3) охватывать две асимптоты.
Какой из концов двусторонника называть первым и какой — вторым,
зависит от нас; но в символе двусторонника мы всегда будем ставить
букву, относящуюся к концу его первой стороны, первой после буквы О?
обозначающей его вершину.
Отрезок, отложенный из конца первой стороны двусторонника парал-
параллельно его второй стороне, мы будем называть клювом двусторонника.
Таким образом клюв выходит всегда из конца первой стороны двусто-
двусторонника. Длину его мы будем измерять, беря за единицу масштаба вто-
вторую сторону. Есди он положителен, то направлен внутрь угла
двусторонника, а если отрицателен, то проходит вне этого угла. Мы
будем говорить, что вытягиваем клюв только тогда, когда проводим
его внутрь двусторонника.
Основной двусторонник системы Е2 мы будем называть приведенным
по отношению к некоторой асимптоте, если концы его сторон являются

384
Б. Н. Делоне
[§ 3
смежными минимумами, причем второй является последующим по отно-
отношению к первому вдоль этой асимптоты.
30. Теорема XIII. Основной двусторонних системы Е2 является
приведенным тогда и только тогда, когда 1) он охватывает одну
и притом только одну асимптоту и 2) конец его второй стороны
лежит дальше вдоль этой асимптоты, но ближе к ней, чем коней,
его первой стороны*
Доказательство. Необходимость этих условий вытекает из
построений теоремы IX и теоремы XI. Они являются, однако, и доста-
достаточными.
В самом деле, продолжим все четыре стороны параллелограма OPPXQ
<черт. 13). Тогда мы получим две пустые внутри перекрещивающиеся
полосы, так как OPPXQ есть основной
параллелограм. Как легко видеть, эти
две полосы покрывают паралледограм
аде''d!', а значит и подавно параллело-
грам abed, так что последний оказы-
оказывается содержащим одни только точки
О, Р, Рх системы Я2. Таким образом
Р и Р1 являются смежными миниму-
минимумами, причем второй -— последующий
по отношению к первому. Итак, усло-
условия 1) и 2) оказываются также и
достаточными.
31. Пусть ОРРХ—приведенный двусторонник, н Р%) Р$, Р4,...—-по-
Р4,...—-последовательность относительных минимумов, следующих друг за дру-
другом после минимума Рх вдоль оси, охватываемой двусторонником. Тогда
все двусторонние ОРХР2, ОР2Р3, OP9PV. . . также оказываются приве-
приведенными основными двусторонниками. Назовем их последующими по
отношению к приведенному двустороннику OPPV Совокупность всех
этих двусторонников мы назовем цепочкой приведенного двусторон-
ника OPPV Эту цепочку можно, исходя от начального двусторонние,
продолжить также в обратную сторону вдоль той же полуоси по двусто-
двусторонникам ОР_ХР, OP_2P_Xj OP_3P_V , предыдущим по отноше-
отношению к двустороннику ОРРХ (см. черт. 11).
Основная задача состоит в следующем: пусть задан совершенно
произвольный основной двусторонник системы Е2; дать метод, позво-
позволяющий перейти от него к некоторому приведенному двустороннику
{нам безразлично, вдоль какой оси он будет приведенным) и дальше
шаг за шагом ко всем последующим за ним двусторонникам его цепочки.
32. Подготовительное преобразование заданного двусторонние.
Если заданный двусторонник ОРРХ не охватывает ни одной асимптоты,
то мы переходим от него к двустороннику ОРР/, охватывающему две
асимптоты (черт. 14). Это подготовительное преобразование придется
проделать, если оно окажется нужным, всего один раз, в самом начале
предлагаемого алгорифма. Таким образом мы можем ограничиться
в дальнейшем рассмотрением двусторонников, охватывающих хотя бы
одну асимптоту. Такие двусторонние мы будем для краткости называть
подготовленными.

§ 3] Геометрия бинарных квадратичных форм 385
33. Переход от произвольного подготовленного двусторонника
К ЦЕПОЧКЕ ПРИВЕДЕННЫХ ДВУСТОРОННИКОВ, И ПРОДВИЖЕНИЕ ВДОЛЬ ЭТОЙ
цепочки. Пусть заданный двусторонник ОРРХ системы Е2 уже подготов-
подготовлен, т. е. охватывает хотя бы одну асимптоту. Тогда алгорифм при-
приведения состоит в следующем.
Мы вытягиваем клюв двусторонника ОРРХ до последней точки Я2,
д71я которой двусторонник ОРХР2 еще охватывает хотя бы одну
асимптоту. Далее снова вытягиваем клюв по-
полученного таким способом основного двусторон-
двусторонника ОРгР2 до последней точки Я3, ^ля которой
двусторонник ОР2РЬ еще охватывает хотя бы
одну асимптоту, и т. д.
Мы сейчас покажем, что посредством- этого
процесса мы всегда перейдем от заданного дву-
двусторонника к некоторому приведенному, а затем
будем шаг за шагом переходить ко всем после-
последующим за ним двусторонникам его цепочки. Черт. 14.
34. Случай I: Подготовленный двусторон-
двусторонник— уже приведенный, т. е. охватывает одну и только одну ось,
причем конец его второй стороны лежит дальше вдоль этой оси, но
ближе к ней, чем конец его первой стороны (черт. 15).
Так как точка Р удалена от асимптоты дальше чем Рг, то длина
клюва до точки его пересечения с охваченной асимптотой больше
единицы. Значит, последняя точка Р2 на клюве, которая лежит еще по
ту же сторону, что и точка Я, и, следовательно, образует еще охва-
тывающий асимптоту двусторонник ОРХР2, отлична от Р. Целое поло-
положительное число 8, показывающее, сколько раз нужно отложить от
точки Р отрезок ОРХ до точки Р2, т. е. длина клюва РР2, на нашем
чертеже равно 3. Двусторонник ОРХР2 снова окааызя^чтя приведенным,
так как опять 1) он охватывает асимптоту 05; и 2) конец его второй
стороны лежит дальше вдоль этой асимптоты, но ближе к ней, чем
конец его первой стороны.
Рассматриваем теперь двусторонник ОРгР2 и вытягиваем его клюв
совершенно так же, как мы поступали с клювом двусторонника OPPV
Этот второй клюв PtPs имеет на нашем чертеже, длину 2. Далее про-
проделываем туже операцию с двусторонником ОР^Р^ и т. д. Вытягивая
так клювы попеременно то по одну, то по другую сторону асимптоты.

386
Б. Н. Делоне
[§
мы будем получать один за другим соседние последующие друг за
другом двусторонники цепочки двусторонника OPPV
35. Случай II: Подготовленный двусторонник хотя и охватывает
только одну асимптоту, но не является приведенным. Здесь могут пред-
представиться три возможности, соответственно чертежам 16 а), C) и т).
а) Дальше вдоль охваченной асимптоты, но ближе к ней лежит
конец не второй стороны, а первой. Клюв, проведенный, как всегда,
из конца первой стороны, т. е. из точки Р9 до точки его пересечения
с охваченной асимптотой, короче, чем вторая сторона ОРХ двусторон-
двусторонника. Точкой Р2 является сама точка: Р> и 8 = 0. Первый шаг алгорифма
состоит просто в переходе от двусторонника ОРРг к двустороннику
ОР1Р2 = ОР1Р, т. е. в перестановке порядка следования сторон двусто-
двусторонника. Двусторонник ОР1Р2 будет уже приведенным.
/ /
F*P
Черт. 16.
Р) Конец второй стороны лежит Енутри координатного параллело-
грама конца первой стороны. Клюв, проЕ еденный до точки пересечения
с охваченной асимптотой, длиннее, чем OPV Следовательно 8 по меньшей
мере равно единице, и точка Р2 отлична от точки Р. Двусторонник 0РхР2
уже приведенный.
•у) Конец первой стороны лежит внутри координатного параллело-
ррама конца второй стороны. Точка Р2, как и в случае а), есть сама
точка Р. Первый шаг алгорифма дает 8 = 0 и приводит лишь к обмену
местами сторон двусторонника. Тогда мы получаем уже случай C), и,
следовательно, еще один шаг алгорифма делает двусторонник приве-
приведенным.
Итак, мы видим, что в случае II алгорифм прилагается без всякого
изменения, и один или самое большее два шага его делают двусторон-
двусторонник приведенным. Если и дальше все время повторять эти же шаги,
то мы будем уже получять один за другим соседние последующие
за этим приведенным двусторонником двусторонники его цепочки, ибо
находимся уже в положении^ случая I.
36. Случай III: Подготовленный двусторонник охватывает две асимп-
асимптоты. Здесь снова могут представиться три различных возможности.
а) Точки Р и Р2 лежат по разные стороны от первой асимптоты..
(черт. 17). Из двух охваченных двусторонником асимптот мы первой
называем ту, которую первой пересечет положительный клюв, вытяну-
вытянутый, как всегда, из конца первой стороны рассматриваемого двусторон-
двусторонника.

3]
Геометрия бинарных квадратичных форм
387
В случае а) двусторонник ОРХР% охватывает уже только одну асимп-
асимптоту. Таким образом после первого шага нашего алгорифма мы полу-
получаем случаи I или II.
Р) Точка Р2 не совпадает с точкой Р, однако лежит перед первой
асимптотой. Это имеет место тогда, когда на положительном клюве,
лежат точки системы Е2 между Р и первой асимптотой, но на том
отрезке клюва, который расположен между обеими
асимптотами, нет ни одной точки системы (черт. 18).
В этом случае точка Р2 лежит внутри парал-
параллелограма ОаРЬ. Если при следующем шаге на-
нашего алгорифма получается то же самое, то точка
Р3 лежит внутри параллелограма OcPxd. Если
следующий шаг алгорифма снова приводит к та-
такому же расположению, то точка РА лежит внутри
аналогичного параллелограма точки Р2, а значит и
подавно внутри параллелограма ОаРЬ, и т. д.
Но так как в параллелограмах ОаРЬ и OcPxd лежит лишь ограничен-
ограниченное число точек системы ?2, то в конце концов окажется, что одна
из последующих точек лежит между асимптотами, и мы приходим
к одному из рассмотренных случаев.
7) Точкой Р2 является сама точка Р, т. е. первая точка Q системы
/Г2 на положительном клклбе лежит уже по ту сторону второй асимптоты
(черт. 19).
Черт. 17.
Черт. 18.
Черт. 19.
В нашем алгорифме мы снова получаем 8 = 0, и первый шаг сво-
сводится просто к обмену местами сторон двусторонника, т. е. к переходу
от двусторонника ОРР1 к двустороннику ОР1Р2 = °ЛА ПРИ после-
последующем шаге клюв уже не будет равен нулю, т. е. ^фО, так как
первая точка Q на этом клюве, который вытягивается теперь из точки
Pv лежит еще перед первой асимптотой. Таким образом после второго
шага мы возвращаемся к одному из рассмотренных случаев.
Итак, посредством нашего алгорифма можно в конце концов перейти
ОТ совершенно произвольного подготовленного двусторонника к дву-
двустороннику, охватывающему только одну асимптоту. А затем, ничего
де изменяя в алгорифме и все время повторяя те же самые шаги, мы
пфгучим приведенный двустороыник и далее будем получать один за
другим ""соседние последующие за ним двусторонники цепочки.
37. Замечание. Все определения и теоремы, касгющиеся свойств
траллёлограматической системы точек относительно асимптот, инва-

388
Б. Н. Делоне
[§ 3
риантны относительно любого аффинного преобразования. Так, например,
относительный минимум остается относительным минимумом, и т. д.
38. Гиперболический поворот. Пусть р — произвольное положитель-
положительное число. Переход от точек (&, т]) к точкам Го?, ~гА является аффин-
аффинным преобразованием, преобразующим асимптоты в самих себя. Мы
будем называть это преобразование гиперболическим поворотом, & вели-
величину р — параметром этого поворота.
При таком повороте каждая точка сколь-
скользит вдоль гиперболы (с асимптотами OS,
От,), на которой она лежит.
39. Теорема XIV. Площадь коорди-
координатного параллелограма относительного
минимума меньше чем 4s, где s—пло-
s—площадь основного параллелограма рассмат-
рассматриваемой системы.
Доказательство. В самом деле,
если точка Р является относительным
минимумом, то параллелограм ОРАВ должен быть пустым (черт. 20).
Но это может быть только тогда, когда его площадь, равная площади
параллелограма ОВРС, меньше чем s.
40. Теорема XV. Если все относительные минимумы лежат
лишь на ограниченном числе гипербол, то при гиперболическом пово-
повороте система периодически совмеща-
совмещается сама с собою.
Доказательство. Действитель-
Действительно, конец первой стороны приведен-
приведенного двусторонника можно всегда со-
соответственным гиперболическим пово*
ротом перевести на раз навсегда за-
зафиксированную прямую тH, параллель-
? ную оси ч\ (черт. 21). Но эта прямая
имеет лишь ограниченное число точек
пересечения с возможными гиперболами.
Таким образом для конца этой стороны
оказывается заранее заданным лишь не-
некоторое ограниченное число возможных
положений. Но ввиду того, что s за-
задано и при гиперболическом повороте
не меняется, для каждого такого положения конца первой стороны
приведенного двусторонника конец его второй стороны должен лежать
на некоторой определенной прямой 8, параллельной первой стороне
двусторонника. Эта прямая имеет лишь ограниченное число точек пере-
пересечения с возможными, ограниченными в своем числе гиперболами, на
которых должен лежать конец второй стороны.
Таким образом в этом случае имеется лишь ограниченное множество
таких различных нормированных приведенных основных двусторонников.
Но так как в параллелограматической системе точек имеется бесконеч-
бесконечное множество приведенных основных двусторонников, то несохмненно
Черт. 21.

§3]
Геометрия бинарных квадратичных форм
389
имеется бесконечное множество таких приведенных двусторонников,
которые дают один и тот же нормированный двусторонник. Другими
словами, существует такой гиперболический поворот, в результате ко-
которого система совмещается сама с собой. При дальнейших поворотах
на тот же „угол" система периодически совмещается сама с собою.
41. Угол Пелля параллелограматической системы точек относительно
заданных асимптот. Наименьший из указанных „углов" мы будем назы-
называть углом Пелля. Точно так же как произвольная п. с. совмещается
сама с собою при обыкновенном повороте вокруг ее точки О на
каждые 180°, здесь система совмещается сама с собою после гипербо-
гиперболического поворота на угол Пелля.
Черт. 22.
Каждый угол между асимптотами делится на бесконечное множество
таких углов, причем это разделение можно начинать с произвольного
луча (черт. 22). При этом та часть системы, которая лежит в одном
из этих углов, с точностью до гиперболического поворота на соответ-
соответствующее кратное этого угла Пелля, совершенно тождественна части
системы, лежащей в каждом другом таком углу.
42. Замечание. Из двух последних теорем вытекает, что если па-
параллелограматическая система точек не совмещается периодически сама
с собою при гиперболическом повороте, то среди гипербол, площадь
координатного параллелограма которых меньше 4s, имеется по мень-
меньшей мере одна предельная гипербола, являющаяся местом сгущения
.таких гипербол, на которых лежат точки системы.
43. Теорема XVI. Обратно, если параллелограматическая, lu-
х:щема точек периодически совмещается сама с собою при гиперболи-
щсном повороте, то ее точки, расположенные под определенной гипер-
боло% &се лежат лишь на ограниченном числе гипербол, причем^на
жаждой гиперболе, на которой лежит хотя бы одна точка, находится
фщонечное множество точек системы.

390 Б. Н. Делоне [§ 4
Доказательство. Это вытекает из того, что часть плоскости,
лежащая под заданной гиперболой в одном из углов Пелля, имеет
конечный диаметр. Следовательно, в ней находится лишь конечное число,
точек системы, лежащих в силу этого лишь на ограниченном числе
гипербол. Но вследствие периодичности при гиперболическом повороте,
в других углах Пелля точки системы лежат на тех же гиперболах.
В дальнейшем мы увидим, что дейст штельно имеют лесто оба столь
различных между собою случая: существуют такие параллелограмати-
ческие системы точек, которые бесконечно воспроизводятся при гипер-
гиперболическом повороте относительно выбранных асимптот, и такие, для
которых это не имеет места.
44. Двусторонник, соответствующий заданному параметру п. с.
в гиперболическом случае. Каждый параметр ОМ п. с. можно принять
за первую сторону некоторого основного двусторонника. В п. 21 мы
определили, что мы называем двусторонником, соответствующим задан-
заданному парахметру ОМ п. с, или полуприведенным двусторонником,
для обыкновенного случая, когда угол Пелля равен 180°. Можно было
бы сказать там еще и так: двусторонник называется соответствующим
параметру ОМ тогда, когда 1) он является правым двусторонником,
2) ОМ—его первая сторона, 3) ортогональная проекция его второй
стороны на прямую первой стороны по абсолютной величине имеет
минимальное значение из возможных.
Мы будем называть два направления гиперболически ортогональными,
если они параллельны двум диаметрам, сопряженным относительно
выбранных асимптот. Тогда мы будем снова называть двусторонник со-
ответстзующим заданному параметру ОМ в гиперболическом случае,
когда 1) он является правым двусторонником, 2) ОМ—его первая сто-
сторона, 3) ортогональная в гиперболическом смысле проекция его второй
стороны на прямую первой стороны по абсолютной величине имеет
минимальное значение из возможных, т. е. это такой двусторонник,
у которого конец второй стороны выбран в том из двух ближайших
к ряду ОМ параллельных рядов точек, который дает правый двусторон-
двусторонник, и в этом ряду так, что его проекция на прямую ОМ параллельно
сопряженному ОМ направлению лежит на минимальном расстоянии от
точки О.
45. Не может существовать двух различных точек М, для которых
соответственные, им двусторонники были бы тождественны с точностью
до гиперболического поворота на угол, меньший угла Пелля, ибо
само собой понятно, что гиперболический угол двух таких двусторон-
ников является также углом повторения параллелограматической системы
точек (черт. 23).
§ 4. Теория положительных бинарных квадратичных форм.
Перейдем теперь к способам, дающим возможность ввести вычис-
вычисления в теорию п. с. точек.
46. Положительная бинарная квадратичная форма, соответствующая
заданному двустороннику. Некоторая определенная система Е2 может
быть задана длиной сторон ее основного двусторонника OPQ и вели-

§ 4]
Геометрия бинарных квадратичных форм
391
чиной образуемого ими угла. Однако более выгодным оказывается
другой способ. Задаются квадраты А и С сторон основного двусторон-
двусторонника и произведение зтих сторон на косинус угла ср между ними,
которое обозначается через В. Пользуясь известной формулой для
квадрата стороны косоугольного тре-
треугольника, получаем, что квадрат рас-
расстояния от точки О до точки системы
Е2Г имеющей относительно основного
двусторонника координаты х и у, равен
АхС1-\-2Вху-\-Су*.
Эта связь квадратичной формы с
двусторонником OPQ может быть
представлена еще иначе. Пусть $ и Черт. 23.
Tj — произвольно выбранные прямо-
прямоугольные координаты и пусть двусторонник OPQ лежит в их плоскости
так, что точка О совпадает с началом координат. Тогда, если точки
Р и Q имеют координаты (?19 т^) и (?2, ?i2), то> как известно, ?^2"Ь^'Пг =
= Р/> • OQ соз о (т. е. равно скалярному произведению векторов ОР
и OQ). Таким образом мы имеем
Отсюда между прочим следует, что форма Ах<2-\-2Вху-\-Су2, которую
мы кратко будем обозначать также через (Д В, С), положительна.
С векторной точки зрения форма (Д /?, С) представляет собою
не что иное, как скалярный квадрат линейного векторного выражения
рх -\~ qy, т. е. Ах2 -\~ 2Вху -\- Су2 = (рх -]- дуJ, где р и q суть векторы
ОР и OQ\ действительно
47. Нетрудно видеть, что если форму (А В, С) подвергнуть не-
которой подстановке у* \ j, т, е. заменить хну выражениями
ах-\-$у и ^лг-f-Sy, где а) $, f> ^ — некоторые действительные числа, то
получится форма (Д В, С), двусторонник которой OPQ имеет
концы своих сторон Р и Q в точках с координатами (a, f) и (Р> 8)
относительно двусторонника OPQ. Если а, J3, f, 8 — целые рациональ-
рациональные числа и сс8 — py = z*=l, то двусторонник OPQ снова является ос-
основным двусторонником п, с. Е2. В самом деле, точки Р и Q являются
тогда точками этой п. с. и площадь параллелограма OPQ равна пло-
площади параллелограма OPQ. В этом случае формы (Л, В, С) и (Л, Я, С)
называются эквивалентными, и притом собственно эквивалентными, если
а8 — р^ = 1, и несобственно эквивалентными, если ой — Ру == —1.

392 Б, Н. Делоне [§ 4
Собственно эквивалентные формы соответствуют основным двусторон-
никам, имеющим одинаковое направление вращения, а несобственно
эквивалентные — двусторонникам с противоположными направлениями
вращения.
Таким образом системы Е2 и классы собственно эквивалентных би-
бинарных положительных квадратичных форм поставлены друг другу в со-
соответствие в том смысле, что каждому такому классу соответствует
определенная система ?2, и каждой системе Е2 — вообще говоря, два
таких класса в зависимости от того, какое из двух направлений враще-
вращения считается положительным. Детерминант формы D = jB2— АС равен
— (^1^2 — ^iJ — — s2> где s — площадь основного параллелограма за-
заданной п. с. ?2.
48. Форма (Л, В, С) называется приведенной (по Гауссу), если ее
двусторонник является приведенным в смысле п. 16 § 2. Условия, указан-
указанные в теореме VIII, дают следующие условия приведения, выраженные
с помощью величин Ау В, С:
С>Л>2|?|.
49. Изложенный в п. 19 § 2 алгорифм приведения (по Гауссу)
переводится на язык выкладок так. Находят форму (Л', В\ А"), соседнюю
спрс&а заданной форме (Л, В, А'): (Л', В\ А") = (Л, В, А;) ( _°' *),
причем число 8 выбрано так, что Bf =—В-\-А'Ъ заключается между
2 и ~2 ' ^атем точно так же находят форму (A"f B'\ Am), соседнюю
справа форме (А', В\ А"), и так далее, пока наконец одна из этих
форм, например, форма (А{п\ В^п\ Л^г+1)), не удовлетворит условиям
приведения.
50. Если форма (А, В, С) является приведенной и В^О, то ее дву-
двусторонник дает нетупоугольный треугольник; если же ?<0, то такой
треугольник дает форма (Л, В, СI ' j = (С, —В, Л). Если форма
(Л, В, С) образует остроугольный треугольник, то подстановка, -поз-
-позволяющие перейти от этого двусторонние к нему самому и к другим
двусторонникам, соответствующим пяти остальным остроугольным тре-
треугольникам, окружающим точку О, следующие:
Ui> U i,1' \ 1. о> V о,-1 г Ui.-i/ Ui,o>
Им соответствуют формы
(Л, В, С), (С, —5 + С, Л — 2? + С), (А — 2В + С, А—-В, Л);
(Л, В, С), (С—В + С, A — 2B-f С), (Л —2Б+С, А —В, Л).
51. Табуляризация положительных бинарных квадратичных форм
с целыми коэфициентами. Все, что было до сих пор сказано о поло-
положительных формах (Л, В, С), относится к случаю совершенно произ-
произвольных действительных коэфициентов Л, В, С. Однако часто рас-
рассматриваются такие формы, у которых коэфициенты Л, В, С являются

§ 4] Геометрия бинарных квадратичных форм 393
обыкновенными целыми рациональными числами. Для форм с целыми
рациональными коэфициентами имеет место следующая основная тео-
теорема: число классов таких форм с одним и тем же детерминантом D
ограничено.
Для доказательства этой теоремы заметим, что из условий
приведения для приведенной формы вытекают неравенства А2^АС,
4?2 < Л2, откуда 4В* < АС, или 3?2 < AC — ?2 = \D \, т. е.
\В\ ^ у -~ . Итак, если детерминант положительной формы с це-
целыми коэфициентами равен Д то В может принимать лишь значе-
значения 0, zt 1, ± 2,. . ., zt X, где X — наибольшее целое число |/ Ц- у
содержащееся в у L- . Если теперь придать В одно из этих значений/
то AC = B2-{-\D\. Таким образом число ?2-{-|?>| нужно разлагать
всевозможными способами на два положительных сомножителя (в слу-
случае положительной формы Л и С всегда оба положительны), и каждый
раз тот из них, который по величине не превосходит другого, брать
за Л, а другой — за С. Если при этом еще окажется, что Л ^ 2 |2? j, то
образованная таким способом форма будет приведенной, а потому ее
следует выписать; в противном же случае ее опустим. Этим способом
мы необходимо получим все приведенные формы.
Пользуясь сказанным в п. 16 § 2 можно судить о том,, не имеется ли
среди них эквивалентных друг другу форм. Рассмотрения пп. 16 и 17
§ 2 показывают, что единственными случаями, когда две не тоэюде-
ственные приведенные формы собственно эквивалентны, являются
случаи 1)Х = ^ и 2) X<u = v (случай X = {x = v не представляет
никаких особенностей по отношению к формам, ибо он также дает
лишь две различные приведенные формы). В случае 1) одна из приве-
приведенных форм есть форма (Л, J5, Л), а другая — форма (Л, —В> Л), получае-
получаемая из первой подстановкой L* ~~~0); а в случае 2) это суть формы#
(Л, -к Л, С} и (А,—-к- Л, С\ причем.первая преобразуется во вторую
подстановкой (а'"~\)-
В § 67 приведены три примера нахождения всех неэквивалентных
приведенных форм для данного отрицательного детерминанта D = — Л.
52. Разрешение вопроса, являются ли две данные положительные
'бинарные квадратичные формы с целыми коэфициентами собственно
•*эквивалентными. Если детерминанты не равны, то формы не эквива-
эквивалентны. Если же они равны, то находят две приведенные формы, из кото-
которых первая собственно эквивалентна первой из данных форм, а вторая —
второй. Совершенно очевидно, что обе заданные формы собственно экви-
эквивалентны тогда и только тогда, когда эти приведенные формы будут
тождественны, или же когда имеет место один из двух только что ука-
указанных исключительных случаев. Пусть б1 и Т—подстановки, посред-
посредством которых обе формы преобразуются в тождественные приведенные

394 Б. Н. Делоне [§ 4
формы. Тогда первая форма переходит во вторую посредством под-
подстановки ЗГ".
53. Представление чисел посредством положительных бинарных квад-
квадратичных форм с целыми коэфициентами. Пусть т— данное положи-
положительное целое рациональное число, и Л, В, С — тоже целые рациональ-
рациональные числа. Требуется решить уравнение Ах2 -j- 2Вху -[- Су2 —т
в целых рациональных числах х, у. Каждое такое решение х9 у назы-
называется представлением числа т посредством формы (А, В, С). Разыска-
Разыскание всех этих представлений есть разыскание всех точек М п. с, со-
соответствующей форме, лежащих на окружности радиуса \/т с центром
в точке О.
Достаточно указать метод нахождения всех представлений, в кото-
которых х и у — взаимно простые числа. Действительно, если бы, напри-
например, их общий наибольший делитель был равен [х, то число т должно
было бы делиться на jx2, и разыскание всех таких представлений сво-
сводится к разысканию представлений числа — при помощи чисел х, у,
уже не имеющих общего делителя.
Для того чтобы найти все представления со взаимно простыми х
и у, нужно лишь выписать, следуя пп. 20 и 21 §2, все формы (т, jV, L)
с N2 — mL = D и т^>2 \N\ [таких форм будет всего столько, сколько
сравнение D==zN2 (mod т) имеет решений /V, для которых — ~ ^ N^ -^J,
так как всем двусторониикам с параметром ОМ (где 0М2 — т) должны
соответствовать такие формы. Таким образом для каждого двусторон-
ника, соответствующего каждой из выписанных форм, нужно еще решить,
находится ли он в п. с. данной формы. Иными словами, для каждой
из этих выписанных форм нужно решить, будет ли она собственно
эквивалентна заданной форме (ибо по определ^Сию соответственного
двусторонника мы всегда считаем его правым, т, е. имеющим то же
направление вращения что и заданная форма). Если
(А, В, C)g;'j) = (/«, N, L),
то xv уг является представлением числа т.
В силу сказанного в п. 20 § 2, полученные таким способом пред-
представления вместе с противоположными им представлениями —xv —ух
дают в общем случае все взаимно простые представления числа in.
Есди же угол Пелля равен 90°, то имеются еще представления
л им противоположные, а в случае, когда он равен 60°, — предста-
представления
1 ххВ+У1С 1 х,
1 , х,ВА-у,С 1
'2Л'~Г а '2
•оУ1 -

§ 5] Геометрия бинарных квадратичных форм 395
И им противоположные; а обозначает здесь общий наибольший дели-
делитель чисел Л, 2В и С. щ
Мы не приводим здесь вывода этих формул, легко получающегося
на основании сказанного в п. 21 § 2.
*§ 5. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм.
оИ54. Неопределенная бинарная квадратичная форма, соответствующая
заданному двусторонние. Форма (А, Ву С) с положительным де-
детерминантом D называется неопределенной. Всякую такую форму
можно интерпретировать следующим образом. Пусть О;, Оч\ —
произвольно выбранные асимптоты, и
Ах* -f 2Вху + Су* = (^аг -f Е*У) (T<i* + т*2>0
(если D = B2 — AC > 0, то 5Х, ?2, 'Ii' ^2 Действительны); тогда мы
будем ставить в соответствие этой форме двусторонний OPQ, концы
Сторон которого Р и Q имеют ко-
координаты (?j, 7|х), (?2, т|2) относительно
выбранных асимптот. Таким образом
заданному двустороннику будет
соответствовать одна единственная
неопределенная форма, а заданной
форме — континуум таких двусторон-
ников, зависящий от одного пара-
параметра. В самом деле, если р— Черт. 24.
произвольное действительное число,
то ([Лгх-{-[Л2у) (~^гх-\ ri^y) также будет разложением той же
формы и других разложений она иметь не будет.
Подобное умножение на р, при р положительном, есть гипербо-
гиперболический поворот. При таком повороте конец Р первой стороны дву-
сторонника OPQ формы скользит вдоль гиперболы ?т] = Л, конец Q
второй стороны — вдоль гиперболы ?т) = С, а квадрат площади по-
построенного на этом двусторонние параллелограма остается равным
(^Yjg — S2T|1J = 4(B2 — AC) = 4D. Если же^о отрицательно, то полу-
получаются двусюронники, противоположные эчшм.
Как уже сказано, А — %^, <2B = t1rl2-\~Z2riv C==S2yj2. Если мы на-
назовем теперь корень квадратный из параметра гиперболы, на которой
лежит точка, гиперболическим расстоянием этой точки от точки О,
то А и С будут квадратами гиперболических длин сторон ОР и OQ
двусторонние. Геометрическое же значение В следующее. В есть про-
произведение гиперболической длины первой стороны ОР на гиперболи-
гиперболическую длину ортогональной в гиперболическом смысле проекции OR
второй стороны на прямую первой стороны (черт. 24). При зтом снова,
как и в п. 44 § 3, прямая QR называется гиперболически ортогональ-
ортогональной к прямой ОР, если она параллельна направлению О/3*, сопряжен-
сопряженному с направлением ОР относительно асимптот О?, Оч\ (где, значит,
О/>':: — диаметр, сопряженный с ОР, или, иначе, LM = MN, причем
JLN—хорда, параллельная ОР). В самом деле, непосредственным под-

396 В. Н. Делоне [§ 5
счетом получаем для координат точки Ц значения k\x, ki\v где k —
^ Отсюда произведение гиперболических длин ОР и OR
равно l/^vjj у k^ktii = k\{rix = В,
В переводе на векториальный язык это означает, что неопределен-
* ная форма Ах2 + 2Вху + Су2 = (рх -j- ?уJ, где выражение (/?х +--<?уJ
является скалярным квадратом в особом смысле, когда под длиною
вектора понимают его гиперболическую длину, а под длиной ортогональ-
ортогональной проекции одного вектора на другой — гиперболическую длину ги-
гиперболически ортогональной проекции.
Точка с координатами х, у относительно двусторонника OPQ имеет ко-
координаты 1\Х-\-Ь<2У) f\ix~}~ri2y относительно асимптот О?, Ог\, т. е. лежит
на отнесенной к этим асимптотам гиперболе 1т\ = Ах2 -j- 2Bxy-f- Су2>
или на гиперболе, параметр которой равен значению формы для
¦п пары л:, у. Итак, это значение равно квадрату
гиперболического расстояния точки х, у от
точки О.
55. Если мы хотим получить форму, соот-
соответствующую двустороннику, концы сторон
которого имеют координаты a, f и J3, 8
относительно двусторонника OPQ данной не-
Черт. 25. определенной формы (Л, В, С), то точно
так же, как и для положительных форм, мы
должны преобразовать эту форму посредством подстановки [' П .
Если а, р, -(, 8 — целые числа, и а8 — [fy —— *» т0 вторая форма
и здесь называется эквивалентной первой—собственно, если а8 — $ч — 1,
и несобственно, если а8 — $4 = —1. Различным основным двусторон-
никам одной и той же системы Е2, которые отнесены к одним и тем
же асимптотам, соответствуют эквивалентные формы, т. е. самой системе
Е2 с зафиксированными в ней асимптотами, а также правым направле-
направлением в ее плоскости, соответствует класс форм, если под классом
понимать совокупность собственно эквивалентных друг другу форм.
56. Приведение неопределенной бинарной квадратичной формы. Мы
будем называть такую фрму приведенной, если ее двусторонник
будет приведенным по отношению к одной из асимптот в смысле
п. 29 § 3, т. е., по теореме XIII § 3, если он охватывает одну эту
асимптоту и конец его второй стороны лежит дальше вдоль нее, но
ближе к ней, чем конец первой стороны. Для того чтобы получить
условия приведения и способы вычисления для рассматриваемого
случая, "удобно рассмотреть геометрическое значение корней уравнения
A-\~2Bt-\-Ct2 = Q, которые мы будем называть корнями формы
(А В, С),
Если длина клюва равна /, то координаты его конца относительно
двусторонника суть A, t). Параметр гиперболы, на которой лежит эта
точка, равен А -\-2Bt--\-Ct2. Таким образом корни tv t2 формы являются
числами, показывающими, сколько раз нужно отложить по клюву
второй вектор 0Q формы, начиная от конца ее первой стороны Р, для
того, чтобы достигнуть асимптот (черт. 25). Мы видим отсюда неио-

I" 5] Геометрия бинарных квадратичных форм 397
средственно, что двусторонник формы не охватывает ни одной, либо
охватывает одну или же две асимптоты, смотря по тому, не имеет ли
форма ни одного, либо имеет один, или же два положительных корня.
Двусторонник охватывает одну и только одну асимптоту, если корни —
противоположного знака, т. е. если АС < 0. Легко видеть, что форма
будет приведенной тогда и только тогда, когда, кроме того, положи-
положительный корень /j >1, а отрицательный корень /2 по абсолютной вели-
величине меньше единицы, |/2|<1« Условия приведения, следовательно,
таковы:
0< В-\-\/15<С< — В-^-^Ъ при С>0,
0<— B-\-]/d< \C\<B-\-V~D при С<0.
С не может быть равно нулю, ибо тогда точка Q должна была бы
лежать на асимптоте, между тем как асимптоты предполагаются ирра-
иррациональными.
57. Для того чтобы от произвольной неопределенной формы перейти
к эквивалентной ей (собственно или несобственно) форме, и затем вы-
выполнить вычисление цепочки следующих за ней приведенных форм,
нужно только перевести на язык выкладок алгорифм пп. 32 и 33 § 3.
Если форма не охватывает ни одной асимптоты, т. е. оба ее корня
отрицательны, т. е. АС > 0 и ВС > 0, то по п. 32 § 3 нужно посред-
посредством подстановки ( ' 1 ) перейти к форме (Л, —В, Q, охватывающей
уже две асимптоты. Это — подготовительное преобразование. Дальнейшие
преобразования алгорифма п. 33 § 3 состоят, как легко видеть, в пре-
преобразованиях формы посредством подстановок вида L'j, где 8— наи-
наибольшее целое положительное число, все еще меньшее, чем больший
положительный корень формы. Итак, если С > 0, то 8 = ——'—-— »
__ * L ь J
а при С<0, 8= —y~— , где [ ], как всегда, обозначают наи-
наибольшее целое число, содержащееся в выражении, заключенном в скобки.
Эти выкладки проще всего провести следующим образом. Если
(Л, J3, Аг) — подготовленная форма, и (А\ В', А") — преобразованная
форма, то Вг = В-\~А/о1 где 8 имеет указанную величину. Таким об-
образом В' удовлетворяет неравенствам |/?) — Аг <?'<; |/Д еслиЛ'>0,
и — j/Z)<?'< — \/Ъ — Л'приЛ'<0; или, полагая Х = [|/о], полу-
получаем для Вг неравенства
Ь-И—Л'<В'<Х, если Л'Х
'<0./
— Х<?'< — X— 1 — Л', если Л
Нужно, следовательно, искать В/ — В -)- Л'8, удовлетворяющее соответ-
соответствующему из этих неравенств (*). Оно определяется уже при одном
только взгляде на форму. Такое В', очевидно, всегда одно и только
одно. Так же получается и о. Для получения А" заметим, что В'2 — А'А"—
-=jB2 — АА'\ подставляя сюда Вг = В -\- АГЪ, находим
Л1' = Л+ (? + ?')§¦ (**)

398 ; Б. Н, Делоне [§ 5
Пример. Пусть (А, В, А/) = '?о = C, 1, —4). Здесь АС < 0, т. е.
форма ?оуже подготовлена. Имеем D = B2 — АС =13, Х==[|/Тз] = 3.
Так как Л' = —4<0, то нужно пользоваться вторым из неравенств (*}.
Получаем — 3 <?' < — 4 + 4 = 0, и ?' = 1 —43, откуда 8=1,
Я' = — 3; значит, в силу формулы (**), А" = 3 + A — 3) 3= 1. Итак,
преобразованной формой (А/', В\ А") является форма срх = (—4, —3, 1).
Для получения следующей преобразованной формы (Л", В", А!гг) = <р2
пользуемся первым из неравенств (*), так как Л"=1 > 0. Получаем
4 —1<?"<3 и В" = — 3 + 1-3, откуда 8=6, В" = 3. Следова-
Следовательно, на основании формулы (**), А'" = — 4+ (—3 + 3N= —4, и
таким образом <р2 = A, з, —4). Дальнейшие выкладки дают формы
?8=(— 4> —1K), <?, = C,2,-3), 9б = (—3,—1, 4),<рв=D, 8, —1),
?7 = (—1>—3,4),?8 = D, 1,— 3),<?9=(—3, — 2, 3) и ?10=C, 1,-4),
т. е. снова <р0.
58. Табуляризация неопределенных бинарных квадратичных форм
с целыми коэфициентами. До сих пор относительно коэфициентов не-
неопределенной формы не было сделано никаких
специальных предположений. Пусть теперь
Л, В, С — целые рациональные числа, т. е.
рассматриваются * неопределенные формы с
целыми рациональными коэфициентами. Ока-
Оказывается, что и для них верна основная тео-
теорема: число различных классов форм а одним
и тем же детерминантом D конечно.
Черт. 26. Это немедленно вытекает из того факта^
что в каждом классе имеются приведенные
формы. В самом деле, если одна из приведенных форм несобственна
эквивалентна данной форме, то последующая ей форма будет уже
собственно эквивалентна данной, так как две последующие одна за
другой формы имеют противоположное направление вращения. Если
же форма является приведенной, то ее коэфициенты Aw С имеют противо-
противоположные знаки, т. е. ЛС<0. Но D — B2 — ЛС>0, т. e. Z?2 < рг
и, следовательно, для коэфициента В приведенной формы с данным
детерминантом D имеется ограниченное число возможных значений;
а для каждого такого В имеется лишь ограниченное число значений
А и С, так как |Л|«|С| должно быть равно D — В2.
Если (Л, В9 С) есть приведенная форма класса и OPQ — ее дву-
двусторонник, то двусторонник OQ'P также является приведенным и имеет
то же направление вращения, что и двусторонник OPQ (черт. 26).
Значит, соответствующая ему форма (С, —В, А) снова бдает приведен-
приведенной формой того же класса. Таким образом в каждом классе имеются
такие приведенные формы, для которых В > 0. В не может быть равно
нулю, так как тогда мы получаем из неравенств приведения \/D = C,
и асимптоты не были бы иррациональны. Из неравенств приведения мы
видим, что если для приведенной формы В > 0, то А > 0 и С < 0.
Таким образом для такой приведенной формы мы имеем
С\

§ 5]
Геометрия бинарных квадратичных форм
399^
-в+Ур
Следовательно, для такой приведенной формы с В > О
— в<а<
Итак, для того чтобы получить все приведенные формы с целыми
козфициентами с положительным детерминантом Д и В>0, нужно для
каждого значения В из ряда 1, 2, 3, . . ., X, где А = [}/?)], разлагать
число D — В2 всевозможными способами на два положительных сомно-
сомножителя, лежащих между X — /?~f-l и \-\-B включительно. Затем одни
из этих сомножителей нужно взять за А, а другой, взятый с отрицатель-
отрицательным знаком, положить равным С.
Пример.
x = [|/i3] = ;
В= 1,
D — i
A-\C\ —
A • 12),
B • 6),
J3 4|,
|4 • 3|,
F • 2),
A2-1),
2,
9,
A • 9),
|зтз|,
(9 • 1),
3,
4,
1 -4
2-2
4-1;
Заключенные в скобки разложения не удовлетворяют неравенствам7
для А и \С\. Таким образом всего мы получаем для D= 13 шесть при-
приведенных форм с коэфициентом В > 0:
C, 1, —4), D, -1, 3), C, 2, —3), A, 3,-4), B, 3, ~2), D, 3, —1)..
Однако отсюда здесь нельзя вывести заключение, что имеется
шесть классов форм с целыми коэфициентами с детерминантом Z)=13,
так как в случае неопределенной формы некоторые из приведенных,
форм с В >> 0 могут быть эквивалентны друг другу.
59. Периодичность цепочки приведенных форм в случае формы
с целыми коэфициентами. Эта периодичность непосредственно вытекает
из теорем XIV и XV (пп. 39 и 40 § 3), так как форма с целыми коэфи-
коэфициентами при целых лг, у представляет лишь целые числа. Значит, пара-
параметры всех гипербол, на которых лежат точки системы Е^ соответствую-
соответствующей этой форме, суть целые числа. Таким образом по теогеме XIV все
относительные минимумы лежат лишь на ограниченном числе гипербол..

400 Б. Н. Делоне [§ 5
Это же самое следует также и из только что доказанного факта,
что вообще имеется лишь ограниченное число приведенных форм с це-
целыми коэфициентами с одним и тем же детерминантом Z).
Если период состоит из k членов, и ОРРХ — приведенный двусторон-
двусторонник, то с помощью подстановки (У ™\ преобразующей двусторонник
ОРРг в двусторонник ОРкРк+1, форма (Л, В, С), соответствующая дву-
стороннику OPPV переходит сама в себя. Все остальные подстановки, с по-
помощью которых эта форма переходит сама в себя,—это, очевидно, ПОДСТа-
.-а- /Ч, Pi \S
новки it: «г ) с целым положительными отрицательным показателем s.
vfi» °i/
Эти подстановки называются автоморфизмами формы.
60. Разрешение вопроса, являются ли две неопределенные бинарные
квадратичные формы с целыми коэфициентами собственно эквивалент-
эквивалентНЫМИ. Если детерминанты рассматриваемых форм различны, то формы эти
не эквивалентны. Если же детерминанты равны, то при помощи алго-
алгорифма приведения находим приведенную форму, собственно эквивалентную
первой из данных форм. Следует заметить, что все подстановки этого
алгорифма, включая и подготовленную, если она нужна, — несобствен-
несобственные подстановки. Поэтому, если мы пришли к приведенной форме по-
посредством нечетного числа подстановок, то надо вычислить еще после-
последующую ей приведенную форму, чтобы получить уже приведенную
форму, собственно эквивалентную данной.
Затем приводим вторую форму и вычисляем для нее весь период
приведенных форм. Если приведенная форма (Л, В, С), собственно
эквивалентная первой форме, или приведенная форма (С, —Д Л),
собственно эквивалентная этой форме (Л, В, С), находится в указан-
указанном периоде и притом оказывается такой формой, которая получилась
из второй формы четным числом подстановок, то обе данныЕ формы
собственно эквивалентны; в противном же случае они не собственно
эквивалентны.
В самом деле, всякая форма обладает собственно эквивалентными
ей приведенными формами, и все приведенные формы, собственно экви-
эквивалентные некоторой форме, находятся или в цепочке ее приведенных
форм, или в цепочке вдоль другой асимптоты. Но формы второй
цепочки получаются, если переменить местами крайние коэфициенты
формы и изменить знак среднего коэфициёнта.
61. Представление чисел посредством неопределенной бинарной квад-
квадратичной формы с целыми коэфициентами. Пусть т— данное целое
рациональное число, и Л, В, С—также целые рациональные числа.
Требуется найти все представления числа т посредством формы
(Л, В, С). Разыскание всех таких представлений является не чем
иным, как разысканием всех точек М параллелограматической системы
точек, соответствующей форме (Л, В, С), лежащих на гиперболе Ьг\ = т.
Как и в случае положительной формы, достаточно снова указать метод
для нахождения ьсех представлений со взаимно простыми значениями х, у.
В силу пп. 44 и 45 § 3, мы во всяком случае найдем все взаимно
простые представления лг, у, точки М которых лежат на одной ветви
гиперболы ?y) = w, если мы найдем все различные двусторонники,

§ 5] Геометрия бинарных квадратичных форм 401
соответствующие параметру ОМ, а затем повернем каждый из них на
все углы, кратные углу Пелля данной формы. Кроме этих представле-
представлений х, у имеются еще только взаимно простые представления — х9—у,
соответствующие точкам, симметричным точкам М относительно точки О
и лежащим уже на другой ветви гиперболы Ь\ = т.
Средний коэфициент N формы (т, IV, L), соответствующей одному
из двусторонников, поставленных в соответствие параметру ОМ, удо-
удовлетворяет, в силу своего геометрического значения и свойства соот-
соответственного двусторонние, неравенству ^-<iN<i-^- (вообще
имеется ограниченное число таких форм с целыми коэфициентамп
с детерминантом D, а именно столько, сколько сравнение D=z — N'2
(mod т) имеет корней Л/, удовлетворяющих условию — ~ < jV< ~ ).
Итак, для того чтобы найти все представления числа т со взаимно
простыми значениями х, уу нужно выписать все такие формы (т, IV, L)>
а затем для каждой из них исследовать, не будет ли она собственно
эквивалентна данной форме (А, В, С). Те из них, для которых это
окажется справедливым, дадут такое же число основных решений
уравнения (А, В, С) = т, так как если (Л, В, с) (у $) = (>и, W, ?)»
то хх, yx есть решение, и притом именно то, которое соответствует
концу первой стороны формы (т, IV, L). Для того чтобы иметь все
решения, нужно для кажддго такого решения найти во всех остальных
углах Пелля „гомологичные" ему решения х8, у8. Для этой цели нужно
преобразовать решение xv yx всеми автоморфизмами формы (А, В, С),
S
т. е. всеми степенями ( * j основного автоморфизма.
^ /сц.ВЛ8 fa,, 6Д
Если 1 • ;М = s rJ), то все эти представления, преобразованные
\Yi» °i/ \Tsi °s/
из некоторого основного представления xv у1У имеют вид xs = agxl-\-
~~Ь~ Ps-Vi» Уа== L-^i ~Ь ^вУг Кроме этих представлений, гомологичных пред-
представлению xv y^ в отношении периодичности гиперболического пово-
поворота, с представлением хх, ух связаны еще представления —х8, —у89
симметричные с ними относительно точки О.
62. Связь с уравнением Пелля. Все автоморфные подстановки
* J, а также все представления xs, ys, гомологичные представле-
представлению xv yv можно вычислять гораздо удобнее, если прибегнуть к пара-
параметру р угла Пелля данной формы.
Рассмотрим на асимптоте произвольную отличную от О точку Q,
и пусть ее координаты относительно двусторонника ОРР^ равны х, у.
Тогда относительно двусторонника ОРкРк,х (мы здесь снова предпо-
предполагаем, что период состоит из k членов) она имеет координаты х/ =
= — ,у'==-, где р — параметр угла Пелля. Отсюда получаем
S' ИЛИ ?i*2-KSi — «i)*y — РьУ2 = 0- Но так как точка Q
7v? + ff
лежит на асимптоте, то, кроме того, имеем еще соотношение Ах2-\-2Вху-|~
-j-Cy2 = 0. Таким образом А : 2В : С= *[\: 3i — ai:— ?r

402 Б. Н. Делоне [§ 5
Отсюда между прочим получается теорема, обратная теореме о перио-
периодичности п. с. формы с целыми коэфициентами.
Теорема XVII. Если цепочка приведенных форм периодична, то коэ-
фициенты А, В, С формы пропорциональны целым рациональным числам.
Иначе говоря, если параллелограматическая система точек периоди-
периодически повторяется при гиперболическом повороте относительно выбранных
асимптот, то ее форма пропорциональна форме с целыми коэфициентами.
Пусть з— общий наибольший делитель чисел Л, 2В, С. Тогда
А . 2В о С
*Yi = — «1» <>! — ai = — uv —п = т llv г#е Mi — целое рациональное
число. Если положить a1-j-S1 = —i, то получим аг= J "^ и\ ^ =
— Си* Аи, ^ t,-\-Bu1 ?, ~ л Л ,
— 1, «Yj —- —i y si = J-J .j. Или, так как а^ — p^i = 1 (именно
-J-1, ибо оба двусторонние ОРР1 и OPkPkJLl одинаково ориенти-
ориентированы), то имеем t]—Du] — ^, т. е. получается уравнение Пелля. Если
tfi» Ъ)> fe Чз) —координаты точек Р и Яр а ((, 7]J, ((, tj)—
координаты точек Pfe и Pft + 1, то ^ = a1Sl +TiV'^2 = Pi^i + ^i^'
того, имеем еще $i = jo$1, ?g==p52; таким образом получаем
откуда .
Pa-K + 81)p + (a181
Если^лодставить сюда только что полученные для ap $v *(v o1 выра-
о 2/, , t\ — Du\ л
жения, то уравнение примет вид р2 — —— f> —| 1—^—1- =0, или р =
Переходу от двусторонника ОРРХ к двустороннику OPskP8k + 1 со-
соответствует параметр о\ который связан с величинами а„ pe, -fsl 8d
точно так же, как параметр р с величинами av $v fv bv Отсюда, во-
первых, получаем, что в соотношении
t1+YDu1 \*= t8+YDu,
а У а
— целые числа, а во-вторых, что
Итак, все решения, гомологичные решению xv yv получаются в сле-
следующем виде:
63. Случай формы с целыми коэфициентами, детерминант которой
есть точный квадрат. Этот случай совершенно не укладывается в изло-
изложенную выше теорию, так как асимптоты рациональны. Можно показать,

§ 5] Геометрия бинарных квадратичных форм 403
что все различные классы таких форм, для которых D = d2, имеют
своими представителями формы
(О, d, —d+1), @, d, —d + 2), ..., (О, d, 0),..., (О, d, d—1),
@, d, d).
Так как
то представление числа /я посредством такой формы сводится просто
к разрешению определенной системы уравнений
в целых числах х, у для всех разложений числа тС на целые сомно-
сомножители ///1/и2.

Стр.
106
Строка
12 св.
Voj /
Опечатка
Напечатано
U у
Должно
1 (
быть
@-1)
Виновник
Редакц.
Стр.
119
Стр.
169
Строка
2 св.
Строка
3 св.
Напечатано
а'хг2 = 2Ь'^'у'-\-су*
Напечатано
Должно быть
а'х"- -f 2b'x'У + с'/2
Должно быть
Виновник
Редакц,
Виновник
Редакц.
Стр.
222
Строка
7 св.
Напечатано
J in(r+ и YW
)
)
Должно
Л,1п(Г +
1пG +
быть
u'vm
Виновни
Редакц.
Стр.
228
Строка
8 св.
Напечатано
V fm\
ZA \P)m
Должно быть
1к\р)Ъ~
Виновник
Тип.

Стр.
235
Строка
4 св.
Напечатано
Должно быть
S(v)-- =
Виновник
Тип.
Стр.
260
Строка
13 сн.
Напечатано
[ +1)(<Н-1)-2
Должно быть
[(P+l)W+l)-2]
Виновник
Тип.
Стр.
266
Строка
13 св.
Напечатано
1
у —
Л'1+р
Должно быть
у л>
Виновник
Редакц.
Стр.
346
Строка
6 св.
Напечатано
§ — Ь')Ь=$'Ьг —
D''
(Р
Должно
— b')b^
быть
D'
Виновник
Редакц,
Стр.
10
28
42
68
122
184
348
359
Строка
3 св.
1 сн.
8 „
8 св.
14 сн.
1
19 „
15 „
Напечатано
положительное и
Commantationes
представлена:
чисел
TV
число
из G' родом
Наибольшее
Должно быть
положительное
Cornmentationes
предстаЕлена
числа
TV
числн-
из G, G' родом
Наиболее
Виновник
Тип.
Редакц.
„
*
я
*