Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна Т.1 - Бляшке В.

Автор: Бляшке В.

Теги: математика дифференциальное исчисление дифференциальные уравнения теория относительности дифференциальная геометрия учебное пособие

Год: 1935

Похожие

Основы дифференциальной геометрии. Том 1

Основы дифференциальной геометрии. Том 2

Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения Т.1

Текст

В. БЛЯШКЕ
профессор математики Гамбургского университета
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ЭЙНШТЕЙНА
1
ЭЛЕМЕНТАРНА*
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПЕРЕВОД С ТРЕТЬЕГО НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
М. Я. ВЫГОДСКОГО.
Допущено Наркомпросом РСФСР
в качестве учебного пособия для университетов
ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО.НКТП СССР
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ
Москва 19 35 -Ленинград

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Курс диференциальной геометрии проф. Бляшке, одного из крупней-
крупнейших геометров нашего времени, непохож на учебник обычного типа.
Он построен систематически, начиная с самых элементарных вопросов
диференциальной геометрии, и вместе с тем он вводит читателя в круг
современных проблем и побуждает его к самостоятельной научной ра-
работе. Ему чужда та сухость, которая характерна для учебников, изла-
излагающих ставший традиционным материал. Он носит отпечаток творче-
творческой индивидуальности автора и его личных научных интересов.
Все эти в высшей степени ценные качества книги имеют, однако, и
оборотную сторону, о которой нужно сказать как для предупреждения
начинающего читателя, так и для выяснения установок переводчика
в его работе.- Книга проф. Бляшке, в значительной степени в силу выше-
отмеченных ее свойств, ~ написана очень неровно. Более элементарные
части написаны достаточно подробно, менее элементарные - вопросы из-
изложены более сжато, порой даже в стиле реферата. Местами автор
сознательно жертвует строгостью в интересах красочности, местами же
стремится к полноте и безупречности доказательства. Поэтому чтение
этой книги целиком несомненно затруднит мало подвинутого читателя.
Однако и этот последний безусловно сможет использовать эту книгу
в качестве дополнения к вузовскому курсу диференциальной геометрии,-
тем более, что обстоятельные литературные указания, даваемые автором,
всегда позволяют обратиться к другим сводным работам, к журнальным
статьям и изданиям классиков. Чрезвычайно ценно в книге Бляшке и
то, что автор попутно дает много исторических справок, которые, не-
несмотря на краткость, отличаются как правило своей четкостью.
Указаннные выше особенности, естественно, усугубляют.трудности,
с которыми сопряжен всякий перевод. Особенное внимание я старался
обращать на то, чтобы сохранить тот тон, если так можно выразиться,
интимности, которым проникнута работа проф. Бляшке. Именно поэтому
я должен был отказаться от тенденции буквального следования ориги-
оригиналу! Я позволял себе всякие перефразировки, которые, по моему мнению,
могли бы содействовать приданию русскому тексту той живости, которая
характерна для немецкого яодлинника. Это отнюдь не значит, что я хо-
хотел дать ходу мыслей автора какой-нибудь иной оборот, чем они имеют
в его устах. Напротив, я всегда старался воспроизвести весь ход рас-
рассуждений в точности, независимо от того, казалось ли мне удачным
изложение того или иного места или нет. Всюду, где мне казалось
уместным дополнить изложение в целях облегчения его понимания, я де-
делал это в сносках, оговаривая, что примечание принадлежит перевод-
переводчику. Эти пояснения я делал лишь в более элементарных частях, так

Б ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
как снабжать подробными разъяснениями те места, где автор сознательно
переходит в тон реферата, было бы и непосильным для меня и ненуж-
ненужным делом.
В заключение замечу, что немало затрудняло работу переводчика
то #бстоятельство, что русская диференциально-геометрическая термино-
терминология весьма мало развита и не является вполне установившейся. Это
вполне естественно, так как до последнего времени на русском языке
почти не было книг, специально посвященных теории поверхностей.
Некоторые термины, встречающиеся у проф. Бляшке, насколько мне
известно, впервые попадают на страницы русской книги. При таком
положении дела я вынужден был в ряде случаев проявить свою ини-
инициативу. Я не могу поручиться за то, что здесь нет дефектов. За ука-
указание этих дефектов, а также и других недостатков моего перевода
я буду очень признателен.
Август 1934 г. М. Выгодский

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
К ТРЕТЬЕМУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
Этот курс состоит пока из трех частей. Первая представляет собой
введение в элементарную диференциальную геометрию, т. е. в диферен-
циальную геометрию инвариантов движения; вторая дает изложение но-
новых исследований по аффинной диференциальной геометрии; третья
посвящена конформной геометрии сферы и родственным геометрическим
вопросам.
Диференциальная геометрия исследует свойства кривых линий и по-
поверхностей в их бесконечно малых частях. Основную роль в ней играет
понятие кривизны в его различных вариантах, так что ее называют
также теорией кривизны. В противоположность этому в алгебраической
геометрии геометрические образы рассматриваются прежде всего в их
целостности. Однако и диференциальная геометрия вовсе не чуждается
изучения геометрических фигур в целом, и вопросы .диференциальной
геометрии в целом", в которых объединяются микроскопические и ма-
макроскопические свойства фигур, принадлежат к числу интереснейших,
хотя и труднейших задач нашей науки.
Теория кривизны, если ее освободить от ограничения числа изме-
измерений тремя и от мероопределения Евклида, перестает быть узкой огра-
ограниченной специальной областью математики; более того, она включает
в себя значительную часть теоретической физики. Лишь избранные ее
вопросы предлагаются вниманию читателя в этой книге, воаникшей из
лекций, которые автор читал в Тюбингене и Гамбурге. Что касается са-
самого выбора, то ои обусловлен не только ходом развития диференци-
диференциальной геометрии, но и личными вкусами автора. Руководящей нитью
служила ему эрлангенская" программа ф. Клейна. Особое внимание было
далее уделено связи с вариационным исчислением.
Новое третье издание по сравнению с прежними содержит некото-
некоторые изменения и поправки, большинство которых имеет целью облегчить
чтение книги. Так например, введена новая глава о „полосах", служа-
служащая переходом от теории кривых к теории поверхностей. Параллельно
с прежним изложением теории поверхностей я показал теперь также,
как можно с помощью так называемого инвариантного диференцирова-
ния придать формулам теории поверхностей более наглядный вид. Одну
ошибку, допущенную мной во втором издании, я смог, исправить бла-
благодаря указанию г. Хьельмслева (Hjelmslev). Таким образом остается по-
ярежнему открытым вопрос, существуют ли поверхности, разделяющие
¦со сферой то ее свойство, что для каждой ее точки существует другая,
диаметрально противоположная, т. е. такая, в которой вновь сходятся
see геодезические лшнш, исходящие из первой точки.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Обработку издания принял на себя мой друг и коллега Г. Томсен.
Ему, в частности, принадлежит глава об инвариантных производных и
их применении к решению проблемы Бонне. Кроме того он сделал ряд
дополнений, относящихся к операциям с векторами.
Корректуру любезно приняли на себя Л. Бервальд (Прага), которому
я выражаю особую признательность за его самоотверженный труд, Гаак
(Данциг), Келер (Гамбург) и Шатц (Иннсбрук).
; В. Бляшке
Гамбург, ноябрь 1929 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие переводчика 5-
Предисловие автора к третьему немецкому изданию 7
ВВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРЫ
§ 1. Скалярное произведение . . • 1*
§ 2. Детерминанты и векторные-произведения 16
§ 3. Полная система инвариантов любого числа точек 1&
§ 4. Полная система независимых инвариантов . . . • 21
ГЛАВА ПЕРВАЯ
" ТЕОРИЯ КРИВЫХ
§ 5. Длина дуги • • • 24
§ 6. Касательная; соприкасающаяся плоскость 26
§ 7. Кривизна и кручение. Круг кривизны • • ., 29
§ 8. Определение инвариантов кривой ....•..• 31
§ 9. Формулы Френе .• " ; . . . . 36
§ 10. О знаке кручения 39
§ 11. Кинематическое истолкование формул Фреие 40
12. Плоские кривые. Теорема о четырех вершинах овала ' 42
13. Центр кривизны и соприкасающийся круг ^44
14. Соприкасающаяся сфера 45
16. Кривые Бертрана . . . . • '. . 46
. 16. Натуральные уравнения 48
17. Лемма из теории линейных диференциальных уравнений .... 50
18. Линии откоса ..-....• 51
19. Ливии откоса на сфере • . . . 52
20. Линии откоса на параболоиде вращения 53.
21. Эволюты; эвольвенты 54
22. Изотропные кривые ' 55
23. Бесквадратурное представление изотропных кривых ....... 57
24. Задачи и теоремы 58
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ л
§ 25. Первая вариация длины дуги 61
§ 26. Вариационная задача Радона . . • 62
§ 27. Нахождение экстремалей нашей вариационной задачи 64
§ 28. Изопериметрия круга 67
§ 29. Доказательство Кроне и Фробениуса 68
§ 30. Доказательство Гурвица 70
§ 31. Свойства кривых постоянной кривизны 73
§ 32. Замечания и задачи. . 76
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
§ 33. Сопутствующий триедр полосы 7S
§ 34. Геометрический смысл инвариантов поверхностной полосы. ... 80
§ 35. Асимптотические полосы, полосы кривизны и геодезические по-
полосы ; . 83
$ 36. Вращение полосы вокруг своей кривой . \ . 81

10 - ОГЛАВЛЕНИЕ
¦ , , Стр.
•§ 37. Изгибание полосы 88
§ 38. Параллелизм Леви-Чивита 90
§ 39. Доказательство одной теоремы Шварца, предложенное Радоном . . 92
§ 40. Задачи и теоремы • • • ' 94
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 41. Первая основная форма 96
~*2. Вторая основная форма .99
43. Теоремы Менье и Эйлера 100
44. Главные кривизны • 102
45. Гауссова Theorema egregium 104
46. Линии кривизны 105
47. Точки округления 109
¦§ 48. Теорема Дюпена .» ПО
§ 49. Конформное отображение в пространстве 112
§ 50. Гауссово сферическое отображение 115
-§ 51. Система нормалей 117
§ 52. Асимптотические линии 118
^ 53. Асимптотические линии на линейчатых поверхностях 120
§ 54. Сопряженные сети • . . 122
§ 55. Деривационные формулы Вейнгартена 124 -
§ 56. Теорема Бельтрами-Эннепера о кручении асимптотических линий. 126
§ 57. Деривационные формулы Гаусса 127
§ 58. Основные формулы Гаусса и Кодацци 128
§ 59. Монж 130
§ 60. Задачи и теоремы •. • . . 132
ГЛАВА ПЯТАЯ
ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 61. Инвариантные производные вдоль линий кривизны • . 136
§ 62. Переход от произвольных параметров к инвариантным производным 141
§ 63. Основные формулы теории поверхностей в инвариантной форме . 148
§ 64. Резные поверхности и поверхности каналов 153
§ 65. Инвариантное диференцирование по произвольному направлению. 157
§ 66. Задачи и теоремы . . . ¦ 159
ГЛАВА ШЕСТАЯ '
ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 67. Изгибание 161
¦§ 68. Геодезическая кривизна 162
§ 69. Геодезические линии • • 164
§ 70. Геодезические полярные координаты 166
¦§ 71. Геометрическая интерпретация гауссовой кривизны, обнаруживаю-
обнаруживающая инвариантность ее относительно изгибания .* 168
§ 72. Два различные определения геодезических кругов 169
¦§ 73. Поверхности постоянной гауссовой кривизны 170
§ 74. Отображение поверхности постоянной отрицательной кривимы
на полуплоскость Пуанкаре , 171
§ 75. Изометрическое отображение поверхности с К= — 1 самой
иа себя • 173
§ 76. Интеграл геодезической кривизны ; . . . 177
§ 77. Следствия из формулы Гаусса-Бонне • 179
§ 78. Кривые, огибающие геодезические линии ... • 183
§ 79. Первый диференциальный параметр Бельтрами • . 185
¦§ 80. Геометрическое применение первого диференциального параметра
Бельтрами 186
§ 81. Второй диференциальный параметр Бельтрами . 190
§ 82. Обобщенные формулы Грина 191
•§ 83. Новая формула для геодезической кривизны ..•...•••• 192
§ 84. Поверхности, у которых круги Дарбу замкнуты 194

Оглавление 11
Стр.
§ 85. Изотермические параметры . . . 195
| 86. Конформное отображение 198
§ 87. Изометрическое отображение, сохраняющее линии кривизны (пер-
(первый случай) 199
§ 88. Изометрическое отображение, сохраняющее линии кривизны (второй
и третий случаи) 203
§ 89. Вклад Гаусса в теорию поверхностей 209
§ 90. Задачи и теоремы 210
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТИ В ЦЕЛОМ
¦§ 91. Неизгибаемость сферы . . . 213
§ 92. Сфера как единственная овальная поверхность постоянной средней
кривизны 216
§ 93. Жесткость овальных поверхностей 217
§ 94. Опорная функция Минковского 221
§ 95. Теорема Христоффеля о замкнутой поверхности 223
§ 96. Теорема Гильберта о поверхностях постоянной отрицательной кри-
кривизны 225^
§ 97. Замечания о работах Пуанкаре по вопросу о замкнутых геодези-
геодезических линиях на овальной поверхности • ... 229
§ 98. Угловые условия Эрдмана 232
-§ 99. Условие Якоби .-- 234
§ 100. Теорема Бонне о диаметре овальной поверхности 237
§ 101. Наличие кратчайшего пути на овальных поверхностях 239
§ 102. Поверхности, сопряженные точки которых имеют постоянное гео-
геодезическое расстояние 243
§ 103. Теорема Каратеодори об огибающих геодезических линий на
овальной поверхности 249
§ 104. Задачи и теоремы • 250
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 105. Первая вариация площади 254
§ 106. Минимальные поверхности как поверхности сдвига 255
§ 107. Формулы Вейерштрасса 256
§ 108. Формулы Штуди • . . . 258
§ 109. Общая формула Гаусса для первой вариации площади поверхности . 260
•§ 110. Формула Шварца для площади минимальной поверхности .~. . . 262
§ 111. Определение минимальной поверхности по заданной полосе . . . 264
§ 112. Теорема Карлемана о круге 265
§ 113. Изопериметрия шара • • . ., 266
§ 114. Влияние симметризации на величину площади . . .' 268
§ 115. Доказательство сходимости (Вильгельм Гросс) 270
§ 116. Вторая вариация поверхности ... • _ 273
§ 117. Первая вариация величин Н и К 275
§ 118. Задачи н теоремы 277
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 119. Дуальные числа 280
§ 120. Принцип перенесения Штуди 282
§ 121. Линейчатые поверхности 286
§ 122. Особые типы линейчатых поверхностей ¦ 295
§ 123. • Конгруенции прямых 297
§ 124. Перенесение формул Гаусса-Боине на конгруенцию прямых... 301
§ 125. Фокальные поверхности конгруенции прямых 302
§ 126. Формулы Гамильтона и Маннгейма , . 303
§ 127. Изотропные конгруеиции прямых 305
§ 128. Взаимоотношения между изотропными конгруенциями и минималь-
минимальными поверхностями 306

12 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 129. Основные формулы теории конгруенций в инвариантных произ-
производных 309
§ 130. Представление изотропных конгруенций с помощью стереографи-
стереографических линейных координат 312
§ 131. Дальнейшие формулы для стереографических лниейных координат. 316
§ 132. Связь с вейерштрассовой теорией минимальных поверхностей. . 317
4 133. Замечания и задачи 318

ВВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРЫ
§ 1. Скалярное произведение
Возьмем в пространстве декартову систему координат, оси которой
расположены так, как обозначено на черт. 1. Три координаты точки х
мы будем обозначать хи х%, ха. Все рассматриваемые точки мы будем
сначала предполагать действительными.
Две взятые в определенном порядке точки пространства х и у
с координатами х1г х2, ха и yv y2, у3 определяют направленный отрезок,
ведущий от х к у. Два направленных отрезка, принадлежащие парам
точек х, у и х, у, тогда и только тогда имеют одно и то же напра-
направление и одну и ту же длину, когда все соответствующие друг другу
разности координат равны между собой:
¦Л—*к=Л — х< (i==l> 2. 3).
О)
Вектором мы будем называть систему
всех направленных отрезков одного и
того же направления и одной ц той же
длины, выходящих из всех точек прост-
пространства. Так как для этих отрезков раз-
разности координат их концов всегда одни
и те же, то мы можем поставить в соот-
соответствие каждому вектору эти три раз-
разности, которые мы назовем его коорди-
координатами (иногда говорят также — компо-
компонентами). Каждой тройке чисел, рассма-
рассматриваемой как совокупность трех коор-
координат вектора, взаимно однозначно со?
ответствует некоторый вектор. Отличи-
Отличительным свойством векторов является
то, что координаты их, в противополож-
противоположность координатам точек, не изменяются при параллельном перенесении
координатной системы. Действительно, при параллельном перенесении
системы координат имеют место формулы:
х* = х<-{-а< (/=1, 2, 3), B),
где х, — старые, а х,* — новые координаты, величины же а{ постоянны
для всего пространства. Поэтому при образовании разностей в фор-
формулах, подобных A), величины at уничтожаются.
Черт. 1.

14
ВЕКТОРЫ
Уравнения, подобные уравнению B), которые во всех координатах
сохраняют тот же вид, мы будем сокращенно представлять в следующей
форме:
х* = х + а, C)
т. е. мы будем опускать индексы и употреблять вместо светлого шрифта—
жирный. Этим обозначением мы будем пользоваться как для координат
точки, так и для координат вектора. Вектор с координатами а{ будет
таким образом обозначаться через а. В формуле C) а, очевидно,
является вектором, представляющим одновременно параллельный сдвиг
всех точек. Координаты xt точки х мы можем считать также ко-
координатами вектора, именно, вектора, идущего от начала коорди-
координат @, 0, 0) к точке х. Мы будем говорить также о векторе х этой
точки, допуская при этом известную непоследовательность. Заметим,
однако, что этот „вектор" точки х существенно зависит от выбора
начала координат и изменяется при параллельном перенесении коорди-
координатной системы. Вектор в истинном смысле этого слова, который не
изменяется при таком параллельном перенесении, определяется не одной,
а двумя точками, при помощи разностей их координат. В дальнейшем,
однако, мы не будем отмечать этой разницы между точками и векто-
векторами и сохраним для них одно и то же обозначение жирным шрифтом.
Если три вектора a, b и с связаны уравнением ct — at -\- bx или
D)
то с называется суммой а и Ь. Произведением вектора v на число
мы назовем вектор с координатами с • vv Выражение
E)
называется скалярным произведением двух векторов х и у. Мы обо-
обозначаем его сокращенно символом ху. Часто мы будем пользоваться
также скобками: (ху).
Квадратичную форму, принадлежащую билинейной форме E)
xx = V + *28+*82. (в)
мы будем называть скалярным квадратом вектора х и писать вместо хх
также х9. Если мы возьмем вектор у — z, определяемый разностями
координат точек у и z, то для его скалярного квадрата мы напишем
выражение (у — zK или (у — z) (у — z). Соответственно мы пользуемся
для скалярного произведения двух векторов (а — Ь) и (с —d), образо-
образованных двумя парами точек a, b и с, d, выражением:
(а _ Ь) (с - d) = К - Ьх) (с, - dt) + (а2 - bj (с2 - dj +
+ (as-ba)(ca-da). G)
Произведя вычисления в координатах, легко убедиться в справедливости
следующих правил векторных операций:
(8)
yz = zy.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 15
i
Таким образом порядок векторов при сложении и при образовании
скалярного произведения не имеет значения.
Далее имеет место формула:
x(y + z) = xy + xz (9)
и потому
(y-}-z)a = yy-f-2yz+zz. A0)
Векторное уравнение вида:
<1 = Ла + ВЬ + Сс A1)
с коэфициентами А, В, С можно скалярно умножить на новый вектор v,
и тогда получим:
(vd) = А (уй) — В (yb)+С (vc). A2)
Эту операцию мы будем применять довольно часто. Для скалярного
произведения векторов, очевидно, не имеет места ассоциативный закон
(xy)z = x(yz).
В аналитической геометрии доказывается, что
скалярное произведение вектора х на самого себя равно квадрату
длины этого вектора, т. е. квадрату длины соответствующего отрезка.
Далее известно, что угол <j>, Ог^^*^*» определенный направлениями
двух векторов у к z, может быть определен по формуле:
это легко выводится из теоремы косинусов с помощью формулы A3).
Прямые черты в знаменателе указывают на то, что корень следует взять-
положительным. Условие перпендикулярности двух векторов выражается,,
следовательно^ формулой:
yz = O.
Согласно формулам A3) и A4) скалярное произведение" yz есть взятое
с соответствующим знаком произведение длин векторов у и z на коси-
косинус угла между ними.
В отличие от отдельных координат вектора, меняющихся при пово-
повороте координатной системы, скалярные произведения (и скалярные
Квадраты) суть величины, совершенно не зависящие от координатной
системы. Это следует из того, что скалярное произведение имеет
не зависимый от координатной системы геометрический смысл. Таким
образом, если мы, например, для одного и того же вектора образуем
скалярные произведения в координатах фго, относящихся к двум раз-
различным системам, то мы получим оба раза одно и то же значение.
Скалярные произведения, как принято говорить, инвариантны по отно-
отношению к преобразованию координат. Векторы представляют собой
удобное средство, для того чтобы из координат данных точек'обра-
зовывать выражения, не зависящие от координатной системы, т. е. обла-
обладающие геометрическим значением, не зависящим от системы координат.
Ибо, переходя от координат точки к разностям координат пары точек»

16
ВЕКТОРЫ
т. е. к векторам, мы получаем выражения, которые не зависят уже более
от параллельного смещения координатной системы; образованием же
скалярных произведений мы делаем наши выражения не зависящими
также и от вращения координатной системы.
В отличие от понятия векторной величины, определяемой тройкой
чисел, мы будем обыкновенные величины, определяемые одним только
числом, называть скалярными величинами.
§ 2. Детерминанты и векторные произведения
Новым инвариантным выражением, которое мы можем образовать,
является детерминант третьего порядка,- образованный из трех векто-
векторов х, у и z:
(х, у, z) = (xyz) =
у%
A6)
Этот детерминант, как доказывается в аналитической геометрии, равен
взятому с соответствующим знаком объему параллелепипеда, построен-
построенного на трех векторах х, у, z.
Из правил операций, имеющих место для детерминантов, мы приве-
приведем в качестве примера лишь следующие:
-Их, у, z) = + (y, z, x) = + (z, х, у) =
= — (х, z, у)==—(z, у, х) = — (у, х, z), A7)
(x-f а, у, z) = (x, у, z)+(a, у, z) A8)
и
(р-х, у, z) = p-(x, у, г), A9)
где р — скалярный множитель.
Далее из теоремы умножения определителей мы получаем для про-
произведения двух детерминантов формулу:
xV ху' xz'
(х, у, z)(x', у', z') =
ух' уу' yz'
B0)
zx zy zz
где в правой части стоит определитель, составленный из 3 X 3 скаляр-
скалярных произведений.
Двум векторам х и у ставится в соответствие третий вектор z, назы-
называемый векторным или внешним произведением этих векторов и опре-
определяемый формулами:
B1)
х у\—х у'. \
Формулы B1) записываются в векторной форме следующим образом:
-z = xXy, r B2)
где знак X есть знак векторного умножения. Как известно, вэктор г
геометрически определяется следующими своими свойствами: 1) он пер-

1 ДЕТЕРМИНАНТЫ И ВЕКТОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 17
пендикулярен кику; 2) длина вектора равна площади параллело-
грама, образованного векторами х и у; 3) направление z нужно выбрать
так, чтобы три вектора х, у и z следовали в этом порядке друг за дру-
другом так же, как координатные оси (черт. 1). Вектор г ставится таким
ооразом в соответствие векторам х и у чисто геометрическим спосо-
способом; он, как принято говорить, связан с векторами х и у инвариантно
по отношению к преобразованию координат. Для векторного произведе-
произведения имеютЧгесто, как легко видеть, следующие правила операций:
хХу = — У Хх, B3)
Таким образом в векторном произведении нельзя менять порядок
векторов. Векторное произведение знакопеременно. Далее
z) = (xXy) + (xXz). )
Далее имеем х X х = О.
Уравнение
хХУ = 0 • B5)
есть необходимое и достаточное уловие для линейной зависимости
векторов х, у. Два вектора х и у мы называем линейно зависимыми,
если можно найти два числа а и Ь, ни одно из которых не равно нулю
и которые удовлетворяют векторному уравнению ак-\-Ьу = 0.
Точно так же
(xyz) = O B6)
есть необходимое и достаточное условие для линейной зависимости
(ах -\- by -J- сг = 0) трех векторов. Линейная зависимость двух векторов
означает совпадение направлений их, линейная же зависимость трех век-
векторов означает, что векторы параллельны одной и той же плоскости.
Четыре вектора в нашем трехмерном пространстве всегда линейно зави-
зависимы. То обстоятельство, что векторное произведение z = x Х*У пер-
перпендикулярно к х и у, следует также из следующего важного правила
векторных операций:
x(yXz) = y(zXx) = z(xXy) = (x, у, z), B7)
здесь слева стоят скалярные произведения вектора на векторное произ-
произведение, а справа — определитель. Формула B7) получается разложе-
разложением определителя (xyz) по элементам одной из его строк (разложение
Лапласа).
Далее укажем еще следующее правило операций, называемое тожде-
тождеством Лагранжа и дающее преобразование скалярного произведения
двух векторных произведений:
(х X У) (х; X У') = (хх') (уу') - (ху') (ух'). B8>
Далее легко вывести следующую формулу:
(xXy)Xz = (xz)y — (yz)x. B9)
2 Зак. 684.— Бляшке, ч. I

18 ВЕКТОРЫ
В заключение заметим еще, что для трех векторов х, у и z наличие
соотношения
(xyz) > О C0)
есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы трехгранный
угол, ребра которого образованы тремя этими векторами, мог быть
перемещением наложен на трехгранный угол черт. 1 так, чтобы х, > О,
л;2 = 0, ха = 0; у3 > 0, _у3 = 0; zs > 0. При (xyz)< О этот результат
может быть достигнут Только комбинацией перемещения и зеркального
отображения.
§ 3. Полная система инвариантов любого числа точек
Если дано некоторое число действительных точек
„A) ™B) шЛР) /qi\
х . х ,..,, х , C1)
то из аналитических выражений, содержащих координаты этих точек»
лишь те выражения, которые не зависят от специального выбора декзр-
товой системы координат,, будут обладать геометрическими свойствами,
связанными с конфигурацией наших точек. Если мы переходим при
посредстве движений и зеркальных отображений от первоначального
трехгранного угла черт. 1 к некоторой новой декартовой системе коор-
координат, то новые координаты х* связаны со старыми, как известно,
линейными -уравнениями:
*«*i) + rf« (/=1,2,3), C2)
к=г
в которых девять коэфициентов bik связаны шестью соотношениями:
для * = ,(=!, 2/з), (зз)
Наиболее общий вид рассматриваемого нами преобразования координат
зависит таким образом от трех параметров dt и, кроме того, от трех
независимых параметров, содержащихся в btk.
Если мы желаем аналитически определить такие зависящие от коор-
координат точек C1) выражения, которые имеют самостоятельный геометри-
геометрический смысл, то мы должны образовывать такие выражения, которые,
при преобразованиях C2), Cd) имеют в новых координатах д;* точна
такой же вид, какой они имели в старых координатах, т. е. такие выра-
выражения, кбторые инвариантны относительно подстановок C2), C3).
Обратно, если мы имеем такие выражения в координатах, о которых мы
уже знаем, что они обладают геометрическим значением, го мы знаем
также и то, что они инвариантны по отношению к подстановкам ^32^, C3).
Например для двух точек хA) и хB) выражение квадрата расстояния
между ними

*" ПОЛНАЯ СИСТЕМА ИНВАРИАНТОВ 19
есть инвариант. Действительно, мы получаем из C2):
к
3 8
Но, согласно формуле C3) выражение, стоящее справа, равно:
что и требовалось доказать.
Поставим теперь себе задачу определить полную систему инвариан-
инвариантов (У), Уа,..., УД т. е. найти столько инвариантов, чтобы каждый
новый инвариант можно было представить, как некоторую функцию
F(JV Jv..., Jr) от них. Таким образом задание значений инвариан-
инвариантов У,. . Jr должно полностью определять геометрические свойства
фигуры, образованной из точек C11. Чтобы разрешить поставленную
задачу, мы сначала образуем из р точек р — 1 векторов t^\ 1*2\...»
т/*1', вычитая для этого координаты одной из точек, скажем, точки лс*
из соответствующих координат остальных точек:
ЧA) = хA)-х№), 4« = xw-xw,.:., ^-««x^-^-x^. C4)
Векторы tj преобразовываются тогда при помощи однородных формул
преобразования, составляющих частный случай преобразований C2):
s
2 Ml
(/=1,2,3), C5)
причем коэфициенты bik также должны удовлетворять уравнениям C3).
Переходом к векторам мы устранили три постоянных dv и одно-
одновременно из Ър величин координат точек C1) исчезли три, так что мы
теперь имеем только р—1 векторов с Ър— 3 координатами. Очевидно,
что залача определения инвариантов точек C1) эквивалентна задаче
определения инвариантов векторов t\ относительно подстановок C5).
В самом деле, наша задача состоит в том, чтобы из точе.< C1) образо-
образовать такие выражения, в которых после преобразования должны исклю-
читься величины bik и dt. Тем, что мы образовали ij, мы уже достигли
исключекия dt. Устранение dt соответствует, конечно, упомянутому
в § 1 устранению смещекия векторов.
Нам остается теперь только образовать из 1\ такие выражения, ко-

20 ВЕКТОРЫ **
торые и после преобразований C5) не содержали бы величин bik. Мы
можем теперь счисть, что все векторы исходят из одного неподвиж-
неподвижного начала, и подстановкам C5), C3) соответствуют преобразования,
составленные из поворотов вокруг начала и зеркальных отражений
относиаельно плоскостей, проходящих через начало.
К числу инвариантов векторов безусловно принадлежат скалярные
произведения
<4W4®)fo Р=1. 2,...,/»—1], C6)
ибо, как мы видели в § 1, они имеют определенный геометрический
смысл. Теперь можно показать, что скалярные произведения C6) уже
дают полную систему инвариантов наших векторов ij (т. е. наших
точек х). Предварительно мы заметим следующее: образуя детерми-
детерминанты и векторные произведения, мы можем при помощи формул B5)
и B6) § 2 узнать, какие из наших векторов являются линейно зависи-
зависимыми. Представим себе затем, что мы выделили из всех векторов ijs
векторов, где s есть максимальное число линейно независимых векторов
в нашей системе. Эти s выбранных нами векторов мы назовем основ-
основными векторами. Число $ может быть равным 1, 2 или 3. Положим далее;
что нумерация точек и векторов изменена так, что первые s векторов
i?l\ ff®f'-i ij(e* СУГЬ основные векторы; тогда остальные векторы
Ч(в+1\ Ч(8+2)>---> Ч^-1) можно представить как линейные комбинации
основных векторов:
4<r) = °W1] + «Яг) + • • • +*qw; - " C7)
здесь г изменяется от (s-f-l) до {р — 1), а число коэфициентов а,
равно s (р — 1—¦«). Эти козфициенты а представляют собой инва-
инварианты наших векторов и их можно выразить через скалярные про-
произведения. Именно, умножая скалярно C7) на ijw(f=l, 2,..., s), мы
получаем:
.., (р—1); t=\, 2 a).
Для каждой группы s величин а, соответствующих одному определен-
определенному индексу г, мы получаем таким образом систему s линейных уравне-
уравнений. Элементами определителя s-ro порядка системы этих уравнений
|DW4W)I C9)
являются скалярные произведения основных векторов. Величины а
всегда можно выразить через входящие в формулу C8) скалярные про-
произведения, так как определитель C9) не равен нулю.
' Чтобы убедиться в этом, мы рассмотрим в отдельности три случая:
* = 3, 2, 1.
Для случая s = 3 определитель C9) согласно теореме умножения B0)
равен квадрату детерминанта
- (ЧA). ЧB), Л D0)
Этот детерминант не может обращаться в «уль, ибо в этом случае
согласновформуле B6) основные векторы ijA), 'tjB); i/3) были бы во-

ПОЛНАЯ СИСТЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИНВАРИАНТОВ . 21
преки нашему предположению линейно зависимыми. Следовательно, не
может обращаться в нуль и детерминант C9).
- Для случая s = 2 обращение в нуль определителя C9) влечет за
собой соотношение
Ы1 У11) (W) - (ЛB)J=о. Di)
Принимая во внимание формулу A4), мы видим, что угол ср между
векторами ijA) и ij(a) может быть определен из-уравнения cos8<p=l.
Следовательно, этот утрп должен быть равен либо нулю, 'либо гс, т. е.
векторы должны быть направлены или в одну и ту же, или в противо-
противоположные стороны. Но равно направленные и противоположно капра-
вленные векторы являются линейно зависимыми. Это, однако, противо-
противоречило бы исходному предположению.
Наконец, случай s — 1 дал бы (ijA)ijA)) = О. Это возможно, однако,
в силу E) только для ijA),= 0. Такие нулевые векторы мы, однако,
можем исключить из рассмотрения, ибо, если бы мы имели нулевой
вектор, то согласно формуле C4) две соответствующие точки совпали
бы друг с другом. (
Итак, мы показали, что величины а могут быть выражены через
скалярные произведения. Нетрудно теперь показать, что скалярные про-
произведения одних основных векторов ijA\..tj(s) вместе с коэфициента-
ми а представляют полную систему инвариантов. Прежде всего очевидно,
что полной системой инвариантов для одних основных векторов является
система скалярных произведений. Это геометрически непосредственно
очевидно в каждом из случаев s = 1, 2, 3>, ибо скалярные произведе-
произведения основных векторов согласно формулам A3), A4) определяют длины
векторов и углы между ними, а система 1, 2 или 3 линейно,независи-
линейно,независимых векторов в каждом из этих случаев однозначно 'определена с точ-
точностью до вращений и зеркальных отображений, когда даны все длины
и углы их. Каждый инвариант является поэтому функцией длин и
углов, т. е. функцией скалярных произведений.
Если мы далее предположим, что основные векторы заданы в про-
пространстве и неподвижны, то' каждый новый вектор будет определен
всеми своими тремя координатами, если известны соответствующие ему
коэфициенты <х формулы C7). Поэтому все инварианты, которые можно
образовать из новых векторов, присоединенных к основным, могут быть
образованы по данным величинам а и скалярным произведениям основ-
основных векторов. Но так как а сами являются инвариантами, то вместе со
скалярными произведениями основных векторов они дают уже полную,
систему всех инвариантов. А так как а выражаются через скалярные
произведения, то все инварианты наших точек мы можем выразить
через одни только скалярные произведения соответствующих векторов.
§ 4. Полная система независимых инвариантов
Пользование коэфициентами а линейных комбинаций C7) имеет
одно особое преимущество. Пусть нам требуется образовать полную
систему независимых инвариантов. Скалярные , произведения не все
являются независимыми друг от друга. В самом деле, мы знаем, что уже

22 векторы
величины а вместе со скалярными произведениями основных векторов
дают полную систему инвариантов. Но величины а могут быть согласно
формуле C7) выражены через скалярные произведения остальных век-
векторов к/**, tj(8+2),..., ч(р~1) на основные векторы. Скалярные произ-
произведения векторов т/*+1)... 7j(p~x) друг на друга при этом вовсе не вхо-
входят. Последние скалярные произведения представляют собой простые
функции остальных скалярных произведений, т. е. являются зависимыми
от них, ибо согласно формуле C7) скалярные произведения
¦DfV) IP, o = s+l, s + 2, ...>/>—1]
могут быть выражены через а и скалярные произведения основных век-
векторов, т. е. на основании вышесказанного, через остальные скалярные
произведения. Но в геометрии нас прежде всего интересует возмож-
возможность составить себе полное представление о всех независимых инва-
инвариантах. Такими независимыми инвариантами являются "безусловно
^" различных скалярных произведений основных векгоров и коэфи-
циенты а. Прежде всего это имеет место для скалярных произведений
основных векторов, отдельно взятых. Это следует из независимости соот-
соответствующих длин и углов. Далее все величины а являются независи-
независимыми, так как задание их необходимо для того, чтобы указать поло-
положение остальных векторов по отношению к системе основных векторов.
Если мы таким образом желаем определить полную систему независи-
независимых инвариантов для некоторого числа заданных точек C1), то мы
можем поступить следующим образом.
Рассмотрим векторы ij, ведущие от одной из точек, например от
точки х'р^. к остальным; выделим из векторов ij произвольным обра-
образом наивысшее число s линейно независимых основных векторов и
представим все остальные векторы, как линейные комбинации основ-
основных. Тогда скалярные произведения основных векторов вместе с коэфи-
циентами линейных комбинаций дают полную систему независимых
инвариантов наших точек.
В заключение мы сделаем еще следующее замечание. Если мы рас-
рассматриваем вместо перехода к новой координатной системе, осуществляе-
осуществляемого движениями и 'зеркальными отображениями, переход, осуществля-
осуществляющийся одними только движениями, то, как известно, соответствующие
подстановки охватят ту часть подстановок C2), для которой определи-
определитель третьего порядка:
* = |*«1 = + 1- ' D2)
Вообще говоря, из формулы C3) мы получаем, что определитель
третьего порядка:
2 *«*«
= 1
и, применяя теорему умножения определителей
з
2а А**«
ъ
п.
ь,
il
¦Ь\

ПОЛНАЯ СИСТЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИНВАРИАНТОВ 23
мы получаем:
Следовательно, подстановки C2) распадаются на два класса:
? = + 1 и *> = — 1,
«з которых первый соответствует преобразованиям координатной си-
системы, получающимся в результате одних только движений.
Относительно движений координатной системы не только скалярные
произведения и коэфициенты линейных комбинаций, но и детерминанты
любых трех векторов являются инвариантами. Действительно, применяя
к трем векторам х, у, z соответствующие (однородные) формулы под-
подстановки и пользуясь теоремйй умножения определителей, мы получаем:
(х, у, z) = (x*, у*, г*)-Ь. D3)
Квадрат определителя трех векторов согласно формуле B0) выра-
выражается через скалярные произведения и, следовательно, является инва-
инвариантом подстановок C2), C3) общего вида.

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
§ 5. Длина дуги
Пространственную кривую можно вполне определить заданием пря-
прямоугольных координат хи jf2, xa точки этой кривой в функции неко-
некоторого параметра
1 xh = xH(?), k=l, 2,. 3. A)
Относительно функций xk(t) мы как правило будем принимать
в дальнейшем, что они аналитичны, т. е. могут быть в каждой рассма-
рассматриваемой нами точке *0 разложены в степенной ряд, сходящийся для-
достаточно малого \t—to\. Далее мы будем вообще предполагать, что
значения параметра и функций всегда действительны. Разумеется, наши
три функции xk(t) не должны быть постоя«ными одновременно, так
как в, таком случае кривая стянулась бы к единственной точке. Более
того, мы будем предполагать, что ни при каком значении t производ-
производные всех трех функций xk(f) не обращаются в нуль одновременно;
последний случай может проистекать как из способа параметрического
представления, так и из особого характера поведения кривой в точке /.
Интеграл
называется длиной дуги нашей кривой. Штрихами сбозначены произ-
производные по t. Соотношение B) мы будем представлять также формулой
и для сокращения говорить, что элемент дуги ds представляет рас-
расстояние между двумя соседними точками кривой.
Укажем кратко, как. эта длина дуги получается предельным перехо-
переходом из периметра вписанного многоугольника. Если мы положим
то периметр оп вписанного в нашу криволинейную дугу многоуголь-
многоугольника, вершины которого лежат на кривой и соответствуют значениям,
параметра C), представится формулой: '

ДЛИНА ДУГИ 25
Применив к трем стоящим под знаком корня разностям теорему
о среднем диференциального исчисления, мы получим:
*<C^-*<('»_,)!=(^--^-i)*/(^O)[i=1.2, 3],
где t^ суть промежуточные значения параметра t, причем
С помощью формулы D) мы из вышеприведенной формулы для о№
получим:
Заменим три промежуточных значения ^ одним тк и оценим воз-
возникающую при этом ошибку. Прежде всего мы имеем следующее алге-
алгебраическое тождество:
Многоточия обозначают здесь, что под каждым из четырех корне*,
должны стоять еще по два члена, получающиеся заменой индекса 1
индексами 2 или. 3. Точно так же в числителе правой части должны,
быть приписаны два соответствующие члена. Выберем теперь про-
промежуточные значения th столь плотно расположенными, чтобы имела
месю неравенства: ...
что возможно вследствие равномерной непрерывности функций xt
в интервале a^t^b. Так как абсолютное значение трех величин, слу6
жащих в формуле G) множителями выражений {Xi{t]P) — •*<(*&)}>•
т. е. величин у-
заведомо^ 1, то из формулы G) следует:
... - Vx; (Ч
х
;
Следовательно: ,
^-^-^YVC^+VC^ + V^ |*S3.(*-a). A0).
Если теперь подразделения t0, tu.,..tn мы будем делать все более-
мелкими, так что е будет стремиться к нулю, то
ь
=/' dtVxJ+xJ+7?, (И)

26 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
как мы и утверждали. Единственным небольшим затруднением, которое
нам нужно было преодолеть, чтобы притти к выражению, пределом
которого является, в силу Определения интеграла, наш определенный
интеграл, оказалось неравенство трех промежуточных значений rfc .
Вместо параметра t можно ввести в качестве нового параметра
дугу кривой:
t
Vx' + x'^-x^dt. A2)
Для полного определения этого специального параметра необходимо
«ще выбрать начальную точку отечета t = a и положительное напра-
направление на кривой, соответствующее возрастанию значений 5. Если мы
в формуле A2) будем считать корень полэжигельным, то положитель-
«ое направление будет соответствовать возрастающим значениям t. Отли-
Отличительным признаком выбора дуги кривой в качестве параметра
(s = ± t-\- const.) является наличие соотношения:
В качестве простейшего примера пространственной кривой мы возь-
возьмем винтовую линию на круговом цилиндре радиуса а:
xi = acost, x^ — asmi, x3 = bt. A4)
Мы получаем:
х\ = — a sin ?, X2=acost, x3=b, A5)
и отсюда
V7e. A6)
§ 6. Касательная; соприкасающаяся плоскость
Обозначим вектор, ведущий от начала координат к точке кри
вой x{{t), через х(/). Вектор
имеет тогда то же направление, что и хорда, соединяющая точки кри-
кривой, соответствующие значениям параметра t и t-\-h. При h -*• 0 век-
вектор хорды переходит в тангенциальный вектор точки t
х'(t) с координатами x\{t). 1A8)
Если t интерпретируется как время, то х'(^) называется вектором
скорости. Если t есть длина дуги кривой, то при этой интерпретации
скорость, с которой точка пробегает кривую, постоянна и равна 1.
Предельным положением хорды является тсасательная, которая может
быть представлена с помощью параметра г следующим образом:

касательная; соприкасающаяся плоскость 27
т. е. в развернутом виде:
vi — xi "Г rxi • \Z[))
Таким образом, если все х/ ф 0, то уравнения
можно рассматривать как пару уравнений касательной в текущих коор-
координатах yt. Формулы A9) — B1) становятся непригодными, если, век-
вектор скорости х' = 0, т. е. если все х/ = 0 (i=l, 2, 3). Но этот слу-
случай мы уже исключили в § 5.
Если мы будем считать в формуле B0) величины t и г перемен-
переменными, то, если наша линия не является прямой, мы получим параметри-
параметрическое представление поверхности, образованной касательными к кри-
кривой. Подобно тому как для параметрического представления кривой
служит один параметр t, для параметрического представления поверх-
поверхности служат два параметра: г и t.
При t = s мы имеем согласно A3) формулу:
х'а=1. B2)
В этом случае, следовательно, квадрат тангенциального вектора ра-
равен 1. Векторы, длина которых равна 1, мы будем называть единич-
единичными векторами.
Заметим себе еще следующие правила. Если х и у зависят от
одного параметра t, то их скалярное произведение диференцируется
следующим образом:
= 2 *.'Л + 2 хХ, B3)
что сокращенно записываотся"так:
| B4)
Соответствующие правила можно вывести также и для диференциро-
вания векторных произведений и определителей: ^
? Ху'), B5)
-?¦ (х, у, z) = (x', у, z) + (x, у', z)-(x, у, z'). B6)
Если мы через три точки кривой t, t-\-h, t-\-k проведем векто-
векторы хорд
B7)
то эти векторы определят ту же плоскость, что и.два вектора
v и 2fe^=x"@+^ (...)•

28 теория кривых
Предельным переходом А -»• 0, k ->• 0 мы получим отсюда два вектора:
Если эти векторы имеют различные направления, то они определяют-
предельное положение плоскости, проходящей через три соседние точк»
кривой. Эту плоскость называют соприкасающейся плоскостью кривой"
в точке х. Если у есть произвольная точка этой плоскости, то три век-
вектора х', х" и у—х лежат в одной плоскости, что согласно § 2, B6)-
аналитически' выражается уравнением:
(у—х, х', х") = 0.
B8>
Уравнение B8) есть, следовательно,уравнение соприкасающейся плоскости-
В механике вектор х" называют ректором ускорения; при этом,
параметром служит не длина дуги, а время. Это наименование мы пере-
перенесем, однако, и на наш случай; тогда мы можем сказать, что сопри-
соприкасающаяся плоскость определяется точкой кривой, вектором скорости
и вектором ускорения.
Исключение составляет лишь тот случай, когда векторы х' и х'г
имеют одно и то же. или противоположные направления, т. е. когда
существуют два неравные одновременно нулю числа а и Ь, которые-
удовлетворяют уравнению axr-\-bx" = 0. Согласно § 2, B5) условие
это равносильно условию:
= О. B9)
Когда .наступает исключительный случай тождественного исчезнове-
исчезновения х' X х" вдоль всей кривой? Так как х' не может равняться тожде-
тождественно нулю, ибо кривая тогда обратилась бы в единственную точку*
то х" должно линейно зависеть от х':
Интегрируя эти три диференциальные уравнения, представленные-
в сокращенном виде векторным уравнением, мы получаем:
dt. B9')
Если мы вместо /(*) введем новый параметр t*, который мы впредь
будем снова обозначать через t, то получим:
xi = ctt-\-Ci.
Это уравнение показывает, что наша линия прямая." Таким обра-
сом х' X х" обращается тождественно в нуль только на прямых.
Как было сказано, соприкасающаяся плоскость может быть опреде-
определена как предельное положение плоскости, проходящей через три сосед-
соседние точки кривой tv t2> tA; это может быть обнаружено следующим
образом: если плоскость

КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. КРУГ КРИВИЗНЫ 29
должна проходить через точки tk, то для tlt /2, t3 должно иметь место
f-(tk) = 0. Согласно теореме о среднем значении в этом случае внутри
наименьшего интервала, содержащего tv t2, ta, должны существовать
два отличных друг от друга положения tit tb, для которых /' (У4) =
=/' (^б) = 0. Применяя теорему о среднем значении еще один раз, мы
получим f" (t6) = 0 для некоторого нового положения t6 в старом интер-
интервале. Если теперь tu t$ и ta (стремятся к t, то стремятся к t также
и tv tb, t6. Поэтому, если мы допустимг лишь существование и непре-
непрерывность первой и второй производных, то для предельного положения
мы будем иметь:
§ 7. Кривизна и кручение. Круг кривизны
Возьмем теперь за параметр кривой длину ее дуги
x = x(s), *'« = 1,
тогда согласно формуле B3) мы будем иметь:
х'х" = 0, C0)
т. е. лежащий в соприкасающейся плоскости вектор ускорения перпен-
перпендикулярен к касательной к крийой. Каждую прямую, проходящую через
точку прямой х и перпендикулярную к касательной х', называют нор-
нормалью к кривой, а в частности нормаль к кривой, лежащая в сопри-
соприкасающейся плоскости, называется. главной нормалью. Вектор х" дает,
следовательно, направление главной нормали.
Если мы построим единичный вектор х', начинающийся в начале
координат о, то конец этого вектора будет пробегать некоторую кри-
кривую х' (s) на поверхности единичного шара, когда х будет пробегать
кривую x(s). Кривую x'(s) называют сферической индикатрисой каса-
касательных х (s); x' (s) только тогда стягивается в одну точку (х' (s) = const.),
когда x(s) есть прямая линия (х ==^х' >s -j- const.). Элемент дуги сфери-
сферической индикатрисы касательных мы будем обозначать через dsv Если
ыы применим формулу A2), записав ее в виде:
то для dst мы найдем:
или
Так как —Л- тождественно обращается в нуль только для прямых,
т. е. в известной степени характеризует степень отклонения кривой х (s)
в некоторой ее точке s от прямой линии, то --А- называют кривизной

ТЕОРИЯ КРИВЫХ
линии x(s) в данной ее точке. Обычно кривизна обозначается через —.
Таким образом мы имеем:
Знак перед корнем можно выбрать по произволу.
1
C3)
есть, таким
образом, длина вектора ускорения, а рх" есть единичный вектор глав-
главной нормали, если только х" не равно нулю, что мы условились здесь
предполагать.
Нормаль к кривой, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости,
называют бинормалью. Направлением ее служит направление х' X х",
ибо это векторное произведение перпендикулярно к х' и х".
Введем теперь в каждой точке кривой x(s) три единичных вектора:
1) тангенциальный вектор:
х'0?) = §!(*), C4)
2) единичный вектор главной нормали:
px/7(s) = p§;(s) = |2(s) ^ C5)
и 3) единичный вектор бинормали f3(s)- Мы определим его фор-
формулой:
58 = SiXS2 = p(x'Xx'O. C6)
Согласно определению вектор §s перпендикулярен к векторам §,,
52; сверх того, ?3 есть единичный вектор, ибо согласно тождествам
Лагранжа [§ 2, Bо)] и в силу |,§а = О мы имеем:
S,8 = S&-«ib)a=i. C7)
Наконец векторы |„ !*2, |*8 согласно сказанному в конце § 2 после-
последовательно расположены так же, как и три единичных вектора на
координатных осях, ибо
(«&) = «i XWSe = tf = +l. C8)
Из §j X 1а?= §8 и согласно § 2, B9), для наших трех единичных
векторов имеют место также соотношения §2 X is = Si и §s X §i = §a-
При определении кривизны мы отложили от начала векторы §, (s)
и вычислили длину дуги ds1 сферической индикатрисы касательных.
Точно таким же образом мы теперь определим кручение. От начала
координат мы будем откладывать единичные векторы бинормали §s(s).
Концы этих векторов определяют сферическую индикатрису бинорма-
бинормалей кривой x(s); отношение элементов дуг
ds
C9)
мы и назовем кручением. Для плоской кривой мы имеем |8 — const»
Следовательно, кручение плоской кривой равно нулю. Таким образом
кручение есть мера уклонения нашей кривой x(s) от ее соприкаса-
соприкасающейся плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ КРИВОЙ 31
Формула C9) определяет величину — снова лишь с точностью до>
знака. Эту неопределенность, однако, мы можем устранить. Вектор {j3
всегда можно представить в виде линейной комбинации независимых
единичных векторов:
5'8 = «i5i+«& + «&¦ D0>
Но §8 есть единичный вектор, и, следовательно, §*=1. Отсюда
следует |8|'3 = 0. Если мы умножим D0) скалярно на §3 и примем во
внимание правило § 1, A2), то мы получим as = 0. Далее согласна
формуле C5) мы имеем:
и, следовательно,
i (ЛЛв) = -f (We) + (Us) = 0, - D2>
и в силу 52g3 = 0:
Таким образом мы получаем:
5',=«& D3>
и в соответствии с формулой C9):
в'2 2 1
Мы можем теперь произвести выбор знака величины —; именно, мы:
положим a$ = и таким образом определим кручение формулой:
5'. -г- .D4>
§ 8. Определение инвариантов кривой.
В наших предшествовавших исследованиях мы руководились пре-
преимущественно геоме!рическими соображениями. Но мы можем подоит*
к задачам теории кривых также и с чисто аналитической стороны.
Захача' тогда будет состоять в том, чтобы получить полное представле-
представление обо всех тех выражениях, зависящих от функций х(/) и их произ-
производных, которые инвариантны относительно подстановок § 3, C2), C3)..
Эта задача, очевидно, находится в близком родстве с задачей, решен-
решенной в § 3 и 4. Там речь шла об определении инвариантов конечного-
числа точек. Здесь же-—для кривой— речь идет об инвариантах непре-
непрерывного многообразия точек.
Пока мы ограничимся исключительно вопросами так называемой
„диференциальной геометрии в малом" (Differentialgeometrie im Kleinen),.
т. е. мы будем сначала заниматься свойствами -кривой лишь в непо-
непосредственной окрестности одной ее точки. В противоположность ейз

32 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
„диференциальная геометрия в целом" (Differentialgeometrie itn Grossen)
«зучает такие свойства кривой, о которых можно судить лишь из пове-
поведения кривой на всем ее протяжении. С первой из таких проблем тео-
теории кривых мы встретимся лишь в § 13. В настоящее время перед
нами стоит, следовательно, лишь задача установления таких инвариан-
инвариантов, которыми кривая обладает в силу свойств ее, относящихся к неко-
некоторой определенной ее точке. Таким образом мы должны определить
¦.инварианты, составленные из векторов:
х, х, х, х,..., D5)
относящихся к одной и той же точке L [Точки над векторами в выра-
ткении D5) обозначают производные по t]. Определение инвариантов
векторов D5), взятых вплоть до производной любого порядка, совер-
совершается тогда по сути дела по правилам § 3 и 4. Лишь один новый
момент мы должны принять во внимание: если кривая дана в произ-
произвольном ее параметрическом представлении, то только такие выраже-
выражения, содержащие скалярные произзедения и коэфициенты линейных ком-
комбинаций [которые, как мы знаем, являются инвариантами векторов D5)],
'будут также и инвариантами кривой, которые инвариантны не толь-
хо относительно преобразования координат, но и относительно пре-
преобразований
t=f(f), ^ D6)
^служащих для перехода к некоторому новому параметру f.
Функции J мы будем считать аналитическими. Если мы положим
х @ = х (/(**)) = **(**), D7)
^го при подстановке D6) мы, например, получим:
ас* dt т 1/ at* J ' *'
i5^ &* ?L f" Г4ОЛ
dt J ' *¦ '
Если мы ограничимся только такими точками, в которых производ-
производная вектора х по параметру не обращается в нуль, то согласно фор-
формуле D8) мы должны иметь f ф 0. Далее согласно формуле D6)
алы имеем:
df^jrdt. E0)
Так как мы ограничиваемся окрестностью некоторой точки кривой,
то величины /', /", /'" являются постоянными величинами, входящими
'при преобразованиях в коэфициенты подстановок. Вместе с каждой
новой производной в формулах D8), D9) и т. д. появляется наряду
с прежними новый коэфициент, а именно, при
-~ коэфициент
Кажущуюся трудность образовать из векторов D5) инварианты отно-
¦мсительно преобразования параметра, т. е. исключить все последователь-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ КРИВОЙ 33
ные коэфициенты /', /" и т. д., можно сразу же преодолеть тем, что
мы вовсе устраним преобразование параметра, введя инвариантный пара-
кетр. Таким инвариантным параметром является введенная в § 5 длина
дуги, к которой мы относили кривую в предыдущих параграфах. Вве-
Введение этого инвариантного параметра основывается на следующих сооб-
соображениях: мы находим сначала величину % инвариантную с точностью
до преобразования параметра, т. е. по отношению к подстановкам
§ 3, C2), C3), которая была бы как-либо образована из векторов D5)
я которая при подстановке D6) преобразовывалась бы по закону:
?• = ?¦/', E1)
причем ф* находится в той же зависимости от t*, в какой о от t. Про-
Простейшей величиной такого рода, зависящей от производных наинизшего
порядка, является величина Vх2, входящая в формулу A2). В самом
деле, при образовании инвариантов векторов D5) относительно цре-
образования координат § 3, C2), C3), не может быть и речи об
использовании самой величины х. Действительно, для точки х имеют
место формулы:
s
s
E2)
тогда как для всех производных, как легко видеть, диференцируя E2),
имеют место соответствующие однородные формулы подстановок:
s s
*****' х* = 2*№ ** E3)
fc=i
и т. д. Следовательно, коэфициенты dt входят только в формулы для
точки х, которая, как мы видели в § 1, строго говоря, не является
вектором. Но при образовании инвариантов мы должны иметь выраже-
выражение, пря преобразовании которого коэфициенты bilt, dt исключаются.
А так как величины йг входят только в формулы преобразования
величин дг„ х2, х3 и не входят в формулы преобразования производных
векторов, то эти величины не будут входить в преобразованные вы-
выражения лишь в том случае, если самое точку х мы оставим в стороне,
не вводя ее в число элементов, используемых при образовании инвари-
инвариантов. Итак, наша задача сводится к тому, чтобы из векторов
х, х, "х\... ' E4)
образовать инварианты относительно подстановок E3). Из производных
первого порядка мы имеем тогда один лишь вектор х, и единственным
инвариантом относительно подстановок E3) является скалярный его
квадрат х2. При преобразовании параметра эта величина преобразу-
преобразуется по формуле:
V dt*dt* JT~\ dtdt
•3 Зак. 684. — Бляшке, ч. I

34 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
и, значит, Ух9 действительно является единственной- образованной из
производных первого порядка величиной, обладающей теми свойствами,
которым должна удовлетворять функция <s.
Другой величиной, удовлетворяющей требованиям, наложенным нами
на <р, является несколько более сложное выражение:
для которого справедливость закона E1) легко вытекает из формул D8)
и D9). Пока что мы оставим открытым вопрос о специальном выборе
выражения для а.
Итак, пусть мы нашли некоторую величину «, обладающую тре-
требуемым свойством. Тогда согласно (?0) и E1) диференциал do, опре-
определяемый посредством равенства
da = 9 dt, E7)
является инвариантом, а величина
о = /' <fdt E8)
«о
является интегральным инвариантом. [Он дает инвариантный параметр
нашей кривой. Если взять <р = V х2, то мы получим длину дуги кри-
кривой. Отметим, не останавливаясь на доказательстве этого, что если за <р
взять выражение E6), то диференциал с?-? будет равен .бесконечно
малому углу между соседними", касательными к кривой, так называе-
называемому углу смежности. Соответствующий интеграл E8) будет инвариан-
инвариантом даже по отношению к преобразованию подобия, чего, конечно,, не
будет, когда а есть длина дуги. Прл помощи какой-либо из величин о
мы тотчас же можем из какой-либо инвариантной относительно пре-
преобразования параметра величины 5 вывести путем ее диференцирования
новый инвариант &:
*«77-Т- E9)
В самом деле, для инвариантной по отношению к преобразованию
параметра величины 5 имеют место формулы:
F0)
dS* dS .,
Sit = W ' f •
откуда и' вытекает справедливость нашего утверждения. Величину 5^
мы будем называть инвариантной производной величины S по ди-
ференциалу do. & мы можем вновь подвергнуть инвариантному дифе-
ренцированию:
^ ~ ct у dP <p2 ¦ at lp
и таким образом получать все новые и новые инварианты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ КРИВОЙ 35
Если кривая отнесена к инвариантному параметру E8), то инва-
инвариантная производная по диференциалу da есть не что иное, как про-
иззодная по параметру E8).
В самом деле, если параметр о заранее отождествляется с t, то
согласно формулам E7) и E8) <р = 1, и инвариантные производные
совпадают с обыкновенными. Таким образом производные по о можно
образовывать-^ по формулам E9) и F2) и без того, чтобы предвари-
предварительно выполнять квадратуру E8) и совершать явное преобразование
кривой к параметру о.
Мы можем теперь, положив в основу некоторый общий инвариант-
инвариантный диференциал, образовывать инвариантные производные вектора х:
„/ п да . ' /ео\
точно так же мы можем образовывать инвариантные производные и для
отдельных координат вектора х, которые мы согласно D7; считаем
инвариантными по отношению к преобразованию параметра.
Из векторов F3), если выбор ф зафиксирован, легко, обратно, полу-
получить обыкновенные производные векторы; но это вообще совершенно
излишне, так как мы можем иметь дело только с инвариантными про-
производными, никогда не обращаясь к обыкновенным. Ведь нам придется
заниматься лишь инвариантными геометрическими свойствами кривых,
относящимися к самим кривым, а не к специальным способам их пара-
параметрического представления. Поэтому мы можем всегда считать, что
кривая отнесена к параметру а.
С методом, который мы здесь применили, мы еще встретимся при
изложении теории поверхностей (гл. 5).
В качестве основной инвариантной диференциальной формы мы
будем в теории кривых пользоваться элементом дуги:
F4)
Тогда для векторов F3) преобразования параметра совершенно
устраняются и для определения инвариантов нашей кривой нам остается
только найти согласно сказанному в § 3 и 4 инварианты весторов
относительно подстановок E3). Строго говоря, параметр F4) а с ним
и инвариантные производные, определен лишь с точностью до знака,
но недостаток этот мы можем устранить тем, что выберем на кривой
определенное направление возрастания дуги. Если теперь мы будем
считать положительным корень, входящий в F4), то мы можем сказать,
что инвариантными производными являются производные, "взятые в на-
направлении возрастания дуги. Для первого из векторов F3) мы имеем
согласно формуле A3):
х'2=1. F5)
Отсюда получается для следующих векторов ряд соотношений:
х'х" = О, x'x"'-f xV = O F6)
и т. д. Помимо них никаких тождественных соотношений между векто-
векторами F3) не существует. Следуя § 4, мы могли бы теперь определить
инвгризнты векторов F3), выбрав из них линейно независимые векторы
низшего порядка и образовав из них линейные комбинации, дающие

36
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
остальные векторы. Однако целесообразнее поступить несколько иначе.
Так как мы положили в C4) x'«=gu то векторы F3) тождественны
с векторами §х, glf §1,... Но эти векторы определяют также введен-
введенные в C5) и C6) векторы §2 и |8, а именно:
F7)
Поэтому задача определения инвариантов векторов F3) эквивалентна
задаче определения инвариантных векторов:
»•.»»'_'-' _» „» _» _«>
Хотя этих векторов и больше по числу и некоторые из них излишни,
однако преимуществом является то, что мы можем взять за основные
векторы f j, §2 и |3, которые являются единичными взаимно перпендику-
перпендикулярными векторами и для скалярных произведений которых можно
написать следующую табличку формул:
?1== ^ ' ' F9)
Эти соотношения, как мы увидим, очень удобны при выполнении выкла-
выкладок. Из этих трех основных векторов мы должны прежде всего образо-
образовать линейные выражения, дающие первые их производные. Это мы и
сделаем в следующем параграфе.
§ 9. Формулы Френе
Мы уже нашли формулы ^=— D1) и gj—=
D4). Теперь
нам остается выразить линейно §2 через 5lt |2, §3. В § 7 мы нашли:
Sa^SeXSi. G0)
Отсюда следует:
S3Xh
Установленные нами соотношения:
_Ji + A3.
G1)
ds
~ds~
dk =
ds
* +
P
* —
к
p
* -
к
X
* 1
*
G2)
были найдены Френе (F. Frenet, 1847); они являются основными фор-
формулами всей элементарной диференциальной геометрии пространственных

ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ 37
ривых. Если мы продиференцируем формулы G2) по длине дуги s
и заменим вошедшие в правые части первые производные основных
векторов |j, §2 и §s их выражениями G2;, то мы представим и век-
векторы {?', §g, ?g как линейные комбинации основных векторов. Коэфи-
циентами при этом будут служить выражения, составленные из р, т и их
производных р', хе. Продолжая этот процесс, мы сможем линейно
выразить все векторы ряда F8) через три основных вектора, причем
коэфициентами будут служить выражения, содержащие только р, х и их
производные по дуге. Согласно § 4 полная система независимых инва-
инвариантов векторов F8), т. е. полная система инвариантов нашей кривой,
может быть представлена скалярными произведениями F9) основных
векторов (все эти произведения оказываются постоянными) и коэфи-
коэфициентами, входящими в только что указанные линейные выражения (все
они составляются, как мы видели, из р, т и их производных по дуге).
Можно легко убедиться в том, что р, т и все их производные суще-
существенно необходимы для образования независимых коэфициентов линей-
линейных выражений, т. е. что величины
р, г, р', г', р\ %*, р'",... • G3)
представляют собой систему независимых инвариантов нашей кривой.
Если функции р (s), I (s) известны, то формулы Френе G2) дают
систему диференциальных уравнений для девяти функций jjj (s), §2 (*)» Из (*)•
Проинтегрировав эту систему, мы из уравнения
получим и самую кривую.
Из первой формулы G2) мы тотчас же можем определить те кри-
кривые, для которых кривизна — тождественно равна нулю. Интегрируя
дважды, мы находим:
Искомые линии являются, следовательно, прямыми.
Если тождественно равно нулю кручение, то
-—- = 0, 5,, = const.
Так как далее
ds ~~~" '
то, интегрируя еще раз, мы получаем:
§3 • х = const, G6)
т. е. кривая лежит в одной плоскости, ибо уравнение G6) линейно
относительно xlt x2, xs.
Мы имели х' = |1. Диференцируя, мы получаем:
„// в' Jg

38
и далее:
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
' Ji __ р^ 1 _!з_
Разложим х в ряд:
t я trr
и затем подставим вместо векторов х0, х0, х0, соответствующих
точке 5 = 0, их только что найденные значения. Совместим далее на-
направления координатных осей с направлениями (К^-,,, так что коор-
координаты этих векторов будут:
5i = {1,0,0},
gs = io, о, i}.
Тогда мы получим следующее так называемое каноническое предста-
представление нашей кривой в окрестности S = 0:
Х2=* + -ц
х, = . .
S9
1
Ро
1
Spo^
G7)
Так как стоящие справа ряды могут быть продолжены сколь угода©
далеко, если известна зависимость кривизны, и кручения от длины дуги,
то формулами G7) и заданием начального положения нашего сопут-
сопутствующего триедра |х, |.а, §3 кривая определяется полностью. Канони-
Каноническое разложение дает нам кроме того картину того, как выглядят
вблизи начала прямоугольные проекции нашей кривой на плоскости g;?s.
Вид этих проекций схематически представлен на черт. 2.

О ЗНАКЕ КРУЧЕНИЯ
39
§ 10. О знаке кручения
Согласно D4) мы имеем:
5'=--Ь
следовательно,
Введем в левую часть этой формулы производные вектора х.
Согласно формулам C5) и C6) мы имеем:
Следовательно,
Таким образом и для определения р и х по х (s) мы имеем формулы,
G8)
(х'х"х'")
Вычислим еще выражения кривизны и кручения для случая произ-
произвольного параметра к Если диференцирование по t мы будем обозна-
обозначать точками над буквами, а диференцирование по s штрихами, то мы
можем написать;
_/ х ,
'G9)
Многоточие в последней формуле указывает на наличие членов,
линейно зависящих от х и х. Отсюда мы получаем:
1
t*
1
х'х* — (х х)*
(XXX)
(хХх)»
^ (хХх>
(80)
В формулах G8) и (80) следует обратить внимание на то обстоя-
обстоятельство, что кручение можно вычислить при помощи рациональных
операций, не прибегая к извлечению корня, вносящего в результат*
многозначность. Следовательно, знак кручения имеет геометрический
смысл. Предположим, что положенная нами в основу система координат
выбрана так, что можно большой палец правой руки совместить с на-

40
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
правлением оси хи указательный палец с осью лг2 передний—с осью xs
(черт. 1). Тогда мы можем схематически представить ход винтовой
линии с положительным и отрицательным кручением так, как показан»
на черт. 3.
В самом деле, если мы вычислим для винтовой линии [см. фор-
формулы A4) § 5] кривизну и кручение, то получим:
xL = — a sin t, x± = — a cos t, xv = -j- a sin t,
дг2 =з -(- a cos t, х2 = — a sin t, дг2 = — a cos t,
и отсюда
x2 = a*, xx = 0,
Формулы (80) дают:
— = rt
P
1
Таким образом кручение положительно или
отрицательно, (Сообразно тому, положительно или.
отрицательно Ь\ первый случай представлен на
черт. 3, а; второй—на черт. 3, Ь. Таким же обра-
образом можно наглядно представить значение знака
кручения для произвольной кривой. Мы можем,,
например, исходить из канонического ее представ-
представления G7).
Если мы возьмем зеркальное отражение нашей кривой, переменив*
например, знак одной из координат х(, то кручение переменит свой
знак. Заметим, что усики винограда растут, закручиваясь положительно,,
а усики хмеля—отрицательно.
§ 11. Кинематическое истолкование формул Френе
Мы дадим сейчас кинематическое истолкование формул Френе, пред-
предложенное Дарбу (G. Darboux) 1.
1 Ср. G. Darboux, Theorte des surfaces, т. I, гл 1, Paris, Gauthier-Villars, 1887.
Это произведение Дарбу, имеющее 4 тома, и поныне является одной из наи-
наиболее изящных и содержательных работ по диференциальной геометрии. Гастон
Дарбу родился в 1842 г. в Ниме. 18 лет он прибыл в Париж. В интеллектуальной
жизни этого города он стечение .57 лет играл выдающуюся роль. Уже будучи
студентом Ecole polytechnique и Ecole normale, он обратил на себя внимание
своими выдающимися математическими дарованиями. Скоро он достиг славы
и занял высокие академические должности. В 1880 г. он был назначен преем-
преемником Шаля по кафедре геометрии в Сорбоннском университете, а 4 года,
спустя—членом института. Благодаря выдающимся педагогическим талантам-
Дарбу стал основателем обширной французской математической школы. О жизни
и трудах Дарбу см. A. Voss, Jahrbuch d. Kgl. bay. Ak. d. Wiss. 1917, стр. 26—53,
или Jahresber. d. D. Math. Ver., т. 27, стр. 196—217, 1918. Далее L. P. Eisenharf
und D. Hilbert, A eta mathematica, т. 42, стр. 257—284 и 269-273, 1920. Укажем,
наконец, на носящую отчасти автобиографический характер речь Дарбу, произне-
произнесенную им на римском математическом конгрессе в 1908 г.. ,Atti. del congresso I",
стр. 105-122.

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ФОРМУЛ ФРЕНЕ 41
Если мы будем вращать твердое тело вокруг неподвижной оси, то
все точки тела, находящиеся на равных расстояниях от оси, будут
иметь равные скорости. Чем дальше отстоит точка от оси, тем большей
скоростью она будет обладать, и скорость точки будет пропорциональна
ее расстоянию от оси. Скорость w, которой обладают точки, находя-
находящиеся на расстоянии 1 от оси, называются угловой скоростью вращения.
Если точка находится на расстоянии г от оси, то скорость ее предста-
представляется выражением:
о» • г. (81)
Представим себе теперь,1* что начало о нашей системы координат
помещено в некоторую точку оси вращения. От точки О мы отложим
на оси вращения „вектор вращения" d, длина которого}/^2 равна <а, а
направление выбрано так, чтобы для наблюдателя, обращенного лицом
в сторону этого вектора, вращение происходило в направлении, проти-
противоположном направлению движения часовой стрелки. Пусть
далее ресть вектор, идущий от начала о к произвольной
точке твердого тела. Расстояние г этой точки р от оси
представляется тогда формулой:
)\ (82)
В самом деле, из черт. 4 мы видим, что Черт.
r==/p^.sin?, (83)
где ер — угол между р и d. Но согласно формуле A4) § 1:
pd
cos 9 = ,S r—
Таким образом
В этой формуле мы можем согласно формуле B8) § 2 заменить
первый корень выражением jA (d X р)а> Теперь, принимая во внимание,
чтоо) = угA2' мы получим из формулы (81) следующее выражение для
скорости v точки р:
v=Y(dXpf. (85)
Если мы обозначим через v вектор скорости точки р, то, очевидно,
-имеет место формула:
v = d X р. (86)
В самом деле, так как v перпендикулярно к d и к р, то имеет место
равенство:
v = X.(dXp),
где X — некоторый множитель. Но из vv = i>a и из формулы (85) сле-
следует, что X2 = 1, а из установленного выше соглашения о направлении
вектора d вытекает, что X = -j-l. Этим формула (86) доказана.

42 ..ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Представим себе теперь твердое тело, имеющее неподвижную точку,
.которая помещена в начале координат. Пусть это твердое тело движется
так, что оси координат остаются все время параллельными основным век-
торам |1( |2, jj3 некоторой пространственной кривой x(s). Пусть при
этом точка кривой перемещается по этой кривой со скоростью 1, так
что мы можем считать букву s равной времени t.
Любую точку этого тела мы можем представить следующим образом:
Вектор скорости этой точки у = -г- согласно формулам Френе
представится тогда так: „
Если теперь представить вектор d в виде линейной функции векто-
векторов {{ и воспользоваться для определения коэфициентов этой функции
уравнением (86), то, принимая во внимание соотношения SiX§2 = §8»
?X53 = §i; §sXii = §2» найдем:
d==l|1 + l|8. (87)
Мы получили таким образом следующий результат: компонентами
лектора вращения для сопутствующего триедра пространственной
кривой служат: кручение—в направлении касательной и кривизна—
s направлении бинормали.
Если, наоборот, мы введем кривизну и кручение формулой (87), то
тотчас же получим формулы Френе:
(88)
§ 12. Плоские кривые. Теорема о четырех вершинах овала
Если кривая плоская, то кривизне ее, после того как установлено
положительное направление отсчета дуг, можно приписать определенный
знак. Этого мы можем достигнуть следующим образом. Пусть х (я) кривая,
лежащая в плоскости лгв = О. Положим:
х[ ¦= cos X, х'г ¦= sin X, хг = 0 (88а)
я примем за главную нормаль единичный вектор
рх[ * cosf X -\-уJ ¦= — sin X а— — х'%,
fx"t -= sinfx -\- -^ J —: -\- cos X =т -J- х\,
Мы получаем таким образом (равную нулю координату xs мы в даль-
дальнейшем будем опускать) следующие формулы, играющие для плоской

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ , 43
кривой ту же роль, что для пространственной формулы Френе: ,
, Р*1 *=>—*,, Р*а= + *г (89)
Этим определяется знак р; он меняется на обратный при изменении ds.
Теперь мы дадим пример применения формул (89) и докажем с их
помощью одну теорему „диференциальной геометрии в целом". Пусть x(s)
есть замкнутая плоская кривая, для которой индикатриса касательной
есть круг, пробегаемый точкой индикатрисы всегда в одном и том же
направлении при заданном направлении обхода по нашей кривой. Тогда
кривизна — имеет всегда один и тот же знак; положим, например,
что — > 0. Такая кривая обладает тем свойством, что прямая может
пересекать ее не более чем в двух точках, и называется выпуклой
линией или овалом. Примером овала может служить эллипс. Назовем „вер-
„вершиной" овала ту его точку, в которой кривизна х —— имеет производную,
равную нулю (х' = 0). Такими точками являются в случае эллипса точки,
лежащие на его осях; эти четыре точки являются, как легко проверить
вычислениями, единственными вершинами эллипса, если только эллипс
не есть круг. Докажем теперь следующую теорему:
Теорема о четырех вершинах овала. Каждый овал имеет
по меньшей мере четыре вершины.
Докажем прежде всего такую лемму: взятый вдоль контура овала
интеграл
f(«o + ?i + ?2)"' •ds = O) (89a)
здесь at—произвольные постоянные, x^s), x.2(s)—текущие координаты
точки овала и x(s)— соответствующая кривизна. Так как а( — произ-
произвольные величины, то нужно доказать следующие три соотношения:
*'ds = 0, (р x^'ds = 0, (р x2*fds = 0.
Первое непосредственно следует из замкнутости кривой; в спра-
справедливости второго и третьего мы убедимся, интегрируя по частям
и применяя формулы (89):
Ф x1-x.'ds = — Ф x'1nds = — Ф x'^ds = Q.
Так как мы считаем х (s) непрерывной функцией, то на нашем овале
безусловно имеются две точки, в одной из которых величина х дости-
достигает наибольшего своего значения, а в другой—наименьшего. В этих
точках величина х' во всяком случае равна нулю, и этим обеспечивается
существование двух вершин р и q. Предположим, что х' нигде между р
и q не меняет сдоего знака, т. е. что на одной из дуг pq нашего овала
эта величина всегда ^0, а на другой всегда g? 0, и пусть Oq ~\- axxv -f-
-j- а2лг2 = 0 есть уравнение прямой, соединяющей точки р и q. Тогда
выражение {aQ-\-aixl -\- а^з) *' сохраняет постоянный знак на протя-
протяжении всей овальной линии. Но тогда интеграл (89а) не может быть равным
нулю. Итак, допущение, что х' меняет на овале знак лишь 2 раза, ведет
к противоречию с установленной нами леммой. А так как из замкну-

44 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
тости кривой вытекает, что число перемен знаков величины %', если
только это число конечно, непременно должно быть четным, то число
четыре является, действительно, наименьшим. Приведенное выше доказа-
доказательство многократно доказывавшейся теоремы о четырех вершинах
сообщено автору Г. Герглотцем (G. Herglotz) l.
§ 13. Центр кривизны и соприкасающийся круг
Возвратимся теперь к пространственным кривым и будем попрежнему
предполагать, что х" ф О- Сфера с центром у и радиусом а, очевидно,
может быть представлена уравнением:
координаты вектора х суть текущие координаты точки сферы. Если
сфера с центром в у и радиусом а должна иметь с кривой х (s)
при s = s0 три слившиеся общие точки, то разложение
по степеням s — s0 должно начинаться с членов третьего порядка,
т. е. при s = s0 должны иметь место соотношения:
Приняв во внимание формулы Френе, мы можем представить эти
соотношения в виде: :
(х —уJ = а2, (90а)
, (х —У)?! = 0, (90Ь)
(х —y)i?+l=0. (90с)
Формула (90Ь) показывает, что центр сферы у лежит в нормальной
плоскости, а (90с) выражает, что ортогональная проекция точки у на
главную нормаль отстоит на расстоянии р от точки х. Если мы пред-
предположим, что точка у лежит в соприкасающейся плоскости, то получим:
(91)
Таким образом существует одна и только одна сфера, на поверх-
поверхности которой лежат „три бесконечно близкие" точки кривой и центр
которой лежит в соприкасающейся плоскости. Точку у соприкасающейся
плоскасти, служащую центром этой сферы, мы назовем центром кривизны,
а тот круг, по которому сфера пересекается с соприкасающейся плос-
плоскостью, т. е. круг, проходящий через три бесконечно близкие точки
кривой, кругом кривизны, или соприкасающимся кругом.
Таким образом мы нашли геометрический смысл радиуса кривизныр,
т. е. величины, обратной величине кривизны. Так как у — х = р§а, то
1 Другие доказательства см. Mukhopadhyaya, Bull. Calcutta, Math. Soc, т. 1,
1909; A. Kneser, H. Weber-Festschrift, стр. 170-180, Leipzig und Berlin 1912;
W. Blaschke, Rendicont' di Palermo, т. 36, стр. 220—222, 1913; H. Mohrmann,
там же т. 37, стр. 267—268, 1914. !

СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА 45
вектор главной нормали §2 направлен к центру кривизны или в противо-
противоположную сторону, смотря по тому, выбрали ли мы для р положительное
или отрицательное значение. Прямую, по которой пересекаются пло-
плоскости (90Ь) и (90с), или, иначе говоря, линию пересечения „бесконечно
близких" нормальных плоскостей называют осью кривизны кривой.
Она пересекает под прямым углом соприкасающуюся плоскость в
центре кривизны.
§ 14. Соприкасающаяся сфера
Разыщем теперь сферу, проходящую через четыре бгсконечно близ-
близкие точки кривой x(s). Пусть z будет ее центр, а /? — ее радиус.
Тогда выражение
g(s) = (x — zK —/?* • (92)
при s = s0 должно обращаться в нуль вместе со своими производными
до третьего порядка включительно. Это дает помимо трех соотношений,
выше выведенных при несколько отличных обозначениях, еще одно
четвертое соотношение, и мы получим:
(х-х)-Ь+1-0,
Если мы в соответствии с первыми двумя из этих уравнений положим
+ cl8. (94)
то, предполагая, что — ф 0, мы получим из третьего:
о = тгр'.
Таким образом центр соприкасающейся сферы определяется формулой:
(95)
а квадрат ее радиуса формулой:
/p=spa-{-p'a.ca. (96)
Центр г соприкасающейся сферы лежит согласно формуле (95) на оси
кривизны.
Диференцируя формулу (95) и применяя формулы Френе, мы
получаем:
{| ф. (97>
Для пространственной кривой, лежащей на некотором неподвижном
шаре, должно, следовательно, удовлетворяться уравнение:
?)-0. (98)

46 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Обратно, если мы предположим, что диференциальное уравнение (98)
тождественно удовлетворяется функциями p(s) и t (s), то z' = 0 и, сле-
следовательно, z = const., а уравнение (96) дает: <
-о
и, следовательно, /? = const. Отсюда следует, что соотношением (98)
определяются все сферические пространственные кривые.
Возьмем теперь кривую, кривизна которой постоянна (р' = 0). Для
этой кривой центр соприкасающейся сферы (95) совпадает с центром
кривизны (91):
Отсюда находим:
dx* _ р - &*__,_ р
Т (99)
и, следовательно,
Диференцируя далее уравнение A00) по s, мы получаем:
р*
или
Возводя скалярно обе части этого уравнения в квадрат, мы найдем:
р*2==р2== const.
Далее мы будем иметь:
?=x*-[>Sa = x. A03)
Следовательно, кривые (х) и (х*) имеют равные постоянные кривизны»
и каждая из этих кривых является геометрическим местом центров кри-
кривизны для другой.
Формулы (ЬЗ) могут быть истолкованы еще следующим образом.
Первая из них, если считать z переменным, представляет собой уравне-
уравнение нормальной плоскости - нашей кривой х (s). Два первых уравнения,
вместе взятые, выражают поэтому, что ось кривизны, на которой лежат
точки у и z, служит пересечением двух бесконечно близких нормальных
плоскостей. Если присоединить еще третье уравнение, то мы обнаружим,
что точка z является точкой пересечения трех бесконечно близких нор-
нормальных плоскостей.
§ 15. Кривые Бертрана
Пары кривых постоянной кривизны, рассмотренные нами в. преды-
предыдущем пграграфе, представляют собой один из примеров пары кривых
с общими главными нормалями. Задачу разыскания всех таких пар.

КРИВЫЕ БЕРТРАНА 47
впервые разрешил Бертран (J. Bertrand) 1. Он воспользовался следующим*
методом.
Пусть x(s) — одна из кривых пары, а
х* = х = я§2 (Ю4>
другая. Диференцируя и применяя формулы Френе, мы получаем:
Так как этот тангенциальный вектор должен быть перпендикулярен к |а».
то а' во всяком случае должно равняться нулю, следовательно, а должно*
быть постоянным. Обозначив через о> угол между fj и единичным тан-
тангенциальным вектором |1, соответствующим точке х*, мы можем напи-
написать соотношение:
l^^ljcosoe-f-lgsino). A06)
*
Диференцируя его, мы получим:
rfg* ds* ?2 dsP /cos <o sin <o\ tf'cosco rfsinto
~dW ' ~dT = У "ЯГ = *2 l~7 "J + 5! ^ ¦ +?з-^— • A07>
Для того чтобы главные нормали |2 и §* совпали, угол m должен быть»
постоянным. А так как векторы |* и —?- коллинеарны, то из формул
A05) и A06) следует:
Р t
cos m sin m
= 0. A08>
Таким образом между кривизной и кручением существует линейная
связь, выраженная уравнением:
я sin <о . a cos а> . ... nnv
— 1 — = smo>. A09)
Если ю = -^-, то мы получаем уже рассмотренный в предыдуще»
параграфе случай кривой постоянной кривизны. Если мы исключим,
тривиальный случай sino) = 0, имеющий место для плоских кривых*
то мы можем положить:
a ctg m s= b
и переписать уравнение A09) в следующем виде:
7+7 = 1- 010>
Если мы обратим путь наших рассуждений, то докажем, что условие A10)
не только необходимо, но и достаточно. Для винтовой линии (р, т = const.)
существует бесчисленное множество соотношений (ПО) и соответственно,
с этим бесчисленное множество винтовых линий, образующих вместе
с первой пару Бертрана.
1 J. Berirand, Memoire sur la theorie des courbes a double courbure, Paris,,,
Comptes Rtndus, т. 36, 1850 и Liouvilles J. A), т. 15, стр. 332—350, 1850.

48 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
§16. Натуральные уравнения
Возникает вопрос, определяется ли заданием функций р = р (s) и
т = х (s) пространственная кривая однозначно (с точностью до переме-
перемещения в пространстве)? Для случая аналитических кривых мы уже раз-
разрешили этот вопрос в положительном смысле в § 9, G7), пользуясь
каноническим представлением кривой. Если же предполагать только дифе-
ренцируемость, то доказательство можно повести следующим образом.
Согласно формулам Френе координаты |(Л вектора |( сопутствующего
триедра удовлетворяют линейным однородным уравнениям с кососимме-
трическим определителем:
jflfe. Sit I 5зч- i?*.
ds ~~ p i i ' ds ~~
ds ~~ P;' ds ~~ p i i ' ds
Допустим, что кроме кривой х (s) существует еще другая кривая х (s),
Для которой \(li также удовлетворяют уравнениям A11). Тогда из косо-
кососимметричности формул Френе следует, что
^(Sulu + ^+laJs^O. A12)
"Перенесем теперь кривую x{s) в пространстве так, чтобы триедр ее,
соответствующий 5 = 0, совпал с триедром s = t) кривой x(s). Тогда
:при s — 0 мы имеем:
и, значит, в силу A12) это же соотношение имеет место для всех s.
Таким образом единичные векторы с координатами |(А, |ift, t = l, 2, 3
«совпадают друг с другом при любом s: |tt==|tt. В частности, при s = 0:
5i-Ii = -s-(*-x) = 0 A14)
|И, следовательно, в силу того что по нашему предположению х — х = 0
при s = 0, равенство
x(s) = x>) ' A15)
•будет справедливо при любом s, что и требовалось доказать.
Остается установить, могут ли функции р (s) и х (s) быть заданы
произвольным образом. Если мы в A11) вместо |№ будем писать для
гкраткости и4, то мы должны будем решить уравнения:
ds ~~ р ' Л ~~ р т~~' "&""~~~* '-110''
Если функции —ту» -wjr непрерывны в некотором интервале, содержа-
содержащем s = 0, то согласно известной теореме существования (см. следующий
§ 17) при произвольных начальных значениях мы будем иметь одну
хистему решений.
Найдем три такие системы решений:
(?11> *21> »3l)> (?12> ?82> ?3а)> (§18> ?28> »8з)>

НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
49
соответствующие начальным значениям:
A, 0, 0); @, 1, 0); (О, О, 1).
Так как
d ^= * =0
A17)
в силу кососимметричности матрицы A11), то \ih не только при s = 0,
но и- при каждом s удовлетворяют условиям ортогональности матрицы:
= 0 для i ф я,
(П8)
= 1 ДЛЯ I = Д.
Если теперь мы положим
dxi _в
ds ""»"»
A19)
to получим кривую, кривизна и кручение которой, как нетрудно убе-
убедиться, выражаются заданными функциями —гт> ~Т7'
Таким образом заданием непрерывных функций —j-r и —г-г кривая
действительно определяется однозначно с точностью до ее перемещений
в пространстве. Формулы
P = p(s), t = t(s) A20)
называются натуральными уравнениями
кривой. Название это подчеркивает, что
уравнения эти не зависят от выбора осей
координат. В натуральных уравнениях любой
кривой можно всегда произвести замену s
на rt s -j- const.; этим меняются лишь начало
и направление отсчета дуг.
В качестве примера выведем натураль-
натуральное уравнение эпициклоиды, т. е. кривой,
описываемой точкой круга, катящегося без
скольжения по окружности другого круга,
расположенного в плоскости первого. Пусть а
и Ха радиусы неподвижного и подвижного
кругов. Тогда для кривой (черт. 5) мы найдем следующее параметри-
параметрическое представление:
Черт. 5.
х1 = а{ (l-J-X)cos'X'?— Xcos(X-{-l)<p},
ха = а { A -f X) sin Xo — \ sin (X -f-1) <р }
:1
A21)
Отсюда, выбирая надлежащим образом постоянную интеграции, мы по-
подучим:
f lMJ + XJn-l. (i22)
. +2Х
4 8<мс. 694. — Бляшке, ч. I

50
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Таким образом натуральные уравнения эпициклоиды и^меют вид:
}«, ± = 0. A23)
Замечательно, что, хотя эпициклоида является в общем случае кри-
кривой трансцендентной, однако соотношение, связывающее s и р, всегда
является алгебраическим.
§ 17. Лемма из теории линейных диференциальных уравнений
В предыдущем параграфе мы сослались на то, что система уравнений
-¦?-2 «а
(/=1,2,3), A24)
если все cik (s) в промежутке 0 ^ s а? г непрерывны, имеет в том же
промежутке непрерывные решения, принимающие при s = 0 наперед
заданные значения и°. Доказательство получается проще всего методом
последовательных приближений.
Положим
з
Пусть
A25)
О к
О к
Тогда
*? —и."
п
Следовательно, последовательность функций u"(s) в интервале
сходится равномерно:
A26)

ЛИНИИ ОТКОСА 51
В силу этой равномерной сходимости формулы A25) при и-»-оо
дают:
о
или
что и требовалось доказать 1.
§ 18. Линии откоса
Кривые, касательные к которым образуют постоянный угол с неко-
некоторым неизменным направлением, называются линиями откоса (Boschungs-
linien). Название это введено Е. Мюллером. Примером таких линий
являются все плоские, а также винтовые линии (§ 5). Сферической инди-
индикатрисой касательных линий откоса является окружность. Если мы обо-
обозначим через е единичный вектор неизменного направления, а через &
постоянный угол, то будем иметь соотношение:
eS1 = cos». A29)
Дйференцируя его, получим:
е§2 = 0. A30
Вектор е лежит, таким образом, в плоскости |1? |3. Поэтому мы
можем положить:
e|3 = sin&. A31)
Дйференцируя A30) и принимая во внимание формулы Френе и фор-
формулы A29), A31), мы получаем:
sin 0 cos в п . а ,,,„,
= 0 или -с = р tg &, A32)
т. е. кривизна и кручение линии откоса находятся в постоянном
отношении.
Обратно, если выполнено условие A32), то
(gcos&4g,sin&) = 0, A33)
и, следовательно, направление
' e = ?icos&-f'?8sin& A34>
и величина
e§1 = cos» A35)
остаются неизменными, и, значит, наша кривая есть кривая откоса. Точно
так же и уравнение A30) или, что то же
сРх _
е 0
1 Доказательство единственности решения можно вести так же, как оно
ведется во второй части этой работы (§ 50, лемма 1).
4*

52 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
может служить для определения линий откоса, ибо, интегрируя, мы
находим:
^ = const.
Спроектируем линию откоса на плоскость, перпендикулярную к е. Пусть
проекция ее будет x(s): _
х = х — (хе)е. A36)
Тогда при помощи A29) мы получаем:
Далее
Поэтому
и мы, следовательно,
V
х' =
--,
ds
имеем:
12 = ?2
= il-
~?=
\ds,
и
— е cos о,
"Т"
= sin &, 5 = s sin 8.
/ psm2» "р '
р ess p Sin2 &.
A37)
A38)
A39)
A40)
A41)
§ 19. Линии откоса на сфере
Для нахождения неплоских линий откоса на сфере радиуса R мы
воспользуемся прежде всего формулой (96) § 14:
Согласно формуле A32) мы имеем:
Поэтому
Выбирая надлежащим образом начало отсчета дуг s = 0, мы получаем:
S = _tgi>^#2_p2 A42)
ИЛИ '
p==|/^2_s2ctg2&. A43)
Для ортогональной проекции (§ 18) нашей линии откоса мы имеем
в силу A39) и A41):
Р = V #* sin* Ь —72 cos2 Ь. A44)
Как мы видели в § 16, A23), эти проекции представляют собой
эпициклоиды. На черт. 5а эта связь между сферической линией откоса
и эпициклоидой изображена при помощи вертикальной и горизонталь-
горизонтальной проекций.

ЛИНИИ ОТКОСА НА ПАРАБОЛОИДЕ ВРАЩЕНИЯ
53
Черт. 5а.
Упомянем здесь о следующем свойстве линий откоса сферы. Представим
•себе, что с сопутствующим триедром неплоской линии нераздельно свя-
связана плоскость, не параллельная и не перпен-
перпендикулярная направлению е.
При движении триедра вдоль кривой эта
плоскость огибает некоторую линию, лежащую
на эллипсоиде вращения, ось которого парал-
параллельна е и проходит через центр нашей сферы Ч
§ 20. Линии откоса на параболоиде
вращения
Отыскивая линии откоса на параболоиде
вращения, ось которого параллельна направле-
направлению е, мы найдем, что проекции их на плос-
плоскость, перпендикулярную к е, будут эвольве-
эвольвентами круга, т. е. плоскими кривыми, центры
кривизны которых лежат на некотором круге.
Это можно вывести из результатов преды-
предыдущего параграфа, произведя сначала растяже-
растяжение сферы вдоль направления е, а затем полу-
получив параболоид предельным переходом из обра-
образовавшегося после растяжения эллипсоида. Но
указанное предложение можно вывести и совер-
совершенно независимо, и даже без всяких вычислений.
Пусть координаты нашего вектора е будут 0, 0, 1, т. е. вектор е
направлен по оси дг3. Уравнение параболоида пусть будет:
х\-\-х\*=Ъсх&. A45)
Согласно A29) и A30) угол между соприкасающейся плоскостью
линии откоса и осью ха есть 8, и, следовательно, уравнение соприка-
соприкасающейся плоскости может быть приведено к виду:
^3 = x1ctg8-|-const- A46)
Линией пересечения этой плоскости с параболоидом будет эллипс, имею-
имеющий с нашей линией три бесконечно близкие общие точки. Проекция
этого эллипса на дг8 = 0 будет также эллипсом, и последний будет-иметь
с проекцией линии откоса на ту же плоскость три бесконечно близких
общих точки. Уравнение этого эллипса мы найдем, исключая дг3 из A45)
и A46). Оно будет иметь вид:
^-j-x| = 2c<ctg&-f const. . A47)
Отсюда следует, что наш эллипс является кругом, и последний, оче-
очевидно, будет соприкасающимся кругом для проекции линии откоса-
Центр этого круга отстоит от оси вращения (от начала координат)
на постоянном расстоянии с ctg 8. Таким образом геометрическим местом
центров кривизны проекции нашей линии откоса действительно является
окружность.
1 См. W. Blaschke, Bemerkuhgen fiber allgemelne Schraubenlinien, Monatsh
Math. Phys., т. 19, cip. 188—204, особенно стр. 198, 1908.

54 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
§ 21. Эволюты; евольвенты
Кривые, лежащие на поверхности касательных пространственной кри-
кривой х (s) и пересекающие касательные под прямым утлом, называются
эвольвентами этой кривой. Если мы положим
х*==х —г§„ A48)
то получим:
4~ = A--г')§1-'-^. A49)
Таким образом должно удовлетворяться соотношение:
?!-^ = 1—/ = 0, A50)
из которого вытекает, что г = s-j- const. Итак, искомые эвольвенты пара-
параметрически представляются следующим образом:
x* = x(s) —(s-f const.) te^L. , A51)
CIS
Более интересной является обратная задача: отыскать по заданной (х*)
ее эволюту (х). Если мы поменяем ролями обозначения х* и х, то за-
задачу эту можно будет сформулировать так: найти такое семейство нор-
нормалей кривой х (s), которое было бы семейством касательных некоторой
кривой х* (s). В соответствии с этим положим:
A52)
Тогда будем иметь:
Так как векторы х*—х и —т— должны быть коллинеарны, то прежде
всего должно иметь место соотношение:
«а = Р. A54)
т. е. точка х* эволюты, соответствующая точке х, лежит на оси кри-
кривизны (§ 13) точки х. Далее должно удовлетворяться соотношение:
' Г Из + Т =о A55)
Р "з
или
PM'~^2P=V- A56)
Отсюда следует:
arctgJ /^. A57)
Поэтому
/^ A58)

ИЗОТРОПНЫЕ КРИВЫЕ 55
Так как при интегрировании появляется произвольная постоянная, то
эволюты
A59)
зависят от одного параметра. Угол, под которым две эволюты видны
из х, остается неизменным при изменении х. В частном случае, когда
кривая x(s) плоская, эволюты ее представляются уравнением:
.. х* = х + р?3 + ср|3. A60)
Таким образом плоская кривая имеет только одну плоскую эво-
эволюту (с = 0). Остальные же эволюты являются линиями откоса,
касательные к которым наклонены к плоскости кривой (х) под
постоянным углом.
§ 22. Изотропные кривые
Иногда оказывается полезным, — даже в тег случаях, когда нас
интересуют только результаты, допускающие наглядное геометри-
геометрическое представление, — рассматривать также и мнимые кривые, т. е.
предполагать, что xk(t) суть комплексные аналитические функции ком-
комплексного аргумента t = u-\-iv с общей областью существования. Если
мы будем учитывать число вещественных измерений, то эти мнимые
кривые будут носителями оо2 точек, ибо точка кривой определяется
заданием значений двух вещественных параметров и и v. Изложенная
нами теория кривых в общем и целом распространяется и на мнимые
кривые; однако в некоторых особых случаях выводы наши для мнимых
кривых теряют свою силу. Так, например, может случиться, что длина
дуги мнимой кривой равна нулю, причем кривая отнюдь не стягивается
в точку. Действительно, из условия
теперь уже нельзя сделать вывода, что х' = 0. Кривые, для которых имеют
место соотношения х'2 = 0; х' ф 0, называют изотропными или, иначе,
минимальными кривыми. В дальнейшем мы убедимся, что с помощью
этих лишенных наглядности мнимых кривых можно образовать целый
класс обладающих чрезвычайной наглядностью поверхностей, именно класс
так называемых минимальных поверхностей. Это те поверхности, по
которым располагается мыльная пленка, держащаяся на произвольном
замкнутом пространственном контуре.
Из х'2 = 0 следует: *"
х'х" = 0, х'х"' = — х
и, следовательно, согласно теореме умножения определителей
0 0 — х
(х'х"х'")а =
0 х
v"a *
= — (хK. A62)
Аналогично мы получим для произвольного вектора:
(x'x"v)a = — х"* • (х'vK.

56 ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Отсюда следует, что величина (х'х"х'") (а вместе с ней в силу A62)
и величина х) обращается тождественно в нуль лишь в том случае,
если х' Xх" = 0 '*, т. е. согласно § 6 лишь в том случае, когда изо-
изотропная линия является прямой.
Эти изотропные прямые мы в дальнейшем исключим из рассмотре-
рассмотрения. Отнеся нашу кривую к новому параметру р, мы будем иметь
соотношение:
(lb4>
(x'v), \WJ - (х' v), '
Если мы пожелаем выбрать новый параметр р так, чтобы
(x'x"v)p = -(x'v)p A65)
при любом векторе v 8, то нам нужно будет только положить:
Этим мы устанавливаем инвариантный параметр р. Впервые его ввел
Вессио (Е. Vessiot); затем им пользовались другие, в частности Штуди
(Е. Study) s. Так же, как прежде длина дуги, параметр р определен
при помощи квадратного корня, т. е. двузначно. При t = p мы полу-
получаем из формулы A65) 4:
х'Хх" = -х', A67)
а в силу формулы A63) мы имеем:
х = — 1. A68)
Далее в силу A67) мы имеем:
(х' х" х'") = — х' хт = х = - 1. A69)
Покажем, как вычисляется кривизна ортогональной проекции нашей
изотропной кривой на плоскость, перпендикулярную к данному единич-
единичному вектору е.
Пусть, например, эта плоскость проходит через начало координат;
Тогда для ортогональной проекции у некоторой точки х нашей кривой,
мы имеем:
у ==х —(ех)е,
у'=У-(ех')е, A70)
у" = х" = (ех")е.
1 В самом деле, если х = 0, то в силу A63) величина (х' х" v) = (х' X х") v
равна нулю при любом v. Это возможно лишь в том случае, когда х' X х" = 0-
Прим. перев.
2 Для любого параметра отношение величин (х' х" v) и (х' v) есть величина;
не зависящая 'от вектора V. Это прямо вытекает из формулы A63). Параметр р
характеризуется, следовательно, тем,что это отношение равно—1. Прим.перев..
8 Е. Vessiot, Comptes Rendus, т. 140, стр. 1381—1384, 1905; Е. Study, Zur
Differentialgeometrie der analytiscben Kurven, Trans. Amer. Mgth. Soc, т. 10,,
стр. 1—49. В этой работе мнимые кривые изучаются систематически.
4 В силу произвольности вектора v в этой формуле. Прим. перев.

БЕСКВАДРАТУРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОТРОПНЫХ КРИВЫХ 57
Отсюда с помощью формул A61), A68) находим:
У Г =-(ех')(ех"), A71)
Согласно формуле (80) § 10, мы получаем для кривизны кривой (у):
, * У У ~'У У ) * (\71'\
2 — . (у/2)8 (е х'L ' \*1Л)
или, выбирая произволь нак:
Эта формула дает геометрические свойства вектора х'. Из нее,
например, мы получаем выражения радиусов кривизны ортогональных
проекций на координатные плоскости:
/ЙГ = х/. A74)
Из последней формулы мы получаем:
O- 075)
Словами: сумма радиусов кривизны для соответственных точек
проекций изотропной кривой на три взаимно перпендикулярные пло-
плоскости при надлежащем выборе знаков равна нулю 1.
§ 23. Бесквадратурное представление изотропных кривых
Все изотропные кривые, т. е. все решения диференциального урав-
уравнения ' х'а = 0, можно представить при помощи одной произвольной
аналитической функции и ее производных. В самом деле, для сопри-
соприкасающейся плоскости криволинейной изотропной линии мы имеем
согласно формуле A67):
(у — х, х', х") = — (у — х, х') = 0. A76)
Но вектор х', определяющий положение плоскости, удовлетворяет урав-
нению х'2 = 0, поэтому, если мы будем обратно исходить из семейства
таких изотропных плоскостей, не остающихся при движении парал-
параллельными самим себе, то мы можем их представить с помощью пара-
параметра t следующим образом:
t — 2ty, = 2if(f),
A77)
где Р равняется — 1, а/—аналитическая функция. Если мы продифе-
ренцируем это уравнение дважды по t, считая у постоянным, то,
решая полученную систему уравнений, мы найдем для искомой линии
следующее представление:
W. Blaschke, Arch. Math. Phys., т. 14, стр. 355, 1905, задача 256.

58
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Отсюда следует:
dt
A78)
/и ДД>2
' At ~"
f"
dx3
= itf",
A79)
'" 2 ~J ' dt * 2 J ' dt
'2 = 0 кривая A78) действительно изотропна. Нужно
и вследствие х )
только предполагать, что f" не обращается тождественно в нуль. Для
натурального параметра Вессио и Штуди р мы получим:
A80)
Из параметрического представления, A78) мы можем без труда полу-
получить те результаты, которые мы вывели в конце предыдущего параграфа.
§ 24. Задачи и теоремы
Прежде всего мы предложим задачу на определенные во введении опе-
операции с векторами.
1. Доказать тождество:
(а X Ь, с X d, е X f) = (а, Ь, d) (с, е, f) - (а, Ъ, с) (d, e, f).
Далее'мы приведем некоторые результаты, относящиеся к кривым двоякой
кривизны.
2. Соприкасающаяся плоскость. Если для некоторой точки кривой
х — фОи — ф 0, то соприкасающаяся плоскость является той плоскостью, про-
проходящей через касательную в точке х, которая пересекает кривую в этой точке.
3. Теорема Бельтрами. Поверхность, образованная касательными простран-
пространственной кривой, пересекает соприкасающуюся плоскость кривой в некоторой
4
ее точке х по плоской кривой, радиус кривизны которой в точке х равен -^-
о
радиуса кривизны пространственной кривой в той же точке х.
4. С помощью теоремы о среднем диференциального нечисления доказать
существование соприкасающейся плоскости, предполагая о функциях Xi(t)
лишь то, что они вместе со своими производными первого и второго порядка
непрерывны в некотором интервале а < t называется спрямляющей плоскостью. Спрямляющие
плоскости кривой (х) огибают, вообще говоря, поверхность касательных не-
некоторой кривой (х). Мы находим:
X =Х —-
X ^з -
A81)
Спрямляющие плоскости проходят все через одну неподвижную точку, если
X" = 0, т. е. если
-f =
= as
A82)

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ,59
(А. Епперег). Если воспользоваться терминами, которые будут введены позд-
позднее (§ 69), то. можно сказать иначе, что кривые, для которых \" = 0, являются
геодезическими линиями конических поверхностей. В частности для случая
д = 0 мы получим линии откоса.
6. Уравнение Риккати в теории кривых. Нахождение кривых, отвечаю-
отвечающих заданным натуральным уравнениям р (s), % (s), сводится к интеграции одного
днференциального уравнения типа Риккати (ср., например, G. Scheffers,
Einffihrung in die Theorie der Kurven, стр. 215, Leipzig, Velt.und Co, 1901).
7. Отличительный признак линии откоса. Линии могут быть охарактери-
охарактеризованы тождественным обращением в нуль детерминанта (х" х"' xIV), в кото-
котором производные взяты по дуге. A. R. Forsyth, Differential Geometry, стр. 28,
Cambridge 1912.
8. Линии откоса на параболическом цилиндре. Линии откоса параболи-
параболического цилиндра, наклоненные под постоянным углом к плоскости симметрии
цилиндра, имеют своими проекциями на плоскость симметрии циклоиды,
т. е. линии, образованные движением точки круга, катящегося без скольжения
по прямой.
9. О линиях откоса на поверхностях вращения второго порядка.
Рассмотрим на поверхности вращения второго порядка какую-либо линию
откоса, образующую постоянный угол с осью вращения. Кривая центров
кривизны этой линии лежит на поверхности вращения второго порядка, имею-
имеющей общую ось вращения с первой поверхностью, и проекция ее иа одну из
плоскостей, перпендикулярных к оси вращения, представляет собой циклоиду,
образуемую качением двух кругов — ие обязательно действительных. W. Blaschke,
Monatsh. Math. Phys., т. 19, стр. 201, 1908.
10. Кривые постоянного кручения. Каждая кривая с постоянным круче-
кручением — может быть представлена в виде:
t
х = т= I IXdl, A83)
где g = g (f) есть единичный вектор.
11. Построение точки касания. Пусть две точки р и q пробегают незави-
независимо друг от друга две пространственные кривые Р и Q; плоскость симметрии С
точек р и q огибает при этом, вообще говоря, некоторую поверхность F; пло-
плоскости, перпендикулярные одна к Р в точке р, а другая к Q в точке q пере-
пересекаются с С, вообще говоря, в точке касания плоскости С с поверхностью F.
См. О. Darboux, Surfaces, т. I, стр. 123—126, 1887.
12. Теорема Альфена (Halphen) о пространственных силовых полях.
Если все траекторий, описываемые материальной точкой, находящейся в неиз-
неизменном силовом поле, при произвольных начальных условиях являются пло-
плоскими кривыми, то все силы поля проходят через одну и ту же неподвижную
точку. и. Н. Halphen, Comptes, Rendus, Paris 1877, стр. 939 и G. Darboux
в книге Despeyrous, Cours de Mecaniquel, стр. 433, Paris 1884.
Приведем теперь некоторые теоремы, относящиеся к мнимым кривым.
13. Парабола как логарифмическая спираль. Будем называть две несоб-
несобственных точки плоскости, в которых пересекаются друг с другом все круги -
плоскости, абсолютными точками плоскости. Проходящая через одну из абсолют-
абсолютных точек парабола (она, конечно, будет мнимой) обладает следующим свойством:
все прямые, проходящие через ту собственную точку параболы, для которой
касательная проходит через другую абсолютную точку, пересекают параболу
под одним и тем же углом.
14. Кривые Штуди. Наряду с изотропными кривыми не подчиняются
вышеизложенной общей теории кривых и линии, лежащие' на изотропных пло-
плоскостях. Эти кривые были впервые изучены Штуди (Е. Study, Am. Trans., т. 10,
стр. 25-32, 1909).
15. Связь между изотропными кривыми и кривыми постоянного круче-
кручения. Если на бинормалях кривой постояного кручения, равного 1, откладывать

QQ ТЕОРИЯ КРИВЫХ
отрезки длины 1(Р = — 1), то концы бинормалей расположатся на изотропной
кривой. Длину дуги исходной кривой можно положить равной соответствую-
соответствующему значению натурального параметра р изотропной кривой. Е. Study. Am. J.
Math., т. 32, стр. 264—278, 1910.
16. Изотропная кривая как геометрическое место центров кривизны.
Центры кривизны пространственной кривой, лежащей на изотропном конусе,
располагаются на некоторой изотропной кривой. Обратно, если задана изо-
изотропная кривая, то можно найти кривую, лежащую на некотором изотропном
конусе, для которой первая кривая будет геометрическим местом центров
кривизны. Е. Study, Am. J. т. 32, стр. 257—263, 1910.
17. Инвариант изотропной кривой. Приняв за параметр кривой натураль:
ный параметр р, мы можем вместо формул Френе написать следующее соот-
соотношение:
xlv = у/"х'+ /=*". A84)
Здесь F(p) есть диференциальный инвариант нашей кривой наинизшего
порядка, именно:
4/з/|~5/2 A85)
В правой части стоят производные той функции /, которой мы пользовались
в § 23. Ср. Е. Study. Am. Trans., т. 10, стр. 1—49, 1909.
Приведем теперь некоторые результаты, относящиеся к кривым „в целом".
18. Кривые постоянной ширины. Если расстояние между двумя парал-
параллельными друг другу касательными овала сохраняет постоянную величину Ь,
то длина овала равна nb. E. Barbier, Llouvilles J. B), т. 5, стр. 273—286, 1860.
19. Теорема Бервальда (L. Berwald) об овалах. Каждый овал имеет по
меньшей мере четыре такие точки, в которых логарифмическая спираль имеет
с овалом пятикратное касание. На эллипсе эти точки являются концами сопря-
сопряженных диаметров, симметричных относительно осей.
20. О вершинах овала. Если овал пересекается с кругом в In точках, то
он имеет по меньшей мере 2/z вершин. W. Blaschke. Kreis und Kugel, стр. 161,
Leipzig 1916.
21. Овалы, имеющие лишь четыре вершины, пересекаются с кругом самое
большее в четырех точках.
22. Формулы Крофтона (Crofton). Пусть Е есть некоторый овал; (хь дг2)
внешняя по отношению к нему точка; L — длина овала; Ц, /2 — длины касатель-
касательных, проведенных к овалу из точки {xv хг); рг, Рг, — радиусы кривизны Е
в соответствующих точках касания, а а — угол между этими касательными.
Тогда имеют место формулы:
Pf- dxx dx» A86)
в которых интегралы взяты по области, внешней по отношению к овалу Е.
М. W. Crofton, Phil. .Trans., т. 158, 1868; Н. Lebesgue, Nouv. Ann. D), т. 12,
стр. 495, 1912.
23. Теорема Якоби. Сферическая индикатриса главных нормалей замкнутой
кривой разделяет поверхность сферы на две равновеликие части.
24. О замкнутых кривых. Пусть замкнутая правильная пространственная
кривая, не имеющая кратных точек, обладает тем свойством, что через каждую
ее точку можно провести плоскость, не встречающую больше кривую ни разу.
Тогда кривая имеет по меньшей мере четыре точки со стационарными сопри-
соприкасающимися плоскостями (С. Caratheodory).
25. О замкнутых сферических кривых. Пусть на поверхности сферы
расположена замкнутая, всюду правильная и не имеющая кратных точек кривая.
Пусть не более чем две соприкасающиеся плоскости этой кривой проходят
через центр сферы. Тогда кривая лежит целиком на одном полушарии сферы.
В заключение укажем, что мы возвратимся еще (в гл. 3 и 9) к теории
пространственных кривых, подойдя к ней с более общей точки зрения.

ГЛАВА ВТОРАЯ ,
ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
§25. Первая вариация длины дуги
Мы займемся теперь новыми вопросами теории кривых, для разре-
разрешения которых воспользуемся методами вариационного исчисления.
Методы эти будут важны и для дальнейших наших выводов (§ 37 и 69).
Пусть хE) есть плоская или пространственная кривая. Образуем из
нее другую кривую (х), положив
О)
Здесь %,(s), как и прежде, суть единичные векторы сопутствующего
триедра кривой (х), & и, v к w — функции от s, зависящие еще и от
другого параметра е: *
и = ей (s), k> = tv (s), Wr=ew (s), у = ey (s). B)
Когда е стремится к нулю, то кривая (х) — мы будем называть ее смеж-
смежной кривой — стремится к кривой (х) . Разложим длину дуга смежной
кривой
C)
по степеням в. Разложение будет иметь вид:
7=s-j-8s-f ..., D)
где через 8s обозначен член, линейный относительно е:
is = в lim . E)
е
Эту величину bs называют первой вариацией длины дуги; ее мы
должны вычислить прежде всего. Для сокращения письма введем для
кривизны и кручения кривой (х) обозначения:
} F)
•Формулы Френе примут тогда следующий вид:
?1 = *?2. 5; = -*?1 + °?з.' F,e-°5r G)
Из формул A), B) и G) следует:,
У' = iy' = («' — х«) ?х + (^ -\-ш- ow) |9+{w' + ov) ?3. Gа)

62 ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
Диференцируя формулу A) по длине дуги 5 кривой (х), мы получаем:
х = х' + у'. (8)
Отсюда мы получим выражение скалярного квадрата:
х'2 = х'2_|-2хУ+.-. (9)
Мы отбросили здесь члены второго порядка относительно е. Далее мы
получаем:
Беря интегралы и интегрируя по частям, мы с помощью формулы Gа)
и соотнощения х' = |х получим:
+...=«+[b]J — fxvds+... (И)
Окончательно мы имеем, таким образом:
A2)
Отсюда мы можем получить целый ряд следствий. Так как в bs
входят величины и и г», но не входит величина w, то мы убе-
убеждаемся в справедливости следующего предложения: характерное
свойство бинормали состоит в том, что при произвольной бесконечно
малой деформации кривой, при которой точки последней сдвигаются
в направлениях соответствующих бинормалей, длина дуги кривой,
остается стационарной. Далее: если (х) и (х) имеют общие концы
[u(sx) = 0, и($8) = 0], то
р
os = —у xvds. A3)
Величина v — ev есть компонента бесконечно малого вектора
х — х = 8х по главной нормали кривой (х). Мы будем в дальнейшем
обозначать v также и через ои, так что предыдущую формулу мы
можем представить в виде:
Р
.hn.ds. A4)
Эта формула понадобится нам позднее (в гл. 6).
§ 26. Вариационная задача Радона
Исследуем теперь, как изменяется кривизна х при переходе от
кривой (х) к смежной кривой (х).

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА РАДОНА 63
Из х = х -f- ey следует:
Согласно формуле (80) § 10 выражение кривизны х = — для кри-
кривой (х) имеет вид:
Формула A5) показывает, что разложение величины (х'х") по сте-
степеням s начинается с члена, содержащего е в первой степени. Следо-
Следовательно, отбрасывая члены, содержащие вторую и висшие степени е,,
мы получаем:
Таким образом с помощью формулы A0) мы получаем:
х = х + в [(I, У") - 2<(§,у')] + • • •
Мы можем, следовательно, для вариации
8х = е lim *~-
написать такое выражение1:
Пользуясь формулами A), B), Gа) и легко получаемым с помощью-
Gа) линейным представлением вектора у" через основные векторы, мы'
получаем отсюда:
8х == *?v—ш'-\--~ (vr -f У-п — aw) — Ы + °v) °- (Щ
Радон (J. Radon) поставил вариационную задачу следующего рода::
две данные точки пространства требуется соединить такой кривой
линией, чтобы взятый вдоль нее интеграл
' = /?(*)¦
ds A9);
имел экстремальную величину. Функция ? предполагается при этом,
заданной. Если мы перейдем к смежной кривой, имеющей те же концы,
то для выполнения указанного требования необходимо, чтобы обраща-
обращалась в нуль первая вариация интеграла J, т. е. коэфициент при первой
степени разложения интеграла J по степеням е.
Для упрощения мы предположим, что вариация берется так, чта
м = 0; иными словами, мы предположим, что переход от отдельных,
точек кривой (х) к соответствующим им точкам смежной кривой совер-
1 Ср. работу G. Hamel, Sitzgsber. Bert. Math. Ges., т. 16, стр. 5, 1917.

64 ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
шается по вектору у, нормальному по отношению к касательной кривой.
Это ограничение, очевидно, нисколько не уменьшает общности рассу-
рассуждения, так как, когда концы нашей кривой остаются неподвижными,
всегда можно при помощи такой перпендикулярной к кривой вариации
перейти от исходной кривой к другой' кривой, смежной с ней. В силу
формулы A0) мы будем теперь иметь: v '
ds =A —y.v)ds.
Мы получим:
7 = У<р00<*Г=У<р(х-Их)-A— xv)ds+... B0)
Следовательно:
bj = у cp'Sxds— f <?xv ds. B1)
Положим теперь в формуле A8) '«=.0 и подставим выражение §х
в формулу B1). Затем произведем интегрирование по частям, имея при
этом в виду, что концы кривой остаются неподвижными. Примем также,
что у концов не только v и w, но и ч/ обращается в нуль. Тогда мы
получим:
[{(х2-оЗ)<РЧ-^-х?^+{^ + -^И')}«']. B2)
Но так как вариация bj должна обращаться в нуль при произвольном
выборе смещений v (s) и w(s), лишь бы последние обращались в нуль
на концах, — то должны выполняться следующие условия:
d
ds ' ds v • '
B3)
Второе из этих двух диференциальных уравнений (для плоских кри-
кривых оно всегда удовлетворяется) может быть проинтегрировано. Мы
имеем:
^ + 2-^ = 0, B5)
—рт. ' B6)
Этим определяется кручение экстремалей нашей вариационной задачи.
Экстремалями называют кривые, для которых 8У = 0, т. е. кривые, для
которых удовлетворяются диференциальные уравнения B3).
§ 27. Нахождение экстремалей нашей вариационной задачи
Радон заметил, что систему найденных выше диференциальных урав-
уравнений вместе с уравнением
ds ? v ds

НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ • 65
можно записать следующим образом:
B7)
d f с \ d.4)'
~ds Vq/V G ' ~dJ'
Эта система трех линейных однородных диференциальных уравнений
имеет, подобно формулам Френе, кососимметрическую матрицу. Следо-
Следовательно, мы имеем:
B8)
Мы можем принять х за независимую переменную и определять -г-
в функции х. Тогда диференциальное уравнение B8) разрешается
с помощью одной квадратуры, после чего можно будет обратно выра-
выразить х в функции s, а так как формула B6) дает o(s), то этим будут
найдены натуральные уравнения экстремалей.
Однако мы можем утверждать еще большее: именно, формулы B7)
не только имеют кососимметрическую форму, так же как имеют ее
формулы Френе, но они тождественны с формулами Френе. В этом мы
убедимся, подставив вместо х и о их выражения — и —. В силу этого,
а также в силу формулы B8) мы можем расположить оси ,координат
таким образом, чтобы имели место соотношения:
§13 = —д > §28 = -J -?-' §38 = 7" -у •
Отсюда мы получим:
dxj _ щг — у
Далее мы имеем:
(?)"+(??(?? C1)
В силу формул C0) и B8) мы можем переписать это соотношение
в таком виде: *.
Из соотношения
§
или, что то же,
5 За*, ем. — Бляшке, ч. I

66 ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
следует согласно формуле B9):
dx-i d%x2 dx2 dtxi » с %
ds ' ds2 ds~' ds2 **33 ~a ip"
С помощью формулы C2) мы получим отсюда:
dxi &х2 dx2 d?xi
ds ' ds* dY' ds% ¦*.
— = ac —
и, интегрируя, будем иметь:
Теперь из уравнений C2) и C3) можно определить производные функ-
функций хх (s) и х2 (s), а отсюда получить интегрированием и самые эти
функции.
Мы нашли таким образом следующий, полученный Радоном, резуль-
результат: экстремали вариационной задачи
8 f tp (x) • ds = О C4)
могут быть найдены с помощью квадратур.
Рассмотрим частный случай, когда
? (*)=)/*. C5)
Согласно формуле B6) мы имеем:
о = 4пс. C6)
Принимая во внимание результаты § 18, мы можем сказать, что в данном
случае экстремали суть линии откоса. Из формулы B6) мы заключаем,
что, обратно, вариационная задача C5) является единственной из задач
вида C4), для которой экстремальные линии являются линиями откоса.
Из формулы B8) мы получаем следующее выражение для х:
C7)
16с2
Касательные к линии откоса, как мы знаем, образуют неизменный
угол 0 с некоторым постоянным направлением е. Из формул C6) и
A32) § 18 мы получаем для величины этого угла следующее выражение:
4c = ctg». C8)
В § 18 [формулы A39) и A41)] мы нашли следующие выражения для
длины дуги и кривизны кривой, служащей проекцией линии откоса на
плоскость, перпендикулярную к е:
s = s sin Ь, х — х sin2 Ь.

ИЗОПЕРИМЕТРИЯ КРУГА 67
Отсюда мы получим натуральное уравнение этой проекции:
* <39>
Кривые, представляемые этим уравнением, называются цепными ли-
линиями.
§ 28. Изопериметрия круга
Пусть требуется среди всех замкнутых плоских кривых найти такую,
которая при данном периметре ограничивала бы наибольшую площадь.
Характеризующая переход от одной замкнутой кривой к другой, смеж-
смежной с ней, величина v изменяется периодически, так что формула A2)
даст для вариации периметра L следующее выражение:
SI==— j> %vds. D0)
Вариация же площади F, очевидно, представится "площадью полоски,
ограниченной исходной кривой и кривой, смежной с ней. Таким обра-
образом мы имеем соотношение:
j>vds, D1)*
8/="= — Ф vds,
причем предполагается, что отно- °
сительно знака величины F сделаны f ^ ^ . >-.
надлежащие допущения. Если за- •
мкнутая кривая, вдоль контура кото- |
рой мы совершаем интегрирование, I
дает решение нашей задачи, то для j I
каждой функции v (s), имеющей *¦—'-'-
период L и удовлетворяющей Черт. 6
условию 81 = 0, должно удовлетво-
удовлетворяться и условие bF = 0. Достаточным условием для этого служит
х = const.
В том, что это условие является также необходимым, можно убе-
убедиться хотя бы таким образом^ Если бы функция x(s), которую мы
будем считать непрерывной, имела на отрезке Oag;s<Z. в двух точ-
точках Sj, sa два различных значения xj, x2, то можно было бы взять
функцию v(s), изменяющуюся примерно так, как показано на черт. 6.
р р
Тогда tyvds будет иметь значение, близкое к8(А.-|-Аа), а фхг><& будет
иметь значение, близкое к 8(А1х1-|- А2ха). Ввиду того, что х,фха,
можно всегда подобрать значения hl и Аа так, чтобы 8L = 0, но bF ф О,
вопреки нашему предположению.
Кому вывод показался, бы сомнительным на том основании, что
выбор v(s) на черт. 6 не был сделан аналитически, тот может легко
построить и аналитическую функцию, дающую тот же эффект.
Итак, если среди всех замкнутых плоских кривых, имеющих данный
периметр, существует такая кривая, которая ограничивает наибольшую
5*

68 . ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
площадь, то для нее должно быть х = const., т. е. кривая должна быть
окружностью *.
Остается открытым еще вопрос о существовании такой кривой.
Вопрос этот можно разрешать в более или менее широкой его поста-
постановке в зависимости от того, какие допущения мы делаем относительно
кривых, среди которых требуется произвести выбор 2.
§ 29. Доказательство Кроне и Фробеннуса 3
Если круг действительно обладает изопериметрическим свойством, то
этому факту можно дать такое выражение: между площадью круга и
длиной его окружности существует соотношение:
Z.8 — 4uF=0, D2а)
для всякой же другой замкнутой плоской кривой
I* — 4*F>0. D2b)
Мы приведем здесь доказательство, принадлежащее Кроне (Crone) и
Фробениусу (Frobenius); оно чрезвычайно просто, но оно ограничивает
класс допустимых кривых овальными линиями.
Пусть Е — овал, пробегаемый в направлении, противоположном на-
направлению движения часовой стрелки; пусть Ер — лежащая вне овала
* параллельная ему кривая, находящаяся от овала на расстоянии р; иначе
говоря, все касательные к Ер отстоят от параллельных им и равнонапра-
вленных касательных на постоянное растояние р. Очевидно, кривая Е,
также будет овалом *.
Пусть-далее Е* есть крут радиуса 1, пробегаемый также в-напра-
в-направлении против часовой стрелки; пусть D — некоторый треугольник,
образованный касательными к Е, и, следовательно, кривая Е лежит
1 Центр кривизны в этом случае .неподвижен:
~ (*-«»)* О, ~(.xt +9X^=^0
согласно § 12, (89).
2 Доказательство при очень общих предположениях, см. в книге автора
„Kreis und Kugel". (Leipzig 1916). Там даны и литературные указания.
3 С. Crone, Nyt Tidskrift f. Math., т. 4, XV, стр. 73—75, 1904; О. Frobenius,
tfber den geralschten Fiacheninhalt zweier Ovale, Sltzgsber. preusz. Akad. Wiss.
Physik. math. Ю. A), стр. 387—404, Berlin 1915.
* Соотношение между овалом Е и параллельной кривой Ер можно пред-
представить следующим образом. Сохраняя обозначения § 12, (88а), мы можем
написать уравнение касательной к Е, имеющей направление )., следующим
образом:
хх sin X — xt cos X =г А (X).
Для радиуса кривизны р овала Е мы найдем выражение:
Овальность кривой Е аналитически выражается тем, что А(Х) имеет период
я что А + А">0. Для параллельной же кривой мы получим:
P
м, следовательно, из р>0, />>0 следует: 9р=Р + в>0. Отсюда, прини-
принимая во внимание периодичность р+р(к), мы заключаем, что и Ев —оваль-
—овальная линия.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КРОНЕ И ФРОБЕНИУСА
69
внутри этого треугольника; пусть Dp и D*— треугольники, образованные
соответственно параллельными и равнонаправленными касательными к кри-
кривым Ер и Е*. Пусть далее t—длина отрезка, отложенного на касатель-
касательной к Е в положительном направлении от точки касания до точки
выхода касательной из треугольника D; через tp и t* мы обозначим
соответствующие отрезки на равнонапр авленных касательных к кривым
Ер и Е*; через <р — угол между каждой из этих двух касательных и
некоторым постоянным направлением; через D, Dp, D* — площади D,
Dp, D*, а через F, Fp, F* = it — площади Е, Ер, Е*. Наконец, через г
обозначим радиус круга, вписанного в треугольник D (черт. 7).
Тогда:
D3)
су I
С другой стороны, для площади параллельной кривой мы имеем:
здесь L обозначает периметр Е. В справедливости последней формулы
можно убедиться, например, таким образом. Если построить на элементе
ds овала Е бесконечно узкую трапецию, две стороны которой являются
нормалями к Е и имеют длину р, то
площадь этой трапеции равна
О*
Черт. 7
и потому мы имеем действительно:
Так как полином F , имеющий относительно р вторую степень, при
р — 0 положителен, а при р -J- г = О, согласно формуле D3) этот поли-
полином меньше или равен 0, то корни уравнения F = 0 безусловно дей-
действительны, а значит согласно формуле (#44):
что к требовалось доказать.
Остается теперь провести
„доказательство единственности", т. е.

70 ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
показать, что знак равенства в формуле D5) имеет место только для
случая круга.
Раз квадратный полином Fp имеет равный нулю дискриминант
1% — 4icF, то Fp не может менять знака. А так как при р = 0 величина Fp
положительна, то при р = — г она не может быть отрицательна. Следова-
Следовательно, в формуле D3) интеграл должен уравняться нулю, т. е. должно
иметь место соотношение — = г = const. Если одна сторона треуголь-
треугольника D будет изменяться, то для определенных направлений (а именно,
для тех касательных, концы которых лежат на какой-нибудь другой
стороне треугольника) отношение -^, а значит и г, будет оставаться
неизменным. Таким образом все описанные вокруг овала Е треуголь-
треугольники будут иметь один и тот же радиус вписанного круга. Отсюда сле-
следует тотчас же, что Е есть круг. В самом деле, если мы зафиксируем
две касательных, то описанный круг будет также фиксирован, и третья
касательная будет огибать этот круг.
Приведенное здесь доказательство в той его форме, в какой оно
дано нами, предполагает, что овалы Е, выбираемые в качестве линий
сравнения, не имеют угловых точек.и прямолинейных кусков. Однако
нетрудно распространить это доказательство и на овалы произвольного
вида J.
§ 30. Доказательство Гурвица
В дальнейшем нам придется применять теорему об изопериметрии
круга в таких случаях, когда относительно кривых сравнения должны
быть допущены довольно общие предположения. Поэтому мы укажем
здесь еще одно аналитическое доказательство, при котором использу-
используются некоторые предложения из теории тригонометрических рядов и
которое дает необходимую нам общность результата. Пусть
x1==xl(s), x2 — x.2(s), 0<s<I •
некоторая непрерывная замкнутая кривая, о которой мы должны допу-
допустить только то, что она спрямляема, т. е. имеет длину дуги s. Оче-
Очевидно, что xl(s) и x2(s) удовлетворяют условию Липщица:
с константой, равной 1. Отсюда следует, что они имеют почти всюду
производныех[(s) и x'2(s):
I4(s)i<i' и i*;(S)|<i.
Кроме того почти всюду имеет места соотношение 2:
(
\ds
1 Подробное доказательство дано Либманом (ft. Uebmann, Math. Zeitschrift,
т. 4, стр. 288—294, 1919).
2 См., например, Лебег, Интегрирование и отыскание примитивных функций

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГУРВИЦА
71
|
' Введем вместо s пропорциональный этой величине параметр и с по-
помощью формулы:
Очевидно, что х1 и л:2 — периодические функции от а, с периодом
2-х, причем почти всюду:
(
VST
и, следовательно:
Разложим ATj и дг2 в тригонометрические ряды по аргументу в:
1 ' ж< 'akcosku-\-dk
D7)
Так как хг и д:2 абсолютно непрерывные функции от и (удовле-
(удовлетворяют условию Липшица), то ряды Фурье для их производных
имеют вид:
оо
V й (а^ cos им — аА. sin ku),
• D8)
Заметим, что в то время как ряды D7), в силу сделанных нами пред-
предположений, всегда сходятся и представляют соответствующие функции,
для рядов D8) это уже не обязательно.
Если
/ (а) ~ -^-
х* cos ku -j- a^ sin ku)
есть ряд Фурье для функции, квадрат которой [/(а)]2 интегрируем
в смысле Лебега, то мы имеем равенство Парсеваля:
2гс
±f f (и?du = ±
± **
D9)
В несколько более общей форме мы можем утверждать, что для функций
/(и) и g(u) с интегрируемыми квадратами из

72 ¦ экстремумы кривых
2
l
#(«)~tPo+S(p*(
следует:
оо
Y «о + 2 (а* cos *" + aft sin *")•
1
ей
2л оо
/(«Ж«)^«-|«оРо + 2(«А+«- E0)
о 1
Таким образом из формулы D6) и разложений D8) мы в силу D9)
получим:
С другой стороны, если мы выразим площадь нашей кривой криво-
криволинейными интегралом:
2it
о
то с помощью рядов D7), D8) мы в силу E0) найдем:
(в А—"***)=* E3)
1
Из полученных нами формул E1) и E3) следует: f
Из этой формулы, очевидно, вытекает изопериметрическое неравенство:
Легко видеть, что равенство имеет место лишь тогда, когда
Тогда разложения D6) имеют вид:
1
и представляют круг. Этим с полной общностью доказано следующее
предложение: для всех замкнутых спрямляемых плоских кривых между
периметром ? и определенной при помощи E2) площадью имеет место
соотношение: L? — 4-rF^sO. Равенство I2 — 4kF=0 имеет место
лишь в том случае, когда кривая является кругом.

СВОЙСТВА КРИВЫХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 73
с
Это доказательство было дано Гурвицем (A. Hurwitz) в 1902 г.1
Использованные нами вспомогательные предложения из теории
тригонометрических рядов можно найти в любом новом курсе, изла-
излагающем эту теорию 2.
§ 31. Свойства кривых постоянной кривизны8
Докажем следующее предложение:
Теорема I а. Если дуга плоской кривой вместе со своей хордой
образует выпуклую область, то при всяком „скручивании", т. е. при
всяком преобразовании кривой, сохраняющем длину дуги и кривизну,
длина хорды увеличивается. Другими словами: пусть 7 есть длина пло-
плоской кривой, d — длина ее хорды и —р-— кривизна в функции длины
дуги, отсчитываемой от начальной точки; "если обозначить через /, d
и —р- соответствующие величины для преобразованной пространствен-
пространственной кривой, то из
/Л =
р(*) р(«)
следует справедливость неравенства
rfSsrf. E4)
Мы докажем сейчас несколько более общую теорему I b, содержащую-
в себе, как частный случай, только что сформулированное предложение.
Именно, мы покажем, что неравенство E4) вытекает уже из условий
1=1, — ==:=^-. E5)
Чтобы не отвлекать своего внимания, мы предположим сначала, что
кривая наша непрерывна и что d > 0.
Пусть точки х и х, одновременно выходя из начальных своих поло-
положений, движутся по кривым С и С со скоростью 1. Тогда точки § и §
сферической индикатрисы касательных движутся по поверхности сферы
^ 1 1 * *
радиуса 1 со скорое? ч^и =— и —-.
Р(«) Р(«)
В силу E5) мы можем утверждать, что, если § и §' суть два про-
произвольных положения точки §, а § и §'—соответствующие положения
точки §, то
длина дуги {§,§'} г^длине дуги {§, §'}. ' E6)
Обозначим через [§, §'] тот угол между направлениями, соответствую-
соответствующими точкам | и 5' кривой, который меньше, чем к; таким же образом
мы определим величину [5, ?'].
1 A Hurwitz, Quelques applications georaetriques des series de Fourier, Ann.
de 1'Ecole normale C), т. 19, стр. 357—408, особенно стр. 392—394, 1902.
2 Например, у Валле-Пуссена, Курс анализа бесконечно малых, т. 2, ГТТИ,
1933.
3 Доказательства предложений этого параграфа заимствованы из работы.
Э. Шмидта (Erhard Schmidt, Sitzgsber. Ak. Bert., 1925, стр. 485 и ел.).

74 ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
Так как С—плоская выпуклая кривая, то § движется по большому
кругу и не меняет направления движения. Следовательно, если
длина дуги {?,?'}< я, E7)
"ГО
длина дуги {If }=Ц,?]. E8)
Так как дуга большого круга, меньшая полуокружности, есть крат-
кратчайшее на поверхности сферы расстояние между концами ее, то
[§, §']^длине дуги {?, Г}; E9)
из формул E6), E7), E8), E9) вытекает, следовательно, что при усло-
условиях E5) имеет место соотношение:
о < В, FKR, !"']«?*. (во)
Обозначим теперь через х' ту точку плоской кривой С, в которой
касательная параллельна хорде. Тогда направление движения в точке х'
совпадает с направлением хорды, идущей от начальной к конечной точке
дуги. Точки, соответствующие точке х' на кривой С и на траекториях
точек § и |, мы обозначим соответственно через х', ?' и §'. Так как
согласно предположению область, ограниченная кривой С и ее хордой,
выпукла, то при таком выборе точки х' условие E7) будет выполняться
для всех точек §. Следовательно, будет иметь место и неравенство F0).
Но d есть не что иное, как проекция С на направление, соответ-
соответствующее §'. Поэтому, принимая во внимание первое из соотношений-E5),
мы .можем написать:
г
~d= J cos [f,f] ds. F1)
о
Далее проекция d на направление, соответствующее §', равна проек-
проекции С на то же направление. А так как d не может быть меньше своей
проекции, то мы имеем:
' с? 35 f cos [f, §'] ds. - F2)
о7
Из формул F0), F1), F2) следует справедливость нашего предложения.
Если d = 0, т. е. если начало и конец кривой, ограничивающей вы-
выпуклую область, сливаются в одну точку,—пусть это будет точка а,—
то за точку х' мы возьмем ту точку, в которой касательная будет парал-
параллельна какой-либо опорной прямой, т. е. прямой, проходящей через а
и не пересекающей области, ограниченной кривой. Во всем остальном
доказательство будет протекать, как выше.
Пусть теперь кривая С состоит из конечного числа кусков, на кото-
которых кривизна меняется непрерывно; эти куски могут образовывать углы
друг с другом.
Кривую С тогда можно выбирать так, чтобы и кона имела в соответ-
соответствующих точках углы, лишь бы скачки направлений в этих точках не

СВОЙСТВА КРИВЫХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 75
превышали скачков направлений в соответствующих точках кривой С.
На траекториях точек ? и § этим скйчкам направлений будут соответ-
соответствовать разрывы самих кривых. Мы заполним промежутки между точ-
точками разрыва дугами больших кругов, меньшими тс. Пусть е и е — две со-
соответствующие друг другу угловые точки кривых С и С; согласно вышеска-
вышесказанному, дуга большого круга, соответствующая е, во всяком случае не
короче дуги, соответствующей ?. Приведем теперь во взаимно одно-
однозначное соответствие точки кривых С и С так, чтобы, когда одна из
этих кривых пробегалась с постоянной скоростью, другая описывалась бы
с той же скоростью. Тогда снова § и § будут описывать непрерывные
кривые, для которых неравенство E6) остается в силе. Обозначим, на-
наконец, через §' точку сферы, соответствующую той касательной или
опорной прямой кривой С, которая параллельна ее хорде, идущей от
начальной точки к конечной. Точка §' должна лежать на кривой, полу-
полученной нами из траектории путем заполнения ее разрывов, и дальнейшее
доказательство будет протекать так же, как выше.
Из доказательства этого непосредственно следует, что знак равенства
в формуле E4) имеет место лишь в том случае, когда кривые С и С
конгруентны. Из предложения Ib, только что доказанного нами, мы
тотчас же получаем следующее предложение:
Теорема Па. Всякая отличная от дуги круга криволинейная
дуга постоянной кривизны -&, соединяющая две точки, находящиеся
на расстоянии d<2R друг от друга, либо длиннее большей, либо
короче меньшей дуги круга радиуса R, стягиваемой хордой d.
Мы можем предположить, что длина / дуги пространственной кривой
меньше, чем 2wR, ибо в противном случае теорема На заведомо справед-
справедлива. Сравним теперь нашу пространственную кривую с дугой радиуса /?,
имеющей ту же длину; условия теоремы Ib при этом удовлетворяются.
Значит, длина d хорды круговой дуги меньше d. Поэтому дуга окруж-
окружности, стягиваемой хордой d, т. е. дуга нашей пространственной кривой,
либо длиннее большей, либо короче меньшей из дуг, стягиваемой хор-
хордой d. •
Так же, как предложение На, можно доказать и обобщающее его
предложение Irb, в котором предположение о постоянстве кривизны
заменяется предположением, что кривизна никогда не превосходит вели-
величины -„-. Докажем еще одно предложение.
Теорема III. Замкнутая пространственная кривая, имеющая не
свыше одной угловой точки, и кривизна которой нигде не превышает
величины -„-, имеет периметр не меньший, чем 2i:R.
Если кривая имеет угловую точку, то мы будем ее считать началь-
начальной и конечной точкой кривой; если же угловой точки нет, то мы можем
взять любую точку замкнутой кривой и также считать ее начальной
и одновременно конечной точкой; при этом будем иметь rf = O. Поло-
Положим теперь, что длина замкнутой кривой меньше 2kR, и сравним нашу

76 ЭКСТРЕМУМЫ КРИВЫХ
кривую с окружностью радиуса /?. Условия теоремы Ib при_этом удо-
удовлетворяются, однако вопреки этой теореме мы имеем d<^d. Поэтому
длина нашей кривой не может быть меньше 2«/?. Равной же 2«/? она
может быть лишь в том случае, когда кривая есть круг радиуса /?, ибо
теорема Ib, как мы видели выше, сохраняет силу и тогда, когда d — 0>
т. е. когда начальная и конечная точки плоской кривой совпадают
друг с другой.
Теоремы На и III найдены Шварцем в 90-х годах XIX в.*, теорема I»
доказана в 1921 г. А. Шуром (A. Schur) 9, теорема Ib, равно как то
доказательство ее, которое было нами приведено, дано Э. Шмидтом
в 1925 г. 9, ему же принадлежит теорема lib.
§ 32. Замечания и задачи
1. Вывести формулу для вариации кручения, соответствующую формуле A7>
для вариации кривизны:
* =. | М, - «,; у')+-^ [? № У")] }• F3)
G. Hamel, Sitzgsber. Ak., Berlin 1925, стр. 5.
2. .Полная кривизна*
l
- J%ds F4)
о
замкнутой пространственной кривой >• 2я. Знак равенства имеет место только для
¦лоскнх выпуклых кривых. W. Fenchel, Diss. Math. Ann., 101 A929), стр. 238--252.
а О необходимости доказательств существование в вариационном исчи-
исчислении. . Мизес (R. v. Mises) поставил следующую задачу: пару направленных
линейных элементов, лежащих в одной плоскости, требуется соединить напра-
направленной плоской кривой, кривизна которой имеет постоянный знак, так, чтобы
наибольшая кривизна кривой имела наименьшую величину. Показать, что эта
задача не имеет решения. Задача становится разрешимой, если ограничить
длину или полную кривизну кривых сравнения. W, Btaschke, Jahresbericht der
deatschen Matheuiatiker-Vereinigung, т. 27, стр. 234—236,1918; R. v. Mises, Ebenda,
т. 28, стр. 92—102, 1919.
О вопросах существования см. § 101,115.
4 Вариационная задача Делоне (Ch. E. Delaunay). С вопросами, которыми
мы занимались в последних параграфах, связана»следующая вариационная задача:
две точки а и b требуется соединить кривой (х) постоянной кривизны 1 так,
чтобы кривая имела в точках а и b направления единичных векторов аир
н чтобы длина дуги ее была наименьшей.
Для вектора g = —т- мы имеем следующие условия:
Р-1,
/ gW2<#=/§ds=[x(s)] = 6 — a,
¦. J ds = extrera.
F5)
1 О теореме Шварца автор узнал из сообщения К. Каратеодори (С. Сага-
theodory).
WUV1 * }»
> Math. Ann., т. 83, стр. 143—148, 1921.
8 См. примечание в начале этого параграфа.

ЗАМЕЧАНИЯ^ ЗАДАЧИ
77
Экстремали этой задачи могут быть, как показал Вейерштрасс в 1884 г., полу-
получены с помощью эллиптических "функций. К- Weierstrass, Ober einei die Raem-
kurven konstanter Krflmmung betreffende von Delaunay herruhrende Aufgabe
der Variationsrechnung, Werkl, т. Ill, стр. .188-217. В этой работе дана исто-
a v »„„».— постоянной кривизны. Показать, что все кривые кривизны 1,
выходящие из точки а по направлению а и имеющие длину, меньшую или
равную я, заполняют тело, образуемое вращением плоской фигуры, заштрихо-
заштрихованной на черт. 8, вокруг ее оси симметрии. Фигура эта ограничена двумя
полуокружностями радиуса 1 и двумя дугами эвольвент этих полуокружностей.
При изучении геодезической кривизны кривой на поверхности мы вернемся
к вопросам, которыми мы занимались в § 31 (см. § 39). -
6 Вариация кривых постоянного кручения. Из точек кривой постоянного
кручения будем проводить в соприкасающихся плоскостях одни и те же бес-
бесконечно малые отрезки так, чтобы вариация
дуги, заключенной между любыми двумя точ-
точками кривой, равнялась нулю. Тогда варни-
рованная кривая также имеет постоянное
кручение. См. L. Bianchi, Memorie della so-
cieta italiana delle scienze C), т. 18, стр.
7-10, 1913.
7. Сферическая изопериметрическая за-
задача Ф.Бернштейна(Р. Bernstein). Пусть ли-
линия Е единичной сферы К является овалом,
т. е. замкнутой кривой, пересекаемой каж-
каждым большим кругом сферы не более чем „ 8
в двух точках; Пусть F — площадь области, у • • ¦
лежащей внутри К,т.е.той из двух ограничивае-
ограничиваемых К областей, которая имеет меньшую площадь. Пусть L есть периметр Е.
Тогда изопериметрическое свойство круга в сферической геометрии выражается
следующим образом* для каждого сферического овала имеет место соотношение
_. . ... - .. щ
Bя — f)«4-is>BitJ, F6)
в котором знак равенства будет стоять лишь в том случае, когда Е есть круг.
Для доказательства нужно рассмотреть внешнюю параллельиз ю кривую Е,, нахо-
находящуюся на сферическом расстоянии % от Е; при 0<е<-^ эта кривая не
будет иметь двойных точек. Для площади ее F, и длины L, имеют место
соотношения:
B« — F.) = Bit — F) cos ? — L sin e, \
l% = B* — F) sin e -f L cos г, | F7)
Таким образом достаточно показать, что для Ft = 2гс имеет место соотношение
JL,>2«. Для этого достаточно доказать, что каждая замкнутая сферическая
кривая! не имеющая двух точек и разделяющая пополам поверхность сферы,
имеет по крайней мере пару точек, лежащих на противоположных концах одного
из диаметров сферы.
8. Вариация изотропных кривых. Если х (р) есть изотропная кривая, отне-
отнесенная к своему натуральному параметру (§ 22),то каждую изотропную кривую,
смежную с ней, можно представить в виде х -f- Sx, где
и через g и h обозначены две бесконечно малые функции {g = sg, h = eh, г -*• 0).
При неподвижных концах для первой вариации р мы получим следующее
простое выражение:
" ^h.dp, F9)
- 4J —f
где F определяется, как в § 24, A85). Экстремали для Ьр = 0 суть, следовательно,
изотропные винтовые линии F= const.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
§ 33. Сопутствующий триедр полосы
Геометрический образ, состоящий из точки х и проходящей через
нее плоскости е, мы будем называть поверхностным элементом. В целях
наглядности удобнее всего представлять себе, что в окрестности точки х
располагается маленькая площадка плоскости е. Плоскость е определяет
пару противоположно направленных единичных векторов, перпендику-
перпендикулярных к плоскости; мы будем называть их единичными векторами нор-
нормалей поверхностного элемента. Если мы выберем один из этих двух
единичных векторов, то этим будет фиксирована положительная сторона
поверхностного элемента, именно та сторона, в которую направлен вы-
выбранный нами вектор. Мы скажем тогда, что поверхностный элемент
становится теперь направленным или ориентированным. Заданием точки х
и нормального вектора § направленный элемент поверхности определяется,
таким образом, однозначно. Каждой правильной точке некоторой поверх-
поверхности соответствует элемент поверхности, образованной этой точкой и
проходящей через нее касательной к поверхности плоскостью (§ 41)..
Касательной плоскостью поверхности мы называем плоскость, проходя-
проходящую через все касательные кривых, проходящих на поверхности через-
данную е? точку. Если мы зададим х и § как произвольные функции
одного параметра t, то мы получим семейство поверхностных элементов;,
в общем случае эти элементы не будут гладко примыкать друг к другу,
подобно элементам поверхностной полосы, образуемой точками кривой,
проведенной на поверхности, и касательными плоскостями, проходящими
через точки этой кривой. Чтобы семейство поверхностных .элементов
{\(i), flO} образовывало полоску, тянущуюся вдоль кривой \(f), пло-
плоскости элементов должны проходить через касательные к этой кривой,
т. е. вектор касательной х' должен быть перпендикулярен к вектору §:
х'§ = 0. A)
В этой главе мы будем заниматься теорией поверхностных полос,
которые для краткости мы будем впредь называть просто полосами. Эта
теория дает нам подготовительный материал для общей теории поверх-
поверхностей, которой мы будем заниматься далее, начиная с гл. 4. Как и
в теории пространственных кривых, мы ограничимся изучением веще-
вещественных полос.
Если мы за параметр t полосы примем длину 5 дуги ее кривой х (s),
то согласно формуле A3) § 5, кроме только что приведенного соотно-
соотношения A), мы будет иметь еще соотношение:
x'2 = xV = l, B)

СОПУТСТВУЮЩИЙ ТРИЕДР ПОЛОСЫ 79-
тождественно удовлетворяющееся при любом s. При этом мы исключаем
из рассмотрения случай (х'х') = 0, т. е. в силу § 5, A3), хг = 0; в этом
случае мы имели бы совокупность элементов, проходящих через одну
и ту же точку. Введем теперь, кроме х' и ?, еще третий единичный
вектор
ч=5 хх', (з>
который перпендикулярен к тангенциальному вектору х' и расположен
на поверхностном элементе полосы. Согласно C) мы получаем тогда
для х', |, ч следующую таблицу скалярных произведений:
^врвЧ.в1, у
х^ = §ч = Чх/ = 0. J W
Из формулы C) вытекают также соотношения:
ЧХ5 = х', х'ХЧ = 6. (б>
Далее, из формул C) и D) вытекает:
(х'Ч5) = 1. F)
Теперь мы выведем формулы, выражающие производные х", §' и ч{
наших векторов линейно через самые векторы. Мы придем к формулам,
которые соответствуют формулам Френе в теории кривых (§ 9). Эти
деривационные уравнения имеют следующий вид:
G1)
GП>
GШ>
где для краткости положено:.
ЧГ = -в, хТ = + *. Чх" + с (8>
В самом деле, пусть мы хотим, например, представить г{ линейно
через х', | и -ц:
Принимая во внимание, что из (8) и D) следует
x"
Ч'
V
== * 4-
= -cx'
= + *x' —
* +
a-n
*
мы получим, скалярно умножая (9) на tj, что ¦у = 0; точно так же, ска-
лярно умножая (9) на х' и §, мы получим в силу A0), что а = — с
и р —-|-а. Этим доказано второе из уравнений G). Таким же образом
мы выведем и два другие уравнения. Подобно входящим' в формулы
Френе коэфициентам —, — величины а, Ь, с являются инвариантами
для нашей полосы.
Все вышеизложенное относится к имеющим положительную сторону^
т. е. ориентированным, полосам. Величина а, строго говоря, является
инвариантом лишь с точностью до знака, так как лишь с точностью до-
знака мы можем определить параметр s\ величина же а в отличие от b

80 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
л с меняет свой знак при подстановке .s = — s*. Но и а можно считать
абсолютным инвариантом, если предварительно установить направление
движения, дающее положительную дугу s. Величины а и b относительно
функций {х (t), § (t)} при произвольном параметре t зависят от производ-
производных первого порядка; величина же с — от производных второго порядка.
Аналогично- тому, как мы сделали это в § 16, можно и здесь пока-
показать, что заданием функций a(s), b(s) и c{s) полоса определяется одно-
однозначно с точностью до движений (ср. задачу 1 § 40).
§ 34. Геометрический смысл инвариантов поверхностной полосы
Согласно формуле C3) § 7 и формуле G) этой главы кривизна
кривой, вдоль которой взята полоса, выражается формулой:
^ (И)
Далее главная нормаль этой кривой представляется единичным вектором
Если мы определим еще единичный вектор бинормали f3 = х' X §я нашей
кривой, то сопутствующий триедр ее представится следующим образом
Из A2) мы получаем следующие формулы для определения углов ^
и <ра, образованных вектором главной нормали с векторами § и tj: (
cos<p.= . ¦.- , (a) cos у2 = ^ (Ь) A4)
Подставляя в знаменатель A4) его выражение из A1), мы получим:
-cos4Y= — b, - cos % = с. ^ A5)
Из этих формул мы видим, что с и b суть кривизны кривых, получаю-
получающихся проектированием кривой, вдоль которой взята полоса на каса-
касательную и нормальную плоскости полосы; нормальной плоскостью мы
называем ту проходящую через точку нашей кривой плоскость, которая
проходит через х' и § ]. Поэтому с называют тангенциальной кривиз-
1 Ввиду недостаточной очевидности этого предложения поясним его сле-
следующими соображениями. В общем случае, когда кривая x(s) проектируется
на плоскость, перпендикулярную к вектору е, мы для проекции ее jl(s) имеем
следующее выражение:
х = х — (хе)е.
Диференцируя его дважды по параметру s, мы получаем:
x' = g?-(S, е)е,

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНВАРИАНТОВ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПОЛОСЫ 81
ной полосы, а Ь — ее нормальной кривизной. Для величины с мы в § 37
введем еще название геодезическая кривизна.
Дадим теперь другое геометрическое истолкование величин b и с.
Согласно § 13 для центра у и радиуса а любой сферы, проходящей
через круг кривизны кривой x(s), имеет место уравнение (90) § 13.
Во избежание недоразумений мы будем теперь вместо а писать Rv Если
теперь мы хотим выбрать из всех этих сфер ту, которая касается поверх-
поверхностного элемента (х|) нашей полосы, то мы должны удовлетворить
соотношению х — y = R1%. Уравнения (90а) и (90Ь) § 13 удовлетво-
удовлетворяются при этом тождественно, а уравнение (90с) дает условие b = -5-.
Если же мы хотим взять такую сферу, которая была бы перпендику-
перпендикулярна к полосе в точке х, то нужно положить х—у = #27), где R2 —
радиус этого нового шара. Уравнение (90с) дает тогда с = ^. Итак,
b и с суть обратные величины радиусов двух сфер, проходящих через
круг кривизны кривой; первая из этих сфер касается поверхностного
элемента полосы, вторая же перпендикулярна к нему. Первую сферу мы
будем называть тангенциальной, а вторую — нормальной сферой полосы.
Разыщем теперь на нормали нашей полосы так называемую горловую
точку, т. е. ту точку, которая находится на кратчайшем расстоянии
от соседней нормали. Нормали нашей полосы мы можем представить
уравнением:
а(Х) = х + Х|, A6)
где X— некоторый параметр, а а(Х) — точка нормали. Соседнюю нор-
нормаль b (p) мы с помощью другого параметра р изобразим в виде:
b ((i).= x+х' ds + |i (§ + Г ds) =
= x-{-(l-\-by.)ds-x'-}-\>.% — aji.cfs.Kj. A7)
Расстояние /(X, jj.) двух точек а(Х) и Ь(ц) друг от друга выразится
формулой:
/2 = (а _ ь)з = (X — (j.)a -f A -f Ьр f cfs3 + aVa *¦• A8)
Это расстояние будет минимальным, когда
m _ _2 2_ j A9)
Отсюда _
x'*=l-EeJ,
PV* - (x'x"J = -i [1 - foe)* - (|2eJ].
А так как выражение, стоящее в квадратных скобках, равно (?зеJ> то согласно
(80) § 10 мы имеем:
_L = J_ fee) = 1 _ (g3e)
Р Р [t-(?ieJ]T P (V(^XW?
В нашем случае, когда е = 5 и е = *|, знаменатель равен 1, а числители
дают косинусы углов бинормали ?3 с векторами S и i\. Прим. перев.
6 Зак. 694. — Бляшке, ч. I

82 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
Из A9) мы получаем значения X и [i:
^ B0)
и, следовательно, искомая точка к нормали определяется формулой:
к = х as _|_ Ьг »• B1)"
Прямая, выходящая из этой точки по направлению t вектора, перпенди-
перпендикулярного к | и | -f- §' fife, является общим перпендикуляром для двух
соседних нормалей. Вектор t пропорционален § X §'; следовательно,
в силу G), C) и E) он пропорционален ах' -|- b-q. Если мы возьмем
за t единичный вектор, направленный вышеуказанным образом, то полу-
получим для него выражение:
Ту касательную нашей полосы, которая выходит из точки (х) в напра-
направлении t, мы будем называть сопряженной касательной нашей полосы.
Очевидно она является предельным положением, прямой пересечения*
двух касательных плоскостей полосы. Для; углев* yv и ty2t, образуемых
вектором t с векторами х' и tj, мы получаем:
r.ns А. = . , п ,- , r.r>RA2 = - ' B3)
Так как ^ = -^ и так как b уже было интерпретировано геометри-
геометрически, то мы знаем теперь и геометрический / смысл величины д.
Ее называют геодезическим кручением полосы.
В заключение вычислим с помощью формулы G8) § 10 кручение —
нашей кривой х (s), выразив х* и х'" по формуле G) линейно через х'»
f н % Мы найдем:
_1_ (х',- Ы- + су], ( — У + ас) Е + (С + ab) tj)
¦с ?2 + с8
или, преобразуя детерминант:
— b —p + ac
с с' -\-аЬ
5,
С помощью F) мы получим отсюда:
1 , Ус — bt/
— = a-f- fc2_^C2
Следует помнить, что полоса плоской кривой — =0, вообще говоря, от-
отлична от плоской полосы, для которой а «= b = 0 и вектор § постоянен.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПОЛОСЫ 83
§ 35. Асимптотические полосы, полосы кривизны
и геодезические полосы
Рассмотрим теперь некоторые специальные виды поверхностных
полос, имеющие особый интерес.
1. а = 0. Согласно формулам F) и G) мы имеем а— — (х'|{П,
а согласно § 2, B6), из а = 0 следует, что три вектора х', § и !',
а значит и три вектора х', | и |-|-d|, лежат в одной плоскости. А так
как два -бесконечно близких нормальных вектора § и \~\-d\ проходят
через концы линейного элемента нашей кривой x(s) и х' дает напра-
направление этого элемента, то наше условие означает то, что „соседние
нормали пересекаются друг с другом" (см. ниже более точную форму-
формулировку), а не скрещиваются, как это имеет место в общем случае.
Мы будем называть линейчатой поверхностью такую поверхность,
которая может быть образована движением прямой линии. Те линейча-
линейчатые поверхности, образующие которых представляют собой семейство
касательных некоторой кривой, мы будем называть развертывающимися
поверхностями (к ним мы отнесем также поверхности цилиндрические
и конические). Очевидно, что развертывающиеся поверхности тожде-
тождественны с теми линейчатыми поверхностями, соседние образующие кото-
которых пересекают друг друга. Последнее нужно понимать следующим
образом: предел отношения расстояния соседних образующих друг от
друга к соответствующему приращению параметра для развертываю-
развертывающихся поверхностей равен нулю. Мы можем теперь сказать, что полосы,
для которых а = 0, обладают тем отличительным свойством, что
их нормали образуют развертывающуюся поверхность. Эти полосы мы
будем называть полосами кривизны; в дальнейшем мы увидим, чем
оправдывается введение этого термина.
2. Рассмотрим теперь полосы, для которых Ь = 0. Согласно A4)
в этом и только в этом случае нормальный вектор | перпендикулярен
главной нормали |2 кривой x(s); таким образом вектор |, перпендику-
перпендикулярный к векторам х' и |2, перпендикулярен к соприкасающейся пло-
плоскости кривой х (s). Другими словами: полосы, для которых Ь=0,
обладают тем отличительным свойством, что соприкасающаяся пло-
плоскость кривой, вдоль которой взята полоса, совпадает с касательной
плоскостью самой полосы. Такие полосы мы будем называть асимпто-
асимптотическими полосами. Из формулы B2) мы усматриваем, что касательная
к кривой асимптотической полосы совпадает с сопряженной касательной;
в случае же полос кривизны касательная к кривой и сопряженная с ней
касательная взаимно перпендикулярны.
3. Если вдоль полосы с = 0, то главная нормаль |2 совпадает с нор-
нормалью поверхностного элемента, и мы, следовательно, получаем следую-
следующее свойство таких полос: полоса, для которой с = 0, обладает тем
отличительным свойством, что соприкасающаяся плоскость ее кривой
проходит через нормаль ее поверхностного элемента. Мы будем назы-
называть такие полосы геодезическими', введение этого термина будет оправ-
оправдано в дальнейшем (§ 37).
Если кривая x(s) нашей полосы есть прямая линия, то согласно § 6
имеет место соотношение х" = 0. Из G) тогда следует, что b = с = 0.
Это дает следующий результат: если на поверхности лежит прямая

84 поверхностные полосы ,
линия, то вдоль этой прямой поверхностная полоса одновременно
является и геодезической и асимптотической полосой.
Так как в силу G) мы имеем
-я = (хт Ь = {хЛ') и -с = (§х'х"),
то мы можем, составляя наши три результата, записать их следующим
образом:
— а = (х'§|') = 0 для полос кривизны.
-|-ft = (x'§') =0 для асимптотических полос,
— е—(§х'х") = 0 для геодезических полос.
B5)
Пользуясь формулами G9) § 10, мы можем вместо длины дуги s
ввести другой, совершенно произвольный, параметр t. Введя диферен-
циалы
dx = xdt, d?x = x-dt* + x-d?t, B6)
мы получим, в силу формул G9) § 10:
,_ dx. ,_ d.4
X А— ) X ;
V
Подставив в B5) эти выражения, мы получим следующие результаты:
(| dx rf§) = 0 полосы кривизны.
(dxd?,) = 0 асимптотические полосы,
(| dx d2x) = 0 геодезические полосы.
B8)
Согласно формулам A1) и B4) для асимптотической полосы геоде-
геодезическая кривизна и геодезическое кручение совпадают с обыкновен-
обыкновенными кривизной и кручением.
§ 36. Вращение полосы вокруг своей кривой
Вращением полосы мы называем такое ее изменение, при котором
кривая х (s) остается неизменной, а меняются лишь нормали § (s). Для
новой полосы {x(s), |(s)} мы в этом случае имеем:
х = х,
} _ B9)
ибо вектор | должен оставаться перпендикулярным к х' = х'. Из
|2=i следует: аа —|— Р2 = 1 - Мы можем поэтому положить:
а = cos <р; р = sin «p;
<р есть угол между векторами \ и \, т. е. тот угол, на который пово-
поворачивается нормаль при переходе от старой полосы к новой. Из щ=
= х' X С следует:
•»] = — sin (f | -f- cos <f tj.

ВРАЩЕНИЕ ПОЛОСЫ ВОКРУГ СВОЕЙ КРИВОЙ 85
Итак, мы имеем следующие соотношения:
| = cos «pg -j- sin 9tj, C0)
tj = — sin tf g-|- cos щ.
Если мы будем считать угол поворота <р функцией дуги s, то мы
будем иметь наиболее общее выражение нашей полосы. Диференцируя
по s первые два соотношения C0), мы получим:
х" = х", C1)
,§' = (Ь cos tp — с sin <p) x' -f- (а — »0 sin с § — (а — у') cos 9Ч- C2)
Если мы в соответствии с формулами (8) введем для новых инвариан-
инвариантов обозначения ..
то, подставляя вместо соответствующих величин их выражения из C0),
C1) и C2) и принимая во внимание (8), мы получим следующие фор-
формулы, устанавливающие соотношения между старыми и новыми инва-
инвариантами:
а = а — <р', C3)
b= b cos 9 — с sin 9, C4)
с — b sin <p -f- с cos 9. C5)
Формулы C4) и C5) показывают, что через кривую можно провести
одну, и притом единственную, асимптотическую полосу и одну един-
единственную геодезическую полосу. Ибо, чтобы получить b = 0 или
с = 0, нужно положить соответственно tg<p = — и tg9 = — -т • Зна-
Значением же тангенса однозначно определяется угол, величина которого
заключается между 0 и х '. Из формул C4), C5) вытекает также
такое предложение: из асимптотической полосы поворотом ее на угол
-^ получается геодезическая полоса, и обратно.
С полосами кривизны дело обстоит иначе, чем с геодезическими и
асимптотическими. Проходящие через данную кривую полосы кривизны
образуют семейство, зависящее от одного параметра. В самом деле,
чтобы получить а = 0, мы должны положить 9' = а, т. е.
9(s)=fads, C6)
и функция 9 @ определяется лишь с точностью до аддитивного посто-
постоянного интеграции. Следовательно, через некоторую точку % мы можем
пр овести поверхностный элемент кривой совершенно произвольно; после
этого будет однозначно определена полоса кривизны, которая в точке
s0 будет иметь своим поверхностным элементом выбранный нами эле-
элемент. Вместе с тем мы устанавливаем геометрический смысл интеграль-
1 Этим устанавливается в то же время новая геометрическая интерпретация
инвариантов бис.

86 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
ного инварианта C6) нашей исходной полосы. Если интеграл взят
вдоль дуги кривой, заключенной между точками x(sx) и x(s2), то мы
можем дать следующее его истолкование: проведем через кривую исход-
исходной полосы одну из ее полос кривизны; если поверхностные элементы
исходной полосы образуют с поверхностными элементами полосы
кривизны в точках st и s2 углы ^ и <?a, то интеграл наш равен
разности <р2 — <pv
Если две полосы {x(s), |(s)} и {x(s), %(s)}, проходящие через одну
и ту же кривую х (s), обе являются полосами кривизны, то из а = а = О
согласно C3) следует, что ср = const. Мы получили теорему Иоахим-
сталя 1ш. соответствующие элементы двух полос кривизны, проходящих
через одну и ту оке кривую, образуют вдоль всей кривой постоянный
угол. Имеет место и обратная теорема: если все элементы полосы кри-
кривизны повернуть на один и тот же угол, то новая полоса также
будет полосой кривизны.
Мы можем на основании формулы C3) высказать также и более
общее предложение: если две полосы, проходящие через одну и ту же
кривую, образуют друг с другом постоянно один и тот же угол, то
они всюду имеют одно и то же геодезическое кручение а.
§ 37. Изгибание полосы
Каждую поверхностную полосу мы можем, по крайней мере при-
приближенно, представлять себе, как узкую полоску, изготовленную из
какого-нибудь гибкого и нерастяжимого материала (например из бумаги).
Некоторые такие полосы будут обладать друг по отношению к другу
особыми свойствами; именно, они могут получаться друг из друга
изгибанием. Например мы можем начертить на плоском бумажном листе
какую-нибудь кривую и вырезать затем вдоль этой кривой узкую
полоску плоскости^ Эту полоску можно затем различным образом изги-
изгибать, не разрывая бумаги и не образуя на ней складок. Этому изгиба-
изгибанию без складок и растяжений соответствует в качестве идеализиро-
идеализированного процесса такое преобразование полосы, при котором сохраня-
сохраняются длины дуг не только всех отрезков кривой х (s), но и всех кривых,
произвольным образом начерченных на полосе в достаточной близости
к кривой х (s). Короче говоря, это будет такое преобразование, при
котором останутся неизменными все метрические соотношения, имеющие
место на полосе.
Исследуем теперь, при каких условиях возможно наложение одной из
двух данных полос на другую, т. е. такое изгибание полосы, при котором
она приводится в совмещение с другой полосой. Мы условимся при этом
рассматривать пока только такие полосы, которые имеют свободные
концы, т. е. мы сначала ис слючим' из рассмотрения замкнутые полосы.
Для разрешения поставленного вопроса мы должны получить фор-
формулу, определяющую для заданной полосы {x(s), |(s)} длины дуг смеж-
смежных с х (s) кривых, расположенных на той же полосе. Смежной кривой
мы называем при этом такую кривую С, для всех точек которой крат-
1 F. Joachimsthal, Crelles J., т. 30 A846), стр. 347

ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ 87
чайшие их расстояния до кривой x(s) малы. Мы можем, следовательно,
етровести через x(s) произвольную поверхность, касающуюся полосы, и
на этой поверхности брать кривые, лежащие в окрестности кривой х (s).
Подобно тому как кривую мы представляем с помощью одного пара-
параметра, поверхность мы можем задать, представив точки поверхности х
в функции х (s, v) двух параметров s и v. При этом пока мы не пред-
предполагаем вовсе, что s есть длина какой-нибудь дуги. Если в функциях
x = x(s, v) мы дадим параметру s некоторое постоянное значение и
будем изменять лишь v, то мы получим для каждого значения s неко-
некоторую кривую, лежащую на поверхности. Точно так же, давая различ-
различные постоянные значения параметру v и изменяя s, мы получим семей-
семейство кривых на поверхности. „Сеть", образованную на поверхности
двумя семействами кривых s = const, и v = const., мы назовем сетью
параметрических кривых. Если мы зададим v в функции отйф =/(s),
то этим на нашей поверхности определится кривая x = x[s, /(«)]. Если
мы возьмем некоторую точку (s, v) нашей поверхности x=x(s, г»), то
частные производные х, и х„, взятые для этой точки, дадут два вектора,
направления которых будут направлениями касательных к параметриче-
параметрическим кривым, проходящим через эту точку.
Если мы выберем теперь такую поверхность х (s, v), для которой
7(s, 0) = x(s) C6a)
(в правой части равенства стоит векторная функция, определяющая кривую,
вдоль которой взята наша полоса), то эта поверхность проходит через
данную кривую. Если сверх того х„ вдоль нашей кривой линейно выра-
выражается через векторы х' и ij, принадлежащие нашей полосе х (s), \ (s):
х, (s, 0) = Р (s) • х' (s) + Q (8) • к] (s), ¦ C7)
то вектор х„, определяющий вместе с вектором х, касательную пло-
плоскость поверхности, лежит в тангенциальной плоскости полосы, и,
следовательно, поверхность и полоса касаются друг друга по кри-
кривой x(s).
Если мы разложим функцию x(s, v) в ряд по степеням v, то
получим: _
х>, v) = x(.s) + v.xv(s, 0)+...
или, принимая во внимание формулу C7):
х>, v) = x(s) + v • [Px' + Qtjl-f ... C7а)
Далее, из формул C7а) и G), мы получим *:
_ 1 Здесь уже предполагается, что параметр s есть длина дуги кривой
х (s, 0); легко видеть, что переход от общего случая, выше рассматривавшегося,
к этому частному осуществляется простой заменой одной переменной s; второй
параметр к может оставаться неизменным. Прим. перев.

88 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
Отсюда мы получаем:
.. C8)
и, приняв во внимание C7):
xaxv = P + v[...]-\-... C8а)
В последней формуле мы не выписываем полностью коэфициента при v,
так как нам понадобится только первый член разложения.
Вычислим теперь длину дуги кривой, смежной с х (s) и лежащей на
поверхности x(s, v). Для кривой x(s,f(s)) ==x(s), заданной на поверх-
поверхности уравнением v=f{s), мы имеем:
и для длины ее дуги S мы согласно формуле B) § 5 получим
следующее выражение:
в,
У Я C9)
Чтобы получить такую кривую х (s), которая при сближении с кри-
кривой х (s) переходила бы в нее, мы положим:
«=>/(*)«=••?(*) % C9а)
и будем считать, что е стремится к нулю. Соответственно с этим заме-
заменим в формулах C8) и C8а) v через «р, а в формуле C9) f череа
е<р'. Последняя формула примет тогда вид:
»2
ИЛИ
S= J
Разложив последний интеграл на сумму трех интегралов, мы получим:
8»
5(«) == 5@) + е {[?Я] J - J <fcQds}-\-.... D0)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собою раз-
разность между значениями функции <рР на концах s2 и 5Х нашей дуги.
Если мы положим:
то, принимая во внимание формулы C7а) и C9а), мы получим:
8x
Положим теперь:

ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ
и назовем Ьп нормальным смещением или нормальной вариацией, a bt
тангенциальным смещением или тангенциальной вариацией нашей:
кривой. Формуле D0) мы можем теперь придать следующий вид:
Величину 85 мы назовем первой вариацией длины дуги кривой, вдоль
которой взята наша полоса *.
Из этой формулы мы видим, что метрические соотношения в окрест-
окрестности кривой х (s) всецело определяются видом функции с (s), две же
другие определяющие нашу полосу функции a(s) и b(s) совершенно
не оказывают на них влияния. Поэтому мы будем называть налагаю-
налагающимися друг на друга такие две полосы, для которых функции c(s}<
оказываются тождественными при надлежащем выборе параметра (по-
(последняя оговорка обусловливается тем, что всегда можно произвести-
замену параметра s* = =hs-|-const., и новый параметр s* также будет
длиной дуги кривой).
Из формул G) следует, что для плоской полосы, т. е. для такой
полосы, касательная плоскость которой сохраняет свое положение *,
величины а и b должны равняться нулю, так как в этом случае-
{•' = 0. Из формулы B4) следует, что в этом случае кривая, принадле-
принадлежащая нашей полосе, сама будет плоской. Как было сказано в конце
§ 33, с точностью до движения существует одна и только одна поверх-
поверхностная полоса, для которой а== b = 0, a c = c(s). Следовательно,,
-каждая данная полоса налагается или, как мы будем говорить, развер-
1 Нетрудно видеть, что эта величии» по сути дела та же, что величина bsr
введенная в § 25 и вычисленная там же в формуле A2). Только там величины Is,.
и и v были бесконечно малыми первого порядка относительно с Если мы раз-
разделим обе части формулы A2) на е и в соответствии с формулами B) того же.
§ 25 введем обозначения ?s = —, и — — и t^= — (причем v в § 25 отлично»
от v настоящего параграфа), то формула A2) перепишется так:
I
--. I %vds.
Нетрудно видеть, что и = х' Ьх = Ы и что
v — Ьп cos <р2,
где ср2 — уголл
между главной нормалью кривой и вектором -ц (ибо v представляет собой сме-
смещение по главной нормали, а ел — нормальное смещение, проекцией которого-
является смещение по главной нормали). Итак, наша формула примет вид:
Ts = Щ*' — / * cos <р2 • 5л ds.
Но согласно формуле A5) § 34: cos<pa = ep = —; подставив это выражение в по-
последнюю формулу и сравнив результат с формулой D1), мы убедимся, что»
bs = bs. Как мы видим, формула D1) может быть получена проще, чем в тексте;,
если исходить из результатов § 25 и 34. Прим. перев.
2 Достаточно потребовать сохранения направления. Прим. перев.

90 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
тывается на одну и с точностью до движения только одну плоскую
полосу. Для плоской же полосы а = Ь = 0 величина с is) представляет
собой не что иное, как кривизну кривой, получившейся в результате
развертывания полосы. Этим устанавливается новая интерпретация инва-
инварианта изгибания с. Мы будем называть величину с — геодезической,
кривизной (ср. § 34).
Все вышеизложенное безусловно справедливо лишь для незамкнутых
полос и относится к достаточно малым поласам; если же мы возьмем
замкнутую полосу, то ее не всегда можно будет целиком развернуть
на плоскость. Это очевидно уже для того простейшего- случая, когда
мы имеем полосу, прилежащую к основанию прямого кругового цилин-
цилиндра. Здесь мы сталкиваемся с теми трудностями, которые присущи
„диференциальной геометрии в целом" (ср. задачу 4 § 40).
Для геодезических полос мы можем теперь установить новое
•отличительное свойство: их кривизна изгибания равна нулю, т. е.
их кривые после развертывания становятся прямыми линиями.
Формула C5) дает нам новую интерпретацию величины Ь\ если мы
лоложим в этой формуле <р = ¦«-, то она даст с = Ъ, и получаем следу-
шее предложение: инвариант полосы — Ь есть попросту геодезическая
кривизна полосы, которая проходит через ту же кривую и получается
из исходной полосы поворотом всех ее элементов на прямой угол.
§ 38. Параллелизм Леви-Чивита
Пусть вектор к выходит из точки х, принадлежащей полосе и
соответствующей значению s параметра; если этот вектор лежит
® касательной плоскости полосы, то его можно представить линейно
через векторы х' и ij:
k = flx' + Pi- D2)
Представим себе, что из каждой точки кривой нашей полосы исходит
такой вектор к. Тогда мы будем иметь семейство векторов k (s), которое
<>удет согласно формуле D2) определяться двумя функциями a(s) и
P(s). Будем теперь изгибать нашу полосу, захватывая и векторы к, и
притом так, чтобы длины их |Л»2-[~Р2 и углы, образуемые ими с кри-
кривой, а значит и величина , оставались все время неизменными.
Vfi + p
V + p
Это эквивалентно условию, чтобы компоненты аир D2) оставались
•одними и теми же при всех изменениях векторов х' и ij. Мы скажем,
•что введенные нами векторы связаны с полосой инвариантно относи-
относительно изгибания.
Если мы сдвинем вектор к, выходящий из некоторой точки полосы,
так, чтобы начало его попало в новую точку полосы, а вектор остался
параллельным самому себе, то, вообще говоря, вектор уже не будет
в новом положении принадлежать соответствующему элементу полосы;
¦он выйдет из полосы в окружающее ее пространство. Таким образом,
вообще говоря, нельзя передвигать на полосе вектор параллельно самому
себе, если параллелизм понимать в обычном смысле слова. Вместо этого
параллелизма мы введем другой закон смещения вектора вдоль полосы;

ПАРАЛЛЕЛИЗМ ЛЕВИ-ЧИВИТА 91
он играет важную роль в теории поверхностей и называется паралле-
параллелизмом Леви-Чивита (Levi-Civita) по имени автора, который его ввел.
Мы будем называть два вектора, исходящие из двух точек нашей
полосы, параллельными, если после развертывания полосы на плоскость,
в процессе которого они остаются связанными с полосой инвариантно
относительно изгибания, эти векторы становятся параллельными в обыч-
обычном смысле этого слова.
Чтобы дать общее аналитическое выражение закона смещения Леви-
Чивита, мы возьмем сначала плоскую полосу а = Ь = 0. Если на
плоской полосе все векторы к, расположенные в плоскости полосы,
параллельны между собой, то k = const, и к' = О *. Формулы G) и
D2), если принять во внимание соотношения а = О, b = 0, дают:
«' = <? р' = -<я. D3)
Этому же закону будет подчинено смещение и для общего случая, ибо,
как мы знаем, функции а, (З и с остаются неизменными при изгибании
полосы, а закон параллельного перенесения Леви-Чивита был определен
инвариантным относительно изгибания образом.
Параллельное смещение Леви-Чивита обладает следующими свой-
свойствами: 1) каждый вектор сохраняет при перенесении его вдоль полосы
сйою длину; 2) угол между двумя векторами к1 = а1х/-|"Р1Ч и
к2 = <xV -|- Р2<4 сохраняется при смещении. Эти свойства вытекают из
самого определения; но можно получить их и с помощью формул D3),
из которых вытекают следующие тождества, справедливые для перене-
перенесения векторов на любой полосе:
|(kk) = |(
Если мы будем считать, что к есть единичный вектор, то его можно
представить в виде:
к = cos т • х' -\- sin tij,
где т есть угол, образуемый вектором к с направлением кривой. Урав-
Уравнения D3) примут тогда вид:
— sin т • т' = с sin т, cos х • •:' = — с cos x.
Отсюда получаем уравнение:
т'-= — с. D4)
Оно показывает, как происходит изменение угла т при параллельном
перенесении вектора к вдоль полосы. Если мы обозначим через xt и
х2 углы, образуемые кривой с двумя векторами, проведенными из точек
s = sx и s = s2 и получающимися друг из друга параллельным переме-
перемещением, то согласно формуле D4) мы будем иметь:
;•
т2 — Xj = — I cds. D5)
1 Имеется в виду, что длина вектора остается неизменной. Прим. пере».

92
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
Стоящий в правой части этой формулы интеграл мы будем называть
полной кривизной нашей полосы. Из замечания, сделанного нами в конце
предыдущего параграфа, вытекает, что интеграл
f
— fbds
D6>
можно интерпретировать как полную кривизну полосы, получаемой и*
исходной поворотом ее на угол -^.
§ 39. Доказательство одной теоремы Шварца, предложенное
Радоном
Радон (Radon) заметил, что некоторые теоремы, изложенные нам»
в § 3, могут быть весьма просто доказаны, если пользоваться понятием
геодезической кривизны. Докажем, на-
например, следующую теорему: если за-
замкнутая пространственная кривая
имеет не более одной угловой точки,
и кривизна ее не превосходит едини-
цы, то периметр этой кривой He-
меньше окружности радиуса 1.
Примем угловую точку р (черт. 9)>
или, если у кривой ее нет, то любую
точку кривой — за вершину конуса,,
проходящего через кривую С. Ка-
Касательные плоскости этого конуса
образуют полосу вдоль кривой С.
Черт. 9.
При развертывании этой полосы на плоскость кривая С переходит
в замкнутую плоскую кривую С* *. Как мы видели в предыдущем пара-
параграфе, кривизна -j кривой С* равна геодезической кривизне с нашей:
полосы. В силу формул A1) и A3) мы имеем далее:
где р — радиус [кривизны кривой С, а ух — угол между нормалью-
полосы и бинормалью кривой С. Так как согласно условию -<1 и так
как | cos <Pj|-< 1« т0
Р"
D7>
1 В данном случае, несмотря на замкнутость полосы, развертывание ее
с сохранением замкнутости всегда возможно. Действительно, исходная крива»
проходит через вершину конуса; кроме того в точке р правая и левая касатель-
касательные к кривой служат образующими конуса. В случае, когда угловой точки нет,
эти две образующие противоположны по направлению. В том и другом случае
конус остается незамкнутым, и йотому его можно, не разрезая, развернуть на
плоскость. Вместе с ним разв ер нется и полоса, причем угловая точка может
появиться (если ее не было) ли Шь у вершины конуса. Прим. перев.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАДОНА ТЕОРЕМЫ ШВАРЦА 93
Этим задача сводится к аналогичной планиметрической задаче, и нам
остается доказать наше предложение для периметра кривой С*.
Более того, легко видеть, что достаточно доказать справедливость
нашего предложения для случая овальной линии. В самом деле, если
линия С* удовлетворяет условиям теоремы, но не является овалом, то
периметр С выпуклой оболочки кривой С* (см. черт. 9, на котором
внутренность оболочки заштрихована) также удовлетворяют обоим усло-
условиям теоремы: кривизна С по абсолютной величине не превосходит
единицы и линия С имеет не более одной угловой точки. Действительно,
кривая С частично совпадает с кривой С*, а там, где она уклоняется
от нее, бна идет прямолинейно. А так как прямая линия кратчайшая,-
то периметр С не превосходит периметра С*.
Итак, рассмотрим овал TL Выберем на овале точку о так, чтобы она
была наиболее удалена от точки р (точка р, как и прежде, есть угловая
точка овала, если таковая имеется; в противном случае — любая точка
овала). Нормаль к овалу в точке о пройдет через точку р; примем эту
нормаль за ось л: прямоугольной системы координат; за начало коор-
координат возьмем точку о. Пусть х есть угол между осью у и касательной
к кривой, s длина дуги кривой С, отсчитываемая от точки о. Тогда
для дуги, лежащей в полуплоскости у^О, мы имеем:
dx ., _ Г dx л. D8)
ds
и, следовательно: ;
МО- D9)
Далее
8 8
у= Г cost • ds^is I cossds = s'ms. E0)
б о
I
Так как для точки р мы имеем у = 0, то длина дуги, концами которой
служат точки о и р, не должна быть меньше, чем it. To же самое спра-
справедливо для той части кривой С, которая расположена в полуплоскости
_у=^0; следовательно:
I2s2ir. E1)
Из нашего доказательства вытекает также, что лишь в том случае имеет
место соотношение
L = 2к, E2)
когда
dx ,
т. е. когда наша кривая есть круг.
Остальные предложения, рассмотренные нами в § 31, могут быть
доказаны этим же методом Радона.

94
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛОСЫ
§ 40. Задачи и теоремы
1. Определение полосы по ее натуральным уравнениям. Доказать, что
натуральными уравнениями a (s), b (s), с (s) определяется одна и с точностью до-
движения только одна полоса.
2. Каноническое представление полосы. При надлежащем выборе системы
координат шесть определяющих полосу функций х (s), \ (s) можно в окрестности
некоторой точки разложить в степенные ряды следующего вида:
X^ — 5
хг= *
h-*
6,-1
+ *
1
—2" °*
"п " со$
+ ь*
+ *
1
1 ,
1 ,
Ч- -g- (c0 — аЛ) *3 + D)
1 ,
__.1(аЗ'+&2M2 ^_C)
E3»
Индексы 0 при аа, b0, а0 и т. д. указывают, что берутся начальные значения
инвариантов; в скобках указан порядок малости отбрасываемых членов; звез-
звездочками отмечено отсутствие членов соответствующего порядка.
3. Винтовая ось полосы. Представим себе, что триедр, образованный век-
торами х', 1), §, движется вдоль полосы так, что вершина его движется по кри-
кривой полосы со скоростью 1. Тогда точки х-\- xxf -\- yt\-\- z%, неподвижно соеди-
соединенные с триедром, в каждый момент имеют те же скорости, которые они
имели бы при винтовом движении, совершающимся по оси:
\-\-bz — су сх — az ay — bx
E4>
Эта ось Параллельна вектору с компонентами а, Ъ, с; вращение вокруг нее
совершается со скоростью Y a2 -J- № -j- с2, поступательиое^же движение вдоль,
оси совершается со скоростью
а'
У
4. Число поворотов замкнутой геодезической полосы. Каждую замкнутую
геодезическую полосу можно получить, сгибая прямолинейную плоскую полосу
и соединяя затем концы ее без образования складки в месте соединения. Пока-
Показать, что* кроме длины замкнутая геодезическая полоса имеет еще только один
инвариант изгибания, а именно так называемое число поворотов (Verdrillungs-
zahl), т. е. целое число л поворотов, производимых над одним концом полосы
перед соединением его с другим. При этом необходимо допустить возможность
пропускания одной части полосы через другую, чтобы таким образом можно
было освободиться от образующихся узлов. Полосу, для которой и = 1
называют обычно листом Мебиуса, а ее края — петлей клеверного листа
(Kleeblattschlinge).
Каждая двусторонняя полоса (л — четное число 2 т) может быть изогнута
на цилиндр, основанием которого служит круг, обходимый т-\-\ раз. В част-
частности убедитесь опытным путем в том, что замкнутая геодезическая полоса,
для которой п = 2, может быть наложена, во-первых, на цилиндр, основанием.

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 95
которого служит фигура, имеющая форму цифры 8, и, во-вторых, на цилиндр,,
основанием которого служит дважды обходимый круг,
5. Развертывающаяся поверхность, проходящая через данную полосу..
Доказать, что три бесконечно близкие касательные плоскости полосы пересе-
пересекаются в точке р, определяемой формулой:
E5V
Полоса лежит на поверхности, образованной касательными к кривой р (s).
6. Изгибание полосы на другую полосу с наперед заданной кривой.
Если точки двух кривых поставлены во взаимнооднозначное соответствие так,.
что дуги, соответствующие друг другу, имеют равные длины, то мы будем^
говорить, что кривые поставлены в изометрическое соответствие. Имеет место-
следующее предложение; если в каждой точке некоторой кривой x(s), поста-
поставленной в изометрическое соответствие с кривой x(s) заданной полосы, крй1-
визна по абсолютной величине больше геодезической кривизны полосы в соот-
соответствующей ее точке, то всегда возможно, и притом двумя различными спо-
способами, изогнуть_полосу так, чтобы ее кривая x(s) совпала с кривой x(s). Если
кривизна кривой x(s) по абсолютной величине меньше геодезической кривизны-
полосы в соответствующей ее точке, то такое изгибание ее невозможно. Если же:
указанные выше кривизны равны по абсолютной величине, то изгибание можно
произвести лишь единственным способом *.
7. Наложение полосы на асимптотическую полосу и на полосу кри-
кривизны. Каждая полоса бесконечно многими способами может быть изогнута,
так, что она станет асимптотической полосой; точно так же бесконечно многими
способами можно изогнуть ее так, что она станет полосой кривизны (см. стр. 211
курса, указанного в сноске к предшествующей задаче).
8. Полосы, нормальные к сфере. Доказать, что полосы, кривые которых
лежат на поверхности сферы, а поверхностные элементы нормальны к поверх-
поверхности сферы, тождественны с полосами кривизны, геодезическая кривизна
которых постоянна.
9. Обобщенный вид формул, дающих производные векторных фунКций,
определяющих нашу полосу. Уравнения G) могут быть представлены,
в следующем виде:
E6).
Здесь а, р и 7 суть интегральные инварианты:
В этом виде уравнения сохраняют силу и для того случая, когда кривая полосы,
стягивается в точку.
1 Ср. L. Bianchl, Vorlesungen fiber Differentialgeometrie, Leipzig, 1910, стр. 210„

ГЛАВА. ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В первой главе мы рассмотрели основные вопросы теории простран-
пространственных кривых. В третьей главе мы занимались поверхностными поло-
полосами, изучение' которых должно было подготовить почву для усвоения
теории поверхностей. Мы начнем изучение этой теории с классического
учения о кривизне поверхностей, основы которого заложены были Эйле-
Эйлером A707—1783) и получили развитие в классической работе Моюка
(G. Monge, Application de l'analyse a la geomertie); первое издание
этой работы появилось в 1795 г. * Более глубокие идеи гауссовой
работы (Gauss, Disquisitiones generates circa superficies curvas, 1827)
в этой главе найдут себе отражение лишь в малой их части. Их раз-
развитию посвящена шестая глава. Теория поверхностей гораздо богаче
да интереснее теории кривых, в которой все сводится по существу
« формулам Френе.
§ 41. Первая"основная форма
V
Для большинства исследований наиболее целесообразно представлять
поверхность параметрическими уравнениями. Мы полагаем:
хк = хк (в, о); ? = 1,2,3 A)
«ли, в сокращенной векторной форме:
х = х(и,г>). B)
Этот способ задания поверхности называется гауссовым параметрическим
представлением. Мы предполагаем в дальнейшем, что функции хк (и, v)
аналитические, т. е. разложимы в ряды по степеням (и—и0), (г/—v0),
сходящиеся при достаточно малых |и — ко| и \v — vo\. Как правило
мы будем иметь дело лишь с вещественным значением и и v и с веще-
вещественными функциями хк.
Возьмем на поверхности параметрические линии v=const, и и=const.,
^называемые также и-линиями и ij-линиями. Тангенциальными векто-
векторами этих кривых будут векторы: х„ с координатами -^- и х, с коор-
координатами -**•.
dv
1 Русский перевод этой работы Монжа должен появиться в ближайшее
время. Прим. пере я.

ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА 97
Мы будем считать, что для рассматриваемых нами точек поверхности
эти векторы линейно независимы:
хи X х, ф 0. C)
Если положим и = и (t), v = v (t), то на нцией поверхности будет
определена кривая:
х[«(/), v(t))=x(t), D)
тангенциальный вектор которой будет:
dx du , dv
Этот вектор согласно формуле B7) § 2 перпендикулярен к векторному
произведению хнХх„. Из условия C) следует, что касательные всех
кривых, проходящих на поверхности через точку (и, г»), в этой точке
перпендикулярны к вектору C) и потому все лежат в одной плоскости;
эта плоскость называется касательной к поверхности в данной ее точке.
Касательная плоскость перпендикулярна к единичному вектору нормали
поверхности:
Для кривой, заданной формулой D), мы получаем согласно B) § 5
следующую формулу длины ее дуги:
s= fVV^fdt= /"l/"x^(—V + 2(x,,xe)— — -f*l (—Y dt
Пользуясь введенными Гауссом обозначениями:
Е — х2 F = xx G = x2 G}
мы можем записать эту формулу в виде:
S = J V ЕЫ)
)
Квадрат диференциала ds может быть выражен поэтому формулой:
Диференциал ds называют элементом дуги или бесконечно малым рас-
расстоянием между смежными точками кривой, соответствующими значениям
параметра t и t-\~dt Формулу Gа) обычно пишут следующим образом:
ds'i = Edu'i-\-2Fdudv-\-Gdv'i. (8)
При'этом способе записи находит себе явное выражение тот факт, что
выражение для cfs8 не зависит от частного выбора параметра t в функ-
функциях и (t), v (/). Оно сохраняет свой вид при замене t новым параметром
t=f(t*:), и величина ds зависит только от значений параметров и и г»
для двух смежных точек кривой («, v) и (и -\- du, v -\- dv); таким обра-
образом ds1* есть функция величин и, v (входящих в Е, F, G) и du, dv.
Захс. Ю4.—Бляшке, <r. I

98
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Если мы назовем фигуру, образованную двумя точками и, v и и -j-. du,
v-\-dv нашей поверхности линейным элементом ее, то величина ds\
как показывает ее геометрический смысл, будет инвариантом взятого на
поверхности элемента. Так как ds2 представляется согласно формуле (8)
квадратичной формой относительно диференциалов du и dv, то ds2
называется также инвариантной квадратичной диференциальной формой
нашей поверхности. Разумеется, нашей задачей является найти такие
инварианты поверхности, которые не зависели бы от специального вы-
выбора линейного элемента, т. е. от специального выбора направления на
поверхности, и которые характеризовали бы самое поверхность. К таким
инвариантам мы и придем позднее; их выражение будет иметь более
сложный вид, и тогда мы увидим, что изучение некоторых инвариантных
диференциальных форм, без труда получаемых в самом начале занятий
теорией поверхностей, является полезной предварительной стадией, под-
подготовляющей получение настоящих инвариантов
поверхностей. В пятой главе это станет вполне
ясным для читателя.
Помимо формы (8) мы в следующем па-
параграфе введем еще одну диференциальную
форму.
Применяя тождественное преобразование
Лагранжа (§ 2, B8)] и пользуясь сокращенными
обозначениями Гаусса G), мы представим фор-
формулу F) в виде:
? _ *и X X»
Черт. 10.
Y EG — .F2'
(9)
В качестве примера рассмотрим гауссово параметрическое предста-
представление сферы радиуса 1 (черт. 10); вместо и, v мы введем для пара-
параметров обычные в зтсм случае обозначения:
— х1 = sin 8 cos 9,
х2= sinЬ sinф, A0)
хв = cos &.
Здесь {> есть северная широта, N@,0,1) — северный полюс, а ф— геогра-
географическая долгота. Линии & = const, суть параллели, линии © = const. —
меридианы. Полюсы являются особыми точками нашего параметриче-
параметрического представления, так как -Д обращается в нуль для 0 = 0, я, и>
следовательно, условие C) не выполняется. Таккм образом невыполнение
этого условия может проистекать не только из наличия особых точек
поверхности, какими, например, являются вершины для конусов, но и из;
особого характера выбираемого нами параметрического представление.
Для элемента дуги нашей сферы мы получаем формулу:
= rfP -f (sin
а для нормального вектора:
A2)

ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ФОРМА 99
§ 42. Вторая основная форма
Если мы будем рассматривать нормали к поверхности, взятые вдоль
нашей кривой D):
то функциями х(^), 5(f) будет определена поверхностная полоса, к ко-
которой мы можем применять формулы третьей главы. Если, в частности,
мы примем за параметр длину • дуги s кривой D) х (t), то согласно
формуле (8) § 33 нормальная кривизна Ь нашей полосы выразится
формулой:
Если мы введем обозначения:
I = -(xJB), 2Л*=-(хи§, + х,|в),"Л^-<х,?„), A4)
то с помощью формулы E) и формулы
', A4а)
получим:
— (dx, rff) = L du* + 2уИ du dv + N dv3. A5)
Так как величины b и ds'1, из которых последняя была уже определена
формулой (8), являются инвариантами полосы, то из A3) следует, что
выражение A5) есть новая инвариантная квадратичная диференциальная
форма нашей поверхности, представляющая инвариант линейного элемента
поверхности. Итак, мы имеем следующие две формы:
Edu*-{-2Fdudv-\-Gdv*= I,
Ldu*-{-2Mdudv-\-Ndv* = ]l.
Формулы A4) могут быть записаны еще иначе. Диференцируя то-
тождества
хн| = 0, х,5 = 0
по г» и и, мы получим:
х„Д + «„5. = 0, х„| + хД. = 0 A7)
л, следовательно:
-хн?, = -х^ = хяЛ = Ж. A8)
Если же тождества эти диференцировать цо и и v, то получим:
и формулы A4) дадут:
7*

100
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Введя для вектора ? его выражение (9), мы окончательно получаем
следующие выражения для величин L, M, N:
I* — — хи5» =
Y EG— F*%
A9)
§ 43. Теоремы Менье и Эйлера
Согласно формулам A1) и A2) § 34 нормальная кривизна полосы,
принадлежащей нашей поверхности, может быть представлена также
формулой:
— * = ЬЁ, A9а)
где §2 есть главная нормаль, а кривизна кривой нашей полосы,
которую нужно взять с надлежащим знаком. Формулы же A3), A5)
и A6) дают
Таким образом из A9а) мы получаем:
III = —
р ~ 1
- Gdifi'
Из этой формулы вытекает целый ряд предложений. Прежде всего она
показывает, что все кривые, лежащие на поверхности, проходящие через
одну и ту же ее точку и имеющие общую соприкасающуюся плоскость,
обладают в общей их точке одной и ?гой же кривизной. Поэтому, чтобы
изучить распределение кривизн среди всех кривых, проходящих через
дачную точку поверхности, достаточно исследовать лишь плоские сечения
поверхности.
Рассмотрим теперь все плоские сечения, проходящие через данную
точку и имеющие в этой точке общую касательную. Если через 6 мы
обозначим угол, образуемый плоскостью кривой с нормалью поверх-
поверхности, т. е. если мы положим |2| = cos0, то будем иметь:
Положив 9 i
образом:
: COnSt.
1
B0)
; 0, мы получим кривизну -%¦ нормального сечения. Таким
cos 9
р
B1)

ТЕОРЕМЫ МЕНЬЕ И ЭЙЛЕРА
101
Эта формула выражает следующую теорему Менье (Meusnier, 1776):
геометрическое место кругов кривизны плоских сечений, проходящих
через один и тот же линейный элемент поверхности, есть сфера.
Мы можем сказать, что все оси кривизны рассматриваемых сечений
образуют пучок (т. е. лежат в одной плоскости и проходят через одну
точку). Исключение составляет лишь тот случай, когда диференциалы
линейного элемента du и dv удовлетворяют уравнению II = 0. Этот
случай мы рассмотрим в § 52.
Чертеж 11 иллюстрирует теорему Менье; линейный элемент, через
который проходят плоские сечения, предполагается проходящим через
точку х перпендикулярно к плоскости чертежа,
и, следовательно, все сечения также перпен-
перпендикулярны, этой плоскости.
Если мы предположим, что в формуле A6)
векторы |2 и | совпадают друг с другом, то
получим выражения кривизны нормального
сечения
В "соответствии с установленным в § 7
соглашением относительно знака кривизны ве-
величина /? положительна, если соответствующий
центр кривизны лежит по ту же сторону Черт. 11.
поверхности от данной ее точки, по которой
направлен вектор § (направление последнего устанавливается по произ-
произволу). В противном случае величина /? отрицательна.
Так как I = ds2>0, то знак величины /? зависит только от II. При
этом могут иметь место два существенно различных случая, смотря по
тому, меняет или не меняет знак форма II при изменении -~. |Если
LN—Л1а > 0, то форма II сохраняет один и тот же знак, и, следова-
следовательно, центры кривизны всех нормальных сечений, проходящих через
точку х, лежат по одну и ту же сторону поверхности. В таком случае
говорят, что поверхность искривлена в точке х эллиптически. Если
LN— ЛР = 0, то форма своего знака также не меняет, но имеет одно,
и притом единственное, нулевое направление, при котором
-^ = 0. В этом случае точка поверхности называется параболической.
Наконец, когда LN—М1 < 0, мы имеем гиперболическую кривизну.
Различие между этими случаями станет более ясным, если мы вос-
иользуемся специальным выбором параметров и положим хх = и, х2 = v,
хя=/(и, v). Если мы примем нашу точку за начало координат, а каса-
касательную плоскость поверхности, проходящей через эту точку, за пло-
плоскость xv x2, то, разлагая функцию / в ряд, мы получим уравнение
поверхности в такой форме:
25
B3)

102
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Для начала координат мы будем иметь: E=>G=l\ F = 0, L — r,
= s, N=*t\ и формула B2) запишется теперь так:
— = г cos2 <p -\- 2s sin <р cos 9 -\- t sin2 9.
B4)
Здесь tp есть угол, который касательная в начале координат обра-
образует с осью хх. Если мы положим:
то получим:
'" =±1. B5)
Это уравнение есть уравнение конического сечения (или пары пря-
прямых); соответствующая ему линия (черт. 12) носит название индикатрисы
Дюпена (Dupin). Это коническое сечение, центром которого является
начало координат, есть фигура, подобная той, которую в первом при-
приближении дает линия пересечения нашей поверхности с плоскостями
лг8=.const, при малом \ха\.
Наше разложение в ряд показывает, что в случае эллиптической
кривизны (rt — s2 > 0) поверхность в окрестности соответствующей точки
целиком лежит по одну сторону касательной плоскости лг3 = 0, • тогда
• как в случае гиперболической кривизны касатель-
касательная плоскость пересекается с поверхностью в
-окрестности точки касания. Лучше всего соста-
составить себе представление о таких гиперболических
точках поверхности можно на примере лг8 = x^xv
Если ось лг3 направлена . кверху, то в обоих коор-
координатных углах л:^ > 0 поверхность идет квер-
кверху наподобие гор, в обоих же углах лг^ < 0
опускается наподобие долин; переходя друг в
Черт. 12.
друга, в начале координат эти возвышения и долины придают поверх-
поверхности седлообразную форму.
Если мы исключим из рассмотрения параболический случай, т. е. пред-
предположим, что rt—52 ф 0, то мы можем выбрать за оси координат xv x2
оси индикатрисы. Тогда s = 0, и формула B4) принимает вид:
B6)
Мы получили формулу Эйлера, позволяющую найти кривизну произволь-
произвольного нормального сечения, зная главные кривизны -5- и -^-. Главными
кривизнами мы называем кривизны тех нормальных сечений, которые
проходят через оси индикатрисы Дюпена. Асимптоты этой индикатрисы
называются асимптотами поверхности.
§ 44. Главные кривизны
Для кривизн нормальных сечений, проходящих через данную точку
поверхности, мы получили уравнение B2):

ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ
103
B6a)
_ 1 du
Если мы зададим значение -jj- , то для определения направления -*-
к av
мы будем иметь уравнение: ,
(RL — Е) du"- + 2 (RM—F) du dv + (RN— G)do*=s 0. B7)
Те значения -w-, для которых это уравнение имеет относительно -г-
К. av
двойной корень, мы будем называть главными кривизнами, в соответ-
соответствии с тем определением, которое было дано нами при помощи инди-
индикатрисы для непараболических случаев. Если уравнение B7) должно
иметь двойной корень, то кроме уравнения B7) должно удовлетворяться
еще другое уравнение, получающееся диференцированием первого по —?¦
или, что то же, должны одновременно удовлетворяться следующие два
уравнения:
г B8)
Отсюда для определения # мы получаем уравнение:
RL —E RM — F
RM — F RN—G
= 0.
Это уравнение можно было бы и непосредственно получить из фор-
формулы B7). Оно выражает, что дискриминант уравнения B7) обращается
в нуль. Вычисляя определитель, мы получаем:
(EG—F*)jp— (EN—
—M*) = 0. B9)
Отсюда мы получаем следующие выражения для основных симметриче-
симметрических функций главных кривизн: " h
1 1
1
D 1 с
LN — Af2
>2 ~ EG — Я '
EN — 2FM + GL
EQ-F*
Введем обозначения:
1 1
C0)
C1)
Величина К носит название Гауссовой кривизны (или просто кривизны),
а величина Н—средней кривизны поверхности. Эти две кривизны
играют в теории поверхностей ту роль, которую в теории простран-
пространственных кривых играла одна кривизна кривой. Рассмотрение величин К,
Н вместо величин -jr- и тг целесообразно уже хотя бы потому, что
величины К и Н рационально выражзются через коэфициенты основных
квадратичных форм.

104
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Величина Н меняет знак в зависимости от выбора знака у корня j
C2) /
— F* = W,
входящего в выражения A9) коэфициентов второй основной формы;
величина же К сохраняет при этом свой знак. Согласно сказанному
в § 43 мы имеем /С> 0 для точки с эллиптической кривизной; К = О
для точки, в которой поверхность имеет параболическую кривизну, и,
наконец, /С< 0 для гиперболических точек поверхности.
§ 45. Гауссова Theorema egregium
To обстоятельство, что на величину К не оказывает влияния ир-
иррациональность W, станет нагляднее всего, когда мы подставим в
выражение ее
значения коэфициентов L, N, М, даваемые формулами A9):
1
I/ ^^ J I /« -г V "i f Y V Y "i (м v v \3 1 / Q V\
Л Jj^J I VAKMA!iAf/ V »» 4Af/ VA«OA«A»^ /• \""t
Теперь, дважды пользуясь теоремой умножения определителей, мы можем
легко получить знаменитую теорему Гаусса, утверждающую, что вели-
величина К может быть выражена через одни коэфициенты Е, F, G и их
производные первого и
получаем прежде всего:
второго порядка по и и v. Именно, мы
1
(xu\J
(X,O
F
О
F
G
или
А.) — х2«.) (х«А.) ("«А)
(хА.) Е F
(х„х Л F G
0
(««а)
и) (Х
Е
F
F
G
C4)
Диференцируя формулы, определяющие величины
*i = E, V. = f> \ = O,
мы получим следующий ряд уравнений:
хиА жв~2^**
— 1.Г
и«х? — 2 "'
,C5)
C6)
C7)
C8)
C9)
D0)

ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
105
Диференцируя теперь уравнение C8) по и, а уравнение C9) по v и вы-
вычитая почленно полученные результаты один из другого, мы получим:
Теперь все величины, входящие в C4), выражены через Е, F, G и их
производные, и мы получаем:
—
1 г 1 г !
V • * °яj
1 '
I0'
I ]
'4-0. F 0
"*' J 9 и In o" V
? f
—
D2>
Этим простым и естественным методом знаменитая теорема Гаусса
была доказана Бальцером (R. Baltzer) х. Сам Гаусс получил в 1826 г.
эквивалентный этому результат путем очень сложных выкладок 2.
Геометрический смысл этой теоремы будет раскрыт позднее (§ 67).
§ 46. Линии^кривизны
Уравнения B8) или уравнения
D3)
= 0.
D4)
по исключении из них 7? дают для определения главных направлений,
соответствующих осям индикатрисы, следующее квадратное уравнение:.
Mdv Edu + Fdv
+ Ndv Fdu^Gdv
Его можно также представить в виде:
(LF'— ME) du°- -f (LG — NS) da dv -f (MO — NF) dv* = 0 D5)
или в виде:
dv* — dado du*
E
L
F
M
G
N
= 0.
D6)
1 /?. Baltzer, Ableitung der Gauszscheri Formeln itir die Flachenkrtimmung,.
Leipziger Ber., math.-phys. Klasse, т. 18, стр. 1—6, 1866.
2 См. P. Stackel, Materialien fflr eine wissenschaftliche Biographie von Gausz,.
V: Gausz als Geometer A918), особенно стр. 120—125. Кроме того ниже в §73.

106 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ *
Кривая, проведенная на поверхности так, что направление ее в каждой
точке поверхности совпадает с одним из главных направлений, назы-
называется линией кривизны. Так как индикатриса вообще имеет две веще-
вещественные оси 1, то через каждую точку поверхности проходят, вообще
говоря, две различные линии кривизны, перпендикулярные друг к другу.
Уравнения D4), D5) и D6) представляют собой различные формы
диференциального уравнения этой ортогональной сети., линий на по-
поверхности.
Покажем теперь, что только те полосы поверхности, которые рас-
лоложены вдоль ее линий кривизны, являются полосами кривизны
. в том смысле, который был установлен в § 35. Там мы вывели сле-
следующее определяющее полосы кривизны условие:
(I dx, rfg) = 0. D7)
Мы должны теперь показать, что условие D7) тождественно с каждым
лз условий D4), D5), D6). В самом деле, согласно формуле B6) § 2
из соотношения D7) следует, что входящие в детерминант векторы
связаны между собой линейной зависимостью:
ag-f p-rfx +.T dS = 0. D8)
Величины a, р, -f не могут быть равными нулю все вместе. Так как
из |2 =я 1 следует § d§ = 0 и так как сверх того согласно формуле E)
¦§ 41 §rfx = 0, то, умножай скалярно уравнение D8) на §, мы получаем,
что величина а должна равняться нулю.
Помножая уравнение
pdk + TdS = O D9)
сначала на' хм, а затем на х, и принимая во внимание формулы E)
и A4а), мы получаем два уравнения:
Р (? du + Fdv) — f (Z. du -\- Mdv) = 0,
P {Fdu -\- Q da) — т (Mdu -4- Ndv) = 0.
Так как эта система уравнений должна дать для р и f отличные от
нуля значения, то определитель ее должен быть равен нулю. Записывая
это условие, мы получим уравнение D4). Наше предложение, таким
образом, доказано.
Выведенное в § 35 свойство полос кривизны дает нам теперь сле-
следующую теорему: кривая поверхности является ее линией кривизны,
•если взятые вдоль этой кривой нормали поверхности образуют раз-
жртывающуюся поверхность.
Если мы примем за параметрические линии и, v — const, два орто-
ортогональные друг к другу семейства линий кривизны, то прежде всего
должна равняться нулю величина хих„ = /? = 0, а затем, так как урав-
уравнение D5) должно удовлетворяться при </и = 0 и dv = Q, должны
быть равными нулю величины ME = 0, МО == 0, а так как не могут
быть равными нулю три величины, Е, F, G все вместе, то должно
•быть Ж=0.
1 В том случае, когда точка является гиперболической, индикатрисой Дюпена
.служат, как показывает двойной знак в первой части формулы D5), две
гиперболы с общей парой асимптот. Прим. перев.

ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
107
Условие
E0)
необходимо и достаточно для того, чтобы линии кривизны были параме-
параметрическими линиями.
Из формулы D9) следует, что если уравнения поверхности отне-
отнесены к ее линиям кривизны, то производные векторов х и | должны
быть связаны соотношениями:
Величины fj и т2 отличны от нуля, так как согласно C) х„ и х„ не
могут равняться нулю. Умножив первое из этих уравнений на х„,
а второе на х„ мы получим:
к
Tfi
k
ъ
G ¦
L N
"Но согласно C0) величины -^ и -~ в том случае, когда M=F = 0,
1 1
суть не что иное, как главные кривизны поверхности -уг- и -~~-
Поэтому E1) мы можем переписать, например, следующим образом:
5 __±х 5 —
1
E2)
Зги уравнения называются уравнениями Родрига
(О. Rodrigues, 1816).
Для поверхностей вращения линии кривизны
могут быть найдены очень легко. Именно, этими
линиями являются ее параллели и меридианы,
ибо нормали, взятые вдоль каждой из этих ли-
линий, образуют развертывающуюся поверхность.
Одним из главных центров кривизны некоторой
точки поверхности вращения является центр кри-
кривизны соответствующего меридиана; другой ле-
лежит на оси вращения (черт. 13). Последнее
-станет очевидным, если мы вспомним, что нормали,
проведенные из точек параллели, образуют круглый
конус; нетрудно также получить этот результат
из теоремы Менье. ¦
Будем теперь снова предполагать, что поверхность отнесена к про-
произвольным параметрам. Диференциальное уравнений линий кривизны D7)
мы можем в силу E) и A4а) записать в следующей форме:
E xJJ difl + [(S xj.) + E xJJ] da dv + (§ x,gf) dxfl = 0: E3)
Так как это уравнение должно давать те же значения — , что и
уравнение D5), то левая его часть может лишь некоторым множите-
множителем X отличаться от левой части уравнения D5). Значит, коэфициенты
при da*, du dv и dv-, входящие в E3), получаются из соответствую-
Черт. 13.

108 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
щих коэфициентов уравнения D5) умножением на один и тот же мно-
множитель X. Так, например, мы имеем J:
f-AfE), | '
Из этих формул легко получается, следующее предложение: если
через некоторую точку поверхности проходят какие-либо две взаимно-
перпендикулярные кривые, то геодезические кручения (см. § 34) ах и
аа' полос, прилегающих к этим кривым, в этой точке равны между
собой по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Доказательство получается непосредственно из формулы E4), если мы
примем две взаимно перпендикулярные кривые за координатные линии
du — О и dv = 0. Тогда мы будем иметь F = 0, и формулы E4) дадут:
Eх„5,,)
Но обе части равенства E5) представляют собой не что иное, как
выражения для геодезических кручений аг и а2 двух наших кривых.
В самом деле, величины \^Edu и ]fGdv согласно формуле (8) суть
элементы дуг dst и ds% наших кривых du~O и dv — О. Если мы
теперь введем обозначения —,—, —?- (и, соответственно, -т—, ~~Л- \
dst dst \ ds, dst J
1 Формулы E4) могут быть очень просто получены прямым вычислением;
при этом не понадобится введения неопределенного коэфициента X. В самом
деле, мы имеем в силу (9);
= -1- [(х„и X хг)?хи] + -L [(х„ X х!(„
Пользуясь формулой B9) § 1, мы преобразуем первое слагаемое следующим
образом:
[(хии X х„) SxJ = [(xmil) х„ — (хД) хвк] х».
Подставляя вместо g его выражение (9), мы получим (х,|) = 0 и в силу G) и A9):
FVv vi\h I (x«»xMxt) (xMxc) __ LF
ЦХ Л х; *х] _ -
Аналогично найдется я второе слагаемое формулы E3а), и окончательно будем;
иметь:
иметь:
._ . . LF— ME
«««В») = f5— • E4а)
Точно так же мы получим и выражение для (gxtgt). Таким образом излагаемое
дальше в тексте предложение может быть доказано совершенно независимо от
рассмотрения линий кривизны, что сразу же очевидно по самому его содер-
содержанию. С другой стороны, из соотношения E4а) и ему аналогичных прямым
вычиелением может быть получена теорема, доказанная автором в начале
этого параграфа, именно теорема о том, что полоса кривизны окаймляет линию
кривизны. В самом деле, для доказательства достаточно в формуле D7) заме-
заменить d| через \иdu -\-\vdv и dx через хи du + х„do. Раскрывая скобки, мы
получим:
ilxulu) da* + [(?хи6„) + (SXA,)] du dt + (gx,g0) dtfi = 0.
Это уравнение в силу формулы E4а) и el аналогичных равносильно уравне»-
нию D5) линий кривизны. Прим. пере в.

ТОЧКИ ОКРУГЛЕНИЯ . 109
для производных векторов х и f вдоль нашей и-линии (и, соответ-
соответственно, вдоль v-линии), то в силу соотношений -?- = —-^ и т. п.
мы сможем записать уравнение E5) в следующей форме:
- dx d% (- dx d\
Г ¦—; — = | С ~-j —5
aSi as 1 \ flw2 ds2
Этим [ср. формулу B5) § 35] справедливость утверждения доказана.
§ 47. Точки округления-1
Как показывает формула D6), диференциальное уравнение линий
кривизны перестает служить для определения линий кривизны во всех
тех случаях, когда основные диференциальные формы I и II различаются
друг от друга лишь некоторым множителем X., не зависящим от -?-'
т. е., как видно из формулы A2), в тех случаях, когда кривизны всех
сечений, проходящих через данную точку поверхности, равны между
собой. Такую точку поверхности называют точкой округления или
омбилической точкой. Очевидно, что все точки и плоскости и сферы
являются омбилическими точками. Для этих поверхностей все их линии
могут считаться линиями кривизны, что согласуется и с тем, что нор-
нормали, взятые вдоль любой плоской или сферической линии, образуют
развертывающуюся поверхность (цилиндричгскую для плоской и кони-
коническую для сферической кривой).
Возникает вопрос, является ли указанное свойство отличительным-
свойством сфер (мы причисляем к ним и плоскость)? Если на поверх-
поверхности существуют точки, главные кривизны которых отличны от нуля,
и если все точки поверхности должны быть точками округления, то мы
должны иметь Rl = R2 = R (и, v), а так как. каждая линия должна
тогда быть линией кривизны, то из E2) следует, что для всех точек
поверхности имеют место соотношения:
5„ = --?•*„; 5, = -irv . E6)
Продиференцировав первое из них по v, а второе по и и произведя
почленное вычитание, найдем:
4-^1.» —И-х =0 (Е7Л
А так как векторы хв и х„ должны быть линейно независимыми, то
для того, чтобы уравнение E7) выполнялось, необходимо, чтобы
/?„ = /?„ = 0, т. е. чтобы R = const. Интегрируя уравнение E6), мы
получим х = — /?§ —J— о. Последнее уравнение выражает, что поверх-
поверхность наша действительно есть сфера радиуса R с центром в точке о.
В том же случае, когда кривизна -& тождественно равна нулю, фор-
формула E6) дает:
§« = 0, §„ = 0, т. е. § = const.,
1 В связи с этим параграфом см. задачу 3 § 60.

ПО ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
значит, интегрируя уравнение §dx = 0, мы получим уравнение плоскости:
|х = const.
Итак мы доказали следующее предложение: сферы (к числу кото-
которых мы относим и плоскость) суть единственные поверхности, все
точки которых являются точками округления.
§ 48. Теорема Дюпена
Во многих случаях (например для поверхностей второго порядка)
удается определить линии кривизны, т. е. проинтегрировать диферен-
циальное уравнение D6), опираясь на одну изящную теорему, данную
Дюпеном. Представим себе, что координаты хк точки пространства
представлены как функции трех параметров и, v и w:
** = **(«> v> w)> E8)
или в векторных обозначениях: г
х = х(и, v, w).
Величины и, v, w называют „криволинейными координатами" точки
в пространстве, если уравнения E8) можно разрешить относительно
и, v, w, т. е. если функциональный определитель xlt х2, д~3 по и, v, w
не равен тождественно нулю. Предположим, что каждая из поверхно-
поверхностей — и = const, и v = const. — пересекает все поверхности двух других
семейств под прямым углом. В этом случае говорят, что три семейства
поверхностей образуют прямоугольную сеть поверхностей или триор-
тогональную 'систему.
Так, например, если мы введем полярные координаты;
хл = г sin Ь cos <p,
x2 = r sin Ь sin »,
х3 — г cos ft,
то' поверхности r = const, будут концентрическими сферами, поверхности
в = const. — круглыми конусами, а поверхности в = 0 — плоскостями.
Эти три семейства поверхностей образуют триортогональную систему.
Условия триортогональности могут быть представлены соотношениями:
х„хю = 0, х„х„ = О, х(х„ = (Г, E9)
в которых, например, через хи обозначен вектор с компонентами
-~. Квадрат элемента^ дуги в триортогональной системе координат
выражается формулой:
Л2 = х^ du*-f iJrfi/2 -f x2wdwK
Теорема Дюпена, содержащаяся в основной его работе (Сh. Dupin,
Developpements de geometrie, Paris 1813), может быть сформулирована
следующим образом:
поверхности, образующие триортогональную систему, пересекаются
попарно друг с другом по их линиям кривизны.

ТЕОРЕМА ДЮПЕНА 111
Для доказательства этой теоремы продиференцируем уравнения E9)
соответственно по и, ъ и w. Получим:
откуда
Х.Л = 0. х™х„ = °- х» А = 0:
Так как три вектора хм, х„ и хв„ перпендикулярны к ха, то они
лежат в одной плоскости:
"(хи,хА) = 0. F0>
Рассмотрим теперь поверхность w = const, и примем на ней и и v
за гауссовы параметры.
Мы имеем х„х,, = F=0, кроме того согласно формуле A9), опре-
определяющей величину М, мы получаем из F0), что уИ = 0. Наличие же
"соотношений F = 0, М = 0, как мы видели, является признаком тогог
что параметрические линии являются линиями кривизньь '
Только что изложенное доказательство можно провести и в геоме-
геометрической форме. 'Через каждую точку пространства проходят три
кривые, по которым попарно пересекаются поверхности триортогональной
системы; через каждую же кривую проходят две полосы, принадлежащие
пересекающимся по этой кривой поверхностям. Всего мы имеем таким
образом в каждой т очке шесть полос, принадлежащих триортогональной
системе* При этом две полосы, проходящие через одну и ту же кривую,,
пересекаются друг с другом под постоянным (прямым) углом; следова-
следовательно, как доказано было в конце § 36, они имеют одни и те же
геодезические кручения. Обозначим через а^, а2, аъ три различных
между собой геодезических кручения наших полос и примем во вни-
внимание еще то, что каждая пара этих геодезических кручений может
быть отнесена к паре полос, принадлежащих одной и той же поверх-
поверхности. Так как сверх того эти полосы прилегают к взаимно перпенди-
перпендикулярным кривым, то согласно предложению, доказанному в конце § 46Г
их геодезические кручения равны по абсолютной величине и противо-
противоположны по знаку.
Применив это предложение трижды, мы получим:
ai-]-a2 = 0, а2 + а3 = 0, a3-fa1==0.
Следовательно, все три величины а обращаются в. нуль и, значит,
все наши полосы в силу, первой из формул B5) § 35 суть прлосьь
кривизны. Этим наше предложение доказано*-
Нетривиальным примером триортогональных семейств может служить-
ортогональная сеть конфокальных поверхностей второго порядка. Если
мы ограничимся случаем центральных поверхностей, то все поверхности,
этой сети мы можем представить одним уравнением:
J-2 X2 Л2
где t—параметр, определяющий поверхность. Пусть ах > а3 > аа > &
и хк ф 0. • Если мы зададим хК, то получим для определения / кубическое

112 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
уравнение, все три корня которого вещественны. Последнее вытекает
из таких соображений: левая часть уравнения F1) при постоянных хк
есть функция f(f) параметра t, непрерывная при всех значениях t, кроме
значений t = ак, при которых функция делает скачок от — оо к -j-oo.
Поэтому согласно теореме Больцано-Вейерштрасса функция f(t) — 1
должна иметь три вещественных корня tk, которые расположены сле-
следующим образом:
h > ai > *2 > а-г > Ч > аз-
Значит, через каждую точку пространства (хн ф 0) проходят три веще-
вещественные поверхности F1): эллипсоид t, однополостный гиперболоид
t2 и двухполостный гиперболоид /3.
Величины tv t2, tz мы можем принять за криволинейные коорди-
координаты и, v, w соответствующей точки. В том, что поверхности нашей
системы попарно взаимно перпендикулярны, мы можем убедиться сле-
следующим образом. •
Нормаль к поверхности ^ =const, имеет направление:
/, —а,' /, — я,' t,— аг'
Если мы возьмем скалярное произведение этого вектора на вектор
юормали к поверхности tk = const., то получим:
„2
х
3
¦Это выражение равно нулю, так как из/(/,) = 1,/(?л) = 1 следует:
а это последнее соотношение и дает для выражения F1а) значение нуль.
Зтим доказано, что конфокальные поверхности второго порядка обра-
образуют триортогональную сеть. Вместе с тем, опираясь на теорему Дюпена,
'мы можем высказать следующее предложение: линии кривизны поверх-
поверхности второго порядка являются в общем случае кривыми четвертого
порядка; это те кривые, по которым поверхность пересекается
двумя другими конфокальными с ней. поверхностями второго порядка.
§ 49. Конформное отображение в пространстве
Положим:
У*=Л (*i. х* *з)
и будем считать, что ук су^ь аналитические функции величин хк и что
функциональный определитель преобразования отличен от нуля. Если
мы будем рассматривать хн и ук как прямоугольные координаты двух
точек х и у, то получим отображение или точечное преобразование
пространства. Если при этом отображении остаются неизменными все
углы, то такое отображение называется конформным (этот термин
введен Гауссом). Тривиальным примером таких отображений могут
служить преобразования подобия.
Нетривиальным примером является инверсия:

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ > ИЗ
Соответственные точки этого преобразования лежат на одном и том
же луче, исходящем из начала координат. Произведение расстояний этих
точек до начала координат равно 1:
х2у2=1. F3)
Каждая точка единичной сферы (сфера инверсии) остается при этом
отображении неподвижной. Начало координат отображается в беско-
бесконечность. Так как преобразование это симметрично относительно точек х
и у, то оно инволюционно, т. е. х переводится в у при помощи того же
преобразования, которым у переводится в х. Поэтому говорят также
о зеркальном отображении от сферы х2 = 1.
Уравнение вида
Ао+А1у1-\-А^у.2-]-А3уа + А^ = О F4)
при преобразовании инверсии переходит в]|уравнение того же вида:
A^ + AlXi-\-A2x2-fAax3-j- Л4 = 0, F5)
т. е. совокупность сфер и плоскостей переходит при инверсии сама
в себя. В дальнейшем мы будем всегда причислять к сферам также
и плоскости.
То, что при инверсии углы сохраняют свою величину, можно дока-
доказать либо геометрически, исходя из того, что сфера переходит в сферу,
либо аналитически, как это мы сейчас и сделаем. Из формулы F2)
мы получаем:
x2dx-$dx)x F6)
F7)
Обозначив через § и ij единичные векторы в соответственных точках
соответствующих кривых
получим из формул F6) и F7):
П = ^=^.' F9)
Для другой пары соответствующих кривых, проходящих через ту же
пару точек ij и у, мы таким же образом получим:
- = xf-^(xi)x> G0)
а отсюда:
чем и доказывается, что при инверсии углы сохраняют свою величину.
Покажем теперь, что обратно, из неизменности углов следует инва-
инвариантность сфер.
Теорема Лиувилля. Всякое пространственное конформное ото-
отображение переводит сферу снова в сферу J.
1 J. Liouville, Добавление VI к 5-му изданию .Application de ГAnalyse" Монжа,
стр. 609—616, Paris 1850.
8 8ете. 681. — Вляшке. ч. I

114 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Из неизменности углов вытекает прежде всего, что всякая триорто-
гональная система после преобразования переходит в некоторую систему,
также триортогональную. Отсюда мы можем сделать такой вывод: при
конформном отображении линии кривизны остаются линиями кривизны.
Чтобы этот вывод был обоснован, нам достаточно применить тео-
теорему Дюпена, доказав предварительно, что каждая поверхность х(и, v)
может быть включена в некоторую триортогональную систему. Примем
на нашей поверхности за координатные линии ее линии кривизны.
Обозначим попрежнему через § единичный вектор нормали к поверх-
поверхности и положим:
х = х(и, v) + wlQi, v). G2)
Нетрудно показать теперь, что линейчатые поверхности (они явля-
являются развертывающимися поверхностями) и, v = const, и поверхности
w = const., параллельные к исходной поверхности (w = 0), образуют
триортогональную систему. В самом деле, мы имеем'
или, пользуясь формулами Родрига E2):
) *x. = S. G4)
Мы видим, что векторы xtt, х0, xw соответственно параллельны век-
векторам хм, х„, §, значит, они попарно перпендикулярны друг к другу,
и наша система действительно является триортогональной.
Как мы уже говорили, из теоремы Дюпена теперь вытекает, что
линии кривизны всякой поверхности после преобразования становятся
линиями кривизны преобразованной поверхности. А так как все линии
на сфере являются ее линиями кривизны, то все линии преобразованной
поверхности также будут ее линиями кривизны. Но в § 47 было пока-
показано, что единственной поверхностью, обладающей таким свойством,
является сфера. Этим теорема Лиувилля доказана.
Теореме Лиувилля можно придать также такую формулировку:
каждое конформное отображение (не являющееся преобразованием
подобия) можно осуществить, последовательно производя одну инвер-
инверсию и одно преобразование подобия.
Это можно показать таким, например, образом. Пусть х-* у есть
данное конформное отображение. Возьмем триортогональную систему,
образованную сферами, проходящими через некоторую точку х0 и каса-
касающимися в этой точке трех попарно перпендикулярных плоскостей.
Данное конформное отображение преобразует эту систему в другую,
также триортогональную систему сфер, проходящих через точку у0,
соответствующую точке х0. Возьмем теперь две инверсии, одна из ко-
орых х -> х* переводит в бесконечность точку Xq (х^ = оо), другая же—
У -> у* —: переводит в бесконечность точку у0 (у^ = 0). Легко видеть,
что получающееся таким образом преобразование х* -> у* есть преобра-
преобразование подобия. В самом деле, обе системы сфер переходят при инвер-
инверсиях в триортогональные системы плоскостей, и, следовательно, при

ГАУССОВО СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 115
надлежащем выборе координатных систем преобразование х* -> у* можно
аналитически представить в форме:
Далее отображение х* -*¦ у*, получаемое в результате последова-
последовательного применения трех конформных отображений, само является
конформным и, значит, переводит сферы х* = const, в сферы у* = const.
Отсюда легко видеть, что преобразование имеет вид у* = const, x*, чем
наше утверждение доказано. Заметим, наконец, что можно обойтись без
одной из примененных нами двух инверсий, если сразу же поместить,
например, х0 в бесконечности.
§ 50. Гауссово сферическое отображение
Пусть точка х (и, v) описывает некоторую поверхность и одно-
одновременно из начала координат проводится единичный вектор § (и, v)
соответствующей нормали поверхности. Тогда конец вектора § будет
двигаться по поверхности единичной сферы. Таким образом мы все
точки поверхности х(и, v) параллельными нормалями отобразим на по-
поверхность единичной сферы (§). Подобно тому как прежде в теории
кривых мы изучали соотношение линейных элементов и их сферических
отображений, мы будем теперь изучать взаимоотношение элементов
поверхности (х) и ее отображения (|).
Величина площади х кривой поверхности определяется (двузначно)
двойным интегралом:
ff G5)
Элемент поверхности
do = {xMdu, x,dv, |) G6)
проще всего представлять себе, как бесконечно малый параллелограм,
построенный на векторах хи«/и и \vdv. Легко убедиться в том, что
определенная формулой G5) величина не зависит от выбора параметров.
В самом деле, пусть и, v будут новые параметры. Тогда мы имеем:
XJ0-, §)
XA# da dv - G7>
Последнее преобразование опирается на известную формулу замены
переменных при кратном интегрировании.
Соответствующий элемент cfoi поверхности единичной сферы равен:
d* = {lju, Idv, I). G8)
1 Геометрическое определение площади поверхности, аналогичное данному
в § 1 определению длины дуги кривой, можно найти, например, в курсе
Бсра-Моллерупа (Я. Bohr und Г. Mollerup, Mathematisk Analyse II, стр. 366,
Kopenhagen 1921).
8*

116
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Если мы примем за параметрические линии линии кривизны поверх-
поверхности и положим xudu = dlxt xvdv — d2x, то с помощью формул Род-
рига [§ 46, E2)] найдем:
do = R& (d& d?, |) = flitfjrfc. G9)
(80)
Сопоставляя этот результат с формулой G8), мы находим:
Гауссова кривизна оказывается, таким образом, равной отношению
соответственных элементов поверхности и ее сферического отображения.
Относительно знаков можно сделать следующее замечание: величины do
и du> каждая в отдельности имеют произвольные знаки; но так как
в определяющие их формулы G6) и G8) входит один и тот же век-
вектор §, то отношение —? положительно или отрицательно, в зависимости
от того, одинаково ли или различно расположены векторы |и du, §„ dv, f,
с одной стороны, и векторы х„ du, х„ dv, § — с другой, т. е. в зависи-
зависимости от того, меняется или нет при сферическом отображении напра-
направление обхода.
Иногда вводят третью основную квадратичную форму:
= е du*-\-2fdu dv-\-g dv*> = III,
(81)
(82)
Однако квадратичные формы I, II, III связаны линейной зависимостью.
В самом деле, любое направление на нашей поверхности можно линейно
выразить через главные направления:
dx
-f- d2x,
Отсюда получается:
II = — dxd%=
, dp?
(83)
(84)
Если исключить из этих трех уравнений величины d{&, d2x'2, то получим:
I 1 1
1 1
II
III
1
(85)

СИСТЕМА НОРМАЛЕЙ 117
ИЛИ
К} — 2/Л14-И1 =
(86)
где, как и прежде, через Н обозначена средняя кривизна. Формула (86)
и выражает, что, как мы утверждали, квадратичные формы I, II, III
связаны линейной зависимостью. В развернутом виде эта зависимость
может быть представлена следующими тремя уравнениями:
n KE — 2HL +0 = 0,
KF — 2НМ -f / = 0,
(87)
§ 51. Система нормалей
Пусть мы имеем некоторую поверхность х (и, v); проведем через
каждую ее точку прямую, направление которой задается единичным
вектором 1} (и, v); параметрическое выражение этой прямой будет:
у = х + wq. (88)
Поставим вопрос: в каком случае существует поверхность, ортогональная
к этой зависящей от двух параметров системе прямых? Иными словами:
в каком случае эта система прямых является системой нормалей неко-
некоторой поверхности? Будем искать уравнение этой ортогональной поверх-
поверхности в виде у = х (и, v) -\- w (и, v) ij (и, v), где w — некоторая, пока
неизвестная функция параметров и, v. Тогда мы должны будем опре-
определить функцию w (и, v) таким образом, чтобы ij • dy = 0. Мы имеем:
dy = (х„ + wqu) du -f- (х„ + «"Ч,) dv + Ч dw- (89)
Из соотношения ij • aftj = 0 следует теперь, что выражение
— dw — xu4\du-\-xvndv (90)
должно быть полным диференциалом (следует иметь в виду, что ij2 = 1
и потому ЧЧв4-ЧЧ. = 0)-
Значит, мы должны иметь:
ИЛИ '
хА-х,Ч„ = 0 1. (92)
Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы наша система
прямых была системой нормалей.
Если мы выберем на нашей поверхности параметрические линии так,
чтобы они образовали прямоугольную сеть и чтобы кроме того имело
место соотношение
хиЧ = 0, (93)
то три вектора |, ij, х„ лежат в одной плоскости — плоскости падения
вектора ij. Условие нормальности системы (91) в силу (93) принимает
теперь вид:
М = 0. (94)
При S = ч мы получаем выведенную уже раньше формулу A8) § 42.

118 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Если мы обозначим через ф угол падения, т. е. утоп, образуемый
вектором 1} с вектором нормали §, то будем иметь:
¦ sin —fej,
и условие нормальности (94) можно представить в виде:
(/xT-sin<p)K = O. (95)
Если теперь изменить положение луча tj, переместив его в его
плоскости падения так, чтобы в соответствии с законом преломления
угол <р заменился бы углом <р по формуле:
sin tp = и sin <j>, и = const., (96)
то мы снова будем иметь:
(/if sin ?). = n(VK • sin ш)„ = 0, (97)
т. е. преломленные лучи также будут образовывать систему нормалей.
Мы получили теорему Малюса-Дюпена: если лучи системы нормалей,
проходя через какую-нибудь поверхность, преломляются по закону
Снеллиуса, то преломленные лучи также образуют систему нормалей.
Заметим кстати, что происхождением своим эта теорема обязана
не проведенной нами выкладке, а принципу Гюйгенса. Отражение можно
рассматривать как частный случай преломления (я = — 1).
С теорией систем лучей, возникшей на почве оптики, мы еще
встретимся в девятой главе.
§ 52. Асимптотические линии
Асимптотическими линиями называются те линии поверхности,
вдоль которых равна нулю вторая квадратичная форма:
L du* + 2Ж dufiv -j-Ndv* = 0. (98)
Касательные к асимптотическим линиям называются асимптотическими
касательными или асимптотами поверхности. Нормальное сечение, прохо-
проходящее чергз асимптоту, имеет точку перегиба в точке касания с асимп-
асимптотой '. Поэтому иногда асимптотические линии называют линиями
перегиба. Диференциальное уравнение (98), принимая во внимание фор-
формулу A9), мы можем представить в более пространной форме следую-
следующим образом:
(х„>2 Н- 2xu,du dv + xvvdv*, хи, х^ = 0. (99)
Если мы имеем поверхность гиперболического типа (АГ< О, LN—Мг < 0)i
то через каждую ее точку проходят две вещественные асимптотические
линии. Касательные к ним совпадают с асимптотами индикатрисы Дюпена
[§ 43, B5)] и, следовательно, расположены симметрично относительно
главных направлений поверхности, совпадающих, как мы видели, с на-
направлениями осей индикатрисы. В параболических точках поверхности
(LN—Л12 = 0), если вторая квадратичная форма не равна нулю тожде-
1 Точнее говоря, его кривизна равна здесь нулю. Это следует из формулы
B6а) § 44. Прим. перев.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 119
ственно, существует только одно асимптотическое направление. В эллип-
эллиптическом случае {К > О, LN— М* > 0) асимптотические касательные
мнимы. Так как согласно формулам A3), A5), A6) § 42 нормальная
кривизна полосы выражается формулой Ь = г-, то взятая вдоль
асимптотической линии полоса представляет собой асимптотическую
полосу, определение которой . мы дали в § 35. Сообразно этому мы
можем дать следующее определение, которое обладает большей геоме-
геометрической наглядностью: асимптотические линии поверхности суть те
ее линии, соприкасающиеся плоскости которых являются в то же время
касательными плоскостями поверхности 1.
В тесной связи с определением асимптотических линий находится и
определение сопряженных направлений. Два направления —?- и -»—,
исходящие из некоторой точки и, v поверхности, называются сопряжен-
сопряженными, если они в этой точке гармонически делятся асимптотическими
касательными. В этом случае должна обращаться в нуль соответствую-
соответствующая форме II билинейная форма9: *
O. A00)
Условие A00) дает вещественные пары решений и для-случая АГ> 0.
Мы видим также, что параметрические линии (du, dv = 0; 8« = 0, 8г/
являются сопряженными в том случае, когда М—0. Линии кривизны
образуют поэтому два семейства, являющиеся одновременно взаимно-
ортогональными {F=0)^ взаимносопряженными (Af = O).
Указанное выше геометрическое свойство асимптотических линий,
пбзволяет без труда вывести заключение, что кривые эти инвариантно
связаны с поверхностью не только по отношению к движению, но и
по отношению к коллинеации и корреляции. К этому факту мы позднее,
еще возвратимся. То же относится и к сопряженным направлениям.
О геометрическом истолковании 'сопряженных направлений и о связи
нх с сопряженными касательными полосы, определение которых было
дано в § 34, мы будем говорить в § 54.
Теорема Менье (§ 43) для тех плоских, сечений поверхности, которые
проходят через асимптотическую касательную, должна быть модифици-
модифицирована следующим образом: точка касания плоского сечения, проходя-
проходящего через асимптоту, должна быть точкой перегиба для всех сечений,
за исключением, того, которое производится на поверхности касательной
плоскостью, проходящей через рассматриваемую точку (ср. задачу 8 §60).
1 В самом деле, Ь = x'V — — х (так как х'1 — 0). Требование 6 = 0 озна-
означает, таким образом, что x"g = O, а так как мы имеем также x'g = 0, то вектор g
нормален к плоскости х' и х", т.е. к соприкасающейся плоскости. Прим. перев.
2 Если направления координатных линий принять за направление (косо-
(косоугольных) осей координат в касательной плоскости, то величины йи и do будут
пропорциональны величинам dx и dy. Уравнение (98) определит направление
асимп|от индикатрисы, а уравнение A01) — направления всевозможных пар
сопряженных диаметров, которые, как известно, разделяю* гармонически напра-
направления асимптот. Прим. перев.

120 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 53. Асимптотические линии на линейчатых поверхностях
Задача нахождения асимптотических линий несколько упрощается
для случая линейчатых поверхностей, т. е. таких поверхностей, которые
имеют целое семейство прямолинейных образующих. Такую поверх-
поверхность можно всегда представить в виде:
x = y(v)-}-z(v)-u. A01)
Вектор г можно, не нарушая общности, считать единичным za=l.
Отсюда мы получаем:
xtt = z, x, = y, + z,a; A02)
xutt = 0. x», = z,, х„ = уте + г„н, A03)
и уравнение асимптотических линий (99) принимает вид:
[2z,du dv + (у„ + z,,«) dv\ z, y, -f z,u] = 0 A04)
или
dv • { 2(ztzj0du + (у„ + г„щ г, у, + г,и)dv}=0. A05)
Таким образом одним семейством асимптотических линий является
семейство прямолинейных образующих (dv = 0).
Приравнивая нулю выражение, стоящее в фигурных скобках, мы
получим второе семейство асимптотических линий.
Если
(УУ,)ф0, A06)
то диференциальное уравнение второго семейства асимптотических ли-
линий имеет вид:
-^ = Pu* + 2Qu+R, A07)
где Р, Q и R являются функциями одного переменного v. Уравнение
.вида A07) носит название уравнения Риккати по имени итальянского-
геометра (J. Riccati), его изучавшего. Нетрудно показать, что* какие-либо-
четыре решения этого уравнения uk(v); k=\, 2, 3, 4 обладают по-
постоянным, т. е. не зависящим от величины v ангармоническим отношением:
Для этого достаточно убедиться в том, что логарифмическая производ-
производная этого ангармонического отношения тождественно равна нулю:
а и' — и' и' — и' и' —и' и' — tf,
JL\gD = —l- 3- i—J l- - + — *- = 0. A09)
Действительно, с помощью уравнения A07) мыч тотчас же получаем,
четыре соотношения, аналогичные соотношению:
(
Hi—«з
и отсюда следует справедливость формулы A09).
Геометрический смысл этого результата состоит в том, что линии
второго семейства асимптотических линий пересекают линии первого
(т. е. прямолинейные образующие нашей поверхности) так, что соответ-

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 121
• ственные точки пересечения, лежащие на любой образующей, имеюг
одни и те же ангармонические отношения.
Нам остается еще рассмотреть особый случай, устраненный прежде
из рассмотрения, именно случай/когда тождественно
(z,zyt) = 0. (П0>
Мы рассмотрим отдельно два подслучая. /
1. Векторы zB и z линейно зависимы: zt —Xz; умножая скалярно-
на z и принимая во внимание соотношения z8=l, zz, = 0, мы получим
Х = 0 и, следовательно, z = const. Формула A01) показывает, что в этом;
случае мы имеем общую цилиндрическую поверхность.
2. Векторы zH нелинейно независимы. Тогда из формулы (ПО)-
вытекает соотношение:
y, = «(<O.z + P(zOV (HI)
Если положим
у>)=У-Рг, (П2).
то точка у опишет некоторую кривую, лежащую на поверхности A02)^
если только у„ не обращается тождественно в нуль. Исключим сначала
из рассмотрения этот особый случай; тогда из A12) с помощью A11>
мы получим;
У. = (« - P.) z. где а - р/ф 0. A13)
Уравнение A02) мы можем теперь, выразив с помощью формул
A12) и A13) векторы у и z через векторы у и у„, представить в виде;
-
где и==
Отсюда мы*видим, что наша линейчатая поверхность образована каса-
касательными к некоторой кривой, именно к кривой у(г>). В особом же
случае у„ = 0 мы будем согласно формуле A13) иметь ос=>[3,,. В этом
случае все образующие v = const, нашей поверхности проходят череа
точку
которая в силу соотношения
неподвижна в пространстве; на каждой из образующих эта точка
соответствует одному и тому же значению и = — C величины и. Мы.
имеем, следовательно, в этом случае конус.
Все разобранные нами в подслучаях 1 и 2 виды поверхностей явля-
являются развертывающимися поверхностями, определение которых мы дали
в § 35. Мы можем таким образом сказать, что условие (НО) выделяет,
из линейчатых поверхностей класс развертывающихся поверхностей.
Согласно уравнению A03) мы имеем:

-122 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Если имеет место уравнение (НО), согласно которому векторы z, у,
я г0 лежат в одной плоскости, то и векторы х„ и х„ лежат в одной
и той же плоскости при всевозможных значениях а (и постоянном v).
Таким образом условие (НО) выражает также то, что при движении
точки по поверхности вдоль ее образующей касательная плоскость
поверхности не вращается около образующей, а сохраняет неизменное
положение. Мы доказали этим следующее предложение: развертываю-
развертывающаяся поверхность имеет одну и ту же касательную плоскость вдоль
каждой своей образующей, и из всех линейчатых поверхностей этим
-свойством обладают только развертывающиеся поверхности. Поэтому мы
можем дать еще такое определение развертывающейся поверхности:
..развертывающейся поверхностью называется такая линейчатая по-
поверхность, для которой во всех точках произвольной, ее образующей,
касательная плоскость одна и та же.
Линейчатые поверхности общего типа, характеризуемые соотноше-
соотношениями A02) и A06), называются косыми.
§ 54. Сопряженные сети
Сопряженные направления на поверхности могут быть геометрически
определены следующим их свойством. Возьмем на поверхности какую-
нибудь кривую и рассмотрим развертывающуюся поверхность, огибающую
семейство плоскостей, касающихся поверхности в точках взятой нами
.кривой. Эта развертывающаяся поверхность будет описана около исход-
исходной поверхности вдоль взятой нами линии. Прямолинейные ее обра-
образующие дают направления, сопряженные с направлениями касательных
к кривой. В справедливости этого можно убедиться, например, так. Если
у есть точка, могущая двигаться в касательной плоскости^ х — точка
касания и Ц— вектор нормали к поверхности в точке х, тб уравнение
касательной плоскости имеет вид:
Чтобы получить второе уравнение, определяющее вместе с вышенапи-
санным огибающую семейства касательных плоскостей, образующихся при
.движении вдоль нашей кривой, мы должны продиференцировать урав-
уравнение касательной плоскости по параметру кривой. Получим уравнение:
Обозначив через 8х вектор у — х и принимая во внимание, что
первое слагаемое равно нулю, мы представим наше второе уравнение
в виде:-
8х-<э!§ = 0. A14)
Раскрывая его левую часть и принимая во внимание формулы A9),
мы получим:
= — {L du Ьи -L М (du bv -f dv bu) -j- Ndv bv) = 0.
Но это есть не что иное, как наше условие A00), определяющее
сопряженные направления. Из данного нами геометрического опреде-
определения сопряженных направлений явствует, что направления, сопряженные

СОПРЯЖЕННЫЕ СЕТИ 12$
с направлениями касательных к некоторой лежащей на поверхности
кривой, тождественней с направлениями сопряженных касательных полосы
поверхности, прилегающей к этой - кривой. Определение этих сопря-
сопряженных касательных было дано в § 34.
Указанное нами построение сопряженных направлений позволяет на
каждой поверхности получить ряд сетей сопряженных кривых. Именно,
можно следующим образом обобщить соотношение между меридианами
и параллелями поверхности вращения для случая произвольной поверх-
поверхности: линии, по которым поверхность касается со всеми конусами,
описанными около поверхности и имеющими вершины на одной прямой,
образуют сопряженную сеть с линиями, по которым поверхность пере-
пересекается плоскостями, проходящими чере» ту же прямую1. Условием
того, чтобы параметрические линии образовывали сопряженную сеть,
является,' как мы показали в § 52, наличие соотношения М = 0,
т. е. соотношения:
(х„„хЛ) = О. A15)
Это соотношение заведомо удовлетворяется в частности для всех тех
поверхностей, для которых х,,, = 0, т. е. уравнение которых имеет вид
x = y(«) + z(t0. -. A16)
Такие поверхности, • специально изучавшиеся С. Ли (S. Lie), назы-
называются поверхностями сдвига или поверхностями переноса, так как они
могут быть образованы, с одной стороны параллельным перемещением
кривой х = у(а), с другой стороны, параллельным перемещением кри-
кривой х = z (v) 2. В частности, поверхности, являющиеся геометрическим
местом середин хорд некоторой пространственной кривой
принадлежат к числу поверхностей переноса.
1 В самом деле, если мы будем перемещаться вдоль линии L, служащей
линией касания поверхности с конусом, вершина которого А, то огибающей
касательных плоскостей будет как раз коническая поверхность с вершиной А.
Таким образом направлениями, сопряженными с L, будут направления обра-
образующих конуса А. Но это же направление будет направлением касательной
плоского сечения, проходящего через ту же точку кривой L, если только по-
последнее проходит через А, ибо образующая конуса является тогда касательной
плоского сечения. Так как согласно условию каждая из плоскостей проходит
через каждую вершину, то для всех линий L всэ плоские сечения дадут сопря-
сопряженные направления. Ввиду взаимности соотношения сопряженности можно
показать, что и обратно, идя вдоль плоского сечения S, проходящего через
прямую АВ, мы для сопряженных направлений найдем направления линий L.
Это предложение двойственно предыдущему. Справедливость его очевидна и»
того, что предельным положением линии пересечения двух касающихся поверх-
поверхности конусов является линия касания конуса с поверхностью. Касательная же
к этой линии служит линией пересечения двух плоскостей, касательных к ко-
конусам. Но касательные плоскости к поверхности согласно условию являются
одновременно касательными к двум таким конусам. Прим. перев.
¦ Об этих поверхностях см. также вторую часть этого курса § 37.

124 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 55. Деривационные формулы Вейнгартена
Если мы желаем получить более углубленное представление о теории
кривых поверхностей, мы должны построить .формулы,- аналогичные
формулам Френе в теории'пространственных кривых и формулам §. 33
в теории полос. Именно, мы должны ввести инвариантные основные
векторы и выразить производные этих векторов через линейные комби-
комбинации самих векторов. В теории поверхностей, точнее в той ее части,
которая принадлежит „геометрии в малом", векторами, инварианты ко-
которых должны быть нами установлены, являются векторы:
Мы должны теперь воспользоваться тем же, общим приемом, который
был применен в § 3 и 4. Снова, как и в § 8 [ср. формулы E2) и E3)],
мы придем к заключению, что сам вектор х не может участвовать
в образовании инвариантов. Так же, как и в теории кривых (ср. ко-
конец § 8), мы не станем за основные векторы брать тройку первых,
следующих за х, линейно независимых векторов из ряда A18). Вместо
этого мы введем вектор нормали §, который можно при помощи фор-
формулы (9) получить из векторов A18), и примем за основные векторы х„>
х, и |. Правда, эти три вектора в общем случае, когда параметры по-
поверхности произвольны, отнюдь не образуют ортогонального триедра,
но все же вектор § перпендикулярен к векторам хи и х„, и уже это
одно дает существенные преимущества при вычислениях, если мы не
вводим в последние никаких других векторов, кроме векторов ряда A18).
Так как вектор § может быть выражен через векторы A18), то задача
определения инвариантов тех векторов «этого ряда, которые следуют
за х, сводится к задаче установления инвариантов векторов
и т. д. до производных любого порядка. Мы должны теперь выразить
линейно производные основных векторов х„, х„ и §, т. е. векторы хми,
х«« и хп и векторы |и и §„ через основные векторы х„, х. и §. С по-
помощью тех деривационных формул, которые мы таким образом получим,
мы сможем тогда, аналогично тому, как это мы делали в теории кри-
кривых, получить линейные комбинации основных векторов, выражающие
производные векторы какого угодно порядка. Скалярные произведения
основных векторов, с одной стороны, и коэфициенты, входящие в эти
линейные комбинации—с другой, дадут нам согласно сказанному в § 3
и 4 систему независимых инвариантов векторов A19) относительно под-
подстановок E2) § 8, выражающих конгруентные преобразования пространства.
Это, однако, не дает еще нам абсолютных инвариантов нашей по-
поверхности. В самом деле, мы пока оставили без внимания одно обстоя-
обстоятельство, именно то, что параметры и и v могут быть заменены другими
параметрами и* и v*, причем зависимость старых параметров от новых
может выражаться произвольными функциями:
и —и (и*, v*), v = v(u*,v*). A19а)
Если в уравнении х (a, v) мы заменим и и v их значениями A19а),
то получим новое параметрическое представление той же поверхности

ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕЙНГАРТЕНА " 125
через новые параметры, и инвариантами поверхности будут лишь те
выражения, содержащие функции х(и, v), которые остаются неизмен-
неизменными при любом преобразовании параметров, т. е. такие выражения,
которые в переменных и* и v* имеют тот же вид, что и в переменных и
. и v. Следовательно, получив с помощью деривационных формул инва-
инварианты относительно конгруентных преобразований, мы должны будем
образовывать из них лишь такие сочетания, которые сверх того были бы
инвариантны относительно преобразования параметров. Лишь тогда мы
будем иметь абсолютные инварианты нашей поверхности. В этой главе
мы сделаем лишь первый шаг и изучим образование инвариантов отно-
относительно конгруентных преобразований, систематическим же построением
инвариантов преобразования параметров займемся лишь в пятой главе.
Мы начнем с установления тех деривационных формул, которые
дадут нам линейное выражение векторов |и и §„ через основные век-
векторы х„, х, и §. Из $* = 1 следует:
поэтому мы имеем:
Умножая скалярно на х, и х, и принимая во внимание формулы A9),
мы получим:
LE\bF — M = cE-j-dF,
Определив отсюда а, b, с и d и подставив найденные значения этих
величин в предшествующие формулы, мы получим искомые уравнения,
впервые данные Вейнгартеном (J. Weingarten) в 1861 г.:
(ЕМ — GL) хи +
— EG —
(FN—GM)xa +
EG —
(FL — EM)
Ft
(FM — EN)
x.
x*
A20).
Из них можно легко получить ряд следствий; так, например» с их
помощью можно было бы вновь убедиться в справедливости фор-
формулы (86) § 50. Нетрудно также убедиться в справедливости такого
предложения: если все кривые, лежащие на поверхности, являются ее
асимптотическими линиями, то поверхность должна быть плоской.
В самом деле согласно формуле (98) в этом случае L = M = N—0;
из формулы A20) мы получаем: ge = gps=o, т. е. | = const; интегрируя
уравнение cfx§ = 0, мы получаем поэтому х • § -f- const. = 0, а это есть
уравнение .ллоскости.
Далее мы можем доказать следующее предложение: у одних только
развертывающихся поверхностей все точки являются точками пара-
параболического типа (К=0).
В самом деле, если LN—Af9 = 0, то диференциальное уравнение
асимптотических линий (98) принимает вид:
II = (У1 ¦ du + YN • dvf = 0,

126 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
где
M, A21)
поэтому в данном случае существует лишь одно семейство асимптоти-
асимптотических линий (если мы теперь исключаем вышерассмотренный случай
тождественного обращения в нуль формы II). Если мы примем линии
этого семейства за параметрические кривые v — const., то будем иметь
1 = М — 0, и первая из формул A20) даст |и = 0. Отсюда мы получим:
*J = 0#. = 0 A22)
или
х-$(«)=/> («). A23)
Диференцируя по v, мы получим:
х*. = Р.. A24)
Таким (образом наша поверхность является огибающей семейства
плоскостей A23), т. е. она действительно есть развертывающаяся по-
поверхность. Обратно, каждую развертывающуюся поверхность можно
представить так, чтобы L — М = 0; это можно видеть хотя бы из урав-
уравнения. A05) Таким образом тождественное обращение в нуль гауссовой
кривизны К есть отличительное свойство развертывающихся поверхностей.
§ 56. Теорема Бельтрами-Эннепера о кручении асимптотических линий
Так как соприкасающаяся плоскость асимптотической линии совпа-
совпадает с касательной плоскостью поверхности, то бинормали этой линии
являются нормалями поверхности (|3 = \). Поэтому кручение асимптоти-
асимптотической линии может быть очень легко определено следующим образом:
Но, как мы видели в § 50 [формула (86)], между квадратичными
формами I, II, III существует соотношение:
К1 — 2НП + Ш = 0.
А так как для всех точек асимптотической линии II = 0, то мы имеем:
Эта связь между кручением асимптотической линии и гауссовой кри-
кривизной была указана Бельтрами A866) 1 иЭннепером (А. Епперег, 1870).
Если асимптотическая линия является прямой, то формулу A26) при-
применять непосредственно нельзя.
Что касается знака кручения, то более детальное рассмотрение во-
нроса показывает, что кручения двух асимптотических линий, прохо-
проходящих через некоторую точку поверхности, имеют в этой точке проти-
противоположные знаки. Убедиться в этом можно таким, например, образом:
согласно формуле B4) § 34 кручение кривой, принадлежащей асимпто-
асимптотической полосе (р = 0), т. е. кручение асимптотической линии, равна
1 Е. BeltramL Opere mathematiche I, стр. 301, 1902.

ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ГАУССА 127
геодезическому кручению а полосы. Пусть поверхность отнесена к своим
асимптотическим линиям. Геодезическое кручение а1 полосы, принад-
принадлежащей линии и, представится формулой:
Е « «
Это явствует из формулы B5) § 35, если принять во внимание, что век-
векторы х' и |' § 35 должны теперь быть заменены через -А~=г и -ф^.
Аналогично для геодезического кручения полосы, принадлежащей ли-
линии v, мы получим формулу:
Имея в виду, что при нашем выборе параметрических линий мы
имеем: L = M=0, воспользуемся формулами A20) и заменим §„ и 5Р
их выражениями через хя и х„. Тогда мы получим:
— М ,.
а а (?хх)
что и доказывает справедливость нашего утверждения.
§ 57. Деривационные формулы Гаусса
В § 55 мы вывели первые две формулы из числа тех, которые-
в теории поверхностей соответствуют формулам Френе в теории кривых.
Теперь пойдем по этому пути дальше. Каждую из производных второго
порядка вектора х, например производную хии, можно представить в виде::
хии = Лх„-ЬВх, + С§. A27)
Нам нужно лишь вычислить величины А, Вг С. Прежде всего мы
найдем величину С, скалярно умножая A27) на §. Если мы кроме того
продиференцируем соотношение xj; и примем во внимание первую из-
формул A9), то мы получим:
С = х„и§ = -х|„ = 1. A28)
Для определения А и В мы умножим A27) скалярно на х„ и на х„
и воспользуемся формулами C5) и C9) § 45. Мы получим тогда два-
уравнения:
i A29)
из которых найден:
— I E. = AF+BQ, A30)
f~ ^. A32)

128
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Поступая совершенно аналогично и дальше, мы найдем систему фор-
формул Гаусса, представляющих xMU, xBf и х„, через векторы хи, х„ и f.
Введя для коэфициентов, которые мы получим, обозначения Христоффеля
4[Christoffel), мы представим эту систему формул в виде:
A33)
Трехиндексные символы Христоффеля, входящие сюда, имеют следу-
следующие значения:
IVI-
м-
GEU —
2VP
• I1,1)-
, + 2GFt-GGu P 2) _±EG1-2FF^±FGS_
' I 2 J~
2W2
EGn—FEv
2И7* '
A34)
Если мы применим формулы A33) к единичной сфере, то мы должны
<будем поставить § вместо х; вектор же |, входящий в A33), сохра-
сохраняется [см. формулу A2) § 41]. Тогда вместо форм
I = й?х2 и II = — dx ¦ с%
мы будем иметь соответственно формы:
III = fifgs и — III = — d\\
я формулы A33) примут вид:
?.—6.
5 =Ai2}
A35)
Трехиндексные символы, входящие в эти формулы, образуются из
третьей основной формы (81), так^что, например:
1 21 J_ ge,-fgu
1 V 2 eg-ff ¦
§ 58. Основные формулы Гаусса и Кодаццн'
Совокупность уравнений A20) и A33) содержит полную систему
деривационных формул теории поверхностей. При помощи диференциро-
1 Простой выводуравнений Кодацци можно найти в мемуареФосса (A. Voss,
jSitzgsber. bayr. Akad., 1927, вып. 1, стр. 1).

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ГАУССА И КОДАЦИ ' 129
вания мы можем выразить линейно через хи, xv и \ также и высшие
производные этих векторов, до любого порядка включительно. Коэфи-
циенты всякий раз выражаются через коэфициенты уравнений A20),
A23) и через их производные. Таким образом полная система инва-
инвариантов относительно конгруентных преобразований пространства задается
скалярными произведениями основных векторов (эти скалярные произ-
произведения равны либо единице, либо нулю, либо величинам Е, G и F),
коэфициентами формул A20), A33) и их производными. Но, зная коэфи-
коэфициенты формул A20) и A33), мы знаем и величины L, М, N и, обратно,
зная Е, F, G, L, M, N, мы знаем эти коэфициенты. Поэтому полная
система инвариантов задается также величинами Е, F, G, L, М, N и их
производными. Из этих же шести коэфициевтов основных форм I, II
мы впоследствии сможем образовать и все абсолютные инварианты
поверхности; последние мы определим, составляя из коэфициентов основ-
основных форм выражения, инвариантные относительно преобразований пара-
параметров (см. гл. V).
Если Е, F, G, L, М, N суть данные функции переменных и и г»,
то уравнения A20) и A33) представляют собой систему линейных дифе-
ренциальных уравнений с частными производными, в которую входят
производные шести неизвестных функций х(и, г») и § {и, v).
Для того чтобы эта система допускала решение, должны удовле-
удовлетворяться условия интегрируемости:
*ИИ« ~*ИП(» *И0» *ССИ1 Вив 5«К* \*"*\/
Отсюда следует, что функции Е, F, G, L, М, N не могут быть
заданы по произволу. Как мы сейчас увидим, для того чтобы система
была интегрируемой, т. е. чтобы существовала соответствующая поверх-
поверхность х(«, v), эти функции должны удовлетворять трем соотношениям.
Эти три соотношения — условия интегрируемости системы деривацион-
деривационных уравнений — вместе с самими деривационными уравнениями обра-
образуют полную систему основных формул теории поверхностей.
Если мы продиференцируем формулу A33)j no v, a A33J no u и
выразим затем первые производные основных векторов, которые появятся
в правых частях, через сами эти векторы по формулам A20), A23),
то мы представим вектор хви„ — хИ(,и через линейную комбинацию век-
векторов хи, х, и |:
Таким же образом мы можем вычислить хв„, — \„и и §м, — §„и и
получим еще два линейных выражения:
?«• — ?^u == «8xu
В силу условия A36) левые части этих соотношений, а значит и
правые, должны обращаться в нуль; следовательно, каждый из 9 коэфи-
коэфициентов а, р, y должен обращаться в нуль. Вычисление, которое мы не
станем здесь проводить, дает следующее.
9 8а». 884.—Бляшке, ч. I

130
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Условие , at = pj = а2 = р2 =а 0 дает уже известную нам основную
теорему Гаусса, утверждающую, что кривизна
К= %S A37)
может быть выражена через коэфициенты одной только первой основ-
основной формы. В § 45 мы вывели формулу Гаусса в той форме, которая
была дана ей Бальцером; ее можно представить также и в следующей
симметричной форме, данной Фробениусом (G. Frobenius) (иррацио-
(иррациональность этой формулы лишь кажущаяся):
'-
„ 1
Е Е
F F
G О
U Е.
' F
и °,
1
2W
д
dv
Ev-Fu
W
д i
ди
"v~Gu
W
¦}•
A38)
Уравнения fi =а ^2 = а8 = рз = 0 дают нам уже нечто новое; мы
получаем две формулы, впервые данные Майнарди (G. Mainardi, 1857)
и Кодацци (D. Codazzi, 1868). Именно, условия fi == О и <х3 —0 с од-
одной стороны и условия "К2 = 0 и Р3='О с другой дают одну и ту же
формулу. Эти формулы можно представить в следующей удобной для
обозрения форме, указанной Штуди:
(EG — 2FF^-GE)(L, — Mu)
¦ (EN—2FM + GL)(E, — FU)
(EG—2FF-\-GE)(Mv — Nu)
¦ (EN—2FM+ GL) (Fv — GJ
E Eu
F Fu
G Gu
E Ev
F Fv
0 Gv
L
M
N
L
M
N
= 0.
A39)
Что же касается условия "(а = 0, то оно выполняется тождественно.
Таким образом соотношениями A38) и A39) исчерпываются зависи-
зависимости, существующие между основными формами I и II, а заданием
этих форм, как можно показать, исходя из уравнений A20), A33), наша
поверхность определяется по существу однозначно. Это было впервые
показано Бонне (О. Bonnet) в 1867 г. Во второй части мы проведем
совершенно аналогичное доказательство полностью.
§ 59. Монж
Основы современной диференциальной геометрии заложены, если не
говорить о таких ее предтечах, как Эйлер, Монжем A746 —1828) и его
учениками, с одной стороны, и Гауссом A777 —1855) — с другой.
Основной работой Монжа является его „Приложение анализа к гео-
геометрии" („Application de I'Analyse a la Geometries первое его издание
вышло в 1795 г. Основная работа Гаусса—его мемуар 1827 г. „Общие
исследования, относящиеся к кривым поверхностям" („Disquisitiones
generates circa superficies curves", 1827). Эти две работы имеют совер-

монж 131
шенно различный характер. У Монжа мы находим собрание отдельных
задач, посвященных исследованию специальных классов поверхностей,
часто встречающихся в приложениях^ Изложение у него имеет в виду
цели преподавания, и книга читается легко. Работа же Гаусса дает
единую и глубокую теорию, которая, однако, не является столь доступ-
доступной. Общей чертой обеих этих работ является тесная их связь с вопро-
вопросами практики. Что касается черт отличия, то они обусловлены лич-
личными особенностями этих математиков. Монж был выдающимся педаго-
педагогом и блестящим организатором; он живо интересовался политической
жизнью и принимал в ней активное участие. Сначала он принадлежал
к крайним революционерам, .цареубийцам", впоследствии же стал при-
приверженцем империи и преданным сторонником великого Наполеона.
В противоположность этому Гаусс вел уединенную и тихую жизнь уче-
ученого и вращался в очень узком кругу. Его всегда тяготила необходи-
необходимость преподавания, которое, правда, носило элементарный характер.
Политика занимала его мало, и от государства он требовал только
того, чтобы оно давало ему возможность спокойной творческой работы.
Монж преподавал сначала в Мезьерской военной школе; там он ввел
преподавание начертательной геометрии. В самое тяжелое время, во
время почти полного обесценения денег, была "основана в 1794 г.
в Париже Политехническая школа (Ecole' polytechnique). Это была,
говоря словами Якоби*, „школа, для которой во всей Европе не было
ни примера в прошлом, ни подобия в будущем". Первоначально это
был военный интернат.
Монж был организатором и профессором этого военного учебного
заведения. Играя в Политехнической школе руководящую роль, Монж
сделал геометрию центральным предметом ее интенсивнейшей учебной
жизни. Крупнейщие математики Франции были приглашены преподавать
в Политехнической школе, и влияние ее распространилось далеко за
пределы Франции благодаря публикации читавшихся в ней лекций. Так,
например, кроме вышеназванной работы Монжа по диференциальной гер-
метрии приобрел заслуженную славу и другой его курс, посвященный на-
начертательной геометрии и впервые появившийся в печати в том же 1795 г.
Благодаря исключительному педагогическому дарованию Монжа ему
удалось вовлечь в творческую работу" многих своих учеников и соз-
создать геометрическую школу; к последней нужно отнести прежде всего
Дюпена A784—1873), имя которого неоднократно упоминалось нами
в этой главе.
Если у Монжа геометрическая интуиция и искусство в аналитиче-
аналитических выкладках были еще тесно связаны друг с другом, то другой
великий ученик Монжа, Понселе (J. V. Poncelet, 1788 —1867), явля-
являющийся основателем проективной геометрии, сделал одну из ветвей гео-
геометрии совершенно независимой от анализа. Работы математиков школы
Монжа публиковались по большей части в журнале Л^ргонна (Ger-
gonne): „Annales des mathematiques pures et appHquees", который выхо-
выходил в Ниме (Nlmes) с 1810 по 1831 г. и был первым чисто матема-
математическим журналом.
1 С. Q. J. Jacobi, Werke, VII, стр. 356.
а*

132 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Что касается внешних событий в жизни Монжа, то можно указать
еще, что во время революции он был морским министром; позднее он
находился в близких отношениях с Наполеоном, с которым он совер-
совершил первый из итальянских его походов и поход в Египет. Монж не
надолго пережил падение своего императора.
§ 60.' Задачи и теоремы
1. Предложение, двойственное теореме Менье. Назовем конусом кри-
кривизны развертывающейся поверхности круглый коиус, имеющий с развертыва-
развертывающейся поверхностью три общие бесконечно близкие касательные плоскости.
Пусть Т одна из касательных поверхности F, причем точка касания р не
является параболической точкой поверхности F. Вообразим, что из точек пря-
прямой Т, как из вершин, описаны около поверхности F конусы, и затем построены
конусы кривизны, принадлежащие этим описанным конусам. Тогда огибающей
всех конусов кривизны будет служить сфера, касающаяся поверхности F
в точке р. В. Hostinsky, Nouv. Ann. de mathematiques D), 9, стр. 399—403, 1909;
E. Mailer, Wiener, Ber., 1917, стр. 311 — 318.
2. Предложение, двойственное теореме Эйлера. Пусть г — радиус кри-
кривизны нормального сечения цилиндра, соприкасающегося с поверхностью в не-
непараболической точке р последней; пусть <р — угол, который образующая
цилиндра составляет с одним из главных направлений поверхности F в точке р.
При неизменном р зависимость г от 9 выражается следующим образом:
/- = ./?! cos2 ? + ^?а si *• A4°)
3. Изотропные линейчатые поверхности. Условие RL = R2 (§ 47) служит
отличительным признаком для сфер и плоскостей лишь в том случае, если мы
ограничиваемся рассмотрением, вещественных поверхностей. Если же мы вве-
введем в рассмотрение также и комплексные поверхности, то условие Ri = R2
определит косые линейчатые поверхности с изотропными образующими.
G. Monge, Application de 1'Analyse a la geometrie, 5-е изд., 1850, стр. 196—211.
Т. A. Serret, Journ. de Math. A), 13, A848), стр. 361—368. См. также литера-
литературные указания у L. Berwald, Munch. Sitzungsber., 1913.
4. Теорема Бельтрами, двойственная теореме Иоахимсталя (§ 36). Пусть
плоскость Е катится по двум кривым поверхностям Fj и F2 и при этом а) рас-
расстояние между двумя соответственными точками касания остается постоянным;
б) геометрическое место точек касания на поверхности Ft есть линия кривизны
этой поверхности; в) геометрическое место точек касания на поверхности F2
есть линия кривизны поверхности F2. Каждые два из допущений „а", „б", „в"
влекут за собой как следствие третье. Е. Beltrami, Opere, I, стр. 130, 1864.
5. Теорема Дарбу, обратная теореме Дюпена A866). Если мы имеем два
семейства поверхностей, пересекающих друг друга ортогонально по кривым,
являющимся для поверхностей обоих семейств линиями кривизны, то можно
найти третье семейство поверхностей, образующее вместе с двумя первыми
трнортогональную систему. G. Darboux, Le?ons sur les systemes orthogonaux...,
2-е изд., стр. 10, Paris 1910.
6. Теорема Бельтрами о коаксиальных поверхностях вращения. Пусть
мы имеем семейство поверхностей вращения, получаемое смещением одной из
них вдоль ее'оси. Строится новая поверхность вращения, коаксимальная с по-
поверхностями семейства (т. е. имеющая ту же ось вращения) и пересекающая
их под прямым углом. Гауссова кривизна новой поверхности в некоторой ее
точке равна по абсолютной величине и противоположна по знаку гауссовой
кривизне, которую имеет в этой точке проходящая через нее поверхность
семейства. Е. Beltrami, Opere I, стр. 200, 1864.
7. Параллельные поверхности. Если, имея поверхность х (и, v), мы строим
новую, откладывая на нормалях первой поверхности отрезки постоянной длины
и(х = х + п|), то мы получаем параллельную поверхность. Гауссова кривизна
К и средняя кривизна Н которой представляются следующими выражениями:

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 133
1 — 2nH+ пЩ '
Между соответственными нормалями и главными радиусами кривизны
имеют место следующие соотношения:
Если мы введем интеграл средней кривизны
М = С Hdo, A43)
впервые рассматривавшийся Штейнером (J. Steiner), а затем другими, в особен-
особенности Минковским (Н. Minkowski), то для зам1снутых поверхностей величина
(О = полная поверхность)
Af2_ 4»сО A44)
является одним из инвариантов относительно перехода к параллельной поверх-
поверхности. О других инвариантах см. Н. Liebmann, Munch. Ber., 1918, стр. 489—505.
См. также § 92 и задачу 1 § 118.
8. О кривизне асимптотических линий. Радиус кривизны асимптотиче-
2 *•
ской линии в некоторой точке х равен-5- радиуса кривизны касающейся ее
о
линии, служащей пересечением поверхности и касательной плоскости в точке х.
Е. Beltrami, Opere I, стр. 255, 1865.
9. Каноническое разложение в ряд. Если уравнение кривой поверхности
представить в виде:
1
то значения коэфициентов а связаны с величинами радиусов кривизны в на-
начале координат следующими соотношениями:
а" = Ж' аи = 7Га-; A46)
"д 1 д 1 3 1 д 1
ат = -дх7Ж' йш==^ Ж' Й221 = ^Ж' ат = ~дх^~я1'
Е. Beltrami, Opere I, стр. 297, 298, 1866.
10, Геометрическая интерпретация гауссовой кривизны. Пусть р есть
эллиптическая точка поверхности F, а V—объем небольшого овального (вы-
(выпуклого) тела, ограниченного с одной стороны поверхностью F, с другой же
стороны плоскостью, параллельной карательной плоскости в точке р. Обозна-
Обозначим расстояние между этими параллельными плоскостями через Л. Тогда мера
кривизны К поверхности F в точке р может быть выражена:
К= 11» (Щ\ A47)
W. Blaschke, Jahresber.'.Dtsch. Math. ^Ver., т. 27, стр. 149, 1919. Если
через О мы обозначим площадь кривой части поверхности нашего выпуклого
тела, то имеет место также следующее соотношение;
K=Um(^)\ A48)
11. Точки округления. Определить точки округления поверхности дг1ж2дг3=Ь

134
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
12. Асимптотические линии. Определять асимптотические линии на поверх-
поверхности, образованной вращением круга около его касательной.
13. Опорная функция Минковского. Пусть F есть неразвертывающаяся
поверхность и пусть расстояние р касательной плоскости от начала координат
представлено в функции координат gj, g2, % единичного вектора нормали к по-
поверхности. Так как g1 — 1, то можно так нормировать опорную функцию Р
поверхности F (§ 94), чтобы
Р(Si. h. h)=p((Si. Sj. 6з) A49)
и при ц>0,
P(f*O1( (AOj, (АОз) = fiP (dj, Otj, <Xj). A50)
Если затем ввести сокращенные обозначения для производных
1. Sa. S3) _ п
1<Ч
то для произвольных ан имеет место соотношение:
A51)
Рц
Р32
О
A52)
См. L. Painvln, J. Math. B), 17, стр 219—248, 1872 и § 94 настоящего курса.
14. Теорема Фосса о поверхностях каналов. Если мы возьмем семейство
сфер, имеющих центры в точках у кривой у (и) и радиусы г (и), то огибающей
этого семейста будет так называемая поверхность каналов, которую можно
представить через параметры аи» следующим образом:
х (u,v) = у — гг'%х + г У1 — г'2 • (|з cos v + S3 sin v). A53)
Здесь $fc (и) суть единичные векторы сопутствующего триедра кривой у (и).
Если теперь мы возьмем две такие поверхности каналов, направляющие кри-
кривые которых у (и), ух (а), (у'2 = 1; у'2 = 1) в соответственных точках имеют
одни и те же кривизны, но различные кручения (p(w) = Pi(«); х(и) ф^ (и)),
то эти поверхности каналов имеют в точках, соответствующих равным значе-
значениям параметров и, у, равные главные кривизны. A. Voss, Zur Theorie der
Kanalflaehen. Munch. Ber., 1919, стр. 353—368.
15. Теорема Штуди о нормальных системах. Прямые пространства можно
привести во взаимнооднозначное соответствие с парами точек р, q плоскости
таким образом, чтобы нормальной системе прямых отвечало бы на плоскости
отображение р -»¦ q, сохраняющее площади, и обратно. W. Blaschke, Ein Beitrag
zur Liniengeometrie. Rendiconti di Palermo, т. 33, стр. 247—253, 1912.
16. Отображение, сохраняющее площади. Если отобразить плоскость на
самое себя с помощью формул
*_ц dfju. v) ]
g df(u, v) ^ х,=
ay а2/ / ау у
df(u, v)
ди
A54)
.то величины всех площадей при отображении остаются неизменными. G. Schef-
fers. Math. Z, т. 2, стр.181, 1918. Специальный случай у Гаусса. Gausz, Werke III,
стр. 373. Ср. также D. A. Grave, J. math. E), т. 2, стр. 317—361, 1896, а также
Math. Zeitschr. B6), 1927, стр. 691-693.
17. Эквилонгальные отображения. Рассмотрим сопряжение Е-*Е* плос-
плоскостей в нространстве. Соответствующие плоскости Е, Е* отображаются вообще

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 135
коллинеарио, если прямые пересечения бесконечно близких плоскостей соот-
соответствуют прямым пересечения соответствующих им плоскостей. Следуя вве-
введенной Штуди терминологии, сопряжение Е -* Е* называют эквилонгалъным,
если между сопряженными плоскостями существует конгруентное соответ-
соответствие. Если уравнение плоскости мы представим^ в виде:
„ . и — у „ | 1— uv _ w ¦ .
*~ ~Т+1^ х* + Т+иТх*=ТТиТ' A55)
то эквилонгальное отображение можно представить с помощью следующего
преобразования координат и, v, w плоскости (координаты эти были впервые
введены Бонне):
= |/"± ^ • ^ • v +f(u, v). A56)
и* = и* (и), t* = v* (v),
Всякое эквилонгальное отображение выражается в этих координатах либо
формулами A59), либо формулами, получающимися из них перестановкой и, v.
W. Blaschke, Arch. Math. Pflys. C), т. 16, стр. 182—189, 1910. О соответствую-
соответствующем преобразовании прямых на плоскости см. Q. Scheffers, Math. Ann., т, 60,
стр. 491 -531, 1905 и ?. Study, Bonn, Ges. f. Natur. u. Heilk., Her. 6. Dez., 1904.
18. О поверхностях переноса. Для того чтобы на поверхности переноса
образующие кривые пересекались всюду под прямыми углами, необходимо,
чтобы поверхность был-а цилиндрической.
19. Формула Лагерра. Для всех кривых, лежащих на некоторой поверх-
поверхности, проходящих через некоторую ее точку и имеющих в этой точке одно
и то же направление, выражения *.
имеют в этой точке одну и ту же величину. Здесь 6 — угол между главной
нормалью кривой и нормалью поверхности. Е. Laguerre, соч. II, стр. 129—130,
1870; Е. Goursal, Cours d'Analyse I, 3-е изд., стр. 641—642, Paris 1917.

ГЛАВА ПЯТАЯ
ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ *
§ 61. Инвариантные производные вдоль линий кривизны
Основные уравнения теории поверхностей, найденные нами в § 55,
57 и 58, не являются инвариантными отноеительно преобразования
параметров. Они, правда, позволяют нам обозреть весь запас независи-
независимых инвариантов, которые мы можем образовать из векторов, опреде-
определяющих нашу поверхность, но скалярные произведения основных век-
векторов хи, х„, § и козфициенты линейных выражений, входящих в фор-
формулы A20) и A33), не инвариантны относительно преобразования
параметров нашей поверхности
и = н(и*, v*), v = v(u*, ¦»*), A)
в результате которого поверхность представится в виде:
х(ц, v) = x(u[u*, v*], v [a*, v*]) — x*(u*, v*).
Векторы хи, х,, §„, §„, хп„ и т. д., их скалярные произведения и коэ-
фициенты наших линейных выражений сами по себе не являются, вообще
говоря, величинами, независимыми от выбора параметрических кривых
и = const., v = const, и характеризующими самое поверхность. Нашей же
целью является найти такие инварианты, которые определяются только
свойствами самой кривой поверхности. Некоторые из прежде встречав-
встречавшихся нам выражений, как, например, главные радиусы кривизны /?х и
#2 или гауссова кривизна К, безусловно являются инвариантами самой
поверхности, так как они имеют определенный геометрический смысл.
Но нашей задачей является теперь систематически, базируясь на чисто
аналитических приемах, обозреть все принадлежащие нашей поверхно-
поверхности инварианты, как бы высок ни был порядок входящих в них
производных.
.Мы сделаем шаг вперед к нашей цели, если мы отнесем нашу
поверхность к сети таких параметрических кривых, которые сами обла-
обладают инвариантным характером. Лучше всего будет взять за такую сеть
линии кривизны, ибо последние всегда вещественны. Мы только должны
будем исключить из рассмотрения точки округления (мы видели в § 47,
что поверхностями, все точки которых суть точки округления, являются
лишь сферы и плоскости; эти поверхности нам придется поэтому совер-
1 Применяемый в этой главе метод инвариационного диференцирования
рименялся уже многими геометрами, например Риччи (С. Ricci). Он подробно
зложен в курсе Кноблауха (/. Knoblauch, Grundlagen der Dlfferentialgeometrie,
elpzig 1913).

ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВДОЛЬ ЛИНИЙ КРИВИЗНЫ 137
шенно исключить из рассмотрения). Согласно формуле E0) § 46 мы-
должны, выбрав за параметрические кривые линии кривизны, иметь
F = М — 0. Теперь направления векторов х„ и х„, как направления
касательных к линиям кривизны, определены инвариантно и зависят
только от свойств самой поверхности. Но длины .векторов х„ х, еще
не имеют никакого инвариантного значения. В самом деле, переход
к инвариантной параметрической сети линий кривизны еще не устра-
устраняет возможности новых преобразований параметров, ибо мы можем
ввести еще преобразования:
„ =/(«*), v = g («*) Ц? ф 0, % ф О] , B)
в результате которых сеть параметрических кривых останется неизмен-
неизменной. Мы получим при этом, например, такое соотношение:
дх* _ дх «
ди* ~ ди 'J '
где f = —j. Геометрический смысл подстановки B) станет очевид-
очевидным, если мы примем во внимание, что каждой из кривых семейства-
и = const, соответствует некоторое определенное значение постоянной;,.
мы можем сказать, что' экземпляры кривых, принадлежащих семейству
и = const., размечены определенной шкалой значений параметра и.
Точно так же для кривых v = const, существует своя шкала значений v.
Преобразованию же B) соответствует не что иное, как изменение обеих
этих шкал; при этом, разумеется, сеть кривых как целое не претерпе-
претерпевает никаких изменений.
Могло бы, пожалуй, показаться, что можно освободиться и от этих
преобразований шкал; что, например, во взятой нами сети линий кри-
кривизны можно было бы выбрать параметры миг» таким образом, чтобы
они измеряли длины дуг линий кривизны. Однако такой выбор, вообще
говоря, вовсе невозможен. Преобразованием шкал можно достигнуть
того, чтобы и и v измеряли длины дуг на одной взятой по произволу
паре линий кривизны, принадлежащих одна первому, а другая второму
семейству. Но этим шкалы вполне определяются; на остальных же
линиях кривизны и и г» в общем случае не будут являться длинами дуг.
Посмотрим теперь, что происходит с величинами, рассматриваемыми;
в теории поверхностей, при подстановке вида B).
Пусть мы каким-нибудь образом нашли один ив абсолютных инва-
инвариантов 5 нашей поверхности (мы можем представить себе, например,
что «S есть инвариант Н или К). Легко видеть, что уже первые про-
производные этого инварианта Su и St не будут инвариантными даже
в том случае, когда в качестве параметрических линий берутся линии
кривизны. В самом деле, замена переменных B) преобразует эти про-
производные по формулам:
ds* „ f as* „ ,
Но мы можем указать способ, которым можно из каждого инварианта 5
тотчас же получить два новых инварианта, в которые входят произ-

138 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
вводные 5. Такими инвариантами не являются, как мы видели, сами
.производные Su и 5,; но величины
1~Уё' 2~Vg w
снова будут инвариантами.
В самом деле, из формулы G) § 41 вытекает, что при замене
переменных B) мы будем иметь:
• ?* = ?-/'2, G* = G-^2. E)
Из формул же C) и E) мы видим, что действительно
11 ^ ?« 1 dS* ^,
У7>* ди* VI' YG* dv*
Мы будем называть S^ и S2 инвариантными производными величины 5
и обозначать инвариантное диференцирование жирными индексами 1
:и 2. Геометрический смысл этих величин очень прост: они предста-
-вляют собой не что иное, как производные заданной на поверхности
'функции S, взятые по направлениям линий кривизны, причем аргумен-
аргументом служит длина дуги линии кривизны. В самом деле, элемент дуги
той линии кривизны, которая принята за и-линию, т. е, элемент
линии •» = const, представляется выражением:
dst = YE du, F)
а элемент дуги ©-линии — выражением:
G)
:Из dS—Sudu-j-Svdv следует теперь, что
dsr и ds2 суть два инвариантных диференциала нашей поверхности.
Для данного линейного элемента {a, v} — {u-\-du, v-j-cf-o}, направление
которого не совпадает с направлением линий кривизны, ds1 и ds2 суть
попросту элементы дуг, служащих проекцией данного элемента на две
линии кривизны, проходящие через точку и, v.
Инварианты Sr и S2 могут быть в свою очередь подвергнуты инва-
инвариантному диференцированию. Таким образом мы получим, например:
Аналогично мы можем получить два новых иварианта S2t и S^.
Инвариантные производные мы обозначаем при этом всегда жир-
жирными индексами. При этом порядок индексов является существенным.
•Обычное условие интегрируемости
-для смешанных производных теперь уже не имеет места, вместо него
для инвариантных производных S2i и SX2 имеет место соотношение:

ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВДОЛЬ ЛИНИЙ КРИВИЗНЫ 139
. ^в + ^^я + ^р (И)
s котором для сокращения письма положено:
Действительно, если в соотношении A1) выразить инвариантные про-'
изводные через обычные, то мы увидим, что оно выполняется в силу
условия A0). _
Величины q и q суть абсолютные инварианты нашей поверхности,
которые не изменяются при замене переменных B). В § 62 мы пред-
представим их через произвольные параметры, а в § 63 покажем их геоме-
геометрический смысл. Заметим, что, если мы образуем инвариантные про-
производные 51? и 5^, для какой угодно величины S, условие интегрируе-
интегрируемости A1) имеет всегда место, причем крэфициенты q и q остаются
всегда те же и" не зависят от того, какую именно величину 5 мы
взяли* С инвариантными производными можно производить все опера-
операции так же, как с обычными; только условие интегрируемости для
них другое. Так, например, если три величины S, U, V связаны со-
соотношением:
S-U—V,
то для инвариантных производных произведения мы получаем формулы
Это непосредственно вытекает из определения D).
Инвариантное диференцирование мы можем применить и по отно-
отношению к вектору х точки поверхности и образовать, например,
выражения:
2 GYEG'
Все векторы
X, Х|, Х2г "ц> ^21' 22' "ш" ' "'
полученные в результате инвариантного диференцирования, будут
тогда инвариантны относительно преобразования параметров. В самом
деле, отдельные компоненты'х1 (и, v), х%(и, v), xa(u, v) векторной функ-
функции х(«, v), будучи функциями точки, должны рассматриваться как
инварианты преобразования параметров (конечно, они не инвариантны
относительно движения в пространстве). Поэтому инвариантные их про-
производные также являются инвариантами преобразования параметров.
Мы можем теперь задачу образования из векторов A18) § 55 всех
инвариантов поверхности заменить другой, более простой: определить
инварианты векторов A4).
Действительно, векторы A18) § 55 могут быть определены из
векторов A4), если только известны функциц ?(«, v) и G(u, v) (при
этом мы предполагаем, что в выражениях A18) § 55 координатными
линиями являются линии кривизны). Это очевидно непосредственно из

140 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
определения D). Обращением соотношений D) и (9) мы получаем,
например:
Итак, мы свели нашу задачу к следующей: из векторов A4) и функ-
функций Е(и, v), G(u, v), т. е. из Е, G и всех их обыкновенных произ-
производных 1, образовать всевозможные абсолютные инварианты. Но из
величин Е, О и их производных мы заведомо можем взять лишь
величины:
Е, Еи, ?„„. ЕииШ... I A6)
О, Ot, G^, Gm,,.,., j
т. е. лишь чистые производные Е по и и чистые производные О по v,
ибо все остальные производные величин Е"и G могут быть определены
с помощью величин A6) и векторов A4). В самом деле, так как xt и
х2 линейно независимы, то из векторного уравнения
можно выразить величины q и q через скалярные функции первых и
вторых инвариантных производных вектора х. Затем могут быть, ко-
конечно, определены и инвариантные производные величин q и q, т. е.
величины qv qv qv... через инвариантные производные вектора х
соответствующих порядков. Но, зная q, q и величины A6), можно
с помощью формулы A2) определить также ?", и Gu. Точно так же
нетрудно видеть, что, зная qv qv qv q2 и величины A6), мы найдем
производные Evt, Evv, Guu, Guv величин Е, G и т. д. Таким образом
мы получаем следующее общее предложение: все те производные вели-
величин Е и G, которые не содержатся в A6), могут быть определены
с помощью величин q, и q, их инвариантных производных и величин A6).
А так как величины q, q, qv qv y,.. . могут быть получены из векто-
векторов A4), то мы можем также сказать, что все производные величин Е
и О, не содержащиеся среди величин A6), могут быть получены из
величин A6) и из векторов A4). Этим мы показали, что для образо-
образования полной системы инвариантов нашей поверхности достаточно
иметь векторы A4) и величины A6). Но оказывается, что величины
A6) должны быть вовсе оставлены, так как не может быть и речи об
их использовании для образования абсолютных инвариантов. В самом
деле, компоненты всех векторов A4) являются, каждая в отдельности»
инвариантами относительно преобразований параметров; величины же A6)
преобразуются по формулам:
К* = E«f* + 2Eff> °l* = °^'3 + 2 W.
Я/4 + б^"/' + 2ЯЛ + 2?/Г и т. д.
1 ^десь ч в дальнейшем под обыкновенными производными (gewohnliche
Ableitungen) имеются в виду ^частные, но не инвариантные произ-
производные- Прим. перев.

ПЕРЕХОД ОТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ К ИНВАРИАНТНЫМ ПРОИЗВОДНЫМ 141
Но для получения инвариантов преобразования параметров мы должны
составлять такие выражения, из формул преобразования которых коэфи-
циенты f,f, gr, g"<, f"... оказывались бы исключенными. При этом
нужно иметь в виду, что эти коэфициенты все относятся к некоторой
определенной точке поверхности и потому должны рассматриваться как
постоянные и совершенно независимые друг от друга числа. Далее
величины f, g', f... участвуют в преобразовании только величин A6),
но не векторов A4), которые являются абсолютными инвариантами;
при этом число этих коэфициентов равно числу преобразуемых величин
Е, G, Еи, О„..., ибо вместе с каждой новой производной величин Е
и О появляется и новый коэфициент; так, например, с появлением Еии
и Gn появляются величины f'r и g"'. Поэтому ни при каких комби-
комбинациях величин A6) и векторов A4) коэфициенты/, g'', f",g",f"...
не могут быть исключены. Итак, величины A6) не могут никаким
образом участвовать в образовании абсолютных инвариантов. Мы дока-
доказали, таким образом, наше утверждение, ^что все инварианты нашей
поверхности могут быть образованы из одних векторов A4).
Так как входящие в формулу D) величины У~Е и j^O определены
лишь с точностью до знака, то и инвариантные производные опреде-
определяются с точностью до знака. Точно так же и те инварианты, с кото-
которыми мы имели уже и еще будем иметь дело, часто определяются
с точностью до знака и в соответствии с этим инвариантны с точностью
до знака. Мы, однако, не будем придавать этому обстоятельству боль-
большого значения и будем называть инвариантами и такие величины, кото-
которые определены с точностью до знака. Достаточно возвести такие выра-
выражения в квадрат, чтобы получить инварианты в строгом смысле слова.
При принятом нами способе обозначения одно из семейств линий
кривизны, соответствующее индексу 1, как бы выделяется на первое
место; по существу же, конечно, они совершенно равноправны и ни для
одного из них нельзя дать итакого определения, которое отличало бы
это семейство от другого.
[§ 62. Переход от произвольных параметров к инвариантным
производным
Теперь 'перед нами стоит задача определить полную систему инва-
инвариантов нашей поверхности. Идя путем, указанным в § 4, мы получим
ее^из векторов A4), и тогда сможем выразить в инвариантной форме
все основные формулы теории поверхностей. Однако, прежде чем при-
приступить к решению этой задачи, мы хотели бы подойти к образованию
инвариантных производных с новой точки зрения. Всегда представляется
желательным получить основные формулы теории поверхностей при
общих предположениях относительно параметров, ибо тогда аппарат
этих формул становится более гибким и легче приложимым к решению
отдельных частных вопросов. Мы можем тогда по произволу выбирать
специальные параметры, относя поверхность, скажем, к линиям кривизны
или к асимптотическим линиям и заранее не фиксируя ни одну из этих
возможностей. Сообразно с этим мы покажем теперь, что для опреде-
определения введенных нами в предыдущем параграфе инвариантных произвол-

142
ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
ных нет необходимости преобразовывать предварительно поверхность
к параметрам линий кривизны и что вообще для этого вовсе ие нужно
иметь явное представление поверхности через параметры линий кривизны,
но что можно получить введенные нами инвариантные Производные
и в том случае, когда поверхность отнесена к произвольным параметрам.
Введем в рассмотрение две квадратичные формы А и- А, которые
образованы из основных форм * и II следующим образом:
A = R1II—1; ^4 = #9II — I. A7а>
Здесь ^ и #2 — главные радиусы кривизны. Если мы представим эти
формы в виде:
A =*fndifl -f 2/i2rf« dv +/22 dv\ A8)
A=fndu* + 2f12dudv+fl2dv*, A9)
то для коэфициентов их будем иметь выражения:
fn = RiL Е, /11 = /?2? —Е,
/1а = ЯгЛ1 —F, J1% = R^l—F, J B0)
/22 = /?!^ — О, h* = R2N—G.
Но /?! и /?2 согласно данному в § 44 определению этих величин суть
те значения, для которых удовлетворяется уравнение B9) § 441. Таким
образом имеют место следующие соотношения:
/и
/я
/я
Л>
= 0,
/и
л,
л.
л*
= 0.
B1)
Квадратичные формы, дискриминант которых равен нулю, как это имеет
место для форм A7), называют обычно вырожденными формами. Выро-
Вырожденные формы характеризуются также тем, что они могут быть пред-
стфзлены в виде квадрата некоторой линейной формы. Действительно,
если мы положим
Pi — Vfiv Pi — ,/-7— »
V /11
B2)
то из формул B1) и B2) получим:
При этом, величины рх и р2 определяются из B2) лишь с точностью
до знака, с которым берется радикал, входящий в выражения обеих
этих величин. Мы получим, следовательно:
A = (Pidu+p%dvf, B4)
V~A == px du-\- p2dv. B5)
Точно так же, положив
Pi — ' /11» Ръ — л/г=~ '
B6)
1 В введенных здесь обозначениях это выражает, что формы А и А суть
полные квадраты. Прим. перев.

ПЕРЕХОД ОТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ К ИНВАРИАНТНЫМ ПРОИЗВОДНЫМ 143
мы получим:
V А = ~рхйи -\-J2dv. B7>
Геометрический смысл форм VА и VА мы установим, введя в качестве
параметрических линий линии кривизны 1. Тогда мы будем иметь F =
= уИ = 0 и согласно формулам C0), C1) § 44:
<28>
Сравнив эти соотношения с формулой C1) § 44, мы видим, что главные
радиусы кривизны представятся теперь следующим образом:
#1 = "^г> /?2 = -?-. B9)*
С помощью формул B0) мы получим: ¦
C0>
Мы имеем таким образом:
или, принимая во внимание формулы F) и G):
i-l «Ц, C2>
Так как dsl и ds'2 суть проекции элемента дуги.на линии кривизны, то
формулы C2) устанавливают геометрический смысл форм V А и VA.
Линия, вдоль которой одна из этих форм обращается в нуль, есть, оче-
очевидно, одна из линий кривизны. В то же время мы видим, что дифе-
ренциалы dsl и ds2, которые представляются выражениями F) и G) § 61,
когда параметрическими линиями являются линии кривизны, теперь, когда
параметры совершенно произвольны, выражаются линейными формамиг
V R,Rl
Диференциалы dst и ds2 определяются, как это и должно быть, с
точностью до знака.
1 В дальнейшем следует иметь в виду, что формы А и А являются инва-
инвариантными, так как они образованы из форм I и II, инвариантность которых
очевидна хотя бы из того, что они по своему определению выражают геометри-
геометрические величины (rfx2 и dx dfi, с помощью величин /?j и R2, инвариантность
которых также очевидна из геометрических соображений. Прим. перев.

144 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
Чтобы представить последующие формулы в "более удобном виде,
.мы будем обозначать параметры и и v также через
и = и1, v = u\ C4)
Если мы теперь положим
C6)
то можем представить формулы C3) в следующем виде:
Мй'' C7)
i = 1 *• = 1
Формы dsl и ds2, имеющие определенный геометрический смысл, являются
инвариантными линейными диференциальными формами. Следовательно,
при произвольном преобразовании параметров:
м1 = м1 (и1, к2), и2 = из (к1, в») C8)
преобразованные и первоначальные величины связаны соотношениями:
2 2 2 .. 2
йз формулы C8) следует:
2 ,
-*-du\ D0)
•и потому C9) дает следующее соотношение, которое должно удовле-
творяться тождественно относительно —5-:
V4 * ^*е vi a«* ^*< vi - j*< vi - <Э«* »4 .
^ «Ж= 2 д* -^ М 2 М«* = ^ я4 -5- </«. D1)
Таким образом для величин я,, я, мы имеем следующие формулы
преобразования:
.'Мы введем теперь две новые величины и1 и п2, которые мы определим
двумя линейными уравнениями:
2 2
«4=o. D3
1
Уравнения эти всегда разрешимы, что следует хотя ёы из формул C0)
я C3), из которых нетрудно вывести, что для правильных точек поверх-

ПЕРЕХОД ОТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ К ИНВАРИАНТНЫМ ПРОИЗВОДНЫМ 145
ности,-не являющихся точками округления, формы dsl и ds2 не могут
быть пропорциональными, так что, следовательно, всегда
и1и2 — я2ях ф 0. ' ' D4)
Аналогично мы введем величины и1 и я8, определив их уравнениями:
а а
2 я* ««*¦!. ?«4 = 0. D5)
i=l 1=1
Посмотрим теперь, как преобразуются величина я1 и я* при замене пере-
переменных C8). Прежде всего преобразованные величины в силу опреде-
определения величин\П* и я* должны удовлетворять уравнениям:
яЧ==1, 5JA==O, D6)
i *
т. е. в силу формул D3):
С помощью формулы D2) мы получаем:
D8)
и, принимая во внимание D4), мы заключаем, что должна имегь место
формула:
t^. D9)
Это и есть та формула, которую мы хотели вывести.
Таким же образом мы получим для п4 формулу:
E0)
Итак, величины л* и я* преобразуются так же, как диференциалы duk.
Это свойство является чрезвычайно важным. Действительно, если мы
имеем теперь произвольную функцию 5 (и1, иа) точки на поверхности,
отнесенной к произвольным параметрам, то при замене переменных C8)
производные ее преобразуются по формуле:
уь - / j ' "" ф
Зал. 694. — Бляшке, ч. I

.146 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
Отсюда вытекает, что для образованных из производных выражений
<=1 <=1
имеют место соотношения:
p%i5 !§ ^
В справедливости их мы убедимся непосредственно, подставив вместо tfi
и л4 выражения D9) и E0) и вместо —j- выражение E1). Величины
ди*
S1 и 52, если они получены из производных инвариантной относительно
преобразования параметра величины S, также являются инвариантами.
Если мы снова возьмем в качестве специальных параметрических линий
линии кривизны, то в силу C0) мы будем иметь:
/?а = я2 = 0 и ^ = ^ = 0, E4)
а в силу D3) и D5):
Из этого мы видим, что наш инвариантный диференциальный процесс
есть не что иное, как то инвариантное диференцирование, которое мы
рассматривали в предыдущем параграфе; только теперь oflo выполняется
для поверхности, отнесенной к произвольным параметрам. Геометриче-
Геометрический смысл этого процесса остается, разумеется, прежним.
Теперь мы видим, на чем собственно основана идея инвариантного
диференцирования: пусть мы каким бы то ни было образом нашли не-
некоторые две системы величин п* и я', которые определяются из функций
х (и, v) и преобразуются по формулам D9), E0); тогда с их помощью
мы можем определить два диференциальных инвариантных процесса,
дающих возможность из каждой величины, инвариантной относительно
преобразования параметров, тотчас же получить диференцированием два
новых инварианта. При этом необходимо, чтобы величины п* и п* удовле-
удовлетворяли условию !:
я'я«-.я?фО. E6)
Из уравнений D4), D5), D6) легко усмотреть, что условие E6) для
наших величин я', я' удовлетворяется. Введя эти процессы, мы можем
в дальнейшем иметь дело только с инвариантным диференцированием,
ибо, как мы показали в предыдущем параграфе, все инвариантные выра-
выражения можно составить из одних только векторов A4). ¦*
1 Условие это необходимо, если мы требуем, чтобы оба диференцирования
давали существенно различный результат, т. е. чтобы диференцирование совер-
совершалось по различным направлениям. Аналитически этому соответствует воз-
возможность нахождения обыкновенных производных по заданным инвариантным.
Прим. пере в.

ПЕРЕХОД ОТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ К ИНВАРИАНТНЫМ ПРОИЗВОДНЫМ 147
Суммируя вышеизложенное, мы еще раз укажем, как определить
величины я1 и я*, которые одни только нам и нужны, по данным функ-
функциям х (и, v) или, что то же, из величин /, введенных в этом параграфе.
Прежде всего из данных функций х (и, v) мы определим Е, F, G по
формулам G) § 41 и L, М, N по формулам A9) § 42. Затем мы найдем
/?, и У?2 из уравнения B9) § 44. После этого мы определим величины
/«»/« п0 формулам B0), величины pt, pt по формулам B2), B6), вели-
величины nt,nt ко формулам C5), C6) и, наконец, величины п\ п* по
формулам D3), D5).
В заключение мы покажем, какой вид принимают при произвольно
выбранных параметрах условия интегрируемости A1), т. е. как выра-
выражаются теперь входящие в это условие величины q и q.
Прежде всего, исключая из формул E2) поочередно каждую из
величин —-, мы найдем:
¦|г = «А + ^у E7)
Эти уравнения дают возможность по заданным инвариантным производ-
производным вычислить обыкновенные. Если мы теперь продиференцируем E8)
по ик, применяя при диференцировании величин St и 52 ту же фор-
dS, dS2
мулу E8), т. е. подставляя вместо —- и —- выражения:
-? = n<Sn + niSi2> -^ = «Л1 + «А > E8)
то получим:
^ = ^5. + ^^ + й<ИЛ + «Я^ + «<«А + «Я^. E9)
Условие интегрируемости для обыкновенных производных второго
порядка
F0)
мы можем представить себе также в таком виде:
2
ди* du* '
i, k=l
так как в силу кососимметричности системы величин nV — я* л* отно-
относительно ink уравнение F1) выражает симметрию системы —-—-
ди* диг
относительно i и k. Из уравнений E9) и F1) мы получим, приняв во
внимание соотношения D3), D5), уравнение A1), в котором теперь
величины q и q представляются выражениями:
10*

148 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 63. Основные формулы теории поверхностей в инвариантной
форме
Показав, как можно, исходя от произвольных параметров, получить
инвариантные производные, мы обратимся теперь к установлению основ-
основных формул теории поверхностей.
Прежде всего из формулы A3) вытекает, что, если за координатные
линии взять линии кривизны, то имеют место соотношения:
х,х1 = 1, xlX2 = 0, XjXj^l. F3)
Эти же отношения сохраняют, разумеется, свою силу и в том случае,
когда параметры произвольны, если величины х, и Xj мы определим
формулами:
Единичный вектор нормали теперь представится выражением:
? = х,Хх2. F5)
В самом деле, определенный таким образом вектор нормали есть
единичный вектор в силу формулы B8) § 2 и формул F3) этого
-параграфа.
Так как вектор I можно определить, зная х, и Xj, то совокупность
всех инвариантов, могущих быть образованными из векторов
х> ^р "ji *> хц> Х12> ^21' Х22' *1' *2' "lit * * *' V/
совпадает с совокупностью всех инвариантов, образуемых из одних только
векторов A4). Руководствуясь теми же соображениями, которые были
развиты в § 55, мы устраним из рассмотрения вектор х и в качестве
основных векторов возьмем векторы х,, х2> §. Эти векторы связаны со-
соотношениями, которые представляются следующей табличкой скалярных
произведений:
х1х2 = х1§==х2§ = 0. } F7)
Выразим теперь производные основных векторов через линейные
комбинации самих этих векторов. С этой целью положим:
F8)
Посмотрим, какова совокупность всех существенных независимых
друг от друга соотношений между векторами, являющихся результатом

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 149
наших геометрических предпосылок. То обстоятельство, что § есть еди-
единичный вектор нормали, находит свое выражение в уравнениях ijXj =
= |Xj, = O; §| = 1. Тот факт, что наши инвариантные производные
берутся в направлении линии кривизны, выражается в силу формулы D7)
§ 46 уравнениями:
У | 0. F9)
Так как линии кривизны должны быть взаимно перпендикулярны, то из
F9) в качестве следствия должно вытекать, что тангенциальные векторы
линий кривизны Xj и х2 должны образовывать прямой.угол, т. е. удо-
удовлетворять условию XjXj = 0. Наконец, то обстоятельство, что инва-
инвариантная производная берется по длине дуги линии кривизны, предста-
представляется согласно формуле A3) § 5 соотношениями х1х1 = х2х2=1,
выражающими, что xt и х2 суть единичные векторы. Этим, однако,
исчерпываются все сделанные нами геометрические предпосылки, и по-
тому все те соотношения между нашими векторами, которые имеют
общий характер, содержатся уже в уравнениях.F7) и F9); к последним
разумеется, нужно добавить уравнения, получающиеся диференцирова-
нием их, а также условия интегрируемости вида A1) и A7), в которых
величины q выражаются формулой F2).
Из двух последних формул F8) с помощью формул F9) я соотно-
соотношения (XjX^) мы получаем:
«62 = «61 =° G°)
и, следовательно:
§^ = ^ = 0. G1)
Диференцируя соотношение §Xj = 0 по индексу 2 и соотношение
|х2 = 0 по индексу 1 и принимая во внимание формулы G1), мы
получим далее: - ^
«28 = 5*12= 0 И «83 = iX21 = 0- ' '
Из §§ = 1 следует g§j = §§2 = 0 и, следовательно, в соответствии с F8):
«68 = «68 = °- G3>
Далее из х,х, = Xj,x2 = l и х,Х2 = 0 мы получим с помощью диферен-
цирования следующие соотношения:
х,хи =0, (а) х,х12 =0, (d)
Xnx2 + Xix2i = 0. (Ь) х12х2 + х1х22 = 0, (е) G4)
Х2Х21 =0, (с) х2х^ =0. (f) .
Формулы G4J и G4f) дают вместе с соответствующими формулами F8)
«lls=a42:=0-
Из формул же х,х12 = х2х2, = 0 мы выведем прежде всего соотношения}
~ a21 = a32 = 0; G5)

150 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
далее же, скалярно умножая обе части уравнения
на
j и Xjj, мы получим:
Наконец, из G4С) и G4d) мы получим:
G6)
-g. G7)
Этим мы использовали все, что мы можем извлечь из специального
выбора векторов, входящих в уравнения F8).
Если мы напишем г вместо aJS и. г вместо а^, то в силу соотно-
соотношений ?,х, = — gxjj и §2Х2 = — ixjj мы получим следующие основные
уравнения:
G8)
G9)
*2 ~~~
Эти уравнения представляют собой не что иное, как формулы § 55, 57
т. е. деривационные формулы Гаусса и Вгйнгартена, записанные в инва-
инвариантной форме. Мы могли бы получить эти уравнения непосредствен-
непосредственно из формулы § 55„ 57, введя в последние вместо обыкновенных
производных инвариантные. Согласно формуле E2) § 46 при выборе
линий кривизны в качестве параметрических линий мы будем иметь
уравнения Родрига:
5И = ~~ "#Г х« и 5» = "й7х<" '*
Разделив обе части первого из этих уравнений на У~Ё, а второго на
и приняв во внимание формулы D), мы получим:
i z=:= ~~~ ~тл— Х-
• f о
(81)
Сравнив эти уравнения с уравнениями G9), мы видим, что величины
г я г суть не что иное, как обратные величины главных радиусов крищ
визны Rl и #3. Пользуясь же первыми двумя из уравнений G8)
и соотношением (|х,х2) = 1, мы получим:
\ = +я- (ь)
(§x,xn) = ^q, (a)
(82)
Следовательно, величины q и q с точностью до знака представляют
геодезические кривизны полос кривизны.
В § 58 мы видели, что уравнения Кодацци и гауссова Theorema
egregium прздставляют собой условия интегрируемости той системы

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
151
уравнений, которая образована уравнениями Гаусса и Вейнгартена. Мы
должны теперь и эти условия представить в инвариантной форме. Вместо
того, чтобы преобразовывать уравнения A38) и A39) § 58, мы получим
уравнения Кодацци и теорему Гаусса непосредственно; именно, поль-
пользуясь формулами G8) и G9), мы запишем, что инвариантные производ-
производные векторов х„, х,2, Xg,, хи» 5i и 52 удовлетворяют получающимся
из формулы A1) условиям интегрируемости:
1 ...... C3)
$! =521
Диференцируя инвариантное уравнение G8) по индексу 2 и заменяя
в полученном уравнении х^ и |2 снова их выражениями G8), G9), мы
будем иметь:
Точно так же, диференцируя уравнение, дающее х,2 по индексу 1, мы
найдем:
Теперь уравнение (83) даст нам соотношение:
— q1xi-\-qqxl—4rV"\'r2^ — rrx.1—Я^^гЯ^ — Я\х2~\'ЯЯх1"\~Я2х-2 * (8^)
В этом соотношении коэфициенты при соответствующих векторах должны
быть одинаковы в обеих частях равенства. Так как коэфициенты при xt
удовлетворяют этому требованию тождественно, то мы получаем два
условия: _ _ _
1 — Ях — Яг~ q^ — qb^rr, . (87)
r2 = q(r — r). . (88)
Условия (82b) и (83с) после аналогичных операций частично дадут те же
условия, и только одно новое условие будет из них получено; именно,
уравнение: _ _
7t=~q(r—r). (89)
Формула (87) есть не что иное, как гауссова Theorema egregium, в пра-
правой ее части стоит мера кривизны гг. Формулы (88) и (89) дают
уравнения Кодацци. Мы можем следовательно, записать систему усло-
условий интегрируемости следующим образом:
(90)
(91)

152 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
Согласно § 4 полная система инвариантов нашей поверхности, т. е.
инвариантов векторов F6), образуется скалярными произведениями
основных векторов х,, х21 § и коэфициентами линейных выражений,
представляющих через эти векторы все остальные. Упомянутые скаляр-
скалярные произведения равны либо нулю, либо единице, т. е. не дают нам
ничего существенного, коэфициенты же линейных выражений опреде-
определяются величинами q, q, г, r и всеми инвариантными производными
этих величин. В самом деле, диференцируя инвариантно системы G8),.
G9), легко убедиться, что в наши линейные комбинации войдут только
вышеуказанные величины. Но величины q и q могут быть с помощью
формулы (91) выражены через величины г, г и их инвариантные про-
производные, так как лишь для омбилических точек разность г— г равна
нулю. Таким образом все абсолютные инварианты нашей поверхности
определяются величинами г, г и их инвариантными производными.
Величины г, г зависят от производных второго порядка в данной-
точке поверхности, величины же rv r2, rv г2—от производных третьего
порядка (как и величины q, q). Число абсолютных инвариантов чет-
четвертого порядка, независимых от предыдущих инвариантов и друг от
друга, равно пяти. В самом деле, восемь величин
Г11 ' "Г12 ' Г2\ > Г22'
Г\\ ' Г\2' Г21 > Г22
связаны тремя соотношениями,—условиями интегрируемости:
и уравнением (90), в котором q и q нужно предварительно заменить их
выражениями (91).
Далее мы можем сформулировать такое предложение: поверхность
определяется с точностью до движения, если две ее линейные формы
ds2 = nrdu -\- n^dv (92)
и ее средняя кривизна Н = -х- (г -\- г) заданы в функции любых параме-
параметров. В самом деле, зная входящие в формы dsv dss, величины п{> щ,
мы с помощью формул D3), D5) получим величины я', я*, а затем
с помощью формул F2) величины q, q. Далее, как видно из уравнений,
определяющих инвариантные производные, все производные величин q,
q также выражаются через одни только величины и„ и4. Формула (90)
дает нам тогда величину /( = гл.3ная же Н и К, мы можем определить
Rx и /?2, т. е. величины гиг. Все же инвариантные производные по-
последних величин выразятся тогда через обыкновенные их производные
и величины п0 и4. Таким образом мы можем получить все инварианты
ловерхности, что и требовалось доказать.

РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ КАНАЛОВ
Дальнейшее исследование покажет, что, вообще говоря, нет необхо-
необходимости знать даже функцию Я (и, v) и что поверхности одними только
формами dsl и ds% определяются однозначно с точностью до конгруент-
ных преобразований. В § 87 и 88 следующей главы этот .вопрос будет
подробно освещен.
В заключение покажем, как выражаются через dsl и ds% наши
исходные квадратичные формы I, II и III. Согласно формуле E8) (вместо
и и v мы снова пишем к1, и2) мы имеем:
. дх __п , -
Тогда из
, VI / дх дх \ . i . к
1= >.(—r-—r)duidu\
а' ди* J <
fiu* duk
i, к
следует:
\\~srds\-\-rds\, (93>
Эти формулы уже были найдены нами в § 50 [формула (84)].
§ 64. Резине поверхности и поверхности каналов
Исследуем, что представляют собой поверхности, для которых
т. е. для которых один из инвариантов q и q обращается в нуль. Так
как мы предполагаем, что г—гфО, то уравнение (94) в силу
эквивалентно уравнению
г,
2
(95)
Допустим, например, что ^ = г2 = 0. Тогда согласно формуле (82) все
полосы кривизны того семейства, которое соответствует индексу 1,
являются вместе с тем геодезическими полосами. Но тогда в силу фор-
формулы B4) § 34 кривые, принадлежащие этим, полосам, т. е. линии
кривизны, должны быть плоскими; это можно показать и непосред-
непосредственно, доказав, что определитель (х,, хи, хш) равен нулю. Так как
все главные нормали плоской кривой лежат в ее плоскости и так как
для нашей геодезической плоской полосы кривизны нормали к поверх-
поверхности являются главными нормалями плоской кривой, то поверхность
должна пересекать ортогонально семейство тех плоскостей, в которых

154 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
лежат наши линии кривизны. Таким образом наши поверхности, для
которых q = 0, являются геометрическими местами ортогональных
траекторий некоторого семейства плоскостей.
Иначе говоря, эти поверхности образуются следующим образом: на
одной из плоскостей" мы проводим произвольную линию С и из точек
этой квивой проводим ортогональные траектории к семейству плоско-
плоскостей, т. е. такие кривые, касательные к которым в каждой точке пер-
перпендикулярны к плоскостям, с которыми они в этих точках пересе-
пересекаются. Это свойство не только с необходимостью вытекает из требо-
требования q = 0, но и достаточно для того, чтобы уравнение q = 0 удо-
удовлетворялось. В самом деле, непосредственно очевидно, что линия пере-
пересечения ортогональной поверхности семейства плоскостей с каждой из
плоскостей этого семейства есть линии кривизны, так как нормали,
взятые вдоль этой линии, лежат все в одной плоскости и потому пере-
пересекаются друг с другом.^ С другой же стороны нормали поверхности
являются главными нормалями кривых пересечения, а значит полосы,
принадлежащие этим кривым, являются геодезическими полосами. Но
согласно формуле (82) это равносильно условию q = 0. Рассмотренные
нами поверхности были впервые найдены Монжем, который назвал их
„surfaces moulures". Мы переводим это название термином „резные
поверхности" *.
Укажем еще один очень простой способ образования резных поверх-
поверхностей. Плоскости, в которых лежат плоские линии кривизны, очевидно,
огибают развертывающуюся поверхность. Исходя из этой развертываю-
развертывающейся поверхности, можно получить резную поверхность следующим
образом: начертим на касательной плоскости совершенно произвольной
развертывающейся поверхности произвольную кривую К и будем
катить без скольжения эту касательную плоскость по разверты-
развертывающейся поверхности; тогда в каждый момент плоскость будет ка-
касаться поверхности по некоторой ее образующей, кривая же опишет
резную поверхность. Этим способом можно получить любую резную
поверхность.
*) „Moulure"—технический термин, употребляемый в архитектуре. Ему
соответствует на немецком языке термин „Gesims"; русский термин „гзымз"
просто воспроизводит немецкий. Переводить „surfaces moulures" иа русский
язык термином „поверхности гзымза" (автор этой книги переводит на немецкий
язык „Gesimsfla'che1') мне казалось неудобным не только вследствие неблаго-
неблагозвучия такого термина и непонятности его для неспециалистов, йо и вслед-
вследствие того, что он не дает той образности, которая присуща французскому
термину. По-французски слово „mouiure" означает также резную работу, и уже
отсюда, вероятно, образовался архитектурный термин, которым обозначается
•обычно „профилированная" полоса, т. е. полоса, расчлененная на выступы
и впалости (например карниз, плинтус). Я перевожу поэтому „surfaces moulu-
moulures"— „резные поверхности" в соответствии с тем построением их, которое
указывает Монж („Application de l'Analyse a la Geometrie"). Именно Монж пока-
показывает, что поверхность, разбираемая в тексте, может быть образована
также следующим образом: на произвольной развертывающейся поверхности
(не совпадающей с той, о которой в тексте говорится ниже, но связанной
¦с ней) делается нарезка, профиль которой располагается вдоль образующей,
лежит в нормальном сечении и имеет неизменную форму. Я полагаю, что
вводимый здесь термин предпочтителен термину „поверхности Монжа", как из
исторических соображений, выше приведенных, так и потому, что термин
„поверхности Монжа" употребляется часто в различных смыслах. Прим. перев.

РЕЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ КАНАЛОВ 15S
Правильность этогр построения следует из того, что когда плоскость
катится без скольжения, все точки кривой К в каждый момент дви-
движутся в направлениях, перпендикулярных к плоскости этой кривой.
Если уравнения:
имеют место одновременно, то поверхность является цилиндрической,
и обратно. В самом деле, из формулы (90) следует тогда: гг = 0. Мы
можем поэтому положить, например, г = 0. Из я^ = х12 = 0 следует
тогда постоянство вектора х, на всей поверхности. Отсюда вытекает,
что линии кривизны семейства 1 все являются параллельными прямыми.
Следовательно, поверхность является цилиндрической. Обратно, для
цилиндрической поверхности из постоянства Xj вытекает справедливость
соотношений q = q = 0.
Рассмотрим вкратце еще один класс поверхностей; именно класс,
определяемый соотношением:
Vi = 0. (96)
В силу равноправия гг и г2 мы можем принять, что rf = 0. В силу
уравнения
rt = 0 (97)
и уравнения Кодацци (91)
r2 = q(r—r)
мы можем записать условие интегрируемости
в виде:
Ъ = 0.
уt
С помощью (91Ь) мы получим отсюда, по сокращении на г—г, соог-
ношение:
^ = 0. (98)
Но из /¦j = <71 = 0 легко вывести, что определитель (х,,хп,хш) обра-
обращается в нуль. Таким образом и в этом случае линии кривизны суть
плоские кривые. Далее из G8) и F7) следует:
(хпхи) = ^ + г9. (99)
Но согласно формуле G8) § 10 мы имеем:
«и «и-?. A0°)
где ~y есть квадрат кривизны линии кривизны семейства 1. Из фор-
формул же (97) и (98) следует, что (хи хп \ = (г2 -f- я\ — 0- Таким обра-
образом кривизна эта остается постоянной вдоль всей линии кривизны. Сле-
Следовательно, эта линия кривизны есть плоская линии постоянной кривизны,
т. е. круг. Итак все линии одного из семейств линий кривизны суть

156 ~ ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
круги. А так как нормальная кривизна д = (|1х,)-= — г нашей полосы
кривизны остается постоянной вдоль всей кривой, то сфера, о которой
мы говорили в § 34, остается неизменной для всей полосы, т. е. вся
полоса принадлежит одной сферической поверхности. Отсюда мы видим,
что наши поверхности представляют собой, не что .иное, как огибающие
семейства сфер, зависящего от одного параметра.
Легко видеть, что и обратно, для любой поверхности такого рода
имеет место уравнение (96).
Если уравнение (96) удовлетворяется так, что одновременно имеют
место оба соотношения г% = 0 и г2 = 0, то мы получаем так назы-
называемые циклиды Дюпена1, которые могут быть рассматриваемы как
огибающие двух семейств сфер.
Найдем теперь те поверхности, которые являются одновременно
как резными поверхностями, так и огибающими однбпараметрического
семейства сфер.
В силу равноправия 1) величин г^ и rv 2) величин г2 и гх и," на-»
конец, 3) обеих этих пар величин между собой, — формулы (95) и (96)
дают нам лишь два существенно различных случая:
I. r1 = r2 = 0 (или г, = г2 ¦=()),
П. rx =~rt = 0 (или г2 = г2 = 0).
В случае I величина г в силу формул (99), A00) есть радиус сферы,
производящей нашу огибающую поверхность. Но из r, = r2 = 0 с по-
помощью E2) мы получим, что обыкновенные производные ги н г, обра-
обращаются в нуль. Иными словами, мы имеем здесь специальный случай
поверхности, огибающей семейство сфер постоянного радиуса. Такие
поверхности называют поверхностями каналов.
В случае II мы получаем прежде всего, что в силу формулы (91)
q = 0. Далее мы замечаем, что для поверхности каналов rt = 0 линии
кривизны 1, будучи кругами, являются плоскими линиями. Для еди-
единичного вектора, нормального к плоскости линии кривизны I, т. е.
для вектора бинормали этой линии §3 [ср. формулу A3) § 34] в силу
соотношения ?23= 1, 53xi = 55x1, = 0 мы получаем: * %
Вектор §8 вдоль линии кривизны 1 остается, разумеется, постоян-
постоянным: A^ = 0. Диференцируя формулу A01) инвариантно по индексу 2
и принимая во внимание, что q = 0, мы получаем:
1 Подробнее об этих замечательных поверхностях см. в § 55 третьей части
этого курса.

ИНВАРИАНТНОЕ ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ПРОИЗВОЛЬНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ 157
Уравнения (90) и (91) теперь в силу q — О принимают вид:
q^-qlrr-r, |
r^qr—qr. j
Отсюда у
^ — Я- ' (Ю4)
В силу же формул A03), A04) уравнение A02) дает:
= 0. A05)
Таким образом вектор |3 .вообще постоянен, и, значит, все круги,
по которым пересекаются бесконечно близкие сферы, огибаемые поверх-
поверхностью каналов, лежат в плоскостях, параллельных между собой, а это
возможно лишь в том случае, если все центры сфер лежат на одной
неподвижной прямой. Но в таком случае огибающая поверхность будет
всегда поверхностью вращения. Легко убедиться, что и, обратно, всякая
поверхность вращения удовлетворяет соотношению II.
§ 65. Инвариантное диференцироваиие по произвольному
направлению
Предыдущие исследования могли создать у читателя неправильное
впечатление, что инвариантное диференцирование может применяться
с успехом лишь в таких вопросах, которые имеют ближайшее отно-
отношение к сети линий кривизны. Покажем сейчас, что оно применимо к иссле-
исследованию совершенно произвольных кривых, взятых иа поверхности.
Если мы через некоторую точку поверхности проведем на этой
поверхности произвольную кривую, то единичный вектор ха касатель-
касательной к этой кривой можно будет представить в виде:
xa = cosax,-|-sraax2. A06)
Действительно, мы имеем xaxa=l, и а есть угол, образуемый нашей
кривой с направлением линии кривизны 1. Если мы зададим угол a
в функции длины дуги кривой
a = a(s), A07)
то этим мы установим своего рода натуральное уравнение кривой на
поверхности, которым эта кривая вполне определена. Пусть S(u, v)
есть некотовая функция точки, определенная на нашей поверхности;
если мы образуем производную Sa функции S, взятую вдоль кривой
A07) по . длине дуги этой, кривой, то эта производная представится
выражением:
5a = cosa51 + sino5'2. A08)
Тангенциальный вектор ха в формуле A06) образуется также с по-
помощью диференциального процесса A08). Для а = 0 и а = -?-мы, как
это и должно быть, получим обычные инвариантные производные, взя-
взятые вдоль линий кривизны. При диференцировании уравнений мы можем

158 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
оперировать с диференциальным процессом A08) по обычным правилам
диференцирования. Можно также образовыввть и производные высших
порядков вектора хв по длине кривой A07). Если мы положим
\хл = cos а хп -}- sin а х,2,
и примем во внимание, что производная от функции A07) представ-
представляется выражением
а' = cos а • Oj -f- sin а • а2, A1°)
то из формулы A06) мы с помощью диференцирования получим:
Хш. = ХИ COS2 а 4* (Х12 + X2l) Si" Я C0S а~\~Х22 S'n2 а +
+ а'(—х, sinot-f-XjCosa). (Ill)
Если в этом выражении мы представим все векторы через основные
¦екторы с помощью формул G8) и G9), то получим:
хаа = ( — a'-\-qcosa—0sina)sina • x,+
-f- (a' — q cos о -f- q sin a) cos aXj -j- (r cos2» -}- rsin8o)g. A12)
Вычислим теперь инварианты a, ft, с для произвольной полосы,
взятой на поверхности. Согласно § 35:
с=— (§xaxj.
Дополнив формулы A06) и A12) формулой
|-а — cos a f j-f sina§2 = — rcosax, — rsinaXj (ПЗ)
и выполнив выкладки, мы получим:
а = {г — г) sin a cos a, ' A14)
ft = — rcos2a — rsin9a, ¦ A15)
— с —a? — q cos a -)- q sin a. A16)
Из формулы A15) мы видим, что для двух асимптотических линий
функция а определяется уравнением:
A17)
Двум решениям этого уравнения <xt и <х9 соответствуют два угла,
образуемые асимптотическими линиями с линией кривизны 1. Для угла
<в = (Xj -j- «j между двумя асимптотическими касательными мы получим
выражение:
f^V A18)
— г
Поверхности, для которых r-J-r==O или, что то же, #=0, т. е.
«оверхности с взаимно перпендикулярными асимптотическими линиями,
будут рассмотрены нами в § 105 и следующих за ним.

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 159
Для геодезической полосы с = 0 данной поверхности мы получаем '
диференциальное уравнение первого порядка. Оно дает для функции л (sy
решение, зависящее от начального значения а. Таким образом из каждой
точки поверхности можно проводить геодезические линчи по всевоз-
всевозможным направлениям.
Геодезическими полосами и соответствующими линиями — так назы-
называемыми геодезическими линиями — поверхности мы будем заниматься:
в следующей главе. ,.
§ 66. Задачи и теоремы
1. Поверхности центров кривизны. Взятые на нормалях поверхности*
х (и, v) точки
* = х+-]-5 и z = x+Jr? A19)
описывают (в общем случае) две поверхности, огибающие нормали исходной
поверхности. Поверхности z (и, v) и z (а, о) являются единственным и огибаю-
огибающими поверхностями для конгруеиции прямых (§ 123), образованной нормалями
нашей поверхности; они- называются поверхностями центров кривизны или-
поверхностями эволют. _
Предположим, что г/-фО и г—гфО. Тогда поверхности центров кривизны,
могут вырождаться в кривые лишь для поверхностей каналов (и вообще для
огибающих однопараметрических семейств сфер). Если мы предположим, что-
Г1 Г2 Ф 0. т0 поверхности z и z обе будут правильными. Доказать следующие
предложения:
a) Линиям кривизны семейства 1 соответствуют на поверхности z геодези-
.ческие линии; линиям же кривизны семейства 2 отвечают геодезические* линии
поверхности г.
b) Поверхности, для которых имеет место тождественное относительно и и-
v соотношение вида
/(.г, 7) = 0, A20>
обладают тем отличительным свойством, что асимптотическим линиям однойг
из поверхностей центров кривизны отвечают асимптотические линии другой.
Эти поверхности, называемые поверхностями Вейнгартена (или поверхностями
W), могут быть также охарактеризованы диференциальным уравнением:
с) Поверхности, для которых
— — const.
г г
и только эти поверхности обладают тем свойством, что линиям кривизны на-
одной поверхности центров кривизны отвечают линии кривизны на другой.
?. Если нормальные кривизны двух полос, выходящих из одной точки по-
поверхности по двум,взаимно перпендикулярным направлениям, равны между со-
собой, то эти два направления обязательно являются направлениями биссектрис,
угла, образованного линиями кризизны.
3. Доказать, что уравнение rtq — qxr определяет те поверхности, у которых-
все линии кривизны семейства 1 — плоские кривые; уравнение же
Ci\Ч\ ~ г\Чп) ("\ + ЧЧ0 = 0, .
если rtq ф qxr, определяет поверхности, для которых все линии кривизны се-
семейства I сферические кривые. Усло'вие qt = 0 определяет поверхности, обра-

160 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
зованные ортогональными траекториями произвольного семейства сфер. У этих
поверхностей все линии кривизны семейства 1 лежат на сферах, ортогональ-
ортогональных к поверхности.
4. Если исключить из рассмотрения поверхности Вейнгартеча, т. е. поло-
положить (см. задачу 1Ь), что гхгг — r2ri^=0, то за криволинейные координаты
лиг» точки поверхности могут быть приняты значения главных кривизн г и
У в этой точке. Доказать,^ что поверхность определена с точностью до кон-
груентного преобразования, если четыре ее инварианта третьего порядка гх,
г^~гх,~гг заданы в функциях г и 7: /-, (г, г); г2(г,Г); 7, (г, 7); 72(/-,7).
"Каковы те условия интегрируемости, которым должны удовлетворять эти
четыре функции, для того чтобы им соответствовала некоторая поверхность?
Идея задания некоторых инвариантов поверхности их натуральными уравне-
уравнениями, т. е. представления некоторых других инвариантов в функции перв'ых,
.более подробно развита, например, у Шефферса, О. Scheffers, Einfiihrung in die
Theorie der Fiachen, стр. 433, Leipzig Veit & Co, 1913.

Глава шестая
ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 67. Изгибание
В этой главе мы будем исходить из основной идеи гауссовых ис-
исследований по теории поверхностей. Представим себе, что некоторая
поверхность изготовлена из гибкого и нерастяжимого материала, напри-
например из бумаги. Тогда эту поверхность (или достаточно малый ее кусок)
можно не только перемещать в пространстве, но и деформировать, под-
подвергая ее изгибанию. Нерастяжимость материала проявляется в том, что
для всех кривых, проведенных на поверхности, длина их дуг остается
неизменной при изгибании. Несколько обобщая этот процесс изгибания,
мы назовем изометрическим отображением одной поверхности на дру-
другую такое преобразование, которое сохраняет все длины. Изгибание
поверхностных полос мы уже рассматривали в § 37. Теперь мы зай-
займемся изгибанием целых поверхностей.
В то время как обыкновенная теория поверхностей изучает те свой-
свойства поверхности, которые остаются неизменными, когда поверхность
движется как твердое тело, гауссова „геометрия на поверхности" ис-
исследует свойства поверхности, инвариантные относительно изометри-
изометрических отображений, т. е. внутренние свойства поверхности, зависящие
лишь от метрических соотношений на самой поверхности и не аавися-
щие от метрических свойств пространства, ее окружающего. Этот ме-
метод изучения поверхности возник на почве практики, именно из потреб-
потребностей геодезии, где существенным является вопрос: что можно сказать
о кривой поверхности земли на основании измерений, сделанных на са-
самой этой поверхности?
В этой главе мы будем пользоваться тем аналитическим аппаратом
теории поверхностей, которым пользовались в четвертой главе, так что.
знакомства с пятой главой не требуется для понимания настоящей главы.
Чтобы дать пример изометрического отображения, мы покажем, что
достаточно малый кусок развертывающейся поверхности можно изометри-
изометрически отобразить на плоскость. Предположим сначала, что наша раз-
развертывающаяся поверхность образована касательными к некоторой кри-
кривой у (к). Тогда развертывающаяся поверхность может быть представ-
представлена уравнением:
х = у («) + */(«), у'2=1. A)
Положив у' = §! и применив формулы Френе, мы получим:
*. = Si + f5a. x. = 5,. B)
11 Зак. 684. — Бляшке, ч. I

1в2 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ - У
Для элемента длины дуги на развертывающейся поверхности мы получим:
C)
Приведем теперь нашу пространственную кривую (у) в соответствие
с некоторой плоской кривой (у*), выбрав последнюю так, чтобы при
равных длинах дут кривые имели одинаковую кривизну p(s) = p*(s),
и отобразим поверхность, образованную касательными к (у), на поверх-
поверхность, образованную касательной к (у*) (т. е. на плоскость этой кривой)*
х* = у*(иL-г>У*'(и) D)
так, чтобы соответствующими были те точки, для которых как и, так
и v имеют одинаковые значения. Тогда мы получим для элементов дуг
обеих кривых одно и то же выражение A = 1*). Этим мы доказали
высказанное выше утверждение для тех развертывающихся поверхностей,
которые могут быть образованы касательными к некоторой кривой.
Аналогичным образом мы докажем его для цилиндрических и коничес-
конических поверхностей. К вопросу об изгибании развертывающихся поверх-
поверхностей на плоскость мы еще вернемся в § 73.
Если две поверхности, связанные отношением изометрии, отнесены
к параметрам и, v так, что для соответственных точек значения пара-
параметров и, v на одной поверхности те же, что на другой, то обе по-
поверхности должны иметь ту же первую основную форму, т. е. те же
выражения для Е, F, О. Обратно, тождественность основных форм
обеспечивает изометрию поверхностей. В формуле D2) § 45 содер-
содержится основной результат Гаусса, гласящий, что кривизна К может быть
вычислена из одних только величин Е, F, О. Этот результат мы теперь
можем сформулировать следующим образом: если две поверхности ото-
отображаются друг на друга изометрически, то в соответственных
их точках они имеют одну и ту же. гауссову кривизну. Это предло-
предложение было выведено Гауссом в 1822 г. (§ 89).
Ближайшей нашей задачей будет пролить некоторый свет на геомет-
геометрические основания этой инвариантности гауссовой кривизны К.
Так как ранее (в § 55) мы показали, что развертывающиеся по-
поверхности однозначно определяются обращением в нуль величины К,
то из гауссовой теоремы следует такое предложение: развертывающиеся
поверхности являются единственными поверхностями, изометрически
отображающимися на плоскость. Этот факт был известен уже Эйлеру
A770) и Монжу. Из возможности развертывания на плоскость происходит
и самое название развертывающаяся поверхность. Если мы введем в рас-
рассмотрение и мнимые поверхности или если мы подвергнем понятие поверх-
поверхности в вещественной области очень широкому обобщению, то выше-
вышеприведенное предложение мы должны будем подвергнуть некоторым огра-
ограничениям *.
§ 68. Геодезическая кривизна
Так как некоторая полоса нашей поверхности при изгибании по-
поверхности в целом подвергается изгибанию в том смысле, в котором
мы ввели это понятие в § 37, и так как геодезическая кривизна с,
* Н. Lebesque, Comptes Rendus, т. 128, 1502—1505, Paris 1899. Поверхность,
образованная касательными к изотропной кривой, не является развертывающейся-

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА 163
введенная нами в том же параграфе, не изменяется при таком изгиба-
изгибании полосы, то величина с является инвариантной также по отношению
к изгибанию поверхности.
Разумеется, величина с отнюдь не является таким инвариантом, ко-
который подобно величине К зависел бы только от самой поверхности.
Она определяется лишь для некоторой взятой на поверхности кривой.
Заданием этой кривой и той поверхности, на которой она лежит, опре-
определяется полоса вдоль кривой, а значит и величина геодезической
кривизны с.
Уже Гаусс рассматривал эту величину; инвариантность ее была до-
доказана Миндингом A806 —1830). Следуя Лиувиллю A809—1882), эту
величину называют геодезической кривизной кривой на поверхности J.
Гаусс называл ее боковой кривизной (Seitenkrtimmung).
В дальнейшем мы будем пользоваться обозначением — — pg и назы-
называть величину рд радиусом геодезической кривизны.
Пусть на поверхности х (и,- г») проведена кривая
x(s) = x[u(s), v(s)], E.
которую мы считаем определенной заданием параметров и и г» в функ-
функции длины дуги кривой s. Тогда согласно формуле B5) § 35 мы имеем:
F)
Согласно § 6 знак величины р^ изменяется на обратный, если мы
меняем на обратное направление нормали к поверхности. Точно так же
знак рд изменяется на обратный и в том случае, если мы изменим по-
положительное направление отсчета дуг на кривой; здесь мы имеем пол-
полную аналогию с кривизной плоской кривой (§ 12), что и понятно, так
как для плоской кривой геодезическая кривизна совпадает, как мы это
видели в § 37, с обыкновенной. То, что было сказано в § 12 относи-
относительно знака кривизны, может быть тотчас же перенесено и на общий
случай, с которым мы сейчас имеем дело. Итак, сначала геодезическая
кривизна определяется лишь с точностью до знака. Далее же можно
установить знак ее, если 1)' выбрать на кривой направление положи-
положительных дуг и 2) установить соглашение относительно направления
вектора нормали ?.
Согласно формулам A1) и A4а) § 34 геодезическая и обыкновенная
кривизны связаны между собой соотношением:
М = ± ' G)
Р Р, '
где р есть обыкновенная кривизна, а |3 — вектор бинормали нашей
кривой. Выведем теперь некоторые следствия из наших формул. Прежде
всего, из того факта, что pf зависит только от полосы, взятой на по-
1 F. Minding, Bemerkung fiber die Abwicklung..., Crelles J., т. 6, стр.
1830. J. Liouville in Monges Application..., 1850, стр. 568.
И*

164 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
верхности вдоль кривой, вытекает такое предложение: если две поверх-
поверхности касаются друг друга по некоторой кривой, то эта кривая имеет
одну и ту же геодезическую кривизну на обеих поверхностях.
Если мы применим этот результат к развертывающейся поверхности,
описанной около некоторой поверхности и касающейся ее вдоль неко-
некоторой кривой, и примем во внимание, что величина рд является инва-
инвариантом изгибания, а также то, что для плоской кривой геодезическая
кривизна совпадает с обыкновенной, то мы получим такое предложение:
геодезическая кривизна кривой на поверхности равна кривизне ее
„плоской развертки", т. е. обыкновенной кривизне той плоской кри-
кривой, которая получается из нашей кривой, .после того как мы нало-
наложим на плоскость развертывающуюся поверхность, описанную вдоль
нашей кривой около данной поверхности.
Это предложение, разумеется, содержится уже в тех результатах,
которые были получены в § 37 относительно развертывания полосы на
плоскость. Согласно же результатам § 34 мы получаем предложение:
геодезическая кривизна кривой на поверхности равна обыкновенной
кривизне ее ортогональной проекции на касательную плоскость.
§ 69. Геодезические линии
Формула D1а) § 37, если в ней — заменить через р9, дает следую-
следующее выражение для вариации длины дуги кривой, проведенной на по-
поверхности и имеющей неподвижные концы:
*. (8)
Таким образом первая вариация длины дуги 8s обращается в нуль
при любых смещениях in для тех кривых на поверхности, геодезическая
кривизна которых тождественно равна нулю. Эти линии, которые рас-
рассматривались уже Эйлером, в середине XIX в. стали называть геодези-
геодезическими линиями. Очевидно, что именно среди геодезических линий
мы должны искать кратчайшую линию повгрхности, соединяющую две
заданные на этой поверхности точки. В самом деле, в формуле D1)
§ 37 при неподвижных концах линии член [Щ8* обращается в нуль, и
при с — О длина дуги кривой относительно всех смежных дуг Имеет
стационарную величину.
Согласно формуле F) для геодезических линий имеет место условие:
(xsxJ) = O. (9)
Геометрически оно означает, что соприкасающиеся плоскости гео-
геодезических линий проходят через соответствующие нормали к по-
поверхности. Лежащие на поверхности прямые (ха X хм = 0) также удов-
удовлетворяют условию (9).
Далее формула (9) показывает, что геодезические линии удовлетво-
удовлетворяют дифгренциальному уравнению второго порядка — его мы дадим
ниже [§ 83, A29)] в развернутом виде. В самом деле, в выражение
) +2x

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 165
входят вторые производные функций u(s) и v(s), определяющих кри-
кривую на поверхности. Поэтому мы можем ожидать, что через каждый
линейный элемент * поверхности будет проходить одна и только одна
геодезическая линия. Это действительно можно строго доказать, поль-
пользуясь теоремами существования решений обыкновенных диференциаль-
ных уравнений и предполагая правильность поверхности.
Рассмотрим семейство геодезических линий, зависящее от одного
параметра и покрывающее некоторый кусок поверхности просто, т. е.
так, что через каждую точку проходит лишь одна кривая семейства.
Кривые этого семейства (следуя Вейерштрассу, говорят, что они обра-
образуют поле геодезических линий) мы примем за координатные линии
v = const., а ортогональные траектории этого семейства мы примем за
кривые и = const. Элемент дуги представится тогда выражением:
Подставив выражения
х —
в формулу F) и воспользовавшись формулами A33) и A34) § 57, мы
можем переписать уравнение (9) в виде:
= О- A2)
Это значит, что Е зависит только от и, но не от v. Если мы вместо
и введем новый параметр
rEdu,
который в дальнейшем мы будем обозначать просто через и, то эле-
элемент дуги представится простым выражением, полученным Гауссом:
ds'i = du'i-\-Gdv'i. A3)
Для v = const, мы будем иметь:
5 =
Отсюда тотчас же следует такая теорема: ортогональные траекто-
траектории геодезического поля отсекают на геодезических линиях дуга
равной длины.
Обратно: если кривые и = const, отсекают на своих ортогональных
траекториях v — const, "дуги равной длины, то линии v = const, являются
геодезическими линиями.
1 Термий линейный элемент или элемент дуги употребляется в двух раз-
различных смыслах. В других местах мы понимаем под ним первую основную
форму теории поверхностей; здесь же мы имеем в виду точку, снабженную
направлением.

106 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Кривые и — const, называют геодезически параллельными. Для длины
дуги кривой поля v = v (и), v (и0) = v («t) = v0 получаем выражение
/УЩаи. A4)
А так как G > 0, то
s^«! — и0. л A5)
Отсюда вытекает, что геодезические линии являются линиями крат-
кратчайшего расстояния, и мы имеем следующее предложение: если дугу
геодезической линии можно включить в „поле" 1, эта дуга короче,
чем какая-нибудь иная дуга, соединяющая ее концы и лежащая
внутри поля.
Условие возможности включения не является при этом излишним.
Лучше всего это можно видеть на примере сферы. Ее большие круги
являются геодезическими линиями. Каждая дуга большого круга, мень-
меньшая, чем полуокружность, может быть включена в поле дуг больших
кругов. Дуга же, большая полуокружности, не может быть окружена
таким полем. В соответствии с этим дуга большого круга, превышаю-
превышающая по длине полуокружность, не дает никакого экстремума длины.
§ 70. Геодезические полярные координаты
Пусть о есть некоторая точка поверхности, пусть <р — угол, обра-
образуемый геодезической линией, проходящей через о, с некоторым за-
заданным неизменным направлением,- выбранным на поверхности; пусть,
наконец, г есть расстояние некоторой точки геодезической линии от
точки о, отсчитываемое по нашей геодезической линии. 'Величины г и
со по аналогии с полярными координатами на плоскости можно назы-
называть геодезическими полярными координатами. Из формулы D1) §37,
дающей для вариации длины дуги геодезической линии bs = [3^*, легко
вывести, что кривые г = const., <p = const., служащие координатными
линиями системы геодезических полярных координат, пересекаются между
собой под прямым углом. Действительно, для начала системы полярных
координат мы имеем Ых = 0, и потому из
3s = 0
следует:
последнее соотношение и выражает ортогональность координатных
линий.
Из доказанного в предыдущем параграфе вытекает прежде всего,
что линейный элемент поверхности при этом выборе параметров имеет
вид A3), т, е., что
\ 2. A6)
1 Это условие возможности включения дуги в поле имеет близкое родство
с так называемым условием Якоби, о котором мы будем говорить ниже (§99).
2 Вопрос о том, в какой окрестности точки о можно пользоваться этой по-
полярной системой координат, будет рассмотрен нами ниже.

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ Ц7
В этой формуле уже нашел себе отражение тот факт, что геодези-
геодезические круги г = const, перпендикулярны к своим геодезическим радиу-
радиусам »= const. Остается только установить, каково поведение функции
G (г, <р) в окрестности точки г = 0, являющейся особой относительно
нашего параметрического представления. Очевидно, что величины
rcos<p = u, rsin<o = v A7)
являются параметрами, которые в окрестности точки о являются пра-
правильными; их называют нормальными или римановыми каноническими
координатами относительно точки о. Они аналогичны прямоугольным
координатам на плоскости. Мы имеем:
r=l/H*-f *а, «> = arctg^; A8)
. udu-\-vdv . udv — vdu ,.„
dr = X ,d? = js ; A9)
, 2 _ h2 dt#-\-1u v dudv+y'L dv* , r Ф dvi—2uv du dv+v*du*
Линейный элемент должен иметь вид:
ds* = Exdu* -f 2Fydu dv + Gtdv* B1)
и, если Ev Flt Gx в окрестности точки к, v = 0 должны представ-
представляться сходящимися бесконечными рядами, то G (г, ср) должно иметь
вид:
O(r,?) = /*{l-fV(ii, „)}, B2)
где Р—сходящийся степенной ряд от аргументов и, v. Выделив по-
постоянный член этого ряда и обозначив его через а, мы можем записать
предыдущую формулу в виде:
G(r, <p) = r2{l+r2[a + QO, v)]}' B3)
или
G(r, <p) = г2-f «г*+ Г6 •(?««?+?sin<p)+"... B4)
Невыписанные члены имеют по отношению к г по крайней мере шестой
порядок малости.
Если мы преобразуем теперь элемент дуги A6) к римановым
нормальным координатам, то мы получим для него такое разложение:
<& — du*-\-diP-{-aQidv — vda)* + ... B5)
Если мы повернем нашу полярную систему координат около точки
о, то г останется неизменным, <р возрастет на постоянную величину,
величина же а останется неизменной. Отсюда вытекает, что а зависит
только от точки о, т. е. является инвариантом изгибания поверхности '.
1 Поворот системы координат нужно понимать в том смысле, что выби-
выбирается новая система Координат г' — г, У — <р + <ро> которая, как легко видеть
из геометрических соображений, также является геодезической полярной систе-
системой. Следовательно, элемент длины имеет тот же вид B4). Неизменность a
вытекает из сравнения формулы B4) для новой системы с формулой, получаю-
получающейся при преобразовании B4) от старой системы к новой. Инвариантность а
относительно изгибания обусловливается тем, что при изометрическом преоб-
преобразовании геодезические линии остаются геодезическими и величины и и г
не изменяются. Прим. перев.

168 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Остается установить, как связана величина а с инвариантами движения,
введенными в § 44.
§ 71. Геометрическая интерпретация гауссовой кривизны, обнару-
обнаруживающая инвариантность ее относительно изгибания
В предыдущем параграфе мы получили вполне естественным путем
инвариант изгибания а. Теперь мы покажем, что он лишь числовым
множителем отличается от меры кривизны К=-^-~^ (§ 44).
Для этого достаточно воспользоваться формулой Гаусса A38)
§ 58. Если мы положим в ней E=l, F — 0, то она примет вид:
К= ^^-V~O. B6)
V G дг- v '
Отсюда с помощью формулы B4) мы тотчас же получим для значения
Ко величины К в начале геодезической полярной системы координат
соотношение:
« = -уКо- B7)
Таким образом действительно а по существу совпадает с мерой кри-
кривизны в начале координат.
Из наших формул мы легко получим такое геометрическое истол-
истолкование гауссовой кривизны, при котором инвариантность последней
выявляется очень ярко. Мы имели для геодезической полярной системы
координат:
(^)»2- B8)
Если мы, пользуясь этой формулой, вычислим периметр L кривой гео-
геодезического круга г = const., то мы найдем для него выражение:
/.= f V~Gd?= f (r-^T*-\-...)db B9)
— 71 К
откуда
1 = 2яг —!¦*</>+... C0)
Таким образом мы получаем найденную в 1848 г. Бертраном и Пюизе
(V. Puiseux) x формулу:
Это и есть нужное нам внутреннее геометрическое истолкование вели-
величины К- Можно представить этот результат в несколько иной форме,
в которой оно было в том же 1848 г. получено Диге (Diguet) 1. Именно,
площадь нашего геодезического круга представляется формулой:
1 Ср. G. Monge, Application..., 5-е изд. 1850,4-е добавление, стр. 583—588;
Diguet, Journ. de Mathematiques A), /г. 13, стр. 88—86, 1848.

ДВА РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КРУГОВ 169
... C2)
о
а отсюда следует:
§ 72. Два различные определения геодезических кругов
В предыдущем параграфе мы дали определение геодезических кругов
поверхности, исходя из свойства центральности; именно, мы откладывали
на всех геодезических линиях, исходящих из точки о, дуги одинаковой,
длины. Определенные таким образом круги мы будем в дальнейшем
называть кругами расстояния или кругами Гаусса.
Но мы могли бы воспользоваться и изопериметрическим свойством
круга (§ 28), чтобы перенести его определение с плоскости на кривую
поверхность. Первая вариация периметра L проведенной на поверхности
замкнутой кривой выражается (ср. формулу (8) § 69) следующим, образом:
^-.ds, C4)
а вариация площади, заключенной внутри замкнутой кривой, представ-
представляется выражением:
ZF = — ф Ьп • ds. C5)
Отсюда совершенно так же, как в § 28, мы получим диференциальное
уравнение экстремалей изопериметрической проблемы (при данном L
найти замкнутую кривую, для которой F—максимум):
— = const. C6)
Эти кривые постоянной геодезической кривизны, которые Ли (S. Lie)
и Дарбу называли геодезическими кругами, мы будезд называть (геоде-
(геодезическими) кругами кривизны или кругами Дарбу.
Мы докажем теперь следующее предложение: для того чтобы оба
приведенные определения геодезических кругов на поверхности совпа-
совпадали между собой, необходимо, чтобы поверхность имела постоянную
гауссову кривизну {К = const).
Для доказательства этого предложения мы возьмем линейный элемент
в геодезической полярной системе координат (§ 70):
ds* = dr*-\-r* {1 -f-ara + (|3 cos <?-f-y sin <p)r3-f- ...} rf?2. C7)
Разложим теперь К по степеням г. Мы имеем [формула B6)]:
Y О дг*
Подставив сюда выражение G из C7), мы получим:
— AT=3a-f 6(pcos<p-f-fsin?)'"+ ••• C8)
С другой стороны, для геодезической кривизны круга расстояний

1T0 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
г = const, мы, пользуясь формулой, соответствующей формуле A2), по-
получим выражение:
Для того чтобы эти гауссовы круги были одновременно и кругами Дарбу,
необходимо, чтобы р = f = 0. Но тогда в соответствующей точке вели-
величина К стационарна, ибо -j- обращается в нуль для всех направлений.
Если это должно иметь место для всех точек поверхности, то мера
кривизны К должна быть постоянной на всей поверхности.
В дальнейшем (§ 84) будет показано, что условие К = const, является
необходимым уже при более слабом требовании замкнутости всех
кругов кривизны. Для гауссовых кругов эта замкнутость, разумеется,
всегда имеет место.
§ 73. Поверхности постоянной гауссовой кривизны
Вопрос, поставленный нами в предыдущем параграфе, привел нас
к важному классу поверхностей, для которых величина К постоянна.
Чтобы установить, в какой мере найденное нами условие К= const,
является достаточным для тождественности кругов кривизны и кругов
расстояния, мы подвергнем исследованию те метрические соотношения,
которые присущи поверхностям постоянной меры кривизны. Эти иссле-
исследования ведут начало еще от Миндинга A830).
Введем гауссову геодезическую систему параметров, определенную
нами в § 69:
я произведем этот выбор так, чтобы сверх того кривая и — 0 была
также геодезической линией, длина дуги которой равна v *. Тогда мы
будем иметь:
О@, «г) =1, О„@, «0 = 0. ' D0)
Далее для меры кривизны мы согласно формуле B6) получим выра-
выражение:
--±r?t\ra - к. D1)
у G ди2
Но из диференциального уравнения D1) и двух начальных условий D0)
функция G может быть легко определена. Начнем со случая К=0.
В этом случае мы имеем:
VQ*=A(v)u-\-B{v). D2)
Граничные условия дают В = 1, Л = 0, и, следовательно, мы получаем:
<fc2 = dip -f dv\ D3 )
1 Это всегда возможно, и притом бесчисленным множеством способов. За
линию и = 0 можно взять любую геодезическую линию поверхности, за линии
v — const. — семейство ортогонально пересекающих ее геодезических линий, за
линии же н = const. — ортогональные траектории этого семейства (последние,
-вообще говоря, не будут геодезическими линиями). Прим. перев.

ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ КРИВИЗНЫ НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ ПУАНКАРЕ 171
т. е. мероопределение евклидовой плоскости. Мы вновь убеждаемся, что
развертывающиеся поверхности в малом изометрически отображаются
на плоскость.
Возьмем теперь случай К>0. Общее решение уравнения D1) будет
теперь иметь вид:
Y~G = A (v) cos (Y~Ku) + В (v) sin (УЛГи). D4)
Учет начальных условий дает:
А = 1, В = 0.
Таким образом линейный элемент поверхности представляется формулой:
ds2 = du? -\- cos2 (VKu) • dv*. D5)
Наконец для случая /f<0 мы найдем аналогичным путем формулу:
D6)
в которую входит гиперболический косинус, выражение которого имеет
жид:
сАф = у (*+¦+« ¦). D7)
В полученных нами результатах содержится следующее предложение:
два достаточно малые куска двух поверхностей, имеющих ту же постоян-
постоянную гауссову кривизну, всегда могут быть изометрически отображены
друг на друга.
Ниже (в § 93) будет показано, что это предложение может быть
несправедливым для поверхностей в целом.
Так как точка и = 0, v = 0 и направление ю = 0 могут быть вы-
выбраны по произволу, то мы получаем также следующее предложение:
для каждой поверхности постоянной кривизны существует группа изо-
изометрических отображений, преобразующих поверхность в самое себя;
при этом можно потребовать, чтобы две произвольные точки, снабжен-
снабженные произвольным направлением, ставились в соответствие друг другу.
Так как зеркальное отражение и* — — и, v* = v также является
изометрическим преобразованием, то приведением во взаимное соответ-
соответствие двух линейных элементов (точка-}-направление)" мы определяем
отображение двузначно.
§ 74. Отображение поверхности постоянной отрицательной кривизны
на полуплоскость Пуанкаре
Простейшим типом поверхностей #=0 является плоскость; простей-
простейшим типом поверхностей #>0 является сфера. Для /f<0 мы могли
бы ввести сферу мнимого радиуса. Однако желательно иметь вещест-
вещественную поверхность постоянной отрицательной кривизны. С этой целью
мы могли бы, например, найти все поверхности вращения, для которых
К имеет постоянную величину; эта задача легко разрешается с помощью
эллиптических интегралов х. Однако наиболее наглядное представление
1 См. например, G. Scheffers, Theorie der Fiachen, 2-е изд., Leipzig 1913,
¦стр. 139 и след. и соответствующий чертеж на стр. 141.

172 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
о мероопределении на поверхности, гауссова кривизна которой равна,
скажем, К= — 1, мы получим следующим образом.
Если мы возьмем гауссов элемент дуги (§ 73) такой поверхности,
то будем иметь:
Тип поверхности сохранится, если мы возьмем какое-либо частное ре-
решение этого диференциального уравнения, так что мы можем, например,
положить *:
ds2 = du2-{-e2udv2. ¦ D8)
Пусть теперь х, у будут прямоугольные координаты на плоскости.
Отобразим поверхность на эту плоскость, положив
х = v, у = е~и ¦ D9)
Отображение поверхности расположится при этом в верхней полуплос-
полуплоскости у > 0. Линейный элемент выразится следующим образом:
. т
Как при этом отобразятся на полуплоскость геодезические линии по-
поверхности? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны найти экстре-
экстремали вариационной проблемы;
f^±^ E1)
Если мы имеем вариационную проблему типа:
J= f fix, у, у') dx = extrem. E2)
и рассмотрим вариации вида:
' У=.У (*) + «"!(*), E3)
то для вариации интеграла мы найдем выражение:
V*- E4)
Если для крайних точек промежутка интегрирования мы должны иметь
i\ = 0, то интеграция по частям дает:
Если, следовательно, для произвольной функции т) мы должны иметь
oj=0, то кривая у—у(х) должна удовлетворять диференциальному
уравнению Эйлера-Лагранжа:
которое в развернутом виде представится так:
fy—^y'—fyyy-fyyy"^0- E7)
1 Разумеется, линия и = 0 не будет уже геодезической, как в предыдущем
параграфе. Прим. перев.

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С К——1 САМОЙ НА СЕБЯ 173
В нашем случае E1) функция / не зависит от х. Поэтому
Диференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа имеет в этом случае пер-
первый интеграл:
/-/4 = const. ' E9)
Подставив вместо f его выражение
мы получим:
и отсюда с помощью новой интеграции мы найдем уравнение экстре-
экстремалей:
(ж —*0)»-т->8 = А F1)
Итак, геодезические линии отображаются на полуплоскость полу-
полукругами, опирающимися на ось у = 0 и образующими с ней прямые
углы. К этим полукругам должны быть причислены также полупрямые
х = const., не могущие быть представленными уравнением вида у =у (х).
Легко видеть, что это отображение нашей поверхности на полуплос-
полуплоскость конформно. В самом деле, угол <р> образованный двумя линейными
элементами поверхности
dx = xudu -\- xvdv,
определяется формулой:
dx-Ъх EdUou-{-F(dubv-\-dvbu)-\-Gdv%v ,_„,
<?~~ ds-bs ~ У" E7dtfi + 2Fdudv + Gdvi ^Еои2 + 2FЬиbv+Gbv*'
Для линейного элемента вида D8) мы в силу соотношений D9) полу-
получаем отсюда выражение:
dx Ьх -\-dyby
cos <p = J—¦; ^
которое дает не что иное, как обыкновенный угол ср на плоскости
х, у. Вычисление можно упростить, если, основываясь на инвариант-
инвариантности выражения, стоящего в правой части равенства F2), непосред-
непосредственно составить это выражение, исходя из линейного элемента E0).
§ 75. Изометрическое отображение поверхности с К— —1
самой на себя
Теперь мы подвергнем исследованию вопрос о том, что соответ-
соответствует на полуплоскости у > 0 изометрическим отображениям нашей
поверхности самой на себя. Из полученных нами в § 74 результатов
вытекает, что изометрические отображения нашей поверхности самой

174 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
на себя, как и соответствующее ему отображение полуплоскости само*
на себя, конформно !.
Положим, следуя Гауссу,
F3)
Мы утверждаем: каждой подстановке
1,
1Z +о'
где а, р, -у» ^ — четыре вещественных числа с положительным определи-
определителем (аб — Pf > 0), отвечает изометрическое отображение поверхности
самой на себя.
Для этого достаточно показать, что элемент дуги E0) при отобра-
отображении F3) остается неизменным. Мы получаем:
а из
находим:
Отсюда следует:
А.-^1вЖвЛ, F3а)
что и доказывает наше утверждение. Если к преобразованиям F3) мы
присоединим еще отображение
х* = — х, у*=у,
то, комбинируя их, мы можем получить все те отображения полуплос-
полуплоскости у > 0, которые отвечают изометрическим отображениям поверх-
поверхности самой на себя. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что
с помощью отображения F3) мы можем каждый линейный элемент полу-
полуплоскости соответствующим преобразованием перевести в любой другой
ее элемент. Каждая точка z0 = х0 -J- iy0 (y0 > 0) может быть переведена
в точку z* = i преобразованием:
z*=±(z-x0). F3b)
Кроме того нашу полуплоскость у > 0 можно „повернуть" вокруг точки
z = i на произвольный угол о> с помощью преобразования:
tg-5-н-*
F4>
1 Конформность отображения полуплоскости самой на себя вытекает из
d*4d2
dx*4-dv2
того, что согласно формуле E0) выражение ~-— должно „быть инвариан-
инвариантом преобразования. Отсюда легко вывести, что выражение для косинуса угла,
данное в конце предыдущего параграфа, сохраняет при преобразовании свой
вид; для этого достаточно сравнить между собой коэфициенты преобразований
квадратичных форм dx2 + dy* и dx Ьх + dy ey. Прим. пере в.

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С К = —1 САМОЙ НА СЕБЯ 175
В самом Деле, диференцируя уравнение F4) и полагая затем z = /, мы
получаем *:
Таким образом с помощью параметров х, у или комплексного параметра
x-{-iy мы представили аналитически совокупность всех изометрических
отображений нашей поверхности самой на себя.
Теперь нетрудно найти истолкование интеграла
F5>
взятого вдоль отображения геодезической линии, т. е. вдоль дуги полу-
полукруга, перпендикулярного к_у = 0, от точки ее zx до точки z2. Обо-
Обозначим через zQ и гт точки пересечения полукруга с у = 0 (zQ < z^
черт. 14). Подстановкой
z*= z°~z , F6)
при которой подинтегральное выражение сохраняет свой вид, мы отоб-
отображаем наш полукруг на полуось положительных ^у-ов. Наш интеграл
теперь примет вид:
у
Vi*
с
Это соотношение можно записать таким образом:
где через (^г^г^г^) обозначено ангармоническое отношение четырех"
точек z*v z*; z*, z^. А так как ангармоническое отношение остается
неизменным при линейной подстановке, то мы получаем окончательно:
Эта формула дает искомое истолкование.
Что представляют собой отображения на полуплоскость кругов Гаусса?'
Согласно § 69 эти круги пересекают ортогонально свои геодезические
радиусы, а так как наше отображение поверхности на полуплоскость
конформно, то мы можем построить отображение кругов расстояний.
следующим образом. Проведем через z0 все полукруги, диаметры кото-
которых лежат на оси дг-ов (черт. 15). Ортогональные траектории этого
1 Кроме того та же формула F4) дает для z = i, z*=i. Таким образом
соответствующим преобразованием вида F4) можно любой элемент, принад-
принадлежащий точке I, перевести в любой другой, принадлежащий этой точке.
Чтобы перевести линейный элемент, принадлежащий точке гь в элемент, при-
принадлежащий точке z2. мы можем поэтому поступить так. Некоторым преобра-
преобразованием А вида F3Ь) перевести точку гх в точку I; преобразованием В того
же вида мы переведем в точку i точку г2- При этом линейные элементы точек.
гх и гг после преобразования, вообще говоря, не совпадут. Но тогда некоторое
преобразование С вида F4) переведет первый линейный элемент во второй.
Последовательное применение преобразований Л, С и преобразования, обрат-
обратного В, даст тогда в результате искомое преобразование. Прим. перев.

176
ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
пучка кругов, как известно, будут также кругами. Таким образом круги
Гаусса отображаются на полуплоскость обыкновенными кругами, цели-
целиком лежащими на полуплоскости у > 0.
Чтобы показать, что все круги Гаусса одновременно являются кру-
кругами Дарбу (кругами кривизны), можно поступить следующим образом.
Переведем точку z0 в точку i с помощью преобразования F3Ь). Далее
обнаружим, что группа преобразований F4) оставляет неизменными
все круги Гаусса, геодезический центр которых лежит в точке i. При
этом отдельные точки кругов сдвигаются, а так как геодезическая кри-
кривизна рд остается инвариантной при изометрическом преобразовании,
то, следовательно, все точки круга Гаусса имеют одну и ту же гео-
геодезическую кривизну, что и требовалось доказать 1.
Однако не все круги Дарбу являются кругами Гаусса; существуют
круги кривизны, вовсе не имеющие центра и отображающиеся на полу-
полуплоскость V > 0 дугами кругов, диаметры которых лежат на оси у — 0
Черт. 14.
Черт. 15.
и ограничены вещественными точками z0, z^. В том, что эти кривые
действительно являются'отображениями кругов Дарбу, можно убедиться,
например, так. Преобразованием F6) мы переведем точки zQzoa в точки
€, оо. При этом полукруг преобразуется в полупрямую, исходящую из
начала. Но для нее геодезическая кривизна постоянна, так как преоб-
преобразованием
z*=*a.z (<*>0) F7)
можно перевести данную ее точку в любую другую ее точку. Кроме
вышеуказанных, особое положение занимают также те круги Дарбу,
которые отображаются на полуплоскость у > 0 кругами, касающимися
1 Уравнение пучка окружностей, проходящих через точку / и имеющих
диаметрами отрезки оси х, имеет вид: х%-\-у°1— 2х0х — 1=0. Диференциаль-
ное уравнение ортогональных траекторий будет: (х2—.у2+1) dv + 2xy dx = 0;
общий интеграл его есть: х2-\-у2— 1Су +1 =0, т. е. действительно представ-
представляет пучок окружностей, центры которых лежат на оси ^-ов (а концы вэрти-
кальных диаметров находятся в инверсии по отношению к кругу хг-\-уг — 1).
Если представить это уравнение в комплексной форме, оно примет вид:
Q
zz (z — z)+l=0, где z = x — iy — сопряженное с г комплексное число.
Преобразовав г и г по формуле F4), мы убгдимся в том, что преобразованное
уравнение ортогональной траектории тождественно с исходным. Так как пре-
образочание F4) зависит от параметра ш, то соответствующим выбором по-
последнего можно каждую точку ортогональной траектории перевести в любую
другую точку той же траектории. Прим. перев.

ИНТЕГРАЛ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ * 177
оси х. В частности, если мы перенесем с помощью подстановки F6)
точку касания в бесконечность, мы получим прямые у = const.
Итак, два семейства кругов, круги Гаусса с одной стороны и круги
Дарбу—с другой, не покрываются взаимно; первое семейство есть часть
второго.
Мероопределение, задаваемое на полуплоскости у > 0 элементом дуги
играет важную роль в знаменитых теоретико-функциональных работах
Пуанкаре (Н. Poincare, 1854—1912), относящихся к 80-м годам прош-
прошлого столетия '. Здесь мы имеем перед собой воплощение так называе-
называемой гиперболической геометрии, представляющей собой одну из ветвей
неевклидовой геометрии 9. Начало этой гиперболической геометрии было
положено Гауссом, русским ученым Лобачевским A793—1856) и вен-
венгерцем Иоганном Больяи (Bolyai, 1802—1860). Гаусс начал свои иссле-
исследования в этом направлении в 1792 г.; исследования Больяи и Лобачев-
Лобачевского относятся примерно к 1826 г.
Гиперболическую геометрию плоскости можно легко интрепретиро-
вать с помощью нашего мероопределения на полуплоскости у > 0.
§ 76. Интеграл геодезической кривизны
Мы оставим теперь частный случай К = const, и вернемся снова
к внутренней геометрии произвольной кривой поверхности.
Рассмотрим, следуя Гауссу, взятый вдоль некоторой кривой интеграл
ее геодезической кривизны:
¦/*¦ F8)
Допустим, что наша кривая замкнута, что она не имеет кратных
точек и что непрерывным движением этой кривой, совершающимся
внутри ограничиваемой ею области, можно стянуть кривую в одну
точку. Тогда говорят, что внутренняя область кривой односвязна. Чтобы
пояснить это определение, укажем, что, например, кривая охватываю-
охватывающая тор наподобие надетого на него кольца, не ограничивает на по-
поверхности тора односвязной области; каждая же замкнутая сферическая
кривая, не имеющая кратных точек, ограничивает на поверхности сферы
две одно связные области.
Мы выведем теперь соотношение, связывающее интеграл геодезиче-
геодезической кривизны, взятый вдоль некоторой замкнутой кривой С, и двой-
двойной интеграл
ffIf^ F9)
1 Н. Poincare, Acta mathematica, т. I, стр. 1—62, 1882.
2 По поводу названия неевклидова геометрия Курт Лассвиц (Laszwitz),
пародируя „Фауста', шутливо выразился так:
Nicht-Euclidlsch nennt's Geometric
Spottetihrer selbst und weiss nicht wie.
12 Зак. W4. — Бляшке, ч. «I

178 ' . ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
распространенный на внутреннюю область этой кривой. Этот двойной
интеграл введен был также Гауссом, который назвал его полной кри-
кривизной (curvatura integra). Примем нашу кривую С за координатную
линию v = 0 некоторой ортогональной системы параметрических кривых:
ds* = A*du'*-\-B*dv'i; А > О, В > 0 G0)
и положим, что
(xBxJ)>0. G1)
Вообразим, что мы смотрим на поверхность с той ее стороны, с ко-
которой х„ представляется расположенным слева от х„. Направление воз-
возрастания и на кривой С мы выберем так, чтобы при обходе ее в этом
направлении ограничиваемая ею внутренняя область лежала по левую
руку от С, т. е. так, чтобы направление х„ совпадало с направлением
нормали, обращенной внутрь контура. Тогда согласно формуле A2)
мы имеем:
Отсюда
С другой стороны, взятая по v производная двойного интеграла может
быть представлена криволинейным интегралом:
—§KABd«.
Если общую формулу A38) § 58 мы применим к нашему линейному
элементу G0), то мы получим для К следующее выражение:
„_ 1 I д А, , д Ви
Принимая во внимание замкнутость кривой С, мы получим:
j> KABdu=j> — (A) du, G4)
и, следовательно:
Теперь мы предположим, что за параметрические линии v = const,
приняты замкнутые кривые, стягивающиеся вокруг некоторой точки
нашей внутренней области наподобие, например, геодезических кругов
расстояния. Тогда, разлагая — и ds = У О dy в степенные ряды по
формулам C9) и B2) и переходя к пределу г=0, мы получим:
\imj~ = 2rt Mm J Г K-do=0. G6)
Таким образом мы получаем следующую формулу, открытую Бонне
(О. Eonnet, 1819—1892) в 1848 г. h
1 О. Bonnet, Journ. de l'ficole polytechnique, т. Ю, стр. 131, 1848.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГАУССА-БОННЕ
179
G7)
Стоящий первым в левой части этой формулы интеграл взят вдоль гра-
границы той од'носвязной области, на которую распространен двойной
интеграл; при этом обход границы совершается в таком направлении,
чтобы область оставалась по левую руку. Что касается величины
-—, то она задается не только по величине, но и по знаку, который
определяется, например, знаком определителя (?х4хад).
Формула G7) является одной из важнейших формул теории поверх-
поверхностей. Повидимому, она была известна еще Гауссу. Поэтому многие
геометры (даже французские) называют ее формулой Гаусса-Бонне.
§ 77. Следствия из формулы Гаусса-Бонне г
Формула G7) распространяется прежде всего на тот случай, когда
границей односвязной области служит одна аналитическая кривая.
Однако тотчас же становится очевидным, что формула остается спра-
справедливой и в том случае, когда граница составлена из конечного числа
правильных аналитических дуг, гладко примыкающих друг к другу. Если
же касательные к двум соседним дугам не совпадают друг с другом по
положению или по направлению, т. е.
если налицо угловая точка с внешним
углом о», то мы можем округлять угол
с помощью дуги малого геодезического
круга и совершить предельный переход
к углу. Мы без труда убедимся, что
наличие угловой точки сказывается в
том, что интеграл геодезической кри-
кривизны получает дополнительное слагае-
слагаемое т.
Применим формулу Бонне к треу-
треугольному куску поверхности, ограни-
ограниченному дугой кривой линии длины
As и двумя геодезическими касательными, проходящими через концы
этой дуги. Тогда мы будем иметь (черт. 16):
Черт. 16.
j- -f 2u + At -f f/K-do = 2тг.
G8)
Появление слагаемого 2тг, стоящего в левой части равенства, обуслов-
обусловлено наличием двух точек возврата. Через Ах обозначен угол между
геодезическими касательными.
1 Образцы того, как предложения этой главы и вообще основные предло-
предложения теории изгибания могут быть доказываемы с помощью аппроксимации
поверхностей многогранниками, можно найти в работе Максвелла (J. С. Mat-
well, Transformation of' surfaces by bending, Scientific papers of. J. С Maxwell,
т. 1, стр. 80); см. также R. Sauer, MUnchner Sitzungsberichte 1928, стр.97—104,
и Jahresber. d. deutsch. Math. Vereinigung, т. 38, 2-е отд., етр. 9, 1929.

180 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Что же касается геодезических линий, то они никакого изменения
*1
в криволинейном интеграле не производят, ибо на них — = 0.
Ра
Если мы совершим предельный переход As -*¦ 0, учтя при этом, что
интеграл по поверхности имеет порядок малости As9, то мы найдем сле-
следующую формулу:
¦^ = Um"?- G9)
Это выражение положительно, если кривая лежит слева от ее геоде-
геодезических касательных, как это иуеет место на черт. 16 (§ 76). Свой-
Свойство G9) геодезической кривизны вполне соответствует основному свой-
свойству обыкновенной кривизны кривой (§ 7).
Применим теперь формулу Гаусса-Бонне к геодезическому треуголь-
треугольнику, ограниченному тремя геодезическими линиями и имеющему внеш-
внешние углы о>Л и, значит, внутренние углы ah = it — <оЛ, и предположим,
что К = const. Тогда мы найдем (через F обозначена площадь треуголь-
треугольника):
или
Weei + a,+«B —«• (80)
Эта формула Гаусса показывает, что сумма углов треугольника (кото-
(которая для случая К=0 равна, как известно, к) для ЛГ> 0 больше, а для
ЛГ<0 меньше, чем т..
Это обстоятельство имеет теснейшую связь с основными фактами
обоих видов неевклидовой геометрии, которая, по крайней мере в ма-
малом, осуществляется на поверхностях постоянной меры кривизны, как
это было показано впервые Бельтрами 1.
Посмотрим теперь, что можно сказать, основываясь на формуле
Бонне, о полной кривизне замкнутой поверхности.
В качестве первого примера мы рассмотрим поверхность связности
сферы, т. е. поверхности, могущей быть приведенной во взаимноодно-
взаимнооднозначное и непрерывное соответствие с поверхностью сферы.
Замкнутое сечение, не имеющее двойных точек, разбивает такую по-
поверхность на две односвязных области: 1, II. К каждой из этих областей
мы можем применить формулу Бонне. Мы будем иметь:
И в том и в другом случае кривая должна описываться в таком напра-
направлении, чтобы соответствующая область оставалась по левую руку; зна-
значит, направления обходов будут противоположны. Поэтому соответ-
соответствующие друг другу значения р^ обратят сумму подинтегральных выра-
1 Е. Beltrami, Sagglo di interpretazione della geometria non-euclldea, соч. I,
стр. 374-405,1868.

СЛЕДСТВИЯ НА ФОРМУЛЫ ГАУССА-БОННЕ
181
женнй в нуль. Поэтому, складывая две полученные нами формулы, мы
получим:
"К -do = 4ir. (81a)
Полная кривизна замкнутой поверхности связности сферы рав-
равна 4ir. ¦'¦
В качестве второго примера мы рассмотрим поверхность" связности
тора. Двумя сечениями поверхность тора мы можем обратить в одно-
связную область, ограниченную кривой с четырьмя накладывающимися
друг на друга углами (черт. 17). Подобное рассечение называют кано-
каноническим рассечением тора. Если мы применим теорему Бонне к этой
поверхности, то интегралы, взятые вдоль границы, взаимно уничтожатся,
так как каждая дуга границы пробегается дважды в двух взаимно про-
Черт. 17.
Черт. 18.
тивоположных направлениях. Останутся только слагаемые, соответствую-
соответствующие четырем углам; эти слагаемые дадут в сумме 2ir. Таким образом
для каждой поверхности связности тора мы имеем:
Kdo = 0. (81b)
Аналогичным образом мы найдем, что для замкнутой поверхности,
имеющей строение шара с р ручками (на черт. 18 изображена такая
поверхность для случая р = 2), имеет место соотношение:
p).
(81с)
Каноническое рассечение такой поверхности для случая р = 2 изо-
изображено на черт. 18. Целое число р, следуя Риманну A857), называют
родом поверхности.
Отправляясь от формулы Гаусса-Бонне, • мы пришли к результатам,
содержание которых лежит на грани между дифйренциальной геомет-
геометрией и так называемой топологией поверхностей. Связь между этими
двумя областями науки сделается еще более ясной, если мы применим
наш метод к доказательству эйлеровой теоремы о многогранниках, ко-
которую сам Эйлер получим в иной форме в 1752 г. Впрочем согласно

182 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
свидетельству Лейбница, уже более чем за 100 лет до этого теорема
была известна Декарту.
Представим себе, что замкнутая и всюду правильная поверхность F
составлена из некоторого числа односвязных кусков Е. Две соседние
грани Е поверхности F пусть имеют общее „ребро", представляющее со-
собой расположенную на поверхности дугу правильной аналитической кри-
кривой; пусть эта дуга имеет концами „вершины", через каждую из которых
проходит по меньшей мере три „грани" Е. Поверхность F мы назовем
двусторонней, если на каждой ее грани Е можно установить такое
направление обхода, чтобы при этом по каждому „ребру" движение
совершалось в двух противоположных направлениях, когда обход
совершается вокруг двух „граней", прилегающих к этому »ребру".
Для каждой из „граней" Е согласно формуле Гаусса-Бонне мы имеем
соотношение:
* в ё
где через а> обозначены внешние углы при „вершинах" грани Е
@ ^ а» ^ тс). Вместо внешних углов мы можем ввести внутренние углы
^ = тс — «.* Если мы теперь просуммируем эти соотношения, взятые для
всех „граней" Е двусторонней поверхности F, то, так ка'к каждое
„ребро" будет пробегаться дважды в противоположных направлениях,
соответствующие интегралы кривизны взаимно уничтожатся, и мы по-'
лучим:
F F
где через/ обозначено число „граней" поверхности. В левой части ра-
равенства число тс входит слагаемым столько раз, сколько всего углов,
т. е. число этих слагаемых вдвое больше числа „ребер". Для каждой
из „вершин" расположенные около нее углы в сумме составляют 2ir.
Таким образом, если е есть число „вершин", a k — число „граней",
то мы имеем:
2
F
Итак, мы находим соотношение:
(82)
Левая часть формулы (82) показывает, что число /—k-\-e не зависит
от того, каким образом мы разбиваем нашу поверхность на части Е.
Правая часть равенства показывает, что число это остается неизменным
при всяком непрерывном изменении формы поверхности1. Пользуясь
формулой (81с), мы получим искомую формулу:
1 При достаточно малой деформации поверхности изменение левой части
равенства заведомо меньше единицы, между тем как справа стоит целое число,
изменение которого не может быть меньше единицы. Прим. перев.

КРИВЫЕ, ОГИБАЮЩИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
183
+ — р), (83)
которая Эйлеру была известна для случая р = 0.
Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой. Про-
Простейший пример неориентируемой или односторонней поверхности мы
получим, представив себе поверхность круга, на окружности которого
две диаметрально противоположные точки считаются за одну.
§ 78.тКривые, огибающие геодезические линии
В § 37 мы получили формулу D1) для длины линий, бесконечно
близкой к данной на поверхности кривой. Эту формулу мы можем за-
записать в виде:
.--/>+м
(84)
Черт. 20.
Здесь через 8м и Ы обозначены компоненты тангенциального и нор-
нормального (на касательной плоскости) смещения точки кривой. Если,
в частности, исходная кривая является геодезической линией
(— = 0 ], то эта формула, упрощаясь, принимает вид:
<• (85)
Рассмотрим теперь семейство геодезических линий, ортогонально пе-
пересекающих некоторую кривую С и огибающих кривую Н (черт. 19).
Применив формулу (85) к геодезическим дугам, лежащим между С и Н,
и приняв во внимание, что смещение 8^ в точках пересечения с кри-
кривой Е есть нуль, а в точках касания с Н оно равно элементу дуги
кривой Н, мы получим следующую теорему:
w'-\r'arb' = Wi. - ¦ (86)
Словами: приращение геодезического расстояния ал' равно длине соот-
соответствующей дуги огибающей. При этом, разумеется, нужно соблюдать
определенные правила знаков.
1 Для случая плоской геометрии мы получаем известное соотношение
между эволютой и эвольвентой, выведенное в § 21 (построение с помощью
нгти).

184 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Формула (86) справедлива, разумеется, и в том случае, когда все
геодезические дуги проходят через одну и ту же точку а; этот случай
можно рассматривать как частный случай предыдущего, считая, что кри-
кривая Е стягивается в единственную точку а. Тогда мы имеем (черт. 20):
К этому случаю относится одно замечание Пуанкаре о геодезиче-
геодезической кривизне огибающей Н. Если мы примем точку а за начало си-
системы геодезических полярных координат на поверхности, то линейный
элемент будет иметь вид:
На линии Н мы должны иметь согласно вышесказанному В (г, <р) = 0,
расстояние же двух бесконечно близких геодезических радиусов, про-
проходящих через а, есть Bdy. Поэтому величина
дВ .
d
есть геодезический угол смежности кривой Н, т. е. угол между двумя
бесконечно близкими ее геодезическими касательными2. Так как соот-
соответствующий элемент дуги.кривой Н равен dr, то в силу формулы G9)
мы получаем для геодезической кривизны кривой Н следующую про-
простую формулу:
-*—?:?. (87)
где г Qf) есть геодезические расстояния точки а от ближайшей точки
касания геодезического радиуса с огибающей. Так как на кривой Н
то
Определив отсюда значение производной -?- и подставив его в (87), мы
1 Дарбу указывает, что эти предложения впервые даны Якоби. См. Dar-
boax, Surfaces III, стр. 87.
2 Пусть точка находится на геодезическом радиусе tp = tpol тогда расстоя-
расстояние ее до геодезического радиуса <р = <р&+<Лро представляется выражением
B(rfo)d<f(,. В точке, огибающей (г — г0), имеем: ?(г<,<ро) = О. Поэтому вблизи от
нее на радиусе 9о имеем: В = (-т- j дго-\-.. .и, значит, расстояние до бесконечно
(ЛИ \
—т—) drod<?n с точностью до бесконечно малых выс-
ОГ /о
шего порядка. Угол смежности выражается отношением этого расстояния к бес-
бесконечно малой дуге геодезической касательной от точки касания (г0 <?0) до точки
(ro-\-dro, %), последнее же равно е/г0. Итак, угол касания есть
'М\, , ... ( d§_\d<f
Прим. nepes.

ПЕРВЫЙ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР БЕЛЬТРАМИ 185
найдем для геодезической кривизны кривой Н следующее окончатель-
окончательное выражение:
§ 79. Первый диференцнальный параметр Бельтрами
Для того чтобы иметь возможность выразить геодезическую кривизну
некоторой проведенной на поверхности кривой при произвольном вы-
выборе параметров поверхности и, v, целесообразно сначала ввести неко-
некоторые диференциальные продессы, которые были бы инвариантны отно-
относительно изометрических преобразований и позволяли "бы по данной
функции точки поверхности определить некоторую другую функцию, инва-
инвариантно связанную с первой.
Один такой диференциальный процесс дает для функции «р (и, г»),
заданной на поверхности с линейным элементом
<fc2 = Е du* -f 2/=Яи dv -\- G <*»2,
меру скорости роста функции » в каждой ее точке. Вращая элемент*/.?
вокруг точки, которой он принадлежит, мы будем получать различные
значения величины ( -~ 1 . Мы отыщем максимальное из значений, ко-
торые при этом величина (-~-\ принимает. Итак, мы должны получить:
2 = °Р«и' + ^'>а = тах- (89)
при добавочном условии:
Ф = Еи'2 -f 2/Vt/ + Gv 'a = 1. * (90)
Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, мы обра-
образуем выражение:
и найдем безусловный экстремум 2. Уравнения -jy = 0 и -т^ = О
дают:
(?» «' + ?, <П ?. - >¦ (Ей' + /У) = 0, 1
»') = о. Г { }
Умножив эти формулы соответственно на и' и г/ и сложив результаты,
мы найдем:
(?)8=х. (93)
Если же исключить и' и т/из уравнений (92), то получится:
и, следовательно:
Ы ш=т • (94>
1 Ср. Н. Poincare, Am. Trans., т. 6, стр. 241, 1905.

186
ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Стоящее справа выражение называют первым даференциальяым пара-
параметром Бельтрами. Оно встречается уже у Гаусса. Для обозначения
«го мы будем пользоваться символом:
(95)
<V читается „навла"). Термин „диференциальный параметр", введенный
Бельтрами, Энгель (F. Engel) заменяет термином „диференциатор". Со-
Соотношение (95) можно записать также в следующей форме:
Е F
V?=— -go-F*
(96)
?ф О
Если вместо © мы подставим «p-j-jj.^, где ja — постоянный множитель, то
¦будем иметь:
V (? + И, ? + И») = V (?, <?) + 2^ V (?, 4-) +1*9 V ОЬ 4-)-
где положено
Ф» ~ F dfu Ф. 4- У» Ф.) + Gy. Ф»
EG—F*
или, что то же:
V (?,Ф) =
1
<?«
EG—F*
(97)
(98)
Из способа, которым введено это выражение, очевидно, что V (?» 40»
как и V (?» ?)> является инвариантным относительно преобразования
параметров.
§ 80. Геометрическое применение первого диференциального
параметра Бельтрами
Представим себе, что на поверхности нам задано семейство кривых
уравнением
Ф (и, v) = const. (99)
Посмотрим, каково геометрическое значение диференциального пара-
параметра V* Ддя этого семейства. С этой целью представим себе, что на
поверхности вместо параметра и введен новый параметр и уравнением:
й=/[Ф(«,гО], A00)
где/—произвольная функция своего аргумента. Кривые и = const., являю-
являющиеся параметрическими в новой системе параметров, дают не что иное,
как семейство (99). За второе семейство параметрических линий
v = солб! мы примем семейство ортогональных троёкторий к кривым (99).

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРА БЕЛЬТРАМИ
187
Черточками сверху букв мы будем обозначать величины, отнесенные
к новым параметрам и, v. Вследствие ортогональности параметрических
семейств мы будем иметь F = 0. Так как теперь Ф постоянно вдоль
— дФ
кривых и = const., то мы имеем также —= = 0. Вследствие инвариант-
инвариантам
ности Х^Ф мы и в новых переменных будем иметь формулу:
1
ёо—f2
•
Е
F
дФ
ди:
F
G
дФ
дФ
дп
дФ
dv
0
е\
' афу
ч ди )
A01)
Таким образом уХ/Ф есть не что иное, как производная функции Ф по
длине дуги ортогональных траекторий семейства (99). Из § 79 сейчас
же следует, что функция Ф имеет наибольшее падение в направлении
этих траекторий. Мы можем называть V у Ф просто падением для функ-
функции Ф или для семейства кривых (99) 1.
Если мы найдем функцию Ф, удовлетворяющую уравнению
уф = 1, A02)
то семейство кривых, представляемое формулой (99), будет всюду иметь
падение 1. Такое семейство мы будем называть семейством геодези-
геодезически параллельных кривых, так как две бесконечно близкие кривые
Ф = СиФ = С-{-</С на всем их протяжении отстоят друг от друга
на постоянном расстоянии dC, отсчитываемом по их общей нормали2.
1 Разумеется, величина падения зависит от формы задания семейства кри-
кривых, ибо уравнение /[Ф(и, v)] — const., где /—произвольная функция своего
аргумента, представляет то же семейство. Что касается приведенного в тексте
результата, то он может быть непосредственно получен следующим образом.
Исключая из уравнений (92) X, мы получим для направления максимального
падения следующее соотношение между диференциалами:
¦ Е du -ffep _ F du + Gdv
Для направления же кривой ср (и, v) = const, мы имеем соотношение 9м °м +
-j-<Р„5t> = 0. Исключая из этих соотношений <ри и ср„, найдем: ЕаиЪи~\-
-\- F {du bv -\-dv 5м) -f- Go vd v — 0. Это есть условие перпендикулярности направле-
направлена Ьи ,, г du \2
ний -г- и -г— . Итак, максимум f-V-J получается при движении в направле-
направлении ортогональной траектории, а V (?> ?) есть величина этого максимума. Сле-
Следовательно, у V (?> <р) есть производная по длине дуги ортогональной траек-
траектории. Прим. перев.
2 Это определение согласуется с данным в § 69 опрэделением геодези-
геодезически параллельных кривых. В самом деле, две кривых Ф = Q и Ф = С2 отсе-
отсекают на ортогональных траекториях семейства дуги постоянной длины С2—Су
Отсюда между прочим сразу получается в силу теоремы § 6Э вывод, что все
ортогональные траектории семейства Ф = const. (Х/ф = 1) суть геодезические
линии (ср. дальнейший текст). Прим. перев.

188 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Предположим теперь1, что мы нашли такое решение уравнения A02),.
которое содержит еще произвольный параметр X. Мы, следовательно,
предполагаем, что мы нашли зависящее от одного параметра множество
семейств параллельных кривых Ф (и, v, X) = С(X). Мы предполагаем при
этом, что Ф (и, it, X) содержит параметр X не аддитивно, т. е. не имеет
вида Ф(и, v)-\-g (X). Дадим теперь параметру два бесконечно близких
значения X и X -\- dk и рассмотрим оба семейства Ф (X) = С и
(X-j-rfX).= C-|-rfC; отдельные кривые этих семейств, разумеется, мало
отличаются друг от друга. Разложив Ф (X -f- dk) = C-f- dC no степеням dk
и отбросив члены, содержащие dk в степенях выше первой, мы полу-
получим вместо вышеприведенных двух уравнений следующие два:'
Ф = Си-| = С1, AQ3)
где Сх есть некоторая новая константа. Геометрическое место точек
пересечения соответствующих кривых двух семейств Ф (X) == С и
1 Ввиду несколько непоследовательной системы обозначений, применяемой
автором в этом абзаце, мы считаем нелишним пояснить здесь изложенное.
Пусть Ф(и,1>, X) есть функция, удовлетворяющая уравнению A02). Тогда урав-
уравнение Ф (и, v,X) = С(X) представляет непрерывный ряд кривых, каждую из ко-
которых мы можем принять за экземпляр соответствующего семейства геоде-
геодезических параллелей. Функция С(Х) произвольна. Задавая ее, мы производим
определенный отбор экземпляров. Для того чтобы получить всю совокупность
наших геодезически параллельных кривых, мы должны ввести еще один пара-
параметр )х, играющий роль константы уравнения (99). Уравнение Ф («, v, X) — С (X) =
= (а (а) 'при данном X и изменяющемся [х дает одно из семейств параллелей.
При (л = 0 мы имеем исходный его экземпляр. Теперь мы ставим в соответствие
кривые двух бесконечно близких семейств параллелей так, чтобы соответство-
соответствовали друг другу те кривые, для которых ц имеет одну и ту же величину.
Точки пересечения соответствующих кривых определяются из уравнения (а>
и уравнения Ф X (и, V, X) — Q = О (о). Это уравнение не содержит (д. и потому
представляет при данном X геометрическое место точек пересечения кривых
данного семейства с соответствующими кривыми соседнего семейства. Так
как функция С может быть задана произвольно, то при данном X (постоянная)
величина Сх может иметь произвольное значение и, следовательно, уравнение
(Ь) может быть записано в виде Фх = const. В свою очередь X может иметь
произвольное значение и, следовательно, семейство 'наших геометрических
мест зависит от двух параметров.
Понимание абзаца, следующего за изложенным, не требует пояснений. За-
Заметим, однако, что доказываемое здесь предложение может быть очень проста
выведено геометрически из самого способа построения нашего геометриче-
геометрического места. Чтобы доказать, что Ф^ = const, есть геодезическая линия, доста-
достаточно, как делает и автор, показать, что Фх = const, ортогональна к семейству
геодезических параллелей Ф (и, v, X) = const, где X имеет то же значение, что-
и в уравнении Фх = const. Возьмем одну из точек нашего геометрического
места. Она является точкой пересечения двух бесконечно близких кривых, при-
принадлежащих двум соседним семействам параллелей, т. е. точкой кривой, оги-
огибающей соответственные ряды экземпляров. В ней, следовательно, кривые имеют
общую касательную и, значит, общую нормаль. При переходе к следующим
двум кривым параметр jj. получает равные приращения и, значит, в силу A02)
нормальные смещения для обеих кривых одинаковы. Поэтому нормаль, общую
первой паре, вторая пара пересечет в одной и той же точке. Итак,- направле-
направление, ведущее от одной точки геометрического места к другой, бесконечно
близкой, есть направление нормали. Этим доказана ортогональность нашего
геометрического места к семейству, его порождающему. Прим. перее.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРА БВЛЬТРАМИ
189
представляется уравнением -ъ— = Ск. Мы утвер-
утверждаем теперь, что это геометрическое место есть геодезическая линия
и что изменением параметров X и Сх можно получить все геодезиче-
геодезические линии, достаточно близкие к данной.
Докажем, что кривые, удовлетворяющие уравнению Фх (и, v, X) =
= const., являются геодезическими линиями. Выберем определенное зна-
значение X и покажем прежде всего, что кривые Фх == const, ортогонально
пересекают семейство параллельных кривых Ф = const., соответствующее
тому же значению X. Согласно условию мы имеем:
Днференцируя по X, получим:
F О Ф,
Ф„Ф, О
= 1.
1
EU — F*
E F Фы
F О Фц,
Ф Ф О
A04)
A05)
Но это инвариантное соотношение выражает ортогональность се-
семейств Ф = const, и Фх = const. В самой* деле, если мы введем, как в на-
начале этого параграфа, с помощью уравнения A00) новый параметр и
и возьмем за параметрические линии и = const, кривые (99), а за па-
параметрические линии v = const, ортогональные их траектории, то эти по-
последние, будучи траекториями семейства геодезически параллельных ли-
линий, отсекающих на них дуги равных длин, будут согласно § 69 геоде-
геодезическими линиями.
Вследствие инвариантности \7(Ф,ФХ) уравнение A05) удовлетво-
удовлетворяется также и в новых координатах, для которых F = О и —=- = 0.
dv
Мы имеем, следовательно:
Ё О Ф,;
О О
О
«-Ф. .О-Ф,- = 0
A06)
и, так как Ф^фО и G ф 0, то на кривой v—^ const.
ди
и, следовательно:
A07)
Кривые Фх = const, совпадают, таким образом, с кривым v — const,
т. е. действительно являются ортогональными траекториями семейства
Ф = const, и, значит, геодезическими линиями.

190 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Уравнения A03) дают таким образом семейство, зависящее от двуг
параметров, т. е. в некоторой окрестности дают все геодезические ли-
линии. Итак, если на поверхности нам известно зависящее от одного
параметра X множество семейств параллельных кривых, то с по-
помощью уравнения A03) можно определить геодезические линии этой
поверхности.
§ 81. Второй диференциальный параметр Бельтрами
Для получения другого инвариантного диференциального процесса
мы возьмем за исходный пункт вариационную проблему теории поверх-
поверхностей, представляющей собой естественное обобщение так называемой
первой краевой задачи теории потенциала. Именно, мы поставим себе
задачу найти на данном односвязном куске поверхности функцию да, за-
заданную своими граничными значениями так, чтобы она давала минимум
интеграла:
JJv. A08)
Здесь Wdu dv = do есть элемент площади нашей поверхности. Пусть
<р —j— еф будет функцией сравнения, так что ty должна на границе обра-
обращаться в нуль. Тогда будем иметь:
V (?• '¦?)Wdu dv+*2ZV (юз)
Для того чтобы интеграл A08) имел минимальное значение, необходимо
и в силу D. > 0 также и достаточно, ч>гобы центральный интеграл
обращался в нуль для любой функии <|», равной нулю на границе. Ин-
Интегрируя по частям и принимая во внимание граничное условие ty = 0,
мы получим:
Если мы положим:
¦=1F\V, w—Jr + V W—JJ' ^ n^
то можем переписать (НО) таким образом:
Г/V (?. "W wdu do = — J J>> ¦ Дер . Wdu dv. A12)
Диференциальное же уравнение, которому должна удовлетворять функ-
функция у, будет иметь вид:
Д? = 0. A13)
Оно является обобщением диференциального уравнения Лапласа,
имеющего место на плоскости:
"ТПг" + "^3"= °- С114)

ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ГРИНА 191
Так как уравнение (И 2) выполняется тождественно относительно <р и <}>,
так как далее Wdu dv = do и левая часть этого уравнения имеют инва-
инвариантный смысл, то и Дер должно быть инвариантно, относительно изги-
изгибания1. Выражение Д? называется вторым диференциальным параметром
Бельтрами функции <р. Бельтрами ввел свои диференциальные параметры,
продолжая исследования Ламе (G. Lame) в своем замечательном мемуаре
1864—1865 гг.J.
§ 82. Обобщенные формулы Грина
В качестве первого применения диференциальных параметров мы вы-
выведем две формулы, представляющие собой обобщение на случай произ-
произвольной поверхности известных формул Грина, имеющих место на
плоскости.
Пусть (prnji две функции, заданные на односвязном куске поверх-
поверхности. Тогда мы имеем (do = Wdu dv):
ff V (<P,« do = ff(Wu -H Q+.) du dv,
где
O
W ' V~ W
Отсюда вытекает:
Первый интеграл справа можно преобразовать по известной формуле
Гаусса, называемой также часто формулой Грина:
Я = //{(Я*). + (ОФ).) du dv = ^ (Pdv - Qdu). A16)
При этом направление обхода должно быть таким, чтобы обходима»
область оставалась по левую руку. Примем на время обходимую в над-
надлежащем направлении границу за координатную линию и ортогональной
системы параметров и, v. Тогда будем иметь:
4 du = - <$ '^ll
1 Ограничение, накладываемое граничным условием ^ = 0, несущественно;
в самом деле, если бы при преобразовании изгибания Д<р изменило свою вели-
величину, то можно было бы подобрать функцию <Ь, удовлетворяющую граничным
условиям и все же нарушающую формулу A12). Это положение можно было
бы доказать строго, хотя интуитивно справедливость его вытекает из того, что
в нашем распоряжении имеется оо2 значений функции, тогда как краевое
условие накладывает ограничение лишь на оо1 значений. Впрочем инвариант-
инвариантность Дер непосредственно вытекает из формулы A18) следующего параграфа.
Прим. перев.
2 Е. Beltrami, Ricerche di analisi applicata alia geometria, Opere I, стр. 107.

192
ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
где -з— означает производную, взятую по направлению х, внутренней
нормали. Таким образом мы получим первую формулу Грина1:
A18)
вместо ф, то мы получим
d° ~ ^ Х<5"Й
Если мы подставим в формулу A18) X
несколько более общую формулу:
d0 = ~~
Поменяв местами <р и ty в формуле A-18) и вычтя полученную формулу
из A18), мы в силу симметрии V(?>40 относительно <р и ^ получим
вторую формулу Грина:
A19)
§ 83. Новая формула для геодезической кривизны
Представим себе, что наша поверхность отнесена к ортогональной
параметрической сети. Тогда элемент длины можно представить в виде:
где А2 = Е и Ва = О. Геодезическая кривизна кривой v = const, пред-
представится согласно формуле A2) выражением:
?s~ AB-
С помощью диференциальных параметров мы можем теперь легко осво-
освободиться от специального выбора параметров. В нашем случае мы имеем:
А* ЕР
*-(*)'+(*)'•
A20)
A21)
A22)
1 Ввиду инвариантности величины -Д-, сделанный выше выбор параметри-
параметрических линий не имеет существенного значения. Формулу A17) можно было
гбы получить и без этого предположения. Прим. перев.

ПОВЕРХНОСТИ, У КОТОРЫХ КРУГИ ДАРБУ ЗАМКНУТЫ 193
% A24)
Последние три уравнения позволяют написать следующее выражение
геодезической кривизны:
Отсюда в силу инвариантности диференциальных параметров мы можем
получить общее выражение для геодезической кривизны произвольной
кривой <р (и, v) = const., отнесенной к произвольной системе пара-
параметров :
— = --?=-V(?, -тЦ- A26)
Оно было дано Бельтрами (Соч. I, 1865, стр. 176).
В развернутом виде эту формулу можно представить следующим
образом:
L j / *t.-(*t. \ + ( fir.-*.- ¦ \ 1 A27)
Это выражение было дано Бонне (Bonnet) в 1860 г.
Если кривая задана на поверхности уравнениями:
и = к@, v — v(f),
то для геодезической кривизны ее мы получим выражение:
~ + ~ [ Г-
Р? w (Ей'г 4- 2Л»'©' + GV 2M
где через Г обозначено выражение:
028)
- {Fu'-\-Gv') [-i-?.«'a-{-?.«V+ (f, —L О.) t;'2] . A29)
Эта формула имеется у Бельтрами (Соч. I, стр. 178). Она имеет то пре-
преимущество перед предшествующими, что здесь нет необходимости уста-
устанавливать какие-либо дополнительные требования относительно знаков.
§ 84. Поверхности, у которых круги Дарбу замкнуты
С помощью только что полученного выражения для геодезической
кривизны мы можем убедиться в правильности следующего утверждения
Дарбу 1: для того чтобы все лежащие на поверхности кривые
1 Q. Darboux, Theorle des surfaces III, стр. 151,. 1894 >
13 Зак. 6S4.— Бляшке, ч. I

194 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
постоянной геодезической кривизны были замкнутыми, необходимо, чтобы
поверхность имела постоянную гауссову кривизну J.
Отнесем поверхность к геодезической системе полярных координат
(§ 70); линейный элемент представится тогда выражением:
а гауссова кривизна выражением:
Отсюда с помощью B4) мы получим для V Q следующее разложение
Для геодезической кривизны кривой г=г (ср) мы получим из фор-
формулы A27), подставив в нее г (<р) — г вместо <р, следующее выражение:
Введя сюда выражение A30), получим:
Положив здесь pff = const., мы получим диференциальное уравнение
круга Дарбу.
Так как при малом pg круг Дарбу мало отличается от плоского
круга, то естественно воспользоваться разложением г в ряд по степе-
степеням pg. Ряд этот должен иметь вид:
j;j+--. 033)
Подставив этот ряд в формулу A32) и сравнивая между собою коэфи-
циенты, мы получим последовательность диференциальных уравнений
для определения функций Ь (<р), с О?)... Прежде всего мы получим:
и, следовательно:
= O. A34)
1 Это условие, однако, отнюдь не является достаточным. Так, например,
если на касательных к винтовой линии отложить отрезки равной длины, то
концы этих отрезков образуют на поверхяости касательных незамкнутую лияию
постоянной геодезической кривизны.

ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ 195
Мы можем поэтому положить Ь = 0. Тогда мы получим:
и для определения cud будем иметь диференциальные уравнения:
A35)
Все решения первого из этих двух уравнений обладают периодом 2те:
с = — Jj± + A cos cp -{- В sin ф. A36)
Иначе обстоит дело со вторым уравнением. Правая часть его, если за
направление ср = О принять направление наибольшего падения величины
К, примет вид:
(M) -сое,-С сое,. A37)
'о
Общее решение диференциального уравнения:
d"-\-d= г-cos®
выражается формулой:
Q
d— _— 9 sin <p -(- A cos cp -f- В sin <p, A38)
где Л, В — произвольные постоянные.
Если теперь мы требуем, чтобы все круги кривизны A33) замыка-
замыкались, то величины Ь, с, d,... должны все иметь период 2ic (или 2«it).
Но величина d может иметь такой период лишь в том случае, если
С = 0. Тогда имеем:
= 0. A39)
Следовательно, Ко должно иметь стационарное значение в начале коор-
координат г = 0. Но эта точка ничем не выделяется на поверхности и
может быть выбрана совершенно произвольно. Поэтому величина К
должна быть постоянной, как и утверждалось в начале этого параграфа.
То, что условие К= const, недостаточно, для того чтобы все круги
Дарбу были замкнуты, можно видеть хотя бы из § 75 1.
§ 85. Изотермические параметры 2
Поставим теперь вопрос, всякий ли элемент дуги
rfs2 -f- E du* -{-. 2Fdu dv -f- Gdv*
1 Приведенные в этом параграфе вычисления 'заимствованы из работы
Бауле, инициатива которой принадлежит автору (В. Baule, Ober Kreise und
Kugeln lm Rlemannschen Raum I, Math. Ann., т. 33, стр. 286—310, 1921.
3 Геометрическое истолкование изотермических сетей дано в третьей части
§ 72 этой работы.
13*

196 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
можно, введя новые параметры р и q, привести к так называемому
изотермическому виду:
ds* = X (р, q) • (dp^ -f dp). A40)
В этом случае второй диференциальный параметр A11) принимает наи-
наиболее простой вид:
+> A41)
так что имеют место соотношения:
Др = Д? = 0. A42)
Оба изотермические параметра должны таким образом удовлетворять
одному и тому же линейному однородному диференциальному уравне-
уравнению, представляющему обобщение уравнения Лапласа.
Чтобы получить соотношение, связывающее р и q, мы вычислим еще
первые диференциальные параметры по формулам (95) и (97):
'=_l?+l?.. . A43)
А
Следовательно:
Последнее уравнение, если отнести его к переменным и, v и написать
в развернутом виде, будет в силу формулы (97) иметь вид:
pt pu)q, + {papt)qH^0. A45)
Отсюда
— Iх (?/>„ —
Если мы образуем с помощью этих выражений qu и qv выражение
V? (и> v), то в силу \/р == \/q получим х:
1 Диференциальный параметр Vg» представится в виде:
у*(EQ-F*) (Epl -2FpuPvЧ-9^)
(j?G_F2) = i* {EG -
Равенство XJp = ~\7q дает таким образом:
f2)=l.
Прим. перев.

ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ 197
Итак, мы имеем:
_ EPv-FPu
A47)
Ча 4 Щ7 '
и, обратно,
„ _
A48)
В частности, если сама система и, v изотермична, то наши формулы
принимают следующий простой вид (если мы положим, что W>0):
/>„ = + ?.. /». = -?.- A49>
Это уравнения Коши-Римана теории функций комплексного пере-
переменного, на формулы же A47) или A48) мы должны смотреть как на
обобщение этой системы диференциальных уравнений.
Если нам известно некоторое решение р диференциального уравне-
уравнения Ар = 0, то соответствующее решение q мы получим, проинтегри-
проинтегрировав полный диференциал:
?== Г ~ №* - ЕР^ du + <°А»—FP*) dv . A50)
В самом деле, тот факт, что наше р удовлетворяет диференциальному
уравнению Др = 0, т. е. уравнению
A51)
выражает вместе с тем, что выражение, стоящее в формуле A50) под
знаком интеграла, есть полный диференциал.
Комбинацию двух соответствующих друг другу изотермических па-
параметров z—p-\-iq называют комплексной аналитической функцией на
поверхности.
Если w=f(z) = u-\~iv есть аналитическая функция комплексного
переменного, то мы имеем:
dw—f (z) dz,
и, следовательно:
)- ' A52)
Итак, элемент, дуги вновь имеет изотермическое выражение, т. е. выде-
выделением вещественной и мнимой части w мы получим опять изотерми-
изотермические параметры нашей поверхности.
Уравнение dz — dp,-\- idq = 0 или с = const, в силу соотношения
fife2 = (dp -J- idq~) (dp — idq) = 0 дает семейство мнимых кривых нашей

198 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
поверхности, длина дуги которых равна нулю; в § 22 мы назвали такие
кривые изотропными. Таким образом определение изотермических функ-
функций р и q и комплексных аналитических функций на поверхности
можно свести к определению изотропных кривых поверхности, если мы
заранее предполагаем, что наша поверхность аналитична.
Если же мы ограничиваемся только предположениями диференцируе-
мости, то доказательство существования решения диференциального
уравнения Д/> = 0 встречает ряд трудностей л.
§ 86. Конформное отображение
Пусть р и q — два параметра, принадлежащие изотермической сети
поверхности; линейный элемент, следовательно, имеет вид:
Если р и q мы будем рассматривать как прямоугольные координаты на
плоскости, то мы получим конформное отображение нашей поверхности
на плоскость. В самом деле, угол <р между двумя направлениями dx
и Зх на поверхности определяется уравнением:
COS <Р = , ., .
• ds-bs
Введя наши изотермические параметры, мы получим тот же угол, ко-
который образуют между собой соответствующие направления на пло-
плоскости р, q (см. последний абзац § 74).
Чтобы найти все конформные отображения нашей поверхности на
плоскость, достаточно определить все конформные отображения пло-
плоскости р, q самой на себя, так как два последовательно проведенных
конформных преобразования дают в результате преобразование, также
являющееся конформным. Пусть р, q и и, v будут две точки плоскости,
которые ставятся в соответствие друг с другом при конформном пре-
преобразовании, сохраняющем направление обхода (конформное преобразо-
преобразование первого рода). Тогда элементы матрицы преобразования:
dp=pudu-\-pvdv,
должны быть пропорциональны элементам собственно ортогональной
матрицы. Это дает уравнения Коши-Римана:
Р, = — Яи> A53)
выражающие, что г = р -f- iq есть аналитическая функция комплексного
переменного u-\-iv: z=/(w). Если через w обозначить комплексное
число, сопряженное с w, то соотношениями
z=f(w) A54)
и
z=f(w) A55)
1 Литературу вопроса см. в работе L Uchtenstein, Zur Theorie der konformen
Abbildung..., Bull. Acad., Cracovie 1916, стр. 192—217.

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, СОХРАНЯЮЩЕЕ ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 199
представляются все конформные отображения плоскости самой на себя;
преобразование A55) называют несобственным.'
Имеет место и более общее предложение: если р -\- iq есть аналити-
аналитическая функция на кривой поверхности, a w = u-\-iv— аналитическая
функция на другой поверхности, то соотношениями A54) и A55) уста-
устанавливается наиболее общий вид конформного преобразования этих
поверхностей друг на друга.
Задача определения конформных отображений возникпа при соста-
составлении карт кривых поверхностей. Так, уже древним грекам была из-
известна стереографическая проекция сферы, при которой сферическая
поверхность
*! = sin Ь cos <р, х2 = sin & sin <р, х, = cos 8 A56)
конформно отображается на плоскость
sin О cos g> sin» sin у
р— 1-fcos» ' q~
Меркатор (G. Mercator, 1512—1594) и Ламберт (J. H. Lambert,
1728—1777) исследовали частные вопросы этого рода; Лагранж, Эйлер
и Гаусс создали общую теорию конформных отображений.
§ 87. Изометрическое отображение, сохраняющее линии кривизны
(первый случай)
В этом параграфе мы возвращаемся к исследованиям 5 главы и
воспользуемся вновь инвариантным диференцированием. В § 63 мы на-
наметили постановку такого вопроса: можно ли с точностью до конгруент-
ных преобразований, и если да, то в каких случаях, определить поверх-
поверхность по заданным ее линейным формам:
? J
= nxdu-\-n2dv. j
Мы отложили рассмотрение этого вопроса до настоящего момента по-
потому, что лишь теперь мы сможем дать его наглядное геометриче-
геометрическое истолкование. Пусть мы имеем две поверхности, точки которых
поставлены во взаимнооднозначное соответствие так, что соответствен-
соответственными являются те точки, для которых значения и, v одинаковы. Если
формы A58) для обеих поверхностей одинаковы, то в силу формулы (93)
§ 63 одинаковыми будут и первые их основные формы, представляющие
линейные их элементы. Мы имеем тогда поверхности, которые во всяком
случае могут быть изометрически отображены или, что то же, изогнуты
друг на друга. Так как нулевые линии форм A58), т. е. линии кри-
кривизны, при этом будут соответствовать друг другу, то мы имеем изо-
изометрическое отображение, сохраняющее линии кривизны. Обратно,
если поверхности поставлены друг с другом в изометрическое соответ-
соответствие, сохраняющее линии кривизны, то формы dst и ds2 как элементы
дуг линий кривизны должны обязательно быть одинаковыми для обеих
поверхностей с точностью дэ знака, который в обеих формах является
произвольным. Однако, если знаки не. совпадают, то соответствующим
преобразованием можно сделать их одинаковыми. Поставленный нами

200 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
вопрос, определяется ли поверхность с точностью до конгруентных
преобразований своими формами A58), является таким образом экви-
эквивалентным такому вопросу: можно ли подвергнуть поверхность та-
такому изгибанию, при котором ее линии кривизны остались бы линиями
кривизны?
Этот вопрос можно сформулировать иначе следующим образом: су-
существуют ли поверхности, отличные от данной и могущие быть изоме-
изометрически отображенными на нее так, чтобы линии кривизны отобража-
отображались бы на линии кривизны? На этот последний вопрос ответ был дан
уже Бонне *. Он показал, что ответ должен быть в общем случае отри-
отрицательным. Поэтому в общем случае поверхность с точностью до кон-
конгруентных преобразований однозначно определяется двумя своими ли-
линейными формами A58). Как мы увидим, лишь три класса поверхностей
составляют исключение. Таким образом существуют некоторые специаль-
специального вида поверхности, которые могут быть изогнуты с сохранением
линий кривизны.
Мы примем, что на рассматриваемых поверхностях существует одно-
однозначно определенная сеть линий кривизны, т. е. мы предположим, что
г-7фО. A59)
Этим мы исключаем из рассмотрения плоскость и сферу. Тогда, как мы
видели в § 62, формами A58) определяются инварианты q и q, а также
величины п* и п\ с помощью которых образуются инвариантные про-
производные. Наша проблема аналитически может быть сформулирована
таким образом: могут ли быть однозначно определены с помощью одних
только форм A58) инварианты г и г? Действительно, если мы могли бы
найти инварианты /• и г, то можно было бы определить и все их инва-
инвариантные производные, так как инвариантные диференцирования совер-
совершаются с помощью величин п\п\ а последние могут быть определены
из одних только форм A58). Далее нам известны, разумеется, величины q
и q а все их инвариантные производные. Д в тако,м случае, как было
показано в § 63, мы могли бы решительно все абсолютные инварианты
поверхности найти по формам A58); и поверхность была бы определена
двумя своими линейными диференциальными формами однозначно с точ-
точностью до конгруентных преобразований.
Заметим теперь, что главные кривизны поверхности гиг, так же
как и главные радиусы кривизны /?г и /?а [формулы C0) и C1) § 44],
вообще определяются лишь с точностью до знака, ибо, как видно, на-
например, из формулы A9) § 42, величины L, М, N определяются лишь
с точностью до знака радикала, входящего в знаменатели их выражений.
Для однозначного определения поверхности по ее формам A58) доста-
достаточно, следовательно, иметь возможность найти, скажем, величины:
г7=К A60>
{К— гауссова кривизна) и
r* = s, A61)
1 О. Bonnet, Sur la theorie des surfaces appllcables sur une surface donnee,
Journ. de l'Ecole polytechnique XXV (Cahier 42), стр. 58 и след., 1867.

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, СОХРАНЯЮЩЕЕ ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 201
где обозначение s мы вводим для сокращения письма. Если К п s
будут определены, то можно взять r=Ys с любым знаком, а затем
из г г = К определить г. Но наши инварианты, согласно формулам (90),
(91) § 63 связаны друг с другом соотношениями:
— U-?2-92 — q* = rF=K, A62)
r2 = q(r—r), A63)
7, =Tq (г—7). A64)
Как показывает первое из этих уравнений, величина K=r r может быть
определена с помощью форм A58), из которых могут быть найдены
величины q, qy <7ь 02- Вопрос, следовательно, в том, можно ли опре-
определить с помощью форм A58) также и s = r2.
Прежде чем рассматривать этот вопрос в его общей постановке, мы
возьмем частный случай развертывающейся поверхности. Положим, на-
например, что
7 = 0 (г 4=0). . 065)
Тогда из формулы A64) следует q = 0, а из формулы A62) q2-\-qi = 0.
Для определения г остается одно только уравнение:
~ = -<7- . A66)
или, если ввести сокращение A61), уравнение:
(\nsJ = -2q, A67)
которое определяет s неоднозначно. Возьмем за параметрические кривые
линии кривизны (§ 61, 62):
ds^VEdu, ds2 = VGdv. ¦ A68)
Величины У^Е и У'О определяются формами dslt ds% и в силу фор-
формул D) и A2) § 61 уравнение A68) примет вид:
(lnS), = -(ln?)e, A69)
что дает для определения s формулу:
, s = -L.U(u), A70)
в которую входит произвольная функция U, зависящая только от и.
Таким образом величина s определяется лишь с точностью до произ-
произвольной функции одного переменного. А так как s есть инвариант, то
развертывающиеся поверхности, соответствующие различным видам функ-
функций U, существенно различны между собой, т. е. не переходят друг
в друга с помощью конгруентного преобразования. Таким образом для
каждой развертывающейся поверхности существует зависящий от произ-
произвольной функции класс поверхностей, имеющих те же формы A58), что
и данная поверхность. Так как поверхности, имеющие одни и те же
формы A58), изгибаемы друг на друга,-то все поверхности этого класса,
конечно, также являются развертывающимися. Развертывающиеся поверх-

202 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
дости дают, таким образом, первый из тех трех классов, которые соста-
составляют исключение.
В каком геометрическом соотношении друг к другу находятся раз-
развертывающиеся поверхности, имеющие один и те же линейные формы?
Для развертывающихся поверхностей одним семейством линий кри-
кривизны служит семейство прямолинейных образующих; ортогональные
траектории последних образуют другое семейство линий кривизны.
Таким образом мы имеем такое изометрическое отображение разверты-
развертывающихся поверхностей друг на друга, при котором образующим отве-
отвечают образующие.
Развертывающаяся поверхность, как мы видели в § 35, является
либо цилиндрической, либо конической, либо поверхностью, образован-
образованной касательными к некоторой кривой. Согласно § 64 отличительным
свойством цилиндрической поверхности является то, что к уравнениям
7=0, q = 0, q2 + q* = Q, A71)
имеющим место для всякой развертывающейся поверхности, присоеди-
присоединяется условие
q = Q. A72)
Так как обе величины q и q обращаются теперь тождественно в нуль,
то равны нулю и все инвариантные производные этих величин. Поэтому
все инварианты, определяемые, из форм A58), одни и те же для всех
цилиндров. Итак, все цилиндры при надлежащем сопоставлении пара-
параметров имеют одни и те же формы A58) и, так как условие A72) есть
.соотношение, в которое входят лишь элементы форм A58), то цилиндр
может иметь одни и те же линейные формы только с цилиндром же.
Нетрудно далее вычислением показать, что в случае конической
поверхности общего вида к уравнению A71) нужно присоединить вместо
условия A72) условие
?t = 0. A73)
В силу последнего из уравнений A71) конус имеет лишь один инва-
инвариант, определяемый из одних только форм A58), именно самую вели-
величину q. Поэтому все конусы будут иметь при надлежащем выборе пара-
параметров одинаковые формы A58), и лишь конусы, отнесенные друг
к другу соответствующим образом, могут в силу соотношения A73)
иметь одни и те же формы. Величина q, как показано было в § 63, есть
геодезическая кривизна криволинейных линий кривизны конуса, т. е. кри-
кривизна тех кругов, в которые переходят эти линии кривизны при раз-
развертывании конуса на плоскость.
Для поверхности, образованной касательными к некоторой кривой,
мы имеем:
?,ФО. A74)
В этом случае кривая, касательные которой образуют развертывающуюся
поверхность, представляется уравнением;
z = x Uo. A75)

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, СОХРАНЯЮЩЕЕ ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 203
В самом деле, в силу условия z2 = 0, вытекающего как следствие из
формулы G8) § 63 и формул A72), z действительно вырождается
в кривую; кривизна — и кручение — этой кривой представляются
согласно формулам (80) § 10 следующими выражениями:
Пользуясь формулами A71) и формулами G8), G9) § 63, мы найдем:
zm = [2 ln?)n-(ln^] Xl+ [...] x2+r -^- I
Отсюда мы получим:
-^- = 7р 4- = -^- A76)
Таким образом кривизна — может быть определена по одним только
формам A58); кручение же — может быть совершенно произвольной
функцией длины дуги, ибо в выражение г, как показывает формула A70),
войдет произвольная функция. Итак, мы получаем следующий результат:
поверхности, образованные касательными к таким кривым, которые
могут быть соотнесены друг другу так, чтобы равным дугам отве-
отвечали бы равные кривизны, при надлежащем выборе параметров имеют
одни и те же линейные формы A58); и обратно, поверхности, обра-
образованные, касательными кривых, лишь в том случае могут иметь одни и
те же линейные формы, когда их кривые имеют одну и ту же кривизну.
§ 88. Изометрическое отображение, сохраняющее линии кривизны
(второй и третий случаи)
От развертывающихся поверхностей мы переходим теперь к общему
случаю. Диференцируя A60), мы находим:
'.—¦Г-.+-Г' ' <177)
где в силу соотношения A62) величину К——~qx— q2 — ?2—?2 и,
разумеется, величину Кх можно определить из форм A58). Умножим
обе части уравнения A77) _на 2г и подставим в полученное уравнение
выражение A64) величины г,; затем помножим на 2/- обе части урав-
уравнения A63). Мы получим два следующих уравнения:

204 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
A78)
= — 2qs -f- 2qK.
Этим, очевидно, исчерпываются соотношения, могущие быть использо-
использованными для определения s. Заменим теперь в условиях интегрируе-
интегрируемости
входящие в них производные первого и второго порядка выражениями
последних через величину s. Эти выражения даются формулами A78) и
теми, которые получаются из них диференцированием с последующей
подстановкой значений первых производных, взятых вновь из формул A78).
Проделав вычисление, мы получим следующий результат:
0' <179>
Мы теперь должны иметь дело при определении s лишь с этим
одним уравнением. Рассмотрим сначала тот случай, когда одновременно
имеют место соотношения:
к i <180)
где К формулой A62) определено следующим образом:
K=—q1 — qi — ^-li». A81)
В этом случае уравнение A79) удовлетворяется тождественно. Величина s
им тогда не определяется, и для нахождения s мы должны обратиться
к системе диференциальных уравнений A78); она является интегрируемой,
и решение ее содержит постоянную интеграции. Таким образом наши
специальные поверхности A80) распадаются на семейства,- каждое из
которых содержит оо 1 поверхностей, имеющих одни и те же линейные
формы.
Каждую из поверхностей одного из таких семейств можно оо х спо-
способами изогнуть на другую поверхность того же семейства с сохране-
сохранением линий кривизны. Эти поверхности дают второй исключительный
случай. Разберем его подробнее.
Возьмем за параметрические кривые линии кривизны и положим
g. . A81a)
Тогда в силу формулы A2) § 61 мы можем записать соотношения A80а)
и A80Ь) следующим образом:

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, СОХРАНЯЮЩЕЕ ЛИНИИ КРИВИЗНЫ 205
Соотношение A80с) даст нам:
A83)
а формула A81) примет вид:
Keg=-(eq)v — (gq)u. A84)
Интегрируя уравнения A82), мы получим:
~q = KeU, q = KgV> A85)
где U есть функция, зависящая только от и, а V—только от v. Вели-
Величины U и V не должны вместе быть равными нулю тождественно, так
как при q = q = 0 мы будем иметь цилиндры, т. е. уже рассмотренные
нами развертывающиеся поверхности (§ 64). Но одна из функций U
и V непременно должна тождественно равняться нулю. В самом деле,
если бы этого не было, то некоторой заменой параметров
и = <р(и), v = ty(v),
при которой е и g преобразуются по формулам
мы могли бы добиться того, чтобы U= V = —1. Тогда мы имели бы:
q = — Ke, q = -Kg. _ A86)
Если теперь мы подставили бы эти выражения q и q в формулы A83)
и A84), то получили бы:
[In (/&*)]„ = 4(/feg)», A87)
1. A88)
Но эти уравнения не дают никакого решения относительно функции
egK. Действительно, наиболее общее решение уравнения A88) имеет
вид:
<S>{u — v)-e~1*~, A89)
где Ф есть производная функция аргумента и — v. Если это выражение
A89) мы подставим в уравнение A87), то получим:
_L [фф"_ф'2] == — 4eu+v, A90)
где штрихами обозначены производные от функции Ф по ее аргументу.
Справа мы имеем в этом равенстве функцию аргумента и -\- v, слева же
функцию аргумента и — v. Нетрудно показать, что это равенство про-
противоречива.
Таким образом мы можем принять, что 13= 1 и К = 0, т. е. что
q=Ke, q = 0. A91)
Этим параметр и определяется вполне, параметр же г/ с точностью, до
преобразования v = ty (v). Как было показано в § 64, условие q = О
характеризует резные поверхности. Наши резные поверхности принад-

206 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
лежат при этом к специальному классу поверхностей этого вида. В самом
деле, из формул A81) и A80) мы получаем:
= 0, AпКI24-?2=0. A92)
Первое из этих уравнений позволяет определить К по заданным фор-
* мам A58). Если мы подставим это выражение величины К во второе и
третье из уравнений A92), то после некоторых преобразований получим
два следующие условия:
[In (?, + ?%== (In ?J, A93)
[In (?, + ?%,+ ?, = <>. A94)
Так как q = 0, то условие интегрируемости можно представить в виде:
& <Яг + Я*)Ъ + 91 = 0. 095)
Нетрудно теперь видеть, что соотношение A95) является лишь след-
следствием соотношения A93), ибо если в A95) мы заменим второй член
его выражением A93), а первый тем выражением, которое получится
в результате диференцирования того же уравнения A93), то, принимая
во внимание условие интегрируемости
* >
мы получим вновь соотношение A93).
Итак, кроме условия q = 0, в нашем втором исключительном случае
имеет место существенным образом лишь одно уравнение A93). Если
мы запишем это последнее* в виде:
Aп?I2+^ = 0, A96)
то мы можем сказать, что поверхности, составляющие второй исключи-
исключительный класс, определяются соотношениями:
q = 0, (а) Aп?I2 + ?2 = 0. (Ь) A97)
Второе из этих соотношений мы можем, вновь введя величины г и г,
записать в другой форме. Формулы A62), A63) дают теперь, в силу
д — 0, следующие соотношения:
7r=-qt — q*, (а) г2 = 0. (Ъ) A98)
Диференцируя уравнение A98) по индексу 2 и пользуясь формулами
A98ь) и A97Ь), мы получим: ,
~' 099)
Обратно, из соотношения A99) можно получить соотношение A97ь).
Вместо же A99) мы можем в силу формул G8), G9) § 63 и условия
9 = 0 написать также:
Итак, мы имеем особый вид резных поверхностей, характеризуемый со-
соотношением B00). Как мы видели в § 64, векторы Xj суть векторы
нормали тех плоскостей, в которых лежат линии кривизны 1. Соотно-

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, СОХРАНЯЮЩЕЕ ЛИНИИ КРИВИЗЦЫ 207
шения B06) выражают, что эти плоскости параллельны некоторому
определенному направлению, т. е. они огибают цилиндрическую поверх-
поверхность общего вида. Итак, все поверхности, принадлежащие нашему вто-
второму исключительному классу, могут быть образованы следующим
образом. Возьмем произвольный цилиндр и начертим на одной из его
касательных плоскостей, кривую К произвольной формы. Если теперь
катить эту касательную плоскость без скольжения по поверхности ци-
цилиндра, то К опишет резную поверхность; это будет самый общий вид
поверхности нашего типа.
Исходя из этого геометрического способа образования поверхности
или интегрируя отнесенные к параметрам линий кривизны уравнения
G8), G9) § 63 (причем придется надлежащим образом выбрать
шкалу на' линиях v) *, можно убедиться в том, что каждая из
наших поверхностей при надлежащем выборе координат может быть
представлена явно через параметры линий кривизны следующими урав-
уравнениями:
хх — cosav-\- I Vsmavdv,
sin av'-\- I V cos av dv,
B01)
Здесь U и V произвольные функции одного параметра и и v, а— про-
произвольная постоянная.
Вычисление показывает, что для поверхностей, имеющих одни и
те же функции U и V, но различные постоянные а, формы A58) то-
тождественно выражаются через и, v, тогда как величина г (или s = ra)
имеет различные выражения. Итак, при заданных U, V и переменном а
мы получаем семейство поверхностей, которые отнесены друг к другу
изометрически с сохранением линий кривизны.
О третьем случае мы расскажем здесь вкратце. Если в уравнении.
A79) не все его коэфициенты A80) равны нулю, то мы можем счи-
считать, что
(тI+-Н*°- <202>
ибо в противном случае мы в качестве одного решения уравнения A79)
имели бы s = 0, что дало бы развертывающуюся поверхность. В этом
случае, если бы двум решениям уравнения A79) соответствовали две
поверхности, могущие - быть изометрически отображенными друг на
друга, то вторая поверхность также была бы бы развертывающейся,
ибо она должна изгибаться на первую. Но этот случай мы уже рассмо-
рассмотрели. Поэтому мы будем теперь исходить из предноложения, что имеет
место соотношение B02).
См. -начало цитированной в § 87 работы Бонне.

208 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Введем для сокращения следующие обозначения:
B03)
B04)
Тогда уравнение A79) представится в виде:
Ля2 + 2Bs -f I = 0. B05)
Решение его будет:
В±У=А. B05а)
8 = ±±
Мы можем считать, что А — В2 ф 0, так как в противном случае урав-
уравнение имело бы два совпадающих решения, мы же ищем именно те
поверхности, для которых s определяется неоднозначно. В случае
А—В* ф 0 оба решения A06) должны сверх того удовлетворять урав-
уравнениям A78). Подстановка в каждое из двух уравнений A78) обоих
решений B06) даст нам четыре условия. Вычисление показывает J, что
систему уравнений, выражающих эти четыре условия, после некоторых
преобразований можно привести к виду:
2КВВХ — КАХ + 4 (В*—Л) (Я, -\-qK)=0, B06)
KA^iqB + iqAK+lAK^O, B07)
(А2 — 4Лq) BB2 __ А) = (Д, — 2Bq) • 2АВ, B08)
В2 = 2q (В + 2В2 /с^ ЯЛ). B09)
Здесь U и V должны быть, разумеется, заменены их выражениями
B03) и B04). Мы имеем таких образом четыре уравнения, содержащие
q, q и их инвариантные производные. Величина К определяется и здесь
формулой A81). Если мы возьмем за параметрические кривые линии
кривизны и примем во внимание, что при обозначениях A81а) имеют
место* .соотношения:
л — ^» "Г" ёи . /"ОЛО.<Л
q = —— , q = — , \^i\)\ia)
то, интегрируя уравнения B06) и B08), мы получим:
(?2—А) е4 = Л2 • U и Wg* (J39—А) = V, B09Ь)
где U есть функция одного и, а V—одного v. Нетрудно видеть, что
так как АТфО, е ф 0, ?фО, А ф 0, В2 — А ф 0, то всегда можно
подобрать скалы параметров так, чтобы U=V=1. Тогда из B09Ь)
мыЛполучим:
1 Это вычисление проведено в начале цитированной в § 87 работы Бонне.

ВКЛАД ГАУССА В ТЕОРИЮ ПОВЕРХНОСТЕЙ 209
Более детальное исследование, произведенное Бонне в его работе,
показывает, что из двух условий B06), B08) [или их интегралов B10),
B11)] вытекают как непосредственное следствие два другие условия
B07), B09); именно, если мы подставим выражения, даваемые форму-
формулами B10), B11), в формулы B03), B04), то мы увидим, что условия
B07), B09) окажутся тождественными с B03), B04). Чтобы убедиться
в этом, нужно всюду заменить величины q, q и К через е и g с по-
помощью формул A84) и B09а). Уравнения B06), B08) суть диферен-
циальные уравнения пятого порядка относительно координат точки
поверхности; это легко усмотреть из выражений, определяющих А и В,
если иметь в виду, что гауссова кривизна К зависит от производных
второго порядка. В нашем третьем исключительном случае двум зна-
значениям s соответствуют одна и только одна пара поверхностей,
изометрически отображающихся друг на друга с сохранением линий
кривизны.
Бонне не проинтегрировал диференциальных уравнений*B06), B08),
но он дал следующую геометрическую интерпретацию их: каждой из
поверхностей, удовлетворяющих системе двух диференциальных урав-
уравнений пятого порядка B06) и {208) и только такой поверхности,
соответствует всегда некоторая поверхность постоянной кривизны,
линии кривизны которой имеют на единичной сфере Гаусса то же
отображение, что и линии кривизны исходной поверхности. Из двух
поверхностей, отображающихся друг на друга изометрически с сохра-
сохранением линий кривизны, одной соответствует при этом поверхность
постоянной положительной кривизны, другой же —¦ поверхность по-
постоянной отрицательной кривизны. *
§ 89. Вклад Гаусса в теорию поверхностей
Гауссу принадлежат две работы, имеющие для теории поверхностей
большое значение. Первую Гаусс представил на премию Копенгагенской
академии в 1822 г. Она была издана в 1825 г. под заглавием „Ото-
„Отобразить части некоторой данной поверхности на другую данную поверх-
поверхность так, чтобы отображение в бесконечно малых частях было подобно
отображаемому" („Die Teile einer gegebenen Flache auf einer anderen
gegebenen Flache so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten
in den kleinsten Teilen ahnlich wird", Werke, т. 4, стр. 189—216).
Несравненно большее значение, чем эта работа о конформном ото-
отображении, имеет вторая, появившаяся в 1827 г., работа Гаусса: „Общие
исследования, относящиеся к кривым поверхностям" („Disquisitiones
generates circa superficies curvas", Werke, т. 4, стр. 222—258). Обе эти
работы обязаны своим возникновением не абстрактной деятельности ума;
они явились результатом геодезических работ Гаусса — последние были
связаны с геодезическими измерениями, производившимися под его руко-
руководством в Ганновере с 1821 по 1841 г.
14 Зак. 684. — Бляшке, ч. I

210 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Главный результат „Исследований" — именно инвариантность кри-
кривизны относительно изгибания — был известен Гауссу уже в 1816 г.т
в 1822 г. Гаусс дал вывод, опирающийся на представление линейного
элемента в изотермической форме.
Лишь в 1826 г. ему удалось вывести выражение кривизны для
элемента дуги, заданного произвольным образом.
Изгибание поверхностей еще до Гаусса было предметом исследований
Эйлера и Монжа; именно оба эти автора задавались вопросом о разы-
разыскании поверхностей, отображающихся на плоскость изометрически.
Геодезическая кривизна и ее интеграл впервые стали изучаться Гаус-
Гауссом (Werke, т. 8, стр. 386). Быть может, ему уже была известна инте-
интегральная формула Бонне G7), устанавливающая связь между теорией
поверхностей и неевклидовой геометрией, основание которой было также
заложено Гауссом.
Своими „Исследованиями" Гаусс сделал первый после Монжа зна-
значительный шаг вперед в теории поверхностей и на развитие геометрии
эта его работа оказала очень большое влияние. Продолжением ее яви-
явились работы Миндинга, Майнарди, Кодацци, Бонне и Якоби. Но наибо-
наиболее значительный шаг в дальнейшем развигии идей Гаусса сделан был
Риманом в его диссертации 1854 г. О ней мы будем'еще иметь слу-
случай упомянуть в связи с дальнейшим изложением.
Историческую оценку того вклада, который сделал в геометрию
„Princeps mathematicorum", читатель найдет в работе Штеккеля (P. Stacket;
С. F. Gauss als Geometer, Leipzig 1918).
§ 90. Задачи и теоремы
1. Геометрическое истолкование меры кривизны. Если S(e) есть длина
дуги кривой, идущей параллельно геодезической линии на геодезическом рас-
расстоянии е от последней, то
cPS{Q)__ Г
, ~d#—J
где через К обозначена гауссова кривизна поверхности вдоль геодезической
линии. Ср. ниже § 99, а также P. tngel, Leipz. Вег. т., 53, стр. 409, 1901.
2. Особый вид уравнения геодезической линии. Если поверхность отне-
отнесена к геодезическим параметрам, так что элемент дуги ее ds имеет выражение
ds* = du2 + G (и, v) dv\
то точка и, v описывает на поверхности геодезическую линию в том случае,
когда угол а, под которым линии v = const, пересекаются этой кривой, удовлет-
удовлетворяет соотношению:
do ~ ди
Oauss, Werke, IV, стр. 244.
3. Геометрическое истолкование второго диференциального параметра
Бельтрами.
Пусть (р есть некоторая функция точки кривой поверхности, st и s2 — длины
дуг двух кривых, лежащих на поверхности и пересекающих друг друга под
прямым углом, gx и^ — геодезические кривизны этих линий в точке их пере-
пересечения. Тогда для этой точки мЧы будем иметь:
Е. Cesaro, Lezioni di geometria intrinseca, стр. 165, Napoli 1896,

^ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 211
4. Лиувиллево выражение кривизны. Пусть — и — суть геодезические
Ри Ри
кривизны параметрических линий v = const, и = const, и й — угол между
этими линиями. Тогда:
К~ W\dudv да \ р„ / + до
J. Liouville, Comptes Rendus, т. 32, стр. 533, 1851.
5. Теорема Лиувилля о геодезических линиях. Если на поверхности
существуют два поля геодезических линий, пересекающихся под постоянным
углом, то поверхность является развертывающейся (/С=0).
G. Darboux, Surfaces III, стр. 422, 423.
6. Выражения Лиувилля для геодезической кривизны. Пусть —,
Рм Ре
геодезические кривизны системы ортогональных параметрических линий. Тогда
и геодезическая кривизна кривой, пересекающей линии v = const под углом х
представляется выражением:
Pv as Ри
См. Monges, Applikation..., стр. 575, 1850.
7. Поверхности Лиувилля. Если линейный элемент поверхности имеет вид
ds2 = {tp (и) -f- <Ь (v)} {du2 -f- do2), B14)
то геодезические линии представляются уравнением:
B15)
/du Г dv
— . = — / —- = = о,
где a, b — постоянные (там же, стр. 577 — 582). Доказать, что поверхности вра-
вращения и поверхности F2 принадлежат к поверхностям Лиувилля. ,
8. Истолкование линейного элемента Лиувилля, данное Цвирнером и
Бляшке.
Для того чтобы геодезические диагонали всех четырехугольников, постро-
построенных из параметрических линий, имели равную длину, необходимо и доста-
достаточно, чтобы линейный элемент, взятый для соответствующих параметров, мог
быть приведен к виду B14). См. W. Blaschke, Sull' elemento lineare dl Liouville,
Rom. Accademia Lincei Fa), 5 A927), стр. 396—400 и Math. Zeitschr., т. 27 A928),
стр. 653—668. Отсюда тотчас же вытекает, что если линейный элемент плоскости
привести к виду B14), то параметрическими линиями будут конфокальные
конические сечеция или их вырождения.
9. Теорема Браунера (К. Brauner). Чтобы поверхность имела постоянную
меру кривизны, необходимо и достаточно, чтобы каждая ее точка была геоде-
геодезическим центром круга расстояний с постоянным для всей поверхности радиу-
радиусом и чтобы круги эти имели постоянную геодезическую кривизну (из пись-
письменного сообщения, сделанного автору в 1929 г.).
10. Механическое построение геодезических линий. Стальной прут
с прямоугольным сечением, который при наложении на плоскость имеет форму
прямой линии, если его наложить на кривую поверхность широкой стороной,
дает геодезическую линию этой поверхности. Наложенный же узкой стороной,
он дает асимптотическую линию поверхности.
S. Finsterwalder, Mechanlsche Beziehungen bei der FlSchendefbrmation, Jah-
resber. Dt. Math. Ver., т. 6, стр. 45—90, 1899.
11. Теорема Гаусса о малых геодезических треугольниках. Пусть ^внут-
^внутренние углы малого геодезического треугольника, at — противолежащие его
стороны, К\—меры кривизны в соответственных вершинах, F—площадь тре-
треугольника. Тогда частное
^--^-(Ъ + Ъ + Къ + Кз)
i±—_ B16)
sin a{ ч
в первом приближении не зависит от г( = 1,2,3). Gauss, Disquisitiones...,
Werke IV, стр. 257. Частный случай Kt = K был рассмотрен Лежандром.
14*

212 ГЕОМЕТРИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
12. Геодезические „конические сечения". Кривые, лежащие на поверх-
поверхности и обладающие тем свойством, что сумма или разность геодезических
расстояний их точек до двух неподвижных кривых постоянна, образуют орто-
ортогональную сеть, частным случаем которой являются конфокальные конические
сечения на плоскости. Взятый относительно этой ортогональной системы коорди-
координат линейный элемент имеет вид:
?L*L B17)
Эти „конические сечеиия" могут образовывать изотермическую систему лишь
в том случае, если линейный элемент может быть представлен в лиувиллевой
форме (задача 7). U. Dini, Annali di matematica, т. 3, стр. 269, 1869.
13. Теорема Дарбу о геодезических конических сечениях. Если некоторая
ортогональная система может быть представлена двумя различными способами,
как система геодезических конических сечеиий, то такое представление воз-
возможно осуществить бесконечно многими способами. Линейный элемент может
быть приведен к виду Лиувилля. Q. Darboux, Surfaces III, стр. 19.
14. Отличительное свойство поверхностей постоянной кривизны. Если
поверхность может быть в малом отображена иа плоскость так, чтобы всем
геодезическим линиям поверхности соответствовали на плоскости прямые, -то
поверхность необходимо имеет постоянную меру кривизны. Е. Beltrami, Ореге I,
стр. 262—280, 1866.
См. также G. Darboux, Surfaces III, стр. 40—44.
15. Поверхности, имеющие геодезические границы тени. Найти поверх-
поверхности, которые, не являясь развертывающимися, обладают тем свойством, что
все описанные около них цилиндры касаются их по геодезическим линиям.
См. ч. II этой книги § 45, стр. 121.
16. Показать, что в обозначениях пятой главы поверхности изотерм, т. е. те
поверхности, линии кривизны которых образуют изотермическую систему,
определяются условием а. = о,, тогда как условие (—) =(-^г) характеризует
, \ r/i \ r /2
те поверхности, линии кривизны которых при сферическом отображении поверх-
поверхности преобразуются в изотермическую сеть.
17. Если мы положим
Е = п{* + Tfi /г=л1л2 + п7лй G = n22 + ^2,
то при данном выражении линейного элемента поверхности .четыре величины
щ, щ определяются с точностью до линейной подстановки:
\
Щ* = COS и>Щ — Sin <anlL_ \
щ* = +sin<ont+cos<on,, )
где <о есть произвольная функция и, v. Выражения:
dsi = 2"f ^и* и *2 = 2 ^и<
% г
суть линейные элементы кривых некоторой ортогональной сети, и различным
способам определения щ, щ по данным Е, F, G соответствуют различные воз-
возможности выбора ортогональной сети на поверхности. Показать, что выражение,
стоящее в левой части равенства (90) пятой главы, не изменяется при подста-
подстановке B18), если величины q и q формально определить уравнениями F2),
D3), D5) и доказать таким образом инвариантность К относительно изгибания.
Доказать, что соотношение qt = q2 определяет изотермическую сеть, соотноше-
соотношение же q1-\-3qq = q~i-\-3qq = 0 характеризует лиувиллеву сеть [см. B14)].
18. В развитие метода предыдущей задачи установить полную систему
инвариантов изгибания поверхности; для этого образовать из величин q, q, q^,
Я& Ч\> Яг< Яц.-- выражения, не меняющиеся при подстановке B18).

Глава седьмая
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
§ 91. Неизгибаемость сферы
Достаточно малый кусок поверхности всегда может быть подвер-
подвергнут изменению его формы, сохраняющему* длины. Не так обстоит дело
для поверхности в целом; по крайней мере в том случае, если мы
сохраним прежние наши условия регулярности. Уже Миндинг в 1838 г.
выставил в качестве догадки предложение, что поверхность сферы
в целом обладает жесткостью 1. Но лишь в 189.9 г. Либман обосно-
обосновал это утверждение 2. Об общих предложениях, найденных Минковским
уже к этому времени, но тогда не опубликованных, мы будем говорить
несколько позже. Так как согласно теореме Гаусса при изометрических
отображениях мера кривизны остается неизменной, то теорема Либмана
может быть сформулирована следующим образом: сфера является един-
единственной замкнутой поверхностью, имеющей постоянную кривизну 8.
Если не вводить ограничивающих требований правильности, то утвер-
утверждение это заведомо неверно. В самом деле, если мы отсечем от сферы
ее сегмент и заменим этот сегмент зеркальным его отображением отно-
относительно плоскости сечения, то мы получим „помятую" сферу, которая,
хотя и обладает постоянной мерой кривизны, но имеет ребро. Мы
будем поэтому впредь всегда предполагать, что имеем дело с аналити-
аналитическими поверхностями, правильными повсюду. Впрочем нижеприводи-
нижеприводимое доказательство, идея которого принадлежит Гильберту (D. Hilbert) *,'
может быть без труда проведено при несколько более общих предпо-
предположениях.
Если за параметрические линии поверхности мы примем ее линии
кривизны (F = М = 0), то из первых формул § 44, дающих выражения
для главных кривизн, положив в них сперва dv = О, а затем du = О,
мы получим:
J 5
1 F. Minding, fiber die Biegung krummer Fiachen, Crelles J., т. 18, стр. 365—368,,
особенно стр. 368, 1838.
2 Н. Uebmann, Eine neue Elgenschaft der Kugel, Gott. Nachr., 1899, стр. 44—55..
Попытка доказательства, сделанная Желлет (J. H. Jellet) в 1854 г. была несо-
несостоятельной.
3 Собственно говоря, пока еще не видно, что не может существовать зам-
замкнутой поверхности постоянной отрицательной (или нулевой) кривизны. Однако
это доказать проще всего и ниже в тексте доказано. Прим. перев.
4 D. Hilbert, tiber Fiachen von konstanter Gauszscher Kriimmung, воспроизве-
воспроизведено в 3-м издании Grundlagen der Geometrie, 3-е изд., приложение V, Leipzig
und Berlin 1909.

214 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
Для обратных величин г = -=- и г = ¦=- мы будем иметь:
f E и ч '
Гауссова формула A38) § 58 принимает теперь более простой вид:
к^ LN _ * I д (УЖ | L (Уо)« ) C)
EG У Е У@ I д® У О ди У Е \
формулы же Кодацци приводятся к виду:
D)
С помощью формулы B) мы получим:
r« = T lK-r-f7)' E)
отсюда
При доказательстве теоремы Либмана мы можем предполагать, что
К= 1. В самом деле, случай АГ=О исключается, потому что развер-
развертывающиеся поверхности имеют прямолинейные образующие и, следова-
следовательно, являются заведомо незамкнутыми поверхностями. Точно так же
не может существовать замкнутой поверхности, кривизна которой всюду
отрицательна: АТ<0. Действительно, в наивысшей точке такой поверх-
поверхности (например в точке xs = max) мера кривизны должна быть поло-
положительна: АГ> 0'. Таким образом остается рассмотреть лишь случай
АГ> 0, а в этом случае преобразованием подобия всегда можно сде-
сделать К= 1 или, что то же, гг=\.
Если на нашей поверхности повсюду имеет место соотношение
г = г = 1, то все точки поверхности суть точки округления и, следо-
следовательно, как мы показали в § 47, мы имеем сферу. Если, следова-
следовательно, мы возьмем поверхность, отличную от сферы и получающуюся
изгибанием последней, то на такой поверхности заведомо должны суще-
существовать точки, для которых г ф г. Обе эти величины мы можем счи-
считать непрерывными функциями; в силу замкнутости поверхности обе
величины гиг достигают на поверхности максимума. Один из этих
1 Если точку (хь х2, хь) принять за начало координат и разложить х3 (Xj д?2)
в степенной ряд, то мы получим:
х3 = рхх + qx2 + гх^ -+- Тях^Хъ -{-tx? + ...,
где р, q, r, s, t—частные производные первого и второго порядка в начале
координат. Необходимое условие максимума есть p = q = 0; rt — s2>0. Выра-
Выражение меры кривизны в параметрах (xlt дг2) имеет вид: . 2 3 . В точке
х$ = max эта величина положительна. Прим. перее.

НЕИЗГИБАЕМОСТЬ СФЕРЫ 215
максимумов во всяком случае больше 1.. Пусть, например, величина г
достигает в точке Ро максимума, который больше 1. Тогда для неко-
некоторой окрестности точки Ро мы имеем:
, 7<1, Fа)
и величина г в точке Ро достигает минимума. Так как Ро не является
точкой округления, то в окрестности ее существует правильная сеть
линий кривизны, для которых справедливы формулы A)—F).
В силу соотношения гг—\ мы можем вместо формул E) и F)
написать уравнения:
Mi. — — 2/то ?и. _ + 2/r« rj\
Е 'fi-\ ' О 1-7 '
Интегрируя их, мы получим:
Так как элементы дуги линий кривизны dst и ds2 выражаются фор-
формулами
dsf = Е du*, ds* = О dvh
то мы имеем Е > О, О > 0, и формулы (8) в силу соотно шений Fа),
дают:
и > о, v > о
s окрестности точки Ро.
Так как в точке Ро величина г достигает максимума, а величина
г—минимума, то в этой точке должны иметь место условия:
', = 0. '«<<>. ^ = 0. 'Г»«>0.
Формулы E), F), и формулы, получаемые их диференцированием,
дадут тогда нам:
Е. = 0, ?„>0, G,, = 0, GMM>0. (9)
Подставив Ег = Ои'= 0 в формулу C), мы получим для точки Яо:
Правая часть этой формулы в силу соотношений (9) отрицательна,
левая же согласно нашему предположению положительна и равна 1. Итак
допущение, что наша поверхность не есть сфера, приводят к противо-
противоречию.
Этим наше доказательство завершено. Полученный нами результат
мы можем сформулировать еще следующим образом: внутри куска по-
поверхности постоянной положительной кривизны для точки, не являю-
являющейся точкой округления, ни один из главных радиусов, кривизны,
не может иметь ни максимальной, ни минимальной величины.

216 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
Заметим попутно, что если в поверхности сферы прорезать сколь
угодно малое отверстие, то остающаяся поверхность может быть изо-
изогнута *.
§ 92. Сфера как единственная овальная поверхность постоянной
средней кривизны
Теорема, аналогичная предыдущей, имеет место и в том случае, если
потребовать, чтобы на поверхности вместо меры кривизны была постоян-
постоянной средняя кривизна:
I \
Эта теорема доказана также Либманом 2. Замкнутую выпуклую по-
поверхность, которую мы будем считать всюду правильной и аналитиче-
аналитической и кроме того всюду обладающей положительной мерой кривизны,
мы будем называть овальной поверхностью. Тогда теорема, которую мы
сейчас докажем, может быть сформулирована следующим образом:
сфера есть единственная овальная поверхность, имеющая постоянную
среднюю кривизну.
Эту теорему можно свести к предыдущей с помощью приема, ука-
указанного Бонне в 1861 г. Для этого необходимо предварительно уста-
установить следующее предложение: среди поверхностей, параллельных
некоторой поверхности постоянной положительной кривизны, суще-
существует одна, средняя кривизна которой постоянна, и обратно.
Пусть х(н, v) есть поверхность, для которой АГ=1, и пусть § есть
единичный вектор ее нормали. Тогда параллельная ей поверхность
?=х-§ A0)
имеет среднюю кривизну 2# = 1. Действительно, для линий кривизны
поверхности (х) мы имеем согласно формулам Родрига [см. фор-
формулу E2) § 46]:
или
Линиям кривизны поверхности (х) отвечают линии кривизны поверх-
поверхности (х), так как § = § 3. Соответственные главные радиусы кривизны
связаны соотношением:
(И)
1 Н. Liebmann, Die Verbiegung von geschlossenen und offenen Fiachen po-
sitiver Knimmung, Mttnch. Ber., 1919, стр. '267—291; см. далее работы Е. Rembs,
Heidelberger Berichte. 1927; A. Schur, CrellesJ., т. 159 A928), стр. 82; St. Cohn.-
Vossen, Gott. Nachr., 1927, стр. 125; W. Suss, Japanese Journal of Math. D), 1927,.
стр. 203.
8 H. Liebmann, Ober die Verbiegung der geschlossenen Fiachen positiver
Kriimtnung, Math. Ann., т. 53, стр. 81—112, 1900, особенно § 6, стр. 107.
3 Последнее очевидно^ из того, что в силу соотношений_(§хм) = 0, (§х„) = О.
и (Ни) = 0 мы имеем: (|хи) = § (хи + §м) = 0 и аналогично (gxj = 0.
Прим. перев.

ЖЕСТКОСТЬ ОВАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 217*
Поэтому в силу соотношения
оп 1__J I 1
* Д « + lT«fl
мы имеем:
Таким же образом мы докажем обратную теорему.
Если теперь мы имеем овальную поверхность, средняя кривизна ко-
которой 2//=1, то для нее имеют место соотношения:
=L->0, 4->0; ir-f-JL-=l..
R\ Rs Ri /?a
Поэтому, если бы поверхность наша не была сферой,- то мы имели бы
¦И (*)
или
Для соответствующего главного радиуса кривизны поверхности с мерой"
кривизны
#=;#—1
мы имели бы:
0<<7?)т1п<1
вопреки доказанному в § 91. Этим наше предложение доказано.
§ 93. Жесткость овальных поверхностей
Теорема о жесткости сферы может быть в суженном объеме рас-
распространена на произвольные овальные поверхности (§ 92). Этому рас-
распространению мы тоже обязаны Либману *. Идея приводимого ниже
доказательства принадлежит Вейлю и автору этой книги 2.. Теорема, кото-
которую мы сейчас докажем, может быть сформулирована следующим обра-
образом: если изменение, которому подвергается овальная поверхность,,
должно быть непрерывным и изометрическим, то поверхность эта
может только перемещаться как твердое тело.
Мы будем предполагать, что это изменение овальной поверхности
может быть представлено следующим образом. Пусть х (и, v) есть пара-
параметрическое представление некоторого куска поверхности. Положим
x(u,v) = x(u,v;O), A3)
1 Н. Uebmann, G6tt. Nachr., 1899, Math. Ann., т. 53, 1900 и т. 54, 1901. Для
выпуклых многогранников Коши доказал более общее предложение (A. Cauchyr
Journ. de l'Ecole polytechnique, т. 9, A6); 1813; Oefrvres B), т.1., стр. 26—38.
2 W. Blaschke, Gott. Nachr., 1912, стр. 607—610;! Я. Weyi, Berliner Sitzungs-
berichte, 1917, стр. 250-266; W. Blaschke, Die Starrheit der Elflachen, Math,
Zeitschrift, т. 9, стр. 142—146, 1921, си. также очень простое доказательстве
у A. Duschek, Monatsh. Math. Phys., т. 36, стр. 131—134, 1929.

218 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
причем функция х (а, #; ?) пусть будет аналитической относительно всех
трех переменных. Различным значениям t соответствуют различные поло-
положения видоизмененной поверхности. Частные производные по t мы
будем обозначать символом 8. Если теперь изменение должно происхо-
происходить так, чтобы длины кривых, проведенных на поверхностях t = const.,
оставались все время неизменными, то должно иметь место соот-
соотношение:
2 = 0. A4)
Если мы введем обозначение
то вместо формулы A4) мы можем написать:
dx-dz = 0.
Поэтому можно ввести вспомогательный вектор у = (и, v; t), определяе-
определяемый уравнением:
dz = yXdx, A5)
которое определяет у однозначно, так как dx пробегает пучок векто-
/ du\,
ров (при изменении-3-JJ.
В силу формулы A5) выражение
у X dx = (у X хи) du+(у X х,) dv
при постоянном t представляет собой полный диференциал, и потому
х,Ху, = х,Ху„. A6)
Отсюда легко видеть, что векторы уи, yv должны линейно зависеть от
векторов хв, х„ (последние по предположению линейно независимы):
1 Если соотношение dx-dz = (хм du + х„ dv) (zM du + zv dv) = 0, должно удо-
, du
влетворяться при любом -=-, то должны иметь место соотношения: хмги = 0;
х,г, = 0; \uzu -\- xsz0 = 0 (А). В силу этого можно найти вектор у, удовлетво-
удовлетворяющий уравнениям: у X хм = zM; у X х„ = г„. В самом деле, первому из этих
уравнений удовлетворяет вектор ¦ " ' *-\- kxw как легко убедиться, непосред-
ственно проверяя и пользуясь первым из трех соотношений (А). Точно так же
с помощью второго уравнения (А) убедимся, что второму уравнению удовле-
X -\- Z
творяет вектор—* ' - +&х„; скалярные величины Аи/ можно подобрать так,
х„
чтобы удовлетверялось уравнение " \ и -j- kxu = V'Z,V /хи, ибо векторы
хм- х,,-
х
*L 8
x
х Xz
*s"* х"'х" компланарны в силу третьего соотношения (А). Найден-
x
м v
яый таким образом вектор у будет, как легко видеть, удовлетворять соотно-
соотношению уХ^х = ух (хиdu -j- xv dv) = zudu-\-zv dv — dx. Прим. перев.

ЖЕСТКОСТЬ ОВАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 219
- О7)
Из A6) следует также, что
a + S = 0. A8)
.Диференцируя уравнение A6), получим:
(хия X У,) — (хи„ X У,) = (х, X Уии) — (х„ X ум.)
(хяи X У.) — Оц, X Ум) = (х„ X Уи„) — (х„ X у„).
Умножив скалярно первое уравнение на х„, а второе на хи и вычтя
результаты один из другого, получим:
(х„ хи„ у„) — х„ хис у„) = (х„ х„„ у„) — (х„ хсг у„). A9)
Подставив сюда выражения A7) и введя коэфициенты второй квадра-
квадратичной формы {формулы A9) § ?2], будем иметь:
fZ,— 2aM — $N=0. B0)
Если поверхность (х) имеет всюду положительную меру кривизны,
т. е.
W— М2>0, B1)
то направления обхода для (х) и (у) в соответствующих точках проти-
противоположны, т. е.
аЬ — ?Т = — «2 — Py^O. ^ B2)
В самом деле, точки
+ L 2 = +М, xs =
(лг4 — однородные координаты точки на плоскости) в силу соотноше-
«ия B0) или
+ ^3^i = 0 B3)
являются полярно сопряженными по отношению к коническому сече-
сечению Xj-JCg —#1. Первая из них в силу соотношения B1) есть внутренняя
точка этого конического сечения; следовательно, вторая — внешняя.
Таким образом вообще имеет место соотношение:
И лишь в том случае, когда нельзя ввести однородных координат х',
т. е. когда одновременно
« = Р = Т = 8 = О, B4)
злы. будем иметь:
Рассмотрим соответствующие друг другу односвязные куски поверх-
поверхностей х (и, v) и у (и, v); двойной интеграл
не изменит своей величины, если заменить в не.м и, v новыми пере-

220 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
менными, лишь бы при этом сохранялось направление обхода *. Мы
имеем:
•gj (ху* У) = (х„У.У) + (хуи,у) + (ху,у„).
Вычитая почленно, мы получаем отсюда:
2 (ху„у,) = (хjrjr) — (х„у„у) + w (ху„у) — -gj (ху„у> B5)
В нашем случае первые два члена правой части в силу соотношения A6)
взаимно уничтожаются. Поэтому наш двойной интеграл, если он рас-
распространен на односвязную область, дает криволинейный интеграл
2 //(ху„
= §(x, dy, у), B6)
взятый в надлежащем направлении.
Пусть теперь поверхность (х) есть овальная поверхность. Мы можем,
следовательно, провести на ней замкнутую линию,, не имеющую двойных
точек и разбивающую поверхность на две односвязные части. К каждой
из этих частей мы применим формулу B6), и полученные уравнения
сложим почленно. Мы получим тогда:
B7)
С другой стороны для каждой из этих двух частей мы имеем:
/JW» У.) da dv = //(ххЛ) (а§— рт) du dv. B8)
Возьмем за начало координат точку, лежащую внутри поверхности
(х), и подберем параметры и, v так, чтобы (ххих„) > 0. Тогда в силу
соотношения B2) подинтегральная функция правой части формулы B8)
больше или равна нулю, и интеграл, который должен в силу фор-
формулы B7) дать нуль, может обратиться в нуль лишь в том случае, если
а = |3 = 7 = §. Но тогда в силу соотношений A7) уи = у„ = 0 и, сле-
следовательно, у(?) зависит только от t. Интегрируя уравнение A5), мы
получим:
W + (OXx(O B9)
Это значит, что овальная поверхность движется, как твердое тело, ибо-
расстояние между двумя точками
xi = х («!, Vv f), x2 = х (н2, v2; f)
остается неизменным:
S(x2 — x1J==2(z2 — zu xi — x1)dt==2(y,xi—x1,x2 — x^dt=0. C0)
Этим мы доказали наше утверждение.
1 В этом легко убедиться непосредственным преобразованием интеграла
к новым переменным. Подинтегральное выражение преобразуется в новое,,
отличающееся от первоначального множителем, равным обратной величине
якобиана подстановки. Прим. перев.

ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ МИНКОВСКОГО 221
Вейль доказал более общее предложение, гласящее, чот две изомет-
изометрически отображаемые друг на друга овальные поверхности либо кон-
груентны, либо симметричны. Более того, Вейль пытался доказать сле-
следующее предложение: каждому наперед заданному линейному элементу
положительной меры кривизны всегда соответствует некоторая овальная
поверхность, существенно единственная. Однако доказательства Вейля
очень сложны и не доведены до конца А
§ 94. Опорная функция Минковского
Для дальнейшего полезно вывести некоторые формулы теории по-
поверхностей, имеющие применение и в других ее вопросах. Представим
себе, что кривая поверхность представлена уравнением, дающим рас-
расстояние р начала координат до касательной плоскости в функции еди-
единичного вектора нормали §:
/PEii5a.Se
Положим: , •
'¦?< = а4, г>0
г _1-а24-а2 р
1 '
°з
Функция P(a.v а2, аа), определяемая последней формулой, если считать
в ней знаки перед радикалами положительными, будет положительно-
однородной функцией первой степени относительно аргументов а,:
P(.^i, №. Ряз) = V-P («1» аг. яз); f1 > °-
Эта функция Р и есть опорная функция (Stutzfunktion) Минковского.
Вследствие однородности функции Р мы имеем согласно теореме
Эйлера:
«Л+«А + «|Л = Л C1)
где
Уравнение касательной плоскости нашей поверхности имеет вид:
«1*1 +a2*2-f «8*8 = Р-
Мы можем принять на время, что в этом уравнении а3 остается по-
постоянным; тогда, диференцируя уравнение по одному из остающихся
параметров) например по av мы найдем для координаты хх точки каса-
касания плоскости с огибаемой поверхностью:
1 Н. Weyl, Ober die Bestimmung einer geschlossenen, konvexen Flache
<lurch ihr Llnienelement, Vierteljahrschrift der naturforschenden Gesellschaft in
Zurich, т. 61, стр. 40—72, 1915. Новое доказательство некоторой части утверждений
Вейля можно найти у .St. Cohn-Vossen, GOtt. Nachr., 1927. Кон-Фоссен показал
также, что существуют нежесткие замкутые поверхности вращения (Math.
Ann., т. 102, .стр. 10—29, 1929).

222 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
Из соображений симметрии очевидно, что и две другие координаты/
точки касания будут иметь аналогичные выражения:
Xi= Р^аг,а&\ C2>
При этом то обстоятельство, что величина а определена лишь с точ-
точностью до общего множителя, является несущественным, ибо функции Р+
как производные от однородной функции первой степени являются
однородными функциями нулевой степени, т. е.
Pi №1, Н-«2. №а) = pi (ai> Ч> аз); V- > О-
Выразим теперь главные радиусы кривизны нашей поверхности через
опорную функцию. Согласно формуле Родрига [E2) § 46], при про-
продвижении вдоль линии кривизны мы имеем:
или в силу формулы C2):
5, = oi. (зз)
Так как все йГ§4 не могут одновременно обращаться в нуль, то опреде-
определитель системы уравнений C5) должен обратиться в нуль:
Р | о р р
Рц Рп + R Р» =0. C4)
РР Р _J_ D
si "за "ззн"^
Это уравнение, на первый взгляд кубическое, легко сводится к квад-
квадратному. В самом деле, диференцируя уравнение C4) по аг, мы полу-
получаем:
2 Л* ¦*=<>•
Значит, определитель, элементами которого являются Р1к, обращается в нуль.
Поэтому уравнение C5) не имеет свободного члена, и, сокращая на /?,
мы приведем его к виду:
Из этого уравнения мы можем определить Rt и ^?2; нам важно,
найти сумму этих величин. Для нее мы находим выражение:
в правую часть которого должны быть поставлены нормированные пе-
переменные §,2. '
1 Здесь автор вводит предпосылку, что a, = gj, т. е. полагает г— \, которая
оговаривается в последней фразе этого параграфа. Можно было бы не вводить
ее, тогда в формуле C2) и в последующих при всех Р№ добавится множитель г..
В окончательном результате ои будет устранен, так как функции Pik — одно-
однородные функции минус первой степени относительно о,. (Прим. перев.).
2 См. относящиеся сюда же результаты к задаче 13 § 60.

ТЕОРЕМА ХРИСТОФФЕЛЯ 223
§ 95. Теорема Христоффеля о замкнутой поверхности.
В качестве приложения формулы C5) мы докажем теперь предло-
предложение, найденное Христоффелем в 1865 г.1.
Мы будем рассматривать замкнутые поверхности, обладающие
тем свойством, что проведением из какой-либо точки единичных век-
векторов, параллельных нормалям рассматриваемой поверхности, по-
последняя ставится во взаимнооднозначное соответствие с единичной
сферой. Тогда задание Rx -\- /?2 в непрерывной и, скажем, аналитиче-
аналитической функции точки сферического образа определяет поверхность F
с точностью до параллельного переноса.
Для доказательства мы разложим функцию (Ri-{-R2) в Ряд по так
называемым сферическим (шаровым) функциям. Иначе говоря, мы по-
положим:
оо
2*E»$2,b).J C6)
где Uk есть относительно о форма ?-й степени, удовлетворяющая лифе*-
ренциальному уравнению Лапласа:
K,«2.«S) = 0- C7)
Возможность и однозначность такого разложения мы принимаем как
известный факт2. Точно так же мы разложим в ряд по сферическим
функциям опорную функцию Р поверхности F:
Представим теперь Р в виде однородной функции первой степени пере-
переменных а,. Для этого достаточно положить:
Р =
,*-!
C8>
К нормированной функции мы можем применить формулу C5). Ми
имеем:
у а2
vk
!_ о X1 " v к
да\ "I * Zj. доц
i i
C9)
1 Е. В. Christoffel, Ober die Bestimmung der Gestnlt einer krummen Fiache
durch lokale Messungen auf derselben, Werke I, стр. 162—177, Leipzig und Ber-
Berlin 1910; см. также A. Hurwitz, Sur quelques applications des series de Fourier.,
Ann. de l'Ecole normale C), т. 19, стр. 357—408, 1902.
2 См., например, Е. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2-е изд., Leipzig.
1881.

224 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
Первый член правой части обращается в нуль, ибо Vk, как и Ut, удов-
удовлетворяет диференциальному уравнению Лапласа. В то же время мы имеем:
а,
и, следовательно, в силу однородности Vk: ~
Y?&_i I k(k-\)
ll dat dat ,*-l ~ ,*-l Vk-
Далее, диференцируя уравнение D0) еще один раз, мы получаем:
= ~~ 3 №~*) + 2 (*21)
Поэтому формула C9) принимает вид:
(*-!)(* +2) „
и формула C8), поскольку возможно диференцировать ее почленно,
дает, в силу формулы C5) при г=1:
* в„ ?2. 6.)-
В силу однозначности разложения этот последний ряд должен быть
тождественным ряду C6). Таким образом мы имеем:
V ^ *02,3,4... * D2)
В вышеприведенном разложении /?х -f- /?a коэфициент при Vt равен
нулю. Поэтому можно положить Vl = CjIj -(- с2|2 -j- Cg§3, где с,,'са1с3 —
произвольные постоянные. Геометрически это означает, что начало коор-
координат может быть произвольно выбрано. Следовательно, функция
i?j -j- #2 должна быть задана так, чтобы в ее разложении отсутствовал
линейный член U{, это в силу ортогональности сферических функций 1
означает, что должен обращаться в нуль интеграл:
§•<*•> = 0- D3)
Здесь через dm обозначен элемент поверхности сферы, а интеграл рас-
распространяется на всю поверхность сферы. В остальном функция Rx -j- R2
может быть задана на сфере совершенно произвольно. Соответствующая
опорная функция Р определяется формулой D2) однозначно (с точно-
точностью до произвольного линейного члена Кг):
В заключение покажем вкратце, что уравнение D3) действительно
имеет место для любой замкнутой поверхности. - Пусть d<ix и dk2 будут
1 jViVkdm = 0 при г ф ft.

ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА 225
элементы дуг тех линий сферического отображения, которые соответ-
соответствуют линиям кривизны отображаемой поверхности. Тогда элемент
отображенной поверхности представится выражением:
do = ds1 • ds2 = (/^аГо,)
для поверхности же, параллельной изображаемой и отстоящей от нее
на расстояние^, элемент поверхности представится выражением:
doh = G?j -f- К) Л>, • (Я, -f A)'*» = do + А (Я, -f Яа) А» + A*A>. D4)
Но очевидно, что при всяком Л тождественно выполняется соотно-
соотношение:
/,*>„ = О,
j
т. е. проекция площади замкнутой поверхности на плоскость равна
нулю. Если в это соотношение мы подставим выражение don, даваемое
формулой D4), то получим, как мы выше и утверждали, что
Мы не касались здесь трудных вопросов, связанных с доказательствами
сходимости. Мы избавляемся от их рассмотрения, заранее предполагая,
что рассматриваемые функции поверхности правильны и аналитичны.
§ 96. Теорема Гильберта о поверхностях постоянной
отрицательной кривизны
Мы выведем теперь для поверхностей с мерой кривизны К——1
формулы, аналогичные формулам, полученным в § 91 для поверхно-
поверхностей с мерой кривизны АГ=1. Выберем снова за параметрические кри-
кривые линии кривизны и положим:
tfi = tgo, R2 = — ctga.
Формулы E) и F) § 91 сохраняют силу попрежнему; кроме того мы
имеем теперь:
r=ctgo, r = — tgo,
Интегрируя последние два уравнения, мы получим:
E = U{u) sin* а,
G= K(tOcos2a.
Надлежащим выбором параметрических скал на линиях кривизны мы
можем сделать так, чтобы
и таким образом получим:
Y е = sin о, Y о —cos °-
15 Зак. 684. — Бляшке, ч. Г

226 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ •
Отсюда с помощью формул B) § 91 мы найдем:
L — -j- sin о cos о, N= —sin о cos о.
Следовательно, диференциальное уравнение асимптотических линий бу-
будет иметь вид:
(da + dv) (du — dv) = 0. D5)
Если мы введем новые параметры р и q соотношениями:
u=p — q, v=p-\-q,
то новые параметрические линии р = const, и q = const., т. е. а ± v =
= const., будут асимптотическими линиями поверхности. Линейный эле-
элемент поверхности представится при этом выражением:
d& = dtP sin" о-f-afo* cos" о = dp*-f-2 dp dq'cos 2o-\-dq'i. D6)
Отсюда между прочим вытекает вывод, что в четырехугольнике, обра-
образованном из асимптотических линий, противоположные стороны равны
между собой. Такие сети кривых (для которых' Е = G= 1) на произ-
произвольных поверхностях исследовал русский математик П. Л. Чебышев
в 1878 г. 1. Если рыболовную сеть натянуть на кривую поверхность,
то на последней образуются фигуры такого рода.
Если к линейному элементу, выраженному через параметры р, q,
применить формулу Гаусса (§ 58), то для угла 2з = <о, образованного
двумя асимптотическими линиями, мы найдем диференциальное урав-
уравнение:
|^sine>- <47>
Отсюда легко вывести простые следствия, например, для площади по-
поверхности:-
F = I / sin <о dp dq.
Для площади четырехугольника, ограниченного асимптотическими линиями
Рх < Р < Pi, ?i < Ч < Я» мы найдем:
= m(pu qj — о) (р1г q2) + «о (р2, ?а) — со
1 A L. Tschebyscheff, Sur la coupe des vetements, OEuvres II, стр. 708, A. Voss,
Ober ein neues Prinzip der Abbildung krummer Oberflachen; Math. Ann., т. 19,
стр. 1—26, 1882; см. также работу Бибербаха (L. Bieberbach, Sitzungsber. Ber-
Berliner Akad., 1926, стр. 294—321) и курс Ьианки. Курс Бианки, вышедший также
в немецком сокращенном издании, является одной из лучших новых работ по
диференциальной геометрии. Луиджи Бианки родился в Париже в 1856 г."; умер
в 1928 г. В течение многих лет он был профессором математики в Пизанском
университете и после смерти Дини (Dlni) диргктором Пизанской Scuola normale.
Он обогатил диференциальную геометрию множеством изящных результатов,
много работал на педагогическом поприще и способствовал созданию большого
числа научных работ. По отношению ко всем, с кем он имел дело, и в осо-
особенности по отношению к своим ученикам, к числу которых в праве отнести
себя и автор этой книги, этот неутомимый ученый проявлял столько помощи
в работе и был, несмотря на тяжелые жизненные условия, так внимателен
к людям, что вряд ли оставил в ком-либо враждебные чувства. См. некролог,'
О. Fubini, Bolletino Unlone Mat Italiana, т. 7, 1928, а также Annali di Mat. D),
т. б, стр. 45—83, 1928/29.

ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА
227
D8)
или, если обозначить внутренние углы через ая (черт. 21):
Эта формула была дана в 1878 т. Гаццидакисом х.
Все известные поверхности постоянной отрицательной кривизны,
как например, винтовая поверхность, найденная Миндингом, имели
особые линии. Поэтому Гильбертом был поставлен вопрос, существуют
ли неограниченные и в любой конечной области всюду правильные
аналитические поверхности с кривизной К = — 1. Оказалось, что такие
поверхности не могут существовать.
Еспи бы такая поверхность существовала, то ее асимптотические
линии были бы в любой, конечной области всюду правильными аналити-
аналитическими кривыми; через каждую точку проходило бы две асимптотических
Ч,'
V
Черт. 21.
R
Черт. 22.
линии с двумя различными касательными, так что угол между ними мы
могли бы подчинить условию 0 < и < it. Если мы примем теперь р
и q за прямоугольные координаты точки на плоскости, то точки нашей
поверхности мы поставим в однозначное соответствие с точками пло-
плоскости. Поверхность отобразится таким образом на плоскость одно-
.значно. Будет ли и обратное отображение однозначным, этого заранее
сказать нельзя, так как мы не исключили пока возможности существо-
существования замкнутых асимптотических линий. Так как-в силу формулы D7) <о
не может оставаться постоянным ни на одной из асимптотических линий,
то можно выбрать ва поверхности начало отсчета р и q и положитель-
положительное направление отсчета р так, чтобы со (р, 0) возрастало при
Тогда мы имели бы:
р «
ш О»,?) — <d@, q) = <a(j),0) — м @, 0)-f- / / sin a. dp dq D9)
о о
Отсюда следует, что а> возрастает на каждом отрезке q = const. > 0,
О < р < ра по меньшей мере столь же быстро, как на отрезке q = 0,
. 0 < р < р2 (ибо двойной интеграл положителен).
1 /. N. Hazzidakis, Ober einige Elgenschaften der Fiachen mit konstantem
Krtlmmungsmasz, Crelles J., т. 88, стр. 68—73, 1880.

228 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
¦ Рассмотрим теперь четырехугольник (черт. 22) 0 < р < рх < pit
'О < q < q^ и положим <о (р9,0) — «>(/>lf 0) = в. В этом четырехугольнике
при достаточно большом qx заведомо найдется точка, для которой
В самом деле, если бы ш оставалось всегда меньше тс ^- то инте-
интеграл, входящий в формулу D9), при достаточнр большом </_мог бы
быть сделан сколь угодно большим, так как, например, при
всегда имеют место неравенства:
«(^, О) - » @, 0)< о) (р, q)< тс L. E0)
и, значит, sin ш всегда превосходит некоторое положительное число. Но
тогда можно было бы сделать и <о (р, q) сколь угодно большим, во-
вопреки предположению, что ю < г.. Пусть теперь р0, q0 есть такая точка,
для которой
В силу формулы D9) мы имели t бы:
« (Рг» Чо) — • (Ро. ?о) = ш (Р2, 0) — • (р0, 0) +
во
/ sin о) • rfp • dq > o)(p2, 0) — о)(р„О) = в E1)
и, следовательно:
Таким образом угол ю превзошел бы и на отрезке р0 < р < р2; ^ = ^о1
вопреки нашему предположению. Это простое доказательство было дано
Гольмгреном в 1902 г. К
¦¦¦ В заключение' укажем вкратце ход мысли первого, данного Гиль-
Гильбертом, доказательства этого предложения. ,
Из того факта, что асимптотические линии образуют сеть Чебышева,
Гильберт заключает, что на поверхности не существует ни одной замкну-
замкнутой асимптотической линии. Поэтому, если бы поверхность была
всюду правильной, она находилась бы во взаимнооднозначном соответ-
соответствии с плоскостью р, q. Из" формулы Гаццидакиса Dfc) можно вывести
как следствие, что площадь каждого четырехугольника, ограниченного
асимптотическими линиями, меньше 2-к и что, следовательно, площадь
всей поверхности была бы меньше или равна 2тс. Но с помощью ото-
1 Е. Holmgren, Comptes Rendus, т. 134, стр. 740—743, 1902.Критика гольм-
греновского доказательства дана Вибербахом (L. Bieberbach, Acla Math., т.- 48, •
1926, .Hilberts Satz uber Flachen konstanten Krummung"). В этой t аботе доказано,
что каждые две асимптотические линии, принадлежащие к различным семей-
семействам, пересекаются на поверхности.

/ ЗАМЕЧАНИЯ О РАБОТАХ ПУАНКАРЕ 229
бражения на полуплоскость Пуанкаре (§ 74) легко показать, что пло-
площадь всей поверхности
"dxdy
>
2/>0
бесконечно велика. Итак, предполагая, что существует неограниченная
и всюду правильная поверхность с мерой* кривизны К— — 1, мы при-
приходим к противоречию.
§ 97. Замечания о работах Пуанкаре по вопросу о замкнутых
геодезических линиях на овальной поверхности
Исходя из астрономической „задачи о трех телах", Пуанкаре под-
подверг исследованию замкнутые геодезические линии овальной поверх-
поверхности. Нетрудно видеть, что по крайней мере одна такая линия должна
на овальной поверхности существовать *.
В самом деле, предположив сначала, что такая линия действительно
существует и применив к ней интегральную формулу Бонне [формула
G7) § 76], мы получим:
- Отг I »
т. е. полная кривизна той части поверхности, которая ограничена замкну-
замкнутой геодезической линией, равна 2л. Если мы отобразим нашу по-
поверхность на сферу, проведя из некоторой точки 'единичные векторы,
параллельные, скажем, внешним нормалям поверхности, то мы можем
полученный результат выразить в такой форме: сферическое отображе-
отображение замкнутой геодезической линии делит пополам, поверхность еди-
единичной сферы.
Поэтому ествественно возникает мысль пойти обратным путем и,
рассматривая все замкнутые линии нашей поверхности, сферическое
отображение которых делит поверхность сфгры пополам, искать крат-
кратчайшую из этих линий.'Эта кратчайшая линия и будет геодезической.
В самом деле, если мы, откладывая отрезки 8л, нормальные к некоторой
замкнутой кривой, перейдем от этой кривой к другой, лежащей на по-
поверхности и бесконечно близкой к первой, то периметр L согласно
формуле (8) § 69 получит приращение:
Изменение же полной кривизны той части поверхности, которая огра-
ограничивается замкнутой линией [формула C5) § 72], будет равно:
•—4
К • Ьп • ds.
Если, таким образом, при данной величине Q = 2тс начальная кри-
кривая должна иметь наименьший периметр, то из 52 = 0 должно следо-
1 Н. Poincare', Sur les lignes geodesiqiies des surfaces coirvexes, Am. Trans.,
т. 6, стр. 237—274, 1905.

230 ' ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
вать Ы — О. Отсюда, аналогично тому, как мы это сделали в § 28, мы
получим:
— = ХЛГ, Х = const. E2)
Но согласно теореме Бонне:
f-T-2-a.,
"в
и, следовательно:.
<?-^ =X(f Kds = 0. E3)
А так как овальная поверхность всюду имеет положительную меру кри-
кривизны: /С> 0, то мы имеем 1 = 0 и — = 0. Следовательно, наша кри-
кривая является действительно геодезической линией.
Что касается существования решения вариационной проблемы
S~= 2it; L = min., то наличие этого решения представляется очевидным;
что оно действительно существует, может быть доказано теми методами
которые были созданы в связи с гильбертовыми исследованиями о так
называемом принципе Дирихле 1. Пуанкаре старался при помощи мыс-
мысленного физического эксперимента дать наглядное доказательство того,
что замкнутая геодезическая линия, дающая решение задачи, не имеет
кратных точек.
Наличие одной замкнутой геодезической линии можно было бы,
пожалуй, еще нагляднее показать следующим образом. Представим,
себе^ что наша овальная поверхность есть поверхность твердого тела
и вообразим себе замкнутую, нерастяжимую, но гибкую нить, которая
достаточно длинна для того, чтобы тело, взятое в надлежащем поло-
положении, могло пройти сквозь нить. Если теперь мы начнем укорачивать
нить, то будет существовать некоторая предельная длина, при которой
тело при наиболее выгодном взаимном расположении его с нитью еще
сможет проскользнуть через отверстие нити. Но тогда в момент про-
проскальзывания нить должна целиком расположиться на поверхности
тела, так как в противном случае она могла бы быть сделанной еще
короче. По той же причине нить в этом положении должна образовать
на теле его замкнутую геодезическую линию.
Не нужно смешивать эту задачу с задачей о построении цилиндра
наименьшего охвата, касающегося овальной поверхности, ибо касатель-
тельные плоскости вдоль замкнутой геодезической линии отнюдь не
должны образовывать обязательно цилиндр.
После того как мы таким образам показали существование одной
замкнутой геодезической линии на каждой овальной поверхности, мы,
пользуясь сообщением Герглотца (G. Herglotz), покажем, что таких гео-
геодезических линий, не имеющих двойных точек, существует по крайней
мере три.
1 См. например, О. Bolza, Vorlesungen iiber Variationsrechnung, гл. IX,
стр. 419—433, Leipzig und Berlin 1909; см. также ниже, § 101.

"ЗАМЕЧАНИЯ О РАБОТАХ ПУАНКАРЕ 231
Для доказательства мы прежде всего поставим в соответствие каж-
каждой замкнутой кривой вектор v с помощью формулы:
Х^х, . , E4)
где интеграл распространен на замкнутую кривую 1. Добавим теперь
к нашей вариационной задаче (на данной овальной поверхности найти
замкнутую кривую так, чтобы Q = 2ir и Z, = min.) условие, чтобы век-
вектор о кривой был параллелен некоторой прямой G, проходящей через о.
На прямой G мы отложим от точки о в обе стороны наименьшее зна-
значение величины L Если мы будем вращать G около точки о, то, как
можно показать, концы этих отрезков опишут" непрерывную поверх-
поверхность F, которая; очевидно, имеет о своим центром и которая не про-
.ходит через о 8. Той паре точек поверхности F, которая наименее уда-
удалена от о, соответствует на овальной поверхности та замкнутая геоде-
геодезическая линия, которую мы рассматривали выше. Так как для нас
имеет значение только первая производная, то очевидно, что каждой
симметричной относительно о паре точек поверхности F, расстояние
которой от о имеет стационарную величину, соответствует на поверх-
поверхности замкнутая геодезическая линия. Таким образом мы должны опре-
определить, сколько на нашей поверхности F, имеющей центром о, суще-
существует пар/ точек, симметричных относительно о и удаленных от о на
экстремальное расстояние. Т1режде всего существует пара точек р, q,
расстояние которых до о имеет максимальную величину, и пара точек
с минимальным расстоянием. Если теперь мы соединим точки р и q,
лежащие на поверхности F, линией так, чтобы движущаяся по этой
линии точка находилась насколько возможно дальше от о, то та точка
этой линии, которая наименее удалена от о, очевидно, даст для рас-
расстояния седловое значение. Поэтому на поверхности F существует по
крайней мере три пары точек экстремального или, лучше сказать, ста-
стационарного расстояния от точки о; в каждой из точек этих трех пар
касательная плоскость перпендикулярна к хорде, соединяющей точки
пары.
Если бы мы провели полностью то доказательство,'ход котброго
мы наметили3, то мы доказали бы, что на каждой овальной поверх-.
ности существуют по меньшей мере три замкнутые геодезические
линии. Американскому математику Биркгоффу (G. D. Birkhoff) принад-*
лежат глубокие механические исследования, связанные с вопросом о замк-
замкнутых геодезических линиях 4.
1 Нетрудно показать, что вектор v не зависит от выбора начала координат.
2 На нашей овальной поверхности всегда существуют замкнутые кривые,
не имеющие двойных точек, для которых вектор v = 0. Сфера, имеющая цент-
центром о, а радиусом периметр такой кривой, лежит внутри поверхности F.
3 Нужно было бы, например, доказать диференцируемость поверхности F.
4 G. D. Birkhoff, Dynamical systems with two degrees of freedom., Am. Trans.,
т. 18, стр. 199—300,1917. Новые результаты, относящиеся к геодезическим линиям
на овальных поверхностях, см. у A. Speiser, Vierteljahrschrift der naturfor-
schenden Gesellschaft in Zurich, т. 56, стр. 28- 33, 1921.

232 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
§ 98. Угловые условия Эрдмана
Бонне в 1855 г. показал, что между кривизной и протяженностью
овальной поверхности существует следующая связь: если мера кривизны
для овальной поверхности всюду больше или равна -^, то расстояние
между двумя любыми точками поверхности всегда меньше кА. Мы
дальше дадим чрезвычайно простое остроумное доказательство этого
предложения, идея которого принадлежит также Бонне. Сейчас же мы
рассмотрим вспомогательное предложение, относящееся к вариационному
исчислению, и имеющее также и самостоятельный интерес.
Возьмем вариационную задачу простейшего вида. Пусть требуется
соединить две точки <хх, у{, х%, у^ кривой у =у (х) таким образом,
чтобы интеграл
г'
у = ] f(x,y,/)dx, E5)
взятый вдоль этой кривой, имел экстремальное значение. При этом мы
исследуем вопрос, возможно ли, чтобы кривая, служащая решением
задачи, образовывала излом в некоторой точке х3, у3. Положим
и тогда мы должны иметь, если поставленный вопрос допускает поло-
положительный ответ:
у(ха - 0) =у (х3 + О), •/ ф /*.
Перейдем к смежной кривой:
предполагая, что
Тогда при простейшем предположении, что точка излома перемещается
по прямой х = х3, мы будем иметь:
/ ,') dx+
Диференцируя это соотношение, мы получим:
Г @) = / '(/„Г, +/^7H dX-\- / '(/„Г, +/,4') dX
и, произведя интегрирование по частям, будем иметь:
ев,
Здесь т)з есть значение t\ в точке х3 и

УГЛОВЫЕ УСЛОВИЯ ЭРДМАНА
233-
Так как мы свободны в выборе ij, то для того чтобы У @) «= 0, необ-
необходимо, чтобы
и—кЬ=°' . <58>
т. е. чтобы обе части кривой у —у (х)- удовлетворяли диференциаль-
ному уравнению E8) Эйлера-Лагранжа. Кроме того необходимо, чтобы
выполнялось следующее угловое условие Эрдмана:
Покажем кратко, хотя в дальнейшем нам и не придется этим поль-
пользоваться, как устанавливается второе угловое условие Эрдмана. Будем
считать, что интеграл J нашей вариационной проблемы есть время,,
необходимое точке для того, чтобы пробежать путь у(х), и будем от-
откладывать из неподвижной точки х3, у3 по переменному направлению у'
соответствующие векторы скорости;
%=s"dTBS7l Ч = 'л/:::=Т
в точке х3, у3. Тогда концы этих векторов расположатся на так назы-
называемой индикатрисе точки х$, _у3. Для направления на индикатрисе мьь
получаем уравнение:
* Х-'Зр' (бо>
и уравнение ее касательной будет иметь вид:
Отсюда следует, что для точки пере-
пересечения с прямой § = 0 мы будем
иметь:
Первое условие E9) Эрдмана выра-
выражает, что точки индикатрисы, соот-
соответствующие направлениям *у' и у'*,
обладают касательными, которые пере-
пересекают прямую | = 0 в одной и той
же точке. Но так как угловое условие
и индикатриса не зависят от выбора Черт. 23.
осей, то касательные эти должны со-
совпадать друг с другом (черт. 23). Это дает в силу формул E9)
второе условие Эрдмана:
I
и F0).
F2>
Два угловые условия:
*/.=/.*
J

234 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ* В ЦЕЛОМ
€ыли даны Эрдманом в 1875 г. ' и примерно в то же время Вейер-
штрассом в его курсе вариационного исчисления. Геометрический смысл
угловых условий был указан Каратеодори. 2 Оба направления *у* и у'*
.для индикатрисы точки излома должны приводить к точкам касания
двойной касательной индикатрисы (черт. 23).
§ 99. Условие Якоби
Если на дуге большого круга сферы лежат две диаметрально противо-
противоположных точки, то эта дуга заведомо не является кратчайшим расстоя-
расстоянием между ее концами. В этом параграфе мы постараемся перенести это
простое замечание на произвольную геодезическую линию произвольной
поверхности.
Возьмем начальную точку а исследуемой геодезической дуги за на-
начало системы геодезических полярных координат (§ 70);
Тогда измеряемое по геодезическому кругу г=const, расстояние
MVWd
до бесконечно близкой геодезической линии, также проходящей через а,
удовлетворяет диференциальному уравнению B6) § 71, т. е. уравнению:
™1 + К(г).Ьп = 0, F3)
где К (г) есть кривизна поверхности в точках нашей геодезической
линии. Обобщением точки, диаметрально противоположной точке а,
будет служить сопряженная с точкой а точка а', лежащая на нашей
геодезической дуге. Эта последняя определяется следующим образом:
найдем то решение 8л „диференциального уравнения Якоби" F3), ко-
которое обращается в нуль в точке а (это решение определяется с точ-
точностью до постоянного множителя). Следующая за а нулевая точка этого
решения 8я и дает сопряженную точку а'. Мы можем ожидать, что
если а' лежит перед Ь, то наша геодезическая дуга ab не дает крат-
кратчайшего расстояния между ее концами.
Для доказательства примем нашу геодезическую линию за кривую v = 0
прямоугольной сети параметрических линий, за кривые же и = const, мы
примем геодезические линии, перпендикулярно пересекающие кривую г> = 0
(§ 69). Тогда гауссов элемент длины будет иметь вид:
для длины дуги вариированной кривой
v = v (и) = е v (и)
1 G.Erdmann, Ober unstetige LOsungen in der Variationsrechnung, Crelles J. т. 82,
.стр. 21-30, 1877.
2 С. Caratheodory. Ober die diskontinuierlichen LOsungen In der Variationsrech-
Variationsrechnung, Diss, Gettingen 1904, стр. 71.

УСЛОВИЕ ЯКОБИ 235
мы получим, разлагая ее по степеням е, следующее выражение:
= f
Если мы положим, как обычно:
то наряду с само собой разумеющимся соотношением 85 = 0 мы полу-
получим выражение второй вариации длины дуги:
8*5 = J { v*Avv -f г/'2} du. F4)
В силу формулы B6) § 71 кривизна вдоль нашей геодезической лини v = 0
выражается формулой:
К{и) = -Ап. ' F5)
Если мы теперь введем вместо и обозначение s (длина дуги на кри-
кривой v = 0), то для второй вариации мы получим следующую формулу:
825= J{t>'2 —tf(s).?;2}rfs i, F6)
Если исходная кривая v = 0 должна давать кратчайшее расстояние
между ее концами, то наряду с уравнением S' @) = 0 должно иметь
место еще известное условие S" @)^>0 или
0
для каждого v, обращающегося в нуль на концах кривой. В том случае,
когда мера кривизны К всюду меньше нуля, это условие выпочняется
безусловно. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь противоположный
случай К > 0. Чтобы и в этом случае составить себе ясное представле-
представление о знаке величины 8г5, мы воспользуемся изящной идеей, принадле-
принадлежащей Блиссу (G. A. Bliss) 2.
Если мы должны иметь 82S^-0 для всех v, то кривая должна давать
минимум интеграла:
825 =
Этот интеграл можно рассматривать как частный случай интеграла
вариационной проблемы, рассмотренной в § 98. Мы можем, следова-
следовательно, применить .к нему изложенную там теорию. Диференциальное
уравнение Эйлера-Лагранжа E8) принимает теперь вид:
у"-\-К-у = 0, F7)
и, следовательно, совпадает с диференциальным уравнением Якоб^и F3).
Определим решение этого диференциального уравнения, обращающееся
1 Для v = const, мы получаем отсюда формулу задачи 1 § 90.
2 G. A. Bliss, Jacobis condition..., Am. Trans., т. 17, стр. 125 до 206, 1916.

236 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
в нуль в начальной точке а нашей геодезической дуги (но не тожде-
тождественно обращающееся в нуль). Пусть нулевая точка, лежащая на v = О
и ближайшая к а в направлении возрастающих s, расположится перед.
концом b геодезической дуги в точке а'. Построим функцию v(s), ко-
которая между точками а и а' совпадает с только что найденным реше-
решением, а между точками а' иЬ тождественно равна нулю. Тогда мы имеем:
а'
J {^>а_ д^г }ds = — fv {~v" -\-Kv] ds = 0. F8)
Так как мы можем выбрать кривую в произвольной близости от v = О
(черт. 24), ибо е может быть произвольно малым, то поскольку для
кривой -v (s) выполняется условие 82S = 0, кривая v (s) должна была
бы также давать минимум для S2S, если бы 8S всюду должно было
быть больше или равно нулю. Следовательно, v (s) была бы экстремалью
вариационной проблемы (82,S=extrem.), имеющей излом. Если мы при-
применим первое угловое условие Эрдмана к точке излома а', то получим:
и Это, однако, невозможно, так как
нетривиальное решение уравнения Якоби
v" -j- Kv = 0 не может обращаться в
нуль одновременно со своей производ-
производной.
Этим доказана необходимость усло-
„ . вия Якоби: если геодезическая дуга
еР • • ab должна давать кратчайшее рас-
расстояние между ее концами, то точ-
точка а', сопряженная с точкой а, не может лежать на этой дуге
<а'>Ь).
Разумеется, не исключена возможность, что точки а', сопряженной
с точкой а, не существует вовсе, как у поверхностей с мерой кри-
кривизны К<С, 0.
Еще одно замечание. Из предшествующего вытекает, что если а' < Ь,
то в любой близости от кривой v = 0 можно построить линию, соеди-
соединяющую а и b и имеющую излом, для которой 825<0. Но тогда
всегда можно так округлить угол, чтобы значение интеграла, дающего 82S
изменилось столь мало, что и для округленной кривой v (s) будет иметь
место неравенство 8aS < 0.
Вышеприведенное доказательство, идея которого принадлежит Блиссу
и которое устанавливает необходимость условия Якоби, может быть
аналогично проведено и в более общих вариационных задачах. Первые
доказательства необходимости условия Якоби были даны Вейерштрассом,
Эрдманом и Шварцем. Они также пользуются второй вариацией К
Якоби нашел свое условие в 1836 г. 2.
1 См., например, О. Bolza, Vorlesungen tiber Variationsrechnung стр. 82—87,
Leipzig 1909. Простое доказательство условия Якоби для случая геодезических
линий можно найти у G. Darboux, Surfaces ИГ, стр. 97, 1894.
2 С. О. Jacobi, Zur Theorie der Variationsrechnung, Werke IV, стр. 39—55.

ТЕОРЕМА БОННЕ О ДИАМЕТРЕ ОВАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 237
Существует еще одно принадлежащее Дарбух наглядное доказательство
необходимости условия Якоби. Недостатком его является только то, что
«но теряет силу в некоторых исключительных случаях. Если мы возьмем
все геодезические линии, проходящие через точку а, а на каждой из
них первую из точек, сопряженных с точкой а, то геометрическим
местом этих точек будет, вообще говоря, некоторая кривая, огибающая
семейство геодезических линий, проходящих через а. Пусть теперь а и а'
будет пара сопряженных точек и пусть огибающая не имеет излома
в точке а'. Тогда можно выбрать ib окрестности точки а' некоторую
точку Ь' огибающей так, чтобы согласно теореме § 78 между дугами
существовало соотношение (черт. 20, стр. 183):
Но между точками а' и Ь' должен существовать на поверхности еще
более короткий путь, чем огибающая, так как последняя не является
геодезической линией. Действительно, через каждый линейный элемент
проходит лишь одна геодезическая линия. Следовательно, в общем случае
между а и а' существует путь, более короткий, чем исходная геодези-
геодезическая дуга. ¦
Это доказательство не применимо к тому случаю, когда огибающая
в точке а' имеет острие, обращенное к а (черт. 29, стр. 250).
;§ 100/Теорема'Бонне о^диаметре овальной поверхности
Результаты, полученные нами в § 98 и 99, позволяют нам теперь
доказать теорему Бонне, о которой мы уже говорили в начале § 98.
Эту теорему можно сформулировать еще следующим образом: если
кривизна овальной поверхности во всех точках последней ограничена
неравенством K^-j^-, то для ее диаметра имеет место неравенство
Под диаметром мы разумеем максимальное расстояние двух точек
поверхности. Дл-i доказательства возьмем на овальной поверхности какие-
нибудь две точки а и b и будем считать известным, что на поверхности
существует кратчайший путь между точками аи Ьи что этот крат-
кратчайший путь принадлежит геодезической линии. Тогда, как мы показали
в § 99, точка а', сопряженная с точкой а, во всяком случае не лежит
перед точкой b (a' %¦ Ь). Расстояние же между точками аи Ьв про-
пространстве по прямой линии во всяком случае не больше, чем геодези-
геодезическое расстояние между точками а и а'. Поэтому нам остается только
доказать следующее предложение: из соотношения АГ!> —р- следует,
что геодезическое расстояние S двух сопряженных точек геодезической
линии друг от друга меньше или равно лА.
В этом можно убедиться следующим образом. Если мы имеем два
диференциальные уравнения
1 G. Darboux, Surfaces III, стр. 86—88.

238 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ Й ЦЕЛОМ
причем
K{s)>L(s),
то в силу теоремы Штурма * A836) нули функции v(s) расположены,
кратко выражаясь, плотнее, чем нули w (s). Иными словами, с возраста-
возрастанием меры кривизны сопряженные точки плотнее сдвигаются. Таким
образом, если мы имеем два решения v и w с общей нулевой точкой s,,
то ближайшая нулевая точка функции w не лежит перед ближайшей
нулевой точкой функции v. В самом деле, в противном случае мы
имели бы: *
«1
f {v(w
«»
или, интегрируя по частям:
Ь
[vwf — W)*| = J vw (K — L) ds.
81
В силу граничных условий [v (Sj) = w (st) = w (s2) == О] это дает:
F9)
v (sa) w' (s2) = J vw(K—L) ds. G0)
Если бы теперь мы имели »>0 в интервале Si<s-^>2 и «»>0
в интервале st < s < s2, то мы имели бы w' (s2) < 0, так как w пере-
переходит от положительных к отрицательным значениям. Поэтому левая
часть уравнения (;70) была бы заведомо отрицательна, тогда как правая
часть больше или равна нулю, что приводит к противоречию. Подобным
же образом мы будем рассуждать и в остальных случаях.
В частности, если мы положим L = -т? = const., то будем иметь:
А
G1)
и поэтому в силу соотношения w (s -(- тсЛ) = — w (s):
s2 — st = кА = const.
Таким образом для расстояния 5 двух соседних нулевых точек
функции v мы имеем во всяком случае 5<[ха.
Этим наше утверждение доказано. Французский математик Штурм
A803 —1855), которому принадлежит использованное здесь предложе-
предложение и ряд родственных теорем алгебры, дал свою оценку этим изящным
теоремам Штурма, выразившись на своей лекции, что он говорит о
теоремах „имя которых я имею честь носить".
Применяя только что изложенный метод рйссуждения, можно доказать
без труда также и следующее предложение: между двумя следующими
друг за другом нулевыми точками одного из решений диференциальнога
уравнения v" -\- Kv = 0 лежит всегда одна и только одна нулевая,
точка каждого другого решения, ^линейно не зависящего от первого.
1 У. С. F. Sturm, Meraolres sur les equations differentieiles du seconde ordre».
Liouville J., т. I, стр. 131, 1836.

НАЛИЧИЕ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ НА ОВАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 239"
Бонне опубликовал свою теорему, доказательство которой в суще-
существенных чертах совпадает с вышеизложенным, в 1855 г. 1.
На найденных Миндингом веретенообразных поверхностях вращения
постоянной кривизны можно легко показать, что неравенство Бонне дает
истинную границу, т. е. что величина D может быть сделана сколь
угодно близкой к кА.
Все вышеизложенное доказательство имеет один уязвимый пункт.
Мы приняли как „само собой разумеющееся", что между двумя точками
овальной поверхности действительно существует кратчайшее расстояние,
принадлежащее геодезической линии. Возникающие здесь трудности мы
рассмотрим в следующем параграфе. Доказательство, обходящее вопрос
существования и дающее также дальнейшие результаты, было предложена
автором в 1916 г. а.
§ 101. Наличие кратчайшего пути на овальных поверхностях
В предыдущем параграфе мы столкнулись с вопросом: всегда л^и между
двумя точками а и b овальной поверхности F существует на поверх-
поверхности F кратчайшее расстояние? Если да, то является ли кратчайший
путь геодезическим? Представляющийся для физика самоочевидным факт
существования такого пути мы докажем, исходя из предположения, что-
овальная поверхность ограничена, всюду правильна и аналитична. Если
мы обозначим наибольшее значение меры кривизны К на поверхности F
через -г», то из К <! -щ согласно теореме Штурма § 100 вытекает, что
для геодезического расстояния 5 двух сопряженных точек имеет места
соотношение:
ч G2)
Это можно доказать с помощью рассуждения, аналогичного тому,,
которое выше было применено для оценки верхней границы.
Поэтому, если мы из некоторой точки а поверхности F проведем по
всем направлениям геодезические дуги длины кВ, то эти дуги покроют
круг Гаусса {а, кВ\. В самом деле, если мы будем вращать этот гео-
геодезический радиус вокруг начальной его точки а, так, чтобы ^ггол <р,
образованный этим радиусом с постоянным направлением на касательной
плоскости точки а, непрерывно возрастая, пробегал значения от нуля,
до 2тс, то согласно предположению диференциальное уравнение Якоби
где (§ 7.0) через
обозначено расстояние до бесконечно близкого радиуса, имеет положи-
положительное решение (8я > 0 при 0 < т < кВ). Поэтому радиус этот движется
всегда в одном и том же направлении. Так как он в конце концов
1 О. Bonnet, Comptes Rendus, т. 40, стр. 1311—1313, .1855.
2 См., например, W. Blaschke, Kreis und Kugel, стр.119, Leipzig 1916.

240 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
(<$> = 2к) возвращается в начальное положение (<р = 0), то, казалось бы,
можно было бы сделать заключение, что геодезические радиусы, про-
¦ходящие через а и имеющие длину кВ, покрывают поверхность геоде-
геодезического круга {a, rb} просто, т. е. что через каждую внутреннюю
точку (фа) поверхности проходит один и только один такой радиус.
Однако такое умозаключение несостоятельно, как можно убедиться на
примере длинной и тонкой поверхности тора, для которой такой круг
наворачивается на тор подобно листу, обертывающему сигару.
Поэтому нам нужно выбрать геодезический радиус 2R > 0 таким
образом, чтобы все круги {а, 2/?} на нашей овэльной поверхности F
были простыми при произвольном выборе центра а. Этого можно до-
достигнуть таким, например, образом. Допустим, что круг {а, пВ} не
•является простым. Тогда мы, оставляя неизменным центр а, уменьшаем
геодезический радиус до тех пор, пока круг перестанет сам себя пере-
перекрывать. Первый из таких кругов пусть имеет геодезический радиус Г.
Он должен кас!Ргься самого себя в некоторой точке окружности р, и
два его^ радиуса, проходящие через р, вместе взятые, образуют геоде-
геодезический „одноугольник" с вершиной а, ибо в точке р радиусы гладко
прилегают друг к другу, так как оба они перпендикулярны к окружности.
К этому одноугольнику мы применим теорему Гаусса-Бонне (§ 76, 77)
« найдем:
f К dO =
тде о) есть внешний угол при точке а. Если мы надлежащим образом
выберем одну из двух поверхностей, офаниченных нашим одноугольником,
то мы будем иметь О -^ ш < чг, и потому
*KdO < 2тг.
~j*
Входящий в эту формулу интеграл представляет собой площадь 2 сфе-
сферического отображения нашего одноугольника на единичную сферу. Со-
тласно изопериметрической теореме для сферических кривых (задача 7
$ 32) для периметра Л сферического отображения нашего одноугольника
мы имеем соотношение:
Пусть теперь ds и rfa — соответствующие элементы дуги для овальной
тюверхности и ее сферического отображения, и пусть р есть минимум
ds
¦отношения -зг-нв поверхности F. Укажем мимоходом, что р есть наи-
наименьший из главных радиусов кривизны поверхности F. Поэтому для
периметра 2 Г нашего одноугольника мы имеем:
2Г>РЛ> j/Уяр.
Если теперь 2R есть наименьшее из двух чисел ъВ и уТ^З тер, то мы
тиожем быть уверены, что каждый геодезический круг { а, 27? } поверх-
поверхности F покрывается своими радиусами просто.
Если теперь точка b лежит внутри или на границе круга {а, 2R},
то та часть г дуги геодезического радиуса этого круга, которая сое-

НАЛИЧИЕ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ НА ОВАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 241
диняет точки аи Ь, дает кратчайшее расстояние между этими точками.
Действительно, если мы введем геодезические полярные координаты
(§ 70), началом которых будет точка а, то' в силу G> 0 будем иметь:
ь ъ ь
y/-. G3)
Обозначения этой формулы не требуют особых пояснений.
Это относится ко всем* кривым, которые не покидают круга { a, 2R }.
Если же кривая, соединяющая точки а и Ь, выходит из этого круга
в точке с, то согласно вышедоказанному уже дуга ее, заключенная
между а и с, больше или равна 2R "^ г.
Полученный нами результат можно сформулировать также следующим
образом: если между двумя точками а и b поверхности F существует
путь длины S <! 2R, то всегда существует
еще более короткий путь, именно дуга
геодезического радиуса круга.
Длину этого кратчайшего пути мы на-
назовем геодезическим расстоянием точек а и
b и будем обозначать через [ab] = [Ьа].
Таким образом пока что мы можем говорить
об этом кратчайшем пути лишь в том слу-
случае, еслу между аи b существует некоторый
путь 5<2Я.
Остается таким образом рассмотреть лишь Черт. 25.
тот случай, когда b лежит вне круга {а, 2/?}.
Соединим сначала точки а и b на поверхности F линией С конечной
длины S. В эту кривую мы будем вписывать геодезическую шарнирную
цепь, звенья которой имеют длину R, следующим образом (черт. 25).
Соединим точку а радиально с первой из точек выхода кривой С из
круга {a, 2R]. Обозначим точку выхода через ъ.г
Таким образом мы будем иметь [aaj = R. Точно так ^же мы соединим
точку at с первой из точек выхода а2 кривой С из круга {а^ R}.
Этот процесс мы будем продолжать до тех пор, пока мы не дойдем до
некоторой точки ла кривой С, для которой [ajb] -^ R. Этой точки а„
с
мы достигнем через конечное число шагов и; именно и < -тг, так как
/\
каждая дуга aft_xafc не короче, чем R. Таким образом 5 > nR, как мы
и утверждали. Точку а„ мы соединим с точкой b геодезическим^адиусом,
исходящим из Ь. Этим мы закончим построение нашей шарнирной цепи.
Для ее длины L мы имеем:
Так как длина 5 исходной кривой С во всяком случае больше или равна
длине L вписанной цепи, то нам остается только доказать, что среди
соединяющих точки а и b цепей, звенья которых имеют длину R и по
числу не превосходят п, существует кратчайшая цепь. А в этом сравни-
сравнительно нетрудно убедиться.
• Пусть Lq есть нижняя граница длин всех допустимых цепей, как
мы будем кратко выражаться. Мы можем во всяком случае из мно-
1^ За*. 68*. — Бляшке, ч. I
/

242 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
жества этих допустимых цепей выбрать некоторую последовательность
так, чтобы для соответствующих дуг'имело место Соотношение:
L1—*L0 при V—»оо.
Соответствующие шарниры а^ во всяком случае имеют на поверхности F
точку сгущения, так как поверхность F ограничена. Поэтому мы можем
выбрать такую подпоследовательность из последовательности наших
цепей, чтобы при введенных выше обозначениях мы имели:
aj —» aj при v —»оо.
Из этой последней последовательности мы снова выберем подпоследо-
подпоследовательность так, чтобы последовательность точек а2 оказалась также схо-
сходящейся:
и т. д. Тогда мы имеем:
а^—* а°к при k= 1, 2.. .т<[и,
если т есть последний индекс, для которого соответствующая точкЗ
сгущения не лежит внутри {bR \.
Мы утверждаем теперь: найденная таким образом цепь а, а*
а° &°т, b является допустимой и имеет длину Lo. Для этого нужно
доказать, что
и что
[a>] = Iim[a>]. G6)
Так как доказательство обоих этих утверждений протекает аналогично,,
то достаточно провести хотя бы первое. В силу сходимости:
Ню [а;_а a?_J = 0, ton [^ а?] = О
мы имеем для достаточно большого v:
Таким образом геодезическое расстояние между точками а°_х и а^ со-
согласно вы^иедоказанному должно существовать. Мы имеем:
Отсюда следует, что при v -> оо.
Если в этом рассуждении обменять ролями верхние индексы v и 0, то
мы докажем таким же образом, что
Таким образом единственно возможным является соотношение G5).
Этим доказано существование кратчайшего расстояние между точками

ПОВЕРХНОСТИ, ГЕОДЕЗИИ. РАССТ. СОПРЯЖ. ТОЧЕК КОТОРЫХ ПОСТОЯННО 243
а и Ь; именно, оказалось, что этим кратчайшим расстоянием является
некоторая цепь. Теперь нетрудно убедиться в том, что звенья этой цепи
в точках их соединения гладко прилегают друг к другу, так что вся
цепь лежит ка одной геодезической линии. Действительно, в силу свойства
минимальности наша цепь должна давать кратчайшее расстояние также
и для точек a°k_v а?+1 (?=1, 2,..., т—1). Следовательно (так как
расстояние между этими точками равно 2/?), наша цепь должна совпадать
с геодезическим радиусом, соединяющим точку ак_1 с точкой ай+1.
Этим доказывается, что в точке а°к не может быть никакого угла. Точно
таким же образом мы проведем доказательство и для точки аот. Этим
доказательство наше закончено, и результат, который мы получили,
гласит: среди дуг, соединяющих на овальной поверхности две ее точки
а и Ь, всегда существует одна кратчайшая. Последняя принадлежит
геодезической линии.
После исследований Гильберта, посвященных принципу Дерихле A899),
вопросами, связанными с ,существованием абсолютного экстремума,
особенно много занимались Лебег и Каратеодори. 1 Изложенный здесь
метод имеет то преимущество, что, если мы проведем рассуждение в не-
несколько иных выражениях, чем те, которыми мы пользовались в на-
настоящем параграфе, то при доказательстве мы сможем опираться лишь
на теорему Вейерштрасса о существовании экстремума в случае непре-
непрерывных функций. Впрочем в последнее время среди математиков на-
находятся лица, настроенные „экспрессионистски", которые[отрицают право-
правомерность пользования даже этим предложением.
§ 102. Поверхности, сопряженные точки которых имеют постоянное
геодезическое расстояние
В этом параграфе мы сделаем ряд замечаний по поводу одной особенно
интересной задачи теории поверхностей. Эту задачу можно сформули-
сформулировать двумя различными способами.
Если мы будем перемещаться из некоторой точки а поверхности
вдоль некоторой ее геодезической линии к сопряженной точке а' (§ 99),
то путь, который мы должны будем пройти, в общем случае зависит
от исходной точки и от исходного направления. Можно теперь задаться
следующим вопросом.
/. Каковы те поверхности, для которых геодезическое расстояние
сопряженных точек постоянно?
Согласно теореме § 78 об огибающей геодезических линий, в этом
случае огибающая всех геодезических линий, проходящих через точку а
поверхности, должна выродиться в одну точку а'. Иными словами,
точка а должна иметь на поверхности одну единственную сопряженную
точку а'. Таким образом мы приходим к постановке второго вопроса:
//. Найти все поверхности, у которых каждая точка имеет един-
единственную точку, с ней сопряженную.
Покажем, что для таких поверхностей геодезическое расстояние
сопряженных точек необходимо должно быть постоянным, так что,
1 Литературные указания см. у О. Bolza, Varlationsrechnung, гл. 9, стр. 419.

244 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
следовательно, вопросы I и II эквивалентны. Если мы будем итти по геоде-
геодезической линии, исходя из точки а и двигаясь по направлению к со-
сопряженной точке а', а затем, достигнув сопряженной точки, продолжать
путь дальше по этой геодезической линии, то в силу обратимости со-
соотношения сопряженности мы возвратимся в начальную точку а, при-
причем направление движения совпадает с исходным, так что все геоде-
геодезические линии окажутся замкнутыми. Действительно, если бы началь-
начальное и конечное направления геодезической дуги в точке а не совпадали
бы между собой, то, когда а' сместилось бы в точку b', то точка,
сопряженная с Ь', сместилась бы в том же направлении на нашей гео-
геодезической линии, так как нулевые точки диференциального уравнения
Якоби согласно теореме Штурма (§ 100) разделяются. Таким образом
точка, сопряженная с Ь', смотря по тому, выберем ли мы ее справа
или слева, заняла бы два различных положения b и Ь", что несовме-
несовместимо с нашим предположением (черт. 26).
Нетрудно далее убедиться в том, что наша поверхность имеет связ-
связность сферы. Действительно, все геодезические дуги между а и а' имеют
согласно теореме об огибающей (§ 78)
одну и ту же длину 2R. Рассуждая так же,
Ь<^ у^* ^№" как в конце § 101, мы доказали бы,
что геодезический круг расстояний с цен-
центром а и радиусом 2R однократно покры-
/ , ^~^^_ _^yS вается своими радиусами. Так как все
радиусы сходятся в точке а', то эту
Черт. 26. фигуру можно поставить во взаимноод-
взаимнооднозначное непрерывное соответствие со
сферой, с проведенными на ней меридианами. Точки а и а' делят по-
пополам периметр каждой проходящей через них замкнутой геодезической
линии.
Из соотношений Штурма (§ 100) между нулевыми точками решений
линейных однородных диференциальных уравнений второго порядка сле-
следует, что пары сопряженных точек замкнутой геодезической линии раз-
разделяют друг друга. Если поэтому мы рассмотрим все замкнутые геоде-
геодезические линии, проходящие через точки а и а', то увидим, что каждая
из них разделяет поверхность на две части так, что точки одной части
сопряжены с точками другой. Так как все остальные замкнутые геоде-
геодезические линии содержат для каждой из их точек также и им сопря-
сопряженные, то, как нетрудно видеть, каждые две замкнутые геодезические
линии должны пересекаться, и, притом, очевидно, в сопряженных точ-
точках. Но отсюда следует, что все наши замкнутые геодезические линии
имеют один и тот же периметр, и, значит, точки, сопряженные друг
с другом, отстоят друг от друга на одном и том же расстоянии, равном
полозине периметра, что мы и утверждали.
Легко также видеть, что наши поверхности с помощью соответ-
соответствия а<—>&' отображаются друг на друга изометрически. В самом
деле, если мы сдвинем точку а по геодезической линии на некоторое
расстояние, то точка а' сдвинется на той же самой геодезической линии
в том же направлении на то же расстояние. Таким образом линейные
элементы, проходящие через а, изометрически будут отнесены к линей-

ПОВЕРХНОСТИ ГЕОДЕЗИЧ. РАССТ. СОПРЯЖ. ТОЧЕК КОТОРЫХ ПОСТОЯННО 245
ным элементам, проходящим через а''. Поэтому согласно гауссовой Theo-
rema egregium наша поверхность в точках а и а' имеет одну и ту же
меру кривизны. \
Упомянем еще, что для меры кривизны К нашей поверхности мы
имеем соотношение:
а'
f^uvwds = 0. G7)
а
Здесь и, * и w суть какие-нибудь три решения диференциального урав-
уравнения Якоби и"-т-/Си = О вдоль геодезического пути интегрирования,
dK
a -J- есть производная меры кривизны, взятая по направлению, перпен-
перпендикулярному к этому пути интегрирования. В самом деле, если г и в
суть геодезические полярные координаты с началом в точке а и ds2 =
= dr2 -f- м2 ^f2 есть линейный элемент, то величина и как функция г
удовлетворяет уравнению Якоби:
Диференцируя по <р, мы найдем:
и"Л-Ки — д* и = дК и*
Умножив первое из этих диференциальных уравнений на и , а второе
на и, сложив и интегрируя, мы получим:
а' -. ' а'
Так как на границах и и и обращаются в нуль, то мы имеем:
Отсюда легко получается несколько более общая 'формула G7); для
этого достаточно подставить вместо и линейную комбинацию несколь-
нескольких решений. Интегрирование производится по геодезической дуге,
соединяющей две сопряженные точки.
Мы хотели бы сделать здесь несколько предостерегающих указаний,
обратив внимание читателя на то, как не следует продолжать доказа-
доказательство предложений I и II.
Поставим нашу поверхность связности сферы в такое соответствие
с некоторой новой поверхностью, при котором каждой паре сопряжен-
сопряженных точек будет соответствовать на новой поверхности одна точка.
Тогда новая поверхность, как нетрудно видеть, будет иметь связность
проективной плоскости. Отображением геодезических линий будет слу-
служить семейство линий, зависящее от двух параметров и обладающее
тем свойством, что через каждые две точки поверхности будет прохо-
проходить одна и только одна кривая этого семейства и что две кривые

246
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
семейства пересекаются в одной и только в одной точке. Если бы, исходя
только из этого топологического свойства, можно было бы доказать,
что наша новая поверхность с ее семейством кривых может быть поста-
поставлена во взаимнооднозначное соответствие с проективной плоскостью и
с ее прямыми, то наша исходная поверхность могла бы быть геодези-
геодезически отображена на плоскость. Иными словами, геодезические линии
переходили бы в прямые. Согласно одной теореме Бгльтрами (задача 14
§ 90) поверхность имела бы тогда постоянную меру кривизны и в силу
своей замкнутости должна была бы быть сферой (§ 91).
Однако вышеуказанные топологические свойства являются недоста-
недостаточными: на проективной плоскости можно построить семейство кривых,
зависящее от двух параметров, так, что через каждые две точки про-
проходит одна кривая семейства и каж-
каждые две кривые пересекаются в одной
точке, причем, однако, это семейство
не может быть переведено в се-
семейство прямых. Гильберт дал это-
этому простой и наглядный пример *.
Выделим из проективной плоскости ,
ту ее часть, которая заключена внутри
некоторого эллипса, и заменим у
каждой прямой ту ее часть, которая
лежит внутри эллипса, дугою окруж-
окружности, проходящей через точки пере-
пересечения нашей прямой с эллип-
эллипсом, и через неподвиждую точку р,
Черт. 27.
лежащую на продолжении большой оси (черт. 27). Мы получим таким
образом новое семейство кривых, которое не может быть получено из
прямых плоскости „искривлением" последней, так как в противном
случае для новых прямых должна была бы быть справедливой теорема
Дезарга: если соответствующие стороны a,aft, a^aj. двух треугольни-
треугольников пересекаются на одной прямой, то прямые, соединяющие соответ-
соответствующие вершины этих треугольников (агар, проходят через одну
и ту же точку. А эта теорема, как легко видеть из нашего чертежа,
в общем случае не будет справедлива а.
Теперь второе, еще более существенное, предостережение. Можно
без большого труда показать, — мы ограничиваемся здесь только сооб-
сообщением результата, — что на поверхности, обладающей свойствами I
и II, геодезические круги расстояний, к числу которых, как оказывается,
принадлежат и ее геодезические линии, образуют систему кривых, обла-
обладающих следующими свойствами:
A. Кривые этой системы замкнуты и не имеют кратных точек.
B. Любые три точки поверхности определяют одну и только
одну проходящую через них кривую системы. .
1 D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 3-е изд., § 23, стр. 72 и след.,
Leipzig und Berlin 1909.
2 При составлении этого параграфа автор опирался на ряд устных сообще-
сообщений своего коллеги Радона. Ср. ниже задачу 15 § 104.

ПОВЕРХНОСТИ, ГЕОДЕЗИЧ. рАССТ. СОПРЯЖ. ТОЧЕК КОТОРЫХ ПОСТОЯННО 247
Можно было бы предположить, что в этом случае имеет место сле-
следующее топологическое предложение: пусть F есть поверхность
связности сферы, a S — система замкнутых кривых, лежащих на
поверхности и не имеющих двойных точек. Пусть далее любые три
точки поверхности F однозначно определяют кривую системы S.
Тогда поверхность F может быть отображена на некоторую выпук-
выпуклую поверхность G так, что система S перейдет в систему Т пло-
плоских сечений поверхности.
Если бы это предложение было верно, то мы легко могли бы показать,
что указанные в начале этого параграфа свойства I и II являются отли-
отличительными для сферы. Именно, мы могли бы тогда — мы и здесь огра-
ограничиваемся краткими указаниями — принять поверхность, обладающую
этими свойствами, за поверхность F нашего топологического предложе-
предложения, а геодезические крути расстояния принять за кривые системы S.
При отображении системы S на плоские сечения Т поверхности G, парам
сопряженных точек поверхности F соответствовали бы на поверхности
С некоторые пары точек, которые мы Яогли бы назвать диаметраль-
диаметральными точками поверхности G. Далее можно было бы показать, что
прямые пересечения двух плоскостей, касательных к поверхности G
в двух ее диаметральных точках, лежат все на одной и той же непо-
неподвижной плоскости Е, не пересекающей овальной поверхности G. Далее
мы могли бы доказать, что конусы, описанные около поверхности G,
вершины которых расположены на Е, касаются плоскости вдоль тех кри-
кривых К, которые соответствуют геодезическим линиям поверхности F. Мы
могли бы далее с помощью проективного преобразования перевести
"плоскость Е в несобственную плоскость; при этом поверхность G пере-
перешла бы в новую поверхность G', кривые К перешли бы в кривые К',
по которым цилиндры, описанные около поверхности, касаются послед-
последней. Если бы мы далее отобразили поверхность G' с'помощью парал-
параллельных нормалей на сферу L, то кривые К' перешли бы в большие
«руги этой сферы. Через ряд отображений F -»¦ G, G -*¦ G' и G' -»¦ L
мы перевели бы геодезические линии поверхности F в большие круги
сферы L. „В малом" эти большие круги (например с помощью стерео-
стереографической проекции) можно отобразить на прямые плоскости. Таким
образом мы могли бы „в малом" отобразить геодезические линии по-
поверхности F на геодезические линии плоскости. Согласно теореме Бель-
трами (задача 14 § 90) поверхность F должна была бы иметь постоян-
постоянную меру кривизны и как замкнутая поверхность постоянной меры
кривизны была бы согласно теореме Либмана (§ 91) сферой. Этим дока-
доказательство было бы завершено.
Однако указанная выше топологическая теорема неверна, как мы
можем показать на примере, данном Хельмслевом * (J. Hjelmslev). Для
того чтобы отображение F —> G удовлетворяло требованиям нашего
топологического предложения, необходимо, чтобы для кривых S поверх-
поверхности F имело место следующее свойство расположения 2 (черт. 27V
1 Сообщено письменно автору в 1925 г.
2 На то, что это свойство имеет место для кругов сферы, указал впервые
¦икель (A. Miguel, Theoremes de geomdtrie Liouville Т., т. 3 A838), cip. 517).

248. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
Возьмем на произвольной кривой St системы S четыре различных
точки и проведем через каждую пару рядом лежащих по одной кривой
системы S : S2, S4) Sg. S5. Тогда четыре вторых точки пересечения этих
четырех линий должны лежать на одной и той же кривой S6 семей-
семейства S.
Это свойство, как в этом легко убедиться, имеет место для плоских
сечений овальной поверхности и, следовательно, если отображение
было бы возможно, оно имело бы место и для кривых S поверх-
поверхности F.
Однако свойство это, которое в дальнейшем мы будем называть
свойством С, отнюдь не следует из двух допущенных нами свойств А
и В. Мы можем это показать на противоречащем примере. Пусть непо-
неподвижный эллипсоид, все три оси которого неравны между собою, пере-
пересечен системой сфер, центры которых лежат в неподвижной плоскости Е.
Плоскости, перпендикулярные к Е,
мы также включим в число этих
сфер. Плоскость Е пусть будет вы-
выбрана достаточно далеко от эллип-
эллипсоида, например столь далеко, чтобы
ни один из кругов кривизны не пе-
пересекал ее. Кривые, получающиеся на
эллипсоиде от пересечения его этими
сферами, образуют систему S, для
которой условия А и В выполнены.
Для этой системы выполняется так-
также и вышеуказанное свойствб распо-
Черт 27а ложения С. Но теперь мы поступим
следующим образом: выберем на
эллипсоиде некоторую конфигурацию, подобную изображенной на
черт. 27а, и подвергнем ее некоторому изменению, заменяя нашу систему
кривых другой так, чтобы свойства А и В сохранялись, но точки РБ>
Р& Рч> Р$ не лежали в одной плоскости.
Мы можем принять, что кривые St, S2, Sg, S4, Ss, S6 лежат на
шести невырожденных сферических поверхностях, центры которых Ои
О2, Од, О4, ОБ, Об лежат на плоскости Е. Опишем на плоскости Е
малый круг к с центром О6; круг этот должен быть столь малым, чтобы
другие центры Ои О2, О3, О4, ОБ лежали вне его. Всю плоскость
Е мы заменим теперь незначительно отличающейся от нее новой поверх-
поверхностью следующим образом. Ту часть ее, которая лежит вне круга k,
мы оставим без изменения; эта часть принадлежит, следовательно, и
новой поверхности Е'. Ту же часть плоскости, которая лежит внутри
круга, мы заменим близко прилегающим к плоскости сферическим сег-
сегментом, ограниченным окружностью к. Новая-поверхность Е' состоит
таким образом из бесконечно большой" части плоскости Е (лежащей
вне круга к) и вышеуказанного сферического сегмента. Предположим
теперь, что сегмент взят настолько сплющенным, что он пересекается
осью каждого из кругов, проходящих через три произвольные точки
эллипсоида, самое большее один раз.
Теперь мы определим новую систему S' кривых эллипсоида таким

ТЕОРЕМА КАРАТЕОДОРИ 249'
образом, что мы будем пересекать эллипсоид сферами, центры которых.
лежат на новой поверхности Е'. Новая система S' частично совпадет-
с системой S, но введение сферического сегмента вместо малого куска,
плоскости k повлечет за собою небольшие изменения некоторых кривых..
Новая система S' удовлетворяет условиям А к В. Однако свойство
С для этой системы не выполняется, что можно показать следующим
образом.
Кривые Sj, S2, Se, S4, S6, все принадлежат как к системе S, так в
к системе S'. Если бы теперь свойство расположения С имело мест»
также и для S', то некоторая кривая S'6 системы S' должна была бы
проходить через точки РБ, Я6, Я7, Я8. Кривые S6 и S'e должны были бы
лежать на двух различных сферах: на одной с центром Ов на плоскости.
Е и на другой с центром О'б на сферическом сегменте. Но тогда четыре
точки Я6> Рв, Р7, Я8 должны были бы лежать в одной плоскости, во-
вопреки исходному предположению.
Таким ^образом мы действительно построили систему S', для которой
свойства А и В выполняются, а свойство С—нет.
§ 103. Теорема Каратеодори об огибающих геодезических линий на.
овальной поверхности
Пусть F будет овальная поверхность, т. е. поверхность, выпуклая
замкнутая, всюду правильная и аналитическая. Пусть мера кривизны
поверхности удовлетворяет условиям:
Тогда в соответствии с результатами § 100 для геодезического расстоя-
расстояния сопряженных точек мы имеем соотношение:
G9)
Рассмотрим теперь экстремальную дугу овальной поверхности, снабжен-
снабженную направлением и исходящую из некоторой точки а. На этой дуге
существует некоторая точка а', сопряженная с точкой а. В общем
случае, еще не доходя до точки а', наша дуга перестает быть кратчай-
кратчайшим путем из точки а, как показывает рассуждение конца § 99. Таким
образом в общем случае на нашей экстремали существует некоторая
точка Ь, обладающая тем свойством, что дуга экстремали ас дает крат-
кратчайший путь, когда с лежит перед Ь, но не дает кратчайшего пути,
когда с лежит за Ь. Очевидно, что в этом случае из а в b ведут два
кратчайших пути равной длины. Эти пути лежат раздельно и ограничи-
ограничивают на поверхности некоторый двухугольник. Если мы проведем через,
точку а какую-нибудь другую геодезическую линию, то получим другой,
подобный геодезический двухугольник. Два таких двухугольника должны,
лежать раздельно вследствие того, что ограничивающие их геодезиче-
геодезические дуги обладают свойством минимальности., Таким образом каждый
из этих двух двухугольников целиком лежит в одном из односвязных кусков.
нашей овальной поверхности, на которые эта поверхность рассекается
другим двухугрльником (черт. 28). ПоЗтому по меньшей мере дважды
должно случиться, что наши двухугольники стянутся в дважды покры-

250
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
вающийся отрезок. Отличный от а конец одного из таких отрезков
должен служить острием огибающей геодезических линий, проходящих
через а, поскольку эту огибающую можно рассматривать как геометри-
геометрическое место ближайших к а сопряженных точек. Мы получим таким
образом обращенное к точке а острие огибающей (черт. 29), которое
согласно предложению § 78 соответствует наименьшей величине гео-
геодезического расстояния аа'. В силу непрерывности должны существо-
существовать по меньшей мере две наибольшие величины расстояния аа', кото-
которые соответствуют остриям, обращенным в противоположную от а
сторону. Таким образом безусловно существуют по меньшей мере
четыре острия, если геометрическое
место тайки а' не вырождается в одну
единственную точку.
Кажущиеся исключения могут воз-
возникнуть лишь в том случае, если при
вращении геодезической дууи вокруг
точки а точка а' пробегает огибающую
Черт. 28.
Черт. 29.
более, чем один раз. Но тогда нужно считать каждое острие за несколь-
несколько, соответственно его кратности.
Таким образом мы доказали следующее предложение, с которым
автор ознакомился благодаря сообщению Каратеодори A912): геометри-
геометрическое место точек овальной поверхности, сопряженных с данной точ-
точкой, имеет по щайней мере четыре острия.
В том, что действительно существуют подобные огибающие, имею-
имеющие в точности четыре острия, мы можем убедиться на примере эллип-
эллипсоида.
Это доказательство мВжет быть распространено на случай любой
положительно определенной вариационной задачи на сфере, если инди-
индикатрисы (§ 98) являются выпуклыми кривыми.
§ 104. Задачи и теоремы
1. Отличительное свойство овальных поверхностей. Замкнутая двусто-
двусторонняя поверхность, имеющая всюду положительную меру кривизны, необхо-
необходимо является овальной поверхностью. J. Hadamard, Liouvilles J. E), т. 3,
•стр. 352, 1897.

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 251
2. К системе Христоффеля. Формула C5) для /?, -f- /?2 может быть, как
показал Вейнгартен, записана также следующим образом:
(80)
где />(Мг?з) есть опорная функция на единичной сфере, а Д — второй дифе-
ренциальный параметр Бельтрами относительно элемента дуги сферы. Диферен-
циальное уравнение, разрешенное в § 95 с'помощью сферических функций:
Д)/>=/, (81)
может быть разрешено также с помощью функции Грина:
i//M> О - Ы Ш [1 -Ы\) А», • (82)
¦Формула (80) дана Вейнгартеном в его работе (J. Weingarten, Ober die Theorie
der aufeinander abwlckelbaren Oberflachen, Festschrift der Technlschen Hochschule,
Berlin 1884).
3. Площадь проекции овальной поверхности. Пусть F есть овальная по-
поверхность, мера кривизны которой удовлетворяет условиям:
<*<• G8)
Пусть будет F площадь ортогональной проекции поверхности F на некоторую
плоскость. Тогда мы имеем:
&FA* (83)
и знак равенства может иметь место лишь в том случае, если F есть сфера.
Для поверхности О имеет место условие:
4я?2<:о<41:Л2. (83*)
4. Неравенство Каратеодори для площадей проекций овальной поверх-
поверхности. Если F( площади ортогональных проекций поверхности на три взаимно
перпендикулярные плоскости, a F площадь проекции той же поверхности на
произвольную .четвертую плоскость, то мы имеем:
' F*^Fl+Fl + Fl (84)
¦См. W. Blaschke, Krels und Kugel, стр. 148.
5. Сферы в овальной поверхности. Наибольшая сфера, которая может
беспрепятственно катиться внутри овальной поверхности, имеет своим радиусом
наименьший из главных радиусов кривизны овальной поверхности. См. там же,
стр. 118 — 119.
6. Овальная поверхность в сфере. Наименьшая сфера, в которой может
беспрепятственно катиться овальная поверхность, имеет радиусом наибольший
из главных радиусов кривизны овальной поверхности. Там же, стр. 118 —119.
7. Обращение теоремы Архимеда. Если любые две параллельные плоско-
плоскости, отстоящие друг от друга на расстояние h, всегда вырезают из овальной
поверхности зону с поверхностью 2гс ah, то эта овальная поверхность непре-
непременно является сферой радиуса а. Доказать сначала, что кривизна постоянна
и равна —J-.
Более общая задача, получаемая, если предположить, что а может зависеть
от положения секущей плоскости, представляется довольной трудной.
8. Отличительное свойство сферы. Единственной поверхностью, для кото-
которой между кривизной К и расстоянием Р касательной плоскости от некоторой
неподвижной точки о существует соотношение
К~-щ, с = const., (85)
является сфера. "
Показать сначала* рассматривая те точки поверхности, где Р принимает
свои наибольшие и наименьшие значения, что должно иметь моею соотношение
с = 1. Если теперь do есть элемент поверхности, a rf<o элемент сферического ее

252 ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЦЕЛОМ
1 (fa
отображения, то из соотношения К— -щ — —г- следует наличиесоотношения{
т/р*вт//>"'- (86)
А это означает, что объем, ограниченный овальной поверхностью, равен объему,
ограниченному поверхностью, образованной основаниями перпендикуляров,
опущенных из точки о (так называемой подерой). В случае несферической
поверхности поверхность оснований перпендикуляров лежит вне исходной
овальной поверхности. Следовательно, в этом случае
9. Овальные поверхности вращения, все геодезические линии которых
замкнутые. Если для некоторой овальной .линии Е, имеющей ось симметрии А,
можно подобрать такой круг К, чтобы каждая прямая, параллельная А, отсе-
— Черт. 30.
кала от Е и от К дуги равной длины, то, вращая овальную линию Е вокруг А,
мы получим овальную поверхность, все геодезические линии которой замкну-
замкнутые. См. G. Darboux, Surfaces, начало третьего, тома. Дальнейшая литература
о поверхностях с замкнутыми геодезическими линиями: О. Zoll, Math. Annalen,
т. 57, стр. 108, 1903 и P. Funk, Math. Ann. т. 74, стр. 278,1913; см. далее: В. Cam-
bier, Bull. sc. math. B), I, 49, стр. 57—64, 74—S6, 104—128, 1925, а также книгу
того же автора „Surfaces ayant un ds2 de Liouville", Paris 1929.
С помощью построения Дарбу можно получить также поверхности, не
являющиеся поверхностями вращения, но составленные из кусков поверхно-
поверхностей вращения, которые обладают желаемым свойством. Эта идея, высказанная
Томсеном (G. Thomsen) в 1921 г., может быть пояснена прилагаемым здесь чер-
чертежом (черт. 30). Именно, если экваториальную зону сферы подвергнуть пре-
преобразованию Дарбу, то геодезические линии этой зоны изгибаются так, что
элементы их краев остаются неизменными. Через посредство измененных зон
геодезические линии не измененных частей сферы связываются таким образом
друг с другом точно так же, как они были связаны прежде. Таким образом
три зонообразные изменения сферы, указанные на черт. 30, не вносят наруше-
нарушений в характер поведения геодезических линий.
10. Геодезические двухугольники. На поверхности отрицательной меры
кривизны не может существовать двух различных геодезических линий, кото-
которые соединяли бы две различные точки поверхности и которые могли бы быть
непрерывно переведены одна в другую на поверхности J. Hadamard, Liouvilles
J. (Ь), т. 3, стр. 331, 1897.
11. О геодезических линиях на овальной поверхности. В каждой точке
овальной поверхности- существует некоторое направление, выделяющееся из
других тем, что проведенная в этом направлении через данную тччку геодези-
геодезическая линия снова возвращается в эту точку, пройдя по пути лишь одну
точку, сопряженную с исходной (Каратеодори),

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 253
12. Проблема Каратеодори. Существует ли на каждой линии замкнутой
поверхности пара точек, обладающая тем свойством, что геодезическая линия,
проходящая через одну из точек этой пары, обязательно проходит также и
через другую? На эллипсоиде роль такой пары играет, очевидно, пара точек,
округления. В том, что ответ должен быть отрицательным, можно убедиться,
если взять в качестве предельного случая овальной поверхности дважды по-
покрытую внутреннюю область овальной линии, не являющейся эллипсом.
13. Теорема Бервальда о поверхностях постоянной средней кривизны.
Натуральные параметры (§ 22) изотропных линий могут быть взяты за пара-
параметры некоторой поверхности лишь в том случае, если эта поверхность имеет
постояную среднюю кривизну A921).
14. Интегральная формула Кроффтона для овальных тел. Пусть напра-
направленная плоскость определена расстоянием ее р до начала коордийат и поляр-
полярными координатами <р и 0 той точки единичной сферы, радиус которой имеет
то же направление, что положительная нормаль плоскости. Тогда интеграл
fffsinbdbdfdp (88)
представляет собой интегральный инвариант относительно движения. Этот
интеграл, распространенный на все плоскости, которые пересекают овальное
тело, равен интегралу средней кривизны:
распространенному по поверхности овального тела. См. задачу 20 § 24 и за-
задачу 20 § 138, а также, например, Е. Czuber, Wlen. Ber. II, стр.- 719—742, 1884.
15. Поверхности с неизменным расстоянием сопряженных точек. В до-
дополнение к результатам," изложенным в § 102, Функ (P. Funk) показал, что
нельзя непрерывно изменять сферу такнм образом, чтобы при этом сохраня-
сохранялись свойства I и II § 102. Math. Zeitschrift, т. 16, стр. 159—162, 1923.

Глава восьмая
ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 105. Первая вариация площади
Вычислим, как изменяется площадь кривой поверхности при изме-
изменении формы последней. Пусть x(u,v) есть исходная поверхность. На
нормалях ее мы отложим длины
и (и, v) = era (и, v),
и таким образом получим соседнюю поверхность:
которая при е —> 0 стремится к исходной поверхности. Диференцируя,.
мы находим:
х« = хя + «„?+«§«>
Вычислим, исходя из этих выражений, величины:
? = х^> Р==хих„ G = x«;
опуская члены второго порядка относительно е, мы получаем с помощью
формулы A9) § 42: _
E~=E—2nL, |
F~=F—2nM, J A)
'O = G — 2nN. j
Далее для
W* = EG— 72
мы получаем выражение:
^2 = EG — /= — In {EN— 2FM + GL),
а отсюда с помощью формулы C0) § 44:
W=W(l— 2nH), B>
где Н есть средняя кривизна исходной поверхности (х).
Для площади поверхности (х) мы получаем отсюда следующее~вы-
ражение:
w dudv = ffwdudv— 2jfnHWdu dv. C>

МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ КАК ПОВЕРХНОСТИ СДВИГА 255
Таким образом, введя вместо п обычное обозначение on, мы получим
для первой вариации площади выражение:
• 2Н- Wdudv
j j
или
80 = — jfbn 2H-do.
D)
Здесь через do обозначен элемент площади поверхности (je). Таким
образом через посредство вариации площади понятие средней кривизны
Н вводится совершенно естественно само собой, подобно тому как
вариация длины дуги кривой ведет к понятию кривизны этой кривой
(§ 25). Таким образом мы вновь имеем средство, для того чтобы по-
понятие ^средней кривизны перенести на случай более общего мероопре-
мероопределения; позднее мы и воспользуемся этим средством.
§ 106. Минимальные поверхности как поверхности сдвига
В тесной связи с физическими проблемами статики тонких мыльных
пленок находится проблема Плато (J. Plateaul), формулируемая следую*
щим образом: дана некоторая замкнутая кривая. Требуется провести
через эту кривую поверхность с минимальной площадью. Если мы
имеем некоторую поверхность, удовлетворяющую этому требованию,,
то в формуле D) мы должны всегда иметь 80 = 0 при всяком Ьп,
обращающемся в нуль на граничной линии. Отсюда следует, что на
искомых поверхностях должно иметь место соотношение Н=0. Урав-
Уравнение Н — 0 представляет собою диференциальное уравнение экстре-
экстремалей нашей вариационной задачи; оно было установлено Лагранжем
в 1760 г. 2. Поверхности с тождественно равной нулю средней кривиз-
кривизной, так как они являются решениями минимальной задачи Плато, на-
называются минимальными поверхностями. Едва ли существует какой-
нибудь иной класс поверхностей, который привлекал бы к себе внима-
внимание величайших геометров в такой же степени, как минимальные по-
поверхности. Исследованиями, относящимися к минимальным поверхно-
поверхностям, занимались — мы назовем только важнейшие имена — Лагранж,
Монж, Риман, Вейерштрасс, Шварц, Бельтрами, Ли и Рибокур.
Если заранее ограничиться только аналитическими поверхностями, то
определение минимальных поверхностей можно легко свести к нахожде-
нахождению изотропных кривых (§ 22, 23); здесь мы имеем наиболее блестящи»
пример применения мнимых геометрических образов (какими являются
изотропные кривые) к разысканию вещественных и физически важных
поверхностей. В самом деле, если мы на некоторой кривой поверх-
поверхности введем два семейства изотропных кривых, для которых ds* = Ot
1 J. Plateau, Recherches experimentales et theoriques sur les figures d'equi-
libre d'une masse liquide sans pesanteur, Memoires de l'Aeademie royale de Bel-
gique, т. 36, 1886.
2 J. L. Lagrange, Oeuvres, стр. 335.

256 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
в качестве параметрических линий *, то будем иметь Е = О, F ф О, О = О,
ги для средней кривизны мы получим согласно § 44:
Н=?. > E)
Если, следовательно, мы должны иметь Я == О, то должно иметь место
соотношение Af = O или в обозначениях формулы A8) § 42 §х„, = 0.
Диференцируя соотношения
по и и v, мы получим:
х«хяв = ° и х,х«. = °-
Таким образом вектор хт одновременно удовлетворяет трем условиям:
Так как хм, х„, 5 линейно независимы, то отсюда следует, что xut тожде-
тождественно обращается в нуль. Мы имеем, следовательно:
тде множитель 2 является совершенно несущественным, и в силу
E=G = O
У'2=0, z'2 = 0.
Обратно, из уравнений G) и (8) следует, что для поверхности (х)
имеет место соотношение Н = 0.
Если мы вновь воспользуемся терминологией § 54, то найденный
нами результат можно выразить следующим образом: минимальные по-
поверхности являются поверхностями сдвига, направляющими которых
служат изотропные кривые.
Таким образом интегрирование диференциального уравнения Н = 0
сводится к определению изотропных кривых, а эту задачу мы уже разре-
разрешили в § 22. Вышеизложенное истолкование принадлежащих Монжуа
формул для минимальных поверхностей дано Ли 8 в 1877 г.
§ 107. Формулы Вейерштрасса
Если мы примем во внимание, что изотропные линии вещественной
минимальной поверхности попарно являются мнимо сопряженными, и
если в формулы G) мы введем параметрические выражения § 23, то
получим следующее не содержащее квадратур представление веще-
вещественной аналитической поверхности:
1 Мы оставляем здесь в стороне случай, когда существует только одно
такое семейство, что возможно для мнимых развертывающихся поверхностей,
образующие которых являются изотропными кривыми.
2 См., например, G. Monge, Application..., 1850, § 20, стр. 211—222. Первые
работы Монжа о минимальных поверхностях относятся к 1784 г.
3 S. Lie, Beitrage zur Theorie der Minlmalflachen, Math. Ann., т. 14, стр. 331,
:1879.

ФОРМУЛА ВЕЙЕРШТРАССА
257
(9)
Здесь / есть аналитическая функция комплексного переменного t, а сим-
символом R обозначена вещественная часть той аналитической функции,
которая за этим символом следует. Плоскость не входит в число поверх-
поверхностей, определяемых этими формулами, хотя она и может быть при-
причислена к минимальным поверхностям. Далее, так же, как в § 23,
о функции / мы предполагаем, что третья ее производная не обращается
тождественно в нуль. Формулы (9), или им равнозначащие, даны Вейер-
штрассом в 1866 г. * Из этих формул следует, что каждой аналитиче-
аналитической функции соответствует некоторая минимальная поверхность. Таким
образом между теорией функций комплексного переменного, столь много
разрабатывавшейся после, Коши, Римана и Вейерштрасса, и теорией
минимальных поверхностей существует тесная внутренняя связь.
Покажем, каково значение комплексного переменного t, входящего
в уравнение минимальной поверхности. С этой целью мы вычислим по
формулам (9) единичный вектор § нормали к поверхности. Дйференци-
руя по некоторому направлению на поверхности, мы получим:
где
Пользуясь произволом выбора знака, мы получим отсюда следующее
представление вектора §, перпендикулярного к §х при всех значе-
значениях X:
§1=1
2s
--1ШГ--=
A0)
Таким образом заданием комплексного числа t = г -\- is (r и s веще-
вещественны !) задается вектор нормали g, и наоборот. Эта связь между
1 К. Weierstrass, Untersuchungen ilber die FlSchen, deren mittlere Kriimmung
~~ gleich Null ist, Werke, crp. 39—52, особенно стр. 46 C5).
17 8a«, 691 — Бляшке, ч. I

258
ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
точками ? единичной сферы !|'2—1 и значениями t можно осуществить
с помощью стереографической проекции. Если каждую точку f мы
соединим лучом с южным полюсом
(О, 0, — 1) едивичйой сферы, то
экваториальная плоскость х3 = О
будет пересечена этим лучом в точке
$* с координатами г, s, 0 (черт. 31).
Следовательно, если мы примем
плоскость х3= 0 за гауссову плос-
плоскость комплексных чисел t=r-\-is—
= x1-j- ix% в поставим в соответ-
соответствие- значения t точкам единичной
сферы х\-\~ х\ -j- x\ =1, получаемым
проектированием точек (г, s, 0)
из точки @, 0, —1), то будем
иметь числовую сферу Римана. Таким
образом для нашей минимальной
поверхности величина t есть не что
Черт. 31.
иное, как комплексное переменное Римана для гауссова сферического
изображения поверхности с помощью параллельных нормалей.
Вейерштрасс показал, что формулы (9) охватывают все алгебраиче-
алгебраические минимальные поверхности, когда f(t) есть алгебраическая функция.
§ 108. Формулы Штуди
Формула G), задающая минимальную поверхность (х), в общем
случае мнимую, через две изотропные кривые (у) и (z):
2х = у («) + *(«), y'^z'a^o, (И)
наводит нас на мысль, используя изложенное в § 22, заменить, следуя
Штуди, произвольные параметры и и i/ натуральными параметрами р, q.
Тогда мы будем иметь !:
""* = - -I. |
Кроме того мы имеем:
/\
A2)
A3)
где мы воспользовались произволом выбора знакд. Из соотношения §9 = 1
вытекает соотношение §tp = 0 или
Ър = ау' + Ьг'. A4)
С другой стороны, мы имеем: \г' = 0. Диференцируя по р, мы получаем
отсюда §^ = 0. Поэтому в силу формулы A4). мы имеем
1 Ср. задачу 13, § 104.

формулы штуди
259
и следовательно
а = 0.
Точно так же, диференцируя .соотношение §у' = 0 и пользуясь форму-
формулой A4), мы получим:
Следовательно, мы имеем:
5у" (v'\r'z')
а — — у^> = ' 'Ту/рр-
или, принимая во внимание формулы A2), окончательно:
~~ ~' Y'z'
Аналогичным образом мы получим:
У/
^„-г-.—. A5)*
Наряду с параметрами р, q введем еще две пары параметров мини-
минимальной поверхности:
U:—IV = ¦
1—/.-'
v—
2 '
A6)
Положим на время:
тогда мы будем иметь:
и отсюда (§ 42, § 50):
I Л.Лш.Ы dp dq _
II = — dx d\ = j {dp*
III = -f dg rfg == Xdp dq
=~ (da?
17*

260 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В § 50 мы получили соотношение:
/П — 2/ZII-f 111 = 0,
и, следовательно, в настоящем случае, при Н = 0 мы имеем;
4
Таким образом для меры кривизны нашей минимальной поверхности мы
получаем выражение:
(^)\ A7)
Если мы примем во внимание, что уравнение II = 0 есть диференциаль-
ное уравнение асимптотических линий, то увидим, что и, v = const, или
р ziz q = const, суть уравнения' асимптотических линий нашей поверх-
поверхности. Если же мы введем в качестве параметрических линий кривые
а, р === const., то в формах I и II будет отсутствовать смешанный член,
следовательно, эти кривые р rfc lqn= const, в силу § 46 (F = 0, М = 0)
являются линиями кривизны нашей поверхности. Таким образом, как
-только определены натуральные параметры р и д, вместе с тем одно-
одновременно определяются как линии кривизны, так н асимптотические
линии.
Формулы этой главы были даны Штуди в его лекции, прочитанной
в 1909 г., и затем в новой обработке даны в его работе по теории
минимальных поверхностей i.
Если мы введем, как в § 56, расстояние Р касательной плоскости
от начала координат как положительную однородную функцию (ненор-
(ненормированного) вектора нормали поверхности, то согласно формуле C5)
§ 94 диференциальное уравнение минимальных поверхностей при-
примет вид:
'
Отсюда следует, что теория минимальных поверхностей теснейшим обра-
образом связана с теорией сферических функций. Здесь, однако, мы не будем
касаться этого вопроса.
§ 109. Общая формула Гаусса для первой вариации площади
поверхности
В § 105 мы получили уже формулу для 80. Теперь мы выведем ее
снова в более общем предположении, что смещение Sx точки поверх-
поверхности происходит в произвольном направлении. Мы можем взять за пара-
параметрические кривые, например, линии кривизны исходной поверхности;
тогда деривационные уравнения A31) и A32) § 57 будут иметь вид:
р р
А»и 2Е " 1Q »~ *'
хи»=== 2? *" ' ~2G ** '
f 5
1 Ср. указания в конце работы Е. Study, Ober einige lmaglnSre Mlnlmalfla-
chen, Leipzig Acad. — Вег., т. 63, стр. 14—26,1911.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ГАУССА 261
а уравнения A20) § 55 примут вид:
§и — ? Хи' »« == (J Х«*
Перейдем теперь от нашей поверхности х (иг») к некоторой соседней
поверхности х(м, v):
х=х(и, vL-8x(«, t;),
положив
8х = /»хя -J- ^х, -j- и|,
A8)
= ер(и, г»), q — tq(u, v), n = ей (и,- г»);
е ->• 0.
Таким образом при частном предположении p = q = O мы получим
случай, рассмотренный нами в § 105. Диференцируя вектор вариирован-
ной поверхности и принимая во внимание деривационные формулы, мы
получим:
».-о», ~
Здесь символом (*) обозначены выражения, содержащие в множителем
первой степени. Если мы ограничимся только членами линейными отно-
относительно е, то получим:
(х-я X 5
+ +
и х Xt) + (*)(x, х 5)+(*)(? х хи). A9)
Так как за параметрические линии мы приняли линии кривизны, то
векторы х„, х,, §, а следовательно, и векторы (х„ X х„), (х„ X |)>
(S X хи), попарно взаимно перпендикулярны. Поэтому скалярный квадрат
выражения A9), если мы снова опустим члены второй степени относи-
относительно е, будет иметь вид: -
где Ф есть коэфициент при хи X х„ в формуле A9). Таким образом
площадь поверхности х(и, v) представится выражением:
0= // К(х"„ Хх„)? dudv=
Отсюда после простых преобразований мы получим:
Второй член правой части есть не что иное, как уже знакомое нам из
§ 105 выражение
— 2 fjHndO;
первый же двойной интеграл можно интегрированием по частям („фор-
(„формула Грина*) преобразовать в криволинейный интеграл, взятый вдоль

262 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
границы нашего куска поверхности:
Но из формулы A8) в силу соотношения (xuxc|) = YEG следует:
Подставив эти выражения в криволинейный интеграл, мы преобразуе
последний к виду:
§ (8х, dx, ?),
где dx = xudu -\-'x,dv есть векториальный линейный элемент граничной
кривой.
Итак мы получаем окончательно для 80 искомую общую формулу:
§0 = <? (8х, dx, |) — 2 //# я do
или, выразив еще п через смещение Ъх:
)—//2Я(8х, х„, x,)dudv.
B0)'
Здесь для криволинейного интеграла имеет место следующее правило
знаков: если наблюдатель располагается на поверхности х(«, v) так,
чтобы вектор 5 был обращен от ног к голове, то криволинейный инте-
интеграл должен быть взят в направлении справа налево, предполагая, что
ось х2 лежит налево от оси xt.
Формула B0) для 80 была дана Гауссом в 1829 г. 1
§ 110. Формула Шварца для площади минимальной поверхности
Применим формулу Гаусса для 80 к выводу формулы, которую дал
Шварц 2, продолжая исследования Римана, в 1874 г. и которая пред-
представляет площадь минимальной поверхности криволинейным интегралом,
распространенным на граничную кривую.
Рассмотрим семейство подобных и подобно расположенных относи-
относительно начала координат кусков поверхностей:
х*(и, v, X) = Xx(b, v), 0<Х<1.
Если мы положим
8х* = 8Хх,
то в силу формулы B0) и соотношений- Я = 0 и §* = § мы будем
иметь:
80 = 8Х | (х, dx*, |) = X d X <j> (x, dx, §).
Интегрируя по X в пределах от 0 до 1 и принимая во внимание, что
0*@)= 0, мы получим искомую формулу:
1 С. F. Gauss, Prlncipia generalia theorlae figurae fluidorutn in statu aequilibrii
Werke, т. 5, стр. 29—77, особенно сто. 65.
а Н. A. Schwarz, Mathematlsche Abhandlungen I, стр. 178.

ФОРМУЛА ШВАРЦА 263
B1)
0 = 1 Ф (х, dx, g).
Из этой формулы вытекает, например, то следствие, что векторы § вдоль
границы не могут быть заданы произвольно. Действительно, интеграл B1)
в силу своего геометрического смысла должен быть независим от выбора
начала координат, т. е. интеграл
должен быть независимым от выбора (неизменного вдоль кривой) век-
вектора v. Это дает условие:
§XdS = O. B2)
Обращение этого интеграла в. нуль для каждой замкнутой односвязной
области поверхности является отличительным свойством минимальной
поверхности. В самом деле, мы имеем:
§1 X dx = § {(§ X хи) du -f (I X х,)«й>},
и условием, чтобы подинтегральное выражение представляло собой пол-
полный диференциал, является соотношение:
или
5,Х".-?,Хх„ = 0. B3)
С помощью деривационных формул Вейнгартена E5) мы получим отсюда
# = 0, как мы и утверждали. Впрочем соотношение B3) можно еще
проще получить из формулы B2) с помощью гауссовой формулы B0).
Упомянем мимоходом, что соотношение B2) может быть интерпре-
интерпретировано также и механически. Представим себе, что минимальная по-
поверхность образована тонкой пленкой и что эта пленка подвержена
такому натяжению, что на линейный элемент dx действует вектор натя-
натяжения d\. Тогда в силу соотношений
пленка находится в равновесии.
Вместо того, чтобы брать в качестве физической модели минималь-
минимальную поверхность, можно с тем же успехом заменить единичную сферу (§)
или какой-либо кусок ее пленкой и приложить к линейному элементу d\
натяжение dx. В силу соотношений
снова будет иметь место равновесие.
Поверхности (х) и (§) связаны таким соотношением, что одну из них
можно рассматривать как „силовой план" для натяжений другой 1.
1 См. W. Blaschke, Reziproke Krafteplsne zu den Spannungen In einer biegsa-
men Haut, Congress Cambridge, i. 2, стр. 291—297, 1912.

264 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
, § 11). Определение мииимальиой поверхности по заданной
полосе
[Задача Бьёрлинга (Е. G. Bjorling)]
В силу только что полученного результата интеграл
dx
fix
на минимальной поверхности не зависит от пути интегрирования 1.
Представим этот интеграл в ином виде, воспользовавшись параметриче-
параметрическим представлением A2) минимальных поверхностей. Положим, следо-
следовательно:
¦| = / t^L , 2dx = у'dp -f z'dq.
Пользуясь формулой D3) § 3 или формулой
(pXq)Xx = (px)q — (qx)p, B4)
мы получим:
2SXdx*=-i{dy — dz); B5)
из уравнений
dy-\-dz = 2dx,
dy — dz = 2i%Xdx
следуют формулы, найденные в 1874 г. Шварцем 2:
или
B6b)
Эти формулы дают простое решение'задачи, которой занимался в 1844 г
профессор Упсальского университета Бьёрлинг (Е. G. BjSrling). Эту
задачу можно сформулировать следующим образом: найти все мини-
минимальные поверхности, проходящие через заданную полосу. Иными сло-
словами, минимальная поверхность должна быть определена так, чгобы она
проходила через заданную (незамкнутую) кривую и имела в точках этой
кривой заданные касательные плоскости. Пусть заданная кривая есть х (О,
а касательные плоскости определены вектором нормали § (t) (§a = 1
и §х' = 0). Тогда мы можем взять интеграл B6) вдоль кривой х (t).
Мы найдем таким образом изотропные кривые y{t) и z(f), которыми
однозначно определяется искомая минимальная поверхность, проходящая
через полосу. Исключение может иметь место лишь в том случае, если
вдоль кривой х (t) мы имеем:
х' — itXx' = 0 либр х'-f «1 X х'= 0. -
1 Этот реаультат является частным случаем теоремы Е. Нетер (Е. Noether)
•б инвариантных вариационных проблемах, Gott. Nachr., 1918, стр. 235—257.
а Н. A. Schwarz, Mathematische Abhandlungen I, стр. 179 и 181.

ТЕОРЕМА КЛРЛВМЛНА О КРУГЕ . 265
Так как вектор § X х' перпендикулярен к вектору х', то он может иметь,
направление вектора х' лишь в том случае, когда кривая х (t) изотропна
(х'2 = 0). Таким образом мы получаем следующий результат: через дйн-
ную полосу (кривая которой не изотропна, и, значит, в частности,
через всякую вещественную полосу) проходит одна и только одна
минимальная поверхность, определяемая формулами Шварца B6).
Шварц заметил *, что отсюда могут быть получены следующие част-
частные результаты:
Если минимальная поверхность содержит (не изотропную) прямую
линию, то поворотом вокруг этой линии на угол -к минимальная по-
поверхность переходит сама в себя.
Если на минимальной поверхности имеется одна (например, веще-
вещественная) плоская геодезическая линия, то поверхность симметрична
относительно плоскости этой кривой. #
Штуди получил еще такой результат 2: Коническая двойная точка
минимальной поверхности всегда является центром поверхности.
§ 112. Теорема Карлемаиа о круге
В § 29 и 30 мы .доказали изопериметрическое свойство круга, пока-
показав, что из всех замкнутых плоских кривых данного периметра окруж-
окружность ограничивает наибольшую площадь. Этот факт, как показал Кар-
леман (Т. Carleman) 3, допускает замечательное обобщение, для про
странства. Здесь мы выведем результаты Карлемана при более узких
предпосылках, но зато очень наглядно.
Если мы натянем на замкнутую пространственную кривую, которую
можно представить себе сделанной из проволоки, тонкую пленку жид-
жидкости-— скажем, мыльную пленку, — то положением равновесия будет
служить минимальная поверхность, которая из всех проходящих через
кривую поверхностей будет иметь наименьшую площадь. Математическоа
доказательство существования решения этой „проблемы Плато Ч при
чрезвычайно общих предположениях о границе было дано С. Н. Берн-
штейном *.
Возьмем некоторую замкнутую пространственную кривую С длины L
и допустим, что через С проходит поверхность М наименьшей площади.
Тогда М есть минимальная поверхность; пусть ее площадь будет О.
Докажем теперь, что между L и О имеет место соотношение:
I» — 4*0 > 0, B7)
причем лишь тогда имеет место соотношение I2 — 4*0 = 0, когда С
есть круг.
Если мы ограничимся случаем плоской кривой С, то получим нашу
прежнюю изопериметрическую теорему (§ 29) как частный случай.
Для доказательства мы выберем на кривой С произвольную точку &
и построим коническую поверхность К, вершиной которой является s и
1 Н. A. Schwarz, Mathematische Abhandlungen, I, стр. 179 и 181.
2 Е. Study, Leipz. Вег.,т. 63, стр. 23, 26, 1911.
3 Т. Carleman, Zur Theorie der Minimalfiachen, Math. Zeitschrift, т. 9,
стр. 154—160, 1921.
* S. Bernstein, Math. Ann., т. 69, стр. 126, 127, 1910.

266 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
которая проходит через кривую С. Если мы развернем поверхность К
на плоскость, то кривая С перейдет в замкнутую плоскую кривую С*, пло-
площадь которой F равна площади конической поверхности К и, следова-
следовательно, в силу свойства минимальности поверхности М будет заведомо
больше или-равна «ВЬ; длина этой кривой будет равна L. Согласно
§ 30 мы имеем: W^v^VfM
Za_47:F>0 B8)
и в силу
F > О B9)
мы получаем:
Z.2 — 4теО > Z.2 — iizF > 0,
как мы и утверждали.
Остается только установить, в каком случае в формуле B7) мы
будем иметь знак равенства. Чтобы это имело место, необходимо, чтобы
знак равенства входил как в формулу B8), так и в формулу B9). Если
F=O, то поверхность К должна быть минимальной. А так как плос-
плоскость есть единственная (вещественная) поверхность, которая одновре-
одновременно является как развертывающейся, так и минимальной поверхностью,
то К = М есть плоскость. Для плоской же кривой С* г= С равенство
X2 = 4wF имеет место в силу результатов § 30 лишь в том случае,
.если С есть круг. Это дает нам также и доказательство единственности.
Обратим внимание на различие между краевыми задачами Бьёрлинга
(§ 111) и Плато (§ 106). В задаче Бьёрлинга требуется провести мини-
минимальную поверхность через незамкнутую кривую, и при этом требуется,
чтобы поверхность вдоль этой кривой имела заданные касательные плос-
плоскости. В задаче же Плато мы имеем в математическом отношении гораздо
более трудную проблему. Мы должны определить минимальную поверх-
поверхность так, чтобы она проходила через замкнутую кривую и чтобы
кривая эта ограничивала односвязный кусок минимальной поверхности.
Если через замкнутую полосу провести минимальную поверхность, опре-
определяемую формулами Шварца (§ 111), то полоса в общем случае не
•будет ограничивать правильную односвязную область поверхности.
§ 113. Изопериметрия шара
Простейшим предложением, аналогичным изопериметрической теореме
для круга на плоскости, является в пространственной геометрии не изло-
изложенное в предыдущем параграфе предложение Карлемана, а соответ-
соответствующая теорема, относящаяся к сфере. Именно, сфера обладает тем
свойством, что среди „всех" замкнутых поверхностей с данной пло-
площадью она ограничивает наибольший объем, или, что то же, из всех
поверхностей данного объема она имеет наименьшую площадь.
Укажем сначала, как составить диференциальное уравнение этой
задачи. Для вариации площади мы нашли в § 105 формулу:
SO = — 2 fbn-H-de.
—¦*/
Вариация же объема при соответствующем выборе знака выражается,
очевидно, формулой:

ИЗОПЕРИМЕТРИЯ ШАРА 267
f
bn-do.
Если теперь из 8О = 0 должно следовать 8У = 0, то должно иметь
место соотношение:
Н = const.,
что можно доказать таким образом, как мы вывели соответствующий
результат для плоскости (§ 28). Но соотношение Н = const, опреде-
определяет согласно теореме Либмана (§ 92) (по крайней мере среди оваль-
овальных поверхностей) сферы. Следовательно, решениями изопериметриче-
ской задачи могут из числа овальных поверхностей быть только сферы.
Приведем еще одно, гораздо более простое, доказательство, при-
принадлежащее одному из основателей проективной геометрии, геометру,
обладавшему исключительной силой фантазии, Якову Штейнеру A796—
1863). Доказательство Штейнера основано на методе симметризации;
метод этот позволяет для каждого овального тела построить новое,
равное первому по объему, которое обладает плоскостью симметрии и
в общем случае имеет меньшую поверхность.
Представим себе, что исходное тело К* состоит из параллельных
вертикальных палочек. Вертикальное направление пусть будет, скажем,
направлением оси xs прямоугольной системы координат. Каждую из
этих палочек мы будем сдвигать вдоль ее прямой до тех пор, пока
середина ее не окажется лежащей "на плоскости дг3 = 0. Смещенные
таким образом палочки заполнят точечное множество К*, симметричное
относительно плоскости *3 = 0. Нужно прежде всего показать, что из
выпуклости тела К следует также выпуклость тела К*, так что, следо-
следовательно, и симметризированное тело К* подобно исходному является
овальным. Для этого достаточно убедиться в том, что если две точки
р*, q* лежат внутри тела К*! то и соединяющий их отрезок целиком
лежит внутри тела. Пусть р*, q* будут зеркальные отображения то-
точек р*, q* относительно плоскости дг8 = 0 и пусть р1э q,,. p2, qa —
четыре точки тела К, вертикальным смещением которых получены
точки р*, q*, p*, q*. Так как К является овальным телом, то оно
содержит выпуклую четырехугольную поверхность с вершинами рх, qlt
р2, q2. В силу нашего построения тело К* должно также содержать
четырехугольную поверхность, получающуюся из первой путем симме-
симметризации и имеющую вершинами р*, q*, p*, q*; в частности, следо-
следовательно, это тело содержит и отрезок р*, q*, что и требовалось
доказать.
Что тела К и К* имеют равный объем, следует из так называемого
принципа Кавальери A598 —1648). Можно доказать это также следую-
следующим образом. Если обозначить .через / (xt, xz) (^- 0) длину вертикаль-
вертикального отрезка, по которому тело К пересекается прямой, точки которой
имеют данные координаты xlt дг2, то для объема тела К мы получим
формулу:
и так как функция / для тела К* та же, что для тела К, то эта фор-
формула дает также и объем тела К*-

268 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Мы должны теперь доказать, что поверхность тела уменьшается при
симметризации. Это будет сделано в следующем параграфе. Предвари-
Предварительно мы должны еще показать, что если овальная поверхность F,
ограничивающая тело К, повсюду правильна и аналитична, то и поверх-
поверхность F* тела К* обладает тем же свойством. В самом деле особен-
особенности могли бы возникнуть лишь там, где касательные плоскости по-
поверхности К" вертикальны, т. е. параллельны оси ха. Но для такой
точки уравнение поверхности с помощью соответствующего выбора
осей можно преобразовать к виду
где a > 0, с > О, ас — № > 0. Тогда для симметризированной поверх-
поверхности F* мы получим в соответствующей точке следующее разложение:
из которого и вытекает правильность поверхности F*.
§ 114. Влияние симметризации на величину площади
Для доказательства того, что площадь поверхности в результате
симметризации уменьшается, мы рассечем нашу овальную поверхность F
кривой, вдоль которой касательные плоскости поверхности вертикальны,
на две части — верхнюю F н нижнюю F. Обе эти части мы отнесем к
нараметрам и, v, так что будем иметь:
Хг (И, V) = ?t (И, V) = Xt (И, V) ,
х2 (и, v) = jc9 (и, v) = #2 (и, v).
Положим далее:
xs (и, v; f)=J~tixA (и, v) — -^- *3 (и,
и
Ф(/)= Г /yA*-i-B»-\-Cldud9,
t/ e/
где
, с/х2 дх3 дх3 dx$
du dv ШГ du
ди dv dv ди
с = ~ — .
ди dv dv du
Тогда, для того чтобы показать, что площадь после симметризации
уменьшится, мы должны доказать справедливость формулы:
Ф(+1) —2Ф@) + Ф(—1)>0. C0)
Представим величины t и Ф декартовыми координатами плоскости t, Ф
(черт. 32). Тогда нам нужно будет доказать, что середина отрезка,
ограниченного точками
I—1,Ф(-1)] и [f 1,Ф(-Ь 1)J,

ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИЗАЦИИ НА ВЕЛИЧИНУ ПЛОЩАДИ 269
лежит над точкой [О, Ф @)]. Последнее было бы доказано, если бы мы
показали, что кривая Ф (t) выпуклостью своей обращена книзу, т. е. что
в интервале — 1 < t < -j-1 имеет место Ф" (f) ;> 0.
Мы получаем:
Отсюда очевидно, что Ф" (/) ^> 0 и, следовательно, утверждение о том,
что поверхность вообще говоря уменьшается после симметризации,
доказано.
Остается разрешить только вопрос о том, когда поверхность после
симметризации остается неизменной. Для этого необходимо, чтобы
Ф" (t) = 0 для всех точек интервала — 1 < t < -J-,1 и, следовательно,
чтобы:
А-{-А = В-\-В = 0, C1)
так как С внутри промежутка интегрирования не равно нулю (|8 ф 0).
Но тогда из формулы C1) и соотношения
вытекает, что верхняя и нижняя части по-
поверхности симметричны относительно плоско-
плоскости хг = const1.
Резюмируем вышеизложенное: процесс
симметризации Штейнера превращает
каждую правильную овальную поверхность
в новую, также правильную овальную по- Черт. 32.
верхность, объем которой равен объему пер-
первой, а поверхность в общем случае меньше поверхности первой. По-
Поверхность остается неизменной лишь в том тривиальном случае,
когда уже исходная поверхность является симметричной относи-
относительно плоскости, перпендикулярной к направлению симметризации.
Единственной поверхностью, для которой этот исключительный слу-
случай имеет место при любом направлении симметризации, является сфера.
В самом деле такая поверхность йолжна прежде всего обладать во вся-
всяком случае тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии;
точка пересечения о этих плоскостей должна, следовательно, быть цент-
центром этой поверхности. Но тогда каждая плоскость, проходящая через о,
должна быть плоскостью симметрии. Поэтому овальная поверхность
должна пересекать под прямым углом все прямые, проходящие через
точку о, а это может иметь место только в том случае, если наша по-
поверхность есть сфера.
Этим мы доказали следующее: каждая несферическая овальная поверх-
поверхность может быть с помощью процесса симметризации превращена
в другую овальную поверхность, равную ей по объему, площадь которой
1 Для доказательства последнего предложения можно было бы использовать
также следующую теорему Гельдера о среднем значении:
Ф (_1)_2Ф(О) + Ф( + 1) = Ф"(Л); |А <1.

270 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
будет меньше, чем площадь исходной. Если поэтому основная изо-
периметрическая задача пространственной геометрии вообще имеет
решение относительно правильных овальных поверхностей, то такое
решение может давать только сфера.
Такова идея штейнерова доказательства A836) х.
% 115. Доказательство сходимости (Вильгельм Гросс)
Если считать само собой разумеющимся, что наша изопериметриче-
ская задача имеет некоторое решение, то результат предшествующего
параграфа вполне исчерпывает поставленный вопрос. Но если мы поже-
пожелаем не отнестись к этой трудности так легкомысленно, как мы это
делали прежде в аналогичных случаях (§ 97, 112), то самая трудная
часть пути остается еще не пройденной.
Перрон (О. Perron) показал необходимость доказательств существо-
существования на примере, хотя и тривиальном, но тем более убедительном:
если среди чисел 1, 2, 3... существует наибольшее, то им является
число единица, ибо после возведения в квадрат каждое иное число
увеличилось бы. Этот метод умозаключения в точности воспроизводит
только что изложенное доказательство. Роль чисел 1, 2, 3... играло
там бесконечное множество равнообъемных овальных поверхностей, а
роль возведения в квадрат — процесс симметризации.
Первым, кто безупречно обосновал вывод основного изопериметри-
ческого свойства сферы с помощью «методов, введенных • Вейерштрассом
в вариационное исчисление, был Шварц A884) 2. Новый метод доказа-
доказательства, о котором мы будем говорить во второй части этого курса,
был дан в 1903 г. Минковским. В 1916 г. автор этой книги провел
строгое доказательство, основывающееся на процессе симметризации
Штейнера8. Та же идея в новой, чрезвычайно изящной форме, была
использована в 1917 г. Вильгельмом Гроссом4, скончавшимся от гриппа
в Вене в 1918 г., в возрасте 32 лет. Доказательство Гросса мы изло-
изложим, ограничиваясь, однако, случаем овальных поверхностей.
Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что каждая
овальная поверхность F может быть с помощью достаточно продолжи-
продолжительного применения процесса симметризации преобразована в новую
овальную поверхность F* того же объема, поверхность которой сколь
угодно мало отличается от поверхности Ок равнообъемной сферы К.
Если мы докажем это предложение, то тогда в рилу результата § 114
мы будем иметь для поверхностей следующие соотношения:
О>Оп, Игл Оп=Ок
1 J. Sleiner, Einfache Beweise der isoperiraetrischen Hauptsatze, Werke II,
стр. 75—91.
* H. A. Schwarz, Beweis des Satzes, das die Kugel kleinere OberflSche besitzt
als jeder andere Кбгрег gleichen Volumens, Oesamroelte Abhandlungen II,
стр. 327-340.
з W. Blaschke, Kreiss und Kugel, Leipzig 1916.
* W. Gross, Die Minimaleigenschaften der Kugel, Monatsh. Math. Phys., т. 28,
стр. 77-97, 1917.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ
271
и, следовательно,
что н требовалось доказать.
Переходю* теперь к доказательству и возьмем внутри поверхности F
некоторую точку о. Построим две сферы, имеющие о своим центром:
первая сфера К„ должна целиком лежать внутри F, вторая же сфера К
должна иметь равный с F объем, Ту часть объема сферы К, которая
расположится вяе F, мы обозначим через ср. Так как F и К имеют
равные объемы, то поверхность F также должна выходить за пределы
сферы К- Докажем теперь следующее предложение.
Можно указать непрерывную функцию Ф (?) так, чтобы при <? > О
было также Ф > 0 и чтобы для каждой овальной поверхности F, содер-
содержащей сферу Ко и выходящей за пределы равнообъемной с ней сферы К
своей ь частью, имеющей объем ?, можно было построить две сферы
объема Ф, одна из которых S лежала бы внутри F и вне К, а другая S'
внутри К и вне F (черт. 33).
Построим сферу, имеющую о своим центром и выходящую за пре-
пределы К своим слоем объема <р. Поверхность этой сферы, безусловно* не
вся лежит вне поверхности F, равнообъемной с К. Следовательно, на
поверхности новой сферы имеется некоторая точка р, лежащая внутри F.
Построим сферу (черт. 34), касающуюся извне сферы К, а изнутри
конуса, описанного вокруг Ко и имеющего вершину в р. Объем этой
сферы, безусловно "лежащей внутри F, мы обозначим через Фх (<р)*
Черт. 33.
Черт. 34.
С другой стороны, сфера, имеющая центром о, лежащая внутри К и
ограничивающая вместе с К слой объема <р, безусловно выходит за
пределы F. Поэтому мы можем построить внутри этого слоя такую
сферу, которая будет касаться обеих сфер, ограничивающих слой, и ко-
которая будет лежать вне F. Ее объем мы обозначим через Ф2 (<р). Центр
ее мы можем выбрать, скажем, на луче, ведущем от точки о к бли-
ближайшей к ней точке поверхности F. Определенные таким образом
функции Ф, (») и Ф2 (?) можно было бы вычислить элементарно. Они
во -всяком случае непрерывны и положительны. Меньшая из них
Ф (?) = -J- {ф <) + Ф ()}
обладает требуемым свойством. Так как при возрастании ? сферы S и S\

272 экстремумы поверхностей
очевидно, увеличиваются, то функция Ф (<р) безусловно является моно-
монотонно-убывающей.
Преобразуем теперь с помощью процесса симметризации поверх-
поверхность F в новую поверхность ^ так, чтобы направление симметризации
(направление оси х3 в обозначениях § 113) совпадало с направлением
линии центров сфер S и S', и- чтобы плоскость симметрии (*3 = 0)
проходила через о..Тогда поверхность Рг также будет содержать внутри
себя старую сферу К„. Объем «, той части поверхности F^ которая
выходит за пределы равнообъемной сферы К, удовлетворяет условию:
так как сфера S после симметризации попадает внутрь К.
Этот процесс мы можем вновь применить к поверхности F1( снова
используя старые, сферы К и К^ Для объема <р2 той части, на которую
новая овальная поверхность F2 выходит за пределы К, мы имеем тогда:
Этот процесс мы продолжаем и далее. Так как функция Ф (<р) является
монотонно-возрастающей, то из
следует:
<р — <Р„>яФ(?„).
а отсюда
п<
Черт. 35. ^ Ф Ы '
Если, таким образом, мы хотим после я-кратной симметризации полу-
получить овальную поверхность, выходящую за пределы равнообъемной
сферы на часть, имеющую объем не более, чем е, то достаточно повто-
повторить процесс симметризации я< ,у раз.
Это дает нам возможность составить точное представление о сходи-
сходимости нашего процесса, и мы имеем возможность эффективно найти
овальную поверхность Fn, равнообъемную с F, площадь которой сколь
угодно мало отличается от площади равнообъемной сферы К- Это по-
построение можно провести следующим образом (черт. 35).
j. Построим сферу К*, каждая из касательных плоскостей которой
отсекает от К сегмент объема е. Тогда сфера К* безусловно лежит
внутри Fn. Далее, найдем точку q вне сферы К так, чтобы тело, огра-'
ничейное конической поверхностью, имеющей вершину в q и касаю-
касающейся К*, и сферой К, имело объем е, тогда сфера К**, имеющая
центром о и проходящая через q, лежит заведомо вне Fn (мы все
время предполагаем, что Fn выходит за пределы К своей частью, объём
которой не превышает, в). Из соотношений положения

ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 273
K*<Fn<K**,
к* < к < к**
и из вытекающих из них соотношений между площадями 1
0*<0а<0**,
°*<°к<0**
следует:
1°к — °п\<0** — О*.
Но так как для достаточно малого е стоящая справа разность может
быть сделана по абсолютной величине сколь угодно малой, то в по-
последнем соотношении содержится тот результат, который мы желали
получить. Наше доказательство сходимости удовлетворяет всем требо-
требованиям фанатиков строгости и „финитистов". Действительно, если на-
наперед задана погрешность \Оп — Ок|, то число я симметризации, необ-
необходимое для достижения этого приближения, может быть получено с
помощью элементарных вычислений.
В заключение заметим, что между объемом V и поверхностью О
сферы существует соотношение:
03 — 36 itV^ = O,
и, следовательно, наш результат можно сформулировать следующим
образом: объем V и поверхность О овального тела связаны между
собой соотношением:
03 — 36 it V2^ о, C2)
причем равенство имеет место лишь для сфер.
Ограничительные условия правильности, введенные нами для крат-
краткости изложения, несущественны. Точно так же изложенный метод до-
доказательства вовсе не требует, чтобы мы ограничились овальными по-
поверхностями, как это можно видеть из работы Гросса.
Позднее, во второй части этого курса, мы снова получим изопери-
метрическое неравенство C2) при более общих предположениях, следуя
методу Брунна и Минковского.
§ 116. Вторая вариация поверхности
В § 105 мы определили изменение площади при переходе от неко-
некоторой поверхности х (и, v) к смежной с ней поверхности
х = х(и, v)-\-n\(u,v), n = an(u,v),
причем мы ограничились членами, содержащими е в первой степени.
Теперь мы уточним это вычисление, приняв во внимание также и члены
второго порядка. Мы имеем:
х,+ < + «„§•
1 Что для овальных поверхностей из К* < К** следует О* < О**, можно
видеть, например, из формул D) § 105. Обратно, это неравенство может слу-
служить для определения понятия площади овальной поверхности, как это сделано
в книжке автора Kreis und Kugel, стр. 58, Leipzig 1916.
18 Зал. 6S<.— Бляшке, ч. I

274 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Отсюда
или в силу формул (83) и (87) § 50:
F = F—2nM -f и2 BЯМ — KF) -f ли л,,
G = G—2яЛГ+л2 B/flV—/roj-fnj.
Если мы вычислим теперь
?G — р2 = ^а
и введем для сокращения обозначение (95) § 79:
?л* -2Fnu пъ +Gn2a
v«=——щ——•
то получим:
W=W{1— 2пН-\-пЩ + yV") + ••• C3)
Интегрируя, мы получим для площади следующее выражение:
Если мы положим, как обычно:
0 = 0 + 30+ -2'ЬЮ>
то для второй вариации площади найдем следующую формулу:
§20= jBrPK+\/ri)do.
C4)
В частности, если исходная поверхность являе'тся минимальной,
(Я=0), то мы можем вместо того, чтобы пользоваться диференциаль-
ным параметром V Для первой основной формы I, взять диференциаль-
ный параметр для третьей основной формы III = d|2. Мы получим,
тогда [см. формулу (86) § 50]:
га=—/я,
Если мы введем еще элемент поверхности сферического изображе-
йия Kdo = dm, то получим окончательно:
§20 = / { 2я2 _ уш „} dv. C5)
Это формула была дана в несколько иной форме Шварцем в 1872 г. J
Особенно замечательно то, что в эту формулу входят лишь величины,
относящиеся к единичной сфере сферического изображения, так что
1 Н. A. Schwarz, Qesammelte Abhandlungen I, стр. 157.

ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ ВЕЛИЧИН Н И К 275
исчезает всякий след индивидуальной минимальной поверхности, из ко-
которой мы первоначально исходили.
Наметим здесь в нескольких словах те выводы, которые Шварц по-
получил из формулы C5) для минимальных поверхностей. Выводы эти
содержатся в знаменитой работе Шварца 1 1885 г., которая недавно
послужила образцом для обоснования теории интегральных уравнений
в диссертации Шмидта (Е. Schmidt).
Аналогично тому, как это было сделано в § 99, мы можем с по-
помощью метода Блисса из условия S2O !> О получить условие Якоби для
нашей проблемы Плато. Это условие будет иметь вид:
где Д есть второй диференциальный параметр Бельтрами для квадра-
квадратичной диференциальной формы III, т. е. для элемента дуги сфериче-
сферического отображения. Если мы введем еще постоянный на сфере параметр X
в наше диференциальное уравнение:
2>-п + Дшя = 0, C6)
то можем результат Шварца сформулировать следующим образом: для
того чтобы при неизменной границе минимальная поверхность имела
площадь, меньшую, чем смежные поверхности, необходимо, чтобы все
собственные значения X диференциального уравнения C6,) удовлетво-
удовлетворяли условию:
X > 1 C7)
и достаточно, чтобы, имело место условие:
Х>1. C8)
Постоянная X называется собственным значением уравнения C6),
если существует нетривиальное решение п этого уравнения, обращаю-
обращающееся в нуль ка границе.
Лихтенштейн (L. Lichtenstein) обобщил недавно этот результат Шварца
на более общие вариационные проблемы 2.
§ 117. Первая вариация величин Н и К
В заключение этой главы покажем еще, что изменяются кривизны Н
и К поверхности х (и, v) при нормальной вариации:
х (и, v) = x{uv) -f-я (u,-v) § (и, v),
п (и, v) = ей (и, v), e -»О.
С помощью диференцирования мы получаем:
=х,
1 Н. A. Schwarz, Gesammelte Abhandlungen I, стр. 223—269.
2 L. Lichtenstein, Untersuchungen tiber zweidimensionale regulflre Variations-
probleme I Monatsh. Math. Phys., т. 28, стр. 3—51, 1917.

276
ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Отсюда мы получим, отбрасывая члены, содержащие е во второй и
в высших степенях:
Ё=Е — 2Ln,
F=F— 2Mn,
G==G — 2Nn,
t = L -\-(KE — 2HL) n + nlv
C9)
D0)
Через nllt обозначены ковариантные вторые производные функции я,
выражающиеся следующим образом:
il
«u
flli f
22
2 2
2
Трехиндексные символы Христоффеля, входящие сюда, были опре-
определены в § 57. Вместо того чтобы пользоваться выражениями КЕ —
— 2HL..., мы могли бы в силу формулы (87) § 50 взять также коэ-
фициенты основной формы III (для элемента дуги сферического изобра-
изображения).
Из формул C9) и D0) мы получаем искомые формулы:
= К+ 2НКп +
Входящее во вторую из этих формул выражение
D1)
D2)
есть не что иное, как хорошо нам известный второй диференциальный
параметр Бельтрами (§ 81), написанный только в несколько ином виде.
Из второй формулы D1), которую мы можем представить в виде:
D3)
Ш = BЯ2 — К) п -f- у Ая
можно вновь получить формулу C4).
1 Формулы D0) получаются после несколько громоздких, но элементарных
вычислений. При вычислении, например, величины L мы исходим из формулы
A9), подставляя в иее вышеприведенные выражения величин х„, х„, хии, Е> F,
G. Коэфициеитами при функции л и ее производных будут служить определи-
определители, в которых мы должны будем заменить величины ?и, g,, gMM... их выраже-
выражениями из деривационных уравнений § 55 и 57. Прим. перев.

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ 277
Из формулы D), дающей первую вариацию величины О, т. е. из
формулы
bdor=z—2nHdo, D4)
мы действительно можем получить, вновь выполняя процесс диференци-
рования 8 при постоянном и:
82rfo= — 2n(Hbdo-\-bHdo) = BKn*—n &n)do.\
Приняв во внимание, что в силу формулы A28) § 82 для обра-
обращающегося на границе в нуль п мы имеем:
— f n Дл do D5)
и, интегрируя предшествующее соотношение, мы снова получим фор-
формулу C4).,
§ 118. Задачи и теоремы
1. Теорема Штейнера о минимальных поверхностях A840). Кусок минималь-
минимальной поверхности имеет всегда площадь, большую, чем площадь соответствую-
соответствующего куска параллельной поверхности. /. Steiner, Gesammelte Werke II, стр.176.
2. Теорема Бонне об изгибании минимальных поверхностей. Пусть
2х = у (ы) + z (v) есть уравнение некоторой минимальной поверхности (§ 92);
при этом y'2 = z'2 =0. Рассмотрим семейство минимальных поверхностей
2х (и, v, а) = е+а{Ши) + е~«х (о), D6)
зависящее от одного параметра.
Линейный элемент поверхности, принадлежащий к этому семейству, и меет бид
D7)
Таким образом все ассоциированные (assoziierte) поверхности изометрически
отображаются друг на друга (ds2 ие зависит от а). Поверхности, ассоциирован-
ассоциированные с данной минимальной поверхностью, являются существенно единствен-
единственными развертывающимися на данную минимальную поверхность. Касательные
плоскости в соответственных точках ассоциированных поверхностей параллельны
t между собой. Обратно: если две поверхности изометрически отображаются
* друг на друга так, что касательные плоскости в соответственных точках парал-
параллельны, то эти поверхности либо конгруентиы, либо являются ассоциирован-
ассоциированными минимальными поверхностями. Поверхности, соответствующие значениям
параметра а = 0, а = -^-, называются присоединенными (adjungiert). Присоеди-
ненные поверхности связаны друг с Другом следующим образом: соответствен-
соответственные линейн «е элементы их взаимно перпендикулярны, асимптотическим же ли-
линиям одной из них соответствуют линии кривизны другой, и обратно. Если
поверхности изометрически отображаются друг на друга так, что соответствен-
соответственные линейные элементы их взаимно перпендикулярны, то эти поверхности яв-
являются присоединенными минимальными поверхностями (О. Bonnet, Comptes
Rendus, т. 37, стр. 529 — 532, 1853). Каждая из двух присоединенных поверхно-
поверхностей может служить в качестве плана сил натяжения на другой (§ 110). В этом
случае мы имеем дело лишь с нормальными натяжениями постоянной величины,
как это и имеет место для пленок жидкостей.
3. Способ Дарбу построения минимальных поверхностей Эннепера. Две
параболы, расположенные во взаимно перпендикулярных плоскостях так, что
фокус одной совпадает с вершиной другой, и наоборот, называются фокаль-
фокальными параболами. Если две точки произвольно перемещать по двум фокаль-
фокальным параболам, то огибающей для их плоскости симметрии будет минимальная
поверхность с плоскими линиями кривизны. A. Enneper, Z. Math. Phys., т. 9,
стр. 108, 1864; G. Darboux, Theorie des surfaces, ч. 1, стр. 318, 1887.
. Цепная поверхность (катеноид). Из всех поверхностей вращения един-

278 ЭКСТРЕМУМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ственная минимальная поверхность (не считая плоскости) есть та, которая об-
образуется вращением цепной линии:
5. Винтовая поверхность (геликоид). Единственные вещественные мини-
минимальные поверхности, одновременно являющиеся линейчатыми неразвертываю-
щимися поверхностями, суть винтовые поверхности (прямые геликоиды),
образуемые винтовым движением прямой около перпендикулярно пересекаю-
пересекающей ее оси. Е. Catalan, Journ. de Mathematiques A) т. 7, стр. 203, 1842. Винто-
Винтовые и цепные поверхности друг для друга являются дополнительными поверх-
поверхностями (задача 2).
6. Мнимые минимальные поверхности Ли. Геометрическое место середин
хорд изотропной алгебраической пространственной кривой третьего порядка
есть алгебраическая линейчатая минимальная поверхность третьего порядка.
Штуди доказал следующие свойства этих поверхностей Ли: все такие поверх-
поверхности конгруентны между собой. Они могут быть образованы как винтовые
поверхности, а также могут быть, и притом бесконечно различными спо-
способами, рассматриваемы как спиральные поверхности. Уравнение поверхности
Ли при надлежащем выборе осей может быть представлено в виде:
2 (*! — 1х$* — 6г (jq - ix? х3 — 3 (.*! + ixj = 0. D9)
7. Мнимые минимальные поверхности четвертого порядка. Штудн пока-
показал, что минимальную поверхность Гейзера (Gelser)
Слг1-Ьг,)« + ЗС*? + *! + *а)-° E0)
можно рассматривать как поверхность вращения, осью которой служит изо-
изотропная прямая:
x1 — ixt = 0, Xj = 0 E1)
(см. работу Штуди, цитированную в предыдущей задаче).
8. Теорема Штейнера, относящаяся к" проблеме Плато A842). Через за-
замкнутую кривую не могут проходить две различные поверхности, имеющие наи-
наименьшую площадь и могущие быть представленными уравнениями вида xs =
=/i(*i> X2>> xz—fz (xi,x?. ибо поверхность 2хя=/1{х1 лг2)+ ft(,xi>xt) имела
бы площадь меньшую, чем каждая из двух исходных. J. Steiner, Werke II,
стр. 298.
9. Теорема Бельтрами о минимальных поверхностях A868). Пусть хк (и, v);
(ft = 1, 2,3) есть минимальная поверхность. Тогда ДлсА = О (Д — второй дифе-
ренциальный параметр Бельтрами). Следовательно, линии хк = const, и их орто-
ортогональные траектории образуют изотермическую сеть. Ё. Beltrami, Operell,
crp. 25.
10. Одна из задач теории минимальных поверхностей. В силу формул
Вейерштрасса (9) между аналитическими функциями,с одной стороны, и мини-
минимальными поверхностями — с другой существует тесная связь. Следовательно,
свойства аналитических функций должны найти себе отражение в свойствах ми-
минимальных поверхностей, и обратно. Исследовать, какие свойства минимальных
поверхностей отвечают тем свойствам аналитических функций, которые в по-
последнее время были найдены в связи с теоремой Пикара. О них см. прекрасно
изложенную статью в энциклопедии: L Bieberbach, Neuere Untersuchungen liber
Funktionen von koroplexen Variablen, Enzyklopadie П С 4, стр. 409 и след., 1921.
11. Равновесие тяжелой жидкости. Пусть К есгь тело данного объема V;
dVi и dVs два объемные элемента тела К; г—расстояние между ними.
Интеграл
//
К К

ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ , 279
достигает сваей наибольшей величины тогда и только тогда, когда К есть сфера
<А. Ляпунов). Доказательство получается проще всего с помощью штейнерова
процесса симметризации. Т. Carleman, Math. Zeitschrift, т. 1, стр. 52 — 57, 1918.
12. Литература о минимальных поверхностях A863). Систематическое из-
изложение теории минимальиых поверхностей можно найти в следующих работах:
И. A. Schwarz, Math. Abhandlungen I, Berlin 189); G. Darboux, Theorie des sur-
surfaces I, кв. HI, Paris 1887. Это одна из самых изящных глав замечательной ра-
работы Дарбу A842—1917); A. Ribaucour, Etudes des Elassbldes, Bruxelles, Memoi-
res couronnees par l'Academie de Belgique т. 44, 1881; E. Beltrami, Sulle prop-
lieta generali delli superficie d'area minima, Opere И, стр. 1—54, 1б68. Из новых
.работ, относящихся к теории минимальных поверхностей, назовем: А. Нааг,
Uber das Plateausche Problem; T. Rado, ttber den Inalytischen Charakter der Mi-
nimalflachen.

' ГЛАВА ДЕВЯТ Я
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
От Плюккера (J. Plflcker, 1801 — 1868) берет свое начало идея исполь-
использования в качестве элементов для построения пространственной геомет-
геометрии вместо точек или плоскостей — высших геометрических образов, на-
например, п мых или сфер. В обоих этих примерах наше обычное про-
пространство - човится носителем многообразия четырех измерений, ибо
как прямая, . к и сфера определяются четырьмя постоянными. Клейн
(F. Klein), который в 1866 —1868 гг. был ассистентом Плюккера по
кафедре физики, довел до конца работу Плюккера „Новая геометрия
пространства, основанная на рассмотрении прямой линии как элемента
пространства" („Neue Geometrie des Raumes gegrundet auf die Betrachtung
der geraden Linie als Raumelement").
В этой работе Плюккер разработал свою линейчатую геометрию
преимущественно в алгебраическом направлении. Еще до этого линей-
линейчатая геометрия была развита в диференциально-геометрическом на-
направлении Гамильтоном (W. R. Hamilton, 1805—1865) и Куммером
(Е. Kummer, 1810—1893) в связи с геометрической оптикой. Работы
Гамильтона появились в 1828 и 1830 гг.; интересующая нас работа
Куммера — в 1860 г. Позднее линейчатая геометрия вступила в тесную
и многостороннюю связь с теорией поверхностей *.
Здесь мы рассмотрим ту часть линейчатой поверхности, которая ос-
основана на применении принципа перенесения Штуди, преемника Плюк-
Плюккера в Бонне.
§ 119. Дуальные числа
Штуди показал, что (четырехмерную в вышеуказанном смысле) ли-
линейчатую геометрию можно поставить в замечательную связь с (двух-
(двухмерной) геометрией сферической поверхности. Это достигается тем, что
на сфере вводятся особого рода комплексные точки.
Именно, наряду с обыкновенными комплексными числами a-\-ib,
где Р=—1, Йодится во многих отношениях равноправная с ними система
так называемых дуальных чисел (duale Zahlen) A = a-\-sb английского
геометра Клиффорда (W. К. Clifford, 1845—1879). Здесь аи b — веще-
1 Систематическое изложение линейчатой геометрии у К. Zindler, Linien-
geometrie I, II, Leipzig 1902, 1906. Обзорная работа того же автора „DieEntwick-
lung und der gegenwartige Stand der differentiellen Liniengeometrie", Jahresbe-
richt Dt. Math. Ver., т. 15, стр. 185 — 213, 1906; см. далее первый том собрания
сочинений Клейна (F. Klein, Gesammelte Abhandlungen, Berlin 1921). Более ста-
старый курс линейчатой геометрии: G. Koenigs, La geometrie reglee et ses appli-
applications, Paris 1895.

ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 281
*
ственные числа, а е — новая единица, подчиненная оперативному закону:.
82 = 0. Мы будем называть а действительной, a b—дуальной частью
числа А.
Для суммы и произведения двух дуальных чисел A = a-\-sb n
r*J **ш/ SV
А = а -{- eb мы имеем следующие формулы:
7), 1
AA=aa-\-i(ab—ba). J
Эти формулы содержат в себе полностью определение дуальных чи-
сел, поскольку они двум парам вещественных чисел (a, b)n(a, b). ста-
вят в соответствие две другие пары: сумму [a-j-a, b-\- b) и произве-
денае [ а а, a b -f- b a }.
Мы можем рассматривать е как вспомогательную величину, дающую
возможность в силу оперативного закона
е2 = 0
легко получать как сумму, так и произведение двух пар вещественных.
чисел. Так как в обеих этих операциях пары {a, b }, и { а, Ь) уча-
участвуют вполне симметрично, то определенные выше операции, очевидно,,
коммутативны:
Л-(-Л = Л+Л, АА — АА.
Уравнение
однозначно разрешается относительно X, ибо система уравнений
а-\-х=а, b-\-y= b
имеет однозначное решение относительно х и у. Естественно поэтому
написать X = А — А; таким образом мы однозначно определяем операцию
вычитания. Если определим число 0 требованием, чтобы при каждом А
имело место тождество A -j- 0 = А, то, очевидно, О будет парой чисел
{О, 0 }. Посмотрим теперь, как обстоит дело с обращением умножения^
Уравнение А-Х= А, если перевести его на соотношения между [па-
[парами вещественных чисел, даст систему уравнений:
***> г-*
ах = а, ay -f- bx = b..
Эта система имеет однозначное относительно х и у решение лишь-
тогда, когда афО. Итак, деление Х= А:А выполнимо лишь в том
случае, если действительная часть знаменателя не равна нулю. На чиста
дуальное число { 0, b } делить нельзя. Здесь правила операций над двой-
двойственными числами отличаются от правил счета с вещественными числами,,
ибо для вещественных чисел 0 есть единственное число, на которое
нельзя делить, тогда как для дуальных чисел исключается не толька
пара {0, 0}, играющая роль нуля, но и всякая пара {О, Ь). Осталь-

282 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
«ые законы, например законы ассоциативности и дистрибутивности, вы-
выполняются и для дуальных чисел, но, конечно, для них не имеет места
правило, согласно которому произведение обращается в нуль лишь в
том случае, когда один из сомножителей равен нулю. Что касается числа е,
квадрат которого равен нулю, то мы можем сказать, что операции с
дуальными числами а-\-гЬ производятся так же, как со степенными ря-
рядами, обрываемыми ка линейных относительно е членах.
Косинус и синус дуального числа Ф = ®-f~e? мы определим по ана-
аналогии с тем, как это делается для комплексных чисел с помощью сте-
степенных рядов:
С05ф==1--*+?•••'
, Ф5
Заменив Ф через <?-fe<p, мы получим:
или
cos(cp-j-s<p) = coscp —
Этой формулой нам придется впоследствии воспользоваться.
Аналогично найдем:
sin (<p -j-e<p) = sin<p -j-е<рcos<p.
§ 120.- Принцип перенесения Штуди
Прежде всего мы введем плюккеровы координаты прямой. Пусть
прямая А определена двумя лежащими на ней точками х и у. Положим:
а = р(у — х), а = р(хХу), B)
где р — произвольный множитель, отличный от нуля. Шесть компонен-
компонентов ак, аъ двух этих векторов образуют плюккеровы однородные ко-
координаты прямой А. Очевидно) они связаны соотношением:
аа = 0. - C)
Чтобы фиксировать величину р, мы потребуем кроме того, чтобы
а* = 1. D)
В случае вещественной прямой — ими мы здесь как правило бу-
будем ограничиваться — этого всегда возможно достичь, и притом двумя
различными способами. Теперь мы можем охарактеризовать прямую А
с заданным на ней направлением с помощью пары векторов а, а. Пер-
Первый из этих векторов дает направление прямой, второй же, пользуясь
терминологией, принятой в механике, мы можем назвать векториальным
моментом единичной силы а, действующей в направлении прямой А
«относительно начала координат. Условие того, чтобы точка х лежала
да прямой А, выражается уравнением:
х X а = а. E)

ПРИНЦИП ПЕРЕНЕСЕНИЯ ШТУДИ 283
Определим основание а перпендикуляра, опущенного из начала ко-
координат на прямую А. Оно получается из формулы:
а = аХа. F)
В самом деле в силу формулы E) эта точка лежит на прямой А,
ибо с помощью формулы B9) § 2 мы получаем:
аХа — (аа) а — (аа) а = а,
•с другой же стороны мы имеем:
аа = О.
Теперь мы, следуя Штуди, положим:
а4-еа = А, G)
щведя этим дуальный вектор А с компонентами
А* = а* + «1*;
А—1, 2, 3. (8)
Вектор А есть единичный вектор, так как в силу соотношений
а2 = 1, аа = 0
злы имеем:
a=l. (9)
В этом отображении прямых пространства на дуальные точки еди-
единичной сферы А8 = 1 и состоит введенный Штуди принцип перенесе-
перенесения; последний представляет собой, пожалуй, самое существенное в его
•большой работе „Геометрия динам" (Geometrie der Dynamen", Leipzig
1903) i.
На первый взгляд может показаться, что устанавливаемое принципом
перенесения Штуди соответствие является совершенно произвольным;
на самом деле, оно вполне обосновано, в чем. мы легко убедимся, если
посмотрим, что соответствует в линейном пространстве скалярному прр-
изведению АА* двух дуальных векторов. Положив
A0)
A* = a*-f-ea*, J
мы найдем:
АА* = аа* + е(аа1!+а*а). A1)
Мы утверждаем, что обе—действительная и дуальная — части выраже-
выражения, стоящего справа, представляют собой инварианты пары направленных
прямых А, А*. В самом деле, первая из этих частей аа" есть косинус
угла, образованного этими прямыми. Остается, следовательно, установить
геометрический смысл выражения, стоящего в скобках. Выберем на
1 См. в этой работе особенно § 23, стр. 195 и литературные указания на
стр. 207-208.

284 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
прямой А две точки х и х + а = У> на прямой А* точки х* и
х*-[-а* = у*. Тогда определитель
1„ „ „
9 &
1 Л Л Л
1 jc* х* х*
А
A2)
1 j? Л А
если разложить его согласно теореме Лапласа по минорам матрицы,
составленной из первых двух строк, даст как раз наше выражение:
V=aa* + a*a. A3)
Если же в определителе A2) мы вычтем третью строку из четвертой,
а затем первую из второй и третьей, то получим:
F = (a, х* —х, а*); A4)
здесь в правой части равенства стоит определитель третьего порядка.
Если мы теперь сместим точки х и х* на прямых А и А* так, чтобы
соединяющая их прямая стала общим перпендикуляром к этим двум
прямым, то мы обнаружим, что
V = — <psin<p,
где ф есть длина общего перпендикуляра, т. е. кратчайшее расстояние
между прямыми А и А*. При этом относительно знака нужно ввести
надлежащие условия. В механике величина V называется одной из пря-
прямых А, А* по отношению к другой. Знак этого момента не зависит от
порядка, в котором мы берем эти прямые, но зависит от направлений,
установленных на прямых А и А*.
Если мы положим
то в силу формул Aа), A1) и A5) мы будем иметь:
АА* = cos Ф = cos <р — е<р sin «. A7)
Итак, дуальный угол прямых А, А* составляется из обыкновенного
угла <р и кратчайшего расстояния <? между ними.
В частности
АА* = О A8)
есть условие того, чтобы прямые А и А* пересекались друг с другом
под прямым углом. Если мы обозначим через R(A) и D(A) действи-
действительную и дуальную части числа А, то согласно формуле A7) для угла ©
и для кратчайшего расстояния <р между прямыми А и А* мы получим
(случай параллельных прямых мы пока исключаем):
Yl — УЦАА»)]*
Таким образом:
= О A8а)

ПРИНЦИП ПЕРЕНЕСЕНИЯ ШТУДИ 285
есть условие перпендикулярности скрещивающихся прямых, а
?>(АА*)-О, (Я*ф1) A8Ь)
условие пересечения двух прямых (при i? = rtl, D — 0 мы имеем
параллельные прямые).
Если теперь подвергнуть единичную сферу А2 = 1 группе дуальных
вращений, т. е. ортогональным подстановкам с дуальными коэфициен-
тами, то им соответствуют евклидовы движения линейчатого про-
пространства, и наоборот. Ибо движения пространства выделяются из не-
непрерывных групп преобразований тем, что они сохраняют дуальный угол
между двумя прямыми, т. е. кратчайшее расстояние и угол между ними.
Установленную таким образом связь между дуальной геометрией на
сфере и линейчатой геометрией мы используем прежде всего для того,
чтобы исследовать линейчатые поверхности.
Предпошлем этому исследованию еще следующие замечания.
Движения в линейном пространстве выражаются в дуальных коорди-
координатах At преобразованиями вида:
где 9 дуальных коэфициентов удовлетворяют шести соотношениям:
3 '1 при k = l,
О при k ф /.
В самом деле, согласно вышесказанному именно конгруентные отобра-
отображения дуального пространства Ах, А2, А3 оставляют неизменной единич-
единичную сферу или, что то же, начало координат. Таким образом мы имеем
в формальном отношении те же преобразования, что и преобразования
векторов C5), C3) § 3. Поэтому и теперь остаются в силе предложе-
предложения § 4, касающиеся образования инвариантов. Пусть требуется опреде-
определить полную систему независимых инвариантов для ряда прямых; эти
последние задаются рядом дуальных векторов:
дA) дB) д(зI дй>)
В согласии с результатами § 4 мы должнш выделить каким-либо обра-
образом из этой системы максимальное число линейно независимых векторов,
принять эти векторы за основные и выразить через них все остальные
векторы линейно. Тогда полная система независимых инвариантов будет
представлена скалярными произведениями основных векторов и коэфи-
циентами линейных выражений. Каждый из этих инвариантов есть дуаль-
дуальная величина, и при выделении из нее действительной и чисто дуальной,
части мы получим каждый раз пару независимых вещественных инва-
инвариантов. Каждый вектор В, само собой разумеется, может быть единст-
единственным образом представлен линейной комбинацией трех линейно неза-
симых векторов АA), АB), А(8):
В = Лг АA) + Ла АB) + Л3 АC). A9)
Коэфициенты Л{ суть дуальные числа Xf-f~sV Выделив в формуле A9)
действительную и чисто дуальную часть, мы получим две формулы:

286 . ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Шесть величин Х„ X, суть инварианты четырех векторов АA\ АB\.
A(S), В.
Пара векторов b, b может быть линейно представлена через шесть
векторов а, а с помощью выражений вида A9а) единственным образом.
Правда, во втором из уравнений A9а) можно многими способами подо-
подобрать коэфициенты линейного выражения b через а, а; но лишь един-
единственным способом можно произвести этот выбор так, чтобы коэфи-
коэфициенты при трех векторах а совпадали с соответствующими коэфициентами
первого из уравнений. Векторы а преобразуются при движении, вообще
говоря, не так, как преобразуются векторы в узком смысле в отличие
от вектора а, которые преобразуются как обычные векторы.
§ 121. Линейчатые поверхности
Если дуальный единичный вектор
A = a(*)-f-sa(*) B0)
мы сделаем зависимым от вещественного параметра t, то получим линей-
линейчатую поверхность. При этом мы, чтобы не навлечь недовольства стро-
строгого геометра, которому посвящена эта книжка1, не забудем оговорить,
что мы исключаем тот случай, когда а и а являются постоянными век-
векторами. Для дуального утла, составленного двумя смежными образующими,
мы получаем:
<*Ф2 == {d's -f e <fcJ = d№ = (da. + e da)*. B0a)
Отсюда
d<p = da?, dy-dy=:da.- da. \ 4- B1)
и выражение /
1 Автор посвятил эту книгу проф. Штуди, своему учителю. Прим. перев^
2 Так как вектор а не является инвариантом относительно движения начала
координат, то инвариантность скалярного произведения da.ua. не является
a priori очевидной; как показывает второе из соотношений B1), эта инвариант-
инвариантность действительно ицеет место. Это соотношение вытекает из использованного
в B0а) соитношения аФ2 = а?А2, где Ф — дуальный угол между бесконечно
близкими единичными векторами. Для полной строгости вывода соотношение B0а)
должно быть получено из определения косинуса дуального угла как скалярного
произведения единичных векторов, инвариантность и геометрический смысл
которого показаны в предыдущем параграфе. Это может быть сделано способом,
в формальном отношении вполне тождественным с тем, которым соотношение
B0а) может быть получено для вещественных векторов. Именно, мы имеем:
cos db = A (А + «ГА) = 1 ¦+- A rfA; sin2 Ф = 1 — A + A dkf = — 2\dk
(с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Из соотношения же
(А + с?АJ = 1 мы имеем: 2Ad\ -\-dA2 = 0 (таким образом, как это очевидно
геометрически, A dA и dA2 имеют одинаковый порядок малости!). Следовательно,
sin2 d<$> = fifA2, а так как и для дуальных чисел в силу определения § 119 а?Ф
и sinflM> эквивалентные бесконечно малые, то справедливость B0а) доказана.
Прим. перев.

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 287
дает простейший диференциальный инвариант линейчатой поверхности.
Инвариант d называют по Шалю (М. Chasles, 1793—1880) параметром
распределения поверхности. Выражение B2) для — становится непри-
непригодным лишь для цилиндров а'2 = 0 (если мы, как выше сказано, огра-
ограничимся рассмотрением вещественных поверхностей). Тождественное
обращение величины — в нуль служит отличительным признаком раз-
развертывающихся поверхностей. Цилиндры мы в дальнейшем будем исклю-
исключать из рассмотрения. Линейчатые поверхности, не являющиеся развер-
развертывающимися, мы еще прежде назвали косыми. Геометрический смысл
параметра распределения будет указан ниже.
Введем теперь сопутствующий триедр нашей линейчатой поверхности,.
построив его следующим образом: за одно из его ребер мы примем,
образующую А = А1, за другое — прямую
^ B3)
и, наконец, за третье прямую 1
Аз — AiXAa. B4)
Чтобы установить геометрический смысл А^ и А3, обратим внимание
на то, что, диференцируя уравнение А2 =1 по t, мы получаем:
АА' = 0. B5)
Далее, мы утверждаем, что А3 есть общий перпендикуляр для двух
смежных образующих А и A-f-A'rf/. Для того чтобы убедиться в спра-
справедливости этого утверждения, мы, как это показывает формула A8),
должны проверить справедливость соотношений
А3А = 0, А3(А + А'Л) = 0 B6)
и удостовериться в том, что А3 удовлетворяет условию нормированное™:.
А* = (Ах X А2J = А* А* - (АЛ)' = 1 2- B7>
Точку пересечения х трех прямых нашего триедра, т. е. ту точку
прямой А, которая наименее удалена от бесконечно бливкой образующей,
мы будем называть горловой точкой поверхности s, а геометрическое
место x(f) горловых точек — горловой линией. Горловые точки и линии
1 Операция векторного умножения для дуальных векторов может быть
определена оперативно заданием действительной и дуальной части произведения
такими выражениями, которые получаются при формальном выполнении век-
векторного умножения и последующем принятии е2 = 0. Следует, однако, заметить,
что при произвольных единичных сомножителях векторное произведение не дает
единичного вектора, так что произчедению двух прямых, вообще говоря, не
будет отвечать прямая. Что в данном случае произведение есть единичный
вектор — показано ниже. Прим. перев. .
3 Нетрудно убедиться в том, что преобразование, здесь примененное, при-
применимо не только к вещественным, но и к дуальным векторам. Для этого доста-
достаточно сравнить действительные и чисто дуальные части двух выражений, полу-
получаемых элементарными преобразованиями из исходных. Прим. перев.
3 Эта горловая точка уже встречалась нам в § 34.

288 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
называют также точками и линиями сжатия. А8 есть касательная линей-
линейчатой поверхности, проходящая через горловую точку и перпендику-
перпендикулярная к образующей А; А2 есть нормаль поверхности, проведенная
через горловую точку. Плоскость, проходящую через At и А2, называют
асимптотической плоскостью нашей поверхности.
Выразим теперь производные А^ трех дуальных векторов Ак линейно
через векторы Ак:
А; =-2 в* А,! яи = А>,. B8)
Диференцируя соотношения
А»А, = 0, ?ф/; A*A, = 1, k = /, B9)
мы получим:
А!кА1-\-АкА'1 = аы-\-а1к = 0, C0)
т. е. матрица аы — кососимметрическая. Система уравнений B8) имеет,
следовательно, такой вид:
Ai = ai2A —°пК )
А2 = а23А3 — а12А1' | C1)
К = а31А1— ап\- J
Но в силу формулы B3) мы имеем:
А' = А; = РАа,
следовательно,
а^ = Р, а31 = 0,
и нам остается вычислить
«"м^А^А,. C2)
Диференцируя B3), мы получаем:
А'^^+А'^У, ' C3)
а так как, с другой стороны, в силу формулы B4) мы имеем:
А, = А1ХА,=-А^-, C4)
то для величины ааз, которую мы будем обозначать через Q, мы найдем
выражение:
а (АА'А"> (АА'А") ,
Q = —pg— jr^r-- C5)
Итак, наши деривационные уравнения имеют такой окончательный
вид:
C6)
Расчленим эти формулы на их действительные и двойственные части,
положив

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Мы получим тогда следующую систему уравнений:
289
C7)
C8)
C9)
D0)
где
я —
(а
(I
,/
а'
а") + (а?а") + (аа'
а/2
а")
D1)
В этих формулах параметр, к которому мы относим л'инейчатую поверх-
поверхность, еще не определен инвариантным образом.
Для дуальной длины сферической кривой At(i) мы получаем, поль-
пользуясь формулами C6) и C7), следующее выражение:
J
8/7) dt, v
а для дуальной длины кривой A3(f):
D2)
D3)
причем знак остается произвольным.
Итак, интегралы
fpdt,fpdt,fqdt,fqdt
являются интегральными инвариантами линейчатой поверхности A (t).
Далее с помощью формулы B2) мы найдем значение параметра
распределения dt поверхности Al (f) из соотношения:
D4)
19 Зак. 884. — Бляшке, ч. I

290 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
причем соотношение р = 0 будет отличительным признаком того, что
поверхность есть цилиндр.
Чтобы интерпретировать геометрически параметр распределения,
представим себе прямые Т, проводимые через точки образующей А = А1
так, чтобы они были перпендикулярны к этой образующей и в то же
время пересекали смежную с ней образующую А -f- dk = A -j- A'df,
иными словами, рассмотрим те касательные Т нашей линейчатой поверх-
поверхности, которые исходят из точек образующей А и перпендикулярны
к этой образующей. Если мы линейно выразим Т через векторы А1; А2, А3
T = AiA1 + A2A2 + A3A3,
причем Aj, A2, А3 — некоторые дуальные коэфициенты, то из соотно-
соотношения TAj = 0 мы будем иметь Ах = О, а в силу соотношения ТТ = 1
мы получим: Л*Л23 = 1, и мы можем, следовательно, положить:
Т — sin Ф А2 -j- cos Ф А3,
где
sin Ф = sin <р -f- e(ТА') = 0
или в силу формулы B3):
D [GAa) -P] = D [sin ф.Р] = 0. D4а)
Произведя разделение действительной и дуальной частей, мы получим:
sin Ф • Р = sin <р • р -j- e [sin ф/7 -\- <р cos » • р).
Условие D4а) с помощью формулы D4) мы можем таким образом пред-
представить в такой форме:
? t? ' D5)
? tg9 jr
Итак, если мы исключим случай цилиндра р = 0, то для нашей каса-
касательной Т, которая зависит от одного параметра <р, мы получим такое
выражение:
Т (<р) = sin 9 гц ^ cos <j> a3 +
-f e [sin 9 а2 -f cos 9 a3 — ^ sin 9 a2 -f jr sin .
Поэтому в силу формулы A7) <р есть угол между Т и А3, а »— крат-
кратчайшее расстояние между ними. Но между этими двумя величинами
и параметром распределения нашей поверхности существует в силу
формулы D5) соотношение:

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 291
<*х?=— tg?. D6)
Так как А есть общий перпендикуляр для Т и А3, то величина ?
есть попросту расстояние от точки М, в которой Т касается поверх-
поверхности, до горловой точки; величина же <р есть угол, образуемый каса-
касательными плоскостями, проведенными одна через точку М, а другая
через горловую точку. Таким образом формула D6) показывает нам,
как происходит вращение касательной плоскости вокруг образующей,
по мере того как изменяется расстояние <р от точки касания до горло-
горловой точки. Если мы положим <р = 1, т0 будем иметь:
и, таким образом, мы можем геометрически интерпретировать параметр
распределения следующим образом: если у есть угол между двумя
касательными к нашей линейчатой поверхности плоскостями, из ко-
которых одна проведена через горловую точку, а другая через точку,
лежащую на образующей на расстоянии 1 от горловой точки, то
параметр распределения нашей линейчатой поверхности1 равен — tg-f.
Для параметра распределения поверхности А2@ мы найдем фор-
формулу, аналогичную формуле D4) для параметра распределения поверх-
поверхности Ai(*):
а2аа
и, наконец, для параметрического распределения поверхности A3(t) мы
получим формулу:
1 а^ _?
<k а? Я
Для того чтобы определить вектор скорости х' горловой точки х,
примем во внимание, что А3 касается поверхности, описываемой Ах,
в точке х и что, следовательно, должно иметь место соотношение:
х' = aaj -f- *a8. D7
Если теперь мы продиференцируем уравнения:
хХа1=а1, хХа3 = а3) D8)
выражающие, что горловая точка х -лежит на Ах и на А3, то с помощью
формул C9), D0) и D7) мы получим:
a=q, b=~p. D9)
Мы получаем, таким образом, искомое деривационное уравнение для
горловой точки:
X' = qzt -f pfl3
E0)
и отсюда _ _
E1)
Разумеется, для данной ее образующей. Прим. перев.

292 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Из формулы E0) мы можем получить геометрическое истолкование
интегральных инвариантов:
fqdt, Jpdt.
Именно, интеграл
¦ f x'a^t^fqdt E2)
представляет измеряемое вдоль образующей Aj расстояние горловой
точки от некоторой кривой, лежащей на линейчатой поверхности (А,)
и пересекающей образующие At под прямым углом1. Аналогичным
образом интеграл
f J E3)
есть расстояние горловой точки до некоторой линии, ортогонально
пересекающей систему образующих А3.
Как мы видели, соотношение р = 0 является отличительным призна-
признаком цилиндра. Если же при р = 0 мы имеем р ф 0, то согласно«фор-
согласно«формуле D4) параметр распределения поверхности A (jt) будет бесконечно
велик, и, следовательно^. A (t) при р = 0 всегда будет развертывающейся
поверхностью 2. Если q = 0, то в силу формулы C9) мы имеем а'л = О
и, следовательно, а = const. Так кака1а3 = 0, то геометрический смысл
условия <7 = 0 состоит в том, что образующие нашей поверхности А( (f)
параллельны некоторой плоскости {направляющей плоскости). Остается
еще исследовать случай q = 0.
1 Именно, если нижним пределом интеграла служит значение параметра ta,
то эта кривая проходит через горловую точку х(/0). Справедливость предложе-
предложения следует из того, что подинтегральное выражение представляет собой ком-
компоненту бесконечно малого смещения горловой точки в направлении образую-
образующей. Нетрудно видеть из простых стереометрических соображений, что на эту
же величину изменяется расстояние (по образующей) горловой точки до любой
нормальной траектории к семейству образующих. Прим. перев.
2 Заметим, что для этого случая интерпретация, приведенная выше в тексте,
становится непригодной. В самом деле, в случае развертывающейся поверх-
поверхности горловая линия вырождается в ребро возврата; в точках этого ребра по-
поверхность не имеет касательной плоскости.в собственном смысле. Несобствен-
Несобственной касательной плоскостью (определяемой с помощью предельного процесса)
будет служить соприкасающаяся плоскость ребра возврата. Эта же плоскость
является касательной для всех точек образующей, касающейся ребра возврата
в данной его точке. Поэтому, если определить угол <f как угол между двумя
касательными плоскостями (см. выше в тексте), то для развертывающейся по-
поверхности мы будем иметь: <р = 0; tg 'f = 0, тогда как параметр распределения
бесконечно велик. Непригодность вышеуказанной интерпретации проистекает
не из того, что выкладки, приведшие к ней, в каком-либо пункте становятся
неприменимыми для развертывающейся поверхности, а из того, что возмож-
возможность отождествления прямой А3 с касательной к линейчатой поверхности
в горловой точке обусловлена (это в тексте нэ оговорено) неразвертываемостью
линейчатой поверхности. Таким образом интерпретация могла бы быть рас-
распространена и на развертывающуюся позерхность, если бы угол 9 был опре-
детен как угол, образуемый касательной плоскостью в точке, отстоящей на
расстояние 1 от горловой точки, с прямой А3, проходящей через соответствую-
соответствующую горловую точку. В случае развертывающейся поверхности этот угол ра-
равен -п в согласии с формулой D6). Прим. перев. "

' ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 293
В общем случае, т. е. при р ф О, q ф 0 поверхности Ах (f) и Ag (О
соответствуют друг другу взаимно, т. е. каждая из этих поверхностей
образуется прямыми, дающими кратчайшие расстояния между бесконечно
близкими образующими другой поверхности. Действительно, из формул
C6) следуют соотношения
А3 = —р— E4)
которые выражают — первое, что А8 есть общий перпендикуляр к At
и А\-\-ЛА1г а второе — что Ах есть общий перпендикуляр кА, и
А3-ЙА8.
, Оба выражения имеют смысл, поскольку действительные части зна-
знаменателей, т. е. р и q, не обращаются в нуль. Если теперь q = 0, то
в силу формулы D6а) параметр распределения поверхности А3@ бес-
бесконечно велик, т. е. А3(/) есть развертывающаяся поверхность. Значит,
поверхность Aj(tf) состоит- из прямых, служащих общими перпендику-
перпендикулярами для двух бесконечно близких образующих развертывающейся
поверхности, т. е. поверхность At(^) образована бинормалями той кри-
кривой, которую в общем случае огибает развертывающаяся поверхность.
Итак, условие q = 0 выражает в общем случае, что поверхность At (t)
образована бинормалями некоторой кривой.
В особом случае р = 0 наша теория линейчатых поверхностей дает
теорию пространственных кривых (если q ф 0), а также приводит нас
к случаю конуса (q = 0). В первом случае формула E0) дает нам:
х' = qa.t, х'2 = q2 и, следовательно, пользуясь произволом выбора знака
для длины дуги s горловой линии, мы можем написать:
s= I qdt. ,
Формулы C9) принимают тогда следующий вид:
ds q
Сравнивая их с формулами Френе G1) § 9, мы получаем для кривизны
и кручения горловой линии выражения:
_!_=.?, ± = 4=-. E6)
р q х q
Заметим попутно, что помимо четырех наших интегральных инвари-
инвариантов линейчатых поверхностей можно легко образовать и другие, как,

294 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ ' ?
ч
например, инвариант, рассматривавшийся французским геометром Кёниг-
сом (G. Koenigs):
f V~fv dt = f Vab' dt. E7)
Если мы, отправляясь от горловой линии х {t), представим произ-
произвольную точку у линейчатой поверхности с помощью параметров rut
в виде у = \-\-га.1г то для линейного элемента поверхности мы полу-
получим выражение: "
dt*. E8a)
Отсюда мы, пользуясь хотя бы формулой D2) § 36, найдем сле-
следующее выражение для гауссовой кривизна:
E8b)
Из него мы видим, что если ни одна из величин р и р не обращается
в нуль, то величина К имеет для данной образующей наибольшее зна-
значение в той ее точке, где г=0, т. е. в горловой точке.
Из инвариантности К относительно изгибания (§ 45) вытекает следую-
следующее предложение: если две неразвертывающиеся (косые) линейчатые
поверхности изометрически отображаются друг на друга так, что
образующим на одной из них соответствуют образующие на другой,
то и горловые линии этих поверхностей соответствуют друг другу.
Отсюда же получается другое предложение: для того чтобы две
неразвертывающиеся линейчатые поверхности могли изометрически отоб-
отображаться друг на друга так, чтобы образующие отображались на обра-
образующие, необходимо и достаточно, чтобы отношения p'p:q для соот-
соответственных образующих были одни и те же.
В заключение дадим некоторые формулы для горловой точки х
линейчатой поверхности. Если мы положим
то из того факта, что х лежит на Л1( следует, что
хХа1 = а1,
где
хХ а! = —а2а3 + а8а2.
в во внимание, чтоа^ — 1 а2
Умножив скалярно на а2 и приняв во внимание, что.а^ — 1» а2 аа = О,
мы получим, что а8 = а2а1.
Аналогично выражаются и остальные коэфициенты, причем соотно-
соотношения, их дающие, получаются из предшествующего циклическими
перестановками индексов. В результате мы будем иметь:
х = (а8а2) ах + (а^) а.2 + (a^i) а8- E9а)
Так как А, и Ak (i ф k) пересекаются между собой (а,а* -J- а*а« — О)
ю вместо формулы E9а) мы можем написать также следующую:
—x = (a2as)a14-(asa1)a2-|-(a1a2)a8. E9b)

, ОСОБЫЕ ТИПЫ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 295
Д4гее с помощью формул C9) и D0) мы получаем:
х = ах"а+-^Р-а E9с)
или, применив формулу F):
а'а'
1
§ 122. Особые типы линейчатых поверхностей
Применим изложенную выше теорию к решению задачи об опреде-
определении параметра распределения А такой линейчатой поверхности, кото-
которая описывается прямой G, неподвижно соединенной 'с сопутствующим
триедром данной линейчатой поверхности h(t).
Чтобы достигнуть поставленной цели, мы выразим линейно дуаль-
дуальный вектор О через дуальные векторы А1( А2, А8:
0 = О1Л1+02Л2 + 03Л8. F0)
Здесь Ок суть постоянные дуальные числа, сумма квадратов которых
равна G2=l. Диференцируя и принимая во внимание формулы C6),
мы получаем:
О' = _ О2 Ркх + (ОгР — G3 Q) А3 + Ga QA,. F1)
Отсюда, между прочим, для определения положения той прямой, ко-
которая, находится в состоянии мгновенного покоя, мы получаем формулы:
П = Q —, О» = 0, G3= rJL-=. F2)
Из соотношения F1.) мы получаем далее:
\-QzQY + Q\Qt F3)
или, так как
)*. F3а)
Разделяя в этом уравнении действительную и двойственные части,
мы получим:
_ {gap-\-glq)*,
F3b)
и таким образом для искомой величины параметра распределения А
мы получаем формулу:
J_ g~g' __ рр+дд - (gsp+ gtf) (gnF+ gig"+ Ы> + g\i)
1 Аналогично изложенной здесь теории можно построить.в высшей степени
симметрично теорию линейчатых поверхностей для неевклидовой геометрии.
См. W. Blaschke, Math. Zeitschiift, т. 15. стр. 309-320. 1922.

296 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ '
¦ j
Разыщем теперь те прямые, которые проходят через горловою
точку х и для которых параметр распределения равен бесконечности.
Для всякой прямой, проходящей через х, мы имеем gk = 0, ибо gk суть
моменты вращения прямой G относительно Ад.. Следовательно, мы по-
получаем условие:
PP + ql = (gbP-\-g\<l)(guP-srgJi)- F5)
Это — уравнение конуса второго порядка с вершиной в х. Зададимся
теперь вопросом: для каких поверхностей этот конус, образующие
которого описывают при перемещении сопутствующего триедра раз-
развертывающиеся поверхности, сохраняет свой вид и положение отно-
относительно триедра Ак (?)?
Из вида уравнения F5) явствует, что для этого необходимо и до-
достаточно, чтобы отношения р: q и р: q оставались постоянными (т. е.
не зависели от t). Покажем, каков геометрический смысл этих условий.
Условие p'-q = const, означает, что образующие A (t) образуют постоян-
постоянный угол с некоторым неизменным направлением. Действительно, если
мы выделим в уравнении F1) его действительную часть, то получим:
g' = — g? Рах -f {g^p — gbq) а2 + ?-2 ?а3. F6)
Отсюда следует, что неподвижное относительно триедра направление
fe А F7)
неподвижно также и в пространстве (g' = 0). Нетрудно показать, что
и обратное предложение справедливо. С другой стороны, из формулы
E1) следует, что условие p:q = const, определяет поверхности, для ко-
которых горловая линия составляет с образующей постоянный угол. Так
как направление F7) и направление горловой линии оба лежат в пло-
плоскости, проходящей через Ai и Ав, то и угол между х' E0) и непо-
неподвижным в пространстве направлением F7) в том случае, когда p:q =
= const, и р : q = const, также остается неизменным. Пользуясь терми-
термином, введенным в § 18, мы скажем, что в этом случае горловая линия
есть линия откоса.
Так как вектор гц перпендикулярен к вектору х' « в то же время
к постоянному направлению и так как главная нормаль §2 линии откоса
согласно § 18 обладает тем же свойством, то мы можем положить
§2=а2-
Пойдем теперь обратным путем. Возьмем некоторую линию откоса
х (t) и построим какую-нибудь линейчатую поверхность A (f), для ко-
которой х (t) служит горловой линией. Тогда в силу |2 = а2 должно'
иметь место соотношение:
= const. F8)
Диференцируя его и применяя формулы Френе § 9, мы получим:
F9)

\ конгруенции прямых 297
\
Следовательно, мы имеем:
Ч=А2 = Ъ G0)-
и, значит, кривая х(^) для поверхности
А@ = а1 + е(хХа1) G1)
служит действительно горловой линией. Итак, чтобы построить ли-
линейчатую поверхность, для которой p:q = const, и p:q = const., до-
достаточно через точки х некоторой линии откоса провести образую-
образующие по направлению
ъ. — \г cos 9 -f-18 sin ft, Ь = const.
При этом нужно выбрать угол ft так, чтобы направление а не ока-
оказалось постоянным в пространстве. Триедр векторов \к неподвижно
связан с триедром aft. Следовательно, прямая О, неподвижно связанная
с Ак, находится в неизменной связи также и с триедром %к. Поэтому
для каждой линии откоса существует неподвижно связанный с ее сопут-
сопутствующим триедром конус, вершина которого лежит на кривой, а обра-
образующие описывают развертывающиеся поверхности. Это свойство является
отличительным для линий откоса. Мы пришли таким Образом к резуль-
результату, принадлежащему Аппелю (P. Appell) 1.
Согласно формуле F2) для произвольной линейчатой поверхности
прямая
( QAi+gAg. 2
соответствует сферическому центру кривизны на дуальной сфере, так
что ее можно назвать осью кривизны линейчатой поверхности A(t).
Если мы подставим в формулу G2) вместо величин А:, А3, Р, Q
их выражения B3), B4), C6), то получим:
в= ом-аху Qtatv*"). i73a)
Если мы обозначим двойственный угол между А и В через в = 0 —{— st>,.
то формула G2) даст:
P *"" ' G3b)
„ — ЯР—РЯ
P * P2 ~t~ Я^
§ 123. Конгруенции прямых
Семейство прямых, зависящее от двух (существенных) параметров,,
называется конгруенцией прямых. Если мы представим единичный век-
вектор А как функцию двух вещественных параметров и и v:
А = а (и, v) -j- e а (и, v), G4>
1 A Appell, Arch. Math. Phys. A), т. 64, стр. 19-23, 1879.

298
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
то мы зададим этим конгруенцию прямых. Дуальный элемент дуги ¦
= {(а„ du -f a, dv) -f- е (au da -f а„ dv)}* =
aj rfi>a) -f-
} G5)
мы сокращенно будем представлять в виде:
dAq = Я ^из -j_ 2F du dv -\- О dv9- =
= е ^и3 -j- 2/rf« ^г/ -f g dv1- 4- e (Jtfu2+ 2fdu dv-\- g dv*), G6)
полагая
G7)
В дальнейшем мы исключим из рассмотрения цилиндрические кон-
груенции, т. е. такие, сферическое изображение которых а (и, v) выро-
вырождается в некоторую кривую (eg—f* = 0).
Чтобы найти зависимость между двумя квадратичными диференциаль-
яыми формами J:
I = е du* -|- 2fdu dv+g dv*,
E = e-\-ee,
e = a««
e = 2a-a-
F=
/=
/ =
/1
a»
aB
a,.
a, + at
а„. ^=2а,а„.
v-\-gdv\ 1
Iv-j-gdv*, J
-\-2fdud
мы должны лишь выразить, что гауссова мера кривизны двойственной
диференциальноЛ. формы I-j-sII равна 1 2. С помощью формулы A38)
§ 58 мы получаем две формулы; первая имеет вид:
/ А Л
g g» g.
2w
д e*-
dv
w
L
du
причем
Вторая формула, несколько тяжеловесная, может быть представлена
в виде:
1 Эти формы были применены для систематического диференциально-гео-
метрического изучения конгруенций впервые Санниа (G. Sannia, Math. Ann.,
т. 68, стр. 409—426, 1910); но еще задолго до этого обе эти формы были выве-
выведены Циндлером (К. Zindler).
2 Так как эта двойственная форма представляет элемент дуги двойственно*
•сферы. Прим. перев.

КОНГРУЕНЦИЯ ПРЯМЫХ
299
0 =
2Л
e
f
g
/.
gu
Л
A
-if
7
T
в
eu
Л
Л
A
+
e eu
f Tu
g gu
л
A
+
e eu
f fu
о Su
7.
A
+¦
dv w
д f.-gu) i ( a
w
д Л—
du w
d»
w
du
w
}. . (80)
где положено:
*k-
eg+P
Формула (80) может быть несколько преобразована с помощью фор-
формулы G9).
Если мы перенесем на наш случай также и' гауссовы деривационные
формулы A35) § 37, положив x = jj = A, и, в соответствии с форму-
формулами G7): _
то мы убедимся, между прочим, в том, что условиями G9) и (80) кон-
груенция прямых существенно определяется.
Посмотрим теперь, каковы будут параметры распределения тех ли-
линейчатых поверхностей, которые образованы прямыми нашей конгруен-
ции и проходят через некоторую заданную прямую конгруенции. Мы
находим:
1 _ а/а/ _ (а„ du -f a, dv) (audu
d ~ a'2 — (fofd0
2fdudv + gdv*
(81)
Рассматривая величину d как функцию направления перемещения
du:dv, мы с помощью тех же рассуждений, которые быяи проведены
в § 44 и 46, найдем для экстремальных значений d формулы:
и из них:
или
Bе — ed)du-\- Bf—fd) dv = 0
B/ — fd) du 4- Bg—Jd) dv= 0.'
») - 2 (eg— 2ff+gl) d + 0 g—
\—2hd-\-kd* = 0,
(82)
(83)

300
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
где
(84)
(85)
Знаменатели этих выражений отличны от нуля, если, как мы это и
предположили, наша конгруенция не является цилиндрической. Фор-
Формулы (82) по исключении из них d дают для главных направлений
du : dv уравнение:
е du -4-/ dv e du-\-f dv I
_ _ [=0. (86)
fdu-\-gdv fdu-\-gdv\
Так как диференциальная форма I является знакопостоянной и положи-
положительной, то линейчатые поверхности, удовлетворяющие условию (86),
всегда вещественны. Эти' поверхности соответствуют линиям кривизны;
их называют главными поверхностями.
Из формулы (86) вытекает, что, если мы пока оставим в стороне
случай линейной зависимости диференциальных форм I и II (мы рас-
рассмотрим его в § 127), то, приняв главные поверхности за параметри-
параметрические (« = const., v = const.), мы будем иметь:/= 0 и 7 = 0.
Посмотрим, каким упрощениям подвергаются при этом формулы G9)
и (80).. Мы будем теперь иметь:
2w \ dv w ' du w j
w
J-
dv
w
w
где для сокращения положено:
(87)
(88)
(89)
Деривационные формулы, аналогичные формулам A36) и A37) § 57,
будут теперь иметь вид:
р
*-"п * ГУ *
А,.и =
? А«
"«
— 2?
5
i 5" •
(90)
Единственными условиями интегрируемости системы (90) будут
в этом случае уравнения (87) и (88). В § 129 мы представим эти
основные уравнения теории конгруенций прямых в инвариантной форме.
Диференциальное уравнение
II = Jdu* + 2/da dv -+- g dv* = 0 • (91)

ПЕРЕНЕСЕНИЕ ФОРМУЛЫ ГАУССА-БОННР. НА КАНГРУЕНЦИЮ ПРЯМЫХ 301
определяет в силу формулы (81) развертывающиеся поверхности, со-
содержащиеся в нашей конгруенции прямых. Тогда как главные поверх-
поверхности, как мы видели, всегда вещественны, развертывающиеся поверх-
поверхности могут быть и мнимыми (в случае eg—J* > 0).
§ 124. Перенесение формулы Гаусса-Бонне на конгруенцию
прямых
Как мы видели в § 76, полная кривизна односвязного куска по-
поверхности выражается через взятый вдоль его границы криволинейный
интеграл следующей формулой:
Применим эту формулу к тому частному случаю, когда нашей по-
поверхностью является сфера радиуса 1; тогда мы имеем: К= 1, § = х,
и геодезическая кривизна согласно формуле F) § -62 может быть вы-
выражена следующим образом:
J- = -f(xxsxss). (92)
Формула Гаусса-Бонне принимает теперь вид:
t^fLdt = 2к. (93)
Распространим эту формулу на „кусок" конгруенции, сферическое
изображение которого представляется односвязной областью сфериче-
сферической поверхности единичного радиуса.
Вычислим прежде всего первый из интегралов формулы (93). Мы
имеем:
Jdo = J J VEG—F*dudv =f J A -f 2зh)Veg—pdudv. (94)
Если мы введем элемент поверхности сферического отображения
[(аав a,) du dv = Yeg—p du. dv = da>, (95)
то предыдущее соотношение представится в виде:
f do = f (\-\-2*h)d<s> К (96)
Что касается второго интеграла формулы (93), то аналогичный ему
интеграл для конгруенции будет иметь вид: .
здесь, как и в § 36, мы полагаем:
Q = (Ад/2А } ¦ (98)
1 Двойной интеграл / hdw, распространенный на конгруенцию прямых, был
введен в рассмотрение, повидимому, впервые Картаном (Е. Cartan, Bull. Soc.
Math. France, т. 24, стр. 140—177, 1896) (см. также задачу 24 § 133).

302 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Итак, мы имеем:
2it (99)
или, разделяя действительную и дуальную части:
f dv>-{-§q dt=2iz, A00)
—2Jhdia = j>qdt A01)
Отсюда следует, что конгруенции, для которых h = 0, обладают
тем отличительным свойством, что на них интеграл
fqdt
A02)
не зависит от пути интегрирования.
Конгруенция, для которой А = 0, представляет собой не что иное,
как систему нормалей, рассмотренную нами уже в § 51. Это непосред-
непосредственно следует из независимости интеграла A02) от пути интегриро-
интегрирования и из определяемого формулой E0) § 121 геометрического смысла
этого интеграла.
§ 125. Фокальные поверхности конгруенции прямых '
Пусть для конгруенции прямых eg—/2 ф о. Тогда, если мы пред-
предположим, что наша конгруенция аналитична и не побоимся в случае
необходимости (k > 0) ввести мнимые параметрические поверхности,
то мы можем взять в качестве параметрических развертывающиеся по-
поверхности. Для горловых точек этих поверхностей, т. е. для точек их
ребер возврата, мы имеем тогда в силу формулы E9с) следующие вы-
выражения:
A03)
А так как в нашем случае е = g = 0 и, следовательно, в силу фор-
формулы G7) мы имеем:
\ A04)
(аам а.) (аа„ а„) «= — (а1,) (ам а„), j
то формулы A03) могут быть представлены в следующем виде:
A06)

ФОРМУЛЫ ГАМИЛЬТОНА И МАНГЕЙМА . 303
Отсюда
A07>
Легко убедиться в том, - что выражение, стоящее в правой части фор-
формулы (П2), не зависит от выбора параметра. Действительно:
- (Ю8>
Точки z4 называются фокусами прямой А нашей конгруенции; точка т,
лежащая посредине между ними, называется центром прямой А. Рас-
Расстояние между фокусами определяется с помощью формулы A06).
Чтобы выразить инвариантно и эту величину, мы представим ее
в виде:
(х, - Zl)a = —е-%=тг = - 4k- A09>
В общем случае точки гх (и, v) и Zg (и, v) описывают некоторые
поверхности. Так как при нашем специальном выборе параметров мы
имеем
(ПО)
(поверхности а = const., v — const, являются развертывающимися), то
направление а прямой нашей конгруенции принадлежит касательным
плоскостям, определяемым векторами:
ч,
JlL. дг* (ЦП
ди ' dv > ( '
если только zu X zt ф 0. Таким образом в общем случае конгруенция
прямых образуется прямыми, одновременно касающимися общих фока-
фокальных поверхностей zk (wv).
Для дальнейшего заметим себе следующие формулы, определяющие
положение фокусов при произвольном выборе параметров:
A12)
§ 126. Формулы Гамильтона н Мангейма
Чтобы возможно проще характеризовать поведение конгруенции
в окрестности некоторого луча, мы выберем параметры и, v таким-
образом, чтобы они принадлежали главным поверхностям (§ 123), так
что/=0, / = 0; мы можем далее произвести этот выбор так, чтобы
сверх того имели место соотношения e==g=\ для данной прямой
конгруенции. Начало координат мы поместим в центре нашего луча..

304
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ "
Тогда, если мы обозначим через dx и d2 параметры распределения
главных поверхностей, мы будем иметь следующие соотношения:
а„аа = 1, акас = 0, а„а„=1,
¦¦-L,
авас=аса„
0,
A14)
Формула (81), дающая параметр распределения поверхности, принадле-
принадлежащей конгруенции прямых, принимает теперь следующий простой вид:
J — Д1 ' <h
d~ dip -f- e№
Если, наконец, мы введем угол а, образованный асимптотическими пло-
скостями (§ 121)
то получим:
du:dv = cos a : sin a,
—з- = —т— cos2 <х -j—^— sin* а.
sina<
A15)
Эта формула, дающая параметр распределения для любой линейчатой
поверхности конгруенции, была дана Мангеймом в 1872 г. 1.
Для горловых точек нашей линейчатой поверхности мы получаем,
-согласно формуле E9с):
(а,;
avdv, а„ du+ av dv)
Принимая во внимание условия A14), умножая числитель и знаменатель
выражения г на (ааиа„) и применяя известное правило умножения
определителей, мы получим:
x — d2) du dv
Вводя снова угол а, мы получаем окончательно:
Эта формула, устанавливающая связь между углом а, образованным
асимптотическими плоскостями и расстоянием г горловой точки от
центра т, была впервые дана Гамильтоном в 1830 г. 2.
Те точки прямой, принадлежащей) конгруенции, которые соответ-
соответствуют значениям 2я = ±: -^-, обычно называются граничными точ-
точками прямой.
1 A. Mannheim, Liouvilles J. B), т. 17, стр. 126, 1872.
г W. R. Hamilton, Trans, of the Irish Ac, т. 15, 1828 и т. 16, 1830.

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЕНЦИИ ПРЯМЫХ - 305
Формула Мангейма позволяет также составить представление о виде
поверхности, образованной перпендикулярами, общими для данной пря-
прямой нашей конгруенции и для прямых, смежных с ней 1. ¦
§ 127. Изотропные конгруенции прямых
Диференциальное уравнение (86) главных поверхностей теряет свой
смысл, если
е:/:^=7:/:?. A17)
Отличительным свойством конгруенций, для которых тождественно имеет
место соотношение A17), является то, что все (вещественные) поверх-
поверхности, принадлежащие конгруенции и проходящие через одну из ее
прямых, имеют на этой прямой один и тот оке параметр распре-
распределения [формула (81)]. Такие поверхности называют, следуя Рибокуру
(A. Ribaucour), изотропными 2.
Если мы сферическое отображение а (и, v) отнесем к изотермиче-
изотермическим параметрам (§ 85)
rfa» = Х2 (du* 4- dv% A18)
то согласно формуле G6) мы можем положить:
A4-efO (П9)
/=0, g'=W,
Мы докажем следующее предложение: все поверхности, принадле-
принадлежащие изотропной конгруенции прямых и проходящие через одну из
ее прямых, имеют на этой прямой одну и ту же горловую точку.
Действительно, для изотропной конгруенции мы имееем dx = d2, и
потому в силу' формулы Гамильтона г = 0. Обратное предложение
также имеет место, так что найденное нами свойство является отличи-
отличительным для изотропных конгруенций. В самом деле, из формулы A16)
следует, что г может быть независимым от а лишь в том случае, когда
dl — d2, но тогда из формулы A15) Мангейма вытекает, что и d
также не зависит от а, так что конгруенция прямых действительно изо-
изотропна.
Дадим теперь ряд основных формул для изотропных конгруенций,
исходя из формулы A19), дающей элемент дуги. Кривизна равна 1,
так что мы имеем:
1 См. задачу 3 §,133.
2 A. Ribaucour, Etude des elassoides ou surfaces a courbure moyenne nulle,
Mdm. cour., т. 44, Brttssel 1881. Термин элассоид (для обозначения минимальной
поверхности) не привился.
20 Зал. 884. — Бляшке, ч. I »

306
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Если мы примем во внимание, что
In A = In \ -}- ец,
то, отделив действительную часть от дуальной, получим:
A22)
<123>
Из формулы (90) вытекают соотношения:
¦ л « л » л>
A25)
Отделяя в них действительные части от дуальных, мы получим:
5== ~Х" а jf~ а
^2 а»
я
A26)
¦-?-a.— X2a.
A27)
§ 128. Взаимоотношения между изотропными конгруенциями в
минимальными поверхностями
Из формулы A13) и соотношения /= ака„ -\- з$Ги вытекает, что
положение центра m может быть определено следующим образом:
Определим отсюда производные ти и т„. Для вектора шя мы найдем:
X
-^аи. A29)
Если мы разложим этот вектор на три взаимно перпендикулярные со-
составляющие а, ая, а„, то получим:
шиа = (ааиа) —
аиасХи
A30)

ИЗОТРОПНЫЕ КОНГРУЕНЦИИ И МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 307
Если мы примем во внимание, что согласно теореме умножения опре-
определителей:
(аама) (аама„) = Х2 (аама) = Х2а„а
или
(аама) = а„а
и если далее мы преобразуем второй член правой части формулы A30)
с помощью деривационных формул A26), A27) и, наконец, используем
соотношение а„а -f- аа„ = 0, получающееся диференцировднием уравне-
уравнения аа = 0, то найдем:
шка = —tv
Аналогичным образом мы получим соотношения:
mua« —0 и ША — ^V- A31)
Таким образом мы имеем:
Аналогичным образом получим:
ш, = + 1*«а —н-а»- A32)
Мы имеем:
(amKme) = XV A33)
и, следовательно, при X ф 0 и !«¦ -Ц- О центр m описывает некоторую
поверхность. Эта поверхность центров, как показал Рибокур, находится
в замечательной связи со сферой а2=1. Действительно, мы имеем:
(aM du -f a;d») (т„ du -j- т„ dv) =
_ = (а„ du -f- a, dv) [(— да -j- j«-a,) rfu 4- {*„а — jiaK) «to] = 0, A34)
т. е. соответствующие линейные элементы сферы а (и, v) и поверх-
поверхности центров ш (и, v) изотропной конгруенции взаимно перпенди-
перпендикулярны.
Можно показать, что верно и обратное предложение: если между
поверхностью т (и, v) и единичной сферой а (и, v) существует такое
соответствие, при котором соответствующие линейные элементы
взаимно перпендикулярны, то прямые, проходящие через точки ПО'
поверхности т и имеющие направление а, образуют изотропную кон-
груенцию.
Для доказательства отнесем сферу а (и, v) к изотермической системе
параметров; тогда мы будем иметь:
da2 = X3 (du3 -|- dv*) A35)
и соотношения A26). Условие нашего предложения дает:
(a. du -f а„ dv) (mu du -f m, dv) = 0. A36)
Отсюда следует, что векторы ти и ш^ могут быть представлены сле-
следующим образом:
тк = «а + }ха„ V A37)
20*

308 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Принимая во внимание соотношения A26), мы получим из условия
интегрируемости тк, = ш„к систему уравнений:
¦ « = — ft,i Р
Если мы теперь положим
а = а, а == m X а,
то получим для конгруенции этих прямых А дуальный элемент дуги
вида:
X2(l-f-2e ji)(d««-f dv*).
Это и доказывает справедливость нашего утверждения об изотропности
этой конгруенции.
Проведем теперь через центры т,всех прямых нашей конгруенции
плоскости, перпендикулярные к соответствующим прямым, и определим
поверхность, огибающую эту систему плоскостей. Для точек касания х
мы получим с помощью формул A31), A32) уравнения:
(х — ш)а = 0,
(х — ш)а„ = шка = —
(х — т) а, = т,а = -f
Отсюда
A38)
A39)
Исследуем теперь фокальную поверхность. Согласно формулам A12)
и A20) точка
z = m 4- '>а
описывает одну из фокальных поверхностей; касательная ее плоскость
проходит через А и, следовательно, уравнение касательной плоскости,
если через у обозначить переменную ее точку, будет иметь вид:
(у —ш, а, (т +'>а)„) = О
или
(у — т, а, (т -j- i [1 а)„) = 0.
Оба эти уравнения в силу формул. A31), A32) и соотношения
дают:
(у-т)(а„-;а„) = 0. A40)
Так как (аи — /а„J = 0, то наша плоскость изотропна и, следова-
следовательно, фокальная поверхность представляет собой 'изотропную развер-
развертывающуюся поверхность, так что в общем случае она образуется каса-
касательными к некоторой изотропной кривой.
Для того чтобы определить точку касания у с огибаемой кривой,
нужно дважды диференцировать уравнение A40) по « и ¦», считая при
этом у постоянным. Принимая во внимание самое уравнение A40),
а также формулы A26), A31) и A32), мы получим:
(у —m)a = t>,
(у-т)аи = /(}*,,+ *>,). A41)

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ КОНГРУЕНЦИИ 309
Из формул A40) и A42) следует:
(у—ш) а. = |ч,+* iv A43)
Из формул A40) — A43) мы получим:
Сопряженный мнимый фокус m — /u. а опишет сопряженную мнимую
развертывающуюся поверхность, и для точки касания этой поверхности
с огибаемой ею кривой мы получим:
Если мы сопоставим формулы A44), A45) и A39), то получим:
2x = y + z. A46)
А так как точки у и г, если только обе они не неподвижны, пробе-
пробегают изотропные кривые, то, как показывает уравнение A46), точка х
в общем случае описывает минимальную поверхность [формула G)
§ 106]. Мы получили следующую теорему Рибокура A880): централь-
центральные плоскости прямых изотропной конгруенции огибают вообще говоря
минимальную поверхность..
Эта минимальная поверхность вырождается в точку лишь в том
случае, когда у и z неподвижны в пространстве, т. е. если фокальные
поверхности нашей конгруенции обращаются в изотропные конусы,
имеющие эти точки своими вершинами.
Имеет место и обратное предложение: геометрическое место пря-
прямых пересечения сопряженных касательных плоскостей к двум мнимым
сопряженным развертывающимся поверхностям есть изотропная кон-
груенция прямых.
Доказать это можно, не прибегая к выкладкам, следующим обра-
образом. Если мы будем рассматривать пересечения всех пар касательных
плоскостей наших развертывающихся поверхностей, то наряду с веще-
вещественными прямыми нашей конгруенции мы получим и мнимые и тот-
тотчас же убедимся в том, что развертывающимися поверхностями нашей
конгруенции являются касательные плоскости исходных развертываю-
развертывающихся поверхностей. Сферические изображения всех прямых такой
изотропной плоскости падают в точки прямолинейных образующих
сферы аа = 1, т. е. на изотропную прямую сферы. Следовательно, если
для какой-нибудь поверхности, принадлежащей конгруенции, квадра-
квадратичная форма II обращается в нуль, то и элемент" дуги сферического
изображения также обращается в нуль. Иными словами, диференциаль-
ные формы I и II имеют общие нулевые линии, и потому
e:/:g=7:f:g,
а этим свойством и была определена изотропная конгруенция.
§ 129. Основные формулы теории конгруеиций в инвариантных
производных
Введем теперь в теорию конгруенции метод инвариантного дифе-
ренцирования, подобно тому как мы сделали это в пятой главе для

310
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
теории поверхностей. Представим себе, что конгруенция отнесена к ее
главным поверхностям: F—f=f=O. При этом мы во всяком случае
должны исключить из рассмотрения изотропные конгруенции (§ 127).
Определим теперь инвариантные производные функции 5 на конгруен-
конгруенции следующими формулами:
Представим теперь в инвариантной форме уравнения (90). С этой целью
разделим в них действительную и дуальные части:
a»t== ~n ~z~ aw -J- -п —— as,
1 g* i_ l gv '
а«»== "о" ~r~ аи Т" т ~^" а« ^а> *
тD-^ )
-^ )•.-¦=¦
IT a«
Ла
Is"/ е'
A46Ь)
В силу формул A46а) мы имеем теперь:
1 «,
—. , 1 е.
= ё^ ~Г
J ":Г%'
Эти уравнения остаются в силе и в том случае, если мы в них а за-
заменим всюду на а.
Под«авив эти выражения в формулы A46Ь) и введя сокращения:
/- = -!, 7 = -!, 047)

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ КОНГРУЕНЦИЙ
мы получим деривационные уравнения
311
= —^а, —а,
44 a +
Для того чтобы представить условия интегрируемости (87) и (88)
в^инвариантной форме, мы должны взять за исходный пункт следующие
Лязанные с системой A46Ь) условия:
Если мы в этих уравнениях заменим все высшие производные векторов
а, а их выражениями вида A46Ь), то каждое из уравнений A47а)
дает нам равенство нулю некоторой линейной функции векторов a, aj, &%,
a, at, a^ В силу соотношения A9а) все коэфициенты этой функции
должны быть равны4 нулю. Это дает нам помимо ряда Тождеств два
существенные условия:
первое из которых соответствует условию (87), авторов — условию (88).
В силу формул (84), (85) н A47), величины гиг связаны с пара-
параметрами распределения di и d2 главных поверхностей соотношениями:
_ 2 ~_ 2
Величины гиг суть два инварианта конгруенции первого порядка;
величины же rv r2, rJt r2, q, q — шесть независимых инвариантов вто-

312 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
рого порядка. Так как мы исключили из рассмотрения изотропные
конгруенции, то г — г ф 0. Условие г -f- г = 0 определяет системы
нормалей; условие же г г — 0—конгруенции с совпадающими разверты-
развертывающимися поверхностями, т. е. те конгруенции, две фокальные поверх-
поверхности которых сливаются в одну.
Формы
• dsl = Y~edu, ds2 = Y gdv
представляют теперь элементы дуг сферических изображений главных
поверхностей, и инвариантные производные берутся вдоль главных поверх-
поверхностей по этим элементам дуг. Нетрудно вывести формулы, с помощью
которых можно, исходя из любых параметров, притти к этим линей-
линейным диференциальным формам и к инвариантным производным. Для
этого нужно пользоваться методом, изложенным в § 62 1.
При пользовании осноаными формулами, данными в этом параграфе,
следует иметь в виду, что скалярные произведения основных векторов
в силу формул G7) связаны между собой следующими соотношениями:»
1, ааг= л^ = а1 &2 = О,
— — 1 — 1 "^
аа = О, a, a, =-j г, а2а2= -^ г ,
. аа, -\-аа, == aaj + аа2 =• 0, а^-J- \\ — О.
A47Ь)
Каждое в отдельности скалярное произведение вида аа., аа», а.а2...
нет нужды знать, так как согласно изложенному в § 120 в инва-
инвариантных геометрических проблемах мы имеем дело всегда только
с теми комбинациями этих величин, которые входят в соотношения
A47Ь). Применения формул этого параграфа читатель найдет в зада-
задачах 26 и 27 § 133.
§ 130. Представление изотропных конгруенции с помощью стерео-
стереографических линейных координат
Мы снова изложим теперь теорию изотропных конгруенции, поль-
пользуясь другим методом, который в основном принадлежит Грюнвальду
(J. Grttnwald, 1876—1911). Преимущество этого метода состоит в том,
что он дает чрезвычайно простой способ представления изотропных
конгруенций; при котором достигается тесная связь с формулами Вейер-
штрасса для минимальных поверхностей (§ 107). Недостатком этого
метода является совершенное отсутствие симметрии. ;
Используем формулы A0) § 107, для того чтобы стереографически
отобразить точки А дуальной единичной сферы на дуальные точки пло-
плоскости. Представим с этой целью координаты Ак вектора А следующим
образом:
1 Построение диференциальной геометрии конгруенции, основанное на
.исчислении Риччн" (Riccl-Kalkfil; оно изложено во втором томе этого курса),
читатель найдет у М. М. Slotnick, Math. Zeitschrift, т. 2fe, стр. 107 — 115, 1928.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОТРОПНЫХ КОНГРУБНЦИЙ
А ^ 2Д
2S
1 —
313
A48).
Обратные формулы будут иметь вид:
С ..
A48а)
Прямоугольные координаты R и 5 мы свяжем в комплексно-двойствен-
комплексно-двойственную пару, принимая плоскость R, S за гауссову числовую плоскость:
R-\-iS=T. A49)
Если мы положим
A50)
A51)
то, следовательно, будем иметь:.
Здесь г, s, r, s — вещественные, a t и t —- обычные комплексные
числа 9.
Мы можем принять пару комплексных чисел t, t за координаты на-
направленной прямой А. Эти числа можно, пожалуй, назвать стереогра-
стереографическими линейными координатами. Тогда мы можем высказать сле-
следующее предложение; необходимым и достаточным условием изотроп-
изотропности конгруенции является аналитичность соотношения, связываю-
связывающего t и 1.
Для доказательства мы вычислим параметр распределения какой-либо
из принадлежащих конгруенции линейчатых поверхностей; эта поверх-
поверхность может быть определена заданием t, t как комплексных функций*,
вещественного переменного. Формула A48а) в силу соотношения А2=1
дает:
A52)
Но согласно формуле B2) мы имеем:
~aW
где d — параметр распределения нашей линейчатой поверхности.
1 Новые величины г, г не имеют ничего общего с инвариантами г, г, вве-
введенными в предшествующем параграфе.
2 Об этом соотношении см. *J. Qriinwatd, Monatsh. Math. Phys., т. 17,
стр. 81—136, 1906 и W. Blaschke, там же, т. 21, стр. 201—306, 1910.

314 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Если мы в формулах A52) и A53) возьмем отношение действитель-
действительных и двойственных частей стоящих справа выражений и приравняем
.друг другу эти отношения, то получим:
1 _ , а ,dr3r+dsds
d — 1 + я3 "" W
Для того чтобы конгруенция г (г, s) ~s (r, s) была изотропна 1, не-
необходимо и достаточно (§ 127), чтобы параметр распределения d для
всех ее линейных поверхностей был независим от направления сме-
смещения dr: ds. Следовательно, выражение
. ds \ . . . ds . „
.должно быть независимым от dr:ds. Для этого в свою очередь необхо-
необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись уравнения Коши-Римана:
dr ds n дг , ds n /icc\
-з г~ —О. -з h-r- = O, . (loo)
dr ds ' ds ' dr ч '
А это и значит, что t=> г + is есть аналитическая функция от t=r-\-is.
Таким образом наше предложение доказано.
Из него следует, что преобразования вида:
= ^ (r-\-is, r + is) J
m
r* — is* = <t(r + is, 7 + tJ), \
is, r-{-is), f
r* — is* = ty (r-\-is
где (риф суть аналитические функции, имеющие общую область суще-
существования, переводят изотропные конгруенции снова в изотропные.
Более того, можно показать, что при надлежащих допущениях это
.свойство является отличительным для преобразований вышеуказанного
вида.
Приведем принадлежащее Островскому (A. Ostrowski) доказательство
этого предложения. Положим: ч
г ~\- is = t, г — is = х . J
A59)
Тогда мы можем принять, что наши преобразования имеют вид:
^* = r*Hs* = <p(^'t) A60)
где tp и <}> суть такие аналитические функции своих четырех аргументов,
которые не связаны между собой никакими тождественными соотно-
1 В случае нецилиндрической конгруенции мы можем всегда считать, что
и s — независимые переменные,

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОТРОПНЫХ КОНГРУЕНЦИЙ
тениями. Положим далее:
315
тде / есть вещественная аналитическая функция; тогда, согласно условию,
между t* и t* установится аналитическая зависимость, если tux будут
сопряженными комплексными количествами, и потому мы должны
иметь:
д (t*. t*) __
= 0.
A61)
А так как вещественная аналитическая функция / произвольна, то анали-
аналитическая функция
A62)
шести комплексных переменных t, t, z, х, х и С обращается в нуль, если
последние три аргумента ее сопряжены с первыми тремя. Но тогда,-
аналитически продолжая функцию, мы убеждаемся в том, что она обра-
обращается в нуль тождественно. Ибо, если, например, соотношение
<u(r-\-is, г — is) —О
удовлетворяется для вещественных г, s, то оно имеет место и для ком-
комплексных г, s.
Таким образом оказывается, 'что обращаются в нуль четыре функ-
функциональных определителя: *
^ (у» Ф) ^ (у> Ф)
д (t, t) ' d(t,^)'
д (у, ф) д (у, ф)
дG,1)' дA,Ъ *
Если бы теперь вопреки соотношениям A57), A58), которые
должны быть доказаны, пара функций <р> ф зависела, скажем, от пары
аргументов t, x, то из двух верхних уравнений системы A62), которые
линейны относительно ср<( ф^, и из двух левых уравнений этой системы,
которые линейны относительно <рт, i> , вытекали бы еще соотношения:
д (у> ^ г= о, Ii241=o. * A63)
Тогда в силу уравнений A62) и A63) функции «р, ^ были бы связаны
некоторой зависимостью, что противоречит нашей предпосылке,
Мы доказали таким образом следующее предложение: если анали-
аналитическое соответствие
()(
таково, что каждому аналитическому соотношению между r-\-is и
г -\- is соответствует аналитическое же соотношение между r*-\-is*
и r*-\-is*, mot соответствие должно иметь вид A57) или A58)J.
1 Это утверждение было высказано уже Штуди (Е. Study, Suglienti anali-
ticl, Rendiconti di Palermo, т. 21, стр. 345—359, 1906). В 1921 г. Штудн сообщил
автору доказательство своего несколько более общего предложения.

316
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Для того чтобы вышеприведенное доказательство имело силу, не- •
обходимо наложить ряд довольно сильных требований на области суще-
существования рассматриваемых аналитических функций.
§ 131. Дальнейшие формулы для стереографических линейных
координат
Отделим в формулах A48) их действительные части от двойственных.
Мы получим:
1г
A64)
A65)
Is
- ==2_br±cs_
где b и с суть векторы, определяемые следующим образом:
1 —
— 2rs
— Irs
— 2s
A66)
Три вектора а, Ь, с образуют ортогональный триедр единичных век-
векторов :
Как мы видим из этого представления векторов а и а, стереогра-
стереографические линейные координаты имеют следующее значение: t—r-\-is
дает направление, причем t есть риманово комплексное число на
сферическом ^изображении; t= r-\-is задает положение прямой в пучке
равнонаправленных лучей, причем гауссова плоскость чисел t подобно
отображается на поле точек пересечения лучей параллельного пучка
с плоскостью, перпендикулярной к лучам этого пучка.
Исходя из установленного только что геометрического истолкования
. наших координат, мы можем выполнить одно простое преобразование,
принадлежащее к группе A57) и указанное уже Рибокуром. Если А
есть некоторый луч, то соответствующий ему луч А* строится следую-
следующим образом: через начало координат проводится луч Ао, параллельный
лучу А, и вокруг этого луча, как оси, луч А поворачивается на поло-
положительный прямой угол; полученный таким образом новый луч и есть А*.
В стереографических линейных координатах это преобразование пред-
представляется, очевидно, формулами:
j* = t, T* = (t, A68)

СВЯЗЬ С ВЕЙЕРШТРАССОВОЙ ТЕОРИЕЙ 317
или, в развернутом виде:
-Zl-S >~+> } A69)
в векторах же а, а оно представится следующим образом:
а* = а а* = аХя. A70)
Возьмем теперь некоторую линейчатую поверхность; пусть d есть
¦ее параметр распределения, а /—расстояние от основания перпенди-
перпендикуляра, опущенного из начала на образующую, до горловой точки этой
•образующей. Тогда согласно формулам B2) и E9с), мы имеем:
1 а' а' , (аа'л') П7П
Если мы применим к этой поверхности вышеуказанное преобразование,
то для преобразованной поверхности мы найдем:
-L== —/, /* = +* A72)
¦Формулу A54) мы можем теперь, пользуясь формулой A56), написать
и в таком виде:
J о
d ~~
где символ R означает вещественную часть комплексного количества,
следующего за ним.
В силу формулы A69) для преобразованной поверхности мы имеем;
i.--'—*т?ч?-+«у- ' A74)
Следовательно:
Эта формула выражает, что все поверхности, принадлежащие изотроп-
изотропной конгруенции и проходящие через один из ее лучей, имеют на этом
луче одну и ту же горловую точку и что это свойство является отли-
отличительным для изотропной конгруенции. -Этот результат был уже прежде
(§ 127) получен нами другим способом.
§ 132. Связь с вейерштрассовой теорией минимальных
поверхностей
Переходя теперь снова к минимальным поверхностям, заметим прежде
всего следующее. Мы можем взаимнооднозначно отобразить, лучи (веще-
(вещественные, собственные и направленные) на проходящие через них изо-
изотропные плоскости. Возьмем для этого плоскость, уравнение которой
имеет вид:
(a — /а)х="аа, )
' A76)

318 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Эта плоскость проходит через луч А, ибо она проходит через основа-
основание а перпендикуляра, опущенного из начала на луч А; она проходит
также через а в силу соотношения:
(а — га) а = 0.
Кроме того эта плоскость изотропна, так как
(a — /а> = 0.
Вычислим теперь уравнение плоскости A76) в стереографических
линейных координатах. Из уравнений A65) и A66) мы находим:
a = aXi = 21^-+5, . 077)
а отсюда:
а-га^2 ^"^3 (с-ЛЬ). A78)
Далее формула A65) дает:
•" = 4 ОТРТФ A79>
Подставляя эти выражения в формулу A76), мы получаем, наконец,
следующее уравнение изотропной плоскости, проходящей через луч А:
— i A — Z2) *i -f A -)- fl) л:а -f 2/ txa 4" 27! A80)
Таким образом наши стереографические координаты определяют наи-
наиболее простым образом изотропную плоскость и служат средством для
установления связи между лучами и изотропными плоскостями.
Формула A80) дает ясную картину связи между 'изотропными кон-
груенциями и изотропными развертывающимися поверхностями: каждой
аналитической зависимости между комплексными координатами tat со-
соответствует в линейном пространстве некоторая изотропная конгруенция,
с другой же стороны этой зависимости соответствует зависящее от
одного комплексного параметра семейство изотропных плоскостей, про-
проходящих через лучи конгруенции. Это семейство огибает изотропную
развертывающуюся поверхность, которая в общем случае образуется
касательными к некоторой изотропной кривой.
Если мы положим
то наша формула A80) переходит в формулу A77) § 23, из которой
мы исходили при образовании не содержащего квадратур уравнения
минимальной кривой. Согласно формулам A78) § 23 мы имеем для
точки касания у изотропной плоскости с той изотропной кривой, кото-
которую она (в общем случае) огибает, следующую систему уравнений:
dt— 2
:(dt ,d?t\
A82)

ЗАМЕЧАНИЯ И ЗАДАЧИ
Если мы обозначим сопряженную комплексную точку через г и опре-
определим точку х, лежащую посредине между у и z, то получим систему
формул (9) § 107, представляющих ббщее уравнение минимальной по-
поверхности. Изотропная кривая у @, а, значит, и минимальная поверх-
поверхность \(r, s) вырождается в точку в том случае, когда i есть полином,
второй степени относительно /. Однако соответствующая изотропная:
конгруенция существует и 'в этом случае; она состоит, вообще говоря,
из образующих некоторого семейства конфокальных гиперболоидов вра-
вращения; в особых же случаях она вырождается в связку лучей.
§ 133. Замечания и задачи
1. Параметр Штуди. Вращение около неподвижной точки по Эйлеру пара-
параметрически представляется двумя способами: во-первых, с помощью эйлеровых
углов и, во-вторых, с помощью однородных эйлеровых параметров. Этот второй
способ обладает симметрией. Если мы с помощью принципа перенесения (§ 119)-
применим параметры второго рода к линейному пространству, то получим
параметры штудй для движения в евклидовом пространстве. См. Е. Study,.
Math. Ann., т. 39, стр. 441-566, 1891.
2. Параллельные линейчатые поверхности. Построим поверхность А*(/)>
параллельную поверхности A(t), определив ее формулой:
А* — Аг cosk8 + А3 sin в, ' A83)
где в = 0 + ей есть постоянная величина. Между принадлежащими этим поверх-
поверхностям инвариантами (§ 121) имеют место следующие соотношения:
р*=р cos* — q sin*,
?*==? slnO-Ь? cos 9; _ I
*» i»j> + i» + ») Kl >'
_
??? sin»—j>( + p sin» + ? cos»),
q*=p sinO-f?cos» — »( — p cosu + q sin»).
Мы имеем здесь перенесение понятия сферических параллельных кривых на;
линейное пространство. Можно перенести на линейное пространство также и
понятие сферических кривых постоянной ширины и вывести соотношения,
между интегральными инвариантами подобной поверхности. Поверхность эта
параллельна самой себе.
3- Цилиндроид. Прямые, служащие общими перпендикулярами для одного
из лучей конгруенции и для всех лучей, соседних с ним, образуют в общем
случае линейчатую поверхность третьего порядка, которую обычно назы-
называют цилиндроидом. См., например, К- Zindler, Liniengeometrie II, стр. 82,.
Leipzig 1906.
4. Теорема Аппелля о цилиндроиде. Если мы из произвольной точки,
будем опускать перпендикуляры на образующие цилиндроида, то геометриче-
геометрическим местом оснований этих перпендикуляров будет плоская кривая. Это
свойство выделяет цилиндроиды из всех нецилиндрических линейчатых поверх-
поверхностей. P. Appell, Bull. Soc. Math. France, т. 28, стр. 261—265,1900. Задача Аппелля.
тесно связана с поставленной Дарбу задачей об определении всех непрерывных-
движений твердого тела, при которых каждая точка описывает плоскую траек-
траекторию. Darboux, Coraptes Rendus, т. 92, стр. 118, 1881.
5. Перенесение теоремы Менье. Оси кривизны (§ 122) всех линейчатых
поверхностей конгруенции, касающихся друг друга вдоль одной из образую-
образующих, дают цилиндроид. При этом, конечно, разумеются оси кривизны, принад-
принадлежащие той образующей, вдоль которой происходит касание. Можно пере-
перенести на конгруенцию прямых также и теорему Эйлера о кривизнах нормаль-
нормальных сечений поверхности; здесь придется иметь дело с осями кривизны поверх-
поверхностей конгруенции, имеющими заданную направляющую плоскость. Но это
предложение довольно громоздко.
6. Конгруенции, имеющие одну фокальную поверхность. Конгруенции.
с одной фокальной поверхностью определяются обращением в нуль HHjp-

320 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
рианта к. В этом случае развертывающиеся поверхности конгруенции огибают
семейство асимптотических линий фокальной поверхности. См., например,
G. Koenigs, These 1882, или G. Sannia, Math. Ann., т. 68, стр. 414, 1910.
7. Плотность конгруенции (Куммер). Через точку х одного из лучей кон-
конгруенции проведем элемент поверхности do, перпендикулярный к этому лучу.
Пусть сферическое изображение всех лучей конгруенции, проходящих через do,
заполняет элемент поверхности dm единичной сферы. Тогда, следуя Куммеру,
величину
называют плотностью конгруенции в точке х. Соотношение A85) связывает
плотность с инвариантом k (§ 123), причем р есть расстояние от точки х до
центра луча (§ 125), на котором она лежит. Е. Cummer, Crelles J., т. 57,
стр. 189—230, I860, особенно стр. 208 и след. Наметим кратко ход вычислений.
Точку х, лежащую на луче А, можно представить выражением a -j- га; для эле-
элемента поверхности мы найдем выражение:
do = ((a_t- га)ш (a_-f- га),,, a) du do = (а„ + r&w a, + гл„ a) du do. A86)
Разделив на соответствующий элемент d/а сферической поверхности и про-
произведя преобразования, мы найдем:
do _(а^аур (ауца),+ (а»а^
Ж>-(а,,а,а)+ _(а„а,а) ~_ _
_Tg— (аца,)(a,aj (а,Я) — (а,ак)
~ +
А
8. Дивергенция конгруенции. Если мы представим себе, что в каждой
точке каждого луча (а, а) конгруеиции построен единичный вектор а, то этим
мы определим векторное пом. Дивергенцией векторного поля ali(xix2xi) назы-
называется выражение:
dai , dag . dag
дх^ "¦ dxl""" дх3'
Для дивергенции только что определенного поля мы найдем величину:
2'
A88)
где через к и р обозначены те же величины, что в предшествующей задаче.
9. Полная кривизна конгруенции. Применить интегральную формулу A01)
§ 124:
! f
к линейчатым поверхностям, имеющим ребра. .
10. Синектические коигруенции. По аналогии с аналитическими функ-
функциями комплексного переменного можно определить еанектическае функции
дуального переменного. Мы найдем:
/(и+ е») =/(«) +si-/'(и). A89)
Если задать дуальный единичный вектор в виде такой функции:
и), A90)
то этим будет определена некоторая цилиндрическая конгруенция, которую,
следуя Штуди, называют синектической. Показать, что эта конгруенция обра-
образована нормалями развертывающейся поверхности. Е. Study, Geometrle der
Dynamen, стр. 305 и след.
II. Об изотропных поверхностях. По данной минимальной поверхности

ЗАМЕЧАНИЯ И ЗАДАЧИ 321
определить все те изотропные конгруенции, для которых минимальная поверх-
поверхность является огибающей центральных плоскостей. Указать простое построе-
построение, позволяющее получить из одной такой конгруенции все остальные. A. Ri-
baucour, Brttssel mem. cour., т. 44, 1881.
12. Конгруенции Бианки. Если А и А постоянны, то фокальные поверх-
поверхности имеют постоянную меру кривизны. L Bianchi, Annali di matematlca B),
т. 15, 1887.
13. Конгруенции Гишара (Guichard). Пусть двойственный элемент дуги dA2
можно представить квадратичной формой Чебышева:
rfA2 = йФ + 2F da dt? + dv\ A91)
когда e — g=\; 7=g — 0. Показать,что развертывающиеся поверхности такой
конгруенции касаются фокальных поверхностей по линиям кривизны. С. Gul-
chara, Annales de l'Ecole normale C), т. 6, стр. 333—348, 1889.
14. Сииектические преобразования линейного пространства. В линей-
линейных координатах R = r-\-er, S = s-^-ss (§ 130) синектическое преобразование
представляется уравнениями вида:
A92)
где / и g—суть синектические функции (см. задачу -10). Показать, что эти
преобразования переводят синектическую конгруенцию в сннектическую же.
15. Дуально-конформное отображение. Среди синектических преобра-
преобразований (задача 14) содержатся дуально-конформные, представляемые в пере-
переменных Т «* t -)- е7 следующим образом:
(tO, A93)
Здесь F есть степенной ряд с комплексно-дуальными коэфициентами. Кон-
Конформность этого преобразования выражается следующими образом: если
d
где а и Ь зависят только от положения прямой, но не от направления пере-
перехода данной прямой к бесконечно близкой.
Преобразования A93) принадлежат к типу A57). J. Griinwald, Monatsh.
Math. Phis., т. 17, стр. 118"и след., 1906.
16. Дуальное круговое сродство. Мы получим одну нз подгрупп дуально-
конформных преобразований, если мы в качестве F возьмем дробнолинейную
функцию:
Щ <196>
Эта A2-членная) группа преобразований линейного пространства может быть
получена и иным путем. Именно мы можем применить к изотропным плоско-
плоскостях комплексное преобразование движения в евклидовом пространстве. При
отображении изотропных плоскостей на прямые линейного пространства (§ 132)
этим преобразованиям изотропных плоскостей будет соответствовать группа»
A96). См., кроме вышеназванной работы Грюнвальда, еще Е. v^Weber.Lelpz.
Вег., т. 55, стр. 384т-408 и W. Blaschke, Monatsh.'Mat. Phys., т. 21, стр. 201 —
308, 1910. ч
17. Двойственные преобразования, сохраняющие площади. Другую под-
подгруппу синектических преобразований, определенных в задаче 14, составляют
те преобразования, при которых двойственный элемент поверхности сферы
Ла = 1 остается неизменным. Доказать, что этим преобразованиям соответствуют
21 З'ак< Ш. — Бляшке, ч. I.

322 ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
такие преобразования прямых, при которых .коигруенции нормалей переходят
в конгруенции нормалей же.
18. Изменение формы минимальной поверхности. Изотропная конгруен-
ция подвергается преобразованию A93) или A96). Как изменяется п-ри этом
соответствующая минимальная поверхность?
19. Условия Гамильтона. Ротацией векторного поля ак (хь хь дг3) называют
вектор:
да3 даг
rota
45L
дх3
да2
A97)
дх2
Если а2 в 1, то необходимым и достаточным условием для прямолинейности
силовых линий поля служит выполнение соотношения:
aXrota = 0. A98)
W. R. Hamilton, Transactions of the Irish Ac, т. 15, 1828; R. Rothe, Jahersbericht
Dt. Math. Ver., т. 21, стр. 256, 1912. Дальнейшие литературные указания см.
у Н. Rothe, EnzyclopUdie III, AB 11, стр. 1363 и след.
20. Интегральные инварианты линейчатой геометрии. Наряду с рас-
рассмотренными в § 124 двумя двойными интегралами можно ввести и другие
инварианты, представляющиеся трех- и четырехкратными интегралами. Чтобы
иметь возможность представить их в простом виде, выразим мши _линейные
координаты ак, а"А через четыре независимых переменных <р, <р, &, Ь следую-
следующим образом:
их = cos Ь cos 9, а.\= — cos % sin 9 • 9 — sin Ь cos tp • Ь, |
а2 —cos 9 sin 9, <*j = + cos ft cos 9 • "9 — sin 8 sin <p • <Г,
Тогда тройной интеграл
// sin » • db rf<p fVcosndf + cfa*, BC0)
распространенный на совокупность прямых, зависящую от трех параметров
а также четырехкратный интеграл
// sin » • tfb dyff I cos »I • «tffrf?, B01)
являются инвариантами относительно движения. Если тройной интеграл рас-
распространить на все прямые, пересекающие дугу кривой, то значение интеграла
будет равно произведению л2 на длину дуги. Если четырехкратный интеграл
распространить на все прямые, пересекающие некоторый кусок поверхности,
и учесть кратность точек пересечения, то значение интеграла окажется равным
произведению 2я иа площадь куска поверхности. Четырехкратный интеграл
рассматривался уже Картаном (Я Carton, Ball. Sac. Math. France, т. 24, стр. 140—
177, 1896). См. также задачи 22 в § 24 и 14 в § 104 и указанную там литера-
ТУРУ-
21. Теорема Дарбу. Пусть прямая А может двигаться так, что три ее точки
рк, расстояние между которыми остается постоянным, перемещаются на .трех
взаимно перпендикулярных плоскостях. Тогда прямая А дает систему нормалей
поверхности, описываемой серединой отрезка, одним концом которой
служит рЛ) с .другая — основание перпендикуляра, опущенного из точки пере-
пересечения трех неподвижных плоскостей, на прямую A. Darboux, Goraptes Ren-
dus, т. 92, стр. 446, 1881.
22. Одна кинематическая теорема. Луч конгруенции называется изотроп-
изотропным, если для него d1 = rf2 (§ 123). Пусть твердое тело обладает двумя степе-
пеиями свободы. Каждая его прямая образует при этом конгруенцига. Сово-
Совокупность изотропных лучей этих конгруенции образует изотропную конгруен-

ЗАМЕЧАНИЯ И ЗАДАЧИ * 323
цию. которая состоит из образующих конфокального семейства параболоидов
W. Blaschke, Arch. Math. Phys., C), т. 17, стр. 194 — 195,1911.
23. О линейчатых поверхностях. Если мы в § 121 введем вместо ~ак
координаты ак формулами:
а1 = a3*2 — а2аЗ i а2 — а1аЗ ~~ аЗа1 > аЗ = а2а1 — а1а2 > BQ2)
через которые горловая точка может быть представлена выражением:
х = я^ + о2а2 = о3а3, B03)
то вместо формул C9) й D0) мы получим деривационные уравнения:
24. Коигруенции Шура. (A. Schur). Определить конгруенции, фокальные
поверхности которых изотермически отображаются друг на друга лучами кон-
конгруенции. A. Schur, Math. Zeitschrift, т. 19, стр. 114 — 127, 1923, а также М. Slot-
nick, Math. Zeitschtft, т. 28, стр. 107—115, 1928.
25. Поведение конгруенции при изгибании направляющей поверх-
поверхности. Если конгруенцию пересечь произвольной поверхностью и, изгибая эту
поверхность, считать лучи конгруенции неподвижно скрепленными с ней, то
интеграл
рассматривавшийся нами в § 124 [формула A01)], остается неизменным. Е. Car-
tan, Buel. Soc. Math. France, т. 24, стр. 140 — 177, 1896.
26. Формулы для касательных к фокальным поверхностям. Показать,
пользуясь формулами § 129, что двойственные векторы
v =
B05)
представляют две прямые, которые касаются фокальных поверхностей в двух
фокусах и перпендикулярны к лучу конгруенции.
27. Линнн кривизны фокальных поверхностей. Показать, что линии кри-
кривизны фокальной поверхности, соответствующей прямым V формулы B05),
являются нулевыми линиями квадратичной диференциальной формы:
тогда как линии кривизны второй фокальной поверхности соответственно по-
получаются из соотношения:
D [(rfA rfA) + (dW rfW)] = 0.
Упомянем в заключение, что изложенные здесь методы линейчатой
геометрии можно применить также к изучению линейных комплексов,
т. е. многообразий прямых линий, зависящих от трех, существенных
параметров. Элементарная диференциальная геометрия этих комплексов
очень мало исследована *, быть может, потому, что к этому не было
побуждения со стороны геометрической оптики; алгебраическая же сто-
сторона была развита Ф. Клейном, который здесь был вновь приведен
к так называемой поверхности Куммера, бывшей предметом исследова»
ния многих геометров.
См., например, G. Sannla, Annali di mathematica, т. 17, стр. 179—223, 1910

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
(числа указывают страницы)
Appell, P. 297, 319
Archimedes 251
Baltzer, R. 105
Barbier, E. 60
Baule, B. 195
Beltrami, E. 58,126,132,133,180, 185 и ел.,
190, 191, 193, 212, 246, 255, 278, 279
Bernstein, F. 77
Bernstein, S. 265
Bertrand, J. 47, 168
Berwald, L. 60. 132, 253
Bianchi, L. 77, 95, 226, 321
Bieberbach, L. 226, 228, 278
Birkhoff, G, D. 231
Bj6rling, €. G. 264, 266
Blaschke, W. 44, 53, 57, 59, 60, 68, 76,
133, 134, 135, 211, 217, 239, 251, 263,
273, 273, 295, 313, 321, 323
Bliss, G. A. 235, 236, 275
Bohr, H. 115
Bolyai, J. 177
Bolza, O. 230, 236, 243
Bonnet, O. 130, 178, 193, 200, 207, 208,
210, 216, 232, 237, 239, 277, 301
Brauner, K. 211
Brunn, H. 273
Cambier, B. 252
Caratheodory, С 60, 76, 234, 243, 250,251,
252, 253
Carlemann, T. 265, 279
Cartan,E. 301,322, 323
Cartesius, см. Descartes
Catalan, E. 278
Cauchy, A. L. 217, 257
Cavalieri, B. 267
Cesaro, E. 210
Chasles 40, 287
Christoffel, E. B. 223
Clifford, W. K. 280
Codazzi, D. 130, 210
Cohn-Vossen, St. 216, 221
Crofton, M. W. 60, 253
Crone. С 68
Czuber, E. 253
Dorboux, G. 40, 59, 132, 169, 184, 193,
211, 212, 237, 252, 277, 279, 319, 322
Delatnay, Ch. E. 76
De la Vallee Poussin, Ch. J. 73
Descartes 182
Despeyrous, Th. 59
Diguet 168
Dini U. 212, 226
Dupin, Ch. 102, 110, 131
Duschek, A. 217
Eisenhart, L. P. 40
Engel, F. 186, 210
Enneper, A. 59, 126, 277
Erdmann, G. 233, 234, 236
Euler, L. 96, 162, 164, 181, 199, 210, 319
Fenchel, W. 76
Finsterwalder S. 211
Forsyth, A. R. 59
Frenet, F. 36
Frobenius, G. fi8, 130
Fubini, G. 226
Funk, P. 252, 253
Gauss, F. W. 96, 105, 130, 131, 184, 162,
165, 177, 179, 186, 199, 209, 210, 211,
212, 262
Geiser 278
Gergonne 131
Goursat, E. 135
Grave. D. A. 134
Green, 191, 192
Gross, W. 270
Grttnwald, J. 312, 313, 321
Guichard, C. 321
Haar, A. 279
Hadamard, J. 250, 252
Halphen, G. H. 59
Hamel, G. 63, 76
•Hamilton W. R. 280, 303, 304, 322
Hazzidakis, J. N. 227
Heine, E. 223
Herglotz, G. 44, 230
Hflbert, D. 40, 213, 225, 227, 228, 243, 246
Hjelmslev, 3. 247-
Holder, O. 269
Holmgren, E. 228
Hostinsky, B. 132
Hurwitz, A. 73, 223

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
325
Huyghens, 118
Jacobi, С. G. J. 60,131,184, 210, 234,236
Jellet, J. H. 213
Joachimstal, F. 96
Klein, F. 280, 32
Kneser, A. 44
Knoblauch, J. 136
Koenigs, G. 280, 294, 320
Kummer, E. 280, 320
Lagrange, J. L. 17, 30, 199, 255
Laguerre, E. 135
Lambert, J. H. 199
Lame, G. 191
Laplace S. P. 17
Lasswitz, K. 177
Lebesgue, H. 60, 70, 162, 243
Leibnitz, 182
Levi-Civita, T. 90, 91
Llapounoff, A. 279
Lichtenstein, L. 198, 275
Liebmann, H. 70 133, 213, 216, 217, 267
Lie, S. 123, 169, 255, 256, 278
Lfouville, J. 113, 163, 211, 212
Lobatschefskiy, N. J. 177
Mainardi, G. 130, 210
Malus 118
Mannheim, A. 303, 304
Maxwell J. C. 179
Mercator, G. 199
Meusnier, M. Eh. 100, 101, 119, 132
Minding, F. 163, 170, 210, 213, 227, 239
Minkowski, H. 133, 213, 221, 270 273
Miquel, A. 247
MiseS, R. v. 76
Mohrmatm, H. 44
Mollerup J. 115
Monge, G: 96, § 59, 130 и ел., 154, 162,
168, 210, 211, 255, 256
Mukhopadhyaya 44
Mtiller, E. 51, 132
Noether, E. 264
Ostrowsky, A. 314
Painvin/L. 134
Perron, O. 270
Plateau, J. 255, 265, 266
Plucker, J. 280
Poincare, H. 177,185, 229, 230
Poncelet, J. V. 131
Puiseux, V. 168
Rado, T. 279
Radon, J. 63, 66, 92, 246
Rembs, E. 216
Ribaucour, A. 255, 279, 305, 307, 316, 321
Riccati, J. 120
Riccl С 224
Riemann, B. 181, 210, 255, 257, 262
Rodrigues, O. 107
Rothe, H. 322
Rothe, R. 322
Sannia, G. 298, 320, 323
Sauer R. 179
Scheffers, G. 59, 134, 135, 160, 171
Schmidt, E. 73, 76, 275
Sehur, A. 76, 216, 323
Schwarz, H. A. 76, 236, 255, 262, 264,265,
270, 274, 275, 279
Serret, J. A. 132
Slotnick, M. M. 312, 323
Snellius 118
Speiser, A. 231
Stackel, P. 105, 210
SteTner, J. 133, 267, 269, 270, 277, 278
Study, E. 56 59, 60, 130, 135', 258, 260,
265, 278, 280, 282, 286, 315, 319, 320
Sturm, J. С F. 238, 239, 244
Suss, W. 216 v
Thomsen G. 252
Tschebyscheff, P. L. 226
Vallde Poussin, Ch. J. de la 73
Vessiot, E. 56
Voss, A. 40, 128, 134, 226
Weber, E. v. 321
Weierstrass, K. 77, 165, 234, 236, 255, 256,
257, 270 *
Weingarten, J. 125, 159, 251
Weyl, H. 217, '221
Zittdler, K. *280, 298. 319
Zoll, O. 252
Zwirner, K. 211

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(числа указывают страницы)
Абсолютные точки 59
Асимптоты поверхности 102
Асимптотическая линия §52, 118 и ел.,
133
— плоскость 228
— полоса § 35, 83 и ел.
Ассоциированные поверхности 277
Бельтрами первый диференциальный
параметр § 79, 185 и ел.
— цторой диференциальный параметр
§ 81, 190
— теорема (признак постоянства К) 212,
246
— — (о минимальных поверхностях) 278
Бельтрами-Эннепера теорема § 56, 126
и ел.
Бертрана кривые § 15, 46
— пары 47 ч
Бианки конгруенция 321
Бинормаль 30, 62
Бонне теоремы (о диаметре овальной
поверхности) § 100, 237 и ел.
— формула § 77, 179 и ел.
для конгруенций § 124, 301 и ел.
Вариационное исчисление 61 н ел.
Вариация длины дуги § 25, 61 и ел.
— изотропных кривых 77
— площади поверхности первая §--105,
254, § 109, 260 и ел.
вторая § 116, 273
— гауссовой и средней кривизн § 117,
275
Вершина 43, 60
Вектор 13 и ел.
— скорости, ускорения 26, 28
Векторное (внешнее) произведение 16
— поле 320
Вессио параметр 55
Вейнгартена поверхность 159
Винтовая линия 26, 40, 51
— ось полосы 9t
— поверхность 278
Включение поверхности в ортогональ-
ортогональную сеть 114
Вторая основная квадратичная форма
§ 42, 99
Второй диференциальный параметр
Бельтрами § 81, 190 и ел.
Выпуклая линия 43, 68
— поверхность 216, 237, 239, 249, 250,
268, 270
Вырожденные формы 142
Гауссова кривизна 103, 116, 136
Гауссовы параметры поверхности 96
Гауссово сферическое изображение § 50,
115 и ел.
Гаусса theorema egregium § 45, 104, 150,
245
— формула для вариации поверхности
§ 109, 260 и ел.
— деривационные формулы § 57, 127
Гаусса-Бонне теорема 178, 179
Гамильтона теорема 322
— формула § 126, 303 и ел.
Гейзера минимальные поверхности
278
Геликоид 278
Геодезическая линия 59, § 69, 164 и ел.,
210, 211
— полоса § 35, 83 и ел., 159
— кривизна на поверхности § 68, 162
и ел., § 83, 192 и ел., 211
полосы 80, 81
линии кривизны 150
Геодезическое кручение полосы 82
— коническое сечение 212
Геодезический круг 167, § 72, 169 и ел.,
— треугольник 211
Геодезические параллели 166
— полярные координаты §70, 166 и ел.
Геометрическое истолкование инвариан-
инвариантов полосы § 34, 80 и ел.
параметра распределения 290
диференциальных параметров 186,
210
меры кривизны 210
Гзымз 154
Гильберта теорема § 96, 225 и ел.
Гиперболическая геометрия 177
— кривизна 101
Гишара конгруенция 321
Главная нормаль 29
— точка 288

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
327
Главные кривизны § 44, 102 и ел.
— поверхности 300
— радиусы кривизны 136, 150
Горловая линия 81, 287
— точка 81, 287
Граничные точки прямой 804
Грина формулы § 82, 191 и ел.
— функция 251
Дарбу теорема 322
Двойственная длина 289
Двойственное вращение 285
Двойственное отображение конформ-
конформное 321
сохраняющее площади 321
• — число § 119, 280 и ел.
Двойственные предложения теорем Эй-
Эйлера и Менье 132
Двусторонняя поверхность 182 и ел.
Дезарга теорема 246
Действительная часть (двойственного
числа) 281
Деривационные формулы Гаусса § 57,
127, 150
Вейнгартена § 55, 124, 150
для полосы 79 \
Дивергенция 320
Дирихле принцип 230, 243
Диференциальная геометрия „в целом*
32, 43
.в малом" 31
Диференциальный параметр Бельтрамн
первый 185
второй § 81, 190
Дифереициатор 186"
Длина вектора 15
— дуги кривой § 5, 12 и ел.
Доказательство существования в вариа-
вариационном исчислении 76
Дюпена индикатриса 102
— теорема § 48, НО и ел.
Евклидовы движения 285
Единичный вектор 27
Задача Бьорлинга 264
— о трех телах 209
— Плато 255, 265, 275, 278
Замкнутые геодезические линии оваль-
овальной поверхности § 97, 229 и ел.
— сферические кривые 60
Зеркальное отображение 18 и ел.
Изгибание полосы § 37, 96 и ел.
— поверхности § 67, 161 и ел.
Изометрическое соответствие кривых 95
поверхностей § 67,а161 и ел.
— отображение поверхности К— — 1
на самое себя § 75, 173 и ел.
— отображение, сохраняющее линии
кривизны§87,199 и ел., §88, 203 и ел.
Изопериметрия круга § 28, 67 и ел.
Изопериметрия сферы § 113, 266 и ел.
— иа сфере 77
Изотермические параметры § 85,195 и ел.
— поверхности 212
Изотропые лучи 322
— коигруенции и минимальные поверх-
поверхности § 128, 306 и ел.
— коигруенции прямых § 127, 305, 298,
320 и ел.
— кривые § 22, 55 и ел., 77, 225 и ел.
— плоскости 57
— прямые 56
— развертывающиеся поверхности 318
Инвариант 15 и ел.
Инварианты интегральные кривой 34
конгруеиции 300, 322
— Кенигса 294
— кривой § 8, 31 и ел., 37^
изотропной 60
— полосы 80
— системы точек § 3, 18 и ел.
Инвариантность меры кривизны отно-
относительно изгибания 168
Инвариантное диференцирование 138
Инвариантные производные на кривой
34, 138
— поверхности гл. V, 136 и ел.
при произвольных параметрах §62,
141 и ел.
по произвольному направлению
§ 65, 57 и ел.
вдоль линий кривизны § 61, 136
и ел.
Инвариантная форма основных уравне-
уравнений теории поверхностей § 63, 148
конгруенций § 129, 309
Инверсия 112
Индикатриса Дюпена 102
— сферическая 29
Интеграл геодезической кривизны § 76,
177 и ел.
Иоахимсталя теорема 96
Каноническое представление кривой 38
полосы 94
— рассечение поверхности 181 *
Канонические координаты Римана 167
Карлемана теорема § 112, 265 и ел.
Касательная § 6, 26 и ел.
— плоскость 78, 97
Катеноид 277
Квадратичная форма первая § 41, 96
вторая § 42, 99
третья 116
Кодацци уравнение § 58, 128 и ел., 150
Компоненты вектора 13
Конгруенция 297 и ел.
Конгруенция Бианки, Гишара, Шура
321 323
Конгруенция с одной фокальной поверх-
поверхностью 319

328
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конфокальные поверхности второго по-
порядка 111
Конформное отображение 112, § 86, 198
и ел.
в пространстве § 49, 112 и ел.
Координаты вектора 13 и ел.
Косые поверхности 122, 287
Коши-Риманна уравнение 197, 198
Кратчайшее расстояние на овальной по-
поверхности § 101, 239
Кривизна § 7, 29 и ел., Ш, 211
— асимптотических линий 133
— тангенциальная и нормальная 80, 81
Криволинейные координаты в простран-
пространстве 110
Кривые Бертрана § 15, 46 и ел.
— постоянной "кривизны 77
¦ ширины 60
— постоянного кручения 59, 77
— Штуди 59
Круг кривизны 44
геодезический 169, 176
— расстояний (геодезический) 169, 175,
176
Кручение § 7, 29 и ел.
— асимптотических линий § 56, 126
— геодезическое 82
Лагранжа тождество 17, 30
Лапласа диференциальное уравнение 190
Леви-Чйвита параллелизм 90
Либманна теорема 247
Линейная зависимость векторов 17
Линейные координаты Плюккера 282
— комплексы 319
Линейчатые поверхности 83, § 121, 286,
319, 323
Линии кривизны § 46, 105 и ел.
фокальных поверхностей 323
— откоса § 18, 51 и ел. 55, 59, 66, 296,
297
на поверхностях вращения вто-
второго порядка 59
параболоиде вращения § 20,53
и ел.
сфере § 19, 52 и ел.
, параболическом цилиндре 59
Лист Мебиуса 94
Лиувилля теорема 113
Малюса-Дюпена теорема 118
Мангейма формулы § 126, 303 и ел.
Мебиуса лист 94
Меиье теорема § 43, 100 и ел.
Мера кривизны 103, 133, 210
Минимальные кривые 55
— поверхности 55, § 106. 255 и ел.,
322
Ли 278
Мннковского опорная функция § 94, 221
и ел.
Мнимые кривые 55
Набла 186
Направленный элемент поверхности 78
Натуральное уравнение § 16, 48 и ел.
Натуральный параметр 56, 58
Неевклидова геометрия 177, 180
Независимые инварианты § 4, 21 и ел.
Неизгибаемость сферы § 91, 213 и ел.
— овальных поверхностей § 93, 217
Неориентируемая поверхность 183
Нормали кривой 29
Нормальная конгруенция (система) §51,
117 н ел., 134, 312
— кривизна полосы 81
— сфера полосы 81
Овал 42, 43, 68
Овальная поверхность 216, 250
Огибающая геодезических линий § 78,
183 и ел.
— семейства сфер 156
Односвязная поверхность 180
Округления (омбилические) точки 109
Опорная функция 134, § 94, 221 и ел.
Ориентируемая поверхность 183
Ориентированный элемент поверхно-
поверхности 78
Ортогональная сеть поверхностей ПО
Ось кривизны 45
Отображение поверхности К = — 1 на
полуплоскость Пуанкаре §74,171 и ел.
— сохраняющее площади 134
Падение функции 187
Параболическая кривизна 101
Параллельные поверхности 132
линейчатые 319
Параллелизм Леви-Чивита § 38, 90 и ел.
Параметр распределения 287, 289
— Вессио 56, 58
Параметрические линии 96
Пары Бертрана 47
Первая вариация длины дуги § 25, 61
и ел.
гауссовой и средней кривизны
§ 117, 275 и ел.
поверхности § 105, 235 и ел.
— основная квадратичная форма § 41,
06 и ел.
Пикара теорема 278
Плато задачи 265, 275, 278
Плоская развертка 90, 164,
Плотность конгруенции 320
Площадь поверхности 115
Плюккера линейные координаты 282
Поверхность Вейнгартена 159
— каналов 134, § 64, 153 и ел.
— Куммера 323
— линейчатая 83, § 121, 286 и сл.,-
323
— Лиувилля 211

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
329
Поверхность постоянной меры кривизны
§ 73, 170 и ел., 212
— резная § 64, 153, 205
— сдвига (переноса) 123, 135
— центров кривизны 159
— цилиндрическая 155
— эволют 159 "v.
Поверхности с замкнутыми геодезиче-
геодезическими кругами § 84, 193 и ел.
— сопряженные точки которых имеют
постоянные геодезические расстоя-
расстояния § 102, 243 и ел.
Подобие 112
Поле геодезических линий 165
Полная кривизна поверхности 178
— — полосы 92
конгруенции 320
Полная система инвариантов §3, 18 и ел.
Полосы, гл. III, 78 и ел., 264, 265
— асимптотические, геодезические §35,
83 и ел.
— к рии?ы § 35, 83 и ел., 106
Последовательные приближения 50
Преобразование параметров 32, 136 и ел
Принцип Дирихле 230, 243
— перенесения Штуди 280, § 120, 282
и ел.
Присоединенные минимальные поверх-
поверхности 277
Проекция овальной поверхности 251
Произведение вектора на число 14
— векторное (внешнее) 16
'— скалярное § 1, 13
Пуанкаре полуплоскость § 97, 229 и ел.
Равновесие тяжелой жидкости 278
Радиус кривизны 64, 163
Радона вариационная задача § 26, 62
Развертывающаяся поверхность 83, 121,
125, 162, 201, 202, 287 . „
Резная поверхность § 64, 153, 205
Риккати уравнение 59
Риманна канонические координаты 167
— числовая сфера 258
Род поверхности 181
Родрига формулы 107
Связность поверхности 181
Семейства параллельных кривых 187
Сеть Лиувилля 212
—- Чебышева 226 и ел.
Силовое поле 59
Символы Христоффеля 128
Симметризация Штейнера 267
Синектическая конгруенция 320
Синектическое преобразование 321
Скалярная величина 16
Скалярное произведение § 1, 13, 20
Соприкасающиеся плоскости & 6, 26,
57, 58
Соприкасающаяся сфера § 14, 45 и ел.
Соприкасающийся круг § 13, 44 и ел.
Сопряженные направления 82, 119
— сети § 54, 122 и ел.
— точки 234
Сопутствующий триедр кривой 38
полосы 78
Спрямляющая плоскость 58
Средняя кривизна 103, 132, 136
Стереографическая проекция 199
Стереографические линейные коорди-
координаты 313, 316
Сумма векторов 14
Сферическая индикатриса 29, 30
Сферические кривые 46
— функции 223
Тангенциальная кривизна 80, 81
Тангенциальный вектор 30
Топология 181
Точка округления (омбилическая) 109
Третья квадратичная форма 116
Триортогональная система НО
Угол смежности 34
Ускорение 28
Условие Якоби § 99, 234 и ел.
Фокальные поверхности § 125, 302 и ел.
Фокус прямой 303 N
Формулы Гаусса, Френе и т. д., см.
Гаусса, Френе формулы
Френе формулы § 9, 36 и ел., 42
их кинематическое истолкова-
истолкование § 11, 40 и ел.
Христоффеля символы 128
— теорема о замкнутых поверхностях
§ 95, 223 и ел.
Центр прямой 303
— кривизны § 13, 44 и ел.
Цепная линия 67
— поверхность 277 и ел.
Цилиндрические поверхности 155
Цилиндроид 319 *
Чебышева сеть 226 и ел. '
Числовая сфера 258
Шварца теорема § 39, 92 и ел.
— формула для площади минимальной
поверхности § 110, 262 и ел.
Штейнера симметризация .268 и ел.
Штуди принцип 280. 282 и ел.
— формулы для минимальных поверх-
поверхностей § 108, 258 и ел.
Штурма теорема 238
Шура конгруенции 323
Эвольвента § 21, 54 и ел.

330' ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эволюта § 21, 54 и ел. Элассоид 305
Эйлера теорема о многогранниках 181 Элемент дуги 97, 183
и ел. — поверхности 78, 115
о кривизнах нормальных сече- Эллиптическая кривизна 101
ний § 43, 100 и ел. • Эпициклоиды 49
— углы 319 . Эрдмана угловые условия § 98, 232 и ел.
Эквилонгальное сопряжение 135
Экстремали 64 .: Якоби диференциальное уравнение 234,
Экстремумы для кривых гл. II, 61 и ел. 244
— — поверхностей гл. VIII, 235 и ел. — условие § 99, 234
Ответственный редактор Веркман. Технический редактор Р. В. Э «дина.
Сдана в набор 5/V1 1935 г. Подписана к печати 17/VIII 1935 г.
Формат 62X^¦^^/^в• ОНТЙ № 59. Бум. листов 10*/,. Тип. зн. в 1 бум. л. 110.976.
Уполн. Главлита № В-25595. • Тираж 6.000.—авт. л. 27,3., Заказ М 684.
t-я тоногр. ОНТИ имени Евгении Соколовой. Ленинград, просп. Красных Kowa-ндогров, 29.

ОПЕЧАТКИ
Стр.
19
25
63
63
69
69
69
69
74
74
76
84
93
121
121
140
146
187
187
Строка
6 сверху
12 снизу
1 сверху
R
о »
16 сверху
16 .
4 снизу
17 .
13 .
15 сверху
9 снизу
13 сверху
И ..
1 снизу
15 сверху
5 „
6 .
14 снизу
Напечатано
8 <A)
2 *«*«(** ~~
i, к, 1=1
,<2) ,A) ,B)
-¦** )(*< —xt )
функций х-
Из х = х + ёу
¦ -_ Vx'«Pa —(x'jp'ja
На чертеже 7 на правой фи
Должно быть
2 *«*«< *A>-
i, к, 1=1
«B) «W «№
~~ х к )(xt j ) t
функций х'
Из х = х4-«У
-_ Vx'Va- (х'х»)г
гуре вместо Е и D должно
¦*=• стоять Е* и D*
Fp = F+pL = p*F*,
D3)
A44)
Г cos [Г. Т'] ds
0
f cos[g.S'l ds
л
x = x'
овал С
векторы гк и {
% + ?х2
вместо п
Е F -=
ди
F О —
дФ дФ
Edu+Tdv
F,**F+pL + pF*
D4)
D4)
/ cos [g, Г] ds
0
/cos[g, g']A
0
(«b —"Bi;yO
x' = x'
овал С
векторы г, а г
xu = z
4i + 9*2
вместо я*
Ё F p
ди
F 5 ?
дФ 5Ф -

Стр.
1%
204
204
205
222
247
259
266
277
289
290
295
299
306
321
Строка
4 снизу
12 сверху
19 снизу
15 сверху
2 сверху
16 „
4 снизу
11 сверху
5 , .
19 .
12 „
10 снизу
4 »
б сверху
8 снизу
10 сверху
и
А-
а
Напечатано
5/>«2 — Fpupv + 9р и2)
~\l<J+\q
I / \ '
1 ( 0 \ Q — 1
уравнение C5)
(черт. 27)
г
Ь - ' yfZ'
или равна нулю
«?+«< («)
а'а7
р — .—
sin tpa, = cos <pa3
-(ftp"+ft9)<
eg—lff+ge
eg + P
ifi-\-2F du dv"*- + dv*
Должно быть
W-2FpaPv + GP^
g = g-Y
f 0 \ Q —
"—/\ — J i~ ~~t? Я
уравнение C3)
(черт. 27а)
f y'z'
или равна площади О
e+«ly(u)
_ a'a'
p ~ Y&n
sin 'f 82 + cos уa3
— (ew+ft?)(
eg—2ff~+ge
eg—P
f = a A + a5au
rfu2 -)- 2F ifc rfw -f- dt;2
Зак. 684. — Бляшке, ч. I