ичб
В. П. Ильин В. В. Карпов А. М. Масленников
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
Под общей редакцией
доктора технических наук,
профессора В. П. ИЛЬИНА
МИНСК «ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА» 1990
ББК 38.112я2
И 46
УДК 624.04:519.6(035.5)
Рецензент доктор технических наук, профессор
Н. Н. Леонтьев
Редактор издательства кандидат технических наук
В. Г. Самарина

3302000000—090
М304(03)—90 91 90
ISBN 5-339-00366-3
© Коллектив авторов, 1990
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	а
1.	Приближение функций. Методы приближенного дифференцирования
и интегрирования	11
1.1.	Приближение функций. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона 11
1.1.1.	Общие понятия о приближении функций. Аппроксимирующие
функции	11
1.1.2.	Интерполяционный полином Лагранжа	12
1.1.3.	Интерполяционный полином Ньютона	14
1.2.	Сплайн-интерполяция	15
1.2.1.	Полиномиальный интерполяционный сплайн	15
1.2.2.	Применение сплайнов при решении задач методом конечных
элементов	16
1.3.	Приближенное дифференцирование и фй'егрирование функций	19
1.3.1.	Приближенное дифференцирование-функций	19
1.3.2.	Приближенное интегрирование функций с помощью формулы
Симпсона	19
1.4.	Сглаживание экспериментальных зависимостей. Оценка погрешности
решения	20
1.4.1.	Метод наименьших квадратов	20
1.4.2.	Погрешности численного решения	задач	строительной механики 21
2.	Численные методы решения алгебраических
и трансцендентных	уравнений	24
2.1.	Решение	систем линейных уравнений методом Гаусса	24
2.1.1.	Матричная форма системы линейных уравнений	24
2.1.2.	Метод Гаусса	25
2.1.3.	Вычисление определителей и обращение матриц	30
2.2.	Решение	систем линейных уравнений методом прогонки	31
2.2.1.	Метод прогонки для систем уравнений с трехдиагональной
матрицей коэффициентов	31
2.2.2.	Метод прогонки для систем уравнений с пятидиагоиальной
матрицей коэффициентов	34
2.3.	Обусловленность матриц коэффициентов систем линейных уравнений	35
2.3.1.	Характеристика обусловленности матриц	35
2.3.2.	Способы улучшения обусловленности матриц	38
2.4.	Методы вычисления собственных значений и собственных векторов
матриц	41
3
2.4.1.	Собственные значения и собственные векторы матриц	41
2.4.2.	Нахождение наибольшего по модулю собственного значения
матрицы	43
2.4.3.	Определение наибольшего и наименьшего собственных значений
симметричной матрицы	46
2.5.	Методы решения нелинейных алгебраических, трансцендентных уравнений
и их систем	47
2.5.1.	Метод простой итерации	47
2.5.2.	Метод Ньютона — Рафсоиа	(метод	касательных)	48
2.5.3.	Применение метода простой итерации к решению систем нелиней-
ных уравнений	49
2.5.4.	Решение систем нелинейных	уравнений	методом	Ньютона	51
2.5.5.	Решение систем нелинейных уравнений методом напскорейшего
спуска	53
3.	Матричные методы решения задач строительной механики
стержневых систем	57
3.1.	Метод сил	57
3.1.1.	Применение метода сил к расчету плоских стержневых систем	57
3.1.2.	Применение метода сил к расчету пространственных стержневых
систем	62
3.2.	Метод перемещений	65
3.2.1.	Основы метода перемещений	65
3.2.2.	Матричный вариант, метода перемещений	66
3.3.	Динамический расчет стержневых систем	69
3.3.1.	Определение частот и форм свободных	колебаний	69
3.3.2.	Расчет на вибрационную нагрузку	72
4.	Методы решения начальных и краевых одномерных задач
строительной механики	75
4.1.	Методы решения начальных задач	75
4.1.1.	Метод Эйлера	75
4.1.2.	Метод Рунге—Кутта	76
4.1.3.	Применение метода Рунге— Кутта для приближенного решения
систем дифференциальных уравнений	77
4.1.4.	Метод последовательных приближений	79
4.2.	Сведение одномерной краевой задачи к начальной	81
4.2.1.	Метод начальных параметров	81
4.2.2.	Метод дополнительных функций	83
4.3.	Применение метода Галеркина для решения одномерных краевых задач 85
4.3.1.	Решение краевых задач	85
4.3.2.	Решение задач на собственные значения	87
4.4.	Применение метода конечных разностей к решению одномерных краевых
задач	88
4.4.1.	Решение краевых задач	88
4.4.2.	Решение задач на собственные	значения	92
4.5.	Методы решения жестких систем уравнений	93
4
4.5.1.	Жесткие системы уравнений в задачах строительной механики 93
4.5.2.	Применение неявной схемы метода Рунге — Кутта для решения
жестких систем уравнений	94
4.6.	Метод решения дифференциальных уравнений, содержащих особенности
в виде обобщенных функций Хевисайда и их производных	96
4.6.1.	Основные положения метода	96
4.6.2.	Решение дифференциальных уравнений, содержащих производные
от обобщенной дельта-функции	97
5.	Методы решения многомерных линейных задач
строительной механики	100
5.1.	Метод сеток для решения уравнений в частных производных	100
5.1.1.	Основы построения разностных схем	100
5.1.2.	Разностная схема решения задачи Дирихле для уравнений эллип-
тического типа второго и четвертого порядков	102
5.1.3.	Метод переменных направлений (экономичная разностная схема) 106
5.2.	Метод разделения переменных (метод Фурье)	108
5.2.1.	Решение однородных дифференциальных уравнений в частных
производных	108
5.2.2.	Решение краевой задачи в одинарных тригонометрических ря-
дах	115
5.2.3.	Решение краевой задачи в двойных тригонометрических рядах	117
5.3.	Методы	минимизации иевязки	121
5.3.1.	Общие положения метода	121
5.3.2.	Метод коллокаций	121
5.3.3.	Интегральный метод наименьших квадратов	123
5.3.4.	Метод Бубнова—Галеркииа	124
5.3.5.	Метод наилучших произведений	125
5.4.	Методы	сведения многомерных	краевых	задач	к	одномерным	126
5.4.1.	Методы прямых	126
5.4.2.	Метод Власова—Канторовича	127
6.	Метод конечных элементов	130
6.1.	Основные положения МКЭ	130
6.1.1.	Дискретизация конструкций с помощью конечных элементов 130
6.1.2.	Основное отличие МКЭ от метода перемещений	132
6.1.3.	Формирование матрицы жесткости конечного элемента иа основе
принципа возможных перемещений .	135
6.1.4.	Подбор функции перемещений конечного элемента	137
6.2.	Расчет конструкций с применением МКЭ	139
6.2.1.	Последовательность расчета	139
6.2.2.	Расчет плоских стержневых систем	143
6.2.3.	Плоская задача теории упругости	147
6.3.	Применение МКЭ к расчету тонких плит и оболочек	151
6.3.1.	Расчет тонких прямоугольных плит	151
6.3.2.	Расчет скошенных плит	153
6.3.3.	Расчет ребристых плит	157
6.3.4.	Понятие о расчете оболочек методом конечных элементов	159
5
6.4.	Применение МКЭ к решению задач динамики и устойчивости строительных
конструкций	161
6.4.1.	Решение задач	динамики стержневых	систем	161
6.4.2.	Решение задач	устойчивости стержневых систем	167
6.4.3.	Определение частот свободных колебаний прямоугольных и ско-
шенных плит	172
6.5.	Метод суперэлемеитов	175
6.5.1.	Основы метода	суперэлементов	175
6.5.2.	Построение матрицы жесткости и матрицы узловых нагрузок для
суперэлемента	176
6.5.3.	Варианты общей схемы конденсации неизвестных в граничных
узлах суперэлемейта	177
7.	Вариационные методы решения задач строительной механики	181
7.1.	Элементы вариационного исчисления	181
7.1.1.	Функционал и его вариация	181
7.1.2.	Дифференциальные уравнения Эйлера и Остроградского	183
7.2.	Вариационные уравнения строительной механики	185
7.2.1.	Полная энергия деформации упругой системы	185
7.2.2.	Уравнения равновесия упругого тела	186
7.3.	Уравнения геометрически нелинейной теории пологих	оболочек	188
7.3.1.	Уравнения равновесия	188
7.3.2.	Уравнения движения	191
7.4.	Прямые методы в вариационных	задачах	193
7.4.1.	Общая характеристика	прямых	методов	193
7.4.2.	Метод Ритца '	194
7.4.3.	Вариационно-разностныи метод	196
7.4.4.	Метод конечных элементов как частный случай метода Ритца 197
7.5.	Метод Власова — Канторовича	202
7.5.1.	Сведение задач для уравнений в частных производных к обыкно-
венным дифференциальным уравнениям	202
7.5.2.	Метод Власова — Канторовича в форме метода Галеркина 204
7.5.3.	Метод вариационных итераций	207
8.	Метод малого параметра	209
8.1,	Решение нелинейных задач строительной механики	209
8.1.1.	Представление решения задачи в виде степенных рядов	209
8.1.2.	Задача об осесимметричном изгибе гибкой круглой пластинки 212
8.2.	Решение задач статической и динамической устойчивости стержней 216
8.2.1.	Решение задач на собственные значения	216
8.2.2.	Задача о динамической устойчивости сжатого стержня	218
9.	Методы решения линейных интегральных уравнений.
Интегральные преобразования	222
9.1.	Основные виды интегральных уравнений	222
9.1.1.	Интегральные уравнения Фредгольма	222
9.1.2.	Интегральные уравнения Вольтерра	225
6
9.1.3.	Связь между линейным дифференциальным уравнением и уравне-
нием Вольтерра	226
9.2.	Приближенные методы решения интегральных	уравнений	227
9.2.1.	Решение с помощью резольвенты	227
9.2.2.	Метод последовательных приближений	229
9.2.3.	Решение интегральных уравнений методом Бубнова — Галеркина 230
9.3.	Интегральные преобразования	230
9.3.1.	Основные понятия	230
9.3.2.	Преобразование Лапласа	231
9.3.3.	Решение дифференциальных уравнений	операционным	методом 233
9.3.4.	Решение интегральных уравнений операционным	методом	235
9.3.5.	Преобразование Лапласа — Карсона и его применение в задачах
теории вязкоупругости	236
9.3.6.	Преобразование Фурье	240
10.	Методы решения задач строительной механики, основанные на теории
потенциала	245
10.1.	Метод потенциалов	245
10.1.1.	Основные понятия теории потенциала	245
10.1.2.	Интегральное представление функции	246
10.1.3.	Свойства потенциалов	247
10.1.4.	Применение метода потенциалов к решению задач Дирихле
и Неймана	249
10.2.	Метод граничных элементов	255
10.2.1.	Основы метода. Теорема взаимности	255
10.2.2.	Построение системы уравнений метода	256
10.3.	Решение задачи о плоской деформации	257
10.3.1.	Выбор контрольных решений	257
10.3.2.	Вычисление коэффициентов влияния	260
10.3.3.	Определение усилий и смещений внутри области	263
11.	Методы решения нелинейных задач строительной механики 271
11.1.	Методы последовательных приближений	271
11.1.1.	Метод Ньютона— Канторовича решения операторных уравнений 271
11.1.2.	Модифицированный метод Ньютона — Канторовича	272
11.2.	Метод продолжения по параметру	273
11.2.1.	Основные положения метода продолжения по параметру	273
11.2.2.	Метод последовательных нагружений	273
11.2.3.	Метод последовательного наращивания	ребер	279
11.3.	Методика решения геометрически нелинейных задач теории пластин и по-
логих	оболочек	282
11.3.1.	Нелинейные задачи статики	282
11.3.2.	Нелинейные задачи динамики пологих	оболочек	284
11.4.	Методы решения физически нелинейных задач	286
11.4.1.	Основные соотношения физически нелинейной теории упругости 286
11.4.2.	Плоское напряженное состояние	288
11.4.3.	Решение физически нелинейной задачи о плоском напряженном
состоянии методом малого параметра	290
7
11.4.4.	Метод упругих решений	292
11.4.5.	Применение метода последовательных нагружений к расчету
пластинок из нелинейно-упругого материала	294
11.5.	Расчет гибких нитей и мембран	296
11.5.1.	Статический расчет нити	296
11.5.2.	Уточненный расчет пологой гибкой нити	299
11.5.3.	Свободные поперечные колебания гибких нитей	302
11.5.4.	Свободные поперечные колебания мембраны	303
12.	Численные методы оптимизации	308
12.1.	Линейное программирование	308
12.1.1.	Задачи линейного программирования	308
12.1.2.	Симплекс-метод	309
12.2.	Нелинейное программирование	315
12.2.1.	Задачи нелинейного программирования	315
12.2.2.	Метод иаискорейшего спуска (градиентный метод)	315
12.2.3.	Метод покоординатного спуска (релаксационный метод)	316
12.2.4.	Метод множителей Лагранжа	316
12.3.	Геометрическое программирование	319
12.3.1.	Основные понятия	319
12.3.2.	Прямая задача геометрического программирования	320
Приложения	323
Литература	342
Предметный указатель	346
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из характерных особенностей научно-технического про-
гресса является широкое применение численных математических
методов и ЭВМ в различных областях творческой деятельности
человека, и тем более в расчетах всевозможных конструкций.
Процесс математизации науки и техники требует от специалис-
тов в каждой области деятельности навыков применения ЭВМ
и использования для исследований машинно-ориентированных ме-
тодов расчета.
Решение современных задач строительной механики связано
с использованием новых материалов, особенно полимерных, а также
более сложных расчетных схем, близких к реальным конструк-
циям. Это, естественно, приводит к увеличению числа факторов,
которые необходимо учитывать при исследовании напряженно-де-
формированного состояния, устойчивости и колебаний конструк-
ций, и усложняет расчет.
При комплексном подходе к решению сложных задач строи-
тельной механики аналитические методы в большинстве случаев
малоэффективны. Статический и динамический расчет десятки и
сотни раз статически неопределимых стержневых систем, таких
сложных конструкций, как тонкие оболочки, крупные массивы
гидротехнических сооружений, стал возможным только благодаря
широкому применению численных методов расчета, ориентиро-
ванных на использование ЭВМ. Применение этих методов способ-
ствовало становлению и развитию нового направления в иссле-
довании сложных объектов статического и динамического расчета —
вычислительного экспериментирования. В процессе проведения вы-
числительного эксперимента выбранная математическая модель
подвергается всестороннему исследованию с целью ее уточнения
и улучшения. Определяется, какими факторами можно пренебречь,
а какие следует учесть. Кроме того, решаются вопросы выбора
вычислительного алгоритма, оценки устойчивости процесса вы-
числений и его точности.
При использовании численных методов, ориентированных на
применение ЭВМ, всегда получают некоторое приближенное ре-
шение задачи. Поэтому при выборе метода необходимо обеспе-
чивать заданную точность вычислений, а кроме того, и устой
чивость вычислительного процесса. Все это надо учитывать при
постановке задачи и выборе алгоритма ее решения.
9
Настоящая книга является справочным пособием по числен-
ным методам, применяемым при решении задач строительной ме-
ханики. Поэтому в ней нет формальных доказательств сходимости
вычислительных процессов. Отсутствуют также многие обосно-
вания и выводы формул, которые можно найти в литературе
(список ее приведен в конце книги). Однако краткость изложения
рассматриваемых методов достигнута, как представляется авторам,
не в ущерб его строгости с математической точки зрения. В то же
время пособие не претендует на полноту изложения численных
методов решения задач различного рода.
Изложение иллюстрируется примерами применения различных
методов, алгоритмами и их схемами. Отдельные задачи строитель-
ной механики, которые называются модельными, решены различ-
ными методами, чтобы наглядно выявить специфику последних.
Главы 1 и 7 пособия написал В. В. Карпов, 2,4,5 и 11 —
В. П. Ильин и В. В. Карпов совместно, 3 и 6 — А. М. Масленников,
8 и 9 — В. П. Ильин, 10 и 12 — В. В. Карпов и А. М. Масленников
совместно.
Авторы весьма признательны заведующему кафедрой строи-
тельной механики Московского инженерно-строительного институ-
та, профессору Н. Н. Леонтьеву и заведующему кафедрой строи-
тельной механики Саратовского политехнического института, про-
фессору В. В. Петрову за ценные замечания при анализе руко-
писи книги. Авторы благодарны также заведующему кафедрой
строительной механики Волгоградского инженерно-строительного
института, профессору В. А. Игнатьеву и доценту кафедры тео-
ретической механики Саратовского политехнического института
Г. Н. Белосточному за предоставленные ими оригинальные мате-
риалы и примеры расчета.
Авторы
1.	ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ.
МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ
При решении задач строительной механики численными ме-
тодами часто возникает необходимость приближения (аппрокси-
мации) сложных для математических преобразований функций
более простыми, какими, например, являются алгебраические мно-
гочлены. Решение краевых задач для дифференциальных уравне-
ний методами Ритца, Бубнова — Галеркина, Власова — Канторо-
вича и другими связано с аппроксимацией искомых функций
обобщенными многочленами (полиномами). Приближение функ-
ций наряду с методами их приближенного дифференцирования
и интегрирования составляет основу численных методов, приме-
няемых при решении задач строительной механики.
1.1.	ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛАГРАНЖА И
НЬЮТОНА
1.1.1.	Общие понятия о приближении функций.
Аппроксимирующие функции
Пусть дана некоторая совокупность функций (<р(х)}. Предпо-
лагается, что в любой системе эти функции <ро(х), <pi(x),...,
ф(х), ... , <pm(x) линейно независимы и являются достаточно
гладкими. На практике чаще всего в качестве {<р»(х)| принимают
последовательность степеней х (1, х, х2, х3, ...) или последователь-
ность тригонометрических функций (1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, ...).
Многочлены вида
Q(x) = Co<po(x)+ci<j>i(x) +... + cm<pm(x),	(1.1)
где со, Ci, ..., ст — постоянные коэффициенты, называются обобщен-
ными многочленами (полиномами).
Задача о приближении некоторой функции f(x) формули-
руется следующим образом: данную функцию f(x) заменить (ап-
проксимировать) обобщенным многочленом Q(x) так, чтобы ее
отклонение от Q(x) на заданном множестве Х — {х] было наи-
меньшим. Этого можно достичь за счет надлежащего подбора
коэффициентов Со, Ci, ..., ст. Многочлен Q(x) называется аппрок-
симирующим, а функции <р,(х) —аппроксимирующими функциями.
Если множество Х = (х) состоит из отдельных точек х0, Х|, ... ,
11
хп, приближение называется точечным. Если же X — отрезок
a^x^fe, приближение называется интегральным.
Для практики весьма важен случай, когда система аппрокси-
мирующих функций (<р,(х)) представляет собой последователь-
ность целых неотрицательных степеней переменной х: <ро(х) = 1,
<р1 (х) ==х, .... <рт(х) — хт. В этом случае функции Q(x) являются
обычными полиномами вида
Q(x) =a0 + alx + ...+amxm,
где Oi — постоянные.
Пример 1.1. Функцию f(x)=3x аппроксимировать иа отрезке [ —1,1]
полиномом [25]
Q(x) =ao+aix+a2x2.
Для определения коэффициентов а0, си, а2 необходимо составить систему трех
уравнений. Эту систему можно получить, если приравнять значения функции
)(х)=3* и Q(x) в трех точках х0 =— l,xi=0, х2 = 1:
<зо — <з i -р <з2 = 1/3,
а0= 1,
Оо -р о i -р <з2 = 3.
Отсюда ао= 1, 01 = 4/3, а2 = 2/3 и. следовательно.
4	9
Зх«1+4х+4х2.
О	О
При решении задач теории пластин и оболочек вариацион-
ными методами Ритца, Власова — Канторовича, Бубнова — Га-
леркина возникает необходимость аппроксимации искомых функ-
ций перемещений многочленами (1.1). Система функций (<р;(х))
при этом должна подбираться так, чтобы были выполнены гра-
ничные условия задачи. В качестве аппроксимирующих функций
чаще всего используются следующие системы функций, задан-
ных на отрезке [0,1]: (ш(х)х'-1}, (sin(nix)} (i=l,2,...), где
w(x) — положительная непрерывная на отрезке [0, 1] функция,
имеющая в интервале (0, 1) ограниченную и непрерывную произ-
водную и удовлетворяющая условиям w (0) = w (1) — 0.
Кроме того, в качестве аппроксимирующих функций исполь-
зуются фундаментальные балочные функции, предложенные
В. 3. Власовым [16]. Функции, составленные из обобщенных мно-
гочленов Лежандра для аппроксимации перемещений и, v, w, можно
найти также в работе [32].
1.1.2.	Интерполяционный полином Лагранжа
Если функция f(x) задана в некоторых точках хо, Xi, ... ,х„,
приходят к следующей задаче интерполирования: для данной
функции f(x) найти многочлен Q(x), принимающий в заданных
12
точках xt (t = 0, 1,.... n) те же значения, что и функция f(x):
Q(Xi) =f(xt) (i = 0, 1,	n).
Многочлен Q(x) называется интерполяционным.
Пусть некоторая функция y=f(x) определяется табл. 1.1.
Табл. 1.1. Значения функции y=f(x)
у
х0	Уч
X,	yi
Х2	Уг
xt	У,
Хп	Уп
Значения аргумента хо, хь .... хп называют узловыми. Предполага-
ется, что узловые значения х занумерованы в порядке их воз-
растания. Разность двух соседних узловых значений х (из большего
вычитается меньшее) называется шагом аргумента.
Для нахождения значений функции y=f(x), заданной табл. 1.1,
при любых значениях аргумента хе [хо, х„], не совпадающих с
его узловыми значениями, необходимо построить интерполяцион-
ный полином.
Для получения интерполяционного полинома Лагранжа исполь-
зуется сначала полином п-й степени
П (х) =	(х~х°>	*i) -- (x — xk_i) (х —xfe+i)...(x—хп)
k	(Xk — Хо) (xk — Xi)...(Xfc — х*_!) (xk — xk+l)...(xk — x„) ’
удовлетворяющий условию
п / \ _ f 1 2 3 ПРИ l==k;
k(xi) (о прИ где fc = 0, 1, ...,/г.
Интерполяционным полиномом Лагранжа называется полином
Р„(х)= £ ГД(х)1л,	(1.2)
k=0
удовлетворяющий условию Ря(х/) =yt при Z=0, 1, 2,.... п.
Представление функции )(х) с помощью интерполяционного
полинома Лагранжа имеет вид
f(x)«P„(x).
Пример 1.2. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функ-
ции y=f(x), заданной табл. 1.2
Табл. 1.2. Значения функции y=f (х) ( к примеру 1.2)
х	Т	у
1	2
2	4
3	7
13
Искомый полином по (1.2):
Р (и =	2) (*—3) 2 , (х —1)(х —3)	(х— 1) (х——2) =
21 '	(1 — 2)(1 — 3)	(2 — 1)(2 — 3) "Г (3—1)(3 —2)
= -^-х2+ 7x+L
1.1.3.	Интерполяционный полином Ньютона
В практике часто функции заданы таблицей с постоянным
шагом аргумента ft = xi+1—хг. Для таких таблиц более удобен
интерполяционный полином Ньютона, построение которого свя-
зано с понятием конечной разности.
Конечной разностью 1-го порядка называется разность сосед-
них значений функции
tyi=yt+i— У> (* = 0, 1, ..., п—— 1).
Конечная разность 2-го порядка:
t^yi = \yi+\—Ay, (i=0, 1,...,п—2).
Аналогично конечная разность k-го порядка:
A*yi = Ak'y <+1—Ak'yi	0=0, 1,...,п — k).
Интерполяционный полином Ньютона для функции y=f(x),
заданной таблицей с постоянным шагом аргумента h=xi+i— xit
имеет вид
Р„(х) =г/о+А,(х —Хо) 4-А2(х —х0) (х —Xi) +••• +
4-А„(х —хо) (х—Х1)...(х —х„_,),
где Ai, Аз, А„— постоянные, найденные из условия совпадения
в узлах значений интерполяционного полинома Ньютона и заданной
функции:
i/i — i/o А(/о
А,~ h ~ 1!Л ’
Д _ (/2 — (/о — 2А1/о _ Ai/i —А(/о _ А21/о
2—	2!Л2	—	2!й2	~ 2!й2 ’
Ап=^.
n\hn
Таким образом,
Ау0	А21/0
Рп{х) =у0+ -^-(х-хо) + —
(х—Хо) (х —Х1)...(х—х„_,).
п'.п
(1.3)
14
Пример 1.3. Построить интерполяционный полином Ньютона для функции
y=f(x), заданной табл. 1.2 с постоянным шагом h—l.
По формуле (1.3) искомый полином
Р2(х) = 2 4- 2 (х — 1) + -^-(х— 1) (х —2) = y%2+ у х+ 1
1.2. СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
1.2.1. Полиномиальный интерполяционный сплайн
Кроме интерполяции функции у(х) на всем отрезке [а, Ь]
одним многочленом Q(x) по (1.1), возможна кусочно-полино-
миальная интерполяция, называемая сплайн-интерполяцией.
Пусть отрезок [a, fe] разбит на п одинаковых частных отрез-
ков [х„ Х/-ы], где Xi = a-{-ih, хп = b, i=0, 1, 2, ..., п — 1. Сплайном
называется функция, которая вместе с производными до некото-
рого порядка непрерывна на всем отрезке [а, &], а на каждом
частном отрезке [х„ х, + |] является алгебраическим многочленом.
Степенью сплайна называется максимальная по всем частным
отрезкам степень многочленов. Разность степени сплайна и по-
рядка наивысшей непрерывной на [а, 6] производной называется
дефектом сплайна. В практике наиболее широко используются
сплайны третьей степени, имеющие на отрезке [а, Ь] непрерыв-
ную, по крайней мере первую, производную. Сплайны более удоб-
ны для аппроксимации функций на больших отрезках, чем интер-
поляционные многочлены. Аппроксимация в этом случае функции
одним многочленом с заданной точностью требует значительного
увеличения его степени. Сплайн-интерполяция широко применяется
в методе конечных элементов.
Пример 1.4. Выполнить интерполяцию функции у=у{х) сплайном третьей
степени f(x).
Коэффициенты сплайна в каждом частном интервале изменения аргумента
определяются из условия сопряжения в узлах:
f,=y., f'(xi-O)=f'(xi+O),
f"(xi — 0) = f"(x, + O) (i= 1, 2,..., n — 1).
Кроме того, на границах при х=хо и х—х„ имеют место условия
Г(хо)=О, Г(х„)=0.	(1.4)
Будем искать кубический полином в виде
f(x) =а, + б,(х—х,_1) 4-с,(х—х,_|)2+Ф(х—x,-i)3,
где х,-1^х^х,.
Из условия fi = y, следует, что
f(X,_i) =Й, = 1/;_1,
/ (х,) =а, + бЛ + с<Л12 +dih^=yl,	(1.5)
ht—Xj—x,-i, z=l,2, ..., n—1.
Производные
f' (x) = bi + 2c, (x—x,_ i) + 3d,(x -X,- i)2,
f"(x) =2c, + 6d,(x — x,~i) (Xi_i^x<Xi)
15
должны быть непрерывны при x=xi. Следовательно,
b,+i =bi-\-'2Cjhi-\-3,dih‘-, cl+i=ci-\-“Adihi (£=1,2,..., п — 1).	(1.6)
Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно 4п, число уравнений
(1.5) и (1.6) — 4п — 2. Недостающие два уравнения могут быть получены из условий
(1.4^ при х=хо и х=х„: Ci = 0, c„4-3d„ftn=0.
Согласно (1-6), d,= (c,+ i—с,)/(3й,). Подставив это выражение в (1.5)
и исключив а,=!/,_ |, найдем:
Ь.= («/< —	----^-/1г(с,+1 +2с,);
«5
2
bn=== (уп Уп — i)/hn —2 h„c„.
Подставляя теперь выражения для bit bi+\, di в первую из формул (1.6), после
несложных преобразований получаем разностное уравнение второго порядка для
определения с,
ftiC<4-2(ft, + hi+i)Ci+1 -|-/г,4- 1С,+г = 3	——-——1	(1-7)
\ «if 1	щ /
(£=1,2,.... и—1)
при краевых условиях
щ = 0, с„+1=0.	(1.8)
Условие c„+i = O эквивалентно условию c„-|-3d„/in=0 и уравнению g+i=c> +
-f-3d;/i, при i=n. Разностное уравнение (1.7) с условиями (1.8) решается методом
прогонки (см. § 2.2).
Есть понятие полиномиального интерполяционного сплайна
m-ro порядка как функции, являющейся полиномом т-й степени,
но обычно в практике имеют место случаи т=3 (рассмотрен выше)
и т=\ (линейный сплайн, соответствующий аппроксимации графи-
ка функции y = f(x) ломаной, проходящей через точки (х„ у,)).
1.2.2. Применение сплайнов при решении задач
методом конечных элементов
При использовании метода конечных элементов для решения,
например, краевой задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений порядка 2m при аппроксимации искомой функции w (х)
необходимо на каждом конечном элементе (на частном участке
[х,_1, х<] отрезка [0, а]) построить полином Р((х), степень которого
п должна удовлетворять условию n-f-1^2m, чтобы обеспечивать
непрерывность искомой функции w(x) и ее производных до
(т—1)-го порядка на всем отрезке [0, а].
Таким образом, принимается
Л(х) = -
Е ^xk
k = 0
О
при хе |х,-ь х,];
при хё [xz-i, Xi].
16
При определении неизвестных параметров ak среди (п+1)
условий для каждого /-го участка будут содержаться следующие
2т условия при х=х,_1 и х = х;:
д'Р.(х) = d'w_(x^	т-1).	(1.9)
дх1	дх'"
Обычно принимают п=2т— 1.
Параметры а* могут быть выражены через значения функции
йу(х) и ее производных в узлах интерполяции. Тогда
N
w(x)= £ Pi(x),
i = l
где N — число конечных элементов (число частных отрезков).
В примере 1.4 функция у(х), которая заменялась сплайном, была
известна. Поэтому коэффициенты разложения с, можно было
вычислить непосредственно из системы уравнений (1.7). В рас-
сматриваемом случае функция w (х) неизвестна. Ее узловые значе-
ния определяются из линейных алгебраических уравнений метода
конечных элементов, аналогичных уравнениям (1.7).
Пример 1.5. Построить сплайн первого порядка на отрезке [0, а] с дефектом,
равным единице.
Такая задача возникает при использовании метода конечных элементов для
исследования напряженно-деформироваиного состояния стержней при растяжении,
когда решается дифференциальное уравнение второго порядка (т = 1). Следова-
тельно, п=2т—1 = 1 и Pt(x) будет иметь вид
Pi(x) =a04-aix.
Неизвестные параметры а* определяются из условий:
Pi(Xi- 1) =tt)(x,_|), Pi(Xi) =w(xi).
Отсюда
а0=(щ,_1х,— WiXi^})/h; ai = (w,—।)/ft,
где wi-i = w (x,.. i); wi=w(Xi); h = x,—x,.. ,. Следовательно,
Pl,(x) = Wi i	(x) — амр,(х),
где <p,(x) = (x,—x)/h — известные (координатные) функции.
Теперь искомую функцию w(x) на всем отрезке [0, а] можно представить в виде
N
w(x)= X Р‘(х)’
i= 1
где
р _ ( од--Кй-1(х) —wt<fi(x) при хе [х,_|,х,];
' I	0	при хё(х,_|,х(].
Отсюда видна «локальность» координатных функций 'р(х), каждая из которых
оказывается отличной от нуля лишь в области конечных элементов, непосредственно
примыкающих к данному узлу.
Пример 1.6. Построить сплайн третьего порядка на отрезке [0, а] с дефек-
том, равным двум.
17
Если функция w(x) описывается дифференциальным уравнением четвертого
порядка (т=2), которое используется в теории изгиба балок.
Pi(х) = ао + a iX 4- а2х2 + а3х3.
Условие (1.9) принимает вид:
Р,(х,_|) =вд~1; Pi(Xi)=Wi; P'(xi-i) — w'_ j; P'(Xi) =w',
где w, . > = w (x, i); w,= w(x,-); w'_! = w' (x,_ ।); w'= w'(Xi).
Таким образом, для определения аь имеем систему уравнений
а0 + aix,„ 1 + а2х/_! 4- азх,3_ ! =	i;
а0 aiX,а2х2 4- азх,3 = w,;
ai + 2a2x,_ i + Зазх2_, = w'.. ।;
ai + 2a2x, + 3a3x2 = w-,
решая которую, находим:
3 о 2	,	2, г, , 2	3 о 2	2,
X, — Зх, X, — | Т- х, п — ZXih	,	Xt — Зх, Х, | — Xjh
ao=---------------2--------------w.+--------2-------w,_,+
h3+Зх2х, _ । — Зх3	х3 —Зх2х,_ 1
+ -------------3----W. +------3------
/г2 — Лх,4-ЗХ|Х(_|	, , hx, Ч-Зх,х,_1	, бил , ,
«1 =---------75-----------4--------------w,_ 1---—— (вд— ;
/г	h	hs
h—3(х,4-х;-1)	,	/г4-3(х,4-х;_|)	,	3(x,4-x,_,)
2h2	‘	2h2	'~1+ h3	1	h
1	2
«3= 77 (W,4-O),_,)------3- (Wi—10,-1).
h	h
Следовательно,
4
P'(x)= E Sktpufx),
k^l
где
Si = O)'; S2=w'_t: S3 = Wi, Si = Wi-l;
<Р!(х)=	(x3—3x2x, i4~x2/i—2x,ft24- (h2—ftx,4-3xix,_i)x4-
4- 0,5 (h — 3x, — 3x,_ 1) x2 4- x3);
<p2(x) = —(x3—3x2x,_i — xfh-j- (/гх,-|-Зх,х,_1)х—0,5(h4-3x,4- Sxi-^x24-x3);
h2
<рз(х)= -4- (ft34-3x2Xi-i — Зх3 — 6xix,_ix4-3(x,4-x,-i)x2 — 2x3);
h
<p4(x)= —i— (x3—3x2x, -i4-6x,x,_|X—3(xi4-x,_i)x24-2x3).
h
Таким образом, искомую функцию tw(x) можно аппроксимировать сплайном
N
w(x)= J Л(х),
18
где
Л(х) =
4
£ S*«p*(x) при хе х,];
fe=i
О при хё |х,_ 1, х,].
1.3.	ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1.3.1.	Приближенное дифференцирование функций
При решении практических задач часто требуется найти произ-
водные функции y=f(x), заданной таблично. Возможно также,
что в силу сложности аналитического выражения функции f(x)
непосредственное дифференцирование ее затруднено. В этих слу-
чаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.
Для получения формул приближенного дифференцирования за-
меняют данную функцию f^x) на заданном отрезке \а, Ь] интерпо-
ляционным многочленом Р(х), а затем полагают, что f'(x) = P'(x)
при п^х^ Ь.
Иногда требуется определить производные функции у(х) в узло-
вых точках х-,. В этом случае, используя интерполяционный мно-
гочлен Ньютона, их можно находить по формулам:
.	1/. А2Уо . А3*/о А4у0 \
У (%о) =	------2~ + ~3---------------4~ +"7:
У"(хо) —	&2У° — А3«/оН-J2— А4уо--g“A5yo+---^
и т. д.
1.3.2.	Приближенное интегрирование функций
с помощью формулы Симпсона
При решении задач строительной механики иногда необходи-
мо приближенное вычисление интегралов с помощью ЭВМ. Если
подынтегральная функция f(x) задана таблично или имеет гро-
моздкое аналитическое выражение, вычисление ее первообразной
затруднено. Из приближенных методов вычисления определенного
интеграла наиболее распространенным является метод замены
подынтегральной функции отрезками параболы с использованием
формулы Симпсона.
Для вычисления определенного интеграла $ f(x)dx отрезок ин-
а
тегрирования [а, Ь] делят на четное число 2т частей точками
x0=d, xi, Х2, ..., хът = Ь. Если обозначать t/, = f(xi) (/ = 0,1,2,...,
2m), h={b — a)/(2m), формула Симпсона будет иметь вид
19
r	h
J f(x)dX£Z — («/o + l/2m + 4(l/|+г/з + - -+l/2m—l) +
+ 2(г/2+г/4+--+!/2т—2) )•
Эта формула имеет четвертый порядок точности (см. § 1.4.2).
Вычисления по формуле Симпсона легко программируются. Если
она используется для вычисления интегралов при решении диф-
ференциальных уравнений, необходимое число участков (2m)
отрезка интегрирования существенно зависит от того, какое при-
ближение рассматриваемого метода (Ритца, Бубнова — Галеркина
и др.) принято. В приближении указанных методов не выше 3-го
при решении задач устойчивости и прочности пластин и оболочек
в геометрически нелинейной постановке [32, 39] достаточно отре-
зок интегрирования [О, 1] разбить на 20 частей.
1.4.	СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ЗАВИСИМОСТЕЙ.
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ
1.4.1.	Метод наименьших квадратов
В эксперименте по определению зависимости y=f(x} может
быть получена таблица вида 1.3. В силу неточностей эксперимента,
обусловленных главным образом обстоятельствами случайного ха-
рактера, значения у\, у2, ..., ут будут определены с ошибкой. В
связи с этим возникает задача: найти функцию y=f(x), по воз-
можности не содержащую упомянутых выше ошибок и отражаю-
щую в основном характер экспериментальной зависимости. Такая
задача называется сглаживанием экспериментальной зависимости.
В рассматриваемом случае приходится решать две вспомога-
тельные задачи: 1) определение вида сглаживающей функции,
2) определение значений параметров, входящих в сглаживающую
функцию.
Первая из указанных задач не имеет однозначного решения.
При выявлении вида сглаживающей функции учитывают харак-
Табл. 1.3. Зависимость у от х,
полученная в результате эксперимента
X	у
Х1	У1
х2	f/2
Xi	yi
Xm	Уш
тер расположения опытных (табл. 1.3) точек на плоскости хОу,
а также общие закономерности исследуемого процесса или явления.
Чаще всего имеет место случай, когда сглаживающая функция
20
линейная:
У= I Сш(х) (/ = 1,2,	(1.10)
Z=1
где Ci — постоянные, подлежащие определению; <р/ (х) — некоторые
известные линейно независимые функции аргумента х.
При определении Ci используют метод наименьших квадратов:
искомые постоянные находят из условия, что сумма квадратов
отклонений опытных значений функции y=f(x) от значений сгла-
живающей функции (1.10) при одинаковых значениях аргумента
должна быть минимальной:
т	п
s='E(yt— I (х<) )2^min,	(1.11)
i=l	2=1
где S является функцией п аргументов (Сь С2..........С„).
Необходимое условие экстремума функции S
Л С	"1	П
= -2 Z (у,-	=0,	(1.12)
где k= 1, 2, ... , и.
Пример 1.7. Найти функцию, отражающую экспериментальную зависи-
мость у от х (табл. 1.4).
Будем искать зависимость у от х в виде
y = CiX2 -f-Cax-f-Cg,
где Ci, Сг, С3 определяются из условия (1.12) при <pi(x) =х2, <рг(х) =х, фз(х) =1.
Система уравнений (1.12) имеет вид
362,95 С1 + 148,36 С2+63,79Сз=88,02,
148,36Ci4- 63,79С2-)-28,79Сз=36,81,
63,79 С14- 28,79С2 4-14,00 Сз = 16,23.
Решая ее, находим Ci=0,168; С2 = 0,102; Сз=0,187.
Следовательно, аналитически функция y = f(x), заданная табл. 1.4, может
быть описана как {/=0,168т24-0,102x4-0,187.
	Табл. 1.4.	Экспериментальная зависимость у от х (к примеру 1.7)					
X	1 у	II х	1 »	II ‘	1 *	II ‘ 1	У
1,20	0,54	1,74	0,85	2,19	1,27	2,81	1,78
1,31	0,59	1,80	0,97	2,41	1,39	3,00	2,03
1,40	0,67	2,00	1,07	2,50	1,53		
1,61	0,76	2,14	1,18	2,68	1,60		
1.4.2. Погрешности численного решения задач
строительной механики
Погрешности решения той или иной задачи строительной ме-
ханики обусловлены различными факторами, три из которых явля-
ются основными. В первую очередь это погрешность математи-
21
ческой модели, которая редко отражает точно реальное явление.
Как правило, в постановку задачи вводят упрощающие условия.
Например, в описании поведения тонких пластин и оболочек при-
нимают гипотезы Кирхгофа — Лява, при изгибе балок — гипотезу
плоских сечений и др. При формировании математической модели
необходимо выделить в моделируемом объекте главные черты
анализируемого явления с целью последующего их отражения в
этой модели.
При исследовании же математической модели с помощью вы-
числительного эксперимента точность результата определяется
алгоритмом исследования этой модели, т. е. выбором метода ре-
шения поставленной задачи. Если решить задачу в точной поста-
новке невозможно или очень трудно, ее заменяют приближенной
задачей. Например, вместо краевой задачи решают ряд задач Коши
или от исходных дифференциальных уравнений переходят к алгеб-
раическим, используя метод конечных разностей. При этом возни-
кает погрешность решения задачи, которую называют погреш-
ностью метода.
И, наконец, при расчетах на ЭВМ точность результатов за-
висит от разрядности ее ячеек. Происходит округление резуль-
тата того или иного действия и возникает погрешность округления.
Многие приближенные методы являются шаговыми, с помощью
которых решение задачи находят последовательно при определен-
ных значениях (шагах) изменения параметра дискретизации Н.
Это метод Рунге — Кутта, методы конечных разностей, последо-
вательных нагружений и др.
О погрешности решения задач такими методами можно судить,
выполнив расчет до определенного значения параметра И дважды:
с шагом hi и 2hi. Если при этом получаются большие расхождения
в решениях, шаг Л, следует уменьшить. Для оценки погрешности
шагового метода используют принцип Рунге, согласно которому
погрешность Е шагового метода [25]
E=\Rn—r2n\/(2m — \),
где Rn, г 2п — приближенные решения при одном и том же зна-
чении И, полученные соответственно при шаге Л, и 2Л<; пг — порядок
точности метода.
Порядок точности приближенного метода является важной его
характеристикой и означает следующее.
Пусть известны значения у0, уь , Уь соответствующие точному
решению, а очередное y,+ i разложено по степеням h в ряд Тейлора
У<+1	+а2^2 + --->
где
(₽=0> 1,-)-
Пусть теперь в результате применения данного приближенного
метода по y0,yi, ...,у, найдено у(*+1=у(х,+Л, у0, уь ..., у,), которое
22
может быть записано в виде разложения в ряд по степеням Л:
yi+t =bo>	+ b^h'2+...
Если для всех i выполняются равенства Ь^=а^ при р = 0, 1,..., т,
а ! =/=	+1 для некоторых I, то число т называется порядком
точности приближенного метода. Говорят, что погрешность метода
на каждом шаге имеет порядок 0(ftm+l).
При использовании методов, в которых искомое решение может
быть разложено в ряд (методы Бубнова — Галеркина, Ритца и др.),
оценка погрешности производится сравнением результатов расчета
с различным числом удерживаемых членов ряда в разложении
искомых функций.
2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Основная трудность расчета многократно статически неопре-
делимых стержневых систем методами строительной механики
связана с решением систем линейных алгебраических уравнений
высоких порядков. Аналогичные системы получаются также при
решении краевых задач строительной механики вариационными
методами, методом конечных разностей или Бубнова— Галеркина.
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравне-
ний связаны с преобразованием матриц коэффициентов этих уравне-
ний, с повышением обусловленности матриц. Проблема определе-
ния собственных значений и собственных векторов матриц возни-
кает при рассмотрении устойчивости и колебаний конструкций.
Решение нелинейных задач строительной механики (например,
задач геометрически нелинейной теории оболочек) связано с необ-
ходимостью решения нелинейных алгебраических и трансцен-
дентных уравнений.'
2.1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ГАУССА
2.1.1. Матричная форма системы линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений
Q\ 1X1	<212X2-}- --4-OinXn — fi;
Й21Х1 -f-G22X2-I- ... -b<22nXn = f2;
<2n|X| -j-an2^2 + ... 4“<lnnXn —f n
в матричной форме имеет вид
AX=F,
где А — матрица коэффициентов:
А =
ап
<221
<212
<222
<21п
а2п
О-пп
(2.1)
(2-2)
24
X и F — искомый и заданный n-компонентные векторы:
Х|
х2
fl
fa
-fa
совокупность которых образует n-мерное линейное пространство.
Для этого пространства вводится понятие длины, или евклидовой
нормы n-компонентных векторов:
||ХЦ=
а также определяется расстояние между любыми векторами X и У
р (X, у) = IIX - УII = д/(х, - у,)2.
Пространство n-компонентных векторов с таким расстоянием
между ними называется п-мерным евклидовым пространством.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
делятся на две группы. К первой группе принадлежат точные,
или прямые, методы — алгоритмы, позволяющие получить решение
системы с помощью конечного числа арифметических действий.
Сюда относят правило Крамера (решение систем с помощью опре-
делителей), метод Гаусса (метод исключений) и метод прогонки.
Вторую группу составляют приближенные методы (в частности,
итерационные).
При решении систем линейных алгебраических уравнений на
ЭВМ правило Крамера не применяется, так как оно требует боль-
шего машинного времени, чем другие методы. Метод Гаусса исполь-
зуется при решении систем порядка до 103, а итерационные мето-
ды— до 10®. Последние практически не применяются при реше-
нии задач строительной механики и здесь не рассматриваются.
В общем случае для таких задач наиболее часто применяется
метод Гаусса, а в частном случае, для систем уравнений с трех-
или пятидйагональной матрицей коэффициентов,— метод прогонки.
2.1.2. Метод Гаусса
Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса яв-
ляется одним из наиболее универсальных и эффективных мето-
дов решения систем линейных алгебраических уравнений вида
(2.1) с невырожденной матрицей коэффициентов, т. е. с матрицей А,
определитель которой отличен от нуля.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход) матрицу коэффициентов системы
25
(2.1) приводят к треугольному виду. На втором этапе (обратный
ход) осуществляется последовательное определение неизвестных.
Алгоритм прямого хода метода Гаусса включает следующие
операции.
Первый шаг. Составляют отношения: mz\ — — «21/«и,
тз1 = —аз|/оц mni=—ani/«u и прибавляют к д-му уравнению
системы (д'=2, 3, ..., п) первое уравнение, члены которого умно-
жены на /77,1- Тем самым исключается неизвестное х\ из всех
уравнений, начиная со второго. При этом считается, что коэф-
фициент «и в системе (2.1), который называется ведущим коэф-
фициентом первого шага, отличен от нуля. Если «ц = 0, то меняют
местами первое и fe-e уравнения, где o*i=#0. В результате пре-
образования на первом шаге система принимает вид
«11X1 -)-«12X24~ °13Хз4~ ... 4- «1пХп = f 1;
«22х2 4“ «23 Хз 4*   • 4“ «2пх« — f 2
«32 х2 + «33 х3 4" — + «Зпхп = f 3
(2.3)
Оп2х24-ап3хз4_-”4_аппхп — fn^ .
где ajp, f,-	(д', /=2, 3, ..., п)—новые значения коэффициентов и
правых частей уравнений после выполнения первого шага.
Второй шаг. Дальнейшему преобразованию подвергается
система п— 1 уравнений, образованная из (2.3) исключением пер-
вого уравнения. Ведущим здесь является коэффициент а^. Если
«(2У=0, производят соответствующую перестановку уравнений.
Составляют отношения:
<42	4'2’	«й
т32 = -^>” ^=--^,...,тп2=- —-
a22	u22	а22
и прибавляют к д-му уравнению системы (2.3) (д = 3,4, ... , п)
второе уравнение, члены которого умножены на т,2. В результате
получают систему уравнений
«11х! 4- «12X2 4- «13X3 4" -- - 4~«inXn = f ь
«22^X2 4- «М Хз 4- .	Д_л(1)г	_ r(0. — /2 »	
а(ззхз4--	 +азп*п	_ f(2). — /3 ,	(2.4)
n(2)r I I n<z)v — f(Z>
опзхз+ -гоппхп — /п .
После п—1-го шага исходная система (2.1) принимает вид
aiiXi4-ai2X24-«i3X34---4-ainXn = fi;
4- «2зхз 4- - 4- a(^Xn=fz \	
а^хз+... + а^хп^\	(2-5)
«ли X”—In
26
с треугольной матрицей коэффициентов
	Г «и	О|2	<213 •	- Gin	
	0	п(1) и22	#23 ••	а(1) #2л	
R =	0	0	л(2) #33 -	Д(2) -- #3л	(2-6)
	0	0	0 .	а(п-1) •• U'nn	J	
Преобразованием исходной системы (2.1) к виду (2.5) завер-
шается прямой ход метода Гаусса.
Алгоритм обратного хода заключается в последовательном на-
хождении неизвестных из уравнений (2.5): из последнего уравне-
ния определяют хп, из предпоследнего—x„-i и т. д., пока из пер-
вого уравнения не определится значение xt.
Рис. 2.1. Схема алгоритма решения систем линейных уравнений методом Гаусса
27
Число арифметических действий, выполняемых при решении
системы линейных алгебраических уравнений порядка п методом
Гаусса, в общем случае не превышает 2п3/3.
Пример 2.1. Найти методом Гаусса решение системы трех алгебраиче-
ских уравнений с тремя неизвестными
1,2357х, 4-2,1742x2 — 5,4834x3= —2,0735;
6,0696x1 —6,2163x2 — 4,6921хз= —4,8388;
3,4873xi 4- 6,1365X2 — 4,7483хз =4,8755.
В прямом ходе для первого шага имеем: m2i = —4,9119; m3i=—2,8221.
В результате после первого шага получаем систему
1,2357x14- 2,1742x2 — 5,4834хэ=— 2,0735;
-16,8960х24-22,2420хз = 5,3460;
0,0006x24- 10.7260хз= 10,7270.
Для второго шага вычисляем m 32 = 3,55- 10“5 и приводим заданную систему
к системе уравнений с треугольной матрицей коэффициентов
1,2357x14- 2,1742x2 — 5,4834хэ =—2,0735;
— 16,8960x24-22,2420x3 = 5,3460;
10,7270хз= 10,7270,
решая которую обратным ходом, находим xi = x2=x3 = l.
Рис. 2.2. Схема алгоритма решения систем линейных уравнений
28
Рассмотренный вариант метода Гаусса является простейшим.
Схема его алгоритма приведена на рис. 2.1.
Большую точность при решении дает вариант метода Гаусса,
связанный с выбором в качестве ведущего коэффициента шага
наибольшего по модулю элемента соответствующего столбца
матрицы коэффициентов системы (2.1).
В этом варианте (рис. 2.2) за ведущий коэффициент, первого
шага принимают не ац=/=0, a a,i = max {ati}, за ведущий коэф-
1 k п
фициент второго шага — не 022 ¥=0, а ^ах и т’ Л
Процесс решения систем линейных уравнений методом Гаусса
легко программируется, поэтому в математическое обеспечение ЭВМ
входит стандартная программа решения систем уравнений этим
методом.
методом Гаусса с выбором главного элемента в столбце
29
2.1.3.	Вычисление определителей и обращение матриц
Преобразование системы (2.1) к виду (2.5) в результате пря-
мого хода метода Гаусса связано с преобразованием матрицы А
к треугольному виду, что может быть использовано для вычисле-
ния ее определителя. Прямой ход метода Гаусса основан на мно-
гократно выполняемой операции сложения элементов одной из строк
матрицы с элементами другой строки, умноженными на некоторое
число. Известно, что в результате такой операции определитель
матрицы не изменяется. Однако при этом может возникнуть
необходимость перестановки строк матрицы, чтобы перед нача-
лом очередного шага ведущий элемент а'”1 был отличен от нуля.
В результате этой операции изменяется знак определителя. Зна-
чение определителя матрицы А равно произведению диагональ-
ных членов матрицы /? по (2.6), умноженному на (—1)*:
det4= (- l)*det/?= (- П^иаУЖ-.^”-0,	(2.7)
где k — число перестановок строк в процессе преобразования
матрицы А к треугольному виду К.
Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы коэффициентов системы
уравнений из примера 2.1.
Так как при преобразовании этой системы к треугольному виду перестановок
уравнений не было, k = 0. Следовательно, согласно (2.7),
det Л = det К= 1,2357( — 16,8960) 10,7270= —223,97.
Число операций, требуемых для вычисления определителя по
методу Гаусса, значительно меньше, чем при вычислении опре-
делителя как суммы п\ его членов.
При решении задач строительной механики численными методами
одной из распространенных операций является обращение матриц,
т. е. нахождение для невырожденной матрицы А обратной матри-
цы А~\ такой, что
АА~*=Е,
где Е— единичная матрица.
Применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы
основано на том, что ее /-Й столбец совпадает со столбцом X,—
= [xiy, х2/, ..., xnj] *, который является решением системы линейных
уравнений
AXj=Bj,	(2.8)
где
« _ гх х х 1’ х — / 1 ПРИ i==i’
В,- [61У,62/,..., б„;]	при
di, — символ Кронекера, а «звездочка» означает знак транспони-
рования, т. е. преобразования строки в столбец.
Для того чтобы найти матрицу А~', обратную заданной матри-
це А порядка п, следует отыскать решения п систем уравнений (2.8)
30
для j = 1, 2, п и записать эти решения в качестве соответствую-
щих столбцов матрицы А~':
д-' =
Х11	Х12 •	- Xln
X2I	*22 -	- Х2п
Хп1	ХП2 -	 • хпп
Пример 2.3. Найти обратную матрицу для невырожденной матрицы по-
Решая эти системы методом Гаусса, получим три столбца решений:
которые образуют обратную матрицу
1
2
2.2.	РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ПРОГОНКИ
2.2.1.	Метод прогонки для систем уравнений
с трехдиагональной матрицей коэффициентов
Метод прогонки применяется для решения систем линейных
алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов специаль-
ного вида, к которым приводятся многие задачи строительной ме-
ханики. Например, раскрытие статической неопределимости нераз-
резных балок или многоэтажных рам связано с необходимостью
решения системы линейных алгебраических уравнений с трех-
31
диагональной матрицей коэффициентов, все элементы которой,
не лежащие на главной и двух соседних диагоналях, равны нулю.
Алгоритм метода прогонки решения систем линейных уравне-
ний вида
АХ—В,	(2.9)
где A	— трехдиагональная матрица коэффициентов:							
	’ 1 -	-ao	0	0	0	0	0	0
	Ai -	-c,	Bi	0	0	0	0	0
	0	A2	-c2	B2	...	0	0	0	0
A =	0	0	0	0	... An-	2 	Cn—2	Bn-2	0
	0	0	0	0	0	An— 1	- Cn—	Bn—1
	_ 0	0	0	0	0	0	— aN	1
X= [x	0, Xl, X2	• • - ,	xw_bx	w] —	-столбец	неизвестных	, B =	[Pojbfc
In-» [n-ь Pwl —столбец заданных чисел, состоит из прямого
и обратного ходов.
Прямой ход метода прогонки начинается с первого шага:
подстановка найденного из первого уравнения системы (2.9) выра-
жения xo = aoXi + Po, где ао, Ро— заданные числа, во второе урав-
нение системы дает аналогичное выражение
Xi = a(X2+₽i,
(2-Ю)
где а.\=В\/(С|—Aiao), Pi=(Ai0o—	—Aiao).
На втором шаге выражение (2.10) для х\, подставленное в
третье уравнение системы (2.9), дает аналогичное выражение для
Хг'. Х2 = а2Хз+Рг, где
«2 — В2/ (Сг—Аг<Х|), 02 =(АгР| —/2) / (С2 — А2СС1).
Рекуррентная формула /-го шага прямого хода определяет вы-
ражение для х, при zsgCA—1:
x,=a,x/+i+₽i,	(2.11)
где
a,- = Bi/ (С,— A, a, _!), р, = (А ,р, _ ( - А) / (С, - A , a; _.). (2.12)
При i—N—1 из (2.11) получают выражение для последнего
шага прямого хода
Хц— । =а.ц— |Х« + Р«—|.	(2.13)
Вычислением коэффициентов а„ 0, (/=1,2, ..., N—1) по (2.12)
заканчивается прямой ход метода прогонки.
Обратный ход метода прогонки начинают с нахождения xN
из совместного решения последнего уравнения системы (2.9) и
уравнения (2.13):
xn— (P« + ccn^n- i)/( 1—cova/v-i),	(2.14)
32
где aw и Pw — заданные числа, a aw~i и 0w-i — найденные на пря-
мом ходу коэффициенты прогонки.
Затем по рекуррентной формуле (2.11) определяют в обратном
порядке значения остальных неизвестных xn-i, xn-2, хо.
Условия корректности метода прогонки:	С,—Да<_|=/=0,
awaw-i < 1-
Пример 2.4. Раскрыть статическую неопределимость однопролетной пяти-
этажной рамы (рис. 2.3), загруженной горизонтальной узловой нагрузкой [75].
Жесткость при изгибе всех элементов рамы одинакова (£/=const).
В основной системе метода перемещений (см. гл.З) оставлены только косо-
симметричные неизвестные Zb Z2,..., Z5, которыми являются углы поворота узлов
Рис. 2.3. Статически неопре-
делимая однопролетная пяти-
этажная рама
Рис. 2.4. Схема алгоритма решения мето-
дом прогонки систем линейных уравнений
с трехдиагональной матрицей коэффи-
циентов
сопряжения стоек с ригелями. Система канонических уравнений метода переме-
щений имеет вид (2.9) с трехдиагональной матрицей коэффициентов:
Z>— 0,143Z2	= 0,0357f;
Z>—	8Z2+ Z3	=— 0,75f;
Z2 —8Z3+ Z4 = —l,25f;
Z3-	8Z4+Z5= —l,75f;
— 0,125Z4+Z5=0,2812f, .
2. Зак. 1810
33
где f = Fh2/(EI) —безразмерный параметр узловой нагрузки F.
Значения коэффициентов данной системы уравнений в обозначениях метода
прогонки Ai = Bj= 1; ао=О,143; as = 0,125; С, = 8; Po=O,O357/; Ps=0,2812f.
Используя формулы прямого хода (2.12), определяем коэффициенты прогонки
(а! =0,127, р, = 0,100/; а2 = 0,127, р2 = 0,171/; а3 = 0,127, р3=0,244/) и обратным
ходом по (2.14), (2.11) вычисляем неизвестные углы поворота: Zi =0,0538/;
Z2=0,1263/; Z3 = 0,2070/; Z4 = 0,2836/; Z5=0,3166/.
Статическая неопределимость рамы раскрыта.
Метод прогонки применяется также для решения разностного
уравнения, к которому приводит применение метода конечных раз-
ностей для анализа краевых задач строительной механики (см.
§4.4). Метод прогонки (рис. 2.4) удобен при использовании ЭВМ,
количество арифметических действий равно 8/V—1.
2.2.2.	Метод прогонки для систем уравнений
с пятидиагональной матрицей коэффициентов
Алгоритм решения методом прогонки систем линейных алгеб-
раических уравнений с пятидиагональной матрицей коэффициен-
тов [12] отличается от изложенного выше.
Задана система линейных алгебраических уравнений
АХ=В,	(2.15)
где А — пятидиагональная матрица коэффициентов:
	' Co	do	Co	0 ...	0	0	0	0
	b\	Cl	d.	et ...	0	0	0	0
	a2	bz	c2	d2 ...	0	0	0	0
A =	0	a3	b3	c3 ...	0	0	0	0
	0	0	0	0 ...	bn-2	CN — 2	dN — 2	eN-
	0	0	0	0 ...	cin-\	bn-1	Cn — \	dfi-
	L 0	0	0	0 ...	0	an	bu	Cn
Х= [х0, Xi, Хг, ..., Хн] ’ — столбец неизвестных; В= [/о,	/г, —, /х] *—
столбец заданных чисел.
Решение уравнений (2.15) представляют в виде
х, = а,х,+ 1 + р,х,+2 4-Т/ 0 = 0, 1, ..., /V—2),	(2.16)
где а,, Р/, Xi — неизвестные пока коэффициенты прогонки.
Прямой ход метода начинается с определения значений коэф-
фициентов прогонки при i = 0, 1=1. Для этого из первых двух
уравнений (2.15) исключают хо с помощью соотношений (2.16) и
получают:
ао=—do/co', Ро=—во/Со; yo — fo/co;
сс । = — (di-|_biPo)/(ci-|-biao); Pi = — £i / (ci-|-feioco);
Tt= (fi— Мо)/(й + 6|ао).
34
Далее значения х,_2 и Xi-i, определенные по формуле (2.16),
подставляют в третье уравнение (2.15), которое приводят к виду
(2.16). Путем сравнения коэффициентов полученных уравнений при-
ходят к рекуррентным соотношениям для коэффициентов прогонки:
di -|- OiOi — 2fii — 1 + fei'Pi— 1
Сi И- OjOi — 2Oi — | -|- G/Pi — 2 4“ biOi — |
e,
c,: + OiOi— 2O,i— 1 + G/Pi— 2 + biOi— I
fi — OiOi-2?,- 1 — OiXi-2 — bi^i-|
Ci~j~ 0iOi — 20,i— I 4“ GiP< — 2 + biOi— |
(2.17)
где 1=2, 3,..., N — 2.
Вычислением всех коэффициентов a,, p,, у, по формулам (2.17)
завершается прямой ход метода прогонки.
Неизвестные х, находят обратным ходом, который начинается
с определения значений xn, xn-\, xn-2 и xn-з из системы четырех
уравнений: последнего и предпоследнего уравнений системы (2.15)
и двух уравнений (2.16) при i = N— 2,i=N -— 3:
GjvXW—2 + Ьр/ХМ— 1 + CnXn = fx;
On— iXn—з+ bn— \Xn—2 + cjv— \Xn— 1 +djv— \Xn= fu-1;
XN-2=ON-2Xn-1 + pW-2Xn 4-yw — 2;
XN-3=aN — 3XN-2 4“ Pw — 3XN— 1 +ул/ —3.-
Остальные неизвестные x, при i=N—4, N — 5, ..., О определяют
по (2.16).
Корректность данного метода обеспечивается условием: знаме-
натели коэффициентов прогонки не должны принимать нулевого
значения.
2.3.	ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦ КОЭФФИЦИЕНТОВ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.3.1.	Характеристика обусловленности матриц
Матрицу коэффициентов А системы линейных уравнений (2.2)
так же, как и ее правую часть F, во многих случаях задают прибли-
женно. Для оценки влияния погрешности в исходных данных на
точность получаемого результата вводится характеристика, назы-
ваемая обусловленностью матрицы, определение которой связано
с понятием о наибольшем значении вектора АХ
M = sup || АЛ ||
и наименьшем его значении
/и = inf НАЛИЦО,
35
где ЦАХЦ —норма вектора АХ, а т=0 только для вырожден-
ной матрицы А.
Обусловленностью невырожденной матрицы А называется отно-
шение ц=Л4/т^1.
При неточном задании исходных данных системы уравнений
(2.2), например погрешности в правой части AF, возможна ошибка
в решении системы АХ. Тогда для относительных нормирован-
ных значений погрешности и соответствующей ошибки справед-
ливо неравенство
|| АХ ||	l|Af||
ЦХ||	||F||
(2.18)
где р играет роль множителя, определяющего максимально воз-
можное увеличение ошибки. Если значение р близко к единице,
матрица коэффициентов системы хорошо обусловлена. По мере
увеличения р чувствительность решения к погрешности в исходных
данных возрастает, что означает плохую обусловленность матрицы
коэффициентов системы уравнений.
Данную характеристику обусловленности матриц, а также дру-
гие (например, меру обусловленности v(A), приведенную в [17])
трудно применить для оценки матриц коэффициентов систем урав-
нений в практических задачах. Поэтому вводят приближенную
оценку, связанную с понятием устойчивости обратной матрицы А-1.
Матрица коэффициентов А системы линейных алгебраических
уравнений
AX=F
называется хорошо обусловленной, если ее обратная матрица
А-1 является устойчивой, т. е. если элементы обратной матрицы
мало изменяются при малом изменении элементов исходной
матрицы А.
Пример 2.5. Проверить
п = 2
Найдем обратную матрицу
обусловленность невырожденной матрицы порядка
Г 10 2 ]
L 5 8 j
0,114
-0,071
— 0,029 1
0,143 J
1
70
Изменим элементы первого столбца исходной матрицы на малую величину
(порядка 5%). Получим матрицу
обратной матрицей которой будет
А~' =	1
65,5
Г 9,5	2 1
L 5,25 8 ]
8
— 5,25
0,122	—0,030 1
— 0,079 0,145 J
36
Сравнивая элементы этой матрицы с элементами матрицы А~', видим, что
они почти совпадают. Поэтому обратная матрица является устойчивой, а исход-
ная матрица А — хорошо обусловленной.
Если элементы обратной матрицы А~‘ существенно изменя-
ются при малом изменении элементов исходной матрицы А, обрат-
ная матрица является неустойчивой, а исходная матрица—плохо
обусловленной.
Пример 2.6. Проверить обусловленность неособенной матрицы порядка п =2
Найдем обратную матрицу
Изменим элементы первого столбца исходной матрицы А на 2—3%:
Г 6,10 7 1
1.5,15 б]'
Обратная матрица
0,55
6	—7
—5,15	6,10
10,91 —12,73
— 9,36	11,09
Из сравнения ее с матрицей А~' видно, что значения ее элементов измени-
лись почти вдвое при малом изменении элементов исходной матрицы. Следова-
тельно, обратная матрица является неустойчивой, а исходная матрица — плохо обу-
словленной.
Решение системы уравнений с плохо обусловленной матрицей
коэффициентов является неустойчивым, т. е. может существенно
меняться при малом изменении исходных данных (коэффициен-
тов или свободных членов). Кроме того, решение системы уравне-
ний с плохо обусловленной матрицей коэффициентов оказывается
весьма чувствительным к накоплению ошибок округления при реа-
лизации алгоритмов метода Гаусса или метода прогонки.
Пример 2.7. Найти решение системы двух уравнений с двумя неизвест-
ными при плохо обусловленной матрице коэффициентов (см. пример 2.6):
6%1 +7x2= 1;
5х]+ 6x2= 2.
Решение этой системы: Xi=—8, Х2=7.
При незначительной погрешности исходных данных коэффициенты матрицы
изменились на 2— 3%:
6,10x1+7x2=1;
5,15хг + 6х2=2.
В этом случае решение системы будет другое: х, = —14,54, хг= 12,80, которое
отличается от предыдущего почти в два раза. Таким образом, решение системы
Уравнений с плохо обусловленной матрицей оказалось неустойчивым.
37
2.3.2.	Способы улучшения обусловленности матриц
Для оценки обусловленности матриц существуют специальные
методы линейной алгебры [17], связанные с понятиями нормы
матрицы и величины, называемой мерой обусловленности матрицы.
Отыскание этой величины связано с большими вычислительными
трудностями. В практических задачах для этой цели удобнее про-
водить простой вычислительный эксперимент с обратной матрицей,
изложенный в §2.3.1.
Наглядные, хотя и приближенные признаки, характеризующие
обусловленность матрицы, дает сравнение значений ее элементов.
Матрица является хорошо обусловленной, если все элементы ее
главной диагонали много больше любого второстепенного элемента,
т. е. au^>aij или по крайней мере ац> ац (см. пример 2.5). Раз-
реженность матрицы коэффициентов, т. е. наличие нулевых эле-
ментов, улучшает ее обусловленность.
Матрица может быть плохо обусловленной, если некоторые ее
диагональные элементы (или даже один из них ац) оказываются
малыми по сравнению с другими диагональными элементами. Плохо
обусловленной является также матрица, все элементы которой
имеют одинаковый порядок (см. пример 2.6).
Матрица коэффициентов системы линейных уравнений является
плохо обусловленной, если элементы двух или более ее столбцов ока-
зываются почти линейно зависимыми, т. е.
[Ц1ь a2l, ani] ~c[aij, а2/, ..., а^/] ,
где с=const.
Плохая обусловленность матрицы коэффициентов системы
линейных алгебраических уравнений имеет простую геометричес-
кую интерпретацию. В системе двух уравнений с двумя неизвест-
ными каждое уравнение может быть представлено прямой линией
в плоскости. Точка пересечения двух прямых дает решение сис-
темы — значения xi и х2. Если угол между заданными прямыми
мал (т. е. прямые почти параллельны), то при любом малом откло-
нении какой-либо из этих прямых от заданного положения (малое
изменение коэффициентов или свободных членов) новое положение
точки их пересечения (хь х2) может существенно отличаться от
первоначального (xi, х2). Таким образом, решение заданной системы
уравнений оказывается неустойчивым.
Аналогично с геометрических позиций можно трактовать плохую
обусловленность матрицы системы уравнений 3-го порядка (пере-
сечение плоскостей) или n-го порядка (пересечение гиперплоско-
стей) .
При расчете статически неопределимых стержневых конструкций
методами строительной механики устойчивость решения соответ-
ствующих систем линейных уравнений существенно зависит от вы-
бора основной системы рассматриваемой конструкции, которая
образуется из заданной за счет отбрасывания лишних связей
(метод сил). Чем ближе основная система по своим свойствам
38
к заданной, тем лучше обусловленность матрицы коэффициентов
соответствующей системы канонических уравнений.
Пример 2.8. Для неразрезной балки с двумя промежуточными опорами,
с одинаковыми пролетами I и постоянной жесткостью при изгибе £/=const (рис. 2.5)
Рис. 2.5. Неразрезная балка. Варианты основной системы
найти вариант основной системы с хорошо обусловленной матрицей коэффициентов
канонических уравнений метода сил [82].
Заданная балка является два раза статически неопределимой. Канонические
уравнения метода сил (см. гл. 3) имеют вид:
6цХ1 + 612X2 = 6ю;
621Х, + 622X2 = 620.
Рассмотрим три варианта выбора основной системы балки и оценим обуслов-
ленность соответствующих им матриц коэффициентов канонических уравнений.
Вариант I. Неизвестные Х( и Xi представляют собой реакции отброшенных
связей опор А и В. Матрица коэффициентов системы канонических уравнений
Д =
би
621
612
622
24 91
9 4 J
Оценим обусловленность полученной матрицы коэффициентов. Можно сразу
сказать, что этот вариант основной системы выбран неудачно, так как 622<Сбц.
Найдем обратную матрицу (см. §2.1.3)
( Is \ ~' 1 Г 4 -91 _ / /3 \~‘Г 0,27 —0,601
\6£/ ) 15 L —9 24 J ~ \ 6£// [—0.60 1,6 J
Изменим элементы первого столбца исходной матрицы: элемент бц — на вели-
чину порядка 2%, а элемент 621 — 5%. Получим матрицу
_ г3 Г 23,5 91
&EI [ 9,5 4J’
Обратной матрицей для нее будет
д-1—f /3 У1 1 Г 4 —9 1 — ( 13 У'Г °’47 —Ь06 1
•	\ 6EI )	8,5 [—9,5 23,5 J “ \ 6£// [—1,12	2,76 J
Элементы этой матрицы оказались почти в два раза больше элементов обрат-
ной матрицы А~'. Следовательно, обратная матрица является неустойчивой, а
исходная матрица коэффициентов А для варианта 1 основной системы — плохо
обусловленной.
39
Вариант 2. Неизвестные Xt и Xi представляют собой реакции отброшенных
связей промежуточных опор балки В и С. Матрица коэффициентов системы
канонических уравнений метода сил имеет вид
Г б,, 6|2 ~| _ Is Г 8 71
L 62, 622 J 18В/ L 7 8 J
Этот вариант основной системы также не является удачным, так как все
элементы матрицы А есть величины одного порядка, и диагональные элементы
6„ мало отличаются от остальных.
Оценим обусловленность матрицы А данного варианта. Обратная матрица
/ /3 \ Г 0,53
\ 18£/ / [ -0,47
— 0,47 1
0,53 J ’
Изменим элементы первого столбца исходной матрицы А на 5%:
/3 Г 7,5 7 1
18£/ L 7,3 8Г
Обратной матрицей для нее будет
л-’-Г-^У'АГ 8 -7 1 =
\ 18£/ / 8,9 L -7,3	7,5 J
/ Z3 \“'Г	0,90 — 0,77 1
— \ 18£/ / [ —0,82	0,84 _Г
Отсюда видно, что и для варианта 2 обратная матрица является неустой-
чивой, а исходная матрица коэффициентов А — плохо обусловленной.
Вариант 3. Неизвестными X, и Х2 являются изгибающие моменты в балке
над опорами В и С. Матрица коэффициентов системы канонических уравнений
метода сил имеет вид
Г 6,, 6,2 1	Z Г 4	1 1
L 621 622 J	6£/ [ 1	4 J
Этот вариант основной системы, судя по матрице А, является лучшим, так
как здесь 6<,3>6,г Оценим обусловленность матрицы А. Обратная матрица
Изменим элементы первого столбца исходной матрицы А на 5%. Получим
матрицу
I Г 3,8	11
•“ 6£/ L 0,95 4 J’
Обратной матрицей для нее будет
/ I \~*Г	0,28	—0,07 1
\ ~6£Г / [ —0,067	0,27 J ’ ,
40
Отсюда видно, что элементы обратной матрицы изменились мало при незна-
чительном изменении элементов исходной матрицы; следовательно, обратная мат-
рица является устойчивой, а исходная— хорошо обусловленной. Это подтверждает
вывод о том, что вариант 3 основной системы для заданной статически неопределимой
балки является лучшим.
2.4.	МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ
2.4.1.	Собственные значения и собственные
векторы матриц
Многие проблемы строительной механики стержневых систем,
связанные с их динамическим расчетом или расчетом на устой-
чивость, приводятся к задаче о собственных значениях и собствен-
ных векторах матриц коэффициентов систем линейных уравнений.
Если А — квадратная матрица п-го порядка, то любой вектор
ХУ=0, для которого справедливо уравнение
АХ=кХ,	(2.19)
называется собственным вектором матрицы А, а число X — соответ-
ствующим ему собственным значением этой матрицы.
Уравнение (2.19) эквивалентно матричному уравнению
(А —ХЕ)Х = 0,	(2.20)
которое в скалярной форме представляет собой систему однород-
ных линейных уравнений (здесь Е — единичная матрица), нетри-
виальное решение которой (т. е. Х=#0) существует только тогда,
когда определитель матрицы коэффициентов уравнения (2.20)
равен нулю:
det (А —ХЕ) =0.	(2.21)
Матрица коэффициентов (А —ХЕ) уравнения (2.20) называется
характеристической матрицей заданной матрицы А, а уравнение
л-й степени (2.21) относительно X — ее характеристическим
уравнением
Оц— k ai2	...	а1п
«21	0.22—X ...	Я2п
Оп\ Оп2	Опп X
Корнями этого уравнения являются собственные значения X,
(*’= 1, 2,..., и), среди которых могут быть кратные. Совокупность
всех собственных значений называется спектром матрицы. Если
найдено некоторое собственное значение Х;, то, подставив его в
систему уравнений (2.20), можно определить соответствующий
собственный вектор.
41
Квадратные матрицы Л) и Аг, для которых справедливо пре-
образование	A2_S-%S,	(2.22)
где 8 — невырожденная преобразующая матрица, называются по-
добными. Преобразование (2.22) называется преобразованием
подобия.
Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические
уравнения и, следовательно, одинаковые собственные значения.
Каждая матрица А подобна транспонированной матрице Л*.
Если Ai, Аг, ....	- собственные значения матрицы Л, их сумма
равна сумме диагональных элементов матрицы, т. е. ее следу Sp Л:
2>, = 8рЛ.	(2.23)
1 = 1
Произведение собственных значений матрицы Л равно опреде-
лителю этой матрицы
fjA, = deM,	(2.24)
i=i
откуда следует, что матрица Л является невырожденной только
тогда, когда ее собственное значение не равно нулю. Если Ai,
Аг, Аи — спектр невырожденной матрицы Л, то спектр обратной
матрицы Л-1 образуют числа Af', А2-1, •••> и вообще для любого
целого k спектр матрицы Ак имеет вид А*, А2, ..., А*.
Каждому простому (не кратному) собственному значению мат^
рицы соответствует один собственный вектор, а совокупности прос-
тых собственных значений — совокупность линейно независимых
собственных векторов. Таким образом, если все собственные зна-
чения матрицы простые, то она имеет п линейно независимых
собственных векторов, которые образуют базис пространства (пол-
ную систему векторов).
Задача нахождения всех собственных значений и собствен-
ных векторов матрицы называется полной проблемой собственных
значений. Эта задача в общем случае достаточно сложная. Она
легко решается только для некоторых матриц простых форм:
диагональной, трехдиагональной, треугольной или почти треуголь-
ной. Многие численные методы решения задач на собственные
значения основаны на приведении матрицы к одной из этих форм.
Пример 2.9. Исходя из системы канонических уравнений метода сил (см.
§3.1), записать характеристическое уравнение, определяющее частоты свободных
колебаний балки с п сосредоточенными массами (рис. 2.6).
В заданной балке силы инерции точечных масс /п* представлены в виде усилий
в упругих связях Хь =—тьчуум. Основной системе, изображенной на рис. 2.6,
соответствует однородная система канонических уравнений метода сил
Щ|б11 —А m162i	т2Й12 Щ2622—	тп62п		' У>‘ Уа	=0,
	m26n2	тпЪПп \		У™	
42
где X, = l/w,2; ы,2—квадрат i-й частоты свободных колебаний заданной балки;
fjh — перемещение массы т> от единичной силы, приложенной по направлению
движения массы т,-; уь— неизвестные перемещения точечных масс тк (fe=l,
2,	п).
Поставленная задача соответствует задаче на собственные значения матрицы
(2.20). Данной системе однородных канонических уравнений соответствует ха-
Рис. 2.6. Схема балки с п сосредоточенными массами и ее основная система
рактеристическое уравнение
Щ|бц — К m26i2	...	т„Л,„
miSzi ГП2622—К ...	тп(>2п ____Q
Щ|б„|	Щ2Й«2
Решив это алгебраическое уравнение n-й степени, получим п корней =
= 1 /га?, т. е. п собственных значений матрицы коэффициентов системы канони-
ческих уравнений задачи.
Собственные векторы уи определяются с точностью до постоянного множителя
для каждого найденного собственного значения 1,- из решения исходной системы
канонических уравнений.
2.4.2.	Нахождение наибольшего по модулю
собственного значения матрицы
Если квадратная матрица А порядка п имеет полную систему
нормированных собственных векторов еь е2, ..., еп, т. е. Ае,=Х,е„
||ej| = 1, где X,-—собственное значение матрицы, отвечающее соб-
ственному вектору е,-, наибольшее по модулю собственное значе-
ние Xi при условии |Х,|> IX2I |А,з|	|Х„| можно определить
приближенно итерационным методом, не прибегая к решению со-
ответствующего характеристического уравнения.
В начале процесса задают произвольный ненулевой вектор
Х(о) = [ci, с2, ..., сп] *
в базисе еь е2,.... еп при условии Ci=#0. Этот вектор нормируется
и принимается за первое приближение собственного вектора т. е.
где норма вектора Лб0) определяется по формуле
п(0)и =( t cf)1/2.
i = 1
43
Все последующие приближения собственного вектора et опре-
деляют с помощью итерационного процесса:
(225)
а соответствующие приближения собственного значения Х| находят
из скалярного произведения двух векторов
kik=(Xw,e^ °),	(2.26)
которое вычисляют при известных координатах по обычной формуле
(X, У) =х\у{-\-Х2у2-\-хпуп- Здесь индекс k означает номер при-
ближения.
Данный итерационный процесс позволяет найти наибольшее по
модулю собственное значение л, и соответствующий ему собственный
вектор et заданной матрицы с любой точностью. Найденные Z,
и в) можно исключить из заданной матрицы, т. е. понизить поря-
док матрицы на единицу, и, вновь применив итерационный про-
цесс (2.25), (2.26), найти и е2. Эту процедуру можно про-
должать до нахождения всего спектра собственных значений и
соответствующих собственных векторов матрицы.
Пример 2.10. Найти наибольшее по модулю собственное значение и со-
ответствующий ему собственный вектор матрицы
В соответствии с изложенным итерационным процессом зададим вектор Х(о>=
= [1; 3]‘, найдем его норму ||Х(<,,|| = Д2-|-32 = -Дб и проведем первую итерацию
по (2.25), (2.26):
44

Х12=(Х'2),е(,1))
1
1
= 3,16.
Рис. 2.7. Схема алгоритма итерационного процесса нахождения максимального
по модулю собственного значения и собственного вектора матрицы
45
Х13=(Х<3),е'2,)= —
л/1226
J=+_^_^=3,05.
1226	V1226 J1226
После третьей итерации имеем наибольшее по модулю собственное значение
к,з = 3,05 и соответствующий ему собственный вектор
= [0,028; 0,999] ’
Поскольку точные значения этих величин 1,=3, е, = [0; 1]*, сходимость итера-
ционного процесса хорошая.
Изложенный итерационный метод имеет хорошую сходимость
и допускает простую реализацию на ЭВМ. На рис. 2.7 представлена
схема алгоритма итерационного процесса (2.25), (2.26).
2.4.3.	Определение наибольшего и наименьшего
собственных значений симметричной матрицы
Матрицы, симметричные относительно главной диагонали, часто
встречаются при решении задач строительной механики. Например,
матрицы коэффициентов систем канонических уравнений метода сил
или метода перемещений (см. гл. 3) являются симметричными.
Для симметричной матрицы А итерационный метод можно при-
менить для определения ее наибольшего и наименьшего собственных
значений, т. е. max к<(Л) и min к,(Л). Все собственные значения
Х,(Л) действительны, а собственные векторы образуют ортонорми-
рованный базис е2,.... еп.
Наибольшее по модулю собственное значение. Х(Л) матрицы А
определяется с помощью итерационного процесса (2.25), (2.26).
Для определения тахХ,(Л) и ттХ((Л) используется матрица
В=А—к(А)Е,	(2.27)
где Е — единичная матрица.
Наибольшее по модулю собственное значение Х(В) определяется
с помощью того же итерационного процесса (2.25), (2.26).
При известных Х(Л) и Х(В) наибольшее и наименьшее собствен-
ные значения заданной симметричной матрицы Л определяют по
следующей методике:
при МЛ)> 0
при ЦЛ) <0
max X,- (Л)=Х(Л);
min Х, (Л) =Х(Л)+М#);
1 i п
max 1,(Л) =Х(Л)+1(В);
min к, (Л) = Х(Л).
(2.28)
46
Пример 2.11. Найти наибольшее и наименьшее собственные значения невы-
рожденной симметричной матрицы порядка м=3
1 0 ’
2 1
1 1 .
4
1
О
А =
С помощью итерационного процесса (2.25), (2.26) определяем наибольшее
по модулю собственное значение 1(Д)=4,46. По формуле (2.27) находим матрицу
1 О
В=А—1.(А)Е =
— 0,46
1	—2,46	1
О 1	—3,46
Согласно (2.25), (2.26), определяем наибольшее по модулю собственное значение
этой матрицы 1(B) =—4,16.
По методике (2.28) находим наибольшее и наименьшее собственные значения
заданной матрицы А. Поскольку 1(Д) = 4,46>0,
max 1,(Д) = 1(Д) =4,46;
3
min 1,(Д) =ЫА) +Х(В) =4,46 — 4,16=0,30.
3
Третье собственное значение матрицы А можно определить по ее следу Sp А,
используя свойство (2.23): SpА =4-|-2-|-1 =7; 1(Д)=7—4,46—0,30 = 2,24. Оконча-
тельно имеем спектр заданной матрицы li =4,46; 1.2 = 2,24; 13=О,ЗО.
Проверку правильности нахождения спектра матрицы А проведем, используя
з
соотношение (2.24). Находим detA = 3;	1, = 4,46-2,24-0,3 = 3. Следовательно,
i=i
найденные собственные значения матрицы А удовлетворяют (2.24).
2.5.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ,
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
2.5.1.	Метод простой итерации
Пусть требуется найти простой вещественный корень уравнения
f(x)=O,	(2.29)
где f(x)—непрерывная функция.
Считается, что известен интервал [а, 6], в котором находится
только один корень уравнения (2.29), и на концах этого интервала
функция f(x) имеет разные знаки. Уравнение (2.29) представляют
в виде х=ф(х), а последовательные приближения к искомому корню
находят по итерационной формуле
хп+1 = ф(х„) (и = 1, 2, ...).	(2.30)
В качестве первого приближения xt к искомому корню (первая
итерация) можно принять любое значение х на отрезке изоляции
корня [а, 6]. Если в окрестности искомого корня модуль производной
<р'(х) удовлетворяет неравенству |ф'(х) |	итерационный
процесс (2.30) сходится, причем тем быстрее, чем меньше k.
47
Пример 2.12. Найти корень алгебраического уравнения х5—х—0,2=0,
лежащий в интервале [1; 1,1].
Запишем данное уравнение в виде x=<p(x) =V*+0,2 . Условие сходимости
метода в интервале [I; l,l] I ф'(х) | =5(х+0,2) 4,/5< 1/5 выполнено. За начальное
приближение примем Х| = 1. Последовательно по формуле (2.30) находим:
х2=^1+0,2 = 1,0371; х3=д/1,0371 4-0,2 =1,0440;
x4 = Vl,04404-0,2 =1,0446;... х7=^1,0448 4-0,2 = 1,0448.
За приближенное значение искомого корня можно принять х= 1,0448.
Пример 2.13. Найти вещественный корень трансцендентного уравнения [26]
х—sin х — 0,25 = 0.
Представим это уравнение в виде x=<p(x) = sin х-|-0,25. Любым способом
определяем отрезок изоляции искомого корня [1,1; 1,3]. Условие сходимости метода
в этом интервале |<р'(х) | =cosx< 1 выполнено. В качестве первого приближения
принимаем Х| = 1,20. Последовательно находим по формуле (2.30):
x2=sin 1,20 4- 0,25 =0,9324-0,25=1,182;
x3 = sin 1,1824-0,25 = 0,925 4-0,25=1,175;
x4 = sin 1,1754-0,25 = 0,9234-0,25= 1,173;
x6=sin 1,172 4-0,25=0,9224-0,25=1,172.
Приближенное значение искомого корня х= 1,172.
2.5.2.	Метод Ньютона— Рафсона (метод касательных)
Уравнение f(x)=O можно привести к виду
х=ч>(х)=х--1^-.
Тогда методом простой итерации (2.30) при условии f'(xn) =#0
можно получить итерационную формулу
хп+1 = хп- 4(Хп) .	(2.31)
ГМ
За начальное приближение искомого корня принимают xt из про-
межутка изоляции корня, для которого f (xi) и f"(xt) имеют одина-
ковые знаки. При этом условии итерационный процесс (2.31)
сходится.
Величина x„+i в (2.31) является абсциссой точки пересечения
с осью х касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой
хи. Отсюда происходит и другое, встречающееся иногда название
метода — метод касательных.
Пример 2.14. Найти вещественный корень трансцендентного уравнения
х—1,5 cos х=0.
Задаем первое приближенное значение корня Х| =0,92 и уточняем его методом
Ньютона — Рафсона. Функция f(x) и ее производные: f(x) =х—1,5 cos х; f'(x) =
= 1 4-1,5 sin х; f" (х) = 1,5 cos х.
Проверяем условие сходимости итерационного процесса (2.31):
f (xi) = 0,92 — 1,5 • 0,6058 =0,0113> 0;
= 1.5-0,6058 = 0,9087> 0.
48
Условие сходимости выполнено, так как значения функции f(x) и ее второй
производной положительны при х,=0,92. Последовательно находим по формуле
(2.31)
х2 = 0,920 — 0,0113/2,190 = 0,9148; х3=0,9148—0,0001 /2,189=0,9148.
Приближенное значение искомого корня х=0,9148.
2.5.3.	Применение метода простой итерации
к решению систем нелинейных уравнений
Решение системы нелинейных уравнений
fi(xt, *2, хп) =0 (i= 1, 2,..., и)	(2.32)
представляет более сложную задачу, чем решение одного уравнения.
Для нахождения решения этой системы методом простой итерации
ее записывают в виде
Xi=(pi(xi, х2, ..., хи) (i— 1, 2, ..., п),	(2.33)
где гр, — непрерывные функции, имеющие непрерывную первую
производную в некоторой области G, содержащей вещественное
решение (гц, аг, .... а«) системы уравнений (2.32). Если решение
единственное, а х-0)—числа, близкие к я„ эти числа принимают
за начальное приближение решения, а последовательные его при-
ближения находят по итерационной формуле
х(*+1)=ф.(д.ОТ	, ХИ) (i=i,2, ..., п; /г = 1,2,...). (2.34)
Условия сходимости данного итерационного процесса и выбора
вектора начального приближения решения Х(о)= (х(|0), х(20), ..., х(„0))
основаны на следующем понятии о расстоянии между векторами.
Если рассматривать хь х2, ..., хи как компоненты «-мерного
вектора Х= (xi, х2, ..., х„), норму вектора X можно определить
из равенства
||Х|| = max |хг-|,
а расстояние между векторами X' и X" — из выражения
р(Х', Х") = \\Х' — Х"\\= max \х'-х"\.
i=l,2, ....п
Для сходимости решения системы (2.33) методом итерации доста-
точно выполнения условия
£м7<1 (i= 1, 2, ..., п),	(2.35)
/=1
где M,7=max \d<pi/dxj\, а за Х(0) принимают любой вектор из малой
окрестности р (Х,а).
49
Пример 2.15. Методом итерации найти положительные корни системы
уравнений [26]
[i(x, у) = 2х2 — ху —5х-]-1=0; |
f?(x, p)=x + 3lgx —у2=0. J
Запишем эту систему в виде (2.33):
/ 1 1 \'/2
x = <pi(x, у) = (j2-x(#4-5)-:
z/ = <p2(x, у) = (x-|-31gx)'/2.
Найдем частные производные:
^ = _L(y+5}(cLx{y + 5)--L')
dq>2   1
дх	2
(x-b31gх) ~|/2;
<?<(i
ду
=4-(4-х({/+5)-4-)
дУ
где М = 0,43429.
Находим любым способом, например графическим, приближенные значения
положительных корней х(0) = 3,5; i/0, = 2,2, которые принимаем за начальное прибли-
жение решения.
Проверяем условие сходимости итерационного процесса по (2.35). Ограни-
чиваясь малой окрестностью р( |х—3,51; \у — 2,21), где |х — 3,51 CJ0.1; 1у —2,21 0,1,
получим:
Отсюда следует, что условия (2.35)
1-^1 + 12511 = О,96<1, 12511 +12511 =
I дх IТI дх I	I ду I I ду |
выполняются и последовательные приближения решения не выйдут за пределы
окрестности.
Табл. 2.1. Значения последовательных приближений xw, г/4
k	Л.(.>	
0	3,5	2,2
1	3,479	2,259
2	3,481	2,260
3	3,484	2,261
4	3,486	2,261
5	3,487	2,262
6	3,487	2,262

Последовательные приближения (табл. 2.1) находим по (2.34):
/I	1 \ 1/2
= (4-х«(</(Ч+5)-4-) ;
f/<‘+')=(x(‘) + 31gxW)'/2.
За уточненное решение заданной системы уравнений принимаем х=3,487;
г/=2,262.
50
2.5.4.	Решение систем нелинейных уравнений
методом Ньютона
Процесс решения системы нелинейных уравнений (2.32) методом
Ньютона основан на использовании невырожденной матрицы Якоби
для системы непрерывных функций fi(X), f2 (X),fi(X), fn(X),
имеющих непрерывные производные первого порядка в некоторой
выпуклой области G, содержащей решение а= (щ, а2,ап) си-
стемы (2.32):
/да =	Г df' дх\ df2 дх\	dfi dx2 df2 dx2	dh I dxn df2 dxn
	dfn	dfn	dfn
	dxi	dx2	dxn _
где fi(X) =fi(xt,x2, .... хп).
Процесс нахождения решения системы (2.32) по методу Ньютона
определяется следующей матричной формулой:
X^+'^X^-J-'fX^FfX^),	(2.36)
где J~1 (Х^)—матрица, обратная матрице Якоби; Хк}= х(2\ ...,
x^]\F(^) = [fi(X), f2(X), ... ,f„(X)]*— матрицы-столбцы.
Метод Ньютона сходится, если в области G функции f\(xi, х2, ... ,
хп) имеют вторые производные, не превосходящие по абсолютной
величине число L, а в точке Х!(,,е G матрица /(X) не вырожденная
и выполняется условие
ft=M2L6n2<
где \fi(x(°\ х(20),..., х'0,|	(i= 1, 2, ..., п);
M>||J-'(X(0))||= max £ |^(Х<0))|;
1 i=i
gij — элементы матрицы /~'(Х(0)).
Векторное равенство (2.36) эквивалентно системе линейных
алгебраических уравнений
£ ^-f,(X(A))(XjA+l)-^)) = -^(X(A)) (t=l,2, ... ,п). (2.37)
, = i
Более простым, но медленнее сходящимся является модифици-
рованный метод Ньютона, в котором итерационный процесс опре-
51
деляется формулой
Xk + '> = Xk>~J-' (XQ))F(XW) (/г = 0, 1, 2,...),
отличающейся от (2.36) тем, что обратная матрица	опре-
деляется только один раз, а не на каждой итерации.
Пример 2.16. Уточнить методом Ньютона приближенные значения решения
хс = 0,4; р0 = 0.9 системы уравнений [3]
fi(x, у) = 4х2+у‘' + ‘2ху-у — 2 = 0; j
f2(x, t/) =2х2 + 3хр+р2—3 = 0.	/
Для этого будем последовательно решать систему уравнений (2.37)
fi (х», ук)Ьхк+ -^-fi(x4, ук)&уь= — fi (хк, ук);
fi(Xk, Ук)^Хк + -^~f2(Xk, Ук)^Ук=~(2(Хк, Ук),
дх	ду
гле Xk+i=Xk+^xk; yk+t = yk + &ук.
Для данного примера
->-8'+2«<-2-+2’-,;
= 4x4-3//;	= 3x4-2//.
дх	ду
Исходя из начального приближения, на первой итерации находим Xi, уг.
f,(x„, уо) = -0,73;	=5,0;	= , 6;
дх	ду
MxQt уо} = -0,79;	=4,3; .д1^2	=3,0:
дх *	ду
5,ОЛхо+1,6Дро =0,73; )
4.3Дхо4-3,ОД//о=0,79; )
Дхо = О,114; Х1 = Хо + Дхо=О,514;
Д//о = О,1ОО; у1=уо + Луо= 1,000.
На второй итерации определяем х2, у2:
fi(Xi,J/i) =0,084784;	af< (*-У;»	=6,112;	дЫх':^-	=2,028;
дх	ду
f2(xi,yi) =0,070392;	dfsU'1, </‘)	=5,056;	df2(-x,’y,)	=3,542;
'	дх	ду
6,112Axi + 2,028Др,= — 0,084784; )
5,056Дл-| +3.542Д1/, = —0,070392; I
Дх, =—0,013826; Др, =—0,000138; х2 = 0,500174; 1д=0,999862.
На третьей итерации находим х3, уз-
fi (х2,р2) =0,000768; д^Х2’У21. =6,001116; д^-^Х2’	 =2,000072;
'	'	дх	ду
Ь(х2,у2) =0,000387; д^х?1.У2к =5,000282; df2('X2’y2'> =3,500246:
дх	ду
52
6,001116Лл-2 + 2,ОООО72Л|Л= —0,000768; 1
5,000282Лх2 +3,500246Ai/2= —0,000387; J
Дх2=—0,000174; Д|/2 = 0,000138; Л'з=0,5; j/3=l,0.
В качестве уточненного решения заданной системы нелинейных уравнений
принимаем л =0,5; у= 1.
2.5.5.	Решение систем нелинейных уравнений
методом наискорейшего спуска
Решение системы уравнений (2.32) можно свести к задаче
отыскания минимумов функции
Ф(Х|, х2, ... , хп) = £	х2, ... ,х„).	(2.38)
i=i
Если а= (щ, а2,	, ап) есть решение системы уравнений (2.32),
то fi(a)=O (i—1, 2, ..., п) и тогда Ф(а)=0, а в других точках
Ф(Х)> 0. Таким образом, каждый нулевой минимум функции Ф(Х)
дает решение системы (2.32).
Метод наискорейшего спуска сводится к отысканию нулевых
минимумов вспомогательной функции Ф(Х) и заключается в сле-
дующем.
Известно, что градиент функции Ф(Л), т. е. вектор
grad Ф(Х) =	, ...	,
\ dxi дх2	дхп /
указывает направление максимального роста функции. Следова-
тельно, в противоположном направлении скорость ее убывания
также максимальна. Если Хт = (х(,0), х(20), ... , х^) дает приближенное
значение минимума функции Ф(Х), то в направлении прямой Х=
=Хт— Xgrad<D(X) функция убывает с наибольшей скоростью.
Неизвестный параметр X можно найти из условия минимума
функции Ф(Лб0) —X grad Ф(Л(0))), как функции одной переменной X.
Пусть это будет Хо. Тогда переход от вектора Х^ к вектору Х^
осуществляется по формуле
)=Х°) _ х0 gra d Ф (А40’).
В общем случае переход от вектора Х^к) к вектору осущест-
вляется по итерационной формуле
Х^ + ')=^)_Хл grad ф(.х«)(	(2.39)
где X* — решение уравнения
jLo(^)-Xgrad Ф(А5^))=0.	(2.40)
На каждом шаге этого итерационного процесса происходит
движение в направлении быстрейшего убывания функции Ф(Х).
53
Если начальное приближение Л(0) выбрано достаточно хорошо
и в окрестности искомого решения а нет других минимумов, этот
процесс быстро дает искомое решение с заданной точностью.
Для нахождения наименьшего положительного корня уравнения
(2.40) можно предложить следующий прием. Считается, что X —
малая величина, квадратами и более высокими степенями которой
можно пренебречь. Функцию (2.38) представляют в виде функции
одной переменной 1, т. е.
Ф(Х) =Ф(^’—X grad Ф(А^)) = £ ff(A^-Zgrad Ф^*’)).
i=i
Разложение функции ft по степеням К с точностью до линейных
членов дает
Ф(Х) = £	dfi^k)) grad Ф(^’))2,
»=i
dfi = /dfi_ dfi dfj\
dx \d%i ’ дх2 ’	’ дхп/ '
Следовательно, уравнение (2.40) принимает вид
-^^- = -2£(мЛ<4))-
41Л	i = । \
откуда
£ dfi^~
.	(2.41)
1 = 1
При этом вектор grad Ф^^) определяют исходя из выражения
для производных
i=l	i=1
откуда gradФ(^Л)) =2J* (Х^) F (Х^), где J* (Х^)—транспониро-
ванная матрица Якоби.
54
Пример 2.17. Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни
системы нелинейных уравнений
fi=x2 + %— 2уг — 0,1 =0;
fz=y— y2 + 3xz + 0,2 = 0;
f:i = z? -\-z-\-2xy— 0,3 = 0,
расположенные в окрестности начала координат [26].
За начальное приближение принимаем вектор
X<0’ =
0 '
0	, откуда F(X^) =
— 0,1 '
0,2
-0,3 .
Матрица Якоби заданной системы уравнений
Подстановкой начального приближения получаем
grad Ф(Х(0))=2Г(Х(1),)Г(Х<0,)=2
' —0,1 ‘
0,2
—0,3
по формуле (2.41) находим Хс = 0,5, и по (2.39) —первое приближение
Аналогично находим:
Zograd Ф(Х№)) =
0,1 ‘
-0.2
0,3
F(X,'>) =
0,13
0,05
0,05
X, =0,1858;
Х<2>=Х<0 —X, 8гайФ(Х<1)) =
Для контроля вычислим невязку:
F{XW) =
0,032
— 0,017
— 0,007
Так как невязка решения мала, процесс
женное решение заданной системы уравнений
z = 0,2453.
0,0327
— 0,2007
0,2453
можно остановить и за прибли-
принять х=0,0327; у=—0,2007;
Применение метода наискорейшего спуска требует на каждом
шаге большой вычислительной работы. Поэтому можно осуще-
XO)=X(0)
55
ствлять движение из Х^ не в направлении градиента Ф(Х), а в
направлении какого-либо другого вектора, не находящегося в плос-
кости, касательной к поверхности Ф (X) = Ф (Х^). Проще всего
в задачах строительной механики вести спуск в направлении ко-
ординатных осей.
Метод покоординатного спуска (релаксационный метод) отли-
чается от метода наискорейшего спуска тем, что в итерационном
процессе участвуют не все компоненты вектора решения системы
уравнений. Здесь вычисляют все частные производные йФ(Х(0))/йх1
и, если ЙФ(А(О))/ЙХ; — наибольшая из них, находят из условия
Х^)=^ ПРИ ^¥=/, а при k=j
Хо дх, '
где Хо определяют из условия (2.40), которое принимает вид
— (Т) ( /0) /0)	х(0) — 7 дф (*№)) /о)	(0)Х _п
rfX Ф \ 1 ’ 2”"’ xi Х dXj ’ -’Хп ;-и-
Методы наискорейшего и покоординатного спуска ориентиро-
ваны на применение ЭВМ и легко программируются.
3. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ
Широкое применение ЭВМ в расчете статически неопредели-
мых стержневых систем способствовало развитию новых, матрич-
ных вариантов классических методов сил и перемещений, наиболее
удобных для машинного счета. Дальнейшее их совершенствование
привело к разработке метода конечных элементов (см. гл. 6), кото-
рый используется для расчета не только стержневых, но и конти-
нуальных систем, какими являются пластинки и оболочки.
Матричные варианты классических методов строительной меха-
ники стержневых систем обычно излагают без привлечения поня-
тия конечного элемента. Однако указанные методы можно рас-
сматривать как частные случаи метода конечных элементов.
3.1.	МЕТОД СИЛ
3.1.1.	Применение метода сил к расчету плоских
стержневых систем
В методе сил вместо заданной системы рассматривается основ-
ная система, т. е. статически определимая и геометрически не-
изменяемая стержневая система, которая образуется из заданной
статически неопределимой системы в результате отбрасывания
определенных связей, называемых лишними. Число лишних связей
равно степени статической неопределимости п заданной системы.
Для плоской стержневой системы степень статической неопре-
делимости выражается формулой n=3k— с, где k — число замкну-
тых контуров в системе, a eV число связей, необходимых для
полного защемления концов стержней во всех узлах, включая
опорные. Основными неизвестными метода сил являются усилия
в отброшенных лишних связях Xi, Х2, ..., Хп. Число основных не-
известных, а следовательно, и порядок системы линейных алгебраи-
ческих уравнений для их отыскания равны степени статической
неопределимости заданной системы. Эти неизвестные находятся
из условия эквивалентности основной и заданной систем. С этой
целью для основной системы составляют уравнения совместности
Деформаций, физическая сущность которых состоит в том, что они
отрицают наличие перемещений по направлению отброшенных
связей в основной системе, что и делает, таким образом, основную
систему эквивалентной заданной.
Пусть bkj — перемещения по направлению отброшенных связей
57
от единичных сил; Xk— основные неизвестные; SkF—перемеще-
ния по направлению отброшенных связей от внешней нагрузки.
Тогда условие эквивалентности для первой отброшенной связи
имеет вид
611 Xi Т~ 6 12^4“ Т-Й|пХп Т~ 61г =0.
Аналогичные уравнения составляются для остальных п—1
отброшенных связей. В целом они формируют систему канони-
ческих уравнений метода сил.
Определение усилий от внешней нагрузки в матричном варианте
метода сил производится по формуле
Sf= (60- 6, (6>,) (b\fb0) )F,	(3.1)
где Sf — матрица усилий в расчетных сечениях элементов задан-
ной системы от внешней нагрузки; Ьо — матрица усилий в расчет-
ных сечениях элементов основной системы от единичных внешних
сил; 6, — то же от единичных значений основных неизвестных;
b*i—транспонированная матрица 6,; f—квазидиагональная мат-
рица податливости отдельных элементов (стержней); F— матрица
нагрузок.
Матрица податливости f является квадратной размером m/m,
где m — число расчетных сечений. Она характеризует упругие
свойства системы. При составлении этой матрицы заданную систему
делят на отдельные элементы, для которых есть готовые матрицы
податливости. Для прямолинейных стержней постоянного сечения
матрицы податливости следующие:
для стержня с растягивающим усилием Nk (рис. 3.1, а) матрица
податливости, связывающая удлинение % с усилием, имеет первый
порядок:
Ik
C°=EAk[i]>	(3.2)
где Ik — длина стержня; EAk — жесткость стержня при растяже-
нии; [1] —матрица первого порядка;
для стержня с изгибающими моментами M‘k и M'k в узлах i и /
(рис. 3.1,6) матрица податливости, связывающая углы поворота
Vi и Vj с упомянутыми моментами, имеет второй порядок:
lk Г 2 -1 1
Сб~ 6EIk L -1	2 J’	(3 3)
где Е1к — жесткость стержня при изгибе;
для стержня с одним изгибающим моментом M‘k в узле i (рис.
3.1, в) матрица податливости имеет первый порядок:
Ik
Се== 3EIk	<3’4)
Матрицы (3.2), (3.3) и (3.4) характеризуют упругие свойства
стержней, изображенных на рис. 3.1. Однако в практике расчета
встречаются криволинейные стержни переменного сечения с рас-
58
пределенной нагрузкой. Не всегда в таких случаях удается полу-
чить зависимость между усилием и перемещением в замкнутом
виде. Поэтому при определении перемещений прибегают к интегри-
рованию с помощью формулы Симпсона. При этом отрезок интегри-
рования, как известно, разбивается на четное число т участков.
В матричной форме формула Симпсона при определении переме-
щения, например ZiF, примет вид
о	Ах ~ЁГ0 0 0	0 4 Ах	0 0 2Ах Eh	0 0 0		Ы ЬГ	
		Eh 0					
где	—ординаты э участка интегрировани лению перемещения; t	Ду оо 0	... L пюры усилий в соответствующ я от единичной силы, приложенно — то же от нагрузки на сте				IX й ря	№ сечени то напрг кне; Ах	ях 1В-
размер интервалов, на которые разбивается участок интегрирования.
Следует иметь в виду, что здесь средняя матрица не имеет
того физического смысла, что приведенные выше матрицы подат-
Рис. 3.1. Расчетные схемы стержней
Рис. 3.2. Многоэтажная рама:
а—расчетная схема; б—основная си-
стема и нумерация расчетных сеченнй
ливости, а является лишь частью формулы Симпсона. Ее порядок
определяется не числом независимых усилий, приложенных к стерж-
ню, а необходимой степенью точности интегрирования.
Например, в случае нагружения прямолинейного стержня
59
постоянного сечения равномерно распределенной нагрузкой для
получения точного значения угла поворота концевого сечения
достаточно участок интегрирования разделить на две части. Тогда
для стержня длиной I и постоянной жесткости EI средняя мат-
рица будет третьего порядка (Лх = //2):
I
С~ 6EI
1
О
О
О о
4 О
О 1
(3.5)
При использовании этой матрицы в середине стержня вводят
дополнительное расчетное сечение, знак усилия в котором задают
так же, как при определении перемещений по формуле Мора:
если ординаты эпюры изгибающих моментов Л4, и Мч находятся
с одной и той же стороны оси стержня, знак принимается положи-
тельным.
Матрица усилий Ь\ в расчетных сечениях при единичных зна-
чениях основных неизвестных имеет размер тХп- Для состав-
ления этой матрицы следует построить эпюры усилий от Х, = 1,
Х2 = 1, .... Хп= 1. Матрица усилий в расчетных сечениях от еди-
ничных внешних сил &0 имеет размер тХ/, где i — число неза-
висимых сил. Если расчет производится для одного варианта на-
гружения, проще сразу построить эпюру усилий от заданных сил
и составить матрицу S? размером mXl. Матрицы Ь\ и 6о характе-
ризуют геометрическую схему конструкции.
Матрица нагрузок F имеет размер iXJ, где / — число вариан-
тов нагружения. При одном варианте нагружения эту матрицу
можно не составлять, а получить сразу матрицу S°F=boF по эпюре
усилий от внешних сил.
При одном варианте нагружения вместо обращения матрицы
податливости проще решить систему уравнений
(b,ifbt)X+(b\fS°F)=O.
(3.6)
Окончательные усилия определяют по формуле
SF=S°F + blX.
Более подробно расчет стержневых систем в матричной форме
изложен в книге [51].
Пример 3.1. Построить эпюры усилий в статически неопределимой раме,
расчетная схема которой показана на рис. 3.2, а. Изгибная жесткость всех стерж-
ней одинакова (£/ = const).
Степень статической неопределимости системы п = 3-5—10=5. Основная
система (рис. 3.2, б) образована из заданной путем отбрасывания лишних связей.
Для формирования матрицы податливости f основную систему делим на отдель-
ные элементы (стойки и ригели). Расчетные сечения (т = 15) показаны на рис. 3.2, б.
При составлении матрицы f используются матрицы (3.3) для стоек и (3.4) для ригелей:
60
	2	— 1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	— 1	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	2	— 1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	— 1	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	2	— 1	0	0	0	0	0	0	0
h	0	0	0	0	0	0	— 1	2	0	0	0	0	0	0	0
Т ЬЕ1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2	— 1	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	— 1	2	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2	— 1	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	— 1	2	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
Для составления матрицы bi размером тХп (15X5) вычисляем изгибаю-
щие моменты в стержнях прн единичных значениях основных неизвестных. В ка-
честве последних принимаем групповые неизвестные Xi.Xz........Х5 (рис. 3.3, а).
В этом случае матрица коэффициентов будет ленточной трехчленной.
Поскольку предполагается только один вариант нагружения, по эпюре
а #0	О0
Мр сразу получаем матрицу t>F:
Далее используется выражение (3.6), где
61
8
О
о
о
ft3
^'=^4£7
О’
о
о
0
О
получилась
Система уравнений
гонки (см. §2.2.1).
Усилия в расчетных сечениях
SF = S°F + biX-.
Г-7-5
5
О
— 5
3
О
— 3
1,5
О
-1,5
0,5
О
— 0,5
О
О
SF = Fh
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
bjs°F=- —
“ F 8EI
трехчленной, которая решается
4
9
16
25 J
методом про-
от
о
о
о
о
о
о
о
о
построена
заданной
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
эпюра
нагрузки определяем
по формуле
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
 0,645"
2,162
4,653
8,065
11,866
F = Fh
изгибающих моментов
— 1,567"
— 0,933
1,901
— 0,968
— 1,033
1,706
— 0,674
-0,827
1,245
— 0,419
— 0,581
0,759
-0,178
— 0,323
0,323
(рнс. 3.3, б).
По этой матрице
У ординат общий множитель Fh. Ординаты эпюр поперечных и продольных сил
имеют общий множитель F.
о
о
о
8
8
О
8
7 J
о
о
— 1
h
7
1
1
— 1
о
о
о
3.1.2.	Применение метода сил к расчету
пространственных стержневых систем
Применение матричного варианта метода сил к расчету ста-
тически неопределимых пространственных рам также основано на
формуле (3.1). В этом случае при составлении матрицы подат-
ливости предполагается, что рама состоит из прямолинейных стерж-
ней постоянного сечения и их изгиб происходит в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях, в которых находятся главные цент-
ральные оси инерции поперечных сечений стержней. Для одного
такого стержня матрица податливости с учетом поперечных и про-
дольных сил является
квадратной матрицей шестого порядка:
ЕА
О
С =
О
О
О
k.
ЗЕ1У 1 GAI
I . kz
6Е1У ' GAI
I ,
6Е1У + GAL
I , Ъ
3EIy + GAI
О
о
о
о
о
о
б
о
о
62
	0			0		0 ~	
	0			0		0	
/	0	ky	I	0 _1_	ky	0 0 0 / GE _	(3-7)
ЗЕЕ 1	+ 0	GAI ky	6ЕЕ I	I	GAI ky		
6ЕЕ		GAI	ЗЕЕ	0	GAI		
где Ely и Е1г — изгибные жесткости; GA и G/K — жесткости
стержня на сдвиг и кручение; ky и kz — коэффициенты формы
поперечного сечения стержня для главных осей инерции у и z.
Пример 3.2. Определить усилия в расчетных сечениях трижды статически
неопределимой пространственной рамы (рис. 3.4, а) без учета влияния на дефор-
Рис. 3.4. Пространственная статически неопределимая рама:
° заданная система; б — эпюры моментов в основной системе; в — в заданной системе от внешней
нагрузки
63
мации стержней поперечных и продольных усилий. Жесткости Е1У, Е1г и G/K —
постоянные для всех стержней. Соотношение моментов инерции сечений: /z=0,5/j„
(1 -Ь v)//K = /i,/12, где v — коэффициент Пуассона.
Основная система (рис. 3.4, б) образована за счет удаления шаровой непод-
вижной опоры 4.
Для составления матрицы f выделим в раме три элемента. Для элемента
1 — 2 исключим из матрицы (3.7) первый столбец и первую строку. Поскольку
на стержень 2— 3 действует распределенная нагрузка, изгибающая его в плос-
кости, перпендикулярной к оси у, в сокращенной матрице (3.7) первый блок второго
порядка заменим матрицей (3.5) третьего порядка. Для стержня 3— 4 из (3.7)
используем только вторые и четвертые строки н столбцы, так как при заданных
граничных условиях изгибающие и крутящий моменты на		конце стержня в узле
4 будут равны ь	1улю. Матрица податливости 2	—1	0	0	0000	0 —1	2	0	0	0000	0 0	0	4—2	0000	0 0	0—2	4	0000	0 0	0	0	0	1000	0	0 0 0 0 " 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
1	0	0	0	0	0100	0	0 0 0 0
f= 6Е1У	0	0	0	0	0040	0	0 0 0 0
	0	0	0	0	0001	0 0	0	0	0	0000	4 0	0	0	0	0000	—2 0	0	0	0	0000	0 0	0	0	0	0000	0 0	0	0	0	0000	0	0 0 0 0 — 2 0 0 0 4 0 0 0 0 10 0 0 0 2 0 0 0 0 4
Для составления матриц bi и Застроим эпюры моментов (рнс. 3.4, б). Орди-
наты крутящих моментов выделены на рисунке штриховкой вдоль осн стержня.
По эпюрам Mi, Afg, Л4°, MF составим матрицы усилий, используя то же правило зна-
ков, что и для плоских систем:
Дальнейший расчет заключается в выполнении последовательности матричных
операций, представленных формулой (3.1):
6* = /
О
1
00	0100	0—11
01	0100	0—10
— 1 1 — 1 О 1 0,5 О 0 0
0 0 —1
0 0	о
— 11	1.
b'f=
I2
6Е1У
10	01000—66
04—21000—42
—36—60120	00
0 0—4
0 0	0
— 12	0 .
о
3

' 19
7
. —3
7
9
6
/3
6Е1У
6
23 J
64
определение свободных членов
b’fS°F
Fl3
6Е1У
11
— 24
— 80,5
решение системы уравнений
19.¥, + 7Х2 — 3%з-Ь 11.^ = 0;
7X1 + 9X24-6X3-24F=0; Х =
- ЗЛ', + 6Х2 4- 23Х3 — 80.5F = 0;
— 0,3479
0,7675
3,2544
определение усилий в расчетных сечениях статически неопределимой рамы от за-
данной нагрузки
Sf = S" + biX =
— 0,3977
— 0,2544
0,0219
0,7456
0,4196
0,2544
— 0,6228
2,0
— 0,4196
— 0,3479
0,7456
3,2544
0,3479
Fl.
Эпюра изгибающих моментов MF в заданной системе приведена на рис. 3.4, в,
где ординаты следует умножить на FI.
Для реализации изложенной процедуры расчета на ЭВМ можно использо-
вать стандартные программы матричных операций.
3.2.	МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
3.2.1.	Основы метода перемещений
Метод перемещений является вторым классическим методом
расчета статически неопределимых систем. Метод имеет формаль-
ное сходство с методом сил. Так же выбирается основная система
и составляется условие ее эквивалентности с заданной системой,
хотя число основных неизвестных этого метода от степени стати-
ческой неопределимости заданной системы не зависит.
Здесь основную систему получают не удалением, а добавлением
новых связей, препятствующих угловой и линейной подвижности
узлов. Числом этих связей и определяется число неизвестных мето-
да перемещений, каковыми являются углы поворота жестких узлов
и независимые линейные смещения всех узлов системы. Число
неизвестных метода перемещений носит условный характер и зави-
сит от принятых допущений и некоторой предварительной информа-
ции, получаемой, как правило, с помощью метода сил.
При расчете рамных систем, состоящих из прямолинейных
стержней и имеющих как жесткие, так и шарнирные узлы, для
получения основной системы метода перемещений при общепри-
3- Зак. 1810
65
нятых допущениях необходимо ввести следующие дополнительные
связи: угловые связи, препятствующие повороту узлов, в те из них,
где нет полных шарниров; линейные связи, препятствующие ли-
нейным смещениям узлов системы.
Степень линейной подвижности узлов определяется из шарнир-
ной схемы. Последняя получается из заданной путем введения
полных шарниров во все жесткие узлы (опорные и неопорные).
Затем в основной системе задают единичные перемещения по
направлению поставленных связей и определяют последовательно
от них и от внешней нагрузки реакции в этих связях.
Если обозначить эти реакции через rkj, а неизвестные перемещения
по направлению добавленных связей через Zft, суммарная реакция
в первой добавленной связи в системе с п. неизвестными пере-
мещениями будет равна r^Zt + rl2Z2-\- .. +rinZn-{-rtF, где г и—
реакция в первой связи от внешней нагрузки. Реакции опре-
деляют по таблицам, составленным с привлечением метода сил
(прил. 1).
Чтобы основная система была эквивалентна заданной, состав-
ляют уравнения равновесия, которые отрицают наличие реакций
в добавленных связях. Например, для первой связи это уравнение
имеет вид
riiZi -|- гi2Z2-\-... -{-гinZn -|- fir=0.
Такие же уравнения составляют для других добавленных свя-
зей, что в целом дает систему канонических уравнений метода
перемещений.
После решения системы уравнений при определении усилий
используется принцип независимости действия сил. Так, изгибаю-
щие моменты определяются выражением
М |Z । -|- M2Z2 -Т... Т- MnZ	Мр,
где Mk — ординаты эпюры в основной системе при единичных зна-
чениях перемещений Z&; M°F — то же от внешней нагрузки.
Поперечные силы вычисляют по значениям изгибающих мо-
ментов, а продольные силы — по значениям поперечных сил с по-
мощью уравнений равновесия.
3.2.2.	Матричный вариант метода перемещений
При расчете статически неопределимых систем методом пере-
мещений в матричной форме усилия в расчетных сечениях опре-
деляют по формуле
Sf = S°— ka(a'ka) ~'Ro,	(38)
записанной через исходные матрицы k, а, /?о, S°, которые составля-
ют для основной системы, являющейся кинематически определи-
мой при принятых допущениях. Здесь k— квазидиагональная мат-
рица жесткости не объединенных между собой элементов; а —
матрица углов поворота сечений на концах стержней от единич-
66
ных перемещений по направлению дополнительных связей; /?0 — мат-
рица свободных членов, которые представляют собой реакции в
дополнительных связях, зависящие от внешних воздействий на
заданную систему; Sf — матрица усилий в расчетных сечениях
основной системы от внешней нагрузки.
Матрица жесткости k характеризует упругие свойства системы.
Ее размер mXm, где т — число расчетных сечений. Для полу-
чения матрицы k систему нужно разделить на элементы (стержни),
матрицы жесткости которых известны. Для стержней, изобра-
женных на рис. 3.1, эти матрицы имеют вид:
(3.9)
2£Д Г2 1 1
Гб=~1Г^ 1 2J’
(3.10)
ЗЕЦ
[!]•
(З.П)
Между этими матрицами жесткости и матрицами податливости
метода сил (3.2) — (3.4) имеется зависимость rk = ck[.
Матрица углов поворота а характеризует геометрическую схе-
му конструкции и имеет размер тХ», где п — число неизвестных
перемещений. Для составления этой матрицы в общем случае по-
следовательно изображают схемы деформирования основной сис-
темы при Z*=l.
Матрица свободных членов /?0 имеет размер nXj, где j—ко-
личество вариантов нагружения. Элементы этой матрицы определя-
ют, как при обычном расчете, после построения эпюры MF по
таблице реакций (прил. 1). При этом используется следующее
правило знаков: реакция положительна, если ее направление совпа-
дает с направлением задаваемого единичного перемещения.
Реакции в угловых связях от внешней нагрузки находят из
уравнений равновесия для каждого узла. При вычислении реак-
ций в линейных связях в общем случае поступают следующим
образом: заданную нагрузку заменяют узловыми сосредоточен-
ными силами (они равны реакциям, определяемым по прил. 1),
а основную систему делают шарнирной. В результате получают
статически определимую и геометрически неизменяемую шарнир-
ную ферму, нагруженную в узлах. Усилия в стержнях фермы
могут быть определены любым известным способом. В частности,
можно Использовать кинематический способ, так как требуемые
при этом неполярные планы скоростей должны быть уже построены
при получении элементов матрицы а.
Матрица Sf усилий в расчетных сечениях основной системы
Ото внешней нагрузки имеет размер тХ/. Ее составляют по эпюре
для каждого варианта нагружения.
67
Как и в случае метода сил, иногда оказывается проще решить
систему уравнений
(a*ka)Z+Ro = O.
В этом случае усилия в сечениях элементов заданной системы
определяют по формуле
Sf = Sf~\~ kaZ.
Пример 3.3. Определить методом перемещений изгибающие моменты в раме
(рис. 3.5, а) со стержнями постоянной жесткости при изгибе (£7 = const). Степень
кинематической неопределимости рамы при общепринятых допущениях и =2.
Рис. 3.5. К расчету рамы методом перемещений:
а—заданная система: б — основная система; в — схема деформирования при Z2=l; г — эпюра изгибаю*
щих моментов от нагрузки в основной системе
Разделим раму на три элемента по числу стержней. Матрицу жесткости
стержня 1 — 2 принимаем по (3.10), а остальных двух стержней — по (3.11):
' 0,8 0,4 0 О’
.	0,4 0,8 0 0
k=L.l
0	0	10
.0	0	01.
При составлении матрицы а рекомендуется строить схемы деформирования
основной системы при единичных перемещениях по направлению дополнительных
связей. Схема деформирования при Zi=l проста, поэтому она здесь не при-
водится. Схема деформирования при Z?=l показана на рис. 3.5, в. На основании
этой схемы составляем матрицу
0	—0,25
_	1	—0,25
а~	1	-0,25
. 1	0,25
68
Матрицу свободных членов составим по эпюре, изображенной на рис. 3.5, г,
которая построена по прил. 1 (два варианта нагружения объединены на одном
рисунке). Реакции в угловой связи вычисляются достаточно просто. Для вычисле-
ния реакций в линейной связи используем неполярный план скоростей, при-
веденный на рис. 3.5, в:
ггг-1 +4-0,5- 1,25-0,8 = 0; г2г —— 2 кН;
г2,-1+3,75-0,75=0; г2, = —2,8125 кН.
Матрица Ro имеет вид
Рис. 3.6. Построение эпюр изгибающих моментов в раме (см. рис. 3.5):
а — при сосредоточенной нагрузке; б — при распределенной
Подставим полученные матрицы в (3.8) и выполним указанные операции.
В результате получим матрицу усилий (моментов) в расчетных сечениях по кон-
цам стержней
— 4,176
— 0,147
-1,765
. 1,912
— 2,912
— 2,051
— 0,993
3,044
На рис. 3.6 показаны эпюры Муг'у построенные по матрице S, эпюры M°f и
окончательные эпюры Mf (в килоньютон-метрах). Для реализации изложенной
процедуры расчета на ЭВМ достаточно использовать стандартные программы
матричных операций.
З.з.	ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
3.3.1.	Определение частот и форм свободных колебаний
Рассматриваются стержневые системы, в которых распределен-
ная масса сосредоточена в отдельных сечениях, т. е. системы с
69
конечным числом степеней свободы. Их расчет удобно вести ме-
тодом сил в матричной форме на ЭВМ с использованием стандарт-
ных программ.
При определении частот свободных колебаний в заданной сис-
теме последовательно определяют перемещения от единичных сил,
приложенных по направлениям колебаний масс, и строят матрицу
податливости системы
B = b'ofb,
где f—матрица податливости необъединенных элементов, разме-
ром mXm; т — число расчетных сечений; b — матрица усилий
от единичных сил, приложенных по направлению колебаний масс
в заданной системе, размером тХп, где п — число степеней сво-
боды; Ьо — то же, построенная для любой статически определимой
системы, полученной из заданной.
Если заданная система статически определима, bo = b. Не будет
ошибкой и использование только матрицы Ь, но при этом несколько
увеличивается трудоемкость вычислений.
Далее составляют диагональную матрицу масс М, вычисляют
произведение матриц D=BM и составляют систему однородных
уравнений
(ВМ — ХЕ)Х=0	(3.12)
или DX—/X, где Л.==1/со2; щ— частота свободных колебаний
заданной системы; Е — единичная матрица; X — вектор амплитуд
перемещений.
Так как при колебаниях Х=/=0, определитель
| ВМ-Х£| =0.	(3.13)
Раскрытие этого определителя и вычисление собственных зна-
чений матрицы D и соответствующих им собственных векторов
выполняются с помощью стандартных программ на ЭВМ.
Матрицы В и М в (3.12) являются симметричными. Однако
их произведение D будет несимметричной матрицей, если сосредо-
точенные массы различные. В том случае, когда для нахождения
собственных значений X имеются программы только для симмет-
ричных матриц, используют известные методы приведения матриц к
симметричному виду [26]. Общие вопросы нахождения собствен-
ных значений и собственных векторов матриц изложены в гл. 2.
Пример 3.4. Определить частоты и соответствующие им формы свобод-
ных колебаний статически неопределимой рамы (рнс. 3.7, а) с двумя сосредото-
ченными массами т,=2т, m2 = m и одинаковыми жесткостями стержней при изгибе
(£7 = const).
Вычислим элементы матрицы податливости В заданной системы с двумя сте-
пенями свободы. Система один раз статически неопределима и один раз кине-
матически неопределима, поэтому одним нз методов (методом сил или методом
перемещений) произведем статический расчет и построим эпюры изгибающих мо-
ментов Л4| и М2 от единичных снл, приложенных по направлению колебаний масс
(рис. 3.7, б). С целью упрощения вычислений интегралов Мора по способу
Верещагина построим эпюры от тех же единичных сил в статически определимой
системе (рис. 3.7, в) и найдем перемещения:
70
THiAl?
~ETdx =
1,708
£7
AfiAfa
x x VC .	0,482
6^=62.= !)-^-^=- -Tr
г ( Л4гЛ1| 0,905
б22“ L ) El dx~ ~ЁГ
По этим значениям составляем матрицу податливости
1 Г 1,708 — 0,482 1
— El L —0,482	0,905 J ’
Рис. 3.7. Стержневая система с двумя степенями свободы:
заданная система; б — эпюры изгибающих моментов от единичных сил в заданной системе; в —
в основной статически определимой системе; г— главные формы свободных колебаний
71
Матрица масс — диагональная:
О
1
2
О
Составим определитель (3.13):
|ВМ—ХЕ| =
3,416—-0,482 ~
EI	EI
- 0,964	0,905	-к,
Раскрыв определитель, получим квадратное уравнение
к? -4,321	к,+ 2,627 ( ~ Y = 0,
'	Ы	\ с/ /
корни которого будут М=3,5891 т/(ЕГ)-, к2=0,7319 т/(Е7).
Отсюда находим частоты свободных колебаний рамы:
ол = Л/|/к, = О,5278 v/:7/m ; <о2 = VW = 1,1689 -^ЁГ/Тп .
Для определения соответствующих форм колебаний используем уравнения
(3.12). Так как этн уравнения однородные, зададим одно из их решений. Примем
например, что Х|=1. Из первого уравнения найдем Х2 для каждого значения к,:
(3,416т/(Е7) -3,5891т/(ЕГ)) • 1 — (0,482т/(Е/))Х<21)=0:
(3,416т/ (Е/) —0,7319т/ (ЕГ)) • 1 — (0,482т/ (Е/) )/22)=0.
Решив отдельно каждое из этих уравнений, запишем собственные векторы Vi и v2:
V,= [ —0,359 ] ; V2= [ 5,569 ] ‘
Формы колебаний показаны на рис. 3.7, г.
3.3.2.	Расчет на вибрационную нагрузку
Расчет стержневых систем с конечным числом степеней сво-
боды на вибрационную нагрузку в процессе стационарного гар-
монического воздействия типа Л (/)=/) sin 6/, где 6 — частота вы-
нужденного воздействия, сводится к определению амплитудных
значений сил инерции Л из матричного уравнения
(3.14)
где матрица В°—В — (1/(/П;62))£; В — матрица податливости
стержневой системы; Е — единичная матрица; mi — сосредоточен-
ные массы; / — матрица-столбец сил инерции; Ср — матрица сво-
бодных членов, определяемая формулой
CF=b*fS°F\	(3.15)
S° — матрица, построенная по эпюре моментов, возникающих при
Fi (амплитудных значениях сил) в любой статически определи-
мой системе, полученной из заданной.
Силы инерции определяют из уравнения (3.14):
72
J= — (B°)~lCF.
Для обращения матрицы или решения системы уравнений (3.14)
используются стандартные программы для ЭВМ.
Определение амплитудных значений усилий при sin 6/= 1 от
заданной нагрузки производят по формуле
S = Sp + bJ,	(3.16)
где матрицы SF и b составляют по эпюрам усилий, построенным
для заданной системы.
Пример 3.5. Определить ординаты и построить эпюру изгибающих моментов
в раме (см. рис. 3.7, а), загруженной вибрационной нагрузкой F(t) =4 sin 6/ при
0 = O,8<i>n,m, где <uni,n- наименьшая частота собственных колебаний рамы. Из преды-
дущего примера <jL>,nin = 0,5278 \'Е//т.
Ординаты эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки будем определять
для моментов времени,, когда sin 0/= 1.
Для составления матрицы В0 используем матрицу податливости, полученную
в примере 3.4, и откорректируем элементы ее главной диагонали. Для этой цели
вычислим дополнительные члены прн 0=0,вы, =0,422 ^ТД/т:
1	_ 1,708	т	1,0997
"	"	т,е2	””	Е1	2т(0,422)2Е1	~	EI	'
»• _.	1	0,905	т	4,7103
22	22	т2о2	“	EI	т(0,422)2Е1	~	EI	‘
Матрица В0 имеет вид
Г) 1 Г —1,0997 —0,482 1
£7 1 —0,482	— 4,7103 ]'
Матрицу свободных членов CF составляем по (3.15), предварительно построив
эпюру изгибающих моментов в заданной системе при амплитудном значении ста-
тической нагрузки (рнс. 3.8, о). Элементы матрицы CF вычисляем с помощью
интеграла Мора:
с МрМ°	|	1
6щ= ) £/ 1 dx=- —1,5-6 —4,571
1
2Е1
5,142
— EI ’
MFM% 1	1	1
т4^^-1-4^ 3’429-^
3,429
Е/
Рис. 3.8. Изгибающие моменты в раме (см. рис. 3.7, с):
а — при статическом нагружении; б — при динамическом
73
Матрица-столбец свободных членов Cf принимает вид
Я
CF =
— 5,142
3,429
Запишем матричное уравнение (3.14), отбросив общий множитель 1/(EI):
Г —1,0997 —0,482 1
L —0,482	—4,7103 J
— 5,142
3,429
решая которое, получаем: Л =—5,2294; /2= 1,2631.
Значения изгибающих моментов от динамической нагрузки в расчетных се-
чениях (см. рис. 3.7, а) определяем по формуле (3.16):
1,715		— 0,241	0,786		3,968
3,429		— 0,482	— 0,429	Г —5,2294 1 _ L 1,2631 J “	5,408
8,000	+	0	0		8,000
4,571		0,482	0,429		2,592
_ 2,286		— 1,259	0,215_		.9,141 _
По этой матрице на рис. 3.8,6 построена эпюра изгибающих моментов (в ки-
лоньютон-метрах) при динамической нагрузке для момента времени, когда
sin 6t= 1.
Существенное отличие этой эпюры от эпюры при статической нагрузке
объясняется небольшой разницей между частотой возбуждения 6 и частотой собст-
венных колебаний системы, что говорит об относительной близости ее к резонансу.
4.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ
И КРАЕВЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Многие задачи строительной механики, например задачи изгиба
стержней или балок, лежащих на упругом основании, задачи расчета
оболочек вращения и многие другие, сводятся к решению начальных
или краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
и систем таких уравнений. Кроме того, при решении задач динамики
пластин и оболочек методом Власова — Канторовича исходная
смешанная задача для уравнений в частных производных сводится
к начальной задаче по временной координате. Начальная задача
является более простой по сравнению с краевой, поэтому разрабо-
таны методы сведения краевой задачи к начальной, для решения
которой имеются простые и эффективные методы.
4.1.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
4.1.1.	Метод Эйлера
Пусть требуется найти решение обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения
y'=f(x,y),	(4.1)
удовлетворяющее начальному условию
z/(xo)=z/o-	(4.2)
Предполагается, что функция f(x, у) в рассматриваемой области
D, содержащей точку (х0, у0), имеет непрерывные частные производ-
ные df/dx и df/dy до некоторого порядка т, и решение задачи (4.1),
(4.2) существует на всем заданном отрезке [х0, а] •
Отрезок интегрирования [х0, а] разбивается на п одинаковых
участков длиной h, и вводятся обозначения:
Xi=x0-\-ih, yt — y(xi) (1 = 0, 1, 2, ... , п).
Метод Эйлера является простейшим численным методом решения
начальной задачи (4.1), (4.2), которую называют задачей Коши.
Суть метода заключается в том, что приближенные значения искомой
функции у(х) находят последовательно по формулам:
yi+i = yi + ^yi, ^yt = hf(xi, yt) (1=0, 1, 2, ... , п).	(4.3)
При этом искомая интегральная кривая у=у(х) заменяется
ломаной Мо, Mi, М2, ... (рис. 4.1), называемой ломаной Эйлера,
75
звенья Mt—A4i+i в точке М, имеют направления, совпадающие
с направлениями производных у- = f (х,, у,).
Метод Эйлера прост, но имеет малую точность. Погрешность
метода на каждом шаге имеет порядок 0(й2), т. е. метод первого
порядка точности, поэтому при его использовании необходимо при-
нимать малый шаг h.
Рис. 4.1. Представление интегральной кривой у=у(х) в виде ломаной Эйлера
Более точным .вляется усовершенствованный метод Эйлера,
в котором вначале вычисляется ki = hf(xt, yL), а затем
Ay,-=/if(xt+/i/2, г/,-f-Zei/2).	(4.4)
Этот метод дает на каждом шаге погрешность порядка 0(й3),
т. е. имеет второй порядок точности.
4.1.2.	Метод Рунге— Кутта
Наиболее распространенным методом решения начальных задач
типа (4.1), (4.2) является метод Рунге—Кутта. Основная схема
этого метода имеет вид:
у^=у>+Ьу>, ^yi=-^(k^+2k^+2kf-^k^,	(4.5)
где
k?=hf (Xi, yi); k®=hf (Xi+h/2, yi+k^/2);
k^=hf (xi+h/2, yi + k^/2); k? = hf (Xi + h, yt+k1?)
(i — 0, 1,2, ..., n).
(4-6)
Погрешность приведенной схемы метода Рунге — Кутта на каж-
дом шаге имеет порядок 0(й5).
Кроме схемы (4.5), (4.6) четвертого порядка точности, метод
Рунге — Кутта имеет и другие схемы. Так, например, одна из схем
второго порядка точности имеет вид
У<+1 =i/« +—~2~ (ki-(-k2),
где k\=hf(Xi,yi), k2=hf(xi-(-h, yt+ki) (индекс i при ki, k2 здесь
и далее опущен).
76
Другая схема второго порядка точности совпадает с усовер-
шенствованным методом Эйлера по (4.4).
Пример 4.1. Найти приближенное решение методом Рунге — Кутта следу-
ющей начальной задачи [54] на отрезке [0; 0,6]: у' = х2Д-у2 при р(0) = 0.
В соответствии со схемой (4.5), (4.6) покажем начало процесса (1=0) при
шаге Л=0,1:
^о) = О,1(0,0) =0; 6(2о) = О,1 (0,052 + 0,0) =0,00025;
^O)=0,l (0,052 + 0,0001252) =0,00025; й‘о)=О,1 (0,102+0,000252) = 0,001.
Вычисляем по (4.5)
Лро= -4- (0 + 2-0,00025 + 2-0,00025+ 0,001) =0,000333;
6
у, = 0 + 0,000333 = 0,000333; х, =0,1.
Продолжая процесс до 1 = 5, получаем:
1/5 = 0,041791; х6 = 0,5; Л,4 = 0,1 (0,52 + 0,0417912) =0,025175;
^ = 0,1 (0,552 + 0.0543782) =0,030546: й(35)=0.1 (0,552 + 0,0570642) =0,030576;
^<5)=0,1 (0,602 + 0,0723672) =0,036524.
Вычисляем по (4.5)
At/s= (0,025175 + 2-0,030546 + 2-0,030576 + 0,036524) =0,030657
6
и получаем окончательный результат 1/6 = 0,041791 + 0,030657 = 0,072448.
Решение этой задачи аналитическим методом приводит к выражению
i/(x)=4-^+-^-^
которое при х=0,6 дает результат у(х) = 0,07244, совпадающий с приближенным
значением i/s, полученным методом Рунге — Кутта.
4.1.3.	Применение метода Рунге — Кутта
для приближенного решения систем
дифференциальных уравнений
Пусть даны система обыкновенных дифференциальных уравнений
-dT=F^
и начальные условия
Г(хо)=Го.	(4.8)
где У = [yi, у?,	, уп]*, F= [/i, f2, ..., /п]* — матрицы-столбцы иско-
мых функций у,(х) и правых частей системы уравнений /,(х, yi(x),
У2(х),... , уп(х)). Индекс «звездочка» означает знак транспониро-
вания матрицы.
Приближенное решение начальной задачи (4.7), (4.8) методом
Рунге — Кутта с использованием схемы четвертого порядка точности
77
находят в виде
У,+ 1 = У, + АУ,-; АУ,= (К1 + 2К2+2Кз+К4),	(4.9)
где Yt=Y(xi), (i=0, 1, 2, ... ), а матрицы-столбцы К™ определя-
ются формулами
Ki = hF(Xi, У,); K2=hF(Xi+h/2, Yi+Ki/2)\
K3=hF(xi+h/2, У,+К2/2); K4=hF(xi+h, У+К3).
Например, для системы двух дифференциальных уравнений
у'(х) =<р(х, у, z), |
z'(x) = ф(х, у, z) J	'
при начальных условиях у(х0) =уо, z(x0) =z0 процесс нахождения
решения у(х), z(x) на t-м шаге сводится к следующим операциям.
При заданных или найденных значениях h, xit у,, Zt вычисляют
последовательно
ki — hq> (xi, yi, Zt); m i = /гф (x,-, t/„ z,);
k2 = hq>(Xi-\-h/2, yi-\-k\/2, z,-|-mi/2);
m2=h^(Xi-\-h/2, yt-\-k\/2, Zi-\-mi/2);
k3 — h(()(xi-\-h/2, yt-\-k2/2, Zi-\-m2/2)-,
m3=h^(xt-\-h/2, yt-\-k2/2, zl-\-m2/2.);
&4=/t<p(x,+/t, yt-\-k3, Zi-\-m3y,
m4 = /гф (xt+h, yi + &з, z, + /пз) •
Затем находят At/, и Az, по формулам
b.yi=	(ki + 2&2+2&з + k4); Az, = (mi + 2т2+2т3-\-т4).
b	b
Значения y(x) и z(x) на шаге t’+ 1 определяются
выражениями: t/,+i =//,-|-А///, z,+1 = z;-|-Az,.
Пример 4.2. Найти методом Рунге — Кутта прибли-
женное решение нелинейного дифференциального уравнения
свободных колебаний маятника в среде, обладающей сопротив-
лением [25]. Пусть 6 — угол отклонения маятника от поло-
жения равновесия (рис. 4.2), t — время. Полагая, что
сопротивление среды R пропорционально угловой скорости
Рис. 4.2. Схема колебаний маятника в среде, обладающей со-
противлением
маятника, имеем для в = 0(/) нелинейное дифференциальное уравнение второго
порядка
78
где Л.—коэффициент
/ — длина маятника.
Принимая 1=0,2,
затухания колебаний; g— ускорение свободного падения;
g/l= 10, приходим к начальной задаче для уравнения
+ 0,2	+10 sin 6=0
at 1 at
(4.Н)
с начальными условиями: угол отклонения — 0(0) =0,3, угловая скорость —
dO/d/|/_o=<o(0) =0.
Полагая df5/dt=u>, запишем уравнение (4.11) в виде системы дифференциальных
уравнений первого порядка
d6
dt
= —0,2ь> — 1 OsinO.
at
(4.12)
Приближенное решение этой системы будем искать методом Рунге— Кутта,
используя схему четвертого порядка точности. Примем Л = A/=jO,l. В обозначениях
системы уравнений (4.12) <р = <о, ф= — 0,2<о—lOsin 0, /, = 0+«7i, 0о = 0,3, ь>о = О.
Прн i=0 находим:
/e^h^fOo, <оо) =0,1 -0=0.0;
т| = йф(0о, <оо) =0,1 (0— lOsin 0,3) = —0,2955;
Й2=Л<р(0о + й1/2, <oo + mi/2) =0,1 (0—0,2955/2) =—0,0148;
иг2=Лф(Оо + й1/2, о>о + mi/2) =0,1 (0,2-0,2955/2— lOsin 0,3) = —0,2926;
й3=Л<р(0о+Й2/2, шо + т2/2) = 0,1 (0 — 0,2926/2) = —0,0146;
тз = Лф(0о + Й2/2, <оо + т2/2) =0,1 (0,2-0,2926/2— lOsin 0,2926) = —0,2855;
й4 = /г<р(0о + й3, <оо + т3)=0,1 (0 — 0,2855) =—0,0286;
т4=Лф(0о + йз, и+тз) =0,1 (0,2-0,2855— lOsin0,2854) = —0,2810.
Вычисляем: А0О =	(й14-2/г2 + 2/гз + *4) = —0,0146; Лш0= -g- (mi +2т2+2т3 +
-|~т4) =—0,2888. Следовательно, прн/|=0,1 имеем: 0i =0о+Л0о=О,2854; о»! =ш0-|-
4-А<о0= —0,2888. Продолжая процесс, последовательно получаем: при /г=0,2— 02 =
= 0,2434, (02=— 0,5438; /3 = 0,3 — 0з=О,1786, ь>з=—0,7418; /4 =0,4 — 04=0,0990,
о>4=—0,8640; /5 = 0,5—05 = 0,0110, ш6= —0,8970; прн /6=О,6 — 06=—0,0780,
йб=—0,8460. На этом вычисления прекращаем, так как угол 0(/) в период време-
ни от /6=0,5 до /6=0,6 меняет свой знак на противоположный. Следовательно,
маятник в этот промежуток времени прошел первое положение равновесия (0(/) =0).
С помощью интерполяционных формул (например, формулы Ньютона) можно
получить уточненные значения / = 0,512 и <о= —0,895 при первом прохождении задан-
ного маятника через положение равновесия.
4.1.4.	Метод последовательных приближений
Решение начальной задачи (4.1), (4.2) можно получить в виде
предела последовательных приближений, построенных на рекуррент-
ной формуле
X
уп(х)=у0+ \f(t,yn-i(t))dt.
Хо
(4-13)
79
Начальное приближение здесь может быть любым. Проще всего
за начальное приближение принять уо- Последовательность функций
уп, вычисленных по формуле (4.13), равномерно сходится на задан-
ном отрезке к искомому решению у(х), если уравнение (4.1) удовле-
творяет условиям теоремы существования и единственности реше-
ния. Практически процесс последовательных приближений следует
прекратить, когда уп-1 и уп совпадут в пределах допустимой точности.
Пример 4.3. Найти методом последовательных приближений решение урав-
нения продольных колебаний прямолинейного стержня длиной I
	d2w	, d2w	,. , ,. (4I4) ox	ot
при условиях:	dw 1 w(t, 0) = w(t, I) = 0, w(0,x) = wo,	=0,	(4-15) ot |t = 0
где w(t, х) —продольные смещения стержня.
Искомую функцию w(t, х) представим в виде w(t, х) =Т(Z)sin(fenx//). При этом
краевые условия в (4.15) будут выполнены. Из выражения (4.14) получим обыкновен-
ное дифференциальное уравнение
Т" + ЬТ = 0,	(4.16)
где b= (kn/ (al))2, а штрихами обозначены производные по t.
Решение этого уравнения должно удовлетворять начальным условиям: Т(0) =Wo,
Г(0)=().
Уравнение (4.16) можно свести к системе уравнений
T' = Q,	|
Q'= — ЬТ. J
Решив эту систему методом последовательных приближений с учетом начальных
условий 7'o=7'(O)=wo, Qo = Q(O)=O, последовательно получим:
7'1 = 7'о-|- J Qodz = To; Qi=Qo + j (—bTo)dz=—bTot;
о	0
f	t2	(
7,= 7(l+ ) Qtdz = To—bTo —; Q2 = — b ) 7'idz = —йГо/;
о	2	0
7'3 = T'o-b j Q2dz=T0-bT0-t-; Q3=-b j T2dz=-b
0	2	0
Tot-bTo— )
6 /
7'4=7'о-б(т'о-^--67'о^-); (24=-б(7’о«-67’о-^-).
Таким образом,
г.-г.(1-44+4-4-'-)'.	‘г-(<-‘4+‘’-i4r
откуда находим приближенное решение поставленной задачи
.	/. , t2 . ,4	\ . knx
w(t,x) =w0 (J— b— +*'-24----ysln—— •
80
4.2.	СВЕДЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
К НАЧАЛЬНОЙ
4.2.1.	Метод начальных параметров
Решение обыкновенного дифференциального уравнения при
заданных начальных условиях в одной точке (задача Коши) полу-
чают путем последовательного интегрирования уравнения по участ-
кам, на которые может быть разбит весь интервал задания подынтег-
ральной функции. В краевой задаче, когда для дифференциального
уравнения заданы граничные условия в различных точках, необхо-
димо получить решение в виде общего интеграла. Начальная задача
в связи с этим является более простой, и для ее решения разработаны
простые и эффективные численные методы, изложенные выше.
Замена краевой задачи начальной приводит к существенному
упрощению решения. Для этой цели наиболее часто применяется
метод начальных параметров, основанный на дополнении поставлен-
ных для краевой задачи граничных условий в начале участка интег-
рирования некоторыми параметрами, называемыми начальными.
Эти параметры выбираются так, чтобы полученная при этом сово-
купность начальных условий полностью определяла решение по-
ставленной задачи. Метод особенно эффективен в том случае, когда
интервал интегрирования состоит из нескольких участков и вместо
одной краевой задачи приходится решать несколько таких задач.
Пусть дана краевая задача для системы п обыкновенных линей-
ных дифференциальных уравнений первого порядка
=А(х)У(х)+Е(х)	(4.17)
с граничными условиями на концах интервала |0,1\
С.У(О)=В1(О) при х=0; |
С2У(/)=В2(/) при х=/, J	1	'
где У(х)—матрица-столбец неизвестных у\(х), i/2(x), ... , уп(х),
размером «ХГ, А(х)—квадратная матрица коэффициентов при
неизвестных, размером пХп; F(x) — матрица-столбец свободных
членов, размером п X 1; Cj и В(— матрицы-столбцы (/=1,2), раз-
мером пХ 1.
Общий интеграл системы уравнений (4.17)
У(х) =У0(х) + £ с,У,-(х),	(4.19)
1=1
где Уо(х)—частное решение матричного уравнения (4.17), удов-
летворяющее нулевым начальным условиям У(0)=0; У,(х)—i-e
частное решение соответствующего уравнению (4.17) однородного
уравнения dYi/dx=A(x) У,(х), удовлетворяющее начальным усло-
виям У,(0) = [0, 0, ... , 1, ... , 0] *, где все элементы равны нулю, кроме
i-ro, который равен единице; с, — постоянные интегрирования.
81
Подстановкой полученного по (4.19) решения в условия (4.18)
получают систему п алгебраических уравнений для определения с,.
Найденные постоянные подставляют в (4.19), откуда находят реше-
ние исходной краевой задачи (4.17), (4.18).
Метод начальных параметров часто применяют в строительной
механике для определения прогибов и углов поворота сечений
изгибаемых балок. Находит применение этот метод и при решении
задач, связанных с расчетом пластин и оболочек. Однако в этом
случае требуется дополнительный анализ устойчивости численного
алгоритма метода.
Пример 4.4. Найти методом начальных параметров угол поворота Д(х)
и прогиб щ(х) в произвольном сечении балки на двух опорах (рис. 4.3).
В данном случае имеем краевую задачу для дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами (жесткость балкн £7 = const):
w"(x) = -M(x)/(EI)	(4.20)
при граничных условиях
u>(/i)=0, u>(/, + /2)=0,	(4.21)
где М(х)—изгибающий момент.
Если во всем интервале ннтегрнрования [0, /] балка имеет п участков, границы
которых определяются положением нагрузки и опор, то для определения угла поворота
<У(х) и прогиба ш(х) необходимо решить п краевых задач н найти при этом 2п по-
стоянных интегрирования. Метод начальных параметров позволяет найти решение
последовательным интегрированием от участка к участку с определением из системы
уравнений, которую дают граничные условия (4.21), всего двух неизвестных постоян-
ных — начальных параметров.
Рис. 4.3. Балка на двух опорах, загруженная произвольной нагрузкой
Полагая, что угол поворота сечення балки Д(х) =w'(x), из (4.20) получаем
систему дифференциальных уравнений первого порядка
w'(x) =Д(х),	1
Д'(х) = -М(х)/(£/).)
Частные решения этих уравнений с начальными условиями при х = 0 имеют внд:
х	|	/
w(x}= \ O(x)dx-|-Ci, откуда С| = а>о; О(х) =— —~—J M(x)dx-(-C2, откуда сг=<Ь>-
о	0
Следовательно,
д(х)=Д0-----M(x)dx; w(x)=wo+ $ ^(x)dx,
о	о
82
где во, two — начальные параметры, а именно, угол поворота сечення и прогиб балкн
в начале координат х = 0.
Решение поставленной задачи:
в(х) = во +	f М(х,—а<) +
г=1
Л(х,-6,)2
2
<7,(х, —с,)3''
6	>
где а,, bi, Ci—расстояния от начала координат до мест приложения нагрузок.
Начальные параметры во, а>о определяются подстановкой найденных выражений
для в(х) и w(x} в граничные условия (4.21).
4.2.2.	Метод дополнительных функций
Пусть решения краевой задачи для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
-^=А(х)У(х)+Г(х)	(4.22)
отыскиваются в интервале [0, 1]. Причем граничные условия задачи
поставлены таким образом, что г значений неизвестных заданы
в начале интервала при х = 0: t/i(0), z/2 (0), ... , z/,(0). Остальные
п — г неизвестных заданы на другом конце интервала при х=1:
Уг+1(1), 1/г + 2(1), ...,уп(\).
Для замены данной краевой задачи начальной следует опреде-
лить эти п — г значений yt(x) при х=0, т. е. найти z/r + 1(0),
уг+2(0), ... , //„(О).
Исходная система уравнений (4.22) без свободных членов дает
систему однородных уравнений
-^-=A(x)t/(x),	(4.23)
где U(х) = [ui (х), и2(х), ... , ы„(х) ] *.
Для этой системы решают п — г начальных задач в интервале
[0, 1] с начальными условиями для и,(х) в начале интервала (при
х = 0).
Для первой задачи начальные условия будут: ut (0) =0, ы2(0) =
= 0, ... , ur(Q) =0, Ur+t (0) = 1, Ur+2(0) =0,... , н„(0) =0; для вто-
рой— ц,(0)=0, и2(0) =0, ..., ur+l (0) =0, Ыг+2(0) = 1, Ыг+3(0) =
=0,... , ц„(0) =0 и т. д. Для (п —г)-й задачи: ы,(0)=0, ы2(0) =
=0 ... >и„_,(0)=0, и„(0) = 1.
Затем находят решение системы неоднородных уравнений
-^=A(x)V(x)+F(x)	(4.24)
83
на отрезке [0, 1] с начальными условиями при х = 0: vt (0) —у\(0),
v2(0) =4/2(0),... , о,(0) =уг(0), I (0) =0, ... , о„(0) =0 (те зна-
чения неизвестных, которые не заданы при х=0, принимают равны-
ми нулю).
В общем случае решение исходной системы уравнений (4.22),
удовлетворяющее заданным начальным условиям, можно записать
в виде
п — г
у((х)= £ ст mUi(x) + ш(х),
(4.25)
где тШ(х) —значения н,(х) при решении /n-й начальной задачи для
системы (4.23) при соответствующих указанных выше начальных
условиях.
Если в (4.25) положить х=0, то ст—уг+т(О), т. е. ст и есть не-
достающие начальные условия при х=0.
Все начальные условия при х=0 теперь имеют вид:
щ(0) =0 при i= 1, 2, ... , г; о,(0) =0 при /=г+ 1, г + 2, ... , п;
iH,4-i (0) — 1, 2Н,+г(0) = 1,... , п—гип(0) = 1.
Подстановкой в (4.25) х=1 при i=r-f- 1, г + 2, ..., п получают
систему п — г уравнений для определения п — г неизвестных ст.
Таким образом могут быть найдены все значения гд(О). Остается
решить начальную задачу для системы уравнений (4.22) в интервале
[О, 1] при найденных г/, (0).
Известно, что погрешность, допущенная в начальном условии
задачи или на каком-либо шаге интегрирования, растет по экспонен-
циальной зависимости с ростом х. Поэтому целесообразно краевую
задачу для систем линейных обыкновенных дифференциальных урав-
нений сводить к начальной таким образом [84], чтобы начальные
условия располагались в середине отрезка интегрирования, т. е. при
х = 0,5. В этом случае при найденных начальных условиях для исход-
ной системы уравнений решают две начальные задачи на отрезках
[0; 0,5] и [0,5; 1]. Чтобы найти начальные условия при х=0,5, не-
обходимо решить п начальных задач для системы уравнений (4.23).
Пример 4.5. Свести краевую задачу к начальной с применением метода
дополнительных функций для дифференциального уравнения осн изогнутой балки
пролетом 1=1 с шарнирным опиранием концов, загруженную в середине пролета
силой £=1: w"(x) =—х/(2£/) при граничных условиях w(0)=0, а/(0,5)=0.
Заданное дифференциальное уравнение второго порядка сведем к системе
уравнений первого порядка, приняв w(x) =yt(x), w' (х) =j/2(x):
У',=У2,
у'2=-х/(2Е1).
(4.26)
(4.27)
Граничные условия:
<д(0)=0, /д(1)=0.
Матрицы А и Е системы уравнений (4.22):
Г ° 1 ] Г 0
L о О J ’ L —х/(2£/)
84
В соответствии с методом дополнительных функций находим решение системы
однородных уравнений (4.23), которая в данном случае имеет вид
= «г,
«2 = 0.
(4.28)
Так как неизвестно только одно условие, а именно г/г(О), необходимо для этой
системы решить всего одну начальную задачу с условиями «|(0)=0, иг(0) = 1.
Решение системы уравнений (4.28) с этими начальными условиями найдем методом
последовательных приближений (см. §4.1.4):
«i(x) = J u2(t)dt = J idx==x, и2(х) = 1 + J 0d/=l.
0	0	0
(4.29)
Система (4.24) для данного примера
vi = v2,
v'2 = —х/(2ЕГ)
при начальных условиях Vi (0) =у\ (0) =0, о2(0) =0 (так как г/2(0) не задано).
Решая эту систему методом последовательных приближений, находим:
,(2>_	1	f (	?\	**
1 -	EI	J V	4 )	dt 12£/	’ °2	4£/
о
Следовательно, vt (х) = — х‘/(12£/), с2(х) = —х2/(4£/) и система (4.25) для
определения г/2(0) будет иметь вид
yi (х) = сан (х) + v, (х), |
у?(х) =с,и2(х) +v2(x). j
Из второго уравнения этой системы при х = 0 получим г/2(0) =С|, а первое урав-
нение превращается в тождество.
Неизвестную с> находим из первого уравнения, если при х=0,5 задано yt (х), или
из второго, если при х=0,5 задано у2(х). В данном случае задано у2(0,5), поэтому из
второго уравнения имеем при х=0,5: 0 = с,— 1/(16£/), или с, = 1/(16£/).
Следовательно, недостающее при х=0 начальное условие будет у2(0) = 1 / (16£/),
и граничная задача сведена к начальной. Так как решения систем (4.28) и (4.29)
найдены точно, то и значение у2 (0) будет точным. В результате мы пришли к начальной
задаче для системы уравнений (4.26) с начальными условиями гд (0) =0, у2(0) -=
= 1/(16£/).
4.3.	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
4.3.1.	Решение краевых задач
Рассматривается краевая задача для линейного дифферен-
циального уравнения
Цу] =y"+p(x)y' + q(x)y=f(x)	(4.30)
85
с линейными краевыми условиями:
Га[г/] =а0«/(а) + «i/(a) =А; Гь [у] = $оУ (b) + fiiy'(b) = В, (4.31)
где |а0Ц-|а11 У=О, 10ol + 10i I =А0; р(х), q(x), f(x) —заданные
функции, непрерывные на [а, Ь].
Решение этой задачи находят в виде
у=<р0(х) + £ с,ф,(х) (i=l, 2, ... , п),	(4.32)
1=1
где функция фо(х) удовлетворяет неоднородным краевым условиям
(4.31) (Го[ф0]| =Л, А [фо] =В), а функции ф,(х)—однородным
условиям Го [<jp«] =0, Гь [ф«] =0. Здесь (ф,(х)}—последовательность
известных линейно независимых функций, называемых координат-
ными (базисными) функциями.
Если выражение (4.32) подставить в (4.30), получится невязка
В(х, ci, с2,... , с„) = Г[фо] + £ CtL [ф,] — f(x).
i= 1
Для точного решения поставленной краевой задачи должно быть
/? = 0. Для получения приближенного решения, близкого к точному,
необходимо коэффициенты с, подобрать так, чтобы значения функ-
ции R были малы.
Согласно методу Галеркина, необходимо, чтобы невязка R была
ортогональна к функциям ф/(х). При этом обеспечивается малость
невязки в среднем. Для определения с, получают систему линейных
уравнений
ь
5 R(x, d, £2,... , cn)(pk(x)dx=0,
а
или в развернутом виде
п	b	b
£ с, $ L [ф,]ф*(х)бД= (f (х) — А [фо] )(pk(x)dx (k = 1, 2, ... , п).
1=1 °	°	(4.33)
Для сходимости приближенного решения, полученного методом
Галеркина, к точному необходимо, чтобы система координатных
функций (ф<(х)} была полной в рассматриваемом пространстве.
Пример 4.6. Найти методом Галеркина приближенное решение краевой
задачи для дифференциального уравнения у" + (I -|-х2)1/ =— 1, удовлетворяющего
краевым условиям у( — 1) = 1/(1) =0.
Решение ищем в виде
п
Г G<Pi(x),
/=1
где <(„(х) должны удовлетворять краевым условиям <р,(— 1) =<р,(1) =0. Исходя из
этих условий, за координатные функции принимаем систему функций </,(х)==1—х '.
86
Ограничиваясь двумя членами (/=1,2), получим:
//2 = ci(l —х2) + с2(1—х4), у"= — (с, + 12с2х2).
Для определения коэффициентов Ci, с2 получим из (4.33) систему уравнений
1
$ (//"+(1+х2)</2 + 1)(1-х2Мх=0;
— 1
1
J (</"+(1+^2)</2+1)(1— x4)dx = 0,
— 1
или после подстановки //2, у"
38	, 4	1
105 Cl+ 9 С2— 3 ’
4	2488	_ 2
9 С'+ 3645 С2— 5 ’
Решив эту систему, найдем с, =0,988, с2 =—0,054. Приближенное решение
задачи имеет внд z/2 = 0,934 — 0,988х2 + 0,054х4.
4.3.2. Решение задач на собственные значения
Пусть требуется найти такие значения числового параметра X,
при которых дифференциальное уравнение
Цу] +^(х)у=0
имеет ненулевые решения (у^0), удовлетворяющие однородным
краевым условиям. Следуя методу Галеркина, решение принимают
в виде (4.32). После подстановки этого решения в заданное однород-
ное дифференциальное уравнение получают систему однородных
линейных алгебраических уравнений относительно с,-. Для нахожде-
ния ненулевых решений определитель этой системы приравнивают
нулю и получают в общем случае нелинейное алгебраическое урав-
нение для определения собственных значений X.
Пример 4.7. Найти методом Галеркина наименьшее собственное значение
дифференциального уравнения у"-\-/.ху=() при краевых условиях //(0) =у(1) =0.
. Решение задачи представим в виде
п
Уп — £ с^(1—х),
1=1
удовлетворяющем заданным краевым условиям.
В соответствии с методом Галеркина для определения параметров с, имеем
из (4.33) систему уравнений
1
J (у" + ^хуп)х‘(\ — x)dx = 0 (i=l, 2,..., и).	(4.34)
о
Для определения собственных значений X необходимо определитель этой системы
Уравнений приравнять нулю.
Примем /=1, тогда z/i=cix(l—х). Вычислив определенный интеграл, получим
с'( — 1 /3 + >./60) = 0. Так как ci=/=0, —1 /3 + >./60 = 0, откуда Х = 20.
87
Для уточнения значения Xmin примем 1 = 2, тогда
i/2 = Cix(l —х) 4-с2х2(1 —х).
В этом случае получим нз (4.34) систему уравнений
(	1 X \	/1 X \
\	“F +W с' + 1__Г + -Т057	С2	’
(	1	,	* \ , ( 2 , X\
(	6	+	105/С1 + \ 15 + 168/	С2	°'
Приравняв определитель этой системы уравнений нулю, получим уравнение
для нахождения X
ЗХ2—13-28Х + 56-105 = 0,
откуда уточненное значение Хт!п= 19,18.
4.4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
К РЕШЕНИЮ ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
4.4.1. Решение краевых задач
Рассматривается краевая задача для линейного дифференци-
ального уравнения с переменными коэффициентами
/' + р(х)/ + ^(х)у=/(х)	(4.35)
при линейных краевых условиях:
аоу(а) +а,у'(а) =Л; $оу(Ь)+^у'(Ь)=В,	(4.36)
где «о, он, Ро. ₽ь А, В — заданные числа, а р(х), q(x), f{x) —задан-
ные функции, непрерывные на [а, &].
При решении задачи методом конечных разностей отрезок [a, fe]
разбивают на п равных частей с шагом h== (b — а) /п. Точки деления
отрезка на части (рис. 4.4) имеют абсциссы х,=хо~Н’Л (i = 0, 1, 2, ...,
п), причем хо = а, хп = Ь.
Рис. 4.4. Деление отрезка [а, 6] на п частей при составлении конечно-разностных
уравнений
Значения искомой функции у(х) в точках х, и ее производных
у'(х) и у"(х): yi=y(xi), y'=y'(xt), y"=y"(Xi). Кроме того,
вводятся обозначения: pi=p(Xi), qi = q(xi), fi = f{xt).
Для производных у' и у" можно записать приближенно с погреш-
ностью 0 (/г) по формуле Тейлора следующие конечно-разностные
88
отношения для внутренних точек х, отрезка [a, fe]:
y't = (yi+\—yi)/h; у" = (yi+2—2yi+l+yi)/h2.	(4.37)
Для граничных точек хо—а, хп = Ь подобные отношения имеют
вид:
Уо~ (У'— yo)/h; y'nx — (yn-i—yn)/h.	(4.38)
Дифференциальное уравнение (4.35) для точек х, при i=0, 1,
2, ... , п — 2 приближенно, используя соотношения (4.37), можно
заменить системой линейных алгебраических уравнений
yi+2-2y^+yi +pi yJ+i-yL +qiyi=fi_	(439)
Кроме того, из краевых условий (4.36) и соотношений (4.38)
следуют еще два уравнения:
aof/o + a.—=А; ро^ + Р, Уп~Уп~' =В.	(4.40)
Из решения линейной системы п 4-1 уравнений (4.39), (4.40)
с п 1 неизвестными уо, у\, ... , уп определяют приближенные значе-
ния искомой функции у(х) в точках х,.
Систему уравнений (4.39) можно представить в матричной форме
AY=F,	(4.41)
где матрица коэффициентов А — квадратная трехдиагональная
матрица размером (/г4~ 1) X («4* 1)
' „	Ро , 1	Р°_____L	А
40	h + h2	h	h2	h2
0	0	q2-	+ -L
h h
0
0
1
h2
pi_____2_
h	h2
0
0	0
0	o
о	0
0
0	0 ^--^- + 4-
h h
89
а матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов имеют вид:
¥ = [//о,	, Уп] *, F= [fo, f\, - , М
Поскольку система линейных уравнений (4.41) имеет трехдиаго-
нальную матрицу коэффициентов, для ее решения можно применить
метод прогонки (см. §2.2.1).
В случае анализа симметричных краевых задач решение упро-
щается, а точность его повышается. Здесь для аппроксимации про-
изводных используются не односторонние (4.37), а симметричные
конечно-разностные отношения, которые дают более точный резуль-
тат с погрешностью 0 (/г2):
,/_ yt+i—yi-i. „_	—
У‘~ 2h ,У1~ h2
При этом дифференциальное уравнение (4.35) сводится к системе
алгебраических уравнений
f/,-+,-2^+f/,, +	+ q.yi=fh	(4,43)
П	2п
решение которой совместно с (4.40) дает приближенные значения
У(х).
Алгоритм вычислений при решении одномерных краевых задач
методом конечных разностей предполагает следующие операции.
1.	Выбирают шаг; отрезок интегрирования [a, ft] разбивают
на п участков.
2.	Формируют исходные данные задачи pi, qi, ft и матрицу коэф-
фициентов А с учетом граничных условий.
3.	Находят значения неизвестных г/,- из решения матричного
уравнения (4.41). В случае симметричной задачи достаточно найти
решение на половине отрезка [a, ft].
Пример 4.8. Найти методом конечных разностей решение краевой задачи
[25] для уравнения
</'+(1+х2){/=-1	(4.44)
прн граничных условиях
у(-1)=«/(1)=0.	(4.45)
Рис. 4.5. К решению краевой задачи методом конечных разностей
Назначаем шаг /i=l/2 н полагаем (рис.4.5): х~2= —1. х_| = —1/2, хо=О,
xi = l/2, Х2=1. Вследствие симметрии задачи (4.44), (4.45) у-г( —1)=4М1)=0,
У- \=У\-
90
Используя симметричные формулы для аппроксимации производных, запишем
уравнения (4.43):
при хо = 0	+ (1+ 0)t/o= — 1;
при х_, = 1/2	+(i + i/4)j/_1=_i.
h
Поскольку у_2 = 0 и у -\=у\, получим систему уравнений
— 7yo + 8yi = —1; j
16уо —27yi = —4, J
откуда уо = О,967, у\ =у~\ =0,721. Сопоставление этого результата с решением
того же уравнения методом Галеркина (см. пример 4.6) показывает, что их разница
не превышает 5%.
При решении краевых задач для линейных дифференциальных
уравнений высоких порядков применяются следующие формулы для
аппроксимации производных:
у',=	у--О;
у" = -р- (*/<+1 — 2z/( + у,-1);
*/"' = 2^3 (У<+2 —2z/,+i + 2z/,-i —z/,_2);
(4.46)
f/,-V— ~ТГ {yt+2 — 4y,+i+6i/, — 4t/,_i + z/,-2)
и т. д.	‘
Например, расчет балок переменной жесткости, лежащих на
упругом основании (рис. 4.6), сводится к решению краевой задачи
для дифференциального уравнения четвертого порядка относитель-
но функции прогиба у(х) с переменными коэффициентами
УП(*) +
k(x)	д
ЕЦх) У ЕЦх)
(4.47)
при заданных граничных условиях. Здесь k(x) —заданный коэффи-
циент постели (характеристика основания); Е1(х)—жесткость
балки.
Для решения этого уравнения методом конечных разностей
балку длиной / разбивают на п участков с шагом h таким
образом, чтобы границы участков совпадали с заданными нагруз-
ками, и принимают коэффициент постели и жесткость балки постоян-
ными, равными ki и ЕЕ в пределах каждого участка [х,, х,+1]. Урав-
нение (4.47), записанное в конечных разностях с помощью формул
(4.46), принимает вид системы алгебраических уравнений
л । г* л 	i,4 ki	h Qi
yt+2 — 4yi+1 + 6y, — 4z/,_ 1 + y,_ 2 + /г -gj- yi = ~-
0=2, 3,... ,n —2),
91
которая решается аналогично системе (4.41) методом прогонки
(см. § 2.2.2) с пятидиагональной матрицей коэффициентов.
При решении дифференциальных уравнений выше второго по-
рядка значения функций у,, выходящие за пределы интервала
интегрирования, исключают с помощью заданных краевых условий.
4.4.2. Решение задач на собственные значения
При решении методом конечных разностей одномерных задач
на собственные значения необходимо найти ненулевое решение
однородного линейного дифференциального уравнения с коэф-
фициентами, зависящими, помимо х, еще и от параметра X (собст-
венного значения):
^[z/]+Xf(x)i/ = O;	(4.48)
£7(i/)= О,
где у — неизвестная (собственная) функция; L, U — операторы
уравнений и краевых условий задачи; f(x) — известная функция.
Л
Рис. 4.6. Балка на упругом основании
Рис. 4.7. Центрально сжа-
тый стержень переменной
жесткости
Для нахождения приближенного собственного значения методом
конечных разностей используют формулы для производных (4.46),
а задача (4.48) сводится к решению системы алгебраических
уравнений вида ЛУ=О, т. е. к задаче нахождения собственных
значений матрицы А (см. §2.4.1).
Пример 4.9. Найти методом конечных разностей наименьшее собственное
значение дифференциального уравнения второго порядка
у"+Кху=О	(4.49)
при краевых условиях у(0) —у(1) =0.
Разбиваем отрезок интегрирования [0, 1] на четыре части, полагая шаг
h = 1 /4. По формулам (4.46) находим
-4-	(y.+i—2у< + у. i) = 0,
h
откуда при x=ih (i= 1,2,3) с учетом того, что 4/о=у(О)=О, у4 = у(1)=0,
получим систему уравнений
[ ЛЙ2—8	4	0	!Л	
।	4	2Хй2—8	4	J/2	= 0
[	0	4	ЗМг2—8.		
92
Приравнивая определитель матрицы коэффициентов этой системы уравнений
нулю прн й=1/4, получаем из решения кубического уравнения >= 17,88, что
только на 6% отличается от точного наименьшего собственного значения задан-
ного уравнения (4.49).
Пример 4.10. Найти методом конечных разностей критическую силу Fcr
для центрально сжатого стержня переменной жесткости, защемленного на одном
конце н шарнирно закрепленного на другом (рис. 4.7). Жесткость стержня
£7(х)=Е/(2 — х).
Обозначая X=F/(El) и принимая 1=1, приходим к задаче на собственные
значения [42] для уравнения
((2-х)у")" + Ху" = 0
при краевых условиях </(0) =i/(0) =у( 1) =i/'(l) =0.
Заменяем в этом уравнении производные у", у'", у™ их выражениями по соот-
ветствующим разностным формулам (4.46) при шаге й=1/5, что соответствует
1 = 0, 1, ... , 5. При этом учитываем, что краевые условия в конечных разностях
примут вид yo = i/s = O и у„ = 1/_„, р„+1 = — уп -1 при п>5.
С помощью этих условий можно исключить значения функций у,, выходящие
Приравнивая нулю определитель матрицы коэффициентов этой системы, по-
лучаем уравнение четвертой степени относительно X, решая которое, находим собст-
венные значения заданного дифференциального уравнения: >1 = 27,30, >,2 = 70,29,
Хз=115,4, >4=167. Значение критической силы находим исходя из наименьшего
собственного значения: F„ = >iE/ = 27,3 Е/. Полученный приближенный результат
отличается от точного на 7%.
4.5.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
4.5.1.	Жесткие системы уравнений
в задачах строительной механики
Жесткие уравнения — это дифференциальные уравнения, реше-
ния которых описываются убывающими функциями' с большими
по модулю производными, а также функциями с малыми по модулю
производными.
Например, решение системы обыкновенных дифференциальных
уравнений [30]
%'(/)= 998x4-1998//,]
у'(/) = —999х— 1999г/ J	1	'
с граничными условиями х(0) = 1, z/(0) =0 записывается в виде:
х==2е-'-е-100% у=_е-‘ + е-'ты, где / -время.
Каждая компонента этого решения содержит как «медленную»,
так и «быструю» составляющую. Очевидно, что «быстрая» составля-
ющая е- 1000' Лишь в малой окрестности (0; 0,01) начальной точки
93
t=0 вносит существенный вклад в решение. Затем поведение функ-
ций x(t) и y(t) определяется в основном составляющей е~‘. Тем
не менее при численном интегрировании системы (4.50) ограни-
чение на величину шага h накладывает именно составляющая
е-1оо(», т е шаг в данном СЛуЧае должен быть h <0,001.
Основная трудность решения жестких систем уравнений сос-
тоит в том, что малый шаг при численном интегрировании, необхо-
димый для воспроизведения быстропротекающих процессов, не
может быть увеличен и в дальнейшем, когда значение производной
решения становится существенно меньше начального. Первый
участок, например интервал [0; 0,01] для системы (4.50), с быстрым
убыванием искомой функции называется пограничным слоем.
При решении нелинейной динамической задачи теории пластин
и пологих оболочек методом Власова — Канторовича приходится
решать начальную задачу для системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений с помощью метода Рунге — Кутта. При
изменяющейся во времени распределенной нагрузке интенсивнос-
ти q=Vt, где V—параметр скорости нагружения, с возрастанием
V решение задачи (например, прогиб w точки срединной поверх-
ности оболочки) становится очень чувствительным к шагу ht по
временной координате t.
Как показывают расчеты оболочек на устойчивость при дина-
мическом нагружении, например при значениях параметра ско-
рости нагружения от 100 до 1000 и соответствующем уменьшении
времени нагружения t, шаг ht в методе Рунге — Кутта приходится
существенно уменьшать — от 0,001 до 0,0001, а число шагов со-
ответственно увеличивать с 2000 до 4000. Это говорит о том, что
получающаяся при решении таких динамических задач система
обыкновенных дифференциальных уравнений относится к жестким
системам уравнений, так как в малой окрестности нулевой точки
ее решение является быстро убывающей функцией.
4.5.2.	Применение неявной схемы метода Рунге — Кутта
для решения жестких систем уравнении
В общем случае при решении начальной задачи (4.1), (4.2)
методом Рунге — Кутта применяется формула
yi+\=yt+ I Irkr,	(4.51)
r-l
где
kr = hf(Tr, тр); h=xt-\-\—xi\ тг=х/ + аг/г; 0^аг^1;
р
Чг = У>+ I ^rjkj.	(4.52)
/=|
Здесь аГ, prj, уг — действительные числа, которые подбирают
таким образом, чтобы функция
х, + Л	_	р
б= ) f{t,y(t))dt— £ yrkr	(4.53)
Xi	r=l
94
переменной h была бесконечно малой величиной высокого порядка
относительно h при Л->-0. В этом выражении y(t) — решение уравне-
ния (4.1), удовлетворяющее условию у (х,)=yt. Числа аг,	у г
не определяются однозначно условием (4.53). Отсюда следует мно-
жество схем метода Рунге — Кутта даже одного и того же порядка
точности.
Если 0Г/ = О при /^г, формула (4.51) определяет явную схему
метода Рунге — Кутта\ если 0г/= 0 при j> г, схема будет полу-
явной, а в остальных случаях — неявной. В § 4.1 рассмотрены явные
г— I
схемы. В них k\=f(xt, yt), kr = /(x,+ arh, yt + h^ 0r/fy) при 1
/=1
вычисляются по рекуррентным формулам.
Явные схемы метода Рунге — Кутта не пригодны для решения
жестких систем уравнений. Для этих уравнений лучше использо-
вать полуявные и неявные схемы, при реализации которых строят
итерационные процессы.
Одна из неявных схем метода Рунге — Кутта, имеющая поря-
док точности 0(й5), может быть представлена соотношениями [30]
у<+1=у< + 0,5(А:|-|-Й2),	(4.54)
где fei = /if(Ti, ip); fe2=/if(T2, т)2); Ti=x,+aift; Т2=х, + а2/г; t)i =
= У1~\~ 011&1 + 012^2; 112 —yi + 021&1 + 022^2.
Параметры а, и 0Г/ для данной неявной схемы имеют зна-
чения [30]: <Х|= 1/2—д/з/6; аг= 1/2+д/3/6; 0и = 1/4; 012=1/4 —
-д/3/6; 021= 1/4+л/З/б; 022= 1/4.
При реализации схемы (4.54) на каждом шаге имеет место
итерационный процесс:
11?+ ) = !/i+011^(lS)+012^2S); T]2 +l) = y« + 02l#(|S)+022&2);
k\s) = hf(ti, Т) 1S>);	=hf (t2, i](2s)); Ti=x, + aift;
T2=x< + a2/z; k^=hf(xt, yi) ;	=hf (x„ у,)	(s = 0, 1,2, 3).
Пример 4.11. Используя неявную схему метода Рунге—Кутта (4.54),
найтн решение дифференциального уравнения у'= — 10001/ на отрезке [0; 0,005],
удовлетворяющее начальному условию 1/(0) = 1.
Табл. 4.1. Значения параметров и /г1/’
5	ч?>	42		
1	0,7887	0,2113	— 0,7887	— 0,2113
2	0,8110	0,5223	— 0,8110	— 0,5223
3	0,8175	0,4325	-0,8175	— 0,4325
4	0,8123	0,4515	— 0,8123	— 0,4515
5	0,8144	0,4495	— 0,8144	— 0,4495
6	0,8138	0,4489	— 0,8139	— 0,4489
7	0,8139	0,4494	— 0,8139	— 0,4494
8	0,8139	0,4492	—0,8139	— 0,4492
95
Примем шаг по оси х h = 0,001. Для того чтобы на каждом шаге вычислить
Л1 и /г2, необходимо организовать итерационный процесс. На первом шаге будем
иметь: хо = О, ро=р(О) = 1, f(x0,y0) =— 1000-1 = —1000.
Следовательно, k^ = hf(x0. у<>) — — 1; k(^=hf (хо. уо) = — 1-
Находим t)(ii>=i/o + 3ii*iO) + 3i2A:(2o)=O,7887, $>= 0,2113,	=hf {г г, т)'0) = -0,7887,
Л(21)=—0.2113.
В данном примере xi, та не входят в f(x,y).
Продолжая итерационный процесс, результаты которого приведены в табл.
4.1, принимаем ki = —0,8139; fe =—0,4492. Теперь по формуле (4.54) находим
значение yt при х=0,001: у\ = i/o+O,5(fei -f-fca) =0,3683. Точное значение yi = 0,3679.
Аналогично находим значения уг (0,002) = 0,1359, уз (0,003) = 0,0504, (0,004) =
= 0,0191, уз(0,005) =0,0077, которые определяют приближенное решение постав-
ленной задачи.
4.6. МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ,
СОДЕРЖАЩИХ ОСОБЕННОСТИ В ВИДЕ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ ХЕВИСАЙДА
И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ
4.6.1. Основные положения метода
Решения одномерных задач теплопроводности и термоупру-
гости тонкостенных конструкций с нарушенной геометрической ре-
гулярностью и находящихся под действием кусочно-непрерывных
и сосредоточенных нагрузок и температурных полей сводятся к
интегрированию обыкновенных неоднородных дифференциальных
уравнений с особенностями в виде обобщенных функций Хевисайда
и их производных. Эти решения основаны на следующем методе,
позволяющем находить интегралы уравнений указанного типа.
Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение
k
L" [f(x)J = £ bdx)H(x —xi),	(4.55)
i=l
где Ln — линейный дифференциальный оператор порядка п с пос-
п
тоянными коэффициентами Ln — £ cijd'/dx' (an=l); bi(x)—изве-
/=1
стные функции; Н(х — х,)—обобщенные функции Хевисайда.
Если ввести в рассмотрение вспомогательные уравнения
Ln[fi(x)]=bi(x) (/=1,2,...,/г),
частные интегралы которых известны, то функция
k п	~
/(*) = 1(1 Cn<Pm(^) +fi(x))H(x—Xi)
1=1 tn=\
является частным интегралом уравнения (4.55), где С‘т — реше-
ния систем линейных неоднородных алгебраических уравнений
96
у pi d‘([)m |
m=> m dx‘ |
^.1 ,
dx1 I x.’
(4.56)
а система функций {(pm(x)}— фундаментальная система решений
уравнения (4.55), т. е. такая система линейно независимых функций,
линейная комбинация которых дает общее решение соответствую-
щего однородного уравнения.
Общее решение неоднородного дифференциального уравне-
ния (4.55)
п	kn
f(*) = Z Ст<рт(х)+ £( Z С‘тЧ>т(х) +fi(x))H(x~ Xi), (4.57)
m=\	f=l m—1
в чем нетрудно убедиться подстановкой (4.57) в (4.55). Здесь
Ст — постоянные интегрирования.
Пусть дифференциальное уравнение содержит обобщенную
дельта-функцию
L"[f(x)] =b(xi)6(x—Xi),	(4.58)
где b(xi) — значение известной функции Ь(х) в точке х<; 6(х—х,) —
дельта-функция.
Решением уравнения (4.58) является функция
f(x) = Z Cm<Pm(x)+ Z С*тфт(х)Я(х —Xi),	(4.59)
т=1	т—\
где С’т — решения системы линейных неоднородных алгебраических
уравнений
у pi d'ffm
L-i т , i
т— 1 dx
( 0
y‘~\b(xi)
при / = 0, 1,..., n—2;
при l=n— 1.
(4.60)
4.6.2. Решение дифференциальных уравнений,
содержащих производные от обобщенной дельта-функции
Если дифференциальное уравнение содержит производную от
обобщенной дельта-функции
г|/М|=вд^!,
правая его часть преобразуется к виду
, г . db	db db I .
К этом случае интерес представляет решение, позволяющее опре-
делить частный интеграл уравнения
Ln[f(x)]=b(xi)	(4.61)
4. Зак. 1810
97
Общий интеграл этого уравнения также можно представить
в виде (4.59), где С1т определяются как решения системы алгебраи-
ческих уравнений (4.60), свободные члены которых
0
b (xt)
— dn_\b(xi)
при — 3;
при 1=п — 2;
при /=и— 1.
В том случае, когда правая часть дифференциального уравне-
ния содержит вторую производную от обобщенной дельта-функции,
структура решения (4.59) не изменится. Свободные члены соответ-
ствующей системы алгебраических уравнений в этом случае
Т/ =
о
b (х,)
dn—1 b (х/)
(rfLi— dn-2)b(xi)
при l^n — 4;
при 1=п — 3;
при 1=п—2;
при 1=п— 1.
Метод определения замкнутых решений частично вырожден-
ных дифференциальных уравнений распространяется и на уравне-
ния, содержащие производные от дельта-функций третьего и выше
порядков.
Пример 4.12. Найти решение задачи о пластинке, находящейся в состоя-
нии стационарного теплообмена с окружающей средой при одинаковых коэффи-
циентах теплоотдачи v. с обеих поверхностей г=±й/2, где h — толщина плас-
тинки. На линиях х=х, (<= 1, 2,... , л), параллельных двум краям пластинки,
допускается скачкообразное изменение температуры внешней среды Т+ (х, у) со
стороны z = 6/2. Это возможно, например, при наличии термоизолирующих пере-
городок или фронтов ударных воли внешней среды у поверхности пластинки.
Пусть на краях у=0 и у=Ь поддерживается нулевая температура. Тогда
решение уравнений теплопроводности
X.V26m — 2-^-е„=-(Т+(х, у) + Т (х,у)),
X v2 (Д6)-( 6	+12 А-) де = - 6г+(х, р) - т-(X, р))
для функций 0т(х,р) и де(х,р), связанных с температурой 6(х,р, г) равенством
6(х, р, г) =6„(х, р) + (г//г)Д6(х, р), сводится подстановкой 6т(х, р) =
= У <р*(х) sin р*, Д6(х, р) = У ф*(х) sin ук к интегрированию следующих дифферен-
k	k
циальных уравнений относительно функций <р&(х) и ф&(х):
d2<p*
dx2
d2^
dx2
--Zr4li= (Ttfx)+Tk (х)),
b2 Хп
k
~-^-^=-е~(т+(х)- тк (x)).
b2	M
(4.62)
Здесь а*,, а', — постоянные, зависящие от и, X, h, а/Ь\ а и b — размеры пластинки
в плане; Т± (х) = (2/6) (Г* (х, у), sin yk); yk = knylb.
98
В случае одного температурного скачка со стороны плоскости z = h/2
Т+ = Т£Н(х—х,); Г = const;
it =	( 1 — cos /гл) Tq Н(х — Xi); Тк =	(1 —cos /гл) 7"
Общее решение уравнений (4.62) на основании (4.56) записываем в виде:
ф* (х) = С>х" + С2ке~ х" + 2LrkT+ ( 1 - ch	Я(х-х.) +
+2ЦГ-;
^(x) = v‘keX2'+D2ke-X1I +
+ 12L'T0+ ( 1 -ch —-г1 (*- - )/7(х-х,) - 12Z4r ,
где Ск, Dk (/ = 1,2)—постоянные интегрирования; l.'i, = v.t/(клакц , Lk = xk/ (fcnali);
•zj = (b/h)2(xb/k) (1 —coskn).
Если предположить, что края пластинки (х=0, х = а) теплоизолированы,
т. е. дО/дх—О, д0т/дх=0, <?Д0/5х=О, то, например, функция ф*(х) примет вид
, . .	12E^0+sh (хГа^(а — xt)/b)
фл (х) =--------------------------ch х2| +
sh (V
fl21 а/6)
-)-l2LkT0 I 1—ch-------------)//(х — х,) — 12LkT .
5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Решение двухмерных и трехмерных задач строительной меха-
ники в линейной постановке связано с интегрированием линей-
ных дифференциальных уравнений в частных производных второго
и более высоких порядков. Например, уравнения равновесия тон-
ких оболочек могут быть восьмого или четвертого порядка в зави-
симости от используемой в решении теории оболочек. Уравнение
изгиба пластинки представляет собой неоднородное дифференциаль-
ное уравнение в частных производных четвертого порядка. Наибо-
лее часто в многомерных линейных краевых задачах строитель-
ной механики используются дифференциальные уравнения в част-
ных производных эллиптического (например, уравнение Пуассона
в задаче о кручении стержня произвольного поперечного сечения)
или гиперболического типа (например, волновое уравнение в задаче
о колебаниях мембраны).
Решение краевых задач для дифференциальных уравнений
в частных производных связано с большими математическими труд-
ностями, которые преодолеваются с помощью численных методов,
позволяющих с применением ЭВМ получать приближенные, но
вполне удовлетворяющие практическим целям решения. Числен-
ные методы решения многомерных линейных краевых задач строи-
тельной механики позволяют также понизить размерность задачи
и свести ее к решению краевой задачи для обыкновенных диф-
ференциальных уравнений либо сразу свести решение краевой
задачи в частных производных к решению системы линейных
алгебраических уравнений.
5.1. МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
5.1.1. Основы построения разностных схем
Метод сеток, как часто называют метод конечных разностей
для многомерных задач, является одним из распространенных
методов приближенного решения краевых задач для дифферен-
циальных уравнений в частных производных (в основном эллипти-
ческого типа).
Рассмотрим краевую задачу для уравнения
, Z х d2u , . д2и . ди . , ди	,
L(u)=a—— +Ь—— +с—---------------(5.1)
дх ду дх ду
100
в которой граничные условия представлены заданием неизвест-
ной функции и(х, у) на границе Г области D (задача Дирихле).
Здесь a, b, с, d, g, f — функции независимых переменных х и у,
определенные и непрерывные в области D.
Требуется найти решение уравнения (5.1), т. е. определить
функцию и = и(х, у), непрерывную в D и удовлетворяющую на гра-
нице Г условию
и|г=<р(х, у),	(5.2)
где <р(х, у) —непрерывная на Г функция.
Для отыскания приближенного численного решения этой задачи
на область D наносится сетка — два семейства взаимно перпен-
дикулярных параллельных прямых:
x^=XQ-\-ihx (i=0, -+- 1, ±2,...);
y=yo+jhv (j = 0, ±1, ±2, ...),
где hx, hy — шаги сетки в направлении осей х и у.
Точки пересечения указанных прямых называются узлами. Два
узла называются соседними, если они удалены друг от друга в
направлении оси х или у на расстояние шага сетки по этой оси.
Обычно рассматриваются только те узлы, которые принадле-
жат области D, включая ее границу Г, т. е. D-f-Г. Но могут
использоваться и законтурные узлы. Те узлы, которые с четырьмя
соседними узлами принадлежат множеству £> + Г, называются
внутренними. Множество внутренних узлов сетки называют сеточ-
ной областью и обозначают Wh; те узлы, хотя бы один соседний
узел которых не принадлежит £> + Г, — граничными, а совокуп-
ность их — границей сеточной области и обозначают W*h.
Для каждого внутреннего узла (г, /) составляют разностное
уравнение, для чего в точке (xo-\-ihx, yo+jhy) производные, вхо-
дящие в уравнение (5.1), заменяют разностными отношениями типа
•>
ди\ ~ Ui+l,j —
дх )t'j ~ 2hx
(5.3)
где uitj = u(xo+ihx, уо+jhy).
Аналогично для узла (г, /) обозначают коэффициенты уравнения
(5-1): ач, Ьщ, Ci,,, di,у gi,i, fi,j. В результате для каждого узла («, /)
получают разностное уравнение
101
L (Ui.j) = ai,j ———-j-------------------------И	———-j----------------------
hx	h
+ CiJ	2hx +dl'! 2hy +g‘.iu4~fi.i-
Если узел (г, /) является граничным, и,,/ равно значению функ-
ции <р(х, у) в точке границы Г, ближайшей к этому узлу.
Таким образом, для отыскания значений и,,/ во внутренних
узлах получают систему линейных алгебраических уравнений, в
которой число уравнений равно числу неизвестных.
Система разностных уравнений
Ь(ц,-./)=А./ (/,/) е«7А
с условием Н;,/| называется разностной схемой краевой задачи
(5.1), (5.2).
Переход от краевой задачи (5.1), (5.2) к разностной схеме
связан с заменой производных искомой функции разностными со-
отношениями (5.3). Эта замена может быть выполнена разными
способами и с разной степенью точности. Порядок точности замены
по формулам (5.3) будет 0(ft2).
При аппроксимации производных четвертого порядка исполь-
зуются формулы, имеющие порядок точности 0(ft2):
/ д4и \ _ ui+2,j — 4ui+1., + 6ц,-,/ — 4ц, _ i+ Uj-2,j
\ дх4 Л/	h4x
/ d4u \	w,-./+2 — 4ц,-./+| + 6ц,-./ — 4ц,-,/_ i + u,-,/—2
X ду4 )i,i	h4
7^X1	(54)
/	д и \	1	.	o
\	л 2a	2 )	<,2.2	(Ы<4-1./+*	ZZi+lj —|	2U,+ 1./
\ дх dy /t,i hxhy
— 2u,,/ +1 + 4u,-,/ — 2u,-,y _ 1 — 2u,_ 1,/ + Ц,- - 1,/ + 1 + Ц; - 1,/ -1).
На рис. 5.1 показана сеточная область D с границей Г, где
кружками изображены внутренние узлы сетки (множество Wh),
а треугольниками — граничные узлы (множество Wh).
5.1.2. Разностная схема решения задачи Дирихле
для уравнений эллиптического типа
второго и четвертого порядков
Задача Дирихле для уравнения Пуассона заключается в отыс-
кании непрерывного в некоторой области D решения уравнения
.	/ д'2 и . д2и \ с. .
—А«= — ( —— + —— ) =/(х, у),	(5.5)
\ дх ду /
102
удовлетворяющего на границе этой области Г краевому условию
н|г=0.	(5.6)
Если область D задана в виде прямоугольника (O^x^l,
(5.5), (5.6) нужно заменить производные в (5.5) соответствую-
щими разностными отношениями (5.3):
д2и u(x-\-h, у) —2и(х, у) -\-и(х — h, у)
дх2 ~	’
д2и и(х, y-\-h) — 2и(х, у) +н(х, y—h)
ду2 ~	h2	’
При одинаковых шагах h=\/n по осям х и у xt=ih, yj=jh,
f(Xi,yj)=fij и можно построить сетки: W'h{(Xi, у,); /,/ = 0,1,...,
п} — Множество, включающее внутренние и граничные узлы; Wh —
множество узлов, лежащих на границе Г; 1F*= {(х„ yt); i,j —
= 1, 2,... , п— 1) — множество внутренних узлов.
Шаблон используемой разностной схемы изображен на рис. 5.2.
Краевой задаче (5.5), (5.6) соответствует разностная схема
/)=/,.,; (/,/=1,2,...,«-!);	(5.7)
(5.8)
где
7/ ч_ ui-l,j—2ui,j+ui+ij ui,i-i — 2ui,j+ui,i+i
L <
Решение краевой задачи, соответствующей разностной схеме
(5.7), (5.8), находят методом последовательных приближений по
схеме переменных направлений (см. §5.1.3) или методом Гаусса.
Разностная схема аппроксимирует соответствующую краевую зада-
чу со вторым порядком точности относительно h.
Пример 5.1. Найти методом сеток решение задачи о равномерном свобод-
ном кручении призматического стержня квадратного поперечного сечения (рис. 5.3),
т- е. решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона относительно функции
103
напряжений

— 2 (Ц>е=£>)
Рис. 5.3. К задаче о кручении призматического стержня квадратного поперечного
сечения:
а— с 8 узловыми точками; б — с 16
Уравнение в конечных разностях, отвечающее исходному уравнению Пуассона
в точке 0, будет xpi + Ч>2Ч1» + it» — 4тро = — 2Л2. Краевые условия (Ч’1г = О): ip, = O
(« = 1,2, ... ,8).
Отсюда при h = a имеем —4т|:о =—2а2 или to = O,5a2.
Производную дар/дх в узловой точке 1 выразим через первую левую разность
( 'I'M = ~7Г ~ ’•’°)= —°>5с[-
\ дх У, h
Крутящий момент на торцах стержня при равномерном свободном кручении
определяется зависимостью
A4K = 2GO'^ tydxdy,
D
т. е. Мк равен удвоенному объему области, ограниченной поверхностью t- Этот
объем можно вычислить по методу Симпсона (см. § 1.3.2):
Л2
Мк = 2 GW — 16ф0 = 1,778a’G0',
где G/K— жесткость стержня при кручении (/,= 1,778a4).
Точное значение A4K = 2,25Oa4G0' [15], следовательно, погрешность данного
решения составляет 21%.
Для получения более точного решения разделим сечение стержня на 16
квадратов со стороной h=a!4 и пронумеруем узловые точки, как показано на
рис. 5.3, б. Система разностных уравнений для точек 1, 2, 3 имеет вид
— 4фо = 2^	;
to+2ip2 + 1рз — 4тр1 =
2тр 1 +2i|>4 — 4тр2— —2
104
Решив эту систему с учетом того, что на контуре фз = ф4 = 4б = 0, получаем
4>о== 0,5625а2, 4ч = 0,4375а2, 4’2 = 0,3438а2.
Значение крутящего момента
Мк = 260' Ц ipJxdi/ = 2G6'-^-4(i|)0 + 8^i + 164)2) = 2,125a4Ge'
D	У
уже только на 5,6% меньше точного его значения.
При решении краевых задач для дифференциальных уравнений
в частных производных четвертого порядка для аппроксимации
производных используются формулы (5.4), откуда получается со-
ответствующая разностная схема.
Пример 5.2. Найти методом сеток прогибы w = w(x, у) тонкой квадратной
плиты [76] со стороной а, цилиндрической жесткостью £>, загруженной равномерно
распределенной нагрузкой интенсивности q. Края плиты x = const свободно оперты,
а края t/ = const жестко защемлены (рис. 5.4).
Для определения прогиба w следует решить краевую задачу для дифферен-
циального уравнения изгиба тонкой плиты
<?4w d4w d4w ______________________ q
дх4 + ’ дх2ду'2 + ду4 ~ ~D
с граничными условиями
d2w
w = 0, -— =0 при х=±а/2;
дх
ш=0, -^—=0 при у =±«/2.
(5.9)
(5.Ю)
а/2	а/2
Рис. 5.4. К задаче об изгибе
плиты
Рис. 5.5. Сеточная область для расчета
плиты (см. рис. 5.4) методом сеток
Построим сеточную область, как показано на рис. 5.5 (hx = hy — a/4). Для
Рассматриваемой плиты прогибы в узлах сетки, симметрично расположенных отно-
сительно координатных осей, одинаковы, что позволяет сократить число неизвест-
ных. Дополнительно к внутренним и граничным узлам сетки взят еще ряд закон-
105
турных узлов, которые войдут в разностные уравнения при аппроксимации диф-
ференциального уравнения (5.9) и граничных условий (5.10). Согласно граничным
условиям, прогибы на контуре плиты равны нулю и из разностных уравнений
исключаются. Аппроксимация дифференциального уравнения (5.9) по формулам
(5.4) дает систему уравнений
Wi+2.i—4ш, +1 j +	— 4ш,-_ 1 j +	+ 2с (ш, +1,, +1 + tf,+1-1 —
—	— 2wi.i+i + 4wi,i — 2w,,,_i —2ui,-_ij + ui1-_ij+i + вд -i.,. i) +
+ c2 (Wcj+2 — 4 wi,! +1 + 6wi.j — 4 w,.i _ i + wi.j - 2) =	(5.11)
где c = h2Jh2\ i,j = l,2, 3,4.
Система уравнений (5.11) при нумерации узлов, приведенной на рис. 5.5, и
hx = hy=a/4 будет иметь вид
20wi — 16ш2— 16шз-|-8ш4 = В;
— 8ш1+21ш2 + 4ш3— 16ш4+шб = В;
— 8wi + 4ш,2-|-21шз— 16w4 + 8wb = B;
(5.12)
2wi — 8Ш2 — 8ш3 + 22и?4 + ш6 + ws = В,
где В = да’/(256£>).
Запишем разностную аппроксимацию граничных условий (5.10). Граничное
условие д2ш/йх’ = 0 в узловых точках края плиты при х=а/2 приводит к соотноше-
ниям
Ш2+Шб = 0; ш4-|-и'б = 0; ш? = 0,
(5.13)
а граничное условие dw/<~)y=(j в узловых точках края у = а/2 — к соотношениям:
шз — we = 0;	— Ш9=0; ш)ю = 0.
(5.14)
Уравнения (5.12) — (5.14) представляют собой систему десяти алгебраических
уравнений с десятью неизвестными wi, решение которой можно получить, например,
методом Гаусса.
5.1.3. Метод переменных направлений
(экономичная разностная схема)
Данный метод применяется для решения разностных уравнений,
соответствующих задаче Дирихле для уравнения Пуассона или
уравнению теплопроводности, когда искомая функция имеет две
пространственные координаты х и у, т. е.
dU	Г/	А	/Г
-----—	(5.15)
dt дх ду
Пусть для этого уравнения на границе Г области D задано
условие
н|г=0,	(5.16)
которое включает как начальное условие и(х, у, 0) =0, так и одно-
родные краевые условия при х=0, х=1, у = 0, у=1.
Область D представляет собой в этом случае параллелепипед:
O^x^l,	поэтому в дополнение к сетке, рас-
смотренной в §5.1.2, вводится слой по временной координате /:
tk = kT, где т—шаг по переменной I. Тогда правая часть уравне-
ния (5.15) будет fki .=f(xl, yh tk).
106
Обозначим
k х Ц— i,/	2u(-j4-u,_|_ (j
“«’ =-----------:
k x _ Uli- 1 — 2ыл/ + иЦ+ I
Uii) -	ft2
А(и1)=А^.)+А^),
(5.17)
где A, Ai, Ai — разностные операторы, соответствующие опера-
тору Лапласа.
Явная разностная схема (i, j= 1, 2,... , п—1; k= I, 2, ... , т)
(и^-и^^Л+Л^,-')	(5.18)
устойчива при т/й2^1/4.
Неявная разностная схема (г,/==1,2.п—1; k= 1, 2,... , т)
(иЪ-и^/х+А (u^i) =fu	(5.19)
абсолютно устойчива, но на каждом слое tk = ki по времени тре-
бует решения системы (и—I)2 уравнений.
Обе схемы (5.18) и (5.19) обладают существенными недостат-
ками: в одной из них имеется жесткое ограничение на шаг по
времени т, а при применении другой требуется на каждом слое
по времени решать систему уравнений со многими неизвестными.
Свободной от этих недостатков является схема переменных на-
правлений или дробных шагов:
икг'/2-и^1
4 + + (< 'И +Л2«‘) =f,7l/2;	(5.20)
k __ k—1/2
GJ ^Gj"	I Л /	-- 1 /2\ I Л / k \ ffe- 1/2	. •»	\
--------------Ml К/ ) +712 К;)	(5.21)
(i, / = 1, 2, ..., п— 1; k= 1, 2, ..., т).
В разностной схеме (5.20), (5.21) шаг т по времени делят
на два полушага. Уравнение (5.20) отвечает первому полушагу;
в нем величины 1 и A<>(ukJ~l) считаются уже известными, а
неизвестные имеют верхний индекс k—1/2 (кроме правой части
fi.i 1/2, которая задана). Можно переписать разностное уравнение
(5.20), предварительно умножив его на —т/2, следующим образом:
Т ,.*-1/2	/, I т \.Л-1/2, т k- 1/2 rt-l/2
(5.22)
где '/2 = (т/2) (/MWf.71) — £д1/2) известны.
107
К разностному уравнению (5.22) необходимо добавить краевые
условия:
<7,/2=0; <'=0.	(5.23)
Схема (5.22), (5.23) распадается на п—1 независимых точеч-
ных разностных схем, отвечающих фиксированному / (1	— 1),
и решается методом прогонки (см. § 2.2.1) при каждом / отдельно.
Прогонка осуществляется по индексу i, т. е. в направлении оси Ох.
После того, как найдены все и^1/2 на промежуточном слое
с номером k—1/2, их переносят в разностном уравнении (5.21)
вправо. Это разностное уравнение теперь принимает вид
. - ( 1 +	) и^+	u*i+ . = ?*,,	(5.24)
2Sft	\	ft ✓	&FL
где F. — (т/2) (At(u-j l/2)—f*j ,/2)—u-j 1/2 известны.
К уравнению (5.24) добавляются краевые условия:
ы*о=0; и-_п=0.	(5.25)
Схема (5.24), (5.25) отвечает второму полушагу. Она также
распадается на л — 1 трехточечных разностных схем, отвечающих
различным фиксированным i (1<л^п— 1). Каждая такая схема
решается методом прогонки. Прогонка производится теперь уже
по индексу /, т. е. в направлении оси Оу.
При решении задачи Дирихле приходят к разностной схеме
А (и,.,)	/ = 1, 2, ... , п— 1);	(5.26)
и применяют метод последовательных приближений по схеме пере-
менных направлений (5.20), (5.21), где fi,^l/2—f(Xi, у,), а —
произвольные величины.
Можно показать, что lim u^: = Uij при любых начальных при-
0	'
ближениях ищ, причем наилучшая сходимость достигается при
5.2.	МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ (МЕТОД ФУРЬЕ)
5.2.1.	Решение однородных дифференциальных уравнений
в частных производных
В методе разделения переменных неизвестную функцию
и=и(х, у), зависящую от двух аргументов, представляют в виде
произведения двух функций, каждая из которых зависит только
от одного аргумента.
Рассмотрим уравнение свободных колебаний струны, которое
представляет собой уравнение гиперболического типа относительно
смещений точек струны и — и(х, /)
д2и 2 д2и .	..
—5- = а2 —— (а=const)
dt дх
(5.27)
108
при начальных
uL=0=f(x),
= F(x)
О
(5.28)
и граничных условиях
и|х=о=О, н|х=/=0.	(5.29)
Частные решения	уравнения (5.27), не	равные	тождественно
нулю, представляют в виде произведения двух функций
и(х, t)=X(x)T(t),	(5.30)
удовлетворяющего	граничным условиям (5.29).	Подстановка	(5.30)
. в исходное уравнение (5.27) дает
X(x)7v'(/)=a2X//(x)7'(0,
или
(5.31)
T"(t) = Х"(х)
a2T(t) Х(х)
Для того чтобы функция (5.30) была решением уравнения (5.27),
равенство (5.31) должно соблюдаться при всех значениях неза-
висимых переменных хи/, откуда следует
1 T"(t)	Х"(х)	.	.
~2~ Т^Х = VI х = —^ = const.
a2 T(t)	Х(х)
(5.32)
Для удобства дальнейших выкладок постоянную Л принимают
со знаком минус. Из (5.32) получают два дифференциальных
уравнения для определения функций Х(х) и T(t):
Х"{х)+'/.Х(х)=0;	(5.33)
T"(t)+ka2T(t)=0.	(5.34)
Функция (5.30) должна удовлетворять граничным условиям
(5.29), т. е. и|х=о=Х(0)7’(/)=0,	и|х=,=Х(/)T(t) =0. Если
Х(0)=0, Х(/)=0.
(5.35)
Следовательно, нужно найти такие значения X, при которых
существуют ненулевые решения уравнения (5.33), удовлетворяющие
условиям (5.35). Если А.^0, из (5.33) получается нулевое решение
Л'(х)=0.
Пусть 0. Характеристическое уравнение для (5.33) fe2+Z, = 0
имеет решение k\$= ±/~\!К и общее решение уравнения (5.33)
примет вид Х(х) — Ci cos-\/Xx+C2 sin-\/Xx.
Постоянные G и Сг подбирают так, чтобы удовлетворялись
граничные условия (5.35). При х = 0 Ci = 0. При x — l Ci = 0,
Сг sin д/Х/=0. Отсюда для ненулевого решения: sin-\/X/=0;
Ч^1=пл, или Х„=(ггл//)2 (п=±1, ±2,...).
109
Таким образом, каждому фиксированному п будет соответство-
вать решение
Хп(х) =4nsin (плх/Г),	(5.36)
где Ап — произвольная постоянная.
В (5.36) обычно принимают п> 0, так как при иСО полу-
чается то же решение (знак минус можно учитывать в Лп). Вели-
чины Ki для данной задачи являются собственными значениями,
а функции sin (плх/1)—собственными функциями (см. §2.4).
Последние определяются с точностью до постоянного множителя.
Функция T(t) определяется из уравнения (5.34). Каждому
собственному значению соответствует своя функция Tn(t):
T'/(t) + (nna/l)2Tn(t)=0.
Решение этого уравнения имеет вид
„ ...	„ пла , . _ . пла
Т„ (/) = Вп cos —-— t + Dn sin ——
t.
Таким образом, в соответствии с (5.30) каждому значению п
соответствует частное решение исходного уравнения (5.27),
удовлетворяющее граничным условиям (5.29):
. ,.	/ _ пла , , _ . пла .
ип (х, t) —( Вп cos —у— t+Dn sin —j— t ] An sm
Если обозначить BnAn = an, DnAn=bn, то
. ,,	/ пла , , ,	. пла , \ . плх
ип (х, t) = lan cos —-— t + bn sin —j— I j sin —j— .
Общее решение уравнения (5.27) может быть представлено
в виде ряда, который сходится к функции и(х, t):
и (х,	(х> о =	(
п= 1	п= 1
пла , , ,	. пла
ап cos —-— t + bn sin -j—
). плх
sin ——
(5.37)
Произвольные постоянные ап и
условий (5.28). Подстановка /=0в
Ьп определяют из начальны;
(5.37) дает
Z. плх
ап sin ——
=f(x).
Отсюда следует, что ап — коэффициенты разложения функции
f(x) в ряд Фурье по синусам в интервале [0, /], т. е.
2 г . плх
ап= — f(x) sm——dx.
о
(5.38)
ПО
Для определения bn используется второе начальное условие
(5.28). Дифференцирование (5.37) по t дает
ди	v	пла /	пла	. . пла , \	. плх
( —ansm—— t+bncos—— t ) sin—j—;
О f	*1 4 I \	I	I / I
n= 1
при / = 0 с учетом (5.28)
v- пла .	. плх -. .
) —— On sin—-— =F(x).
n = 1
По аналогии с (5.38) можно получить
Ьп= sin dx- <5-39)
Выражения (5.37) — (5.39) дают окончательное решение постав-
ленной задачи методом Фурье.
Пример 5.3. Найти методом разделения переменных частоты свободных
колебаний балки длиной / с шарнирным закреплением опор и постоянной жест-
костью при изгибе, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интен-
сивности q.
Задача сводится к решению дифференциального уравнения
д2и . д''и
дг дх
(a2 = EIg/q, g — ускорение свободного падения)
при начальных
н|/=о=/(х),	= F(x)
Ol t = Q
(5.40)
(5.41)
и граничных условиях
и|л-=О = 0,
х=1
д'2 и
дх2
л = 0
Х=1
(5.42)
Решение ищем в виде (5.30). Выполнив операции. (5.31), (5.32), получим два
обыкновенных дифференциальных уравнения:
^--4x(x)^0, ax	a	(5.43)
+k2T(O=O.	(5.44)
Решение уравнения (5.44):
Т(/) =А cos >./ + В sin М,	(5.45)
где А и В — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (5.41).
Решение уравнения (5.43) имеет вид
Х(х) =Ci ch kxA~Ci sh kx-f-Сз cos kx-j-C, sin kx.
111
где kf — l.la, а Ci, Сз, Сз, C4—постоянные интегрирования, определяемые из гра-
ничных условий (5.42):
=о-
х = 0	’ rfx2 х=
— /	х =
Исходя нз граничных условий, получаем систему из четырех уравнений для
определения постоянных С,:
С\ -|- Сз=0;
С1-С3 = 0;
С, ch kl + С2 sh kl + Сз cos kl + C4 sin kl = 0;
С, ch kl-\-Ct sh kl — Сз cos kl — Ct sin kl= 0.
Из первых двух уравнений следует С| = Сз = 0, а последние два уравнения
будут совместны лишь в случае, когда
sh /j/-sin /г/==0.
Здесь sh kl — О только при /г/=0, a sin kl = 0 при kl = л, 2л, ... , пл, т. е. вообще при
кп = пл/1 (п= 1, 2,...).	(5.46)
Отсюда следует Са = 0, а величина С4 включается в постоянные А и В решения
(5.45). Окончательное решение задачи получим в виде (5.37)
оо
и(х,/) = У (4„ cos + в„ sin }.„/) sin ППХ ,
п=1	1
откуда с учетом k^-Kt/a и (5.46) собственные значения, определяющие круговую
частоту свободных колебаний заданной балки, Л„= (п2л2//2) (Elg/q) |/2.
Решение уравнений эллиптического типа также удобно нахо-
дить методом Фурье.
Пусть требуется найти методом Фурье решение уравнения
Лапласа
. д2и , д2и	„	._ ._.
Ап = —— + —— = 0.	(5.47)
дх ду
Первая краевая задача, относящаяся к уравнению Лапласа,
есть задача Дирихле. Она формулируется так: найти функцию
п(х, у), гармоническую в данной области D и принимающую на
замкнутом контуре Г, ограничивающем область D, заданные значе-
ния, т. е. u(x, у\r=f (х, у), где f(x, у) —заданная функция.
Пусть область D — прямоугольник со сторонами а и b (рис. 5.6).
Граничные условия:
q>i(x) при у = Ь/2,
срг(х) при у=—Ь12,
(у) при х = 0,
фг(«/) при х = а.
112
Решение этой задачи можно получить как сумму H1-I-U2 двух
более простых решений уравнения (5.47) при граничных условиях:
Ui =
q>i (х) при у = Ь/Ч,
фг(х) при у =—6/2,
О при х = 0, х = а\
(5.48)
«2 =
4’1 (У)
4’2 (у)
О
при
при
при
х=0,
х = а.
(5.49)
У= ±Ь/Ч.
Обе задачи (5.47), (5.48) и
(5.47) — (5.49) несущественно
разнятся между собой, и решение
одной их них может быть легко
сведено к решению другой. Поэто-
Рис. 5.6. Область интегрирования урав-
нения Лапласа
му можно рассмотреть подробно лишь задачу нахождения функции
ui. Прежде всего определяют частные решения уравнения (5.47)
«)(х, у)=Х(х)У(у),
(5.50)
не равные тождественно нулю и удовлетворяющие последнему из
условий (5.48). Подстановка (5.50) в уравнение (5.47) дает
X"(x)/X(x) = -Y"(y)/Y(y) = -K,
где X — некоторая постоянная.
Функции Х(х) и Y(у) определяют из уравнений
Х"(х)+1ВД=0,	(5.51)
Y"(у)-KY(у) =0.	(5.52)
Функция Х(х) должна удовлетворять условиям Х(0)=0,
А'(ц)=0. Ненулевые решения уравнения (5.51), удовлетворяющие
этим условиям, имеют вид (5.36)
Х„(х) =Ап sin--- (п = 1,2, ...).
а
При Хп=(лл/п)2 из (5.52) можно получить уравнение для
определения Yn(y):
Y"(y) - (nn/a)2Yn(y) =0.
Его решение
Yn(y) =Bnenny/a+Dne~nny/a=Bn ch + D„ sh-^-.
Теперь частные решения
/ плу ,	, плу \ плх
Un(x, у) = (^апch—+6«sh а Jsiri а
где ап=АпВп, bn=AnDn — произвольные постоянные.
113
Далее составляют ряд, аналогичный (5.37),
V - , v	v (	. ппУ . , . плУ \ . плх
) ип (х, у)= ) ( ап сп--— + bn sh — I sin-----,
п = 1	п= 1
который сходится к функции Ui(x, у). Нетрудно показать, что
функция
/	\ V (	1_ ППЧ I L ППЧ \ • ППХ /Г ГПЧ
hi(x, у)= 2, ( a„ch—^-+6„sh	1 sin — j—	(5.53)
п= 1
является решением уравнения (5.47) и удовлетворяет последнему
из граничных условий (5.48). Постоянные ап и Ьп определяют
из первых двух условий (5.48):
W1 | j/ = Z>/2—
плЬ , , , плЬ
-25-+*.sh-jT
плх . ,
sin-----=q>i (х);
а
(5.54)
,	v /	. плЬ , , плЬ \ . плх . .
И11!/=_(,/2= 2. VanCh-2a-------bnSh~&r JS'n~a~ =
л=|
С другой стороны, функции <Р1 (х) и фг(х) можно представить
в виде рядов по sin (плх/а) в промежутке [0, а]:
, , v	плх
ф! (х) = ) ап sin------;
'	Cl
п= 1
(5.55)
V С • ппх
ф2(х)= > ₽л Sin ——
L—t	Cl
Сравнение коэффициентов рядов
системе уравнений
(5.54) и (5.55) приводит к
плЬ __
2а <
, плЬ , . плЬ п
ап сп ------bn sin - = р„,
из решения которой находят значения ап и Ьп. Подстановка этих
значений в (5.53) дает окончательное решение для иг.
__ у /________ОСл + Ал____ . ппУ |
U' L. \ 2 ch ((плЬ) /(2а))	а
, плЬ , ,
ап сп —---р Ьп sin
ап-Рп	плу \	плх
2 sh ((плЬ)/(2а))	а )	а
(5.56)
114
Для нахождения функции «2 следует решить уравнение Лапласа
(5.47) при условии (5.49). Преобразование координат по формулам:
х*=у-\-Ь/2, у*=х—а/2 приводит эти условия к виду (5.48). По-
этому и? определяется решением (5.56), где меняются местами числа
а и Ь, а место функций <pi и ф2 занимают ф1 и фг. Полное решение
поставленной задачи — функцию и—получают суммированием
«1 И «2-
5.2.2.	Решение краевой задачи
в одинарных тригонометрических рядах
Краевую задачу можно решать в одинарных тригонометрических
рядах в том случае, когда оператор дифференциального уравнения
и граничные условия задачи имеют четную кратность дифференци-
рования.
Пусть, например, задана краевая задача [82] для прямоугольной
области D (рис. 5.7)
д4и д4и . д4и	ч	,г г„. '
+ 2 Л 2з 2 + д"4 ~f(X’ У)	(5.57)
дх дх ду ду
с граничными условиями
id =0,441 =°-	(5.58)
|х=о дх I х=о
х = а	х=а
Граничные условия при у = 0, у = Ь произвольные, но не содер-
жащие функций от х.
В соответствии с методом разделения переменных фундамен-
тальное решение однородного уравнения, соответствующего (5.57),
представляют в виде и(х, у) =Х(х) Y(у).
Из однородного уравнения, соответствующего (5.57), с учетом
этого решения следует, что
Xlv(x)y(i/) +2Х"(х)У"(у) + Х(х) V,v(y) =0.	(5.59)
Граничные условия (5.58) при этом будут:
X(x)L=o=O; Х"(х)х=о=0.
|л=о	Х=а
Кроме того, для Х(х) учитывают условия кратности дифференциро-
вания Х"(х)=сХ(х) или Xlv(x)=cX" (х) =с2Х(х). Этим условиям
Удовлетворяют фундаментальные функции
Хт (х) = sin amx,	(5.60)
где am = mn/a (т= 1, 2, ...).
Подстановка функций (5.60) в уравнение (5.59) дает обыкновен-
ное дифференциальное уравнение для отыскания функции У (у):
У^(у)-2а2тУ"(у)+а4тУ{у)=0.
115
Общее решение этого уравнения содержит четыре постоянных
интегрирования, которые определяют из граничных условий для
и(х, у) при у = 0 и у = Ь. Общее решение однородного уравнения,
соответствующего исходному (5.57), имеет вид
н(х, у) =
оо
£ Ym (у) sin атх.
т= 1
У
Д1________________,
а х
Рис. 5.7. Область D
для краевой задачи
(5.57), (5.58)
Рис. 5.8. Изгиб прямоугольной
плиты под действием распреде-
ленной нагрузки (к решению
в одинарных тригонометриче-
ских рядах)
К нему для окончательного решения задачи следует прибавить
частное решение уравнения (5.57).
Пример 5.4. Найтн прогиб w = w(x,y) прямоугольной тонкой плнты с ци-
линдрической жесткостью D, загруженной произвольно распределенной нагрузкой
интенсивности q(x,y), при шарнирном опирании двух противоположных краев
и произвольно закрепленных двух других краях (рис. 5.8).
Определение прогиба плиты сводится к решению краевой задачи для уравнения
изгиба тонкой плиты
d4w d4w
дх4	дхгду2
d4w _ q(x, у)
ду4 ~ D
(5.61)
при граничных условиях:
Id2w I
= 0, —-	=0.	(5.62)
, =0 дх |л=о
л = а	х —а
Прн у=+Ь граничные условия могут быть любыми, но не зависимыми от
аргумента х.
Решение задачи (5.61), (5.62) ищем в виде одинарного тригонометрического
ряда, удовлегворяющего заданным граничным условиям (решение Леви):
ОО
w — £ fm(y) sin (тлх/а).	(5.63)
т = 1
Подставляя (5.63) в уравнение (5.61), получим

т — Iх	'	7
тпх = q(x,y) (5
a	D
116
Функцию нагрузки q(x, у) в (5.64) также представим в виде ряда Фурье по
координате х:
СО
q(x,y} = £ q<n(y) sin (тях/а),	(5.65)
m=l
где значения qm(y) определяются по формуле для коэффициентов ряда Фурье
2 с
qm(y) —----\ q(x, у) sin (mnx/a)dx.
а о
Подставляя (5.65) в (5.64) и приравнивая множители при одинаковых тригоно-
метрических функциях в правой и левой частях полученного выражения, получаем
обыкновенные дифференциальные уравнения

fm(y) 4“
(тп
а
Му)=-^
(5.66)
(т=1, 2, ... )
с теми же граничными условиями для fm(y) прн у=+Ь, что и для функции w.
Общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего
(5.66),
fm(y) =В1„ ch ату + В2т sh ату + В3ту ch ату + ВАту sh ату,
где а„ = тл/а (i = 1, 2, ... ).
Частное решение fm(y) неоднородного уравнения (5.66) можно найти любым
из известных способов. Все решения уравнения (5.66) имеют вид fm(y) = fm(y) +
+ f„,(у), а решение поставленной задачи определяется подстановкой значений fm(y)
в ряд (5.63).
5.2.3.	Решение краевой задачи в двойных
тригонометрических рядах
Решение двухмерной задачи для неоднородного линейного диф-
ференциального уравнения в частных производных можно найти,
разделяя переменные с помощью двойных тригонометрических
рядов. В этом случае так же, как и при использовании одинарных
рядов, дифференциальные операторы уравнения и граничных усло-
вий должны быть четной кратности. Применение двойных тригоно-
метрических рядов удобно рассмотреть на примере решения задачи
об изгибе тонкой плиты прямоугольной формы (решение Навье).
Требуется определить прогибы w = w(x,y) тонкой плиты
(рис. 5.9), изгиб которой при произвольной нагрузке q(x, у) опи-
сывается уравнением
d4w	,	d4w d4w	_ q(x,y)
~ 4	i	2o 2	I о 4	r\	'	(0.O7)
dx dx dy dy	D
Граничные условия при шарнирном опирании всех краев плиты
имеют вид:
d2w
= 0; w
х=0
х—а
=о-
г/=о dy2
= 0.	(5.68)
(/=0
117
Решение краевой задачи (5.67), (5.68) представляют в виде
двойного тригонометрического ряда
ы(х,у) = £
т = 1
Z?
V . тлх плу
Д Атп sin —-— sin	.	(5.69)
X
л
Рис. 5.9. Изгиб прямо
угольной плиты под дей
ствием произвольной на-
грузки (к решению в двой-
ных тригонометрических
рядах)
Это решение удовлетворяет граничным условиям (5.68). Оно
также удовлетворяет уравнению (5.67) при некоторых значениях
постоянных Атп, которые определяются подстановкой (5.69)
в уравнение (5.67):
°° со	,22x2	/\
У У	Л ^(т	. » \ rir,	ппУ д{х,у)
/. /.	АтпП \ а2	+ ^2 J sln	а sm f,	— JJ	.(5.70)
Таким образом, левая часть исходного уравнения (5.67) пред-
ставлена в виде ряда Фурье по синусам. Аналогично можно пред-
ставить и правую часть, т. е. функцию нагрузки
,	.	_ тлх плу
q(x, у) = у у Стп Sin--------sin —
d	(j
m= J n= ]
Это выражение подставляют в (5.70)
со оо	2	2	2
ZV ,	4 / т	, п \	тлх . плу
) Атпл ( —5- + -г-) sin---------sin--=
4-	\ a b / а b
„	. тлх . плу
Стп sin---sin —г2-
а b
11«
приравнивают коэффициенты при одинаковых тригонометрических
функциях в правой и левой частях полученного равенства и полу-
ЧаЮТ	Стп = Вл'Атп(т2/а2+п2/Ь2)2.	(5.71)
С другой стороны, формула для определения коэффициентов
ряда Фурье для q(x, у) имеет вид
. Х2 У2
_ 4гг. . . тлх . плу , ,
Стп — ~-т- \ \ q (х, у) sin —— sin —г— dxdy,
(Ли J J	(Ли
X! у,
где для интеграла можно ввести обозначение
г2 г2 ,	, . тлх плу , ,	,с
Ктп == $ \q (х, у) sin —— sin —dxdy. (5.72)
Xi yi
Тогда Слип == 4/Слил/(n&).
С учетом этого выражения для Стп из (5.71) можно получить
формулу для определения значений постоянных
•	4/Сшл
тп~ аЬОл\т2/а2+п2/Ь2)2 ’
и искомое решение (5.69) принимает вид
4 V" V1	Ктп	тлх плу
w{X’y} = ~^bD^	£ {т2/а2 + п2/Ь2Г3т~^5т Ь -<5-73)
т — 1 п = 1
После определения прогибов w изгибающие и крутящие момен-
ты, а также поперечные силы в плите находят по известным соотно-
шениям теории тонких плит.
Двойной интеграл нетрудно вычислить для конкретно заданной
нагрузки. Например, для нагрузки, равномерно распределенной
по некоторой прямоугольной области со сторонами, параллельными
осям хну (рис. 5.10), <7 = const, xi=c, x2=c-t~&x, yi = d, у? =
= d-\-ky, а из (5.72) следует, что
с-|-Дх	d-\~^y
Ктп — q ) sin —-— dx sin
c	d
плу
dy =
qab	тлх
—---ST cos----
тпл a
плу
cos —
b
d+&y
d
После подстановки пределов интегрирования и тригонометри-
ческих преобразований
Ктп —
4qab / . тлКх
2 ( sin —--
тпл \ 2а
тл / Ах\\
s,n—V+—))х
/ . плКу . пл/,, Ку\\
х(.5|П-йЛап—И+“О-
(5.74)
119
Пример 5.5. Определить прогиб в центре прямоугольной шарнирно опертой
по краям плиты, загруженной нагрузкой, равномерно распределенной по поверхности
плиты.
Используем изложенное выше решение Навье. В этом случае для области
загружения: c = d = 0, Дх = а, &у = Ь. По (5.74)
4qab
тпл?
. , тл , пл
sm2~sm 2
Рис. 5.10. Плита, загруженная
равномерно распределенной по
прямоугольной области нагруз-
кой
Рис. 5.11. Плита, загруженная
сосредоточенной нагрузкой
откудавидно, что при четных т, п Ктп=0, при нечетных — sin2(mn/2)sin2(nn/2) = 1.
Подставляя значение Ктп при т, п=1,3, ... в (5.73), получаем
оо	оо
16уа4	V-1	V	sin(mnx/a)sin-(плц/Ь)
W(X'y]=-^T	L	L	mn^+aV/b^	'
т= 1,3,... п= 1,3,...
Для того чтобы получить достаточно точный результат, в этом решении можно
сохранить только один член двойного ряда (m = n=l). В этом случае при а = Ь
в центре плиты (х = а/2, у = Ь/2) прогиб г4)п1ах = 4уа4/(£)л6). Сохранение двух
членов разложения (т = п—1, 2) дает поправку к этому результату, не превы-
шающую 3%.
Пример 5.6. Определить выражение для прогибов w (х, у) прямоугольной
плиты загруженной сосредоточенной нагрузкой F.
Представим нагрузку F в виде распределенной на малой площади Ах-Ду
(рис. 5.11), т. е. при Ах С а, с, /\y<^b, d, q = F/(Xx-ky).
Определяем Ктп, учитывая, что сииус малого угла приближенно можно принять
равным углу, т. е. sin ((тлЛх)/(2а)) sa тлДх/(2а); sin ((алЛу)/(2/>)) ?аалЛу/(2Л).
Отсюда по (5.74) 7(m„ = Fsin(mnc/a) • sin (nnd/b). Подставляя это значение Ктп
в (5.73), получаем искомое решение
ОО оо
4F V V вт(тлс/а)-sin(nnd/b) тлх
w(x’y} = ^sL L (пе/^+^/ьг ~~sin~v~
т=1п—1
пли
sin —.
ь
120
Алгоритм вычислений значений прогибов при заданных х и у
в приведенных выше примерах весьма прост и состоит в формирова-
нии исходных данных и использовании формул для w(x, у). При
этом в случае сосредоточенной нагрузки двойные ряды сходятся
медленнее, чем при распределенной, и поэтому приходится сохранять
в решении большее число членов ряда.
5.3.	МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ НЕВЯЗКИ
5.3.1.	Общие положения метода
В случае приближенного решения краевой задачи для дифферен-
циального уравнения в частных производных
L(u)=f(x, у) (u^D)	(5.75)
при граничных условиях
/?(и)|г=0	(5.76)
(L—линейный дифференциальный оператор; D—область задания
функции и(х, у); Г — граница этой области) можно поступить сле-
дующим образом.
В области D выбирают систему линейно независимых гладких
функций <ро(х, у), <pi(x, у),... , q>n(x, у), которые называются ба-
зисными или аппроксимирующими. Каждая из этих функций удов-
летворяет краевым условиям (5.76). Решение задачи находят в виде
линейной комбинации базисных функций
«»(*, у) =фо(х, у) + £ akqk(x, у),	(5.77)
4=1
где аь 02,... , ап — неизвестные коэффициенты. Функции ип(х, у)
также должны удовлетворять условиям (5.76).
При подстановке ип(х, у) по (5.77) в уравнение (5.75) получится
так называемая невязка
ф(х, у, а\, а2, ..., а„) =L(un) —f(x, у).	(5.78)
Если бы при некотором выборе коэффициентов ак выполнялось
условие ф(х, у, ait а2,... , ап) =0, функция ип(х, у) являлась бы
точным решением краевой задачи (5.75), (5.76). Однако такие
значения коэффициентов ак выбрать невозможно. Поэтому под-
бирают ак так, чтобы невязка ф была возможно меньше. Существует
несколько методов минимизации невязки, которые отличаются
способом нахождения коэффициентов ак.
5.3.2.	Метод коллокаций
Для решения краевой задачи (5.75), (5.76) методом коллокаций
в заданной области D фиксируют п точек М1, М2,... , Мп, называемых
точками коллокации (коллокация означает размещение). Для того
121
чтобы в точках коллокации невязка (5.78) обращалась в нуль,
должно выполняться равенство
п
£(фо) + £ akL(<pk) —f(x, у) =0,
*=i
где аппроксимирующие функции <ро, <рь , <рп удовлетворяют крае-
вым условиям (5.76). В результате получают систему линейных
алгебраических уравнений
aiL<j>i(Ali) +... + a„L<p„(Afl)	—
aiL(p!(M2) +... + anL<pn(M2) =f(M2)—L(p0(M2)-, .
ai£<pi(Af„) +... + ап£фл(М„) =f(Mn) — L<p0(Mn),
из решения которой находят значения коэффициентов щ, а2,... , ап.
Приближенное решение краевой задачи (5.75), (5.76) получают
подстановкой этих коэффициентов в (5.77).
При решении задач строительной механики методом коллокаций
важное значение имеет правильный выбор аппроксимирующих
функций. Иногда в качестве последних принимают известные реше-
ния родственных задач. Нацример, для решения двухмерной задачи
выгодно в качестве аппроксимирующих принимать функции
и(х, у) =U1 (х)и2(у)ип(х, у, аь а2, ... , ап), (5.79)
где ш(х) и и2 (у)—решения соответствующих одномерных задач,
а ип(х, у, аь а2, ..., ап) — корректирующая функция.
Пр и м е р 5.7. Определить методом коллокаций прогибы w (х, у) жестко за-
крепленной по контуру квадратной плиты с цилиндрической жесткостью D, толщиной h
(рис. 5.12), загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности
Рис. 5.12. К расчету квадратной
плиты методом коллокаций
В безразмерных координатах t = x/a, ч =
=у/а, где 2а — сторона плиты, имеем в данном
случае краевую задачу для уравнения относи-
тельно прогибов w = w/h
dAw dAw
dAw _ q^_
dr\A ~~ Dh
(5.80)
с краевыми условиями:
(5.81)
В соответствии с (5.79) прогиб плиты представим в виде выражения
w= (1—Е2)2(1 -^(ао + а^+а^ + а^),
122
удовлетворяющего условиям (5.81) на краях плиты (ао— относительный прогиб
в центре плиты). Подставляя это выражение в уравнение (5.80), получаем
(24ао + а । (- 48 + 360g2)) (1 - П2)2 + (24а, + а2 (- 48 + 360g2) ) n2 (1 — П2)2 +
+2(ао( -4 + ng2) +а.(2-24g2+30g4)) (-4 4-12П2) +2(а, (-4+ 12g2) +
+ а2 (2 - 24g2 + 30g4)) (2 - 24П2 + 30»4) + (24ао + а। (- 48 + 360П2)) (1 - g2)2 +
+ (24а,>+а2 (— 48 + 360т]2)) g2 (1 -g2) 2=<?а4/ (Ой)	(5.82)
Правая часть этого уравнения, вообще говоря, отличается от правой части
исходного уравнения (5.80). Для уменьшения невязки поставим условие полного
совпадения правых частей уравнений (5.80) и (5.82) в точках коллокации с соответ-
ствующими координатами 0(0,0), /(1/2,0), 2(1/2, 1/2). В силу осевой симметрии
плиты это означает полное совпадение правых частей уравнений в девяти точках
(см. рис. 5.12).
Подставляя в левую часть (5.82) координаты каждой из точек О, 1, 2, получаем
систему трех алгебраических уравнений для определения трех неизвестных ао, а,, а2
80а0— 128а, +8а2 = ца4/(Ой);
45,5ао + 31,375а, —15,25а2=?а4/(Ой);
29а<, + 62,5а, + 20,84а2 = ^а4/(Ой),
решая которую, находим: ао = О,2192<7а4/(£й4); а,=О,25ао; а2=0,288ао.
Отсюда наибольшее значение прогиба в центре плиты будет ш(0, 0) =йао =
= 0,2192^а4/(£й3), что совпадает с известным точным решением.
5.3.3.	Интегральный метод наименьших квадратов
В этом методе на невязку (5.78) накладывают требование, чтобы
интеграл	*
/ =	-ф2(х, у, а\, а2,... , an)dxdy
D
принимал минимальное значение. Для этого необходимо выполнение
условий
~^-^2^-^-dxdy (‘=1>2- •.«)
D
Эти условия приводят к системе уравнений для определения
коэффициентов ai, а2,... . ап
ai(L(<p,), £(<р,)) +... + a„(L(<p„), £(<pi)) = (f— £(<₽o),
fli (£(<pi), L(q>2)) + ... + an(L(<pn), L(q>2)) = (f—L(qx>), L(<p2));
ai(i-(<Pi),i-(<Pn)) +... + a„(L(<p„), L(<p„)) = (f— 7-(фо), L(q>n)),
где (£ (<p,), £ (фк)) == J J £ (<р,) L (<p*) dxdy — скалярное произведение
D
Функций £(<p,) и £(<p*).
123
5.3.4.	Метод Бубнова — Галеркина
В основе метода лежит требование ортогональности базисных
функции <рь <р2,... , фп к невязке (5.78)
$$ф(х, у, аь а2, ... , ап)ф<(х, y)dxdy=G (i= 1, 2, ... , п). (5.83)
D
(Если невязка равна нулю, она ортогональна к любой функции
4>k (х, у)).
Требование (5.83) приводит к следующей системе линейных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов <21, а2,..., ап
для приближенного решения (5.77) краевой задачи (5.75), (5.76):
а1(Т(ф1), ф|) + ... + а„(Т(фл), ф1) = (/—£(ф0), ф|);
щ (А(ф1), ф2) + ..- + а«(А(фл), фа) = (f— Ь(фо), Фг);
<21 (Д(ф1), фи) +...+<2я(Т(ф„), фи) = (f— /.(фо), фи),
где (А(ф<), фк) = \\L((pi)(pkdxdy — скалярное произведение функций
о
L((pi) и ф*.
Пример 5.8. Найти решение краевой задачи о равномерном свободном
кручении призматического стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 5.13).
Задача сводится к решению уравнения Пуассона для функции напряжений
ф=ф(х,</)
44 + 4^=-2	(5-84)
дх ду2
♦
при краевых условиях на контуре Г поперечного сечения стержня
ф| г=0.
(5.85)
Для решения задачи методом Бубнова — Галеркина принимаем ф„ = (а2—х2) X
X (Ь2—у2) (ai -Ьагх2-f-азу2-Ь)  Очевидно, что эта функция удовлетворяет условиям
(5.85). При п = 1 имеем
Рис. 5.13. Попереч-
ное сечение приз-
матического стержня
(х, у) = а, (ал — х2) (Ь2 — у2).
(5.86)
Подставляем это приближенное значение ф,(х, у)
в исходное уравнение (5.84), откуда получаем невязку
<р = -2а, (а2-х2) -2а, (Ь2-у2) + 2.
Коэффициент а, найдем из условия ортогональности
базисных функций и невязки, т. е.
( — 2а,(а2 — х2) —2ах(Ь2 - у2} -f-2) X
X (а2 —х2) (b2—y2)dxdy = 0.
Интегрирование этого уравнения дает
-^Laia3b3(a2 + b2)-4ra3b3 = 0,
45	У
124
откуда ai = 5/(4 (a2+ 62)). Из (5.86) получаем приближенное решение краевой задачи
(5.84), (5.85) при л=1:
, х 5
ti (х, у) =
4
(а2 —х2) (Ь2 — у2)
а2 + Ь2
Исходя из известного выражения для крутящего момента Мк при равномерном
свободном кручении призматического стержня MK = 2G0' J J Vfdxdy, найдем его при-
D
ближенное значение при ф(х, у) ssipi (х, у):
а b
M^2G(A\^dxdy = 2GG' \ t — -<g!z7-?:2)(<,2~y2) dxdy =
J J	J	J 4 a +6
D	—a — b
40 a3b3
В частности, для квадратного сечения (a — b) MK = 2,222a4GO', что всего на 1,3%
меньше точного значения (см. пример 5.1).
5.3.5.	Метод наилучших произведений
Суть метода состоит в последовательной минимизации невязки
путем добавления на каждом шаге одного члена разложения иско-
мого решения ип(х, у) в ряд по аппроксимирующим функциям
<Р/(х, У)- На каждом шаге в связи с этим получается одночленная
аппроксимация искомой функции и, следовательно, только один
неизвестный параметр с,:
И/ (X, у) =Cj(fi (х, у) + Ф, (х, у),
где / — номер приближения.
При /=1 Фу=0; j = 2 Ф, = С1<р1 (х, у); j = 3 Ф, = С1<р1 (х, у) +
п— 1
+ с2<р2(х, у); ... / = п Ф,= £ с,<р,(х,у).
i=l
Процесс заканчивается, когда очередная поправка решения
Ck<fk(x, у) будет мала. Коэффициенты с, находят из условия
$$ (L(uj) — f)<p/(x, y)dxdy = Q.	(5.87)
D
На каждом шаге это уравнение содержит только одну неизвест-
ную С/. Все другие коэффициенты при аппроксимирующих функциях
определены выше.
Пример 5.9. Используя метод наилучших произведений, найти в области D
решение уравнения Пуассона
д2и д2и _
дх2 + ду2 ~
при граничном условии и|г = 0, где Г—граница области О (— l^x^l; —l^i/^l).
В качестве аппроксимирующих функций <р,(х, у) примем последовательность:
125
<Р1 (х, у) = (1 — х2) (1 — у2); ф2 (х, у) = (1 — х2) (1 — у2)х2; фз(х, у) = (1 —х2) (1 — у2)у2;
фч(х, у) = (1 — х2) (1 — у2)х4; <р5(х, </) = (1 — х2)(1 — у2)у4 и т. д.
Начало процесса: и> =c,<pi (х, у) =с\ (1 —х2). (1 —у2).
Для определения G имеем из (5.87) уравнение
( ( (-^- + -^-+2) (1—х2) (1—y2)dxdy = 0.
J J \ дх ду /
— 1—1
После вычисления интегралов получим с, = 5/8. Далее принимаем ц2 =
= Г2ф2(х, у} + (5/8) (1 —х2) (1 — у2) = с2(х'2 — х4) (1 — у2) + (5/8) (1 —х2) (1 — у2).
Для определения с2 имеем уравнение
1 1
SC ( д U2 д U2 . п\ . 9	41Z1	2\ ,< .< г\
\ ( -—2- + —~г +2) (х2 — X4) (1— у )dxdy = 0.
J \ дх ду /
— 1—1
После вычисления интегралов получим с2= 15/(4-38). Наконец, из = с3<рз(х, у) +
+ (5/8) (1 - х2) (1 - у2) + (15/ (4 • 38)) (х2 - х4) (1 - у2) = с3 (1 - х2) (у2 - у4) + (5/8) X
X (1 —х2) (1 — у2) + (15/(4-38)) (х2 —х4) (1 — г/2).
Аналогично, для определения с3 используется уравнение
1 1
Sf / д И3	д 11з	\	2\ / 2	4, , . п
\ ( —ГГ + ~Г— + 2) (1-х ) (У — У )dxdy = 0.
J \ дх	ду	/
— 1—1
После вычисления интегралов находим сз= 30/192.
Заканчивая на этом процесс минимизации невязки, получаем приближенное
решение поставленной задачи:
(5	15	о , 30 2\ ..	2\ /1	2\
-------------х Н----т; у ) (1— х )(1— у).
8	8-19	192 /
5.4. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
К ОДНОМЕРНЫМ
5.4.1. Метод прямых
Пусть в прямоугольной области D	b; c^yt^d) требу-
ется найти решение дифференциального уравнения в частных
производных
L(u(x,y))=f(x,y),	(5.88)
удовлетворяющее граничным условиям
и(х, с) = <р0(х); и(х, d) =ф1(х); |
и(а, у)=фо(у); и(Ь, у) =ф1(у), J	1	}
где L (и) —дифференциальный оператор; q>o (х), <pi (х), фо (у), Ф1 (у) —
заданные функции.
На отрезке [с, d] выбирают систему точек yk=yo + kh (k = 0, 1,
2, ... , n), уо=с, yn = d и проводят прямые y=yk. В уравнении (5.88)
принимают y=yk (k= 1, 2, ..., п— 1) и производные по у заменяют
126
разностными отношениями типа
Ту у=у,= ~2h (Ut+1 (х) - Uk~1	:
= (uk+i(x) —2uk (х) + Uk-i(х)),
у=у„ h
д2и I
<?У2 I
где Uk(x) — и(х, уь). В результате получают ситему п— 1 обыкновен-
ных дифференциальных уравнений с граничными условиями в виде
Но(х) =фо(х); ип(х) =<p1(x); Uk(a) =фо(у*); Uk(b) = ф1 (yk)-
Этот метод удобно применять, когда коэффициенты уравнения
(5.88) не зависят от х. В этом случае получается система обыкно-
венных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами.
Метод прямых можно рассматривать как предельный случай
метода сеток, если при использовании прямоугольной сетки шаг ее
по оси х стремится к нулю.
Пример 5.10. Используя метод прямых, свести решение задачи Дирихле
для уравнения Пуассона
д2и I
ду* I
в области D (a^x^b; c^y^d) с граничными условиями (5.89) к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Используя разностное отношение для производной
= -A- (flt+i (х) — 2ик(х) +uft_i(x)),
у=у„ Л
получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами
и"(х) +	(u* + t(x) —2u*(x) +ut-i(x)) =f*(x)
при граничных условиях uk(a) = фо(.%), uk(b) = ф, (ук), и0[х) = <р0(х), u„(x) =
= <₽i (х), k = 1, 2, ..., п — 1.
Общее решение этой системы уравнений известно:
п—- 1	..
Z X V ™(yk — С) 6,х . _
«»(х)= д s,n—jzzt—)>
где 6, = (2//z)sin(n(i/, — c)/(2(d — с))), а Д, и Bt — произвольные постоянные.
5.4.2. Метод Власова — Канторовича
В основу данного метода сведения краевых задач для уравнений
в частных производных к краевым задачам для обыкновенных
Дифференциальных уравнений положена та же идея, что и в методе
минимизации невязки (см. §5.3). Отличие состоит лишь в форме
127
задания приближенного выражения для искомой ^функции несколь-
ких переменных и (х, у). В методе минимизации невязки искомую
функцию представляют в виде (5.77), где в качестве коэффициентов
при аппроксимирующих функциях <рДх, у) принимают неизвестные
постоянные, которые определяют из соответствующих для конкрет-
ного метода (коллокаций, Бубнова — Галеркина и др.) систем ал-
гебраических уравнений. В методе Власова — Канторовича роль
этих коэффициентов играют неизвестные функции одной из неза-
висимых переменных, которые определяются из решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Этот метод дает более точное решение, чем методы, в которых
задача сводится к решению систем алгебраических уравнений.
Сущность метода Власова — Канторовича состоит в следующем.
Решение и(х, у) дифференциального уравнения в частных про-
изводных (5.88) при заданных граничных условиях (5.89) находят
в виде
ц„(х,у)=Уо(у)+ t Xk(x)Yk(y),	(5.90)
k= i
где Xk(x)—неизвестная функция переменной х, удовлетворяющая
граничным условиям (5.89) по х; Y0(y), Yk(у) —известные функции
переменной у, удовлетворяющие граничным условиям по у (Yo(y)
удовлетворяет неоднородным граничным условиям, а У* (у)—одно-
родным) .
Для нахождения функции Xk(x) составляют условие ортого-
нальности невязки и функции (Yk(y)}:
d
J (L(un(y,y))-f(x,y))Yk(y)dy=O (* = 1,2,..., л), (5.91)
из которого в результате интегрирования получают систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений относительно искомых
функций Xk(x).
Пример 5.11. Найти решение уравнения Пуассона
д2и д2и _ _ .
дх2 + ду2 ~ ~
в прямоугольной области D (—а^х<и;—при условии ulr = 0, где
Г — граница области D.
Решение находим методом Власова — Канторовича, представив неизвестную
функцию в виде (5.91) при Уо(у) =0 и /г=1:
ul = Ylly)Xl(x) = (b2-y2)X(x).	(5.92)
Система (5.91) приводится к уравнению
ь
$ (X"(х) (b2-y2)(-2X(x)) + l)(b2-y2)dy=0.
-ь
128
После вычисления определенного интеграла по переменной у получим обыкно-
венное дифференциальное уравнение
которое имеет решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям:
Х(х) =----------!--=--- (^v2.S//)_|_e-xv'2.S/(>j _|_
4 ch ха^-5/ь	2
Подставляя это выражение в (5.92), находим функцию
U1 = (62 — у2) (-------!—— (ехл^5/Ь_|_₽-хт/^5/Ь) _|_	,
'	4 ch x“v2,.r> /ь	" '
которая определяет приближенное решение поставленной задачи.
а- За><- 1810
6.	МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов (МКЭ), являющийся одним из совре-
менных эффективных численных методов решения задач строитель-
ной механики на ЭВМ, широко используется для расчета сложных
нерегулярных конструкций. С помощью МКЭ удается достаточно
точно учесть в расчете разнообразные геометрические формы конст-
рукций, а также всевозможные распределения в пространстве и вре-
мени внешних воздействий.
Основная идея МКЭ заключается в специфической дискретиза-
ции исходной стержневой или континуальной системы. Заданная
конструкция условно расчленяется с помощью некоторой сетки на
отдельные (обычно малые) фрагменты конечных размеров, называе-
мые конечными элементами. Деформированное состояние элементов
подбирается так, чтобы оно выражало реальное поведение среды
в месте их расположения.
Сетка назначается с учетом геометрических и структурных
характеристик конструкции. На выбор сетки оказывает влияние
стремление к уменьшению трудоемкости процесса расчета при со-
хранении достаточной точности его результатов.
После выбора дискретной расчетной схемы ее можно рассчитать
на основе любого из методов строительной механики (методом сил,
перемещений или смешанным). Ниже МКЭ излагается на основе
наиболее распространенного метода перемещений.
Модификацией МКЭ, применяемой для решения особо сложных
задач строительной механики, является метод суперэлементов. Для
практической реализации МКЭ имеется достаточно распространен-
ное программное обеспечение в виде программных комплексов
«ЛИРА», «СУПЕР-ЕС», «КАСКАД» и др.
6.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МКЭ
6.1.1.	Дискретизация конструкций
с помощью конечных элементов
Выбор формы конечного элемента зависит от многих факторов,
но в первую очередь от формы и размерности заданной системы.
В основу расчленения конструкции на конечные элементы положено
требование обеспечения идентичности в поведении конструкции и ее
дискретной модели.
При решении одномерных задач строительной механики, связан-
ных с расчетом стержневых систем, конструкцию разбивают на
130
одномерные конечные элементы в виде прямоугольных стержней
постоянного сечения (рис. 6.1, а). Например, для плоской формы
с шарнирными узлами (рис. 6.2), стержни которой работают только
на сжатие или растяжение, в качестве конечных элементов выбирают
отдельные стержни, а основными неизвестными являются линейные
перемещения узловых точек. В этом случае дискретная модель
Рис. 6.1. Основные типы конечных элементов:
а—для одномерной области; б — для двухмерной; в — для трехмерной
полностью соответствует заданной конструкции, а результаты
расчета получаются более достоверными.
В двухмерных задачах строительной механики, связанных с рас-
четом, например, пластин или оболочек, чаще всего используют
треугольные или прямоугольные конечные элементы (рис. 6.1,6).
Деление на прямоугольники дает более точный результат при одном
и том же числе основных неизвестных. Однако треугольная разбивка
является более универсальной, она предусмотрена в большинстве
программных комплексов. Тре-	f	f f
угольная разбивка позволяет так-
же описывать более полно области	'	'
с криволинейным контуром (рис.	/ '"’"Ж
6.3)	и изменять размеры конечных /|\	\ / /Г\
элементов, уменьшая их в местах S I XI XI/ у I X
концентрации напряжений [51].	ът,
Основными неизвестными МКЭ Рис. 6.2. Плоская ферма с шарнирными
для конечного элемента в виде	узлами
треугольной или прямоугольной
пластины являются узловые перемещения, т. е. линейные пере-
мещения и углы поворотов узловых точек.
При решении трехмерных задач используются объемные конеч-
ные элементы в виде тетраэдра или параллелепипеда (рис. 6.1,в).
131
Четких рекомендаций по выбору формы и количества конечных
элементов в общем случае нет. Оптимальный их выбор требует
определенного навыка, а во многих случаях определяется наличием
соответствующего программного обеспечения.
В гл. 7 МКЭ трактуется как частный случай вариационного
метода Ритца (см. §7.4.4).
6.1.2.	Основное отличие МКЭ от метода перемещений
Матричная форма метода перемещений, изложенная в § 3.2,
в приложении к расчету стержневых систем полностью отвечает
методу конечных элементов. Однако расчет систем континуальных
(типа пластин и оболочек) встречает некоторые трудности. Части
из них удается избежать и сделать расчет более универсальным,
если при выборе матрицы жесткости учесть еще перемещения эле-
мента как твердого тела.
Пример 6.1. Определить изгибающие моменты Л1, и поперечные силы Qi
в расчетных сечениях рамы при заданной нагрузке (рис. 6.4, а).
Выполним расчет методом перемещений. Основная система (рис. 6.4, б) образо-
вана постановкой дополнительной связи в узле, препятствующей повороту этого
узла. Матрицы жесткости стержней А и В приведены в (3.10).
2£/ |	2	1 1.	__	ЗЕ/ [ 2	1 1
/ L	1	2 Г	Гв~~ / L 1	2 J
Матрицы жесткости необъединенных элементов и углов поворота концов стерж-
ней при Z| = 1:
Реакцию в дополнительной связи от нагрузки М находим из уравнения равнове-
сия Системы: г,г=—M = Rp. Матрица S^- — нулевая. Из (3.7) после подстановки
132
матриц k, а и Ro получим
На рис. 6.5 изображены эпюры моментов MF и поперечных сил QF.
Рис. 6.4. Расчет рамы в матричной форме:
а — заданная система; б — основная система метода перемещений
Рис. 6.5. Результаты расчета рамы, показанной на рис. 6.4:
а — эпюра изгибающих моментов; б — эпюра поперечных сил
Выполненный выше расчет можно считать расчетом МКЭ, где роль конечных
элементов исполняли стержни Л и В с соответствующими матрицами жесткости (3.10).
Однако с общих позиций МКЭ целесообразно учесть еще перемещения элемента
как твердого тела. Тогда, если не учитывать продольных деформаций, каждый
конец стержня рамы будет иметь две степени свободы: смещение, перпендикулярное
к осн стержня, и поворот. Следовательно, матрица жесткости одного элемента
(стержня) будет четвертого порядка.
На рис. 6.6 приведены определенные по прнл. 1 изгибающие моменты и попереч
ные силы в стержне при единичных перемещениях его концов. Их значения можно
представить в виде матрицы
Здесь и далее, за исключении особо оговоренных случаев, моменты в кило-
ньютон-метрах, поперечные силы — в килоньютонах.
133
Q,		6 /2
М		3
	= ~ i	/
		
		
Qi		6 /2
Mi			3 /
	3_ / 2	1 JL । [2 |_А i 1		3_ / 1	г, dZj dx
	1	6	3	
3	—		Z,
	1 I2	/	
	1	3		dZj
1	j 1		dx
			_ —
(6.1)
Здесь средняя матрица и является матрицей жесткости прямолинейного стержня
постоянного сечения, изображенного на рис. 6.6. В ней положительными считаются
те элементы, которые вращают выделенный стерженк по ходу часовой стрелки.
Матрица жесткости в (6.1) является особенной. В отличие от (3.10) она обратной
матрицы не имеет.
Процедура расчета остается как в (3.8), но размеры исходных матриц k и а
увеличиваются в данном случае в дба раза. Основная система и Но остаются прежними.
Матрица жесткости
			12	6	12	6	0	0	0	0 "
			I1 2	/	I2	/				
			6	л	6	о	0	0	0	0
			/	4	—	I	Z				
			12	6	12	6	0	0	0	0
			I2	/		/				
Гл 0 L 0 rB	1 El 1	/	—	6 I	2 —	6 /	4	0 18	0 	9_	0 18	0 9
			0	0	0	0	I2	I	I2	I
							9	6 		9	3
			0	0	0	0 “	/		/	
							18		9_	18	9
			0	0	0	0	I2	/	I2	/
							9	3 —	9	6
			0	0	0	0 ~	/		/	
0
0
0
1
о
_0_
134
При построении матрицы я в гл. 3 линейное смещение представлено через углы
поворота. Здесь же для каждого линейного смещения вводится дополнительная
строка.
Подстановка матриц k, а и Но в (3.8) дает одновременно значения изгибающих
моментов и поперечных сил в расчетных сечениях, которые приведены на рис. 6.5.
Рис. 6.6. К построению матрицы
жесткости четвертого порядка
Qi
Ml
Q2
м2
Q3
Мз
q4
М4
- 6/Z
2
— 6/Z
м 4
"ПТ - 9//
6
— 9/Z
3
В рассмотренном примере матрица жесткости в (6.1) составлена
с помощью таблиц, решение для которой получено методом сил. Для
стержней это сделать достаточно просто, так как они в действитель-
ности соединяются между собой только по концам. В других случаях
(например, при расчете плит и оболочек) изложенным способом
получить матрицу жесткости не удается.
6.1.3.	Формирование матрицы жесткости
конечного элемента на основе принципа
возможных перемещений
При общем подходе к формированию матрицы жесткости в МКЭ
приходится задавать форму деформирования рассматриваемого
конечного элемента. Для этой цели часто используется вариационный
подход (см. гл. 7). Ниже изложение ведется в матричной форме
135
на основе принципа возможных перемещений, в соответствии с кото-
рым в системе, находящейся в равновесии, возможная работа всех
внешних и внутренних сил на бесконечно малых возможных пере-
мещениях равна нулю.
Пусть U — работа внешних сил Г,, a W — работа внутренних сил
Sj. Тогда U-\- IF=O, или
п _ т _
Z FtZi= Z sivb	(6.2)
z=i	/=i
где Zi и Vj — возможные перемещения и деформации.
В матричной форме выражение (6.2) примет вид F*Z=S*v, или
после транспонирования Z*F=v*S. Поскольку матрица Z* единичная,
можно записать F=v*S.
В гл. 3 деформации определялись через матрицу а, т. е. v=aZ.
Так как Z единичная матрица, v = a, или v* —а*. В итоге
F=aS.	(6.3)
Усилия определяются через матрицу жесткости необъединенных
элементов конструкции, т. е. S=kv, или S=kaZ. После подстановки
в (6.3) и введения вместо F нового обозначения R (в рассматри-
ваемом случае определяются реакции от заданных перемещений)
R=a*kaZ.
Произведение aka и является матрицей жесткости конечного эле-
мента или любой конструкции:
K=a'ka.	(6.4)
Для определения матрицы К некоторой конструкции необходимо
знать матрицы жесткости составляющих ее элементов. Выражение
(6.4) можно представить в виде суммы:
р
К= j (a*krkak),	(6.5)
k=\
где р — число элементов в конструкции; Гк — матрицы жесткости этих
элементов; а*—матрицы деформаций элементов (последние полу-
чают из матрицы а разделением ее по высоте на отдельные блоки,
соответствующие каждому элементу).
Для примера 6.1 матрица жесткости имеет вид
К=a*ka—аАгАаА + авгва в-
Выражение (6.5) является универсальным. Его можно исполь-
зовать при расчете любых конструкций. Более того, его можно при-
менить для вывода матрицы жесткости отдельного элемента, когда
за исходные принимают бесконечно малые элементы. Тогда выраже-
136
ние (6.5) примет интегральную форму. Матрица жесткости отдель-
ного элемента
rk= $ агта,	(6.6)
v
где V—объем элемента; я—матрица, дающая функциональную
зависимость деформаций от перемещений; r<dV) (далее обозначается
через С) — матрица жесткости бесконечно малого элемента.
Например, для стержня, изгибаемого в одной плоскости, при-
ближенное дифференциальное уравнение, устанавливающее связь
между усилиями и деформациями,
M = CZ"(x).	(6.7)
Здесь C=EI [1] —матрица первого порядка; Е— модуль про-
дольной упругости материала; I—момент инерции поперечного
сечения стержня.
6.1.4.	Подбор функции перемещений конечного элемента
Для получения матрицы жесткости (6.6) необходимо задать
перемещения системы. В этой операции отражаются основная идея
и сложность метода конечных элементов. Во-первых, задают пере-
мещения только одного элемента. Во-вторых, эти перемещения
должны соответствовать деформированной схеме конструкции
в месте нахождения элемента. Поскольку второе требование практи-
чески трудно осуществить, поступают как в случае решения задачи
для бесконечно малого элемента, где компоненты напряженного
состояния принимают либо постоянными, либо линейно изменяющи-
мися. Это допущение переносится на элементы конечных размеров.
Уменьшением размеров элементов можно повысить точность
расчетов, что одновременно ведет к увеличению числа рассматри-
ваемых элементов и в конечном итоге к повышению порядка решае-
мой системы уравнений. В этой связи иногда с целью повышения
точности решения не уменьшают размеры элементов, а принимают
более сложным напряженное состояние отдельного элемента (на-
пример, за счет введения узловых точек не только в углах элемента,
но и вдоль его сторон).
В общем виде перемещения конечного элемента в прямоугольной
системе координат можно представить в матричной форме:
Z=W(x,y,z)\fn].	(6.8)
Здесь [f„] — вектор независимых параметров, определяемых числом
степеней свободы элемента. В это число входят и повороты, если
они необходимы по условию задачи. Например, для стержня, изо-
браженного на рис. 6.6, число степеней свободы равно четырем.
Поэтому задают полином
~Л'
Z = fl +/2Х-(-/зХ2-|-/4Х3= [1 х х1 х3]
= ичм-
(6.9)
137
По выбранным функциям, используя известные зависимости
(например, для плоской задачи теории упругости — с помощью
уравнений Коши), находят деформации
а = В(х, у, z) [f„].	(6.10)
Для рассмотренного выше стержня (см. уравнение (6.7)) де-
формации являются вторыми производными от перемещений:
а= [0 0 2 6х] [f„]	.
Параметры определяются граничными условиями. С этой
целью составляют выражения компонентов перемещений для при-
нятых узловых точек
Z=A[fn],	(6.11)
Матрицу А строят простой подстановкой координат узлов в при-
нятые функции перемещений (6.8). Она является квадратной, так
как число параметров fn равно числу компонентов перемещений.
Например, для стержня (см. рис. 6.6) после получения выражения
для угла поворота
dZ
dx
Функция (6.9) дает
Из (6.11) [f„] =A~'Z. Если обратная матрица не существует,
это свидетельствует о неудачном выборе функций перемещений.
Операции обращения можно избежать, если принять функции
перемещений с параметрами fn, удовлетворяющими граничным
условиям при задании последовательных единичных перемещений.
Как правило, для этих целей используют полиномы Эрмита и др.
Поскольку при определении fn единичные перемещения задают
последовательно, матрица Z будет единичной. В результате [f„] —
—А~'. Из выражений (6.10) и (6.6) получают окончательную
формулу матрицы жесткости произвольного элемента
rk= $ (A~l)*B*CBA~'dV
V
(6.13)
квадратной и симметричной, что отвечает физическому смыслу
задачи.
Например, чтобы получить матрицу жесткости для стержня,
представленного на рис. 6.6, нужно обратить матрицу Ло (см. (6.12))
и умножить результат на единичную матрицу, где первое единичное
перемещение принять равным —1, чтобы учесть принятое выше
138
правило знаков:
-10	0	0
0	1	0	0	/С1.Ч
А ~ 3/12	-2/1	3/1*	-1/1	(	)
— 2//3	I//2	— 2//3	I//2
Если матрицу (6.14) и приведенные выше матрицы С и В под-
ставить в (6.13) и выполнить указанные в формуле операции, в итоге
получается матрица жесткости, приведенная в формуле (6.1). Это
свидетельствует о том, что полином (6.9) дает для прямолинейных
стержней постоянного сечения точное решение.
6.2.	РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ МКЭ
6.2.1.	Последовательность расчета
После деления конструкции на элементы составляют исходные
матрицы метода перемещений. При этом следует иметь в виду, что
при разбивке на одинаковые элементы снижается объем вычислений.
Распределенная нагрузка для каждого элемента заменяемся
эквивалентной узловой из условия равенства возможных работ
узловых сил и заданной распределенной нагрузки на принятых
перемещениях [29]. Окончательное выражение для узловых сил
имеет вид
Fk=(A~'),\ W*q(x,y)dA,	(6.15)
А
где q(x, у)—заданная нагрузка на элемент; А—его площадь.
Матрицы А1 и W приведены в § 6.1.4. Для стержня (см. рис. 6.6)
при q = const получаются значения, приведенные в седьмой строке
таблицы прил. 1. При равномерно распределенной нагрузке узловые
сосредоточенные силы можно определить путем суммирования
нагрузки по площади, примыкающей к узлу. Получаемые силы
относят к отдельным элементам. Полное усилие в узле определяется
как сумма узловых сил от примыкающих к узлу элементов.
Если система координат отдельного элемента не совпадает с си-
стемой координат для узла, выполняется соответствующее преобра-
зование с помощью матрицы щ из (6.5). Матрица щ отражает
деформации элемента при единичных перемещениях по направлению
дополнительных связей. В обшем случае она как бы представляет
собой матрицу преобразования координат при переходе от местной
системы координат для одного Элемента к системе координат для
узла или для всей конструкции.
К исходным матрицам следует добавить матрицы усилий отдель-
ных элементов. Они необходимы при расчете пластин и оболочек,
напряженное состояние которых характеризуется не сосредоточен-
ными усилиями в расчетных сечениях, как при расчете стержневых
систем, а распределенными.
139
После составления исходных матриц расчет сводится к последо-
вательному выполнению матричных операций (3.8). Однако при
расчете конструкций, состоящих из множества элементов, использо-
вание формулы (6.4) для формирования матрицы жесткости всей
системы становится нецелесообразным, так как размеры матриц
ku а намного больше, чем матрицы К. При этом большинство эле-
Рис. 6.7. Схемы конечных эле-
ментов:
а — стержень; б — треугольный элемент;
в — прямоугольный
ментов матриц k и а равно нулю. Поэтому рекомендуется составлять
матрицу К из матриц жесткости отдельных элементов г* в блочной
форме.
Порядок матриц жесткости в блочной форме зависит от числа
рассматриваемых узлов. Матрицы жесткости соответственно для
стержня, треугольного и прямоугольного элементов (рис. 6.7)
в блочной форме имеют вид:
Si
S(
sfc
s(
S,
Sj
sk
(6.16)
(6.17)
(6.18)
Размеры матриц-столбцов и отдельных блоков зависят от решае-
мой задачи и степени подвижности узлов. В (6.1) штриховой линией
показана разбивка матрицы жесткости на блоки. Видно, что для
стержня блоки имеют второй порядок, так как в узле имеют место
только два перемещения: линейное смешение, перпендикулярное
к оси стержня, и угол поворота. Узлы обозначают так, чтобы узел i
был в начале координат (см. рис. 6.7).
В общем случае оси координат, принятые при выводе матрицы
жесткости отдельных элементов, могут не совпадать с системой
координат всей конструкции или узла, к которому примыкает эле-
140
мент. Поэтому при составлении общих уравнений необходимо вы-
полнять преобразование координат.
Преобразование координат выполняют с помощью матрицы щ.
Если деформации и усилия в общей системе координат обозначить
v° и S0, то vk=akV)kl Sk=a.kS°k. Чтобы получить элементы матрицы
жесткости в общей системе ко-
ординат, эти значения подстав-
ляют в выражения типа
(6.16) —(6.18). Например, для
первой строки в (6.17)
с.	0	0 ,	0 ,	О
a,S; —	+ Гцащ +
Если это равенство умножить
слева на а,”1, то значение
узлового усилия уже записы-
вается в общей системе коор-
динат:
Рис. 6.8. Пример представления плос-
кости конечными элементами
S°=(a, lr„a«)4+ (at l6/a/)v;°+(а,- ‘r,*afe)4-	(6.19)
Произведения в скобках являются блоками матрицы жесткости,
записанными в общей системе координат. Для ортогональных матриц
преобразования (а,-1=а,)
4*=а,Л*а*.	(6.20)
В качестве примера приводим уравнение в блочной форме для
узла п (рис. 6.8):
(S,°),+ (S°),+ (S°)A-+(S°)c+ (S,°)d+/?„ = 0.
Здесь Rn — матрица-столбец реакций в добавленных связях от внеш-
ней нагрузки; S,0 — матрицы-столбцы усилий в отдельных элементах,
примыкающих к узлу п. Их заменяют выражениями типа (6.19) из
(6.17) и (6.18), а входящие в эти выражения деформации — узло-
выми перемещениями из условия совместности деформаций. На-
пример, для узла п (см. рис. 6.8) это условие выглядит так:
(»,°)/= (f,°)/= (v°k)K= (v°k)c= (v°)D=Zn.
В результате указанных подстановок уравнение равновесия для
узла примет вид
(4z)aZp_i + [(4/)х+ (4)с]^р + [ (rkj) с+ (4/) d]Zp+i +
+ [ (г°ы)	(4) /] ZK_ > + [ (4) / + (4) /+ (4) л+
+ (4) c+ (4) d Zn + [ (4) D+ (4) /] Zn+, + (г®) Zs, +
+ [ (r-k) j + (4) /] Zs + (4) zs+ > + Rn = 0.
Такие уравнения составляют для каждого подвижного узла. Число
одиночных уравнений в блочном равно числу степеней свободы
в узле.
141
Если местные системы координат, принятые при выводе матриц
жесткости, совпадают с общей системой координат, то матрицы
преобразования ак будут единичными. Тогда г% = г,к. В этом случае
определение матрицы жесткости всей системы существенно упроща-
ется и сводится к суммированию по блокам.
Систему уравнений можно получить иначе. После составления
уравнений основные неизвестные определяют либо через матрицу,
обратную матрице жесткости всей системы, либо путем решения
системы уравнений, что целесообразно при малом числе вариантов
нагружения. Затем находят перемещения узлов каждого элемента
Vk = akZ. Если матрицы а* единичные, перемещения узлов элементов
численно равны перемещениям узлов, к которым примыкает рас-
сматриваемый элемент.
В стержневых системах сосредоточенные усилия в расчетных
сечениях определяют с помощью матрицы жесткости: S=kv. В кон-
тинуальных системах напряженное состояние характеризуется рас-
пределенными усилиями или напряжениями. Их вычисляют, ис-
пользуя матрицу жесткости бесконечно малого элемента, т. е. Sk =
= Ckdk, где = С учетом того, что [/"„] =А“‘, данное выра-
жение записывается так:
Sk = CkBkA^lvk = Nxkvk.	(6.21)
Здесь Nxk = CkBkA^1 — матрица усилий для одного элемента.
В общем случае элементы матрицы усилий NI в (6.21) являются
функциями координат. Однако, как правило, усилия находят в опре-
деленных узлах. С этой целью в Nk подставляют значения координат
каждого узла. В результате размер полученной матрицы усилий
отличается от размера Nxk. Число ее строк равно числу усилий в узле,
умноженному на количество узлов, а число столбцов — числу сте-
пеней свободы элемента. Ниже эта матрица обозначена Nk-
Для конечных элементов, имеющих контакт с упругим основа-
нием, нужно иметь специальные матрицы, учитывающие влияние
этого основания. Далее принята модель основания Винклера —
Циммермана с двусторонней связью, где давление основания на со-
оружение пропорционально перемещениям, т. е.
p=kZ.	(6.22)
Здесь k — коэффициент основания, характеризующий его упругие
свойства.
Если в выражение (6.22) подставить значение прогиба из (6.8),
то, например, для двухмерной задачи
р(х, у) =kZ(x, y)=kW[fn] =kWA~ *Z.
При определении узловых сил единичные перемещения Z, задают
последовательно, поэтому матрица Z единичная. Тогда р(х,у) =
= kWA~l. После подстановки этого выражения в (6.15) вместо
142
q(x,y) получают формулу
pk = (A1)* J W*kWA~ldA.	(6.23)
A
Матрицы W и А-1 приведены выше.
Если конечные элементы принять одинаковыми, а величину k
единой для всех элементов, то с помощью выражения (6.23) доста-
точно будет составить лишь одну матрицу. Полученная матрица
суммируется с матрицей жесткости одного элемента: rpk = rk-\-Pk-
Далее из матриц составляется матрица жесткости всей системы
по методике, изложенной выше. Обычным путем определяются сво-
бодные члены. Общая система уравнений принимает вид KPZ-\~
+ /?о = О.
6.2.2.	Расчет плоских стержневых систем
При расчете плоских стержневых систем обычно используются
два конечных элемента: 1) прямолинейный стержень постоянного
сечения, по концам которого приложены моменты; 2) такой же
стержень, но с моментом только на одном конце (на другом конце
стержня шарнир). Для первого стержня принимают функцию пере-
мещений (6.9), а для второго Z(x) = fi +/гх + /зх3 (начало коорди-
нат на шарнирном конце). Матрица жесткости для первого стержня
приведена в (6.1). Для второго стержня матрица, полученная по
формуле (6.13), имеет вид
Гк =
ЗЕ1
I
I//2	\/12 -1/1
\/12	\/12	\/1
— \/1	— 1/Z	1
Для каждого узла сначала записывается поперечная сила,
затем — изгибающий момент.
Матрицы реакций упругого винклеровского основания, получен-
ные по формуле (6.23) для двух видов стержней, имеют вид:
13
koi
’35“
-11//6	-9/2
/2/3	13//12
13
(Симметрично)
13//12
—/2/4
-11//6
/2/3
(6.24)
' 33/4 —39/8
17
(Симметрично)
11//8 ’
— 3/
2/2/3
(6.25)

Здесь ko = kb — коэффициент упругого основания для стержня еди-
ничной длины; b, I — ширина сечения и длина стержня. При разбивке
143
на элементы стержня, лежащего на упругом основании, рекоменду-
ется пользоваться следующим условием [51]: а/ = 0,7—1,5, где
a=(W,/(4E/))l/4.
Пример 6.2. Определить усилия в элементах рамы иа упругом основании
(рис. 6.9) с помощью МКЭ.
Рис. 6.9. Рама иа упругом основании
Рис. 6.10. Основная сис-
тема для полурамы (см.
рис. 6.9) и изгибающие
моменты в ней от внешней
нагрузки
Воспользуемся полученными матрицами (6.1), (6.24). Ширина лежащего на
основании стержня 1 м, Е1 = 196 200 кПа, Ло = 29 43О кН-м , / = 2 м.
Вследствие симметрии рамы рассмотрим лишь половину ее. При выборе основной
системы стержень, лежащий на упругом основании, делим на две одинаковые части
(рис. 6.10). Тогда общее число основных неизвестных с учетом симметрии рамы равно
семи. Основная система и эпюра от внешней нагрузки в основной системе метода
перемещений показаны на рис. 6.10. Общее число элементов равно четырем.
Для элементов 1 и 2 используем матрицу жесткости (6.1):
pi	3	3_ 2/2	2/ 2			3 2/2 3	__ _3_~ 2/ [	F]	~ 8	__4_ 9/2	3/ 8	_	8 9/2 4	_4_” ~ з7 4
L-,1 Г'=~Г		2/		L1 : гг= -j-	3	3/	3
1		3	3	1		8	4
						——— 				и		 —
		2/2	2/			9/2	3/
	(Симметрично)		2		(Симметрично)		8 з_
Для стержней 3 и 4 матрицы жесткости будут одинаковыми. Перед их сос-
тавлением проверяем условие а/ = 0,7—1,5: а/=2,0(29 430-1/(4-196 200)) |/4 = 0,88
(условие выполняется). Эти матрицы тоже определяются выражением (6.1) и
отдельно здесь не приводятся.
Для стержней 3 и 4 матрицу жесткости суммируем с матрицей реакций
основания (6.24). Все элементы матрицы умножим на £/2/(35£7) = 0,0171. В резуль-
тате получаем
Е1		0,2223 — 0,0627 0,0228	— 0,0770 0,0371	0,0371п — 0,0171
F3 —F4 —	1		0,2223	— 0,0627
		(Симметрично)		0,0228
144
Матрица жесткости с учетом упругости основания
/' = / = —
Гз I
3.2223 — 3.0627	2,9230 —2,9629'
4,0228 —2,9620	1,9829
3,2223 — 3,0627
(Симметрично)	4,0228 _
Составим матрицы перемещений концов
ииях по направлению дополнительных связей:
стержней при
единичных
перем еще-
	1	0	0	0	0	0	O'		0	0	0	0	0	0	0‘
fll =	0	0	0	0	0	0	0	' (to —	0	1	0	0	0	0	0
	0	0	0	— 1	0	0	0		0	0	0	0	0	0	0
	0	1	0	0	0	0	0.		.0	0	1	0	0	0	0_
0	0	0	—1	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	0	0	10
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	-1	0
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	0	1
.0	0	0	0	0	0	0
Матрицу свободных членов построим по эпюре М^ (см. рис. 6.10):
Яо=[~ 588,6 784,8 — 2354,4 — 588,6 0 0 — 784,8].
Дальнейший расчет состоит в последовательном выполнении матричных операций.
1.	Определение матрицы жесткости всей рамы по формуле (6.5):
Л=4
Кр= £ {аУкак).
k= I
Подставляя числовые значения, имеем
	0,375	-075 4,6667	0 1,3333 6,6895	— 0,375 0,75 3,0627 3,5973	0 0 1,9829 2,9629 8,0456	0 0 — 2,9629 — 2,9230 0 6,4446	0 0 0 0 — 2.9629 — 2,9230
—	I							
(Симметрично)	3,2223
2.	Решение системы уравнений KpZ4-/?o = 0: Zi = 2898,86; Zs =—55,23;
Z3=425,46; Z4= 1439,72; Z6=—2,45; Z6= 1627,87; Z7= 1718.03. Все значения Z,
имеют множитель
3.	Вычисление усилий от узловой нагрузки отдельно для каждого стержня
с помощью матриц жесткости, учитывающих упругость основания (стержни 3 и 4):
Sk = rkVk- Деформации определяются как vt=ai,Z либо по схеме рамы, что, естест-
венно, проще при расчете рам без ЭВМ.
Запишем окончательные значения усилий:
Si =
Mt
Qi
м^
2898,86 '
0
— 1439,72
— 55,23 J
588,60 '
— 1149,63
588,60
— 1204,77 .
145
Si = r2
О
— 55,23
О
425,46 J
El
— 246,82 ’
419,97
— 246,82
. 1060,95 .
S3 = r?
— 1439,72 ’
425,46
1627,87
— 2,45 .
El
— 1191,23 '
1292,57
— 215,92
113,80 .
' — 1627,87 ’
— 2,45
1718,03
’ — 184,62 '
— 114,48
785,00
. -443,41 .
0
I
На рис. 6.11 построены эпюры M%3 и QF- Для стержней 3 и 4 эпюра М кри-
волинейная в силу распределенной реакции основания.
Рис. 6.11. Построение эпюр изгибающих моментов (а) и поперечных сил (6) в эле-
ментах рамы, показанной иа рис. 6.9
4.	Определение усилий от заданной нагрузки. С этой целью эпюры
М'Р и QF суммируются с эпюрами M°F (см. рис. 6.10) и соответственно. На
эпюре Мр приведены средние значения ординат для узлов.
На эпюре поперечных сил в месте стыка элементов 3 и 4 записано среднее значе-
ние Qr.
146
6.2.3.	Плоская задача теории упругости
К плоским задачам теории упругости относят задачи, связанные
с расчетом панелей, протяженных плотин, балок-стенок и др.
Здесь конечные элементы различаются по форме, числу неизвест-
ных в узле, могут быть криволинейными между углами [29], иметь
трещины и т. п. Ниже рассматриваются два элемента: прямоуголь-
ный и треугольный с двумя неизвестными в узле.
Функции перемещений для прямоугольника
и = ft + f2x + fsxy + f<y — 0,5f7y2.1
v = f5 4- fey + f?xy + f3x — 0,5f3x2-, J
(6.26)
для треугольника
u=fi+fix + f3y, v^fi + fex + fey.
Начало координат показано на рис. 6.7.
Матрица жесткости для прямоугольника
	“711	712	713	714	715	— 712	717	— 714	
	722	— 714	724	— 712	726	714	728	
	711	—7)2	717	714	715	712	
	722	— 7(4	728	712	726	
		711	712	713	714	, (6.27)
			722	— 714	724	
				711	— 7(2	
	(Симметрично)				722	
где Г11 = Г1 + г2; Г12=Гб+гб; Г|.з=— rt-\-r2; rl4=r5—re, rl5 =
= —0,5л — г2; л? = 0,5л — г2; г22=гз+г4‘, Г24 = 0,5гз—г-;, г2е =
= —0,5гз —г4; Г28=—гз + л; л = тВх/3; r2 = B/(4m); г3=
= Ву/(Зт); r4 = mB/4; r5=Bv/4; r& = B/4; Вх = ЕхК/у\ Ву=
= Eyh/y; Bv=\xBx = VyBy, B = hG; m=b/a; y= \ —vxvy.
Здесь Ex, Ey — модули упругости материала в направлении осей
х и у; vx, Ху — коэффициенты Пуассона в направлении тех же
осей; G — модуль сдвига; h — толщина пластинки.
Матрица жесткости для треугольного элемента в (6.17):
. Г bjkEx-f-a.2kjyG	akjbjk(VyEy+iiG) 1
Г“ пр1 akibik(vxEx + yG)	a2kjEy4~b2ky,G	J’
Г bjkbkEx dkjdki^G	bjkdkXyEy —dkjbk^xG	~|
L dkjbkVxEx bjkdki^G	dkjdkEy-\- bjkbkiiG	J
?  д Г	bjkbjExИ- dkjdj[iG	bjkQ'j'VyEy dkjbj[iG 1
L	o>kjbjVxEx~\~ bjkdjiiG dkjdjEy bjkbjjxG	J
r-=A Г b2kEx+aky.G	~akbk(vyEy + liG)	1
PL	—dkbk (yxEx 4~ pG) a.kEy4~ bkyG	J’
147
fjk — ^np
rkk
— bjbkEx—akOjH G
akbiVxEx + ajbk^G
b2jEx-\-a2j\LG
. — ajbj^xEx + iiG)
ajbkVyEy-\-akbj\LG
— akbjEx—bjbkvG
—ajbj(vyEy + nG)
ajEy+b^G
Здесь Anp=h/(2\i(ajbk—akbj))-, akj=ak—aj\ bjk=bj — bk. Значения
местных координат a,, bj, ak, bk подставляют в матрицу с соответ-
ствующими знаками.
Матрица усилий для прямоугольного элемента имеет размер
9X8. Она дает значения нормальных усилий в узлах и сдвига-
ющего усилия для середины элемента (в ней те же обозначения,
что и в матрице жесткости):
Н‘х		Г Bx	Bv	Bx	o	o	0	o	Bx "	
		a	b	a					b	
Н'х		Bx	0	Bx	Bx	о	Bx	0	o	
		a		a	b		b			
		0	0	0	Bx	Bx	Bx	Bx	0	
Nx					b	a	b	a		
		0 -	Bx	0	0	Bx	о	Bx	Bx	
Nx			b			a		a	b	
N‘y			Bv	By	Bx	o	0	о	о	By	Vk
		a	b	a					b	
		Bv	0	Bx	By	n	By	n	n	
Ny		a		a	b		b			
№		0	0	0	_By_ b	Bx a	By b	Bx a	0	
N‘y		Л	By	n	о	Bx	о	Bx	By	
			b			a		a	b	
Sxy^		в	в	В	в	В	в	В	в	
		L 2b	2a	2b	2a	2b	2a	2b	2a -1	
(6.28)
Матрица усилий для треугольного элемента имеет размер 3X6
(все усилия относятся к центру тяжести треугольника):
Nx
Ny
Sxy
bjkBx
b jkEv
akjB
ctkjB-v	bkBx	—ctkB
ClkjBy	bkBx	— akB,
bjkB	— OkB	bkB
— bjBx а,Вх
— bjBy a.jBy
ajB	—btB
Vk,
____1_
~ 2Л
где A = Q,5(aibk~akbj).
Матрицы жесткости и матрицы усилий представлены для орто-
тропных пластин в условиях плоского напряженного состояния.
148
Пример 6.3. Определить напряженное состояние защемленной по боковым
краям изотропной панели толщиной h с отверстием при действии силы тяжести
(рис. 6.12). Плотность материала р, v=l/6.
Симметрия панели относительно двух осей позволяет рассмотреть лишь ее
четверть (рис. 6.13), иа которую нанесена сетка и показаны граничные условия
(частота сетки принята по [27]). Все элементы одинаковы и имеют матрицу
жесткости (6.27):
	0,45 0,15	-0.2357	-0.0643	-0,2786	-0,15	0,0643	0.0643
	0,45	0,0643	0,0643	-0,15 -	-0,2786	— 0,0643	— 0,2357
		0,45	-0,15	-0,0643	-0,0643	— 0,2786	0,15
rk = Eh			0,45	0,0643	-0,2357	0.15	— 0,2786
				0,45	0,15	— 0,2357	-0,0643
					0,45	0,0643	0,0643
						0,45	— 0,15
	(Симметрично)						0,45
Сила тяжести панели заменяется узловой нагрузкой (см. рис. 6.13). Нумера-
ция неизвестных перемещений приведена иа рис. 6.14, б. В данном случае общая
система координат совпадает с системами координат отдельных элементов,
поэтому матрицу жесткости для всей панели составляем простым суммированием
блоков из выражения (6.18). Первые три уравнения в блочной форме имеют вид:
(Ги) >|Zi -f- (frf) /1Z2 + (Г„) ziZse +(Л*) dZya + ^i —О,
(r«)4Zl+ [(Л/)д4- (Г„) в] Z? -р (r,i)f,Z;,-) (Г7,)^5б +
+ [(Г»)л+ (г,/) в] Ztb-)- (rik)EZg |о + /?2 = О,
(rfc)fiZ2+ [(гц)б + (б;)в]Лз4- (raJflZi-)- (гц) EZj»-(-
+ [(r»)fi+ (fii)e]Zs 10+ (zitJaZn 12 + /?з =0.
Индексы прн Z указывают номера неизвестных. Если в узле одно из пере-
мещений равно нулю, строки и столбцы блоков напротив нулевых перемещений
вычеркиваются. Приведенные уравнения в числах:
0,45Zi — 0,2357Z2 + 0,0643Z5 + 0,0643Z6 — 0,15Z7 — 0,2786Z8 — 0,25 F/ (Eh) =0;
— 0,2357Zi + 0,9Z2 — 0,2357Z3 + 0,15Z3 — 0,2786Z6 +
+ 0.1286ZS — 0,15Z9 — 0.2786Z, c — 0,5£/ (£/1) = 0;
— 0,2357Z2 + 0,9Z3 — 0,2357Z, + 0,15Z7 — 0.2786Z 8 +
+ 0, 1286Zki — 0,15Zi 1 — 0,2786Zi2 — 0,5/7 (£71) =0-
Полная система уравнений 45-го порядка.
Система уравнений решена по стандартной про-
грамме на ЭВМ. В результате получены пере-
мещения намеченных узловых точек. На рис.
6.14, б штриховой линией показана схема деформи-
рования панели. Прогибы по ее верхней кромке
имеют следующие значения: Zi =34,1 l5F/(Eh);
Z6=32,131F/(£ft); Zl4 = 26,692f/(Eh); Z2S =
= 18,819F/(££); Z34 = 9,414F/(Eh).
OfiL
Puc. 6.12. Стеновая панель
с отверстием
В данном случае из-за совпадения направлений осей общей и местных систем
координат матрицы преобразований ак являются единичными. Поэтому перемеще-
ния отдельных элементов равны перемещениям узлов, к которым эти элементы
примыкают.
Напряжения -вычисляются с помощью матрицы (6.28), усилия в которой
нужно разделить на Л. В связи с тем, что все элементы одинаковы, достаточно соста-
149
вить одну матрицу напряжений:
	"—1,0286 — 0,1714		1,0286	0	0	0	0	0,1714
	— 1,0286	0	1,0286	— 0,1714	0	0,1714	0	0
	0	0	0	— 0,1714	1,0286	0,1714	— 1,0286	0
ЮЕ	0	— 0,1714	0	0	1,0286	0	— 1,0286	0,1714
Nk L	— 0,1714 — 1,0286 — 0,1714	0		0,1714 0,1714	0 — 1,0286	0 0	0 1,0286	0 0	1,0286 0
	0	0	0	— 1,0286	0,1714	1,0286	— 0,1714	0
	0	— 1,0286	0	0	0,1714	0	— 0,1714	1,0286
	L— 0,21-43— 0,2143		— 0,2143	0,2143	0,2143	0,2143	0,2143	— 0,2143
Рис. 6.13. Деление четверти панели (см. рис. 6.12) на элементы
Рис. 6.14. Результаты расчета панели, показанной на рис. 6.12:
а — нормальные напряжения; б — схема деформирования и касательные напряжения
150
Вычислим напряжения, например, для элемента А путем умножения этой
матрицы на вектор перемещений vA:
1 “0 'c "c "c о 'c 1	=N,	1 N N N N N 0 oe	«4	сл	— 	1		0 34,115 -4,541 32,131 -1,797 32,341	F Eh	= PgL	~ —0,460 " — 0,463 — 0,181 — 0,178 — 0,037 — 0,056
0?,		0		0			— 0,009
<4,		Z2		34,515			0,001
— Txn —							. —0,030 _
Эпюры напряжений для ряда сечений изображены на рис. 6.14. Ординаты
касательных напряжений отложены от линии, проходящей через центры элементов.
Все значения напряжений имеют множитель pgL. В скобках для сравнения при-
ведены напряжения, полученные в работе [27]. Для повышения точности вы-
числений следует уменьшить шаг сетки. Тогда концентрация напряжений в углах
отверстия проявится более четко.
6.3.	ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ К РАСЧЕТУ
ТОНКИХ ПЛИТ И ОБОЛОЧЕК
6.3.1.	Расчет тонких прямоугольных плит
Для рассматриваемых ниже плит принимаются справедливыми
гипотезы Кирхгофа — Лява. Материал плит считается идеально
упругим и ортотропным.
Гипотеза о нормальном элементе в простейшем случае приводит
к трем степеням свободы в узле: смещение срединной поверхности
и повороты соответственно в двух взаимно перпендикулярных на-
правлениях. За положительный принят прогиб, направленный вниз.
Положительные углы поворота отсчитываются по ходу часовой
стрелки относительно оси х и против хода часовой стрелки отно-
сительно у, если смотреть вдоль осей из начала координат. При
принятых допущениях матрица жесткости прямоугольного элемен-
та будет 12-го порядка. Неполный бикубический полином, удовлет-
воряющий однородному дифференциальному уравнению изгибае-
мой плиты:
Z (х> У) = f 1 + fex + fay + fa-x2 + fay2 + fexy + fax2y 4-
+ f&xy2 + fgx3 -|- f юу3 + fi ix3y + fi2xy3.	(6.29)
С помощью этого полинома получена матрица жесткости 12-го
порядка по формуле (6.13). В блочной форме матрица представ-
лена выражением (6.18), где каждый блок имеет третий порядок.
Так как матрица симметрична, ниже приведены лишь элементы
верхнего треугольника матрицы, кроме нулевых:
4mDx	4Dy	2D„	\4DK
Гц Г44 = Г77 = Г10 10 = -j--1----j- -|---5- 4- "Z-J
a	mb	ma	Ъта
151
2mDx D. DK
r12= -Г45 = -r78=r10 n= —— 4- — + _ ;
2D, Г|3 ^46	^79 =	<10 12=	. mb	a	+A 5a
4mDx	2Dy Г14~Г7 10_	2 + .2 a	mb	2D.	14D„
	9 ma	5ma2
2mDx Г15	Г24	Г711 = Г810= a 4"		DK 5b ’
Dy Г\6 = Г3ц = —^7 12 = —Г910— —r mb	_ Dv a	Dk 5a
2mDx	2Dy Гп—гл 10—	2	.2 + a	mb	2D. ma2	14DK 5 ma2
	mDx	D.
'18	'27	'411	'510		a	5b '
'19 = —Г37 = Г4 12= —Гб 10 =	d^_ mb	D^ 5a ’
2 m Dx	4 Dy	2D.	14DK
'110	' 47	9	t n a	mb	2 ma	5ma2
Г1 11 = Г2 10= 	— r^ = —Г57	_ mDx	D.	DK
		a	b	5b ’
Г\ 12= — i	Гз 10 = ^49= -	2Dy г&т= , mb	DK 4	- 5а	i
Г22 = Г55	= г 88 = г 11 11	4mDx 3	+	4РК . 15m ’	
Г23 =	= — f 56 = Г 82 -	= —Г11 12 = Dv;		
2mD Г25= Г8 Ц = О	х . DK	г 23 = г 5 11 =	mDx	+-^ 15m ’
	15m ’		3	
2mDx Г 2 11 = Г 58 =	g	4DK	Гзб = г 9 12 =	2D,	4mDK
	15m		3m	15
Dy r39=r6i2= 3m	mDK + 15 ;	ГЗ 12 = Гб9 = 	2D,	mDK
			3m	15 ’
4Dy 4mDK
r33 = r66 = r99 = r12 12=	+ —jg— ,
где Dx = Exh3/(12ц); Dy=Eyh3/(12ц), DK = Gh3/§, D.=vxDx =
= vyDy — жесткости плиты; vx и v,— коэффициенты поперечной
152
деформации материала; h — толщина плиты; р-=1—wvv; m = bla.
В прил. 2 приведена матрица усилий. С ее помощью вычисляют
значения изгибающих моментов в углах элемента и крутящего
момента для его середины. Знак плюс у изгибающих моментов
показывает, что растянуты нижние волокна. В таблице приняты
обозначения:
6/Д	6£)v	2£>х	2£)„	2£>v
a2 b	a y b	a
n 6Dy ( 6£>v n _ Dk n DK n _ 2£>v
b’i/v- &2	4a !	4b ; L>vb- b -
Моменты Mx и My относятся к отдельным элементам. Они,
как правило, имеют разные значения для элементов, примыкающих
к одному и тому же узлу. Значение момента в узловой точке равно
среднему значению от узловых моментов примыкающих элементов.
Если элементы имеют разные толщину и размеры, окончатель-
ный момент в узле определяется как сумма соответствующих мо-
ментов, умноженных на коэффициенты распределения. Приближен-
но коэффициенты распределения можно найти, исходя из жесткости
элементов, по формуле
п
Уь = гк/ I rk,
k=i
(6.30)
где п — число элементов, сходящихся в узле; г* — жесткость
элемента, примыкающего к рассматриваемому узлу (г* соответ-
ствует жесткости угла элемента при его повороте на единицу).
Следует иметь в виду, что коэффициенты у для направлений
х и у могут быть неодинаковыми.
При расчете плит на упругом основании необходима матрица
реакций основания. Для прямоугольного элемента она вычисля-
ется по формуле (6.23) с помощью функции (6.29) (см. прил. 3).
6.3.2.	Расчет скошенных плит
Матрица жесткости (6.18) используется при расчете прямо-
угольных плит. Но в строительстве при проектировании косых
мостов, зданий непрямоугольной формы в плане применяют ско-
шенные плиты. Для их аппроксимации уже недостаточно прямо-
угольных элементов, поэтому вводят треугольные.
При расчете скошенных плит предлагается использовать орто-
гональную сетку. При такой сетке все элементы во внутренней
области будут прямоугольными, а элементы, примыкающие к кон-
турной линии, при прямолинейных границах контура плиты бу-
дут иметь форму прямоугольных треугольников. Ниже для такого
треугольника приведена матрица жесткости. Эта матрица должна
допускать совместное решение с матрицами жесткости прямоуголь-
153
ных элементов, т. е. при ее выводе неизвестными считаются три
перемещения в узле, что приводит к матрице жесткости 9-го
порядка. Однако, как показали вычисления, такая матрица дает
весьма неточные результаты, особенно в случае защемления плит
по контуру.
Поэтому для уточнения решения вводят дополнительный узел
в середине косой кромки, причем учитывают его поворот в плос-
кости, перпендикулярной к этой кромке (рис. 6.15):
dZ
дп
dZ , dZ .
= -=— cos а Н—z— sin а.
дх	ду
Введение дополнительного узла не препятствует совместному
использованию прямоугольных и треугольных элементов, так как
этот узел находится на контурной линии.
С появлением дополнительного неизвестного увеличивается
порядок матрицы жесткости до десятого, поэтому используется
полином с 10 параметрами:
Z — f 1 + fax -\-[зУ + f«x2 -Т fa,у2 + fexy +
-bf7X2^ + f8X4/2 + /gX3~|-/jo4/3— W [/«].
(6.31)
Элементы верхнего треугольника матрицы жесткости приведены
в прил. 4. Порядок обхода перемещений в матрице: Z,, dZ^dx,
dZi/dy, Zj, dZJdx, dZJdy, dZk/dn, Zi, dZfadx, dZi/dy.
Матрица усилий составляется с помощью выражения (6.21).
Изгибающие моменты, являющиеся линейными функциями от х и у,
определяются лишь для узловых точек i, j, I. Крутящий момент
вычисляют для середины косой кромки, т. е. в точке k. Таким
образом, матрица усилий для плиты в форме прямоугольного
треугольника М имеет 7 строк. Число столбцов матрицы равно
десяти. Усилия записаны в следующем порядке: М‘х, М'х, Мх, М‘у,
Му, Му, МХу. Полностью матрица Nk приведена в прил. 5. В матрице
£>22= ~'	2£>х	2aPv п 6РХ	+ 	\2Pvc2
	а	2	>	&'2А	2 b	а		b2 ’
£>25 =	4РХ _ а	2аРхс	2РХ	2 - b2 ; £>26= b (1+c2);		
	-^(1- Ь2 '	n 2ч гч	2bD*		2£>v
iZ28			, A-/33		2 a		b ’
D34 —	6£>х — 2^(1- а2	n	„	12Pxs2 2s ) , £>38 =	2 a	+	6£>v b2 ’
£>39 = '	2РХ , а <1 +	,	2bPxs c2\  D„	,2	4£)v
		S ) , U3 10—	2 a		b ’
£>52= -	2£>„	2aDy	„	6DV b2	a	J		12£>ис2
	а		1	b2 ’
154
4 £>55 = п _ О5.- ь,	D, 2aDuC2 „	2D,	(1+с2); 2D, . b ’
	,2	> а	b (1 — 2с2); £>63= -	b 2bD, а2	
_ 6£>- 1/64 =  о" а	(1—2s2);	£>68=-	\2D,s2 а2	, 6£>у + Ь2
2D, D6S=	 а	(1+s2); £>610=--	2bD,s2 а2'	ь
Замена распределенной нагрузки узловой выполняется по (6.15).
При равномерно распределенной нагрузке и использовании функ-
ции перемещений (6.31) получаются следующие вертикальные силы:
Fi= (3/20)qab-, Fj= (qab/2O) (3+c2); Fi— (qab/20) (3+s2).
В приведенных матрицах с — косинус а, $ — синус а. Остальные
обозначения соответствуют случаю прямоугольного элемента.
Рис. 6.15. Элемент плиты в фор-
ме прямоугольного треугольника
Рис. 6.16. Деление скошенной плиты на
отдельные элементы
Пример 6.4. Найти усилия в изотропной защемленной по контуру плите,
загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис. 6.16).
Коэффициент поперечной деформации v = 0. Разделим плиту при помощи орто-
гональной сетки на 20 элементов двух типов и составим для них матрицы жесткости.
Матрица жесткости для квадратной плиты при v = 0 приведена в прил. 6.
Для треугольного элемента нужен лишь блок г,,:
24/а2
4/а
4/а
4/а
2
0
4/а
0
2
В каждом внутреннем узле, кроме центрального, имеют место три неизвест-
ных перемещения. В центральном узле, где вследствие симметрии нагрузки углы
поворота равны нулю, остается неизвестным только прогиб. Общее число неизвест-
ных для всей плиты—-25. Однако в силу симметрии Zi=Zr, Z4 = Z<; Zt = Z?;
£io=Zio; Zg=—Z9; Zs=—Zsl Zg=—Ze; Zii =—Zu; Za=—Z3; Ze =—Ze;
Zg= — Z9; Z,2=—Z12. В итоге получаем 13 неизвестных. Поэтому, составляя
систему уравнений с 25 неизвестными, приводим подобные члены.
Для треугольных элементов в левой части плиты не совпадают оси местной
155
и общей систем координат, поэтому для блоков матриц этих элементов при-
меняем преобразование (6.20).
Матрица преобразования лля плит имеет вид
	 1	0	0 '
aL =	0	COS (J	sin
		— sin <p	cos (p
где — угол поворота местной системы координат относительно общей. В данном
случае <р=180°. Следовательно,
	1	0	O'
Oi =	0	— 1	0
	0	0	— 1.
Так как в этом примере только один блок г„,
ментов можно сразу сделать преобразование
то для левых треугольных эле-
а*гиа, = £)
'24/а2
-4/а
— 4/а
— 4/а
2
0
—4/а
0
2
Заменим распределенную нагрузку узловой. В узле прямоугольного элемента
сила составляет 0,25 qa2, а в узле треугольного элемента — 0,15 qa2. В оконча-
тельном виде матрица коэффициентов при неизвестных и столбец свободных членов
представлены в прил. 7, где коэффициенты при неизвестных следует умножить
на D.
В результате решения системы уравнений на ЭВМ способом Гаусса получены
прогибы Zi = 0,0749, Z4 = 0,0948, Zt = 0,0327, Zio = O,O798, Zi3 = 0,1533 (общий
множитель qa^/D) и углы поворота Zz = 0,0876, Z3 = 0,1287, Z5=—0,0365,
Ze = 0,0770, Z8=—0,0656, Zg=—0,0025, Zn=0.1259, Ziz = 0,0998 (общий множи-
тель qa3/D). Максимальный прогиб приблизительно на 10% больше, чем прогиб,
вычисленный вариационным методом в работе [16].
Усилия определим с помощью матриц усилий для прямоугольного и треуголь-
ного элементов (прил. 2 и 5). В центре плиты Мх = 0,1887 qa2. Этот момент характе-
ризует среднее значение моментов в углах четырех элементов, которые примы-
кают к центру плиты.
При определении моментов по косой кромке, например в точке А, сначала
с помощью матриц прил. 2 и 5 находим Mxi =—0,2271 qa2, М‘х2 =—0,1916 <?а2,
М‘хз=—0,2271 qa2, а затем по выражению (6.30) вычисляем коэффициенты
распределения:
1,6
£22(1)
Г22( I) + ^99(2) + Гб5(3)	1,64-1,254-1,083
72 = 0,31780; у3 = 0,27542.
В итоге получаем окончательное значение моментов в узле А:
М{=Мх1у\+^‘х2у2 + Мх3уз = —0,2158 qa2.
В направлении оси у коэффициенты распределения определяются аналогично.
Например,
у, =ГЗЗ(1)/(ГЗЗ(1)4“г10 10(2)4“ Гб6<3)) -
Затем, вычисляя моменты для каждого элемента Myl = —0,1916 qa2, M‘z =
=—0,1916 qa2, М'у3 =—0,2271 qa2, получаем Му=—0,2029 ^а2. Учитывая, что
сумма изгибающих моментов в ортогональных направлениях величина постоянная
[16], определяем М„ = М{А~МУ =—0,4187 qa2.
156
6.3.3.	Расчет ребристых плит
Для приближенного расчета ребристых перекрытий с ортого-
нальными ребрами можно использовать матрицу жесткости пря-
моугольного элемента плиты, подкрепленного по контуру эксцент-
рично расположенными ребрами (рис. 6.17). Вводятся общепри-
нятые допущения для плиты и стержней. Принимается, что ребра
присоединены по линиям. Материалы плиты и ребер могут быть
различными. В каждом узле принимаются пять неизвестных пере-
мещений: и, v, w, dw/dx, dw/dy. Последовательность обхода
узлов: i, j, k, I.
Для вывода матрицы используются функции перемещений
(6.26) и (6.29). Матрица имеет 20-й порядок (рис. 6.18). В блоки
второго порядка И1 вписывают соответствующие элементы матрицы
жесткости плоского напряженного состояния (6.27), в блоки г"
третьего порядка — соответствующие элементы матрицы жесткости
изгибаемой плиты (см. § 6.3.1.). Остальные элементы матрицы
жесткости ребристой плиты определяются наличием эксцентрично
расположенных стержней.
Рис. 6.17. Коробчатый элемент
В прил. 8 выписаны ненулевые значения для верхнего треуголь-
ника матрицы.
В матрице жесткости введены следующие обозначения:
Exh
D Eyh	vxExh	VyEyh
,	, D v -—	*—
p	p	P	P
m = b/a, p= 1 — vyvy, B = Gnh\
Cg=Egig+EgAg (eg Zg) + bBxZg/“3
Cq=EqIq + EqAq (eq—zq)2 + aByZq/2>
C°n = En(In-\-Ane2)	(n=i, j, k, e);
(g=i, k) ;
I) ',
Dn —	%ij— %i~Г
/ /1	\	__ / / i i A
Zg = eg/^i+ 3Bg ) ’ z<!~e4 \1+ 3S„/’
i,	j, k, I — номера стержней (см. рис. 6.17); еп — расстояние между
срединной плоскостью плиты и нейтральной линией сечения отдель-
ного стержня.
157
Остальные обозначения общепринятые. При отсутствии ребер
все элементы матрицы жесткости, приведенные в прил. 8, равны нулю.
При расчете ребристых плит, лежащих на упругом винкле-
ровском основании, можно пользоваться матрицей реакций, при-
веденной в прил. 3.
Усилия в стержнях и в плите определяют раздельно, причем
отдельно находят усилия при плоском напряженном состоянии и
изгибе. Окончательные значения напряжений вычисляют путем сум-
158
мирования. Усилия в стержнях от изгиба определяют с помощью
матрицы, приведенной в прил. 9, а продольные усилия по концам
стержней — в прил. 10, где обозначено уп = еп — z„, SgP = 2Bg-\-Exhb,
Bnqp = 2Bq-{-Eyha. Правило знаков общепринятое.
Изгибающие моменты в плите
прил. 2, продольные силы в
углах плиты и сдвигающее
усилие для середины плиты —
прил. 11.
Пример 6. 5. Рассчитать сво-
бодно опертую по контуру квадрат-
ную плиту с ребрами одного направ-
ления. Поперечное сечение плиты
показано на рис. 6.19, а. Материал
плиты и стержней одинаков (Е=
= 2,5- 106 кПа, v = 0,15). Нагрузка
(кН/м) вдоль ребер изменяется по
синусоидальному закону: q(x) =
— (4/л) sin (лх//).
определяют с помощью матрицы
Рис. 6.20. Пологая оболочка из плоских
коробчатых элементов
В поперечном направлении нагрузка постоянная. В силу наличия двух осей
симметрии рассмотрим четверть плиты, разделенную на четыре элемента разме-
ром 4X4 м. Количество неизвестных равно 20. Узловая нагрузка определялась
по формуле (6.15).
На рис. 6.19,6 приведены вычисленные значения продольных усилий Л* в
срединной плоскости плиты в направлении ребер для среднего сечения. Максималь-
ное усилие в центре плиты М?ах = 46 кН/м. Это значение незначительно отли-
чается от результата решения задачи вариационным способом. Прогиб в центре
плиты — 2,114 см.
Матрицу жесткости ребристой плиты можно использовать для
приближенного расчета пологих складчатых оболочек типа изобра-
женной на рис. 6.20. Но в этом случае при составлении матрицы
жесткости всей конструкции нужно для узлов, где имеют место пе-
реломы поверхности, выполнять преобразование (6.20). Причем
целесообразно для каждого угла назначать свою систему коорди-
нат, чтобы матрицы преобразования были однотипными.
6.3.4.	Понятие о расчете оболочек
методом конечных элементов
Расчет оболочек методом конечных элементов существенно
усложняется из-за учета кривизны срединной поверхности. Вывод
матриц жесткости для конечных элементов произвольной оболочки
является исключительно громоздким, поэтому матрицы в явном
виде, как это сделано выше, здесь не приводятся. Для их вычисле-
ния используется численное интегрирование на ЭВМ по специаль-
ным программам.
Первоначально при расчете произвольных оболочек их поверх-
ность аппроксимировалась с помощью плоских элементов, как пра-
вило треугольных. Вершины треугольников располагали на средин-
ной поверхности. При расчете цилиндрических оболочек исполь-
159
зовались прямоугольные элементы, матрицы жесткости которых
приведены в §6.2.3 и в §6.3.1. Объединенная матрица жесткости
имеет размер (20X20):
Г Г(8Х8)	Л
* пл	v
Л	_<12Х12)
v	Z ИЗГ
(6.32)
Аппроксимация плоскими элементами криволинейной срединной
поверхности дает переломы в местах стыков элементов. Наличие
Рис. 6.21. Элемент цилиндрической
оболочки
Рис. 6.22. Конический элемент оболочки
вращения
этих переломов связывает плоское и изгибное напряженные состоя-
ния. При расчете ребристых плит эта связь создается за счет
эксцентричного подкрепления стержней. Однако аппроксимация
плоскими элементами приводит к относительно низкой точности
расчета. Поэтому были созданы элементы, которые учитывают
кривизну оболочки. Более того, в работе [49] показано, что для
криволинейных элементов при выводе матрицы жесткости нужно
учитывать шесть независимых перемещений элемента как твердо-
го тела. При этом подчеркивается, что эти перемещения нельзя
представить полиномами. Для точного описания указанных пере-
мещений необходимо вводить тригонометрические функции, напри-
мер, для элемента цилиндрической оболочки (рис. 6.21)
и
V
W
10	0	0
0 costp —sintp —r(l—cos<p*cos0)
0 sin ф cos<p r cos p-sin ф
— r(cos ф—cos P)
— r sin ф
£ cos ф
— r sin ф -
£ COS ф
^Шф
' sx -
Sy
sz
Ox
0,
Lo2 J
Для описания перемещений точек в срединной поверхности
элемента задаются полиномы вида (6.20) (без последних членов),
а для радиальных перемещений — бикубический полином. Матрица
жесткости получается 24-го порядка. Подобного типа матрица
160
была использована в работе [28] для расчета цилиндрических
оболочек с прямоугольными отверстиями.
Большой класс конструкций представляют оболочки вращения.
При осесимметричном их нагружении расчет существенно упроща-
ется. В этом случае оболочка аппроксимируется цилиндрически-
ми и коническими кольцевыми элементами. Матрица жесткости
8-го порядка для конического элемента (рис. 6.22) приведена в
работе [62]. В качестве функций перемещений приняты: u(s) =
= fi+f2s; v(s) = f3 + fts; w(s)=f5-(-f6s + f7S2 + fgs3; $(s) =dw/ds =
= f6-(-2f7s-j-3fgs2, где s— координаты по меридиану.
Для уточнения расчета можно аппроксимировать кривизну
оболочки по меридиану полиномами, что позволяет сократить
число конечных элементов для получения той же точности, что
при аппроксимации коническими элементами. Для расчета на
произвольную нагрузку в окружном направлении перемещения
разлагают в ряд Фурье, а в меридиальном направлении аппрокси-
мируют полиномами 3-го порядка [85]: «/= (fl/-|-f2/S-|-fз/s2-|-
-|- f4/s3) cos /0; Vj = (fa + f6/s + f7/s2 + fas3) sin /0; ay, = (fa + fl0/s +
+ fn/s2-|-fi2/s3) cos/0, где j — номер члена ряда при разложении
по окружной координате 0; s = S/lk — безразмерная меридиаль-
ная координата; Ik — длина дуги меридиана /г-го конечного элемента.
Так как на внешних кромках только восемь неизвестных, а
параметров fn двенадцать, то для их определения между внешни-
ми кромками вводят два узла, для которых определяют только
перемещения и и v.
В последние годы для расчета оболочек составлены специаль-
ные программы, которые учитывают и динамическую нагрузку и
наличие подкрепляющих ребер [32].
6.4.	ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
И УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
6.4.1.	Решение задач динамики стержневых систем
При решении задач динамики методом конечных элементов
реальная стержневая система с бесконечный числом степеней сво-
боды заменяется системой с конечным числом степеней свободы.
Замена может производиться путем сосредоточения распределен-
ной массы конструкции в определенных узлах или сечениях. При
таком подходе матрица масс всей системы получается диагональной.
Результат будет более точным, если распределенную массу заме-
нять узловой из условия равенства возможных работ сосредото-
ченных и распределенных инерционных сил на принимаемых для
каждого элемента перемещениях [29]. Указанную операцию выпол-
няют в матричной форме. Порядок матрицы масс, называемой экви-
валентной, для каждого элемента получается таким же, как для
матрицы жесткости.
Ниже рассматриваются лишь линейные колебания стержней без
6. Зак. 1810
161
учета инерции вращения. Матрица эквивалентных масс для произ-
вольного элемента имеет такой же вид, как для упругого основания
(6.23):
Мк = (Д-')‘ J VTmoWA-'dA.	(6.33)
А
Здесь лишь k заменено на т0 — массу конструкции на еди-
ничной площади.
Матрицу масс для всей конструкции составляют по той же
методике, что и матрицу жесткости, т. е. из матриц масс отдельных
элементов:	р
М= £ (akMkak).	(6.34)
t=i
Если в системе есть сосредоточенные массы, их добавляют
к соответствующим диагональным элементам матрицы М.
Для определения частот свободных колебаний системы выпол-
няют обращение матрицы жесткости К и составляют характе-
ристическое уравнение
|К“'Л1-Х/Е|=0,	(6.35)
где К-1 — матрица податливости системы; М—матрица масс
системы (6.34); Е — единичная матрица; Х7-=1/со? (со/ — частота
свободных колебаний системы).
Порядок характеристического уравнения зависит от числа
степеней свободы, которое определяется числом основных неизвест-
ных метода перемещений. Корни уравнения (6.35) получают по
стандартным программам с помощью ЭВМ. Часто одновременно
с корнями находят и собственные векторы, которые позволяют
построить формы колебаний стержневой системы для каждой
частоты. Для определения низшей частоты собственных колебаний
системы можно использовать приближенные методы.
При динамическом расчете конструкций методом перемещений
уравнения для определения перемещений примут вид
[K-62Af]Z+/?o=O,	(6.36)
где 6 — частота вынужденных колебаний.
Затем вычисляют усилия. Например, для стержней их нахо-
дят из выражения
Sk=(rk-e2Mk)akZ+Sl	(6.37)
В (6.37) S°—матрица усилий в расчетных сечениях стержня
от неузловой нагрузки.
Масса прямолинейных стержней постоянного сечения равномерно
распределена по длине стержня. В силу совпадения выражений
(6.33) и (6.23) после замены k на т0 из (6.24) и (6.25) легко
получить матрицы эквивалентных масс для стержней двух типов.
162
Пример 6.6. Определить низшую частоту собственных колебаний рамы,
изображенной на рис. 6.23, а.
Сначала следует выбрать основную систему и составить исходные матрицы.
Основная система с двумя неизвестными приведена на рис. 6.23, б. Матрица для
Рис. 6.23. К расчету рамы методом перемещений:
а— заданная рама; б — основная система
стержня АВ дана в выражении (6.1), а для других стержней — в (6.2):
Гав = Е1
12/125	—6/25
4/5
(Симметрично)
12/125	—6/25
— 6/25	2/5
12/125	—6/25
4/25
Гвс=Е1
3/64	3/64
3/64
(Симметрично)
-3/16
— 3/16
3/4
Гсо=гве—Е1
1/36	1/36
1/36
(Симметрично)
-1/6
-1/6
I
Матрица эквивалентных масс стержня АВ представлена матрицей (6.24), а
для остальных трех стержней — матрицей (6.25):
Л4л,) = то
13/7	—55/42
25/21
(Симметрично)
—9/14	65/84
65/84	-25/28
13/7	—55/42
25/21
Мвс=т0
33/35	— 39/70
68/35
(Симметрично)
22/35
— 48/35
128/105
Met) — МвЕ — Матрицы перемещений правлению дополнительных деформирования рамы (рис				' 99/35 —117/70 99/35 204/35 —216/35 (Симметрично)	288/35 концов стержней при единич связей строятся для каж; 6.24):			ных юго		перемещениях по на- стержня по схемам		
плв=	0	0	' 0	0 0	5/4 Li	о	.	; аВс—	 ( с .	0 ' — 1 0 -	; о. со—	’0	—3/4’ 0	0 .0	0 .			°ВЕ =	 0	0 0	—3/4 . 1	0	.	
163
Далее выполняются следующие матричные операции.
1.	Формируется матрица жесткости всей системы по выражению (6.5):
Г 51/20	1/80 1
[1/80 73/320 ]
Рис. 6.24. Схемы деформирования рамы (см. рис. 6.23) при единичных перемещениях:
а — при Zi = l; б — при Z2— I
2.	Определяются матрицы эквивалентных масс для всей системы по фор-
муле (6.34):
- Г 9,41905 4,36310 1
-"Ч 4,36310 9,71429 J'
К этой матрице добавляется матрица сосредоточенных масс, обусловленных сме-
щениями стержней ВС и BE вдоль их осей как твердых тел. При этом изменя-
3
ется лишь значение элемента М??: М22 = ^тч —Ь6-2/По-1 = 15т0.
Следовательно, окончательно матрица масс принимает вид
Л£=то
9,41905	4,36310 1
4,36310 24,71429 J
3.	Производится обращение матрицы К и выполняется проверка обращения:
1 Г 0,39226 — 0,02149 1
EI L —0,02149	4,38462 J
КК'—Е.
4.	Определяется произведение К. 'М и записывается характеристическое
уравнение
3,60095	- Ху 1,18034 ~
EI	EI
= 0.
18,92812-—-	108,26901—Ху
El	Е1
5.	Решение уравнения:
X2- 111,86996	,4-367,52967(
2
= 0;
Хтах= 108,48198; Xniin = 3,38798-^.
Низшая частота собственных колебаний рамы <лтш=	= 0,096д/£7/то-
Собственный вектор для o>min, равный [1 89]*, дает форму колебаний рамы, прак-
тически совпадающую со схемой на рис. 6.24, б.
164
Пример 6.7. Определить усилия в раме, изображенной на рис. 6.25, а,
при действии вибрационной нагрузки. Частота вынужденных колебаний рамы 0 =
= 0,39268 ^Е1/т0. Эта величина составляет приблизительно 0,7 от низшей часто-
ты собственных колебаний рассматриваемой рамы.
Рис. 6.25. Рама, загруженная динамической нагрузкой (а), ее основная система
(б) и эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (в)
Матрицы жесткости всех элементов соответствуют матрице (6.1):
	’ 0,1875 -0,3750	0,1875	-0,3750
Где—гЛ[)=Е1	1.0	—0,3750 0,1875	0,5 — 0,3750
	(Симметрично)		1,0
	'0,4444 —0,6667	0,4444	— 0,6667
Где=Гве=Е1	1,3333	— 0,6667 0,4444	0,6667 — 0,6667
	(Симметрично)		1,3333 -
Матрицы масс для всех элементов соответствуют матрице (6.24):
	' 1,4857 —0,8381	— 0,5143	0,4952
Л1дС==Л1др—то	0,6095	0,4952 1,4857	-0,4571 — 0,8381
	(Симметрично)		0,6095 -
	1,1143 -0,4714	— 0,3858	0,2786 '
Л1д £ = Af = w?o	0,2571	0,2786 1,1143	— 0,1929 — 0,4714
	(Симметрично)		0,2571 .
Матрицы а/, формируют по схемам деформирования
ремещениях (схемы эти очень просты, поэтому они
рам при единичных пе-
здесь не приводятся):
165
Далее выполняются матричные операции.
I. Формируются матрицы жесткости для
= г*-62Л1*):
динамического расчета (гГ =
r%c=r%D = EI
0,0416 —0,2458
0,9060
(Симметрично)
0,2668 — 0,4514
— 0,4514	0,5705
— 0,0416 —0,2458
0,9060
0,2726 —0,5940
r^=r'i]£=EI
1,2937
(Симметрично)
0,5039 — 0,7096 '
— 0,7096	0,6964
0,2726 — 0,5940
1,2937 .
2.	Составляется матрица свободных членов
/?,*,= [0 0 -А|.
3.
(6.5):
Формируется матрица жесткости для всей системы
с помощью выражения
К=£/
3,1057 0,6964 — 0,7096
2,5874	0
(Симметрично) 0,5452
4.	Решается система уравнений (6.36):
0,6525
-0,1756
2,6833 .
5.	Определяются усилия в отдельных элементах по выражению (6.37) (здесь
S“ = 0):
-0,295
0,372
— 0,160
0,591
S^c— Sad—
’	1,089 '
— 1,182
0,373
. —1,367 .
-0,627
1,367
-1,228
1,782
На рис. 6.25, в представлены эпюры изгибающих моментов и поперечных сил,
построенные по этим матрицам (множитель F опущен). Штриховой линией пока-
зана эпюра MF при статическом приложении силы F. Из эпюры Q следует, что
эпюра моментов должна быть криволинейной, так как инерционные силы явля-
ются распределенными.
166
6.4.2.	Решение задач устойчивости
стержневых систем
При решении задач устойчивости сооружений с применением
МКЭ в основу расчета можно положить энергетический метод, в со-
ответствии с которым задают форму потери устойчивости конструк-
ции и вычисляют для нее полную энергию. В отличие от обще-
принятой процедуры при использовании МКЭ задание формы по-
тери устойчивости и вычисление энергии производится для отдель-
ных элементов, а затем последняя суммируется для всего со-
оружения. В качестве независимых параметров принимают основные
неизвестные метода перемещений.
Выражение полной энергии всего сооружения для заданной
формы потери устойчивости в матричной записи имеет вид
Е= -±- 2TKZ- ~ Z*YZ,	(6.38)
где К—матрица жесткости системы; Z — матрица перемещений;
У — матрица потенциала нагрузки.
В выражении (6.38) первый член представляет собой потен-
циальную энергию деформации, равную работе внутренних сил,
а второй член — потенциал нагрузки, равный работе внешних сил.
В соответствии с идеей энергетического метода приращение
энергии для системы, находящейся в безразличном состоянии рав-
новесия, равно нулю:
НЕ
~=KZ-YZ=().
dZ
В результате получаются однородные уравнения относительно Z,.
Так как при потере устойчивости системы Z,=#0, то определитель
I К-У 1=0.	(6.39)
При решении задач устойчивости принимают, что изменяю-
щаяся нагрузка пропорциональна одному параметру F. Этот па-
раметр можно представить как общий множитель к элементам
матрицы У:
1К-£Уо1=О.	(6.40)
Решение задачи устойчивости можно свести к проблеме соб-
ственных значений. С этой целью выражение (6.40) надо разде-
лить на F и умножить на К-1. В результате
К“'Уо--^£ =0,	(6.41)
где Е — единичная матрица.
Если ввести обозначения X=l/F и £=К-|Уо, выражение (6.41)
примет вид характеристического уравнения, такого же, как при
определении частот свободных колебаний системы:
IL-Л£|=0.	(6.42)
167
При нахождении корней характеристического уравнения (6.42)
используются те же стандартные программы и последователь-
ность операций, что и при определении частот свободных колеба-
ний конструкций. Роль матрицы масс в этом случае играет мат-
рица потенциала нагрузки. Часто требуется найти лишь /?miI1.
Этой критической силе соответствует значение Хтах, которое можно
найти любым приближенным способом (например, методом по-
следовательных приближений, путем двусторонней оценки с по-
мощью следов матриц и др.).
Матрицу жесткости в определителе (6.39) составляют по ме-
тодике, изложенной в §6.2.1. Работа внешних сил, т. е. матрица
У, определяется так же, как и энергия деформации, — путем сум-
мирования работы внешних сил для отдельных элементов:
р
Y=	X (akYkak),	(6.43)
k=t
где at матрица преобразования узловых перемещений отдель-
ного элемента; Yk — матрица потенциала нагрузки для отдельного
элемента.
Чтобы определить потенциал нагрузки для одного элемента,
нужно знать форму потери устойчивости и вид нагружения эле-
мента. При этом вводят все допущения, принимаемые при реше-
нии задач устойчивости, например, методом перемещений.
Пусть форма потери устойчивости элемента описывается функ-
цией Z(s), а усилия в элементе от заданной нагрузки — матрицей F.
Эти усилия совершают работу на перемещениях, которые, как
известно, являются квадратами первых производных функции Z(s).
Работа внешних сил, записанная в матричной форме,
В это выражение подставляют значение первой производной
dZ/ds = G[fn], или dZ/ds = GA~{, где А-1 — матрица параметров
fn, определяемых из граничных условий. В результате матрица
потенциала нагрузки для любого одного элемента [51]
Yk\ (A-XG'FGA-'ds.	(6.44)
s
Здесь А-1 имеет прежнее значение; G — матрица элементов функ-
ции перемещений Z(s) после дифференцирования.
Особенность матрицы (6.44) состоит в том, что ее элементы —
функции нагрузки, и поэтому она может быть различной для одного
и того же элемента в зависимости от вида его нагружения.
Рассмотрим задачи устойчивости систем, состоящих из прямо-
линейных стержней постоянного сечения. Для описания формы
потери устойчивости одного элемента, у которого по концам нет
шарниров, принимается следующая функция с четырьмя произволь-
на
ними параметрами fn:
т i \ Fl	зхх . ЗТХ ] re j
Z(x) = l 1 х cos—— sin—-j— J [/rd -
(6.45)
В отличие от (6.9) эта функция в раде случаев дает точное зна-
чение критической нагрузки. Дифференцирование выражения (6.45)
по х дает
dZ
dx
„ ,	л . их	л лх
О 1---------J- Sin —j— —j— COS —-j—
[M = G [/=„]. (6.46)
Для определения параметров fn нужно проделать ту же после-
довательность матричных операций, что и при выводе матрицы
жесткости. При этом за положительные принимают перемещения,
соответствующие вращению стержня по ходу часовой стрелки.
Чтобы получить матрицу Yk из выражения (6.44), которое для
данного случая примет вид
Yk= (А-')*[ $ G’fGdxjA-1,	(6.47)
о
нужно задать напряженное состояние стержня. Если он загружен
постоянной продольной силой,	Окончательное выраже-
ние матрицы потенциала нагрузки для прямолинейного стержня,
загруженного постоянной продольной силой, с учетом (6.46)
имеет вид
8/	2	16
1	л2 / л2	\ I
2	16~ \ ~4	/"8
л2	1	л2
”8Г	~2	ЙГ
. (6.48)
(Симметрично)
Поскольку форма потери устойчивости элемента определяется
функцией (6.45), следующую исходную матрицу — матрицу жест-
кости— составляют для этой же функции по выражению (6.13):
	' 1 /2	1 2/	1 /2	1 2/	
л4£/ — 8/		_L + _L 4	' л2		1_ 2/ 1	J	1_ 4	л2 1	. (6.49)
	(Симметрично)		/2	- 2/	
169
Если стержень, входящий в систему, не нагружен продольной
силой, матрица потенциала нагрузки (6.48) будет нулевой. Для
таких стержней в случае их изгиба при потере устойчивости сис-
темы нужно использовать матрицу жесткости (6.1), так как она
дает точное значение реакций при отсутствии продольной силы.
Как и при решении задач динамики, для стержня с шарниром
на одном конце можно понизить порядок матрицы потенциала
нагрузки и матрицы жесткости. Для описания формы потери ус-
тойчивости такого стержня принимают функцию с тремя членами.
Z(x) = [l х cos-y-J [f„]
(6.50)
(начало координат расположено на защемленном конце стержня.)
В отличие от функции, приведенной в §6.2.2, эта функция обеспе-
чивает более точный результат при решении задач устойчивости.
Повторяя вывод матрицы потенциала нагрузки и матрицы жест-
кости для функции (6.50), получают:
Yk = F
81
л2
т
(Симметрично)
(6.51)
_ л4£/
Гк~ 32/
1
/2
J_
/2
(Симметрично)
_1
/
£
I
1
(6.52)
Порядок обхода перемещений в матрицах: Z„ Zj, Z'r
Если продольная сила отсутствует, матрица Yk будет нулевой.
В матрицу жесткости (6.52) такого стержня вместо л4Е7/(32/)
войдет множитель 3EI/1, и она совпадет с матрицей, приведенной
в §6.2.2.
Пример 6.8. Найти значение критической нагрузки для рамы (рис. 6.26) [7].
Сначала составим исходные матрицы. Матрица жесткости стержня BD представ-
лена матрицей (6.49). Матрицы жесткости остальных стержней определяются по
(6.1). Матрицу потенциала нагрузки (6.48) составим только для стержня BD,
так как для остальных стержней эти матрицы нулевые. По схемам деформирования
рамы (углы поворота задаем по часовой стрелке, а линейное смещение — влево)
запишем матрицы:
Яав—
я вс—
0
0
0
. 0
0 0
1 0
о о
0 1 .
- 0
о
о
о о
о о
1 о
170
Ubd=
О
1
О
о
О '
о
о
о .
Осе =
О О 
О 1
о о
о о .
О
О
О
О
О
О
Далее выполняются матричные операции.
. Рис. 6.26. К расчету рамы с узловой нагрузкой:
а — заданная система; б — основная система метода перемещений
1.	Формируется матрица жесткости всей системы
_ Е1_
~ I2
24,1761//	6.0881	6
11,2777/ 2/
(Симметрично) 8/
2.	Составляется матрица потенциала нагрузки для всей системы
а.ви^ bdUbd = F
1,2337// 0,1169
0,1834/
(Симметрично)
0 '
0
0
Приведенную выше методику целесообразно использовать для матриц вы-
сокого порядка. В данном случае проще сразу составить определитель (6.39).
Его раскрытие приводит к квадратному уравнению относительно F:
F2 —74,4639-^-£+898,3375f -^-Y = 0,
Г	\ Г /
минимальный корень которого Erain= 15,14£///2. Решение задачи методом переме-
щений с помощью трансцендентных функций дает Fmm=i5,iEI/l2. Результат, по-
лученный с помощью функции (6.9), Fmin=15,41£///2 [7].
При линейном изменении нагрузки по длине вертикального
стержня матрица F имеет вид
F=ql(l-x/l) [1],	(6.53)
где q — сила тяжести стержня единичной длины (начало коорди-
нат на нижнем конце стержня).
Пусть, например, требуется получить матрицу потенциала на-
грузки для стержня, защемленного внизу и имеющего шарнирное
опирание на верхнем конце. Для описания формы потери устой-
чивости принимается функция (6.50). На основании выражения
171
(6.47) с учетом (6.53) получают следующую матрицу:
Yk = ql
/_!		< 1	1 >	л2	5	2	л2
к 4	л2 ) 41	< 4	л2 >	41	4	л	16
	( 1	1 >		5		2	л2
(Симметрично)	к 4	л2 >	41	4 '4+ < 16	л 4 л	16 -1)'.
(6.54)
Матрица жесткости в этом случае определяется матрицей (6.52),
также полученной с помощью функции (6.50).
Пример 6.9. Определить критическую нагрузку для консольного защем-
ленного внизу вертикального стержня постоянного сечения, нагруженного
силой F на свободном конце, с учетом его силы тяжести q. Силы F и q связаны
соотношением F = 2ql, где / — длина стержня.
Решается задача с одним неизвестным (линейное перемещение верхнего конца).
Так как рассматриваются два вида нагружения, при решении используем матрицы
потенциала нагрузки (6.51) и (6.54) и матрицу жесткости (6.52), из первых эле-
ментов первых строк которых и составляется определитель (6.39):
п'Е!
32/3
Отсюда /?rair = 2,148£///2. Этот результат на 2,9 % меньше результата, приведен-
ного в [72], но получен он более коротким путем. При <? = 0 значение Fmin совпа-
дает с точным.
При реализации изложенного подхода следует помнить, что
он приводит к относительно точным результатам при общепри-
нятых основных неизвестных метода перемещений только для сво-
бодных рам [7]. В случае расчета несвободных рам, т. е. рам без
линейных смещений узлов, для получения более точного резуль-
тата необходимо делить сжатые стержни по крайней мере на два
элемента.
6.4.3.	Определение частот свободных колебаний
прямоугольных и скошенных плит
Матрица жесткости прямоугольной плиты приведена в §6.3.1.
Матрица эквивалентных масс определяется выражением (6.33).
Для элемента постоянной толщины масса то на единичной площади
является величиной постоянной. Тогда выражение (6.33) примет
вид выражения (6.23), в котором нужно лишь k заменить на то.
В результате матрица эквивалентных масс будет аналогична мат-
рице реакций упругого основания, приведенной в прил. 3. Ход
расчета, естественно, в этом случае такой же, как и для стержне-
вых систем.
172
Пример 6.10. Определить низшую частоту свободных колебаний квадратной
изотропной плиты, свободно опертой по контуру, при коэффициенте поперечной
деформации, равном нулю.
Искомой частоте будет соответствовать симметричная форма колебаний, поэ-
тому, разделив плиту на четыре одинаковых элемента, рассмотрим лишь четверть
плиты. Примем начало координат в центре плиты, т. е. в узле i элемента (см. рис.
6.7, в). В данном случае неизвестными являются прогиб узла i и углы поворота
в узлах j и I. Обозначим эти перемещения через Zi, Z2 н Za. Так как квадратная
плита имеет еще и диагональную ось симметрии, то Z2=Zz. В итоге остается два
неизвестных перемещения (две степени свободы).
Составим исходные матрицы и выполним необходимые вычисления для отдель-
ного элемента.
1.	Матрица жесткости рассматриваемой системы в обозначениях элементов
матрицы жесткости одного элемента
или в числовом виде при v = 0 и a=0,5Z (Z— длина стороны плиты)
Г 10,8/а2 4,4/а]
* DL 2,2/а	1,6 I '
2.	Матрица масс для элемента, составленная по прил. 3:
а2т0 Г 1727/2520	— 2-137а/2520 ]
М 5 L — 137а/2520	а2/63	J ’
Множитель 2 во втором элементе первой строки учитывает элемент т, 12 (D —
цилиндрическая жесткость плиты).
3.	Обратная матрица жесткости
а2 Г 1,6	— 2,2/а]
7,60 I —4,4/а 10,8/а2 ]_
4.	Произведение К1М и характеристическое уравнение:
, a'l"io Г 1,21613	— 0,20888а]
А — 38D I — 3,60260/а	0,64981 1 ’
I 1,216136 —	— 0,20888а6 I
I — 3,602606/а 0.649816 — | —
(при 6 = а4тс/(38О)).
5.	Корни квадратного уравнения Л?—1,8659461,+ 0,0377462 = 0: Л| = 1,845496,
Х2 = 0,020456. Низшая частота свободных колебаний плиты
= / 1 =	/	38D	_ <54	_ 18,16 /~5~
“m,n у	у 1,84549а4 огс	а2 V то f \ т0
Точное значение o>rain= (19,74/Z2) -\И)/то. Расхождение получилось равным 8 %, т. е.
деление плиты только на 4 элемента дало относительно грубый результат.
При определении частот свободных колебаний скошенных плит
необходимо иметь матрицу эквивалентных масс для элемента в
форме прямоугольного треугольника (см. рис. 6.15).
Матрица эквивалентных масс (6.33) для треугольной плиты
с равномерно распределенной массой то
Мк = (1) ‘ [ т0 f " 'f'а)Х WWdxdy ] А~1.
о о
(6.55)
173
Матрица (6.55) имеет 10-й порядок и является симметрич-
ной. Элементы верхнего треугольника матрицы (все они имеют
множитель afemo/10 080) приведены в прил. 12.
Следует иметь в виду, что выражение (6.55), как отмечалось
ранее, по форме совпадает с выражением матрицы реакций упру-
гого винклеровского основания с постоянным коэффициентом пос-
тели k. Поэтому описанные выше элементы можно использовать
для расчета плит на упругом основании, заменив в общем мно-
жителе т0 на k.
Пример 6.11. Определить низшую частоту свободных колебаний ромбо-
видной защемленной плнты постоянной толщины. Плита является изотропной, v = 0,3.
Решим задачу с одним линейным перемещением в центре плнты. С этой целью
разделим ромб на восемь прямоугольных треугольников (рис. 6.27). Низшей частоте
Рис. 6.27. К расчету ромбической плиты МКЭ
соответствует симметричная форма колебаний плиты, которая имеет две оси сим-
метрии, что позволяет рассматривать одну ее четверть. Она состоит из двух
треугольников L и /. В узлах 1г и в центре плиты углы поворота равны нулю. Таким
образом, остается одно неизвестное — прогиб в центре плиты.
Выразим размеры элементов через длину стороны ромба /: aL = l cos230° = 0,75Z;
bL=a]=l cos 60°-cos 30°=0,433Z; fey = Z cos260° = 0,25/ (для обоих треугольников <х =
= 60°, sina = 0,866, cosa = 0,5). Отношение сторон m = b/a = 0,57735.
Для треугольника L следует определить (см. § 6.3.2): r88=62,3555D//2;
т88=363,89 Imo/2/10 080; для треугольника	/ — г« = 39,26О//2;	т‘ц=
= 101,81 lmo/710 080.
Вычислим матрицу жесткости и матрицу масс для четверти плиты. В данном
случае они имеют первый порядок:
К=г|8+г{4= 101,6155D//2; M=m^4-m^ = 465,702m(l/2/10080.
Из выражения (6.35) получаем
<щ = (46,90/Z2) д/D/mo.
В [23] для такой плиты числовой множитель перед корнем равен 50,86. Расхожде-
ние составляет 7,79 %.
174
6.5. МЕТОД СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
6.5.1.	Основы метода суперэлементов
Применение МКЭ к расчету сложных пространственных конст-
рукций приводит к целому ряду трудностей, главная из которых —
необходимость представления конструкции большим числом конеч-
ных элементов и обработки вследствие этого большого объема
информации, что не всегда соответствует быстродействию и объему
запоминающих устройств ЭВМ.
Для устранения этих трудностей предложены различные мо-
дификации метода конечных элементов, имеющие целью умень-
шить объем вводимой и хранимой в памяти ЭВМ информации,
понизить порядок разрешающей системы уравнений и увеличить
вычислительные возможности программ. Наиболее плодотворной
оказалась идея суперэлементов. Она основана на представлении
сложной конструкции в виде набора подконструкций (подструк-
тур), каждая из которых заменяется совокупностью базисных
конечных элементов и описывается в выбранной для нее удобной
системе координат. Каждая из подструктур рассчитывается
отдельно при закрепленных общих с другими структурами границах.
Результатом этого расчета является получение матрицы жестко-
сти подструктуры и матрицы нагрузок в ее узлах. Подструктура,
для которой такие матрицы определены, называется суперэлемен-
том.
Далее составляют систему уравнений для связей на границах
суперэлементов, выражающую условия равновесия всей конструк-
ции как совокупности суперэлементов. Эта система уравнений со-
держит значительно меньше неизвестных, чем система уравнений
МКЭ. На этом завершается так называемый прямой ход расчета.
На обратном ходе расчета каждую из подструктур рассчи-
тывают при заданной нагрузке и найденных на прямом ходе пе-
ремещениях ее граничных узлов. Такой расчет выполняется без
особых затруднений, так как подструктуры всегда описываются
системой уравнений невысокого порядка. С позиций классическо-
го метода перемещений в изложенном подходе используется ки-
нематически неопределимая основная система метода переме-
щений.
При расчете сложных и больших по объему конструкций пред-
ставление их в виде совокупности подконструкций одного уровня
может оказаться недостаточным из-за большого порядка уравне-
ний, описывающих расчетную схему каждой из подконструкций.
Поэтому расчетная схема в этом случае строится в несколько
этапов. Исходная конструкция может быть представлена при этом
в виде совокупности иерархически построенных суперэлементов
нескольких уровней. Число этих уровней определяется как предпо-
лагаемой точностью решения, так и возможностями используе-
мой ЭВМ.
175
6.5.2.	Построение матрицы жесткости и матрицы
узловых нагрузок для суперэлемента [31]
Если конструкция разбита на несколько подконструкций, рас-
сматриваемых как суперэлементы n-го уровня, любой из этих
суперэлементов может быть разбит на некоторое количество су-
перэлементов от (п — 1) -го до первого уровня, состоящих только
из базисных конечных элементов (суперэлементов нулевого уровня).
При объединении нескольких суперэлементов (/— 1)-го уровня
в суперэлемент /-го уровня система уравнений равновесия соответ-
ствующей подконструкции может быть представлена в виде
KZ=F,	(6.56)
где К— общая матрица жесткости подструктуры, состоящей из
нескольких суперэлементов (/-Ь1)-го уровня; Z — вектор узловых
перемещений подструктуры; F — вектор узловых нагрузок, дейст-
вующих на подструктуру.
После разделения узловых перемещений (неизвестных) на
внутренние (/) и граничные (расчетные) (/) выражение (6.56) можно
представить в блочном виде:
KZ—F,	(6.57)
где
К,. К,/
Кп Л//
общая матрица жесткости подструктуры с перенумерованными
неизвестными;
векторы узловых перемещений и узловых нагрузок с перенуме-
рованными компонентами; Z, — вектор перемещений внутренних
узлов; Zt — вектор перемещений граничных узлов; F, — вектор
нагрузок, приложенных к внутренним узлам; Ft — вектор нагрузок,
приложенных к граничным узлам; Kst — блоки матрицы жесткости,
соответствующие реакциям в связях узлов t при единичных сме-
щениях узлов s.
Здесь под внутренними понимают узлы, неизвестные переме-
щения которых исключаются. Соответственно под граничными по-
нимают все узлы, неизвестные перемещения которых подлежат
определению (расчетные узлы).
После исключения из зависимости (6.57) вектора внутренних
перемещений подконструкции
[Кц - Ый ’Ки] Z,=F, - KtiK^ 'Ft,
или KtiZt=Fi, где	КкК,7'Кп — матрица граничных жест-
костей суперэлемента /-го уровня; Ft=Fi — KuK^'Ft — вектор
176
граничных узловых нагрузок для суперэлемента Z-го уровня.
Процесс исключения неизвестных группы i в системе уравнений
(6.56) называется статической конденсацией неизвестных к гра-
ничным узлам суперэлемента. Его результатом является преобразо-
вание матриц жесткостей и векторов узловых нагрузок супер-
элементов (/—1)-го уровня в матрицу жесткости и вектор узло-
вых нагрузок суперэлемента /-го уровня. Этот процесс начинается
с суперэлемента нулевого уровня и повторяется до тех пор, пока
не будет сформирована матрица жесткости суперэлемента п-го
уровня, т. е. всей конструкции в целом.
На обратном ходе, начинающемся с рассмотрения суперэле-
мента высшего уровня, по известным граничным перемещениям
находят из (6.57) перемещения всех внутренних узлов супер-
элементов:
Z^Ku'Fi-Ka'KuZi.	(6.58)
С помощью обычной процедуры МКЭ по найденному полному
вектору перемещений (6.58) для всех суперэлементов нулевого
уровня (базисных конечных элементов) вычисляют компоненты их
напряженного состояния.
6.5.3.	Варианты общей схемы конденсации
неизвестных в граничных узлах суперэлемента
Для того чтобы записать уравнение (6.56) в форме (6.57),
проводят оптимальную перенумерацию внутренних узлов подструк-
туры и им присваивают новые номера от единицы до т, где m —
общее количество внутренних узлов подструктуры. Граничным узлам
присваивают последние номера от m-j-l до п, где п — общее ко-
личество узлов в рассматриваемой подструктуре.
Переход от формы записи (6.56) к форме (6.57) с перенумеро-
ванными неизвестными выполняют с помощью специальной мат-
рицы преобразования, имеющей тот же порядок, что и матрица
жесткости К в (6.56). Матрицу преобразования строят путем пе-
рестановки единиц из каждого столбца единичной матрицы в дру-
гую строку, соответствующую новому номеру неизвестного.
Пусть, например, матрица X имеет следующую структуру:
/С11	/С12	К13	/С|4	1
/С21	/С22	/С23	/С24	|
Кз\	/Сз2	/Сзз	/С34
/С41	/С42	/С43	/С44
Неизвестные Zi и Z3 принимают за граничные, a Z2 и Z4 — за
внутренние. Их перенумерация выглядит так: Z(=Z3, Z3=Z4,
Zi = Zi, Z4=Zi. Соответственно единичная матрица четвертого
177
порядка преобразуется к следующему виду:
О 1 I 0 0 '
О 0 | 0 1
1 О 1 о о
-OOI1O.
Выполнение операции ЁКЁ*
приводит к получению матрицы
*22
*42
*12
*32
*24
*44
*14
*34
*21	*23
*41	*43
*п К1з
Кз1 *зз -
с требуемой структурой блоков.
Реальные конструкции, как правило, обладают симметрией и
регулярностью, т. е. имеют в своем составе повторяющиеся элементы
или блоки. Использование этих свойств при построении матриц
жесткости и узловых нагрузок для суперэлементов различных
уровней дает большой эффект в смысле экономичности вычисли-
тельного процесса. Особенно наглядно это проявляется при так
называемой «одномерной» схеме синтеза суперэлементов (рис. 6.28),
когда процесс построения суперэлементов ускоряется за счет их
удвоения, т. е. сращивания двух одинаковых элементов предыду-
щего уровня [77]. На рисунке показано, как за три удвоения
получен суперэлемент СЭ-Ш, имеющий длину восьми суперэлемен-
тов нулевого уровня. Такой процесс построения суперэлементов
применяется, например, в расчетах каркасных и высотных панель-
В некоторых случаях бол её удобным и эффективным оказы-
вается процесс построения не «расширяющегося», а «скользя-
щего» суперэлемента.
На рис. 6.29, а показана «одномерная» конструкция, состоя-
щая из нескольких соединенных между собой суперэлементов нуле-
178
вого уровня. Объединение двух суперэлементов нулевого уровня
(рис. 6.29, б) в один суперэлемент (рис. 6.29, в) и исключение
неизвестных на верхней границе дает суперэлемент первого уровня,
имеющий ту же длину, что и суперэлемент нулевого уровня. Повто-
ряя при последовательном наращивании суперэлемента операцию
исключения узлов на верхней границе синтезируемого суперэле-
мента (рис. 6.29, г, б), приходят в итоге к суперэлементу послед-
него уровня (СЭ-IV на рис. 6.29, е), имеющему ту же длину, что
и все элементы предыдущего уровня.
Преимуществом такого процесса перед процессом расширения
суперэлемента является лучшая обусловленность матрицы коэф-
фициентов получаемой разрешающей системы уравнений метода
суперэлементов.
Пример 6.12. Найти частоты и формы свободных колебаний суперэлемента.
Запишем уравнение свободных колебаний подконструкцни
(К—<o(2Af)Z=O	(6.59)
и соответствующее ему уравнение для определения собственных значений и
собственных векторов
|Af-‘K—o>?J?| =0,
где
К« | Ки
- - I- -
Kz. I Кп
М=
М, I М,
- - I —
Мп I Ми
матрица жесткости и матрица масс подконструкции соответственно.
Трудоемкость решения уравнения (6.59) определяется числом независимых
перемещений, которые можно разделить на основные (расчетные) Z, и дополни-
тельные Z,. Соответственно этому разделению степеней свободы разделены на
блоки матрицы К и М в (6.59).
При выполнении статической конденсации неизвестных предполагается, что
силы инерции, соответствующие дополнительным степеням свободы, рарны нулю.
Тогда из первого уравнения (6.59) /C,Z,-|-K(zZz = O находим Z,= — К„ KuZi, илн
Ч *]-4,Z,.
(6.60)
179
где

Л=

матрица статического преобразования.
С учетом (6.60) получаем следующие выражения для статически конденси-
рованных матриц жесткости и масс подконструкции (суперэлемента):
Ки=А‘КАг, Мц^А’МА,.
(6.61)
Далее, решая уравнение
\м;1'кп-^е1\=о.
(6.62)
находим частоты и формы свободных колебаний подконструкций суперэлемента
с уменьшенным числом степеней свободы. Если преобразование (6.61) выполнить
неоднократно вплоть до получения суперэлемеита уровня всей конструкции, ре-
шение уравнения (6.62) даст первые / частот и соответствующих им форм колебаний.
7. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Вариационные методы являются наиболее эффективными и рас-
пространенными при решении самых разнообразных задач
строительной механики. Использование вариационных методов по-
зволяет получить приближенное решение задач строительной ме-
ханики с любой наперед заданной точностью. При этом отпадает
необходимость решения дифференциальных уравнений равновесия
или движения заданной системы, а задача сводится к отысканию
функций, обеспечивающих минимум некоторого функционала,
представляющего собой полную энергию деформации этой системы.
Задачи такого типа называются вариационными.
С вариационными методами тесно связаны вариационные прин-
ципы механики (Лагранжа, Кастильяно, Гамильтона — Остроград-
ского) .
Во многих случаях задачу интегрирования дифференциального
уравнения можно заменить задачей об отыскании функции, со-
общающей некоторому функционалу наименьшее значение. С дру-
гой стороны, при решении вариационных задач из условия мини-
мума функционала можно получить так называемые уравнения
Эйлера или Остроградского, которые являются дифференциаль-
ными уравнениями, т. е. возможен и обратный переход от вариа-
ционной задачи к краевой задаче для дифференциального уравне-
ния. Последний играет важную роль при выводе уравнений равно-
весия и уравнений движения рассматриваемых систем.
7.1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1.1. Функционал и его вариация
Величина J = J [у (х)] есть функционал от функции у(х), если
каждой функции у(х), принадлежащей некоторому множеству
функций А — {у(х)}, по заданному закону ставится в соответствие
определенное число J. Здесь х может быть независимой переменной
или совокупностью независимых переменных х= (xi, хг, ... , х„).
Например, если А= {i/(x)}—совокупность функций, интегри-
руемых на отрезке [0, 1], то интеграл
1
J = \ у (x)dx
о
можно рассматривать как функционал от функции у(х).
181
Для определения необходимого и достаточного условия экстре-
мума функционала вводят понятие его вариации.
Пусть задан функционал
ь
J{y}=\F(x,y,y')dx,	(7.1)
а
причем функции у(х) удовлетворяют условиям
у(а)=у0, y(b)=yi.	(7.2)
Подставляя различные функции у(х), удовлетворяющие усло-
вию (7.2), в функционал (7.1), получают различные значения этого
функционала. Если функционал (7.1) имеет минимум, то найдется
такая функция у(х), удовлетворяющая условию (7.2), что будет
выполняться условие J [у (х) ] ^/(у(х)]. Аналогично для максимума
должно выполняться условие 7[у(х)] ^7[у(х)].
Если т](х) —произвольная кусочно-гладкая функция, удовлет-
воряющая условию т](а) =т](&) =0, то однопараметрическое се-
мейство функций у(х) =у(х) +ат](х) при достаточно малых значе-
ниях параметра а принадлежит некоторой окрестности функции
у(х) (у сколь угодно близка к у).
Пусть функция у(х) доставляет минимум функционалу (7.1),
тогда J [у+ат]] 7 [у]. Функционал
ь
Лу + «п] = S F(x, y+at], y' + ar]')dx
является функцией параметра а (7[у+ат]] =Ф(а)) и при а = 0
имеет минимум.
Необходимое условие экстремума Ф'(0) =0, т. е.
[у+ат]] I =0
da |а=о
Дифференциал функции Ф(а) в точке а = 0 называется первой
вариацией функционала (7.1) и обозначается символом 67:
Вторая вариация б2/ функционала (7.1) определяется как диф-
ференциал второго порядка функции Ф(а) в точке а = 0:
627 =
сРф
da2
Частный дифференциал функции у=у+ат] по а при а = 0 назы-
вается вариацией функции и обозначается
дУ I
6у = л
да |
а = ат).
а —О
182
Другими словами, вариация функции у_ есть разность двух
функций, взятых из множества А= (у(х) }: 6у=у —у.
Таким образом, необходимым условием минимума (максимума)
функционала является обращение в нуль его первой вариации
67 = 0. Вторая вариация должна быть в случае минимума неотри-
цательной (627 ^0), в случае максимума неположительной
(627<0).
Например, для функционала (7.1) первая и вторая вариации
имеют вид:
г ( dF _ . dF . ,\ .
3 \ ду дуг /

(6у = ат], 6у' = ат]').
7.1.2. Дифференциальные уравнения Эйлера и Остроградского
Используя необходимое условие экстремума функционала 1 =
= 7[у(х)], можно получить дифференциальное уравнение Эйлера,
если х — одна независимая переменная, или дифференциальное
уравнение Остроградского, если х= (xi, хг,..., хя) — совокупность
независимых переменных. Таким образом, можно осуществить пе-
реход от вариационной задачи — задачи нахождения функции
у(х), дающей экстремум некоторому функционалу, — к краевой
задаче для дифференциальных уравнений. Если для заданной сис-
темы известно выражение полной энергии деформации, которое
является некоторым функционалом, то уравнения Эйлера или
Остроградского для этого функционала являются уравнениями
равновесия или уравнениями движения данной системы.
Решение основных задач строительной механики основывается
на принципах, в которых утверждается стационарность некоторых
функционалов. Например, принцип Лагранжа связан с отыска-
нием минимума функционала — полной энергии Э деформации
системы — из условия равенства нулю первой вариации этого функ-
ционала (6Э = 0). Ввиду этого проблема решения краевой задачи
для дифференциального уравнения, выражающего условие равно-
весия системы, оказывается эквивалентной проблеме нахождения
функции, дающей минимум функционалу, который выражает
энергию системы.
Пусть в функционале (7.1) функция у(х) удовлетворяет усло-
виям: у(а)=уо, y(b)=yi. Первая вариация этого функционала
имеет вид
а
183
r dF _ , ,
j dy'
Интеграл от второго слагаемого, используя интегрирование по
частям, можно преобразовать к виду
г dF _ , . dF _ .ь г d / dF \ R ,
1 dx== !« “ 1 ’йН T7 ) bydx.
J dy	dy	J dx \ Qy /
Если учесть, что 6у = ад(х), где д(а) =r](fe) =0, первая вариация
6/=((—-
’Л дУ
обращается в нуль, если функция у(х) дает экстремум функционалу
в подынтегральном выражении. Вариация функции бу в силу ее
произвольности не равна нулю, следовательно, должно быть
dF____d / df \ _0
dy	dx \ dy' /
Это и есть уравнение Эйлера для данного функционала, кото-
рому должна удовлетворять функция у(х), дающая минимум (чаще
всего) функционалу (7.1).
Для функционала
7[ц] = Ц F(x, у, и(х, у), и'х(х,у), uy(x,y))dxdy
D
уравнение Остроградского имеет вид
д / dF \ d / dF \ _ dF^
dx \ du'x / ду \ du'y / du
Пример 7.1. Вывести уравнение равновесия упругой мембраны при малых
прогибах и интенсивности нагрузки q(x, у).
Потенциальная энергия деформации такой мембраны выражается интегралом
<7-з>
D
где р— величина постоянная; и(х, у) —функция прогибов мембраны.
Пусть плоская область D, занимаемая мембраной, ограничена контуром Г.
Необходимо найти функцию и(х, у), непрерывную в области D вместе с частными
производными первого и второго порядков, принимающую на контуре Г заданные
значения и\г = <р(х, у) и дающую интегралу /[и] минимальное значение. Рас-
смотрим значение функционала (7.3) для функции и(х\у) -ростах, у), где т) (х, у) —
функция, непрерывная вместе с производными первого и второго порядков и равная
нулю на контуре Г.
Для того чтобы функционал (7.3) имел минимум, его первая вариация должна
быть равна нулю:	'

D
dxdy—У.
184
Здесь
6u' = a-^-, Сш' = а-^-. 6м = ат].
дх y ду
Используя формулу Грина
5 Pdx+Qdy= \\(^L-^)dxdy,
Г	D
преобразуем в интеграле первые два члена:
ди \
—— I dxdy —
ду /
D
. ди , ди .
О-----------о
дх ду
 5 S (1гб“) +^( 1г6“))dxdy~
D
( { f д2и	дги \	(	ди	ди	[ [	.
— \\ ( ---j—|-----— I oudxdy= \ ----oudy-------oudx— \\ kuoudxdy. (7.4)
J J \ дх	ду2 /	J	дх	ду	J J
D	V	D
В (7.4) \ = д2 / дх‘-\-д2 / ду2— оператор Лапласа. Контурный интеграл в последнем
выражении равен нулю, так как т)(х, у) на контуре Г обращается в нуль.
Следовательно,
67=— (pAtz — q)budxdy=O.
D
Поскольку би произвольна, получаем условие, которому должна удовлетворять
функция и(х, у), дающая минимум функционалу (7.3): р.Аи— q = 0. Таким образом,
получено дифференциальное уравнение Остроградского, которое представляет собой
уравнение Пуассона. Это и есть уравнение равновесия упругой мембраны.
7.2. ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
7.2.1. Полная энергия деформации упругой системы
Использование вариационных принципов дает возможность не
только применять вариационные методы для получения решения
конкретных задач строительной механики, но и получать корректную
систему уравнений и естественных граничных условий для задач
строительной механики.
Потенциальную энергию упругой деформации тела можно пред-
ставить в виде интеграла по его объему V:
и =	(<ухех + GyEy + огег+тхууХу + ТуХуУг+TzxTzx) dxdydz,
V
где ох, Gy, ог, тХу, Туг, тгх — компоненты тензора напряжений;
ех, еу, ег, уху, уУг, Угх — компоненты тензора деформаций.
185
Полная энергия системы Э записывается как разность потенци-
альной энергии деформации U и работы внешних сил А:
Э = и—А,	(7.5)
где
(XvU-\-YvV-{-Zvw)ds-\—(Ли+ Yv-\-Zw)dxdydz.
S	V
Здесь Xv, Yv, Zv — компоненты поверхностной нагрузки; X, Y, Z —
компоненты объемных сил; и, v, w — компоненты перемещений.
В соответствии с вариационным принципом Лагранжа из всех
кинематически возможных перемещений упругой системы в дей-
ствительности реализуются лишь те, которые соответствуют ми-
нимуму полной энергии системы. Таким образом, принцип Ла-
гранжа приводит к задаче о минимуме функционала (7.5).
Экстремум функционала (7.5) имеет место, когда 6Э=0, а мини-
мум,— если и вторая вариация неотрицательна (62Э^0).
В рассматриваемых ниже задачах строительной механики реа-
лизуется именно минимум функционала. Если первую вариацию
(7.5) приравнять нулю, получится вариационное уравнение
8Э = И $ (<тх6ех + о!/6е!/+ог6ег4-тХ!/6уед+т!/гб7//г+
v
-j-Tzxdyzx)dxdydz— (Xv6u+ Yvf>v-\-Zvbw)dS—
s
— Jjj (X6w+ Yf>v-\-Zfyw)dxdydz=Q.	(7.6)
v
Преобразовывая различным образом 6Э, можно получить раз-
личные группы уравнений в задачах строительной механики.
7.2.2. Уравнения равновесия упругого тела
Если в уравнение (7.6) подставить вместо деформаций их
выражения через перемещения
ди	dv	dw	ди . dv
дх	ду	dz	ydy дх
dv . dw	dw . ди
вариационное уравнение примет вид
186
- JJ (Xv6u+rv6t> + Zv6w)dS- JJJ (XSu+YSv + ZSw)dxdydz=O.
S	V
(7.7)
Теперь нужно провести преобразование уравнения (7.7) отно-
сительно вариаций компонентов перемещений 6u, Sv, Sw таким
образом, чтобы под знаком тройного интеграла не было вариаций
от производных функций перемещений. Для этого понадобится
формула Остроградского
И 5 (4г+4г+4г)	5 5 <₽««*+
V	S
4- Qmdxdz-\- Rndxdy).
Здесь I, т, п — направляющие косинусы нормали v к контуру
области 5. Так, например, преобразование первого слагаемого в
(7.7) дает
<^^-dxdydz=-	Sudxdydz-Y J J GxlSudS
V	vs
/ d(axSu)	du	dox	\
I — л--- = °хб-5-h -5—6u )•
\ dx	dx dx /
Итак, вариационное уравнение (7.7) примет вид
ю=ЧИ((4^+4йг+^+а>+
V
+ (^ + ^L + ^.+r)S„+(^ +
\ dx ду dz J \ dx
+	+z) dxdydz—
— $$ ((Zv—Ox/—xxym—Txzn)6u4- (Tv—Xyxl—
s
— Gym—Tyzn)Sv-Y (Zv—tzxI—rzym—Gzn)Sw)dS=0.	(7.8)
Так как вариации 6u, Sv, Sw произвольны, множители при них
должны быть равны нулю. Отсюда получаются уравнения равно-
весия упругого тела
9gx drxy . dixz у._
~dZ + -d^ + ~dr+x-°’
dryx	doy	dxyz
dx	dy	"r	dz
4.	4.	J-Z=0
dx dy	dz
187
и статические граничные условия ХУ=ох/-(-тхг,т+тхгп; Yv—xyxl-\-
4~<тут-|-тугп; Zv = TzxZ4-Tzl(m + ozn.
Если би, 6г?, bw считать малыми возможными перемещениями
тела в состоянии равновесия, равенство (7.8) будет описывать
принцип возможных перемещений, согласно которому в состоянии
равновесия тела сумма работ всех внешних и внутренних сил
должна быть равна нулю.
Если ввести понятие удельной потенциальной энергии и как
энергии в единичном объеме, то
U= udxdydz, bU— jjj budxdydz-
V	.V
С другой стороны, согласно (7.6),
bU=	(ox6ex + Оубе^ + oz6ez4-TXyfryXF+T!,zfry!,z-f-izxbyzx)dxdydz.
v
Следовательно,
6u=ox6ex+Gybey+• -+Tzx6yzx.	(7.9)
Но в силу существования потенциала упругих сил потенциальная
энергия деформации есть фуркция только деформаций тела и ее
вариация
<710>
Приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях дефор-
маций в (7.9) и (7.10), получают формулы Грина.
Методы вариационного исчисления позволяют получить диф-
ференциальные уравнения равновесия тела, минуя обычный прием
составления таких уравнений из условия равновесия бесконечно
малого элемента.
7.3. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
7.3.1. Уравнения равновесия
Вариационные принципы особенно эффективны при выводе
уравнений равновесия сложных конструкций, например для по-
логих оболочек, допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной
оболочки, деформации которой описываются геометрически нели-
нейной теорией.
Рассматривается прямоугольная в плане пологая оболочка
положительной гауссовой кривизны, выполненная из материала,
подчиняющегося закону Гука (рис. 7.1), загруженная произволь-
ной нагрузкой. Срединную поверхность оболочки принимают за
координатную поверхность. Оси х, у направлены по линиям глав-
ных кривизн, ось z — по нормали к срединной поверхности в сто-
188
рону вогнутости оболочки. Предполагаются справедливыми гипо-
тезы Кирхгофа — Лява и считается также, что оболочка до-
пускает прогибы, соизмеримые с толщиной.
Связь деформаций и перемещений записывается в виде [19]:
Закон Гука в данном случае:
Е	Е
Ох= i_v2 (еХ+vey); Gy= J _v2 (eZ+ve*);
Txy~ 2(14-v) Уху'
Здесь
z	d2W z	d2W z	d2W
ex—ex—z g*2	; ЕУ — 8j,	z dy2	, yxy—yxu	2z dxdy	,
^x= ~p~ ’ ky~ ~D~ '
*\x	*\y
Усилия и моменты на единичной длине сечения, приведенные
к срединной поверхности оболочки:
Л/2	Л/2	Л/2
Nx= J oxdz, Ny= J Oydz, NXy— J txydz,
— h/2	-h/2	-h/2
h/2	h/2	h/2
Mx= J oxzdz, My= J Gyzdz, MXy= J Txyzdz.
— h/2	-h/2	-h/2
Выражение полной энергии деформации оболочки будет иметь
вид:
1 г г /	d2w
Э= - \	\ ( Nlfix-\-Ny&y-\-Nxyyxy Мх 2------
х J J \	иХ
О о
d2w	d2w	\	,
~ Му ~ду^-2Мху ~дхду--PxU—pyV — qwj dxdy,
где рх, Ру, q — составляющие внешней нагрузки;
189
Чтобы найти минимум функционала, необходимо приравнять
первую вариацию нулю:
6Э= ( \(Nxb-^-+Nyf>-^-+Ndf>-^-+&-^} +
J J \ дх	ду \ ду дх /
о о
, ,	. dw _ dw
kxf>w+ -5—6-х—
дх дх
dw dw \
— ky&w -| д— O —   I +
dy dy )
.. я g2w лл я g2w
—МхЬ—~2----Myb—Y
дх	ду
dw „ dw . dw
---о-----------
дх ду ду
d2w	\
— 2Мхуд-------рхЬи—pybv — qf>w )dxdy=0.
дхду	/
Это вариационное уравнение нужно преобразовать так, чтобы под
знаком двойного интеграла не было вариации производных от
компонентов перемещений и, v, w. Так, например,
с с ди	с	1х=а	г	с 3N
J J Nxf> — dxdy=	J	Nxt>u\x=ody-	J	J — budxdy.
00	0	0	0'
В результате получается вариационное уравнение
f f (( dNx	, dNxy	,	\ R	, ( dNy	, dNxy	,	\ K	,
— \	-----h +Px)6w+ ( —+py )6f+
J J xx dx dy /	\ dy dx /
00	s	v
/	/	d2w \	/	d2w \
+ ( Nx( kx+ ) +Ny( ky+ ) +
X	x	dx /	x	dy /
dw dN:
dx dx
dw dNy
dy dy
d2Mx d2Mu d2Mxy \	. f / Kr x 1 я i
4---7—2---1--z~2----F2 ---------\-q I6w Idxdy + \ I Nxf)u-\-Nxyf>v-\-
dx dy dxdy /	/ J x
(	dw	dw	дМх	дМху \
+ (	--------------Ь ------И2 д — )6^ —
x	dx	dy dx	dy /
лл я dw
—Мх8—-
дх
' м dw
< ду
лл я dw
-МУ&-Г~
ду
J ^NXydu + Nydv-j-
+ N dw I	: о дМ*У А я
ху дх ду
у = Ь
dx—2MXybw
у=0
dx
y=b
y=0
0.
(7.П)
190
Так как вариации бы, би, bw произвольные, множители при
них должны быть равны нулю. Таким образом, уравнения равно-
весия оболочки имеют вид:
dNx dNxy
дх	ду
= 0; -^ + -^+Р//=0;
ду дх
N,(k,+ ^-)+N,(k,+ ^-)+2N„-^- +
\ дх /	\ ду /	дхду
dw / dNx dNxy \ dw / dNy dNxy \
dx \ dx dy / dy \ dy	dx /
(7.12)
д2мх д2му , д2мху
дх2 ду2 dxdy
и x — a
Вариационное уравнение (7.11) позволяет сформулировать и
граничные условия на кромке оболочки. Так, при х=0
Nx=0 или и=и*; Nxy = 0 или v = v*;
dw	dw	дМх	дМху
Nx—----\-Nxy—---1-----1-2	=0 или w = w ;
dx	dy	dx
Mx=0 или
(7.13)
dy
^-=9,.
dx
При y—0 и y=b
b/xy = 0 или u=u*;
dw dMy
dx dy	dx
My = 0 ИЛИ —— =02-
dy
N —
dy
Ny = 0 или v = v*;
dMxy
----— =0 или to=w ;
(7.14)
Кроме того, в угловых точках при х=0 z/=0 или у = Ь\ при
х=а у—0 или у =Ь\
Мху=0 или w — w*.	(7.15)
7.3.2. Уравнения движения
На основании вариационного принципа Гамильтона — Острог-
радского можно получить уравнение движения пологой оболочки
[18].
Если рассматривать процесс движения на отрезке времени
[/о, Л], то истинные траектории должны отличаться от других
возможных траекторий тем, что для них выполняется условие
{ (&K-dU + 6A)dt = 0.
191
Здесь — вариация кинетической энергии системы; 6С7 — вариа-
ция потенциальной энергии системы; — сумма элементарных
работ внешних сил.
Кинетическая энергия оболочки
К =
—Л/2 О О
где р — плотность материала оболочки.
Вариация 6 Д’ будет иметь вид
... i f f ( ди х ди _1_ dv х dv
1 J J \ dt dt ' dt dt
о о
dw t dw \ . ,
----о----- ) ахай.
dt dt ) а
Необходимо преобразовать это выражение так, чтобы под зна-
ком интеграла не было вариаций от производных функций и, v, w:
/1	/i а &	п2	ч
( dKdt= — ph ( ( ( ( —^-du+ —^-dv+ —^-dw\dxdydt+
J	J J J \ dt dt	dt /
t„	/coo
, ,	f	r / du _ .	dv	,	dw	s	\	,	t=t.
+ рй	\	И ~ТГ6ы +	)dxdy
J	J X dt	dt	dt	/
о о
Вариация 6t7 — М=6Э рассмотрена выше.
После преобразований получается вариационное уравнение
(d /	dw	dw \
N.kx + Nyky+ —-( Nx~- +/Vxy—~ ) +
dx \	dx	dy /
. o d 2Mxy .	, d2w \	\ .... .
+ 2	+^ —p/i—j-) dw) dxdydt +
dxdy	dt /	/
0 0
192
6 b
- J (Nx8u + Nxybv+(Nx-^-+Nxy-^- + -^ +
J -> \	\ dx	dy dx
to о	J
+ 2—- xy	6w— Mxf> ——dydt— ( ( ( Nyf>v-\-NXybu-\-
dy /	dx / x=o	J J у	*
I ( Ы dw I Л/ dw dMy , o dMXy \ e
+ I Ny~a-------------b +2 ,	)6ьу —
\ dy	dx dy	dx /
., s dw
-My8-=—
dy
Mxybw
y^O	J
to
Поскольку вариации 6tz, f>v, f>w
жения оболочки будут иметь вид:
dNx	dNXy	, d2u	n
dx	dy	dt2
dNy	dNXy	, d2v	n
dy	dx	dt2
x=a Iy—b
x=o j/=o dt=Q.
(7.16)
произвольные, уравнения дви-
. d /	dw , dw \ ,
Nxkx-\-Nyky-\—-—( Nx—----\~^xy—— ) +
dx \	dx	dy /
д ( к, dw	dw \	d2Mx , d2My
dy \ dy	dx /	dy
d2Mxy
dxdy
Вариационное уравнение (7.16) позволяет сформулировать также
граничные условия (они будут иметь вид (7.13) — (7.15)) и началь-
ные условия: при /=/0 du/dt — G или и = и, dv/dt=O или v — v*,
dw/dt=G или w = w*.
1А. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
7.4.1.	Общая характеристика прямых методов
Пусть задан функционал
/ = /[z/(x)],	(7.17)
определенный на множестве А= {у(х)}, хе О.
Методы, позволяющие свести задачу нахождения экстремумов
функционала (7.17) к задаче нахождения экстремумов функции
многих переменных, т. е. к решению систем линейных алгебраи-
ческих уравнений, называются прямыми методами.
7. Зак. 1810
193
Пусть у* (х) — точное решение вариационной задачи, а
J I/ (х) ] = т— значение минимума. Если удается построить функ-
цию у(х), для которой значение функционала (7.17) весьма близко
к т, то считают, что найдено достаточно хорошее приближение
к истинному решению задачи. Если же удается найти минимизи-
рующую последовательность уп (х), т. е. последовательность функ-
ций, для которых J [уп (х) ] -+т, эта последовательность будет схо-
диться к точному решению у*(х).
7.4.2.	Метод Ритца
Пусть нужно найти минимум функционала (7.17) на множестве
функций, удовлетворяющих условию
!/1г=<р(х),	(7.18)
где Г — граница области D, в которой рассматриваются функ-
ции у(х).
Приближенное решение задачи у(х) находят в виде семейства
функций
у=Ф(х, cit с2,... , сп),	(7.19)
зависящих от нескольких параметров и удовлетворяющих условию
(7.18).
Если подставить (7.19) в (7.17), функционал 7[у(х)] будет
функцией п переменных: J=J(ct, с2, ... , сп). Условия, при которых
эта функция имеет минимум:
-^-=0 (*=1,2,... ,п).	(7.20)
Решив систему уравнений (7.20), которую называют системой
уравнений Ритца, находят значения параметров щ, с2, ... , сп. Сле-
довательно, приближенное решение вариационной задачи (7.17),
(7.18) имеет вид у(х) =Ф(х, Ct, с2, ..., сп).
Практически процесс нахождения этого приближенного реше-
ния весьма прост, так как семейство (7.19) принимается линейно
зависящим от Ci, с2,..., сп. Поэтому уравнения (7.20) оказываются
линейными уравнениями, и число их зачастую невелико. Семей-
ство функций (7.19) принимают в виде
У W =Уп(х) =<ро(х) + £ с,ф,(х),
i=i
где (ро(х) удовлетворяет на контуре неоднородным краевым усло-
виям (7.18), а функции <р/(х)— однородным условиям <р«(х)|(=
= 0 (« = 1, 2,..., л).
Последовательность функций {<р, (х)} должна удовлетворять двум
условиям [53]: 1) при любом п функции <pi(x), <р2(х),... , <р„(х)
194
должны быть линейно независимы, 2) последовательность {<р,(х) }
должна быть полной по энергии. Под этим понимается следующее:
каковы бы ни были у^НА, где НА— энергетическое пространство
и е> 0, можно найти такое натуральное число N и такие постоянные
<21, аг,... , aN, что выполняется неравенство
N
I у— £	<«•
*=1
Функции <р<(х) называют аппроксимирующими или координат-
ными функциями.
Пример 7.2. Найти выражение для прогиба w(x, у) тонкой упругой плас-
тины, защемленной по контуру и загруженной равномерно распределенной на-
грузкой интенсивности q.
Задача об изгибе тонкой пластины, защемленной по контуру, равносильна
вариационной задаче о минимуме функционала
/[ш] =	(Дю)2---dxdy	(7.21)
Q
при условиях
и>| г=0,
=0.
<)v | г
(7.22)
Здесь w(x,y) — прогиб пластины; Г — граница области Q, занимаемой пластиной;
q — параметр поперечной нагрузки; D — цилиндрическая жесткость пластины;
v — внешняя нормаль к границе Г; Д — оператор Лапласа.
Пусть пластина занимает область —l^Jx^Jl, —1. Решение постав-
ленной задачи будем искать методом Ритца. Так как функция <pi(x, у) =
= (1—х2)2(1—у2)1 удовлетворяет краевым условиям (7.22), приближенное ре-
шение примем в виде ин = (1 —х2)2(1 — t/2)2Ci. Подставив им в функционал
(7.21), получим
7[и/1]=144с? х2------------§-)(|— J/2)2+( У2-----1~)(,— х2>2) dxdy —
-1 -1
1 1
““K*C1 S $ U — *2)2(1— y2)2dxdy.
-1-1
Система уравнений Ритца в данном случае состоит из одного уравнения
dJ [иц] /дс\=О. После вычисления определенных интегралов в выражении 7[wi]
получим 106,998с, = 1,321 q/D, откуда Ci = 0,0Wiq/D. Таким образом, приближенно
прогиб пластины описывается функцией wi=0,0123(1—х2)2(1—y2)2q/D.
Пример 7.3. Найти приближенное решение задачи о равномерном свободном
кручении призматического стержня квадратного сечения (рис. 7.2) методом Ритца.
Рассмотрим стержень квадратного сечения, ограниченного прямыми х= — 1,
х=1, у= — 1, у=1. Задача о кручении такого стержня сводится к нахождению
функции и(х,у), дающей минимум функционалу
195
при краевом условии на контуре
и|г=0-
(7-24)
Здесь и (х, у) только постоянным множителем отличается от функции напряжений
в поставленной задаче о кручении стержня.
В силу симметрии задачи приближенное
Рис. 7.2. К расчету призма-
тического стержня
решение примем в виде, удовлетворяющем усло-
вию (7.24):
U2= (1 — х2) (1— у2) (Ci + c2(x2+y2)). (7.25)
Подставим (7.25) в функционал (7.23) и
найдем частные производные dJ[u2]/dci и
дЦи2]/дс2. Приравняв их нулю, получим после
интегрирования следующую систему уравнений
Ритца:
(256/45) с, + (1024/525) с2= 16/9;	)
(1024/525)с, + (1 1264/4725)с2 = 32/45, J
решая которую, находим Ci = 0,292; Сг = 0,0592. Следовательно, приближенное ре-
шение задачи (7.23), (7.24) имеет вид и2= (1—х2) (1—у2) (0,292-|-0,0592(x2-|-t/2)).
7.4.3.	Вариационно-разностный метод
Этот метод заключается в том, что функционал, например
ь
1 Ы = J F(x, у, y')dx	(7.26)
а
(У(а)=уо, У(Ь)=у{),
рассматривается на негладких функциях, составленных из опре-
деленного числа п прямолинейных звеньев с заданными абсциссами
вершин. Для этого отрезок [a, ft] разбивается на п частей точ-
ками xi, Х2,..., хп-1 (х0=а, хп = Ь). В точках х, производные
У1=у'(хд заменяют конечными разностями (см. § 4.4). При этом
функционал превращается в функцию ординат yt вершин указанных
ломаных (7 [//] =Ф(//ь//2,... , z/n-i)) и дальнейшая процедура ми-
нимизации производится так же, как и в методе Ритца, т. е. d<b/dyi =
= 0 (1=1,2,..., л—1).
Интеграл (7.26) заменяют интегральной суммой по формуле
прямоугольников. В результате находят табличное значение функ-
ции z/(x), дающей минимум функционалу (7.26).
Пример 7.4. Используя вариационно-разностный метод, иайти функцию,
дающую минимум функционалу
1
7Ы=$ GW)2 — Fxy)dx (i/(0)=0, y(\)=Fx/A).
о
196
Эта задача связана с задачей о растяжении стержня, закрепленного иа одном
конце, равномерно распределенной по длине стержня силой Fx, где у(х) —пере-
мещение точек сечения стержня вдоль оси х.
Отрезок [0,1] разбиваем на 5 частей точками x,=0,2i (i=0, 1, ..., 5). При
этом yB=y(0)=0. t/i = t/(0,2), t/2 = t/(0,4), t/3=y(0,6). t/4 = t/(0,8), y5=y(l) =FX/A.
Производные y'(x) нужно заменить конечными разностями:
yi — 0	,	t/2—У\ ,	Уз—У2 ,	У*—Уз _	Ft/A—yt
Уо~ 0,2	’ У'~~	0,2	’ У2~	0,2	’ Уз~ 0,2	’ У,~	0,2
Заданный функционал заменяется суммой по формуле прямоугольников и ста-
новится функцией четырех переменных:
^(yi, У1, Уз, yt)— А^	^02' )	+
+4	°-2
Необходимые условия минимума указанной функции будут иметь вид:
-Л 2у' Л 2(У2~У1) f 0-
ду\ 0,04	0,04	“	’
д® . л 2(y2—yi)	. 2(уз—у2) _F
дУ2	0,04	0,04	“	’
дФ _ , 2(у3—у2) _ . 2(у4—уз) _р
дуз	0,04	0,04	‘	’
дФ _ , 2(у4—уз) _ . 2(ГХ/Л—у4) _
<?У4	0.04	0,04	' °’ }
Решение этой системы линейных алгебраических уравнений дает искомые
значения функции у(х) в точках х,-: у, =0;24/\с/Л; у2 = 0,46/\/Л; уз = 0,&>Рх/А\
y, = 0,84Fx/A.
7.4.4. Метод конечных элементов
как частный случай метода Ритца
Метод конечных элементов (МКЭ) можно рассматривать как
частный случай метода Ритца. В методе Ритца каждую аппрокси-
мирующую функцию задают во всей области D. Поэтому, если
область D не прямоугольная или граничные условия сложные,
довольно трудно подобрать аппроксимирующие функции, так как
они должны удовлетворять граничным условиям. Кроме того, мат-
рица коэффициентов системы уравнений Ритца (7.20) является
полной матрицей и может быть плохо обусловленной.
Главное отличие МКЭ от метода Ритца заключается в подборе
аппроксимирующих функций. В МКЭ искомая функция у(х)
аппроксимируется в виде сплайнов, что для областей D произ-
вольного вида может быть выполнено достаточно просто. Особен-
ность аппроксимирующих функций здесь состоит в том, что каждая
из них отлична от нуля только в некоторой подобласти из области D.
Это обусловливает разреженность и ленточную структуру матрицы
197
коэффициентов системы уравнений Ритца и хорошую ее обусловлен-
ность.
Однако при увеличении числ$ аппроксимирующих функций в
приближенном решении уп(х)= £с,<рш(х) необходимо изменить все
<=1
функции <р„,(х). Поэтому эти функции имеют два индекса: первый
из них определяет общее число аппроксимирующих функций, а
второй — порядковый номер этой функции. В методе Ритца добавле-
п
ние аппроксимирующих функций в решение уп(х) = £	не
i=i
требует изменения ранее принятых функций q>((x). 
Пусть область, занимаемая конструкцией, разбита на части
(рис. 7.3): [xz-i.x/] —для одномерной области (рис. 7.3, a), Dt —
для двухмерной области (рис. 7.3, б) и V, — для трехмерной области
(рис. 7.3, в).
Рис. 7.3. Конечные элементы:
а — для одномерной области; б — двухмерной; в — трехмерной
В общем случае говорят, что область разбита на части V,,
не конкретизируя размерность области. Разбивка конструкции на
конечные элементы производится в зависимости от ее вида, наличия
неоднородности по толщине, вида нагрузок и закрепления границ,
требуемой точности расчета. Область V,- с определенными связями
в узлах области — это элемент (его обозначают е,).
Алгоритм расчета по МКЭ состоит в следующем.
N
1.	Область V разбивают на части У, (У= £ У,). В каждой час-
/=1
ти области Vi задают элемент е, с определенными связями, накла-
дываемыми на искомую функцию (функции). Разбивка области
уже зависит от выбранного элемента (треугольный, четырех-
угольный, в виде тетраэдра и т. д.).
2.	Искомая функция у(х) (y^V) должна удовлетворять опре-
деленным условиям на границе области V и давать минимум
функционалу
Э= t $ F{y)dV,	(7.27)
i=l V,
который определяет полную энергию деформации рассматриваемой
конструкции.
198
3.	Для каждого элемента е, функцию у аппроксимируют полино-
мом Pni(x) =ao4-aix + ... + a„x". Исходя из связей между элемен-
тами или граничных условий, определяют неизвестные коэффициенты
at для каждого элемента (а/ выражают через значения искомой
функции у(х) и ее производных в узлах разбиения, т. е. через
узловые неизвестные).
Таким образом,
N
y(x)=Zyi(x) при x^V;
1=1
t/(x\= J	при хее,,
[	0 при хё=е,-;
Pni(x) = £
/=1
Здесь с- — значения узловых неизвестных; <p'№ — известные много-
члены переменной х (аппроксимирующие функции); N — общее
число конечных элементов.
Теперь (7.27) записывается в виде
э= Z 5	Z c’ffQdV.
4=1 К /=1
4.	Для определения неизвестных с- составляют систему уравнений
(7.20):
дЭ
dckm
dFt z
-----------dV=0 (k=l,2,
r, m=l,2,..., N).
(7.28)
Так как <pwm=/=0 только в пределах элемента ет, матрица коэф-
фициентов системы уравнений (7.28) будет разреженной (содержа-
щей много нулей). Следовательно, она будет лучше обусловлена,
чем соответствующая матрица в методе Ритца.
Рассмотрим построение координатных функций в МКЭ.
Пусть функционал Э [у] содержит производные искомой функ-
ции у(х) до m-го порядка. Значит, при переходе от одного элемента
к другому нужно обеспечить непрерывность функции у(х) и ее
производных только до т—1-го порядка'включительно. Поэтому
степень каждого полинома Рм(х) должна удовлетворять зависи-
мости п + 1	2т, и для определения неизвестных параметров а/
среди /г1 условий для каждого t-го элемента будут содержаться
следующие 2т условий:
d'P№(x,-i) _ d't/(x,i) d'PNi(xi) _ d'y(xi)
дх1	дх' ’ дх'	дх'
(/ = 0, 1, ... , т — 1).
199
Для аппроксимации функции у(х) в области V используют
сплайн-интерполяцию (см. §1.2.2). Например, при нахождении
МКЭ минимума функционала
/[id = $ (A(y')2 — Fxy)dx,
о
который выражает полную энергию деформации растянутого стерж-
ня, необходимо искомую функцию у(х) на отрезке [0,/] заменить
сплайном, построенным в примере 1.5.
Пример 7.5. Используя МКЭ, определить прогиб w(x) балки со ступен-
чато изменяющейся толщиной, шарнирно закрепленной на концах и на-
груженной поперечной нагрузкой интенсивности q (рис. 7.4); 1\ =0,00025 м4
и /г = 0,002 м4 — моменты инерции соответственно первого и второго участков стержня
(Д/ = /2 —/, =0,00175м4).
Рис. 7.4. Балка со ступенчато изменяющейся высотой
Полная энергия деформации такой балки
1	3
Э[№] = $ (	(w")2—qwj dx+ J ( -ф- (w")2-9w) dx (7.29)
0	1
(w(0)=w"(0)=0, w(3) = w"(3)=0).
Балка представлена в виде двух конечных элементов. Один занимает участок
[0, 1], другой— [1,3]. Граничная точка х=1 этих элементов выбрана не случайно.
В этой точке есть особенность — ступенчато меняется толщина балки. Чтобы
построить сплайн для функции ш(х), на каждом из конечных элементов эту
функцию нужно аппроксимировать полиномом Ра, степень которого равна 3,
так как т = 2. Следовательно, Р2<(х) =ао + а1Х-|-а2Х2-|-азх3.
Для определения неизвестных параметров at имеем условия: при i— 1, т. е. на
первом элементе (отрезке [0,1]), Р21 (0) =0, /3"1(0)=0, Р21 (1) = w 1, P'2l(l)=w'i
(здесь Ш1 = ву(1), w't = w' (1)); при i=2, т. e. на втором элементе (отрезке [1,3]),
Р22(3)=0, Р"(3)=0, P22(l)=wi, P'22(l)=w\.
Итак,
Р21 (х) =гг>1 (1,5х—0,5х3) + w't (—0,5х-|-0,5х3) =
2
= £ 4<р;(х), Ci = Wi, с2 = Ш] (хе [0,1]);
<=1
р22(х)=“'1(-^+л1х-^х2+ДГх3) +
2
+ w\(— -^ + -¥-х-----й-х2+-^-х3)= У с,ф,(х)	(хе[1,3]).
\ о о	о	о / L-t
i=l
200
Искомая функция ш(х) =Рц (х) + Ра(х). Вид интерполирующих полиномов
Рц (х) и Ра(х) показан на рис. 7.5. При х=1 найденная функция и ее первая
производная непрерывны, а вторая производная имеет разрыв.
Рис. 7.5. Вид интерполирующих полиномов Рц (х) и Рц(х)
Функционал (7.29) принимает вид
В соответствии с процедурой Ритца с* находим из условия (7.20):
дЭ
дск
c‘<t" <t" — №
dx-f-
+
с/флф" — dx=0 (fe = l,2).
(7.30)
Уравнение (7.30) можно записать в виде
2
CiAik^=Bk,
1=1
(7.31)
где
1	3
Aik= j /iq>"q>jdx+ j I^"^dx;
о	1
i	з
Bk= ~jtr( q>»dx+ i|)tdx^
о	I
Решая систему уравнений (7.31), находим: Ci = 1370,37<;/£, сг=—QA(),14q/E.
Следовательно,
w(x) =
= (1370,37(1,5х—0,5х3) — 240.74 (—0,5х +
+ 0,5х3)) при хе [0, 1];
С
201
w(x)= (1370,37(	+ 4x-	-
-240,74( __^ + -^_-|.x*+_2_x3))_|_npI, xe[li3].
Например, w(l) = l370,37q/E, w(2) =851,85q/E, ЛЛ4 (1) =0,13<?, где ДЛ4(1)
— разность моментов справа и слева от точки х=1.
Табл. 7.1. Результаты расчета балки ступенчато-переменной толщины
Решение	, Е *•( 1 1 — <7	Е w(2) —	ХМ (1) — <?
МКЭ	1370	852	0,13
Методом Ритца при			
N = 2	678	562	1,633
N = 24	1273	866	2,418
Точное	1333	896	0
В табл. 7.1 представлены	результаты решения	поставленной	задачи при раз-
личных N. В последнем столбце таблицы даны значения скачка момента в месте
ступенчатого изменения высоты балки (при х=1). Наличие этого скачка в ре-
зультатах говорит о погрешностях решения.
Сравнивая решения, полученные МКЭ и методом Ритца, можно заметить, что
в данном случае сходимость метода Ритца слабая. Это связано с наличием нере-
гулярности по высоте балки. Следует сказать, что для гладкого стержня уже
при Л'= 2 получаем результат, близкий к точному. Таким образом, при наличии
особенностей необходимо выбирать для решения методы, учитывающие эти особен-
ности.
7.5. МЕТОД ВЛАСОВА — КАНТОРОВИЧА
7.5.1.	Сведение задач для уравнений
в частных производных к обыкновенным
дифференциальным уравнениям
При решении задач строительной механики, связанных с рас-
четом пластин, оболочек и других пространственных конструкций,
соответствующие функционалы являются двойными или тройными
интегралами. Метод Власова — Канторовича позволяет свести за-
дачу о минимуме двойного или тройного интеграла к задаче о ми-
нимуме простого интеграла. Метод, позволяющий понизить раз-
мерность задачи, был почти одновременно предложен Л. В. Канто-
ровичем [38] и В. 3. Власовым [16], но с разных позиций. Если
в методе Ритца в качестве коэффициентов разложения искомой
функции по координатным функциям принимаются неизвестные по-
стоянные параметры, то в методе Власова — Канторовича решение
разыскивается в такой форме, что в его состав входят неизвест-
ные функции одного переменного. Преимущество этого метода,
кроме большей точности, еще и в том, что лишь часть выражения,
дающего решение, выбирается априорно, а другая часть опреде-
ляется в соответствии с характером задачи. Поэтому этот метод
занимает промежуточное положение между точным решением за-
дачи и методом Ритца.
202
Пусть заданы функционал
J[u(x, £/)]=$$ F(u)dxdy
D
(7.32)
и условие
и | г=О,
(7.33)
где Г — граница области D.
Необходимо найти функцию и(х, у), дающую минимум функцио-
налу (7.32) и удовлетворяющую условию (7.33).
Решение поставленной задачи в соответствии с методом Вла-
сова — Канторовича находят в виде	*
и„(х, у) = £ А(х)ф,(х, у),	(7.34)
1=1
где <р,(х, у) — известные (координатные) функции, удовлетво-
ряющие условию (7.33); f,(x) искомые.
Если область JD прямоугольная, можно принять
ип(х, y)=t fi(x)4>i(y).
i=i
Если теперь (7.34) подставить в (7.32), то после вычисления
интегралов по переменной у получится функционал, зависящий
от функций одной переменной fi(x), fz(x),... , fn(x). Таким образом,
задача свелась к определению минимума простого интеграла
ь
Система уравнений Ритца теперь принимает вид
0J
dfi
дФ
dfi
dx = 0 (j = 1, 2,... , n).
(7.35)
Это будет система обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пример 7.6. Используя метод Власова — Канторовича, найти решение за-
дачи о равномерном свободном кручении призматического стержня прямоуголь-
ного сечения (см. пример 7.3).
Эта задача сводится к задаче о минимуме функционала
(7.36)
при условии, что и на границе области обращается в нуль. В соответствии с ме-
тодом Власова Канторовича решение ищем в виде [38]: и=(Ь2—у2)и\(х).
Подставив и в (7.36) и вычислив интегралы по переменной у, получим
Э[Ю]= (	+	(7.37)
J \	О	о /
— а
203
Функционал (7.37) зависит от функции щ одной переменной х. Таким образом,
задача о минимуме двойного интеграла свелась к задаче о минимуме простого
интеграла.
Условие стационарности функционала (7.37) приводят к обыкновенному диф-
ференциальному уравнению
„5	5
U.---о U1—--г •
'	2А?	4b2
Решение этого уравнения при граничных условиях ui(— a) —ui (а) =0 имеет вид
Следовательно,
7.5.2.	Метод Власова — Канторовича в форме
метода Галеркина
Уравнения метода Власова — Канторовича (7.35) можно запи-
сать в форме уравнений метода Галеркина.
При решении статических задач для пластин и пологих оболочек
функционал полной энергии их деформации
J[u(x,y), v(x,y), w(x,y)] =
о о
ди ди
х, У,--, ----
дх ду
d2w
ду1
d2w
дхду
) dxdy,
(7.38)
где и, v, w — перемещения точек срединной поверхности оболочки
вдоль осей координат х, у и z соответственно; а, b — размеры
оболочки в плане.
Используя метод Власова — Канторовича, можно искомые
функции перемещений представить в виде
ип(х, у)= £ иь(х)ч>к(у) +Ч>0(уУ,
k= 1
п
vn(x, у) = £ Щ(Х)Ф4«/) +фо(у); •
k=\ 
(7.39)
wn(x,y) = Z wk(x)xk(y) +xo(y),
k= 1
где <p*(f/), ^k(y), Xk(y) —известные координатные функции;
Uk(x), Vk(x), wk(x)—подлежащие определению (функции q>o(y),
204
хро (у), Х«(у) удовлетворяют неоднородным краевым условиям, а
^k(y), %k(y) — однородным).
Подставив выражения (7.39) в функционал (7.38) и проведя
интегрирование по у, можно получить функционал, зависящий от
функций Uk(x), Vk(x), Wn(x) (k= 1, 2, ... , n):
a ________
J[un, vn, w„] = $ Ф(щ, и'к, Vk, v'k, Wk, w'k,wk)dx. (7.40)
о
Условия минимума этого интеграла имеют вид 6/ —	+ 6Д +
+ 6Ш/ —0, или
х , г ( <5Ф х- , <5Ф х-,\ , п
6u/= \ I—— duk-\ —ou'k I dx = 0;
J X duk du'k /
„ , f / <?Ф „ - дФ x -Д , n
6D/= i (—-—~—Svk)dx— 0,
J X dvk dv'k '
(7.41)
x r  ( дФ x- , 6Ф , оФ „X
6Ш/ = \ ( —=— dwkH-owk j dx—0.
J X dwk dwk owk '
После некоторого преобразования выражений (7.41) можно
получить уравнения Эйлера для функционала (7.40) —систему
обыкновенных дифференциальных уравнений для определения
Uk, Vk и wk:	<5Ф	d	( <5Ф \	= 0;		
	duk	dx	< duh /			
	dCD	d	( <5Ф \	— 0-		(7-42)
	dvk	dx	< dv’k /			
dФ	d (	dG> \	+	/ <5Ф	) —0	
dwk	dx	dw'k /	dx2	X dwk		
(k= 1, 2, ... , п).
Уравнения (7.42) можно представить в другом виде. Поскольку
Ф(«*. u'k,'Vk, v'k, Wk, w'k, w") =
dun	dun	d2wn	d2wn X ,
Д 2 ’ д д ) dy>
dx	dy	dy	dxdy /
TO
0Ф	f dF ,	<5Ф	г dF
	= \ —	г ^F}ydy,	\ п/ X/ 4kdV-
duk	I d(un)'y	duk	J d(un)x
205
Следовательно,
Преобразовав аналогичным образом остальные уравнения (7.42),
можно записать систему уравнений
(7.43)
Формирование системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений в форме (7.43), аналогичной форме метода Галеркина,
позволяет применять метод Власова — Канторовича к решению
краевых задач для уравнений в частных производных, сводя их
к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (см. §5.4).
В (7.43) внешними скобками ограничены уравнения равновесия.
В примере 7.6 метод Власова — Канторовича применяется к
вариационной задаче и приводит к решению обыкновенного диф-
ференциального уравнения. Но к решению этого уравнения можно
прийти, если применить метод в форме (7.43) к уравнению
д2и	д2и
дх2	ду2
(7.44)
206
которое является уравнением Остроградского для рассмотренного
в примере функционала (7.36). В соответствии с (7.43)
{(ди . д и . ! \ 2	п
\ ( тт + ~rT + 1 ) 6 — У )dy=O,
J X дх ду /
где и= (Ь2— y2)ui(x). После вычисления интеграла по переменной
у получается то же, что и в примере (7.6), дифференциальное
уравнение и" — (5/(2b2))ui = — 5/(462).
7.5.3.	Метод вариационных итераций
Для лучшего выбора аппроксимирующих функций в методе
Власова — Канторовича используется метод вариационных итера-
ций: вначале находят решение поставленной задачи методом Вла-
сова— Канторовича в виде (7.39), а из системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (7.43) —> «Дх), ш(х), а'Дх) (k =
= 1,2,... ,п). Затем эти функции используют как заданные ко-
ординатные функции при аппроксимации (7.39), а искомыми счита-
ют функции (fk(y), iM«/), Xk(y). Для их определения формируют
систему обыкновенных дифференциальных уравнений (аналогично
(7.43))
Проведя такую процедуру два-три раза, можно получить более
точное решение, не увеличивая числа членов п в разложении (7.39).
Метод вариационных итераций позволяет лучше подобрать
систему аппроксимирующих функций при использовании метода
Власова — Канторовича при малом числе приближений (п=1,
п — 2).
Пример 7.7. Найти решение задачи о кручении стержня.
Задача о кручении стержня сводится к краевой задаче для дифференциаль-
ного уравнения (7.44) при условии u(x, t/)=0 на границе области (Osgxsg 1,
OCi/Cl).
207
Решение задачи будем искать методом Власова — Канторовича в первом
приближении
п,=Х(х)(1 -у)у	(7.46)
с применением метода вариационных итераций.
Если (7.46) подставить в (7.44) и записать уравнение метода Власова —
Канторовича в форме метода Галеркина (7.43)
+	+') (1— У)УаУ=°’
J \ дх оу /
о
для определения Х(х) получим обыкновенное дифференциальное уравнение
О, IX"-Х=-0,5,	(7.47)
которое нужно решить при краевом условии Х(0)=Х(1)=0.
Решение уравнения (7.47) имеет вид
X (х) = — 0,0203£лПо л — 0,4797с-Л + 0,5.
Теперь решение уравнения (7.44) будем искать в виде
u2 = Y(у) (— (),0203сх — 0,4797с	* + 0,5).
Уравнение метода Власова — Канторовича (7.45)
1
С / д_Ы2 + ЙП2 + Л (_0>0203evTo*_0i4797e-T/-n5^ + 0i5)rfjc = 0
J \ дх ду /
о
после вычисления интегралов по переменной х является обыкновенным дифферен-
циальным уравнением 0,0517Г"— 0,5317Г = 0,20945. Решив это уравнение при гра-
ничных условиях К(0) = К(1) =0, найдем
у (у) = о.0153с3-2077’ + 0,3786е “ 3-2077!' — 0,3939.
Таким образом, за приближенное решение уравнения (7.44) можно принять
и(х, у) = (0,0153с;,'2<|77'' + 0,3786с 3-2077s —0,3939) (-0,0203с''"!’ —0,4797с’ '’'|IJ' + 0,5).
8.	МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Метод малого параметра (метод возмущений) отличается от
других численных методов своей универсальностью и является одним
из наиболее распространенных методов расчета конструкций при
статических и динамических воздействиях. Этим методом успешно
решаются сложные нелинейные задачи строительной механики,
задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям с перемен-
ными коэффициентами, задачи на собственные значения и др. Метод
малого параметра основан на представлении решения краевых или
начальных задач в виде степенных рядов по степеням некоторого
параметра, который может входить в условие задачи в виде некото-
рой физической величины (например, прогиба при решении нелиней-
ных задач теории пластин и оболочек), но может и специально вво-
диться для представления решения задачи в виде степенного ряда.
При удачном выборе нулевого приближения может оказаться доста-
точным одного-двух приближений для получения решения задачи,
мало отличающегося от точного.
8.1.	РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
8.1.1.	Представление решения задачи в виде степенных рядов
Пусть задана система дифференциальных уравнений, содер-
жащих некоторый параметр р,
-^-=Л(Х,У, z, р);
dz	<81>
-^^^Uy.z.p)
с начальными условиями
t/(xo)=O; z(xo)=O.	(8.2)
При этом fi и fi являются аналитическими функциями у, z и р, т. е.
могут быть разложены в сходящиеся ряды по степеням у, z и р:
fi (х, у, z, р) =	£ ацку‘г‘11к- f2(x, у, z, р) = £ fe^t/'z'p*, (8.3)
где aijk, bijk — непрерывные функции аргумента х на некотором от-
резке [а, Р], содержащем точку Хо-
209
Ряды (8.3) сходятся при значениях х на отрезке [а, Р] и при
радиусе сходимости р, удовлетворяющем неравенствам |г/| =Ср,
|z| <р, |ц| <р.
Решение системы уравнений (8.1) представляют в виде степенных
рядов
у(х) =ц«/1(х) +ц2г/2(х) 4-.„4-р,л2/„(х) +...= f |<2/п(х);
(8.4)
z(x) =Ц21 (х) +рЛг2(х) +... + рЛгл(х) +...= £ Pnz«(x).
П = 1
Функции уп(х) и z„(x) определяют так, чтобы ряды (8.4) фор-
мально удовлетворяли системе уравнений (8.1). Подстановка (8.4)
в (8.1) и представление правой части (8.1) в виде (8.3) дает
ОО	ОО	J	ОО	j
£ a.jk ( £ ц'г//) ( £	[/;
i,j,k = O	l—l	m —1
-
OO	OO	оо	у
£ btjk[ £ ti‘yt) ( £ pmzm) и*.
i,j,k— 0	l—l	m—1
(8.5)
Путем сравнения коэффициентов при первой степени параметра ц
в левой и правой частях (8.5) получают систему уравнений
dyi
dx
— OiooJ/i CcioioZi 4-aooi;
dzi
dx
— b 100У14“ bgioZi 4” boot-
(8.6)
Решение этой системы линейных неоднородных дифференциаль-
ных уравнений найти нетрудно, если известна фундаментальная
система решений соответствующей системы однородных уравнений.
В этом случае решение yi и Zi, удовлетворяющее условиям (8.2),
т. е. в данном случае условиям z/i(x0) =0, zi(xo)=O, находят
в квадратурах.
Путем сравнения коэффициентов при ц2 в левой и правой частях
(8.5) получают систему уравнений
<^2/2	.	.	2 .	2 .	.
— 221 ооУ2 “Г Оо 10^2 + О2рр2/1 ~Г O020Z1 + Ооо2 +
4“Oiioi/iZi 4-OioiJ/i +0011Z1;
dZ2	2	2
— fel00t/2 4~ ^010^2 4~ fe2OQ2/j 4~feo2QZj 4~ ^002~|~
(8.7)
4~ fellOf/lZi 4-^1012/1 4~ feflllZi .
210
В этих уравнениях подчеркнутые слагаемые являются уже из-
вестными функциями переменной х:
нг(х) = аоог + агоо//1 +«o2ozf + а, 101/1 Z\ —|— aioi t/i -h Got\Z i;
v2(x) = boo2-\- biooyt + 602022 b\toytZi —|— &1014/1 + 6011Z1.
В итоге система уравнений во втором приближении (8.7) при-
нимает вид, аналогичный их системе в первом приближении (8.6),
и отличается от последней только свободными членами:
dy2
dx
= 01001/2+001022 +«г(х);
dz2
dx
= 61001/2+601022 + v2 (x).
Решение этой системы уравнений у2(х), z2(x) также удовлетво-
ряет условиям (8.2): г/г(хо)=0, z2(x0) =0.
И, наконец, для определения функций уп(х) и z„(x) следует
найти решение системы уравнений в п-м приближении
dyn
dx
— O|oof/n + aoio2„ + «„(x);
dZn
dx
— b\ooyn + 601 oZn + vn (x),
(8-8)
удовлетворяющее условиям t/n(xo)=O, zn(xo)=O, где un(x) и
vn(x) —многочлены от z/i, y2,..., yn~\ и Zi, z2,... , zn-i с коэффици-
ентами aijk и bijk.
Если известна фундаментальная система решений соответству-
ющей (8.8) системы однородных уравнений, то все неизвестные
уп и zn могут быть найдены с помощью квадратур и, следовательно,
получено решение исходной системы уравнений (8.1) в виде рядов
(8-4).
Условием сходимости рядов (8.4) является неравенство
2Л4(х—хр) \	рр	1
\ р / (р + р)2	4
где Al = sup(|fi|, I/2I)—верхняя граница модулей функций fi и f2;
р + 0.
При решении нелинейных задач строительной механики компо-
ненты перемещений и напряжений можно разложить в абсолютно
сходящиеся ряды по степеням малого параметра с ненулевым ра-
диусом сходимости в том случае, когда существуют достаточно
гладкие решения соответствующих линейных уравнений. Поскольку
при решении конкретных задач фактически используются отрезки
бесконечных степенных рядов (8.4), в каждом случае расчета следует
проводить дополнительную оценку отброшенных членов.
Метод малого параметра иногда называют методом возмущений
211
и применяют в основном в том случае, когда дифференциальный
оператор в заданном дифференциальном уравнении можно пред-
ставить в виде суммы L = Z.o-i~eS, где Lo-— решение некоторой зада-
чи, е = 0, а возмущение еХ с параметром возмущения е мало
по сравнению с Lo. Представляя решение в виде ряда по степеням
параметра е, определяют п-е приближение при сохранении в решении
всех степеней е вплоть до е". Решение исходной задачи (при е = 0)
называют нулевым приближением.
Пример 8.1. Найти решение нелинейного дифференциального уравнения,
содержащего малый параметр а,
у'(1 + аху) — х = 0	(8.9)
при начальном условии р(0)=0.
Это уравнение при а^=0 не интегрируется в квадратурах, а в случае а = 0 ре-
шается просто. Представим решение уравнения (8.9) в виде ряда по степеням пара-
метра а:
у=уо+ау1 + а2у2 + а3у3+... ,	(8.10)
где в соответствии с заданным начальным условием
уо(О)=р1(О)=у2(О)=... = О.	(8.11)
Подставляя ряд (8.10) в уравнение (8.9), получим
(Уо + “У I + °-2У2 + “3Уз + -) (1 + ахУ0 +^2ху^+ а3*У2 + -..)— х=0.
Раскрывая скобки и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях
а, приходим к следующей последовательности линейных дифференциальных урав-
нений:
при а0	у'в—х = 0;
при а	у\+ху0у'о = 0-
при а2	y^+xyoy't+xy^^O;
при а3	у'3 + хуоу'2+хУ1У1 + хУ2Уо=0 и т. д.
Здесь каждое последующее уравнение отличается от предыдущего только
свободными членами, именно поэтому все они являются линейными дифференциаль-
ными уравнениями и решаются в квадратурах. Ограничиваясь третьим приближе-
нием, решаем последовательно каждое уравнение с учетом условий (8.11) и находим
искомые функции:
х2	х5	7	8	43	.,
у°= -у; у> = - -цу; ь'2=^бо-х; У3 Г760-а ’
Подстааляем эти значения в ряд (8.10) и получаем решение исходного уравнения
(8.9) в виде ряда
х2	а < , 7а2 с	43а3 ,, ,
У~~2	ПТ* + 160 Х	1760 Х +””
который хорошо сходится при |х|
8.1.2.	Задача об осесимметричном изгибе
гибкой круглой пластинки
Гибкой называется пластинка, прогибы w которой сравнимы
с ее толщиной h. Задача об осесимметричном изгибе гибкой круглой
пластинки сводится к решению системы двух нелинейных обыкно
212
венных дифференциальных уравнений относительно прогибов w
и функции напряжений Ф. Нелинейность их обусловлена тем, что
учитывается деформация срединной плоскости пластинки. В поляр-
ных координатах эти уравнения имеют вид:
п mi \	, Л (1Ф dw
dr '	7 2r \ dr )
(8.12)
Здесь введены следующие обозначения: D =
= £/iJ/ (12 (1 —v2)) — цилиндрическая жест-
„ •>	1 d / d \
кость пластинки; V =---------— г —г~	—
г dr \ dr /
Рис. 8.1. Жестко защемленная по контуру круглая
пластинка, загруженная равномерно распределенной
нагрузкой
одномерный оператор Лапласа в полярных координатах.
Радиальные напряжения о, и кольцевые о<р выражаются через
функцию напряжений Ф следующими соотношениями:
1	t/Ф	</2Ф
Ф—	j	> Ф—	. 2	’
г	dr	dr
(8.13)
1 r
Функция внешней нагрузки ф=----------$ qrdr.
г о
В случае пластинки с малыми прогибами (не гибкой) деформация
ее срединной плоскости не учитывается и задача сводится к решению
одного линейного уравнения
D~ (\72w) =ф.	(8.14)
Система нелинейных уравнений (8.12) обычно решается методом
малого параметра.
Пример 8.2. Найти уточненное с помощью метода малого параметра [20]
решение нелинейной задачи об осесимметричном изгибе гибкой круглой пластинки,
защемленной по контуру и загруженной равномерно распределенной нагрузкой
интенсивности q (рис. 8.1). Модуль упругости материала — Е, коэффициент попе-
речной деформации — v.
Функция нагрузки ф в первом уравнении (8.12) при <? = const
1 [	, qr
Ф=—J qrdr= — .
о
(8-15)
213
Двум обыкновенным дифференциальным уравнениям третьего порядка должны
соответствовать шесть граничных условий. Однако при решении этой задачи можно
поставить только пять условий, так как искомой в данном случае является не функция
напряжений Ф по (8.13), а ее производная. Поэтому достаточно принять следующие
граничные условия:
а)	прогиб и угол поворота на контуре пластинки (при г—с), а также угол пово-
рота в центре ее (при г = 0) равны нулю, что дает гри условия

dw I ____ dw I
dr |,=c	dr |r=o
(8.16)
б)	тангенциальное смещение и или, что то же самое, относительная деформация
в окружном направлении г,, равны нулю на контуре пластинки (г=с):
в)	поскольку напряжения ог ограничены по величине, следует принять в центре
пластинки (при г=0)
Исходные уравнения преобразуем, используя выражение (8.13) для Ф, а также
вводя новую переменную х, безразмерные неизвестные w', аг и безразмерный пара-
метр нагрузки д’:
Уравнения (8.12) после преобразования примут вид
Согласно методу малого параметра, представим искомые функции w , <т,, а также
параметр нагрузки <?' в виде степенных рядов:
ш* = аг,^+Шз?34-.- : o* = a*2g2 + a’4S4 + -; <7* = (?'? +<7^3+ -,	(8.18)
где за малый параметр принята безразмерная стрела прогиба 1^=f/h.
В рядах для w* и q' в процессе выкладок выпадают члены с четными степенями g,
а для о, — с нечетными.
Подстановка рядов (8.18) в уравнения (8.17) дает систему уравнений
214
Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях параметра t в левых и пра-
вых частях этих уравнений приводит к системе последовательных линейных диффе-
ренциальных уравнений, каждое из которых решается в квадратурах:
1 d2 /	.
npi,fe - — =q,;
d2 ,,,	• . I / dw’A2.
npHt = ’
при С’	=^--r(1_v2)o*24r^ ит д'
4 dx2 X	dx /	4	dx
(8.19)
Уравнение, определяющее решение задачи в первом приближении (первое из
уравнений (8.19)), представляет собой линейное дифференциальное уравнение
изгиба пластинки с малыми прогибами (8.14). Интегрируя это уравнение с учетом
граничных условий (8.16), найдем решение для прогиба wb которое совпадает
с известным решением линейной задачи об изгибе круглой пластинки, защемленной
по контуру:
Wj = х2 = (1 — г2/с2)2 при <?, = !.	(8.20)
Уравнение, определяющее решение во втором приближении (второе уравнение
(8.19)), при известном из решения в первом приближении значении а/^х2 имеет вид
((1— х)а’2) = — 2х2.
dx2
Интегрирование этого уравнения с учетом граничных условий дает
с’2=-|-(л-3 + х2 + х+-г-|-^ .	(8.21)
Уравнение, определяющее решение в третьем приближении, также оказывается
линейным относительно неизвестных функций:
1 d2 /
4~
(1—х)
Здесь величины а/, и ог2 определены решениями первого (8.20) и второго (8.21)
приближений.
Выражение для ш3 определяем исходя из граничных условий: ш3 = 0 при х= 1
(т. е. при г = 0); w3 = dw3/dx — 0 при х=0 (г=с), а также из условия, что производ-
ная dw3/dx должна быть конечной при х=1:
1
360
(1—v2)x2(l—х)( 2х3 + 8х2 + 23х +
83 —43у\
1 —v /
Ограничив уточнение решения тремя приближениями, получим соотношение
между стрелой прогиба и параметром нагрузки по (8.18)
. Т ... (173-73v)C4 £ = <
Как отмечено в [20], уточненное значение прогиба w мало отличается от полу-
ченного в первом приближении (не более чем на 5%). Однако уточненные значения
напряжений отличаются от полученных в первом приближении весьма существенно.
215
8.2.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОЙ
И ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ
8.2.1.	Решение задач на собственные значения
Метод малого параметра (метод возмущений) применяют при
решении сложных задач строительной механики на собственные
значения в том случае, когда удается подобрать аналогичную, но
более простую задачу, решение которой известно. Общие принципы
применения метода к таким задачам заключаются в следующем [42].
Задано дифференциальное уравнение, содержащее параметр X,
Л4(у)=М/(у)	(8.22)
при краевых условиях
Щ{/)=0.	(8.23)
Пусть известно решение другой задачи на собственные значения
с теми же краевыми условиями
М*(г/)=ГА’(г/),	(8.24)
но с коэффициентами дифференциального уравнения, несколько
отличающимися от коэффициентов уравнения (8.22). Известна п-я
собственная функция уравнения (8.24) уп=уп.о и соответствующее
собственное значение V =Хп,о. Тогда заданное дифференциальное
уравнение (8.22) можно представить в виде
М’(у)+еМ(у)=ХА,(у),	(8.25)
которое отличается от уравнения с известным решением (8.24)
лишь слагаемым еМ(у) в левой части (е — малый параметр).
Предполагается, что n-я собственная функция уп и п-е собствен-
ное значение Х„ уравнения (8.25) могут быть разложены в сходя-
щиеся степенные ряды по е:
Уп—Уп,0~\-^Уп.1 + е2уп,2~Ь  ; Х.п=Ап,о4-Е^п.14-С2^п,2-Ь... • (8.26)
Подстановка этих рядов в уравнение (8.25) и сравнение коэф-
фициентов при одинаковых степенях е дает систему последова-
тельных уравнений
при 6° АГ (yn,o) =X„,oA/*(t/n,o);
при е М*(Уп,1) -|-M(t/n,o) =X„,iA*(z/„,o) + X„.0A‘(t/n,i);
ПрИ С Л4 (Уп,у) "Т М(Уп,у—1) —X„.VA (//n.o) Т"	— рА (t/n.p) -
Р=1
(8.27)
Вычислительный процесс для определения неизвестных Xn,v
заключается в следующем.
1.	Из первого уравнения (8.27), совпадающего с (8.24), решение
которого известно, находят уп,о и Хп,о.
216
2.	Значение X„j вычисляют с помощью квадратур на заданном
отрезке [а, 6]:
6	ь
К.\= $ Уп.оМ (yn,o)dx/ $ £/„,oA/*(£/„,o)dx.
а	а
(8.28)
3.	Решая краевую задачу, находят значение yn,i, удовлетворя-
ющее второму уравнению (8.27) с краевыми условиями (8.23). Эта
неоднородная краевая задача имеет решение, так как соответству-
ющая однородная задача есть задача на собственные значения
вида (8.24) с известным решением. При этом функция yn,t определя-
ется не однозначно, а с точностью до члена уп,о с постоянным коэф-
фициентом, и этот член может быть отброшен.
4.	С помощью квадратур вычисляют
6	ь
К,2= $ ynfi{M(yn,\) — Kn,\N* (ynA))dx/ $ yn,oN*(yn,o)dx.
а	а
5.	Процесс вычислений можно продолжать дальше, но обычно
для получения уточненного решения достаточно трех приближений
(8.26).
Пример 8.3. Определить значение критической нагрузки для стержня
постоянного сечения с шарнирно закрепленными концами, загруженного центрально
приложенной сжимающей силой F и нагрузкой от собственного веса интенсивности
(рис. 8.2).
Определение критической нагрузки для данного стержня сводится к задаче
на собственные значения для дифференциального уравнения
у ~ ~ёг ху= ~ ~ёг у~
Полагая "K=F/(EI) и принимая за малый параметр величину e = q0/(EI), где
EI — жесткость стержня при изгибе, приходим к уравнению
у" — еху = — '/.у	(8.29)
с условиями на концах стержня у(0) —у(1) =0.
Уравнение (8.29) соответствует (8.25), где ЛГ (у) =у", М(у) = —ху и N’'(y) =
= —у. При е = 0 из (8.29) получаем дифференциальное уравнение известной задачи
об устойчивости центрально сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами.
Следовательно, к уравнению (8.29) можно применить метод малого параметра.
Представим собственные функции и собственные значения в задаче с уравнением
(8.29) в виде рядов (8.26) по степеням е. Подставляя эти ряды в уравнение (8.29)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
при е	Уп.о— ^п,сУп,0у
при е	Уп.\~ — ^п,оУп, 1 — In. 1Уп,о + хуп.ъ',
При 8	^•п.<>Уп.2	^-п,\Уп,\	^п,2Уп,0~I-Хуг1'1 И Т. Д.
(8.30)
Первое уравнение из (8.30) имеет решение при условиях на концах стержня
Уп.о(О) =Уп,о(1) =0, известное как решение задачи Эйлера об устойчивости централь-
но сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами. Собственные функции
этого уравнения y„.0 = sin (плх/1) и собственные значения Кп.о = п2я2/12.
В соответствии с изложенным выше вычислительным процессом находим значе-
ние Хп.। с помошью квадратур (8.28), подставляя в них соответствующие операторы
217
М (Уп.о) = —ху„.о, N’ (У„.о) = — Уп.о:
Рис. 8.2. Стержень, центрально
сжатый под действием силы F
и собственного веса
Рис. 8.3. Стержень, загру-
женный осевой сжимающей
периодически изменяющейся
силой F(t}
Прекратив на этом вычисления, получаем в соответствии с (8.26) собственные
значения во втором приближении Л„ = п2л2//2— е//2. Подставив сюда значения >.„ =
= F/(EI) и е = (?о/(£7), а также приняв я = 1, найдем критическую нагрузку
Fcr=n2£Z//2—О.5«?о/-	(8.31)
Для нахождения третьего приближения следует решить в соответствии с п. 3
вычислительного процесса краевую задачу и найти значение y„j, удовлетворяющее
второму уравнению (8.30). Затем с помощью соответствующих квадратур определить
значение Х„,2. Однако вычисления [42] показали, что третье приближение дает по-
правку ко второму не более 1%, и результат (8.31) следует считать достаточно
точным.
8.2.2.	Задача о динамической устойчивости сжатого стержня
Применение метода малого параметра к решению задач, приво-
дящих к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффи-
циентами типа
d2t/ .	... dy . ...	_
-^2“ + P(t) — +q(t)y = O,
dt	dt
(8.32)
позволяет решать ряд сложных задач строительной механики. Одной
из них является задача о поперечных колебаниях шарнирно за-
крепленного на концах стержня под действием продольной периоди-
ческой силы [6, 7].
Рассматривается стержень (рис. 8.3) длиной / (площадь попе-
речного сечения—Д, жесткость при изгибе —£7=const, плотность
218
материала —р), на который действует осевая периодическая сжи-
мающая сила
F (/) = Fo cos v/,	(8.33)
где v — частота возмущающей силы; t — время.
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний этого
стержня имеет вид
Е!-^- +рД +F(/)	=0,	(8.34)
дх	дг	дх
а граничные условия на шарнирно закрепленных концах стержня
Решение уравнения (8.34), удовлетворяющее этим граничным
условиям: t/=f(/)sin(nx/7). Подстановка этого решения в (8.34)
с учетом (8.33) дает уравнение
d2f
+ со2 (1 — /г cos v/) f = 0,	(8.35)
которое является частным случаем дифференциального уравнения
с периодическими коэффициентами (8.32) и называется уравнением
Матье.
Здесь введены обрзначения для квадрата круговой частоты
собственных колебаний стержня о)2 = л2Е//(рЛ/4) и для коэффи-
циента возбуждения h=F0P / (п2Е1) 1-
Уравнение Матье (8.35) обладает особым свойством, которое
заключается в том, что при некоторых соотношениях параметров <о, v
и h значения его решений неограниченно возрастают и на плоскости
этих параметров непрерывно заполняют так называемые области
динамической неустойчивости — области параметрического ре-
зонанса.
Параметрическому резонансу, при котором выдерживается
соотношение частот собственных колебаний стержня и возмущающей
силы <o=v/s при s=l,2, 3, ..., соответствует решение уравнения
(8.35) f(t) с периодом 4n/v. Каждому значению s соответствует своя
область динамической неустойчивости колебательной системы
(в данном случае — стержня). Наибольший интерес представляет
область главного параметрического резонанса, который имеет место
при s=2 (т. е. при a> = v/2). Границы области определяются из ре-
шения уравнения Матье (8.35) методом малого параметра.
Пример 8.4. Определить с помощью метода малого параметра границы
области главного параметрического резонанса для стержня, изображенного на
рис. 8.3 [6].
Полагая параметр h малым по сравнению с единицей, ищем периодическое
решение уравнения (8.35) в виде ряда по степеням этого параметра
M()=(o+Afi + ft2h+-.	(8.36)
219
в котором /о, fi, fi, — — периодические функции с периодом 4n/v.
Квадрат частоты собственных колебаний стержня также представим в виде
степенного ряда
<и2 =	—р/гап + /г2а>г + ... .
(8.37)
Подставляя ряды (8.36), (8.37) в уравнение (8.35) и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях h, получаем систему уравнений
d2fr> , у2
df 4
(8.38)
d +— /г=( — cos vt —	+ (<х>| cosv/ — o>2)fo и т. д„
dt2	4	\ 4	/
из которой последовательным решением каждого уравнения определяем нулевое
и последующие приближения решения поставленной задачи, т. е. /о, fi, fi, ••• и он, иг, ...
Первое уравнение этой системы (уравнение для нулевого приближения), которое
представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами, решается обычным способом. Его характе-
ристическое уравнение имеет мнимые корни, поэтому общее решение этого однород-
ного дифференциального уравнения имеет вид
fo(t) =a0cos(-^- t + &0J •
(8.39)
где со, Оо — произвольные постоянные (амплитуда колебаний и фазовый угол).
Подставляя это выражение в правую часть второго уравнения из (8.38), получаем
уравнение для первого приближения
d2fi	v2	/ v
+ — Л = - 0) Юо COS ( —-1 +
dt	4	\ 2	>
+
v
---По cos
4

cos vt.
или после преобразования его правой части с помощью тригонометрических тождеств
r/2fi	v2	/	v2\	V
—-I---------fi = — ( ("I-----1 Go COS ———/•cos 0o +
dt2	4	\	8/	2
/ V2 \	v	V2	/ 3v \
+ 1 <01+ -g-) no sin — t-sin »o+ -g-flocos( -g-Z + eo) .	(8.40)
Для того чтобы решение fi (t) этого уравнения было периодической функцией
с периодом 4л/v, необходимо приравнять члены в его правой части, соответствующие
резонансу системы, а следовательно, и коэффициенты при cos(v//2) и sin(v//2) нулю.
Исходя из этого условия, получаем соотношения
или
o>i=v2/8, cos Фо = 0, Фо=л/2
о>1=—v2/8, sinO0 = 0, Фо = О.
(8.41)
которые с учетом ряда (8.37) дают первое приближение искомого решения, т. е. соот-
ношения между <о, v и h, соответствующие главному параметрическому резонансу
(<u = v/2): <o2=v2/4 + frv2/8 или о>2 = т2/4 —frv2/8.
Отсюда получаем границы главной области динамической неустойчивости
заданного стержня на плоскости параметров в координатах 4o>2/v2, h в первом при-
ближении, т. е. уравнения двух прямых, ограничивающих эту область:
4<d2/v2= 1 +• Л/2; 4<„2/v2=l-h/2.	(8.42)
220
Второе приближение находим решением неоднородного дифференциального
уравнения (8.40), которое при учете условий периодичности решений (8.41) принимает
Рис. 8.4. Главная область (заштрихована)
динамической неустойчивости стержня, пока-
занного на рис. 8.3
Все решения этого уравнения состоят из суммы частного решения неоднородного
уравнения и общего решения соответствующего однородного, т. е.
, ... а0 3v ,	( v . . \
= “ T6~C°S-F/ + fe Со\~2"~/ + ч7 '
Подставляя это выражение для а также fo(t) по (8.39) в третье уравнение
(8.38), получаем уравнение
/ V	\	/ V	’
+ 1 -4-cosv/ — toil b cos!	/ + <р
V
+ (tDi cos vt— 102)00 cos t.
Преобразовав правую часть этого уравнения с помощью тригонометрических
тождеств и выполнив условия периодичности решений с периодом 4n/v, приравняем
коэффициенты при cos(v//2) и sin(v//2) нулю и получим: tD2 = 7v2/128, sin <f = 0, <р = 0
или to2 = 7v2/128, cos<p = 0, <р = л/2. Эти соотношения с учетом (8.37) дают второе
приближение искомого решения для квадрата частоты собственных колебаний
стержня, соответствующей главному параметрическому резонансу:
2	, «,2 7V2
01 =------4- h ——— -]- h .
4 — 8	128
На этом процесс уточнения решения прекращаем, так как это уточнение во втором
приближении уже оказалось малым. Границы главной области динамической не-
устойчивости стержня на плоскости параметров 4ю2/v2 и h (рис. 8.4) с учетом второго
приближения решения методом малого параметра определяются уравнениями
4to2/v2= 1 ±h/2-|-7h2/32. Эти границы в отличие от (8.42) имеют нелинейный
характер, однако поправка второго приближения, содержащая /г2, мала и сказывается
существенно лишь при значениях /г, близких к 0,5.
9.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Интегральные уравнения относятся к одному из видов функцио-
нальных уравнений, в которых неизвестная функция содержится под
знаком определенного интеграла. К этим уравнениям сводятся
в основном нестационарные задачи строительной механики, в кото-
рых неизвестными являются функции времени, а также другие
задачи, связанные с предпочтительным направлением изменения
независимого переменного. К такого рода проблемам относятся,
например, задачи определения вязкоупругих деформаций. Интег-
ральные уравнения Вольтерра и Фредгольма играют важную роль
в исследовании напряженно-деформированного состояния тел,
материал которых обладает свойством ползучести. Кроме того,
решение краевой задачи для дифференциального уравнения в не-
обходимых случаях можно свести к решению интегрального урав-
нения.
9.1.	ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
9.1.1.	Интегральные уравнения Фредгольма
Интегральным уравнением Фредгольма первого рода называется
уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла
$ К(х, y)4>(y)dy=f(x),	(9.1)
а
где ядро уравнения К(х, у) и свободный член f (х) —заданные дейст-
вительные функции переменных х и у в квадратной области
а^х, у^Ь (рис. 9.1). Интеграл
К[ф] = $ К(х, y)<p(y)dy
а
называется интегральным оператором.
Уравнение вида
<₽(*) — /. $ А(х, y)tp(y)dy=f(x),	(9.2)
а
где X—действительный параметр (число), называется интегральным
уравнением Фредгольма второго рода. Если в (9.2) свободный
222
член	получается однородное уравнение
ь
4>(х)=к\К(х, y)cp(y)dy,	(9.3)
а
допускающее тривиальное решение у = 0. Те значения параметра X,
при которых однородное интегральное уравнение (9.3) имеет нетри-
виальные решения, называются собствен-
ными значениями (собственными числами)
ядро К(х,у) или соответствующего уравне-
ния (9.2), а отвечающие им ненулевые
решения — собственными функциями.
с-------------
Рис. 9.1. Область задания ядра уравнения Фред-	(
гольма	О а	Ъ г.
Поскольку в задачах строительной механики используется в ос-
новном интегральное уравнение Фредгольма второго рода (9.2),
в дальнейшем будем его для краткости называть уравнением Фред-
гольма. Решением уравнения (9.2) считают функцию <р(х), которая
обращает это уравнение в тождество по х. Следует отметить, что
(9.2) представляет собой не одно уравнение, а семейство
уравнений, зависящих от числового параметра X. Пределы интегри-
рования а и b в (9.2) могут быть как конечными, так и бесконечными.
Уравнение Фредгольма с симметричным ядром К(х, у) =К(у, х)
называется симметричным и обладает некоторыми особыми свойст-
вами: 1) для любого симметричного ядра существует по меньшей
мере одно собственное значение; 2) все собственные значения сим-
метричного ядра действительны; 3) собственные функции <р(х) иф(х)
симметричного ядра, соответствующие различным собственным
значениям, ортогональны в промежутке (а, Ь), т. е. их скалярные
произведения равны нулю:
(<р, ф) = j। ф(х)ф(х)г/х=0.	(9.4)
а
Пример 9.1. Показать, что уравнение малых колебаний упругой нити сво-
дится к интегральному уравнению Фредгольма [61].
Упругая нить длиной / натянута между точками О и В вдоль оси х (рис. 9.2)
силой натяжения Т. Пусть под действием единичной силы F = 1, приложенной в точке
Со с координатой g, эта точка получила малое вертикальное смещение coc = f>. Ввиду
223
малости 6 считаем, что сила натяжения нити Т остается неизменной. Рассматривая
узел с и проецируя силы на ось у, получим уравнение равновесия нити
Т sin а+ Т sin 0 = 1,
где sin a«tg айб/g; sin p«tg p«6/(/ — g); 6=g(/—g)/(/n.
Отсюда смещение z/ (x) любой точки нити с координатой х при действии единичной
силы будет у(х) = К(х, g), где функция К(х, g), называемая функцией влияния
(функцией Грина), принимает значения
Л'(х, g) =	при OCx<g; ]
!	(9.5)
Л(х, g)=	— при gsgxsg/. |
Эта функция обладает свойством симметрии: Л(х, g) = K(g, х).
Если на нить действует распределенная нагрузка интенсивности ?(g), то на
малом ее участке действует сила (g) • Ag и смещение любой точки х нити определяется
произведением функции влияния (9.5) на эту силу: К(х, g)?(g) Ag.
Под действием же всей нагрузки, приложенной к нити, смещение ее любой точки
выразится интегралом
t
у(х)= $ A(x,g)9(g)dg,	(9.6)
О
представляющим собой уравнение равновесия нити.
Для того чтобы из (9.6) получить уравнение движения весомой нити, примем,
что у(х, /) —смещение нити в точке х в момент времени t. Ускорение этой точки будет
д2у(х, t)/dt2.
Обозначив через р линейную плотность нити, найдем массу ее элемента f>c/g.
Следуя принципу Д’Аламбера, заменим в уравнении равновесия (9.6) </(g)dg на
— pdg<52</(g, t)/dt2 и получим уравнение движения
,	С ... д2У&, >)
у (х, t) — — J К (х, ё)-—2---pdg.
О
Если колебания гармонические, т. е. у(х, t) = z/(x)sin at, то, подставив это
выражение в уравнение движения и поделив его правую и левую части на sin tat,
получим уравнение свободных колебаний упругой нити
1
i/(x)=ptb2 J /<(*,
о
которое представляет собой однородное уравнение Фредгольма второго рода вида
(9.3). Его ядро К(х, g) симметричное, поэтому уравнение является симметричным.
Ойо позволяет определить собственные значения ю (частоты свободных колебаний
нити), а также собственные функции у(х) (формы свободных колебаний нити).
В случае действия на нить периодической распределенной нагрузки, например
<7 (Jg) sin со/, приходим к неоднородному уравнению Фредгольма вида (9.2), описы-
вающему вынужденные колебания нити:
I
у(х)~pw2$
о
где f (х) —заданная функция нагрузки, удовлетворяющая граничным условиям задачи.
224
9.1.2.	Интегральные уравнения Вольтерра
Интегральные уравнения вида
$ К(х, y)q(y)dy = f(x),
а
<р(х)—К(х, t/)<p(t/)dt/ = f(x)
а
(9.7)
(9.8)
называются интегральными уравнениями Вольтерра первого и вто-
рого рода. Формально эти уравнения отличаются от уравнений
Фредгольма (9.1), (9.2) только переменным верхним пределом ин-
тегрирования, поэтому все положения, справедливые для уравнений
Фредгольма, относятся и к уравнениям Вольтерра. Однако уравне-
ния Вольтерра имеют и некоторые особенности.
Так, область определения ядра уравнений Вольтерра не квадрат-
ная, как уравнений Фредгольма, а треугольная (рис. 9.3), т. е.
а^х, у^С Ь при х^у. Если х> у, ядро К(х, у) =0.
В отличие от уравнений Фредгольма уравнение Вольтерра (9.8)
не имеет собственных значений: однородное уравнение, соответству-
ющее (9.8), при любом X имеет только тривиальное решение [61].
Уравнение Вольтерра первого рода (9.7) при условии, что ядро
его К(х, у) У=0, приводится к уравнению второго рода (9.8). Поэтому
в дальнейшем будем рассматривать только интегральные уравнения
Вольтерра второго рода (9.8) и для краткости именовать их уравне-
ниями Вольтерра.
Примером интегрального уравнения Вольтерра в теории ползу-
чести может служить уравнение Больцмана — Вольтерра линейной
теории наследственности, которое определяет полную деформацию
загруженного тела, т. е. его мгновенную деформацию и деформацию
ползучести. В случае осевого растяжения стержня (модуль упру-
гости материала — Е) это уравнение имеет вид
е(0 =	$ K(t—T)o(T)dT,
о
т. е. вид интегрального уравнения Вольтерра
типа свертки относительно напряжения a(t).
Здесь полная деформация е(0 определяется
в зависимости не только от напряжения,
действующего в данный момент времени t.
Рис. 9.3. Область задания ядра уравнения Вольтерра
а от всех напряжений <т(т), которые действовали в стержне от
начала нагружения (т = 0) до момента времени i = t. Ядро
этого уравнения называется ядром последействия.
8. Зак. 1810
225
9.1.3.	Связь между линейным дифференциальным уравнением
и уравнением Вольтерра
Любое линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
с начальными условиями можно привести к уравнению Вольтерра.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго
порядка
+ai(x) +az(x)y=F(x)	(9.9)
ах	ах
при начальных условиях
у(О)=Со, у'(О)=С1.	(9.10)
Это уравнение довольно просто приводится к уравнению Воль-
терра. Для этого надо принять
(9.11)
ах
и использовать формулу
dx dx ... f(x)dx— J. 1)1 $ (x—z)n~lf(z)dz,
Хо Хо	Хо	Хо
которая с учетом начальных условий дает:
~^= J <p(t)dt+Cr, у= J (х—Oq>(Orf/+Cix+Co. (9.12)
о	о
На основании (9.11), (9.12) дифференциальное уравнение (9.9)
с учетом (9.10) можно записать в виде
<р(х) + J at (x)(p(i)dt+Ctai (х) + f а2(х) (х — t)(p(t)dt+
о	о
+ Cixa2(x) +Сой2(х) =F(x),
или
ф(х)+ J (at(x) +а2(х) (x — t))fp(t)dt=
о
= F(x) — Ctat(x) —Ctxa2(x) —Соа2(х).
В результате получено неоднородное уравнение Вольтерра
ф(х) = $ К(х, t)q(t)dt+f(x),
о
где ядро уравнения /<(х, t) = — (ai(x) +а2(х) (х—/)), а свободный
член f(x) =F(x) —Ctat(x) —Ctxa2(x) —Coa2(x).
226
Аналогичный результат получается для линейного дифференци-
ального уравнения порядка п.
Возможно обратное преобразование, т. е. если ядро интеграль-
ного уравнения К(х, t) есть целый полином относительно t степени п
К (х, 0 = £ й"> (х)
т=0
путем последовательного дифференцирования уравнение Вольтерра
приводят к задаче Коши для некоторого линейного дифференциаль-
ного уравнения. Этот переход является одним из приемов решения
интегральных уравнений.
Пример 9.2. Решить интегральное уравнение
!/(*)+$ (24-х — t)y(t)dt=x2.	(9.13)
о
Последовательно продифференцируем его два раза по х:
у'(х)+2у(х)+\ y(t)dt=2x;	(9.14)
о
у"(х)+2у'(х)+у(х)=2.	(9.15)
Из уравнения (9.13) получаем начальное условие 1/(0) =0, а из (9.14) —
условие у'(0) =0,
Решая при этих начальных условиях линейное дифференциальное уравнение
второго порядка (9.15), имеем соотношение
1/(х)=2-2е-'(Ц-х),
которое является также решением уравнения Вольтерра (9.13).
9.2.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
9.2.1.	Решение с помощью резольвенты
Приближенное решение интегрального уравнения Вольтерра
ф(х) = /(х) фХ j К(х,	(9.16)
о
можно искать в виде бесконечного ряда по степеням
<р(х) = <ро(х) ф(х) -}-Х,2(р2(х) -ф...-фХ"(рп(х) ф...	(9.17)
Подстановка этого ряда в (9.16) дает
<ро(х) -фХф1(х) ф.-.-фГЧрДх) +...=
==f(x) фХ ( А(х, t) (<ро(О +Ц>> (0 +...-ф7Лр„(0 + -..)dt,
о
227
откуда при сравнении коэффициентов при одинаковых степенях X
получают равенства:
<Ро(х) = f(x);
<pi(x) = j /С(х,	J А(х,
о	о
(р2(х) = J А(х, t)tpi(t)dt= ( К(х, t) ($ K(t, ti)f(ti)dti') dt и т. д.
О	0	0
Последнее равенство можно переписать так:
<р2(х)= ff(/i)d6 f Х(х, h)dt= \f(2(x, tijfitijdti,
0	t,	о
где fafx, ti)= $A(x, ti)dt.
t,
Аналогично
<p„(x) = \Kn(x,t)f(t)dt («=1,2,... ).	(9.18)
о
Функций Kn(x, f) называются повторными или итерированными
ядрами. Их определяют с помощью рекуррентных формул
Лл (x,t)=K(x, /);
Ап+1(х, о=$ К(х, z)Kn(z, t)dz (n=l, 2, ... ).
t
Разложение в ряд (9.17) с учетом (9.18), (9.19):
Ф(х)=/(х)+ Ё km\Km(x,t)f(t)dt-,
m— I О
7?(х,/;Л) = Ё ЛтАт+1(х,/),
т = 0
где функция Р(х, t; X) называется резольвентой или разрешающим
ядром интегрального уравнения (9.16). С помощью резольвенты
решение заданного уравнения Вольтерра записывается в виде
<р(х) =f(х) +Х J /?(х, t; k)f(t)dt.	(9.21)
о
Аналогично решаются интегральные уравнения Фредгольма.
Пример 9.3. Найти резольвенту уравнения Вольтерра с ядром K(x,t) = 1.
228
(9.19)
(9.20)
Согласно формулам (9.19):
Ki (х, t) = K(x, t) = 1;
Kz(x, t) = J K(x, t)Ki (z, t)dz = J dz=x — t\
t	t
Ki(x,t) —	1 - (z — t)dz=	2	;
t
„ . f . (z— t)2	(x — t)3
Ki(x, t)= \ 1 ---2---dz=----3!-- и т- д-
t
Резольвенту находим по формуле (9.20):
ОО	оо
Я(х,/;К) = £ ГК„+1 (%,/)= £ Г(Хп7^" =е^-').
п=0	п=0
Решение соответствующего интегрального уравнения определится по (9.21).
9.2.2.	Метод последовательных приближений
Решение интегрального уравнения Вольтерра (9.8) можно полу-
чить методом последовательных приближений (методом итераций).
Для этой цели некоторую непрерывную функцию <р0(х) подставляют
в правую часть (9.8) вместо <р(х):
<	?1 (х) ==f(x) -Н J К(х, y)(p0(y)dy.
о
Этот процесс продолжают и в результате получают последова-
тельность функций фо(х), ф1(х), <рг(х),..., <ря(х),..., сходящуюся
к решению <р(х). Каждая функция <р„(х) определяется по рекуррент-
ной формуле
<	рп (х) = f (х) -Н J К (х, у) <р„_ I (у) dy.	(9.22)
о
Пример 9.4. Решить методом последовательных приближений уравнение
х
Вольтерра <р(х) = 1 + j <f(t)dt.
о
Принимаем <ро(х)=О и находим по (9.22):
<	р, (х) = 1;
фз(х) = 1 + J l-dt=l+x;
о
4>з(х) = 1+ f (1+/)Щ=1-|-х+^-;
о	z
229
f /	/2 \	X2 X3
<	p4(x) = l+ J (j+/+—J d/=l+X+—+ —;
0
, , X , x2 ,	xn 1
<	Pn(x) = l+ — + — +...+ (n_()! .
oo
Zxn
—- = e', следователь-
til
n = 0
но, <pn(x)->• ex. Функция <p(x) =e' есть решение заданного интегрального уравнения.
п—*- ОО
9.2.3.	Решение интегральных уравнений
методом Бубнова— Галеркина
Для решения уравнения Фредгольма
ь
<р(х)—X $ К(х, s)q>(s)ds=f (х)	(9.23)
а
методом Бубнова — Галеркина выбирают последовательность ли-
нейно независимых функций ш(х), ti2(x),..., ип(х) и находят при-
ближенное решение в виде
фл(*) = Е OkUk(x).
k= ।
Вид функций Ui(x) зависит от конкретной задачи, а коэффици-
енты ak определяются так, чтобы невязка уравнения (9.23) при таком
решении была ортогональна к функциям Ui(x), U2(x), ..., ип(х).
Это дает линейную систему алгебраических уравнений
п b	Ь
Е Ok $ (uk(x) —X J К(х, s)Uk(s)ds) Ui(x)dx=
k= 1 a	a
b
= J f(x)Ui(x)dx (i=l,2, ...,n).
a
Если X не является собственным числом, эта система имеет
единственное решение, которое при п->-оо стремится к точному
решению <р(х).
9.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
9.3.1. Основные понятия
Интегральным преобразованием функции f(t) называется опе-
рация	ь
F(s)= J K(s, t)f(t)dt,	(9.24)
а
где X(s, t), s—ядро и параметр преобразования.
230
Переменная t является вещественной, а параметр преобразования
может быть как вещественным, так и комплексным.
Пределы интегрирования в (9.24) могут быть конечными либо
бесконечными. Функцию F(s) называют изображением функции
f(t), а функцию f(t)—оригиналом. Переход от оригинала f(t)
к изображению F(s), осуществляемый по (9.24), и есть интегральное
преобразование.
На интегральном преобразовании основан операционный метод
решения дифференциальных и интегральных уравнений. Соот-
ветствие изображения F(s) и оригинала f(t) строго однозначно
для большинства практических задач. Интегральные преобразова-
ния характерны тем, что многим операциям над оригиналами соот-
ветствуют более простые операции над их изображениями.
Основанные на интегральных преобразованиях методы решения
линейных дифференциальных уравнений в частных производных
являются весьма эффективными. Последовательным применением
нескольких интегральных преобразований можно свести многомер-
ную исходную задачу к решению обыкновенных дифференциальных
или даже алгебраических уравнений.
9.3.2. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа связывает однозначную функцию-
изображение F(s) комплексной переменной s = o-}-zco с функцией-
оригиналом f(t) действительной переменной t.
Функция
F(s) = $ e~stf(t)di
(9.25)
называется преобразованием Лапласа функции f(t), которое ставит
в соответствие каждой однозначной функции-оригиналу f(t) со схо-
дящимся несобственным интегралом единственную функцию-изо-
бражение F(s) комплексной переменной s=<j+i(o.
Функция-оригинал должна удовлетворять условиям f(t)=O при
/<0и f(t) #=0 при 7^0, а также возрастать не быстрее показатель-
ной функции, т. е. для всех t |f(t) I -SZMeal, M> 0, а^О.
То, что F(s) есть изображение оригинала f(t), символически
записывается так: f(t) =^F(s).
Основные свойства преобразования Лапласа:
1) свойство линейности: для любых комплексных постоянных
аир, если f(t) = F(s) и g(t) = G(s),
af(t)+^g(t) = aF(s)+^G(s)-,
2)	свойство подобия: для любого числа а> О
flat) =
(9.26)
(9.27)
— F(—} ;
а \ а )
231
3)	дифференцирование оригинала: если f(t)=F(s),
f"(t) = s2F(s)— sf(O) -f'(0);
f$=snF(s) — sn~lf(O) — sn~2f'(0) -
(9.28)
4)	дифференцирование изображения сводится к умножению
на (— f) оригинала:
=	или Fw(s) = ( —l)nZnf(/);	(9.29)
5)	интегрирование оригинала сводится к делению изображения
на s, т. е. если f (t) = F(s),
J	;	(9.30)
о
6)	интегрирование изображения сводится к делению оригинала
на t:
J^L = J F(s)ds;	(9.31)
s
7)	смещение изображения: если f(t)=F(s), для любого so
eSctf(t)=F(s-s0)-,	(9.32)
8)	запаздывание оригинала: если f(t)=^F(s), для любого т> 0
f(t—т) =e~STF(s);	(9.33)
9)	теорема о свертке: произведение двух изображений также
является изображением, т. е. если f(t)=F(s) и ф(/)=Ф(«),
F(s)O(s)= J ф(/—T)f(r)rfT.
о
(9.34)
Интеграл в правой части этого равенства называется сверткой
функций f (t) и ф(/) и обозначается символом	Умножение
изображений равносильно свертыванию оригиналов.
Обратное преобразование осуществляют с помощью формулы
обращения Меллина:
c + ioo
=	( estF(s)ds.
zni J
a — too
В табл. 9.1 приведены некоторые наиболее часто встречающиеся
преобразования Лапласа, т. е. оригиналы f(t) и соответствующие им
изображения. Более подробные таблицы преобразований Лапласа
приведены, например, в справочнике [44].
232
Табл. 9.1. Преобразования Лапласа (a=const, b=const, />0)
Пример 9.5. Пользуясь определением (9.25), найти изображение функции
Г(О=еи
Из (9.25) находим
ОО	оо
F(s) — ( e~ste2,dt = ( е <s~2)'d/ =--------------!----е < s 2)Р~°°=—!—
J	J	—(s —2)	lz=o s — 2
о	о
t
Пример 9.6. Найти изображение функции /(/> e'di.
о
Исходя из предыдущего примера (или из табл. 9.1), имеем e'=l/(s—1).
По правилу интегрирования оригинала (9.30)

s
о
1
s(s—1)
9.3.3. Решение дифференциальных уравнений
операционным методом
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение второго
порядка
d2x dx
ао-^2~	+a2x(t)=f(t),	(9.35)
где a0, ai„ a?— константы; ao¥=O.
Решение уравнения (9.35), удовлетворяющее начальным усло-
виям
х(О)=хо, x'(0)=Xi,	(9.36)
операционным методом заключается в следующем.
233
Если применить к обеим частям уравнения (9.35) преобразования
Лапласа x(t) =X(s), f(t) = F(s) и использовать правило диффе-
ренцирования оригинала (9.28), а также свойство линейности пре-
образования (9.26), из дифференциального уравнения (9.35) с на-
чальными условиями (9.36) получится алгебраическое уравнение
(a0s2 + ais4-a2)X(s) — (a0sx0 + a0xi +aixo) = F(s),
откуда определяется изображение
X(s) = (F(s) +aosxo+a0xi + aixo)/(a0s2 + ais + a2).
Из полученного решения начальной задачи (9.35), (9.36) для
изображения X(s) определяют оригинал x(t), т. е. искомое решение
данной начальной задачи. Аналогично решают дифференциальные
уравнения n-го порядка или системы дифференциальных уравнений.
Пример 9.7. Решить операционным методом начальную задачу для диф-
ференциального уравнения
x"-|-x = 2cosZ	(9.37)
при начальных условиях х(0)=0, х' (0) = — 1. Полагаем
x(t) = X(s)	(9.38)
и, применив правило дифференцирования оригинала (9.28) и свойство линейности
преобразования Лапласа (9.26), получим с учетом начальных условий:
х' (/) = sX(s) —х(0) = sX(s);
x"(t) = s2X(s) — sx(0) — Z(0) = s2X(s) + 1.
Из табл. 9.1 cos t= s/(s2 + 1). Подставляя полученные значения производных
и cost в уравнение (9.37), приходим к алгебраическому уравнению относительно
изображения X (s)
s2X(s) + H-X(s)=2s/(s2+l),
откуда X(s) = 2s/(s2-|- I)2—l/(s2-|- 1).
C помощью данных табл. 9.1 переходим от изображения X(s) к оригиналу.
Оригинал второго слагаемого правой части I /(s2 +1) =sin t. Для нахождения
оригинала первого слагаемого воспользуемся правилом дифференцирования изо-
бражения (9.29):
2s	d (	1	\	.	.
—=----------------1 —т.-) — t sin t.	л
(s2 + I)2 ds \ s2+ I /
В итоге получим преобразование Лапласа в соответствии с (9.38)
X(s) = t sin /—sin / = (/ — l)sin t.
Следовательно, решение поставленной начальной задачи х(/) = (/—l)sin t.
Пример 9.8. Решить операционным методом задачу о малых свободных
колебаниях натянутой струны длиной /, жестко закрепленной на концах х=0 и х=/.
Начальное отклонение струны и(х, 0)=/lsin (лх//), О^х^/, начальная скорость
равна нулю. Требуется найти отклонение струны и (х. /) в любой момент времени /> 0.
Свободные колебания струны с натяжением Т и плотностью материала р описы-
ваются дифференциальным уравнением в частных производных (волновым уравне-
нием)
где и(х, t)—смещение точек струны; а = -\Т/(>.
234
Исходя из условий задачи, определим начальные и краевые условия для уравне-
ния (9.39): при / = 0 смещение точек струны задано, а скорость равна нулю, т. е.
,	. лх ди (х, 0)	_
и (х, 0) =А sin ——,	-----—— =0;
(9.40)
на концах струны смешения равны нулю, т. е. при х = 0 и х=1 и (0, /) = u(l, t) =0.
Применяя операционный метод решения задачи, предположим, что и (х, t)
и dzu(x, t)/dx\ рассматриваемые как функции /, являются оригиналами. Обозначим
через
ОО
U(s, х) = j и (х, t)e~s‘dt
о
изображение функции и(х, t). Тогда преобразования Лапласа для производных
от и (х, t) будут
	ди дх	СО = f ^Le-dt=^_. J dx	dx 0	d2u 	 dx2	d2U dx2	(9.41)
откуда с учетом	начальных условий (9.40) й2а . 2 	= s U — хД sin dt2		лх ~T'		(9.42)
Подставляя в изображениях при условиях	(9.41),	(9.42) в исходное уравнение d2U	s2 ,,	sA . лх 	2U=	-sin — dx	a	a	I U\x=(t=U\x=l = 0.		(9.39), получим	уравнение (9.43) (9.44)
Таким образом, применение операционного метода позволило от сложного диф-
ференциального уравнения в частных производных (9.39) перейти к более простому
обыкновенному дифференциальному уравнению (9.43), решение которого легко
определяется:
U(x, s) =Cies^ + C2e-^+ 2 А* sin .
s +а л // I
С учетом краевых условий (9.44) С\ = С2 = 0. и решение в изображениях имеет вид
Переходя от изображения U(х, s) к оригиналу, находим искомое отклонение
струны и(х, t) —A cos (ла///) sin (лх//).
9.3.4. Решение интегральных уравнений операционным методом
Интегральные уравнения вида
ф(х) 4-Х J К(х— t)q>(t)dt = f(x)
о
с ядром К(х — t), зависящим лишь от разности аргументов, пред-
ставляют собой важный класс уравнений Вольтерра, называемых
235
уравнениями типа свертки. Именно уравнения такого типа исполь-
зуются в линейной наследственной теории ползучести.
Рассмотрим уравнение Вольтерра типа свертки
<i (у) = /(-'’) 4 '! \ Л'(л —.')<| (.')7/.	(9.45)
причем имеют место преобразования Лапласа: Ф(.*>) =q (.v), F(s) ==
= .Нл), 7.(4) А'(л)
Если к обеим частям уравнения (9.4э) применить преобразова-
ния Лапласа и использовать теорему о свертке (9.34). а именно
£(х)Ф(х) = j К (л — /)>4
из (9.45) можно получить уравнение в изображениях
Ф(х) —F(s) 4 7.£(х)Ф(х),
откуда Ф(х) =F(s)/( 1—a£(,s)), X£(s)=#L
Для окончательного решения интегрального уравнения (9.45)
остается по изображению искомой функции Ф(х) найти оригинал
Ч(л).
Пример 9.9. Решить интегральное уравнение Вольтерра
(f (.v)= j (х - t)q(t)dt+x.	(9.46)
о
Используя преобразования Лапласа (табл. 9.1) <[(x) = O(s), т|?(х) =x= l/s2,
)(л) =х= 1/s2, запишем в изображениях уравнение, соответствующее (9.46):
Ф(х) = (|/х2)Ф(х) + 1/4,
отсюда
Ф (S) =	1/5 , = -,1 — 4 sh Л.
1— 1/S	S’—1
Следовательно, решение заданного уравнения Вольтерра будет иметь* вид
cf (х) =sh .V.
9.3,5. Преобразование Лапласа — Карсона
и его применение в задачах теории вязкоупругости
Преобразованием Лапласа — Карсона функции /(7) называется
функция
f*(p)=p\e~ptf(l}dt,	(9.47)
которая отличается от преобразования Лапласа (9.25) множителем
р перед интегралом, где р — аргумент функции-изображения Г(р).
Преобразование (9.47) обладает всеми свойствами преобразо-
вания Лапласа (см. §9.3.2) и имеет некоторые дополнительные
236
свойства. Например, изображение постоянной величины в преобра-
зовании Лапласа — Карсона остается без изменения. В табл. 9.2
приведены некоторые оригиналы и соответствующие им изображения
по Лапласу Карсону.
Наиболее часто применяемая в расчетах теорема о свертке
(9.34) в преобразовании Лапласа — Карсона выражается через
интеграл Стилтьеса
ф(/) = j <f((~t)di(г)	(9.48)
и
при условии <)'*(/') =(|’(р)f*(р).
В линейной наследственной теории вязкоупругости для неста-
реющих материалов [65,69] интегральное уравнение Вольтерра
типа свертки
г(/)=	+ -1_ Г К(/-т)о(тИт,	(9.49)
С	С J
о
выражающее зависимость между деформациями и напряжениями
для одномерной задачи строительной механики, обычно решается
операционным методом. Применение к обеим частям этого уравнения
преобразований Лапласа -Карсона е‘(р)=е((), о* (р) = о (/),
К* (р) = К(() и использование теоремы о свертке (9.48) дает изобра-
жение искомой функции
р
l + (l/P)K-w
где К*(р)—изображение ядра ползучести.
Полученное выражение в изображениях имеет вид, похожий
на закон Гука для одномерной задачи теории упругости о = £г. Это
соответствие еще более ярко прослеживается, если соотношение
между деформациями и напряжениями для вязкоупругого тела
(9.49) выразить с помощью интеграла Стилтьеса через функцию
ползучести для нестареющего материала П(/ — т):
е(/) = J П(/ — т)г/о(т).	(9.50)
о
Отсюда на основании теоремы о свертке (9.48) получается
простое выражение в изображениях по Лапласу — Карсону
в*(р)=П*(р)о‘(р),	(9.51)
которое по форме полностью совпадает с выражением для закона
Гука.
Таким образом, для одномерных задач линейной наследственной
теории вязкоупругости аналогом закона Гука в изображениях по
Лапласу — Карсону является выражение (9.51), а в оригиналах —
(9.50).
237
Интеграл Стилтьеса обладает всеми свойствами определенного
интеграла и для случая свертки двух функций ф(/) и f(t), одна из
которых имеет точки разрыва первого рода 0<ti<т2<...</,
вычисляется по формуле
j <p(Z—T)df(x) =ф(/—т,) (f(xi + 0) — f(ti — 0)) +
о
+ ф(/-т2) (f (т2 + 0) — f(x2 —0)) |,>Т2+...+ $ ф(/-т)Г(т)б/т, (9.52)
о
где второе слагаемое в правой части включается в сумму правой
части только с момента времени t — т2. Вид разрывной функции ф(/)
представлен на рис. 9.4. Основное преимущество, благодаря кото-
рому интеграл Стилтьеса успешно применяется в наследственной
теории вязкоупругости, — возможность рассматривать непосредст-
венно, не делая предельных переходов, случаи мгновенного прило-
жения нагрузки или мгновенного деформирования систем.
Решение практических задач линейной наследственной теории
вязкоупругости с применением интегрального преобразования
Лапласа — Карсона основано на использовании принципа соответ-
ствия Вольтерра, который заключается в следующем. Для решения
статических задач теории вязкоупругости следует найти решение
соответствующей задачи теории упругости и в окончательном ре-
зультате заменить функции, являющиеся в задаче теории вязко-
упругости функциями времени (напряжения, деформации, переме-
щения и нагрузки), их изображениями по Лапласу — Карсону. Эта
операция сводится к формальному приписыванию всем этим функ-
Табл. 9.2. Преобразования Лапласа— Карсона (a=const, b=const, />0)
/(0	Г (р)	/(0	f(p)
I	1	cos at	P2
			p2+a2
			
		sin at	ap
			p2+a2
			
			2
/		ch at	p
	р		p2—a2
			
t"	п!	sh at	ap
	р"		p2 — a2
			
t~n 1	пп	e~blcos at	P(p+b)
Г(1-п)			(p+b)2+a2
			
e~ai	р	e_"sin at	pa
	р+а		(р+ЬГ+с?
	1	1 /a\,/2	
	р + а	2 \ t )	
238
циям индекса — «звездочки». Кроме того, в этом результате следует
заменить упругие постоянные материала изображениями соответст-
вующих функций времени теории вязкоупругости. Например, !/£->-
->П*(р), l/(2G)->n’(p), E-^R'(p), где Е и G —модули упругости
и сдвига материала; П*(р), Пс(р) и /?*(р) —изображения по Лапла-
Рис. 9.5. Расчетная схема арки
Рис. 9.4. Функция <р(/) с разрывами
первого рода
су — Карсону функций ползучести П(/), сдвиговой ползучести Пс(0
и релаксации R(t).
Заключительный этап решения задачи теории вязкоупругости
состоит в переходе от изображений к оригиналам.
Пример 9.10. Раскрыть статическую неопределимость бесшарнирной арки
из вязкоупругого материала. Арка, расчетная схема которой изображена на рис. 9.5,
подвергается переменному во времени температурному воздействию T(t).
Из расчета арки в упругой стадии деформирования на действие температуры [76]
запишем значение горизонтального усилия Xi, приложенного в упругом центре:
X, =45аТЕ1с/ (4(1 +p.)f2),	(9.53)
где р — геометрическая характеристика арки; Е— момент инерции ключевого (сред-
него) сечения; f — стрела подъема; £ — модуль упругости материала; a = const—
коэффициент температурного расширения материала.
Обозначим из решения (9.53) через С величину, не зависящую от /, т. е. С =
= 45а/с/(4(1+p)f2). Тогда Х\ = СЕТ.
Согласно принципу Вольтерра, решение соответствующей задачи теории вязко-
упругости в изображениях по Лапласу — Карсону при замене модуля упругости
изображением функции релаксации Е-.р'(р} будет
х;(р)=СЯ* (₽И*(₽)-	(9.54)
Используем в данном решении метод параметров [34]. В соответствии с этим
методом функцию релаксации /?(/), полученную на основании экспериментальных
исследований материала арки, представляем в аналитическом виде как сумму экспо-
ненциальных сплайнов
P(t)=R(O)	—	(9.55)
где 7?(0), а, Ь, а, (3, и, g — параметры, определенные на основании эксперимента; h (/) —
единичная функция Хевисайда.
Полагаем, что арка выполнена из материала, экспериментальные кривые релак-
сации которого известны [34], и упомянутые параметры определены: 7?(0) =
= 19,6-102 МПа; а=0,083; fe = 0,774; а=0,656; р = 0,033; х = 0,048; g = 3.
Изменение температуры во времени Т(t) аппроксимируется с помощью функции
Хевисайда
T(t) = Toh(t) +Txh(t — /,) +T2h(t —12) +...	(9.56)
Переходя от решения в изображениях (9.54) к оригиналам, используем теорему
t
о свертке (9.48): X](/)=cJ R(t—т)ЦТ’(т). Полученный интеграл Стилтьеса вычнс-
о
239
лим no (9.52) при T(t), представленной (9.56):
Xl(t)=C(R(t)Tl)+R(t-tl)Tl\t>tl + R(t-t2)T2\t>h+... )	(9.57)
Функция релаксации R(t) определяется по (9.55) при известных значениях парамет-
ров и заданном /.
Полученное решение (9.57) определяет значение искомого горизонтального
усилия Х| (/) в зависимости от /. Таким образом, статическая неопределимость задан-
ной арки из вязкоупругого материала раскрыта. Теперь легко найти внутренние
усилия и перемещения при заданном изменении температуры.
9.3.6. Преобразование Фурье
В некоторых задачах строительной механики, в частности в зада-
чах динамики сооружений [68], в плоской задаче теории упругости
[65], интегральное преобразование Фурье позволяет свести задачу
об интегрировании дифференциальных уравнений в частных про-
изводных к интегрированию обыкновенных дифференциальных
уравнений для изображений искомых функций.
Если f(t) —действительная функция, кусочно-гладкая или ку-
сочно-монотонная на любом интервале, для которой существует
сю
интеграл j \f(t) \dt<Z оо, то преобразование Фурье этой функции,
— сю
называемой оригиналом, определяется следующим выражением:
J f(t)eia‘dt,	(9.58)
/(<•>)
-\/2л
где функция /(со) действительной переменной со называется изобра-
жением функции f(t) по Фурье: /(со) ==/(/).
Обратное преобразование Фурье:
/(/) = -Ц- Г /(со)а-^со.	(9.59)
-\/2л J
*	— сю
Основные свойства преобразования Фурье заключаются в сле-
дующем:
1)	свойство линейности: если /i (со) ==/i (/) и /г(со) =f2(t), то
(cz/1(O+fe/2(0)~ = «/1(co)+fe/2(co);
2)	свойство подобия: если	а> 0, то
3)	сдвиг аргумента: /(/±т) ==е±'“7(со);
4)	теорема о свертке: если за свертку двух функций
сю
принять интеграл /1(0*/г(0= $ /1 (/—т)/2(т)с/т, то
240
Табл. 9.3. Преобразовании Фурье
до	Дш)	но	f (ш)
sin at , —-t	(а> 0) (/> 0)	(л/2)1/2 при | со | <а 0 при | ы [> а 1 (2л) |/2(а — co-f-cc) |<о| 1/2		((£г2 + ш2)1/2+£г)1/2
		|/|1/г (аг—/2)1/г (|/|<а)	(о2 + <|>г)1/2 (л/2) 1/г/о(аы)
(Л (0/2 (0) ~=Л (со)	(«); fl (ш)/2 (ш) = (fl (/) *f2 (/))
5)	дифференцирование оригинала:
(/«(/)) ~=(-ш)7(<0).	(9.60)
Примеры некоторых преобразований Фурье (оригиналы и соот-
ветствующие им изображения) приведены в табл. 9.3. Более по-
дробные таблицы можно найти, например, в справочнике [44].
Если функция-оригинал f(t) является четной, т. е. f( —
для нее справедливо косинус-преобразование Фурье
fc(a) =	$ f(t)cos astdt
о
и обратное преобразование
f(t) =
cos utdu.
Если функция-оригинал f(t) является нечетной, т. е. f( — t) =
= —f(t), для нее справедливо синус-преобразование Фурье
fs(со) =	f (Osin uddt
о
и обратное преобразование
=	f, (cd) sin <otd(d.
о
Примеры косинус- и синус-преобразований Фурье приведены
в табл. 9.4.
При решении с помощью преобразования Фурье краевых задач
строительной механики дифференциальные уравнения в частных
производных приводят к обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям, которые решают известными методами.
Процедура преобразования и решения состоит в том, что все
241
Табл. 9.4. Косинус- и синус-преобразования Фурье
Косинус- преобразования		Синус-преобразования	
но	7. (ш)	по	/,(ш)
е~1	(2/л)1/2-ГГ^ 1 -Г	е~'	1 -Г 0)
cos (/72)	/о>г	л\ COS 1т “ ~4)		ые—“!'2
sin (/72)	. / л	ыг\ s,"(t ~т,)	-j- sin /	(2л)1/21п|4±^| 1 1 —ф 1
члены уравнения (или системы уравнений) в частных производных,
включая граничные условия, умножают на ядро преобразования
Фурье и выполняют интегрирование в соответствующих пределах.
Выбор ядра преобразования зависит от вида дифференциального
уравнения и граничных условий. Операции преобразования должны
выполняться так, чтобы преобразованные уравнения не содержали
исключаемой переменной. В результате получают обыкновенные
дифференциальные уравнения, содержащие изображения неизвест-
ных функций и их производных, которые удовлетворяют преобразо-
ванным по Фурье граничным условиям. Решение этих уравнений
дает значения изображений искомых функций, оригиналы которых
определяют с помощью обратного преобразования (9.59).
Пример 9.11. Найти напряжения в упругой среде, ограниченной полу-
плоскостью. В заданной системе координат хОу границей полуплоскости — оо <г/<0
является ось х (рис. 9.6). На границе полуплоскости у — 0 заданы нормальные
и касательные напряжения [65]:
оДх, 0) = — </(х), txy(x, 0)=0.
Система уравнений равновесия в напряжениях имеет вид
=0.
дх ду
дау
дх ' ду J
(9.61)
(9.62)
Для решения поставленной задачи, т. е. для нахождения возникающих в данной
среде напряжений, используем преобразования Фурье (9.58). После умножения
уравнений равновесия (9.62) почленно на е""* х и интегрирования по х в пределах
от — оо до оо с учетом свойства дифференцирования оригинала (9.60) получаем
систему уравнений равновесия в изображениях
д	— 11ооДю) +г'у(ш) =0; )
х	-г^(ш)+о~;(ш)=0, J	(9’63)
'к У	Рис. 9.6. Упругая среда, ограниченная плоскостью
где штрихами обозначены производные по переменной у.
Граничные условия (9.61) после их преобразования по Фурье принимают вид:
Оу(а>, 0) = — <?(ы); ТхДы, 0) =0.	(9.64)
242
Поскольку все компоненты напряженного состояния в плоской задаче теории
упругости описываются бигармоническими функциями, для выполняется условие
<?Ч , 2	, д'су
дх' дх7ду' ду''
откуда после выполнения преобразования Фурье получаем обыкновенное дифферен-
циальное уравнение в изображениях
o'V(w) —2o>2a" (ы) -ф- ьо4CTj,(<л>} =0.
Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения
оДы) = (А -ф Ву)е^ у,	(9.65)
где -ф ы и — ы представляют собой двойные корни характеристического уравнения.
Дифференцирование изображения (9.65) по у дает
^(<о) = (Л | ш| +В|ш|г/+В)е|<“|!'.	(9.66)
Постоянную А определяем подстановкой (9.65) в граничные условия (9.64):
А—— <?(ы); постоянную В —из второго уравнения равновесия (9.63) с учетом (9.64),
(9.66) и найденного значения для А: В=|<о|д(ы). При известных значениях А и В
изображение функции по (9.65) принимает вид
ар(со) = —<Ды)(1 — |о)|{/)е|“|!'.	(9.67)
Изображения компонент напряженного состояния оя и т„, определяем из уравне-
ний (9.63)
Ох(ы) =<?(w) (1 + Iы|1/)е|<“1в; I
Txs(<i>) = —i<ofl(<i))ye,“l!'. J	(9.68)
От полученных выражений для изображений компонент напряженного состояния
можно легко перейти к оригиналам, используя обратное преобразование Фурье (9.59).
Так, например, для а у получаем
ОО
оу =-----— ( 4(u)(l-|w^)el“lye-,‘“du,
л/2л J
— оо
где изображение нагрузки находим по определению преобразования Фурье (9.58):
ОО
д/2л J
С учетом этого выражения получим
ОО	оо
^=2^ J	j (1-|Ш|(/)е|и|’-‘“|х-6Чо.	(9.69)
— оо	— оо
Внутренний интеграл этого равенства можно представить в виде суммы двух
интегралов
со	оо
— оо	— оо
Первый из них вычисляем с учетом у<0, а также из условия, что из |<о| для ш> 0
корень характеристического уравнения +<ч, а для ы<0--------ы:
243
— oo	— oo	0
£ —шу —ioi(x—£) .0	^<ay —imp — S) I 00
y + Hx—l) l-oo	— y + i(x— g) Io
1	,	1	= _ A.
у+Цх— g)	— y+i(x—g)	r2
где r2=(x—g)2+/A
Аналогично вычисляем второй (внешний) интеграл и находим о,, по (9.69).
по (9.69).
Подобным же образом производим переход от изображений по Фурье (9.68) для
ох и ТхУ, в результате получаем: сю 2 С	— g)2 Ох =	\		7	 л J	г — оо оо 2 С 	 \ л J	ОО 2 С 0(g)у3 Оу—	\	4 ли	г — оо <?(g)y2(-y —£) г4
10.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ,
ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Вариационные методы решения задач строительной механики
при всех их преимуществах имеют и некоторые слабые стороны,
в том числе необходимым условием их применения является положи-
тельно определенный оператор задачи. По этой причине вариацион-
ные методы оказываются недостаточно хорошо приспособленными
к случаю решения задач для бесконечных областей. От этого недо-
статка свободны методы решения начальных и краевых задач строи-
тельной механики, основанные на теории потенциала, т. е. метод
потенциалов и метод граничных элементов.
Первый из них применяется в основном для решения задач,
которые приводятся к дифференциальным уравнениям в частных
производных эллиптического типа. Метод граничных элементов
основан на сочетании идей теории потенциала с методами теории
аппроксимации [9,10]. Он особенно эффективен для бесконечных
и полубесконечных областей, однако при его использовании необ-
ходимо иметь фундаментальное решение уравнений задачи для рас-
сматриваемой области. Оба метода, основанные на теории потен-
циала, связаны с большим объемом вычислений, и поэтому их при-
менение полностью ориентировано на использование ЭВМ.
10.1.	МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ
10.1.1.	Основные понятия теории потенциала
Понятие потенциала тесно связано с интегральным представле-
нием гармонической функции, т. е. функции, являющейся решением
уравнения Лапласа [52]. Причем область Q, в которой находят
решение уравнения Лапласа, может быть конечной или бесконечной.
Главное, чтобы область была ограничена замкнутой поверхностью Г,
не обязательно связной (рис. 10.1).
Для интегрального представления функций класса С2 (дважды
непрерывно дифференцируемых) введены три интегральные опера-
тора специального вида, т. е. три интеграла, зависящие от х как от.
параметра: J-^p(g)dr, $	а(£)</Г, J-^-p(g)dQ,
Г	Г	й
называемые соответственно потенциалом простого слоя, потен-
циалом двойного слоя и объемным потенциалом. Здесь р(£), о(£),
Р(£) —плотности этих потенциалов; Г —кусочно-гладкая поверх-
245
ность, ограничивающая область Q; г—расстояние между двумя
точками х(хь Хг,... , хт) и £(£i, £2,	, £m) m-мерного евклидова
пространства Ет:
г=||х — £|| = -д/ f (хЛ —£*)2 ;
v — внешняя нормаль к поверхности Г в точке £ (при m = 2 1/г"1-2
заменяется на 1щ1/л)).
Рис. 10.1. Области Q, ограниченные поверхностью Г:
а — конечная; б бесконечная
Потенциалы простого и двойного слоев удовлетворяют однород-
ному уравнению Лапласа. Если поверхность Г делит пространство
на две области — внутреннюю и внешнюю, то оба потенциала опре-
деляют две гармонические функции: одну во внутренней области,
другую — во внешней.
Функция у (х, £) = 1/г"12 в предположении, что т> 2, удовле-
творяет однородному уравнению Лапласа и называется его сингу-
лярным решением. Она с определенной скоростью стремится к бес-
конечности при х—>-£. При т — 2 сингулярным решением уравнения
Лапласа является функция v(x, £)=1п (1/г). Эта функция гармо-
ническая в любой конечной области, не содержащей точку £. На-
пример, сингулярное решение уравнения Лапласа удовлетворяет
уравнению —Да = с6(х — £), где 6—дельта-функция Дирака; с —
некоторая постоянная.
10.1.2.	Интегральное представление функции
Поверхность Г в пространстве Ет называется ляпуновской, если
она удовлетворяет следующим двум условиям Ляпунова: 1) в любой
точке поверхности Г существует определенная нормаль; 2) если
x(xi, х2, ... , хт) и £(£,, £2, ... , £„,) —точки поверхности Г, г= ||х— £||,
п и v— нормали к Г в точках х и £ соответственно, а О — угол между
этими нормалями, то при положительных постоянных а и а имеет
место неравенство
Пусть Q — конечная область в пространстве т переменных
(т> 2/, ограниченная кусочно-гладкой поверхностью Г, и в ней
задана функция «(£). Для ueC2(Q) имеет место зависимость
246
/ \	1 f / 1	ды(£)	д 1 \
Ы(Х) “ (m —2)Js,| J (Т^ ~Ui^~d^ 7^) dT~
Г
“ (/и-2) |S|| J
которая называется интегральным представлением функции класса
С52). При т = 3 I si I =4л. Для т = 2 это интегральное представле-
ние имет вид
/ \	1 Г Л 1 dw(g)	д .	1 \
«W=-0—\ (In----------------«(£)-=— In--) сГГ —
2л J \ г дх	дх г /
г
ln-1-A«(g)rfQ.
zn J Г
Если и(х) —гармоническая функция, то Аы = 0 и интегральное
представление такой функции имеет вид
i \	1 Г ( 1	дм(£)	д 1 \
“(Х “ (m-2)|s,| S (т^ ~д^>	“(&) 77 7^) dT'
При т = 2
/ \	1 С А 1	ди(1)	д -	1 \
ы(х) — —— \ I In------------w(£) “ч— In--) dr.
2л J \ г дх	дх г /
г
Функция, гармоническая в некоторой области, имеет в этой
области производные любого порядка.
10.1.3.	Свойства потенциалов
Объемный потенциал имеет следующие свойства.
1.	Если р измерима и ограниченна в Q, объемный потенциал
<₽(*) = \~^dQ
Q
(10.1)
непрерывен и непрерывно дифференцируем во всем пространстве Ет.
2.	Если реСП)(й), объемный потенциал (10.1) имеет в Q непре-
рывные вторые производные и удовлетворяет неоднородному урав-
нению Лапласа:
—А<р= (т — 2)|si|p(x) (m>2); —А<р = 2лр(х) (m = 2). (10.2)
Уравнения (10.2) позволяют находить частное решение неоднород-
ного уравнения Лапласа и тем самым свести последнее к однород-
ному уравнению.
247
Общее решение неоднородного уравнения Лапласа
— &u = f(x)	(10.3)
представляет собой сумму некоторого частного решения и общего
решения однородного уравнения Лапласа. Если функция f(x) не-
прерывно дифференцируема в замкнутой области Q, частное решение
уравнения (10.3)
При замене неизвестной функции в уравнении (10.3) по формуле
u = uo-\~w получается однородное уравнение Лапласа Аау=0.
3.	Гармоническая функция, отличная от тождественной постоян-
ной, не достигает в конечной области ни максимума, ни минимума.
Если функция и(х) гармонична в конечной области Q и, кроме
того, weC(Q), то и(х) принимает как наибольшее, так и наименьшее
значение на границе области.
Рассмотренные выше положения теории потенциалов можно
распространить на уравнения эллиптического типа с переменными
коэффициентами
-	+лч«=о.
Для таких уравнений можно найти и сингулярное решение и ин-
тегральное представление.
Потенциал двойного слоя
ау(х) = J O(g) -А-	(10.4)
Г
есть функция гармоническая как внутри, так и вне Г.
Если Г — замкнутая ляпуновская поверхность и о(£) непрерывна
на этой поверхности, потенциал двойного слоя (10.4) имеет вполне
определенное значение при любом х, лежащем на поверхности Г.
Это значение непрерывно меняется, когда х лежит на поверхности Г.
При o(g) — 1 потенциал двойного слоя
М*) = J
г
называется интегралом Гаусса.
Если поверхность замкнутая ляпуновская, а плотность потен-
циала на этой поверхности непрерывна, то потенциал двойного слоя
равномерно стремится к своим предельным значениям как изнутри,
так и извне поверхности.
Для потенциала двойного слоя (10.4), если Г—ляпуновская
поверхность и о(£) непрерывна на Г, справедливы следующие
248
предельные соотношения:
. .	(m—2)|sil	.	, - ч
Wi (Л'о) =------Y-----О (х0) 4- W (х0);
(т — 2)|si|	.	-
we(xo) =------g2----о(хо) + w(x0).
Здесь иДх0) и we(xo) —предельные значения потенциала w(x)
в точке хоеГ, когда х—>-хо соответственно изнутри и извне Г;
ау(хо) — прямое значение этого потенциала в точке х0.
Потенциал простого слоя
ц(х)= j n(g)-2_dr	(10.5)
г
непрерывен во всем пространстве £т, если Г — замкнутая ляпунов-
ская поверхность, а р.(£) измерима и ограниченна.
Производная потенциала (10.5) по внешней нормали п к поверх-
ности Г, проходящей через произвольную точку хёГ пространства
Ет, если Г — замкнутая ляпуновская поверхность, имеет вид
ди(х) г . д 1
—Т---- = \ н(£) -7----7^2 dT-
дп J дп г
г
Предельное значение нормальной производной потенциала
простого слоя при условии, что Г — замкнутая ляпуновская поверх-
ность, а ц(£) непрерывна на Г, выражается формулами:
dv(xo) (т — 2) | si |	dv(xo)
дщ ~----------2-----и(Хо) + дп ;
ду(ху) = _ (rn—2)|sil	dv(x0)
дпе	2	° дп
Здесь dv(xo)/дп, и ди (хо) /дпе—предельные значения нормальной
производной dv(x)/dn, когда хн-хоеГ соответственно изнутри
и извне Г; ди(хо)/дп — прямое значение нормальной производной
потенциала простого слоя.
10.1.4.	Применение метода потенциалов
к решению задач Дирихле и Неймана
Для замкнутой ляпуновской поверхности Г, ограничивающей
внутреннюю область й и внешнюю Q', формулируют одновременно
четыре краевые задачи для однородного уравнения Лапласа: найти
функцию н(х), гармоническую в области Q или й' и удовлетворя-
ющую либо условию задачи Дирихле
«1г=<р(х),	(10.6)
249
либо условию задачи Неймана
-fj- (=Ф(х).	(Ю.7)
где функции <р(х) и ф(х) считаются непрерывными на Г.
Внутренняя и внешняя задачи Дирихле обозначаются через £),
и De, а внутренняя и внешняя задачи Неймана — через М и Ne
соответственно. Решения этих задач находят в виде некоторых
потенциалов: задачи Дирихле — в виде потенциала двойного слоя
ы(х)=	(10.8)
Г
задачи Неймана — потенциала простого слоя
и(х)= ( n^-A-dr,	(10.9)
г
так как эти интегральные представления функции и(х) удовлетво-
ряют уравнению Лапласа. Требуется, чтобы искомые плотности
о(£) и р(£) были непрерывны на Г. При таком представлении реше-
ния автоматически получаются функции, гармонические в соот-
ветствующей области, и остается найти o(g) и р(£), используя
краевые условия и выражения (10.8), (10.9).
Вначале рассматривается задача Дирихле Д. Краевое условие
(10.6) следует понимать так: если хей и х->хоеГ, то
lim и(х) =<р(хо).	(10.10)
JC—*-Ло
Но и(х) есть потенциал двойного слоя, плотность которого, по пред-
положению, непрерывна. В таком случае, согласно формуле о пре-
дельных соотношениях для потенциала двойного слоя,
г	i ч (zn—2)|sil	г	д 1	,
hm и (х) =---------------о(х0) + \ о (х) — ——	_2 dr.
х->х0	Z	J	OV	|С--А0|
Г
Подставляя это выражение в (10.10), заменив Хо на х и разделив
на —(т— 2) |si|/2, можно получить интегральное уравнение для
неизвестной функции о (5)
9 г д 1	2
°(Х) “ (/д-2) |s,| 5	17 ~^dr= ~ (m-2)|sd Ф(Х)‘
(10.11)
Аналогично получают интегральные уравнения для трех осталь-
ных задач De, Ni и Ne соответственно:
2 г д 1
+ (m-2)|sd 5	17 7^=Tdr==
Г
250
- (m-2)|s!| ф(х);	(1012)
-2	, ( И(?)^-^2-йГ =
(т — z)|S]| J дп г
г
° (m-2>|s,| *W;	<1013>
'*U| _ (m-2) Is, | 5	~^=*dT =
= ~ (ffl —2)ls,l *W-	<10l4>
В уравнениях (10.11) — (10.14) хе Г. Все эти уравнения —
интегральные со слабой особенностью. Они называются интеграль-
ными уравнениями теории потенциала.
Пример 10.1*. Определить методом потенциалов внешние нагрузки, возни-
кающие на поверхности бесконечно длинного кругового конуса при внедрении его
в несжимаемую жидкость (рис. 10.2).
Течение жидкости из состояния покоя под действием давления конуса при
отсутствии вихрей является потенциальным и, следовательно, удовлетворяет уравне-
нию Лапласа
ДФ = 0,	(10.15)
где Ф— потенциал скоростей возмущенного движения жидкости.
Граничные условия определяются равенством нормальных составляющих
скоростей движения жидкости на стенке конуса и движения тела
<5Ф
— =V„,	(10.16)
дп
а также равенством нулю потенциала скоростей на бесконечном удалении от тела
(Ф = 0). Кроме того, еще одно граничное условие заключается в постоянстве давления
на поверхности жидкости:
p = Po = const.	(10.17)
Заметим, что из решения уравнения (10.15) и соответствующих граничных
условий можно определить поле скоростей жидкости
n = grad Ф,
а из интеграла Лагранжа - поле давлений
(ро— плотность жидкости), а следовательно, и внешние силы, действующие на
погружающееся в жидкость тело.
При безграничном удалении от тела, т. е. при v-*-0, дФ/д(->-0, с учетом (10.17)
получим с(/)=Ро/Ро; интеграл Лагранжа может быть представлен в виде
Решение этого примера предложено В. В. Костылевым.
251
ЗФ , Р~Ро , у2
at ро 2
Потенциал скоростей Ф возмущенного движения жидкости, удовлетворяющий
однородному уравнению Лапласа (10.15), определяется как потенциал простого
слоя
Ф= —
^-dQ,
J\
(10.18)
где 12— выбранная поверхность интегрирования; R = ( (Jo — У 2~г ( Цо— ц)2 + (Со —
— ?)2),/2; <?(£!) —плотность потенциала простого слоя.
Рис. 10.2. Внедрение бесконеч-
но длинного конуса в несжимаемую
жидкость (точка Л40 находится
на поверхности жидкости)
Потенциал (10.18) удовлетворяет уравне-
нию Лапласа
<?2Ф , <92Ф , <52Ф п
ЛФ— 2 “I—“I—— 0
<3g дц2
во всех точках пространства, не лежащих
на поверхности й, по которой производится
интегрирование. В данном случае за поверх-
ность интегрирования принимаем поверхность
погруженной части конуса П, и ее зеркаль-
ного отображения относительно свободной
поверхности £Ъ. Тогда потенциал простого
слоя можно представить в виде
ф=_2_(((^
4л \ J J
'^Ldsi +
Al
Qi
(10.19)
Й2
где 7?.= ((go-g)2+(9o-9)2+(£o-g)2)'/2; R2 = ((go-g)2+ (цб-ц)2 + (Ь> +
+ J1")|/_.
Для удовлетворения граничных условий на свободной поверхности (Ф = 0)
следует принять q(l, ц, £) = —<7(|, ц, — £).
Потенциал скоростей из (10.19)
Ф=-^П <7(1, Ц, У -dQ.
й,
(10.20)
Плотность простого слоя <7(|, ц,?;) определяется из граничного условия (10.16)
на конусе
<5Ф	> .
— =f sin у,
дп
(10.21)
где f=Of/dt — скорость внедрения конуса в жидкость; у—половина угла конус-
ности.
Согласно теории потенциала, производная на самой несущей поверхности
от потенциала простого слоя по направлению внешней нормали п к несущей по-
252
верхности слоя определяется формулой
<?Ф	1
~d^ = ^fq^' Чо- W-
- 2^ Ц	ТГ
Qi
(10.22)
где координаты с нулевым индексом соответствуют точке, в которой определяется
потенциал скоростей.
С учетом (10.21) и (10.22)
<7(U^,So)=2fsiny+^^	dQi
Й!
где
_^__L = _	1	dRi д 1	1	д^2	.
дп Ri	R2	дп	’ дп	Rz	R22	дп
<?(&), Чо, So) —плотность простого слоя на несущей поверхности (в точке Мп на
рис. 10.2).
Переходим к системе координат, связанной с поверхностью погруженной части
конуса: у, <р, y=r/r,, y0=r0/ri. С учетом симметрии задачи go = ri(/o sin у;
1 = Г1у sin у cos <р; т]о = 0; r)==riy sin у sin ср; So = ro(l —f/o)cosy, S = n (1 — i/)cos у.
На поверхности/конуса y=y0 = const двойные интегралы по Qi путем интегрирования
по q> сводим к простым интегралам и получаем интегральное уравнение для опреде-
ления плотности простого слоя:
1
q(y0)=2f sin у---CtgJ ( У'12Ч(У){ k2D(kt} k2D(k2)+
Jo V
4	k2 (	1 \	\
+-----4(1-—) E(kz}\ dy,	(10.23)
1-*2V У'	'
где А'(/г), £(/г) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода; D(k) =
= (K(k)~E(k))/k2; k2=4y0y/((y0+y)2 + (yo—y)2 ctg2 у), k22=4y0y/((y0+y)2 +
+ (2—y0— j/)2ctg2y).
Уравнение (10.23) относится к классу сингулярных интегральных уравнений.
Его решение можно найти методом последовательных приближений. В качестве
нулевого приближения принимаем qo (i/o) = 2f sin у. Подставляя его в правую часть
уравнения (10.23), получим для первого приближения
, ч -	, ctgy f ( yK(kz) + ((k2z-y)/(l-k22))E(kz)
q, ((/о) =2f sin у( I +	\ ( -------------—----------------+
\	Щ/о J \	Х2
о
+ t/E(fei)-i//((fei))	.	(10.24)
где х,= (</о + у)2 + (уо-у)2 ctg2 у; xf = (уо + у)2 + (2—у0-у)2 ctg2 у.
Можно показать, что значение второго слагаемого в скобках в (10.24) при
у<40° мало по сравнению с единицей. Поэтому с достаточной степенью точности
значение плотности простого слоя может быть принято по нулевому приближению:
q(y0) —2f sin у. Отсюда на основании (10.20) выражение для потенциала скоростей
возмущенного движения жидкости можно представить в виде
Ф=-^£,	(10.25)
253
где F—функция распределения, определяемая выражением
1
F=- 2tf *- ylf2(kiK(kl)-k2K(k2)'ldy.
пУо Jo
Давление в любой точке погружающегося в жидкость конуса определяется
из линеаризованного интеграла Лагранжа
<ЭФ
р — ро= — ро—(10.26)
где на основании (10.25)
(Ю-Щ
Функция распределения F является сложной функцией времени
dF ___ dF	dyo	dF	dy0
dt	dy0	dt	dyo	dt	’
а на поверхности погружающегося конуса в связанной с телом системе координат
(y = Yo = const)
(в дальнейшем индекс нуль у у опущен).
Сила сопротивления жидкости прн погружении конуса, которая для него явля-
ется внешней нагрузкой,
<?= $$ (р — po)sin ydQ.,	(10.29)
я,
t2 sin у
где dQ=f ------—ydydof.
cos у
Подставив (10.26) с учетом (10.27), (10.28) в (10.29) и произведя интегрирование
по <р, получим выражение
Q=f2(f2a, + ffK,).	(10.30)
1
где aI = Jipotg4yJ (F^AF^ydy, fj=F/tg2y; &Fi = — ydFi/dy, Xj == np0tg4yX
о
1
X J (F\-\-\F})ydy.
о
В уравнениях (10.26) и (10.30) остается неизвестным f, для определения которого
на основе принципа Д’Аламбера составим уравнение движения конуса
mf=—f2(/2«i+ffM).
где т — масса конуса.
Исходя из начальных условий при /=0 (f = y0, f = 0), решение этого уравнения
получим в виде
/=_____________• f =___________________ <10 31)
'	(1 +Xf3)“/(3>.) ’ '	(1+^3)2а/(3>.) + 1 •
Максимальные перегрузки конус будет испытывать при глубине погружения,
соответствующей максимуму функции f из (10.31). Приравнивая нулю первую
254
производную по f от ), находим условие для определения этого максимума: f =
= (2/ (2а-|- л))|/3; а--=а,/т; л = л,/щ.
При известных внешних силах, действующих на погружающееся в жидкость
тело, можно определить его напряженно-деформированное состояние.
10.2.	МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
10.2.1.	Основы метода. Теорема взаимности
Существует несколько разновидностей метода граничных эле-
ментов. Наиболее наглядный из них — прямой метод граничных
интегралов [47]. Его идеи легко выявляются при рассмотрении
плоского напряженного состояния или плоской деформации области
Q, ограниченной контуром Г. Область может быть либо конечной
(внутри контура Г), либо бесконечной (вне контура Г), как пока-
зано на рис. 10.1.
В любом случае с каждой точкой контура Г связывают каса-
тельные и нормальные смещения us и ип, касательные и нормальные
напряжения <js и оп. Эти величины обычно задают относительно
местной для каждой точки контура системы координат s, п.
В основе прямого метода граничных интегралов лежит теорема
взаимности, которая связывает решение двух различных краевых
задач для одной и той же области Q.
Пусть одна из краевых задач характеризуется смещениями us,
ип и напряжениями о$ и оп на контуре Г области Q, а другая —
смещениями us, и'п и напряжениями o', о'. Работа, производимая
первой системой сил (os и оя) на перемещениях, вызванных второй
системой сил («' и и'), равна работе, производимой второй системой
сил (о' и о„) на перемещениях, вызванных первой системой сил
(us и ип), т. е.
$ (asus +<J„u' )ds= $ (a'sUs+c'nUn)ds.	(10.32)
г	г
Если u's, ип, о' и а' известны (вторая задача), (10.32) является
интегральным уравнением относительно неизвестных граничных па-
раметров первой задачи. При этом решение второй задачи называ-
ется тестовым или контрольным.
Пример 10.2. Определить продольное удлинение 6, однородного стержня,
сжатого двумя одинаковыми и противоположно направленными силами F (рис.
10.3, а) [80].
Рассмотрим простое осевое растяжение стержня (рис. 10.3, б). Для этого случая
найдем поперечное сужение стержня bi — vah/(ЕА), где А — площадь попереч-
ного сечения стержня; v — коэффициент Пуассона; Е — модуль упругости мате-
риала. Согласно теореме взаимности,
Fvoh/(EA) =аб|. откуда 6| =vFh/(EA).
Аналогично используется теорема взаимности и в методике гра-
ничных элементов. Если контур Г аппроксимировать с помощью
N примыкающих друг к другу прямолинейных отрезков (граничных
255
элементов), уравнение (10.32) можно представить в виде
N	N
£ $ (asu'+onu'n)ds= £ $ (o'sUs + o'nun)ds,
j — 1 As'	j — 1 As'
где As' — /-Й отрезок, длина которого равна 2а‘.
Если предположить, что для рассматриваемой задачи смещения
Рис. 10.3. Однородный стержень, сжатый двумя силами F (а), и осевое растяжение
этого стержня (б)
и напряжения на границе в пределах каждого отрезка постоянны,
это равенство принимает вид
W	N .
£ о' 5 usds+ £ а‘п j u'nds =
-ч. / = 1 As'	/ — 1 As'
= £ «И	$ G'nds,	(10.33)
/= 1 As' 	j=l As1
где o's, o'n и u', u'n — значения напряжений и смещений в центре
j-го отрезка.
Поскольку число граничных элементов равно N, в итоге будет
4/V граничных параметров u's, и'п, о' и о'п. Половина из них, как пра-
вило, задана граничными условиями рассматриваемой задачи, а
другая половина — неизвестные, которые необходимо найти. При
этом предполагается известным решение контрольной задачи
(«', ип, o's и о').
10.2.2.	Построение системы уравнений метода
Уравнение (10.33) содержит 2N неизвестных. Следовательно,
для их отыскания необходимо иметь еще 2N—1 уравнений, анало-
гичных (10.33), т. е. в целом для заданной области Q— 2N различ-
ных контрольных решений. Контрольное решение находят, полагая,
что на границе в центре каждого z-ro элемента действуют касатель-
ная и нормальная силы и Fn. При действии касательных сил
F‘,(z = 1, 2,... , АГ) получают N контрольных решений в виде
£	$ u's(Fis)ds+ £ о'„ $ u'(F's)ds =
/—1 As'	/=1 As'
= £ «М o'(rs)ds+ £ u’n J o'n(F's)ds.
/=1 As'	/=1 As'
(10.34)
256
Аналогично записываются N контрольных решений, отвечаю-
щих нормальным силам 4 (г= 1, 2,	N):
14 u's(F‘n)ds+ I o‘n \ un(Fin)ds =
j = 1	&.sl	j — 1	As'
= f 4 $ оЖ)^+ 14 $ v'A^ds. (10.35)
/=1 As'	j=l As'
Уравнения (10.34) и (10.35) можно представить в виде
I Bs'so'+ I B‘snu'n= I Л'44 + I A‘^nu'n;
j=l	j=l	/=1	/=1
(10.36)
У в‘Д4+ У в'+4= I л‘Ди'+ I л ^4,
ns sl	j=i	i=i
где i принимает значения от 1 до /V.
Приведенные уравнения составляют основу прямого метода
граничных интегралов. Неизвестными в этой системе уравнений
являются фактические граничные смещения или напряжения, ко-
торые не заданы условиями задачи. Коэффициенты влияния
BjS= $ u's (F^ds, Al’s— J o'(/-"s)ds и др. вычисляют для каждой за-
As'	As'
дачи по контрольным решениям.
Основную систему алгебраических уравнений (10.36) для всех
типов краевых задач, включая смешанную краевую задачу, можно
представить в виде
I С2>'+ I С^Х'П=4;
7=1	/=1
I ад+ £ ад,=4
/=1	7—1
В этих уравнениях Y‘s и Y‘„ — линейные комбинации известных
граничных параметров, a ClJs,... — коэффициенты влияния при
неизвестных граничных параметрах X!s и Х'п. Уравнения применимы
как для внутренних областей (конечное тело), так и для внешних
(полость в бесконечном теле).
10.3.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
10.3.1.	Выбор контрольных решений
Рассматривается бесконечная плоскость с контуром Г на ней
(рис. 10.4, а). Если в некоторой точке р приложена сила Л —
9. Зак 1810
257
= (FX, Fy), то, используя результаты решения задачи Кельвина,
можно вычислить смещения и напряжения в любой точке плоскости
[47]. Компоненты Fx> 0 и Fy> 0 имеют размерность силы, делен-
ной на длину, и представляют собой нагрузки, приложенные вдоль
оси z в бесконечной упругой среде (рис. 10.4, б) с характеристи-
ками G и V.
Рис. 10.4. Бесконечная плоскость с выделен-
ным на ней контуром Г:
а — точка р на плоскости; б — нагрузка, распределеннная
по оси г
Решение этой задачи можно выразить через функцию
- g(x, у) = -	In (х2+у2),/2.
(10.37)
Смещения вдоль осей х и у
2G [ (3 4v)g У ду )’
_ Fx (
Uy 2G \
. (10.38)
Напряжения для задачи Кельвина в случае плоской деформации
определяются выражениями
Оу
Ох=лГ 2(1—v)	-X-
L	дх
r=f,('2v^--x-3-) +
дх ду /
_ . dg	d2g
-2v) ~ -х-Л
ду	дх
ХХу---
d2g
дх2
2v-^--v-^V
ду дх2 /
dg d2g ]
ду	У ду2 J ’
-2v)-^--n-^-l,
дх дхдуJ
(10.39)
где производные функции g(x, у) находят непосредственно из (10.37)
258
dg =__________1	%	.
дх	4л (1—v) x2-\-y2
dg =_________1_________У	.
ду	4л (1— v) x2-\-y2
d2g =	1_________2xy
dxdy	4л (1— v) (x2-)-y2)2
d2g = d2g =	1 x2 — //2
dx2 dy2 4n(l—v)	(x2 + z/)2 ’ ,
(10.40)
Отсюда видно, что функции (10.39) в точке x=z/ = O имеют
особенности.
На рис. 10.4 сила Ft=(Fx, Fy) помещена в начале координат
лишь для упрощения записей. Если эта сила находится в точке
х—сх, у=су, можно сразу получить решение, заменив в приве-
денных формулах координаты х и у на преобразованные координаты
(х—сх) и (у — су).
С помощью приведенного решения можно, в частности, вычис-
лить касательные и нормальные смещения и напряжения во всех точ-
ках контура Г. В случае, когда область й внутренняя (см.
рис. 10.1, а), а точка р находится вне контура Г, из способа опре-
деления напряжений следует, что если удалить область, внешнюю
по отношению к Г, то оставшаяся область, т. е. область й, будет
находиться в равновесии при действии напряжений на Г. Следова-
тельно, эти напряжения и соответствующие им смещения образуют
возможное для рассматриваемой задачи контрольное решение.
Это рассуждение несправедливо, если точка р находится внутри
контура Г. Рассматривая силу внутри границы, нужно предста-
вить вокруг точки ее приложения малое отверстие и считать, что
сила действует на контуре этого отверстия. Тогда область й будет
иметь как бы две границы — контур Г и границу отверстия вокруг
точки р.
Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае,
когда й представляет неограниченную область вне контура Г (рис.
10.1, б). Следовательно, для обеих задач (внешней и внутренней
областей) необходимо, чтобы при отыскании контрольного решения
сила была приложена в точке р вне области й. Фактически обеспе-
чиваются два контрольных решения, поскольку такая сила разла-
гается на две составляющие, образующие между собой прямой
угол. Каждая составляющая дает решение для смещений
us, ип и напряжений о', о'п, интегрированием которых, согласно
(10.33), получают коэффициенты в уравнениях (10.34) и (10.35).
Для определения коэффициентов 2N уравнений нужно ввести
N сил в W различных точках неограниченной плоскости, но не в
самой области й. За исключением этого единственного ограничения,
точки могут быть выбраны произвольно, но при этом нет гарантии,
что матрица полученной системы уравнений будет хорошо обуслов-
259
ленной или уравнения линейно независимыми. Подход, который,
как установлено, приводит к хорошо обусловленным матрицам,
заключается в последовательном выборе W контрольных точек в
серединах отрезков контура Г. Точнее, силы необходимо считать
приложенными в серединах N отрезков снаружи области Q.
10.3.2.	Вычисление коэффициентов влияния
В прямом методе граничных интегралов коэффициенты влияния
получают, считая силы (с компонентами и F‘n) приложенными
в средней точке i-ro отрезка контура Г, путем интегрирования
смещений и напряжений, вызванных этими силами, вдоль /-го
отрезка в соответствии с (10.34) и (10.35). Рассмотрев W отрезков,
приходят к необходимой системе алгебраических уравнений (10.36).
При вычислении коэффициентов влияния в (10.36) используют
локальную систему координат х, у с началом в центре /-го отрезка
контура Г (рис. 10.5). Эти координаты соответствуют обычным
местным координатам s' и п', причем ось х (или s') направлена
по направлению обхода контура, а ось у (или п') направлена из
рассматриваемой области (см. рис. 10.1).
Пусть нужно вычислить смещения и напряжения на /-м отрезке,
вызванные действием сосредоточенной силы, приложенной в центре
i-ro отрезка (в точке [^] на рис. 10.5). Компоненты этой силы,
параллельный и перпендикулярный i-му отрезку, равны и F„.
Компоненты силы в направлениях x=s' и у = п' определяются
выражениями:
Fx= F^ cos у — Fn sin у; Fy=Fs sin y+F^ cos y, (10.41)
Puc. 10.5. Представление силы X
(см. рис. 10.4) в местной системе
координат
С использованием соотношений
(10.38) и (10.39) можно записать
выражения для смещений и напря-
жений, вызванных силами F~x, Fu,
приложенными в точке х = сх, у —
= Су, т. е. в точке [/]. С этой целью
в (10.37) — (10.40) х и у нужно за-
менить на (х — сх) и (у — Су) с соот-
ветствующими знаками, а координат-
ные индексы х и у — на х и у. Сме-
щения u's=ui, u'n = Uy и напряжения
o's = T.Xy, а'п = Оу на /-м отрезке (иско-
мое контрольное решение) находят
из полученных выражений, полагая
в них у=0, так как точка находится
на контуре. С учетом (10.41) получают смещения для контрольного
решения:
260
u's= (3—4v)gcos у-------M- (х— cx)cosy+ -^4-ctfSiny] 4-
хи L	dx	dx J
+ VF Г — (3 —4v)g sin y+ -^4- (x — c) sin у 4-	c cos у 1;
zcr L	дх	dx y i
u'n=	(3 — 4v)gsin у---^4- (x—c\ cosy+ -^4-c-sinyl +
x'7 L	dy	dy y	J
+ oT^f (3-4v)£cosy+ -^4- (x—сЛ siny+ -^-c-cosy] ;
L	dy	dy y	J
(10.42)
o's = F‘s Г (1 —2v) —4 sin y+ (1 —2v) -44- cosy —
L	dx	dy
d2g	-	d2g	1
— —(x—cx) cos y+ —r-=-c-sin у +
dxdy	dxdy	J
+ F'n Г (1 — 2v) -44- cos у — (1 — 2v) -44- sin у 4-
L	dx	dy
d2g -	d2g	1
4---(x—c-) siny4—c-cosy ;
dxdy x	dxdy y J
, .Г	dg	ds	H I0’43)
o„ = Fs 2v—4-cos у 4-2(1—v) —4-sin у —
L	dx	dy
d2g , -	d2s 1
— —^(x —cx) cos у 4~ —-|-csiny 4-
dy2	dy2 y J
4-^n Г — 2v -^4- siny4-2(l — v) -^4- cos у4-
L dx	dy
d2s -	d2e 1
+ ~TT — sin у 4- —4~ c„ cos у ,
dy	dy2 y J	J
где функция g (x, у) имеет вид (10.37), а ее производные в (10.42),
(10.43) определяют при z/ = 0.
Выражения (10.42) и (10.43) дают два контрольных решения
для каждого элемента г. для касательной Fs и для нормальной
силы Fn. Коэффициенты влияния в (10.36) получают путем по-
очередного выбора этих решений (т. е. ^у=0, F‘„ = 0 и F's=0,
F‘n^0), подстановки (10.42) и (10.43) в (10.34), (10.35) и выполне-
ния интегрирования по х вдоль As' в пределах от —а! до а‘.
После выполнения указанных операций нет нужды в определении
F's и F'n, поскольку они входят как сомножители в обе части уравне-
261
ний. Следовательно, можно считать, что F*s и F‘n равны +1
Таким образом,
u's(F‘s)dx= [(3 4v)7'1 cosy + cTT^siny —/^cosy)];
Z (j	у
в‘‘ =	( u'n(Fis)dx=	[(3 —4v)7’1 siny + c-(7’2cosy + 7’3siny )]; J	Zu	w
>
B4 = LJns	u's(F‘n)dx=	[—(3 —4v)7'isiny + <>(7’2cosy + 7’3siny)]; a1
4 вц =	a‘ - 1 <(F'n)dx=	[(3—4v)7’1 cosy — cy(T2 sin y—T3 cosy)]; Zu	и
(10.44)
$ o'(/?‘s)d%= [(1 — 2v)7’2siny + 2(l — v)7’3cosv +
— а1
+ ctf-(7’4sinv + 7’5cosv)];
1	[-(1 - 2v)T2cosy + 2(l - v)T3sin y +
-a1
+ cy(T4cosy — T’ssiny)];
>
+<>'
Ans= ) o's(F‘n)dx= [(1 —2v)7’2cosy —2(1 —vJT’ssinv +
— a‘
+ c-(T4 cosy — T5 sin v) ];
A‘nn= J o'(F'„)dx= [(1 —2v)7’2siny + 2(l —v)7’3cosy—
— a'
— c-y(Ti sin y+ T5 cos y) ].
(10.45)
В этих формулах величины Tlt... ,T5 представляют собой опре-
деленные интегралы от функции g(x, у) и ее производных (вычис-
ленных при у=0):
262
T‘=- 4„(1‘_V)
— (c—a') In yl(c-—a')2+c2y+ (c~+a>) Inл/(^+а')2 + с2];
T*=~ 4л(j~^)~ Iln ^l(c-a‘)2+c2y-\n^/(c-+a')2 + c?];
T3 = л /Г-----Г [ arctS-—1------arctg--Г~Г
4л (1—v) L c-—a1	ci~^a -*
T =	1 Г	СУ________________СУ	1 .
4 4л(1— v) L (c-—a')2 + c2	(cx+a,)2+c2 J’
1 г c— a‘	ci+a‘ 1
Ts~ 4л(1—v) L (с-—а')2 + У	(С;+а’)2 + с2- Г
(10.46)
Выше предполагалось, что точки [/] и [/] на рис. 10.5 не совпа-
дают, т. е. величины сх и с- одновременно в нуль не обращаются.
Однако равенства (10.44) с учетом (10.46) приемлемы и в случае
совпадения точек, если при вычислении многозначной функции
арктангенса использовать обычную процедуру предельного перехода.
Полагая с-=() и переходя к пределу при с-, стремящемуся к нулю
со стороны положительных значений у (т. е. извне области й),
можно найти, что в (10.46) отличны от нуля только величины
Т\, Тз и Т$:
т __ ai In а' _ _ a' In а‘ .	=	1	.
1 2л (1—v)	2л (1—v) 3	4(1—v)
Т5= — (2ла'(1 — v)) -| = — (2ла‘(1 —v)) '-
Эти значения получены при с*=0, с^=0+.
Коэффициенты влияния, отражающие собственные воздействия
элементов, по формулам (10.44) и (10.45) с учетом того, что
у = Р' — Р' = 0, получаются следующими:
q__4V
В“п = В“ = 0;	=В“пп = -	---г a1 In а1\
sn s	4лб(1—v)
Л“„=A“S=0; A"s=Л“„ = 1 /2.
10.3.3. Определение усилий и смещений внутри области
Приведенные выше формулы дают усилия и смещения на гра-
нице Г произвольной области Q. Если же нужно найти решение
внутри рассматриваемой области П, можно воспользоваться интег-
ральными тождествами, известными как формулы Сомильяны.
Для плоской деформации эти формулы дают смешения внутренней
263
точки р области Q
«4р)=— 5 [uso'(Fx)+«„o'(Fx)Hs+ ’
Г
+ \	+o„tz'(Fx)]ds;
Г
^р(₽)=	$ [^sOs(Fy) -\-unon(Fy) ] ds -|-
г
(10.47)
+ 5 [<*Х(^) +onU„(Fy)]ds,
г
где us, ип, os, On — граничные смещения и напряжения для задачи,
решение которой имеется; и'(Л), u'(F,), o'(F,), о'(Л) —касатель-
ные и нормальные смещения и напряжения на границе Г, вызван-
ные действием силы F, = (Fx, Fy) = (ф- 1, +1), приложенной в точке
р. Сила действует не на контуре, а внутри области £2.
Уравнения (10.47) можно решить численно, разбивая границу
Г на N элементов и предполагая, как и ранее, что us, ип, os и оп
постоянны в пределах каждого элемента:
n
Ux(₽)=—	\ o's(Fx) ds-^и’п 5 o'(Fx)ds] +
/=1 As2	As2
+	$ Us(Fx)ds + o’n j u'n(Fx)ds];
1=1 As1	As’
«-/(₽)=— I [«s J o's(Fy)ds + u‘n j <(Fy)dsj +
j = 1	As2	As2
+ E [°s J. u's(Fy)ds + o'n J u'n(Fy)ds],
j = 1	As2	As2
(10.48)
где все граничные параметры u‘s, и‘п, o's и о'„ известны. Интегралы
в (10.48) являются коэффициентами, которые необходимо вычислить
для каждой точки р, где отыскиваются значения смещений и^р^
и и^р). Их вычисляют в локальной системе координат х, у с началом
в центре /-го элемента, как показано на рис. 10.6.
Точка р — произвольная с координатами х=с-, У=с-, не лежа-
щая на границе Г.
Величины со штрихами в (10.47) представляют смещения us =
= и~, и'п=и- и напряжения о'=тх-, о'п = о- в /-м граничном элемен-
те при действии сил Fx= + 1 и ^=4-1, приложенных в точке р.
Выражения для этих величин можно получить непосредственно из
(10.42) и (10.43), полагая у=—р2, т. е. Р‘ = 0, и /\ = FX, Гп=Ру.
В (10.48) необходимые интегралы находят, как и ранее, путем рас-
смотрения отдельно случаев Fx=-|~l, Fy = 0 и Fx — 0, Fy—-\-l.
В итоге уравнения (10.48) принимают вид
264
N
u*<j>y= Z [(1—2v)T2sin0' —2(1 — v)7’3cospz+c-(T4sin0' —
N
-T5cos₽')]u'+ Z [ (1 —2v) 7’2cos P' + 2(l — v) 7’3 sin 0' —
/=i
— ^(^4 cos 0' +Г5 sin 0') ] u^+ £ [ (3 —4v) cos 0( —
/=i
-c-(7’2sinp' + 7’3cosp')]	f[-(3-4v)T,sinp4
+ ^(7^008 0' — T3 sin 0')]
a	Zu
N
uy(p)= Z [— (1 —2v)7’2cosp/ —2(1 —v)7’3sin 0' — c O\ cos 0' +
/ = i
N
+ 7'5sinp')H+ £ [(1 —2v)7"2 sin p' —2(1 —v)7’3cos 0j —
/=i
— c^-(7’4sin0j — 7’5cos0')] «„+ Z [(3 —4v)7’i sin0' +
j=i
+ ^(T'2cos0/— Т’з sin 0')]	+ Z [(3—4v)7’1cos0' +
, (T . j т йЛ1 o‘n
+ctf(7'2sinp' + T3cos0')] 2^,
(10.49)
где T\ и другие коэффициенты определяются по (10.46).
Формулы для напряжений в точке р получают, определив де-
формации, отвечающие смещениям (10.49), и используя обобщен-
ный закон Гука для случая плоской деформации:
ох = 2с[ех+ , VQ (ex+ev) 1;
L 1 —Zv	J
Oi, = 2G j _2^ (ex + ev) ];	(Ю.50)
°z = 2GTT27 (e^+ey)’
^Xy — ^GcXy, Txz^^Tf/z 0.
Деформации определяются соотношениями:
265
дих(р)	dbiyip)
ех{р)~ дсх : ^(₽)_ дсу :
ехи(р) —
1 Г дих(р)	диУ(р) 1
2 I дсу дсх J ’
(10.51)
где сх и Су — компоненты вектора, соединяющего центр /-го гранич-
ного элемента с точкой р (см. рис. 10.6). Используя формулы
преобразований координат c-=cxcos Р' + сй sin 0', cy=—cxsinp' +
-f-CyCosP', находят по цепному правилу частного дифференци-
рования
d dcx	_ дсх	d dcx dcx	- +	dc- y dcx	d de У	= COS P' -	d de X		sin P' —, de У
d	dCi d		1	de У	d	- = sin P' 	d	- + cos P' 	 de У
dcy	dCy dc- Деформации (10.51):			г	dcy	dc- У		^Cx	
du<Pl „> дих(р) .
е*(.р)= ~5--------cos Р'------ъ---sin Р';
дс-	дс
X	у
X	у
1 Г дих(р\ - диХ(Р}
е*у(Р) = -2" [ -g~ sin Р' +	cos ₽' +
%	у
I д“уй>) oi ^иУ(Р) - ,,, 1
Н-----=----cos В'-------------sin В' .
дс-	дс	J
Подставляя (10.49) в (10.52) и используя затем (10.50),
находят формулы для напряжений:
N
ox(p)=2G £ [27'4cos2p' + 7'5sin2p/ — с (7'6sin2p/ —
i=i	У
— Т? sin 20') ] *4 + 26 £ [ — Т5 — с-(7'6 sin 2р' +
/=1 У
N
+ Т7 cos20')]и‘п+ £ [-T2-2(l-v)(T2cos2p/—7’3sin2p') +
/=1
+ ^(7'4cos2p' + 7’5sin2p')]o'+ f [-Тз+(1-2v) (7’2sin2₽' +
/=1
+ т3 cos 2P') + cy(T4 sin 2P'- T5 cos 2p') ] o'„;
266
cy(p)=2G Z [2 A sin20' — Ть sin 20'4-c-(A cos 20' —
/=! N
-Л sin 2₽0]^+2GZj-T5+c,(7’6sin2₽' +
+ Л cos 20')] *4+ Z [-A4-2(l-v)(Acos20'-
/=i
— Тз sin 20') —c-(Acos 20'4-75 sin 20') ] 0'4-
+ Z [ —A—(1 —2v) (A sin 20'4-73 cos 20') —
'=1
— cy(T4 sin 20'— A cos 20') ] o„;
TXy(p)=2G Z [A sin 20' — A cos 20' — cy(Te sin 20' 4-
4-A sin 20') ] и'4-2 G f [c-(76cos20'-T7sin20')]u',4-
i=i '
4- Z [ —2(1—v) (A sin 20'4-A cos 20') 4-
/=1
4-<>( A sin 20' — A cos 20') ] o'4-
4- Z [—(1 —2v) (Acos20' —Asin20')—
/=1
-сД A cos 20'4- A sin 20') ] o'„.
Рас. 10.6. К определению усилий
внутри области Г (см. рис. 10.4,
10.5)
от			
Ь/2	Ъ/2	Ь/2	Ь/2
Рис. 10.7. Вдавливание жесткого штампа
в упругую среду, ограниченную плоскостью
В этих выражениях функции А,... ,Т5 даются формулами
(10.46), а функции А и А выражениями
т _	11	(А+а')2-с2 1
6	4П(1-Т) I [(С._а')24-С^	1(^4_«/)2_|_С?]2 j.
267
2с- г с—of	с-\-а*	)
Т =___________у J _______х__________________________________х _____ I
4л(1—V) I [(с._о/)24-С?]2	[(С;4_а/)2_|_С2]2 Г
Пример 10.3. Определить напряжения в упругом полупространстве под
жестким штампом, вдавливаемым со смазкой [47].
Поделим границу штампа на четыре элемента и учтем симметрию, т. е. соста-
вим уравнения (10.36) только для элементов 3 и 4 (рис. 10.7):
b^V’+b'^'2’+В'ГЧ’Ч в'34,а'4Чв<31)о(я,)+W+
+в^^>+^^,=л^'>ц<',+л22,ц<2)+л:г)ц<з)+л:гч4)+
Н^^’+л^+лК+лЖ
„(31) (I)	„(32) (2) , „(33) (3)	„(34) (4) , „(311(1)	„(32) (2) ,
В ns °s +ans °s +B„S os +tllls os +i>„„ o„ +tln„ 0„ +
+в^в№лКЧл№№
+е«^л№лК>
Эти уравнения составлены для сил fs=l и Т„ = 1, приложенных в середине
элемента 3. Такие же уравнения составляем для сил, приложенных к середине
элемента .4:
п(41)„(0 . д(42) (2)	„(43) (3)	„(44) (4)	„(41) (!) . „(42) (2) .
Bss О, + «„ os +BSS os +BSS os +BS„ a'„'4-Bs'n 'a„ +
+в<„43>о<3Чв^
+л№л№л№лМ
r <41) fl) . r(42)(2) . „(43) (3) , „(44) (4)	„ (41) (I) . „ (42) (2) .
O„s Os + Dns Os ~}~Dns Os H-Dns Os	°n l ^nn a« 4"
I R (43) (3) , „ (44) (4)_ . (41) (I) - л (42) (2) . . (43) (3) . . (44) (4) ,
~VDnn O„ + «„„ On = d„s us +^„s Us -+-/lns Us	Us -h
J_	I Л(42),/2) 1 Л<43) (3) л(44) (4)
т^лд Un -р/1лл Un i^nn Un	Un .
В приведенных четырех уравнениях восемь неизвестных. Но в соответствии
и	(1)	(4)	(I)	(4)	(2)	(3)	(2)	(3)	(I)	(4)
с симметрией задачи: os ——gs\ us — —us\ os =—os , us —~us , o„ =o„ .
(I)	(4)	(2)	(3)	(2)	(3) т-f	ft-
un =un \ Gn =o„ , un =un . Прежде чем выполнить операцию приведения подоо-
u	(О (2)	(3)
ных членов, учтем граничные условия. Из-за наличия смазки o^/=os =0', =
= о, =0. Так как штамп жесткий, ип =ип =ип —ип = —ио. В результате
остается четыре неизвестных (о(„3), о(й4), г43), *44)) и система четырех уравнен ini
(в<3Чв^Ч'4Ч(в<-Чв'33Ч(„3,-(л<з;>-л<:1))^)- '
- (Л'3/)-Л<32))п<3)= - (Л<3,)+л'32>+л'33)+л'34>)«о;
(В^+в№+ (В<32) + в!,33>)о<3>- (Л <Г’-Л'31))И<4’-
- (Л(„353)-Л<“>)«13>= - (Л<31>+Л^+Л^+Л<34,)«в;
(В14,)+ВП44,+ (В<42>+В‘43))о’3)- (Л<544>-Л<Г’)«'4>-	(10'53)
- (Лй3>-Лй2>)^ = - (ЛГ’+Л^Ч Л Г+лП«о;
(ВГЧвГ)а'4>+ (B„(42> + B„143>)aL3)- (Л£44>-Л <41>)Ы<4’-
-	- (Л„(„4”+Л„(„42) + Л„(„43)Ч-Л‘4л4,)«с.	.
268
Табл. 10.1. Значения координаты сх
	‘		L		2		‘					1	'	] ''	
з>	1	b	4	1	ЗЬ/2
3	2	Ь/2	4	2	Ь
3	3	0	4	3	Ь/2
3	4	— Ь/2	4	4	0
По формулам (10.44) и (10.45) определяем числовые значения коэффициентов
с учетом (10.46). Для всех элементов a' = b/i, cv = 0, у = 0, коэффициент поперечной
дефюрмации v = 0,25, fc = l. Отличие будет лишь в величинах сх, значения которых
приведены в табл. 10.1.
Система уравнений (10.53) принимает вид
-0,5«43>= 0,0271 ио;
— О,5п'4> = О,1О32по;
(— 0,0664/G)aJ,4,+ (0,0597/6’)о™+ 0,0854п'4) 4-0,0583//;'’= -0,5щ;
(— 7,7 -10" "/G) о™ — (0,0664/ G) о'3> + 0,0179п'4>—0,0312и'3) = — О,5по.
Результаты решения: и(.3,=—O,O542uo; u(4,=—O,2O64uo: o™=7,3432Gki,;
о'4) = 13,8221 Guo.
На рис. 10.7 изображена эпюра давления. Результат получился весьма прибли-
женным, но качественно он отражает существо явления. Для большего числа
элементов задача решена в [47].
С помощью найденных значений можно определить перемещения и напряжения
внутри области по формулам (10.50) и (10.53).
С вычислительной точки зрения более эффективными в ряде
случаев могут оказаться другие варианты метода граничных
элементов: метод фиктивных нагрузок, метод разрывных сме-
щений [47]. Однако в любом случае при решении этой или иной
задачи необходимо иметь ее фундаментальное решение типа
(10.37).
Следует также иметь в виду, что если методом конечных элемен-
тов можно решить некоторые задачи строительной механики с
достаточной точностью без применения вычислительной техники,
то метод граничных элементов полностью ориентирован на исполь-
зование ЭВМ.
Рис. 10.8. Граничные элементы:
а — постоянный; б — линейный; в •— квадратичный
В рассмотренной задаче использованы элементы с постоянными
напряжениями и деформациями. Однако, как и в методе конечных
269
элементов, с целью повышения точности расчета при меньшем
количестве граничных элементов их можно представить более слож-
ными [9]. На рис. 10.8, а показан элемент, по длине которого напря-
жения и деформации постоянны, на рис. 10.8, б — линейный элемент,
для которого изменение напряжений и перемещений между узлами
принимается линейным, на рис. 10.8,8 — квадратичный элемент,
для которого граничные условия по его длине аппроксимируются
квадратной параболой. Порядок аппроксимации может быть и
выше [2].
11.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
В задачах строительной механики, относящихся к расчету тон-
ких пластин, оболочек и других конструкций, допускающих большие
перемещения, применяются соотношения геометрически нелинейной
теории, что приводит к необходимости решения нелинейных урав-
нений. Другим источником появления нелинейных членов в диф-
ференциальных уравнениях расчета объектов строительной меха-
ники является использование нелинейных зависимостей между де-
формациями и напряжениями.
Для решения нелинейных задач строительной механики в боль-
шинстве случаев можно применять численные методы, описан-
ные в гл. 4—8 (метод конечных разностей, МКЭ, метод Бубнова —
Галеркина, вариационные методы). Применение этих методов при-
водит к системам нелинейных алгебраических уравнений. При ре-
шении таких систем могут возникнуть трудности, связанные с
ветвлением решения и с выбором начального приближения. Поэ-
тому для решения нелинейных задач разработаны специальные
методы линеаризации, которые сводят решение нелинейных за-
дач к последовательному решению линейных задач.
11.1.	МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
11.1.1.	Метод Ньютона— Канторовича решения операторных
уравнений
Рассмотрим уравнение [64]
Е(х)=0,	(11.1)
где F — дифференцируемый по Фреше нелинейный оператор,
действующий из некоторого множества Ех в Е%.
Метод построения последовательных приближений хп к решению
х* (если оно существует) уравнения (11.1) основан на последо-
вательной линеаризации последнего.
Если приближение хп найдено, для отыскания последующего
приближения хп+| уравнение (11.1) заменяется линеаризован-
ным в точке х„ уравнением
F(xn) +F'(xn) (x—xn) =0.
Если определен действующий из Ег в Е\ линейный оператор
[Е'(х„)] то
Хп+\=Хп— [F'(xn)] ~'F(xn).	(11.2)
271
Определяемый формулой (11.2) метод последовательных прибли-
жений называется методом Ньютона — Канторовича.
Последовательные приближения (11.2) сходятся к х*, если
начальное приближение х0 выбрано достаточно близко к х*.
Недостаток метода (11.2) заключается в том, что при его при-
менении требуется на каждом шаге решать линейное уравнение
со своим линейным оператором F' (хп):
F'(xn)Axn + F(x„)=0,	(11.3)
Хп + 1 === Хп "4“ ЛХп-
Пример 11.1. Используя метод Ньютона — Канторовича, найти решение
нелинейного дифференциального уравнения (3—t/)i/' + 4 = 0 на отрезке [0,1],
удовлетворяющее начальному условию z/(0)=0.
Для формирования уравнения (11.3) необходимо построить дифференциал
Фреше F'(y)Ay. В нашем случае F(y)=(3— у)у' + 4. Тогда
F (у+ by) = (3—у — Лу) (у’ + Лу') + 4
и приращение АТ имеет вид
F(y + by) —F(y) = (3—y)y’+(3—y)^'—byy' —
—by by' + 4— (3 — у) у' — 4 = (3—у) Лу' — Луу' — by by’-
Отбрасывая члены, содержащие Лу в степени выше первой, получим F' (у)Лу =
= (3 — у)Лу'— Луу’. Таким образом, уравнение (11.3) получает вид
— у'Ьу,+ (3—у,)Лу'+ (3 —1д)//'+4 = 0.	(И.4)
Начальное условие для Лу; остается таким же, как и для у. За начальное прибли-
жение примем i/o = O, тогда у'о = О. Следовательно, уравнение (11.4) на первом
этапе ЗЛу(', + 4 = 0. Решая это уравнение при условии Д//о(О) =0, находим Д1/о =
= —4х/3. Следовательно, yi =i/o + Ai/o= — 4х/3. Теперь у'1 = —4/3 и уравнение
(11.4) иа втором этапе
4"Л^+( з+4~%) ду‘+( з+4~х)(	+4=о-
Решая это линейное относительно A//i уравнение, находим Лу\ = (8х2/9)/(3-|-4х/3).
Следовательно, i/2 = i/i-J-Ai/i =—4х/3-|-(8х2/9)/(3-|-4х/3). На этом процесс
прекращаем, так как получено приближенное решение у(х) »у2(х), близкое к точ-
ному (см. табл. 11.1) у(х)=3—д/9-|-8х.
11.1.2.	Модифицированный метод Ньютона— Канторовича
Наиболее часто вместо уравнения (11.3) применяется
F(xn)+F'(x0)bxn = 0,	(11.5)
Хп + 1 ==Хп-|- ДХп,
где х0 — начальное приближение. Последовательные приближения
определяются рекуррентной формулой
х„+1=х„— [F'(xo)) ~|/?(Хп).	(Н.6)
Метод, описываемый формулой (11.6), называют модифициро-
ванным методом Ньютона — Канторовича приближенного решения
уравнения (11.1).
272
Для решения линеаризованных уравнений (11.3) или (11.5)
можно применять любые методы, рассмотренные в гл. 4—8.
11.2.	МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ
11.2.1.	Основные положения метода продолжения по параметру
Рассматривается уравнение [64]
F(k,x)=O.	(11.7)
Предполагается, что известны Хо и Хо, удовлетворяющие уравне-
нию (11.7). Находят решение х(Х), близкое к х0 при значении X,
близком к Хо (X — некоторый параметр).
Если существует единственное близкое к х0 решение х(Х),
уравнение (11.7) определяет однозначную неявную функцию. Если
х(Х) определяется неоднозначно, имеет место ветвление решений.
Если предположить, что оператор Е(Х, х) дифференцируем по
х и X, т. е. существует действующий из пространства Е\ в Ег линей-
ный оператор F'(X, х) и элемент этого пространства /\(Х, х)еЕг
(индексы х и X означают дифференцирование по соответствующей
переменной), неявную функцию х(Х) можно искать из дифферен-
циального уравнения
dx г
К(Х.х)-^-+Гх(Х,х)=О,	(11.8)
которое нужно решать при начальном условии
х(Хо)=х0.	(П-9)
Для решения начальной задачи (11.8), (11.9) можно применять
метод Эйлера, метод Рунге — Кутта и др. (см. гл. 4). Из точки
(Хо, хо) решение продолжается по параметру X. Существует несколь-
ко разновидностей метода продолжения по параметру, зависящих
от физического смысла выбранного параметра.
11.2.2.	Метод последовательных нагружений
Метод последовательных нагружений разработан В. В. Петро-
вым для решения нелинейных уравнений пластин и оболочек, кото-
рые кратко можно записать так [59]:
F(U, Я)=0,	’	(11.10)
где Н — параметр нагрузки, U — вектор перемещений.
Метод продолжения по параметру нагрузки Н для нахождения
U (И) в простейшем случае приводит на каждом этапе нагружения
(АД) к решению линейного относительно ДЕ7 уравнения
Fu(U, H)MJ + F'H(U,H)bH = 0.	(Н.П)
273
Рис. 11Л. Зависимость «нагрузка—
прогиб оболочки», полученная ме-
тодом последовательных на-
гружений
В (11.11) начальным условием для функции U(Н) является
6/(0) =0, так как в начальном ненагруженном состоянии оболочки
перемещения равны нулю.
Итак, процесс нахождения U(Н) при различных значениях Н
можно записать в виде U n+i = lJ п-\-Ли п, где &Un — решение
уравнения
Г;(67„, //„)А6/„ + П(67„, Д„)ДД„=0,
(11.12)
п— I
Нп= £ А/Д, Но = О, ио=О.
k = 0
Метод последовательных нагру-
жений — это шаговый метод. Реше-
ние находят не в виде кривой, а
в виде ломаной (рис. 11.1), так как
на каждом этапе нагружений реша-
ют линейную задачу (11.12).
Если U — перемещение точек
срединной поверхности пластин и
оболочек (например, прогиб), расчет
по параметру Н возможен только до критического значения Н = Нкр.
При подходе к /7кр за параметр нужно выбрать U и, решая уравнение
(11.12) при заданном значении &Un, находить \Нп, т. е. в про-
цессе решения задачи возможны изменения параметра (см.§ 11.3.1).
При этом Un+\-=U„ + А6/„, //„ + i = //„ + A//„.
Рассмотренные здесь нелинейные уравнения (11.1), (П-7),
(11.10) можно вначале свести (например, методом Бубнова — Га-
леркина) к нелинейным алгебраическим уравнениям и решать их
изложенными в гл. 2 методами. Однако в этом случае необходимо
иметь достаточно близкое к точному начальное приближение.
Достоинство же метода последовательных нагружений заключается
в том, что начальное приближение не нужно. Начиная с исходного
ненагруженного состояния конструкции, строят решение, непре-
рывно зависящее от нагрузки.
Нахождение приращений А6/п или А//„ на n-м этапе по схеме
(11.12) имеет порядок точности 0(АД2). Существуют модифика-
ции метода последовательных нагружений [39] более высокого
порядка точности.
Например, схема с порядком точности 0(А//3) имеет вид
F'u(Un, Hn)^Un + F'H(Un, Hn)&Hn = 0;
F'ufJJn + bUn/2, Hn+^Hn/2)^Un+F'H(Un +
+ &Un/2, Hn+&Hn/2)AHn=0;
Un+i = Un + A67n, H„+i = H„ф-AWn.
(11.13)
274
Табл. 11.1. Результаты решения уравнения (11.15), полученные разными методами
X	«(х)				
	‘1	2	3	4	5
0,25	—0,324	— 0,316	— 0,317	— 0,317	— 0,317
0,5	-0,630	-0,600	— 0,604	— 0,606	— 0,606
1.0	— 1,211	— 1,090	— 1,107	— 1,128	— 1,123
Можно построить и схему, имеющую порядок точности 0(Д//5):
F'u(Un,Hn) Ki + F'H(Un, Hn) \Hn=0;
F'v(Un + Kx/2, Hn4-ДЯп/2) K2 +	(Un + Ki/2, Hn +
+ Д//П/2)Д/7„=О;
F'u(Un + K2/2, Hn + ^Hn/2)K3 + F'H(Un + K2/2, H„ + ЬНп/2)ЬНп=&, •
F'u(U„+ Кз, Hn + ^n)K4 + F'H(Un + K3, Hn + \Hn)^Hn=0-
Un+i = Un~\—g— (Ki + 22G4~2Лз; 7/n+i = Hn-\-\Hn.
(H-14)
В (11.13) и (11.14) необходимо решать уравнения той же струк-
туры, что и в (11.12), только с другими коэффициентами, так что
использование схем (11.13) и (11.14) не вызывает принципиальных
затруднений.
Пример 11.2. Методом последовательных нагружений найти решение не-
линейного уравнения (см. пример 11.1)
(3-j/)/ + //=0	(11.15)
при значении параметра //=4 на отрезке [0, 1], удовлетворяющее начальному усло-
вию 1/(0) =0.
Уравнение (11.12) в нашем случае имеет вид
(3 — yJAyf— у'Лу,= — h.	(11.16)
Здесь h — шаг по Н, примем h = +2.
Начальное условие для Ар, остается тем же, что и для у. Лр,(0)=0. При
Но = О решение исходного уравнения будет уо=О (р' = 0), поэтому на первом этапе
нагружения уравнение (11.16) примет вид ЗДро =—2. Решая это уравнение, нахо-
дим Д//о =—2х/3. Следовательно, у> = уо + Лупг=—2х/3, у\ =—2/3, Н\ = /7o + /i = 2.
На втором этапе нагружения уравнение (11.16) принимает вид
34—з-*) А//|4—= —2>
откуда Д|/1=—2х/(3-|-2х/3).
Следовательно, y?=yi 4-Ayi = —2х/3— 2х/(3-|-2х/3), th = H\ + Л = 4. За при-
ближенное решение исходного уравнения принимаем у (х) «уг(х).
В табл. 11.1 приведены результаты решения уравнения (11.15), полученные
при некоторых значениях х различными методами.
В графе 1 приведены значения у(х), полученные по схеме (11.12) с шагом
Л = 2; в графе 2 — по схеме (11.13) с шагом /1 = 4; в графе 3 — по схеме (11.14)
275
с шагом Л = 4; в графе 4 — полученное методом Ньютона—Канторовича (см. при-
мер 11.1); в графе 5 — точное решение.
Пример 11.3. Показать эффективность модификации метода последова-
тельных нагружений второго порядка точности (11.13) на примере расчета квадрат-
ных в плане пологих оболочек.
Пусть оболочка шарнирно-неподвижно закреплена по контуру н нагружена
равномерно распределенной поперечной нагрузкой интенсивности q.
Уравнения равновесия таких оболочек приняты в виде (7.12). Выраженные
через перемещения точек срединной поверхности, они в безразмерной форме при-
нимают вид
+	+ р2Л2-^^- = 0;
d^dx\ dt	' дц
d2U - dW -	dW d2W
i2< (V3r-^+2W4L JgL +,^ +
Og	or] dgdr]	di]
+	V4r-
Ot, d^Oi]	Or]
0% Orf di]
(11.17)
d'W
i	_ / OW \2
+ 6хЦ—j +6*,^—J -
12rv6r+24p,A2-^Jl
+6(4r) v’r+tt!( 4?F) V4W'+i2(i-v2)P=o,
dW dW
dt ац
где
d* ,2 <?2	<52	,2 й2
Vi—~~7+P1X —-7, V2 —Pi—-7+X —7;
6g	dx\	dt dif
a2 ,, a2	a2 ,, a2
V3=—г+vA2—7; V4=v— +Л2—-7;
ag arj	ag ar>
a2	a2
Vs = Ai—-j—|-X/?2-7! ^1= fe-(-vA2fen;
ag2	ar,2
/?2 =	+X2/?n; pi=0,5(l — v); [12 = 0.5(1 + v);
безразмерные параметры g = x/o, x\—y/b, tj — Ua/h?, V — Vb/h.2, W=W/h,
P = aiq/(Eh‘'), ki = a2/(Rxh), k^ = b2/(Ryh), к=а/Ь\ U, V, W — перемещения то-
чек срединной поверхности оболочки относительно осей координат х, у, г соответ-
ственно (оси х и у направлены по линиям главных кривизн оболочки, ось z — орто-
гонально к срединной поверхности оболочки, которая выбрана в качестве координат-
ной поверхности, в сторону вогнутости); R„, Ry — главные радиусы кривизны обо-
лочки вдоль осей х и у соответственно; а, b — размеры оболочки в плане; h — толщи-
на оболочки; Е н v — модуль Юнга н коэффициент Пуассона материала оболочки.
Для линеаризации нелинейных уравнений в частных производных (11.17)
применяется метод последовательных нагружений.
Линеаризованные уравнения пологих оболочек для модели Кирхгофа — Лява
на k-м этапе нагружения имеют вид
276
02vk	awb	dWk d2wk
V +	—----1--—— V iWt + gzX —--------
5|dp	di	dt] dgdp
dWk -	dwk d2Wk
+ ^r(VlVF«-fe,)+g2X2 — 	=0;
og	dr] d£dr]
d2uk	dW„	dWk d2w„
P2 ——----1- V 2Vk 4----- V 2Wk + Ц2 ——--—------h
^gdrj	dr;	dg	dgdrj
dwk	d2Wk	dwk
+ Ma——----— -----1—-— ( V 2fe2) =0;
dg	dgdr)	drj
duk	duk	diWk	dUk
12 ,t (VsWk — k ।) + 24g 11 —---——------(-12—— V,i®i +
dg	dr]	d£drj	dE
„ dVk d2wk „ dvk n dvk -
+ 24g,V k- " +Х2Й2 —- +1212-^- V<M
ot] dtjdr)	dr;	dr)
„	, dvb d2Wk	, dVk d2wk
dg dgdrj	d|
, <0,2 d^k	d*W*	o,2 diWk
dr]	dV d^dr]2
dWt dwk
-\2^kik^ + k!ik^2)Wl,+ \2^?k2-------- +
dr; drj
—	+	VrM + 24g,X2-------— (
dgdr) \
2 d2wt dWk
dgdr] dg drj
dt, д^дц
agdr]
d“wk
> (11.18)
dWb dwk
dT
-X2 a
dr)
dWk dWk
-12ki----------
at, at,
' dW„ dw„
< dt, <9t] +
, 0W„
dlt?j dwk -	/ dWk\2	J dr«\2
+ *2—----— V3l^+6(——)	V.,wt + 6X2(	—1)	Vr^ +
dg	dg	\ dg /	\	dr] /
dWk dwk _
+ 12X2-----— \7^к+\2(\-х2)рк=0.
dr) drj
k—l	k— 1	k— 1	к— 1
Здесь Uk= u.; P«= £ Wk= w,; P*==	p,.
i=l	/=1	i=l	i=l
Системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных (11.18)
методом Власова — Канторовича сведены к системам обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.
В соответствии с методом Власова — Канторовича принимается: un =
N	n	N
= £ ^<(1)<р((»1). t>W= £ Ь(6)Ф/(»1), wN= £ Z/(5)x/(ri), где ф](г)), ф,(г]), х,(»1) —
/=1	]=1	/=1
известные аппроксимирующие функции. Для случая шарннрно-неподвнжно закреп-
ленного края они принимаются в виде: ф,(г]) =sin (л (2/—1) rj); ф,(г]) =
= sin (2л/г)); X/(4)=sin (л (2/—1) Г]). Функции Х((|), У/(5), Z,(£) подлежат опре-
делению.
Если левые части первых трех уравнений (11.18) обозначить соответственно
/.<(«, v, w), L2(u, v, w), L3(u, v, w), то для определения Х,(Е), F,(E), Z,(E) получим
систему уравнений
277
J Li(un, ujv, WA')Ф*(rj)£/r] = 0;
о
1
J £2(«л', wjv)tpft(T])dri = 0;
о
i
J L3(un, vn. ww)x*(T])rf»] = 0
о
(6 = 1, 2,...,7V).
После вычисления интегралов по переменной у получена система обыкновенных
дифференциальных уравнений порядка 3N. Граничная задача для этой системы
сведена к начальной методом дополнительных функций (см. § 4.2.2). Последняя
решена методом Рунге— Кутта (см. § 4.1).
На рнс. 11.2 представлены результаты расчетов— графики «нагрузка — прогиб
в центре оболочки» и эпюры напряжений в сечении ц = 0,5 (ц = у/Ь) при
Р=180 (Р = о4<;/(ЕЛ4)) для оболочки с параметром кривизны /^=£„=16 (/г^ =
=a2/(Rxh), k^ = b2/(Ryh)).
Кривые 1—4 получены методом последовательных нагружений. Приращение
Д(7„, т. е. (Uk, vk, Wk) в (11.18), на каждом шаге определялось из решения уравне-
ния (11.12) при различных шагах нагружения Д//п, которые обозначены через
Рк в (11.18). Кривая 5 получена модифицированным методом последовательных
нагружений с использованием схемы (11.13).
Кривые 1 и 5 соответствуют одному и тому же значению шага нагружения,
кривая 2 — шагу нагружения, уменьшенному вдвое (число шагов, следовательно,
вдвое больше), кривая 3 — в четыре раза, кривая 4 — в восемь раз.
Из рис. 11.2 видно, что значение критической нагрузки (ордината точек макси-
мума на графике «нагрузка — прогиб в центре оболочки») существенно зависит
от шага нагружения в методе последовательных нагружений.
Рис. 11.2. Кривые «нагрузка — прогиб в центре оболочки» (а) и напряжения при
изгибе (б), полученные методом последовательных нагружений и модифицированным
методом
Применение модифицированного метода последовательных нагружений только
второго порядка точности (11.13) позволяет повысить точность решения без уве-
личения времени счета. Кривая 5 на рис. 11.2 близка к кривой 4, хотя времени на
ЭВМ затрачено почти в 4 раза меньше.
278
11.2.3.	Метод последовательного наращивания ребер
При расчете ребристых пластин и оболочек решение существен-
но зависит не только от интенсивности нагрузки, но и от пара-
метров, характеризующих размеры (высоту) ребер. Частный случай
метода продолжения по параметру, в котором в качестве пара-
метра принята высота ребер, назван методом последовательного
наращивания ребер, хотя его можно применять и к расчету пластин
и оболочек, ослабленных вырезами [33].
Уравнение равновесия пластин и пологих оболочек, подкреплен-
ных ребрами [32], можно записать так:
F( U,H,q) = 0,	(11.19)
где Н— высота ребер; U — вектор перемещений; q — параметр
нагрузки. Дифференцируя по Фреше (11.19) по переменной Н,
приходят к уравнению
W, Н} +F'HW' =0’
которое является обыкновенным дифференциальным уравнением
относительно функции 1/(Н). Решение его нужно искать при на-
чальных условиях U(Но) =Uo, где Uo — решение для гладкой обо-
лочки (Но = О) при заданном параметре нагрузки q. Для решения
этой начальной задачи можно применять известные методы (напри-
мер, метод Рунге — Кутта).
Если для решения начальной задачи используют метод Эйлера,
приближенное решение строят по схеме f/n+i = Un-)-&Un, Нп+\ =
= Нп-\-АНп, где Д//п задают, a находят решением линейного
уравнения
F'uiUn, Hn)MJn+F'H(Un, Hn)\Hn=G. (11.20)
Сходимость рассматриваемого метода устанавливается теоремой
о неявных функциях и ее обобщениями [22,64]. Ограничения,
накладываемые этой теоремой, выполняются в большинстве не-
линейных задач механики деформируемого твердого тела.
Таким образом, метод последовательного наращивания ребер
позволяет на каждом этапе изменения высоты ребер (жесткостных
характеристик конструкции) находить изменения деформирован-
ного состояния конструкции.
Пример 11.4. Используя метод последовательного наращивания ребер,
найти перемещения в балке со ступенчато изменяющейся высотой, длиной 3 м,
шарнирно-неподвижно закрепленной по краям н нагруженной равномерно распре-
деленной нагрузкой интенсивности q (см. рис. 7.4). Сечение балки имеет вид
квадрата со стороной 0,1 м для первого участка и прямоугольника той же ширины
и высотой 0,1+2// для второго. Для упрощения записей ниже единицы величин
опущены.
Момент инерции сечения балки на первом участке
0,05	0,05
ST	2
dy \ z2rfz = 0,l-g-(0,05)3 = 8,33-10-6,
— 0,05 —0,05
279
на втором
0,05	0,054-//
I2 = dy (J	z2dz=0,l -|- (0,05 4-//)3 = /14-А/,
— 0,05	—(0,05 + H)
где A/ = 5-10-4//-|-0,01/724-0,067/73.
Уравнение оси изогнутой балки
((Il + u(x-\)M)w")"=q/E.
Здесь и(х—1) —единичная функция Хевисайда; w прогиб балки.
Уравнение (11.20) в данном случае
F'w(x, w,, Hi)Aw,-EF'n(x, ни,,
или в развернутом виде (на i-м этапе)
((Л + и (х— 1) Л/,) Ли")" + (и (х -1) M'Miiw") " = 0.	(11.21)
Здесь А/, = 5-10“4//,4-0.01//,2-[-0,067//3; А/'=5-10“4 + 0,02/7, + 0.2/7,2; //0 = 0; w0 —
решение для балки постоянного сечения, т. е. при //, = //0; А/о = О; А/„ = 5-10 4.
Имеют место рекуррентные соотношения //,+ | =//,4-А//„ w,+ i = w,-|-Aw, (1 = 0, 1, ... ,
п), где Лад находим из решения линейного относительно Aw, уравнения (11.21).
Считаем А//, постоянным. Пусть //=0,01. Тогда А/ = 6,1-10-6, /2 = 14,4-10’’.
Сначала примем А//=// = 0,01. Уравнение (11.21) будет иметь вид
(1, А w")" + (и (х—1) A/'\Hw”)" = 0,	(11.22)
где Wo = ^/(£/i) (0,0417х4— 0,25х3 4- 1,125х)—решение для балки постоянного се-
чения в виде квадрата со стороной 0,1 м.
Решая уравнение (11.22). получаем:
Aw0=—0,4——х, хе[0, 1],
EI ।
Awo = - O,6wo - 0,0753 -Д— х+0,2259 -Д— , х е [ 1, 3|.
Ei\	Е1\
Значит, wt = w()4-Aw0 имеет вид:
w,= -В— (0,0417х4 — 0,25х3+0,725х) (хе [0. 1]);
IZi 1
W1=	(0.0167Х4 — 0,1х3 + о,3747x4-0,2259) (хе [1, 3]).
С/ I
Прих=1 w = 0,5166^/(£/i).
Теперь примем А// = 0,005. Тогда на первом шаге уравнение для определе-
ния Aw0 будет иметь вид (11.22) прн том же выражении для w0. Решая уравнение
(11.22), находим:
Aw(1=—0,2—Д—х (хе|0. 1]);
c/i
Awo= -О.Зшо- 0,0376	х4-0,1129-^— (хе [1, 3]);
ш'=	(0,0417х4 —0.25х34-0,925х) (хе [0, 1]);
(0,0292х4-0,175х34-0,75x4-0,1129) (хе [1,3]).
280
На втором шаге /Л = 0,005, ДЛ = 2,758- 10 6, Д/' = 6,05-10“4. Уравнение (11.21)
будет иметь вид
((/,+«(л — 1)Л/|)	1)Д/(Д//шП" = 0.
Решая это уравнение, получаем:
Aw, = — 0,127-^— х (хе [0,1]);
tl 1
ДШ|==—0,2728а>,—0,034-^—х+0,102—(хе [1,3]).
с/1	с/|
Таким образом,
ш2= -Д— (0,0417х4 —0,25х3 + 0,798х) (хе [0,1]);
с/1
а-2=	(0,0212х4 —0,127х3 + 0,511x4-0,1838) (хе [1, 3]).
При х= 1 ш = 0,59ц/(Е/|).
Если принять Д// = 0,0025 н проделать 4 шага, получим прн х=1 w =
Решение поставленной задачи методами сопротивления материалов дает
w= ——— (0,0417х4 —0,25х34-0,8426х), хе[0, 1];
С/I
w=	(0,0417х4 — 0,25х34- 1,033x4-0,2756), хе [1, 3].
С/ ]
Прн х=1 ш=0,6342<;/(£7|). Это решение является точным.
Пример 11.5. Для иллюстрации эффективности применения метода после-
довательного наращивания ребер к расчету ребристых пластинок проведем сравни-
тельный расчет пластинок этим методом и по методике, описанной в § 11.3.1.
Квадратная пластинка, шарнирно-неподвижно закрепленная по контуру, нахо-
дится под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсив-
ности q. Пластинка допускает прогибы, соизмеримые с толщиной. Для расчетов
использованы уравнения, учитывающие поперечные сдвиги (модель Тимошенко)
[32]. Пластинка, сторона которой равна о=60Л, где h — толщина”пластинки, под-
Рис. 11.3. Результаты расчета ребристых пластинок методом последовательного
наращивания ребер:
а — зависимость «нагрузка — прогиб в центре пластинки»; б — график измеиеиия прогиба по оси £ в сред-
нем сечеиии пластинки
креплена двумя пересекающимися по центру пластинки ребрами шириной 2Л и
высотой ЗЛ.
На рис. 11.3 нуль (0) означает, что пластинка не подкреплена ребрами, единица
(1) — подкреплена ребрами. Расчет проведен по методике, изложенной в § 11.3.1.
281
Кривые с индексом R получены методом последовательного наращивания ребер
с шагом по высоте ребра |Д//| =h (три шага). Стрелками показан переход в эпюрах
прогибов при каждом шаге (0^ означает, что исходной была оболочка, подкреплен-
ная ребрами, высота которых изменяется с шагом Д//= —h. 1R — что исходной была
гладкая оболочка н ребра наращивались с шагом t±H = h).
Точность решения, полученного шаговым методом, зависит от
выбранного шага. Как видно из рис. 11.3, даже при достаточно
большом шаге |А//|=/г точность решения методом последователь-
ного наращивания ребер высока. Кроме того, метод позволяет
находить изменения исходного напряженно-деформированного со-
стояния конструкции как в случае увеличения ее жесткости (увели-
чения высоты ребер), так и в случае уменьшения (уменьшения
высоты ребер).
Шаговый процесс наращивания ребер можно соединить с ша-
говым процессом по нагрузке, это позволит подбирать жесткость
конструкции (высоту ребер) таким образом, чтобы оболочка не
потеряла устойчивости.
11.3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИН
И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
11.3.1. Нелинейные задачи статики
Уравнения равновесия (11.10), (11.19) пластин и пологих обо-
лочек, допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной, — это сис-
темы нелинейных дифференциальных уравнений в частных произ-
водных 8—10-го порядка, записанные относительно функций пе-
ремещений U, V, W. Для модели Кирхгофа — Лява эти уравнения
имеют вид (11.17).
Для решения таких уравнений можно применить методы све-
дения их к алгебраическим уравнениям (метод Бубнова — Галер-
кина, метод сеток и др.). При этом получают системы нелинейных
алгебраических уравнений, решение которых может быть найдено
итерационными методами (последовательных приближений, напри-
мер), однако возникают трудности с выбором начального прибли-
жения и возможностью ветвления решения.
Другой путь решения исходных нелинейных дифференциаль-
ных уравнений состоит в следующем: к исходным уравнениям приме-
няют методы линеаризации (например, метод последовательных
нагружений, сводящий решение нелинейных уравнений к после-
довательному решению систем линейных дифференциальных урав-
нений, коэффициенты которых зависят от истории нагружения).
Линеаризованные методом последовательных нагружений урав-
нения (11.17) имеют вид (11.18).
Систему линейных дифференциальных уравнений в частных
производных относительно функций Uk, Vk, Wk (11.18) методом
Бубнова — Галеркина сводят к системе линейных алгебраических
282
N	N
уравнений, приняв uk= £ a,<p,(g, r|), vk= £ rl) - wt =
n	1=1	1=1
= E ciX<(L Л)> где <P<(&. л), Ф<(5. л). Х<(£, л) — аппроксимирующие
<=1
функции, удовлетворяющие заданным граничным условиям.
Согласно методу Бубнова — Галеркина, для определения щ,
с, получают систему линейных алгебраических уравнений
Рис. 11.4. Схема алгоритма
расчета оболочек при стати-
ческом нагружении
Е	CijCj) =0;
i=i
Е (Л,а( + £„Д+Л/С,)=0;	
/=1
Е (Gi/cz, + Hijbi + StjCj) — Tjpk
(/ = 1,2, ...,7V).
(11.23)
Рис. 11.5. Кривые «на-
грузка — прогиб в центре»
для пологих оболочек, за-
груженных равномерно
распределенной нагрузкой
Значения Л1;, В1;, ... , Т, зависят от исходных данных и от накоплен-
ных к Л-му этапу значений Uk, Vk, Wk, Pk-
Решение системы уравнений (11.23) находят методом Гаусса.
283
Для повышения точности линеаризации целесообразно исполь-
зовать модификацию метода последовательных нагружений (11.13).
При этом на каждом этапе нагружения необходимо два раза ре-
шить систему уравнений (11.18) при разных значениях Uk, Vk, Wk-
Схема описанного выше алгоритма представлена на рис. 11.4.
п р и м е р 11.6. Используя описанный выше алгоритм, провести расчет квадрат-
ных в плане пологих оболочек, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру
и находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки q при разных
значениях кривизны /г= — k,A — k.
На рис. 11.5 представлены результаты расчета таких оболочек, т. е. графики
«нагрузка — прогиб в центре оболочки».
Для обхода петель графиков необходимо в процессе счета изменять выбранный
параметр. До точки А решение ведется по параметру рь—шагу по нагрузке.
В точке А изменяет знак приращение прогиба wt в центре оболочки. От точки А
до точки В за параметр принять приращение прогиба Wk в центре оболочки. В точке
В изменяет знак приращение нагрузки От точки В до точки С параметром
является приращение нагрузки рк (оно отрицательно). В точке С изменяет знак
приращение прогиба Wi, в центре оболочки (оно становится положительным). От
точки С и далее за параметр принять приращение прогиба n’t в центре оболочки.
11.3.2. Нелинейные задачи динамики пологих оболочек
Уравнения движения пологих оболочек приведены в § 7.3.2.
Если в этих уравнениях усилия и моменты выразить через пере-
мещения, можно получить уравнения движения в перемещениях.
Эти уравнения в безразмерной форме будут иметь те же левые
части, что и уравнения (11.17). Если левые части уравнений систе-
мы IUJ7)_ обозначить соответственно L\(U, V, W), Ьг(и, V, W),
L3(IJ, V, W), уравнения движения можно записать в виде
- - -	/г2
£.(£/, V,W) = ~
a
_ - _ d2W
L3(U, V, W) = 12—^—,
dt2
где t — безразмерный параметр времени.
Для уравнений (11.24) решают смешанную задачу, так как на
контуре оболочки известны граничные условия, а по временной
координате задают начальные условия.
Смешанная задача методом Власова — Канторовича сводится
к начальной задаче по временной координате i. Начальная задача
решается методом Рунге — Кутта.
В соответствии с методом Власова — Канторовича принимают:
_ N	_ N	_ N
и= £ TliUlA V= I T2iVlA w= £ T3iWh.	(11.25)
1 = 1	j=l	1=1
284
Здесь Uh, Vli, Wh — известные функции переменных £иг] аппрокси-
мирующие функции, удовлетворяющие граничным условиям на
краях оболочки; Th, T2t, ТЗ, — функции переменной t, подлежа-
щие определению.
Подставив выражения (11.25) в систему уравнений движения
(11.24) (умножив первое, второе и третье уравнения соответст-
венно на Ulj, Vlj, Wlj и проинтегрировав полученные равенства
по переменным g и ц), получают систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений для определения Th, T2t, ТЗ,
Рис. 11.6. Схема алгоритма расчета пологих
оболочек при динамическом нагружении
f Т1"АТП=АК1Г,
(=1
f Т2"ВТц=АК2,; ►
' = 1
f ТЗГСТц=АКЗ,
1= 1
(/=1,2, ...,7V).
Рис. 11.7. Кривые «на-
грузка — прогиб в центре»
для пологих оболочек, по-
лученные при различных
скоростях нагружения
Здесь AKlj, AK2j, АКЗ, содержат искомые функции Th, T2i, T3t-
Схема алгоритма решения этой задачи показана на рис. 11.6,
где Qh=Tl-, Q2i = T2i, Q3i=T3'.
285
Пример 11.7. По описанному выше алгоритму провести расчет квадратных
в плане пологих оболочек, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру и загру-
женных равномерно распределенной по площади и линейно изменяющейся во вре-
мени нагрузкой q — Atl при начальных условиях
U=V=W=O, dVldi=dV/di=dW/dt=O.
На рис. 11.7 представлены результаты расчеса—графики «нагрузка—прогиб
в центре оболочки» для оболочки с параметрами кривизны =	16 при различ-
ных скоростях нагружения А (Р = At = qa4 / (Eh4)). Пунктиром показана кривая,
соответствующая статическому нагружению оболочки равномерно распределенной
нагрузкой q. Если использовать критерий А. С. Вольмира потери устойчивости
оболочки при динамическом нагружении [18], за критическую нагрузку следует
принять ординату точки О на графиках «нагрузка — прогиб в центре оболочки».
После «прохлопывания» оболочка совершает колебания около своего нового равно-
весного состояния. Следует сказать, что при решении начальной задачи шаг по
времени следует брать тем меньше, чем больше скорость нагружения А.
Описанная в § 11.3.2 методика решения динамических задач
может быть использована и для исследования свободных нели-
нейных колебаний пластин и оболочек. Для этого задают начальные
перемещения U, V, W или начальные скорости dU/dt, dV/dt,
dW/dt, не равные нулю, а нагрузку q принимают равной нулю.
Результатом решения являются значения перемещений.
11.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
11.4.1.	Основные соотношения
физически нелинейной теории упругости
Наиболее общие соотношения нелинейной теории упругости [56]
учитывают не только физическую нелинейность материала, т. е.
отклонения от закона Гука в зависимостях между деформациями
и напряжениями, но и геометрическую нелинейность деформиро-
вания тела. Ниже рассматривается решение только физически
нелинейных задач при линеаризованных геометрических соотноше-
ниях [40]. Предполагается, что деформации тела, оставаясь малы-
ми, связаны с напряжениями нелинейными зависимостями.
Остальные зависимости (уравнения равновесия, уравнения Коши,
условия совместности деформаций и граничные условия) являются
линейными и не отличаются от зависимостей линейной теории
упругости.
Интенсивность касательных напряжений определяется формулой
То— “у 2 ( ( О 1 —Оо) 2 ~Н (о 2 — По) 2Д- (о3— Оо)2),
где щ, <т2, оз — главные напряжения; о0 — среднее напряжение:
Оо= (О1-(-О2-|-Оз)/3 = (Ох-Го^-ГОг) /3.
Интенсивность деформаций сдвига
фо = 2_у —((ё! —ео)2+ (е2 — ео)2+ (вз—во)2) ,
286
где Ei, Е2, ез — главные деформации; ео — среднее удлинение:
Ео— (El 4“ 82+ Ез) /3 = (Ex-j-E^-l-ez)/3.
Основными соотношениями физически нелинейной теории упру-
гости являются зависимости между напряжениями и деформациями
o^ = 3^x(eo)Eo^-2GY(фo) (бх —ео); '
Oy = 3^x(Eo)Eo-|-2GY(фo) (еу — ео);
аг = ЗКх(Ео)Ео + 2Су(фо) (Ег — Е0);
г , .2. ,	U 1.26)
Тх</=Су(ф0)фЛ!/;
т^2=Су(фо)Ф</г;
Тгх= Су(фо)фг*.
где экспериментальным путем определяют: К — модуль объемной
деформации, G — модуль сдвига, х(ео) —функцию удлинения,
у (фо) — функцию сдвига. При х(ео) =у(фо) = 1 эти уравнения дают
обычные соотношения между напряжениями и деформациями ли-
нейной теории упругости.
Решение уравнений (11.26) относительно деформаций дает со-
отношения между деформациями и напряжениями
1	1	2
®х = 3^-К («о) Оо+-££-£(/0) (ох — со);
1	1	2
£у = з^Я($о)оо+	(оу — оо);
1	1	2
8г= k(SO)Co+	(Ог —Оо);
>
(11.27)
, 1
Ф«/= -g-g(t0)^xy;
,	1	/Д
Ф‘/г— ~q~ gUo) T!/z;
фгх = q g (^o)Tzx,
где введены обозначения среднего приведенного нормального напря-
жения s0 = oo/(37(j, средней приведенной интенсивности касатель-
ных напряжений to=to/G, а также функции среднего напряжения
k (so) и функции интенсивности касательных напряжений g(t0).
При fe(so) =g(/o) = 1 уравнения (11.27) дают обычные соотноше-
ния между деформациями и напряжениями линейной теории
упругости.
Простейшим является случай нелинейной деформации, при ко-
торой функция среднего напряжения fe(s0) = l, а функция интен-
сивности касательных напряжений изменяется по степенному закону:
g(<0) = 1 +gn-i/o '- Наименьшее значение п, при котором сохра-
287
няется нелинейная зависимость, п = 3. При этом g(fy = l+gz/n,
где значение величины g% определяется экспериментально.
11.4.2.	Плоское напряженное состояние
Для тела, находящегося в плоском напряженном состоянии,
например для тонкой пластинки, расположенной в плоскости де-
картовых координат хОу и загруженной в этой же плоскости (рис.
11.8), принимается: аг = тхг=т,/2 = 0, ег = фхг = ^=0. Остальные
напряжения и деформации мало изменяются в направлении оси z,
перпендикулярной к плоскости хОу, и считаются функциями только
координат х и у.
сх = ах(х, у); су = Су(х, у)-, тХу=тХу(х, у);
Ех=£х(х,у)- £у = е.у(х,у); уХу = уху(х, у).
В связи с этим в физически нелинейной теории упругости для
плоского напряженного состояния справедливы следующие уравне-
ния: уравнения равновесия (без учета объемных сил)
। дтх;/ _	до у	дтХу _
дх ду ’ ду f дх
уравнения Коши
ди	dv	ди , dv
=	• Ф*у — —п— -|—;
дх	ду	ду дх
(11.28)
(11.29)
Рис. 11.8. Тонкая пластинка, нахо-
дящаяся в условиях плоского на-
пряженного состояния
условие совместности деформаций
д2ех .	= д2^Ху
ду2 дх2 дхду
(11.30)
краевые условия (/, т — направляю-
щие косинусы)
Xv— Ох/+ ТХ^Ш, X v — Тх,у/ -1- (5 у tTl,
(11.31)
соотношения между деформациями
и напряжениями в соответствии с
(11.27)
1	1	2
Бх= -уу /г(5о)Оо+ ТТТГ^(4>) (о* ао),
1	1	2
еу= k(so) <70 + g (/о) (Оу Оо),
(11.32)
фху— ~q~ g(Jo)txy.
288
Решение задачи о плоском напряженном состоянии в напряже-
ниях определяется подстановкой соотношений (11.32) в условия
(11.30). В результате получают условие совместности деформаций,
выраженное в напряжениях:
А(( 9Т( *<s°) +	+	) =
__1_/ аЩ) d2g(t2)
~2G\°X дх2 + ду2
4~2тх!/
d2g(t20) х
дхду /
(11.33)
где \=д2/дх2-}-д2/ду2— оператор Лапласа.
Уравнение (11.33) вместе с двумя уравнениями равновесия
(11.28) образует систему трех дифференциальных уравнений с тремя
неизвестными (ох, и гху). В случае линейной зависимости между
деформациями и напряжениями, т. е. при fe(s0) =g(tl) = 1, уравне-
ние (11.33) переходит в уравнение совместности деформаций ли-
нейной теории упругости: А(ох-)-о^) =0.
Для решения системы уравнений (11.28), (11.33), как и в линей-
ной теории упругости, вводят функцию напряжений Эри q>(x,y):
д2ц> ______ д2ц>	д2ц>
ду2 ’ У дх2 ' ху дхду
(11.34)
Уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, а урав-
нение (11.33) дает дифференциальное уравнение для нахождения
функции ф(х, у):
\\ УД	би /	/
____1 / д2ф d2g(t20)
2G \ ду2 дх2
д2ц> d2g(to) 2 d2q> d2g(t20) \ Q
дх2 ду2 дхду дхду /
Для частного случая &(s0) = l, g(t20) = 1 -j-g2tl это уравнение
имеет вид
.// 1 . 1 . 1 „Д\Л A	g2 /	д^2° 
\\ 9К + 3G + 3G g2t°)Аф)	2G \ ду2 дх2 +
A d2t20	2 д2<р d2t2 х 0
дх2 ду2 дхду дхду /
а при постоянной материала
X=g2K/((3X4-G)G2)	(11.35)
и tv=xo/G получается нелинейное дифференциальное уравнение
в частных производных четвертого порядка относительно функции
напряжений ф(х, у)
ДДф + X (<рхххх (2фхх + ц>2у 4- 2ф^—2<fxxqyy) 4-
10. Зак. 1810
289
+	(фхх + 2<рУ!, + 2<р^—2фххфу4,) +
+ 2фххи/(фххфи/ + 8(рх4/) +
4~2(2фхх— <pvv) (2<рху<рххх!,4-(рххх) +
4-2(2ф94, <рхх) (2<pxj,<pxj,j,j,4-<pw)+
4-2ФххДЗфхх— Фи,) +2фх!/!,(3ф4,4, —фхх) +
+ 2ф9^фхххфх^{, 4" 2фххфхх^фу^у 4“
4“ 2 фх„ ( фххуфхда tyxxxФуш) +
4- •2фх.у(фхххфхх</4-2фххуфад4-фх</</ф</!/</)) =0,	(11.36)
где нижние индексы обозначают частные производные по соответ-
ствующим переменным.
11.4.3.	Решение физически нелинейной задачи
о плоском напряженном состоянии
методом малого параметра
В методе малого параметра (см. гл. 8) решение ф(х, у) не-
линейного дифференциального уравнения (11.36) рассматривается
в виде степенной функции от входящего в это уравнение малого
параметра %, определяемого выражением (11.35):
ф=ф<0)4-%ф(1>4-Х2ф(2)4--•	(11.37)
Подстановка этого ряда в уравнение (11.36) дает бесконечную
систему бигармонических уравнений для определения функций ф(0),
ф(|), ф(2),... Первое из этих уравнений, состоящее из членов, не
содержащих %, соответствует уравнению линейной теории упру-
гости относительно ф(0)
ДДф(°) = 0.	(11.38)
Приравнивание нулю суммы коэффициентов при % в первой
степени дает уравнение для определения функции ф(|)
ДДф(1)4-Ло = О,	(11.39)
где Ао — выражение, составленное из производных функции ф(0),
известное из решения предыдущего уравнения.
Приравнивание нулю суммы коэффициентов при X2 дает
уравнение
ДДф(2)4-Л01 = 0,	(11.40)
где Ли — выражение, составленное из производных функций ф(0) и
Ф(|), найденное из решения предыдущих уравнений.
Процесс продолжают до тех пор, пока функция напряжений
ф(х, у) получается по (11.37) с заданной точностью.
290
Напряжения, исходя из разложения (11.37), можно также вы-
разить в виде степенных рядов
°.= -Й- =a™+XaV> + >A,? + ...; ду дх т —	д2ф .	(0) ,  (1) , . 2_(2) | ху	дхду ~	'	(11.41)
где множители при V определяют по найденным значениям членов
разложений для производных функций напряжений:
<№=4$; o(vn)=<p^; т^=—<р^	(11.42)
(м=1, 2, 3, ...).
Пример 11.8. Найти нормальные напряжения о,, возникающие при изгибе
защемленной одним концом тонкой полосы, загруженной силой F на свободном
конце (рис. 11.9).
Считаем, что материал полосы подчиняется нелинейному закону упругости,
при котором функция среднего напряжения и функция интенсивности касатель-
ных напряжений заданы в виде:
fe(so) = l, §(/„) = 1+Я2<0-	(11.43)
Изгиб этой полосы в постановке линейной теории плоского напряженного состоя-
ния рассматривается с помощью следующей функции напряжений Эри [80]:
<Р*(*. У) = -^-сх(у3 — ЗЬ2у),	(11.44)
где c=-(3/2)F/(b3h).
Решение (11.44) в линейной постановке удовлетворяет заданным граничным
условиям.
Рассмотрим решения нелинейной задачи методом малого параметра, прини-
мая за нулевое приближение (11.38) решение (11.44), т. е. =
Уравнение первого приближения (11.39) в данном случае принимает вид
AA<p(l,+2c3(2x3t/ + 8xi/3 — ЗЬ2ху) =0.	(11.45)
В связи с тем что функция напряжений в нулевом приближении <р<0) удовлетво-
ряет заданным граничным условиям, поправка к ней ф(1) по (11.37) не должна
Рис. 11.9. Изгиб тонкой полосы
прямоугольного поперечного сечения
влиять на эти условия. Другими словами, следует потребовать, чтобы в первом
приближении выполнялись условия: вдоль верхнего и нижнего края полосы при
у=±Ь 0^ = 0 и т^=0, а на левом (свободном) конце полосы при х = 0 о^=0
Ь
и $ ^dy=O.
—b
291
Представив решение уравнения (11.45) в виде суммы некоторого частного
интеграла и решения однородного бигар ионического уравнения ДДф^’^О, удовлет-
воряющих указанным условиям, получим выражение для функции ф(|) первого
приближения
Ф(|)= — 2xV+ -^j-xy1 — AbVy3 —
-	62xt/5 + 264x3i/+	b'xy3- b6xy) .	(11.46)
О	oD	OD /
Аналогично можно напучить поправку к функции напряжений ф(2) во втором
приближении по (11.40) и т.д.
Ограничимся в данном примере определением функций ф<0) и ф(|). Напряжения
ох, ау и тху найдем по (11.41), определив множители при Х<0) и Л из (11.42) прн
ф<°>=(р* и ф(|) из выражений (11.45) и (11.46). Подставляя выражение (11.44)
в (11.42), получаем:
^^=сху а® = Ф®=0;
4°>-4-(«г-62).	(Н.47)
что соответствует решению данной задачи в линейной постановке [80].
Подставляя выражение (11.46) в (11.42), патучаем
olx}= — -tf ху( ЮхУ — 6fe2x2 + 6/— 136V +	А4) ; '
о£)= — -^~ХУ(Ь2 — у2)2;
О
— 3662х2</24-6464х2 +
+ 4/- 136V+ ьу- -|L ьЛ .
15	35	/
(11.48)
Из двух приближений, взятых в разложениях (11.41), видно, что, помимо
изменения напряжений ах и хху по сравнению с решением в линейной постановке,
появилось еще напряжение <г„, отсутствующее в линейном решении.
Для оценки патученных напряжений принимаем следующие числовые значе-
ния величин, принятые в [40]: F=3,33H; 6 — 5 см; 1=50 см; А=1 см; К=
= 1,33-105 МПа; G=0,47• 105 МПа; д2 = 7,26-10в.
По формуле (11.35) определяем Х=0,98-10-3 (МПа)“2 и, согласно (11.41),
(11.47), (11.48), найдем напряжение <з„ в защемлении при х—1, у=—Ь: ах=
= а^0) + Ха(/)= 10,0-0,98-10~3-266= 10,0—0,26=9,74 МПа.
В данном примере учет физической нелинейности приводит к уменьшению
наибатьшего напряжения ах по сравнению с линейным решением.
11.4.4. Метод упругих решений
Этот метод, предложенный А. А. Ильюшиным, получил большое
распространение при решении упругопластических задач.
Рассматривается трехмерное тело [79], уравнения равновесия
которого описаны в § 7.2.2. Нелинейные зависимости, связывающие
292
напряжения и деформации, можно представить в виде
ах=Гх4—бы 04-26 (1—ы)ех; '
су= %4—6(0 04-26 (1 —<о)е^;
oz= (м—6(0 04-26(1—(o)ez;
(11.49)
1>ху—6(1 (о)уху, Tyz—6(1 (о)'Ууг»
Tzx = G ( 1 — (О) угх,
где 0=ex4-eJZ4-ez; (о=1—щ/(36е,-); X==vE/((l4-v) (1—2v)) =
=2v6/(l — 2v); % — параметр Ламе.
Рис. 11.10. Схема алгоритма метода упругих решений
Геометрические соотношения при малых перемещениях пред-
ставлены д § 7.2.2. Подстановкой (11.49) в уравнения равновесия
трехмерного тела с учетом указанных соотношений получают уравне-
293
ния равновесия в перемещениях
V2u +	1 1—2v	50 dx	G	=Rz,		
	1	50	У			(11.50)
V2v +	1—2v	dy	+ G	=Ry,	►	
	1	50	, Z			
V2w +	1—2v	dz	+ G	=Rz,		
где
59 \	/ 6	ди \ ды
дх /	\ 3	дх ) дх
/ ди dv \	/ ди
+ \~ду~ + ~дГ )~ду~ +
Аналогично записываются Ry и R? [79]. В выражениях для
Rx, Ry, Rz <о определяется из принятого соотношения о,-/е,=
= 3G(1—<о).
Для решения системы уравнений (11.50) методом упругих ре-
шений процесс строится так, что на каждом шаге решается упругая
задача. В качестве первого приближения отыскивается решение
системы уравнений (11.50) при Rx = Ry=R2 = f}7 удовлетворяющее
условиям на границе тела.
Полученные выражения для перемещений и\, щ, иц исполь-
зуют для отыскания е,(х, у, z), Oi(x,y,z), <о(х, у, z) и вычисления
Ry, Rz. Затем определяют второе приближение решения систе-
мы уравнений (11.50). При отыскании второго приближения и2,
V2, W2 правые части уравнений принимают в виде Rlx, Ry, Rl2,
которые являются известными.
После нахождения u2, V2, wz снова определяют е,, о„ to, и вы-
числяют правые части /<х, Ry, Rzt и т. д.
Уравнения (11.50) можно записать в виде
Au=F,
где и — вектор перемещений, F — вектор правых частей: F=
= (Rx, Ry, Rz)*-
Схема алгоритма решения задачи методом упругих решений
представлена на рис. 11.10.
11.4.5. Применение метода последовательных нагружений
к расчету пластинок из нелинейно-упругого материала
Наиболее наглядно применение метода последовательных нагру-
жений показывается на примере расчета пластинок из нелинейно-
упругого материала [60]. Для пластинки, допускающей малые про-
294
гибы, уравнение равновесия имеет вид
1	ч
£)V4IT-|-2L1(£)( V2№) + V2£)V2IT----------w)=^-<h
где
V4=_^_+2______+
дх4	дх2ду2 ду4
L (Р V2ID = dD д{Х7^ _l dD d(A2^) .
1' ’	} дх
up w)= d*D d*w
(	dx2 dy2
дх	ду ду
д2Р d2W	2 д2Р d2W _
ду2 дх2 дхду дхду
л/2 a
P= \ —- dz— переменная
J 8/
-Й/2
жесткость пластинки; W — прогиб
пластинки; q — интенсивность поперечной нагрузки; h — толщина
пластинки; о, — интенсивность напряжений; е, — интенсивность де-
формаций, причем
4 2// d2W \2 , ( d2W \2 , d2W d2W , / d2W \2\
3	\ \ дх2 )	\ ду2 ) дх2 ду2 \ дхду ) )
Если зависимость между интенсивностью напряжений и де-
формаций принять в виде ot=Ee,i — m^, переменная жесткость
пластинки может быть выражена через прогиб:
d2W d2W	/
дх2 ду2	\
d2W \2\
дхду ) )
где Di=E/i3/12; D2=m/z5/60; Е; т — постоянные, определяемые
при испытаниях материала.
Теперь уравнение равновесия примет вид
.	/ d2Fxx
PtV4W~P2( —4- +
\ дх
d2Fxy d2Fyy \ _ 3
дхду + ду2
(11.51)
где Fxx, Fxy, Fyy — нелинейные дифференциальные функции W.
Для решения нелинейного уравнения (11.51) применяется ме-
тод последовательных нагружений.
Линеаризированное уравнение (11.12) для уравнения (11.51)
на /г-м этапе нагружения
d2wk . d2wk
Wk Ax 2	л 2
dx£	dy
Axy
d2wk
dxdy
295
о	О d3wk S' д3®* S' Q3wk
~ х~д73 У~ду3 Сх дх2ду ~ у дхду2
d4Wk d4Wk	d4Wk п d4wk
~°x~dF~	У~д?~ ~ ху~д^ ~Кхдх^ ~
d4Wk	3
-^^4 = -T"Pfc-	(11.52)
кдхду	4
Здесь Wk(x, у) —приращение прогиба W(x, у) ; рь(х, у) —при-
ращение нагрузки q (х, у); Ах, Ау, ..., Ry — переменные коэффици-
енты, зависящие от накопленного значения прогиба W [60].
На k-м этапе нагружения
k— 1	k—i
I Wi(x, y), q(x,y) = £ Pi(x,y).
i=l
Линейное дифференциальное уравнение (11.52) может быть
решено методами, описанными в главе 5.
Таким образом, методом последовательных нагружений реше-
ние нелинейной задачи сводится к последовательному решению
линейных упругих задач. При этом на каждом этапе нагружения
материал пластинки считается упругим, неоднородным.
11.5. РАСЧЕТ ГИБКИХ НИТЕЙ И МЕМБРАН
11.5.1. Статический расчет нити
Гибкой нитью называется стержень с бесконечно малой жест-
костью при изгибе (трос, канат, струна и т. д.). Нить работает
только на растяжение, и растягивающее усилие Т направлено по
касательной к нити. Особенность расчета гибкой нити состоит в том,
что ее начальная форма зависит от характера нагрузки. Поэтому
в начальном состоянии нить считается нерастяжимой, а далее рас-
чет ведут по деформированному ее состоянию как для упругой
нити. В соответствии с [63] уравнение прогибов нити имеет вид
(11.53)
где И — распор; q — интенсивность вертикальной нагрузки. Из рис.
11.11 видно, что
T=^Ht+Q2- -g-=tga=-^-,	(11.54)
где Q — перерезывающее усилие.
Условия равновесия элемента нити:
=ft,	(11.55)
dz dz
296
где h — интенсивность горизонтальной нагрузки (например,
ветровой).
Уравнение прогибов нити (11.53) в интегральной форме
г	Г Q(Zi)
У(г)= J tga(z()dz! +y(0) = J rfz»+l/(0)-	(11.56)
о	0	' f
Puc. 11.11. Элемент гибкой нити,
находящийся в равновесии
Рис. 11.12. Гибкая нить под действием п
вертикальных сил Г,
Рассмотрим некоторые случаи статического расчета гибких нитей.
1.	Гибкая нерастяжимая невесомая нить находится под дейст-
вием системы п вертикальных сил (рис. 11.12).
Если известен распор Н, в соответствии с уравнением (11.56)
П \	I	L—i	I	/	I
/=>	/=i+l
(11.57)
Натяжение нити на участке [/,«+!]
Ti=Н Vl 4- tg2 од tg a,=	.	(11.58)
a<+i—a,
2.	Гибкая нерастяжимая нить под действием равномерно рас-
пределенной нагрузки (рис. 11.13).
При отсутствии распределенной горизонтальной нагрузки (Л = 0)
значение распора Н постоянное для всех сечений нити. Дифферен-
циальное уравнение прогибов (11.53) при 7/=const имеет вид
<?У в _У_
dz2 Н
(11.59)
Интегрирование этого уравнения дает
У(2) = --^-(/2-22)+с^.	(11.60)
Zn	I
3.	Гибкая нерастяжимая весомая нить. При больших прогибах
нити учитывается наклонное положение элемента (см. рис. 11.12).
297
Тогда интенсивность нагрузки
<7 = ^-0 д/1 -|- (dy/dz)2; <7о = рМ>	(11.61)
где р — плотность материала нити; А — площадь поперечного сечения.
В этом случае дифференциальное уравнение прогибов (11.59)
будет иметь вид
Рис. 11.13. Гибкая нить под действием равно-
мерно распределенной нагрузки
а его решение при Н = const
y(z) = -^^ch^-^~ (z —а)) —ch^-^-a)).	(11.63)
Здесь а — есть абсцисса сечения нити, для которого dy/dz=G
(см. рис. 11.13).
Значение а определяют из условия у(1)=с, которое приводит
к уравнению
_ ch-^ (/-«)-ch(11.64)
п	п	п
решаемому способом подбора.
Если опоры нити находятся в одном уровне (с = 0, а=1/2),
y(z) = —— fsh-^- (I — a) -j-sh-^-a) .	(11.65)
qo \ п	п /
4.	Гибкая упругая пологая нить под действием равномерно рас-
пределенной нагрузки интенсивности q. Для пологих нитей ((/тах^
^//8) выполняется условие dy/dz-^A, поэтому натяжение нити
приближенно принимается равным распору:
Т=Н^Т+ (dy/dz)2 «//.
298
Принимая за Lo начальную длину нити, с = 0, а за относительное
удлинение е = Я/ (ЕА), вычисляют распор
Максимальный прогиб
/о / 1	/	И \	\ 1 /2
Если считать L^wl, то
11.5.2. Уточненный расчет пологой гибкой нити
Уточнение расчета пологой гибкой нити с учетом упругой дефор-
мации производится путем определения разности между начальной
длиной нити Lo и расстоянием между опорами /, т. е. характеристики
кривой провисания C/2=Lo — L
Натяжение нити с неподвижными опорами, расположенными
в разных уровнях, загруженной произвольной вертикальной нагруз-
кой (рис. 11.14), определяется из кубического уравнения [67]
Н3 I , и2 С D
--«------9----Г П ------о--- = ---- ,
ЕА cos <р 2 cos <р 2
(11.69)
Рис. 11.14. Гибкая пологая нить
с опорами в разных уровнях,
загруженная произвольной вер-
тикальной нагрузкой
где 1= (%,—x0)/cos <р — расстояние между опорами; С/2 — харак-
теристика кривой провисания нити, определяемая в соответствии
с данными [41,67] по табл. 11.2;
D — характеристика нагрузки, опре-
деляемая по прил. 13.
В частном случае при начальной
длине нити, приближенно равной
расстоянию между опорами, нахо-
ходящимися в одном уровне (<р=0,
С = 0, Lo^zl), из (11.69) следует,
что
(H3/(EA))l=D/2,	(11.70)
откуда можно найти приближенное
значение И по (11.68) для случая
равномерно распределенной нагруз-
ки q.
В случае температурного воздействия на гибкую нить натяжение
находят из уравнения (11.69), где значение характеристики кривой
провисания определяется по формуле
Ct/2 = C/2A-laAt.	(Н-71)
299
Табл. 11.2. Характеристики кривой провисания гибкой пологой нити
О
Уравнение кривой провисания		8/ = /(1-(2х/02)	y=f cos (лх//)
Значение С/2	2/7/	8/7(3/)	л2/7 (4/)
Здесь С/2 определяют по табл. 11.2; а — коэффициент линейного
расширения материала нити; Д/— перепад температур.
Пример 11.9. На пологую гибкую нить с опорами, расположенными в одном
уровне, действует равномерно распределенная по всему пролету вертикальная
нагрузка q\ =2 кН/м и нагрузка </2 = 4 кН/м, равномерно распределенная на половине
пролета. Пролет нити /=100 м, площадь поперечного сечения А = 12,5 см2, модуль
упругости материала нити Е— 1,6-106 МПа.
Характеристика кривой провисания нити при заданном отношении пролета
к стрелке провисания /// = 17,3 определена по первой формуле табл. 11.2: С/2 =
= 2/7/—0,667 м.
Характеристика нагрузки определяется по второй схеме прил. 13:
<7i/3	<7i<?2/3	5<7a/3	,	,
Жесткость нити ЕА = 1,6-105-12,5 = 200-103 кН.
Натяжение нити определяем из уравнения (11.69), которое принимает вид
Н3
-------- 100+ №-0,667 = 70,85- 103,
200-103
откуда Н = 812 кН.
Если пренебречь разницей между начальной длиной нити Ео и длиной пролета /,
т. е. принять С=0, из формулы (11.70) получим //=1123 кН, что на 30% больше
значения, найденного при уточненном расчете.
Многопролетную гибкую упругую нить с шарнирными подвиж-
ными промежуточными опорами (рис. 11.15) рассчитывают исходя
Рис. 11.15. Миогопролетная гибкая упругая нить под действием поперечной на-
грузки
из условия, что при действии поперечной нагрузки натяжение нити Н
на всех участках одинаковое [67]. Концевые опоры нити (опоры 1
и п -|-1 на рис. 11.15) считают шарнирно-неподвижными. Номер
зоо
каждого пролета h определяется номером соответствующей левой
опоры пролета.
Натяжение многопролетной нити находят из кубического урав-
нения [67], коэффициенты которого определяются суммированием
соответствующих параметров по всем п пролетам:
г r2 п	1 п
_Н_ у х,-+ ,-х,- +2Lf ----------91-------L у £>,.=0, (11.72)
ЕА cos3 <р,-	2 £-< cos3 ф, 2
гдех,-, x,+ i — координаты начала и конца пролета; ф, — угол наклона
к оси х прямой, соединяющей начало и конец пролета; С, — разность
между длиной нити в t-м пролете и расстоянием между опорами
этого пролета; D, — характеристика вертикальной нагрузки i-ro
пролета, определяемая по прил. 13.
Пример 11.10. Определить горизонтальную составляющую усилия в трех-
пролетиой нити [67]. Схема нити и ее загружение представлены на рис. 11.16;
<7<=2кН/м; <?2=4 кН/м. Площадь сечения нити 71 = 10 см2, модуль упругости мате-
риала Е=2-106 МПа. Начальная длина нити в первом и третьем пролетах Lt = L3 =
= 142,421 м, во втором пролете 7.2=100,667 м.
Рис. 11.16. Расчетная схема трехпролетной гибкой нити
Жесткость нити при растяжении ЕА =2-105-10=2-105 кН. Характеристики
нагрузки (по прил. 13): Di =ПЭ = ^/3/12=3,3- 10s кН2-м; £>2= (<?<+ <7г)2/3/12=
= 30-105 кН2-м.
Подставляя заданные значения величии в уравнение (11.72), получаем
И3 2 *о-- (1ОО-2,8284-1ОО+1ОО.2,828)+Я2((142,421 — 141,421)2,828 +
+ (100,667 —100,0) + (142,421 — 141,421)2,828) =	(3,3-106+30-105 + 3,3- 10s),
или
3,328 • 10“3 И3 + 6,323 Я2 — 18,31 • 106 = 0,
откуда И-=480 кН.
Приближенное решение по типу (11.70), в котором не учитывается разница
между начальной длиной нити Ео и расстоянием между опорами, т. е. при С = 0,
дает существенно завышенные значения Н. В данном примере при С, = 0 получено
// = 817 кН.
301
11.5.3. Свободные поперечные колебания гибких нитей
Поперечные колебания гибкой нити описываются функцией
у(х, t), график которой дает форму нити в любой фиксированный
момент времени t (рис. 11.17). Длина дуги отрезка нити Л1,Мг
в этот момент времени

При малых колебаниях нити (dy/dx)2 мало по сравнению с еди-
ницей, тогда	—Xi и, следовательно, натяжение нити не зависит
от координаты х, т. е. Т(х) =7’o=const.
В соответствии с принципом Д’Аламбера сумма проекций на ось у
всех сил, действующих на участке М1М2, включая силы инерции,
равна нулю:
— рА	g dx = О,
r dt2 )
откуда в связи с произвольностью интервала [xi, х2] следует
Го
d2y
dx2
-рА
д2У
dt2
= 0.
Полученное равенство представляет собой уравнение свободных
поперечных колебаний гибкой нити, т. е. волновое уравнение, которое
имеет следующую каноническую форму:
д2у 2 д2У
dt2 dx2
(11.73)
где ц2=Т'о/(рА); р — плотность материала нити; А — площадь
сечения нити.
Гибкая нить представляет собой систему с распределенной мас-
сой, имеющую бесконечное число степеней свободы, и характери-
Рис. 11.17. К задаче о поперечных колебаниях
гибкой нити
зуется бесконечно боль-
шим числом частот оц и
форм собственных колеба-
ний Xk(x).
Форма собственных
колебаний ХДх)—функ-
ция координаты х сечения
нити, описывающая ее
конфигурацию при гармо-
нических колебаниях с
частотой <?>/,. Эти колебания подчиняются закону [63], определяе-
мому решением уравнения (11.73):
у(х, t) =Хк(х)Тk(t),
302
где форма собственных колебаний есть функция
Xfe(x)=C*sin (tt>kx/a) -\-Dk cos (tt>kx/a) (11.74)
с постоянными Ck и Dk, зависящими от граничных условий, а функция
времени Тк описывается равенством
Tk=Ak sin (со^ + фа),
где амплитуда колебаний Ak и начальная фаза ф* определяются
из начальных условий.
Частоты и формы собственных колебаний нити с конкретным
закреплением концов находят из уравнения (11.74) при заданных
граничных условиях. Для нити с неподвижно закрепленными конца-
ми, согласно условию на левом конце ХДО) =0, значение постоянной
Dk = Q.
Из условия на правом конце ХД/)=0 получается равенство
Ck sin ((dkl/a) =0,
или частотное уравнение
sin (ак1/а) =0.
Корни этого уравнения представляют собой частоты (круговые)
собственных колебаний гибкой нити
<i>k = kna/l= (kn/l) x/То/(рА) ,	(11.75)
которые образуют бесконечный спектр частот wi<&>2< ...
Форма собственных колебаний в соответствии с (11.74) и (11.75)
определяется выражением
Xft(x)=Cfesin (knx/l),
где k — 1, 2, 3, ...
Первые три формы поперечных колебаний гибкой нити изобра-
жены на рис. 11.18.
11.5.4. Свободные поперечные колебания мембраны
Пластинка, толщина которой много меньше ее размеров в плане
и не сопротивляющаяся изгибу, называется мембраной.
В положении равновесия мембрана, равномерно натянутая на
контур, занимает в плоскости хОу область D (рис. 11.19), ограни-
ченную замкнутой кривой L. В любом сечении мембраны действует
одна и та же сила натяжения 7'=const.
Произвольный участок (и) мембраны, ограниченный до дефор-
мации плоской кривой I, после деформации представлен участком
(о/), ограниченным пространственной кривой Г.
Выражение для площади участка мембраны (со') в деформиро-
ванном состоянии содержит нелинейные члены, а именно квадраты
производных перемещений и?, иу. При рассмотрении малых колеба-
ний, когда перемещения и их производные малы по сравнению с еди-
зоз
ницей, нелинейными членами можно пренебречь. Тогда площадь
участка мембраны в деформированном состоянии будет приблизи-
тельно равна ее площади до деформации, т. е.
ю'= $$ Vl +u^-\-u‘ydxdy^ $$ dxdy = a>,
(ш)	(ш)
Рис. 11.19. Гибкая мембрана
Рис. 11.18. Первые три формы
поперечных колебаний гибкой нити
откуда следует, что любой участок мембраны в деформированном
состоянии находится под действием начальных сил натяжения Т.
На участок (о/) со стороны остальной части мембраны действуют
направленные по нормали к контуру I' равномерно распределенные
силы натяжения интенсивности Т, лежащие в касательной к по-
верхности мембраны плоскости, проходящей через точку М. На
элемент ds' дуги кривой Г действует сила натяжения Tds'.
Если провести секущую плоскость Р через вектор нормали п
к кривой I, то в деформированном состоянии мембраны эта плоскость
отсечет область (о/) по некоторой кривой. Вектор силы натяжения
Т будет касательным к этой кривой, так как он лежит в касательной
плоскости и в плоскости Р. Косинус угла, образованного вектором Т
с осью и, равен ди/дп, где п—направление внешней нормали
к кривой I.
Отсюда следует, что проекция на ось и сил натяжения, действу-
, ,	„	~ ди , ,
ющих на элемент ds контура I , равна 1 -^-ds , а проекция на
ось и всех сил натяжения, приложенных по всему контуру равна
интегралу Т j ds'.
При малых колебаниях, пренебрегая нелинейными членами,
можно принять, что ds' mds и в интеграле Z'«Z. Тогда на основании
формулы Грина проекция на ось и сил натяжения Т, действующих
304
на контуре I',
д2и
дх2
д2и
ду2
(11.76)
Пусть к мембране приложена распределенная периодическая
нагрузка р(х, у, t), направленная параллельно оси и. Ее равно-
действующая
F — р{х, у, t)dxdy.	(11.77)
(ш)
На основании принципа Д’Аламбера силы, определяемые (11.76),
(11.77), в любой момент времени t должны уравновешиваться силами
инерции на участке (<?>') мембраны:
Q= — И р(х, у) -^-dxdy,	(11.78)
J J	дг
( Ш )
где р (х, у) — поверхностная плотность мембраны.
Приравнивание нулю суммы сил (11.76) — (11.78) дает уравне-
ние движения мембраны:
И (т + -й-) +pU у- 0 -р(*> у) 4^) dxdy=Q-
(И)	У
Отсюда в силу произвольности площадки (<?>), а также непрерыв-
ности подынтегрального выражения дифференциальное уравнение
поперечных колебаний мембраны
. д2и ( д2и д2и \ .	,
р(*. У) ^72" =Ч~Н~2~ + *Т~2")	О-
дг \ дх ду /
Для однородной мембраны (р = const) это уравнение будет
иметь вид
д2и 2 ( д2и. . д2и\ ,	..
=а ТТ + ТТ +^х< У’ V’ (11.79)
дг \ дх ду /
где а= ^[Т/р, f(x, у, t) =р(х, у, /)/р.
Когда отсутствует внешняя нагрузка, т. е. р(х, у, t) =0, (11.79)
дает уравнение свободных колебаний мембраны — волновое урав-
нение
д2и ___ 2 ( d2u д2и \
dt2 а \ дх2 ду2 )
(11.80)
которое решают одним из известных методов при заданных началь-
ных и граничных условиях.
Пример 11.11. Исследовать свободные колебания прямоугольной мембраны
со сторонами cud, неподвижно закрепленной на контуре [74]. Задача сводится
к решению волнового уравнения (11.80) при граничных условиях (рис. 11.20):
и|ж=о=иЬ-с=О, u|s,=o = u|!(=d=O	(11.81)
305
и начальных условиях
и|1=о = <ро(х, у), —
= 4>|(х, у).
/ = 0
(11.82)
Частные решения уравнения (11.80) представим в виде
Рис. 11.20. К задаче о коле-
баниях неподвижно закреп-
ленной на контуре прямо-
угольной мембраны
и(х, у, t)=v(x, y)T(t).	(11.83)
После подстановки этого выражения в урав-
нение (11.80) получим равенство, правая и левая
части которого зависят только от своих аргументов
(правая — только от х, у, левая — только от /) и,
следовательно, являются постоянными. Обозначим
их через —k2:
T"(t) =	1	/ d2v	д2^ = _ 2
a2T(t) v(x,y) \ дх2	ду2)
Отсюда имеем два уравнения
T"(t)+a2k2T(t)=0	(11.84)
-Й-+-Й-+*2"=о	<н-85)
дх ду2
с граничными условиями в соответствии с (11.81)
о|х=о = п|«=с = 0, п|!,_о = п|!,=<; = 0.
(11.86)
Найдем собственные значения и собственные функции для граничной задачи
(11.85), (11.86). Для этого примем
v(x,y)=X(x)Y(y).	(11.87)
Подставляя это выражение в (11.85), получим два обыкновенных дифферен-
циальных уравнения
^(2}- +k2,X (х) =0,	+k22Y(y) =0,
dx2	dy
где постоянные k2 и k2 определяются из равенства
k2 = k2 + k22.	(11.88)
Общие решения полученных дифференциальных уравнений известны: Х(х) =
= Ci cos Л|х+С2 sin k,x; Y(у) =С3 cos k2y-\-Ct sin k2y, где постоянные определяются
из граничных условий (11.86): Х(0) =Х(с) =0; У(0) = T(d) =0. Отсюда следует,
что С, = Сз = 0.
Полагая С2=С4=1, получим
X(x)=sin£ix, Y (у) = sin k2y	(11.89)
и частотные уравнения
sin ktc = 0; sin k2d = 0.	(11.90)
Из этих уравнений вытекает, что k\ и k2 имеют бесчисленное множество значений:
kim = mn/c\ k2n — nn/d (т, п— 1, 2, ...).
Таким образом, для граничной задачи (11.85), (11.86), учитывая (11.88),
получим собственные значения
k2mn=k2m + k22n = л2 (т2/с2 + n2/d2),	(11.91)
которым в силу соотношений (11.87), (11.89) соответствуют собственные функции
vmn(х,у)= sin (тлх/с}sin (плу/d).	(11.92)
306
Обращаясь теперь к уравнению (11.84), видим, что для каждого собственного
значения k2—k2mn его общее решение
Т тп (О  Атп cos akm„t-\-Втп sin akmnt,	(11.93)
где Л™ и Втп — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий
(11.82).
Рис. 11.21. Узловые линии при различных формах колебаний мембраны
В результате частные решения (11.83) волнового уравнения (11.80) с учетом
(11.92), (11.93) имеют вид
итп(х, у, t) = (/!„,„ cos akmnt-rBm„ sin ak„„t) sin —-— sin	*
(m, n= 1, 2, 3,...).
Условиям (11.82) удовлетворяют:	sin <pm„; Bm„=Mmn COS (pmn. Тогда
решение можно записать в виде
,	,,	тпх . плу . . , , ,	.	,,, _..
и„,„(х. у, t) =Мтп sin —-— sin	 sin(aftm„/ + ip„,„).	(11.94)
При каждом значении т, п это выражение дает уравнение стоячей волны, когда
точки мембраны совершают гармоническое колебательное движение с частотой
<om„ = a^„„, = an(rn2/C24-n2/rf2)|/2, или с учетом (11.79)
alra„=ny/(T7pr("'7c2 + ^7rfT-	(11.95)
При колебаниях прямоугольной мембраны одной и той же частоте могут соот-
ветствовать несколько форм изменения поверхности мембраны с различными положе-
ниями узловых линий, т. е. линий, вдоль которых амплитуда колебаний равна нулю.
Проще всего это можно показать на примере квадратной мембраны с размерами
с=</=л. В этом случае в соответствии с (11.95) о>„,„ = и(т2+п2)1/2 Основной тон
колебаний по (11.94) при m = n=l
Uii = A1ii sin л sin у sin (<оц/+фп),
откуда следует, что узловые линии совпадают с краями мембраны (х=0, л; 1/ = 0, л).
Рассматривая другие формы колебаний, для т = 1, п — 2 или т = 2, п—1 из
(11.94) имеем два обертона
ui2=A1i2 sin х sin 2у sin (1012/4-4)12); u2i=M2i sin 2x sin у sin (<o2i/4-Ф21)
с одной и той'же частотой <012 = 0)21 =а но с разной формой изогнутой поверхности
мембраны. Узловые линии, при которых амплитуда колебаний равна нулю, определя-
ются для этих форм из уравнения
a sin х sin 2у Р sin 2х cos t/ = 0,
или a cos р4~Р cos х=0.
Из этого уравнения следует, что расположение узловых линий мембраны зависит
от коэффициентов а и р. Для некоторых простейших случаев (а = 0, Р = 0, а=—р,
а = Р) узловые линии показаны на рис. 11.21. Для других случаев, когда а, р=/=0
и а=/= ±Р, получаются более сложные линии.
307
12. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Методы оптимизации связаны с практическими задачами выбора
оптимального варианта из многих возможных вариантов рассматри-
ваемых объектов. Задачи такого рода возникают, например, при
оптимальном проектировании конструкций. Методы оптимизации
основаны на математическом программировании — математической
дисциплине, посвященной теории нахождения глобальных экстре-
мумов (максимумов или минимумов) некоторой функции многих
переменных, которая называется функцией цели.
Аргументы функции цели удовлетворяют некоторым условиям,
выражаемым в общем случае равенствами и неравенствами, которые
называются системой ограничений. Если функция цели задана явной
формулой и является при этом дифференцируемой, для исследования
ее свойств (определения направлений возрастания и убывания,
поиска точек локального экстремума) может быть использована
производная. Если же она получается в результате сложных расчетов
или эксперимента, используют численные методы оптимизации.
12.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
12.1.1. Задачи линейного программирования
Линейным называется математическое программирование, свя-
занное с определением глобальных экстремумов линейных функций
цели при линейной системе ограничений.
Область возможного изменения аргументов функции цели, опре-
деляемая системой ограничений, называется областью допустимых
значений аргументов. В случае линейного программирования
областью допустимых значений аргументов будет: при двух аргу-
ментах — выпуклый многоугольник; при трех аргументах — выпук-
лый многогранник; при количестве аргументов п> 3 — выпуклый
гипермногогранник (по аналогии с п=2 и п = 3).
В математическом программировании глобальный экстремум
функции цели может быть внутри или на границе области допустимых
значений аргументов. В случае линейного программирования, если
глобальный экстремум существует, он имеет место только в вершинах
многоугольника, многогранника или гипермногогранника.
Общая формулировка задачи линейного программирования
в канонической форме имеет вид: требуется найти глобальный
308
минимум линейной функции п аргументов (функции цели)
f=A>+ Z CiXi
i=l
(12.1)
при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют следующей
совместной (непротиворечивой) неопределенной системе линейных
алгебраических уравнений
621 1X1 + <212X2 + ... -j-ainXn — bii
fl2|X| + 022X2 + —+ ащХп = Ь2\
OmlXl -\-O,mzX2-\- amnXn — bm,
(12.2)
ранг матрицы которой г<п при естественных ограничениях х,^0.
При этом считается, что все Неизвестные нумеруются так,
чтобы свободными неизвестными были первые р = п — г неизвестных.
Тогда из (12.2) остальные г неизвестных (г=п—р), называемых
базисными,
хР4-| = Pi +anxi 4-0612X2+ ...-j-aipXp',
Хр4-2= Р2 + 0С21Х1 + 6X22X2 + ... + 6Х2рХр;
(12.3)
Хр+г=0Г+амХ! + аг2х2+... + агрхр.
Система уравнений (12.3) называется базисной формой системы
ограничений. При замене в (12.1) базисных неизвестных выраже-
ниями (12.3) функция цели
F=Fo+ I djXj.
i=i
(12.4)
Формулировка задачи линейного программирования в виде
(12.2), (12.4) называется базисной.
Упорядоченная совокупность п величин (xi, хг,... , х„), удовле-
творяющая системе ограничений (12.2) или (12.3), называется
допустимым решением или планом. Допустимое решение (план),
в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется
допустимым базисным решением или опорным планом.
Упорядоченная совокупность п величин (хь хг,... , х„), удовле-
творяющая системе ограничений (12.2) или (12.3) и дающая гло-
бальный минимум функции цели (12.1) или (12.4), называется
оптимальным решением (оптимальным планом). Оптимальный план,
если он существует, принадлежит множеству опорных планов.
12.1.2. Симплекс-метод
Метод направленного перебора опорных планов, при котором
функция цели все время уменьшается, называется симплекс-методом.
309
В целом при п аргументах функции цели нужно провести не более
2м переборов планов. Алгоритм применения симплекс-метода состоит
в следующем.
1.	Систему ограничений вида (12.2) приводят к базисной форме
по правилам линейной алгебры.
2.	Полагая в базисной системе уравнений все свободные неиз-
вестные равными нулю, находят значения базисных неизвестных.
Если эти значения не отрицательны, исходный первый план является
опорным. В противном случае выбирают другие свободные неиз-
вестные таким образом, чтобы исходный план был опорным.
3.	В функции цели базисные неизвестные заменяют их выраже-
ниями из базисной системы уравнений.
4.	Полагая в найденном выражении для функции цели все
свободные неизвестные равными нулю, находят значение этой функ-
ции, соответствующее выбранному опорному плану.
5.	Если все коэффициенты при свободных неизвестных в функции
цели не отрицательны, найденный опорный план является оптималь-
ным, а соответствующее значение функции цели будет ее искомым
глобальным минимумом.
6.	Если среди коэффициентов при свободных неизвестных ока-
жутся отрицательные, нужно выбрать свободную неизвестную
с отрицательным коэффициентом, например ха (обычно это неиз-
вестная с максимальным по модулю отрицательным коэффициен-
том), и приравнять нулю в базисной системе уравнений все свобод-
ные неизвестные, кроме ха. Определяют максимально возможное
значение ха, при котором все базисные неизвестные неотрицательны.
7.	Базисную неизвестную, например хр, которая обращается
в нуль при найденном выше значении ха, выбирают в качестве сво-
бодной неизвестной, а х„ переводят в разряд базисных.
8.	Цикл расчетов по пунктам 3—7 повторяют до тех пор, пока
опорный план не станет оптимальным, т. е. когда все коэффициенты
при свободных неизвестных в функции цели будут положительны.
Изложенный алгоритм симплекс-метода состоит в последователь-
ном решении систем линейных алгебраических уравнений. Простота
его делает этот метод весьма удобным для реализации на ЭВМ.
Пример 12.1. Найти с помощью симплекс-метода оптимальную массу плоской
фермы при выполнении условий прочности [71J. Статически неопределимая шарнирно-
стержневая система (ферма) загружена силой F (рис. 12.1). Необходимо выбрать
Рис. 12.1. Статически неопределимая ферма
310
площади поперечных сечеиий стержней А, таким образом, чтобы общая масса М
фермы была минимальной. Длина стержней: /| =6,3246 м; /2 = 6,03 м; /з=12м;
/4 = 2,6м (ЙС=2м, С£> = 0,6м).
Масса фермы — функция цели
/И = р( 12,6492/114- 12,06Л2+ 12Лз + 2,6/14).	(12.5)
В (12.5) р — плотность материала стержней.
Систему ограничений составим по условиям прочности. Требуется, чтобы во всех
стержнях фермы напряжения по абсолютной величине не превосходили расчетного
сопротивления материала стержней R, одинакового на растяжение и сжатие:
1М/АКЛ
Следовательно, система ограничений представляется в виде двух неравенств
М4-/?Л>0; — М4-ЯЛ>0,
(12.6)
где N, — усилия в стержнях фермы.
Исходя из условий равновесия для узлов фермы, получим три независимых
уравнения с четырьмя неизвестными;
М, = —1,5812Л4—1.5812F; /V2= — 5.025Л4; Л'з=6,5Л'44- 1.5Л
Подставляя эти выражения в неравенства (12.6), получаем систему неравенств
у1= — 1,5812Л/4— l,5812F-h/?4i>0;
У2 = 1,5812N, 4-1,5812F4- RA, > 0;
— 5.025Л44~ RA2>0; у4 == 5.025Л44"RA2 -40;
</5 = 6,5Л44- 1.5Е4-/?Л3>0;
Уъ = — 6,5Л'4 - 1,5F4- RA з > 0;
у? = Л44"RA44?0; z/е——Л/ Л*/! 4 4-0 -
(12.7)
От (12.7) переходим к системе уравнений, вводя дополнительные неизвестные
//. (/=1.2,.8):
у,— /М.4-1,5812Л'4 = -1.5812Е; yz — RAx- 1,5812Л4= 1.5812F;
уз — RA 2 4- 5.025/V4 = 0; у4 — RA 2 — 5,025Л'4 = 0;
уз - RA з - 6,5Л4 = 1 ,5й; уз, - RA 3 4- 6,5Л'4 = -1,5E;
уу — RA4 — Л/4 = 0; уз — RA4 4”N4 = 0.
(12.8)
Постановка задачи линейного программирования: найти минимум функции цели
М при ограничениях (12.8) на ее аргументы (и естественных ограничениях «/.->0,
Л>0).
Найдем первый опорный план. Ранг матрицы системы (12.8) г = 8, следовательно,
пять неизвестных будут свободными, а восемь — базисными. За свободные неиз-
вестные принимаем Ах, А2, Аз, А4, Na. Уравнения (12.8) представим в виде табл. 12.1,
в последней строке которой записано выражение для целевой функции через свобод-
ные неизвестные.
Если полученное из первого уравнения (первая строка табл. 12.1) значение
Nt= (1/1,5812) (/?Д| — ух) — F подставить в остальные уравнения табл. 12.1, придем
к системе уравнений, записанной в виде табл. 12.2. Число уравнений и число базисных
неизвестных сократилось на единицу, так как переменная у\ из разряда базисных
перешла в разряд свободных.
Если в полученной системе уравнений (табл. 12.2) все свободные неизвестные
принять равными нулю, получим первый план
А। А2 Лз А4 ух у2 Уз Уа Уз Уз У1 Ув
(0, 0, 0, О, О, 0, 5.025Л -5.025Е, — 5й, 5F, — F, F),
в котором некоторые базисные неизвестные (у4, уъ, yi) имеют отрицательные коэффи-
циенты. Следовательно, этот план не является опорным. Поэтому переводом
311
Табл. 12.1. Исходная система уравнений (12.8)
	А,	As	А	А	1 1 |	Л/.	| 	1	Правая часть ур авнения
							
У>	R					— 1,5812 1	— 1,5812F
						1	
У2	R				1	1,5812	1,5812F
Уз		R			1	-5,025	|	0
У*		R			1	5,025	|	0
Уз			R		1	6,5	1	1,5F
Уз			R		1 1	— 6,5	!	-1.5F
У1				R	1	1	1	0
Уз				R	1	-1	1 1	0
М	12,6492	12,06	12	2,6		0	0
Табл. 12.2. Первая операция поиска опорного плана
	А' 		* i	Аз	а4	!/|	Правая часть уравнения
У*	2R				— 1	0
	5,0257?				5,025	
Уз	1,5812	*	1			1,5812	5,025/-'
		h	-L				
	5,0257?				5,025	
У<	1,5812	R			1,5812	— 5.025/
	-	к	1-				
	6,57?	1			6,5	
Уз	1,5812		R		1,5812	— 5F
	6,57?	j			6,5	
Уз	1,5812		R		1,5812	5F
	7?				1	
У7	1,5812			R	1,5812	— F
	7?				1	
Уз	1,5812	1 1		R	1,5812	F
м	12,6492	12,06	12	2,6	0	0
базисную переменную yt в разряд свободных, а свободную переменную Аз — в разряд
базисных (в табл. 12.2 выделено штриховыми линиями). Получим систему уравнений
в виде табл. 12.3 и план
Л У* Аз А, у, уз уз Аз уз уз yi уз
(О, 0, 0, 0, 0, 0, 10.05F, 5,025-jj, — 5F, 5F, — F, F),
R
в котором также имеются базисные неизвестные с отрицательными коэффициентами —
1/5 и i/т. Следовательно, и этот план также не является опорным. Переменную уз пере-
водим в разряд свободных, а свободную переменную Ai — в разряд базисных. В ре-
зультате получим систему уравнений (табл. 12.4) с планом
уз У а Аз At yi уз Уз Аз /1, t/е yi у»
(0,0, 0, 0, О, l5’~ F, 2.319F, 1.16F, 1,216^-, 0, —0,23F, 0.23F),
6,5	К
312
который также не является опорным, так как содержит базисную переменную yi
с отрицательным коэффициентом. Эту переменную переводим в разряд свободных,
а свободную переменную At — в разряд базисных. Соответствующая система уравне-
ний представлена в табл. 12.5. Полученный теперь план
Уз ytAsy? yi уг уз Аг Ai	уе At у»
(О, 0, 0, 0, 0,	— g8512	F, 2,3197,	1,16-^-,	1,216-^,	0, 0,23-^,	0,467)
Табл. 12.3. Вторая операция поиска опорного плана
	А,	У 4	Аз	А4	yt	Правая часть уравнения
У2 Уз /1г	2R _ 10,05/? 1,5812 _ 5,025 1,5812	— 1 ]	10,05 1,5812 1	5,025 /?	1,5812	0 10,057 5,025-4 *\
Уз Уз У7 Уз	6,5/? 1,5812 _ 6,5/? 1,5812 /? 1,5812 _ /? 1,5812	/? - 6-5 1,5812 Г /? 1,5812 о	L_ 1,5812 /?	—1	 1,5812	— 5F 5F —F F
М	— 25,6771 		12,06	ос	38,3263 /? 12 2’6 /?	60,6015F R
Табл. 12.4. Третья операция поиска опорного плана
	Уз	у.	Аз	А.	У,	Правая часть уравнения
У2 Уз Аг Д| Уз У? Уз	3,1624	3,1624/? 6,5	6,5 _ 10,05	10,05/? 6,5	6,5 _ 5,025	1	5,025 6,5/?	R	6,5 1,5812	1,5812 6,5/?	6,5 — 1	2/? 1 _ /? 6,5	6,5 	1	R 6,5	6,5	г R	1 R	15,8127 6,5 2,31927’ 1,1596-4 А 1,2163 4- А 0 — 0,2308Г 0.2308F
М	_ 6^62	_12^ A	R	2,6	12,6492 R	29,37057' R
313
Табл. 12.5. Первый опорный план
	У*	44	Лз	у,	у,	Правая часть уравнения
У? Уз А2 Д, Уб а4 Уз	| 3,1624 1	6,5 1	10,05 I 6,5 5,025 | ~657? | 1,5812 1	6,57? |	-1 1	—1 1	 | 1 1 I- — 6,5	3,16247? 6,5 10,057? 6.5 1	5,025 7?	6,5 _ 1,5812	1 6,5	7? 27? 1	1 6,5	7? 1 65	15.812/7 6,5 2,3192т7 1,1596 4 1,2163 4 R 0 о-23 4 °'4б4
М	j 6,6462 1 R	-1^-	18,6462	1_2,6492 R	R	R	29,97Об/7 7?
Табл. 12.6. Оптимальный план			
	Уз	У<	Аз	Уз	III		Правая часть уравнения
Уг Уз 71г А, Уз А< Уз	3,1624 6,5 10,05 6,5 5,025 6,57? 	 1,5812 6,57? — 1	27? 1 6,57? 2 ’ey		15.812/7 6,5 2,3192 Т7 1,159б4 R 1,2163 4 R 0 0,2308-4 R 0,4616F
М	6,6462	12,06	г	2,6	12,6492 7?	7?	5’3538	7?	7?		29,9706т7 7?
является опорным, но не оптимальным, так как в функции цели (последняя строка
табл. 12.5) коэффициент при у5 отрицателен. Эту свободную переменную переводим
в разряд базисных, а переменную уъ — в разряд свободных (отмечено штриховыми
линиями в табл. 12.5). В результате получим систему уравнений, приведенную
в табл. 12.6, с оптимальным планом
314
Уъ	Ул /1з У1	У:	у? уз	Л,	t/5 Аз уъ
(О,	О, О, О,	О,	la’8e12	F, 2.32F.	1,16-£-. 1,216-^-,	О,	0,23—,	0.46F).
6,5	R R	R
Отсюда следует, что площади поперечных сечений стержней заданной фермы
при минимальной ее массе должны быть А, = 1.2163F/F; А>= 1,1596F/F; Лз = 0,
?14 = 0,2308F/F, a Mmin = 29,97Fp/7?.
12.2.	НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
12.2.1.	Задачи нелинейного программирования
Математическое программирование называется нелинейным,
если функция цели и система ограничений нелинейно зависят от
аргументов.
Все задачи нелинейного программирования можно разделить
на следующие группы: задачи без системы ограничений; задачи
с системой ограничений, выраженной равенствами; задачи с систе-
мой ограничений, выраженной неравенствами либо равенствами
и неравенствами.
Ограничения в форме неравенств с помощью введений"дополни-
тельных неизвестных можно привести к равенствам, поэтому обычно
рассматриваются только первые две задачи.
Среди задач нелинейного программирования важное место зани-
мают задачи выпуклого программирования, когда локальный экстре-
мум функции цели является одновременно и глобальным экстре-
мумом.
Наиболее распространенными являются два метода решения
задач нелинейного математического программирования без системы
ограничений: методы наискорейшего и покоординатного спуска.
12.2.2.	Метод наискорейшего спуска (градиентный метод)
Метод М, (xi, tj\, Z]) —некоторая точка области существования
функции f(x,y,z), минимум которой требуется найти. Градиентом
этой функции в точке Mi является вектор с проекциями на оси
координат в виде частных производных, вычисляемых в точке Мг.
'У С	'yf	д С
(Mi),	(Mi),	(Mi). Этот вектор указывает направление
максимального роста функции f(x, у, z) в точке Мь Луч с началом
в точке Mi, целиком лежащий в области существования функции
f(x, у, z) и направленный противоположно вектору-градиенту, имеет
следующие координаты точек:
х=х, —Z^(Mi); y=yi — t-^ (Mi); z=Z\ — t-^-(M\),
дх	ду	dz
где /^0.
315
Функция f(x, у, z) в точках этого луча будет сложной функцией
одного аргумента t:
Чтобы найти минимум этой функции, нужно получить корни
уравнения cp'(t) =0. Если Л —один из этих корней, можно перейти
от точки 7И1 к точке М2 с координатами
х2=Х1 —(МО; y2=yi-ti (Mi); z2 = zi-tI(М,).
Далее за исходную принимают точку М2 и аналогично находят
точку Мз, затем М4, М5,... , Мп. При достаточно большом п точка Мп
будет близка к точке искомого минимума функции f(x, у, z).
12.2.3.	Метод покоординатного спуска (релаксационный метод)
В этом методе вместо градиента рассматривается вектор, колли-
неарный той из осей координат, которая соответствует максимальной
по модулю частной производной функции f(x, у, z). Например, если
О г
максимальной по модулю производной является — (М|), функ-
(71/
ция f(x,y,z) в точках луча, направленного противоположно этому
вектору, будет сложной функцией /^0:
'	Лf
(Л41)’ z'
Чтобы найти максимум этой функции, осуществляется переход
(спуск) от точки Mi к другим точкам в направлении, противополож-
ном положительному направлению оси у.
При первом спуске от точки ЛЕ к точке М2 последняя будет иметь
координаты:
%2 = Х1

Z2 = Z1-
Далее точку Л12 принимают за исходную и осуществляют спуск
к точке М3 и т. д., как в методе наискорейшего спуска.
12.2.4.	Метод множителей Лагранжа
Метод множителей Лагранжа применяют для решения задач
нелинейного программирования при наличии системы ограничений,
выраженных равенствами.
Пусть требуется найти экстремум функции f(x,y,z) при двух,
условиях:
Fi(x, у, z) =0,	F2(x,y, z)=0.	(12.9)
316
(12.11)
В силу этих условий переменные у и z можно рассматривать
как неявные функции аргумента х. В точке Л40(х0, уо, z0) возможного
экстремума функции f (х, у, z) ее полный дифференциал равен нулю:
df (Мо) = -%- (M0)dx+	(M0)dy+ -У- (Mo)dz=O.(12.1O)
Дифференцирование условий (12.9) дает
dF.(M0) =	(M0)dx+	(M0)dy+	(Mo)dz=O;
dF2(M0) =	{M»)dx+	(M0)dy+	(M0)dz=Q.
Выражения (12.11) умножают на некоторые постоянные Хь Хг
и полученные результаты прибавляют к (12.10):
dO(M0) = -^5- (M0)dx+	(M0)dy+ (Mo)dz=O, (12.12)
С/Л	С/ у	U &
где <D = f+XiFi + X2F2 — функция Лагранжа для f(x, у, z) и условий
(12.9).
Постоянные Xi и Хг в (12.12) называются множителями Лагранжа
и выбираются так, что (Мо) =0,	— (Af0) =0.
У дФ
Тогда в силу (12.11) и условия dz=#0 (Мо) =0.
Следовательно, необходимые условия существования экстремума
функции f(x,y,z) при учете (12.9) имеют вид
w =°;	=0’	<м°) =0’ (1213>
С/ Л*	С/ у
что соответствует нахождению безусловного экстремума функции
Лагранжа Ф(х, у, z).
Пример 12.2. Определить условия экстремума функции Лагранжа при на-
хождении оптимального объема элемента стержневой конструкции, площадь которого
А зависит от некоторой функции проектирования у=у(х), а^х^Ь, на которую
наложено дополнительное ограничение
ь
J G(x, y(x))dx = C=t=cx>nst,
а
где G(x, у(х)) —кусочно-непрерывная функция аргумента х и функции проектиро-
вания у(х) ; а и b — размеры элемента.
Задачу оптимизации объема V элемента можно сформулировать следующим
образом:	ь
V= J А (лг, у(х) )rfx-*-min;
(12.14)
ь
J G(x, y(x)) dx — C.
(12.15)
317
Для решения задачи (12.14), (12.15) применим метод множителей Лагранжа.
Функция Лагранжа
ь
Ф = J (Л+л(О — C/(b— a)})dx.
а
Необходимые условия экстремума этой функции:
Д(Д-Глб) о d(4 + W) р
дх	’ ду
Отсюда определяется у(х) и затем с помощью (12.15) — множитель
Пример 12.3. Найти оптимальную форму поперечного сечения балки при
условии, что в заданном сечении ее прогиб равен допустимому и'о. Балка, свободно
опертая на концах, загружена произвольной нагрузкой.
Оптимальную форму сечения будем определять исходя из минимального объема
балки. Считаем, что площадь поперечного сечения балки А и момент инерции сечения 1
заданы выражениями:
А (х, у(х)) = Siy"(x); l(x, у(х)) = S2i/'(x).	(12.16)
В (12.16)	I — длина балки; Si, S2, n, k— некоторые постоянные
величины. Например, для балки прямоугольного сечения высотой Л(х) = у(х) имеем
A = bh(x), I = bh3(x)/12 при ширине сечения Ь.
Пусть М — изгибающий момент в балке от заданной нагрузки, ЛЛ — момент
от единичной силы, приложенной в сечении х. В соответствии с формулой Мора
Функция Лагранжа принимает вид
/
Ф = (/l-pXfG/y*— д'н/((? — a)))dx,
о
или
I
Ф= J (Sly"(x)-^(MMi/(ES-2yk(x))~^/(b-a)))dx.
о
Искомую функцию изменения высоты сечения балки у(х) найдем из условия
дФ/ду = О.
Производная <5Ф/<5х = О, так как определенный интеграл берется по х и после
интегрирования функция Ф от х не зависит. Следовательно,
= nSty" 1 (х)
ду
KkkMMi
£W+IU)
откуда y(x)=x'd-n+k\kMMl/(EnSlS2))'n"+'d.
I
Подставив это значение у(х) в соотношение J (MA/i/(£S2y"))rfx = Wo, найдем:
о
i
С	MMidx
J ES^k/",+k> (MMlk/(EnSlS?))Wn+V =W°’
xw.+4=	----- J= \ (MMi)k'^k>dx
W0kk,{n + k)ES;	J
0
318
и, следовательно.
J^-,'>/'‘(EnStS2/k)
~	(ES2w0){"+^11
Таким образом, функция у(х), определяющая оптимальную форму сечения
балки, будет иметь внд
, .	,-W EnSlS2\‘^+l’U kMM,
р(х)=/ (£S2w„) '(——)	^—nSlS~) 
или у(л) = (//(£52Шо))|/‘(Л1Л1|)1/1''+‘).
12.3.	ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
12.3.1. Основные понятия
По сравнению с другими методами оптимизации геометрическое
программирование имеет следующие преимущества: а) метод выяв-
ляет достаточно полную картину сравнительной значимости раз-
личных параметров задачи; б) при наличии ограничений он более
других приспособлен к ЭВМ; в) метод тесно связан с инженерной
сутью задачи.
Основное требование метода состоит в том, чтобы все технические
характеристики были выражены количественно в виде обобщенных
положительных полиномов (позиномов) от регулируемых парамет-
ров, т. е. в виде функций специального класса
ч
g(t) =щ+и2 + ...+и„= £ С^‘ - tj4 - С
1 = 1
где С,<>0— постоянные коэффициенты; а(/— вещественные числа;
/;>0 — искомые переменные; т — число переменных.
Указанное свойство функций позволяет эффективно использовать
среднее геометрическое и такие геометрические понятия, как вектор-
ные пространства, подпространства, ортогональность и нормализа-
ция. В этой связи метод назван геометрическим программированием
[24].
Для решения задачи минимизации позинома используется геоме-
трическое неравенство, согласно которому арифметическое среднее
не меньше геометрического среднего. Например, (1/2)ui -ф (1/2)u2^
н2 , где и\ и и2 — неотрицательные числа; или (1/4)щ-|-
-ф (3/4)w2>i/1/4U2/4-
Одной из особенностей геометрического программирования
является то, что находят не величину А, которая дает минимум или
максимум целевой функции g(z), а ее натуральный логарифм, т. е.
г = 1пЛ. Вследствие этого функция g(z) с положительными коэф-
фициентами С, всегда будет выпуклой функцией z. Выпуклость
является важнейшим свойством функции g(z), так как позволяет
однозначно отождествлять стационарную точку с точкой минимума.
319
12.3.2. Прямая задача геометрического программирования
Прямая задача геометрического программирования формули-
руется следующим образом: найти минимум функции цели
£«(/)=£ П<Ча' (/=1,2, ...,т)
<=1 /
при ограничениях
«л
^1(0= Z
< = Чо+ I
IW<1;
gk(t)= t
t==<7fc-i	/
k
Здесь k — количество ограничений; п= £ qi— общее число
1 = 0
функций и, в задаче; q — количество членов в одной функции щ.
Для решения этой задачи имеется схема, называемая двойствен-
ной. Требуется найти
k
П
max ц(б) =
(12.17)
при ограничениях
Ч»
Z 6, = 1; б(>0; [а17] [б.] = 0,
<=1
(12:1кг
где [«,,] — матрица показателей; [б,] — двойственный вектор, т. е.
вектор, компоненты которого — двойственные переменные; X; =
<?<
= Z & (сумма по числу членов в каждой функции ограничений).
<=1
Двойственные переменные б,- связаны с переменными прямой
задачи следующими соотношениями:
^>i=Ui/g0(t) для Z= 1, 2, ... , q0; ?>i = 'kiUi для < = <?о + 1,	, п. (12.19)
При правильной формулировке задачи решение ее заключается
в определении двойственного вектора [б,]. В общем случае
[б,] =fr(0)+ Z
s= 1
(12.20)
где d=n — т—1 —степень.трудности задачи; &(0) — вектор норма-
лизации, удовлетворяющий условиям нормализации и ортогональ-
320
ности; fr(s) — векторы невязки, представляющие собой линейно
независимые решения условий ортогональности; rs — базисные пе-
ременные — произвольные вещественные числа, удовлетворяющие
условиям неотрицательности (12.20).
Решаемая задача может быть двух типов. Если d = 0, это будет
элементарно решаемая задача нулевой степени трудности. Для задач
такого рода [6<] = &(0). Вектор [6,-] определяют из решения системы
уравнений
Л[6,]=£,	(12.21)
*
где А — квадратная матрица порядка т + 1, первые т строк кото-
рой— матрица показателей (12.18), элементы_ последней строки
для qo равны единице, а остальные — нулю; Е — вектор, нижний
элемент которого равен единице, а остальные — нулю.
При d> 0 трудность решения заключается в том, что оно уже не
будет единственным, так как является не вектором, а пространст-
вом, в котором находится оптимальный вектор. Практически задача
сводится к определению базисных переменных из системы нели-
нейных уравнений
А д«>	? -А >.<•> х -А i<51
П ^ = ( П (г)) П V' (О-
»=1	1=1	/=1
П р им ер 12.4. Определить минимальный объем сборного железобетонного
перекрытия, состоящего из балок и плит, загруженного равномерно распреде-
ленной нагрузкой интенсивности q (рис. 12.2). Балки расположены вдоль короткого
пролета. По ним уложен настил из плит, работающих на изгиб как балки пролетом а.
Допустимые напряжения для плит и балок одинаковы и равны Oadm. Требуется
определить минимальный объем перекрытия исходя из условий прочности по макси-
мальному изгибающему моменту в середине пролета плит и балок.
За функцию цели принимаем объем перекрытия
g0=Llh+BHLN,
где N — количество балок (две крайние принимаются за одну), остальные обозна-
чения приняты по рис. 12.2.
Рис. 12.2. Сборное железобетонное перекрытие:
а— схема перекрытия; б — сечение по балке
При соотношении между шириной и высотой поперечного сечения балок В = а.Н,
где а<1, объем перекрытия
go = Llh + abPLN = и i + и%.
11. Зак. 1810
321
Ограничения по прочности: для плит о(,йт^Л1||Л/1Г1и1, где Mnjl = qnjIa2/8, a = l/N,
q™ = qL, Wnlt = Lh2/6, т. e. oadm^3?/2/(4/z2A2); для балок oadm > Мс/ W6, где M6 =
= </6£2/8, q^ — ql/N, Wr = BH2/6 = aH3/&, т. e. oodm>3?/£2/(4Aa//3).
Запишем формулировку задачи в терминах геометрического программирования.
Требуется найти минимум функции цели
min go(0 = С|Ч + С2фз
(ti—h, t2 = H, t3 = N—переменные, a Ci = £/, С? = а£—постоянные) при ограни-
чениях
q,(t) =Сз^2(з2 = ил, §2(() = С^23^' = ui,
где Сз = 3^/2/(4оай„), Ci—3qlL2/ (4aoodm) —постоянные.
Здесь число переменных т = 3, а число функций задачи п = 4. Следовательно,
степень трудности задачи rf = 4 — 3—1=0. Число функций, входящих в go(O. две.
Число ограничений £ = 2.
Для определения двойственного вектора [6,] используем уравнения (12.21):
Определяем постоянные С, = 10-20=200; Сз = 3-500-202/(4-106) =0,15; С2 =
= 0,3-10 = 3; £/ = 3-500-20-102/(4-0,3-106) =2,5 и находим минимальный объем
перекрытия, используя выражение (12.17):
min go(0 =max ц(б) = 18,763.
Для определения переменных (высоты плиты h = tx, высоты балки Н = 12ч коли-
чества балок (V = /s) используем соотношения (12.19) и (12.22):
п„. Clt'	,	0,25-18,763 nno„,.
°’25= Л8Ж ’ ОТКуда 6 =---------200----=0’°235 М:
для определения t3— второе выражение из (12.19):
0,125 = 0,125С3/Г^Г2, откуда t3=	= ^’*5 = 16,48.
Il	v,vZOO
Так как t3=N — целое число, принимаем Л'=17.
Значение 6 определяем из первого выражения (12.19):
0,75 = C2t22t3/18,763, откуда £> = 70,75-18,763/(3-17) =0,525 м.
По условиям прочности уточним высоту плиты
h= у'Зг//2/(4aodm№) = д/3-500-207(4-106-172) =0,0228 м,
а также высоту балки
Н = ^3qlL2/(4oadmaN) =73-500-20- 102/(4-Ю6Й0,3-17) =0,5278 м.
Рассмотренный пример является всего лишь элементарной иллюстрацией
применения метода геометрического программирования к задачам оптимального
проектирования. Аппарат этого метода позволяет решать широкий круг задач не
только строительной механики и проектирования конструкций, но и многих задач
технологических, управления производством и др. Главное достоинство метода —
оперативное получение результатов на базе применения вычислительной техники.
322
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Реакции балок постоянного сечения при воздействии внешних сил,
неравномерной осадке опор и неравномерном нагреве
323
Окончание прил. I
J
Mpuv2Ft	M = iA/Fl
А	о
R = V2(t+2u]F	R - uZ(1+2v)F
A	В
Неравномерный нагрев
Тг
^ = /?в =О
h - высота сечении
324
2. К определению изгибающих и крутящих моментов в конечном элементе
прямоугольной плиты через перемещения его узлов
S=Nv, где S'= [Af‘, Afl AfJ Мх М‘у М'у Мк М‘у Мху] —вектор усилий (положительные направле-
ния усилий показаны на рисунке);
dZi	dZt 7 dZj	dZj 7 dZk	dZk dZt	dZil
L ‘ dx	dy 1 dx	dy k dx	dy	‘ dx	dy J
— вектор перемещений узлов элемента; N — матрица усилий для конечного элемента:
	Dxx	2Dxa	2Dvk	3Dxa	Dxa	0	0	0	0	3DVb b~	0	Dvb
				a								
	3Dxa а	— Dxa	0	Dxx	— 2Dxa	2Dvb	3DVb b~	0	D„b	0	0	0
	0	0	0	3Dy/b b~	0	— DVb	Dxv	— 2Dxa	— 2Dxb		3Dxa a	~Dka	0
	3£)vfe b~	0	— D„b	0	0	0	_ 3Dxa a	Dxa	0	Dxv	2Dxa	— 2Dxb
N =	Dyv	2Dxa	2Dyb	— 3£)vq a	Dva	0	0	0	0	3Dyb b~	0	Dyb
	_ 3DVO a	— Dva	0	Dyx	—2DVU	2Dyb	3Dyb b~	0	Dyb	0	0	0
	0	0	0	3Dyb b	0	— Dyb	Dy„	— 2Dxa	— 2Dyb	— 3£)vo a	— Dva	0
	3Dyb b	0	— Dyb	0	0	0	_ 3n™ a	Dva	0	Dyv	2Dva	— 2Dyb
	_ RDka b	— Dhb	— Dka	3Dka	— Dm>	Dka	8Dka b	Dkb	Dka	3Dka ~b~	Dkb	Dka
3. Матрица реакций упругого основания для прямоугольного конечного элемента плиты
1727	461а	4616	1 613	137а	1996	|	197	29а	296	|	613	199а	1376
2520	5040	5040	1 2520	2520	5040 I	2520	1260	1260	I 2520	5040	2520
	а2	ab	137а	а2	-аб ।	29а	а2	аб	199а	а2	аб
	63	“80“	1 2520	84	120	1260	168	180	1	5040	126	120
		Ь2	I 1996	аб	62	।	296	аб	б2	1 1376	ab	б2
		63	1 5040	120	126	1	1260	180	168	1 2520	120	84
1724	461ц	4616	613	_ 199а	1376	197	29а	296
2520	~ 5040	5040	2520	5040	2520	2520	1260	1260
	а2	аб	__ 199а	а2	аб	29а	а2	аб
	63	80"~	5040	126	Т2СГ	1260	163	180
		б2	1376	аб	б2	296	аб	б2
		63	2520	~ 120	84	1260	180	168
р=
1 1 |	1 1 1	1727 2520	461а ~ 5040 а2	_ 4616 5040 аб	613 2520 _ 137а	137а 2520 а2	1996 5040 аб
1 1 	1					1 1 ~ 1		63	~~80~ б2 63	2520 _ 1996 5040	84 аб — 120“	120 б2 126
1 (Симметрично)	1 1	1 1 1 1				1727 2520	461а 5040 а2 63	_ 4616 5040 аб 80"~ б2 63
Общий множитель kab/b.
4. Элементы матрицы жесткости конечного элемента плиты
в форме прямоугольного треугольника (см. рис. 6.15)
6mDx , 6D„ , 12DV , 12Dt
fH = —2--1---IT ----------•
a mb ab ab
mDt	Dy	2£)v	,	2£>t
H2=------1--J- H-----1--\
a	mb	b	b
m2Dx	Dy	2DV	,	2Dt
ri3== —IT + ~mb + ~ +	’
_ 6mc2Px _ 6c2Py _ 12c2Ov _ 12c2Ot
Ги	a2	mb2 ab	ab
r,5 =(1 + c2) +-—+-£— (1 + 2c2) +-—~-
a	mb b	b
Пб =
2)
a mb
^(l+2c2)-^^
a	a
4mcDx , 4c£>« 8cDv 8cDk
____I _______ _L_ _____ _1_ ———
'17-	Г 21.	i 1	.	’
a mb fi b
6ms2Dx Gs2Dy 12s2Dv l2s2Dk
Г18= —
	У_
a2	mb2 ab	ab
ri9= -	(1+s2) -	(1 + 2s2) -
a	mob
rt 10=	(1 +s2) +	(1 +2s2) +
a mb	a
„ , Dy , 2Dk	m2Dx	Dy
Г22 = тО«+ —; r23=------------------г—г +'
3m3 3m	6	6m
mDx ,, 2x 2c2Dj, c2Dx 2c2Dk
—	------i--------—
(3 + s.) +	+	(2+i>) +
6	3m 6m	3m
m2c2Px	Dy Ц , ,24	c2D,	c2Dk .
6	3m2	+	6	3 ’
2m2sDx 4sDy , 2sDv 4sDk
1 __________I _______ —I— - 
b
2s2Dk
a
Dk
D.+ -;
r^= —
Г 26 =
Г27= —
C29~
3	3m2	3	3 ’
ms2Z\ +_^(1_2s2)__^(1+s2);
mb	b
(i+s2)(i+s2)--£41
6	3m3 6m	3m
Г28 —
a
327
m2s2<Dx Du
Гг io=-------------------
6
----	„,TA(
6m	6
m?Dx D„ , 2mDk
Гзз =
s2Dk
3
3	' m 1	3	’
Гз4=2^(1_2с2) + ^_ -^(1+c2)- 2c^
a	mb a
гз5=-^(1-2С2)--^- + -^(1+с2)-
6m 6
6
a
C2Pk
3

4m2cDx 2cDu , 2cDy , 4cDk
/37 =
3	3m2	3
2m2s2Dx Dy .. , 2. s2O,
/38=-------------------- (14-c----------
mb	a
_L <-21 _L S2£>."_
3
2s2Dk
/46 = —
а
s2Dk
a
m2D.
3	6m2	6
mas2Dx , Dy 2> mD, /o , _2
Гз,°---_ + __(3 + c) + _(2 + s)+	3	.
^iDx o 2 2. , Wc'Dy , 12c4Dv . 12c4Dfe
/44= —— {\—2c's2) 4---4-----------1-----— ;
a	mb	ab	ab
2mDx 2 2	2c* Dy 2c2Dv 2	2c4 Dk
r“~—--------------------------ь~ “+t)——;
(i-2c’) + 2S£l(i+<>) 6^-<i+2C’> + ^^
a	mb '	a	a
4mcDx , „ 2>	8c3D„ 8c3Dv 8c3Dk
r=------(1—2c2) —
/39---
3
ms2Dk
/48= —
	y_
a	m2b b	b
6ms2D„ (j _2c2) _ 6c2Py (! _2s2) + 12c2s2Pv 12c2s2Dt .
a2	mb2	ab	ab
ra= (c2—2s*) + -44 +	(1 4-2s2) +	;
mb b	b
и c2Du ;	D-. п л 2c2s2Dk
(1— 2c )4----ту- (1— 2s2)-|---(1 —4c24-2c4)----------
a	mb	a	a
Г№=	(з-Л2) + ^4 +	<2+‘2) +	;
mVDx (1 —2c2) - 44 0 + c2) - 4 (2 + 3c2+2c4) -	:
3mz	6	3 •
4c3Dt/ . 4cDv Z1 . _2v . 4c3£>* .
a
m2s2Dx
/4 10=-------
/56 =
6
2mcD;
f67=----__(1_2CJ + —JL , 3m  ........... 3m ,
r5e= (1 -2c2) +	(l-2s2) 4- 4 0-4s24-2s4) -
a	mb	b	b
rsB=- ^4 (c2-2s4) - ^?4 - 4(1+3s2-2s4> - -4^;
6	3mJ 6m	3m
гъ 10= -	(' -2c2) + 44 -2c2) -	(1 ~2cV) + -4^
6	6m	6	3
m3c4£>x Dy ,, , ,,9 , mc2ZZ
3m
/66 =
3
3
^d+c'l;
0
328
3 3m	3	3
2m2c2s2Dx ^_2с4) +	(1 +2c2) + 2C—Dk ;
a	mb	a	a
m2c2Dx
^69=--------
(1 + s2) + ^4 (1 + c2) +	(1 +Л2) +
3m	3	3
т3сУРх -	(s2—2c4) - (l + 3c2-2c4)
3 от	6
mc2s2Dk
3
16m3c2Dx	l6c2Dy 16csDx	l6csDk
3	3m3 4	3	3	’
8m2s3Dx , 4sDy ,, „ 2. 8s3Dv	8s3Dk
a	mb	a	a
rn = —
4m2sDx
3
(1+s2)-
4s3£>,y
Зли2
3	з
4m3s3D,
3
+ ^(1_2c2)+±^(i+s2) + ±^.
OtTl	О	О
12т$4Р, , 6Dy ,,	„ 2 2. , 12.s4D.
r8e=-+ —y~ (1 —2f2s2) +--—
a	mb	ab
12s4Dfe
ab
(1 +s2) -	(1 —2s2) +	(1 +2s2) +	;
a	mb	b	b
f"8 10= —
2m2s4Dx	2D у z 2 ( .	2s2 Dv
---------	(c2 + s4)	
a-------mb	a
(l+s2)-
2s4Pt
a
rgg —
mD.
~3~
(l + s2)2+44 +	U+s2) +-g-0 + s4);
,5ш от	от
iQ— —
m2s2Dx
3
s2D
(l + s2) + -^(l-2s2)
6m
^(2 + 3s2 + 2s4)-^
6	3
r 10 10 =
m2s4£>x Dy л , ms2Ov
3	+ зТГ (3~c s >+ —T~
(2 + s2) +
ms^Dk
3
5.	К определению изгибающих моментов в конечном элементе в форме прямоугольного треугольника
(правило знаков такое же, как для прямоугольного элемента)
													Г Z, -1
~ м‘х ~ Mi		" Dxv — DXy	2Dxa D22	2DVb 0		 3Dxa a £>24	Dxa Dz,	0 D26	0 — 4£>v6s	3DVb £>28	0 aDybS2 I)	Dyb DybC2		dZi dx dZi dy
м'ж		D31	0	Da	D34	D c2	bDjcaC2	— 4D„,c	D38	D34	D3 10		dZj
							a						dx
К	=	Dyy — Dyy	2£>vo D52	2Dyb 0	SDya a Dm	£>VO £>55	0 £>56	0 — 4Dybs	iDyb b~ £>58	0 aDybS2 b	Dyb DybC2		dy dZk dn
Ч		— Dyv 6Dk	0 Dk	Dee Dk	Df,4 6Dkc2	Dvas2 Dkc2	bDygC2 a Dkc2	— 4Dvac 4Dkc	£>68 &Dks2	£^69 Dfes2	De io Dks2		Zi dZt dx
		_ ab	b	a	ab	b	a	b	ab	b	a _		dZ, - dy -
6.	Матрица жесткости квадратной плиты при коэффициенте поперечной деформации, равном нулю
	10,8/а2	2,2/а	2,2/а	— 4,8/а2	2,2/а	0,8/а	— 1,2/а2	0,8/а	0,8/а	-4,8/а2	0,8/а	2,2/а
	1,6	0	— 2,2/а	0,6	0	— 0,8/а	0,4	0	0,8/а	0,4	0
		1,6	0,8/а	0	0,4	— 0,8/а	0	0,4	—2,2/а	0	0,6
			10,8/а2	— 2,2а	2,2/а	— 4,8/а2	— 0,8/а	2,2/а	— 1,2/а2	-0,8/а	0,8/а
				1,6	0	— 0,8/а	0,4	0	0,8/а	0,4	0
					1,6	— 2,2/а	0	0,6	— 0,8/а	0	0,4
к						10,8/а2	— 2,2/а	— 2,2/а	-4,8/а2	-2,2/а	— 0,8/а
							1,6	0	2,2/а	0,6	0
								1,6	— 0,8/а	0	0,4
	(Симметрично)								10,8/а2	2,2/а	— 2,2/а
										1,6	0
											1,6	_
Общий множитель D = Eh3/\2.
7.	К расчету скошенной плиты (см. рис. 6.16) методом конечных элементов
KZ.=R0, vjsfi R0=\Q,9qa2 0 0 qa2 0 0 0,9<?а2 0 0 0,9<?а2 0 0 qa2] —столбец свободных членов; Z — столбец основных неиз-
вестных; К — матрица жесткости плиты:
56,4/а2	— 1,8/а	— 1,8/а	— 9,6/а2	4,4/а	0	0	0	0	— ЧА/а2	— 1,6/а	0	-9,6/а2
— 1,8/а	6,8	0	— 4,4/а	1,2	0	0	0	0	0	0	0	0
— 1,8/а	0	6,8	0	0	, 0,8	0	0	0	-1,6/а	0	0	— 4,4/а
— 9,6/а2	— 4,4/а	0	43,2/а2	0	0	-9,6/а2	4,4/а	0	— 9,6/а2	0	— 4,4/а	-1,2/а2
4,4/а	1,2	0	0	6,4	0	—4,4/а	1,2	0	0	— 0,8	0	0,8/а
0	0	0,8	0	0	6.4	0	0	0,8	— 4,4/а	0	— 1,2	— 0,8/а
0	0	0	-9,6/а2	-4,4/а	0	56,4/а2	1,8/а	1,8/а	-1,2/а2	0,8/а	— 0,8/а	0
0	0	0	4,4/а	1,2	0	1,8/а	6,8	0	0,8/а	-0,4	0	0
0	0	0	0	0	0,8	1,8/а	0	6,8	— 0,8/а	0	— 0,4	0
-Ч-А/а2	0	-1,6а	-9,6/а2	0	— 4,4/а	— 1,2/а2	0,8/а	— 0,8/а	56,4/а2	-1Ж	- 1,8/а	-9,6/а2
-1,6/а	0	0	0	-0,8	0	0,8/а	— 0,4	0	— 1,8/а	6,8	0	— 4,4/а
0	0	0	— 4,4/а	0	-1,2	— 0,8/а	0	— 0,4	— 1,8/а	0	6,8	0
— 19,2/а2	0	— 8,8/а	— 2,4/а2	1,6/а	— 1,6/а	0	0	0	— 19,2/а2	— 8,8/а	0	43,2/а2
8.	Элементы матрицы жесткости прямоугольной плиты с ребрами
по контуру (i=1,2,..., 20)
гц = —rle = ree=Bi/a; г)3=—r3 ie = Bvzi/(2b) —Bzu/(2b); гц = г69= —Di/a —
— Bz,/(4m); ris=ri 2о = — г5 ie= —Пе 20 = Z;(B« — В) /4; г|8 = — r8 io=ByZi/(2b) 4-
4-Bz„/(26); пв = Г4б = £>,/а —Bz,/(4m); г, ю = П i6= —По ie= —ri5 ie = z((Bv4-B)/4;
ri 13= — Из ie = — BvzJ (2b) — Bzkl/(2b); п i4 = ri 19= re и = re is = Bzk/ (4m); n i8 =
= —He ie=5= —Bvzi/(2b) +Вгы/(2Ь).
r22 = —r2 i? = rit n = Bt/b; Ггз= —Гз7 = 5у2,/(2a) —Bzu/(2a); Г24 = гго = —r4? =
= —Г79 = г,(ВУ —S)/4; r!5 = rn 2o= — DJb — m.Bzi/4; r2e=—r7g=—BvZi/(2a)
+BZii/(2a); r2 iu=r2 is = rn, 17 = rl6 n=mBZj/4; r2 i3= — r7 i.i= — Bvzk/(2a) — Bzkl/
/(2a); гг i4 = '"2 is = —r?i4 = —r? 19=zk(Bv4- B) /4; r2 i8 = —r? to—B^Zk/(2a) Bzu/
/(2a); r2 2(l = n \T = D,/b — mBzi/4.
r33=\2C,/a34-12C(/6’ + 2B-,z,Zi/(ab) Bz2a/(ab); гзк=гзо=&С1/а24-B^zszi/(2b) 4-
BzuZt/(2b); r3s = r3 20=6Ct/b24-B^zizJ(2a) + Bzu/(2a); гзе=—г3 11 = —Bvzi/(2b) —
— Bzu/(2b); гзз= — l2Ci/a3-4-2ByZiZi/(mb2) — Bxztlz,/(ab) —BzuZiJ(ab); гз ю = гз is =
= BuZjZi/(mb) — BvZiZj/ (2a) — BzuZj/ (2a); гз 12= — r3 u = B,z,/(2a) 4-Bzu/(2a); r3 13=
= — 2mBxz,zk/a2— 2ByZjZi/ (mb2) + Bx(ZiZi + ZkZi) / (ab) +Bzuzkt/(ab) ; r3 н = г3 19 =
= mBxZiZk/a — BvZkZi/(2b) — Bzifzk/(2b); r3 lfi = 2mBxz,Zt/a2 — \2Ct/b3 — Bxzikzi/ (ab) —
— Bzuzki/(ab).
rkt=3Ci/a-(-C^/a-(~Bzf/(4m) 4-GJi/b; Г45=г< 2о=Г59=гв 20 = ziZi(B„ 4- B)/4;
r48=r89= -6G/a2-B,z,zj/(26) -Bz„z,/(26); r49 = 3C,/a-C’/a4-Bz,7(4m); n l0 =
= Г4 15=rs 10=rg 15= — z,Zj,(BX 4~ B) /4; Г4 11 = Г4 i6 = r9 и = fg ie = Bzi/(4m); rt 12=
= —rt n=rg 12= •—rg n=Zi(Bv-(~ В)/4; rki3=rgi3=—mBxZiZk/a 41 BtZiZj / (2b) 4~
4-BzkiZt/(2b); rt i4=re i9=mB,ZiZk/2 — Bz,zt/(4m); rt l8 = r9 is = mBxziZk/a —
—Bvztzi/(2b) — BznZi/(2b); rt io=mBxZiZk/2— BztZk/(4m) —Gih/b.
r33 = 3Ci/b 4- C’l/b-4- mBz?i /4-\- GJi/a; r3e = — r3 п = Гв 20= — rn 20= — 2/ (B„4~
4-В)/4; rs7=rs 12=Г7 2о=П2 2o=mBzi/4; r6e = re 2o = Byz,zi/(mZ>) — B,z,zi/(2a) —
— BzijZi/(2a)\ r6 io=ByZjZi/(2m) —mBzizl/4— GJ,/а; rs 1з=Пз 20= —ByZjZi/(mb) 4-
-4-BxZkZi/(2a) +BzkjZi/(2a); r5 n = rs i9 = ri4 2o = rlg 20= —zkzi(Bv 4- B)/4; r5 15 =
= rio 2o = ByZjZi/(2m) — mBzjZt/4; r6 18 = ri8 20= — 6C;/62 — BvZkZi/(2a) —Bzkizi/(2a);
rs 2o=3Cl/b — C"/b 4- mBz]/4.
Гбв=—B„zi/(2b)Bzij/(2b); re io = re 15=—гю 11 = —rn 15 = z,(B —Bv)/4;
re 13= — ri 1 i3=BvZ;/(2b) —Bzkj/(2b); re ie= — П1 i3 = Bvzi/(2b) -4-Bzki/(2b).
rn= —r2 u=ri2 t2=Bj/b; r7 io=ri2 15 = —Dj/b—mBzJ4; rr\.e—-rio 12 — B-Jb
— mBzi/4.
333
гш=\2С1/а' + 12С,/63 + 2Bvz,z//(a6) + Bz2/(a6); r8 I0 = rg I6 = 6C,/62 +
+ B,ZiZi/(2a) +BzijZj/(2a); гй u=ByZj/(2b) — BziJ(26); r8 l2= — r8 l7= — Вл/(2a) —
— Bzijl(2a); r8 l3=2mBxz/z»/a2— \2С,/Ь:'—B^tz,/ (ab) — Вг^гк,/(ab); r8 l4 = r8 i9 =
= — mB^iZi/a+B^ztZi/(2b) +BztjZt/(2b); rk i8= — 2mBxZiZk/a2 — 2ByZiZi/(mb2) +
+ Bv ( azi + z*Zj) / (ab) + BzijZu/(ab).
rs<i = 3C,/a+C°/a + Bzf/(4m) + GjJJ6; r9 i4 = mBxz,zt/2 —Bz,zs/(4m) —GjJj/b.
По io = 3Cj/6 + C^/64-mBz/2/44-G,J17a; no 1з = Пз is= — 6C(/62 — Byzkzl/(2a) —
— BzkjZj/(2a); /щ 14 = По is=fn is = ns \s = ZkZj(Bx-{- B) /4; no is = 3C//6 — С'-/Ь +
4-mBz2/4; rlB i8=r18 i8= ~Bszzz;/(m6) 4-Bvz»z,/(2a) 4-Вгыг,7(2а).
ni и = —fu i6=Пе 16—Bt/a; Гц 14=Пб i9= —Dk/a — Bzk/ (4m); ni i9 = n4 ie=
= Dk/a — Bzk/(4m); r12 l3 =—n3 17 =— Bvzt/(2a)-)-Вгц/(2a); Пг u = Пг 19 =
= —^i417= — fn is=Zk(B, — B)/4; Гц i8= —fi? i8= By,zk/ (2a) — BZkil(2a).
Пз i3= 12C*/a3+ 12C//63+2BvZ*Zj/(аб) -|-Bz»(7(a^) I Пз14 = Пз19 = —6С8/а2 —
— ByZkZj,/(2b) —BzkjZk/(26); n3 i8= — 12C»/a3 + 2ByZjZi/(mb2) —BxZjizk/(ab) —
— BzkiZki/(ab).
ru n = 3Ck/a + Ck/a-i-Bzl/(4m) +GiJj/b; n4 i8=n8 i9=6Ck/a2 + ByZkZi/(2b) +
+ Bzk/Zk/(2b); ru is = 3Ck/a—C°k/a + Bz2t/(4m).
ns iS=3Cj/b + C°/b + mBz2/4+GkJk/a; rl5 2o = ByZiZ//(2m) —mBzjZ/^—GkJk/a.
r)8 is=12Ck/a3+12Ci/b3-j-2ByZkZi/(ab) +Bzkl/(ab).
ri9 i9 — 3Ck/a + C0h/a + Bz2h/(4m) -4-Gili/b.
Г20 so = 3Ci/b 4- C°/6 + mBzJ4 + Gklk/a.
Здесь / — геометрическая характеристика сечения при кручении. Остальные
обозначения см. в §6.3.3.
9.	К определению изгибающих и крутящих моментов в ребрах,
расположенных по контуру прямоугольного элемента плиты
SM = Nicv, где Sm= [М‘ М\ Л4' Mlk M'Kf Мкк Mkt М\ М- Л1^р] — вектор моментов (поло-
жительные их направления показаны на рисунке); v — вектор перемещений узлов элемента
(см. прил. 8); Nic — матрица моментов в ребрах плиты:
‘&Edi/a2	bEd./a	0 1	— 6Edi/a2	2Edi/a	0	1 °	0	° 1	0	0	о -
&EJi/a2	ZEdi/a	0 1	— 6Edi/a2	iEdi/a	0	1 0	0	o 1	0	0	0
0	0	GjJk^i/ci ।	0	0	- GtJ Kpi/Q	1	°	0	°	0	0	0
0	0	0	। 1	&EjIj/b2	0	iEdi/b	1 —&Edi/b2	0	ZEjlj/b । I	0	0	0
0	0	° 1	&Edi/b2	0	2Edi/b	। —bEdj/b2	0	iEdt/b .	0	0	0
0	0	о 1	0	G/J KP//	0	1 o	— GJwi/b	° 1	0	0	0
0	0	1 0 1	0	0	0	। -6ЕЛ/а2	4Ekh/a	1 °	1	GEdk/a2	2EkIk/ci	0
0	0	0 1	0	0	0	I -6ЕЛ/а2	‘lEfdk/a	0	1	&EkIk/a2	iEklk/a	0
0	0	0	' 1	0	0	0	1	0	0	G крй/ci	0	0	G kJ Kpk/ ci
&Edi/b2	0	ZEdi/b 1	0	0	0	1	0	0	о 1	— &Edt/b2	0	iEdt/b
&Edi/b2	0	4ЕЛ/6	0	0	0	1	0	0	0	1 1	— fjEdi/b2	0	2Edi/b
_ 0	G[J npl/b	0 1	0	0	0	1	°	0	° 1	0	G J кр//b	0
Геометрические характеристики I и /кр относятся к отдельным ребрам.
10.	К определению продольных
усилий в ребрах, расположенных
по контуру прямоугольного
элемента плиты
SNc=Nicv, где S'N ==[N'i N‘j N\ Ni Nk Nj N1, M'j —вектор продольных усилий;
Г	dw, dw, dwk	dwi daw,-]
v = [Ui vt Wi  Uj... —fiy u, Vi га,  -Q—J — вектор перемещении для
отдельного элемента (положительные направления перемещений показаны на рисун-
ке); ?V2c = [Pi Ps Рз Р<];
	1 1 о | Со	0	6В,у, а2	(4et—3z<) a	0
	Bi	о	6В/у,		(2e, — 3z,j	0
					
	а		а2	a	
	0	0	2BjByZi	0	BjByZi
			тЬВ"?		mB"p
	0	0	2BlB,,zl	0	В^,
Р1=			mbB"f		тВп*
	0	0	2Bi,B„Ziin	BkBxZitn	0
			aBf	B"^	
	0	0	2BkBxZiin	BkBxZim	0
			aB?	BJ”	
	о	Bi	6B,yi	0	D Di (9^. Ч-уЛ
		ь	b2		b
	()	Bi	6B,y;	0	(4ft —3z/) b
		ь	b2		
	 в.	о	BBifi	(2e,-3z()	0
	а		a2		
	Bi		GBift	Bi	
		о			0
	а		a2		
	Q	Bi	бВм	0	4е (4е/-3г>) b
		ь	b2		
		В)	6B,T,		Bi
				0	-	(2ft-3z0
		ь	b2		
Рг=	0	0	2BkBxZjm	BtBxZitn	o
			aB"k	b7	
	0	0	2BkBxz,m	BkBxZim	0
			ав;р	B7	
	0	0	2BiBvZi	0	BiByZj
			mbB"r		mB'j1'
	0	0	2BiByZj	0	BiByZj
			mbB"r		mB"p J
336
	0	0	2BiBxZkm аВ?	BiBxZktn В”р	0
	0	0	2BiBtZkm	BiBxZkm	о
			аВ'|р	g?	
		Bi	6В,т;		В.
	0	ь	ь2	0	(2e,-3z;) О
	0	В, ь	ЬВм b2	0	-	(4е,-3г,)
Pi =	в*		6В*т*		
	—	0			(4еа — 3zk)	0
			а	а	
	в*		6В*у*		
	а	0	а2	(2et — 3zt)	0
	0	0	2BiByZi	0	BiByZj
			тЬВпр		тВ"р
	0	0	2BtByZj	0	BiByZj
			тЬВ"р		т.В"р
	0	0	2BiBxzi,m аВ?	BiBxZym B,"p	0
	0	0	2BiBxZkm аВ"р	BiBxZtm B"p	0
	0	0	2BjByZi	o	BjByZi
			mbBnp		mBnp
	0	0	2BjByZi	о	BjByZi
Р<			mbB"p		mBpp
	Bk а	0	GBkVk а2		(2et—3zt)	0
	1	0	6BtTt а2	(4et—3zk) a	0
	0	Bi ь	(iBiyi b2	0		(4ei — 3zi) b
	0	Bi ~iT	GBffi b2	0	Bl -f- (2ei-3zi) b
337
11.	К определению продольных 'и
сдвигающих усилий в плите
ребристого конечного элемента
(см. рис. 6.17)
		где 5Л,П= [< N'„ N* Д'' N1 N' Nk N1,, S^l — вектор усилий;			
вектор перемещений (см. прил. 10); N„ = [Ps Рч Р? Рв];					
	Г Вх	В„	6BxZi dBvZi	ЗВл	3Bxz,
	а	ь	а2	Ь2	a	b
	вх	0	&BxZi	3Bxzi	o
	а		а2	a	
			2BKExhzim	BxExhZitn	0
			аВ?	£>ПР	
	0	_ JL. ь	2BxEJiz;m . 6Bvz, oB"tp ‘ b2	BxExhzttn B7	3Bxzi b
Рб==	Bv	By	&ByZi 6Bxzi	3BvZ,	3ByZl
	а	ь	b2	а2	a	b
	Вх	0	2ByEyhzl	GBxz,	3BxZi	ByEyhz,
	а		mbB"v	a2	a	mB""
	0	0	2ByEyhzi mbB"p	0	ByEyhzi
	о	By	fiByZi	о	3ByZi
		ь	b2		b
	в	в	Bzu	Вг;	Bzi
	-	2Ь	2а	ab	2b	2a
	- вх а	0	6BxZi a2	3BxZi a	0
	вх	Bv	6Bxzt	f>BvZi	3BxZi	3B„Zj
	а	ь	a2	b2	a	b
	0	в„	2BxExhzlm B 6Bvz;	BxExhzim	3BxZj
		ь	aBnp 1 b2	By"	b
			2BxExhz,m	BxExhzim	0
			aB"p	B?	
Рв =	Bv	0	2ByEyhZj , 6Bvz.	3BxZi	ByEyhZj
	а		mb^p 1 a2	a	mBlP
	в.	By	6ByZj	6BxZi	3Bxzi	3ByZ,
	а	ь	b2	a2	a	b
	о	By	dByZi	0	3ByZj
		ъ	b2		b
	0	0	2ByEyhzj	o	ByEyhzj
			mbB"p		mB""
	в	в	Bzu	Bz,	Bzj
	L 2Ь	2а	ab	2b	2a
338
г
339
£
ч
oq

£
i?
“i
oq
oq
a
N
oq
£
t?
“i
oq
N
oq
I
oq
CN
N
4'
3
oq
oq
£
N
3
oq
4
s

4
oq
Q
N
oq
Q
N
oq
Q
54
oq
a
n"
4
oq
N
oq
oq
£
Q
N , -
oq cm
Q
N
oq *
N
»
oq
N
3-
CQ
4’
3:
oq
oq
£
N
oq
£
N
3
oq
Q
N . _
oq <n
N
oq
CM
£
N
4
oq
£
N
□. 5
oq
N
oq
Q
N
oq
Q
N
oq
Q
N
oq
CM
<7
cq
N
oq
S4
Q

N
oq
54
Q
N
°3
Q
N
oq
54
N
oq
Q
4
oq
<N
oq
£
N
03
N"
§
oq
£
N -5
aq °
£
i?
•c
4
oq
CM
N
03
£
N
N
oq4
N
54
Q
54
N
•«
bj
oq
<N
oq
£
N
oq
N
§
Q
N
oq
Q
oq
Q
°o <S

L
oq| a
a
oq °
a
<N
J
oq a
a
a.
o. N
oq~ 03’
co
£
oq | в
54

a
«2 S
12.	Элементы симметричной матрицы эквивалентных масс
конечного элемента в форме прямоугольного треугольника
(см. рис. к прил. 4)
тц = 864; mi2=84a; т 13=846; ти = 252+ 144с2; гт$ =—а(66 + 24с2); mie =
= 6(42+24с2); тп=72ас—1686s; mi8=252+ 144s2; mi9=a(42+24s2); mno=
6(66+ 24s2).
m22=12a2; m23=6a6; m24=e(48 + 18c2); m28= —a2 (12 + 3c2);mit=ab (6 + 3c2);
m27 = a(12ac—246s); m28=18a(l+s2); m29=a2(5 + 3s2); m2 10= —a6(5 + 3s2).
m33=1262; m34= 186(1+c2); m3s= — a6(5+3c2); m39=a6(6 + 3s2), m3 10=
= —62(12 + 3s2); m36 = 62(5 + 3c2); m37= b (8ac-206s); m38 = 6(48+18s2).
m4< = 864 + 288c2 + 72c4; m45= —a(168 + 60c2+12c4); т48 = 6(108 + 54с2 + 12c4);
m 47=ac (336+ 72c2) — bs (432 +120c2); m48=396 + 72s2c2; m49=a (96 + 18c2 — 12c4);
m4 10= —6(90+24c2— 12c4).
ms5 = c2(36+12c2 + 2c4); m86= —a6(24+1 lc2 + 2c4); m57=a6s(96 +20c2) —
— a2c(72+12c2); mS8=—a(90+24s2—12s4); m89= —a2(24 + c2 — 2c4); m5 10 =
= a6(23+2s2c2).
тбб = 62(20s4+50s2c2 + 32c4); m87 = c6c(60+12c2) —62s(80 + 20c2); тбв=6(96 +
+ 18s2- 12s4); m69=a6(22s4 + 46s2c2 + 22c4); m6 10 = -62(24 + s2-2s4).
m77 = 32062s2—480a6sc+192a2c2; m78=ac(192+72s2)—6s(288+120s2); m79=
= a2c (48 + 12s2) — abs (68 + 20s2); rm . 0 = 62s (72+ 20s2) - abc (48 + 12s2).
m88=864 +288s2 + 72s4; m89=a(108 + 54s2+12s4); m8 10= —6 (168 + 60s2 +
+ 12s4).
m99=a2(32s4 + 50s2c2+20c4);	m9 w= — a6(24 +1 ls2 + 2s4);	ml0 10 = 62(36+
+ 12s2 + 2s4).
13.	Характеристика нагрузки D
Номер схемы	Схема нагрузки				Значение D прн п.=а/1, ^ — Ь/1
1	шпш	llfllllllllllll i			q2l2/\2
2	Ру | |||1|Г	швЯН III1IIIIIIIII			q2l3/l2+qpl3/l2 + 5p2l3/l92
3	а шш	, л । L i			(q2 + (12а — 12а2—2Р) р2р2 + + (12а— 12а2— р2) frpq) /3/12
4	.^ттттгпТППТГПЛТ 1 	1					<72/3/45
5	ппш ,//2	БНШПШ Z/2			q2l3/l2+F2l/4 + qFP/4
6	ш г а	II1IIIIIIIIIIIII 	1			q2l3/\2+qFl2a(\—a) + + F2a(l— a)l
ЛИТЕРАТУРА
1.	Амиро И. Я-, Заруцкий В. А. Методы расчета оболочек: В 2 т. Т. 2: Теория реб-
ристых оболочек. Киев, 1980. 368 с.
2.	Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках.
М., 1984. 496 с.
3.	Березии И. С., Жидков Н. П.	Методы вычислений: В 2 т. Т. 1.	М.,	1962.	464	с.
4.	Березии И. С., Жидков Н. П.	Методы вычислений: В 2 т. Т. 2.	М„	1962.	620	с.
5.	Бидерман В. Л. Применение	метода прогонки для численного	решения	задач
строительной механики//Изв.	АН СССР. Механика твердого тела.	1967.	№	2.
С. 62—66.
6.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нели-
нейных колебаний. М., 1974. 504 с.
7.	Болотии В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., 1956. 600 с.
8.	Бондаренко С. В. Теория сопротивления строительных конструкций режимным
нагрузкам. М., 1984. 392 с.
9.	Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.,
1982. 248 с.
10.	Бреббия К., Геллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М., 1987.
525 с.
11.	Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М., 1986. 544 с.
12.	Вагер Б. Г. Применение метода матричной факторизации к решению системы
дифференциальных уравнений четвертого порядка//Тр. ГГО. Л., 1977. Вып. 382.
С. 88—98.
13.	Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории
нелинейных уравнений. М., 1972. 416 с.
14.	Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М., 1976. 278 с.
15.	Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М., 1959. 400 с.
16.	Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М., 1958. 502 с.
17.	Волков Е. А. Численные методы. М., 1987. 248 с.
18.	Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., 1972. 432 с.
19.	Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки. М., 1956. 256 с.
20.	Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М., 1963. 880 с.
21.	Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. Метод прогонки для разностных уравнений.
М., 1962. 340 с.
22.	Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования:
Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики
твердого деформируемого тела. М., 1988. 232 с.
342
23.	Гонткевич В. С. Собственные колебания пластин и оболочек. Киев, 1964. 287 с.
24.	Даффни Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. М., 1972.
311 с.
25.	Демидович Б. П., Марой И. А., Шувалов Э. 3. Численные методы анализа. М.,
1963. 400 с.
26.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М., 1963.
660 с.
27.	Длугач М. И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. Киев,
1964. 260 с.
28.	Длугач М. И., Ковальчук Н. В. Метод конечных элементов в применении к расчету
цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями//Прикладная механика.
1973. Т. 9, № 11. С. 35—41.
29.	Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., 1975. 541 с.
30.	Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: Справ, пособие. Киев, 1986. 584 с.
31.	Игнатьев В. А., Горелов С. Ф. Расчет коробчатых систем по методу суперэлемен-
тов со сплайн-интерполяцией перемещений//Изв. вузов. Стр-во и архитектура.
1986. № 11. С. 30—34.
32.	Ильин В. П., Карпов В. В. Устойчивость ребристых оболочек при больших пере-
мещениях. Л., 1986. 168 с.
33.	Ильин В. П., Карпов В. В. Связанность форм потери устойчивости ребристых
оболочек//Тр. 14 Всесоюз. конф, по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 1987.
С. 615—619.
34.	Ильин В. П., Мальцев Л. Е., Соколов В. Г. Расчет строительных конструкций
нз вязкоупругих материалов. Л., 1990. 218 с.
35.	Интегральные уравиеиия/П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Красносельский
и др. М„ 1968. 448 с.
36.	Калиткии Н. П. Численные методы. М., 1978. 512 с.
37.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.,
1965. 703 с.
38.	Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.;
Л., 1962. 708 с.
39.	Карпов В. В., Петров В. В. Уточнение решений при использовании шаговых мето-
дов в теории гибких пластинок и оболочек//Изв. АН СССР. Механика твердого
тела. 1975. № 5. С. 189—191.
40.	Каудерер Г. Нелинейная механика. М., 1961. 778 с.
41.	Качурии В. К. Теория висячих систем. М., 1962. 224 с.
42.	Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М., 1968. 503 с.
43.	Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М., 1976. 279 с.
44.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инже-
неров. М., 1968. 720 с.
45.	Краскевич Б. Е., Зеленский К. X., Гречко В. И. Численные методы в инженерных
исследованиях. Киев, 1986. 263 с.
46.	Краснов М. Л. Интегральные уравнения. М., 1975. 304 с.
47.	Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела.
М„ 1987. 328 с.
48.	Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов,
1976. 216 с.
49.	Кэитин Г. Смещение криволинейных конечных элементов как жесткого целого//
Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8, № 7. С. 84—88.
343
50.	Маделунг Э. Математический аппарат физики. М., 1968. 620 с.
51.	Масленников А. М. Расчет строительных конструкций численными методами.
Л., 1987. 225 с.	.
52.	Михлин С. Г. Курс математической физики. М., 1968. 576 с.
53.	Михлии С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970. 512 с.
54.	Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения дифферен-
циальных и интегральных уравнений. М., 1956. 383 с.
55.	Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., 1962. 431 с.
56.	Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М., 1948. 333 с.
57.	Образцов И. Ф., Онанов Г. Г. Строительная механика скошенных тонкостенных
систем. М., 1973. 659 с.
58.	Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. М., 1969. 695 с.
59.	Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пласти-
нок и оболочек. Саратов, 1975. 120 с.
60.	Петров В. В., Овчинников И. Г., Ярославский В. И. Расчет пластинок и оболо-
чек из нелинейно-упругого материала. Саратов, 1976. 133 с.
61.	Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М., 1965. 128 с.
62.	Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых
конструкций. Л., 1974. 342 с.
63.	Прочность, устойчивость, колебания: Справ.: В 3 т. Т. 1 /Под общ. ред. И. А. Бир-
гера, Я. Г. Пановко. М., 1968. 831 с.
64.	Приближенное решение оперативных уравнений/М. А. Красносельский,
Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. М., 1969. 456 с.
65.	Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М., 1988. 712 с.
66.	Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977.
384 с.
67.	Райнус Г. Э. Расчет многопролетных тросов и многопролетных ферм из тросов.
Л., 1968. 136 с.
68.	Ржаницын А. Р. Строительная механика. М., 1982. 400 с.
69.	Ржаиицыи А. Р. Теория ползучести. М., 1968. 416 с.
70.	Розин Л. А. Основы метода конечных элементов в теории упругости. Л., 1972. 79 с.
71.	Сергеев Н. Д., Богатырев Л. И. Проблемы оптимального проектирования конструк-
ций. Л., 1971. 136 с.
72.	Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М., 1958. 572 с.
73.	Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго
порядка. М., 1964. 205 с.
74.	Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем/Под
общ. ред. А. П. Филина. Л., 1961. 876 с.
75.	Справочник проектировщика/Под ред. А. А. Уманского. М., 1960. 1040 с.
76.	Справочник по строительной механике корабля: В 3 т. Т. 2/Г. В. Бойцов,
О. М. Палий, В. А. Постнов, В. С. Чувнковский. Л., 1982. 464 с.
77.	Строительная мехаиика/А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я- Лащенников,
Н. Н. Шапошников. М., 1981. 512 с.
78.	Строительная механика летательных аппаратов/И. Ф. Образцов, Л. А. Булычев,
В. В. Васильев и др.: Под ред. И. Ф. Образцова. М., 1986. 536 с.
79.	Теребушко О. И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1984. 320 с.
80.	Тимошенко С. П., Гудьер Д. Теория упругости. М., 1975. 576 с.
81.	Угодчиков А. Г., Хуторянский Н. М. Метод граничных элементов в механике
деформируемого твердого тела. Казань, 1986. 296 с.
344
82.	Филин А. П. Приближенные методы математического анализа, используемые
в механике деформируемого тела. Л., 1971. 160 с.
83.	Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М., 1966. 176 с.
84.	Шиманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ: В 2 ч.
Киев, 1963—1966. Ч. 1. 1963. 194 с. Ч. 2. 1966. 244 с.
85.	Шипилов А. Г. Отклик башен-градирен на динамические воздействия//Строит.
механика сооружений. Л., 1981. С. 136—146.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*
А	— — — — одномерная 81—84
— — — на собственные значения
Арка бесшарнирная 239—240 Б Балка на упругом основании 91—92 — переменного сечения 200—202 В Вариация функции 182 — функционала 182, 183 Вектор оптимальный 321 — перемещений узлов конечного эле- мента 325, 335 Векторы собственные матрицы 41, 42 Г Градиент функции 53, 54, 55—56 д Дельта-функция 97, 98 Дефект сплайна 15, 17 Дифференцирование приближенное 19 3 Задача динамики пологих оболочек 284—286 — Дирихле 100—101, 102—108, 112, 127, 249—251 — Кельвина 258—259 — Коши 75—76 — Неймана 249—251 — о внедрении конуса в жидкость 251—255 — строительной механики краевая мно- гомерная 100—102, 115—116, 121 — 122, 126—127 * Составил В. П. Ильин.	43—46, 87—88, 92—93, 216—218 — — — начальная 75—80 — — — нелинейная 209—215, 271— 307 Значение собственное матрицы 41— 42, 70 - — — наибольшее 43 — — — наименьшее 46 И Изгиб тонкой гибкой пластинки 212— 215 — — плиты 105—106, 122—123, 195— 196 — — — решение Леви 116—117 	— решение Навье 117, 121 	полосы 291—292 К Колебания свободные балки 111 —112 — — гибкой нити 223—224, 302—303 — — маятника 78—79 — — мембраны 303—307 — — стержня поперечные 218—221 — — — продольные 80 	струны 108—111, 234—235 Кручение призматического стержня 103—105, 124—125, 195—196, 203— 204, 207—208 Л Ломаная Эйлера 75 М Матрица деформаций конечного эле- мента 136—137
346
Матрица единичная 30
— жесткости в методе перемещений
66—67, 132
— — конечного элемента 135—137,
140—141
— — — — плиты 151—153, 327—329,
331
—	— — — прямоугольного 147—148
—	— — — стержня 143
—	— — — треугольного 147
—	— суперэлемента 176
—	коэффициентов системы линейных
уравнений 31—33, 34 -35, 89
—	невырожденная 42
—	обратная 30
—	податливости в методе сил 58, 60—61
—	симметричная 46
—	узловых нагрузок суперэлемента 176
— усилий в конечном элементе 141, 142,
325
—	— — — прямоугольном 148
—	— — — треугольном 148
—	характеристическая 41
—	эквивалентных масс конечного эле-
мента 340
-	— Якоби 51
Матрицы подобные 42
Мембрана 184—185, 303—307
Метод Бубнова — Галеркина 124, 230,
282—283
—	вариационно-разностный 196
—	вариационный 181
—	вариационных итераций 207
—	Власова — Канторовича 127—128,
202—208
—	Галеркина 85—87
—	Гаусса 25—29
—	граничных элементов 255—257
—	дополнительных функций 83—85
—	итераций 229—230
—	коллокаций 121 —123
—	конечных разностей в задачах од-
номерных 88—93
—	— — — многомерных 100—108
— — — — на собственные значения
92—93
—	— элементов 130—180, 197—202
—	малого параметра 209—221, 290—
292
—	минимизации невязки 121 —126
—	множителей Лагранжа 316—319
—	наилучших произведений 125—126
—	наименьших квадратов 20—21
—	— — интегральный 123
—	наискорейшего спуска 53—56
—	начальных параметров 81—83
—	Ньютона—Канторовича 271—272
— — — модифицированный 272—273
— Ньютона модифицированный 51—52
—	Ньютона—Рафсона 48—49
— операционный решения уравнений
дифференциальных 233—235
—	—------интегральных 235—237
—	переменных направлений 106—108
— перемещений 65—69
—	покоординатного спуска 56
—	последовательного наращивания ре-
бер 279—282
—	последовательных нагружений 273—
278, 294—296
—	— приближений 79—80, 229—230
— потенциалов 245—255
—	прогонки 31—34
продолжения по параметру 273—282
— простой итерации 47—48, 49—50
— прямых 126—127
— Ритца 194—196
—	Рунге—Кутта для начальных задач
76—77
—	— — для неявной схемы 94—96
— — — для систем уравнений 77—79
— сил 57—65
—	суперэлементов 130, 175—180
—	упругих решений 292—294
—	Фурье разделения переменных 108—
121
—	Эйлера для начальных задач 75—76
Минимум функционала 183, 196
Многочлен обобщенный 11
Н
Нагрузка критическая на стержень 93,
217
Напряжение в упругом полупространст-
ве 268—269
Напряженное состояние объемное 292—
294
— — плоское 288—292
Невязка приближенного решения 121
Неустойчивость стержня динамическая
219—221
Нить гибкая многопролетная 300—301
— — поперечные колебания 302—303
— — статический расчет 296—299
— — уточненный расчет 299—300
О
Оболочка 159—161
— пологая 276—278, 282, 284—286
Обусловленность матрицы 35
— — способы улучшения 38—41
Оператор интегральный 222
П
Пластинка гибкая 212—215
— тонкая 151 —153, 157—159
347
Плита на упругом основании 158, 174
Погрешность математической модели
21—22
—	метода 22
—	округления 22
—	численного решения задачи 21—23
Полином 11
—	интерполяционный Лагранжа 12
—	— Ньютона 14
—	положительный (позииом) 319
Порядок точности 20, 23
Потенциал двойного слоя 248, 250
—	объемный 247
—	простого слоя 250
Правило Крамера 25
Представление функции интегральное
246—247
Преобразование интегральное 230—244
—	Лапласа 231, 233
— Лапласа—Карсона 236, 237—240
—	подобия 42
—	Фурье 240—244
Приближение функции 11 —12
—	— интегральное 12
—	— точечное 11 —12
Принцип вариационный 183, 185
—	возможных перемещений 135—136
Принцип Гамильтона — Остроградско-
го 191 — 193
—	Лагранжа 183, 186
—	Рунге 22
—	соответствия Вольтерра 238—239
Проблема собственных значений 42
Программирование выпуклое 315
—	геометрическое 319—322
—	— прямая задача 320—321
—	линейное 308—315
—	— опорный план 309
—	— оптимальный план 309
—	— система ограничений 309
—	нелинейное 315—318
—	— градиентный метод 315—316
—	— релаксационный метод 316
Пространство линейное 25
Процесс итерационный 44, 47—48,
53—54
Р
Работа внешних сил 186
Разность конечная 14
Резольвента интегрального уравнения
227—228
Резоиаис параметрический 219—221
Ряд степенной 209—212, 216—218,
227—228
—	Тейлора 22
—	тригонометрический двойной 117—
121
—	— одинарный 115—117
— Фурье 110—111, 113—114, 118
С
Сведение краевой задачи к начальной
81—85
Свертка функций 232
Сглаживание экспериментальной зави-
симости 20—21
Символ Кронекера 30
Симплекс-метод 309—315
Система основная метода перемещений
65—66
-------- сил 57
—	решений фундаментальная 96—97
—	стержневая плоская 57—62
--- пространственная 62—65
—	— статически неопределимая 57
—	уравнений алгебраических линейных
24—29
—	— — нелинейных 49, 51, 53
— — жесткая 93—94
---Ритца 194—195, 203
Спектр матрицы 41
Сплайн .15, 197, 239
Сплайн-интерполяция 15—19
Сплайн полиномиальный 16
Степень статической неопределимости
системы 57
Суперэлемент 175
Схема алгоритма метода Гаусса 27
— — — — с выбором главного эле-
мента 28—29
--- — прогонки 33
---— упругих решений 293
— — нахождения собственных значе-
ния и вектора матрицы 45
—	— расчета оболочек 283
—	— — — пологих 285
— разностная для уравнений эллипти-
ческого типа 102—106
Схема разностная неявная 107
—	— основы построения 100—102
—	— явная 107
Т
Тензор деформаций 185
—	напряжений 185
Теория наследственная вязкоупругости
линейная 237
—	потенциала 245—270
—	упругости физически нелинейная
286—288
Точка коллокации 121
У
Уравнение Больцмана—Вольтерра 225
— вариационное 185—186
— волновое 302, 305
348
Уравнение гиперболического типа 108
— дифференциальное Эйлера 183—
184
— интегральное Вольтерра 225
— — Фредгольма 222—223
— Лапласа 112, 245—246
— Матье 219
— Остроградского 183, 206—207
— Пуассона 102, 106, 124—125, 127,
128—129
— разностное 107
— совместности деформаций 57—58
— типа свертки 236
— характеристическое матрицы 41
— эллиптического типа 102—103, 112
Уравнения нелинейные 47—56
— движения оболочки 191—193
— канонические метода перемещений
66—67
— — — сил 57—58
— равновесия пологой оболочки 188—
191
— — у пру того, тел а 186—188
Условие сходимости ряда 211
Устойчивость сжатого стержня динами-
ческая 218—221
—-------статическая 93, 217—218
— стержневой системы 167—172
Ф
Форма свободных колебаний системы
70—72
Формула Грина 188, 305
— Меллина 232
— прямоугольников 197
— Симпсона 19—20, 58—59
Формулы аппроксимации производ-
ных 91—92
Функции координатные (базисные) 86
— обобщенные Хевисайда 96, 239, 280
Функционал 181
Функция аппроксимирующая 11 —12,
121, 195
— Грина 224
— корректирующая 122
— Лагранжа 317—319
— напряжений 124—125, 213, 291
— перемещений конечного элемента
137—139
— сглаживающая 20—21
— фундаментальная 12
— цели 308
Ч
Частота свободных колебаний плиты
172—174
— — — системы 69—72,	163—164
— — — суперэлемента 179—180
Э
Экстремум глобальный 308
— функционала 182, 186
Элемент граничный 269
— конечный 131
— — в форме прямоугольного тре-
угольника 330
— — плиты прямоугольной 325, 333—
334
—	— — скошенной 332
—	— ребристый 338—339
Энергия деформации потенциальная
185
—	— — удельная 188
—	системы полная 186
Я
Ядро интегрального уравнения 223
— — — итерированное 228
— — — разрешающее (резольвента)
228
— ползучести 237
Справочное издание
Ильин Владимир Петрович
Карпов Владимир Васильевич
Масленников Александр Матвеевич
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Справочное пособие
Младший редактор А. П. Берлина
Художественный редактор В. Н. Валентович
Технический редактор И. П. Тихонова
Корректор Т. К. Хваль

ИБ № 2931
Сдано в набор 05.09.89. Подписано в печать 30.08.90.
Формат 60 X 90/16. Бумага кн.-журн. Гарнитура
литературная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 22.
Усл. кр.-отт. 22. Уч.-изд. л. 23,81. Тираж 2800 экз.
Зак. 1810. Цена 1 р. 60 к.
Издательство «Вышэйшая школа» Государствен-
ного комитета БССР по печати. 220048, Минск,
проспект Машерова, 11.
Типография им. Франциска Скорины издательства
«Навука i тэхшка». 220600, Минск, ул. Жодин-
ская, 18.
Ильин В. П. и др.
И 46 Численные методы решения задач строительной механики:
Справ, пособие / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Маслен-
ников; Под общ. ред. В. П. Ильина,— Мн.: Выш. шк., 1990.—
349 с.: ил.
ISBN 5-339-00366-3.
Описаны основные наиболее часто применяемые численные методы
решения линейных и нелинейных задач строительной механики, краевых
задач и задач на собственные значения: методы конечных разностей, ва
риациониые, конечных и граничных элементов, метод малого параметра и др.
Изложение иллюстрируется практическими примерами расчета основных
элементов инженерных конструкций — балок, рам, пластинок и оболочек.
Приведены схемы алгоритмов расчетов с использованием ЭВМ.
Для преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов техниче-
ских вузов, а также инженерно-технических и научных работников.
„ 3302000000- 090
М304(03)—90
ББК 38.112я2