И. Я. ШТАЕРМАН
Член-корреспондент АН УССР
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
‘ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1949 ЛЕНИНГРАД
Редактор И. К. Снитко.	Техн, редактор И. Я> Mj/рашоеа,
Подписано к печати 10/1П—1949 г. 17 печ. л» 18, <8 уч.-ивд. л. 44 017 тип. вн«
в печ. листе А-01604. Тираж 4000 экз. Цена книги 11 р. 25 к. Переплёт 2 р«
Заказ № 868.
16-я типография треста «Полиграфкнига» ОГИЗа при Совете Министров СССР.
Москва, Трёх пру дный пер., 9.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Иредисловие .................................................... 4
Глава I. Математическое введение................................ 7
§ 1.	Приведение основного уравнения плоской контактной за-
дачи к задаче Дирихле для круга............................ 7
§ 2.	Некоторые методы решения задачи Дирихле для круга . .	18
§ 3.	Решение основного уравнения плоской контактной задачи
посредством функций комплексного переменного............	28
§ 4.	Случай нескольких участков интегрирования в основном
уравнении контактной задачи............................... 44
§ 5.	Уравнение периодической контактной задачи............ 56
§ 6.	’ Уравнение контактной задачи при наличии трения между
сжимаемыми телами......................................... 76
§ 7.	Уравнение задачи о сжатии упругих тел, ограниченных
цилиндрическими поверхностями............................. 81
Глава П. Плоская контактная задача............................. 93
§ 1.	Вывод основного уравнения плоской контактной задачи . .	93
§ 2	Случай одного участка сжатия упругих тел............. 96
§ 3.	Задача о давлении жёсткого штампа на упоугую полу-
плоскость ................................\	•........... 114
§ 4.	Случай нескольких участков сжатия................... 121
§ 5.	Периодическая контактная задача..................... 127
§ 6.	Контактная задача при наличии сил трения............ 138
§ 7.	Сжатие упругих тел, ограниченных цилиндрическими по-
верхностями, радиусы которых почти равны................. 142
§ 8.	Решение задачи о давлении жёсткого штампа на упругую
полуплоскость на основе новой гипотезы .................. 157
Глава Ш. Осесимметричная контактная задача.................... 163
§ 1.	Математическое введение в осесимметричную контактную
задачу теории упругости.................................. 163
§ 2,	Сжатие упругих тел, ограниченных поверхностями вращения 175
§ 3.	Давление круглого цилиндрического штампа на упругое
полупространство......................................... 191
Глава IV. Общий случай контактной задачи...................... 197
§ 1.	Потенциал эллиптического диска...................... 197
§ 2.	Давление эллиптического штампа на упругое полупрост-
ранство ................................................. 205
§ 3.	Сжатие двух упругих тел, первоначально касающихся
в точке.................................................. 210
Приложение 1. Приведение некоторых эллиптических интегра-
лов к каноническому виду................................. 229
Приложение 2. О приближённом решении некоторых интеграль-
ных уравнений контактной задачи.......................... 251
ПРЕДИСЛОВИЕ
Контактная задача является одной из основных задач в тео-
рии упругости. Расчёт многих ответственных деталей, сооруже-
ний и машин основывается на теории сжатия упругих тел.
Однако эта теория представляет значительные математические
трудности. Первое правильное решение основного случая кон-
тактной задачи дал Герц1) ещё в 1882 году, и на этом решении
математическое развитие проблемы застыло примерно на 60 лет.
В течение этого периода усилия инженеров и теоретиков были
направлены главным образом на экспериментальную проверку
теории и на развитие её применений в инженерном деле (ра-
боты академика А. Н. Динника, Н. М. Беляева и др.).
В 20-х и особенно в 30-х и 40-х годах нашего столетия
математическая* база для решения контактной задачи стала
совсем не такой, какой она была во второй половине прошлого
столетия. Герц использовал в своём исследовании только фор-
мулы из теории потенциала однородного эллипсоида, что пред-
ставляет простейший прототип решений задач теории потен-
циала и теории интегральных уравнений, в то время как мы,
начиная примерно с 30-х годов, располагаем мощным, развитым
у нас в Союзе аппаратом решения задач теории упругости,
созданным главным образом академиком Н. И. Мусхелишвили.
Мы имеем в виду его метод решения задач теории упругости
посредством функций комплексного переменного и другой его
метод, основанный на применении сингулярных интегральных
уравнений и‘разработанный им, а отчасти его школой: И. Н.
Векуа и др. Первый метод изложен в его монографии «Некото-
рые основные задачи математической теории упругости», дру-
гой—в его монографии «Сингулярные интегральные, уравнения»
и в статьях, ей предшествовавших. 6 этих книгах можно най-
ти обширные библиографические, данные. Отметим, что в науке,
до некоторой степени родственной теории упругости, а именно,
в гидро- и аэродинамике уже давно при решении задач о пло-
ском движении жидкости и о подъёмной силе крыла применя-
*) Hertz Н., Gesammelte Werke, т» 1, Leipzig, 1895, стр. 155.
ПРЕДИСЛОВИЕ	5
лись функции комплексного переменного и сингулярные инте-
гральные уравнения.
Вполне естественно, что у нас в Союзе возник ряд работ,
в которых контактная задача теории упругости получила суще-
ственное усовершенствование и развитие.
Впервые решения новых контактных задач, являющихся
обобщением основного случая, были даны мною1). В последую-
щих статьях2 *) я получил решения ряда других задач, исполь-
зуя отчасти математический аппарат, созданный академиком
А. М. Ляпуновым8).
Очень ценные решения были получены рядом авторов, осо-
бенно в школе Н. И. Мусхелцшвили4), а также Л. А. Гали-
ным5 6), А. И. Лурье*), Г. Н. Савиным7) и др. Таким образом, в на-
стоящее время теория контактной задачи достигла такого большо-
го развития, что она может рассматриваться, как крупный само-
стоятельный отдел теории упругости, имеющий важное прак-
тическое значение для расчёта частей сооружений и машин.
Одной из необходимых предпосылок для этого является
доведение „математической теории контактной задачи до инже-
неров-теоретиков.
Изложение нашей книги мы построили так, чтобы она за
небольшими исключениями была доступна инженеру, знакомому
с курсом высшей математики втуза и имеющему некоторый
опыт в чтении математической литературы.
Вся первая глава нашей книги посвящевГа методам реше-
ния основных уравнений контактной задачи. Мы стремились
сочетать простоту изложения с надлежаще!! полнотой матема-
тического охвата.
х) Штаерман И. Я., К теории Герца местных деформаций при сжа-
тии упругих тел. Доклады АН СССР, т. XXV, № 5, 1939.
2) Штаерман И. Я., Обобщение теории Герца местных деформаций
при сжатии упругих тел (Доклады АН СССР, т. XXIX, № 3, 1940). Мест-
ные деформации при сжатии упругих круговых цилиндров, радиусы кото-
рых почти равны (Доклады АН СССР, т. XXIX, № 3, 1940). К вопросу
о местных деформациях при сжатии упругих тел (Доклады АН СССР,
т. XXXI, № 8, 1941). Некоторые особые случаи контактной задачи (Доклады
АН СССР, т. XXXVIII, № 7, 1943). Об одном обобщении задачи Герца
(Журнал «Прикладная математика и механика», т. V, вып. 3, 1941).
8) Li apoun off A., Sur les figures d’equiHbre, III часть, St.-P6ters-
bourg, 1912.
*) См. Мусхелишвилп H. И., Сингулярные интегральные уравне-
ния, Гостехиздат, 1946.
6) Галин Л. А., Исследование смешанных задач теории упругости
(Докторская диссертация, Институт механики АН), Москва, 1946.
в) Лурье А. И., Некоторые контактные задачи теории упругости.
Журнал «Прикладная механика и- математика», т. V, вып. 3, 1941.
7) ДАН УРСР № 6, 1939; № 7, 1940; Сообщения Грузинского филиала
АН СССР, т. I, № 10, 1940 г.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вторая часть содержит наряду с классическими исследова-
ниями изложение некоторых работ отечественных математиков
по плоской контактной задаче теории упругости, в том числе
и мои работы, часть которых публикуется впервые; к ним от-
носятся: новая постановка задачи о давлении штампа на упру-
гую полуплоскость, изложенная в § 3 главы II, периодическая
контактная задача, которая составляет содержание § 5 главы II.
В § 8 главы II сделана попытка учёта поверхностных де-
формаций, до сих пор не принимавшихся в расчёт в теории
контактной задачи.
В глаке III дан ряд новых решений осесимметричной кон-
тактной задачи теории упругости.
В главе IV наряду с классическими решениями приведён
ряд новых решений, принадлежащих автору.
Книгу следует рассматривать как раздел математической
теории упругости, так как она посвящена решению основных
контактных задач теории упругости.
Основные сведения по теории контактной задачи можно
найти в курсах академика Л. С. Лейбензона1) и С. П. Тимо* *
шенко *).
1)Лейбензон Л. С., Курс теории упругосги, Гостехиздат, 1947.
*) Тимошенко С. П.» Теория упругости, ОНТИ, 1937.
ГЛАВА I
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ1)
§ 1. Приведение основного уравнения плоской контактной
задачи к задаче Дирихле для круга
Начнём с рассмотрения основного уравнения плоской кон»
тактной задачи теории упругости:
а
—а<х<а,	(1)
J	I * — 11
—а
где /(ж) —функция, заданная внутри интервала ( — a, a), p(t) —
неизвестная функция, которую требуется определить внутри
интервала ( — а, а) так, чтобы удовлетворилось уравнение (1).
Относительно заданной функции f(x) будем предполагать, что
она непрерывна, производная же её f (х) может иметь точки
разрыва внутри интервала (— а, а).
Рассмотрим функцию двух переменных
а
V (X, у) = р (0 In -i- dt,	(2)
где	__________
R~\/\x-lY + y*.	(3)
При у = 0 R обращается в |я — £| и функция V (х, у) обращается
в левую часть уравнения (1). Таким образом, уравнение (1)
эквивалентно условию
V(х9 0) = /(я),	— а<я<а,	(4)
налагаемому на функцию V (х, у). Функцию V (х, у), определён-
ную соотношением (2), называют логарифмическим потенциалом
простого слоя на отрезке оси Ох — а < х < а с плотностью />($)•
х) В этой главе мы приводим детально и по возможности элементарно
излагаемые решения некоторых уравнений, на которых основывается тео-
рия контактных задач, помещённых в главе II.
8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Решение исходного уравнения (1) эквивалентно отысканию
плотности простого слоя, логарифмический потенциал которого
V (х, у) обращается в заданную функцию f(x) на отрезке оси Ох
— а<х<а. Прежде чем перейти к решению этой задачи,
исследуем подробнее свойства потенциала простого слоя V(x, у)*
Если точка с координатами х, у не лежит на отрезке оси Ох
— а<х<а, частные производные от функции V (х, у) могут
быть вычислены непосредственным дифференцированием под
знаком интеграла в правой части соотношения (2).
Последовательно находим:
1п^-= -41п^2= -4 Ь[(х-Ог + у2],
д ,	1 ___ х — t
дх П Я ~~ (ж — t)2 4~2/2 ’
, 1 _ (*-02~У2
дх3 R [(x-t)2 + j/2]2’
Отсюда
а
дУ (х, у) _ _ С р (t) (х — t) dt
дх J (я —*)2+з/2
-а
_ 1п — _________"____,
ду R (х — t)2 + y2’
д2 j 1 _ -(^-«)2 + г/2
R -[(ж-«)2 + 2/2]2’
дУ (х, у)
ду
а
Г p(t)ydt
J (*-02 + у2 ’
—а
д2У (*, у) с= С p(t) Г(*-02-у2]^
дз2 =J [(ж — t)2 + ]/2]2
-а
(5)
d*V(x, у)_	aCp(t)[(x-t)3-y*\dt
ду3 }	[(x-t)2 + y2]2	*
-а
Из соотношений (5) очевидно, что функция V (х, у) удовле-
творяет дифференциальному уравнению в частных производных
д2У д2У
дх2 ** оу2
(6)
Дифференциальное уравнение (6) носит название уравнения
Лапласа; всякую функцию, удовлетворяющую уравнению Ла-
пласа, называют гармонической функцией. Итак, функция
V (х, у) везде в плоскости хОу, за исключением точек отрезка
оси Ох —а < х < а, является функцией гармонической.
Исследуем теперь поведение частной производной при
подходе точки* с координатам^ х, у к отрезку оси Ох —а<х<а*
При а < х < а определённый интеграл, определяющий произ-
§ 1]
ПРИВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
9
dV х	/гч
водную в формулах (о), можно разоить на три интеграла:
—а
p(t)ydt
(x-t)2 + y2
С	p(t)dt	f	р (t) dt	Г	p(t)dt
У j (ж —t)2+j/2 * ' (®— «)2 + у2 J (® — 02+г/2 *
—а	х-е	х+е
(7)
Второй из определённых интегралов правой части формулы (7)
в свою очередь можно представить в виде суммы двух инте-
гралов:
х+в
С p(t)dt
У J (я-<)2 + 2/2
х —Б
х+е
-ур{х} S (х-о'+Уг
х-е
х+е
±у $
X —8
[p(a)-p(t)]dt
(x-«)2 + j/2 ’ ' }
если функция p(t) непрерывна в точке t = x.
Итак,
(х> У)+ А (х> У) + А	У) + А (х’ у>>	(9>
где
Л(», у) =	(-Й^. А(X, у)--у	(Ю)
-а	х+®
Л	у) = - ур (^) 5 (х-У+у» ’	(и)
х-е
J (X 7Л-цТ[р(а;)~Р<П] dt
J4\x> У) — У )	(ж_{)2 + г/г •
х-е
Полагая в (10) у = 0, найдём:
Л (х, 0) = J2 (х, 0) = о.
так как в определённых интегралах
х-е
Г p(t)dt
J (aJ-O2
(12)
(13)
(14)
Г p(t)dt
J (»-г)2
x4-s
to
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
подинтегральные функции ограничены, а следовательно, огра-
ничены и сами определённые интегралы (14). Полагая
t = x — |y|tga
найдём:
«о
С fit	1 С л 2;Iq	/4г\
j («-о*4-у*“ТуГ j da " Tyf ’	(15)
х-е	- «о
где
a0 = arctg(16)
Подставляя (15) в (11), найдём:
A (%> У) — ууу ^лаР (х)>
или
А (z, у) = ~ 2аор (х) при у > 0, 1
при у<0. }	<*’>
Как видно из (16),
ао = у при у = 0.	(18)
Таким образом, если координата у стремится к нулю, оста-
ваясь положительной, функция /8 (ж, у) стремится к предель-
ному значению —если координата у стремится к нулю,
оставаясь отрицательной, функция J8 (ж, у) стремится к значе-
нию тср(ж). Функция J8 (ж, у) претерпевает при у = 0 разрыв,
причём
J3 (х, + 0) = — -кр (х), J3 (х, — 0) = тер (х);	(19)
здесь через J3(x, 4-0) и J, (х, —0) обозначены предельные зна-
чения функции (х, у) по разные стороны от точки разрыва.
Пользуясь соотношениями (13) и (19), из формулы (9) най-
дём:
dV (xt -|-0)	,	. ч т	.	\ (\\	\
—4- тер (х) = J4	(х,	4-0),	I
dV(x, — 0)	. . т	.	f
—- г.р (х) =	(х,	— 0).	)
Из (12) находим:
1ЛИ1<ч|у1	'
Х-8
(20)
(21)
где у — максимальное абсолютное значение разности p(t) — р(х)
при я —е<г<х-|-е. Так как функция p(t) по предположению
§ U
ПРИВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
it
непрерывна в точке t = x, то будет сколь угодно малой при
достаточно малом е. Подставляя (15) в (21) и принимая во вни-
мание (16), найдём:
’	IЛ (*> у) I < 2|М <	(22)
На основании (22) из (20) следует:
|аГу0) + *Р И | < 1
Lr(:o) J
Так как неравенства (23) справедливы при любом сколь угодно
малом в, a стремится к нулю вместе с е, то
дУ (х, + 0)	, ч ч
ду = ~*Р	1
dV (х, -0)	. .
ду— =	J
(24)
если в точке t = x функция р(х) не претерпевает разрыва.
Исследуем4теперь поведение функции V (х, у) при удалении
на бесконечность точки с координатами ж, у. Полагая в (3)
х = г cos ср, y = rsin<p,
найдём:
R = ]/г2 — 2rt cos ср +t? = г	1 — 2 у сов ,
In -^ = In у — In j/" 1 — 2 у cos ср + .	(25)
Подставляя (25) в (2), найдём:
а
V (х, у) - In у р (/) dt =
—а
= — ^(tjlnj/^ 1 — 2 у cos<p + ^5 dt, (26)
— а
причём правая часть равенства (26) стремится к нулю, когда
г—>оо. Вводя обозначение
р (t) dt = Р,	(27)
-а
найдём:
У(£,у) — Р1п у—>0, когда г—> оо (г = ]/гх2 + у2). (28)
12
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Итак, решение исходного уравнения (1) сведено нами к по-
строению функции V (х, у), гармонической во всей плоскости ж, у,
кроме точек отрезка оси Ох — а<я<а, и удовлетворяющей
условиям (4) и (28)х). Построив функцию V (х, у), мы найдём
искомую функцию р(х) по одной из формул (24).
Прежде чем перейти к построению функции V (х, у), пока-
жем одно важное свойство, которым обладает уравнение Ла-
пласа (6). Произведём в этом уравнении замену переменных xt у
переменными 5,7], положив:
ж = ж (£,•>)), 1
Последовательно находим:
dF__dF dz. dF cty
5? дх д§ ’ ду дЕ, 1
дУ_дУ дх.дУду
dq дх d-q ~ ду d"q
(29)
(30)
(31)
dV	Yjo д*У дхду л дгУ Уду'\г дУ дгх дУ д*у
дЕ2 дх2 \dq J "* дхду д$д$ ду2 \dq J * дх di-2 ду дЕ2 ’
d^F_ d*V (дх\2 d2V дхду . d2F /dy\2 .dVdh dVd^y ™
di]2 дх2 \дг}У * дх ду ду dq* ду2 \ dig / дх drf'dy ду2 ’	''
откуда
d*V d^F^d^F Г (dx\2 . f^Y] 1 о d*V (fady , di:dy\ .
dE? "’"dig2 dx2 L \d(- J	-I ' дхду dq * дуду / *
+^[(Ю’+(юъ®а?+^<(в+^- <м>
Свяжем теперь функцию у (?,•»]) с функцией ж (£,?)) соотноше-
ниями:
ду_______ дх \
dq дтп ’ I
/ Я Г	(35)
ду^дх j
dq dq ‘ J
х) Задача построения гармонической функции по заданным её краевым
значениям носит в теории потенциала название задачи Дирихле. Сущест-
вование и единственность решения этой задачи доказаны при весьма общих
предположениях. В нашей книге на этих исследованиях мы не останавли-
ваемся.
§ 1]
ПРИВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
13
Необходимым и достаточным условием существования функ-
ции	удовлетворяющей соотношениям (35), является
условие
д /	_ д /
дЧЧ <^7	9
т. е. условие
— 4- —х=0
Если условие (36) выполняется, то функция у(?,^) может
быть найдена по функции ж($,т)) из соотношений (35) посред-
ством квадратур. При этом функция у (;,*}) определится с точ-
ностью до произвольного постоянного слагаемого. Из соотноше-
ний (35) вытекает, что найденная таким образом функция y($,iq)
будет удовлетворять уравнению
§+5=0-	<37>
Итак, если две функции я(Е,т)) и y(E,iq) удовлетворяют усло-
виям (35), то они должны быть функциями гармоническими, как
видно из (36) и (37). Если задана гармоническая функция х (;, iq),
то гармоническая функция у ($,?)), связанная с ней усло-
виями (35), может быть найдена посредством квадратур с точ-
ностью до произвольного постоянного слагаемого. При усло-
виях (35) гармоническую функцию y(E,iq) называют функцией,
сопряжённой с гармонической функцией x(?,iq).
Подставляя (35) в (34) и принимая во внимание (36) и (37),
найдём, что при условиях (35) будет иметь место соотношение
at* vx2 + a у* ) L V? 7 J
Это соотношение показывает, что если функция V (х, у) удо-
влетворяет уравнению Лапласа (6), то после замены переменных
(29) Эта функция будет удовлетворять уравнению
(39)
т. е. уравнение Лапласа сохраняет свой вид при замейе пере-
менных (6), если выполняются условия (35). Иными словами,
если в выражении для гармонической функции V (х, у) произ-
вести замену переменных х, у переменными В, iq, то мы получим
опять гармоническую функцию новых переменных при усло-
виях (35). Это свойство гармонических функций широко исполь-
зуется при решении краевых задач. Действительно, если тре-
буется построить функцию V (х, у), гармоническую в некоторой
области g и удовлетворяющую заданным краевым условиям
«4
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
на границе этой области, то, произведя замену переменных х, у
переменными с, tq, мы придём к задаче построения гармониче-
ской функции новых переменных Е, tq по краевым условиям,
заданным уже на границе новой области g*, в которую
переходит область g в результате преобразования перемен-
ных. В частности, если найти функции х (Е,т|) и у(Е, ?}), удов-
летворяющие условиям (35) и переводящие область g в пло-
скости хОу в круг Е2 +	1 в плоскости E(?iq, то можно свести
построение гармонической функции по краевым условиям,
заданным на границе области g, к построению гармонической
функции по граничным условиям, заданным на окружности.
Рассматривая решение исходного уравнения (1), мы пришли
к построению функции V (х, у), гармонической во всей пло-
скости хОу, за исключением отрезка оси Ох — а < х < а, по гра-
ничному условию (4) и дополнительному условию (28). Покажем,
что преобразование переменных х, у в переменные Е, тр
ёТТ*.
удовлетворяет условиям (35) и переводит всю плоскость хОу,
за исключением отрезка оси Ох — а < ж < а, в круг Е2-)-?)2 < 1
на плоскости Ют\ (решая (40) относительно Е и tq, мы получим
два действительных решения; из этих решений мы будем ниже
брать то, для которого Е2 + rf < 1).
Дифференцируя (40), найдём:
дх _ а Г - , тд2 — "I дх___ _
^“^1 +(?+?)Гl,	(? + ч2)2 ’
ду_ Г .	q2-?2
Таким образом, условия (35) удовлетворяются. Полагая в (40)
^s=pcos&,	= р sin &,	(42)
к полярным координатам р, & на плоскости ЕОт),
Х =
(40)
У =
(41)
т. е. переходя
найдём:
х —
(43)
У =
откуда
X*
= 1.
(44)
У
5 1]
ПРИВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
15
Уравнение (44) показывает, что точкам плоскости лежа-
щим на окружности радиуса р:
+ V =	(Р<1),	(45)
соответствуют точки плоскости хОу, лежащие на эллипсе (44)
с полуосями у (т’ + р)	К°гДа РаДиУс окруж-
ности р стремится к нулю, полуоси эллипса неограниченно воз-
растают, точке р = 0 в плоскости соответствует бесконечно
удалённая точка плоскости хОу. Когда р стремится к единице,
большая полуось эллипса —+ р^ стремится к а9 малая
полуось эллипса
стремится к нулю, а окружности
р = 1 на плоскости Ъ0т\ соответствует отрезок оси Ox — а<х<а.
Из (43) видно, что
у<0 при	|
у>0 при Тс<&<2тг. j	' '
Таким образом, верхней полуокружности р=1 на плоскости
ЕО?) соответствует нижняя сторона отрезка оси Ох —а<х<а,
нижней полуокружности —верхняя сторона этого отрезка. Пола-
гая р = 1 в первом из соотношений (43), получим зависимость
х = a cos &,
(47)
связывающую положение точки на отрезке оси Ох —а<х<а
с положением соответствующей ей точки на окружности р = 1
в плоскости SO?).
Итак, если в выражении для искомой функции V (х9 у), гар-
монической вне отрезка оси Ox —а< х <а9 заменить перемен-
ные х9 у переменными Е, т) согласно (40), то мы получим функ-
цию переменных 5, tj, гармоническую внутри окружности B2-f-T]2= 1,
т. е. удовлетворяющую внутри этой окружности уравнению Лап-
ласа (39) в переменных 5,7). Граничное условие (4) согласно (47)
примет вид:
У = /(асоз&) при р = 1.	(48)
Из (39) находим
Гг = + у1 = £[ (Р + у)*COS*О4- (р-мп2 0] =
= £ (р2 + 2 cos 2d +1) = $ (р* + 2р2 сов 2» +1),
откуда
- =---- 2(>	—.	(491
г а У р* 4- 2р* cos 2d 4-1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ	[ГЛ. I
Логарифмируя (49), найдём:
In у — In = — In У p4 + 2p2cos 2d 4-1.	(50)
Отсюда
In у — In —»0	при р—>0, г—>со,	(51)
На основании (51) находим, что условие (28) примет теперь
вид:
V —Р1п^-р—*0	при р—>0.	(52)
Таким образом, решение исходного уравнения (1) свелось
к построению функции V, удовлетворяющей уравнению Лапла-
са (39) внутри окружности р = 1 (p = l/'E2 + ^2) и условиям (48)
и (52) на окружности р = 1 и в начале координат р = 0. Поль-
зуясь соотношениями (43),найдём:
<Ур дх др * ду др
откуда
lim m = asin&lim ,
р-и V? У	v_0 \<>у J
(53)
(54)
так как у —*0, когда р—> 1. Но, как видно из (46), при 0 < & < к
у—>— 0 (т. е. стремится к нулю, оставаясь отрицательным),
когда р—>1, а при к < & < 2л у—> 4-0, когда р—>1. Таким
образом, согласно (54)
U₽ A=i“asini} vyA—о
VP/P^l	vy/wo
Подставляя (24) в (55), найдём:
~ s^n ^Р (а cos
(fF)₽M=“’tasin&/’(acos&)
при 0 < & < к,
при тс < & < 2тс.
при 0 < & < к,
при л < & < 2л
(55)
(56)
(аргумент х функции р (х) мы заменили на acos& согласно (47)).
Соотношениям (56) можно придать вид:
С^Ор i = TCa|sin&]p(acos&) (0<&<2тс).	(57)
Построив искомую функцию V, удовлетворяющую при р = 1
уравнению Лапласа (39) и удовлетворяющую условиям (48)
§ U
ПРИВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
17
и (52) при р = 1 и при р = 0, мы найдём искомую функцию р
из соотношения (57).
Перейдём в уравнении Лапласа (39) от прямоугольных коор-
динат Е, 7} к полярным координатам р, 8, полагая
E = pcos8, 7j = psin&.
Находим
dV dV Q , dV . Q
ЗГ = hf c°s 8 + 4- sm 8,
dp d£	dig 9
d*V d*V 2 g . о • g n , #*7 . _
TT-z- = 4= cos2 84-2	- sin 8 cos 8 + т-x sm-8,
dp- d§2	’ d;dig	dig2 ’
dF dV . Q , dF Q
^-^-psmo+^pcosd,
d2F daF 2 . 2 Q O d2F 2 . Q G I о 2G
77^2 = —г p sin2 8 — 2 p2 sin 8 cos 8 +	p- cos2 8 —
d82 dt* r	dfjdigr	1 dig2 r
dF g dF . Q
— p cos 8 — 4- p sin 8.
d<; r	dig r
Отсюда
d«F £dF £d«F _ d2F d2^
dp2 p dp ’ p2 dd2 ~ di-2 + dt? '
Итак, если в прямоугольных координатах Е, т] функция К
удовлетворяет дифференциальному уравнению (39), то в поляр-
ных координатах р, 8 эта функция V удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
d2F ldF ld2F
+ = <59)
Рассмотрим теперь функцию
1У(р,&) = У-Р1п^.	(60)
Подставляя V из (60) в (59), найдём:
. 1 dW . 1 dW n	,c..
+ Р <*Р р4 д»2 — °’
т. е. функция IV (р, &), определённая соотношением (60), будет
также удовлетворять уравнению Лапласа в полярных коорди-
натах. На основании (48) и (52) найдём:
PF(l,&) = /(acos&) —Р1п-| ,	(62)
Иг(0,8) = 0.	(63)
2
18
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
Подставляя V из (60) в (57), найдём:
+ Р== на [ sin & | р (a cos &),
откуда
р , ^ (1,8)
р (а сов &) =--------г-"	.
г '	1 па |si.i 0 |
(64)
Итак, отыскав функцию W(p,0), удовлетворяющую диффе-
ренциальному уравнению (61) при р< 1 и условиям (62) и (63)
при р = 1 и р = 0, мы найдём искомую функцию р из соотно-
шения (64). Построению функции, гармонической внутри дан-
ной окружности и принимающей на этой окружности заданные
значения, и посвящён следующий параграф.
§ 2. Некоторые методы решения задачи Дирихле для круга
Разложим функцию W (1, S) аргумента &, определённую
соотношением (62), в ряд Фурье. Так как функция VK(1,&),
согласно (62), чётная, т. е. W (1, — &) = РУ (1, &), этот ряд будет
содержать лишь косинусы углов, кратных &, т. е. будет иметь
вид:
W (1, &) = / (асов&) —Pin ^- = а0 + 2япС08л^-	(65)
П=1
Коэффициенты этого ряда Фурье а0,ах, а2,... могут быть, как
известно, найдены посредством квадратур по формулам:
2п
%= 2^ИЧМ)<й>,
о
2к
an =	V7(l,&)cosn&d&, п = 1, 2,...,
о
или
2т.
«.» i ^/(acos»)d»-Pln^ ,
о
2те
«п = ~ J/(acos &) cosn&dd, n=l,2,...	(66)
о
| 2] НЕКОТОРОЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РА ДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
Покажем теперь, что функцию W (р, 0), удовлетворяющую
дифференциальному уравнению (61) при р < 1 и условию (65)
при р = 1, можно найти в виде ряда
со
FF (р, &) = а0 + 2 an Р” С08 п8-	(67)
П=1
Находим:
СО	со
= 2 •" п р""’С08 718> yjj? = 2ап” (п — !) р"~* cos п&,
п=1	п=1
со
dzW
= - 2 апп’рп С08 га8-	С68)
П=1
Подставляя (68) в (61), найдём:
aw , 1 dw , i aw r z n , n « n л
d? + 7^7 +p-i ^аг=2я'‘[п(п_1) + п~п]Р СО8П& = 0’
n»l
т> e. функция Ж (?, 8), определённая рядом (67), действительно
удовлетворяет дифференциальному уравнению (61).
Полагая в (67) р = 1, убедимся в том, что и условие (65)
выполняется.
Подставляя (67) в (63), найдём, что должно иметь место
равенство
ао = 0.	(63)
Условие (69) определяет постоянную Р, которая до сих пор
оставалась неопределённой. Действительно, подставляя а0 из (66)
в (69), найдём:
Р = —Ц. [f(a cos &)	(70)
2n In ± 5
Подставляя (67) в (64), найдём:
СО
Р + ^Дпп cosnd
р(асоа8)------Йон—’	<71)
Вопрос о сходимости формально полученного нами при этом
ряда (71) мы пока затрагивать не будем.
2*
20
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. Г
Подставляя Р, 04,0с,,... из (70) и (66) в (71) и заменяя в (71)
а cos ft на ж, найдём искомое решение р(х) исходного уравне->
ния (1).
Рассмотрим примеры.
1) / (ж) = а = const.	(72)
Как видно из (66), в этом случае
а1 = ос2 = ... =0.
Из (70) находим:
P==-v-	(73)
In “
а
Формула (71) даёт:
(	Р
р (a cos ft) = —- . - .
r '	' sin 01
Полагая асоз& = ж, найдём:
а | sin & | = ]/"а2—a1 cos2 ft = |/ а2 — я2,
Формулы (74) и (73) дают для данного примера решение исходо-
ного уравнения (1).
2) /(z) = a-Az2.	(75)
В этом случае
/ (a cos ft) = а — 4а2 cos2ft = а — Аа2 — Аа2 cos 2 ft,
2	2
откуда, на основании (66) и (70),
«1 = 0, а4=—уЛа2, а3=а4=... = о,
1 л г
а- v Ааг
р---------	т
111 —
а
Из (71) находим:
р (a cos &) = ^|-V0| (Р - Ла2 cos 2&) =
1
Полагая в этом соотношении асоз& = ж, найдём:
р(х) = Р-±^2Ах\	(77)
к У а2—х2	4 '
§ 2] НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 21
Формулы (77) и (76) дают решение исходного уравнения (1)
для того случая, когда правая часть этого уравнения f (x)
имеет вид (75).
В общем случае установленная нами формула (71) даёт ренте*
ние исходного уравнения (1) в виде бесконечного ряда.
Покажем теперь другой приём решения задачи, который
даёт возможность в общем виде получить решение исходного
уравнения (1) в виде определённого интеграла. Докажем, что
функция Ж(р,&), удовлетворяющая уравнению Лапласа (61)
при 1 и принимающая при р = 1 заданные значения
JP(1,&) = F(&),	(78)
может быть представлена формулой
2те
ру/р {П = L £___F(?) (У-Р2)**? .	(79)
' 2те J 1-2 ocos(f-0)4-p2 ’
О
Правая часть формулы (79) носит название интеграла Пуассона.
При р < 1 частные производные от этого интеграла по р и по &
могут быть найдены непосредственным дифференцированием
под знаком интеграла. Находим:
2те
dW = £ Г F(y) [(1 +р2) cos(?-0)-2p] d?
др те j	[1 —2р cos (? —&)+ ра]2	’
О
2те
дZW _ 2 С F (?) [2 cos2 (у —0) — р (3 + Р2) cos (у — 0) — 1 + 3 Р8]
др2 те J	[1 — 2р cos (<р — 0) + р2]3	’
0
2те
dJW = _ 1_ Г F(?)(l-p2)p [2pcos2(?-0) + (l+p2) cos (у-0)-4 p] d<p
<>02	* j	[1 —2 p cos (?-D) +p2]3
0
Отсюда:
2те
dW , 1 dlF IdW _	_____F(?)________ /r,	9	2.
dp2 о dp ' p2 d92 «p J [1 — 2p cos (f—9) + p2ls P P ' P
о
-2p(l-p2)]cos2(<P-9)-b
+ [ - 2 p2 (3 + p2) + (1 + p2)2 + 4p2 — (1 - p2X(l + p2)] cos (<p — &) +
+ 2P(-1 + 3P2)-2p(1 + p2) + 4p(l -p2)}d<f =0,
т. e. функция W (p, 9), определённая соотношением (79), дей-
ствительно удовлетворяет при р < 1 дифференциальному урав-
нению (61). Найдём теперь предел, к которому стремится
интеграл Пуассона, когда р стремится к своему предельному
22
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
значению — единице. Разбив этот интеграл на сумму четырёх
интегралов, придадим формуле (79) вид:
w (р, 8) = л (р, 8) + Л (р,») + Л (р, 8) + Л (р, В),	(79')
где
т Ю , 1 У F(y)(l-p*)dy
Л(РЛ)~2к ^^pcos^-to+p1’	t80'
о
2те
J (а ,<П = — £ Р(У) (1-Р3)<*?	/ЯП
•МРЛ) 2к J 1-^Р cos (?-») +р8’	<81'
в 4-8
&4-S
Т (о - *W С (*-Р2Н?	/СОЧ
Л(рЛ)- } 1 —2р cos (? —&)4-р2 ’	<82'
в-в
Т (Q fn _ 1	W](l-p»)dy	8
Л(РЛ) —2к J 1-2 Р cos (?-а) + Р1 •	(83'
0-8
Полагая в (80) и (81) р = 1, найдём:
Л (1, В) = Л (1,В) = о,	(84)
так как’ при р = 1 подинтегральные функции в определённых
интегралах Д(р,0) и Д(р, 8) обращаются в нуль везде в обла-
сти интегрирования.
Полагая далее
о—а 1—р. z «	* \
Ъ — =1+Ftga <-2<а<т)’
найдём:
СОВ (ф - 0) ==_° 2 - = (1+р)* С05’ а~ (*—P)*sin*a =
! tg8?-(l+p)s COSsa+(l—p)Isiii*a
__2p + (1 + p8) cos 2x
1 + p2 -f- 2p cos 2^ ’
4 - 2P co. (T _ 8) + P-= 1 + - 2p	=
=
1 + 2p cos 2jl 4- P2 9
(1 + tgs	sec3 a da,
> __ 2 “ P	sec2atb _____ ______2 (1 —p2) di____
T_	~ (* + ₽)2 COS2 a + (1-₽p siu« a =
==	2(1—p2) da
= 1 4-2p COS2a4-p8 9
§ 2] НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 23
а, таким образом,
ВЧ-8	<Уо
5 1-2 р(соз (?-»)+₽s= 2 5 dae4“”
В—а	-<х0
где
a. = arctg tg |	(о < а, < у) .	(86)
Как видно из (85) и (86),
а0<у прир<1, а„ = у прир = 1,
Не
-1	. < 2к при р < 1,	(87)
J , 1—2р cos (?—&) +р1	r r	v '
В-8
0+8
( -1—п -1"/ г -,- = 2тс при р=1.	(88)
J 1—2р cos(?—0) 4- р’	г г	\ /
в-в
Подставляя* (88) в (82), найдём:
JS(1,8) = F(&).	(89)
Подставляя (84) и (89) в (79'), найдём:
JP(1,&)-F(9) = A(M).	(90)
Из (83) находим:
Я*
|Л(?Л)|<£\ 1_-2р(с107(?-»)+? прир<1, (91)
Э-8
на основании (87) и (88). Здесь rj максимальное абсолютное
значение разности F (ср) — F(&) при е<ср<&4-е. Так как
по предположению функция F (ср) непрерывна в точке <р —0,
то т) будет сколь угодно малой при достаточно малом е. Из (90)
и (91) следует неравенство
|V7(1,&)-F(&)|<tJ.	(92)
Но так как неравенство (92) справедливо при любом сколь
угодно малом s, a rj стремится к нулю вместе с е, из (92)
следует:
Ж(1, &) = F(S),	(93)
т. е. функция W (р, &), определяемая формулой (79), при р=1
действительно обращается в заданную функцию F(&). Полагая
В (79)
F (8) = / (a cos 8)-Р In | ,	(94)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
получим функцию W (р, 0), удовлетворяющую дифференциаль-
ному уравнению (61) при р < 1 и граничному условию (62)
при р=1. Подставляя (94) в (79), найдём:
2» Г/(а COS?) —Pin 41 С1"?’')
И' (Р- ’> - й J 1-2, <,,,(,-») + ,	<96>
Г	0
Полагая в (86) и (85) е = тг, найдём:
ао = у при е==7Ь
С ____(1 ~ Р2) ____ __ n
J 1 —2р cos (ср —а) 4-р2	1 '
о
Таким образом, формуле (95) можно придать вид:
2*
w (о, 9) = — _/_(ac_°s ?) (1 — t>a) й	р j 2	/97ч
' 2n J l-2pcos (?-»)+₽’ Г	a "	V”'
Подставляя (97) в (63), найдём:
2 тс
Р = —f(a cos<p) d<p.	(98)
2к In —
a u
Формулы (97) и (98) определяют искомую функцию W (р, д),
удовлетворяющую уравнению Лапласа (61) при р < 1 и усло-
виям (62) и (63) при р = 1 и при р = 0. Чтобы найти искомую
функцию р(х), остаётся подставить (97) и (98) в (64). При р< 1,
выполняя дифференцирование под знаком интеграла, из фор-
мулы (97) найдём:
2тс
дИЧр, fl) = 1 С / (д cos ?)[(! + р2) cos (у — а) — 2pl dy	Qq
д? п J [1 - 2р cos (<р - 0) + р2]2	’
Пользуясь тождеством
д / sin (? —В) \ _______ (1 + Р2) cos (? — 0) — 2р
д<р\1 - 2р cos (<р - а) 4- р2у “ [1 — 2р cos(<p—а)+р2]2
и выполняя в (99) интегрирование по частям, придадим фор-
муле (90) вид:
2к
арГ (;>, 8)	а Г /'( a cos у) sin ? sin (у - 8) d?	HOOi
др	л J 1 — 2p cos (y — a) + p2	'	'
LI
(по условию функция / (x) непрерывна и имеет кусочно-непре-
рывную производную).
§ 2] НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУТА 25
Формально полагая в (100) р = 1 и принимая во внимание
тождество
. /	2 S1H — COS L—-	_
sm (?-а) =	2_____2 =
1-cos (<?-&)	2sin2fZL?	2 ’
найдём:
2%
dW (р, 0) a i г, ,	у. .	.	? —0 j	/аг\а\
—= 2^ \ / (acos?)sin<pctg^r-d<p,	(101)
ИЛИ
2%
- 1 t1"1^ cig^dy.	(102)
dp	2n J df ° 2 T	v 7
0
He останавливаясь пока на вопросе о существовании полу-
ченного определённого интеграла (102) и подставляя (102) в (64),
найдём:
2к
р (a cos 8) = — Г Р — 2- (	) ctg LZL? <Z<p ~]. (103)
'	7 на | sin 01 L j d<p ° 2 T J 7
0
Подставляя P из (98) в (103) и заменяя в (103) acosS на х,
найдём искомое решение р(х) исходного уравнения (1).
Итак, для искомой функции р мы получили две формулы
(71) и (103). Остановимся коротко на их сопоставлении.
Дифференцированием по & из формулы (65) найдём:
^%7а) = -Дапп81Пп&.	(104)
Если функция Ф(8) представляется рядом Фурье
Ф (&) = ал Ц- 3 (ап cos и& 4- bn sin п8),	(105)
71=1
то ряд
оо
2 (ал sin n8 — bn cos п8)
П = 1
называют рядом, сопряжённым с рядом (105), и сумму этого
ряда, если он сходится, обозначают через Ф(&):
Ф (&) = 3 (ал 8*п	— Ьп cos п&).	(106)
п = 1
Пользуясь этим обозначением, из (104) найдём:
_d/(acoS8)_=^anWcosna	(107}
а9	П = 1
26
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
На основании (107) формуле (71) можно придать вид:
] (ИЗ)
В теории тригонометрических рядов доказывается, что суммы
сопряжённых рядов Ф(&) и Ф(&) связаны между собой зависи-
мостью *)
2%
Ф(&) = -$ ф(?)с d4-	(Ю9)
о
Отсюда
____________ 2тс
df (a cos В)______1 С df (a cos?)
dO “ 2к J d?	2
0
(НО)
Подставляя (110) в (108), получим формулу
2к
'(“«»)- в- [Р-«8Ч-’*]
и
совпадающую с формулой (103). Итак, если в общей фор-
муле (108) функцию	представить в виде тригоно-
метрического ряда (107), сопряжённого с рядом Фурье (104)
для функции	f мы получим формулу (71), определя-
ющую функцию р в виде бесконечного ряда. Если же восполь-
зоваться интегральной формулой (110), мы получим из общей
формулы (108) формулу (103), представляющую функцию р
в виде определённого интеграла. При выводе формул (71) и (103)
мы пришли к ряду (107) и к определённому интегралу (110),
формально полагая р = 1 в первой из формул (68) и в фор-
муле (100). Вопрос о сходимости ряда (107) и эквивалентный
вопрос о существовании определённого интеграла (110), подинте-
гральная функция которого обращается в бесконечность при
ф = &, остались при этом открытыми. В области теории тригоно-
метрических рядов этим вопросам посвящено большое коли-
чество исследований. Не останавливаясь на этих обширных
исследованиях, отметим лишь следующие. Функцию /' (х) мы
предполагаем кусочно-непрерывной. При этом ряд (104) будет
всегда сходящимся (в частности, для точек разрыва функции
/' (х) этот ряд будет давать среднее арифметическое из предель-
г) См. Михлин С. Г., Приложения интегральных уравнений к неко-
торым проблемам механики, математической физики и техники, ОГИЗ,
1947, стр. 91.
1} 2] НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 27
«	df(a cos О)
них значении производной -—- при подходе к точке раз-
рыва справа и слева).
Однако сходимость ряда (104) не влечёт ещё за собой схо-
димости сопряжённого ряда (107). В частности, для точек раз-
рыва функции f (х) этот ряд расходится, и соответственно, опре-
делённый интеграл (110) не имеет смысла. Решение р(х) исход-
ного уравнения (1) бесконечно возрастает при подходе к точке
разрыва функции f (х). Ниже, в § 3, мы указываем некоторые
достаточные условия, которым должна удовлетворять функция
f (х), для того чтобы функция р (х) оставалась ограниченной,
и указываем при этом приём вычисления определённого инте-
грала, определяющего решение р(х) исходного уравнения (1).
В заключение этого параграфа укажем ещё одно преобразо-
вание полученной нами для функции р формулы (103). Полагая
ср = 2ти — ф',
найдём:
df (a cos <р)	.	.
" dy ~ д sin у / (а СОЗ у) =
//// /ч d/(aco3$')
= a sin ср / (а cos ф ) =-df’ 9
Ctg = Ctg (j-	= — ctg т— ,
“к
fd/(acos©) .	Cdf(ac03<t') .	/	/ллл\
у  df—ctg —d^=y df' ctg —d? •
к	0
Отсюда
r df (а cos©)	C df (a cos <p) f . ? —8 .	? + з
\ df — ctg—d4=y df btg —+ctgMd?=
о	0
= ^dHacosli_siM_
J a?	cos 0 — cos <p	\
0
так как
otg’-=5+ctgq-e=
© — 0. © + & .	ф — 0
cos L_ Sln __ + COS — sin — _ sin ?
Ф + 0 ~ 9 — 0	1 ✓	4 •
sin T-' -- Sin	-y (cos & — cos <P)
2	2*
Подставляя (112) в (103), найдём:
x
/	1 Гл 1 f d/(acos<p) sin . 1
р (а cos &) = --|si|Tyr [ Р - - \	?-ет-cos, J • (113>
о
28
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Полагая
найдём:
acos& = x, a cos ср = £,
а | sin & | = у a2 — a2 cos20 == '[fa2 — х2,
(114}
df (д cos?) = — а sin <р/'(а cos <р) = — a2 — t2f(t) жри

1
л д2 — х2
/Z(Q /д2 — tMt
t — X
(115)
Формуле (98) можно придать вид:
Р =------ \ /(acos<p)d<p,
«1п- о
или, полагая a cos ср = £,
1 Г f(t)dt
Р , 2 J Уat—t? ‘
"1п7-«
(116)
Формулы (115) и (116) определяют решение исходного уравне-
ния (1).
§ 3. Решение основного уравнения плоской контактной задачи
посредством функций комплексного переменного
В этом параграфе мы приводим ещё один вывод формулы
(115), дающей решение уравнения (1). Этот вывод основан на
элементарных понятиях о функциях комплексного переменного.
В дальнейшем метод решения уравнения (1), приводимый в этой
главе, даст нам возможность получить решение более общих
уравнений.
Если в выражении для функции F (х) аргумент х заменить
комплексным числом x-{-iy, то мы получим в общем случае
комплексное число F(x4-Zy), действительную и мнимую части
которого мы обозначим через и и v:
и + w = F (х + iy).	(117)
Если изменять действительную и мнимую части комплексного
числа x-J-Zy, то при этом будут меняться действительная и
мнимая части комплексного числа u + Zu. Иными словами, и и и
будут функциями двух переменных х и у:
и = и(х,у), и = и(х, у).	(118)
s 3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 29
Так, например, если?’ (x) = i2,to F (x+iy)=(x + iy)2 = x!—y2+2ixy,
и в данном случае и = х1 — у2, v = 2xy. Исследуем свойства
функций и(х, у) nv(x,y), определимых соотношением (117).
Дифференцируя (117), найдём:
+ i'	= F' (х 4- iy),
дх 1 дх v 1
+ i’	— IF' (х + iy),
ду 1 ду '	1	9
откуда
. f ди . .	ди . . до
И 5- +4 5" ) = Л“
1 дх J ду 1 ду
(119)
(120)
Сравнивая действительные и мнимые части правой и левой
частей соотношения (120), найдём:
до   ди
дх	ду 9
до___ди
ду дх*
(121)
Как мы уже знаем из § 1, соотношения (121) свидетель-
ствуют о том, что функция v (х, у) будет гармонической функ-
цией переменных х, у, сопряжённой с гармонической функцией
и (х, у). Таким образом, зависимость (117) каждой функции F (х)
ставит в соответствие пару сопряжённых гармонических функ-
ций и (х, у) и v(x, у), которые мы найдём, отделяя действитель-
ную и мнимую части в выражении F(x + iy). Обозначив через z
комплексное число x + iy, будем называть F(z) функцией ком-
плексного переменного z. Действительную и мнимую части F(z)
будем соответственно обозначать через ReF(z) и ImF(z):
и (х, y) = ReF (z), о (х, y)=ImF (z).	(122)
Итак, действительная и мнимая части ReF(z) и Im F(z)
функции комплексного переменного F (z) являются сопряжён-
ными гармоническими функциями переменных х и у.
Рассмотрим теперь функцию комплексного переменного z:
Г p(t)dt
J t — z
(123)
(124)
Находим:
F(z)=
a
p(t)dt _ f p (t) (t — z-h iy) dt
t-x-iy— J (t-x)24-y2
-a
30
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ.
Отделяя действительную и мнимую части в (124), найдём:
ReF(z) =
С Р (О (* — ж) dt
J (t —я)2 + </а
— а
а
Т™ 17____ С Р У dt
— а
Сравнивая (125) и (5), найдём:
ReF(z) = ^-<^>,
ImF(z)=-^g^.
(125)
(126)
Итак, функция F(z), определяемая соотношением (123), свя-
зана с логарифмическим потенциалом простого слоя V (х, у),
определяемым формулой (2), соотношениями (126), откуда
(127)
Условие (4) для функции V (х, у), согласно (126), даёт:
Re F(z) = /'(#) при у = 0, | х | < а.	(128)
Второе из соотношений (125) непосредственно даёт:
Im F(z) = О при у = 0, | х | > а.	(129)
Наконец, из (24) и (126) следует:
ImF(z) = itp(x)	при у=4-0, |х|<а, )
ImF(z) = — тгр(х) при У — 0, |х| < a. J	"
Разложение функции F (z), определяемой соотношением (123)г
в ряд по степеням 1/z, или, как говорят, разложение в окрест-
ности бесконечно удалённой точки плоскости хОу, даёт;
'М- ^(<)(1+±+^+...)й_1- + 5 + ?1+.... (131>
—а
где а0, at, ... — действительные числа, причём
а
-О
ИЛИ
а. = —Р	(132>
§ 3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 31
согласно обозначению (27). Такгм образом, в окрестности бес-
конечно удалённой точки плоскости хОу функция F(z) должна
иметь разложение
F(z)=-^- + 5- + $ + ...	(133)
Итак, решение уравнения (1) сведено нами к построению
функции комплексного переменного F(z), удовлетворяющей
условиям (128) и (129) на оси Ох и условию (133) в бесконечно
удалённой точке. Построив функцию у
F(z), мы сможем найти решение р(х)
уравнения (1) по одной из фор-
мул (130).
Рассмотрим сначала простейший
случай, в котором
f (ж) = а = const, при | х | < а. (134)
Рис. 1.
Обозначив через F0(z) функцию ком-
плексного переменного z, решающую в этом случае постав-
ленную задачу, найдём для неё, согласно (128) и (129), условия:
Re Fo (z) = 0 при у = 0, | х | < а,
ImFo(z) = O при у = 0, | х | > а.
Рассмотрим функцию
z xQ,
где — действительная постоянная. Находим:
z — х0 = х — x0 + iy.
Полагая
х — х0 — г cos ф, у = г sin ф
(рис. 1), найдём:
z —	= т (сов <р + £ sin ) = геЧ
Отсюда
= У г е ’ 2 .
Для определённости будем считать, что		
<р = 0	при	у = 0, х > xt
и далее (рис. 1): <р = те	при	У = + 0, X < х0,
<р = —те	при	У = —0, х< ха.
(135)
(136}
(137)
(138)
(139)
32
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. Г
В то же время
г = |х —х0| при у = 0.	(140)
Из соотношений (137), (139) и	(140)	следует:
j/rz — x0 = \/rx — xa	при	у = 0,	х>хв,	)
j/z —х0=г |/хв —х	при	у= 4-0,	х<х„,	|	(141)
p^z —х0= —t j/x0 —х	при	у= — 0,	х<хл,	J
так как
.к	.те
»<7	те . те	- Ц	те . . те
е г = cos — 4-1 sin — = i, e 2 = cos— — i sin - = — i,
Полагая в (141) xQ — а и a?0= -а, найдём:
|Zz —a =	a, x>a>
\fz + a= j/x + a, x> —a, y = 0,
z— a = i\fa — x, x<a,
}/z + a = i\f — a — x, x< — a, y=+0,
j/z — a= — a — x, x<a,
z-±	—a —x, x < — a, y=—0.
откуда
1 н II т *3		> а>	у = 0,
м 1 а г* II а 1 ы Ь9	— а < х	< а,	у — 4-0,
к tv II J. а 1 н 1С	— а < ж	< а,	у= —о,
& tQ II н № 1 а to	ж <	— а,	у =40.
Р___
]/z2 — а2
(142)
Покажем теперь, что функция
F0(z) =
(143)
удовлетворяет всем поставленным условиям.
Действительно,
1
Р Ра2 ЪРа*
z	2z3	8z5
(144)
§ 3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 33
т. е. условие (133) выполняется. Подставляя (142) в (143),
найдём:
(145)
Соотношения (145) и (146) показывают, что выполняется усло-
вие (135).
Сравнивая (130) и (146), найдём:
p(s) = —4=,	(147)
те у а2 —ж2
что совпадает с найденным ранее решением (74).
Переходя к общему случаю, будем искать функцию F(z),
удовлетворяющую условиям (128), (129) и (133), в виде
F(z) = F.(z)®(z),	(148)
сводя определение функции F (z) к нахождению функции Ф(г).
Как видно из (146), при | х | < а, у = ± 0 функция Fa (z) чисто
мнимая. Следовательно,
Re F (z) = iFt (z) Im Ф (z) при | x | < a, y=±0.	(149)
Подставляя в (149), (128) и (146), найдём:
/' (г) = - 7^—-- 1тФ (z),
У а1 — х2
У = 4-0, |®| < а,

у= -0, |z|<a,
откуда
1т Ф (z) = — ~	а? —х* f (х),
Im Ф (z) = ~	— х* /' (х),
| ®| < а, У= 4-0,
|®| < а, у = — 0.
з II. Я. Штаерман
(150)
34
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Как видно из (145), при | х | > а, г/=0 функция Fo (z) дей-
ствительная. Следовательно,
Im F (z) = Fo (z) Im Ф (z) при |z|>a, y=0.	(151)
Подставляя (129) и (145) в (151), найдём:
1тФ(г) = 0 при | х | > а, ?/ = 0.	(152)
Будем искать Ф(г) в виде:
Ф(г)= V Я^ + С)	(153)
где с — действительная постоянная. Пользуясь формулами (123)г
(129) и (130), найдём:
Im Ф (z) = кд (х)	при	|х| <	с а, у=+о,
Im Ф (z) = — кд (ж)	при	|®| <	Z У= —0,
Im Ф (z) = 0	при	1®1:	> а, У =
(154)
Сравнивая (150) и (152) с (154), придём к тому выводу, что
функция Ф(г), определяемая соотношением (153), будет удо-
влетворять поставленным условиям (150) и (152), если положить
?(«)=- -р/а -	/' (*)•	(155)
Подставляя (155) в (153), найдём,
ф & = - i \	+с- (156>
—а
Подставляя (143) и (156) в (148), найдём:
р(^)=	' J i(157)
п У z2 — a2 I J i — z
” —а	J
Итак, функция F(z), определяемая соотношением (157),.
удовлетворяет условиям (129) и (130). Раскладывая эту функцию
в ряд по степеням 1/z, найдём:
<158>
где 6в,	&2, ...—некоторые действительные коэффициенты.
Сравнивая (133) и (158), придём к тому выводу, что условие
| 3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 35
(133) будет выполняться, если положить
С»1.
Подставляя (159) в (157), найдём:
1 Г С /'(t) Va2- t2dt
a2 L i —2
—а
(159)
(160)
Чтобы найти искомую функцию р(х), остаётся подставить (160)
в (130). Согласно (142) функция	— аг при |х| < а, у — ±0
чисто мнимая. Следовательно,
,ш F и - .т/Ьз [Re 5	-”₽] <*«)
—а
при |®| < а, у= ±0.
Принимая во внимание соотношение
Re c F(t) /a2-t2dt =Re f r (t) y-^T2(t-x+iy)dt
J f — 2
-а
(t-х)2 +У2
-a
/'(t) y/ra2-t1(t -x)dt
(t-x)2 + y2'
и соотношения (142), найдём:
ImF (z) =
f(t) /а2 - t2 (t-x) dt
(t - x)‘ + y2
—a
при |x| < a, y= +0,
Im F (z) =
(162)
F(z) =
а
(»— «)“ 4- у1

— a
при | x| < a, y = — 0.
Формально переходя к пределу в формулах (162), т. е. полагай
в определённых интегралах, входящих в эту формулу, у = 0
и сравнивая (130) и (162), найдём:
„ w _ _« Г р_ А ( ШДНГ *1,	(163)
nVa2-x2L " J 1~х J
— а
что полностью совпадает с полученной в § 2 формулой (115).
г*
36
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕ^ШЕ
[ГЛ. I
Остановимся на этот раз более подробно на последнем пре-
дельном переходе, приводящем нас к формуле (163).
Разобьём определённый интеграл
J (х> У> - J--(г-^+у»------	<164)
-а
на четыре слагаемых:
J(x, y) = Jl(x, y) + J2(x, •y) + Ji(x, y) + Jt(x, у), (164')
где
(165)
— а
т . ч С /'<«) Vab-mt-xjdl
Л(х,у)= }	(t-xy+^-----’	(166)
х+й
J,(г, у) =	о-?)<,	(167)
х-е
(?, у) = f (х)	J	•	<168>
Х-8
В определённых интегралах (165) при у=0 подинтегральные
функции остаются ограниченными во всей области интегрирова-
ния. Таким образом,
л,1’0)=! (169)
-а	*+з
Далее,
г (t — x)dt £ I ro_x)S_L=
} (е_х)г + у‘ 2 Н* Т У h=z-e
- J[ln(e2 + /)-ln(e’4V)]=0,
откуда
Л(®, y)e0>	У>0иу<0.	(170)
На основании (169) и (170) из формулы (164') найдём:
J (х,
±0)-	dt- ( ШД2^-2 dt=
4- 7 J t — x	J t — ж
-a	«4-8
= /,(x, ±Q); (171)
§ 3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 37
Остаётся исследовать предельные значения J3(x, +0) и
J3(x, —0) определённого интеграла J3(x, у). Говорят, что функ-
ция ср (0 в точке t = х удовлетворяет условиям Липшица,
если в достаточно малом интервале (ж —а, х + &) можно подо-
брать такие две положительные постоянные М и а (0<а^1),
чтобы выполнялось неравенство
|cp(Z) —cp(x)|<M|Z —при х —	+	(172)
Если две функции <рх (t) и ср2 (t) удовлетворяют условию Липшица
в точке t = x, т. е.
1711(0—*1’*, |?»(0-т»(®)1<^»1 G—Ol’s
0<а,<1, 0<а2<1, х — e^t^x + e, (173)
то и произведение их
<р(0 = ?1(0?2(0	(174)
также будет удовлетворять условию Липшица. Действительно,
7 (0 - 7 (О = 71 (0 7» (0-71 (071 (О =
= [71 (0-71 (О] 71 (О + [71 (0 - 71 (0171 (0»
откуда на основании (173)
| ? (0 “ ? (Х) I <	U — Х I’1 I ?2 (Х) | +	| * “ Х Г2 < М I t — X р,
Х — 2 X + *,	(175)
где т1 — максимальное абсолютное значение функции <Pi(f)
в интервале (ж —е, х + &), М = ЛГх|ср2(а;)| + М3т19 а —меньшее
из чисел ах и а2 (в (175) мы предполагаем, что а во всяком
случае меньше единицы).
Итак, пусть функция f (t) удовлетворяет в точке t = x
(— а < х < а) условию Липшица. Тогда и функция /'(t) j/a2 — t2
будет удовлетворять условию Липшица в этой точке, так как
при —а< х < а —£2 удовлетворяет условию Липшица с а,
равным единице:
I	-- )/"а2 — я21 < тп | £ — я |, х — е < J< я + а,
где ттг — наибольшее абсолютное значение производной по t от
Vа* — в интервале (ж —а, х + а). Таким образом, будет иметь
место неравенство
I /' (0 a2 — t2 — /' (х) j/a2 —я21 <М| t — х |в ,	0 < а< 1,
Ж-а<^<ж + е.	(176)
8
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
На основании (176) из (167) находим:
|Л(Х, у)|<^ 5(T^+V’ °<а<1-	(177>
Z—в
При у = 0 подинтегральная функция в (177) обращается
в |Z —ж]®"1 и остаётся интегрируемой, так как 0<а<1. Таким
образом,
I /»(®» ± 0) I <Л/ J
Z-6
= 2М (t - xy-'dt = (t - х)'	= v е’-	(178)
X
На основании (178) из (171) находим:
|/(1, ±0)-‘У'(,>,^?^^-	(179)
-a	z+e
Из (179) видно, что J (х, у) остаётся ограниченным, когда у
стремится к нулю, причём
J {х, ± 0)= lira ( /,(t) Vf.?*"** dt+ {	Л . (180)
8->0 \ J t~x	J t — X	J
— a	z+ e
Выражение, стоящее в правой части равенства (180), называют
главным значением интеграла
5	*,	(181)
—а
и пользуются для него обычным обозначением определённого
интеграла, оговаривая то, что под написанным интегралом
следует понимать его главное значение, т. е. предел суммы
двух частей этого интеграла, стоящий в правой части равен-
ства (180).
Итак, на основании (180) из (164) находим:
lim С (0	~~ (g ~~ x) dt _ C f (0	—
v»±o J (t-x)«-b2/a	~ j *-x dt> <182'
— a	—a
если функция /'(t) удовлетворяет условию Липшица в точке
§3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 39
t = х (— а < ж < а), причём под определённым интегралом,
стоящим в правой части соотношения (182), следует понимать
его главное значение, т. е. предел, указанный в правой части
формулы (180).
Подставляя (182) в (162), найдём:
taFW =------*	( ( т£?Е?
в’ — X* \ J t-X	J
—а
при I х I < а, у = + 0,
;	 (183)
—а
при | х | < а, у = — 0,
откуда, согласно (130),
—а
Итак, для того случая, когда в точке t—х ( —а<я<а) функ-
ция /'(t) удовлетворяет условию Липшица, мы обосновали вывод
формулы (163), ранее полученной нами в результате формального
предельного перехода, и доказали, что функция р(х), определяе-
мая формулой (163), будет в этом случае ограниченной, причём
под определённым интегралом, входящим в формулу (163), над-
лежит понимать его главное значение и вычислять его как
предел суммы:
(тДЕ^,.
J t — х
—а
= ( W?3 л + ( miZEZ л ). (185)
е->0 х J 1 х	J I — х	/
-а	аН-в
Рассмотрим в качестве примера тот случай, когда
/(х) = а- Л|х|к+Х (0<Л<1),	(186)
/(а:)==а — Axktl при х > 0 и f(x) = a — A( — х)к*1 (187)
при х < 0.
Дифференцируя (187), найдём:
f(x)— — А (А 4-1) ж* при х > 0, /' (х) = А (к 1) (— х)к (188)
при х < 0.
40
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Подставляя (188) в (184), найдём:
(189)
причём под знаком интеграла в (189) знак плюс надлежит брать
при t > 0, знак минус при t < 0, и под этим интегралом сле-
дует понимать его главное значение. Как видно из (188), при
х =# 0 функция /' (х) имеет непрерывную производную и удовле-
творяет условию Липшица с показателем а=1. При я = 0
функция /' (я) удовлетворяет условию Липшица с показателем
а=А, если 0 < к< 1, и не удовлетворяет условию Липшица,
если А = 0. В частности, при А=0 функция /' (х) в точке х = 0
претерпевает разрыв:
/' (х) = — А при х > 0, /' (х) = А при х < 0.
Итак, если 0<А<1, то функция р (х), определяемая формулой
(189), будет ограниченной везде внутри интервала ( — а, а). При
А=0 мы можем лишь утверждать, что функция р(х) будет
ограниченной при — а < ж < 0 и 0 < х < а.
ПроведёхМ выкладку до конца для предельного случая к = 0.
В этом случае формула (189) принимает вид:
р (х) = —* (р + Д ( ±^fa2~t2 dt') .	(190)
—a
Находим:
(191)
Полагая далее
x= a~ ^a2~ta>	a~
найдём:
, 2a (l-^2)dT
(1 + <c2)2	’
_ g (I-*8)
F	~ V	(1 + T2)2 — V (i 4- T2)2 “ 1 + T2 ’
x	CCI + 'C2)	i + t2 f
I 3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 41
откуда
dt = — 2 =
(’-« (’- J)
2< / 1	,	1	\ ,
— 1 _ p I <c _ $ + 1	) ‘fc
\	< I
= 1-^dlnpl=1-^Fdlnl^. (193)
T“'c	1 z
Находя главное значение определённого интеграла
а
С	dt	(х
\ —  z v при о < х < а,
получим:
а	О
С d±__	Г dt	]
+ lin>[	х+ (	-$-ё----X- (194)
Принимая во внимание (193) и (192), находим:
42
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
•Согласно (192) и (196) находим:
г х_________ а — l^a2 — (х 4- е)1
La — 1^а2 — х2_______х + в_____
Г а — а2 — (х 4- s)2 а — уга2 — х2 '
L ®+е	х „
In lim •~О£~‘(а:~‘£)/а2~‘а:2 + а:У<о>-‘^'‘£)>
e-Hj — х а2 — (х 4- е)2 — ае 4- (х 4- е) а2 — х2
Подставляя (197) в (195) и заменяя
согласно (192), найдём:
(197)
после этого 5 на х,
2х , а •“ а2 X2 л	! л Ant
= —In--------------------, 0 < х < а. (198)
у а2 — х2	®
Проводя аналогичные вычисления для случая — а < х < О,
найдём:
f-----—	------7^= In a~yai~xJt _ a<x<0. (199)
J ± /a2-t« (-J--1) y^a2~xi ~x
Формулы (198) и (199) можно объединить в одну:
0<|х|<а. (200)
$ 3] РЕШЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 43
Далее,
а	а	а
Г	  Г	tdt д_	С
J ±	~ J ± /а2- J ± У
—а	—а	-а
а
= 2 $ у^~2^°^1г2а- (201)
о
Подставляя (200) и (201) в (191) и (190), найдём:
р (х) = /	( Р - — - —	In a-V'ai~x*'\ ,	(202)
7 я/а2-А тете'	\х\ У к '
0 < | х | < а.
Как видно из (202), найденное решение уравнения (1) стре-
мится к бесконечности, когда х стремится к нулю. Когда
|ж|—>а, найденная функция р(х) также стремится к бесконеч-
ности, за исключением того случая, когда
Р=-а.	(203)
те
В этом частном случае
a~-^~Xi,	0<|«|<a,	(204)
л	| х |
и обращается в нуль при |х| = а.
Подставляя (187) в (116), найдём:
Далее,
а
Г dt	. t |«
I	- = arc sm— =rc,
J /д2_(2	a I—a
—a
(205)
? ±^L=2C —^= = 2/а’-сГ=2а.	(206)
J l<a2-t2	J ]/a2-t2	r	la
-a	0
Подставляя (206) в (205), найдём:
(207)
и
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Сравнивая (203) и (207), найдём, что условие (203), при кото-
ром исходное уравнение (1) имеет решение (204), будет выпол-
няться в том случае, если будет иметь место равенство
^(1+1“ «)=••	(208)
Формулы (202) и (207) решают рассматриваемую задачу
в общем случае, при произвольных значениях постоянных а, а
и Л; если же выполняется условие (208), формулы (202) и (207)
переходят соответственно в формулы (204) и (203).
§ 4. Случай нескольких участков интегрирования
в основном уравнении контактной задачи
Рассмотрим теперь решение уравнения, более общего, чем
уравнение (1);
п. Ьщ.
2 $ Р Wln |TZ7]dt = f	am<x<bm (те = 1, 2,п), (209)
тп=1 ат
где /(ж)—функция, заданная в п интервалах аргумента
я < (т = 1, 2, ..., п), а р (х) — неизвестная функция,
подлежащая определению в этих п интервалах аргумента.
В том частном случае, когда 71=1,^=—а, Ъх = а, уравне-
нение (209) переходит в уравнение (1).
Рассмотрим функцию комплексного переменного
п
F(z)e2Fm(z),	(210)
где
Ьщ
Fm(z)=$-T?r- (те = 1, 2, ..п).	(211)
ат
Согласно (127)
(212)
где
vm (х, у)=Л р (t) In -	1 dt (т = 1, 2, ..п). (213)
J У(«-®)2 + уа
ат
Уравнение (209) эквивалентно условию
п
S Vm(x,Q)^f(x), ат<х<Ьт (/п = 1, 2, ...» п), (214)
з!
$ 4]
СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
45
налагаемому на функции Vi (х, у)9 V2 (х, у), ..(я, у), или
условию
п	п
Re F (г) = 2 Re Fm (z) = 2	<x> °)e /' W (215)
m=l	m—i
при y = 0,	a,n<x<bm (m = l,2,
налагаемому на функцию F (z).
Соотношениям (129) и (130) будут отвечать соотношения
Im Fm(z) = 0 при
ImFm(z) = ±irp(x) при
откуда
п ’
Im F(z)= 2 ImF(z) = 0 при у — 0,	(216)
тп=1
x<alt bm<x<amtl (m = l,2, п— 1), 6п<х,
Im F(z) = ± кр(х) при у= ± 0, ат < х < bm (т = 1,2,..п), (217)
так как при у = ± 0, ат < х < bm, Im Fk (z) = О при Афт
и Im Fk (z)« ± пр (х) при к = т.
Согласно (133) разложение функции Fm(z) в окрестно
бесконечно удалённой точки будет иметь вид:
Ьт
1?т(2)=-^, + а\И+--., ГДе Рт~\ P{t)dt,
A	A	J
откуда
п
F(Z)= 2Fm(z)=-T+>+-*-’	<218>
m=l
где
п Ьщ
F= 2 $ P^dt-
тп=1 am
Итак, построив функцию F(z), удовлетворяющую условиям
(215) и (216) на оси Ох и условию (218) в окрестности беско-
нечно удалённой точки, мы найдём искомую функцию р (х) по
формуле (217). Для простоты ограничимся рассмотрением функ-
ции F (z) в верхней полуплоскости у > 0 и функцию р (х) будем
определять согласно (217) по формуле:
р(х) =-11шF(z) при фО; ат<х<Ът (219)
(m = 1, 2, ..п).
46
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 1
Как и в § 3, рассмотрим сначала тот частный случай задачи,
в котором / (ж) = const и соответственно
f(x) = O при ат < x<bm (т = 1, 2, ..., п).	(220)
Покажем, что в этом случае функция
Fo (z) =	-	Рп-1(г)	-----, (221)
V <2-“1) (г- «и ••• (2-Яп)(2-Ь1)(2-Ьг) ••• (а~Ьп)
где Рп^г (z) — полином степени п — 1 от z с действительными
коэффициентами:
Pn~i (z) = с0 4- cxz + csz2 + ... + Cn-iZ" 1,	(222)
удовлетворяет условиям (215) и (216), т. е. покажем, что
ReFo(z) = 0 при ат< х <Ьт(т =1, 2, ..., л), у = +0,
ImFo(z) = O при х<ах,	I (223)
6п»<®<вт-1(иг = 1> 2, ..., п — 1), Ьп < х, у = 4-0; j
Согласно (141)
1 __	1
* 1 :i	(j'/x-am 	t
V *-am	am x
1 _	1
V»-bm 1 _	Vx~ bm 	i
	Vbm-x
при х > ат,
при х<ат,
при х > Ьт,
при х Ьт,
У = 4-0,
т = 1, 2,
.,п. т
Полагая в (221) у== -^0 и принимая во внимание (224), найдём:
F (z) = —	Fn-i (д)
ek /(x-ax)(x-aa)... (х-ап)(х-Ьх)(х-6х) ... (x-6n)
при x>6n, y= 4-0,
p z_\___________________________^Pn-1 (x)____________________
°	/(* - <h) (* - «»)• • • (* - an) (* - 6i) (x-b2)...(x-Ъп-J (6n - x)
при an < x < bn, у = 4- 0,
F„ (Z) = - -	Fn_x(x)
— ax) ... (x — Яп-i) (an — x) (^ — bx) ... (x bn-i) (bn
при <x<an9 у = + 0,
P (g) =i	iPn-\ (x)
(x Aj) ... (x — fln-i) (an — (x — bj)... (x—bn_2) (bn-х *“ x) (b„ “
при an^ < H <	y=. + 9
f 4]	СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 47
и т. д., т. е.
F, (z) = (-1)”-”’*1 —	n <Р"~1(а:)	.	(225)
I1' | JJ (x ~ am) (x ~ &m) I
m—1
при am< X < Ьт(т= 1, 2, ..., n), y— 4-0,
Fe (z) = (- l)»-m----- ==	(226)
Г | П	|
Wl—1
при bm < x < am+x (m = 0,1, 2, ..., n), у = 4- 0, если принять
CO, an+x=OO;
Формулы (225) и (226) показывают, что соотношения (223)
действительно имеют место.
Находим, далее, согласно (221):

F.(z)
n
-ib+v+...+^ n 0+s
m—1
+ ••) X

“1“ 8za
x(‘+£+>+ )-v*+-i;-+7+--- <227>
где ax, at, ... — некоторые действительные коэффициенты.
Сравнивая (227) и (218), найдём, что функция F0(z) будет
удовлетворять и условию (218), если положить
сп~1=-Р=- 2	(228)
т-1ат
Согласно (219), (225) и (228) находим:
_	_ ( - l)"-m+1 (с0 + «1® + .. • + Сп-г®”-’ ~ Рх”~х)
р }-------ту
« у | П (s —am)(® —6m) | ’
ат<х<Ьт(т = 1, 2, ..., п).	(229)
Формула (229) даёт решение уравнения (209) для того частного
случая, когда /'(х) = 0 при am<x<6m (m = l,2, ...,п). При
п = 1 (229) переходит в ранее найденную для этого случая
формулу (147).
48
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
ГЛ. I
Переходя к общему случаю, будем искать функцию F(z),
удовлетворяющую условиям (215), (216) и (218), в виде:
F(z) = /^^(z),	(230)
7 п-i
сводя определение функции F (z) к нахождению функции Ф (z).
Как видно из (225), при а,п < х < bm (т = 1, 2, ..., п) у = +0
функция F0(z) чисто мнимая, полином же Pn-1(z) при у = +0
приобретает действительные значения. Следовательно,
ReF(Z)=7A^Hm<I>(z)	(231)
7 n-1\z)
при ат<х< Ьт(т=1, 2, . ..,п), у=+0.
Подставляя в (231), (225) и (215), найдём, что условию (215)
для функции F (z) будет соответствовать условие
/' (х) = — п (-1) ”   — ImФ(z),
р' | JJ ~ ат) (х ~ &т) |
тп=1
т. е. условие
1тФ(г) = (-!)"""]/1 П (*-ат)(х-М|/'(*)	(232)
т=1
при ат< х < Ът(т = 1, 2, ..п), у — 4-0 для функции Ф(г).
Как видно из (226), при Ьт < х < ат^ (т = 0, 1, 2, ..п),
у= 4*0 функция F0(z) приобретает действительные значения.
Следов ательно,
Im F(z)=-A^ Im Ф(г)	(233)
при 6т < х < amtI (т = 0, 1,2, ...,п), у= +0,
и условие (216) для функции F(z) сводится к условию
1тФ(г) = 0 при bm<x<amtl (т = 0, 1, 2, .... п), у= 4-0(234)
для функции Ф(г). Будем искать функцию Ф (z) в виде
п Ьт
Ф(г) = 2 5 -Т?Г- + ^1(2).	(235)
т-1ат
Согласно (216) и (217) будем иметь:
1тФ(г) = 0
при 6т<х<вт+1 (т = 0, 1,2, ...,п), у= 4-0,
1тФ(г)»тс?(х)	' 1 ЛЬ)
np*am<z<bm (т = 1, 2,	п), у= 4-0.
| 4]	СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ	49
Сравнивая (236) с (232) и (234), найдём, что функция Ф(г),
определённая соотношением (233), будет удовлетворять усло-
виям (232) и (234), если положить
д(ж) = (л22Г‘|/|Д	(237)
“т<х<Ьт (т = 1,2,
Подставляя (237) в (235), найдём:
п	Ьш -я / и
Ф(г) = 2 V |П	+	(238)
ш=1	ат
Подставляя (221) и (238) в (230), найдём:
F(z)=	_______________
п	Ьщ 1 / п
= —т______________m=t	. (239)
JJ (г — От) (2 — ^т)
т=1
Итак, функция F (z), определённая соотношением (239), удовле-
творяет условиям (215) и (216).
Находим далее
'7ы=Ап(,+й’+3й+---)(,+2Т+3й+"0х
171=1
Х (т + ?+ •••+Co+ClZ+ • • •	=
= с-т1+?- + ^+---‘ (24°)
Итак, при условии (228) функция F(z), определённая соот-
ношением (239), будет удовлетворять и условию (218) в окрест-
ности бесконечно удалённой точки.
Из (225) находим:
________1_______= Fo(z) =______(_-1)п-;>ч	_
"I	РП-1 (2)	-|
У П <г~ат)(з-Ьт)	|/| П (* ~ <*m) (s - 6»n) I
171=» 1	171=1
при at < X < bt (I <=1,2,	у=+0.	(241)
'* И. Я. Штаерман
50
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Из (239) согласно (241) находим:
!г» F (Z) -	[1 3 ( - 1)— х
Г | П (х~ат)(х~ Ьт) |
171 = 1
bm -я /	“
X limRe$ У |n(f_am)(z-6(n)|^L + p^1(a:)]	(242)
V’*1’0 am m-1
при at < x < bt (1=1,2, ..., n), у = +0.
Но, как мы уже знаем из § 3, если функция /'(<) в точке
t = x (ai<x<.bi) удовлетворяет условию Липшица, то
Ь/n -| / п
«-Be И
OjYl	171— 1
= f 1^1 П	t-'^' (rn = l,2, ...,n), (243)
am m=l
причём при m = l под интегралом, стоящим в правой части
формулы (24с), следует понимать его главное значение. Под-
ставляя (243) в (242) и (242) в (219), найдём:
Р(х)——
"Г I И (х~ат)(х- Ът) |
т«1
Л	Ьт 1 / \ п
X [12 (-1)-"5 И |п (‘-“Л'-Мт^ + в-и]-!244)
т»1	ат ти=1
а, < х < bt (1 = 1,2, ..., п),
где
Рп-1 (я:) = сл + с,х + ... + сп-2хп~* - Рхп-1, (245)
р=2 J P(t)dt.	(246)
m-i am
S 4]
СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
51
При n=l, Oi= — а, Ьх = а формула (244) совпадает с форму-
лой (163), ранее найденной нами для этого частного случая.
Формула (244) для искомой функции р(х) найдена нами
из соотношения (219). Функция F(z), входящая в (219), удовле-
творяет граничному условию (215):
ReF(z) = /' (х) при у= +0, ат < х < bm (т = 1, 2, ..., п),
причём
n	п Ьт
ReF(z> = /xSy’"(a:’0)=JiS ^(')lnT7=TTd' (247)
m=l ат
при У = +0
согласно (213). Таким образом, найденная функция р(х) будет
удовлетворять соотношениям:
п Ьт
Ъ s $ р М1п |7^|dt = f	f248)
m= 1 ат
ат<х<Ьт (т = 1, 2, . .., п).
Однако из соотношений (248) не следует ещё, что найденная
функция р(х) будет удовлетворять исходному уравнению (209).
Интегрируя (248) по х, найдём:
п Ьт
3 $ Р(01П|7^Т|Л = /(«) + «т,	(249)
ш= 1 ат
ат<х<Ьт (ти = 1,2,
где ах, а,, ап — постоянные, т. е. подставляя найденную
функцию р(х) в левую часть уравнения (209), мы получим
функцию аргумента х, которая на каждом из интервалов
ат < х < bm (т = 1, 2, ..., п) сможет отличаться от заданной
функции / (х) на некоторую постоянную ат. Однако функция
р (х), определяемая формулой (244), содержит п произвольных
постоянных с0, сх, ..., сп_2 и Р, являющихся коэффициентами
полинома Pn^i(x). Таким образом, добавочные постоянные сла-
гаемые ах, а2, .. ., ап, которые мы получим в результате подста-
новки функции р(х) из (244) в исходное уравнение (209), будут
функциями постоянных с0, сп ..., cn_2, Р, при этом функциями
линейными, так как эти постоянные входят линейно в выраже-
ние для функции р(х). Приравнивая нулю эти добавочные
постоянные слагаемые а2, аа, ..., ап, мы получим п линейных
52
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
уравнений для определения постоянных с0, clf ..., и Р, вхо-
дящих в найденное нами для функции р(х) выражение (244).
Определив таким образом постоянные с0, clf . .., сп_2 и Р, мы
получим решение исходного уравнения (209).
В контактной задаче теории упругости мы столкнёмся ниже
со случаем, в котором функция f(x), стоящая в правой части
уравнения (209), задана лишь с точностью до произвольного
постоянного слагаемого, общего для всех интервалов
(ти = 1, 2, ..., и), но зато непосредственно задана
величина
п Ьт
m=l ат
В этом случае для решения задачи достаточно выразить постоян-
ные с0, с19	сп^2, входящие в формулу (244), через задан-
ную величину Р. Ниже мы выписываем уравнения, которые
в данном случае определяют постоянные с0, clf ..., cn_t. Из
(247) находим:
[ReF(z)]Ve+ods =
Ьда
п Ьт	п Ът
= 2
Ш=1 Ощ	Tn^lCLjfi
=	ттг = 1,2, . ,.,n —1	(250)
согласно (209). Если функция f(x) задана с точностью до постоян-
ного слагаемого, общего для всех интервалов
(772 = 1, 2,	разности, стоящие в правых частях соот-
ношений (250), будут вполне определёнными.
В соответствии с соотношениями (226) из (239) находим:
[ReF(z)]u_+o =
п 1 / п
±2(-i)n-’n^ У |П(»_вт)(,_ьт)|£.(^.+Рп_1(ж)
_ (__lyi-m mgl________От_____т=1_________________________
j/I П	(х-ьт)|
т-1	(251)
при ьт < X < amtl
(т = 1, 2,	п-1).
J 4]	СЛУЧАИ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 53
Подставляя (251) в (250) и принимая во внимание обозначе-
ние (245):
-Рп-1(^) = ^о + С1Х+ • • • +Сп-1^а“ РХП~*,
получим п — 1 уравнение
«	Ьт “| / п
x[3(-irm$ И	<252)
m-i	ат тп*= 1
т = 1, 2, ..., п — 1
для определения коэффициентов с0, clf ..., сп^.
В контактной задаче теории упругости мы столкнёмся также
со случаем, в котором функция f(x), стоящая в правой части
уравнения (209), задана в каждом из интервалов
(т = 1, 2, ...,п) лишь с точностью до своей для каждого
интервала произвольной аддитивной постоянной, но зато задано
п величин Plf Р9, ...,Ри:
Ьт
Pm=^P(t)dt (т = 1,2,	л).	(253)
ат
В этом случае
п
Р-^Рт,	(254)
m—1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
ГГЛ. I
а коэффициенты с0, clf . ..,сп_2 мы найдём согласно (244) из
уравнений:
я—2 Ьт
2 Г	x*dx
С| 1 --------------------=
т=1
= (- l)n-mtlKPm + Р С / п *"~Мд-==. -
ОП*1' |П <ж-ат)(®-Ьт)|
171 = 1
Ьщ
т^/ | XI (I-a»n)(x-i’m)|
т=1
п	Ьт । / я
X[2(-1)"-J \/	(255)
7П=1	ат	171 = 1
т = 2, 3, .. ., п,
которые получаются непосредственной подстановкой функции
р(х) из (244) в первые п — 1 из соотношений (253).
В заключение этого параграфа рассмотрим примеры.
1)	и = 2, ах= — 6, 6Х= — a, а2==а, b2 = b, f (х) =qt при — 6<
<я < —а, /(я) = а + г при «<ж<6, а — произвольная постоянная.
В этом случае формула (244) принимает вид:
р (х) =	,:Ь(Со~Рг)= , а < I х I < Ь, (256)
V к j/(x2 — а2) (&2 — х2)
причём знак плюс следует брать при х < 0, знак минус при
я>0. Уравнения (252) для ттг = 1 дают:
с0 ? —...dx.....-= = -е + И - xdx - = .	(257)
J V (a2-x2)(ba-x2)	J /(a2-a;2)(d2-e2)
— a	—а
Полагая х = at и обозначая через к отношение ~, найдём:
а	1
С _______dx________ 1 С	dt	_
J У (a2 - X2)(Z>2 - Z2) ~ ь J У (l-t2)(l-ft2t2)-
1
= |	dt-----= ±К(к), (258)
§ 4]
СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
55
где
_______dt______
/(Т—t2)(i-*2t2)
(259)
1
*(*)=$
о
— так называемый полный эллиптический интеграл
рода, для вычисления которого имеются таблицы.
Далее,
? . xdx 	=0,
]^(аа — х2) (Ъ2 — х2)
первого
(260)
так как в этом определённом интеграле подинтегральная функ-
ция нечётная.
Подставляя (258) и (260) в (257), найдём:
с°= — 2К(к) ’ к=Т 	(261)
Формулы (256) и (261) дают решение задачи.
2)	п = 2, аг= — Ь,	а2 = а, 6а = 6, /(£) = «! при
— 6<я< —а, /(ж) = а, при а < ж < 6, и а2 — произвольные
постоянные,
-а	Ъ
р («) dt = Pi, р (t) dt — Pt.
— b	а
В этом случае для р(х) сохраняется формула (256), но постоян-
ная с0 будет определяться на этот раз первым из уравнений
(255), которое даёт:
ь	ь
с„ \ -7---—--------= -+ М , xdX = . (262)
J У\х2-аг)(Ьг-хг)	J	/(x2-a2)(fc2-i2)	'
а	а
Полагая rr=l/62 — (62 —а2) Z2 и обозначая через к величину
, /~ л а2 „
у 1 — найдем:
ь	1
f / dx • - = = тА >__________dt - = 4^ (&)• (263)
J /(х2-а2)(Ь2-х2)	6 J	-кН2)	*
п '	_/а24-1>2 , Ь2-а2 •	„ ..
Полагая ж= у —-----------1---2— 81П ’ на®Дем:
те
b	2
С	xdx	__ 1 С , ___ те
J У\х2 — а2)(Ъ2 —• х2)	J	2
G	те
~2
Подставляя (263) и (264) в (262), получим:
с. = - Т.Рг + р = J (Л - Л),
(264)
так как

(265)
(266)
(267)
(268)
Таким образом,
с°= 2К (л/'Р* ~	к ~ V ~ ъ*'
Подставляя (265) и (266) в (256), окончательно найдём:
2^(Л-Р2)-(Л+Л)*
я V (х*т-а’)(Ь2—х2)	’
*=|Л1 —fi, а<|а;|<5,
где знак плюс берётся при х < 0, знак минус при х > 0.
§ 5. Уравнение периодической контактной задачи
Рассмотрим теперь решение уравнения
л ₽/п
S	</<?=/(&), *m<a<₽m
m-l.m	2 | sin |
(m=l,2,
где /(&) —функция, заданная в п интервалах аргумента &am<
< ф < pm (т = Ъ 2, ..., и), а р (t>) — неизвестная функция, под-
лежащая определению в этих п интервалах аргумента1).
Будем в дальнейшем предполагать, что
о < а, < рх < а, < р2 < ... < ап < ₽„ < 2к.	(269)
Рассмотрим внутри окружности единичного радиуса Е2 + т)а = 1
функцию двух переменных Е, тр
п Pm
И(И) = 2
m—1 аш
где Я —расстояние между точкой Q с координатами Е, т) и точ-
кой Q' на окружности единичного радиуса с полярным углом ф
(рис. 2):	___
R = ]/(;- cos ф)2 4- (г} — sin ф)2.
Функция V (Е, т}) представляет собой логарифмический по-
тенциал простого слоя с плотностью р, расположенного на
J) Келдыш М. В. и Седов Л. И., Эффективное решение некоторых
краевых задач для гармонических функций. Доклады АН СССР, т. XVI,
№ 1, 1937.
| 5] УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ	57
дугах (an pj, (аа, р2),.. (ап, рп) единичной окружности. Так
же, как и в § 1, непосредственным дифференцированием легко
убедимся в том, что функция V (Е, ?}) внутри окружности
*	d2V d*V
Е34-7)а = 1 удовлетворяет уравнению Лапласа== 0, т. е.
является гармонической функцией переменных Е, т}. Переходя
к полярным координатам р, т. е. полагая E = pcos&, т] —psinft,
найдём:
(270)
Полагая в (270) р= 1 и принимая во внимание тождество
2 — 2cos(f — &) = (2sin,
найдём:
V = 3 Р (?)111 । . ф —fri d? п₽и Р= *•	(271)
m=Um	2 |sin ”2“ j
Сравнивая (271) и (268), придём к тому выводу, что уравнение
(268) эквивалентно условию
V :=/(&) при р = 1, am<d<₽m(m«l,2, ...,п),	(272)
налагаемому на гармоническую функцию V.
Выполняя в (270) дифференцирование по р, найдём:
п ₽т
Z-s	(273)
Пользуясь тождеством
cos(?-a) — р = 1 г_______________1 ~р8_____1]
1 — 2р cos (<р — 0) + ?а 2? I 1 — 2р cos (<? — &) + ?’ J 9
сможем придать формуле (273) вид:
?=т[й2	(3’4)
т-=1 ат
где
п ₽т
Р=%	(275)
m=l ат
* ₽m	a
Но выражение ^2 $ P (?) i - 2|> (у - ft) +?' d<f пРеДставляв’г
m=l ezn
58
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
собой интеграл Пуассона
*2lt	8
2« j 1 — 2р cos (? — 9) 4-
в котором F{<f) = p(<f) при «от<<р<?т (т = 1,2, ...,») 
F(?) = 0 при рт < <р < <хт+1 (ттг = 0, 1,2, . ..,тг)(Р, = 0, ал^ = 2к),
и стремится к р(&) при ят < & < (т = 1, 2, ..., п) и к 0 при
Рт <0 < ати (т = 0, 1, 2, ..., п), когда р стремится к единице.
Таким образом, из (274) следует:
=	—при р=1, сст < & < рт (тп = 1, 2, ...,7i), (276}
При р=1, ?т<&<а)п+1 (777=0, 1, 2, ..., 71). (277)
Итак, построив функцию V, гармоническую внутри окружности
р=1 и удовлетворяющую на этой окружности граничным усло-
~	виям (272) и (277), мы най-
дём из (276) искомую фун-
кцию р(ср).
Решение уравнения (268)
эквивалентно, таким обра-
зом, построению функции,
гармонической внутри ок-
ружности по смешанным гра-
ничным условиям, заданным
на этой окружности. Как и
в предыдущих главах, при-
ведём эту краевую задачу
к задаче построения функции
комплексного переменного по заданным для неё граничным
условиям. Рассмотрим функцию комплексного переменного
С-е + и»:
п
Ф(0 = 1’3	(278)
тп=1 аш
Здесь под знаком интеграла С = £ + rq = pcosft+q> sin ft — комп-
лексное число, изображаемое на рис. 2 точкой Q, е<р = соз9 +
4-/sinср — комплексное число, изображаемое на том же рисун-
ке точкой Q'. Находим:
С ___________р cos 0 + *р sin в__________
j? — £ cos ? 4- i sin ? — р cos ft — ip si 11 ft
___________(p cos ft 4- ip sin ft) [cos ? — p cos ft — i (sin 9 — p sin 0)]__
[cos <p — p cos & 4- i(sin (p — p si.x 0j [cos <p — p cos 0 — i (sin <p — p sin ft)|
= P cos (? - ft) - p2 - ip sin (? — ft)	,27qk
1 — 2pcos(? — ft)4-p2	*	' •
J S)	УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ 59
Подставляя (279) в (278), найдём:
W ₽m	п ₽т
V V /’('P)l,sin(¥-»)d1> V С Р (f) fcos(T-e)-p]d? /9ЯП.
Ф^) = 2 3 l-2p№S (p- 0Н? + гр 2j ) 4-2pcos(p-e) + p« • <280>
пг=1 ат	m=lam
Дифференцированием по & из (270) находим:
п ₽ш
= V J Р Р Sin	/ПО4 \
I j 1 — 2р cos — 0)4-ра *	'	'
т=1ат
Согласно (281) и (273) формуле (280) можно придать вид:
фС) = ^ + ^7-	(282)
Таким образом, действительная и мнимая части введённой нами
функции комплексного переменного Ф(£) связаны с гармони-
ческой функцией V соотношениями
КеФ(',) = |£, 1тФ(С) = р^,	(283)
и условиям (272), (277) и (276), которым удовлетворяет функ-
ция V на единичной окружности р = 1, соответствуют условия:
КеФ(С) = /'(&) при р = 1, am<&<pm (m = l,2, ...,и), (284)
1тФ(;) = — у при р = 1, Рт < & < ат+х (от = 0,1,2, ...,п),(285)
1т Ф(С) = кр(&) — у прир = 1, ат < & < Рт(от = 1,2, ...,п), (286)
которым будет удовлетворять на единичной окружности функ-
ция комплексного переменного Ф(£). Итак, построив функцию
Ф(С), удовлетворяющую условиям (284) и (285), мы из (286)
найдём искомую функцию р(&).
Путём последовательных преобразований находим:
il -i*
J 2< .?	J
е 2 —е
i ^cos ~ 4- t sin-у + i ^cos— i sin
cos 4- i sin у - cos ~ — i sin C
sin-?-(?-!) +«со« v (1 + ?)	1	. (
Z	Z	1	>
cos у (1 — ?)4-t sin (l + o _	2 \ - ctg у -11^4
/	1 +ctg‘-t
\	° 2	1-C
(287)
60
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ.
Подставляя (287) в (278), получим:
<»>
m_1 «т	2	* 1 — С
где
7 = 42 $ctg 4	<289>
а Р определяется соотношением (275). Полагая далее в (288)
	-ctg4=*.	(290)
получаем: где	n bm •(0-2^+н'г tn—1 am ‘-’iTTj	(291)
	-ctg^, 6m=-ctg^*	(/n = l, 2, ..., n),	(292)
p*(i) = p( — 2arcctgZ).	(293)
Согласно (269)
— со < а> <	< а, < Ьл < ... < ап < Ьп < оо. (294)
Вводя обозначение
z =	(295)
придаём формуле (291) вид:
0(Q = F(z) + y-4,	(296)
где
п Ьт
(297)
ш=1 ащ
Формула (295) определяет комплексное число z, действитель-
ная и мнимая части которого меняются при изменении действи-
тельной и мнимой частей комплексного числа С. Обозначая
через хну действительную и мнимую части комплексного
числа z и полагая в (295) С — р cos & + гр sinO, найдём:
х + гг/ = ^O+pcosa-Ffp sin 0) =
"г &	1 — р cos 0 — ip si.) 0
__ [ — р sin 0 4- i (1Ч- р cos 0)] (1 — р cos 0 4- ip sin 0) __ — 2р sin 04- i (1 — ра)
(1 — р cos 0)* 4-р* siua 0	""	1 —2pcos04-p*
« -Я
УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
61
откуда

27
I
Рис. 3.
sin &	__ 1 р1	<9QR\
х~~ l-2pcos& + p2 ’	У~~ 1-2PCOS& + P1 *	'
Из (298) видно, что у>0 при р<1 и у = 0 при р = 1, т. е.
точка Р с координатами х, у, изображающая комплексное чис-
ло z = x + iy, находится в верхней
полуплоскости хОу, когда точка Q _
с полярными координатами р, &,	° '*'у'
изображающая комплексное число
; = peia, находится внутри единичной
окружности р = 1 (рис. 3) и точка Р----
выходит на ось Ох, когда точка Q
попадает на окружность р = 1. При
р = 1 формула (298) даёт:
sin 3	0 /плох
х = —-------зг = ~ etg тг.	(299)
1 — cos 5	° 2	'	'
Соотношение (299) показывает, что
когда точка Q описывает окружность
р = 1, точка Р пробегает ось Ох,
причём х меняется от —оо до 4-оо,
когда & меняется от 0 до 2 к.
Из (296) находим:
ReF(z) = ReO>C;)-Y, )
Im F (z) = Im Ф (С) 4-•£* J (300)
Из (300) следует, что условиям (284)
Ф’(') соответствуют условия
[ReF(z)]y==+0 = /'(&) — у при amJ< & < 0m (m = 1, 2, ..., п),
[Im F (z)]v=+0 = 0 при pm < »)< am+1 (m = 0, 1, 2, ..., n)
и (285) для функции
для функции F(z), которым согласно (299) и (292) можно при-
дать вид:
Re F (z) — f (— 2 аге etg х) — у	(301)
при у = +0, am< х < 6m^(m = l, 2, ..., n),
ImF(z) = 0	(302)
при y= 4-0, bm< x < amtl (m = 0,1,2, ..., n),
(60= — co, ano= co).
Из (Г 00) и (286) следует:
Im F (z) = izp (— 2 arc etg x) = up* (x) при у = 4- 0/am< » < bm (C03)
(тп = 1, 2, ..., n),
если воспользоваться обозначением (293).
62
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ I
Соотношения (302) и (303) непосредственно вытекают также
из формул (216) и (217), если сравнить (297) с (210) и (211).
Как мы показали в § 4, функция F(z), определяемая фор-
мулой (239), удовлетворяет условиям (215) и (216). Таким
образом, функция
^(*) =
,п - ,	1
(304)
t — z
(2 ат) (% — Ът)
m=i
будет удовлетворять условиям:
Re Fx (z) = /' (— 2 arc ctg x)
при у — 4-0, am<x<b,n (m~i,2, . . .,n),
Im Fi (z) = 0
при y= + Q,bm<x<amtl(m=Q, 1,2,
Будем искать функцию F (z) в виде суммы
F(z) = F1(z)4-F2 (z).
(305)
(306)
Тогда согласно (301), (302) и (305) функция Ft (z) должна
удовлетворять условиям:
ReF8(z)= —у при +0, am<x<bm (т = 1, 2, .. .,п)Л _
ImFa(z) = 0 при у=~- +0, 6т<я<ат+1 (т = 0,1, ..и). j '	'
Кроме того, как видно из (297) и (304), F(oo) = F1(oo) = 0.
Следовательно, функция F (z) должна также удовлетворять
и условию
F8(oo) = 0.
Рассмотрим функцию	______
]/п^.
г LLz-am
тп«1
Согласно (224)
/п^=
т=1	т=1
(308)
при у= 4-0, bm < X < а,п,1(^г —о, 1. • • п),
V пй-:=‘/ life:,
т=1	т=1
при у = 4- 0, ат < х < Ьт (т = 1, 2, ..., п)
(309)
15]
УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
63
И
1/ TTi^zln
r	±1 z — an
m=l
Согласно соотношениям (309) и (310) функция
когда z—> оо.
(310)
z — bm  I
2 ~ am	J
m=l
удовлетворяет как условиям (307), так и условию (308).
Подставляя (304) и (311) в (306), найдём:
F(z)=	_________
Л	Ьт Г
От 

(311)

m=l
t — z
]/~ П(2-а’")(2-/'т)
m=l
где P* (z) — полином от z степени n:

(312)
z”-1 + yz".
(313)
1
t — z
m = l
Пользуясь тождеством
1 _ 1 Гп*~Ьт
t — z t — z L11 t — bm
m=l
n
= А П r¥+?. (0+?! (0 z + •..+fn-i (o
fr —Z J* L ^fn
m=l
где <po(0, ?i(0, ?n-i(0 — функции аргумента t, явное
жение которых мы не выписываем, можно формуле (312) придать
вид:
выра-
>n—m
F(Z) =
m=l
и	~X
Д (z-am) (2-bm)
m=l
Ьт Г n
* \ у |П>-вт:
«m m=i
PV (z)
Пг-bm ft-2»14? ofc*)
t — bfji	t 2
m=i

am) (z — bm)
64
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
ИЛИ
п Ьт / п
Iii'^gl/-(~.-.cctg,)d,+
m=l am m=l
(314)
так как
n	n
П(*-м=(-1)п-т*1|По-м|
т»1	тп=>1
npa am<t<bm (m=l,2, ...» n).
Здесь P„* (z)—полином от z степени n, коэффициенты которого,
за исключением последнего, отличны от коэффициентов поли-
нома Pl(z).
Пользуясь, далее, тождеством
1______1 + tz . с
с-z~(l + t2)(*-z) *" 14-Т* ’
придадим формуле (314) окончательный вид:
ii^x
m=l
х i; /1 na^i	**
tn«l am m=»l
+ n Pn(z) — - - у, (315)
У IJ (2 - am) (» - bm)
m=l
где
pn(z) = c. + cl«4-... 4-cnz"	(316)
§ 5] УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ	$$
— полином с некоторыми новыми коэффициентами cot ctf . сп.
Подставляя (315) в (303), найдём в соответствии с (309) и (224):
2arcctg®)= — A j/^ |ПН^|Х
т=1
п Ът / п
* 2 \ /1П^|/'(TX-(,1)+te> <“+
171 = 1 ст	771 «=1
+ --- (-1Г-”»^Рп(х)
/ п	4	'
| П (* - ®т) (х - Ьт) |
771=1
при ат < я < (т = 1, 2,..п).
Подставляя в (317) ат и Ьт из (292) и полагая в (317)
и	х «	.	9
Z=—Ctg-j, Z=-Ctgy,
получим:	____________
/>(•)--Й-.1/ П—X
 Г т=1 81П
так как
-ctg4 + ctg^ = -	2 г
Sin -у Sin —
- ctg +ctg ь
sia sin y
5
И» Я. Штаерман
66
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ* I
или окончательно
/ п
m=1
где
(m = 0, 1,2,	(319)
Перейдём теперь к определению коэффициентов у0, ух, уп,
входящих в формулу (318) для искомой функции р(0). Из (278)
видно, что Ф (0) = 0. Далее из (295) следует: z = Z при С = 0.
На основании этого формула (296) даёт:
+ 4 = i 4-
(320)
Подставляя (292) в (315), полагая в (315) Z=—ctg-|; z = i
и принимая во внимание тождества:
i + ctg
cos si i
4 + ctg-p =
е 2
2

si a
1 — i ctg —	(i-«ctg-|') (-ctg у +
- ctg - i	ctg» +1
i 55
УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
67
найдём:
п
4- 5j (₽т-вт)
* р т=1
2л
п
ш = 1
sin -——
sin —-
п
4"
в 171 = 1
Ь (321)
*40 =
2
/'(?И? +
Подставляя (321) в (320) и принимая во внимание (319), полу-
чим уравнение
П	п	П
* 2(-0'ПТт = » у [с08{ 2 (am + ?m) + t Sin | 5} (*т + ?т)] +
т=0	т = 1
п	п
+(cos 4 2 +4 sin 4 2 в») х
т=1	т=1
п sin
и-
m=i Sln
п
х2
т=1
/' (?) d<t,
(322)
2
? Рт
2
68
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
Далее из (283) и (272) следует:
ИКеФ(С)]р=1 dft = (V)P=i -(V)P=i =/(ак+1)-/(?*), (323)
?	*=afr+i
к	Л=1, 2, .... п-1.
Если функция /(ft) задана с точностью до произвольного
постоянного слагаемого, общего для всех интервалов (a,, р,),
(<ц, ?»), •••> («п, правые части уравнений (323) будут иметь
вполне определённые значения. Из (296) находим:
[ReF(C)]P=ll = [ReF(z)]w_+o + Y.	(324)
Подставляя (315) в (324), найдём в соответствии с (309) и (224):
iiteFG)],.,--!-]/ |пь£|
тп = 1
П ьт Г п
„ V С 1/ I ТТ t-Om|/'(-2arcctgt) (t + tx) f
X 2j J К	(1-Н’)(1^) at +
m=l am m=l
| П (x ~~an^ (x ~ |
m=l
(325)
при	(k = 1, 2, ..., n — 1).
Подставляя (292) в (525), полагая в (325) J = — ctg-|-, z=3 — ctg -|-
и принимая во внимание (319), найдём:
[Re F G)]P-i =
/'(?) ctg^-?d<p4-
n
"(- 1)”-" У Tm I cos’" 1
।	m=<)
m=l
при < ft_< aktl (A=l, 2, ..., n — 1).
(326)
УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
69
Подставляя (326) в (323), получим уравнения:
171 = 1
8inT"^m
sin -——
2
/'(?) Ctg
(327)
(Л= 1, 2, ..., п-1),
которые совместно с уравнениями (322) образуют систему из
п + 1 уравнения для определения п +1 коэффициента у0, уп ..., уп.
Если функция /(&) задана лишь с точностью до произволь-
ного слагаемого, своего для каждого из интервалов (an рх),
(а2, Ра); * • (ап; Рп); н0 зато заданы все п величин
Pk=\p(§)d&	(к=1,2,	(328)
а не только их сумма Р, то, подставляя (318) в (328), получим
уравнения
т=1
/' (?) ctg	]	(329)
(Ы, 2, ..., п-1).
70
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
которые вместе с уравнениями (322) образуют для этого случая
систему из п +1 уравнения для определения п +1 коэффи-
циента у0,	...» уп.
После того как вычислены коэффициенты Yo, Yi»***> Yn?
формула (318) даёт решение исходного уравнения (268).
В том частном случае, когда п = 1, ах = тс— а, рх = тс-}-а,
формулы (318) и (322) принимают вид:

. 9 ,	9
Yo sin s' + YiCos-j

(330)
и следовательно,
9+4	9—а
— cos —— cos ——
Z л
1 а
так как при тс —а
— тс < тс — 2а
P , 1	<
Yo — 2TC + C0S ’
имеем:
cosl±^
COS
COS —
—г (ф)*Р,
cos
Зя,
(331)
О — а ~
cos —5— > 0,
Z
^<0.
Подставляя (331) в (330), получим формулу
(332)
Р&) = -
1
9—а 9+а
cos cos
cos
----z-----х
о — а
cos —
х /'(?) (cos etg Ц-? — sin^-?) d<p —TtPsin | j
или, если принять во внимание тождество
о — а
9 —а , <f-9	. 9—а C0S~2~
cos-2- etg —---sin -2
. ф — 9 '
8шГ2~
§ 5]
УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ГАДАЧИ
71
получим:
2«2— соз^-у^ cos
г’i-* iZ - сое	СОВ	,
х[$--------------------------------«PsinlJ, (333)
-а	31 1	2
тс — а<0<тс4-а.
Полагая в (333) тс + <р вместо <р и тс + & вместо & и принимая
во внимание тождество
.а — о . а-|- d 1, л \
sm sm —= у (cos & — cos а),
можно придать формуле (333) и несколько иной вид:
р (-к + 0) =-----. jC2	= X
2к2 у cos 3 — COS а
хГ-М К.*»» 1 , (334)
L V 2 X.	si.)	2 J
— а<0<а.
В том предельном случае, когда а —к, формула (333) даёт:
1 r2f sin7/'(?)rfP	ал
---(335)
2я»31П у о sin-!-—
Пользуясь тождеством
Sin 2	. & t Т-& ,	&
——- 81П ctg Ч- + COS	,
sin
можно формуле (335) придать вид:
2тс
>(»)-- i. $/'(?)«« -J-	•'•«’+£ (333)
о
В частности, если
/(2к)-/(0) = 0,
Р (&) = - А f (<р) ctg df+fK >
t)
72
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ.
или, согласно (109),
Р(«)=| [7ъ) + 4] ’	<337>
где f (ср)—-функция, сопряжённая с функцией /'(ср).
В заключение этого параграфа рассмотрим примеры.
1) 71 = 1, ах = тс — а, = тс 4- а, /(ср) = con«t. при тс— а < ср<тс4-а.
В этом случае формула (334) непосредственно даёт:
Г- о
Ру 2 cos -
2тс У cos 5 — COS л
2) «=1, ах = тс — а, р1==тс + а, /(<р)= — Л cos2 * 4 уconst, при
х—а < ср < тс 4- а.
В этом случае
Л
/'(тс + ср)=—— sin <р при — а < ср < а. (339)
Подставляя (339) в (334), найдём:
/>(" + «) =
г i v J-------г    -
2к2 У cos Э — cos л
W2 J. „,,!=»	г->’	'
— а<&<а.
Полагая
©	(X
tg y = tg ySinf,
найдём:	___________________
---------- 1/ 2 f cos2 — cos2
У COS ? — COS а У \	2_______2 / _
. f—0	~. <p	d	©	.	&	“
81a J—-	81П -y COS — — COS SIH —
j*	Z	Z	2	2
2 tg у cos t
sin ф dtp = sin <p--------- dt
sec’f
.	© . a
ts ytj-cost
-------=
see* у
4 tg2 — sin t cos t
Г—^а . t v
7 + tg1 y8111 ‘)
$ б]	УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ	73
Я
г/'2
п (к + &) =--------z	- X
г	2«8 у cos 0 — cos л
2
С	sintcos2tdt
1 (tg 7 sin t-tg (l+tg» у 81П»«У
п »
ПР СО8 —
(341)
Подинтегральную функцию в (341) можно представить в виде:
____________sin t cosa t_________
(igysint-tgy^ (l + tg«|si..4)’
_______Cl_______|_ Ca + c3 sin * | c44-c,sin t (342)
tgysint —tgy 14-tg’ySib2t (l + tg2ysii.2»)
где c2, c8, c4 и сБ не зависят от t и должны удовлетворять
уравнениям:
4 »	. в Л
Cl-с, tgy-c4 tgy = O,
Ci tgy-C3 tg| + c4 tgy-C3tgy=l,
2qtg’y-c3 tgI tg2у + c3 tg | + CS tgy = O,
« в ®	X	x 9 ®
C»tg’T-C3tg-tg22
Cl tg1 + Ci tg8 у = 0.
(343)
-1,
Подставляя (342) в (341), найдём:
2
p (it + ft) =---Z_L_~——— X
2ла у соз d — cos д
X
2Л sin у tg2 у
---------5----(«1Л + С3Л + С,/3 + с у4 + с3 73) + яР cos
cos -
»
2
(344)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ* 1
где
2
у в С sin t dt
~ «тс (^4-tg2 * * * *y shi2Q
Находим:
7=7=0,
о	О	7
(345)
так как в этих определённых интегралах подинтегральные
функции нечётные.
Полагая, далее,
найдём:
tgZ= cos tgcp,
1 + tg2 sin21 = 1 4
Л 9 J
cos — sec2 <p dp
dt =------—a--------,
1 4- cos2 — tg2 f
•+V<	>+t8-<
2
/2= cos у d<f — n cos у ,
"~2
2
*^4=s 5 cos-Jcos2T(l + cos2|tg2T
__ it
2
T
"2 cos у £ 1 + cos 2<p + cos2 (1—cos2<p) J dtp e
•к
2
= уС°з|(1 + С08г 0;
(346)
§ 5]	УРАВНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ	75
Полагая
tg-"5’ tg| = 2tg|r^T <-!<«<! при-а < & < а),
найдём:

2d?
Г+F
tg^sin/-tg| = 2tg|(r^
т ч 2 tg-£«-□;) (!-<*)
X Д __	2
1+^7	(i+e)(i+*2)
/1 = Ctg (1 + Хг) { ------Д----г-г =
1	° 2 ' 1	' J (? - х) - <;х)
— 1
Д-5 Д> <347>
-i
— 1 < х < 1.
Вычисляя главное значение определённого интеграла, получим:
- lira [In (X - 5) |’;е + In G - х) IД.] = lim In	= In .
e->0	~ e-Hl	i-f-z
(348)
Далее,
( ДД-.1п(1-е)|* =lnl^. (349)
“1 ’ X
Подставляя (348) и (349) в (347), найдём:
Л = 0.	(350)
Подставляя (350), (346) и (345) в (344), найдём:
/>(* + &) = -	_____X
2к У cos 0 — cos 2
х {-------—- [2cs + ^l,4-cos2y^c4 j+Pcosyj. (351)
76
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Исключая из уравнений (361) clf с3 и съ, получим уравнения:
cs вес2 у 4-tg2 у = — ctg”	|
— с, sec2 | + с4 = ctg у 4-2 ctg3 у , /
откуда
с» = — ctg3 у cos3 у (14- sec3 у sin3 у) ,	(352)
с4 = ctg3 7 sec у COS3 У .
Подставляя (352) в (. 51), получим искомое решение
о
у 2 cos__________________
',(’' + 9, = ^Гет=57	, (353)
— а < & < а.
Как видим, когда & стремится к —а или к 4-а, Р стремится
к бесконечности. Лишь в, том частном случае, когда
Р = Лзш3у,	(354)
мы получаем согласно (35^) решение
р (к 4- &) =	cos у j/cos Я — cos а,	(355)
ограниченное во всём интервале — а<&<а.
§ 6. Уравнение контактной задачи при наличии трения
между сжимаемыми телами
Рассмотрим теперь уравнение
J p(t)dt + v	р(/)1п—-£_*«/(а-),	|«|<а, (356)
О	-а
где V —некоторая постоянная.
Как и ранее, введём в рассмотрение логарифмический по-
тенциал простого слоя
У(а:, у)=^ p(t)lnydt, г=/(г-я)24-у3.	(357)
—а
ще ^вК мы Уже знаем» Функция V (х, у) удовлетворяет соотно-
/'dF.x
)у-+й=-*р(х) при|х|<а, (a7A-+(,e0 пРиИ>а-
(358)
§ 6] УРАВНЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 77
Уравнению (356) можно согласно (357) придать вид:
J р (t) dt 4- vV (х, 0) = / (х),	| х | < а,
о
или, если продифференцировать это соотношение по х,
+	|ж1<а-	(359)
Принимая во внимание (35С), можем условию (359) придать
вид:
^-^-^ = -4 (л) при и <а, у=+о.	(360)
Рассмотрим в верхней полуплоскости у > 0 функцию комплекс-
ного переменного z:
(Зво
-а
Согласно (358) и (360) функция F(z) будет удовлетворять гра-
ничным условиям
kv ReF (z) + ImF (z) = nf' (x) при | x | < a, у = + 0, I
Im F (z) = 0	при | x | > a, у = + 0. J
В окрестности бесконечно удалённой точки функция F (z)
будет иметь разложение
F(z)»-4 + --> p~\p{t)dt. (363)
£	J
-а
Зная функцию F(z), мы найдём решение исходного уравне-
ния (356) р(я)по формуле
Р(я) =-^ [ImF(z)]u=+o,	|х|<а,	(364)
как это следует из (358) и (361).
Итак, решение уравнения (3'6) сводится к построению функ-
ции комплексного переменного F (г) в верхней полуплоскости
у > 0 по граничным условиям (Зб ) и условию (363).
Будем искать функцию F (z) в виде:
F(z)^z + a)'^~x(z-a)~^+4(z)t	(365)
сводя, такйм образом, отыскание функции F(z) к отысканию
функции Ф(г). Выведем условия, которым должна удовлетво-
рять функция Ф(г). Разность z — а можно представить в виде:
=	(366)
78
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДШИЕ
ГГЛ. I
где
р = /(х- а)‘ +у‘, &»=arctg—
(367)
(рис. 4). При этом будем считать, что 0 меняется в пределах
от 0 до л, когда точка z находится
в верхней полуплоскости. Из (366)
находим:
(г-<.п+’-1>^+те,Н+’),=
= p4+’[cos(4-y)»-
Рис. 4.	• • ( 1	„ \ л “I
_islnQ__yJO J. (368)
Как видно из соотношения (367),
р — | х — а | при у = + 0, & — 0 при х > а, у= Q-0,
& = к при х < а, у =4-0.	(369)
Полагая в (368) у = 4- 0, найдём на основании (369):
(z—a) 2 т = | х — а\ г+Т при х > а, у = 4- О, !
_i	_1	I
(z—a) 2+т=|х — а\ 2+T(sin лу —г соз лу) (
при х<а, у = 4-0- J
(370)
Меняя в (370) знак у а и у, найдём:
_1_т	_1_т
(z + а) 2 = | х 4- a | 2 при х > — а, у = 4- О»
_1_т	-1-г
(z4-a) 2 =|x-|-e| 2 ( — sinity — i cos ivy)
при x<—a, у — 4-0.
Из (370) и (371) находим:
_1_т	_’ + т	-1—г
(z-|-a) 2 (z — a) 2 =(x4-a) 2 (х —a) 2
при х > a, у= 4*0>
-i-т -i+T
(z-J-a) 2 (z — a) 2 =
-1-r -Чт
= (а + х) 2 (a —x) 2 (sin ivy — i cosity)
при —a<x<a, у =4-0,
-I-т -1+T	_1_T i T
(z-|-a) 2 (z — a) 2 = — ( —a—x) 2 (a —x) 2
при x < — a, у = 4- 0.
(371)
(372)
; 6) УРАВНЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИН 79
Полагая в (365) у = 4-0, найдём согласно (372):
Re F (z) 4- i Im F (z) =
-l+r
= (x4-a) 2 (x-a) 2 [Re Ф (z) 4-1 Im Ф (z)]
при x > a, у = 4-0,
ReF(z)4-t ImF(z) =
= (a4-a:) 2 Y(a~ x) 2+T(sinity —гсо8яу)Х	(373)
Х[ИеФ(г)4-г 1гаФ(г)[ при — а < а; < а, у =4-0,
Re F (z) 4- i Im F (z) -
1_	_i
= — ( — a — x) 2 T(a — x) 2 Т[НеФ(г)4-г1тФ(г)[
при x < — а, у = 4- 0. -
Первое и третье из соотношений (373) непосредственно дают;
1+т	1-т
1тФ(г) = (х 4-а)2 (ж-а)2 Im F(z)
(374)
1тФ(г) = — ( — а — (а —
при х < — а, у = 4- 0. -
Умножая обе части второго из соотношений (373) на
sin тсу i cos ку, найдём:
1 1
Im Ф (z) = (a4-z)2+Y(fl — я)2 T[cosKyReF(z)4-sinTCYlmF(z)](375)
при — а< х< а, у = 4-0.
Постоянная у до сих пор оставалась у нас неопределённой.
Положим теперь
tg*Y = ^, -4<Т<|.	(376)
Пользуясь соотношением (376), можно условию (375) при-
дать вид:
Im Ф (z) = —Т (а 4- z)2+T (а - ж)2"Т [ev Re F (z) 4- Im F (z)] (377)
при — а < я < а, у = 4 0.
Подставляя (362) в (374) и (377), получим для функции Ф(г)
граничные условия: .
1тФ(2) = с2^1
1т Ф (z) = 0
(а4-х)2+Т(а — х)2 Т/'(2:)
при | х | < а, у= 4- 0,
при | х | > а, у = 4- 0.
(378)
80
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 1
(379)
(380)
(381)
(382)
(383)
Выясним далее поведение функции Ф (z) в окрестности беско-
нечно удалённой точки. Из (365) находим:
Ф (z) = (z + а)^+Т(z-	F (z) = z (1 4-1	(1 - р (z)
Но, согласно (363), мы должны иметь:
[zF(z)]z=aoo = -Р.
Из (379) и (380) следует:
Ф(оо) = — Р.
Будем искать функцию Ф(г) в виде:
ф(2)=^ 2^4-с,
-а
где с —действительная постоянная.
Как мы уже знаем,
Im Ф (z) = r.q (х) при | х | < а, у = + 0,
1тФ(г) = 0	при | х | > а, у =+0
(см., например, формулы (361) и (358)).
Сравнивая (383) и (378), найдём, что граничные условия (378)
будут удовлетворены, если положить:
ч (х) = (а + а:)5+Т (а - * *)2~Т /' (Ж).
Далее, как видно из (381) и (382), условие (381) бу
нено,- если положить
Подставляя (384) и (385) в (382), найдём:
;ф^_соз"Т (а+02 (а-t)2 /'(*)<** . _р
-а
Второе из соотношений (. 73) даёт:
(384)
выпол-
(385)
(386)
---т -Чт
Im F (z) = (а х) 2 (а — х) 2 [sin «у 1тФ(г)—cos ity Re Ф (z)]
при |ж| < а, у= 4-0.	(387)
Из (364) и (387) находим:
sin «T[Im®(z)]y= + n-cos«Y[Re<&(z)]v=+0
—+т i-T
• (e-f-x)2	(а-®)2
при | х | < а. (388)
|7] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ 81
Подставляя (384) в (383), найдём: ,
lIm®(z)]v_+o = ^(a + ®)5+T(a-®FT/'(^) при |х| < а. (389)
Из (386) непосредственно следует:
[ВеФ(2)]„>+о = j t
scos«y (?+ О2—<«-ga——р при|х|<а. (390)
-а
Подставляя (389) и (390) в (388), найдём искомое решение
уравнения (356):
р(х) = ^^соз^Г(г)_
a 1-FT 1-Т
cos1*? С (а+02 (а-О2 /'«)<*< р С(?д
ТСУ J	£ — х
----------=2--------i-----i----------, I«|<а, (391)
«+Т Л"Т
л (а + х)2 (а — х)3д
где
P=\p(t}dt, Y = larctg^-(-4<y<4)	(392)
согласно (363) и (376).
9 7. Уравнение задачи о сжатии упругих тел, ограниченных
цилиндрическими поверхностями
Рассмотрим теперь уравнение х), к которому приводит задача
о сжатии двух упругих тел, ограниченных круговыми цилин-
дрическими поверхностями:
а
>> (*) g (*) + ^ V-х * = / (*>'	-а<®<а,	(393)
—а
где Х(х) и / (ж) —заданные функции (будем предполагать ниже,
что к(х)#=0 при — а<х<л, /( — х) = /(х)), a g (х)—функция,
подлежащая определению. К уравнению (411) приводит также
теория крыла конечного размаха, разработанная Прандтлем,
вследствие чего это уравнение называют уравнением Прандтля.
Мы приводим ниже решение этого уравнения для того случая,
когда функция к(х) имеет вид:
(ж) - Ьо + Ь1Х+ ...+ЬпхП У а Х '	<394)
1) Для численного решения уравнения (393) очень удобен метод конеч-
ных разностей—см.^приложение II.
6 И. Я. Шт а ер и ан
92
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. t
причём оба полинома, входящих в (394), не имеют веществен-
ных корней в интервале —а^х^а.
В общем случае для заданной функции к (х) можно построить
достаточно близкое приближённое выражение вида (394), взяв
число п достаточно большим.
Мы придерживаемся ниже метода решения уравнения (^93),
предложенного И. Векуа 2). Посредством этого метода решение
уравнения (41) сводится к интегрированию дифференциального
уравнения второго порядка.
В § 2 мы показали, что уравнение
а
=	-а<х<а,
— а
(395)
меет решение:
р(х)
=____1___Гр- 1 С rmV-'-i' dt
кх/а2- х2 L к J	х
—а
(см. формулу (115)), или, если воспользоваться тождеством
р^а2 —t2__ а2 — х2 ______ t-f-x
х /a2-t2(t-x)	/а2- Г» ’
J
Так как
О,
если /(х)— чётная функция.
Это решение будет ограниченным в точках х= — а и х = а
тогда и только тогда, если
р__ __ 1 С / (0 t dt
J /а2 - t2 *
-а
В этом случае решение уравнения (395) принимает вид:
р (х) = _ 1	_ х2
(I
— а < х < а. (396)
f(t)dt
al—t2(t — x\
1) См. И. Н. Векуа, Об интегро-дифференциальном уравнении
Прандтля. Прикладная математика и механика, т. 9, № 2, 1945.
f 7] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ДИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ
83
То же решение, ограниченное в точках х = — а и ж = а,
будет иметь и уравнение, которое мы получим, дифференцируя
по х обе части уравнения (395). При t > х находим:
d ,	1 d ,	1	1
у- 1П 7—-. = 3“ in - = -- ,
dx It — x| dx t — x t—x
при t < x:
d, 1	_ i 11
dx П 11 — x I dx П ж — t t — x*
Таким образом,
d ,	1	1
, - In —-, = -— .
dx 1t — x | t — x
Дифференцируя по x обе части уравнения (395), получим урав-
нение
=	-а<®<а,	(397)
—а
имеющее решение (396).
Представим теперь уравнение (393) в форме
а
^g^i=f(x)_l(x)g(x)> _а<х<а (398)
-а
и будем временно рассматривать правую часть этого уравнения
как известную функцию. Тогда, согласно формуле (396) для
решения уравнения (397), мы сможем найти из (398) производ-
НУЮ стоящую под знаком интеграла:
5'(ж)=-1/а’-хг	Уу—jt)g(° dt, -а<х<а. (399)
J Jr л2 — t^ (t х)
—а
Подставляя (394) в (399), найдём:
*• w - j : +Х">d,+F (400>
— а
— а < х < а,
где
F (х) = -1 /—	.	(401)
Соотношение (400) можно представить в форме
+ ;n;" (g-^+\т
у а2—х2 т "т • • • । °пт J * — *	J
-а	-а
84
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
а0 + fliJ; 4-
Ьо +&ix +
где
Д(/>а:)=7^[^ + М +
или
о/. _ч_____0+Л(0* + • -2±^n-i(t)x"-t
(bt + b1t + ...+bntn)(b,, + blx+... + bnx'i)1
где Pt(t), Pt(0, .. .,Pn_i(0 —полиномы от t, коэффициенты
которых нетрудно вычислить. Действительно, сравнивая (403)
и (404), найдём:
(/ - х) [Р. (t) + Л (0 х + ... + Pn_t (0 х"-1] =
= (в» + в1*+---+апЛ(6. + М+...4-А*п) —
— (а, 4- а& + ... 4- алхп) (60 4- bxt 4-... + bntn). (405)
Сравнивая слагаемые, содержащие одинаковые степени х
в левой и в правой части соотношения (405), получим уравне-
ния:
tP9 (t) = bt (а, 4- ait 4- • • • 4- antn) —
—	а® (b„ 4- b^ 4-... 4- bntn),
tPi (t)-P, (t) = (a, 4- att 4-... 4- antn) -
—	(bt 4- b^ 4-.. • 4~ bntn),
], (403)
. (406)
tPn-i(t) Рп-* (0=^n-i	• • + 0n*n)
— an-i (60 + bkt +... + bntn)f
— Pn-i (*) = 6n (0>+ 0i* + ... + 0n*n) ~
~ an (60 4- M 4- • • • 4- 6л*71) > ,
определяющие полиномы P0(t), Pi(t), ..., Pn_i(0- Из первых
n — 1 уравнений (406) последовательно найдём:
Л (0 = Ьо («X + «1* + . . . 4- «л^'1) ~
— До (&i 4- М 4-... 4- бл*^1),
Л (*) = (Ь. 4- 610 (014- 0,* 4-... 4- 0л*п’а) -
— (а0 4- 01*) (6t + 68z + ... + 6nin"a),
^i (*) = (6о 4- 6i* + 6t^“) (а3 + aj + ... + агАп 8) —
— (0О + 01*4- 0»£2) (63 + b<t + ... + 6Л£П~3),
 (407)
Pn-i (*) — (6в + bkt 4- . . . + 6П_1/Л^1) ап —
— К +	+ ... + 0л-!*"’1) Ьп ,
f 7-] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ 85
последнее же из уравнений (406) является следствием осталь-
ных. Подставляя (404) в (402), найдём:
t — X
ПЯ g' (д) - F (д) _ О0+ata? + • • • + апхп
Уа1 — х* b„ + blx+ ... +Ьпхп
+ М" ’
(408)
где

g(t) Pk(t}dt
ьо + 6i( + • • • + bn?
Соотношения (409) связывают неизвестные пока постоянные а,
«1, ...,an-i с искомой функцией g(x).
Представим (408) в форме:
А = 0,1,	(409)
(&о + &1Д + • • • + ЬПДП) [?' (*) ~ ^ (*)]
(а0 + a,z4- ... 4- апхп) У а2 - ж»
_ С g(t)dt Во + сцаЦ-... 4-an_1z"~1
J t — x' «в 4-	4- • • • + апхП ’
—а
или, согласно (394),
**-%) (Х>= S	<41°)
-а
где R (х) — рациональная функция:
R (х) =	+an-1J^-.	(411)
' ' ao + <V-h...-t-e**	'	'
Интегрируя по частям, найдём:
-а	-а
•в g' (t) In ^-^dt + g(a)ln(a — x)—g( — a)ln(a + x). (412)
—а
Дифференцируя обе части полученного соотношения по х, будем
иметь:
£ С	С g'(t)dt	g(q)	g(-g)
dx] t- x	j t — x	a—x	а 4-® *	г*1*5?
—а	—а
Подставляя (398) в (413), получим:
(414)
«6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Дифференцируя по х обе части соотношения (410) и принимая
во внимание (414), найдём:
Гх [ е(х\7хЛ(х) ] =/ <*)- м*) S И+R' (*)~Ш - тгг • (415>
Итак, решение исходного уравнения (393) сведено нами к инте-
грированию дифференциального уравнения (415). Это диффе-
ренциальное уравнение интегрируется в квадратурах. Действи-
тельно, полагая
рь(х) = 4 J *•(«) dt,	(416)
о
будем иметь:
' ' dx9 Л (х) dx d|i d|i9
** d Г gz(x) "I __ d Zd^\
k(x)dx L Л(xc) J dx \d|i/ dp, dji1 *
Таким образом, поделив обе части уравнения (415) на к (я), полу-
чим уравнение
dp2 + S д | dzL^(z)J^"^	"^ a — x a + x J ’
ИЛИ
.	$+«-*(«).	(«7)
где
{’’i [r$] + /«+*' <4,8>
Следуя методу вариации произвольных постоянных, будем
искать решение уравнения (417) в виде:
(	g — /l(F)C08fl.4-/s(|l.)8inIX,	(419)
подчинив неизвестные функции /х (р) и /8 (р) условию
/; (|Л) cos ft 4- ft (pt) sin fl = 0.	(420)
Дифференцируя (419) и принимая во внимание (420), найдём:
-• А (и) sin Р + ft (р) Сбер,
dV .z •	(421)
—/iCWSinp + ^CpJcosp —/х(р)со8р —/.(pjsm р.
| 7] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ
«7
Подставляя (419) и (421) в (417), найдём:
— /' (р.) si n u + /' (p.) cos p. = Ф (x).	(422)
Ив (420) и (422) найдём:
/'(|х)= — Ф(я)81пр., /' (р.) = Ф (х) СО8 р..	(423)
Отсюда
и
Д (р.) = — ^ Ф (t) din р.* dp.* + cn
о
/«(и) = ф (О с°8 [1* dp* + с„	(424)
о
тде переменные t и р.* согласно (416) связаны соотношением
t
р* (t) = ±^ k(t)dt,	(425)
о
a q и с2 ~произвольные постоянные.
Подставляя (424) в (419), найдём:
и
g = Ф (/) (cos р * sin р. — sin pi* cos р.) dp.* + ct сое р- + с2 sin р.,
о
или
и
g = Ф (Z) sin (р. — р.*) dp.* + q cos р. 4- сг sin р..	(426)
о
Переходя в (426) от переменной pi* к переменной /, найдём
в соответствии с соотношениями (416) и (425):
х
g (х) = i Ф (z) sin [и. (х) — [1 (t)] k (t) dt + Cj соя и. (х) -j- с, sin р (х).
о
(427)
Подставляя (436) в (445), получим:
g(^) = ^^[z2KrTjR(z)J8in('x(T)"ft(Z)1A+ ‘
о
+ -Н [/(')-f-r;-И(')1 й +
и
+ q cos р. (з?) + cs din р. (ж). (428)
88
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Интегрируя по частям и принимая во внимание (416), найдём:
J Si [R (0 ]8in (х) ~ R 0)1 dt =
= - $ [ **	+R (0 ] c°s [F И - и (0] и' (0 dt -
О
- [ е	+ R (0) ] sin и (х) = -	[к* F (0 + к (0 R (0] х
X cos [и (х) - и (0] dt - Г + R (0) 1 sin и (х).	(429)
L л W	J
Подставляя (447) в (446) и включая константу— тгд^—^Я(О)
в произвольную постоянную с8, получим следующее оконча-
тельное выражение для искомой функции g(x):
g (х) - - р $ ["’F (0 + X (0 Я (0] cos (и (х) - F (0] dt +
О
+	sin[p.(x) — Р(0]Л +
О
+ Cl cos р. (х) + ct sin Р (х), (430)
где функции F (х), R(x) и р.(я) определяются формулами (401)
(411) и (416).
Полагая в (430) х-а и х=~а, получим уравнения для
определения постоянных сх и с2, входящих в формулу (430):
tf1cosfi(a) + casinp.(a) = g(a) + 72 § [*а F (0 4- X (0 Я (0] X
О
Хсоз[и(а)-Р(0]А-1 J	х
о
X sin [р. (а) — ft (Z)J dt,
1	>(431)
e.cos^t — a)4- C,einp( — a) = g( — a) + -a X
X [**Я(0*£Х(0Я(0]со8[р( — a) — fi.(t)] dt~
о
—i j [/(')- Г?,-ТТГ ] *> I? (- «) - И (')] dt.
| 7] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ* ПОВЕРХНОСТЯМИ
Подставляя (430) в (409), получим систему п линейных урав-
нений для определения постоянных ах, . ..,ап_х, входящих
в выражение для R(x).
Фигурирующие в формуле (430) граничные значения иско-
мой функции g(a) и g( — а) определяются дополнительными
условиями, вытекающими из постановки той или иной задачи,
приводящей к уравнению (393).
Тем же приёмом, которым мы получили решение уравнения
(393), можно получить и решение уравнения
а
— а<х<а, (432>
—а
если в этом уравнении Х(х) имеет вид (394).
Представив уравнение (432) в форме
а
-а<х<а (433)
—а
в временно рассматривая правую часть этого уравнения как
известную функцию, найдём:
g (х) = — а2 — ж1	dt, -а<х<[а, (434)
в соответствии с формулой (396) для решения уравнения (397)~
Подставляя (394) в (434), найдём:
<435>
-a
— а < х < af
где
F (ж) = —т / а1 —ж2	.	(436)
—а
Соотношение (435) можно представить в форме
tg(x) — F(x)
It . —	=3
У а* —12
=+ $«'«>«‘><“ <437>
-а	-а
где R (t, х) — функция, определяемая формулой (403) или экви-
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
ггл. I
валентной ей формулой (404). Подставляя (404) в (437),
найдём:
У^а2 * *— хг
flo~bflia?4~ • • • ~^апхП С S' (0 dt л Ро 4~ Р1Д "Ч • • • 4~ Pn-i^""1
&о + М + • • • +bnxn J t-x **" b0+&i« + +Ъпхп ’ *
—а
где
4 = 0, 1,..., в — 1,
a P0(z), Pi(t),..., Pn_i (t) — полиномы, определяемые форму-
лами (407).
Дифференцируя обе части уравнения (433) по х, найдём
в соответствии с формулой (413):
С ^L = r(a.)^[K(a.)g7a5)] + |^l4.^a)> (44Q)
—а
Подставляя (440) в (438), найдём:
...+&nxn g(x) — F(x) _
аа + а1х+ ... +апхп у аг — х*
= /' (х) - В (X) g' (X)] + -fr? +£йт' +
?«+ Pi* + • - • 4~ Pn-i31**"1
“ в» 4-О1Х4-... +апгп ’
или, согласно (394),
.^(x)-F(x) _
А(х) “
= /' W - i tk s' (®Н+~~ *	* 5 И’ С441)
где
S (х) = b+Pi*+--+Pn-i*\i.	(442)
Итак, решение уравнения (432) сведено нами к интегрированию
дифференциального уравнения (441). Полагая
’«=-5^,.	(ад
$ 7) СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ
будем иметь:
Таким образом, умножив обе части уравнения (441) на
-^k(s), получим уравнение
или
g+g~4T(x),	(444)
где
tF(a:) = lk(x)[/'(a:) + 5(x) + ^ + 4^-]+F(x). (445)
Как мы показали уже выше, дифференциальное уравнение
(417) имеет решение (427). Следовательно, решение дифферен-
циального уравнения (444) будет иметь вид:
V
... g = Т (z) sin (v — v*) c?v* 4- ct cos v-j- ct sin v, (446)
0
где переменные t и v* согласно (443) связаны соотношением
,447)
D
'Переходя в (446) от переменной v* к переменной t, найдём
в соответствии с соотношениями (443) и (447):
g (х) = тс ( W (t) sin [v (х) — v (z)]	+ сх cos v (я) +c2 sin v (t). (448)
0
Подставляя (463) в (466), получим окончательно:
о
X sin [v {х) — v (/)] dt 4- Cj cos v (x) -f- c, sin v (t), (449)
где функции F(x), S(x) и v(x) определяются формулами (446),
<442) и (443).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Полагая в (449) х = а и ж=—а, получим два уравнения
для определения постоянных сх и ct:
cos v (а) + с, sin v (а) =
а
О
g(a)« i g(-a) ~|
а — £ * a -yt J
<?! cos v ( — а) + c, sin v (— a) =
Xsin[v (a) — v(Z)] dtt
(450)
[’^+fW+»W+S+^r]x
0
X sin [v (— a) — v (f)] dt.
Уравнениям (439)' посредством интегрирования по частям
можно придать вид:
( е (t) J. Г __РН!>______1 dt = е (a) PHa) _
J e[l} dt L ь.+V + ...+M” J 8W b. + M + .-.+M"
—a
Подставляя (449) в (4E0), получим n уравнений для опреде-
ления постоянных Ро, рх, .рп-и входящих в выражение для
рациональной функции S (я).
Фигурирующие в формуле (449) граничные значения иско-
мой функции g(a) и g( — а) определяются дополнительными
условиями, вытекающими из постановки той или иной задачи,
приводящей к уравнению (432).
ГЛАВА И
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
§ 1. Вывод основного уравнения плоской контактной задачи
Пусть два соприкасающихся упругих тела (I и II на рис. 5J
перед сжатием ограничены в сечении по плоскости хОу
кривыми
у = /1(ж) и у=—Д(х).	(1)
До сжатия между упруггми телами будет просвет Д (х) 4- Д (х).
Касание тел будет иметь
место для тех точек оси
Ох, где
А (*) +А (я)=о.
Множество точек оси Ох,
для которых имеет место
соприкасание тел перед	Рис. 5.
сжатием, будем обозна-
чать через 50. При сжатии силами, параллельными оси Oyf
между этими упругими телами в общем случае возникнет
контакт ещё вдоль некоторых дополнительных участков оси Ох.
Множество точек оси Ох, для
которых будет иметь место кон- 'У
такт между сжатыми телами,
будем обозначать через S. В про-
цессе сжатия упругие тела при-
обретут поступательные пере-
мощения в направлении оси Оу,
которые мы обозначим через-—а!
и а2. Таким образом, между
сжимаемыми телами произойдёт
сближение а, равное ах + аа. -Пусть
Рис. 6.
две точки упругих тел, занимавшие перед сжатием поло-
жение А1 и А2, соприкоснулись в результате сжатия в точке
А (см. рис. 6, где пунктиром показаны очертания сжимаемых
94
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
тел до сжатия, а сплошной линией после сжатия). Перемещения
этих точек ЛХА и А2А будут складываться из поступательных
перемещений А'А и А'А, равных соответственно — ах и а2
ж упругих перемещений АХА{ и А2А'. Обозначим через их, их
ж — и2, — v9 упругие перемещения точек Лх и А2 в направ-
лении осей Ох и Оу. Если
точка А имеет абсциссу х,.
то абсциссы точек Лх и Л»
будут соответственно равны
X—-U! и х + и2, а ординаты
/1(я —Hi) и —f2(x+u2) со-
гласно (1); Рассматривая
перемещение АгА точки А1Т
найдём для ординаты точ-
ки Л выражение
А (ж —Ui) + Vi — ах;
рассматривая перемещение
А2А точки Д2, получим для ординаты точки Л значение
“А (я4-йа) —1?а4-а*.
Таким образом, должно иметь место равенство
А (х — их) +— ах = — /а (х + и2) — иа + аа,
или
их + иа = а — А (х ~ «1) — А (х + ui)>	(2)
где а = ах + аа — сближение упругих тел при сжатии. Рассма-
тривая лишь малые упругие перемещения, можем заменить
в (2) fiix — Ui) и А(я + Иа) на А (ж) и А(х)- Получим тогда для
точек контакта условие
их + иа = а — А (ж) — А (х) на 5.	(3)
Будем далее предполагать, что трение между сжимаемыми
телами отсутствует. Тогда в точках контакта каждое из сжатых
тел будет испытывать со стороны другого тела лишь нормаль-
ное давление, которое мы обозначим через р (х). Полагая, что
вся область контакта мала по сравнению с размерами сжимае-
мых тел, будем считать, что упругие перемещения их и
в точке с абсциссой х будут такими же, как у граничных
точек двух упругих полуплоскостей (верхней и нижней),
находящихся под действием того же нормального давления
р(х), что и рассматриваемые сжимаемые тела.
Рассмотрим нижнюю упругую 'полуплоскость, к границе
которой приложено нормальное давление р(х) на участках оси
Ох, соответствующих участкам контакта сжимаемых тел
(рис. 7, а). Выделим на каком-либо из этих участков отрезок
I 1]	ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ	$$
оси Ох от точки x = t (рис. 7, Ь) до бесконечно близкой точки
x = t + dt. На этот участок будет действовать сила p(t)dt.
Так как участок dt, на который действует эта сила, беско-
нечно мал, действие этой силы на упругую полуплоскость
будет таким же, как если бы к упругой полуплоскости была
приложена бесконечно малая сосредоточенная сила р (t) dt
в точке x=^t. Задача о действии нормальной сосредоточенной
силы на границу упругой полуплоскости хорошо известна
в теории упругости1). Если в точке x = t к границе упругой
полуплоскости приложена нормальная сосредоточенная сила Р,
то граничная точка упругой среды с абсциссой х получает*
перемещение v в направлении оси Оу, равное
— 0Pin	(4)
где
г = |г-я|	(5>
— расстояние между точками оси Ох с абциссами t и х\
(в)
где Е — модуль упругости, р. — коэффициент Пуассона.
Таким образом, сила р (Z) dt, приложенная к границе упругой
полуплоскости в точке t — x, вызовет в точке границы с асбцио
сой х перемещение в направлении оси Оу:
dv = — Эр (Z) In уутгур + const.,
а действие всей нагрузки р, приложенной (рис. 7, а) к гра-
нице упругой полуплоскости, создаст в точке с абсциссой х
перемещение
v = —<8 р (t) In у 12 д.~|~	+ const.2).	(7)
8
Вели это же нормальное давление р будет действовать на
границу верхней упругой полуплоскости, то граничная точка
с абсциссой х получит перемещение и в направлении оси Ох,
равное
v = 8 р (Z) in  2д. । dt + const.	(8)
х) См. Тимошенко С. П., Теория упругости, ОНТИ, 1937 г
стр. 101.
а) Задачу о действии сосредоточенной силы на упругую среду следует
рассматривать как абстракцию, не отражающую реально возможных
условий задачи теории упругости. Однако, пользуясь этим формальным
решением уравнений теории упругости, легко перейти к решению реаль^
ной задачи о действии непрерывно распределённой нагрузки на упругую
среду.
96
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
Таким образом при сделанных допущениях перемещения
и иа на рис. 6 будут соответственно равны:
yi = Р (0 Ьа -j t2 д-р dt + const.	(9)
s
согласно формуле (8) для верхней полуплоскости и
— и2 = — &Д p^ln —-—j-S^+const.	(10)
j	11 — x |
S
согласно формуле (7) для нижней полуплоскости. В формулах
<9) в (10)
e.=4<i-rf). s.-^d-гУ,	(11)
где Et и ^ — упругие постоянные первого тела, а Е*
и р2 —упругие постоянные второго тела.
Подставляя vt и и2 из (9) и (10) в (3), получим для дав-
ления р(х) интегральное уравнение
(&14-S,) р(01п—Ц-(а;)—/,(х) на S, (12)
J	I * — * I
8
ШЛИ
$	на S,	(13)
8
где
—некоторая постоянная. Уравнение (13) является основным
интегральным уравнением плоской контактной задачи теории
упругости, детально рассмотрено в главе I.
§ 2. Случай одного участка сжатия упругих тел
Рассмотрим сначала тот случай, когда первоначальное каса-
ние сжимаемых тел в плоскости хОу происходит в одной точке.
Примем эту точку за начало координат (рис. 8). Будем сначала
предполагать, что функции ft(x) и /2(ж), определяющие конфи-
гурацию сжимаемых тел, имеют непрерывные первые и вторые
производные в окрестности точки х — 0. Направляя ось Ох по
общей касательной к кривым, ограничивающим упругие тела
в плоскости хОу, будем иметь:
/;(О)=/;(О)=о.	(15)
Сумму вторых производных
/до)+/:(о)
§,2J	СЛУЧАЙ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
будем сначала предполагать отличной от нуля. Ввиду малости
упругих перемещений область контакта 5 после сжатия упру-
гих тел будет малой, и в этой области сумму функций
/1 (х) + /а (х) можно будет приближённо представить в виде:
Л (*) * /з (х)=I [/; (0)+f2 (0)] х\	(16)
Относительно сил, сжимающих тела, будем считать, что их
равнодействующие, перпендикулярные оси
Ох, направлены к точке первоначального
касания сжимаемых тел, т. е. к нача-
лу координат. Так как первоначальный
просвет между сжимаемыми телами /1(я)+
+ /2(я) мы предполагаем согласно (16) сим-
метричным относительно оси Оу, давле-
ние р на поверхностях сжатых тел бу-
дет также симметричным относительно
оси Оу. Область контакта между сжатыми Рис. 8.
телами S будет представлять собой не-
который участок оси Ох — а<я<а. Интегральное уравне-
ние (13) будет иметь вид:
а
( p(t)ln-—^-~-dt = f(x) при— а < х < а, (17)
J	I * — X |
—а
где согласно (14) и (16)
с- |(/;(о)+/;(о)]х2
ИЛИ
/(Ж) = а-Лжа,	(18)
где
4 _/г (о)+/; (о)
2(&! + &2)
а^а — некоторая постоянная.
<йи Интегральное уравнение (17) совпадает с гуравйением (1),
подробно рассмотренным нами в §§ 1,2,3 главы I. Для того
случая, когда правая часть этого уравнения / (ж) имеет вид (18),
нами было найдено решение:
P(^)°P±^a-\~2fa	(20)
те У а2 — х2
(формула (77) главы I), где
а
\ p(x)dx.	(21)
-а
Соотношение (21) показывает, что постоянная Р, входящая
? И. Я. Штаерман
98
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ .ЗАДАЧА
[ГЛ. II
в формулу (20), определяет равнодействующую сжимающих
сил, приложенных к каждому из сжатых тел и уравновеши-
ваемых давлением, действующим на поверхности давления.
Силу Р мы будем считать заданной. Остаётся определить полу-
ширину участка контакта а, входящую в формулу (20). Она
определяется тем условием, что давление р(х) должно быть
ограниченным везде, включая и края участка контакта. Это
возможно лишь тогда, когда
Р = Аа2,
и формула (20) принимает вид1
=	^-Х2 .
Подставляя (19) в (22), найдём:
(22)
(23)
(24)
/2Р (&,+&.)
Формулы (23) и (24) полностью решают задачу, определяя по
сжимающей силе Р полуширину участка контакта а и давле-
ние в области контакта р(х).
Рассмотрим теперь тот особый случаи, когда сумма вторых
производных определяется соотношением:
/1(0) + Г,(0) = 0.	(25)
Будем для общности предполагать, что не только вторая произ-
водная от суммы fi (х) + /2 (ж), но и все последующие производ-
ные вплоть до 2п —1-й включительно обращаются в нуль при
я = 0, производная же
/<2">(х) + /<2«)(х)
»
отлична от нуля при х = 0, будучи непрерывной в этой точке.
В этом случае, учитывая малость участка контакта, можем
при —приближённо положить
А (®)+А (*) = (4j! (Л2П) (0) + Л2п> (0)] *tn- (26)
Подставляя (26) в (14), найдём, что в этом случае
где
f(x) = a — Anx2n,
(27)
И2п\0)+Л2п)(0)
(28)
а а —некоторая постоянная.
§ 2]
Г.ЛГЧЛП ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
99
Чтобы решить интегральное уравнение (17) для того слу-
чая, когда правая часть этого уравнения имеет вид (27), вос-
пользуемся общей формулой для решения уравнения (17):
(29)
я У а2 — z2 L	J ix	j
—а
(см. формулу (115) главы I).
Для того чтобы функция р(х), определяемая формулой (29),
оставалась ограниченной при х*=а, должно выполняться условие
—а
(30)
Подставляя (30) в (29) и пользуясь тождеством
1.1	_ а2 — х2 t а — х
a — t7*7 t — х (а2 — t2) (t — х) a2 — t2 ’
получим:
р(х) = — iKa2_ х>
ТС г
f'\t)dt
Ya2-t2(t-x)
Для того чтобы функция р(х), определяемая формулой (31),
оставалась ограниченной при х=*—ау должно выполняться
условие
С /' (О dt  ~
J
— п т
Если условие (32) выполняется, то, пользуясь тождеством
у/^а2 — t2  а 4-1
формуле (30) можем придать вид:
f'(t) t dt
Ya2-t2
== -кР,
(33)
а формула (31) будет в этом случае иметь вид:
(34)
Для того случая, когда функция f(x) имеет вид (27), усло-
вие’ (32) выполняется, так как в этом случае в определённом
7*
100
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. II
интеграле (32) подинтегральная функция будет нечётной.
Подставляя (27) в (34), найдём:
/>(«)»§ Л./а*-
—(
Пользуясь тождеством
t*»-‘ dt
(35)

f 2П-1 Т2Л-1
7----= 7— + Z2n~2 + *2n-8 x + ... + tx2n'* + x2n~2,
t — X t — X
можем формуле (35) придать вид:
p(x) = ^t Алуа2 — х2 X
2п-2	а
X [ 2	^=—. ] • (Зв)
m«0	-а	'
где
J = — ^	******	(37\
m ат J У a2 -t2 '	' '
’	-а
Интегрируя по частям, найдём:
откуда, пользуясь обозначением (37), найдём:
=	'	(38)
При т чётном из формулы (38) следует:
г	J _(m—l)(m-3) j	__
т Jrnr-2— т(т^2) 'J
m(m —2)...4-2	’
l-3...(m-3)(m-l) Г dt 1-3.. .(m-3)(m - 1)
2-4...(m—2)m j Ya2 —t2 = 2-4...(m—2)m W
При m нечётном Jm = 0, так как в этом случае подинтеграль-
ная функция в (37) нечётная.
12]
СЛУЧАЙ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
101
В главе I мы показали, что уравнение
а
( р(01п-;——rdt = a., — а<«<а,	(40)
J	| С — X |
-а
где « — постоянная, имеет решение:
<41>
(см. формулу (74) главы I). Подставляя (41) в (40), найдём:
а
Г 1	1
\	. In -г-------г dt = const, при — а < х < а. (42)
J	|е —®|	г	v '
—а
Отсюда дифференцированием по х найдём:
. -М------= 0 при — а < х < а. (43)
J/aa-**(*-*)
—а
Подставляя (39) и (43) в (36), получим:
Р (х)=% л./SZT? [ V3t ;.(gz” -"-+
* й.-:(£д-> °’"" ’’+••+4 aV"~‘4-1””‘ ]  <44>
Подставляя (27) в (33), найдём:
о л С tindt D
2пА„ \ r -- =icP,
п J V^aa — t* ’
-а
или, пользуясь обозначением (37),
2гаАпагп/ап = кР.
Отсюда согласно (39)
1-3.  ,(2n — 3)(2n — 1) . 2П _ р	,,_
2-4...(2п-4)(2п-2)Лп“ ~
Подставляя Ап из (45) в (44), найдём:
п / дЛ _ — ifaa ха Г —2n rfe 2п (2ге ~ 2) — ц.
Р\х>~ «а» V а х L2n-l^(2n-l)(2n-3)
2п(2п-2)...2
’ (2n-l)(2n-3)...3-la»"-»J ’
Подставляя (28) в (45), найдём:
_ У 2-4...(2п - 4) (2п - 2)(2n)l (&i + »а) Р
а~* 1 • 3.. ,(2п -3) (2п -1)Г/<3”>(0) + )<Sn>(0)] ’
102
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. IT
ИЛИ
а —2-4.. ,(2« —2) 2n jZ
(47)
Формулы (46) и (47) определяют полуширину участка кон-
такта а и давление в области контакта р(х). При я = 1 фор-
мулы (46) и (47) переходят в
формулы (23) и (24). На рис. 9
показаных) графики функции
р (х) для различных п, соответ-
ствующие одинаковой полуши-
рине участка контакта а и оди-
наковой сжимающей силе Р'~).
До сих пор мы предпола-
гали, что вторая производная
от суммы функций /j (ж) + /2 (х)
непрерывна в окрестности точ-
ки х = 0. Рассмотрим теперь
тот особый случай, когда точка
х = 0 является точкой разрыва
для второй производной от сум-
мы функций fi(x) + f2(x). При
0.4 0.3 02 0.1 0 01 02 0,3 0.4 Ojmm этом указанная вторая произ-
Рис. 9.	водная может, либо оставаясь
ограниченной, иметь скачок
в точке я = 0, либо обращаться в бесконечность в этой точке.
Начнём с первого из этих двух случаев. Итак, пусть
Л(0) + /:(0) = 2Л+ при х= +0, |
Л(0) + /;(0) = 2< при — 0. J
(48)
Тогда, учитывая малость участка контакта, можно прибли-
жённо положить
/1(^4-/!^) = ^ при х > О, |
/i(z) + К(х) = Л.я* 2 при х<0. J
Будем сначала считать, в соответствии с исходными предполо-
жениями § 1 этой главы, что сжимаемые тела могут иметь
лишь поступательные перемещения, параллельные оси Оу.
В этом случае мы можем пользоваться для определения да-
вления р(х) уравнением (13), правая часть которого f(x) опре-
деляется соотношением (14). Область контакта сжатых тел S
х) См. также мою статью в Докладах АН СССР, т. 25, № 5, 1936.
2) В расчётах принято Е = 2 • 10е кг]см\ о *= 0,3.
8 2]
СЛУЧАЙ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИИ УПРУГИХ ТЕЛ
103
не будет уже симметричной относительно начала координат.
Обозначим абсциссы начала и конца участка контакта через
— а + 8 и а + Тогда уравнение (13) будет иметь вид:
$ /’(*)1птт~7ТЛ = /Сс)’ —а4-3<ж<а4-8.	(50)
— a-f-o
Полагая в (50)
Z = t4-8, £ = $4-8,	(51)
получим уравнение
/>(х + 8)1п dt = /(;-!-8), — а<£<а,	(52)
—а
которое согласно формуле (34) будет иметь решение:
не+s) = _ 1 f	,	(53)
У а2 - т2 (т -
причём должны выйолняться условия (32) и (33), которые
в данном случае будут иметь вид:
а	а
с.	+	г f'(-. + d)zd-. _ ' /а2-т2	’ J т/”а2 —х2 -а	—а Подставляя (49) в (14), найдём: Л*) =	х ПРИ *>0, / (*)=-91+{>2 * при я < 0. Подставляя (55) в (53), получим: ИЕ+г> = УСйХГлЛ ±±^—4.4 « -	«Р.	(54) )	‘ (55) 1 J (т + 5) dx I
+	J уа2 — х2 0= —С) __ 2 У‘ай — ^2 ( , С	dx	। . «’(»1 + »г) V	J /а2-г2 1	' — а г~	— о (*	dx + (с + 8) Л. \ z		+ Л v	J /в2 - z‘ (z - О Полагая 2аи	2av х“1+и” с ! + »«’	° ( | и | < 1 и 1 о I < 1 при 1 т 1 <	3 /а2--г2(т-§)] — О а —d~- - + J.Va2-'2 — О 1 ? 		11. (56) =47-	<57) а и | $ | < а),
104
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. п
найдём:
(-UQ
С du
j и — v
-1
(58)
При £<—о, и<—и0, вычисляя главное значение определён-
ного интеграла, найдём:
—uq	/	v—e	—1*0	%	r-
[* du	v •	/	C	du * C	du	1	1 •_ 11/	\
\-------= lim I-----------к \--------- I = lim I In (v— u)
'	"	e->0	\	J И-»	J	«“»	/	s^O	L
'	-1	ю+»	/
и—о-в
J и — V
-1
In (и — и)
U—-U0-]
= lim In
6 ( - и0 - а)
(14-и) е
и» + »
(59)
непосредственно находим:
-u0
C du
J u — v
-1
In (и — и)
U—-U0
= 1п^±2
14-^
U--1
(60)
Формулы (59) и (60) можно объединить в одну:
-Uo
С du _ In |Ир + о|
J U — V	14-P
(61)
Находим далее:
— UQ
f du
J ”1
-1-----и
1 V
u=-uo
=1П 1+^.
{1 4" uoy
(62)
Подставляя (61) и (62) в (58), найдём:
-8
14-и2
—а
____________=----------In 1 “oT-gJ
а(1 —г?2) 14-иои
(63)
d>
Полагая далее
«=tg(y—у)=	(0<?<«, о<%<«), (64)
найдём, согласно (57):
В = а сое <р, 8 = — a cos <р0,	(65)
§ 2]
СЛУЧАЙ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
105
а формула (63) примет в этом случае вид:
-8
С dx
J /а2 - -с2 - 5)
Согласно (43)
-4—In
a sin <р
sin У-- -?0
Л
а
Г dx
— о
-8
Г dx
5 а2 — и2 (*с — {•)
1
а sin <р
sin
Sin ^2-
2
(66>
(67>
Полагая т = асоз<р и принимая во внимание (65), найдём:
(68>
Подставляя (65), (66), (67) и (68) в (56), найдём:
__ 2а
Р“"2(»1+»2)
’ sin ® [Л+ф0 + Л_ (к — <р„) ]

+ (cos <р — cos <р0) (А+ — А_) In
. ? + fo
sin—2~
sin^
(69),
0 < ср <, тс.
Согласно (51) и (65)
х = a (cos ср — cos ср0).
(70)
Формулы (69) и (70) определяют функцию р(х)
ва^е —аЦ-8 < х <аН-3.
Подставляя (55) в (54), получим уравнения:
в интер-
-8	а
Г (t + Д) dv	С (т + й)</-с q
' /J2^2 Т 4 ' /а2^2
—а	— б
-6	а
с (-t+s)w? А с (<сч-Д)х<г-с _ j» р
J	* У /а2--;2	2	' ж
—а	—б
(71)’
106
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. Ц
Полагая в (71) т = асоэф, о=—acos<?0, найдём:
W	фО
Л_ (cos ф — cos ф0) d(p-f-A+ (cos ф — cos ф0)	= 0,
*о	°
л	ФО
а2 [л_ (cos ср — cos ф0) cos ср	(cos ф—cos ф0) cos ф dtp]
фо	0
= ^Р(01 + »в)
или, выполняя интегрирование,
A (sin ф0 - с?0 cos ф0) - Л_ (sin ф0 — ф0 cos ф0 + - cos ср0) = 0,
я2 М+ (<Ро ~ sin ф0 cos ф0) — А_ (ф0 — sin cp0 cos ф0 — к) ] =
= тгР(&14-&2). ,
Первое из уравнений (72) даёт:
tg?o-?o=-^----------------------- 
Умножая первое из уравнений (72) на
вторым, найдём:
---- и складывая со
cos <р0
a2 sin2 ф0 tg ф0 (Л+ — Л_) = кР (&х + 02),
откуда
1 -/ кР (&1 + 02)
sin <р0 V (Л+ ->l_)tg<p0
(72)
(73)
(74)
Определив ф0 из уравнения (73), мы по формуле (74) най-
<	дём полуширину участка
контакта а, по второй из
формул (65) — смещение
участка контакта по отно-
шению к началу коорди-
нат о и Далее, по форму-
лам (69) и (70), сможем
определить давление р(х)
в области контакта — <?4~
4“ о я 4~ ® •
На рис. 10 показан гра-
х фик давления р(х) для
случая фо=120°. Заме-
тим, что давление р (х) в
рассматриваемом случае
приводится не только к силе Р, приложенной в начале коор-
динат, но и к некоторому моменту М относительно точки хя» 0.
$2]
СЛУЧАИ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
107
Вычислим этот момент М, Находим:
а+6	а
М= J p(Z)Z dt~ (та) (т-f-8)	=
-а 4-б	-а
а
= PS4- />(т4-5)т(Ь,	(75)
-а
так как
а	«4-8
^р(т4-о)с?т= p(t)dt = P.
-а	-а+б
Дифференцируя (52) по 5, умножая на ^Ла2 —с1 и интегрируя
затем по $ от —а до а, найдём:
если принять во внимание (43). Подставляя (77) в (76), получим:
^Р(т4-о)тЛ = -^ /'(; + 3)]/а^Ч2(/$.	(78)
-а	—а
Подставляя (78) в (75) и меняя обозначение аргумента, по
которому ведётся интегрирование, найдём:
1	г
+	O4-S)/a,-‘'s^«	(79)
—а
Подставляя (55) в (79), получим:
-8
"=p3---kW4- S *+
-а
+ 4+ (т+о)|/в2—,
а
108
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. Ill
или, если положить : = асозср, о=—acoscp0,
•к
М = РЬ-	(А_ sin2 ? (cos <Р - cos <р0) d<f +
фо
+ Л sin2 <Р (cos ср - cos ?0) dcp) = Ро —	{-*<—~ sin8<P° "*
U
— 4cos?» [ос— >L)(<f>0-sin?0cos<p0)4-K4_j }=рз—
»«>x+~U { “8in’*•~~ icos ?01 (л + “A-}(?0“tg ?o)+
+ ^}=Р8+<Аг^^, (80>.
на основании (73). Подставляя в (80) a2sin2cp0 из (74), найдём:
Л7 = Рй + -^р-Р = -|Ро,	(81)
так как a cos ср0 = — 3.
Итак, для того чтобы сжатые тела находились в равновесии,
необходимо, чтобы равнодействующие сжимающих сил были
смещены относительно точки первоначального касания тел и
пересекали ось Ох в точке #=уЗ. Если согласно поставлен-
ным нами выше условиям равнодействующие сжимающих сил
направлены к началу координат, но в то же время сжимаемые
тела могут совершать лишь поступательные перемещения, то
связь, препятствующая повороту тел при сжатии, будет прини-
мать на себя момент М, определяемый соотношением (81).
Допустим теперь, что равнодействующие сжимающих сил, как
и ранее, направлены к началу координат, но связь, препятствую-
щая поворотам сжимаемых тел, отсутствует. Решим контактную
задачу при этих условиях.
Соотношение (3), связывающее упругие перемещения гра-
ничных точек сжимаемых тел и и2, выведено нами в том
предположении, что при сжатии упругие тела совершают лишь,
поступательные перемещения — ах и а8 в направлении оси Оу
и между ними происходит при этом сближение a = a14-a2.
Допустим теперь, что при сжатии упругое тело, расположен-
ное в верхней полуплоскости, кроме поступательного перемеще-
ния, совершает ещё поворот относительно начала координат
на угол —0х, а упругое тело поворачивается относительно
начала координат на угол 02 (будем иметь в виду повороты
§2]	СЛУЧАИ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ	Ю9
против часовой.стрелки). Тогда между граничными точками
сжимаемых тел, имеющими абсциссу ж, произойдёт дополни-
тельное сближение, равное Ох, где 0 = 61-|-01. Чтобы получить
в этом случае связь между упругими перемещениями и и2,
надо постоянное сближение а в формуле (3) заменить перемен-
ным сближением а4-6ж. Получим соотношение
и1 + из==а + 0я — А (ж) — /а(я) на 5.	(82)
Подставляя в (3) и и2 из (9) и (10), придём к тому же уравне-
нию (13), но для функции /(я) получим вместо (14) выражение
/ (х) = ? + fla:-^-W-"—} •	(83)
«1 "Г
Подставляя (83) в (53), найдём:
р($ + 8) =
1 /а2-?2
»i + »a
С dx
6
л(.+а)+/;(т+^1
Но первый интеграл в формуле (84) равен нулю. Таким обра-
зом, выражение для давления р останется тем же, что и при
отсутствии относительного поворота сжимаемых тел 0, и мы
попрежнему для давления р будем иметь формулу (69). Под-
ставляя (83) в (54), получим уравнения:
А С .
J У а2-г2
—а
а	1
С /£(z±^)±/£(2±l)dT==0
J Г у аг _ л
С /И*+*)+/«(*+») т d, = _	I
J Уа2-т2	v -
(85)
Подставляя (49) в (85), полагая т = a cos ср, 8 = — a cos ср0 и выпол-
няя интегрирование, получим на этот раз вместо уравнений (72)
уравнения
Л+(8Ш <р0 —<Ро cos %) — yL(sin <р0 —<РО COS <р0 + cos®0) =	,
A (<Ро - Sln То C0S То) - Л-(То - 8Ш То cos Ч>0 - я) =--г-- •
Подставляя (83) в (79), найдём:
* —а
а
TjT-ky \ [А' (" +8) +	+S)
VVi “г Оз? J
—a
(87)
110
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
Подставляя (49) в (87) и производя те же выкладки, что и при
выводе формулы (80), получим:
W=-P«oosf. + -(-|)5JK){^=Sin4.+
+	[(Л, - Л.) (ъ - lg <f.) +к Л.)} +	. (88)
Но так как сжимаемые тела могут свободно вращаться отно-
сительно начала координат, момент М, который образует относи-
тельно точки я = 0 давление р(х), должен быть равен нулю.
Согласно (88) получаем уравнение
4 (Л„ — Л_) sin3 <?0 + cos <р0 [(Л, — Л_) (<р0 — tg <р0) + Я Л_] =
z>cos?0_ (89)
Складывая первое из уравнений (86) с уравнением (89), найдём:
у (Л;+ - Л_) sin3 <Р„ = -Р (У 9з) cos <р0.	(90)
Разделив (90) на созу0 и отняв от второго из уравнений (86),
получим уравнение
| (Л + - А_) (3 <?0 - 3 sin ср0 cos ?0 - sin2 То tg <р0) = — кА
или
tg<p0 + sin2<?0-3<p0=	.	(91)
X"1
Из (90) находим:
а = _L ./+
sin?0F (Л+- 4_)tg?0’
Умножая второе из уравнений (86) на cos о0 и складывая с пер-
вым из этих уравнений, найдём:
, ,	. ч • з теР (9, 4- 9,)	, тев
(Л, - Л_) sin3 <?„ = —cos <Ро + 55 •	(93)
Исключая At —А_ из уравнений (90) и (93), найдём:
(94)
Уравнение (91) определяет угол <р0, после чего формулы (92),
(94) и соотношения 8 == — a cos ср0 определяют полуширину уча-
стка контакта а, смещение этого участка относительно начала
координат 8 и относительный поворот сжимаемых тел 6, а фор-
мулы (69) и (70) определяют давление р(х) в области кон-
такта — а + 8<я<а4-8.
§ 2]
СЛУЧАЛ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
111
Итак, для того случая, когда вторая производная от суммы
функций + имеет скачок в точке х = 0, контактная
задача полностью решена нами, как при условии одного лишь
поступательного перемещения тел, так и при условии посту-
пательного перемещения и относительного их поворота.
Перейдём теперь к тому случаю, когда вторая производная
от суммы функций /х(^) + /2(ж) обращается в бесконечность
в точке я = 0. Будем предполагать, что в области контакта
указанная сумма функций может быть представлена в виде:
М*) + /.(*) = 4И*	(1<Л<2).	(95)
Подставляя (95) в (14), будем иметь:
ПРИХ>0’ |	<96>
,,, . Лк 10:1s-1
/ (*)=	пРиа:<0-)
Подставляя (96) в формулу (34) для давления р(ж), найдём:
, . AkVl^ Г	с l*l*-<*f	, с	1	,97у
р(х)— ^(0,4-^) L	J У a--t-(t-x) + J У a2—t2(t—о:) □ '
—a	О
Заменяя t на — t, получим:
Г _ I t	_ Г	,Qft
'/a2-t2(t-o:)~ J /a2-1* (t + x) *
-a,	0
Подставляя (98) в (97), найдём:
, л	a2 — ж2 fdt__________	(aos
*’(&! + »Г) j/a2^2^2-*2)'	'
0
Условие (32) в данном случае выполняется, так как фун-
кция /' (ж), определяемая соотношениями (96), начётная. Под-
ставляя (96) в (33), найдём:
г° lt|*	Г 11 |fc dt _ vp (8t + »2) ,
J Уa*-t* I" J Уa2-t- ~ Ak ‘ 1
-a	0
или
tk dt	(ftj «4" ^2)
/a2-t2 ~ Ak
(100)
2
112
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. И
Полагая в (99) и (100) г = ат, найдём:
1
. ч 2 ЛА»*-1 _/, х* Г
+ V 1 в2
‘ x*dx__ „Р(01 + 8г)
“ J /1-т2 ~ 2Ак
О
Из (102) найдём:
Подставляя А из (102) в (101), получим формулу
*P(fri + 02) -
г z*dz
J 1—т2
U
Формула (104) определяет полуширину участка контакта а,
-формула (103) — давление р (х). Определённые интегралы, вхо-
(101)
(102)
(ЮЗ)
(104)
дящие в формулы (103) и (104), при 1 < к <2 не выражаются
через элементарные функции. При Л = 3/2 эти определённые
интегралы (эллиптические) после приведения к каноническому
виду могут вычисляться по имеющимся для эллиптических
интегралов таблицам1). На рис. И показан график давления р(х)9
вычисленного по формуле (103) для случая Л = 3/2. Давление
х) См. Приложение 1, п. 6.
$ 2] СЛУЧАЙ ОДНОГО УЧАСТКА СЖАТИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
113
р(х) ограничено во всей области контакта—а < х < а, однако
производная' р' (х) претерпевает разрыв в точке х = 0, кривая,
изображающая функцию р(х), имеет при х — 0 угловую точку.
В заключение этого параграфа отметим предельный случай
рассмотренной задачи, когда А=1. При А=1 согласно фор-
муле (96)
/ ✓ \ с ~~ Л I х |	- _
/ (*) - -9j +	.	(105)
В главе I мы показали, что для того случая, когда правая
часть интегрального уравнения (17) /(а:) имеет вид:
f(x) = a-A\x\,	(106)
это уравнение имеет решение:
z ч 2Л. а — ж2
?(«)=—In	|Д|-  	(107)
обращающееся в нуль при |я| = а, если
Р =	(108)
(формулы (203) и (204) главы I).
Заменяя в (107) и (108) А на +	» получим решение
задачи для того случая, когда функция f(x) имеет вид (105).
Находим:
z ч	2А	-1 a— ’j/ra2—x2 PC»)-	|х|	(Ю9)
'D _	2/а	(113)
°РИ	Р ~	+ »,) ’ Подставляя А из (НО) в (109), получим формулу	
	
, к	Р 1 а— Vа2—х2 р(х)=	In 	:	j	 • r v '	па	| x |	(И1)
Из (ПО) находим:	
яр (». + »,) а~	2А	(И2)
Формула (112) определяет полуширину участка контакта а,
формула (111) — давление р(х). На рис. 12, а показан график
функции р(х), определяемой формулой (Ш). В точке х = 0
давление р(х) обращается в бесконечность. Как видно из (95),
для рассматриваемого случая (А=1) просвет между сжимае-
мыми телами до сжатия определяется формулой
' fdz) + f3(x) = A\x\>	(ИЗ)
в И. Я. Штаерман
114
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛл II
конфигурация сжимаемых тел в окрестности точки их перво-
начального касания имеет вид, показанный на рис. 12, Ь. Таким
образом, рассматриваемый предельный случай к=1 соответ-
Рис. 12.
ствует сжатию двух клиньев
или давлению клина на пря-
молинейную границу упрут
гой среды. В этом предель-
ном случае в точке я = 0
претерпевает разрыв уже
не вторая производная от
суммы функций Л (ж) + Д (ж), а первая производная:
Ш + ГЛ*)=-А
при х = —О,
при х = + 0.
(114)
§ 3. Задача о давлении жёсткого штампа на упругую
полуплоскость
В предыдущем параграфе нами детально рассмотрен тот
случай контактной задачи, в котором первоначальное касание
сжимаемых тел в плоскости хОу осуществляется в одной
точке. Рассмотрим теперь тот случай, когда первоначальное
касание сжимаемых тел в плоскости хОу осуществляется
не в точке, а вдоль некоторого отрезка оси Ох. Если длину
этого отрезка обозначить через 2а и расположить начало коор-
динат в средине этого отрезка, то множество точек 50, в кото-
рых осуществляется первоначальный контакт между сжимае-
мыми телами, будет представлять собой отрезок оси Ох
— а<х< а.
Рассмотрим сначала тот случай, когда одно из сжимаемых
тел имеет форму штампа с прямыми углами в сечении пло-
скостью хОу. Обычно в этой задаче это тело принято считать
жёстким, и задача формулируется как задача о давлении
жёсткого штампа на упругую полуплоскость. В этом случае
и после сжатия контакт между сжимаемыми телами будет
осуществляться вдоль отрезка оси Ох — а < ж < а и согласно
S3]
ЗАДАЧА О ДАВЛЕНИИ ЖЁСТКОГО ШТАМПА
115
общим формулам (13) и (14) давление р(х) под штампом будет
определяться интегральным уравнением
а
dt = a, — а<х<а, (115)
—а
где а— некоторая постоянная, так как при — а<я<а перво-
начальный просвет меж-
ду сжимаемыми телами
/1 (х) + />(х) = 0. В гла-
ве I мы показали, что
уравнение (115) имеет ре-
шение:
<1,б>
«
где Р (х) dx — стка-
—а
мающая сила (см. фор-
мулу (74) главы I). На
рис. 13 показан график _ i	I	_	? г х
давления р (х) под штам-	О	а
пом, построенный в соот-	Рис. 13.
ветствии с формулой (116).
Давление р (х) неограниченно возрастает при подходе к границам
участка контакта х = — а и	+ а. В конце предыдущей
главы мы уже столкнулись со случаем обращения в бесконеч-
ность давления р(х), когда рас-
сматривали давление клина на упру-
гую полуплоскость. В действитель-
ности реальный профиль упругого
тела никогда не будет иметь угло-
вых точек, так что клин или штамп,
имеющий в сечении прямые углы,
являются абстракциями, которые и
приводят при решении контактной
задачи к нереальному распределению давления в области г н-
такта. Ниже мы рассматриваем задачу о давлении штампа на
упругую полуплоскость, считая, что профиль штампа имеет
непрерывно вращающуюся касательную. Итак, если
V = fi(x)
—уравнение кривой, ограничивающей штамп (рис. 14) в сечении
плоскастью хОу, будем, как и ранее, считать, что
/4^ = 0 при —(117)
8*
Рис. 14.
116
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. II
Б окрестности же точек я == — а и х = а при | х | > а прибли-
жённо представим функцию Д(х) первым членом её разложе-
ния в ряд Тэйлора:
=	+ (х-~аУ прих>а, |	)
А(я) = у/1(-а — 0)(а + а:)г ПРИ а, )
считая, что при подходе к точке х = а справа и к точке х= — а
слева вторая производная /"(я) стремится к конечным отличным
от нуля значениям. Эти значения будем считать равными, пред-
полагая штамп симметричным, и обозначим через А:
f1^ + O) = fl(-a-O) = A.	(119)
Считая для простоты, что упругое тело, на которое давит
штамп, имеет прямолинейную границу, совпадающую с осью Ох,
примем
/а(^)=0.	(120)
Подставляя (117), (118) и (120) в (14) и принимая во внима-
ние обозначение (119), найдём:
/(*)=- 2(о;л)(а + х)2 + const*
/ (а) = const. '
/ Ю = ~7(вГТХ) ~ а)2+con8t'
откуда
f№ = 0
/'^=-9ГТв2(а;~а)
при —а,
при —а < я < а, *
при х>а,
при — а,
при — а < х < а, к
при х^а.
(121)
(122)
Обозначая через 26 ширину области контакта после сжатия (6>а),
найдём давление р (х) по общей формуле (34), заменяя в ней
полуширину участка контакта а на 6:
ь
р(х)= —L’/b’ — x* (	—v.	(123)
Подставляя (122)^ в (123), найдём:
____ -а	Ъ
г,М -А^Ь*~Х* [ С (*+0<К " , f (t-a)dt -1
S 3]
ЗАДАЧА О ДАВЛЕНИИ ЖЕСТКОГО ШТАМПА
117
ИЛИ
, . Л /б2-х2 Г, , J	dt . Г dt
Р (х)~ ^(di + дг) |/в+а:Ц /б’^75(Г-1) J УЪ^Т* **
—ь	—ь
ъ	ъ
+ + («~-/ dt-------------------1 • (124)
' J /ь2-43(1-ж) J '	’
Находим:
—а	Ъ
J Уъ^Г1 ~ J /б^Т3’- "2 ~<Р<”
— Ъ	а
где
<р0 = arcsin у.	(126)
Полагая
<=‘г^' ’!=6г’Ь'	<127>
найдём:
Х2	^2
С dt	1 + %* С __^2_______
j yb*-t2(t-x) = b j (^-0(1-^) ~~
Э1	£1
52	58
1 + S2	/С	С	dz \
= Ь(1-е) ( Ь-Тё- )	—г) ’	(128)
61	61	т -1
где ?! и ?2 связаны с хг и хг соотношениями
________________д 2q2
Х1~Ь 1 + 8’ Ж2 — 61 + й'
Находим далее:
при ? < $1
( —г = 1п(т-о|^2 = 1п|^,
Jt-5 V /l':=ei Cl-%
5i
при E > Ba
5г
f dz 1	4 1 ^=52	-. E — E3
\ —?=ln(£— t)	=ln:—
J t-C '	' I С-61 C-C1
61
при £, < 5 < E2
(129)
(130)
(131)
=± [in <e - ’> Г;Х+in (т -!) I "I". ]=
118
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ГАДАЧА
(ГЛ. П
Формулы (130), (131) и (132) можно объединить в одну:
Аналогично
= 1п|
(133)
(134)

Подставляя (133) и (134) в (128), найдём:
( ~7=--------- I •	(,35>
Принимая во внимание (126), найдём из (129):
при x1==—b, ж2=— а, $1==—1, £»=—tgl£, I
}(136)
при х^а, xt = b, 5l = tg^,5t = l. I
Полагая далее
5 = tgf	(137)
и подставляя (136) и (137) в (135), найдём:
dt
> z_____	In
J /b2-t2(t-x) b cos
— b
sint±?i-
созЦр-
СО8Ц^
sin 4^
f dt	1	,
J p^b2—t2(t —x) bcosf
Из (127) и (137) следует:
2 = 6 sin ip.
Подставляя в (124), (125), (138) и (139) и полагай,
но (126),
найдём:
a = b sin ср0,
_____ЛЬ cos f /sin уЦ-sin у0 ,
? — (Oj + 08) \ cos <р
sin^p-
cos 4^-
sin у —sin <p0 jn
cos <p
4- чрч
cos ~-
sin ?—
2
(138)
(139)
соглас-
но)
4-TC-2<p.) ,
ь
S3]
задача о давлении жёсткого штампа
119
или
р=те I - 2<f«) cos ?+sin ?ln | зт'^те I+
4- sin <р01п | tg Ц12- tg 1 ] . (141)
Подставляя (122) в условие (ЗЗ)1), получим уравнение
-а	Ь
Г (а -{-t)tdt . С (t — д) t dt __ пР ({>! 4-0a)	(142)
J Уb2 — t2	А '	'	'
Полагая в (142) Z = 6sin<p и a = 6sin<p0 согласно (140), найдём
К
—То	”
(sin <р0 + sin <р) sin <р d? + (sin <р — sin %) sin <р d<f = *Р >
’о
я
или, выполняя интегрирование,
2_m Sin 2?» пР (Р1+8>)	(1 ДСП
2 те 2	лЬг	'	'
Подставляя Ь из (140) в (139), (141) и (143), найдём:
<144>
„ Аа Г/ о \	। •	1	sm(<p4-?o) ।
Р = 2/а , а • •— (тс — 2ф0) cos ф + sin ф In . у --го<- -4-
Г	(&1Sin ?0 L 4	Т0/	Т |Sin(p —f0)|*
4- sin <pG In | tg tg | j .	(146)
Подставляя А из (144) в (146), найдём:
2P sin f0 Г (к - 2?0) cos f + si.i <p In I У|>< 11
p=__________L__________________________I S1 * (? — ?o) I J I
F	тед (те—2p0 —Sin 2f0)
sin2 f„ In | tg Mp- tg
	2_l . , _ * <»< 2	(147)
ка (к — 2f0 — si.i 2<p0)_____________________2	‘	2 ’
Формула (144) определяет угол <pe> после чего формулы (145)
 (147) определяют давления р(х) в области--^	соот*
9 Согласно с обозначением Ьэ принятым в рассматриваемой задаче для
полуширины участка контакта, надлежит при этом в (33) заменить д на Ь.
<20
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
ветствующей области контакта —я <6 V=‘sF~ tJ • На
рис. 15 показаны графики давления	соответствующие
различным значениям угла <р0, т. е. различным отношениям
Показанные на рис. 15 графики давле-
ния р (х) соответствуют одинаковой полуширине основания
штампа а (см. рис. 14), одинаковой сжимающей силе Р
и одинаковым упругим постоянным, но различным значениям А,
т. е. различной кривизне закраин штампа, благодаря чему
и меняется угол <р0 (см. формулу (144)) и полуширина участка
контакта b » -Л— .
sin <Ро
Итак, считая кривизну закраин штампа ограниченной
и полагая, таким образом, реальные условия в основу задачи
о давлении штампа, мы приходим к реальной картине распре-
деления давления под штампом. Как видно из рис. 15, увели-
чение кривизны закраин штампа при прочих равных условиях
S 4]
СЛУЧАИ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ СЖАТИЯ	|21
влечёт 8а собой увеличение максимального давления под штам-
пом, однако давление это остаётся ограниченным, пока огра-
ничена кривизна штампа.	&
Приведённые нами формулы (144), (145) и (147) дают
возможность установить максимальное давление под штампом,
Аа2
если задана конфигурация штампа (ширина его основания 2а
и кривизна его закраин, т. е. А), упругие постоянные и ежи*
•мающая сила Р. Показанный на рис. 16 график дает возмож-
ность сразу отыскать по этим данным ширину площадки
контакта 6, не решая уравнения (144), после чего по формулам
(145) и (147) можно вычислить давление р(х) в любой точке
контакта.
§ 4. Случай нескольких участков сжатия
До сих пор мы предполагали, что после сжатия контакт
сжатых упругих тел осуществляется вдоль одного отрезка оси
Рис. 17.
Ох, т. е. множество точек 5, в которых происходит касание
сжатых тел, представляет собой одну непрерывную линию.
Рассмотрим теперь тот случай, когда контакт сжатых упругих
тел осуществляется вдоль нескольких отрезков оси Ох: (alf
(at, М, ..., (an, bn) (рис. 17). В этом случае основное интеграль-’
122
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
ное уравнение контактной задачи (13) будет иметь вид:
2 f jt-x| ^ = /(*)> ат< х < bm(m = l,2,	(148)
• тп=1 ат
где попрежнему
Интегральное уравнение (148) полностью совпадает с уравне-
нием (209) главы I. Как мы показали в главе!, решение этого
уравнения имеет вид.
р (я) =	_________________
П	Ът Г п
'_________171=* 1____CLjfi 771 = 1
*	| П (« — вт)(®-Ьщ)|	(150)
тп-=1
а, < х < bt,
где Рд-i/я) —полином степени п — 1:
РП-1 (*) = Со + С1Х + сахг +;.. + сп_аха~г — Рх”'1,	(151)
Р — сжимающая сила, т. е.
Р=3 \p(t)dt	(152)
ат
(см. формулы (244), (245) и (246) главы I).
Коэффициенты с0, clf с2, ...,сп_2 полинома Pn-i(x) опреде-
ляются из системы линейных уравнений:
71—2 flnixi
= (-1Г [/(araJ-/(W] + P (	п xn~ldx
т У | П (* - «т) («-м|
s 4]	СЛУЧАЯ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ СЖАТИЯ
123
Ьт |/ | || (х-ат)(х — Ьт)|
т=1
п	&т / п
х[2(-1)п-т^ ]/ |П	(153)
т—1	ат т=1
т = 1, 2, ..п — 1,
(см. формулу (252) главы I).
Границы участков контакта, т. е. абсциссы а19 blf а2, Ъ2,...
..., ап, Ьп, будут определяться в общем случае из того усло-
вия, что давление р (х) должно оставаться ограниченным во
всей области контакта, включая и границы участков контакта
x=alf x = blf. .х = ап, х=Ьа. Как видно из формулы (150),
это возможно лишь в том случае, если числитель в этой фор-
муле обращается в нуль при х = alf х = bL (I = 1, 2,. . п). Отсюда
получаем 2п уравнений
(154)
х+ Л,-. W = о.
п	Ът / п
тп»1	ащ т=1
1=1, 2,..., п.
которые и определяют абсциссы Ь19 а2, Ь2,..., ап, Ьп.
Полученные нами формулы полностью решают рассматри-
ваемую задачу, определяя область контакта сжатых упругих
тел и давление р(х) в области контакта. В том частном случае,
когда какие-либо из границ участков контакта заранее предо-
пределяются конфигурацией сжимаемых тел, как в случае
давления штампа с прямыми углами на упругую полуплоскость,
рассмотренном в предыдущем параграфе, соответствующие из
уравнений (154) должны быть отброшены.
Рассмотрим простейший пример, в котором штамп, имеющий
конфигурацию, показанную на рис. 18, давит на упругую полу-
плоскость. Зазор 5 мы будем предполагать настолько малым,
что при сжатии контакт штампа с упругой полуплоскостью
124
[ГЛ. II
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
------—-—--------------а_
осуществляется вдоль двух участков оси Ох : —6<х< — а и
а < х < Ь. В этом случае
л = 2, ах=— Ь, &!= —а, аг=—а, b2 = b,
fi (%) в О ПРИ — Ь < х < — а, Д (х) = 3 при а < х < Ь, (155)
А (*)*= О,	(156)
и согласно (149)
f(x)=a при — 6<х<— а, /(я) = а + е при а < х < Ъ, (157)
где
а
(158)
(если считать штамп абсолютно жёстким, то 01 = 0), а — не-
которая. неопределённая постоянная.
Рис. 18.
Решение интегрального ура-
внения (148) приусловиях (155)
и (157) было получено нами
в главе I и согласно формулам
(256) и (261) главы I имеет вид:
/ \	।	Со Р &
р (ж) = ± —г=—	—— ,
те (х2 — а2) (62 — х2)
а< |я| <&,	(159)
где знак плюс берётся при х < 0 и знак минус при я > О,
_______________________________
С»~ Щл) ’
или, согласно (158),
С° = 2(01 + ifa)K(fc) ’	(16°)
где К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода:
К(к)= {-. dx = ,
модуль которого к равен:
Л = |.	(161)
На ряс. 19 показан график давления р(х) для случая
*=± = 0,4, 8 = 0,656(0x4-0»)/».
§ 4]
СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ УЧАСТКОВ СЖАТИЯ
125
На границах участков контакта давление р(х) обращается
в • бесконечность, что является следствием принятого нами
условия о наличии прямых углов у профиля штампа. Приве-
дённые в этой главе общие формулы дают возможность решить
контактную задачу и в том случае, если считать кривизну
закраин штампа ограниченной.
При этом мы получим реальную картину распределения
давления под штампом, при котором давление будет ограни-
ченным везде в области контакта. Ввиду громоздкости выкладок
мы детально на этом не останавливаемся.
Рассмотрим теперь тот случай контактной задачи, когда на
упругое тело, расположенное в нижней полуплоскости, давят
несколько отдельных тел, лежащих в верхней полуплоскости,
и заданы силы Plf Z\,..., прижимающие эти тела.
Если в этом случае под функцией fi(x) понимать функцию,
определяющую в разных интервалах аргумента х конфигура-
цию каждого из тел, лежащих в верхней полуплоскости, то
контактная задача будет решаться тем же интегральным
уравнением (148) с той лишь разницей, что постоянная с,
входящая в формулу (149), может иметь различные значения
на каждом из участков контакта, ибо каждое из сжимаемых
тел может совершать при сжатии своё поступательное переме-
щение.
Как мы показали в главе I, давление р(х), являющее-
ся решением уравнения (148), будет в этом случае опре-
деляться той же формулой (150) с той лишь разницей,
что коэффициенты полинома Pn-i(x) — с0, clf ..., с^2 бу-
дут на этот раз определяться уже не уравнениями (153),
126
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ГГЛ. II
а уравнениями (255) главы I:
п-2 Ьт
х1 ах
п
| I (х - am) (X - Ьт) |
<*ш тп=1
ш-1
п	Ьт Г п
x[S(-i)n-m j у |п
m«l	am m—1
m = 1, 2, ..n — 1,
причём
Р = Рг + Рг+ ...+Ли
(162)
(163)
Рассмотрим простейший пример, в котором на упругую
Рис. 20.
полуплоскость давят два штам-
па, прижимаемых силами
и Ра (рис. 20). В этом случае
п — 2, аг = — Ьк = а, а% = а,
ь% = ь,
/ (х) = 0 при — Ь < х < — а
и а < ± < Ь.
(164)
Как мы показали в главе I, интегральное уравнение (148)
при условиях (164) имеет решение:

(165)
Л = J/ Z 1 — F > a < | ж I < 6
(см. формулу (267) главы I), где знак плюс берётся при z<0,.
8 5]
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ РЛДАЧА
127
знак минус при я^>0, К (к) — полный эллиптический интеграл
первого рода с модулем к,
— а	Ъ
Р1=\ p(x)dx и Р2 = \ р(х) dx — сжимающие силы.
-Ь	а	*
Формулы (159) и (165) отличаются лишь постоянным сла-
гаемым в числителе дроби, определяющей давление р(х). При
Рх > Рл распределение давления под штампами будет иметь
тот же характер, что и на рис. 15.
§ 5. Периодическая контактная задача
Рассмотрим теперь тот случай контактной задачи, когда
функции fi(x) и /2(я), определяющие конфигурацию сжимае-
мых тел, — периодические с периодом I (рис. 21, а), так что
число участков контакта бесконечно велико. Обозначим через
(а1> ^1)/ (аа> ^а)> •••> (fln> ^/i)>
О < 01 < bi < аа < Ьл < ... < ап < bn < I, (166)
участки контакта сжатых тел в интервале 0<x<Z, т. е.
в пределах одного периода (будем считать, что начало коор-
динат лежит в точке, где контакта между сжатыми телами
кУ
нет). Давление р(х) в области контакта будет функцией периоди-
ческой с периодом I. Рассмотрим действие периодического нор-
мального давления р (х) на нижнюю упругую полуплоскость
(рис. 21, &).
Пусть я = £ —какая-либо точка интервала 0<z<Z, в кото-
рой на границу упругой среды действует давление p(t). Тогда
на интервал (t, t dt) будет действовать элементарная сила
128
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. П
p(t)dt, которая в граничной точке упругой среды с абсциссой л
вызовет перемещение do в направлении оси Оу, равное
do = — Op (t) In r--p dt + const.,
I t — Я I
согласно формуле (4|.
Так как функция р(х) периодическая, в точках x = t+nl
(л = ... —2, — 1, 1, 2, ...) на границу упругой среды будет
также действовать давление p(t). На интервал (£4-nZ, t + nl + dt)
будет действовать элементарная сила p(t)dt, которая в гра-
ничной точке упругой среды с абсциссой X вызовет элемен-
тарное перемещение:
do= — &p(t) In ---f^4-const. =&р(^) In I 1^4“функц.(^)
I l nL~~~ X |	I Til j
Просуммировав элементарные перемещения, возникающие благо-
даря давлению, действующему на интервалах
.. .,(t-21, t—21 +dt), (t — l, t — l + dt), (t, t + dt),
(t + l, t + l+dt), (t-f*2Z, t + 2l + dt),
получим элементарное перемещение:
do = bp(t)	1—Ц^| + 1п | 1 —^| + ln|Z —x| +
+ ln| l + L^| + ln|l+^| + ...)=Op(01n|(«-x)[l-
--[ 1-^—] [	...|л + Фуякд.(0(167)
Как известно, функция sinu может быть представлена беско-
нечным произведением:
sin« = u(l-£)(l-44,)(l(168)
Полагая в (168) и = ”, найдём:
. те (t — х)
sin —I—'=
откуда
= l8in^Zf>. (169)
Подставляя (169) в (167), найдём:
do = Op (0 In ± | sin | dt 4- функц. (0,
б 5]
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
129
или, что то же самое,
du = Op (Z) In 21 sin	+ функц. (Z).	(170)
Если в интервале	контакт между сжатыми телами
осуществляется вдоль участков оси Ох(а19 6J, (а2, Ь2), .. .,(ап, Ьп)9
то согласно (170) граничная точка с абсциссой х9 принадле-
жащая телу, расположенному в нижней полуплоскости, полу-
чит упругое перемещение в направлении оси Оу:
п ьт
— = р (Z) In 2 | sin —| dZ-J-const., (171)
m=l ат
а соответствующая точка, принадлежащая телу, лежащему
в верхней полуплоскости,—перемещение
bm
»!= — 2 I Р(01п2| sin	-{г const. (172)
771=1 J
am
Подставляя (171) и (172) в (3), получим для определения давле-
ния р(х) интегральное уравнение
bm
п /•
(»» + &*)2 \ Р(01п---Ат^|^ = с-А(^)-/.(®),(173)
m-1 J	2|sin г---
ат<х<Ьт(т = 1,2, ..., п),
где с—некоторая постоянная, или
bm
2 U<01n | K\t--^dt = f(x),	(174)
m=l J	2 Sin —1
am
причем am < x < (m = 1,2,..., n), где
w.'-w->.w,	(175)
Полагая в (174)
t = Х =	(176)
получим уравнение
₽m
s to1”*-“'(£)• <•”>
cm
9 и. Я. Штаермаи
II
130
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ.
причем ат < & < $т(т = 1, 2, ... , п), где
*т^ат, ^т^~Ьт (7/2 = 1, 2, .... п).	(178)
В главе I мы показали, что уравнение (268) имеет решение
(318), где постоянные у0, у„ ... , уп определяются уравнения-
ми (319), (322) и (327) и
71 ₽т
тп=1 ат
Таким образом, уравнение (177) будет иметь решение:
л

2 Tm sin’,~m у COSm у
л-тп +1 ти«0__________________________
(179)
X
ят < < Pm — 1, 2, . . ♦ , Я),
где постоянные у0, ух, ... , уп определяются уравнениями
п
-т.+ь-т.+т.-••• = ^-sin 2 Vм+
771=1
П
-Yi + Ys-ь + ъ- • • • =-£с08 3 а,Ц-”4
771 = 1
₽7Л
$ 5]
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
131
Полагая в (181) ? = —найдём:
п Ът
<183>
m= 1 ат
где
п Ьт
Р= 2 \p(^dt	(184)
т-1 ат
—сжимающая сила, приходящаяся на интервал 0 < х < I, т. е.
на один период. Подставляя (183) в (180) и полагая в (179),
(180) и (182) =	8=-^-х, найдём:
р(х) =
-у
n sin — (x-bm)
ат
sin — (t-am)
sin z
1
4-(-l)n-’
X /' (/) ctg у (I — x) dt +
n
2	KT __ toe
Tm sin”-* —J- cos’” —y-
m = 0
n
sin у (x-am) Siu
m=i
am<x<bm(rn = i,2,	, n),
(185)
132
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
где Yo, Yi, ... , Yn определяются уравнениями
-Yo + Y^-Yi + Ye-
п sin—
П-: ' , ,
т=1 sin — (£ — bm)
п
=4sin 2
m = l	i
(186)
n
-T1 + T»“Ys + Yt-• • • = 4 c08 2 lj(am4-^n) +
m-1
/' (t)dl,
И
n ak*i	einn-m cosm dx
2 Ym r—------------ -------------- —
« ° Ьк |/ | JJ gin	am) sin JL(x-bm) |
m»l

" sin
П—,
mas| sin -у (x am)
m—1 am
л bm
X/'(0ctgy (t —	, k = i, 2, ..., n — 1. (187)
Для того чтобы давление р(х), определяемое формулой (185),
было ограниченным везде в области контакта, включая точки
х = ат и х — bm (т = 1, 2, ... , п), должны выполняться условия
2 Ym 8inn'm cos’” = О,
m=0
2 Ym sin"""* ~~ cos’” —f- =
0|a*Q
1 5)
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
133
= (—1)п-Л+1
п
^|П81пТ(а*“6т)
тп—1
" sin -у (I - ат)
II . Ь~,;
sin —
X f	Л=1, 2, ... , n. (188)
Формулы (185), (186), (187) и (188) полностью решают рас-
сматриваемую в этой главе контактную задачу, определяя
область контакта и давление р(я). Уравнения (186), (187) и
(188) определяют абсциссы начал и концов участков контакта
ах, а2, ... , ап, blf Ь2, ..., Ьп и постоянные у0, Yu • • • > Yn, после
чего формула (185) определяет давление р(х) в области кон-
такта.
Если на нижнюю упругую полуплоскость в интервале 0 < I,
т. е. в пределах одного периода, давят п отдельных тел и за-
даны сжимающие силы Р19 Р2, ... , Рп, действующие на каждое
из этих тел, то вместо уравнений (187) мы будем иметь урав-
нения
*к
ainn-m__ cosm __
sin -у (s-am)sin
jj Bin 7-<«=-bm)
m=l ein ~(® —am)

” sin
П —' „ ,
m = l Sin -y(^-bm)
x(3
f(t) ctg^-(t-x)dt) dx], (189)
A = l, 2, ..., n —1,
выражающие согласно (185) условия
bk
^p(x)dx = Pfc (Л=1, 2, ... , п-1),
ak
а в уравнениях (186) под Р надлежит в этом случае понимать
сумму
Р = Л + Р,+...+РП.	(190)
3'1
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. п
Заметим ещё, что если какие-либо из границ участков
контакта заранее предопределяются конфигурацией сжимаемых
тел, как в случае давления штампа с прямыми углами
на упругую полуплоскость, то соответствующие из уравнений
(188) должны быть отброшены.
В заключение этого параграфа рассмотрим простейшие
примеры.
1) Рассмотрим давление на нижнюю упругую полуплоскость
штампа, имеющего очертания, показанные на рис. 22. В этом
случае n=l, ^1 = 4- —а, = 4 + / (ж) = const. при 4 — а <
<я<у + а, и уравнение (177) принимает вид:
In —I-------ГТ =const.
(191)
при к —а
2 па
а =------ .
I *
В главе I мы показали,
что уравнение
SW
= const.,
имеет решение:
/’♦/2COS |
Р (1Г -|- &) = -77—	,	--1Л
2* у cos — cos а
(см. формулу (338) главы I). Таким образом, уравнение (191)
имеет решение:
Р* 1^2 cos у
--т===>	— <*•
2п у COS 0 — COS а
(192)
> 5]ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА	135
Подставляя (183) в (192) и полагая согласно (176) и (178)
о 2*	2w	..
о = —ж, а=«—а, найдем:
На рис. 23 показаны графики давления р под штампом,
построенные в соответствии с формулой (193) для различных
РЮ	J
Рис. 23s
значений отношения-^-. При	, как видно из
рис. 22, основания штампов сливаются, и мы приходим к равно-
Г
мерйо распределенному под штампом давлению р==-
Когда Z—> оо >0^ , мы приходим к случаю одного участка
контакта, рассмотренному в § 3, и получим тот же график
давления р(ж), что и на рис. 13.
2) Пусть теперь (рис. 24)
/1 (я) = cos2 , f,_ (х) = 0.
(194)
136
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
Заметим, что в этом случае	т. е- постоянная А
№
Рис. 24.
в формуле (194) определяет кривизну в точке касания. Под-
ставляя (194) в (175), найдём:
f^= -2^(0x+0jCO82Jr + COn8t->
и уравнение (177) будет для этого случая иметь вид:
\рСЮ1п 7рЛ-»|d?= ~ "(^aJco8,4+coDSt,> (195)
Q ,	2тса
к — а<О<тс + а, а = — ,
если через а обозначить полуширину участка контакта.
В главе I мы показали, что уравнение
\ р (?)1п и—\_i> ।“ А со8* 4 const-
2|sin^-|
имеет решение:
Р (* + Ю =	С08 у С08 “ cos а> sin
(см. формулы (354) и (355) главы I).
Таким образом, уравнение (195) будет иметь решение:
(4 +Л) = зД+ц со9| /cosh-cos», — а<0<а, (196)
sin|
/«р* о.+м
А1
(197)
Подставляя в (197) (183) и полагая в (196) и (197) Ь = -^-х»
• В]
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
«37
а — -^-а согласно (176) и (178), найдём:
/ I ,	4 А1 /2	пх f 2пт	2ка /ллоч
р (2 + х) = -2^(0;+^с08 — V cos -I—008 — ’ <1Г8>
— а < х < а,
I	•	f 2P(6j4-08)	/?innv
а = — arc sin -у-1/ --—— .	(199)
Формула (199) определяет полуширину участка контакта а;
формула (198) —давление р в области контакта.
Как видно из формулы (199), при
I = К	+	= 10>	(200>
а = -^, т. е. происходит полное соприкасание сжимаемых тел
вдоль всей оси Ох. Пользуясь обозначением (200)
* V -----л----= Z°'
можно формулам (198) и (199) придать вид:
- + xj = y2 j-cos-y- у cos—-------сов —-у-,	(201 >
а	1	L
— а < х < а, — = — arc sm .
’ I	л	I
Задаваясь различными значениями отношения а/l и вычисляя
далее по формулам (201) сначала Zo/Z, а затем р, получаем
графики давления р в области контакта, изображён-
ные на рис. 25. Эти графики показывают зависимость давле-
ния р в области контакта от периода Z при фиксированном Zo,
т. е. согласно (200) при фиксированных упругих постоянных,
сжимающей силе Р и при фиксированной постоянной Л, т. е.
при фиксированной кривизне в точке первоначального контакта.
В предельном случае, когда Z = Z0, a[l — Q,b (полное соприкаса-
ние упругих тел вдоль всей оси Ох) давление р меняется по
синусоиде. В другом предельном случае, когда Z —» оо, аЦ—>0, мы
приходим к первоначальному касанию сжимаемых тел в од-
ной точке и получаем распределение давления в области кон-
138
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ГГЛ. II
такта по эллипсу, ранее уже полученное нами в § 2. Кри-
вые на рис. 25 дают также ясное представление о взаим-
ном влиянии давлений на соседних участках.
§ 6. Контактная задача при наличии сил трения
До сих пор мы предполагали, что между сжимаемыми тела-
ми отсутствует трение и в области контакта на сжатые тела
действует лишь нормальное давление р(х). Рассмотрим теперь
тот случай, когда между сжимаемыми телами имеет место тре-
ние1). Будем предполагать, что сжимаемые тела находятся на
пороге равновесия и в области контакта между нормальными
и касательными напряжениями имеет место соотношение:
(202)
где к — коэффициент трения. Таким образом, в точке контакта
с абсциссой х при наличии нормального давления р(х) будет
также действовать касательное усилие t(x) = kp(x). Благодаря
наличию этих касательных усилий граничные точки сжимаемых
тел с абсциссой х совершат дополнительные упругие перемеще-
ния в направлении оси Оу, которые мы обозначим через и* и — v*.
J) Эта задача была решена Н. И. Мусхелишвили, Л. А. Галиным и
отчасти Н. И. Глаголевым. См. академик Н. И. Мусхелишвили,
Сингулярные интегральные уравнения; Л. А. Галин, Смешанные задачи
теории упругости с силами трения для полуплоскости, Доклады АН СССР,
т. XXIX, № 3, 1943; Н. И. Глаголев, Упругие напряжения вдоль
основания плотины, Доклады АН СССР, т. XXXIV, № 7, 1942.
16]
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ
139
Как известно из теории упругости, эти перемещения будут
связаны с касательным усилием t{x) = kp(x) соотношениями
dv{  t (ж)	dv2  t (xj	/90^1
~d^ — GT ’ dt G2 ’	' ’
ИЛИ
<204>
ux '*1	I»»*'	'-*2
где Gx и Ga —модули сдвигов сжимаемых материалов. Инте-
грируя (204) по х, найдём:
X	х
=	( p(t) dt + const., и*=Д p (t) dt + const. (205)
Gi J	<j2 J
0	0
Чтобы получить интегральное уравнение задачи, надо в усло-
вие (3) вместо перемещений и и2, определяемых формулами
(9) и (10), подставить перемещения Ui-f-Uj и и2 + и*. Получим
вместо интегрального уравнения (12) уравнение
(206)
(207)
(208)
(209)
/’(Odz + (ftl+ds) Sр(г) 1п|Т^|Л =
II	8
^c — fiW — f^x) на S,
ИЛИ
X
^p(t)dt-}-v ( р (t) In —j [	= v/ (ж) на
О	s
где
k^ + GJ ’
f (r\_с~~ fi (ж) ~~ /г (ж)
М ’	&1 + &2
Для простоты будем в дальнейшем предполагать, что область
контакта S складывается из одного участка. Если через 2а
обозначить длину этого участка и расположить начало коорди-
нат в центре участка контакта, то уравнение (206) будет иметь
вид:
х	а
\ p(t)dt + v \ p(t)ln—^—dt==vf(x),	— а<х< а. (210)
J	J	I » *	I
О	-а
Пользуясь формулами (391) и (392) главы I для решения
интегрального уравнения (356) главы I, получим следующее
140
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ГГЛ. II
решение уравнения (210):
р(х)^81|1д;соэят-г^)-
а 2+т	1_т
соз3дТ С (а+02 Т(а- О2 Г Г (t)dt _ р
• « -а t~x
1
я (а + х)2 (а — х)2
— а <_х < а,
где
Р=^ p(t)
—а
т. е. представляет собой сжимающую силу, а
1	х 1
y = — arc tg — .
1 те ° теу
Подставляя (208) в (213), найдём:
1
г = — arc tg
 тс
fe(Gi + G2)
”(&! + ®2) GjG2 ’
(211)
(212)
(213)
(214)
Для того чтобы давление р(х), определяемое формулой (211),
было ограниченным везде в области контакта, включая точки
л = — а и х = а, должны выполняться условия
а	1
с08^$ (tztJ)2 1	(215)
—а
И
S (МУ" f * — j (МУ" I' <‘> *•	<216>
Условию (216) можно придать вид:
?	(}^ + l^\/.(l)<ll = 2a ? O+.yy<0jL~n
-а	-а
ИЛИ
С /а + ty	n
J V-t> y/JSTTp
—Л	r
(217)
Пользуясь соотношением (216), условию (215) можно придать
вид:

9 6]
КОНТАКТНАЯ .ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ
141
ИЛИ
—а
Пользуясь соотношениями (217) и (218), найдём:
а	Т: + Т
Г (a + t)2	(a-t)2 f'(t)dt =
J	t — x
—a
(a + t Л (a2 - t2) /'(t)dt
V-tJ /a2-t2(t-x) =
V fa + *Y	f'Wdt	_ж f /в+ty f'(t)dt
J ka-tj	J \a-tj ya»-t»
—a	—a
__ f y + ty */'(0^ = /a2 _ Д.2Х C /а + ty	T.P .
J \fl-tj Уаг— t2 '	' J \a-tj ]/a2-t2(j-x)	COSi«Tf
—a	—a
(219)
Подставляя (219) в (211), найдём:
X
x £ <fl + gY ff^dt____
J V-M у a*-t*(t-xy
—a < ж < a.	(220)
Условие (217) предопределяет выбор начала координат, т. в.
определяет положение участка контакта, уравнение (218) опре-
деляет полуширину участка контакта а, формула (220) опреде-
ляет давление р(х) в области контакта. Таким образом, фор-
мулы (214), (217), (218) и (220) полностью решают задачу,
определяя область контакта и давление р(х). При к = 0, т. в.
при отсутствии трения, у = 0 согласно (214). Полагая у = 0
в (217), (218) и (220), получим формулы (32), (Зг) и (34),
выведенные нами ранее в предположении об отсутствии тре-
ния.
Если область контакта заранее предопределена конфигура-
цией сжимаемых тел, условия (215) и (216) отпадают, и давле-
ние р(х) непосредственно определяется формулой (211). Так,
например, если штамп с прямыми углами, находящийся под
действием нормальной силы Р и касательной силы Г, давит
на упругую полуплоскость (рис. 26а), то / (х) = const, при
— а<х<а, и формула (211) даёт:
, х	Р cos wy
р (я)=---------1—!——
—FT	—Т
к (a + х)2	(fl — х)2
— а < ж < а.
(221)
142
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ.
На рис. 266 показано распределение давления р(х) под штам-
пом для у = 0,05. При отсутствии трения, т. е. при у = 0, фор-
мула (221) переходит в ранее выведенную нами для этого слу-
чая формулу (116).
§ 7. Сжатие упругих тел, ограниченных цилиндрическими
поверхностями, радиусы которых почти равны
Рассмотрим теперь задачу о сжатии двух упругих тел, из
которых одно имеет форму кругового цилиндра, а другое имеет
круговой цилиндрический вырез (рис. 27). Обозначим через
11 ri радиусы цилиндрических поверхностей, ограничивающих
сжимаемые тела. Если эти радиусы весьма мало отличаются
один от другого, то при сжатии упругих тел контакт между их
поверхностями может распространиться на значительную часть
этих поверхностей, и таким образом, теория сжатия, изложен-
ная нами в § 1 этой главы, будет уже неприменимой. Ниже
§ 7] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДР. ПОВЕРХНОСТЯМИ
мы выводим уравнение, определяющее в этом случае распре -
деление давления по поверхности сжатия.
Пусть Лх и А2— две точки упругих тел, соприкасающиеся
при сжатии (рис. 27 и 28), А — точка первоначального касания
Рис. 27.
сжимаемых тел, ф —угол АОгА2. Пусть далее А^ и
упругие перемещения точек Лх и А2. Тогда
отрезок А'уА' будет представлять собой
сближение упругих тел при сжатии, вслед-
ствие которого и осуществляется контакт
между точками Лх и А2. Мы предпола-
гаем при этом, что равнодействующие сжи-
мающих сил проходят через точку перво-
начального касания сжимаемых тел А и
центры Ог и О2, так что относительного
поворота сжимаемых тел не происходит
и возникает лишь относительное поступа-
тельное перемещение тел при сжатии.
Обозначим далее через и1г и и2г нормальные
щения точек Лх и А2 (отрезки AtA' и А2А2 на рис. 28) и через
а — сближение тел при сжатии. Ввиду малости упругих пере-
мещений можно отрезок ВС на рис. 28 принять равным отрез*
упругие переме-
ку А2А*. Тогда из рис. 28
найдём:
ulr+u2J,=acos<p—
— А^В. (222)
Вычислим теперь отре-
зок А^В. Так как точка
Лх лежит на внутрен-
ней, а точка В на внеш-
ней цилиндрической по-
верхности, ОъАъ = Fi,
О2В =? г, (рис. 29). Как
видно из рис. 29, можно
приближённо положить
о~Гв-о^=	Рис-28-	Рис-29-
= OiOt cos <р,	(223)	___
так как разность радиусов rt — г^ = ОгО по предположению»
весьма мала. Соотношению (223) можно придать вид:
откуда
гг — (г! + А,В) = (г, — г,) cos <р,
AiB = (г2 — г,) (1 — cos <р).
(224)
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
. и
Подставляя (224) в (222), получим соотношение
И1г +	= a cos <р — (г2 — т\) (1 — cos <р),
(225)
Рис. 30.
которое должно иметь место в области контакта. Будем в даль-
нейшем предполагать, что поверхности сжимаемых тел абсо-
лютно гладкие. Тогда на поверхность контакта будет действовать
только нормальное давление,
которое мы обозначим через
р(<?). Выразим теперь пере-
мещения и,г и и2г, входящие
в соотношение (225), через иско-
мое давление р (ф). Рассмотрим
с этой целью действие сосредо-
j точенного давления на упру-
I, гое тело, ограниченное круго-
' вой цилиндрической поверх-
ностью (рис. 30). Как известно,
в этом случае силы Р, показан-
Рис. 31. ные на рис. 30, вызывают в
упругом теле простые ради-
альные распределения напряжений и равномерное растяже-
р
ние *) —. Под действием этих сил точка А совершает радиаль-
ное упругое перемещение в направлении центра О:
иг — Р £ — 2&(l + cos<pln tg-y-^4-xain|<p| j ,	(226)
®де
А+2И
\ 4«ц(Л + ц) *
4(А + н) ’
А. и fi —упругие постоянные сжимаемого тела. Аналогично
точка А бесконечного упругого тела с круговым цилиндриче-
ским вырезом под действием сил Р, показанных * на рис. 31,
совершает радиальное упругое перемещение в направлении от
центра О:
иг = Р(— 29 сое <р In tg + х sin | <р
(227)
1) См. Тимошенко С. П., Теория упругости, 1937, стр. 118.
§ 71 СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ 1
Вычислим теперь перемещение и1г, входящее в соотношение
(225). Если р (ср) нормальное давление на поверхности контакта,
то на элемент KL внутреннего цилиндра (рис. 32) будет дей-
ствовать сила р (ср') Совместно с такой же силой, прило-
женной к диаметрально противоположной точке цилиндра, эта
сила вызовет в точке А радиаль-
ное перемещение dulr, которое
согласно (226) будет равно:
rfwir = p(?')ri { — 2f>i [1 +
4- cos (ср — ?') Intgl?7l] +
+ x1sin|<p — <p'|} dy'. (228)
Пусть далее, как показано на
рис. 32, области контакта соот-
ветствует изменение угла <р в пре-
делах от —ср0 до <р0. Тогда пол-
0,
ное радиальное перемещение точ-	Рис. 32.
ки А' мы найдём, проинтегриро-
вав выражение для элементарного перемещения по <р' в пре-
делах от —<р0 до ср0:
«1г= $	{ —2»1 [1 +cos(<p — <?') Intg —	1 j +
-?0
+ sin | ср — ' | J dtp'. (229)
При выводе формулы (229) мы предположили, что внешние
сжимающие силы, действующие па внутренний цилиндр, рас-
пределены по его поверхности симметрично тому давлению,
которое они вызывают в области контакта. Это предположение
допустимо вследствие того, что давление в области контакта
мало зависит от того, как приложены внешние сжимающие
силы, и при решении контактной задачи можно отвлечься от
распределения внешних сжимающих сил, подобно тому, как
мы это сделали в § 1 этой главы при выводе основного ура-
внения контактной задачи.
Буквально повторяя рассуждения, проведённые нами при
выводе формулы (229), найдём в соответствии с (227) следую-
щее выражение для перемещения и2г:
Фо	,
“t, =	(?') »*» [ - 29г COS (ср — ср') In tg |Т /  +
+ х2 sin I ф — ср' | rfcp'. (230)
Ю И. Я. Штаерман
146
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. и
Подставляя (229) и (230) в (225), получим уравнение1)
Фо
— 2(Vi + V«)	/>(?') cos (<р — </)Ip tg1Т 1 <*<?' +
-фо
Фо	фо
+ («i^i + ХЛ) \ И?') sin |<р — <р' ld<p' — 2Vi /’(?')<*?’' =
-ФО
с= а сов — (r2 — rx) (1 — cos (f)9
— Фо<? < ?Q,
(231)
где
1	+	3 4те|1а (Л2 + На) 9
*Х 4(А» + Н1)’ *2 4(А2 + |*2) ’
Xi, щ и Ха, -упругие постоянные сжимаемых тел. Рассмот-
рим теперь функцию угла (ft
то	z
7(<p) = 2(Vi + V2) \ p(<?')sin(<p —<p')lntgblz^-l +
—Фо
ф
+ (*Л + *»Г2) [ р (<р') cos (<Р — <р') d<f' —
-Фо
Фо
• (232)
ф
Вычислим производную J' ((f). Так как при <р > <р'
d Inter |т~?/| - d lntc*~T' rzr 1
d? g 2 dy nlg 2 зЬ(?-И
и при ? < <p'
d ,	|ф —®' I	d , . a'—a	1
In tg 2 dj n 2 siu (f - f')
будем иметь:
± in te lir£L =	*___
d? 6	2 sin |
(233)
x) Для численного решения уравнения (231) очень удобен метод конеч-
ных разностей (см. Приложение 2).
17] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ 447
Принимая во внимание формулу (23 >), из (232) найдём:
Г (ср) = 2 (Vi + v2) [ Р (?') cos (<Р — а>') In tg d/ +
-So
Vo	Ф
+	+	/>(?') sin (?-?')<*?' +
— Фо	“ФО
Vo
+ $ />(<?') sin (?' — ?)</?' —2/> (?) ],
Ф
откуда
Фо
— 2 (Vi + V») P (?') cos (<p — ?') In tg JjLzU- d<f' +
- Co
Ф0
+ (-Vi + x2r2) p (?') sin : ? — f' I dtp' =
— Ф0
r0
= 2 (Vi + VJ $ P (?') rff' + 2 (хЛ + x2r2) p (?) - J' (?). (234)
-₽0
Подставляя (234) в (231), найдём:
Фо
2V, р (?') <*?' + 2 (x2r, 4- x2r2) p (?) - J> (?j =
-vo
= acos? — (r2 — rx) (1 — cos ф),
откуда
J' (?) = 2 (x,rx + x2r2) p (?) + гг - Г1 +
Фо
4- 2<%r2 Р (?')— (rt — r2 4- a) cos ?. (235)
-Фо
Интегрируя обе части равенства (2L5) по <р, найдём:
ф
J (?) = 2 (х^ + х2г2)	р(?')с?<р' +
0
*	Фо
+ [ гз-~ Г1 + 2V,	Р (?')	] ? — (Г, — Г, 4- a) sin ? 4- 2р, (236)
-Фо
где р~ произвольная постоянная.
10*
148
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
Дифференцируя обе части соотношения (231) по ср и прини-
мая во внимание (233), получим:
2 (Vi + Ms) [ Р (?') sin (ср — <р') In tg | Ц2— </<?' —
”Фо
?	1	d Г С
- р (?')ctg(<p—ср' I </<р + '(х1г1+х2гг)^[ } />(?') sin (ср—<p')d<p'+
— Фо	— Фо
+ P(?')sin(cp' —cp)d<p J = —(a + r. —rjsin ср,
откуда
фо	। — 'I
2 (V! + V*) 5 Р (<?')sin в - ?') 1» tg т 2  <¥ +
~Ф0
+ (V1 + лМ [ р (<р') СО8 (ср — ср') <Z?' — р (<?') СОЗ (<Р — ср') dср' ] =
—СРО	э
= 2(Vi + Vs)	.»(?') etg(ср — ср')с?ср'— (а + г, — rjsincp. (237)
-®0
Подставляя (237) в (232), найдём:
Фо
J(cp) = 2(Vi + Ms) Р (?') etg (<р — <p')d«p' — (a-f-r2 — ri)sm<p.(238)
— Фо
Подставляя (238) в (236), получим уравнение
Фо
(V1 + Vs) Р (?') °tg (ср — ?') dtp' —	+ х»г.) X
-Фо
X p(<p')d<p' = P + Yo?>	— ?«<?<<?.,	(239)
О
где
Фо
Yo = Vs Р (<?') dtp' + -у (г2 — г2).	(240)
-фо
Произведём в уравнении (239) замену переменных, положив
tg ? = X, tg ср' = t.	(241)
§ 7 ] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ 149
Находим:
х /	/\	14-tg ? tg <р'	, dt
ctg (?-?)= tgy-tg^ = df=r+W>
и, таким образом, уравнение (239) примет вид:
а
t*	1 -I— tT
(’Vi + V.) J Р (arctg Z) -(1+ *(д_() dt -
— a
x
— («Л + *л) P t2 ° dt = p + Yo arctg x, — a<x<a, (242)
0
где
a = tg<p0.	(243)
Пользуясь тождеством
14- tx _________________________	1	t
(a: - 0(14- t2) ““ x- t 14-i2 9
можно придать уравнению 242 (вид):
(9.Г. + »,r.) j dt - (V, + v.) j	dt -
-a	0
= P — (»Л + W р(аг^2<){ dt + Yo arctg x, — a<x<a. (244)
— a
Полагая далее
^Ц^Ой = е.(1),	(245)
найдём:
Р (arctg af) = (1 4-ж2)#; (я).	(246)
Подставляя (246) в (244), будем иметь:
(V1 + »,Г2)	go (0 dt — (XjFj + х2г2) g0 (ж) =
— а
= ₽ — (Vi + V2) g'o(t) t dt 4- Yo arctg X, a < x < a. (247)
— a
Пользуясь тождеством
----- —	.	If “““ Jj »
x—t
X — t
150	ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА	[ГЛ. II
придадим уравнению (247) вид:
(Vi + V.) (1 + ж2)	~ (х'г* + x’r>) S0(x) =
= ? + (Vi +V»)a:	go(0^ + Y«arctgx,	— а<х<а. (248)
Полагая далее в уравнении (248)
go(^) = gW-^L,	(249)
будем иметь:
(V1 + &,г») (1 + х') 5	— («Л + «л) S (х) =
== Piri + V») х [g (а) — g (— а)] + у, arctg х,
или
С g'(t)dt	»i<-i+ «»>-,	_
J t-x +(&хгг + »хГ2Х1 + ^) 8W~
— а
----------------Гь? ‘ 1 + ®» ’ а<ж<а, (250)
где
(251>
Подставляя (249) в (246), найдём:
р (arctg х) = (1 + ж2) g' (ж).	(252)
Отсюда
или, полагая £ = tgep',
g(a)~g( — а)=	(253)
“Фо
Подставляя (240) в (251), найдём:
Фо
(2М)
-фо
j 7J СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ (51
Вводя обозначение
— q,	(255)
—фо
сможем формуле (254) придать вид:
Т" 2(»Л + ».г,) •	<25Ь'
Подставляя (252) в (250) и пользуясь обозначением (256), будем
иметь:
t — x
*Л + *г?г ( х _	?*+Т arctgх
(Vi + V2) (1 + X») g W “	1 + X*
— a<z<a.(257)
Полагая в (252) x = tg<p, найдём:
| PM^eec^g'fog <p).	(258)
Итак, отыскав из уравнения (257) функцию g (х), мы по фор-
муле (258) найдём искомое давление р(<р). Уравнение (257)
содержит две неизвестных постоянных q и а = tg срв. Таким
образом, и найденное по формуле (258) выражение для давле-
ния р(ср) будет содержать неизвестные постоянные q и ф0.
Обозначив через Р равнодействующую внешних сжимающих
сил, будем, как видно из рис. 28, иметь:
Фо
7\ р (<?') cos ср'dtp'=Р.
-<₽о
(259)
Подставив найденное для р (ср) выражение в (256) и (259),
получим два уравнения, из которых и найдём неизвестные
постоянные q и <р0.
Таким образом, рассматриваемая в этом параграфе контакт-
ная задача сведена нами к решению уравнения (257). Вводя
обозначения
/м=_Цт^_	(261)
сможем написать уравнение (257) в виде:
а
f(x),	-а<х<а.	(262)
—а
j52	ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА[ГЛ. ]]
Уравнение (262) совпадает с уравнением (411) § 7 главы I.
Как мы показали в главе I, заменив л (х) приближённым выра-
жением вида:
*° + *i*+ -• +”-<	(263)
' 7	1>0 + Ь^х + . .. + bnxn v
мы получим уравнение, для которого можно указать точное
решение:
g (х) = — J [Л‘F (Z) + A (Z) R (/)] cos [р. (х) — р (Z)] dt +
и  *
+ г и 1 W -	- St ]8i” 1!“ И - (,)1dl +
О
+ сх cos у. (х) + с2 sin у. (ж),	(264)
где
F (х) = _ -L	,	(265)
R (х) = +	-+	(266)
р(х) = 1- ^ k(z)dz.	(267)
О
Способ определения постоянных с19 с2, а0, ап. . an_lf входя-
щих в указанное решение, также был указан в главе I.
Заметим, что в нашем случае
g(-a)=-g(a).	(268)
Действительно, в силу симметрии функция р(ср) должна быть
чётной, а следовательно, функция g' (х) согласно (252) также
должна быть чётной. Следовательно,
g' =()	(269)
— а
Далее, как видно из (261),
/(0)=0.	(270)
Полагая в (262) х = 0 и принимая во внимание (269) и (270),
найдём:
g(0) = 0.
(271)
§ 7] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ 153
Таким образом,
— а	а
= g'(x)dx = — V g'(x)dx = —g(a),
О	о
что и требовалось доказать.
Из соотношений (253), (255) и (268) следует:
§(«) = !> §(-«) =-|.	(272)
Подставляя (272) в (264), найдем:
X	X
g(*) = “4 $	(t) + k(t)R(t)]cos[p(x)-p0)]dt+ ‘ $ [/(/)-
0	0
“-^7^2 J sin [У'(я) — У (0И* + ci cos P* (x) + C2 sin Iх (xh (273)
Далее из формулы (267) следует:
Н(0) = 0.	(274)
Полагая в (273) х = 0 и принимая во внимание (271) и (274),
найдём:
с1 = 0.	>	(275)
Полагая в (273) х = а и принимая во внимание (275) и (272),
найдём:
с2 cos fl (а) = ’ + [k2F (t) 4- л (t) Л (/)] cos [p (а) — p (/)] dt —
0
а
-4$	8inin(«)-HOI*- (ЭД
0
Подставляя (273) в уравнение (427) § 7 главы I и принимая
во внимание (275), получим п уравнений:
а х
<4 = ~ 4» J { J К** (0 + Х (0 R (0] СОЗ [р (х) -р (0] dt —
-а и
-[f (z) —sin[р(я)-Р(0]d/ — irsc,sinР(ж)} х
(I
X. P^{X\b~ndx, к=0, 1,..., п-1,	(277)
Ьо + ьхх + ... +ъпхп ’	,	,	\	/
154
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
где
Рк (*) = (60 +	+ ... + bkxk) (ак^ + akAix+ ...+ анхп^к-1) —
— (а0 + агх + ... + акхк} (6к+1 + Ьк^х + ... + Ьпхп~к х), (278)
4 = 0, 1, ..., п-1
согласно формулам (425) § 7 главы I.
Итак, мы получили систему из п + 1-го уравнения (276)
и (277) для определения постоянных а0, ап ..., an_t, входя-
щих в выражение (266) функции Н(х), и постоянной ct. .
Дифференцируя (273) по х и принимая во внимание (267)
и (275), найдём:
g'(x)= — F(x) —*&-R (ж) + Ц£ 5	+
О
-И(О]Л + ^$	сое [fi (ж)-fi («)]* +
о
+ k (х) cos fl (х). (279)
Вводя обозначение
найдём согласно (260) и (267)
д (я)
у. (х) = к arctg х.
(281)
Подставляя (279) в (258) и принимая во внимание (281), полу-
чим следующее выражение для искомой функции р (<р):
/>(?) = - sec2®F (tg ?)--£-Я (tg?) +
tg р
+	+	] sin*(? — arctgt)df-f-
О
tg?
+ —	^/(^) —a2^-p j c°s 4(cp — arctg Z)dZ-|-c24 cos ky. (282)
о
Подставляя (282) в (255) и (259), найдём постоянные q и а = tgf0,
9 7] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТЯМИ 155
входящие в полученное для р (ср) выражение, чем и завершим
решение контактной задачи, рассматриваемой в этом параграфе.
В заключение этого параграфа приведём графики давления1)
Р (?) для трёх значений угла <р0, а именно, для сро = ЗО°, ср0 = 50*
и фо=6О° (рис. 33), рассчитанные автором для того случая, когда
1) Вычисление ик см. Приложение 2.
156
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. II
упругие постоянные обоих сжимаемых тел одинаковы и коэффи-
циент Пуассона равен 0,3. Пунктиром на этих графиках показано
распределение давления, найденное по известной приближённой
формуле *)
Р ~ ri (sin То cos т« + То) COS
предусматривающей контакт сжимаемых тел по цилиндриче-
ской поверхности радиуса j\ в области значений угла <?:
На рис. 34 показана зависимость между углом ср0 и прило-
Рис. 34.
женной силой Р (на рис. 33 и рис. 34 Е — модуль упругости,
вег, —rj). Пунктиром показана зависимость между этими
величинами, рассчитанная в соответствии с теорией Гедца,
г) Патон Е. О. и Горбунов Б. Н., Стальные мосты, т. II, изд. 3,
Киев, 1931. стр. 23.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДАВЛЕНИИ ЖЕСТКОГО ШТАМПА
157
изложенной нами в § 1 этой главы. Это сопоставление наглядно
демонстрирует неприемлемость теории Герца в контактной
задаче, рассмотренной нами в этом параграфе.
§ 8. Решение задачи о давлении жёсткого штампа на упругую
полуплоскость на основе новой гипотезы
Задача о сжатии двух упругих тел. была впервые решена
в предположении, что оба тела имеют идеально гладкую поверх-
ность. В ряде, современных исследований рассмотрено сжатие
упругих тел при наличии трения между ними. Правильнее
было бы, между тем, при решении контактной задачи учиты-
вать микроструктуру поверхности сжимаемых тел. Современная
физика не даёт какой-либо законченной теории поверх-
ностной структуры твёрдого тела. Ввиду этого в этом пара-
графе мы исходим при решении контактной задачи из сле-
дующих предположений. Если на поверхности упругого тела
действует некоторое нормальное давление, то это давление
вызывает в теле упругие перемещения, возникающие благодаря
деформации всего упругого тела в целом и определяемые
дифференциальными уравнениями теории упругости. Так,
например, если на границу упругой полуплоскости действует
нормальное давление р(х) в области —а < х < а, то точка,
лежащая на границе упругой полуплоскости и имеющая
абсциссу х9 совершает нормальное упругое перемещение, рав-
ное (см. формулу (7) главы II)
& р (z) In . dt + const., & = 4 (1 ~ Ps). (283)
J	I v it I	7СЛ
— a
Однако, кроме указанных перемещений, нормальное давление,
действующее в данной точке поверхности упругого тела,
должно вызвать в этой точке ещё некоторое дополнительное
нормальное перемещение, возникающее благодаря чисто мест-
ным деформациям поверхности, предопределяемым поверхно-
стной структурой данного упругого тела. В этом параграфе
мы будем предполагать, что это перемещение пропорционально
нормальному давлению, действующему в данной точке поверх-
ности упругого тела. Таким образом, если на границу упругой
полуплоскости действует нормальное давление р(х) в области
— а < х < at то это дополнительное перемещение будет равно
нулю при | ж| > а и будет равно
кр (ж)	(284)
при | х | < а, где к-— некоторый коэффициент, зависящий от
поверхностной структуры упругого тела. Полное нормальное
158
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ РАДАЧА
[ГЛ. II
перемещение граничной точки упругого полупространства,
вызываемое нормальным давлением р (ж), будет равно сумме
перемещений, определяемых формулами (283) и (284), т. е.
будет равно
кр (х) + & р (t) In 2'тг dt + const.’), — а < х < а. (285)
—а
Вернёмся теперь к задаче о давлении жёсткого штампа
на упругую полуплоскость, рассмотренной наии в § 3 этой
главы. Если штамп имеет плоское основание шириной 2а,
то при — а<я<а нормальное перемещение граничных точек
упругой полуплоскости должно оставаться постоянным. Таким
образом, согласно выражению (285) для этого нормального пере-
мещения мы для определения давления р (х) под штампом
будем иметь уравнение* 2)
а
кр(х) + &	pf^ln-r-—-—rdZ = const., — а<ж<а (286)
J	I ® I
— а
вместо уравнения (115).
Дифференцируя по х обе части уравнения (286), получим
уравнение
а
Хр'(«) + J -Ч-V = 0>	-а<х<а,	(287)
—а
. *
где Х = -.
Это уравнение для функции р(х) совпадает с уравнением
(450) § 7 главы I для функции g{x) при
/ (х) = 0, X (х) = const.
По формуле (467) § 7 главы I найдём в этом случае:
+	+	Sin-J («-«)* +
о
+ сх cos у + с2 sin ~ ,	(288)
г) Заметим, что гипотеза, выдвинутая нами в этом параграфе, представля-
ет своеооразное сочетание теории Герца с гипотезой Винклера. При к = О
мы приходим к теэрии Герца, при -> оэ мы приходим к теории Винклера.’
2) О численном решении уравнения (285) см. Приложение 2, п. 4.
$ 8]	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДАВЛЕНИИ ЖЁСТКОГО ШТАМПА 159
где
5(х) =
a0 + «i* + ...+an^n
Построив для а приближённое выражение вида:
а0 + агя:+ ...Ч-Дп^п ]/“7з
Ьо + М+ • • • + ьпх"’ '
(289)
(290)
мы найдём постоянные [30,
для S (х), из уравнений
? п/лАГ________fH£)_____1 zj
, входящие в выражения
L &о + М + • • • + bntn J
p(-g)Pk(-o)
— Ь-^а + • • • + bn ( — fl)1
______Р («) Рк (а)
Z>o + ^ia + • • • + &па
Л = 0, 1,	(291}
А
где
Рк (0 = (Ьо + btt + ... + bktk) (aR+1 + ak.tt +... + antn~k-1) -
— (ao 4- ait + • • • + ai^k) (frfcti + frfct«^ + • • • 4* bntn k ’), (292}
k = 0f 1, ..., n —1,
(см. формулы (469) и (425) § 7 главы I).
При надлежащем выборе коэффициентов к, кг и функция
' a V * a* + k2x*
в интервале — a<x<a близка к единице. Так,
если, следуя Н. И. Мусхелишвили2), положить
(293)
например,
k=i, Л1==0,9, Ла = 0,	(294)
будем иметь следующие значения функции ф(х):
X	0,1а	0,2а	0,3 а	0,4а	0,5 а	0,6 а	0,7а	0,8 а	0,9а
ф(х)	1,00	1,02	1,03	1,05	1,06	1,06	1,03	0,95	0,75
Таким образов, можно приближённо положить
(295)
Сравнивая (295) с (290), найдём:
п = 2, а0 = 1ка2, ^ = 0, a2 = lkk19 bQ = a*, 6х = 0, Ь2 = ак2. (296)
х) Си. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные урав-
нения, стр. 386.
160
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. I
Подставляя (296) в (292), получим:
Ро (г) = a9\kktt — \kazak2t = \ка2 (kL — к2) t, 1 Pi(^) = а2ккк1 — \ка2ак2 = ).ка3(к1 — к2). J Подставляя (296) и (297) в (291), получим уравнения	(297)
С , Jd Г t 1 J PV'dt L a* + k2t* J -a a C	d Г 1	1 J P"'dt La2 + MaJ —a	dt_ p (°)	 p(-g)	?♦ a(i + k.,) 1 a(l+A-.,)	kka*^-k.,) ’ (298) dt — p(~a) — P(~a^ _	Pi Ul ~a2(l + A2)	a2(l+A2) kka! (A, - A2)'
Но [так как в силу симметрии функция р(х) должна быть
чётной, то
—a	Г -ГГГТ.1 dt = - < Уь dt = °-	(2") |_a84-fc2lBJ	J (a* + k2t*)*	’ v ' — a p(-a) = p(a).	(30Q)
Подставляя (299) найдём:	и (300) во второе и.з уравнений (298), p! = 0,	(301)
первое же из уравнений (298) можно представить в виде:
а
$
— а
а2 - № jf _ %Р (“)
(a2-f-A2t2)-	а(1+М
₽о
(302)
ААа2 (*! - кг) *
Подставляя (296) и (301) в (289), найдём:
S(x) = kk (a2 + V2) ‘
Подставляя (303) и (300) в (288), получим:
(303)
Р(Х)~1акУ а^к^ at + к j
0	(•
sin ~ (ж - t)
4- сх cos V + ct sin .	(304)
Л	Л
Полагая в (304)
(305)
я = t = a-c,
S8]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДАВЛЕНИИ ЖЁСТКОГО ШТАМПА
161
найдём:
8 1 sin	* sin у® (?-t) dt
V i-,. -+
о	0
+ cx cos + ct sin .	(306)
A	A
Введём далее обозначения:
як=₽-	Р»’)
е	е
Д(Е, c) = 4$sini^><b> А(М)=4	(308)
Тогда формуле (306) можно будет придать вид:
р (а 5) = РД (с, с) + р (а) Д (5, с) + Ci cos c;4-cs sin с?.	(309)
Так как функция р(х) должна быть чётной, мы должны иметь:
с4 = 0.	(310)
Полагая в (309) 5 = 1 и принимая во внимание (310), найдём:
Р (а) = рД (1, с) + р (а) Д (1, с) + Ci cos с. (311)
Подставляя в (302) выражения для t и 0, из (305) и (307),
получим:
ъ\р <ах)	dx = rSr—Аг •	(312)
2Jr' /(1 + ля’с2)2	1 + Л4 fcj — кл	'	'
—1
Если далее через P обозначить сжимающую силу, будем иметь:
а
р (t) dt = Р,
—а
или, если положить t = ax:
1
\p(at)dx = ^.	(313)
-1
Подставляя (310) в (309), найдём:
р (а $) = РД ($, с) + р (а) Д (£, с) 4- с, cos cL (314)
и и. Я. Штаерман
162
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ГГЛ. II
Подставляя (314) в (312) и (313) и присоединяя к полученным
уравнениям соотношение (311), получим систему трёх линей-
ных уравнений:
? [ 2 /И1» С) (1+*Д*)*Л+	+
-’-1
+р(«)[4 $	+
-1
1
+ 1 ) со8СТ(ГТ^)2<7х==0’
-1
4	г	1
₽\ /*(*,«) <fc + /» (а) \ /,(ъ c)dt + 2ct ^-С = 7 ,
л)	J	V	U
— 1	— 1
?/1 (1, с) + р (а) [/, (1, с) — 1] + Ci cos с = О,
(315)
для определения трех неизвестных постоянных р, р (а) ж ех.
р	Отыскав р, р а) и из урав-
.	и нений (315) и подставив их
Рис. 35.
ление под штампом.
значения в (314), найдём ис-
комое давление под штам-
пом р (х).
Не рис. 35 показаны гра-
фики давления р (х) под
штампом для следующих
значений параметра с=="р:
с = 0, с = 0,1, с= 1,
с = 10 и с = оо.
Случай с= оо соответствует
общепринятой теории штам-
па, в соответствии с которой
при | х | = а давление р (х)
обращается в бесконечность.
При конечных значениях па-
раметра с давление р(х) остаётся ограниченным, и в предель-
ном случае е = 0 мы получим равномерно распределённое дав-
ГЛАВА III
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
§ 1. Математическое введение в осесимметричную контактную
задачу теории упругости
В этом параграфе мы указываем общее решение основ-
ного уравнения осесимметричной контактной задачи теорий
упругости:
О < г < а,
(1)
I
радиуса а (рио* 36),
Рис. 36.
где область интегрирования 2—КРУГ
da —элемент площади этого круга,
Я —расстояние между точкой А,
остающейся неподвижной в процес-
се интегрирования, и точкой А9,
заключённой внутри элемента da,
р (г) —неизвестная функция рас-
стояния г' от точки А' до центра
круга О, подлежащая определению
из уравнения (1),и, наконец, f(r) —
заданная функция расстояния г от
точки А до центра круга О. Отно-
сительно заданной функции / (г) бу-
дем ниже предполагать, что она не-
прерывна вместе со своей первой
производной при 0 < г < а.
Представим распространённый на площадь круга 2 интеграл,
стоящий в левой части уравнения (1), в виде кратного интег-
рала, выбрав в качестве переменных интегрирования полярные
координаты Я и у с центром в точке А. Интегрирование по
переменной Я мы должны производить в пределах от 0 до Яо,
где Яв —расстояние между точками А и Я на рис. 36, после-
дующее интегрирование по ф —в пределах от 0 до 2к. Площадь
41*
164
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. III
элемента da равна RdRdty и, таким образом, уравнение (1)
примет вид:
2те Во
p(r')dR = f (г),	0<г<а.	(2)
о о
Входящие в уравнение (2) расстояния г9 и Ло выражаются
через переменные Лиф соотношениями (см. рис. 36):
г' = }/ R2 —- 2Лг cos ф + г1,	(3)
Ло = г cos ф + j/ а2 — г2 sin2 ф.	(4)
Введём в рассмотрение угол &, определяемый соотношением
о Я — г cos ф л . q .	/ех
cos & = г , == ,	0 < & < я	(5)
}/а2 —г2 si.,2 ф ’
(как видно из рис. 36, отношение, стоящее в правой части
равенства (5), по абсолютному значению не превосходит
единицы). Обозначим далее через 6 (ф) то значение, которое
принимает угол & при Л=0:
COS 9 (Ф) = - -^гсозф^. ,	(6)
и перейдём в уравнении (2) от переменной интегрирования Л
к переменной &. Из (5) найдём:
R = r cos ф + cos & У а2 — г2 sin 2 ф,
dR= — sin & j/a2 — г2 sin* ф d&,
откуда
Во	в(ф)	__________
^p(r')dR= ^Я(/’,)р/ЛД2—г'sin2 и sin&d&, (7)
о	о
так*как согласно соотношениям (4), (5) и (6) угол & изменяет-
ся от 0 до 6(ф), когда Л изменяется от Ло до 0. Подставляя
(7) в (2), получим уравнение
2* •(})	__________
^с?ф	a8 — r2sins4sin&d& =/(г),	0<г<а.	(8)
о о
Из соотношений (3) и (5) находим:
г9 = У (R — г cos ф)4 + г2 sin2 ф => У cos2 ft (а2 — г1 sin2 ф) -f-r* sin2 ф =
= У(а2 — г2 sin4 ф) (1 — sin2 &) -f- г sin4 ф =
= У а2 — (а2 — г2 sin2 ф) sin10.	(9)
>1]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
165
Уравнение (8) можно представить в виде:
« «ф _________________________
j d<j> р (г') а* — г2 sin2 ф sin & d& -J-
е о
2«	»(J>)
+ </ф р (г') j/a2 — г2 sin2 ф sinSdS = / (г), 0<г<а.	(10)
те О
Заменяя & на я —&, найдём:
в(ф)	*
р (г') sin & d& = р (г') sin & d&,	(11)
О	те-б(ф)
так как согласно (9) при этой замене г' сохраняет своё зна-
чение. Пользуясь соотношением (И) и заменяя ф на тс + ф,
получим:
2те С(’г)	______________
\ dtp \ р (г') У а1 — г- sin2 ф sin & d& =
те и
2те те
= йф р (г') ]/а2 — г3 sin2 ф ein 0 d& =
те те-б('р)
«= d’J* р (г') j/a’ — r3 sin3 ф sin 0 d&. (12)
О те-0(те+ф)
Но из соотношения (6) следует:
COS 0 (х + ф) =	^С05ф	__ _ cos g / .4
v т/ /а2-г2 sin2?	VT/
откуда
0(л: + ф)=к-0(ф),	(13)
так как по условию О<0(ф)<тс. Подставляя (13) в (12),
найдём:
•(<*)____________________
j	Р (г') У а2 — г2 sin2 ф sin & d& =
те о
=-^ dp р(Н у а2 — г* sin2 ф sin&d&.	(14)
о «СР)
166
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ РАДАЧА
ГГЛ. Ш
Подставляя (14) в (10), получим уравнение
р (г') j/a2 — г2 sin2 ф sin & d& = f (г), 0 < г < а. (15)
о о
Подставляя (9) в (15), будем иметь:
</ф Pll^ а2 — (а2 — rasin2 ф) sin3	— ra sin2 ф sin & сЮ = / (г),
о о
О < г < а.	(16)
Введём далее обозначение
F(r) = 2	а2 —(а2 —г2) sin2 &])/а2 — г* sin & d&, 0 < г < а. (17)
о
Пользуясь этим обозначением, можем придать уравнению (16)
вид:
у F (г sin ф) йф = / (г),	0 < г < а.	(18)
о
Полагая в (17) г=|/"а2 — получим:
J р (У a1 —psein4&) р sin &	= у F (/а*-?),	О < р < а. (19)
О
Вводя обозначения
pp(/^7)«g(p),	(20)
F(/F^7)=4G(?),	(21)
сможем придать уравнению (19) вид:
у g (р sin &) = G (р),	0 < р < a.	(22)
О
Полагая в (20) р = |/а2 — г2, найдём:
',<Г> = Ф^=Р.	0<г<а.	(23)
Из (21) следует:
0 < р < а.	(24)
Итак, определив из уравнения (18) функцию F(r), мы по фор-
муле (24) найдём функцию G(p). Определив далее из уравне-
9 П
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
167
ния (22) функцию g(p), мы по формуле (23) найдём функцию
р(г), представляющую решение исходного уравнения (1). Таким
образом, решение уравнения (1) мы свели к последовательно-
му решению двух идентичных уравнений (18) и (22) для функ-
ций F (г) и #(?)•
Заменяя ф на к — ф, найдём:
ТС	ТС/2
F (г sin ф) йф =з F (г sin ф) йф.
ТС/2	О
откуда
•Л	ТС/2
\ F (г sin ф) </<]> = \ F (г sin ф) </ф -|-
0	'	о
ТС	тс/1
4-F(rsin'|»)d<{> = 2 F(rsin<J>)d<J>. (25)
тс/2	О
Подставляя (25) в (18), придадим уравнению (18) вид:
*/2
Г(г81пф)йф = /(г),	0<г<^а,	(26)
о
аналогично, уравнению (22) можно придать вид:
ТС/2
g(psin&)d& = G(p),	0<р<а.	(27)
о
Чтобы получить решение уравнений (26) и (27), докажем, что
для всякой функции f(f), непрерывной вместе со своей первой
производной при 0 < г < а, имеет место тождество
тс/2 тср
dy /' (rsin ф sin ф) г sin ф с?ф==	[f(r) — f(O)], 0 < г < а. (28)
о о
Введём вместо переменной интегрирования ф новую перемен-
ную В, полагая
Н «=Г8П1ф.
Найдём
ас = гсо8фб/ф, аф = ~7-=	,
т т’ т — г2si.A2 ф /г2-?
тс/а	г
f (г sin <р sin ф) г sin ф с?ф =« /' (5 sin <р)	.	(29)
о	о	г г
468
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. III
Пользуясь соотношением (29) и меняя порядок интегрирова-
ния, найдём:
*/2	1С/2
г sin ф du =
О О
Ed?
(30)
00	F*00F
Введём далее вместо переменной интегрирования
переменную т), полагая т/ = Е sin
Найдём:
di\ = Е cos ф d<p, d® = - _— ,
г /е2-^2?
s
<р новую
*/2
(31)
О	о
Подставляя (31) в (30), найдём:
е
С 5/'(ч)
(h). (32)
J J	J J |/(г2-Ч2)(;2--и2)
Если в кратном интеграле, стоящем в правой части соот-
ношения (32), переменные Е и т/ рассматривать как прямоуголь-
7
Рис. 37.
ные координаты, то областью интегри-
рования будет служить треугольник,
заштрихованный на рис. 37. Дейст-
вительно, сначала при фиксирован-
ном 5 ведётся интегрирование по tj
от т) = 0 до 7)=-5, потом производит-
ся интегрирование по Е от О до г.
Если в этом кратном интеграле изме-
нить порядок интегрирования, то для
того чтобы сохранилась область ин-
тегрирования, надо первоначально при
фиксированном т) вести интегрирова-
ние по $ от Е — т) до Е« г, а затем
производить интегрирование по т) от 0 до г (рис. 37). Итак,
если изменить порядок интегрирования, соотношение (32) при-
мет вид:
1С/2	^/2
С	,/Г(ч)	л (33)
Л
8 1]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
169
Заменим теперь переменную интегрирования 6 новой перемен-
ной t, положив
__2g2 — V)2 — г2
1 *
Находим:
dt	2-dE,
= 2(Р-£)
г3 — Т]а
1
£ dq	1 (* dt 1	. |i it
T=== = т \	- = т arcsin d = —
/(г*-%*)(4*-’|г)	2 J /i_t2	2	|_1	2
— 1
(34)
Подставляя (34) в (33), получим:
*/2	*/2	Г
d<? /'(rsin<psin<j))rsin^</<p=y f (tq) dri = у [/ (r) — / (0)],
oo	b
что и требовалось доказать.
Пользуясь тождеством (28), легко получить решение урав-
нения (26). Предположим сначала, что существует функция F (г),
непрерывная вместе со своей первой производной при 0 < г < а
и удовлетворяющая уравнению (26). Дифференцируя обе части
уравнения (26) по г, получим:
Tt/2
F' (г sin ф) sin 9 db = f' (г),	0 < г < а. (35)
о
Заменяя в (35) г на г sin 9 и интегрируя обе части полученного
соотношения по <р в пределах от 0 до —, найдём:
Tt/2	л/2
d<? F' (гsin <р sin ф) sin ф dty =	/' (г sin ф) с?<р, 0 < г < а. (36)
0	0	о
Умножая обе части соотношения (36) на г и принимая во вни-
мание тождество (28), получим:
Г/2
-7 [F (г) - F (0)] = г /'(rein ср)
О
О < г
Полагая в (26) г = 0, найдём:
ЛГ(0) = /(0).
а.
(37)
(38)
170
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ГАДАЧА
[ГЛ. П1
Подставляя (. 8) в (37), придём к тому выводу, что если урав-
нение (26) имеет решение, непрерывное вместе с его первой про-
изводной при 0 < г < а, то это решение должно иметь вид:
Р (г) =	[ / (0) + г j /' (г sin у) d'? j ,	0 < г < а. (29)
о
Докажем теперь, что функция F(r), определяемая форму-
лой ( 9), действительно удовлетворяет уравнению (26). Поль-
зуясь тождеством (28), найдём из (^9):
*/2 ,
F(rsin<p)d<p =
о
ТС/2	те/2 <д/2
= “• [ / (0) db + \	Г (г sin ? sin Ф) г sin ф с?ф j =.
о оо
= ^{т/(0)44[/(г)-/(°)]}«»/(г),	0<г<а,
т. е. функция F(r), определяемая формулой (39), действительно
удовлетворяет уравнению (26).
Аналогично, уравнение (27) будет иметь решение:
т:/2
§(р) = 4" [g(°) + p <?'(р Sin ср) </<£> ] , о<р<а. (40)
о
Подставляя (39) и (40) в (24) и (23), найдём:
ТС/2
5	, (41)
о
О < р < а,
К /2
/>(г)=»Л	G'(/а2-г2Sin®)d<p], (42)
О < г < а.
Формулы (41) и (42) определяют решение исходного уравне-
ния (1). Можно, однако, представить решение в более удобной
для вычислений форме. Из (24) находим:
G(O) = AF(a)> G'(p)=_^F'(/a^)_^.	(43)
Подставляя (43) в (42), получим:
/ \	1 f F(a)
2к I /Д2__г“г
I» (44)
J Lr V 1 TVa2-(a2-r2)siu2?J V '
Произведём теперь в (44) замену переменной интегрирования <р,
ПОЛОЖИВ
а* — (а2 — г2) sin2 9 = s2.
Находим:
(а2 — г2) sin ф cos ср dv = — s ds,
1/а2 —r2sincpd<p=------------=
r	у a2 — rz cos <p
__	s ds	sds
р^а2 — r2 — (a2 — r2) sin2 <p p^s2 — r2
к/2	____ a
C F' [l/a2-(a2-r2)sin2?] -X-a2-tsin.^y..,s t . (45)
J LF V 7	TJ/a2 - (a2 - r2) sb2?	J/s2-r2 V '
Подставляя (45) в (44), найдём:
, ч 1 Г F(a) Г F'(s) ds 1 n
p (r) = — v _ — \	,	0 < r < a. (46)
r V 7 2k L у a2 __ rz J у S2 _ r2 J	v 7
Формула (46) совместно с формулой (39) для функции F (г)
даёт решение исходного уравнения (1). Формуле (39) можно
придать вид, сходный с видом формулы (46), если заменить
переменную интегрирования ср новой переменной а, положив
г sin ср = а.
Найдём:
К/2	Г
dy = da = ,dc —., ( f (r sin <p) d<f = ( da. .	(47)
T fCOS? I/ ,2 —02	J ' Tz T J l/r2_ „2	' •
’	о	0 '
Подставляя (47) в (39), найдём
Лг) = 4 [/(0) + r J£S=i].	0<r<o.	(48)
o r
В заключение этого параграфа укажем ещё одну простую
формулу для решения исходного уравнения (1).
172
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. III
Будем ниже предполагать, что функция /(г) имеет непре-
рывную вторую производную. Дифференцируя обе части соот-
ношения (39) по г, найдём:
те/2	те/2
/' (г sin ср) d<f +	/" (г sin <р) г sin ср j , (49)
о	и
О < т < а.
Полагая в (49) г sin ср = а, будем иметь (см. (47)):
* J 1ЛГ2__ 02
О г
О < г < а.
(50)
Подставляя (50) в (46), найдём:
0<г<а, (51)
где
e=^F(a).	(52)
Подставляя (48) в (52), получим:
e=4,[/(O) + «5^Si]. (53)
м	О Г
Рис. 38.
Если в кратном интеграле, входя-
щем в формулу (51), переменные интег-
рирования s и а рассматривать как
прямоугольные координаты, то обла-
стью интегрирования будет служить
трапеция, заштрихованная на рис. 38.
Действительно, сперва при фиксиро-
ванном s производится интегрирование
по а в пределах от а = 0 до а==$, за-
тем производится интегрирование по
$ в пределах от г до а. Если изменить порядок интегрирования,
то первоначальное интегрирование по s надо будет вести
в пределах от s = r до s = a, если а < г, и в пределах от s = a
до s = a, если а> г, т. е. в пределах от s0 до а, где
$0 = г при а < г,
s0 = a при а > г.
(54)
§ 1]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
173
Последующее интегрирование цо а следует производить
в пределах от 0 до а. Таким образом, после перемены порядка
интегрирования формула (51) примет вид:
О < г < а. (55)
При а < г, полагая
s = y, <з = кг,	(56)
найдём согласно (54):
= — ^ . dt .	(57)
Определённый интеграл
X
F (х, к)=Л ...	. .=	(58)
4	7 J /(1 -11 2) (1 - 7с212)	v ’
носит название эллиптического интеграла первого рода,
существуют подробные таблицы, дающие его значение в зави-
симости от верхнего предела х и параметра Л, называемого
модулем эллиптического ‘интеграла. Таким образом, фор-
муле (57) можно придать вид:
x =	* = У	(59)
ссгласно (56).
При а > г, полагая
S = T» г = ак,	(60)
найдём согласно (54):
а
а	а
С  ds   Г	a dt
1
_ С_____dt___	f 61
~ а	/(1-'
а
174
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. III
Пользуясь обозначением (58), сможем придать формуле (61)
вид:
при <5>г	z.. . ds.	— [F(l, Л) — F(x, А)],
Г	J /(S2_ra)(S2_a2) о 1 v	\ > /Ь
®0
Г-С Jfc-Г
а 9 g
согласно (60).
Формулы (59) и (62) можно объединить в одну:
а
( ________________dL^-= = - [F (1, к) - F (х, Л)],
J / (s2-r2)(s2-a2) ах1 4 ’ '	' ’
где
(62)
(63)
г я = —, а ’	к=- г	При Q <	Z Г9
G Я = — , а 9	к= — О	при а	> Г.
(64)
Подставляя (63) в (55), найдём:
p(r)= j Г(с)+сГ(о)[Р(*> *)-*•(*,Л)]Л + р=в, (65)
0 < г < а.
В формуле (65) х и к являются функциями переменной инте-
грирования з, определяемыми формулой (64), постоянная с
определяется формулой (53).
Итак, для решения уравнения (1) мы получили две фор-
мулы: формулу (46), где функция F(r) определяется соотноше-
нием (48), либо соотношением (39), и формулу (65). В тех слу-
чаях, когда функция F(r), фигурирующая в формуле (46), опре-
деляется в элементарных функциях, выгодно пользоваться форму-
лой (46) как более простой. Если же определённый интеграл,
входящий в формулу (48) для функции F (г), не выражается в эле-
ментарных функциях и требует приближённых методов вычис-
ления, выгоднее пользоваться формулой (65). Вычисление
подинтегральной функции в формуле (65) легко осуществляется
с помощью таблиц для эллиптических интегралов; после того
как для ряда значений а, заключённых в интервале интегри-
рования (0, а), подсчитаны её числовые значения, можно вычис-
лить значение определённого интеграла, входящего в фор-
мулу (65), по какому-либо приближённому методу из теории
механических квадратур (по формуле трапеций, по формуле
Симпсона и т* д.).
s 2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ
175
§ 2. Сжатие упругих тел, ограниченных поверхностями
вращения
В этом параграфе мы рассматриваем осесимметричную кон-
тактную задачу теории упругости, т. е. задачу о сжатии двух
упругих тел, ограниченных поверхностями вращения, причём
предполагается, что оси симметрии
сжимаемых тел совпадают и равнодей-
ствующие сжимающих сил лежат на
этой общей оси симметрии. Построим
систему цилиндрических координат г,
f, z, направив ось z по общей оси
симметрии сжимаемых тел и располо-
жив начало координат в точке кон-
такта упругих тел (рис. 39). Пусть
Z = Zx (г) И Z = - z2 (г)	(66)
уравнения поверхностей, ограничива-
ющих сжимаемые тела (будем считать первым то тело, внутри
которого проходит положительная полуось z). Пусть далее At
и Ла — две точки поверхностей сжимаемых тел, приходящие в
соприкосновение при сжатии, иг и «га —их упругие перемеще-
ния. Расстояние а между точками и Ва на рис. 39 представ-
ляет собой сближение упругих тел при сжатии и будет неиз-
менным, для какой бы пары точек, приходящих в соприкосно-
вение при сжатии, мы ни выполнили построение, изображён-
ное на рис. 39. Если г—то расстояние от оси симметрии, на
котором оказываются точки At и А3 после сжатия, то, пренеб-
регая малыми высшего порядка, можно считать, что до сжатия
точки Аг и А2 имели координаты z, равные согласно (66) zx (г)
и — za(r). Тогда из рис. 39 следует:
a=o1I + z1(r) + z,(r) — и.
(67)
где и и%2 проекции упругих перемещений их и t/a на ось z.
Перейдём теперь к вычислению этих упругих перемещений.
Будем считать поверхности сжимаемых тел абсолютно глад-
кими и обозначим через р(г) нормальное давление, возника-
ющее в области контакта на расстоянии г от оси симметрии.
Будем далее приближённо считать, что искомые перемещения
и12 и и22 будут такими же, как если бы давление, возникающее
в области контакта, действовало на верхнее и нижнее упругие
полупространства с теми же упругими постоянными, что и у
сжимаемых тел. В силу осевой симметрии область контакта
будет кругом некоторого неизвестного пока радиуса а (рис. 40).
Пусть da —элемент площади этого круга, охватывающий точ-
176
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. III
ку А', находящуюся на расстоянии г' от оси симметрии. На этот
элемент площади будет действовать нормальная сила p(r')da.
Как известно, нормальная сила Р, действующая на упругое
полупространство, вызывает на расстоянии R от точки ее при-
ложения нормальное перемещение на по-
верхности упругой среды, равное1) Р^ t
1 — и2
где & =	, Е —• модуль упругости, р. —
коэффициент Пуассона.
Таким образом, давление, действующее
на элемент площади da, вызывает в точке А,
показанной на рис. 40, нормальное упругое
перемещение duz, равное
где Я —расстояние между точками А и А'. Чтобы получить
полное нормальное перемещение uz в точке А, находящейся
на расстоянии г от оси симметрии, необходимо проинтегриро-
вать элементарное перемещение duz по всей площади контакта.
Найдём:
= (68)
£
если через 2 обозначить круг радиуса а, представляющий
область контакта. Таким образом, искомые перемещения ulz
и uiz будут равны:
(69)
£ £
где
(70)
Ej. и Ег — модули упругости, щ и ^ — коэффициенты Пуассона
сжимаемых тел.
Подставляя (69) в (67), получим уравнение
(&i + M	^^-—4= л —	—	0<г<а,	(71)
£
ИЛИ
0<г<а,	(72)
1) См. Тимошенко С. П.» Теория упругости, 1937, стр. 364.
б 2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ 177
где
/« = —<73>
Уравнение (72), полученное нами для определения давления
р(г) в области контакта, совпадает с уравнением (1) этой главы,
изученным нами в § 1. Как мы показали в § 1, решение этого
уравнения определяется формулой (46):
где F (г) — функция, определяемая формулой (48) либо форму-
лой (39). Подставляя (73) в (48) и (39), найдём:
=	0 < г < а, (75)
' w(»l + a3)L J	J	v '
u r -
или
F (r) =	{ a - r Vz* sin ?>+z'* sin ?)]<*?}’ (76)
0
0 < r < a,
так как zx (0) = za (0) — 0 (см. рис. 39). Можно также воспользо-
ваться и формулой (65) для искомого давления р(г) в области
контакта.
Полученное нами решение содержит две неизвестные постоян-
ные: радиус области контакта а и сближение тел при сжатии а.
Перейдём к их определению.
Как видно из формулы (74), если F (а) ф 0, то давление
р(г)_>Оо, когда г—>а. Таким образом, для того чтобы най-
денное нами для давления р(г) выражение оставалось огра-
ниченным во всей области контакта, необходимо, чтобы имело
место равенство
F(a) = 0.	(77)
Если условие (77) выполняется, формула (74) принимает вид:
р(г) =
F'(s)ds
0 < г < а.
(78)
Давление р(г), определяемое формулой (78), на границе обла-
сти контакта, т. е. при г = а, обращается в нуль.
12 и. Я. Штаерман
178
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. Ш
Подставляя (75) и (76) в (77), получим для сближения тел
при сжатии а формулы:
а = а + da,	(79)
J /а2-о2	4 '
О г
или
тс/2
а == а [z'(a sin <р) + s' (a sin ср)] dcp.	(80)
о
Обозначим далее через Р величину равнодействующей сжи-
мающих сил. Давление р (г), возникающее в области контак-
та, должно уравновешивать силу Р, следовательно, проинте-
грировав давление р(г) по всей области контакта, мы должны
получить силу Р. При принятых нами обозначениях получим
условие
^p(r')d^P,	(81)
или, так как элемент площади da в полярных координатах
rz, <pz равен г'dr'd<%', будем иметь:
а
Р (/) г' dr' = Р,
о о
т. е.
а
2^p(r')r'dr' = P.	(82)
о
Подставляя (78) в (82), найдём:
<8з>
О г' г
Если в полученном кратном интеграле переменные инте-
грирования г' *и s рассматривать как прямоугольные коорди-
наты, областью интегрирования будет служить треугольник,
заштрихованный на рис. 41. Как видно из того же рисунка,
если изменить порядок интегрирования, соотношение (83) при-
мет вид:
-?sV^='p-	(84>
о О'
или, так как
§ 2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ
179
будем иметь:
— F'(s)sds = P.	(85)
о
Выполняя в (85) интегрирование по частям, получим:
а
\F(s)dS-sF(s)^=P,
и
или
^F(s)ds = P	(86)
и
в силу условия (77).
Подставляя (75) в (86), найдём:
аа — ds s —da = у пР ({^ + да). (87)
Подставляя (79) в (87), получим:
a	as
а3 С	da _ £ ds *\ s	ds = 4 *Р (&1 + &,)• (88)
J /в’-а‘ j j /s’-о»	2 к it s/ к /
Если в кратном интеграле, входящем в формулу (88), пере-
менные интегрирования s и а рассматривать как прямоуголь-
ные координаты, то областью интегрирования будет служить
Рис. 42.
треугольник, заштрихованный на рис. 42. Если изменить по-
рядок интегрирования, то, как видно из рис. 42, будем иметь:
12*
180	ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА	[ГЛ. щ
или, так как
получим!
as	а
\ds\s da=\ К (°) + (°)] Vя2 —°2 d^	(90)
J	у	s~ — а	</
О 0	r	U
Подставляя (90)	в (88), найдём:
а
' 5	+ z* С	- /а2 - °2) ds = 4
J	\ у a* —a*	У 2
О	г
или окончательно
а
С 5;(c) + zH°) 02 da = 1	+	(91)
J )/а2—g2	2
Полагая в (91) a = asin(p, можно придать соотношению (91)
вид:
к/2
а2 [z'(asin<p)4-z'(asincp)]sin2cpdcp = yKP(81 + &2).	(92)
о
Итак, радиус области контакта а определяется уравнением
(91) или эквивалентным ему уравнением (92). После того как
найдена постоянная а, сближение тел при сжатии а может
быть вычислено по формуле (79) либо по формуле (80). Рас-
пределение давления р в области контакта определится фор-
мулой (78), где F (г) — функция, определяемая формулой (75)
или эквивалентной ей формулой (76).
Перечисленные нами формулы дают общее решение задачи
о сжатии двух упругих тел, ограниченных поверхностями
вращения. Перейдём теперь к анализу различных частных слу-
чаев осесимметричной контактной задачи теории упругости.
Будем сначала предполагать, что первоначальный контакт
сжимаемых упругих тел осуществляется в одной точке, причём
для поверхностей обоих тел эта точка является регулярной.
В этом случае функции zl(r) и z2 (г), определяющие конфигу-
рацию сжимаемых тел, могут быть разложены в ряды Тэйлора
в окрестности точки г = 0:
z1(r) = z1(0)+z;(0)r+lz;(0)r3+^zr(0)'-s+...> 1 п
21	41	j, (93)
z, (г) = z2 (0) + z; (0) г + i z'2' (0) г2 + i-z'2” (0) г* + ... J
«41	01	J
8 2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ 181
Так как начало цилиндрических координат г, ср, z мы распо-
ложили в точке касания сжимаемых тел и ось z перпендику-
лярна к плоскости, касательной к обеим поверхностям сжи-
маемых тел в точке их контакта, будем иметь:
21 (0) = z2 (0) = 0, z[ (0) = z'2 (0) = 0.	(94)
Таким образом, согласно (93) и (94) для суммы функций 2х(г) +
+ z2 (г) будем иметь разложение
zx (Г) + z2 (г) = Z*(0) + <(0) г2 +	гз + _	(95)
XI	О1
Рассмотрим сначала тот случай, когда сумма вторых произ-
водных
2;'(0) + г"(0)ф0.	(96)
Ввиду малости упругих перемещений и вытекающей отсюда
малости области контакта можно для суммы функций ^(г)-]^
-|-za(r) принять в области контакта приближённое выражение
zl(r) + z2(r) = l[z;(0) + Z;'(0)]r2,	0<г<а,	(97)
отбросив в разложении (95) члены высших порядков малости.
Вводя обозначение
^ = 4k'(O) + z7(O)],	(98)
будем в рассматриваемом случае иметь:
zi (r) + z2 (г) —	0 < г < а.	(99)
Подставляя (99) в (92), получим для определения радиуса
области контакта а соотношение:
к/2
2Ла3 sin3 <р dtp = кР (0, ф &2).	(100)
U
Так как
\ sin8 <р cfo = —	(1 — cos2 ср) d (cos ср) = — cos <р + ^-cos3 <р 2 =
J 4 *	J '	о	|<р= 0	о
0	0
из (100) найдём:
(101)
£ Т	А
Подставляя (99) в (80), получим:
тс/2
а = 2Ааг sin у d <р = 2Ла2.	(102)
о
182
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. Ш
Подставляя (101) в (102), найдём:
а = А^М^(&1 + &г)2.	(ЮЗ)
Подставляя (99) в (76), получим:
те/2
" ('> = ЙКД5 G -	? О =	’ <)04>
Подставляя (104) в (78), найдём:
Но согласно (101)
_ 4А.Уа*—г*
А _3«Р
~ 8а3 *
0 < г < а.
(105)
(Ю6)
Подставляя (106) в (105), найдём:
Q f j»2 Р
ЖЦ/ 1-Ьг. 0<г<«.	(107)
Как видим, давление р в области контакта меняется в осе-
симметричной контактной задаче в зависимости от расстояния
до первоначальной точки касания по тому же закону, что
и в плоской контактной задаче теории упругости.
Рассмотрим теперь тот особый случай контактной задачи,
когда сумма вторых производных z'{ (г) + z% (г) обращается в нуль
при г = 0:
^'(0) + ^''(0) = 0.	(108)
Будем для общности предполагать, что первый не обраща-
ющийся в нуль член разложения (95) содержит множитель г
в степени 2п (коэффициенты при всех нечётных степенях г
в этом разложении должны быть равны нулю благодаря тому, что
функции (г)и с2 (г) чётные, если рассматривать их не только для
положительных, но и для отрицательных значений аргумента г).
Тогда, пренебрегая в разложении (95) членами высшего порядка
малости, будем в области контакта иметь:
или
21 (г) + Z2 (г) = 4г2п,
(109)
5.2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ 183
если ввести обозначение
А = (2п)![Z1<2n> (0) +	(0)b	(110)
Подставляя (109) в (92), найдём:
тс/2
2nAa2n+1 j sin2n+1<pd? = y’tP(di + °«)-	(Ш)
о
Введём обозначение
к/2
сп = sin2n+1<p d<p.	(112)
о
Путём интегрирования по частям найдём:
тс/2	тс/2
сп = sin2n+1(pdcp = — \ sin2n<pd(cos<p) =
о	о
тс/2
= 2n sin2n-1<pcos3<pdp — sin2n(p соз<р|^2 =
о
тс/2
= 2га sin2n“,<p(l — sin.2<f>) ct<p =
о
к/2	п/2
= 2п sin2n-1<pd<p —2n sin2n+1<p d<p = 2nc„_t — 2пса,
о	о
откуда
Сп~ 2n-t-lCn-i;	(ИЗ)
Полагая в (ИЗ) п — 1 вместо п, получим:
2п —2
Cfl^1 2п-1 Сп~2*	(114)
Подставляя (114) в (ИЗ), найдём:
________________________	2п(2п—2)
Сп ~ (2« + 1) (2п-1) Сп~«-	(115)
Выражая в (115) с„_2 через сп_3 на основании общего соотноше-
ния (ИЗ), получим:
2n(2,i-2)(2n-4)
'*	+ 1) (2n —1) (2п—3)
184
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. Ш
Продолжая указанный процесс, придём к формуле:
=	2п(2п -2)(2п-4)...4.2
п (2п4-1)(2п-1) (2п-3)...5-3 °*	V °'
Полагая в (112) п = 0, найдём:
^/2
с0 = ^sin(pd<p = l.	(117)
о
Подставляя (117) в (116), получим:
„______2-4*6... (2п—2) 2п	/ллох
л“" 3 • 5 • 7... (2п-1)(2п + 1) ’	1	'
Подставляя (118) в (111), найдём:
откуда
а -"У д 3 - 5 - 7...(2га-1)(2га + 1)Р(91 + 0?)
К 4га 2 • 4 • 6.. .(2га —2) 2га	А ’
Подставляя (109) в (80), найдём:
к/2
а = 2пАа2п sin2n_1<p d<p = 2пАа2п cn^lf	(120)
о
в соответствии с обозначением (112). Подставляя (118) в (120),
получим:
а = -2 - 4б"-(2-”Т4) (2п~2) 2п да2п.	и21)
3 • 5 - 7...(2п-3)(2п-1) ла •
Подставляя (109) в (76), найдём:
эт/2
" « =	(“ - 2^" \	-4>) °2<7(^'»У • <122>
о
Подставляя (118) в (122), получим:
F (г) =___?___Г а _ ^.б-.-егга-^егга-г) 2п 1
«(Зх+djL 3-5.7...(2га-3)(2п-1) J •
Подставляя (123) в (78), найдём:
п/,\-2-4 -6...(2га-4)(2га-2) 2га 2пА ? s2«-ids
'	3 • 5 • 7. ,.(2п-3)(2п-1) я»0>1 + »з) J	'
§2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ 185
Полагая в (124) s=aa, получим:
1
, .	2 • 4 • 6. . .(2лг~4) (2п-2) 2п2пЛа2П-1 Г ain~l da	/12^
P(r)—	.(2n-3)(2n-i) «2(^ + ^)J 1/	77v ’
rla V °a4«J
Вводя обозначение
1 2п-Ы
?л(р)=$:^=’	(126>
J У g2 —о2
P
сможем придать формуле (125) вид:
/ч 2 • 4 • 6...(2n-4)(2n-2)2n 2Ma2n“1 f г \	/4O„X
P('-)= i-i.z.WHi-l) « (», + ».)40  <127>
Путём интегрирования по частям найдём:
р„(р)= С j^=6^(/?=7)=
J у G2 —О2 J
Р	Г Р
1
= — (2п —2) ( a2n~3/a2-p2 da4-a2n’sl/O^yl<’=1 =
J	|<T=P
p
1
С «271-1 _ О2й27г-3	,-
= — (2n —2)	* + /!-₽ =
р F v
= —(2n—2) 5 -^|- + (2п-2Ы ( -^Д- +	=
J у G^—р2	J Ус2-Р2	г
Р	Р	Г
= - (2п - 2) рп (?) + (2п- 2) ?^Рп_1 (?) + У
откуда
''"<₽) = 2-Й^"-(|') + тЕ?’-	<128>
Полагая в (128) п — 1 вместо п, найдём:
Pn-i (Р) =	РгРп-2 (р) +	(129)
Подставляя (129) в (128), будем иметь:
Л. (О =	[4, + (2„_21Л:Г3) !’] +
л (2^-2) <2^-4) .
(2л —1) (2л —3) Р ^л-,(р)»	(130)
186
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА	[ГЛ. III
Полагая в (128) п —2 вместо п, получим:
(Р) = р2?п-з (р) +	•	(131)
Подставляя (131) в (130), найдём:
р„ о.) - / т—7 [	>2+
^2га-2)(2га-4)______р«1 J_(2n-2)(2ra-4) (2га-6) .	(}	(132)
^(2n —1) (2п —3) (2гс —5) г J 1 (2n —1) (2п — 3) (2п —5)	'
Продолжая указанный процесс, придём к формуле
П fp) = 1/1 _ р2 Г 1 I_______2п~~2_____ 02 I __ (2п.~2Н2п~“_^)-р* -L
PnW) У 1 Р [2га-1 ^(2га-1)(2га-3) Р	(2га —1) (2га —3) (2га —5)Р
I л. (2га —2) (2га—4),. .6-4	2п-«I ।
*Г’	’ rr(2ra-l) (2га —3).. .7 • 5 • 3 Н J
* (2га~П(2га зТ  5 •' I ^Р* ’	(133)
Полагая в (126) п=1, найдём:
р>(р) = S 17*=/ ^ •	<134>
J у — Pz	lff=P
Р
Подставляя (134) в (133), получим:
z\ -----------аГ 1	. 2га—2	. ,	(2га —2) (2га —4)	. .
Рга(р)— V 1 Р [_ 2га — 1 (2га —1) (2га —3) Р	(2га-1) (2га-3) (2га-5)Р
(2га-2)(2га-4)...6-4 t , (2га-2) (2га-4).. .4 • 2
“ (2n—1) (2га—3)...7 • 5 • 3 Р "Г(2га-1) (2га-3)...5 • 3 • 1
ИЛИ
(2га-2)(2га-4)...4.2
Рп (Р1 —(2га-1) (2га—3)...5 - 3
— р2п-’
2 • 4‘
3 • 5 • 7...(2га-7) (2га-5) 2	3.5.7...(2га-5)(2га-3)Т,/-г~
"1”2 • 4 . 6.. .(2га—6) (2га —4) Р + 2 • 4 • 6.. .(2га-4) (2га-2) J Р
Подставляя (135) в (127), найдём:
/\_Г	2 • 4 . 6...(2га-2) 2га “I2 Ла2”"1 Г </Yn-2 г
Р(г'~ L 3 • 5 . 7...(2га-3)(2га-1) J к2 (&t + 02) L k а )
11<г'\2п-4,	З/'гуп-»,	, 3-5 • 7...(2га-7)(2га-5)/г у
+ 2\.а/	"г " ' "1"2 • 4 • б...(2га-6)(2га-4)ка J
«<'<»• <136>
§ 2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ 187
Из (119) следует:
Ла2"-1	1 3 • 5 • 7. . .(2га —1) (2га 4-1) Р
те2 ({>! + 02)	4га 2 • 4 • 6... (2га — 2) 2га ка2 *
(137)
Подставляя (137) в (136), получим:
2 • 4 • 6... (2га-4) (2га—2) 2га 4-1 Г/ г\2"-8	1 / г \2п-«
Р 1Г' ~ 3 • 5 • 7... (2га—3) (2га —1)	2	[ к " У	2 а )
I 3 Г г\2"-«	. 3 • 5  7,. ,(2га —7) (2га—5) < г у ,
’Г2.4\а/ "Г ' ’ ’’"2 • 4 • 6.. .(2га —6) (2га—4) a J ‘Г
3-5 • 7...(2га-5)(2га-3) I А ( г ч2 Р п г „ Нооч
+ 2-4.6...(2га-4)(2га-2) \V 1~^Т)	°<r<a-
Итак, формула (119) определяет радиус области контакта а;
после того как найдена постоянная а формула (121) даст воз-
можность вычислить сближение тел при сжатии а, а формула (138)
определит давление р в области контакта. Давление р меняется
в зависимости от расстояния до первоначальной точки касания
по тому же закону, что и в соответствующей плоской контакт-
ной задаче (см. формулу (46) и рис. 9 главы II).
До сих пор мы предполагали, что точка первоначального
касания сжимаемых тел является регулярной точкой поверх-
ностей обоих тел. Перейдём теперь
к рассмотрению того случая, когда
для поверхности одного из сжима-
емых тел или для поверхностей
обоих тел, подвергающихся сжатию,
точка первоначального касания
является особой точкой.
Рассмотрим сначала тот случай,
когда точка первоначального каса-
Рис. 43.

ния сжимаемых тел является угло-
вой точкой осевого сечения поверхности одного из тел, подвер-
гающихся сжатию (рис. 43). Если касательная к образующей
этой поверхности в угловой точке составляет с осью z угол у,
то, как видно из рис. 43, пренебрегая малыми высших поряд-
ков, будем в окрестности начала координат иметь:
Zi (r) + z2 (г) = г ctg у.
(139)
Подставляя (139) в (92), найдём:
ic/2
я2 ctg у sin.2 <р d<f— ± «Р(Э14-®г),
О
188
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. III
или, так как
т.12	тс/2
С	1 С	1 /	1 . п	*/2 тс
\	sin2 <р d<p = у	(1 — cos 2ср) dtp — у	— y sin 2<р j	q	= — ,
о	о
~ аг ctg у = -|	(&! + 82),
откуда
а = / 2P(&i + 82)tg у.	(140)
Подставляя (139) в (80), найдём:
#	а= у a ctg у.	(141)
Подставляя (139) в (76), получим:
F<r>-.(I.H> (—-h<=ter)-	(142)
Подставляя (142) в (78), найдём:
а
t ч ct^f Г ds
Р “ 2к (&, + »,) J Г2
(143)
Из (140) следует:
ctg Y _2Р
01 + 02 а2
Подставляя (144) в (143), найдём:
Т’(г)=-^-1п(^-/^-1), 0 < г < а. (145)
В рассматриваемом случае снова мы получаем ту же зависи-
мость давления р от расстояния до первоначальной точки
касания, что и в соответствующей плоской контактной задаче
(см. формулу (107) и рис. 12а главы !!). Давление р (г) неогра-
ниченно возрастает, когда расстояние г до первоначальной
точки касания стремится к нулю.
В заключение этого параграфа рассмотрим тот случай,
когда осевые сечения поверхностей сжимаемых тел имеют
в точке первоначального касания непрерывно вращающуюся
касательную, но кривизна одного или обоих указанных сече-
ний в этой точке бесконечно велика. Мы ограничимся рас-
смотрением примера, в котором первоначальное расстояние
s 2] СЖАТИЕ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ f89
между точками, соприкасающимися при сжатии, zt + z2 может
быть представлено в окрестности начала координат соотноше-
нием
Zi(r)-f-za (r) = Ar*h, 0<г<а.	(146)
Подставляя (146) в (91), найдём:
а г_
С а2]/ а da ___________________
J l/’а2 — о2	ЗА
О F
Полагая в (147) c = получим:
1 г_
5/2 С 1 dt _	(&i +&2) .
J ~ ЗА
о г
Подставляя (146) в (79), найдём:
(147)
(148)
или, полагая a = at,
(149)
Определённые интегралы, входящие в формулы (148) и (149),
— эллиптические, после приведения к каноническому виду они
могут быть вычислены с помощью таблиц для эллиптических
интегралов. Их значения таковы1);
с _рд = /	11981, (	= = 0,7189.	(150)
J V1 -1*	j/i-t2	4	7
о г	о r
Подставляя (150) в (148) и (149), получим окончательные
формулы:
а~ L 37,4 J ’	<151)
а = 4Л4а’\	(152)
Подставляя (146) в (75), найдём:
F =	+	““2 ЛГ J ) ’	(153>
х) См. Приложение 1, формулы (1) и (14).
190
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. Ш
Полагая в (153) a = rZ, получим:
F(r) = - /
v «(»i + 92)\. -i J /1-12
о '
или, согласно (150),

(154)
Подставляя (154) в (78), найдём;
, х 9/jyl С y^sds
4'ГС2(в14-в2) J j/S2_r2 ’
Полагая в (155) $ = у, получим:
0 < г < а. (155)
z_ 1
/ \ QJ1Л I' 1* С d t	.-V	.	z и г* \
р (г) = . 1 , . ч \ —7-  - ,	0 <1 г < а.	(156)
V 7	4n2(0i + 02) J r	J2)’	\	к л
г/а
Вводя обозначение
™=^.тй)' 0<1,<l-	(157)
сможем придать формуле (156) вид:
0<г<о.	(158)
Из соотношения (151) следует:
Л _ к?
+ ^2	3 J2a2 j/ а
Подставляя (159) в (158) и полагая
найдём:
(159)
согласно (150) ^ = 0,6,
О
< г <
а.
(160)
Определённый интеграл, входящий в формулу (157) и опре-
деляющий функцию / (Д — эллиптический и после приведения
к каноническому виду может быть рассчитан как функция
переменного предела р с помощью таблиц для эллиптических
интегралов1). Как показывают вычисления, зависимость давле-
ния р от расстояния г до первоначальной точки касания,
2) См. Приложение 1, п. 7.
S 3]
ДАВЛЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ШТАМПА
191
определяемая формулой (160), та же, что и для соответствую-
щей плоской контактной задачи, рассмотренной нами в
главе II (см. рис. И). Давление р остаётся ограниченным во
всей области контакта, однако производная неограниченно
возрастает по абсолютному значению, когда г стремится
к нулю.
§ 3. Давление круглого цилиндрического штампа на упругое
полупространство
Задача о давлении жёсткого штампа
ранство, которой посвящён настоящий
от контактных задач, рассмотрен-
ных в предыдущем параграфе,
тем, что в этой задаче область
контакта заранее предопределе-
на формой штампа. Если обозна-
чить через а радиус основания
штампа (рис. 44), то областью
контакта штампа с упругой сре-
дой будет всегда круг радиуса а,
независимо от того, какова сила,
прижимающая штамп к упругому
на упругое полупрост-
параграф, отличается
Рис. 44.
полупространству.
Первоначальное расстояние между точками сжимаемых тел,
соприкасающимися при сжатии, которое мы обозначали в §2
через Zi + z-j, будет в рассматриваемой задаче равно нулю во
всей области контакта:
Zi (г) + z2 (г) = 0,	0 < г < а.
Подставляя (161) в (75), получим:
^ = 4^7’	0<r<a-.
Подставляя (162) в (74), найдём:
р (г) =------—7—=.,	0 < г < а.
Подставляя (163) в условие (82), получим:
а
2а С г' dr' ______р
^^1 + ^2) J }/а2—г'2	1
(161)
(162)
(163)
192
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. Щ
или, так как
2gg = р
Полученное соотношение определяет сближение
ос =----------------
2а
(164)
Подставляя (164) в (163), найдём:
О < г < а.
(165)
Мы получили ту же зависи-
мость давления р от расстоя-
ния г до оси штампа, что и в
соответствующей плоской кон-
тактной задаче (см. формулу
(116) и рис. 13 главы II). На
границе основания штампа (при г — а) возникает согласно фор-
муле (165) бесконечно большое давление р.
Чтобы получить картину распределения давления под штам-
пом, близкую к реальной, будем, как и в главе II, предпола-
гать, что край штампа имеет хотя и большую, но ограниченную
кривизну (рис. 45).
Если через b обозначить радиус круга, в области которого
осуществляется первоначальное касание штампа с упругим
полупространством, то при сжатии радиус области контакта а
примет значение, несколько превышающее его первоначаль-
ную величину 6.
Для первоначального расстояния z1-]-z2 между точками,
соприкасающимися при сжатии, будем иметь выражение
Zi(r) + z2(r) = 0, 0<г<6,
Z1 (г) + z2 (г) е= А (г — by, Ь<г<а,
(166)
если пренебречь малыми высших порядков.
Подставляя (166) в (91), найдём:
2А
а
С (с — Ъ) g9- da
J j/^a2 — a8
(167)
4 "Р (&!+«,).
$ 3]	ДАВЛЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ШТАМПА	1»3
Полагая а = асов ср, будем иметь:
а	?о
(° ~.jAf.	= а2 \ (a cos ср — 6) cos2 <р d<p =
у а* — аа	J
Ъ	F	LI
Ро	©о
= а2	(1—-sin2 ср) d(sin <р) — —	(14-cos
о	ь
« а1 [ а (sin <рв - -* sin8 <pt) - у (j* + у ein 2?,) ],	(168)
где
ь
©в = arc cos — .
г	а
Согласно (169)
Ь
а »----- .
cosy0
Подставляя (170) в (168), найдём:
Г (а — Ь) аа da_
J ъ^а2 — а2
ь г
= b* sec* <р„ [ sin <f>« - у sin’<pG — cos ф. (ф. + sin <р, cos <?„) ] —
= у sec* ф„ [sin <р0(6— 2sin2 % — 3cos2 <?,) — 3<р. cos <?,] =
= sec* ф0 (3 sin ф0 + sin* <р,—3<р, cos ф,).	(171)
Подставляя (171) в (167), получим уравнение
sec* <р, (3 siп ф, + sin* ф0 - Зф0 cos ф,) =-,	(172)
определяющее угол <р0. Отыскав угол ф0, найдём по формуле
(170) радиус области контакта а.
И. Я. Штаерман
(169)
(170)

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ГЛ. Ш
Подставляя (166) в (79), найдём:
а=2Аа	da
О
или, полагая a = acos<p,
<₽0
a = 24a (а сов ср — 6) dtp = 2Ла (a sin <рв — Ьср0). (173)
о
Подставляя (170) в (173), получим:
a = 2 Ab2 вес tp0 (tg <р0 — <Р0) •	(174)
Отыскав из уравнения (172) угол ср0, найдём по формуле (174)
сближение а.
Подставляя (166) в (75), найдём:
2a
°РиО<г<6,
Г
F (г) = ~ /аЛ; дуГа —2Лг С- y ZL.da} приb < г < а,
,Ь г
или, так как
Г
\	da^=( — г2 — a2 + b аге сов —	=
Jl/r2_02 k г	1	г Уа-Ь
b F
== l^r2 —- b2 — Ь ьтс сов — ,
F	F
2л	\
.(,1 + 8,) «Р» 0 < r < 4,
:F <r> “ .(», + »,) (*“2Лг/<•' - 4’ + 2Лг 4 arc co« |)
при b < r < a.
Выполняя в (175) дифференцированные по г, получим:
(г) = О при 0 < г < Ь,
F'(г) = ~	&.) (2 агс cos г)
при Ь < г < а.
(175)
(176)
S3]
ДАВЛЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ШТАМПА
193
Подставляя (176) в (78), найдём:
р (г)	\ ^21/V — 6* — b arccos —
' "а(V <Ь) J к к	* J/32-Га
при 0 < г < Ь,
р(r) = «»7a27j-а \ ^f2j/\a — 62 — 6 arccos—')
' z *f(<*i+#2) J\ r	5 7 1/>-га
r	r
Полагая в
получим:
р(г) =
(177)
. ь
S =---- .
cos? ’
/?(r) =
___2Ab
"•(*1 + <й)
2Ab
*o
Г (2tgy-?) tg?d?
J / r2
0 1/	1— &2C°Sa<?
Г	(2 tg У- у) tg у dy
3	/* r2
b 1/ 1— TZ cos2 Ф
arc cos - К b2
при6< r< a,
так как согласно (169) arccos у = ф0-
Вводя обозначение
(2tgy-T)t?ydy при 0 < X < 1,
)7 1—ж2 cos2?
? IVgy-^tgfdy 1 < Х <_J_
3	}/1—ж2 cos2 ?	с08 ?о
arc cos—	j
fo
ф(ж)=
о
ф(«)=
сможем придать формуле (178) вид:
/ ч ‘2/Ь	* / г л Л
Из (172) находим:
2ЛЬ __ __________3 cos3 ?0_______Р
«а (Ох 4- 62) — 3 sb у0 -h 8iua Уе-3?о cos ye * b2 '
(177)
(178)
(179)
(180)
(181)
Подставляя (181) в (180), получим:
п (г\ =________0008 Т»________(I) ( _ ) - —
' 3sin fo + eio* f,—3?0cos	T \ bj »b*’
0 < r < a.
(182)
13*
196
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. Ш
Формула (182) совместно с соотношениями (179) определяет
распределение давления в области контакта. На рис. 46 пока-
заны графики давления p(r)t соответствующие различным значе-
ниям отношения А—у , т. е. различным значениям угла фв, фигу-
рирующего в формулах (182) и (179). Подсчёт определённых
интегралов, фигурирующих в формулах (179), производился
по приближённой формуле Симпсона.
ГЛАВА IV
ОБЩИЙ СЛУЧАИ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
§ 1. Потенциал эллиптического диска
Как мы уже видели выше, плоская и осесимметричная
контактные задачи теории упругости приводят к уравнениям,
для которых можно построить общие решения в замкнутом
виде. При отсутствии радиаль-
ной симметрии пространствен-
ная контактная задача теории
упругости оказывается несрав-
ненно сложнее. Те её решения,
которые мы излагаем в этой
книге, основаны на некоторых
свойствах потенциала эллипти-
ческого диска, к рассмотрению
которых мы и переходим.
Построим систему прямо-
угольных координат х, у, z, совместив плоскость хОу с пло-
скостью эллиптического диска (рис. 47). Тогда, согласно опреде-
лению ньютонова потенциала, потенциал V (х, у, z) эллиптиче-
ского диска в точке А с координатами х, у, z будет равен:
V(I, у,	(1)
Z
где р(х'9 у') — плотность в точке А' с координатами х', у', О,
R —- расстояние между точками А и А', Е —область интегриро-
вания, представляющая собой часть плоскости хОу, занятую
эллиптическим диском.
В частности, если точка А лежит на поверхности диска, то
z = 0, R = yf (x — x'y+ty — y')1
и согласно (1)
V(x, У, 0)= Ц	.	(2)
У(х-х')2 4- (у~у'У
198
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Если полуоси эллипса, ограничивающего эллиптический диск,
обозначить через а и Ь, то при соответствующем расположении
осей х и у уравнение этого эллипса будет иметь вид:
а1	г
(3)
Как мы ниже показываем, если плотность р(х'9 у') имеет при
этом вид:
у')
где а0, ах, ... 9ап — постоянные коэф-
фициенты, то потенциал эллипти-
ческого диска на его поверхности,
определяемый формулой (2), выра-
жается полиномом от координат х
и у степени 2п. На этом свойстве
диска и основаны решения контакт-
ных задач, изложенные в последующих параграфах. Переходим
к доказательству указанного свойства потенциала эллиптиче-
ского диска.
Подставляя (4) в (2), найдём:
V(x, у, O)=^amfm(x,y),	(5)
m=0
где
/„<*.*>-<«>
V v а 0	V (*-*Э’-Ну-уТ
m = 0, 1,..., п.
Перейдём в кратном интеграле (6) от прямоугольных коор-
динат я/, у' к полярным координатам Л9 <р с началом в точке А
с координатами х9 у (рис. 48). Как видно из рис, 48,
х' = x-j- Я cos ср, 1
t/' = y4-flsin<p, J
вместо элемента площади dx' dy' будем иметь элемент пло-
щади da = RdRdy9 и формула (6) примет вид:
2п Но (?)	1
/,.(*,»)=	$ [1--ЧЯ, (8)
ь й
S 1]
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИСКА
19?
где Ro (ср) — расстояние между точками А и А* на рис. 48. Так
как точка А" лежит на эллипсе с полуосями а и 6, её коор-
динаты хп, уп должны удовлетворять соотношению
В то же время, как видно из рис. 48,
т" = а?4-Л0со8<р, I
y"==y + fl08in<p. J
Подставляя (10) в (9), получим уравнение
а4(а + Я0СО8<р)2 + ^(у+Я.81п <?)’ = !,
или
где
£(<Р)/?г + 22И(ф)Яо-^ = О,
£(?)= с-^+^,
а2 &> •
Заметим, что
7V>0,
(9)
(Ю)
(И)
(12)
(13)
а2 * 62	’
так как точка с координатами х9 у лежит внутри эллипоа.
Решая уравнение (11), получим:
Я, (<р) = -М(?)±/М*(У) + ДГ£(У)	п4)
£(<р)	*	V 7
Как видно из (12),
£(?)>0 при 0<ф<2тс.	(15)
В силу неравенств (13) и (15) будем иметь:
/М2(?) + МЦ?) > | М (<р) |.	(16)
Таким образом, из двух решений квадратного уравнения (11),
определяемых формулой (14), одно всегда положительное, дру-
гое отрицательное. Чтобы получить интересующее нас поло-
жительное решение уравнения (И), следует взять перед кор-
нем в формуле (14) знак плюс. Итак, окончательно’ найдём:
R М = -М(у) + /М*(у) + ЛХ(у)
•VY'	£(,)	•	V1'/
200
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Формуле (8) можно придать вид:
2-к Но(ф)
(I ь
г ГИ--	27С RoM	т_ £
5 [лГ-2ЯЛ/(<р)-Я2ад]	' dR,
(I (1
согласно обозначениям (12), или
fm(x, у) =
2л ко (<Р) £ т	т-1_
e J 2	(?)[^1(9)-2ЛА(<р)2И(<р) -Я»2?(<р)] ~2 dR~
о о
2«	Н.(?) *	т__1
£2	(?){Л/’(Ф) + ЛГ£(Ф)-[М (<р)фЖ.(Т)]*}	=
О о
2% Во (ф)	1	1
= fdT С ГТО.ьлг-р-Б-Г MW+*b(f) ТГ'^я
J J L Ь(?) J (	L/M»(?) + ^(?)J 1
(18)
(Согласно неравенствам (13) и (15) подкоренное выражение
в формуле (18) существенно положительное.)
Так как 0<Я<Яо(<р), а функция L(<p) согласно (15)
жительна, будем иметь:
М(?) *	MM + RLM М(у)+Д0 (?) Ь(у)
(?) + NL (?) " /ЛР (?) + A L (?) VM* (?) + NL (?)
Но согласно (16)
М(?)	> _i
/M«(?) + 7VL(?)
а согласно (17)
(?) + «»(?)£(?) и
V М‘(?)+А'£(?)
Из соотношений (19), (20) и (21) вытекает:
М(?) + Я£(?)
1</М»(?)+ЛЛ(?)
поло-
(19)
(20)
(21)
(22)
§ И
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИСКА
201
следовательно, вместо переменной интегрирования Я можно
взять новую переменную ft, положив
M^ + RL (?)
“в8= <а>
Из (23) находим:
£(?)
— 81D	= у й» (?) + ДГ£ (7) dR>	(24>
Г Ь (f) V L (?)
Из соотношений (23) и (21) следует:
ft = 0 приЯ = Я0(<р).	(25 >
Производя в (18) замену переменной интегрирования R на Я,
будем согласно (23), (24) и (25) иметь:
2*	0(ф)
!М- 5 М VT®[?W+w]"ain'”8‘'9’ (26)
О о
где 6(ф) — то значение, которое принимает переменная инте-
грирования ft, когда /? = 0. Из (23) находим:
cos 0 (ср) == f	.	(27)
/М2(?)+ДГ£(?)
Полагая
<р = тс + <?,	(28)
найдём:
2* 6(<p) t
\М7ТЖ[тда + "Г""”М8-
“к О
тс •(«+<»)
= ^ф t —L_r^jk) + 7vrialn^^1r	(29)
J Y J /£(« + ф) L Ь(" + Ф)	J	v ’
Подставляя (28) в (12), получим:
£(к + ф) = 4(ф), М(« + <!>)= — М (ф).	(30).
Подставляя (28) в (27) и принимая во внимание (30), будем
иметь:
cos 6 (л 4? ф) = — сое 6 (ф),
откуда
6 (к ф) = It — 6 (ф).	(31).
202	ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ	(ГЛ. !▼
Подставляя (30) и (31) в (29), найдём:
2w в (qp)
J т J r'LM I К») J
те к—0 (ф)
(	-7==-Гт7н’) + лг1"’ й«ш»Л. (32)
J Т J /£(ф) L Ь(Ф) J	v '
Полагая в (32) & = — получим:
2п 9(ф)
(«и	1 Г^ + АгГвнх’-О»-
• j /b(?)L J
=	-4=-Гmeinim&w. (33)
J 4)	£(ф) j
Пользуясь соотношением (33), сможем придать формуле (26)
вид:
«	(1(?)
!- >> “ S ) FTS С ТОГ + N ] ’	8
2х 9 (<р)
\ -7^=1 Г;ууу + ^]тsin»" д«Ю =
J J /b(?)|L L<?) J
= f d? V—r^-^) + ^lmein’md<f&4-
J V b(O) L	\r/	J + ( d? ( —Г«Ж f c 1 r^*(y) . /vV = W/r® Lb<T)+JVJ или окончательно тде cm = ( sin*" & dH.	{-N]m мп,т«<й> = " ejnum6de, 1”-Д=,	(34) 1 /L(rt (35)
8 1]
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИСКА
203
Подставляя (12) в (34), получим:
f (хи} —с atC Г	|!
J [e,6l(et8int¥ + d.CO3,T)-ri e>6t j x
(J
x d<f —
Yаг sin’ ? 4- b* cos’ ?
, Г Г л	(b2x2+a2y2)(a2 sin2 f+b2 cos2 ?)—(xb2 cos ?4-yaasin ?)21m
= cma6 J [ 1	a’i>’(a’8in’? + t>’cos‘ ?)	J X
0
X _ d*	—
j/a’ sin’ ? + 6’ cos* p
, Г Г a	x2a2b2 sin2 ф -f- y2a2b2 cos2 ? — 2xya2b2 sin <p cos ? 1m v,
-----------a’b’(a«sin’?+b’^)------- J X
0
x___
У a2 sin2 ? 4- b1 cos1 у
или окончательно
к
Лп(*,У) = Ста6 f1
о
(«sin ? — у COg <p)2 Iя»	df
~~ ~ii2sin2<p4-62cos2<p J /at 8in2 ?4-&2 cos2? ’
Подставляя (36) в (5), найдём:
V(x, y,0) =
T. n
= a6 2 amCm £
0' m=0
(«sin ? — yens ?)2 lm	df
a2 sin2<p4-&2 cos2 <p J уatsin2?4-b2cos2? ’
Перейдём теперь к вычислению коэффициентов ст в фор-
муле (37). Выполняя в формуле (35) интегрирование по частям,
найдём:
ст= — sin2m x^d(cos&)= — sin2™”1 Я cos 0 | +
и	о
тс	л
4-(2m—1) sinam-4 & cos* & db=(2m—l)^sinsm ! bdb—
о	о
ein4m &-1) ст^-(2т —i) ст,
откуда
2т— 1 а
вт— Чт Ст'1‘
(38)
<
204
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Полагая в (38) вместо т тп—1, тп— 2 ит. д., получим соот-
ношения
cm-1 = 2m-2	2 ’
2т_ 4 ет~з>	(40)
и т. д. Подставляя (39) в (38), найдём:
_ (2m-l)(2m-3)	z/лх
2m (2m-2)	w“2’	*	'
Подставляя (40) в (41), получим:
____(2m — 1) (2m — 3) (2m — 5)
Cfn ” 2m (2m - 2) (2m - 4) Cm~*'
Продолжая этот процесс, придём к формуле
__(2m — 1) (2m — 3)... 3 • 1
°т = 2m (2m — 2).. .4-2	С*‘
Полагая в (35) /и = 0, найдём:
•п
Со =	= ТС.
О
Подставляя (44) в (43), получим:
(42)
(43)
(44)
1*3-5.. .(2m — 3) (2m — 1/	. о	//РЛ
2-4-6.. .(2m—2) 2m	т = *’2’ * ’ ’	<45>
Подставляя (44) и (45) в (37), найдём:
...	, С [	। 3 1-3-5...(2m-3)(2m-l)
У(»,у,0)»ка^{а,+	2-4-6.. .(2m—2) 2m Х
О	771=1
Y Г г (*sin у-уcos?)* IM) ____________________
a* sin* ? + Ь2 cos2 ? J J X/a*sin2? + &*cos*<
Итак, потенциал эллиптического диска выражается на по-
верхности этого диска формулой (46), если плотность р выра-
жается формулой (4). Полученное нами для искомого потен-
циала выражение (46) действительно представляет по отношению
к переменным х и у полином степени 2л, что и требовалось
показать.
§ 2]
ДАВЛЕНИЕ
ЭЛ Л и 11 ОТЧЕСКОГО ШТАМПА
295
§ 2.	Давление эллиптического штампа на упругое
полупространство
В главе III мы рассмотрели задачу о давлении кругового
цилиндрического штампа на упругое полупространство. В этой
главе мы рассматриваем задачу о давлении на упругое полу-
пространство жёсткого цилиндрического штампа с эллипти-
ческим сечением.
Обозначим через а и b (условимся, что а<6) полуоси
построим
образом,
контакта
эллипса, ограничивающего основание штампа, и
систему прямоугольных координат х, у, z таким
чтобы уравнение кривой, ограничивающей область
штампа с полупространством, имело
вид:
-2+^ = 1, z = 0,
а2
и чтобы упругое полупространство
охватывало отрицательную полуось
z (рис. 49). Обозначим далее через
р (х, у) нормальное давление, возни-
кающее под штампом в точке с коор-
динатами х, у (основание штампа мы
буделМ считать идеально гладким). Под
действием указанного давления точка
поверхности упругого полупростран-
ства с координатами х, у должна совершить упругое перемеще-
ние с проекцией uz на оси z, равной (см. формулу (69) в главе III):
Рис. 49.
Г С р (х', у') dx' dy'
I /<ж~х')24-(2/-3/')2 ’
(47)
1
где 0 =» -g- , Е — модуль упругости, и — коэффициент Пуассона
упругой среды, Е — область, в которой действует давление р (х, у),
в нашем случае область, ограниченная эллипсом

Обозначим далее через а поступательное перемещение,
которое совершает штамп в направлении отрицательной полу-
оси z при сжатии. Каждая точка упругого полупространства,
находящаяся в контакте со штампом, должна при сжатии
претерпеть упругое перемещение в направлении отрицатель-
ной полуоси z, равное а, т. е. во всей области контакта должно
выполняться условие
и2 ~ — а.	(48)
206
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
(ГЛ. IV
Сравнивая соотношения (47) и (48), найдём, что в области
контакта должно выполняться условие
£
р (х'9 у') dx' dy' ______ а
V (х - х')2 г (у - у')2
(49)
Выражение, стоящее в левой части соотношения (49), в точке
с координатами х,у,0 определяет потенциал V (х, у, 0) эллип-
тического диска с плотностью р (см. формулу (2)), в правой
части равенства (49) стоит постоянное отношение -у .
Таким образом, задача отыскания давления р под штампом
эквивалентна отысканию той плотности р, при которой потен-
циал эллиптического диска сохраняет на его поверхности
постоянное значение. В предыдущем параграфе мы показали,
что если плотность р определяется формулой (4), то потенциал
диска V (х, у, 0) определяется формулой (46), представляет
собой многочлен степени 2л по отношению к переменным х
и у и, в частности, при п = 0 сохраняет постоянное значение.*
Полагая в (4) и (46) п = 0 найдём:
^(х',/)=-—^==»	(50)
1/ l—- —у—
V а2 Ь2
V (х, у, 0) — ~а baQ
3 р4a2 sin2<p 4- Ь2 cos’ ? *
(51)
Итак, если для давления р(х',у') принять выражение (50), то
кратный интеграл, стоящий в левой части соотношения (49),
будет сохранять постоянное значение, определяемое форму-
лой (51). Таким образом, для того чтобы в области контакта
выполнялось условие (49), достаточно, чтобы это постоянное
значение было равно ~. Отсюда получаем соотношение
71
каЬаа(	rfip = у ,	(52)
J }/a2sin2 f+d2 sin2 у
связывающее коэффициент а0, фигурирующий в полученном
для давления р выражении (50), и сближение штампа с упру-
гой средой а.
Обозначим через Р силу, прижимающую штамп к упругому
полупространству. Эта сила должна уравновешиваться реак-
цией упругого полупространства. Следовательно, проинтегри-
I 2J
ДАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ШТАМПА
207
ровав давление р по всей области контакта, мы должны полу-
чить силу Р:
(53)
p(x',y')dx' dy' = P.
I
Подставляя (50) в (53), получим соотношение
J J _ /\	х'2	у'2
V а2 Ъ2
Формулы (54) и (52) определяют постоянную й0 и сближение а.
Чтобы вычислить кратный интеграл, входящий в формулу (54),
перейдём в нём от прямоугольных координат ж', у к полярным
координатам г, ср, полагая
х' = г сов <р, у' = г sin ср.
(54)
Найдём:
2* го (Ф)
г dr
Предел
точка с
должна
(55)
Я'2	У'2 J J
интегрирования г0(<р) определяется тем условием, что
прямоугольными координатами
/ = rosincp,
s2 у sin2 у\
х' =Г0 СОЗ ср,
лежать на эллипсе
£

а2 &2
Отсюда

(56)
Выполняя в (55) интегрирование по г и принимая во вни-
мание соотношение (56), найдём:
£
dx' dy' ________
	х'2	у'2
а2 Ъ2
о
lr-r»<*> dt
!r=o cos2 у sin8 у
а2 + Ь8
2к
=Х д2Ь8 V __________________
J a2 sin2 у 4- Ь2 соз8 у
и
dy
<*?
J a2 sin2 у 4- 62 cos8 у ’
о
(57)
208	ОБЩИЙ СЛУЧАИ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
так как в последнем определённом интеграле подинтегральная
функция имеет период тс. Полагая далее <р = тс — ф, найдём:
ТЕ
те	У
f _____df____________ Г cty
j aasina f 4 cos8 f J a1 sin8 f4-J8coeaf '
ж	(I
2
откуда
те
те	У	те
С _______df_________Г ________df______ ,	С _df_
J a8sin8f 4-68cos8f j л8 sin8 f 4-6acosaf ’	j л8sin8 f 4-6е cos* f e
°	0	2L
2
те
T
= 2 \_________________ <58>
j a8 sin8 f 4- b* cos8 f •
0
Введём в последнем определённом интеграле вместо переменной
интегрирования <? новую переменную интегрирования t, по-
ложив
b
Находим:
т	т	т
с	__С sec* ?	_ С d (te f)
j a8 sin8 f 4-&9C0S8 f ja8tg8f 4-6a~ Ja2tgaf4-&® =
0	0	0
°° Adt °°
fa	1 f dt 1 x J°°	*
— J 6n» + 6« — ab Ji+ti'"’<3arCtS/ 0	(59)
о	0
Подставляя (59) в (58), получим:
те
С	df	_ те
J a2 sin8 f 4- d8 cos8 f ab
о
Подставляя (60) в (57), найдем:
cc dx>dy' _^лЬ,
V,/1 x>i у'*
“ V аг &«
(60)
(61)
Пользуясь формулой (61), получим из соотношения (54) значение
постоянной а9:
_ Р
2тел6
(62)
§ 2]
ДАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ШТАМПА
209
Подставляя (62) в (50), найдём окончательное выражение для
давления р(х, у) в области контакта:
(63)
Подставляя (62) в (52), определим перемещение штампа
при сжатии а:
а2 sin2 у + &2 cos2 у
Формуле (64) можно придать вид:
тс	тс
Р0 Г _______dy_________РЭ С dy
“ ~ 2 J y'>+(a2-62)sin2? ~ 2& J у i-e2sin2? ’
где
(66)
— эксцентриситет эллипса (мы условились, что а< Ь). Так как
подинтегральная функция в (65) остаётся неизменной при
замене <р на п — <р,
ТС
тс	2
С_____dy — 2 f __Й_
J ]/* 1 — е2 sin2 у J e2sin2y ’
и формуле (65) можно придать вид:
тс
= ра с dy
Ь J 1^1 — е2 sin2 у
Как мы уже неоднократно отмечали, определённый интеграл
<68>
называют эллиптическим интегралом первого рода с модулем А.
В том случае, если верхний предел х равен единице, эллип-
тический интеграл называют полным и обозначают:
F(l, к) = К(к).	(68')
и. Я. Штаерман
210
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Полагая sin<p = z, найдём:
, dx dx
т cos<?
 Z	\ z dx  = = к (е).	(69)
J /1-е2 sin2 ? J /(1 - х2) (1 - е2х2) v '	к '
Формуле (67) можно, таким* образом, придать вид:
*»?*(*)•	(70)
Перемещение штампа при сжатии а выражается через полный
эллиптический интеграл первого рода с модулем, равным
эксцентриситету эллипса, ограничивающего основание штампа.
Формулы (63) и (70) полностью решают контактную задачу,
рассматриваемую в этой главе, определяя давление под штамп
р(х,у) и сближение штампа с упругой средой а. Как видно
из формулы (63), когда точка с координатами ж, у прибли-
жается к эллипсу, ограничивающему основание штампа, зна-
менатель в выражении, определяющехМ давление р(х, у), стре-
мится к нулю, и давление р(х, у) неограниченно возрастает.
В рассматриваемой нами контактной задаче сечение штампа
плоскостью, проходящей через ось z, имеет у основания
штампа прямые углы (см. рис. 49). В действительности у вся-
кого реального штампа такое сечение будет иметь у основа-
ния штампа хотя и большую, но ограниченную кривизну.
В этом случае давление р(х, у) хотя и может достигать
у краёв основания штампа больших значений, но всё же
остаётся ограниченным во всей области контакта. Рассматри-
вая плоскую и осесимметричную контактные задачи, мы
детально рассмотрели этот вопрос. При отсутствии радиальной
симметрии этот вопрос в пространственной контактной задаче
приводит, к сожалению, к большим математическим трудно-
стям, и детальнее мы на нём не останавливаемся.
§ 3. Сжатие двух упругих тел, первоначально
касающихся в точке
В главе III мы рассмотрели задачу о сжатии двух упругих
тел, первоначально касающихся в точке, для того случая,
когда оба сжимаемых тела имеют общую ось радиальной сим-
метрии. В этой главе мы рассматриваем общий случай этой
задачи, предполагая, что сжимаемые тела имеют произволь-
ную конфигурацию.
§ 3] СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ 211
Построим систему прямоугольных координат х, у, z, рас-
положив начало координат в точке первоначального касания
сжимаемых тел и совместив плоскость хОу с общей касатель-
ной плоскостью к поверхностям сжимаемых тел в точке
их
касания (рис. 50). Пусть
z=-f2(x, у) }
(7!)
— уравнения поверхностей, огра-
ничивающих сжимаемые тела.
Пусть, далее, и Л2 —две точ-
ки этих поверхностей, соприка-
сающиеся при сжатии; Лх2?х и
А2В2—упругие перемещения этих
точек (см. рис. 50). Точки Вг
и В2 совмещаются при сжатии за
счёт поступательных перемеще-
ний сжимаемых тел, вызывающих
сближение их, которое мы будем
обозначать через а. Будем в даль-
Рис. 50.
нейшем предполагать, что равнодействующие сжимающих сил ле-
жат на оси z, и указанное сближение сжимаемых тел при сжатии
осуществляется вдоль оси z. При этих предположениях отрезок
ВгВ2 на рис. 50 должен быть параллелен оси z. Обозначим
через zx и z2 координаты z точек Лх и А2. Тогда координаты
z точек Вг и В2 будут равны zx + w12 и z24-w22, где w12 и u2z —
проекции упругих перемещений точек Лх и А2 на ось z. Рас-
стояние между точками Вх и В2 равно, таким образом, zx + w12 —
—(z2 + u2z). С другой стороны, это же расстояние равно сближе-
нию сжимаемых тел а. Следовательно, для каждой пары то-
чек, соприкасающихся при сжатии, должно соблюдаться условие
Zi + wiz —(za + ii2l) = a.
(72)
Обозначим, далее, через х, у соответствующие координаты
точек Вг и В2. Ввиду малости упругих перемещений можно
приближённо положить:
= А(«, у), zt=-h(х, У),	(73)
в соответствии с уравнениями поверхностей сжимаемых тел (71).
Подставляя (73) в (72), получим:
«IX— w2z = a—fi(x, у) — f2(x, у).	(74)
Обозначим, далее, через Е проекцию области контакта на
плоскость хОу и через р (х, ^ — нормальное давление в точке
14*
212
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
контакта с координатами ж, у. Будем считать в дальнейшем
поверхности сжимаемых тел абсолютно гладкими и примем
перемещение и22 приближённо равным тому перемещению,
которое совершает в направлении оси z точка упругого полу-
пространства z < 0 с координатами х, у, 0 под влиянием нор-
мального давления р(х, у), действующего в области Е. Тогда
^2z==
• Г р (х',у') dx' dy'
И /(ж-ж')24-(у-/)9
(75)
(см. формулу (47)), где &2 =	, Е3 — модуль упругости, у.2 —
коэффициент Пуассона для второго из сжимаемых тел.
При аналогичных допущениях будем иметь:
„ _ а С С Р « У')dx' dy'
I__ ц2
где Од =	, Ex —модуль упругости, p.x — коэффициент Пуас-
(76)
сона для первого из сжимаемых тел.
Подставляя (75) и (76) в (74), найдём, что в области Е
должно выполняться условие
Так как по условию начало координат является регулярной
точкой для поверхностей сжимаемых тел, функции /х (ж, у)
и /2(я, у) в уравнениях этих поверхностей (71) могут быть
разложены в степенные ряды в окрестности начала координат:
Л У) = Яо + а 1х + Щ + ЯцЯ2 + ЯхгЯу + а22г/3 + • • •, 1
h (®, У) = ьо +	+ Ъу + btlx2 + bl2xy 4 Ьзау2 + ... /
(78)
Так как поверхности сжимаемых тел проходят через начало
координат и касаются плоскости хОу, будем иметь:
a0 = a1 = a8 = do = 61 = ds = O.	[(79)
Принимая во внимание (79), найдём из (78):
А(ж, У) + h(x, У) = («и + i»ii)х*4
+ (®и + М ХУ + (аи 4 b33) у- + ... (80)
Направление координатных осей х и у мы до сих пор остав-
ляли произвольным. Ориентируем теперь эти координатные
оси таким образом, чтобы в разложении (80) обратился в нуль
коэффициент при ху и имело место неравенство + blt > a28 -f- 623,
§ 3]
СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ
213
т. е. чтобы выполнялись условия
а12 + &12 = 0, «11 + 6ц а22 + 622«	(81)
Будем предполагать, что при этом ни один из коэффициентов
«и + &Х1 и а22 + Ь22 не обращается в нуль. Тогда, если прене-
бречь в разложении (80) малыми высших порядков (исходя из
малости области контакта), будем в области Е иметь:
А (я, у) + /2 (я, У) = («11 + 6ц) + («22 + Ь22) у2.	(82)
Подставляя (82) в (77), найдём, что в области Е должно выпол-
няться условие
Г Г р (х', yf) dx' dy'  а — Ах2 — By2
уТ(х — х')2+ (у — у')2	&14-&2	(83)
где
+ В = а22 + Ь22	(А>В).	(84)
Проинтегрировав давление р(х’у') по области S, мы должны
получить равнодействующую внешних сжимающих сил, дейст-
вующих на каждое из сжимаемых тел. Обозначая эту равно-
действующую через Р, получим условие
5 5 р(х'> y')dx' dy' = Р-
2
(85)
Итак, чтобы решить рассматриваемую контактную задачу,
надлежит отыскать область S, давление р(я, у) и сближение а,
исходя из условий (83) и (85).
Выражение, стоящее в левой части соотношения (83), опре-
деляет в точке с координатами х, у, О потенциал диска с
плотностью р, покрывающею в плоскости хОу область Е. В пра-
вой части соотношения (84) стоит многочлен второй степени от
х и у. Как мы показали в § 1, если диск ограничен эллипсом
/т*2	л/2
(86)
а плотность р определяется формулой (4), потенциал диска
V (х, у, О) является многочленом степени 2тг по отношению
к переменным х и у, определяемым формулой (46). Полагая
в формулах (4) и (46) ля1, найдём, что интеграл, стоящий
в левой части соотношения (84), будет в области Е равен:
С С р(х\ y')dx'dy'
1К(Л - х')2 4- (2/ - У’ )2
= —(д? sin ф — у cos у)2 1____________dy
2 a0(h И	a2 sin2 ? + Ь2 cos2 у J	у-fr cos< ( '
214
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
если в качестве области £ принять часть плоскости хОу,
ограниченную эллипсом (86), а для давления р (ж', у') принять
выражение
Р(х\ У') = а
х'2	у'2
а2 Ь2 ‘
(88)
Коэффициент а0 в формулах (4) и (46) мы приняли равным
нулю с тем, чтобы для давления р(х',у') получить выраже-
ние, ограниченное во всей области S.
Соотношению (87) можно, придать вид:
где
________df________
V*a2 sin2 <р + Ь2 cos2 f ’
sin2 f df
V'(а2 sin2 <р	b2 cos2 f )8^3
sin f cos f df
(a2 sin2 f + b2 cos2 f )8^2 ’
•к
тс , Г	cos2 f df
3 == ТГ” abd\ \ ------------------ • ; •
J (a2sin2 f 4-b2 cos2 f)8^2
Как мы уже показали в предыдущей главе,
~7=^= =т к(е)
J у a2 sin2 f + b2 cos2f &
(сравните формулы (64) и (70)), где
(89)
(90)
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
J о
— эксцентриситет эллипса, ограничивающего область Е (в пред-
положении, что а<6),
*/2
К(е) =
о
df
У1 — e2sin2 f
(96)
§ 3] СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ 215
— полный эллиптический интеграл первого рода с модулем е.
Подставляя (94) в (90), найдём:
JQ = T:aa1 К(е).	(97)
Формуле (91) можно придать вид:
sin2 р dp
[Ь2_(&2__а2) Sin2f]3/2
v.aar Г sin2p dp ___________
262 J (1 — e2sin2p)8^2
X	X
*ааг Г С ____dp_________С dp
262е2 L J(1 -	sin2?fl2	J V 1-e2sin2?
ж/2	т. 12
ха^ ГС	 с
Ъ*е* L J (l-e2sin2p)3/2	J /l-e2sin2p
(98)
так как в этих определённых интегралах подинтегральная
функция остаётся неизменной при замене у на к — ф. Чтобы
преобразовать формулу (98), воспользуемся тождеством
d z sin р cos р х___ 1 — 2 sin2p e2sin2 р(1 — sin2p)_
dp х 1^1 — е2 sin2рУ	}У1 —e2sin2p (1 — е2 sin2p)8^2
__1 — 2 sin2p + е2 sin4p_е2 — 1Ц- (1 — е2 sin2p)2_
(1 — е2 sin2p)8/2 е2 (1 — е2 sin2p)8^2
= 1 /l-e2sin2<p -	-----Д .	.	(99)
е2	е2 (1 — е2 sm2p) /2
Интегрируя обе части тождества (99) по р в пределах от 0 до
найдём:
х/2	х/2
О = — ( ]/" 1 — е2 sina<p d<p —1	,
е2 J	е2 J (1 — e2sin2p) !i
откуда
*12	*12
S <i _ 'Zw-i-=? “гД	~ е‘	d,t' <100)
Определённый интеграл, фигурирующий в правой части фор-
мулы (100), называют полным эллиптическим интегралом
второго рода с модулем е и обозначают через Е (е):
*12
£(е)= |/1 — e2sin2<pd<p.	(101)
о
216
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Таким образом, формуле (100) можно придать вид:
*/2
С . .= E(g) .	(102)
J (1 — е2 sin2 ?)3^2	1 — е2
Согласно (96) и (102) формулу (98) можно представить
в форме
A^^7^g2)[^(e)-(1 —е2)^(е)]
<Z V t Л v у
или согласно (95):
Л = ^[£(в)-(1-еа)ЛГ(е)].	(ЮЗ)
Перейдём к вычислению определённого интеграла Jt
(см. формулу (92)). Находим:
Ssin ? cos ? dy	1	<₽=* _q
u (a2 sin2cp 4- Ь2 cos2?)8/2	(b2 — а2) у^а2 sin2? 4-b2 cos2? ф=0
откуда
Л = о.	(104)
Из формул (91) и (93) находим:
+ aba. \f--------------------------------—- =
J (a2 sin2? 4-b2 cos2?) 2b2 J (1 — е2 sin2?) /2
«/2
_ даа1 С ____ даа1 g / ч
b* J (1-е2 sin2?)8/2	Ь2(1 —е2)	' '
согласно (102), или:
Л + А = ^Е(е)	(105)
в соответствии с (95). Подставляя значение J. из (103) в (105),
найдём:
J, = 3 № (е)-Е (е) + (1 - е2) К (е)],
или окончательно:
Л[*(*)-£(*)]•	(Ю6)
Подставляя (97), (103), (104) и (106) в (89), найдём:
И ^-^+(у-у'Г “	{ йК (е) - lE (е) ~ (1 “ е2) К (е)] Х‘ ~
-^[*(e)-£0W}. (Ю7)
§ 3] СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ 217
Итак, если для давления р(х9,у9) принять выражение (88),
кратный интеграл, стоящий в левой части соотношения (83),
будет определяться формулой (107). Для того чтобы при этом
выполнялось условие (83), достаточно, чтобы многочлены,
стоящие в правых частях соотношений (83) и (107), были
между собой тождественно равны. Сравнивая между собой
коэффициенты этих многочленов, получим условия
= 5^5,-	<108>
(«ЭД
(110)
Подставляя (88) в (85), получим дополнительное условие
а1 П	dx'dy' = Р-	f111)
Чтобы вычислить кратный интеграл, входящий в формулу (111),
перейдём в нём от прямоугольных координат х9, у9 к полярным
координатам г, <р, полагая
х9 — г cos ср, у9 =rsin«p.
Найдём:
И	dx'dy,=
£
2*	г0(?)	-------------—-----
(112)
О о
где предел интегрирования г0 (<р) определяется условием
'о cosI 2? г? sin2? =
Выполняя в (112) интегрирование по г и принимая во внима*
ние соотношение (ИЗ), найдём:
I
2т;
1 Г Г. 2 (cos2? , sin2? \ ~| 3 */2 |;°г0_______dy
“ Ij L1~r \ аа Ъ* ) J |г»о cos8? , sin2?™
0	а2 Ьг
-к
а2Ъ2 Г d? _______________2а2Ъ2 Г d?______________
3 j a2 sin2? 4- b2 cos2? ~ J a2sina? + &2cos2? ’
0	-о
«18
общин случай контактной задачи
[ГЛ. IV
так как в последнем определённом интеграле подинтегральная
функция имеет период я. Подставляя (60) в (114), получим:
(115)
Подставляя (115) в (111), найдём:
ЗР
(ив)
Итак, мы получили четыре соотношения (108), (109), (НО)
и (116) для определения полуосей эллипса а и Ь, сближения а
и постоянной alf вхо-
дящей в формулу (88)
для давления р.
Из соотношений
(109) и (110) находим:
^(е) — (£ — е2)/С (е) А
(1-е2)[2С(е)-Е(е)]-Д '
или:
j Уравнение (117) опре-
деляет эксцентриситет
эллипса е по задан-
В
ному отношению . Заметим, что отношение -д, а следова-
тельно, и эксцентриситет эллипса, ограничивающего область
Контакта, определяются лишь конфигурацией сжимаемых тел
(см. формулы (84) и (80)). На рис. 51 показана зависимость
В ,
эксцентриситета е от отношения д- (напомним, что отношение
В	ч
-j-не превосходит единицы).
Подставляя (116) в (110) и заменяя в (110) разность 1—е1
а2 „ ..
отношением -г-о, найдем:
0“
№ (е)~ Е (е)] = + -
§ 3]
СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ
219
или согласно (117):
ЯРЕ (в)
2(1—е2)	’
откуда
,	I3/ ЗЕ(е) (&t + 0,)P
Г 2(1 —е’) А + В '
(И8)
(Н9)
Отыскав из уравнения (117) эксцентриситет е, мы по фор-
муле (119) найдём большую полуось эллипса 6. Зная большую
полуось эллипса b и его эксцентриситет е, найдём малую полу-
ось эллипса а по формуле
а = 6/1^?.	(120)
Подставляя (116) в (88), получим окончательную формулу для
давления р(х, у) в области контакта:
<121>
Подставляя (116) в (108), получим формулу для сближения а:
я=1К(е)№^.	(122)
Формулы (117), (119), (120), (121) и (122) полностью решают
рассматриваемую контактную задачу теории упругости, после-
довательно определяя конфигурацию области контакта, да-
вление в области контакта и сближение сжимаемых тел при
сжатии.
При В —А, т. е. в том случае, если первоначальное рас-
стояние между точками, соприкасающимися при сжатии, со-
гласно формулам (82) и (84) равно:
fi(^,y) + f2(x,y) = Ar2 (г = у/жг + г/2)’	(123)
эксцентриситет е эллипса, ограничивающего область контак-
та, равен нулю согласно графику 51. В этом случае 6 = а, и
область контакта обращается в круг радиуса а. При е = 0,
как видно из формул (96) и (101),
К(е) = Е(е) = ^.	(124)
Согласно (124) формулы (119), (121) и (122) принимают вид:
0 =	(125)
P(z,y)=	.	(126)
я= 3ff(9t + 83)P	(127)
220	'ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ	[ГЛ. IV
и мы приходим к решению осесимметричной контактной задачи
теории упругости, полученному нами ранее в главе III.
Изложенное нами в этом параграфе решение контактной
задачи принадлежит Герцу1). В этом решении существенную
роль играет то предположение, что в разложении (80) при
выборе направления координатных осей х и у, соответствую-
щем условиям (81), ни один из коэффициентов ац + 6ц = Л
и а22 + Ъ22~ В не обращается в нуль. Действительно, в против-
ном случае для первоначального расстояния между точками
упругих тел, соприкасающимися при сжатии, мы не имели бы
права принять в качестве первого приближения выражение (82).
Тот особый случай, когда один из коэффициентов А и В равен
нулю либо оба эти коэффициента равны нулю, Герцем не рас-
сматривался. Для случая радиальной симметрии мы указали
полное решение задачи о сжатии упругих тел, первоначально
касающихся в точке, регулярной для поверхностей обоих сжи-
маемых тел, не накладывая никаких дополнительных ограни-
чений на конфигурацию этих поверхностей в окрестности точки
первоначального касания. При отсутствии радиальной симмет-
рии такое полное решение контактной задачи теории упругости
связано о большими математическими трудностями. Однако,
опираясь на свойство потенциала эллиптического диска, ука-
занное нами в § 1 этой главы, можно дополнить решение Герца
рядом других частных решений контактной задачи теории
упругости.
Рассмотрим тот случай, когда разложение (80) начинается
с однородного многочлена четвёртой степени, принимающего
при надлежащем выборе направления координатных осей л и у
вид:
Ах*ЪВх*у* + Су* (4 > С).
Тогда, пренебрегая вследствие малости области контакта
малыми высших порядков, будем в области S иметь:
А (*> У) + А (ж, У) = Ах* -F Вхгуг + Су* (Л > С),	(128)
и условие (77) примет вид:
СГ р(х', y')dx'dy' ^a-Axi-Bx2y'l-Cyi	И29>
Н У (X - ху +(у-уУ	&1 + &2	‘ k 7
Если в качестве области S принять снова часть плоскости
хОу, ограниченную эллипсом
х) Hertz Я., Gresammelte Werke, т. 1, Leipzig, 1895, стр., 155.
§ 3]
СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ
221
то кратный интеграл, стоящий в левой части соотношения
(129), будет представлять потенциал эллиптического диска
V У> 0) с плотностью р(х', у'). Согласно формулам (4) и (46),
если для давления р(х', у') принять выражение
₽(А /)-«>	1 - тг —	+«.(-!
МГ' <130>
этот кратный интеграл будет равен:
‘ С р(х', y')dx'dy'
И у\х-х'У + (у-у')*
Л
о
(х sin <р — у cos у)2
a2 sin2 <р 4- &а cos2<?
+4».[i
(х sin <р — у cos f)2 "I2 1 __df________
а*sin2?4-b2cos2? j J уa2Sin2f-f-Ь2 cos2 ?
= каб
Г 1 I 3	/ 1 _ i 3 _ > sin у — у cos ?)2 ,
|_ 2 “lt 8 “2 V 2 ai+ 4 2> a2sin2 ? + b2cos2?f

(g sin ? — у cos ?)* I __________________________
82 2 (a2 sin2 <p + 62 cos2 ?)2 J л у аг Sina ? 4- 62 cos2 <? '
(131)
Для того чтобы многочлен от х и у в правой части соотно-
шения (131) был тождественно равен многочлену, фигурирую-
щему в правой части условия (129), необходимо, чтобы
1	, з л
V «1+ 4-а2 = 0,
откуда
(132)
О
Подставляя (132) в (130) и (131), найдём, что при
С р(х', y')dx'dy' * L Г Г . (zsin f-ycos?)* Т
У(х-х’)^(у-у'У	4L (a2sin2f+ 62cos’ip)2J Х
df
X —— -	— =
Yо.2 sin2 ? 4- &2 cos2 ?
x4 sin4 <p — kx*y sin3 <p cos <p
(a2 sin2 <p 4- b2 cos2 <p)2
о
6s2y2 sin2 <p cos2 <p—4rcy3 sin ? cos3 <p4~y* cos4 ? ।______a?
(a2 sin2 ? + 6»cos2?)2	J +yai sin’T+b’cos2?’*
d^
222
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Находим, далее, путём замены <р на ти — ф:
те
Г sin3 р cos <pd9 _________
J (a2sin2p4-b2cos2 р)5^2
те/2	те
С sin3 р cos р dp , С sin3 р cos р dp
e J (a2 sin2 f + Ь2 cos* f5/2) '	sin2 у + Ь2 cos2 f)6/2 =
те/2	те/2
___ С sin3 р cos <р dip	С sin3 ф cos ф d$__________
J (a2 sin2<р 4* Ь2 cos2 <р)52	J (a2 sin2 ф 4-b2 cos2 ф)5^2
и аналогично:
те
С sin р cos3 р dp q
3 (a2 sin2 f 4- cos2 р)5^2
(135)
(136)
Согласно (135) и (1с6) соотношение (134) принимает вид:
С р(ж\ /) da?zd/
U /(х-х')24-(!/-з/')2
=4^5 [i-
о
х4 sin4 р 4- 6х2у2 sin2 р cos2 р 4" З/4 cos4 р
(a2 sin2 p 4- b2 cos2 <p)2
dy	__
У a2 sin2 р 4- b2 cos2 р
х4 sin4 р 4- 6x2y2 sin2 p cos2 у 4- у4 cos4 р
о
(1 — e2 sin2 p )2
dtp
(137)
az	гг>
— эксцентриситет эллипса. Так как в получен-
ном определённом интеграле подинтегральная функция остаётся
неизменной при замене ср на п — ср, можно соотношению (137)
придать вид:
С С Р y')2dx'dy'
\ J V (®“^)г4-(з/-з/')2
где e
те/2
телец Г
з
О
rc4sin4p4"6x2?/2sin2f cos2 p4*3/4cos4p
(1 — е2 sin2 <р)2
d't
уЧ — e2 sin2 ip
(138)
Введём обозначение
Д (<p) ==	1 — ег sin2 <р.
(139)
i 3]СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТРЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ 223
Находим:
х4 sin4 <р + 6х2г/2 sin2 <р cos* 9 + у* cos4 ср =
= х4 sin4 9 + 6х2г/2 sin2 9 (1 — sin2 <р) + г/4 (1 — 2 sin2 9 + sin4 ср) =
= у4 + (6х2г/2 — 2г/4) sin 2ср + (х4 — 6х2^2 + г/4) sin* <р =
= у* +	(1 - Д») + *4~W + y4 (1 _ 2Д2	Д4) =
= 7Г [е*У*+6е2х2у2 - 2е2у* + х4 - 6х2у2 + у*-
(6е2ху — 2е2г/4 + 2х4 - 12ху+2/)]Д2 + (х4 - 6х2у2 + у*) Д4] =
=	{ х4 - 6 (1 - в2) х2у2 + (1 - е2)У — 2 [х4 — 3 (2 — е2) х2уг +
+ (1 - е2) г/4] Д2 + (х4 - 6х2/ + у*) Д4}. (140}
Подставляя (140) в (138), получим:
тг/2
С С	y')dx'd^ =	|	_	6	_ 4) fdj?,
JJ/(«-*')’+(»-у')2	2b e I	J Д <?>
£	L)
+ 2[х4-3(2-е2)хУ + (1-е2)2/4] \
о
_[а:*_6(1-е2)ху + (1-ег)У] $ д%}«	(141)
о
Согласно формулам (96) и (102)
«х/2	it/2
С _d<p--. = К(е}	(142)
J Д(<р)	J Д3(?)	1-е2 •	'
и	й
Чтобы преобразовать третий из интегралов, входящих в формулу
(141), воспользуемся тождеством
d Zsin(pcos<p\__1 — 2 sin2 <р Зе2 sin2 <р (1 — sin2 <р)_е2 —2(1 —Д2),
V Дз ) Дз г	дб	— е2дз “г*
, 3(1-Д2) [е2 — (1 — Д2) ] _ 2Д2 — (2 — е2) , - ЗД4 + 3 (2 - е2) Д2- 3(1- е2) _
+	е2Д5	— е2Да “Г	е2Дб
(143>
Интегрируя обе части тождества (143) по ср в пределах от нуля
до найдём:
тс/2	^/2	w/2
0=-^ + 2<2-'’)Sw>-3(1-'=)S
Q '	0	в
224
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
(ГЛ. IV
откуда
^/2	ic/2	к/2
( ---I— =-------Г 2(2—е2) ( d<f \	1 —
j д5(?)	з(1-^> L {	Ч'Да(?)	' Д(?) J_
О	О	О
_ 2 (2 - е2) Е (е) - (1 - е2)К (е)
3(1 —е2)2
согласно (142).
Подставляя (142) и (144) в (141), найдём:
(144)
С Г p(X',y')dx'dy'  __________ (3(Ь*е* — X*+ Gx2V3 — V*} у
V (x-x’^ + iy-y')*	6Ь4е4 (1 — е2)2 *	+ У У)Х
х (1 - е2)2 К (е) + 6 [я* 1 - 3 (2 - е2) ху + (1 - е2) у4] (1 - е2) Е (е) -
-[z‘-6(l-e2)zy+(l—е2)2 у4] [2(2-е2) Е(е)-(1-е2)К(е)]} =
= -Ь^- е^ &Ь*е* С1 - е2)2 * W + [ ~ 3 (1 - е2)2 к (е) *
+ 6(1-еУЕ(е)-2(2-е*)Е(е) + (1-е*)К(е)]х* +
-f-б [3 (1 - е*)3К (е) - 3 (2 - е2) (1-е2) Е (е)+2 (2 - ег) (1 - е3)Е (е)-
- (1 - е3)3К (е) ] ху + [ - 3 (1 - е2)2 К (е) + 6 (1 - е2)2 Е (е) -
- 2 (2 - е2) (1 -е2)2 Е (е) + (1 -е2)2К(е) ] у4} =	х
X {364е4 (1— еуК (е)+[—(1— е2) (2—Зе2)# (е)+2 (1 - 2е2) Е (е)] я4 +
+ 6(1-е2)[2(1-е2)#(е)-(2-е2)#(е)]жу +
+ (1 - е2)2 [-(24-е2)# (е) 4- 2 (1 + е2) Е (е)] /}.	(145)
Итак, если для давления р(х’, у') принятв выражение (133),
то кратный интеграл, стоящий в левой части условия (129),
будет определяться формулой (145). Для того чтобы в этом
случае выполнялось условие (129), достаточно, чтобы много-
члены, стоящие в правых частях соотношений (129) и (145),
были тождественно равны между собой. Сравнивая коэф-
фициенты этих двух многочленов, получаем условия
<146>
5^, (147)
i -2 - е!)х<')+<2- е’>Е <е) > - dr. ’<148)
। (2 + ‘V (•) ~ 2 (1 + И Е W 1 =	 (149)
§ 3]	СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ 225
Подставляя (133) в (85), получим дополнительное условие
«. S S [1Ч С1 - Я1 -р-
£
Переходя от прямоугольных координат х’у' к полярным коор-
динатам г, <р, т. е. полагая
х' = г cos 9, у' == г sin
найдём:
£ .
rG(?)
= 5 [l-(-°J-+-^--)r2]3/2r</r’ (151)
о о
где предел интегрирования г0 (<р) определяется соотношением
cos2 ? . г% sin2 ?
г Ъ*
(152)
Выполняя в (1^1) интегрирование по г и принимая во внима-
ние соотношение (152), найдём:
£
2тс
__	1 Г Г. /cos2? sin2? \ 2 "I б/г |г=лХ<р)	J?
5jL к я2 ' Ь2 / Г J L=o cos2? si 2 ? “
0	“a2	* V
2tc
__ a2^2 C dy	2	,	z. .
~ 5 J a2 sin2 ? -r 62 cos2 ? я 5 ™ab	(153)
0
согласно (60).
Подставляя (115) и (153) в (150), получим:
а/4*тЬ — т ’	== Ру
о	о «3 J
откуда
5Р
2^аЬ
Итак, чтобы получить решение рассматриваемой контактной
задачи, мы должны удовлетворить пяти условиям— (146), (147),
(148), (149) и (154). В то же время в нашем распоряжении
лишь четыре постоянных, выбором которых мы можем распо-
ряжаться, — полуоси эллипса а и 6, сближение а и коэффи-
циент аг в формуле (133) для давления р. Таким образом,
перечисленные выше условия накладывают ограничение на
15 и. Я. Штаерман
226
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
заданные постоянные, фигурирующие в постановке рассматри-
ваемой контактной задачи. Остановимся сначала на характере
этого ограничения. Из условий (147), (148) и (149) находим:
[(2-J е2)К(е)-2(1 е2) Е (е)] (i — е2)2 _ О
(1 - е2) (2 - Зе2)# ( ) - 2 (1 - 2е2) Е (с) А ’	'
6[-2(1-.2)#(е) Ь(2~е2)#(е)](1-^) _ в
(1-t2) (2-.е2)# (е) — 2 (1 — 2е2) # (е)	” л ‘
Выражения, стоящие в левых частях соотношений (155) и (156),
зависят лишь от эксцентриситета е. Г1 аким образом, исключив
из соотношений (155) и (15(5) эксцентриситет е, получим связь
В С
между отношениями — и — . Чтобы показать характер этой
связи, введём обозначение
4=*2-	(157>
Так как соотношения (155) и (156) выражают отношение
,	с	в	г
как функцию	отношения	-?	, отношение	-т	должно быть неко-
А	А
торой определённой функцией введённого нами параметра А.
Представим эту функциональную зависимость в форме
4 = 2к [1—8 (Л)].	(158)
В приводимой ниже таблице дан ряд значений функции о (к):
к	1	0,8303	0,6532	0,46.3	0,2.96
6 (к)	0	0,0014	0,0045	0,0142	0,0451
Как видим, функция й (А) в широком диапазоне изменения
аргумента А приобретает значения, малые по сравнению с еди-
ницей. Подставляя значения постоянных В и С из (157) и (158)
в (128), найдём:
/1(ж> У) + Ъ(х> у) = Я{х4+ 2А[1 — г (А) ] х2уа + к-у*}.	(159)
Итак, для того чтобы мы могли прийти к решению рас-
сматриваемой контактной задачи, первоначальное расстояние ме-
жду точками, соприкасающимися при сжатии, /i(x, у) + /2 (z, ^),
должно иметь выражение (159), где А и А — постоянные, под-
чинённые условиям
0<А<1, Л>0,	(160)
а в остальном произвольные.
§ 3]
СЖАТИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ, КАСАЮЩИХСЯ В ТОЧКЕ
227
Так кэк величина о (А) мала по сравнению с единицей
формулу (159) можно заменить приближённой:	’
А (я, 3/) + /а О, у) = Л(ж2 +Ау!)2.	(161)
На рис. 52 показаны кривые, определяемые уравнениями
(х2 + ку2)2 = с4, х* + 2к [1 — с (к) ] х?у2 + к2у* = с1
при А = 0,079 (в этом случае 6(А) = 0,124, а эксцентриситете,
определяемый уравнением (155), равен: е = 0,975). Первое из
этих уравнений определяет внутреннюю, второе — внешнюю кри-
вую на рис. 52. Как видим, даже при значениях А, близких
к нулю, и, соответственно, при эксцентриситете е, близком
к единице, получаем вполне удовлетворительное приближение,
переходя от зависимости (159) к приближённой зависимости (161).
Итак, в то время как Герцем было указано решение кон-
тактной задачи для случая
/1 (*, у) + К (х, y)=A (х2 + ку2),
мы фактически пришли к решению контактной задачи для случая
/1 (я, у) + А (х, у) = а (х2 + ку2)2.
Подставляя (157) в (155), получим уравнение
[(2 + e2)/f(c)-2(l+c2)g(c)](l-еу , а	.
(1 - е2) (2 - Зе2)# (е) — 2 (1 — 2е2) Е (е)	’	*
определяющее эксцентриситет е эллипса, ограничивающего об-
ласть контакта, в функции от заданного коэффициента А. На
рис. 53 дан график зависимости между эксцентриситетом в и
коэффициентом А.
15*
общий случаи контактной задачи
[ГЛ. IV
Подставляя (154) в (147), получим соотношение
((1 - е-) (2 - Зе-W) ~ 2 (I - Зе") £ (,)] _	,
из которого следует:
_ У 5Т(1-^)(2 - Зе2)К (е) - 2 (1 - 2е2) Е (^)J (0,4- 0?) р
° У	12е*(1-<)2	А ’
Итак, определив из уравнения (162) эксцентриситет е, мы
по формуле (163) найдём большую, а по формуле
а = 6/1-е2	(164)
малую полуось эллипса, ограничивающего область контакта.
Подставляя (154) в (133), получим окончательное выражение
для давления р(х,у) в области контакта:
£ <*. V) чГ? [ * - К* - S-й ] •
Подставляя (154) в (146), найдём сближение упругих тел при
сжатии а:
а = Ць(-)(&1 + МА	(166)
Формулы (162), (163), (164), (165) и (166) полностью решают
рассматриваемую нами контактную задачу, последовательно
определяя конфигурацию области контакта, давление в области
контакта и сближение сжимаемых тел при сжатии:
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
1.	Рассмотрим сначала определённые интегралы
1 nd
Ct * dt
Сп= \ -^7=,	П = 0, 1,	(1)
" J /1-12
О г
Полагая в (1) Z = 1— ж2, будем иметь:
1 п+|
C„-V2V-;^- 
или:
сп = /2 \	(2)
Вводя обозначения
Хп= \ -у, п = 0, 1, ...,	(3)
найдём:
1	(4)
сг = /2(Хв-ЗХ1 + ЗХ!!-Х3), И т. д. J
Таким образом, вычисление определённых интегралов с„
сводится к вычислению определённых интегралов Хп. Поль-
зуясь общепринятыми обозначениями
К(к) = ( ----------:, Е(к)= 1/l-f^dx	(5)
J/(1-^(1-Л V)	J' 1-^2
230
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
для полных эллиптических интегралов первого и второго родов,
найдём:
1
Воспользуемся, далее, тождеством
(8)
Интегрируя обе части тождества (8) по х в пределах от
нуля до единицы, найдём в соответствии с обозначением (3):
0 = 4 [2 (2п - 3) Хл_2 - 3 (2п - 2) Хп^ + (2п -1) Х„],
откуда
п = 2’ 3> ••• (9)
Формула (9) даёт возможность выразить всякий интеграл
Хп через интегралы Хо и Хи которые в свою очередь выра-
жаются согласно формулам (6) и (7) через полные эллиптиче-
ские интегралы первого и второго родов.
В частности, из формулы (9) следует:
Х2 = -| (ЗХх- Х„),
X з = 4 (2Х2 - ХЭ = 4 (9Хх - 4Х0).
(10)
приведение некоторых эллиптических интегралов
231
Подставляя (10) в (4), найдём:
Со=/2(Х0-^), С1 = ^Х0,
Подставляя (6) и (7) в (И), будем иметь:
(И)
(12)
Из таблиц полных эллиптических интегралов наводим
(см., например, Я. Шпильреин, Таблицы специальных функ-
ций, часть II):
х(£Г)= 1,85407, Я (^2) = 1,35064.	(13)
Подставляя (13) в (12), получим:
с0 = 1,19814, С1 = 0,87403, с2 = 0,71888.	(14)
С вычислением интегралов с0 и с2 мы столкнулись в главе III
(там для интегралов с0 и с2 мы пользовались обозначени-
ями Ji и J2)1).
2.	Рассмотрим, далее, определённый интеграл
J($)==f_=£^--------- о < S < 1.	(15)
v ’ Л у 1- t2(t2-£2)	v '
Полагая в (15) t = l — x2, получим:
/ (Е) = /2 5	,	7 ' А ’	<16)
Находим, далее:
(1-*2)2 _ л , _____________1 ।	____________L_ =я
(1-х2)2-^-" 1 *" П-х2)2-^2"	~2(1-х2-<)	2(l-x2-f-;)
_ 1 ।	. Л1 j___?!___Л   i— fi j—— =
1+2(1-О\.	2(14-c)V ^1-ха4Ч
_ 1 I ?	______ t_____________ (17)
1-52 + 2(1-9)1-х2-?	2(1+?)1-x2 + 5 ’	'
!) См. формулы (150) главы IIL
232
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Подставляя (17) в (16), получим:
1
/'"'v-r J- (18)
Вводя обозначение
П (у, к) = 5-------/dx	(19)
0 (1 — к2х2у2) |/ (1 — х2) ( 1-— х2 J
и пользуясь обозначением (5), сможем придать формуле (18) вид:
Эллиптический интеграл П (у, к) выражается через эллиптиче-
ские интегралы первого и второго родов. Это преобразование
основывается на формулах сложения эллиптических интегралов,
которые мы ниже выводим.
3.	Чтобы получить формулы сложения эллиптических инте?
гралов, рассмотрим дифференциальное уравнение
dy _ Д(У)
dx~ Д(х)’
где
А (ж) = /(1 — х‘) (i — кгх2)	(22)
с начальным условием
y = z при х = 0	(| z | < 1).	(23)
Разделяя переменные в дифференциальном уравнении (21),
получим: 1
dx   dy
Д(х)	Д(у) ’
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
233
откуда, в соответствии с начальным условием (23),
X	у
С	dx _ С dy
J	Д (х) ~~ ~~ J Д (у) ’
О	z I
ИЛИ
(	( JU-	(24)
J Д(*) JA(y) J А (У)’	V '
ООО
Пользуясь для эллиптического интеграла первого рода обозна-
чением
(	= f dx	— = F (х, к),	(25)
J А(х) J /(1-г2) (1-kW)
сможем придать соотношению (24) вид:
Р(х, k) + F(y, k) — F(z, к).	(26)
Итак, мы получили решение дифференциального уравнения
(21) в эллиптических интегралах. В то же время, как мы
сейчас покажем, можно получить для этого дифференциального
уравнения и алгебраический интеграл.
Если у как функция х удовлетворяет дифференциальному
уравнению (21), то
(1 - к*хгу) = - 2Л2 ху (у + х g) = - 2Л2 ху [ у - х ,
Si [уД (я) + хД (у)] = уД'(х)+ Д (у) + [Д (х) + хД' (г/)] g =
= уД' (ж) + Д (у) - [Д (х) + хД' (у)]	= г/Д' (х) - хД' (у)	,
откуда
d [уД (х) + дД(у)1 _ уА (х)	(.?) - хД (у) Д' (у)	,27\
d (1 — к2х2у2)	2/с2 ху ргД (у) — т/Д (#)j *	'	'
Согласно (22)
Д2 (ж) = (1 - х2) (1 - /сУ) = 1 - (1 -|- А2) хг + кгх\
откуда
Д(х)Д' (х)= -(l + A’-)x + 2A’xe.
Таким образом,
уД (х) Д' (х) — хД (у) Д' (у) = у [2Л2х® — (14- к2) х] —
- х [2А2/ - (1 + Л2) у] = 2к^ху (х2 - у2). (28)
234
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
С другой стороны,
[хД (у) — г/Д (ж)] [а-Д (у) + г/Д (х)] = х"Д2 (у) — у2№ (х) =
= х2 [1 - (1 + к2) у2 4 к2у4] - у2 [1 - (1 + к2) х2 + к2х4] =
= х2 + к'х у* — у2 ~ к2х*у2 = (х2 — у2) (1 — к2х2у ),
откуда
\ / \ л / \	(я2 — ?/2)(1 — к2х2у2)	/пп.
Хк (у) —	1---л / А Д/ А >	(29)
и х / хД (у)-{-уД (х)	'	'
Подставляя (28) и (29) в (27), найдём:
£_[г/Д (х) + хк (у)] __ уД (х) 4-хД (у)
d(l — к2х2у2)	1 — к2х2у2 *	'
Отсюда
d [ук (х) 4-хД (у)] _ d (1 — к2х2у2)	Л
у к (х) -f-хД (у)	1 — к2х2у2 1	I
in [г/Д (х) + хк (г/)] = In (1 - к2ху2) + In с, !•	(31)
уД (х) 4-хД (у) =	I
1 - к2х2у2 С>	)
где с — произвольная постоянная.
Определим теперь произвольную постоянную с в соответствии
с начальным условием (23). Полагая в (31) х = 0, у = z, найдём:
c = z.	(32)
Подставляя (32) в (31), получим:
уД(х)-|- хД(у)
1 — к2х2у2
(33)
Итак, интегрируя дифференциальное уравнение (21) при
начальном условии (23), мы получили решение в двух видах—
в виде соотношения (26) и в виде соотношения (33). Таким обра-
зом, если числа х, у и z удовлетворяют соотношению (33),
между эллиптическими интегралами первого рода с верхними
пределами х, у и z будет иметь место связь (26). Мы пришли
к формуле сложения для эллиптических интегралов первого
рода. Непосредственно из соотношения (26) видно, что эта
формула справедлива лишь в том случае, если х и у удовле-
творяют неравенству
|F(x, k) + F(y, *)|<F(1, к) = К(к).	(34)
Выведем теперь формулу сложения эллиптических интегралов
первого рода для того случая, когда
tf(/c)<F(z, А)+ (г/, к)<2К(к\	(35)
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧ: СКИХ ИНТЕГРАЛОВ 235
Для этого заменим начальное условие (23) начальным условием
y=i прижег' (0<z'<l).	(36)
Интегрируя дифференциальное уравнение (21) при начальном
условии (36), найдём:
X	у
С	dx _	{	dy
}	Д(л)	J	Д~(у) ’
Z'	1
или:
X	Z'	1	у
С	dx	С	dx ___ С	dy	С	dy
} Д(^) “ J ~ j 4(F) ~ J Ь(у)>
0	0	0	0
Т. е;
F (х, k) + F(yik) = K(k) + F (z', к).	(37)
С другой стороны, дифференциальное уравнение (21) имеет
решение (33), где z —произвольная постоянная. Определим по-
стоянную z в соответствии с начальным условием (36). Полагая
в (33) x=-z', у=1, найдём:
= z
1 _ ^'2
Итак, при условии (35) вместо формулы сложения (26) мы
будем иметь формулу сложения (37), где z' связано с z соотно-
шением (38). Преобразуем формулу (37). Из соотношения (38)
находим:
(1^-^)^ к 1-fc2
2 ~ 1 - k'z'2’	1 Z ~ 1 - /<2z'2 '	1 Z 1 - fc2z'2 ’
А/Гч ~<1-&)Z'	^k4dz-2k2(i-~k2)z'dz>
l-Fz'2’	—	(L-k2z'*y
(i_k2)z'dz'
“	(1-/C22'2)A(Z')J
откуда			dz'	/QQ\ Д (z) ~ Д (z') •
Из (38) следует:	z = 1 при z' = 0.	(40)
Интегрируя (39) и принимая во внимание (40), найдём:
Z	Z'
f	dz _ f	dz'
j Щ)	j	дм'
1	0
откуда
"(г'^)= $ S 5 V- <41>
0	z	0	0
236
ПРИЛОЖГ НИЕ 1
Подставляя (41) в (37), получим формулу сложения
F(x, k) + F(y, к) = 2К (к) —F (z, к).	(42)
Выведем теперь формулы сложения для эллиптических интегра-
лов второго рода.
Пользуясь тождеством (29), можем придать соотношению (33)
вид:
X2 — у2
®Д (!/) ~ У& (х) ~ Z’
ИЛИ
1	_ 1 - Д(У) _ й2_ Г .. _ _ д0/) 1	/43)
Д(х) Д(у) й(х)~к2,[У XA(*)J •
Но если у как функция х удовлетворяет соотношению (33); то у
удовлетворяет и дифференциальному уравнению (21). Пользуясь
соотношением (21), можем придать равенству (43) вид:
1 — к2х2 .	1 — к2у2 j	,2 , , ।	, ч	ifrx
д(а.)	+ д(у) dy = к Z (у dx + х dy).	(44)
Принимая начальные условия (23), найдём из (44):
X	у
С 1 - к2х2 ( 1 - k2v2 .	, 2
у dx + J ЛУ = к zxy>
О	2
или
X	у	2
С 1 — к2х2 , С 1 — к2у2 ,	С 1 — к2у2 л 7 2	// г ч
) -£wTdy- \ -щгаУ=к™У-	<45>
О	О	О
Пользуясь для эллиптического интеграла второго рода обозна-
чением
\	\ /^?<Ь = В(г, 4),	(46)
о	о
сможем придать соотношению (45) вид:
Е (х, к) + Е(у, k) = E(z, k) + k2xyz.	(47)
Итак, если х, у и z удовлетворяют соотношению (33) и нера-
венству (34), для эллиптических интегралов второго рода имеет
место формула сложения (47). Если х и. у удовлетворяют
неравенству (35), то, пользуясь начальными условиями (36),
найдём из (44):
f 1 - /с2х2	,
У
1 dy ~ k*z (ХУ ~ z')>
J Д(у) *	' *	'
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
237
или:
С 1 ~'к*хг .	fl- кгх*	?	1 - кгуг	.
J Д(х)	J Д(х)	J	Д(у)	У
(I	О	о
1
С 1 — А2!/2 ,	> 2 /
“ j д (~уГ dy = kz (ху~ ъ
О
Пользуясь обозначениями (46) и (5), сможем придать этому
соотношению вид:
Е(х, к) + Е(у, k) = E(k) + E(z’, к)+k2z(xy-z').	(48)
Из соотношений (38) и (39) следует:
1-Л2У2	,	1 —/с2 dz	,/Q4
Д (г') dz 1 - k2z2 Д (z) •
Интегрируя (49) и принимая во внимание (40), получим:
В (г', 4) = - (1 - *) $	=(1-F) j	' (50)
1	X
Находим, далее:
d /г 1/1 - z2\ _ktVr:T^li___________k2z2______k*z2 /1 - z* _
dz \ j/iTTpz2) ~ /1 - ft2z2 /(1 - z2) (1 - kV) (1 - fc2z2)8/2
fc2(l - z2) (1 - *2z2) - Jc2z2(l - ft2z2) 4-ft‘z2(l - z2)_
~	(1 —fc2z2)A(z)	~
*• - 2ft2z2 i-/c’z» = 1 - Fz2	1 - к2
— (1 - ft2z2) Д (z) — Д (z)	(1 - *2z2) Д (z) • ' 1'
Пользуясь тождеством (51), найдём согласно (50):
^(г Д)~ \ [ д(2) к dz\^T=l^*)\dz
Z
fl-	f 1 -	J I /1 - 2* _
“ j Д(г)	J Д(г) tfZ+ V 1 - kW
О	о 
= Е (к) - Е (z, к) +	•	(52)
Далее, согласно (38)
/Г^72	_ /(T^T2)-z>2 . / i-fe2 ,	f53)
VTTmT ~ V 1 - A2z'2 • V 1 - **3'2 Z •	(
238
прилож; ние 1
Подставляя (53) в (52), найдём:
£(2', &) = Е (к) — Е (z, ty + k'zz'.	(54)
Подставляя (54) в (48), получим формулу сложения
Е(х, к)±Е(у, к) = 2Е (к) — Е (z, k)-\-k'xyz.	(55)
Объединяя формулы сложения (26), (42), (47) и (55), будем
окончательно иметь:
F(x, k)+F(y, k) = F(z, к),
Е(х, к) + Е(у, k)^E(z, k) + k'xyz
при [F(x, k) + F(y, к)\<К(к), fi
F(x, k) + F(y, k) = 2K(k)-F(z, k),
E(x, k) + E(y, к) = 2E (к) — E (z, k) + k"xyz
при K(k)^F(x, k)-t-F(y, k)^2K(k), .
где
?/Д (я) + хД (и)
1 - к2х2уг •
4. Перейдём к преобразованию эллиптического интеграла
П (у, к) = ( ----------------=..	(57)
L (1 - к2х2у2) у (1 - х2) ( 1 - х2
Будем сначала предполагать, что 0<у<1. Так как в этом
случае при 0 < х < 1
|F(x, k) + F( — у, к)\<К(к),
будем иметь, согласно формулам сложения (56):
F(x, k) + F(-y, k) = F&, к),
Е(х, к) +Е( — у, k) = E(t,, к)~к^хуГ., 0<ж<1,
где
г_ -уД(ж)-1 зД(у)
*	1 — к2х2у2
Но
-V	V
F(-y’
L	О
и, аналогично,
Е(-У, к)=-Е(у, к).
Таким образом, формулам (58) можно придать вид:
F(x, k)-F(y, k) = FC,, к),
Е(х, к)-Е(у, k) = E(Z, k)-knxyZ, 0 < х < 1.
} (58)
(59)
(60)
(61)
(62)
ПРИВГ Дт НИР НТ КОТОРЬ X ЭЛЛИПТИЧГ СКИХ ИНТГ ТРАЛОВ
239
Обозначим, далее, через у' число, для которого
Г(/, k)}F(y, к)=К(к).
Тогда
0<F(x, A)4-F(y, к) < К при 0 < зс < г/',
К < F (х, к) + F (у, к) < 2К при/<&<!,
и согласно формулам сложения (56) будем иметь:
F (х, k)+F(y, k) = F(z, к),
Е (х, А) + Е (у, к) = Е (z, к) + k2xyz, 0 < ж < у',
F(x, y) + F(y, к) — 2К (к) — F (z, к),
Е (х, А) + Е (у, к) - 2Е (к) —E(z, к) + к 'xyz, у' <х < 1.
Из формул (62), (64) и (65) выводим:
E(z, k)—E(t., к) = 2Е(у, к) — к2ху (z + С) при 0 < х < у',
E(z, к) + Е^, к) = 2Е (к)— 2Е (у, к) + кгху (z + С)
при у' < X < 1.
Далее, согласно (56) и (59)
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
Подставляя (67) в (66), найдём: >
*)-4£<2’ к) + Е<У, к)
при 0 < х < у’,
к у- (у) 1-к*х*у*
|£(С, fc)+|E(z, А)+Е(у,А)-Е(А)
У (68)
при у" < X < 1.
Умрожая обе части равенств (68) на и интегрируя по х9
найдём (учитывая, что z и С зависят от х):
у	У'
о » / ч С х2 dx _ 1 С Е (£, к) dx
Ул \У) j (1 _ к*х*у2) Д (X) " I J ддо
L	Ь
У'	У'
1 С Е (z, к) dx , р ,	г\ v dx
-ту -Д(х)
ь	о
2уД (у) __________x2dx------- — — { - dX +
У У(П J (1-Лгх2</2) Д(Х) 2J Д(я)
у	v
+ 7$	+ 1£ (у’ 4 - Е Ш)'
• У'	У'
(69)
240
ПРИЛОЖУ НИЕ 1
откуда
11	у'
\/ \ С ___х2	_ 1 f Е ($, к} dx 1 Г Е (з, к) dx
{У J (1 “ к2х2у2) Д (х)	2 J	Д (я)	2 j Д (х)
о	о	о
+ Н ЩШ^ + 2г<»’йЛ^-Е«\А,'(.)- <7°>
у'	fl	у'
Дифференцируя по х обе части первого из соотношений (62),
найдём:
_____________________=——	0 < я < 1
ДГх) Дф dx ’ и х '
откуда
dx	di;	0 <	T <r	z 1.	Г711
	AG)’	V	JU		
Дифференцируя по х обе части первого из соотношений (64)
и первого из соотношений (65), найдём:
1	1	л	1	1 dz ,	.	. л
Д (ж) Д (2)dx ’ Х<^У Д (#) Д (2)ах ’ У < х < >
°<*<^	У'<*<^ (72)
откуда
dx __ dz
Д (х) Д (2) ’
Далее, из (59) и (56) находим:					
с= — У	при	х = 0,	Г — Д М 4	1 - *2у2	при х = 1,	
z = y	при	ж = 0,	+	(у) 1 — к2у2у'2	при «=/,	’ (73)
д(у)	при	ж= 1.			
1- к2у -					
Вводя обозначения = У1>	=У^ найдём в
соответствии с формулами (71), (72) и (73):
1	у'	1
CE(£,k)dx	С	E(z,k)dx ,	С
j	Д (ж)	j	Д (х)	”*	j
D	fl	У'
Е (2, k)dx __
д Vе)
У1	У2	У1
С E(£,k)d$ Г E(z,k)dz 1 Е (z, k)dz __
Дф	.)	Д (2)	J	Д(з) ~
-у	У	У2
У1	У1	У
CE(i;,k)d^__C E(z,k)dz С E(^k}dZ _ Q
J	Д(£)	J	Д(г)	J
-у	у	-у
(74)
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 241
#(£,*)	/ям	••	ТТ
—согласно (61) нечетная. Далее, со-
так как функция
гласно (63)
1	1
Г	dx __ С	dx
j	Д (х) ~~ j Д	(х)
W	0	б
Подставляя (74) и (85) в (70), найдём:
1
f*	'7* 2 z7 -7*
*2Z/A (у) (l-fcWM(x) = К W Е (У> Ю-Б(к)Р(у, к).
О
Итак, при 0< у < 1 мы пришли к соотношению
п (у, А) = (! _	(х) =
о
у _____________
о
У'
\^ = K(k)-F(y',k) = F(y, к).
(75)
(76)
dy

*2y/(t-y2) (i-*V)
(77)
у
dy
П (y,k)
Совершенно аналогично, пользуясь формулами сложения
эллиптических интегралов, соответствующими случаю у>1,
можно получить соотношения
с / i—fty ay+Effl .............
------------ , I' *7
*2y/(2/a-l)(l-*V)
/ k^-id	E Г ...... dy
У	J /(2/2-1)	,_а.
—------------------f (79)
У
1/fc_______________________
^/(2/2-1) (AV-1)
П(у, Л) =
Мы ограничимся формальным выводом формул (78) и (79) из
формулы (77).
Полагая в правой части формулы (77)
16 И. Я. Штаерман
242
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
получим:
-К (к)	1/dy+ Е (к)	— - dy --------.
JK у2—1	J У(у2-1)(1-Л2у2)
П (у, к) =-----5---------г .	0 =------------< (80)
V '	Fy/(y2-l) (i-*V)
ГТ Л	1
При 1 < у < у имеем:
О	О	1
V г----—
= у +мнимая часть,	(81)
1
и аналогично:
v	v
—-	dy = r dy ---------------+ мнимая часть. (82)
J/(y2-i) (1-m J/(y2-l) (1-*V)
Подставляя (81) и (82) в (80), найдём:
у _______________________ V
-	К (к)	1/^ l~~ dx + E (к) ( —==^===
J V У ~1	J /(У-l) (1-fcV)
П (у, к) =------------.	/=--------------+
+ мнимая часть. (83)
Но левая часть в соотношении (83) вещественная. Следо-
вательно, мнимая часть выражения, стоящего в правой части
соотношения (83), должна быть равна нулю, и мы приходим
к формуле (78). Полагая в правой части формулы (78)
|/1 — к2у2 = i ]/к2у2 — 1,
получим:
-	К (к) (	-У"1 dy - Е (к) V dy =
3 г У2-1	j /(у2-1)(Л2у2-1)
П (у, к) =-----*--------..	1 =------------. (84)
к*уУХу*-1)(к*у*-1)	V '
При у > у имеем:
V ___1/Л - V _______________________
1	1	1/h
= I/ & г_7{~ dy + мнимая часть, (85)
1М
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
243
и аналогично:
v	v
С	dy	С	dy	,
\	= \ ----	-- -- + мнимая часть. (86)
/(yM(W-i) АУС/2-!) W2-1)	к 7
1	1/Я
Подставляя (85) и (86) в (84), найдём:
ПО/, Л)=
-К (к) J ^к2£_±<1у-Е(к)
1/fe
V
С dy
/(1г=Т) W^)
к~у V(у*- L) (н-у-_ L)
+ мнимая часть. (87)
Но левая часть в соотношении (87) вещественная. Следо-
вательно, мнимая часть выражения, стоящего в правой части
соотношения (87), должна быть равна нулю, и мы приходим
к формуле (79).
Итак, эллиптический интеграл II (у, к) выражается через
эллиптические интегралы первого и второго родов.
5. Выше мы получили для эллиптического интеграла
1
t8/2 dt
/l^T2(t2-?2)
О < 6 < 1,
выражение (см. формулу (80))

-'йп(/гтг-<88>
Преобразуем это выражение, пользуясь полученными выше
формулами для эллиптического интеграла II (у, А). Так как
при 0 < $ < 1
>/2, 1<
ГТ? <
в эллиптическом интеграле П j/^у > у, а в ин-
теграле П	Таким образом, для
преобразования первого из этих интегралов мы должны восполь-
зоваться формулой (79), а для второго —формулой (78). Ьола-
!€♦

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
245
246
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Подставляя (93) и (94) в (91) и (92), найдём:
(95)
Подставляя (95) в (89), получим:
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
247
Подставляя (99) в (97), получим:
=	+	(100)
Подставляя (98) и (100) в (90), найдём:
-(1-НИ (1^). (101)
24В
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Подставляя (96) и (101) в (88), получим:
7<E)=s<S)- {“'(¥) +
+ /2;(1-Е>) [Е (13) F (/i^ 13) -
-К (13) Е £9-Е(1+ЕИ Сг-)]~
-/2Е(1-О [JT (13)В (yi=i, 13) -
-к (!3)Р (/пд; К?)+-в(¥)7'-(1/ГГе>41)]-|>
+Е(1-0^ (>3)}=2-J3_t{2(1-e-)x(13)+ ~
+ j/2E(l-E!) [ F (У 1=1,1^2 ) -
_2Е^—^УК^},
или окончательно:
l<E) = 'fc(!3){/2 + /I3;,[F(/i^E, 13)-
- 2Е (/ГД; 13) ] } • '002)
6. В главе II, решая плоскую контактную задачу теории
упругости для того случая, когда первоначальное расстояние
между точками сжимаемых тел, соприкасающимися при сжатии,
пропорционально | х |к (х — расстояние до первоначальной точ-
ки касания), мы пришли к следующим формулам для давле-
ния р(х) и полуширины области контакта а (формулы (103)
и (104) главы II):
1
С tk dt_____
FW-i/1-F—,	1	° 7 , 0<И<«,	(103)
С tkdt
2Ак ( tk<lt
ПРИВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
249
Для случая к полагая | х | = al и пользуясь обозначе-
ниями (1) и (15) для соответствующих эллиптических интегра-
лов, будем иметь:
o<s<i,
Г«Р(&1+оа)у/з
L ЗЛС\ J •
(105)
(106)
Подставляя в (105) и (106) значения эллиптических ин-
тегралов и J(c) из (12) и (102), найдём:

-2В(/1-е,^)]},	(107)
2/в
/2	(»i + »2)
(108)
Полагая 5==cos2<p, i = sin^, будем иметь:
р = — Г sin 1 + cos2 <р 4-
1/2	2 ,
+^2~ С08 ?
(109)
а =
Мы пришли, таким образом, к удобной для вычислений
формуле, определяющей давление р(х) в области контакта.
В соответствии с формулой (109) и построен график распреде-
ления давления в области контакта, помещённый для рассмат-
риваемого случая в главе II (рис. 11).
250
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
7. В главе III, рассматривая осесимметричную контактную
задачу теории упругости для того случая, когда первоначаль-
ное расстояние между точками сжимаемых тел, соприкасаю-
щимися при сжатии, пропорционально r3/2	— расстояние до
оси симметрии), мы пришли к следующей формуле для дав-
ления р(г) в области контакта:
тде

0 < г < а,
0 < р < 1,
см. формулы (157) и (158) главы III.
Полагая < = соз2ф, p = cos2ip, найдём:
/ (cos2 <р) = jZ2 cos <р
0 сон-ц, у х— у
(110)
(111)
(112)
Пользуясь тождеством
1 —у 8Ш2ф)
1 — sin2 Ф
COS2 ф
sin2 ф
__2 — sin2 ф — si-2 ф cos2 ф 
_____________1
/ 1
cos2 ф 1/ 1 — -у sin1
COS2 Ф
— sin2 ф
найдём:
ф
о cos2
йф
1 — -i-sin* ф
2 tg ?	1 — A sin2 <р —
С COS2 ф с?ф
U J/Z 1 - 4
)/2 tg 1 + cos2 <р +
• Z---------------
2 J у l--i-sin2<|> (/ф. (113)
о
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 251
Подставляя (113) в (112), получим:
/ (cos1 2 <р) = 2 sin у 1 + cos2 <р 4-
ф	<р__________
/2созТ/С - ...	— 2 j jZl — ysin2?d<p 1 (114)
\ и у 1 - у sin2 <t	5	/
Полагая в (ПО) r*=acos2<? и подставляя в (НО) выражение
для /(cos2<?) из (114), найдём:
5Р Г . г________________
Р=2^ Sin ср/ 1 + сО83ср +
2 jX 1 — jsin2 <р dcp^L
о
(И5)
Сравнивая формулы (115) с формулами (109), убеждаемся
в том, что распределение давления в области контакта в рас-
сматриваемой осесимметричной контактной задаче то же, что
и в соответствующей плоской контактной задаче теории
упругости.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
1. В главе II, рассматривая задачу о сжатии двух круго-
вых цилиндров, радиусы которых почти равны, мы показали,
что решение этой задачи сводится к решению интегродиффе-
ренциального уравнения Прандтля из теории крыла коночного
размаха и изложили метод решения этого уравнения, предло-
женный И. Векуа. Рассматривая, далее, задачу о давлении
жёсткого штампа на упругую полуплоскость с учётом поверх-
ностных изменений упругой среды, мы пришли к аналогичному
интегродифференциальному уравнению, приближённое решение
которого также может быть получено методом И. Векуа. После
того как одна из функций, входящих в интегродифференциаль-
ное уравнение, заменена надлежащим образом построенным
приближённым выражением, следуя методу И. Векуа, можно
252
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
получить решение такого интегродифференциального уравнения
в замкнутом виде. При этом мы приходим, однако, к вычисле-
нию определённых интегралов, которые не выражаются в
элементарных функциях, и в связи с этим для числовых
расчётов могут оказаться более удобными общие приближён-
ные методы решения интегральных уравнений. При расчёте
графиков, иллюстрирующих соответствующие параграфы,
главы II, мы воспользовались методом конечных разностей.
Метод этот заключается в том, что искомая функция
предполагается изменяющейся нё непрерывно, а скачками.
Разбив интервал изменения искомой функции на п частей
и предполагая, что в каждом из полученных подинтерва-
лов функция эта сохраняет постоянное значение, мы сво-
дим решение интегрального уравнение к отысканию этих п
значений искомой функции. Надлежащим выбором этих значе-
ний мы можем добиться того, чтобы интегральное уравнение
удовлетворялось в п точках того интервала, в котором это
уравнение должно удовлетворяться. Мы приходим, таким образом,
к решению системы п линейных уравнений с п неизвестными.
Решив эти уравнения, мы получим приближённое выражение
для искомой функции в виде кусочно-постоянной функции, ме-
няющейся скачками. Построив её график и сгладив скачки, мы
получим в итоге плавную кривую, изображающую приближён-
ное решение интегрального уравнения. Ниже мы приводим
проделанные нами вычисления.
2. Как мы показали в главе II, § 7, в случае сжатия двух
круговых цилиндров, радиусы которых почти равны, давление
р(7) в области контакта определяется интегральным уравне-
нием [глава II, уравнение (31)]:
2(Vi + V2)	——
- Фо
Фо	Vo
-(Vi+v»)	p(?')sin|? — <р'I d?'+ 2Vi р (?')<*?' =
= (6 —rJCl —coscp) —acoscp,	—(!)
Чтобы исключить из уравнения (1) неизвестную постоян-
ную а, положим в (1) ф — 0. Получим:
00
2(Vi + V«)	Р(?') сов/ In tg L1 dp' —
-ФО
Фо	Фо
—(*л + *й)	p(<p')sin|<p'|d?' + 2Vi Р (?')<*?'= ~а- (2)
-Фо	—Фо
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
253
Подставляя а из (2) в (1), будем иметь:
Фо
2 (Vi + V2) Р (?') [ cos ('р — ср') In tg |?~'р 1 —
“Фо
— COS ср COS ср' In tg j dy' —
-(Х1Г14-х2Г2) p(y')[sin|y — y'|--^COSy sin| y'|Jdy/ +
-Фо
Фо
+ 2^(1—CPSHJT) 5 p(?')^?' = (r2-r1)(l-cos?),	(3)
“Фо
— ?o <?<?()•
Интегральное уравнение (3) совместно с условием
р (у) сов у dy =	(4)
“Фо
где Р —сжимающая сила, определяет угол <р0 и давление р(у)
в области контакта — у0 < ср < То- Так как функция р(у) должна
быть вследствие симметрии чётной, будем иметь:
о
2(&iri4-&2rJ	?(?') [cos(<p —</)lntgl'|,~?-1 —
-Фо
— cos у cos у' In tg ту-' j dy' —
—	+ X2r2) p (y') [ sin | у - y' | - cosJ^sinly' I ] dy' +
-Фо
0
+ 2V1 (1 — соиб P (?')	=
Фо
Фо
= 2 (Vi + U) p (?') [ cos (<p + </) In tg Lt±rJ _
0
Фо
— CO8J> CJJi^Hn'tg у j d'jp' —	+ X2T*2) p(<p') [sin I cp 4-
fl
Ф
4- <p' | — Goe <f8ih“<f>'] d'p' 4- 2&ХГ! (1 — сей5>) p (<pz) d'p',
b
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
254
в силу чего интегральному уравнению (3) можно придать сле-
дующий вид:
Фо
2 (Vi + Vs) 5 Р (?') [ cos (р - р') In tg1	+
О
4- cos (р + р') In tg LtiXJ  2 cos p cos p' In tg j dy —
®o
— (XlFl + Vs) 5 /’('P')[sinl? —?'l + sin|p + p'| —
0
^fo
— 2 cos psin <p'] dp' 4- 40^! (1 — ceS p) p (p') dp' =
о
= (f2 — Fi) (1 — cos p),	— ?o < P < To* (5>
Разобьём интервал (0, p0) на n равных частей и будем
«читать, что в каждом из полученных подинтервалов функция
/>(р) сохраняет постоянное значение:
Р(?) = Рй при (к—1)&< р <	(6)
Л = 1, 2...... &=^.
’ 9	99 п
Подставляя /?(ср) из (6) в (5), получим:
п к»
2(Vi +VJ 2 Pfc $ [cos(p — p')lntgl?~? *4
к=1	(к-1)&
+ COS (ср + ср') In tg LlilJ — 2 COS ср COS ср' In tg у j tZcp' —
n kb
— (V1 + V2)2 Pk \ [sin I <p — cp'I 4-sin I cp + cp'|—
A = i	(й-1)&
n kb
—• 2 cos cp sin cp'] c?<p' 4- 401r1 (1 — cos <p) 2 Pk	=
k=l
= (r2—Г1) (1 — COS cp), — cp0 < cp < cp0. (7)
В правой и левой частях соотношения (7) стоят чётные
функции ср. Следовательно, если соотношение (7) имеет место
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
255
для какого-либо положительного значения ср, то оно имеет
место и для соответствующею (равного по абсолютной вели-
чине) отрицательною значения ср. Далее, при ср = 0 обе части
соотношения (7) обращаются в нуль и, следовательно, равны
между собой. Таким образом, если определить plf р2, ..., рп
так, чтобы соотношение (7) выполнялось при ср = й, 2$, ..., пО,
то оно будет выполняться во всех точках ср = 10(1 = — и, . .
— 1, 0, 1, ..и).
Голагая в (7) ср = 1^(1 ~ 1, 2,	и), получим систему
уравнений
п АЭ
2 (Vi +	2 Рк 5 [ cos (z& - ?')ln tg —"--1 +
Л=1	(Л-1)»
cos (Z& + <?') In tgг3	— 2 cos Z& cos <p' In tg -y J dtp' —
—	+ Pfc \	[sin|Z& —/1 + sin (/& + <?')—
Л=1	(Л-1)»
n k&
— 2 cos Z& sin cp'] tZcp' 4- 49^1. (1 — cos 10) 2 Pk	dy =
k=l (k-l)&
M^-^Hl-cosZS), Z = l,2,	(8>
Перейдём к вычислению определённых интегралов, входя-
щих в уравнения (8). Находим:
при A<Z
cos (Z& — <р') In tg —^--1 cZp' ==
(A—1)0
ЛО
COS(Z& — Cp')lntg^-^-tZcp'=:
= - sin (Z& - <p ) In tg —--<P z=(ft_i)8 -
= — sin(Z — A:) & In tg Э 4-
+ sin (I — к +1) & In tg -—
256
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
при Л > Z + 1
kb
cos (Z&—cp'j In tg -в- d<f' =
(к-1)я.
к»
= cos(Zft— <р') In tg d<p'==
(к-1)&
= -sin(Zd-T9btg^-T'|^_i)a =
= - sin (I - к) & In tg (-^-® + sin (I - к -b 1)0In tg
k&
cos (ZO + cp') In tg y dp' =
(k-l)9
= sin (ZO + <?') In tg - cp' |’Z'2**_1)& =
₽ sin (I + k)ОIn tg	sin(Z + k-1)0 lntg -(z.+±L1>-?_&t
kb
\ COS cp lntg y<Z<p = sin cp In tg ±—cp	=
= sin Л0 In tg	— sin (к—1) 0 In tg — 0.
Таким образом,
[ cos (70 — cp') In tg +
(fc-l)S
+ cos (ZO + <p') In tg	— 2 cos ZO cos cp' In tg -y j dcp' =
= sin (Z — A 4-1) 0 In tg lElLt-LL® — sin (Z — A) 0 In tg	Ф
+ sin (Z + A) 0 In tg _ gin _ j) & in tg (L+AulL?_
— 20 — 2 cos ZO £ sin AO In tg у — sin (A — 1) 0 In tg — — 0 . (9)
Далее: при k^l
м	к»
sin|Z0 — <p'|dip'= sin(Z0 — cp')dcp' =
<*-!)»	(fc-i)»
= cos(ZO —<p') j*, № a=cos(Z — A)0 — cos (I — A+1)0;
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 257
при к > I + 1
Aft	Aft
sin ( Z& — <р' | dy' = sin (o'— Z&)d? =
(A-l)ft	(A-l)ft
= — cos (<p' — ZS)	cos (Z —A) & + cos (Z — A-J- 1)
Aft
J [sin (Z& + y') — 2 cos Z& sin cp'] dy' =
(k-i)ft
|p'«=Aft
= — cos(Z&4 <? ) + 2cos Z&coscp	=
|pz —(A— l)ft
e _ cos (Z 4- k) & -fc- cos (I + к — 1) Я + 2 cos lb [cos kb — cos (k — 1) 0].
Таким образом,
А»
[sin | lb — <f' | + sin (Za-|-<pz) — 2 cos lb sin 9'] d<f' =
(k-i)»
= § (i—k) [cos (I-k) a - cos (l-к 4-1) a] 4-
4- cos (Z 4- k—1) a—cos (Z 4- A) a 4- 2 cos lb [cos kb—cos (k— 1) a], (10)
где
8(/c) = l при A>0, I
8 (A) = — 1 при A < — 1. J
Подставляя (9) и (10) в (8), получим систему уравнений
3 рк { 2 (&хгх 4- № [ sin (Z - А +1) a in tg LLlL+LL _
— sin (Z — A) a In tg11 ~k- - 4- sin (Z 4- A) a In tg (ЦАИ _
-sin (Z 4- A -1) a In tg (l + k~ - 2a ] 4r
4- (V.{S (Z - A) [cos (Z - A 4-1) a - cos (I - A) a] 4-
+ cos (I + k) & — cos (Z + к — 1) &} +
4- 4a1r1a—2 cos za [2 (a^ 4- a2r,) [sin a a in tg j —
— sin (A — 1) a In tg ^k 2 ~ — a ] 4-
+ (y-/i4'ltsrj) [cos kb — cos (A — 1) a] 4- 2airJ =
= (r2 —rx)(l — cosZa), 1 = 1,2,	(12)
17 и. Я. Штаерман
258
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Введём обозначение
Дк=2(81г14-82г2) £ sin(A+1) 8 In tg * * ib1 *3 — sin A:8 In tg	— 8 J +
+ («iPi + x2r2) S(/c) [cos (& + 1)8 —cos Л8] + 2&1r18.	(13)
Тогда уравнениям (12) можно будет придать вид:
2 Рк (^1-к +	— 2 cos	= (?2 — г1) (1 — cos Z8), (14)
к=1
1=1,2,. п,
так как
8(/ + &—1) = 5(Лс—1) = 1 при Л>1, Z>1
согласно (И).
При Л>0 имеем:
ДА- в 2 (Vi+82r2) X
X £ sin (к4- 1)8 In tg— sin А8 In tg — 8^ +
+ (*Л + ’с2^)[соз(Л+ 1)8 —cosA8]4-28iri8. (15)
При /с>1 имеем также:
Д^ = 2(81г1 + 82г2)х
X f — sin (к— 1) 8 In tg -	3 + sin А8 In tg — & J +
+ (Х1Г1 + *2r2) [ — cos (к — 1) 8 + cos A8] + 281r18,
t. e.
д-к = Дк-1 при Л>1.	(16)
Вводя, далее, обозначения:
Р (к) = 2 (8^ + 82r2) (sin A81ntg-^--A8) +
+ (ил + x2r2) cos fc828lr1A8, A>0r (17)
сможем придать формуле (15) вид:
Ak = F(A+l)-F(ft), k>Q.	(18)
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 9г)(>
Объединяя формулы (14), (16), (17) и (18), приходим окон-
чательно к следующей системе уравнений для определения
неизвестных plf р2, ..., рп:
2 Рк <Al-k + ^к-1 - 2 COS Z&Afc-O = (r2 - Г1) (1 - COS ZO),
А = 1
1 = 1,2,..., n,
где
Ak = F(* + l)-F(A), A>0, A_k = Afc_l, k>l,
F (i) = 2 (Si^ + &2r2) ^sin A& In tg у — ф
+ (xi^i + V2) c°s +	,
3. Будем в дальнейшем предполагать, что сжимаемые
цилиндры выполнены из одного материала, т. е.
^2=^1,	*2=*1,	(20)
где ^1 = -^-, *i = ------------- , Е—модуль упругости и у.—
коэффициент Пуассона сжимаемых тел.
Так как по предположению радиусы сжимаемых цилиндров
почти равны, можно также положить:
Г1 = гг = г.	(21)
Тогда выражение для функции F (к) в формуле (19) примет
вид:
F (к) = 4&х г sin АО In tg ~— 2^,гк & + 2xxr cos кЬ,
или
F(*)= -2&1г/(А),
где
/ (к) = — 2 sin АО In tg	4- АО — с cos AO,
c _ ±l —71 С1 ~ 2н)
»i 2(1-Н) •
Полагая, далее
-2&r&k,
будем иметь в соответствии с (19) и (22):
«* = /(* + «)-/(*),	к>0,	=	к>1.
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
17*
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Подставляя (25) в уравнения для определения неизвестных
pLf рп (19), получим уравнения
п
2 Рк (2 cos Z&8k-i — 8l-fc — 8i+*-i) =	(1 — C08 W),
*=1
Z = l, 2, n,	(27)
где
e = r2 —Ti.	(28)
Полагая в (27)
Рк^^гЯк, Л = 1,2, re,	(29)
получим уравнения
п
2 ?л(2соШ8к_г —	— S(+fc-i) = l — cos$>, 1=1, 2,..., re, (30)
к=1
определяющие неизвестные qlf q2,..., Qn- Решив уравнения
(30) для неизвестных qlf q2, qn, мы затем по формуле (29)
сумеем найти р19 р2, .рп.
Ниже мы приводим решения системы уравнений (30) для
трёх значений угла <р0: 30°, 50°, 60°, приняв коэффициент
Пуассона р. равным 0,3 и положив п = 5.
Согласно (24) при р. = 0,3
2 тс
с ~~~ •
Согласно (23) будем иметь:
/ (к) — — 2 sin In tg	cos fcd.	(31)
Так как	будем при п = 5 иметь:
0 = 6° при <ро = 30°, & = 10° при <ро = 50°, 0=12° при <ро = 60°.
Ниже даны значения разностей = /(& + ! ) — /(&), подсчи-
танных в соответствии с формулой (31).
Таблица <5^
к	30°	50°	60°	?о к	30°	50°	60°
0	0,72610	1,03429	1,16584	5	0,16049	0,08526	0,03709
1	0,43974	0,55601	0,59035	6	0,12361	0,03467	—0,00601
2	0,33114	0,37052	0,36513	7	0,09251	0,00143	—0,02024
3	0,25921	0,24664	0,21612	8	0,06607	—0,01515	—0,00601
4	0,20464	0,15470	0,11000	9	0,04393	—0,01515	0,03709
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 261
Подставляя из этой таблицы разности ок в уравнения (30)
и пользуясь при этом соотношениями = при к>1
(см. (26)), получим уравнения
<р, = 30°
0,27839g,—0,18258g, - 0,04031g, - 0,02020g, - 0,01266g, = 0,00548,
0,64959g, — 0,12505g,—0,28294g,—0,09314g,—0,05442g,= 0,02186,
0,79081g, + 0,19207g, - 0,25672g,—0,35666g4 - 0,14300g, = 0,04894,
0,86282g, + 0,31882g, + 0,04166g,-0,34501g, - 0,41828g, = 0,08646,
0,89252g, + 0,37884g, + 0,14990g,-0,05685g, - 0,41558g, =» 0,13398.
?, = 50o
0,44682g, - 0,30970g, - 0,07288g,-0,03944g, - 0,02720g, = 0,01520,
1,01730g, —0,23598g, — 0,49264g,—0,17774g, — 0,11446g, = 0,06030,
1,17428g, + 0,25230g, - 0,47780g,—0,64178g, - 0,28950g, = 0,13398,
1,18326g, + 0,39606g, - 0,02304g,-0,65788g, - 0,78212g, = 0,23397,
1,08970g, 0,43348g, + 0>10438g3- 0,22378g, - 0,82026g, = 0,35721.
<P, = 60°
0,52452g, - 0,37610g, - 0,09218g,-0,05234g, - 0,03802g, = 0,02186,
1,17460g, - 0,30334g, - 0,60872g,-0,23260g, - 0,15814g, = 0,08646,
1,30514g, + 0,51486g, - 0,61214g,-0,81014g,- 0,39214g, = 0,19038,
1,23408g, + 0,38780g, - 0,09570g,-0,85638g, - 1,01262g, «= 0,33088,
1,01876g, 0,38024g, + 0,02024g,-0,36822g,—1,09294g, = 0,50000.
262
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Решения этих уравнений сведены нами в следующую
таблицу.
Таблица qk
к Фо	1	2	3	4	5
30°	0,1179	0,1132	0,1034	0,0870	0,0595
50°	0,3437	0,3354	0,3058	0,2560	6,1753
60°	0,8364	0,8020	0,7294	0,6212	0,4055
При р. = 0,3 имеем:
п 1-Н2 _ о,91
пЕ пЕ
Подставляя (32) в (29), найдём:
__ те Ее
(32)
(33)
Подставляя найденные значения qk в (33), получим значе-
ния рк, сведённые нами в следующую таблицу.
Таблица
к Фо	1 1	2	3	к	। 5 1
	Ее	Ее	Ее	к Ее	Ее
30°	0,2035 —	0,1954 —	0,1785 —	0,1502 —	0,1027
	г	г	г	г	г
	Ее	Ее	Ее	Ее	Ее
50°	0,6036 —	0,5790 —	0,5279 —	0,4419 —	0,3025
	г	г	г	г	г
	Ее	, Ее	Ее	Ее	Ее
60°	1,4437 —	1,3844 —	1,2591 —	1 0723 —	0,6999 —
	г	г	г	г	г
Так как по предположению р(<?) = Рк ПРИ (Л — 1) 0- < <р < ЛО-
(см. (6)), полученная таблица даёт возможность для значений
30°, 50° и 60° угла <р0 построить графики давления р как
функции угла <р. Сглаживая получаемые при этом ступенчатые
графики, мы придём к тем распределениям давления р в об-
ласти контакта, которые представлены на рисунках, помещён-
ных в главе II.
Полагая в соотношении (4)
р(<?) = рк ПРИ (& — !)&<<?<&&,	Л==1, 2,..., п, г1 = г,
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 263
найдём:
п	At)
2 2 р* 5 cos?^?“-v>
А=1 (А —1)&
ИЛИ
2 2 PAr[sin А& — sin (A — 1)&] = 2L.	(34)
А=1
Подставляя (33) в (34), получим:
п
h = obi'll ?fctsin sin (*-!)&].	(35)
А = 1
Пользуясь таблицей значений qk, найдём по формуле (35):
J-= 0,1676 при <ро = ЗО°,
^ = 0,7722 при 9о = 50°,
^ = 2,1118 при <ро = 60°.
Кроме того, очевидно,
^ = 0 при 9„ = 0,
так как сжимающая сила должна быть равна нулю, для того
чтобы контакт осуществлялся в точке. Таким образом, мы
получаем четыре точки для построения кривой, выражающей
Р
зависимость угла <р0 от отношения . По этим четырём точ-
кам и построена приведённая в главе II кривая, дающая
возможность по разности радиусов цилиндров е, модулю упру-
гости Е и сжимающей силе Р найти угол <р0 и определить
таким образом размеры области контакта.
Напомним, что если область контакта мала, т. е. при
малых значениях угла <р0, для решения рассматриваемой кон-
тактной задачи можно воспользоваться основным уравнением
плоской контактной задачи (будем попрежнему предполагать,
что сжимаемые тела из одного материала)
р (%') (In | х — х' [ — In | x' I) dx' = Ax3, (36)
— a
где
264
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
I (х) — первоначальное расстояние между точками, соприка-
сающимися при сжатии.
Совместно с условием
а
р (х) dx — Р	(38)
—а
уравнение (36) определяет давление р(х) в области контакта
и полуширину этой области а. Как мы указывали в главе II,
решение этого уравнения приводит к формулам
(39)
(40)
Чтобы получить представление о той точности, которую обес-
печивает применённый нами выше метод конечных разностей,
мы провели этим методом решение уравнения (36), разбив
полуинтервал изменения функции р(х) — а на 5 равных частей
и предположив давление р постоянным в каждом из получен-
ных подинтервалов. В итоге мы пришли к решению инте-
грального уравнения (36), изображённому сплошной линией на
рис. 54. Пунктиром на том же рисунке показано точное реше-
ние этого уравнения, построенное в соответствии с формулой
(39). Как видим, кривые отличаются одна от другой весьма
мало.
Как мы уже отметили выше, при малых значениях
угла <р0 для определения полуширины области контакта а*
т. е. величины rsin<p0, можно воспользоваться формулой (40).
Полагая в (40) a = r sin <?0, найдём:
<р0 = arcsin2
(1-н2)Р
V пе~Аг2 •
(41)
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 2G5-
Первоначальное расстояние 1(х) между точками, сопри-
касающимися при сжатии, для случая двух круговых цилинд-
ров будет равно:
-(г2—/^72),
откуда согласно (37)
1-1_ 1 < 1 1 =
А 2 \</х2Ух=0	2 \ гх гг J 2^ ’
или, если положить в знаменателе r1 — rt = r,
А = ^.	(42)
Подставляя (42) в (41), найдём:
• о ./*2 (1 — |i2) Р	//о\
?о = arcs*n2	' -Ei •	(43>
В частности, при р = 0,3 формула (43) даёт:
. о _ / 1,82 Р	....
<р0 = агсзш 2 у	.	(44)
В главе II мы сопоставили зависимость угла % от отноше-
р
ния , полученную в результате решения точного интеграль-
ного уравнения задачи (сплошная кривая на рисунке), с зави-
симостью <р0 от , определяемой соотношением (44) (пунк-
тирная кривая на том же рисунке). Как видим, уже для угла
<?о = 30° формула (44), основанная на предположении о малости
области контакта, даёт значительную ошибку, при больших
значениях угла <р0 она совсем неприменима.
В главе II мы сопоставили также распределение давления р
в области контакта, полученное в результате решения точного
интегрального уравнения задачи (сплошные кривые на рисун-
ках), с распределением давления, определяемым известной
приближённой формулой
7 Ч _______Р cos ?
PW~r (sin <pocos <Ро + <Ро)
(пунктирные кривые на тех же рисунках).
Представив формулу (45) в виде:
, ч___________Р cos у Ег
Р\^)— Ее (sin <?о cos ср0 4-<р0> ~ >
(45)
2f>6
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
и воспользовавшись найденными выше значениями отношения
Р
для углов <ро = 30°, <ро = 50° и <ро = 60°, найдём:
р(?)=	0,1752	cos <р	Ее — при	?о = 30°,	1
/>(?) =	0,5657	COS Ф	Ее. ~ ПРИ	= 50°,	}>	(46)
р(т) =	1,4267	COS Ф	Ее — при	Ь = 60°.	J
В соответствии с формулами			(46) и построены		указанные
пунктирные кривые.
4. Рассматривая задачу о давлении жёсткого штампа на
упругую полуплоскость с учётом поверхностных изменений
упругой среды, мы пришли в главе II к решению интеграль-
ного уравнения [глава II, уравнение (286)]:
1
~p(di) — с р(ат) In | т— $ | ch = a, —1 < В < 1,	(47)
-1
где р (х) — давление под штампом, а —полуширина штампа,
с — параметр, зависящий от упругих постоянных и от поверх-
ностных свойств той упругой среды, на которую давит штамп,
a — неопределённая постоянная. Вместе с условием
1
p(az)dt = ^	(48)
-1
уравнение (47) однозначно определяет искомую функцию.
Для построения графиков распределения давления под
штампом, приведённых в главе II, для различных значений
параметра с мы также воспользовались методом конечных
разностей. Ниже мы помещаем проделанные нами расчёты.
Так как функция р (ж) — чётная, т. е. р(— х) = р(х), имеем:
о	1	1
р (ат) In | т — 51 йт = р(— ат) In | — т — с | <1т = р(ат) In | т -|- 11 йт,
-10	о
и уравнению (47) можно придать вид:
1
г.р (az) — с р (ат) [In | т — S | + In (т + ?)] йт = а, 0 < S < 1. (49)
о
Разобьём интервал (0, а) на п равных частей и в каждом
из полученных подинтервалов будем считать давление р(х)
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 267
постоянным:
Р(х) = рк при (Л— 1)	<Х<	, А=1,2.......п. (50)
Полагая в (50) х = аИ, найдём:
p(a£) = pft при <$<-£,	* = 1, 2, ... , п: (51)
Определим теперь величины /?2, ••• , Рп с таким расчё-
2^________________________________________________।
том, чтобы уравнение (49) удовлетворялось в п точках $ = ~
(I = 1, 2, ... , п), т. е. чтобы имели место равенства
Z=l, 2, ...,п.	(52)
Подставляя (51) в (52), получим уравнения
п к/п
"к $ [ln|'c--^r| +1п О + ’ЦгО] dT==a’ (53>
>	А==1	А'~1
п
1=1,2, ... , п.
При А>/ + 1 находим:
kin	к/п
$	$ lnCx-^^dx==
k-i	к-1
П	14
2/C-2Z4-1 1 2&-2Z + 1 2к - 2Z - 1 , 2fc - 2Z - 1	1 .
” 2п 1П 2п	2п 1П 2п п1
при fc<t — 1 находим:
к/п	к/п
А-1	ку!
П	14
14
_2k-2l + l . 2Z-2fe-l 2A--2Z-1 , 24-2Я-1	1 .
~ 2п АП 2п	2п	2п	п ’
268
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
и, наконец, при к = 1 находим:
Таким образом,
л/п
5 1гф
*-1
2п - 1 I ,	2й - 2Z +1 1 | 2Л - 2Z +11
--й-1 *---sr~ ln J—й—1
2k — 2l — i , |27с —2Z —1|	1
---------2Г— 1П--------------2п-------L“n ’
(54)
Далее:
2Jt + 2Z-l	,	2/c-h2Z-l	2& + 2Z-3	.	2ft + 2Z-3	10
2п	1П 2п	2п	1П 2п	п *’
*=1,2, ... , П.	(55)
Подставляя (54) и (55) в (53) и заменяя для удобства
вычислений натуральные логарифмы десятичными, получим
систему уравнений
> VI / 2й — 2Z 4-1 . |2Л—2ZH-1I
>-р,- 2	—2— 'eJ—2Г—
*=1
2A-2Z-1 , | 2к-21— 1 | 2fc + 2Z-l '2& + 2Z-1
2п	2п "г" 2п	2п
2S + 2Z-3 , 2Zc + 2Z-3	2\ чМ	, . п	/ссч
-----ЪГ~ --------------7) = —’	1 = 1,2,	(56)
где
Х=^у-, М = 1g е = 0,43429.	(57)
О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
269
Подставляя (51) в (48), найдём:
а
1 V „ - Р
п & Рк 2п
к=1
Уравнения (56) и (58) определяют неизвестные plf р2, ... f рп
и попутно постоянную —• Определив plf p2f pnf мы
в соответствии с формулой (50) получим приближённое реше-
ние интегрального уравнения (47) в форме кусочно-постоян-
ной функции.
5. Полагая в (56) п = 5 и принимая во внимание (58), мы
получим уравнения
(0,25686 + к) pY + 0,05052р2 - 0,04843/>3 - 0,10934/>4 -
- 0,15396р. =	Р
0,05052л + (0,15791 + X) р. — 0,01039л — 0,09305л —
- 0,14468р. =	а ,
- 0,04843л - 0,01039л + (0,11329 + X) р. - 0,04573л -
-0,12236л = -^-4 »
- 0,10934л - 0,09305л - 0,04573р. + (0,08398 + Х)р.-
- О,О7О77л =	>
- 0,15396л - 0,14468л - 0,12236л - 0,07077р. +
+ (0,06214+ Х)л = ^-4.
аМ Р
Исключая из этих уравнений постоянную —--------— , полу-
чим четыре уравнения
(0,20634 + Х)р. — (0,10739 + Х)р. — 0,03804р. —
- 0,01629р. - 0,00928р. »= 0,
0,09895р. + (0,16830 + л) Р. - (0,12368 + X) р. -
- 0,04732р. - 0,02232р. = 0,
0,06091л + 0,08266р.+ (0,15902 4-Х)р,-
- (0,12971 + X) р. - 0,05159р. = 0,
0,04462р. + 0,05163р. + 0,07663р. + (0,15475 + Х)р.-
- (0,13291+ Х)р. = 0,
(58)
270
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
которые вместе с уравнением (58)
Pi + Pz + Р3 + Pi + Рь= у “
определяют неизвестные р19 р2, р3, р4 и р5. В приводимой
ниже таблице указаны решения этих уравнений для трёх
значений параметра с, а именно: с = 10, с = 1 и с = 0,1 (т. е.
согласно (57) для к = 0,13644, к = 1,3644 и к = 13,644).
Таблица рк
к с	1	2	3	4	5
10	0,3658 — а	Р 0,3827 — а	Р 0,4239 — а	0,5157 — а	0,8121 — а
1	Р 0,4558— а	0,4645 — а	0,4836 — а	0,5171 — а	0,5791 — а
0,1	0,4943 — а	0,4966 — а	0,4982 — а	0,5025 — а	0,5096 — а
Построив в соответствии с формулой (50) и приведенной
выше таблицей рк графики функций р(х) и сгладив их, мы
получим для с = 10, с = 1 и с = 0,1 кривые распределения
давления под штампом, приведённые в главе II.


КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ