Фазовая автоподстройка частоты - Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А.

Автор: Шахгильдян В.В. Ляховкин А.А.
Теги: электротехника электроника
Год: 1966
Похожие
Системы фазовой автоподстройки частоты
Системы фазовой синхронизации
Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки
Проектирование радиопередатчиков
Текст
                    В. В. ШАХГИЛЬДЯН, А. А. ЛЯХОВ'КИН
ФАЗОВАЯ
АВТО-
ПОДСТРОЙКА
ЧАСТОТЫ
Scanned & DJVUed
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ»
МОСКВА 1966
УДК 621.316.726.078
3—4—3
36(РС)—66
Предисловие
Системы фазовой автоподстрюйкзи частоты (ФАПЧ) широко
применяются в современных радиоэлектронных устройствах
МЯ слежения за частотой и фазой колебаний, а также для ста-
билизации этих параметров.
Теория систем ФАПЧ начала (быстро развиваться сравни-
тельно недавно и в настоящее (время изложена почти исключи-
тельно в журнальных статьях. Разбросанность и неполнота све-
дений по различным системам ФАПЧ создаёт значительные
трудности для специалистов, занимающихся анализом и проек-
тированием таких систем. Настоящая книга является попыткой
систематизировать, обобщить и развить вопросы теории и рас-
чёта этих систем.
В книге излагаются основы теории и расчёта различных сис-
'тем фазовой автоподстройки частоты, рассматриваются линейные
и нелинейные явления в этих системах, а также особенности их
работы при воздействии на них детерминированных и флуктуа-
ционных помех.
Ограниченность объёма книги не позволила авторам изло-
жить достаточно полно весь материал. Однако это, в основном,,
относится к тем разделам книги, в которых излагаются вопро-
сы, неспецифичные для системы ФАПЧ.
Книга рассчитана на широкий круг инженерно-технических
работников и может быть полезна научным работникам, препо-
давателям, аспирантам, а также студентам старших кур-
сов вузов.
а
Главы 3, 5, 6 и 9 написаны В. В. Ш ахти л едином, главы 2, 7,
8, 10 — А. А. Ляховкиным. Главы 1 и 4 подготовлены авторами
совместно.
Авторы пользуются случаем выразить благодарность
И. Н. Гельферу за замечания, сделанные им при редактирова-
нии книги.
Авторы обращаются к читателям с просьбой направлять за-
мечания по книге в издательство «Связь» (Москва-центр, Чисто-
прудный бульвар, 2).
АВТОРЫ
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
А (О
Ли
«оо
а
а _2к
р т
₽
Зпг; ₽эг
ь<2у
йм
п
D и Do
d
8
А =—№У
л
Д5
Ди
А фо
— косинусоидальная составляющая огибающей входно-
го шума
— амплитуда импульса
— коэффициент передачи фильтра нижних частот прк
С0->оо
— действительная часть комплексного корня характери-
стического уравнения
— безразмерный параметр
— амплитуда девиации разности фаз
— амплитуда девиации разности фаз на частоте и-й
гармоники биений
— амплитуда девиации фазы подстраиваем ого и эталон-
ного генераторов соответственно
—	относительная частота
—	относительная частота биений
—	относительная частота модуляции
—	относительная начальная расстройка
— произвольная постоянная
— коэффициенты закона распределения разности фаз
— затухание RLC фильтра
— относительная постоянная времени RC фильтра в си-
стеме ФАПЧ
— относительный температурный коэффициент барьер-
ной ёмкости нелинейного р-п-перехода
— длительность импульса
— начальное отклонение разности фаз от её стационар-
ного значения
5
Д<р(О	—мгновенное отклонение разности фаз от стационар- ного значения
	
б	— относительный температурный коэффициент диэлек- трической проницаемости р-п-перехода
би	— скважность импульсов
Ж0=	
= у мю+адч-см	— огибающая аддитивной смеси сигнала и шума на входе системы ФАПЧ
en (0	— огибающая входного шума
£	— относительная нестабильность частоты
д/	
ЕР= т	— относительное время в промежутке между двумя им-
Q	пульсами
£ф == <о0	— относительная расстройка
F(<f) i F р = ~Тр	— нормированная характеристика фазового детектора
	— частота следования регулирующих импульсов
Fi и Fг dFM F'(<P) = /*' а <р	— функции-аналогии полосы удержания и начальной расстройки соответственно
	<—крутизна нормированной характеристики фазового детектора
0 (ф)	— поток вероятности величины ср
Go	1— область фазового пространства
(%) и / п (^)	— функции Бесселя мнимого и действительного аргу- ментов соответственно
/ и i	— амплитудное и мгновенное значения тока
KN(p)	— операторный коэффициент передачи для мгновенно- го отклонения фазы N-каскадного усилителя вч
К(р)	— операторный коэффициент передачи фильтра нижних
	частот в цепи управления системы ФАПЧ
Ку	— коэффициент усиления усилителя
Кп		_ _	— коэффициент интенсивности n-го порядка
К [X; {/] = ху—ху о	— корреляция случайных величин х и у
Йо	— безразмерный параметр RLC и LC фильтров
Кд .	— коэффициент передачи амплитудного детектора
&С1 и kc2	— угловые, коэффициенты сепаратрисе на фазовом пор- трете^
k0 И ki	— коэффициенты статистической линеаризации
Ai(t)	— коэффициент автокорреляции случайного процесса
к	— относительный температурный коэффициент контакт- ной разности потенциалов
%	— относительный коэффициент затухания
М (у—х)2	— математическое ожидание квадрата разности случай- ных величин у и х
m	— безразмерный параметр пропорционально-интегри- рующего фильтра
тл	— коэффициент амплитудной модуляции
тп (£)	— момент n-го порядка закона распределения случай- ной величины |
ЛГ	— число каскадов
м (0	—мгновенное значение аддитивного шумового напря- жения на входе системы ФАПЧ
6
Nt (/)	— эквивалентное шумовое напряжение на выходе фазе».
J еЧЦ	вого детектора — коэффициент рассогласования LC фильтра — коэффициент передачи редуктора — относительная величина разряда конденсатора запо-
Ш = AfO-cos? + + С(/) sin <р	минающего устройства в системе ИФАПЧ — случайная величина — случайный процесс на выходе фазового детектора при «смодулированном эталонном сигнале
== A(0 cos (q) + —случайный процесс на выходе фазового детектора
<Ф?Эг)-НлО s^n (т+?эг) ПРИ фазовой модуляции эталонного сигнала
П
П м
Р с И Р тп
Рн и Pq
d
P=-Tt
Q
<f = TPP
О2
2
С-ar
d N
°^пг
„2
%эг
а/пг
Og
т
Тб
Ту => TQy
________1
I Р (Тоа) I
Усу = QyT с
Гз
То
Тк
— интегральная полоса пропускания линейных уст-
ройств, предшествующих системе ФАПЧ (рад/сек)
— интегральная полоса пропускания модулирующей
функции (рад!сек)
— мощности сигнала и шума на входе системы ФАПЧ
соответственно
— мощность остатка несущей и полная мощность ФМ
колебания соответственно
— оператор дифференцирования по времени
— добротность колебательного контура, его элементов
— оператор дифференцирования по безразмерному вре-
мени
— характеристическое сопротивление контура
— коэффициент автокорреляции процессов A (t) и С (t)
— дисперсия шума на входе системы ФАПЧ *
— дисперсия частоты результирующего сигнала на вхо-
де системы ФАПЧ
— дисперсия разности фаз подстраиваемого и эталонно-
го генераторов
— дисперсия фазы подстраиваемого генератора
— дисперсия фазы эталонного генератора, обусловлен-
ная полезным сообщением
— дисперсия частоты подстраиваемого генератора
— дисперсия разности частот подстраиваемого и эталон-
ного генераторов
— постоянная времени интегрирующего RC фильтра
— период биений
— обобщённая постоянная времени RC фильтра в си-
стеме ФАПЧ
— собственная постоянная времени системы ФАПЧ
— относительная собственная постоянная времени си-
стемы ФАПЧ
— абсолютное время запаздывания
— постоянная времени убывания огибающей решения
линейного дифференциального уравнения второго по*
рядка
— постоянная времени одиночного контура
7
тг т <F Ta — TF + T^	<— время установления частоты — время установления разности фаз ср — время установления режима удержания в системе ФАПЧ
Тъ Тп t г tc S 5уэ S?(<0); Sm(<0)	— постоянная времени идеального интегратора — период регулирования — постоянные коэффициенты — абсолютное текущее время — температура в градусах Цельсия — произвольная постоянная интегрирования — крутизна характеристики электронной лампы — крутизна характеристики управляющего элемента — спектральные плотности девиации фазы и частоты со- ответственно результирующего сигнала на входе си- стемы ФАПЧ
Sc(<o)	— спектральная плотность девиации фазы эталонного сигнала, обусловленной действием модулирующей
S«>nr(w) и Swr^	функции — спектральные плотности девиации частоты и фазы соответственно подстраиваемого генератора, обуслов- ленной действием шума
^"ЭГ(W) »$Ш (ф)	— спектральная плотность девиаций частоты эталонно- го сигнала, вызванной полезным сообщением — спектральная плотность девиации фазы эталонного сигнала, вызванной шумом, осуществляющим линей- ную фазовую модуляцию эталонного сигнала
5Н (со) 51 и s2	— спектральная плотность функции §(/) — отношения сигнал/шум по напряжению на входе и
т _ 2зт 1/_^У_ б~ % у Тя. Ту =s t йу Тл у	выходе системы ФАПЧ соответственно — относительное текущее время — обобщённый период биений в астатической системе ФАПЧ — обобщённое время в системе ФАПЧ — обобщённая постоянная времени процесса установле- ния величины (р в идеализированной системе ФАПЧ при F(qp)=cos ф и малом начальном возмущении
ТТу	— постоянная времени установления в идеализирован- ной системе ФАПЧ при треугольной форме характе- ристики фазового детектора
тпу	— постоянная времени установления в идеализирован- ной системе ФАПЧ при трапециевидной характери- стике фазового детектора
Тр Гз, Х3р —	„ Ткорр Т] корр И Т'2 корр	— обобщённое время установления частоты — относительное время запаздывания в системе ИФАПЧ — время корреляции случайного процесса — время корреляции аддитивного шума и производной
t тр~ т 1 р	фазы эталонного сигнала соответственно — относительное текущее время регулирования в си- стеме ИФАПЧ
Тер Г	— среднее время до срыва синхронизма —•кратность преобразования частоты в системе ИФАПЧ
8
и V" ^ФЦ макс	— амплитуда синусоидального напряжения — амплитуда гармонической помехи — максимальное напряжение на выходе фазового де- тектора
(/ (Г) Ф] и Ф2	— мгновенное значение напряжения — мгновенные фазы напряжений эталонного и подст-
. _4_ s ~ S2 S1 e's и ф<»	раиваемого генераторов соответственно — коэффициент фильтрации системы ФАПЧ — коэффициент фильтрации звена фильтр—ограничив тель—фильтр — коэффициенты фильтрации фазы и частоты соответст- венно
ф	— разность фаз подстраиваемого и эталонного генера- торов
фо п фо( и фо2	— одно из бесчисленных состояний равновесия — координаты точки неустойчивого и устойчивого рав- новесия соответственно
Ф (^) пр фс Фер Ф1 = Ф—фо2 ?эг (0 ?пг (0 фз	— приближённое решение уравнения для ф|(/) — произвольная постоянная интегрирования — среднее -значение величины ф — фаза эталонного сигнала — фаза подстраиваемого генератора — случайное отклонение разности фаз ф от величины? её математического ожидания
<fsrN (0 = 	arc tg	у <fw (“)	— фаза результирующего сигнала на входе системы, эг ФАПЧ — фазовый сдвиг, вносимый четырёхполюсником с пе- редаточной функцией Wi (£ со)
фх	— фазовый сдвиг в законах фазовой модуляции эталон-
V vn V	ного и подстраиваемого генераторов — функция Ляпунова — собственные функции — усечённая функция Ляпунова
t'ir = ^ wi (?; 0^ (р)	— передаточная функция замкнутой системы ФАПЧ’’
W2 (р) = TcpWj(p) Ц7„ Гз(Р) = Рпг ’’= fee	для девиации фазы — коэффициент передачи девиации фазы в нелинейной’ системе ФАПЧ
W7<(P) = TCW71(P)	— эквивалентная передаточная функция системы ФАПЧ' для шума, действующего на выходе фазового де-
W4(U ?n_i ---ы	тектора — ц-мерная функция распределения случайных вели- чин In
?n_2 • • •
u
£2 и
QM
£^зп
Pn
^уэ и QyM
Oo
<0nr И (0Эр
<°o
"*°0ПГ
— условная функция распределения
— разность частот подстраиваемого и эталонного гене-
раторов в замкнутой системе ФАПЧ
— верхняя модулирующая частота
— среднее значение вносимой расстройки
— полоса захвата
— начальная разность частот подстраиваемого и эта-
лонного генераторов (в разомкнутой системе)
— частота модуляции эталонного сигнала
— полоса захвата помехи в отсутствие эталонного сиг-
нала
— разность частот гармонической помехи и эталонного
сигнала
— полоса удержания
— полоса удержания в системе ИФАПЧ
— максимальные значения расстройки, вносимой элек-
тронным и механическим управляющими элементами
соответственно
— частота собственных колебаний при переходном про-
цессе
— частота подстраиваемого и эталонного генераторов
соответственно
— резонансная частота контура; фильтра
— собственная частота подстраиваемого генератора при
разомкнутой петле ФАПЧ
х10
Глава 1
Введение
§ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В радиоэлектронике широко распространены две разновид-
ности систем автоматической (подстройки частоты: частотная
(ЧАП) и фазовая (ФАПЧ). Различие этих двух систем состоит
в том, что в системе ЧАП сигнал ошибки связан с разностью
частот подстраиваем ото и эталонного генераторов, а в системе
ФАПЧ—с разностью фаз этих генераторов. Поэтому в системе
ФАПЧ в стационарном режиме (поддерживается остаточная раз-
ность фаз, а не частот, как в системе ЧАП.
Отличительные особенности ФАПЧ дают более широкие воз-
можности для её использования. Так, если ЧАП служит только
для подстройки частоты, то
систему ФАПЧ можно ис-
пользовать ещё и для полной
синхронизации подстраивае-
мого гетеродина, а также в
качестве высокоэффективно-
го узкополосного фильтра,
частотного детектора, фазо-
вого детектора и фазового
Рис. 1.1. Блок-схема типовой
системы ФАПЧ
модулятора.
Блок-схема наиболее распространённой системы фазовой ав-
топодстройки частоты приведена на рис. 1.1. Сигнал от эталон-
ного генератора ЭГ с частотой и сигнал ют подстраивае-
мого генератора ПГ с частотой <опг поступают на фазовый де-
тектор ФД, выходное напряжение которого определяется раз-
ностью фаз напряжений, поступающих на его входы.
Выходное напряжение фазового детектора через фильтр
нижних частот ФНЧ воздействует на управляющий элемент УЭ,
который изменяет частоту подстраиваемого генератора, приводя
И
её 'в соответствие с частотой эталонного генератора. Управляю-
щий элемент представляет собой устройство, способное по сиг-
налу, поступающему на его вход, изменять частоту подстраивае-
мого генератора.
В стационарном режиме, когда частоты обоих генераторов
равны, в системе устанавливается постоянная разность фаз
между сигналами обоих генераторов и выходное напряжение
фазового детектора постоянно. Это напряжение подаётся на
вход управляющего элемента, ибо в противном случае статиче-
ский режим будет невозможен. Поэтому между фазовым детек-
тором и управляющим элементом включаются устройства, про-
пускающие постоянный ток. Такими устройствами обычно яв-
ляются фильтры нижних частот, устраняющие из спектра сиг-
нала управления нежелательные составляющие побочных частот,
присутствующие на выходе фазового детектора.
-Система ФАПЧ может находиться в различных состояниях.
Так, например, если частоты ЭГ и ПГ равны и эффект медлен-
ных изменений параметров подстраиваемого генератора, опре-
деляющих его частоту, в среднем полностью компенсируется
действием ФАПЧ, то в дальнейшем это состояние будем назы-
вать режимом удержания.
С понятием режима удержания неразрывно связано поня-
тие полосы удержания, т. е. области начальных расстроек, в ко-
торой возможен режим удержания. Ширина полосы удержа-
ния определяется разностью экстремальных значений частоты
генератора ЛГ, соответствующих максимуму и минимуму на-
пряжения на выходе фазового детектора.
Второе состояние системы ФАПЧ—режим биений — наблю-
дается в тех случаях, когда начальная расстройка ПГ относи-
тельно ЭГ больше полосы удержания. При этом частота под-
страиваемого генератора будет отличйтыся от частоты эталон-
ного генератора.
Переходное состояние системы, при котором режим биений
переходит с течением времени в режим удержания, называется
режимом захвата.
Под полосой захвата понимают область начальных расст-
роек, в которой при любых начальных условиях устанавливается
режим удержания. Обычно в момент включения частоты под-
страиваемого и эталонного генераторов не совпадают и в систе-
ме наблюдается режим биений. При этом сигнал подстраивае-
мого генератора модулируется по частоте напряжением биений.
В зависимости от знака мгновенного напряжения биений
разность между частотами генераторов то повышается, то по-
нижается. Это приводит к неодинаковой длительности положи-
тельной и отрицательной полуволн напряжения биений, в ре-
зультате чего на выходе фазового детектора образуется посто-
янная составляющая напряжения. Наличие этой постоянной со-
12
ставляющей 'приводит к (изменению средней частоты биений по
отношению к начальной расстройке.
Если начальная расстройка лежит {внутри полосы захвата,
то постоянная составляющая снижает частоту биений до нуля,
и наступает режим удержания.
Если же начальная расстройка превышает полосу захвата,
то постоянная составляющая напряжения оказывается недоста-
точной для полной компенсации начальной расстройки, и в си-
стеме наблюдается устойчивый режим биений.
Подробнее эти явления описаны в пл. 2.
Рис. 1.2. Зависимость разности частот эталонного и
подстраиваемого генераторов от начальной рас-
стройки
Рассмотрим практический способ определения полосы удер-
жания и полосы захвата. Предположим, что частоты обоих ге-
нераторов при замкнутой петле автоподстройки равны друг
другу. Медленно перестраивая эталонный генератор (как в сто-
рону повышения, так и в сторону понижения частоты) до тех
пор, пока система не выйдет из синхронизма, находим полосу
удержания. 'Полосу захвата можно определить по наступлению
синхронизма системы при медленном изменении начальной рас-
стройки от больших значений к малым.
В общем случае полосы удержания и захвата не равны друг
другу (рис. 1.2). На этом рисунке сплошной линией показано
устойчивое изменение разности частот Q генераторов ЭГ и ПГ
в замкнутой системе ФАПЧ при изменении на(чальной расстрой-
ки от больших её значений к малым. Пунктирной линией по-
казано неустойчивое изменение Q при изменении £2Н от малых
13
значений к большим. П-рямая линия на этом рисунке отобража-
ет зависимость Q от QH в разомкнутой системе ФАПЧ.
Поскольку кривые (получаются симметричными, удобно под
полосами удержания и захвата понимать половину области
удержания и области захвата, т. е. Qy и Q3. Соотношение (меж-
ду Qy и Q3 определяется параметрами системы.
Ещё одной характеристикой системы ФАПЧ является время
установления в ней того или иного; режима.
Система ФАПЧ является разновидностью систем с обратной
связью, поэтому в ней возможна потеря устойчивости. В зависи-
мости от величины флуктуаций, нарушающих равновесие, раз-
личают устойчивость системы в «малом» и в «большом». По су-
ществу, устойчивость в малом определяет возможность режима
удержания. Устойчивость же в большом определяет величину
й3, поскольку в режиме биений возможны неограниченные из-
менения разности фаз.
Очень часто система ФАПЧ используется как узкополосный
фильтр. В этом случае эффективность её работы оценивается
фильтрующей способностью, т. е. способностью ее пропускать
полезный сигнал и задерживать все мешающие сигналы.
Соотношение между полосой захвата и полосой удержания,
устойчивость системы, её фильтрующая способность и время
установления режима определяются характеристиками петли
автоподстройки.
§ 1.2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
ТИПОВОЙ СИСТЕМЫ ФАПЧ
Составим основное дифференциальное уравнение системы
ФАПЧ; справедливое для в'сех возможных характеристик фазо-
вого детектора и фильтра нижних частот. Для этого рассмотрим
действие схемы рис. 1.1 для случая, когда цепь управления
разомкнута между выходом фильтра нижних частот и входом
управляющего элемента. Предположим, что в начальный мо-
мент напряжение на входе управляющего элемента равно нулю.
При этом начальная расстройка подстраиваемого генератора
относительно эталонного- равна
2н = а>опг шэг’	0*0
где соопг—угловая частота подстраиваемого генератора при
разомкнутой цепи управления.
В момент замыкания цепи управления мгновенная часто-
та подстраиваемого генератора изменится в результате появле-
ния напряжения на входе управляющего' элемента. Её новое
значение со в зависимости от знака мгновенного напряжения на
14
выходе* фильтра будет либо больше, либо меньше о)'0Пг. При-
мем, чго она станет в этот момент меньше, что никак не по-
влияет на общность конечного результата:
0) =	0)уЭ .	(1 .2)*
Здесь соуэ — мгновенная расстройка, создаваемая управ-
ляющим элементом. Величина этой расстройки определяется
выражением
шуэ Зуэ ивЫХ»	(1.3)^
где 5уэ - г крутизна характеристики управляющего элемента,
рад/сек. в,
ивых— 'мгновенное напряжение на (выходе фильтра (на вхо-
де УЭ).
Считаем £уэ постоянной (величиной, что соответствует ли-
нейности характеристики управляющего элемента.
Напряжение на выходе фильтра нч связано с напряжением
на его входе (выходным напряжением фазового детектора цфД)
соотношением
иуэ = мфд	1 *4)*
где К (р) —'коэффициент передачи фильтра в операторной
форме.
Символ р, как обычно, обозначает дифференцирование по*
времени. Мгновенное выходное напряжение фа’зового детектора
определяется его характеристикой. В дальнейшем (будем пола-
гать, что она имеет периодический характер в (функции разно-
сти фаз.
Обозначив модуль максимального значения напряжения на
(выходе фазового детектора через ^ФДмакс> получим
^ФД = ^ФД м^кс &	(1.5)^
где F (ф) —нормированная характеристика фазового детектора,
т. е. отношение мгновенного’ значения напряжения
к максимальному по модулю напряжению, ф — мгно-
венная разность фаз напряжений подстраиваемого
и эталонного генераторов.
Подставив (1.4) и (1.5) в (1.3), получим
-	<i.e>.
Величина Зуэ ^ФДмакс определяет максимально возмож-
ную расстройку, которая может компенсировать цепь управле-
нии, i. е. полосу удержания Qy. Учитывая это, перепишем вы-
ражение (1.6) следующим образом:
<оуэ = Йу F (<р)	(р).	(1.7)
Подставив (1.7) в (1.2), получим
ш = шопг—QyF(f₽)^(P)-	О-8)
Мгновенное значение разности фаз генераторов овязаио в
общем случае с мгновенньим значением (разности частот выра-
жением
t
Ф = фс + f (ш — <°эг) dt>	(!-9)
б
где <рс — разность фаз при t = 0.
На (основании ф-лы (1.9) (выражение для разности частот
можно записать в операторной форме:
(о —о)эг=рф.	(1.10)
С учётом выражений (1.8) и (1.10) имеем
РФ + ЙУЯ(Ф)К(Р)-ЙН.	(1.П)
Это уравнение является основным дифференциальным урав-
нением системы ФАПЧ. Оно показывает, что в любой момент
времени в замкнутой системе ФАПЧ алгебраическая сумма
мгновенной разности частот р<р и расстройки, вносимой управ-
ляющим (элементом, равна постоянной величине (начальной
расстройке).
При сложном фильтре нижних частот и нелинейной харак-
теристике фазового детектора ур-ние (1.11) превращается в не-
линейное дифференциальное уравнение высокого порядка.
Это уравнение полностью характеризует изменение во вре-
мени разности фаз подстраиваемого- и эталонного генераторов
с момента их включения. Решение его позволяет определить та-
кие важные показатели работы системы, как полоса захвата,
время и характер установления режима, статическая фазовая
ошибка.
Точное аналитическое решение основного нелинейного диф-
ференциального ур-ния (1.11) системы ФАПЧ в настоящее
время можно получить только в том случае, если оно имеет пер-
вый порядок | К (р) = 1 |. Во всех остальных случаях исполь-
зуют приближённые способы решения или анализа этого урав-
нения. При этом определение полосы захвата или времени уста-
16
новления стапавится проблемой даже для 'систем, описываемых
уравнениями ‘второго и третьего порядка.
Уравнение (1.11) является основным уравнением авто-
номной системы ФАПЧ, параметры которой, включая и пара-
метры эталонного сигнала, постоянны. На практике же часто
встречаются неавтономные системы, параметры которых яв-
ляются детерминированными или случайными функциями вре-
мени (например, в результате воздействия на них различного
рода помех). Аналитическое исследование неавтономных си-
стем связано с ещё большими трудностями.
Это объясняет наличие большого количества отечественных и
зарубежных работ, посвящённых различным аспектам теории си-
стем ФАПЧ [1—61].
Одними из первых работ, посвящённых системам ФАПЧ, были работы
Е. Г. <Момота, (В. Н. Горшунова [1], В. С. Дулицкого, Ю. В. Эльтермана,
Е. Лабина [2], Желонека, Зелинского и Сиски [14].
Значительный вклад в развитие теории 'систем ФАПЧ был сделан
В. И. Тихоновым [33, 34, 113], М. В. Капрановым [17, 23, 58], Ю. Н. Бакае-
вым [36, 25, 45, 50], Л. Н. Белюстиной [26], Р. Л. Стратановичем [60, 96],
М. Р. Каштановым и В. А. Левиным [61], Ричмэном [15], Престоном и
Тальером [11], Девеле [57], Витерби [29], Соботкой [32].
В работах [41—44, 49, 55, 56, 87, 114, 115, 117, 118] изложены некоторые
вопросы теории нелинейных автономных и неавтономных систем ФАПЧ.
§ 1.3. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СИСТЕМ ФАПЧ
Общие положения
Как было отмечено, система ФАПЧ находит самое широкое
применение в различных областях техники. Так, например, она
применяется для создания высокостабилыных возбудителей с
дискретным множеством частот [28, 61], устройств, позволяю-
щих плавно и точно изменять частоту высокостабильных высо-
кочастотных генераторов [39], в системах выделения несущей
для синхронного и корреляционного 'приёма [104, 105], цветно-
го и чёрно-белого -телевидения [15, 25], для выделения несущего
колебания на фоне флуктуационных помех [106], при приёме
ФМ сигнала с восстановлением несущей [107], для деления и
умножения частоты [30], приёма ЧМ и ФМ колебаний, создания
фазовых модуляторов и т. п. ФАПЧ используется также в авто-
матике и в системах точной магнитной записи для стабилиза-
ции скорости вращения ведущего вала [108].
Несмотря на большое разнообразие условий применения си-
стем ФАПЧ и требований к ним, а также схемные различия от-
дельных устройств, содержащих эти системы, их все принци-
пиально можно свести к типичной блок-схеме, изображённой на
рис. 1.1. Последнее позволяет провести анализ работы таких
систем и их расчёт на основе рассмотрения этой схемы.
2—793	17
Применение системы ФАПЧ для получения переменного
напряжения с высокостабильной частотой
В современной радиотехнике широко применяются интерпо
ляцио.пвые методы перестройки высокочастотных стабильных ге-
нераторов. Однако схемы, в которых используются эти методы,
Рис. 1.3. Блок-схема системы ФАПЧ,
работающей по вторичным биениям
требуют для хорошего по-
давления вредных комби-
национных частот приме-
нения большого количест-
ва высококачественных
фильтров, что усложняет
аппаратуру.
На рис. 1.3 приведе-
на блок-схема системы
ФАПЧ, работающей по
вторичным биениям, кото-
рая позволяет плавно или
дискретно изменять ча-
стоту подстраиваемого ге-
нератора, обеспечивает малый уровень побочных колебаний
на его выходе и не требует использования высокочастотных
фильтров.
В схему, кроме элементов типовой ’системы ФАПЧ, входят
смеситель СМ и генератор сдвига ГС.
Колебания подстраиваемого генератора с частотой сопг и
эталонного генератора с частотой соэг [поступают на смеситель,
на выходе которого образуются биения с разностной частотой
Дсо = шпг —созг. Напряжение разностной частоты подаётся
далее,на фазовый детектор. Одновременно' на него поступает
напряжение с частотой <»с. В результате на (выходе фазового
детектора образуется управляющее напряжение, которое после
фильтрации от побочных колебаний поступает на управляющий
элемент, создающий корректирующую расстройку.
Стационарный режим в системе соответствует равенству
(Ос = I I-
Он возможен при различных знаках расстройки подстраи-
ваемого генератора. Действительно, условие стационарного ре-
жима (ос = | Доз | будет выполнено, если частота подстраивае-
мого генератора равна	<озг + Дсо или — и»эг — Дсщ
В обоих случаях |о)зг—(опг| |Дсо|, однако знаки этой раз-
ности будут различны. Это означает, что в общем случае часто-
та подстраиваемого генератора устанавливается неоднозначно.
Для устранения указанного недостатка необходимо, чтобы знак
расстройки До был постоянным. Это требование выполняется,
если частота подстраиваемого генератора с учётом её /песта-
18
6ильности и диапазона перестройки всегда будет оставаться
ниже (выше) частоты эталонного генератора.
Из блок-схемы следует, что для перестройки подстраиваемо-
. о генератора достаточно менять (плавно или дискретно) ча-
стоту (Ос.
Пусть, например, сопг >о>зг, а её нестабильность характе-
ризуется величиной епг. Требуемый диапазон частот генера-
тора ПГ лежит в пределах от <он до <ов. Частота генератора
сдвига в этом случае должна меняться на величину А сос =
— О) в 0)н.
Верхняя граница <ос определяется допустимым ухудшением
стабильности частоты выходного напряжения по сравнению со
стабильностью частоты эталонного генератора, как и в обычном
интерполяционном генераторе. При дискретном изменении этой
частоты сое получается обычно в результате синхронного деле-
ния (озг, и в этом случае её верхняя граница может быть про-
извольной. Нижняя граница (ос определяется условием фильтра-
ции суммарной частоты (в режиме синхронизма — второй гар-
моники (Ос). Для того чтобы при включении системы автома-
тически наступал синхронизм, полоса захвата в ней должна со-
ответствовать условию
а собственная частота подстраиваемого генератора должна
быть равна средней частоте заданного диапазона частот выход-
ного напряжения, т. е.
шпг “	2
К описанной выше схеме обычно предъявляются два основ-
ных требования:
1) полоса частот, в которой обеспечивается устойчивая авто-
матическая перестройка подстраиваемого генератора должна
быть возможно более широкой;
2) уровень побочных колебаний в спектре выходного сигна-
ла должен быть минимальным.
В работе {39] приведены результаты экспериментальной
проверки такой схемы.
Эту схему можно применить для создания в высокочастот-
ном диапазоне дискретной сетки стабильных частот с очень ма-
лым интервалом между ними, а также в связных коротковолно-
вых передатчиках, работающих по системе ЧТ и ДЧТ. В по-
следнем случае эталонный сигнал определяет рабочую волну, а
частотная девиация осуществляется изменением частоты гене-
ратора сдвига.
2*	19
Эки же принцип можно использовать для создания генера-
•н)ра качающейся (частоты с высокой степенью 'стабильности
средней частоты.
В тех случаях, когда требуется стабилизировать высокоча-
стотный генератор при помощи [Низкочастотного эталонного, в
качестве генератора сдвига обычно используется этот эталон-
ный генератор, а напряжение эталонного сигнала, подаваемое
на смеситель, получается с помощью умножения частоты эталон-
ного генератора. Подобные схемы широко используются для
стабилизации частоты клистронных и магнетронных генерато-
ров [28].
Применение системы ФАПЧ для повышения точности
магнитной записи
В связи с развитием в последнее (время специальных видов
магнитной записи (запись телевизионных изображений, фототе-
леграфных сообщений, сигналов телеметрии и телеуправления,
сигналов программного управления и т. п.) резко возросли тре-
бования к точности воспроизведения ранее записанных про-
грамм.
Точность воспроизведения зависит как от свойств носителя
(‘неравномерности отдачи, деформации плёнки или проволоки
и т. п.), так и от характеристик аппаратуры записи и воспроиз-
ведения, определяемых, в основном, неравномерностью скоро-
сти движения носителя. Наиболее трудно устранить искажения
амплитудного и временного масштаба сигнала.
Искажения амплитудного масштаба приводят к колебаниям
уровня воспроизводимого сигнала.
Эффективным методом борьбы с ними является использо-
вание модулированных сигналов, амплитуда которых не зави-
сит от мгновенного значения сообщения (применяются как ча-
стотная, так и широтно-импульсная модуляция) [109].
Искажения временного масштаба приводят к тому, что при
записи чисто синусоидального смодулированного сигнала
воспроизведённый сигнал оказывается .модулированным по фа-
зе (частоте), причём его средняя частота в общем случае ста-
новится отличной от частоты записываемого сигнала.
Медленные изменения средней частоты воспроизводимого
сигнала определяются, в основном, нестабильностью средней
скорости движения носителя и его растяжением. Быстрые же
изменения мгновенной фазы (частоты) этого сигнала происхо-
дят из-за высокочастотной детонации механизма протяжки.
Уменьшение .искажений временного масштаба представляет
собой довольно сложную задачу вследствие высоких требова-
ний, предъявляемых к степени сохранения этого масштаба в ус-
тройствах точной магнитной записи.
20
Это можно осуществить при использовании фазовой автопод-
стройки скорости по эталонному сигналу [108].
На рис. 1.4 показана блок-схема воспроизводящего ленто-
протяжного механизма, основным элементом которой является:
система фазовой автоподстройии частоты.
Рис. 1.4. Блок-схема устройства, воспроизводя-
щего магнитную запись, с системой ФАПЧ, устра-
няющей искажения временнбго масштаба
Схема работает следующим образом.
Носитель Н с помощью ведущего вала ВВ и прижимного
ролика ПР движется мимо головок К.ГВ и ГВ.
Во время записи на отдельную магнитную дорожку записы-
вается стабильный контрольный (часто синусоидальный) сиг-
нал. Если при воспроизведении по каким-либо причинам проис-
ходит искажение временнбго масштаба, то контрольный сигнал
оказывается гор смодулированным по фазе (частоте) в строгом
соответствии с этими .искажениями и .поэтому содержит полную
информацию о них.
Контрольный сигнал воспроизводится контрольной головкой
воспроизведения КГВ, и .после усиления в блоке УСХ поступает
«а фазовый детектор ФД. На второй вход фазового детектора
подаётся высокостабильный эталонный сигнал от кварцевого
или камертонного генератора ЭГ. В результате на выходе фазо-
вого детектора образуется сигнал ошибки, аргументом которого
является разность фаз эталонного и контрольного сигналов.
Сигнал ошибки через промежуточные устройства ПУ управ-
ляет скоростью вращения ведущего двигателя ДВ и, следова-
тельно, скоростью ленТОпротяжки.
21
I’) <'(><'!iihi111и синхронизма 'система ФАПЧ обеспечивает точ-
ное районеiво частот воспроизводимого контрольного сигнала
•и эталонного -генератора. Поэтому, если частота эталонного ге-
нератора в точности равна частоте вспомогательного генера-
тора, использованного при записи контрольного сигнала, то ис-
кажения временного масштаба в среднем отсутствуют. Однако
быстрые искажения временного масштаба невозможно устра-
нить регулировкой числа оборотов ведущего двигателя в силу
его большой инерционности.
Для их уменьшения служит дополнительный канал регули-
рования, состоящий из усилителя УС2 и электромеханического
преобразователя ЭМП, изменяющего положение головки вос-
произведения основного сигнала относительно носителя
[ПО]. Этот канал не входит в цепь обратной связи и служит
лишь для компенсации паразитной фазовой модуляции воспро-
изводимого сигнала. Компенсация достигается только при опре-
делённом усилении в канале и определённой фазе сигнала
ошибки, воздействующего на положение головки. Так, напри-
мер, при увеличении скорости движения ленты головка должна
смещаться вправо, что снижает скорость движения носителя от-
носительно щели. Вследствие инерционности этого канала
удаётся устранять быстрые отклонения скорости лишь до час-
тот порядка 70—100 гц.
Полоса захвата такой системы должна превышать отклоне-
ния частоты контрольного сигнала от частоты генератора ЭГ
при разомкнутой петле ФАПЧ.
Для увеличения полосы захвата и верхней границы частот
колебаний средней скорости носителякоторые можно скомпен-
сировать собственно системой ФАПЧ двигателя, последний дол-
жен иметь по возможности меньшую электромеханическую по-
стоянную времени.
В видеомагнитофонах система ФАПЧ используется не только
для стабилизации скорости носителя, но также и для стабилиза-
ции скорости вращения видеоголовок [108].
В качестве ведущего двигателя можно использовать как син-
хронные, так и асинхронные электродвигатели, а также двига-
тели постоянного тока.
Промежуточные устройства обычно состоят из управляемого
по частоте генератора и мощного усилителя, обеспечивающего
напряжение /питания двигателя. Если двигатель асинхронный,
то управлять скоростью его вращения можно не только изме-
нением частоты питающего напряжения, но и регулированием
торможения.
Наиболее просто регулируется -скорость вращения двигате-
лей постоянного тока (путём изменения величины тока в об-
мотке статора либо напряжения на зажимах якоря).
22
Для расширения полосы захвата и повышения устойчивости
лстемы ФАПЧ желательно, чтобы промежуточные устройства
ныли безынерционными.
Схема ФАПЧ с повышенной фазовой стабильностью
При синхронном приёме двухполюсных или двухканальных
сигналов, при приёме ФМ и ЧМ сигналов с «восстановлением не-
сущей, IB телеметрии, в системе синхронного 'вещания, (в систе-
мах сжатия и вос-
становления спектра
речевых сигналов
требуется восстанав-
ливать синусоидаль-
ный эталонный сиг-
нал не только без
ошибок по частоте,
но и с малой ошиб-
кой по фазе.
Эталонный сиг-
нал обычно оказыва-
Рис. 1.5. Блок-схема системы ФАПЧ с повы-
шенной фазовой точностью
ется искажённым по-
мехами и модулированным полезным сообщением. Иногда встре-
чаются случаи, когда частота эталонного сигнала по каким-либо
причинам непрерывно изменяется в пределах заданного диа-
пазона.
Всё это значительно затрудняет создание системы восста-
новления несущей с высокой фазовой точностью при использо-
вании типовой системы ФАПЧ. В этом случае (целесообразно
применять системы ФАПЧ с интегрирующим двигателем.
На рис. 1.5 приведена развёрнутая блок-схема системы
ФАПЧ с малой фазовой ошибкой. Эта схема, кроме обычных
элементов типовой системы ФАПЧ, содержит дополнительные
буферные усилители БУХ и ГУ2, усилитель постоянного тока
УПТ, генератор питания двигателя переменного тока ГД, двух-
фазный двигатель Д, (фазовращатель ФВ и балансный моду-
лятор БМ.
Буферный усилитель БУ2 препятствует прямому прохожде-
нию побочных .колебаний со входа через фазовый детектор на
подстраиваемый генератор (так как достичь «идеальной балан-
сировки фазового детектора не удаётся, а эталонный сигнал
модулирован и к тому же искажён помехами). Наличие его в
схеме приводит к появлению дополнительных фазовых сдвигов,
зависящих от частоты эталонного сигнала, которые компенси-
руются дополнительным корректирующим усилителем БУ},
идентичным БУ2. Кроме того, применение этих усилителей по-
зволяет повысить амплитуды напряжений на фазовом детек-
23
inpr, mid iHMvr'i.’H i rio балансировку (меньше сказывается не-
iiiiiuiHiocii. харамерпстик ,диодов), и увеличить полосу удер-
жа н-и я
(жома содержит две ветви подстройки — электронную
(ФНЧ, УЭ1) и электромеханическую. Электронная ветвь со-
ответствует типовой схеме ФАПЧ.
Основным элементом электромеханической ветви подстройки
является двухфазный мало-инерционный двигатель переменного
така Д.
Изменение скорости и направления вращения двигателя осу-
ществляется регулированием амплитуды и фазы напряжения
на одной из статорных обмоток при неизменной амплитуде и
фазе на другой обмотке.
Для создания напряжения с переменной амплитудой и с фа-
зой, меняющейся на 180° при прохождении амплитуды через 0,
служит балансный модулятор БМ, на один вход которого по-
ступает -переменное -напряжение от генератора ГД через фазо-
вращатель ФВ, а на другой — управляющее постоянное напря-
жение с выхода фазового детектора через усилитель постоян-
ного тока УПТ. Балансный модулятор работает таким образом,
что амплитуда напряжения на обмотке управления двигателя
является обычно линейной функцией модуля постоянного на-
пряжения на выходе фазового детектора, а фаза управляющего
напряжения определяется знаком выходного напряжения фазо-
вого детектора. Фазовращатель ФВ создаёт постоянный фазо-
вый сдвиг между напряжениями на статорных обмотках, рав-
ный 90° и необходимый для получения в двухфазном двигателе
вращающегося магнитного поля. Вал двигателя связан через
замедляющий редуктор с конденсатором контура подстраивае-
мого генератора (УЭ2).
Нестабильность среднего значения разности фаз напряжений
ЭГ и ПГ в приведённой схеме определяется максимально воз-
можной расстройкой подстраиваемого генератора относительно
эталонного, разностью фазовых сдвигов, вносимых усилителя-
ми БУ\ и БУ2, нестабильностью нулей фазового детектора, уси-
лителя постоянного тока и балансного модулятора, моментом
сил сухого трения двигателя (напряжением трогания) и поло-
сой удержания системы.
Нестабильность нуля фазового детектора возникает, напри-
мер, при изменении его рабочей частоты (частоты эталонного
сигнала). Она определяется неравномерностью амплитудпо- и
фазо-частотных характеристик трансформаторов, входящих в
состав фазового детектора, температурной и временной неста-
бильностью характеристик выпрямления вентилей и линеари-
зующих сопротивлений.
Для повышения стабильности среднего значения указа иной
разности фаз необходимо увеличивать собственную ста бил ь-
24
ность частоты падстраинаемого генератора, усиление ® блоке4
У ПТ и максимальную -расстройку, которую способна обеспечить*
электромеханическая ветвь, а также снизить фазовые сдвиги,
вносимые усилителями БУ] и БУ2, и сделать их строго одина-
ковыми.
Следует отметить, что для повышения устойчивости работы
подобной схемы очень важно, чтобы ось двигателя имела жёст-
кую механическую связь с осью ротора конденсатора. Это озна-
чает, что редуктор должен иметь минимально возможный люфт
и не должен иметь пружинящих -элементов (пассии, тонкие
длинные валы, пружин-
ные соединения), В про-
тивном случае порядок
дифференциального урав-
нения системы повышает-
ся (увеличивается запаз-
дывание), и система мо-
жет стать неустойчивой.
В тех случаях, когда
требуется быстродействие,
а также при значительных
колебаниях частоты эта-
лонного сигнала можно
использовать комбиниро- Рис. 1.6. Блок-схема комбинированной си-
ванную систему подстрой-	стемы ЧАП—ФАПЧ
ки, блок-схема которой
представлена на рис. 1.6. В неё входят система типовой фазовой
автоподстройки и система обычной частотной автоподстройки,
состоящей из частотного дискриминатора нулевых биений ЧД
[61], фильтра ФНЧ}, управляющего элемента УЭ} и подстраивае-
мого генератора П1\.
При изменении частоты эталонного сигнала на входе УЭ]
системы ЧАП появляется управляющее постоянное напряжение,
пропорциональное по величине и одноимённое по знаку откло-
нению частоты эталонного сигнала от частоты вспомогательного
подстраиваемого генератора ПГ]. Если генераторы ПД и ПГ2
Идентичны, то полученное напряжение содержит информацию
-и о расстройке генератора ПГ2 относительно эталонного сиг-
нала. Поэтому последнее можно использовать для компенса-
ции начальной расстройки генератора ПГ2. Если к тому же
характеристики элементов УЭ] и УЭ2 линейны и имеют одина-
ковую крутизну, то для компенсации достаточно сложить на-
пряжение, полученное на выходе фильтра ФНЧ^ с напряже-
нием на ‘выходе фильтра ФНЧ2. Таким образом, система ЧАП
уменьшает начальную расстройку в системе ФАПЧ, облегчая
тем самым выполнение системы ФАПЧ с малюй фазовой
ошибкой.
25
Поскольку абсолютной идентичности характеристик элемен-
юв Ш\ и ///'о, и УЭ2 получить не удаётся», компенсация
оказывается .неполной, но тем не менее схема позволяет зна-
чительно (ib несколько раз) снизить начальную расстройку си-
стемы ФАПЧ.
Применение систем импульсно-фазовой автоподстройки
частоты в синтезаторах дискретных частот
Синтезаторами частот называются возбудители, работающие
от одного стабильного эталонного генератора и обеспечиваю-
щие большое число рабочих частот, когерентных с частотой эта-
лонного сигнала. Их выходное напряжение образуется из на-
пряжения с частотой эталонного сигнала в результате сложного
дробно-кратно го преобразования (синтеза) его частоты.
Основными элементами синтезаторов частот являются де-
лители и умножители частоты, преобразователи частоты и
фильтры.
В качестве делителя или умножителя частоты используется
система импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ),
представляющая собой разновидность обычной системы ФАПЧ.
В отличие от обычной системы ФАПЧ, на фазовый детектор
в этом случае подаётся напряжение в виде коротких импульсов.
Поскольку в промежутке между двумя соседними импуль-
сами система разомкнута, на выход фазового детектора допол-
нительно включается запоминающее устройство.
Применение системы ИФАПЧ позволяет простыми средст-
вами осуществить умножение или деление частоты высокой
кратности и обеспечить высокую степень фильтрации побочных
колебаний.
Существенным преимуществом систем ИФАПЧ является то,
что с их помощью можно создавать преобразователи частоты
•с переменной кратностью, у которых для изменения коэффици-
ента преобразования достаточно изменить настройку всего
лишь одного контура — контура подстраиваемого генератора.
В зависимости от требований, предъявляемых к тому или
иному синтезатору, его схема и конкретные значения рабочих
частот могут быть самыми различными.
В качестве примера на рис. 1.7 приведена блок-схема синте-
затора частот, который обеспечивает 1000 рабочих частот с ин-
тервалом в 1 кгц в диапазоне 4ч-5 Мгц. Он управляется сигна-
лом единственного эталонного генератора ЭГ с кварцевой ста-
билизацией, работающего на частоте 100 кгц.
Схема работает следующим образом.
Напряжение с частотой 100 кгц от эталонного генератора
поступает на импульсно-фазовый умножитель частоты Упо-ыо
с переменной кратностью умножения N = 1104-120 (при такой
26
кратности можно реализовать умножитель с уровнем побочных
колебаний не выше — 70 дб). В результате на выходе^ об разует-
ся сигнал с частотами от 11 до 12 Мгц. Далее, из полученного
сигнала при помощи цепочки делителей Д2 и Д5 (в 2 и 5 раз)
формируется сигнал с частотой, -в 100 раз меньшей, и интерва-
лом 1 кгц. Применение дробно-кратного преобразования в ре-
зультате умножения с последующим делением позволяет сфор-
мировать сигнал в диапазоне 110ч-120 кгц с интервалом в
Рис. 1.7. Блок-схема синтезатора частот
1 кгц при отсутствии в схеме напряжений с частотой 1 кгц или
её гармоник. Это очень важно, поскольку основным требова-
нием к синтезатору является требование малого уровня побоч-
ных колебаний.
В схеме применяется не один каскад деления, а цепочка де-
лителей, так как частота делимого сигнала изменяется в значи-
тельных пределах (±5%). При таком изменении делимой ча-
стоты создание одно^каскадного делителя с кратностью деления
100 невозможно, так как не выполняется условие постоянства
кратности деления.
Полученная сетка из 10 частот с интервалом в 1 кгц перено-
сится далее в диапазон 11104-1120 кгц при помощи умножителя
Ую (в 10 раз), смесителя СМ2 и фильтра Ф2.
Сетка частот с интервалом в 10 кгц формируется следую-
щим образом.
Напряжение эталонного 'генератора подаётся на делитель
частоты Д10 (в 10 раз) и далее на умножитель с переменной
кратностью У59-68, на выходе которото образуется сигнал в диа-
пазоне 5904-680 кгц с интервал01м 10 кгц. При помощи умножи-
теля У4, смесителя и фильтра Ф\ этот сигнал транспони-
руется в диапазон 9904-1080 кгц.
27
сигналы с 'выходов фильтров Ф\ и Ф2 перемножаются в сме-
си геле СЛ43, 'И фильтром Фз выделяется верхняя боковая полоса
частот 2,1—2,2 Мгц с интервалом 1 кгц.
Далее, при помощи умножителя переменной кратности
^19-28 формируется сигнал с частотой, дискретно меняющейся
через 100 кгц, в диапазоне 1,9-т-2,8 Мгц. (После перемножения
этого сигнала с выходным сигналом фильтра Фз в смесителе
СМ4 фильтром Фа выделяется верхняя боковая полоса частот
(4—5 Мгц) с интервалом 1 кгц.
§ 1.4. ФАЗОВЫЕ ДЕТЕКТОРЫ
В реальных системах ФАПЧ, кроме указанных в § 1.1 эле-
ментов, в качестве промежуточных устройств часто применяют-
ся буферные усилители, усилители постоянного тока, смесители,
дискриминаторы и т. п.
Теория и порядок расчёта этих элементов достаточно полно
изложены в литературе [61—65], поэтому рассмотрим только
такие специфические устройства системы, как фазовые детекто-
ры и управляющие элементы.
Как уже указывалось в § 1.1, фазовым детектором назы-
вается устройство, выходной сигнал которого определяется раз-
ностью фаз колебаний, подаваемых на его входы.
Мгновенное выходное напряжение фазового детектора на-
ходится из выражения (1.5).
Для правильного конструирования практических схем ФАПЧ
нужно знать форму характеристик фазового детектора, величи-
ны его входного и выходного сопротивлений, а также степень
подавления нежелательных сигналов на его выходе.
Фазовый детектор можно заменить устройством, осущест-
вляющим перемножение двух сигналов.
Пусть один из этих сигналов есть ^эшФ], а другой —
и^зхпФ^ причём и U2—амплитуды этих сигналов, а Ф\ и
Ф2 — их мгновенные фазы.
Выходное напряжение перемножителя
f/вых = -^-2 COS (Ф2-Фх)+ ^005(0^0!).	(1.12)
Поскольку напряжение на выходе фазового детектора дол-
жно определяться разностью фаз подводимых напряжений, то
второе слагаемое в выражении (1.12) обычно подавляется при
помощи фильтров и
“Фд == ф^Ас°5ф,	(1-13)
где <р = Ф2—Ф1 — мгновенная разность фаз.
28
Из выражения (1.13) следует, что ^ФДмакс= ~ U\U2f а
F (ср) = cos ср.
Таким образом, фазовый детектор, основным элементом ко-
торого является перемножитель, имеет косинусоидальную нор-
мированную характеристику. Отличительной особенностью его
является минимум паразитных сигналов на выходе.
Как известно, эффект перемножения можно получить в ли-
нейных и в нелинейных цепях. Преимуществом линейных пара-
Мвтриче:ских лелей, является то, что они работают как^йдеаль-
ные Тперемножители. В силу этого при использовании их в си-
стемах ФАПЧ можно достичь минимума паразитной фазовой
модуляции подстраиваемого генератора.
Примером таких линейных устройств служат перемножите-
ли, |в которых используется эффект Холла [66]. Однако фазовые
детекторы в виде перемножителей, основанных на эффекте Хол-
ла, пока не нашли применения вследствие низкой граничной ча-
стоты, значительной потребляемой мощности и низкого коэф-
фициента полезного действия.
В низкочастотных механических системах линейный пере-
множитель можно осуществить в виде переменного сопротивле-
ния, изменяющегося в такт с напряжением одного из генерато-
ров.
В практических схемах ФАПЧ широко применяются фазо-
вые детекторы, использующие нелинейные элементы. Простей-
шим фазовым детектором такого типа является нелинейное со-
противление, вольтамперную характеристику которого в общем
«виде можно представить следующим рядом:
* = Яо +	+ ci3u3 + . . . ,	(1.14)
где aQ, а2... — постоянные коэффициенты.
Такой характеристикой обладают как полупроводниковые,
так и вакуумные приборы.
Если напряжение, подаваемое на такой элемент, представ-
ляет собой сумму двух напряжений и если коэффициенты а2,
а4, аб... при чётных степенях аргумента не равны нулю [67], ток
через это сопротивление содержит слагаемые, пропорциональ-
ные произведению поданных сигналов. Следовательно, чем
'больше членов составляют ряд (1.14), тем больше нежелатель-
ных комбинационных компонент включает выходной сигнал.
Таким образом, почти любой нелинейный смеситель может
служить фазовым детектором. В [67] показано, что при исполь-
зовании нелинейного элемента с характеристикой типа (1.14)
можно значительно уменьшить побочные паразитные колеба-
ния, применяя балансные и кольцевые схемы. Рассмотрим бо-
лее подробно свойства таких схем.
29
15 »а.п iH'iiuieM предполагается, что частоты обоих генерато-
ров равны Вели они не равны, но 1разность их много меньше
членим любого генератора, то можно считать их фазовые соот-
ношения пеиз'менны1М1И за период <вч колебаний, что значительно
облегчает анализ.
На рис. 1.8 представлена одна из возможных схем баланс-
ного фазовогр детектора.
Как уже указывалось, высокочастотные составляющие вы-
ходного напряжения подавляются при помощи фильтров. В ка-
честве такого фильтра в простейшем случае используются кон-
Рис. 1.8. Схема балансного фазового
детектора
Кроме того, для упрощения
что напряжения, подаваемые на диоды,
В таком случае вольтамперная характе-
ристика диодов (рис. 1.9) удовлетвори-
тельно аппроксимируется прямой линией,
отсекающей на оси напряжений некото-
рый отрезок Uq.
Аналитически такая характеристика
имеет вид:
денсаторы, шунтирующие на-
грузку и не оказывающие за-
метного влияния на полезный
сигнал, так как обычно часто-
ты побочных колебаний во
много раз превышают частот-
ный диапазон полезных состав-
ляющих выходного напряже-
ния.
Допустим, что эти конден-
саторы полностью устраняют
высокочастотные слагаемые, в
результате чего напряжение на
них за период высокой частоты
можно считать постоянным.
анализа схем ы пр ед п о ло ж и м,
i = 0, и <Z Uq
1 / ч
V = — (и — uQ), и
(1-15)
достаточн о велики.
Рис. 1.9. Вольтам-
перная характеристи-
ка диода
где Ri — внутреннее сопротивление диода.
Будем считать, что внутреннее сопро-
тивление генераторов приложенных на-
пряжений равно нулю и трансформаторы
фазового детектора Трх и Тр2 идеальные.
Как обычно, для балансного детектора
— $112', Сн1 — СН2-
Схеме фазового детектора pi«c. 1.8 соответствует эквива-
лентная cxeiMia рис. 1.10. Здесь Uc — напряжение сигнала -на вто-
30
ричной обмотке трансформ.атора Tpi; 17к— напряжение комму-
тирующего сигнала.
Последовательно с (Идеальными диодами включены источни-
ки запирающего напряжения и0, равного напряжению отсечки
реальных диодов.
Поскольку частоты обоих генераторов предполагаются рав-
ными, действие этих генераторов равносильно включению в
каждый контур с диодом одно-
го генератора синусоидальных	uQ
колебаний.	I	’ I с
Если в контуре с диодом .Ay L) W ==“
Дх действует напряжение с ам- *	Т
плитудой	.дгг	Г7Г7_г.
£41= |4-Uc+UK|.	(1-16)
то в контуре с диодом Дъ ам-
плитуда эквивалентного напря-
жения
^2 = |4-ие - Ск]  (МП
Рис. 1.10. Эквивалентная схема ба-
лансного фазового детектора
Здесь (/Э1 и иэ2 — амплитуды напряжений (в цепях диодов
Д\ и Д2 соответственно.
Для нахождения характеристики фазового детектора доста-
точно знать зависимость постоянной составляющей напряжения
на нагрузке от разности фаз напряжений Uc и 1Д. Постоянное
напряжение на выходе
^фд г/oi	и02>
(1.18}
где £701 и Uw — постоянные напряжения на сопротивлениях
/?н1 и /?н2 соответственно.
Величины С701 и ^02 определяются равенствами:
£41 — 41
t/ог = 4г -^н
(1.19}
где 41 и 4'2 — постоянные составляющие токов, протекающих
через первый и второй диоды соответственно.
Так как напряжение на нагрузке за период высокой частоты
почти постоянно, можно считать, что ток через диоды Дх и Д2
имеет вид косинусоидальных импульсов с углами отсечки ©i и
@2, определяемыми из равенств:
cose1 = Mo + t/°1 '
(1.20>
cos Н2
£/э2
31
Величины /oi и /02 определяются следующим образом [63]:
i\;
(1.21)
/02 =	То(02)
Ri
где уо(*Э) = — (sin0—©cos©) —коэффициент разложения косину-
ТС
юоидального «импульса, определяющий постоянную составляю-
щую последнего. Подставляя ф-лу (1Л 9) (в (1.18) и учитывая вы-
ражения (1.21), получаем
иФД --=	[^эПо(01)-<Мо(О	(1.22)
или	Ri
иФЛ=иЛКл1-иэ2К^	(1.23)
где Хд1 = — To(®i)> Хд2 = То (®2)— коэффициенты переда -
Ri	Ri
чи диодов Дх и Дъ. Поскольку для балансного фазового детекто-
ра О<0<—>ДЛЯ определения Кд] и Кд2 воспользуемся аппрок-
симацией уо(©) (17]:
To(0)^-L(l-cos6).	(1.24)
Учитывая ф-лы (1.20) и (1.24), перепишем выражения для
коэффициентов передачи диодов в следующем виде:
Рис. 1.11. Векторная диаграм-
ма напряжений в схеме ба-
лансного фазового детектора
is ______ Ru	/ 1 _____ Up \
Д1”/?н	+ 4ЯД	(U
1Z- _____ Rh	/ 1 ______ ^0 \
д2~~	Ru	+ 4Ri	\	</э2/
(1.25)
Подставляя ф-лы (1.25) в (1.23),
получаем выражение для напряже-
ния на выходе балансного детектора
“*« (1'26)
Напряжения U31 и (7э2 опреде-
ляем по векторной диаграмме
рис. 1.11. Согласно теореме о треть-
ей стороне треугольника' можно за-
писать:
ил = ]/tP + l-t/2 + t/Kt/cCOS Ф
иI 4 ие - C0S *Р
(1.27)
32
Подставив ф-лы (1.27) в (1.26), получим выражение, опре-
деляющее характеристику 'балансного фазового детектора:
МФД “	_У^к I” + ^К6/оСОЗф
(1.28)
-	-^с COS ф] .
Рис. 1.12. Нормированная характеристика ба-
лансного фазового детектора
Из этого выражения следует, что форма характеристики фа-
зового детектора зависит от соотношения амплитуд напряжений,
подаваемых на диоды.
На рис. 4.12 представлены нормированные характеристики
'балансного фазового детектора при двух крайних значениях от-
3—793	33
t7c тг
ношения — . При уменьшении величины — нормированная ха-
2£/к	2t/K
рактеристика приближается по форме к ^косинусоиде.
Действительно, если —< 1, выражение (1.28) можно преоб-
2(/к
разовать к следующему виду:
(1.29)
р
U.„ =	---5--cos Ф-
ФД С/?н + 47?г
При ~^->1 форма нормированной характеристики фазового
детектора приближается к треугольной (пунктирная линия).
Максимальное значение постоянного напряжения на выходе
фазового детектора определяется выражениями:
^ФДмакс
Ян + 4^
^ФДмакс
Ян
Rh + ^Ri
UK>UC
ик<ис
(1.30)
Из этих выражений следует, что (максимальное выходное на-
пряжение балансного фазового детектора определяется амплиту-
дой -меньшего из двух подаваемых на его входы напряжений.
Анализ ф-лы (1.28) показывает, что при подаче на фазовый
детектор сильно различающихся по амплитуде сигналов устра-
няется .влияние изменений амплитуды большего сигнала на вы-
ходное напряжение фазового детектора. Такой режим представ-
ляет интерес, если один из сигналов подвержен паразитной
амплитудной модуляции, которую необходимо устранить.
Наоборот, если на выходе фазового детектора необходимо
выделить сигнал полезной амплитудной модуляции, его следует
сделать много меньше коммутирующего напряжения.
При использовании системы ФАПЧ с балансным фазовым
детектором для фазовой демодуляции ФМ сигналов следует вы-
бирать режим работы, при котором Uc—'2Ui{. В этом случае ха-
рактеристика фазового детектора будет иметь (наибольший ли-
нейный участок.
Перейдём теперь к определению величины входного сопро-
тивления балансного фазового детектора для генераторов на-
пряжений сигнала и коммутации.
Входные сопротивления определяются как отношение ампли-
туды подводимого напряжения к амплитуде первой гармоники
тока, протекающего1 через генератор, т. е.
34
Определим сопротивление, нагружающее генератор сигнала.
И i рис. 1.10 видно, что ток, отдаваемый генератором сигнала, pa-
nt н разности токов, протекающих через диоды Д\ и Д2. Поэтому
=	(1.31)
(J1-Q
Здесь /1 и /2 — «исимплеканые амплитуды первых гармоник
токов в цепях с диодами Д\ и Д2.
Поскольку считается, что сопротивление конденсатора, шун-
тирующего нагрузку по первой гармонике, равно нулю, ток в
общей ветви совпадает по фазе с эквивалентным напряжением.
Величина его определяется из формул [62]:
1Л 1=^41(01)
Ri
1/2)=-^Тх(02)
Ri
(1-32)
Коэффициент у1 (0) можно записать следующим образом:
Т1 (©) = J- (20 — sin 20).	(1.33)
Воспользуемся вместо 'выражения (1.33) приближённой за-
висимостью
T1(0)«JL(l-cos0).	(1.34)
Выразим теперь cos© через величины и$, U9, Ri и Дн. Для
этого достаточно в ф-лы (1.20) подставить (1.25), учитывая, что
= Ад^эЬ ^02 = Ад2^э2*
COS 0Х =--------Н--------------
Ян + 47?г	t/3i№ + 47?z)j
(1.35)
cos 02 =---Н-------------------
7?„ + 47?z	{7э2№ + 4^)
Амплитуды токов Ц и /2 найдём, подставив ф-лы (1.35) в
(1.34) и воспользовавшись выражениями (1.32):
2 (Дат Щ})
R« + 4/?z
2 (ё^эа — Цр)
Rn + ^Ri
(1.36)
3*
35
Определим фазовые, сдвиги .между токами /ь /2 и напряже-
нием сигнала. Как уже указывалось, эти токи совпадают по фа-
зе с напряжениями L/3i и 0э2) поэтому, чтобы найти искомые
фазовые сдвиги, достаточно найти фазовые сдвиги между t/c -и
и С/э1 и (7э2.
Из векторной диаграммы рис. 1.11 следует, что эти углы оп-
ределяются равенствами:
У	— + cos ?
sin а = —— sin ф; cos а ==--------------
иэ1	иЭ1
и	•	(1-37)
и	-^--t/KCos-p
sin В = —— sin <p; cos р ---------------
r l/9s	иЭа	,
Подставляя ф-лы (1.36) в (1.31) и учитывая выражения
(1.37), получаем
7
^ВХ с
2t/c (^h + W
2
L/c	Uc
— + UK cos	— — Uk COS <р
((?Э1---и0)	—	4" (^Э2--- ио) "Г?
МЭ1	Оэ2
(1.38)
4- i t/K sin <р
Из этого выражения следует, что входное сопротивление ба-
лансного фазового детектора — величина комплексная и зави-
сит не только от его сопротивления нагрузки по постоянному
току а также и от соотношения амплитуд и фаз подводимых
напряжений.
Следует учитывать, что при непосредственной подаче напря-
жения с контура подстраиваемого автогенератора на фазовый
детектор входное сопротивление последнего может влиять на
его частоту и амплитуду.
Если Uo < иэ1 и и0<^иэ2, то с учётом ф-л (1.Й7) можно за-
писать
2вхс = Ян + 4/?;,	(1.39)
т. е. входное сопротивление — активно и постоянно.
(Перейдём теперь к определению сопротивления, нагружаю-
щего источник коммутирующего напряжения. Поскольку ток
36
кого генератора равен 'Сумме токов = + сопротив-
ление
-Найдём фазовые углы между С7К и токами Л и 1%, фазы ко-
торых совпадают -с фазами напряжений 0Э1 и 1/э2 соответст-
венно.
Будем считать, что ось отсчёта совпадает с направлением
(7К. В соответствии с векторной диаграммой рис. 1.11 имеем:
. . Z7C	. 2UK 4* Uсcos ?
sin ф	= —£_ Sin	ф;	cos	Ф	=	———5------
Т 2(/э1	т	т	Uai
. Uc .	2(7К — Uc cos ср
sm р,	= —— sin	ф;	cos	р	=-------—2---
Г 2U32	Т	Г	иЭ2
Подставляя ф-лы (1.36) в (1.40) и учитывая выражения
(1.41), получаем
7	_
ВХ К -
__________________________^к(/?н + 4^)______________________
0 Г/г 7	. 2(/к + t/c cos ср	— Uc cos ср
2 (Usi — Uq) --	+ (^э2 — ^o) т.
Оэ1	Гэ2
— i Uc sin cp
L/gl -Uq U32---------Щ
_ u31 ~ иЭ2
(1-42)
Следовательно, и для генератора коммутирующего напряже-
ния в общем случае фазовый балансный детектор представляет
собой комплексную нагрузку.
При	и
4хк=
(1.43)
Определим выходное сопротивление балансного детектора.
В балансной схеме, по существу, применяются обычные ам-
плитудные детекторы. Для того чтобы выходное напряжение
этих детекторов повторяло собой .закон изменения амплитуды
подводимого напряжения, необходимо, чтобы они были «без-
ынерционными». В случае синусоидальной огибающей (t/K>t/c)
нелинейные искажения отсутствуют {68], если выполняется ус-
ловие
27?НСНЙ<—------------
ма
(1.44)
37
UK
ц
Рис. 1.13. Эквивалентная
схема для определения час-
тотных свойств балансного
фазового детектора
где Q — частота биений (т. е. скорость 'изменения разности
фаз); та =	• При исследовании системы ФАПЧ с балансным
фазовым детектором необходимо
учитывать вносимые им частотные и
фазовые искажения.
Инерционные свойства баланс-
ного фазового детектора можно оха-
рактеризовать (см. эквивалентную
схему рис. 1.13) однозвенным RC
фильтром нижних частот с постоян-
ной времени
(1-45)
О	П	^Н^ВЫХ бд	П
Здесь R3 =------------—; дВых бд — выходное сопротивление
%	вых бд
балансного фазового детектора.
Балансный фазовый детектор представляет собой последо-
вательное соединение двух отдельных однополупериодных вы-
прямителей, работающих на общую нагрузку. Так как выходное
сопротивление каждого выпрямителя при ио = О ЯВЫХ = 4Л?1 [17],
выходное сопротивление балансного фазового детектора
^ВЫХ бд ~ ^Rj,*
(1.46)
Подставив это значение в (1.45\, получим
Т^бд
4С
Л,+ 87?/
(1-47)
Так как обычно Сн выбирается из условий заданной фильт-
рации несущих частот и гармоник, при значительном превышении
частот сигнала и коммутирующего напряжения над частотой
биений, определяющих захват, величина Тбд получается на-
столько малой, что ею можно пренебречь.
При анализе балансной схемы предполагалось, что внутрен-
ние сопротивления источников сигнала и коммутирующего на-
пряжения равны нулю. Если же они активны и не равны нулю,
то учесть их влияние на работу анализируемой схемы можно,
представив их как слагаемые величины Ri диодов.
Из приведённого анализа вытекает, что даже при идеальной
симметрии схемы входные сопротивления для источников сигнала
и коммутирующего напряжения могут быть комплексными ве-
личинами.
38
Рассмотрим работу кольцевой схемы фазового детектора,
)ипцичгиалын1ая и эквивалентная схемы которого приведены на
l5 = L, - L?
”1
рис. 1.14 и 1.15.
Допустим, что диоды в
этих схемах такие же, как в
схеме балансного фазового
детектора. Постоянное на-
пряжение на выходе кольце-
вой схемы фазового детекто-
ра (рис. 1.15)
^фд ~^н(Лц ^02“ЬЛ>з A)<)>
(1.48)
Рис. 1.14. Схема кольцевого Рис. 1.15. Эквивалентная схема кольцевого
фазового детектора	фазового детектора
оде /01, I02, /оз, /04 — постоянные соста1вляющие токов в цепях
диодов Д1—Д4 соответственно. Величины этих токов определяют-
ся следующим образом:
То (01) /О2=^-То(02)
Ki	Ki t . J
/03=^70(63) М	ТО (04)
Kt	Kt
Здесь U31 4- U3i — эквивалентные напряжения на диадах
Д1—Да, определяемые 'векторными суммами согласно диаграм-
ме, приведённой на рис. 1.16:
Вэ1 = 4-<и«+и<=)==-иэЗ
иэ2=-^-(ик—и0) = —иэ4
(1.50)
39
Модули этих напряжений определяются равенствами:
илvu*+и-+2и^cos Ф
= U3i = -у У и2к + U2C - 2UKUC cos ф
(1-51)
Углы отсечки токов
вен-ств:
ii—и можно найти из следующих ра-
и0 — ИфП
COS @1 = COS @3 = ----77--—
С/э1
ГЛ Uo — ИфД
COS @2 = COS ©4 = ----ту--—
(1.52)
Подставляя выражения (1.49) в (1.48) и учитывая
ф-лы (1.51) и (1.52), получаем
ифД = [иэ1 то (@i) -1/32 То (@2)].
(1.53)
Рис. 1.16. Векторная
диаграмма напряже-
ний в схеме кольце-
вого детектора
Поскольку в кольцевой схеме фазово-
го детектора напряжение на нагрузке для
одной пары диодов является запираю-
щим, а для другой пары (в отличие от ба-
лансной схемы) — отпирающим, углы от-
сечки @>90°. Поэтому при анализе такой
схемы нельзя пользоваться принятой ра-
нее простейшей аппроксимацией зависи-
мости уо( cos©) (1.24).
Воспользуемся более точной зависи-
мостью
То (0) = -L _ 0,5 cos 0 + cos2
л	2л;
(1.54)
Кроме того, сами ур-ния (1.52) спра-
ведливы только в том случае, если
©1<180° и ©2<180°. Если же это условие
не выполняется, то теряется смысл коэф-
фициента разложения уо(0). Физически
это означает, что одна пара диодов находится в отпертом состоя-
нии в течение всего периода высокой частоты и её можно заме-
нить эквивалентными линейными сопротивлениями, подключён-
40
ными параллельно Дн. При линейно-ломаной аппроксимации
вольтамперной характеристики диодов каждое из них равно R^
На рис. 1.17 представлена экви-
валентная схема для случая @2=
= 180° и uo = O, причём диоды Д2 и Д4
заменены их внутренними сопротив-
лениями, т. е., по существу, приме-
няется двухполупериодный выпря-
митель на диодах и Дз, работаю-
щий на нагрузку из параллельно
включённых сопротивлений Дн, Ri2 и
Ri4. Найдём величину выпрямлен-
ного напряжения. Для этого, вос-
пользовавшись выражением (1.54),
определим, прежде всего, коэффи-
циент передачи двухполупериодного
выпрямителя:
Рис. 1.17. Эквивалентная схе-
ма кольцевого фазового детек-
тора для случая @2= 180°
(°’5+
ЭТ — 2 \
(1.55>
Поскольку 7?н Др сопротивление нагрузки двухполупериод-
ного выпрямителя в этом случае	Ri и Х2д=0,22.
По известному коэффициенту передачи работающих диодов
(Д1 и Д3) при условии, что два других диода отперты в течение
всего периода, можно найти напряжение на выходе фазового
кольцевого детектора
«фД ^0,22[7э1	[@2 = 180°].
(1.56>
Наличие напряжения U32 в таком режиме приводит лишь к
неравномерному мгновенному распределению разрядного тока
через отпертые диоды Д2 и Д4. Этот режим сохраняется только
в том случае, если амплитуда напряжения U32 меньше, чем вы-
прямленное напряжение «ФП . Это условие можно запи-
^д02 = 18О°
сать в следующем виде:
0,22£7э1 >£7э2.
(1.57>
Поскольку U31 и С7эа равноценны, всё скаванное ранее спра-
ведливо и пр.и иэ2 > U31, поэтому выходное напряжение коль-
цевой схемы фазового детектора:
4i
и^ = 0,22£/э1
< = 0,22[7э2
0,22^э1<С/э2-
0,22£/э2<{/э1
[0,22t/31>t/32]
[0,22(/э2>(7э1]
.(1.58)
Преобразуем выражение (1.53), определяющее характеристи-
ку фазового детектора. Подставив в него ф-лу (1.54), с учётом
выражений (1.52) получим
(р. \
1 )
zAf[ /
ЫФД —
(л — 2) ((7Э1 — С/э2)
л <7Э1[/92(1 +
X	/
(Л-2)(£/Э1-С/Э2)
2 [С/э1^э2 — (Л — 2) и0] (U<n - С/э2)2 (Л - 2)
Г'	/	₽; \р
Ко(^э1-£Д2) (л-2) +С/э1^э2л 1 +
\ *АН /J
(1.59)
Пренебрегая в этом выражении и0 и /?г- и учитывая условия
справедливости этого выражения, указанные в (1.58), упростим
это выражение:
ЫФД~ /К1 +
2((/Э1 —£/Э2)2(л —2)
л26/э1(Уэа
Л Э2
(л — 2)(17э1 —1/Э2)
(1.60)
Подставляя эту формулу в (1.58) и учитывая (1.51), получаем
окончательное выражение для выходного напряжения кольцевой
схемы фазового детектора, представленной на рис. 1.14:
(TZ(O =
{ИФД
2(/ ^+^ + ^^003 ?--
^]/(U2k+^)2-4cos^U2k U}
^+l/c2-2t/Kt7cCos<p )8(Л-2)
я У ( ик + У2 — 4LK cos2 ?
2 (л - 2) (У t/2 4-С/2 + 2C7kVc cos у - У Ч" t/2 - 2t/Ki/c cos <р
42
,	0,455 (1 4-/п?)
| COS <P I <-----i-------
ma
Ы<ФД = °>11 V	COS Ф
COS<P>
(1.61a)
0,455 (1+mf) '
ma J
(1.616)
= - °-11 Vul + uc - 2U*U< cos q>
cos cp
0,455(1 +m*)
ma
(1.61b)
Из ф-л (1.61) следует, что при —^0,64 характеристика
t/K
фазового детектора определяется одним выражением (1.61а).
В случае та<0,64 максимальное напряжение на выходе
кольцевого фазового детектора
л (1
(л— 2) 4ml
8т2а(л — 2)
лг(1-/”а)
„к. “
(1-62)
Если же та>0,64, то максимальное 'напряжение на выходе
фазового детектора
U& = о, 11 —(1 фта), (1.63)
ФД макс ’	«7 v	а/ v 7
Из этих выражений следует, что при
изменении величины та от нуля до 1 мак-
симальное напряжение на выходе коль-
цевого фазового детектора (рис. 1.14) ме-
няется от 0,22t/c до 0,319UC. Из сопостав-
ления этого результата с выражения-
ми (1.30) при	вытекает, что коль-
цевой фазовый детектор рассматриваемо-
го типа -имеет меньшее выходное напря-
жение.
При та<0,3 выражение (1.61а) упро-
щается:
«ФД =	(К1 +	+ MCOST -
1 + m'l — 2macoscp^, (1.64)
Рис. 1.18. Норми-
рованная характе-
ристика кольцево-
го фазового детек-
тора
т. е. нормированная характеристика кольцевой схемы фазового
детектора приближается к нормированной характеристике ба-
лансной схемы.
43
На рис. 1.18 представлены нормированные характеристики
кольцевого фазового детектора, построенные по выражению
(1.61). Рисунок показывает, что с увеличением та происхо-
дит уменьшение крутизны кривых в области, прилегающей к
экстремумам. Для значительного диапазона значений та кри-
вые близки по форме к косинусоиде. Даже при та=1 макси-
мальное расхождение ординат не превышает 8%.
Определим входные сопротивления кольцевого фазового де-
тектора.
Сопротивление, нагружающее генератор сигнала (рис. 1.15),
равно
Zc =-----г = ----------.	(1.65)
(/7 — Л)	— 1з +
Величины токов определяются равенствами:
Г _ ^3171 (®1) .	г __ С/э271(02)
1 -	Ri	’	'2 - Ri
' _ ^зТ1(0з) .	> _ с/э4Т1(е4)
3	Ri	’	4	Rt
(1.66)
Подставив эти выражения в (1.65) с учётом ф-л (1.50) и
(1.52), получим
4кс = ----------: •	(1-67)
[Уэ111 (01)- иЭ2 71 (62) J
Примем, как и ранее, направление вектора Uc (рис. 1.16) за
начальное, тогда выражение (1.67) можно записать следующим
образом:
У ____ ____________________________Uc Ri____________________________
вх с~~ £/э171(01) cos а + £7Э2Т1 (02) cos ₽ + i [^э1 71 (0i) sin а ~ иЭ2 71 (02)sin И *
(1.68)
В соответствии с векторной диаграммой рис. 1.16 имеем:
UK
sm а = —— sin ф;
2£/э1
. о	ик .
sin0 = —— бшф;
r	2L/32
COS а
Uc UK
~T + TC0S?
f/э!
о 1 /Uc—t/KCOScp\
cos 0 = — —-------------1
2 \	£7э2	/
(1.69)
Подставляя эти формулы в (1.68) и учитывая (1.34), находим
2	_ ___________________________4CZcZ?z______________________
вх с 2&с — Uc (cos 01 + cos 02) — UK cos (cos 0Х — cos 02)----►
->— i UK sin т (cos 01 — cos 02) .	(1.70)
Из последнего выражения следует, что сопротивление, на-
гружающее генератор сигналов, в общем случае является ком-
44
плексным, причем его действительная и мнимая части представ-
ляют собой сложные функции приложенных напряжений, сдвига
фаз между ними, внутренних сопротивлений диодов и сопротив-
ления нагрузки.
Величину этого сопротивления можно вычислить при «о = О,
предварительно определив cos©! и cos02 по ф-лам (1.52) и
(1.61). Однако эти вычисления чрезвычайно 'громоздки.
Сопротивление ZBXC (можно определить гораздо проще, если
ma< 1. При этом, как следует из ф-л (1.52), cos0i«cos02,
COS®i~>0, COS012—*O.
Учитывая это, преобразуем выражение (1.70) к виду
4Хс = 22?г.	(1.71)
Определим теперь сопротивление, нагружающее генератор
коммутирующего напряжения (сопротивление между точками
3—4 рис. 1.14).
Как и ранее, это сопротивление равно отношению напряже-
ния, действующего на вторичной обмотке трансформатора Тр2
(рис. 1.14), к току, приведённому к этой обмотке:
ZBXK = -:----—-------•	(1-72)
Воспользовавшись равенствами (1.66) с учётом (1.50), по-
следнее выражение можно переписать следующим образом:
2ВХК = --------.	(1.73)
^1 71 (®1) +	72 (®з)
В данном случае за начальное направление (рис. 1.16) удоб-
но принять направление вектора £/к. ’Представим ф-лу (1.73) в
следующем виде:
2	___________________________________________________________
ВХ К £4171(01) COS ф + (/э2 71 (02) cos — i [Оэ1 7i (0Х) sin ф — £/Э2 71 (02) sin pj.
(1-74)
В соответствии с векторной диаграммой рис. 1.16 имеем:
• ।	£4	,	Uк + Uc cos ср
sm ф = —— sin ф; cos ф = ——-----------—
.	(1.75)
. Uc .	U« — Uc cos <[>
sin р = —— sin ф;	cos u, = ———=-----—
Подставив ф-лы (1.75) в (1.74), получим
2	= _________________________________________________________
вх к 2£/к—£/K(cos 01+cos 02)—t/ccos <p(cos 0j—cos 02)-|-i(/c(cos0i—cos вг)5*п <p•
(1-76)
45
Величину ZBXK по ф-ле (1.76) в общем случае следует вычис-
лить аналогично ZBXC-
При та<1
^ВХ К ^Rf*
(1.77)
Из сравнения ф-лы (1.77) с (1.71) вытекает, что при та<1
сопротивления, нагружающие генераторы сигнала и коммути-
рующего напряжения, равны.
Особенностью кольцевой схемы фазового детектора является
слабая зависимость (при та<1) его входных сопротивлений от
величины 7?н- Так, при 7?н Ri входное сопротивление опреде-
ляется только величиной Ль тогда как в балансной схеме вход-
ное сопротивление при тех же условиях определяется величи-
ной 7?н.
Для расчёта частотной характеристики кольцевого фазового
детектора рассматриваемого типа найдём его выходное сопро-
тивление. Поскольку в данной схеме постоянные времени заряда
и разряда нагрузочного конденсатора равны, нелинейные иска-
жения, обусловленные инерционностью фазового детектора, от-
сутствуют.
Выходное сопротивление определяется отношением модуля
приращения выходного напряжения к приращению постоянной
составляющей тока, отдаваемого детектором в нагрузку:
_ I </Цфд 1
^ВЫХ I dIQ н I ’
отношения производных
(1.78)
г иФД
где /Он==	- •
Возьмём модуль
в результате получим
р —	1 .____1	/7
ЯН ФД
^ФД ^0 я
"ЖГ и “Ж" ’
(1.79)
Воспользовавшись зависимостью нфД =f(RH) (1.59) и счи-
тая «о=0, а та<0,64, последнее выражение представим в сле-
дующем виде:
(1.80)
46
где
2(л~2) (Цэ1 ЦЭ2у
^UaiU32
Из этого' выражения следует, что даже в том случае, если
характеристика фазового детектора описывается одним выра-
жением и Uo=0, выходное сопротивление кольцевого фвзового
детектора находится в сложной зависимости от соотношения на-
пряжений Uc и ию а также от сдвига фаз -между ними.
Если та<0,3, то |Лмакс|<1 и выражение (1.80) значительно
упрощается:
/?ВЫХ “	Я;>
'ЕЫХ	I
(1.81>
Физически это объясняется тем, что .в кольцевой схеме фа-
зового детектора (рис. 1.14) при та<С<0,3 в любой момент време-
ни открыты два параллельно включённых диода, соединяющие
генератор сигнала с нагрузкой.
Из сопоставления ф-л (1.81) и (1.46) вытекает, что выходное
сопротивление кольцевого фазового детектора (рис. 1.14) в
16 раз ниже, чем у балансного (рис. 1.8).
Постоянная времени кольцевого фазового детектора
(рис. 1.14)
Кроме рассмотренной схемы,
кольцевой фазовый детектор можно
выполнить и по схеме, показанной
на рис. 1.19, отличительной особен-
ностью которой является симмет-
ричность нагрузки [61].
Анализ этой схемы показывает,
что максимальное выходное напря-
жение её в два раза выше, чем в
схеме, изображённой на рис. 1.14.
Однако входное сопротивление этой
схемы со стороны генератора ком-
мутирующего напряжения в 4 раза
Ниже, чем в рассмотренной нами
'схеме, а выходное сопротивление в
Рис. 1.19. Второй вариант
схемы кольцевого фазового
детектора
4 раза выше.
На рис. 1.20 представлена одна из возможных принципиаль-
ных схем кольцевого фазового детектора, широко используемая
на практике. Она отличается от основной принципиальной схемы
рис. 1.14 наличием вспомогательных элементов. Так, сопротивле-
ния /?1, Т?2, Яз -И Я4, включённые последовательно с вентилями
Ль Дъ> Дз и Д^ служат для выравнивания и идентификации не-
47
.линейных характеристик диодов. Эти сопротивления, кроме то-
го, являются элементами температурной стабилизации.
Для частот радиодиапазона трансформаторы фазового детек-
тора выполняются на ферритовых 'кольцах. При малом числе
BbiKod
Рис. 1.20. Практическая схема кольцевого фазового детектора
витков трудно сделать отвод от середины вторичной обмотки
трансформатора, поэтому сопротивления R$—R^, предназначен-
ные для точной 'балансировки фазового детектора, одновременно
используются и для создания искусственной средней точки. Кон-
денсаторы С*!—С4 служат для выравнивания ёмкостей схемы.
Рис. 1.21. Схема балансного детектора свч
На частотах свч диапазона трансформаторы выполнить не-
возможно, однако фазовый детектор можно создать при помощи
систем с распределёнными параметрами (волноводов).
48
Ма рис. 1.21 схематически (показано устройство свч балансно-
н) фазового детектора, основным элементом которого является
двойной волноводный тройник [69].
Волна, поступающая на вход Я, создаёт в плечах 1 и 2, а
следовательно, и на диодах, одинаково удалённых от центра,
два одинаковых по амплитуде и фазе напряжения.
Волна, поступающая на вход Е, создаёт на этих же диодах
также равные по амплитуде напряжения, но противоположные
по фазе.
В силу симметрии волна, поступающая на вход В, не попа-
дает на вход Н и наоборот.
Для улучшения частотной характеристики устройства боко-
вые плечи тройника нагружаются волновым сопротивлением.
Вывод постоянного напряжения от диодов осуществляется че-
рез отверстия в стенках боковых плечей и проходные конденса-
торы Ci и С2.
В [691 приводятся и другие конструктивные варианты фазо-
вых детекторов свч.
§ 1.5.	УПРАВЛЯЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Действие большинства управляющих элементов основано на
изменении вносимой ими реактивности в контур подстраиваемо-
го генератора. К управляющим элементам, применяемым в си-
стемах ФАПЧ, предъявляются следующие требования:
1.	Стабильность вносимой ими реактивности.
2.	Малое потребление энергии от подстраиваемого генерато-
ра (высокая добротность вносимой реактивности).
3.	Достаточно высокое значение максимальной ' регулируе-
мой вносимой расстройки (большой раствор характеристики уп-
равления) .
4.	Малое потребление энергии от источника управляющего
сигнала (высокая чувствительность).
5.	Линейность характеристики управления.
6.	Малая инерционность.
Поскольку управляющие элементы с механическим приводом
(переменные конденсаторы и индуктивности) достаточно просты
и широко известны (61], в настоящем параграфе описаны наибо-
лее распространённые электронные УЭ,
Будем рассматривать управляющий элемент как реактив-
ный двухполюсник, сопротивление (проводимость) которого из-
меняется под действием управляющего сигнала.
Практически выполнить такой двухполюсник можно раз-
личными способами.
Большое распространение получили так называемые реактив-
ные лампы, в которых эквивалентным реактивным двухполюсни-
4—793	49
a
Рис. 1.22. Обобщённая схема реактивной
лампы
7	__
^рл — .
^а1
(1.83)
ком служит участок анод—катод. Обобщённая схема реактив-
ной лампы вместе с подстраиваемым генератором ПГ показана
на рис. 1.22.-
Для того чтобы участок анод—катод лампы представлял со-
бой реактивное сопротивление, необходимо, чтобы анодный ток
лампы был сдвинут по фазе относительно анодного напряжения
на 90°. Так как анод-
ный ток лампы, в пер-
вую очередь, определя-
ется сеточным напря-
жением (особенно в
пентодах), то при по-
даче на сетку и анод
напряжений, сдвину-
тых по фазе на 90°
(через фазовращатель ФВ), между анодом и катодом можно по-
лучить кажущееся реактивное сопротивление. Будем считать,
что лампа работает в режиме отсечки анодного тока и сеточно- .
анодная характеристика её линейно-ломаная.
В этом случае кажущееся сопротивление участка анод—ка-
тод реактивной лампы [63] определяется формулой
= — е
Лх
Здесь ф — угол сдвига фаз между напряжением на аноде
17а и первой гармоникой анодного тока /аь
Из этого выражения следует, что при изменении ф можно по-
лучать сопротивления различного характера. Если ф=±—, то
сопротивление будет чисто реактивным.
(Первая гармоника анодного тока связана с напряжением на
сетке следующим выражением [63]:
Л1= STi(@)(t7g-Z)t/a) ,	(1.84)
где S — крутизна сеточно-анодной характеристики лампы,
Ug — напряжение на сетке,
D — проницаемость лампы.
В качестве реактивной лампы обычно применяются пентоды,
у которых D~0, и, следовательно, анодный ток однозначно оп-
ределяется сеточным напряжением.
Учитывая сказанное и пренебрегая эффектом времени про-
лёта электронов, запишем ф-лу (1.83) в виде
7 =
рл 571(0)^
Это выражение показывает, что при заданных £7а и Ug ре-
гулировать полученное реактивное ео'прот1ивлен1ие, а следова-
50
(1.85)
тельно, и частоту автоколебаний, можно, меняя либо крутизну
характеристики лампы S, либо угол отсечки анодного тока
к® /X 1
Относительное изменение частоты автогенератора при —1,
<д0
вызванное подключением реактивной лампы [63],
Асо = 1 ^2- STi(0)sin#IM	(1.86)
(Oq 2	t/a
Здесь Асо — изменение частоты автогенератора, соо — его
собственная частота, р — коэффициент подключения реактив-
ной лампы к контуру автогенератора, р — характеристическое
сопротивление контура, | Лф|— модуль коэффициента передачи
фазовращателя.
Из этого выражения следует, что для значительного измене-
ния частоты автогенератора необходимо увеличить коэффициент
подключения реактивной лампы к контуру, крутизну характери-
стики лампы, модуль коэффициента передачи фазовращателя
и характеристическое сопротивление контура, а также следует
стремиться получить фазовый сдвиг ±	.
Формула (1.86) справедлива при условии, что
До>2в<<°о »
(1-87)
где QB — наибольшее значение частоты модуляции.
Необходимо отметить, что если	сопротивление ре-
активной лампы получается не чисто реактивным и его можно
представить параллельным (последовательным) соединением
реактивного и активного сопротивлений.
При 0<ф< — Z представляет собой соединение индуктив-
ности и активного положительного сопротивления. При
+	реактивное сопротивление остаётся индуктивным, а
активная составляющая становится отрицательной (лампа на-
чинает отдавать мощность в контур).
л
В случае —^-<ф<0 реактивная составляющая носит ёмко-
О	I
стныи характер, а активная составляющая при ф =---—, как и
в предыдущем случае, меняет знак.
Наличие активной составляющей сопротивления приводит к
изменению амплитуды автоколебаний. Для уменьшения паразит-
ной -амплитудной модуляции угол ф должен быть как можно
более близким к + — .
— 2
4*
51
Из (выражения (1.83) следует, что изменять сопротивление
реактивной лампы можно любым способом, пригодным для
изменения /а1. Однако ib соответствии с требованиями, предъ-
являемыми к управляющим элементам, лучше применять те
способы, которые требуют наименьших затрат энергии от источ-
ника управляющего сигнала.
При работе лампы без токов сетки наиболее экономичным
является регулирование первой гармоники анодного тока сме-
щением.
Как указывалось, здесь возможны два режима работы — с
отсечкой и без отсечки анодного тока. Если фазовращатель вы-
полнен таким образом, что на сетке реактивной лампы оказы-
вается малое напряжение, то лампа работает без отсечки анод-
ного тока. В этом случае при регулировании управляющего на-
пряжения Yi (@) = const = 1 крутизна S и, следовательно, Лн из-
меняются. При этом нельзя принимать линейно-ломаную аппрок-
симацию характеристики лампы, поскольку при такой аппрок-
симации величина S остаётся постоянной и не зависит от напря-
жения на сетке. Реальные характеристики лампы хорошо ап-
проксимируются степенным полиномом, т. е.
fa =а.+ arUg +	+ a3U\ + . . .	(1.88)
В этом случае, как известно, Zai=Scp^ (Sep — средняя кру-
тизна характеристики лампы).
Характеристики управления должны быть по возможности
линейными. Это, в свою очередь, означает, что средняя крутиз-
на с изменением управляющего сигнала (смещения) должна из-
меняться линейно. Как дифференциальная, так и средняя кру-
тизны линейно зависят от управляющего напряжения только
(При квадратичной зависимости анодного тока от сеточного на-
пряжения [62]. Поэтому желательно применять лампу с наибо-
лее ярко выраженным квадратичным участком статической ха-
рактеристики, а рабочую точку выбирать в середине этого участ-
ка. Расчёт реактивной лампы при отсутствии отсечки анодного
тока приведён в [63].
При малых напряжениях на сетке лампы (т. е. при малом
|7<ф|) в соответствии с ф-лой (1.86) относительное изменение
частоты автогенератора получается небольшим. Поэтому, если
требуется большое отклонение частоты, приходится увеличивать
сеточное напряжение, а следовательно, и коэффициент |КФ!.
В случае больших напряжений на сетке справедлива линейно-
ломаная аппроксимация статической характеристики лампы.
Поэтому можно1 приближённо считать, что при изменении сме-
щения крутизна S постоянна, а меняется лишь угол отсечки,
а следовательно, и yi (0).
Поскольку коэффициент yi нелинейно зависит от угла отсечки
0 [ф-ла (1.33)], то даже при кусочно-линейной статической ха-
52
рактеристике реактивной лампы зависимость анодного тока, а
следовательно, и частоты от управляющего напряжения являет-
ся нелинейной. Характеристика управления имеет линейный
участок при ЗО°<0<15О°.
•В работе [63] приводится расчёт реактивной лампы, работа-
ющей в режиме больших напряжений на сетке. Увеличение этих
напряжений ограничено появлением сеточных токов, которые
резко снижают входное сопротивление реактивной лампы и тем
самым искажают характеристику управления.
Эффективность работы реактивной лампы в 'большой степе-
ни определяется свойствами фазовращателя. Он должен:
1)	иметь большой коэффициент передачи;
2)	независимо от частоты обеспечивать фазовый сдвиг, близ-
c. , л
кии к ±—;
2
3)	потреблять малую энергию от генератора.
Рис. 1.23. Варианты схем реактивных ламп с простейшими
фазовращателями
а
В качестве фазовращателей широко применяются однозвен-
ные цепи из активного и реактивного сопротивлений. На
рис. 1.23 показано четыре возможных варианта включения та-
ких фазовращателей. При использовании этих фазовращателей
л
можно получить фазовый сдвиг, близкий к + -у-только при ус-
ловии |Zi| > l^al • При этом |/Сф| и вносимая расстройка по-
лучаются малыми. Кроме того, недостатком их является значи-
тельная зависимость |КФ| от о.
К достоинствам таких фазовращателей относятся их просто-
та и независимость фазового сдвига от частоты при |Дф| <1.
При теоретическом рассмотрении все приведённые на рис. 1.23
варианты схем оказываются равноценными, оДнако практически
при работе реактивных ламп на высоких частотах приходится
считаться с влиянием паразитных параметров (в .первую оче-
редь, ёмкостей и времени пролёта электронов). Так как в пен-
тодах проходная ёмкость мала, основное влияние на работу
фазовращателя оказывает входная ёмкость лампы. В связи с
53
этим наилучшим вариантом является схема рис. 1.23#, поскольку
в ней паразитную входную 'ёмкость можно* (полезно использовать
как часть ёмкости фазовращателя.
Эта схема оказывается наилучшей также и с точки зрения
'.влияния времени пролёта электронов. При конечном времени
пролёта анодный ток отстаёт
от анодного напряжения, по-
этому общий сдвиг фаз между
и /а1 в данной схеме можно
корректировать, уменьшая за-
паздывание, вносимое фазо-
вращателем. Схемы рис. 1.23 (6
и г) принципиально не позво-
ляют этого сделать, так как в
этих случаях фазовращатель
даёт опережение фазы сеточ-
ного напряжения относительно
анодного, увеличить которое
Рис. 1.24. Схема реактивной лампы с сверх + — невозможно,
усилителем в цепи обратной связи	2
Таким образом, 'при использовании простейших фазовраща-
телей требования большего |/Сф| ,и ~ оказываются проти-
Рис 1.25. Схема реактивной лампы со
сложным фазовращателем
воречивыми. Поэтому, если нужно получить большую девиацию,
прибегают к более сложным
схемам. Например, в цепи
обратной связи реактивной
лампы применяют усилитель
(рис. 1.24). В этой схеме
выходное сопротивление уси-
лителя, а также его выход-
ная ёмкость (в сумме с па-
разитными ёмкостями) ис-
пользуются в качестве эле-
ментов фазовращателя. По-
скольку выходное сопротивление усилителя на пентоде может быть
очень большим, сдвиг фаз в этой схеме получается близким к
_ — . Она успешно применяется на высоких частотах вплоть до
100 Мгц.
Другой способ увеличения отклонения частоты, вносимого
реактивной лампой, заключается в применении фазовращателя,
изображённого на рис. 1.25. Как .видно- из рисунка, потенциалы
сетки и катода реактивной лампы при #=— симметричны отно-
сительно напряжения на контуре, и сдвиг фаз при этом равен
54
+ ~. Величина напряжения 'между сеткой и катодом равна по-
ловине напряжения на контуре. Модуль коэффициента переда-
чи фазовращателя в этой схеме не зависит от частоты.
Недостатком этой схемы является зависимость фазового
сдвига от частоты. Кроме того, она малопригодна в области
высоких частот.
Рис. 1.26. Схема двухтактной реактивной лампы
Эффективным способом увеличения отклонения частоты, вно-
симого реактивной лампой, а также увеличения линейности ха-
рактеристики управления, снижения паразитной амплитудной
модуляции и увеличения стабильности средней частоты является
применение двухтактной реактивной лампы. Пример схемы двух-
тактной реактивной лампы приведён на рис. 1.26. В этой схеме
одна из ламп является эквивалентной ёмкостью (ЛЛ), другая —
индуктивностью (Л2), Как видно из рисунка, управляющее на-
пряжение на сетки ламп подаётся в противофазе. В этом случае
при увеличении ёмкостного сопротивления индуктивное умень-
шается и наоборот. Это вдвое увеличивает вносимое отклонение
частоты.
Поскольку изменения питающих напряжений (и другие при-
чины) действуют на обе лампы синфазно, они не вызывают от-
клонения частоты. Если в этой схеме фазовые сдвиги обеих
ламп отличаются на одну и ту же величину от+~> то актив-
ные составляющие сопротивлений, вносимых лампами в контур
автогенератора, равны друг Другу. Так как управляющий сиг-
нал приложен к сеткам ламп в противофазе, изменения вноси-
мого активного сопротивления имеют противоположные знаки и
55
взаимно компенсируют друг друга, что снижает паразитную
амплитудную модуляцию.
Применение двухтактных реактивных ламп в области высо-
ких частот весьма затруднительно в связи с трудностью осу-
ществления симметрии обеих ламп. Различные схемы реактивных
Рис. 1.27. Эквивалентная схема реактивного
диода
ламп подробно описа-
ны в [70, 71].
В заключение сле-
дует отметить, что при
использовании реактив-
ных ламп в схемах ав-
топодстройки нельзя
применять автоматиче-
ское смещение, так как
управляющий сигнал
содержит постоянную
Кроме реактивных
ламп, в качестве
составляющую.
управляющих элементов
получили распространение так называемые реактивные диоды.
Схема включения такого элемента показана на рис. 1.27. Прин-
цип действия реактивного диода заключается в том, что парал-
лельно контуру подстраиваемого генератора подключается ре-
активное сопротивление X через диод, на который подано также
запирающее напряжение Uy. Ток высокой частоты через диод
зависит от величины запирающего напряжения. При регулиро-
вании последнего средняя вносимая в контур реактивность ме-
няется в зависимости от управляющего напряжения.
Если реактивное сопротивление X — индуктивность, то и
вносимое схемой реактивного диода сопротивление носит ин-
дуктивный характер, если X — ёмкость, то вносимая реактив-
ность носит ёмкостный характер.
Для последнего случая можно получить приближённую зави-
симость эквивалентной ёмкости и эквивалентного сопротивления,
замещающих схему реактивного диода, от параметров и режи-
ма схемы.
Примем для простоты, что характеристика диода соответст-
вует .выражению (1.15) при но==О. При этом ток в цепи с диодом
приближённо имеет вид косинусоидальных импульсов с углом
отсечки 0.
Меняя запирающее напряжение диода, можно изменять угол
отсечки тока, а следовательно, и величины эквивалентных ёмко-
сти и сопротивления. Эквивалентные ёмкость и сопротивление,
подключённые параллельно контуру, определяются выражения-
ми [64]:
____схП1(е)]2
[71(0)Р + <о^^
(1.89)
56
_. p hi (в)]2 \
(0)\ 1	‘
(1.90>
Эти выражения показывают, что с увеличением частоты
уменьшаются вносимая эквивалентная ёмкость ,и сопротивление,
шунтирующее контур. Поэтому, для данной схемы следует выби-
рать диоды с наименьшим прямым и большим обратным сопро-
тивлениями.
Воспользовавшись выражениями (1.34) и (1.89), можно най-
ти характеристику управления. В общем случае она получается1
нелинейной. Недостатком схемы реактивного диода является
резкое падение добротности вносимой реактивности с ростом*
частоты и при увеличении требуемого отклонения последней.
Кроме того, за счёт частичного детектирования ®ч напряже-
ния входное сопротивление этой схемы для управляющего сиг-
нала получается невысоким. Более подробно схемы и характе-
ристики реактивных диодов описаны в [72].
Для управления частотой автогенератора можно использо-
вать также полную входную ёмкость лампового усилителя. Как
известно, она определяется выражением (без учёта эффекта вре-
мени пролёта электронов и паразитных индуктивностей вводов)
Свх^Сск + Сса(1+К).	(1.91);
Здесь Сек и Сса — междуэлектродные ёмкости, К — коэффи-
циент усиления.
При регулировании коэффициента усиления любым способом
(например, введением отсечки анодного тока или плавным из-
менением крутизны характеристики ламп типа «варимю») .мож-
но управлять входной ёмкостью, а следовательно, и частотой ав-
тогенератора.
Для того чтобы входное сопротивление было чисто ёмкост-
ным, необходимо, чтобы анодная нагрузка усилителя была бьг
чисто активной (величина К должна выражаться действитель-
ным числом). Преимущество этой схемы перед схемой реактив-
ной лампы заключается в отсутствии фазовращателя, потребля-
ющего энергию высокой частоты. Недостатком этой схемы яв-
ляется малое изменение ёмкости.
Для управления частотой можно использовать не только’
входную динамическую, но также и статическую ёмкость, так
как последняя зависит от плотности электронного облака, окру-
жающего катод.
В [73] приведены графики, показывающие зависимость вход-
ной статической ёмкости от постоянных напряжений на элек-
тродах лампы. Из этих графиков следует, что её полное измене-
ние получается весьма небольшим (порядка единиц пикофарад).
В последнее время получили широкое распространение полу-
проводниковые приборы с управляемой ёмкостью р-п-перехода
5Г
Рис. 1.28. Зависимость относительной барьер-
ной ёмкости варикапов типа Д901 от запираю-
щего напряжения
(варикапы). Этот переход (при подаче на него как прямого, так
и обратного постоянного смещения мож-но 1использо1вать как уп-
равляемую ёмкость.
Если на р-п-переход подаётся запирающее напряжение, то
(говорят о барьерной ёмкости [75], которая связана с образова-
нием потенциального
барьера между обла-
стями р и п.
При отсутствии
внешнего напряжения
р-п-переход эквивален-
тен конденсатору, по-
скольку между обла-
стями с высокой прово-
димостью (р и и) обра-
зуется слой с очень ма-
лой проводимостью, по-
добный диэлектрику в
промежутке между
пластинами обычного
конденсатора. Так как
толщина запорного
слоя зависит от величины приложенного обратного смещения,
при изменении запирающего напряжения можно менять и экви-
валентную ёмкость р-/г-перехода.
Если подключить такой переход к контуру автогенератора, то
на нём оказывается не только постоянное запирающее напря-
жение, но и переменное высокочастотное. Для того чтобы пере-
ход оставался в запертом состоянии, необходимо, чтобы ампли-
туда напряжения высокой частоты была бы меньше постоянно-
го смещения. При малой амплитуде этого напряжения можно
приближённо считать, что ёмкость перехода от неё не зависит
и, как показано в [75], в случае равномерного распределения
примесей в зонах р и п и резкого p-rz-перехода имеет вид
сб сбо ]/ |Из|+К|£к|
(1.92)
Здесь Сб0 — барьерная ёмкость перехода при отсутствии за-
пирающего напряжения, Ек — контактная разность потенциа-
лов р-п-перехода, и3 — внешнее запирающее напряжение. Обыч-
но Ек — 0,5 в.
На рис. 1.28 приведена зависимость относительной барьер-
ной ёмкости некоторых варикапов от и3 [76]. Из рисунка видно,
что крутизна характеристики управления тем больше, чем мень-
ше |и3|. Однако снижение |и3| ограничивается условием за-
пирания перехода.
:58
Для определения свойств р-п-перехода как элемента кон-
тура рассмотрим его эквивалентную схему (рис. 1.29). Здесь
Ri — сопротивление полупроводника, из которого состоят обла-
сти р и n; Ro — обратное сопротивление р-п-перехода.
В соответствии с эквивалентной
схемой добротность ёмкости С& оп-	о—»—jj—«—CZZZH-----о
ределяется выражением	I I
ф= ___________®C6RO
Ro + Ri (1 + R2o w8 с2б
(1.93)
«о
Рис. 1.29. Эквивалентная
схема р-п перехода
Из этого выражения следует, что добротность р-п-перехода
падает как с уменьшением, так и с увеличением частоты. На
частоте
(1-94)
добротность достигает своего максимального значения
^макс- 2 г Ri(Ro + Ri) •	V 7
Таким образом, для расширения рабочей области частот,
где необходимо выбирать переходы с малым Ri. Наоборот,
при работе на низких частотах необходимы переходы с боль-
шим Ro.
Одним из основных требований, предъявляемых к управля-
ющим элементам, является требование стабильности вносимой
ими реактивности.
Барьерная ёмкость р-п-перехода зависит не только от запи-
рающего напряжения, но также от-его температуры. Темпера-
турный коэффициент ёмкости определяется выражением [74]

|Дк|
1из1 + |Вк1
(1.96)
, где — — — относительный температурный коэффициент ём-
Сб dt°
кости;
8 = —	—относительный температурный коэффициент
диэлектрической проницаемости материала по-
лупроводника;
х = — —; —относительный температурный коэффициент
контактной разности потенциалов.
59
При повышении температуры е увеличивается, а Ек умень-
шается, поэтому 6>0, а х<0. Так, для кремния и германия
6^2- 1(Г4-------, а х~ —(З-т-6) 10~3 ——.
град	град
Из ф-лы (1.96) следует, что при таких значениях 6 и % и
малых запирающих напряжениях Д6 определяется, в основном,
величиной х.
’При |^3| > |ЕК| ДЗ определяется величиной 6. Поскольку
8<^Сх, Для повышения температурной стабильности ёмкости
р-п-перехода желательно использовать режим с большими
и3(и3>2-±-3 в).
До сих пор мы предполагали, что амплитуда напряжения
высокой частоты на переходе настолько мала, что нелинейные
свойства ёмкости не проявляются. В действительности же это
напряжение может составлять заметную часть от запираю-
щего напряжения и нелинейные свойства ёмкости перехода по
отношению к источнику ,вч колебаний необходимо учитывать.
Поскольку при большой амплитуде переменного вч напряжения
барьерная ёмкость зависит от этого напряжения, вводится по-
нятие средней ёмкости р-п-перехода, которая согласно [75] опре-
деляется на основании ф-лы (1.92) выражением
fl* 7 2	Г	\
1 + Л_21 + _^	. .	(1.97)
16 и2 1 256 и* Г	4	9
Здесь Сбср — ёмкость р-п-перехода при отсутствии вч напря-
жения, но при заданном значении и3; Um — амплитуда вч напря-
жения.
Выражение (1.97) показывает, что с увеличением Um сред-
няя барьерная ёмкость увеличивается. Это необходимо учиты-
вать при определении стабильности собственной частоты под-
страиваемого генератора. С этой точки зрения желательно иметь
такой режим, при котором Um было бы минимальным.
Полупроводниковый р-/г-переход можно использовать как
управляемую ёмкость не только, когда он находится в запертом
состоянии, но и когда в отпертом. В последнем случае он обла-
дает, кроме того, так называемой диффузионной ёмкостью [74],
которая может на несколько порядков превышать барьерную ём-
кость и очень резко зависит от напряжения на переходе. Однако
использование этой ёмкости в схемах ФАПЧ затрудняется тем,
что, во-первых, она имеет низкую добротность (шунтирована пря-
мым сопротивлением перехода), во-вторых, для её применения
необходимо иметь ^<0,1—0,2 в и, в-третьих, в таком режиме
для управления этой ёмкостью требуется значительно большая
мощность по сравнению с режимом обратного смещения.
В качестве управляющих элементов .можно использовать ка-
тушки индуктивности с сердечниками, выполненными из мате-
60
риалов, магнитная проницаемость которых зависит от магнит-
ного поля (например, с ферритами).
Как и при использовании нелинейной ёмкости р-п-перехода,
где регулировка дифференциальной (или средней) ёмкости осу-
ществлялась изменением положения рабочей точки, так и при
использовании нелинейной индуктивности изменением постоян-
ной составляющей магнитного потока, можно управлять диф-
ференциальной индуктивностью. Постоянная составляющая маг-
нитного потока обычно регулируется изменением тока в обмотке
<ю д м а гничив а ни я.
Достоинством такого способа регулировки частоты является
возможность использования его в области высоких частот, где
другие способы оказываются неприменимыми, сравнительно вы-
сокая добротность вносимой реактивности в области высоких
частот, а также возможность регулирования частоты мощных
колебаний при больших переменных напряжениям на контуре.
К недостаткам этого способа относятся низкая чувствитель-
ность (требуется повышенная мощность от источника управляю-
щего сигнала) и большая инерционность УЭ, обусловленная
значительной индуктивностью обмотки подмагничивания.
Более подробные сведения о работе нелинейных индуктивно-
стей в качестве управляющих элементов имеются в [61].
Для управления частотой подстраиваемого генератора можно
использовать и другие способы, например, применение варикон-
дов, так называемых газовых конденсаторов, изменение фазы
обратной связи. Эти методы, однако, обладают существенными
недостатками и мало используются в системах ФАПЧ. Так, ва-
риконды имеют низкую температурную и временную стабильно-
сти, газовые конденсаторы вносят значительные потери в кон-
тур, при изменении фазы обратной связи снижается стабиль-
ность автогенератора.
Глава 2
Идеализированная
система ФАПЧ
§ 2.1. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ ФАПЧ
С ИДЕАЛИЗИРОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ
Общие положения
Как уже отмечалось, в .настоящее время -нет аналитического
метода, позволяющего получить решение урчния (1.11) ® общем
виде. Начнём его анализ с простейшего случая, когда = К
При этом ур-ние (1J11) имеет первый порядок и описывает си-
стему ФАПЧ с идеал1из‘иро1ванны1м фильтром нижних частот,
коэффициент передачи которого в широкой области нижних
частот равен 1:
+2у^(ф)=йн.	(2.1)
Такую систему в дальнейшем будем называть идеализиро-
ванной. Она близка к реальной системе ФАПЧ, у которой поло-
са пропускания фильтра очень широка.
Нетрудно заметить, что в ур-нии (2.1) переменные разде-
ляются:
dy
Ру F (ср)
dt,
(2.2)
Из последнего выражения следует, что решение этого урав-
нения определяется характеристикой фазового детектора. Во
многих практических случаях она имеет косинусоидальную фор-
му. Как известно, косинусоидальная кривая является первым
приближением для всех периодических функций. Поэтому рас-
смотрим случай, когда /?(ф) ='cos<p. Перепишем выражение (2.2)
в следующем виде:
d ср
QH — Qy cos ср
(2.3)>
= t + 4,
где tc— постоянная интегрирования.
Вид решения этого уравнения зависит от соотношения между
Qh и Qy.
Режим биений
Q2
н
В результате интегрирования левой части ур-ния (2.3) при
й£ после элементарного преобразования получим [77]
йн-Qy
^н-^у	2
ф (/) = 2 arc tg
(2.4>
Из этого уравнения следует, что при любом tc и при непре-
рывном нарастании t разность фаз генераторов непрерывно воз-
растает и, следовательно <р (/) функция непериодическая. Это
означает, что имеется средняя разность частот обоих генерато-
ров и захват невозможен.
Рассмотрим этот режим более подробно.
Основной интерес представляет установившийся режим бие-
ний (/ > /с). Пренебрегая в ур-нии (2.4) величиной tc по сравне-
нию с t и учитывая ф-лу (1.10), запишем выражение для мгно-
венной разности частот Q (t) обоих генераторов следующим об-
разом:
й (/) =------———-----------Q"~Qy-----------——— --------.
COS2 / QH -	(ан-ау)2 / йн - fi2y
c°s -------- й2_й2 S>n ------------------ t
(2.5>
Найдём среднее значение разности частот обоих генерато-
ров й. Функция й (О—чётная и периодическая с периодом
2 зт
Т = —	• , поэтому её можно усреднять не от 0 до Г, а
от 0 до Г/2.
Таким образом, величина Q найдётся из выражения
Г/2
dt
о	йу (fiH —Йу)2
C0S2 --------- t +	sin*
2	йн~ йу
(2.6)
63
Заменяя переменную интегрирования х =
.получаем
/ Q2-Qy
Q 2_(?и
Г__________dx_________
J	(QH-Qy)2 .
О COS2 X 4- -’---" Sin2 X
Йн-Йу
(2.7)
Интеграл в правой части этого выражения—табличный
|77]. После интегрирования находим
!2 — Q2
Н
Л
(2.8)
Здесь В ; -i-j —эйлеров интеграл I рода
•ция).
Из таблиц этой функции [77]
(бэта-функ-
(2.9)
Подставляя это значение в ф-лу (2.8), получаем
Q = / Q*-Q2y •
(2.Ю)
Q =
2
£
2
Из этого выражения следует, что в замкнутой системе ФАПЧ
частота 'биений ниже начальной расстройки, т. е. наблюдается
частичное увлечение. При увеличении начальной расстройки ча-
стота биений асимптотически приближается к ней.
При QH~*£2y частота биений стремится к нулю и при =
= Qy (частоты генераторов сравниваются) может произойти за-
хват.
График кривой Q =	— Q2 представлен на рис. 2.1 (кри-
вая 2). Изменение знака начальной расстройки приводит к из-
менению -знака частоты биений, поэтому на графике показана
одна из нечетно-симметричных половин кривой.
Режим захвата
Покажем, что при Qn<Qy и любых начальных условиях в
системе наблюдается захват. Для этого определим зависимость
<р (/) при Qn<f2y.
64
В результате интегрирования левой части ур-ния (2.3) полу-
чаем
1/ Й* - й* tg + йн - йу
----2—--- In--------------------= i + tc. (2.11)
]/Qy-QH ]/’й2-й2 tg-^-йн+Йу
Преобразуем это выражение к виду
1/	(Жс)
IgJL = _ Qy —	е-b 1
2 V	|Z Sy-2H P+O ,
e	— 1
(2.12)
Рис. 2.1. Зависимость частоты бие-
ний от начальной расстройки при
различных нормированных харак-
теристиках фазового детектора
Отсюда следует, что при t—> со и произвольном tc левая
часть этого выражения стремится к постоянной величине, т. е.
происходит захват:
tg^ =
s 2
□у
(2.13)
Формула (2.13) позволяет найти установившуюся разность
фаз <ро обоих генераторов:
созФо=^-.	(2.14)
id у
Из этого выражения так же, как и из (2.10), можно заклю-
чить, что равенство QH = Qy соответствует критическому слу-
чаю. При йн>12у в системе наблюдается режим биений.
5—793	65
Если QH<£2y, при любых начальных условиях происходит
захват. Таким образом, в системе ФАПЧ с идеализированным
фильтром полоса захвата равна полосе удержания. Формально
равенство (2.14) справедливо для любого значения фо?г =
= 2лл±ф0, где гг= 1, 2, 3... *
В дальнейшем будем рассматривать изменения установив-
шейся разности фаз в пределах О<фоп<2л. В этой области воз-
можны только два значения сроп, удовлетворяющих соотноше-
нию (2.14): фо1 = + фо и Ф°2 = —фо«
Покажем, что одно 1из этих значений соответствует состоя-
нию равновесия, неустойчивому в «малом».
Для исследования устойчивости в «малом» дадим величине
Фо бесконечно малое приращение Аф и определим, что произой-
дёт в системе с течением времени. Если Аф будет уменьшаться,
то режим будем считать устойчивым. В противном случае ре-
жим неустойчив. Разность фаз обоих генераторов запишем как
Ф (0 = Фо + Аф (/).	(2.15)
Подставляя <р (/) <в у.р-ние (2.1) и учитывая, что F (ф) —
= cos<p, получаем
А Дф (0 + ЙУ COS (ф0 + Д ф) = Йн,	(2.16)
поскольку производная постоянной величины равна нулю.
Разлагая косинус суммы по известной формуле тригономет-
рии, находим
— Аф(/) + Qy [cos ф0 cos А ф — sin sin Аф] = £2Н.	(2.17)
dt
Так как при Аф ~ О cos Аф 1, a sin Аф — Аф и, кроме того,
cos фо = — , получим линейное уравнение
Qy
—Йуз1пфоАф = О.	(2.18)
К этому уравнению применим критерий Рауса—Гурвица
[78], согласно которому решение ур-ния (2.18) устойчиво при
Qy sin Фо < 0.	(2.19)
Отсюда непосредственно следует, что режим является устой-
чивым, если разность фаз имеет отрицательный знак, т. е. при
ф == ф02-
Отметим, что если в выражении (2.11) Qy имеет отрицатель-
ный знак, что равносильно изменению знака зависимости часто-
ты подстраиваемого генератора от разности фаз, то режим бу-
дет устойчивым при положительном значении <ра.
66
Наиболее толпе устойчивость положения равновесия харак-
теризуется решением дифференциального уравнения, описы-
вающего -систему ФАПЧ. Это решение даёт ответ на вопрос
об устойчивости системы в большом и проверять устойчивость
в малом не имеет смысла. Так, из ф-лы (1.12) однозначно сле-
дует, какое значение ср устойчиво.
Проведённое на простейшем примере исследование устойчи-
вости в «малом» нужно только для иллюстрации метода опреде-
ления условий устойчивости.
§ 2.2. ФИЗИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ПРОЦЕССОВ,
ПРОИСХОДЯЩИХ В СИСТЕМЕ ФАПЧ
С ИДЕАЛИЗИРОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ
Чтобы уяснить физическую сущность процессов, имеющих
место в системе ФАПЧ с идеализированным фильтром, дадим
качественную оценку происходящих в ней явлений. В дальней-
шем это послужит основой для изучения захвата и удержания,
переходных процессов и т. п. в более сложных системах, так
как их дифференциальные уравнения почти всегда не имеют
аналитического решения.
В режиме удержания система ФАПЧ должна следить за раз-
ностью частот обоих генераторов, поддерживая её равной ну-
лю. Предположим, что в первый момент частоты генераторов
равны. В этом случае, как следует из ф-лы (2.14), установится
стационарная разность фаз|:Ъ—-^и, следовательно, напряжение
па выходе фазового детектора будет равно нулю.
Изменение частоты эталонного или подстраиваемого генера-
тора вызовет расхождение фаз этих генераторов. В результате
на выходе фазового детектора появится напряжение такого зна-
ка и величины, которые необходимы для компенсации возник-
шей расстройки. При дальнейшем увеличении расстройки это
напряжение будет возрастать.
Поскольку максимальное значение выходного напряжения
фазового детектора ограничено величиной ^фдмакс> наступит
момент, когда расстройка, вносимая управляющим элементом,
окажется недостаточной для полной компенсации расхождения
частот обоих генераторов и произойдёт срыв синхронизма.
Такая картина наблюдается в системе ФАПЧ только при
очень медленном изменении расстройки между генераторами.
При изменении знака расстройки процесс протекает анало-
гично, но напряжение на выходе фазового детектора изменяет
свой знак.
В режиме биений разность фаз обоих генераторов непрерыв-
но возрастает, и напряжение на выходе фазового детектора пе-
67
риодичеоки изменяется. Воздействуя на управляющий элемент,
это напряжение вызывает изменение частоты подстраиваемого
генератора, а следовательно, и частоты самих биений, являю-
щейся разностью частот эталонного и подстраиваемого генера-
торов. В зависимости от знйка мгновенного напряжения на вы-
ходе фазового детектора частота биений или повышается (сокра-
щается их период), или понижается (увеличивается период бие-
ний). В дальнейшем будем называть мгновенное напряжение на
выходе фазового детектора отрицательным, если оно повышает
разность частот генераторов, и, наоборот, положительным, если
оно сокращает частоту биений.
Во время положительной полуволны этого напряжения
скорость его изменения (т. е. частота) оказывается пониженной,
а во время отрицательной — повышенной. Это приводит к тому,
что длительность положительного полупериода превышает дли-
тельность отрицательного. С уменьшением начальной расстрой-
ки минимальная мгновенная разность частот генераторов ста-
новится всё меньше и меньше. Длительность положительной
полуволны выходного напряжения фазового детектора всё боль-
ше превышает длительность отрицательной полуволны. Полный
период биений увеличивается. Найдём форму напряжения бие-
ний на выходе фазового детектора при произвольном Л Для
этого определим из ф-лы (2.4) cosq?(Z), что соответствует нор-
мированному (отнесённому к максимальному) напряжению на
выходе фазового детектора:
QH 4* cos йц — Qy t
По этой формуле построено семейство кривых (рис. 2.2),
каждая из которых соответствует определённому значению от-
носительной начальной расстройки ун — ~ •
у
Как видно из рисунка, выходное напряжение фазового де-
тектора в режиме биений содержит постоянную составляющую,
тем большую, чем меньше начальная расстройка.
Наличие положительной постоянной составляющей приводит
к уменьшению среднего значения разности частот подстраивае-
мого и эталонного генераторов по сравнению с Йи, т. е. к час-
тичному увлечению частоты подстраиваемого генератора
[ф-ла (2.10)].
Если Йн приближается к йу, длительность положительной
полуволны на выходе фазового детектора стремится к бесконеч-
ности, а длительность отрицательной полуволны — к нулю.
Если QH<Qy, то при любой фазе включения режим биений
становится апериодическим и наступает захват. Можно сказать,
68
(2.20)
COS ф (/)
1.1ким образом, что процесс захвата в системе ФАПЧ определя-
< ।си изменением формы переменного выходного напряжения
фа итого детектора в результате синхронной модуляции биений
но частоте.
Рис. 2.2. Форма нормированного напряжения на вы-
ходе фазового детектора идеализированной системы
ФАПЧ при различных значениях начальной рас-
стройки
Итак, на основании проведённых рассуждений можно прид-
ти к известному уже положению о том, что в системе ФАПЧ с
идеализированным фильтром полоса захвата равна полосе удер-
жания.
Качественную картину явлений в системе удобно исследо-
вать при помощи фазового пространства (т. е. пространства, из-
мерениями которого являются искомая величина и её производ-
69
ные). Число его измерений определяется, как известно, поряд-
ком дифференциального уравнения, описывающего систему [78].
Мгновенное динамическое состояние системы отображается
в этом пространстве точкой. С течением времени мгновенное
динамическое состояние системы изменяется, и эта точка пере-
Рис. 2.3. Фазовый портрет идеализированной
системы ФАПЧ
мещается в пространстве, описывая некоторую траекторию. По-
этому точка называется изображающей, а траектория — фазо-
вой. Совокупность всех фазовых траекторий называется фазо-
вым портретом системы. Для построения фазового портрета до-
статочно иметь дифференциальное уравнение системы.
Применительно к системе ФАПЧ, описываемой ур-нием
(2.3), фазовый портрет состоит из одной интегральной кривой.
Для построения его ур-ние (2.3) удобнее записать в явном
виде:
2„- 2yCos<p.	(2.21)
Вид фазового портрета системы ФАПЧ с идеализированным
фильтром при QH<Qy показан на рис. 2.3. Положение изобра-
жающей точки на интегральной кривой полностью определяется
одной её координатной <р.
Выше было показано, что точка А (ср = фо1) на этом рисунке
является точкой неустойчивого равновесия, тогда как точка Б
(ф = фо2) является устойчивой. Всякое изменение начальных ус-
ловий при неизменных QH и Qy приводит к тому, что с течением
времени изображающая точка движется по фазовой траектории
к точке Б.
70
Следует отметить, что по мере приближения изображающей
!()чки к оси абсцисс скорость её движения непрерывно падает,
ги.югь до 'нуля (такое движение называется лимитационным).
Но этой причине изображающая точка достигает устойчивого
положения Б только при оо.
Если изображающая точка располагается бесконечно близ-
ко к точке А, то скорость её удаления от А близка к нулю и
возрастает только с увеличением расстояния от этой точки. Ес-
ли начальные условия соответствуют расположению изобража-
ющей точки непосредственно в точке А, то скорость её переме-
щения будет равна нулю и режим может сохраниться теорети-
чески сколь угодно долго, несмотря на то, что он является неус-
тойчивым. Однако вероятность такого случая бесконечно мала.
Кроме того, в реальной системе всегда имеются произвольные
флуктуации, которые выводят изображающую точку на участок
с конечной скоростью.
§ 2.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В СИСТЕМЕ ФАПЧ С ИДЕАЛИЗИРОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ
Временная зависимость разности фаз в режиме захвата
(QH<Qy) определяется выражением (2.12). Нетрудно заметить,
что если в начальный момент (/ = 0) начальная разность фаз
соответствует условию
tg^ = ]/		(2.22)
A	Г йьу ййц
TO tc =— со.
Величина <poi представляет собой координату неустойчивой
точки равновесия на фазовом портрете (точка А на рис. 2.3). Сте-
чением времени (£>0) показатель экспоненты в выражении
»(/)=2агс1г -
V Sy-SK (^с)
е +1
Sy-2B ('+О
е	— 1
(2.23)
представляющем собой видоизменение ф-лы (2.12), меняется
непрерывно в пределах от —оо до + оо. При этом множитель
аргумента тангенса в правой части выражения (2.23), определя-
ющий знаменатель ф(0, меняется в пределах от —1 до +1 с
разрывом в точке t+tc =0.
Такое изменение t соответствует перемещению изобража-
ющей точки по фазовому портрету системы от точки неустой-
чивого равновесия до точки устойчивого равновесия. На это пе-
ремещение требуется бесконечно большой промежуток времени.
71
На рис. 2.4 показан характер изменения разности фаз как
функции относительного времени Ty==Qy(/+/c) при нескольких
значениях ун, являющейся параметром каждой кривой.
Будем считать, что переходный процесс длится до тех пор,
пока выполняется, следующее условие:
Г(ф) <F(<P02)-0,1 [1 - 1Л<Ро2) IL
(2.24)
где фо2 — координата точки устойчивого равновесия (точки Б
на рис. 2.3).
Напомним, что в рассматриваемом случае F(ф) = cos ср;
Г(ф02) =Ун. Условие (2.24) соответствует движению изображаю-
Рис. 2.4. Характер изменения разности фаз как
функции относительного времени ту
щей точки из окрестности точки неустойчивого равновесия в ок-
рестность точки устойчивого равновесия при рф>0.
Критерий (2.24) удобен тем, что величина окрестности, на
границе которой начинается или заканчивается переходный про-
цесс, во-первых, одинакова для обеих точек и, во-вторых, зави-
сит только от модуля величины ун.
Кроме того, этот критерий обеспечивает малую относитель-
ную ошибку в определении ф, поскольку величина окрестности
убывает с уменьшением установившейся разности фаз.
Для определения при помощи критерия (2.24) максимально-
го времени установления перепишем ур-ние (2.23), выразив
tg через cos ф:
1/ 1—COS ср 1/1 — Тн
t+tc = —-1--in ±-^/ 1+cos;p—.
1/1—/	, 1/ 1 — cosy -./1 — Yh
H	— V 1 + cos у + V 1 + Yh
(2.25)
72
В этом выражении знак плюю перед первыми радикалами в<
числителе и знаменателе аргумента логарифма соответствует
началу переходного процесса, а знак минус — его концу.
Подставив граничное значение (2.24) в выражение (2.25) и
взяв разность значений (t + tc) в начале и конце переходного
процесса, найдём
2
ту макс
1/1,1—Ъ~0,1 |7н1 . 1/1 — Ти
V 0,9-|-ун + 0>1 1тн1 + г 1 + Тн
1/Ы — Ти —0,1 |Тн|	1 /1 — Тн
V 0,9 + Тн + 0,1 |тн1 “ V 1 + Тн
. (2.26)?
Здесь Ту макс — S2y ^макс*
Из выражения (2.25) следует, что туМакс зависит от знака-
начальной расстройки: при положительной ун тумакс больше,
чем при отрицательной. Физически это объясняется тем, что =
с изменением знака начальной расстройки изображающая точка
движется по траекториям различной длины (см. рис. 2.3). Мож-
но, однако, показать, что логарифмический множитель в ф-ле-
(2.26) слабо зависит от величины и знака ун. В связи с этим
она значительно упрощается:
7
тумакс~ г-----2 .	(2.27)*
Это выражение является -хорошей аппроксимацией ф-лы
(2.26) для широкого диапазона ун.
В момент включения генераторов при любом значении раз-
ности фаз, лежащем внутри интервала, определяемого критери-
ем (2.24), время переходного процесса всегда меньше тумакс-
Однако практически любая начальная разность фаз в преде-
лах 0 4-2л равновероятна. Поскольку начальная разность фаз»
случайна, то и время переходного процесса также случайно.
Определим поэтому математическое ожидание времени установ-
ления, ибо последнее -будет наблюдаться в -большинстве случаев;
Поскольку известен критерий окончания переходного про-
цесса, длительность последнего зависит только от начального
значения ф или, что то же самое, от /с. Так как при t = 0 tc и
Ф (0) связаны следующей зависимостью:
(2.28Х
можно усреднить tc по всем значениям ф (0).
73
Считая начальную разность фаз случайной -величиной, рав-
номерно распределённой в интервале 0 4-2л, запишем её функ-
цию плотности вероятности
W [ф (°)] =	•
2Л
(2.29)
Математическое ожидание tc получим согласно известному
правилу определения числовых характеристик случайных вели-
чин [79]:
Ср
1
2лйуУ~1
2-л:
dcp (0).	(2.30)
Интеграл в правой части этого выражения равен нулю, по-
скольку подынтегральная функция является нечётной относи-
тельно середины интервала интегрирования. Это означает, что
в среднем начальная разность фаз генераторов в момент вклю-
чения равна л и, следовательно, средняя статистическая длина
пути, проходимого изображающей точкой, равна половине свое-
го максимального значения.
Отсюда следует, что
3,5
Г 1 1н
Таким образом, определённое ранее максимальное время ус-
тановления вдвое превышает его среднее значение.
В тех случаях, когда отклонения установившейся разности
фаз от устойчивого значения малы, при анализе переходных про-
цессов можно воспользоваться линейным приближением основ-
ного уравнения, т. е. ур-нием (2.18). Решение его записывается
в следующем виде:
Дф = Фс e~|sln <р”!| V >
(2.32)
где фс — произвольная постоянная интегрирования.
На основании ф-лы (2.32) можно найти обобщённую посто-
янную времени тлу, связанную с абсолютной постоянной времени
Тл равенством тЛу = £2УТЛ:
1
|sin Tq2|
(2.33)
74
Заменяя в выражение (2.33) sinq)02 его значением из ф-лы
<2.14), получаем, что в устойчивой точке равновесия
1
'Л
(2.34)
Из сопоставления выражений (2.27) и (2.34) вытекает, что
первое выражение определяет собой как бы максимальную дли-
тельность фронта перепада разности фаз, тогда как второе оп-
ределяет время изменения малого начального возмущения в
е раз. Обе полученные величины зависят от относительной на-
чальной расстройки ун.
В заключение этого раздела заметим, что при некоторых до-
пущениях уравнение, описывающее процессы, происходящие в ав-
тогенераторе, находящемся под воздействием внешней эдс, мож-
но привести к виду (2.21). Поэтому всё изложенное выше отно-
сится и к случаю непосредственной синхронизации автогенера-
тора.
§ 2.4. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ФАЗОВОГО ДЕТЕКТОРА НА РАБОТУ СИСТЕМЫ ФАПЧ
С ИДЕАЛИЗИРОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ
На практике встречаются случаи, когда характеристика фа-
зового детектора некосинусоидальна. Выясним влияние формы
этой характеристики на процессы, происходящие в системе
ФАПЧ.
Прежде всего, заметим, что нормированная характеристика
фазового детектора всегда периодична по ср и, кроме того, её
экстремальные значения ограничены. Поэтому, как уже указы-
валось, в системе ФАПЧ с идеализированным фильтром полоса
захвата равна полосе удержания.
Действительно, при любой (с указанными ограничениями)
нормированной характеристике фазового детектора форма фа-
зового портрета не зависит от начальной расстройки. При изме-
нении последней фазовый портрет перемещается в фазовом про-
странстве параллельно самому себе вдоль оси ординат (рис. 2.3).
Переход системы с идеализированным фильтром из режима
биений в режим удержания связан с появлением точек пересе-
чения фазового портрета с осью абсцисс f — — ОV	Физически
\ dt /
это означает, что захват наступит при равенстве начальной рас-
стройки мгновенной, вносимой управляющим элементом.
Влияние формы нормированной характеристики фазового де-
тектора скажется, однако, на таких показателях системы
ФАПЧ, как время переходного процесса, диапазон возможной
75
устойчивой разности фаз, частичное увлечение в режиме
биений. ж
Рассмотрим встречающийся на практике случай, когда ха-
рактеристика фазового детектора имеет треугольную форму
(рис. 2.5). Почти треугольная характеристика фазового детек-
тора наблюдается, например, при подаче на балансный детек-
Рис. 2.5. Треугольная нормированная ха-
рактеристика фазового детектора
виде двух линейных уравнений и тем
лиз сугубо нелинейных явлений в системе ФАПЧ.
тор напряжений с
равными амплиту-
дами.
Эта характеристи-
ка, с одной стороны,
представляет собой
аппроксимацию наи-
более часто встреча-
ющейся косинусо-
идальной характери-
стики, а с другой —
позволяет предста-
вить нелинейное ос-
новное дифференци-
альное уравнение в
самым упростить ана-
Нормированную характеристику фазового детектора
(рис. 2.5) можно записать следующим образом:

[—л	< Д];
(2.35)
Подставив эти выражения в ур-ние (2.1), получим систему
уравнений
iXfr	V v \	а* !
~—q —
di л
[— -гс < <Р < 0]
[0 <р ' -тс]
(2.36)
Решая систему (2.36), находим:
Я>(0 = у- [(-Гн- 1)- е
[—-rc<<p<Oj; (2.37)
Ф(О = ^[(1-7н)+ек
[О < (р < к].	(2.38)
76
Из выражений (2.37) и (2.38) следует, что при ун<1 точка
устойчивого равновесия лежит в интервале —	? <?0, а точ-
ка неустойчивого равновесия — в интервале
Разность фаз в точке устойчивого равновесия определяется
из равенства
<Ро2=у-(1и-1).	(2-39)
Равновесие оказывается неустойчивым, если разность фаз
Фо1 = -у(1-Тн).	(2.40)
При помощи системы ур-ний (2.37) и (2.38), задавшись кон-
кретными начальными условиями, можно построить временную
зависимость мгновенной разности фаз обоих генераторов при
любых начальных условиях. Так как переход из одной области
в другую происходит непрерывно, то следует считать, что зна-
чение <р (/), соответствующее концу первого интервала, является
начальным условием для решения второго уравнения.
Определим постоянную времени переходного процесса тту
аналогично тому, как это было сделано при косинусоидальной
характеристике фазового детектора. Заметим, что, поскольку
линейные ур-ния (2.37) и (2.38) охватывают весь интервал воз-
можных значений ср, можно найти постоянную времени переход-
ного процесса для всего диапазона значений ср:
Чу=^.	(2.41)
Постоянная времени в данном случае не зависит от началь-
ной расстройки, что объясняется неизменностью модуля крутиз-
ны нормированной характеристики фазового детектора.
Определим теперь максимальное время переходного процес-
са. Критерий (2.24) для характеристики типа (2.35) записы-
вается следующим образом:
ф<-у[ъ-1-о,Ц1-Ы)]
[—(2.42)

(2.43)
Из ф-л (2.37) и (2.38) можно получить следующие зависи-
мости:
t + tc = — In Г— 1-----------------— <р
с 2Qy [1н	л т]
f—те<ф<01; (2.44)
77
t + tc = -77 In [v Ф — 1 + Th
[0<ф<к].	(2.45)
Подставив в выражение (2.44) граничное значение ср из
(2.42), а в выражение (2.45) граничное значение ф из (2.43) и
взяв разность полученных значений /, найдём максимальное
обобщённое время переходного процесса
^ту макс
10
1 — 1Тн1
(2.46)
= к1п
Это выражение показывает, что при треугольной форме ха-
рактеристики фазового детектора максимальное время установ-
ления совершенно не зависит от знака начальной расстройки.
Рис. 2.6. Зависимость максимально-
го времени установления от началь-
ной расстройки в системе ФАПЧ с
идеализированным фильтром при
различных А(ф)
Для сравнения на рис. 2.6
показаны кривые ту Макс=/(ун),
построенные на основании вы-
ражений (2.27) и (2.46).
Найдём среднюю разность
частот обоих генераторов в ре-
жиме биений при треугольной
форме характеристики фазово-
го детектора. Для этого, если
достаточно найти полнбе
время движения изображаю-
щей точки в пределах от —л
до л. Заметим, что время пре-
бывания изображающей точки
на участке 0-4-л и —лч-0 оди-
наково. Поэтому можно, опре-
делив один из промежутков
времени, удвоить его. Найденное таким образом время представ-
ляет собой не что иное, как период частоты биений.
Таким образом, на основании равенств (2.37) и (2.38) мож-
но получить следующее выражение для частоты биений:
О — 2л —	2^У
Тб . Ин! + 1
in “
(2.47)
Здесь Тб — период биений.
На рис. 2.1 показано графически, как изменяется обобщён-
ная частота биений у = — при изменении обобщённой на-
[Qy
чальной расстройки в системе ФАПЧ с характеристикой фазо-
вого детектора треугольной формы (кривая /).
78
Рассмотрим теперь другой пример влияния формы характе-
ристики фазового детектора на время установления и эффект;
увлечения.
Рассмотрим
иногда встречающийся на
практике, когда харак-
теристика фазового де-
тектора имеет вид трапе-
ции (рис. 2.7).
Пусть эта характери-
стика периодична с пе-
риодом 2л и имеет вид
симметричной трапеции.
Условие её -симметрии:
фа ~ Л фб-
Нормированная харак-
теристика запишется в
виде:
Г(ф) = 1
2<ра —Л
Г(ф)—— 1
F (ф) =	__ 2у 4~ л
—2<ра 4- л л — 2<ра
случаи,
Рис. 2.7. Трапециевидная нормированная
характеристика фазового детектора
[?а < <Р О ~ Та]
Ь + Фа < ? < — ?aJ
1
 . (2.48)-
Решая уравнение системы ФАПЧ для стационарного режима
по участкам так же, как и в случае треугольной формы харак-
теристики, находим величины устойчивой и неустойчивой раз-
ности фаз:
Toi =
Л + 7н (2?а — Л)
2
(2.49)*
Фо2 —
Л + 7н (2?а —Л)
2
Увеличение крутизны ската трапеции (Фа—приводит к'
уменьшению диапазона, в которо-м может находиться установив-
шаяся (остаточная) разность фаз при изменении ун.
В пределе, при фа~-*~-> устойчивая остаточная разность.
фаз стремится также к постоянной величине •—
л
2 ’
Перейдём к определению времени установления в системе
ФАПЧ с трапециевидной характеристикой фазового детектора.
79^
Воспользовавшись ур-нием (2.1) и аналитическим выраже-
нием характеристики фазового детектора, получим уравнения,
^определяющие закон изменения разности фаз во (времени:
<р(/) = Йу(1 + Тн)(/ + О
(2.50)
[*—Фа^Ф-О + Фа]
[—1г + фа<Ф< —Фз]
Используя критерий (2.24) и ур-ния (2.50), определим
“Тпумакс. Для этого необходимо просуммировать .время движения
изображающей точки от исходной, определяемой критерием
(2.24) и близкой к <ро1, до точки л—фа, затем на участке от
л—фа до л+фа и, далее, от л+фа до точки, соответствующей
окончанию переходного процесса, близкой к фог. В результате
получаем следующее выражение для относительного времени
установления:
^пу макс = (« -2фа) 1П —.	(2.51)
1 — |Тн1 1 + 7н
Первое слагаемое правой части этого выражения отобража-
ет движение изображающей точки по наклонным участкам фа-
зового портрета и показывает, что, как и в случае треугольной
формы характеристики фазового детектора, время установления
не зависит от знака начальной расстройки.
Второе слагаемое представляет собой время движения изо-
бражающей точки по горизонтальному участку фазового порт-
рета, зависящее от знака начальной расстройки.
Эта зависимость объясняется тем, что движение изображаю-
щей точки по фазовому портрету происходит в области р<р>0
(в верхней полуплоскости) и, следовательно, изменение знака
начальной расстройки приводит к изменению модуля скорости
движения изображающей точки, тогда как путь, проходимый ею,
не изменяется.
Поскольку характеристики фазового детектора симметрич-
ны, то рассмотрение одной полуплоскости фазового портрета
вполне достаточно, ибо фазовый портрет в области /7<р>0 при
£0
уп>0 точно такой же, как в области Рф<0 при ун<0. Дви-
жение 'Изображающей точки три этом отличается в обеих полу-
плоскостях только направлением.
Из выражения (2.51) «непосредственно следует, что время
установления максимально при ун > 0.
Так как вероятность того, что изображающая точка находит-
ся в области Рф > 0, или в области Рф <0, одинакова, макси-
мальное время установления следует вычислять по формуле
Вумаке = (" - 2<ра) In —.	(2.52)
1—|Тн1 1—JthI
Это выражение ври фа = 0 превращается в полученную ра-
нее ф-лу (2.46), а при фа = даёт максимальное время уста-
новления в системе ФАПЧ с прямоугольной характеристикой
фазового детектора (рис. 2.6).
Из рис. 2.6 следует, что при малых ун наибольшее ту макс име-
ет система ФАПЧ с треугольной формой характеристики фазо-
вого детектора, а наименьшее — система с прямоугольной ха-
рактеристикой.
Перейдём теперь ik определению частоты биений в системе
ФАПЧ с трапециевидной характеристикой фазового детектора.
Для этого, прежде всего, найдём период биений при |ун| >1.
Поскольку система описывается дифференциальным уравнени-
ем первого порядка, т. е. частота однозначно определяется не-
линейностью характеристики фазового детектора, период бие-
ний находится как сумма промежутков времени, за которые
изображающая точка проходит отдельные участки характерис-
тики фазового детектора (рис. 2.7) в пределах —л<ф<; +л.
В связи с этим можно записать зависимость частоты биений
от начальной расстройки в виде
2<Ра 11нГ . «— 2?а . |Тн|+Т •	(2.53)
йу (	— 1 ) 2йу |Тн| 1
Для системы с прямоугольной .формой характеристики фазо-
вого детектора ^Фа~ это выражение значительно упро-
щается:
Й = ЙУ
11и|
(2.54)
6—793
81
По этой формуле вычислена зависимость обобщённой частоты
биений у от обобщённой начальной расстройки (рис. 2Д, кри-
вая 3).
. Сопоставление всех трёх кривых этого рисунка показывает,
что наибольший эффект частичного увлечения частоты дости-
гается при прямоугольной форме характеристики фазового де-
тектора, а (наименьший — при треугольной.
Проведённый анализ позволяет заключить, что система
ФАПЧ с идеализированным фильтром при прямоугольной фор-
ме нормированной характеристики фазового детектора обеспе-
чивает:
1) минимальную остаточную разность фаз;
2) минимальное время установления при малых ун.
Глава 3
Линейная
автономная
система ФАПЧ
§ 3.1. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ В «МАЛОМ»
СИСТЕМЫ ФАПЧ
В 'Предыдущей главе была рассмотрена система ФАПЧ с
идеализированным фильтром, который устраняет лишь высоко-
частотные составляющие выходного напряжения фазового де-
тектора *и не оказывает никакого влияния на его низкочастот-
ные компоненты (напряжения биений с разностной частотой
и её гармоники).
На практике часто встречаются случаи, когда эталонный
сигнал модулирован или подвержен действию помех, и в то же
время требуется, чтобы сигнал подстраиваемого генератора был
как можно более монохроматичен. Иногда также требуется, что-
бы система ФАПЧ пропускала только определённую полосу
частот.
Увеличить фильтрующую способность системы можно вклю-
чением перед системой или после неё полосовых фильтров, а
также введением в цепь управления (между фазовым де-
тектором и управляющим элементом) фильтра, нижних частот.
Первые два метода общеизвестны и достаточно хорошо осве-
щены в литературе по вопросам линейной фильтрации, напри-
мер [80, 81].
Практически более удобным является третий метод, ибо он
позволяет заменить высокочастотный полосовой фильтр фильт-
ром нижних частот. Однако такая замена существенным об-
разом изменяет характеристики системы ФАПЧ. Так, напри-
мер, с включением фильтра в цепь управления изменяется
соотношение между полосой захвата и полосой удержания, вре-
мя переходных процессов, условия устойчивости в «малом» си-
стемы, характер установления разности фаз.
Как указывалось, в общем случае нелинейное дифференци-
альное ур-ние (1.11), описывающее систему ФАПЧ с фильтром,
в	83
может иметь произвольный порядок. Его .аналитическое реше-
ние дю настоящего времени неизвестно.
Однако, если ограничиться ’рассмотрением случая неболь-
ших отклонений от положения устойчивого равновесия, то мож-
но использовать уравнения первого приближения. Это даёт
возможность количественно и качественно исследовать условия
устойчивости системы в «малом», время и характер пере-
ходного процесса на основе решения линеаризованного урав-
нения.
Исследование линейной системы ФАПЧ, в частности, опре-
деление условий её устойчивости в «малом» позволяет найти
максимально допустимую полосу удержания в реальной нели-
нейной системе ФАПЧ. Эти условия необходимы для нор-
мальной работы системы, и, кроме того, в дальнейшем они бу-
дут использованы при нахождении достаточных условий её ус-
тойчивости в «большом» (полосы захвата). В тех случаях, когда
нельзя пренебрегать нелинейностью системы (например, при
определении полосы захвата), применяются различные при-
ближённые методы, которые будут рассмотрены ниже.
Найдём условия устойчивости в «малом» системы в режи-
ме удержания.
Как уже отмечалось, этот режим характеризуется строгим
соответствием стационарной разности фаз начальной рас-
стройке. Однако в системе ФАПЧ, как и в любой другой ре-
альной системе, постоянно присутствуют флуктуации различно-
го характера. Поэтому в действительности существует не ста-
тическое, а динамическое состояние равновесия в режиме
удержания.
В состоянии динамического равновесия разность фаз непре-
рывно колеблется около своего среднего значения.
Система будет устойчива, если с течением времени любое
достаточно малое отклонение от положения равновесия, вызван-
ное внешней причиной, стремится к нулю, т. е. при условии асимп-
тотической устойчивости в «малом» режима удержания.
Для определения этих условий примем, что флуктуации раз-
ности фаз, вызываемые внешними причинами, настолько малы,
что систему можно считать линейной.
Однако при больших отклонениях разности фаз от положе-
ния равновесия система может выйти из синхронизма. Тем не
менее, определение условий её устойчивости в «малом» очень
важно, так как нарушение их приводит к нарушению её нор-
мальной работы. Эти условия гарантируют отсутствие самовоз-
буждения по кольцу обратной связи системы ФАПЧ при малых
флуктуациях и позволяют определить максимально допустимую
полосу удержания в системе ФАЩ1 с тем пли иным типом
фильтра нч.
84
Коэффициент передачи любого пассивного фильтра нижних
частот в операторной форме можно представить рациональной
дробью:
i
2 а^+1
Х(р) = ^Г-------- ’	(3Л
2 bjpi+ 1
j=l
где и bj — постоянные коэффициенты, характеризующие тип
фильтра;
i и /— показатели оператора.
Для фильтра нижних частот Подставив выражение
(3.1) в основное дифференциальное уравнение системы ФАПЧ
(1.11), получим
2	+1
РФ + 2у ---------р (ф) = 2Н.	(3.2)
2 Ь/Р7' + 1
/=1
Избавимся от знаменателя в левой части этого выражения:
2 Ь/Р/+1ф+Р<?+Qy^aiP1?(ф) + 2у^(ф) =	pI~1QB +
/=1	1=1
+ . . . + QH.	(3.3)
Учитывая, что QH — величина постоянная (рг'йн = 0) и, кроме
того, что
Р^(ф)=	= Р<7>(ф)р7 ф,
ур-ние (3.2) перепишем следующим образом:
2 6/+,ф+рф+Оу 2 а/°(Ф)Р/Ф + syf (<Р) = 2И.	(3.4)
/=1	i~l
В стационарном режиме производные всех порядков от ф
равны нулю, поэтому установившуюся разность фаз найдём из
равенства
F (фо) = Тн-	(3-5)
Предположим, что в некоторый момент в системе величина ф
отклонилась от ф0 на Дф, т. е.
ф = Фо + дф.	(3-6)
85
Подставляя это значение ф в ур-ние (3.4) и учитывая, что
Р'фо=О, получаем
1	1
2 bjp,+l Дф + р Дф + йу 2 <4?(z) (Фо + Д<?) р‘ Д? +
/=1	Z=1
+ 2yF(<p0 + A<p)-QH.	(3.7)
Разложим функцию F(<p) в ряд Тейлора:
F(4>. + Дф) = Г(ф,)+	+	.
Так как А(р — очень малая величина, можно ограничиться
первыми двумя членами ряда:
F (Фо + Дф) F (ф0) + F' (ф0) Дф.	(3.8)
При такой аппроксимации -нелинейной функции Е(ф) в об-
ласти, охватывающей точку равновесия ф0, Е(г)(ф0)=0 для
всех i> 1. Если i= 1,
F<0(<P) = F(<Po).	(3-9)
Подставляя выражения (3.8) в (3.7) и учитывая ф-лы (3.5)
и (3.9), находим
2 bjPi+l Дф + [ 1 + QyaiF' (ф0)] р Дф + 2У F' (Фо) Дф = 0. (3.10)
/=1
Это выражение представляет сс^бой линейное дифференци-
альное уравнение.
Интересно отметить, что порядок этого уравнения, опреде-
ляющего условия устойчивости ’В «-малом» системы ФАПЧ, на
единицу превышает степень знаменателя операторного коэффи-
циента передачи фильтра нижних частот в цепи управления.
Для нахождения связи между коэффициентами этого урав-
нения, определяющей устойчивость в «малом», удобно предста-
вить выражение (3.10) в следующем виде:
Лтрт Дф 4-Лт_1 р"1-1 Дф + . . . + ДрДф + Д)Дф = 0. (3.11)
Здесь символом Ат обозначены постоянные коэффициенты.
Связь их с коэффициентами ур-ния (3.10) очевидна. При такой
форме записи дифференциального уравнения системы для ис-
следования устойчивости (наиболее удобно воспользоваться из-
вестным критерием Рауса—Гурвица [78]. Согласно этому кри-
терию, система, описываемая лицейным дифференциальным
уравнением типа (3.111), устойчива^ если действительные части
всех корней характеристического уравнения
86
AmX'" + Am_lXm~,+ . . . +A1X + Ao=0.	(3.12)
отрицательны, что возможно, если при Ат>0 определитель
D
An—1 Ап—3 Ат-5 ’ ‘ ‘
Ап Ап-2Ап-4 * * ‘
О An—1 ^m-3	5
(3.13)
о; \;;;;;;;; ‘; л0
и все его диагональные миноры
D2 =
Ат-1 Ап-3
Ат Ат—2
> 0; Р3-
А А А
т-3 ^т-5
Ат ^т—2 Atn-4
0
> 0 и т. д.
Если Ат имеет отрицательный знак, его можно изменить,
умножив ур-ние (З.Г1) на минус единицу.
Исследование устойчивости в «малом» системы ФАПЧ, опи-
сываемой уравнением произвольного порядка, может быть про-
ведено и на основании других 'критериев устойчивости (Най-
квиста, Михайлова), .которые достаточно полно освещены в ли-
тературе по теории устойчивости линейных систем, например в
[78], и здесь не приводятся. 'Критериями Найквиста и Михайло-
ва удобно пользоваться в тех случаях, когда, например, неиз-
вестно аналитическое выражение для коэффициента передачи
фильтра в цепи управления системы, а имеется лишь его
частотная характеристика, -заданная графически или таблично,
и также в случае высокого порядка дифференциального урав-
нения.
Рассмотрим теперь на конкретных примерах систем ФАПЧ с
наиболее широко применяемыми типами фильтров, как опреде-
ляется устойчивость в «малом».
§ 3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ В «МАЛОМ» СИСТЕМЫ ФАПЧ
С КОНКРЕТНЫМИ ТИПАМИ ФИЛЬТРОВ
В системе ФАПЧ часто применяется пропорционально-ин-
тегрирующий фильтр, две эквивалентные схемы которого пред-
ставлены на рис. 3.1. Обе схемы имеют аналогичный оператор-
ный коэффициент передачи и различаются между собой харак-
87
теристическими сопротивлениями. Обобщённый операторный
коэффициент передачи этих схем имеет вад
ЛГ(р)	;	(3.14)
w Тр^-1	v '
п
здесь m =--------— , Т — (^ + Т?2) С для схемы рис. 3.1а;
Ri 4- #2
пг =---——, Т=/? (Ci + С2) для схемы рис. 3.1 б.
Рис. 3.1. Схема пропорцио-
нально-интегрирующего
фильтра
Особенность пропорционально-
интегрирующего фильтра заключа-
ется в том, что его мгновенное вы-
ходное напряжение на высоких ча-
стотах пропорционально мгновенно-
му значению входного напряжения,
а в области нижних частот оно зави-
сит от интеграла последнего.
Рис. 3.2. Схема интегри-
рующего RC фильтра
При т = 0 этот фильтр превращается в обычный интегри-
рующий RC фильтр с постоянной (Времени Т (рис. 3.2).
Подставив в ур-ние (3.10) вместо Ь\ величину Т, а вместо
—ml\ получим следующее уравнение:
Тр* Дер + [ 1 + Йу tnTF' (Фо)] р ДФ + 2У F' (ф0) Дф = 0. (3.15)
Условие (3.13) применительно к ур-нию (3.15) принимает
следующий вид:
1 + 2утТР(ф0)>0
йуг'(Фо)>о
(3.16)
Поскольку всегда тТ>0, то первое условие непосредственно
вытекает из второго. Если, например, /'’(ф) =соз(ф), то условие
устойчивости в «малом» системы ФАПЧ с пропорционально-ин-
тегрирующим фильтром запишется следующим образом:
— Qy sin ф0 > 0.
88
Это ^выражение совпадает с условием устойчивости оз «ма-
лом» (2.19) системы ФАПЧ с идеализированным фильтром при
такой же характеристике фазового	д r
детектора.	—стэ—------*
Из выражения (3.16) непосред-
ственно следует, что в системе	~-
ФАПЧ с пропорционально-интегри-
рующим фильтром абсолютная ве- 0 J--------------—------
личина полосы удержания может Рис 33 схема
быть ПРОИЗВОЛЬНО боЛЬШОЙ.	'	’ фильтра
Рассмотрим теперь условия ус-
тойчивости в «малом» системы ФАПЧ с RLC фильтром (рис. 3.3).
Коэффициент передачи такого фильтра в операторной форме
имеет вид
К(Р)-
(3.17)
Где ш.=
d = —^
1/ L
—	граничная частота фильтра,
—	затухание фильтра.
В данном случае Ь2=	; Ьг = —; «1 = 0.
Подставив эти значения вместо bi в ур-ние (ЗЛО), получим
—р3Д<р + — ра Д<р + р Д<р ф йу F'(<р0) = 0.	(3.18)
«о	®о
Применив к этому уравнению условия (3.13), найдём:
ayF'(<Po)>
0
d>kF'(%)
(3.19>
где k= — безразмерный коэффициент, характеризующий со-
®о
отношение между граничной частотой фильтра и полосой удер-
жания.
Заметим, что первое условие устойчивости (3.19) совпадает
с одной из ф-л (3.16) и определяет положение точки устойчиво-
го равновесия на фазовом портрете. Однако для систем, описы-
89
H5L Q.5L
ТС
0-------SwM-------------0
Рис. 3.4. Схема LC фильтра
ваемых уравнением, порядок которых выше второго, это условие
является необходимым, но недостаточным. Для рассматривае-
мого случая, в частности, между затуханием фильтра d, коэф-
фициентом k и крутизной нормированной характеристики F'(<Po)
фазового детектора должно вы-
полняться соотношение (3.19).
При заданных d, k и Z7'(фо) макс
правая часть этого соотношения
достигает максимума. Отсюда
вытекает, что при косинусоидаль-
ной форме характеристики фазо-
вого детектора должно выпол-
няться неравенство
da)0>2y.	(3.20)
Определим теперь условия устойчивости в «малом» при ис-
пользовании в цепи управления системы ФАПЧ однозвенно-
го LC фильтра (рис. 3.4).
Коэффициент передачи такого фильтра в операторной фор-
ме имеет вид
Х(Р) =------г---------------2-------.	(3.21)
—гр’4- —--------------Р^М
п (Oq	COq	п «о
2
где о)0 =	;
VLC
п =----— — коэффициент рассогласования, равный отноше-
/4
нию сопротивления нагрузки к волновому сопро-
тивлению фильтра.
। 2
Из выражения (3.22) следует, что для LC фильтра bt -----
.	2	.	2	Л
^2 = —т-; bi =-----; Й! = 0.
Учитывая это, ур-ние (3.10) можно записать следующим об-
разом:
дф +	+ ,,.2Р.гА?_ + р Дф + Q F' (<р0) Д<р = 0.
(3.22)
Применяя к этому уравнению, как 'и ранее, условия Рауса—
Гурвица, получим
2уГ'(фо)>О
knF' (ф0) <0,5
(3.23)
90
В случае косинусоидальной формы характеристики фазового
детектора, условия устойчивости будут выполнены при любом
— л < ф02 < О
Й 0,5 —.
п
(3.24)
Из рассмотренных примеров видно, что в системах, описы-
ваемых уравнениями третьего и четвёртого '.порядков, полосу
удержания нельзя выбирать
произвольно. Она не долж-
на превышать некоторое кри-
тическое значение, опреде-
ляемое неравенствами (3.20)
и (3.24).
В сложных радиотехни-
ческих устройствах, содер-
жащих системы ФАПЧ, час-
Рис. 3.5. Блок-схема системы ФАПЧ с
полосовым усилителем
то встречаются случаи, ког-
да в цепи их обратной связи включаются различные инерцион-
ные звенья в виде фильтров, полосовых усилителей и т. п. (на-
пример, в системе ФАПЧ клистрона [40]).
Покажем, что в таких системах ФАПЧ так же, как и при
использовании фильтров нч второго и выше (порядков, нельзя
выбирать произвольно полосу удержания, не нарушая при этом
условий устойчивости в «малом».
На рис. 3.5 представлена одна из возможных схем ФАПЧ с
полосовым усилителем ПУ, включённым между подстраивае-
мым генератором и фазовым детектором.
Для облегчения анализа примем, что полосовой усилитель
состоит из N одноконтурных настроенных каскадов и, кроме то-
го, что после фазового детектора включен пропорционально-ин-
тегрирующий фильтр.
Операторный коэффициент передачи одноконтурного каска-
да при мгновенном отклонении фазы колебаний, проходящих
через этот каскад, выражается следующим образом [82, 83]:
Х1(р)=—(3.25)
_ 1
где Тк =---постоянная времени одиночного контура, а
Д(оо,7
Дсоо,7 — его полоса пропускания на уровне 0,7.
Из выражения (3.25) следует, что коэффициент передачи
одиночного настроенного контура аналогичен коэффициенту
передачи линейной интегрирующей RC (цепочки. Так как напря-
жение на выходе фазового детектора определяется разностью
фаз выходных напряжений полосового усилителя и эталонного
генератора, влияние полосового усилителя на мгновенные откло-
91
нения фазы высокочастотных колебаний равносильно влиянию
фильтра нижних частот с коэффициентом передачи
(1^Tkp)w
(3.26)
Учитывая, что в рассматриваемой системе ФАПЧ на выходе
фазового детектора включён проп'орционально-интегри'рующий
фильтр, можно заменить её системой с эквивалентным фильтром
нижних частот, имеющим коэффициент передачи
(3'27)
Для нахождения коэффициентов bj общего уравнения перво-
го приближения (3.1*0) необходимо записать знаменатель по
убывающим степеням р с помощью биноминальной формулы
Ньютона. В качестве примера рассмотрим случай, когда N=l.
Преобразованное выражение для операторного коэффициен-
та передачи эквивалентного фильтра в этом случае имеет .вид
Кл(р) --------,	(3 28)
ТкТр* + (Тк + Т)р^1	’
Ив выражения (3.28) следует, что а^—тТ; Ь2 — ТКТ и &i =
= ТК+Т. Соответствующее дифференциальное уравнение запи-
шется следующим образом:
ТкТр* Дф + (Тк + Т) р® Дф + П + S у mTF' (ф0)] X
х р Дф + Йу F' (ф0) Дф = 0.	(3.29)
Применяя, как и ранее, критерий Рауса—Гурвица (3.13),
получаем условия устойчивости в «малом» системы ФАПЧ с
одноконтурным полосовым усилителем и пропорционально-инте-
грирующим фильтром:
ЙУГ' (Фо) > °	1
(Т + Тк) [ 1 + Qy mTF' (ф0)] - TTKF' (ф0) йу > 0 J *	(3,30)
Из второго условия устойчивости можно найти максимально
допустимую полосу удержания в системе.
При большом числе каскадов вычисления условий устойчи-
вости по критерию Рауса—'Гурвица получаются весьма гро-
моздкими. В этом случае можно воспользоваться приближён-
ным выражением для коэффициента передачи многокаскадного
усилителя с одиночными настроенными контурами.
Обозначим суммарное время запаздывания, вносимое М-кас-
кадным усилителем, через Т3, тогда T3 — NTK и
=	----7 .......=	(3‘31)
W-.00	/1	_ \"
92
Это выражение справедливо только в том случае, когда Т3
не зависит от N, т. е. 'Когда с увеличением числа каскадов об-
щее время запаздывания не меняется. Из выражения (3.31) вы-
текает, что коэффициент передачи полосового усилителя с боль-
шим числом каскадов при мгновенных отклонениях фазы с до-
статочной точностью совпадает с коэффициентом передачи не-
искажающей длинной линии (линии задержки).
Будем считать, что на выходе фазового детектора включён
пропорционально-интегрирующий фильтр. Коэффициент пере-
дачи эквивалентного фильтра, аналогичного соединению много-
каскадного усилителя и пропорционально-интегрирующего
фильтра, имеет вид
К <р) = e-pr3 L±mlP
Лэоо УР)	1 + Тр '
(3.32)
Для определения коэффициентов ур-ния (3.110) te этом слу-
чае представим выражение (3.32) в следующей форме, заменив
множитель е~рТз степенным рядом:
[1 _ рТз (рТз)2 _
К(р) = '--------------2-----
,1)nwl
n! J
(1 + трТ)
1±рТ
(3.33)
Следовательно, bn = bl = T; ах — тТ—Т3. Подставляя значения
коэффициентов в ур-ние (3.10), получаем дифференциальное
уравнение, определяющее устойчивость в «малом» рассматри-
ваемой системы:
(3.35)
ТР* ДФ + [ 1 + Qy (mT - Т3) F' (фр)] р Дф + Qy F' (ф0) Дф = 0. (3.34)
Применяя, каки ранее, критерий (3.13), имеем:
£2уД'(ф0)>0
1 + Йу (mT-T3)F'(<РО) > 0
Из этих неравенств вытекает, что, если Т3<тТ, система
устойчива при любой полосе удержания. Если же Т3>пгТ, мак-
симально допустимая полоса удержания определяется следую-
щим соотношением:
(T3-mT)F(To)
(3.36)
В случае т = 0 (интегрирующий фильтр) получаем известные
[40] выражения для условий устойчивости в «малом» системы
ФАПЧ с линией задержки и однозвенным КС фильтром в цепи
обратной связи:
ЙуГ'(ф0) >0
(3.36а)
T3F' (?0)
S3
Полученные условия устойчивости в «малом» (3.35) соответ-
ствуют случаю равномерной амплитудной характеристики коэф-
фициента передачи многокаскадного полосового усилителя для
девиации фазы.
В работе [47] приведён анализ устойчивости в «малом» та-
кой системы ФАПЧ с учётом влияния амплитудной характери-
стики коэффициента передачи мгновенного отклонения фазы. Он
показывает, что условия устойчивости в «малом» для этого слу-
чая являются менее жёсткими. Поэтому при выполнении усло-
вий (3.35) реальная система с полосовым усилителем будет за-
ведомо устойчива.
§ 3.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЕ ФАПЧ
Рассмотрим случай, когда в результате возмущения разность
фаз эталонного и подстраиваемого генераторов остаётся в пре-
делах линейного участка нормированной характеристики фазо-
вого детектора. При этом поведение системы описывается ли-
нейным дифференциальным уравнением типа (3.11) с постоян-
ными коэффициентами, общее решение которого известно:
A<p(0=C1e-r*'+C2e-r’/+...+Cne-rne ,	(3.37)
где С{...Сп — произвольные постоянные, определяемые началь-
ными условиями, а Гъ„.,гп — корни характеристического
уравнения
Атгт + Лт_, г1”-1 + ... + Ао = 0,	(3.38)
соответствующего дифференциальному ур-нию (3.11).
Переходный процесс определяется характером корней
ур-ния (3.38). Описать его аналитически в общем виде трудно,
так как нельзя найти корни алгебраического ур-ния (3.38) про-
извольной степени.
Однако можно высказать некоторые общие соображения о
характере переходного процесса. Известно, что корни алгебраи-
ческого уравнения могут быть комплексными. Выше было пока-
зано (§ 3.1), что если система ФАПЧ устойчива в «малом», то
действительные части всех корней должны быть отрицательны-
ми. Если при этом мнимые части равны нулю, то переходный
процесс носит апериодический характер и может быть представ-
лен суммой экспонент. Если же мнимая часть хотя бы одного
из корней не равна нулю, то процесс может быть колебатель-
ным. Если мнимые части всех корней отличны от нуля, то пе-
реходный процесс определяется суммой затухающих синусоид с
различными параметрами. Установить характер переходного
процесса в системах ФАПЧ, описываемых дифференциальными
уравнениями, порядок которых не превышает пятого, можно при
94
помощи диаграмм Вышнеградского [84]. Однако уже для систем,
описываемых уравнениями четвёртого и пятого порядков, эти
диаграммы получаются громоздкими и адесь не приводятся.
Будем использовать диаграмму Вышнеградского только для
анализа систем третьего порядка.
Рассмотрим переходный процесс в системе, описываемой
уравнением второго порядка (анализ переходного процесса в
идеализированной системе дан в § 2.3).
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференци-
альному уравнению второго порядка линеаризованной системы
ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром (3.15),
имеет вид
Тг* + [ 1 + &у mTF' (ф0)] г + Qy F' (<р0) - 0.
Корни этого уравнения
_ r<QymTf\(y0) ^/[l^^tnTF’ (?ojp QyF'(?0) /о w
'1,2 “	2Т	— V	4Т2	f VXuyj
С учётом условия устойчивости в «малом» (3.16) для случая,
когда
[1 + Яу mTF' (<р0)]2 > 4TQyF' (<р0),	(3.40)
общее решение ур-ния (3.15) представляет собой сумму двух за-
тухающих экспонент:
Д<р(О =C1eL
Г 1 + gy mTF’ Ы
_ Л 1	12?
Г+ gy mTF' (<?,)
2Т
1 + gy rnTF’ (у.) ]2 _ 2у F’ (у.)
47-2
[1 + Йу mTF' (<ре)]2
Т
4Т2
(3.41)
Постоянные интегрирования С] и С2 находятся из начальных
условий:
Д<р (0) = Доф; Дф' (0) = Vo.
(3.42)
Воспользовавшись этими равенствами, получим:
2Т	Уо
_____1 4~ Qy F'	(?о)	А»?_______
/ [ 1 + Qy mTF'	(Уо)]2	Qy FQ
у 4Т2	Т
2Т	V»
______1 Qy mTF'	(уо)	Др?_______
ДП- Qy mTF' (у0)]*	Qy'rfaT
I/	47*2	т
(3.43)
(3.44)
т
95
Таким образом, даже для линеаризованной системы ФАПЧ,
описываемой дифференциальным уравнением второго порядка,
процесс установления фазы представляет сложную зависимость
от параметров системы ФАПЧ.
Для того чтобы найти время переходного процесса, нужно
решить ур-ние (3.41) (например, численными методами). Из
выражения (3.41) следует, что с увеличением т и уменьшением
Т время переходного процесса сокращается.
Если условие (3.40) не выполняется, процесс установления
при малом возмущении носит колебательный характер. Общее
решение ур-ния (3.15) в этом случае имеет вид
I -J- QyinTF' (<ct)
Дф (0 = С е	1 cos (Qo t + ®),	(3.45)
где С и 0 — произвольные постоянные, определяемые, как и
ранее, начальными условиями, а
О   “I f Qy (?о)	[1 Ч~ Qy mTF' (уо)]а
У р	47’2
— частота собственных колебаний системы при пере-
ходном процессе.
При общих начальных условиях (3.42) постоянные Си©
определяются следующим образом:
с =-------- АоУ	,	(3.46)
т / 1 , 1 I ко , 1 + Г (?о) тТ V
V + йо Uo? 2Г )
е = — arc tg — (Г».	1 + Qy (Фо)ф (3.47)
Qo \До?	2Р j •
Из выражения (3.45) следует, что характеристика переходно-
го процесса представляет собой затухающую косинусоиду, оги-
бающая которой убывает с постоянной времени
то =-----------—----------.	(3.48)
4 + Йу mTF (<р0)
Рассмотрим переходный процесс в линеаризованной системе
ФАПЧ, описываемой дифференциальным уравнением третьего
порядка.
Характеристическое уравнение в общем случае имеет вид
А3Г3 + А2г2 + Агг + Ао = 0.	(3.49)
При выполнении условий устойчивости в «малом» (3.13) это
уравнение может иметь либо три вещественных отрицательных
корня, либо один вещественный и два комплексно сопряжённых
с отрицательной действительной частью. В первом случае про-
96
цесс носит апериодический характер и выражается суммой трёх
экспонент:
Дф (/) = Ci e~rit + Са е	+ С3 e~r,t.	(3.50)
Корни ri, г2, гз 'Можно найти из формулы Кардана, а посто-
янные Сф С2, С3 — как «и ранее, из начальных условий.
Во втором случае переходный процесс определяется суммой
экспоненты и затухающей косинусоиды:
Дф (/) = Ci e~rit + С2 e~at cos (Qo t + ©),	(3.51)
где a — действительная часть комплексных корней.
Рис. 3.6. Диаграмма Вышнеградского для системы
третьего порядка
Для установления связи между параметрами системы ФАПЧ
и характером переходного процесса воспользуемся диаграммой
Вышнеградского [84]. Эта диаграмма (рис. 3.6) представляет
собой графическое изображение зависимости характера пере-
ходного процесса от некоторых обобщённых параметров А и В.
В [84] показано, что эти коэффициенты связаны с коэффициента-
ми ур-ния (3.49) следующей зависимостью:
А =------2— ; В =---------1 - .	(3.52)
?/ л2 А	у	2
у ™з^о	у
7—793
97
Условия устойчивости в «малом» (3.13) можно выразить че-
рез коэффициенты А и В:
А>0; В>0; АВ > 1.
Построив на плоскости с координатами А и В (рис. 3.6) ги-
перболу АВ = 1, получим границу устойчивости в «малом» си-
стемы, выше которой лежит область устойчивости. Эта область
делится на три части.
1.	Апериодический переходный процесс. Эта часть области
ограничена кривыми СЕ и CF, которые, как показано в [84],
строятся по уравнению
Д2В2_4(Лз + Вз)+ is АВ— 27 = 0.
2.	Колебательный переходный процесс. Эта часть области на-
ходится между границей устойчивости и кривыми CF и CD. По-
следняя строится по уравнению
2А3 —9АВ + 27 = 0
при
А<3.
3.	Неколебательный переходный процесс. Эта область огра-
ничена кривой DCE.
Время переходного процесса в линеаризованной системе
ФАПЧ, описываемой уравнением третьего порядка, следует оп-
ределять численным решением ур-ний (3.50) или (3.51).
Глава 4
Нелинейная
автономная
система ФАПЧ
§ 4.1. КАЧЕСТВЕННАЯ СТОРОНА ЯВЛЕНИЙ
ПРИ ЗАХВАТЕ
Рассмотрим явления, сопровождающие захват в системе
ФАПЧ с реальным фильтром.
Переход системы из режима биений в режим захвата связан
с неизбежным изменением частоты биений от её конечного зна-
чения до нуля. Физически всякое отклонение частоты биений от
среднего значения возможно только при изменении постоянной
составляющей напряжения на входе управляющего элемента.
В связи с этим необходимо выяснить зависимость постоянной
составляющей вносимой расстройки в режиме биений от началь-
ной расстройки.
Известно, что любой фильтр нижних частот вносит амплитуд-
ные и фазовые искажения. Рассмотрим в отдельности влияние
каждого из этих факторов на полосу захвата.
Предположим, что в цепь обратной связи системы после фа-
зового детектора включена идеальная (неискажающая) линия
задержки. Эта линия не изменяет ни амплитуды, ни формы сиг-
нала, поступающего с выхода фазового детектора на управляю-
щий элемент, а только вносит временной сдвиг.
Поскольку период переменного напряжения биений на входе
и выходе линии один и тот же, запаздывание приводит к тому,
что за промежуток времени, в течение которого напряжение на
выходе фазового детектора положительно, напряжение на входе
управляющего элемента обязательно будет не только положи-
тельным, но и отрицательным. Это означает, что в течение по-
ложительной полуволны напряжения биений на выходе фазового
детектора скорость изменения её во времени оказывается не
7*	99
только пониженной (как это имеет место в системе с идеализи-
рованным фильтром нижних частот), но и повышенной. В ре-
зультате форма (колебаний на выходе фазового детектора изме-
няется: положительный полупериод биений меньше растягивает-
ся, а отрицательный меньше сжимается, чем при отсутствии за-
держки. Такое изменение выравнивает площади под кривой на-
пряжения биений и, следовательно, уменьшает постоянную со-
ставляющую в режиме биений.
Рассмотрим влияние амплитудных изменений компонент
сигнала, проходящего через фильтр. С уменьшением напряже-
ния биений на управляющем элементе величина девиации час-
тоты биений уменьшается, а следовательно, уменьшается и сте-
пень асимметрии положительной и отрицательной полуволн
напряжения на выходе фазового детектора, что также умень-
шает постоянную составляющую в режиме биений.
Таким образом, как временная задержка, так и завал час-
тотной характеристики фильтра приводят к уменьшению посто-
янной составляющей напряжения на входе управляющего эле-
мента, а следовательно, и к повышению частоты биений при
той же начальной расстройке по сравнению с идеализированной
системой ФАПЧ. Если в системе ФАПЧ с идеализированным
фильтром вследствие частичного увлечения частота биений при
приближении начальной расстройки к полосе удержания стре-
милась к нулю, то в системе с реальным фильтром частота бие-
ний стремится к нулю при начальной расстройке, меньшей по-
лосы удержания.
На основании изложенного следует выбирать фильтр в цепи
обратной связи системы ФАПЧ с наименьшим фазовым сдви-
гом при заданной его амплитудно-частотной характеристике. Та-
кому условию удовлетворяют цепи минимально фазового типа,
•имеющие функциональную связь между амплитудно-частотной
и фазо-частотной характеристиками [65]. Эта связь не позволяет
произвольно менять параметры системы ФАПЧ с фильтром
нижних частот и усложняет картину явлений в системе с реаль-
ным фильтром.
§ 4.2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
СИСТЕМЫ ФАПЧ ПРИ БОЛЬШИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Любая система ФАПЧ всегда может подвергаться действию
больших возмущений. Например, при включении системы часто-
ты генераторов ещё не равны друг другу и мгновенная разность
фаз с одинаковой вероятностью может принимать любые зна-
чения в пределах О<фо<2л. При таком диапазоне изменения на-
чальной разности фаз принципиально нельзя пренебречь нели-
100
пейностью характеристики фазового детектора. Поэтому устой-
чивость в «большом» можно определить только на -основании
анализа нелинейного дифференциального ур-ния (1.11), описы-
вающего систему ФАПЧ с произвольным линейным четырёхпо-
люсником в цепи управления.
В тех случаях, когда удаётся найти решение уравнения (точ-
ное для системы, описываемой уравнением первого порядка,
или приближённое для систем более высоких порядков), для
определения устойчивости достаточно проанализировать его при
t—* со. В тех же случаях, когда невозможно получить даже при-
ближённого решения, исследование устойчивости можно прове-
сти специальными методами.
В нелинейных системах в общем случае различают два ос-
новных вида устойчивости '[78]: устойчивость по Ляпунову и
асимптотическую.
Устойчивость в «малом» систем ФАПЧ в дальнейшем рас-
сматривается, в основном, асимптотическая, т. е. ,такая устой-
чивость, при которой разность фаз в режиме удержания для
случая, когда оо , стремится к одному и тому же постоянно-
му значению независимо от величины или знака малого возму-
щения.
В настоящее время для исследования устойчивости в «боль-
шом» систем ФАПЧ применяется несколько методов. Наиболее
общим и строгим является второй метод Ляпунова. Однако он
требует в каждом отдельном случае применения специальных
V-функций Ляпунова, для которых в настоящее время нет об-
щих правил построения.
Кроме того, громоздкость построений, необходимых для по-
лучения аналитических условий устойчивости, заставляет при-
бегать к другим, более простым приближённым методам. К ним
относятся: метод кусочно-линейной аппроксимации характерис-
тики фазового детектора, метод гармонического баланса и ме-
тод аппроксимации основного уравнения.
Возможно также численное решение основного уравнения
системы ФАПЧ с последующей аналитической аппроксимацией
полученных результатов. Для этого обычно пользуются элек-
тронно-вычислительными машинами.
Каждый из этих приближённых методов обладает своими
достоинствами и недостатками.
Так, метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики
нелинейного элемента в сочетании с исследованием топологии
фазового пространства позволяет сравнительно несложно опре-
делять не только условия устойчивости в «большом», но также
и характер переходного процесса. Однако он эффективен толь-
ко для систем, описываемых уравнениями не выше третьего по-
рядка, поскольку для более сложных систем ФАПЧ значительно
затрудняется решение этих уравнений.
101
При помощи метода гармонического баланса можно найти
приближённую аналитическую зависимость полосы захвата о г
параметров системы.
Эффективность его тем больше, чем ближе точное решение
основного уравнения к гармоническому. Поэтому результаты,
получаемые с его помощью, оказываются близкими к истинному
значению только для достаточно инерционных систем. В дру-
гих случаях теряется простота применения этого метода.
Метод аппроксимации основного уравнения также позволяет
получить аналитически условия устойчивости в «большом» си-
стемы. Достоинством этого метода является общность результа-
тов, поскольку его использование не предполагает большой
инерционности системы.
Ниже кратко излагается суть этих методов и приводят; я
результаты, полученные с их помощью.
| 4»3» ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В «БОЛЬШОМ»
СИСТЕМЫ ФАПЧ ВТОРЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА
Второй метод Ляпунова был разработан для нелинейных
систем, имеющих единственное состояние равновесия. Он по-
зволяет определить условия устойчивости равновесия нелиней-
ной системы при любых начальных возмущениях, не прибегая
к интегрированию описывающих её дифференциальных урав-
нений.
В системах ФАПЧ возможно бесконечное множество состоя-
ний равновесия, различающихся по координате ср на величину
&*2л(&=1, 2, 3, 4.,.). Поэтому второй метод Ляпунова непо-
средственно не может быть применён к исследованию устойчи-
вости систем ФАПЧ.
В работах [36], [45] этот метод распространён на системы с
множеством состояний равновесия.
Прежде чем рассматривать применение видоизменённого
метода Ляпунова, напомним вкратце основные положения вто-
рого метода Ляпунова, относящегося к системам с единствен-
ным состоянием равновесия.
Запишем уравнение, описывающее систему ФАПЧ, в следу-
ющем виде:
/7 у.
Д- =/(*1, *2, *3, •  • ,хп).	(4.1)
at
Здесь Xi (7=1, 2, 3,	— независимая координата изобра-
жающей точки в фазовом пространстве, имеющем п измерений.
Пусть в системе имеется единственное состояние равновесия,
определяемое условием
= Х2 = *з = Ха ” О*
102
Если бы можно было получить решение нелинейного диф-
ференциального уравнения, то исследование устойчивости сво-
дилось бы к нахождению пределов xb х2, х3,...,хп при t—> оо.
А. М. Ляпунов предложил, не решая основного ур-ния (4.1),
исследовать изменение во времени некоторой специальной
функции V от координат хг*.
Поведение V (хь х2,..., хп) во времени определяется её пол-
ной производной по времени
dV dv dx-L . dV dx2 .	. 37 dxn	,л Q4
-- =---- --- “|--------. “T“ ------- --- •
dt dxi dt dx2 dt	dxn dt
Из этого выражения следует, что ----- есть также функция
dt
координат системы, а её знак определяет направление измене-
ния функции V (убывание или возрастание во времени).
Ляпунов нашёл в общем виде достаточные условия, которым
.	dV	*
должны отвечать функции V и —, для того чтобы с помощью
dt
этих функций можно было получить сведения об устойчивости
состояния равновесия системы.
При формулировке этих условий введём следующие опреде-
ления. Будем называть функцию знакоопределённой в некото-
рой области, охватывающей точку равновесия, если она сохра-
няет один и тот же знак во всех точках этой области, нигде не
обращаясь в нуль, за исключением самой точки равновесия.
Если знак функции во всей области положителен, то она бу-
дет называться положительно-определённой; если же её знак
отрицателен, она будет называться отрицательно-определённой.
Функцию, которая обращается в нуль не только в точке
равновесия, но и в других точках указанной области, причём
сохраняет один и тот же знак при всех её значениях, отличных
от нуля, будем называть знакопостоянной: постоянно-положи-
тельной или постоянно-отрицательной.
Знакоопределённая, однозначная и непрерывная функция
всех своих аргументов (хь х2, х3,...,хп), явно от времени не за-
висящая, называется функцией Ляпунова первого рода.
Ляпунов показал, что если дифференциальное уравнение си-
стемы позволяет найти знакоопределённую, неограниченную по
всем координатам непрерывную функцию V (хь х2,хп), про-
изводная которой по времени, вычисленная на основании исход-
ного дифференциального уравнения, также является знакоопре-
делённой функцией противоположного с V знака, нигде не об-
ращающейся в нуль, за исключением самой точки равновесия,
то состояние равновесия асимптотически устойчиво.
Более подробно этот вопрос изложен в известных работах
[85, 86]. Рассмотрим видоизменённый метод Ляпунова, повволя-
103
ющий исследовать устойчивость системы ФАПЧ с произволь-
ным четырёхполюсником в цепи управления, описываемой
ур-нием (3.4), предложенный в [!36, 45].
Предположим, что Р(ф) в этом уравнении есть однозначная
непрерывная и периодическая с периодом 2л функция, удов-
летворяющая условию Липшица, и, кроме того, что в интервале
0<ф<2л ур-ние (3.4) имеет только две точки равновесия <pOi и
Ф02. -Поскольку функция Р(ф) периодическая, то значения
Фо1 + 2&л и фо2+'2йл (k =0, 1, 2,..., п) есть также точки равнове-
сия системы.
Ранее было показано, что в точке фо1 равновесие неустойчи-
во, а в точке ф02 — устойчиво. Следовательно, система ФАПЧ
имеет 'бесчисленное множество состояний равновесия, причём
устойчивые состояния чередуются с неустойчивыми. Примем за
начало отсчёта точку устойчивого равновесия. Координаты то-
чек равновесия определяются из равенства Р(ф)=ун. В боль-
шинстве случаев все возможные состояния равновесия, разли-
чающиеся на 2&л, совершенно равнозначны, поэтому будем счи-
тать систему устойчивой, если устойчиво какое-нибудь очевид-
ное решение её уравнения.
Отсюда следует, что критерий устойчивости должен обла-
дать периодичностью по ф. Это условие автоматически выпол-
няется, если функция Ляпунова удовлетворяет всем обычным
требованиям, предъявляемым к ней, и кроме того, является
периодической функцией координаты ф.
Однако, как указывалось выше, построение таких функций
весьма затруднительно, поэтому в {36, 45] ‘рекомендуется поль-
зоваться аппаратом разрывных V-функций Ляпунова.
В дальнейшем, как обычно, будем подразумевать под коор-
,	d ф d2 ф dn ф
динатами фазового пространства величины: ф,	.
Проведём мысленно через точки неустойчивого равновесия
Фо1 + 2&л поверхности <p=const, тогда всё пространство окажет-
ся разделённым на множество областей, причём в каждой об-
ласти будет находиться по одной точке устойчивого равновесия.
В силу периодичности Р(ф) все области будут одинаковыми, по-
этому 'рассмотрим одну из них — Go. Обозначим границы этой
области через Pi и Р2.
В области Go применим обычный метод Ляпунова, поскольку
внутри неё имеется только одно состояние равновесия. Однако
при движении изображающей точки в фазовом пространстве
V-функция может пересечь границы области, поэтому необходи-
мо, чтобы выполнялись дополнительные условия [36, 45]. Пусть
дифференциальное уравнение, описывающее систему, позволяет:
1) указать знакоопределённую функцию V (хь х2,..., хп),
не ограниченную по координатам х2, *з, • хп, производная кото-
рой по времени, вычисленная в соответствии с исходным уравне-
104
нием, представляет собой также знакоопределённую функцию
противоположного с V-функцией знака;
2) указать знакоопределённую функцию v (х2, х3,...,хп) од-
ного знака с V-функцией, причём приращение её модуля, воз-
никающее при движении изображающей точки от поверхности
к поверхности P2(Pi), лежит в пределах:
А |у| < С < О,
где С — произвольное число, меньшее нуля.
В этом случае система асимптотически устойчива при любых
начальных условиях. Действительно, произвольная траектория
изображающей точки, начинающаяся на поверхности Pi(P2),
может либо вся принадлежать одной области, заключённой
между двумя граничными поверхностями, либо может пересечь
соседнюю поверхность.
При выполнении первого условия все траектории первого ти-
па с течением времени заканчиваются в точке устойчивого
равновесия. Для траекторий второго' типа при выполнении вто-
рого условия функция v с переходом из одной области в дру-
гую становится всё меньше и меньше, и в конце концов эта
траектория превратится в траекторию первого типа, ибо
0 и обратится в нуль в какой-либо области.
Если предположить, что траектория второго типа не превра-
щается в траекторию первого типа, то функция и должна либо
потерять свойство знакоопределённости, либо приращение её
модуля не будет удовлетворять предъявляемому к ней требова-
нию А |^| < С<0.
Рассмотрим теперь определение условий устойчивости в
«большом» методом разрывных функций Ляпунова на примере
системы ФАПЧ, описываемой уравнением третьего порядка [36].
Основное уравнение этой системы имеет вид
+ A  + В + F (Ф) = Тн.	(4.3}
Здесь Л и В — постоянные положительные параметры,
т—относительное время.
К этому виду можно привести, например, основные уравне-
ния систем ФАПЧ с двухзвенным RC и RLC фильтрами.
Уравнение (4.3) эквивалентно следующей системе уравнений
первого порядка:
d-T=y^ ^Г=г'’ ^- = —Р{у) — Ву — Аг+Чн-
ах	ах	ах
Выберем функцию Е(ф)=— при —л<ф<л, повторяющуюся
л
периодически с периодом 2л. Поскольку Е(ф) разрывна при
|ф| =л, то ур-ние (4.3) следует дополнить условиями скачков
10В
координат. Однако при выбранной системе координат их скач-
ки при переходе границы раздела равны нулю.
Изложенными ранее способами можно. показать, что состоя-
ние равновесия фо2 = яун асимптотически устойчиво в «малом»,
если выполняется условие
тгЛВ> 1.	(4.4)
При этом функция
(4.5)
Л " Л	&	£
удовлетворяет первому условию. Здесь <рх ==(р—<р02.
Чтобы проверить, удовлетворяет ли функция V второму ус-
ловию, необходимо вычислить приращение функции
» =	+^+i	(4.6)
при изменении координаты qpi на величину 2л. Это вполне осу-
ществимо, так как при выбранном типе нелинейности характе-
ристики фазового детектора решение ур-ния (4.3) известно на
всём участке 0<ф1<2л.
Для определения связи между параметрами системы, при
которых она является устойчивой (Ду<С<0), необходимо:
1.	По известной форме решения определить координаты у
и z.
2.	Исключив время в явном виде, выразить у и z в функ-
ции от V.
3.	Давая приращение равное 2л, определить приращение
функции v, полагая, что она определяется ур-нием (4.6).
4.	Найти границу области параметров, при которой
Ду<С<0, что определяет область устойчивости в «большом»
системы.
Однако следует отметить, что выполнение указанных опера-
ций сопряжено со значительными трудностями. Так, например,
даже для системы, описываемой уравнением второго порядка,
выразить аналитически координаты системы через основную
переменную ф1 в общем случае невозможно'. Величину Av тем
не менее можно определить путём численных расчётов либо пу-
тём аппроксимации решения ф1(7) в интервале 0<ф1<2л.
Часто оказывается успешной аппроксимации q\(t) аналогич-
ным решением уравнения системы, имеющего порядок, на еди-
ницу меньший. При помощи такой аппроксимации в [36] опре-
делена зависимость полосы захвата от параметров системы, опи-
сываемой уравнением третьего порядка, аналогичным ур-нию
(4.3). Особенно трудно вычислить приращение функции V, ког-
да характеристика фазового детектора имеет косинусоидальный
характер. В этом случае форма решения на участке 0<ф1<2л
106
неизвестна, и чтобы найти её, приходится применять различные
искусственные приёмы.
В качестве примера определим устойчивость системы ФАПЧ,
описываемой ур-нием (4.3), при В(ф) =cos<p [112]. Для этого
случая ур-ние (4.3) представим в виде следующей системы:
^ = z; C-^ = -fi^-By-Az, (4.7)
ат	ат	ат
где f (<р) =cos<p—ун; С — положительный постоянный коэффи-
циент (для данного случая С=1).
Выберем в качестве V-функции Ляпунова функцию вида
У=Л f /(<р)й(р + С/((р1+?02)+ СВ^ + -L(Ay+Cz)l (4.8)
J	£ А
Те 2
Производная по времени от этой функции
dV
= -У2 [С sin (cpi+?02)+ АВ]	(4.9)
ат
будет знакоотр'Ицательной при условии, что
АВ>С.	(4.10)
Для вычисления приращения функции v вдоль траектории
изображающей точки воспользуемся методом малого параметра.
Найдём приближённое значение функции у (ср) из выражения
(4.8), полагая С = 0:
У = ф У2V-2Л j/(<p)d<p.	(4.11)
Это выражение позволяет представить ф-лу (4.9) в виде
+ в) |/2V-Л J/(<p)d<p.	(4.12)
При помощи ур-ний (4.8) и (4.9) можно представить выра-
жение (4.12) в следующей форме:
gJL+	+ -Lcoscp =	.	(4,13)
dz2	A2 dr А	А	7
Таким образом, применяя метод малого параметра, можно
аппроксимировать уравнение третьего порядка системы уравне-
нием второго порядка. Условия устойчивости решения (4.13)
можно найти, определив Av. Известно [45], что при
АВ^>1, А>В2 и ун<^1 условие устойчивости имеет вид
Тн<1,27-^.	(4.14)
107
уело-
(4-15)
И для
уело-
В частности, для системы ФАПЧ с RLC фильтром это
вне записывается следующим образом:
. 1,27
Тн "" Vkd
Применение метода Ляпунова оказывается успешным
систем с запаздыванием. Так, в [51] найдены достаточные
вия устойчивости в «большом» системы ФАПЧ с идеальной ли-
нией задержки в цепи обратной связи.
§ 4.4. МЕТОД КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗОВОГО ДЕТЕКТОРА
Как уже отмечалось (гл. 2), форма характеристики баланс-
ного фазового детектора занимает промежуточное положение
между косинусоидой и треугольной кривой. Характеристика
кольцевого детектора лишь незначительно отличается от неё.
Следовательно, эту характеристику можно аппроксимировать
двумя отрезками прямых (рис. 2.5).
Впервые такая аппроксимация была применена для исследо-
вания устойчивости в «большом» системы ФАПЧ, описываемой
дифференциальным уравнением второго порядка [17]. Она по-
зволяет аналитически определить полосу захвата. Действитель-
но, нелинейное дифференциальное уравнение в этом случае
можно заменить двумя линейными дифференциальными уравне-
ниями, каждое из которых справедливо для одного определён-
ного участка значений <р. Решения этих уравнений легко нахо-
дятся, так как общая их форма известна.
По найденным решениям уравнения на отдельных участках
можно определить поведение системы ФАПЧ при непрерывном
изменении искомой величины ср(0- Для этого необходимо, за-
давшись произвольными начальными условиями, найти, какому
из двух участков характеристики фазового детектора они соот-
ветствуют. Затем, воспользовавшись начальными условиями и
известным решением для этого участка, следует определить ус-
ловия, при которых разность фаз достигает границы, разделяю-
щей отдельные участки. Эти условия, далее, считаются началь-
ными для следующего отрезка и т. д. Таким образом, можно
построить полное решение основного нелинейного дифференци-
ального уравнения. Этот приём носит название припасовывания
или сшивиния (смыкания) отдельных решений.
Если построить решения для очень большого числа началь-
ных условий, можно найти критическое значение начальной рас-
стройки, т. е. полосу захвата. Однако этот процесс является
чрезвычайно трудоёмким, и для определения полосы захвата
прибегают к тем или иным критериям, позволяющим найти её
без построения всего фазового портрета. Так как применение
108
этих критериев также достаточно трудоёмко, практически их
можно использовать для дифференциальных уравнений, поря-
док которых не превышает 24-3.
Напомним некоторые определения из теории колебаний, относящиеся
к особым точкам и кривым фазовой плоскости [78, 86], на которой можно
изобразить фазовый портрет системы ФАПЧ, описываемой уравнением вто-
рого порядка.
На фазовой плоскости принято различать особые точки, предельные
циклы и сепаратриссы. Особыми точками фазовой /плоскости называются
точки, в которых наклон фазовых траекторий становится неопределённым.
При этом изображающая точка может стремиться по этим фазовым траек-
ториям к особой точке, удаляться ют неё, находиться в неподвижности
в этой точке либо приближаться к ней с одной стороны и удаляться
с другой.
В первом случае особые точки будут точками устойчивого равновесия
Фазовые траектории в районе этих точек образуют либо устойчивый узел
(рис 4.1я), либо устойчивый фокус (рис. 4.16). Во втором случае фазовые
траектории образуют фигуры, называемые неустойчивым узлом (рис. 4.2ц)
или неустойчивым 'фокусом (рис. 4.26). В третьем случае фигура называется
центром ;(рис. 4.3). Наконец, если изображающая точка, с одной стороны,
движется по направлению к особой точке, а с другой, — удаляется от неё,
то фигура называется седлом (рис. 4.4). Положение равновесия в точке, об-
разующей седло, является полуустойчивым.
Предельными циклами называются замкнутые фазовые траектории, к
которым стремятся или от которых удаляются все траектории движения,
начинающиеся внутри областей притяжения или отталкивания особых тра-
. екторий, расположенных вокруг этих предельных циклов.
Предельный цикл, к которому стремятся другие фазовые траектории
при /->оо, называется устойчивым, в противном случае он называется неус-
тойчивым.
Предельный цикл, к которому стремятся фазовые траектории, лежащие
по одну сторону от него, и от которого удаляются фазовые траектории, рас-
положенные по другую сторону от него, называется полуустойчивым. Полу-
устойчивый предельный цикл возникает в результате непрерывного измене-
ния параметра, определяющего тип цикла. Значение этого параметра, соот-
ветствующее границе перехода цикла от устойчивого состояния к неустой-
чивому, называется бифуркационным.
В тех случаях, когда имеется положение равновесия типа «седло», на
фазовом портрете можно выделить две асимптоты /Ц и А2 (рис. 4.4), прохо-
дящие через начало координат и разделяющие фазовую плоскость на обла-
сти устойчивого и неустойчивого равновесия. Такие асимптоты называются
сепаратриссами.
Полюса захвата -неразрывно связана с переходом от устой-
чивого предельного цикла, соответствующего режиму биений, к
полуустойчиво1му. Когда цикл станет полуустойчивым, то, с од-
•ной стороны, часть фазовых траекторий будет приближаться к
нему, тогда как с другой — фазовые траектории удаляются от
него. Задача отыскания полосы захвата, таким образом, сво-
дится к определению условий, при которых предельный цикл
станет полуу-стойчиным.
При наличии в системе нескольких предельных циклов сле-
дует найти такое наибольшее значение начальной расстройки,
при котором -все предельные устойчивые циклы отсутствуют.
109
Рис. 4.1. Устойчивый узел (а);
устойчивый фокус (б)
Рис. 4.2. Неустойчивый узел (а);
неустойчивый фокус (б)
Рис. 4.3. Центр
Рис. 4.4. Седло
110
Если заранее известно (или можно определить каким-либо спо-
собом), что в системе имеется только один полуустойчивый цикл
и что он образуется в результате слияния двух интегральных
кривых, выходящих из точек неустойчивого равновесия, которые
отстоят друг от друга на 2л, то для определения полосы захва-
та достаточно найти условия, при которых эти интегральные
кривые сливаются. Такой «метод был использован в работах
[17] и [27] для определения зависимости полосы захвата от
параметров однозвенного и двухзвенного интегрирующих
фильтров.
Рассмотрим применение этого метода на примере системы
ФАПЧ с однозвенным интегрирующим фильтром [17]. Коэффи-
циент передачи интегрирующего фильтра имеет следующий вид:
1 4- Тр
где Т — RC — постоянная времени фильтра.
Нормированная характеристика фазового детектора при ку-
сочно-линейной аппроксимации определяется выражением
(2.35). Подставляя ф-лы (4.16) и (2.35) в основное ур-ние
(1.11), находим:
Ту <р + р<р+Йу А [<р += 2и [_к<(р<0]’
ту ср + РФ- Q А(ф_ А
л \	2
Для сокращения записи вводятся следующие обозначения:
Тогда выражения (4.17) принимают вид:
<p"+2Xq/ +	[_ те<Ф<0]
<р" + 2Х<р' — —(ф— -^) = Тн [0<Ф<*Г
Л \	2 /
Точки устойчивого и неустойчивого равновесия определяют-
ся ф-лами (2.39) и (2.40). Исследуем поведение фазовых траек-
торий в областях, прилегающих к этим точкам.
В системах с периодической нелинейностью фазовый порт-
рет представляет собой поверхность кругового цилиндра [78].
При этом ось рф совпадает с образующей последнего. В даль-
нейшем будем рассматривать развёртку этой поверхности на
плоскости ф; рф. В таких системах различают два типа предела
ных циклов [78]: предельные циклы I рода, охватывающие точ-
ill
RO
Рис. 4.5. Фазовый портрет системы ФАПЧ, описы-
ваемой уравнением второго порядка при ун>Уз
Рис. 4.6. Фазовый портрет системы ФАПЧ при
Yh Vs
ку равновесия, и предельные циклы II рода, охватывающие ци-
линдр.
Система уравнений, аналогичная (4.18), при F((p)=smcp рас-
сматривалась в [5] и [26]. В этих работах было показано, что
при |yj<l в такой системе может быть только один полуустой*
чивый предельный цикл II рода. Это означает, что >в системе
присутствует разность частот обоих генераторов, а разность фаз
в среднем непрерывно нарастает.
Этот полуустойчивый предельный цикл возникает в резуль-
тате слияния двух сепаратрисе, соответствующих точкам устой-

2я -я и я 2я
I
Рис. 4.7. Фазовый портрет системы ФАПЧ при
Ун < Уз
чивого и неустойчивого равновесия в одной из полуплоскостей
фазового пространства, При ун>'0 это происходит в верхней по-
луплоскости, а при уи<0 — -в нижней.
Рассмотрим картину образования полуустойчивого предель-
ного цикла на фазовом портрете при изменении ун.
Если— йу 7 < 1 и |ун1 <1, состояние равновесия при
л
g
—л<Ф<0 характеризуется устойчивым узлом, а при —ЯуТ> 1
л
8—793	113
— устойчивым фокусом. Точка неустойчивого равновесия,
лежащая в интервале 0<ф<л, является седлом.
На рис. 4.5а построена часть фазового портрета для случая,
когда — йу71> 1 и ун>уз. Здесь устойчивый предельный цикл
л
образуется из одной ветви сепаратриссы, выходящей из точки
неустойчивого равновесия <роь Областью притяжения кривой
является вся фазовая плоскость, за исключением её части, огра-
ниченной штриховкой. При этом сепаратрисса Сь выходящая
из точки фоь идёт выше сепаратриссы входящей в точку
Фоз“Фо1 +'2 л.
Так как ун>Уз, с течением времени изображающая точка бу-
дет стремиться к положению устойчивого равновесия не при лю-
бых начальных условиях. Состояние равновесия в системе
ФАПЧ, имеющей этот портрет, возможно только в том случае,
если изображающая точка не выходит за пределы области,
ограниченной штриховкой.
По мере уменьшения ун фазовый портрет изменяется; при-
чём наклон сепаратриссы Сх уменьшается, а сепаратриссы С2
увеличивается [64]. При некотором критическом значении на-
чальной расстройки сепаратриссы и С2 сливаются в верхней
полуплоскости и образуют полуустойчивый предельный цикл
(рис. 4.6а/ Эта расстройка соответствует полосе захвата.
При дальнейшем уменьшении ун сепаратрисса Ci проходит
ниже сепаратриссы С2 и предельный цикл исчезает (рис. 4.7а),
а изображающая точка при любых начальных условиях стре-
мится к точке устойчивого равновесия.
Изменение формы фазового портрета при уменьшении ун
для случая, когда — QyT<l, представлено на рис. 4.56; 4.66;
Л
4.76.
Таким образом, для определения полосы захвата достаточно
найти связь между начальной расстройкой и параметрами си-
стемы, при которой сохраняется тип фазового портрета, изобра-
жённый на рис. 4.6а и 4.66.
Рассмотрим случай — QyT< 1, когда точка устойчивого
Я
равновесия получается типа устойчивого узла. Покажем, что
для 0<ун<1 сохраняется характер фазового портрета рис. 4.66.
Напомним, что фазовые траектории нигде не пересекаются,
за исключением особых точек.
Ранее было отмечено, что в системе ФАПЧ с однозвенным
RC фильтром предельный цикл может быть только один и об-
разуется он интегральными кривыми, идущими из седла в сед-
ло. Но через точку неустойчивого равновесия типа седла про-
ходят только две интегральные линии (сепаратриссы) С\ и С2
[78]. Поэтому, если движение изображающей точки по этим ли-
114
ниям направлено к точке устойчивого равновесия, то можно най-
ти условия существования фазового портрета типа рис. 4.66.
Для этого рассмотрим две ветви сепаратриссы, выходящей
из точки неустойчивого равновесия (рис. 4.76). Характерной
особенностью этого портрета является то, что точки А и Б пере-
сечения ветвями сепаратрисе линий ф=±л и <р = 0 лежат бли-
же к оси 'абсцисс, чем точки В и Г пересечения этих же линий
осью 01 узла. Поскольку точки устойчивого и- неустойчивого
равновесия расположены симметрично относительно линий
<р=±л и ф=0, условие взаимного расположения точек А и Б;
В и Г равносильно следующему неравенству:
| ^С1] < | ^О1| 
(4.19)
где &С1 —угловой коэффициент сепаратриссы Сь
&oi — угловой коэффициент оси узла
Для определения £С1 и А01 запишем на основании системы
(4.18) уравнения фазовых траекторий. Вводя обозначение
(4.20)
получаем:
t/	2 / , л \ .
=-2Xt/- — Ф + — +l,
dt	л \	/
du	СП г 2 /	л \ ,
=_2kj/+— ф —v +Тн
dt	л \	2 /
[— тс <Z ф	0]
[О < ф < л]
(4.21)
Переходя к дифференцированию по ф, получим уравнения ин-
тегральных кривых:
у^ + 2).у+ А(ф + ^-ь = 0 [-л<Ф<0]
л \	2 )
у-^- + 2Ку--(ф + 4-рЬ= 0	[0<ф<тг]
dy	л \	2 /
.(4.22)
Зная, что сепаратриссы и оси представляют собой прямые ли-
нии, совпадающие с интегральными кривыми [78], найдём их уг-
ловые коэффициенты. Для этого достаточно продифференциро-
вать по ф ур-ния (4.22), учитывая, что —const:
d т
о
---=0	[— л < ф < 0]
v	л
о
^4-2Х^с —^- = 0	[0 < ф < л]
(4.23)
115
8*
Здесь
k0 = — для — к < <р < О,
dy
Ь = — ДЛЯ О< ф <тс.
d <р
Из ур-ний (4.22) следует, что	не зависят от ун, а оп-
ределяются исключительно параметром X:
*о..2 = -^±КХа — -5-
(4.24)
Из этих четырёх значений выделим угловые коэффициенты,
соответствующие сепаратриссе, по которой изображающая точка
удаляется от положения ’неустойчивого равновесия в седле и от
оси узла, имеющей наименьший наклон:
*<,,=->•+ yV-А,	(4.25)
*а= к+]Аа + 4-	(4.26)
Из сравнения ф-л (4.25) и (4.26) вытекает, что при
— ЙуТ<1(или V >	16011 > рс1|.
Таким образом, если выполняются условия существования
устойчивой точки типа узла, для всех (ун|<1 сохраняется струк-
тура фазового портрета типа рис. 4.76. Отсюда следует, что по-
лоса захвата равна полосе удержания.
При IYhI —* 1 точки устойчивого и неустойчивого равновесия
сближаются, а при |ун| = 1 узел и седло сливаются, образуя
сложную, особую точку типа седло—узел (рис. 4.66). При
|ун| > I яет ни одной точки равновесия, наступает режим биений
(рис. 4.56).
Рассмотрим теперь случай, когда — QyT> 1.
л
Как уже указывалось, это условие определяет наличие устой-
чивой точки типа фокуса. Для определения полосы захвата
нужно найти начальную расстройку, при которой часть спирали
фокуса в области —л<ф<0 пройдёт в полуплоскости, соответст-
116
вующей знаку ун, через точки А и Б пересечения сепаратрисса-
ми Ci и С2 (рис. 4.6а) прямых ф=±л и ф = 0 соответственно.
Запишем уравнение спирали фокуса. Для того чтобы пере-
нести начало координат в точку устойчивого равновесия, заме-
ним переменные: ф1 = ф—фо2. Тогда ур-ние (4.18), соответствую-
щее —л<ф<0, примет вид
о
<р7 + 2х<р; н— Ф1 = о.
Л
(4-27)
Решение этого уравнения
Ф1 (,) = с е-н cos (ЙОТ + Сх),	(4.28)
где С и Ci—произвольные постоянные, определяемые
начальными условиями;
= j/^-----V — угловая частота собственных затухающих
колебаний переходного процесса.
Взяв производную от фДт) по т и выразив d через
d т
<₽1(т), исключим время т и получим уравнение интегральных
кривых в окрестности фокуса
(Ф; + ХФ1)2 +	=Со exp f—	arc tg21+Д] ,	(4.29)
\	— Ц)Т1 /
2СхХ
где Со = СМе — новая постоянная.
Выразим теперь координаты точек А и Б через начальную
расстройку (уц = Уз) и угловые коэффициенты £С1 и kc2 учиты-
вая, что при уп>0 предельный цикл находится в верхней полу-
плоскости, где ф1>0:
<Р1А=-т(1+ъ)’ ^А = 1Мт(1+ь)
Ф1Б=Т(1-^’	= IМ 1 (1 —f»)
(4.30)
Подставляя сюда значения &С1 и kC2 из ф-л (4.24), получаем:
Л	/ -1 г	о \ л
Ф1А=- -2- (1 +Тз)> Ф1А = (]/	+	<4-31>
Л	/ т Г	9	\ Л
Ф1в=-г-ь)- ф;б=(]/^ + 4+х)^-<1-^- (4-32>
117
Подставив теперь выражения (4.31) и (4.32) в ур-ние (4.29),
найдём:
Я2	Г/т Г 2“	\2	1
~ (!+ь) [(]А2 + 4 - 2Х ) +Qo] =
г -х > ]А2+4-2х
—Со exp — arc tg-----
ла	Г/т/ 2~ V
-(1-Ъ)[(У К2 + 4 + 2к) + Q2
1/х2 + — + 2Х
—Со ехр---arc tg-------------
н Qo s -Qo
(4.33)
(4.34)
Разделив ур-ние (4.34) на (4.33) и заменив Qo её значением,
получим
Рис. 4.8. Зависимость полосы захвата от параметров
системы ФАПЧ с RC фильтром
На рис. 4.8 представлена зависимость	Qy), вычислен-
ная по ф-л (4.35) [17]. Пунктирной линией на этом рисунке показа-
ны результаты численного решения уравнения системы ФАПЧ с ин-
тегрирующим RC фильтром для случая F (ср) = sin ср, полученные
Желонеком и др. [14].
Интересно отметить, что при замене синусоидальной кривой ли-
нейно-ломаной, полоса захвата меняется незначительно. Из вы-
118
ражения (4.35) следует, что в случае —Qy 7^ 1
л
1
---L.	(4.36)
У?™’
Таким образом, для системы ФАПЧ с RC фильтром, описы-
ваемой нелинейным дифференциальным уравнением второго по-
рядка, нахождение полосы захвата сводится к определению ус-
ловий, при которых единственный предельный полуустойчивый
цикл проходит из седла в седло.
Методом кусочно-линейной аппроксимации можно исследо-
вать и системы ФАПЧ с более сложными фильтрами. В частно-
сти, в работе [27] этим методом анализировалась устойчивость
в «большом» системы ФАПЧ с двухзвенным RC фильтром.
Однако применение этого метода ik системам, описываемым
уравнениями более высокого порядка, вызывает значительные
затруднения при вычислении.
§ 4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОСЫ ЗАХВАТА
В СИСТЕМЕ ФАПЧ ПРИ ПОМОЩИ
ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Для определения полосы захвата можно использовать элект-
ронно-вычислительную машину (ЭВМ). При этом условие про-
хождения предельного цикла через точки неустойчивого равно-
весия позволяет значительно сократить число операций, произ-
водимых машиной.
'Рассмотрим метод определения полосы захвата в системе
ФАПЧ с RLC фильтром при помощи ЭВМ [41].
Процессы, (происходящие в системах, описываемых дифференциальными
уравнениями третьего порядка, изображаются в трёхмерном фазовом прост-
ранстве. Границами ‘областей фазового пространства, соответствующих поло-
жительному или отрицательному наклону характеристики фазового детектора,
являются поверхности (а не линии, как в системе, описываемой уравнением
второго порядка), проходящие через точки ф = 0, ф =* л, ф = ля, ...
Вблизи точек равновесия справедливо, как известно, дифференциальное
уравнение линейного приближения (3.18), которому соответствует характери-
стическое ур-ние (3.49). Если все корни ур-ния (3.49) действительные и отри-
цательные, точка равновесия оказывается типа устойчивого узла. Если один
корень действителен и отрицателен, а два другие комплексны и имеют отри-
цательную действительную часть, то равновесие в особой точке соответствует
устойчивому фокусу.
В области, охватывающей неустойчивую точку равновесия, корни ур-ния
(3.49) при выполнении условия устойчивости в «малом» могут быть либо все
действительными, причём знак одного из них должен быть противоположен
119
знаку двух других, либо один из них действителен, а два других комплекс-
ны, причём их действительная часть должна быть противоположна по знаку
вещественному корню.
Первый случай характеризует особую точку типа «седло», второй —
особую точку типа «седло — фокус». Неустойчивая точка фоь следовательно,
может быть либо особой точкой типа «седло», либо типа «седло—фокус».
Вид особой точки определяется крутизной характеристики фазового
детектора в этой точке, полосой удержания и затуханием RLC фильтра.
Рис. 4.9. Фазовый портрет системы ФАПЧ, описываемой
уравнением третьего порядка
На рис. 4.9 дана картина трехмерного фазового пространства для слу-
чая одной особой точки типа устойчивого фокуса, а другой — типа «седло».
Поскольку топологии фазового пространства ib области устойчивого фо-
куса и узла, а также в области седла и седла—фокуса соответственно
сходны, можно ограничиться изображением картины фазового пространства,
которая получается для особых точек типа устойчивого фокуса и седла.
Координатами фазового пространства являются для оси х— разность
фаз <р, для оси у — её первая производная ф', а для оси г — вторая произ-
водная разности фаз ф".
На рис. 4.9 точка ф0] является точкой неустойчивого равновесия типа
«седло», а точка Фог — устойчивого равновесия типа «фокус». Как видно из
рисунка, все траектории, попадающие в окрестность точки ф02, стремятся
к состоянию равновесия.
Выделим из всей совокупности пространственных кривых одну харак-
терную кривую, на основании которой можно будет определить полосу за-
хвата. Эта характерная кривая обозначена на рис. 4.9 буквами
А, В, С, D.
На рис. 4.10 представлены такие характерные кривые, построенные при
различных значениях параметра ун. Кривая / соответствует при d = const и
k = const начальной расстройке уц>у.ъ кривая 3—расстройке ун=Уз, а кри-
вая 2 — расстройке ун<уз-
Рисунок показывает, что при уп = Уз изображающая точка, двигаясь из
точки неустойчивого равновесия по траектории 3, никогда не сможет
попасть в точку устойчивого равновесия <р(^. В системе устанавливается ре-
жим биений. Таким образом, учитывая характер зависимости формы прост-
120
ранственных кривых, исходящих из точки фОь от расстройки при заданных
параметрах системы ФАПЧ, можно математически сформулировать условие,
определяющее границу её устойчивой работы: если начальная расстройка
равна полосе захвата, траектория, выходящая из фоь пересекает ось абсцисс
в точке 2л + фо1.
При расчёте полосы захвата на ЭВМ были задействованы
три интегрирующих -блока и один блок нелинейности.
Рис. 4.10. Характерные интегральные кривые системы
ФАПЧ, описываемой уравнением третьего порядка
'Последний позволяет представить характеристику F(q) =
=соэф двенадцатью отрезками прямых. Начальные условия, со-
ответствующие точке фоь
Ф"(О)=ф'(О) = 0,
ср (0) = arc cos чн [t = 0].
Следует отметить, что, поскольку эта точка соответствует со-
стоянию равновесия, изображающая точка вблизи неё движет-
ся чрезвычайно медленно. При точном 'Выполнении указанных
начальных условий потребовалось бы бесконечно большое вре-
мя для того, чтобы изображающая точка удалилась от этой
точки равновесия. Однако вследствие флуктуаций точное вы-
полнение начальных условий невозможно, и процесс развивает-
ся за конечное время. При этом можно не опасаться больших
ошибок, так как флуктуации чрезвычайно малы.
Результаты решения основного нелинейного уравнения для
различных k и d получаются в виде непрерывных кривых, запи-
сываемых самописцем для <р, ф' и ф".
121
f" / Y
Рис. 4.11. Пример решения уравнения третьего порядка
системы ФАПЧ
Рис. 4.12. Зависимость полосы захвата от парамет-
Рис. 4.13. Семейство кривых k =* f (d) при
Уз =' const
122
На рис. 4.11 представлены -в качестве примера решения урав-
нения для £=0,9 и двух значений d (d=A и d=3). Для этих
'решений характерно, что ср стремится к точке устойчивого равно-
весия. Кривые 1 и соответствуют -расстройке ун<уз. При
Ун>Уз решение уравнения изображается кривой 7.
Результаты вычисления зависимости у3 =f(d, k) представле-
ны графически на рис. 4.12. Из этого рисунка видно-, что с уве-
личением d и k полоса захвата монотонно уменьшается.
На рис. 4.13 приведено семейство кривых £=f(7Z) при у3 =
= const.
Рис. 4.14. Зависимость полосы захвата от параметров систе-
мы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром, по-
лученная при помощи ЭВМ
Отметим, что изложенный критерий определения полосы за-
хвата может иногда привести к неверным результатам.
В некоторых системах ФАПЧ предельный цикл может не
проходить через точки неустойчивого равновесия, а лежать, на-
пример, значительно выше их. Такой случай характерен для си-
стемы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.
Для системы ФАПЧ с произвольным типом фильтра следует
применять при использовании ЭВМ более общий и более стро-
гий метод определения у3. В этом случае необходимо найти ус-
ловия отсутствия в фазовом пространстве всех возможных пре-
дельных устойчивых циклов II рода, не делая никаких предпо-
ложений об их топологии.
Последовательность операций при этом должна быть сле-
дующей. Прежде всего следует записать основное дифференци-
альное уравнение рассматриваемой системы в форме, аналогич-
ной ур-нию (3.4). Далее, задавшись начальной разностью фаз,
123
.лежащей в области неустойчиво™ равновесия О<фо<л, следует
-найти такое наибольшее значение ун, при котором для любых
ф'(0), ф/х(0), •••> ф(п~1} (0) в системе нет ни одного предельного
устойчивого цикла. Это значит, что все фазовые траектории
при со должны стремиться к точке устойчивого равновесия.
Следует, однако, заметить, что чем выше порядок дифферен-
циально™ уравнения, тем большую (вычислительную работу
должна производить машина. Применение этого метода являет-
ся особенно эффективным для систем ФАПЧ, описываемых
уравнениями невысокого порядка. Так, в [48] этим методом
была получена зависимость y3 = f(7n; Ту) для системы ФАПЧ с
пропорционально-'интегрирующим фильтром при полигональной
и косинусоидальной характеристиках фазового детектора, пред-
ставленная на рис. 4.14.
Пунктирными линиями изображено семейство кривых для
системы ФАПЧ с косинусоидальной формой характеристики фа-
зового детектора.
Из рисунка следует, что разница в у3 при указанных формах
характеристики фазового детектора и прочих равных парамет-
рах невелика (не более 20%).
§ 4.6. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Метод гармонического баланса широко используется в тео-
рии нелинейных колебаний для приближенного решения диф-
ференциальных уравнений. Особенно эффективно применение
этого метода к системам, уравнения которых имеют периодиче-
ские или почти периодические решения.
Как известно, периодические колебания можно представить
в виде гармонического ряда Фурье. Во многих случаях этот ряд
довольно быстро сходится, и поэтому существенную роль игра-
ют лишь несколько первых гармоник.
Первое приближение решения можно получить, если учесть
только два первых члена ряда Фурье (постоянную составляю-
щую и первую гармонику). Параметры этого решения опреде-
ляются из условия, при котором оно удовлетворяет основному
уравнению. Чем больше членов основного ряда Фурье учиты-
вается в приближённом решении, тем выше точность послед-
него. Однако определение параметров решения при этом значи-
тельно затрудняется, поэтому часто ограничиваются только пер-
выми двумя членами ряда Фурье.
Поскольку в установившемся режиме биений частота под-
страиваемого генератора меняется периодически, применение
метода гармонического баланса для исследования этого режи-
ма и условий его существования вполне оправдано.
124
В большинстве случаев в цепи управления системы
ФАПЧ устанавливаются фильтры нижних частот с падающей
частотной характеристикой, что приближает закон отклонения
частоты подстраиваемого генератора к гармоническому. Поэто-
му при исследовании режима биений (можно в первом прибли-
жении учитывать только первую гармонику точного решения
нелинейного дифференциального уравнения системы.
Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на практике си-
стему ФАПЧ с косинусоидальной формой характеристики фазо-
вого детектора. Основное ур-ние (1.11) этой системы можно за-
писать в следующем виде:
р ср = QH — Qy К (р) cos ф.	(4.37)
Предположим, что в режиме биений решение этого уравнения
ф(/) = Q/ + Фо — pisinQ/,	(4.38)
где Q — как и ранее, частота биений,
фо — начальная разность фаз генераторов,
Pi — амплитуда девиации.
Подставив ф-лу (4.38) в ур-ние (4.37), получим
Q — Qpi cos Q t =	— Qy К (p) cos (Q t + ф0 — sin Q /). (4.39)
Преобразовав косинус в правой части ур-ния (4.39) по фор-
муле косинуса суммы двух углов и воспользовавшись известны-
ми формулами из теории бесселевых функций:
cos (pxsin Q/)-=70 (Д?1Ф1)4-22 J2n(^i) cos (2n Qt),
sin(pjSinQ/) = 2^ J2n+1 (Pi)sin[(2n+ 1)Q/J,
n 0
найдём
cos(Qt + <p0 — sinQ t) [cos Q t cos ф0 — sin£21 sinф0] X
oo
4 (81)+ 2 2^(Mcos(2«Q/)
1
+ [sin Й t cos Фо +
+ созГ2/Хпф0] 2 V /2n+l (9!) sin [(2n + 1)Q/]•	(4.40)
n=0
Ограничиваясь в бесконечных суммах двумя первыми члена-
ми, преобразуем выражение (4.40):
cos(QZ 4- фо—piSinQO = Л (Pi) cos ф0 — [J0(Pi) — Л (Pi)] X
X sin фу sin Ш + [J» (Pi) + Л (pi)] cos фпсозй t —
— Л (Pi) cos Фо cos 2Q^ + Ji (pi) sin ф0 sin 2Й/ +
+ Л (Pi) cos фо cos 3Q t—J2(Pi) sin фовтЗШ. (4.41)
125
Подставив это выражение в ур-ние (4.39), получим
Й — йрх cos й t = Йн — йу {(pi) cos Фо — | K(i й)|[ Jo (р,) —
— J2 (Pi)) sin фо sin (Й t — ф2) + |K(i й)| [Jо (Pi) + J2 (Pi)] cos Фо cos (Й t —
— Фй) — 1^(1 2Й)| Jx (Pi) cos фо cos (22 t — ф22) +
+1К (i 22 )| Ji (pi) sin ф0 sin (2Й t — ф22) + |K(i Зй)| J2 (px) cos Ф0Х
Хсо5(ЗЙ/-ф32)—|K(i3^|J2(px)s^0sin(32/ —ф32)). (4.42)
Здесь /С(1Й), К02й)...— коэффициенты передач фильтра
нижних частот на соответствующих гармониках частоты биений;
ф2, Ф22...— фазовые сдвиги, вносимые фильтром на этих же гар-
мониках.
Как уже указывалось, коэффициент передачи фильтра умень-
шается с ростом частоты, поэтому амплитуды высших гармоник
малы. Пренебрегая в выражении (4.42) всеми гармониками вы-
ше первой, получаем
Й— 2picos2z = Йн — йу (Ji(Pi)cos фо — |K(ffi)|[J0(Pi) —
— J2(pi)]sn^0sin(fl/ — ф2) + |К (iQ)| [J0(pi) 4-
+ J2 (Pi)] cos Фо cos (Й t — ф2)).	(4.43)
Преобразуем левую часть выражения (4.43):
й — Йр1[соз(2 t— ф, )созф2— sin(2Z — ф2) sin ф2] —
= Йн — Йу {Ji (р) cos Фо — |К (1Й)| [Jo (Pi) —
— J2 (Pi)] sin фо sin (й/ — ф2) + |K (i2)| [Jo (Pi)+
+ j2 (Pl)] COS Фо cos (й/ — Ф2)]	(4.44)
Из последнего выражения находим:
й + Йу Jj (pi) cos фо =- й„
ЙР1 cos ф2 = йу |К (:й) | [J„ (Рх) -I- J2 (pi)] cos ф0
йР13Шф2 = 2y|K(iQ)|[J0(p1) — J2 (Pi)] sin ф0
(4.45)
Эти выражения позволяют определить параметры решения
основного уравнения на границе полосы захвата при заданном
критерии захвата.
Таким критерием в данном случае является образование пре-
дельного цикла, идущего из седла в седло, что справедливо для
систем ФАПЧ с монотонно убывающим коэффициентом переда-
чи фильтра. Этот критерий равносилен условию касания прост-
ранственной фазовой траекторией, /выходящей и.з точки неустой-
126
чивого равновесия сроь <>си абсцисс в точке, отстоящей от точки
неустойчивого равновесия на 2л. Следовательно, на границе
полосы захвата должно выполняться равенство
<р' (/) =	(/) = . . . = ф<"> (/) = 0.	(4.46)
Применяя это условие к приближённому решению (4.38) и
учитывая, что по мере приближения начальной расстройки к
полосе захвата д/ (/) стремится к нулю, получаем критерий за-
хвата 9
(4.47)
Из таблиц функций Бесселя находим:
J0(l) =0,765; Л(1) -0,44; J2(l) = 0,115.
Подставив эти значения в (4.45) и исключив <ро, получим:
Q=|/<(iS!)|Qyj/3=,	(4.48)
“.4+wi)'	(4-49)
Уравнения (4.48) и (4.49) позволяют при заданных | К (iQ) I
и cosip2 рассчитать полосу захвата системы ФАПЧ. Для этого
необходимо из ур-ния (4.48) определить Q, а затем, подставив
Q, (iQ) | и соэф2 в (4.49), определить полосу захвата.
Формулы (4.48) и (4.49) справедливы при условии, что ко-
эффициент передачи фильтра нижних частот уменьшается с ро-
стом частоты вплоть до нуля (К (iQ)—>0 при Q —* со). Если это
условие не выполняется (например, для пропорционально-ин-
тегрирующего фильтра), применение этих формул может дать
заметную ошибку.
Определим методом гармонического баланса полосу захвата
в системе ФАПЧ с конкретными фильтрами [37, 55].
Для интегрирующего RC фильтра имеем:
|X(iQ)l =.7=-* = ; cos = —=J= .	(4.50}
1 v 71 УI 4- Т2 Q2	‘2	+ Г2 Q3
Подставив эти значения .в ур-ние (4.49), получим
23 = “Г //о,075 + 0,423 (Qy 71)2 — 0,273	(4.51)
’) Аналогичный критерий был получен методом гармонического баланса
при аппроксимации решения типа ф-лы (4.38) в [37] на основании иного
подхода к условиям захвата. Здесь определялось бифуркационное значение
величины Рь т. е. условие, при котором приближённое решение (4.38) ока-
зывалось неустойчивым в «малом». Было приближённо показано, что би-
фуркация происходит при Pi=.l.
127
При 1 эго выражение упрощается:
- ^21
Тз
Сопоставляя ф-лу (4.52) с (4.36), замечаем их близость.
Для системы ФАПЧ с RLC фильтром
|вд'= FK '
где 8ф =-----относительная расстройка;
СОо
(4.52)
2
(4.53)
— ..... ; cos2 Фо =
— ех у- -р г2 d2
Ф) 1 Ф
2
Ф
1	, Я
°>0 = ——; d = —т--
№ 1/.
Подставив выражения (4.53) в ур-ния (4.48) и
-чим:
(4.49), полу-
4 =__________0,92________
А2 1,2(1—	)Ч2,2е2ф^ ’
(4.54)
(4.55)
Напомним, что k = ^1.
Решение этих алгебраических уравнений легко находится
численным методом.
На рис. 4.15 приве-
дены результаты
расчёта у3 по выра-
жениям (4.54) и
(4.55) при k = 0,9 в
сопоставлении с ре-
зультатами, получен-
ными при помощи
ЭВМ (пунктирная
кривая).
Рис. 4.15. Зависимость полосы захвата от вели-
чины затухания <RLC фильтра
Из этого рисунка видно хорошее совпадение результатов.
В качестве третьего примера рассмотрим определение поло-
сы захвата в системе ФАПЧ с линией задержки вместо фильтра.
Ожидаемая ошибка для этого случая будет больше, посколь-
ку тармоники решения убывают медленнее, чем в системах с
фильтрами.
128
Для линии задержки
|/C(iQ)| = 1, cos = cos Q Т3.	(4.56)
Подставив выражения (4.56) в ур-ния (4.48) и (4.49), полу-
чим:'
Q /SSk •	(4-57>
Q3 = Й (1 + —-^-3 ) .	(4.58)
Эти трансцендентные уравнения можно решить численно,
если выполняется условие устойчивости ,в «малом» (3.36).
Приведённые выше примеры показывают, что метод гармо-
нического баланса позволяет во многих случаях получить ана-
литическое выражение для полосы захвата в системе ФАПЧ,
описываемой нелинейным дифференциальным уравнением высо-
кого порядка.
Если коэффициент передачи фильтров слабо уменьшается
с частотой, применение метода гармонического баланса требует
более точной аппроксимации решения нелинейного дифферен-
циального уравнения, содержащего большее число гармониче-
ских составляющих.
§ 4.7.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОСЫ ЗАХВАТА МЕТОДОМ
АППРОКСИМАЦИИ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
Полосу захвата в системе ФАПЧ с произвольным типом
фильтра можно определить, аппроксимируя основное уравне-
ние и исследуя устойчивость в «малом» режима биений [87].
Из принципа действия системы ФАПЧ следует, что измене-
ние частоты биений при захвате однозначно связано с измене-
нием постоянной составляющей напряжения на входе управляю-
щего элемента. Полоса захвата есть не что иное, как критиче-
ское значение начальной расстройки, при которой возникает са-
мопроизвольное (под влиянием всегда имеющихся малых воз-
мущений) понижение частоты биений до нуля, т. е. возрастание
среднего значения вносимой расстройки. Поэтому важно знать
баланс постоянной составляющей в режиме биений.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем ФАПЧ,
устойчивых в «малом». В таких системах, как уже отмечалось,
в зависимости от начальной расстройки возможны два режи-
ма — либо режим биений, либо режим удержания.
Определим бифуркационное значение параметров системы
ФАПЧ, при .которых режим биений в ней становится полуустой-
9—793	129
чивым 'И при дальнейшем понижении частоты биений вплоть
до нуля остаётся неустойчивым, т. е. происходит захват.
•Предположим, что F (ф) =cos<p. Тогда основное дифферен-
циальное ур-ние (1.11), как указывалось, имеет аналитическое
строгое решение только при К (р) = 1. Рассмотрим некоторую
модель реальной инерционной системы ФАПЧ. Зависимость ча-
стоты биений от начальной расстройки в модели должна быть
такой же, -как и в реальной системе. Располагая этой зависи-
мостью, мы сможем определить бифуркационное значение на-
чальной расстройки, при которой происходит захват.
Вместо дифференциального ур-ния (1.11) произвольного по-
рядка с постоянными коэффициентами будем рассматривать
уравнение первого порядка с медленно меняющимися парамет-
рами, т. е.
РФ + Л[ЙУ; /((iQ); Гф] ф = Г, [qh; /((iQ); рф], (4.59а)
где F\ — медленно меняющаяся действительная функция, харак-
теризующая зависимость переменной составляющей вносимой
расстройки от полосы удержания и комплексного коэффици-
ента передачи К (iQ) фильтра на частоте биений Q = Рф;
F2 — аналогичная функция, отображающая зависимость по-
стоянной составляющей вносимой расстройки от начальной рас-
стройки, частоты (биений -и коэффициента передачи фильтра.
Учитывая «медленность» функций Fj и р2, можно рассматри-
вать Fj как аналог полосы удержания в данной модели, a F2
как аналог начальной расстройки. Таким образом, ур-ние
(4.59а) описывает систему ФАПЧ, в которой коэффициент пе-
редачи линейного безынерционного четырёхполюсника, заме-
няющего фильтр, и начальная расстройка зависят от частоты
биений.
Вид ур-ния (4.59а) обосновывается тремя обстоятельствами.
1.	В любой устойчивой в «малом» системе ФАПЧ фазовый
сдвиг, вносимый фильтром на частотах, меньших полосы удер-
жания, не превосходит — .
2.	Для инерционной системы всегда выполняется условие
Q3 <С Qy.
3.	В любой инерционной системе ФАПЧ всегда имеется ча-
стичное увлечение, что приводит к неравенству Q<Q3.
Учитывая все эти обстоятельства, можно считать, что на ча-
стоте биений в момент захвата инерционность фильтра прояв-
ляется слабо, а поэтому форма биений близка к форме биений
в идеализированной системе.
В идеализированной системе начальная расстройка и полоса
удержания связаны с частотой биений зависимостью (2.10).
130
Следовательно, в рассматриваемой модели такой зависимостью
будут обладать аналоги полосы удержания и начальной рас-
стройки Fi и F2. В этом случае исходное уравнение для иссле-
дования устойчивости режима биений принимает вид
Q =	(4.596)
Теперь задача определения бифуркационного значения пара-
метров сводится к отысканию функций /д и F2, -которые удов-
летворяли бы условию идентичности зависимости частоты биений
от параметров системы ФАПЧ в модели и в реальной инерци-
онной системе.
Наиболее простым способом их определения является ис-
пользование метода гармонического баланса применительно к
реальной инерционной системе.
Приведём здесь некоторые соображения, подтверждающие
возможность использования метода гармонического баланса
для отыскания функций /д и F2.
Текущую разность фаз в реальной системе ФАПЧ в устой-
чивом режиме биений всегда можно записать следующим обра-
зом:
оо
ф(т) = ЙГ +Фо~2 ₽«sin(nQf	(4.60а)
Л=1
где фо и ф* —постоянные, рп — амплитуда девиации разности
фаз на n-й гармонике.
Заменив переменную /* (перенос начала координат), выра-
жение (4.60а) можно привести к виду
Ф (Z) = Q t + ф0 — Pi sin Q t — sin (n Q t + фД. (4.606)
n=2
Покажем, что, если pn быстро убывает с возрастанием
то в выражении (4.606) можно в первом приближении пре-
небречь всеми гармониками, кроме первой. Для этого опреде-
лим зависимость индексов модуляции по гармоникам в безынер-
ционной системе ФАПЧ.
На основании выражения (2.20) с учётом (2.10) девиацию
частоты синхронизируемого генератора в режиме биений можно
записать следующим образом:
со = Qy cos ф (/) = Qy а ~t- cos Z .	(4.61)
уэ у 7 yl^acosQf
Здесь а = ~ = 77 L
QH н
9*
131
Разлагая ,выражение (4.61) в ряд Фурье, находим амплиту-
ды девиации частоты на гармониках «Q:
0)	= 2(rr=~F2-i)ra ,	1)^-1
УЭ« ап~1	ап~1 уГ^а*
(КГ^д2—1)га+‘
a"+’ /1 — дз
(4.62)
Для того чтобы исследовать зависимость индексов модуля-
ции на гармониках, т. е. от частоты биений, выразим правую
часть равенства (4.62) в функции относительной частоты бие-
НИИ Уб = — •
(Разделив обе части выражения (2.10) на йу, получим
Ъ = /^ + 1.	(4.63)
Подставив выражение (4.63) в (4.62) и разделив обе части
на п Q, найдём
(4.64)
Отсюда следует, что рп достигает максимума при уе—0:
9
Рмакс = lim ₽„ = — .	(4.65)
1б-0 п
Выражение (4.65) показывает, что (максимальные значения
индексов модуляции на гармониках основной частоты биений
убывают обратно пропорционально номеру гармоники.
‘Промежуточные значения индексов модуляции (уо>0) со-
гласно ф-ле (4.64) убывают с возрастанием их номера гораздо
быстрее, следовательно,
2—.	(4.66)
п
С<4 — постоянный коэффициент.
Так как предполагается, что форма биений в реальной инер-
ционной системе ФАПЧ на границе захвата близка к форме
биений в идеализированной системе, индексы модуляции по гар-
моникам в ней убьквают также достаточно быстро и, следова-
тельно, в выражении (4.60) можно в первом приближении пре-
небречь высшими гармониками.
В любой системе ФАПЧ в установившемся режиме биений
выполняется равенство
£2вн--^н-£2,	(4.67)
где Qbh — среднее значение вносимой расстройки.
132
На основании выражений (4.45) и (4.67) можно найти ЙВ!1
и pi:
^вн — A (W “
cos Фа
Jo (31) + + (3i)
J<! (31) - J2 (31)
2
, (4.68)
Qy I K(iQ) |
Q
1
Jo(31) + Л(31) ]2 . 2,
-------------------- Sin2 Фо
Jo (31) - А (31) J
(4.69)
С учётом этих выражений и известного соотношения
2
31
(4.70)
можно записать
Q =_____________Qy ^(Ш)|созф2________
BH 90 L 2 I J 7O(31)+J2(31) I2 .
2Q {cos2 -Ф- ------------ sin3 Фо
I 2 L ш-л(31) 1	12
(4.71)
Так как на частоте биений при захвате угол сдвига фаз, вно-
симого фильтром, значительно меньше — , а Р1макс<2, можно
приближённо считать, что
Qy |К (iQ)| cos фй
(4.72)
Из этого выражения следует, что среднее значение вносимой
расстройки в инерционной системе ФАПЧ пропорционально дей-
ствительной части комплексного коэффициента передачи фильт-
ра, вычисленной на частоте биений: Re[K (iQ)]=|K (1Й) |созф2 .
Воспользовавшись ф-лами (4.67) и (4.72), получим следую-
щее равенство:
Re2 [tf (i Q)]
(Йн — Й) Re [tf (i Й)] + Й - ---------2q + Й. (4.73)
Правая часть этого равенства представляет собой начальную
расстройку в безынерционной системе ФАПЧ с активным дели-
телем вместо фильтра, имеющим коэффициент передачи
Re[tf (iQ)].
133
Таким образом, функции -и Г2 для расматриваемой моде-
ли определяются выражениями:
Л = Re [Л (i Q)1 Qy,	'	(4.74)
F2 = (Qh— 2)Re[K(jQ)]+Q.	(4.75)
Подставив эти выражения в ф-лу (4.596) и разделив обе ча-
сти на Qy, получим исходное уравнение для исследования ус-
тойчивости частоты биений:
Тн — Тб =
У -(2 + Re2 [/( (i Тб)] -7б
(4-76)
Re (7<(пб)]
'Полученное уравнение связывает начальную расстройку, ча-
стоту биений и характеристику фильтра в устойчивом режиме
биений. Нарушение этого равенства приводит к изменению от-
носительной частоты .биений уб в направлении нового устойчи-
вого её значения. Захват произойдёт в том случае, если частота
биений будет непрерывно убывать, начиная от некоторого ко-
нечного её значения убз вплоть до нуля. Это означает, во-пер-
вых, что в области 0<уб<убз равенство (4.76) не должно вы-
полняться, и, во-вторых, что правая часть равенства (4.76), т. е.
вносимая расстройка, должна возрастать быстрее левой части.
В результате приходим к критерию захвата:
-^-<-1 [0<1б<Ьз].	(4.77)
Применяя критерий захвата (4.77) к равенству (4.76), по-
лучаем следующее неравенство для определения полуустойчи-
вого значения частоты биений, соответствующего захвату:
{Re£K(iT6)J — R е2 [К (i Тб)] - T6Re' [Л(1Тб)]} X
X У 7! + ReWl6)l> Тб {Re[К (i Тб)] - ТбRe' [К(i 7б)]). (4.78)
Если приравнять обе части этого выражения, можно найти
критическое значение частоты биений у *3. Полученное уравнение
может иметь несколько действительных положительных корней.
В таком случае для выполнения критерия захвата в качестве
Yj3 из найденных значений следует выбрать наименьшее. Поло-
са захвата определится в результате подстановки у^3 в ур-ние
(4.76). Однако эти вычисления даже в случае использования
простейших фильтров исключительно громоздки.
Задачу можно упростить, если ограничиться классом четы-
рёхполюсников, для которых в области частот, где фазовый
сдвиг ф<-~, выполняется неравенство Re'[Л (iy6)]<Re[K (iyo)]-
1^4
В этом случае величиной Re'[К (iye)] по сравнению с
Re [Л (i уб)] можно пренебречь, и ур-ние (4.78) примет вид
„ ^.1/ Re [К (i тбз)] {1 — Re [К (i убэ)]}	/д уоч
Тбз ~ V .L2-Re[K(iT6j)]	' ’	’
Подставив это выражение в ур-ние (4.76), получим
Т32 = 2Re [Д' (i ьз)] - Re2 [К (i Тбз)].	(4.80)
В этом выражении аргументом функции Re является убз,
определяемая ф-лой (4.79).
Далее упростим выражение (4.80), приняв в качестве аргу-
мента функции Re вместо убз -несколько 'большую величину, а
именно у3. Можно показать, что такая замена не приведёт
к -большой -ошибке, тем более, что в области ун, близкой к у3,
производная функция ус = f (ун) стремится к бесконечности
(d у	\
— —►О . Поэтому ошибка в определении убз слабо влияет
d Тб	/
на -величину у3.
В результате получаем приближённое равенство для опре-
деления полосы захвата:
72 = 2Re[ДО Тз)] {Re[Д(i b)]}V	(4.81)
Эта формула позволяет легко находить приближённую ана-
литическую зависимость относительной полосы захвата устойчи-
вой в «малом» системы ФАПЧ с линейным четырёхполюсником
в цепи обратной связи от её параметров.
При необходимости определить у3 с большой точностью сле-
дует воспользоваться выражениями (4.76) и (4.78).
Полученные выражения справедливы для системы ФАПЧ,
имеющих косинусоидальную форму характеристики фазового
детектора. При иной форме характеристики фазового детектора
необходимо сначала определить зависимость постоянной состав-
ляющей вносимой расстройки от частоты биений, а затем иссле-
довать её устойчивость в «малом» аналогично случаю, рассмот-
ренному выше.
Применим теперь ф-лу (4.81) для определения у3 в системах
ФАПЧ с конкретными типами фильтров. Как уже указывалось,
коэффициент передачи пропорционально-интеприрующего фильт-
ра определяется выражением (3.14). Его действительная часть
имеет вид
Re[K(i Д] -
1 ч-^Д2
l+T2-f2
(4.82)
где Ту = Т Qy.
135
Подставив ф-лу (4.82) в (4.81), после преобразований полу-
чим
Г; + [(2m - /и2)	- 2Т2 ]	_ (2Ту - 1) -г* - 1 = 0.	(4.83)
Это уравнение можно привести к уравнению третьей степени
и решить в аналитической форме относительно у3. При тТу 1
оно значительно упрощается1):
7з - у 2m — m2.	(4.84)
Выражение для полосы захвата в системе ФАПЧ с обычным
интегрирующим фильтром является частным случаем ф-лы
(4.83) при m = 0. Как и в предыдущем случае, при Ту > 1 оно
упрощается:
Рис. 4.16. Зависимость полосы захвата системы ФАПЧ
пропорционально-интегрирующим фильтром от её па-
раметров, полученная методом аппроксимации основ-
ного уравнения
Это выражение очень близко к ф-лам (4.52) и (4.36). Оно
хорошо совпадает также с результатами работ (14, 18, 48].
На рис. 4.16 сплошными линиями изображены зависимости
у3 = f (Ту) при m= const, построенные по ф-ле (4.83). На этом
’) Интересно отметить, что это выражение совпадает с результатом
работы [15] и близко к результату работы '[48]. Ричмэн в [15] для получения
этого выражения использовал приближённый метод интегрирования основ-
ного уравнения, справедливый только для mTy > 1. <В [48] С. В. Первачев
решил задачу о полосе захвата путём численного интегрирования основного
уравнения на ЭВМ.
136
же рисунке пунктиром показаны аналогичные кривые, получен-
ные [48] для F (ф) = соэф.
Сопоставление кривых показывает, что для системы ФАПЧ
с пропорционально интегрирующим фильтром расхождение ре-
зультатов расчёта у3 по ф-ле (4.83) и
полученных на ЭВМ не превышает7%.
В качестве второго примера рас-
смотрим зависимость у3 от параметров
системы ФАПЧ с RLC фильтром вто-
рого порядка (рис. 3.3), с коэффици-
Рис. 4.17. Двухзвенный
RC фильтр
ентом передачи, определяющимся вы-
ражением (3.17). Действительную
часть его можно представить в сле-
дующем виде:
1 __ ЬЗ -/2
Re [A (i Д]  ------------—--------------
V ‘/J	(1 — ^2^2)2 + 72^2
(4.86)*
Подставив ф-лу (4.86) в (4.81), получим
1-^Тз(1-^Уз)2
(4.87)>
Результаты расчёта у3 по этой формуле при k = 0,5 и раз-
личных значениях постоянного параметра d сведены ib следую-
щую таблицу. В этой же таблице представлены результаты ра-
боты [41], полученные при помощи ЭВМ, и работы [27], выпол-
ненной для системы ФАПЧ с двухзвенным RC фильтром
(|рис. 4Л7), полученные при помощи кусочно-линейной аппрок-
симации характеристики фазового детектора.
ТАБЛИЦА
Зависимость относительной полосы захвата от параметров системы при
#=0,45 (М=0;08)
Параметры системы		Относительная полоса захвата, найденная		
d	1	из ф-лы (4.87)	в [27]	[в 41]
1	0,286	0,99	0,98	1
2	0,572	0,92	0,9	0,97
4	1,144	0,76	0,715	0,86
10	2,86	0,525	0,48	0,62
20	5,7	0,382	0,35	0,49
137
Сравнение этих результатов возможно, поскольку дифферен-
циальные уравнения, описывающие поведение систем ФАПЧ
с RLC фильтром и двухзвенным RC фильтром, имеют один по-
рядок и отличаются только постоянными коэффициентами.
Параметры этих систем связаны между собой следующими
•соотношениями [88]:
м = R&R^ Q2 = 4 k2,	(4.88)
у л2
l=(R1C1+R^ + R&) Qy = — kd.	(4.89)
Л
Если эти равенства .выполняются, то обе системы имеют
одно и то же дифференциальное уравнение.
Как видно из таблицы, совпадение результатов вполне при-
емлемо для инженерной практики.
Рассмотрим ещё один пример вычисления полосы захвата
для системы ФАПЧ с линией задержки вместо фильтра, что
соответствует применению многокаскадного вч усилителя в це-
пи обратной связи.
Для линии имеем
/<(iQ) = e-iar3.	(4.90)
Действительная часть этого выражения
Rep((iQ)] = cosQT3.	(4.91)
Подставив ф-лу (4.91) в (4.81), получим
•,'2 = 2cos-,'3QyT3 —cos2-,'32yT3.	(4.92)
Результаты расчёта ys :по этой формуле представлены на
:рис. 4.18 (кривая /). Для сравнения здесь же пунктиром пока-
дя------------- - -
Л61-------------------
о o;i
0,6	0,8
Рис. 4.18. Зависимость полосы захвата
ют параметров системы ФАПЧ с линией
задержки
зана зависимость полосы
захвата от обобщённой за-
держки, полученная числен-
ным интегрированием в [22],
а также аналогичная зави-
симость, построенная по
ф-лам (4.55) и (4.56) (кри-
вая 2). Как видно из рисун-
ка, результаты получаются
близкими.
Интересно отметить, что чистое запаздывание мало влияет
на ширину полосы захвата. Это объясняется тем, что если вы-
полняются условия устойчивости в «малом» (3.36) для системы
зт
с F (ф) = cos ф, то при любом устойчивом 0<|ф02|<— мак-
симальный сдвиг фаз, вносимый линией задержки на частоте
U38
биений, равной полосе удержания, не может превосходить од-
ного радиана. Вследствие же частичного увлечения частота бие-
ний оказывается значительно ниже начальной расстройки, при
которой происходит захват, и, следовательно, на частоте бие-
ний, соответствующей захвату, сдвиг фаз оказывается весьма
малым.
Таким образом, приближённая ф-ла (4.81) даёт результаты,
хорошо согласующиеся со всеми ранее известными результа-
тами, относящимися к различным типам четырёхполюсников в
петле обратной связи. В тех случаях, когда приближённая ф-ла
(4.81) неприменима, необходимо сначала найти более точное
значение частоты биений на границе захвата путём численного
решения неравенства (4.78) и подставить его затем в исходное
ур-ние (4.76).
Изложенный метод определения полосы захвата позволяет
заменить нелинейное дифференциальное уравнение алгебраиче-
ским. С его помощью можно находить у3 даже в тех случаях,
когда отсутствует аналитическое выражение для коэффициента
передачи фильтра. Для этого достаточно, имея лишь экспери-
ментальную зависимость действительной части последнего от
частоты, графически или численно решить ур-ние (4.81).
§ 4.8. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС В РЕАЛЬНОЙ
СИСТЕМЕ ФАПЧ
Как было показано ранее, переходный процесс в идеализи-
рованной системе ФАПЧ описывается довольно сложными вы-
ражениями. Характер и время этого процесса удавалось найти
благодаря тому, что для анализа его использовалось 'нелиней-
ное дифференциальное уравнение первого порядка. Реальная же
система ФАПЧ описывается нелинейным дифференциальным
уравнением произвольного порядка, решение которого в общем
виде отсутствует. Поэтому процесс установления в такой си-
стеме можно проанализировать либо численно, либо прибли-
жённо.
Следует заметить, что даже в линейном приближении для
системы, описываемой уравнением высокого порядка, невозмож-
но определить время установления в аналитической форме, так
как решение представляется суммой экспонент и в каждом от-
дельном случае приходится пользоваться численным методом
решения или экспериментальными результатами.
Для некоторых систем ФАПЧ можно использовать метод
приближённого интегрирования. Рассмотрим систему ФАПЧ
с пропорционально-интегрирующим фильтром.
Поскольку частота биений на границе захвата в этой системе
»может иметь конечное значение, при т<1 и тТуЭ> 1 до наступ-
139
ления в ней -синхронизма изображающая точка -совершает много
оборотов вокруг фазового цилиндра. Если же это условие
не выполняется, то захват происходит при малом числе обо-
ротов.
В первом случае весь процесс установления можно разбить
на два участка (15]. На первом участке изображающая точка
движется вокруг цилиндра, охватывая его. На втором — она пе-
рестаёт охватывать цилиндр и -совершает движения вокруг точ-
ки устойчивото равновесия. Это позволяет говорить о времени
установления частоты TF на первом участке и о времени уста-
новления разности фаз Т — на втором. Суммарное время пе-
реходного процесса Гп = TF + Т^.
Определим время TF. Запишем основное уравнение системы
ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром в сле-
дующем виде:
+ Qy 1+^ cos <р = Q„.	(4.93)
dt y 1+Tp	"	'
Перепишем ур-ние (4.93) следующим образом:
1 d .	1 — m	/л
----ь 4- mcos ф = 7H---------cos ф.	(4.94)
Qy dt	1 + Tp
Это уравнение можно рассматривать как уравнение идеали-
зированной системы ФАПЧ с начальной расстройкой, зависящей
от вносимой расстройки. Обозначим правую часть его через х:
1 - /П	/л \
х = Ъ — -+~  cos ф.	(4.95)
В процессе установления частоты при захвате среднее зна-
чение^вносимой расстройки изменяется от её начального значе-
ния хн == Ун Д° т, поскольку в обычной идеализированной си-
стеме ФАПЧ полоса захвата равна полосе удержания.
Для определения х произведём усреднение обеих частей ра-
венства (4.95):
= Ъ-----ПР7 cos ф-	(4.96)
Второе слагаемое в правой части выражения (4.96) можно
рассматривать как среднее значение напряжения на выходе RC
цепочки с постоянной времени Т в том случае, когда на её входе
действует сигнал (1—m) cos ф.
Поскольку mTy 1, пренебрегая переменной составляющей
на выходе этой цепочки, запишем х следующим образом:
—	1—m -------- ..
* ~ Ъ----. - - cos ф.	(4.97)
1 “Г * Р
140
Среднее значение косинуса ф в идеализированной системе
ФЛПЧ 'С учётом выражения (2.10) можно записать в виде
c°s<p-
(4.98)
Подставляя ф-лу (4.98) в (4.97) и учитывая, что для рассмат-
риваемого случая аналогом начальной расстройки является х, а
аналогом полосы удержания — величина т, имеем
х = 7н-----+ Г ~ — У"*2 — т2) •	(4.99)
Запишем это выражение в виде.
dt =-------------—-------—-------- .	(4.100)
— х —------ [х — К х2 — /и2 ]
т
TF доста-
Для определения времени установления частоты
точно__проинтегрировать равенство (4.100) в пределах от х = ун
до х = т. При этом необходимо заменить переменную
у~х— у"х2—т2. В результате интегрирования получим
71р 2ун (1 — т) Г _	2 — т ’ Тн ।
____________ . arctg  !
(2т — т3) у 2т — /п2— ;2Н I |/ 2т — т2 — у2
-'^(К 1н-т2~	) j
т У2т — т2 — у2
(2 — т) ( ]/ 7„ — «2 — 1н + 2/п 7н (Т„ —	~ Тн ) + т3
Т
т ч
+ arc tg
1
2т
—5—in
2(2 — т)
2

т)(у Тн—т2 — тн )2
2т3 (1 — 7„)
Тн — т2 — Тн ) + т3
(4.101)
Результаты вычислений зависимости относительного времени
Т
установления уД от величины ун при различных т показаны на
рис. 4.19.
Как .было показано ранее, полоса захвата в системе с про-
порционально-интегрирующим фильтром при	1 опреде-
ляется ф-лой (4.84).
Из выражения (4.101) следует, что три ун—►уз время уста-
новления частоты .в системе неограниченно возрастает.
Н1
После окончания процесса установления частоты происходит
установление фазы. Время установления фазы можно найти,
аппроксимируя характеристику фазового детектора треугольной
кривой. Поскольку понижение х происходит медленно по сравне-
нию с cos ср, считаем, что процесс установления частоты за-
Рис. 4.19. Зависимость времени установления частоты от
начальной расстройки в системе ФАПЧ с пропорциональ-
но-интегрирующим фильтром
кончится тогда, когда рф впервые пройдёт через нулевое зна-
чение, аналогично тому, как это имеет (Место в идеализирован-
ной системе. Одновременно медленность изменения х означает,
что рф пройдёт через нуль при ф = 0 или при ф = л. Следова-
тельно, в процессе установления фазы разность фаз изменяется
от 0 или л до своего стационарного значения. Поэтому для рас-
чёта времени её установления используется только одна ветвь
треугольной кривой характеристики фазового детектора.
В системе с пропорционально-интегрирующим фильтром из-
менение во времени отклонения разности фаз от устойчивого
142
значения определяется выражением (3.51). При т2Ту^>4 и-
rv 7 X 2
Н (ф0) = — это выражение значительно упрощается:
л
/	2
--m2/
ДЧ>(/) = С1е тТ +С2е к .	(4.102
Из этого выражения следует, что вторая экспонента зату-
хает значительно быстрее первой. Поскольку при т2Ту^>4
CaCCj {ф-ла (3.41)], можно считать, что время установления
фазы определяется только первой экспонентой, т. е.
_________________________________
Лф(0~Схе тТ.	(4.103)
Таким образом, установление разности фаз происходит при-
близительно по экспоненциальному закону. Время установления
разности фаз от начального значения С\ до 0,1 Сх\
Т^2$тТ.	(4.104>
Определим время установления частоты в системе ФАПЧ с
интегрирующим фильтром. Будем считать, что среднее значе-
ние напряжения на выходе этого фильтра 'мало меняется за пе-
риод биений. Это позволяет заменить, в основном, дифференци-
альном уравнении рф и соэф их средними значениями.
Напомним, что рф = Q, a cos ф = уи—Уб есть среднее значе-
ние вносимой расстройки [ф-ла (4.76)] при данной частоте бие-
ний в системе с выбранным типом фильтра. Подставляя значе-
ния рф и cos ф в ур-ние (1.11), имеем
V Ие2[К(Пб)] + 7б--Гб
7б + к (р) —--------------------------	44.105>
16	Re [К (i Тб)1
Это уравнение позволяет приближённо определить характер
и время установления частоты в системе с произвольным типом
фильтра, однако даже для простейших фильтров его интегри-
рование не всегда удаётся осуществить.
Для рассматриваемого случая К (р) = ——, a Re [К (iyo)] =
=------?----, и ур-ние (4.105) принимает вид
Тб
dt	__________________
TH-l-jr* 7®-/ 1 + Тб (1 + 1б Т2уу
та 7б
(4.106)i
Точное интегрирование этого выражения затруднительно,
поэтому вычислим приближённо интеграл- к правой части, пред-
варительно упростив её.
И35
Как и ранее, предположим, что в момент включения частота
►биений равна начальной расстройке. Поэтому интегрировать бу-
дем в пределах от ус = ун до Уб = 0- Напомним также, что в ус-
тойчивой в «большом» системе ФАПЧ с интегрирующим фильт-
ром начальная расстройка при Ту^>\ не превосходит величины
1,2
Уз~ VTy *
Поскольку в процессе установления частота биений всегда
меньше начальной расстройки, выражение (4.406) можно заме-
нить приближённым равенством
dt ---------------
1--Гн-7Ъ£
После интегрирования получим [77]
(4.107)
з Г 1-ун
Тр _ J/____т$_
т = 3(1 -Тн)
— 1п
2
2
з Л1 ~ 7н /! •— YhV
И 4 +( ri )
/	3
Рис. 4.20. Зависи-
мость времени уста-
новления частоты от
начальной расстройки
в системе ФАПЧ
интегрирующим
фильтром
+ /3 arctg —
2
Тн /3
~~ Тн !_ 7
--й--- 1Н
. (4.108)
Зависимость относительного времени
т
установления частоты . в системе с ин-
тегрирующим фильтром от ун и Ту, пост-
роенная по этому выражению, приведена
в виде семейства кривых на рис. 4.20.
Для определения полного времени ус-
тановления необходимо знать также вре-
мя установления фазы в данной системе.
Найти его для Ту>1 можно на основа- ’
нии выражения (3.45) при т = 0.
При определении времени установле-
ния частоты для систем ФАПЧ с более
сложными фильтрами нет смысла приме-
нять приближённое ур-ние (4.105), по-
скольку получить его решение почти так-
же трудно, как и решение точного основ-
ного дифференциального уравнения.
В этом случае рациональнее найти численное решение основно-
го уравнения или воспользоваться экспериментальными данными.
144
£,
У
С
2
4
Глава 5
Действие
детерминированных
возмущений
на систему ФАПЧ
§ 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В предыдущих главах рассматривались системы ФАПЧ, опи-
сываемые общим ур-нием (1.11), которое не содержит времени
в явном виде (автономные системы). Автономность их явилась
следствием того обстоятельства, что все параметры как эталон-
ного сигнала, так и самой схемы ФАПЧ считались постоянными,
за исключением частоты и фазы подстраиваемого генератора.
На практике же часто встречаются неавтономные системы
ФАПЧ, т. е. системы, у которых один или несколько параметров
явно зависят от времени. В частности, в результате полезной
модуляции эталонного сигнала или воздействия -на него помех
параметры этого сигнала могут оказаться непостоянными. Си-
стема может также стать неавтономной в результате изменения
её внутренних параметров во времени под действием помех или
паразитных напряжений, попадающих на .вход управляющего
элемента, непосредственно на подстраиваемый генератор и т. д.
Проблема анализа неавтономных систем ФАПЧ /в целом
очень сложна и многообразна, поэтому в настоящей главе рас-
смотрим только те системы, неавтономность которых вызывает-
ся детермированными причинами.
Ограничимся случаями периодической модуляции фазы эта-
лонного сигнала, действием периодического напряжения на вход
управляющего элемента и на выход фазового детектора
(рис. 5.1). Здесь через Ui(/); u2(t) и u$(t) обозначены аддитив-
ные помехи, попадающие в различные точки системы ФАПЧ.
Действие аддитивных помех на эталонный сигнал во многих
случаях можно свести к действию эквивалентной аддитивной
помехи на выходе фазового детектора. Этот же случай соответст-
10—793	145
u3(t)
Рис. 5.1. Блок-схема ФАПЧ с источ-
никами помех
вует наличию на выходе фазового детектора паразитных комби-
национных колебаний.
Непостоянство напряжения на входе управляющего элемен-
та может возникнуть при использовании системы ФАПЧ в ка-
честве фазового или частот-
ного модулятора или при
попадании на него паразит-
ных напряжений, например,
пульсаций от выпрямителя.
Анализ начнём с состав-
ления общего дифференци-
ального уравнения неавто-
номной системы ФАПЧ, в ко-
торой в режиме удержания
фаза эталонного сигнала, а
также напряжения на выхо-
де фазового детектора и на
входе управляющего элемента являются независимыми функция-
ми времени.
Напряжение эталонного сигнала, модулированного по фазе
по закону фзг (0, в сумме с напряжением помех Ui(t)
^эг W ^эг cos [ ^эг «Рэг ^)] +	(5* О
Напряжение подстраиваемого генератора можно предста-
вить в следующем виде:
^пг W — ^пг cos [ шэг + «Рэг + «Р] ’	(5<2)
где ф-- мгновенная разность фаз эталонного и подстраиваемого
генераторов.
Для простоты будем считать, что фазовым детектором слу-
жит идеальный перемножитель. В этом случае можно показать,
что действие аддитивной помехи, накладывающейся на эталон-
ный сигнал, эквивалентно действию некоторой аддитивной же
помехи на выходе фазового детектора.
Представим пДО <в виде суммы отдельных синусоидальных
компонент:
«1 (о=2^СО5 Г( шэг+z+ф*]’	<5-3>
fe=l
где йь — разность частот эталонного генератора и k-й. компо-
ненты щ (/);
фь — начальная фаза этой компоненты.
146
Подставив выражение (5.3) в (5.1), найдём выходное на-
пряжение фазового детектора с учётом подавления высокочастот-
ных «компонент его нагрузкой:
^фд ~ ~~2 U&r ^пг Ф 'Ь ^2 (0>	(5*4)
где
«2 (0 = ф ^ПГ C°S [Q* Z +	+ Ф + фЭГ (0] •
Таким образом, выходное напряжение фазового детектора
можно представить суммой двух слагаемых, одно из которых
является полезным сигналом, а второе — эквивалентной адди-
тивной помехой, приведённой к выходу фазового детектора.
Учитывая, что на вход управляющего элемента, кроме выход-
ного напряжения фильтра нижних частот, действует также по-
стороннее напряжение из(/), запишем
^уэ ~ (Р) ^фд + /7з (0*	(5.5)
Мгновенная частота подстраиваемого генератора
0>ПГ = шо пг ^УЭ (р} ^пг ^эг cos Ф “Т ^г(0 ]	^3 (0 | • (5.6)
Поскольку мгновенная разность частот есть производная
мгновенной разности фаз, можем записать
Р Ф -= ^пг — шэг — р Фэг	(5.7)
Подставив в ф-лу (5.7) выражение <опг из (5.6), получим
основное уравнение неавтономной системы ФАПЧ
Р р + ^эг О] + -К (Р) ЙУ [cos ф + 4г о] + 5уЭ и3 (/) = йн, (5.8)
где
~	^УЭ ^ПГ ^ЭГ’
Если <рэг (0, «2(0 и ы3(0 постоянны, то ур-ние (5.8) пре-
вращается в ур-ние (1.11), описывающее поведение обычной ав-
тономной системы ФАПЧ.
Уравнение (5.8) является нелинейным дифференциальным
уравнением произвольного порядка с переменной правой частью.
Поскольку это уравнение даже в случае постоянства правой
части решить не удаётся, будем изучать влияние различ-
ных помех и модулированных сигналов на работу системы
ФАПЧ при малых возмущениях, когда её можно считать линей-
ной. В таком случае можно ограничиться рассмотрением си-
стемы в режиме удержания.
10*	147
Считая, что система находится в состоянии синхронизма, мо-
жем записать мгновенную разность фаз эталонного и подстраи-
ваемого генераторов следующим образом:
Ф = Фо2 + Аф(/),	(5.9)
где Аф(/) —отклонение мгновенной разности фаз от её стацио-
нарного значения, вызванное модуляцией фазы эталонного
сигнала.
Найдём, прежде всего, условия, при которых допустима ли-
неаризация.
Нелинейность ур-ния (5.9) определяется одним членом
F((p) =cos<p. Разлагая cosq> в ряд Тейлора вблизи точки устой-
чивого равновесия и учитывая, что —л<фо2<0, имеем
COS ф = cos ф02 + | sin ф021 Аф-- cos ф02Аф2-1 sin ф021 Аф3.
(5.10)
Условие, Д1ри котором сумма третьего и четвёртого членов
этого выражения всегда остаётся на порядок меньше второго
члена, имеет вид
I Аф | < V 2,25 с£§2ф02 +0,6 — 1,5 | ctg ф021,	(5.11)
поскольку COS <Ро2=Тн» т0
/-------2
|Аф|<1/ 2,25—+ 0,6— 1,5
'	1 Тн
I Тн I
1--2
1 »н
(5.12)
Это выражение показывает, что величина девиации разности
фаз, при которой допустима линеаризация, существенно зависит
от начальной расстройки. В частности, при |ун| = 1 линеариза-
ция недопустима ни при каких значениях Аф. Физически это
объясняется тем, что при |ун| == 1 система ФАПЧ находится
на грани срыва синхронизма. В другом крайнем случае, т. е.
при ун = 0, Аф = 0,775, что говорит о достаточно широком диа-
пазоне Аф, при котором допустима линеаризация.
При выполнении неравенства (5.12) можно в выражении
(5.10) отбросить все высшие слагаемые, как величины доста-
точно малые.
Подставив Б ур-ние (5.8) выражение (5.10), в котором со-
храняются только дв'а первых члена правой части, получим ли-
нейное дифференциальное уравнение
Р [Дф + Фэг (01 + А(р) 2у [|А' (Фог)| Дф+ «2(о] + <5уэ«з (/) = 0,
(5.13)
где F'(<j>02) —крутизна характеристики фазового детектора в
точке устойчивого равновесия. В данном случае |F'(фог) | =
148
\sin (рог [. Линейное дифференциальное ур-ние (5.-13) позволяет
определить характеристики .систем ФАПЧ при воздействии на
них как 'Внешних, так и внутренних помех. Для облегчения ана-
лиза рассмотрим в отдельности действие указанных помех.
§ 5.2. ДЕЙСТВИЕ Ф АЗО-МО ДУ ЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
НА СИСТЕМУ ФАПЧ
Эталонный сигнал может оказаться промодулированным
как полезным сигналом, так и внешними помехами или одно-
временно и полезным сигналом и помехами.
Под внешними помехами будем понимать помехи, действую-
щие на эталонный сигнал. В этом случае в ур-нии (5.13)
w2(/) = uz (/) = 0 и
р [Дф + фэг (/)] + К(р') Йу| F' (ф02) Дф = 0.	(5.14)
Это уравнение позволяет найти передаточную функцию си-
стемы ФАПЧ. Под передаточной функцией принято понимать
отношение мгновенного отклонения фазы подстраиваемого ге-
нератора к мгновенному отклонению фазы эталонного сигнала:
Тпг
' Эта функция имеет важное значение при линейном
'Рэг
анализе систем ФАПЧ, так как она позволяет оценить свойст-
ва систем ФАПЧ как фильтра, как следящей системы, как де-
тектора ФМ сигнала и т. п.
Воспользовавшись выражением (5.14), с учётом того, что
Дф = фпг — фэг, получим
(р) =--------Ц-------.	(5.15)
1 /С (р) йу |Г(?02)|
Это выражение позволяет проверить выполнение неравенст-
ва (5.12) и определить, таким образом, границы применимости
линейного анализа систем ФАПЧ с конкретными типами фильт-
ров при заданном законе отклонения фазы эталонного сигнала.
Действительно, учитывая определение функции W\, можно
записать
Дф = [1-^(р)]фэг.	(5.16)
Вычислив из этого равенства Дф, можно установить, выпол-
няется ли условие (6.12).
Если в выражение (5.15) подставить К(р) какого-либо кон-
кретного фильтра нижних частот, то получится линейное диф-
ференциальное уравнение в операторной форме, позволяющее
149
исследовать переходные процессы в линеаризованной системе
ФАПЧ.
В том случае, если <рэг (/) меняется по гармоническому за-
кону с частотой со, то в выражении (5.1'5) символ р можно за-
менить на ico, получив тем самым частотную и фазовую характе-
ристики системы ФАПЧ.
Интересно заметить, что при А (р) = 1 (идеализированная-
система ФАПЧ) выражение (5.15) совпадает с передаточной
функцией интегрирующей RC цепочки с постоянной времени
т =______5_____
с йу IF' (<Ро2)| ’
Эту величину в дальнейшем будем называть собственной по-
стоянной времени системы ФАПЧ.
Рассмотрим несколько различных частотных характеристик
систем ФАПЧ с конкретными типами фильтров.
В идеализированной системе К(р) =1. Поэтому коэффици-
ент передачи девиации фазы такой системы
HMia)) -
1
1 -р i со Тс
(5.17)
Частотная характеристика находится из этого выражения
как модуль правой части:
|Г1(Ь)|=У ' (5J8)
V 1 Г I 1 су
0)	/Т1	1
где у =------относительная частота, Tcv= —------ — относи-
Y йу	у IF'CM
тельная постоянная времени идеализированной системы ФАПЧ.
Интересно отметить, что для F (ср) = cos ср частотная харак-
теристика зависит от начальной расстройки, поскольку в этом
случае | Z77(фоя) | = V 1—Y2- Увеличение начальной расстройки
эквивалентно увеличению постоянной времени некоторой экви-
валентной RC цепочки с такой же частотной характеристикой.
Частотная характеристика идеализированной системы
ФАПЧ показана на рис. 5.2 (кривая, соответствующая Ту = 0),
построенная при ГСу = 1.
Если система ФАПЧ имеет пропорционально-интегрирующий
фильтр, коэффициент передачи которого определяется выраже-
нием (3.14), то комплексная передаточная функция системы
Г! (i ш) =------1+ifftT------- .	(5.19)
(l-&TcT)+i(Tc + mT)<i>
150
Модуль этого выражения, представляющий собой амплитуд-
но-частотную характеристику, имеет вид
Рис. 5.2. Частотные характеристики отклонений фазы в системе
ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром
В частном случае, при т = 0, выражение (5.20) представ-
ляет собой частотную характеристику системы ФАПЧ с обыч-
ным интегрирующим фильтром. Если т = const, Тут^> 1, вы-
ражение (5.20) значительно упрощается:
|яМп)1 = ——
\/ 1
1
у2 72
К J су
(5-21)
Отсйда следует, что частотная характеристика коэффициен-
та передачи системы ФАПЧ при указанных условиях анало-
гична частотной характеристике идеализированной системы
ФАПЧ с постоянной времени, увеличенной в — раз.
т
На рис. 5.2 приведены частотные характеристики системы
ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром, построен-
ные по выражению (5.20). При построении кривых величина
Тсу принималась равной единице, так как в этом случае лучше
151
видно влияние фильтра нижних частот, включаемого между фа-
зовым детектором и управляющим элементом, на передаточную
функцию системы.
Из выражения (5.2'0) и рис. 5.2 следует, что величину
(iy) | можно изменять, меняя относительную постоянную
времени Ту или коэффициент т. Кроме того, из рисунка видно,
что увеличением постоянной времени Ту при m = 0 можно зна-
чительно уменьшить |(Wr(iy) | на заданной частоте. Однако у час-
тотной характеристики системы ФАПЧ на частотах, ниже за-
данной, образуется подъём. Если ФАПЧ используется в качест-
ве фильтра, этот подъём весьма нежелателен, так как он мо-
жет привести к усилению помех соответствующей частоты.
В этом отношении система ФАПЧ с пропорционально-интег-
рирующим фильтром обладает преимуществом, так как она
позволяет при mTy^> 1 получить частотную характеристику
без подъёма, 'а также значительно уменьшить 1$^ (iy) | на за-
данной частоте.
Следует отметить, что параметры m и Ту определяют не толь-
ко модуль передаточной функции ФАПЧ, но и такой важный по-
казатель её .работы, как полоса захвата (ф-ла (4.83)]. Поэтому
при конструировании системы, работающей как фильтр, необ-
ходимо выбирать её параметры таким образом, чтобы на за-
данной частоте помехи получить наибольшее подавление послед-
ней (минимум | Wi (iy) |) при максимальной относительной по-
лосе захвата.
В качестве второго примера рассмотрим систему ФАПЧ
с RLC фильтром.
Подставив ф-лу (3.17) в выражение (5.15), получим
(i %) =--------------------------.	(5.22)
Взяв модуль этого выражения, получим частотно-амплитуд-
ную характеристику системы
I ИМИ) I = -г-=----	1 9		-	•	(5.23)
V (1 - ^Гсу Т*)2 + Т2у (1 ~ £2 72)2Л2
Из выражения (5.23) следует, что модуль коэффициента
передачи девиации фазы системы ФАПЧ с RLC фильтром зави-
сит от двух обобщённых параметров фильтра и системы ФАПЧ:
k и d. Увеличение затухания d и коэффициента k приводит к
увеличению завала на верхних частотах и к подъёму характе-
ристики на нижних частотах. Изменение k влияет сильнее на
завал в области верхних частот, чем изменение d. Однако уве-
личить k можно только до критического значения, при котором
нарушается устойчивость системы в «малом» (ф-ла (3.19)].
На рис. 5.3 изображено семейство кривых (iy) |, пост-
роенных по ф-ле (5.23) при Тсу = 1.
152
Следует отметить, что, как и в системе ФАПЧ с пропорцию-
нально-интегрирующим 'фильтром, параметры системы и фильт-
’ ра нужно выбирать с учётом их влияния на полосу захвата.
Поскольку у3 и Wi (iy) имеют сложную зависимость от
параметров системы и
фильтров, то провести
анализ в общем виде
невозможно. Поэтому
укажем методику чис-
ленного определения
оптимальной ФАПЧ,
ограничившись рас-
смотрением систем с
пропорционально-инте-
грирующими и RLC
фильтрами. Проекти-
руя системы ФАПЧ, ра-
ботающие в режиме
фильтра, необходимо
найти оптимальное со-
Рис. 5.3. Частотные характеристики отклоне-
ний фазы в системе ФАПЧ с RLC фильтром
отношение параметров, обеспечивающее максимум у3 при
минимальном значении Wi (iy), а затем сравнить системы,
Рис. 5.4. Частотные характеристики откло-
нений фазы в системе ФАПЧ с различными
фильтрами при постоянной полосе захвата
имеющие оптимальные параметры, но отличающиеся типами
фильтров.
Сравним частотные характеристики систем ФАПЧ с указан-
ными фильтрами при постоянном значении у3. Пусть у3 = 0,5.
Воспользовавшись фор-
мулами (4.83) и (4.87)
для уз, можно найти
связь между параметрами
т и Ту для системы
ФАПЧ с пропорциональ-
но-интегрирующим фильт-
ром и между k и d для
системы ФАПЧ с RLC
фильтром, при
обеспечивается
Полученные области па-
раметров можно исполь-
зовать для построения се-
мейства кривых Wi(iy)
по ф-лам (5.20), (5.21) и
(5.23).
Кривые, построенные
указанным способом при
Уз = 0,5, приведены на
рис. 5.4. Из этого рисунка
которой
Уз = 0,5.
153
слг lyci\ что однозначно решить вопрос о целесообразности при-
менения того или иного фильтра невозможно.
Выбор типа фильтра зависит от величины у. Можно заметить,
что система ФАПЧ, у которой )TTi (iy) ^минимально на высоких
частотах, оказывается неоптимальной при малых значениях у
и наоборот. Так, если у>2, наилучшую фильтрацию обеспечи-
вает система ФАПЧ с RLC фильтром при максимальном значе-
нии параметра k, тогда как для у<1 целесообразно применять
пропорционально-интегрирующий фильтр с большим Ту.
В области 1 <у<2 все рассмотренные варианты дают при-
мерно одинаковые результаты.
Хотя данный пример относится только к частному случаю
Уз = 0,5, расчёт показывает, что сделанные здесь выводы ос-
таются в силе и для других значений у3. Поскольку численные
расчёты слишком громоздки и не могут охарактеризовать
свойства систем ФАПЧ со всеми возможными фильтрами, рас-
смотрим некоторые наиболее часто встречающиеся случаи.
Если ограничить область возможных значений у3 и у, то
можно пользоваться упрощёнными выражениями для опреде-
ления уз и | Wi (iy) | через параметры фильтров. Так, при у3<0,5
для системы ФАПЧ с интегрирующим фильтром у3 определяется
из выражения (4.85). Если выполняется условие
Туу2> 1,	(5.24)
'то выражение (5.20) можно значительно упростить:
• (5-25)
1 У I
При малых у3 и	1 у3 определяется по приближённой
формуле, полученной из (4.84),
у3^]/2т.	(5.26)
Еслиу2>т2, выражение (5.21) упрощается:
l^i(iy)|~—.	(5.27)
При у3<0,5 и ky>d выражения (4.87) и (5.23) значительно
.упрощаются:	,‘4 .	(5.28) <5'29) я2 у
Сравнивая выражения (5.29) и (5.25), можно заметить, что
система ФАПЧ с RLC фильтром при указанных ограничениях
имеет наибольшую крутизну ската частотной характеристики.
154
Воспользовавшись ф-лами (5.26), (5.27) и (5.29), найдём
отношение модулей коэффициентов ‘ передачи систем ФАПЧ с
пропорционально-интегрирующпм и RLC фильтрами при одина-
ковых полосах захвата:
.	(5.30)
1»’1<и>|яж -I
Полученная формула подтверждает сделанный ранее вывод
о нецелесообразности применения пропорционально-интегрирую-
щего фильтра для подавления высокочастотных помех и, нао-
борот, о целесообразности его использования при низкочастот-
ных помехах.
Расчёты показывают, что при фильтрации высокочастотных
помех в цепь управления системы ФАПЧ следует включить
фильтр с большим коэффициентом прямоугольности. При этом
имеет место максимальная фильтрация, и реализуется макси-
мальная полоса захвата.
До сих пор система ФАПЧ рассматривалась как некоторый
узкополосный фильтр, выделяющий несущую частоту и подав-
ляющий модуляцию эталонного сигнала. Однако это не един-
ственное её применение. На практике может встретиться слу-
чай, когда эталонный сигнал модулирован по фазе некоторым
сигналом. При этом необходимо иметь наименее искажающую
частотную характеристику системы.
В общем случае выбор типа четырёхполюсника в цепи об-
ратной связи, корректирующего частотную характеристику си-
стемы в заданной области частот, представляется довольно
сложной задачей и зависит как от ширины спектра сигнала,
так и от расположения последнего на шкале частот.
Интересно отметить, что в частном случае, когда спектр по-
лезного сигнала занимает область частот от у = 0 до у = 1,
идеализированная система ФАПЧ не является наименее иска-
жающей. Действительно, варьируя параметры фильтра, всегда
можно получить наиболее равномерную частотную характери-
стику системы ФАПЧ в области нижних частот.
Частотную характеристику идеализированной системы мож-
но получить из выражения (5.20) при Ту = 0 и Тсу = 1:
I (п)1 = -•	<5-31)
У1 + т2
В системе ФАПЧ с RC фильтром наиболее равномерная ха-
рактеристика получается при Ту = 0,5:
107,(1 1 = WW 	(5'32’
155
Для системы ФАПЧ с RLC фильтром она наиболее равномер-
на при d2 = 2 и k = —7= :
г	2/2
I (i т) | = г 1_____•.	(5.33)
1 V 17	/1 + 0,0156^6	к '
Из сравнения ф-л (5.31), (5.32) и (5.33) вытекает, что наи-
большей прямоугольностью и наиболее широкой полосой обла-
дает характеристика системы ФАПЧ с RLC фильтром.
Выводы, полученные в настоящем разделе, можно применить
и к системе ФАПЧ, выделяющей несущую частоту из эталон-
ного сигнала, модулированного по фазе малой импульсной по-
мехой. В этом случае необходимо выбирать такой фильтр, ко-
торый обеспечивает при заданной полосе захвата эффективное
подавление основной тактовой частоты и всех её гармоник.
§ 5.3. ДЕЙСТВИЕ МАЛЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА СИСТЕМУ ФАПЧ
Под внутренними возмущениями будем понимать гармони-
ческие напряжения, попадающие непосредственно на управляю-
щий элемент или на выход фазового детектора [напряжения
и2 (/) и и3 (/) на рис. 5.1].
Дифференциальное ур-ние (5.13) в этом случае принимает
вид
Г	S
Р Аф + К (р) Qy [| F' (<р02) | Д<р + и2 (/) + 5уэ и3 (/) = 0. (5.34)
Рассмотрим действие напряжений и2(/) и и3(/) по отдель-
ности. Положим, что u3(t) = 0. Тогда
р Дф + к (Р) 2у [| F' (Ф02) I Дф +	«2 (/)] = 0-	(5.35)
Для оценки влияния переменного напряжения u2(t), прило-
женного к выходу фазового детектора, на разность фаз (на фазу
подстраиваемого генератора, так как фаза эталонного сигнала
постоянная) введём операторный коэффициент передачи W2(p).
Этот коэффициент определяется отношением девиации частоты
(фазы) подстраиваемого генератора, вызванной действием на-
пряжения и2(0, при замкнутой петле, автоподстройки, к девиа-
ции частоты (фазы) этого же генератора, вызванной непосред-
ственной подачей напряжения u2(t) на вход управляющего эле-
мента, при разомкнутой петле ФАПЧ:
Г2(р) =
РУпг
*$УЭи2 (0
(5.36)
156
Непосредственно из выражения (5.35) можно найти, что
W2(p) =-----------•	(5.37)
1 , ТсР
Сопоставляя ф-лы (5.37) и (5.15), видим, что
(5.38)
Из равенства (5.38) следует, что частотные характеристики
для сигналов, действующих на выходе фазового детектора, от-
личаются от частотных характеристик функции W\ (iy) множи-
телем Тср, который определяется наличием дополнительно
включённого идеального дифференцирующего звена. Поэтому
частотные характеристики функции W2 (р) можно получить
простым умножением правых частей соответствующих выраже-
ний для (р) на р. Отсюда следует, что принципиальные вы-
воды о целесообразности применения того или иного типа
фильтра для подавления помех сохраняют свою силу и для это-
го случая.
При достаточно высокочастотных помехах, когда Тср^>1, вы-
ражение (5.37) принимает вид
W2(P)^K (р).	(5.39)
Таким образом, фильтрация высокочастотных внутренних по-
мех определяется исключительно фильтром нижних частот,
включённым 'между фазовым детектором и управляющим эле-
ментом.
Отметим также, что при К (р) = 1 функция W2 (р) соответ-
ствует операторному коэффициенту передачи реальной диффе-
ренцирующей цепочки.
Рассмотрим теперь случай, когда возмущение действует не-
посредственно на вход управляющего элемента. Дифференци-
альное ур-ние (5.13) при этом запишется следующим образом:
Р Д? + к (р) Qy | F' (Ф02) I Аф + 5уэ и3(/) - 0.	(5.40)
Для оценки действия переменных напряжений, приложенных
ко входу управляющего элемента, на частоту подстраиваемого
генератора удобно ввести операторный коэффициент 1Г3(р),
выражающий собой отношение мгновенного отклонения часто-
ты подстраиваемого генератора при замкнутой петле автопод-
стройки к отклонению его частоты при разомкнутой петле авто-
подстройки, т. е.
Р?пг
8уэ из (О
(5.41)
гз(р) =
157
Из ур-ния (5.40) имеем
VM = 77^'	(5Л2)
ТсР
Сравнивая выражения (5.41) и (5.Т5), замечаем, что
Гз(Р)=^Г7^1(Р).	(5-43)
Эти выражения .позволяют рассчитать частотную характери-
стику | W3 (iy)/ для переменных напряжений, попадающих на
вход управляющего элемента системы ФАПЧ, при любом типе
Рис. 5.5. Частотная зависимость функции
(Ал)3/№| для системы ФАПЧ с пропорционально-
интегрирующим фильтром
фильтра.
Для примера на
рис. 5.5 приведены
частотные характе-
ристики системы
ФАПЧ с интегрирую-
щим и пропорцио-
нально -интегрирую-
щим фильтрами [23].
Эти характеристи-
ки построены при
Как показывает
анализ и как непо-
средственно следует
из приведённых ри-
сунков, включение
фильтра нижних час-
тот между фазовым
детектором и управ-
ляющим элементом
приводит только к
подъёму частотной
характеристики в об-
ласти нижних частот
по сравнению с час-
тотной характерис-
тикой системы
ФАПЧ, не имеющей
фильтра. Поэтому, если переменное напряжение, попадающее
на вход управляющего элемента, является помехой, включение
фильтра в цепь управления нецелесообразно.
158
Если же переменное напряжение и3 (/) является полезным
сигналом и требуется обеспечить наименьшие частотные иска-
жения, следует применить нропорционально-интегрирующий
фильтр с достаточно большими постоянными времени. Такой
случай соответствует использованию системы ФАПЧ в качестве
фазового (частотного) модулятора, частотная характеристика
которого при mT >> 1 имеет вид
| W3 (i т) I /^7Гсу :.	(5.44}
1	1/1	//п2 + 72Тсу
Из этого выражения следует, что, уменьшая т, можно рас-
ширять диапазон частот, в котором характеристика равномерна.
§ 5.4. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ФИЛЬТРУЮЩЕЙ
СПОСОБНОСТИ СИСТЕМЫ ФАПЧ
Как уже указывалось, сужая полосу пропускания фильтра
нч и уменьшая полосу удержания, можно значительно увеличи-
вать фильтрующую способность системы ФАПЧ. Однако при
этом неизбежно уменьшение другого важного показателя ка-
чества работы системы — полосы захвата.
Противоречие между требованиями большой фильтрующей
способности и большой полосы захвата можно отчасти устранить
правильным выбором типа и параметров фильтра, а также си-
стемы ФАПЧ в целом. Полностью разрешить это противоречие
в обычной системе принципиально невозможно, поскольку меж-
ду амплитудной и фазовой характеристиками фильтров мини-
мально-фазового типа, которые только и следует применять в це-
пи обратной связи, существует функциональная зависимость.
Однако специальными приёмами можно улучшать фильтрую-
щую способность системы ФАПЧ без
Так, в [35] для этой цепи предло-
жено применить нелинейный фильтр.
Основу этого метода составляет ис-
пользование различия уровней сиг-
налов на выходе фазового детекто-
ра в режиме биений при захвате и
в режиме удержания при слабой
помехе. Значительное увеличение
фильтрующей способности слабой
помехи без снижения полосы захва-
та в этом случае достигается в ре-
снижения полосы захвата.
Рис. 5.6. Вольтамперная ха-
рактеристика нелинейного эле-
мента фильтра системы ФАПЧ
зультате того, что при сильном сиг-
нале (в режиме захвата) фильтр
имеет широкую полосу пропуска-
ния, а при слабом сигнале (в режи-
ме удержания) — узкую. Указанные выше требования могут
быть выполнены при различных схемах фильтров.
159
В этой работе рассматривался случай применения простей-
шего однозвенного интегрирующего RC фильтра, состоящего из
обычной линейной ёмкости и нелинейного сопротивления, вольт-
амперная (Характеристика которого показана на рис. 5.6.
Практическая схема фильтра с такой характеристикой со-
противления представлена на рис. 5.7. Нелинейное сопротивле-
ние, как видно из рисунка, состоит из параллельно включённых
линейного активного сопротивления R и двух включённых на-
встречу друг другу диодов Д\ и Д2 с источниками запирающего
смещения и £72. Регулируя величину запирающего смещения,
можно изменять длину линейного
участка вольтамперной характерис-
тики нелинейного сопротивления.
Размер этого участка выбирается
несколько больше удвоенной ампли-
туды помехи с тем, чтобы для поме-
хи сопротивление было большим
(равным R), По мере уменьшения
амплитуды помехи можно умень- Рис. 5.7. Схема нелинейного
шать размер линейного участка, и, RC фильтра системы ФАПЧ
следовательно, тем слабее при этом
будет проявляться инерционность фильтра при захвате.
Для того чтобы количественно оценить выигрыш, даваемый
подобным фильтром, необходимо знать как модуль передаточной
Рис. 5.8. Зависимость полосы захва-
та системы ФАПЧ с нелинейным
RC фильтром от её параметров
функции, так и полосу захва-
та. При расчёте фильтрации
фазы эталонного сигнала, вы-
званной помехой, можно поль-
зоваться результатами, полу-
ченными для обычного линей-
ного однозвенного RC фильтра
[ф-ла (5.20) при т = 0], считая,
что его постоянная времени
определяется линейным сопро-
тивлением R. Полосу же захва-
та в такой системе можно опре-
делить одним из рассмотрен-
ных ранее приближённых ме-
тодов исследования устойчиво-
сти системы ФАПЧ в «боль-
шом».
В работе [35] полоса захва-
та определялась методом
сшивания фазовых траекторий
при полигональной аппрокси-
мации характеристики фазового детектора.
На рис. 5.8 приведены результаты вычисления у3 как функ-
160
ции безразмерной постоянной времени Д =—Ту и отношения Н
л
/величины смещения на диодах к максимальному напряжению
на выходе фазового детектора.
Из рисунка следует, что, например, при //=0,1 (амплитуда
помехи составляет 10%._от максимального -напряжения на выхо-
де фазового детектора) и постоянной времени Д=100 полоса
захвата снижается не более чем на 10%. В то же время в со-
ответствии с ф-лой (5.20) фильтрация высокочастотных помех
получается весьма высокой.
Следует заметить, что применять подобную схему для повы-
шения фильтрации слабых гармонических помех следует с из-
вестной осторожностью, так как при большой величине безраз-
мерной постоянной времени частотная характеристика передачи
девиации фазы имеет большой пик в области нижних частот.
Поэтому при конструировании её следует позаботиться о том,
чтобы этот пик не совпадал по частоте ни с одной частотной
составляющей помехи.
Ялой
Рис. 5.9. Упрощённая
схема ФАПЧ с
фильтром, имеющим
инерционно-нелиней-
ные параметры, и дву-
мя фазовыми детек-
торами
На практике находят применение и другие системы ФАПЧ
с инерционно-нелинейными параметрами. Рассмотрим работу
такой системы с пропорционально-интегрирующим фильт-
ром [116].
Её упрощённая схема представлена на рис. 5.9. Элементы
ФДь УЭ, ПГ и пропорционально-интегрирующий фильтр (R\, Rz>
образуют обычную систему ФАПЧ. Остальные элементы но-
сят вспомогательный характер и обеспечивают регулирование
коэффициента передачи цепи управления (между фазовым де-
тектором ФДх и управляющим элементом УЭ) в зависимости
от величины начальной расстройки.
Для повышения фильтрующей способности системы без сни-
жения относительной полосы захвата необходимо, чтобы в
режиме удержания коэффициент передачи цепи управления был
малым, а -в режиме биений — большим. Это достигается регу-
лированием коэффициента передачи катодного повторителя Ль
через который часть переменного напряжения с выхода ФД\
11-793	161
поступает непосредственно на вход УЭ. Регулирующий сигнал
образуется на выходе фазового детектора ФД2> на вход кото-
рого через фазовращатель ФВ подаётся напряжение от под-
страиваемого генератора ПГ, сдвинутое по фазе относительно
входного напряжения ФД\ на 90°'. Фильтр ФНЧ устраняет пе-
ременную составляющую выходного напряжения ФД2- Постоян-

ная составляющая этого напряжения, поступая на сетку катод-
ного повторителя, снижает его коэффициент передачи. Поскольку
напряжения на фазовых детекторах взаимно сдвинуты по фазе
на 90°, постоянное напряжение на выходе ФДъ 'максимально по ~
модулю только при нулевой начальной расстройке. Фаза вклю-
чения напряжений на вход ФД2 выбирается таким образом, что-
бы выходное напряжение было
отрицательным. При увеличе-
нии начальной расстройки не-
зависимо от её знака постоян-
ное напряжение на выходе ФД2
уменьшается, и коэффициент
передачи цепи управления уве-
личивается.
В режиме биений постоян-
0?
Рис. 5.10. Блок-схема системы ФАПЧ ная составляющая на выходе
с компенсацией помех ФДъ близка к нулю, и полоса
захвата получается большой.
Другой вариант такой схемы приведён в работе [31].
Улучшить фильтрующую способность системы ФАПЧ без
снижения полосы захвата можно и другими методами. Так, на-
пример, компенсацию паразитной девиации фазы напряжения
подстраиваемого генератора можно осуществить, применяя до-
полнительную противофазную фазовую модуляцию выходного
напряжения.
Блок-схема, позволяющая осуществить указанную идею, по-
казана на рис. 5.10. Она состоит из обычной системы ФАПЧ и
дополнительного канала регулирования фазы выходного напря-
жения, который состоит из корректирующего четырёхполюсника
КЧ, усилителя У и фазового модулятора ФМ.
Выше указывалось, что если система ФАПЧ находится в со-
состоянии синхронизма, а эталонный сигнал модулирован по-
мехой, то на входе управляющего элемента появляется некото-
рое переменное напряжение помехи пуэ (t). Это напряжение вы-
зывает паразитную модуляцию частоты подстраиваемого гене-
ратора.
Считая, что характеристика управляющего элемента линей-
на, можно найти закон отклонения частоты подстраиваемого
генератора:
(О ^УЭ U
(5Л5)
162
Компенсация действия помех, попадающих на вход унрав-
riкицего элемента, осуществляется следующим образом. Мгно-
венное 'напряжение подстраиваемого генератора, имеющее де-
вницпю частоты А<опг (t), имеет вид
t
^пг ^пг sin ^эг У	Фо2^ •	(5.46)
Неопределённый интеграл в выражении (5.46) представляет
собой закон отклонения фазы колебания подстраиваемого ге-
нератора, вызванного помехой и являющегося функцией време-
ни. Заменяя -в нём подынтегральную функцию А(оПг(/) её зна-
чением из ф-лы (5.45), -находим, что
t
Фпг (0 = SУЭ J “уэ (0 dt-	<5 -47)
Если внести в колебание [ф-ла (5.46)] фазовый сдвиг
—то тем самым можно скомпенсировать влияние помехи.
Таким образом, для полной компенсации помехи корректи-
рующий четырёхполюсник должен выполнять функцию идеаль-
ного интегратора. Однако при идеальном интегрировании в до-
полнительном канале и линейной неограниченной характеристи-
ке фазового модулятора, компенсация действия любого напря-
жения, в том числе и полезного постоянного напряжения под-
стройки, присутствующего на входе управляющего элемента, на
фазу и частоту выходного напряжения будет настолько полной,
чго даже потеряется полезный эффект подстройки. При этом
частота напряжения выходного сигнала будет равна частоте
подстраиваемого генератора при разомкнутой петле ФАПЧ.
Поэтому для -нормальной работы устройства необходимо, чтобы
в корректирующем четырёхполюснике осуществлялось интегри-
рование только для переменной составляющей напряжения.
Практически это достигается включением на входе усилителя У
обычной разделительной цепочки.
При помощи усилителя У можно регулировать общий коэф-
фициент усиления в дополнительном канале.
Это связано с тем, что применяемые на практике интегра-
торы (например, RC цепочка) выполняют функцию интегриро-
вания только при малом значении -коэффициента передачи.
Поскольку в приведённых рассуждениях никаких ограниче-
ний на -вид функции uv3(t) не накладывалось, то рассмотрен-
ный метод позволяет устранять паразитную девиацию частоты
выходного напряжения системы ФАПЧ, обусловливаемую как
любыми дискретными, так и флуктуационными помехами без
уменьшения полосы захвата.
Разрешить противоречие между степенью фильтрации по-
мех и шириной полосы захвата можно также, дополнив
Н*	16&
обычную систему ФАПЧ частотным детектором (рис. 5.11). ,
Как видно из рисунка, на вход управляющего элемента УЭ *
через сумматор С поступает сумма выходных напряжений фа-
зового детектора ФД
и частотного детек-
тора нулевых бие-
ний ЧД [61].
Действие цепи
частотной автопод-
стройки приводит к
снижению начальной
Рис. 5.11. Блок-схема системы частотно-фазовой расстройки подстра-
автоподстройки частоты	иваемого генератора,
что позволяет иметь
меньшую полосу захвата в системе ФАПЧ. Поэтому в такой си-
стеме можно выбирать коэффициент передачи по переменному
току фильтра ФНЧ достаточно малым и тем самым значительно
повысить фильтрующую способность системы. Фильтр ФНЧ
устраняет помехи, возникающие на выходе частотного детек-
тора.
§ 5.5. ДЕЙСТВИЕ БОЛЬШИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОМЕХ
НА СИСТЕМУ ФАПЧ
До сих пор рассматривалось воздействие на систему ФАПЧ
настолько малых помех, что нелинейностью характеристики фа-
зового детектора можно было пренебречь. Это давало возмож-
ность линеаризовать основное дифференциальное ур-ние (5.8)
и тем самым значительно упростить анализ, сведя его, по су-
ществу, к определению частотных характеристик, которые пол-
ностью определяют свойства линейных систем.
На практике часто встречаются случаи, когда возмущения в
системе ФАПЧ настолько велики, что пренебрегать её нели-
нейными свойствами нельзя. Это привело бы не только к зна-
чительным количественным ошибкам, но и не позволило бы об-
наружить новые качественные явления, имеющие место в нели-
нейной системе. Так, учёт нелинейности характеристики фазо-
вого детектора даёт возможность найти зависимость среднего
значения установившейся разности фаз от величины внешнего
возмущения, а также уточнить амплитуду девиации разности
фаз.
Выше помехи были условно разделены на внешние и внут-
ренние. В правильно сконструированной системе ФАПЧ внут-
ренние помехи обычно малы, чего нельзя сказать о внешних по-
мехах (или полезной модуляции). Поэтому данный'раздел по-
свящён анализу поведения системы при воздействии внешних
возмущений на эталонный сигнал. Этот случай соответствует
164
как полезной модуляции эталонного сигнала, так и действию
иомех на его амплитуду и фазу. Поскольку амплитудную мо-
1уляцию эталонного сигнала можно устранить при помощи
«и раничителей, рассмотрим, прежде всего, случай его фазовой
модуляции.
Для исследования вынужденных колебаний нелинейной си-
стемы целесообразно воспользоваться методом гармонического
баланса.
Как указывалось выше, сущность этого метода заключается
в том, что вынужденные колебания представляются гармониче-
ским рядом, а параметры их определяются из условия наилуч-
шего соответствия полученного решения основному нелинейно-
му дифференциальному уравнению.
Предположим, что состояние синхронизма в системе достиг-
нуто и что модуляция эталонного сигнала не приводит к появ-
лению средней разности частот, т. е. в среднем синхронизм не
нарушается.
В общем случае фаза эталонного сигнала может изменяться
по произвольному закону. Для простоты будем считать его
I армоническим:
Фэг(0 = ₽3rsiriQM^	(5.48)
где QM — частота модуляции фазы эталонного сигнала,
Рэг — амплитуда девиации фазы эталонного сигнала.
Пусть девиация фазы подстраиваемого генератора изменяет-
ся также по гармоническому закону с частотой QM:
Фпг ~ Рпг sin (2м * + Фх) + Фер.	(5.49)
где <рср — среднее значение разности фаз подстраиваемого и
эталонного генераторов;
фх — фазовый сдвиг в законах фазовой модуляции под-
страиваемого и эталонного генераторов;
рпг—амплитуда девиации фазы подстраиваемого генера-
тора.
Справедливость такого предположения обосновывается тем,
что в системе ФАПЧ, работающей в качестве фильтра, модуль
передаточной функции |1Г1(7<в)| имеет малое значение на часто-
тах 2QM, 3QM. Указанное предположение тем более справедливо,
чем круче спадает частотная характеристика системы.
Из выражения (5.48) и (5.49) следует, что
Ф (0 Фер + Рпг sin (2м t + Фх) — Рэг sin 2м (5.50)
Полагая в основном дифференциальном ур-нии (5.8) u2(t) =
= «з(0=0 и подставляя в него выражения (5.48) и (5.50), по-
лучаем исходное нелинейное дифференциальное уравнение
165
*^м^пг cos (^м t	фх) —	(р) йу cos [фср ~р sin (QM 4~
+ <Px)-fersinSM/].	(5.51)
Преобразовав косинус в правой части этого выражения по
формулам 'косинуса и синуса двух углов и воспользовавшись
известными формулами из теории бесселевых функций:
cos (Р sin х) = Jo (^) + 2 J2fl (р) cos пх.	(5.52)
п=1
sin(psinx) = 2^ J2n+\ (₽)sin(2n + l)x, (5.53)
n=0
получим
COS ]фср 4- рпгsin(QMt + Фх) — РэгsinSM/] = cos<pcp Jo ( ₽nr) +
+ 2 2/2« ( Pnr) cos 2«(^M^ + <Px) —sintPcpX
n=i
oo
X2 272«+i ( Pnr )sin (2n + 0 <S>X + <P.r)
n=0
J,n ( ?эг) cos
X cos 2n (QM t + <p J
Фср
(Pnr) sin(2n+ 1)2M/
00
+ cos<pcp-2 4,+1
X 2	^2n-(-l ( ?эг) Sin (2/г X 1) t-
n=0
(5.54)
Если модуляция фазы эталонного сигнала вызывается адди-
тивной помехой Ui(t) = t/jicos[®9r+Oi)^+q>i],TO можно показать,
что при Ui 1 < иэг (это соотношение почти всегда выполняется на
практике) девиация фазы эталонного сигнала, а следовательно,
и девиация фазы синхронизируемого генератора не превосходит
величины —[117]. Но если рэг< 1,57 и рпг< 1,57, то величины
Л (Рэг) и /г( Рпг) малы по 'сравнению с </0( Рэг) и /0 (Рпг) соответ-
ственно, а /3 ( Рэг) и ( Рпг) — по сравнению с (₽эг) и
^i(Pnr)- Поэтому в бесконечных суммах выражения (5. 54)
можно ограничиться только первыми членами:
168
cos [фср + ₽nr sin (2М t + <рх) — рэг sin 2М Z] =
= [cos фср70 ( Рпг) — sin фср 2/х (Рпг) sin (QMif + фх)] Л ( ₽Эг) +
+ [sin ФсрЛ (рпг) + cos ФсрЗ/х (рпг) sin (Ом/ + Фх)] X
Х2Л(₽ЭГ) sinQ„t	(5.55)
Подставив это выражение в ур-ние (5.51), получим
^м?пг COS Н“ Фх) = 2Н {cos<pcpj0 ( Рцг) ( ^Эг)
— I Д' О 2М) 1 sin фср 2Л ( ₽пг) Л(?эг) sin (Qm t + Фх — Фйм ) +
+ 21 К (i 2М) I sin фср Jo ( ?пг) ( ₽эг) sin I — <Км) +
+;2cos Фср Л ( ₽пг) Ji ( ₽эг) c°s Ф^ — 21К (i 2QM) | cos Фср X
ХЛ (₽пг) ММ cos (2Ям/ + фх — ф2йм)}.	(5.56)
Здесь X(iQM) и K(i2QM) — 'коэффициент передачи фильтра
нижних частот на частотах QM и 2йм; и ф22^ — фазовые
сдвиги, вносимые фильтром на указанных частотах.
Поскольку обычно коэффициент передачи фильтра нижних
частот на частотах 2QM и 3QM мал по сравнению с его значения-
ми на частоте QM, слагаемыми частоты 2QM в выражении (5.56)
можно пренебречь. Тогда
2мрпг cos (2М t 4~ фд.) — QH Qy {cos фср Jq (Jo ( ^эг)
— IК (i 2M)|2sinфср/i ( £nr) Jo ( рэг) sin (QMZ + Фх~ 'KM ) +
+ 21 K(iQM) | sin фср JQ (Pnr) Ji (Рэг) sin (2M/ — ф2м) +
+ 2cos фс рЛ(?пг)А(Рэг)С05Фх-	(5.57)
Преобразовав обе части этого равенства, получим
ймРпг [ cos (2М t + фх —	) cos Ф2 — sin (2М t + фх — ф22 ) X
X sin Фам ] = «и COS фср /ц [ ?пг) ( ₽эг)
— 22у cos Фср J1 ( ₽пг) Л ( ₽эг) cos ФЛ + 2ЙУI к (i 2М) I X
X зшфср Ji ( рпг) Ji ( рэг) sin (Q„ t + Фх — ф2м) — 2Qy | К (i 2„ )| X
Xsm(pCpJo(?nr)/i (M [sin (Йм/ + фх —Ф2м)созфх —
— cos (QM t + фх — ф2м) sin фх].	(5.58)
167
Из выражения (5.58) получаем систему трёх трансцендент-
ных уравнений:
Ян 2у cos <рср Jo ( Рпг) *^° ( Рэг) 2Qy cos <рср Ji (Рпг) ( Рэг) =
(5.59)
ЙмРпг cos Ф2М = 21Я (i &м) 12у sin <рСр Jo ( Рпг) Л ( Зэг) sin <рх, (5.60)
ЙмРпг sin Фам = 21 ^(i йм) I [2У cos <рх Jo ( рпг) Jr (рэг) —
— sinq>cp/i(Pnr) Л(РЭГ)].	(5.61)
Решение этой системы уравнений позволяет определить по
известной величине девиации фазы эталонного генератора Рэгве-
личины рпг, фСр, фх.
Из ур-ния (5.59) имеем
^с₽ Л( Рпг) ^0 ( Рэг) + 2J1 ( Рпг) ( Рэг)С08^х (
Из этого выражения следует, что величина среднего значения
разности фаз подстраиваемого и эталонного генераторов зави-
сит не только от величины относительной начальной расстрой-
ки, но и от амплитуды девиации фазы эталонного сигнала, а
следовательно, и от отношения мощности эталонного сигнала к
мощности помехи на входе системы ФАПЧ. Если ун = 0, величи-
на фсР не зависит от рзг и рпг. При увеличении девиации фазы
эталонного сигнала среднее значение разности фаз обоих гене-
раторов, как видно из ф-лы (5.62), увеличивается.
Рассчитаем фильтрующую способность системы ФАПЧ с
учётом нелинейных свойств фазового детектора.
Из ф-лы (5.62) имеем
г	Л ( Рэг) Л ( Рпг) 4" 2/1 ( Рэг) /1 ( Рпг) cos Тх
(5.63)
Поскольку в состоянии синхронизма системы точка устойчи-
Зл о
вого равновесия находится в пределах от — до 2л, перед ра-
дикалом в ф-ле (5.63) необходимо взять только знак минус.
Из выражений (4.60) и (5.61) находим
. 2	_ [А (Рпг) Jo < Рэг) — Jo ( Рпг) А ( Рэг)cos Ух]2
ё ?2М	4 ( Рпг) Л ( Рэг) 0 - cos2 ?х)	7
Из этого выражения следует, что
“S’ <М ( W J11 ( ₽эг) + ( Рпг) Щ PsrJte’ ] -
2/1 ( Рпг) ( Рэг) *^° ( Рпг) ( ^Эг) C0S /f ( ?пг) X
х /о2 ( Рэг) ( ?пг) П ( ₽эг) tg2 == 0.	(5.65)
168
Это уравнение легко решается относительно coscpx. Подстав-
ляя :в ур-ние (5.61) значения sinq?cp из (5.63) и cos<px из (5.65),
можно найти по известным величинам рэг, ун и QM значения рпг>
Фх и срер» Величина фх для оценки фильтрующей способности
системы ФАПЧ интереса не представляет.
Рис. 5.12. Зависимость коэффи-
циента передачи девиации фа-
зы в линейной и нелинейной
системах ФАПЧ с RC фильт-
ром от относительной частоты
помехи при Ту == 1;
Рэг = 1 рад
эффициента передачи де-
виации фазы в нелинейной
системе ФАПЧ от величины
Рэг при ум = 1
На рис. 5.12 для примера представлены результаты вычисле-
ния зависимости коэффициента передачи девиации фазы
TV7 ^пг	«
№1н=(---- от величины относительной частоты помехи ум= -----
Рэг	^у
(кривые 1 и 3) в системе ФАПЧ с интегрирующим фильтром.
При построении кривой 1 принималось, что рэг=’1 рад, ун = 0,5,
Гу=1. Аналогичная зависимость получается и при других зна-
чениях Ту. Кривая 3 на -этом же рисунке построена при ун=0,.
Рэг ~ 1 и Ту -1-
Для сравнения на этом же рисунке приведена зависимость»
модуля коэффициента передачи системы ФАПЧ ^i(iyM), полу-
ченная в линейном приближении по ф-ле (5.20) при т = 0 (кри-
вая 2).
Сопоставляя кривые 1, 2 и 3, можно заметить, что нелиней-
ность характеристики фазового детектора системы ФАПЧ при-
водит к уменьшению её коэффициента передачи, причём это
уменьшение тем значительнее, чем больше девиация фазы и
чем меньше ум.
На рис. 5.13 показана зависимость коэффициента передачи
девиации фазы от величины девиации фазы эталонного сигнала
при ум=1 для ун = 0 (кривая 1) и ун=0,5 (кривая 2).
169*
Большой интерес представляет определение зависимости
среднего значения разности фаз подстраиваемого и эталонного
генераторов от амплитуды девиации фазы эталонного генерато-
ра -и величины относительной расстройки. Зависимость cos<pcp =
^f(yR) ПРИ Vm=1 и рэг =1 представлена на рис. 5.14 (кривая 1).
Рис. 5.14. Зависимость косину-
са среднего значения разности
ф|аз в системе ФАПЧ с RC
фильтром от начальной рас-
стройки при ум=1
нуса среднего значения раз-
ности фаз от РэГ в системе
ФАПЧ с RC фильтром при
Ум — 1> Ун ~ 0,5
Здесь же приведена зависимость созфер^бун) при отсутствии
фазовой модуляции эталонного сигнала (кривая 2). Из рисунка
видно, что при увеличении ун величина фср заметно отличается
-от того значения, которое получается при линейной аппрокси-
мации характеристики фазового детектора. В последнем случае
фср равно стационарному значению разности фаз.
На рис. 5.15 приведена зависимость среднего значения раз-
ности фаз обоих генераторов от амплитуды девиации фазы эта-
лонного сигнала, вычисленная при ум=1? Ун = 0,5. При отсутст-
вии модуляции [Зэг=0, как и следовало ожидать, со8фСр = 0,5.
Учёт нелинейных свойств системы ФАПЧ, как видно из
рис. 5.15, даёт поправку к фср, заметно увеличивая последнюю.
Это необходимо учитывать при проектировании различных ра-
диотехнических устройств с системами ФАПЧ.
Значительный интерес представляет собой оценка точности
результатов исследования вынужденных колебаний системы, по-
лученных методом гармонического баланса.
Предположим, как и ранее, что фаза эталонного сигнала ме-
няется по гармоническому закону, а величина u2(t) =u3(t) =0.
Тогда общее ур-ние (5.8) запишется в виде
РФ -ь Д(р)2уcosф = SH — 2MP3rcos2M/.	(5.66)
Перепишем это уравнение следующим образом:
D (р) ф + f (ф) + L (р) Йм₽эг cos 2М t = 0.	(5.67)
470
Здесь D (р) =	; L (р) = уу-у — операторные полиномы,
/((p)=2ycos<p — 2Н.
Нетрудно показать, 'что приближённое выражение (5.50)
можно представить с помощью известных тригонометрических
формул в следующем виде:
<Рпр (0 = Фер + ₽ sin (2М t + ф	(5.68)
где ФПр(О — приближённое решение для величины ф(7), най-
денное методом гармонического баланса;
? = ]/ ₽пг + Рэг — 2Рпг Рэг cos Фх =
fersin^
Рпг 5“ Рэг cos
Величины ₽1Пги фх были вычислены ранее по заданной вели-
чине (Зэг. Поскольку при этом >были сделаны определённые до-
пущения, решение основного нелинейного ур-ния (5.66), т. е.
Фпр(0> ’было найдено с некоторой погрешностью.
Перейдём к непосредственному определению этой погреш-
ности.
Известно (89], что при гармоническом возмущении .погреш-
ность периодического решения уравнения вида (5.67) при не-
симметричной нелинейности можно найти из выражения
2тс
J [Я («) — Япр («)] f [<Рпр (01
о_______________________________________________
2тГ
Здесь
..	df МI
Mi = max -у-^-
d <fcp I
R(u)
ч> (0 — <Рп₽ (01 <
/	2л М \ С
\	Сйм /Ид. / J
(5.69)
ТИ = шах | (ср) [,
—	пиковое значение модуля производной средне-
го значения функции Пф);
—	ядро интегрального уравнения, к которому
может быть сведено ур-ние (5.67);
Т?пр («)—ядро приближённого интегрального уравне-
ния, которое может быть получено из ур-ния
(5.67).
Как следует из выражения (5.69), под погрешностью в дан-
ном случае нужно понимать верхний предел, которого не может
171
превышать модуль мгновенного значения разности точного и
приближённого решения.
Для ур-ния (5.67)1
М=йутах)—sin q>| = £2у.	(5.70)
Функцию смещения f(<p) можно найти обычным способом:
2к
____ Гм
/(<?)=] (Qycos[<pcp + psin(fiM/ + ’К)] — йн) dt.
о
После интегрирования имеем
f (ф) == "7Г“ [^У А (?) COS фСр QH],
5"»м
Воспользовавшись этим равенством, запишем
(5.71)
(5.72)
Мх = т=-Йу7о(?).	(5.73)
42м
Величины R.(u) и Rnit(u), как показано в [89], определяются
выражениями:
К(0)
2D'(0) ’
(5.74)
Г £>'(0)-Г>*(Шм)
L D*(iQM)
Япр(“)=	cosQmW + —Jm
п L Z)*(1QM)	TZ
1
gin
X sin йм и-----------------.
D' (0)
(5.75)
Здесь rk — корни многочлена D(p), не равные нулю;
£>(iQM) = i QMD*(iQM).
Выражение (5.69) позволяет оценить ошибку приближённо-
го решения уравнения вида (5.67) при любом типе фильтра
нижних частот в цепи управления.
В качестве примера рассмотрим систему ФАПЧ с интегри-
рующим RC фильтром.
В этом случае ур-ние (5.67) принимает вид
Тр* <р + р <р 4- йу cos <р = йн — ймрэг cos 2Мt +7’Q2 рэг sinйм t. (5.76)
Из ур-ния (5.76) имеем
D (р) = р (1 +[7/>).	______ __ (5.77)
Отсюда корень многочлена D(p)t не равный нулю,	.
При помощи выражения (5.77) определяем:
172
D'(p) = 2Tp+l,
D"(p) = Z>" (0) =2T,
Z>'(O)=1
D'(ri) = -1
(5.78)
Подставляя эти значения в выражения (5.74) и (5.75), по-
лучаем:
R(u) =
__ и
е г
2д
2 Т
1 — е м
। (ц — т)__________1
2л	2 ’
(5.79)
ЙТсозЙма 1 Г Й^Т2
^пр(Ы)— “ 7t(14-Q2 Л) -к [ l+fi2 Т2
—1 sinQM«.
(5.80)
Воспользовавшись этими равенствами, с учётом выраже-
ния (5.68) можно оценить величину интеграла в числителе не-
равенства (5.69)
2г.
“и
J [₽(«) — Rnp («)]( йу cos [ Фср + р cos (QM t + ФJ] — S и) du
о
2x
<Qyf|cos(Tcp + p)| —|Ih|] J |/?(«) —Я„р(и)| .
0
(5.81)
Знак плюс -в аргументе косинуса неравенства (5.81) соот-
ветствует положительной начальной расстройке, а знак минус —
отрицательной.
Величину интегралов в неравенстве (5.69) в общем случае
найти чрезвычайно сложно. Значительные упрощения получа-
ются при выполнении условия
> 4,
(5.82)
т. е. когда фильтрация ib системе достаточно высока.
Учитывая это неравенство, выражение (5.79) можно заме-
нить приближённым равенством

R(u) — Rnp(u)=R(u)^
(5.83)
2л
2
С помощью такого приближения можно вычислить величи-
ны интегралов в выражении (5.69):
2тс
Я
рМ
О
(5.84)
Подставляя выражения (5.70), (5.73), (5.81), (5.84) в (5.69),
находим абсолютную погрешность приближённого решения для
системы ФАПЧ с интегрирующим RC фильтром
1ф (о - Фпр (ci <  4|c2os Ti;B^)'J^3t/o('j)] • <5-85>
(Р) — Л [1 + Л (й]
Можно 'показать, что числитель этого выражения не превы-
шает 2л. Поэтому для эффективной оценки погрешности при-
ближённого решения, найденной из выражения (5.85), необхо-
димо, чтобы она удовлетворяла условию: 2умЛ)(₽)—л[1 + Jo(₽)]>
>2л. В этом случае величина ошибки не превзойдёт 1 рад.
Принятая в качестве эффективной оценки погрешность яв-
ляется величиной условной. Если требуется, чтобы эта граница
была в N раз меньше принятой^ то приведённое выше неравенст-
во видоизменяется: 2ум/0(Р)—n(l+/0(Р)]> 2лМ
Из выражения (5.85) следует, что максимальная погреш-
ность при выполнении условия (5.82) не зависит от величины
относительной постоянной времени интегрирующего фильтра.
Это объясняется тем, что интегрирующий фильтр при выполне-
нии условия (5.82) обладает таким специфическим свойством,
что с увеличением его постоянной времени соотношение между
первой гармоникой и всеми остальными не меняется. Кроме
того, выражение (5.85) показывает, что погрешность приближён-
ного решения, вычисленного методом гармонического баланса,
уменьшается с повышением частоты модуляции эталонного
сигнала и с уменьшением амплитуды девиации разности фаз
подстраиваемого и эталонного генераторов.
Выражение (5.85) позволяет по известным значениям ун, Ум,
рэг и вычисленной величине р определить предел погрешности
приближённого решения.
Следует заметить, что при выполнении условия (5.82), а так-
же при ум>2 и рэг <1,57 можно с большой точностью считать,
что Рпг<1.
Тогда ₽~рэг и
см’’"~Жз"	.	(S-86)
174
Как уже известно,
3"С
если ун>'0, то —— <<рСр<0; при ун<0
п
получаем
|ф(0 — ФпР(01 <
Подставляя ф-лу (5.86) в выражение (5.85),
arCC0S /о(М ± Рэг)|—17н|
2?м 7о ( Рэг) — n [1 + 70 ( Рэг)
Рис. 5.16. Зависимость погрешно-
сти приближённого решения урав-
нения системы ФАПЧ с RC
фильтром от относительной часто-
ты внешнего воздействия ум при
Ун = 0,5
представлены
На рис. 5.16
в качестве примера результаты
вычисления по ф-ле (5.87) по-
грешности приближённого ре-
шения уравнения системы
ФАПЧ с интегрирующим RC
фильтром как функции относи-
тельной частоты модуляции
при уп = 0,5 для нескольких
значений амплитуды девиации
фазы эталонного сигнала. Из
графиков следует, что погреш-
ность приближённого решения
получается небольшой.
До сих пор рассматрива-
лись нелинейные явления в си-
стеме ФАПЧ, вызываемые гар-
монической модуляцией фазы
эталонного сигнала. Как ука-
зывалось, этот случай соответ-
ствует действию аддитивной
гармонической помехи на эталонный сигнал при £7ц<^£/эг и на-
личию ограничения в канале эталонного сигнала. Кроме того,
заранее предполагалось, что система, несмотря на модуляцию-
фазы эталонного сигнала, в среднем не выходит из состояния
синхронизма.
Большой интерес представляет также и другой случай, когда
на эталонный сигнал действует гармоническая помеха при про-
извольном отношении -/7^- , причём ограничение в канале эта-
аэг
лонного сигнала отсутствует. Такая помеха может создаваться
как внешним источником, так и внутренним (комбинационные
помехи, наводки и т. п.).
Полагая, что на вход системы ФАПЧ вместе с эталонным
гармоническим сигналом (<рэг =const) поступает только одна
аддитивная гармоническая помеха с амплитудой t/lb на осно-
175
вании выражения (5.4) имеем
«2 (/) = 0,5t/nrC7u cos (&i t + ф + ф! + фэг). (5.88)
Подставляя значение иг(0 из этого равенства в ур-ние (5.8)
и полагая из(0 = 0, получаем уравнение для системы ФАПЧ с
произвольным типом фильтра нч
РФ+ K(p)Qy ^соэф + cos(Qrt + ф + фх + фэг)
=Q„. (5.89)
Однако получить общее решение этого уравнения невозмож-
но. Поэтому при изучении действия гармонической помехи на
систему ФАПЧ прибегают либо к приближённым методам её
.анализа, либо к численному интегрированию и эксперименту.
Рис. 5.17. Результаты численного решения урав-
нения системы ФАПЧ с RC фильтром при внеш-
нем гармоническом воздействии для двух значе-
ний отношения сигнал/помеха на входе
Так, в работе {90] путём численного интегрирования ур-ния
<(5.89) для системы с интегрирующим однозвенным RC фильтром
были получены следующие результаты: если = Т1<т3> то:
1.	Функция рф представляет собой периодическую функцию
времени с периодом, равным периоду биений между частотой
помехи и частотой эталонного сигнала.
На рис. 5.17 приведены результаты численного решения
-ур-ния (5.89) при —0,5 (кривая 2) и 2 (кривая /).
с/эг 11	11
2.	При -р—>1 частота подстраиваемого генератора в сред-
нем совпадает с частотой эталонного сигнала. Это иллюстри-
руется кривой 1 на рис. 5.17, поскольку площадь, ограниченная
этой кривой и осью абсцисс, за период равна нулю. Действие
помехи при этом сводится к периодическим изменениям мгно-
376
венной разности фаз эталонного и подстраиваемого генераторов
относительно .некоторого среднего значения.
иэг
3.	При-^—<1 частота подстраиваемого генератора равна
частоте помехи. Это иллюстрируется отличием площади под
кривой 2 на рис. 5.17 от нуля.
[7ЭГ
4.	При-^—= 1 частота подстраиваемого генератора равна
среднему арифметическому между частотами эталонного сигна-
ла и помехи. Если же частота помехи такова, что выполняется
неравенство yi>у3, то в системе могут наблюдаться две области
начальных расстроек, причём в одной из них происходит захват
частоты подстраиваемого генератора частотой эталонного сиг-
нала, а в другой — частотой помехи. Ширина каждой области
зависит от амплитуды соответствующего напряжения.
§ 5.6. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИИ ФАЗЫ
ЭТАЛОННОГО СИГНАЛА НА ПОЛОСУ ЗАХВАТА
В предыдущих параграфах рассматривалось действие перио-
дических возмущений на систему ФАПЧ, причём предполага-
лось, что режим синхронизма в системе уже достигнут тем или
иным способом. В связи с этим возникает вопрос, не влияет ли
периодическая модуляция фазы эталонного сигнала на полосу
захвата?
Поскольку точное аналитическое решение вопроса о полосе
захвата даже при немодулированном эталонном сигнале неиз-
вестно вследствие нелинейности дифференциального уравнения
системы, воспользуемся для анализа известным методом гармо-
нического баланса.
Для простоты будем в дальнейшем считать, что фаза эталон-
ного сигнала модулирована по гармоническому закону.
Полагая в ур-нии (5.8) u2(t) =u3(t) =0, а <рэг(Х) = ₽эг
запишем общее дифференциальное уравнение системы ФАПЧ
р ср + Йу К(р) cos <р = QH — £ЦЭэг cos Йм Л	(5.90)
Проведём анализ для так называемого нерезонансного слу-
чая [91], наиболее часто встречающегося на практике. Этот слу-
чай характерен тем, что частота модуляции эталонного сигнала,
а также ни одна из её гармоник не равны и не близки собствен-
ной частоте колебаний системы или её гармоникам, т. е.
nQM + k£l Ф Q.	(5.91)
Здесь п и k — любые целые числа, a Q, как и ранее, — час-
тота биений.
12—793	177
В нерезонансном случае, .как показано в [91], можно считать,
что фаза собственных колебаний не связана с фазой внешних
сил и поэтому не оказывает влияния ни на амплитуду, ни на ча-
стоту собственных колебаний. Это значительно упрощает анализ.
Из физических соображений ясно, что приближённое реше-
ние ур-ния (5.90) в режиме биений должно содержать, кроме
членов с собственной частотой модуляции, также комбинацион-
ные составляющие различного порядка малости. Поэтому в об-
щем случае решение общего ур-ния (5.90) можно записать в
виде
ОО	оо
4>(t)= 4>o+£lt— 2 Pz-sinr Qt + 2 ^sin (n£2M/ +4>„) —
r=l	/1-1
oo oo
—2 2 sin Q ±s йм)z	(5-92>
q = l s = l
Здесь и — фазовые сдвиги компонент с соответствую-
щими частотами; рг, р* и — амплитуды гармоник частоты
Й, QM и частот (#Q±sQM) соответственно.
Ранее было показано, что в идеализированной системе ФАПЧ
при отсутствии фазовой модуляции эталонного сигнала амплиту-
ды гармоник частоты Q быстро убывают с возрастанием номе-
ра гармоники. Следовательно, в инерционной системе они убы-
вают ещё более резко.
В дальнейшем будем полагать, что частота модуляции фазы
эталонного сигнала достаточно высокая (QM>Qy), а амплитуда
девиации фазы невелика (₽зг<2). Это даёт возможность счи-
тать, что в инерционной системе гармоники частоты £2М убывают
также достаточно быстро и что в приближённом решении не
содержится составляющих с частотой ?Q±sQM. Сделанные до-
пущения позволяют в первом приближении пренебречь в выра-
жении (5.92) всеми гармониками частот Q и QM, а также ком-
бинационными частотами. Тогда приближённое решение ур-ния
(5.90) -можно записать в следующем виде:
ЧР (0 = Фо + t — pi sin Q t — p* sin (QM t + <Pi).	(5.93)
Подставляя это выражение в ур-ние (5.90), получаем
Q — piQcosQ/ —QMp*cos(SM/ + <рх) + p3rQMcosfiM/^
= QH — Л(р)&уС08[Фо + Qt— PiSinQ/ — p*sin(£V + Ti)L (5.94)
Рассмотрим стационарный режим биений. Преобразовав ко-
синус в правой части этого выражения по формулам косинуса
суммы и косинуса разности двух углов и воспользовавшись
ф-лами (5.52) и (5.53), ограничимся в бесконечных суммах
только первыми членами:
178
cos [<p0 + Й t — Pi sin Q t — p* sin (QM/ + <рх)] = { Jo (px) cos <p0 —
— H0 (Pi) — Л (Pl)] Sin <p0 sin Й t + [Jo (Pl) + Л (Pl)] COS Фо cos 2 t —
— Л (Pi) cos фо cos 2Q t + Jr (pi) sin ф0 sin 2Й t + J2 (px) cos фи cos 3Q t —
— JJpJsn^oSinSSH} [J0(p’) — 2J2(P*)cos2QMZ]+ ( — Jo (px)sinq>0+
+ ко (Pi) (Pi)] cos ф0 sin Й t — [ Jo (Pi) + J2 (pj)] sin Фо cos Q t +
+ Ji (Pi) sin Фо cos Q / + Ji (Px) cos ф0 sin Q t — J2 (px) sin ф0 cos 321—
— J‘2. (Pi) cos фо sin 32 t} 2Jj (P*) sin (2M t + фг). (5.95)
Подставляя равенство (5.95) в (5.94) и пренебрегая гармо-
никами частот Q и йм (поскольку коэффициент передачи фильт-
ра нч на этих частотах мал), а также комбинационными часто-
тами, получаем
Q — PiQ cos 21 - p‘2M cos (2М t + фх) -ф рэг2м cos 2Н t =
=Йи-2у Ji ^i)J0 (₽?) cos Фо - |K(i 2) |2у [Jo (РО - J2(pi)]X
X Jo (P‘) sin Фо sin (21 — у + 2y (i 2) |[ Jo (Pi) +
+ J2 (Pi)] Jo (PJ) cos Фо cos (21 — ф2) +
+ 2Jo (Pi) (i 2м) I sin ф0 Ji (pp sin (2M t + Ф1 - фйн).	(5.96)
Для того чтобы искомое приближённое решение удовлетворя-
ло'исходному уравнению, необходимо приравнять коэффициенты
соответствующих членов левой и правой частей выражения
(5.96). В результате получаем пять трансцендентных уравнений:
7б + Ji (Pi) А (Р‘) cos Фо = 7„,	(5.97)
76 pi cos Ф2 = Jo (р‘) |К (i 76)| [Jo (Pi) + J2 (Pi)] cos Фо	(5.98)
TePi sin = Jo (PJ) (i Те) I [4 (Pi) ~Л (Pi)] sin фо, (5.99)
— ImPJ cos (Ф1 + Ф2 ) + рэг7м cos =- 2J0(Pi)| K(i -[M)| Ji (P|) sin фх sin ф0
x	M'	M
(5.100)
7„p; sin (ф! +	) — рэг7м sin = 2J0 (Px) Jx (pJ)|/< (i Tm) | sin ф0 cos фх.
“M7	M
(5.101)
Решение этой системы уравнений позволяет определить па-
раметры приближённого решения срСО на границе полосы за-
хвата при выбранном .критерии захвата. Если учесть, что в
устойчивой в «малом» системе ФАПЧ фазовый сдвиг, вноси-
мый фильтром на частоте биений при захвате, меньше — , а
12*
179
также, что даже в идеализированной системе Pi<2, то на ос-
новании ур-ний (5.98) и (5.99) можно записать приближённые
равенства:
Фа = То,
7б
(5.102)
(5.103)
Подставляя эти равенства в ур-ние (5.97) и учитывая, что
при pi<2, /1 (р) ~ -у-, имеем
, J2o{ ^)K(iT6)lcosfs
Тб 4-------------------= Тн-	(5-104)
Это уравнение связывает в режиме устойчивых биений на-
чальную расстройку, частоту «биений и параметры фильтра.
Учитывая, что действительная часть комплексного коэффи-
циента передачи фильтра нижних частот	Re[K (iyo) ] =
/созф2, можно на основании выражения (5.104) запи-
сать
,	^0 ( ₽*) Re (i 7б>]
Тб 4-----—------------- = Тн-
Из этого уравнения следует, что изменение начальной рас-
стройки приводит к изменению устойчивой частоты биений. При
критическом значении ун средняя частота биений уо непрерывно
падает до нуля [т. е. второй и третий чле ня выражения (5 95)
обращаются в нуль]. Нарушается устойчивый режим биений, и
происходит захват. Для определения полосы захвата необхо-
димо, по существу, исследовать устойчивость в «малом» режи-
ма биений при изменении начальной расстройки. Таким обра-
зом, приходим к следующему критерию захвата:
Д^->со.	(5.106)
Из выражения (5.105) имеем
7„ . Ти Rel№6)14
Тб — 2 ± |/ 4	2
(5.107)
Применяя критерий захвата (5.106) к этому равенству, по-
лучаем исходное уравнение для определения полосы захвата:
Тз =Л(₽;) /2Re[7<(i-r6)]+ 4(Re'[/<(i76)])2J02( $ . (5.108)
180
Поскольку для большинства фильтров приф2< — выпол-
няется неравенство Rez[K(iys)]<Re[/C(iyo)], то пренебрегая в
ур-нии (5.108) величиной — | Rez[K(iy6)yo(3i)}2 по сравнению
с 2Re[K(iy6)] можно приближённо считать, что
Тз ( ₽1) ]/2Re[7< (i 1б)].	(5.109)
Для определения у3 необходимо вычислить уб и р* из си-
стемы ур-ний (5.97—5.101). Эти вычисления можно значительно
упростить, если учесть, что ур-ние (5.109) даёт завышенный ре-
зультат относительно у3. Поэтому, заменив уб в аргументе
функции Re[K(i убД на несколько большую величину, можно
скомпенсировать завышение при определении у3. Ошибка при
этом получается небольшой, поскольку на границе полосы за-
хвата —— ^0, и погрешность в определении уб мало влияет
на полосу захвата.
Таким образом,
 Ъ ~ Л (	]/2Re[7((iT3)] .	(5.110)
Для определения pj воспользуемся ур-ниями (5.100) и
(5.101). Поскольку ум>1, а рзг<2, то |Л (i ум)| < 1 и Л (PH ~
^0,5^р поэтому
(5.111)
рэг cos — 1’1 cos (<Р1 + фо)	/с; 1 1
ф -—  		2	 S	8* sin (ф2 ) — рЭг sin фо ‘1	\	М/	м	
Совместное решение ур-ний (5.111) и (5.112) позволяет по
известным ум и рэг найти р* . Подставляя полученное значе-
ние р* в ур-ние (5.110) и решив последнее, можно определить
полосу захвата.
Из выражения (5.111) следует, что увеличение амплитуды
девиации эталонного сигнала рэг приводит к увеличению р^,
а следовательно, к уменьшению полосы захвата [ф-ла (5.110)].
При рэг =0 (эталонный сигнал не модулирован) имеем
ъ^У2Це[К (Из)]-	<5-113)
Эта формула близка к выражению (4.84) и даёт хорошее
совпадение результатов для у3<0,7. Она обобщает ф-лы (4.48)
181
и (4.49) для случая четырёхполюсников с произвольными, а не
монотонно убывающими до нуля, коэффициентами передачи.
При ум^>1 (высокочастотная модуляция) | К(iyM) |<^ 1 и из
выражений (5.100) и (5.101) следует, что р*= 9ЭГ . Тогда
Тз ( Рэг) r2Re[K(iT3)J •	(5.114)
Это -выражение имеет простое физическое объяснение. При
высокочастотной модуляции, когда на вход управляющего эле-
мента поступает напряжение биений, возникающих между не-
сущей эталонного- сигнала и частотой подстраиваемого генерато-
ра, а все побочные колебания подавляются фильтром, можно
считать, что ширина полосы захвата зависит только от остатка
несущей, который определяется множителем /о(₽эг ). Это даёт
возможность пользоваться результатами, полученными для у3
при немодулированном эталонном сигнале, умножая их на
^о(Рэг^*
Глава 6
Действие
флуктуационных
помех
на систему ФАПЧ
§ 6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
На практике наиболее часто встречаются помехи случайного
характера, например, в виде флуктуационного шума, наложен-
ного на эталонный сигнал при приёме его от удалённого источ-
ника. Поскольку помехи случайного характера практически поч-
ти исключительно действуют именно на эталонный сигнал, это-
му вопросу будет уделено основное внимание.
Шумы, проникая в систему ФАПЧ вместе с эталонным сиг-
налом, вызывают паразитную модуляцию подстраиваемого ге-
нератора, что не только снижает качество работы радиотехниче-
ского устройства, в котором используется эта система, но мо-
жет привести даже к полному её нарушению.
При большом уровне шумов, как будет показано ниже, в
системе ФАПЧ возникают особые явления, связанные с её не-
линейностью. к ним относится, например, увеличение среднего
значения разности фаз подстраиваемого' и эталонного генерато-
ров, ’ а иногда даже появление средней разности частот, т. е.
полное нарушение синхронизма.
Исследование влияния флуктуационных помех на систему
ФАПЧ в общем случае математически представляет собой весь-
ма сложную задачу, поскольку уравнение, описывающее эту
систему, нелинейно и может иметь произвольный порядок.
При малых помехах, когда допустима линеаризация харак-
теристики фазового детектора в небольшой области, охватываю-
щей точку устойчивого равновесия, задача решается относи-
тельно просто. Если же линеаризация недопустима, прибегают
к приближённым методам анализа. В тех случаях, когда зара-
нее известно, что полоса пропускания системы ФАПЧ значи-
тельно меньше, чем полоса пропускания линейных устройств,
183
предшествующих этой системе, т. е. когда на вход системы дей-
ствует белый шум, время корреляции которого равно нулю, мож-
но попользовать аппарат марковских процессов.
Анализ действия флуктуационных помех на систему ФАПЧ
значительно отличается от анализа влияния детерминированных
помех. Так, например, при гармонической помехе фильтрующая
способность системы полностью определялась её передаточной
функцией. По известным значениям этой функции и параметров
помехи можно было найти параметры паразитного отклонения
фазы подстраиваемого генератора.
При случайных помехах отклонения фазы подстраиваемого
генератора носят также случайный характер, поэтому в даль-
нейшем будем рассматривать статистические характеристики
случайных величин, таких, как функция распределения, диспер-
сия, среднее значение, энергетический спектр и т. п.
§ 6.2. ДЕЙСТВИЕ МАЛЫХ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПОМЕХ
НА СИСТЕМУ ФАПЧ
Малыми будем называть такие помехи, при которых мож-
но не учитывать нелинейные свойства системы ФАПЧ.
Условия, при которых флуктуационная и детерминированная
помехи считаются малыми, принципиально различны. При слу-
чайном характере помехи её мгновенное значение в общем слу-
чае может быть произвольно большим, несмотря на малую
мощность помехи.
Максимально допустимая величина пиковой девиации разно-
сти фаз, при которой ещё можно пренебрегать нелинейными
свойствами системы ФАПЧ, определяется неравенством (5.12).
При случайном характере девиации разности фаз приходится
говорить о вероятности, с которой выполняется это неравенство.
Условимся, что нелинейностью характеристики фазового де-
тектора можно пренебрегать, если неравенство (5.12) выпол-
няется для мгновенных значений случайного отклонения разно-
сти фаз с вероятностью не менее 0,997. При этом величина дис-
персии разности фаз будет ограничена. Порог ограничения дис-
персии определяется в каждом конкретном случае функцией
распределения вероятности мгновенных значений девиации раз-
ности фаз. Так, при нормальном законе распределения система
ФАПЧ описывается линейным уравнением, если среднеквадра-
тичное значение разности фаз удовлетворяет условию
о
<р
Тн
(6.1)
Г 1н
184
В дальнейшем будем п-редполагать, что условия малости
помех выполняются и система ФАПЧ с большой точностью опи-
сывается линейным уравнением.
При анализе действия флуктуационных помех на систему
ФАПЧ, прежде всего, необходимо знать статистические харак-
теристики результирующего сигнала, поступающего на вход
системы ФАПЧ.
Анализ начнём с простейшего случая, когда на вход системы
действует гармонический эталонный сигнал и аддитивный нор-
мальный шум N}(t) с нулевым средним значением, прошедшие
через некоторую линейную систему.
Пусть частота эталонного сигнала совпадает с серединой
полосы пропускания линейного устройства. Сигнал, поступаю-
щий на вход системы ФАПЧ, в этом случае можно записать
следующим образом:
wBX(/) = t/3rcosoj3rZ + A (/)cos<o3r/ +C(/)sinco3r/, (6.2)
где A(t) и С(t) — косинусоидальная и синусоидальная состав-
ляющие огибающей шума на выходе линейной системы.
Как показано в [79], при нормальном законе распределения
N\(t) величины A(t) и C(t) имеют также нормальное распре-
деление и одинаковые дисперсии, равные дисперсии входного
шума о2.
Выражение (6.2) можно переписать в следующем виде:
^вх(0 ~ E(t) CQS	4“ Т3Г^ ’	(6.3)
где
Е(0= /[А(/) + £/эг]2+С2(0,
<Psrw(z) = —arctg А w 4( 1/эг 
Из этого выражения следует, что сигнал на выходе линей-
ной системы представляет собой колебание, модулированное
по амплитуде и фазе.
Система ФАПЧ может работать в двух различных режимах:
в первом случае амплитудная модуляция результирующего
входного сигнала устраняется либо специальным ограничите-
лем, либо самой системой ФАПЧ, а во втором — она не устра-
няется и шум проходит через фазовый детектор, как через ли-
нейный перемножитель.
Рассмотрим первый случай, когда амплитудная модуляция-
результирующего колебания устраняется ограничителем, т. е. на
вход системы поступает результирующий сигнал, модулиро-
ванный помехой только по фазе (частоте). Одномерная функция
распределения фазы <рзг^ такого колебания, как показано в (79],
185
:имеет вид
\	1	__о 5Д	COS ТэГу	—0,5sfsin*cprxp
(W = е ' + —F (s‘с“ )е
(6.4)
Здесь
^эг
Si~ —— отношение амплитуды эталонного сигнала к сред-
/2 а
неквадратичному напряжению шума,
^(sicos<p3r^) — функция Лапласа.
При sicos(p3r^ > 3 , когда амплитуда сигнала значительно
превышает среднеквадратичное напряжение шума, выражение
(6.4) значительно упрощается:
(<РЭГ )« 31С03?ЭГУ- е~ °’Ss*sin2 ^rN .	(6.5)
1 ЭГ"; /2л
Для значений фЭГлг>можно считать, что 1/( Фэг^~ 6.
Для области малых значений Фэгу С05Фэгх~ а ^Фэг# —
— Фэту ТогДа
с	2 2
r‘(W-7hfr','i’‘’3r»' м
Отсюда следует, что при достаточно высоком соотношении
сигнал/шум на выходе линейной системы закон распределения
фазы результирующего сигнала, подводимого ко входу системы
ФАПЧ, близок к нормальному с дисперсией о
1
2_____________
срЭГдг s2
При оценке качества работы системы ФАПЧ нужно знать
энергетический спектр фазы (частоты) результирующего коле-
бания, подводимого к её входу.
Пусть частотная характеристика линейного устройства,
предшествующего системе ФАПЧ, имеет колоколообразную
форму. В этом случае, как показано в [92], энергетический
спектр девиации частоты при предельном ограничении и значи-
тельном превышении мощности несущей над мощностью шума
имеет вид
5т(«))=Лл(-2-уе
(6-7)
где А — коэффициент, зависящий от Si и степени ограничения;
П — интегральная пеплоса линейного устройства, предшест-
вующего ограничителю и системе ФА'ПЧ.
186
Для процесса, интегрируемого в среднеквадратичном, связь
между -спектром 5(о(ш) девиации частоты и спектром 5^(0)) де-
виации фазы определяется простым соотношением
0Н==~ТМ	(6.8)
Воспользовавшись ф-лами (6.7) и (6.8), можно записать
энергетический спектр девиации фазы входного -сигнала в виде
0)2
\И = ^е“~2.	(6.9)
Таким образом, необходимые для дальнейшего анализа ха-
рактеристики сигнала на входе системы ФАПЧ найдены.
Поскольку система ФАПЧ для отклонений фазы (частоты)
рассматривается как линейная система, то при высоком соот-
ношении сигнал/шум (^!>3), когда закон распределения фазы
на входе можно считать нормальным, закон распределения фа-
зы подстраиваемого генерато-ра также является нормальным.
Теперь остаётся найти лишь дисперсию фазы подстраиваемого
генератора и её энергетический спектр.
Для оценки фильтрующей способности системы ФАПЧ при
слабых флуктуационных помехах на входе введём понятия ко-
эффициентов фильтрации фазы и частоты. Введение таких по-
казателей позволяет оценивать свойства собственно систем
ФАПЧ независимо от -величины дисперсии фазы (частоты) сиг-
нала на её входе.
Коэффициентом фильтрации фазы (частоты) будем назы-
вать отношение дисперсий фаз (частот) подстраиваемого ге-
нератора и результирующего колебания на входе системы
ФАПЧ.
Поскольку спектральные плотности девиации фазы и девиа-
ции частоты входного сигнала существенно различаются, а
частотные характеристики передачи их одинаковые, то для од-
ной и той же системы ФАПЧ коэффициент фильтрации фазы от-
личается от коэффициента фильтрации частоты.
Рассмотрим случай, когда система ФАПЧ используется как
фильтр частоты. Для определения коэффициента фильтрации
частоты Фш необходимо определить дисперсию частоты подст-
раиваемого генератора при заданной дисперсии частоты -вход-
ного сигнала.
Величина дисперсии частоты на выходе системы ФАПЧ
а/пг 0ПРеДеляется равенством [79]
оо
°/2пг = J l^i(i‘»)l25(ud«>,	(6.10)
—00
187
Отметим, что подынтегральное выражение ф-лы (6.10) пред-
ставляет собой энергетический спектр девиации частоты под-
страиваемого генератора. Для его вычисления необходимо под-
ставить в ф-лу (6.10) выражения (5.15) и (6.7) и выполнить ин-
тегрирование. Однако даже для системы ФАПЧ с простейши-
ми типами фильтров вычисление такого интеграла исключитель-
но сложно, и результат нельзя получить в элементарных функ-
циях. Поэтому для его приближённого определения вместо
ф-лы (-6.7) примем следующее выражение [93]:
Здесь Ь ( sf) и /Ц постоянные параметры, зависящие
только от отношения мощности сигна-
ла к мощности шума на входе систе-
мы ФАПЧ.
Это выражение достаточно хорошо передаёт вид функции
(6.7) в области значений -^определяющей величину дисперсии
частоты подстраиваемого генератора.
Вычисление	с использованием ф-лы (6.11) вместо
(6.7) приводит к некоторому завышению результатов. Это за-
вышение получается небольшим, поскольку 5(0(ш) из выраже-
ния (6.11) превышает S(o(o)) из выражения (6.7) в области,
где оба эти выражения стремятся к нулю и, кроме того,
| Wi (ico) | также стремится к нулю.
Как следует из '[92] и [93], величина h, определяющая поло-
жение максимума энергетического спектра на шкале частот,
слабо зависит от если Si>3.
В дальнейшем будем полагать /1 = 0,193 [93]. Подставляя это
значение в выражение (6.11), а само это выражение в (6.ГО) и
выполняя интегрирование, можно найти дисперсию и коэффи-
циент фильтрации девиапии частоты в системе ФАПЧ с тем или
иным типом фильтра нижних частот.
Однако нельзя судить о целесообразности применения того
или иного фильтра в петле ФАПЧ по одному только коэффи-
циенту фильтрации, поскольку параметры фильтра, от которых
зависит этот коэффициент, определяют также и полосу захвата
системы. Увеличение фильтрующей способности системы ФАПЧ
приводит к неизбежному снижению полосы захвата. Поэтому
следует искать такую комбинацию параметров фильтра и си-
стемы ФАПЧ в целом, которая обеспечивает наивысшую филь-
трующую способность при наибольшей полосе захвата.
18?
Оптимальные значения параметров системы ФАПЧ как
фильтра частоты можно было бы определить аналитически,
если выразить зависимость полосы захвата от коэффициента
фильтрации. Однако (поскольку у3 и даже для систем
ФАПЧ с простейшими типами фильтров являются весьма слож-
ными функциями их (параметров, аналитически решить эту за-
дачу трудно. Поэтому для отыскания оптимального соотношения
значений параметров будем численно сравнивать между собой
результаты, получаемые при применении в системе ФАПЧ наи-
более распространённых типов фильтров.
Пусть в системе^ ФАПЧ используется пропорционально-ин-
тегр-ирующий фильтр. В этом случае, подставляя выражения
(5.20) и (6.11) в ф-лу (6.(10), получаем следующее исходное
выражение:
а; =-----------------
frir	2л
—»4~74^су
-* X [(1 - Г ТуТсуУ + (Тсу + /пГу)2]
(6.12)
Подынтегральное выражение в ф-ле (6.12) представляет со-
бой дробно-рациональную чётную функцию. Интеграл же от
этой функции в бесконечных пределах можно записать в общем
виде:
оо
j = ± f —d
2л J rin (i со) f i со)
—оо
где
gn (i со) = b0 (i со)2п 2 -f- b± (i со)2" 4 + ... -ф bn_v
Vn (i (i + <h (i	+ ... +
причём корни многочлена r]n(i(o) лежат в левой полуплоскости.
Используя теорему Коши (из теории функций комплексного
переменного) о вычетах, можно, как л оказано в [94], свести ин-
теграл в ф-ле (6.12) к выражению
где
(- 1Г+1 Вп
%а?Рп
(6.13)
4l1^12 • • •
^21^22 • • •
dij ~ a2i~j >
dfiidfiz • . • dnn
189
6)
0.1
f 10	15	20	25	30	35	40
Рис. 6.1. Зависимость полосы захвата от коэффициента фильтрации ча-
стоты при различных фильтрах и параметрах системы ФАПЧ
191
причем
as = 0 [s > п; s < О],
а Вп — определитель, полученный из Dn заменой первого столб-
ца величинами Ьо, Ьь Ьп_\.
Применяя выражение (6.13) к (6.12), можно при Тсу=1
придти к выражению [88]
ф СТ*пг	а2/я2Гу + ат* (а + 2)	(m + 2g) Ту + 1
а/ЭГАг та2 + т)2 П + \^ат (1 + а) (а + т) + а2 (а + т)2] х->
--------------------------------------------------- .(6.14)
'2 + [2а (1 + я) (а + "0 + m (1 Ч-а)2] Ту + (1 + а)2
Здесь
а = п —
Qy
7
[3VN
— дисперсия частоты результирующего сигнала на вхо-
де системы ФАПЧ.
Заметим, что выражение (6.14) при т=0 даёт значения ко-
эффициента фильтрации частоты в системе ФАПЧ с обычным
однозвенным интегрирующим RC фильтром. При этом, если
Гу» 1 .и 1, формула значительно упрощается:
Ф — .	(6.15)
“ а3Гу
Выражение (>6.44) значительно упрощается и для системы
ФАПЧ с шропорционально-интегрирующим фильтром, если
тТу» 1:
w (а+т2)
(6.16)
Для построения зависимости между относительной полосой
захвата и коэффициентом фильтрации частоты воспользуемся
выражением (4.83), которое связывает параметры, определяю-
щие величину Фоз с у3.
На рис. 6.1 приведены кривые у3=/(ФД, построенные чис-
ленным методом с помощью выражений (6.14) и (4.83) при
h = 0,193. Для каждой кривой указано расчётное значение па-
раметра т, причём семейство кривых каждо-го рисунка, построе-
п
но при определенном значении отношения — .
Интересно заметить, что, как следует из выражения (6.14),
фильтрующая способность системы ФАПЧ с пропорционально-
интегрирующим фильтром при а^Л и тТу^>1 .почти не зависит
.192
от Ту. Поэтому выбирать Ту значительно больше, чем—, неце-
т
лесообразно, так как это почти не увеличивает фильтрации, но,
как было показано ранее, существенно увеличивает время уста-
новления разности фаз.
Ранее была получена при	упрощённая формула для
определения полосы захвата (ф-ла (4.84)]. Исходя из этой фор-
мулы и выражения (6.16), можно получить аналитическую за-
висимость между у3 и Фш в системе с пропорционально-интегри-
рующим фильтром:
ъ V i-jM, (1-]/Ф(„)2
Результаты вычислений по ф-ле (6.17) представлены на
рис. 6.1 пунктирной линией.
Рассмотрим теперь систему ФАПЧ с RLC фильтром.
Подставляя ф-лы (5.23) (при Тсу=1) и (6.11) в выражение
(6.10) и выполняя интегрирование указанным выше методом,
получаем следующую зависимость:
ф__________________2аЫа + (1 + 4a2fe2) d + 2а8&3 — k______
ш ~~ aW 4- a2k [2 (1 + a3k3) — a3№] d3 4- [(1 4- a) (2a3k3 4-1 4- a) 4- ->
4-aV —2a2fe2(l 4-a3Aa)]d —A[(l 4-a)(2a3^4-l 4-a)4-a6^] *
(6.18a)
При kd^> 1 это выражение значительно упрощается:
“ a3kd '
(6.186)
С помощью выражений (4.87) и (6.18) на рис. 6.1 построены
кривые у3=/('Фт) для системы ФАПЧ с RLC фильтром. Для
каждой кривой указано расчётное значение параметра k, а се-
мейство кривых построено, как и ранее, при определённых зна-
п
чениях отношения — .
Qy
Сравнивая все полученные кривые, замечаем, что невозмож-
но однозначно судить о целесообразности применения того или
иного типа фильтра для получения наивысшей фильтрации при
заданной у3. Это зависит от абсолютных значений у3 и .
Для всех кривых характерно уменьшение фильтрующей спо-
собности системы с увеличением полосы захвата, так как при
этом уменьшается инерционность системы.
Общей тенденцией всех кривых является уменьшение фильт-
рующей способности системы с увеличением полосы захвата, так
как при этом уменьшается инерционность системы.
13—793	193
Наблюдается также уменьшение фильтрующей способности
П
системы с уменьшением отношения — . Это объясняется тем,
что весь анализ был проведён для случая, когда отношение мощ-
ности сигнала к мощности шума на входе системы ФАПЧ фик-
сировано. При фиксированном же отношении сигнал/шум расши-
рение интегральной полосы линейных устройств, предшествующих
системе ФАПЧ ( т. е. увеличение — к приводит лишь к перерас-
\	Qv /
пределению энергии помех по частотному диапазону. С ростом —
Qy
всё большая доля энергии помех приходится на область частот, в
которой коэффициент передачи системы ФАПЧ для девиации
частоты резко падает, что и приводит к увеличению её фильт-
рующей способности.
Интересно отметить, что при малых значениях — (рис. 6.1а)
для некоторых кривых одной и той же величине Фш соответст-
вуют два различных значения полосы захвата у3. Физически
этот факт объясняется тем, что у3 зависит только от параметров
фильтра нч в цепи обратной связи, в то время как Фш зависит
ещё и от вида энергетического спектра девиации частоты вход-
ного сигнала. Поэтому значения параметров системы ФАПЧ
следует выбирать таким образом, чтобы при заданном- Фш ве-
личина уз была наибольшей.
Из рассмотрения кривых, приведённых на рис. 6.1, можно
сделать следующие выводы.
1.	При не очень больших значениях наилучший резуль-
тат даёт применение пропорционально-пнтегрирующего фильт-
ра, когда
2.	Если — = 20 — 25, выбор фильтра, как видно из
рис. 6.1 в, г и д, зависит от величины у3.
3.	При 100< —< 1000 применять пролорционально-инт^гри-
рующий фильтр нецелесообразно, если у3^>0,4. Лучший резуль-
тат в этом случае получается при использовании RLC фильтра.
4.	Если —^>1000, при у3, лежащей в практически исполь-
зуемой области (0,1<у3<1), наилучший результат даёт при-
менение RLC фильтра.
5.	Если допустимо снижение у3 до величины 0,1 и менее, то
можно получить аналитические зависимости у3 = f (Фш) для
системы ФАПЧ с интегрирующим и RLC фильтрами. С этой
целью воспользуемся выражениями (4.85) и (6.15) для системы
194
ФАПЧ с интегрирующим -фильтром, а также ф-лами (5.28) и
(6.19) для -системы с RLC фильтром. В результате приходим
к одинаковому для обеих систем выражению
1,2]/а3Фш.
(6.19)
Эта формула справедлива при Ту^> 1 и а 1 для системы
ФАПЧ -с интегрирующим фильтром и при kd^> 1 для системы
с RLC фильтром.
Значительный интерес представляет случай использования
системы ФАПЧ в качестве фильтра фазы, так как он позволяет
непосредственно ответить на вопрос о соотношении сигнал/шум
на выходе системы ФАПЧ.
Для определения коэффициента фильтрации фазы необходи-
мо знать величину дисперсии фазы колебаний of на выходе
системы. Найти её можно по ф-ле (6.10), заменив ^((о) на
S (со). Приближённое значение S?(co) вместо точного [ф-ла (6.9)]
найдём из выражения (6.11), разделив его на со2 согласно
ф-ле (6.8).
В результате получим
ь ( sf)
np(sD + (^-
(6.20)
В качестве примера определим коэффициент фильтрации в
системах ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим и RLC
фильтрами. Подставив выражения (5.20) (при Тсу = 1) и (6.20)
в (6.10) и выполнив интегрирование, получим следующее выра-
жение для коэффициента фильтрации фазы в системе ФАПЧ
с пропорционально-интегрирующим фильтром:
ф	а?пг апг2 (т + 2а) Ту [а2пг2 Ц- 2а(а 4- т)2] Т2 -у- ->
b ( sf)	а2пг (пг + а) Ту (а + т) [2ат (1 + а) Н—>
_____________—> 4~ (4а2 4~ ^ат 4 т) Ту 1 -I - 2g____ (6 21)
-*4	т)1 Т2 4“ [2а (1 4~ 4- (I + я)] (1 4~ я) Ту 4” (1*4 а)2
При т = 0 выражение (6.21) представляет собой коэффици-
ент фильтрации в системе ФАПЧ с обычным интегрирующим
фильтром.
Коэффициент фильтрации фазы в системе ФАПЧ с RLC
фильтром найдём, подставив в выражение (6.10) -ф-лы (5.23)
(при ГСу=1) и (6.20). В результате интегрирования получим
— 2g v2 d3 + 4д О + '2) rf2 + [2o (1 4- ~.2)2 4- 1;— 4x2frf _ £ — 2v — 4v3
cp	2
a2 2_ p (V2 a + 1) — ч2] d2 + [(1 + a) (2a\2 + 1 + a) +
k
+a^~2^a^~\)]d--k[(\ +tz)(2a>2 + lw+a) + «2^]	7
Здесь
v = ak ~ ft — ft.
Qy
Эффективность применения того или иного типа фильтра и
комбинации его параметров определим путём сравнения вели-
чин Ф^ при постоянной у3. Как и ранее, наилучшей будем счи-
тать ту систему ФАПЧ, которая обладает наибольшей относи-
тельной полосой захвата и наименьшим Ф^.
Ввиду сложности необходимых зависимостей сравнение бу-
дем проводить численным методом в следующей последователь-
ности:
1 о	П
1.	Задавшись конкретными значениями параметров — , т
и Ту для системы с пропорционально-интегрирующим фильтром,
а также k и d для системы с RLC фильтром, по ф-лам (6.21) и
(6.22) рассчитываем величины Ф^.
2.	Для тех же значений указанных параметров на основании
зависимостей (4.83) и (4.87) определяем величины у3.
3.	При помощи полученных величин строим кривые
у3==/:(фД приведённые на рис. 6.2#, б и в. Каждый рисунок
П
соответствует определенному отношению — .
Qy
т т	П
Из рисунков следует, что при малом — зависимость у3
от Ф? неоднозначна. Поэтому так же, как и в предыдущем
случае, нужно выбирать параметры системы ФАПЧ и фильтра
таким образом, чтобы при заданной фильтрации получить наи-
большее значение у3.	\
Рассмотрение полученных кривых позволяет сделать сле-
дующие выводы:
1.	В системе ФАПЧ с обычным интегрирующим фильтром
увеличение обобщённой постоянной времени Ту приводит к од-
новременному увеличению дисперсии фазы подстраиваемого ге-
нератора и снижению величины у3, что крайне нежелательно.
Следовательно, применение интегрирующего RC фильтра, со-
гласно принятому критерию, нецелесообразно, поскольку дис-
персия фазы подстраиваемого генератора при любом Ту всегда
выше, чем в идеализированной системе (Ту = 0).
196
фильтрации фазы при различных фильтрах и парамет-
рах системы ФАПЧ
197
2.	Дисперсия фазы подстраиваемого генератора в системе
ФАПЧ с RLC фильтром при всевозможных значениях парамет-
ров k и d остаётся выше, чем в системе ФАПЧ с RC фильтром.
Следовательно, применение RLC фильтра также нецелесооб-
разно.
3.	Наилучший результат даёт применение пропорциональ-
но-интегрирующего фильтра. Полученная величина дисперсии
фазы подстраиваемого генератора может быть меньшей, чем
в идеализированной системе (Ф?< I).
При фиксированном т для уменьшения Фу следует выби-
рать достаточно большое значение Ту. Если тТу > 1, то выра-
жение (6.21) значительно упрощается и принимает вид
ф =	.	(6.23)
? а (т + а)
Из этого выражения ясно, что при достаточно большом Ту
и заданной величине а для снижения Ф? нужно уменьшать т.
При этом полоса захвата также снижается. Сравнивая выраже-
ния (4.84) и (6.23), видим, что с уменьшением т величина у3
снижается значительно медленнее, чем Ф^ (рис. 6.2, пунктир-
ная линия).
Интересно сравнить систему ФАПЧ со звеном фильтр—огра-
ничитель—фильтр (Ф—О—Ф). Оба устройства позволяют ре-
шить одну и ту же задачу: выделять из смеси сигнала и шума
колебание несущей частоты. Выясним, какое из этих устройств
обеспечивает лучшее подавление шумовой помехи.
Величина Ф?, как было указано, выражает собой степень
изменения дисперсии фазы колебания, проходящего через си-
стему ФАПЧ. Известно [79, 92], что при отношении мощности
сигнала к мощности помехи на выходе линейной системы, пред-
шествующей системе ФАПЧ, s2>5, дисперсия фазы выходно-
го колебания линейной системы а2 и величина $? связаны
следующим соотношением:
= -у.	(6.24)
Зная величину Ф?, можно найти дисперсию фазы подстраи-
ваемого генератора (сигнала на выходе системы ФАПЧ).
Выражение (6.25) позволяет найти отношение мощности сиг-
нала к мощности помех на выходе системы ФАПЧ, т. е. s2 *
Под сигналом будем понимать составляющую выходного на-
198
пряжения с частотой несущей, а под шумом — все побочные
колебания, возникновение которых обусловлено паразитной мо-
дуляцией фазы выходного сигнала.
Известно, что фазовая модуляция не изменяет общей мощ-
ности сигнала. Поэтому суммарная мощность остатка несущей
и мощности побочных колебаний будет постоянной.
Мощность Рн сигнала несущей при фазовой модуляции нор-
мальным шумом определяется выражением [79]:
Ра = Рое-°*.	(6.26)
Здесь PQ — полная мощность фазо-модулированного колеба-
ния. При помощи этого выражения можно найти отношение
сигнал/шум s2 на выходе системы ФАПЧ:
	«2=-^-^—•	(6.27) 1 — е ?пг
Подставляя	из ф-лы (6.25) в 6.27, получаем 4 51 = 6 • (6>28) 1 — е si
В этом выражении величину для sf >5 можно с до-
статочной точностью считать не зависящей от поскольку,
как уже указывалось, в этом случае величина Л, определяющая
форму энергетического спектра фазы входного колебания, почти
не зависит от
Выражение (6.28) позволяет рассчитать изменение отноше-
ния мощности сигнала к мощности помех при прохождении сиг-
нала и шума через систему ФАПЧ:

(6.29)
Из этого выражения следует, что зависимость коэффициента
Ф$ от очень резкая. Поэтому при конструировании си-
стем ФАПЧ снижению величины Ф„ нужно уделять особое
внимание.
199
Для случая sf >5 и <1 выражение (6.29) значительно
упрощается:
^ = 4-	<6-30)
В качестве примера рассмотрим фильтрующие свойства си-
стемы ФАПЧ с пропорц'ионально-'и’нтегрирующим фильтром, по-
скольку для этой системы Ф минимально по сравнению с дру-
гими системами.
Как следует из выражений (6.23) и (6.30),
ф ~ а(т+а)
s т(2а-\-т) '
Обычно а > т, поэтому
ф ~д_=	.
5 2т 2т йу ’
(6.31) .
(6.32)
Сравним теперь фильтрующие свойства системы ФАПЧ и
звена Ф—О—Ф. Будем считать при этом, что первый фильтр
звена Ф—О—Ф точно такой же, как и фильтр, предшествующий
системе ФАПЧ. Кроме того, предположим, что частотная харак-
теристика узкополосного фильтра, следующего за ограничите-
лем, имеет форму, близкую к прямоугольной, а его полоса П\
может 'быть сколь угодно узкой.
Потребуем, чтобы полоса пропускания узкополосного фильт-
ра была равна полосе захвата системы ФАПЧ. Это требование
объясняется тем, что при расстройке, превышающей половину
этой полосы, сигнал на выходе обеих систем пропадает.
На основании {79] и [92] можно сделать вывод, что при
sf>5 и точной настройке фильтров на несущую частоту пре-
дельный ограничитель звена Ф—О—Ф в первом приближении
не изменяет в пределах рабочей полосы частот ни энергетиче-
ского спектра, ни соотношения сигнал/шум. Поэтому коэффи-
циент фильтрации Ф* звена Ф—О—Ф в этих условиях будет
определяться, в основном, отношением эффективных шумовых
полос обоих фильтров:
Ф* = JL
s Ъ
Согласно принятому условию
Пг - 223 22уТз.	(6.34)
Воспользовавшись предельными соотношениями (4.84),
(6.33) и условием (6.34), получим
П
ф —-------- - -- s
s 2Qy У 2т — т2
(6.33)
(6.35)
200
Из выражений (6.32) и (6.35) находим
hV 2т — т2
Ф*	т
Отсюда -следует, что при h ~ 0,2 и т<0,077 (т. е. при
у3<0,4) система ФАПЧ даёт лучшую фильтрацию, чем звено
Ф—О—Ф. Однако при этом значительно увеличивается в<ремя
установления.
Рассмотрим теперь случай, когда амплитудная модуляция
эталонного сигнала случайным процессом не устраняется ни
специальным -ограничителем, предшествующим системе ФАПЧ,
ни самой системой ФАПЧ. Такой режим работы системы имеет
место, когда эталонный сигнал в сумме с шумом, поступающий
на фазовый детектор, оказывается много меньшим, чем напря-
жение подстраиваемого генератора, подаваемое на этот же фа-
зовый детектор. Ранее было показано, что при этом фазовый
детектор можно рассматривать как линейный перемножитель.
При действии флуктуационных помех на систему ФАПЧ на-
пряжение подстраиваемого генератора, поступающее на фазо-
вый детектор, всегда можно представить следующим выраже-
нием:
«ПГ <z) = Ипг cos (	*₽) •	(6-36)
Здесь ф, как и ранее, мгновенное значение разности фаз эта-
лонного и подстраиваемого генераторов.
Воспользовавшись ф-лами (6.2) и (6.36), найдём напряже-
ние на выходе фазового детектора, работающего в режиме ли-
нейного перемножения:
«ФД = £э1^пг cos(p + £пг pl(0cos<p + C(0sinq,]. (6.37)
Если система ФАПЧ работает в режиме фильтра, то обычно
полоса пропускания линейных устройств, (предшествующих ей,
значительно ши-ре полосы пропускания самой системы. Поэтому
можно считать, что случайные функции A(t) и C(t) меняются
быстрее ф. Это даёт возможность полагать, что функции А(/)
и С(/) не коррелированы с функцией ф. При этом условии выра-
жение (6.37) можно представить в виде
«фд = V ^пг ^эг cos ф +	ипг I (/),	(6.38)
где
В (/) = А (/) cos ф 4- С (/) sin ф.	(6.39)
Процесс g (/) имеет ту же самую дисперсию, что и 4(/) и
С(/), а следовательно, и Поскольку предполагается, что
A(t) и С(/) меняются значительно быстрее, чем ф, то корреля-
201
ционная функция (энергетический -спектр) случайного процесса
5(0 совпадает с корреляционной функцией (энергетическим
спектром) (процессов A (t) и С(0-
Таким образом, если -фазовый детектор является линейным
перемножителем, действие аддитивной помехи, накладывающей-
ся на эталонный сигнал, сводится к действию аддитивной же
помехи на выходе фазового детектора с дисперсией, равной дис-
персии входной помехи, и энергетическим спектром, равным
энергетическому спектру входной помехи, смещённому на нуле-
вую частоту.
С учётом сказанного на основании ф-лы (5.13), полагая
<рзг = 0; u3(f) = 0 и считая, что помехи достаточно малы,
можно записать основное уравнение системы для этого случая
[S и п
1^ (<Ро3)1 Аф + - УЭоо-ПГ- ИО = 0. (6.40)
J
Это уравнение позволяет рассчитать дисперсию фазы подст-
раиваемого генератора и, следовательно, определить отношение
мощности сигнала к мощности шума на выходе системы ФАПЧ,
т. е. .
Дисперсия фазы -подстраиваемого генератора согласно из-
вестным правилам [79] определяется выражением
оо
°* = 4- f s9 wiwn». (6.4i)
чтг 2л J	Yn г
—оо
Здесь -$¥пг —спектральная плотность девиации фазы под-
страиваемого генератора, обусловленной действием помехи
6,5<7ПГ КО на вход управляющего элемента при разомкнутой
цепи обратной связи в системе ФАПЧ.
Величину можно найти, зная энергетический спектр
функции КО и учитывая соотношение (6.8). Воспользовавшись
равенством (5.38), выразим дисперсию фазы подстраиваемого
генератора через WT(i<o) и параметры входного шума:
q2
2	= , пг уэ с 5 (ш)|Ц71(1ф)|2(/ш1	(6.42)
ШГ	ОЛ J *
— оо
(со)—энергетический спектр функций Л(0 и С(/).
Интересно -сравнить по величине дисперсии фазы подстраи-
ваемого генератора -систему ФАПЧ, на входе которой -сигнал
имеет предельное амплитудное ограничение, с системой ФАПЧ,
не имеющей предварительного ограничения эталонного сигнала,
фазовый детектор которой работает в режиме линейного пере-
множения.
202
Поскольку в рассматриваемом случае полоса пропускания
линейных устройств, предшествующих системе ФАПЧ, много
шире полосы пропускания самой системы, при сравнении удоб-
но энергетический спектр помех в полосе пропускания линей-
ных устройств считать равномерным.
В этом случае Д (<d) — величина постоянная и выражение
(6.42) принимает вид
а2
?пг
^ПГ Зуэ 3$ (ю)
8л
(6.43)
Учитывая, что S,(co) = и Sv — — UnrU^r = J-[7nr|/ 2Р
1 5х 1 ц у 2 пг эг 2 пгг с
(Рш и Рс — мощности шума и сигнала на входе системы
ФАПЧ), выражение (6.43) можно переписать следующим обра-
зом:
оо
°* = 9„Р ГЛ~мТ f	(6.44)
?ПГ	2лРс|Р (<PO2)J2 J
--DO
Для определения же о2 при наличии предельного огра-
ничения воспользуемся выражением (6.10), заменив в нём
(со) на S?((d) и полагая S?{o>) = const.
При этом условии дисперсия фазы подстраиваемого генера-
тора
оо
с2 = f |IF(io))l2do).	(6.45)
^пг 2л J
При соотношении сигнал/шум sj » 1 и равномерной (в пре-
делах рабочей полосы частот) характеристике линейных уст-
ройств энергетический спектр девиации фазы эталонного сиг-
нала также равномерен. Он определяется из равенства
Подставив ф-лу (6.46) в (6.45), получим
а2 =
?ПГ
оо
г7 С2Л	J
—оо
(6.47)
Сопоставляя выражения (6.47) и (6.44), замечаем, что они
различаются постоянным множителем = (^'(фог)]”2 > харак-
теризующим крутизну характеристики фазового детектора в
точке устойчивого равновесия.
203
Интересно отметить, что с увеличением Тсу дисперсия фазы
подстраиваемого генератора при линейном входе системы
ФАПЧ значительно возрастает. Физически это объясняется
уменьшением эффективности подстройки системы ФАПЧ.
§ 6.3. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ
СИСТЕМ ФАПЧ ПРИ БОЛЬШИХ ФЛУКТУАЦИОННЫХ
ПОМЕХАХ
До сих пор предполагалось, что помеха, действующая на
систему ФАПЧ, настолько мала, что можно было пользоваться
линеаризованным дифференциальным уравнением.
Для практики неменьший интерес представляет случай, ког-
да уровень помех, накладывающихся на эталонный сигнал,
столь велик, что линеаризация основного уравнения недопу-
стима. При таких условиях приходится применять иные методы
исследования.
В общем случае исследование нелинейной системы ФАПЧ,
находящейся под действием случайных возмущений, представ-
ляет собой чрезвычайно сложную задачу. Для её решения не су-
ществует единого аналитического метода. Тем не менее при вы-
полнении некоторых довольно общих условий можно пользо-
ваться приближёнными аналитическими методами теории слу-
чайных (процессов. Так, если время корреляции помех, дейст-
вующих на эталонный сигнал, значительно меньше, чем время
реакции системы на изменение его параметров, то можно с ус-
пехом использовать аппарат марковских процессов, в частности,
уравнение Фоккера-Планка. В’этом же случае применим и ме-
тод статистической линеаризации [95].
Преимущество аппарата марковских процессов состоит в
том, что он позволяет получить более полные результаты, чем
метод статической линеаризации. Однако пока практически
удаётся эффективно использовать аппарат марковских процес-
сов только для систем ФАПЧ, описываемых дифференциаль-
ными уравнениями первого и второго порядка. Для систем бо-
лее высокого порядка можно с успехом применять метод стати-
ческой линеаризации. Хотя этот метод и уступает по полноте
и точности применению аппарата марковских процессов, тем
не менее он позволяет достаточно просто вычислить среднее
значение и дисперсию искомой величины, что оказывается впол-
не достаточным для большинства практических задач.
С точки зрения спектральных представлений, для примене-
ния этих методов необходимо, чтобы полоса шумов, действую-
щих на входе системы ФАПЧ, была значительно шире полосы
пропускания самой системы ФАПЧ [96]. Такое положение имеет
204
место, если система ФАПЧ используется в качестве узкополос-
ного фильтра.
В противоположном случае, т. е. когда полоса шумов на вхо-
де системы ФАПЧ много уже, чем полоса её пропускания, мож-
но пользоваться так называемым квазистатическим методом.
Особенностью этого метода является пренебрежение инерцион-
ными свойствами системы ФАПЧ, что даёт (возможность при оп-
ределении статистических характеристик процессов в системе ис-
пользовать теорию безынерционных нелинейных преобразова-
ний случайных процессов [79]. Этому случаю соответствует при-
менение системы ФАПЧ в качестве высокоэффективного следя-
щего устройства, например частотного детектора, не вносящего
частотных искажений.
Для промежуточного случая, т. е. когда полоса шумов на
входе близка к полосе пропускания самой системы, в настоя-
щее время нет никаких удобных и действенных методов.
При анализе системы ФАПЧ, используемой в качестве узко-
полосного фильтра, будем считать, что на вход действует фазо-
модулированный случайным сообщением эталонный сигнал в
сумме с нормальным случайным шумом. Функцию распределе-
ния модулирующего сообщения будем считать для простоты
также нормальной. Кроме того, предположим, что среднее зна-
чение модулирующего сигнала так же, как и среднее значение
шума, равно нулю, а спектр шума симметричен относительно
средней частоты эталонного сигнала.
Будем исходить из основного дифференциального уравнение
системы ФАПЧ, подверженной действию внешних аддитивных
помех при модулированном эталонном сигнале. При выводе это-
го уравнения полагаем, что в качестве фазового детектора при-
менён линейный перемножитель. Тогда сигнал на входе системы
ФАПЧ запишется в виде
«1 (0 = ^эг cos [шэгi + Ч’эг] + А (0cos “эг z + с (0 sin “эг (6-48)
Здесь функция <рэг носит случайный характер. Учитывая
выражения (5.2) и (6.48), определим напряжение на выходе фа-
зового детектора:
“фд (0 = <Wnr иэг cos <р + 0,5t7nr А (0 cos (ф + Фэг) +
+ 0,5f/nr С (0 sin (ф + фэг) .	(6.49)
При помощи ф-лы (5.6) найдём мгновенное значение часто-
ты подстраиваемого генератора
“пг = “о пг — 0>5£7ПГ 5УЭ (р) Рэг cos ф + Л (0 cos (ф + фэг) +
+ С (0 sin (ф + фэг)] .	(6.50)
205
Воспользовавшись ф-лой (5.7), можно представить основное
дифференциальное уравнение системы ФАПЧ, описывающее её
работу при действии шумов на фазо-модулированный эталон-
ный сигнал, в виде
Г	Qv
Рф + К(р) 2усозф + — Д(0cos (ф + фэг) +
^ЭГ
Qy	"I
+ —-C(f)sin ф + фэг) =2н — рфэг.
(6.51)
Анализ этого уравнения начнём с простейшего случая, когда
К(р) = 1 (идеализированная система ФАПЧ). Это позволит об-
наружить некоторые интересные явления, возникающие при
действии сильных шумов на идеализированную систему ФАПЧ,
которые имеют место и в более сложных системах.
§ 6.4. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ФАПЧ, НАХОДЯЩЕЙСЯ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ БОЛЬШИХ ШИРОКОПОЛОСНЫХ
ПОМЕХ, ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЯ
ФОККЕРА—ПЛАНКА
Изложение этого параграфа базируется на результатах ра-
бот (29, 33, 34, 92, 96, 113, 118].
Для решения поставленной задачи достаточно из аппарата
марковских процессов знать лишь уравнение Фоккера—Планка
и уметь им пользоваться.
Напомним вкратце основные положения, относящиеся к одномерным
процессам Маркова и уравнению Фоккера—Планка.
Процессами Маркова, как известно, называются случайные процессы
с ограниченным последействием. Пусть имеется некоторый случайный процесс
g (О и	- ММ— его значения в моменты времени —
<^71 •
Рассмотрим условную вероятность появления величины gn (^п) при ус-
ловии, что в предыдущие моменты времени in-2, in-з, ..., Л случайная
величина g (/) принимала значения g (Л), % (i%) ... g	т. е. W(gn/?n_i;
gn_2... gi). Если эта условная вероятность зависит только от самой величины
gn и не зависит от всех gn_i; gn-z; ... gi, то процесс g(/) называется совер-
шенно случайным и все его значения в различные моменты времени
^2,..., in статистически независимы.
Если же эта условная вероятность зависит не только от gn, но и от пре-
дыдущих значений g(/), т. е. gn_i ... gi, то имеет место процесс Маркова.
Простым марковским процессом, или процессом Маркова 1-го порядка, на-
зывается такой случайный процесс g(/), значение которого в некоторый мо-
мент времени, т. е. gn (in), зависит лишь от его последнего известного значе-
ния gn_i (^n_i) и не зависит от всех предыдущих его значений gn_2 (^п_г),
gn-з (*п_з),..., gi (Л).
Условная плотность вероятности такого процесса зависит только от gn
и gn_i, т. е. №(gn/gn_b gn_2,..., gi) = W (gn/gn_i). Простой процесс Мар-
кова полностью определяется двумерной безусловной плотностью вероятности
206
1F2 (£ь £2). В соответствии с её определением имеем
^2(h,	=	(6.52)
Следует отметить, что безусловная и условная функции распределения
процесса Маркова, кроме общих условий, которым должны удовлетворять
эти функции распределения (условия нормировки, условие положительности
и условия связи между функциями различных порядков), должны также
удовлетворять интегральному уравнению Смолуховского [96]
J w (e3/5s) w (М а е2=w (ез/г,).	(6.53)
Часто необходимо знать, как изменяется во времени одномерная функция
распределения процесса £ (/), т. е. 1Fi(g). В [92] и [96] показано, что произ-
водная по времени этой функции для марковского процесса определяется
равенством
д	VI (— 1)« дп
— W, (?) = \	— [Кп (5) Wt (£)].	(6.54)
Здесь КП(Ю = Иш -------- , если этот предел существует;
т->0 т
оо
««(£)= J	+
—со
— момент п-го порядка условного закона распределения разности
g (Z+t)— g (/). При этом считается, что т достаточно мало. Коэффициенты
Кп(§) носят название коэффициентов интенсивности. Уравнение (6.54) назы-
вается стохастическим или кинетическим.
Процессы, происходящие в системе ФАПЧ, находящейся под
действием флуктуационных шумов, по существу, являются не-
прерывными. Строго говоря, непрерывные процессы не являются
процессами Маркова. Однако, если время корреляции реального
процесса много меньше времени реакции системы, то, как пока-
зано в [96], замена реального процесса процессом Маркова не
приводит к значительным ошибкам.
Из процессов Маркова наиболее близко к реальному непре-
рывному процессу подходит так называемый непрерывный про-
цесс Маркова. Он характерен тем, что в правой части равенства
(6.54) все величины с индексом п>2 равны нулю. Для такого
процесса имеем
4" W1 (0 = - Т7 Р<1 (О (S)U Т ТТЛ(5) W1 (5)J- (6‘55)
ОТ	и £ L	J Z О Q
Это уравнение в математической физике называется уравне-
нием Фоккера—Планка или диффузионным уравнением.
Вернёмся теперь к основному дифференциальному уравне-
нию системы ФАПЧ, находящейся под действием флуктуацион-
207
ных помех. Уравнение (6.51) для идеализированной системы
ФАПЧ принимает вид
Р Ф =2Н— 2У cos ср — 2у	cos (Ф + фэг) —
~ йу sin (ф + фэг) — р фэг .	(6.56)
Поскольку IB правую часть этого уравнения входят случай-
ные функции Д(0; С (О и фэг, то и решение ср(/) также носит
случайный характер. Поэтому qp(Z) будет характеризоваться свои-
ми статистическими параметрами. Найдём одномерную плот-
ность вероятности ср(/), воспользовавшись уравнением Фокке-
ра—Планка (6.55). Как показано в [96], условие применимости
этого уравнения в общем случае имеет вид
-^^«1.	(6.57)
дх
Здесь х — искомая величина, определяемая дифференциаль-
ным уравнением, ткорр = ти корр + т2корр— суммарное время, кор-
реляции (ti корр — время корреляции аддитивного шума,
т2 корр — время корреляции производной фазы эталонного сиг-
нала).
Условие (6.57) совместно с ур-нием (6.56) позволяет сфор-
мулировать критерий применимости уравнения Фоккера —
Планка .при исследовании идеализированной системы ФАПЧ:
1
2у
ткорр 1	~	’
\ иЭГ /
Здесь EN(t) = ]ЛA2(t) + C2(Z) —огибающая входного адди-
тивного шума
Это неравенство определяет связь между соотношением сиг-
нал/шум на входе, временем -корреляции внешнего воздействия
и допустимой полосой удержания системы. Согласно [98] коэф-
фициенты Ki и К2, входящие в ур-ние (6.55), определяются
следующим образом:
К1=Яр;	(6.59)
J [рф(0РФ(^ + Ч — (рф)2] dx. (6.60)
-СО
Здесь чертой сверху обозначено статистическое усреднение.
В общем случае вычисление коэффициентов и К2 затруд-
няется тем, что случайные функции Л(/), C(t) и <рзг (/) кор-
релированы с <р(/). Однако, учитывая критерий (6.58), можно
208
утверждать, что Л(/), С (Г) и фзг (Z) меняются быстрее по
сравнению с фпг (/). В этом случае, зная функцию распреде-
ления величины фзг (/) и считая, что фпг (/)—медленно ме-
няющийся параметр, т. е. что при статистическом усреднении фпг
является постоянной величиной, можно вычислить и К2.
Однако даже для простейших законов распределения фзг
вычисление Ki и К2 довольно громоздко, поэтому для простоты
ограничимся случаем, когда эталонный сигнал не модулирован
(РФэг =0)- ‘При этом выполнение неравенства (6.58) позво-
ляет считать уже не фпг (/),аср(/) медленно меняющейся функци-
ей, не коррелированной с Л(/) иС(1). Тогда А(1) соз<р=Д(0Х
Xcoscp; C(Z) sinq) —С(0 sirup. Согласно принятому условию
Л(/) = C(t) =0. Поэтому ф-лу (6.59) можно на основании не-
равенства (6.58) записать следующим образом:
К1(ф) = 2Н — йу cos ф.	(6.61)
Коэффициент легко находится из выражения (6.60) на
основании неравенства (6.58) с учётом того, что при усреднении
ф считается постоянным параметром:
Q* 2 00
ка(ч>)=4- f k^dx- (6-62>
Здесь £(т) = А (/) A (t + т) = С(/) C(t + т) —функция авто-
корреляции процессов A(t) и C(t). Согласно общепринятым оп-
ределениям функция автокорреляции связана с коэффициентом
корреляции огибающей входного шума т0(т) простым равенст-
вом 6(т) = о2г0(т). В дальнейшем удобно ввести следующее
обозначение:
G (Ф) =	(Ф) Гх (Ф)- Д 4 № (Ф) Гх(ф)].	(6.63)
2 д ср
Функция G в статистической физике называется «потоком
вероятности». С учётом введённого обозначения ур-ние (6.55)
можно записать в следующей форме:
-^№х(ф)+^С(Ф) = 0.	(6.64)
Решение уравнения Фоккера—Планка позволяет в общем ви-
де определить нестационарную функцию распределения
Wi (ф, t) [96] и, следовательно, получить сведения по некоторым
характеристикам переходных процессов.
Для простоты вначале ограничимся рассмотрением стацио-
нарного ^распределения, когда —	(ф) =0. В этом случае
dt
14—793
209
ур-ние (-6.64) принимает вид
1	/72	л
—	(ф)	(ф)]	- [Кх (Ф) W, (ф)] = 0.	(6.65)
Z «Г	а
Подставляя в это уравнение значения К\ из ф-лы (6.61) и
учитывая, что К2 ие зависит от ф[ф-ла (6.62)], имеем
^-.^-а^1(Ф)--^(2н-ЙуСО8ф)Г1(ф)=0.	(6.66)
90
Для сокращения записи введём обозначения Do= —2- ; D—
2ЙУ
Тогда последнее выражение запишется следующим образом:
^х(ф) - у- [Do - D cos ф] W\ (ф) = 0.	(6.67)
а <р2	а <р
Общее решение ур-ния (6.67) имеет вид [96]
(Ф) = Сх eDetp-Dsi^ ( e"D’x“'Dsin х dx.	(6.68)
с.
Постоянные С] и 'С2 можно определить из условий периодич-
ности
№х(?±2л) =Гх(Ф)	(6.69)
и нормирования плотности вероятности на каждом периоде
2тс
J Гх(ф)£/ф = 1.	(6,70)
О
Согласно [96], если выполняются условия (6.69) и (6.70),
ур-ние (6.68) можно записать в следующей форме:
( ф+тс) Z>0—£)sin? г л	_ , _ ,
Ц7 ((р) = _?---------f e-O.x+Dsinx d	(6.71)
4«2 | IiD (D) ]2 J
<p
где I lD — функция Бесселя мнимого индекса и мнимого аргу-
мента.
Если начальная расстройка равна нулю, то Z)o = O и
ур-ние (6.71) упрощается:
—Dsincp
-ЗД’вд-	<6-72>
На рис. 6.3 по этой формуле построены графики для различ-
ных значений D. Из рисунка и из ф-лы (6.72) видно, что функ-
ция распределения при нулевой начальной расстройке симмет-
рична относительно значений ф02 = 2л/г----- (п = О, 1, 2, ...),
210
представляющих собой -стационарную разность фаз подстраи-
ваемого и эталонного генераторов. В случае малых -отклонений
л
ср от устойчивого его значения фо2 =-— , разложив sin ф в ряд
около точки фо2 и ограничившись двумя первыми членами, пре-
образуем ф-лу (6.72) к виду
г‘<Ач,)я=^БГ 	,6 73)
Пр-и малом Аф величина £>>1.
Действительно, Аф мало только в том случае, если на входе
системы $2 > 1. Тогда К2 согласно ф-ле (6.62) близок к нулю и
по определению D > 1.
Для больших D можно воспользоваться асимптотическим
приближением для Iq(D):
<б-74>
Подставляя ф-лу (6.74) в (6.73), получим
____Д<р2
2 1/ —
----------е И °* ,	(6.75)
j/"^ -р
211
т. е. закон распределения отклонений разности фаз от стацио-
нарного значения ори QH = 0 и < 1 становится близким к
нормальному.
Если начальная расстройка не равна нулю, го следует оп-
ределять №\(ф) по ф-ле (6.71). 'Поскольку интеграл в правой
части этой формулы в общем виде непосредственно не берётся,
то найти W\ (<р) можно либо при помощи численных методов,
либо разлагая подынтегральное выражение в ряд.
Для дальнейших рассуждений удобно ввести вместо ф но-
вую переменную 0 = ф+-^~. Применяя известные из теории
бесселевых функций формулы разложения:
eacos* = Z0(a) + 2^/l(a)coslxt	(6.76)
/=i
6^ cos х _ /о	+ 2 2 (_ J у ц	cos iXf	(6.77)
Z=1
— можно выполнить интегрирование в ф-ле (6.71).
В результате плотность вероятности разности фаз предста-
вится в виде ряда
w (&) = 1-е2*д«срС0..9 Г /р(Р) , 2 yi (-l)Qt(D) х
1	М	Do	Dq-H2
X (Do cos 10 — 0 sin 10)
(6.78)
где
М = 4^е-^|ЛО.(Г>)Г-
Функции Бесселя с ростом их индекса ’быстро убывают
[111], поэтому ряд в выражении (6.78) быстро сходится.
На рис. 6.4 и рис. 6.5 в качестве примера представлены се-
мейства кривых Ф\(ф), полученные путём численных расчётов
при различных значениях параметров О0 и D [96].
Из этих рисунков следует, что при	распределение ф
становится несимметричным и, как следовало ожидать, со
средним значением ф, не равным нулю.
Рассмотрим теперь поведение разности фаз подстраиваемого
и эталонного генераторов в идеализированной системе ФАПЧ
при действии аддитивного шума на вход системы [96].
Уравнение (6.56) ^всегда можно представить в следующем
. 212
Рис. 6.5. Распределение ср при D= 10
и Dq ~ var
213
виде:
р <р = QH — 2у cos ф — N2 it),	(6.79)
где
, N2 (0 = -vh— А (/) cos ф + C(t) sin ф
иэг	(7ЭГ
— некоторая случайная функция.
Удобно рассматривать <р как скорость некоторой -матери-
альной точки. Тогда величина рф есть не что иное, как ускоре-
ние этой точки и ур-ние (6.79) можно трактовать как уравнение
Рис. 6.6. Зависимость потенциала тяжёлой точки,
лежащей на наклонной волнистой поверхности, от (р
её движения -в поле регулярных внешних сил, нелинейно зави-
сящих от ф при наличии случайного возмущения Af2(0- При
этом величину —йусозф будем считать силой, поскольку ей
пропорционально ускорение.
Зная зависимость силы от ф, найдём работу этой силы, т. е.
А = — J(2H — 2усозф)^ф = — 2нф + 2узшф. (6.80)
о
Эту работу можно ^рассматривать как потенциал некоторой
тяжёлой точки, находящейся на наклонной волнистой поверх-
ности. На рис. 6.6 схематически показано сечение этой поверх-
ности. Характерной особенностью её является наличие точек
минимального потенциала (так называемых «ям»). Ямы соот-
ветствуют точкам устойчивого равновесия в отсутствие случай-
ного возмущения.
Если же на точку действуют случайные силы, то она начи-
нает хаотически двигаться в окрестности точки фог (яма Я2).
214
При малых случайных силах точка не выходит за пределы са-
мой ямы, что соответствует только небольшим флуктуациям
разности фаз. По мере увеличения случайных сил точка начи-
нает выходить за пределы ямы и попадает в одну из соседних
ям (Я1 и Яг), где <р = <ро2 ±2л. Поскольку потенциал ямы Яз
меньше, чем потенциал ямы Яь то переброс точки из ямы Я2
в яму Яз в среднем происходит чаще, чем в яму Яь
При перескоке точки из Я2 в Я1 разность фаз уменьшается
на 2л, а из Я2 и Яз — увеличивается на 2л.
Таким образом, в среднем происходит нарастание разности
фаз подстраиваемого и эталонного генераторов, что означает
наличие средней разности частот. Разность в числе перескоков,
происходящих влево и вправо, тем -больше, чем больше наклон
поверхности (чем больше QH), чем мельче ямы (чем меньше Qy)
и чем больше величина случайного воздействия.
Следовательно, при больших флуктуациях разности фаз,
когда линеаризация недопустима, имеет место новое явление:
в системе ФАПЧ появляется средняя разность частот подстраи-
ваемого и эталонного -генераторов.
Заметим, что при Q^>Qy ямы вообще отсутствуют и точка
непрерывно скатывается по волнистой поверхности вниз, т. е.
синхронный режим даже при отсутствии случайного воздействия
становится невозможным.
Найдём среднее значение разности фаз
Ф = СфГ1(ф)б/ф,	(6.81)
Подставляя в это выражение значение (<р) из выражения
(6.78) и учитывая ф-лы (6.76) и (6.77), а также замену пере-
менной (0 = ф + — 1, получаем

>о + /2
/о(Р) , (-1)*
I 2/
М
Л
7
/2 — №
(6.82)

Из выражения (6.82) следует, что при Do = 0 <р = — — .
Дисперсия разности фаз
тс
02 = j <р2Г1(ф)^ф.
—тс
(6.83)
215
Воспользовавшись этим выражением, получим
02	?------
f	М
1№> Л2 , 4 yi (~l}kIk(D)
Do 3	21 ^(D)
k-\
+ 4D0/0(D)
i=i
h(D)
/’(Dg-H2)
+ W0yiz4W)
^o+/a
(/«-*«)
(6.84)
В случае нулевой начальной расстройки Do — 0 и выраже-
ние (6.84) принимает вид
02 =	_j_ 4 yi	.	(6.85)
*	3	А2/о (D)
k 1
Воспользовавшись ур-нием (6.56), определим величину сред-
ней разности частот рф в идеализированной системе ФАПЧ, на-
ходящейся под действием случайного возмущения N2(iy
РФ = QH — ЙуСОБф—2у —— cosф — Qy —5Шф. (6.86)
6/эг	С/эг
Ранее указывалось, что A(t) и C(t) можно считать некорре-
лированными с ф(/), поэтому будем раздельно усреднять со-
ставляющие в выражении (6.86) сначала по «быстрым» величи-
нам, а затем по «медленным». _____ _____
В результате, учитывая, что Л(^) = C(t) = 0, получаем
2к
РФ = [ (2Н — 2уCOS<р)Г1 (ф)dф.	(6.87)
б
Из ф-л (6.61) и (6.63) имеем
(2Н - Sy cos ф) Fi (Ф) = Xi (Ф) Fi (Ф) = G + 0,5Т(2	. (6.88)
d
Подставляя это выражение в ф-лу (6.87) и учитывая, что
в стационарном состоянии поток G ='const, а функция (ф)
периодична по ф с периодом 2л, получаем
pV=2kG.	(6.89)
Воспользовавшись выражениями (6.63) и (6.71), получим
— =	= 2 shn£V 11 (£>) I2. (6.90)
4л|/ш(О)|2	н л О0 1 1Z?«V 71 V '
216
По этой формуле на рис. 6.7 построено семейство кривых
-у =	= f (ун; D). Из этого рисунка видно, что при действии
шума на систему ФАПЧ переход её из режима биений в режим
синхронизма осуществляется плавно, а не скачкообразно, как
при отсутствии случайных возмущений.
Рассмотрим частные пре-
дельные случаи. Если N2 (О
очень велико, то, как вытекает
из ф-лы (6.62), Л^3>1 и, сле-
довательно, О —>0 и Do—>0. По-
этому выражение (6.90) значи-
тельно упрощается:
№ Ъ-
Это равенство показывает,
что влияние малого эталонно-
го сигнала на фоне больших
шумов не сказывается на ча-
стоте подстраиваемого генера-
тора и средняя разность частот
обоих генераторов равна их на-
чальной расстройке.
В другом крайнем случае, когда N2(t) мало, D^X. При
этом, если ун С 1, то, воспользовавшись асимптотическими фор-
мулами для (£>), получим
7 = 2shirZ?e'2D“.	(6.91>
При ун> 1 В системе невозможен синхронизм, однако
ф-ла (6.90) остаётся справедливой и из неё можно получить сле-
дующую зависимость:
Рис. 6.7. Зависимость средней разно-
сти частот от начальной расстройки и
параметров идеализированной систе-
мы и шума
Т = ]А2Н~1-	(6-92)
Заметим, что при уы = 0 независимо от величины флуктуа-
ций разности фаз у=0. Это объясняется отсутствием наклона
волнистой поверхности, рассмотренной выше. Потенциалы точек
поверхности, находящихся «справа» и «слева» от дна ямы, ста-
новятся одинаковыми, и, следовательно, перескоки в обе сто-
роны будут равновероятными.
Определим теперь дисперсию разности частот подстраивае-
мого (и эталонного генераторов, вызванную случайным возмуще-
нием Л/2(0- Возводя выражение (6.86) в квадрат и усредняя
полученное выражение, имеем
(РФ)7 = (2Н —2ycos<p)2 + лр) + 2(2H-2ycos<p)AM0. (6-93)
217
Учитывая, что ф(/) — функция, медленная по сравнению с
будем раздельно усреднять по быстро и -по медленно ме-
няющимся величинам.
Усредняя по быстрым величинам, имеем
2 (Йн — Йу coscp)7V2 (/) - 2(2н—Sy cos ср) JV2(/) - О,
поскольку согласно условию N2(t) = 0. Кроме того,
q2	____ 2
Л/2 = _У. [Л2 Щ C0S2 ф + С2 (f) sin2 ф] Q2
И	И>Г
где, как и ранее, а2 = A2(t) = С2(/).
В итоге усреднения по быстрым величинам получаем
(Р <Р)2 = (SH — Sy cos ф)2 + Qy-г^- 	(6-94)
°эг
Усредняя это выражение по ср, имеем
2л:
(Яй2= f (2н-2усозф)2Г1(ф)^ф + 32-^.	(6.95)
i	иэг
Теперь необходимо подставить в подынтегральное выраже-
ние ф-лы (6.95) значение из ф-лы (6.71) и произвести интег-
рирование. Однако, если воспользоваться равенством (6.88) и
условием стационарности G = const, а также если учесть перио-
дичность функции (ср) с периодом 2 л, то вычисление интег-
рала значительно упрощается и согласно [33] получаем
2
(РФ)2 = 2~ЙНон----У-.а2 —2^2-С созф — Г±(ф)йф. (6.96)
IJ2	2 J с/ср
иэг	%
Переходя «в ф-ле (6.78) от переменной @ к ср и подставляя
l^i(cp) в выражение (6.96), можно определить (рф)2, что однако,
довольно сложно. При нулевой начальной расстройке (О0 = 0)
из выражения (6.96) получим
(РФ)2 = а2 +	1 —	.	(6.97)
иэг 2 L МИ
Одновременно при этом (рф)2 и, следовательно, дисперсия
разности частот равны
CJ2	£J2
4 = Ир? — (рф)2 = -^-о2 + -^[1 —		(6.98)
Таким образом, применение уравнения Фоккера—(Планка
к идеализированной системе ФАПЧ является весьма эффектив- j
ным. Это позволяет не только вычислить одномерную плотность
вероятности (разности фаз, но также обнаружить новое качест- J
218
венное явление <в системе ФАПЧ при действии шумов — отсут-
ствие жёсткого синхронизма — и дать ему количественную
оценку.
Заметим, что решение стационарного уравнения Фоккера—
Планка оказывается .в некоторых случаях недостаточным.
Часто требуется найти время достижения разностью фаз
выбранных граничных значений, числа и вероятности переско-
ков фазы и т. д. Подобные задачи связаны с существенно не-
линейным и нестационарным режимом работы системы1).
Для определения указанных характеристик воспользуемся
о-бщим ур-нием (6.64).
В отсутствие шума разность фаз 'эталонного и подстраивае-
мого генераторов принимает устойчивое значение: ф02 = arc cos ун.
Случайные возмущения вызывают, во-первых, флуктуации ф
в окрестности фог и, во-вторых, перескоки разности фаз на
2пп (п = 1, 2, 3 ...).
Назовём срывом синхронизма переход координаты ф из ок-
рестности ТОЧКИ фог В ОКреСТНОСТЬ ТОЧКИ ф- = ф02 — 2 л или
<р+ = фо2 + 2л. Выберем в качестве начального условия фикси-
рованное значение координаты
И^1(<р; /о) = 8(Ф-Фо2),	(6.99)
где 6 (ф — фог) —дельта-функция.
Реализацию случайного процесса ф (/), ни разу не коснув-
шуюся границы ф_ или ф+ в течение интервала времени от tQ
до /, будем описывать плотностью вероятности W\ (ф, /), удов-
летворяющей ур-нию (6.64) с начальными условиями (6.99) и
граничными условиями:
Wr (Ф_;	(ф+; Z) - 0.	(6.100)
Для каждой реализации время от tQ до срыва синхронизма,
т. е. время достижения ф одной из границ, ф_ или ф+, слу-
чайно.
Определим среднее время тср, за которое -величина ф дости-
гает одной из этих границ [96]:
оо ?+
TCP=J	t)dtd<p.	(6.101)
t'9	<р—
Интегрируя ур-ние (6.64) по t в пределах от /0 до 00, по-
лучаем
Wx (Ф; с«) - «7, (ф; /о) =	~ (QH - Qy cos Ф) vw (ф),
(6.102)
где vw (ф) = J (ф; /) dt.
О Эта часть параграфа написана совместно с Ю. Ф. Игнатовым.
219
Так как при t = оо все реализации ф(/) достигнут одной из
границ, то IFi (ср; оо) = 0. Тогда выражение (6.102) с учётом
условия (6.99) принимает вид
- о (q> - <р02) = к2	± (Йн - йу COS ф) vw (ф)	(6.103)
д <р2 d<f
с очевидными граничными условиями
»«,(<₽_) =^(Ф+)=0-	(6.104)
Интегрируя выражение (6Л03) по ф, получаем линейное диф-
ференциальное уравнение первого порядка, решение которого
при граничных условиях (6.104) имеет вид
Г ?
^(ф) = -Аехр
a2
cos x — Do) dx X
<p—
tp
X
cosy— D0)dy I, (6.105)

где	; h (х— <рОг)—единичная ступенчатая функ-
1 е 0
ция.
Среднее время тср определяется в соответствии с ф-лой (6.101)
выражением
Tcp = J l»w(<P) d(f-
<p—
Подставляя в это выражение У,Дф) из выражения (6.105) и
применяя разложение по ф-лам (6.76) и (6.77), после интегри-
рования получаем
(6.106)
тср2у = 2CiD sh 2к Do (1 — е2^°)
А^1 + Я(П0; D- ф02)’ X
X ^+B(D0; D; Ф02) +(Cx-l)DX
{2
- 4к*	+ .2/o(0)sh2nOa [/# (D) + в (Do. D. фо)]
Ыо	Do
- 8^ D0D (Сх - 1)V	V lk (I?) - 2 (Сх - 1) X
Do + *2
ХРЛ(Р0; D- ф02)зИ2тгО0Г^- + В(О0; D; Фо2)1, (6.107)
220
где
се
Ло (£>0; D; <р02)=2'V	(_ р0 cos / фо2 _]_ / s-n / ф
d2+i*
°?
В {Do, D-, <р02) = 2 X1 —(Do cos k ср02 + k sin k <p02).
Po + *2
Несмотря на внешнюю громоздкость ф-лы (6.107), вычисления
по ней оказываются несложными вследствие однотипности чле-
нов этой формулы и быстрой 'сходимости функций Бесселя.
На рис. 6.8 приведены зависимости относительного среднего
времени й^тСр до срыва синхронизма от начальной расстройки
Рис. 6.8. Зависимость относитель-
ного среднего времени до срыва
синхронизма от начальной расст-
ройки при D = 3
Рис. 6.9. Зависимость относительного
среднего времени до срыва синхро-
низма от параметров системы ФАПЧ
и шума
ун при двух значениях D. Из этого рисунка видно, что с увели-
чением начальной расстройки среднее время до срыва синхро-
низма резко снижается. При ун = 0(О0 = 0) из ф-лы (6.107)
имеем
2/ср = 4^Р/2(£>).	(6.108)
Для этого случая из рис. 6.9 представлена зависимость
£2y'tcp=f (D).
221
Перейдём теперь к определению верой шасти срыва синхро-
низма. Эта задача связана с решением нестационарного урав-
нения Фоккера—Планка (6.64).
При известном значении Wi(<p;/) вероятность P(t) того, что
величина ср впервые достигнет одной из границ ф_ или ср+ в мо-
мент времени t, определяется выражением
Р (t) = 1 — { ITi (ср; 0 d ф.
Представим решение ур-ния (6.64) в виде
ИМф; 0 = 2р„е <о) Ул(ф),
п=0
(6.109)
(6.110)
где Vn (ф) —собственные функции, удовлетворяющие уравне-
нию
К27Т-Г-(2н-2усоз^у« + х«г« = 0	(6-1п)
а<р2 ay
с граничными условиями
M<₽_)=V„(<P+) = 0.	(6.112)
Коэффициенты Тп определяются из начальные условий
Г1(ф;	=
(6.113)
где 1^н(ф) —произвольное начальное распределение разности
фаз.
Заменой переменной x = Vexp J. са- ^-.4/ф> можно све-
сти ур-ние (6.111) к дифференциальному уравнению Хилла,
решение которого позволяет в принципе найти собственные
функции Vn и собственные значения Кп, после чего с учётом вы-
ражений (6.110) и (6.113) можно определить Р (/). Однако та-
кой путь является сложным. Для практики важен случай малой
вероятности срыва сихнронизма. В этом случае можно найти
приближённое решение задачи.
Предположим, что начальное распределение совпадает с од-
ной из собственных функций, т. е.
(ф; Q = Гн (Ф) = const Vm (Ф),	(6.114)
222
причём выполняется условие нормировки
у 4-
f UM<p; /0)d<p= 1,	(6.115)
означающе, что в начальный момент времени система работает
в синхронном режиме. В этом случае на основании ф-лы (6.110)
(причём, если п^т Тп = 0), имеем:
(<р; t) = const е~Vm (ф).	(6.116)
Из этого выражения следует, что форма распределения по
Ф с течением времени не меняется.
Определим кт и Vm. По выражению (6.101) с учётом
(6.115) можно установить, что значение лт обратно среднему
времени тср, ® течение которого величина ф достигает одной из
границ ф_ или ф+, т. е. до срыва синхронизма.
Функция 7т(ф) удовлетворяет ур-нию (6.111) с граничными
условиями (6.L12).
При малой вероятности срыва синхронизма, когда
(6.И7)
координата ф пребывает, в основном, в окрестности точки ус-
тойчивого равновесия ф02. Поэтому за всё время наблюдения
\t — t — tQ плотность вероятности (ф; t) вне границ Ф02 ± я,
близка к нулю и, следовательно,
ИР1(Ф02-«) = Ги(ф + «) = 0.	(6.118)
С другой стороны, при выполнении условия (6.L17) тСр -» °°
а >0 и ур-ние (6.111) переходит в уравнение для определе-
ния стационарной плотности вероятности, которая удовлетво-
ряет граничным условиям (6.ГГ8). Таким образом, зависимость
(<р; t) от ф в этом случае совпадает с её стационарным
значением в интервале ф02 ± л и близка к нулю вне его.
Вероятность срыва синхронизма согласно выражению
(6.109) при выполнении условий (6.114), (6.115) и 6.116)
t-t,
= Тср .	(6.119)
Если выполняется условие (6.117), выражение (6.119) можно
заменить приближённым:
Р(/) = А£.	(6.120)
Тср
Здесь тСр определяется из выражения (6.107).
223
Из рассмотренного примера видно, что метод исследования
идеализированной системы ФАПЧ при помощи уравнения Фок-
кера—Планка достаточно трудоёмок и сложен. Трудности при-
менения его резко возрастают при исследовании системы
ФАПЧ, описываемой уравнением более высокого порядка. Так,
уже для системы второго порядка приходится иметь дело с дву-
мерным уравненеим Фоккера—Планка, решение которого в ана-
литическом виде до сих пор не получено. Для его отыскания
приходится прибегать к приближённым методам, например
к поиску решения <в виде ряда.
В работе [34] рассмотрено двумерное уравнение Фоккера—
Планка применительно к системе ФАПЧ с однозвенным интег-
рирующим RC фильтром.
Дифференциальное уравнение, описывающее систему ФАПЧ
с таким фильтром при случайном воздействии, можно получить
из ф-лы (6.51). Полагая К (р) =	—
и р фзг= 0, имеем
Р2 Ф + ~Р Ф + %-cos ф = фйн + тгУ [Л (/) cos ф + С (t) sin ф].
Т Т	Т иэг1
(6.121)
Этому дифференциальному уравнению в стационарном ре-
жиме соответствует следующее двумерное уравнение Фоккера—
Планка [34]:
d2lF2
д (р <р)2
д Г/ йн 1 Йу \ TV7 1 dW2 п
------ —----------Р ф — -2Lcos<P	— РФ'-----— = 0.
(6.122)
Здесь W2 = IF2 (рср; ф) —двумерная плотность вероятности
для ф и рф;
о
К2= f(^)%2r0(x)dT.	(6.123)
v \ эг/
—оо
Точное аналитическое решение ур-ния (6.122) можно полу-
чить только в частном случае при QH = 0 [34]:
-. /	1	1	Г (Р ?)2 «у •	1
^2 (ф; р ф) = у 2я К2т , Qy х ехР [— 2к2т + sin ч 
(6.124)
Из этой формулы непосредственно следует, что одномерная
функция распределения по ф имеет вид
<224
00
Гх(ф)= J Г1(ф; рф)б/(рф) =
—00
— <— sincp
en
2л, /0
(6.125)
Здесь, как и ранее, D = -£• .
^2
Сравнивая выражения (6.125) и (6.72),- замечаем, что при
уи = 0 форма функции распределения разности фаз в реальной
системе с RC фильтром <и в идеализированной системе одна и
та же.
Одномерная функция распределения производной разности
фаз имеет вид
«	г-------- _ (Р?)8
^(рф) = [г2(ф; рф)(/ф = У е 2™' ’ (6,126)
—тс
т. е. разность частот распределена «нормально с дисперсией
= ТК2. Воюлользовавшись (6.123), имеем
оо
ai = v(^-y f'oC)‘K (6.127)
1 \иэг / J
Отсюда следует, что дисперсия разности частот обратно
пропорциональна «постоянной времени RC фильтра.
Поскольку распределение разности частот [ф-ла (6.126)] сим-
метрично относительно рф = 0, то, как и в (идеализированной си-
стеме, при ун = 0 рф = О. Если ун ¥= 0, то, как указывалось, ре-
шение (В общем виде ур-ния (6.122) получить нельзя. В работе
[34] приведено приближённое решение этого уравнения, получен-
ное разложением точного решения в ряд.
Рассмотрим теперь статистические свойства системы ФАПЧ
с пропорционально-интегрирующим фильтром.
Подставляя в дифференциальное ур-ние (6.51) системы, на-
ходящейся под действием аддитивного шума, значение К (р)
из ф-лы (3.14) и полагая фЭг = 0, получаем уравнение
р ф + т Qy cos ф = QH + т N2 (0-cos (0].
(6.128)
где, как и ранее,
А2 (0 = [Л (0 cos ф + С (0 sin ф].
15—793
225
Введя обозначение
= 2И-----[Qy cos Ф - N, (/)],
1 Ч" ip
можно представить ур-ние (6.L28) в виде системы двух диффе-
ренциальных уравнений первого порядка:
р ф + т Йу cos ф = Йх + mN2 (/),	(6.129)
Тр Qx +	= Йн — (1 — m) Йу cos ф + (1 — т) N2 (t). (6.130)
Если время корреляции воздействующего шума значительно
меньше постоянной времени системы ^ткорр ~~~ ; ткорр >
то при анализе можно применить аппарат марковских процес-
сов. В этом случае плотность вероятности IF2 (ф; £2Х) удовлет-
воряет двумерному уравнению Фоккера—Планка [96]:
дх[дхь
k
о
Jk[Fz;
—00
(6.131)
где /; fe=l; 2 и для данного случая Л = йж —тйу соэф +
+ mN2(t); F2 = y-[QH —Йх~ (1—w) йусозф + (1 — tn)
x-iHXfr—независимые координаты системы;
L дхк
Fk.
1^1 F -
J дхк kx
F
dxk kx-	_
В ур-нии (6.131) при вычислении Гг и подынтегральных кор-
реляционных функций К аргументы ф и йж следует считать
фиксированными. Окончательно получим
«1 =	_ ± Л - т a, c„s т) IV, +	-
dt,	у	Т2 д&х
-Т Д 1а-~&-(1~",)Цго5ф1'|7г+ 2т('т7,"^-  (6-132)
где
о
-—ОФ
226
Стационарная плотность вероятности W2 (ф, Qx) удовлетво-
ряет уравнению
COS(p)r2 + -^—
д<?2 д?	.	Т2	5q2
[Йн — С — m)^ycoscp]r2 +
2m(l-m)K2 d2W^ = Q
Т	dQх д у
(6.133)
При m ~ 0 это уравнение переходит в ур-ние (6.122) для
системы ФАПЧ с интегрирующим фильтром.
Аналитическое решение ур-ния (6.133) в общем случае
найти не удаётся. Поэтому ограничимся анализом его при час-
тном соотношении параметров системы, применяемом на
практике:
1.	(6.134)
Уравнение (6.129) можно интерпретировать как уравнение
идеализированной системы ФАПЧ при квазистатическом харак-
тере изменения начальной расстройки Qx. Действительно, при вы-
полнении неравенства (6.134) ф(^) меняется гораздо быстрее, чем
Йх(/), так что при каждом значении (будет успевать устанав-
ливаться квазистационарное распределение разности фаз
W(ф/Qx) ♦ Для его нахождения воспользуемся уравнением Фок-
кера—Планка, соответствующим стохастическому ур-нию
(6.1'29):
т^2
Э ср2
----— (Sx — т 2у cos ф) W (ф/2 ) = 0.
д
(6.135)
Решение этого уравнения при условии периодичности плот-
ности вероятности и её нормировки на каждом периоде имеет
вид выражения (6.71) или (6.78). В данном случае
£>о = —— Найдём плотность распределения разно-
сти фаз:
ОО
Ц7х(ф)= J W(^IQx}W(Qx)dQx.
—оо
(6.136)
Для определения У^Дф) необходимо знать плотность рас-
пределения 1F(QX).
15*	'	227
Представим двумерную плотность вероятности И72(ф; $>2Я)
в виде [79]:
Fa(<p; ЙЛ) = «7(Ф/ЙХ)Г(ПЯ).	. (6.137)
Интегрируя ур-ние (6.133) по ф в пределах от —л до +л
и учитывая выражение (6.135), получаем
m)2 /<2 W (Qx) f W (ф/Q )d <р+ 2fft(1~w) д	у
d йх ' х' J v х’ т т	dQx
f dW (y/QJ л Id
J d<p Ф Т dQx
—тс
j 2У cos <р W (y/Qx)d q>
•—К
(6.138)
В этом выражении первый интеграл по условию нормировки
плотности вероятности W (ф/йх) равен единице, второй — нулю
как интеграл от производной периодической функции. Осталь-
ные интегралы определяются выражениями:
Ф (2х) = f (2х — /П 2у sin ф) F (ф/2х) d cp=Qx	I /iD»(D)|-2 ,
(6.139)
2у5шфи7(ф/йх)йф= 1-[2х-ф(2ж)].	(6.140)
пг
Подставив эти значения в ур-ние (6.138), получим
d*W(Qr) 1 d
	----------— [m 2Н - + (1 - m) ф MWW - 0<
71-----------------d®x m d&x
(6.141)
Точное решение этого уравнения затруднительно ввиду
сложной зависимости ф(£2х) от параметров системы и характе-
ристик шума (рис. 6.7).
Применяя численные или графические методы решения в
каждом конкретном случае, можно найти IF (Qx) и, выполняя
интегрирование в ф-ле (6.136), определить ^(ф). Однако при
этом вычисления получаются громоздкими. В частном случае
больших шумов (D* —>0; D -> 0) можно найти решение ур-ния
(6.141) в асимптотическом приближении, считая ф(Йх) = Qx:
т
(1
(&R — x)dx .	(6.142)
IFm^Gexp
228
Постоянная Ci (или С2) выбирается из условия нормировки
плотности вероятности:
со
J W(Qx)dQx = 1.
—оо
В результате получаем
(6.143)
Это выражение показывает, что Qx распределяется по нор-
мальному закону, имея среднее значение Qx = QH и дисперсию
(6.144)
Выражение (6.144) даёт возможность найти наибольшее
значение . Следовательно, для произвольного Z), если вы-
полняется условие
(6.145}
при определении И7(ф) по ф-ле (6.136) можно воспользоваться
-приближённым равенством
W (ф) = W (Ф/2J - W (ФД,).	(6.146>
Из этого равенства следует, что при достаточно малых флук-
туациях Qx среднее значение П7(ф/Йх) по всем реализациям Qx
совпадает с функцией среднего значения Qx. Таким образом,
если известно Qx, функция (ф) определена. Статистически
усредняя обе части_ ур-ния (6.130) и учитывая, что в стацио-
нарном режиме (pQx = 0), получаем
= 2Н — (1 —т) Йу sirup.	(6.147)
По общим правилам [79] с учётом равенства (6.146) нахо-
дим
= J [2а — (1 — m)2ysin<p]H7 (<p/S2x )d<p.	(6.148)
—тс
Воспользовавшись выражением (6.139), получаем
^1У'ЙН- = И^)-	(6.149)
Так как зависимость Qx от ун известна, это уравнение легко
решается графически.
229
На рис. 6.10 представлена зависимость от параметров си-
стемы и характеристик шума. При увеличении отношения сиг-
нал/шум (т. е. при увеличении параметра D) величина
стремится к mQH. При известном значении плотность вероят-
ности разности фаз определяется выражением (6.71) или
(6.78), где
л _	л = у
(6.150)
Таким образом, система ФАПЧ с пропорционально-интегри-
рующим фильтром при выполнении условия (6.134) статистике-
Рис. 6.10. Зависимость от параметров
системы и шума
ски эквивалентна идеали-
зированной системе с па-
раметрами, определяемы-
ми из ф-л (6.150). Поэто-
му при нахождении её ста-
тистических характери-
стик можно использовать
полученные ранее выра-
жения для среднего зна-
чения и дисперсии разно-
сти фаз (6.82) и (6.84),
а также для средней раз-
ности частот (6.90).
С целью определения
нестационарных характе-
ристик системы ФАПЧ с
протюрционально-'интегри-
рующим фильтром, в ко-
торой выполняется нера-
венство (6.134), восполь-
зуемся уравнением Фок-
кера—Планка, соответствующим ур-нию (6.129):
(й — m2ycos<p)U7(<p/2x)=	. (6.151)
д <р2	д т	dt
Используя условие малости флуктуаций AQX относительно
среднего значения Qx [ф-ла (6.144)], можно пренебречь в разло-
жении Тейлора для W (<p/Qx + Л Qx) членами второго порядка
и выше. Тогда статистически усредняя обе части выражения
(6.151), получаем уравнение Фоккера—Планка для плотности
вероятности разности фаз подстраиваемого и эталонного генера-
торов
т*К2	_ JL (<20 _ т 2 cos ф) w (ф) =	. (6.152)
д т2 д т	dt
OQA
Уравнение (6.15*2) по структуре совпадает с уравнением
Фоккера—Планка (6.64) для идеализированной системы ФАПЧ
с полосой mfiy и начальной расстройкой Связь Qx с пара-
метрами системы и характеристиками шума определяется вы-
ражением (6.149).
Таким образом, среднее время до срыва синхронизма и ве-
роятность этого срыва в системе ФАПЧ с пропорционально-ин-
тегрирующим фильтром при mTQy^> 1 можно найти из выра-
жений (6.107) и (6.119). При этом параметры DQ и D опреде-
ляются согласно ф-ле (6.150).
В заключение этого раздела заметим, что применение урав-
нения Фоккера—Планка при изучении процессов в системе
ФАПЧ, находящейся под действием сильных широкополосных
флуктуаций, эффективно, ибо оно позволяет найти функции
распределения. Однако ввиду сложности этого уравнения его
практическое использование пока ограничено простейшими систе-
мами первого и второго порядка.
В большинстве практических случаев оказывается достаточ-
ным знать не закон распределения, а лишь некоторые его ха-
рактеристики (первый и второй моменты). Это положение обу-
словило разработку более простых теоретико-вероятностных ме-
тодов исследований нелинейных систем, находящихся под слу-
чайным воздействием. Одним из эффективных приближённых
методов является метод статистической линеаризации [95].
§ 6.5. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ФАПЧ, НАХОДЯЩЕЙСЯ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ,
МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Сущность метода статистической линеаризации составляет
замена нелинейных функций такими линейными, которые ста-
тистически равноценны исходным нелинейным. Эта замена даёт
возможность перейти от существенно-нелинейных дифференци-
альных уравнений к эквивалентным в вероятностном отношении
линейным. Задавать условие равноценности можно различными
способами.
Если рассматривать первые два момента распределения, то
в качестве условия равноценности можно принять равенство
этих моментов при нелинейных и линейных функциях и при за-
данном законе распределения аргумента.
Пусть некоторая случайная величина y(t) связана со случай-
ной величиной х(1) нелинейной зависимостью таким образом,
что
У=Р(х).	(6.153)
231
В дальнейшем будем предполагать, что 'функция F и её
квадрат интегрируемы. Заменим функцию F(x) такой линейной
зависимостью, чтобы среднее значение выходной величины и её
дисперсия были равны среднему значению и дисперсии величи-
ны у.
Представим x(t) как сумму его среднего значения, т. е. тХу
и случайного отклонения Ах:
х~тх+&х.	(6.154)
Будем полагать, что приближённое значение у
ynp^komx+ ki^x.	(6.155)
Теперь задача сводится к отысканию статистических коэф-
фициентов передачи kQ и k\ нелинейного элемента по среднему
значению тх и случайному отклонению Ах. Эти коэффициенты
должны выбираться так, чтобы выполнялись условия статисти-
ческой эквивалентности.
Для сохранения среднего значения -и дисперсии у при пере-
ходе от у к z/np коэффициенты ko и ki должны определяться из
выражений:
оо
ku = — f F(тх + ^x)W1(^x)dAx,	(6.156)
[тх J
ki= — T F2 (mx + A x) W]_ (Д x) d A x —(komx)2 2 , (6.157)
где Wx(\x) — одномерная плотность вероятности величины Ах,
а — ’среднеквадратичное отклонение.
Другое определение статистической эквивалентности этих
функций можно получить, если исходить из требования миниму-
ма математического ожидания квадрата разности между истин-
ной функцией и аппроксимирующей:
м (у — z/пр)2 = min.	(6.158)
Это условие, как показано в [95], обеспечивает лучшее сов-
падение корреляционных функций величин у и z/np. Согласно это-
му условию, коэффициент £0 находится из того же выражения,
что и при первом способе определения эквивалентности функ-
ций, а коэффициент ki
у* — —
1- л
оо
j F (тх + Д х) Д xIFi (Д х) d Д х.
(6.159)
—оо
Заметим, что во многих случаях коэффициенты kt и k*lt оп-
ределённые из ф-л (6.159) и (6.157), оказываются довольно
232
близкими друг другу. Поэтому иногда в качестве k\ принимают
среднее арифметическое между этими его значениями.
Формулы (6.Г56), (6.157) и (6.159) показывают, что коэф-
фициенты £0 и k\ зависят не только от самой нелинейной функ-
ции F(x), но и от закона распределения 'случайной величи-
ны Ах. В тех случаях, когда Дх определяется из нелинейного
дифференциального уравнения, закон его распределения обычно
неизвестен. Поэтому точное определение коэффициентов kQ и k\
оказывается невозможным. В таких случаях закон распределе-
ния величины Дх аппроксимируют тем или иным способом.
Большинство практически встречающихся законов распреде-
ления можно .представить в виде ортонормированного разложе-
ния в ряд, основанный на нормальном законе распределения
Дх2	9 2
---X*	00
^(Дх) = -Д—е +У V4(4x)-5—— . (6.160)
у 2л сх	У2л
Здесь Ни(Дх) —1ПЮЛИНОМ Чебышева—Эрмита:
Дх2
1 7	2°2
Я (Дх)_®—, п = 1; 2; 3 . . . п.
rt! Joo	/2л
Коэффициенты Ьп ряда (6.160) быстро убывают [97] с рос-
том п, поэтому для приближённых вычислений можно сохранять
только один-два первых члена этого ряда.
Заметим, что аппроксимация закона распределения искомой
величины нормальным законом применительно к ФАПЧ имеет
физическое обоснование. Обычно в системе ФАПЧ после сущест-
венно нелинейного элемента — фазового детектора — вклю’
чается узкополосный фильтр нижних частот, который преобра-
зует закон распределения выходного напряжения фазового де-
тектора, приближая его к нормальному. Поэтому и искомая
величина (разность фаз подстраиваемого и эталонного генера-
торов) также имеет распределение, близкое к нормальному.
В действительности же, конечно, разность фаз, как было по-
казано в предыдущем параграфе, имеет распределение, отличное
от нормального, которое переходит в нормальное только при
ун==0 и при малой дисперсии разности фаз (Do = OnD>3). Од-
нако даже в идеализированной системе [К(р) = 1] действитель-
ный закон распределения разности фаз остаётся достаточно
•близким к нормальному. Отличие, в основном, состоит в неко-
торой асимметрии скатов (рис. 6.3, 6.4, 6.5) и, как видно из этих
рисунков, получается небольшим и при но при П>3.
В реальной системе, имеющей узкополосный фильтр нижних
частот, .закон распределения разности фаз, очевидно, должен
233
'быть ещё более близким к нормальному для тех же значений
D и Dq-
Из ф-лы (6.62) следует, что для идеализированной системы
ФАПЧ коэффициент К2, определяющий величину D,
С l ч j йуа22л
^2=-^	k(x)dz=^--.	(6.161)
иэг J	иЭГи
Здесь величина n=QnAf обратна интервалу корреляции
входного шума.
Восп1ользов1ав1шись выражением (6.161), выразим величи-
ну D через соотношение сигнал/шум на входе системы ФАПЧ
(после линейного устройства):
D = 2_£у = Пи2эг 2Пз2
А'2 Qya2n JtQy
Отсюда следует, что закон распределения разности фаз в
идеализированной системе ФАПЧ при немодулированном эта-
лонном сигнале мало отличается от нормального, если
(6.163)
Таким образом, при вычислении коэффициентов статистиче-
ской линеаризации будем считать, что закон распределения от-
клонений разности фаз подстраиваемого и эталонного генера-
торов от её среднего значения нормальный:

1	2а2
/2л % е
(6.164)
Здесь <ps — случайное отклонение разности фаз от среднего
значения. Подставляя выражение (6.164) в ф-лы (6.156), (6.157)
и (6.158) и выполняя интегрирование [77], имеем:
I -0,5з
Ь --------- е ? COS т
° ?
f I	—2а2\	(	—а2\
— У 0,5 U — e J—	е J,
k*. = Isinm I е-0,5’? •
* I ?!
(6.165)
(6.166)
(6.167)
Для сравнения интересно вычислить, например, коэффици-
ент k0 не при нормальном законе распределения ф8, а при
W\ (<ps), найденной из ф-лы (6.72). Подставляя ф-лу (6.72) в
234
(6.156), после интегрирования получаем
£ = —cosm	(6.168)
0	* /0 (D)	v 7
На рис. 6.11 графически представлены зависимости
mt	т ko
— т = f и =f(D) для идеализированной системы
Шу	cos
ФАПЧ, построенные согласно ф-лам (6.165) и (6.166) при
1 (кривая 7) и (6.1'168) (кривая 2). Этот рисунок нагляд-
но показывает близость kQ и .при D>1. Аналогичный резуль-
тат получен <в [98].
СКОИ
г, вычисленных при различных
законах распределения
Коэффициенты kQ и kx полностью определяют вид эквива-
лентной линеаризации.
Применительно к системе ФАПЧ нелинейная функция
F(x)=coscp. Подставляя в ур-ние (6.51) её приближённое зна-
чение из ф-лы (6.155) и считая /Дрэг =0, имеем
Р Чз + К m к т + к <р5 + е (0	1 =ЙЯ.
L *	иэгJ
Напомним, что
В (/) = A (t) cos q> + С (t) sin ф.
(6.169)
Как и ранее, предположим, что функции A(t) и C(t) быстрые
по сравнению с ф5(0- Это позволит считать A(t) и C(t) некор-
релированными с ф5 и производить раздельное усреднение. При
этом %(t) имеет нулевое среднее значение [A(t) ^=C(t) =0] и дис-
персию, равную дисперсии A(t) и C(t), а следовательно, и дис-
персии входного шума	Кроме того, поскольку ф8(/) ме-
няется медленно по сравнению с A(t) и C(t), то корреляцион-
ные функции (энергетические спектры) A(t) и C(t) совпадают
235
с корреляционной функцией (энергетическим спектром) процес-
са
Для определения установившегося среднего значения разно-
сти фаз, т. е. т и его дисперсии ур-ние (6.169) можно
разбить <на два уравнения [95]:
Р 4S + k (р) Qy L <р5 + В (/)1 = 0.
L иэг J
(6.170)
(6.171)
Подставляя в ф-лу (6.170) значение kQ из ф-лы (6.165), имеем
cos/Пр = Тне°’5^ .	(6.172)
Из этого выражения следует, что среднее значение разности
фаз эталонного и подстраиваемого генераторов не определяется
только начальной расстройкой, как это имело место при линей-
ном анализе, а зависит ещё и от дисперсии разности фаз, кото-
рая при прочих равных условиях определяется соотношением
•сигнал/шум на входе. С уменьшением соотношения среднее
значение (разности фаз увеличивается.
Влияние шума на остаточную разность фаз можно тракто-
вать как снижение под действием шумов полосы удержания.
Дисперсию разности фаз в установившемся режиме находим по
известным правилам
оо
в* = 2Т J	<6-173>
—сю
Здесь Зшпг — спектральная плотность девиации частоты
подстраиваемого генератора в разомкнутой системы ФАПЧ, вы-
званная действием шума; 1Г4э (1 (д) — комплексная передаточ-
ная функция системы ФАПЧ для шума.
Под Ц74э (i о)) по аналогии с линейной системой ФАПЧ бу-
дем понимать отношение девиации фазы подстраиваемого гене-
ратора в замкнутой системе ФАПЧ к девиации частоты, кото-
рая получается в разомкнутой системе ФАПЧ. Из ур-ния
(6.171) имеем
Т(3
Wt9(p) =----с-— ,	(6.174)
где
Будем для простоты считать, что спектральная плотность шу-
ма на входе системы ФАПЧ равномерна и симметрична отно-
сительно соэг в пределах полосы П. Энергетический спектр про-
236
цесса g(7) также равномерен в полосе 04-0,5 П, а величина
определяется из равенства
эх Руэ Uj-jp
(6.175)
Если подставить 5шПГ (to) из этого выражения в ф-лу (6.173),
то можно при заданном К(р) найти зависимость дисперсии от
параметров системы и шума. Поскольку 1^4э(Л) зависит от
которая является функцией т^, а следовательно, и функцией
искомой величины оф2? одно ур-ние (6.173) не позволяет вычис-
лить последнюю. Для её определения -необходимо совместно
решать ур-ния (6.172) и (6.173), что в общем виде сделать
невозможно, и поэтому приходится прибегать к численным
методам.
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть в системе ФАПЧ используется идеализированный
фильтр (К(р) = Г).
Подставляя значения К(р) в ф-лу (6.174), а полученное
значение IF49(i(p) в ф-лу (6.173), с учётом выражений (6.175) и
(6.162) имеем
л	1
°? = Ж" ’
(6.176)
При выводе ф-лы (6.176) использовано равенство
— ^уэ^ПГ
Из ф-лы (6.476) следует, что k\ зависит от и поэтому за-
висимость о^2 от Si является нелинейной, в отличие от анало-
гичной зависимости, полученной в линейном приближении.
На рис. 6.12 приведены для примера зависимости от — ’
построенные при ун = 0 численным методом при помощи выраже-
ний (6.166) и (6.176) (кривая 3), а также (6.167) и (6.176)
(кривая 2). Для сравнения на этом же рисунке представлена
аналогичная зависимость (кривая 1), построенная по ф-ле
(6.85), полученной -при помощи уравнения Фоккера—Планка.
Сопоставление кривых 2 и 3 с точной зависимостью 1 даёт воз-
можность установить предел применимости метода статистиче-
ской линеаризации, зависящий от требуемой точности. Из этого
же графика видно, что критерий равенства дисперсий при оп-
ределении kx (кривая 3) да.ёт более точный результат.
237
Метод статистической линеаризации позволяет определить
первые два момента распределения и в том случае, когда на
вход системы ФАПЧ действует не аддитивный шум, а фазо-мо-
Рис. 6.12. Сравнение величин о % как
функций параметров системы и шу-
ма, найденных различными методами
оо
— оо
дулированный случайным сооб-
щением эталонный сигнал. При
этом нс требуется накладывать
каких-либо ограничений на ха-
рактеристики случайной функ-
ции, модулирующей эталонный
сигнал.
Если предположить, что
функция распределения моду-
лирующего сигнала нормальна,
то можно считать, что и раз-
ность фаз эталонного и под-
страиваемого генераторов име-
ет также нормальное распре-
деление. Тогда статистические
коэффициенты £0 и k{ опреде-
ляются теми же ф-лами (6.165),
(6.166) и (6.167).
Зная коэффициенты kQ и
можно найти дисперсию раз-
ности фаз из выражения
(6.177)
Здесь Sc (со) — спектральная плотность девиации фазы
эталонного сигнала, определяемая полезной модуляцией;
Wl3r (М —------------- — передаточная функция системы
1 Ч-----—
ФАПЧ для случайной составляющей фазы эталонного сигнала.
Последняя вводится по аналогии с функцией Wi (i<p) для ли-
нейной системы ФАПЧ.
Так же, кап и при действии флуктуационных шумов на си-
стему ФАПЧ, для вычисления дисперсии разности фаз в этом
случае необходимо 'подставить в ф-лу (6.177) конкретные вы-
ражения для ^1эг(1ф) и проинтегрировать её, а затем решить
полученное уравнение совместно с выражениями, определяю-
щими k0 и k[. Однако в большинстве случаев эти операции не-
выполнимы аналитически, и поэтому приходится .прибегать к
численному решению уравнения.
238
§ 6.6. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ФАПЧ,
НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД СЛУЧАЙНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ,
КВАЗИСТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Как указывалось, исследование системы ФАПЧ при помощи
аппарата марковских процессов ограничивалось требованием
широкополосности флуктуационного (воздействия.
В некоторых случаях имеет место узкополосное воздействие,
время корреляции которого значительно больше времени уста-
новления процесса в системе ФАПЧ. При этом можно исполь-
зовать другой приближённый метод, называющийся квазиста-
тическим.
Особенностью такого метода является предположение о том,
что при каждом значении случайной внешней силы в исследуе-
мой системе устанавливается соответствующее ему квазиста-
ционарное значение искомой величины. Это даёт возможность в
основном дифференциальном уравнении считать все её произ-
водные по времени милыми и пренебрегать ими.
Проведём с помощью этого метода анализ системы ФАПЧ,
находящейся под действием эталонного сигнала с медленно ме-
няющейся фазой. Такой случай соответствует применению систе-
мы ФАПЧ для слежения за фазой эталонного сигнала или в
качестве фазового детектора.
Полагая в ф-ле (6.51) А(7) =-0(7) =0, а также рф = р2ф~
... = рпф=О, получаем следующее уравнение для разности фаз:
cos<p = 7H —-Г-рсрэг.	(6.178)
Заметим, что это уравнение имеет смысл только при
|тн--^РФЭгк1-	(6.179)
В противном случае в системе ФАПЧ происходит срыв син-
хронизма, устанавливается режим биений. В этом случае при
анализе пренебрегать величинами рср; /Ар,..., рпф недопустимо.
Поскольку статистические характеристики рфэг считаются
известными, нетрудно найти ограничения для максимально до-
пустимого мгновенного значения Рфэг , при которых условие
существования ур-ния (6.178) выполняется с заданной вероят-
ностью.
Предположим, что закон распределения величины рфэг, нор-
мальный. Тогда, если принять, что неравенство (6.179) должно
выполняться с вероятностью 0,9, то среднеквадратичное откло-
239
нение величины рф должно удовлетворять соотноше1н1ию
(6.180)
Из выражения (6.178) видно, что при известном законе рас-
пределения величины Рфэг для отыскания статистических ха-
рактеристик разности фаз достаточно применить обычные мето-
ды теории безынерционных нелинейных преобразований.
Известно [79], что если имеется некоторое нелинейное одно- 
значное и непрерывное безынерционное преобразование случай-
ной величины х
У = Р(х),
то для отыскания функции распределения случайной величи-
ны у по известной функции распределения случайного аргумен-
та, т. е. W (х), можно воспользоваться формулой:
(х)
=	(6.181)
I dx I
Это выражение справедливо в том случае, если обратное
преобразование x=f(y) также однозначное.
В данном случае прямое преобразование имеет вид:
Ф = arc cos (Тн — тг Р Фэг) •	(6.182)
\	ййу	]
Обратное преобразование выражается равенством (6.178).
При выполнении условия (6.180) и прямое, и обратное пре-
образования являются однозначными.
Подставляя в ф-лу (6.181) вместо W\(x) нормальный закон
распределения величины рфзг с нулевым средним значением и
вычисляя • из выражения (6.182), а затем заменяя рфзг в
соответствии с равенством (6.178), имеем:
( TH-cos y)2g*y
О е
^х(ф) = Rye—=— /Sin ф|.	(6.183)
Это выражение показывает, что, как и следовало ожидать,
при нормальном законе распределения отклонений частоты эта-
лонного сигнала закон распределения разности фаз не нор
мальный и не симметричный. Распределение ф становится сим-
метричным только в частном случае при ун~0,
240
На рис. 6.13 показано семейство кривых (q>), построенное
но (выражению (6.1'83) для нескольких значений ун и °><рэг- Из
этих рисунко(В видно, что максимум плотности вероятности по-
лучается при (р
а)
10
о,д
0.6
м
0.2
= arc cosyH.
Рис. 6.13. Семейство функций распределения W7! ($),
полученное квазистатическим методом
По известной функции распределения можно при заданных
а^эг и Yh два пеРвых момента, т. е. среднее значение раз-
ности фаз и её дисперсию. Однако в аналитической форме в об-
щем случае сделать это не удаётся, поэтому задачу можно ре-
шить лишь численно.
Заметим, что, поскольку закон распределения разности фаз
несимметричен, среднее значение <р зависит от 0р?эг и не совпа-
дает при модулированном эталонном сигнале со стационарным
значением разности фаз.
16—793	241
Глава 7
Астатическая
система ФАПЧ
§ 7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В обычной системе ФАПЧ подстраиваемый генератор управ-
ляется разностью фаз между его (напряжением и напряжением
эталонного сигнала. В режиме удержания устанавливается не-
которое значение этой разности, определяемое начальной рас-
стройкой согласно ф-ле (2.14), которую в более общем виде
можно записать следующим 0‘бразом:
F№=*-.	(7.1)
Ьйу
Во многих случаях требуется не только синхронность, но и
синфазность напряжений подстраиваемого и эталонного сигна-
лов (например, в системе цветного телевидения, при восстанов-
лении несущей для беспорогового приёма ЧМ сигналов, при
фазовом разделении каналов в фазометрических системах
и т. п.), в связи с чем точность подстройки, даваемая обычной
системой ФАПЧ, оказывается недостаточной.
В обычной системе ФАПЧ синфазность напряжений под-
страиваемого генератора и эталонного сигнала может быть до-
стигнута только при постоянной начальной расстройке. Дейст-
вительно, если начальная расстройка, полоса удержания, а сле-
довательно, и разность фаз обоих генераторов постоянны, то
всегда можно найти такой фазовращатель, пропустив через ко-
торый сигнал подстраиваемого генератора, можно получить на-
пряжение, синфазное с эталонным.
Разность фаз в обычной системе ФАПЧ непостоянна уже в
силу собственной нестабильности подстраиваемого генератора.
Тем не менее в самой системе имеются возможности повышения
её стабильности.
242
Согласно ф-ле (7.1) установившаяся разность фаз является
функцией двух переменных Qy и QH, и её малое приращение при
изменениях этих переменных
Qv д QH QH д Qy
d = rff(y02) — •	(7-2)
d ?02	У
Из этого выражения следует, что при заданном диапазоне
изменений величин Qy и QH для стабилизации установившейся
разности фаз необходимо увеличивать полосу удержания и кру-
тизну нормированной характеристики фазового детектора. Наи-
меньшее изменение разности фаз будет при трапециевидной ха-
рактеристике фазового детектора, близкой к прямоугольной, и
большой полосе удержания. Однако увеличение крутизны ха-
рактеристики фазового детектора и полосы удержания возмож-
но только до определённого предела, так как, во-первых, в
системе может быть нарушено условие устойчивости в «малом»
режима [например, ф-лы (3.20), (3.24)] и, во-вторых, с увели-
чением полосы удержания и крутизны нормированной характе-
ристики фазового детектора уменьшается фильтрующая спо-
собность системы ФАПЧ согласно выражению (5.15). Поэтому,
если заданы жесткие требования на отклонение установившей-
ся разности фаз от номинального значения, обычная система
ФАПЧ не всегда может их удовлетворить. В таких случаях при-
меняют, так называемые астатические системы, у которых нет
ошибки по разности фаз.
В теории автоматического управления принято делить систе-
мы авторегулирования на статические и астатические. В стати-
ческих системах при воздействии, стремящемся с течением вре-
мени к произвольному постоянному значению, ошибка также
•стремится к постоянной, зависящей от величины воздействия.
В астатических же системах при таком воздействии ошибка с
течением времени стремится к нулю.
Одна и та же система может быть статической по одному
параметру и астатической -по другому. Так, обычная система
ФАПЧ является астатической системой подстройки частоты,
ибо установившаяся разность частот эталонного и подстраивае-
мого генераторов в режиме удержания всегда равна нулю. Если
же рассматривать её как систему автоматической подстройки
фазы, то она является статической, поскольку установившаяся
разность фаз этих генераторов зависит от Qy, QH.
Для того чтобы разность фаз в установившемся режиме не
зависела от указанных величин, необходимо сделать обычную
систему ФАПЧ астатической по отношению к разности фаз при
изменении разности частот, полосы удержания и крутизны ха-
рактеристики фазового детектора. Указанный астатизм в систе-
ме ФАПЧ достигается, если операторный коэффициент переда-
16*	243
чи фильтра нижних частот для 'постоянного напряжения в цепи
управления бесконечно большой, т. е. имеет полюс при р = 0.
В простейшем случае коэффициент передачи этого фильтра
должен определяться выражением
К(р) = аот +	(7.3)
/ и Р
Тп —постоянная времени идеального интегратора,
—коэффициент передачи фильтра при со—>со.
Включение такого четырёхполюсника в цепь обратной связи
позволяет сделать установившуюся разность фаз в системе по-
стоянной и не зависящей от начальной расстройки или каких-
либо других факторов. Действительно, подставляя значение
К(р) в выражение (3.10), имеем:
РФ+	-QyF(4>)=QH.	(7.4)
Из этого выражения непосредственно следует, что в устано-
вившемся режиме (р = 0)
f(<Po2) - 0	(7.5)
и, следовательно, установившаяся разность фаз не зависит ни
от начальной расстройки, ни от полосы удержания.
Блок-схема подобной систе-
мы ФАПЧ приведена на
рис. 7.1. Она отличается от
обычной системы ФАПЧ тем,
что цепь управления в ней со-
стоит из двух параллельных
ветвей, одна из которых пред-
ставляет собой линейный безы-
нерционный усилитель БУ с
коэффициентом передачи а»»
--—РП----
Рис. 7.1. Блок-схема астатической си-
стемы ФАПЧ
а вторая — идеальный интегратор ИИ. Выходные напряжения
обеих ветвей складываются в сумматоре С.
Перейдём к определению характеристик этой системы, счи-
тая, как обычно, что характеристика управляющего элемента
линейна, а все остальные звенья петли обратной связи безынер-
ционны.
§ 7.2.	АСТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФАПЧ
С ИДЕАЛЬНЫМ ИНТЕГРАТОРОМ
Прежде всего, определим условия устойчивости астатиче-
ской системы, описываемой ур-нием (7.4).
Линеаризуя это уравнение и применяя .к полученному ли-
нейному уравнению критерий устойчивости Рауса—Гурвица по-
244
лобно тому, как это было сделано в § 4.3, находим следующие
условия устойчивости в малом:
(7.6)
йу^(<Р02)>0.	(7.7)
Система будет устойчивой в «малом» только при > О, и
тогда второе условие вытекает из первого. Оба условия пока-
зывают, что астатическая система не теряет устойчивости при
увеличении полосы удержания.
Следует отметить, что при F(cp)=cos<p и Qy>0 согласно
ф-лам (7.5), (7.6) и (7.7) в установившемся режиме <po2=i—
независимо от QH-
Перейдём теперь к определению асимптотической устойчиво-
сти в «большом» астатической системы ФАПЧ. Для этого удоб-
но воспользоваться вторым методом Ляпунова. В § 4.3 указыва-
лось, что непосредственно исследовать этим методом устойчи-
вость обычной системы ФАПЧ, обладающей бесчисленным мно-
жеством состояний 'равновесия, невозможно, и поэтому прихо-
дится прибегать к периодическим и разрывным функциям Ля-
пунова.	*
При исследовании же астатической системы ФАПЧ удобно
воспользоваться периодическими функциями Ляпунова, посколь-
ку в данном случае их построение не встречает больших затруд-
нений.
В дальнейшем воспользуемся результатами работы [54].
Будем считать, что F(<p)==cos(p, тогда ур-ние (7.4) можно
представить в виде системы двух уравнений первого порядка:
ТирФ = — ТиамЙусо5ф —х+Тийи,	(7.8)
рх = Qy cos <р,	(7.9)
здесь х — независимая переменная.
Для удобства перейдём от дифференцирования по i к диффе-
ренцированию по безразмерному времени ту = Юу. Тогда полу-
чим:
Ф' = — «ooC0S<P — тАН* — ТА)-	(7.10)
/ и Му
х’ = cos ф.	(7.11)
В соответствии с [54] выберем в качестве периодической
функции Ляпунова функцию вида
V= 2cos2--------)+ —J— р2,	(7.12)
\ 2	4 ) 2ГИ йу	'
где у = х—Тийн,
245
Для 'Определения условий устойчивости в «большом» астати-
ческой системы необходимо вычислить производную функции V
по времени, считая, что ср и у образуют решение системы ур-ний
(7.10) и (7.11):
JL +	.	(7 13)
dxy ду d'ty ду dту	V ’	/
Из выражения (7.12) имеем:
dv . / л \	. лч
—— = — sin ср------= cos ср,	(7.14)
д<?	\	2 /
---= -----у.	(7.15)
Подставляя эти значения в выражение (7.13) и учитывая
(7.40) и (7.11), имеем
= — «оо C°S2 Ф-	<7-16)
W Ту
Таким образом, при произвольном ср функция V с течением
времени убывает, что гарантирует устойчивость в «большом»
системы. Поскольку начальная расстройка не входит в ф-лу
(7.16), система устойчива при любом её значении. Это явилось
следствием применения в петле обратной связи идеального
интегратора, а также следствием предположения о неограничен-
ной линейности управляющего элемента.
В действительности же характеристика управляющего эле-
мента может быть линейной только в пределах ограниченного
участка.
Рассмотрим, как изменится условие устойчивости системы
при симметричной и ограниченной по максимуму модуля ха-
рактеристике управляющего элемента (характеристика типа на-
сыщения). Из физических соображений ясно, что, поскольку
полоса удержания в такой системе ограничена, полоса захвата
будет также конечной. Если вновь воспользоваться функциями
Ляпунова, можно показать, что полоса захвата равна полосе
удержания и обе они определяются максимальной расстройкой,
вносимой управляющим элементом.
Определим длительность переходного процесса в астатиче-
ской системе с идеальным интегратором. Запишем ур-ние (7.4)
в виде
<р" — I фл sin <р + cos ср = 0.	(7.17)
Здесь /= ]/йуТи, причём дифференцирование ведётся по
/Qy
относительному времени т=71/ —. О времени установления про-
Y 7и
цесса 1в системе будем судить по следующей функции её коор-
246
дин ат <р и ф :
Л(т)=СО52(-|—	+	•	(7.18)
Эта функция характеризует запас энергии в системе в опре-
делённом масштабе. Производная её по времени имеет вид
~ =lLcos<p +	(7.19)
d~. 2	2	V
Подставляя в это выражение значение ф" из ф-лы (7.17),
получаем
Jd. = J_ / (<р')2 sin ф.	(7.20)
dz 2
В дальнейшем для облегчения анализа будем считать коэф-
фициент I малой величиной. В этом случае можно применить
dA
метод усреднения [18]. Среднее значение— за промежуток вре-
d т
мени согласно методу усреднения:
dA
d т
т
J (фЛ)2 БШфб/т.
О
(7.21)
Из ф-лы (7.18) следует, что при А (т) <1 (0<т<оэ) разность
фаз подстраиваемого и эталонного генераторов стремится к по-
стоянной величине с течением времени и происходит апериодиче-
ское установление режима. Если же А (т) > 1 (0 О < 00 ), то раз-
ность фаз непрерывно нарастает с переменной скоростью, стре-
мящейся с течением времени к нулю (считается, что условия
устойчивости выполнены). Это означает, что процесс установле-
ния носит колебательный характер. Вычислим для этого случая
время тр установления частоты.
Найдём, прежде всего, период биений Тб в режиме установ-
ления:
(7.22)
Из ф-лы (7.18) имеем
ф'=2 i/'л(т) —cos2
(7.23)
Подставляя это значение в ф-лу (7.22) и считая, что за пе-
риод А(т) =сопз!=Л при Л»1, после интегрирования [77] полу-
чаем
(7.24)
247
Здесь — полный эллиптический ^интеграл первого
\У А)
рода.
'Подставляя ф' из ф-лы (7.23) и то из ф-лы (7.24) в выраже-
ние (7.21), а также переходя от интегрирования по т к интегри-
рованию по ф, получаем
Для интегрирования этого выражения необходимо сделать
замену переменной:
л
г =-----------ф.
?	2
(7.26)
Тогда выражение (7.25) перепишется в виде
ЛА , Уа /	2 х г---------Г
Тх jjj ft1-2 sin2 -f) V А~ s5n4 Ч- (7-27>
Д/Л/о	Г
После интегрирования этого уравнения имеем
Рис. 7.2. Зависимость времени
установления частоты от пара-
метров астатической системы
Для определения времени
установления xf нужно проинте-
грировать выражение (7.28) в пре-
делах от начального значения
А =А0 до А = 1. Когда средняя ча-
стота биений падает до нуля, про-
исходит медленное установление
разности фаз. В результате по-
лучим
. = 1 f	/7 29)
F 21 J Х[2В(Х)-В(Л)] Л ’ 7
х.
Здесь X=-U; Ло=-^=.
У А	у Aq
248
Поскольку интегрирование в ф-ле (7.29) в общем виде невоз-
можно, приходится прибегать к численному решению, результа-
ты которого представлены на рис. 7.2 [54].
При Х<0,32 можно выполнить приближённое интегрирова-
ние, воспользовавшись разложением в ряд функций К.(х);
В(х); Е(х) [77] и ограничившись двумя первыми членами каж-
дого разложения:
Л (X)	— Х\	(7.30)>
2	8
2В (X)— Е(Х) ж X2.	(7.3.1)'
16
Подставляя эти выражения в ф-лу (7.29), после интегриро>-
вания получаем
v^A(X-2-lnX0-I).	(7.32)"
Из этого выражения следует, что при Х<Д32 (А^> 10) вре-
мя установления частоты растёт примерно обратно пропорцио-
нально X* и, следовательно, пропорционально Ло.
При больших А из выражения (7.18) следует, что
А ^0,25 (фЛ)2.
(7.33>
Поскольку при включении q/ = QH |/ ^Что ф-лу (7.33) можно
переписать в виде	,
Таким образом, при больших начальных расстройках время?
установления частоты прямо пропорционально квадрату началь-
ной расстройки.
Рассмотрим теперь помехозащищённость астатической си-
стемы ФАПЧ.
• Предположим, что помеха на входе настолько мала, что до-
пустима линеаризация основного уравнения. В этом случае
можно воспользоваться понятием передаточной функции, кото-
рая полностью характеризует помехозащищённость системы
ФАПЧ при слабых помехах.
Из выражений (5.15) и (7.3) следует, что
tv/ г \	1 + *	°
(1 О>) = ----------------------------------
(7.34}.
Сравнивая ф-лу (5.19) с этим выражением, замечаем, что
они очень близки при тТ Тс; отсюда следует, что при таком?
условии все выражения, определяющие помехоустойчивость си-
стемы ФАПЧ с пропорционально-интеприрующим фильтром,
применимы и к астатической системе.
249*
В случае больших помех в астатической системе, в отличие
от системы с пропорционально-интегрирующим фильтром, устано-
вившаяся разность фаз независимо ют начальной расстройки
всегда равна ±0,5л. Поэтому при сильных помехах вероятность
перескоков фазы в обе стороны одинакова, и в этой системе нет
-средней <разности частот подстраиваемого и эталонного генера-
торов, что является её основным 'преимуществом перед обычны-
ми системами ФАПЧ.
§ 7.3. РЕАЛЬНЫЕ «АСТАТИЧЕСКИЕ» СИСТЕМЫ ФАПЧ
Поскольку идеальный интегратор не может быть практически
реализован, интересно рассмотреть свойства астатической си-
стемы ФАПЧ с реальным интегратором. В качестве реального
интегратора часто используется соединение линейного безынер-
ционного усилителя и обычной интегрирующей (например, RC)
цепочки. Усилитель применяется потому, что интегрирующая
цепочка даёт результаты, близкие к идеальному интегрированию
только при малом коэффициенте передачи.
Операторный коэффициент передачи реального интегратора
имеет вид
- -ТТТГ •	<7-35’
Здесь Ку — коэффициент усиления усилителя.
При включении такого устройства вместо идеального интег-
ратора в схеме рис. 7.1 коэффициент передачи всей цепи управ-
-ления принимает вид
„ 1 +—
= а	- (а + /<у)-----У - .	(7.36)
°°	14- Тр v ™ у	1 + Тр	v
Это выражение отличается от коэффициента передачи про-
порционально-интегрирующего фильтра [ф-ла (3.14)] лишь по-
стоянным множителем, причём роль параметра m играет вели-
чина ----тгк • Поэтому «астатическая» система с реальной ин-
тегрирующей цепочкой обладает такими же свойствами, как и
система -с пропорционально-интегрирующим фильтром при боль-
шом Ту.
В обеих системах можно получить малую статическую
ошибку, выбирая полосу удержания достаточно большой. Обыч-
но увеличение полосы удержания приводит к снижению помехо-
устойчивости. В указанных же системах этого можно избежать,
если одновременно с увеличением полосы удержания уменьшать
коэффициент т.
"250
Другим реальным интегратором может служить электродви-
гатель, управляемый ио скорости. Если скорость вращения это-
го двигателя пропорциональна приложенному напряжению, то
угол поворота ротора
t
а.= ka J u(f)dt,	(7.37)
О
где ka — (коэффициент пропорциональности. Это обстоятельст-
во можно использовать для создания астатической системы
ФАПЧ, если жёстко связать ротор мотора с управляющим эле-
ментом (например, с конденсатором).
Недостатками электродвигателя, используемого в качестве
интегратора, являются наличие в нём сухого трения, ограничен-
ность скорости вращения, инерционность.
Однако применение его в системе ФАПЧ во многом оправ-
дается тем, что при исчезновении эталонного сигнала или
выключении всей системы вноси-
мая с его помощью реактивность
запоминается на сколь угодно
долгий срок. Поскольку двигатель
меняет вносимую реактивность
механическим способом, упра-
вляемый им реактивный элемент
может быть сделан стабильным и
обладать высокой добротностью.
Система ФАПЧ с электродви-
гателем, так же как и система с
реальным RC интегратором, не
будет, строго говоря, астатической
при
Рис. 7.3. Блок-схема системы
ФАПЧ с интегрирующим элек-
тродвигателем
из-за наличия сухого трения
в двигателе. Однако статическую фазовую ошибку в ней можно
сделать значительно меньшей, чем в обычной системе.
Блок-схема ФАПЧ с двигателем изображена на рис. 7.3.
Как видно из этого рисунка, она отличается от обычной систе-
мы ФАПЧ наличием дополнительной электромеханической вет-
ви управления, включённой между фазовым детектором и под-
страиваемым генератором и состоящей из усилителя У, электро-
двигателя ЭД и управляющего элемента с механическим приво-
дом УЭ2.
Основное дифференциальное уравнение рассматриваемой
системы при косинусоидальной форме характеристики фазового
детектора имеет вид
р Ф + Йуэ % С°) cos ф =	— F (cos ф).	(7.38)
Здесь ^(созф) —мгновенное значение расстройки, вносимой
элементом УЭ2. Аргументом функции F служит выходное на-
пряжение фазового детектора, приложенное к двигателю.
251
При определении вида функции F необходимо знать характе-
ристики всех звеньев электромеханической ветви управления.
Будем предполагать, что электромеханическая ветвь выполнена
в виде соединения электродвигателя, редуктора и конденсатора
со свободно вращающимся ротором. Зависимость вносимой кон-
денсатором расстройки от, угла поворота рр его ротора будем
для простоты считать линейно-ломаной, периодической с перио-
дом 2л, функцией этого угла, так что
(9	\
1 - sign	.	(7.39)
Здесь signx — знак величины к,
йум—максимальное значение модуля вносимой эле-
ментом УЭ2 расстройки.
Считая редуктор, связывающий ось двигателя с осью кон-
денсатора, абсолютно жёстким, можно переписать ур-ние (7.39)
в виде
F= йум ^1 — sign а а) [—к < а < я].	(7.40)
где Ир — коэффициент передачи редуктора.
Для определения зависимости а от coscp будем считать, что
в качестве интегратора применяется двигатель Феррариса (на-
пример, типа ЭМ или ДИД), движение которого при амплитуд-
нам управлении и постоянном возбуждении с достаточной точ-
ностью описывается упрощённым дифференциальным уравне-
нием
</р2“ + (г + ^)pa + M2signpa== s„u(l--р aj , (7.41)
где J и г — приведённые к оси двигателя момент инерции и ли-
нейное механическое Сопротивление системы двигатель—редук-
тор—нагрузка; $п — коэффициент пускового момента; Mz —
момент сил сухого трения, для простоты считающийся не зави-
сящим от скорости; UQ — значение управляющего напряжения,
соответствующее круговому полю статора; vc — скорость вра-
щения поля статора; и — мгновенное значение управляющего
напряжения.
Полагая, что вспомогательные устройства, включенные меж-
ду фазовым детектором и двигателем (балансные модуляторы,
усилители), линейны и безынерционны, можно записать
« = i/макс cos ф.	(7.42)
где t/макс — максимальное значение управляющего напряжения.
Подставляя значение F из ф-лы (7.40) в ур-ние (7.38) и и из
ф-лы (7.42) в ур-ние (7.41), приходим к следующей системе
нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих пове-
252
ден'ие системы ФАПЧ с интегрирующим двигателем и произ-
вольным фильтром нижних частот в цепи управления:
Р ф + ЙУЭ К (р) cos <р + QyM (1 ~ а sign а ) = Й«’
[—и],	(7.43)
/рга 4- (г +- -^'jpa + Mzsignpa = snt/MaKCC0Scp[l — ^акс cos?Р«\
(7.44)
Эти уравнения наглядно иллюстрируют те трудности, с ко-
торыми приходится сталкиваться при анализе рассматриваемой
системы.
Исследование устойчивости системы начнём с установле-
ния точек равновесия и определения условий её устойчивости
в малом.
Найти точки равновесия нетрудно из системы ур-ний (7.43)
и (7.44). Полагая все производные равными нулю и учитывая,
что /С(0) — 1, получаем:
Qy3cos<p0 + QyM (1 — ~ asign а) = QB, (7.45)
z>|cosq>0|,	(7.46)
Мг
где z =-----— — относительный момент трогания.
U макс sn
Поскольку обычно z<l (момент трогания много меньше
максимального вращающего момента), на основании выраже-
ний (7.45) и (7.46) можно сделать -вывод, что равновесие со-
блюдается при
~ + г	(7.47)
или
—Y -г<Ф02<-^- + г.	(7.48)
и
®01 = 2пр Оум (^ум cos 'Ро	(7*49)
или
= 2Пр йум (йум +	cos Фо ~ &н) •	(7.50)
Неравенства (7.47) и (7.48) показывают, что, в отличие от
обычных систем ФАПЧ, в системе с интегрирующим двигате-
лем из-за наличия сухого трения в последнем разность фаз
подстраиваемого и эталонного генераторов в положении равно-
весия неопределённа в пределах зоны нечувствительности.
253
Определим, какое из сочетаний величин ф и а является ус-
тойчивым «в «малом». Будем считать, что система должна быть
устойчивой в «малом» даже при отсутствии сухого трения в
двигателе, поскольку силы сухого трения уничтожаются, напри-
мер, при механической вибрации устройства. Кроме того, пред-
положим, что вблизи точек равновесия ра< vG.
При этих условиях ур-ние (7.44) становится кусочно-линей-
ным уравнением и из системы (7.43) и (7.45) можно исключить
величину а.
В результате приходим к упрощённому уравнению
ар3 ф + Ьр2 Ф + (ар2 + Ьр) К (р) cos Ф — sign а —cos Ф
где	(7.51)
d —	£ __ 2рсГ snU() __ г ио
^MaKcsn	^макс8п^с 5п^макс 2рс[/МаКс
Это уравнение позволяет исследо'вать поведение системы с
интегрирующим двигателем при произвольном типе четырёхпо-
люсника в электронной ветви управления.
Предположим, что в качестве такого четырёхполюсника ис-
пользуется пропорционально-интегрирующий фильтр, коэффи-
циент передачи которого определяется выражением (3.14).
Подставляя это значение К(р) в ур-ние (7.51) и линеаризуя его
в окрестности точек равновесия, получаем следующее уравне-
ние первого приближения для малых отклонений величины ф
от фОп’.
а4р4 Дф + я3Р3 Дф + ^2р2 Дф + Я1Р Дф + Яо = °,	(7.52)
где
а4 = аТ\ а3 = а + ЬТ — sin ф02уэ шпТ; а2 = b — sin ф0Йуэ(а +ЬтТ) 9
= sin Фо (— Йуэ О + sign а —— ТI; а0 = sin ф0 sign а0------
При эшфо<О и signa0 =—1 все коэффициенты ур-ния (7.52)
положительны, следовательно, устойчивы значения фоп = —Фог и
a = ао2*
Учитывая, что <рог~----можно записать характеристиче-
ское уравнение для окрестности точки устойчивого равновесия
следующим образом:
Pi + Ь3рл + Ь2рг + Ьгр + Ьо = 0,	(7.53)
где
Ь» = 4 + +^уэт> b2 = Jr + ^уэ (Jr + -~-m];
1	t*	Lil	\ J,	(л j
К П Ь 1 2рР . А 2ЙУМ ПР
----	= ’ аГ л" •
254
Поскольку все коэффициенты в ур-нии (7.53) положительны,
то согласно критерию Рауса—Гурвица равновесие устойчивой
при условии
bib2b3 — bl — b3bQ> 0.	(7.54>
Анализ выражения (7.54) показывает, что для повышения
устойчивости в «малом» наиболее рационально увеличивать
коэффициент вязкого линейного трения b и снижать ко-
эффициент передачи редуктора пр. Обе эти меры позволяют
повышать устойчивость только за счёт увеличения времени
установления без сужения области устойчивости в «большом»
или возрастания статической ошибки. Одновременно при этом-
несколько сокращается шумовая полоса системы.
Определим полосу захвата рассматриваемой системы. В даль-
нейшем будем полагать, что условия устойчивости в «малом» вы-
полняются.
Периодичность функции F по а нежелательна, поскольку
она создаёт возможность существования режима непрерывного
одностороннего вращения двигателя в отсутствие захвата. Это
сужает область устойчивости в «большом» и сильно затрудняет
отыскание её границ.
Для предотвращения возможности возникновения указанно-
го режима достаточно, чтобы характеристика элемента УЭ2
выражалась непериодической кривой типа насыщения. Послед-
нее достигается введением ограничителя угла поворота ро-
тора конденсатора с таким расчётом, чтобы знак крутизны ха-
рактеристики элемента УЭ2 не менялся, оставаясь равным свое-
му устойчивому значению.
Потенциально устойчивую в «малом» систему ФАПЧ можно'
(как в режиме удержания, так и в режиме биений) рассматри-
вать как некоторый симметричный нелинейный частотный детек-
тор, поскольку среднее значение напряжения на выходе фазо-
вого детектора при также не равно нулю, а его знак оп-
ределяется знаком начальной расстройки и, в режиме биений,
знаком действительной части комплексного коэффициента пе-
редачи фильтр-а нижних частот на частоте биений.
Можно показать, что если в электронной ветви подстройки'
включён фильтр не выше первого порядка, то независимо от
режима
sign Sy3j cos <р = sign 7И,	(7.55),
где 5уэ — крутизна характеристики элемента УЭу
Для систем с более сложными фильтрами всегда можно ука-
зать такую область 0<ун<Ункр, в которой равенство (7.55) вы-
полняется.
255
В системе с фильтрами первого порядка имеется тенденция
вращения электродвигателя только в сторону снижения мгновен-
ной остаточной расстройки обоих генераторов.
Если бы сухого трения не было, то двигатель начал бы вра-
щаться при любом значении частоты биений и захват произо-
шёл бы при условии
+ТуМ; [2 = 0],	(7.56)
где уээ = -S&—относительная полоса захвата, обеспечиваемая
иуэ
только электронной ветвью.
Сравнительно большая инерционность системы двигатель-
редуктор и сухое трение в ней приводят к тому, что двигатель
начнёт устойчиво вращаться ,независимо от частоты биений толь-
д<о в том случае, если
| cos ф | > z.	(7.57)
При определении полосы захвата с учётом сухого трения
удобно вначале предполагать, что в момент включения расстрой-
ка, вносимая элементом УЭ2, равна цулю.
На практике чаще встречается случай, когда положение ро-
тора конденсатора в момент включения неопределённо. В этом
случае из найденной величины у3 придётся вычесть наибольшее
значение расстройки, вносимой электромеханической ветвью в
момент включения.
Среднее значение косинуса разности фаз в режиме биений
лри неподвижном роторе электродвигателя согласно ф-ле (4.76)
хорошо аппроксимируется выражением
cos ф =
У 72^Re2[/<(i76)]76
Re[K(i 7б)]
(7.58)
Подставляя ф-лу (7.58) в (7.57), можно найти критическое
значение частоты биений убт, при которой двигатель трогается
с места, из выражения
У-Гбт + КеМКОгбг)] — 7бт
г <-------------------------.	(7.59)
Re(/<(i-r6T)J
Если найденное значение убт удовлетворяет неравенству
v	1 / Re[K(i76T)l(l-Re[K(i76r)])	(7 60\
Тбт V	2-Re[K(n6T)]	’	'
го частота биений неустойчива даже при неподвижном роторе
электродвигателя и полоса захвата определяется только элект-
ронной ветвью подстройки. Её приближённое значение
Ъэ = У2/?е[Л(Ибт)]-КеЧХ(Пбт)]. (7.61)
-256
Если же неравенство (7.61) не выполняется, то^ частота
биений оказывается неустойчивой только тогда, когда двига-
тель тронется с места. Полоса захвата, являющаяся суммой
критического значения частоты биений и вносимой расстройки,
при этом будет:
Тз Тбт 4“
Тз “ Тзэ 4” Тум
Тбт Тзэ + Тум Z »
Тбт > Тзэ 4~ Тум •
(7.62)
(7.63)
Равенство (7.62) определяет наибольшую начальную рас-
стройку, при которой двигатель тронется с места.
Рис. 7.4. Графическое определение полосы захвата в системе ФАПЧ
с интегрирующим двигателем
Захват произойдёт в том случае, если неравенство (7.57)
будет выполняться для О <; 7бт. Полоса захвата не может
превысить своего максимально возможного значения, опреде-
ляемого равенством (7.63).
На рис. 7.4 показан характер решений ур-ния (7.62) для
двух различных случаев. Так, точка А пересечения кривой / с
уровнем трогания z соответствует решению ур-ния (7.59), когда
неравенство (7.60) выполняется. Точки Б и В пересечения кри-
выми 2 и 3 уровня трогания соответствуют решению ур-ния
(7.59) для случаев, когда неравенство (7.60) не выполняется.
Напомним, что выражения (7.62) и (7.63) относятся к слу-
чаю, когда в момент включения расстройка, вносимая электро-
механической ветвью, равна нулю. Если в этот момент поло-
жение управляющего элемента УЭ2 неопределённо, то за счёт
вносимой им расстройки частота биений может оказаться выше
17—793	257
критической, двигатель останется неподвижным и засявата не
будет. Поэтому из правой части выражения (7.62) следует вы-
читать максимально возможную расстройку, вносимую элемен-
том УЭ2 в момент включения. В результате приходим к следую-
щим равенствам:
Y - v _v • L <• 1 ZRe[/C(iтбт)] {1 — Re^(it6r)]} 1 п
[з —Ъэ 7уМ> |_ (бт ^ у	2 — Re [/C(i тбт)] J > V’°^
7 -T(t _l2_y • ГVRe	№)] {1 — Re [*(7Д~ <	,
3 [бт > ‘УМ’ [ у	2 —Re[/C(i-f6T)l	ТбтТзэ t-
+ 2Тум —z]>	(7-65)
Тз = Тзэ ~Ь Тум> [Тбт Тзэ 2Тум z] •	(7.66)
Эти выражения позволяют сделать следующие основные вы-
воды:
1.	При большом относительном напряжении трогания и про-
извольном начальном положении ротора конденсатора подстрой-
ки полоса захвата в системе с интегрирующим двигателем
меньше, чем полоса захвата, обеспечиваемая только электрон-
ной ветвью подстройки. При этом увеличение максимальной
вносимой электромеханической ветвью расстройки приводит к
сужению области устойчивости вплоть до исчезновения полосы
захвата.
2.	С уменьшением относительного напряжения трогания по-
лоса захвата быстро возрастает.
•3. При очень малом относительном напряжении трогания
увеличение максимального вносимого электромеханической
ветвью отклонения частоты приводит к такому же увеличению
полосы захвата.
В качестве примера рассмотрим систему с пропорционально-
интегрирующим фильтром в электронной ветви подстройки при
тТйу^>1. В этом случае можно считать Re[K(iye)]==in. Подстав-
ляя это значение в равенство (7.59), находим
=	(7.67)
1бт 2z ; 2z	v
Тогда условие (7.60) принимает вид
2zV т(1 — т) > т|/2— т.	(7.68)
Учитывая, что обычно уум ^>1, для рассматриваемой систе-
мы вместо равенств (7.64), (7.65), (7.66) можно записать сле-
258
дующие приближённые выражения:
Ъ = УЪп-т* - Ъм;	,	(7.69)
Ъ =	— 7УМ + [ ]/< Y'm~ т? + 27ум - z ] ,
(7.70)
Ъ = ]/2m — m2 + 7УМ > ]/ 2m — m2 + 27ум— z] . (7.71)
В заключение заметим, что для расширения области устой-
чивости в «большом» рассмотренной системы следует принимать
все меры, ведущие к ослаблению влияния гистерезиса в электро-
механической ветви, обусловленного сухим трением. Так, на-
пример, в режиме биений приоутствие на входе двигателя, кро-
ме постоянной составляющей, также и переменного напряже-
ния управления — явление положительное, так как оно ослаб-
ляет силы сухого трения. Ослабить влияние сил сухого трения
можно, специально подводя -ко входу двигателя постороннее
низкочастотное напряжение на время установления. Такой же
результат получается при создании во время установления ме-
ханической вибрации системы двигатель—редуктор.
Наиболее простым и надёжным способом расширения обла-
сти устойчивости является увеличение усиления в цепи фазо-
вый детектор—двигатель. Снижение запаса устойчивости в «ма-
лом» при этом легко компенсируется уменьшением коэффициен-
та передачи редуктора.
17*
Глава 8
Система
импульсно-фазовой
автоподстройки
частоты
§ 8.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Система импульсно-фазовой автоподстройки частоты
(ИФАПЧ) отличается от обычной системы ФАПЧ тем, что од-
но (реже оба) из напряжений, поступающих на фазовый детек-
Рис. 8.1. Блок-схема импульсно-фазового
умножителя (а) и делителя (б) частоты
тор, носит импульс-
ный характер. Это
создаёт новые воз-
можности использо-
вания систем ФАПЧ.
Импульсный ха-
рактер может носить
как эталонный сиг-
нал, так и сигнал
подстраиваемого ге-
нератора. В первом
случае система
ИФАПЧ обычно при-
меняется как умно-
житель частоты (ча-
стота подстраивае-
мого генератора вы-
бирается равной ча-
стоте какой-либо
гармоники эталонно-
го импульса), а во
втором — как дели-
тель (частота эталонного сигнала совпадает с частотой какой-
либо гармоники напряжения подстраиваемого генератора).
На рис. 8.16Z и б приведены блок-схемы соответственно им-
пульсно-фазового умножителя и делителя частоты.
260
Как видно из рисунка, эти схемы отличаются от типовой
блок-схемы ФАПЧ применением формирующих устройств ФУ.
преобразующих синусоидальное напряжение ib короткие импуль-
сы, импульсно-фазовых детекторов ИФД вместо фазовых де-
текторов и дополнительных запоминающих устройств ЗУ, фик-
сирующих выходное напряжение ИФД в промежутке между
двумя импульсами. На выходе ИФД образуются короткие им-
пульсы, амплитуда и полярность -которых определяются фазо-
выми соотношениями входных напряжений. На выходе запо-
минающего устройства образуется ступенчатое напряжение,
огибающая которого представляет собой косинусоиду.
Практически удобно рассматривать импульсно-фазовый де-
тектор как линейный перемножитель.
Разложив спектр импульсов в ряд Фурье, нетрудно пока-
зать, что при отсутствии ЗУ управляющее постоянное или низ-
кочастотное напряжение образуется только гармоникой им-
пульса, ближайшей (совпадающей) к частоте синусоидального
напряжения, поступающего на ИФД. Поэтому при хорошей
фильтрации побочных колебаний ФНЧ можно, в первом при-
ближении, считать, что имеет место обычная ФАПЧ, у которой
вместо импульсного сигнала на фазовый детектор попадает
только необходимая гармоника импульса.
Преимуществом подобных преобразователей частоты являет-
ся простота изменения коэффициента преобразования Y. Для
этого достаточно только перестроить контур подстраиваемого
генератора. Системы ИФАПЧ являются разновидностью систем
им пульсното автор егулирования.
Особенностью импульсных систем является то, что управ-
ляющее напряжение (ток) на выходе фазового детектора но-
сит импульсный характер. Импульсное напряжение на выходе
ИФД характеризуется периодом Тр следования импульсов (пе-
риодом регулирования), их длительностью Аи, скважностью
бИ” тг" и амплитудой Аи.
Тр
В дальнейшем будем анализировать схему импульсно-фазо-
вого умножителя, однако выводы в целом справедливы и для
схем деления частоты.
Составим общее основное уравнение системы ИФАПЧ, ос-
новываясь на результатах работ [99] и [100]. Для простоты
представим ИФД как соединение обычного фазового детектора
с характеристикой F(q) и ключа, пропускающего его выходное
напряжение только при действии импульса.
Пусть частота одного из синусоидальных напряжений сов-
падает с частотой подстраиваемого генератора или её гармо-
никой, а второго — -с частотой эталонного генератора или её
гармоникой. При определении выходного напряжения будем
считать, что максимальное напряжение на выходе ключа равно
261
амплитуде реального синусоидального сигнала, поступающего
на ИФД.
Если импульс бесконечно короткий (6<1), то разность фаз
напряжения подстраиваемого генератора и необходимой гар-
моники эталонного сигнала можно представить функцией дис-
кретного времени nTv, отсчитанного от начала процесса регули-
рования:
ф (яТр) = ^ЭГГ (^р) ФПГ (^фр)>	(8- О
где n=0; 1; 2; 3...
Для составления уравнения системы ИФАПЧ удобно вос-
пользоваться дискретным преобразованием Лапласа [99]
оо
/*(p)=^e-nrp₽Z(nTp)J	(8.2)
п = 0
Здесь f*(p) — изображение по дискретному преобразованию
Лапласа функции f(nTp).
Применяя это преобразование к ф-ле (8.1) и вводя тр = —
Тр
и q = pT^, имеем:
^(7)=Ф;гг^)-фпг(7).	(8.3)
Если функция f имеет непрерывный аргумент, т. е. f=f(t),
то при /=пГр + Д/ она соответствует так называемой смещён-
ной решётчатой функции f(nTJ?;At) [99], причём 0<Д/<Тр.
Переходя от t к тр, можно записать: / (пТр+Д/) = f(n + ep),
At
где тр принимает целые значения, равные п, а величина 8Р = —
Тр
лежит в области 0<ер<1.
Изображение по дискретному преобразованию Лапласа на-
пряжения на выходе ИФД можно записать следующим обра-
зом:
(8.4)
Здесь Е*(<р) —изображение нормированной характеристики
ИФД. Суммарную передаточную функцию фильтра нижних ча-
стот и запоминающего устройства обозначим через К(р), т. е.
Л(Р) = «31,(Р)КФНЧ(Р)“™-.	<8-5)
где Кзу(р) и КФНЧ(Р)—передаточные функции запоминающего
устройства и фильтра соответственно; И (р) и Q(p)—полино-
мы числителя и знаменателя величины К(р). Тогда напряжение
на входе управляющего элемента
«уэ sp) = К*	еР) ^ФД макс ПФ («)]•	(8.6)
262
Здесь Л*(^; ер)—импульсная передаточная функция, соот-
ветствующая обычной передаточной функции К.(р).
Функция К* (7’, ер) связана с К(р) выражением [99]:
w-ч р?___е9 (1—5)
К (<?; ер) = С()0 + у е--5-— е •₽ [0< ер < 8], (8.7)
е" — е
w -р) -	18<’р < ч- <8-8>
Здесь С00 = К (0) =	; г = --(
00	Q(0) ’О <Z(<7V)9,
— корень полинома Q (?).
Это выражение справедливо для передаточных функций ам-
плитуднс-модулированных импульсов с единичной амплитудой
при отсутствии кратных нулевых значений qr
Если в цепи управления, кроме запоминающего устрой-
ства и фильтра с коэффициентом передачи ЛФНЧ(р), имеется зве-
но с запаздыванием (идеальная линия задержки), то изображе-
ние импульсного коэффициента передачи всех трёх устройств
можно найти по формуле
К* (л\ е)—Iе /(*(?, 1 "Ь ер АгзР)Л0<; ер Д^зр] ,ggx
| е“^ ТС* (?; ер — Дтзр) [Д^зр<£р<11>
т
т3р = — — относительное время запаздывания, которое всегда
Гр	д
можно представить в виде тзр = ] + Дтзр, где / — целое число,
а 0 < Д тзр 1.
Если запоминающее устройство, включённое на выходе фа-
зового детектора, идеально и безынерционно, то оно имеет коэф-
фициент передачи, равный единице при действии импульса, и
сохраняет в промежутке между импульсами неизменное значе-
ние запоминаемого параметра (в данном случае амплитуды).
Его можно заменить четырёхполюсником с К*зу = 1, изменив
при этом скважность входных импульсов. Поскольку такое за-
поминающее устройство формирует импульсы со скважностью,
равной 1, то для определения К*(?; ер)1) достаточно найти
Кф (?; ер) при помощи выражения (8.7), полагая в нём 6 = 1.
Зная напряжение на входе управляющего элемента, можно
найти отклонение фазы подстраиваемого генератора, вносимое
этим элементом, с учётом того, что <рпг = — 5уэиуэ (/).
Выражения для К* i(?; еР) в иных (Случаях приведены в {99].
263
Дискретное преобразование по Лапласу величины фпг связа-
но с изображением величины иУЭ зависимостью
>	s Т г
Фпг(9> £р)~^уэ^ру spMepH е<?__ у J иуЭ 0?*’ sp)^ep*
о	о
(8.10)
Поскольку ИФД реагирует только на дискретные значения
раз/ности фаз, для определения ф^г в выражении (8.10) можно
полагать первый интеграл равным нулю:
<Рот(<7) =
ЗД>
е? — 1
1
J иуэ (?’ гр) ер-
о
(8.П)
Дискретное изображение по Лапласу фазы подстраиваемого
генератора
оо
ф*пг (7) = Ф‘эгг (?) + Йн Тр V п -ф*пг (<7).	(8.12)
л=0
Здесь Qa — начальная расстройка подстраиваемого генерато-
ра от необходимой гармоники (субгармоники);
ОО
ФдГг (я) — “эгЛ> 2п е~”ЧП —дискретное изображение по Лап-
п=0
ласу фазы гармоники эталонного сигнала.
Подставляя выражения (8.12) и (8.11) в (8.3) и учитывая
ф-лу (8.6), имеем
Ф* (q}+ -5у^фД ма-кс  j А* (<7; ер) А* [ф (n)] d sp =
о
оо
= QHTP2ne?".	(8.13)
л=0
Это и есть основное уравнение им(пуль10нонфазов‘ой системы
ФАПЧ в операторной форме. Можно показать, что при Гр—»О
оно переходит в обычное ур-ние (3.10) непрерывной системы
ФАПЧ.
Введём обозначение
W*(q)= J А* (<7; ерМ8р.
О
(8.14)
264
Тогда на основании теоремы свёртывания дискретного пре-
образов ания Лапласа запишем
W* (q) F* [q> (n)] > 2 F (n — /) F [ф (/)].	(8.15>
/-o
Согласно же теореме сдвига имеем
Ф* (q) eq -*Ф (ft + 1).	(8.16>
Применяя эти теоремы к ур-нию (8.13), получаем следую-
щее нелинейное разностное уравнение:
ф (П + 1) - Ф (п) + Ц Тр 2 W - /) F [ф (/)] = QH Тр. (8.17).
М
Здесь, как обычно, Qy = Sy3 ^ФДмакс. Это уравнение свя-
зывает значения разности фаз напряжений подстраиваемого и
гармоники эталонного генераторов в два смежных момента, раз-
делённых промежутком времени, равным интервалу регулиро-
вания Тр. Оно позволяет исследовать поведение во времени раз-
ности фаз (при возрастании ft).
§ 8.2. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ИФАПЧ
Полученное выше ур-ние (8.17) позволяет определить поло-
жение равновесия системы ИФАПЧ.
В положении равновесия при ft — оо значение разности фаз
в два смежных момента времени постоянно, поэтому ур-ние
(8.il7) для стационарного режима имеет вид
^№^ = 0,.	(8.18)
/-о
Воспользовавшись ф-лой (8.2), запишем
2Г(/)е-9/ = й7*(<7).	‘	(8.19)
i=o
В стационарном режиме q = 0. Поэтому, заменяя в ур-нии
(8.18) бесконечную сумму её значением из выражения (8.19) и
учитывая ф-лу (8.14), получаем окончательно
1
£2У F (Фо) J Л* (0; ер) d гр = QH.	(8.20)
oJ
Интеграл в этом выражении представляет собой относитель-
ную площадь под кривой, отображающей зависимость напряже-
ния на выходе последовательного соединения запоминающего
устройства и фильтра нижних частот от величины ер.
265
Произведение Qy на этот -интеграл представляет (собой поло-
су удержания в системе ИФАПЧ. Обозначим это произведение
через йуи тогда выражение (8.20) запишется как
Л<Ро)=-Л.	(8.21)
иУИ
При ^(фо) = cos фо это выражение аналогично по форме ра-
венству (2.14). Если запоминающее устройство идеально и ко-
эффициент передачи по постоянному току фильтра нижних ча-
стот равен 1, то J /<* (0; ep)dep= 1 и, следовательно Qyii = Qy.
о
С целью определения условий устойчивости в «малом» за-
пишем на основании ф-лы (8.13) уравнение для малых откло-
нений ф от <р0:
Аф*(<7) + ЙуТрИ-1Г*(<7)Г(<Ро)Д?* = О- (8.22)
Функцию W* (q) всегда можно представить в виде
W*(q) =	,
w В(еЧ)
где А (е9) и В (eg) — полиномы от е9.
Уравнение (8.22) перепишем следующим образом:
(е* - 1) В (е?) + 2У ТРА (е?) F' (Фо) 0.	(8.23)
Если полиномы А и В известны, то ур-ние (8.23) всегда мож-
но представить в следующей форме:
£kq + ^-i &k~^q + . . . + £q + g,q = 0.	(8.24)
Это уравнение является аналогом характеристического урав-
нения относительно переменной q.
В работе [99] показано, что система импульсного регулиро-
вания устойчива, если bk>0 и все определители Ди, получаемые
.из матрицы	М	^А-3 J ^—2 J	bk-5 1	. bk—4;	6 * * *	
	bk			
	0	bk-i	bk—3 [ ^“5 ‘ ‘ ’ 			 ।	(8.25)
				
	0	bk	bk-2 bk-4 ’ • ’	
	0	0	bk-l bk-3 • • •	
266
ичёркиванием п строк и п столбцов снизу и справа, также боль-
ше нуля.
Коэффициенты Ьк матрицы (8.25) связаны с коэффициентами
k
<ik ур-ния (8.24) следующей зависимостью bk = V av1 а для всех
остальных Ь:
< / V \ / k — v\	/ V \
\n— 1/\	1/	\nj
(8.26)
где ( я) ~	—)Р — биномиальные коэффициенты.
Раскрыв эти условия, получим [99]:
1) £ = 1
ai + До > 0; at — aQ > 0;
(8.27)
2) k = 2 а2 + aL + а0 > 0; а2 — aQ > 0; а2 — ах + я0 > 0; (8.28)
3) k = 3 а3 + а2 + tfi + aQ > 0; а3 — а2 — aQ > 0;
а3 + aQ +	---^3^2 > 0.	(8.29)
Определим условия устойчивости систем ИФАПЧ с конкрет-
ными типами фильтров.
Будем считать, что запоминающее устройство, включённое
на выходе ИФД, идеально и безынерционно. Оно обеспечивает
наименьшее .значение уровня побочных колебаний в спектре сиг-
нала подстраиваемого генератора, ибо в стационарном состоя-
нии напряжение на его выходе постоянно. Кроме того, в даль-
нейшем будем полагать, что F(cp) = cosqx
Найдём сначала условия устойчивости в идеализированной
системе ИФАПЧ, когда фильтр отсутствует [К(р) = 1].
Тогда W* (q) = 1 и ур-ние (8.23) принимает вид
(е? — 1) — Qy Тр sin % = 0.	(8.30)
Очевидно, что в данном случае 6=1, tz0 =— (l + QyTpSincpo),
<*1 = 1. Воспользовавшись условиями (8.27), получим
— Qy Тр sin Фо > °
Qy<---------
Гр sin <р0
Согласно первому условию устойчивости, требуется, чтобы
крутизна нормированной характеристики ИФД была положи-
тельна, т. е. —л<фо2<О. Второе условие накладывает огра-
ничение на максимально допустимую величину полосы удер-
267
(8.31)
жания системы. Согласно этому условию идеализированная си-
стема ИФАПЧ оказывается устойчивой не при любых значе-
ниях Qy, что отличает её от обычной идеализированной систе-
мы ФАПЧ.
Рассмотрим систему ИФАПЧ с пропорционально-интегри-
рующим фильтром, коэффициент передачи которого опреде-
ляется выражением (3.14). Полагая р = -У— в К(р) и обо-
Т	Тр
значая ар =	, получаем
= аР .	(8.32)
«р4-<7
Передаточная функция K(q) имеет один полюс Ц\ = —сср, для
которого Coi = gp ~m ар . По ф-ле (8.7) находим K.*(q\ ер),
—ар
полагая 6И = 1 (на выходе ИФД включено идеальное запо-
минающее устройство). В итоге получаем
К* Ы = 1 + (m - 1) е?~Д е"’р ер .	(8.33)
е(/ — е р
Воспользовавшись ф-лами (8.14) и (8.33), находим №*(<?):
W7*1 +	[1 ~e"“pb	(8-34)
Подставляя это выражение в ур-ние (8.22), получаем сле-
дующее характеристическое уравнение:
Яр е2? — е? {аре—“р + ар + Ур [Яр + (m — 1) (1 — е-ар)] +
+ар е-ар + Ур [аре~вр + (т + 1) (1 — е~ар)]} = 0.	(8.35)
Здесь Ур = QyTpsincpo.
В соответствии с ур-нием (8.35) имеем:
а2 = ар, аг = — {ар (е“”р + 1) + Гр [яр + (т — 1) (1 — е““р)]},
. ай = «Ре~аР + Ур [аре-“р+(/п— 1) (1 — е~“р)].
Воспользовавшись неравенствами (8.28), получим условия
устойчивости в «малом» системы ИФАПЧ с пропорционально-
интегрирующим фильтром:
— TpS у sin ф0 > 0
— TpfiySin ф0 [(1 — т) (1 — е-<гр) — ape-ep] < яр(1—е-“р)
—ТрЗуйтфо [ар(1 + е-“р) —2(1— т) (1— е-“р)]<2яр(1-|-е~ар) 
(8.36)
268
Первое условие (8.36), как обычно, выполняется при перио-
дической характеристике фазового детектора и определяет со-
бой лишь устойчивое значение сро. Последние условия в (8.36)
ограничивают предельно допустимое значение полосы удержа-
ния в системе ИФАПЧ при прочих заданных величинах. Все
эти условия совпадают с результатами, полученными в [30] при
6И = 1 частотным методом.
Рис. 8.2. Диаграмма устойчивости в «малом» системы
ИФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром
На рис. 8.2 сплошными линиями показаны границы устой-
чивости рассмотренной системы ИФАПЧ [30]. Пунктирной ли-
нией нанесены кривые, построенные по ф-лам (8.36), ограничи-
вающие сверху относительную полосу удержания.
Анализ условий устойчивости показывает, что при малых
значениях Т, т. е. при сср^>1, с увеличением т устойчивость
системы понижается. С другой стороны, в области часто ис-
пользуемых значений (10-4-30) Тр отмечается максимум
допустимого значения относительной полосы удержания Ур при
изменении коэффициента т. Бели т ф 0, устойчивость макси-
мальна при ар = 0.
В случае <хр < 1 последние два условия устойчивости (8.36)
значительно упрощаются:
69
ар— m L 1 —J
2	Г	m
ар
tn	[
при m = 0 (i
(8.37)
1 — tn\ .
— QyTpSin <p0	2 J [tn =0]	1
tn
«₽+-,--- г	->
r\ rr •	1 — tn Г	tn
у р sin фо	’ I «р -
— Qy Tp sin ф0 <
Следует отметить, что
первое условие устойчивости (8.37) совпадает со вторым усло-
вием (8.31) для идеализированной системы ФАПЧ.
Часто в цепи управления применяют сложные многозвенные
фильтры нижних частот. При этом (вычисление условий устой-
чивости становится чрезвычайно громоздким. Однако этот фильтр
можно приближённо рассматривать как линию задержки. Вы-
числим условия устойчивости ИФАПЧ с идеальной линией за-
держки. Ограничимся для простоты случаем, когда запаздывание
не превышает интервала регулирования.
Полагая в ф-ле (8.9) j = 0, имеем:
IC (<7;ер)= e-q [0 < 8Р < At3p];	(8.38)
Яз(<7;ер)=1	[Лъ>рОр<1]-	(8.39)
Воспользовавшись этими выражениями, найдём
Г* (q) = Атзр е“’ + 1 - Атзр,	(8.40)
При этом, если Г (ср) = cos ср, ур-ние (8.23) принимает вид:
е2? _ е« [ 1	Qy Тр sin <р0 (1 — Атзр)] — йу Тр sm ф0ДтзР = 0.(8.41)
Рис. 8.3. Диаграмма устойчивости
системы ИФАПЧ с запаздывани-
ем
Применяя неравенства (8.28),
получаем следующие условия
устойчивости в «малом» системы
ИФАПЧ с идеальным запаздыва-
нием:
— Qy Тр sin Фо > 0
— Йу Тр sin ф0 < —
Дтзр
— йу Тр sin ф0 (0,5 — AspX 1
(8.42)
Два последних условия на-
лагают при прочих заданных ве-
личинах ограничения на шири-
ну полосы удержания. Можно
заметить, что при Атзр<0,25 определяющим является последнее
условие, а при Атзр>0,25 — предшествующее ему.
На рис. 8.3 показана область устойчивости в «малом», ог-
раниченная сверху сплошной линией [101].
270
При исследовании устойчивости конкретных систем ИФАПЧ'
предполагалось, что запоминающее устройство идеально1).
Это позволяло упростить вычисления, поскольку при опреде-
лении /(*(<?; вр) можно было пользоваться только выражени-
ем (8.7).
При отсутствии запоминающего устройства не только, как
уже указывалось, будет увеличен уровень побочных колебаний
в спектре подстраиваемого генератора, но также будет умень-
шена полоса удержания, а следовательно, и полоса захвата.
Действительно, как было показано выше, при наличии идеаль-
ного запоминающего устройства полоса удержания импульсной
системы определяется, как и в обычной ФАПЧ, лишь произ-
ведением максимального выходного напряжения фазового де-
тектора на крутизну характеристики управляющего элемента.
Для определения №*(<?; ер) при отсутствии запоминающего1
устройства приходится пользоваться выражениями (8.7) и (8.8).
Можно показать, что полоса удержания при этом прямо пропор-
циональна скважности импульсов. Скважность должна быть тем'
меньше, чем больше коэффициент преобразования (умножения).
Поэтому при больших кратностях преобразования получить до-
статочно большую полосу удержания без запоминающего устрой-
ства затруднительно.
Полученное выше линеаризованное уравнение системы
ИФАПЧ (8.22) позволяет определить не только условия устой-
чивости в «малом», но и характер переходных процессов при
малых возмущениях состояния равновесия [99].
В работе (3] рассмотрена зависимость характера переход-
ных процессов в системе ИФАПЧ с идеальным запоминающим
устройством и пропорционально-интегрирующим фильтром в-
цепи обратной связи. Процесс установления в такой
при малых отклонениях будет апериодическим, если
няются условия:
— fiy7’psin<p02 [ар — (1 — е~“р) (1 — т) ] >—яр (1 + е~"р)
— Qy Гр sin Фо [(1 — т) (1 — е^р) — аре-с,р]<— аре-яр
1 — е““р
системе
выпол-
Т > — QyTpsin(po
’“И
Г	ар
}• (8.43У
1 - е“ар
-12
1 — е-*р
—-------(1-т)
“р
9 Предположение об идеальности запоминающего устройства весьма
обосновано, поскольку при конструировании реальных систем ИФАПЧ при-
менение такого устройства, если не обязательно, то весьма желательно.
271
Анализ этих выражений показывает, что при практически
используемых значениях ар<0,1 область апериодического ха-
рактера переходного процесса в случае т Ф 0 определяется, в
основном, двумя первыми условиями. Если т = 0, область апе-
риодичности переходного процесса определяется последним вы-
ражением и практически отсутствует.
Для полной характеристики устойчивости системы ИФАПЧ,
так же как и для обычной системы ФАПЧ, кроме условий ус-
тойчивости в «малом», необходимо знать условия устойчивости
режима удержания при любой величине возмущений состояния
равновесия.
Для определения полосы захвата необходимо анализиро-
вать основное нелинейно-разностное ур-ние (8.17). Поскольку
решение этого уравнения в аналитической форме получить
не удаётся, то, как и в случае обычной непрерывной системы
ФАПЧ, прибегают к приближённым методам анализа.
Однако для практических целей можно воспользоваться
иными соображениями. Как с точки зрения фильтрации побоч-
ных колебаний в спектре подстраиваемого генератора, так и с
точки зрения сохранения кратности преобразования (устране-
ния перескоков коэффициента преобразования вследствие про-
извольного изменения начальной расстройки) система ИФАПЧ
обычно делается достаточно инерционной. При этом выпол-
няется условие
I ч,	(8.44)
где ^vMaKc “ Р^макс* — максимальный по модулю корень ха-
рактеристического ур-ния (8.23). Это условие приближённо ха-
рактеризует медленность переходных процессов в системе
ИФАПЧ по сравнению с периодом регулирования.
Следует отметить, что условие (8.44) выполняется даже в
идеализированной системе ФАПЧ при КФНЧ = 1, если
jQyTp sin Ф021 < 1. Уменьшением йу можно добиться выполне-
ния этого неравенства при любом Тр, поскольку |sin ф02|'С1«
При выполнении условия (8.44), как показано в [99], свой-
ства системы с импульсным регулированием приближаются к
свойствам этой же системы при непрерывном регулировании.
Это позволяет для определения у3 и времени установления
пользоваться теми же формулами, что и для системы ФАПЧ
с непрерывным регулированием.
§ 8.3. ИМПУЛЬСНО-ФАЗОВЫЕ ДЕТЕКТОРЫ
И ЗАПОМИНАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Теоретически в системе ИФАПЧ в качестве ИФД могут ис-
пользоваться все схемы обычных фазовых детекторов двух си-
272
нусоидальных сигналов. Однако работа этих систем будет эф-
фективной только в том случае, если они дополнены запоми-
нающим устройством, действие которого не зависит от ве-
личины и характера выходного сопротивления фазового де-
тектора.
Простейшим запоминающим устройством может служить
обыкновенный конденсатор, который включается непосредст-
венно на выход фазового детектора. Для того чтобы такое за-
поминающее устройство было близко к идеальному, необходи-
мо, чтобы:
1) постоянная времени заряда была меньше, чем длитель-
ность фронта импульса;
2) постоянная времени разряда была много больше, чем пе-
риод следования импульсов.
Это означает, что выходное сопротивление фазового детек-
тора в момент действия импульса должно быть как можно
меньше, а при отсутствии импульса — как можно больше. Со-
противление нагрузки запоминающего конденсатора как по по-
стоянному, так и по переменному току должно быть большим.
Эти условия могут выполняться ше во всех схемах фазовых де-
текторов. Так, например, выходное сопротивление в схеме
кольцевого фазового детектора всегда остаётся низким неза-
висимо от соотношения напряжений, подаваемых на него.
Поэтому схему кольцевого детектора нежелательно использо-
вать в системах ИФАПЧ.
В схеме балансного фазового детектора (рис. 1.8) может
быть достигнут вышеуказанный режим работы. При этом для
выполнения условий 1 и 2 необходимо применять диоды с боль-
шим отношением обратного сопротивления к прямому (иногда
вакуумные), обеспечивать большое сопротивление нагрузки и,
что особенно важно, выбирать импульсное напряжение, значи-
тельно превышающее амплитуду синусоиды. Последнее гаран-
тирует надёжное запирание диодов в промежутке между импуль-
сами и, следовательно, сохранение заряда конденсатора па-
мяти.
Существенный недостаток балансной схемы заключается в
том, что на каждом конденсаторе нагрузки выделяется боль-
шое напряжение, запирающее диоды. Поэтому даже неболь-
шой разбаланс схемы приводит к смещению нуля фазового де-
тектора.
От этого недостатка свободна схема так называемого клю-
чевого фазового детектора (рис. 8.4). При достаточно большом
импульсном напряжении она работает следующим образом.
При действии импульса все четыре диода отпираются и ис-
точник синусоидального напряжения на время действия им-
пульса оказывается подключённым к запоминающему конден-
сатору нагрузки Сп. По окончании импульса диоды запирают-
18—793	273
ся падениями напряжений на накопительных конденсаторах
запирающих цепочек R\C}.
Таким образом, система работает как ключ, замыкающий
цепь лишь на время действия импульса. В этой схеме запираю-
щее напряжение образуется не на запоминающем конденсаторе
нагрузки, а на отдельных конденсаторах.
Рис. 8.4. Схема ключевого импульсно-фазового де-
тектора
При разбалансе диодов на нагрузку попадает лишь раз-
ность падений напряжения импульса на прямых сопротивле-
ниях диодов, а не на сопротивлениях нагрузки, как это имеет
место в балансной схеме. Поскольку прямые сопротивления
диодов обычно невелики, то и смещение нуля в данной схеме
при изменении Характеристик диодов получается малым.
Для того чтобы конденсатор не разряжался в промежутке
между импульсами, запирающее напряжение (сумма напряже-
ний на конденсаторах Ci) должно превосходить удвоенное
значение амплитуды синусоидального напряжения U.
Конденсаторы Ci следует выбирать из условия
ЯА » Тр.	(8.45)
Если импульс близок по форме к прямоугольному, а его
напряжение на вторичной обмотке трансформатора достаточно
велико, то, пренебрегая падением напряжения на прямых сопро-
тивлениях диодов, можно определить R\ из условия
Л7Р
2/и Ли
Ri
(8.46)
Здесь Ди — длительность импульса, 7И — требуемый им-
пульс тока.
Величину /и можно найти из следующих соображений. В мо-
мент действия импульса (предполагается, что амплитуда им-
пульса превосходит удвоенную амплитуду синусоиды U) в схеме
рис. 8.4 мгновенный ток, протекающий через конденсатор Сн,
вызывает перераспределение токов, протекающих через диоды
Д\—Д$. Для того чтобы в момент действия импульса все дио-
274
ды были отперты, необходимо, чтобы ток, протекающий через
них от источника импульсного напряжения, превышал в 2-нЗ
раза ток zc, протекающий через эти же диоды от источника си-
нусоидального сигнала.
Для определения максимального значения тока ic потребу-
ем, чтобы конденсатор Сн заряжался до 0,9 от установившего-
ся значения за время не более длительности импульса.
Полагая приближённо характеристику диодов линейно-ло-
маной, можно записать:
(Явых + Ri) Сн < 0,4Ли.	(8.47)
Здесь /?вых — импульсное выходное сопротивление источни-
ка синусоидального сигнала, представляющее собой отношение
приращения напряжения к приращению тока за время Ди;
JRi — прямое сопротивление диодов.
Величину Сн нетрудно определить из условия сохранения
заряда в промежутке между импульсами. Так, если задаться
допустимым разрядом конденсатора на 3, то величина ёмкости
конденсатора должна быть
Q >	(^н
н	RHRo 3
(8.48)
Здесь 7?о — обратное сопротивление запертого диода.
Подставляя неравенство (8.48) в (8.47), находим наиболь-
шее допустимое значение сопротивления, через которое заря-
жается конденсатор Си:
RBblx + R;
0 4 ——н^°
’ Ш4Л)
(8.49)
Зная эту величину, определим пиковое значение тока от ис-
точника синусоидального сигнала:
макс
Z7-2,5TP(/?H + 7?0)
А и
(8.50)
Учитывая, что /и (24-3) /Макс, на основании ф-л (8.50) и
(8.46) имеем
_____д______________
(10<-15) и (/?н + R.)
(8.51)
Как видно из этих выражений, величину пульсации напря-
жения на запоминающем конденсаторе и величины требуемых
токов от источников импульсного и синусоидального сигналов
можно значительно снизить при увеличении сопротивления на-
грузки. С этой целью часто применяется катодный повторитель,
включаемый после запоминающего конденсатора.
18* 275
Степень подавления побочных колебаний системы ИФАПЧ
в режиме удержания определяется напряжением пульсаций на
конденсаторе Сн и затуханием, которое вносит фильтр нижних
частот, включаемый после катодного повторителя, на частоте
следования импульсов и её гармониках. Для обеспечения хо-
рошей фильтрации побочных колебаний, что особенно важно
при умножении частоты, необходимо применять катодный по-
вторитель и хороший фильтр нижних частот с пиками затуха-
ния на частоте следования импульсов и её гармониках.
В делителях частоты требование хорошей фильтрации лег-
ко выполняется, поскольку частота следования импульсов рав-
на частоте подстраиваемого генератора, и побочные колебания
являются лишь гармониками выходной частоты.
Поскольку условие (8.44) обычно всегда выполняется, рас-
чёт фильтрации ведётся, как и для непрерывной системы
ФАПЧ.
До сих пор предполагалось, что длительность импульса,
действующего на ИФД. много меньше длительности периода
синусоидального сигнала. В импульсно-фазовых умножителях
частоты высокой кратности, работающих в высокочастотном
диапазоне, это условие трудновыполнимо.
Если запоминающее устройство отсутствует, то при увели-
чении длительности импульса постоянная составляющая выход-
ного напряжения фазового детектора вследствие щелевого эф-
фекта значительно снижается.
Согласно работе [61] при прямоугольном импульсе величи- 
на низкочастотной составляющей напряжения на выходе ИФД
Ди^пг
n sin —9—
«ИсЬП = и -----------cos ф.	(8.52)
ИфД Гр сопг Y	4	1
Анализ этого выражения показывает, что с практической
точки зрения наивыгоднейшей является длительность импульса,
определяемая равенством
АЙОпт = ^,	(8.53)
т. е. наименьшая длительность, при которой обеспечивается
максимальное значение постоянной составляющей выходного
напряжения фазового детектора. Поэтому при тех же процент-
ных отклонениях длительности импульса, имеющих место на
практике, изменение постоянной составляющей получается
наименьшим.
Если же в системе имеется запоминающее устройство, то
при прямоугольной форме импульса и Ди С Тр постоянная со-
276
ставляющая на выходе запоминающего устройства даже при
относительно большой длительности импульса почти не зави-
сит от Ди.	<
§ 8.4. ПОБОЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ ИФАПЧ
Ранее указывалось, что при идеальном запоминающем уст-
ройстве и постоянной начальной расстройке в режиме удержа-
ния напряжение на входе управляющего элемента строго по-
стоянно, поэтому спектр подстраиваемого генератора монохро-
матичен.
Практически все применяемые устройства запоминания не-
идеальны, поэтому в режиме удержания напряжение на входе
управляющего элемента является пульсирующим с частотой
Fp = — . Это приводит к паразитной модуляции фазы под-
Тр
страиваемого генератора, т. е. к обогащению его спектра. Зна-
чение уровня этой паразитной фазовой модуляции чрезвычайно
важно на практике.
Для определения спектра подстраиваемого генератора не-
обходимо решить уравнение:
рр	S Т г*
Ф* (^’£р) ^уэ^р J ^уэ(^’ £р) ^£р “1	j ^уэ(^’ ер)^£р=
о	о
= ад 2	(8.54)
описывающее поведение разности фаз подстраиваемого и эталон-
ного генераторов в произвольный момент времени. Оно полу-
чено подстановкой в выражение (8.3) значения Ф^г(7) из
ф-лы (8.12) и фпг 8р) из Ф‘лы (8.Ю').
Поскольку общее решение этого уравнения неизвестно, огра-
ничимся частным случаем. Предположим, что система достаточ^
но инерционна [условие (8.44) выполняется]. Тогда <рпг<^1, сле-
довательно, и ур-ние (8.54) можно линеаризовать и найти его
решение при использовании в цепи обратной связи простейших
типов фильтров.
Однако само решение достаточно громоздко. К тому же
на практике для достижения высокой фильтрации применяют
сложные фильтры, поэтому не удаётся решить вопрос аналити-
чески.
Для определения паразитной фазовой модуляции воспользу-
емся приближённым методом. Будем полагать, что фпг<^ 1 и
277
исходить из линеаризованной модели ИФАПЧ. Кроме того, будем
считать, что в режиме удержания запоминающее устройство со-
стоит из конденсатора Сн, вентиля Д с внутренним сопротивле-
нием Ri и разрядного сопротивле-
' J*	ния включённых, как показано
I—-Н-	Я на рис. к источнику однополяр-
J1	сн = = И ' ных прямоугольных импульсов
.. jL—   (ИФД).
В этом случае амплитуда импуль-
сов на выходе ИФД определяется
выражением
4фд= ^«акс ~ 	(8.55)
Рис. 8.5. Эквивалентная
схема ключевого детектора
с запоминающим устройст-
вом
Если условие (8.47) выполняется, то можно считать, что в мо-
мент действия импульса конденсатор заряжается полностью.
В промежутке между импульсами конденсатор разряжается на
сопротивление Др =———• по закону ^зу(0 =^ифд е с“ »
здесь АИфД — амплитуда импульса на выходе ИФД.
Для эффективной работы запоминающего устройства необ-
ходимо, чтобы выполнялось условие СН7?Р Тр. В этом случае
для 0</<Тр можно приближённо записать
«ЗУ (0 = 4фд ( 1 - VF-) <t<^+ OTpl. (8.56)
Таким образом, на конденсаторе запоминающего устройст-
ва будут импульсы пилообразной формы с амплитудой
Аи3л? = Лилп-Г2- .	(8.57)
ау ИФД п г	х
Для определения закона и величины девиации фазы под-
страиваемого генератора необходимо найти реакцию фильтра и
управляющего элемента совместно с генератором ПГ (идеаль-
ного интегратора) на воздействие [ф-ла (8.56)].
Однако практически удобнее воспользоваться спектраль-
ными представлениями. Для этого необходимо разложить вы-
ражение (8.56) в ряд Фурье, а затем помножить его на коэф-
фициент передачи по переменному току линейной части си-
стемы.
Разложение переменной составляющей выражения (8.56)
в ряд Фурье имеет вид:
А ... л 2Тп / sinQn/ sin2Qp^ . sin 3QP^ \
i---------— +	  J 
(8.58)
278
В соответствии с этим выражением амплитуда девиации фа-
зы подстраиваемого генератора на n-й гармонике частоты сле-
дования импульсов
Q(rt) __ ЛИФД 5уэгр|^фнч(пйр)|
Рпг “
(8.59)

Из последнего выражения видно, что даже в идеализирован-
ной системе ФАПЧ (при КФНЧ (пйр) = 1] амплитуда девиа-
ции фазы подстраиваемого генератора падает обратно про-
порционально квадрату номера гармоники. Поэтому для прак-
тических расчётов можно учитывать только первую гармонику.
В результате, с учётом (8.55) имеем:
__ ^н^р^фнч (йр)|
?ПГ ~ л/?рСн
(8.60)
Это выражение показывает, что для уменьшения рпг сле-
дует располагать максимумом затухания фильтра на частоте
Qp.
Таким образом, побочные колебания в спектре подстраи-
ваемого генератора определяются его синусоидальной фазовой
модуляцией с индексом рпг. Уровень побочных колебаний
легко определить при помощи функций Бесселя.
Глава 9
Некоторые вопросы
синтеза оптимальных
систем ФАПЧ
§ 9.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
При проектировании систем ФАПЧ обычно задаются требо-
вания, которым должна удовлетворять эта система, и условия
её применения. Необходимо так выбрать схему и параметры
системы, чтобы она наилучшим образом удовлетворяла постав-
ленным требованиям. Такая задача носит название синтеза оп-
тимальной системы.
Иногда встречается случай, когда схема ФАПЧ уже выбра-
на по каким-либо соображениям и требуется лишь найти ее
параметры, при которых характеристики системы будут наи-
лучшими. Такая задача носит название выбора параметров.
Синтез отличается от анализа тем, что для его выполнения
нет твёрдо установленных правил. Кроме того, при синтезе при-
ходится иметь дело с функциями многих независимых и зави-
симых переменных, причём связь между этими переменными
часто не удаётся выразить в аналитической форме. Поэтому
задачи синтеза во много раз сложнее задач анализа.
В настоящей главе рассматриваются отдельные вопросы
синтеза оптимальных систем или выбора оптимальных пара-
метров.
Поскольку система ФАПЧ находит применение в различных
областях радиотехники, радиосвязи и радиоэлектроники, то и
требования, предъявляемые к ней, чрезвычайно разнообразны.
Более того, они часто оказываются противоречивыми (напри-
мер, требования высокой помехоустойчивости и широкой поло-
сы захвата). Большое разнообразие требований к системе
ФАПЧ и частичная их противоречивость создают исключитель-
ные, почти непреодолимые трудности при поиске оптимальной
системы ФАПЧ. Однако в большинстве случаев требуется, что-
280
бы система была оптимальной по одному-двум параметрам при
произвольных прочих показателях её работы. Это позволяет
дополнительно улучшить наиболее важные характеристики си-
стемы за счёт ухудшения некоторых сравнительно малоценных
показателей.
Рассмотрим наиболее характерные случаи. Так, например,
на практике часто приходится создавать систему ФАПЧ, об-
ладающую максимальной полосой захвата и минимальным вре-
менем установления. Поскольку эти требования не являются
противоречивыми, оптимальной в’ данном случае будет идеа-
лизированная система, имеющая наименьшую инерционность и
у3 = 1. Для реализации минимального времени установления
необходимо обеспечить наибольшее значение полосы удержа-
ния. Если к тому же потребовать, чтобы наибольшее время
установления в системе при произвольных фазе включения и
начальной расстройке было минимальным, то существенное'
значение будет иметь форма нормированной характеристики
фазового детектора. Так, при практически встречающихся
Тн < 0,65 для обеспечения минимума наибольшего значения
времени установления следует в соответствии с рис. 2.3 приме-
нять фазовый детектор с прямоугольной характеристикой. Ес-
ли же ун>0,65, то более выгодной оказывается косинусоидаль-
ная форма характеристики фазового детектора.
Второй, не менее часто встречающейся задачей является
проектирование системы ФАПЧ как высокоэффективного уз-
кополосного фильтра, выделяющего немодулированный гармо-
нический сигнал из аддитивной смеси со случайным флуктуа-
ционным процессом. К системе ФАПЧ в таком случае обычна
предъявляются следующие требования:
1)	максимум полосы захвата;
2)	минимум дисперсии фазы подстраиваемого генератора;
3)	минимум математического ожидания (среднего значе-
ния) отклонения разности фаз сигналов эталонного и подстраи-
л
ваемого генераторов от — .
Система ФАПЧ, в которой одновременно выполняются все
указанные требования, может считаться оптимальной.
Как следует из гл. 7, поставленным требованиям идеально-
удовлетворяет астатическая система ФАПЧ, поскольку полоса
захвата в ней ограничивается только возможностями управляю-
щего элемента, так что у3 = 1; среднее значение разности фав
о	,	1 л I
в такой системе Всегда постоянно и равно — , и, наконец,
правильно выбирая её параметры, можно сделать дисперсию
фазы подстраиваемого генератора сколь угодно малой.
Однако как указывалось в гл. 7, астатическая система физи-
чески неосуществима, поскольку идеальный интегратор не мо-
28Г
,жет быть реализован. При использовании в цепи обратной связи
-реального интегратора уравнение системы ФАПЧ эквивалентно
уравнению системы с пропорционально-интегрирующим фильт-
ром. Поэтому можно считать, что она будет близка к оптималь-
ной, физически осуществимой системе. Действительно, из выра-
жений (6.30), (6.32) и (4.84) следует, что в системе ФАПЧ
• с пропорционально-интегрирующим фильтром при	1 и
т<0,5
Поэтому, если задана Q3, как это обычно имеет место на
практике, то с увеличением полосы удержания можно умень-
шать коэффициент передачи фильтра для переменного напряже-
ния в цепи управления. При этом снижается дисперсия фазы
подстраиваемого генератора, и уменьшается отклонение средней
.разности фаз напряжений обоих генераторов от ~ .
Другой, близкой к оптимальной по трём вышеуказанным тре-
бованиям является система ФАПЧ с интегрирующим двигате-
лем. Как было показано выше, она также обладает малой ста-
тической ошибкой и обеспечивает малую дисперсию фазы под-
страиваемого генератора при высоком знамении у3. Недостатком
такой системы является её относительная -сложность.
Следует отметить, что во всех трёх указанных системах од-
новременное выполнение поставленных требований достигается
за счёт увеличения времени установления режима. Это являет-
ся хорошей иллюстрацией улучшения основных параметров при
ухудшении второстепенных.
Третьей характерной задачей при проектировании ФАПЧ яв-
ляется создание системы, наилучшим образом следящей за фа-
зой (частотой) эталонного ФМ и ЧМ сигнала в отсутствие шу-
мов и помех. Оптимальной в данном случае будет система
-ФАПЧ, обладающая минимальной дисперсией разности фаз
(частот) сигналов подстраиваемого и эталонного генераторов.
.Её реализацией является идеализированная система ФАПЧ с
достаточно большой полосой удержания и линейной рабочей
частью характеристики фазового детектора при большой кру-
тизне последней, т. е. с трапециевидной характеристикой фазо-
’вого детектора, по возможности близкой к прямоугольной. За-
дача создания подобной системы встречается при использова-
нии её в качестве неискажающего усилителя ЧМ и ФМ колеба-
ний. Значительно сложнее создать систему ФАПЧ, оптималь-
ным образом выделяющую полезный ЧМ или ФМ сигнал из
аддитивной смеси его со случайным флуктуационным шумом.
Необходимость в этом возникает на практике очень часто при
использовании систем ФАПЧ в качестве частотных или фазовых
:282
дискриминаторов. Ввиду большой сложности поставленной за-
дачи сократим число требований, которым система должна
удовлетворять наилучшим образом. Будем считать последнюю
оптимальной, если она обеспечивает при заданном соотношении
сигнал/шум минимальное значение дисперсии разности частот
или разности фаз.
Решение этой задачи начнём с простейшего случая, когда
соотношение сигнал/шум на входе системы ФАПЧ достаточно
велико, а девиация частоты (фазы) эталонного сигнала тако-
ва, что разность напряжений подстраиваемого и эталонного
сигналов остаётся /в пределах линейного участка характеристи-
ки фазового детектора. Это даёт возможность рассматривать
систему как линейную и для её исследования применять теорию
оптимальной линейной фильтрации.
§ 9.2.	ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ФАПЧ, ОПТИМАЛЬНЫМ
ОБРАЗОМ ВЫДЕЛЯЮЩАЯ ЧМ ИЛИ ФМ СИГНАЛ
НА ФОНЕ АДДИТИВНОГО СЛУЧАЙНОГО ШУМА
Так как полезный сигнал заключён в изменениях фазы (ча-
стоты) эталонного сигнала, принятый статистический критерий
минимума дисперсии разности фаз (частот) подстраиваемого
и эталонного генераторов обеспечивает .наилучшее простое вос-
произведение формы модулирующего сигнала, которая заранее
неизвестна. Использование этого критерия целесообразно также
и потому, что при минимальной дисперсии разности фаз исполь-
зуется наименьший участок характеристики фазового детектора,
которая в -общем случае нелинейна.
В дальнейшем будем предполагать, что на вход системы
ФАПЧ действует фазо (частотно) - модулированный сигнал в
сумме с нормальным стационарным случайным процессом. Фа-
зовый детектор, как и ранее, предполагается идеальным пере-
множителем, а полоса шумов на входе системы значительно ши-
ре её полосы пропускания (полосы частот, занимаемой модули-
рующей функцией).
В данном случае удобно переписать ур-ние (6.51) в виде
р<рЧ-/С(р) Йу cos ф + (О =йн —РФэг (9-2)
Здесь
Вэ (0 = А (/) cos (ф + Фэг) + С (f) sin (ф + фэг).
Поскольку предполагается, что аргумент косинуса и синуса
меняется значительно медленнее, чем функции А(/) и C(t),
можно считать их не коррелированными с указанным аргумен-
том. Поэтому среднее значение функции £э (t) равно нулю,
а её дисперсия равна дисперсии входного шума, причём корре-
283
ляционная функция процесса %9(1) практически совпадает с кор-
реляционной функцией A (t) и С(0 •
Уравнение (9.2) описывает систему ФАПЧ, находящуюся
под действием случайных помех как при ФМ, так и ЧМ сиг-
нале. В случае ЧМ сигнала на входе под модулирующей функ-
цией следует понимать (величину рсрэг.
Для нахождения оптимальной системы ФАПЧ и её парамет-
ров запишем дисперсию разности фаз обоих генераторов:
ОО
*2 = — fsc(«)| 1 -FJico)^ +
—co
00
+	r(Q)|F4(ico)|Mco.	(9.3)
ZJt J П1
—oo
Здесь Sc(o)) —спектральная плотность девиации фазы эта-
лонного сигнала, обусловленной действием модулирующей
функции (рэг (0;
S^nr (ю) —спектральная плотность девиации частоты под-
страиваемого генератора, вызванной действием шума;
т
F4(io>) = -------- =7'cIF1(ioj) —передаточная функция
1 + ^
К(р)
по шуму (отношение девиации фазы подстраиваемого гене-
ратора при замкнутой цепи обратной связи к девиации частоты
при разомкнутой обратной связи).
Из структуры выражения (9.3) видно, что дисперсия разно-
сти фаз представляет собой сумму двух составляющих, обуслов-
ленных полезным сигналом и шумо-м. Поскольку и W4 свя-
заны линейной зависимостью, задача синтеза оптимальной си-
стемы ФАПЧ при заданных 5с(<о) ^£^(<0) сводится к отыс-
канию такой функции IFi, при которой будет^минимальной.
Заменив в выражении (9.3) W4 через перепишем его в сле-
дующем виде:
оо
- о2=A f !5< (“) ।1 - а “) I2+тлпг <(ъ) ।vщ) пd ш- {9-4>
—оо
Для того чтобы .было минимальным, достаточно, чтобы
при любом значении to подынтегральное выражение было так-
же минимальным.
Передаточную функцию Wx (ico) можно представить следую-
щим образом:
IFi (i со) = | Wi (i со) | cos (со) + i | Fi (i со) | sin <f>w (co).	(9.5)
284
Здесь <pr (w) —'фазовый сдвиг, создаваемый четырёхполюс-
ником с передаточной функцией W\ (ico).
При помощи ф-лы (9.5) подынтегральное выражение в (9.4)
можно записать в виде
/(ш) = 5с(ш) 1 +
$С (®) + $ шпг (®)
Sc (со)
|IV\(i Ш)Р7^-
— 21 №1 (i U>) I cos <plF (<о)
(9.6)
(9.7)
Отсюда следует, что, поскольку f (со) согласно выражению
(9.4) — величина заведомо положительная, её минимальное
значение может быть получено только при ср^. (<о) = 0.
Функция ]Wzi(i<o)|, при которой о% минимальна, когда
(со) = 0, определяется выражением
| Гх (i <о) | =--------------
1	Sc (со) + Т2С Smnr (со)
Таким образом, передаточная функция оптимальной системы
ФАПЧ .не должна вносить фазовых сдвигав и в то же время
должна иметь модуль коэффициента передачи, зависящий в об-
щем случае от частоты. Такая передаточная функция является
физически не осуществимой. Тем не менее, она представляет
большой интерес, так как при её помощи можно определить
теоретически достижимый предел снижения о2.
Подставляя ф-лу (9.7) в выражение (9.4), имеем:
, 00	Sc (со)	,
2	i г----------
°ф мин мин “	) ] I ------—-----------
Л Тс25(ппг(соГ
(9.8)
Это выражение определяет предел, к которому следует стре-
миться при проектировании физически осуществимой системы
ФАПЧ. Оно также позволяет найти, насколько реальная систе-
ма хуже теоретической оптимальной, но не осуществимой фи-
зически системы.
Интересно заметить, что выражение (9.7) по форме совпа-
дает с частотной характеристикой оптимального линейного
фильтра, воспроизводящего форму сигнала. На входе такого
фильтра действует сигнал со спектральной плотностью Sc(co) и
аддитивный шум со спектральной плотностью ^с^пг(с°)-
Такой результат объясняется тем, что аддитивный шум, -нала-
гающийся на эталонный сигнал в линеаризованной системе
ФАПЧ, всегда можно заменить эквивалентным шумом, который
накладывается на полезный сигнал, модулирующий по фазе
эталонный сигнал.
285
Действительно, зная, что на выходе фазового детектора ли-
неаризованной ФАПЧ действует случайный шум кото-
рый приводит (при разомкнутой петле обратной связи) к час-
тотной модуляции подстраиваемого генератора со спектральной
плотностью девиации частоты ^пг (°), можно найти спект-
ральную плотность девиации фазы последнего при замкнутой
петле обратной связи:
\пг О) = \пг И | Wt (i u>) 1*.	(9.9)
Далее, при помощи передаточной функции W\ (ico) замкнутой
системы находим спектральную плотность эквивалентной фазо-
вой шумовой модуляции эталонного сигнала
SmM = S (ш) ..|В7*(!ц>)|2 =5 МТ2. (9.10)
/	0>пг\ / |U71(ico)j2	0)ПГ' ' с	\	/
Таким образом, видим, что задача определения оптимальной
передаточной функции линеаризованной ФАПЧ при фазовой
модуляции эталонного сигнала и малом аддитивном шуме на
входе полностью совпадает с задачей нахождения оптимального
линейного фильтра, воспроизводящего форму полезного сиг-
нала на фоне аддитивного шума. Эта аналогия позволяет вос-
пользоваться выводами теории линейной оптимальной фильтра-
ции в более сложном случае, когда требуется найти оптималь-
ную физически осуществимую передаточную функцию системы
ФАПЧ.
Из теории линейных цепей известно, что передаточная функ-
ция Wx (ico) связана с импульсной реакцией системы б (/) пре-
образованием Фурье:
U71(i(o)= Jg(t)eMdt.	(9.11)
—оо
Импульсная реакция любой физически осуществимой цепи
должна удовлетворять условию
^) = 0	(9.12)
Это условие является отображением того, что сигнал на вы-
ходе любой реальной цепи не может появиться ранее, чем на её
входе.
С учётом ф-лы (9.12) выражение (9.11) можно записать
следующим образом:
(i ш) = J g(i) e‘oi dt.	(9.13)
6
В работе [81] показано, что физически реализуемая переда-
точная функция линейной оптимальной системы, выделяющей
сигнал на фоне флуктуационных помех, определяется выраже-
нием
^опт
—*----(
2л Si (i со) J
о
5с(“)е,<0'	.
cv ’-------ао>.
Si (— i со)
dt (9,14) г
которое справедливо, если сигнал и помеха статистически неза-
висимы. В этом выражении величина Si(ico) представляет собой'
комплексный энергетический спектр суммы сигнала и помехи
на зыходе системы. В данном случае
|5i(io>)|2 = Se(o>) + Tc2SMnr(<0).	(9.15).
Поскольку Sc(g>) .и 5шпг (со) считаются известными, то
Si(ico) и Sp(—ico) можно согласно [81] найти по формулам:
Si(i со) = /Sc^ + ^S^^co) e-if<m),	(9.16).
Si (- i ш) = /Sc (co)+ 723^(0))	(9.17)
где
„7 >n [sc(») + r>S_nrM
Ф (“) = — -------------
nJ	Ш2 - Ш2
d <s>x-
(9.18),
Если система имеет оптимальную передаточную функцию, оп-
ределённую из ур-ния (9.14), то минимальная среднеквадратич-
ная ошибка [80]
ОО
4mbh=^J (5еН-l^onT(i “>) I2 [ScH + ЛЧ1ПГ(“)]}	(9-19).
—оо
Приведённые выражения позволяют отыскивать физически
реализуемую оптимальную передаточную функцию системы
ФАПЧ при произвольном виде спектров сигнала и помех. Од-
нако вычисления по этим формулам достаточно громоздки и
не всегда выполнимы, поскольку интегралы в ф-лах (9.14) и
(9.18) не всегда берутся. Но для широкого класса практических
задач функции Sc(co) и Тс25шпг(ш) являются дробно-рацио-
нальными чётными функциями от со или хорошо аппроксими-
руются ими. В этом случае определение U^iOnT (ico) значи-
тельно облегчается.
Прежде всего, заметим, что если Sc(<o) и T^S^r^) —
чётные дробно-рациональные функции, то и их сумма |SX (i<o) |2'
является также дробно-рациональной функцией. Если к тому
же полюсы расположены в комплексной плоскости парами, сим-
287
метричньши относительно действительной оси, то (Находить
-Si (ico) и ЗД—ico) по |Si (ico) |2 можно простым способом.
Для этого необходимо найти корни числителя и знаменателя
функции |ЗДко)|2 и затем разбить её на два сомножителя,
у одного из .которых все нули и полюса .лежат в верхней полу-
плоскости, а у другого — в нижней. Первый из них будет
являться функцией Si(ico), а второй — функцией ЗД—ico),
так что
I «Si 0 в>) |2 = Sx (i <о) Si (— i e>).
(9.20)
Обратимся теперь к ф-ле (9.14). Если бы выражение — 
Si (— i со)
в ней было бы изображением по Фурье некоторой физически
реализуемой переходной импульсной функции g(t), то второй
интеграл вместе со множителем — как раз и представлял бы
2л
собой оригинал этого изображения, г. е. g(t). Но тогда вычис-
ление первого интеграла привело бы от функции g(t) к ее изо-
бражению. Таким образом, интегрирование по частоте и интег-
рирование по времени были бы взаимнообратными операциями
и компенсировали бы друг друга, так что в результате получи-
лось бы
W 1 опт (i
1
S1 (i со)
Sc (со)
Si (— i со)
(9.21)
v	So (со)
В действительности же отношение —— — не является
Si (-ico)
изображением Фурье физически реализуемой переходной им-
пульсной функции, а представляет собой (если функции ЗДсо)
и ЗД—ico) — дробно-рациональные) дробно-рациональную
функцию, которую всегда можно представить в виде суммы
простейших дробей. Разбив её на простейшие дроби и сгруппи-
ровав их так, чтобы у первого слагаемого все .нули и полюсы
лежали в верхней полуплоскости, а у второго — в нижней, при-
ходим к выражению
Sc (со)
Si (— i со)
Sc (со) 14~ Sc (со)
Si (— i <o)J Si (— i co)
(9.22)

Из теории линейных цепей [64] известно, что четырёхполюс-
ник, все полюсы частотной характеристики которого лежат
в верхней полуплоскости, является физически реализуемой
цепью, у которой g(/)=0 при /<0. Поэтому первое слагаемое
в ф-ле (9.22) представляет собой изображение Фурье физиче-
ски реализуемой функции g(t).
Второе слагаемое, имеющее полюсы в нижней полуплоско-
сти, является изображением Фурье не реализуемой физически
функции g*(t) [£*(/) =0 при ^>0]. Подставляя выражение
:288
(9.22) в (9.14) в результате первого интегрирования (по (о),
получим сумму оригиналов, т. е. g(t)+g*(t). Поскольку второе
интегрирование (по /) выполняется при />0, то интеграл от
второго слагаемого равен .нулю. В результате получим
опт (1 ш) =-?---Г ]+.	(9.23)
V ’ Si(ico) Lsi(—ico)J	v ’
Интересно сравнить это выражение с (9.7), которое было
получено без учёта физической реализуемости оптимальной пе-
редаточной функции. Выражение (9.7) всегда можно предста-
вить в виде (9.21). Из сопоставления ф-л (9.21) и (9.23) вытекает,
что в физически реализуемой функции Опт (ico) использует-
<SC (о))
ся только часть выражения —, соответствующая час-
тотной характеристике реализуемой линейной системы.
Рассмотрим пример вычисления Wi 0Пт (iw) по заданному
Sc(fi>) и T2S (со).
Предположим, как это обычно имеет место, что полоса про-
пускания линейного устройства, предшествующего системе
ФАПЧ, много шире полосы пропускания самой ФАПЧ, тогда
можно приближённо считать, что
T^S (со) = const = С2.
с <°ПГ ' 7
Далее, пусть
Sc(o>) =
___До_
а2 со2
Складывая выражения (9.24) и (9.25), получаем
I $!0 “>) I2 =
До 4- С2я2 + С2 со2
а2 ф со2
(/До	С2я2 4- i со С) ( |Л40 4- С2а2 — i со с)
(а 4- i со) {а — i со)
Отсюда следует, что
,М. НДг±£!£!.±-1»с.
х v 7	af io)
,	. n. _ VA^CW-iaC
(9.24)
(9.25)
(9.26)
(9.27)
(9.28)
Разделив .выражение (9.25) на (9.28) и разбив результат на
два слагаемых, получим
Sc (СО) = _____________До________________,
Si(— ico) (аС 4*/До ф С2а2)(а+ico) Т
I __________________ДС____________________
(аС /До 4- С2а2) (/До 4* С2а2 — i со С)
19—793
289
Первое слагаемое имеет полюс при со = ia, т. е. в верхней
полуплоскости, и, следовательно, соответствует физически реа-
лизуемой импулысной реакции. Разделив это слагаемое на пра-
вую часть выражения (9.28), получим
опт  ........... л°— ---------------------!---------
(аС /До + С2аг) (/До + а2С2) . , С
+ /Д0Д-а2С*
Таким образом, оптимальная передаточная функция
ставляет собой соединение безынерционного делителя с
фициентом деления
. (9.30)
пред-
коэф-
(9.31)
(9.32)
д Ло + а2С2 + аС /До + а2С2
и интегрирующей цепочки с постоянной времени
Т =________-____
опт ’
Итак, эквивалентные параметры оптимальной передаточной
функции замкнутой системы ФАПЧ найдены. Теперь нужно оп-
ределить параметры четырёхполюсника, включаемого в цепь
обратной связи системы ФАПЧ, при котором реализуется
1 ОПТ 0® ) .
Приравнивая общее выражение (5.15) для передаточной
функции линейной системы ФАПЧ её оптимальному значению
(9.30), получаем следующее выражение коэффициента переда-
чи фильтра нч:
K(i со) =-----.	(9.33)
(i_0 + itoA.)
\	1 — «д/
Из структуры этого выражения видно, что четырёхполюсник
с таким коэффициентом передачи представляет собой последо-
вательное включение безынерционного усилителя с коэффициен-
Т k
том передачи ----, идеальной дифференцирующей цепи
т
и реальной интегрирующей цепочки с постоянной времени ——.
1 — Йд
Поскольку идеальный дифференциатор неосуществим, то четы-
рёхполюсник с коэффициентом передачи, определяющимся
ф-лой (9.33), также неосуществим.
Следует отметить, что даже если бы этот четырёхполюсник
был осуществим, то его включение в цепь обратной связи недо-
пустимо, поскольку оно привело бы к потере постоянной состав-
ляющей сигнала на входе управляющего элемента, а следова-
тельно, к нарушению синхронизма в системе.
Можно, однако, построить такой четырёхполюсник, который
будет по своим свойствам приближаться к рассмотренному,
причём постоянная составляющая не будет потеряна.
290
На рис. 9.1 представлена блок-схема системы ФАПЧ. пере
даточная функция которой может в широкой облает час юг
совпадать с ^10пт(1со). Как видно из рисунка, цепь управле-
ния ФАПЧ состоит из двух
ветвей. По одной из них (/?)
передаётся постоянная состав-
ляющая, обеспечивающая под-
стройку, а по второй — пере-
менная составляющая, которая
определяет IFJico) в области
со>0. Выходные напряжения
обеих ветвей складываются в
сумматоре С.
Определяя постоянную вре-
мени реальной интегрирующей
цепочки ИЦ, входящей в ветвь
Рис. 9.1. Блок-схема системы
ФАПЧ, близкой к оптимальной
переменного тока, в соответствии с ф-лой (9.32), уменьшая по-
стоянную времени реальной дифференцирующей цепочки ДЦ и
выбирая соответствующим образом усиление безынерционного
усилителя БУ, можно всегда получить передаточную функцию
в этой системе, сколь угодно близкую к 1^10пт(1о)).
Интересно заметить, что если в ф-ле (9.25) а = 0, то, как сле-
дует из выражения (9.31), &д=1, и, следовательно,- ^1Опт(1со)
реализуется в обычной системе ФАПЧ при К(р) =1 (идеали-
зированная система) с постоянной времени Тс, определённой
согласно ф-ле (9.32) при а = 0. Эта система является опти-
мальной и 'в тех случаях, 1к1о'пда не выдвигается требование мини-
мальной дисперсии разности фаз обоих генераторов, а нужно
лишь воспроизвести при её помощи передаваемое сообщение
с линейным усилением.
Выразим теперь параметры оптимальной передаточной функ-
ции [ф-ла (9.29)] через среднеквадратичное отклонение фазы
эталонного сигнала, вызванное полезным сообщением, и соот-
Р
ношение — на входе системы ФАПЧ. Величина среднеквадра-
Рщ
тичного отклонения фазы эталонного сигнала связана с энерге-
тическим спектром этого отклонения следующим соотношением:
о2
тэг
оо
-К f Sc (о>) d <0.
ЗЯ
О
(9.34)
Подставив в это выражение значение Бс(со) из ф-лы (9.25)
и выполнив интегрирование, найдём
а2 = —0 .
?ЭГ 4а
(9.35)
19*
291
Для определения коэффициента С из ф-лы (9.24) подставим
в неё выражение для S (<о) из (6.175) и, учитывая, что
£у = 5уэ £7ПГ ]/ 2РС, получим

(9.36)
Из выражений (9.30), (9.35) и (9.36) следует, что парамет-
ры оптимальной передаточной функции, а следовательно, и па-
раметры оптимального фильтра, включаемого в цепь управ-
ления, зависят от формы энергетического спектра сигнала, его
мощности, отношения мощности сигнала к мощности шума на
входе системы ФАПЧ, полосы пропускания линейного устрой-
ства, предшествующего этой системе, и крутизны нормирован-
ной характеристики фазового детектора в точке равновесия.
Для приёма сообщения при использовании системы ФАПЧ,
как фазового детектора, сигнал снимается со входа управляю-
щего элемента. Поскольку он пропорционален производной фа-
зы подстраиваемого генератора, то для получения напряжения,
пропорционального самой фазе, необходимо пропустить, как
обычно, этот сигнал через интегрирующую цепочку.
В том случае, когда система ФАПЧ оптимальным образом
должна следить не за фазой эталонного сигнала, а за его часто-
той, оптимальной следует считать систему, у которой мини-
мальна дисперсия разности частот обоих генераторов.
Задача определения оптимальной передаточной функции
для этого случая аналогична задаче, рассмотренной выше. Дей-
ствительно, дисперсия разности частот определяется выраже-
нием
оо	оо
i J 5ШЭГ (<0) I 1 - W. (i < d <0 + A- J 5ипг (Ш) |Г2 (i < d <0.
—ОО	—ОО
(9.37)
Здесь	(со) — спектральная плотность де'виации час-
тоты эталонного сигнала, вызванной полезным сообщением.,
Подставляя в ф-лу (9.37) выражение W2(ico) из (5.38), по-
лучаем:
00
J 12,1
—oo
(9.38)
—oo
292
Сравнивая это выражение с ф-лой (9.4), замечаем, что их
различие обусловлено только иной формой энергетического
спектра помех, и, следовательно, ^ionT (i®) можно определить
по ф-лам (9.7) и (9.23), в которых вместо	(со) Тс2 нуж-
но подставлять величину ----------. Порядок же расчёта ос-
(02
таётся прежним.
Если система ФАПЧ используется в качестве частотного
детектора, то полезный сигнал снимается непосредственно со
входа управляющего элемента. Казалось бы, что в этом случае
оптимальной следует считать такую передаточную функцию си-
стемы ФАПЧ, при которой дисперсия разности частот обоих
генераторов минимальна. Однако это далеко не так. Минимум
дисперсии разности частот ещё не означает минимума диспер-
сии разности фаз. Поэтому возникает большая опасность нару-
шения линейности режима работы системы ФАПЧ, что может
привести к недопустимым искажениям принимаемого сигнала.
Поэтому следует выбирать передаточную функцию замкну-
той системы ФАПЧ из условия минимума дисперсии разности
фаз. При этом передаточная функция самой системы ФАПЧ
не будет оптимальной для случая приёма ЧМ сигнала, и сигнал,
снимаемый со входа управляющего элемента, следует пропус-
тить через такой корректирующий четырёхполюсник, чтобы ре-
зультирующая передаточная функция всего устройства была
оптимальной.
Пусть, например, оптимальная передаточная функция, при
которой дисперсия разности фаз минимальна, определяется вы-
ражением (9.7). Тогда в соответствии с приведёнными выше
правилами нахождения этой функции
^1оп,(»)=-------«,,) .	(9.39)
Q	1 С ШПГ
Предположим, что модулирующая функция как при ФМ,
так и при ЧМ одна и та же. Тогда с учётом того, что
5шзг(со) = co2Sc(cd), разделив выражение (9.39) на (9.7),
можно найти частотную характеристику WK(i(o) корректирую-
щего четырёхполюсника:
[5с(®) + 5шпг(®)Гс2]
П/к (i со) =--------------------------.
а>4 Sc (<o) + 3<опг(й>) Г2
(9.40)
Аналогично можно найти оптимальный корректирующий че-
тырёхполюсник и в том случае, когда требуется, чтобы передаточ-
293
ная функция системы ФАПЧ, при которой дисперсия разности
фаз минимальна, была физически осуществима. Однако вычис-
ления при этом становятся более громоздкими.
§ 9.3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ФАПЧ
В НЕЛИНЕЙНОМ ^ПРИБЛИЖЕНИИ
Рассмотрим случай, когда нелинейные свойства системы
ФАПЧ необходимо учитывать. Это имеет место при малом со-
отношении сигнал/шум, а также при большой девиации фазы
принимаемого сигнала.
Строгое исследование этого вопроса в настоящее время
практически невыполнимо ввиду непреодолимых математичес-
ких затруднений, поэтому прибегают к приближённым методам.
Одним из эффективных современных методов исследования,
позволяющих приближённо решать поставленную задачу, яв-
ляется изложенный выше метод статистической линеаризации.
Поскольку он даёт возможность заменить нелинейный элемент
некоторым эквивалентным линейным элементом, в этом случае
можно пользоваться тем же критерием оптимальности, который
был принят при синтезе оптимальной линейной системы ФАПЧ.
Согласно этому критерию оптимальной нелинейной системой
ФАПЧ будем называть такую систему, которая обеспечивает
минимум дисперсии разности фаз (частот) обоих генераторов.
Отличие найденной методом статистической линеаризации оп-
тимальной передаточной функции от истинно оптимальной опре-
деляется тем, что при этом методе не учитываются искажения
формы корреляционной функции сигнала на выходе нелиней-
ного элемента.
Воспользовавшись введёнными в § 6.5 понятиями переда-
точных функций в нелинейной системе ФАПЧ, можно найти
дисперсию разности фаз генераторов при действии на вход си-
стемы ФАПЧ ФМ сигнала и аддитивного шума.
Складывая выражения (6.173) и (6.177), имеем:
оо
%2 = ё С sc(«))|i-r13(i<d«> +
—оо
оо
+ -^ J	(9.41)
-ОО	'
Сравнивая это выражение с ф-лой (9.3), замечаем, что по
форме они одинаковы. Существенное различие между ними со-
стоит в том, что в выражении (9.41) функции (io) и
Ц74э(цо) зависят от сг; и от среднего значения разности фаз
294
Оптимальная передаточная функция сисюмы ФАПЧ, при ко-
торой в выражении (9.3), аналогичном (9.41), минимальна,
уже найдена (ф-лы 9.7) и (9.23)}. Выше было показано, что
при учёте нелинейности и К.(р) — \ система ФЛПЧ эквивалент*
на некоторой линейной системе ФАПЧ, у которой вместо по-
стоянной времени Тс вводится постоянная времени Тсэ — —— ,
Qy ki
зависящая от сф Поэтому для получения оптимальной пере-
даточной функции в ф-лах (9.7) и (9.23) необходимо заменить
Тс на Тс3.
Зная оптимальную передаточную функцию и энергетиче-
ские спектры сигнала и помех, -можно найти по выражениям
(9.8) и (9.19) минимальную дисперсию разности фаз, по кото-
рой затем можно найти и [ф-ла (6.172)].
Пусть, например, спектр модулирующего сигнала равноме-
рен в полосе частот 0<f</B. Полигая, что спектр шума рав-
номерен в полосе, значительно более широкой, можно, подста-
вив в выражение (9.6) вместо Тс величину ТсЭ и проинтегриро-
вав его, найти дисперсию разности фаз в оптимальной нели-
нейной системе ФАПЧ:
а2 ____	5 с (<*>) 2/в
<рмин~ ] 5с (со)
+ 5Шпг(Ю)^э
(9.42)
Нетрудно заметить, что при Sc(со) = const, Sc(co)2fB=:
—	. Мощность полезного сигнала на выходе фазового де-
тэг
тектора Рсвых^о'2 , а мощность шума на выходе детектора
тэг
при	(со) = const, Лпвых = 50зпг (ш)Т^э’2/в . Воспользовав-
шись этими равенствами, перепишем выражение (9.42) в сле-
дующем 'виде:
2	?эг
О2 =-------------
ермин /рс \
!+Иг
\ "ш вых
Из выражения (6.175) имеем
2%г(со)77
Я £уэ ^пг
(9.43)
(9.44)
Можно показать, что мощность полезного сигнала на входе
системы связана с полосой удержания следующим соотноше-
нием:
295
тт2
°уэ ипг
Из выражений (9.44) и (9.45) имеем
/ Р с \ _ _______________
\ Рщ / вх ^»ПГ	Т’сэ ^1
(9.45) :
(9.46) 1
Умножая числитель и знаменатель правой части этого ра-
венства на 2 а2 /в, получаем
?эг
, о2 k\n
\	__ / гс \	^эг
Р ui /вых	\ Рш /вх 2л /в
(9.47)
Подставив ф-лу (9.47) в (9.43), найдём
а2
<Р мин
(9.48)
Это выражение вместе с (6.166) или (6.167) позволяет оп-
9	£ Г /	\ 7Z 1
ределить зависимость ол мин = / I —ь	'> —г ПРИ заданных
*	|_\ Рш/ вх 2л /в J
% и Тн.
?эг
В случае очень большой и очень малой дисперсии вычисле-
ние ^мин можно значительно упростить.
при <Л»1И <г<1 величина в;мин«1-
/ в \ /вх ЭГ	ЭГ
Тогда из выражений (6.166) и (6.167), учитывая ф-лы (6.165)
и (6.172), имеем:
При Д(х)./?э/'<<1'"Чг>''
(J
<р мин
Для этих двух случаев ^„ин вычисляется по более
простым формулам:
9	/ Р Ш \ 2л йз
% мин ~	)вх	>	(9-49)
^мин~%2эг-	(9-50)
296
На рис. 9.2 в
а2 = #17.АЛ _
(рмин ' I г> <
1_\ /вх *
построенные по ф-лам (6.165) и (9.48).
При помощи этих кривых и ф-лы (9.47) построены зависи-
мости	,	,
\ Рш /вых L ™ЭГ
Эти кривые показывают,
а2 ) значении
<рэг'
качестве примера показаны зависимости
- при ун=0 и нескольких значениях а ,
bJ	тэг
a
^эг
/ЛА П 1
Wш / вх 2тС /в.
что при
и % > 1
?эг
приведённые на рис. 9.3.
некотором (зависящем от
линейная зависимость
* ш/вх
нарушается. Это
говорит о наличии порога
\ /вых \ •f'm/BX
помехоустойчивости системы ФАПЧ, чего нельзя было обна-
ружить при линейном анализе.
Далее нужно -было бы вычислить реальную передаточную
функцию оптимальной системы ФАПЧ и найти дисперсию раз-
ности фаз в последней с учётом её нелинейности. Однако эти
вычисления весьма громоздки.
Покажем, что дисперсия разности фаз в простейшей идеали-
зированной системе ФАПЧ мало отличается от дисперсии в
системе с оптимальной передаточной функцией, если полоса
удержания её выбрана соответствующим образом.
Передаточная функция нелинейной идеализированной си-
стемы ФАПЧ имеет вид:
Г1э(1о)>
1
1	7’сэ<л)
(9.51)
Подставляя это выражение в ф-лу (9.41) и учитывая, что
Sc(®)=const и 5шпг (<о) = conts, получаем:
= 02 fl— ^^arctg-b-
<рэг L /в ^1йу
Заменяя в этом выражении
выражения (9.47), получаем:
— °2 Г 1~ аГС tg
? фэг	fB ъ
_4_ +
(9.52)
। kj Qy / Руд \
4/в \ Pc /вых.
при помощи
зтйу
2ktn 02
Ъг
Найдём теперь такое значение Qy, при котором мини-
мальна. Аналитическое определение этого значения в общем
/ Ре \
случае затруднительно, поскольку при малом ——	статисти-
\ Рщ /вх
ческий коэффициент k{ представляет сложную зависимость от
(р \	______
—- ) >1иа < 1, то k\ = ]/ 1—и тогда полоса
Рш /вх	’ЭГ
удержания, соответствующая минимальной о2, определяется
297
298
Рис. 9.2^ Зависимость дисперсии разности фаз в оптимальной не-
линейной системе ФАПЧ от параметров системы и шума
Рис. 9.3. Зависимость порога помехоустойчивости
системы ФАПЧ от параметров эталонного сигнала
и шума
выражением:
з	_.	—
2,„„-1.37/.1/	J1"'")	АЧ .	(9.м>
У	ЭГ	\ Гш /вх
а минимальная дисперсия разности фаз
32	0.51 / Рш\ 1/Л(1~ь)22я?в°?эг /Рс\ (9.55)
Т 1 ~ 7н \ Ре )вх V	П \Рш /вх ’
/ р \ и
В другом крайнем случае пр,и kx —— --------< 1
ТЭГ \ Рщ. /вх 2л /в
величина Оуопт-^О. Однако уже при
2уопт^0,15/ДТЦ аз	(9.56)
\ Рш /вх ЮГ
дисперсию разности фаз с высокой степенью точности можно
определить из ф-лы (9.50). Для промежуточных значений
(Р \
— I оптимальная величина Qy находится путём численного
Рщ / вх
расчёта из ф-л (9.53) и (6.166). Результаты расчёта йуОпт
п	77 / Рс \
при уН“0 и различных значениях ---- ——	и а приведе-
2л /в \ Рш /вх ^эг
ны на рис. 9.4. С помощью кривых этого рисунка и ф-л (9.47)
и (9.53) можно найти зависимости:
Расчёты показывают, что система ФАПЧ без фильтра с оп-
тимальной полосой удержания даёт возможность при задан-
ном —-| получить —-I	всего на 1-4-2 дб меньше, чем
\ Р I	J	\ Р
\ /вх	\ пц /вых
в системе ФАПЧ с оптимальной физически не реализуемой пе-
редаточной функцией. Поэтому для определения порога эф-
фективной работы идеализированной системы можно пользо-
ваться графиком рис. 9.3.
Таким образом, идеализированная система ФАПЧ с поло-
сой удержания, регулируемой в зависимости от —М , по-
\ Рш /вх
зволяет обеспечить приём фазо-модулировавного сигнала © при-
сутствии шумов примерно с такими же качественными пока-
зателями, как и система ФАПЧ с оптимальной физически не
реализуемой передаточной функцией, параметры которой за-
(Р \	/ р \
—-J . Заметим, что с падением I—-	для полу-
Рш /вх	\ Рш /ВХ
чения минимума приходится уменьшать Qy, что приводит к
299
снижению полосы захвата .и увеличению среднего значения
разности фаз эталонного и подстраиваемого генераторов. Во из-
бежание этого следует применять не идеализированную систе-
му ФАПЧ, а систему с пропорционально интегрирующим
фильтром при тТу^>1, которая, как показано выше, обеспечи-
вает такую же дисперсию разности фаз, что и идеализирован-
ная система с полосой удержания тйу. В этом случае можно
Рис. 9.4. Зависимость оптимальной относительной полосы
удержания от параметров эталонного сигнала и шума в оп-
тимальной системе ФАПЧ
обеспечить не только оптимальный приём ФМ сигнала, но и
сделать полосу захвата достаточно большой, а статическую
ошибку малой.
На практике линейный режим работы системы ФАПЧ не
всегда может быть достигнут. Поэтому при синтезе оптималь-
ной линейной системы ФАПЧ был рассмотрен также вопрос о
выборе её оптимальных параметров с учётом нелинейности ха-
рактеристики фазового детектора при гауссовом распределении
фазы эталонного сигнала. При этом согласно теории оптималь-
ной фильтрации Винера—Колмогорова [102] оптимальная фильт-
300
рация достигается в эквивалентной линейной системе, а любая
нелинейная система будет давать худшие результаты.
На практике же встречаются случаи, когда закон распре-
деления фазы (частоты) эталонного сигнала отличается от
нормального.
В работе [60] рассматривался случай приёма ФМ и ЧМ сиг-
налов на фоне флуктуационных шумов при марковском харак-
тере модулирующей функции. При этом заранее предполага-
лось, что дисперсия разности фаз достаточно мала. Были най-
дены оптимальные блок-схемы (типа ФАПЧ) приёма этих сигна-
лов. В частности, для приёма ФМ сигнала, спектральная плот-
ность которого Sc(co)=—, оптимальной оказалась идеализи-
рованная система ФАПЧ, полоса удержания в которой являет-
ся функцией времени. Поскольку эта система получается слож-
ной, в работе показано, что обычная идеализированная систе-
ма ФАПЧ, у которой полоса удержания .постоянна и выбрана
соответствующим образом, очень близка к оптимальной.
Глава 10
Электрический
расчёт различных
систем ФАПЧ
§ 10.1.	ЗАДАЧИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ИНЖЕНЕРНОЙ
ПРАКТИКЕ
Целью настоящей главы является показать, как использо-
вать практически материал, изложенный в предыдущих гла-
вах, как выделять основные моменты, определяющие проекти-
рование системы и требования к её элементам.
Подход к проектированию и расчёт конкретной системы
ФАПЧ зависят от назначения этой системы и условий её при-
менения. Поскольку охватить всё многообразие конкретных
условий невозможно, ограничимся рассмотрением только наи-
более характерных случаев.
Приступая к проектированию системы ФАПЧ, необходимо,
прежде всего, составить перечень требований к ней и условий
её применения, т. е. уяснить задачу для данного конкретного
случая. После этого нужно определить, какие требования яв-
ляются главными и определяют собой блок-схему устройства.
Так, например, если система ФАПЧ используется в качестве
узкополосного фильтра, выделяющего немодулированные коле-
бания на фоне флуктуационных помех, то главным будет тре-
бование малой паразитной модуляции фазы подстраиваемого
генератора. В этом случае можно применять обычную систему
ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.
Если дополнительно накладывается требование малой сред-
ней установившейся разности фаз, целесообразно использовать
систему ФАПЧ с интегрирующим двигателем. Она может ока-
заться целесообразной также при замираниях эталонного сиг-
нала.
302
В случае использования ФАПЧ как детектора ФМ или ЧЧ
сигналов главными будут требования помехозащищёпшичи си-
стемы и линейности характеристики фазового детектора.
При ,ис'пользюва1нии системы ФАПЧ ib (качестве фазового или
частотного модулятора на первое место выдвигаются требова-
ния линейности модуляционной характеристики и минимума
частотных искажений.
Если система ФАПЧ применяется для умножения или деле-
ния частоты, главными являются требования стабильности ко-
эффициента деления или умножения и малого уровня побочных
колебаний. В этом случае целесообразно применить схемы им-
пульсно-фазовой автол одстройки.
При расчёте системы ФАПЧ обычно задаются: 1) стабиль-
ность источников питания; 2) диапазон изменения физических
величин, характеризующих условия её применения (темпера-
тура, влажность, давление, вибрация и т. п.); 3) параметры
эталонного сигнала (частота, амплитуда, закон модуляции);
4) параметры выходного сигнала (частота, амплитуда, допу-
стимый уровень паразитной модуляции фазы или частоты
и т. п.). Вместо первого и второго условий часто даётся значе-
ние собственной нестабильности частоты подстраиваемого и
эталонного генераторов.
Рассмотрим несколько примеров расчёта.
§ 10.2.	РАСЧЁТ СИСТЕМЫ ФАПЧ, ВЫДЕЛЯЮЩЕЙ
ГАРМОНИЧЕСКИЙ СИГНАЛ НА ФОНЕ ДИСКРЕТНЫХ
И ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПОМЕХ
Исходные данные:
1.	Частота эталонного сигнала —созг *
А®3г
2.	Нестабильность его частоты еэг= +--- .
°эг
3.	Амплитуда эталонного сигнала U3r .
4.	Аддитивная помеха представляет собой сумму гармони-
ческого сигнала с амплитудой Un и частотой соп и нормального
случайного шума со спектральной интенсивностью, близкой к
колокольной кривой, и дисперсией о2. Интегральная полоса
пропускания линейных устройств, предшествующих системе
ФАПЧ, — П.
5.	Нестабильность частоты подстраиваемого генератора
i 8пг •
Требуется выбрать схему и параметры системы ФАПЧ та-
ким образом, чтобы девиация фазы подстраиваемого генерато-
ра, обусловленная действием дискретной помехи, не превышала
303
величины рпг, а среднеквадратичная девиация фазы этого ге-
нератора, обусловленная шумом, не превышала величины апг.
Исходя из заданных условий, можно сразу определить по-
лосу захвата. Она должна быть больше максимально возмож-
ной разности частот эталонного и подстраиваемого генерато-
ров. Учитывая, что 1, полагаем:
г	°эг
> ^ЭГ ( £ЭГ £Пг) ~ макс*	(Ю« 1)
Для того чтобы определить, на сколько именно полоса за-
хвата должна превосходить максимально возможную началь-
ную расстройку, необходимо учесть наличие дискретной поме-
хи. Система должна быть спроектирована так, чтобы не было
ложного захвата на частоте помехи. При этом подстраивае-
мый генератор не должен захватываться помехой даже в от-
сутствие эталюнно1го сигнала.
Для этого должно выполняться неравенство
Йзп < N - шзг епг .	(Ю.2)
Здесь Q3n —-полоса захвата, определяемая помехой в отсут-
ствие эталонного сигнала;
Qn=o)n—соэг —разность частот эталонного сигнала и помехи.
Из неравенств (10.1) и (10.2) нетрудно определить об-
ласть, в которой должна лежать величина Q3. Если считать,
что Q3 и Qy пропорциональны амплитуде входного сигнала, то
эта область
шэг ( еэг 8пг) <	Шэг £пг) •	(Ю*3)
Если же система ФАПЧ работает в режиме ограничения
входного сигнала, то Q3 = Q3n, и тогда неравенство (10.3) за-
пишется следующим образом:
^эг ( £эг “Ь £пг) <	юэг£пг •	(Ю.4)
Полосу удержания выберем по возможности наибольшей
для получения наименьшего значения уп, что обеспечивает ми-
нимальные значения средней разности частот [ф-ла (6.90)] и
среднего отклонения разности фаз от 0,5л [ф-ла (2.15)]. Пре-
дел увеличения Qy ограничивается параметрами управляюще-
го элемента и возможностью повышения характеристического
сопротивления контура автогенератора. Это сопротивление не
может быть слишком -большим по условиям стабильности час*
тоты подстраиваемого генератора.
Зная Q3, Qy, QH и Qn, можно найти и относительные величи-
Qn т-
ны ун, уз и уп= . Будем условно считать дискретную помеху
высокочастотной, если уп>2, и низкочастотной, если уп<1.
304
Далее определим, какая помеха преобладает — флуктуаци-
онная или гармоническая. Для этого запишем отношение их
мощностей на входе системы ФАПЧ:
Если эга величина больше единицы, то преобладает помеха
случайного характера и наоборот.
Предположим, что 2о2 < /72 (помеха гармоническая) и что
система ФАПЧ работает в режиме без ограничения входного
сигнала. Тогда, как показано в гл. 5, гармоническую помеху,
действующую на входе системы (считая фазовый детектор ли-
нейным перемножителем), можно свести к внутренней помехе,
действующей на выходе фазового детектора.
Если система ФАПЧ используется в качестве узкополосного
фильтра, то обычно по заданию рпг < 1 и можно считать, что она
работает в линейном режиме, ибо |3зг = 0, а амплитуда девиа-
ции разности фаз равна амплитуде девиации фазы подстраи-
ваемого генератора, т. е. ₽=РПГ Это даёт возможность счи-
тать эквивалентную помеху, приложенную на выход фазового
детектора, также гармонической. Принятые допущения и огра-
ничения позволяют при расчёте [Зпг воспользоваться понятием
передаточной функции для внутренней помехи IF4(ico) =
= ТCW\ (ico).
Поскольку известно уп, можно в соответствии с рекоменда-
циями гл. 5 выбрать тот или иной тип фильтра, при котором
фильтрация будет наибольшей. Так, если уп< 1, то следует при-
менить пропорционально-интегрирующий фильтр, если же
уп>2, то более рациональным оказывается использование
RLC фильтра.
При выбранном типе фильтра найдем модуль передаточной
функции (ico) на частоте Согласно определению
|Г4(ШП)| = /иг .	(10.6)
ОуЭ и 2
Qy Un
Здесь £72 = 7у—— амплитуда эквивалентной внутренней
иЭГ6УЭ
помехи, действующей на выходе фазового детектора.
Подставляя значение в ф-лу (10.6), получаем
=	(Ю.7)
С/ п Ьйу
Это значение | Wz4(iQII)| является максимально допустимым
при заданной величине рпг. Зная | (iQn) находим
20—793
305
1
| Wi (iQn) поскольку
= arc cosyH).
Tc =
Qy [sin <p02|
уже известно (фо2 =
Далее, по ф-ле (5.21) в случае пропорционально-интегрирую-
щего фильтра или (5.23) при RLC фильтре находим связь
между параметрами этих фильтров, обеспечивающую задан-
ную фильтрацию. Одним из параметров можно задаваться
произвольно (однако при этом следует учитывать условие
устойчивости б «малом»).
При выбранных параметрах фильтра по графикам рис. 4.12
или рис. 4.16 находим у* .
Если полученное таким способом значение у* окажется
больше, чем значение этой же величины у3, определённое ранее
из соображений необходимой полосы захвата и максимально
возможной полосы удержания, то, изменяя параметры фильтра
(например, уменьшая т или увеличивая d в RLC фильтре),
можно обеспечить заданное у3 при повышенной фильтрации
гармонической помехи. В случае у* <у3 обеспечить заданную
степень фильтрации в обычной системе ФАПЧ весьма затруд-
нительно и следует воспользоваться одним из методов повы-
шения фильтрующей способности последней, изложенных в
гл. 5.
Если расчёт показал, что можно реализовать требуемую
степень подавления гармонической помехи, то остаётся прове-
рить, не превосходит ли при этом дисперсия фазы подстраивае-
мого генератора допустимой величины. Такую проверку можно
выполнить при помощи ф-лы (6.41) или если заменить реаль-
ный аддитивный шум, действующий на входе системы ФАПЧ,
эквивалентным фазовым шумом эталонного сигнала, — более
простым способом, используя кривые фильтрации, приведённые
на рис. 6.2.
Поскольку предполагается, что реальную помеху, действую-
щую на входе фазового детектора, можно заменить эквивалент-
ной помехой, то согласно выражениям (9.10) и (6.175) спект-
ральная плотность эквивалентной шумовой девиации фазы эта-
лонного сигнала
(<>) Qy
иэг
(10.8)
где S^(w)= 2я^-в- — спектральная плотность процесса
Поскольку отличается от (со) постоянным множите-
лем, то и дисперсия эквивалентной шумовой девиации фазы
эталонного сигнала будет отличаться от дисперсии шуми на
входе системы ФАПЧ только постоянным множителем.
306
Поэтому для обеспечения допустимой дисперсии ф;ны под-
страиваемого генератора о^пг должно выполнятся усло-
вие
Ф
2	И2
О	С/ гхт4
Я1Г дсп эг
Т2С
(Ю.9)
Величина Ф в этой формуле определяется то известным
,	П
значениям ун и параметров т или k, а также по отношению
(см. гл. 6).
Поскольку в данном случае 2о2 <С U2n , неравенство (10.9)
обычно выполняется. В тех же случаях, когда оно не выполняет-
ся, следует изменить выбранные параметры фильтра таким об-
разом, чтобы достичь компромиссного решения в отношении
фильтрации дискретной и флуктуационной составляющей по-
мехи. Если это не удаётся, нужно использовать какой-либо ме-
тод повышения помехоустойчивости Например, при постоянной
Qn пр01порционально-интегрирующий фильтр, обеспечивающий
хорошую фильтрацию флуктуационной помехи, следует допол-
нить узкополосным режекторным или заградительным фильт-
ром на заданную частоту.
Рассмотрим теперь случай, когда 2о2>£72 (флуктуацион-
ная помеха преобладает). В соответствии с рекомендациями
гл. 6 следует выбрать пропорционально-интегрирующий
фильтр с тТу^>1.
Из ф-лы (10.9) находим максимально допустимое значение
коэффициента фильтрации Ф^макс- Затем, по графику рис. 6.2
определяем наибольшее возможное значение у*, соответствую-
щее полученному Ф?макс. Одновременно получаем значение ко-
эффициента т. Если у* оказывается больше, чем у3, то,
уменьшая т, можно достичь большей степени фильтрации при
заданном значении у3. Если же у* <у3, то это означает, что в
обычной системе ФАПЧ [если нельзя увеличить Qy, см. ф-лу
(9.1)] выполнить заданные требования невозможно.
Далее, по графикам рис. 4.11 находим величину Ту, а зна-
Ту
чит, и Т=----.
Qy
В заключение расчёта по ф-лам (5.21) и (10.7) следует
проверить степень подавления гармонической помехи.
В том случае, когда 2о2~[/2 (мощность гармонической
помехи близка к мощности флуктуационной), также целесооб-
разно использовать пропорционально-интегрирующий фильтр,
поскольку подавление флуктуационной помехи при этом полу-
20*	307
чается значительно более глубоким, в то время как подавление
дискретной помехи мало зависит от типа фильтра.
Порядок расчёта остаётся прежним.
Пример расчёта.
Дано: f эг= 1 Мгц\ еэг= 1 • 10“5 ; U 3Y = 1 в; £/п = 2 в;
fn = 1,01 Мгц\ <5= 0,1 в; = 20 кгц\ епг— Ю~3 ,
Требуется обеспечить Рпг ^ 0Д1 и а<рпг
1.	Определяем 'область возможных значений F3 по ф-ле (10.3):
1 кгц < F3 < 4,5 кгц.
Выбираем F3 ~ 2 кгц.
2.	-Предположим, что в качестве управляющего элемента использована
реактивная лампа. На этих частотах при помощи такого управляющего эле
мента легко можно получить отклонение частоты ±5%. Поэтому будем счи-
тать Гу = 50 кгц. Крутизну характеристики управления положим равной
20 кгц!в.
При выбраннО1М значении Гу у3 = 0,04 и уп — 0,2. Таким образом, в дан-
гном случае имеет место низкочастотная гармоническая помеха.
3.	Поскольку 2о2 близко к и, кроме того, помеха низкочастотная,
выбираем пропорционально-интегрирующий фильтр с	1.
4.	Согласно ф-ле (10.7) определяем максимально допустимое значение
модуля функции:
10—2 1
|IF4(iQn)l— 6,28-50-103 2 ~ 1’6-10 сек.
5.	Определяем постоянную времени системы ФАПЧ Тс, учитывая, что при
ун == 0,041 sin Ф021 — 1:
Тс = .	— =0,32.10~5 сек.
с 6,28-5-Ю4
•£. Находим |I^i(i2n)|s
|Г1(1Йп)| = |Г4(10п)| v= 0,5-10—2
* с
7. По ф-ле (5.21) находим величину т, учитывая, что для данного слу-
чая Тсу = —------- ~ 1:
|sin<p02|
Qn)l еп _ 1П_з
;8. Для определения у*3 воспользуемся предельной ф-лой (4.84):
Y* ~У2т — т2 = 0,045.
Поскольку значение у*3 оказалось почти равным у3, принимаем его.
9. Находим теперь среднеквадратичную девиацию фазы подстраиваемого
генератора, вызванную шумом. Поскольку —- — 0,4, то, считая h = 0,2, on-
п
ределяем величину а — h — , необходимую для вычисленияФ по ф-ле (6.23):
т (т -ф- 2а) л л 9
Фю = —?	= 2,5-1 О'"2 .
? a (tn а)
308
10. По ф-ле (10.9) находим
G
<рпг
г-- ^уа	9
= У % ТГ~ =1.58.10-2
иэг
Так как это значение меньше допустимого, можно считать, что тип фильт-
ра и его параметры выбраны правильно.
11.	Теперь остаётся определить постоянную времени фильтра Г. Из гра-
фиков рис. 4.16 находим, что для выбранных значений т и у3 при условии
тТу > 1 минимальное значение Ту ~ 5* 103. Тогда
Т
Т = -сГ~ = 1.610-2 сек.
Затем по рассчитанным значениям Тит определяем величины сопротив-
лений и ёмкость фильтра, причём одну из этих величин необходимо задать
произвольно.
12.	При расчёте предполагалось, что по отношению ко входным сигна-
лам фазовый детектор линеен. Это возможно только в том случае, если ам-
плитуда напряжения подстраиваемого генератора, поступающего на фазовый
детектор, превышает входной сигнал не менее чем в 3—5 раз. Тогда выход-
ное напряжение фазового детектора не зависит от амплитуды напряжения
подстраиваемого генератора.
В рассмотренном случае целесообразно применить балансный фазовый
детектор, так как он имеет высокое входное сопротивление и большой коэф-
фициент передачи по постоянному току. Формулы для расчёта фазового де-
тектора приведены в гл. 2. Остаётся добавить, что поскольку эталонный
сигнал искажён помехой, то для устранения прямого проникновения помехи
через фазовый детектор в подстраиваемый генератор напряжение последнего
следует подавать на фазовый детектор через безынерционный буферный уси-
литель.
§ 10.3. РАСЧЁТ СИСТЕМЫ ФАПЧ, ВЫДЕЛЯЮЩЕЙ
НЕСУЩУЮ ФМ СИГНАЛА
Исходные данные:
1.	Частота эталонного сигнала шэг, его амплитуда U3r, не-
стабильность частоты еэг .
2.	Эталонный сигнал модулирован по фазе случайным сиг-
налом с нормальным законом распределения мгновенных зна-
чений и имеет колокольную спектральную плотность девиации
фазы, причём среднеквадратичное значение отклонения фазы
есть о
<РЭГ
3.	Нестабильность частоты подстраиваемого генератораепг•
4.	Интегральная полоса, соответствующая колокольной
спектральной плотности модулирующей функции, По-
требуется выбрать схему и параметры системы ФАПЧ таким
образом, чтобы среднеквадратичное отклонение фазы подстраи-
ваемого генератора не превышало радиан, а среднее зна-
чение отклонения разности фаз от величины 0,5л было не бо-
лее Афо радиан.
309
Определяем область возможных значений у3. Поскольку
эталонный сигнал модулирован только флуктуационной поме-
хой и нет опасности захвата подстраиваемого генератора ка-
кой-либо гармонической составляющей, за исключением несу-
щей частоты, имеем
макс “ ШЭГ ( £ЭГ £Пг) ^з«	(10.10)
Полосу удержания, как и .ранее, выбираем максимально
возможной по конструктивным или иным соображениям. Эта
величина, во всяком случае, должна быть не менее чем
Q	_____шэг (£эг £пг)	(10.11)
|sin A'Pol ~ |sinA<p0|
Поскольку обычно о пг « среднеквадратичное откло-
нение разности фаз от её среднего значения определяется ве-
личиной и, следовательно, можно при помощи ф-лы (6.1)
определить, линеен ли режим работы системы. Для этого в
ф-лу (6.1) вместо ун нужно подставить её максимальное зна-
чение
Тн макс
шэг ( 03эг + £пг)
Qy
Предположим, что проверка показала линейность режима.
Тогда для анализа можно воспользоваться понятиями переда-
точной функции и коэффициента фильтрации Ф^ .
В соответствии с рекомендациями, данными >в гл. 6, выби-
раем пропорционально-интегрирующий фильтр, обеспечиваю-
щий наилучшую фильтрацию при заданном ун. При этом це-
лесообразно также выбрать 1.
о2
По заданному коэффициенту фильтрации Ф =	— и коэф-
т а
?ЭГ
ф-ициенту широкополосности
ра т по ф-ле (6.23), считая,
— находим значение
что 1 и Л=0,2:
парамет-
т=~а	.	(Ю.12)
При больших -Д , когда «>1, можно вместо ф-лы (10.12)
пользоваться более простым выражением:
т^0,5аФ?.	-	(10.13)
Зная т, определяем у* по ф-ле (4.84). Если у* >у3, то
можно повысить фильтрацию, уменьшив т до такого значения,
310
лри котором у* =у3. В случае у* < у3 необходимо увеличивать
Qy и одновременно уменьшать т до тех пор, пока не будут по-
лучены приемлемые результаты. Если по каким-либо причинам
не удаётся увеличить йу, то следует применить более сложную
схему (например, систему с поиском или с интегрирующим дви-
гателем или прибегнуть к другим методам повышения помехо-
устойчивости) .
При выборе величины Ту из условия тТуЗ>1 следует пом-
нить, что чрезмерно большие значения Ту нерациональны, так
как при этом Ф не уменьшается, но время установления растёт.
Ориентировочно следует выбирать тТу^5.
Рассмотрим теперь порядок расчёта системы в нелинейном
режиме.
По1следовательность расчёта до выбора типа фильтра остаёт-
ся неизменной.
В дальнейшем удобно воспользоваться результатами метода
статистической линеаризации. Поскольку этот метод позволяет
заменить реальную нелинейную систему некоторой эквивалент-
ной ей линейной системой, тип фильтра можно выбрать анало-
гично линейной модели ФА(ПЧ.
Выбираем, как и ранее, пропорционально-интегрирующий
фильтр при тТу >il.
Будем полагать, что /7M^>Qy. Это даёт возможность считать
спектральную плотность девиации фазы эталонного сигнала
5c(w) = —f=j— приблизительно постоянной, что облегчает рас-
чёт.
Определяем дисперсию разности фаз по выражению (6.12).
Поскольку при хорошей фильтрации | (ico)|<1, приближённо
можно считать, что	.
Зная о* и ун? можно по выражению (6.172) определить сред-
нее значение разности фаз. Если при этом окажется, что оно
отличается от 0,5л больше, чем на Дфо, следует снижать величи-
ну ун, увеличивая Qy.
Для того чтобы определить параметр т, исходя из заданной
фильтрации, необходимо предварительно найти статистический
коэффициент k\ из ф-л (6.166) или (6.167).
Поскольку передаточная функция по переменному току си-
стемы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром при
тТу^>\ совпадает с передаточной функцией идеализированной
системы ФАПЧ с полосой удержания Qy = mQy, для вычисле-
ния су2пг можно воспользоваться ф-лой (6.10), заменив в ней
Se) на Sc и подставив Wi из выражения (5.21), считая, что
311
В результате 'получим
апг = 0>5/nSc (со) 2у klt	(10.14)
По заданным Зс(®) и известным из предварительного
расчёта Qy и /21 находим параметр т.
По полученному значению т и ф-ле (4.84) находим у*. Как
и ранее, если у* >у3, то можно, уменьшив т, получить лучшую
фильтрацию. Если же окажется, что у* < у3, то придётся уве-
личивать полосу удержания.
Пример расчёта.
Пусть /эг= 70 Мгц\ еэг = 0; <т<рЭГ = 1 рад; 8 пг == 10 ~3 *;^~ == 10 TWazj.
Требуется обеспечить пг <0,02 рад. и А(р0 <0,1 рад.
1. Согласно выражению (10.10) находим минимально допустимое зна-
чение F3:
F3 > 70-166.10~3 = 70 кгц.
2. Полагая, что в системе в качестве управляющего элемента использо-
вана реактивная лампа, выберем полосу удержания порядка 3 Мгц и прове-
рим, удовлетворяет ли она условию (10.1'1):
70-Ю6 .10~3
Fy — 3 Мгц >------g-j-----= 0,7 Мгц.
3. Проверяем условие линейности режима по ф-ле (6.1) при ун =•
= Yh макс = 2,33 *10
2,25 (2,33-10~2)2
1 — (2,33-10~2)2
+ 0,6—1,5
2,3310~2
V 1 — (2,33-10~2)2
Поэтому режим работы будет нелинейным.
4.	По выражению (6Л72) находим среднее значение разности фаз:
1
cos = 2,33-10“2 е 2 = 3,84-10~2.
Отсюда Дсро = 3,84- 10— % рад. Поскольку это значение меньше заданного,
то выбранное значение полосы удержания можно считать приемлемым для
дальнейшего расчёта.
5.	Находим в соответствии с выражением (6.167) коэффициент = 0,6,
а затем из ф-лы i(10.14) определяем т; учитывая, что 5С (со) = ——- ,
//м
2сПГ
Sc(co) Йу kx
4,4.10“3.
*
6.	Определяем у3:
{*= У 2т — т? = 9,4-10-2.
312
Поскольку ys > уз» можно либо принять эти данные расчёта, либо не-
сколько уменьшить т, увеличив тем самым фильтрующую способность си-
стемы.
§ 10.4.	РАСЧЁТ СИСТЕМЫ ФАПЧ, РАБОТАЮЩЕЙ
В РЕЖИМЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЯ ФМ СИГНАЛА
Исходные данные:
1.	Частота 'эталонного сигнала соэг, его амплитуда С/Эг, не-
стабильность частоты 8ЭГ, нестабильность частоты подстраивае-
мого генератора 8ПГ.
2.	Эталонный сигнал модулирован сообщением, спектралыная
плотность мощности которого равномерна в пределах полосы
0н-/в, а закон распределения близок к нормальному. Средне-
квадратичная девиация его фазы — о?эг .
3.	Интегральная полоса входного линейного устройства,
предшествующего системе ФАПЧ, —/7.
4.	На вход линейного устройства вместе с эталонным сигна-
лом действует нормальный аддитивный флуктуационный шум с
равномерной спектральной плотностью.
Отношение мощности сигнала к мощности шума на входе си-
стемы ФАПЧ —
Требуется выбрать схему «и параметры системы ФАПЧ таким
образам, чтобы дисперсия разности (фаз подстраиваемого и эта-
лонного генераторов не превышала величины .
Прежде всего, необходимо установить, выполнимо ли требо-
вание к о^при заданном $1 и о . Для этого в соответствии с
рекомендациями гл. 9 выбираем систему ФАПЧ с пропорцио-
нально-интегрирующим фильтром как наиболее близкую к опти-
мальной при заданных сигнале и помехе.
Находим по ф-ле (10.10) наибольшее возможное значение
начальной расстройки йнмакс.
Как и ранее, выбираем по возможности большее значение
Qy, после чего определяем величину унмакс== с- .
Далее, при помощи выражений (9.54), (9.56) или минимизи-
руя по Qy выражение (9.53) численным способом, учитывая ф-лу
(6.166), находим оптимальное значение QyonT. Затем по
ф-ле (9.53) находим а^мин- Если при этом окажется, что
% мин > V ’ то система ФАПЧ, удовлетворяющая поставленным
требованиям, нереализуема. Если же сг?мин < можно продол-
жать расчёт.
313
В системе ФАПЧ с пр01порц1иональ‘но-и'нтегрирующим фильт-
рам и /п7у>1, как показано в гл. 9, QyonT =т£2у. Экая (вели-
чину Qy и Qу опт, определяем коэффициент т:
Q
т===уопт
Qv
(10.15)
После этого по ф-ле (4.84) определяем у*, и если у* <
< Ун макс, 'п-ри выбранной Qy обеспечив а ется требуемая степень
фильтрации и выполняются условия захвата. Если у* <уНмакс,
то необходимо увеличить полосу удержания и повторить расчёт.
После того как будет найдено требуемое значение т и Йу,
можно по ф-ле (9.47) определить отношение мощности сигнала
•к мощности помех на входе управляющего элемента. Поскольку
со входа управляющего элемента снимается сигнал, пропорцио-
нальный производной фазы подстраиваемого генератора, для
выделения сообщения необходимо пропустить этот сигнал че-
рез интегрирующую цепь. Последняя рассчитывается по fB’
обычным способом.
Теперь определяем частотную характеристику детектора по
выражению (5.21).
В заключение заметим, что для снижения нелинейных иска-
жений, возникающих при детектировании, необходимо выби-
рать такой режим работы фазового детектора, при котором фор-
ма его нормированной характеристики была бы по возможности
близка к треугольной.
Пример расчёта.
Дано: /эг- 70 Мгц\ еэг = еПГ	~ 15.1O3 гц; эг = 5 рад.;
П
--- = 0,5 Мгц- si = 2.
"2л
Требуется: обеспечить о < 0,2 рад и определить частотную характери-
стику фазового детектора.
1. По ф-ле ('10.10) находим:
Т’н макс — /эг £пг = 70 • 103 гц.
2. Выбираем полосу удержания (см. предыдущий пример):
Fy = 3-106 гц.
В. Определяем ун маКс = --Н ~КС = 2,33 • Ю^2 .
Fy
При такой величине ун макс вместо ф-л (9.54), (9.56) и (6.10) можно
воспользоваться графиками рис. 9.2, 9.3, 9.4.
Из графика рис. 9.4 по известным II, sb и эг находим
Йу опт = m йу = 6,28-210-103 рад/сек.
Q
4.	Определяем коэффициент т = --------— 7-10 ’2.
осу
314
5.	Находим у* = У 2т—т2 — 0,375.
6.	Поскольку у* > уп макс, для облегчения выполнения системы
уменьшим Qy. Положим Fy = 0,7 Мгц, тогда ун макс = 0,1, т. е. ун макс <1 »
следовательно, последней можно пренебрегать при определении QyonT; по-
лученное ранее из графика рис. 9.4 значение Qy 0Пг остаётся неизменным.
7.	Определяем новое значение коэффициента т:
210-Ю3
т ~	=0,3.
0,7-106
8.	Проверяем условие устойчивости в «большом» системы:
у* == V 0,6 — 0,09 = 0,71.
Сравнивая это значение с новым значением ун макс, замечаем, что ус-
ловия устойчивости в «большом» обеспечены с запасом.
9.	По известным величинам П\ f3 и а?эг при помощи графика
рис 9.2 определяем с^мин =0,173 рад, что меньше заданного, т. е. требо-
вание к системе по а удовлетворено.
/Рс\
10.	По графикам рис. 9.3 определяем ~— = 7,95.
\ип /
11.	Из ф-лы (5.41) находим частотную характеристику системы, пола-
гая ГСу = 1 (ун ~ 0):
I W'l (i  ) I =	•
У 1 —11Y3
§ 10.5.	РАСЧЁТ СИСТЕМЫ ФАПЧ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ
В КАЧЕСТВЕ ЧАСТОТНОГО МОДУЛЯТОРА
Исходные данные:
Частота эталонного сигнала /эг; нестабильность эталонной
частоты 8ЭГ, нестабильность частоты подстраиваемого генерато-
ра £пг*
Требуется спроектировать частотный модулятор, обеспечива-
ющий максимальное частотное отклонение А(омакс; при этом
коэффициент гармоник не должен превышать величины kr, а
частотная характеристика системы должна ‘быть близка к го-
°	°	ля I (1 Q) I	«
ризонтальнои прямой с искажениями	———— на низшей
m(iQcP)l
Fn ,и высшей Fz модулирующих частотах соответственно. Здесь
| IF3(iQcp)| — модуль передаточной функции на средней модули-
рующей частоте.
Частотная модуляция сигнала подстраиваемого генератора в
системе ФАПЧ может осуществляться подачей модулирующего
напряжения на вход управляющего элемента. Поскольку в та-
ком режиме эталонный сигнал не модулирован, а фаза под-
страиваемого генератора может меняться в процессе модуляции
315
на ±<рпг рад, разность фаз обоих генераторов также меняется
на ±српг рад.
Следовательно, для того чтобы в системе не было срывов
синхронизма и среднее значение разности фаз не зависело от
амплитуды модулирующего сигнала, необходимо, чтобы раз-
ность фаз не выходила за пределы линейного участка характе-
ристики фазового детектора. Поэтому желательно выбирать
этот участок характеристики наибольшим.
Принципиально возможно построить фазо'вый детектор, ко-
торый имеет линейный участок характеристики (протяжённостью,
близкой к 2л. Однако практическое выполнение такого детекто-
ра затруднительно. Значительно легче осуществить фазовый
детектор с линейным участком характеристики протяжённо-
стью л (симметричная треугольная характеристика).
Идеальная линейность достигается при подаче на балансный
фазовый детектор двух напряжений в виде идеально прямо-
угольных импульсов со скважностью 0,5. В этом случае обеспе-
чивается наименьшее смещение средней разности фаз при мо-
дуляции.
Иногда формирование прямоугольных импульсов оказывает-
ся затруднительным (особенно на высоких частотах). В таких
случаях следует использовать режим одинаковых синусоидаль-
ных напряжений, подаваемых на фазовый балансный детектор.
При этом форма характеристики последнего наиболее близка к
симметричной треугольной.
Из рекомендаций гл. 5 следует, что наилучшей частотной ха-
рактеристикой [ф-ла (5.44)] обладает система ФАПЧ с пролор-
ционально-интегрирующим фильтром.
Определим по выражению (10.10).
Затем выбираем по возможности большее значение полосы
удержания, исходя из наименьшего значения ун, обеспечивающе-
го расположение рабочей точки в середине линейного участка
характеристики фазового детектора. Для этого уНмакс должна
быть много меньше единицы и, следовательно, фо2~——. При
треугольной симметричной характеристике фазового детектора
7су“ л •
По заданным частотным искажениям на нижних частотах
Мн и выражению (5.44) находим величину коэффициента т,
при котором частотные искажения не превышают допустимых:
т = J- J/ 1 — 0,4^2 .	(10.16)
Поскольку из ф-лы (5.44) следует, что частотные искажения
на верхних частотакх отсутствуют, полагаем Л4в = 0.
316
Далее по известному значению т определяем 'относительную
полосу захвата у*. При этом можно воспользоваться ф-лой
(4.84), несмотря на то, что характеристика фазового детектора
ближе к треугольной кривой, чем к синусоидальной.
Если у*>уНмакс, то можно удовлетвориться полученными
значениями Qy и т. В противном случае следует увеличивать
£2У, оставляя неизменным {произведение mQy.
Для нахождения нелинейных искажений представим систему
ФАПЧ как систему с нелинейностью в цепи отрицательной об-
ратной связи. Нелинейные искажения в такой системе опреде-
ляются как нелинейностью характеристики управляющего эле-
мента, так и искажениями, вносимыми цепью обратной связи
Поскольку частотные искажения определяются напряжением
обратной связи, то, если выполняются условия их малости,
можно считать, что нелинейные искажения определяются только
нелинейностью управляющего элемента.
Расчёт нелинейных искажений в этом случае такой же, как
при проектировании реактивных ламп.
Требуемое напряжение на входе управляющего элемента для
обеспечения заданного ДсоМакс
(10.17)
Оуэ
Остаётся добавить, что в таком частотном модуляторе мак-
симальное значение индекса модуляции не должно превосходить
при малых унмакс величины 0,5л, поскольку в противном случае
возможны перескоки фазы. Это условие ограничивает область
применения подобного частотного модулятора.
Если сообщение имеет значительную мощность низкочастот-
ной части спектра, то на входе системы следует включить диф-
ференцирующую цепь и перейти таким образом, от ЧМ к ФМ.
В том случае, когда необходимо определить время установ-
ления при включении, это можно сделать с помощью ф-л (4.101)
и (4.104).
Пример расчёта.
Дано* fэг= 40 Мгч; £пр— 10 3; £эр — 0; Ф^г макс ~ 1*5 рад\
Flf = 300 гч; Мн = 0,5; FB = 3 • 500 гц; Мв = 0,7.
Требуетс51 рассчитать фазовый модулятор для коммерческой радиотеле-
фонной связи.
1.	Определяем по ф-ле (10.10) F3:
F3 > Fп макс = 40 • 103 2Ц.
2.	В качестве управляющего элемента на этих частотах целесообразно
использовать управляемую нелинейную барьерную ёмкость р-п перехода
При этом легко получить отклонение частоты порядка ± (3-4-5)%.
317
Выбираем полосу удержания Fy — 2 Мгц.
3.	Находим ун макс == 2 • 10~2.
л
При таком значении ун макс можно считать ср02 = —	•
4.	Применим балансный фазовый детектор с равными напряжениями,
2
тогда Тсу == - .
л
5.	По выражению (10.1-6) находим m = 3 • 10~4-
6.	Определяем по ф-ле (4.84)	2m—m2 = 2,46- 10~“2о Поскольку
7з то условия устойчивости выполняются.
7.	Для получения фазовой модуляции подстраиваемого генератора на
входе следует включить дифференцирующую цепочку RC. Постоянную вре-
мени этой цепочки найдём по заданным допустимым искажениям на верхней
модулирующей частоте:
т =
—--------= 4,55-10 5 сек.
’ Mq
8.	Коэффициент передачи дифференцирующей цепочки в области рабочих
частот определяется выражением
Крутизна характеристики выбранного выше управляющего элемента со-
ставляет 0,5 Мгц/в. Поэтому крутизна характеристики фазового модулятора
•Syg	рад
5Фм = -5-|^а“)1 = 5уэТ = 22,7 —.
9.	Для того чтобы фпг не превышало заданной величины 0,5л, входное
напряжение системы не должно превышать
и < —-7-10-2 в
и вх макс 22 7	1U в'
§ 10.6.	РАСЧЕТ СИСТЕМЫ ФАПЧ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ
В КАЧЕСТВЕ УСИЛИТЕЛЯ С МАЛОЙ ФАЗОВОЙ
ПОГРЕШНОСТЬЮ
Исходные данные:
Частота эталонного сигнала изменяется в пределах от /ЭГн
до /ЭГв. Нестабильность частоты подстраиваемого генератора
£пг
Требуется спроектировать систему ФАПЧ, обеспечивающую
при заданном изменении частоты эталонного сигнала фазовую
ошибку не более Д<р0.
Для выбора блок-схемы ФАПЧ, прежде всего, определим
требуемую ширину полосы удержания в обычной системе ФАПЧ,
исходя из заданного диапазона изменения эталонной частоты и
318
собственной нестабильности частоты подстраиваемого генерато-
ра, полагая =lcos<p:
p,	макс	( ^ЭГв ~~ ^ЭГн) + °	( /эгв + /эГн) £ПГ мп 1 мх
I sin Д<Ро I	I Qin АиЛ I	• (	•	)
I sin Дто 1
Если возможно получить такое значение полосы удержания
при помощи электронного управляющего элемента, то следует
применить обычную идеализированную систему ФАПЧ. Если же
реализация этой полосы удержания при помощи одного элект-
ронного управляющего элемента невозможна, то можно приме-
нить систему ФАПЧ с интегрирующим электродвигателем.
Предположим, что по конструктивным соображениям выпол-
нение условия (10.18) невозможно.
Выбираем идеализированную систему ФАПЧ с интегрирую-
щим двигателем и определяем минимально необходимое значение
расстройки, вносимой электромеханической ветвью подстройки:
2^УМ “ ( /эГв /эгн) + ( ^ЭГв /эгн) £ПГ ^УЭ 2 МП Афо !• (10-19)’
Здесь ?уэ — наибольшее возможное по конструктивным со-
ображениям значение максимальной расстройки, вносимой элек-
тронной ветвью.
Далее выбираем тип двигателя из условий на габариты, вес,
потребляемую мощность или, если требуемся быстродействие^
двигатель с наименьшей постоянной времени и большой ско-
ростью вращения.
При выбранном типе двигателя известны: а) электромехани-
ческая постоянная времени Тэм б) тангенс угла наклона
(крутизна) регулировочной характеристики электродвигателя
Sp = —; в) крутизна моментной характеристики 5Д; г) напряже-
ние трогания [7Т = zt/0; д) максимально допустимое напряже-
ние на входе двигателя t/мако
Определяем максимальное напряжение на входе двигателя,
исходя из заданной величины Дф0.
Из ф-лы (7.46) имеем (Дфо< !)•
J г	Uy _______ Uy
имакс	।	.
|sinA<p0| Д?о
(10.20)
Если эта величина окажется больше допустимой, то следует
ввести ограничитель в цепь усиления напряжения, питающего
двигатель.
Зная 'величины (7мацС, Тэы и Sp, находим коэффициенты a
и Ь:
319
a = Ts* t	(10.21)
^макс
s' ,~(10.22)
u максур
Затем из условия (7.54) определяем коэффициент редукции,
^обеспечивающей устойчивость системы в «малом»:
^уэ + а йуэ) л
ftp макс
(10.23)
а ^УМ ’
Чем меньше этот коэффициент, тем больше коэффициенты А
и В в ф-ле (3.52) и тем ближе переходный процесс к апериоди-
ческому. Характер процесса можно определить при помощи диа-
граммы Вышнеградского (рис. 3.6). Если по каким-либо причи-
нам уменьшить /гр невозможно, то следует либо применить
тахогенератор, увеличивающий эффективное затухание [61],
либо ввести ограничитель на угол поворота ротора конденсато-
ра, осуществляющего перестройку
Далее, по выражениям (7.64), (7.65), (7.66) определяем по-
лосу захвата в системе.
Если окажется, что уз<унмакс, то следует уменьшать г, напри-
мер, увеличивая С7мако
Пример расчёта.
Дано: /ЭГн = 0,65 /ЭГв =0,75 Мгц\ 8ПГ — Ю-"3 . Требуется -полу-
чить Дфо < ± 0,03.
1.	Определяем
ФАПЧ
необходимую полосу удержания в обычной системе
0.5-10-8 4-0,5-Ю6-1.4-10—3	, Л
------------тг-урт------------=1,70- 10s гц,
Следовательно, обычная система ФАПЧ неприменима.
2.	Выбрав максимальную расстройку, вносимую электронной ветвью по-
рядка йуЭ = 2л *2 *10s padjceK, (что легко достижимо с уравляющим эле-
ментом в виде реактивной лампы), по ф-ле (10.19) определяем Q ум;
2FyM > 101,4-103 — 2-2-103-0,03 = 101,28-103гч.
Принимаем с запасом для дальнейшего расчёта Тум~9-104гц.
3.	Выбираем, для примера, двухфазный малоинерционный электродвига-
тель переменного тока с полым ротором типа ДИД-0,5 ТА, широко приме-
няемый в автоматике [103], имеющий следующие данные:
Частота питающего напряжения — 400 гц.
Напряжение на обмотке (возбуждения — 36 в.
Напряжение на обмотке управления при параллельном соединении поло-
вин — 10 в.
Ток обмотки возбуждения — 0Д5 а.
Ток обмотки управления — 0,11 а.
Г .см
Крутизна моментной характеристики — 0,22 ---- .
в
Электромеханическая постоянная времени — 0,08 сек.
.320
—4 г. см. сек.
рад
Момент инерции ротора — 4,4 • 10
Напряжение трогания — 0,5 в.
Скорость вращения на холостом ходу — 13 500 об)мин.
Скорость вращения при нагрузке (Мн = 3 Г • см) —7500 об/мин.
Максимально допустимое на короткое время напряжение на обмотке
управления — 36 в.
4.	Определяем £/макс по ф-ле (110.20):
иг о;5
Z7MaKc ---- — ------ --- 17 в.
Д<р0 0,03
Поскольку Самаке < 36 в, ограничение не нужно.
Для снижения статической ошибки примем U макс — 36 в.
5.	Определяем коэффициенты а и b по ф-лам (ДОЛМ) и (40.22), учиты-
ЗдТэм
в а я, что Sp = -г-----
ах I 'м
^эм
а = . -~^-=	= 0,565-10~4 сек?,
^макс^р V Максуд
1
м
b =	— = и----:q'' т ' = 7 •1 •10-4 сек.
^макс*$р ^макс^д'эм
6.	Определяем коэффициент редукции по ф-ле (10.2'3):
/2р <С 0,3.
Обычно n « 1 по условиям повышения момента на оси конденсатора и
стабильности положения ротора конденсатора при механических толчках.
Поэтому при любом ftp<l- система оказывается устойчивой в «малом» с
большим запасом.
Выбираем стандартный редуктор с замедлением, так что — 0,01.
7.	Для определения характера установления > <р по диаграмме Вышне-
градского находим из ф-лы (3.52) коэффициенты А и В для данного случая:
b а ^уэ
о 1 2Q^MnP
V а
Ь ЙуЭ
, 4ЙуМ пр
V а л2
Согласно диаграмме рис 3.6 процесс будет колебательным, поэтому вво-
дим ограничитель на угол поворота ротора.
8.	Определяем у3 по ф-ле (7.70) при т = 1, поскольку
^макс
2<7Т
> 1 2Тум-
Тз = 1 + Тум =^5’5-
„	( ^ЭГв““^ЭГн) + еПг( ^ЭГн + /эГв) ое
Видим, ЧТО Уз>Уп макс = ---------------~------------------ = 2,5,
следовательно, условие устойчивости в «большом» выполняется.
21-793	321
§ 10.7. РАСЧЁТ СИСТЕМЫ ИФАПЧ
Исходные данные:
Частота эталонного сигнала /эг, её нестабильность 8эг, крат-
ность её преобразования Y=- —^нестабильность частоты под-
/эг
страиваемого генератора 8ПГ, максимально допустимая девиа-
ция фазы подстраиваемого генератора Фпгмакс-
Требуется спроектировать систему импульсно-фазовой авто-
подстройкй частоты, обеспечивающую заданную кратность пре-
образования и уровень паразитной девиации фазы подстраивае-
мого генератора, не превышающий заданной величины.
Расчёт начинаем с выбора схемы ИФАПЧ. Если Y>1, необ-
ходимо выбрать схему умножителя (рис. 8.1а), при Y<1 — схе-
му делителя (рис. 8.16).
Определяем максимально возможную расстройку подстраи-
ваемого генератора относительно требуемой гармоники для умно-
жителя и субгармоники для делителя частоты:
Р* макс — /пг ( £ЭГ + £Пг) *	0 ^4)
Проверяем, может ли быть реализован режим надёжного
деления или умножения частоты с заданной кратностью преоб-
разования и допустимой нестабильностью обоих генераторов.
Если
^нмакс< — -	(10.25)
Н MdKL	?	\ • /
2/ р
то система будет работать надёжно. В противном случае нет
гарантии, что при произвольных начальных условиях кратность
преобразования будет сохраняться. Это объясняется тем, что
при невыполнении условия (10.25) подстраиваемый генератор
в момент включения может оказаться настроенным ближе к
соседней гармонике (субгармонике), чем к заданной, и в таком
случае вероятность захвата при неправильной кратности будет
больше, чем вероятность захвата при заданном Y.
Далее, выбираем полосу захвата, исходя из условия
Fa макс < Г3 < — •	(10.26)
ri MdKC	о	О'р	'	'
р
Длительность импульса следует выбирать с таким расчётом,
чтобы выполнялось условие (8.53). Отклонение её в любую сто-
рону от указанного значения нежелательно.
При уменьшении длительности импульса и отсутствии запо-
минающего устройства снижается постоянная составляющая на-,
пряжения на выходе фазового детектора. При наличии запоми-
нающего устройства снижение длительности импульса также не-
322
желательно, поскольку оно вызывает необходимость повышения
требований на безынерционность запоминающего устройства.
Увеличение длительности импульса независимо от наличия
или отсутствия запоминающего устройства приводит «к сниже-
нию стабильности постоянной составляющей при измене-
ниях Аи.
Если проектируется умножитель частоты с переменной крат-
ностью, то при выборе длительности импульса в ф-лу (8.53) сле-
дует подставлять вместо Y наибольшие значения этой величины.
На практике не всегда удаётся получить импульс, близкий
по форме к прямоугольному. При иной форме импульса его
параметры следует выбирать с таким расчётом, чтобы полезные
гармоники имели наибольшее значение и наивысшую фазовую и
а мп л и ту дну ю ст аб'ил ь н ост ь.
Полосу удержания необходимо выбирать максимально воз-
можной. Её предел ограничивается снижением собственной ста-
бильности подстраиваемого генератора и возможностями управ-
ляющего элемента. Увеличение полосы удержания позволяет
снизить среднее значение разности фаз, а также повысить
фильтрацию побочных колебаний, возникающих в результате
снижения коэффициента передачи фильтра нижних частот.
Рассчитаем ИФД и ЗУ.
Выбираем тип диодов (Ri и 7?о известны).
Определив оптимальную длительность импульса по ф-ле
(8.53), из выражения (8.47) находим Сю полагая ^Вых = 0, если
синусоидальный сигнал снимается непосредственно с параллель-
ного колебательного контура (ёмкости). В иных случаях следу-
ет предварительно определить (величину 7?Вых-
Далее, по ф-ле (8.51) определяем сопротивления запираю-
щих цепочек. Для этого находим U=-^- и выбираем Аи=
6УЭ
—|(Зч-4)(7. Затем по ф-ле (8.45) находим величину СР
Выбираем в качестве пробного варианта пропорционально-
интегрирующий фильтр при тТу>1 и по известной величине ун
находим требуемое значение параметра т [ф-ла (4.84)]. Далее,
проверяем условие устойчивости системы в «малом» по ф-лам
(8.36). Если устойчивость обеспечена, остаётся проверить по
ф-ле (8.60), не превосходит ли рпг допустимого значения.
Если фильтрация недостаточна, необходимо улучшить запо-
минающее устройство или применить более сложный фильтр,
например, дополнив пропорционально-интегрирующий фильтр
режектор-ным звеном, настроенным на частоту йр. При измене-
нии фильтра следует заново проверить условия устойчивости в
«малом» и в «'большом», а также условия устойчивости кратно-
сти деления.
Фильтрация побочных колебаний для делителей частоты в
большинстве случаев не рассчитывается.
21*	323
Пример расчёта.
Рассчитать умножитель частоты с переменной кратностью умножения
согласно следующим данным: f9r — 100 кгц, еэг = 1 -4О’”6, Y — 10 ч- 100,
£ПГ “ 1	3’ Рпг макс =
1.	Выбираем блок-схему умножителя типа рис. 8.1а.
2.	Определяем макс, взяв в ф-ле (10.24) вместо /пг её наибольшее
значение:
Fh макс = ^ПГмакс ( £ЭГ + £Пг) = 104
3.	Проверяем устойчивость работы умножителя по условию (10.25):
1
Fh Макс = 104 гц < 2 10-5 сек 
Следовательно, кратность умножения будет устойчивой.
4.	Выбираем полосу захвата, исходя из условия (10.26), равную
2,5- 104 гц.
5.	Определяем длительность импульса из условия '(8,53), полагая
X - 100:
Т
Ди опт = —Р- = 0>05 мксек.
макс
Импульс такой длительности можно сформировать без больших затруд-
нений при помощи блокинг-генератора.
6.	Выбираем в качестве управляющего элемента нелинейную барьерную
ёмкость р-п перехода.
Для того чтобы при изменении Y крутизна характеристики управляюще-
го элемента изменялась прямо пропорционально Y, т. е. чтобы относительная
полоса удержания оставалась постоянной, необходимо перестраивать гене-
ратор, изменяя индуктивность его контура.
На заданных частотах при помощи ёмкости р-п перехода можно полу-
чить полосу удержания порядка 1% от рабочей частоты. Так, при Y = 100,
Fy = ЮО кгц. При этом крутизна характеристики управляющего элемента
имеет порядок 40 кгц/в.
7.	Рассчитаем импульсно-фазовый детектор.
Выбираем кремниевые диоды типа Д-104Б со следующими данными:
500 ом, lRq 7,5 jMojh, Б^обр макс = 75 в.
Определяем ёмкость запоминающего конденсатора по ф-ле (8.47), пола-
гая, что Явых = 0:
Сн < 0,4	=40 пф.
Ft
Принимаем Си = 40 пф.
Находим необходимую амплитуду напряжения источника синусоидаль-
Qy
ного сигнала U —	— — 2,5 в.
ЛУЭ
Выбираем амплитуду импульсного напряжения из расчёта Ди = 3J7;
{7=7,5 в. По ф-ле (8.51) определяем величину одного из сопротивлений за-
пирающей цепочки, найдя предварительно из ф-лы (8.48) Е = 3,73-10—2
и полагая
Ли7?0 л
*1 = ——— = 62 ком.
324
Определяем ёмкость конденсатора забирающей цепочки по условию
(8.45)
Ст ^100	= 16 10-9 ф.
Ri
8.	Выбираем пропорционально-интегрирующий фильтр с mTy 1. Опре-
деляем величину m по ф-ле (4.84):
т=1— УI —	0,03.
9.	Проверяем условие устойчивости системы с таким фильтром по при-
т
ближённой ф-ле (8.37), учитывая, что тТу>1, а следовательно, ар< --------<1.
1 — т
Для нашего случая — sin (рог “ j/4 1 — Тн = 1 и условие (8.37) принимает
вид
2	2
T^pQy < — , т. е. 2л-10~5 -105 <------- .
р у т	0,03
Поскольку условие устойчивости в «малом» выполняется, остаётся опре-
делить по ф-ле (8.60)	полагая, что после запоминающего устройства
включён катодный повторитель и = & •
2РиГ2т 2-10~4-10~io-0,03	„ , 4
8ПГ =------2— =----------------------= 2-10-4 .
Г R<£H 7,5-106-0,4-Ю-10
Поскольку рпг < рпг макс? расчёт можно считать законченным.
Литература
1.	Горшунов В. Н. Исследование области устойчивой работы син-
хрогенератора. «Радиотехника», 1947, т. 2, № 1.
2.	Labin Е. The5rie de la sinchronisation par controle de phase. Philips
Research Report», 1949, № 4, p. 291.
3.	Кияковский Г. В. О работе инерционных схем синхронизации
телевизионных приёмников. «Радиотехника», 1951, т. 5, № 6.
4.	Lyon W. U. and Edgerton Н. Е. Transient Torque—angle Characte-
ristics of Synchronous Machines. «Transactions JEE», 1930, v. 49, № 2, p. 686.
5.	Tri co mi F. Jntegrazione di unequazione differenziale presentatasi in
elektrotecnica. «Annali della Roma Schuola Normale Superiore di Pisa scienze
Fisiche 1‘Matematiche», 1933, v. 30, p. 1.
6.	Боголюбов H. H., Крылов >H. M. О колебаниях синхронных
машин. Харьков—Киев. «Энергоиздат», 1932.
7.	Americo L. Diterminazione della condizioni di stabilita per der inter -
grali die un'equazione interessante Telektrotecnica. «Annali di Matematica
Applicata», 1949, № 3, p. 75.
8.	Б а к a e в Ю. H. Приближенное интегрирование дифференциального
уравнения маятника. «Пр мкл. матем. и мех.», '1952, т. 6.
9.	Е л ь ш и н М. И. О фазовых траекториях движения маятника. «Усп.
матем. наук», 1951, вып. 4.
10.	Hays W. D. «On the equation for a damped pendulum under constant
torgue». Z. angew. Math, und Phys. 1953, № 5.
11.	Pres ton I. W. and T u 1 1 ier J. C. The Lock in Performance of an
AFC Curcuit. «Proc. IRE», 1953, № 2.
12.	GruenW. J. Theory of AFC Siachronizat ion. «Proc. IRE», 1953, №8.
13.	Or dung R. F. and others. Closed-loop automatic phase control- Trans.
AIEE «Communication and Electronics», 1954, № 13.
14.	Jelonek Z. and others. Pulling Effect in Synchronized Systems.
«Proc. 1ЕЕ», 1954, № 6, Pt. IV.
15.	Richman D. Colour-Carrier Reference Phase Synchronization Accura-
cy in NTSC Colour Television. «Proc. IRE>, 1951, v. 42, № 1.
16.	Jaffee R. and Rech ting E. Design ani performance of phase-lo-
cked circuits capable of near optimum performance over a wide range of input
signal and noise levels. «IRE Trans.», 1955, v. IT, № 1.
326
17.	Капранов М. В. Полюса захвата ори фазовой автоподстройке
частоты. «Радиотехника», 1956, т. >1'1, № Г2.
18.	Б а к а е в Ю. Н., К у з н е ц о в П. И. К определению области ус-
тойчивой работы инерционной системы телевизионной синхронизации. «Радио-
техника», 1956, т. 11.
19.	Gilchries С. Е. Application of the phase-locked loop to Telemetry
as a discriminator or tracking filter. «IRE Trans.», 1958, v. TRC-4, № 1*
20.	Lutz H. Die Bewertung der Giitte der Horizontalsynchronisierung von
Fernsehenempfangern. «Arch, elektr. Ubertragung», 1957, № 11.
21.	Leek. Phase-lock AFC loop tracking signals of changing freguency,
«Electronic and Radio Engineer», 1957; v. 34, № 4, p. 114; v. 5, p. 177.
22.	J e 1 о n e k Z. and Cowan C. Synchronized systems with time delay
in the loop. «Proc 1ЕЕ», 1957, pt. C, Sept.
23.	К а п p а н о в M. В. Фильтрация помех при фазовой автоподстройкс
частоты. «Науч. докл. высш, школы», «Радиотехника и электроника», 1958,
№ 1.
24.	А р т ы м А. Д. Применение фазовой автоподстройки частоты. «Ра-
диотехника», 1958, т. 43, № 8.
25.	Б а к а е в Ю. Н. Исследование инерционной системы телевизионной
синхронизации. «Радиотехника и электроника», 1958, т. 3, № 2.
26.	Б ел юстин а Л. Н. Исследование нелинейной системы фазовой
автолодстройки частоты. «Изв. высш. учеб, заведений», «Радиофизика»,
1959, № 2.
27.	Сафонов В. М. Фазовая автолодстройка частоты с фильтрами
второго порядка. «Науч. докл. высш, школы», «Радиотехника и электроника»,
1958, № 4.
28.	Бернштейн И. Л., Сибиряков В. Л. Фазовая автоподстрой-
ка частоты генераторов сантиметрового диапазона. «Радиотехника -и электро-
ника», 1958, т. 3, № 2.
29.	Витерби. Исследование динамики систем фазовой автопод-
стройки частоты в присутствии шумов с помощью уравнения Фоккера—План-
ка. «Труды ПРИ», 1963, т. 51, № 1'2.
30.	Б е л о цв е т о в Ю. В., Терентьев Б. П. Анализ схем крат-
кого преобразования частоты с импульсно-фазовым детектором. «Электро-
связь», 1959, № 9.
31.	Vlach J. Die Sinthese einer Schaltung fur Schwunggradsynchronisation
«Hochfreguenz technik und electroakustik», 1959, № 3.
V V V	V
32.	Sobotka Z. Automaticka fazova synchronisace. Nakladatelstvi Ces-
v
koslovenske Akademie ved. Praha, 1963.
33.	Тихонов В. И. Влияние шумов на работу схемы фазовой авто-
подстройки частоты. «Автоматика и телемеханика», 1959, № 9.
34.	Тихонов В. И. Работа фазовой автоподстройки частоты при на-
личии шумов. «Автоматика и телемеханика», 1960, № 3.
35.	Капранов М. В., Иванов В. А., Иванова Н. Н. Фазо-
вая автоподстройка частоты с нелинейным {фильтром. «Радиотехника и элек-
троника», 1960, т. 5, № ill.
36.	Бакаев Ю. Н. Построение рабочих зон систем автоматического
регулирования фазы. Изв. АН, Отд. техн, наук, «Энергетика и автоматика»,
1960, № 2.
37.	N i е v i a d о m s k i. T. Zakres chwytania synchronizacji w ukladach genera-
torow j^aipP0W^c^ z aut°matyczna kontrola fazy. «Arch, elektrotechniki»,
327
38.	Rey T. J. Automatic Phase Control. Theory and Design. «Proc. IRE»,
1960, № 10.
39.	Терентьев Б. П., Шахгильдян В. В. Получение высоко-
стабильной меняющейся частоты с помощью фазовой автоподстройки. «Элек-
тросвязь», 1960, № 111.
40.	Б и р г е р Л. А. Устойчивость схем фазовой автоподстройки частоты
клистрона. «Радиотехника», 1961, т. 16, № 3.
41.	Ш ахгильдян В. В. Полоса захвата в системе фазовой авто-
подстройки частоты с \RLC фильтром. «Электросвязь», 1961, № 9.
42.	Ш а х г и л ь д я н В. В. Фильтрация флуктуационных помех систе-
мой фазовой автоподстройки частоты с различными вариантами фильтров.
«Радиотехника», 1961, т. .16, № 10.
43.	Ш а х г и л ь д ян В. .В. Система фазовой автоподстройки частоты
с LC фильтром 3-го порядка. «Труды учебн. ин-тов связи», 1961, № 7.
44.	Ш а х г и л ь д я н В. В. Фильтрация флуктуационных помех систе-
мой фазовой автоподстройки частоты с фильтром 3-го порядка. «Труды
учебн. ин-тов связи», (1961, № 8.
45.	Бакаев Ю. Н. «Прикладная теория фазовой синхронизации».
Докторская диссертация ВВИА им. Жуковского, 1962.
46.	Шу стер ев ич А. Н. О приближенном решении уравнения фазовой
автоподстройки частоты. «Радиотехника и электроника», 1962, т. 7, № 5.
47.	Евтянов С. И., Исакова В. К. Фазовая автоподстройка ча-
стоты с запаздыванием. «Радиотехника», 1962, т. 17, № 7.
48.	П е р в а ч е в С. В. Исследование режима захвата следящего авто-
селектора. «Радиотехника», 1962, т. 17, № 2.
49.	Ш а х г и л ь д я н В. В. Фильтрация дискретных помех системой
фазовой автоподстройки частоты с RLC фильтром. «Электросвязь», 1962,
№ 1.
50.	Б а к а е в Ю. Н. Исследование динамических и статистических свойств
фазовой автоподстройки при квадратичном и комбинированном затухании.
«Автоматика и телемеханика», 1962, № 9.
51.	Бакаев Ю.  Н. Исследование устойчивости систем синхронизации
с запаздыванием. «Изв. АН, отд. техн., наук, «Энергетика и автоматика»,
1962, № 6.
52.	Тихонов >В. И., Журавлев А. Г. О работе устройств синхро-
низации при больших шумах. «Радиотехника», 1962, т. 47, № 9.
53.	П е р в а ч е в С. В. О полосе захвата системы фазовой автопод-
стройки частоты. «Радиотехника и электроника», 1963, т. VIII, № 2.
54.	Б а к а е в Ю. И. Устойчивость и динамические свойства астати-
ческой системы ФАПЧ. «Радиотехника и электроника», 1963, т. VIII, № 3.
55.	Шахгильдян В. В. Нахождение полюсы захвата в системе фа-
зовой автоподстройки частоты. «Труды учебн. ин-тов связи», 1963, № 14.
56.	Ш а х г и л ь д я н В. В. Метод фильтрации дискретных помех систе-
мой фазовой автоподстройки частоты. «Электросвязь», 1963, № 5.
57.	Д е в е л е Д. Э. Пороговый критерий для синхронной демодуляции.
«Труды ПРИ», 1963, т. 51, № 2.
58.	Капранов М. В. Полоса захвата при фазовой автоподстройке
частоты. «Электросвязь», 1963, № 8.
59.	Челышев К. Б. Воздействие шумов на систему фазовой автопод-
стройки частоты. «Автоматика и телемеханика», 1963, № 7.
60.	Кульман Н. К., Стр а тон он ич Р. Л. Фпзовая автопод-
стройка частоты и оптимальное измерение параметров узкополосного сигнала
328
с непостоянной частотой в шуме. «Радиотехника и электроника», 1964,
т. IX, № 1.
61.	Капланов М. Р., Левин В. А. Автоматическая подстройка
частоты. Госэнергоиздат, 1962.
62.	Евтянов С. И. Радиопередающие устройства Связьиздат, 1950
63.	Радиопередающие устройства. Под ред. Б. П. Терентьева. Связьиз-
дат, 1962.
64.	Боде Г. В. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной
связью. И;зд-во -иностр, лит-ры, 1948.
65.	Р и з к и н А. А. Основы теории усилительных схем. Изд. «Совет-
ское радио», 1958.
66.	П р у д н и к о в И. Н., Мазуров М. В. Перемножители электри-
ческих сигналов с помощью трехэлектродных датчиков ЭДС Холла. «Изв.
АН СССР», отд. техн, наук, «Энергетика и -автоматика», 1962, № 2.
-67. Харкевич А. А. Нелинейные и параметрические явления в ра-
диотехнике. Гостехиздат, 1956.
-68. Гуткин Л. С. и др. Радиоприемные устройства. Ч. I. Изд. «Со-
ветское радио», 1961.
69.	Бычков С. И. и др. Стабилизация частоты генераторов СВЧ.
Изд. «Советское радио», 1962.
70.	Го норов ск ий И. С. Частотная модуляция и её применение.
Связьиздат, 1948.
71.	Картьяну Г. Частотная модуляция. Изд. 2-е, доп. Бухарест,
«Меридиемс», 1964.
72.	Артым А. Д. Теория и методы частотной модуляции. Госэнер-
гюиздат, 1961.
73.	Б е р г е л ь с о н И. Г. и др. Приёмно-усилительные лампы повышен-
ной надёжности. М., 1962.
74.	Берман Л. С. Нелинейная полупроводниковая емкость. Физмат-
гиз, 1963.
75.	С а м о й л е н к о В. И. Работа полупроводниковых диодов и трио-
дов при больших напряжениях. Оборонгиз, 1959.
76.	Справочник по полупроводниковым диодам и транзисторам, под ред.
Н. Н. Горюнова. Изд. «Энергия», 1964.
77.	Г р а д ш т е йн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
78.	Андронов А. А. и др. Теория колебаний. Физматгиз, 1959.
79.	Л е в и н Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в ра-
диотехнике. Изд. «Советское радио», 1960.
80.	Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при
флуктуационных помехах. Госэнергоиздат, 1961.
81.	Зубаков В. Д., В ан штейн Л. А. Выделение сигналов на
фоне случайных помех. Изд. «Советское радио», 1959.
82.	Евтянов С. И. -Переходные процессы в приёмно-усилительных
схемах. Связьиздат, 1947.
83.	Горелик Г. С., Елкин Г. А. О преобразовании флуктуаций
амплитуды и фазы автоколебаний резонансными системами. «Радиотехника
и электроника», 1957, т. II, № 1.
84.	Попов Е. П. Автоматическое регулирование. Физматгиз, 1959.
85.	Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения
I остехиздат, 1950.
86.	Бабаков И. М Теория колебаний. Гостехиздат, 1958.
329
87.	Ляховкин А. А., Шахгильдян В. В. Полоса захвата в
инецционной системе фазовой -автоподстройки частоты. «Радиотехника»,
1964, т. 19, № 9.
88.	Шахгильдян В. В. Анализ систем фазовой автоподстройки ча-
стоты. Кандидатская диссертация [МЭЙС], 1962.
89.	Гарбер Е. Оценка погрешности метода гармонического баланса.
«Автоматика и телемеханика», 1963, № 4,
90.	Журавлев А. Г. Работа системы фазовой автоподстройки частоты
при гармонических помехах. «Радиотехника», >1963, т. 18, № 9.
91.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотичес-
кие методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, 1963.
92.	Миддлтон Д. Введение в статическую теорию связи. Т. I и II.
Изд. «Советское радио», 1961.
93.	К а г а н о в В. И. Переходные процессы в некоторых системах ав-
томатической подстройки частоты и контуров. Кандидатская диссертация
[МЭНС], 1960.
94.	Л е н и н г Д. X., Бетт ин Р. Г. Случайные процессы в задачах
автоматического управления. Изд-ibo иностр, лит-ры, 1958.
95.	К а з а к о в И. Е., Доступов Б. Г. Статическая динамика
нелинейных автоматических систем. Физматгиз, 1962.
96.	С т р а то н о в ич Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуации в
радиотехнике. Изд. «Советское радио», 1961.
97.	Крамер Г. Математические методы статистики. Изд-во иностр,
лит-ры, 1948.
98.	Эл ин с он Э. С. Некоторые вопросы теории и проектирования сис-
тем фазовой синхронизации в радиоприемных устройствах. Кандидатская
диссертация [ЛЭНС], 1963.
99.	Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. Физматгиз,
1963.
100.	Кулешов В. Н, Морозов А. А. Исследование импульсной
системы фазовой автоподстройки частоты. «Радиотехника и электроника»,
1963, т. VIII, № 8.
101.	Несвижский Ю. Б. Локальные процессы в системе импульсно-
фазовой автоподстройки частоты с запаздыванием. «Труды учебн. ин-тов
связи», 1964, № 19.
102.	Колмогоров А. И. Интерполирование и экстраполирование ста-
ционарных случайных последовательностей. «Изв. АН СССР, серия матем.»,
1941, № 5.
403.	П а н а с е н к о В. Д. Элементы автоматических устройств и вы-
числительной техники. Оборонгиз, 1962.
104.	Принципы детектирования с использованием методов фазовой син-
хронизации в фазово-когерентных системах. «Зарубежная радиоэлектроника»,
1959, № 2.
105. Радиотехническая система «Микролок» для измерения параметров
орбиты спутника Земли. «Зарубежная радиоэлектроника», 1959, № 9.
106.	Weaver. Ch. S. A new approach to the linear design and analysis
of plase locked loops. «IRE Trans on space electronics and telemetry», 1959,
№ 4.
107.	Morita M. and S. Ito. High sensistivity receiving system for frequ-
ency modulated Wave. «IRE Internal. Conv. Rec.», 1960, pt-5, March 21—24.
108.	Лазарев В. И., Пархоменко В. И. Магнитная запись те-
левизионных изображений. Госэнергоиздат, 11963.
.330
109.	ГитлицМ. В. О динамическом диапазоне канала магнитной записи
«Радиотехника», 1962, т. 17, № 4
НО. Иоффе А. Ф. Применение магнитной записи. Госэнергоиздат,
1959.
LI 1. Янке Е. и Эм де Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми.
Гостехиздат, 1952.
112.	Бакаев Ю. И. Синхронизирующие свойства фазовой системы
автоматической подстройки частоты третьего порядка. «Радиотехника и элек-
троника», 1965, т.- X, № 6.
ИЗ. Тихонов В. И. Влияние флуктуаций на точность работы уст-
ройств синхронизации. «Успехи физ. наук», 1964, т. XXXIII, вып. 4.
114.	Ш а х г и л ь д я н В. В., Ляхов кин А. А. О выборе типа низ-
кочастотного фильтра в цепи фазовой автоподстройки частоты, минимизирую-
щего дисперсию частоты синхронизируемого генератора. «Радиотехника»,
1965, т. 20, № 6.
115.	Ш а х г и л ь д я н В. В., Ляховкин А. А. Фильтрация моно-
хроматического сигнала системой фазовой автоподстройки частоты. «Электро-
связь», 1965, № 4.
116.	Richman D. The quadricorrelator. A Two-Mode synchronisation sys
tem. «Proc. IRE», 1954, v. 42, № 1.
117.	Ш a x г и л ь д я н В. В. Фильтрация дискретных помех в нелиней-
ной системе фазовой автоподстройки частоты. «Радиотехника», 1964,
т. 19, № 3.
118.	Ш а х г и л ь д я н В. В., Игнатов Ю. Ф. Влияние шума на
точность работы системы фазовой автоподстройки частоты. «Электро-
связь», 1966, № 3.
Оглавление
Предисловие ....................................................
Список основных обозначений.....................................
Глава 1. Введение
§ 1.1	Основные понятия..........................................
§ 1.2.	Основное уравнение типовой системы ФАПЧ..................
§ 1.3.	Области применения систем ФАПЧ...........................
§ 1.4.	Фазовые детекторы........................................
§ 1.5.	Управляющие элементы.....................................
Глава 2. Идеализированная система ФАПЧ
§2.1.	Решение основного дифференциального уравнения системы
ФАПЧ с идеализированным фильтром...............................
§ 2.2.	Физическая сущность процессов, происходящих в системе ФАПЧ
с идеализированным фильтром....................................
§ 2.3.	Переходные процессы в системе ФАПЧ с идеализированным
фильтром.......................................................
§ 2.4.	Влияние формы характеристики фазового детектора на работу
системы ФАПЧ с идеализированным фильтром.......................
Глава 3. Линейная автономная система ФАПЧ
§3.1.	Общие условия устойчивости в «малом» системы ФАПЧ .
§ 3.2.	Устойчивость в «малом» системы ФАПЧ с конкретными типами
фильтров.......................................................
§ 3.3.	Переходные процессы в линеаризованной системе ФАПЧ .
Глава 4. Нелинейная автономная система ФАПЧ
§4.1.	Качественная сторона явлений при захвате.................
§ 4.2.	Методы исследования устойчивости системы ФАПЧ при боль-
ших возмущениях................................................
332
§ 4.3.	Исследование устойчивости в «большом» системы ФАПЧ вто-
рым методом Ляпунова...............................................102
§ 4.4.	Метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики фазо-
вого детектора.....................................................108
•§ 4.5. Определение полосы захвата в системе ФАПЧ при помощи
электронно-вычислительных машин..............................119
§	4.6.	Метод гармонического	баланса .	 124
§ 4.7.	Определение полосы захвата методом аппроксимации основного
уравнения..........................................................129
§	4.8.	Переходный процесс в	реальной	системе ФАПЧ................139
Глава 5. Действие детерминированных возмущений на систему
ФАПЧ
§ 5.1.	Основные понятия......................................145
§ 5.2.	Действие	фазо-модулированных сигналов на систему ФАПЧ . .	149
5.3.	Действие	малых внутренних возмущений на систему ФАПЧ . .	156
§ 5.4.	Методы повышения фильтрующей способности системы ФАПЧ	159
§ 5.5.	Действие	больших гармонических помех на систему ФАПЧ . .	164
•§ 5.6.	Влияние	периодической модуляции фазы эталонного сигнала
на полосу захвата......................................177
Глава 6. Действие флуктуационных помех на систему ФАПЧ
§ 6.1.	Основные понятия......................................183
§ 6.2.	Действие малых флуктуационных помех	на систему	ФАПЧ .	.	184
§ 6	3.	Общие соображения по	исследованию	систем	ФАПЧ при
больших флуктуационных	помехах.....................204
§ 6.4.	Анализ системы ФАПЧ, находящейся под действием больших ши-
рокополосных помех, при помощи уравнения Фоккера—Планка	206
§ 6.5.	Анализ системы ФАПЧ, находящейся под действием случайных
возмущений, методом статистической линеаризации ....	231
§ 6.6.	Исследование нелинейной системы ФАПЧ, находящейся под слу-
чайным воздействием, квазистатическим методом ....	239
Глава 7. Астатическая система ФАПЧ
§ 7.1.	Общие положения.............................................242
§ 7.2.	Астатическая система ФАПЧ с идеальным интегратором .	.	244
§ 7.3.	Реальные «астатические» системы ФАПЧ	250
Глава 8. Система импульсно-фазовой автоподстройки частоты
§ 8.1.	Общие сведения..............................................260
§ 8.2.	Устойчивость системы ИФАПЧ..................................265
§ 8.3.	Импульсно-фазовые детекторы и запоминающие устройства .	.	272
§ 8.4.	Побочные колебания в системе ИФАПЧ..........................277
Глава 9. Некоторые вопросы синтеза оптимальных систем ФАПЧ
§ 9.1.	Постановка задачи...........................................280
§ 9.2.	Линейная система ФАПЧ, оптимальным образом выделяющая
ЧМ или ФМ сигнал на фоне аддитивного случайного шума .	.	283
333
§ 9.3.	Синтез оптимальной системы ФАПЧ в нелинейном приближении 294
Глава 10. Электрический расчет различных систем ФАПЧ
§ 10.1.	Задачи, встречающиеся в инженерной практике............302
§ 10.2.	Расчёт системы ФАПЧ, выделяющей гармонический сигнал на
фоне дискретных и флуктуационных помех........................ 303
§ 10.3.	Расчёт системы ФАПЧ, выделяющей несущую ФМ сигнала .	.	309
§ 10.4.	Расчёт системы ФАПЧ, работающей в режиме детекти-
рования ФМ сигнала .	.	.	  313
§ 10.5.	Расчёт системы ФАПЧ, используемой в качестве частотного
модулятора.....................................................315
§ 10.6.	Расчёт системы ФАПЧ, используемой в качестве усилителя
с малой фазовой погрешностью.................................. 318
§ 10	7 Расчёт системы ИФАПЧ....................................322
Литература. .	  323
Ваган Ваганович, Шахгилъдян, Александр Алексеевич Ляховкин
ФАЗОВАЯ АВТОПОДСТРОЙКА ЧАСТОТЫ
Отв. редактор И. Н. Гельфер
Редактор Н. К. Логинова
Техн, редактор Л. А. Триплина
Корректор Е. Н. Каплина
Сдано в набор 21/ХП 1965 г.	Подписано в печ. 6/Ш 1966 г.
Форм. бум. 60X90716	21,0 печ. л 21,0 усл.-п. л. 18,675 уч.-изд л
Т-00391 Тираж 9100 экз. Бум. № 2 Зак. изд 11557 Цена 1 р. 37 к.
Издательство «Связь», Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2
Типография изд-ва «Связь» Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Москва-центр, ул Кирова, 40. Зак. тип. 793