Серия «ЕГЭ. Высший балл»
А. Г. Малкова
МАТЕМАТИКА
ЗАДАНИЯ ВЫСОКОЙ И ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Издание второе
Ростов-на-Дону
Феникс
2019


УДК 373.167.1:51 ББК 22.1 я72 КТК 444 М19
Малкова А. Г.
М19 Математика : задания высокой и повышенной сложности / А. Г. Малкова. — Изд. 2-е. — Ростов н/Д : Феникс, 2019. — 221, [3] с.: ил. — (ЕГЭ. Высший балл). — ISBN 978-5-222-32502-5
Перед вами пособие по решению задач высокой и повышенной сложности в формате ЕГЭ по математике. Это не просто сборник интересных задач. Книга-репетитор, книга-путеводитель от школьной «четверки» до 100 баллов — вот что это такое. Здесь есть все: необходимая и достаточная теория, справочные материалы, тесты, репетиторские хитрости, секреты и рекомендации. И конечно, сами задачи — с решениями и образцовым оформлением.
Для абитуриентов, учителей и репетиторов.
УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72
Учебное издание
Анна Георгиевна Малкова
МАТЕМАТИКА
ЗАДАНИЯ ВЫСОКОЙ И ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Ответственный редактор А. Васько
Выпускающий редактор Г. Логвинова
Формат 70х100'/16. Бумага офсетная.
Тираж 3000 экз. Заказ №2261.
ООО «Феникс»
344011, Россия, Ростовская обл., г. Ростов-на-Дону, ул. Варфоломеева, 150. Тел./факс: (863) 261-89-50, 261-89-59.
Сайт издательства www.phoenixrostov.ru Интернет-магазин www. phoenixbooks.ru
Изготовлено в России Дата изготовления: 03.2019.
Изготовитель: АО «Первая Образцовая типография» филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ» 432980, Россия, Ульяновская обл., г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
ISBN 978-5-222-32502-5
© Малкова А.Г., 2018 © Оформление: ООО «Феникс», 2018


ОТ АВТОРА
Дорогие абитуриенты, учителя и репетиторы!
Это моя вторая большая книга по математике. Первая — для тех, кто готовится к ЕГЭ по математике с нуля. Она называется «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ».
Книга, которая у вас в руках, — для тех, кто уже пишет пробные ЕГЭ на 50-70 баллов. И все как будто понятно. Но почему-то задачи каждый раз попадаются сложные... Атак хочется с 50-70 дойти до 100 баллов!
Открою секрет: на каждую сложную задачу найдется хитрый инструмент. И сдают ЕГЭ на 100 баллов именно те, кто знает все эти «ключи». Их не нужно изобретать на экзамене. О них рассказывают только очень опытные репетиторы.
И теперь вы тоже их узнаете. Я покажу множество приемов, помогающих решать задачи не за 40, а за 5-10 минут. Вы получите все хитрые инструменты и ключи к каждой теме.
Задачи в пособии специально подобраны так, чтобы вы увидели все эти приемы и освоили их. Среди задач много моих авторских, составленных в полном соответствии с требованиями ФИПИ. Каждую тему я начинаю с краткого повторения теории.
В этой книге:
• подготовительные тесты: три варианта с решениями и ответами в формате ЕГЭ, включающие первые 12 задач;
• 7 глав по всем задачам повышенной сложности из второй части ЕГЭ по математике;
• заключительные тесты: еще 4 полных варианта ЕГЭ по математике с ответами и комментариями.
Что нужно, чтобы сдать ЕГЭ по математике на 100 баллов, как сдают мои ученики?
Нужна цель. Спросите себя: «Для чего мне 100 баллов? Куда я поступаю, как поступление в вуз связано с моими целями, с моим представлением о будущем?» Те, кто четко знает, куда и зачем поступать, получают высокие результаты.
Нужна постоянная тренировка. Если вы решили 50 задач по теме «Параметры» или по теме «Стереометрия» — задача на экзамене будет для вас не «сложной», а всего лишь «пятьдесят первой».
И еще нужен наставник. Тот, кто знает дорогу и готов привести вас к цели.
Пусть моя книга станет для вас таким наставником.
Анна Малкова


глава 1
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ТЕСТЫ В ФОРМАТЕ ЕГЭ
Хороший репетитор всегда начинает с тестирования. В этой главе — три варианта в формате первой части ЕГЭ (задачи с кратким ответом).
Такие тесты я составляю для своих пробных ЕГЭ, которые провожу и очно, и онлайн. Новички, приходя ко мне заниматься, говорят: «Ой, что это? Мы такого никогда не решали!» Однако все задачи первой части я беру из официального Банка заданий ФИЛИ или мы с коллегами придумываем аналогичные. Мы подбираем задачи так, чтобы каждая была ключом к определенной теме ЕГЭ. Предупреждаю: в самых неожиданных местах расставлены ловушки.
Хотите попробовать свои силы? Насколько вы внимательны? Насколько глубоко знаете школьную программу? Вперед!
вариант 1
1. 	Цена билета на одну поездку в московском метро на 15 мая 1998 года составляла 2 рубля, а на 15 мая 2008 года — 19 рублей. На сколько процентов поднялась за эти десять лет цена билета на одну поездку?
2. На графике показан ВВП Египта в долларах США по годам. Сколько лет за период с 1991 по 2001 годы включительно наблюдался спад ВВП Египта по отношению к предыдущему году?
200 000 000 000 т ~--т-
150 000 000 000
100 000 000 000
50 000 000 000
и
il
1984 1989 1994 1999 2004
3. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если его вершины имеют координаты А( 1; 1), В(-3; 2), С(3; 1)иД2;-2).
4. Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии Кончиты. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу, равна 0,1 в отдельно взятый вечер. Какова вероятность, что Хуан Гарсия завоюет сердце Сесилии Кончиты, если ее соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?
5. Решите уравнение 93 “* = 21х +1.
6. В треугольнике АВС угол С = 90°, АС = 14, АВ = 50. Найдите расстояние между точкой С и прямой АВ.
7. Прямая у = ах является касательной к графику функции у = х2 + 1, причем абсцисса точки касания меньше нуля. Найдите значение а.
4


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ #
8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка Е — середина ребра АВ, боковое ребро SA равно 4, длина отрезка SE равна л/ш. Найдите объем пирамиды SABCD.
9. Найдите sin а, если известно, что ctg а = -0,75 и 2л < а < Зл.
10. Дальность полета L мяча, брошенного под углом а(0° < а < 90°) к горизонту, зависит от начальной скорости v0 и угла а по закону L = 0,1 v02sin2a, где L измеряется в метрах, а v0 — в метрах в секунду. Определите, при каком максимальном значении а дальность полета будет не меньше 5 метров, если начальная скорость мяча составляет 10 метров в секунду. Ответ дайте в градусах.
11. Иванов, Петров и Кошкин работают малярами. Иванов и Петров вдвоем покрасят один забор за 40 минут, Иванов и Кошкин вдвоем покрасят один забор за 50 минут, все три маляра вместе покрасят 17 заборов за 10 часов. Сколько заборов покрасят за 10 часов рабочего времени вдвоем Петров и Кошкин?
243
12. Найдите наибольшее значение функции у = х н на отрезке [2; 4].
вариант 2
1. Магазин закупает тетради у производителя оптом по 16 рублей за штуку и продает их по розничной цене на 50% выше оптовой. Какое наибольшее число таких тетрадей можно купить по розничной цене на 1150 рублей?
2. На диаграмме показана среднемесяч- 20,0 ная температура воздуха в Перми за каж- 16,0 дый месяц 2017 года. По горизонтали ука- 12,0 зываются месяцы, по вертикали — темпе- 8,0 ратура в градусах Цельсия. Определите по 4 q диаграмме, на сколько градусов Цельсия Q Q март был в среднем холоднее августа.
-8,0 -12,0 -16,0 -20,0 -24,0  31
2
3
4
5
6
7
8
9
10
it
12
3. 	На бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен угол. Найдите синус этого угла.
5


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
4. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
5. Решите уравнение: log^ „49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
6. 	К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 12, 18. Найдите периметр данного треугольника.
7. 	На рисунке изображен график производной некоторой функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 6). В какой точке отрезка [1; 3] функция у =f(x) принимает наименьшее значение?
8. 	От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем оставшейся части.
9.
Найдите значение выражения
V3cos2 — - V3sin2 12
5 к 12*
10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием /= 30 см. Расстояние d от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если
выполнено соотношение 1 = —. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от лин-
J J г 1
d 1 d 2 f
зы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
12.Найдите наибольшее значение функции у = 12cosx + 6V3 -х-2л/3я + 6 на отрез¬
ке
*§
6


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ •
вариант з
1. 	Бегун пробежал 450 метров за 50 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ дайте в километрах в час.
2. 	На графике показано изменение напряжения на батарейке (в вольтах) в зависимости от времени ее использования в фонарике. На оси абсцисс откладываются часы и минуты, на оси ординат — напряжение в вольтах. Известно, что фонарик работает только при напряжении, большем 0,9 В. Сколько минут проработает фонарик на этой батарейке?
Падение напряжения на батарейке
0:00 0:25 0:50 1:15 1:40 2:05 2:30 2:55
3. 	Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1; 7), (9; 2), (9; 4), (1; 9).
4. Игральный кубик бросают 2 раза. С какой вероятностью выпавшие числа будут отличаться на 3? Ответ округлите до сотых.  5 65. Найдите корень уравнения V6+5х =х Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
6. Высота, опущенная из прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки 1 и 4. Найдите эту высоту.
7


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
7. 	На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х . Найдите значение производной функции f(x) в точке xQ.
8. 	Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, Ар С{ правильной треугольной призмы ABCAXBXCV площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.
9. Найдите значение выражения x+yjx2 -4х + 4 при х<2.
10. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Коля бросает небольшие камешки в колодец, измеряя время их падения, и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 512, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,6 с. На сколько поднялся уровень воды после дождя, если измеряемое время уменьшилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
11. Катер проходит 70 километров вниз по течению реки на 4 часа быстрее, чем против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
12. Найдите наибольшее значение функции J{x) = Ъх5 - 20л:3 - 54 на отрезке [-4; -1].
8


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ •
ответы и решения
вариант 1*
1. 	Ответ: 850.
Прибавка составила 17 рублей, то есть сумму, в 8,5 раз большую, чем 2 рубля. Значит, в процентах прибавка составила 850%. Напомним, что за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
2. 	Ответ 3.
200 000 000 000
150 000 000 000
100 000 000 000
50 000 000 000
Можно сказать, что это задача на внимательность. ВВП (валовой внутренний продукт) в каждом конкретном году обозначен на диаграмме прямоугольником. Что же значит «спад по отношению к предыдущему году»?
Это значит, что соответствующий данному году прямоугольник ниже, чем предыдущий.
В период с 1991 по 2001 год таких было три, и они соответствуют 1991, 1992 и 2001 годам.
3. 	Ответ: 4.
Проще всего найти площадь ABCD как сумму площадей треугольников АВС и ACD. Основание этих треугольников АС = 2, а высоты соответственно 1 и 3. Итак, площадь ABCD есть 1+3 = 4.
Проверьте, как вы соединили вершины четырехугольника. Они должны быть соединены по порядку: ABCD.
1989 1994
1999 2004
у (
в 2
Г
Г
*
-3 0
W
-2-
Y
D
* При составлении варианта использованы авторские задачи А. Акимова и А. Елизарова.
9


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
4. 	Ответ: 0,3439.
Вероятность получить красную розу в отдельно взятый вечер равна 0,1. Хуан Гарсия, если ему повезет, получит ее сразу в первый вечер. Тогда он приглашает Кончиту на свидание и больше под окном не бренчит. Хуан Гарсия может получить красную розу во второй, в третий или в четвертый вечер, причем вероятности каждого из этих событий разные.
В первый вечер: вероятность получить красную розу равна 0,1.
Во второй вечер: 0,9 0,1 — поскольку с вероятностью 0,9 Хуан Гарсия во второй вечер вообще оказался под окном Сесилии Кончиты, а не на свидании с ней.
В третий вечер: 0,9 • 0,9 • 0,1.
В четвертый вечер: 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,1.
Получаем, что вероятность для Хуана Гарсии завоевать сердце Сесилии Кончиты равна 0,1 + 0,9 • 0,1 + 0,9 ■ 0,9 ■ 0,1 + 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,1 = 0,3439.
Можно решить проще!
Вероятность того, что Хуан Гарсия так и не добился взаимности Сесилии Кончиты, равна 0,9 • 0,9 • 0,9 • 0,9 = 0,6561.
Вычитая из единицы это число, получим вероятность благоприятного исхода для Хуана Гарсии: 1 -0,6561 =0,3439.
5. Ответ'. 0,6.
Пользуясь тем, что 9 = З2, а 27 = З3, приводим уравнение к виду 35  6  7~1х = 33дг~3, откуда следует, что 6-2х = 3х + 3их = 0,6.
6. Ответ: 13,44.
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. По теореме Пифагора находим ВС = 48. Выразим площадь треугольника АВС двумя способами:
SABC =^АС-ВС = ^АВ-СН,
где — СН искомый отрезок, т. е. высота, проведенная к гипотенузе.
48
СН = 14 = 13,44.
50
7. Ответ: -2.
Запишем, при каких условиях прямая у = кх + b является касательной к графику функции у =f(x) в точке х0:
\f{x) = kx + b 1 f(x) = k
10


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ •
Условия касания прямой и параболы в точке с абсциссой х0 выглядят так:
1х02+1 = а*0
[2*0 = а
Решая эту систему и принимая во внимание, что х0 < 0, имеем а = -2.
Запомните, как записываются условия касания! Пригодятся и в задачах части 1, и в задачах с параметрами.
8. Ответ: 16.
Найдем сначала сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора для треугольника SAE получаем, что АЕ = Тб, соответственно, сторона основания пирамиды есть 2\/б. Если обозначить центр основания за Я, то высоту пирамиды SH найдем по теореме Пифагора. Для треугольника SHE она равна 2.
Применяя формулу для объема пирамиды
V=-SA
■А,
получаем ответ: 16.
9. Ответ: 0,8.
Наш угол а лежит во второй четверти, поскольку 2к < а < Зк и ctg а < 0, значит, его
синус положителен. Пользуясь формулой l + ctg2a = —\—, находим ответ: 0,8.
sin" a
10. 	Ответ: 75.
Подставив значения величин в формулу для дальности полета, получим неравенство
sin 2a > -.
2
Как решить такое неравенство? Ошибка, которую многие допускают, — «превращают» его в уравнение и получают неверный ответ a = 15 градусов.
Правильно будет воспользоваться тригонометрическим кругом (или же графиком функции у = sin2a). Давайте нарисуем тригонометрический круг, обозначив 2а = Г, и решим неравенство sin/>—.
Отсюда, с учетом возможного диапазона угла а, получаем 30° < 2а < 150°. Значит, максимальное значение а равно 75 градусов.
11


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
11. Ответ: 7
Напомним, что в задачах на работу в качестве переменных лучше всего выбирать производительности.
Как известно, А=р ■ /, где А — работа, р — производительность, t — время.
При совместной работе производительности складываются.
Поскольку работа не дана и найти ее по условиям задачи невозможно, примем ее равной единице.
Обозначим производительности Иванова, Петрова и Кошкина за х, у и z и составим систему уравнений. Время удобнее выразить в часах.
>+‘)-Ь
(дг + >' + г)10 = 17; х+ у = 1,5,
« jc + z = 1,2,
X+y + Z=l7.
Иванов и Петров за час покрасят полтора забора, а все три маляра вместе 1,7 забора. Значит, один Кошкин за час покрасит 0,2 забора. Поскольку вместе с Ивановым Кошкин за час покрасит 1,2 забора, в одиночку Иванов справится за час ровно с одним забором. Значит, Петров за час красит 0,5 забора. Итак, Петров и Кошкин за час красят 0,7 забора, то есть 7 заборов за 10 часов.
12. Ответ: 129,5.
Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо в точке максимума, либо на конце отрезка.
243
Производная нашей функции у'(дг) = Зх2 —. Ана¬
лизируя знак производной на каждом интервале, приходим к выводу, чтоу(х) убывает на отрезке [2; 3] и возрастает на отрезке [3; 4], и это значит, что точек максимума на данном отрезке нет.
Значит, наибольшее значение у на [2; 4] достигается либо при х = 2, либо при х = 4. Расчет показывает, что у(2)>у(4)иу(2) = 129,5.
12


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ •
вариант 2
1. Ответ: 47.
Напомним, что за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем. Розничная цена на 50% выше оптовой. Значит, она равна 16 ■ 1,5 = 24 рубля за тетрадь. На 1150 рублей можно купить 47 тетрадей.
2. Ответ: 20.
Находим разницу между температурой в августе и в марте.
3. 	Ответ: 0,8.
Синус угла на рисунке равен синусу смежного с ним угла, который легко найти, достроив на чертеже прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 и гипотенузой 5.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
4. Ответ: 0,25.
Решим эту задачу простым способом — без применения формул комбинаторики.
Пусть одна из девочек заняла место за круглым столом. Тогда за столом остается 8 свободных мест. Вторая девочка может занять место слева или справа от первой, то есть благоприятных исходов два. Значит, вероятность того, что обе девочки сидят рядом, равна - = —.
8 4
5. Ответ: 12.
Пользуясь определением логарифма, получим: (х - 5)2 = 49; х = 12 или л: = -2.
Второй корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Данное уравнение имеет один корень, равный 12.
Это задача-ловушка. Многие абитуриенты забывают про область определения логарифма и пишут в ответ посторонний корень.
6. 	Ответ: 38.
Периметр треугольника АВС равен AD + DE + EF + FC + + СН + НК + KL + LB + BN + NO+ ОР +РА.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
DE = DR, EF=FG, НК = HG, KL = LM...
Мы получили, что периметр треугольника АВС равен сумме периметров отсеченных от окружности треугольников, то есть 8 + 12 + 18 = 38.
13


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
7. 	Ответ: 2.
Еще одна типичная ловушка для невнимательных абитуриентов. На рисунке изображен график производной, а вопрос задан о наименьшем значении функции. В концах интервала функция не определена. Значит, наименьшее значение она может принимать только в точке минимума. Мы знаем, что в точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс». С помощью рисунка находим эту точку: х = 2.
8. 	Ответ: 9.
Пусть MN — средняя линия основания исходной пирамиды. Исходная пирамида SABC и пирамида SAMN имеют равные высоты. Площадь основания пирамиды SAMN в 4 раза меньше площади основания исходной пирамиды, поскольку отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Тогда К. = 3. Объем оставшейся части 12-3 = 9.
9. Ответ: -1,5.
Вынесем за скобки л/з и применим формулу косинуса двойного угла: cos2a - sin2a = cos2a.
rz| ,5л . , 5л ^
V3| cos“ sin-
12 12 10. Ответ: 36.
= V3cos^ = V3
= -1,5.
Фокусное расстояние линзы известно. Но какое же значение d2 (расстояние от линзы до экрана) надо подставлять в формулу? Нам надо найти наименьшее расстояние от лампочки
до линзы dy Если dl — наименьшее, то обратная величина — будет наибольшей. Посколь¬
ку константа, второе слагаемое — в формуле линзы должно быть наименьшим, а об-
/ di
ратная ему величина d2 — наибольшей, то есть равной 180. Подставим данные в формулу:
11 1 , „
—I = —; d, = 36.
d, 180 30 1
14


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ #
11. 	Ответ,: 36.
Обозначим массу первого сплава х.
Тогда масса второго сплава х + 9, а масса третьего 2х + 9.
Масса меди в первом сплаве 0,05х.
Во втором сплаве масса меди равна 0,1 3(jc + 9), а в третьем 0,1(2х + 9).
Составим уравнение для массы меди: 0,05х + 0,13(х + 9) = 0,1(2х + 9).
Заметим, что с целыми коэффициентами в уравнениях удобнее работать, чем с дробными. Умножим обе части уравнения на 100. Получим: 5х + 13(х + 9) = 10(2х + 9). Решая его, получим, что 2х = 27 и 2х + 9 = 36. Это масса третьего сплава.
х кг (х + 9) кг (2х + 9) кг
12. 	Ответ: 12.
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка.
Возьмем производную функции у(х) и приравняем ее к нулю.
y'(jc) = —12sinх + 6\/3; уг(х) = 0; sin;c = —
На отрезке
0;—
2
решением этого уравнения являет¬
ся х = —. Других точек, где производная равна нулю, на
данном отрезке нет. Посмотрим, как меняется знак про-
к
изводнои при переходе через точку —.
Возьмем х = 0. Тогда /(0) = 6л/з > 0.
Возьмем х = ~- Получим >1 ~
= -12 + 6л/з < 0.
Значит, при переходе через точку х = — производная функции меняет знак с «плюса» на «минус», и х = ~ — точка максимума нашей функции. Значение функции в этой точке
равно 12. Это и есть наибольшее значение функции у(х) на отрезке
15


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
вариант э
1. Ответ: 32,4.
За 50 секунд бегун пробегает 450 метров. Значит, за 10 секунд — 90 метров, за 60 секунд (минуту) — 540 метров. В часе 60 минут. 540 • 60 = 32 400 м/ч = 32,4 км/ч.
Решая эту задачу, помните о здравом смысле. Если скорость бегуна у вас получилась равной 2 км/час или 2000 км/ч — ошибка очевидна.
2. Ответ: 150.
2 часа 30 минут переводим в минуты, получаем 150 минут.
3. Ответ: 16.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.
4. Ответ: 0,17.
Представим, что два игральных кубика бросили одновременно. Условие задачи от этого не изменится. Всего 36 возможных исходов (каждому из 6 чисел, выпавших на первом кубике, соответствуют 6 возможных чисел на втором).
Благоприятные исходы:
1 4
2 5
3 6
6 3
5 2
4 1
По определению, вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Получаем: р = — ~ 0,17.
16


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ •
5. 	Ответ: 6.
Возведем обе части уравнения в квадрат, помня, что правая часть должна быть неотрицательна.
|б + 5* = *2
\х > О
х2 -5х-6 = 0
Х{ =-\\Х2 = 6.
Нам подходит только неотрицательный корень: х = 6.
Почему правая часть должна быть неотрицательна?
Вспомним определение и свойства арифметического квадратного корня.
Арифметический квадратный корень из числа а — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.
(л/а) = а\ у[а >0; а>0.
Это означает, что выражение под корнем должно быть неотрицательно. Сам корень — тоже величина неотрицательная.
6. 	Ответ'. 2.
Вспоминаем геометрию! Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. h1 = с с,
а Ь
h2 = 1 • 4 h = 2.  77. 	Ответ: 2.
В
Производная функции в точке *0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке х0. Тангенс угла наклона касательной находим из прямоугольного треугольника АВС. Он равен 10 : 5 = 2.
17


* Математика. Задания высокой и повышенной сложности
8. Ответ: 4.
Многогранник АВСАХСХ получается, если от исходной треугольной призмы отрезать треугольную пирамиду АХВХСХВ. Пирамида АХВ{СХВ имеет такие же основание и высоту, как исходная призма, значит, ее объем
^АЯ,С,Я ~ ^ЛАВС ' ~ ^призмы ^
Тогда УАВСЛЛ =6-2 = 4.
9. Ответ: 2.
Выражение под корнем представляет собой полный квадрат: х2 - 4х + 4 = (х - 2)2.
Но чему же равен л/а2? На этот вопрос даже отличники редко отвечают правильно! Запомним, что л/я2" = Id.
В самом деле, по определению арифметического квадратного корня, \а2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен а2. Это число равно а при а > 0 и равно
-а при а < 0, т. е. как раз \а\.
Мы получим: х + л/л:2-4*+ 4= * + |*-2|,иу нас есть условие х < 2. Раскроем модуль.
, , Г а, если а > О,
По определению модуля: \а =
[-а, если а < 0.
Если х < 2, то х - 2 < 0 и |х — 2| = 2 — х.
Получим: х + 2 - х = 2.
10. Ответ: 3.
После дождя уровень воды в колодце станет выше, а расстояние до воды уменьшится. Значит, и время падения камешка уменьшится, став равным 1,4 с.
Пусть hx = 5 - 1,62 — расстояние до воды до дождя, h2 = 5 • 1,42 — расстояние до воды после дождя.
Уровень воды поднимется на 3 метра.
11. Ответ’. 6.
Пусть х— собственная скорость катера. Составим уравнение:
35 35 _
х-1 х + 1 х — 1 х + 1
Можно, как всегда, приводить уравнение к квадратному и решать его. А можно подобрать корень, предположив, что он целый. Тогда х - 1 и х + 1 — тоже целые. Поскольку 35 = 7-5, корень легко подбирается: х = 6.
18


Глава 1. Подготовительные тесты в формате ЕГЭ •
12. Ответ'. 10.
Найдем производную функции/(х) и приравняем
/'(*) = 15х4-60х2 =0
х2(х2-4) = 0
Производная равна нулю, если х = 0, х = 2 или х = -2. Отметим на рисунке знаки производной.
При х = -2 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Эта точка является точкой максимума функции у = / (х). Значение функции в этой точке /(-2) = -3 • 32 + 20 • 8-54= 10. Этой есть наибольшее значение функции на данном отрезке.
Все ли задачи вам удалось решить правильно? Возможно, стоит повторить основы математики. Вам поможет в этом моя книга «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ».
ее к нулю.
-4 -2-10 2 х
Как распределить время при подготовке к ЕГЭ, а также на экзамене?
ЕГЭ по математике включает в себя 19 заданий. Иногда добавляют одну-две задачи, иногда немного меняют формулировки, но структура ЕГЭ уже несколько лет не меняется. Первая часть ЕГЭ — более простые задачи, и в них оценивается только ответ. В 2019 году таких задач двенадцать. А вот в задачах второй части оценивается не только ответ, но и грамотное, обоснованное решение. В 2019 году их в варианте семь. На решение варианта ЕГЭ дается всего 3 часа 55 минут.
Готовиться к ЕГЭ лучше всего в том порядке, в каком он дается в моей книге «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ». Это методика, по которой я успешно работаю с абитуриентами более 20 лет.
Если меня спрашивают, почему именно такой порядок, я отвечаю: «По-другому не складывается». Ведь школьная математика очень логична. Все темы взаимосвязаны. Сложное строится из простого, и не иначе.
Если вы нацелены сдать ЕГЭ на высокий балл — первые 12 задач вам надо решать за 30 минут и без ошибок. Одну за другой, ничего не пропуская, с упорством китайского землекопа.
Когда все 12 задач решены и ответы перенесены на чистовик, переходите к «необходимому минимуму» — заданиям второй части, которые гарантированно дадут вам 75-80 баллов и поступление на «бюджетное» отделение достойного вуза.
Какие это задачи? Это уравнение, неравенство и так называемая «экономическая» задача. Просто технология и ничего больше! Сразу пишите на чистовике, пользуясь черновиком только для вычислений. Рассчитывайте время так, чтобы на три эти задачи потратить еще час-полтора.
Решайте задачи по одной. Это правило, и нарушать его не стоит. Не хватайтесь за две и тем более за несколько задач сразу. Решили одну — проверьте решение, оформите все полностью и только после этого переходите к следующей.
19


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Когда решены и задачи с кратким ответом, и «необходимый минимум», начинается творческая работа— борьба за 100 баллов. Настоящая математика! Четыре самые сложные задачи второй части ЕГЭ. Это стереометрия, планиметрия, параметры и нестандартная задача на числа и их свойства.
Стратегия здесь следующая. Прочитайте условия этих четырех задач. Наверняка среди них будет знакомая и понятная. Решите ее, сразу проверьте решение и оформите на чистовике, и так — одну за другой.
И пусть каждая решенная задача будет для вас маленькой, но важной победой.


глава 2
UРАВНЕНИЯ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ — ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ
Все абитуриенты думают, что умеют решать уравнения, а ошибки считают случайными. И при этом в вариантах ЕГЭ есть уравнения, которые сложны почти для всех старшеклассников. На первый взгляд — ничего особенного. Но чтобы их решить, нужно отличное знание теории.
Начнем с небольшого теста. Проверьте себя — все ли ответы на эти вопросы вы знаете?
Тригонометрия
1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла. Обратите внимание — речь идет о произвольном угле, который может быть равен и 320, и 750 градусам. Так что определение синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе точно не подходит.
2. Тригонометрический круг. Нарисуйте его по памяти.
3. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для основных табличных углов.
4. Знаки тригонометрических функций в четвертях тригонометрического круга.
5. Какие из тригонометрических функций являются четными? Какие — нечетными?
6. Периодичность тригонометрических функций.
7. Формулы приведения.
8. Основные формулы тригонометрии (надо выучить наизусть!)
9. Графики тригонометрических функций.
10. Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и их графики).
11. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Общие и частные случаи.
Другие необходимые темы
12. Корни и степени. Определения, основные формулы.
13. Логарифмы. Определения, основные формулы.
А теперь ответы.
Косинусом угла а называется абсцисса (т. е. координата по оси ОХ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу а.
Синусом угла а называется ордината (т. е. координата по оси OY) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу ос.
Обратим внимание — определение синуса и косинуса как отношений противолежащего (или прилежащего) катета к гипотенузе — это частные случаи для углов от нуля до 90 градусов.
И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.
21


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Тангенс и котангенс определяются через синус и косинус:
sin a cos а
tg а = , ctg а = .
cos а sin а
Значения синуса и косинуса основных углов лучше всего находить на тригонометрическом круге. Вот он:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями ОХ и OY, в которой мы рисуем графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси ОХ против часовой стрелки.
Точка с координатами (1; 0) соответствует углу в ноль градусов. Точка с координатами (-1; 0) отвечает углу в 180°, точка с координатами (0; 1) — углу в 90 градусов. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.
22


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике •
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствуют 2тс радианам. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Легко заметить, что
cos (-а) = cos а, sin (-а) =-sin а.
Другими словами, косинус — четная функция, а синус — нечетная. Тангенс и котангенс — нечетные функции.
tg (-а) = -tg а, ctg (-а) = -ctg а.
Часто говорят о четвертях тригонометрического круга.
Вот они, на рисунке.
Знаки тригонометрических функций также находим с помощью тригонометрического круга, помня, что косинус угла а — это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей данному углу а. Там, где абсциссы точек положительны, косинус положителен. Это I и IV четверти.
Синус угла а — это ордината точки на единичной окружности, соответствующей углу а. Очевидно, он положителен в I и II четвертях — там, где ординаты точек положительны.
Все тригонометрические функции — периодические. Это значит, что все их значения повторяются через определенный постоянный промежуток. Период синуса и косинуса равен 2тс. Период тангенса и котангенса равен тс.
Таблица значений тангенса и котангенса для углов от нуля до тс:
ф
0
к
6
ТС
4
к
3
п
2
2 к
3
Зтс
Т
5к
~6
К
tg ф
0
1
VI
1
VI
не
сущест¬
вует
-VI
-1
1
“VI
0
ctg ф
не
сущест¬
вует
VI
1
1
VI
0
1
~7з
-1
-VI
не
сущест¬
вует
Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций приведены в начале главы «Задачи с параметрами».
23


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Фортцлы приведения
Часто в задачах встречаются выражения вида cos х +
3 к
, sinf— -jc\
U J
т*'
а также sin (x + тг) или cos (7C - x) — то есть такие, где к аргументу прибавляется нечетное
число, умноженное на ^, или целое число, умноженное на к. Они упрощаются с помощью
формул приведения. Эти формулы называются так потому, что мы приводим выражения к более простым.
Например,
cos
х + -
Зк
= sin X,
. (к
sm —х 1= cos х, 2 '
tg
sin
JC + -
(х + к)
= -ctg X,
= - sm jc,
cos(tc-x) = -cos*.
Зубрить наизусть формулы приведения не нужно. Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов.
1. Если в тригонометрической формуле к аргументу прибавляется (или вычитается из
ч 71 371 !п
него) —, —, — в общем, угол, лежащий на вертикальной оси, — функция меняется на
кофункцию. Синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.
Если же мы прибавляем или вычитаем к, 3к, 5к — в общем, то, что лежит на горизонтальной оси, — функция на кофункцию не меняется.
Это легко запомнить. Если прибавляемый угол лежит на вертикальной оси — вертикально киваем головой, говорим: «Да, да, меняется функция на кофункцию». Если прибавляемый угол лежит на горизонтальной оси — горизонтально мотаем головой, говорим: «Нет, нет, не меняется функция на кофункцию».
Это первая часть правила. Теперь вторая.
2. Знак получившегося выражения такой же, каким будет знак тригонометрической функции в левой его части, при условии, что аргумент мы берем из первой четверти.
Упростим, например, выражение cosf х + — 1. Функция меняется на кофункцию — и в ре¬
зультате получится синус. Взяв х из первой четверти и прибавив к нему —, попадем во вторую четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит, получится -sinx.
24


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике •
Формулы тригонометрии
9 1 sin а • 2 2 1 + tg а- tga- sm а + cos а = 1 cos a cos а
1 , + 2 1 * cos а Основное тригонометрическое 1 + ctg а- . 2 ctga- .
sm a sina
тождество
tg а • ctg а = 1
Двойные углы
sin 2а = 2 sin a cos а
cos 2а = cos2a - sin2a
cos 2а = 2 cos2a -1 = 1-2 sin2a
tg2a=2,f“
1 — tg a
Синус суммы, косинус разности...
sin (a + Р) = sin a cos P + cos a sin P sin (a - P) = sin a cos P - cos a sin P cos (a + P) = cos a cos P - sin a sin P cos (a - P) = cos a cos p + sin a sin P
1 + tga tgp
Сумма синусов, разность косинусов...
.о „ . a + p a-B
sina + smp = 2sm cos
2 2
. „ _ . a-(3 a + p
sm a - sm p = 2 sm cos
2 2
q , a+p a-P
cosa + cosp = 2cos cos
2 2
„ „ . a + p . a-p
cos a-cos p = -2sm -sin
2 2
Преобразование произведения в сумму
2 cos acos p = cos (a + p) + cos (a - P) 2 sin a sin P = cos (a-p) - cos (a + P) 2 sin a cos p = sin (a + p) + sin (a - p)
Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
-к к
Т’2
, такое, что sinф-а.
Арксинусом числа а называется число ф е
Арккосинусом числа а называется число фе [0;тс], такое, что со8ф = а. Арктангенсом числа а называется число фе Арккотангенсом числа а называется число фе (0;я), такое, что cXgy = a.
-тс тс ,
—; — такое, что tg ф = а.
25


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Формулы решения простейшим тригонометрический уравнении (общий случай)
Уравнение
Решения
sin х = а, \а\ < 1
х = (-1)" arcsin а + кп, пе Z
cos х = а, \а\ < 1
х = ±arccos а + 2тт, п е Z
tg х = а
х = arctg а + кп, п е Z
ctg х — а
х = arcctg а + кп, пе Z
корни и степени
Степенью называется выражение вида ас.
Здесь а — основание степени, с — показатель степени.
По определению, а] = а.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: а2 = а ■ а.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: а3 = а • а • а. Возвести число в натуральную степень п — значит умножить его само на себя п раз:
ап = а • а • а • а ... а.
у У '
п
По определению, а0 = 1.
Это верно для а Ф 0. Выражение 0° не определено.
Определим, что такое степень с целым отрицательным показателем.
я-]=-
а
а"
Конечно, все это верно для а Ф 0, поскольку на ноль делить нельзя.
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается. Степени с дробным показателем по-другому записываются как корни «-ной степени. Арифметический квадратный корень из числа а — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.
(,Га)2=а
Та >0
Обратим внимание:
1) квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел;
2) выражение yfa всегда неотрицательно. Например, V25 = 5.
26


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике •
Свойства арифметического квадратного корня:
Vа > 0.
Jab = Ja • Jb.
Запомним, что выражение Ja + Jb не равно Ja + b. Это легко проверить.
Аналогично, кубический корень из а — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
Обратим внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Корень «-ной степени из числа а — это такое число, при возведении которого в «-ную степень получается число а.
Ja — такое число, что {Ja) = а.
Корень нечетной степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел. Квадратный корень, а также корень четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел. Сам корень четной степени при этом также является неотрицательным числом.
Корни и степени — взаимосвязанные темы.
По определению,
\_
а2 = Ja;
а} - Ja;
в общем случае ап = Ja.
При этом основание степени а > 0.
Выражение ап по определению равно Ja™.
При этом также выполняется условие а > 0.
Правила действий со степенями:
атап = ат+п
ап
(,ат)п = (ап)т = атп anbn = (ab)n
Логарифм положительного числа b по основанию а — это показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить Ь.
log Ъ = с <=> ас = Ь.
При этом а > 0, b > 0, а Ф 1.
Основное логарифмическое тождество:
a}og°b = b; log ас = с.
27


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Основные формулы для логарифмов:
logа(Ъс) = log Ъ + logac (Логарифм произведения равен сумме логарифмов).
loga - = loga Ъ — loga с (Логарифм частного равен разности логарифмов).
с
log Ът = т\о%Ь (Формула для логарифма степени).
Формула перехода к новому основанию:
log. Ь =
logc ь.
log,, а ’
log„ Ъ =
1
log* а
Сейчас задачи ЕГЭ на решение уравнений состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.
1. а) Решите уравнение cos х + л/з sin [ ^
х
2
+ 1 = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
(
а) По формуле приведения: sin
Зтс
~2
х
2
х
-cos —. 2
Вспомним формулу косинуса двойного угла: cos 2а = 2 cos2a - 1. Выразив по этой формуле cosx, получим:
2 	cos2 — -1 - л/з cos — +1 = 0,
2 	2
2 cos2 — -л/з cos — = 0.
2 	2
Разложим левую часть уравнения на множители:
cos—[ 2cos — — л/з 1=0.
2 	V 2 J
х
Обратите внимание: мы не будем «сокращать» на cos—, поскольку это выражение может обращаться в ноль. Сократив на него, мы потеряли бы серию решений.
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
О Х П X sib
Значит, cos — = 0 или cos — = —.
2 	2 2
Решение первого уравнения: х = л + 2л&, fce Z.
Решение второго уравнения:
х = —+ 4пк, ке Z, 3
х = -— + 4кк.
3
28


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике #
Объединим серии решений. Ответ в пункте (а):
х = к+2кк, ке Z,
х = ± — + 4пк. 3
б) Как выбирать решения на отрезке?
Отметим на тригонометрическом круге сам отрезок
-4 л;-
5л
С серией х = л + 2пк, ке Z все понятно: точка л; = -Зл из этой серии как раз принадлежит нужному отрезку.
л
С серией х = —— + 4пк, keZ тоже ясно— она не
имеет отношения к указанному отрезку, л
Осталась серия х = — + 4пк, к е Z. Как отметить нужную точку?
Будем ориентироваться на начало круга — т. е. на крайнюю правую его точку. Наш отрезок соответствует кругу, который начинается с точки -4л. Значит, из серии
л . . „ л . 11л
х = — + 4 л А: нам подойдет точка х = — 4л = .
3 3 3
Ответ в пункте (б): х1 = -Зл, х2 = -
11л
2. а) Решите уравнение (27С05д:)5 =3 2 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -л;-
Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.
3cos;t
^ ^3cosjtsin;t ^ 2
Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.
0 . 3cos^
3 	cos х sm х = ;
2 cos x sin x - cos x = 0;
cosx| sin*-- |= 0 <=>
Это ответ в пункте (а).
cos х = 0
1 <=> sm х = —
2
X = — + КП,ПЕ Z, 2
я ^
х = — + 2 ля,
6
5л
х = — + 2пп.
6
29


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку
я
Отметим на тригонометрическом круге отрезок
Я
-я; — 2
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки
к к к
х = — и * = — из серии х = — + кп, «е Z.
2 	2 F 2
Точки серии х = — +27m, neZ не входят в указан- 6
ный отрезок.
А из серии * = -^ + 2яп, пе Z в указанный отрезок
входит точка * = —.
6
Ответ в пункте (б): - —, —, —.
2 	6 2
и найденные серии решений.
3. а) Решите уравнение 16 cos4х - 24 cos2* + 9 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [271; Зя].
а) Сделаем замену: cos2* = z,ze [0; 1].
16z2 - 24z + 9 = 0.
Левая часть уравнения — полный квадрат. (4z - З)2 = 0
3
Z- —
4
2 J
COS * = —<=>
4
7з
COS X
2
7з
COS * =
2
Чтобы записать серии решений, отметим на
тригонометрическом круге точки, где cos * = ± —.
Видим, что ответ в пункте (а) можно записать в виде двух диаметральных пар:
к _
* = h кп. п е Z,
6
я
* = — + кп.
6
30


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике •
б) Найдем решения на отрезке [2л; Зл].
Этот отрезок соответствует половине тригонометрического круга, которая начинается с точки
_ ^ л ^ 13л 5л ^ 17л
2л. Следовательно, на этом отрезке находятся точки х = — + 2 л = их = — + 2 л = , при-
6 6 6 6
надлежащие нашим сериям решений.
Ответ: а) х = ± — + ли, пе Z; б)
6 6
17л
6
4. а) Решите уравнение 21og3 (2cosx)-51og3 (2cosx) + 2 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
5л
л; — . 2
Снова комбинированное уравнение.
Сделаем замену t = log3(2 cosx).
Получим квадратное уравнение It2 - 5t + 2 = 0.
Корни уравнения:
t = 2, . ~ 2
Если t = 2, то log3(2cosx) = 2; 2cosx = 9; cosx = - — нет решений, так как |cosx| <1.
Если t - —
2
1 /а \ 1 3 7Г _ - ТС * т - _
, то log3 (2cosх) = —; cosх = —; тогда х = — + 2лк или х = — + 2лк, к е Z. 2 2 6 6
б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок
и найденные серии решений.
Как выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку? Давайте используем их симметрию относительно точки 2л.
гг л . 13л
Получим: jCj = — + 2л = ; х2
6 6
Ответ: а) х,
±- + 2лк, ке Z; 6
б)
11л
~6~’
13л
~6~'
11л
”бГ
5. 	а) Решите уравнение (tg2x-3)Vllcosx = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие 11 cos.г > 0 за-
sin х
метно сразу. А условие cost ф 0 появляется, поскольку в уравнении есть tg х = .
COS X
31


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
!:{с
1С
I cos Л' > О ОДЗ: < => cos х > 0.
cos х Ф 0
Уравнение равносильно системе:
tg2x-3 = 0 , ,
tg х - 3 = 0 <=> \ в <=> <( cos х > 0
tgx = л/з tg X = —л/з <=>
cos х > О
jc = — + пп, ns Z 3
X = 1-кп
3
cos jc = 0 cosjc>0
[cos х > О
Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых cos х > 0, т. е. те, что соответствуют точкам справа от оси Y.
к
Ответ в пункте (а): х = ± —+ 2ли, ns Z.
3
б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок
5 к
2 ’ К
Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что
к ^ 5л
указанному промежутку принадлежат точки х = —-2п = ~ —
п . 7л
и jc = 2л = .
3 3
Ответ в пункте (б): - — : - — .
3 3
+ 2л/?, п е Z
Y
n ^
- + 2тш, ns Z 3
1 X
■n \
I -2л
+ 2кп
5л 3
л
6. 	а) Решите уравнение sin 2jc-2%/з cos2 jc-4sin jc + 4n/3cosjc = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Сгруппируем слагаемые в левой части, чтобы разложить ее на множители.
sin 2х - 4 sin х + 4у/з cos х - 2>/з cos2 х = 0 2sinxcosx-4sinx + 4\/3cosx-2V3cos2 х = 0 2 sin х (cos х - 2) - 2>/з cos х (cos jc - 2) = 0
2^sinx- у/з cos;c)(cos;c-2) = 0
sin x- у/з cosx = 0, cos x = 2.
32


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике •
Второе уравнение не имеет решений, так как |cosx| <1. Первое уравнение — однородное первой степени, sin jc =V5 COSX tg л: = л/З
х = — + Кп, пе Z.
3
б) Отберем корни на отрезке
Зл;
11л
с помощью двойного неравенства. Этот способ
применяется наряду с тригонометрическим кругом. Он особенно удобен, если длина отрезка больше полного оборота на тригонометрическом круге.
. к 11 л
3 л <— + пп < .
3 2
• целое, п = 3, 4 или 5.
Поделим все части неравенства на л.
3 <- + л<—; 2— <л <5 —; поскольку л - 3 2 3 6
^ л „ Юл л А 13л Л _ 167Г
Тогда х = — + Зл = ; х0 = —+ 4к = ; х, = — + 5% = .
1 3 3 2 3 3 3 3 3
„ . К „ ^ЛОя 13я 16я
Ответ: а) х = —+7Ш, neZ; б) ; ; .
3 3 3 3
7. 	(Авторская задача)
а) Решите уравнение 5(1 - tg2x) + (12 sinx - 7) (1 + tg2x) = 0.
б) Найдите все его решения на отрезке [-2л; 0].
ОДЗ уравнения: cosx Ф 0.
Поделим обе части уравнения на 1 + tg2x. Это выражение положительно всегда, когда cosx Ф 0, и на него можно делить.
5--—^r^- + (l2sinx-7) = 0. l + tg2x V }
Вспомним полезные формулы, которые носят название «Универсальная тригонометрическая замена»:
. _ 2tgx _ l-tg2x
sin2x = —cos 2x = ~~z .
1 + tg x 1 + tg x
Получим: 5 cos2x + 12 sinx -7 = 0.
Используем формулу cos 2x =1-2 sin2x.
5-10 sin2x + 12 sinx -7 = 0 5 sin2x - 6 sinx +1=0 sin x = 1 1
sinx = -.
L 5
Серия решений, для которой sinx = 1, не входит в ОДЗ. Ведь если sinx = 1, то cosx = 0.
33


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Остается серия решений sin х = —.
Ответ в пункте (а): х = (-1)” arcsin^ + пп, пе Z.
б) Отберем корни на отрезке [-2л; 0].
Отметим на тригонометрическом круге точки, для которых
1 ^ .1 .1
Наш отрезок начинается с точки -2л. Значит, ему принадле-
. 1 0 . 1 0 .1 жат точки jc, = arcsin — 2л и = л - arcsin — 2 л = -л - arcsin -.
1 5 2 5 5
г
f
,
Ev
А -2л
1
1
8. а) Решите уравнение sin 2х ——j= sin 4х = —. б) Найдите корни, принадлежащие промежутку
л 4
Т "М8?
а) Используем формулу понижения степени: sin2 а =
1-cos 2а
„ . 2~ l-cos4x
Получим: sm 2х = .
1 cos4x
2
2 2V3
sin4x = -V3cos4A:; tg 4х = —->/3;
1 . , 1
sin 4х = —; 2
4х = — + пп; пе Z;
3
л пп ^
х = 1 ; пе Z.
12 4
Это ответ в пункте (а), б) Как найти корни на отрезке
л 4
Т ““ч
Вспомним, что ф = arctg — —это угол ф, принадлежащий про¬
межутку
{ л лл
2 2
, такой, что tg ф = - . Очевидно, Фе
0;—
2
При этом ф < —, так как tg — = 1, а функция у = tg jc моно- 4 4
л л^1 „ 4
0; — . Значит, угол ф = arctg — ле-
тонно возрастает при хе
жит в интервале | 0; —
34


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике •
Корень х} = -— принадлежит отрезку
к 4
—; arctg- 3 5
„ к к к ^ 4 п
Проверим, принадлежит ли ему корень х2 - - — + — = —• ^авним 5" И "б’
Мы знаем, что tg — = -\=. Поскольку функция у=tgx монотонно возрастает при х е
6 V3
0;-
большее значение тангенса соответствует на этом интервале большему углу. Что же больше:
1 40
—i= или — !
7з 5
n 1 16 Сравним квадраты этих чисел, т. е. - и —.
3 25
_ 1 16 к 4
Поскольку - < —, имеем: tg — < —.
3 25 6 5
Значит, точка х = — также принадлежит отрезку 6
к 4
-V шае1
^ п п к
Точка х = ~^2~~4 = ~~з также пРинаДлежит данному отрезку.
л пт
Очевидно, другие точки из серии х = - — + —, где п — целое число, данному отрезку
не принадлежат.
Ответ в пункте (б):
п ' п 12’ 6'
9. 	Вот задача повышенной сложности с сайта Ларина. Список полезных сайтов для подготовки к ЕГЭ по математике дан в конце книги.
а) Решите уравнение Vl — sin Ъх = cos Зх.
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку [-2; 3].
Jl — sin 3jc > 0, [cos3x>0.
Область допустимых значений уравнения
При выполнении этих условий обе части уравнения можно возвести в квадрат.
1 	- sin Зх = cos2 Зх,
Значит, уравнение равносильно системе: < соьЗх > 0,
l-sin3x > 0.
Заметим, что третье условие в этой системе избыточно — оно следует из первого. Применим основное тригонометрическое тождество: sin2x + cos2x = 1.
35


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
1 — sinЗл: = 1-sin2 За, cos Зх > 0.
| sin2 За-sin За = 0, [cos За > 0.
Пусть За = t. Тогда:
sin г (sin г — 1) = 0
cos t > 0
<=> <
sin г = 1 sinr = 0 <=> < cosr >0
t = - + 271/7 2
Вернемся к переменной а:
А, =- + -
2пп
t = 2тог, ns Z я 2кп
х2 = ,ПЕ Z.
Это ответ в пункте (а), б) Как нам найти корни уравнения на отрезке [-2; 3]?
Отметим на тригонометрическом круге точки, принадлежащие сериям решений я 2кп 2пп _
Х\ = — + и а2 = , п е Z. Каждая из этих серии задает по три точки на каждом пол-
6 3 3
ном круге.
Что делать с отрезком [-2; 3]? Вспомним, что 1 радиан — это примерно 57 градусов, что полный круг составляет 2я радиан, а 3 радиана — это совсем немного меньше, чем я радиан.
Что же больше: -2 или -—?
3
2я
Очевидно, -2 > - —, поскольку -6 > -2я.
Сравним также 3 и у.
Оценить число — непросто. Намного проще увеличить 6
оба этих числа в 6 раз и сравнить числа 18 и 5я. Поскольку
к «3,14, 5л = 15,7 < 18, тогда — <3.
6
хл л л 2я 5л
Мы получили, что указанному отрезку принадлежат решения:—; 0; —; —; —.Это
2 6 3 6
ответ в пункте (б).
36


Глава 2. Уравнения на ЕГЭ по математике •
10. (Авторская задача)
а) Решите уравнение Vcos х + sin х |^cos2 х - j = 0.
б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [-тс; 4тс].
Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Это значит, что уравнение равносильно системе:
cosx + sinx = 0,
2 1
cos х — = 0, <=>
2
cos x + sinx > 0;
cos x = •
cos x = --
V2
2 ’
tgx = -1; cos x + sin x > 0.
Решим эту систему с помощью тригонометрического
72
72
круга. Отметим на нем углы, для которых cos х = — или cos х = ——. Заметим, что среди
них находятся и углы, для которых tgx = -1.
Числа серии х = -— + 2кп не могут быть корнями исходного уравнения, так как для 4
них не выполнено условие cosx + sinx > 0. Остальные серии решений нас устраивают.
Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:
х, = ±—(- 2пп, п g Z,
1 4
Зтс .
х0 = 1- 2т.
2 4
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [-л; 4л] любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.
На отрезке [-л; 0] нам подходит корень х = - —.
4
Т Т ГЛ я т л 3 л 7 л
На отрезке [0; 2л] нам подходят корни х = —; —; —.
тт ^ 1 9к Пп 15тг
На отрезке [2л; 4л] — корни х = —; ; .
_ л л Зл 7л 9л 11л 15л
Ответ в пункте (о): —; —; —; —; —; —; .
4 4 4 4 4 4 4


глава з
СТЕРЕОМЕТРИЯ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
как решать задачи по стереометрии?
1. Мы начинаем с построения чертежа объемной фигуры. Правила просты.
Строим чертеж ручкой (не карандашом!), с помощью линейки. Линейкой на ЕГЭ по
математике пользоваться можно и нужно. Невидимые элементы объемного тела изображаем штриховыми линиями.
Почему не карандашом? Во-первых, на ЕГЭ у вас карандаша не будет. Во-вторых, чертеж, аккуратно выполненный тонкой гелевой ручкой, выглядит более эстетичным и понятным.
Объемное тело на вашем чертеже должно выглядеть действительно объемным. Все значимые элементы — хорошо видимыми. Следим, чтобы одна грань не накладывалась на другую, а непараллельные отрезки (например, ребро куба и его диагональ) на чертеже не совпадали.
Главное правило: если чертеж вам не нравится, бросайте его и рисуйте другой. Не нравится второй — рисуйте третий, четвертый, седьмой. До тех пор, пока не увидите то, что вам нужно.
2. Для решения задач необходимо отличное знание теории. Это определения, теоремы, признаки. Их надо знать наизусть. Оформляя решение, указываем, что именно применили. Так, как я делаю в этой главе.
3. В сложных задачах ЕГЭ мы пользуемся готовыми шаблонами из курса планиметрии. Например, формулу площади правильного треугольника или соотношение сторон треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов надо знать наизусть, а не выводить каждый раз заново, тратя время.
4. Подробно записываем каждый шаг решения. Не просто «Прямая АВ перпендикулярна плоскости а», а «Прямая АВ перпендикулярна плоскости а, потому что она перпендикулярна пересекающимся прямым с и d, лежащим в плоскости а». Все это лучше записывать не словами, а символами.
5. От объемной задачи переходим к плоской, планиметрической. Все необходимые плоские чертежи рисуем отдельно.
Я не даю здесь координатный метод. Он есть в моей книге «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ». Дело в том, что в последние годы составители вариантов ЕГЭ намеренно выбирают такие задачи по стереометрии, которые сложно решать через координаты.
Ученики, да и репетиторы тоже, часто спрашивают: «Что нужно знать, чтобы точно сдать ЕГЭ?» Весь необходимый и достаточный объем теории — здесь, в «Кратком справочнике по планиметрии и стереометрии».
38


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
краткий справочник по планиметрии и стереометрии
планиметрия
Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора: с1 = а2 + Ь2. а и b — катеты, с — гипотенуза.
Часто встречающиеся пифагоровы тройки:
3;4;5 5; 12; 13 7; 24; 25 8; 15; 17.
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике:
• /л а
sin ZA - —
sin2 ZA + cos2 /Л -1
ZA + ZB = 90°
с
1 ., . 1
sin ZA = cos ZB
cos ZA = — с
tg‘Z/4 + l= ,
cos“ ZA
cos ZA = sin ZB
tsZA = T 0
ь
ctg ZA = - а
ctg"ZA + l= .
sin ZA
tg ZA • ctg ZA = 1
tg ZA = ctg ZB
Высота в прямоугольном треугольнике:
ААВС ~ АСВН ~ ААСН
ААВС 2
C'h _a b сп-ch\
а =сс„
b -с с,.
с
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника: ^ = “-
^ ^ а+Ь-с
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: г = .
39


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
«Особенные» треугольники
Для любого треугольника:
/А + ZB + ZC = 180° — сумма углов треугольника
с<а + Ь а <Ь + с Ь<а + с
Формулы площади треугольника:
— неравенство треугольника
=?y = ^absmZC = Jp(p-a)(p-b)(p-c) = pr = j^.
a+b+c w D
Здесь р = полупериметр, г — радиус вписанной окружности, к — радиус
описанной окружности.
Теорема синусов
а _ b _ sin /А sin /.В
с
sin ZC
= 2 R
Теорема косинусов
с2 =а2 +Ь2 - 2ab • cos ZC
Смежными называются два угла, имеющие общую сторону и образующие в сумме 180 градусов.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из углов треугольника.
ос + ф = 180°
sin ф = sin а; cos ф = -cos а; tg ф = -tg а ф=ZД+ZC
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
40


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Правильный треугольник
Высота правильного треугольника: h =
a\[b
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треуголь-
ника: R = .
3
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: г =
ау/з
Площадь правильного треугольника: S = -
Признаки равенства треугольников
S 	По трем сторонам. Три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.
S 	По углу и двум прилежащим к нему сторонам.
S 	По стороне и двум прилежащим к ней углам.
Признаки подобия треугольников
S 	По двум углам.
S По трем сторонам.
S По углу и двум прилежащим к нему сторонам.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Элементы треугольника
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
41


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
В случае тупоугольного треугольника пересекаются продолжения высот.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту
S =ah“ =b'hb = c'h< л 2 2 2
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.
Три медианы треугольника делят его на 6 равных по площади треугольников.
Медиана треугольника делит его на два равных по площади треугольника.
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
СМ = AM = ВЫ = R
42


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Биссектриса треугольника делит угол треугольника пополам.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от сторон треугольника и является центром окружности, вписанной в треугольник.
С
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.
т _ а
h~~b
Острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 45°.
43


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Серединный перпендикуляр к стороне треугольника — это множество точек, одинаково удаленных от ее концов.
В
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от вершин треугольника и является центром окружности, описанной вокруг треугольника.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины его сторон.
Четыреху го л ь и и ки
Выпуклый Невыпуклый
Сумма углов выпуклого четырехуголь- На практике: представляем как комбина- ника равна 360°. цию треугольников и выпуклых четырех-
ZA + Z.B + ZC + Z.D = 360° угольников.
44


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
в
Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Трапеция — четырехугольник, имеющий ровно одну пару параллельных сторон.
ВС || AD\
ВС и AD — основания, АВ и CD — боковые стороны.
ZA +ZB = ZC+ZD=m°
М— середина АВ, N— середина CD. MN— средняя линия трапеции.
MN\\AD,MN\\BC,
MN =
a + b ~2~'
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований. Р — середина АС, Q — середина BD.
PQ =
а-Ъ
2
45


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
к
К = {АВ) п (CD);
Е — середина ВС, F — середина AD,
0 = AC п BD.
Замечательное свойство трапеции: середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой.
Параллелограмм — четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
А
АВ || CD, AD || ВС.
Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны параллельны и равны.
АВ || CD, АВ = CD => ABCD — параллелограмм.
S - a-h- tfbsinср.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
АО = ОС, ВО = OD.
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.
АК || CF
Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.
AKLBE
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
АВ = АЕ, DF = CD
46


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике *
Виды параллелограммов
Ромб. Параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба перпендикулярны.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Тромба = “у"1’ где d\ и d2 — Диагонали.
Прямоугольник. Параллелограмм, все углы которого прямые.
Диагонали прямоугольника равны.
^прямоугольника & Ь.
Квадрат. Ромб, все углы которого прямые. Другими словами: прямоугольник, у которого все стороны равны.
d = ял/2, где d — диагональ.
^ 2
^ квадрата ^ ‘
Окружность и круг
L = 2nR — длина окружности 5 = nR2 — площадь круга D = 2R — диаметр окружности
47


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
/ = —• 2nR — длина дуги
дуги 360о
Эктора = ^ ■nR2 — площадь сектора
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
АЕ - BE = СЕ- DE
А
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
МА = МВ
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
OALMA
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Теорема о секущей и касательной.
Квадрат отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей.
МС2 = МА- МВ
48


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Точка касания окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры.
Внешнее касание окружностей:
0{02=R + r
Внутреннее касание окружностей:
R-r
Центральный и вписанный углы
а — центральный угол, ср — вписанный угол.
Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
ос
ср = -
Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги или на одну и ту же дугу, равны.
Равные дуги стягиваются равными хордами.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
С М
Угол между хордой и касательной, проведенной через конец этой хорды, равен половине угловой величины дуги, лежащей внутри этого угла.
ZMCB = -св 2
49


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме заключенных между ними дуг.
Ф =
AD+BC
2
Угол между секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг, заключенных внутри угла.
BD-AC
Описанные и вписанные треугольники
В
Центр окружности, описанной вокруг треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.
О А = О В = ОС
АВ _ АС
sin ZC sin ZВ синусов)
ВС
sin ZA
= 2R (теорема
АВ • ВС • АС 4 R
В
Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис треугольника.
Центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.
n АВ+ВС+АС
SMBC = р-г> гдеР =
50


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Описанные и вписанные четырехугольники
Описанный четырехугольник Вписанный четырехугольник
ZA + ZC = Z5 + ZD = 180°
Окружность можно вписать в четы- Окружность можно описать вокруг че-
рехугольник тогда и только тогда, когда тырехугольника тогда и только тогда, ког-
суммы длин его противоположных сто- да суммы его противоположных углов рав-
рон равны. ны 180°.
Правильный шестиугольник
С
= ЗаЧ3
^ пр. шестиугольника ^
R = а — радиус описанной окружности
г=ОЯ=
aS
2
радиус вписанной окруж¬
ности
CF =2а — большая диагональ FD = a\[b —диагональ
51


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Стереометрия. Основные формулы
Многогранники
V= а3 — объем
S = 6а2 — площадь полной поверхности а — ребро куба
d = ал/з — длина диагонали
Параллелепипед
V = S • h — объем
осн
SocH — площадь основания h — высота
Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней.
Прямоугольный параллелепипед
V= а -Ъ • с — объем S = 2ab + 2Ъс + 2ас — площадь полной поверхности
d - ^1а2 +Ь2 +с2 — длина диагонали
Призма
V = S • h — объем призмы
осн г
S = 25осн + 5бок — площадь полной поверхности призмы
52


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике #
Пирамида
V = kR2 • h — объем цилиндра S = 2S +5, = ЪiR2 + 2 nRh — площадь
осн бок ^
полной поверхности цилиндра h — высота цилиндра
1 	2
V = - nR h — объем конуса
S = 50СН + 5бок = тс/?2 + kRL — площадь полной поверхности конуса L — образующая
L = jR2+h2
4
V = —kR3 — объем шара S = 4nR2 — площадь сферы
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Если все линейные размеры объемного тела увеличить в к раз, то его площадь поверхности увеличится в к2 раз, а объем в к? раз.
s=ie-sx
V2= 1^- F,
53


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
основные понятия стереометрии
Плоскости в пространстве
Плоскость в пространстве можно провести:
1) 	через три точки, не лежащие на одной прямой
2) 	через прямую и не лежащую на ней точку
3) 	через две параллельные прямые
4) 	через две пересекающиеся прямые
Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Если две плоскости не имеют общих точек, то они параллельны друг другу.
54


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Расположение прямых в пространстве, три случая:
Пересекаются
аГ\Ъ-М
ZCZ
/
S
\
\
\
1
1
1
[ ^
1
7
Параллельны
c\\d
Скрещиваются
т^р
Параллельность прямой и плоскости
Определение: прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой- либо прямой, лежащей в плоскости.
Применение в задачах:
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
55


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Параллельность плоскостей
Определение: плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности плоскостей: плоскости а и Р параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Свойства параллельных плоскостей
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
упа = а ynP = b
«up
■а \\Ь
56


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Перпендикулярность плоскостей
Определение: две плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.
Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость (3 содержит перпендикуляр к плоскости а, то плоскости а и Р перпендикулярны.


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
ае ос, Ье$, а|| |5
Прямые а и Ъ скрещиваются.
Проведем в плоскости (3 прямую с || а.
Угол ф между Ъ и с равен углу между а и Ъ.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Другими словами, оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.
Можно сказать, что оно равно расстоянию от одной из этих прямых до параллельной ей плоскости, в которой лежит другая прямая.
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.
т е ос
а — наклонная
а] 	— проекция наклонной на плоскость ос т La <=> т Lax
58


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
перпендикулярах в задачах
В правильном тетраэдре SABC S
Теорема о трех
В кубе
ОС — проекция SC на плоскость АВС, ОС LAB&SCL АВ
В правильной треугольной призме
AM 1 ВС <=> ДМ 1 ВС
59


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Параллельное проецирование Площадь прямоугольной проекции фигуры
• = У • cos
проекции фигуры
Теорема о прямой и параллельной ей плоскости
Пусть прямая т параллельна плоскости а. Если плоскость (3 проходит через прямую т и пересекает плоскость а по прямой с, то с параллельна т.
60


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Теорема. Пусть плоскости а и (3 пересекаются по прямой р. Плоскость у параллельна прямой р. Тогда она пересекает плоскости ос и (3 по прямым, параллельным р.
осп(3 = р РIIУ
any-а
>=*а\\Ь\\р
Рпу = 6
Если боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр описанной окружности основания.
Если боковые ребра пирамиды образуют одинаковые углы с плоскостью основания, то ее вершина проецируется в центр описанной окружности основания.
Если боковые грани пирамиды образуют одинаковые углы с плоскостью основания, то ее вершина проецируется в центр вписанной окружности основания.
чертежи в задачам по стереотетрии
Неудачно. Главная диагональ и боковые ОК
ребра оказались на одной линии.
Шестигранная призма
Неудачно. Нарушены правила параллельного проецирования. Ребра передней и задней граней оказались на одной линии.
Неудачно. Стороны основания и боковые ребра оказались на одной линии.
ОК
61


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Тетраэдр
Неудачно. Рисунок стал «плоским». Не видна высота тетраэдра.
Цилиндр
Неудачно. Нарушены правила параллель- ОК
ного проецирования.
Правильная четырехугольная призма
Неудачно. Нарушены правила параллельного проецирования.
Неудачно. Левая боковая грань не видна.
62


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике *
И еще о чертежах в планиметрии и стереометрии. Я много раз наблюдала, как старшеклассник рисует микроскопический и кривой чертежик, на котором невозможно что-либо разглядеть. Как безуспешно сидит над ним, проводя новые и новые линии, но отказывается от предложений нарисовать другой.
И я видела, как буддийские монахи в течение месяцев трудятся над сложнейшими многоцветными мандалами из ярко окрашенного песка. А потом, полюбовавшись замысловатым узором и проведя церемонию, сметают весь песок веником, потому что стремятся достичь непривязанности к материальному. Так стоит ли привязываться к жалкому чертежу, на который вы потратили полминуты? Не нравится? Зачеркните и нарисуйте другой!
задачи на построение сечений
1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, К. Точка М лежит на ребре AD, N— на ребре DC, К — на ребре АВ.
D
' Р
Проведем МК в плоскости грани ABD и MNb плоскости грани ADC.
Продлим отрезки MN и АС; (MN)n (АС)=Р; Ре (АВС). Проведем РК в плоскости нижней грани; РК п ВС = L; четырехугольник MNLK — искомое сечение.
2. 	Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, К. Точка N лежит на ребре ВС, Me AD, К е BD,MK\\AB.
Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной МК.
Прямая МК параллельна АВ, лежащей в плоскости основания АВС. Значит, МК || (АВС).
Плоскость сечения проходит прямую МК, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости АВС параллельна прямой МК. Трапеция MKNT — искомое сечение.
D
D
63


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
3. 	Постройте сечение куба A...Dv проходящее через вершину D] и середины ребер АВ и ВС.
Пусть М — середина АВ, N — середина ВС, MN е (АВС). Продолжим прямую MN до пересечения с продолжениями ребер DC и AD; (MN) n (DC) = К; (MN) n (Л£>) = P.
Треугольники AMP и ATCJV — прямоуголь-
AB
ные равнобедренные, причем АР = СК = —.
Проведем DXK— в плоскости задней грани и DXP — в плоскости левой грани куба; DXK n ССХ = F; DXP n АА l = Т.
Пятиугольник MNFDXT— искомое сечение. В нем есть параллельные стороны: ТМ || DXF, TD] || NF, так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
4. 	Постройте сечение куба A...DV проходящее через вершину В и середины ребер ААХ и ССГ
Пусть М— середина ребра АА , N— середина ребра
сс,
Поскольку линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, плоскость сечения пересекает заднюю грань по прямой, параллельной ВМ, а левую грань — по прямой, параллельной BN. Искомое сечение — ромб BNDXM.
5. 	Постройте сечение правильного тетраэдра ABCS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, точку М, делящую ребро AS в отношении SM: АМ= 1 : 2, и точку N— середину апофемы грани SBC.
Пусть SH — апофема1 грани SBC\ N— середина SH.
Проведем MN в плоскости ASH; (MN) п (АН) = Р; Р е (АВС); КР п ВС = F; FN n SC = Е.
Четырехугольник KMEF — искомое сечение.
5
Апофема — высота боковой грани.
64


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
6. 	Постройте сечение правильного тетраэдра ABCS, проходящее через точку К — середину ребра АВ — и точки М и Т — центры граней ASC и SBC.
Пусть SE и SH— апофемы граней ASC и SBC; точки М и Т делят отрезки SE и SH в отношении 2:1, считая от точки S.
Из подобия треугольников SMT и SEH получим, что МТ || ЕН. Значит, МТ || (АВС).
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и нижней грани параллельна прямой МТ. Это значит, что плоскость сечения пересекает грань АВС по прямой АВ. Достроим сечение.
(ВТ) п SC = F, где F — середина SC; (AM) п SC = F.
AABF — искомое сечение.
7. 	Постройте сечение куба А.. .D]9 проходящее через точку М, лежащую на ребре DDX, и точки Т и К, принадлежащие граням АВС и DCCX.
Точки Ми К лежат в плоскости задней грани DCCXDX. Соединив Ми К, получим, что МК п ССХ=Е, (МК) п (DC)=Р.
Соединив точки Р и Т в нижней грани, получим FN — линию пересечения плоскости сечения с нижней гранью; Fg AD9Ng ВС.
Трапеция FMEN— искомое сечение.
8. 	И самый сложный случай. Построим сечение куба A...DX плоскостью MNK, где М е BBXCV N е AAXDV К е АВС, причем расстояния от точек Ми N до плоскости АВС различны.
Пусть точки MxnNx — проекции точек М и N на плоскость нижней грани.
Плоскость MNNX проходит через параллельные прямые ММХ и NNy
Проведем в этой плоскости MNи MXNX; (MN) n (MXNX) = Р.
Точки Р и К лежат в нижней грани куба, следовательно, плоскость сечения пересекает плоскость нижней грани по прямой РК. Дальнейшее построение очевидно.
65


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
задачи по стереометрии в формате егэ
Задачи сгруппированы по темам. Оформление задач соответствует критериям ФИПИ. Теорема о трех перпендикулярах
1. (ЕГЭ-2017) Основанием прямой четырехугольной при- С,
змы ABCDAXB[C] D, является ромб ABCD, АВ = А Ау
а) Докажите, что прямые А{С и BD перпендикулярны.
б) Найдите объем призмы, если А}С = BD = 2.
Пусть АВ = AAl = AD = а.
а) Поскольку ABCD — ромб, его диагонали перпендикулярны, АС A. BD.
Точка А — проекция точки А} на плоскость АВС.
Тогда АХС _L BD по теореме о трех перпендикулярах.
б) Пусть А}С = BD = 2. Найдем объем призмы.
Мы знаем, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту, V=S h.
осн
О— точка пересечения диагоналей ромба, лежащего в основании, О = BD г* АС; BD = 2=$ OD = 1.
Пусть ОС = АО = с.
Из AAOD, где ZO = 90°: AD2 = АО2 + OD2; а2 = с2+ 1.
Из ААА^С, где ZA = 90°: Ар = АС2 + АА2,
А]С = 2 по условию; 4 = (2с)2 + а2.
Г”), 7
|с~ +1 =
Из системы уравнений
4с2 +а2 =4
„ т/ AC-BD
Объем призмы: V = АА, =
найдем с■
2-2-V3-V8 4\[б
n/5-2-V5
Угол между скрещивающимися прямыми
В,
2. 	В правильной треугольной призме АВСА^ВХСХ все ребра равны 1.
а) Докажите, что прямая АВХ параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АС и ВСГ
б) Найдите косинус угла между прямыми АВ} и ВСу
а) Рассмотрим сечение призмы плоскостью АВ^С.
MN е (A5jC), М— середина АС, N— середина ВХС.
Значит, MN — средняя линия треугольника АВ{С и MN || АВу
б) Найдем косинус угла между АВ] и ВС .
Прямые АВ] и ВС] — скрещивающиеся.
Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между
параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
Поэтому угол между прямыми АВХ и ВСХ равен углу между MNи ВСХ, лежащими в плоскости АВ,С.
66


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике
т
Рассмотрим треугольник ВСХМ. Он прямоугольный. В самом деле, прямая ВМ перпендикулярна прямым АС и СС{ — значит, она перпендикулярна плоскости АССу Это значит, что ВМ А. С^М, поскольку С М е (АСС ). ВМ— высота и биссектриса правильного тре-
л/з Г
угольника АВС со стороной 1; ВМ = —^~, ВС] = v2, так как
V2
ССД2? — квадрат со стороной 1, C}N = NB - MN = —.
Пусть ZMNB = ф.
По теореме косинусов из треугольника MNB найдем cos ф. МВ2 = MN2 + ВN2- 2MN • BN • cos ф;
Получим: С05ф = —.
Ответ: ф = arccos-.
4
Угол между плоскостями
3. 	Все ребра правильной треугольной призмы АВСА ]В] С] имеют длину 6. Точки М и N— середины ребер АА] и А1С] соответственно.
а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABBV
а) Покажем, что ZBMN= 90°.
Пусть точка Р — середина АС.
В плоскости BNP проведем отрезок BN.
Рассмотрим треугольник BMN, из которого можно найти
угол BMN.
Сначала найдем MN, ВМ и BN — стороны этого треугольника.
6>/з
ААВС правильный, ВР — его высота, ВР = ——.
Из ДBPN: BN2 = ВР2 + NP2 = ^^ + 36 = 36 - = 63.
4 4
Из M^MN \ MN2 = А^М2 + AJP = 18, поскольку А{М= NA] = 3.
Из ДАВМ: ВМ2 = АВ2 + AM2 = 36 + 9 = 45.
Для треугольника BMN выполняется теорема Пифагора: BN2 = MN2 + ВМ2. Значит, он прямоугольный.
б) Найдем угол ф между плоскостями BMN и АВВ{.
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Плоскости BMN w АВВ} пересекаются по прямой ВМ, причем в пункте (а) мы доказали, что MN _1_ ВМ. В плоскости АВВ{ построим FM _1_ ВМ.
67


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
A F AM 1
Заметим, что A ABM ~ A A .MF, —— = , значит, A F = -А. В..
1 AM АВ ' 4 ^ '
Следовательно, отрезок NF равен половине высоты правиль-
1 	6>/3 Зл/з
ного треугольника А ХВ{ С,, NF = — ~ » NF L А хВу Кроме
того, отрезок NF лежит в плоскости верхнего основания призмы, которая перпендикулярна боковому ребру ААГ Значит, NF±AAr Поскольку NF перпендикулярен двум пересекающимся прямым АХВХ и АА]9 лежащим в плоскости ААХВ 9 получим: NF А. (ААХВХ).
NF ЗТЗ
Тогда NF _L FM; ANFM — прямоугольный, sin <р = ■
MN 2-3-J2 2^2
Ф = arcsin
V 8
Применение теоремы о прямой и параллельной ей плоскости Вспомним теорему, которой мы пользовались при построении сечений.
Пусть прямая т параллельна плоскости а. Если плоскость Р проходит через прямую т и пересекает плоскость а по прямой с, то прямая с параллельна м.
4. 	В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка К — середина бокового ребра АР.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельной прямым РВ и ВС.
б) Найдите площадь сечения.
Точка М— середина АВ. Тогда КМ || РВ как средняя линия ААРВ.
Точка N— середина PD. Поскольку KN— средняя линия AAPD, KN\\AD9 тогда KN || ВС.
Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости KMN и АВС пересекаются по прямой ME. Покажем, что ME || AD.
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,
AW||(A£C)
KNe(KMN) > => ME || KN.
(.KNM)n(ABC) = ME
Это значит, что ME || AD. Прямая ME содержит точку О, являющуюся проекцией вершины Р на плоскость АВС. Трапеция KNEM— искомое сечение.
б) Найдем площадь сечения.
SKNEм = ^ • (ME + KN) • /г, где /г — высота трапеции KNEM.
68


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Пусть Я — середина KN, ОН .L KN.
MK = NE = --8 = 4, KN = 4,
2
тогда НО = 2л/з, SKNEM = ^ • 12 • 2>/з = 12л/з.
Нахождение угла между плоскостями через формулу площади прямоугольной проекции фигуры
5. 	(ЕГЭ-2017) Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX плоскостью а, содержащей прямую BD] и параллельной прямой АС, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. ах
б) Найдите угол между плоскостями а и ВССХ, если
ЛЛХ = 6, АВ = 4.
м
а) Построим сечение, содержащее прямую и параллельное прямой АС.
Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелепи- а педа; О = BD] п АСХ; О — середина диагонали BDy
В плоскости АЛ]С1 через точку О проведем прямую MN, параллельную АС. Точка М лежит на ребре АА точка N лежит на ребре ССГ
Мы построили искомое сечение. Это четырехугольник MDXNB, который, по условию, является ромбом.
Так как MD{NB — ромб, MN_L BD{. Тогда АС _L BDy так как MN || АС. По теореме о трех перпендикулярах, АС-L BD. Это значит, что ABCD — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, то есть квадрат.
б) Угол между плоскостью сечения а и плоскостью ВССХ — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Мы можем найти искомый угол между а и BCCV пользуясь этим определением. Однако есть более простой способ. Вспомним формулу площади прямоугольной проекции фигуры.
Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна S • cos ф, где ф — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
S =£а
проекции фигуры
• COS ф.
Пусть М — середина ВВу Тогда BM{CXN— проекция ромба на плоскость ВВхСу Площадь ромба:
SBMaN =^ MN BDl =1-4^2-V42 +42+62 = 2^2 ■ Тб8 = 4л/34. Площадь его проекции на плоскость ВВХСХ\
Sbmxcxn ~ 2 ' ^ввхсхс = — •4-6 = 12.
Подставив эти значения в формулу для площади проекции, найдем, что
С
]
N
С
12 3 3>/34
COS ф = ■== - —j= =
4л/34 >/34 34
3л/34
; ф = arccos
34
69


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Решая задачу другим способом, можно получить ответ ср = arctg-.
Покажем, что эти два ответа эквивалентны. Поскольку ф — острый угол, его тангенс и косинус положительны.
3 .5 5
cos ф = —==, тогда sm ф = и tg ф = -. VS V34 3
6. 	Ребро куба ABCDA]B]C]D] равно 6. Точки К, ЬиМ — центры граней ABCD, ААрр и ССрр соответственно.
а) Докажите, что BXKLM— правильная пирамида.
б) Найдите объем BXKLM.
Докажем, что B]KLM— правильная пирамида.
Построим сечение куба плоскостью KLM.
Заметим, что точки L,M,K — середины сторон правильного треугольника ACD{. Отрезки LM, LK и МК — его средние линии. Они равны друг другу, и значит, ALMK — правильный.
ABCD — квадрат, и поэтому BD _1_ АС. По теореме о трех перпендикулярах, Вр А. АС. Аналогично, Ар _L ADX и по теореме о трех перпендикулярах, Вр _L ADX — поскольку Ар является проекцией прямой Вр на плоскость AAxDy Значит, Вр _1_ (.ADXC).
Пусть прямая Вр пересекает плоскость ADXC в точке О. Поскольку АВХ = BXDX = В С =
= ву/2, точка Вх равноудалена от точек А, Dx и С. Значит, Вх — вершина правильной пирамиды ACDXBX, ВхО — ее высота.
В правильном тетраэдре ADXCBX отрезки ВХК, BXL и ВХМ— апофемы боковых граней. Грани ВХАС, ВрхС и BXADX —правильные треугольники, ВХК = ВХЬ = ВХМ, значит ВХКЬМ — правильная пирамида. Площадь ее основания— треугольника KLM— в 4 раза меньше площади треугольника A CDX. Значит, ее объем в 4 раза меньше, чем объем пирамиды ACDXBV Найдем объем пирамиды ACDXBX как разность объемов куба и четырех пирамид с вершинами в точках B9Cx,AxhD.
Похожая задача была в первой части ЕГЭ по математике.
V = V -V -V -V
v ACDlBl куба v ABCfi, vD,C,Cfi, v D] ACD
A 1
_ i 63 216
- u _4. _y
куба () Ky^a
-"Куба “Y“ —
1
216 _
V =—V
V B] KLM ^ vAD,Cfi,
= = 18.
12
= Va
С
70


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
7. 	На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды ABCD отмечены точки Ми N соответственно, AM: МВ = CN: NB = 3:1. Точки Р и Q — середины ребер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки Р, Q, Ми Долежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
а) Рассмотрим треугольники MBN и АВС.
A MBN- к АВС (по углу и двум сторонам), значит, MN || АС. PQ — средняя линия AADC, значит, PQ || АС.
MN\\AC PQ II АС
=> MN || PQ. Через параллельные прямые MN и PQ проходит единственная
плоскость, в которой лежат точки М, N, Р и Q.
б) Найдем, в каком отношении плоскость MNP делит объем пирамиды.
Как назвать многогранники AMNCPQ и PQNMBD1 Они не являются ни призмами, ни пирамидами. Не будем ломать голову над их названиями — лучше разобьем многогранник AMNCPQ на пирамиды ACNMQ и AQMP.
Объем четырехугольной пирамиды ACNMQ найти легко: ее высота в 2 раза меньше высоты пирамиды А В CD, а площадь основания — разность площадей треугольников АВС и
BMN.
16
15
16*
Значит, VAMNCPQ ~ \bcd-
Осталось найти объем пирамиды AMQP.
V\MQp = - Saapq • h, где h — расстояние от точки М до плоскости ADC.
3
Заметим, что h = — H, где Н— расстояние от точки В до плоскости ADC. Это легко
4
доказать, опустив перпендикуляры из точек М и В на. плоскость ADC и рассмотрев соот-
D
ветствующие подобные треугольники.
PQ — средняя линия треугольника ADC\ St
-is
APDQ ^°АADC'
Поскольку Р — середина AD, S^PQ = S^DQ = ^ S^DC.
J.
4
_ 1 J_
¥ AMQP _ 3 4 ADC ^
'15 JO 32 + 16
16
C
21,
v = V
V ABCD ^2 V ABCD'
r ACNMPQ
Отношение объемов частей, на которые плоскость PMNQ делит пирамиду, равно 11 : 21.
71


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Расстояние от точки до плоскости
8. 	В правильной треугольной призме АВСА]В1С] сторона основания АВ равна 12, боковое ребро АА ] равно Зл/б. На ребрах АВ и В]С] отмечены точки К и L соответственно, причем АК = 2, BXL = 4. Плоскость у параллельна прямой АС и содержит точки К и L, точка
М—середина ребра А]СГ [/ |ах /
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости у.
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости у.
По условию, точки К и L лежат в плоскости у. Кроме того, плоскость у параллельна прямой АС.
Построим сечение призмы плоскостью у.
В плоскостях АВС и АХВ{СХ через точки К и L проведем прямые KN || АС и LP || А1С]. Тогда KN и LP параллельны друг другу.
Трапеция KNLP— искомое сечение.
Плоскость KNL параллельна прямой АС по признаку параллельности прямой и плоскости.
а) Докажем, что у _L ВМ.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Пусть Мх — середина А С, тогда ММ { 11 ААр ММХ _1_ АС, ВМ{ _1_ АС и, по теореме о трех перпендикулярах, ВМ ± АС. Значит, ВМ _L KN.
Пусть Е и F — середины KN и LP соответственно.
Покажем, что ВМ 1. ЕЕ. Для этого построим сечение призмы плоскостью ВММ
1 9 —
АВ = 12, тогда Ш, = —= б7з, А4, = ВВ, = З7б,
АК = — АВ, тогдаМ,£ = -А/,Я.
6 	1 6 '
£|£ = -^Д5|, тогда £,£= ^ б,Л/.
1
Пусть 5М n EF - T\FH\\BB;, ЕН = ВМ,--ВМХ--ВМХ =
Из Д FEH: tgZFEH = — = ^ = 72;
£# 3V3
5
мм
Из А МВМ/. tgZMBM{ = 1
зТб _ 7б _ 72 м,е _б7з ~2Тз ~ 2
■72
Для треугольника £77?: tgZTBE■ tgZBET — = 1. Значит, tg ZTBE = ctg ZBET
и ZTBE + ZBET = 90°. Тогда ZBTE = 90°, MB _L EF, что и требовалось доказать.
Мы получили, что MB L EF, MB _L A7V. Прямая ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости у, поэтому ВМ _1_ у.
72


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
б) Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Найдем расстояние от точки В до плоскости у. Согласно определению, это длина перпендикуляра, опущенного из точки В на плоскость у.
Мы доказали, что ВМ А. у. Т — точка пересечения прямой ВМ и плоскости у. Значит, ВТ — искомое расстояние.
Рассмотрим ABET, где ZT = 90°.
В нем BE = ^ ВМ, = 57з, tgZTBE = ^.
По формуле 1 + tg2a =
1 	/2
— найдем cos ZTBE = /—;
cos2 a V 3
ВТ = BE- cos ZTBE = 5V2.
Расстояние от точки до плоскости. Метод объемов
Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой- либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину. Он отлично подходит для вычисления расстояния от точки до плоскости.
9. 	В правильной треугольной призме АВСЛ ,Р,С, сторона АВ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На ребрах В]С] и АВ отмечены точки Р и Q соответственно, причем PC, = 3, а AQ = 4. Плоскость AXPQ пересекает ребро ВС в точке М
а) Докажите, что точка М является серединой ребра ВС.
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости AXPQ.
Построим сечение призмы плоскостью AXPQ. Проведем QM || АХР в плоскости АВС, точка М лежит на ребре ВС.
Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция QMPAX — искомое сечение, а) Покажем, что М— середина ВС.
Пусть Р, — проекция точки Р на плоскость АВС, Р, С = 3. Тогда АРХ || АХР.
Пусть ВМ = х. AQBM ~ ААВРХ (по двум углам); BQ_BM_ 8__х ~АВ~~ВР ’ 12 ~ 9
С,
С
Отсюда х = 6 и М— середина ВС.
73


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
б) Найдем расстояние от точки В до плоскости AXPQ, пользуясь методом объемов. Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды AXQMB.
VAiQMB '^i =^Sxaxqm ’^2’ гДе — расстояние от точки А] до плоскости QMB,
т. е. до плоскости основания призмы. Оно равно высоте призмы, Л, = 2. h2 — искомое расстояние от точки В до плоскости AXQM.
S^MB = ~5<2-SM-sin60o = ~8-6y = 12л/з.
Из AQMB по теореме косинусов: QM2 = BQ2 + ВМ1 - 2BQ ■ ВМ • cos 60°;
QM2 =64 + 36-2-8-6••1 = 100-48 = 52; QM = %/52 = 2л/Гз.
Из AA,Q: A,Q = ^AQ2 + AA; = Vl6 + 4 = 2>/5.
Точка М— середина ВС, AM -
Ыъ_
2
= 6л/3.
Из прямоугольного треугольника A tAM найдем Л,М ~ 4\П. Рассмотрим треугольник A{QM, в котором мы знаем все стороны.
По теореме косинусов:
AXQ2 = A^KP + QM2 -2QM АХМ ■ cosZA^MQ,
20 = 112 +52-2-8-ч/7 ->/Гз •cosZAjMQ; cosZA, А/<2
Тогда sin ZA,MQ =
Объем пирамиды A^QBM: VA]QBM
^ S&QBM * — ^ ^AXQM ' ^2
Отсюда /i, = -
S
° A QM
12л/3-2_зУз0
4д/Го 5
Расстояние между скрещивающимися прямыми
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
боковое ребро SA равно V5, а высота S# пирамиды равна
л/з. Точки Ми N — середины ребер CD и А В соответственно, NT— перпендикуляр из точки N на плоскость SCD.
а) Докажите, что точка Т является серединой SM.
б) Найдите расстояние между прямыми NT и SC.
а) Докажем, что точка Т — середина отрезка SM. Рассмотрим сечение пирамиды SABCD плоскостью SMN.
В треугольнике SMN проведем высоту NT.
S
74


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике $
м
Заметим, что MN JL DC, SM JL DC, и значит, (SMN) A. DC.
Мы воспользовались признаком перпендикулярности прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Тогда NT A. DC.
Действительно, если прямая DC перпендикулярна плоскости SMN, то она, по определению, перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости SMN. В том числе и прямой NT.
Кроме того, NT A. SM по построению. Мы получили, что NT _L (SDC).
Высота пирамиды SH = >/з, а боковое ребро SA = V5. Из треугольника SAH найдем АН = V2, и тогда АС = 2-Jl, АВ = AD = MN = 2.
SN — апофема боковой грани пирамиды. Из треугольника SNA найдем SN = 2, и тогда треугольник SNM— правильный, NT — его высота и медиана, Т — середина SM.
б) Найдем расстояние между NT и SC.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. с
NT _L (SDC), и значит, NT A-SC.
Опустим из точки Т в плоскости SDC перпендикуляр TF на ребро SC. Обратите внимание — сделан новый чертеж, в другом ракурсе.
Получим, что TF _L SC по построению, TF A. NT, поскольку TF е (SDC), (SDC) JL NT.
Треугольники STF и SCM подобны (по двум углам),
TF
СМ
ST
SC
TF = СМ
ST
SC
= 1
л/5
л/5 5 '
11. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD
является прямоугольник ABCD, причем АВ = Ъ-Jl,
ВС = 6. Высота пирамиды падает в центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.
а) Докажите, что точка Р — середина BQ.
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 9.
а) Покажем, что Р — середина BQ.
Поскольку ABCD — прямоугольник, его диагонали равны, АС = BD. Точка О — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, АО = ОС =ОВ = OD, тогда SA = SB = SC = SD. Наша пирамида не является правильной, но все ее боковые ребра равны.
Значит, треугольники ASB и BSC — равнобедренные.
Пусть Ъ — боковое ребро пирамиды.
Заметим, что AAPB ~ ASHB, где SH — апофема боковой грани.
75


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
ZPAB = ZHSB\ sin ZPAB = sin ZHSB: —
AB
AB 2-b
Тогда PB ~
ABl 2 b
|8
2b
Аналогично, рассмотрев треугольник SBC, получим,что
ЯС2
2-Ь
36
гъ
Тогда BQ = 2РВ, точка Р — середина BQ. б) Найдем угол между плоскостями SBA и SBC, если SD = Ь = 9. ЛР и Cg — перпендикуляры к прямой 5Я, проведенные в плоскостях SAB и SPC, точка Р — середина Z?g.
Пусть F — середина PC, тогда PF — средняя линия треугольника PgC, РР || QC, PF _L SB.
Угол APF найдем из треугольника APF.
Из AABF: AF = VAB2 + BF2 = л/18 + 9 = 3>/3.
Если SD = Ь = 9, РЯ = 1, то АР = VАВг-РВ2 = Тг7.
S
5
BQ = 2. Тогда QC = - BQ2 = Тз2 = W2.
PF = — QC = lyfl.
2
В треугольнике ИРЕ", по теореме косинусов,
ЛЯ = АР2 + PF1- 2АР • PF ■ cosZj4PF;
27 = 17 + 8 - 2 • ч/п • 2n/2 • cos ZAPF;
cos ZAPF = С
2V34
Поскольку угол между плоскостями — это меньший из углов, ими образуемых, угол ф между плоскостями ASB и BSC — это угол, смежный с углом APF.
1 л/34 л/34
cos ф = —7= = ; ф = arccos .
2Т34 68 68  1212. Ребро основания правильной пирамиды MABCD равно 10.
а) Постройте сечение, проходящее через центр основания пирамиды параллельно прямым АВ и МС.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в это сечение, и угол между плоскостью сечения и гранью АВМ.
Пусть О — центр основания пирамиды, а) Построим сечение, проходящее через точку О параллельно прямым А В и МС.
Проведем EF || АВ, О е EF\ тогда F— середина ВС, Е — середина AD.
Пусть Р — середина МВ, тогда FP — средняя линия треугольника ВМС, FP || МС. Пусть точка g — середина AM. Проведем в плоскости АМВ отрезок PQ || АВ.
76


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Трапеция EFPQ — искомое сечение.
Почему мы провели PQ \\ А ЕЛ
Вспомним теорему:
Пусть плоскости а и Р пересекаются по прямой р. Плоскость у параллельна прямой р. Тогда она пересекает плоскости а и р по прямым, параллельным р.
Плоскости PEF и МАВ пересекают нижнюю грань АВС по параллельным прямым EF и АВ. Значит, линия пересечения плоскостей PEF и МАВ параллельна прямым EF и АВ.
б) Найдем радиус окружности, вписанной в это сечение, и угол между плоскостью сечения и гранью АВМ.
В трапецию EFPQ можно вписать окружность, значит,
EF + QP = 2QE — по свойству четырехугольника, описанного вокруг окружности.
т „ 10 + 5 15
Тогда QE = PF = = —.
2 	2
Высоту трапеции EFPQ найдем из прямоугольного треугольника QEH, где QH — высота трапеции.
W2
2
: 5%/2 = 2R- R
Найдем угол между плоскостью сечения и гранью АВМ.
Пусть Т— середина АВ, N— середина PQ. Поскольку ON и TN— перпендикуляры к PQ, ZONT — искомый._
ОТ = 5; ON = 2R = 5\Il \ NT — половина апофемы грани АВМ.
Заметим, что МС = 2PF =15.
Из треугольника АМТ: МТ = Vl52 -52 = 10>/2; NT = ^МТ = 5>/2.
Треугольник ONT — равнобедренный.
По теореме косинусов:
ОТ2 =ON2+NT2- 2ON • TN • cos <p; 25 = 100 -100 • cos (p;
3 3 cos ф = —; cp = arccos —.
4 4
N
Тела вращения
13. 	Отрезок АВ — диаметр верхнего основания цилиндра, CD — диаметр нижнего, причем отрезки А В и CD не лежат на параллельных прямых.
а) Докажите, что у тетраэдра ABCD скрещивающиеся ребра попарно равны.
б) Найдите объем этого тетраэдра, если АС = 6, AD = 8, а радиус цилиндра равен 3.
Докажем, что АС = BD и ВС = AD.
Пусть А и В{ — проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Тогда ZCA{D = ZA]DB] = ZDB}C= ZB]CA] = 90°, поскольку все эти углы опираются на диаметр окружности основания. Значит, A^CBJD — прямоугольник, A{D = В}С.
77


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Прямоугольные треугольники ААр и ВВХ С равны по двум катетам. Поэтому их гипотенузы равны, то есть AD = ВС. Аналогично, BD = АС.
б) Найдем объем тетраэдра ABCD.
Если R = 3 — радиус цилиндра, то AlBl = CD = АВ = 6.
Заметим, что все грани тетраэдра — равнобедренные треугольники со сторонами 6, 6 и 8.
Пусть М — середина ВС, тогда AM _L ВС и DM _1_ ВС, так как треугольники АВС и DBC — равнобедренные.
В плоскости ADM проведем DQ 1 AM. Плоскость ADM перпендикулярна ВС и, значит, лежащая в ней прямая DQ также перпендикулярна ВС. Получим, что DQ — перпендикуляр к плоскости АВС, то есть точка Q — проекция вершины D на плоскость АВС.
По формуле объема пирамиды, Ут
■И.
По формуле Герона: 5^ = SMBC = Jp • (р - АВ) • (р - ВС) • (р - АС), где р — полупе-
риметр треугольника АВС. Получим, что S^BC = Vl 0 ■ 4 • 4 ■ 2 = 4V20 = 8V5.
Из прямоугольного треугольника АВМ\
АМ =\1б2-42 = 2V5 = DM, так как ААВС = ADBC.
Треугольник ADM— равнобедренный, AD = 8, N— середина AD.
AM = MD = 2V5, тогда S^DM = ^ АМ • DQ = ^ AD • MN.
MN = sImD2-ND2 = V20-I6 = 2; 2V5 D<2 = 8-2.
DQ = ^\ ^eco=7-8V5-^ =
8л/5
5 ' ABCD ^
64 3 ’
M
14. 	Квадрат и цилиндр расположены таким образом, что АВ — диаметр верхнего основания цилиндра, a CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \[б.
Главное в этой задаче — хороший рисунок.
а) Пусть Ах и В] — проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями АВС и А}Вр равен 60°.
Пусть М— точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой CD.
АХВХ || CD, точка М— середина CD. Очевидно, 0,A/_L CD.
Обозначим О.М - г; г - — А,В, = - АВ.
78


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
Тогда ОМ = AD = 2г.
В треугольнике 00ХМ гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета ОхМ. Значит, ZОхОМ = 30°, ZOMOx = 60°. Угол ZOMOx — это угол между плоскостями АВС и АХВ{С.
б) Пусть длина образующей цилиндра ААХ = у[б, F— точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, Fx — проекция точки F на плоскость АХВХС.
В пункте (а) мы нашли, что ОМ=2г. Тогда 00{ - АД = rV3 — образующая цилиндра.
Поскольку АД = л/б, найдем г = 71
Теперь нам известны стороны квадрата. AD = ВС = АВ =
272.
Диагональ квадрата ABCD в 72 раз больше его стороны, поэтому BD = 2-J2 • 72 = 4.
Из ДAfip-. BXD = J(2r)2 + г2 = гТб = TiO; cos ZA,£,D =
2r
77I“7i’
2 4r 4J2
ZAXFXBX = 90° (опирается на диаметр ДЯД B]Fl = А]В] -cosZA^D = 2r = -
Тогда F.D = B.D-B.F. =7Ю-^ = —;
75 5
ABB,D ~ AFF{D\
B^D BD m_F|D-fiD_7i04_4 FXD FD’ BxD 5-7l0 5’
4 16
BF = BD - FD = 4— = —.
5 5
BF — это часть отрезка BD, которая находится внутри цилиндра. Она равна
75 75 75 '
15. 	Точка Р лежит на диаметре АВ сферы. При этом АР : РВ = 3 : 1. Через прямую АВ проведена плоскость а, а через точку Р — плоскость р, перпендикулярная АВ. Отрезок CD — общая хорда окружностей сечений сферы этими плоскостями, S— окружность пересечения сферы с плоскостью Р, М— точка, лежащая на окружности S.
а) Докажите, что AM = CD.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной М и основанием ACBD, если диаметр сферы равен 12, а М — наиболее удаленная от плоскости Р точка окружности S.
В
Поскольку диаметр шара, которым является отрезок АВ, лежит в плоскости а — центр шара точка О также лежит в плоскости а.
Пусть Р — точка пересечения отрезков АВ и CD. Тогда Ре а, Р е р.
CD — диаметр окружности S, a n р = CD.
Пусть а — плоскость чертежа.
79


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Вспомним признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость а проходит через перпендикуляр к плоскости р, то плоскости а и Р перпендикулярны.
В нашем случае р _L АВ и, значит, Р _1_ а.
а) Точка М лежит на окружности S. Покажем, что AM = CD.
Треугольники АРМ и АРС равны по двум катетам, значит, АМ = АС.
Поскольку точка Р делит отрезок АВ в отношении 3 : 1, а точка О — середина АВ, точка Р является серединой ОВ.
ОР = ^ ОВ = ОС, так как ОВ и ОС — радиусы шара.
В треугольнике ОРС катет ОР вдвое меньше гипотенузы ОС, поэтому ZPCO = 30°, ZPOC = 60°. Тогда ZCOD = 120° = ZCOA = ZAOD.
Равные дуги стягиваются равными хордами, АС = CD = AM и AACD — правильный.
б) Пусть М— наиболее удаленная от плоскости а точка окружности S.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из
точки на плоскость.
Наибольшее возможное расстояние от точки М до плоскости а будет в случае, если проекцией точки М на плоскость а окажется точка Р. Тогда РМ Таи длина отрезка РМ равна радиусу окружности S.
Найдем VABCDM — объем пирамиды с основанием ACBD и вы- м
Поскольку АВ _L CD, площадь четырехугольника ACBD найдем как половину произведения его диагоналей.
сотой РМ.
По теореме о пересекающихся хордах, СР • PD = АР ■ ВР,
С
А
как радиус окружности S.
Тогда V=^SACBD PmZ-36S■ ЗТЗ = 108.
ACBD
80


Глава 3. Стереометрия на ЕГЭ по математике •
И заключительная задача — с сайта http://alexlarin.net. Я рекомендую вам этот сайт, на котором часто нахожу интересные, иногда нестандартные задачи.
16. 	Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямые. 5
а) Докажите, что точка S, точка пересечения медиан треугольника АВС и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.
б) Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.
а) Докажем, что S, М, О лежат на одной прямой, где М— точка пересечения медиан ААВС, О — центр сферы, описанной вокруг пирамиды SABC.
Центр описанной сферы —это точка, равноудаленная от S, А, В и С. Она лежит на пересечении серединных перпендикуляров к ребрам пирамиды. Достроим пирамиду до прямоугольного параллелепипеда ASCNFBKE. Точка О = АК п BN— точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
Она равноудалена от всех его вершин, в том числе от А, В, С, S и является центром сферы, описанной вокруг пирамиды ABCS; О е SE, где SE — диагональ параллелепипеда. Проекциями точки О на грани пирамиды ASC, ASB и BSC будут середины ребер АС, АВ и ВС.
Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью SBE. Пусть SO п ВОх = М. Точка М — точка пересечения диагонали SE с плоскостью АВС.
Поскольку О— середина BN, 0] — середина SN, М— точка пересечения меридиан ABSN\
SM : МО = 2:1 (по свойству медиан),
ВМ: МО = 2:1.
При этом ВОх — медиана ААВС, и тогда М — точка пересечения медиан треугольника АВС.
Мы доказали, что М е SO, т. е. точки S, Ми О лежат на одной прямой
б) Пусть SA = 2,SB = 3, SC = 4.
Найдем г — радиус сферы, вписанной в пирамиду
К
С
N
SABC.
Расстояние от центра вписанной сферы до любой из граней одинаково и равно г.
Тогда объем пирамиды SABC складывается из объемов четырех пирамид с вершиной Р: РАВС, PABS, PBCS и PACS, причем у этих пирамид одинаковые высоты, равные радиусу г.
В
81


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
V =V +V + 1/ +V
v ABCS V PABC T V PABS T V PBCS T V PACS »
' SC — ^ • r (SMg5 + S^BC + S&BCS + SMCS).
Найдем все необходимые отрезки и площади перечисленных треугольников:
AB = yh2+32 =Vi3 6С = V32 +42 =5
АС = V2i+4T = 2V5
Из треугольника ЛЯС по теореме косинусов, 6С2 = Аб2 + АС2 - 2А6 • АС • cos а 25 = 13 + 20-4765 cos а
1 /бГ
165
2 ■ 1 4 cos а = —=; тогда sina = , 1 =,
л/65 V 65
=-A6-ACsina = --7T3-275~ = 76l;
Тб5
S&ABS S^CS ~ S&ASC ~
12 = г(з+6+4+ТбТ);
12


Задача из второй части ЕГЭ, в которой надо решить неравенство, — своеобразная граница между «неплохо сдал ЕГЭ» — и «поступил в достойный вуз». Если эта задача дается легко, значит, вы хорошо освоили школьную математику. Тогда и задача с параметрами, и высшая математика вам доступны.
Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.
При решении неравенств мы можем:
1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны.
3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы, знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы — знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы — показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.
Показательные неравенства
Y м
Логарифмические неравенства
Yn
'2
X
X, < Х2 « log X, < log х2
а >1
Y
Y
О < я < 1
83


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя). О нем я расскажу подробно.
5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить — это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.
Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.
1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.
Например, в неравенстве х (Зх - 2) > х(х + 1) нельзя поделить левую и правую часть на х.
Правильный способ: перенести все в левую часть неравенства, разложить на множители и решить неравенство методом интервалов:
х(3х- 2) -х(х + 1) > О
х(2х - 3) > 0.
3
Получаем, что х < 0 или х > —. «Сократив» на х, который может быть отрицательным,
мы не получили бы правильного ответа.
2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.
Как, например, решить неравенство х2 > 100?
Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.
х2- 100 > 0
Разложим левую часть на множители.
(х-10)(х + 10) > 0
Решим неравенство, пользуясь свойствами квадратичной функции у = х2 - 100, и запишем ответ: х < -10 или х > 10.
Запомним: ответы типа «х > ± 10» абсурдны.
3. Как решать неравенство х2 > 0? Это типичная ловушка для абитуриентов. Так и хочется сказать, что х > 0 (то есть извлечь корень из неравенства). Но этого делать нельзя. Выражение х2 положительно при всех х, кроме нуля. Правильное решение неравенства: х * 0.
4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно, только если они неотрицательны.
5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.
6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы — там обязательно будет область допустимых значений.
7. Сложная тема для старшеклассников — задачи с модулем. Уравнениям и неравенствам с модулем посвящена целая глава в моей книге «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ».
При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. В этой главе приведены примеры грамотного оформления задач. Рекомендуется делать именно так: переходить от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.
Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.
Начнем с дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
84


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
, „ (5х-3)2 9-30х + 25л:2
1. 	Решите неравенство: > —.
х — 2 \4-9х + х2
Заметим, что числитель дроби в правой части неравенства — полный квадрат. А знаменатель этой дроби разложим на множители.
Мы знаем, что ах2 + Ьх + с = а(х - Xj)(x - х2), где х, и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Тогда 14 - 9х + х2 = (х - 2 )(х - 7).
Вспомним также, что (а - Ъ)2 = (Ъ - а)2.
Тогда 9 - ЗОх + 25х2 = (5х - З)2.
Приведем неравенство к виду
(5х-3)2
— |>0.
х-1
Мы перенесли все в левую часть и вынесли общие множители за скобки. Далее,
х-З)2 (х-8) х-2)(х-7)
Решаем неравенство методом интервалов. От-
3 0 _
метим на числовой прямой точки х = -,х = 2,х = 7,
х = 8, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Точки х = 2 и х = 7 (нули знаменателя) — выколотые, поскольку в этих точках функция
3
в левой части неравенства не определена (на ноль делить нельзя). Нули числителя - и 8 —
закрашены, так как неравенство нестрогое.
Эти точки разбивают ось X на 5 промежутков (интервалов).
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
Возьмем, например, х = 10 и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» положительна. Значит, при х > 8 левая часть имеет знак (+).
На интервале от 7 до 8 левая часть неравенства отрицательна — поскольку выражение х-8 теперь отрицательно, а все остальные «скобки» положительны.
На интервале от 2 до 7 левая часть неравенства снова положительна, а на интервале
3 О Л 3
от - до 2 — отрицательна. А вот при переходе через точку х = - смены знака не происхо-
3
дит, поскольку при переходе через точку - соответствующий ей множитель (5х - З)2 не изменил знак.
Осталось записать ответ: хе
и(2;7)и[8;+~).
85


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
3 3
Обратите внимание на отдельную точку х = - . Действительно, х = решение нера-
3
венства, поскольку при х = - и левая, и правая части неравенства равны нулю.
2. 	Решите неравенство:
х2+2х-4 х2 +5х + 3
х + 3
х + 5
< 2х -1.
Приводить обе части к одному знаменателю? Не хочется. Вот просто не хочется, и все, потому что выражение, которое мы получим, — третьей степени. Покажу простое и быстрое решение этого неравенства.
х2 + 5х + 3
Выражение х2 + 2х - 4 представим как х2 + Зх - х - 4 = х2 + Зх - (х + 4), а дробь
представим в виде суммы двух дробей. * + ^
х2+Зх-(х + 4) ^ *2+5х ^ 3 <2х 1
х+3 х + 5 х + 5
х(х + 3) х + 3 1 х(х + 5) 3
х + 3 х + 3 х + 3 х + 5 х + 5
t 1 3 f
х — 1 + х + < 2х-1
< 2х-1
х + 3 3 1
х + 5
<0
х+5 х+3
3(х + 3)-(х + 5) (х + 5)(х + 3) 2х + 4
(х + 5)(х + 3) х + 2
<0
<0
(х + 5)(х + 3) хе (-°о;-5)и(-3;-2].
Ловкость рук? Хитрость ума? Нет, просто действия с дробями! Мы часто складываем дроби — так почему бы не представить дробь в виде нужной нам суммы двух дробей? Попробуйте, вам понравится!
3. 	Решите неравенство:
х2 +16х + 39 ^ х + 18 6
х +12х + 27 х + 9 х + 8
Применим тот же метод — разложение дроби на сумму дробей и выделение целой части. Этот метод пригодится вам и на первом курсе — когда будете брать интегралы от рациональных дробей.
X2 +\2х+П + 4х + \2 JC + 9 + 9 6
х + 12х + 27 х + 9 х + 8
, 4(,J3) _9 6_
(х + 9)(х + 3) х + 9 х + 8
86


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
4(х + 3)
Соьфатим дробь — на х + 3 при условии, что х + 3 Ф 0. Наше неравенство равно¬
сильно системе:
4>.9
(х + З) 6
х + 9 х + 9 х + 8 х + 3 Ф 0
5 б.*о
х+9 х+8
х + 3 Ф 0
5х + 40-6х-54
(х + 9)(х + 8) х + 3 Ф 0 х + 14
<0
>0
(х + 9)(х + 8)
х + 3*0 -14 -9
Решаем неравенство методом интервалов и записываем ответ:
jcg [-14;-9)и(-8;-3)и(-3;+°°).
Отличный метод, применяемый и в решении уравнений, и в решении неравенств, замена переменной.
2 0,5x41-2
4. Решите неравенство: —— н — > 2.
0,5xV5-l 0,5xV5-3
Сделаем замену 0,5xV5-2 = t. Тогда 0,5x75-1 = г+ 1, а 0,5x75- 3 = Г-1. Получим:
— + — >2 r + 1 t-1
lt-2 + t1 +t
-2 > 0 t2 + 3t-2 + 2t2 + 2
t1-1
г -1
>0
3f-fz
f2-l
>0
t(t-3)
<0
(?-l)(r + l)
Решим неравенство относительно t методом интервалов.
87


$ Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Получим:
-1 < f < О 1<г <3
Вернемся к переменной х:
-1 < Q,5xj5 -2< О 1 < 0,5x\f5 -2 < 3
2 ^ 4
6 	10
S<X~S
Ответ: хе
75 ’ V5 J
и
Еще задача на неочевидную замену переменной:
5. 	Решите неравенство: (6х + 7)2 (Зх + 4) (х + 1) < 6.
Четвертая степень... А если вот так? (6х + 7)2 (Зх + 4) (х + 1) < 6 (Звх2 + 84* + 49) (Зх2 + 1х + 4) < 6 (12(3х2 + 1х + 4) + 1) (З*2 + 1х + 4) < 6 Сделаем замену: З*2 + 1х + 4 = z. Получим неравенство:
(12z+ 1) ■ z - 6 < О 12z2 + z- 6 < О
Возвращаться к переменной * еще рано! Сначала решим неравенство относительно z.
3 2
И вот теперь вернемся к переменой х: -—< Зх2 + 1х + 4 < —.
Решая это двойное неравенство, получим * е
5 _ 2 3’ 3
2
88
U) I to


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
6. 	Еще неравенство. Обратите внимание на логику решения! Я очень рекомендую вам оформлять свое решение именно так.
1
jc — 4
х -1х + \2 3-х
:>/6х-х2 <0.
Выражение под корнем должно быть неотрицательно. Это область допустимых значений неравенства.
Произведение двух множителей меньше нуля тогда и только тогда, когда множители имеют разные знаки. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Корень квадратный не может быть отрицательным. Он может быть только положителен или равен нулю. И если он равен нулю — знак первого множителя (в скобках) уже не важен. И значит, неравенство равносильно системе:
6х-х2 >0(ОДЗ) 6х-х2 =0
1 г-4
-5—! +—<о
Lx2 -7х + 12 3-х
х(6-;с)>0 х = 0 х = 6
(jc — 3)(лг —4)
0 < * < 6
х = 0
<-> <
jc — 4 х-3
<0
х = 6
Н*-4)2
(лг-3)(х-4)
<=>
<0
0<х<6
0 < д: < 6
1
*
II
О
1
*
II
о
х = 6 <=><
х = 6
(1-* + 4)(1 + дг-4)^п
(5-х)(*-3)
1
1
U)
1
1/
с
_(*-3)(х-4)
<0
X
Ответ: [0;3)и(3;4)и[5;б].
Показательные и логарифмические неравенства
Каким бы ни было показательное неравенство в варианте ЕГЭ — его надо упростить до неравенства аХ] < ct1. Знак здесь может быть любой: >, <, >, < Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями.
И после этого убираем основания! При этом, если основание степени а > 1, знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что 0 < а < 1, знак неравенства меняется.
Точно так же с логарифмическими неравенствами. Каким бы ни было логарифмическое неравенство, мы приводим его к виду log^JCj < logax2.
Знак неравенства тоже может быть любой: >, <, >, <. Главное, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию. Важно: решая логарифмические неравенства, помним про область допустимых значений.
И просто «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание логарифма больше единицы, знак неравенства остается тем же. Если основание больше нуля и меньше единицы, знак неравенства меняется.
89


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
7. 	Решите неравенство: > .
7[-7 Г-4
Сделаем замену переменной: Iх = t, t > 0.
t — 1 t-4
2f - 8 - 5f + 35 (t-l)(t-4) ~
21-Ъ t (t-l)(t-4)
>0
— <0
(r-7)(r-4)
Обратите внимание, что возвращаться к переменной х еще рано. Сначала решим неравенство с переменой t методом интервалов.
Поскольку t > 0, получим:
0 < t < 4,
1 <t <9.
Тогда
Iх < 4,
7 < Iх < 9;
'JX ^ *j log7 4
7 <Т <l'otl\
0 4 7 9
Обратите внимание, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество: aogab =b. х < log7 4,
\ <х< log7 9.
Ответ: хе (-°o;log7 4)u(l;log7 9].
8. 	Решите неравенство: 9х - 31 • 3* + 108 < 0.
Это простая задача. Я привожу ее только затем, чтобы вы увидели правильное оформление решения показательного неравенства. Все вспомогательные вычисления я делаю на полях.
Сделаем замену: 3х = t, t > 0. Получим квадратное неравенство: t2-3\t+ 108 <0.
4 	< t < 27
Вернемся к переменной х:
3log?4 <зх <з3 log34< jc<3.
Ответ: xe[log34;3].
г -31Г + 108 = 0
D = 312 - 4 108 = 961-432 = 529 VD = 23 31 ±23
t, 2 =
u 2
t, = 27, t2 = 4.
t2 -31f + 108 = (r-27)(f-4) (r-27)(r-4)<0
90


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
9. 	Еще простая задача. Пользуемся тем же приемом, что и при решении алгебраических неравенств, — разложением дроби на сумму дробей.
х 5дг+3 2х
2*+' - 2~ +8 < 2~'
х 3х+3+2х 2х
2,+|-2 +8-2*+1 < О
х з ■ 2х 2х
2«+i _2 + 8-2*71 <0
х 2х 2х
2х*' -8• 2х*' — 2*+' +8 < 0
х 2х
2~' -9-2~' +8<О
х
Сделаем замену 2х+1 = г, t > 0. t-9t2 +8 <0 9г2 - r-8 > О
9(г-1)
t н— 9
>0
8
Поскольку t > 0, сократим на t + - > 0.
Получим:
г-1 > О
t> 1
X
2х*' >1 х
х + 1
>0
9r-t-S-0 D = 1 + 4-72 = 289 Vd=17 1 + 17
t = -
18
_ 8 A —— 9
9t2-t-8 = 9(t-l)^t + ^ 9(r"1)(f + |)>0
Ответ: xe (-<*>;—l) u (0;+<*>).
Обратите внимание — все вспомогательные вычисления я делаю на полях. Сначала решаем неравенство относительно переменной t и только после этого возвращаемся к исходной переменной х.
Теперь логарифмические неравенства. Помним про область допустимых значений!
10. 	Решите неравенство: log2 х + 5 log2 х + 6 > 0.
ОДЗ: х > 0. Замена: log2x = t. Z2 + 5z + 6 > 0 (z + 2) (Z + 3) > 0
91


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
log, х< -3
<=>
log, х > -2
log, х < log, - 8
log, X > log, - ‘ 4
<=> <
x > 0
1
x < - 8
1
x > - 4
Ответ:
xe
\
Еще раз: сначала мы решаем неравенство относительно t и только потом возвращаемся к переменной х.
Для решения неравенств часто применяется метод замены множителя. По-другому он называется метод рационализации неравенства.
Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству. При этом сложный множитель заменяется на более простой алгебраический согласно волшебной таблице:
Методы замены множителя
Сложный множитель
На что заменить
log hf
(/*-!)(/- 1)
log bf- 1
(А - 1М/-Й)
log hf- log h g
(И - 1) (/- g)
hf - h g
(h - 1) (/- g)
hf - 1
(h-l)f
fh-gh
(f-g) - h
\f\-\g\
f2~g2
/, g — функции от x, h — функция или число
Здесь/ g, h — функции, причем такие, что соответствующие выражения определены. Обратите внимание, что мы говорим о замене именно множителя (а не слагаемого, например), причем правая часть неравенства обязательно должна быть равна нулю. Посмотрим, как применять этот полезный метод.
11. 	Решите неравенство:
2 	• 32*+| - 6* - 4**' - 9 ^ 9* -3
2- 	3'321 -6* -4 - 22t -З-З2* -9 + 9
32jt-3
3- 	32г -Зг • 2Г - 4-22
<0
32t-3
<0
Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на 12х > 0.
92


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
Получим:
\2х
312
32х-3
3"f |+1¥
32'-3
<0
Поделим обе части неравенства на
(3 Y
- +1>0. [2.1
<0
'зТ (зл
V2,
V2/
-4 = 0
- = /; 3r - t-4 = 0
2)
D = 1 + 48 = 49, V/) = 7
1 + 7 , 4
? , 1> Г2 ТГ
6 3
3r2-f-4 = 3(f + l)f?--
^3
2
И
, 4
V°g3T
<0
Применяя метод рационализации, множитель вида hf -h8 заменяем на (h-\)(f -g). Получим:
[Ht
1 4
lQg3- 2 ^
<0
(3-1)(2*-1)
. 4
*-log3 -
—н°
х —
2
1 4
Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить — и log3 —?
1 з 2
Что больше? Давайте представим - как логарифм с основанием -:
= log
V 2 У
=|°8||
-V /-; —V-; 32v27; 32>27. 3 V2 9 2
Значит, log
4 	1 3 2
Ответ: хе
т;1оёз г
93


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Посмотрим, как применяется метод замены множителя в логарифмических неравенствах.
12. log3_,
х + 4
(х-З)2
> -2.
х + 4
> -2 <=>
3-х > О 3-х /1 х + 4
(х_3)
log3
>0
х + 4
(х-З)2
+ 2 > 0
Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что (а - b)2 = (Ь - а)2. Поскольку при х Ф 3 должно выполняться условие х + 4 > 0, получим:
х < 3 х < 3
хФ2 хФ2
х + 4>0 <=>х>-4
log,., (х + 4) — log,., (3 - х)2 + 2 > 0 [log,., (х + 4) > 0
Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, l°g0 (й(х))2 =21og„ |б(х)|.
Поскольку 3 -х > 0, log,., (3-х)2 = 21og,_, |3 — х| = 21og,_, (3-х) = 2.
Согласно методу замены множителя, выражение 1о§3_Л (х + 4) заменим на(3 - х- 1)(х + 4- 1).
х Ф 2 -4<х<3 (2-х)(х + 3) > 0
Получим систему:
Решить ее легко. Ответ: хе [-3;2).
ln(3y2 -2y + l) log 5 3
13. 	Решите неравенство: > .
ln(5y2-6y + l) 1оё73
Преобразуем правую часть неравенства по формулам перехода к другому основанию:
log Ь 1
1°ёя ^ = 1 ' ’ 10g„^ =
log, а
l°gi,«
l°g7! 3 _ log, 7 _ 1 log, 7 _ 1 log7 3 log, 75 5 log, 7 5
94


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
Упростим знаменатель дроби в левой части неравенства:
1п(5у2-6у+ 1)5 = 5 • ln^y2- 6у + 1).
ln(3y2-2y + l) 1
Неравенство примет вид: г > —. Умножим обе части неравенства на 5.
51п(5у2-6у + 1) 5
ln(3y2 -2у+ l)
— ->1.
ln(5y2 -6у+ l)
In(З^2 -2y + l) ln(3y2 -2у+ l)-ln(5y2 -6у+ l)
1п(5у2 -6у+ l) ~ ln(5y2-6y + l)
Зу2-2у + 1>0 5у2 —6у + 1 > О <=>. 5у2 -6у + 1 Ф 1
(е-1)(3у2 -2у+ 1-5у2 + 6y-l)
; г > О
0«
(e-i)(5y2-6y)
Мы записали ОДЗ и применили метод замены множителя. Множитель вида log hf заменяется на выражение (й - 1)(/- 1). Множитель вида log hf- logA g заменяется на (h - 1)(/- g). Получаем:
у* 0, уф
-2у2 +4у
<=>
. 5уг-6у
>0
'у-\ |(у-1)>0
У * 0, у * -
У(У~2)
у(5у-6)
<0
1) Зу2 -2у + 1 = 0 D = 4-12<0,
значит, Зу2 - 2у +1 > 0 всегда.
2) 5у2 -6у + 1 = 0 D = 36-20 = 16
6±4
У = -
10
, 1
y,=i;y2 = -
5у2 -6у + 1 = 5(у — 1) y-jj
3) 5у2-6у*0 у ф 0; у Ф -
5
95


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Решим неравенства системы методом интервалов.
В результате получим:
Ответ: у е | -;2
ZX
j_ 1 5
Еще логарифмов? Пожалуйста!
14. Решите неравенство:
lg2
(х + 2)2 (х + 5) 5
<lg2
х + 5 ~20~‘
Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов: а2 - Ь2 = (а - Ь) {а + Ь).
\ (*+2)2(* + 5)_i
ё 5 ё 20
lg
(х + 2)2 (х + 5)
lg
х + 5 ~20~
<0.
Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.
lg
(jc + 2) (* + 5)-20
5 • (х + 5)
(х + 2у (х + 5) > 0
lg
(х + 2)‘ • (* + 5)‘
2 '
100
<0.
х + 5 > 0
Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х + 5 положительно, то и выражение (х + 2)2 должно быть положительно.
Заметим, что решения неравенства (х + 2)2 > 0 — это все числа, кроме х = -2. Получим:
lg(4'(x+2)2)-lg
(лг+2)2 -(дг + 5)
шо"
2
<0
х > -5 х -2
По методу рационализации, каждый из множителей вида log hf заменяем на (И - !)(/- 1).
96


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
(10-1)-(д (х + 2)2 -1)-(10-1)
({x + 2f {x + 5)2 Л 0 100
JC > —5 <=>
хФ—2
(2х + 4-1)(2х + 4 + 1)((д:+2)(л: + 5)-10)((л: + 2)(х + 5)+10)<0
<=> < х > -5 <=>
хФ-2
(2х + 3) • (2х + 5)-х-(х + 7)-(х2+7х + 20 ) < О <=> j х > -5 <=> *
х*-2
Просто равносильные преобразования. Выражение х2 + 1х + 20 положительно всегда, так как в уравнении х2 + 1х + 20 = 0 дискриминант отрицателен.
Осталось применить метод интервалов.
(2х + 3) • (2х + 5)-х(х + 7)<0
х > -5
хФ—2
Ответ: хе
ЧМ-М
х + 5
15.Решите неравенство: log3(x2 + 7x + 10) + log1 + l>log3(3x2 + 16х + 20)
5 9
Неравенство равносильно системе: х2+7х + 10>0 х + 5 > 0
Зх2 + 16х + 20 > 0
log3 (х2 + 7x + 10)-log3^-^ + log33 > log3(3x2 + 16х + 20)
(х + 5)(х + 2)>0 х + 5 > 0
^yl>0
(х+2)
(* + 5)(х + 2)-9-3
log
дг + 5
>log3| 3(х + 2)| х + у
<=> «
х > -2
9-(х + 2)>(х + 2)^х + у j f 1 П~
Ответ:
х > -2
<=>< Ю^0<=>
I х + — <9 3
х > -2
Л7 х < — 3
х +7х + 10 = 0
-7 ± 3
D = 9\ х, 2 = z
Xj = -5; х2 = -2 Зх2 + 16х + 20 = 0
О = 162-12 - 20 = 16 (16 - 3 5) = 16 -16±4
„ 10
х, — 2; х2 —
97


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
ли l-Jl-41og4*
16. 	Решите неравенство: — < 2.
\og4x
Сразу сделаем замену: log4x = t.
^ l-Vl-4r „ l-2r-Vl-4r2 Л
Получим неравенство: < 2; < 0.
х х
Область допустимых значений неравенства:
fl — 4f2 >0 f(l-2r)(l + 2r)>0
< <^> < <
[г*0 |/*0
2.
2
хфО
Разложим выражение под корнем на множители по формуле а2 - b2 = (а- b) (а + b). Заметим, что 1 — 2r = (Vl-2r) . Поскольку ts » выражения 1 - It и 1 + 2t будут
неотрицательными
\ 2
(Vl^F)2 - V(l-2f)(l + 2r)
<0;
t
Vl-2r (Vl-2f-Vl + 2f)
-<0.
ется
Выражение Vl-21 неотрицательно. Более того, если 1 - It = 0, неравенство не выполня- [. Поделим обе части неравенства на Vl — 2г > 0 при условии t < ^.
<0
Vl-2f-Vl + 2f
t
Согласно методу рацонализации, множитель h f - hs заменяется на /г • (/*- g).
случае >/l-2t = (1 -2tУ , VT+2r = (1 + 2г )г, множитель л/l — 2r —л/l + 2/ заме-
В нашем i
няем на ~(l-2f-l-2f). Получим: —— < 0. Если t Ф 0, получаем тождество: -4 < 0. Итак, t Ф 0. При этом 1 - 2t Ф 0, т. е. t Ф ^.
С учетом ОДЗ получаем
2 	2.
t*0
98


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
Вернемся к переменной х:
К, 1
--<log4x<-
х>0
х*1
2 2 <=> <
<=> ■
log4 - < log4 х < log4 2
log4 X * 0
х > О
ХФ1 1
12
< х < 2
Ответ: хе
— ;1 2
и
(i;2).
И еще задача на метод замены множителя.
log2 (8x) log3 (27х)
17. Решите неравенство: —-———■ < 0.
х — |х|
Область допустимых значений очевидна: х>0
fx > 0
r-bcUO
<=>
х Ф 0;х Ф 1 <?=>
х > 0 хФ\
хФ-\
Поскольку х > 0, модуль раскрывается однозначно: |х| = х. log2 (8д:)-log з (Tlx)
Мы получим:
<0.
х(х-1)
Применим к логарифмам в числителе метод замены множителя. Каждый из множителей вида log hf заменяется на (h - 1)(/- 1). Получим:
(2 — 1) * (8х — 1) - (3 — 1) • (27х — 1)
с(л-!)
<0
(8л: — 1)-(27лг — 1)
<0
х(х-1)
Решаем методом интервалов.
Ответ: хе
fn О
ХЕ
0;— 27 J
u
И
18. А что делать, если совсем не повезло? Если, несмотря на все старания, получилась третья степень? Как в этом неравенстве:
х + -
8х - 45 х +15х -132
х -1 х -16х + 63
<1.
х-7 + 7х-38 х2 + 15х-132 х + + - г<\
х — 1
(л-7)(л-9)
+ 1х -38'-9 + х + 15-г -132 < 0
х-1
(х-7)(х-9)
99


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
х3 -\6х2 + 63х + 7х2 -38х-63х + 38-9 + х2 + 15.У-132 (х-7)(х-9) x3-8x2-23x + 210^,Q (х-7)(х-9)
Больше упростить не удается. Ни одной замены не видно. Неужели третья степень?
Да, это случилось. Как же разложить числитель на множители? Как вообще решать уравнения третьей степени, четвертой и выше?
В общем случае такие уравнения решают численными методами (на компьютере). А нам остается либо разложить выражение высокой степени на множители, либо искать целые корни числителя (если они есть) среди делителей свободного члена.
Будем искать корни уравнения х3 - 8х2 - 23х + 210 = 0 среди делителей числа 210.
А делителей у этого числа немало: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 5; -5; 6; -6; 7; -7...
Начнем с меньших по модулю. Подставим х = I в выражение х3 - 8х2 - 23х + 210.
Результат не равен нулю. Продолжаем, подставляя по очереди -1; 2; -2...
И когда уже готовы все бросить, наконец получаем: 63 - 8 • 62 - 23 • 6 + 210 = 0.
Значит, х = 6 — корень уравнения х3 - 8х2 - 23х + 210 = 0.
И это значит, что х3 - 8х2 - 23х + 210 = (х - 6) ■ (ах2 + Ьх + с).
Поделим в столбик выражение х3 - 8х2 - 23х + 210 на х - 6. Так, как мы делим числа в столбик.
х3 - 8Х2 - 23х + 210 I х - 6
х3 - 6х2 1х2-2х-35
- 2х2 - 23х ~-2х2+ 12х
- 35х + 210
- 35х + 210
0
Получим: х3 - 8х2 - 23х + 210 = (х - 6) • (х2 - 2х - 35) = (х - 6) • (х - 7) ■ (х + 5).
it (х-6)-(х-7)-(х + 5)
Неравенство примет вид —- • \ ^ п
(*-7)(*-9)
Решим его методом интервалов.
Ответ: хе (-°о;-5]и[б;7)и(7;9).
100


Глава 4. Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические •
Когда я училась в школе, меня часто посылали на олимпиады — по математике, физике, истории, биологии... Для меня эти олимпиады были тратой времени и разочарованием. Каждый раз я надеялась выиграть. И каждый раз, придя, я получала задания, с которыми не представляла, что делать. Я видела, как другие что-то быстро пишут, а мне сказать было нечего. «Они умные, а я нет», — думала я, и моя самооценка падала.
Только став взрослой, я поняла: на олимпиаде побеждает не самый умный, а тот, кто готовился. Кто заранее хотя бы примерно знает, какие там задания. У кого в запасе множество заготовок, приемов и хитростей для их решения.
Точно так же и сдача ЕГЭ на высокий балл — не случайность, не подарок судьбы. Это подготовка, знание специальных приемов, умение распределить и сэкономить время. Поэтому я и решила в одной книге собрать все специальные приемы решения задач ЕГЭ и показать все тонкости оформления. Освойте их — и победа на ЕГЭ станет вашей!


глава 5
ПЛАНИМЕТРИЯ
Планиметрия — тема, на которой чаще всего «ломаются» абитуриенты. Задачи второй части ЕГЭ не даются сразу, без подготовки. Но, оказывается, даже в первой части ЕГЭ по математике есть подсказки — схемы, на которых строятся сложные задачи. Вот несколько примеров.
1. 	Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 43.
Кажется, что треугольник на рисунке прямоугольный. Но это не так: центр окружности специально показан сбоку от его большей стороны. Зато у нас есть теорема синусов: —-— = 2/?, где х —
sin 30°
хорда, лежащая напротив угла в 30°.
Можно поступить иначе — соединить концы хорды с центром окружности и вспомнить, что величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Ответ: 43.
2. 	Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.
Отметим центр окружности и соединим его с вершинами «-угольника. Перед нами п треугольников, в каждом из которых высота равна радиусу окружности, то есть г. Очевидно, что площадь многоугольника
^ ~ ^АО В + ^ВОС + ^COD + ^DOE + ^ЕОА'
По формуле площади треугольника Sлов ~ ^ АВ ■ г
$вос = ^ ВС ■ г
Вcod = CD • г
В DOE ~ ^ • г
D
D
SEOA =-ЕА г
Тогда 5 = — (АВ + ВС + CD + DE + ЕА) -г = — Р ■ г, где Р - 2 2
сторон многоугольника. Периметр равен 22.
- периметр, то есть сумма всех
102


Глава 5. Планиметрия •
3. 	Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Высота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.
Треугольники АОЕ и FOC — прямоугольные и равнобедренные, OF - FC = ^ DC, ОЕ = А£ = ^ АЯ.
Значит, высота трапеции FE = О/7 + ОЕ равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.
Ответ: 9.
4. 	Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. A J
РМ— средняя линия треугольника АВС, значит, РМ= 1. NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1. Тогда MN = PQ - PM - NQ = 2,5-1 - 1 =0,5.
Ответ: 0,5.
Обязательный этап освоения планиметрии — простые задачи на доказательство. Вот 32 полезных факта, и вам надо их доказать1. Все они применяются в решении реальных задач ЕГЭ. На своих интенсивах и мастер-классах я доказываю самые интересные из них.
Углы, треугольники, четырехугольники
1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
2. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
5. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
7. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.
8. Замечательное свойство трапеции: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Окружности
9. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
10. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.
11. Точка касания окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры.
12. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
1 При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.
103


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
13. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
14. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
15. Теорема о касательной и секущей. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.
16. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
17. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
18. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
19. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и
гипотенузой с, равен — (а + Ь-с).
20. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
21. Если расстояние между центрами окружностей радиусами Виг равно аи а> R + г, то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно yja2 -(R-r)2 и yja2 -(R + rf.
22. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов.
23. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
24. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.
25. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под прямым углом (ZAMB = 90°), есть окружность с диаметром АВ без точек А и В.
26. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой АВ без точек А и В.
27. Если М — точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то AM = р - ВС, где р — полу периметр треугольника АВС.
28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полу- периметру треугольника АВС.
29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соот¬
ветственно в точках К, L, М, а угол ВАС равен (р, то угол KLM равен 90° - — <р.
30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности 5.
31. Если AM и СК— высоты треугольника АВС, причем ZB * 90°, то треугольник МВК подобен треугольнику АВС, причем коэффициент подобия равен |cos В\.
32. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из
его медиан, равна
104


Глава 5. Планиметрия •
Доказывайте полезные факты. Запоминайте картинки и схемы решения. Чем больше у вас таких ассоциативных связей — тем проще решаются задачи по геометрии.
Например, в задаче фигурирует радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Для чего он может пригодиться? Может быть, нужно применить теорему синусов? Или формулу площади треугольника через три его стороны и радиус описанной окружности?
Если в задаче есть касательные — наверняка мы используем теорему об отрезках касательных, проведенных из одной точки. Есть еще и секущая — возможно, поможет теорема о секущей и касательной.
Все задачи ЕГЭ решаются простыми школьными способами. Если вы знаете теорему Менелая, теорему Чевы и другие — отлично. Но все же они больше применимы в олимпи- адных задачах, а не на ЕГЭ.
И все-таки определенные секреты здесь есть. Например, классические схемы, на которых строится множество задач по геометрии. И эти схемы надо знать.
полезные сиемы для решения задач по геометрии
Схема 1. В треугольнике ЛВС проведены высоты AM и СК.
Н— точка пересечения высот треугольника (ортоцентр),
Н = АМпСК.
Получаем сразу несколько полезных фактов:
1) АМВК ~ ААВС, k = |cos В\;
2) четырехугольник АКМС можно вписать в окружность;
3) четырехугольник ВМНК можно вписать в окружность;
4) радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны;
5) ВН = 2??|cos В|, где R — радиус описанной окружности ААВС.
С
Схема 2. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А к В, г. луч MD — в точках Си Д причем МА > МВ, MD > МС. Тогда треугольники ВМС и DMA подобны.
А
Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС — общая, угол В равен углу М. Тогда точки А, В, М, С, лежат на одной окружности.
Другими словами, геометрическое место точек Л/, из которых отрезок Л С виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой А С, без точек А и С.
М
105


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Схема 4. У треугольников ЛВС и АМС сторона АС — общая, углы В и М— прямые. Тогда точки А, В. М, С, лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.
Иначе говоря, геометрическое место точек А/, из которых отрезок Л С виден под прямым углом, есть окружность с диаметром АС без точек А и С.
Есть также две теоремы, которые, хоть и входят формально в школьную программу, крайне редко упоминаются на уроках. А в вариантах ЕГЭ есть задачи на их применение. Это теорема о секущей и касательной и свойство биссектрисы треугольника.
Теорема о секущей и касательной. Если к окружности проведены из одной точки касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению длин всей секущей и ее внешней части.
Свойство биссектрисы. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Есть простой прием, заменяющий и теорему Менелая, и теорему Чевы. Это использование двух пар подобных треугольников.
Есть теорема косинусов, которая помогает, когда больше ничего не приходит в голову.
Есть интересный способ, который называется «удвоение медианы».
Есть эффектный прием: «Перестроить Ж в треугольник». Что это такое? Сейчас узнаете.
1. (ЕГЭ-2017) Основания трапеции равны 4 и 9, а ее диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
В условии есть тонкий намек. Вспомним пифагорову тройку: 5, 12, 13. Заметим, что значимые для нас отрезки пересекаются. Как бы нам построить треугольник с такими же длинами сторон?
Пусть ВС = 4, AD = 9, АС= 12, BD = 5.
а) Проведем CF || BD, BCFD — параллелограмм, значит, DF = ВС = 4, CF = BD = 5. Треугольник ACF со сторонами АС — 12, CF = 5,/1/г=9 + 4=13 прямоугольный
(так как AF2 = АС2 + CF2). Значит, АС и BD перпендикулярны.
Это известный прием. Если нужные вам отрезки пересекаются вот такой «звездочкой»: Ж, — мы можем перестроить это Ж в треугольник. В нашем случае длины сторон этого треугольника еще и образовали пифагорову тройку.
б) Высота трапеции равна высоте треугольника ACF. Обозначим эту высоту h.
SMCF = X-AFh=X-ACCF- 13/i = 12-5.
106


Глава 5. Планиметрия •
Следующая задача — на применение одной из наших классических схем.
2. 	В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты КВ и NA.
а) Докажите, что угол АВК равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВМ, если известно, что KN - 8>/2 и /KMN = 45°.
а) 	Докажем, что /АВК = ZANK.
АМВК~ AMAN (по двум углам). Запишем отношение сход-
МА MN
ственных сторон: = .
МВ МК
М
Это значит, что AABM- ANKM (по углу и двум сторонам), причем к = = cos /KMN.
MN
/МАВ = ZMNK, /ВАК— смежный с углом ZМАВ, /ВАК =180°- /МАВ = 180°- /BNK, /ВАК + /BNK = 180°, четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
/АВК = /ANK (опираются на дугу АК).
б) Найдем R^BM, если KN = 8\fl и ZKMN = 45°.
AABM-ANKM, k = cos ZKMN = —; — = к; АВ = — -W2 = 8.
2 	KN 2
АВ 8-2 л гг
По теореме синусов, RMBM = . = —= - 4V2.
2sin /АМВ 2-V2
3. (Авторская задача) Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Я, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность со, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.
а) Докажите, что ВА — биссектриса угла КВС.
б) Отрезок ВС пересекает окружность со в точке Е. Найдите BE, если АС = 12.
а) Пусть AD, ВТ и CF — высоты треугольника АВС.
AABD — прямоугольный, /BDA = 90°, /BAD = 60°.
Тогда /НКВ = /ВАН = 60° (как вписанные углы,
опирающиеся на дугу ВН).
AKBF— прямоугольный, /FKB = 60°, тогда /KBF= 30' Кроме того, АКВС КВ = ВС = КС.
б) АС =12, ВС п со = Е. Найдем BE.
По теореме синусов, из ААВС:
ВА — биссектриса /КВС. правильный (/ВКС = 60°, высота BF является биссектрисой);
АС
АВ
sin /В sin/С
/С =
180°-30°
= 75°; 24 =
АВ
sin 75°
; АВ = 24 sin 75°.
107


* Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Заметим, что из точки С проведены к окружности секущие СВ и СК\ по свойству отрезков секущих СВ СЕ = СК • СЯ; поскольку ВС = СК, получается, что СЕ = СЯ. Значит, треугольник СЕН— правильный.
Тогда BE = СВ - СЕ = АВ - СН.
Из А АСН, по теореме синусов:
—— = —— ; ZAHC = 150°; ZHAC = 15°, СЯ = 24sin 15°.
sin ZAHC sin ZHAC
BE = АВ- CH = 24 sin 75° - 24sin 15° = 24(sin 75° - sin 15°) =
= 24 • 2 sin 30° • cos 45° = 24 cos 45° = 12s/2.
4. (ЕГЭ-2017) В треугольнике ABC точки Ау Bx и С, — середины сторон ЕС, АС и АВ соответственно, АН— высота, ZBAC = 60°, ZBCA = 45°.
а) Докажите, что точки А]9 Вх, С, и Я лежат на одной окружности.
б) Найдите АХН, если ВС = 2л/з.
а) Докажем, что Ах,Вх,Схи Я лежат на одной окружности.
АХВХ и EjCj — средние линии ААВС. Это значит, что
Л,#, || ЛЯ, Я,С, || ВС, ZAfif = ZBAC = 60°, ^СДЛ = ZEC Тогда ZAXBXCX = 75°.
ZAXHCX = 90° + ZAHCX.
ААНСХ — равнобедренный (поскольку НСХ — медиана прямоугольного треугольника АНВ,НСХ=АСХ).
Z^C, = ZЯЛC1 = 90° - 75° = 15°, значит, ZAXHCX = 90° +15° = 105°,
ZAXHCX + ZAXBXCX = 180°.
Четырехугольник АХНСХВХ можно вписать в окружность.
б) ВС = 2^3; найдем АХН.
ВС г~
Очевидно, Я,С, = = л/3 (как средняя линия ААВС),ААХВХСХ ~ ААВС (по трем сторо¬
нам), ZA = ZA = 60°. Тогда, по теореме синусов,
в,с,
sin ZBXAXCX
= 2R, где R — радиус окруж¬
ности, на которой лежат точки А Н, С и В . Найдем R.
2R = ^Z;R = l.
л/3
а,н
Рассмотрим А А,С,Н: = 2R, ZA,CH =180°-ZHA,C, - ZA,НС,
sin ZA, С, H
= 180°-45°-105° = 30°; А,Н = 2tf sin30° = 2 - = 1.
2
108


Глава 5. Планиметрия •
D
5. (ЕГЭ-2018, демо-вариант) Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй — в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке Д прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника АКБ, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Другими словами, надо доказать, что точка D лежит на прямой АОх, а точка С — на прямой 02В.
АОхОгВ — прямоугольная трапеция, поскольку ОхА ±АВ; 02В ±АВ (как радиусы, проведенные в точку касания), ОхА || 02В.
Если ZAOxK = ф, то ZK02B = 180° - ф (как односторонние углы), ZOxAK =
тогда ZKAB = ZO,BK = ^ и ZKBA = 90-^.
2 2 2 2
ААКВ — прямоугольный, ZAKB = 90°.
Тогда ZAKD = 90° и AD — диаметр первой окружности; ZBKC = 90° и ВС — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Значит, AD || ВС.
б) ОхА = 4; 02В = 1. Найдем SMKB.
АК— высота в AABD, где ZA = 90°; ААКВ ~ ADAB\
АВ
180°-ф
О,
к — -
BD
Рассмотрев прямоугольную трапецию АОхОБ, где ОхА = 4, 02В = 1, Ох02 = 4+1=5, найдем, что АВ = 0~N = 4.
Из Л ABD, по теореме Пифагора, BD = VАВ2 + AD2 = 4^5.
АВ 4 1 „ ,, „ 1 „ 11
О
п
N
_JZ
Д
к =
BD 4л/5 75
— * . С — к2 .С — _ с
“ ГГ ААКВ ~ °ADAB ~ - °ADAB
16
4-8 = —= 3,2. 5 2 5
6. (ЕГЭ-2017) Две окружности с центрами Ох и 02 пересекаются в точках А и В, причем точки Ох и О лежат по разные стороны от прямой АВ. Продолжения диаметра СА второй окружности и хорды СВ этой же окружности пересекают первую окружность в точках D и Е соответственно.
а) Докажите, что треугольники CBD и О АО, подобны.
б) Найдите AD, если углы DAE и ВАС равны, радиус первой окружности в 4 раза больше радиуса второй и АВ = 2.
а) Пусть F и К — точки пересечения окружностей с прямой ОхОг
109


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
АОхАВ — равнобедренный, поскольку 0}А = ОхВ (как радиусы окружности), 0{КLAB, значит, луч О^К является биссектрисой угла АОхВ и углы ZAOxK и ZBOp равны. Тогда ВК = АК, поскольку на эти дуги опираются равные центральные углы.
ZAOp = АК (как центральный угол, опирающийся на дугу АК), ZBDA = АК — поскольку равен половине угловой величины дуги АКВ. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую опирается.
Значит, ZOJD^A = Z BDC. Аналогично Z ВСА = AF (т. е. половине угловой величины дуги AFB), ZOx02A = AF и ZOft^A = ZBCD, А0{02А ~ ADCB по двум углам. Заодно мы доказали, что СЕ || OxOv ZOlA02 = ZDBC.
Поскольку СЕ || Ор2, АОр^А ~ АЕСА, АЕ — диаметр первой окружности,
б) 	Пусть углы DAE и ВАС равны, радиус первой окружности в 4 раза больше радиуса второй 1лАВ = 2. Найдем AD.
Пусть О^А = г, ОхА = 4г.
ZDAE = ZBAC, А АВС и A ADE — прямоугольные (поскольку АС и АЕ — диаметры окружностей), тогда AADE ~ ААВС по двум углам,
AD АВ А_ АЕ А п _ .
= ; AD = АВ = 4-2 = 8.
АЕ АС АС
7. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая окружность проходит через центр О большей. Диаметр ВС большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке М, отличной от А. Лучи АО и AM вторично пересекают большую окружность в точках Р и Q соответственно. Точка С лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку Р
а) Докажите, что прямые PQ и ВС параллельны.
б)
Известно, что sin ZAOC =
Vl5
4
Прямые PC и AQ пе¬
ресекаются в точке К. Найдите отношение QK : КА.
Р
а) Докажем, что PQ || ВС.
АЛОМ и AAPQ — прямоугольные, поскольку углы АМО и AQP опираются на диаметры малой и большой окружностей соответственно; ZA — общий.
АЛОМ~ AAPQ по двум углам, значит, ZMOA = ZQPA, МО || QP (так как соответственные углы при прямых МО и QP и секущей АР равны), ВС \ | QP.
б) sin ZAOC = —, PC n AQ = К. Найдем QK: КА.
4
ZCOA = ZQPA = а; тогда ZCPA = Z
COA
2
a
2’
поскольку ZCPA вписанный. Значит,
PK— биссектриса треугольника QPA. По свойству биссектрисы.
QK_
КА
PQ РА '
110


Глава 5. Планиметрия #
PQ
Поскольку AQPA прямоугольный, = cos ZQPA = cos а.
w лД5 ^ 2 , 15 1 1 1
Мы знаем, что sin а = .Тогда cos а = 1 = —; cos а = —; = = -.
4 16 16 4 РА КА 4
8. Точка /— центр окружности вписанной в тре¬
угольник АВС, точка О — центр окружности S2, описанной около треугольника BIC.
а) Докажите, что точка О лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.
б) Найдите косинус угла ВАС, если радиус описанной окружности треугольника АВС относится к радиусу окружности S2, как 3 : 4.
В этой задаче главное — чертеж. Потратьте 5, 10 минут, но сделайте хороший. Большой. Где все видно. Ясно, что треугольник АВС не должен быть правильным — поскольку в правильном центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Пусть Т — центр описанной окружности треугольника АВС; ее радиус R{. Пусть ОС = Rr
a) 	BI, CI — биссектрисы ААВС. Обозначим углы треугольника ABC: ZB = 2(3; ZC = 2у;
q 180° - ZA ZA = 180°-2((5 + у), тогдаР + у = .
180°_ /А /А
Из AIBC: ZI = 180°-([3 + у) = 180°- 'ж=90° + —.
ZBIC — вписанный в окружность 5 . Тогда величина дуги окружности S2, на которую он опирается, равна 180° + ZA.
ZCOB = 360° - (180° + ZA) = 180° - ZA, ZA + ZCOB = 180°.
Значит, точки А, С, О, В лежат на одной окружности. Ее центр — точка Т.
R 3
б) 	Найдем cosZBAC, если —[- = -.
R2 4
Заметим, что ВС — общая хорда окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и BIC. Применим к этим g треугольникам теорему синусов. Для треугольника АВС:
ВС
- 2RX, отсюда ВС = IR^in ZA.
ВС
sin ZA
Для треугольника BIC:
sin ZBIC
= 2R
В пункте (а) мы нашли, что ZBIC = 180° - (3 - у = 90° +
Тогда sin ZBIC = sin
90° + — 2
ZA
ZA 2 ‘ ZA
= cos , BC = 2R? cos
2 2 2
111


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
/_А
Получим: R. sin ZA = R2 cos
^ г, ■ ж. а ^ . а а а . а Д2 4 2
Пусть АЛ = а; R, sin а = R1 cos — ; 2R, sin —cos— = R, cos — ; sin— = —— = — = —;
1 2 2 2 2 2 2 2/?, 6 3
, . л • 2 ^ л ^ l
cos ZA = cos а = l - 2 sin — = 1-2— = -.
2 9 9
9. 	Параллелограмм ABCD и окружность расположены так, что сторона АВ касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и ВС пересекают окружность в точках Р и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что АР = а, ВС=Ь, Я0 = с.
Докажем, что вокруг ABQP можно описать окружность.
АА = ZC (как противоположные углы параллелограмма),
ADPQ = 180° -АС (поскольку DPQC вписан в окружность), тогда AAPQ = 180° - ADPQ = АС = АЛ\ ABQP — равнобокая трапеция, АРАВ + ABQP = 180°, ABQP — можно вписать в окружность.
б) АР = я, ВС = b, BQ = с; найдем Z)£.
Пусть М— точка касания АВ с окружностью. По теореме о секущей и касательной,
AM2 = АР • AD = ab; ВМ1 = 50 • 5С = 6с; АВ = AM 4- Z?M = yfab 4- yfbc.
Проведем QH— высоту трапеции DPQC.
Выразим QH из прямоугольных треугольников HQD и HQP. Дальше — просто алгебра!
QH2 --= DQ2 -DH2\ QH2 = QP2 -HP2\
DP-QC b-a-b + c c-a
HP — = =
2 2 2 '
C — CL C + CL
DH = CQ + HP = b-c + = b ;
2 2
DQ2 =QP2 -HP2 +DH2.
Поскольку QP = AB, DQ2 - AB2 - HP2 + DH2 = (Jab + 4bc") j =
=lb4ac+b2 +--2c-2a =
2 j 4
= b2 +2b4ac+ac = {b + 4ac^ ■,DQ = b + yfac.
= ab + bc + 2byfac +b2 -b(a + c) +
c + a
112


Глава 5. Планиметрия •
10. 	На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М— середина стороны АВ.
а) Докажите, что CM = ^DK.
б) Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 14, ВС = 16 и ZACB = 150°.
Необычная задача. Над ней можно долго думать, изводя бумагу. А можно сразу воспользоваться приемом удвоения медианы. Смотрите, как это делается.
а) Проведем АР || ВС, ВР || АС. Получим параллелограмм АСВР, где СР = 2СМ. Покажем, что IsACP = А СОК.
AC=CD;AP = BC = СК; ZCAP = 180° - ZACB = ZDCK, так как Z АСВ + 90° + ZDCK + 90° = 360°;
ААСР = ACDK по стороне и двум углам и СМ = ^ CP - ^ DK.
б) Пусть А и Г — центры квадратов.
М—середина АВ, N — середина AD, тогда MN — средняя линия ABAD.
Найдем BD по теореме косинусов из треугольника BCD'.
ZDCB = 90° + 30° = 120°,
BD2 = ВО + CD1 - 2 ВС • CD • cos ZDCB',
BD2 = 162 + 142- 2 * 16 - 14 - cos 120° =
= 4(64 + 49+ 14-4) = 4- 169;
BD = 2 ■ 13 =26;
Тогда MN =
BD
2
= 13.
Аналогично, MT — средняя линия AKB.
По теореме косинусов, из треугольника АКВ найдем АК = 26, MT = MN= 13.
И. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВСшк на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке М. Точка Q лежит на меньшей дуге МВ окружности с диаметром ВС. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром АС в точке Р.
а) Докажите, что прямые РМ и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, ВЫ = 3, a Q — середина дуги МВ.
а) Докажем сначала, что три точки — А, М и В — лежат на одной прямой.
Z АМС = 90° (опирается на диаметр), Z ВМС = 90° (опирается на диаметр).
Тогда ZAMB = 90° + 90° = 180° => Me АВ.
113


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Пусть ZCAB = a, ZCBA = (3.
Четырехугольник АСРМ вписан в окружность. Поэтому ZCPM = 180° - ZCAB.
Угол MPQ — смежный с углом СРМ, значит, Z MPQ = ZCAB.
Углы MQC и МВС опираются на дугу МС, ZMQC = ZMBC = (3.
Поскольку а + (3 = 90°, ZMPQ + ZMQP = 90°. Значит, ZPMQ = 90°, прямые РМи QM перпендикулярны.
Мы получили, что AMPQ — прямоугольный, A MPQ ~ АСАВ. б) Пусть Q — середина дуги МВ, АМ= 1, ВМ = 3. Найдем PQ.
СМ — высота прямоугольного треугольника АВС.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, СМ = VAM • ВМ = л/з.
Тогда А А = 60°, А В = 30°, ЛЯ = 4, ЛС= 2, ЯС = 2Тз.
Поскольку Q — середина дуги MB, ZMCQ = Z QCB = 30°.
A CMQ — равнобедренный, СМ = MQ = >/з.
Тогда гипотенуза PQ треугольника MPQ, в котором ZMQP = 30°, равна 2.
Ответ: PQ = 2.
12. 	В прямоугольном треугольнике точки Ми N— середины гипотенузы и катета соответственно. Биссектриса угла &4С пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ZBAC —
25
а) AL — биссектриса А В А С, MN || АС (так как MN— средняя линия треугольника АВС), MN nAL=L. Докажем, что AAML и ABLC подобны.
Пусть ZBAC = а, тогда ZLMB = а, поскольку соответственные углы равны, ос ос
ZAML = 180° - a, ZMAL = — , ZMLA = ZLAC - — (как накрестлежащие).
Значит, A AML — равнобедренный, АМ= ML.
Так как LN— медиана и высота в треугольнике CLB, ACLB — равнобедренный.
МА = МВ = МС = ML (по свойствк медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе).
Значит, А, С, L, В лежат на окружности с центром М; ACLB вписан в окружность, ZCLB =180°- ZCAB = 180 - a, ACLB ~ AAML по 2 углам.
S 1
б) Найдем MML , если cos ZBAC = —.
S 25
- к2- = _ СМ_ _ 90°ZCML - а (как накрест лежащий с углом
S^j, CL CL 2
ACM).
ТЛ CL СМ
Из ACML, по теореме синусов, = ;
sin ZCML sin ZCLM
114


Глава 5. Планиметрия •
*-см-
sin ZCLM _
sin f90°-“
4 ^ >
a
cos — 2
cz.
sin ZCML
sin a
sin a
7
cos a = cos ZBAC = —:
1 ^ . 2 a cosoc = l-2sin —:
25
2
. a 3 sin — = -;
1-5 _5.
^AAML J5
!=-•
2 5
~ 2-3 _ 6
$aclb v ^
J 36
а
cos —  2
. . а а 2 sin —cos — 2 2
. 2 а sin —
2
1 - cos а 2
2 sin — 2
1 —
25
9_
25’
13. 	Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон АХ, ЬМиМК в точках Л, 5 и С соответственно.
чтт ^ KL + KM-LM
а) Докажите, что АС = .
б) Найдите отношение BL : ЯМ, если известно, что КС : СМ = 3 : 2 и ZMKL = 60°.
чтт ^ KL + KM-LM
а) 	Докажем, что АС = .
АТС и AL4 — отрезки касательных, проведенных из точки К, КС = КА.
Р^ш = KL + КМ + LM = КА+ AL + КС + СМ + LM =
ДKML
= 2КС + (Л1 + СМ) + LM=2KC + (Ж + 5М) + LM.
L
ПосколькуAL = BLuBM= CM,KL + KM + LM= 2КС + 2LM\ КС = KL + KI^ LM ;4T0 и требовалось доказать.
б) 	Найдем BL : ВМ, если АТС : СМ = 3 : 2 и Z.MKL = 60°.
Пусть BL = х, ВМ = у, КС = z.
т г 3 3
Тогда - = г = -у. у 2 2
X
Пусть — = к\ х — ку.
У
По теореме косинусов, из AKML: LM2 = AM2 + KL2 - 2KL • КМ • cosZ MAX.
115


# Математика. Задания высокой и повышенной сложности
14. 	Точки Я, и С, лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причем АВХ\ ВХС = АС}: СХВ.
Прямые ВВ] и СС, пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ]ОС1 к площади треугольника АВС, если известно, чтоАВ1: ВХС = АСХ: С{В =1:4.
Часто старшеклассники, видя такие задачи, вспоминают теорему Фалеса или теорему Менелая. Однако теорема Фалеса вряд ли годится для этого случая. Эту теорему так хорошо помнят только потому, что проходят в самом начале курса геометрии. Более универсальный прием — использование двух пар подобных треугольников. Он позволит обойтись и без теоремы Менелая, которая все-таки не входит в школьную программу. Редкий школьник помнит теорему Менелая наизусть, а вот про подобные треугольники знают все. Выбирайте, какой способ проще.
п Щ АСХ
Пусть L = L = р.
В,С СХВ
ТогдаАВ] = р В^С.
А
АВ, _ р ■ В.С _ р _ АС р-В,С + ВхС р +1
Аналогично, = ^ = к.
АВ р +1
ААС]В] ~ ААВС (по углу и двум сторонам).
Тогда С]В1 || ВС, ВСВ]С] — трапеция, АО п 5,С, = N, (АО) п (ВО = М
Покажем, что N и М— середины В]С1 и ВС. Другими словами, середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой. Этот факт носит название «Замечательное свойство трапеции» и входит в наш список полезных фактов.
АС, NO ~ АСМО,
АСхВхО ~ АСВО,
С другой стороны
cxn _ с,о'
см ~ ос
_ C,N _ С,В,
CXN
_ см
с,в, _ схо
СМ ВС
’ СА
~ ВС
ВС ~ ос.
AACN-AABM] C,N
_СА
C.N
*
ААС.В. ~ ААВС ВЫ
~ вс
’ С, В,
ВЫ
ВС
г. ВЫ
Получим, что
ВС
СМ
ВС
отсюда ВЫ = СМ, М— середина ВС.
б) Найдем
Если
В,С
JABxOCx
S
°ААВС
АС, 1 Ы=Р = 4'
ТО
АСУ _ Р _ J. _ 1 АВ р +1 5'
116


Глава 5. Планиметрия •
, _с +с ? -±С
“ °ДОВ,С, ^ * I Д£, I 25’ 0дА51С1 25°MfiC'
^двлв, = ~^д4вс» так как ^АВВ] и ДЛ£С имеют равные высоты и
5 АС
(\ 1 ^ 4
Тогда S^BC^
[5 25 J M"C
:25W
S6B,c,o _BlO 1 1 _1
5^Ci0 flO 5 ’ дв,с,° 5 AflCl° 6 ‘
1 4
-S' - s = — S
g °ABClBl g 25 - -
^AABC »
s
JAB{OQ
1
+ - |SA
15. 	Точки Ap и Cj — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что отличная от А1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников АХСВХ и АХВСХ, лежит на окружности, описанной около треугольника ВхАСу
б) Известно, что АВ = АС = 10 и ВС =12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников АхСВу АХВСХ и ВхАСу
В
В этой задаче не обязательно рисовать все окружности, и сложные формулы тоже не нужны. Решаем легко!
а) Пусть Е — точка пересечения окружностей C0j и со2, описанных вокруг треугольников 1 и 2.
Покажем, что Ее со3 — окружности, описанной вокруг треугольника 3.
Ее CQj, следовательно, четырехугольник АХСВХЕ вписан в окружность со1?
ZAXEBX = 180° -АС.
Е е со2, следовательно, четырехугольник АХВСХЕ вписан в окружность ш2,
ZCXEAX = m°-ZB.
Тогда ZCXEBX = 360° - ZAXEBX - ZCXEAX = 360° - (360° - ZB-ZQ = ZB + ZC= 180°-ZA, ZCXEBX + Z A = 180°, значит, точка E лежит на окружности ш3, описанной вокруг треугольника ВХАСХ.
б) Пусть К, N,M— центры окружностей сор со2 и со3.
По условию, треугольник АВС равнобедренный. Значит, и подобные ему треугольники 1, 2 и 3 — равнобедренные.
Точки К и М лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам ВАХ и АХС. Значит, КМ = = ВХСХ.
117


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Точки К и Долежат на серединных перпендикулярах к ВС[ и АСу Таким образом,
KN = -AB, MN = — АС.
2 2
Треугольники 1, 2 и 3 равны, значит, равны и радиусы их описанных окружностей.
A KMN= АА]С]В] по трем сторонам; Л KMN ~ А ВСА, к =
Радиус окружности, вписанной в треугольник KMN, равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС.
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Выразим площадь треугольника АВС двумя способами. Очевидно, АД = у]АВ2 - £Д2 = 8;
Яд ЛВС = Р'Г = ^ ВС■ АД =48; г = 3.
Тогда г^т =|.
16. 	Прямые, содержащие катеты АС и СВ прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АВС.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Часто можно услышать: «В интернете все есть». Да, в интернете можно найти решение этой задачи, и там применяется одна редкая формула. Но на экзамене вы не сможете заглянуть ни в Гугл, ни в Википедию. Сейчас мы решим эту задачу простым школьным способом. Пусть L, К, М, N, Р, Q — точки касания.
а) Докажем, что AN = ~/^А5С.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, AN = АР\
AN = АС + CN = АС + CQ; АР = АВ + ВР = АВ + BQ;
2AN = AC + AB + CQ + BQ = AC + AB + BC; AN = ^PaAi
б) Найдем если г = ОхМ= 4, R = 02N= 8. Поскольку СМОхК и CN02Q — квадраты, МС=4, QC= 8,
Се Ор2, ОхС =4л/2, ОгС= 8^2. Рассмотрим трапецию 0{02РЬ.
OxL = 4, ОгР = 8, 0Х02 = 4V5 + 8V2 = 12-Л.
О,
118


Глава 5. Планиметрия •
Точка С делит сторону Ох02 в отношении ОхС : 02С =1:2. Тогда CF = - (из подобия
треугольников OpF и Ор2Т).
Проведем СЯ, причем СЯ— высота треугольника АВС.
4 16
СЯ = CF + FH = — + 4 = —.
3 3
Из пункта (а):
AN = AC + S = ^P, ВК = ВС + 4 = -Рл
ОтсюдаВС = АС + 4; АС+ S = ~(AB + АС + ВС)\ ЛС + 8 = ^АВ + -АС+ -АС+ --4\
2' ’ 2222
-Л5 = 6;ЛВ = 12; S\,sc = -АВ-СН =- — 12 = 32. 2 “ 2 2 3


глава 6
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА. «ЭКОНОМИЧЕСКИЕ» ЗАДАЧИ НА ЕГЭ
Легкая тема. Скучноватая по сравнению с полными сюрпризов задачами с параметрами или нестандартными задачами на числа и их свойства. Единственный ее «подводный камень» — большое количество вычислений. И чем проще они будут, тем лучше. В этой главе — схемы задач на кредиты, образцы решений задач по финансовой математике и приемы быстрого счета без калькулятора.
Задачи на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.
1- 	й тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет».
2- 	й тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая схема с дифференцированными платежами.
В задачах первого типа часто применяется формула суммы п членов геометрической прогрессии.
В задачах второго типа — формула суммы п членов арифметической прогрессии.
Вспомним, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:
a,^ = an+d !’2’
Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.
Формула п-то члена арифметической прогрессии: ап = ах + (п - 1 )d.
Сумма первых п членов арифметической прогрессии S = а] + а2+... + а вычисляется по формуле:
s _а,+а„ л_ 2а,+(я-1)</ д " 2 2
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:
" 2
Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q\
Ьп-ч = Ь«Ч (л = 1,2,...).
Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Формула я-го члена геометрической прогрессии:
Ъ = b.qn~K
Формула суммы Sn = b] + Z?2+ ... +6м первых п членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
120


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:
b2„=b„_rb„+l.
две схемы решения задач на кредиты
Пусть S — сумма кредита, п — количество платежных периодов, р — процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент к = 1 + показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
1. 	Выплаты кредита равными платежами (аннуитет)
Схема погашения кредита: (((5-к-Х)-к-Хук-Ху..-к-Х =0.
X— очередная выплата, п — число платежных периодов.
Раскроем скобки: S -кп - X (кп~1 + кп~2 + ... + /:2 +к + l) = 0.
Применяем формулу суммы геометрической прогрессии. кп -1
Получим: S'kn-X = 0.
к-1
2. 	Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами)
Схема погашения кредита для п платежных периодов:
S-
п-1
п-2
1
п
\ / * Ч /2я
A f выплата A. f выпла!
S-k
S-k
п -1
п — число платежных периодов.
п — 1
1-я выплата: Z. = S k-S .
2-я выплата: Zn-S
п -1
k-S
п-2
\ 0
\ /
Последняя
выплата
S-k--
п
п-я выплата: Zn =S — к.
п
Сумма всех выплат:
_ _ _ _ ( п-1 п-2 \\ п(п-\ п-2 1 ^
Z = Zj +Z2 + ... + Zn = S *k\ 1 н 1 н...н— — S\ 1 н...н— I
у n n n J у n n n J
121


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:
Z = J.i.^±l-S.^ = S + 5^1i.-?- = S + n.
2 2 2 100
где П — величина переплаты, П = S
п +1
100
Вообще к первому типу можно отнести все задачи, где одинаковы (или известны) платежи. Ко второму — задачи, где равномерно (или по известной схеме) уменьшается сумма долга.
1. 1 июня 2013 года Ярослав взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Ярослав переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?
Если бы банк не начислял проценты, то Ярослав смог бы вернуть долг за 3 месяца. Поскольку банк начисляет проценты, количество месяцев п > 4. Покажем, что за 4 месяца Ярослав выплатит кредит. Поскольку проценты начисляются на оставшуюся часть долга, максимальными они будут в первый месяц, когда сумма долга максимальна.
Проценты, начисленные за первый месяц, равны 0,01 • 900 = 9 тысяч рублей.
Значит, проценты, начисленные за 4 месяца, не превышают 9 • 4 = 36 тысяч рублей. За 4 месяца Ярослав сможет выплатить и «тело кредита», и проценты.
Нам повезло с условием задачи — сумма долга равна 900 тысяч рублей, а максимальная выплата — 300 тысяч рублей. Что делать, если условие не настолько очевидно? Решим эту задачу в общем виде.
Пусть S — сумма кредита; р% — процентная ставка банка.
Тогда после каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в к = 1 + раза. Пусть X — величина платежа.
После первого начисления процентов и первого платежа сумма долга равна Sk-X, после второго (Sk - X) к - X
Например, долг выплачен равными платежами за 5 платежных периодов. Тогда [(((S k-X)-k-X)-k-x) к-х) к-Х =0,
Sk5-Х-(к* +к3 +кг+к+1) = 0.
Заметим, что в скобках — сумма 5 членов геометрической прогрессии, где bx = 1; q = к.
гг с , *5-1
Поскольку Sn = bx ■ , эта сумма равна .
q-1 к-1
к5 -1
Получим: Sk5 = X .
к-1
В общем случае для п платежных периодов Skn Из этой формулы находим 5, X или п.
= X •
Г-1 к-1 '
122


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
2. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платеж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Обозначим сумму кредита S, где 5= 7 378 000 рублей,/? = 12,5%;
к =
1 12>5 1 1 1 -I — 1 н—
100 8
9
8
1) Савелий выплачивает кредит тремя равными платежами X.
((Sk-X)k-X)-k-X = 0.
Раскрыв скобки, получим: Sk3 - X ■ [к2 + к +1) = 0; X = ——р
В этом случае Савелий выплатит банку ЗХ рублей.
2) Савелий выплачивает кредит двумя равными платежами Y:
Sk2
(S • к -Y) к -Y=0; S • к2 - Y(k+ 1) = 0; Y = .
к +1
Всего Савелий выплатит 2 Y рублей.
Найдем разность ЗХ-2 Y.
Дальше — просто арифметика. Действия с дробями.
3X-2Y = -
3Sk3
к^ +к + \ к + \
2Sk2-=se
Зк
к2+к +1 к +1
.S-K-
/
3-9
2 )
92 9 "I
9
8-
—г- Н hi
- + 1
82 8
8
V
^ /
У
81
' 3-9-82
2-8'
( 21 2 Л
_s.81.
459-
64*
8-(81 + 72+ 64)
17
/
8
1^217 17 J
8
^ 217-
5.*!.
25
8 217-17 81-25
7378-81-25 _ 434-81-25 ^
(тыс. рублей) = (тыс. рублей) =
8-217-17 (тыс. рублей) = 506 250 рублей.
4-217
3. 	31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Как всегда, введем обозначения: S= 9 930 000 рублей; р = 10%; X — сумма ежегодного
платежа; к = 1 + = 1,1.
100
Sfc3-XU2+fc + l) = 0; X
S -к1
к2+к + Г
S-кЧк-1)
к3-1
123


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Для того чтобы проще было считать, мы домножили числитель и знаменатель на {к - 1) и применили формулу разности кубов: к? - 1 = (к- \)(к2 + к + 1).
В нашей задаче к = 1 + = 1,1.
100
Применим формулу куба суммы: (а + bf = а? + 3а2Ь + 3ab1 + Ъг.
къ = 1,13 =
1 +
10
= 1 + 3- — + 3 — + —!— : 10 100 1000
1,331.
Расчеты удобно вести в тысячах рублей. Получим:
X =
9930 1,331-0,1 933 1331
0,331
331
= 3-1331 = 3993 (тыс. рублей).
В задаче применяется та же схема, что и в предыдущей. Обратите внимание, как упростить вычисления и обойтись без расчетов в столбик.
В следующей задаче — не кредит, а вклад. Но математическая модель аналогичная.
4. 	Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?
Пусть S — сумма вклада, р = 10%; к = 1 + = 1,1. Расчеты удобно вести в тысячах
рублей.
Пусть X— ежегодно добавляемая сумма,
((S-k + X)-k + X)-k = S (1 + 0,485); 5/t2 + X0t + l) = ^-1,485;
1>485'5-5-121
v 1,1 ’ (1,35-1,21)5 0,145 140-360 2-360 ^ „
A = 2 = — = = = = 240 тыс. рублей.
2,1
2,1
2,1
210
В следующей задаче платежи не равные, однако известен порядок выплат: каждый следующий платеж ровно вдвое меньше предыдущего. Решаем по той же схеме.
5. 	Герасим взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10% оставшуюся сумму долга, а затем Герасим переводит в банк очередной платеж. Известно, что Герасим погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Герасим заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.
Как всегда, введем обозначения: S = 804 тыс. рублей; р = 10%; к = 1 + = 1,1.
Пусть X— третий платеж. Тогда второй платеж равен 2А^, а первый — 4Х
124


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
Аналогично предыдущим задачам,
({S к-4Х) к-2Х)-к-Х =0; Sk3-XUk2 +2/t + l) = 0;
X =-
Sk3
804 1,331 , , „ч 804 1,331 , „ч
(тыс. рублей) = —— (тыс. рублей):
4к2 +2к + \ 4-1,21 + 2,2 + 1 ' ‘" ' 8,04
= 100 -1,331 (тыс. рублей) = 133,1 (тыс. рублей) = 133 100 рублей.
Обратите внимание на вычисления. Что если бы я (как многие школьники делают) стала перемножать S и к3 в числителе? Как бы я поняла, на что можно сократить? Решая задачу, ставьте себе дополнительную цель: максимально упростить вычисления.
6. 	31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк А"рублей. Какой должна быть суммах, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?
Почему в ЕГЭ так много задач, где персонаж берет кредит именно 31 декабря? Для меня это загадка. Представляю, как Аристарх, Сергей и Савелий с усилием отрываются от новогоднего оливье и идут по морозу в банк брать кредиты.
S 	= 6902 тыс. рублей;р= 12,5%\к =1 + -^- = 1+ ^ = 1 + - = - .
100 1000 8 8
X — сумма ежегодного платежа,
=0; Sk* -X (&3 + fc2 + & +1) = 0. Применим формулу суммы геометрической прогрессии:
Зк- = Хк-^± = 0;Х = 3к'^
к-1
к*-1
,4,9
X =
S - 9 --1
8^
□4 ,94
5-94
S-9*
S -9
8 • ^т-1 8
8-(94 -84) 8-(92 -82)(92 +82) 8-(9 + 8)(92 +82)
6902-812 817145
406 • 812 _ 203 • 812 8145 ~ 4145
29-7-812
4-29-5
= 2296,35 (тыс. рублей) = 2 296 350 рублей.
7. 	Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка — 10% годовых. На какое минимальное количество лет Оля может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 000 рублей?
Пусть Оля берет кредит на п лет. Как быть с тем, что последняя выплаченная сумма может быть меньше предыдущих? Очень просто. Если последняя внесенная сумма будет равна предыдущим, Оля не только погасит кредит, но и переплатит, то есть на карте появятся ее личные деньги. Другими словами, ее долг станет отрицательным. Запишем неравенство: S *кп -Х(кп~1 +кп~2 + ... + & +1) < 0.
125


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
В скобках — сумма п членов геометрической прогрессии. Проверьте: здесь п слагае-
кп -1
мых, степени которых от 0 до п - 1. Эта сумма равна Sn = .
к-1
Тогда S-Г-Х' —<0.
к-1
Умножим обе части неравенства на (к - 1) > 0.
S(k- 1) • кГ-Х-к" + *<0; к" >
X-S(Jfc-l)
24
Мы получили: 1,Г ^ . Все расчеты мы ведем в тысячах рублей.
24-0,М00
24 24
1,Г > —; 1, Г > 1,714. Округлив десятичную дробь, равную —, мы перешли к строго- 14 14
му неравенству.
Надо найти п. Единственный способ — возводить 1,1 в натуральную степень до тех пор, пока мы не превысим 1,714. И сейчас я покажу вам полезный прием, помогающий без калькулятора и столбика вычислить 1,1". Вы также узнаете, что такое бином Ньютона и треугольник Паскаля.
Мы знаем, что (а + b)2 = а1 + lab + Ъ2, (а + Ь)ъ = я3 + 3а2Ь + 3аЪ1 + Ъъ.
Выражение (а + Ь)п называется бином Ньютона.
(а + Ь)п = с, • ап + с • ап~1 • Ъ + ... + с • а • Ъп~х + с • Ьп.
v 7 1 2 п- 1 п
Обратите внимание: у каждого слагаемого степень а уменьшается, степень Ъ — возрастает. Например,
(а + Ь)7 = а1 + 7 • авЬ + 21 а5Ь2 + 35а4Ь2 + 35а3Ь4 + 21 a2b5 + lab6 + b1.
Так вот ты какой, бином Ньютона! Остается лишь вопрос: как вычислить коэффициенты? Самый простой способ их нахождения — треугольник Паскаля.
Смотрите, как он строится. «Боковые стороны» этого треугольника состоят из единиц. А все числа внутри строк получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки.
1
1 1
п
= 2
1 2 1
п
= 3
13 3 1
п
= 4
1 4 6 4 1
п
= 5
1 5 10 10 5 1
п
= 6
1 6 15 20 15 6 1
п
= 1
1 7 21 35 35 21 7 1
п
= 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Так в какую же степень надо возвести 1,1 для того, чтобы результат превышал 1,714? Возьмем п = 6.
1,16 = (1 + 0,1)6 > 1 + 6 • 0,1 + 15 • 0,01 > 1,714.
Может быть, подойдет и п = 5?
Нет, не подойдет. Потому что
1,15 = (1 + 0,1)5 = 1 + 5 • 0,1 + 10 • 0,01 + 10 • 0,001 + 5 • 0,0001 + 0,00001 < 1,614. Ответ: п = 6.
126


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
8. 	Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
Пусть S — первоначальная сумма вклада, р = 10%; к = 1,1.
Будем вести расчеты в миллионах рублей. Обратите внимание на этот прием. Писать длинные ряды нулей не нужно!
В этой задаче пришлось считать в столбик. Но я думаю, что после бинома Ньютона с делением в столбик вы справитесь.
А теперь второй тип задач на кредиты — такой, где сумма долга уменьшается равномерно. Это ключевые слова в условии задачи!
9. 	Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется q% этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите q.
Приятная новость: задачу можно решить за 30 секунд! Нам поможет «волшебная формула» для задач с дифференцированными платежами. Вы видели ее в начале главы.
Пусть на п платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причем платежи подобраны так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Тогда величина переплаты П и полная сумма выплат В за все время выплаты кредита даются формулами
((S-£2+2)-fc + 2)-/t<15; Sk* +2кг +2к <\5\
с _ \5-2k2 -2к
J ^ , «
к4
Применим формулу к нашей задаче. П = 0,27S (величина переплаты).
100 2 100 q = 3. Это ответ.
127


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
10. 	15 января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастет на г% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите г.
Снова наша «волшебная формула»! Ключевые слова в задаче — «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Это значит, что долг уменьшается равномерно.
В нашей задаче п = 39.
0,25;
— • — ■5 100 2
Ответ'. 1.
20 с
5; г =
100
1.
11. 	Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернет банку в течение первого года кредитования?
Снова сумма долга уменьшается равномерно. Но «волшебную формулу» применять рискованно: ведь надо посчитать, какую сумму Жанна вернет банку не за весь период, а только в течение первого года кредитования. Поэтому мы решим задачу в общем виде, а заодно выведем ту формулу, которой успешно пользовались в предыдущих задачах.
Пусть S— первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.
Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.
Как обычно,
S
р
100*
23 с
22 5
1
— о 24
24
24
Начисление
процентов
\ / я \ /2я \
^ * выплата ^ * выплата ^
S-k
23
к — S
24
22
k — S 24
0
Последняя
выплата
Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать, равными ступеньками. И каждая
1 23 22
ступенька равна —5. После первой выплаты сумма долга равна — 5, после второй — S.
23
Тогда первая выплата X, = kS 5,
1 24
128


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
V *. 23 с 22 с
вторая выплата А, - к 5 5
2 24 24
„ , 13 „ 12 „
последняя в году выплата л17 = к S S.
12 24 24
Сумма всех выплат в течение первого года:
v v v v ic( 1 23 131 г Г23 22 12 ^
X — X, + X 7 +... + — kS 1 + ь... + — — S 1 ь... н .
2 { 24 24) {24 24 24)
13
В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой ах — —; 24
а]2 = — = 1. Обозначим эту сумму Zy
z -^±£!1.12 = 11±21.12 = ^.
2 2-24 4
Во второй скобке— также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой 12 23
Ъ, = —; b = —. Эту сумму обозначим Z0.
1 24 " 24 ’ 3 3 2
12= 12^23 [2= 35
2 2*24 4
Общая сумма выплат за год:
X=S(kZ1-Z2)=l-^( 1 Ответ: 1 066 500 рублей
1 ЯПП 1800 ■ 2 37
X = 5(fcZ, -z2) = —р(1,01-37 — 35)= = 2,37• 450 = 1066,5 тыс. рублей.
В следующей задаче мы тоже рисуем такую цепочку выплат. И пусть долг уменьшается не равномерно, но мы знаем закономерность его уменьшения.
12. 	В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Июль 2020
Долг
(в млн рублей)
5
0,85
0,65
0,45
0
Найдите наибольшее 5, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
В этой задаче р = 25%; к = 1 + = 1 + — = —.
100 4 4
129


# Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Год
июль
январь
2016 2017 2018
5 0,85 0,65
2019 2020
0,45 0
4J 1-я \ у 2-я \ J 3-я \ J
^^выплата, выплата, ^^выплата, ч^ уъ\
4-я т выплата,
ХА
kS
0,8 kS
0,6 к 5
0,4 * 5
Общая сумма выплат:
X = Хх+Х2+Хъ + ХА = £5-0,85 + 0,8£5-0,65 + 0,6£5-0,45+ 0,4£5 =
= £5 (1 + 0,8 + 0,6 + 0,4) - 5 (0,8 + 0,6 + 0,4) = 2, 8£5 -1,85.
По условию, 5 — целое, а X < 50. Будем вести расчеты в миллионах рублей.
2,8---1,8 |<50; 1,75 <50; 5тах = 29 млн рублей.
Вот задача ЕГЭ по математике 2017 года.
13. 	В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 5 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2017, 2018 и 2019 долг остается равным 5 тыс. рублей;
— выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
— к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Введем переменные: £ = 1н = —, Y= 625 тыс. рублей.
100 4
Рисуем схему погашения кредита.
Год 2016 2017 2018 2019 2020 2021
июль s 5 5 5 kS-Y 0
Ч/Ч/Ч/Ч/у Ч /г
январь к S kS kS kS k(kS-Y)
Общая сумма выплат: Х= 3 • (kS -S) + 2Y= 3S(k - 1) + 2 Y.
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой Y.
Это значит, что к (kS - Y) = Y, и тогда 5 =
(* + 1)У
~1г~
X =3- ^(&-1) + 2Г = ЗГ
к2
(к2-О
(г 3\
' 3-16 ^
—— +2Y=Y
5—г = 625
5
к~ )
к2)
25 J
625-77
25
= 77 • 25 = 1925 тыс. рублей.
130


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, — говорили они после экзамена. — Никогда такого не было. Решить невозможно».
Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Давайте разберемся.
14. 	15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
Пусть S— сумма, которую планируется взять в кредит, Z— общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей), X— ежемесячная выплата, X- 30 (тысяч рублей), р = 3% — процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга
равна
S-
= S -к. После каждого начисления процентов сумма долга увеличивает¬
ся в к = 1 + раза. В нашей задаче к = 1,03.
100
Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:
Сумма долга на 15-е число каждого месяца
Сумма долга на 1-е число каждого месяца
Ч /
5-Х
1-я
выплата
S-2X
kS
\ х
k(S-X)
2-я
выплата
S-20X о
Последняя
выплата
k(S - 20Х)
После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S-Х, гдеХ= 30 (тысяч рублей).
Значит, первая выплата равна kS-(S-X) (смотри схему).
Вторая выплата: k(S - X) - (S - 2Х).
Последняя выплата: к{S - 20Х).
Найдем общую сумму выплат Z.
Z = kS-(S-X) + k(S -X)-(S- 2X) + ... + k(S - 20X) =
= k(S + S-X+S-2X+ ... +S-20X)-(5-X+S-2X+ ... +S-20X).
Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель к, и те, в которых нет к.
131


* Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Упростим выражения в скобках:
k(2\S-X(\ + 2 + 3 + ... + 20))-(205-Х(1 +2 + 3+ ... +20)) = Z.
В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется фор-
(ах +ап)
мула для суммы арифметической прогрессии: Sn = я.
В этой задаче мы тоже ее используем.
1 + 2 + 3 + ... + 20 = ^-^-20 = 210.
2
Получим:
£(215-210.Y)-205+210Jf=5(21£-20)-210X(£- 1) = Z.
Осталось подставить числовые значения.
5(21 • 1,03 - 20) - 210 • 30 • 0,03 = 1604.
Отсюда 5 = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.
Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину — процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.
15. 	15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (я + 1) месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по я-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа я-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (я + 1) — го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите г, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита
составит 1378 тысяч рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
5 	= 1 000 000 рублей = 1000 (тыс. рублей) — сумма кредита, X = 40 (тыс. рублей) -
величина регулярной выплаты, Z= 1378 (тыс. рублей) -
- общая сумма выплат, к - 1 +
100
коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.
Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.
Сумма долга на 15-е число каждого месяца
Сумма долга на 1-е число каждого месяца
kS k(S
S-2X
/г*
f выплата
X)
S-nX
\
k(S
0
Последняя
выплата
пХ)
132


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
Первая выплата: kS - (S - X).
Вторая выплата: к (S - X) - (S - 2Х).
Последняя выплата: к (S- пХ).
По условию, 15-го числа /2-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.
Значит, S- пХ= 200. Подставим числовые данные:
1000 - 40л = 200; тогда п = 20, п + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно — количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому кратко повторим основные моменты решения.
Общая сумма выплат Z:
Z=kS-{S-X) + k(S-X)-(S-2X) + ... +k(S-X) =
= k(S + S-X+S-2Х+ ... +S-20X)-(S-X+S-2X+ ... +S-20X) =
= k( 21S-X(1 + 2 + 3+ ... + 20))-(205-ЛГ(1 +2 + 3+ ... +20)) =
= k(2\S-2\0X) - 20S + 2\0X= S{2\k-20) - 210X(k- 1).
Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:
1 + 2 + 3 + ... + 20 = • 20 = 210.
2
По условию, Z= 1378 (тыс. рублей).
Выразим к из формулы S(21 к - 20) - 210Х(к - 1) = Z.
Z + 205-210X 21(5-10Х)
Подставим данные из условия задачи.
, 1378 + 20-1000-210-40
к = ; г = 1,03.
21 (1000-10-40)
Ответ: г = 3%.
Тема «Финансовая математика» включает также задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций.
16. 	Алексей приобрел ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Пока Алексей не продал ценную бумагу, ее стоимость ежегодно увеличивается на 2 тысячи рублей. Через п лет ее стоимость равна 7 +2(п - 1) = 5 + 2п тысяч рублей.
Когда Алексей (через п лет после покупки) продал ценную бумагу и положил деньги на банковский счет, сумма на счете ежегодно увеличивается на 10% (то есть в 1,1 раза) в течение 30-/2 лет.
Значит, через 30 лет после приобретения ценной бумаги эта сумма равна S =(5 + 2//)- 1,130п.
Рассмотрим функцию S(x) = (5 + 2х) • 1,130_*, совпадающую с Sn при целых значениях х, и найдем ее наибольшее значение на отрезке 0 < х < 30.
133


# Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Мы знаем, как найти наибольшее значение функции на отрезке. Взять производную, приравнять ее к нулю, найти точки экстремума, сравнить значения в точке максимума и на концах отрезка.
S'(x) = (5 + 2х)'■ l,l30_v + (5 + 2х) • (1,130_дг)'= 2 • 1,130-* - (5 + 2х) • 1,130-* • 1п1,1 =
= 1,130 “Л (2 - (5 + 2х) • 1п1,1).
Приравняем производную к нулю.
Поскольку 1,130_г > 0, исследуем знак выражения 2 - (5 + 2х) • In 1,1 = 2 - 51nl, 1 -2х • In 1,1.
S\x) = 0 при
2-5 In 1,1 2 In 1,1
S'(x) > 0, если х < xQ. S'(x) < 0, если х > х0.
S\x)
ад
г
Точка максимума
2 — 51n 1,1 21n 1,1
Значит, точка х{) = ! точка максимума функции S(x).
2 In 1,1
Хорошо, но чем это нам поможет? Ведь значение х0 невозможно посчитать без калькулятора. Тупик? Зря вычисляли производную?
Нет, не зря. Мы выяснили, что функция стоимости ценной бумаги имеет точку максимума, причем единственную. И если в определенный момент не продать эту ценную бумагу, в итоге ее стоимость будет меньше максимально возможной.
Как же вычислить этот момент? Найдем, после скольких лет хранения будет более выгодно продать ценную бумагу и положить деньги на счет, чем продолжать хранить.
При хранении бумаги ее стоимость ежегодно увеличивается на 2 тысячи рублей. При продаже бумаги — увеличивается в 1,1 раза.
Пусть в момент продажи стоимость ценной бумаги S(k) равна S(k) = 5 + 2к.
Если продать бумагу и положить деньги в банк, сумма будет равна 1,1 (5 + 2к).
Если продолжать хранить — получим 5 + 2к + 2 = 7 + 2к.
Необходимо выполнение условия: 1,1(5 + 2к) > 7 + 2к\ 5,5 + 2,2к > 1 + 2к\ 0,2к > 1,5; к> 7,5. Тогда к= 8.
Этого условия достаточно, поскольку мы доказали, что функция S(x) имеет единственную точку максимума. Значит, ценную бумагу надо продать на восьмой год после ее приобретения.
Вот похожая задача.
17. 	Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t(t= 1, 2...) В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + г раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях г это возможно?
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года к, то в конце двадцать пятого года на его счете будет S(k) = /^(1 + г)25-* тысяч рублей.
134


Глава 6. Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ •
Рассмотрим функцию 5(х) = х2(1 + г)25-*, совпадающую с S(k) при натуральных х, и найдем производную этой функции:
5'(х) = 2х(1 + г)25~х-х2( 1 + r)25~x In(1 + г) = (1 + г)25~х (2х -х2 ■ In(1 + г)).
Приравняем 5'(х) к нулю и найдем, что 5'(х) = 0, если х =
Определим знаки производной и проме- ^г(х) жутки возрастания и убывания функции 5(х).
In (1 + г)
2
ln(l + r)
5(х)
Точка максимума
Мы получили, что функция 5(х) имеет точку максимума х0 = —
1п(1 + г)
Согласно условию, продавать ценные бумаги необходимо строго в конце двадцать первого года. Значит, если продать их в конце двадцать первого года, сумма на счете будет больше, чем при продаже бумаг в конце 20-го года или в конце 22-го года. Поскольку функция S(x) имеет единственную точку максимума, необходимо и достаточно выполнение условий:
5(21) >5(20) 5(21) >5(22)’
Мы получим
1 + г <
г2\
\и2 -(1 + r)4 > 202 -(1 + г)5
<20
^ 212 - (1 + г)4 > 222 -(1 + г)3'
1 + г > I
( 22
1
Ul
43 41 гч
< г < . Это ответ.
441 400
1 + 1 +
441
г <
400
484’
г >
441


глава 7
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
Как научиться решать задачи с параметрами? Вы заметили, что каждую тему в этой книге мы начинаем с краткой теории. Что же на этот раз?
Для того чтобы решать любые задачи с параметрами, необходимы знания о графиках элементарных функций и преобразованиях графиков. Надо также знать, какие уравнения задают на плоскости окружность, круг, ромб и другие «базовые элементы» задач с параметрами.
Существует всего пять типов элементарных функций.
1. Степенные.
Это функции вида у = ха. К этому типу относятся: линейные, квадратичные, кубические, —, у/х, \[х и многие другие — такие, которые содержат переменную, взятую в опре- х
деленной степени.
2. Показательные — функции вида у = ах.
3. Логарифмические — функции вида у = logflx.
4. Тригонометрические, в чьих формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
5. Обратные тригонометрические — содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются
все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, у = х2ех— произведение квадратичной и показательной функций; у = sin (а*) — сложная функция, т. е. комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.
Уравнения, которые вы решаете, также обычно относятся к одному из этих пяти типов. И для каждого типа есть свои способы решения, основанные на тех или иных свойствах функций.
Вспомним графики основных элементарных функций.
Степенные функции
1. Линейная функция у = кх + Ь.
Пример: у = х.
Прямые, имеющие одинаковые угловые коэффициенты, параллельны.
Прямые, для угловых коэффициентов которых выполняется равенство к к = -1, перпендикулярны.
136


Глава 7. Задачи с параметрами •
2. 	Квадратичная парабола у = ах2 + Ъх + с. Пример: у = х1.
а > 0 — ветви вверх, а < 0 — ветви вниз.
Вершина параболы: х0 = - —.
2 а
3. 	Функция у = х,1,п — четное, п = 2, 4, 6,... Функция в этом случае четная.
Функция у = х”, п — нечетное, л = 3, 5, 7,... Функция также нечетная.
4. 	Гипербола у = —, х Ф О х
Пример: у~—.
х
ГО 1 X
у(х) = х5
137


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
5. у = \[х, х>0.
6. у = у[х.
Показательная функция
л > 1
2.у-ах О <а< 1
Логарифмическая функция
138


Глава 7. Задачи с параметрами •
Тригонометрические функции
Yi
sinjc
у(х) = sin*
s4 K 1
Зя
-2п/ 2
/ I 2
х \ ! У
о Е i*X
-1
2 \ „
2. y = cosx
3.y = tgx
4. y = ctgx
139


# Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Обратные тригонометрические функции
1. 	у = arcsinjc
2. у = arccosx
3. X*) = arctgx
4. X*) = arcctgx
140


Глава 7. Задачи с параметрами #
Преобразование графиков функций
1. 	Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой у =f(x) и а > 0. Тогда график функции у =f(x- а) будет сдвинут относительно исходного на а вправо. График функции у =f(x + а) сдвинут относительно исходного на а влево.
2. 	Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой y=f(x) и С — некоторое положительное число. Тогда график функции у = f(x) + С будет сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции у =/(*)- С сдвинут относительно исходного на С вниз.
3. 	Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой у =f(x) и к > 0. Тогда график функции у =f(kx) будет растянут относительно исходного в к раз по горизонтали, если 0 < к < 1, и сжат относительно исходного в к раз по горизонтали, если к > 1.
г<
--1 \ 4
1
/ м / 1
у{х) = sin 2х К ✓'"N \2 / \
2к
-2п
\ -к/
А 1 у
"24
0 п 4
\ п/ \
)Х
141


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
4. 	Растяжение (сжатие) по вертикали.
Пусть функция задана формулой у =f(x) и М> 0. Тогда график функции у - М • f (х) будет растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если М> 1, и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если 0 <М< 1.
5. 	Отражение по горизонтали
График функции у = / (-х) симметричен графику функции у =f(x) относительно оси Y.
6. 	Отражение по вертикали.
График функции y = -f(x) симметричен графику функции у =/(х) относительно оси X.
142


Глава 7. Задачи с параметрами •
7. Графики функций у =/(|jc|) и у= \f(x)\.
143


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
«Базовые элементы» для решения задач с параметрами
1. 	Уравнение х2 + у2 = R2 задает окружность с центром в начале координат и радиусом \R\.
2. Уравнение (х - а)2 + (у - Ъ)2 = R2 задает окружность с центром в точке (я; Ь) и радиусом \R\.
3. 	Неравенство (jc - а)2 + (у - Ъ)2 < R2 задает круг вместе с границей.
Y
-2
4. 	Уравнение у = V/?2 - jc2 задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом \R\.
5. 	Уравнение у = Ir2 -х2 задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом \R\.
Y
144


Глава 7. Задачи с параметрами •
6. 	Уравнение у = -(х-а f ) + Z? зада¬
ет верхнюю полуокружность с центром в точке Р (а; Ъ) и радиусом \R\.
7. 	Уравнение a |jc| + Ъ \у\ = с при положительных я, b и с задает ромбик, симметричный относительно начала координат.
8. 	Уравнение у = \х + а\ + \х + Ь\ (сумма модулей) задает график следующего вида:
9. 	Расстояние между точками А (х ; у ) и В (х ; у ) находится по формуле
AB = yj(x2-xi)2+(y, -у,)2.
Координаты середины М отрезка АВ находятся по формулам:
X. + х,
Ум
У1+У2
10. 	Уравнение отрезка:
yj(x-a)1 +(y-bf +yj(x-c)2 + (y-df = yj(b-af +(d-cf.
Эта устрашающая формула задает отрезок [MN], концы которого М{а\ Ь) и N{c; d). Пара чисел (х; у) соответствует координатам любой точки этого отрезка.
Все эти схемы широко применяются в задачах с параметрами. И в то же время нужно помнить, что построение графика — еще не все решение! Фраза «На графике видно...» не заменяет доказательства. Примеры решения и грамотного оформления задач с параметрами — в этой главе.
145


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
1. 	(Авторская задача) При каких значениях параметра а система уравнений х2 + у2 < х2у2 +1
< х2 + у2 < 2 имеет единственное решение?
(х-а)~ + (у-а)~ ~ \а\
Эту задачу я придумала для одного из своих пробных ЕГЭ, которые регулярно провожу и очно, и онлайн. Захотелось порадовать учеников простой и красивой рисовалкой.
Заметим, что параметр в этой системе есть только в уравнении. А в неравенствах — ни в первом, ни во втором — его нет.
Начнем с первого неравенства:
~ " 2 .
х2у2 -х2 - у2 + 1 > 0; х2 (у2 -l)-(y2 -l)> 0; (jc2 -l)( у2 -l) > 0 <=>
Первая система неравенств задает квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям; длины сторон равны 2.
Решения второй системы неравенств показаны на рисунке:
Решим второе неравенство системы: х2 + у1 < 2.
На координатной плоскости это неравенство задает круг с центром в начале координат и радиусом \[2. Совместим решения первого и второго неравенств.
Уравнение (х - af + (у - а)2 = \а\ задает окружность радиуса ^J\a\ с центром (а; а).
Это значит, что ее центр лежит на прямой у = х.
Параметр а может быть положительным или отрицательным. Он может быть также равным нулю, и решением будет точка (0; 0). Тогда исходная система имеет единственное значение, поскольку точка (0; 0) лежит внутри квадрата, задаваемого первым и вторым неравенствами.
146


Глава 7. Задачи с параметрами •
Исходная система также имеет единственное решение, если окружность, задаваемая уравнением, проходит через точку А или точку В на рисунке. Во всех остальных случаях система не имеет решений или имеет более одного решения.
Найдем, при каких значениях параметра задаваемая уравнением окружность проходит через точку А или через точку В:
1) подставим координаты точки уравнения >4(1; 1) в уравнение (x-af +(y-af = |я|.
Получим:
2(а-\)2
\а\
\а>0
Условие а > 0 добавлено потому, что центр окружности расположен дальше от начала координат, чем точка А. Значит, обе координаты центра окружности положительны.
При а > 0 имеем: \а\ — а и
2{a-\f =а, а> 0.
Решения системы: а = 2и а = — .Но если а = —, центр окружности лежит внутри квадрата
и система имеет бесконечно много решений. Значит, единственное решение будет при а = 2; 2) подставив координаты точки В в уравнение окружности, получим:
12(а+1)г=М- 2j
|а<0; а =
Второе значение нам не подходит, как и в предыдущем пункте.
Исходная система имеет единственное решение, если а = -2. Объединим случаи. Ответ: -2; 0; 2.
2. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств ах> 2
< yj x -1 > а имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Ъх < la +11
Решим систему графически в координатах х, а. jc-1 > 0,
X
а<у/х-1,
147


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Область, удовлетворяющая системе неравенств и условию х е [3; 4], показана на рисунке.
Наименьшее значение а, при котором система имеет решение, достигается в точке А, где пересекаются (и это легко проверить) графики фун- 2 3 11
кции а — — и а - — х ; при этом х = 4. В точке
х 2 2
А значение параметра а равно —.
Точка В, где график функции а = Vx-l пересекает вертикальную прямую х = 4, соответствует значению параметра а = уЗ. Мы просто подставили х = 4 в уравнение а = V х -1. Чтобы исходная система имела решения, должно выполняться условие а < V3.
Следовательно, система имеет хотя бы одно решение на отрезке хе [3; 4], если пара-
1 /г 1
метр а принимает значение от - до V3, включая значение я = —.
Ответ
-[И
3. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств |]х| + |я|<4,
[х2 + 16я < 8х + 48 имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; 1].
Выделим во втором неравенстве полный квадрат. Вообще выделение полного квадрата — полезнейший прием для оценки выражений и построения графиков функций. Смотрите, как это делается:
16cl < —х2 + 8х + 48;
-х2 + 8х + 48 =-(д:2 -8д:-48) = -(х2 -8д: +16-16-48) = -(д:-4)2 + 64;
а<-—{ х-4)2+4.
16V ’
Решим графически систему неравенств в координатах х, а.
|х| + |я| < 4, а < - — (д-4)2 +4.
I \6К ’
Первое неравенство задает область внутри квадрата (не включая границу), вершины которого находятся в точках (0; 4), (4; 0), (0; -А) и И; 0).
Второе неравенство задает область (вместе с границей), лежащую
148


Глава 7. Задачи с параметрами •
1 2
ниже параболы а = (х- 4) +4. Ветви параболы направлены вниз, ее вершина в точ-
16
ке (4; 4).
Если х е [0; 1], то все возможные значения а больше величины а} = -4 (точка А на чертеже). С другой стороны, все значения а при х е [0; 1] не больше величины а2, соответствующей точке В. Точка В — точка пересечения прямой а = 4-х и параболы а = -^(х- 4)2 + 4.
1 2
Подставив значение х = 4 - а в уравнение а = (х - 4) +4, получим:
16
а2 + 16а - 64 = 0.
Отсюда а2 - -8±8л/2.
Значение а2 =-8-8>/2 не подходит, поскольку ордината точки В положительна. Значит, а2 =8>/2-8..
Ответ: система неравенств имеет хотя бы одно решение при х е [0; 1], если
—4 < а < 8л/2 - 8.
4. 	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
у/Зх-2 ln(x-a) = V3x-2 1п(2х + а) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Запишем ОДЗ уравнения:
Зх-2 > 0, х-а> 0, » 2х + а > 0;
х^,
3
-2х <а<х.
Запишем уравнение в виде VЗх-2 *(ln(x-a)-ln(2x + a)) = 0.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:
х^.
3'
- 2х < а < х,
2
х~ 3’
х — а = 2 х + а\
<=> ■
-2х<а<х,
2
х=у
х = -2а.
В каких случаях система может иметь единственное решение? Самый простой ответ —
2 2 1
когда х одновременно равен и —, и -2а. Тогда -2а = - , а = --. При этом неравенство 2 12 2
-2 - — < - - < — выполняется и корень х = — принадлежит отрезку [0; 1] — т. е. случай со-
1
впадения корней при а = - - нам подходит.
2
Пусть теперь корни х = — и х = -2а не совпадают. Что же в этом случае?
149


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Очевидно, что уравнение имеет не зависящий от параметра корень х = —, который при-
2
надлежит отрезку [0; 1]. Подставив х = — в неравенства, задающие ОДЗ, получим:
4 2 3
— <а <-.
3 3
Найдем, при каких а исходное уравнение имеет корень -2а, принадлежащий ОДЗ и отрезку [0; 1].
Запишем систему условий для параметра а:
0 	< -2а < 1,
<-2а>~, <+> «
3
4а<а < -2а\
Отметим на оси а интервалы значений парамет-
2 -
ра, соответствующих корню х = — и корню х = -2а.
3
а < 0.
корень х = -2а
корень jc = —
I
7777777
1 3 «
4
I
1 2
3
2
3 3
ЛЛ 1 . . 1 2
Мы получили, что если -—< а <--, то исходное уравнение кроме корня х = — имеет также корень х = -2а, принадлежащий отрезку [0; 1].
Ранее мы выяснили, что при а = корни х = ~ и х = -2а совпадают и условия задачи выполняются.
Чтобы исходное уравнение имело на отрезке [0; 1] единственный корень, равный —,
значение а должно не принадлежать интервалу
1 1
и при этом удовлетворять усло-
4 2 (4
вию из ОДЗ: — < а < —. Значит, а е 3 3  5и
1 2
- -; — . Это ответ. 3 3
5. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение tg (юс) • In (х + а) = In (jc + а) имеет ровно один корень х на отрезке [0; 1 ].
Запишем уравнение в виде ln(x + tf)(tg(7Pf)-l) = 0. Уравнение равносильно системе:
х + а > 0, cos юс Ф 0,
<
х + а = 1, tg(ju) = l;
х + а >0,
< cos кх Ф 0, tg(ju) = 1; х + а >0,
< cos юс Ф 0, х - \-а.
О)
(2)
150


Глава 7. Задачи с параметрами •
Начнем с системы (1).
Корнем уравнения tg (гас) = 1 на отрезке [0; 1] является х = Если х = —, то ~ + а > 0, 1
значит, а > —.
4
Для того чтобы этот корень был единственным на отрезке [0; 1], необходимо и достаточно, чтобы система (2) не имела решений на отрезке [0; 1 ] или имела решение х = —.
4
Рассмотрим систему (2) при условии х е [0; 1]:
0 < х < 1, х +а > 0, cos гас Ф 0, х = \-а.
Если х = 1 - а, условие х + а > 0 выполняется. Для параметра а также получаем условия:
Г0<1-я<1,
1 	cos(rc(l-a)) Ф 0.
Условие cos (л - ка) Ф 0 упростим с помощью формулы приведения: cos ка Ф 0. Поскольку 0 < а < 1, получим, что а Ф ^.
В итоге:
0 < а < 1, 1
аФ—.
2
При этих условиях исходное уравнение имеет второй корень х = 1 - а на отрезке [0; 1]. Но по условию нам нужен единственный корень на этом отрезке.
Рассмотрим случаи, когда это происходит.
корень х2 = 1 - а
корень х, =
I
1 (
) 1 ]
1 я
u(l;+°°). Тогда х, = — единственный корень;
^ 11
2) 	возможно, будет что-то интересное при а = ^- Подставим а = — в исходное уравне¬
ние: 1п| х + - 2
(tg(jtx)-l) = 0.
Первый множитель равен нулю, если х = —. Тогда второй множитель не определен, к 1
поскольку tg = — не существует. Значит, корня х = — это уравнение иметь не может.
1 п 1
Второй множитель равен нулю, если х = —. Значит, при а = — уравнение имеет единственный корень х = Этот случай нам подходит;
151


* Математика. Задания высокой и повышенной сложности
3) 	мы еще не рассмотрели случай, когда корни х, = — и х2 = 1 - а совпадают. Приравняв
1 1 3 их, получим: 1 - а = —, а-—.
4 4
Значит, исходное уравнение имеет единственный корень на отрезке [0; 1], если
ае
4;0МИ}и(1;+оо)Это
ответ.
6. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение у/х-а sinх = -у/х-а cosх имеет ровно один корень на отрезке [0: л]
Как мы решали бы это уравнение, если бы в нем не было параметра? Очевидно, записали бы ОДЗ и сказали, что произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Сейчас мы сделаем так же.
х - а > 0,
у/х-а (sin x + cosx) = 0 <=> s x = a,
sinx = -cosx.
Уравнение sinx = -cosx не зависит от а и имеет на отрезке [0; л] единственный корень
Зл гг Зк ъп ^ Зп
х = —. При этом а > 0, значит а < —.
4 4 4
~ Зл Зл
Заметим, что если а- —, то система имеет единственное решение х = —. Это случаи 4 4
совпадения корней.
Займемся корнем х = а. Он удовлетворяет условию х - а > 0.
Поскольку 0 < х < л, исходное уравнение имеет корень х = а при 0 < а < л.
Изобразим на оси а промежутки, при которых
Зл
уравнение имеет корень х, = — или х2:
Зл
а.
Если ае
x2 - a
I
I
a
, уравнение имеет 2 корня, при-
Зл
т
«т
Зл
чем при а = — эти корни совпадают.
Если а > л, корней на отрезке [0; 1 ] нет.
Если же а < 0 или — < а < л, уравнение имеет единственный корень. Объединив слу- 4
чаи, получим ответ а е
7. (Авторская задача) При каких значениях параметра с уравнение 5 sin2x = 11 sinx + с не имеет двух решений на интервале (0; 2л)?
Сделаем замену sinx = t\ t е [-1; 1].
Запишем уравнение в виде: с = 5Р - 1 It и рассмотрим функцию c{t) = 511 - 1 It.
152


Глава 7. Задачи с параметрами •
Построим график этой функции в координатах t, с. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке t0 = Она
пересекает ось t в точках t = 0 и t = ^. Очевидно, нам нужна часть графика при t е [-1; 1].
Найдем значения функции c(t) в концах отрезка [-1; 1]: t(l) = -6,t(-l)=16.
На отрезке [-1; 1] функция c{t) = 5t2 - \\t убывает и принимает значения от 16 до-6, причем каждое значение с соответствует только одному значению t.
Посмотрим на уравнение sin д: = t при х е (0; 2л).
Уравнение sinx = t имеет единственное решение на интервале (0; 2л) в следующих случаях:
1) если х-—. Тогда t = sin — = 1;
2 2
2) если х = л. Тогда t = sin л = 0;
ал Зл Зл
3) если х = —. Тогда t - sin — = -1.
2 2
При всех остальных t е (-1; 1) уравнение sinjc = / имеет два решения. Если t > 1 или t < -1 — решений нет.
Вернемся к графику функции c{t) = 512 - 1 It.
Если t = 1, то с = -6.
Если t = 0, то с = 0.
Если t = -1, то с = 16.
В этих случаях исходное уравнение имеет единственное решение. Если с < -6 или с > 16, исходное уравнение не имеет решений. По условию, исходное уравнение должно иметь одно решение или ни одного решения при х е (0; 2л).
Ответ: се (-°o;-6]u{0}u[l6;+oo).
Вот отличная задача с сайта Ларина.
8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система \х2 + у2 -2\х-у| = 2
„ „ имеет ровно два решения.
|д2 + у -2а(х + у) + 2а2 = 2
Раскроем модуль в первом уравнении.
Мы знаем, что
[г, если z > 0 [-Z, еслиг<0
153


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Первое уравнение равносильно совокупности двух систем:
1
[х —у >0
х2 + у2 - 2х + 2у = 2 х-у < 0
JC2 + у2 +2х-2у = 2
- дуга окружности с центром 0,(1;-1) и радиусом 2. — дуга окружности с центром 02 (—1; 1) и радиусом 2.
jy<x
|(jc2 -2x + l) + (y2 +2у+ l) = 4 [у > х
х1 + 2 г + 1) + (у2 - 2 у +1) = 4
Мы сгруппировали слагаемые и увеличили каждую часть уравнения на 2, чтобы появились полные квадраты.
\у-х
[(x-l)2 + (y + l/=4
Jy>.v
}(х + 1)2+(у-1)2=4
Теперь второе уравнение:
Л'2 + у1 - 2а (х+ у) + 2а2 = 2;
(л*2 -2ах + а2^ + (у2 - 2ау + а2^) = 2;
(х-а)2 + (y-af =2.
Второе уравнение задает семейство
окружностей с радиусом ^2ис центрами в точках с координатами (а; а).
Другими словами, их центры лежат на прямой у = х.
Рисуем все это.
Система имеет ровно два решения в следующих случаях:
1) а = 0. Второе уравнение задает окружность со,, имеющую с графиком первого уравнения общие точки А и В]
2) второе уравнение задает окружность со?, имеющую с графиком первого уравнения общие точки С и D. Ее центр — точка Р\
3) второе уравнение задает окружность со3 с центром Q, имеющую с графиком первого уравнения общие точки Е и F.
Найдем, чему равно значение параметра а для окружностей со, и со3. Вспомним, что точка касания окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры, и рассмотрим треу- q гольник 0Х02Р.
В этом треугольнике 0,0,, = 2%/2; 0,Р = 02Р = 2 + V2, так как расстояние между центрами касающихся окружностей равно сумме их радиусов.
154


Глава 7. Задачи с параметрами •
ИзДорр-. 0Р = ^02Р2-002 = ^(2 + V2) -V22 = V4 + 4V2 =2Vl + V2. С другой стороны, ОР = « л/2.
Получим: |а|л/2 = 2^1 + л/2; а = ±у]2 + 2л/2.
Положительное значение параметра а соответствует окружности со2, а отрицательное — окружности со3;
4) 	есть и еще случай, когда исходная система имеет ровно два решения. Будем сдвигать окружность со, с центром О (0; 0) вдоль прямой у = х9 увеличивая \а\. Окружность со, будет иметь ровно две точки пересечения с графиком первого уравнения, пока выполняется условие \а\ < 2. Если \а\ = 2, система имеет три решения.
Если 2 < \а\ < V2 + 2V2, система имеет 4 решения.
Г\а\<2
Объединим все случаи:
Это ответ.
a = ±yj 2 + 2V2
9. Найдите все значения jc, каждое из которых является решением уравнения
5a\^sin4x + (V3-5a)cos4;t г
^—j= : = 1 при любом значении а из отрезка | —3V2; 1 .
6sin4;c-v3cos4jc l j
Сделаем замену Ах = z. Уравнение равносильно системе:
5<2у1ъ sin z + (л/3 - 5а jcos z = 6sin z - V3 cos z,
6 	sin z — V3cosz Ф 0;
(5aV3 -6^sin z + (2\l?> -5a jcos z = 0,
6 	sin z- V3cosz Ф 0.
Обратим внимание на коэффициенты первого уравнения.
Поскольку 5ay[b-6 = л/з (5а - 2у/з j, первое уравнение приводим к виду
(бя - 2л/з )(V3 sin z - cos z) = 0.
155


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Запишем систему в виде:
Гба - 2%/з = 0.
V3sinz-cosz = 0, _
< L <=>
tg z*—\
О
гТз
а = ,
5
tgz*—;
О
, ^
8г = Т’
7з
tgz^—. о
„ 2>/з л/3
Из первой системы находим, что при а = любое значение z, кроме z = arctg — + кк,
5 6
к е Z, является решением исходного уравнения. Но этот случай нам не подходит: ведь надо найти все значения х, каждое из которых является решением уравнения не при каком-то одном, а при любом а.
Во второй системе параметра а вообще нет. Вторая система равносильна уравнению
tg z = -—. Его решение: z = 4х = — + пк, ке Z. Тогда х = — + — к, ке Z. Мы нашли все зна- 3 6 24 4
чения х, каждое из которых будет решением исходного уравнения при любом значении параметра а.
Возможен и другой способ решения. Выберем «удобное» значение параметра: а = 0. Ведь мы ищем значения х, которые будут решениями исходного уравнения при любом а из
отрезка [-3V2;l], в том числе и при а = 0. Подставив а = 0 в исходное уравнение, найдем
значения х и убедимся, что они будут решениями при любом а из отрезка —Зл/2; 11.
Ответ: 1—к,
24 4
fce Z.
10. 	Найдите все неотрицательные значения параметра а, при каждом из которых мно-
а + х2 -41og05 (а2 - 2а+ 4)
жество решений неравенства 1 < — ... : состоит из одной
3v7x4 + х2 +а-(- 4 + log() 2 (а2 - 2а + 4)
точки, и найдите это решение.
Сделаем замену: log05(fl2 - 2a + 4} = b. Конечно, при этом должно выполняться условие а2 - 2а+ 4 > 0.
а + х2-4Ь ^
Зл/7х4 +х2 +а + 4 + Ь2
Поскольку а > 0, знаменатель дроби положителен. Отлично, умножим на него обе части неравенства:
а + х2-4Ь>зфхл +х2 +а + 4 + Ьг\ хг —4Ь—Ь2 -4 > Зл/7х4 +х2;
156


Глава 7. Задачи с параметрами •
x2-(b2+4b + 4)> Зл/тлЧл7; х2 -(Ь + 2)2 > ЗуЬх4 +х2 ; х2>3^7х4+х2 +(Ь + 2)\
Заметим, что неравенство четно относительно х. Это значит, что если х = х0 — решение, то и х = -х0 также будет его решением, то есть множество его решений симметрично относительно нуля.
Единственное решение возможно, только если х = 0. В этом случае ф + 2)2 < 0.
Но квадрат числа не может быть отрицательным, и тогда b + 2 = 0, Ъ = -2.
/ 1 \ /о \ [я2-2а + 4 = 4
log0 5 (а - 2а + 4) = -2; log2 (а2 - 2а + 4) = 2; ^
|а2 -2а + 4 > 0
Очевидно, что если я2 - 2а + 4 = 4, то а2 - 2а + 4 > 0. Значит, система равносильна уравнению я2 - 2а + 4 = 4, откуда я = 0 или я = 2.
Проверим, что при я = 0 и при я = 2 решение х = 0 действительно единственно.
При я = 0 имеем: log0 5 4 = -2.
х2 g I
Неравенство примет вид: —, — >1; х2 > Зл/7х4 + х2.
3V7x4 +х2 +8
Обе части неотрицательны — значит, неравенство можно возвести в квадрат. х4 > бЗх4 + 9х2; 62х4 + 9х2 < 0 — единственное решение х = 0.
При я = 2 получим: log05 (я2 -2я + 4) = -2; —^ + Х — >1; х2 > Зл/7х4 +х2. Это
3V7x4+x2+10
неравенство мы только что решили. У него единственное решение х = 0.
Ответ: х = 0 при я = 0 или я = 2.
11. 	Найдите все значения параметра я, при каждом из которых множество значений
, 5я-15х + ях г_
функции у = — содержит отрезок [0; 1].
х - 2ях + я +25
Преобразуем знаменатель в формуле функции. х2 - 2ях + я2 + 25 = (х - я)2 + 25 > 0.
Поскольку знаменатель всегда положителен и не равен нулю ни при каких х и я, функ- / ч 5я-15х+ах _
ция (х ) = непрерьгона. Значит, если при определенных значениях параметра я
(х - а ) +25
найдутся такие х, чтоу(х) = 0 и у(х) = 1, то у(х) принимает все значения на отрезке [0; 1 ].
Другими словами, множество значений функции содержит отрезок [0; 1], когда уравнения у(х) = 0 и у(х) = 1 имеют решения.
1) Ах) = о
5а-\5х + ах
= 0; 5а - 15х + ах = 0; х =
-5а
5 а
(х-а)4+25 а-15 15-а
Уравнение имеет решения при а / 15. Если а = 15, решений нет.
157


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
2Ы*)= 1
5а -15х + ах = (д- a f + 25; д2 + (15 - За) д + (а2 - 5а + 25) = 0.
Это квадратное уравнение. Оно имеет решения, если его дискриминант неотрицателен. D = (15 - За )2 - 4 (а2 - 5а + 25) = 225 - 90а + 9а2 - 4а2 + 20а -100 = 5а2 - 70а +125; а2 - 14а + 25 > 0;
(а - (7 - 2-JZ))(а - (7 + 2>/б)) > 0.
Сравним 7 + 2\/б и 15.
2\/б v 8; 4 => 7 + 2%/б < 15.
Таким образом, условие задачи выполняется, если
ае (-°°;7-2л/б)и(7 + 2-\/б;15) и(15;+°о). Это ответ.
12. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений х(х1 + у2-у-2) = \х\(у-2),
у = х +а имеет ровно три различных решения.
Раскроем модуль в первом уравнении. Рассмотрим отдельно случаи д > 0, х = 0 и х < 0:
1) в случае х > 0 получим:
Г*>0, [х > 0,
|дг(дг2 + V2 - у-2) = х(у - 2); ^ \х2 + у2 - 2у = 0; ^
> о, U>o,
[д*2 + у2 — 2 у + 1 = 1’, |.v“ + (у — 1)” =1.
Эта система задает полуокружность, находящуюся справа от оси X, с центром (0; 1) и радиусом 1.
2) х = 0 — решение первого уравнения. График — прямая х = 0, т. е. ось Y.
3) Теперь случай х < 0.
Г*<0, Гх< 0,
|дс(х2 + у2 -у-2) = х(2-у);** [х2 + у2 = 4.
Эта система задает полуокружность, расположенную слева от оси X, с центром в начале координат и радиусом 2. Вот какой график — вместе с осью Y— мы в результате получили.
Второе уравнение задает прямую с угловым коэффициентом к = 1, проходящую через точку (0; а).
Чтобы исходная система имела ровно три решения, нужно, чтобы прямая у = д + а пересекала нашу «конструкцию» из двух полуокружностей и оси ординат ровно в трех точках.
(2)
158


Глава 7. Задачи с параметрами •
Если а < -2, система имеет единственное решение (прямая пересекает только ось ординат). При увеличении параметра а прямая у = х + а сдвигается вверх и точек пересечения будет две — до момента касания прямой у = х + а с правой полуокружностью в точке А. Если прямая у = х + а проходит через точку А, исходная система имеет три решения.
Найдем значение параметра а для этого случая. Прямая у = х + а — касательная к полуокружности, задаваемой системой (1).
Вспомним, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, а угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых удовлетворяют соотношению к^к2 = -1. Поскольку в точке А пересекаются прямые у = х + а и у = 1 - jc, для координат
{у = х + я,
У = 1-х.
Из этой системы находим координаты точки И: х = -——; у = . Подставим их в урав¬
нение полуокружности х2 + (у - 1 )2 = 1, х > 0.
1 -а
1 - а
= 1; а = V2 + 1 или а = 1 — л/2.
Поскольку в точке А абсцисса х = —^ положительна, нам подойдет а = 1-V2.
Продолжим сдвигать вверх прямую у = х + а. Если 1 - yjl < а < 0, исходная система имеет 4 решения.
Далее, при 0 < а < 2 система имеет 3 решения. При а = 2 система имеет 2 решения. Если прямая у = х + а касается левой полуокружности в точке c(-V2;V2), система
имеет два решения. При этом значение параметра а = 2-Jl. Оно легко находится из равнобедренного прямоугольного треугольника OMN на чертеже.
Если 2 < а < 2V2, система имеет 3 решения. Объединим полученные случаи.
Ответ: ае {l-л/2}и[0;2)и^2;2л/2).
13. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
ху“-Зху-Зу + 9 _
— = 0 имеет ровно два различных решения.
Vx + 3
у = ах
Разложим на множители числитель дроби в первом уравнении:
ху2 - Зху - Зу + 9 = ху(у - 3) - 3(у - 3) = (ху - 3)(у - 3).
Система примет вид:
л/х + 3 у = ах.
Область допустимых значений: х > -3.
(xv-3)(y-3)
0,
159


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
ху - 3 = О,
У = 3,
<=;
х > -3, у = ах\
у = -\ХФ О,
X
у = 3, х > -3, у = ах.
Решим систему графически.
Система имеет ровно 2 различных решения только в следующих случаях:
1) прямая у = ах проходит через точку А (1; 3).
Тогда а = 3;
2) прямая у = ах пересекает только правую ветвь
гиперболы у = — и прямую у = 3. Это значит, что точка пересечения прямых у = ах их = -3 х
лежит выше точки В и ниже оси абсцисс.
В точке В (-3; -1) значение параметра а равно Значит, ровно два решения в этом случае будут, если 0 < а <
Ответ:
0;^ |и{3}.
14. 	Найдите все значения параметра а из интервала (0; л), при каждом из которых система
уравнении
х2 + у~ -4(x + y)sinoc + 8sin2 ос = 2sin ос-1,
х у „ . „ . 2
— + — = 2sina + 4sin a
имеет единственное решение.
В этой задаче мы увидим новый прием — использование симметрии уравнений. Заметим, что уравнения системы не изменятся, если х и у поменять местами. Это значит, что если система имеет решение (х0; у0), то и пара чисел (у0; х0) будет решением.
Но тогда единственное решение возможно, только если xQ=yQ = z. В этом случае:
12с2 -8zsina + 8sin2 ос = 2sin a-1,
2 = 2sina + 4sin2 a;
12(z2 -4csina + 4sin2 a) = 2sina-l,
sina + 2sin2 a = 1.
Сделаем замену sinoc = b.
Если a g (0; я), то b e (0; 1].
\2(z-2b)2 =2b-\,
\2b2 + 6-1 = 0.
Решим второе уравнение:
2b2 + 6-1=0
D= 1 + 8 = 9; b. =-;6, = -l.
' 2 2
160


Глава 7. Задачи с параметрами •
Значение b = -1 не подходит, так как b е (0; 1].
Если b = , первое уравнение примет вид 2(z - 1 )2 = 0.
Оно имеет единственное решение z = 1, что соответствует решению системы х = 1 ,у= 1. Вернемся к параметру а.
[. . 1
о - sin а = —,
2
0 < а < я.
Получаем, что а = ^ или а = ^. Это ответ.
Еще задача с параметрами, где мы пользуемся геометрическими методами.
15. 	Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
х1 + 2х+ у2 + 4у = 4|2х- у|, jc + 2 у = а
имеет более двух решений.
Раскроем модуль в первом уравнении. Получим:
jc2 -6* + у2 +8у = 0, 2х-у >0;
.г+ 10* +у2 =0,
2х — у <0.
х2 + 2х + у2 + 4у = 8* - 4у,
2х- у > 0;
*2 + 2х + у2 + 4у = 4у - 8*,
2* - у < 0;
Выделим полные квадраты в левых частях уравнений:
(л:2 —6х + 9) + (у2 +8у + 1б) = 25, у<2х\
(д:2 + Юх + 25)+ у1 = 25,
у > 2х\
(лг-3)2+(у + 4)2 = 25, у < 2х
(х + 5)2 + у2 = 25, у>2х
Второе уравнение исходной системы х + 2у> = а задает семейство параллельных прямых
у = — ~ + ~, проходящих через точку ^0;-^-1 Их угловой коэффициент к =
Изобразим решение первого уравнения и семейство прямых У = ~^ + ^:
х а
1) система имеет ровно три решения, если прямая у = - — + — проходит через начало
координат, и тогда а = 0, или через точку Л (-2; —4), и тогда а = -10.
Если -10 < а < 0, система имеет 2 решения;
-дуга окружности с центром Oj(3;-4) и радиусом 5, ’— дуга окружности с центром О2(-5;0) и радиусом 5.
161


* Математика. Задания высокой и повышенной сложности
2) система имеет 2 решения, если прямая ха
v = — + — касается ооеих окружностей в точ- 2 2 ^
ках В и С или в точках D и F, пересекая при этом
ось у в точке N или в точке К соответственно.
т- х а
Если прямая у = — — + — пересекает ось ординат между точками О и N или между точками К и М, система имеет 4 решения.
Найдем ON и ОК геометрическим способом.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к пересекающимся окружностям, равны. Это значит, что BF = FC.
По теореме о секущей и касательной, BF1 = OF • FA.
BC-DE - ОхОг Поскольку координаты точек 0{ и О, известны, найдем 0{02 по формуле расстояния между точками: 0,02 = V82 +42 = V80 = 4>/5.
Тогда BF = FC = lS.
Рассмотрим треугольники OFN и ОДЛ/, где точка М имеет координаты (0; -5).
AOFN ~ АОАМ\ OF = ON • cos ср; ОД = ОМ • cos cp.
Поскольку Zcp = ZNOF, точка F лежит на прямой у = 2дс, tg ф = —.
Из формулы 1 + tg2cp = —\— найдем cos
2 2
ф = —. Тогда ОА = 5 • —^ = 2>/5. Найдем OF,
COS ф
пользуясь тем, что BF1 = OF • FA.
Пусть OF = х, тогда AF = * + 2>/5.
(2>/5)2 =х(х + 2>/5); jc2 -h2V5 -20 = 0; £> = 20 + 4-20 = 100; *12=->/5±5. Поскольку jc = OF > 0, получим, что х = 5- >[$.
OF {5-S\S 5^5-5
ON =
COS ф
2
x a
Для прямой у = — + ^, проходящей через точку TV, ON = -у. Значит, если = 5>/з -5,
JC £7
прямая у = - — + — касается окружности в точках В и Си система имеет 2 решения. Осталось найти ОК.
ОР 2
В треугольнике ОРК: О К = , cos ф = —^
СОБф V5
С другой стороны, OP + OF = PF = BD = СЕ = 2R = 10, тогда ОК =
10-OF_(10~5 + ^)^_5V5+5 coscp 2 2
162


Глава 7. Задачи с параметрами •
Поскольку для прямой у = “ + ^-, пРох°ДяЩей через точку К, значение параметра
а = а2< 0, получим: OK = => а2= - ^5 + 5>/5 j. При этом значении параметра прямая
ха w ^
у = - — + — касается окружностей в точках D и Е.
Подведем итог. Для значений параметра яе (я2 ;-10] и [0; ах) исходная система имеет более 2 решений.
Ответ: ае (-5-5>/5;-10ju^0;5>/5-б).
Возможно, разбирая решения задач, вы думаете: «Зачем это все? Неужели пригодится во взрослой жизни?»
Я много путешествую. Однажды с компанией предпринимателей мы ехали в джипе из Самарканда в Бухару. Дорога длинная, а я тогда готовилась к очередному интенсиву по задачам с параметрами и разбирала подборку новых задач. Постепенно мои товарищи заинтересовались, стали подсказывать решения. «Здесь метод оценки. А это нарисовать надо. А здесь — теорема Виета». Оказалось, что успешные бизнесмены когда-то побеждали на олимпиадах по математике и старательно готовились к вступительным экзаменам в серьезные вузы. И даже если логарифмы и параметры не нужны им в повседневной жизни, зато нужны логика, интуиция, умение видеть всю задачу сразу и решать ее шаг за шагом.
Пока ленивые тешат себя сказками о том, что «в интернете все есть» и что «троечники успешнее отличников», умные тренируют мозги.
Конечно, в этой главе не уместились все возможные типы задач с параметрами и все способы их решения. В главе 9 я покажу еще один эффектный прием — метод оценки — и расскажу историю о том, как птичка и рыбка полюбили друг друга и какое отношение это имеет к задачам с параметрами на ЕГЭ по математике.


глава 8
ЧИСЛА И ИИ СВОЙСТВА.
НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Ни на что не похожие. В школьных учебниках о них ни слова.
Уравнения в целых числах с несколькими неизвестными. Действия в неопределенной ситуации. Метод «оценка плюс пример» (а вы вообще слышали о таком?). И конечно, культура математических рассуждений. Немногие репетиторы умеют решать эти задачи — самые сложные в профильном ЕГЭ по математике.
И все же мы научимся решать эти загадочные задачи. Ведь за них дают на ЕГЭ по математике 4 первичных балла, которые переводятся в 9-10 тестовых. А это поступление! Это «бюджет»! Мы освоим искусство математических рассуждений, после которого высшая математика будет даваться вам намного проще. Более того — вы удивитесь, обнаружив, что стали думать по-другому.
Подготовительный этап — задачи на сообразительность и задачи базового ЕГЭ.
Вот задача про бабушку и яйца — в двух сериях.
1. Понесла бабушка яйца на базар продавать. Первый покупатель купил половину всех яиц и еще пол-яйца. Второй — половину оставшихся яиц и еще пол-яйца. Третий купил одно яйцо, последнее. Сколько же яиц принесла бабушка на базар?
Начнем с последнего яйца. Его забрал третий покупатель.
Теперь предыдущий эпизод. На прилавке лежит это яйцо, еще пол-яйца и еще столько же (то есть еще полтора яйца) — значит, всего 3 яйца. Подходит второй покупатель, забирает половину (полтора яйца) и еще пол-яйца — значит, он уносит 2 яйца, а одно остается.
И наконец — с чего все началось. Лежат на прилавке три яйца, еще пол-яйца и еще столько же, то есть всего 7 яиц. Подходит первый покупатель, забирает половину всех яиц (это 3,5 яйца) и еще пол-яйца, то есть всего 4 яйца. Значит, всего принесла бабушка продавать 7 яиц.
Что делать, если не поняли?
Рисуйте яйца. Можете использовать наглядный материал. Чтобы упростить задачу, можно взять вареные яйца, которые легко делятся пополам. :-)
А теперь — вторая серия.
2. Прошло время, разбогатела бабушка. Везет на базар корзину с яйцами. Да беда случилась — налетел на ее тележку мотоциклист. Яйца, конечно, всмятку. Все до единого.
— Не горюй, бабуся, — сказал байкер, — заплачу тебе за яйца. А сколько яиц-то было?
— Не знаю, голубчик. Разложила я их на две кучки поровну, осталось одно яичко. То же повторилось, когда я их раскладывала поровну на четыре, на пять, на шесть кучек. И только когда на семь кучек поровну разложила, ни одного не осталось. А больше 400 яиц в корзину не поместится.
И задумался байкер: сколько же яиц везла бабушка на базар?
Пусть N— количество яиц.
Когда бабушка разложила их на 7 кучек, ни одного не осталось. Значит, N делится на 7. Это обозначается так: N : 1.
164


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике •
Когда бабушка раскладывала яйца на 2, на 4, 5 и 6 кучек, одно яйцо оставалось лишним. Значит, N- 1 делится на 2, на 4, на 5 и на 6.
По условию, N< 400. Тогда К = N- 1 < 399, и при этом К делится на 2, на 4, на 5 и на 6.
Вспомним, что такое наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на все эти числа без остатка.
Какие же числа делятся на 2, на 4, на 5 и на 6 без остатка?
Разложим числа 4 и 6 на простые множители. 4 = 2 • 2; 6 = 3 • 2.
Наименьшее общее кратное чисел 2, 4, 5 и 6 должно делиться на 4, на 3, на 5. Тогда оно автоматически будет делиться на 2 и на 6.
Наименьшее из таких чисел — 60. Все числа, которые делятся на 60 (то есть кратные 60), также делятся на 2. на 4. на 5 и на 6.
Значит, величина К, равная N- 1, может принимать значения: 60, 120, 180, 240, 300, 360.
Но при этом N = К + 1 должно делиться на 7. Давайте выпишем возможные значения N: 61, 121, 181,241,301, 361.
Из этих чисел нам подходит только 301, потому что другие не делятся на 7.
Ответ: 301 яйцо уничтожил байкер.
Как решать нестандартные задачи? Здесь нет ни логарифмов, ни синусов, ни параметров. Нужны знания по математике на уровне 6-9-го класса: признаки делимости, деление с остатком, прогрессии, умение решать неравенства. И еще — логика, математическая культура и умение грамотно записывать решение. И даже когда все это есть, остается нечто неуловимое, нестандартное, что можно выразить только словами: «Я догадался!»
И поскольку это задача на числа и их свойства — кратко повторим теорию.
Натуральные числа — это числа 1, 2, 3,... — то есть те, что мы используем для счета предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается N.
Целые числа — это 0, ±1, ±2, ±3 ... Множество целых чисел обозначается Z.
Рациональные— числа, которые можно записать в виде дроби —, где р— целое,
Я
1 7
a q — натуральное. Например, 3; —; —; 0,12 — рациональные числа. Рациональные числа — это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.
р
Иррациональные числа — те, которые нельзя записать в виде — или в виде периоди-
Я
ческой десятичной дроби. Числа кие, yjl, log35 — иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел R.
Дальше мы будем говорить о натуральных числах.
Число а делится на число Ъ, не равное нулю, если найдется такое число с, что а = Ьс. Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначается это так: а : Ь.
Если а делится на b, то число Ъ называется делителем числа а.
Если числа а и b делятся на с, то а + b тоже делится на с.
Если числа аиЬ делятся на с, а т и п — целые, то та + nb тоже делится на с.
165


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Признаки делимости:
S 	а : 2 <=> последняя цифра числа а четная;
S а : 3 <=> сумма цифр числа а делится на 3;
S а : 5 <=> число а оканчивается на 0 или на 5;
S а I 4 <=> число, составленное из двух последних цифр числа а, делится на 4.
S а \ 8 о число, составленное из трех последних цифр числа а, делится на 8.
S а : 9 <=> сумма цифр числа а делится на 9.
S 	а : 10 » последняя цифра числа а равна 0;
s а : 11 <=> суммы цифр на четных и нечетных позициях числа а равны или их разность кратна 11.
Деление с остатком встретилось нам в задаче про бабушку и яйца. Если а = Ъс + г, то число а делится на b с остатком г. Немного непривычно, что формула деления с остатком не содержит знака деления.
Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4-2+ 1.
При делении 53 на 5 мы получим 10 и в остатке 3, т. е. 53 = 5 • 10 + 3.
Остаток от деления любого нечетного числа на 2 равен единице. Поэтому любое нечетное число может быть записано в виде 2п + 1, а четное — в виде 2п.
Простые числа — те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19 ...
Любое натуральное число можно разложить на простые множители. Например, 72 = 2-2-2-3-3, а 98 = 2-7-7.
Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
я = р? /V -Pss
Например, 72 = 23 • З2; 98 = 2 • 72.
При этом количество делителей натурального числа а равно (п] + 1) (п2 + 1)... (w5+ 1).
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме единицы.
Решим в качестве тренировочных несколько задач из базового ЕГЭ по математике на числа и их свойства.
1. Вычеркните в числе 74 513 527 три цифры так. чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Чтобы число делилось на 15. оно должно делиться на 3 и на 5.
Натуральное число кратно пяти, если оно оканчивается на 5 или на 0. Поскольку нулей в исходном числе нет, вычеркнем две последних цифры — 2 и 7. Получим число, оканчивающееся на пятерку, т. е. 745 135.
166


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике
Остается вычеркнуть еще одну цифру, чтобы получившееся число делилось на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
В числе 745 135 сумма цифр равна 25. Вычеркнем 4, чтобы сумма цифр была равна 21. Получим число 75 135. Оно делится на 3 и на 5. а значит, и на 15.
Обратите внимание, что ответ в этой задаче — не единственный.
2. 	Приведите пример четырехзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число.
Обозначим наше число abed. Такая черта над числом означает, что а, Ь, с и d— его цифры.
По условию, а b с d = 10.
С другой стороны, 10 = 2 • 5, и другим способом разложить число 10 на простые однозначные множители невозможно.
Значит, одна из цифр числа abed — пятерка, другая — двойка, а оставшиеся — единицы.
Как же расположить эти цифры, чтобы число abed делилось на 12?
12 = 3 -4. Значит, число abed должно делиться на 3 и на 4.
Если цифры числа abed — это 1, 1,2 и 5, то их сумма равна 9, и эта сумма делится на 3.
Ясно, что двойка должна быть последней цифрой (иначе число abed нечетное).
Если предпоследней цифрой будет 1, мы получим число 5112= 5100+ 12 или 1512 = 1500 + 12. Отлично! Вспомним, что 100 делится на 4. Значит, и 5100, и 1500 делятся на 4, а наше число в итоге делится на 12.
Запишем один из ответов: 1512.
3. 	Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 дает равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Обозначим наше число abe. Это число трехзначное и большее, чем 500. Значит, 501 < abe < 999.
Средняя цифра является средним арифметическим крайних, следовательно, b = — [а + с).
По условию, число abe при делении на 5 и на 8 дает равные ненулевые остатки. Обозначим этот остаток к. Тогда число п = abe - к делится на 5 и на 8, и значит, п = abe - к делится на 40.
Каким же должно быть число к, если это число — ненулевой остаток от деления на 5? Ясно, что 1 < к < 4. Значит, к — последняя цифра в числе abe, к = с.
Тогда -4 < -с < -1 (мы умножили предыдущее неравенство на -1); 501 < abe < 999. Сложим два неравенства. Мы можем это сделать — ведь знаки в них одинаковые.
497 < abe - с < 998, и при этом п = abe - с делится на 40.
Выпишем возможные п.
520, 560, 600, 640, 680, 720, 760, 800, 840, 880, 920, 960.
Подберем последнюю цифру так, чтобы средняя цифра была средним арифметическим крайних. При этом последняя цифра не больше 4.
Нам подойдут числа 642 и 963. В ответ пишем любое из них.
167


о Математика. Задания высокой и повышенной сложности
4. 	Цифры четырехзначного числа записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа.
Запишем наше число как abed.
Тогда второе число равно dcbat причем d Ф 0.
Получим: _abcd deba
2457
Разность двух четырехзначных чисел оказалась также четырехзначным числом. Значит, а > d.
Посмотрим на последние цифры этих чисел. Поскольку d<a, для вычитания нам придется «занять» единицу в предпоследнем разряде.
Тогда 10 + d- а = 7, отсюда а = d + 3. (1)
Как получилась четверка во втором разряде числа 2457? Предположим, что b + 10 - с = 4, значит, с = Ь + 6. (2)
Подберем a, b,c wd согласно условиям (1) и (2). Пусть d= 1, а = 4, b = 2, с = 8.
4281
1824
2457
Конечно, ответ не единственный. Мы могли бы подобрать другие а, Ь,с и d, удовлетворяющие условиям (1) и (2).
Вот задача, когда-то предложенная на вступительных экзаменах в Финансовый университет и давно ставшая народной. В ней есть забавная ловушка, поэтому лучше решать ее большой компанией. Рекомендую учителям матклассов и ведущим курсов подготовки к ЕГЭ!  55. 	Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Решив разделить выручку поровну, они поступили следующим образом: каждый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы по 10 рублей. После того как в очередной раз старший брат взял 10 рублей, остаток от выручки оказался меньше 10 рублей. Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценен этот нож? (Все суммы денег выражаются натуральными числами.)
Пусть в стаде п овец, и за каждую выручили п рублей.
Теперь у братьев есть п2 рублей.
Пусть из кучки в гг рублей братья к раз берут по 10 рублей. Старший, потом младший, опять старший и опять младший... И вот старший брат взял десятку, и осталось у рублей. Теперь младший брат слегка обиженно смотрит на старшего, и старший отдает ему свой нож. Представили?
Пусть нож оценен в х рублей.
... А теперь отложите книжку и запишите систему условий. И проверьте, что у вас получилось.
Вот что у меня: <
п2 = 10£ + у,
1 < у < 9,
JC+ у - 10-JC.
168


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике •
Первое уравнение вопросов не вызывает, правда? Со вторым — неравенством — тоже все понятно. Остаток от деления на 10 ненулевой и меньше 10, и мы записали эти условия в виде нестрогого неравенства. А вот третье уравнение...
Что же оно означает?
Каждый из братьев получил одинаковое количество десяток. И еще младший брат взял у рублей и нож, оцененный в х рублей (это левая часть уравнения). А старший брат взял на одну десятку больше, но зато лишился ножа, став на х рублей беднее.
Получаем: 2х = 10 - у, т. е. у = 10 - 2х.
Правая часть уравнения делится на 2. Значит, и левая его часть делится на 2, и тогда у — четное число.
Тогда из первого уравнения следует, что п1  2 — четная величина. Но если квадрат натурального числа является четной величиной, значит, и само число четно. И тогда п2 делится на 4.
Поскольку у — четный остаток от деления на 10, то у может принимать значения: 2,4, 6, 8.
Тогда запись п2 = 10к+ у означает, что п2 оканчивается на 2, 4, 6 или 8. Теперь 2 и 8 можно отбросить, поскольку ни один квадрат целого числа ни на 2, ни на 8 не оканчивается. Остаются варианты у = 4 и у = 6. Что же из них является правильным ответом?
Вспомним еще одно условие: последним взял 10 рублей старший брат. Это значит, что к, т. е. количество десяток, — нечетно. Пусть к=2т + 1.
Еслиу = 4, то п2 = 10 (2т + 1) + 4 = 20т + 14. Получим: п2 - 20т = 14.
Посмотрим внимательно на это уравнение в целых числах. Поскольку п2 делится на 4, 20 делится на 4, левая часть уравнения делится на 4. Но правая его часть, равная 14, на 4 не делится! Значит, у него нет решений, и у = 4 не подходит.
Если у = 6, то п2 = 10(2/?2 + 1) + 6 = 20т + 16, противоречий нет. В этом случае х - 2. Это ответ.
Перейдем к задачам ЕГЭ профильного уровня последних лет. Все они — новые. В мою книгу «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ» эти задачи не вошли.
1. (ЕГЭ-2016) На доске написаны числа 1, 2, 3 ,... 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательности 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Заметим, что сумма чисел в каждой тройке 5 < 34. Запомним: в задачах такого типа удобнее пользоваться нестрогими неравенствами, чем строгими.
а) Пример привести легко (и получить за этот пример 1 первичный балл на ЕГЭ!)
30, 1, 3 (сумма 34),
2, 4, 27 (сумма 33),
5, 	6, 21 (сумма 32),
7, 	8, 16 (сумма 31),
9, 10, 11 (сумма 30).
б) Выясним, можно ли сделать 10 ходов. Ведь у нас 30 чисел, и, сделав 10 ходов, мы сотрем с доски их все. А значит, вопрос можно переформулировать следующим образом:
«Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 30 на тройки так, чтобы суммы чисел в каждой тройке были различны и каждая из них не превышала 34?»
169


$ Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Предположим, что такое разбиение возможно. Обозначим суммы чисел в каждой тройке 5, где i принимает значения от 1 до 10. Расставим эти суммы в порядке убывания. Пусть — максимальная сумма, причем она не превосходит 34, и каждая следующая сумма меньше предыдущей.
Тогда 52 < 33, 53 < 32, ... 5]0 < 25.
Суммируя по всем десяти тройкам, получим, что сумма всех тридцати чисел не превосходит 34 + 33 + 32 + 31 + ... + 25, т. е. 295.
Мы применили формулу суммы п членов арифметической прогрессии: Sn = — + ап) • п.
С другой стороны, мы задействовали все 30 чисел. Их сумму легко найти — это сумма арифметической прогрессии, члены которой — натуральные числа от 1 до 30. Обозначим ее 530.
5
30
1 + 30 2
• 30 = 465.
Получили, что 530 > 295 — противоречие.
Значит, 10 ходов сделать нельзя.
в) 	Какое же максимальное число ходов можно сделать? В пункте (а) мы выяснили, что 5 ходов сделать можно. В пункте (б) доказали, что 10 ходов сделать нельзя. Нам осталось проверить, можно ли сделать 9, 8, 7 или 6 ходов.
Повторим рассуждения, аналогичные пункту (б), для случаев п = 9, 8, 7 и 6.
Если п (число ходов) равно 9, то S = S} + S2 + ...+ S9 не превосходит 34 + 33 + ... + 26, т. е. S < 270. С другой стороны, из чисел от 1 до 30 мы выбираем 9 троек, то есть 27 чисел, и их сумма не меньше, чем 1 + 2 + 3 + 4 ... + 27, то есть S > 378 — противоречие.
Аналогично для п = 8 получим, что S < 244 и5> 300 — тоже противоречие.
Для п = 1 имеем: 5<217и5>231, значит, и 7 ходов сделать нельзя.
Для п = 6 противоречия нет. Итак, число ходов п < 6.
Закончено ли решение? Еще нет. Мы доказали, что п < 6 (сделали оценку). Осталось привести пример п = 6. Приведем этот пример:
Тройки чисел:
12, 11, 10, сумма 33;
13, 14, 7, сумма 34;
15, 16, 1, сумма 32;
17, 2, 3, сумма 22;
4, 8, 9, сумма 21;
18, 5, 6, сумма 29.
Итак, наибольшее число ходов — 6.
Метод, которым мы в этой задаче пользуемся, называется «Оценка плюс пример». «Оценка плюс пример» — это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.
Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины А. Действуем в два этапа.
1. Оценка. Показываем, что выполнено неравенство А > а.
2. Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство А = а.
170


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике •
2. (ЕГЭ-2017) На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
а) Предположим, что из 30 чисел на доске 15 чисел оканчиваются на двойку, а другие 15 — на шестерку. Сумма 15 чисел, в каждом из которых последняя цифра — двойка, оканчивается на 0. Аналогично и с теми, что оканчиваются на шестерку, — их сумма также оканчивается на ноль. Тогда сумма всех чисел на доске никак не может быть равна 2454. Получили противоречие! Ответ в пункте (а) — нет, не может.
б) Предположим, что на доске ровно одно число, которое оканчивается на 6.
Кроме него, на доске есть также 29 различных чисел, в которых последняя цифра — двойка. Какой может быть сумма этих 29 чисел?
Ясно, что она не меньше, чем сумма 29 чисел вида 2, 12, 22, 32... — т. е. не меньше, чем сумма 29 членов арифметической прогрессии с разностью 10 и ах = 2.
Сумма 29 членов такой прогрессии S29 = --(2-2 +10-28)-29 = 4118. Значит, сумма
29 чисел, оканчивающихся на двойку, не меньше 4118, но это больше, чем сумма всех 30 чисел в условии задачи.
Мы снова пришли к противоречию. Получается, на доске не может быть ровно одного числа, оканчивающегося на 6.
в) 	Какое же наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Пусть на доске п чисел, в которых последняя цифра — шестерка (их сумма равна 5,), и 30 - п чисел, в которых последняя — двойка (их сумма равна S2). Ясно, что наименьшими S и будут в случае, если это числа вида: 6, 16, 26, 36... и 2, 12, 22, 32...
Имеем: 5, >^-(б-2 + 10(и-1))-и; S2 > ^(2-2 + 10(30-и-1))(30-л). При этом Sj + S2 = 2454.
^•(б-2 + 10(л-1))-и + ~(2-2 + 10(29-л))-(30-п)<2454;
п + 5п2 + 4410-297« + 5л2 <2454;
5п2 -148и + 978<0.
Рассмотрим уравнение 5п2 - 148л + 978 = 0. D = 1482 - 4 • 5 • 978 = 4 • 586
2-V576 < VD <2-7625 48 < Vd <50
Оценим наименьшее возможное п при условии, что п — целое.
Вспомним, как выглядят решения неравенства вида \ /
ах2 + Ъх + с < 0. Здесь х]их2 — корни квадратного уравне- £
ния ах2 + Ъх + с = 0. у* i
171


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
>х,: т. е. и,„ >
I 1" min
148- 2^586
10
п >
min
74->/586 74-V625 74-25
> , т. е. п,„ > .
п > 9,8. Тогда п > 10.
Но что будет, если п= 10? На доске будет 10 чисел, которые оканчиваются на 6, и 20 чисел, которые оканчиваются на 2. Сумма всех тридцати чисел в этом случае оканчивается на ноль, и это противоречит условию. Значит, п > 11.
Мы оценили п. Осталось привести пример, когда п = 11, то есть на доске 11 чисел, которые оканчиваются на 6, и 19 чисел, в которых последняя цифра — двойка.
Для того чтобы количество чисел, оканчивающихся на двойку, было максимальным, возьмем числа 2, 12, 22, 32... 182. Сумма этих 19 чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 1748.
Значит, сумма чисел, которые оканчиваются на 6, равна 2454 - 1748 = 706.
Возьмем числа 6, 16, 26, 36... 106.
Сумма этих одиннадцати чисел равна 616. Добавим к последнему из них 90. Получим: 2, 12, 22, 32... 182, 6, 16, 26, 36... 196. Это пример.
Заметим, что, когда мы в экзаменационной работе используем метод «Оценка плюс пример», мы не обязаны объяснять, как нашли пример. Надо просто его привести.
3. 	Четырехзначное натуральное число делится на 4, а сумма цифр этого числа равна произведению его цифр.
а) Может ли ровно одна из цифр этого числа не быть единицей?
б) Может ли ровно одна из цифр этого числа быть единицей?
в) Найдите все такие числа.
Пусть А = abed, А : 4, а + Ъ + с + d = abed.
Заметим, что среди цифр числа А нет нулей. Иначе произведение цифр было бы равно нулю.
а) Предположим, что среди цифр числа А ровно 3 единицы.
Пусть все цифры числа А, кроме одной, — единицы. Например, аФ 1, b = с = d = 1. Тогда а = а + 3, и это невозможно.
б) Предположим, что только одна из цифр числа А равна единице, а другие не равны. Очевидно, d * 1 (поскольку А : 4).
Пусть a=\,b>2,c>2,d>2. Тогда Ъ + с + d + 1 = bed.
D J , b+c+1
Выразив из этого равенства d, получим: d = .
be — 1
Поскольку 2<d<9, ^ + С + * > 2.
be-1
Умножим обе части неравенства на be - 1 >0.
Получим: b < С + ^ .
2с-1
с + 3
Мы знаем, что Ъ > 2. Это значит, что > 2.
2с-1
Решив это неравенство, найдем, что с <-.
172


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике •
Это противоречит условию с > 2 и означает, что в числе А не может быть ровно одной единицы.
в) 	Возможно ли, чтобы в числе А вообще не было единиц? Предположим, что а > 2, 6 > 2,
с > 2, а > 2. Из условия а + b + с + d= abed получаем, что d =
a + b +с abc -1
>2.
Тогда а + b + с > 2abc - 2, отсюда b <
а + с + 2 2ас-\
При этом b > 2. Тогда ^+С + ^ >2; а + с + 2> 4 ас -2; 2 <а<-° + ^
2ас-\
4с-1
Из неравенства
с + 4 4с -1
>2
получаем, что с + 4 > 8с - 2;
7с <6;
с < 1, противоречие
с условием с > 2.
Значит, число А содержит ровно две единицы. Мы доказали, что другие случаи невозможны.
Пусть х и у — цифры числа А, отличные от единиц.
jc + 2 л* —1 + 1 + 2
х + у + 2 = ху, тогда у = =
х-1 х-\
1 +
3
Л--Г
Мы получили, что х - 1 должно быть делителем числа 3.
Это возможно, только если х = 2 или х = 4.
Если х = 4, то у = 2. Если х = 2, то у = 4. Значит, число А составлено из цифр 1, 1, 2 и 4. Поскольку А : 4, возможны три варианта: 1124, 4112 и 1412.
4. 	(ЕГЭ-2017) На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 240?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?
а) Предположим, что на доске есть число 240. Тогда сумма остальных девяноста девяти чисел 599 = 5130 - 240 = 4890.
Вы уже догадались, что дальше? Эта сумма не меньше, чем сумма первых 99 членов натурального ряда: S9Q > 1 + 2 + 3... + 99, т. е. S99 > 4950. В то же время S99 = 4890 — противоречие! Значит, число 240 не может находиться на доске.
б) Попробуем обойтись без числа 16. Посчитаем сумму натуральных чисел от 1 до 100.
S]00 = 1 + 2 + ... + 100 = 5050.
Теперь заменим число 16 на наименьшее из тех, на которые его можно заменить, т. е. на число 101. Пусть Z100 — сумма 100 чисел после замены. Оценим ее: Zm > 5050 -16+101 = 5135.
Опять противоречие с условием! Значит, число 16 обязательно должно быть на доске.
в) Посмотрим, какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске.
Мы уже поняли, что число 16 должно быть обязательно. Может ли оно быть единственным числом, кратным 16?
Оценим в этом случае сумму 100 чисел на доске:
S100 > 1 + 2 + ... + 31 + 33 + ... + 47 + 49 + ... + 63 + 65 + ... + 79 + 81 + ... + 95 - 97 + 98 + + 99 + 100 + 101 + 102 + 103 + 104 + 105.
Мы убрали числа 32, 48, 64, 80 и 96 и заменили их числами 101, 102, 103, 104 и 105.
173


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Тогда Sl00 ^—“—•105-32-48-64-80-96.
5100 > 5245, и равенство Sm = 5130 невозможно.
Аналогично, если на доске есть только два числа, кратные 16:
5100 > 1 + 2 + ... + 47 + 49 + ... + 63 + 65 + ... + 79 + 81+ ... + 95 + 97 + 98 + 99 + 100 + 101 + + 102+ 103 + 104.
5,00 104-48-64-80-96.
5100 >5172, и мы снова получим противоречие с условием.
Три числа, кратные 16, могут быть на доске. Пусть это числа 16, 32 и 48.
Тогда 5100 > 1 + 2 +... + 63 + 65 + ... + 79 + 81 + ... + 95 + 97 + 98 + 99 + 100 + 101 + 102 + 103.
5100 ^—^—-103-64-80-96.
SlQ0 >5116, противоречий с условием нет.
Сумма 100 чисел 1, 2, ..., 63, 65 ... 79, 81, ...95, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 117 равна 5130, и среди этих 100 чисел есть ровно 3 числа, кратные 16.
Заметим, что во всех трех задачах использована формула суммы п членов арифметической прогрессии.
5. 	(ЕГЭ-2017) На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?
а) Да, может. Например, числа 7, 8, 9, 10, 13 удовлетворяют условию.
Напомню, что мы не обязаны рассказывать, как получили пример. Главное — привести его.
Подсказка: подбирая пример, можно начать с одинаковых чисел: 9, 9, 9, 9, 9.
Сумма равна 45. Теперь сделаем числа различными и наибольшее из них увеличим на два. Пример подобран за несколько секунд!
б) Предположим, что на доске 10 чисел, сумма которых равна 94. Пусть все они различны. Наименьшее из них обозначим ар наибольшее — a]Q.
Тогда я]0 < 3я,ия]0 >а}+ 9.
Получим, что а{ + 9 < 3и а{ > 5. Это значит, что сумма всех десяти чисел 510 > 5 + 6 + ... + 14, т. е. не меньше 95. Мы получили противоречие с условием.
Значит, ответ в этом пункте — нет, не может.
в) Пусть на доске написано к чисел и их произведение равно 8000.
Легко подобрать примеры, когда на доске два числа: 80 и 100. Легко подобрать пример и с тремя числами: 16, 20, 25. Возможны ли другие варианты?
Разложим число 8000 на простые множители: 8000 = 8 • 103 = 26 • 53.
Если на доске 4 числа, то все четыре числа не могут делиться на 5. Если одно из чисел содержит 53 = 125, то три других числа содержат только степени двойки и наибольшее из них отличается от наименьшего не менее чем в 4 раза. Тогда условие задачи не выполняется.
174


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике •
Если три из четырех чисел на доске содержат множитель 5, то отличаться они должны только степенями двойки. Снова получим, что наибольшее из них отличается от наименьшего не менее чем в 4 раза.
И наконец, случай, когда одно из чисел содержит множитель 5, а другое — множитель 25. Осталось распределить двойки.
Пусть одно из оставшихся чисел равно а,а> 16 (поскольку на доске есть число, содержащее множитель 25). Но тогда другое из оставшихся 6 < 4, и снова условие задачи не выполняется.
Значит, четыре или более чисел в условиях нашей задачи на доске быть не может.
6. 	(ЕГЭ-2017) На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Пусть на доске 5 чисел: я, 6, с, d и е, причем a<b<c<d<e.
По условию, ab > 40. Значит, ab> 41. Пусть а = 6; b = 7.
Поскольку de < 99, возьмем d = 9, е = 10, с = 8.
Наш пример: 6, 7, 8, 9, 10.
Напомню, что если вопрос задачи сформулирован как: «Может ли на доске быть 5 чисел?» — у нас есть варианты ответа: «Да, может, вот пример», или «Нет, не может, потому что...».
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
Предположим, что чисел, удовлетворяющих условию задачи, на доске 6: я, 6, с, d, е и/ Пусть a<b<c<d<e<f
Тогда b > 7 (если b < 7, т. е. Ъ < 6, то а < 5, и тогда ab < 30).
Кроме того, е <9 (если е > 10, то/ > 11 и ef > 110); 7 < b < с < d < е < 9.
Но между числами 7 и 9 находится только одно натуральное число 8, а по условию с и d различны. Мы пришли к противоречию. Значит, в пункте (б) ответ — «не может».
в) Пусть на доске четыре числа: я, b, с, d, причем а < Ъ < с < d; ab > 41; cd < 99.
Пусть S = a + b + c + d. Найдем Smax.
Заметим, что случай ab = 41 невозможен, так как если а = 1, b = 41, то с > 41 и Ьс> 100. Значит, ab > 42, cd < 99.
Аналогично пункту (б), b > 1 и с < 9.
Тогда 6 = 7 или 6 = 8, с = 8 или с = 9; тогда 6 + с < 17.
Поскольку а > 6, а = 6 или а = 7. Поскольку d< 12, возможные значения для d— это 9, 10, 11, 12. Тогда а + d< 19.
Сумма всех четырех чисел S < 17 + 19, т. е. S < 36.
Это оценка. А вот пример S = 36 в условиях нашей задачи привести не удастся. Если 6 = 7ис = 9, то S= 36 = 7 + 8+ 9+12. Однако в этом случае cd > 100.
Подберем пример для S = 35.
Нам подходят числа 7, 8, 9, 11. Значит, наибольшее значение суммы 5= 35.
175


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
7. 	(ЕГЭ-2015) На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в пять раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Двузначные числа на доске— это числа вида 10а + ь., где а. — первая цифра, Ъ. — вторая. Пусть на доске п чисел.
По условию, 10(а, + а2 + ... + ап) + (Ь{ + ... + Ьп) = 2970. a) 10(6j + ... + Ъп) + Ц + а2 + ..."+ ап) = 990.
Обозначим а +а, + ... +а = А, &, + ... + # = #.
12 п 7 I п
[10Л + В = 2970,
|ЮВ + Л = 990.
Отсюда В = 70,А = 290.
Подберем пример. Возьмем 30 раз число 92 и 10 раз — число 21.
А = 9 + 9 + ...+ 9+ 2 +2 + ... +2 30 ш
Д = 2 + 2 + ... +2 + 1 + 1+ ... + 1 30 10
Тогда \0А + В = 10 • (30 • 9 + 2 • 10) + 30 • 2 + 10 = 2970, \0В + А = 10 • (30 • 2 + 10) + (30 • 9 + 2 • 10) = 990.
б) Предположим,
10А + В = 2970, 10# + А = 594.
Решив систему, найдем В = 30,А = 294.
Если на доске п чисел, то п < 30, поскольку все Ъ. > 1.
Если п < 30, то А = ах + а2 + ... + ап < 270, поскольку 1 < а. < 9.
Из условия мы получили, что А = 294. Мы пришли к противоречию — значит, в пункте (б) ответ «нет».
Задачи на числа и их свойства чем-то похожи на суп из топора. Помните эту сказку? Всё из ничего! Наша задача — извлечь из условия все, что можно, и применить, чтобы сделать оценки нужных величин.
ч 	fl0A + # = 2970,
в) i
[10# + А = 5.
Найдем наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Выразим S из системы: S = 10# + А = 29700 - 99А.
Заметим, что S = 29700 - 99А делится на 99. Пусть S = 99к\ тогда 99к = 99 • 300 - 99А; к= 300 - А; значит, А = 300 - ки В = 10к - 30.
w [А = 300-А:,
Мы получили систему: {
|# = 10*-30.
176


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике •
Пусть на доске было п чисел. А — сумма первых цифр этих чисел, В — сумма вторых цифр этих чисел. Поскольку цифры взяты от 1 до 9, п < В < 9п, п < А < 9/7.
J/г < 300-А: < 9/2, Г9/2 > 300-/:,
\п < 1 Ок - 30 < 9л; ^ [9л < 90к - 270.
Из первого неравенства мы взяли оценку для 9/7. А в неравенстве п < 10А: - 30 (оно следует из второго) умножили обе части на 9, чтобы получить другую оценку для 9/7.
300 - к < 9n < 90А: - 270; 300 - к < 90к - 270;
570
91 & > 570; к> ; значит, к > 1 (так как к — целое).
91
Тогда S = 99к > 693.
Если к = 7, то А = 293, В = 40.
Приведем пример, когда А = 293, В = 40, S = 693.
Пусть л = 40, b = 1; А = 293 = 13 • 8 + 27 ■ 7.
Возьмем 13 раз число 81 и 27 раз — число 71.
Получим 81 + 81 + ... + 81 + 71 + 71 + ... + 71 = 2970.
13 27
18 + 18 + ... + 18 + 17 + 17 + ... + 17 = 693.
13 27
8. 	Рассмотрим частное трехзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно .
б) Может ли это частное равняться ?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
Обозначим наше число А\ А = аЪс = 100а + 106 + с.
чгт Л 113
а) Приведем пример числа, для которого = .
аЪс 27
Поскольку а, Ьи с — цифры, 1<д<9;1<6<9и1<с<9.
Число 113 — простое, 27 = З3 = 3 ■ 3 • 3 = 1 • 3 • 9.
Если А = 113, то произведение его цифр равно 3, а не 27. Значит, число А кратно 113.
339 113
Нам подойдет А = 113-3 = 339, тогда = .
3-3*9 27
б) Предположим, что
аЪс 27
Получим уравнение: З3 ■ (ЮОя + 106 + с) = 53 ■ аЪс.
Поскольку правая часть уравнения делится на 5, то и (100а + 106 + с): 5. Тогда последняя цифра числа А равна нулю или пяти. Но случай с = 0 невозможен по условию. Значит, с = 5. Кроме того, А = (100а + 106 + с) : 125.
Выпишем трехзначные числа, которые оканчиваются на 5 и делятся на 125:
125,375, 625, 875.
177


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Условие abc : 27 не выполнено ни для одного из них. Значит, предположение было неверно и ответ в пункте (б) — «нет».
в) 	Пусть = — = т, причем дробь — несократима. abc 27 27
Покажем, что т максимально, если abc = 27.
^ „ АЛ . 999 .999 1Л
Если abc = 21к, где к > 2, то = < < < 19.
abc 21 к 21к 54
Пусть к = 1, тогда произведение цифр числа А равно abc = 27.
Значит, число А состоит из цифр 3; 3; 3 или 1; 3; 9.
931
Наибольшее из таких чисел: 931; > 34. Мы получили результат больший, чем для
случая к >2.
, 931
Значит, тпшу = —.
9. 	На доске написаны 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равно 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стерли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Пусть на доске были написаны числа хр х2 ... х30 — всего 30 чисел, причем 5 < х. < 44.
:
2 ’ 2 2
^ X х? х,0
Вместо каждого из чисел х х ... х написали число —.
Заметим, что если jc. = 5, то — < 3.
2
Пусть на доске было к чисел, не равных 5, и 30 - к пятерок.
Поскольку среднее арифметическое 30 чисел равно их сумме, деленной на 30, сумма 30 чисел на доске равна 30 • 11 = 330.
Введем обозначения: S — сумма к чисел, не равных 5.
Тогда S + 5(30 -к) = 330, отсюда S = 180 + 5/:.
Пусть т — среднее арифметическое к чисел, которые остались на доске после того как стерли числа, меньшие трех.
После того как к чисел были уменьшены в 2 раза, их сумма стала равна арифметическое т = —.
S
а) 	Может ли выполняться условие — >16?
2 к
S 2
Предположим, что — > 16. Тогда S > Ъ2к\ 180 + 5Л: > 32/:, к < 6—.
Пусть к = 6, т. е. на доске 6 чисел, не равных 5, и 24 пятерки.
5
2’
а их среднее
178


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике
Тогда 24 • 5 + 5 = 330; 5'= 210.
Подойдут числа: 5, 5 ... 5, 35, 35, 35, 35, 35, 35. 24
б) 	Может ли быть 14 < т < 15, где т = — ?
2 *
S
Предположим, что 14 < — <15.
2 *
Тогда
14 	< — < 15,
2* Из первого неравенства 28к < S < 30*. Получили систему:
5 = 180 + 5*. 23* <180, 180
180
; — -Л , п\2
<*< ; 1—<к<1 —
25* >180; 25 23 5 23
Неравенство не имеет целых решений. Значит, предположение было неверно.
5
в) Найдем наибольшее т, где т =
2 к
Сумма * чисел, не равных 5, равна S. Мы знаем, что S = 180 + 5*.
^ 5 90 5
Отсюда т- — = — + —.
2* * 2
Очевидно, т максимально при наименьшем возможном *.
Поскольку на доске * чисел, отличных от 5, каждое из этих чисел больше 5 и не превосходит 44 (по условию). Тогда их сумма 6* < S < 44*.
6к< 180 + 5к<44к; m + 5k<44k\ 39£>180; к> А — .
13
Поскольку * — целое, * > 5.
^ S 90 5 90 5
Тогда т = — = — + — < — + —;
2* * 2 5 2
т < 20,5.
Это оценка. Приведем пример, когда * = 5 и т = 20,5. На доске 5 чисел, больших пяти, сумма которых равна 5= 180 + 5 • 5 = 205. Кроме них на доске находится 25 пятерок.
По условию, числа большие пяти могут быть равны между собой. Возьмем их равными 41, поскольку 205 : 5 = 41.
Получим: 5, 5... 5,41,41,41,41,41. ~2~
В этом случае т = 20,5.
10. 	(ЕГЭ-2015) Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Обозначим наше число А = abc. По условию, Ъ и с не равны нулю одновременно, значит, Ъ + с > 1.
179


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
а) Пусть ——— = 82, тогда А = 82 • (я + b + с); А = 82
а + 6 + с
■ к.
Другими словами, А — трехзначное число, которое делится на 82. Выпишем все такие числа:
А
164
246
328
410
492
574
656
738
820
902
984
к
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
Условию удовлетворяют числа 410, 820 и 902.
д
б) Предположим, что = 83, тогда А = 83 • к.
а + Ь + с
Рассуждаем аналогично. Выпишем возможные А и к.
А
166
249
332
415
498
581
664
747
830
913
996
к
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Условие а + b + с = к не выполняется ни для одного из этих чисел. В пункте (б) ответ: «Нет».
Возможен и другой способ решения задачи.
Запишем число А в виде А = 100а + 10Ь + с.
Тогда в пункте (а) получим: 100а + 106 + с = 82а + 826 + 82с; 18а = 726 + 81 с; 2а = 86 + 9с. Поскольку а < 9 (а — цифра), 86 + 9с < 18, что возможно, только если 6 + с < 2. Например, число 902, где 6 = 0, с = 2, а = 9 подходит, 902 = 82 • (9 + 2).
Поступим аналогично в пункте (б): 100а + 106 + с = 83а + 83Ь + 83с; 17а = 736 + 82с. Так как а < 9, 17а < 153, т. е. 736 + 82с < 153.
Это возможно только при 6 = 2, с = 0, или 6 = 1, с = 0, или 6 = 0, с = 1.
Однако при этих значениях бис выражение 736 + 82с не делится на 17. Значит, в пункте (б) ответ: «Нет».
в) Пункт (в) — самый сложный в этой задаче.
Как и в предыдущих пунктах, запишем число А в виде: А = 100а + 106 + с = т(а + 6 + с). Найдем наибольшее возможное т.
Перепишем равенство в виде (100 - т)а + 106 + с = т(Ь + с).
Поскольку а < 9, (100 - т)а + 106 + с < (100 - т) • 9 + 106 + с.
Тогда т(Ь + с + 9) < 900 + 106 + с, отсюда т < + + с
6 	+ с + 9
Преобразуем дробь в правой части неравенства, чтобы воспользоваться условиями 6 + с > 1, 6 > 0, с>0.
^ 810 +106 +10с + 90 - 9с
т:
6 	+ с + 9
(выделяем целую часть),
810-9с 106 +10с-1-90
т< + -
т<
6 + с + 9 810-9с 6 + с + 9
6 + с + 9
+ 10.
8Ю_9С giQ
Поскольку Ь + с + 9>\+9, т< 1-10 < 1-10.
У 10 10
180


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике
Так как с > 0, получим т < 91. Мы сделали оценку. Приведем пример, когда т = 91.
При этом с = 0;
810 Ь + 9
= 81, значит,
b —
1;
100а +10 а +1
= 91, значит, а =
9.
Для числа А = 910 получим: -—- = 91.
Еще одна задача, где для решения пункта (в) необходимо умение работать с неравенствами.
И. Известно, что а, Ь, с и d — попарно различные двузначные натуральные числа.
а) Может ли выполняться равенство а + ° = — ?
b + d 19
б) Может ли дробь ——- быть в 11 раз меньше, чем сумма — + — ?
b + d b d
а + с
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь . если а > ЗЬ и с > 6<П
b + d
а) Предположим, что
а + с b + d
1_
19
где а, /?, с и d— не равные друг другу двузначные
натуральные числа.
Да, равенство может выполняться. Например:
Здесь а = 33, b = 37, с = 91, d = 99.
б) Предположим, что 11 • а + С = — + —;
b + d b d
33 + 37 70
91 + 99 190
1_
19’
\\а + \\с _ ad + Ьс b + d ~ bd ’
11 abd + 11 bed = abd + bed + ad2 + cb2\
10abd - ad2 = cb2 - 10cbd\ ad( 10b- d) = bc(b - 10d).
Поскольку a, b, с и d — различные двузначные числа, 10/? и 10d — трехзначные. Тогда 10/? - d > 0, b - 10<7 < 0 и равенство невозможно, в) Пусть а> ЗЬ, с> 6d,
а + с „ ~
= т. Найдем наименьшее возможное т.
b + d
Запишем условия а > ЗЬ и с > 6d в виде нестрогих неравенств: a>3b+ 1, с > 6d + 1.
_ a + c3Z? + l + 6J + 1 3/? + 6<7 + 2
I огда т = > ; т > .
b + d b + d b + d
г, ^ 3d+ 2
Выделим целую часть: т > 3 + .
b + d
Поскольку а и d — двузначные, а < 99 и с < 99. Значит, ЗЬ + 1 < а < 99; 6d + 1 < с < 99,
отсюда b < —; d < —.
3 6
181


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Так как 6 и d — целые, получим: 6 < 32, d < 16.
Вернемся к оценке для т:
3d+ 2 3d + 2 , .
т > 3 + > 3 + , так как 6 <32.
b + d d + 32
Преобразуем правую часть неравенства, чтобы выделить целую часть:
„ 3d + 2 , 3d + 96-94 _ 94
3 + = 3 + = 6 .
d + 32 d + 32 d+32
94 94
Поскольку d > 10, d+ 32 > 42 и m >6 >6 ,
* d + 32 42
79
m > —. Это оценка.
21
79
Равенство m - — достигается, если d = 10, Ъ = 32, а = 97, с = 61.
21
Наименьшее возможное т равно —.
12. (Санкт-Петербург, пробный ЕГЭ, 2017) Дано квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0,
где а, Ьис — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа а, 6 и с попарно отличаются друг от друга не менее чем на 2.
а) Может ли такое уравнение иметь корень -7?
б) Может ли такое уравнение иметь корень -53?
в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?
а) Пусть х = -7 — корень уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Подставим х = -1 в данное уравнение.
49а - 1Ь + с = 0, и это значит, что с : 7, т. е. с = 1к. Получается, что 49а - 1Ь + 1к = 0, la - b + к =
Возьмем а = 1,6 = 9, к =2, и тогда с = 14.
Получим уравнение х2 + 9х + 14 = 0, удовлетворяющее условию задачи. Число х =-1 является его корнем.
б) Предположим, что наше уравнение имеет корень х = -53.
Подставим его в уравнение: 532 • а - 53Ъ + с = 0. Получим, что число с делится на х = -53. Пусть с = -53 • п.
Заметим, что 1 < с < 100, и равенство возможно только если п = -1. Тогда с = 53. Получим: 532 а - 53b + 53 = 0;
53а -6+1=0;
53а = 6-1.
99
Поскольку 6 < 100, 6 - 1 < 99, а < —.
Значит, а = 1. Тогда 6 - 1 = 53, 6 = 54, и уравнение имеет вид х2 + 54х + 53 = 0.
Однако в нем бис отличаются на 1, и условия задачи не выполняются.
Получается, что х = -53 не может быть корнем уравнения.
в) Пусть наименьший отрицательный корень уравнения ах2 + Ьх + с = 0 равен -р. Подставив его в уравнение, получим: ар2 - Ьр + с = 0, и это значит, что с : р.
Пусть с -пр. Тогда ар2 -Ьр + пр = 0;
ар - 6 + п = 0.
182


Глава 8. Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике •
Поскольку с < 100, пр < 100, и если р > 51, то п = 1.
Пусть р > 51 (при этом корень уравнения х < -51), тогда с=р и ар = b - 1.
Аналогично пункту (б), если р > 51, то а = 1, поскольку b < 100 и b - 1 < 99.
Еслир = b - 1 ир = с, то с = b - 1, что не соответствует условию задачи.
Значит, уравнение не может иметь целого корня х < -51, то есть возможны только целые корни х > -50.
Приведем пример, когда х = -50.
Подставив х = -50 в уравнение, получим: 2500а - 50b + с = 0. Очевидно, с делится на 50. Пусть с = 50т. Возьмем т = 2. Тогда 50а - Ь + 2 = 0, 50а = Ъ - 2.
Выбрав а - 1, b = 52, получим уравнение х2 + 52х + 100 = 0.
Его корни легко найти по теореме Виета. Они равны -2 и -50.


глава 9
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ТЕСТЫ: ПОЛНЫЕ ВАРИАНТЫ ЕГЭ
Заключительный этап подготовки к ЕГЭ — решение вариантов. Я составила для вас 4 полных варианта для тренировки. Большинство задач 2 части — мои авторские. Для того чтобы этот материал принес вам максимальную пользу, действуйте следующим образом:
— перед решением варианта повторите теорию. Шпаргалками и телефоном на экзамене пользоваться запрещено;
— выделите себе 3 часа 55 минут на решение варианта. Отключите телефон. Пусть вас никто и ничто не отвлекает. Ваша задача — уложиться в это время и решить весь вариант;
— все 4 варианта — по сложности такие же, как и вариант ЕГЭ. Начинайте с первого и не заглядывайте ни в другие варианты, ни в решения;
— задачи 1-й части, а также задачи 13, 15 и 17 решайте одну за другой. На них у вас должно уйти не более двух часов. Пока не закончили задачу — за следующую не беритесь. Это правило;
— если вы решили всю 1-ю часть и задачи 13, 15, и 17 — вы набрали 80 баллов. Теперь перед вами 4 задачи — стереометрия, планиметрия, параметры и нестандартная. Выберите ту, что больше вам нравится. Не нужно хвататься за несколько задач одновременно;
— важный момент: сразу оформляйте решения задач 2-й части. На заключительном этапе тренировки почти не должно быть черновика — сразу чистовик. Иначе на экзамене не успеете записать все;
— считайте без калькулятора. Пусть вычисления будут максимально простые!
— когда все готово — оцените, удалось ли уложиться в отведенное время. Сверьте ответы и решения.
Удачи вам!
вариант 1
1. (Авторская задача) Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы — 6200 км.
2. На рисунке показано изменение темпера- * туры воздуха на протяжении трех суток. По го- 30 ризонтали указываются дата и время суток, по 2в вертикали — значение температуры в градусах 26 Цельсия. Определите по рисунку разницу меж- и ду наибольшей и наименьшей температурой воз- 20 духа 7 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия. 18
1в
14
12
00:00 06 00 12:0018 00 00:00 06 00 12:00 18 00 00 00 06 00 12 00 18 00 00:00 7 августа 8 августа 9 августа
3. (Авторская задача) На координатной плоскости заданы точки А(\; 1), В(2; 3), С(-2; 0) и D(2; -2). Найдите угол между векторами АВ и CD.
184


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
4. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
л(4х-3)
5. Решите уравнение sin = 1. В ответе напишите наибольший отрицательный
4
корень.
6. 	(Авторская задача) Точка М расположена на стороне АВ треугольника АВС так, что АМ= 3, ВМ= 7. Площадь треугольника А СМ равна 15. Найдите площадь треугольника ВСМ.
7. 	На рисунке изображен график производной функции у = / (х). При каком значении х функция у = / (х) принимает свое наибольшее значение на отрезке [-4; -2]?
8. 	Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
9. Найдите tg а, если
7 	sin а + 13cosoc 5 sin ос-17 cos ос
10. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pVa = const, где р (Па) — давление в газе, V — объем газа в кубических метрах, а — положительная константа. При каком наименьшем значении константы а увеличение в 16 раз объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее чем в 32 раза?
11. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
12. Найдите наименьшее значение функции у = (х2 - 8х + S)e2~x на отрезке [1; 7].
13. (Авторская задача) л/2 |sin х| = tg х.
а) Решить уравнение.
б) Найти все его корни на отрезке [-Зл; 2л].
185


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
14. 	(Авторская задача) На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка Р так, что SA = 2 АР. Точки Ми N— середины ребер ВС и АС соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q.
а) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.
б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.
15. (Авторская задача) Решите неравенство: In (х2 - х - 2) < 1 + In:—-.
16. (Авторская задача) Четырехугольник ABCD вписан в окружность; лучи ВА и CD
пересекаются в точке Р, углы ВРС и ACD равны 30°, ВС =
а) Докажите, что ВС и AD параллельны.
б) Найдите длину отрезка, соединяющего середины АС и BD, если R = 2.
17. 	(Авторская задача) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 64 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на р% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите р, если известно, что кредит будет полностью погашен за три года, причем в
первый и второй год будет выплачено по 16 000 рублей, а в третий год — 80 000 рублей.
18. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство j|jt2-6х + 5\-х2 +6х-\з\<а-а2 -(х-2)2 +2х-4 имеет единственное целое решение.
191. На доске написано число N=2 345 623 456.
а) Можно ли, приписав к числу N справа две цифры, получить в результате число, кратное 72?
б) Можно ли, приписав к числу N справа три цифры, получить в результате число, кратное 792?
в) Сколькими способами можно вычеркнуть из числа Л^две цифры так, чтобы полученное число делилось на 12?
вариант 2
1. Система навигации самолета информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 35 000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.
2. (Авторская задача) На графике показано изменение курса биткоина к рублю в 2017 году. Запишите порядковый номер месяца, в течение которого цена биткоина впервые превысила 600 тысяч рублей.
1,000,000
1 Авторская задача Антона Акимова.
186


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ $
3. 	На бумаге в клетку изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4. 	(Авторская задача) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
5. 	Найдите корень уравнения V—72 ч- 17jc = х. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
6. 	В треугольнике АВС угол А равен 46°, углы В и С — острые, высоты BD и СЕ пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.
А
7. 	На рисунке изображен график функции у =/'(*) — производной функции fix). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у =f(x) параллельна прямой у = 2х + 5 или совпадает с ней.
8. 	В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер.
187


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
O^VTo-1
9. Найдите значение выражения -J—^=—.
10. Ускорение свободного падения (в м/с2) на поверхности планеты рассчитывается по
М
формуле g =G планеты ^ ^ где q _ Гравихационная постоянная, G = 6,67 • 10~11 м2/с2 • кг.
(■^планеты )
Определить ускорение свободного падения на поверхности планеты Плюк, если масса Плюка равна 3,68 • 1024 кг, а его радиус равен 4,6 • 106 метров.
11. 	Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 30 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 370 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
12. 	Найдите наибольшее значение функции у = 3tgx - Ъх + 5 на отрезке
(tg*W3)log13(2 sin2 jc)
13. 	а) Решите уравнение —— ; =
log31 \yl cosx]
б) Найдите все корни уравнения на промежутке
0.
^ к кN
2 2
14. (Авторская задача) В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDAlBlC]D[ лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и СС} параллельно диагонали В]D.
а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро В в отношении 1 : 5, считая от точки Вг
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.
15. (Авторская задача) Решите неравенство:
4х - 3-10* -10-25* х3 - Ъх2
16. (Авторская задача) Окружности, построенные как на диаметрах на сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD, касаются в точке М.
а) Докажите, что ABCD — ромб.
б) Пусть Р и Q— точки пересечения продолжений диагоналей параллелограмма АС и BD соответственно с общей внешней касательной к окружностям; прямые PQ и AD лежат по одну сторону от прямой Opv
Найдите площадь треугольника PQC, если радиусы окружностей равны 2, а синус угла
BAD равен
4
5’
188


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ •
17. 	(Авторская задача) В марте 2014 года Андрей открыл вклад в банке. Первого января каждого года банк начисляет некоторый постоянный процент р. Затем в марте Андрей пополняет счет таким образом, чтобы сумма денег на счете возрастала согласно следующей таблице:
Март 2014
Март 2015
Март 2016
Март 2017
5
25
35
45
В марте 2017 года Андрей, как обычно, пополнил вклад, а через месяц снял все деньги со счета. Известно, что всего Андрей дополнительно внес сумму, на 140% превышающую исходный вклад. Найдите р.
18. 	(Авторская задача) При каких значениях параметра а уравнение (sin х-a)(\gx-a)-0
имеет единственное решение на интервале
I 2’4 J'
19. 	Даны п различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, п > 3.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение п, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения л, если сумма всех данных чисел равна 129.
вариант з
1. 	Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 3%. Книга стоит 300 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?
2. 	На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости в течение каждого часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указывается номер часа, по вертикали — количество посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме, за какой час в данный день на сайте РИА Новости количество посетителей впервые превысило 30 тысяч.
90 000
3. 	На бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен вписанный в окружность угол АВС. Найдите его градусную величину.
4. 	Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 4»?
189


Математика. Задания высокой и повышенной сложности
■G)
= 512.
5. Найдите корень уравнения:
6. Найдите синус угла ЛОВ. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2V2.
7. 	На рисунке изображен график производной у =f(x) функции у= f(x), определенной на интервале (-4; 8). В какой точке отрезка [-3; 1] функция у = f{x) принимает наименьшее значение?
8. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половины высоты. Объем жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
9. Найдите значение выражения при т = 4096.
yjm хЦт
10. Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону \) = \)0 cos , где t — время с момента начала колебаний, Т = 2 с — период колебаний,
ШХ)^
\)0 = 1,8 м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле Е = ——,
где m — масса груза в килограммах, х> — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 26 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
11. 	Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними равно 280 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
12. 	Найдите наименьшее значение функции у = 9х - 1п(9х) + 3 на отрезке
J_5_
18*18
13. а) Решите уравнение
sin 2х
= V2.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
190


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ •
14. 	(Авторская задача) Все ребра правильного тетраэдра ABCD равны >/з. Точка Р — середина ребра ВС; точки М и К делят ребра AD и BD в отношении 1 : 4, считая от вершины D.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью РМК.
б) В каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра?
15. (Авторская задача) Решите неравенство: log(2_^ (jc + 1)3 -log^ (;с + 0 - 2-
16. (Авторская задача) В треугольнике АВС угол В равен 30°, высоты СМ и АК пересекаются в точке Н. Из точек Ми Кв треугольниках АМН и КСН проведены медианы, продолжения которых пересекаются в точке F.
а) Докажите, что угол MFK — прямой.
б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника MKF, если АС = 6.
17. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Июль 2020
Долг (в тыс. рублей)
5
0,75
0,45
0
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
18. 	(Авторская задача) Найдите все значения параметра с, при которых существуют
такие а и 6, что система уравнений имеет единственное решение (.х; у).
х2 + у2 = 9,
(х-а)2 +(y-bf =9. а2 +Ь2 = с2.
19. 	Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (не обязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек может оказаться среди них?
191


* Математика. Задания высокой и повышенной сложности
вариант а
1. В магазине «Сделай сам» мебель продается в разобранном виде. При желании покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости самой мебели. Во сколько рублей обойдется кухонный шкаф вместе со сборкой, если без сборки он продается за 3000 руб.?
2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель остывал.
3. 	На бумаге с размером клетки VTOxvlO изображен четырехугольник ABCD. Найдите его периметр.
4. 	На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
5. Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
запишите больший из корней.
6. 	Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен >/з.
7. 	На рисунке изображен графику =/'(*) — производной функции/(х). На оси абсцисс отмечено девять точек: xv jc2, jc3, jc4, jc5, x6, x_, jc8, jc9. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции /(х)?
192


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
8. 	Найдите тангенс угла D{AXD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
9. Найдите Зр(х - 4) - р(Зле), если р(х) = 4х + 2.
10. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = -512 + 18/, где h— высота в метрах, t— время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров?
11. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
12. Найдите точку минимума функции у = хъ - 4х2 - Зх - 13.
13. 	а) Решите уравнение (V2sin2 jc + cosjc-V2)V-6 sin jc = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона АВ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки М,Ыи К соответственно, причем AM = DN = 4 и АК = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости SBC.
.U2-2jc-i| ,
4' -16
15. (Авторская задача) Решите неравенство: —— < 0.
|jc| — 5
16. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон АВ и CD в точках Ми 7Vсоответственно. Известно, что AM = 6МВ и 2DN = 3CN.
а) Докажите, что AD = 3ВС.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен VlO5.
193


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
17. 	Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5лс2 + 2х + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составитрх - (0,5jc2 + 2х + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 3 года?
18. 	Найдите все значения а, при которых уравнение (х2 -б|х|-я)2 + \l(x2 -б|*|-а) + 37 = cos^i^
имеет ровно два решения.
19. 	Последовательность ау а2, ..., а6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Мк— среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме А>го. Известно, что М] = 1, М2 = 2.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой Мъ = 1,6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой Мъ = 3?
в) Найдите наибольшее возможное значение Му


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
ответы, комментарии, решения
вариант 1
1. Ответ: 800,
2. Ответ: 16.
3. Ответ: 90.
Угол ср между векторами а и Ъ находим по формуле cos ф = :
ШЬ\
и
АВ CD = 1-4-
2-2 = 0.
Скалярное произведение векторов равно произведению их 'длин на косинус угла между ними. Длины векторов АВ и CD не равны нулю. Значит, угол между ними равен 90°.
Теме «Векторы» посвящена глава моей книги «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ». Эту тему точно стоит повторить перед экзаменом.
4. Ответ: 0,06.
Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть р — вероятность того, что чайник прослужил больше года, р — вероятность того, что он сломается на второй год, р2 — вероятность того, что он прослужит больше двух лет. Очевидно, р=рх+ рг
Тогдар1=р~р2 = 0,93 -0,87 = 0,06.
Теории вероятностей также посвящена глава моей книги «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ».
5. Ответ: -0,75.
к(4х-3)
Сделайте замену t = 1, решите простейшее уравнение sin t = 1 и вернитесь
4
к переменной х.
6. Ответ: 35.
7. Ответ: -4.
8. Ответ: 6.
Грань тетраэдра состоит из четырех треугольников площадью S каждый. У тетраэдра 4 грани, значит, площадь его поверхности равна 165. Многогранник внутри тетраэдра (октаэдр) имеет 8 граней площадью 5 каждая, и площадь его поверхности равна 85.
9. Ответ: 8.
10. Ответ: 1,25.
11. Ответ: 30.
Я заметила, что новички пугаются этой задачи. «Здесь же улитка! — говорят они. — Здесь прогрессия!»
Да, прогрессия. Пусть улитка проползла в первый день ах метров, в последний — ап
(ах+ап)п
метров, причем я, + ап = 10. Тогда за п дней она преодолела 5Л = = 150 метров.
Отсюда п = 30.
195


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
12. 	Ответ: -4.
Хотите решить эту задачу за 10 секунд? Вспомните, что число е — иррациональное. Когда функция ё принимает целое значение? Очевидно, при t = 0. Если t = 2-х = 0,тох = 2. Именно это значение и надо подставить в формулу функции, чтобы найти ее наименьшее значение. Подставив, получим: у(2) = -4.
Это быстрое решение для хитрых. Мы воспользовались тем, что ответы в первой части ЕГЭ по математике — это целые числа или конечные десятичные дроби. А теперь — честное решение!
/ = (2х-8)е2'х -е2~х (х2 -8х + 8) = е2'* (-х2 +10* - 1б)
Найдем знаки производной на отрезке [1; 7]. х = 2 — точка минимума, ymin = -4.
-е2 х (х-2)(х-8).
X
13. 	V2 |sin jc| = tg jc.
Начнем с области допустимых значений уравнения: cos* Ф 0.
Раскроем модуль по определению. Мы помним, что |z| =
z,z> 0
[-z,z<0
Наше уравнение равносильно совокупности двух систем и уравнения sinx = 0:
sin х > 0 yfl sin х = tg x sin jc < 0 -yfl sin jc = tg x
<=>
sin jc = 0 sin jc > 0
cos jc = -
sin jc < 0
«•
cos* = —
x = nn, ne Z sin jc > 0 71
jc = ± — + 2nn 4
sin jc < 0
JC = ± h 2nn
4
x - nn, ne Z n ^
jc = — + 2nn 4
5n
x- v 2nn
4
При отборе решений пользуемся тригонометрическим кругом.
В пункте (б) сделаем отбор решений с помощью двойного неравенства — чтобы не забывать об этом способе.
Для серии х = nn, п е Z: -Зтс <пп< 2п;
-3<п<2;
-3к, -2к, -к, 0, я, 2п — решения.
196


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ •
тт 7С _ ^ ^ 71
Для серии х = —ь кп, пе Z: -Зп <— + кп< 2л;
4 4
-3 < — + и < 2;
4
4 4
Поскольку п — целое, п=-3, -2, -1, 0 или 1.
11л 7л Зл л 5л
Решения на указанном отрезке: ; ; ; —; —.
4 4 4 4 4
Ответ: а) ли, п е Z, или —+ 7Ш, и е Z;
4
. Ил _ 7л Зл . л 5л _
б)-Зл; ; —2л; —г;-7с; —-; 0; -; л; — ;2л.
4 4 4 4 4
14. а) Покажем, что (MNQ) -L SC.
Правильный тетраэдр — треугольная пирамида, все грани которой представляют собой правильные треугольники. Скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны, поэтому АВ _L SC. Это легко доказать.
Отрезок СО — проекция ребра SC на плоскость основания.
СО _L АВ, так как О — центр правильного треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах, SC _1_ АВ.
Заметим, что MN || АВ как средняя линия в треугольнике АВС и, значит, SC _L MN.
Пусть ребро тетраэдра равно а.
Отрезок PQ лежит в плоскости боковой грани SAC.
Треугольник APN— равнобедренный, АР = AN = —;
тогда ZAPN = ZANP =
180° - Z.PAN 180°-120°
= 30°;
2 2
ZNCQ = 60°, тогда из ANCQ получим, что ZNQC = 90°,
PQ1SC.
Таким образом, прямая SC перпендикулярна двум пе- а/ * ^ с
ресекающимся прямым MN и NQ, лежащим в плоскости MNQ. Значит, она перпендикулярна и всей плоскости MNQ. б) Найдем объем пирамиды SMNQ.
Треугольник MNQ — основание пирамиды, SQ — ее высота, поскольку SQ 1 (MNQ). В прямоугольном треугольнике CNQ угол QNC равен 30°, следовательно,
QC = — NC = — АС = 1, М2 = л/з, SQ = —АС = 3.
2 4 4
Поскольку треугольники NCQ и MCQ равны, MQ = NQ = >/з.
В треугольнике NMQ:
MQ = NQ = S-,MN = ±AB = 2; 5^e=V2; VSMNQ = Jl.
197


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
15. 1п(лг2 —дг — 2)<1 + 1п Л + ^.
' ' х-2
Разложим х2 - х - 2 на множители: х2 - х - 2 = (х + 1 )(jc — 2).
ln(x + l)(x-2)-ln Х + ^ < 1.
х-2
Найдем область допустимых значений неравенства.
(х + 1)(х- 2) > О
Х+1
х-2
>0
Х<-1 х > 2
X
Преобразуем левую часть неравенства по формуле разности логарифмов. И не забыва-
ln(x-2)2 -1 < 0
ем об ОДЗ. Неравенство равносильно системе:
ЛГ< —1 х > 2
Первое неравенство упростим по методу замены множителя. Множитель log /- 1 заменяем на (h - 1)(/- К). Логарифм здесь натуральный, его основание равно е,е>\.
Получим:
(х-2)" -е < 0
(x-2)2-(^f <0
'(
’*<-1
х < -1 0<
"
х> 2
_х >2
(х-2->/ё)(х-2 + >/ё) < 0
х < —1 х > 2
<-> <
(х-(2 + 7ё))(х-(2-7ё))<0
х < —1 х > 2
Отметим на числовой прямой точки 2 +>/ё и 2-у[ё. Очевидно, что 2 + >/ё > 2. Но что больше, 2->/ё или-1?
Поскольку е < 4 и 2 = V4, получаем, что 2 - yje > 0.
Значит, 2- \[е > -1.
Ответ: (2;2 + VeJ.
1
£
=Ц_
2 + у[е
X
16. а) Пусть О — центр окружности, Я — ее радиус. Треугольник ЛСР— равнобедренный, ZACP = = ZAPC = 30°, значит, ZCAP = 120°, ZBAC= 60°.
ZAOD = 60°, так как центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Тогда треугольник AOD — правильный и AD = R.
ВС
По теореме синусов, = 2R. Следовательно,
sin ZB АС
—=- = 2R\ ВС = RyJ3, тогда
7з
|AB = rS VLAB^Ryh.
Мы получили, что для треугольника
198


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ #
АОВ выполняется теорема Пифагора: АВ2 = АО1 + ОВ2. Значит, ZAOB = 90°, ZACB = 45° (как вписанный, опирающийся на ту же дугу).
Из треугольника ВРС, где ZP= 30°, ZC= 75°, получим, что ZABC= 180° - 30° - 75° = 75°. Значит, ABCD — равнобокая трапеция и AD || ВС.
Пункт (б) — стандартная задача из первой части ЕГЭ по математике. Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований. Правда, в первой части ЕГЭ вам не нужно было доказывать этот факт. А сейчас мы его докажем.
Пусть точка М— середина диагонали BD трапеции ABCD. Пусть точка К— середина стороны DC. Тогда МК — средняя линия треугольника BDC.
Пусть МК пересекает диагональ АС в точке N. Тогда NK — средняя линия треугольника ADC, поскольку проходит через середину стороны DC параллельно AD, т. е. N — середина АС. Таким образом, отрезок MN— это разность средних линий треугольников BDC и ADC, и его длина равна полу- разности оснований.
„ц-ВС-AD
2 2
Если R = 2, то MN - \[b -1.
17. Пусть S — сумма кредита; S = 64 тыс. рублей, Х= 16 тыс. рублей, У= 80 тыс. рублей.
k = 1 + где р — процент по кредиту. Как всегда, составим уравнение для погашения кредита. Расчеты ведем в тысячах рублей.
((S-k-X) к-Х) k-Y = 0; ((64к-16)к-1б)к-80 = 0;
64А:3 — 16/с2 — 16Л: — 80 = 0; 4къ-к2 - к-5 = 0.
Мы получили уравнение третьей степени. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности кубов:
{4к?-4)-(к + к + 1) = 0;
4(к- 1 + \) - (к2 + к + 1) = 0;
Ок2 + к+ 1 )(4Л: — 5) = 0.
Поскольку к2 + к + 1 > 0 при всех к, получим, что 4к- 5 = 0. Тогда к= — \р = 25%.
Ответ: 25%.
18. ||х2 -6х + 5|-;с2 +6л;-ТЗ| < а-а2 — (jc — 2)~ +2.Х-4.
Преобразуем зависящее от х выражение -(х - 2)2 + 2х - 4 в правой части неравенства, раскрыв скобки:
-(х- 2)2 + 2х - 4 = -х2 + 4х-4 + 2х-4 = -х2 + 6х- 8 = -(х2 - 6х + 8).
Сделаем замену z = х2 - 6х + 5. Тогда -х2 + 6х - 13 = -(х2 - 6х + 13) = -(z - 8).
Неравенство примет вид ||z| — z — 8| н- z < а-а2 -3.
Обозначим а - а2 - 3 = Ь. Стало проще: ||z\ - z - 8| + z < Ъ.
Оценим, какие значения может принимать z = х2 - 6х + 5. Выделим полный квадрат: z = х2 - 6х + 5 = х2 - 6х + 9 - 4 = (х - З)2 - 4 > -Л.
199


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Заметим, что если х — целое, то z(x) — тоже целое.
Построим график функции у = \\z\ - z~&\ + z при z>^.
у (z) = z + 8, если z > 0; у (z) = 3z + 8, если z < 0.
Функция y(z) монотонно возрастает, то есть каждое свое значение принимает ровно один раз.
Если b е (-4; -1], неравенство у (z) < b имеет единственное целое решение z = -4.
Если b < -4 — решений нет. Если b > -1 — неравенство имеет более одного целого решения z.
Если z = z0 — решение неравенства, то все z < z0 также будут решениями неравенства.
Мы получили, что если b е (-4; -1 ], то неравенство ||z| - z - 8| + z < Ъ имеет единствен¬
ное целое решение z = -4.
Если z = (х - З)2 - 4 = -4, то х = 3 и, значит, исходное неравенство также имеет единственное целое решение.
Найдем, при каких а это произойдет.
\а-а2 -3 < -1, [а2 - а+ 2 > 0, — верно всегда 9
< <=>< <=>я -я-1<0;
[а-а2-3>-4; 1я2-д-1<0;
'\S\+S'
2 ’ 2
V У
19. 	а) Число делится на 72 в том и только в том случае, когда оно делится на 9 и на 8 одновременно. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр, а на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится число, составленное из трех его последних цифр.
Сумма цифр числа N равна 40.
Припишем к числу N справа цифры 3 и 2, получим число 234 562 345 632. Сумма цифр полученного числа равна 45, а число, составленное из трех его последних цифр, — это 632. Таким образом, условия делимости на 72 выполнены.
б) Число делится на 792 тогда и только тогда, когда оно делится на 8, на 9 и на 11.
Вспомним признак делимости на 11: суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.
Легко проверить, что в числе N суммы цифр на четных и на нечетных позициях равны: 2 + 4 + 6 + 3 + 5 = 3 + 5 + 2 + 4 + 6.
Значит, само число N делится на 11. Припишем к нему справа три цифры а,Ькс.
Необходимо выполнение условий:
1) число, составленное из цифр а,Ьис, должно делиться на 8;
2) сумма а + Ъ + с равна 5, 14 или 23 — словом, при делении на 9 должна давать остаток 5;
3) b = а + с (или же разность а + с- Ъ делится на 11).
Подходит число 176.
в) Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы его сумма цифр была кратна 3, а число, составленное из двух последних цифр, было кратно 4.
200


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ •
Заметим, что вычеркивать последнюю цифру, 6, нельзя: чтобы число осталось четным, нужно будет вычеркнуть и предпоследнюю 5, после чего оставшееся число не будет делиться на 3.
Вычеркивать предпоследнюю цифру, 5, тоже нельзя: чтобы число было кратно 4, нужно будет вычеркивать и третью с конца 4, но тогда результат не будет делиться на 3.
Таким образом, последними цифрами остаются 5 и 6. При этом условие делимости на 4 выполняется.
Осталось условие делимости на 3. Поскольку сумма цифр числа N равна 40, сумма двух вычеркнутых цифр должна быть равна 4, 7 или 10 — то есть при делении на 3 давать остаток 1. Значения, меньшие 4 или большие 10, в условиях задачи невозможны.
Получить 4 можно, вычеркнув две двойки (единственным способом).
Получить 7 — вычеркнув комбинацию «2; 5» или «3; 4». Комбинацию «2; 5» можно вычеркнуть двумя способами, поскольку предпоследнюю пятерку мы не трогаем и вместе с остающейся пятеркой можем взять одну из двух двоек.
Для комбинации «3; 4» возможны 4 способа.
Наконец, пару «4; 6» можно вычеркнуть двумя способами, поскольку мы не трогаем последнюю шестерку.
Всего получается 9 способов.
вариант 2
1. Ответ: 10675.
2. Ответ: 11.
3. Ответ: 7.
4. Ответ: 0,288.
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 1 — 0,2 = 0,8. Для второго 1 - 0,75 = 0,25. Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй — два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 0,8 • 0,75 • 0,8 • 0,75 • 0,8 = 0,36 • 0,8 = 0,288.
5. Ответ: 8.
6. Ответ: 134.
7. Ответ: 3.
8. Ответ: 0,25. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
9. Ответ: 2.
10. Ответ: 11,6.
И. Ответ: 55,5. Вспомним, что средняя скорость находится по формуле S S + S
\)ср = —— = —i—-2- Примем 5j = 52 за единицу и найдем 0)ср.
^общ L _| ?_
О), 0)2
201


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
12. Ответ: 5.
(tgлгН-л/з)logM (2sin2 х)
13* \г' ,—- = о.
log31 (V2cosxJ
cos х > О,
ОДЗ: < sinx^O,
V2 cos х Ф 1.
Заметим, что решать эту систему не нужно. Мы решим уравнение и проверим найденные корни на соответствие данным условиям.
С учетом ОДЗ исходное уравнение равносильно следующей системе:
tgx + 7з =0, log13 (2sin2 х) = 0,
cosx>0, ^
sin х Ф 0,
л
cos х Ф —;
tg х = —л/3, 2sin2 х- 1, cos х > 0, sin х Ф 0,
cos х Ф —:
<=>
х = Ь ш, пе Z,
3
X = ± h КП,
4
cos* > 0, sin х Ф 0,
л
cos х Ф —;
<=> х = ь7Ш, пе Z.
3
б) С помощью тригонометрического круга (или с помощью двойного неравенства) найти
Т
дем, что промежутку
( п
—; — принадлежит корень х - 2 2 ,
Ответ: а) х = - —+ яи, пе Z; б) ——.
3 3
14. 	Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Ми К параллельно диагонали Вр.
Выберем плоскость, в которой лежат и точка М, и прямая Вр.
Это плоскость, проходящая через параллельные прямые АОиВхСу
В плоскости ADCX проведем ML || Вр.
ML — средняя линия AADBy тогда L — середина АВу
Нам осталось построить сечение, проходящее через точки М, L и К. Плоскость этого сечения параллельна Вр, поскольку содержит прямую ML, ML || Вр.
Пусть точка Т— проекция точки L на плоскость основания АВС. Заметим, что LT = КС и LK || {АВС). Значит, плоскость сечения а проходит через прямую LK, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскостей а и АВС параллельна LK, и тогда эта линия параллельна ГС, поскольку LTCK — прямоугольник и LK || ТС.
Проведем MN || ТС в плоскости АВС.
202


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
#
Из подобия треугольников ВТС и DNM получим, что DN = — DC.
4
Пусть MN п ИЯ = Я; Я е а, Е е (Ии^Я,).
Соединив Е и Я, получим ЯР — линию пересечения плоскости сечения с гранью (ИИ^Я,). Пятиугольник MFPKN— искомое сечение. Найдем, в каком отношении плоскость сечения делит ребро ЯЯ,.
Поскольку треугольники ЕАМ и NDM равны, АЕ = ^ АВ.
AAEF ~ АВЕР ~ ATEL,
ЕТ
ВВ, _ РЯ
РЯ
ЯЯ’
2| -АЯ + -АЯ
I2 4
1 V
АВ+-АВ
4
5 Я Р 1 Отсюда РЯ = -ЯЯ,; —1— = -.
6 1 РЯ 5
б) Найдем угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Треугольники АВМ и DMN подобны, ZBMA + ZNMD = 90°, тогда ZBMN= 90°, BMZMN. Поскольку ЯЛ/— проекция РМ на плоскость основания, по теореме о трех перпендикулярах PM _L MN. Тогда, согласно определению угла между плоскостями а и АВС, этим углом будет угол РМВ. Найдем тангенс этого угла.
Из пункта (а): РЯ = - ЯЯ, =
6 6
5
3'
Из ААВМ: ВМ =
2 '
Из АР МВ, где ZЯ = 90°: tg ZPMB =
РЯ
ЯМ
5-2
3-V5
2у[Е
3
4* - 3-10*-10-25*
л:3 - Здг2 -
Разложим числитель дроби в левой части на множители.
Выражение 2^-3 • 2х • 5х - 10 • 51* — однородное степени 2х. Вынеся 51х за скобки,
получим: l -3-2Л -5* -10-5 * =5
\2х
Г-Г-з-
/ о V ^
[Г21
X \
|Г2Т+2]
1 ь 1
о
= 52лг
-5 •
N
v5J J
/
V4 7 /
Как мы разложили
(!Н!
■ 10 на множители? Очень просто — сделали замену
/9 Y
= t, разложили на множители выражение Р - 31 - 10 = {t - 5)(t + 2) и вернулись к
15
переменной х.
Неравенство примет вид:
((24 А
и
' 2Л
х ^
- -5 ■
+ 2
[v)
,5,
1 (*-з)
>0.
203


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Поделим обе части на 52х > 0 и
+ 2 > 0.
с2(х-3)
>0.
Представим 5 как |
\log25
и применим метод замены множителя. Множитель hf - h8
заменяется на (h -1)(/- g). ^ 2
d
x-\og2 5
Х-log2 5
>0;
<0.
x2(x-3) х2(х-3)
Очевидно, log 2 5 < 0, так как 5 > 1 и функция у = log 2 х —
5 5
монотонно убывающая. Решим неравенство методом интервалов.
log 2 5 0
Ответ: х i
log2 5;0 |u(0;3).
16. а) Пусть R — радиус окружности. Точка внешнего касания окружностей лежит на отрезке, соединяющем их центры; 0p2 = 0]M+02M=2R.
Поскольку АВ и CD — диаметры окружностей, АВ = CD = 2R; 01и02 — середины сторон параллелограмма ABCD\ AOp2D — параллелограмм, AD = Ор2 = 2R, ABCD — ромб.
4
б) Найдем S^QC если R = 2, sin ZBAD = -.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Пусть ZBAD = 2ср. Тогда ZCAD = ZBAC = ср.
sin 2(р = —;
cos 2ф = -. • 5
По формулам косинуса двойного угла: cos2cp = 2cos2cp -1 = 1- 2sin2cp найдем
2 . 1
COSф = —у= , sin ф = —
S V5
Из AAMD, в котором ZM:
4 8
90°, найдем DM = AD • sin ф = —j=; AM = AD • cos ф = -j=;
v5 v 5
AADM-APQM.
204


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
Высота треугольника PQM, проведенная из точки М, равна R, а высоту треугольника АРМ легко найти из формулы его площади:
1
1
ADM ~ 2 ADM ‘ — 2 ’ ^&ADM
= _L = A; Р(2=5.
h\pQM
AD DM _ 4-8 _ 8 AD _ 5-4 _ 5 ’
/><2 5-2 />б
8 18
Высота треугольника равна сумме высот треугольников PQM и ВМС, т. е. 2 + - = —.
=1.18.5 = 9. 5 5
JAPQS
2 5
17. Пусть S — первоначальная сумма вклада; р — процент банка по вкладу; к = 1 + Покажем, как меняется сумма на счете Андрея.
Год 2014 2015 2016
Март
2017 4 S ■
S 2 S 3 S
\ / \ / ч /
Январь kS 2 kS 3 kS
По условию, Андрей трижды вносил на счет дополнительные суммы денег.
1- 	е пополнение: S{ = 2S - kS.
2- 	е пополнение: S2 = 3S- 2kS.
3- 	е пополнение: S3 = 4S - 3kS.
Всего Андрей внес дополнительно: S{ + S2 + S2 =2,4S;
9S- 6kS = 2,45; 3 - 2k = 0,8; к = 1,1; l + -^- = l,l.
100
Отсюда p = 10%.
18. (sin x - a) (tg x - a) = 0.
Область допустимых значений уравнения: х Ф — + пп, пе z. Для нашего интервала хФ—. к
хФ- 2
Получаем:
sm х — а tgx = а
Эта система должна иметь единственное решение х е
г и Зп \
~2’Т )'
1. Если а = 1, то уравнение sin* = 1 имеет на заданном интервале решение х = —, которое не входит в область допустимых значений. При а = 1 второе уравнение tgjc = 1 имеет на
нашем интервале единственное решение х = —. Значит, а = 1 подходит по условию задачи.
4
205


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
2. Если а = -1, получим:
sin х = -1
tg JC = — 1
к
хф —
2
На нашем интервале находится единственное значение
серии решений.
Значит, и а = -1 тоже подходит.
3. Найдем количество решений уравнения sinx = а для
( к 3 к
различных а, не равных 1 и -1, при условии хе
Если а е
-1;
72
2 4
, уравнение sinx = а имеет единствен¬
ный корень Xj = arcsin а на данном интервале.
Уравнение tg х = а также имеет на данном интервале един¬
ственный корень х2 = arctg а, и при а е
-1; —
2
получаем,
к
х = —, принадлежащее этой 4
/
ЧТО х2 G
л V2
—; arctg— . 4 2
Единственное решение исходного уравнения будет в случае совпадения х} и х2, т. е. при а = 0.
4. Если а е
\
, уравнение sinx = а имеет на нашем интервале два корня. Этот слу¬
чай нам не подходит.
5. Если а > 1, уравнение sinx = а не имеет корней, а уравнение tgx = а имеет на данном интервале единственный корень х = arctg а,
6. 	Если а < -1, уравнение sinx = а также не имеет решений, но уравнение tgx = а имеет на данном интервале два корня: Xj = arctg а, х2 = arctg а + к. Значит, а < -1 не подходит.
Объединив случаи, получим ответ.
Ответ: а е {—1 ;0} u [1; +<»).
206


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ •
19. 	а) Да, может. Пример подобрать легко: числа 1, 2, 3 и 4 образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна 10.
б) Найдем наибольшее значение п, если сумма этих чисел меньше 1000.
Пусть сумма чисел равна S, S < 999.
С другой стороны, S > S , где Sn — сумма п первых членов арифметической прогрессии, в которой ах = 1 и d = 1.
2я,+^(и-1) 2 +л-1
S„ = п = п\
п 2 2
Z + n-1-n<5< 999; и2 + л-1998 < 0; D - 1 + 4 1998 = 7993.
2
Оценим дискриминант: 7991 < D < 8100; 89 < VZ) < 90
Рассмотрим неравенство х2 + х - 1998 < 0. Нам нужно его наибольшее натуральное решение. Корни уравнения х2 + х - 1998 = 0:
-1-V7993 Л -1 + V7993 -1 + 89
х = < 0; х7 = > ; х, > 44.
1 2 2 2 2
Наибольшее натуральное п, удовлетворяющее неравенств х2 + х - 1998 <0, — это 44. Значит, п < 44. Это оценка.
Приведем пример для п = 44.
1 + 44
Взяв числа 1, 2, 3... 44, получим, что их сумма равна —-— 44 = 990 < 1000.
Значит, п =44.
в) Найдем все значения п, для которых Sn = 129.
Пусть первое из этих чисел равно разность арифметической прогрессии равна d.
2а. +d (п-\) , , чЧ
Тогда сумма п чисел Sn= ^ - п = 129; (2я, +d{n-\))-n = 258 = 2-3-43.
Это значит, что 258 : п, и тогда л = 2,я = 3,л = 6 или п = 43. Случай S> 44 невозможен — смотри пункт (б).
Случай п = 2 также невозможен — по условию задачи.
Если п = 3, условию удовлетворяют числа 42, 43 и 44.
Если п = 6, нам подойдут числа 19, 20, 21, 22, 23, 24.
Если п = 43, то S > 543, где S43 — сумма первых 43 членов натурального ряда;
1 + 43
543 = —-—43 = 946 >129.
Поэтому случай п = 43 невозможен.
Ответ: 3 или 6.
вариант з
1. Ответ: 291.
2. Ответ: 8.
3. Ответ: 45. Достройте на чертеже прямоугольный равнобедренный треугольник.
207


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
4. Ответ: 3.
5. Ответ: 0.
6. Ответ: 2. Достройте на чертеже прямоугольный равнобедренный треугольник.
7. Ответ: 1.
8. Ответ’. 378.
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
9. Ответ: 4
10. Ответ: 0,648
11. Ответ: 10
12. 	Ответ: 4.
Вычисляя производную, представьте 1п(9х) как In 9 + lnjc.
а)
sin 2х
. (7л sin X
I 2
- = >/2-
2sinxcosx
— cos X cos х ^ 0
б) Отберем корни на отрезке
Г„ 7л1
2л;—
L 2 J
<=> <
с по-
sm х = —-
Л
2 <=>
cos * * 0
JC = 4- 2ля
4
Зл ^
х = + 2ля, я е Z
4
мощью тригонометрического круга.
Видим, что указанному отрезку принадлежит
. 5л 13л
только л' = 2л н = .
4 4
Зл _
Ь 2ля, Я Е Z
4
14. 	а) Построим сечение тетраэдра плоскостью РМК. В плоскости АВС проведем /W|| ABf N— середина АС. Покажем, что трапеция MKPN— искомое сечение.
AMDK ~ AADB (по углу и двум сторонам), значит, МК\\АВ,МК\\ (АВС).
Плоскость сечения проходит через прямую МК, параллельную плоскости АВС. Следовательно, линия пересечения плоскости АВС и плоскости сечения параллельна прямой МК. Мы применили теорему о прямой и параллельной ей плоскости.
D
208


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
Ф
б) Найдем, в каком отношении плоскость сечения делит высоту DO пирамиды.
Пусть Н — середина АВ, Е — середина МК, Q — середина NP. Высота пирамиды DO и отрезок EQ лежат в плоскости DHC. Значит, точка пересечения DO и плоскости сечения также лежит в плоскости DHC.
СН— высота правильного треугольника АВС;
СН = АВ^ - “; СН = DH, поскольку ДАВС = AABD;
Q — середина НС; DE : EH = DM : МА =1:4. Тогда
£>£ = — ;ЕН= —. EQ n DO = F.
10 10
QC = - = НО = — НС = —; ОС = 1; OQ = 1-- = - 24 32 ^ 4 4
3 D
2 4
Проведем ЕТII НС. AQOF ~ AETF; = .
OQ OF
ЕТ DT DF 1 1 4
С другой стороны, AETD ~ AHOD; = = = - .Тогда DT = - ОТ; ОТ = - OD;
ОН OD DH 5 5 5
DE = -DN\ ЕТ = -НО = .
5 5 5 2 10
TF 4 2
= — = —. Значит, точка F делит отрезок ТО в отношении 2:5,
OF 10 5
5 5 4 4 3
т. е. OF = — ОТ = OD = -ODnDF=-OD.
7 7 5 7 7
Точка F делит отрезок OD в отношении 3 : 4, считая от вершины D.
15- 1о§(2-,)(*+1) -1о4-,)(*+1)^2-
2-л: > 0 2-хФ1« х + 1 >0
ОДЗ неравенства:
х < 2
х±\ ; xg (—1;1)и(1;2). х>-\
b(2-x)V
Сделаем замену переменной: \og{2 x)(x + 1) = t, тогда logr2_^(jc + l)3 = 3\og(2 x)(x + 1) = 3t; 3t -12 - 2 > 0; t2-3t + 2<0;
(f-l)(f-2)<0; l</<2.
К2.,)(^ + 1)^2
Мы получили: < (1)
ll0g(2-x) (^+1)^1
Можно, как мы уже привыкли, применить метод замены множителя. А можно обойтись и без него. Ведь область определения неравенства состоит из двух интервалов. Причем если х е (-1; 1), то 2 -х>\, а если х е (1; 2), то 2-х < 1.
Рассмотрим систему (1) на первом интервале.
209


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
1) х е (-1; 1), тогда 2 - х > 1. Получим: <
-1 < х< 1
10§(2-,)(* + 1)^108,2-,)(2-*)2-
l0g(2-,)(-*+1)^l0g(2-,>(2-*)
Поскольку при -1 < х < 1 основания логарифмов больше единицы — просто убираем логарифмы!
—1 < ЛГ < 1
-1<х<1
^<*<1
х + 1 < (2-х)“ <=> <
х2 -5х + 3 > 0 ^ <
,>1
2
(2)
х +1> 2 - х
Г' 2 J
_ 5 + л/Тз , _ 5-ТГз 5-Т1з 1
Очевидно, > 1. Сравним и 1, а также и —, чтобы правильно
2 2 2 2
расставить нужны точки на координатной прямой.
5-Тв ,
V 1
2
5 —л/Гз v 2 3vVl3
. г- 5-л/Гз
3 < VI3, значит, < 1
2
Решим систему (2) методом интервалов.
5-%/Гз 1
V —
2 2
5-л/Тз v 1
4 v л/Гз
4 > Vl3, значит,
5-л/Гз 1
> -
2 2
Получим: хе
1 5-%/Гз
2’ 2
W////////A
1
5-л/Гз
5 + хЯз
2 2 2 2) Пусть теперь 1 < * < 2. При этом основание логарифмов 0 < 2 - х < 1, и когда мы «отбрасываем» логарифмы — знаки неравенств, входящих в систему (1), меняются.
1 < х < 2
• JC + 1 > (2-д:)2. (3)
л+1<2-т
Из третьего неравенства следует, что х < .
Первое неравенство при этом выполняться не может, и система (3) не имеет решений.
Ответ: хе
1 5-УГз 2’ 2
16. а) Пусть Z# = ф = 30°.
Рассмотрим А АВК.
В нем Z.K = 90°, Z&4A: = 90° - ф = 60°.
Тогда в А АМН: ZM= 90°, ZMHA = ф = 30°.
В четырехугольнике ВМНК углы Ки М — прямые; ZMHK= 180° -ф = 150°,
210


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ •
Углы FMC и FKA также равны ср, поскольку медиана прямоугольного треугольника делит его на два равнобедренных треугольника, а треугольники АМН и КСН — прямоугольные. Рассмотрим треугольник MFK.
ZFMK + ZFKM- 2ср + /НМК + ZHKM= 2ср + (180° - ZMHK) = = 2ср + (180° - (180° - ср) = Зср = 90°.
Мы доказали, что ZMFK = 90°.
б) Найдем радиус окружности, описанной вокруг треуголь-
ника MFK. Поскольку ZMFK = 90°, R =
Треугольники КВМ и АВС подобны, причем коэффициент
7з
подобия & = coscp = —. (Смотри «Полезные схемы для решения задач по геометрии».)
Тогда МК = —- АС = 3>/3,Д = —.
2 2
В
17. Нарисуем схему погашения кредита.
Год 2017 2018 2019 2020
Июль 5 0,7 S0,45 0
\ / \ / \ /
Январь 1,155 1,15-0,7 S 1,15-0,45
По условию, каждая из выплат — целое число тысяч рублей.
9
Первая выплата: 1,155-0,75 = 0,455 = — 5.
20
81
Вторая выплата: 1,15 0,75-0,45 = 0,4055 = 5.
200
Третья выплата: 1,15 0,45 =0,465 =— 5.
50
9 81 23
По условию, — 5, 5 и — 5 — целые числа. Это значит, что 5:20; 5 : 200 и 5 : 50,
20 200 50
т. е. 5 : 200.
Наименьшее возможное 5 равно 200 (тысяч рублей).
18.
х1 + у2 = 9,
(х-а)1 +(у-Ь)2 =9, а2+Ь2 =с2.
Кажется, что систему решить невозможно — в ней три параметра и еще две переменных. Но мы и не будем решать ее аналитически. Мы нарисуем графики первого и второго уравнений.
Первое уравнение задает окружность со, с центром в начале координат и радиусом 3. Второе уравнение — окружность со2 с центром в точке Q(a; Ъ) и радиусом 3.
В третьем уравнении нет переменных х и у. В нем просто дана зависимость с от а и Ь.
211


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Чтобы исходная система имела единственное решение, окружность со2 должна касаться окружности со,.
Тогда у них только одна общая точка.
На рисунке показаны два случая расположения окружности со,, которая касается окружности со,.
Поскольку в случае внешнего касания расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, расстояние от начала координат до точки Q — центра окружности со, — равно 6. Значит, центр окружности со, лежит на окружности радиуса 6 с центром в начале координат.
Поскольку точка Q имеет координаты (а; b), выполняется условие: а2 + Ь2 = 36.
Мы получили, что с = 6 или с =-6.
Ответ: 6; -6.
19. 	а) Вспомним неравенство треугольника: в любом больше третьей стороны.
Возьмем числа 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34 (это числа Фибоначчи; каждое, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих). Никакие три из них не могут являться сторонами треугольника.
Возможны и другие примеры.
б) Рассмотрим числа a<b<c<d. Ясно, что ни а, ни b не могут быть длиной гипотенузы прямоугольного треугольника. Какие же прямоугольные треугольники с длинами сторон а, Ь, с Yid можно составить? Запишем возможные тройки чисел:
(а; Ь- с)
(1),
(а\ b; d)
(2),
(а; с; d)
(3),
{b\ с; d)
(4).
Треугольник (2) равен треугольнику (1) по двум катетам. Тогда с = d, и это противоречит условию, поскольку все 4 числа — различны.
Треугольники (3) и (4) равны по катету и гипотенузе. То же можно сказать и о треугольниках (2) и (3), и о треугольниках (2) и (4). Снова противоречие с условием. Получается, что среди 4 различных чисел a<b<c<d найдется не более двух отличных троек, соответствующих треугольникам с гипотенузами с и d.
в) Согласно пункту (б), из 4 различных отрезков с длинами а < b < с < d можно составить не более одного прямоугольного треугольника с гипотенузой с и не более одного — с гипотенузой d. Из 5 отрезков, длины которых а< b < с < d< е, можно составить не более одного прямоугольного треугольника с гипотенузой с, не более одного — с гипотенузой d и не более двух — с гипотенузой е.
Две пары чисел (<а, Ъ) и (с, d) назовем непересекающимися, если все числа a, b, с, d различны. Заметим, что если у двух неравных прямоугольных треугольников равны гипотенузы, то пары их катетов — непересекающиеся.
треугольнике сумма двух сторон
212


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
Сколько треугольников с гипотенузой хп можно составить, имея п различных отрезков? Не больше, чем количество непересекающихся пар, на которые можно разбить числа х<х1<...<х ..
Для п- 3 — не более одного треугольника с гипотенузой ху Для п = 4 — не более одного с гипотенузой х .
Для /7 = 5 — не более двух с гипотенузой ху.. Запишем и для других п < 12 максимальное количество треугольников с гипотенузой хп, которые можно составить из отрезков с длинами
<Л:„-
/2 = 6
2,
/2 = 7
3,
/2 = 8
3,
/2 = 9
4,
/2= 10
4,
/2=11
5,
/2= 12
5.
Следовательно, количество различных прямоугольных треугольников с длинами сторон, равными х{9 х2, ... х]2, не больше чем 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 30. Это оценка.
Приведем пример. Возьмем числа 1, V2,>/3,..., Vl2. Из них можно составить 30 отличных троек:
(1,+2,Тз);(1, 7з,74);(1,74,л/5);(л/2,7з,75);(1, 75,7б);--(+5, V7, Vl2)-
вариант а
1. Ответ: 3300.
2. Ответ: 3.
3. Ответ: 40.
4. Ответ: 0,6.
5. Ответ: 4,5.
6. Ответ: 2.
7. Ответ: 3 (это х 9 х6 и х9).
8. Ответ: 0,5.
9. Ответ: -44.
По условию, р (х) — такая функция, что р (х) = 4х + 2. Например, р (1) = 4 • 1 +2; р{9) = 4-9 + 2.
Тогда р (Зх) = 4 • Зх + 2 и р (х - 4) = 4 • (х - 4) +2. Осталось получить ответ.
10. Ответ: 2,4.
11. Ответ: 10.
12. Ответ: 3.
213


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
13. fл/2sin2 x + cosx- Л)V-6sinдг =0.
а) ОДЗ уравнения: sinx < 0.
Уравнение равносильно системе:
sin х < 0,
sinx < 0,
sinx = 0, <=> <;
Л(—2
ksin* х-l) + cosл = 0;
sinx = О, cos х = 0.
Л
cosx = -
sin x < О, x = Tin, ne Z, я
X — h Tin,
2
x = ± — + 2кп; 4
x = тс/?, ne Z, к ^
X = 1- 271/?,
2
X = h 271/?.
4
б) С помощью тригонометрического круга найдем, что отрезку
к я Л корни -я; —; — ;0.
2 4
я
-Я;2.
принадлежат
С
14. 	Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
а) Покажем, что {KMN) || {SBC).
AM || DN\ АМ= DN, ZDAM= 90°, значит, AMND — прямоугольник и MN11 ВС.
Найдем длину ребра SB.
BD — диагональ квадрата ABCD;
BD = 1642: тогда ОВ = 8-Л.
В треугольнике OSB: АО = 90°; ОВ = 8 Л; SO = 4; SB = Vl 28 + 16 = 12 = SA.
AK_ _ AM значит, ДAKM ~ ДASB (угол А в них — общий) и КМ II SB. Тогда, по AS АВ
признаку параллельности плоскостей, (KMN) || {SBC).
б) Расстояние от точки М до плоскости SBC — это расстояние между двумя параллельными плоскостями. Оно равно расстоянию от любой точки плоскости KMN до плоскости SBC.
Пусть Я— середина ВС, Т— середина MN. Плоскость STH содержит высоту пирамиды SO и отрезок ТН, перпендикулярные прямой ВС. Значит, {STH) _L ВС.
Проведем в плоскости {STH) отрезок TF; TF _L SH. Кроме того, TF ± ВС, так как TF е {STH), {STH) L ВС.
Значит, TF — искомое расстояние от плоскости KMN до плоскости SBC.
214


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
Найдем это расстояние из плоского чертежа.
VFH~UOH;™=™.,TF=S°™;
SO SH SH
4-12 _ 12л/5
4л/5 ~ 5
SH = Vl22 -82 =4n/5; TF =
15. 4,,-16*0.
|jc|-5
В числителе левой части неравенства — разность двух степеней с основанием 4.
^\х2-2х-\\ _42
Ы-5
<0.
Согласно методу замены множителя, h f-h8 заменяем на (h - 1)(/- g).
дГ -2x-l\-2
Неравенство примет вид — < 0.
|jc|-5
Еще раз применим метод замены множителя.
Множитель |/| - |g| заменим на/2 - g2, т. е. на (/- g)(/ + g). Очевидно, что |2| = 2, |5| = 5. (х2 -2х-\-2)(х2 -2х-1 + 2) < 0. (х2 -2х-Ъ){х2 -2x + l) < Q.
(дс-5)(дс + 5) (х-5)(х + 5)
(х + 1)(х-3)(х-1)2 <q (jc-5)(jc + 5)
Ответ: xg (-5;-l]u{i}u[3;5).
16. а) Докажем, что AD = 3ВС.
Пусть О — центр окружности, ВМ = jc, CN = у.
3
Тогда AM = 6х, DN = — у.
Р и Q — точки касания окружности со сторонами AD и ВС.
Поскольку отрезки касательных, проведенных из
одной точки, равны, АР = AM = 6х; DP - DN = — у:
AD = AP + DP = 6x + -y = 3 2
2х + —у 2
, ВС — BQ + QC — х + у\
АО — биссектриса угла BAD, ВО — биссектриса угла АВС, ZBAD + /ЛВС = 180° => /BAD + /АВО = 90°,
Р
D
Треугольники АВО и CDO — прямоугольные; /ЛОВ = /COD = 90°.
ОМ2 = г2 = AM • ВМ = ON2 = CN • DN, по свойству высоты, проведенной к гипотенузе;
6х2 = — v2 => 4х2
2'
= >’
2.
215
К) I U)


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Тогда AD = 3 2х +
2
= 9х, ВС = Зх, AD = 3ВС. б) Найдем MN, если г = л/105.
/ос /7П
Поскольку г2 = AM • ВМ = 6х2, х = ВЫ = ^^ - ; у = CN - V70.
Пусть (ЛЯ) n (CD) = Я.
ВС 1 117 15
ABKC-MKD; - = — = отсюда ВК = -АК = -АВ = -х, CK = -CD = -x.
АК AD 3 3 2 2 2 2
7 9 5 9
В треугольнике MKN: МК = х + — х = —х, NK = —х + 2х = —х.
Следовательно, AMKN— равнобедренный.
Треугольники MKN и ВКС имеют общий угол К. Запишем для них теорему косинусов:
АВКС: ВС2 =ВК2+КС2- 2ВК • КС • cos ZK => cos ZK = —.
35
AMKN: MN2 =2MK2 -2MK2 cos ZK MN = \%.
17. 	Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн рублей, необходимо, чтобы каждый год прибыль была не меньше 26 млн рублей — то есть наибольшая возможная. Это значит, что должно выполняться неравенство рх - (0,5х2 + 2х + 6) > 26.
Нужно найти наименьшее значение р, при котором это неравенство выполняется.
х2
— + 2х + 32
7
Выразим р через х: р> — .
х
h 2х + 32 ^ 22
Рассмотрим р как функцию от х: р (х) = — = — + 2 + —.
х 2 х
Найдем наименьшее значение этой функции при положительных значениях х.
Для этого возьмем производную: р'(х) = —
1 32
Приравняем производную к нулю: р\х) = 0; х2 - 64 = 0.
Найдем знаки производной для положительных х.
При х = 8 производная функции р (х) равна нулю и меняет знак с «-» на «+». Значит, х = 8 — точка минимума (причем единственная) функции р (х), и наименьшее значение р (х) достигается именно в этой точке.
X2
— + 2Х + 32
2
Подставив х = 8 в выражение р (х) = — , получим, что /?(8) = 10.
х
Ответ: р . =10.
-г min
х
216


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
18. 	(х2-б|х|-а) + \2(х2-бЫ-<я) + 37 = cos
V я )
Обозначим t = х2 - 6\х\ - а. Уравнение примет вид 1871 \
г +127 + 37 = cos
^18тт Л
я )
(г + 6) +1 = cos
а
Мы видим, что левая часть этого уравнения не меньше единицы, а правая часть — не больше единицы. Равенство может быть, только если обе они равны единице.
(/ + 6)2 +1 ^ 1?
<1,
(1871 cos
V а )
(/ + б)2 +1 = cos
1871
(г + 6)2+1 = 1,
Hvb
Это классическая задача на метод оценки.
Метод оценки применяется, когда в левой и правой частях уравнения или неравенства стоят функции разных типов. Например, алгебраическая и тригонометрическая, или же показательная и логарифмическая. При этом уравнение составлено так, что эти функции могут быть равны друг другу только в определенной точке, в которой одна из них принимает наименьшее значение, а другая — наибольшее.
Вот как это выглядит.
Чтобы лучше запомнить суть метода, я рассказываю историю.
Глубоко-глубоко в море жила маленькая рыбка. А высоковысоко в небе жила маленькая птичка. И однажды они полюбили друг друга! А встретиться они могли только в одной точке, на границе моря и неба, до которой рыбке надо подняться, а птичке — спуститься!
В нашем случае функция/в левой части уравнения и функция g в правой части «встречаются», когда одна из них принимает свое наименьшее значение, равное единице, а другая — свое наибольшее значение, также равное единице.
217


• Математика. Задания высокой и повышенной сложности
Получим:
t = - 6, 18л а
= 2кп, п g Z\
' — 6 |дг|-а =
< 9
— = п, пе Z. а
Второе уравнение означает, что частное целое число.
а
В первом уравнении сделаем замену |х| = z, z > 0.
Получим: z2 — 6z = а - 6.
Обозначим а-6 = Ъ и найдем, сколько корней имеет уравнение z2 - 6z = Ъ при неотрицательных z и различных Ъ.
Нам нужно, чтобы исходное уравнение относительно х имело два корня.
Это происходит, когда уравнение z2 - 6z = Ъ имеет единственный положительный корень zQ, которому соответствуют хх = z0 и х2 = -zQ.
Заметим, что z0 ^ 0, так как если |х| = 0, то х = 0 и двух корней не получится.
График функции у (z) = z2 - 6z — парабола с вершиной М(3; -9).
1) Если b = -9, то уравнение z2 - 6z = b имеет единственный корень z = 3, которому соответствуют два корня исходного уравнения: х = 3 и х = -3.
Поскольку а = Ъ + 6, в этом случае а = -3. Это значение удовлет-
9
воряет и второму уравнению системы: = -3 — целое.
2) Уравнение z2 - 6z = b имеет единственное положительное решение также при b > 0, при этом z > 6 и а > 6.
9
Но если а > 6, условию — = п удовлетворяет только а = 9. а
Ответ: а = -3 или а = 9.
19. 	Пусть а, Ь, с, d, в,/ — члены последовательности.
.. b + c + d + е + /
М. = — = 1.
1 5
Значит, 6 + с + с/+е+/=5.
М2 = 2, значит, a + c + J + e+/= 10.
а) Пусть М3 = 1,6. Тогда а + ^ + 1,6- 5 = 8.
Обозначим d + е +f = р.
Получим систему уравнений:
Z? + c + /? = 5, д=6 + 5,
я + с + р = 10, отсюда <с = £ + 2, я + Ь + р = 8; <з = с + 3.
Возьмем 6 = 1. Тогда с = 3,а = 6,р = 1.
Подойдет, например, набор чисел: 6; 1; 3; 0; 0; 1.
218


Глава 9. Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ
ф
б) Как и в пункте (а), обозначим d + е +f=p и запишем систему уравнений. Если М3 = 3, тоа + 6+ /? = 3- 5 = 15.
b + с + р = 5, а + с + р = 10, а + /? + р = 15;
отсюда
я = b + 5, с = Ь + 2< а = с + 10.
Если а = с + 10, то а > 10.
Мы получили противоречие с условием, поскольку а, как и все члены последовательности, — число однозначное.
в) Найдем наибольшее возможное Му Система будет иметь вид
Обозначим 5М3 = z. Тогда:
а-Ь = 5, b-c = z -10,
b + с + р = 5, а + с + р = 10, а + Ь + р = 5 Мъ.
а — с = z — 5.
Поскольку числа а, Ь, с — однозначные, разница между любыми двумя из них не превышает 9. Это значит, что z - 5 < 9; z < 14.
5М3< 14;М3<2,8. Это оценка.
Приведем пример, пользуясь условиями:
а = Ь + 5, b = с + 4, я = с+ 9.
Подходят с = 0, а = 9, Ъ = 4.
Тогда р = d + е +/= 1.
Пусть d= 1, е = 0,/= 0. Получим последовательность: 9, 4, 0, 1, 0, 0. Для нее М3 = 2,8.


короткое послесловие
Дорогие читатели — старшеклассники, учителя и репетиторы!
Не прощаюсь. Мы обязательно встретимся с вами на моих мастер-классах, на наших курсах в Москве, онлайн и на страницах новых книг.
Я благодарна своим коллегам — математикам-энтузиастам, авторам сайтов для подготовки к ЕГЭ: Дмитрию Гущину, Игорю Яковлеву, Александру Ларину, Инне Фельдман. Все вместе мы не просто помогаем абитуриентам отлично сдавать ЕГЭ и поступать в лучшие вузы России и всего мира. Мы создаем интеллектуальную и творческую атмосферу для талантливых старшеклассников и учителей. Большое вам спасибо, коллеги!
Большое спасибо Асе Акимовой, Алексею Джигилю, Любови Голубевой, Борису Пер- вушкину и всей команде моей компании «ЕГЭ-Студия».
Всегда, возвращаясь из путешествия, я думаю о том, куда отправлюсь в следующий раз. И чаще всего я точно это знаю.
Каждый раз, заканчивая книгу, я думаю о следующей.
Я буду рада вашим отзывам об этой книге.
Пишите мне: Anna@EGE-Study.ru
Анна Малкова


дополнительный справочный татериал
1. 	Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 30 (учите наизусть, как таблицу умножения)
X
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
х2
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
X
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
х2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
2. Греческий алфавит
Аа
вр
Гу
А5
Ее
ZC
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
щ
00
h
Кк
АХ
Мр
эта
тета
йота
каппа
лямбда
мю
Nv
[I]
Оо
Пл
Рр
Ха
ню
кси
омикрон
пи
ро
сигма
Тт
Yv
фф
хх
Уф
Лео
тау
ипсилон
фи
хи
ПСИ
омега
221


Математика. Задания высокой и повышенной сложности
3. Таблица перевода первичных баллов ЕГЭ в тестовые Математика. Профильный уровень
Первичный балл
Тестовый балл
1
5
2
9
3
14
4
18
5
23
6
27
7
33
8
39
9
45
10
50
И
56
12
62
13
68
14
70
15
72
16
74
17
76
18
78
19
80
20
82
21
84
22
86
23
88
24
90
25
92
26
94
27
96
28
98
29
99
30
100
31
100
32
100


материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
1 .Анна Малкова. «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ». Издательство «Феникс», 2018 год.
2. www.ege-study.ru
Образовательный портал компании «ЕГЭ-Студия». Множество бесплатных материалов по математике и другим предметам, видеоуроки. Мой годовой авторский онлайн-курс подготовки к ЕГЭ, статьи о выборе профессии и многое другое.
3. http://dvd.ege-study.ru/
Мой полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике. 12 дисков. Более 30 часов видео.
Видеокурс состоит из двух частей.
Курс «Получи пятерку!» — часть 1 + задача 13, тригонометрия, 5 дисков.
Курс «Премиум» — вся часть 2 ЕГЭ по математике,? дисков.
Видеокурс заменяет год занятий с репетитором! Доступны диски и электронные версии.
4. www.sdamgia.ru
Содержит тысячи заданий ЕГЭ с решениями и ответами. Вы можете решать как отдельные задания по темам, так и варианты ЕГЭ. Очень полезно для тренировки.
5. www.mathus.ru
Полный авторский курс подготовки к ЕГЭ по физике, а также статьи для углубленной подготовки к ЕГЭ по математике и олимпиадам по математике и физике.
6. www.alexlarin.net
Тренировочные варианты ЕГЭ, часто повышенной сложности. Форум, где решения задач можно обсудить с коллегами. Все тренировочные, диагностические и экзаменационные работы ФИПИ и МИОО.


оглавление
От автора 3
Глава 1
Подготовительные тесты в формате ЕГЭ 4
Глава 2
Уравнения на ЕГЭ по математике — тригонометрические и комбинированные 21
Глава 3
Стереометрия на ЕГЭ по математике 38
Глава 4
Неравенства: алгебраические, показательные, логарифмические 83
Глава 5
Планиметрия 102
Глава 6
Финансовая математика. «Экономические» задачи на ЕГЭ 120
Глава 7
Задачи с параметрами 136
Глава 8
Числа и их свойства. Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике 164
Глава 9
Заключительные тесты: полные варианты ЕГЭ 184
Короткое послесловие 220
Дополнительный справочный материал 221
Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике 223