/
Текст
II.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Теоретические вопросы
1.
Понятие производной. Производная функции
n
x
.
2.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику
функции.
3.
Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Услов
ие
дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.
4.
Геометрический смысл дифференциала.
5.
Непрерывность дифференцируемой функции.
6.
Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
7.
Производная сложной функции.
8.
Инвариантность формы дифференц
иала.
9.
Производная обратной функции.
10.
Производные обратных тригонометрических функций.
11.
Гиперболические функции, их производные.
12.
Производные высших порядков, формула Лейбница.
13.
Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка
выше первого
.
14.
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Теоретические упражнения
1.
Исходя из определения производной, доказать, что
а)
производная периодической дифференцируемой функции есть функция
периодическая;
б) производная четной диффе
ренцируемой функции есть функция нечетная;
в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
2.
Доказать, что если функция
fx
дифференцируема в точке
0
x
и
00
f
,
то
0
0lim
x
fx
f
x
.
3.
Доказать, что производная
0
f
не существует, если
sin1, 0,
0, 0.
xxx
fx
x
4.
Доказать, что производная от функции
2
sin1, 0,
0, 0.
xxx
fx
x
разрывна в точке
0
x
.
5.
Доказат
ь приближенную формулу
2
2, 0, .
azazaaza
a
z
ﾮ
6.
Что можно сказать о дифференцируемости суммы
fxgx
в точке
0
xx
если, в этой точке:
а) функция
fx
диффере
нцируема, а функция
gx
не дифференцируема;
б) обе функции
fx
и
gx
не дифференцируемы.
7.
Пусть функция
fx
дифференцируема в точке
0
x
и
0
0
fx
, а функция
gx
не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение
fxgx
является недифференцируемым в точке
0
x
.
8.
Что можно сказать о дифференцир
уемости произведения
fxgx
в
предположениях задачи?
Рассмотреть примеры:
а)
0
, , 0;
fxxgxxx
0
sin1, 0,
, 0;
0, 0,
xx
fxxgxx
x
б)
0
, , 0;
fxxgxxx
0
, 1, 0.
fxxgxxx
9.
Найти
0
f
,
если
1...1234567.
fxxxx
10.
Выразить дифференциал
3
dy
от сложной функции
yux
через производные
от функции
yu
и дифференциалы от функции
ux
.
11.
Пусть
yx
и
xy
дважды дифференцируемые взаимно обратные функции.
Выразить
x
через
y
и
y
.
Расч
ё
тные задания
Задача 1
. Исходя из определения п
роизводной, найти
0
f
.
1.1.
32
2
tgsin, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.2.
2
12
arcsincos, 0;
93
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.3.
1
arctgcos, 0;
5
0, 0.
xx
fx
x
x
1.4.
3
1
ln1sinsin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.5.
3
sinsin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.6.
2
1
1+ln1sin1, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.7.
2
5
sin
sin1, 0;
0, 0.
x
x
exx
fx
x
1.8.
2
2
4
cos, 0;
32
0, 0.
x
xx
fx
x
x
1.9.
3
3
2
1
arctgsin, 0;
3
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.10.
5
sincos, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.11.
2
6
arcsinsin, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.12.
2
cos18
tg21, 0;
0, 0.
xx
xx
fx
x
1.13.
7
arctgsin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.14.
22
1
2cos, 0;
9
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.15.
22
11
cos, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.16.
22
1
2cos, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.17.
lncos
, 0;
0, 0.
x
x
fx
x
x
1.18.
1
6sin, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.19.
2
cos
, 0;
0, 0.
x
ex
x
fx
x
x
1.20.
sin5
1,0;
0,0.
xx
ex
fx
x
1.21.
2
2
sin
312, 0;
0, 0.
x
x
xx
fx
x
1.22.
2
2
1+ln13cos1, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.23.
3
sin
5
1, 0;
0, 0.
x
x
ex
fx
x
1.24.
tgsin
2
22
, 0;
0, 0.
xx
x
fx
x
x
1.25.
2
31
arctgsin, 0;
2
0, 0.
x
xx
fx
x
x
1.26.
3
2
2
sinsin
2
1, 0;
0, 0.
x
x
fx
exx
x
1.27.
3
3
5
12sin1, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.28.
2
2
1
sin, 0;
0, 0.
x
xex
fx
x
x
1.29.
23
ln12
, 0;
0, 0.
xx
x
fx
x
x
1.30.
coscos3
, 0;
0, 0.
xx
x
fx
x
x
1.31.
1
1cossin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
Задача 2
. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1
–
2.12) или уравнение
касательной (в вариантах 2.13
–
2.31) к данной кривой в точке с абсциссой
0
x
.
2.1.
2
0
44, 2.
yxxx
2
.2.
2
0
231, 2.
yxxx
2.3.
3
0
, 1.
yxxx
2.4.
2
0
832, 4.
yxxx
2.5.
3
0
, 1.
yxxx
2.6.
3
2
0
20, 8.
yxx
2.7.
0
1
, 4.
1
x
yx
x
2.8.
4
0
870, 16.
yxx
2.9.
2
0
231, 1.
yxxx
2.10.
22
0
36, 3.
yxxxx
2.11.
3
0
3, 64.
yxxx
2.12.
33
0
22, 2.
yxxx
2.13.
2
0
23, 1.
yxx
2.14.
29
0
4
6
, 1.
1
x
yx
x
2.15.
0
1
2, 1.
yxx
x
2.16.
84
0
2231, 1.
yxxx
2.17.
5
0
4
1
, 1.
1
x
yx
x
2.18.
16
0
2
9
, 1.
15
x
yx
x
2.19.
3
0
32, 1.
yxxx
2.20.
0
132, 2.
yxx
2.21.
2
0
1, 2.
yxxx
2.22.
2
0
333, 3.
yxxx
2.23.
2
0
21, 1.
yxxx
2.24.
3
0
23, 1.
yxxx
2.
25.
2
0
2
13
, 1.
3
x
yx
x
2.26.
3
0
14152, 1.
yxxx
2.27.
4
0
3, 1.
yxxx
2.28.
3
0
323, 1.
yxxx
2.29.
2
0
103, 2.
yxx
2.30.
2
0
234, 4.
yxxx
2.31.
3
4
0
6163, 1.
yxxx
Задача 3
. Найти дифференциал
dy
.
3.1.
2
arcsin1ln1, 0.
yxxxxx
3.2.
2
tg2arccos12, 0.
yxx
3.3.
12ln12.
yxxx
3.4.
222
arctg11.
yxxx
3.5.
2
arccos112, 0.
yxx
3.6.
22
ln33.
yxxxx
3.7.
arctgshshlnch.
yxxx
3.8.
22
arccos12.
yxx
3.9.
24
lncos1cos.
yxx
3.10.
22
ln11arctg.
yxxxx
3.11.
2
22
ln
1
ln
121
x
x
y
xx
3.
12.
2
ln(1arcsin).
xxx
yeee
3.13.
2
44arcsin(/2).
yxxx
3.14.
lntg2sin.
yxxx
3.15.
2lnsin2cos.
yxxx
3.16.
3
ctgtg3.
yxx
3.17.
2
1
ln.
2
xx
y
x
3.18.
3
2
.
2
x
y
x
3.19.
2
1
arctg.
x
y
x
3.20.
2
2
1
ln1.
1
yx
x
3.21.
arctgtg1.
2
x
y
3.22.
2
ln221.
yxxx
3.23.
lncostg.
yxxx
3.24.
ecos22sin2.
x
yxx
3.25.
sinlncosln.
yxxx
3.26.
21
1
1e.
2
x
yx
3.27.
coslntglntg.
2
x
yxx
3.28.
22
3ln3.
yxxxx
3.29.
1arctg.
yxxx
3.30.
2
arctgln1.
yxxx
3.31.
22
1ln1.
yxxxx
Задача 4
. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
4.1.
3
, 7,76.
yxx
4.2.
3
3
7, 1,012.
yxxx
4.3.
2
52, 0,98.
yxxx
4.4.
3
, 27,54.
yxx
4.5.
arcsin, 0,08.
yxx
4.6.
3
2
25, 0,97.
yxxx
4.7.
3
, 26,46.
yxx
4.8.
2
3, 1,97.
yxxx
4.9.
11
, 1,021.
yxx
4.10.
3
, 1,21.
yxx
4.11.
21
, 0,998.
yxx
4.12.
3
2
, 1,03.
yxx
4.13.
6
, 2,01.
yxx
4.1
4.
3
, 8,24.
yxx
4.15.
7
, 1,996.
yxx
4.16.
3
, 7,64.
yxx
4.17.
41, 2,56.
yxx
4.18.
2
121, 1,016.
yxxx
4.19.
3
, 8,36.
yxx
4.20.
1, 4,16.
yxx
4.21.
7
, 2,002.
yxx
4.22.
43, 1,78.
yxx
4.23.
3
, 0,98.
yxx
4.24.
5
, 2,997.
yxx
4.25.
5
2
, 1,03.
yxx
4.26.
4
, 3,998.
yxx
4.27.
1sin, 0,01.
yxxx
4.28.
3
3cos, 0,01.
yxxx
4.29.
4
2sin2, 1,02.
yxxx
4.30.
2
5, 1,97.
yxx
4.31.
121, 1,58.
yxx
Задача 5
. Найти производную.
5.1.
32
2342
.
151
xxx
y
x
5.2.
22
3
211
.
3
xx
y
x
5.3.
42
2
8
.
24
xx
y
x
5.4.
2
21
.
324
xx
y
x
5.5.
88
12
11
.
12
xx
y
x
5.6.
2
4
.
213
x
y
x
5.7.
3
22
5
64
.
120
xx
y
x
5.8.
22
3
88
.
6
xx
y
x
5.9.
3
2
3
3
43
.
2
x
y
xx
5.10.
2
34
3
32
1
.
x
y
x
5.11.
63
3
2
.
1
xx
y
x
5.12.
22
3
24
.
24
xx
y
x
5.13.
2
2
1
.
212
x
y
x
5.14.
2
132
.
4
xx
y
x
5.15.
3
2
3
1
.
3
x
y
x
5.16.
3
6
3
8
8
128
x
x
x
y
-
-
-
=
5.17.
2
232
.
xx
y
x
5.18.
23
5
1
1.
yxx
x
5.19.
22
3
233
.
9
xx
y
x
5.20.
22
1
.
55
x
y
xx
5.21.
2
2
21
.
xxx
y
x
5.2
2.
1
2.
1
x
y
x
5.23.
2
1
.
245
y
xxx
5.24.
3
2
1
3.
1
xx
y
x
5.25.
3
2
1
3.
1
x
y
x
5.26.
2
7
.
627
x
y
xx
5.27.
2
1
.
1
xx
y
xx
5.28.
2
4
2
.
21
x
y
x
5.29.
321
.
27
xx
y
x
5.30.
2
3
.
2
xx
y
x
5.31.
642
2
342
.
151
xxx
y
x
Задача 6
. Найти производную.
6.1.
2
ln2e2ee1.
xxx
yx
6.2.
2
e2sin2cos28.
x
yxx
6.3.
1e3
arctg.
22
x
y
6.4.
112
ln.
ln412
x
x
y
6.5.
e11
2e1ln.
e11
x
x
x
y
6.6.
3
2
arctg.
3
x
ye
6.7.
2
1
ln12arctg.
2
xx
yee
6.8.
2
3
182711
ln1.
61
xx
x
x
ee
ye
e
6.9.
221arctg21
.
ln2
xx
y
6.10.
11
2212ln.
11
x
x
x
e
yxe
e
6.11.
22
sincos
.
x
exx
y
6.12.
(
)
.
cos
sin
2
2
b
a
b
a
b
b
a
+
+
=
x
x
e
y
x
6.13.
22
1cos22sin2
.
2
24
ax
abxbbx
ye
a
ab
6.14.
1
ln1.
1
x
x
yxe
e
6.15.
636
3ln113arctg.
xxx
yxeee
6.16.
4
8
.
1
x
yx
e
6.17.
2
ln1arcsin.
xxx
yeee
6.18.
2
arcsinln11.
xxx
yxeee
6.19.
2
222
ln12arctgarctg.
xxxx
yxeeee
6.20.
3
3
.
1
x
e
y
x
6.21.
1
arctg.
mx
a
ye
b
mab
6.2
2.
3
3
2
3
322.
x
yexx
6.23.
2
2
11
ln.
11
xxx
xxx
eee
y
eee
6.24.
sin
1
.
cos
x
yex
x
6.25.
2
2
1cos1sin.
2
x
e
yxxxx
6.26.
arctg.
xx
yee
6.27.
3
333
542
3
352060120120.
x
yexxxxx
6.28.
3
3
.
3sh
x
e
y
x
6.2
9.
2
arcsin1.
xx
yee
6.30.
2
42
1
22.
2
x
yexx
6.31.
2
2
.
1
x
e
y
x
Задача 7
. Найти производную.
7.1.
ln.
yxxxaxa
7.2.
22
ln.
yxax
7.3.
24ln2.
yxx
7.4.
2
4
ln.
1
x
y
ax
7.5.
ln1.
yxx
7.6.
22
22
ln.
ax
y
ax
7.7.
2
lncos.
yxx
7.8.
3
ln1cos.
yx
7.9.
2
2
ln.
1
x
y
x
7.10.
lntg.
42
x
y
7.11.
4
12
ln.
12
x
y
x
7.12.
2
12
ln.
22
x
yxa
x
7.13.
24
lnsin.
1
x
y
x
7.14.
165
loglogtg.
yx
7.15.
42
loglogtg.
yx
7.16.
coslnsinln2.
yxxx
7.17.
.
1
2
3
2
cos
ln
+
+
=
x
x
y
7.18.
lglnctg.
yx
7.19.
4
1
log.
1
a
y
x
7.20.
2
1
ln2tg12tg.
2
yxx
7.21.
2
lnarcsin1.
x
ye
7.22.
4
lnarccos1.
x
ye
7.23.
222
ln.
ybxabx
7.24.
2
2
12
ln.
12
xx
y
xx
7.25.
1
lnarccos.
y
x
7.26.
2
ln1.
xx
yee
7.27.
5tg2
ln.
5tg2
x
y
x
7.28.
ln
ln.
sin1
x
y
x
7.29.
lnlnsin11.
yx
7.30.
32
lnlnln.
yx
7.31.
23
lnlnln.
yx
Задача 8
. Найти производную.
8.1.
2
1sin3
sin3.
3cos6
x
y
x
8.2.
2
1cos3
cosln2.
3sin6
x
y
x
8.3.
2
11sin4
tglg.
34cos8
x
y
x
8.4.
2
3
1cos4
ctg5.
8sin8
x
y
x
8.5.
2
cossin5sin2
.
2cos4
x
y
x
8.6.
2
sincos3cos2
.
4sin4
x
y
x
8.7.
2
cosln7sin7
.
7cos14
x
y
x
8.8.
2
1cos8
cosctg2.
16sin16
x
y
x
8.9.
2
1sin6
ctgcos2.
6cos12
x
y
x
8.10.
2
3
1cos10
ctg2.
20sin20
x
y
x
8.11.
2
111sin10
costg.
3210cos20
x
y
x
8.12.
2
11cos12
lnsin.
224sin24
x
y
x
8.13.
2
1sin5
8sinctg3.
5cos10
x
y
x
8.14.
2
cosctg3cos14
.
28sin28
x
y
x
8.15.
2
1
costgsin15
3
.
15cos30
x
y
x
8.16.
2
1
sintgcos16
7
.
32sin32
x
y
x
8.17.
2
1
ctgsinsin17
3
.
17cos34
x
y
x
8.18.
2
5
ctg2cos18
.
36sin36
x
y
x
8.19.
2
tgln2sin19
.
19cos38
x
y
x
8.20.
2
1cos20
ctgcos5.
40sin40
x
y
x
8.21.
2
sin21
tg4.
21cos42
x
y
x
8.22.
2
1cos22
cosln13.
44sin44
x
y
x
8.23.
2
1sin23
lncos.
323cos46
x
y
x
8.24.
2
11cos24
ctgsin.
1348sin48
x
y
x
8.25.
.
50
cos
25
25
sin
2
1
ln
sin
2
x
x
y
+
=
8.26.
2
3
1cos26
cos2.
52sin52
x
y
x
8.27.
2
7
sin27
tgcos2.
27cos54
x
y
x
8.28.
2
3
cos28
sintg2.
56sin56
x
y
x
8.29.
2
2
sin29
cossin3.
29cos58
x
y
x
8.30.
2
3
cos30
sincos2.
60sin60
x
y
x
8.31.
2
sin31
tgcos13.
31cos62
x
y
x
Задача 9
. Найти производную.
9.1.
tgctg
arctg.
2
xx
y
9.2.
2
arcsin.
5
x
y
x
9.3.
2
21921
2arcsin.
483
xx
yxx
9.4.
2
11
arctg.
x
y
x
9.5.
2
4
4
arccos.
16
x
y
x
9.6.
231
arctg.
3
6
x
y
x
9.7.
111
lnarctg.
412
x
yx
x
9.8.
(
)
(
)
.
6
/
1
arccos
9
2
/
7
8
4
2
-
-
-
-
-
=
x
x
x
x
y
9.9.
2
1arctg
1
.
3
xx
y
x
xx
9.10.
32
2
2
arccos1.
39
xx
yxx
9.11.
11
arctg.
2
2
x
yx
x
x
9.12.
3
23arccos.
22
xx
yxx
9.13.
42
3
44
arctg.
2
xx
y
xx
9.14.
arcsinarctg.
1
x
yx
x
9.15.
22
11arccos
1.
22
x
y
xx
9.16.
6
6arcsin4.
22
xx
yxx
9.17.
2
3
68arcsin1.
22
xx
yxx
9.18.
1arctg
.
xxx
y
x
9.19.
21arcsin2
.
xx
y
x
x
9.20.
2
2591
54arcsin.
443
xx
yxx
9
.21.
2
2
51
arctgln.
64
x
yx
x
9.22.
2
arcsin.
12
x
y
x
9.23.
22
1arcsin1.
yxxx
9.24.
.
2
3
8
3
1
x
arctg
x
arctg
x
y
-
+
=
9.25.
1
arctg.
1
x
y
x
9.26.
2
1
265arctg.
2
x
yxxx
x
9.27.
2
2
1
arcsin2ln14.
8
214
x
yxx
x
9.28.
23
2
113
2arctg.
22
323
xx
yxxx
x
9.29.
22arctg.
2
x
yxxx
x
9.30.
2
2
12arcsin2ln1.
1
x
yxxx
x
9.31.
tg21
arctg.
2
x
y
Задача 10
. Найти производную.
10.1.
125th
ln.
4525th
x
y
x
10.2.
42
sh3sh3
arctgsh.
4ch8ch8
xx
yx
xx
10.3.
11th
lnarctgth.
2
1th
x
yx
x
10.4.
2
32thth
ln.
42th
822th
xx
y
x
x
10.5.
1112th
thln.
2
4212th
x
yx
x
10.6.
2
1ch
lnth.
222sh
xx
y
x
10.7.
2
22
11th
ln.
211th
aax
y
aaaax
10.8.
112cth
ln.
18212cth
x
y
x
10.9.
sh2
arctg.
chsh
x
y
xx
10.10.
11sh2
ln.
62sh2
x
y
x
10.11.
4
1th
.
1th
x
y
x
10.12.
sh
.
1ch
x
y
x
10.13.
ch
.
sh2
x
y
x
10.14.
sh3
.
ch6
x
y
x
10.15.
2
2
18chlnch
.
2ch
xx
y
x
10.16.
2
2
12sh1
.
3sh
x
y
x
10.17.
2
sh3
arcsinth.
2ch2
x
yx
x
10.18.
13ch
arcsin.
13ch
8
x
y
x
10.19.
48th
1
2
ln.
8
48th
2
x
y
x
10.20.
113ch
lnthln.
424sh
xx
y
x
10.21.
153ch
arcsin.
435ch
x
y
x
10.22.
2
4
18ch
.
4ch
x
y
x
10.23.
32
21sh5
arctgsh.
sh3sh2ch2
x
yx
xxx
10.24.
3
81
cth2.
33chsh
yx
xx
10.25.
2
1sh
arctgsh.
22ch
x
yx
x
10.26.
2
3ch
lnthch.
222sh
xx
yx
x
10.27.
2
sh13
arctgsh.
2chsh2
x
yx
xx
10.28.
2
sh1
arctgsh.
2ch2
x
yx
x
10.29.
2
1sh
arctgsh.
2ch
x
yx
x
10.30.
2
ch1
lnth.
2sh22
xx
y
x
10.31.
3
2ch
cth.
33sh
x
yx
x
Задача 11
. Найти производную.
11.1.
12lnarctg
arctg.
x
yx
11.2.
lnsin
sin.
x
yx
11.3.
5e
sin.
x
yx
11.4.
e
arcsin.
x
yx
11.5.
3
ln.
x
yx
11.6.
arcsin
.
x
yx
11.7.
2e
ctg3.
x
yx
11.8.
tg
e
.
x
yx
11.9.
4e
tg.
x
yx
11.10.
e
cos5.
x
yx
11.11.
8lnsin
sin.
xx
yxx
11.12.
ch
5.
x
yx
11.13.
tg
3
4.
x
yx
11.14.
3
sin
.
x
yx
11.15.
sh
2
1.
x
yx
11.16.
ctg
4
5.
x
yx
11.17.
52
sin.
x
yx
11.18.
cos
2
1.
x
yx
11.19.
19
19
19.
x
yx
11.20.
3
2.
x
x
yx
11.21.
1
e
sin.
x
yx
11.22.
ctg
e
.
x
yx
11.23.
cos
e
.
x
yx
11.24.
2
5.
x
x
yx
11.25.
sin
e
.
x
yx
11.26.
lntg4
tg.
x
yx
11.27.
arctg
e
.
x
yx
11.
28.
th
8
1.
x
yx
11.29.
29
29.
x
x
yx
11.30.
lncos24
cos2.
x
yx
11.31.
e9
.
x
yxx
Задача 12
. Найти производную.
12.1.
2
22
12
84arcsin, 0.
2416
x
yxxx
x
12.2.
2
41141
arctg.
1683
22
xx
y
xx
12.3.
422
2ln11eearcsine.
xxx
yx
12.4.
22
9125arctg32ln329125.
yxxxxxx
12.5.
2
2
212
2ln.
11
xx
yxx
xx
12.6.
2
22
31
arcsin189, 0.
8181
x
yxxx
x
12.7.
2
131131
arctg.
3321
22
xx
y
xx
12.8.
633
3ln11eearcsine.
xxx
yx
12.9.
22
ln4116821682arctg41.
yxxxxxx
12.10.
2
2
124
ln.
2121
xx
yxx
xx
12.11.
4
22
12
23arcsin4121132, 230.
233
yxxxxxx
x
12.12.
2
212
arctg.
46
22
xx
y
xx
12.13.
1055
5ln11eearcsine.
xxx
yx
12.14.
22
817arctg4ln4817.
yxxxxxx
1
2.15.
2
2
1342
ln34.
22
xx
yxx
xx
12.16.
4
22
1
342912332arcsin, 320.
32
yxxxxxx
x
12.17.
2
111
arctg.
23
22
xx
y
xx
12.18.
5105
lnee1arcsine.
xxx
y
12.19.
22
ln234121041210arctg23.
yxxxxxx
12.20.
2
2
1342
ln34.
22
xx
yxx
xx
12.21.
4
22
21
44321arcsin, 210.
321
yxxxxxx
x
12.22.
2
21121
arctg.
443
22
xx
y
xx
12.23.
448
arcsinelnee1.
xxx
y
12.24.
22
ln5251251arctg5.
yxxxx
12.25.
2
2
213129
3129ln.
3232
xx
yxx
xx
12.26.
4
22
1
31arcsin32196, 310.
31
yxxxxxx
x
12.27.
2
12121
arctg.
443
22
xx
y
xx
12.28.
363
lnee1arcsine.
xxx
y
12.29.
22
491arctg7ln7491.
yxxxx
12.30.
2
2
1114
14ln.
2
x
yx
xx
12.31.
224
arcsinelnee1.
xxx
y
Задача 13
. Найти производную.
13.1.
2
2
arcsin
ln1.
1
xx
yx
x
13.2.
2
2
2
14
4ln.
114
xx
y
x
x
13.3.
222
2513ln1.
yxxxxx
13.4.
2
32
2
arcsin1.
3
x
yxxx
13.5.
2
3
3arcsin2422, 410.
41
yxxx
x
13.6.
22
1arctgln1.
yxxxx
13.7.
2
2
2arcsin92412, 340.
34
yxxx
x
13.8.
222
211ln1.
yxxxxx
13.9.
2
2
1
ln1.
x
yxx
x
13.10.
2
343
132arcsin.
2217
x
yxx
13.11.
413ln41.
yxxxx
13.12.
2
121
ln3arctg.
3
xxx
y
x
13.13.
42
2
2
2
1113
lnarctg.
1221
23
1
xx
y
x
x
13.14.
2
4
4arcsin4127, 230.
23
yxxx
x
13.15.
2
2
2arcsin963, 310.
31
yxxx
x
13.16.
3
231arctg1.
2
yxxx
13.17.
1
21ln11.
3
yxxx
13.18.
2
2
2
11
1ln.
2
11
xx
yx
x
13.19.
3
2
1111
lnarctg.
1221
x
yx
xx
13.20.
1
ln11arcsin.
2
yxxxxx
13.21.
2
2
ln
arctg1.
1
x
yx
x
13.22.
2
3
3arcsin45.
2
yxx
x
13.23.
2
325arcsin.
5
x
yxx
13.24.
2
2
arcsin21arcsin2.
yxxxxx
13.25.
2
1
arcsin.
x
yx
x
13.26.
2
22
2
arccos1.
3
x
yxxx
13.27.
22
2
2122
ln.
2
xx
y
xx
13.28.
22
1046arcsin.
42
xx
yxx
13.29.
2
1
arcsin232, 230.
23
yxxx
x
13.30.
arcsinarctg.
1
x
yxxx
x
13.31.
2
arcsin11
ln.
21
1
xx
y
x
x
Задача 14
. Найти производную.
14
.1.
1
lntgctg.
sin
yx
14.2.
cossinlnsin.
yxx
14.3.
21
1
sinln21cosln.
22
yxxx
14.4.
4
cos
arctg.
cos2
x
y
x
14.5.
24
sinsin
32.
coscos
xx
y
xx
14.6.
(
)
.
0
,
sin
arcsin
2
2
2
/
1
2
2
>
￨
￦
+
ￗ
+
=
-
b
b
x
b
a
b
a
y
14.7.
2
73sin3cos3ln7
.
9ln7
x
xx
y
14.8.
sin
ln.
coscos2
x
y
xx
14.9.
2
1
arctgcoslntg.
2
1
x
yaxa
aa
14.10.
3
1111sin
ln.
3sinsin21sin
x
y
xxx
14.11.
2arctg
1e.
x
yx
14.12.
ctg
.
1ctg
xx
y
xx
14.13.
2
2sin
1
2
arctg.
1
2sin
2
x
y
x
14.14.
42
1
arctg, 0.
xx
yx
x
14.15.
2
6sin4ln64cos4
.
16ln6
x
xx
y
14.16.
2tg
arctg.
1tg
x
y
x
14.17.
2
2sin
arctg.
9cos4
x
y
x
14.18.
2
52sin2cos2ln5
.
4ln5
x
xx
y
14.19.
2th
ln.
2th
x
y
x
14.20.
2
34sin4ln3cos4
.
16ln3
x
xx
y
14.21.
2
4ln4sin44cos4
.
16ln4
x
xx
y
14.22.
2
cos
2cos3lntg.
sin2
xx
yx
x
14.23.
2
5sin3ln53cos3
.
9ln5
x
xx
y
14.24.
22
ln1e2earctge.
xx
x
yx
14.25.
2
2sincosln2
.
1ln2
x
xx
y
14.26.
lnctgctg
.
sin
x
y
14.27.
42
coscos
23.
sinsin
xx
y
xx
14.28.
2tg21
cos4
arctg.
32sin
333
x
x
y
x
14.29.
2
3ln3sin22cos2
.
ln34
x
xx
y
14.30.
3
11cos11
ln.
21coscos3cos
x
y
xxx
14.31.
tg2tg1
.
tg2tg1
xx
y
xx
Задача 15
. Найти производную
x
y
.
15.1.
2
3
3
31
,
3
sin.
3
t
x
t
t
yt
15.2.
2
1,
tg1.
xt
yt
15.3.
2
2
3
2,
1
.
1
xtt
y
t
15.4.
arcsinsin,
arccoscos.
xt
yt
15.5.
2
2
ln1,
1.
xtt
ytt
15.6.
2
2,
arcsin1.
xtt
yt
15.7.
ctg2e,
lntge.
t
t
x
y
15.8.
2
lnctg,
1
.
cos
xt
y
t
15.9.
2
arctge,
e1.
t
t
x
y
15.10.
2
1
ln,
1
1.
t
x
t
yt
15.11.
4
2
2
1
ln,
1
1
arcsin.
1
x
t
t
y
t
15.12.
2
2
1,
.
1
xt
t
y
t
15.13.
2
2
arcsin1,
arccos.
xt
yt
15.14.
2
2
,
1
11
ln.
t
x
t
t
y
t
15.15.
2
2
2
1cos,
cos
.
sin
xt
t
y
t
15.16.
2
1
ln,
1
1.
t
x
t
yt
15.17.
2
1
arccos,
1
1arcsin.
x
t
yt
t
15.18.
2
1
,
ln
11
ln.
x
t
t
y
t
15.19.
arcsin,
1.
xt
yt
15.20.
2
2
arcsin,
.
1
xt
t
y
t
15.21.
2
2
1,
11
ln.
xtt
t
y
t
15.22.
2
arctg,
1
ln.
1
xt
t
y
t
15.23.
2
2
ln1,
arcsin1.
xt
yt
15.24.
2
1
arctg,
1
arcsin1.
t
x
t
yt
15.25.
2
1sin
ln,
1sin
1
tglncos.
2
t
x
t
ytt
15.26.
2
1
arctg,
1arcsin.
t
xtt
t
yttt
15.27.
2
lntg,
1
.
sin
xt
y
t
15.58.
2
2
2
2
2
ln
ln1,
1
arcsinln1.
1
tt
xt
t
t
ytt
t
15.29.
2
sec
e,
tglncostg.
t
x
ytttt
15.30.
2
2
2
arcsinln1,
1
.
1
t
xtt
t
t
y
t
15.31.
2
2
2
ln1,
11
1ln.
xtt
t
yt
t
Задача 16
. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке,
соответствующей значению параметра
0
tt
.
16.1.
3
3
0
sin,
cos, 3.
xat
yatt
16.2.
0
3cos,
sin, 3.
xt
ytt
16.3.
0
sin,
1cos, 3.
xatt
yatt
16.4.
2
3
0
2,
3, 1.
xtt
yttt
16.5.
2
3
2
0
3
2
,
1
2
, 1.
1
tt
x
t
tt
yt
t
16.6.
2
0
2
arcsin,
1
1
arccos, 1.
1
t
x
t
yt
t
16.7.
0
cos2sin,
sin2cos, 4.
xtttt
yttttt
16.8.
2
2
0
2
3
,
1
3
, 2.
1
at
x
t
at
yt
t
16.9.
0
2lnctgctg,
tgctg, 4.
xtt
yttt
16.10.
24
23
0
11
,
24
11
, 0.
23
xtt
yttt
16.11.
0
cos,
sin, 2.
xatt
yattt
16.12.
0
sin,
cos, 6.
xt
ytt
16.13.
2
0
2
arcsin,
1
1
arccos, 1.
1
t
x
t
yt
t
16.14.
2
0
1ln
,
32ln
, 1.
t
x
t
t
yt
t
16.15.
2
0
2
1
,
32
, 2.
2
t
x
t
yt
tt
16.16.
3
3
0
sin,
cos, 6.
xat
yatt
16.17.
0
sincos,
sincos, 4.
xattt
yatttt
16.18.
0
1
,
1
, 1.
t
x
t
t
yt
t
16.19.
2
3
0
1,
, 2.
xt
yttt
16.20.
2
0
ln1,
arctg, 1.
xt
yttt
16.21.
0
1sin,
cos, 0.
xtt
yttt
16.22.
3
2
0
2
1
,
1
, 2.
1
t
x
t
t
yt
t
16.23.
0
3cos,
4sin, 4.
xt
ytt
16.24.
4
23
0
,
, 1.
xtt
yttt
16.25.
3
2
0
1,
1, 1.
xt
yttt
16.26.
0
2cos,
sin, 3.
xt
ytt
16.27.
2
0
2tg,
2sinsin2, 4.
xt
yttt
16.28.
3
2
0
1,
, 2.
xt
ytt
16.29.
0
sin,
, 0.
t
xt
yat
16.30.
0
sin,
cos2, 6.
xt
ytt
16.31.
0
2e,
e, 0.
t
t
x
yt
Задача 17
. Найти производную
n
-
го порядка.
17.1.
e.
ax
yx
17.2.
sin2cos1.
yxx
17.3.
5
71
e.
x
y
17.4.
47
.
23
x
y
x
17.5.
lg52.
yx
17.
6.
3
.
x
ya
17.7.
.
232
x
y
x
17.8.
lg4.
yx
17.9.
.
yx
17.10.
25
.
1331
x
y
x
17.11.
35
2.
x
y
17.12.
sin1cos2.
yxx
17.1
3.
3
21
e.
x
y
17.14.
415
.
51
x
y
x
17.15.
lg31.
yx
17.16.
5
7.
x
y
17.17.
.
949
x
y
x
17.18.
lg1.
yx
17.19.
4
.
y
x
17.20.
51
.
1323
x
y
x
17.21.
23
.
x
ya
17.22.
sin31cos5.
yxx
17.23.
31
e.
x
y
17.24.
1112
.
65
x
y
x
17.25.
lg27.
yx
17.26.
2.
kx
y
17.27.
.
1
x
y
x
17.28.
3
log5.
yx
17.29.
1
.
1
x
y
x
17.30.
71
.
1743
x
y
x
17.31.
25
3.
x
y
Задача 18
. Найти производную указанного порядка.
18.1.
2
27ln1, ?
V
yxxy
18.2.
22
3ln, ?
III
yxxy
18.3.
2
cos, ?
III
yxxy
18.4.
ln1
, ?
1
III
x
yy
x
18.5.
2
3
log
, ?
III
x
yy
x
18.6.
321
45e, ?
xV
yxy
18.7.
2
sin53, ?
III
yxxy
18.8.
2
ln
, ?
IV
x
yy
x
18.9.
2
23ln, ?
III
yxxy
18.10.
2
1arctg, ?
III
yxxy
18.11.
3
ln
, ?
IV
x
yy
x
18.12.
432, ?
xV
yxy
18.13.
12
esin23, ?
xIV
yxy
18
.14.
ln3
, ?
3
III
x
yy
x
18.15.
3
21cos, ?
V
yxxy
18.16.
2
3ln3, ?
IV
yxxy
18.17.
12
2
1e, ?
x
IV
yxxy
18.18.
1
sin2, ?
III
yxy
x
18.19.
7ln4, ?
V
yxxy
18.20.
373, ?
xIV
yxy
18.21.
ln25
, ?
25
III
x
yy
x
18.22.
2
esin2, ?
xIV
yxy
18.23.
5
ln
, ?
III
x
yy
x
18.24.
ln13, ?
IV
yxxy
18.25.
232
31e, ?
xV
yxxy
18.26.
582, ?
xIV
yxy
18.27.
ln2
, ?
2
V
x
yy
x
18.28.
ecos23sin2, ?
xIV
yxxy
18.29.
2
51ln, ?
III
yxxy
18.30.
3
2
log
, ?
IV
x
yy
x
18.31.
343
3e, ?
xIV
yxy
Задача 19
. Найти производную второго порядка
xx
y
от функции, заданной
параметрически.
19.1.
2
cos2,
2sec.
xt
yt
19.2.
2
1,
1.
xt
yt
19.3.
ecos,
esin.
t
t
xt
yt
19.4.
2
2
sh,
1ch.
xt
yt
19
.5.
sin,
2cos.
xtt
yt
19.6.
2
1,
11.
xt
yt
19.7.
,
11.
xt
yt
19.8.
sin,
sec.
xt
yt
19.9.
tg,
1sin2.
xt
yt
19.10.
1,
1.
xt
ytt
19.11.
3
,
1.
xt
yt
19
.12.
cos12cos,
sin12cos.
xtt
ytt
19.13.
3
1,
ln.
xt
yt
19.14.
2
sh,
th.
xt
yt
19.15.
1,
1.
xt
yt
19.16.
2
2
cos,
tg.
xt
yt
19.17.
3,
ln2.
xt
yt
19.18.
sin,
lncos.
xt
yt
1
9.19.
sin,
2cos.
xtt
yt
19.20.
sin,
2cos.
xtt
yt
19.21.
cos,
lnsin.
xt
yt
19.22.
cossin,
sincos.
xttt
yttt
19.23.
e,
arcsin.
t
x
yt
19.24.
4
cos,
sin2.
xt
yt
19.25.
3
2
ch,
sh.
xt
yt
19.26.
2
arctg,
2.
xt
yt
19.27.
2sin,
42cos.
xtt
yt
19.28.
sincos,
cossin.
xttt
yttt
19.29.
2
2
1,
11.
xt
yt
19.30.
cossin,
sin2.
xtt
yt
19.31.
ln,
arctg.
xt
yt
Задача 20
. Показать, что функция
y
удовлетворяет уравнению (1).
20.1.
2
2
2
e,
1. (1)
x
yx
xyxy
20.2.
sin
,
cos. (1)
x
y
x
xyyx
20.3.
2
5ee3,
2e. (1)
xx
x
y
yy
20.4.
2
2
21,
12. (1)
ycx
xyxyx
20.5.
2
3
1,
2. (1)
yxx
yyxx
20.6.
,
cos
tg0. (1)
c
y
x
yxy
20.7.
2
1
,
3
3. (1)
y
xc
yy
20.8.
lne,
e. (1)
x
xy
yc
y
20.9.
2
22
,
20. (1)
yxcx
xydxxydy
20.10.
ln,
0. (1)
yxcx
xydxxdy
20.11.
tg2
e,
sinln. (1)
x
y
yxyy
20.12.
2
2
1
,
1
1
. (1)
1
x
y
x
y
y
x
20.13.
2
,
1
1. (1)
bx
y
bx
yxybxy
20.14.
3
2
233,
12
. (1)
yxx
x
yy
y
20.15.
2
1e
ln1,
2
1ee. (1)
x
xx
y
yy
20.16.
2
tgln3,
1. (1)
yx
ydxxdy
20.17.
2
2
2
1,
10. (1)
y
x
yxyy
20.18.
3
32
ln1,
ln30. (1)
yxx
xyxyy
20.19.
2
7
,
1
1. (1)
x
ya
ax
yxyaxy
20.20.
222
tg1,
20. (1)
a
ya
x
ayxaxxy
20.21.
4
3
1,
1
8. (1)
1
yxx
xyy
yx
20.22.
(
)
(
)
1
.
2
2
,
1
2
2
2
x
x
xe
xy
y
e
x
y
=
-
ﾢ
+
=
20.23.
3
3
33
21
,
1
2
121. (1)
x
y
xx
x
xxyxy
x
20.24.
2
2
e2e,
2e. (1)
xxx
xx
y
yyx
20.25.
2
cos3,
sin. (1)
yxxx
xyyxx
20.26.
3
1sin,
2sincos
cossin. (1)
yxx
xyyx
yxxx
20.27.
2
2
,
1
121. (1)
x
yx
x
xxyyxx
20.28.
,
cos
tgsec. (1)
x
y
x
yyxx
20.29.
1e1,
e1. (1)
1
n
x
n
x
yx
ny
yx
x
20.30.
sin
2cos,
sinsincos
sincos. (1)
x
yx
x
xxyxxxy
xxx
20.31.
42
24
,
. (1)
yxx
xyyyx