ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ВЫПУСК 3
И. М. ГЕЛЬФАНД и Г. Е. ШИЛОВ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958

11-5-4
АННОТАЦИЯ
Настоящий выпуск посвящен приложениям тео-
теории обобщенных функций к двум классическим
задачам анализа: к задаче о разложении по соб-
собственным функциям дифференциальных операто-
операторов и к задаче Коши для уравнений в частных
производных. Выпуск рассчитан в основном на
математиков, хотя его могут читать и специалисты
в смежных науках. Для его чтения необходимо
знакомство с определениями и результатами вто-
второго выпуска.
Гельфанд Израиль Моисеевич и Шилов Георгий Ез-генъелич.
Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений
Редакторы: М. С- Агранович и Л. А. Стебакоза.
Техн. редактор В. Н. Крючкова. ¦ Корректор М. М. Шу ли маяк о.
Сдано в набор 17/И 1958 г.
Подписано к печати 1/VII 1958 г.
Условн. печ. л. 14,15. Уч.-изд. л. 14,13.
Бумага 84х108/32. Физ. печ. л 8,62. Условн. печ. л. 14,15. Уч.-изл
Т-03982. Тираж 8000 экз. Цена книги 9 р. 05 к. Заказ № 2918.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава I
ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
§ 1. Определения 7
1. Пространства WMG). 2. Пространства Ws A2). 3. Про-
Пространства Wm A5). 4. Вопрос о нетривиальности про-
пространств W^fl A7). 5. О богатстве запаса функций в про-
пространствах УРщ A8).
§ 2. Ограниченные операторы в пространствах типа W 19
1. Операции в пространстве WM B0). 2. Операции в про-
пространстве W3 B1). 3. Операции в пространстве W% B2).
4. Операции умножения на целые аналитические функ-
функции B3).
§ 3. Преобразования Фурье 25
1. Двойственные функции B6). 2. Теоремы двойственности
для пространств W^j а и W3' ь B7). 3. Теоремы двойст-
двойственности для пространств Wjjf д C1)-
§ 4. Случай нескольких переменных 33
1. Определения основных пространств C3). 2. Операции
в основных пространствах C4). 3. Теоремы двойственности
C5). 4. О нетривиальности и о богатстве запаса функций
в основных пространствах C5).
Глава II
КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
§ 1. Введение 37
§ 2. Задача Коши в линейном топологическом простран-
пространстве 40
1. Связь между решениями задачи Коши в данном про-
пространстве и в сопряженном пространстве D0). 2. Более
общая теорема единственности D4).
§ 3. Задача Коши для систем дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных. Операторный метод ... 45
1. Введение D5). 2. Предварительные построения и форму-

ОГЛАВЛЕНИЕ
лировка основной теоремы D7). 3. Доказательство основ-
основной теоремы E2). 4. Обычное решение как обобщен-
обобщенное E9).
§ 4. Задача Коши для систем дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных. Метод преобразований
Фурье 63
1. Введение F3). 2. Основная теорема F3). 3. Случай гипер-
гиперболической системы F9). 4. Системы с коэффициентами,
зависящими от t F9).
§ 5. Примеры 72
1. Уравнение щ = аихх G2). 2. Уравнение ии '= auxx G4).
3. Уравнение utt = — их G5).
§ 6. Связь приведенного порядка системы с ее характери-
характеристическими корнями 76
1. Основное неравенство G6). 2. Вычисление числа р0 (83).
3. Подсчет приведенного порядка для систем с высшими
производными по t (91).
§ 7. Теорема типа Фрагмена — Линделёфа 95
I. Формулировка теоремы и примеры (95). 2. Доказатель-
Доказательство теоремы (97).
Добавления к гл. II 106
Добавление 1. Уравнения в свертках 106
Добавление 2. Уравнения с коэффициентами, зависящими
от л: . 111
1. Общая схема A11). 2. Системы с операторами свертки
A12). 3. Системы Ковалевской A16).
Добавление 3. Системы с эллиптическими операторами 118
Г лава III
КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
§ 1. Введение 124
§ 2. Параболические системы 130
1. Определение и примеры A30). 2. Разрешающая матрица
A32). 3. Род параболической системы A33). 4. Основная тео-
теорема для системы с положительным родом A36). 5. Случай
системы, с неположительным родом A43).
§ 3. Гиперболические системы 146
1. Определение и примеры A46). 2. Разрешающая матрица
гиперболической системы A48). 3. Основная теорема A49).
4. Случай /?0<1 A51). 5. Обратная теорема A52).
§ 4. Системы, корректные по Петровскому 155
1. Определение и примеры A55). 2. Разрешающая матрица
A56). 3. Роль условия корректности-по Петровскому A57).
оглавление 5
4. Род системы, корректной по Петровскому A58). 5. Ос-
Основная теорема для систем с положительным родом A60).
6. Случай системы с неположительным родом A70). 7. Обрат-
Обратная теорема A75).
§ 5. О решениях некорректных систем 178
1. Введение A78). 2. Условно корректные системы A79).
3. Корректность в области аналитических функций A83).
Глава IV
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОБОБЩЕННЫМ СОБСТВЕННЫМ
. ФУНКЦИЯМ
§ 1. Введение 188
§ 2. Дифференцирование функционала с сильно ограни-
ограниченной вариацией 196
1. Функционалы в нормированном пространстве A96).
2. Функционалы в счетно-нормированиом пространстве A99).
§ 3. Дифференцирование функционала со слабо ограни-
ограниченной вариацией 200
1. Общие соображения B00). 2. Случай пространства
К{Мр} B03).
§ 4. Теоремы о существовании и о полноте системы соб-
собственных функционалов 207
1. Общая схема B07). 2. Существование собственных функ-
функционалов B09). 3. Полнота системы собственных функцио-
функционалов B11).
§ 5. Собственные функционалы самосопряженных опера-
операторов 215
1. Основная теорема B15). 2. Дифференциальный оператор .
во всем пространстве B17). 3. Дифференциальный оператор
в области с границей B18). 4. Оператор Штурма—Лиувилля
B22). 5. Общая система собственных функционалов у пары
самосопряженных операторов B24). 6. Переход к случаю
коэффициентов конечного порядка гладкости B26).
§ 6. Структура обобщенных собственных функций .... 227
1. Основная теорема B27). 2. Случай дифференциального
оператора B31).
§ 7. Динамические системы 233
§ 8. Обобщенные решения эллиптических уравнений . . . 237
§ 9. Асимптотика собственных функций 244
1. Операторы Карлемана B44). 2. Эллиптические опера-
операторы B47).
Примечания и литературные указания 262
Алфавитный указатель 272
Оглавление выпусков 1, 2, 4 27.5

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящем, третьем выпуске серии «Обобщенные функ-
функции» аппарат обобщенных функций применяется к исследо-
исследованию следующих проблем теории дифференциальных урав-
уравнений с частными производными: проблемы о классах
единственности и о классах корректности решения задачи
Коши для систем с постоянными (или зависящими только
от времени) коэффициентами и проблемы о разложении само-
самосопряженных дифференциальных операторов по собственным
функциям.
Авторы предполагают в следующих выпусках рассмотреть
краевые задачи для эллиптических уравнений, задачу Коши
для уравнений с переменными коэффициентами и для квази-
квазилинейных уравнений, а также задачи, связанные с выходом
в- комплексную область по всем аргументам.
Авторы пользуются случаем поблагодарить участников
семинара МГУ по обобщенным функциям и дифференциаль-
дифференциальным уравнениям, где неоднократно обсуждались различные
параграфы этого выпуска, в особенности В. М. Борок,
Я. И. Житомирского, Г. Н. Золотарева, А. Г„ Костюченко.
Авторы благодарны также И. И. Шулишовой, составившей
подробные указатели к первым трем выпускам, и М. С. Агра-
Аграновичу, тщательно отредактировавшему весь текст и своей
критикой много способствовавшему его улучшению.
ГЛАВА I
ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
В этой главе излагается теория основных пространств
типа W, которые, как и пространства типа 5 (выпуск 2,
гл. IV), понадобятся нам в гл. II и III настоящей части при
изучении задачи Коши. Излагаемые в этой главе результаты
были приведены без доказательств в добавлении 2 к гл. IV
2-го выпуска.
Пространства типа W аналогичны пространствам типа 5,
соответствующим значениям а <1 1 и р< 1, но благодаря
привлечению произвольных выпуклых функций вместо сте-
степенных функций способны точнее улавливать особенности
роста (или убывания) на бесконечности.
Так же как и для пространств типа S, изложение для
простоты ведется сначала для случая одного независимого
переменного. Изменения, которые необходимо произвести при
переходе к случаю нескольких независимых переменных,
указываются ниже в § 4.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Пространства WM- Пусть ;а(?) @ ^ % < оо)— воз-
возрастающая непрерывная функция, причем [х @) = 0, [х (оо) = со.
Положим для х^>0
A)
Функция М(х) — возрастающая выпуклая книзу непрерывная
функция, причем М@) = 0, Л!(сх>) = оо. Поскольку ;x(Q
возрастает вместе с %, возрастает и ее средняя ордината

ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[1
П
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
— М (х), так что для любых положительных
JC
и х2
Т М
Т М
М
ТГ1Г
-f- Х2
М
Умножая первое неравенство на xlt второе на х2 и склады-
складывая, получим основное неравенство (неравенство выпуклости)
М (х,) + М (х2) < М (хх + х2).
В частности, для любого х~^>0
2М (х) < М Bлг).
B)
C)
Определим, далее, для отрицательных х функцию М (х)
равенством
М (— х) = М (х).
Отметим, что поскольку производная ;х (л:) функции Ж (х)
при дг —>¦ -f- со неограниченно возрастает, сама функция М (х)
при | х | —>¦ со возрастает быстрее любой линейной функции.
Обозначим через WM совокупность всех бесконечно диф-
дифференцируемых функций ср (х) (— со <; х < со), удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам
?
(q)
< Cqe~M
D)
с постоянными Cq и а, которые могут зависеть от функ-
функции ср.
Так как функция М (х) возрастает быстрее любой линей-
линейной функции, то е~м (аа!) убывает быстрее любой экспоненты
(т. е. функции вида е~а|а;1); таким образом, основные функ-
функции ср (х), принадлежащие пространству Wm, так же как и
все их производные, убывают на бесконечности быстрее
любой экспоненты.
Очевидно, что Wm есть линейное пространство (с обыч-
обычными операциями)'. Введем в это пространство следующее
определение сходимости: последовательность cpv (x) называется
сходящейся к нулю, если, во-первых, функции срДл:) и их
производные любого порядка сходятся к нулю равномерно
на любом конечном отрезке оси х (такая сходимость назы-
о
вается правильной сходимостью) и, во-вторых, справедливы
оценки
| ср(<г> (х) |< Cge-^<**>, E)
где постоянные Cq и а не зависят от ч.
Покажем, что пространство Wm может быть представлено
как объединение счетно-нормированных пространств.
Обозначим через WM, а совокупность тех функций про-
пространства Wm, для которых справедливы неравенства
где постоянную а можно брать любую, меньшую, чем а.
Иначе говоря, Wm, а состоит из тех функций ср(лг), которые
при любом о > 0 удовлетворяют неравенствам
e)a'l (<7 = 0, 1, 2, ...).
Положим
М la (i --\ ее]
(р = 2, 3, ...)•
F)
Функции Мр(х) образуют возрастающую последовательность
Мр(х)^ Mp+i(x)), и функции 4>(x)?:Wm, а могут быть
охарактеризованы как бесконечно дифференцируемые функ-
функции, для которых выражение
G)
\q\<P
конечно при любом р. Это показывает, что пространство
Wм, а совпадает с пространством К{Мр], определенным
в § 1 гл. II вып. 2, с фиксированной последовательностью
весовых функций F). Поэтому к пространству Wm, а можно
применить все результаты, относящиеся к общим простран-
пространствам К {Мр}. С нормами G) оно является полным счетно-
нормированным пространством. Проверим, что оно является
и совершенным пространством. Условие (Р), достаточное для
совершенства пространства К {Мр} (вып. 2, гл. II, § 2), как
мы помним, состоит в том, что для любого номера р можно
найти номер р' >> р, при котором
hm
= О,

10
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[1
В нашем случае при любом р' > р, в силу неравенства
выпуклости,
М[а A -1
и следовательно,
[а ?-?
что и требуется.
В соответствии с результатами § 2 гл. II вып. 2 после-
последовательность cpv (х) ? \^_ а сходится к нулю тогда и только
тогда, когда последовательность cpv(x) правильно сходится
к нулю (т. е. функции <?(&(х) при любом д равномерно схо-
сходятся к нулю на любом отрезке | х | ^ х0 < оо) и нормы
||<pvl|j> ограничены при любом р.
Объединение пространств Wm, а по всем индексам
a=l, y> •••> очевидно, совпадает с пространством WM-
Сходимость к нулю в пространстве WM, описанная выше,
есть сходимость к нулю в одном из пространств Wm, a и по-
поэтому есть та самая сходимость, которая определяется в WM
как в объединении счетно-нормированных пространств.
Приведем определение ограниченных множеств в про-
пространстве Wm- В соответствии с общим определением огра-
ограниченного множества в объединении счетно-нормированных
пространств множество AczWm называется ограниченным,
если оно целиком лежит в одном из Wm, а и в нем ограни-
ограничено. Иными словами множество AczWm ограничено, если
для всех функций у(х)?А справедливы оценки D) с одними
и теми же постоянными Cq и а. В частности, последователь-
последовательность <?v(x)(zWm является сходящейся к нулю, если она:
1) правильно сходится к нулю, 2) ограничена.
Пример 1. Пусть М (х) = х1/а (х > 0), где а< 1;
{!.($)==—?а
Соответствующее пространство
из функций ср (х), удовлетворяющих неравенствам
состоит
1]
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
11
при некоторых Cq и А, зависящих от ср. Это пространство,
очевидно, совпадает с пространством Sa (§ 1 гл. IV вып. 2).
Пример 2. Положим [а (?) = In (?-|-1) (?]>0); тогда
для х^>>0
М(х) = JlnE4-1)<«= (х+1Iп(лс+1) —*-
о
В соответствии с определением пространство WM состоит
из функций ср (х), удовлетворяющих неравенствам
Впрочем, в данном случае функции ср (х) допускают и
более простое описание. Оно может быть получено из сле-
следующих общих соображений.
Формально говоря, пространство Wm можно было бы
строить по любой непрерывной неотрицательной функции М{х)
(не интересуясь тем, имеет ли она специальный вид A); мы
позднее используем этот ее специальный вид), согласно опре-
определению D). При этом различным функциям Мг(х) и М2(х)
может отвечать одно и то же пространство Wm, = Wm,-
Укажем простое достаточное условие для выполнения этого
равенства. Допустим, что функции Мг (х) и М2 (х) при доста-
достаточно больших х ~^> 0 удовлетворяют неравенству
с некоторыми положительными постоянными 71 и Тг- Тогда
мы можем утверждать, члго имеет место включение
Действительно, вместо (8) можно написать неравенство, спра-
справедливое для всех значений х >- 0, если добавить подходящую
постоянную:
Mi (Ti*) < Ж2 G2*)Ч- Тз-
Отсюда, если ср (х) ? WMa, мы имеем:
| cp('i) (х) | < Cqe-W«c™> < ф-м' {а'х\ (9)
где а' = а—, Cg —CgeTs; таким образом, ср ? lF^.

12
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[2
Более того, неравенство (9) показывает, что если после-
последовательность tpv (x) стремится к нулю в смысле сходи-
сходимости Wjf3, то она сходится к нулю и в смысле сходи-
сходимости Wm^ поскольку в неравенствах (9), написанных для
функций cpv (х), постоянные а и Cq можно взять вместе
с постоянными а и Cq, не зависящими от v.
Если, далее, функции Мг(х) и М2(х) таковы, что при
достаточно больших х ^> О
Mi (V0 < М2 (т2*) < мх (Т^), A о)
то имеют место оба значения W^, =>Wjf3 и WM;i=>Wm, и
следовательно, по запасу элементов Wm, = Wm2; очевидно так-
также, что и сходимость в Wm, совпадает со сходимостью в Wmq-
Функции Мг(х) и М2(х), удовлетворяющие неравенству A0),
мы будем называть эквивалентными; мы видим, что экви-
эквивалентные функции определяют одно и то же пространство.
Функция (лг-f- 1Iп (лг-4- 1) — х, фигурирующая в при-
примере 2, эквивалентна функции х\пх (не удовлетворяющей
определению A)); следовательно, соответствующее простран-
пространство основных функций ср (х) описывается также неравен-
неравенствами
и соответствующей сходимостью.
2. Пространства W2. Пусть ш (->]) @ <; ~q < со) — возра-
возрастающая непрерывная функция, причем ш @) = 0, ш(со) = оо;
положим для у ^> 0
у
A)
Функция Q (у) по своим свойствам вполне аналогична
функции М(х), введенной в п. 1; в частности, имеют место
неравенства выпуклости
Q О/О + Q (у2) < & (У1 +у2),
2Q (у) < Q Bу).
Полагаем, далее, по определению
B)
C)
2]
§ 1 , ОПРЕДЕЛЕНИЯ
13
Обозначим через Wa совокупность всех целых аналити-
аналитических функций <р (z) (z = jc —|— iy), которые удовлетворяют
неравенствам
I & () | < Ckes <62/> D)
с постоянными Ck и b, зависящими от функции ср.
Очевидно, что Wa есть линейное пространство с обыч-
обычными операциями. Введем в это пространство следующее
определение сходимости: последовательность <р„(,г)? W2 назы-
называется сходящейся к нулю, если, во-первых, функции cpv (Ж)
равномерно сходятся к нулю в любой ограниченной области
плоскости z (такая сходимость к нулю называется правиль-
правильной) и, во-вторых, справедливы оценки
где постоянные С& и Ъ не зависят от v.
Покажем, что пространство Wa может быть представлено
как объединение счетно-нормированных пространств. Обо-
Обозначим через W3' ъ совокупность тех функций простран-
пространства W3, для которых справедливы неравенства
| 2&ср (z) | < Ckes (Ь»),
где в качестве Ъ можно взять любую постоянную, большую Ь.
Иначе говоря, W2>6 состоит из тех целых функций ср (z),
которые при любом р > 0 удовлетворяют неравенствам
Положим для пространства Ws- ъ
II 9 || 1с, = SUPa | Zk9 (Z) | в-вКб + Р) У\ E)
Покажем, что с нормировкой E) пространство Ws>b ста-
становится счетно-нормированным полным совершенным про-
пространством.
1) Нормы ||cp||fep попарно согласованы. В самом деле,
если последовательность cpv?W2»6 фундаментальна по двум
нормам ||<р„||й и ||cp4||ft и по одной из них сходится к нулю,
то функции cpvB), во всяком случае, сходятся к нулю в каждой
точке; отсюда следует, что предел этой последовательности
по второй норме есть нуль.

14
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
2) Пространство W2>ъ полно. Пополнение простран-
пространства Ws'b по одной из норм || tp ||Ар состоит из целых ана-
аналитических функций с конечным значением ||<р||др. Пересе-
Пересечение этих пополнений по всем индексам ft и р состоит из
функций, для которых имеет смысл ||<p|jftp при любых k и р,
т. е. совпадает с пространством W3'ь. Этот факт, согласно
теореме п. 2 § 3 гл. I вып. 2, обеспечивает полноту про-
пространства.
3) Пространство Ws> ь совершенно. Доказательство ана-
аналогичного факта для пространства Ф = К{Мр} (§ 2 гл. 2
вып. 2) основывалось на том условии, что всякая последо-
последовательность основных функций cpv(jc), ограниченная по всем
нормам пространства и правильно сходящаяся, т. е. сходя-
сходящаяся равномерно на каждом конечном промежутке вместе
со всеми производными, сходится по топологии простран-
пространства Ф.
В нашем случае, как нетрудно проверить, эта предпо-
предпосылка выполнена. Отсюда следует, что справедлив и резуль-
результат— пространство Wa> ь совершенно.
Объединение счетно-нормированных пространств Ws' ь по
всем Ь = 1, 2, ... совпадает, очевидно, с пространством W3.
Сходимость к нулю в пространстве W3, описанная выше,
есть сходимость к нулю в одном из W2' ь и, следовательно,
есть та самая сходимость, которая определяется в Ws, как
в объединении пространств Wa> ь.
Приведем определение ограниченного множества в про-
пространстве Wa: в соответствии с общим определением огра-
ограниченного множества в объединении счетно-нормированных
пространств (вып. 2, гл. I, § 8), множество AczW3 назы-
выется ограниченным, если оно целиком лежит в некото-
некотором Ws>b и в нем ограничено. Иными словами, множе-
множество AczW3 ограничено, если для всех функций ср(х)?Л
справедливы оценки D) с одними и теми же Ск и Ъ. Таким
образом, последовательность cpv?W2 является сходящейся
к нулю, если она 1) правильно сходится к нулю, 2) ограничена.
Как ив п. 1, можно показать, что пространства W2> и
W2s для эквивалентных функций Ql (у) и 22(_у) совпадают
как в смысле запаса элементов, так и в смысле сходимости.
Мы будем использовать в дальнейшем, в частности, сле-
следующие примеры пространств Ws.
3]
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
15
Пример 1. Положим ш (-г;) = - х т;1-? * для -ц > О,
2(_у) = _у1-Р (р < 1). Пространство W® состоит из целых
аналитических функций ср (z), удовлетворяющих неравенствам
и совпадает, следовательно, с пространством S9 (§ 2, гл. IV,
вып. 2).
Пример 2. Положим ш Gj) = ev — 1, для -ц > 0, 2 (_у) =
у
= С{е^—\)d~r\ = ey-—у—1. Полученная функция 2 (у)
о
эквивалентна функции 21(_у) = е2/. Поэтому пространство1^3
может быть в данном случае описано неравенством
с постоянными Ск и Ь, зависящими от функции ср, и с соот-
соответствующей сходимостью.
3. Пространства W^r- Пусть [а(?) и ш (ttj) @ ^ ?, 7] < со) —
пара возрастающих непрерывных функций; положим для
м
х
= J |х
2
у
Су) = J
и для х < 0, у < О
Функции М(х) и 2 (у) — те же самые функции, с кото-
которыми мы имели дело в пп. 1—2.
Обозначим через Wm совокупность всех целых аналити-
аналитических функций ср (z) (? = х-\- (у), которые удовлетворяют
неравенствам
\{\1)\^См(ах)+а(ьУ) A)
с постоянными а, Ь, С, зависящими от функции ср.

16
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[3
Очевидно, что- WM есть линейное пространство с обыч-
обычными операциями. Введем в это пространство следующее
определение сходимости: последовательность сру(,г)? Wm назы-
называется сходящейся к нулю, если, во-первых, функции cpvB)
равномерно сходятся к нулю в любой ограниченной области
плоскости Z и, во-вторых, справедливы оценки
| cpv (г) j < Се~м (аж)+2 ш
с постоянными С, а, Ъ, не зависящими от v.
Пространство WM также может быть представлено в форме
объединения счетно-нормированных пространств. Обозначим
через WM, а совокупность тех функций пространства W
для которых справедливы неравенства
ср (х
Се~
где а— любая постоянная, меньшая а, и b
большая Ъ. Положим для ср
WMtba
¦ любая постоянная,
Очевидно, что эти нормы удовлетворяют требуемым для норм
аксиомам. Доказательство того, что с этими нормами про-
пространство WMtba становится (полным счетно-нормированны'м)
совершенным пространством, проводится так же, как для
пространства W3- ь.
ъ
. а
1
по всем а = 1, —,
Объединение пространств
и Ъ=\, 2, ... совпадает, очевидно, с пространством WM-
Сходимость в пространстве Wm определена так, как она
определяется в объединении счетно-нормированных про-
пространств. Таким же образом, как и в пространствах Wm, a
и W3' , последовательность cpv (х) ? w\ сходится к нулю
тогда и только тогда, когда она: • 1) правильно сходится
к нулю, 2) ограничена. Множество AczWm называется огра-
ограниченным, если оно целиком лежит в некотором Wm, и и
в нем ограничено; иными словами, множество AczWm огра-
ограничено", если для всех функций <p(z)?A справедлий-li
оценки A) с одними и теми же а, Ъ и С.
4]
§ 1 . ОПРЕДЕЛЕНИЯ
17
Эквивалентные функции М1(х) и М2(х), 2t (у) и &
(см. п. 1) определяют одно и то же пространство Wj^ssW^
в смысле запаса элементов и топологии.
Примеры. Комбинируя рассмотренные выше функ-
1
ции Мх
(*< 1.
1), мы получаем четыре пространства:
WMi,
M
Пространство WMl состоит из целых функций ср (х-{- iy),
удовлетворяющих неравенствам
и совпадает, следовательно, с пространством 5„ (§ 2 гл. IV
вып. 2). В остальных случаях получаются новые пространства;
основные функции в них определяются неравенствами
wMi-.
/3^ ¦
M
у
Пространство WMtba, в котором М{х) = хг,
(г >> 1, s >> 1), будет обозначаться в дальнейшем через Wsr\ a.
Аналогичный смысл имеет обозначение W?.
4. Вопрос о нетривиальности пространств Wm- Как и
пространства Sa, пространства Wm могут оказаться тривиаль-
тривиальными (т. е. состоящими из одной единственной функции
ср(х) = О). Например, так будет всегда, если
A)
lim [Q(bx)~ M(ax)] = — oo
X -> со
при любых а и Ъ. Действительно, пусть выполнено A) и
- Это означает, что при некоторых а и Ъ
| ср (z) \ = | ср (х
2 Зак. 2918. И. П. Гельфанд и Г. Е. Шилов

18
Но тогда и
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[5
отсюда
9 (z) I = I 9 (tx —
ср О) 9 ОХ) I
Се~ш
(Ьх)е-М (ау) + а
В силу условия A) функция ср (z) <? (lz) ограничена при доста-
достаточно больших \z\ и, по теореме Лиувилля, постоянна; так
как, кроме того, из A) следует, что lim ср (дг) ср (ix) = О,
X >
X ¦> оо
то ср (z) ср (jz) == О, О': куда и ср (z) н== 0.
Далее будет указан некоторый класс нетривиальных про-
пространств типа W.
Назовем непрерывную функцию Z(jt)(jc>0) медленной
функцией, если для любого г ]> 0 и достаточно большого
X ]> х0 = х0 (г) выполняется неравенство
CU~' <l(x)< Cex\ B)
Б. Я. Левину принадлежит следующая теорема, являю-
являющаяся одним из результатов его теории обобщенной инди-
индикатрисы роста целой функции конечного порядка.
Для любого р ]> 0 и любой медленной функции I (х)
существует целая аналитическая функция ср (z) ф 0, для
которой
с некоторыми постоянными С и у.
Из этой теоремы вытекает нетривиальность простран-
пространства WM при М = Я = / (х) хр, где /(д:) — медленная
функция.
Очевидно, что вместе с тем оказывается нетривиальным
и любое пространство W^, гдг Ж (х) == /(д;) jc^, Qt(x)^-
~^-1(х)хр, поскольку оно содержит внутри себя нетривиаль-
нетривиальное пространство Wm-
5. О богатстве запаса функций в пространствах W%.
Предположим, что данное пространство W% нетривиально.
Следовательно, при некоторых а _"> 0 и b ^> 0 заведомо
имеются и нетривиальные пространства W^tba; соответствую-
соответствующие пары (а, Ь) будем называть «допустимыми».. Так как
5]
§ 2, ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
19
при с < а0, Ъ > Ьо мы имеем — М (аох) < — М (ах), Q (Ьоу) <
^ 2 (by), то область допустимых значений а и Ь вместе со
всякими а0 и Ьо содержит все пары a, b с а <1 а0, Ь ]>- &0.
Далее, заменяя функцию ср (,г) ^ W^, а на ср (\z) с положи-
положительным X, мы видим, что вместе со всякой парой (а, Ь)
является допустимой и пара (ka, \b). Таким образом, область
допустимых пар (а, Ь) содержит вместе со всякой парой
(Яо> ^о) все паРы, удовлетворяющие соотношению —~^> — .
Отсюда следует, что полная область всех допустимых пар
(а, Ь) представляет собой в той четверти плоскости с, Ъ,
где а^-0, Ь~^?~0, некоторый угол, определяемый неравенством
tg — ^ Т ( или неравенством tg—> 7) > r^e T зависит от
функций 2 (у) и М (х).
Все нетривиальные пространства типа W достаточно богаты
функциями в том смысле, который был указан в § 8 гл. IV
вып. 2: если для некоторой локально интегрируемой функ-
функции f(x) и любой основной функции ср (jc)
J f(x)9(x)dx =
то f(x)=.Q почти всюду.
Доказательство можно провести по той же схеме, что
и для пространств типа 5 (§ 8 гл. IV вып. 2).
Отсюда следует, в силу результата п. 4 § 8 гл. IV вып. 2,
что нетривиальное пространство типа W располагается плотно
во всяком нормированном пространстве функций ?э?с нор-
нормой по формуле
Ц ср П = J М (х) 1 ср (х) | dx.
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ
ТИПА W
В этом параграфе мы покажем, что в пространствах
типа W, введенных в § 1, определены и непрерывны опе-
операции дифференцирования и умножения на х, а также на
некоторые целые аналитические функции.
2*

20
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[1
I. Операции в пространстве WM. (а) Операция
дифференцирования. Пусть <?(x)?WM, так что
Тогда для функции срх (х) = ср' (х) выполняются нера
венства
I <Р?>О) | = I cpfe+D(х) | <
т. е. срх (л:) также принадлежит к пространству Wm- Очевидно,
что любое ограниченное множество в пространстве Wm после
дифференцирования перейдет снова в ограниченное множе-
множество. Таким образом, операция дифференцирования ограни-
ограничена в Wm и, следовательно, непрерывна.
(б) Операция умножения на х. Пусть ср (х) ? Wm,
так что | cpte) (x) |<; Cqe~M(aa!K Тогда для функции ср1(х) =
= хер (х) выполняются неравенства
I <pifl) (*) i = I [*<p (*)](e) I < I Wq) (*)I + я I т(9"х) (*)I <
< I x | • Cqe~M W)
Для любого § >> 0 имеет место неравенство
\х\е
-М
действительно, по неравенству выпуклости B) п. 1 § 1
A)
и полученная величина ограничена в силу экспоненциального
убывания е~м (Sa;), что и требуется.
Применяя неравенство A), получаем:
где Cg = CgCg-l-g'Cg.!. Отсюда следует, что функция срх (л;)
принадлежит пространству W^.
Очевидно также, что любое ограниченное множество про-
пространства Wm после дифференцирования перейдет снова
в ограниченное множество. Таким образом, операция диф-
дифференцирования ограничена в пространстве Wm и, следова-
следовательно, непрерывна.
2]
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
21
2. Операции в пространстве W3. (а) Операция
дифференцирования. Пусть ср (z) ? 1FS, так что
I zk<? (z) | < Cke
Положим срг (гг) = ср' (z). Тогда
I 2*<Р! (г) | =
далее, по формуле Коши, примененной для круга Г радиуса г
с центром в точке z = x-\-iy, y~^>0,
откуда
— max
Так как функция Q C/) монотонно возрастает и при
достаточно больших j'
то при этих значениях у и
при всех же у заведомо справедливо неравенство
Q[b(y-\- г)] < 2 [ф -f-
Таким образом, при у^-0
где
Далее,
А
в результате мы получаем:
I 2fe?i B) I < Ckres «ь+г)  + fei<
это означает, что срх (^) принадлежит к пространству
Аналогичная выкладка может быть проведена при у <С, 0,

22
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
Очевидно, что операция дифференцирования переводит огра-
ограниченное множество пространства Ws снова в ограниченное
множество. Таким образом, операция дифференцирования
ограничена в пространстве Ws и, следовательно, непрерывна,
б) Операция умножения на z. Пусть ср (z). ? W3,
так что
Положим cpj (z) = z(p (z). Тогда
I zk(?i (z) I = I zk+^ (z) I <
т. e. cpx (z) также принадлежит к пространству W2. Очевидно,
что любое ограниченное множество пространства Ws после
умножения на z перейдет снова в ограниченное множество.
Таким образом, операция умножения на z ограничена в Ws
и, следовательно, непрерывна.
3. Операции в пространстве W%. (а) Операция
дифференцирования. Пусть ср (z) ? W%, так что
I т (?\ I <^ О о—М (аса) + 2 (Ьу)
I т \ / [ -^^ •
Положим срх (z) = cp'Br); применяя формулу Коши с тем же
кругом Г радиуса г (< о), что и выше, находим:
(для простоты принято х ;> г, _у ^ 0). Так же как и в п. 2 (а),
имеет место оценка
и аналогично
М [а (х — г)]
поэтому мы получаем, что
I ?1 О) I
[(а — г) х\;
Таким образом, срх (z) принадлежит к пространству W%;.
Так же как и выше, операция дифференцирования огра-
ограничена в пространстве
и, следовательно, непрерывна.
4]
§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
23
+s (by).
(б) Операция умножения на z. Пусть ср (z) ? WM,
тя К ЧТО
| ср (Z) | -< Се~
Положим срг (z) = zf (z). Тогда
| <pt (z) | = | z<p (z) К С | z | e
Так же как и в п. 1 (б), справедливо неравенство
| х | е-Ш(ах) ^ C3g-M[(a-o)cC]>
и аналогично
поэтому
откуда следует, что <px(z)?Wm- Очевидно, что операция
умножения на z ограничена в пространстве WM, а следова-
следовательно, непрерывна.
Приведенные рассуждения показывают фактически, что
и в более «тонких» пространствах WM, a, W ' , Wm,o опре-
определены и ограничены, а следовательно, и непрерывны, опе-
операции умножения на независимое переменное и дифферен-
дифференцирования.
4. Операции умножения на целые аналитические
функции.
Теорема 1. Пусть целая аналитическая функ-
функция f(z) удовлетворяет неравенству.
1 + |х|"). A)
Утверждается, что функция f(z) является мульти-
мультипликатором в пространстве W3 и переводит при этом
пространство Ws- ь в Ws'b + b°.
Доказательство. По определению функции
¦cp(z)?Ws'b и в силу неравенства A) мы имеем при любом
Р> ' |^/))|<C2H6+PJ/]C^(^)(l + |x["). B)
Применяя неравенство выпуклости B) п. 1 § 1, получаем:
(z) | < С* A + I х |") е* КЬ+6-.+р) *1. C)

24
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
Это неравенство справедливо для любого & =
заменяя k на k-\-h*), получаем неравенство
| z*f (z) ср О) | < Cl °+J|-;|7
Соединяя C) и D), получаем:
, 1, 2, ...;
D)
т. е. произведение /(Х)ср(.г) принадлежит W2- 6+6». Из соот-
соотношения между постоянными (С&" ^ 2 (С& -\- С&) ) видно, что
оператор умножения на /(г) ограничен в W3- ь.
Теорема 2. Пусть даны функции М(х) и Q(y),
определяющие пространство Wm- Утверждается, что
целая аналитическая функция f{z), удовлетворяющая
неравенству
\f(z)\^CeM (а^ + s (Ь"У), E)
определяет ограниченный оператор умножения в про-
пространстве WM,ba при а > а0 и переводит при этом про-
простра W6 Wbf
По определению функции
странство Wm,6o.
Д
Доказательство. фуц
? (z) € ^7ж, а и в силу неравенства E) мы имеем при любых
S и р
[/О) ср (z) | Ьа.
При этом, в-силу неравенства выпуклости B) п. 1 § 1,
М (аох) — М [(а — 8) х] < — М [(с — с0 — Ь) х],
2 {Ьоу) + 2 [(? + р)^] < 2 [ф + Ьо + р) у].
В результате мы получаем:
F)
Таким образом, произведение f(z)y(z) принадлежит к про-
пространству W^i, a-aa. Из соотношений между постоянными
видно, что этот оператор ограничен в пространстве Wm, а-
*) Если h не целое, можно взять в этой выкладке ближайшее
большее целое число.
КЗ
N3
01
41
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
25
Следующее замечание дополняет доказанные теоремы.
Пусть целая аналитическая функция f(z) при любом
е >> О удовлетворяет неравенству вида
G)
). (8)
или вида
Тогда f(z) является мультипликатором в любом про-
пространстве W3' или соответственно в Wm!U.
Доказательство повторяет доказательство теоремы 1 или
соответственно теоремы 2 с заменой а0 и Ьо на е и выводом,
что из неравенства F) в этом случае вытекает включение
Пример. Функция
= eic!Z при любом веществен-
вещественном а является мультипликатором в любых простран-
пространствах W3>b U W^a.
Действительно, имеет место неравенство
Но для любых выпуклых функций М (х) и 2 (у) можно при
любом s >> 0 написать неравенства
М
(ех) + 2
откуда для f{z)=^eiaz вытекают неравенства G) и (8);
по доказанному, f(z) действительно есть мультипликатор
в Ws'ь или И^дгД, что и требуется.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Напомним, что основное пространство W называется
двойственным по отношению к некоторому основному про-
пространству Ф, если W состоит из функций ф(о), являющихся
преобразованиями Фурье функций
ф (о) =' J ср (х) eixa dx.

26
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[1
Мы укажем в этом параграфе для пространств WMi а, Ws> ь
и Wrf, а двойственные пространства. Как и выше, будем
обозначать пространство, двойственное к пространству Ф,
через Ф,
1. Двойственные функции. Введем предварительно важ-
важное понятие функций, двойственных по Юнгу. Пусть функ-
функции М{х) и Q(y) заданы соответственно формулами A)
п. 1 и A) п. 2 § 1. Если фигурирующие в этих формулах
функции (х($) и ш(т;) взаимно обратны, так что ц [ш (tj)] = -/],
Ш[Н-(Ю] = S, то соответствующие функции М{х) и &(у) назы-
называются двойственными по Юнгу. В этом случае имеет место
геометрически очевидное неравенство Юнга:
ху < М (х) -\- 2 (у) A)
для любых х;>0 и _у!>0 (см. рисунок). Для каждого х
можно найти у=у(х), которое вместе с данным х обратит
У
У
неравенство A) в равенство; очевидно, в качестве этого у
следует взять \i (x).
Вот для примера некоторые пары взаимно двойственных
функций:
f ? |i; B)
ey—y—l. C)
Мы предоставляем читателю проверить их двойственность.
2]
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
27
Отметим некоторые свойства двойственных функций, важ-
важные для дальнейшего.
Лемма. Если М (х) двойственна к Q1 (у), Мх (х) двойст-
двойственна к 2 (у) и М (х) < М1(х) для достаточно больших х,
то &i(y) >2(_y) для достаточно больших у.
Доказательство. Пусть неравенство Ж(х) < Мх(х)
выполняется для х > х0. Найдем у —у(х) >_у(хо)> Для кото-
которого имеет место равенство
Для этих же х и у
Отсюда
M(x) — M1(x)-\-Q1(y)—Q(y)>Q,
О < Мх (х)— М (х) < Q, (у) — 2 (у)
и, значит, для у > у (х0) имеет место искомое неравенство
2, (_у) > 2 (у).
2. Теоремы двойственности для пространств WM,a
и Ws'b.
Теорема 1. Пусть Q (у) — функция, двойственная
по Юнгу к М(х). Тогда
WM, а
A)
Доказательство. Функция ем <а5> возрастает при
|?|-».оо быстрее, чем exZ, при любом X > 0. Поэтому основ-
основные функции 4{x)?WM, а убывают при |jc|--».oo быстрее,
чем g-^l^l, при любом Х~>0. Следовательно, преобразова-
преобразование Фурье
оо
ф (а) = Г со (х) eiax dx
функции ср (х) ^ Wm, а можно продолжить на комплексные
значения s = а -\- iz по формуле
B)
причем интеграл будет оставаться абсолютно сходящимся.

28
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[2
Функция ф(я) дифференцируема при каждом s. Действи-
Действительно, после формального дифференцирования по 5 интег-
интеграл B) переходит в интеграл
ии
Г ix<o (х)
но в силу результата п. 1 (б) § 2 функция лгср (х) снова
принадлежит пространству Wm, а, так что интеграл остается
абсолютно сходящимся; это обеспечивает наличие производ-
производной у функции фE) в силу известных правил дифференци-
дифференцирования несобственных интегралов с параметром.
Таким образом, ф(я)— целая аналитическая функция.
Мы имеем далее:
оо
(is)k ф О) = J cpW (л:) eiCBa dx.
C)
Так как
WM, a> то
D)
Применим, далее, неравенство Юнга A) п. 1, заменяя
в нем х на ~[\х\, у на —| х |, где у = а — 28. Показатель
в D) преобразуется следующим образом:
^ _ м [(а — 8) х] + М (Т*) -+- 2 (| х),
и мы приходим к оценке
Сы eS Ч
^ f е-т(а-
поскольку интеграл
оо
/•-
¦v-t»
оо
2]
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
имеет конечное значение. Величину —= ^г можно пред-
представить в форме (-р, где р сколь угодно мало вместе с 8.
Итак, мы получаем, что функция ф($) принадлежит про-
пространству WQ'lla, где Q (у) — функция, двойственная по Юнгу
к М (х). Заметим при этом, что оператор Фурье отображает
ограниченное множество AczW]a,a в ограниченное множество
AczW3'1/а, поэтому он непрерывен.
Теорема 2. Пусть М (х) — функция, двойственная
по Юнгу к 2 (у). Тогда
W^b^WM>1/b. E)
Доказательство. Функция ср (х -j- iy) ? WSi ь стре-
стремится к нулю при j jc | —>- оо быстрее любой степени -—г ,
равномерно в любой полосе |_у|<^.Уо> a функция ei<3Z ос-
остается в этой полосе ограниченной по модулю. Поэтому
в выражении преобразования Фурье
ф (о) = Г ср (х) eiax dx,
используя теорему Коши, можно путь интегрирования заме-
заменить любой горизонтальной прямой, не меняя результата:
IX. (б)
Дифференцируя F) по а, получаем:
со
<]>(«) (а) = J (iz)i cp (z) eiaz dx, G)
— со
причем дифференцирование под знаком интеграла законно
в силу абсолютной сходимости получающегося интеграла.
Из G) находим:
/
~аУ dx
р-|<Р (*)!<**,

30
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
в силу очевидного неравенства [z)«^-
используя определение ср (z), получаем оценку
далее,
(8)
До сих пор величина _у была произвольной. Выберем
теперь знак у так, чтобы иметь ау = \а\\у\, а его величину
так, чтобы неравенство Юнга A) п. 1, в котором у заменено
на Ф~\-р)\у\, а х на , , , обратилось в равенство
Тогда показатель в (8) преобразуется к виду
Заменяя v ; ¦ на т 8, где 8 сколь угодно мало вместе с р, мы
получаем неравенство
a
т. е. ф (а) ? Wm, !/б, что и требовалось.
Соединяя теоремы 1 и 2 и учитывая, что ср(лг) = ср(—х),
получаем следующий основной результат.
Теорема 3. Если М (х) и Q (у) — функции, взаимно
двойственные по Юнгу, то
W^ta = W*<1'a, W^b = WM,ub. (9)
Оператор Фурье, отображающий W2»6 на Wm, i/&. также
является непрерывным. Это можно показать непосредственно
или можно воспользоваться взаимной однозначностью отобра-
отображения и теоремой о непрерывности обратного оператора
(вып. 2, гл. I, § 7).
Вместе с формулами' (9) справедливы формулы двойст-
двойственности для пространств Wm и Ws:
WM = W*. W* = WM, (Ю)
причем здесь оператор Фурье также является непрерыв-
ным.
3]
§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
31
В соотношениях (9) и A0) при желании можно под —
понимать не прямое, а обратное преобразование Фурье,
поскольку каждое пространство типа W вместе с ср (х) со-
содержит ср (—х). Аналогичное обстоятельство имеет место
и для соотношений, которые мы установим в следующем
пункте.
3. Теоремы двойственности для пространств Wjtr>a.
Теорема 4. Пусть Qt (у) и Mt(x) — функции, двой-
двойственные по Юнгу соответственно к функциям М (х)
и Q (у). Тогда
WM,a= WMi> 1/6. A)
Доказательство. В выражении преобразования Фурье
фуНКЦИИ <?(x)?WM,ba
вследствие аналитичности y(x-\-iy) и экспоненциального
убывания ее на каждой горизонтальной прямой в плоскости z,
равномерного в каждой горизонтальной полосе, можно,
с одной стороны, перейти на любую горизонтальную прямую,
как в теореме 2, с другой стороны, произвести аналитическое
продолжение, заменив в обеих частях равенства а на s = a~\-ix,
как в теореме 1. В результате мы получим:
ф (о -+- it) = J ср (х -{- iy) е1
— со
Оценка по модулю дает:
dx.
@ _|_ ft)
со
С
С е-М{(а-о)х]+\х\ 1-е 1
Производя с интегралом те же преобразования, что
и в теореме 1, мы заменяем его большей величиной

ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[3
Выбирая у и производя с внеинтегральным членом те же
преобразования, что в теореме 2, мы заменим его на
\ Полагая
= j_8l, где 8,
и рх бесконечно малы вместе с 8 и р, мы получаем оценку
где Ср181=СрбСб. Таким образом, ф (о)? ИТ^'.УД; при этом
очевидно, что оператор Фурье ф=<р является ограниченным
оператором, переводящим WJjjf.a в Wlrl/i/u»
Применяя то же рассуждение к пространству Wja[,i%,
мы найдем, что оно переводится преобразованием Фурье
в пространство Wj?, а* Оба отображения в силу единствен-
единственности преобразования Фурье взаимно однозначны. Отсюда
следует утверждение теоремы.
Вместе с формулой A2) справедлива и формула двойствен-
двойственности для пространства W^:
= WM\,
причем оператор Фурье и здесь остается непрерывным.
Примеры. Полагая
M(x) = -
B)
- = - + -= 1
q r ~ s
и заменяя для простоты в обозначениях пространств символы
функций М, ?21, Мх, 2 соответствующими показателями
р, q, r, s (как указано в конце п. 3 § 1), получаем формулы
Wp,a =
r
з, 1/6,
wp = wq,
wr= wa,
p, a
C)
E)
L
lj § 4. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ д'д
§ 4. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Определения основных пространств. Пусть даны
функции М1(х1), ..., Мп(хп) (каждая от одного независи-
независимого переменного), удозлетворяющие условиям § 1. Про-
Пространство Wm , .... ж = War. по определению, состоит из всех
бесконечно дифференцируемых функций ер (х) = ср (хх, . . ., хп),
для которых удовлетворяются неравенства
x)\ =
A)
Последовательность ф^(х) ? WM называется сходящейся к нулю,
если, во-первых, функции epv(jc) и их производные любого
порядка сходятся к нулю равномерно в каждой ограничен-
ограниченной области (правильная сходимость) и, во-вторых, в нера-
неравенствах A), написанных для функций cpv (jc), можно взять
постоянные Cq, alt ..., ап не зависящими от v (ограничен-
(ограниченность).
Пусть StO^), ..., Qn (jv) — аналогичные функции от
переменных у; пространство Wsi'"'" sn = W3, по определе-
определению, состоит из всех целых аналитических функций п
комплексных переменных Zj = Xj-\- y> Для которых
| «* ср (г) | - | ^ 1. . . z*»T Bl,..;, 2„) | < Cfe,2i(&^t)+¦ • • +«,(V«).
B)
Последовательность cpv B) ^ W2 называется сходящейся к нулю,
если, во-первых, функции vv(z) равномерно сходятся к нулю
во всякой ограниченной области «-мерного комплексного
пространства (правильная сходимость) и, во-вторых, в нера-
неравенствах B), написанных для функций epvBr), можно взять
постоянные Ск, Ь±, . . ., Ъп не зависящими от v (ограничен-
(ограниченность).
Если даны Mj(xj) и Qj(yj), то мы можем построить
и пространство W^=
^ ;
оно состоит из целых
аналитических функций <р (z) = ср (z1, ..., zn), для ко-
2н(Ья«'П). C)
3 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

34
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
Последовательность функций <pvB) называется сходящейся
к нулю, если, во-первых, функции cpv (z) равномерно сходятся
к нулю в любой ограниченной области «-мерного комплекс-
комплексного пространства (правильная сходимость) и, во-вторых,
в неравенствах C), написанных для функций cpv (z) мож-
можно взять постоянные С, а1г .... ап, blt ..., Ъп не завися-
зависящими от v.
Заменяя в приведенных выше неравенствах постоянные aj
на а^ — bj, bj на bj-\-Pj, фиксируя aj и bj и требуя выпол-
выполнения неравенств A), B), C) при всех положительных bj и pj,
мы получим определения пространств Wm, а> W5-ь и Wji,a\
это (полные счетно-нормированные) совершенные про-
пространства, дающие при объединении соответствующие про-
пространства WM, WQ, WM.
2. Операции в основных пространствах. Во всех указан-
указанных выше пространствах определены и непрерывны операции
дифференцирования -^— и умножения на Xj (или ^— и гЛ;
доказательство^-такое же, как в § 2; при применении фор-
формулы Коши контур интегрирования выбирается в плоскости
.., zn)
j
Если целая аналитическая функция f(z) = f(zlt
удовлетворяет неравенству
\f(zu
то она является мультипликатором в пространстве Ws, при-
причем для любой функции ср ? W2' 6 произведение fca принадле-
принадлежит, пространству Ws'b+b°.
Если целая аналитическая функция f(z) удовлетворяет
неравенству
\f(Zlt ..., 2Г„)|<
то для всякой функции ср? Ww^a с uj > uj (J — 1, 2, . . .', л)
произведение fy принадлежит пространству WMi а-а0'
§ 4. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
35
В частности, функция f(z) = gMo's) = gHVi+---+V5?i) ПрИ
любых вещественных at ап является мультипликатором
в любом пространстве Wm, а- Все эти утверждения доказы-
доказываются так же, как в § 2 доказывались аналогичные пред-
предложения для одного переменного.
3. Теоремы двойственности. Преобразование Фурье
со
ф@1> . . .,oj=j*. . ./?(*!, • ..,хп)е^^---+хпп)йХх_.йХп
—со
D)
функции ср> (х) есть ограниченный оператор, переводящий:
пространство Wx, а в W**. i/a (L = (J_ , . . ., J_\\ t
\а \а1 ЛпИ
пространство Ws- ь в WXv i/ь (j = (^-, • • •, ^) ) ,
пространство wlf,6a в W^;,1!^,-
Здесь Ж1; Qi —функции, двойственные по Юнгу к 2 и Ж
соответственно. Это утверждение доказывается по методу § 3
с использованием того факта, что после применения к функ-
функции ср (лс) оценки A) (соответственно B) или C)) подынте-
подынтегральное выражение в D) преобразуется в произведение п мно-
множителей, каждый из которых завис.ит лишь от одной из коор-
координат Zj и одной из координат Sji поэтому весь интеграл
разбивается в произведение п множителей, каждый из кото-
которых может быть преобразован по методу § 3.
4. О нетривиальности и о богатстве запаса функций
в основных пространствах. Вопрос о нетривиальности про-
2
странств Wm целиком сводится к вопросу о нетривиальности
каждого из пространств W^ с фиксированным j. Если все
€ W'ж — отличная от
J
они нетривиальны и, предположим,
нуля функция, то произведение JJ ср^- также отлично от нуля
и принадлежит к пространству W%. Если хотя бы для одного j
пространство W^ тривиально, то оказывается тривиальным
3*

36
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
и все Wm, поскольку всякая функция ср {z) ? Wm, рассматри-
рассматриваемая при фиксированных zk {k ф j) как функция от г*,
2 .
принадлежит к пространству W^ . Отметим, в частности,
а 3
что пространство Wm нетривиально, если для каждой пары
Mj, Qj выполнено достаточное условие нетривиальности,
указанное в конце п. 4 § 1. Остальные результаты § 1,
касающиеся плотности пространства Wm в нормированном
пространстве Е, переносятся на общий случай очевидным
образом.
ГЛАВА II
КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой и следующих главах рассматриваются некоторые
приложения теории обобщенных функция к общим теоремам
существования и единственности решений уравнений с част-
частными производными.
Мы ограничиваемся здесь задачей Коши для линейных
уравнений в основном с коэффициентами, не зависящими от
пространственных переменных. Мы не касаемся здесь иных
важных задач — граничных, смешанных с общими граничными
условиями, и других, поскольку методы обобщенных функ-
функций для таких задач еще не разработаны в достаточной мере;
но мы надеемся, что методы, построенные для решения и
исследования задачи Коши, помогут в дальнейшем и при
решении других задач.
Мы будем рассматривать системы вида
(х, t)
di
G = 1..... да),
где Pjjc(s) — многочлены с постоянными коэффициентами*).
К этим системам приводятся формально более сложные системы
д Jtij(x, t)
dxt ' • ' ш'
"*<*•'>•
B)
*) В дополнении к этой главе рассматриваются и различные
частные случаи, не подходящие непосредственно под общую схему
A): системы с операторами свертки, в частности, дифференциаль-
дифференциально-разностные, некоторые системы с переменными коэффициентами,

36
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
[4
и все W%, поскольку всякая функция ср (z) ? W^x, рассматри-
рассматриваемая при фиксированных zk (k ф f) как функция от
2
2 .
принадлежит к пространству W ^ . Отметим, в частности,
что пространство Wm нетривиально, если для каждой пары
Mj, Qj выполнено достаточное условие нетривиальности,
указанное в конце п. 4 § 1. Остальные результаты § 1,
касающиеся плотности пространства W% в нормированном
пространстве Е, переносятся на общий случай очевидным
образом.
ГЛАВА II
КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой и следующих главах рассматриваются некоторые
приложения теории обобщенных функций к общим теоремам
существования и единственности решений уравнений с част-
частными производными.
Мы ограничиваемся здесь задачей Коши для линейных
уравнений в основном с коэффициентами, не зависящими от
пространственных переменных. Мы не касаемся здесь иных
важных задач ¦— граничных, смешанных с общими граничными
условиями, и других, поскольку методы обобщенных функ-
функций для таких задач еще не разработаны в достаточной мере;
но мы надеемся, что методы, построенные для решения и
исследования задачи Коши, помогут в дальнейшем и при
решении других задач.
Мы будем рассматривать системы вида
duj(x, t)
' di
j= 1, . . ., m), A)
где Pjk(s) — многочлены с постоянными коэффициентами*).
К этим системам приводятся формально более сложные системы
ft=i
*) В дополнении к этой главе рассматриваются и различные
частные случаи, не подходящие непосредственно под общую схему
A): системы с операторами свертки, в частности, диффэренциаль-
но-разностные, некоторые системы с переменными коэффициентами,

38 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
где порядок многочлена Р^ по аргументу -^-- меньше числа (д.,-.
К такому типу относится, например, волновое уравнение.
Переход от системы B) к системе A) осуществляется путем
введения новых неизвестных функций по формулам
"и = «1.
дГ
&r-
ди
"m2
Задача Коши для системы A) состоит в разыскании ре-
решения, удовлетворяющего начальному условию
tij (х, 0) = Uj (х) U = 1, . . ., п).
C)
Мы будем заниматься построением классов единственности
решения задачи Коши и построением классов корректности.
Класс единственности — это (линейное топологическое)
пространство (обычных или обобщенных) функций от аргу-
аргументов х, в котором гарантируется единственность решения
задачи Коши при данных начальных условиях, в предполо-
предположении, что решение существует.
Класс корректности — это совокупность функций (обыч-
(обычных) от аргументов х, в которой гарантируется существо-
существование решения при любом выборе начальных условий (также
из некоторого фиксированного класса), его единственность
и непрерывная зависимость от начальных условий.
Мы используем в этой и следующих главах обобщенные
функции в пространствах бесконечно дифференцируемых или
аналитических основных функций с определенными усло-
условиями поведения на бесконечности, а именно в пространствах
типа 5 или W. (Очевидно, что для краевых задач нужно
будет ввести основные пространства, связанные с краевыми
условиями.)
Существенную роль играет метод преобразований Фурье.
Раньше казалось, что метод преобразований Фурье пригоден
только в таких задачах, где имеют дело с интегрируемыми
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
39
функциями *). Теория обобщенных функций дает возможность
строить преобразования Фурье любых, как угодно быстро
растущих функций, и это позволяет использовать преобра-
преобразования Фурье в полной мере.
Второй существенный прием — применение дифференци.-
альных операторов бесконечного порядка. Решение задачи
Коши для уравнения
с начальным условием
и (х, 0) = и0 (х)
формально записывается в виде
и(х, t) =
tp(
т. е. в виде результата применения дифференциального опе-
оператора бесконечного порядка
л!
следует дать точное определение этого оператора и выя-
выяснить, в каких случаях его можно применять.
Рассмотрим в качестве примера задачу Коши для урав-
уравнения
ди (х, t) д?и (х, t)
dt
D)
где а — комплексная постоянная. Оказывается, что при лю-
любом а имеется один и тот же класс единственности решений
задачи Коши, состоящий из функций, которые при фикси-
фиксированном t удовлетворяют неравенству
)\^С,е°*х\ E)
Но в то время как для уравнения теплопроводности (а == 1)
эта же совокупность функций служит и классом корректности,
*) Или с функциями, становящимися интегрируемыми при умно-
умножении на экспоненту е~рсе (преобразование Лаплас а,» которое пред-
представляет собой видоизменение преобразования Фурье).

40 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
для уравнения Шрёдингера (а = г) классом корректности
будет совокупность достаточно гладких функций (и притом
только степенного роста), а для обратного уравнения тепло-
теплопроводности (а =—1) классом корректности будет уже
только совокупность аналитических функций с определенным
порядком роста.
Этот пример показывает, что вопрос о классах един-
единственности решения задачи Коши — особый вопрос, отдель-
отдельный от вопроса о классах корректности решения и требую-
требующий самостоятельного метода исследования. Поэтому мы вы-
выделили вопрос о классах единственности в отдельную главу.
В этой главе мы покажем, что для каждой системы A)
(следовательно, и B)) имеется класс единственности решений
задачи Коши, описываемый неравенствами вида
где показатель г (<^ со) зависит от самой системы.
Мы воспользуемся известным приемом, принадлежащим,
по-видимому, Хольмгрену A901 г.) и состоящим в том, что
из существования решения данного уравнения при любых
начальных данных следует единственность решения сопряжен-
сопряженного уравнения.
В § 2 этот прием излагается в абстрактной форме. Ре-
Решение данного уравнения мы, таким образом, будем рас-
рассматривать как обобщенную функцию над некоторым основ-
основным пространством. Нужно будет подбирать основное про-
пространство в зависимости от уравнения так, чтобы задача
Коши для сопряженного уравнения была в этом основном
пространстве всегда разрешима.
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ В ЛИНЕЙНОМ ТОПОЛОГИЧЕСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
1. Связь между решениями задачи Каши в данном
пространстве и в сопряженном пространстве. Пусть задан
линейный непрерывный оператор At, непрерывно зависящий
от параметра t, действующий в линейном топологическом
пространстве Ф и отображающий его в себя при каждом
t (О^г1^ Т). Сопряженный оператор At определен в сопря-
сопряженном пространстве Ф' и переводит его также в себя.
1]
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ
41
рассмотрим дифференциальное уравнение
da it)
dt
= — Atu
A)
где и (t) — неизвестный элемент пространства Ф'. Абстракт-
Абстрактной задачей Коши будем называть задачу о решении этого
уравнения с начальным условием
иф) = ио?Ф'. B)
Оказывается, что решение задачи Коши A) — B) тесно свя-
связано с решением аналогичной задачи Коши в пространстве Ф,
а именно, с решением уравнения
C)
где
dt
при начальном условии
D)
Эта связь состоит в следующем.
Мы будем коротко говорить, что задача Коши C) — D)
всегда разрешима, если для каждого момента i0, 0<^?0^ Т,
и каждого элемента ср0 существует решение ср (^), опреде-
определенное при 0<^?<; Т, обращающееся в ср0 при t = t0, и если
это решение ср (t) линейным и непрерывным образом зависит
от ср0. Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если задача Коши C)— D) в основном
пространстве Ф всегда разрешима, то задача Коши
A) — B) в сопряженном пространстве Ф' имеет решение
при любом начальном функционале и0; это решение
единственно в Ф' и непрерывно зависит от функцио-
функционала и0 в смысле топологии пространства Ф'.
Прежде чем доказывать эту теорему, выполним некото-
некоторые предварительные построения.
Обозначим через Qt0 линейный непрерывный оператор
в Ф, который переводит вектор сро в решение ср(О задачи
Коши C) — D). Этот оператор, по условию, определен для лю-
любых чисел 10 и t в промежутке [0, Т] и обладает свойствами
dt
E)

42 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
Из последнего равенства получаем, что
Qll — E при любом /0. F)
Равенство E) показывает, что оператор q?0 удовлетворяет
уравнению
В частности, мы получаем формулу
dt
:At.
t=t,
(8)
Для трех произвольных значений /0, tx, t2 в промежутке
[О, Г] мы можем написать
<р (*2) = Qh (к) = QtQh <?o).
а с другой стороны,
«р D) = Qb? Со)-
Сравнивая эти два равенства, мы получаем, что
Q%Ql=Qb (9)
Полагая в этой формуле t2 = t0, приходим к равенству
<?*:<э?=<??=?. сю)
Заменяя здесь tx на / и дифференцируя по /, получаем:
используя G), находим:
to
откуда, умножая справа на Q\", приходим к выводу, что
*"
A1)
1]
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ
43
Переходя к сопряженным операторам, получаем уравнение
= — А*Ог/. A2)
dt
Теперь мы можем непосредственно перейти к доказа-
тельству теоремы. Для этого положим ?0 = 0, u(t) = Qt и0;
покажем, что функционал u(t) есть решение задачи Коши
A) — B). Прежде всего, применяя операторное равенство
A2) к вектору и0, мы находим:
da «) _
dt
так что уравнение A) удовлетворено. С другой стороны, при
? = 0 оператор QT обращается в Е* — Е, что приводит
к выполнению и начального условия. Заметим, наконец, что
функционал и (t) непрерывно зависит от начального элемента
м0 в силу непрерывности оператора QT- Покажем теперь,
что задача Коши A) — B) может иметь лишь единственное
решение в пространстве Ф'. Для этого достаточно показать,
что единственным решением уравнения A) при начальном
условии мо = О может служить лишь функционал u(t)=sO.
Чтобы это показать, фиксируем произвольно момент t0,
О^А>-*С'^> и.применим функционал u(t) к элементу Q*ocpo,
где ср0 — любой элемент пространства Ф. Дифференцируя
результат по t и используя уравнение A) и равенство F),
находим
= (_ A*tu
= (—A*tu(t),
= 0.
Отсюда следует, что величина {u(f), Qiocpo) постоянна. Исполь-
Используя начальное условие и@) —0, находим, что эта величина
при всех t равна нулю. В частности, при t = t0 мы получаем:
Так как ф0 — произвольный элемент пространства Ф, то

44 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
функционал и (/0) есть нулевой функционал. Поскольку 10
было произвольно выбрано между 0 и Г, мы получаем, что
u(t) = O, что и требовалось.
2. Более общая теорема единственности. Если нас
интересует только проблема единственности, то мы можем
значительно обобщить ситуацию, описанную в п. 1. Мы
предположим теперь, что пространство Ф является частью
некоторого другого пространства Ф1; которое в свою очередь
содержится в третьем пространстве Е:
Каждое включение, естественно, предполагается сохраняю-
сохраняющим линейные операции, а также сходимость, т. е. из
срп —> 0 в Ф следует срп —у 0 в Фх и из срте —>- 0 в Фх следует
срп—>0 в Е. Предположим далее, что Ф плотно в Е. Каждый
линейный непрерывный функционал на Е является тем самым
линейным непрерывным функционалом на Ф и Фг. Предпо-
Предположим, кроме того, что оператор At может быть распро-
распространен с пространства Ф, где он определен с самого на-
начала, на пространство Фх. Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если в пространстве Ф для любых t0 и t
(О ^ t ^ t0 ^ Т) определен линейный непрерывный опера-
оператор Qfti, переводящий пространство Ф в пространство Фх
и дающий в применении к любому вектору ср0 ? Ф решение
задачи Коши
то задача Коши
du i
dt
может иметь в интервале О
решение *) и (t) ? Е'.
A)
@) = щ B)
Т лишь единственное
*) Отметим, что для заключения о единственности решения
задачи Коши B) в интервале O^t^T с начальным условием при
t = 0 достаточно предполагать существование оператора Q\ только
при 0 -< t .< 4 <: Т (верхний индекс не превосходит нижнего).
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
45
Доказательство. Мы можем рассуждать так же, как
в теореме 1. Оператор Qt0 удовлетворяет уравнению
dt ~"f**o-
Только это уравнение и используется при доказательстве
единственности решения задачи Коши A) — B) в конце п. 1,
так что мы можем воспользоваться основной идеей этого
доказательства. Функционал u(t)?Ef, являющийся решением
задачи Коши A) — B) с начальным условием м@) = 0, мы
применим к вектору Q*09oG ФхсЕ. Таким же образом, как
в п. 1, мы покажем, что (и (t0), <фо) = О, т. е. функционал
и (t0) обращается в нуль на пространстве Ф. Так как иA0)
определен по условию на всем Е и Ф по условию плотно
в Е, то и (t0) есть нулевой функционал в Е, что и требуется.
§ 3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
1. Введение. Мы будем рассматривать систему диффе-
дифференциальных уравнений вида
, t)
Здесь Uj(x, t) — неизвестные функции. Операторы
jjeii-д —) представляют собой многочлены от производных
д Х д .
з—, • • • > "я— максимального порядка р (по совокупности
аргументов); число р называется порядком системы A).
Задача Коши состоит в определении совокупности функ-
функций Uj(x, t) (у=1, 2, ..., т), удовлетворяющей при t^0
уравнениям A) и при ^ = 0 начальным условиям
Uj(x, O) = uj
B)
где Uj(x) — заданные функции. Совокупность1 [и$(х, t)} на-
называется решением задачи A) — B).

46 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [ 1
Часто удобнее записывать задачу Коши A) — B) в век-
векторной форме
да(х, t) г>(.- д \ ..,._ „ .д.
D)
dt
и (х, 0) — и (х),
где и (х, t) — неизвестная вектор-функция, и (х, t) = {tij (x, t)},
a P\i-fi-) — матрица (т строк, т столбцов) из линейных
дифференциальных операторов.
Ставится вопрос о построении класса единственности
решения задачи Коши A) — B), т. е. об указании такой
совокупности функций {и(х)}, что решение, если оно су-
существует и при каждом t(O^.t^.T) принадлежит этой
совокупности, может быть лишь единственным.
Прежде чем проводить доказательство в общей форме,
мы проиллюстрируем его основную идею на примере урав-
уравнения
да (х, t)
dt ~
(х, t)
E)
где а —- произвольная (комплексная) постоянная.
Неизвестная функция и (х, t) считается (при каждом значе-
значении /) обобщенной функцией над некоторым основным простран-
пространством Ф. Это основное пространство Ф в соответствии с пла-
планом § L должно быть подобрано так, чтобы в нем задача
Коши для соответствующего уравнения («обратно-сопряжен-
(«обратно-сопряженного»)
д_? (х, t)
dt
_
дх*
была всегда разрешима. Формально это решение записы-
записывается в виде
и пространство Ф нужно подобрать так, чтобы в нем был
определен дифференциальный оператор бесконечного порядка
Кроме того, выгодно подобрать пространство Ф воз-
возможно более узким, с тем, чтобы теорема единственности
2]
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
47
была получена в возможно более широком классе обоб-
обобщенных функций. Выберем пространство Ф из числа про-
пространств Si, описанных в гл. IV вып. 2. Пространство si
состоит из функций ср (х), удовлетворяющих неравенствам
| хк ср(«) (х) | < CAkBikkaqi^.
а*
Функция f \-г-) —е а dx? ИМеет порядок роста 2. Что-
Чтобы иметь возможность применить основную теорему § 5 гл. IV
вып.
2, нужно рассмотреть пространство 5 „ с -д-> 2 или
Р •< -р-. Выберем, далее, возможно меньшее а, при кото-
котором St нетривиально; оно равно 1—р, следовательно, боль-
больше -я-. Основные функции, входящие в это пространство,
имеют при | х | —> со экспоненциальное убывание порядка
—, т. е. меньше 2. Единственность решения задачи Коши
а
для уравнения A) имеет место на основании § 1 в сопря-
сопряженном пространстве; в частности, она имеет место в сово-
совокупности обычных функций f(x), растущих при | х \ —> со
медленнее, чем е0^:
2
Итак, мы указали класс единственности решения задачи
Коши для уравнения E) *). Заметим, что этот класс не за-
зависит от значения постоянной а; даже в некорректном слу-
случае, когда Re а <С 0, в указанном классе функций единст-
единственность решения задачи Коши сохраняется.
2. Предварительные построения и формулировка основ-
основной теоремы. Переходим к исследованию общего случая.
Мы будем применять схему § 2 в следующей форме.
Элементами линейных топологических пространств Ф, Фх,
фигурирующих в построениях § 2, будут от-мерные вектор-
функции ср = (срх срш), компоненты которых срх (х), . . .
*) Здесь он указан еще не вполне точно; в действительности,
как это будет видно далее, вместо показателя 2—е можно писать
показатель 2. Такое уточнение получается за счет использования
пространств S^l вместо s?.

48 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КбШИ [2
. . ., ср,„ (х)— элементы функциональных пространств, рассмо-
рассмотренных в гл. IV вып. 2 или в гл. 1 настоящего выпуска.
Определение векторного пространства, например S% при п = 1
производится по формуле
21
§ 3. Операторный метод
¦4» {k,q=Q, 1,2, ...),
где || || — обычная норма вектора в евклидовом про-
пространстве. Такое векторное основное пространство является
просто прямой суммой аналогичных скалярных основных
пространств.
Линейные непрерывные функционалы на векторном основ-
основном пространстве также можно считать векторами — «обоб-
«обобщенными вектор-функциями» /=(/1, ..., fn); при этом
функционал / действует на основную вектор-функцию
? = (?i Тяг) по формуле
(/, ?) = (Л, <Pi) + .•.+(/«, 9™)-
Каждый линейный оператор А на основном векторном
пространстве Ф задается матрицей || Ajk ||, элементы кото-
которой суть обычные линейные операторы в скалярном про-
пространстве Ф. Действие оператора А на основную вектор-
функцию ср = (срх, . . . , <Рте) ПРОИЗВОДИТСЯ ПО обыЧНОМу
правилу
Лср =
А„ ...А
1т
А д
2
В частности, оператор —— задается диагональной ма-
матрицей с обычными, операторами —— по диагонали, оператор
cue
умножения на х — диагональной матрицей с множителями х
на диагонали.
Оператор А*, сопряженный к оператору,, заданному
матрицей ||A,-fcll> определяется матрицей ЦЛ^Ц, получаю-
получающейся из матрицы || А/& || заменой операторов А ,к сопря-
I
женными и транспонированием
= \\Pjk(i4-\\\.ro
Например, если А =
dx
А* =
dx)
В дальнейшем для простоты мы будем говорить просто
«функция» вместо «вектор-функция» и вообще будем, как
правило, использовать терминологию скалярного случая;
из контекста каждый раз будет ясно, идет речь о скаляр-
скалярном или векторном случае. При первом чтении полезно
иметь в виду только скалярный случай, т. е. случай одного
уравнения. Некоторые детали рассуждений, относящиеся к
общему случаю систем, пропущены, но читателю нетрудно
будет их восстановить.
В соответствии с общим планом § 2 мы будем рассма-
рассматривать неизвестную функцию и {х, V) как обобщенную
функцию — функционал над векторным основным про-
пространством Ф, зависящим от параметра t. Задача теперь сво-
сводится к построению такого основного пространства Ф =
= {cp(je)}, в котором существует решение задачи Коши для
системы (в векторной записи)
'(*, О A)
при любых начальных условиях
<р(х, *0) = cp0(*) ?Ф. B)
Через Р мы обозначили здесь матрицу, связанную с мат-
матрицей Р соотношением
Pjk = —~РЩ С/, Л = 1, 2, . . ., от).
Решение задачи Коши A) — B) формально записывается
в виде
ср(лг,О = в('"*°>Р(*^сро^)-
Матрица
(?)<
составлена из элементов Qjk(i -3—, ?0, tj, которые представ-
представляют собой целые аналитические функции от 5—, . . ., ^— :
4 Зяк. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

50 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
поэтому мы должны построить пространство Ф с тем расче-
расчетом, чтобы в нем были определены соответствующие диф-
дифференциальные операторы бесконечного порядка.
Из гл. IV вып. 2 мы знаем, что для этой цели можно исполь-
зовать пространства о;, л, параметры которых следует подо-
подобрать в соответствии с ростом функций Qjk(s,to,t). Поэтому
прежде всего мы должны оценить рост функций QJk (s, t0, t).
Будем понимать под нормой матрицы А = || а^ь\\ (J,k =
= 1, 2, . . ., т) норму соответствующего линейного опера-
оператора в от-мерном евклидовом пространстве векторов ? =
= (^,. . ., %т) со скалярным произведением (?W, ?<2>) = 2 ^Т^Р'
Тогда, как известно *),
т mm
тах2К-*|2<1И12<2 2К*|2- C)
ft j = l j = l ft=l
Если в качестве матрицы А взять матрицу Р (s) (матрицу
системы A), где / -^— заменено на s), то для элементов
этой матрицы - при достаточно больших | s | справедлива
оценка
поскольку все они являются многочленами от s степени,
не превосходящей р. В силу неравенства C)
. |2J>
Далее,
Q(s, tn, t)
л
!|P(*)f<
мы имеем:
II — \\e(t-t,)i
II IIе
= 0
т
:2
3-1
' (S) I
т
&=i
и V ('-'o)fe р
i = 0
oo
k = 0
GO
у (t-to)k r*
Zl A! CilJ
ft=0
7,|s|J
) Г. Е. Шилов, Введение в теорию линейных пространств
2-е изд., Гостехиздат, М., 1956, стр. 149. Читателю всегда будет
з к
, р 9 Ч
ясно из контекста, где мы обозначаем через
норму матрицы.
матрицу и гле —
2]
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
51
Элементы матрицы Q(s,to,t), очевидно, аналитические функ-
функции от s. Мы видим, что эти элементы суть целые анали-
аналитические функции порядка роста, не превосходящего р.
В действительности эти функции могут иметь и мень-
меньший порядок роста. В § 6 мы покажем, что существует
наименьшее число ро^Ср — будет указано, как его вычис-
вычислять, — такое, что справедлива оценка
, to,t\
iPo
D)
Число р0 — точный экспоненциальный порядок роста матри-
матрицы— называется приведенным порядком системы.
Приведенный порядок значительно точнее характеризует
свойства системы, чем ее обычный порядок р (максимальный
из порядков дифференциальных операторов по х, стоящих
в правых частях системы). Обычный порядок может изме-
измениться при переходе от неизвестных функций Uj(x, t) к их
линейным комбинациям и к линейным комбинациям их про-
производных, а приведенный порядок не меняется при этих
преобразованиях. Рассмотрим, например, две системы
dt
It
\
дЧ
i- i
@
dt
дх
(И)
dv*
переходящие друг в друга при замене u1 = v1, и2 = ""L .
Фактически эти две системы суть разные1 формы записи
„ д^и д*-и х,
одного и того же уравнения 2-го порядка -зтг~ = а л~^• "°
обычный порядок р у этих систем различен (у первой р= 2,
у второй р= 1), а приведенный порядок, как легко сосчи-
сосчитать, у обеих систем равен 1. Приведенный порядок есть
в некотором смысле истинный порядок, и, как показала
В. М. Борок, любую систему с (целым) приведенным порядком р0
можно привести к системе, у которой и обычный порядок
будет равен р0.
Отметим, что для обратно-сопряженных систем с матри-
матрицами Р и Р = —-Р приведенные порядки, очевидно, совпа-
совпадают.

52 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
Оказывается, что приведенный порядок определяет в ко-
конечном счете и класс единственности решения задачи Коши
для заданной системы.
Именно, имеет место следующая основная теорема.
Теорема 1. Если для системы A) п. 1 приведенный
порядок р0 > 1, то совокупность всех функций f(x), удов-
удовлетворяющих неравенству
|/(*)|<С*М*о, ~ + ~=1, E)
с любыми фиксированными С и Ьо образует класс един-
единственности решения задачи Коши для системы A) п. 1;
иными словами, может существовать лишь единствен-
единственное решение системы A) п. 1, обращающееся при t = Q
в заданную вектор-функцию ио(х), все компоненты ко-
которой при О ^ t ^ T принадлежат классу E). Если
ро= 1, то классом единственности служит совокупность
функций E) с любым (фиксированным) значением ро-
Еслиро<^ 1, то решение задачи Коши (I)—B)п. 1 единственно
в классе всех функций f(x) без всяких ограничений роста
на бесконечности.
Допустимый интервал
лишь от постоянных С и
начальной функции ио(х).
Дальнейшее содержание
доказательству этой теоремы.
времени 0 ^ t
Ьо и не зависит
T зависит
от выбора
этого параграфа посвящено
3. Доказательство основной теоремы. Предположим,
что число t изменяется в пределах t0 <; t ^ t0 -f- T, причем
ЪТ < 9, где 6 — произвольно выбранное число. Тогда, как сле-
следует из оценки D) п. 2, целые функции, входящие в состав
матрицы Q(s,t0, t), имеют порядок роста р0 с типом, меньшим 8.
Теперь уточним выбор основного пространства Ф.
Для простоты будем временно считать, что аргумент х
изменяется не в /г-мерном пространстве, .а на прямой:
— со < х <С со.
Напомним, что (скалярное) пространство S^',a состоит из
бесконечно дифференцируемых функций ср (х), удовлетворяю-
удовлетворяющих при любых 8 ;> 0, р >¦ 0 неравенствам
С6р (A -j- 8)* kk
3]
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
53
В § 5 гл. IV вып. 2 была доказана следующая теорема:
если f{s) есть целая функция порядка роста -g- и типа,
В / d \
меньшего —' , то оператор /1~з—I определен и ограни-
чен в пространстве SLU и переводит это пространство в
пространство S^', где В' = Ве$.
Так как нам теперь известны оценки порядка роста (р0)
и типа (< б) целых функций Qij(s, t0, f), то мы можем
воспользоваться этой теоремой для построения векторного
пространства Sf,'x, B котором будет действовать оператор
Q(i-=—, to,t\. Мы найдем, естественно, р и В из урав-
уравнений
- = е. A)
Числа а и Л мы определим из условия нетривиальности
пространства Sa',A- Из уравнений A) мы имеем:
Предположим сначала, что р0 >¦ 1. Тогда р << 1 и для
обеспечения нетривиальности пространства Si'^ мы можем
положить в соответствии с результатами § 8 гл. IV вып. 2:
СС I р, Л -7J- ,
где ^ — некоторое положительное число.
Случай р0^ 1 мы разберем несколько позднее.
Основные функции, входящие в (скалярное) пространство
5^; 5. характеризуются следующей оценкой убывания при
х [
со:
Показатель — можно выразить через приведенный поря-
порядок р0:

54 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
Коэффициент а вычисляется по формуле E) п. 1 § 2 гл. IV
вып. 2:
а =
eA
1Л»
он может быть выражен через величину 0:
• е \ у /
B)
Итак, построение пространства <D = sf';f, в котором
действует оператор Q (i -5—, t0, t\, закончено. Покажем те-
теперь, что для любой основной функции ср (х) ? S^ л решение
задачи Коши
д9 (х, t) _ l й\
т ~Fv иг)*(*•*'•
ср (X, t0) = <р(х),
задается формулой
ср (х, t) = Q(i~, i0, t) cp (x).
Иными словами, мы должны доказать, что для каждой
основной функции ср (х) в топологии пространства 5
Q U ¦7— , t0, t) ср (х) = ср (х).
lim
Критерий сходимости последовательности основных функ-
функций cpv (x) В пространстве Sa,A " . как мы ПОМНИМ ИЗ ГЛ. IV
вып. 2, состоите следующем: последовательность cpv (х) схо-
сходится в этом пространстве к функции ср (•*¦)> если мно-
множество функций {cpv(x)J ограничено в этом пространстве
и если имеет место правильная сходимость cpv (х) —> ср (х),
т. е. на каждом конечном отрезке функции cpv (x) равно-
равномерно сходятся к ср (х) вместе со всеми своими производ-
ными. Используем здесь этот критерий.
3]
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
55
Для этого заметим прежде всего, что матрицы из целых
функций
Q(S, t0, f) = <?(*-*o)P(s),
(s. t0, t)
e(t-tc)P(s)
допускают оценки, не зависящие от t, 0 <^ t <^ T,
а именно:
s, tp. t)
pHlslP
и поэтому определяют равномерно ограниченные (по t) one-
раторы в пространстве Sa, а- Отсюда следует, что семейства
функций
ограничены при О^^^Г в пространстве Ф1 = 5а|х/
(В' = Ве$). Мы должны показать, что функции ty(x, f)
при t —> t0 правильно сходятся к ср(х), а функции х(х' О
при М-^-0 — к Р (i -?A ф (х, f).
Функция ф (х, t) определяется рядом
ф (х, t) = Q (i Jt- , t0, t) cp (x) = eC-W p (»?") cp (x) = •
¦ fe = O
сходящимся абсолютно и равномерно по л:, как было по-
показано в скалярном Случае в § 5 гл. I вып. 2. Этот ряд
сходится также равномерно по параметру t в пределах
^о^^^^- Поэтому можно перейти к пределу при t-^-t0
в каждом члене и просуммировать результаты; мы получим:
lim
(х, 0 = Р (/ -А.) ср (х) = ф (х).

56 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
Очевидно, что имеет место также и равномерная сходи-
сходимость рядов, полученных дифференцированием данного по х.
Это доказывает искомую правильную сходимость.
Аналогично устанавливается и второе предельное соот-
соотношение.
Итак, мы показали, что Qu-^— , t0, Я является операто-
оператором, разрешающим в пространстве Ф = 5« а задачу Коши
A) — B) п. 2.
Мы используем теперь теорему п. 2 § 2. Как мы по-
помним, эта теорема утверждала: если линейный оператор Qtt
переводит пространство Ф в пространство Ф^ Ф и при
любом ср ? Ф функция ф (t) — Qt0<?0 есть решение задачи
Коши
Ш
то задача Коши
может иметь лишь единственное решение в пространстве Е',
сопряженном к любому пространству Е, содержащему в ка-
качестве плотных подмножеств пространства Ф и Фх.
В нашем случае, как уже говорилось, операторы Qijl-r-. ^оЛ
переводят пространство Ф —S^'^ с найденными значе
ниями а, В, А, В в пространство Фх = 5«; в& . Это про-
пространство Фх состоит из функций ср (х) с тем же порядком
убывания на бесконечности, что и у пространства Ф. По-
Поэтому оно в свою очередь заключено в нормированном про-
пространстве Е, состоящем из измеримых функций ср (х)
(— со <С х <i со) с нормой по формуле
I «Pi
,= г
(х) | dx.
C)
Нетривиальное пространство So.', л, согласно сказанному
в § 8 гл. I вып. 2, достаточно богато функциями и распо-
располагается плотно во всяком более широком нормированном
31
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
57
пространстве Е с нормой вида C). Таким образом, предпо-
предпосылки теоремы п. 2 § 2 выполнены. Применяя ее, мы полу-
получаем: задача Коши для системы A) п. 1 может иметь лишь
единственное решение, принадлежащее при всех t, О ^ t <^ T,
ЬТ<С 9, к пространству Е'.
Пространство Е'', сопряженное к пространству Е, состоит
из измеримых функций f(x), удовлетворяющих (почти всюду)
неравенству
/
D)
Следовательно, задача Коши A) — B) п. 1 может
иметь при О^^^Г, ЬТ<; 9 лишь единственное решение
в классе измеримых функций, удовлетворяющих нера-
неравенству D).
Заметим, что за счет уменьшения допустимого интервала
времени 0 <; t <1 Т, ЬТ < 9 постоянная а/2 в неравенстве D),
связанная с 0 равенством B), может быть взята произвольно
большой, в частности, равной заданному Ьо.
Мы доказали тем самым теорему 1 для ро^> 1.
Рассмотрим теперь оставшиеся случаи р0 = 1 и р0 < 1.
При р0 = 1 число р, определенное из условия A), также
равно 1. Число а теперь уже нельзя выбрать равным 1 — C = 0,
так как пространство 50 тривиально. Мы возьмем в качестве а
любое положительное число. Пространство Sa',A.> согласно
§ 8 гл. IV вып. 2, нетривиально, и мы можем взять его
в качестве пространства Ф при доказательстве теоремы.
В результате мы придем к классу единственности реше-
решения задачи Коши A)—B) п. 1 в форме
где — вместе с а—любое (фиксированное) положительное
а
ЧИСЛО.
1 имеем В = — > 1
Ро
и можно взять
Наконец, при р0
а = 0.
Пространство So, а хотя и нетривиально, но не является
достаточно богатым функциями.* Поэтому мы в данном случае
в качестве пространства Ф возьмем пространство
у

58 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
объединение пространств So, а по индексу А; как было пока-
показано в § 8 гл. IV вып. 2, оно уже достаточно богато функциями.
Все функции, входящие в пространство Ф = 5о'"в, фи-
финитны; поэтому пространство Ф входит в нормированное
пространство Е с нормой
с любой весовой функцией Е{х). В результате мы получаем,
что совокупность функций f(x), удовлетворяющих нера-
неравенству
есть класс единственности решений задачи Коши A)—B) п. 1.
Так как Е (х) — произвольная функция, то решение един-
единственно в области всех функций f(x) без всяких ограни-
ограничений роста. Тем самым для п = 1 теорема 1 доказана
полностью.
В случае, когда имеется п >> 1 независимых переменных
jCj, . . ., хп (а не одно переменное х, как мы предполагали),
доказательство проходит по той же схеме, с заменой про-
пространства 5«;5 на его л-мерный аналог s^» •••> JV-^» •••¦-^п
(§ 9 гл. IV вып. 2). Функции Qjk (s, t0, 1) = Qjk (su. . ., s;l, t0, t)
теперь допускают оценку вида
QJk(su .... sn,
E)
с приведенным порядком р0. В соответствии со значением р0
подбираются, как и выше, числа C^, Вр сх.р Aj, определяющие
в совокупное и пространство 5^""" J1' А '"' ^п. В результате
мы приходим к классу единственности в форме
\f(xu :..,
F)
если /?0 > 1, к соответствующему классу, где р'о заменено
на любой показатель г, если ро= 1, и к кла.ссу всех функ-
функций без ограничения роста, если р0 << 1. Тем самым тео-
теорема 1 доказана полностью.
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
59
Отметим новое обстоятельство, возникающее при рассмотрении
функций нескольких переменных. Целые функции Qjk (sb..., sn, t0, t)
могут наряду с оценкой E) допускать также и другую оценку
1 Qjk (sv ¦¦¦> sn, to, t) |< Ce«> Is< *1+ • • • +'n !»« f\
где числа pj могут быть меньше или больше приведенного по-
порядка р0. Если в соответствии с этими значениями р® подобрать
числа Pj, В.-, aj, Aj, определяющие пространство Sa" '' \ ап[ А" "" Ап ,
то мы придем к классу единственности в форме
\f(Xv ....
Pj
Этот класс, вообще говоря, не содержится в классе единствен-
единственности, определяемом формулой F).
Например, для функции
мы можем написать любую из оценок
I Jt-tn) S,S, I <s- Jt-t0) | S, | | Sa | ^ (
1,1
где 1
f Г
I. В соответствии с этим для уравнения
д°-и
ди
dt
i дх%
каждый из классов функций
является классом единственности.
4. Обычное решение как обобщенное. Наше исследова-
исследование должно быть дополнено в одном важном пункте. В пре-
предыдущем изложении при рассмотрении задачи Коши
(X,
ик(х, t),
A)
Uj(x, O) = Uj(x
B)

60 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
мы понимали под функциями и$(х, t) обобщенные функции
над некоторым основным пространством Ф. И операции -—-
и Pjk (i -r— ), участвующие в уравнении A), понимались также
в смысле обобщенных функций: иными словами, выполнение
системы уравнений для некоторых и^(х, t) означало, что для
любой основной функции ср (jc)
-^(uj(x, t),
. t), pJk(i-?-
k=l
а выполнение начальных условий B) — что
lim (uAx, t), cp (x) ) == (u• (x, 0), <?(x)).
t->o
Поэтому, прежде чем применять теорему 1 к данному
обычному решению и^(х, t) задачи Коши, необходимо про-
проверить, что соответствующая обобщенная функция
(и, (х, t), ср (х)) = j uj (х, t) cp (x) dx
есть решение задачи Коши A)—B) и в смысле обобщенных
функций. Этот факт имеет место в общем случае в силу
следующей теоремы.
Теорема 2. Если функции ик (х, t) (k = 1, 2, . . ., т)
дифференцируемы по I, допускают применение дифферен-
дифференциальных операторов Pjftu-r—) {т. е. обладают произ-
производными по х до порядка р), обращают систему уравне-
уравнений A) в систему тождеств и удовлетворяют неравен-
неравенствам
C)
то система функционалов над пространством Ф=
а =
(ик(х, t),
= j ик(х, t)'<o{x)dx
D)
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
61
есть решение задачи Коши для системы A) в смысле
обобщенных функций с начальными функционалами, опре-
определенными функциями ик(х, 0).
Доказательство. Заметим прежде всего, что выра-
выражения A) в силу условия C) действительно определяют на
пространстве 5^ А линейные непрерывные функционалы.
Более того, поскольку постоянные в оценке C) не зависят
от t, выражения D) непрерывны равномерно по t в следую-
следующем смысле: если последовательность функ ий <р„(лг) стре-
стремится к функции ср (х) по топологии пространства Sa,A> то
предельное соотношение
(ик(х, t), yv(x))-+(uk(x, t), ср<Х))
имеет место равномерно по t в интервале 0 ^ t ^ Т.
Мы должны показать, что для каждой основной функ-
функции <о (х) выполняются равенства
(х) dx=
ttj (x, t) Pjk (i JL) ? (x) dx E)
и предельные соотношения
j[uk(x, t) — uk{x,
F)
Заметим, что просто умножить систему A) на <э(х) и инте-
интегрировать по частям мы не можем, так как неизвестно,
будут ли сходиться получающиеся при этом интегралы.
Поэтому мы вынуждены выбрать обходный путь.
Функционал ик{х, t) может быть продолжен с простран-
пространства 5а) а на пространство 5в, А. Это последнее, как мы
знаем, состоит из бесконечно дифференцируемых функ-
функций <?(-*-)> удовлетворяющих неравенствам
где а, имеет указанное выше значение
3 (А + )
Пусть задана функция cp(jc)? Sa а- Как мы знаем из вып. 2,
финитные функции образуют плотную систему в этом про-
пространстве. Поэтому можно построить последовательность
финитных функций 9v (*)> сходящуюся к функции у (х)
по топологии пространства Sa а- В силу непрерывности

62 ГЛ, И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
функционала ик(х, t) имеет место предельное соотношение
(ик(х, t), ъ(х))-+(и(х, t), <?(*)) G)
равномерно по t в интервале 0 <;?-<; Г.
Функции tyw(x) = Pjk(i -з—) ?v(X) также финитны, и в силу
непрерывности оператора дифференцирования в простран-
пространстве Sa а, мы получаем также соотношения
(а (х, t), Pjk (i ~) <pv (*)) - (и (х, t), Pjk (i ±) cp (.v)) ; j
(8)
последнее—равномерно по t.
Умножая равенство
дик (х, t)
• щ~
/ д
на финитную функцию cpv (x) и интегрируя по частям, находим:
~fuk (х, t) 9v (x) dx = ^lf uj {x, t) Pjk (i -^) cpv (x) dx.
j (9)
Отсюда в силу (8) мы можем заключить, что функции,
стоящие в левой части равенства (9), имеют при v —>¦ оо
предел, равный правой части соотношения (8), и сходятся
к нему равномерно по t. Но и сами функции (и(х, t), <pv(X)),
как показывает соотношение G), имеют при ** —>¦ сю предел,
равный (и (х, t), <?(x)). Поэтому в силу теоремы о диф-
дифференцировании функциональных последовательностей
~
~(ик{х, t),
= (uk{x, t),
jk
что совпадает с требуемым равенством E).
Для доказательства соотношения F) заметим, что оно
заведомо выполняется для финитных функций ср(х)^5а>^.
Так как функционалы ак(х, t) — ик(х, 0) в силу оценок C)
ограничены равномерно (по t) и на плотном в основном
пространстве множестве (финитных) функций стремятся к нулю,
то они стремятся к нулю на каждом элементе ср^50)Л, что
и требуется. Тем самым теорема 2 полностью доказана.
2]
§ 4. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
63
§ 4. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. МЕТОД
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
1. Введение. В этом параграфе мы приведем другое
доказательство результатов § 3, основанное на преобразова-
преобразовании Фурье.
Как хорошо известно, еще у авторов прошлого века
задача Коши решалась с помощью преобразования Фурье.
Но до недавнего времени применимость этого метода огра-
ограничивалась теми или иными требованиями относительно
поведения преобразуемых функций на бесконечности. В клас-
классических работах это были условия типа интегрируемости
функций или их степеней. В нашем веке вместо интегри-
интегрируемости функции стали требовать интегрируемость ее
произведения с некоторыми экспонентами е~Хж (преобразование
Лапласа, которое есть одна из форм преобразования Фурье).
Дальше этого классические средства математики не действо-
действовали. Поэтому для исследования уравнений с частными произ-
производными были применены другие методы, например для ги-
гиперболических уравнений — метод характеристик. В области
гиперболических уравнений метод характеристик вполне есте-
естественен; он дает решение независимо от роста начальных дан-
данных на бесконечности. В то же время метод преобразований
Фурье в его классической форме дает решение лишь в том слу-
случае, когда начальные функции не слишком быстро возрастают.
Но мы, действуя с обобщенными функциями, располагаем
возможностью применять преобразование Фурье к любым,
как угодно быстро растущим функциям. Это позволяет, так
сказать, реабилитировать метод Фурье в применении к реше-
решению задачи Коши и дать единое построение, относящееся
ко всем типам систем (не только к гиперболическим, где
действует метод характеристик).
Метод преобразований Фурье позволяет найти подход
и к проблеме о классах корректности решения задачи Коши,
о чем мы будем говорить в следующей главе.
2. Основная теорема. Рассмотрим задачу Коши для
систем дифференциальных уравнений (в векторной записи)
ди (х, t)
dt
-*)'<¦¦
X, t)
A)

64 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
с начальным условием
и(х, 0) = ио(х).
B)
Как и в § 3, мы ставим себе задачей найти класс един-
единственности решения задачи Коши A) — B). Для решения этой
задачи мы снова будем рассматривать искомое решение и(х, t)
как обобщенную (вектор-) функцию над некоторым основным
пространством Ф, зависящую непрерывным и дифференци-
дифференцируемым образом от параметра t.
В соответствии с общим методом § 2 единственность
решения задачи Коши A) — B) в пространстве Ф' будет
иметь место, если в основном пространстве Ф для любой
начальной основной функции <po(jc) будет иметь решение
задача Коши
где
cp(x, to) = yo(x), D)
—-P[i -3—) есть матрица, эрмитово-сопряженная по отно-
отношению к матрице Р li-^— |.
Чтобы найти пространство Ф, обладающее требуемыми
свойствами, мы теперь применим к задаче C) —D) преобра-
преобразование Фурье. Система C) перейдет в систему обыкновенных
уравнений с параметром
и 0; E)
начальное условие D) заменится условием
4(s,to) = q?o{s), F)
гДе i'o(s) есть основная функция в пространстве ЧГ = Ф —
преобразование Фурье функции <г>0(х).
Решение задачи Коши E) — F) формально записывается
в виде
ФО, *) = «<*-*->р<->«!«)($).
Матрица ?<*-*.>) Р(=) = Q(s, t0, t) состоит из целых анали-
аналитических функций от 5. Поэтому мы должны построить
пространство W с расчетом, чтобы в нем было опредс' йно
умножение на соответствующие целые функции.
2] § 4. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЁ 65
Рассмотрим вначале случай одного независимого пере-
переменного; переход к общему случаю осуществляется так же,
как в § 3.
Используем построенные в гл. I пространства типа Wm, a,
параметры которых будут нами подобраны в соответствии
с ростом функции Q(s, t0, t). Рост матрицы Q(s, t0, t) был
указан в § 3; он описывается неравенством
\\Q(s, t0,
где р0
в интервале ^
также написать, что
приведенный порядок системы. Если t меняется
Т, причем 2№?0Г< —вр, то можно
Рч
Рч
\\Q(s, tQ,
2 -PoBPj I s \P'—
Так как
тельно
Pa
т0 оконча-
\\Q(s, t0, *)|1<С2
Напомним, что пространство ЧУм,Ьа состоит из целых анали-
аналитических функций ty(s), для которых удовлетворяются нера-
неравенства
ф (а _(_ гх) ^ Се-М (s')+2 <*T),
где М и 2 — некоторые выпуклые (книзу) функции; а— любая
постоянная, меньшая, чем a; b — любая постоянная, большая,
чем Ъ. В § 2 гл. I была доказана следующая теорема.
Всякая целая аналитическая функция f(s), удовлетворяю-
удовлетворяющая неравенству
|/(о + it) j < Сеи (а,а>+а (б1т)>
определяет (ограниченный и непрерывный) оператор умноже-
умножения в пространстве W = Wji, a при а > ах и переводит его
в пространство' Wx = W%ba\.
Предположим, что р0 >• 1.
Возьмем М(а) = — | а \р\ 2 (х) = — | т \Ро; это выпуклые
Ро Ро .
функ"ии, и мы имеем по доказанному:
\\Q(s, t0, О|К
5 Зак. 2918. И. М. Гельфанд а Г. Е. Шилов

66 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Применим приведенную выше теорему. При заданном а
всегда можно выбрать интервал времени 0 <^ t ^ T настолько
малым, чтобы выполнялось неравенство б < а; для таких
значений Т матрица Q (s, t0, t) будет мультипликатором
в пространстве W%tba и будет переводить его в простран-
пространство W%b+\.
Покажем, что для любой основной функции
= Wft.ba формула
ф(«, t) = Q(s, t0, ОФо<А>
определяет решение задачи Коши
аФ^>0 = Р (S) Ф (S, t), ф E, t0) = ф0 (S) ,
<! Т пространству Ч^ = Wm, а-е*
принадлежащее при О
Для этого мы должны доказать, что по топологии про-
пространства Wt
lim
м ¦> о
lim
= р
(8)
В соответствии с определением сходимости в простран-
пространстве W^ ьа (гл. I, § 1) мы должны показать, что функции под
знаком lim сходятся к своим пределам правильно (т. е. равно-
равномерно в любой ограниченной области в плоскости s) и равно-
равномерно ограничены по t (в пространстве Ч?\). Правильная
сходимость в данном случае очевидна из определения функ-
функции Q(s, t0, t) = e(*-*o>p (»>. Ограниченность по t имеет место
в силу оценок
\\Q(s, tQ, 0||<C2^
и
Q (s, t0, t) n ^ ? еМ
не зависящих от t.
Таким образом, предельные соотношения G)—(8) спра-
справедливы.
В силу изоморфизма между пространствами W и Ф в про-
пространстве Ф существует оператор, решающий при каждой
2] § 4. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 67
основной функции cpo(jc) задачу Коши C) — D):
Поэтому в пространстве, сопряженном к Ф, согласно § 2
единственно решение задачи Коши
dt =P(
Точнее говоря, решение и (х, t) будет единственным, если
оно принадлежит при каждом t, 0<^^7", пространству Е',
где Е — нормированное пространство, содержащее прост-
пространства Ф и Ф1 как плотные подмножества.
Пространство Ф, как двойственное к пространству
х$=ЧУм,Ьа, есть пространство №%[,%, где М1 и Q1 — функ-
функции, двойственные по Юнгу соответственно по отношению
к функциям Q и М. Так как Q (p) = M (o) = — I ol^0 то
I /ту
Mi(x) = Q1(x) = —r\x\ °. Согласно определению" простран-
пространно
ства Wi&^yb (гл. I) пространство Ф состоит из функций ср(лг),
которые имеют на оси х' убывание, описываемое неравенством
1_ г I ж I -|*о
' I Ъ 1
| Р
Аналогично, функции со (х), входящие в пространство
^ = ^ = УРщУьЬ убывают на оси х по закону
Л со] -\р0
1_ тЛ со] -\
J L Ь+в 1
Р
Пространство Е задаем с помощью нормы
\ов 1

68 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Очевидно, что ФаФ^^аЕ. Так как Ф достаточно богато
функциями (гл. I, § 1), то Ф плотно в Е. Мы находимся
в условиях применимости теоремы 2 из § 2; применяя ее,
получаем, что задача Коши A)—B) имеет единственное
решение в пространстве Е'.
Отсюда следует непосредственно основная теорема о клас-
классах единственности.
Теорема. Задача Коши A)—B) при достаточно
малом t^T имеет единственное решение в классе функ-
функций f{x), удовлетворяющих неравенству
при любом фиксированном Ьо.
Действительно, для заданного Ьо мы можем найти Ъ из
условия -г—,— = Ьо, затем найти а из условия нетривиаль-
нетривиально*
ности пространства wf[, \ (гл. I, § 1), где M(x)=Q (jc)=— j х \р°,
Р° 1
и, наконец, определить интервал Г из условия 2Р b0T<i —ВРо,
Ро
в <С а. Эти величины позволяют нам построить основные
пространства Ф, W и провести по приведенной схеме все
рассуждение.
Мы доказали теорему единственности в случае р0 > 1.
В случае /?0<^ 1 доказательство проводится по той же схеме
с заменой функций | а |№, | х [№, определяющих пространство
Wm, а. функциями | о \r, | x \г с произвольным положительным
г >> 1; получаемый в этом случае класс единственности будет
определяться неравенством
где г' можно считать любым фиксированным положительным
числом.
Замечание. Мы использовали в доказательстве про-
пространства W%. Можно было бы использовать и другие про-
пространства; единственным условием, по существу, является
требование, чтобы в рассматриваемом пространстве функ-
функции etp№ определяли ограниченные операторы умножения.
3]
§ 4. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
69
3. Случай гиперболической системы. Метод Фурье уже
не дает при р0 < 1 класса единственности из всех функций
без ограничения роста (см. § 3). Но зато он позволяет в одном
важном случае улучшить результат в § 2 для ро= 1.
Именно, предположим, что матрица-функция Q(s, t0, f) =
= ?(*-<o)P(s) удовлетворяет неравенствам
(а) при всех 5 \\Q(s, t0, OIKQe8!*! (т. е. /?0< 1); A)
(б) при вещественных 5 = о
IIQ(о, to. 0||<С2A-Нз|Ь), B)
т. е. возрастает не быстрее степенной функции.
Системы уравнений вида A) п. 2 с такими свойствами разре-
разрешающей матрицы Q(s, t0, t) будем называть в дальнейшем
гиперболическими; мы будем говорить о них более подробно
в гл. III § 3. Оказывается, что для гиперболических систем,
так же как и для систем с ро<С 1. гарантируется единствен-
единственность решения задачи Коши в классе всех функций без
ограничения роста на бесконечности.
Для доказательства вспомним теоремы 1' и 2' § 7 г л-. IV
вып. 2. Мы доказали там, что всякая целая функция, удо-
удовлетворяющая неравенствам A) и B), удовлетворяет также
неравенствам
\\Q(s, t0, 0||<СзввИ A-НзР1).
В этом случае в силу теоремы 3" из того же § 7 гл. IV
функция Q (s, 1й, ?) является мультипликатором в пространстве
Z = S0 целых аналитических функций фС5)» таких, что
Отсюда следует, что двойственный оператор О(х, t0, t) =
= F[Q(s, t0, t)\ определен в пространстве K=S0 финитных
бесконечно дифференцируемых функций и переводит это
пространство в себя. К числу функционалов над простран-
пространством К принадлежат функционалы типа любой (локально
интегрируемой) функции без всяких ограничений роста.
Поэтому, повторяя рассуждения по приведенной выше схеме,
мы находим, что единственность решения задачи Коши в этом
случае обеспечивается в классе всех функций, что и утвер-
утверждалось.
4. Системы с коэффициентами, зависящими от t. Все
перечисленные результаты легко распространяются и на

70 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
системы с коэффициентами, непрерывно зависящими от f.
ди (х, t) „/. д
Наметим доказательство методом преобразований Фурье *).
Достаточно доказать существование решения задачи Коши
для системы в основном пространстве Ф — {®(х)}
Как и всегда,—Р означает матрицу, эрмитово-сопряженную
по отношению к матрице Р.
После преобразования Фурье мы получим задачу Коши
0.
B)
C)
где 40(s) — основная функция в пространстве ЧГ = Ф. Реше-
Решение этой задачи уже нельзя записать в форме показательной
функции, как мы делали раньше. Будем действовать иначе.
В силу классических теорем существования система B)
обладает нормальной фундаментальной матрицей решений
Q(s, t0, t)=\\Qjk(s, 'о. OIL
отвечающей системе начальных условий
Q (s, t0, t0) = Е (единичная матрица).
При этом если задан начальный вектор фоС5)» т0 решение
системы B), обращающееся в tyo(s) при t = t0, имеет вид
Поскольку параметры 5 входят в систему B) аналитическим
образом, Qjjc(s, t0, t) — целые аналитические функции. Оценим
их рост.
Как известно, матрица Q(s, t0, t) может быть построена
следующим образом **). Разобьем интервал (t0, t) на п частей
*) Можно было бы провести доказательство и операторным
методом.
**) См. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц. Гостехиздат, М.,
1953, гл. XIV. ¦¦ .
4]
§ 4. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
71
точками деления t0 < tx < ... < tn = t и положим Д^ = t%—ti_x
(t=l, 2, .... ti). Тогда, используя основное свойство мат-
матрицы Q(s, t0, t) (§ 2), мы можем написать
Q(s, t0, f) = Q(s, tn_lt tn)Q(s, tn_2, 4_x) ...Q{s, t0, tx).
Значение s фиксируем. Используя равенство G) п. 1 § 2,
в котором положено to = ti, можно написать
где е(Д^)->0 вместе с Д^, причем равномерно в интервале
О^^-^Г; отсюда выводится, что
Q (s, t0, t) == Ц [Е + Р (s, ti) Mt) + s (max Д/<).
Здесь можно сделать предельный переход, полагая max Д^ —*¦ 0;
мы получим, что
Q(s,to,t)= Hm Jl[E^-P(s, t^Ati].
max Ai^ ->0 3 = 0
Это выражение матрицы Q(s, t0, t) позволяет дать оценку
ее роста по 5. Так как степени многочленов Pjk(s, tj) не
превосходят р, мы при достаточно большом | s | (не зависящем
от I <СТ) имеем:
\Pj*(s,
откуда и
Беря Д^ = "¦, мы получаем оценку
Чтобы получить оценку, справедливую для всех s, доста-
достаточно ввести некоторый дополнительный постоянный мно-
множитель Clt так что для всех

72 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
Полученная оценка не зависит от подразделения интер-
интервала (t0, t). Поэтому можно перейти к пределу, устремляя
тахД^ к нулю; в результате мы получим:
\\Q(s, t0, OIKc^i'i^-Ч
Таким образом, целые аналитические функции от s, вхо-
входящие в состав матрицы Q(s, t0, t), имеют порядок роста
не выше р и тип<СС(?—-t0).
И в этом случае точный порядок роста матрицы Q(s, t0, t)
может быть ниже, чем р; мы, так же как и раньше, обо-
обозначим его через р0 и будем называть приведенным поряд-
порядком. В случае коэффициентов, зависящих от t, мы уже не
можем дать метод вычисления р0. Мы предполагаем теперь,
что функция Q(s, tQ, t) допускает оценку
|Q(s, t0,
mpес(*-
(которая заведомо выполнена, если положить ро~р)- Тогда
вся схема, описанная для постоянных коэффициентов, про-
проходит без изменения и приводит к тому же результату;
в частности, при р0 >• 1 класс единственности решения
задачи Коши
ди (х, О .
dt
и (х, 0) = а0
D)
задается неравенством
г
,ро
где р0 — приведенный порядок системы D) и
§ 5. ПРИМЕРЫ
1.
Ро
I. Уравнение ut—auxa.. Рассмотрим снова уравнение
ди д^и
~~дТ==п~Ш'
A)
где а — некоторая (комплексная) постоянная. В частности
при а > 0 получается уравнение теплопроводности, при
а -< 0 — обратное уравнение теплопроводности, при а мни-
мнимом— уравнение Шрёдингера из квантовой механики.
а
§ 5. ПРИМЕРЫ
73
Найдем класс единственности решения задачи Коши для
э: ого уравнения. Заменяя i-j— на s, получим уравнение
dv
~dt
= — as2v
с разрешающей функцией Q(s, t0, t) = е-а^ (*-*»\
Порядок роста р0 этой функции равен 2.
Число р'о в данном случае также равно 2. Согласно тео-
теореме 1 § 3 в классе функций f(x), удовлетворяющих нера-
неравенству
|
может существовать лишь единственное решение уравнения A).
В данном случае результат теоремы 1 § 3 не может
быть улучшен заменой показателя 2 на показатель 2-(-е,
каково бы ни было е >> 0. Действительно, уравнение A)
имеет решение
u(x,t)=
т= 0
Bт)!
Xй
B)
при условии, что функция f(t) удовлетворяет неравенствам
\f{m) (t) j ^ e™ B/n)!, em —> 0, C)
обеспечивающим сходимость ряда B) при всех значениях х'
Положим здесь sm = m8-1, где 1 > 8 > 0; тогда е^ Bт)!
будет иметь порядок mm(-1+°'>, и в силу теоремы Карлемана —
Островского*) будет существовать функция f(t) ф 0, удо-
удовлетворяющая неравенствам C) и обращающаяся в нуль при
? = 0 вместе со всеми своими производными. Соответствую-
Соответствующее решение и (х, t) будет при t = 0 тождественно равно нулю,
а при t > 0 отлично от нуля. Оценим рост этого решения
при j х \ —> оо. Подставляя оценку C) в формулу B), находим:
— 0
х
2то
2/A-0)
*) См. вып. 2, гл. IV, § 7.

74 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
(ср. аналогичную оценку в § 2 гл. IV вып. 2). Показа-
2
тель ? при достаточно малом 8 становится меньшим чем
2-[-е с заданным е >• 0. Таким образом, при любом е > 0
в классе функций f(x), удовлетворяющих неравенству
™ |2+е
задача Коши для уравнения A) имеет уже не единственное
решение.
2. Уравнение ии == аи^^. Рассмотрим уравнение
¦ а<
A)
где а — некоторая (комплексная) постоянная. В частности,
при а вещественном получается волновое уравнение, при а
мнимом — уравнение Лапласа. Найдем класс единственности
решения задачи Коши
и(хО) = и(х) и Y ) = и
Вводя функции их —и, и2 = -5^, заменяем уравнение A)
системой
«2 . |
B)
dt ¦
du2
. д
Заменяя далее г"з— на s, получаем систему
at
Фундаментальная матрица решений имеет вид
Q(s,to,t) =
з as {t —
— sin as (t —
cts
as sin as (t — tQ) cos as (t — ^0)
.3]
§ 5. ПРИМЕРЫ
75
Элементами этой матрицы являются целые функции от s
порядка роста р0 = 1 (отметим, что в данном случае р0 =
= 1 < р = 2). Поэтому в соответствии с результатом тео-
теоремы 1 § 3 мы можем утверждать, что единственность реше-
решения задачи Коши для уравнения A) гарантируется в классе
функций f(x), удовлетворяющих неравенству
где X — произвольное число.
Если а — вещественная постоянная, то результат можно
улучшить. В этом случае при вещественных s = o матрица
Q(s, t0, t) возрастает не быстрее многочлена от s (первой
степени). Поэтому в соответствии с определением п. 3 § 4
система B) гиперболическая, и единственность ее решения
гарантируется в классе всех функций без ограничения роста.
3. Уравнение utt-
: — их. Рассмотрим уравнение
д^и 1 ди
д?1 а дх
A)
с начальными условиями
Это уравнение того же типа, что и в примере 1, но задача
Коши имеет теперь совершенно иной смысл. Например, если
а=1, ^ — пространственная координата, х — временная,
то для получившегося уравнения теплопроводности ставится
вопрос о том, чтобы найти температуру и(х,1) по извест-
известным для всех значений времени ее значениям в одной точке
и известным значениям ее производной в этой же точке.
Найдем класс единственности решения задачи Коши для
уравнения A). Вводя функции ,их — и, и2 = —3—, заменяем это
уравнение системой
дил
At • >
dt
а дх

76 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
. д
Заменяя далее i -5- на s, получаем систему
dt at J
Фундаментальная нормальная матрица имеет вид
Q(s,to,f) =
cos
B. {t -t0)
^ sin
i? (t—
-, /~is ¦ ¦, /~ts
-. f is ,,
Элементы этой матрицы — целые функции порядка />о=="9"-
Поэтому в соответствии с результатом теоремы 1 § 3 мы
можем утверждать, что для уравнения A) гарантируется
единственность решения задачи Коши в классе всех функ-
функций без ограничений роста.
В следующем параграфе мы покажем, как можно упро-
упростить подсчеты, связанные с построением класса единствен-
единственности, используя свойства характеристических корней данной
системы.
§ 6. СВЯЗЬ ПРИВЕДЕННОГО ПОРЯДКА СИСТЕМЫ
С ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ КОРНЯМИ
1. Основное неравенство. Как мы видели, в проблеме
построения класса единственности решения задачи Коши для
системы
ди (х, t)
dt
A)
существенную роль играет приведенный порядок системы,
т. е. порядок роста в s-плоскости целой матрицы-функции
Q(s, t) = etpW.
В этом параграфе мы сведем вопрос об экспоненциаль-
экспоненциальном порядке роста матрицы Q(s, t) к более простому во-
вопросу о степенном порядке роста характеристических корней
матрицы P{s). Обозначим через \{s), ..., ^m(s) корни
характеристического уравнения
det(|P(s) — XE|| = O. B)
1]
§ 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
77
Функции \{s), . . ., XOT(s) называются характеристическими
корнями системы A). Они определены для всех комплекс-
комплексных значений 5 и непрерызны.
Характеристические корни системы A) естественно воз-
возникают при решении следующей задачи: найти решения
системы
т
ди,- (х, t)
dt
имеющие вид
uf(x,f) = Cie**-teM---t*nlon (J= !. 2, . . ., m) D)
с фиксированными значениями slt . . ., sn и Х.
Действительно, подставляя D) в C) и сокращая на
XtUi
Щ = S CkPjk (s) G=1,2,..., т).
Эта система имеет ненулевые решения тогда и только тогда,
когда
det||P(s-) —Х?|| = 0,
т. е. при X, равном одному из характеристических корней
матрицы Р (s).
Положим теперь
Л О) = max Re Xfc(s).
k
(о)
Основной результат этого параграфа состоит в следующем.
Теорема 1. Для любой матрицы Р(s) с т стро-
строками и т столбцами, элементами которой являются
многочлены от s = (slt . . ., sn) степени не выше р, при t^ О
имеет место оценка
[| etp (s) ||
F)
где ||?iP<s>|] означает норму матрицы etP W (т. е. норму
соответствующего оператора в т-мерном евклидовом
пространстве).

78 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
Доказательство теоремы 1 основано на следующей лемме.
Лемма. Пусть Р — произвольная матрица т-го поряд-
порядка с комплексными элементами; пусть далее Х1, . . ., \т —
характеристические корни матрицы Р и число Л =
= max Re Х^. Тогда при t ^ 0 имеет место неравенство
~Х). G)
Доказательство. Если /(Х)= 2 «дА* — целая ана-
литическая функция и Р — матрица, то f(P) Определяется,
как известно, рядом
2
Но матрицу f(P) можно построить и в форме некоторого
многочлена R(P). Как известно*), для этого нужно взять
многочлен R (к), который в точках Х1( .... Хт, отвечающих
характеристическим корням матрицы Р, принимает значения
Л=/(Х1), ..., /m = /(XOT), если корни попарно различны,
что мы сначала и предположим.
Среди многочисленных форм интерполяционного много-
многочлена R (X) нам будет удобнее всего рассмотреть форму
Ньютона:
. . . +fcm(X — XJ . . . (X — Х^О- (8)
Определим коэффициенты bv b2, . . ., bm. Полагая последо-
последовательно Х = Х1, Х2, ..., Хт, получаем систему уравнений
^2(^2 — К),
b2(Х3 — Xt) + b3 (Х3 — X,) (Х3
(9)
. . . (Xm — \m_{).
'*) Ф. Р. Г а н т м a x e p, Теория матриц. Гостехиздат, М., 1953,
стр. 83.
1] § 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
Введем обозначения
, -X,
\fiAh\- х, -X,
hH...}kl—
79
k X,- —X,
Тогда из уравнений (9) мы последовательно найдем:
и , А А rf 1
»2— Xs_Xl — l/l2b
Л-Л—lAsliV
[Аз1 - [Ail
Х3 — Х2
={/й+1—A — I
. .. —Ifa...
—[/123] (Wi — ^2) —
^2) • • • Q-k + i —
bm == l/l2 • ¦ • JreJ ¦
Эти величины можно оценить с помощью интегрирования
в комплексной плоскости. Введем выражения (& = 1, 2, . . ., т)
Яг
о о

80 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШЙ [ 1
Интегрируя по координате tk, находим:
оо о
+ (х&—xft_IL_1 + (X—\k) 1к\\к~хdtx ... dtk_x
1
X — Х
**-
... f
oo о
*-*
-ff-f
0 0 О
A0)
Положим далее йо(Х) = /(Х). Тогда A0) дает последовательно
[Л] — l/i]
'•'
«-1 i^m) —
12 ... от-2,
... in-2, j»-l
Итак, число «ft_!(Xj.) (fe=l,2 т) совпадает с коэф-
коэффициентом Ък искомого интерполяционного многочлена R (X),
так что
1 и и. .
0 0
— 4-i)h-i\dh •¦¦ Мъ^. A1)
Покажем, что при всех значениях tu to, . . ., tk lt удо-
удовлетворяющих неравенствам 0 < tk_1 ^ tk_~<^. . . . < ^t < 1,
аргумент функции /№~D находится в пределах наименьшего г ,:-
пуклого многоугольника В, содержащего точки \1г Х2, . . ., 1к,
I
1J § 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
В самом деле, мы имеем:
81
коэффициенты при \х, X,, . . ., \к неотрицательны и в сумме
дают:
Таким образом, аргумент функции /С*-1) совпадает с цент-
центром тяжести масс 1—tx, tx—12, ..., tk_x, расположенных
в точках \х, Х2, .... \к и, следовательно, лежит в пределах
указанного многоугольника В.
Пусть Мк означает max |/(&) (X) |. Тогда A1) приводит
в
к окончательной оценке
A2)
при t ^> 0 мы имеем:
В частности, для функции /(X) =
Мк = max | (etx)(k) |
max \etx
-В
где Л есть- максимальная из вещественных частей характери-
характеристических корней Хх, Х2> • • ¦ > Хт; поэтому для матрицы Р
]. A3)
поскольку любое характеристическое число матрицы не пре-
превосходит по модулю ее нормы. Эта оценка получена нами
в предположении, что характеристические корни матрицы Р
различны. По соображениям непрерывности она справедлива
и в общем случае, когда среди характеристических корней
имеются и равные. Тем самым лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Применим резуль-
результат леммы к случаю Р = Р (s). Поскольку квадрат нормы
ма рицы не превосходит суммы квадратов модулей всех ее
элементов, а многочлены, составляющие матрицу Р (s), имеют
6 Зак. 2918. И, М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

82 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
степень, не превосходящую р, мы имеем:
В результате мы приходим к окончательной оценке
которая совпадает с правой частью неравенства F).
Чтобы получить левую часть неравенства F), рассмотрим
единичный собственный вектор Uj матрицы Q(s,t), отвечаю-
отвечающий собственному значению etxj(!i), для которого ReХу-(s) =
= A(s). Мы имеем:
Q(s,t)uj
откуда
||Q(s, Oil = sup
||Q
что и требуется.
Теорема 1 очевидным образом сводит оценку роста
функции etP{~s) к оценке роста функьии Л (s) — максималь-
максимальной из вещественных частей характеристических корней ма-
матрицы P(s).
Будем называть (точным) степенным порядком роста
функции f(s) нижнюю грань чисел .р, для которых при
всех s выполняется неравенство
|<СрA+Н)р. A4)
Из неравенства F) следует, что (точный) степенной
порядок роста функции Л (s) есть (точный) экспонен-
экспоненциальный порядок роста матрицы etP(-s'> и, следовательно,
совпадает с приведенным порядком системы A).
Из второго определения характеристических корней, при-
приведенного в начале э'.ого параграфа, ясно, что они не изме-
изменяются при переходе от функций Uj(x, t) к их производным
и линейным комбинациям. Отсюда следует и инвариантность
приведенного порядка системы относительно этих преобра-
преобразований.
Замечание. Неравенство F) позволяет переформулировать
в терминах функции A (s) свойства целой функции е ^, вытекаю-
вытекающие из классической теории роста целых функций — принцип
Фрагмена — Линделёфа, теорию индикатрисы и др.
Укажем одно из таких свойств. Известно, что всякая целая
функция f(s) порядка роста р0, имеющая по некоторому направле-
2)
§ 6. Характеристические корни
нию экспоненциальное убывание с оценкой
: \f(s) |< Се~|sIй, рг>р0,
тождественно равна нулю.
Используя этот факт, заключаем, что не существует ма-
матрицы Р (s) = \\Pjk E)||, у которой функция A (s) no некоторому
направлению удовлетворяет неравенству
A(s)< —|s|», л > Не-
Недействительно, в противном случае функция etP^ в силу
сказанного выше должна была бы быть тождественно равной нулю,
что невозможно.
2. Вычисление числа р0. После изложенного, есте-
естественно, встает вопрос о вычислении степенного порядка
роста функции Л (s) непосредственно по матрице P(s).
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой:
Теорема. Разложим характеристический многочлен
матрицы Р (s) no степеням X:
det\\P(s) — ХЕ\\ =(— Х)'я_КР1фХЯ|-1+ . .
Пусть pj означает степень многочлена Pj(s) (no сово-
совокупности, переменных slt . . ., sn). Тогда степенной поря-
порядок роста Ро функции Л (s) может быть вычислен по
формуле
Рз
ро=. max -f--
Таков же степенной порядок роста и функций
Л
п
м
(s) =
(s) =
(s) =
maxj
maxj
maxy
ReX
ImA
lj(S
j(s)\,
)l-
Доказательство мы разобьем на несколько этапов.
I. Обозначим временно
Pj
max -j- = g0.
j J

84 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Покажем, что корни ~kj(s) характеристического многочлене
удовлетворяют неравенству
(Р=|«|). A)
Допуская противное, мы найдем последовательность
точек sv, |sv|~>-oo при м->оо, для которой один из кор-
корней— для определенности, первый — возрастает так, что
Мы имеем:
о = хг (О (
1Г + рх
Если все отношения в квадратной скобке при v —> оо имеют
пределом нуль, то мы получим противоречивое равенство.
Следовательно, при некотором / для некоторой подпосле-
подпоследовательности sv& — мы, впрочем, можем сохранить и обо-
обозначение 5V — имеет место соотношение
¦ ^Л. > С>0.
Отсюда
|P,(sv)| >C\\{(sv)\
и, следовательно, степень pj многочлена Pj(s) больше,
чем qoj:
Pi - '
Но тогда
и подавно
max-у- > qQ,
что противоречит определению д0. Таким образом, нера-
неравенство A) установлено. Вместе с ним заведомо выполняются
и неравенства
Re X, (s) < С A -+- pf°, | Re X^ (s) |< С A -j- p)q\
Im X(s)|<C(l+p)e°,
2]
§ 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
85
так что степенные порядки роста функций Л (s), Л (s),
TL(s) и М (s) не превосходят q0.
II. Дальнейшая наша задача состоит в доказательстве
того, что все функции Л (s), Л (s), II (s) и М (s) имеют
одинаковый степенной рост. Прежде чем переходить к этому
этапу, установим следующую лемму.
Лемма. Вещественная часть Qr(^i, ¦¦¦, tn) и мнимая
часть Qj(<3i, ..., хп) многочлена Q{sx, ..., sn) степени k
суть многочлены той же степени k no совокупности
переменных а1,
zn; при достаточно большом р ^> р0
они удовлетворяют неравенствам
Сх р* < max Qr (s) < С2 рк,
^з Р* -^ max I Qr E) | -С Ci Р'
|а|<р
max
t (s)
B)
Доказательство. Очевидно, что степени многочле-
многочленов Qr(s) и Qi(s) по совокупности переменных а, т не пре-
превосходят k, так что правые знаки неравенств B) заведомо
справедливы. Далее выделим из многочлена Q группу стар-
старших членов степени равной k:
здесь Q1 (s) многочлен общей степени не выше k—1, а все
слагаемые многочлена Q° (s) имеют степень, в точности рав-
равную k. Вместе с разложением C) имеют место разложения
где Q^ (s) = Re Q° (s) — однородный многочлен от переменных
av ..... zn степени k, Q* (s) = Re Q1 (s) — многочлен от тех же
переменных степени не выше k—1; аналогичный смысл
имеют символы Q?(s) и Qi(s). Пусть а комплексное число,
удовлетворяющее уравнению ак = i. Так как Q°(s)—одно-
Q°(s)—однородный многочлен измерения k, to

86 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Таким образом,
max | Q°r (s) j = max | Qi (s) |.
I s |< p |i|<p
Но, очевидно,
max | Qo (s) J = Cop* < max | Q°r (s) [ + max | Q°(s) |,
откуда
max | Q°r (s) | = max | Q? (s) | > % p*.
Младшие члены Qr(s) и Qi(s) имеют степень не выше k— 1
и не могут существенно изменить оценок; таким образом,
неравенства
max | Q°r E)[> СЗрк,
max\Q°i(s)\> СбРк
заведомо справедливы при достаточно большом р. Подберем
далее число а так, чтобы удовлетворялось уравнение ак = — 1.
Тогда мы будем иметь:
Q°r(as) = — Qr(s).
Это показывает, что множество значений функции Q®(s)
в области | 5 | -^ р совпадает с множеством значений функции
— Qr(s) в этой же области. Поэтому
max Q°(s) = max | Q°r (s) | >
I о 1 < p 1 в I < p
Младшие члены, входящие в многочлен Ql(s), не могут
существенно изменить этой оценки. В результате при доста-
достаточно больших р ^> р0 мы получаем:
max Q°r(s)> С\рк,
|8|<р
что и требовалось.
III. Теперь мы покажем, что отношение функций
Л*(р) = max Л E) и Л* (р) = max Л (s) ограничено сверху- и
в<р 1<р
снизу положительными постоянными при | р | —> оо. Для этого
рассмотрим многочлен k
?- p*.
2]
. § 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ .
87
являющийся коэффициентом ¦ при Хт 1 в разложении
det||P(s)—-X?[| по степеням Х; пусть k означает степень
этого многочлена по совокупности переменных su . . ., sn.
Функция 2ReX^(s) является вещественной частью много-
многочлена Р1 (s). В силу леммы, при достаточно больших р > pov
мы имеем:
max 2 Re X,-(s) < С2 р*
|я|<р
Очевидно, что
max
I <* I < р
max
D)
E)
F)
3 = 1
Среди величин ReX^s) могут быть отрицательные и поло-
положительные, причем в силу неравенства D) при р >¦ р0 положи-
положительные заведомо имеются. Предположим, что функция Л*(р)
растет быстрее, чем Л*(р), так что отношение
А* (р)
Л* (р)
не ограничено сверху при | р | —> оо. Это возможно, лишь
если среди корней Х^- (s) имеется по крайней мере один,
вещественная часть которого на некоторой последователь-
последовательности sv —> оо уходит в —оо и причем так, что
Re X,- (sv)
A* (Pv) = Cv -> со ( | sv|< pv) ¦ G)
Обозначим через Xt (s) корень с отрицательной веществен-
вещественной частью, большей всех остальных по абсолютной вели-
величине; для него заведомо выполняется соотношение G). Далее
мы имеем:
^ (О > — Re Xx (sv) — 2* Re X, (s),
где ^j распространена на те значения J, для которых
ReX,-(s) >0. Далее
— 2 Re X,- (sj > — Re Xx
тА" (Pv) = (С, — т) Л* (р,).

88 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
В силу неравенства F) мы получаем:
{ — 2 Re Xj (X)} >
т
max
*1<Р„
откуда и
max
Q ;
т
max \! Reb (s).
Is К P., ^
Очевидно, что полученные неравенства не совместимы с нера-
неравенствами D) — E). Поэтому отношение
А*(р)
А* (Р)
ограничено сверху при р —> оо. Оно ограничено также и
снизу, поскольку, очевидно, Л*(р)^Л*(р). Это доказывает
наше утверждение.
IV. Теперь мы убедимся в том, что отношение функций
П*(р)= тахПE) и Л* (р) = max A(s)
Is I < р I a I < p
ограничено сверху и снизу положительными постоянными-
при р —> оо. Допустим, что отношение
Л* (р)
не ограничено при р-> оо. Если функции \ij (s) — | Im Xj (s) |
перенумерованы так, что [Aj (s) ~^> p2 (s) >- . . . !> рт (s), то
не ограничено и отношение
max (лх E)
*l< P
Л* (P)
С„.
Пусть q наибольшее из чисел, для которых
[Л*
( | 5 [ <J! p) не стремится к нулю на бесконечности. Покажем,
что при q < т
схэ).
2]
§ 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
89
Если бы это было не так, то на некоторой последователь-
последовательности s4, I sv I -^ Pv —»¦ °°> имело бы место неравенство
Ov)
(8)
Так как при любом | s | ^ pv мы имеем jiy (s) -^ jaj (s) -^
-С t^i (sP J = Ср^Л* (p J, то из (8) следовало бы, что jxg+1 EV) >¦
^aC?A*(pv); но тогда было бы и
[A*
в противоречие с определением q.
Рассмотрим коэффициент Pq(s) млогочлена det||P(s) — ХЕ\\
и пусть Pqr(s) и Pai(s)—-его действительная и мнимая
части. Коэффициент Pq(s) есть сумма произведений по q
корней Хх (s), . . ., Хт (s). Произведение [j^ (s) . . . {а? (s) язляет-
ся модулем одного из слагаемых либо в многочлене Pqr(s),
либо в многочлене Pqi(s). По построению указанное произ-
произведение при достаточно больших s, | 5 | <^ р, превосходит вели-
величину р • С\ [A*'(p)]q, где р > 0. Каждое из остальных слагаемых
в многочленах Pqr(s) и Pqi(s) получается заменой в дан-
данном слагаемом некоторых множителей на множители \ij (s)
с J > q илл на Re Xj (s) и, следовательно, растет существен-
существенно медленнее, чем это слагаемое. Поэтому один из много-
многочленов Pqr(s), Pqi(s) заведомо растет быстрее второго. Но
это противоречит результату леммы п. 2. Поэтому мы при-
приходим к.выводу, что отношение 1Г(р)/А*(р) ограничено сверху.
Заменяя многочлен
Р (s, Х) = Хт-{- Pt (s) X™-1 + Р2 (s) I™ + Р3 (s) Хт~3-Ь . . .
многочленом
P'(s, X) = Xn
— 2

90 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
корни которого ~kj(s) связаны с корнями исходного много-
многочлена соотношением
мы меняем ролями функции Л (s) и П($); отсюда следует,
что и отношение Л*(р)/П*(р) ограничено сверху. Тем самым
наше утверждение полностью доказано.
V. Так как функция М* (р) = max M (s) удовлетворяет
!s|<p
неравенствам
max {П* (р), Л* (р)} < М* (р) < П* (р) + Л* (р),
то ясно, что и отношения М* (р)/П* (р), М* (р)/Л* (р), а также
в силу III и Ж* (р)/Л* (р) ограничены при р —у оо сверху и
снизу положительными постоянными. Таким образом, все
четыре функции Л*(р), Л* (р), П*(р), М* (р) имеют одинаковый
степенной порядок роста, не превосходящий в силу I числа
р.-
q0 = max —. Нам остается показать, что этот степенной
порядок в точности равен числу q0; при этом достаточно
ограничиться рассмотрением одной из указанных четырех
функций, например М*(р).
Допустим, что все корни Хк (s) растут при | 5 | —*¦ оо мед-
медленнее, чем \s\q', так что
|X*(s)| = sM*J, e->0.
По теореме Виета коэффициент Pj(s) при X равен сумме
произведений по j характеристических корней Xt (s), ..., Xm(s);
поэтому
Отсюда следует, что степень pj многочлена Pj (s) меньше,
чем jq0, каково бы ни было у. Таким образом,
Ц-< % (У=1, 2, ...,т),
3]
§ 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
91
откуда и
max -j-<q0
в противоречие с определением q0. Мы видим, что точный
степенной порядок роста всех четырех функций A(s), Л (s),
ПE), М (s) в точности равен q0 и, более того, что, напри-
например, для Л (s) выполняются неравенства
Л 0)<; С | 5 \q' для всех | 5 | >• р0,
Л (s) ^> Сх [ 5 |9j для некоторой последовательности
|sv|-^-oo. Тем самым теорема полностью доказана.
Следствие 1. Приведенный порядок всякой системы
вида A) п. 1 есть рациональное число со знаменателем,
не превосходящим числа уравнений системы. Для одного
уравнения
dt \ дх)
приведенный порядок есть целое число, равное порядку I
этого уравнения.
Следствие 2. Если характеристические корни воз-
возрастают медленнее любой положительной степени 151,
то они постоянны.
Действительно, в указанном случае q0 = 0 и, следова-
следовательно, pj = O при любом J. Таким образом, характеристи-
характеристический многочлен имеет коэффициенты, не зависящие от s;
но тогда и корни этого многочлена не зависят от s, что и
требуется. .
3. Подсчет приведенного порядка для систем с выс-
высшими производными пэ /. Рассмотрим систему уравнений
с высшими производными по. t
d~JUj (X, t)
. д
l
G=1, 2, ..., m),
. д
l
A)
где порядок многочлена Pjk по переменному -^ меньше
числа (л,-. Как мы уже говорили, такая система приводится

92 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
к системе первого порядка по t введением новых неизвестных
функций по формулам
"la,
Й2> Й22 ==
dt
— ит> ит2 —
dt" ' • ¦ ¦' UmV-m ~
После этой замены система A) преобразуется
к виду
ди1г
-ЬТ~ *12'
г1 = Zj Pits l^' ' XZr > ¦ ¦ ¦> l ~aZt ) aki>
dt
'22
, I-
dt
'ffl2>
df l
dir1
B)
где остается заменить в правых частях производные функ-
функций ик1 по t соответствующими функциями ик1.
Оказывается, что для вычисления характеристических кор-
корней Х1 (s), ..., ^m(s) системы B) нет необходимости выписы-
выписывать полностью полученную систему и строить соответствую-
соответствующий определитель порядка jji^-f- . . . -\-\>-т- Покажем, что "эти
§ 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
93
корни можно определить непосредственно по системе A),
именно как корни уравнения
Р21(Х, S)
(X, s) ...Plm(\,s)
(X, 5) — V ... Р2т(к, S)
Рт2(\,
=0. C)
Для доказательства вспомним, что, как отмечено в п. 1,
характеристические корни системы B) с неизвестными функ-
функциями Uji определяются как значения X, для которых эта
система имеет решение
'11
t—is,x, —... - га„х„
п п
"
Уравнения для определения X принимают теперь вид
A.C.JL1 = С12,
-12
'13'
(х, S)Ckl,
/vtj/ од
-' s) <^ftl>
D)

94 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
Перемножая уравнения каждой группы, получаем:
т
2
к=1
к, s)C
kl,
(.5)
откуда ясно, что значения X, соответствующие ненулевым
значениям Cjlc (и, следовательно, ненулевым значениям Сп)
суть корни уравнения C).
Обратно, всякому корню уравнения C) соответствует
ненулевое решение системы E) и, следовательно, ненулевое
решение системы D), что и требуется.
В частности, одно уравнение
дти
dt
m
F)
где порядок многочлена Р по аргументу ^ менъше..т,у,экви-
менъше..т,у,эквивалентно системе
дил
д!
dt
д
G)
где в последнем уравнении нужно заменить производные
от al no t на соответствующие Uj. Характеристические корни
для системы G) являются корнями уравнения /га-й степени
(8)
Sl, .,., sn).
Так, для волнового уравнения (ср. § 5, пример 2)
д*и
.д*и
1] § 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЁФА 95
характеристическое уравнение имеет вид
и корни Xlf2 = z±zias. Функция Л (s) возрастает, как первая
степень 5 и при вещественном а ограничена на вещественной
оси; таким образом, волновое уравнение гиперболично в смысле
п. 3 § 4.
Для уравнения
мы имеем X2 = —• — s,
]_ди_
а дх
> = z±zy -, функция Л (s)
имеет
1
степенной порядок роста р0 = -к-', таким образом, классом
единственности для уравнения (9) служит класс всех функ-
функций f(x) без ограничения роста (ср. § 5, пример 3).
Для уравнения
дки _ дти
dtk дхт
характеристическое уравнение имеет вид
Таким образом, функция Л(s) имеет степенной порядок
роста -г. Мы указывали выше, что приведенный порядок р0
для всякой системы есть число рациональное; теперь мы видим,
что приведенный порядок может быть любым рацио-
рациональным числом.
§ 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЁФА
1. Формулировка теоремы и примеры. Решение урав-
уравнения Коши — Риманз
да .да
Ж 1 дх'
A)
как известно, обладает следующим свойством: если это реше-
решение удовлетворяет неравенствам
\и{х, /)|
и(х,
C)

94 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
Перемножая уравнения каждой группы, получаем:
т
¦ E)
•, s)C
kl,
откуда ясно, что значения X, соответствующие ненулевым
значениям С}-1с (и, следовательно, ненулевым значениям Сп)
суть корни уравнения C).
Обратно, всякому корню уравнения C) соответствует
ненулевое решение системы E) и, следовательно, ненулевое
решение системы D), что" и требуется.
В частности, одно уравнение
дти
dtm
P\dt' 1дхг ' •¦¦'•*-tdxJu'
F)
где порядок многочлена Р по аргументу -^ меньше /я:,..экви-
/я:,..эквивалентно системе
Ж
dt
I д
1
,¦ д
G)
где в последнем уравнении нужно заменить производные
от ut no t на соответствующие Uj. Характеристические корни
для системы G) являются корнями уравнения /га-й степени
(8)
Sl, .... Sn).
Так, для волнового уравнения (ср. § 5, пример 2)
дР-
¦с?
дх*
1] § 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА ЛИНДЕЛЁФА 95
характеристическое уравнение имеет вид
и корни \lt 2 = i±zias. Функция Л (s) возрастает, как первая
степень 5 и при вещественном а ограничена на вещественной
оси; таким образом, волновое уравнение гиперболично в смысле
п. 3 § 4.
Для уравнения
дЬг_]_ди fq
df-~ а дх , • к '
мы имеем X2 = — s, X1; 2 (s) = z+z у -, функция Л (s) имеет
степенной порядок роста Ро = -к-\ таким образом, классом
единственности для уравнения (9) служит класс всех функ-
функций f(x) без ограничения роста (ср. § 5, пример 3).
Для уравнения
дки _ дши
dtk ~ дхт
характеристическое уравнение имеет вид
Таким образом, функция Л (s) имеет степенной порядок
роста ^-. Мы указывали выше, что приведенный порядок р0
для всякой системы есть число рациональное; теперь мы видим,
что приведенный порядок может быть любым рацио-
рациональным числом.
§ 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЁФА
1. Формулировка теоремы и примеры. Решение урав-
уравнения Коши — Риманэ
ди . ди is
dt дх'
как известно, обладает следующим свойством: если это реше-
решение удовлетворяет неравенствам
\и(х, 0)|<C(l + |*[ft)> C)

96 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
то и{х, t) является многочленом относительно комплексного
аргумента x-\-it. Действительно, первое неравенство показы-
показывает, что функция и{х, t), как функция комплексного аргу-
аргумента x-\-it, имеет рост у ниже первого порядка, а второе —
что на вещественной оси, т. е. на сторонах угла раствора
тс <С —, она возрастает не быстрее многочлена; так как
и{х, t) является аналитической функцией от x-\-it, то в силу
одного из следствий теоремы Фрагмена—-Линделёфа (см.
вып. 2, гл. IV, § 7) она есть многочлен степени не выше h.
Решения уравнения
да (х, t) да (х, t)
dt ~ Ш:
D)
уже не обладают подобным свойством. Действительно, общее
решение уравнения D) имеет вид и {х, f) = U (x -\-t), где
U — произвольная (дифференцируемая) функция; поэтому
частное решение может быть, например, даже ограниченным
во всей плоскости, не сводясь при этом к многочлену ни по
степеням t, ни по степеням х.
Возникает вопрос, для каких систем уравнений вида
(х, t)
dt
U = 1. 2, ..'.,
E)
решения обладают свойствами, аналогичными указанному
свойству решений уравнения A). Следующая теорема дает
широкий класс таких систем.
Теорема. Если при всех вещественных з = (ри .'. ., а„)
характеристические корни матрацы ^Pjk{s)\\ вещественны,
то любое решение системы E), удовлетворяющее условиям:
а) при всех tux
h<Bp0)'
F)
(р0 — приведенный порядок системы, см. п. 2 § 3),
б) \Uj(x, 0) |<C(l + |.x:|ft), G)
*) В n-мерном случае под е
подразумевается
ft
2]
§ 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА ЛИНДЕЛЁФА
97
состоит из многочленов относительно t:
(8)
причем функции Ujk (x) являются решениями систем
та , -I
2 Pi* A ш) Ui-1-1 (*> = Чизч (х> (^ < г),
(9)
Условие вещественности корней.матрицы Р (а) особенно про-
просто выглядит для одного уравнения (т = 1), когда оно озна-
означает лишь, что коэффициенты этого уравнения (при опера-
операторах I -г-) вещественны. Этому условию удовлетворяет урав-
уравнение A) и не удовлетворяет уравнение D).
Следующий пункт содержит доказательство этой тео-
теоремы.
2. Доказательство теоремы. Условие F) п. 1 позволяет
рассматривать решения системы E) как обобщенные функ-
функции, зависящие от параметра t в пространстве W\, где
h<^q<^Bpoy. Напомним, что это пространство состоит из
целых аналитических функций ср (х) = ср (xlt ..., хп), удо-
удовлетворяющих неравенствам
| ср (х -f- iy) |< Ce~\ «x\q + \by \q
при некоторых (зависящих от ср) постоянных а, Ь, С (гл. I,
§ 1).
Совершая над системой E) п. 1 преобразование Фурье,
мы приходим к двойственной системе
dVjia, t)
dt ~
причал Vj(c, t) является функционалом над двойственным
пространством Wq = Wq' (гл. I, § 3). В пространстве W\>
7 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

98 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
является мультипликатором любая целая аналитическая функ-
функция, имеющая порядок роста < q'. В частности, разрешаю-
разрешающая матрица системы E) п. 1
Q{s, t) = etP^
имеет, как мы знаем из § 3, порядок роста р0 — приведен-
приведенный порядок системы E). Так как q < Bр0)', то 2р0 < q' и
подавно po<^q', так что разрешающая матрица Q(s, t)
является мультипликатором в пространстве W\>. В силу основ-
основной теоремы § 4 двойственная система
v(s, t) B)
при начальном условии
vo(?)=u{x, 0)
имеет в пространстве [Wq-] единственное решение
v(a, t) = etp(°)v0(o).
Но, очевидно, решением системы B) является и обобщенная
функция и {х, t) — преобразование Фурье решения и{х, f)
системы E) п. 1. Поэтому
v (a, t) = aJxTt) = etP Wа0 (а).
По определению преобразования Фурье для любой вектор-
функции <?(x)?Wq и ф (<з) = <р (jc) ? W|r мы имеем:
(e«*<»4(a), ф(о)) = (в(*. t), <?(*)). C)
Обозначим полученную функцию от t через F9(t).
Поскольку начальная вектор-функция и(х, 0) удовле-
удовлетворяет неравенству G) п. 1, можно выбрать (четное) число г
так, чтобы частное U (х) от деления вектор-функции и(х, 0) на
многочлен A -\-x\-\- . . . -f-x2n)rl2 степени г было бы инте-
интегрируемой функцией. При этом г можно положить равным
тому из двух целых чисел h-\-n-\-\ и h-\-n-\-2, которое
четно. Отсюда
и (х, 0) = A
х\
)r/2 u
2]
§ 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА ЛИНДЕЛЕФА
99
где R (з-j — дифференциальный оператор /--го порядка.
Используя этот факт, преобразуем левую часть равенства C)
по правилам действий с обобщенными (вектор)-функциями:
D)
Покажем, что Fv (t) представляет собой целую аналитическую
функцию от (комплексного) t порядка роста меньше 2. Для
этого мы покажем, что интеграл D) абсолютно сходится при
всех комплексных t, так же как и интеграл от производной
по t подынтегральной функции, и дадим оценку роста.
Обозначим gk (а) = Рк (а) Rk (-гЛ ф(з). Эта функция вместе
с ф (а) принадлежит пространству Wq>, поэтому справедлива
оценка
l*'"8' (k=l, 2, .... г).
Так как V(а) ограничена и при t = ti
A -f-j
*, i p* (a) sga t, || . j
io интеграл D) оценивается при больших \t\ следующим
образом:
В
I *'
da. E)

100 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
В неравенстве Юнга (гл. I, § 3)
1 | ^ UX , VX' I \ , 1
| Mt> | <]-г--(--^- (y-j-^n^z
a = C\t\, v = \of<;
положим
тогда будем иметь:
eC\t\ {"[Ро^е
Выберем )/ так, чтобы иметь
где г — некоторая малая величина; тогда для выражения E)
получается оценка сверху
со
r1- \t\r f ec°-l°\pX-\a>°lq' do,
причем последний интеграл заведомо сходится и /^(^оказы-
/^(^оказывается функцией порядка роста, не превосходящего X. Оценим
величину X. Так как по условию Bр0)' >• q, то 2po<^q';
далее
X' "> q' ~~B > 2/?0 —
откуда
Х<2.
Интеграл от формальной производной подынтегральной
функции по ?, как легко видеть, также сходится абсолютно.
Поэтому F^(t) действительно целая функция комплексного
аргумента t, имеющая порядок роста меньше двух.
Исследуем поведение этой функции при вещественных
и мнимых значениях t.
Для вещественных t оценка F) п. 1 показывает, что
Чтобы получить оценку F,s(t) на мнимой оси, воспользуемся
следующим фактом.
2]
§7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА ЛИНДЕЛЁФА
101
Если матрица т-го порядка Р (?) при каждом а =
= (аи . . ., ап) имеет только вещественные характери-
характеристические корни, то в каждой ограниченной области
изменения переменного с при вещественном 8 имеет
место оценка
lKCiep-1. - F)
Доказательство немедленно следует из неравенства
доказанного нами в § 6, заменой t на |8[ F — вещественно)
и Р на IP (?) sgn 6; для матрицы iP (a) sgn 0 все корни Х^- чисто
мнимые.
Применим оценку F) к равенству D) при чисто мнимом
t=^id. Поскольку характеристические корни матрицы Р* (а)
вещественны вместе с корнями матрицы Р (а), мы получаем,
что на мнимой оси функция F9 (t) возрастает не быстрее
многочлена степени го = г-\- т—1.
Итак, функция F^(t) возрастает не быстрее, чем еь\1^,
на всех четырех координатных полуосях плоскости t. Но так
как F^(t) имеет, по доказанному, порядок роста меньше 2,
то в силу замечания к теореме Фрагмена — Линделёфа
(вып. 2, гл. IV, § 7), она в каждой из четвертей t-пло-
скости имеет порядок роста (не выше) 7- Но тогда F9(t)
есть целая функция порядка «J)f- Она возрастает не
быстрее многочлена на мнимой оси, т. е. на сторонах угла
раствора к << — и поэтому в силу того же замечания сама
есть многочлен от t степени не выше г0.
Покажем теперь, что и сама функция и (х, t) есть мно-
многочлен от t степени не выше г0. Для этого установим две
простые леммы.
Лемма 1. Если последовательность R,, (t) (v = 1, 2, ...,
— со -< t << со) полиномов степени ^ г сходится при
каждом значении t к некоторой функций R(t), то
функция R (t) сама есть полином степени <^ г.
Доказательство. Пусть
(t) = aov + aut
a,Jr

102 ГЛ. Н. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Полагая t = 0, убеждаемся, что ао„ имеют предел а0. Сле-
Следовательно, полиномы
j.r-1
имеют предел при всех t (равный
«<*>-** при *=о).
Отсюда получаем, что аЪ/ имеют предел ах и т. д., каждая
последовательность aiv имеет предел а^. Положим
Очевидно, /?„ (t) —> Ro (t) при всех t. Значит, R (t) = Ro (t),
т. e. ft (t) — полином степени ^ г, что и утверждалось.
Лемма 2. Вместе с вектор-функцией и{х, t) нера-
неравенству п. 1 удовлетворяет и вектор-функция и(х — х0, t)
при любом вещественном х0, возможно, с некоторыми
новыми постоянными С, а0 и Ьо.
Доказательство. Геометрически очевидно, что для
любого b >• 0 можно найти такое с >- 0, что при любом
вещественном X будет удовлетворяться неравенство
X j
Заменяя S па —- , находим:
хз
х —х
откуда, суммируя по j, получаем:
J
с I х° 1Т
что и дает нужное неравенство.
Переходим к доказательству того, что Uj(x, t) есчь
полином от t. Рассмотрим четную вещественную неотрица-
неотрицательную функцию фо (а) ? Wg'> отличную от нуля,. Свертка
ф1(а)= |Фо(а — ОФо(^)^ также принадлежит простран--
ству Wq> (см. замечание в конце § 6 гл. IV вып. 2); вспо-
2]
§ 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА ЛИНДЕЛЁФА
103
мним также, что W\ = S[/q1/<l. Соответствующие преобразова-
преобразования Фурье ®0(х) и cpi (х) принадлежат пространству W\;
при этом сро(л:) — вещественная функция, а срх (х) = ср? (х) —
неотрицательная, причем срх @) = ср^ @) = М ^0(a)daJ > 0.
Построим функции
(у = 2, 3, ...).
dx
Эти функции также принадлежат пространству W\ и обла-
обладают следующими свойствами:
(а) <р,(*, х0)>0,
(б) J cpv (х, х0) dx=\,
а поскольку
J cpi lv (x —
-—,
имеет место также и свойство
(в) | cpv (х, О) | -^ C:v | cpt (vjc) | -^ C2ve""a^^ a.
Покажем, что при любом фиксированном t имеет место
соотношение
Нт Г и (х, t) ср„ (х, х0) dx = и (х0, t). G)
V ->-ОО •*
Сначала рассмотрим случай jco=O. Здесь мы имеем:
И@, t) Г U (X, t)w^(X; 0)d.
< J | и @, t) — и (x, t) | <pv (x, 0) dx.
Поскольку функция и (x, t) непрерывна по х при x = Q,
для выбранного г >- 0 и достаточно малого о >» 0
J |а@, t) — u{x,
s / ?,(*,
х\< ь
j Ж I <
C)

104 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Интеграл по внешности шара [ х | < о оценим следующим
образом:
J |и@, t)— u{x,
\Х\>0
<2С3 Г
dx
-v/
I U > vo
I E | > v8
(9)
при достаточно большом v.
Неравенства (8) — (9) показывают, что при л:0 = 0 соот-
соотношение G) справедливо. Для перехода к любому значению х0
используем лемму 2. Мы имеем:
u{x, t)(D^{x, x0) dx = J и (х, t)o^{x — xQ, 0)dx =
что по лемме 2 и в силу только что доказанного имеет
предел и(х0, t). Таким образом, предельное соотношение G)
установлено.
Функции Uv(t)= Г и(х, t) cpv (x, xo)dx, как мы видели,
являются многочленами от t степени не выше г0. Применяя
лемму 1, мы получаем, что и и(х0, t) есть многочлен от t
степени не выше г0:
Га
„ (х л — -V П.СхЛ /*
или, что то же самое,
и(х,
= 2 Uk(x)t*.
A0)
Вектор-функция и(х, t) как решение системы E) п. 1
дифференцируема по х, точнее, допускает применение диф-
дифференциального оператора P(i-^—). Нам нужно теперь
показать, что каждый коэффициент Uk(x) (k = 0, I, . . ., r0)
обладает тем же свойством. Мы используем следующую
лемму.
2]
§ 7. ТЕОРЕМА ТИПА ФРАГМЕНА ЛИНДЕЛЁФА
105
Лемма 3. Если вектор-функция и(х, t)~
fc = 0
дифференцируема некоторое число раз по х при каждом
фиксированном t, то каждый коэффициент ик(х) диффе-
дифференцируем по х такое же число раз.
Доказательство. Полагая последовательно t =
==¦ 0, 1, 2, ..., г0, получаем систему уравнений относи-
относительно Uk(x):
и(х, 0)=U0(x),
и{х, \)=U
а (х, 2) == UQ (х) + 2U, (х) + . . . + 2r'Un (x),
Поскольку определитель этой системы—определитель Ван-
дермонда — отличен от нуля, систему можно разрешить
относительно функций U0(x), Ux{x), ..., UTij(x). При этом
решения будут линейно выражены (с постоянными коэффи-
коэффициентами) через функции и(х, 0), и (х, 1), ..., и {х, г0)
и, следовательно, будут столько же раз дифференциру-
дифференцируемы по х, сколько эти последние. Тем самым лемма
доказана.
Теперь, подставляя выражение (8) в уравнения E) п. 1
и дифференцируя по х почленно, что допустимо в силу
леммы 3, мы приходим к равенству
к (х) **-* =
^) Uk (х),
откуда
в частности,
Таким образом, теорема полностью доказана,

106 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Полагая в формуле (8) п. 1 ? = 0, находим, и (х, 0) = U0 (x)
(в векторной записи) и из (9) следует Pr U-r-) и (х, 0) = 0.
Таким образом, начальные данные рассматриваемого решения
сами являются решением некоторой системы по аргументам х.
Вспоминая результаты п. 4.2° § 2 гл. III вып. 2, мы можем
усилить полученную теорему следующим образом: если детер-
детерминант системы A) обращается в нуль лишь в ограни-
ограниченной области пространства о, то в полученном решении
функции Uk (х) — целые функции порядка роста ^ 1; если
детерминант обращается в нуль только при а = 0, то
функции Uk(x) — многочлены; если детерминант вообще
не обращается в нуль, то и{х, t) = 0.
ДОБАВЛЕНИЯ К ГЛАВЕ II
В следующих далее добавлениях рассмотрены неко-
некоторые случаи применения методов § 1 к уравнениям и
системам, не подходящим непосредственно под общую
схему.
В добавлении 1 рассмотрены системы с операторами
свертки; в частности, в этот класс входят дифференциально-
разностные системы.
В добавлениях 2 и 3 рассмотрены некоторые частные
случаи систем с коэффициентами, зависящими от простран-
пространственных координат.
ДОБАВЛЕНИЕ 1
УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ
Рассмотрим систему уравнений вида
Ct)
dt
7=1, 2, ..., m). A)
Здесь, как и раньше, функции <?j(x, t) при каждом фик-
фиксированном t @ <^ t <C T) принадлежат к некоторому основ-
основному пространству Ф. Выражения fjk означают функционалы-
свертыватели в пространстве Ф; для простоты примем, что fjk
не зависят от /. Будем предполагать, что преобразования
Фурье свертывателей /ы суть функционалы на простран •
ДОБАВЛЕНИЕ 1
107
стве Ф типа целых аналитических функций. В частности,
в силу теоремы п. 2 § 2 гл. III вып. 2 это всегда имеет
место, если функционалы /j7c сосредоточены в ограниченной
области пространства R.
Частными случаями систем вида A) являются:
дифференциальные системы, когда функционалы fjk пред-
представляют собой производные от S-функций;
разностные системы, когда функционалы fjjc предста-
представляют собой сдвиги о-функций;
системы интегральных уравнений с ядрами, завися-
зависящими от разности аргументов, когда функционалы fjk
представляют собой регулярные функционалы, сосредоточен-
сосредоточенные в конечной области.
К системе A), как всегда, присоединяются начальные
условия
Ф. B)
Снова будем считать временно, что х — точка на
прямой.
Нашей задачей является установление классов единствен-
единственности задачи Коши A) — B).
Рассмотрим формально-двойственную систему
S,
dt
, t),
. C)
полученную заменой в системе A) оператора fjk* на опера-
оператор умножения на целую аналитическую функцию fjk(s).
Это система обыкновенных дифференциальных уравнений
с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями
от 5. Ее можно записать в векторной форме
D)
где A (s) — оператор, определяемый матрицей
Матрица
Q(s, tQ, t) = eV-^AW
E)
определяет нормальную фундаментальную систему решений
для системы уравнений D). Элементы этой матрицы — целые

108 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
аналитические функции от s. Если оператор Q (i-^-, t0, A
определен в пространстве Ф (переводит Ф в себя или в не-
некоторое более широкое пространство Фх), то, как и в § 3,
он будет искомым разрешающим оператором для задачи Ко-
ши A) — B). Поэтому нужно выяснить, в каких случаях
оператор Qf/-3—, t0, t\ определен в пространстве Ф. Для
этого оценим рост функций Q^ (s, tQ, t), входящих в матрицу
Q(s, tQ, t).
Рассмотрим вначале случай, когда функционалы fjk со-
сосредоточены в конечной области. Тогда целые функции fjk (s)
допускают следующую оценку (вып. 2, гл. III, § 2, п. 2):
где Л — число, зависящее от функционала/^, a {|xj<!60} —
наименьший куб, в котором сосредоточен функционал fjk.
Используя неравенство Юнга (гл. I, § 3)
Ь,<+ ( +
мы можем, далее, оценку F) преобразовать к виду
Отсюда и норма матрицы /(s) = || f^k (s) || удовлетворяет нера-
неравенству
Поэтому
В качестве основного пространства Ф мы выберем теперь
одно из (векторных) пространств W^f, „ (гл. I, § 1). Напомним,
что такое пространство состоит из векторов, компоненты
которых — целые аналитические функции ср (x-\-iy), удовлет-
удовлетворяющие неравенствам '
ДОБАВЛЕНИЕ 1
109
с выпуклыми функциями М (jc) и Q (у). Двойственное про-
пространство Ф = Ч'\ как показано в § 3 гл. I, представляет
собою пространство того же типа
где М1 и Qt — функции, двойственные по Юнгу соответст-
соответственно к функциям Q и М. Положим Жх (а) = —, где q —
любое число, большее hp, и Q1(x) = e't — х—1. Тогда, по
доказанному в § 2 гл. I, функции, входящие в состав ма-
матрицы Q (s, t0, t), будут мультипликаторами в пространстве
и будут переводить его в пространство
Это показывает, в свою очередь, что операторы, входящие
в состав матрицы QU~s—i 'o> П> определены и ограничены
в пространстве Ф = Wm, а и переводят его в пространство
г. 1 1
Фх == Wm, а', — = h bor. В данном случае функция М (х),
двойственная к функции 2Х (х), равна
и эквивалентна функции х 1п х.
Таким образом, компоненты векторов, принадлежащих про-
пространству Ф, имеют на оси х убывание, характеризуемое
формулой
у Г „-(a'-S) 1 а; | In I as | 1__11Л,-
Число а можно взять как угодно большим, число г— как
угодно близким к 1; поэтому коэффициент в круглых скоб-
скобках в показателе может быть сделан как угодно близким
к-j—; обозначим этот коэффициент через-г §'.
В качестве пространства Е мы возьмем совокупность
функций ср (х) с нормой, определенной по формуле
\9\\E = f
In I х
\v(x)\\dx

110 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
с произвольно фиксированным 8 > 0. Тогда при достаточно
малом 8' пространства Ф и Ф: будут целиком заключены
в пространстве Е.
Применяя теорему § 4, приходим к следующему резуль-
результату.
Если решение системы
<, t)
dt
(У= 1, 2, .... от) G)
есть система функционалов на пространстве Ф, принад-
принадлежащих при всех t, 0<;^<;Г, к пространству Е', то
это решение однозначно определяется своими начальными
значениями
Uj(x, 0) = Uy (*)??'. (8)
Так же, как и в § 3, можно доказать, что всякое клас-
классическое решение системы G) в виде совокупности функций
'¦ij(x, t), удовлетворяющих неравенствам
определяет и обобщенное решение в пространстве Е'. По-
Поэтому класс функций и (х), удовлетворяющих неравенству
и (х) <; Се
О)
при любом фиксированном о' есть класс единственности ре-
решения задачи Коши для системы уравнений в свертках
вида G).
В частности, рассмотрим разностную систему, отвечаю-
отвечающую сверткам с функционалами /(?a. = o(jc — Xjk). Число b0,
определяющее максимальный из отрезков, на котором сосре-
сосредоточены функционалы fjk, в данном случае совпадает с чис-
числом Н = max | Xjk ( (максимальный сдвиг). Поэтому для раз-
разностной системы коэффициент -т 8' в показателе формулы
(9), определяющей класс единственности решения задачи Коши,
может быть заменен на -jy—о'. То же имеет место для диф-
дифференциально-разностной системы, определяемой свертками
с функционалами 8<я> (х — Xjk).
1]
ДОБАВЛЕНИЕ 2
11
В некоторых случаях можно рассматривать уравнения
в свертках, когда функционалы fjk не сосредоточены в ко-
конечной области. Пусть, например, функционал fik есть функ-
функционал типа целой аналитической функции, входящей в про-
пространство 5а, а-{-[3=1. Тогда fjk(s) есть целая аналитиче-
аналитическая функция, которая входит в пространство 5р и удовлет-
удовлетворяет, следовательно, неравенству
Рассуждая, как и выше, найдем, что матрица Q(s, t0, t)
удовлетворяет неравенству
Такая матрица Q(s, t0, t) определяет оператор умножения
в пространстве 2, где 2 (х) = е6 'г |/A~. Двойственным к та-
такому пространству является пространство Wm, где функция
М(х) эквивалентна функции | х | In1-" | x | . Поэтому, рас-
рассуждая так же, как и выше, найдем, что классом единст-
единственности решения соответствующей задачи Коши является
класс функций и(х), удовлетворяющих неравенству ;
*- r-J & I In1"""! ее |
ДОБАВЛЕНИЕ 2
УРАВНЕНИЯ С. КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ х
1. Общая схема. Пусть дано континуальное семейство
вложенных друг в друга ' нормированных пространств Фх
(а < X < Ъ < оо), так что Фх^эФн. при \ < \>, с пересечением
ф = П Фх- Пусть далее задан линейный оператор А, пере-
переводящий каждое пространство Ф,А в любое более широкое
Фх (X < (J.) и обладающий при этом нормой
Покажем, что оператор Q = e{t~to)A при
достаточно ма-
малых t —10 есть ограниченный оператор, переводящий каж-
кажФ„ Ф Д
рр р
дое пространство Ф„ в любое более широкое Фх. Для дока-
доказательства разделим точками $0 = К ?i, •
к ^ S ^С Iх на п равных частей длиной по
•. ?и = 1А отрезок
a — X

1 12 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Оператор Ап можно представить в виде произведения п
операторов Л, каждый из которых переводит пространство
Ф?-.х в Ф^.. Мы получим, в частности,
Поэтому ряд
оо
2-
п\
сходится при t — tQ
«=0
1
. Это означает, что при указан-
, Jt-to
пых значениях t существует оператор Q=eK" "<"л, который
переводит пространство Фа в пространство Фх, что и утвер-
утверждалось.
Найденный оператор Q = Qt. позволяет построить реше-
решение задачи Коши для уравнения
с начальным условием ср (t0) = ср0. Решение ср (t) = Qtoy (iQ)
принадлежит к пространству Фх, если ср (t0) ? Ф ^ <С ^ и
t — tQ достаточно мало.
2. Системы с операторами свертки. Рассмотрим систему
уравнений в свертках вида
чЛх,п
T =
J ^
где функции Pjk(?) имеют ограниченное изменение на
(—со, сю), причем
/¦
оо
B)
по крайней мере для некоторого интервала значений
ДОБАВЛЕНИЕ 2
113
Относительно функций a,jk{x) мы будем предполагать,
что они удовлетворяют неравенствам
Обозначим через Фх (\>.1 <^ X ^ [а2) нормированное прост-
пространство функций ср (х) с нормой по формуле
(В векторном случае вместо | ср(х)| справа надо поставить
норму вектора «р (jc) в евклидовом пространстве.) Очевидно,
что при X -< [а мы имеем Фх zd Ф^.
Покажем, что операторы, стоящие в правой части систе-
системы A), удовлетворяют условиям п. 1. Если ср (х) принадлежит
C)
где р (?)— функция с ограниченным изменением, удовлетво-
удовлетворяющая неравенству типа B), то
i
i
Таким образом, оператор C) переводит пространство Фа в
себя и имеет при этом норму, не превосходящую С^.
Пусть теперь $(х)?Фи. и
D)
Фа (*) = а (JC) ф (Л:),
функция а (х) удовлетворяет неравенству
а(х) \^а\х\~\-Ь.
8 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

114 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Очевидно, что функция $а(х) принадлежит любому прост-
пространству Фх при X < ц (и, вообще говоря, не принадлежит
самому Фа). При этом мы имеем:
|| фа (х) || х = sup | а (х) 4> (лг) ] ^ ' '<
Оценим первый множитель в правой части. В силу усло-
условия D)
) ()l1
С помощью дифференцирования легко получаем, что
а
максимум первого слагаемого не превосходит
; оче-
— г—
е (р. — а.)
видно, что второе слагаемое не превосходит Ь. Таким обра-
образом,
откуда следует, что оператор умножения на функцию a (jc),
как оператор, действующий из пространства Ф^ в Фх, имеет
норму, не превосходящую
.-X)
при jj. — X << С.
В итоге каждый элемент матрицы системы A) есть оператор,
действующий из пространства Ф^ в Фх, X -< \ь, с нормой,
не превосходящей ~ .
Систему A) можно записать в векторном виде
d<? (t)
А ср (t),
где ср (z^) — вектор с координатами Wj(x,t), A — оператор в
m-мерном векторном пространстве, определяемый матрицей
системы A). Этот оператор, очевидно, действует из вектор-
векторного пространства Ф в любое Фх (X <[• иЛ с нормой, не пре-
г *
восходящей
С
По доказанному в п. 1, задача Коши для системы A)
с начальными условиями в пространстве Ф^ всегда имеет
решение
21
ДОБАВЛЕНИЕ 2
115
в любом пространстве ФхгэФа. В силу основной теоремы в
§ 2, задача Коши для обратно-сопряженной системы
(x,
дГ
E)
может иметь лишь единственное решение в пространстве,
сопряженном к любому Фх. В частности, классом единствен-
единственности решения задачи Коши для системы E) является сово-
совокупность функций f{x), удовлетворяющих неравенству
I/O) К
F)
при любом фиксированном X, \il <^X <^ ja2.
Система A) превращается в чисто разностную систему
в том случае, когда pj&(<;) — ступенчатые функции. Таким обра-
образом, для разностных систем A) с коэффициентами, возра-
возрастающими не быстрее первой степени аргумента, класс функ-
функций f(x), выделяемых неравенством F), есть класс единст-
единственности решения задачи Коши.
Тот же результат мы получим, если вместо основного
пространства Фх из функций ср (jc) вещественного аргумента,
экспоненциально убывающих на оси х, мы возьмем основное
пространство Фх из целых аналитических функций порядка
роста h ;> 1, с нормами по формуле
= --) G)
(в векторном случае снова вместо \y(x-\-iy)\ справа надо
поставить норму вектора ср в евклидовом пространстве).
При этом в качестве коэффициентов а(х) можно брать
линейные функции от z = x -\-ly-
Доказательство проходит по той же схеме, что и в разоб-
разобранном случае. Необходимо только дать оценку величины
А =sup|^|
Эта оценка также легко получается дифференцированием,
именно
С " Ci * при
,-ХI
н-
—X
— к <;с0,

116 ГЛ. II. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
что нам и требуется. Этот второй вариант мы используем
в следующем пункте.
3. Системы Ковалевской. Система дифференциальных
уравнений вида
duj(x, t)
Ft
vi i дик (х, t) ¦.
— 2u \iaik W Fx f~ bik (x) Uk (x' ty (l)
называется системой Ковалевской. Мы покажем, что если
функции ajk (x) и bjk (x) являются преобразованиями
Фурье экспоненциально убывающих мер, т. е. если имеют
место формулы
со со
ajk(x)= fe™x d9jk{a), bJk(x)= J eiax d?k (a), B)
причем
CO
C)
то класс функций f(x), удовлетворяющих неравенству
при любом фиксированном р есть класс единственности
решения задачи Коша для системы A).
Замечание. Для представимости функций a.jk (x) и bjk (x)
в виде B)—C) необходимо, чтобы они аналитически продолжались
в полосу | Imг | <; |j.t и притом оставались ограниченными в этой
полосе; достаточно, чтобы при аналитическом продолжении в по-
полосу получились функции, имеющие абсолютно интегрируемую при
— со<^.к<^со мажоранту; в этом случае интеграл Стильтьеса даже
приводится к (несобственному) интегралу Римана.
В качестве основного пространства Ф мы возьмем про-
пространство функций tp(x), аналитически продолжающихся в
полосу |1т2|<^Х (X зависит от функции <р) и удовлетво-
удовлетворяющих оценкам убывания
3]
ДОБАВЛЕНИЕ 2
117
где постоянная С ограничена в полосе |_у|<^. Это прост-
пространство совпадает с пространством Sl/P (вып. 2, гл. IV, § 1).
Рассмотрим двойственное пространство 47 = Ф. Как было
показано в гл. IV вып. 2, пространство W = S\/p состоит
из целых аналитических функций ф(з -\-п), удовлетворяющих
неравенствам
1'
где 1 у = 1 и постоянная а' зависит от функции ф.
Применим преобразозание Фурье к системе с неизвест-
неизвестными основными функциями
)
к=-1
*(*. о) •
A0
Эта система получается из системы A) как обратно-сопря-
обратно-сопряженная в смысле § 2.
Произведение akj(x)cpk(x, t) после преобразования Фурье
переходит в свертку akj (з)-х- %(а, t). Поскольку преобразо-
преобразование Фурье функции ujk(x), по условию, есть мера, мы
можем записать полученное выражение в форме
где хкл (а) — функция с ограниченным изменением при
— сю < а < со. Таким образом, система (Г) преобразуется
к виду
D)
Как было показано в п. 2, для этой системы имеется опе-
оператор Q\t, решающий задачу Коши.

118 ГЛ. И. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
Поэтому в силу общей теоремы § 2 двойственный опе-
оператор Qto= Ot0 решает соответствующую задачу Коши в про-
пространстве Ф.
Задача Коши для системы
dt
д
~дх'
имеет, следовательно, единственное решение в пространст-
пространстве Ф'. В частности, если рассмотреть класс функций f(x),
удовлетворяющих неравенству
I/(*)!< с*1-»"
при некотором рх < р, то, поскольку такие функции опре-
определяют на пространстве Ф линейные непрерывные функцио-
функционалы, этот класс есть класс единственности решения задачи
Коши для системы A). Число рг можно считать, разумеется,
произвольным вместе с числом р.
Тем самым наша теорема доказана.
ДОБАВЛЕНИ Е 3
СИСТЕМЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ
Дифференциальный оператор L(D)= 2
2
i
о (х)
назы-
вается эллиптическим, если группа его старших членов
L0(D)= 2 a(l(x)Dq обладает тем свойством, что для любого
\q\=Pi
фиксированного х функция Ln (о) = 2 аа(х)а<2 ПРИ всех
1<г1=й
вещественных значениях а неотрицательна и обращается в
нуль только при а = 0. Все коэффициенты а (х) предпола-
предполагаются непрерывными функциями во всем пространстве,
ограниченными вместе с производными первого порядка.
Рассмотрим систему уравнений вида
dt
, t)
y=l, 2, ..., /га), A)
ДОБАВЛЕНИЕ З
119
где Pjjc — многочлены с
функциями от t при 0<^
няются начальные данные
коэффициентами — непрерывными
^Г. К этой системе присоеди-
присоедиuj (х, 0) = uf (x) U = 1, 2, . . ., т).
B)
Теорема. Если разрешающая матрица Q(s, tQ, t)
системы, обратно-сопряженной к A)
C)
допускает в плоскости s=a-{-n оценку
\\Q(s, tQ' OIK^eMt-Wlel, D)
то класс функций /(х), удовлетворяющих неравенству
\ Pi Pi I
E)
есть класс единственности для решения задачи Коши
A) —B).
Если коэффициенты многочленов Р^(^. t) =Pjk(s) по-
постоянны, то для выполнения неравенства D) достаточно,
чтобы характеристические корни Х^ (s) матрицы Р (s) удо-
удовлетворяли неравенствам
A(s) = maxReX^(s)<C(lH-|s|). F)
д
Прежде чем переходить к доказательству теоремы, приведем
некоторые свойства решений задачи Коши для уравнения
да , ,-,.
!п = 1и G>
с эллиптическим оператором L. Нам придется использовать
здесь следующие результаты С. Д. Эйдельмана.
У равнение G) всегда имеет решение, если начальная
функция и (х, 0) удовлетворяет условию
и(х,
Pi
Pi
(8)

120 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
с некоторыми Сг и а. Решение и(х, I) в свою очередь
при каждом фиксированном t^-О удовлетворяет нера-
неравенству
и{х,
(9)
При t > 0 и(х, t) есть бесконечно дифференцируемая
функция от t, и ее последовательные производные по t
удовлетворяют неравенствам
(х,
= 0, \, 2, ...
A0)
Дифференцируя обе части уравнения G) по t, получаем
д ди (х, t) г ди (х, t)
Ж Ы ~~ Ы '
т. е. функция —-\т—- есть также решение уравнения G);
далее L
ди (х, t)
Ы
= L(Lu), так что к функции и (х, t) можно
применить оператор L дважды. Повторяя этот прием, мы
убеждаемся, что к функциям и(х, t)—решениям уравне-
уравнения G) — можно неограниченно применять оператор L. В силу
неравенства A0) будет выполнено неравенство
Lq и (х, t) | < CBqq ! e
-а'\х\
Переходим к доказательству теоремы. Введем основное
пространство Ф из функций <р (х), определенных при всех
вещественных х, допускающих неограниченное применение
оператора L и удовлетворяющих при этом неравенству
-а\ х\
Такие функции, как следует из сказанного выше, суще-
существуют; например, поставленным условиям удовлетворяют
решения уравнения G) с начальным условием .(8), рассма-
рассматриваемые при t > 0. Можно утверждать также, что про-
пространство Ф достаточно богато функциями: если для
ДОБАВЛЕНИЕ 3
121
некоторой локально интегрируемой функции f(х) при всех
ср ? Ф существует интеграл
ff(x)9(x)dx
и равен нулю для каждой <р^Ф, то /(х)з=0 почти всюду.
Для доказательства рассмотрим решение и(х, t) задачи Коши
G) — (8) с финитной начальной функцией ио(х). Поскольку
при каждом t > 0, по доказанному, и (х, t) принадлежит про-
пространству Ф, мы имеем по условию:
ff(x)u(x, t)dx = 0.
A1)
Функция и (х, I) удовлетворяет неравенству (9), где С[ не
зависит от t. Поэтому если в свою очередь f(x) удовле-
удовлетворяет неравенству
)\\^A^^\P\ A<a',
то в интеграле A1) можно перейти к пределу при
и мы получим:
0,
/ f(x) u0 (x) dx = 0.
Так как ио(х) может быть любой финитной функцией, то
/(х) = 0 почти всюду, что и требуется.
Построенное основное пространство аналогично про-
1 Й 1
странству Sa't А, где а = —Г, а оператор L заменяет опе-
Pi
ратор ——. Обозначим поэтому пространство Ф через LS^a-
1 7?
В пространстве LSa[ а справедлива основная теорема § 5
гл. IV вып. 2, которая в данном случае формулируется так:
Если f(s) есть целая функция порядка 1 и типа,
меньшего -^-^ , то оператор f{L) определен и ограничен
1 Л
в пространатве Ф = LSa; а. и переводит это пространство
в пространство Фг = LSi',^-

122 ГЛ. П. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
Доказательство проходит буквально по схеме доказатель-
доказательства теоремы § 5 гл. IV вып. 2 с заменой всюду -^— на L
и) р на 1).
По условию, разрешающая матрица Q(s, t0, t) системы
W (s, 0
dt
. t)
имеет первый порядок роста с типом, не превосходящим
b{t —10). Если заменить аргумент s на оператор L, то в силу
приведенной теоремы при достаточно малом t —10 получится
1 R
оператор, определенный в пространстве LS*,a и переводя-
переводящий его в пространство LS\'t a . В то же время этот опе-
оператор Q(L, t0, t) есть разрешающий оператор для задачи
Коши A) — B), что можно доказать с помощью такой же
выкладки, как в § 3.
Итак, задача Коши A) — B) обладает разрешающим опе-
г гД, В г ol. Be
ратором, переводящим основное пространство Lba> д в Loa> a •
Введем теперь пространство Е, состоящее из измеримых
функций 9(х) с нормой по формуле
<Р||Л=
1 R / 1 R»"\
При а<Л пространство L5a', а (а также LSa\ а") есть
часть пространства Е, причем, по доказанному, плотная
часть этого пространства.
Мы находимся снова в условиях теоремы 2 § 2: у нас
имеется цепь пространств QcrOjCrf такая, что Ф плотно в Е,
оператор Q(L, t0, t) действует из Ф в <!>! и решение задачи
Коши A) — B) существует при любых начальных функциях
<?-(х, 1Л ? Ф и принадлежит к Фг
Применяя эту теорему, получаем: задача Коши для обратно-
сопряженной системы
uj (x, t)
dt
, t)ulc(x, t)
ДОБАВЛЕНИЕ 3
123
может иметь лишь единственное решение, принадлежащее
при всех t, 0<;^-<Г, пространству Е', в частности, удо-
удовлетворяющее неравенствам вида
\ик(х, 0|<С/1^?1,
что и утверждалось.
Примером эллиптического оператора является оператор
Lu = Аи -{- q (x) и,
где Д — оператор Лапласа, a q(x) — непрерывная функция,
ограниченная во всем пространстве вместе со своими первыми
производными. Число рх здесь равно 2. Из наших резуль-
результатов вытекает, в частности, что классом единственности
решения задачи Коши для любого уравнения вида
где а — любая (комплексная) постоянная, служит класс функ-
функций f{x), удовлетворяющих неравенству

ГЛАВА III
КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается система уравнений
duj(x, t)
dt
с начальными условиями
У=1, 2, ..., т) A)
«,(*, 0) = «,(*)• B)
В главе 2 мы указали для каждой такой системы класс един-
единственности решения задачи Коши. Вопрос о существовании
решения остался открытым.
В этой главе мы укажем для каждой системы A) есте-
естественный класс начальных условий, обеспечивающих суще-
существование решения задачи A) — B) и непрерывную зависи-
зависимость его от начальных функций. Поскольку все рассмотрения
будут проходить в пределах класса единственности, указан-
указанного в главе II, найденное решение будет и" единственным
решением.
Метод, который мы используем в этой главе, — это метод
преобразований Фурье обобщенных функций.
Система A) рассматривается как система с неизвестными
обобщенными функциями uj(x, t) — функционалами над
основным пространством Ф (отвечающим классу единствен-
единственности решения задачи Коши). После применения преобразо-
преобразования Фурье система A) переходит в систему обыкновенных
уравнений
ди^ (s, t)
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
125
с начальным условием
vj(s, 0) = Vj(s) = u~(x), D)
где Vj (s, t) — функционал на пространстве Ф" = Ф. Доказы-
Доказывается (см. ниже, теорема 1), что решение этой задачи
Коши (единственное в рассматриваемом классе) имеет в век-
векторных обозначениях вид
v(s,t) = Q(s,t)-v(s,O), E)
где
Q (s, t) = etp (-)
есть разрешающая матрица-функция системы C).
В силу теоремы о преобразовании Фурье произведения
(вып. 2, гл. III, § 3) обратное преобразование Фурье при-
приводит к формуле
и (х, t) = G (х, f)*u (x, 0),
F)
где О {х, t) есть матрица-функция Грина, обратное пре-
преобразование Фурье матрицы-функции Q(s, t); ее k-й столбец
задает решение задачи Коши A) — B) при начальных усло-
условиях Uj(x, 0) = 0 для j Ф k, uk(x, 0) = о(х).
Формула F) приводит, вообще говоря, к обобщенной
функции; мы же имеем целью выяснить, когда искомое решение
есть обычная функция.
Этой цели можно достичь, выяснив более детально свой-
свойства матрицы-функции G (x, t) и наложив соответствующие
условия на начальную функцию и (х, 0). Чем лучше с функ-
функциональной точки зрения ведет себя матрица G (x, t), тем
меньше условий мы можем налагать на функцию и (х, 0).
Так, если матрица G (x, t) состоит из обычных функций,
мы можем не налагать на функции и (х, 0) никаких условий
гладкости и следить лишь за тем, чтобы рост функций и (х, 0)
при | х | —>- со был не слишком большим^ для обеспечения
сходимости интеграла, задающего свертку F). Если мат-
матрица G (x, t) состоит из обобщенных функций, являющихся
производными некоторого, например /г-го, порядка от обычных
функций, то для обеспечения существования свертки F)
в форме обычной функции мы должны требовать от начальных
функций и(х, 0) наличия производных до порядка h. Наконец,
если матрица G(x, t) состоит из обобщенных функций

126 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
«бесконечного порядка», не являющихся производными конеч-
конечного порядка от обычных функций, то от начальных функций
и(х, 0) мы вынуждены требовать бесконечной дифференцируе-
мости или даже аналитичности. Указанные возможные свойства
матрицы Грина G(x, t) определяются, конечно, устройством
разрешающей матрицы Q{s, t) и именно, ее поведением
в комплексной плоскости изменения параметра s. В свою
очередь, как мы видели в гл. II, поведение матрицы Q(s, t)
существенным образом определяется поведением характери-
характеристических корней ^j(s) матрицы Р(s). В соответствии с этим
мы выделяем три основных класса систем:
1°. Параболические системы. Они характери-
характеризуются тем, что функция A(s) = max ReXy(s) удовлетворяет
при вещественных s = а оценке
А(о)<— С\
,h
с некоторыми С >¦ 0, h >¦ 0. Оказывается, что в этом случае
элементы матрицы G (x, t)-— обычные функции, экспонен-
экспоненциально убывающие при [ х \ —> со; поэтому решение пара-
параболической системы A) существует при любых (локально
суммируемых) начальных данных и (х, 0) без ограничения
гладкости, которые могут иметь соответствующий экспонен-
экспоненциальный рост при |д;|—>-со. Количественное выражение
этого роста зависит от приведенного порядка системы р0,
от показателя параболичности h и еще от одной характе-
характеристики функции A(s), называемой родом системы и описы-
описываемой ниже, в § 2. Свертка F) превращается в этом случае
в аналог интеграла Пуассона для уравнения теплопро-
теплопроводности.
2°. Системы, корректные по Петровскому.
Они характеризуются тем, что функция A(s) = max ReX^- (s)
з
ограничена при вещественных s = a:
A(a)<C.
В этом случае элементы матрицы G (x, t) — обобщенные
функции, являющиеся производными некоторого фиксиро-
фиксированного порядка / от обычных функций. Поэтому решение кор-
корректной системы существует при начальных функциях и(х, 0),
имеющих производные порядка, определяемого числом L
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
127
Рост этих функций при | х J —>- со зависит от системы A);
это могут быть функции любого роста (гиперболические
системы), некоторого экспоненциального роста (регулярные
системы) или даже только степенного роста (системы типа
Шрёдингера), что определяется также поведением функ-
функции A(s).
3°. Некорректные системы. Они характеризуются
тем, что функция A(s) фактически возрастает на веще-
вещественной оси. Свертка F) приводится к обычной функции
в этом случае, лишь если начальные функции имеют беско-
бесконечный порядок гладкости. Если удовлетворяется неравенство
и h <С 1, то начальные функции должны быть бесконечно
дифференцируемыми с некоторыми условиями на рост про-
производных; в общем же случае, когда
начальные функции должны быть аналитическими, опреде-
определенного порядка роста при | z | = | je-j- iy \ —>- оо.
Теперь возвратимся к формулировке нашей основной
теоремы. Рассматривается система уравнений (в векторной
записи)
ди (х, t) р /. д \ , ,,
с начальным условием
и(х, O)-=bo(jc). (8)
Функции и{х, t) считаются обобщенными функциями над
некоторым основным пространством Ф, выбранным с тем
расчетом, чтобы в пространстве Ф' (обобщенных функций)
решение задачи Коши существовало и было единственным.
Как строить такие пространства — было указано в гл. II
§ 3 и 4. После перехода к преобразованиям Фурье мы полу-
получаем эквивалентную задачу
v(s, 0) = vQ(s), A0)
где v(s,t)"—обобщенная функция над двойственным про-
пространством W = Ф.

28 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
Теорема 1. Решение задачи Коши (9) — A0) имеет
вид (в векторных обозначениях)
v(s, t) = Q(s,t)-v(s,0), (И)
где
Q(s,t) = etp^
есть разрешающая матрица-функция системы (9).
Доказательство. Как мы показали в гл. II, сопря-
сопряженный оператор умножения на функцию
определен и ограничен в пространстве W (при ()<;?<; Г) и
переводит это пространство в некоторое более широкое
пространство Ч\; то же можно сказать об операторе
получающемся формальным дчфференцированием данного по t.
Поэтому операторы
etP (О и р (S) etP (s)
определены и ограничены в пространстве Wi и переводят
его в W.
f^etP* (-0 ^(Н- 4*> -р* (-0 _ etp* (°)
При Ы -»-0 оператор —^—= д^ стре-
стремится (на каждой основной функции ф (s)) к оператору
P*(s)etF*M, поскольку функции
-Р* (,)
ограничены по топологии пространства Ч7! и правильно схо-
сходятся к Я* (s) eips (J) ^ (s). Поэтому для сопряженного опера-
оператора в пространстве <I>i имеет место соотношение
tP(j)
- _> Р (s)
на каждой обобщенной функции vo(s). Отсюда следует, что
выражение
определяет решение уравнения A1). Далее, при ?-> 0 опе-
оператор etr*la) стремится на каждой основной ф)жкции ф (s)
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
к единичному оператору (в силу ограниченности в W и пра-
правильной сходимости функций etp* <s) ф (s) при t —>- 0). Отсюда
следует, что сопряженный оператор eipM на каждой обоб-
обобщенной функции vQ (s) стремится к единичному, иными сло-
словами, при t—у 0 по топологии W
Таким образом, для решения A1) заведомо удовлетворено
начальное условие. Теорема доказана.
Подчеркнем, что элемешы матрицы Q(s, i) суть опера-
операторы умножения, действующие в пространстве W = Ф'.
В соответствии со сказанным выше обобщенная функция
есть решение системы G) с начальным условием (8). Зчо
решение непрерывно зависит от начальной функции ио(х)
в следующем смысле: если начальная функция ио(х) зависит
от. параметра X и при X —> 0 стремится к пулю, как функционал
в основном пространстве Ф, то решение и (х, t), которое также
зависит от параметра X, при каждом фиксированном t >¦ О
также стремится к нулю в пространстве функционалов над
основным пространством Ф.
Доказательство получается путем перехода к преобразо-
преобразованию Фурье. Решение двойственной системы
v(s, t)=r-etp^)v0(s)
в данном случае также зависит от параметра X. В силу непре-
непрерывности преобразования Фурье из ио(х)-+0 следует vo(s)->O
(в пространстве W); далее из свойств мультипликатора e'p<s)
следует, ч';о при Х-^-О и etF-^vo(_s) = v(s,t)-^0 в простран-
пространстве W; применяя обратное преобразование Фурье, находим,
что и и(х, t)—>0 в пространстве Ф', что и требовалось.
Отметим далее следующее важное обстоятельство. Если мы
показали, что решение системы A), записанное в форме F),
а (х, 0 = О (х, t) * и (х, 0)
есть обычная функция, то э~о еще не означает, что u(x,t)
есть и решение системы A) в обычном смысле, поскольку
функция и (х, t) может не иметь в обычном смысле произ-
*L"._Hbix ни по х, ни по t. Эта функция является решением
системы A) в смысле обобщенных функций: иначе говоря,
9 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

130 ГЛ. HI. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
для любой основной функции ср (х)
§-tfa (х, t) ср (х) dx = f и (х, t) P* (i ^) <p (х) dx. A2)
Если функция и (х, t) обладает достаточной гладкостью, так
что в левой части равенства A2) можно ввести символ -^-
под знак Г, а в правой — интегрированием по частям пере-
перенести дифференциальный оператор на функцию и (х, t), то
и(х, f) будет решением системы A) и в обычном смысле.
Достаточная гладкость функции и (х, t) no x может быть
обеспечена наложением дальнейших ограничений гладкости
на начальную функцию и (х, 0). Что касается гладкости
функции a(x,t) no t, то она определяется всецело свой-
свойствами функции G (x, t), и, по-видимому, не существует
общего метода ее проверки.
Точно так же обстоит дело с выполнением начального ус-
условия. Для построенного решения и (х, t) удовлетворение началь-
начального условия означает, что и (х, 0) = lim u(x, ?) в смысле обоб-
щенных функций, т. е. что для любой основной функции ср (х)
lim fu(x, t)y(x)dx= f и (х, 0) ср (х) dx. A3)
t + co -> J
Представляется вполне вероятным, что равенство A3)
само по себе есть наиболее правильное выражение факта
выполнения начального условия.
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
1. Определение и примеры. Система порядка р с по-
постоянными коэффициентами
dt
%
A)
называется параболической, если функция A (s) = max Re Xj (s)
при вещественных значениях s = а удовлетворяет неравенству
А(о)< — С]о|*Н-Си С>0, А >0. , B)
Число h называется показателем парабо личности системы A).
§ U. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
131
Примеры. 1°. Уравнение теплопроводности
здесь
ди
dt
= X(o) = — a2, C=l, h = 2.
2°. Уравнение
dt дх^ \ Ох) ' у
здесь
X(s) = — s2-\-isP, A (a) = Re >. (а) = — о*, h = 2.
3°. Системы, параболические по Петров-
Петровскому. Разобьем матрицу Р (s) системы A) на слагаемые
P(s) и R(s) так, чтобы первое содержало только члены
старшего измерения р, второе — члены меньшего измерения.
Рассмотрим характеристические корни матрицы Р (s);
обозначим их через Хх (s),. . ., Хт (s). Система A) называется
параболической по Петровскому, если при | а | = 1 вели-
величины R.e\j(o) ограничены фиксированной отрицательной по-
постоянной — ш. Покажем, что всякая система, параболиче-
параболическая по Петровскому, будет параболической и в нашем
смысле, причем показатель парабо личности h совпадает
с порядком р самой системы и с. ее приведенным порядком р0.
Действительно, пусть характеристические корни \х (s),. . .
...,Xm(s) матрицы Р (s) при | а | == 1 удовлетворяют нера-
неравенству
Re
a) <
¦ A).
Обозначим ? =
= —. Если из всех элементов
определителя det||.P(:3) —Х?|| вынести | а \р и произвести
сокращение, то мы получим уравнение вида
где е (а) —> 0, когда | а | —>¦ со. Корни этого уравнения при
| а | —> со и фиксированном -.—г- = % стремятся к корням урав-
уравнения
det||/>E)—ТЕ||=0
9*

132 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ B
и притом равномерно по ^ в области |?[=1 (в противном
случае получилось бы противоречие с теоремой о непре-
непрерывной зависимости корней уравнения с единичным старшим
коэффициентом от коэффициентов). Таким образом, для
достаточно больших | о ] ^- а0
а так как
lj (а)
\Р
л-со
ш, то
Отсюда для всех а заведомо
А (а) = max Re X, (cr)< —
о
|-1 а
С
Таким образом, система A) в этом случае действительно
параболическая, с показателем параболичности р.
В силу замечания, сделанного в конце п. 1 § 5 гл. III,
функция A (s) имеет при комплексных s степенной порядок
роста, не меньший, чем степенной порядок убывания ее при
вещественных s = а. Степенной порядок роста при ком-
комплексных s для функции A(s) есть число р0; таким обра-
образом, мы имеем р^Ср0- Но с другой стороны, всегда po^Lp,
как было показано в § 3 гл. II. Поэтому в рассматриваемом
случае
h = р = р0,
что и утверждалось.
Заметим далее, что уравнение теплопроводности (при-
(пример 1) — параболическое по Петровскому, а параболическое
уравнение C) не принадлежит к числу параболических по
Петровскому.
2. Разрешающая матрица. В соответствии с общим
методом, описанным в § 1, будем решать задачу Коши для
системы A) п. 1 с помощью преобразования Фурье. При
этом преобразовании эта система переходит в обыкновенную
систему
^^^t) A)
31
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
133
с разрешающей матрицей
Q(s, t) =
Выпишем для параболической системы оценки разрешаю-
разрешающей матрицы Q(s, t).
Прежде всего имеет место оценка (гл. II, § 3, п. 2)
\\Q{s,
B)
как и для всякой разрешающей матрицы системы с приве-
приведенным порядком р0.
Далее, используя условие параболичности и неравенство F)
п. 1 § 6 гл. II, мы находим, что для вещественных s = о
\\Q(p>
C)
Замечание. Обратно, если выполнено неравенство C),
то в силу того же основного соотношения F) п. 1 § б
гл. II, мы получим, что
А(а)< — C\a\h + Cx,
т. е. что рассматриваемая система — параболическая. Таким
образом, неравенство C) может служить определением пара-
параболической системы.
Все дальнейшие построения будут основаны только на
неравенствах B) и C). Это дает возможность включить
в рассмотрение также и системы с переменными коэффи-
коэффициентами (зависящими от t), а также и любые системы
(например, в свертках), которые после преобразования Фурье
переходят в системы вида
dv (s, t)
at
= P(s, t)v(s, t)
с разрешающей матрицей Q(s, t), удовлетворяющей нера-
неравенствам B) — C).
Все такие системы в дальнейшем также будем называть
параболическими.
3. Род параболической системы.
Л ем м а. Число р0 для параболической системы, заве-
заведомо больше 1.

134 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
Для доказательства рассмотрим сумму всех характеристи-
характеристических корней Хй (s) —{— ... +ХтеE) матрицы P(s). Эта сумма
как один из коэффициентов характеристического многочлена
det||P(s)— ХЕ\\ сама есть некоторый многочлен от slt . . ., sn.
Его вещественная часть Rislt ..., sn) есть многочлен от
<з1, ть . . ., ап, in. Если допустить, что Ро-^. 1, то это озна-
означает, что многочлен R(slt ..., sn) возрастает при | s | —*¦ со
не быстрее, чем |s|, и имеет, следовательно, степень не выше
первой. При вещественных s = а он является, следовательно,
линейной функцией аргументов alt ..., ап:
в которой
Но линейная функция не может стремиться к — со,
когда | а | —?¦ со. Поэтому рассматриваемая система не может
быть параболической, что и доказывает наше утверждение.
Применим к функциям Q(s, t) при заданном t >¦ 0 тео-
теорему 1 § 7 гл. IV вып. 2. Мы получаем, что существует
область Н„, определяемая неравенством
М<#A + |°|Г. ^>i— (Ро—К), A)
||Q(a-HT, OIKCe-»'*!"!*, B)
где постоянная а' как угодно мало отличается от а *).
Верхняя грань чисел [а, удовлетворяющих неравен-
неравенствам A) — B), является важнейшей характеристикой парабо-
параболической системы; мы будем называть ее родом системы.
Мы не знаем, достигается ли верхняя грань в классе
всех допустимых чисел [а. Дальнейшие построения произво-
производятся, для простоты, в предположении, что эта верхняя
грань достигается, так что в неравенстве A) можно считать {а
родом системы. Если в действительности это не имеет места,
то в качестве числа [а в дальнейших построениях можно взять
любое число, меньшее рода системы, с соответствующим
очевидным изменением всех формулировок.
*) В формулировке указанной теоремы отсутствовал параметр t.
Но постоянную а' можно было взять в форме а A — е) при любом
е >>0, и нетрудно проследить, что при наличии t от коэффициента at
можно таким же образом перейти к at{\ — е) = a't: область Н^_
не зависит от параметра t, как это видно из ее построения.
3]
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
135
Мы увидим в дальнейшем, что класс корректности
задачи Коши для параболической системы A) п. 1 опре-
определяется родом системы. Именно, он состоит из функ-
функций fix), имеющих при |je|—»-оо экспоненциальное возра-
возрастание с порядком <^ рх =
для систем с положительным
h
Ро — V-
родом ([а >• 0) или с порядком ^ р2— для систем
с неположительным родом (ja ^ 0). Отметим, что допускаемый
порядок роста в первом случае — для систем с положитель-
положительным родом — есть число, большее единицы, а во втором
случае — для систем с неположительным родом — число,
меньшее или равное 1.
О роде параболической системы с постоянными коэффи-
коэффициентами можно судить по ее характеристическим корням.
Именно, в силу основного неравенства F) п. 1 § б гл. II,
связывающего рост функции Q(s, t) с ростом функции
A (s) = max ReXy (s), род параболической системы может быть
з
определен также и как наибольший показатель [а, такой,
что в области
функция Л (s) удовлетворяет оценке
— C\
-\-C1.
Замечание. Как уже говорилось,
(*>1-(А>— Л).
Число [а может быть в действительности больше, чем 1 — (р0 — К).
Пример. Предположим, что характеристические корни мат-
матрицы Р (s, t) имеют вид
X1(s) = /s6 — s4, ms) = tsi — s\ C)
В этом случае р0 = 6, h — 2 и ."теорема 1 § 7 гл. IV вып. 2 дает
[j. ^ — 3. Но на самом деле степенное убывание функции Л (s) =
= maxRe{Xt (s), X2(s)> происходит в области | х |<; ^A + | а | )-1
(с показателем —1, а не —3). Действительно, для вещественных
частей корней Хх и Х2 мы легко можем получить разложения
Re Xt (s) = — 6-c<j5 _ a* + ...,
ReX3(s)= —4-c<j3_<j2+ ...;
где многоточием заменены' слагаемые, содержащие а в меньшей
степени.

136 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
4]
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
137
В области ] т | -</СA + | а 1) х с достаточно малым /С>0 пер-
первое выражение не превосходит —С^а4, второе не превосходит —С2а3.
Отсюда следует, что &(s) в указанной области не превосходит
— CV2-|-C3. Поэтому в качестве ц. можно взять —1.
Как показала В. jyi. Борок, для систем с одним пространствен-
пространственным переменным можно построить простые формулы для вычисления
всех характеристик системы. Именно, в этом случае каждый корень
уравнения det || P (s) — \Е || = 0 допускает в окрестности бесконечно
удаленной точки разложение в ряд Ньютона — Пюизе *)
X. (s) = aQsk°
-f- *pS
:где а0ф0, k0 ]> kt ]> ... — рациональные показатели (которые можно
найти при помощи многоугольника Ньютона). Среди коэффициен-
коэффициентов aq заведомо имеются такие, у которых Re aq ф 0; предположим,
что Re а0 = Re at = ... = Re ap_± = 0, Re ap ф 0. Оказывается,
что показатели k0, kv..., kp-.t — целые положительные числа,
a kp — целое положительное четное число. Далее имеют место
формулы:
Ро
h
= max k0
= min kp
= min {kp -
+
1}
(no
(no
(no
всем
всем
всем
корням),
корням),
корням).
В частности, все три характеристики — приведенный порядок р0,
показатель параболичности h и род (д. — являются в случае одного
пространственного переменного целыми числами (и, более того,
h — четное число).
4. Основная теорема для системы с положительным
Теорема 1. Если начальные функции {uj(x, 0)}=u0(x)
параболической системы
У=1, .... т)
A)
положительного рода \з, >- 0 входят в класс функций KPl,
удовлетворяющих неравенству
где рх=-
то при достаточно малом t >- 0 решения этой си-
системы принадлежат классу Кр^ъ^ где Ь1 — любое число,
большее Ьо.
'*) Н. Г. Чеботарев, Теория алгебраических функций, Гос-
техиздат, М.—Л., 1948, гл. VI.
Г
ш
Доказательство проведем сначала в предположе-
предположении, что число независимых переменных л=1. Так как
Рх = ——— <! —^—- *), то класс Kv, ь, содержится в классе
Ро — М1 Ро — -
единственности решения задачи Коши для системы A) при
достаточно малом Г. В пределах класса единственности, как
мы знаем из § 1, решение задачи Коши для системы A)
записывается в виде свертки
и{х, t) = G{x, t)*a(x, 0), C)
где G (x, t) — матрица Грина — есть обратное преобразова-
преобразование Фурье матрицы Q(s, t) — разрешающей матрицы обыкно-
обыкновенной системы
VA (S, t)
dt
0
(/=1, .... m). D)
Свертка (З) в общем случае приводит от обычных функ-
функций и(х, 0) к обобщенным функциям и (х, t). Мы должны
показать, что эта свертка переводит класс KPl, ь0 в класс KPl, ьх>
т. е. что обычные функции, входящие в класс Кр„ ъо> она
переводит снова в обычные функции, входящие в класс Кр., ьг
Для этого построим матрицу-функцию G (x, t). Мы знаем,
что ее преобразованием Фурье является матрица-функция
Q(s, t) — разрешающая матрица обыкновенной системы D).
Поэтому естественно начать с анализа поведения ма-
матрицы Q (s, t). Нам известны для этой матрицы оценки B)
и C) п. 2 и дано, что \х >0. Используем теперь при
заданном t >> 0 теорему 2 § 7 гл. IV вып. 2. 3 силу этой
теоремы матрица Q(s, t) удовлетворяет неравенству
\\Q(s, ^IKC'e-**"!**6'*!*!*^, E)
причем постоянная Ь' не превосходит Bt(a-\- b), где Вг
зависит только от области Hv_ и, следовательно, не зависит
от t.
Будем считать, что время t изменяется в пределах от 0
до Т. Тогда неравенство E) показывает, что элементы
л,в
матрицы Q(s, t) входят в пространство W ?¦ всех целых
*)'Неравенство
гл. IV вып. 2.
1 было фактически установлено в § 7

138 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
функций cp(s), удовлетворяющих неравенству
Ро
где б>е любое и
- = b'T (гл. II, § 3) *).
По теореме о преобразовании Фурье пространства W р- '
(гл. I, § 3) элементы матрицы G (x, t) принадлежат к двой-
двойственному пространству
' 9
где (—) определяется из уравнения
так что
Как мы помним (гл. I, § 1), функции ср (х), входящие в про-
пространство WPiCl, удовлетворяют неравенству
L\ax[P —
I Т (.х) 1 ^ Се р > а < а любое.
Таким образом, в нашем случае
\G(x,
кнем,
входящих в промежуток
, 8 > б любое.
F)
Подчеркнем, что эта оценка выполняется при всех t,
<^<^7\ где — б**1'1''— Ь'Т.
Ро
*) В действительности элементы матрицы Q (s, t) входят и
в меньшее пространство Wh°^' , но мы не можем здесь фиксиро-
фиксировать 6' независимо от значения t в интервале (О, Г). Используемые
здесь обозначения пространств введены в конце § 3 гл. I.
4]
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
139
Итак, G(x, t) есть обычная функция, притом экспонен-
экспоненциально убывающая. Мы рассмотрим вначале обычную свертку
G (х, t) * и (х, 0) =
— х, t)uo$)d$ =
G)
и покажем, что при достаточно малом Т эта свертка
существует и принадлежит к заданному классу KPl, ь,, где
Pl=
Ро
Ьо. Затем мы проверим, что эта обычная
свертка совпадает со сверткой в смысле обобщенных функ-
функций, фигурирующей в формуле C); этим теорема будет
доказана.
Установим вначале следующую лемму.
Лемма. Для любых у > Р > 0 можно найти та-
такое а > 0, что при всех х и % будет иметь место
неравенство
— сс| ? Iх -{-р J л: — Е|Х< Т|*|х. (8)
JC
Действительно, положим р = —; тогда неравенство (8)
станет эквивалентно неравенству
—8|1—р|х> —а.
(9)
Но так как для у > C непрерывная функция т I Р I* — Р J * —Р I* •
очевидно, неограниченно возрастает при | р | —> оо, то она
ограничена снизу; таким образом, неравенство (9) при не-
некотором а > 0 удовлетворяется, а вместе с тем удовлетво-
удовлетворяется и (8).
Переходим к доказательству теоремы 1. В интеграле
A0)
подынтегральная функция (по доказанному для функции G (?, t)
и по предположению для функции ио(х — ?)) имеет мажоранту

140 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
В силу леммы можно выбрать ^— 0 Pi настолько большим,
чтобы удовлетворялось неравенство
— -Le-^UP-b&ol^ — ?*f <M* "
или, что то же,
В результате при указанном выборе б интеграл A0) оказы
вается сходящимся и удовлетворяющим оценке
j*
C?
Выбор числа
1 -a-Pi
Ь~
(И)
определяет и выбор интервала
0 -^ t ^ Т, в котором меняется t, в силу равенства — Ьр!*=ЬгТ
_ "Ра
и условия б > б любое. Число О"-*3' при стремлении Ьх к Ъ
будет неограниченно возрастать; вместе с этим неограниченно
уменьшается допустимый интервал времени 7*.
Мы доказали, что при достаточно малом Т свертка G)
существует в обычном смысле. Теперь покажем, что свертка C),
понимаемая в смысле обобщенных функций, совпадает со
сверткой G).
Свертка C) действует на основные функции срС*) п0
формуле
(и, cp)=(G*a0, cp)=(a0, (
x. A2)
Свертка G) действует на те же основные функции по формуле
(G(x, t)*ao(x),f(x)) = f{fG(x, t)uo(ri—x)dx}f(rrl)dri.
A3)
Интеграл A2) переходит в интеграл A3) при замене Е
на т) — х и перемене порядка интегрирования. Перемена
порядка интегрирования в данном случае, согласно теореме
cp)=(ao(*), f G (?, t)
4]
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
141
Фубини, законна, поскольку двойной интеграл
О (X, t) UQ Gj — X) ср I
на основании оценки A1) является сходящимся.
Таким образом, решение
и(х, t) = G(х, t)*uo(x) = fGE — х) и0E)йк
есть обычная функция; она принадлежит, по доказанному,
к классу КРиь, с произвольно малым Ъх— Ь, что мы и
утверждали.
Укажем, какие изменения в доказательстве следует про-
произвести при переходе к случаю п пространственных пере-
переменных хх хп.
Всюду, где были использованы теоремы из § 7 гл. IV
вып. 2, следует использовать их л-мерные аналоги (§ 9
гл. IV вып. 2).
В формулировке леммы следует считать S и jc п-мерными
векторами. При доказательстве вместо деления искомого
неравенства на ? следует делить на | ? | и проверять выпол-
выполнение неравенства
Tlpf + PI* —РГ> —«•
где р — произвольный вектор, е — единичный вектор. По-
Постоянная — а в правой части не будет зависеть от выбора
единичного вектора е, так как при | р | —> оо левая часть не-
неограниченно возрастает равномерно по е.
Остальные рассуждения не зависят от числа простран-
пространственных переменных.
В частности, для систем, параболических по Петровскому
(п. 1, пример 3°), которые обладают родом 1 (h = po = p)
мы получаем следующую теорему.
Если начальные функции Uj(x, 0) системы порядка р,
параболической по Петровскому, удовлетворяют нера-
неравенству
то система обладает решением и {х, t), удовлетворяющим
при любом 8>0 а достаточно малых t 4^T неравенству
и{х,

142 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
Эта теорема, в частности, применима к уравнению теплопро-
теплопроводности (пример 1):
да д% .
dt ~ дх* "'
при этом р = 2, р' = 2, и мы получаем, что для всякой
функции и(х), удовлетворяющей неравенству
\и(х)\<Сеь*\
уравнение теплопроводности обладает решением и (х, t),
удовлетворяющим при любом е > 0 для достаточно
малых t неравенству
\и(х, t)\^.Cle^+s'>as\
На самом деле эти результаты справедливы и для систем более
общего вида — с коэффициентами, зависящими от пространственных
координат. Система
называется параболической по Петровскому,если при замене аргу-
аргументов х и t на любые постоянные параметры ?, х, система оказы-
оказывается параболической по Петровскому в том смысле, который был
указан в начале этого параграфа. Для такой системы, в предполо-
предположении, что ее коэффициенты непрерывны и ограничены во всем
пространстве вместе со всеми производными до порядка/; — порядка
системы, — С. Д. Эйдельман показал, что задача Коши, отвечающая
начальному условию
а(х, О) = )
имеет решение, единственное в классе функций
| в (л:, О KCV* ""I* .
Это решение записывается в форме интеграла Пуассона
u(x,t) = JG (x, ?, t) «о (?) &,
я
причем ядро этого интеграла удовлетворяет условию
ъ \x-i\p'
_ + J_==
Здесь М есть постоянная, которая ограничивает сцерху абсолютные
значения коэффициентов уравнения A4) и тех их производных,
о которых шла речь выше.
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
143
5. Случай системы с неположительным родом. Пере-
Переходим к случаю, когда род системы A) не положителен:
[л<^0. Здесь имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Если начальные функции {uj(x, 0)} = и0(х)
параболической системы в случае [i.^0 входят в класс КРи о
функций f(x), удовлетворяющих при любом е >¦ 0 не-
неравенству
)\<?СЛе>\*\*\ Л = _А_., A)
то для достаточно малого Т > 0 решения этой системы
при t^_T также принадлежат этому классу.
Доказательство, как и в предыдущем пункте, можно
проводить для случая «= 1. Разрешающая матрица Q(s, t),
как функция переменного s = a-\-ix в области // , опреде-
определенной неравенством
удовлетворяет неравенству
\\Q(s, 0||<Ce-«'*l»l*.
Далее, при фиксированном t >¦ 0 мы применим теорему 4
§ 7 гл. IV вып. 2. В силу этой теоремы справедлива сле-
следующая оценка для матрицы из производных функций Qy (s, t)
на оси s = a:
|QB)(«. t)l<CCBqgq^~^e-a"*\^h. B)
Неравенство B) показывает, что элементы матрицы Q(s, t)
ft т>
принадлежат к основному пространству S (вып. 2, гл. IV,
§ 1) бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству
(а) | <
qqq?
(*, д = 0, 1,2,...; р=1—|>1,Б>Б).
По теореме о преобразовании Фурье пространства S
(вып. 2, гл. IV, § 6) элементы матрицы G (x, t) принадлежат
к пространству 50 в; следовательно,
1
h

144 ГЛ. Ю. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [Б
Так как рх = -г < 1 < ¦ Ро . , то класс KVl,0 A) содер-
жится в классе единственности решения задачи Коши для
рассматриваемой системы. В пределах класса единственности,
как мы знаем из § 1, решение задачи Коши для этой системы
записывается в виде свертки
и(х, t)=G(x, l)*u(x, 0). C)
Мы должны показать, так же как и в теореме 1, что эта
свертка переводит класс KPl,о в себя. Рассмотрим обычную
свертку
G(x, t)*u(x, O) = J*G(?, t)uo(x — QdS. D)
По доказанному относительно матрицы G (л:, t) и по предпо-
предположению относительно начальных данных ио(х) подынтеграль-
подынтегральная функция при любом о > 0 обладает мажорантой
Воспользуемся далее леммой:
Лемма. Для любых сс>0 и т >0 можно найти
такое C > 0, что при всех х и \ будет иметь место
неравенство
_а|г —*1х4-Р\1-|'<;т1*1х- E)
Для доказательства положим -j = p; тогда требуемое не-
неравенство E) станет эквивалентным неравенству
т|р|*+о|1— plx>p. F)
Но левая часть действительно ограничена снизу при всех р
положительной постоянной. Поэтому нужное число р суще-
существует, и лемма доказана.
В силу леммы, при заданных а и е можно найти о > 0
так,- что будет иметь место неравенство
из которою следует, что
5] § 2. ПАРАЁОЛИЧЁСКИЕ СИСТЕМЫ
Это показывает, что интеграл
и(х, 0 = fG(x — Z, t)uo(?)dl
¦ 146
является при любом ^ >¦ 0 сходящимся и результат удовле-
удовлетворяет неравенству
\и(х, /)|<С^Ч»1А,
каково бы ни было заданное е >> 0.
Итак, результат свертки G) принадлежит при любом
t > 0 классу /CPl,o-
Наконец, совпадение свертки C) со сверткой G) в смысле
обобщенных функций доказывается так же, как и в теореме 1.
Теорема доказана.
Примеры. 1°. Рассмотрим уравнение порядка р > 2
(см. п. 1)
да д*и . . I. д \Р /оч
Для этого уравнения характеристический корень ~k(s) имеет вид
a2
Таким образом,
Ро = Р>
= 2.
Род ;х уравнения (8) определяется по теореме 1 § 7 гл. IV
вып. 2:
{1= 1— (Ро — Л) = 3 — /><0.
Отсюда
Применяя теорему 2, получаем: если начальная функ
ция ио(х) при любом s >-0 удовлетворяет неравенству
то решение « (л:, ^) уравнения (8) при любом t >> 0 удовлет-
удовлетворяет аналогичному неравенству.
2°. Рассмотрим систему уравнений с характеристическими
корнями
10 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

146 ГЛ. Ш. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [1
В данном случае pQ = 6, h = 2; род системы", как мы видели
в примере в п. 3, равен —1. Отсюда р1 = — =~5"-
В силу теоремы 2 мы имеем: если начальная функция ио(х)
при любом е > 0 удовлетворяет неравенству
то существует решение u(x,t), которое при каждом е>0
также удовлетворяет такому неравенству:
|и(х, *)|<?et|a"V\
§ 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
1. Определение и примеры. Система с постоянными
коэффициентами
да: (х, t) хгл I г) \
Jdt = 2i Pi* V Ш) Uk (X' i] О" = 1. 2, .... да) A)
к = 1
называется гиперболической, если функция Л (s) = max Re Xj (s)
обладает следующими свойствами:
(а) Степенной порядок роста Л (s) не превосходит 1:
(б) При вещественных значениях s = a функция Л (s) огра-
ограничена:
Мы докажем в этом параграфе, что для гиперболических
систем — и только для них — задача Коши имеет реше-
решение при любых достаточно гладких начальных данных,
без всяких ограничений на их рост на бесконечности.
Примеры. 1°. Уравнение первого порядка
да
~д!~~а'дх
имеет функцию
Л О) = Re \ (s) = Re (— ias)
со степенным порядком роста 1. При вещественных s —
А (а) = Re (— iaa) = a • Im a,
§ 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
147
и Л (а) ограничена только при вещественных а. Таким обра-
образом, уравнение A) является гиперболическим только при
вещественных значениях а.
2°. Волновое уравнение в одномерном случае
dt*
(а — вещественная постоянная).
Характеристическое уравнение имеет вид
и имеет корни
Очевидно, что условия гиперболичности (а) и (б) выполнены.
То же справедливо для волнового уравнения в п-мерном
пространстве.
3°. Системы, гиперболические по Петров-
Петровскому. Система A) называется гиперболической по Пет-
Петровскому, если ее порядок р равен 1, характеристические
корни матрицы P(s) при вещественных s=a, |a| = l, чисто
мнимы, а сама матрица приводится к диагональной форме
при всех вещественных а, причем модуль детерминанта
'матрицы преобразования превосходит положительную посто-
постоянную.
Для таких систем И. Г. Петровский доказал коррект-
корректность задачи Кощи в классе достаточно гладких функций
любого роста. В силу основной теоремы этого параграфа
системы, гиперболические по Петровскому, будут гиперболи-
гиперболическими и в нашем смысле. При этом системы, гиперболи-
гиперболические по Петровскому, далеко не исчерпывают всех гипер-
гиперболических систем: условию Петровского не удовлетворяют
системы, у которых жорданова структура матрицы Р(о)
меняется при изменении а. Например, система с матрицей
P{s) =
1
bs
as~\-l
1
(ab < 0)
имеет характеристические корни
10*

14в ГЛ. Ш. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
1
различные при 5=^=0, s=?- ; в обоих исключительных слу-
слуЧаях s = U, s = корни совпадают и матрица P(s) не
приводится к диагональной форме, так что система заведомо
не гиперболична по Петровскому. Но, с другой стороны,
вещественные части этих корней ограничены сверху при
вещественных s = o, а при комплексных s возрастают не
быстрее C|s|; таким образом, система гиперболична в нашем
смысле.
4°. Уравнения, гиперболические по Г о р-
д и н г у. Уравнение
д д
называется гиперболическим по Гордингу, если многочлен
в правой части имеет порядок -^ /га по всем аргументам, < т
по аргументу -^ и если вещественные части корней уравнения
XW = L(X, iax ian) ограничены при всех вещественных а.
Покажем, что система уравнений, получающаяся из B) заме-
ди дт~ и -
ной и, = и, «о = -^ , . . . , ит=—т , , является гипербо-
лической в нашем смысле. Действительно, как мы указали
в § 6 гл. II, харакгёристические корни \(s), ..., \m(s)'
системы, получающейся после такой замены, совпадают с кор-
корнями уравнения XJft = L(X, isv . . ., isn). Так как степень пра-
правой части по условию <; /га по совокупности всех аргумен-
аргументов и </га по аргументу X, то | ~kj(s) ] <; Cj s\ при доста-
достаточно больших \s\. Далее, по условию, ReX^a) ограничены;
таким образом, для получившейся системы выполнены усло-
условия гиперболичности, что и утверждалось.
2. Разрешающая матрица гиперболической системы.
В соответствии с общим методом § 1 применим к системе A)
п. 1 преобразование Фурье. Она перейдет в обыкновенную
систему
dv E, t) г> ( \ г ' f\ с\\
Оценим ее разрешающую матрицу
3]
§ 3. гиперболические системы
149
Так как вещественные части характеристических корней
матрицы P(s) имеют степенной порядок роста (не выше) 1,
то, во-первых,
||QO, ^IKCCl + lsl)^™-1^6*131, B)
как и для всякой системы с приведенным порядком ^ 1.
Далее, в силу ограниченности функции A(s) при s = a,
||Q(a, 01! <C1(l-T-|a|)^(ra-1). C)
Итак, функция Q(s,t) имеет порядок роста 1 с типом Ы и
при вещественных s==a возрастает небыстрее многочлена.
Назовем показателем корректности гиперболической си-
системы наименьшее целое (неотрицательное) число h, для
которого имеет место неравенство
как мы видим, h^p(m—1). Мы покажем, что число h
определяет порядок гладкости, которым должны обладать
начальные функции, чтобы задача Коши допускала коррект-
корректное решение.
Замечание. Обратно, если выполнены неравенства
B) — C), то в силу основного соотношения F) п. 1 § 6 гл. II
A(s)^Cx\s\-\-C2, A(a)<C,
т. е. система — гиперболическая. Таким образом, неравенства
B)—C) могут служить определением гиперболической си-
системы. Так как дальнейшие построения будут основаны только
на неравенствах B) — C), то это дает возможность вклю-
включить в рассмотрение также и системы с переменными коэф-
коэффициентами (зависящими от I) и вообще любые системы,
которые после преобразования Фурье переходят в обыкно-
обыкновенные системы с разрешающей матрицей Q(s, t), удовле-
удовлетворяющей неравенствам B) — C). Все такие системы мы
будем по-прежнему называть гиперболическими.
3. Основная теорема. Установим следующую основную
теорему о решениях гиперболической системы.
Теорема 1. Если начальные функции Uj{x, 0)
(/= 1, 2, . . ., /га) гиперболической системы
j (х, t)
dt
m
с1)

150 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
4]
§ 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
151
с показателем корректности А обладают непрерывными
производными до порядка h-\-n-\- k (n — число незави-
независимых переменных, k — любое неотрицательное целое),
то система обладает непрерывным решением и (х, t), имею-
имеющим производные по х до порядка k.
Это решение непрерывно зависит от начальных функ-
функций Uj (x, 0) в следующем смысле: если функции и^ (х, 0)
при v —> оо равномерно на каждом шаре \ х ] <^ г сходятся
к функциям Uj (x, 0) вместе с производными до порядка
A-j-n-f-As, то решения u^(x,t) сходятся к решению
Uj (x, t) равномерно на каждом шаре \ х | -^ г с производ-
производными по х до порядка k.
Отметим, что в формулировке этой теоремы не налагается
никаких ограничений на рост функций и{х, 0) и их произ-
производных при | х | —>• со.
Доказательство. Мы знаем, что классом единствен-
единственности для гиперболических систем служит класс обобщенных
функций над основным пространством К финитных беско-
бесконечно дифференцируемых функций. Решение задачи Коши
для системы A) в пределах этого класса записывается по
формуле
и(х, f) = Q(x, t)*u(x, 0), B)
где G(x, t) есть преобразование Фурье матрицы Q(s, t). Мы
должны показать, что функции и(х, 0), имеющие производ-
производные до порядка А ~\- п -\- k, переводятся этой сверткой в функ-
функции с производными до порядка k. Для этого рассмотрим
матрицу-функцию Q(s, t). Как мы видели, ее элементы суть
целые аналитические функции (не выше чем) первого порядка
роста с типом ^ Ы, возрастающие при вещественных s = а не
быстрее многочлена степени А. Применим теперь теорему
п. 5 § 4 гл. III вып. 2; эта теорема утверждала, что преоб-
преобразование Фурье целой функции у (s) первого порядка роста
и типа^ 9, возрастающей при вещественных s — а не быстрее
многочлена степени А, есть обобщенная функция (функцио-
(функционал на пространстве К), сосредоточенная в области | х | ^ 9
и представимая в виде *)
где /С*) — непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне
области | л: | ^ bt-\-e, a 7? — некоторый фиксированный много-
многочлен порядка не выше А-)-п. В нашем случае для любого
б >¦ 0 мы найдем Т так, чтобы иметь ?7*<^9; тогда при
О^^^Г мы будем иметь:
где f(x, t) — непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне
области |х|<84-?. Отсюда
и (х, f) = G (x, t)*u (x, 0) = R (§У/(*, f)*u (x, 0) =
—S, О Я (-^-) я E,0)
!;)«(*. 0).
Если и(х, 0) имеет производные до порядка h-\-n-\- k, то
функция R (-г-J и {х, 0) имеет производные до порядка k,
а интеграл
и(х, t) = f{x, J
C)
сходится в обычном смысле, поскольку он фактически бе-
берется по ограниченной области |?|^9-f-s. Итак, существо-
существование решения при указанных условиях мы доказали. Из
формулы C) очевидна и непрерывная зависимость решения
от начальных условий.
4. Случай pQ < 1. Мы утверждаем, что Q(s, t) при р0 < 1
представляет собой матрицу из многочленов от s.
Действительно, в этом случае элемент Qij(s,t) матрицы
Q(s, t) есть целая функция порядка роста ниже 1, которая
при вещественных s*= а возрастает не быстрее, чем многочлен
ci епени А. Согласно теореме Фрагмена — Линделёфа *) Q^- (s, t)
есть многочлен от slt s2, ¦ ¦ ¦, s;l степени не выше п.
Таким образом, если р0 < 1., то ро=0. Матрица Грина
G(x, t) = F~1Q(a, t) состоит в этом случае, следовательно,
из элементов вида Pjlc(D, t)b{x~) с дифференциальными опе-
операторами Р, степени которых не превосходят числа А.
*) Р—символ преобразования Фурье.
*) С тем обобщением на п переменных, которое дано в § 9
гл. IV п. 2.

152 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [5
-5]
§ 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
153
Формула свертки C) п. 3 преобразуется к виду
и (х, t) = P (D, f) Ь (х) * и0 (х) = Р (D, t) и0 (х), A)
так что решение задачи Коши для рассматриваемой системы
получается здесь в результате дифференцирования начальных
функций.
В качестве примера годится любая матрица P(s) с по-
постоянными характеристическими корнями. Такой является,
в частности, всякая матрица вида
Yp
q (s)
— q(s)
p(s)
q (s)
B)
где многочлены р (s) и q (s) таковы, что их произведение
есть квадрат многочлена. Оба характеристических корня
этой матрицы при любом s равны нулю.
Отметим разницу в свойствах решений вида C) п. 3 и A)
этого пункта. Структура формулы C) п. 3 показывает, что
начальное возмущение, если оно локализовано в конечной
области, распространяется с конечной скоростью, не прево-
превосходящей числа Ь. Формула же A) настоящего пункта пока-
показывает, что для соответствующих систем начальное возму-
возмущение, локализованное в конечной области, остается в этой
области все время.
5. Обратная теорема. В заключение покажем, что гипер-
гиперболические системы полностью характеризуются своим клас-
классом корректности.
Теорема 2. Пусть известно, что система с постоян-
постоянными коэффициентами
(х, t)
dt
A)
корректна в классе всех достаточно гладких функций;
иными словами, она имеет решение для любых началь-
начальных функций ио(х), обладающих производными до по-
рядка h, а каждому ряду ио(х) =
> сходящемуся
равномерно в любой ограниченной области вместе с произ-
производными до порядка h отвечает ряд решений и(х, t) =
.= 2 и* (¦*» 0» сходящийся при каждом х и t к соответ-
v = l
ствующему решению системы A). Тогда система A) —
гиперболическая.
Доказательство. Рассмотрим функцию ср(л:)=?О,
обращающуюся в нуль при \х\у--^- и обладающую произ-
производными до порядка h. Решение задачи Коши для системы A)
с начальной функцией ср (х) имеет вид
<р(х, /) = О (*,*)*?(*).
где G(x, t) — матрица Грина системы A). Пусть теперь
pv > 0 — произвольная последовательность чисел и хч — по-
последовательность точек, отстоящих друг от друга не менее
чем на 1. По условию, решение задачи Коши с начальной
оо
функцией a0W=Ijl1v(p(JC + Jc1) имеет вид
v = l
причем ряд сходится при каждом х. Полагая
чаем, что ряд
= 0, полу-
полусходится при любом выборе pv. Отсюда следует, что функ-
функция
p(-4)(G(x,t), <р(* + -Ч)-)
ограничена при любом выборе функции р (л). Но это возможно
только при условии, что при достаточно больших \г\\ функ-
функция
обращается в нуль. Переходя к преобразованиям Фурье,
получаем, что функция Q(s,t)ty(s) есть целая функция
$' 1-го порядка роста и конечного типа, какова бы ни
'|* была функция ф (а) — преобразование Фурье первоначалъ-
о ной функции <у{х).
Покажем теперь, что и сама функция Q(s, t) имеет пер-
первый порядок роста.

154 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [5
Функция ф (s) как преобразование Фурье финитной функ-
функции <р(х) есть функция 1-го порядка роста конечного типа;
при этом можно эту функцию задать так, чтобы для задан-
заданного значения аргумента dj, 9y?=0, те величина
1т(а1> • • • aj-l'rje ' aj + l> • • •> ап)\
стремилась при г —> со к пределу -f- oo.
Например, можно положить
= v (
sin
5 °
Е^ли бы функция Q(s, t) росла быстрее, чем с первым по-
порядком роста и конечным типом, то нашелся бы луч в пло-
плоскости переменного Sj с аргументом 6^-, 0 < 6^- < те, на кото-
котором ] Q (rjei93, t) | возрастала бы быстрее, чем гСгз при лю-
любом С. Но тогда вдоль этого луча произведение <2ф возра-
возрастало бы еще быстрее, и функция Qtfi не была бы функцией
первого порядка конечного типа. Поэтому мы делаем вывод,
что функция Q(s, t) при любом t есть целая функция
первого порядка и конечного типа.
Можно утверждать далее, что при вещественных s = а
функция Q(a, t) возрастает не быстрее многочлена от а.
Действительно, функция (G(x,t), 9 (лг-j-tj)) = 9 (tj, t) огра-
ограничена и непрерывна на том интервале, где она отлична от'
нуля (в силу предположения о корректности решения), сле-
следовательно, ее преобразование Фурье Q{a, t)ty(a) стремится
|
к нулю, когда | а | -> сю. Но функцию ф(<з) можно задать
так, чтобы выполнялось неравенство
С
положив, например,
Ji+г
- +
s'n
h {
'k ^
h+2
где k подобрано так, чтобы иметь /г (A-f-2) <-„- (для обес-
обеспечения типа < "9"). Тогда функция ф(з) будет преобразо-
1]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ 1 55
ванием Фурье функции <р(-?), отличной от нуля только в про-
промежутке | х | < -g- и обладающей производными до порядка А.
Так как lim Q(a,
= О, то ||QO, Oil возрастает при
|о|—>со медленнее, чем |о| , что и требовалось. Мы ви-
видим, что выполняются оба условия, определяющие гипербо-
гиперболичность системы A). Итак, в указанных предположениях
система A) гиперболична. Теорема доказана.
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
1. Определение и примеры. Система с постоянными
коэффициентами
duj (х, t) _ m
dt
называется корректной по Петровскому, если функция
A(s) = ReXj(s) ограничена сверху при вещественных значе-
значениях s = а;
А (а) < С.
Примеры. 1°. Всякая параболическая система (§ 2).
2°. Всякая гиперболическая система (§ 3).
3°. Уравнение звука в вязком газе
д'-и
dx"*'
dt2 dt dx*
Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид
его корни
B)
ограничены сверху при вещественных значениях s = a. Таким
образом, уравнение B) действительно корректно по Петров-
Петровскому; Это уравнение не принадлежит к числу параболиче-
параболических уравнений (так как один из корней остается положи-
положительным при достаточно больших s = а) и не принадлежит
к числу гиперболических уравнений (так как не выполняется
оценка Re X (s) ^ С \ s | ).

156 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
Уравнение Шрёдингера
dt l дх*
C)
Здесь X О) = — ts2 и Л (s) = 2от обращается в нуль на веще-
вещественной оси; таким образом, уравнение принадлежит к числу
корректных по Петровскому. Оно также не. гиперболично и
"не параболично.
2. Разрешающая матрица. Применяя к уравнениям A)
преобразование Фурье, получим систему
— Р is\ %) (s ?\ (±)
с разрешающей матрицей
Если р0—приведенный порядок системы, то, как мы знаем,
имеет место оценка
II Q(s> 011^СсA -т-1 s | )^<яг~1} е6* I slPa. E)
Если р0^ 1, то система A)— гиперболическая. Будем считать
в этом параграфе, что р0 > 1, так что система A) не является
гиперболической.
Условие корректности по Петровскому приводит к оценке
||Q(о, 0!!<c1(
Назовем показателем корректности системы A) наимень-
наименьшее число h, для которого
IIQ(s. QIKC^i-HoD*. F)
Будем считать, что наименьшее среди чисел h существует;
в противном случае можно пользоваться фиксированным h,
сколь угодно близким к их нижней грани.
Как мы видим, h^.p(m—1). Мы покажем, что число h
так же, как и для гиперболических систем, определяет поря-
порядок гладкости, которым должны обладать начальные данные
для обеспечения корректности задачи Коши.
Замечание. Неравенство F), как и в прежних случаях,
может служить определением системы, корректной по Пет-
Петровскому. Поэтому можно включить в рассмотрение также
3]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ 157
системы с переменными коэффициентами и любые другие
системы, которые после преобразования Фурье переходят
в системы вида
с разрешающей матрицей Q(s, f), удовлетворяющей неравен-
неравенствам D)—E). Все такие системы будем в дальнейшем также
называть корректными по Петровскому.
3. Роль условия корректности по Петровскому. В даль-
дальнейшем будет показано, что для системы, корректной по
Петровскому, обеспечивается существование решения для вся-
всяких достаточно гладких начальных функций (с ростом, не
превышающим некоторого заданного) и непрерывная зави-
зависимость этого решения от изменения начальной функции.
В этом пункте мы покажем, что условие корректности
по Петровскому необходимо для справедливости подобных
утверждений.
Теорема. Пусть известно, что система уравнений
duj(x, t)
dt
A)
liMeem интегрируемое при —со < х < со решение и(х, t)
для любой начальной финитной функции и0 (jc), обладаю-
обладающей производными до некоторого порядка h, причем это
решение непрерывно меняется при изменении начальной
функции, т. е. из условия
lira D9u0,(x) = Dq и0(х) (Ы<А)
вытекает
lim и„ (х, f) = и (х, t)
при каждом х и t. Тогда система A) корректна по Пет-
Петровскому.
Доказательство. Решение задачи Коши для финит-
финитной функции ио(х) имеет вид
а(х, t) = G(x, f)*u
где G(x, ^ — матрица Грина системы A).

158 ГЛ. fll. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [4
Заменим функцию ио(х) на еио(лг), где е > 0; тогда, по
условию, при е —»¦ 0 решение ей (х, t) стремится к нулю при
любых х и t. Отсюда следует, что функция и (х, t) конечна
при любых х и t. Далее, заменяя ио(х) на ио(х-\-е) и
устремляя снова е к нулю, получаем, что решение и (х, t)
непрерывно по х при любых х и t.
Применяя к обеим частям равенства A) преобразование
Фурье, находим, что
г/(a, t) = Q(o, t)vo(a),
причем v (а, t) — ограниченная функция (как образ Фурье
интегрируемой функции). Если взять в качестве v0 (а) функ-
функцию, ограниченную снизу выражением -^- (см. конец
§ 3), то мы получим, что Q(a, t) возрастает не быстрее | а \ь.
Таким образом, условие корректности по Петровскому вы-
выполнено, что и требовалось.
Замечание. Можно вместо интегрируемости самой функ-
функции а (х, t) требовать интегрируемость отношения '—j—^ при
некотором k. Неизвестно, сохраняется ли утверждение в предполо-
предположении, что и (х, t) принадлежит классу единственности системы A).
4. Род системы, корректной по Петровскому. Приме-
Применим к Q(s, f) — разрешающей матрице-функции системы D)
п. 1 при заданном t > 0 теорему 1 § 7 гл. IV вып. 2.
В силу этой теоремы существует область // определяемая
неравенством
| х | ^ К A —|- | а |) ¦ , [а ^- 1 — р0, A)
в которой
B)
\\Q(s,
Верхнюю грань допустимых чисел ja мы будем называть
родом системы. Мы увидим в дальнейшем, что род системы
вместе с показателем корректности h определяет класс кор-
корректности задачи Коши для рассматриваемой системы.
Как и для параболических систем, мы будем предпола-
предполагать, что верхняя грань в классе всех допустимых чисел [а
достигается, так что в неравенстве A) \i можно считать
родом системы. Если в действительности это не имеет места,
то, как и ранее, в качестве числа [а в дальнейших построе-
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
159
ниях можно взять любое число, меньшее рода системы, и
соответственно изменить окончательные формулировки.
О роде системы с постоянными коэффициентами можно
судить по ее характеристическим корням. Именно, в силу
основного неравенства F) п. 1 § 5 гл. III, связывающего
рост функции Q (s, t) с ростом функции A(s) = max Re Xj E),
род системы может быть определен и как наибольший пока-
показатель [х такой, что в области
функция A (s) остается ограниченной.
Примеры. 1°. Для уравнения звука B) п. 1 характери-
характеристические корни имеют вид
легко проверить, что их вещественные части ограничены
в любом угле j х | ^ /г | о |, ()•<&< 1; таким образом, в дан-
данном случае род уравнения равен 1.
2°. Для уравнения Шрёдингера C) п. 1 характеристиче-
характеристический корень равен
и величина A (s) ограничена в области
таким образом, в данном случае род уравнения равен —1.
Как показала В. М. Борок, для корректных по Петровскому
систем с одним пространственным переменным, так же как и
в параболическом случае (п. 3 § 2), можно построить простые фор-
формулы для вычисления всех характеристик системы. Все корни урав-
уравнения det||P(s) — Х?[|=0 по их разложениям в ряд Ньютона —
Пюизе в окрестности бесконечно удаленной точки
A. (S) = aosk> + alSk
можно разделить на три типа:
A) ?0<0>
B) *о>*1>--->*»>0.
Re oto == ... = Re a.m = 0,
apskP
C) *o
Re,oto = ... = Re Op-i = 0, Re ap ф 0, p < m.
Оказывается, что для корней типа B) показатели k0, ..., km и для
корней типа C) показатели k0, ..., kp — целые числа. Имеют место

160 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [5
формулы
р0 = max (k0, 0) (по всем корням).
Если р0 = 0, то система сводится к системе обыкновенных
уравнений (так что производные по х будут отсутствовать). Пусть
Ра > 0; тогда
(а = min {—ko-\-l, kp — ko-\-l, 1} (по всем корням).
5. Основная теорема для систем с положительным
родом. Сформулируем теперь основную теорему о классе
корректности для системы с положительным родом:
Теорема 2. Если начальные функции Uj(x, 0) системы
duj (x, t) _
di ~
корректной по Петровскому, положительного рода рис по-
показателем корректности /г удовлетворяют неравенствам
(х,
то система обладает решением и(х, t), удовлетворяю-
удовлетворяющим при достаточно малом t неравенству
\uj(x, t) |< С2еь' I x Iй
при любом Ъг ^> Ъ.
Пример. Как мы видели выше, уравнение звука в вязком газе
д3и , дги ,п.
дР ~2 dtdx* ^~ дх* к"'
принадлежит к типу уравнений, корректных по Петровскому, с ро-
родом fA = 1. Характеристические корни
ограничены на вещественной оси, поэтому показатель корректности
h — О. Далее, приведенный порядок р0 уравнения B), определяемый
ростом корней в s-плоскости, равен, очевидно, 2. Теорема 2 утвер-
утверждает, что для начальных функций и (х, 0), -^ , удовлет-
удовлетворяющих вместе с производными до второго порядка неравен-
неравенствам вида
5]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
161
имеется решение, удовлетворяющее при достаточно малом t
неравенствам
ди {х, t)
dt
Л'х*
| и (х, t) | <
с любой постоянной Ь' ^> Ь.
Доказательство теоремы 2 требует некоторых предвари-
предварительных построений. Мы проведем его вначале для простоты
в случае одного измерения (л=1).
1°. Если функция Q(a) возрастает при | о | —»¦ оо не
быстрее, чем A-4-1 а | )Л, то эту функцию можно пред-
представить как преобразование Фурье интегрируемой в квад-
квадрате функции f(x), к которой применен (фиксированный)
дифференциальный оператор P(D) порядка h -\- 1 (напри-
/ d\b+1\
\ ' dx) )'
Действительно, если записать
Q(o) = (l— /а
то R (а) будет интегрируема в квадрате и, по теореме План-
шереля *), будет иметь интегрируемое в квадрате (обратное)
преобразование Фурье f(x):
) = R (a).
Умножая обе части равенства на A—
получаем:
la?
что и требовалось.
2°. Пусть и(х) — финитная функция, обладающая
непрерывными производными до порядка А —j— 1. Пусть,
далее, G (х) — обобщенная функция (основное простран-
пространство мы подберем позднее), представимая в форме
где Р \-j-) — дифференциальный оператор порядка /z-j-1,
a f(x)—интегрируемая в квадрате функция. Утвер-
*) См., например, Е. Титчмарш, Введение в теорию интегра-
интегралов Фурье. Гостехиздат, М. — Л., 1:948, раздел III.
11 Зак. 2818. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

162 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [5
ждается, что свертка G(x)*u(x) может быть записана
в форме
G*u = f f$)p{J^u(x — l)dt. C)
Действительно, для любой финитной основной функ-
функции ср (х) мы имеем, по определению свертки
и, ?) =
Я(|
Оба интеграла фактически берутся по конечной области.
Переставляя их и полагая х-\-Ъ. = *г\, мы находим:
и, ср) =
«О) — 5)P(^
Этот результат есть в то же время результат применения
к основной функции ср (х) функционала, стоящего в правой
части равенства C). Утверждение доказано.
3°. Обозначим через L = L(ho,l) совокупность функций
и (х), обращающихся в нуль при | х | ~^> 1 и имеющих не-
непрерывные производные до порядка h0, удовлетворяющие
неравенствам
] м^в) (jc) | <^ / при q ^ h0.
Пусть далее Q(s) — целая аналитическая функция от s = a-j-ix,
удовлетворяющая неравенству
где Q (-с) — выпуклая книзу функция, определяющая про-
пространство Ws (гл. I, § 1), и пусть G (х) — обобщенная
5]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
163
функция, преобразование Фурье которой совпадает
с Q(s).
Утверждается, что при h0^- h -(- 2 свертка
и (х) = G (х) -х- и (х)
удовлетворяет неравенству
\и(.х)\^.С'1е-М(ах), E)
где М(х) — функция, двойственная по Юнгу к функции
2(-с) (гл. I, § 3), и а — любое число, меньшее -г.
о
Доказательство. Функция G -х- и есть обратное пре-
преобразование Фурье от произведения Qv, где v (a) = и (х).
Если и(х) принадлежит L, то v (s) — целая аналитическая
функция, удовлетворяющая неравенствам
\s?v(s)\^.2lelxl при ?<А0.
Произведение Qv удовлетворяет неравенству
I s I J )
C[l{\ + a2)-1eg<&4
при любом Ъ' >¦ Ъ. Вычисляя преобразование Фурье от функ
ции Qv с помощью интегрирования по прямым Im5 = 'c
мы находим:
G (х) * и (х) | = -^ | j Q (s) v (s) е-
Ues (Ь'^е™ f
Выберем теперь т,. при заданном х, противоположным по
знаку х и так, чтобы неравенство Юнга для функции Q Ф'х)
и двойственной по Юнгу функции М (-р- х) обратилось в
равенство
Тогда мы получаем:
| и (х) | = | G (х)*.<? (х) | < Съ1е
11*

164 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ E
Так как Ъ' — любое число, большее Ъ, то -р любое
число, меньшее -г-, что и требовалось.
4°. Применим результат 3° к оценке решения задачи
Коши для корректной по Петровскому системы
ди (х,
dt
A)
с финитной начальной функцией и (х). Искомое решение,
как мы знаем, представляется в виде свертки
и (х, t) = G (x, t) ¦* и (х),
где О (х, t) есть (обратное) преобразование Фурье функции
Q{s, t) — разрешающей матрицы-функции системы
dv (s, t)
dt
= P(s)v(s, t).
F)
По условию система A) корректна по Петровскому; это
значит, что Q{s, t), целая функция порядка роста р0, растет
при вещественных s = a не быстрее |а| с некоторым h.
Так как, далее, род системы \>. положителен, то мы можем
применить теорему 2' п. 4§ 7 гл. IV вып. 2, которая приводит
нас к оценке
, G)
где В = Ь'Т, t-^Т. Эта оценка совпадает с оценкой D)
¦zPJv-
из 3°, если положить 2 (х) = —;— и определить b из урав-
РыР
нения
2 Fх) =
Очевидно, мы получим:
= 9-е •
5]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ 155
Двойственная по Юнгу функция М (х) в этом случае равна
Pi
где f —= 1; отсюда pt = ———. Поэтому
Pi Polv- Po — "¦
окончательное неравенство E) из 3° приобретает вид
| и (х) К Cle Pi ,
где а — любое число, меньшее j = c17~'1/JIj. Таким обра-
образом, при любом 8 > 0 имеет место неравенство
| и (х) | < С8/в-**~*I* Iй а-Ч U = ?¦&-). (8)
\ Ро I
Это неравенство, в частности, имеет место для реше-
решения задачи Коши для системы A), если начальная функция
обращается в нуль при | х \ i^> 1 и имеет непрерывные
производные до порядка hQ~^ h-\-2, ограниченные числом I.
5°. Пусть теперь начальная вектор-функция и(х) удов-
удовлетворяет условиям георемы:
Покажем, что существует решение и(х, t), обращающееся
в и (х) при t=0 и удовлетворяющее неравенству
при заданном bt > b0 и достаточно малом t ^Т.
Идея доказательства состоит в следующем. Мы предста-
представим начальную функцию и (х) в виде ряда финитных функции
со
U (х) = 2 «v (X V),
— оо
где uv(x) обращается в нуль при \х\^1. Для каждой из
функций uv (x) соответствующее решение uv(x, t) можно
написать в форме свертки
Применяя результат 3°, мы покажем, что ряд
оо
U (X, 0 = 2 "v (X, t)
— со *
сходится и представляет собой искомое решение.
Переходим к детальному описанию этого построения.

166 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [5
Пусть е(х)— функция, обращающаяся в нуль при
\х\^-?> в единицу при |-t|-<-x, всюду заключенная
между нулем и единицей, обладающая непрерывными про-
производными до порядка h0 и такая, что
(9)
Умножая равенство (9) на функцию и(х), находим
где uv (x) = и (х -\- v) e (х) — функция, обладающая непрерыв-
непрерывными производными до порядка hQ и обращающаяся в нуль
вне отрезка |jc|^-j-.
Пусть Kv(u) означает наибольшую из абсолютных вели-
величин функции и(х) и ее производных до порядка h0 в про-
3 3
межутке —v — -4-¦<*¦<;— v + if- Тогда, очевидно, при
любом е ^> 0 имеет место неравенство
/(,(«)<& °^'V +^' < Сее<й»+е)I*\Р\
Пусть, далее, число К означает наибольшую из абсолют-
абсолютных величин функции е (х) и ее производных до порядка Ло.
Тогда для функции и„ (х) = и (х~\- v) e(x), как легко вывести
из формулы Лейбница, выражения [^'(л:)! ограничены при
q -^ hQ величиной
Решение задачи Коши с начальной функцией av (x) в силу
результата 4° оценивается следующим образом:
\р\
Построим теперь функцию
(Ю)
5]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
Так как, по доказанному, справедлива оценка
167
(И).
то при достаточно малом Т, таком, что с2A-—8) Т~р* >
~>Ь0-\-е, ряд A0) сходится при каждом х абсолютно
и равномерно на каждом конечном промежутке оси х
и представляет, следовательно, непрерывную функцию.
Нам остается показать, что эта функция есть искомое
решение задачи Коши.
6°. Покажем, что при достаточно малом Т частные
суммы ряда A0)
SN(x, /)=
—м, 0
обладают мажорантой, не зависящей от N:
I с ,/v /ч | -^- f МЬ„+Зе) \х I
A2)
Произведем следующее преобразование в показателе правой
части неравенства A1)
Если мы покажем, что для достаточно малых Т выполняется
неравенство
-< — е 1 ^ 1 . A3)
то, очевидно, неравенство A2) будет доказано. Неравен-
Неравенство A3) эквивалентно неравенству
или, с заменой ? = —, неравенству
0o+2s)|-5|*<6o + 3e + c2(l—8)Г-*|1 —5|*\ A4)
Так как коэффициент с2A —8) т~^ неограниченно возрастает

168 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [5
при Г—>-0, то. очевидно, что неравенство A4) действи-
действительно выполняется при достаточно малом Т. Вместе
с ним выполняется и неравенство A3), а следовательно,
и A2). Таким образом, функции Sn(x, t), а с ними и
предельная функция и (х, t) обладает мажорантой
7°. Рассмотрим пространство WPii &1 бесконечно диффе-
дифференцируемых функций ср (х), удовлетворяющих неравенствам
(с произвольным пока Ь±)
(о >• 0 любое).
В силу оценки G) и теоремы 1 из п. 4 § 2 гл. I, матрица
Q(s, t) является ограниченным оператором умножения в двой-
двойственном пространстве Wp*' ' (гл. I, § 3), и следовательно,
G (х, t) является свертывателем в пространстве Wp^r Число
— bf1 теперь мы возьмем большим, чем Ъ, а е — настолько
Pi
малым, чтобы иметь &-f-3e< —Ьр\ Тогда функции S^{x, t)
и и (х, t), фигурировавшие в 6°, определяют на простран-
пространстве WPitfJj линейные непрерывные функционалы и ряд A0)
сходится в смысле обобщенных функций на пространстве Wp, ы
В силу непрерывности оператора свертки
= 2
= 2 «v (¦* — ч, t) = u (x, t);
(равенство имеет смысл в пространстве WPi, &,). Таким обра-
образом, решение задача Коши для системы A) с начальной
функцией и(х) совпадает с функцией и(х, t). Тем самым
теорема 1 доказана, пока еще для случая одного независи-
независимого переменного.
'Замечание. Окончательная формула для решения за-
задачи Коши в данном случае, как следует из A0) и C), имеет
5] § 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
следующий вид:
169
оо °°
= 2 f
— со —со
со
— со —оо
Если бы здесь можно было переставить знаки ">, и I ,
— со —со
то мы получили бы более простую формулу
со
и(х, 0= / /(?. t)i
законность которой в данном случае неясна, поскольку
ничего не известно об экспоненциальном убывании функции
/(?, t) при | ?| ->¦ оо.
8°. Укажем изменения в доказательстве, которые следует
произвести для перехода к случаю п независимых перемен-
переменных. Матрица Q(s, t) в этом случае удовлетворяет нера-
неравенству
IIQ(s, *)ll = HQ(*i. .... sn, OIK
Утверждение 1° остается верным, если заменить оператор
•4- -j—1 на оператор
порядка п-\-п. В 2° от функции и(х)=и(х1> ..., хп)
нужно соответственно потребовать наличия непрерывных про-
производных до порядка h-\-n.
В 3° функция и (х) = и (xv .... хп) должна иметь про-
производные, ограниченные числом / до порядка h0 ^ h -\- п -4- 1.
В 4° вместо теоремы 2' § 7 гл. IV вып. 2 следует
использовать ее и-мерный( аналог из § 9 той же главы.
В 5° индекс v следует считать комплексом (vt, ..., чп),
— со < m_j- < оо. Функция e(jc) = e(jc,, . . ., хп) строится

170 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [6
в форме произведения е (jq) • ... • е (хп), где e{xj) —
функция, которая была рассмотрена в 5°(функция одного пе-
переменного хА. Построенная функция е {х) обращается в нуль
3 -./--
вне шара радиуса -^ у п и удовлетворяет условию
•*) =
е1{х1
• • • еп (хп "*«) =э
со
2
В остальном доказательство сохраняется.
6. Случай системы с неположительным родом. Рас-
Рассмотрим теперь случай [а<^0. Мы покажем, что в этом слу-
случае решение задачи Коши будет корректным при условии
степенного роста начальных функций и их производных до
некоторого порядка.
Пусть задана корректная по Петровскому система
с начальным условием
и(х, 0) = u
B)
Согласно теореме 4' § 7 гл. IV вып. 2 производные раз-
разрешающей матрицы Q(s, I) в случае [а ^ 0 допускают
оценку вида
причем заведомо rq^h— \*-\q\ (h— показатель коррект-
корректности).
Точная формулировка теоремы следующая.
Теорема 3. Для любого I > 0 задача Коши A)—B)
корректна в классе функций и(х), имеющих степенной
рост порядка не выше I — (л -|— 1) вместе с производными
до порядка гг -f- n -|- 1:
Решение задачи Коши A) — B) есть функция u(x,t),
также степенного роста, порядка <^/.
6]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ 171
Доказательство распадается на несколько этапов;
вначале мы рассмотрим случай одного независимого пере-
переменного х (п = 1).
1°. Как и в доказательстве теоремы 2, введем совокуп-
совокупность L = L(h0, l) функций и(х), обращающихся в нуль
при | х | ^ 1 и имеющих непрерывные производные до по-
порядка h0, удовлетворяющие неравенствам
^ / при q ^ hQ.
Пусть Q(a)—функция, обладающая производными до по-
порядка k, удовлетворяющая неравенствам
|Q(a)(a)|<C(l+|a|)r (q = 0, I, .... k).
¦Пусть, далее, G(х) — обобщенная функция, преобразование
Фурье которой совпадает с Q (a).
Утверждается, что при h0 !> r -\- 2 свертка
и (х) = G (х) -х- и (х)
удовлетворяет неравенству
|«(х)|<С7;
1
Для доказательства заметим, что функция и (х) есть
(обратное) преобразование Фурье от функции Q(o)-f(a),
где f(a) есть преобразование Фурье функции и(х); эта
функция v{a) удовлетворяет неравенству
(а) | = I f [xqu (x)f dx
1, . . ., k; r = 0, 1,
h0)
и, следовательно,
k).
Далее, произведение Q(<^)v(a) удовлетворяет неравенствам
I [Q W v (o)i

172 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [6
Отсюда следует, что при h0 !> r -\- 2
| хк [ О (х)* и (х) ] |< f | [Q(°)v (a)(fe)] | da <
Таким образом, при
CJ.
C'l
+ u)
что и требовалось.
2°. Полученный результат можно применить к оценке
решения задачи Коши для корректной по Петровскому
системы , , ,. , ,.
с финитной начальной функцией и (х). Искомое решение
есть свертка
и (х, t) = O (х, t)* и (х),
где G(x, t) — матрица Грина системы A). Ее преобразование
Фурье есть разрешающая матрица Q(s, t) для системы
= Я (*)«(*,*)•
C)
Так как система A) корректна по Петровскому, то мат-
матрица-функция Q(s, t) при вещественных s = а растет не быст-
быстрее | a \h с некоторым h.
Род системы A) по условию неположителен. Применим
теорему 4' п. 6 § 7 гл. IV вып. 2; она приводит к оценке
Пусть rk — наименьшее из чисел, при которых справед-
справедливо неравенство
\\Q(q)(o, 9'||<C(l + |o|)r* (q=o, 1, .... А:).
Предположим далее, что начальная функция и(х) обра-
обращается в нуль при | х | ^ 1 и имеет непрерывные произ-
производные до порядка h0, не превосходящие по абсолютной
величине числа /. Тогда, по доказанному, если h0^ гк-\-2,
то для решения и(х, t) выполняется оценка
6]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
173
3°. Пусть теперь начальная функция и (х) удовлетво-
удовлетворяет условиям теоремы:
f <
(q=0,
D)
Покажем, что существует решение задачи Коши A) — B),
имеющее также степенной рост при | х \ —*¦ оо. Для про-
простоты снова предположим, что мы имеем дело с одним
уравнением.
Рассмотрим функцию е (х), описанную в предыдущем
о
пункте (см. 5° п. 5): она обращается в нуль при \х\^>-г-,
в единицу при | х 4т. всюду заключена между нулем и
единицей, имеет непрерывные производные до порядка h0 =
= /-г —|— 1 и удовлетворяет соотношению
со
S
v= —сю
е (х — v) = 1.
Так же как и при доказательстве теоремы 2, мы имеем:
^(х — v) = 2 «, (х — v),
где «v (x) = и (х -f- v) e (x) обладает непрерывными произ-
производными до порядка h0 и обращается в нуль вне отрезка
о
| л: | ^ —. Оценим производные у функции uv (x). По фор-
формуле Лейбница
Отсюда, по доказанному, следует, что решение ич{х, t) за-
задачи Коши с начальной функцией ич (х) допускает оценку
1/7 (V Л I ^ С
Построим функцию
1~2
и {х, t) = 2 ui (х—v> О-
E)

174 ГЛ. Ш. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [6
По доказанному,
1-2
( }
Ряд из таких слагаемых сходится при каждом х абсо-
абсолютно и равномерно на каждом конечном промежутке и пред-
представляет, следовательно, непрерывную функцию.
Нам остается показать, что и (х, t) и есть искомое решение.
Оценим члены ряда E) с тем, чтобы найти общую мажо-
мажоранту его частных сумм.
Имеет место неравенство
следствием которого являются неравенства
1+ |v|< 1+ |*| + |* —vl<(l+|*|)(l
и
1 <1 + \х\^
Подставляя G) в F), находим:
у,
. (8)
Оценка (8) показывает, что частные суммы ряда E) и его
полная сумма имеют мажоранту
Таким образом, функция u(x,t) имеет степенной рост и
определяет, следовательно, регулярный функционал в про-
пространстве S; при этом ряд E) сходится по топологии этого
пространства.
Так как все производные элементов матрицы Q(a, t) имеют
при j а | —> оо рост не выше степенного, то эта матрица опре-
определяет ограниченный оператор умножения в пространстве S;
матрица G(x,t), ее преобразование Фурье, является в про-
пространстве 5 свертывателем. В силу непрерывности оператора
свертки
О*и = О *S и, W = 2G (*, 0 * tfv (*) = S «v (*. t) = a (x,t).
Таким образом, свертка G-x-и созпадает с функцией u{x,t),
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
175
Итак, теорема 3 доказана, пока для случая одного неза-
независимого переменного.
Укажем изменения в доказательстве, которые необходимо
произвести при переходе к случаю нескольких переменных.
В 1° (и дальше) следует вместо неравенства /zo^>>r + 2
потребовать выполнения неравенства Л0^-г+я+1.
В 2° вместо теоремы 4' § 7 гл. IV вып. 2 следует
использовать ее л-мерный аналог (§ 9 той же главы);
он приведет к оценке
В 3° следует рассмотреть функцию е{хх, ..., хп) =
= е(х1) ... е(хп), как при доказательстве теоремы 2. Вме-
Вместо услозия D) следует предположить, что начальная функ-
функция и (х) удовлетворяет неравенствам
Решение и (х, t) по-прежнему будет иметь степенной рост
порядка -^ /.
Итак, теорема 3 полностью доказана.
В качестве примера рассмотрим уравнение Шрёдингера
ди {х, t) __ . &>-и (х, t)
dt ~l дх* •
Мы имеем Q{a, t) = е~™4, rq = q, n = 1; для любого />0
задача Коши корректна в классе функций а (х), имеющих
степенной рост порядка (не выше) / — 2 вместе с производ-
производными до порядка / + 2.
7. Обратная теорема. В связи с тем, что полученная
теорема дает значительно меньший класс корректности, чем
в предыдущих случаях, — степенной вместо экспоненциаль-
экспоненциального,— естественно, встает вопрос о том, является ли этот
результат наилучшим возможным. Оказывается, что дело
обстоит именно так: при [а^О, если класс корректности
содержит все достаточно гладкие функции некоторого роста,
то этот рост, вообще говоря, не выше степенного.
Точно этот факт выражается следующей теоремой (мы
ограничиваемся случаем п = 1):

176 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [7
7]
§ 4. СИСТЕМЫ, КОРРЕКТНЫЕ ПО ПЕТРОВСКОМУ
177
Теорема 4. Предположим, что разрешающая ма-
матрица Q(o, t) удовлетворяет оценкам
'1L
A)
B)
причем числа г„ нельзя уменьшить и
Го < Г! < • ¦ ¦ < Гк < . . .
Пусть, далее, задача Коши для рассматриваемой системы
корректна в классе всех функций, имеющих на оси
— оо <С х ¦< оо степенной рост порядка не выше I вместе
с производными до порядка т. Тогда т~^гг_г — 2.
Прежде чем переходить к доказательству, рассмотрим
для примера" уравнение Шрёдингера
ди . д?и
Ш = '
Здесь двойственное уравнение имеет вид
dv . о
af = -ISV
и функция Q(s, t) = e~is4 ограничена на вещественной оси.
Далее, легко проверить, что
\\Q™(o, t)\\^Cq(l+\a\f, q=0, 1, ...
Таким образом, в данном случае rq = q. Теорема 4 утвер-
утверждает, что если задача Коши для уравнения Шрёдингера
корректна в классе всех функций степенного порядка роста
-^ / с производными до порядка т, то т ^>/ — 4. Иными сло-
словами, в классе всех функций степенного порядка ^/ вместе
с произзодными до порядка ^/ — 3 задача Коши заведомо
некорректна, каково бы ни было /. Полезно сопоставить этот
результат с установленным в конце предыдущего пункта:
в классе всех функций степенного порядка роста ^ Z вместе
с производными до порядка /—{— 4 задача Коши для урав-
уравнения Шрёдингера заведомо корректна.
Неизвестно, корректна или некорректна задача Коши для
уравнения Шрёдингера при / — 4</7i</-f-4.
Переходим к доказательству теоремы 4.
Доказательство. Из предположения о корректности
задачи Коши в классе функций со степенным ростом /,
в частности, вытекает следующее: если дана произвольная
I
функция и(х), обращающаяся в нуль при |jc|>-1, обладаю-
обладающая непрерывными производными до порядка т и, кроме
того, дана любая монотонная последовательность точек
хч —*¦ °о с |л„+1 — xv\^>2, то решение задачи Коши с началь-
начальной функцией
оо
= 2
пишется по формуле
оо
и(х, t) = ^l\xv\l
, t), e(*—.
причем этот ряд сходится при каждом х. В частности, при
х ==, 0 должен сходиться ряд
S
, t), «
Отсюда следует, что для любой функции и(х) указанного
вида выражение y]z(G(?, t), и(^ — ?)) должно стремиться
к нулю при т]—>-оо; в частности, должно иметь место нера-
неравенство
h'-2(G«.O. «ОЧ — S))|<7~2-
Переходя к преобразованию Фурье, получаем:
C)
для любой функции v(a), являющейся преобразованием Фурье
функций и (х) указанного вида. Функции v(a) аналитически
продолжаются в плоскость s = a-f-.T как целые функции
порядка 1 и типа 1; с другой стороны, всякая целая функ-
функция порядка 1 и типа 1, если она остается абсолютно инте-
интегрируемой после умножения на 1, а, . . ., о™, есть преобразо-
преобразование Фурье функции и(х) рассматриваемого класса.
. Этими свойствами, например, обладает функция
v0 (a) =
/w-j-2
12 Зак. 2918 И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

1?8 ГЛ. HI. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШЙ [Г
Она является, таким образом, преобразованием Фурье неко-
некоторой функции и0 (х), обращающейся в нуль при | х | ^> 1 и
обладающей непрерывными производными до порядка т.
По доказанному, мы имеем:
D)
—2(Q(°> 0 •¦»<>00)
Но, с другой стороны,
т-yzi (Qvo) = Q 4> H- Ci<
В первом слагаемом первый множитель возрастает со сте-
степенным порядком гг_2> второй убывает со степенным поряд-
порядком т-\-2.
В общем получается степенной порядок роста гг_2—(/n-f-2).
Следующие слагаемые имеют меньший порядок роста. Но
неравенство C) показывает, что получающееся выражение
в действительности ограничено. Отсюда вытекает, что
гг-г ^ гп-\~ 2; таким образом, т~^> гг_2 — 2, что и утвер-
утверждалось.
§ 5. О РЕШЕНИЯХ НЕКОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
1. Введение. Система уравнений
dt
A)
называется некорректной, если функция A(s) = max ReX,(i)
i
фактически имеет при вещественных s = a степенной рост:
хотя бы для одной последовательности ап —> оо
С>0, р
0.
B)
В этом случае матрица-функция Q(a, t) имеет на оси a
рост выше любой степени \а\. Как мы видели в § 4, задача
Коши для системы A) не является в этом случае корректной
для начальных функций, имеющих конечный порядок глад-
гладкости. Можно рассчитывать на то, что удастся получить
решение (в виде функции), непрерывно зависящее от началь-
начальных условий, лишь если потребовать от начальных функций
2J
§ 5. О РЕШЕНИЯХ НЕКОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
179
гладкости бесконечного порядка. Здесь существенную роль
будет играть оценка функции Л (о) сверху. Именно, если
выполняется неравенство
с h <i 1, то решение будет существовать для бесконечно диф-
дифференцируемых начальных условий с некоторыми ограни-
ограничениями на рост производных, тем более жесткими, чем боль-
больше h; когда h становится равным 1 и более, указанные
ограничения приводят к требованию аналитичности началь-
начальных функций, и дальнейший рост h приводит к все более
сильным ограничениям на порядок роста начальных функций
в плоскости x-\-iy.
2. Условно корректные системы. Система уравнений A)
п. 1 называется условно корректной, если функция A(s) =
= max Re Xj (а) удовлетворяет неравенству
з
Пример. Рассмотрим уравнение
дх'
ia
Характеристическое уравнение имеет вид
X2 = «5;
его корни
L ,= + у as .
1, 2 — '
Функция A(s) на вещественной оси (s = а) растет как У"|а|,по
крайней мере, на одной из полуосей. Поэтому уравнение принад-
принадлежит к числу условно корректных.
Как и ранее, мы должны проанализировать вопрос о том,
когда свертка
О (х, t) -х- и (х)
приводит к обычной функции. Здесь G (x, t) есть обратное
преобразование Фурье матрицы-функции Q(s, t) — разрешаю-
разрешающей матрицы системы, двойственной к системе A) п. 1.
Выясним свойства функции G (x, t).
Ограничимся снова случаем одного независимого пере-
переменного.
12*

1 80 гл. ш. классы корректности решения задачи коши [2
В силу теоремы 1 § 7 гл. IV вып. 2, существует
область Н, определяемая неравенством
в которой выполняется неравенство
В области Н функция Q(s, t) удовлетворяет неравенству
Нас будет интересовать наибольшее возможное значение [а.
Если к ¦< р0, то [J. не может превосходить 1; действительно,
в противном случае на каждом луче s-плоскости, выходящем
из начала координат, кроме луча а = 0, функция Л (s) имела
бы степенной рост порядка (не выше) Н, а функция Q (s, t)
имела бы экспоненциальный рост порядка (не выше) к, что
невозможно для целой функции порядка р0.
Для условно корректных систем с положительным родом
[1 > 0 имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Для условно корректной системы
ди (х, t)
—т— = i
с заданными параметрами h, f* > О,
задача Коша с начальными данными
и (х, 0)= и(х)
р0 и рг =
Ро
Po —
B)
разрешима для всякой функции и (х), удовлетворяющей
условиям
1
' J
C)
Доказательство. В пространстве Sp1 (р >¦ 1 1
' 3
можно построить функцию е (х), равную 0 при | х | >• -г- и 1
2]
§ 5. О РЕШЕНИЯХ НЕКОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
181
при |*|<-т-' ВСК)ДУ заключенную между 0 и 1 и удовле-
удовлетворяющую условию
Можно написать разложение начальной функции и(х) на
финитные функции
оо
— ОО
где uv(x) = u(x-\-ч)е (х). Оценим рост q-Ш производной
функции ич (х):
) I < 2
'ЛГ*(q —j)(*-j)"'
• С ¦
Таким образом, функция ич (х) принадлежит к простран-
пространству So', 1- Решение задачи Коши для начальной функции uv (x)
пишется, как всегда, по формуле и, (х, f) = G(x, f)*u4(x),
где G(x, t) — матрица Грина системы A). Мы покажем, что
и„ (х, t) есть настоящая функция и что сходится ряд
со
U(X, t)= 2«v(* v. t),
— оо
который и будет представлять собой искомое решение задачи
Коши.
Для доказательства рассмотрим отдельно выражение
G(x, t)*f(x), f(x)eSaoli.
Эта свертка имеет смысл, так как G(x, f) — свертыватель
в пространстве S^'idSo' (поскольку разрешающая матрица
8 1 \
Q (a, t) — мультипликатор в пространстве 5^, р = — 1, и
результатом является функция, принадлежащая простран-
пространству 5р'. Оценим ее. Свертыватель G (x, f), как ограничен-
ограниченный оператор, переводит всякое ограниченное множество

182 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [2
в пространстве Sft снова в ограниченное множество. В част-
частности, совокупность функций <р (х), удовлетворяющих нера-
неравенствам
и обращающихся в нуль вне фиксированного отрезка, огра-
ограничена в 5р\ поэтому все функции
удовлетворяют неравенствам
I «К*) К
с фиксированными Ct и Ъ. При этом постоянную Сх можно
считать пропорциональной постоянной С. Если положить
<р (х) = uv (x), то постоянная В фиксирована (== А2), постоян-
постоян)I , и мы получаем оценку
ная С равна
Далее,
1 О (х, I) * а, (х) |
Очевидно, что ряд с членами, D) сходится абсолютно и
равномерно на каждом конечном отрезке.
Так же, как и в § 4, легко проверяется, что частные
суммы этого ряда имеют общую мажоранту вида
Следовательно, ряд сходится и в смысле обобщенных функ-
функций над пространством 5р'. Отсюда в силу непрерывности
оператора свертки
G (х, t)*u(x) = G (x, f) * 2 «v (x — v) =
= y?lG(x,f)*u4(x — v) = и (х, t).
Итак, искомое решение G (x, t) #• и (х) есть обычная функ-
функция u(x,t), что и утверждалось.
Пусть теперь р, ^ 0. В этом случае матрица Q (a, t) со-
согласно § 7 гл. IV вып. 2 удовлетворяет неравенствам
IIQ^OIKC^1"^*6!.!* (? = 0, 1, 2, ...).
3]
§ 5. О РЕШЕНИЯХ НЕКОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
183
Дальнейшее построение проходит по схеме предыдущего,
с заменой всюду рг на h. В итоге мы приходим к тео-
теореме:
Теорема 2. В условно корректном случае при
h <С 11 Р ^ 0 классом корректности задачи Коши A) — B)
является класс функций и(х), удовлетворяющих нера-
неравенствам вида
—и.)
(? = 0, 1, 2, ...).
Можно отнести уравнение Шрёдингера к условно корректному
случаю, считая р0 = 2, — 1 < {а < 0, h = 1 + V-', тогда класс коррект-
корректности состоит из бесконечно дифференцируемых функций, удовле-
удовлетворяющих неравенствам
я. 1+а
|l6|eM '
Получается система классов корректности, не вложенных один
в другой.
3. Корректность в области аналитических функций.
В этом пункте мы выясним вопрос о классе корректности
задачи Коши для системы
: (X, t)
dt
k=l
A)
без всяких специальных предположений о росте функ-
функций Q(s, t) при вещественных s — o. Естественно, что класс
корректности будет весьма узким; оказывается, что в общем
случае он содержит лишь целые аналитические функции,
рост которых не превышает фиксированных пределов.
Мы начнем с некоторых предложений, обобщающих тео-
теоремы § 4 гл. III вып. 2 на случай функций f{z) любого
конечного порядка роста.
Ограничимся случаем одного независимого перемен-
переменного.
Пусть f{z) — целая аналитическая функция порядка
роста ^р и типа ^ Ь9; это значит, что для любого е >¦ 0
удовлетворяются неравенства

184 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
3]
§ 5. О РЕШЕНИЯХ НЕКОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
185
Обозначим через Зо, б совокупность всех целых функций
порядка р и типа Ь9. Эта совокупность, очевидно, линейна.
Введем в нее следующее понятие предельного перехода:
функции /v (z)? 3Pl ь> по определению, стремятся к нулю при
v —> оо, если они равномерно сходятся к нулю в каждой
конечной области и, кроме того, допускают общую мажо-
мажоранту вида
Р
Функция f(z) ? Зр, 6 определяет по формуле
линейный непрерывный функционал на пространстве К фи-
финитных бесконечно дифференцируемых функций. Найдем пре-
преобразование Фурье f=F(f) функционала /. Функционал /
определен на пространстве Z, двойственном к К. Как и в § 4
гл. III вып. 2, результат можно получить, применяя опера-
оператор F к каждому члену ряда Тейлора
2avz\ B)
так что для любой ф (s) ? Z
(F (/), ф) =
, ф) = Bav (- i ±J 8 (а), ф (a)) =
в то время как тейлоровские коэффициенты самой функ-
функции f{s) удовлетворяют неравенствам
a, К Л/Г (*
F)
Поэтому ряд C) мажорируется рядом
($ (?Г (^ Г"=^с S ? (?
Этот ряд сходится при условии
что дает нам оценку величины Ъг. Таким образом, F(f) есть
функционал на пространстве 3pi. 6i-
Этот функционал будет и непрерывным функционалом
на пространстве 3pj>&i- Действительно, если последователь-
последовательность функций ф„ ^ Зр» 6, сходится к нулю в указанном выше
смысле, то постоянная С в неравенстве F) зависит от v и
при v —> оо стремится к нулю, откуда и (F(f), <|>„) —>0.
Предположим, что последовательность функций /v (z) ? 3Р, ъ
стремится к нулю по сходимости пространства 3 ь. Мы
утверждаем, что тогда последовательность функционалов F(fv)
стремится к нулю в смысле сходимости пространства Зр2. ь,>
т. е. для любой .функции фE)?3р,. 6,
Ряд заведомо сходится для любой ty(s)?Z. Но можно утвер-
утверждать, что он сходится и для любой целой аналитической
( 1 \р'
функции порядка роста р' и типа меньше I -г-\
( )—7 = 1; Ъх будет определено далее). Действительно, для
любой такой функции
'ЩШ. D)
значения производных в нулевой точке удовлетворяют нера-
неравенствам
01 I
E)
CI
Действительно, в указанных предположениях постоянная А
в неравенстве F) зависит от v и при v —>• оо стремится
к нулю; отсюда и (F(/v), ф) —>0, что и требуется.
Отметим далее очевидную формулу
. (F (zf(z) ), ф (s) ) = (F (/), д}/ (s) ),
откуда вообще вытекает для любого многочлена
(F(P(z)f(z)), ф(«)) =
Теорема 3. Если разрежающая матрица Q(s, t)
имеет порядок роста^ р0 (> 1) и тап^.Ьр\ то задача
Коши для системы A) имеет при достаточно малых t
решение для любой начальной функции а (х), которая

186 ГЛ. III. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [3
может быть продолжена на всю комплексную плоскость
z = x-\-iy так, что при этом получается целая анали-
аналитическая функция порядка роста р'о с типом bf'.
Доказательство. Обратное преобразование Фурье
G(x, t) матрицы Q(s, t), по доказанному, есть функционал,
который может быть распространен на все функции по-
порядка р'о с типом bf. В частности, имеет смысл выражение
$, t), и(х — 5))г
Покажем, что эта функция от х и t является (классическим)
решением системы A).
При t = 0, как обычно, получаем:
(G (?, 0), и (х — 6) ) = (8 (?), и (х — 0 ) = и (х).
Дифференцирование по t функции Q(s, t) есть непрерывная
операция в пространстве 3Р, б- Отсюда следует, в соответ-
соответствии со сказанным выше, ' что дифференцирование по t
функционала G(x, t) есть непрерывная операция в про-
пространстве 3ib &!> так что
Далее мы имеем, используя G):
u(x — ?)) =
Таким образом, и(х, t) = (G(t, t), u(x — %) ) действительно
есть искомое решение задачи коши. Теорема доказана.
Можно было бы без труда перенести ее и на случай
п независимых переменных.
Следующий пример показывает, что условие теоремы 3
в общем случае не может быть ослаблено.
3]
§ 5. О РЕШЕНИЯХ НЕКОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
187
Рассмотрим уравнение теплопроводности
с финитной начальной функцией ио(х), равной нулю вне
отрезка (— а, а). Решение этого уравнения
u(x,
9nt J
(x-Zf
(8)
является, как видно из формулы (8), при любом t > 0 целой
аналитической функцией от х 2-го порядка роста и типа, как
угодно близкого к -г-, (при достаточно малом а). Для опре-
определенности положим ?=1; рассмотрим обратное уравнение
теплопроводности
dv to (9)
dt
дх*
с начальным условием v(x, 0) = и(х, 1). Очевидно, что при
О ^ t ^ 1 решением этого уравнения будет v (x, t) =
= и (х, 1—t). При t —> 1 будем иметь v (x, t) —> и0 (х). При
t ^> 1 решение уравнения (9) уже не будет функцией;
в противном случае мы снова решали бы прямое уравнение,
начиная с того значения т0 > 1, для которого решение
уравнения (9) есть функция, приняв ее за начальную функ-
функцию; функция ио(х) была бы решением прямого уравнения
теплопроводности, и следовательно, была бы аналитической
функцией, что противоречит ее финитности. Итак, задача
Коши для уравнения (9) с начальной функцией и(х, 1) уже
не имеет решения в виде функции для t >¦ 1.

ГЛАВА IV
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОБОБЩЕННЫМ СОБСТВЕННЫМ
ФУНКЦИЯМ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема о разложении по собственным элементам воз-
возникает в самых различных областях математики. Задача
о приведении поверхности 2-го порядка к главным осям,
или, что то же, задача о приведении квадратичной формы
к каноническому виду ортогональным преобразованием есть
одна из простейших форм этой проблемы.
Уже на этом этапе с квадратичной формой А (х, х) и
метрикой естественно связывается симметричный линейный
оператор по формуле
А(х,
{Ах, х);
векторы главных направлений на поверхности А (х, х) = 1
совпадают с собственными векторами оператора А, т. е.
с п попарно ортогональными векторами eit действие опера-
оператора А на которые выражается особенно простыми фор-
формулами:
Aej = \jej (j=l, 2 п).
Числа Xj называются собственными значениями оператора А.
Если /=
разложение заданного вектора / по ба-
зису из векторов ej, то действие оператора А на вектор /
описывается формулой
Af=A
О)
§ 1. ВВЕДЕНИЕ 189
а значение квадратичной формы А (/, /) = (Л/, /) — формулой
Теорема о существовании полного ортогонального базиса
из таких собственных векторов для всякого симметричного
оператора А в л-мерном евклидовом пространстве есть один
из центральных результатов линейной алгебры.
Ближайшим бесконечномерным анологом л-мерных квад-
квадратичных форм являются интегральные формы вида
ь ь
, s)f{x)f{s)dxds,
отвечающие в механике системам с бесконечным числом
степеней свободы. (Пример: неоднородная струна.) Приве-
Приведение этих форм к каноническому виду связано с построе-
построением полной системы собственных функций для интеграль-
интегрального симметричного оператора ¦
ь
= J K(x, s)(f(s)ds,
где К(х, s) = K(s, x). Такое построение было фактически
проведено Гильбертом в 1906 г.
Для каждого интегрального оператора указанного вида
с квадратично интегрируемым в области а ^ s, x <^ b ядром
К(х, s) существует полная ортогональная система собственных
функций — т. е. функций е$ (х) (j = 1, 2, . . .,), удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям
/С [ 1 при i =J,
К (х, s) ej (s) ds = Xjej (х), j et (s) ej(s)ds = \ .
J {0 при i Ф].
Если f=
^j
—разложение заданной функции по
системе собственных функций ej(x), то действие оператора А
на функцию / можно записать формулой
А/ = А
ej (х)) = S
C)

190
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
а значение квадратичной формы (А/, /) — формулой
(АЛ /) з / К (х, s)/(x)f(s) ds =
D)
Числа Xj по-прежнему называются собственными значениями
оператора А.
Впоследствии Ф. Рисе дал абстрактную формулировку
теоремы Гильберта, которая вместе с тем указала и границы
для применимости его метода. Оказалось, что метод приме-
применим лишь к очень узкому классу самосопряженных операто-
операторов в гильбертовом пространстве, которые называются вполне
непрерывными; это такие операторы, которые переводят
ограниченное множество в компактное; их можно характери-
характеризовать еще тем, что они являются пределами (по норме)
операторов, отображающих все пространство в конечномер-
конечномерное подпространство.
Метод разделения переменных в линейных дифферен-
дифференциальных уравнениях с частными производными также при-
приводит к проблеме о собственных значениях и собственных
векторах, на этот раз для дифференциального оператора,
не являющегося ограниченным. Если в хороших случаях —
в конечной области с правильными коэффициентами — реше-
решение этой задачи приводится • через функцию Грина к инте-
интегральному уравнению с симметричным ядром, то в задачах
более общего типа такое сведение становится невозможным.
Здесь проблему о разложении нужно изучать самостоятельно.
Заметим, что именно к таким проблемам приводят основные
задачи квантовой механики. Таким образом, на очередь
встает задача о построении полной системы собственных
функций для общего самосопряженного оператора.
Хорошо известно, что самые простые не вполне непре-
непрерывные самосопряженные операторы в функциональном гиль-
гильбертовом пространстве, такие, как умножение на х или
дифференцирование, не имеют собственных векторов.
Полезно разобраться в причинах отсутствия у этих опе-
операторов собственных функций.
Рассмотрим, например, самосопряженный оператор умно-
умножения на х в пространстве Lz(a, b) функций, суммируемых
с квадратом на отрезке [а, Ъ\. Предположим, что для неко-
§ 1. введение
191
торой функции у (х) выполняется соотношение
ху (х) = Ху (х). E)
Это означает, что (х — \)у(х) = О, откуда вытекает, что
функция у (х) должна обращаться в нуль при х =?\ и отлич-
отличной от нуля может быть лишь в одной точке х = \. Но
в пространстве L2(a, b) нет ненулевого вектора, обладающего
такими свойствами.
Рассмотрим теперь) самосопряженный оператор i~— в про-
пространстве Z-2 (— сю, сю. Собственные функции этого опера-
оператора должны удовлетворять уравнению
Но решениями этого уравнения являются только функции вида
у = CeiXx,
которые снова не принадлежат к рассматриваемому про-
пространству.
Стремясь остаться в пределах данного гильбертова про-
пространства Н, исследователи стали искать других, хотя бы
более слабых формулировок теоремы о разложении по соб-
собственным функциям. Первая подобная формулировка, по
существу, была указана Д. Гильбертом в 1911 г. для случая
самосопряженного ограниченного оператора А. (Таким опе-
оператором, в частности, является оператор умножения на х
в пространстве L2(a, b).)
А именно, пусть А — ограниченный самосопряженный
оператор в гильбертовом пространстве Н:
(Ах, у) = (х, Ау)
для любых х, у из Н. Оказывается, что для каждого интер-
интервала Д = (а, Р) вещественной оси можно указать максимальное
инвариантное относительно оператора А подпространство На,
в котором форма (Ах, х) заключена в границах (а, Р), когда
Ij д; ||=1. Отсюда следует, что оператор А в подпростран-
подпространстве На совершает преобразование, отличающееся от пре-
преобразования умножения на а по норме не более чем на C— а.
Оператор проектирования на подпространство На обозначают
через Е (А); ?"(Д^оо), где Д^ — интервал (—со, X) обозначают

192
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
193
через Ех. Совокупность операторов Е (А) называют спек-
спектральным семейством оператора А. Если, в частности,
А — вполне непрерывный оператор, например интегральный
оператор, рассмотренный выше, то Е (Д) есть оператор
проектирования на подпространство, натянутое на собствен-
собственные векторы с собственными значениями, лежащими в ин-
интервале Д. В общем случае отрезок [—\\A\\, ||-4||] веще-
вещественной оси для любого е >> 0 можно разложить в сумму
конечного числа N^2 -—- интервалов Aj (/= 1, 2, . . ., N)
длины < е; вместе с этим пространство Н разлагается
в ортогональную сумму подпространство //д., в каждом
из которых оператор А совершает преобразование, отличаю-
отличающееся от преобразования умножения на Xj по норме не
больше чем на е. Отсюда следует, что оператор А отли-
отличается по норме меньше чем на е от оператора
2у
При е т* 0 эта сумма стремится к пределу, который обозна-
оо
чается через / \dEx *)
оо
А= JldEx.
G)
Равенство G) имеет следующий точный смысл:
(АЛ g) = fte(Exf, g) для любых /, g?H. (8)
Это и есть «спектральное разложение» оператора, заменяю-
заменяющее разложение по собственным векторам для конечномер-
конечномерного или вполне непрерывного оператора А.
Полагая f=g, получаем разложение квадратичной формы
Ш, /):
(АЛ f) = jM(EJ,f) (9)
— формула, обобщающая формулы B) и D).
*) Фактически интегрирование производится по интерн, у
[~\\А\\, |Л]
I
В дальнейшем фон-Нейман перенес результаты Гильберта
на наиболее важный случай неограниченного самосопряжен-
самосопряженного оператора А, определенного на некотором плотном
в Н множестве Hj_. Напомним определение (неограниченного)
самосопряженного оператора. Билинейная форма (Af, g),
вообще говоря, не является при фиксированном g линейным
непрерывным функционалом относительно /. Если при не-
некотором g она является таким функционалом, то (Af, g) =
— (/> Si) ПРИ некотором gt из Н. Тем самым на таких g
определен некоторый оператор, переводящий g в gt; он на-
называется сопряженным к А и обозначается через А*. Таким
образом,
(АЛ g) = (f, A*g).
Если оператор А* определен на области определения
оператора А и совпадает с ним на ней, то оператор А назы-
называется симметричным. Если, кроме того, области опреде-
определения операторов А а А* совпадают, то оператор А назы-
называется самосопряженным. Для самосопряженных операторов
оказалось возможным построить инвариантные подпро-
подпространства Н\ с указанными свойствами; но роль отрезка
[—Ц-41|» \\A\\] теперь стала играть вся вещественная ось.
В случае неограниченных операторов различие между симме-
симметричными и самосопряженными операторами существенно. Так,
например, оператор I —— , определенный на отрезке [а, Ь\ на функ-
циях у (х), равных нулю в точках а и Ь (и интегрируемых в квад-
квадрате вместе с производной), является симметричным, но не является
самосопряженным. При таких краевых условиях у этого оператора
нет ни одной собственной функции. Если же заменить краевое
условие у (а) = у (Ь) = 0 более общим условием периодичности:
у (а) = у (Ь), то оператор / —— уже будет самосопряженным, и
у него есть полная система собственных функций.
Вопрос о том, когда данный симметричный оператор, если он
не самосопряжен, может быть расширен до самосопряженного, —
как обстоит дело в рассмотренном примере, — имеет большое значе-
значение. Приведем здесь два достаточных условия, каждое из которых
обеспечивает возможность такого расширения *):
1) Оператор А — вещественный; это означает, что он перево-
переводит вещественные функции — в вещественные, а комплексно-сопря-
комплексно-сопряженные — в комплексно-сопряженные.
*) Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь, Лекции по функцио-
функциональному анализу, ИЛ., М., 1954.
13 Зак. 2918. И. Мг. Гельфанд и Г. Е. Шилов

194
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
2) Оператор А — полу ограниченный; это означает, что для
всех / из области определения А справедливо неравенство
(А/, /) >• а (/, /) (полуограниченность снизу).
Наибольшее допустимое значение числа а называют точной нижней
гранью оператора А. Оказывается, что полуограниченный симме-
симметричный оператор можно расширить до самосопряженного, кото-
который будет также полуограничен и будет иметь ту же точную
нижнюю грань.
Все эти блестящие результаты, однако, дают лишь неко-
некоторую замену спектрального разложения, обусловленную
желанием не выходить за пределы первоначального гильбер-
гильбертова пространства.
Действительно, как показывают разобранные выше при-
примеры операторов умножения на л: и дифференцирования
(на всей прямой), не выходя за пределы гильбертова про-
пространства, вообще говоря, нельзя получить настоящих соб-
собственных функций. Применение же приведенных выше общих
результатов, например, к дифференциальным операторам,
несмотря на кажущуюся законченность абстрактной форму-
формулировки, приводит к ряду трудностей.
Но есть и другая возможность. Она подсказывается
теми же примерами операторов умножения на л: и диффе-
дифференцирования. В этих примерах ведь есть собственные
функции, но только за пределами исходного гильбертова
дространства; для оператора умножения на х это дельта-
функция 8 (х—X), для оператора дифференцирования —
функция eiXx. Их можно построить и на основе рассмотре-
рассмотрения самого исходного гильбертова пространства как функ-
функционалы над некоторым основным пространством — подпро-
подпространством гильбертова пространства, — хотя бы над простран-
пространством К финитных бесконечно дифференцируемых функций.
Можно указать даже элементарную процедуру, которая
приведет от спектральной функции Ех к искомым обобщен-
обобщенным собственным функциям.
Мы указали, что в пространстве, на которое проектирует
оператор Е(А), отвечающий интервалу Д = (а, C), квадратич-
квадратичная форма (Ах, х) при j х | ^ 1 заключена в границах
а < (Ах, х) < р.
Оператор А переводит пространство Н\ в себя. Введем опе-
оператор А — аЕ, который также, конечно, переводит простран-
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
195
ство Н\ в себя, и оценим его норму. Так как для симмет-
симметричных операторов норму можно находить как верхнюю
грань значений абсолютной величины квадратичной формы,
то в данном случае
\\А — а.Е\\== sup ((А — аЕ)х, х) =
(X, Х) = 1
= sup ((Ах, х) — а(х, х)) = $ — а.
(as, х) = 1
Поэтому для любого единичного вектора х?На
Отсюда
= ах-\-е,
Мы видим, что каждый вектор пространства На есть «почти»
собственный вектор, отвечающий собственному значению а
с ошибкой, не превосходящей C — а. Чем меньше длина
интервала (а, C), тем менее уклоняется оператор Ах для
х?На от вектора ах. Ясно, что всякий истинный собствен-
собственный вектор с собственным значением а лежит в пересечении
всех пространств Н\ при Д, стягивающемся к точке а.
Но в гильбертовом пространстве пересечение этих под-
подпространств может не иметь ни одного общего элемента,
кроме нуля. В таком случае и не будет истинного собствен-
собственного вектора с собственным значением а.
Мы можем, тем не менее, употребить этот прием для
построения собственного вектора в более широком про-
пространстве. Если фиксировать вектор е, то можно образовать
вектор Е (А) е = (Ер — Еа)е, заведомо лежащий в подпро-
подпространстве //(Д); мы нормируем его, разделив на некоторое
число а (Д), и затем устремим число р к а.
Операция, которая будет происходить с векторами
?х = Е\е> будет совпадать с операцией его дифференцирова-
дифференцирования по параметру X (при Х = а) по некоторой мере ах. Разу-
Разумеется, нужно прежде всего выяснить, в каких пространствах
возможна такая операция. Поэтому мы начинаем наше изло-
изложение с проблемы дифференцирования абстрактных функций,
зависящих от параметра X. Оказывается, что эта операция
возможна, — но только не в нормированных или гильберто-
гильбертовых пространствах, а в пространствах обобщенных функций.
Таким образом, пространства ¦ обобщенных функций оказы-
13*

196
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОЕСТВЁННЫМ ФУНКЦИЯМ
[1
ваются наиболее удобными для спектрального разложения
дифференциальных операторов.
Далее мы покажем, что полученные обобщенные соб-
ственные функции у^ == образуют полную систему, и
выясним их природу. Во многих случаях, например для'
уравнения Штурма — Лиувилля, для эллиптических уравне-
уравнений, это будут обычные функции; мы получим на этом пути
известные спектральные разложения, найденные Ф. Броуде-
ром, Г. Вейлем, Л. Гордингом, К. Кодаира, М. Г. Крейном,
Ф. Маутнером, и новые разложения. Наконец, мы изучим
асимптотическое поведение полученных собственных функций;
при этом выяснится, что для большого числа операторов,
именно тех, которые допускают обращение в интегральной
форме, почти все из этих собственных функций будут огра-
ограниченными, как классические собственные функции^ = sin \x,
у2 = cos Xjc для оператора у". Для неэллиптических диффе-
дифференциальных операторов собственные функции уже оказы-
оказываются, вообще говоря, обобщенными функциями.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛА С СИЛЬНО
ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ
1. Функционалы в нормированном пространстве. Рас-
Рассмотрим полное нормированное пространство Ф и сопряжен-
сопряженное пространство Ф' линейных непрерывных функциона-
функционалов— также полное нормированное пространство.
Функционал /х, зависящий от параметра X, изменяюще-
изменяющегося в промежутке #^Х.^?, имеет, по определению,
сильно ограниченную вариацию, если для любого разбие-
разбиения интервала #^Х.^? на части
имеет место неравенство
A)
где С—постоянная.
Если фиксировать элемент <р основного пространства Ф,
то функционалу fx отвечает числовая функция от X, равная
1] § 2. ФУНКЦИОНАЛ С СИЛЬНО ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ 197
2
(/x> <?)• Эта функция обладает ограниченным изменением
в обычном смысле, поскольку
1 — (/у <РI =
= 2i|(Ai+1—Л,, ?)|<2||Л,+1-Л,Ц • II?||. B)
Известно, что всякая функция с ограниченным измене-
изменением имеет почти всюду производную *). В частности, и
функция (fx, cp) имеет производную по X всюду, кроме,
возможно, множества значений X меры нуль. Это исключи-
-тельное множество меры нуль зависит, вообще говоря, от
взятого основного элемента ср. Возникает вопрос, можно ли
исключительное множество меры нуль выбрать одним и тем
же для всех элементов ср; положительный ответ на этот
вопрос дал бы возможность утверждать существование
почти при всех X функционала gx> являющегося слабой про-
производной по X от функционала /х:
gx== iim Д+дД~/х = ^. C)
ДЛ -> О ДА "А
Оказывается, что этот факт действительно имеет место
в предположении сепарабельности пространства Ф, т. е.
наличия счетного всюду плотного множества {ср„}. Соответ-
Соответствующая теорема имеет место не только для обычной меры
Лебега, но и для любой вполне аддитивной меры на отрезке
а ^ X ^ Ъ.
Теорема 1. Если нормированное пространство Ф
сепарабельно, то всякий линейный непрерывный функцио-
функционал fx, определенный на Ф при а^,\^.Ь и имеющий
сильно ограниченную вариацию по X, слабо дифференци-
дифференцируем почти всюду по любой неотрицательной вполне
аддитивной мере fx, определенной на борелевских под-
подмножествах отрезка [а, Ь\.
Доказательство. Обозначим через fx (А?) значение
меры р. на полуоткрытом интервале а ^ X < р. Проверим
сначала, что функция ||/х|| удовлетворяет почти всюду усло-
условию Липшица
D)
*) И. П. Натансон, Теория функций вещественной перемен-
переменной. Гостехиздат, М. — Л., 1950, стр. 193.

198
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[1
Если бы неравенство D) не выполнялось, то нашлось бы
множество Р положительной меры [х (Р) = f > 0, такое, что
для произвольного N и любого Х?Р можно было бы ука-
указать последовательность Хд?^ —> X, для которой
т)
По теореме Витали *),. из системы интервалов Дх-^ , по-
покрывающей множество Р, можно выделить конечное число
взаимно не пересекающихся интервалов, покрывающих в сово-
совокупности множество Q с p-(Q)>-|-. Если (kj, Х^) —эти ин-
интервалы (у — 1, 2, . . .), то
но это противоречит предположению о сильной ограничен-
ограниченности вариации Д.
Для любого ср ? Ф числовая функция (/х, ср) имеет огра-
ограниченное изменение; действительно,
2l(/w ?)—(Л,.. т)К11т1|2!1Л,+1—Л,1!<С||ср||,
и следовательно, (Д, ср) почти всюду имеет произзодную по
мере р.. В частности, это верно для элементов <fv счепюго
всюду плотного множества.
Рассмотрим множество Q полной р.-меры, на KOiCr м
функция ||Д|| удовлетворяет условию Липшица и все функ-
функции (Д, cpv)(v=l, 2, . . .) имеют производные; мы утвер-
утверждаем, что на этом множестве Q все функции (Д, ср) имеют
производные. Действительно, для А ? Q, с одной стороны,
с другой стороны, для любого h отношение
имеет предел.
*) В цитированной книге И. П. Натансона дано ее доказатель-
доказательство для меры Лебега (стр. 75). Оно переносится на нужный нам
более общий случай неотрицательной вполне аддитивной меры.
СП
2] § 2. ФУНКЦИОНАЛ С СИЛЬНО ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ 199
Таким образом, система функционалов
при данном X?Q ограничена по норме и сходится на эле-
элементах счетного всюду плотного множества {cpv}.
Но если последовательность линейных непрерывных функ-
функционалов ограничена по норме и сходится на всюду плотном
множестве, то, как известно, она сходится на каждом эле-
элементе пространства Ф.
Итак, функционал Д имеет при X?Q слабую производ-
производную зСх по мере р., что и требовалось доказать.
2. Функционалы в счетно-нормированном простран-
пространству. Напомним вначале известные из гл. I вып. 2 (§ 3 и 4)
факты о структуре (полного) счетно-нормированного про-
пространства Ф. Такое пространство есть пересечение последо-
последовательности полных нормированных пространств
с возрастающими нормами
Ф
согласованными в том смысле, что если последовательность
{?Л фундаментальна по норме || \\je+m и по норме || ||ft
стремится к нулю, то она стремится к нулю и по норме
II llfc+m- При этом пространство Фр представляет собой по-
пополнение пространства Ф по норме || \\р.
Всякий линейный непрерывный функционал на нормиро-
нормированном пространстве Фр есть тем самым линейный непре-
непрерывный функционал на пространстве Ф. Мы доказали в гл. I
вып. 2, что верно и обратное: каждый линейный непрерыв-
непрерывный функционал на пространстве Ф продолжается на неко-
некоторое пространство Фр и принадлежит, таким образом,
к пространству Фр. Совокупность Ф' всех линейных непре-
непрерывных функционалов, следовательно, есть объединение
всех пространств Фг:
Ф'

200
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[1
1] § 3. ФУНКЦИОНАЛ СО СЛАБО ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ 201
Наименьший номер р, при котором функционал /? Ф' вхо-
входит в пространство Ф^,, называется порядком функционала /.
В каждом из пространств Фр, Фр+1, ... функционал/имеет
некоторую норму; эти нормы идут в убывающем порядке
. \\Л\р>\\Лр+1>.-- -
Можно формально присоединить к этой цепи неравенств и
первые члены |j/|jl7'..., ||/i|^_i, считая их равными беско-
бесконечности.
Функционал /, определенный в счетно-нормированном
пространстве Ф, имеет, по определению, сильно ограничен-
ограниченную вариацию, если существует номер р, такой, что функ-
функционал / принадлежит пространству Фр и имеет сильно огра-
ограниченную вариацию по норме этого пространства, так что
Применяя теорему п. 1, получаем:
Теорема. Если счетно-нормированное пространство Ф
сепарабельно, то линейный непрерывный функционал fx
с сильно ограниченной вариацией по X слабо дифференци-
дифференцируем почти всюду по любой неотрицательной вполне
аддитивной мере \х. Его слабая производная
Ух-
dfx
есть функционал, принадлежащийктому пространству Фр,
по норме которого функционал /х имеет сильно ограни-
ограниченную вариацию.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛА СО СЛАБО
ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ
1. Общие соображения. Рассмотрим линейный непре-
непрерывный функционал /х, определенный в линейном топологи-
топологическом пространстве Ф, зависящий от параметра X, а ^ X ^Ь.
Каждому элементу ср пространства Ф этот функционал со-
сопоставляет числовую функцию от X, равную (/х, ср)- Мы
скажем, что функционал _Д имеет на (а, Ь) слабо ограниченную
вариацию, если эта функция при любом ср ? Ф имеет ограничен-
ограниченную вариацию в обычном смысле, т. е. при любом разбиении
отрезка а^.\-<СЬ точками деления а — Х0<Х1< ...
справедливо неравенство
fxr ?)\<С9 A)
с постоянной С9, зависящей только от основного элемента <р-
Примеры. 1°. Рассмотрим в каком-либо из функцио-
функциональных пространств на прямой — оо < х < оо, состоящих
из интегрируемых функций, функционал, определяемый функ-
функцией в (х — X), равной 0 при х < X и 1 при х > X:
оо
(9 (х — X), 9 (*)) = f 9 (х) dx.
Мы имеем:
J <?(x)dx
f\?(x)\dx,
так что условие A) ограниченности сумм выполнено.
2°. В гильбертовом пространстве рассмотрим спектральное
семейство опера-торов Ех и фиксированный вектор е. Пока-
Покажем, что функционал (Ехе, ср) также имеет слабо ограничен-
ограниченную вариацию.
Пусть {Х^}—разбиение оси X на конечное число интер-
интервалов Д^ и Е (А,-) = Ех. — Ех. — соответствующие проекти-
проектирующие операторы (/=1,2, . . .). Пусть, далее, ej = E(А^) е,
ср^- = E(Aj)<p. Тогда
(Е (А,-) е. ср) = (Е (Aj) е, Е (А,.) ср) = (ejy ?J),
Y что и требовалось.
ts Можно дать определение функционала слабо ограничен-
ограниченной вариации и несколько в иной форме. Из основного

202 ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ [1
неравенства A) следует, что при любом выборе чисел е^-, | е^-1 = 1,
или, что то же,
Это последнее неравенство означает, что семейство всех
функционалов вида
у? (/ —А) (|е,|=1) B)
есть ограниченное множество в пространстве Ф' (слабо огра-
ограниченное, а следовательно, и сильно ограниченное; см. вып. 2,
гл. I, § 5).
Обратно, если все суммы вида B) образуют в простран-
пространстве Ф' ограниченное множество, то это означает, что при
любом выборе чисел е^ (|е^|=1) и элемента ср имеет место
неравенство
Определив ej из условия
приходим к неравенству B).
Итак, мы можем заключить: функционал fx имеет слабо
ограниченное изменение тогда и только тогда, когда все
функционалы, вида B) образуют ограниченное множество
в пространстве Ф'.
Так же, как и в случае функционала сильно ограничен-
ограниченной вариации (§ 1), встает вопрос о возможности дифферен-
дифференцирования функционала слабо ограниченной вариации.
Этот вопрос существенен не только с общей точки зрения.
Дифференцирование функционала, соответствующего функции
в (х— X) (пример 1°), как мы знаем, приводит к дельта-
функции, которая является обобщенной функцией. Диффе-
Дифференцирование функционала (Е^е, ср) могло бы привести
к собственным векторам Оператора А, соответствующего
спектральному семейству Е\.
Но эти же примеры показывают, что, вообще говоря,
в рамках нормированных пространств (в частности, гильбер-
гильбертовых) нельзя ожидать положительного ответа да- вопрос
2] § 3. ФУНКЦИОНАЛ СО СЛАБО ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ 203
0 существовании производной у любого функционала со слабо
ограниченной вариацией. Действительно, функция 6 (х—X)
есть элемент гильбертова пространства (интегрируемых в ква-
квадрате функций на отрезке), но ее производная 8 (х — X) уже
не принадлежит к этому пространству.
Ответ будет положительным, если данный функционал
со слабо ограниченной вариацией имеет и сильно ограничен-
ограниченную вариацию. Однако, в нормированных пространствах
этот факт, вообще говоря, не имеет места. В частности, он
не имеет места для таких функционалов, как 6 (х — X) и Ехе.
Но если мы будем рассматривать функционалы не в нор-
нормированных, а в счетно-нормированных пространствах, то
уже вполне возможен случай, когда функционалы со слабо
ограниченной вариацией имеют и сильно ограниченную
вариацию.
В дальнейшем будем называть счетно-нормированное
пространство Ф ядерным, или N-пространством, если
в нем всякий линейный непрерывный функционал /х со слабо
ограниченной вариацией по X имеет и сильно ограниченную
вариацию*). Во всяком сепарабельном, в частности, во
всяком совершенном N -пространстве **), в силу теоремы п. 2
§ 2, функционал /х со слабо ограниченной вариацией имеет
слабую производную почти везде по всякой неотрицатель-
неотрицательной вполне аддитивной мере.
2. Случай пространства К{Мр). Покажем, что при
некоторых условиях таким пространством является простран-
пространство Ф = К [Мр\ (вып. 2, гл. II, § 1). Напомним, что это
пространство состоит из всех бесконечно дифференцируемых
функций ср (х), для которых непрерывны и ограничены в
пространстве R все произведения***) Мр(х)\ Dq<? (x) |; здесь
1 ^С MQ(x)^. . . . ^ Мр(х)^.. . . —заданная последователь-
последовательность функций. Предполагается, что Мр(х) могут при
данном х обращаться в бесконечность только одновременно
*) Несколько ниже будет дано второе, эквивалентное, опреде-
определение этого класса пространств.
**) Неясно, независимы ли свойства совершенства и ядерыостч
пространства.

204
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[2
для всех р и что везде, где эти функции конечны, они
непрерывны. Будем предполагать, что выполнены условия (Р)
и (Л/). Условие (Р) состоит в том, что для каждого р суще-
существует р'' > р такое, что
hm —-.—j—r = 0;
|а?1->оо ^'W
при выполнении условия (Р) пространство К \Мр) совершенно,
т. е. его ограниченные множества компактны (вып. 2, гл. II,
§ 2). Условие (N) состоит в том, что для каждого р суще-
существует такое р' > р, что
Мр(х) _
Мр, (х) — тРР' W
есть суммируемая функция от х. В пространстве Ф = К {Mv)
с условием (Л/), как мы видели в гл. II вып. 2 (§ 4, п. 2)
можно ввести две эквивалентные системы норм
|| cp ||; = sup Г Mp (x) | D"cp (x) | dx.
(b)
Обозначим через Фр выполнение пространства Ф по норме (а)
и через Ф*— его пополнение по норме (Ь). В соответствии
с общей теорией сопряженное пространство Ф' можно пред-
представить как объединение сопряженных пространств Ф^ и
одновременно как объединение сопряженных пространств Ф* .
Итак, пусть дан функционал Д^Ф', имеющий слабо
ограниченную вариацию при а-^Х.^^. Это означает, как мы
п-\
видели в п. 1, что все функционалы вида *5\Bj(f\. —А.)
1
при любом выборе точек \j и чисел е^-
' Н
| е^-1 = 1, образуют
р j ^ | ^1 ру
в Ф' ограниченное множество. Но в таком случае все эти
функционалы принадлежат при некотором р к пространству Фр
и образуют в Ф^ ограниченное множество. Кроме того,
и сами функционалы /х образуют ограниченное множество,
так что без ограничения общности можно считать, что
/х принадлежит к Фр и ограничены в нем по норме.
2] § 3. ФУНКЦИОНАЛ СО СЛАБО ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ 205
В вып. 2 (гл. II, § 4, п. 2) найден общий вид линей-
линейного непрерывного функционала на пространстве Фр. Согласно
полученной там формуле
(Л. ?)= 2 fMp(x)fUx)Dq9(x)dx, A)
ПК?
где /х (х) при каждом X и каждом q есть измеримая и огра-
ограниченная функция в пространстве R. При этом
L
ф
2
«| <р
где при вычислении sup пренебрегают множествами меры
нуль. Далее мы имеем:
Поскольку нормы всех этих функционалов ограничены,
2 e 2
\q\<p 3
При каждом фиксированном х множители е^-, | е^| = 1,
можно выбрать произвольно, поэтому
2 suPe2|rf (*)—/? (*)|<С. B)
lq\<P 3 3+1 3
Оценим теперь норму функционала /х . t—-fx. в простран-
пространстве ФР', где рг подобрано для р из условия (N). Имеем
для ср?Фр-:
\4\<P
f
МР
—flJ
dx
lei <p

206
ГЛ. TV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
и, следовательно,
fg(x)\dx;
применяя B), находим, далее,
V
14 К?
откуда и
С J mPP' (x) dx = СРР',
.+1—AW , <срр-,
р'
C)
что и требовалось.
Вспоминая, что совершенное пространство Ф сепарабельно
и используя теорему § 1, получаем, что в пространстве
Ф = К {Мр}, удовлетворяющем условиям (N) и (Р), всякий
функционал/х {а ^ X ^ Ь) со слабо ограниченной вариацией
имеет производную по любой неотрицательной вполне
аддитивной мере [а(Х) почти всюду на [а, Ь\; эта произ-
производная * есть функционал, принадлежащий к тому
пространству Фр, в котором ограничены выражения
п
р>-
Напомним, что пространство ФР' в данном случае состоит
из функций ср (х), обладающих непрерывными производными
до порядка р', с конечной нормой
MP.{X)\D\(X)\.
Мы приведем в заключение также другое определение
ядерного пространства; хотя оно нам и не понадобится, но
оно проще формулируется. Именно, назовем ряд из функцио-
функционалов f\-\-fz-\- ¦•¦ -h/fc-f- ••¦ безусловно сходящимся,
если для любой основной функции <р сходится ряд
? i (//> ?)
1] § 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Этот же ряд называется абсолютно сходящимся по норме \\ \\ к,
если сходится ряд
Определение ядерного пространства может быть дано
в следующей форме: это такое пространство, в котором
каждый безусловно сходящийся ряд из функционалов схо-
сходится абсолютно по некоторой норме.
Доказательство эквивалентности двух приведенных опре-
определений мы предоставляем читателю.
§ 4. ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И О ПОЛНОТЕ СИСТЕМЫ
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
В этом параграфе мы покажем, что спектральное семей-
семейство Ех, определенное в данном гильбертовом пространстве Н
может быть продифференцировано по параметру X по некото-
некоторой мере а; результат этого дифференцирования ух = —~^—
при фиксированном X есть некоторая обобщенная функция,
и совокупность всех полученных при этом обобщенных функ-
функций Хх составляет в определенном смысле полную систему.
1. Общая схема. Рассмотрим некоторое 'совершенное
пространство Ф, т. е. полное счетно-нормированное простран-
пространство, в котором каждое ограниченное множество компактно.
Предположим, что (кроме исходной топологии) в этом
пространстве задана евклидова метрика, т. е. каждой паре
элементов ср, ф сопоставлено число (ср, ф) *) (скалярное
произведение) со следующими свойствами:
i°- («PiH-?2.Jfc(?i. Ф)-К<Р2. Ф);
2°. (ф. Ф) = 0|>, ?);
3°. (сир, ф) = а(ср, ф);
4°. (ср, ср) > 0 при ср ф. 0.
Кроме того, мы предположим, что выполнено условие
5°. Если cpv -+ ? п0 топологии пространства Ф, то
(<Р* Ф)-»¦(?. 40-
*) Не путать с обозначением (/,
нала f к элементу у.
для применения функцио-

функцио208
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[1
Имея эту форму, можно сопоставить каждому элементу
ср ? Ф линейный непрерывный функционал /ш по формуле
С/г Ф) = (?> Ю-
Отображение ср —>fv, очевидно, линейно. Различные эле-
элементы пространства Ф оно переводит в различные элементы
пространства Ф'; действительно, если /!Pi=/t?2, то /?1-<Р2 = 0
и, следовательно, (срх— ср2, ф) = 0 для любого ф?Ф; пола-
полагая <]> = (ср1 — ср2), находим (срх —- ср2, <pi — ср2) = 0, откуда,
по условию 4°, <pt = ср2. Наконец, это отображение непре-
непрерывно: если ср„ —> ср0, то, по условию 5°, (срч, (]>) —> (ср0, ф)
для любого ф?Ф и, следовательно; /,, —>f9o (слабо, а в силу
совершенства пространства Ф, и сильно).
Пополнение пространства Ф по скалярному произведению
(ср, ф) есть некоторое полное гильбертово пространство Н.
Покажем, что отображение ср —>/ продолжается с Ф на Н.
Действительно, каждый элемент h?_H определяет на Ф ли-
линейный непрерывный по топологии Н функционал (/г, ф);
проверим, что он непрерывен и по топологии пространства
Ф. Пусть срч->/г по топологии Н. Тогда (ср.,, (]>)--» (Л, (]>);
функционал h оказывается слабым пределом линейных непре-
непрерывных функционалов и, по теореме из гл. I вып. 2 (§ 5,
п. б), сам является непрерывным функционалом. Таким об-
образом, каждому h ? Н можно сопоставить функционал /й? Ф'
'так, что (fh, ср) = (к, ср). По соображениям, аналогичным при-
приведенным выше, отображение h—>fh взаимно однозначно и
непрерывно. Отождествляя функционалы fh с соответствую-
соответствующими элементами h, мы получаем включения
Примеры. 1°. Пусть Ф—одно из совершенных про-
пространств функций ср (х) (—со <[ х ¦< со), интегрируемых
в квадрате, например, пространство К{Мр), удовлетворяющее
условию (Р) (см. п. 2 § 3), и пусть
A)
В этом случае пространство Н есть гильбертово пространство
всех функций, интегрируемых в квадрате на всей оси. Ото-
Отображение ^"^/ф есть тождественное отображение.
I
2]
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 209
2°. Пусть Ф — одно из аналогичных пространств функ-
функций cp(xlt х2) и
По формуле Грина, с учетом убывания основных функций
и их производных на бесконечности,
~~JJ
дх*
dxl dx2.
В этом случае пространство Н есть гильбертово про-
пространство со скалярным произведением B); отображение со—>/?
есть результат применения к функции ср оператора Лапласа.
3°. Если А — любой симметричный положительно опреде-
определенный дифференциальный оператор, то мы можем положить
Отображение
ратора А.
(ср. <Ю =
-/9 есть применение к элементу ср опе-
опе2. Существование собственных функционалов. Теперь
мы можем перейти к основным теоремам.
Как уже указывалось, задача состоит в установлении
существования производной по некоторой мере данного спек-
спектрального семейства Ех.
Эту меру мы определим следующим образом. Пусть
е — нормированный вектор пространства Н; обозначим че-
через Н(е) подпространство, порожденное векторами ех = Ехе.
Ближайшие построения будут происходить в этом подпро-
подпространстве. Введем функцию а (X) = (Ехе, е). В силу известных
свойств спектрального семейства это монотонная функция
от К, которая изменяется в пределах от 0 до 1, когда л
меняется, от — оо до -j- со. Известным образом она поро-
порождает меру Стильтьеса на прямой — оо < X < со: мерой
множества Р считается интеграл ах(Р)= | da(k).
14 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

210
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[2
Сформулируем теперь и докажем первую из наших основ-
основных теорем.
Теорема 1. Пусть в гильбертовом пространстве Н>
полученном при пополнении совершенного N -пространства
по скалярному произведению (ср, (]>), задано спектральное-
семейство проекционных операторов Ех = Е (Д^оо); пусть,
далее, е — фиксированный вектор и а(Х) — (Ехе, е). Утвер-
Утверждается, что почти всюду по мере ах существует произ-
производная
которая представляет собой линейный непрерывный функ-
функционал в пространстве Ф, действующий по формуле
-^. A)
л
Доказательство. Функция Ехе = ех, рассматриваемая
как абстрактная функция со значениями в Ф', имеет слабо
ограниченную вариацию; действительно, для каждой ср ? Ф
билинейная форма (ех, у) = (Ехе, ср) векторов ех и ср может
быть представлена в виде линейной комбинации четырех
квадратичных форм, каждая из которых является монотонной
функцией от X:
e-\-9)-\-t(Ex(e-\-i9),
Так как Ф — ядерное пространство,^то отсюда следует, что
функционал Ехе имеет сильно ограниченную вариацию.
По доказанному в § 2, существуют (почти при всех X
по мере а?) функционалы
„ — dE^e
действующие по формуле
(хх. ?) =
d (Ехе,
dcx
Тем самым теорема 1 доказана.
3] § 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 212
3. Полнота системы собственных функционалов. Пере-
Переходим к выяснению вопроса об ортогональности и полноте
полученной системы обобщенных функций хх-
Об ортогональности в обычном смысле, конечно, здесь-
говорить нельзя, так как выражения (хх, у Л не определены.
Так обстоит дело и в классическом анализе, например,
в теории интеграла Фурье, где нельзя говорить об ортого-
ортогональности функций eito на всей оси; заменителем условии-
ортогональности в теории интеграла Фурье служит равенство-
Парсеваля
f\f(x)\*dx = ±f\f(a)Fdc A)
Это равенство геометрически представляет собой аналог
теоремы Пифагора: — квадрат длины вектора / есть сумма
квадратов его составляющих Фурье, — и поэтому может слу-
служить некоторой характеристикой ортогональности соста-
составляющих.
Полнота системы обобщенных функций хх (¦*¦) означает,
что каждую функцию ср (х) можно собрать из этих обобщен-
обобщенных функций путем интегрирования по параметру X, так же,
как в теории интеграла Фурье любая функция <р (х) соби-
собирается из экспонент eiXx интегрированием по X. В нашем
случае этот факт получается как результат общей теоремы
о восстановлении абсолютно непрерывной функции по ее
производной. В связи с этим напомним, что вполне аддитив-
аддитивная функция множества f(P) называется абсолютно непре-
непрерывной относительно меры а (Р), если /(Р) = 0 на всяком
множестве, имеющем а-меру, равную нулю. Всякая абсолютно
непрерывная относительно меры а (Р) функция /(Р) предста-
вима в виде «неопределенного интеграла»
da; B)
р
функция х называется производной фзгнкции /по мере а*).
Теперь мы можем сформулировать и доказать вторую
основную теорему.
*) См., например, С. Сакс, Теория интеграла. ИЛ, М., 1949,
гл. I. .
14*

212
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[3
Теорема 2. Совокупность функционалов -/_х, постро-
построенных в теореме 1, ортогональна и полна в том смысле,
что для всякой основной функции ср?//(е) имеют место
соотношения
9
= / (У.х> 9) У.х da (x)>
C)
D)
В частности, если (%., <р) = 0 для всех X, то <р = 0.
Доказательство. Мы используем так называемое
каноническое представление пространства Н(е), порожден-
порожденного векторами ех = Ехе в виде пространства функций.
А именно, мы сопоставим вектору е функцию е(к)^\,
вектору Е (Д) е — характеристическую функцию интервала Д
и распространим это соответствие, используя линейные ком-
комбинации и предельный переход, с одной стороны, на все
векторы пространства Н{е), с другой — на все функции
пространства L.I, т. е. на все функции /(X), интегрируемые
в квадрате по мере ах. Это сопоставление осуществляется
ло формуле
оо
/ = / / (>0 dExe (/(X) ? Li, / ? Н (е) ),
E).
причем можно показать, что для любого g? H(е)
СО СО
(/. g) = f f<tig!ti da (X) = / / (X) d (Exe, g). F)
— оо —оо
Из этих формул видно, что определяемое ими соответствие
между Н(е) и L? является изоморфизмом.
Покажем теперь, что функционалы ух образуют полную
систему. Из неравенства
2
J dExe, и\ <У J dExe, f dExe\(9,
р / ¦ \р р J
3] § 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 213
где Р — произвольное а-измеримое множество, следует, что
функция множества / J dExe, f\= f d(Exe, cp) абсолютно
\p J p
непрерывна по мере о (Я) = Jd(Exe, e): если о(Р) = 0,т. е.
p
J d(Exe, e) = 0, io и fd(Exe, <p) = 0. Действительно,
p p
( f dExe, f dExe) = fd (Exe, f dExe] =
\P p J p \ p J
d(Exe, e)\ = 0,
= fd(fd(Exe, Exe)\= fdff
откуда и ( Г dExe, cpi = O. Поэтому, согласно сказанному
\р I
выше (см. формулы A) п. 2 и C)), для любых /, <??
оо со
(/. «Р) = / /(*) d (Exe, cp) = J / (л) (-д, cp) do (X).
— СО —СО
Но, с другой стороны, по F) для
(/> 9)=
так как/(X) ? L? произвольна, то почти всюду по мере а
(У.х ?) = ср00> т- е- (?- Ух) = ?(*•)• G)
Можно сказать, что ср(^) есть «коэффициент Фурье» в раз-
разложении основного элемента <р по функционалам у
Формула E) теперь может быть записана, если заменить
/ на <р, в виде
9 = f G.x• ?) dE^e = / (У.х' ?)"/х da (X)'

214
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
что совпадает с требуемым равенством C). Формулы F) и
G) приводят к равенству Парсеваля
со
= /GХ.
в частности, при ср = t|> мы получаем:
= / 1(хх.
что совпадает с требуемым равенством D). Тем самым тео-
теорема полностью доказана.
Замечание 1. Пространство Н всегда может быть
разложено в ортогональную сумму пространств Н(еа), где
индекс а пробегает некоторое множество значений. В про-
пространстве Н(еа) теорема 2 приводит к существованию пол-
полной системы функционалов y("h Складывая равенства типа D)
по всем индексам а, получаем для любого ср ? Ф равенство
Парсеваля
II Т II2 =
а —оо
Для вектора ср таким же образом получим представление
2
Замечание 2. Так как в каноническом представлении
вектору Е (А) е отвечает характеристическая функция интер-
интервала Д, то векторы Е (Д) е могут быть восстановлены по
функционалам % с помощью интегрирования:
Е(А)е=
Мы видим, в частности, что хотя сами функционалы у—
элементы пространства Ф', интегралы от них по параметру к
по любым множествам положительной меры ах дают «кон-
«конкретные» элементы гильбертова пространства Н, даже эле-
элементы вида Е (Д) е.
1]
§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОПЕРАТОРОВ
215
§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ
1. Основная теорема. Мы применим общие теоремы § 4
к доказательству существования и полноты системы обоб-
обобщенных собственных векторов у самосопряженных операторов.
Как и в § 4, будем предполагать, что в совершенном
ядерном пространстве Ф задано скалярное произведение (со, ф),
непрерывное по топологии пространства Ф; пополнение про-
пространства Ф по этому скалярному произведению есть гиль-
гильбертово пространство, которое мы обозначаем через Н. Каж-
Каждый элемент g?H порождает линейный функционал /» =
= (g, ср), определенный на всех функциях ср?Ф, и имеет
место цепь включений
где Ф' есть пространство, сопряженное к Ф.
Предположим теперь, что в пространстве Ф задан линей-
линейный оператор А, переводящий Ф в себя и симметричный
относительно формы (ср, (]>), так что
(Лср, <]>) =
A)
Этот оператор автоматически будет непрерывным в про-
пространстве Ф. Действительно, если cpv—>ср, то для любого ф
(Aa?v, (]i) = (cpv, A<]f)—>(cp, Л(]>) = (Лср, ф), т. е. последователь-
последовательность Лср„ слабо, а в силу совершенства Ф и сильно, схо-
сходится к элементу А<р, что и означает непрерывность опера-
оператора А.
Рассмотрим сопряжённый оператор А*, непрерывный и
ограниченный в пространстве Фх. Поскольку Ф' zd Ф, опе-
оператор А* определен также и в пространстве Ф; мы можем
утверждать, что здесь он совпадает с оператором А. Дей-
Действительно, для ср ? Ф и любого ф ? Ф мы имеем:
(Л*?, ф) = (ср, А^) = (Ас?, ф),
так что Л*ср совпадает с элементом Л<р-
Оператор А* тем самым является расширением опера-
оператора А на пространство Ф*; поэтому в дальнейшем у опе-
оператора А* мы не будем писать знака *. Оператор Л,, таким
образом, является симметричным.

216
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[1
Функционал Хх?Ф' мы будем называть собственным
функционалом для оператора А с собственным значением).,
если выполняется равенство
Теорема 1. Если симметричный линейный опера-
оператор А, действующий в пространстве Ф, может быть
расширен в пространстве Н до самосопряженного опера-
оператора, то он допускает в пространстве Ф' полную си-
систему собственных функционалов х.х-
Доказательство. По предположению и в силу основ-
основной спектральной теоремы для самосопряженных опера-
операторов *), оператор А обладает спектральным семейством
?\ = ?(Д>1СО). Выберем произвольно вектор е ? Н и рассмот-
рассмотрим подпространство Н(е), порожденное векторами ех — Ехе.
По теореме 2 § 4, существует полная система функционалов
v dEy.e
~А d{Exe,e) ¦
Проверим, что у являются собственными функциона-
функционалами для оператора А. Обозначим через Д интервал [а, !3],
содержащий точку X, и через Е (Д) оператор Ер — Еа. Пусть
интервал Д стягивается к точке X. Для любого ср ? Ф мы
имеем: почти всюду по мере а"
= lim
о(Д)
*) См., например, Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь.
Лекции по функциональному анализу. ИЛ, М., 1954, гл. VIII, § 2,
2] § 5. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОПЕРАТОРОВ 21^
откуда
Ау_х = Х^х>
что и требовалось.
Как и ранее, пространство Н можно разложить в орто-
ортогональную сумму пространств Н (еа). Применяя доказанную
теорему для каждого Н(еа) и объединяя результаты, полу-
получаем существование полной (во всем Ф') системы yfj*) соб-
собственных функционалов оператора А в пространстве Ф'.
2. Дифференциальный оператор во всем пространстве.
Пример 1. Пусть А—-линейный дифференциальный
оператор
с вещественными бесконечно дифференцируемыми во всем
пространстве Rn коэффициентами, симметричный относи-
относительно скалярного произведения
= J ? (х) ф (х) dx;
B)
это последнее означает, что для любых двух финитных функ-
функций ср и ф
(Лср, <|0 = (<р, Лф). C)
Подберем совершенное TV-пространство Ф из бесконечно
дифференцируемых функций (например, типа К{Мр}), так,
чтобы оператор А переводил это пространство в себя и
оставался симметричным (т. е. чтобы сохранялось равен-
равенство C)). Будем считать также, что пространство Ф плотно
располагается в пространстве L2(Rn) всех интегрируемых
в квадрате функций ср (лг).
Тогда, как известно *), оператор А может быть расширен
до самосопряженного оператора в пространстве L2. Условия
теоремы 1, таким образом, выполнены. Применяя ее, полу-
получаем:
Теорема 2. Дифференциальный оператор А, удовле-
удовлетворяющий перечисленным условиям, обладает полной
ч *) Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь, Лекции по функ-
функциональному анализу. ИЛ, М., 1954, стр. 354.

218
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
13
3]
§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОПЕРАТОРОВ
219
системой обобщенных собственных функций у_х(х), при-
принадлежащих пространству Ф'.
Если мы знаем общий вид линейных непрерывных функ-
функционалов на пространстве Ф, то мы можем тем самым опи-
описать и общий вид обобщенных собственных функций опе-
оператора А.
Предположим, например, что пространство Ф есть про-
пространство 5 функций ее (х), убывающих вместе со всеми
1
в области G и обращающихся в нуль в окрестности ее гра-
границы Г, имеет место соотношение
производными быстрее любой степени
В частности,
можно положить Ф = 5, если коэффициенты оператора А
имеют рост не выше степенного, так же, как и все их про-
производные. Линейные непрерывные функционалы на простран-
пространстве 5 фиксированного порядка р, как мы помним, являются
производными порядка р от непрерывных функций, возра-
возрастающих не быстрее |л:|р."Мы приходим к следующему вы-
выводу: если оператор А, удовлетворяющий, перечисленным
выше условиям, действует в пространстве S, то он
обладает полной системой обобщенных собственных функ-
функций, каждая из которых есть производная порядка р от
непрерывной функции, возрастающей не быстрее \х\р
{р фиксировано).
3. Дифференциальный оператор в области с границей.
Пример 2. В первом примере рассматривался опера-
оператор А, действующий на функциях <?(х), определенных во всем
пространстве Rn. Теперь рассмотрим оператор А, определен-
определенный на функциях ср, сосредоточенных в области с границей.
Пусть А — линейный дифференциальный оператор
с вещественными бесконечно дифференцируемыми коэффици-
коэффициентами в области G пространства Rn, симметричный относи-
относительно скалярного произведения
B)
Точнее, предположим, что для любых дзух финитных функ-
функций ср, ф, определенных (и бесконечно дифференцируемых)
о
5
Оператор А может быть расширен до самосопряженного
оператора в пространстве L2(G). При этом область его
определения QA есть некоторая совокупность функций
ср (х) ? L2(G), удовлетворяющая определенным граничным
условиям. Условие самосопряженности оператора означает,
что всякая функция ф(лг) ??2(G)> для которой выражение
(<Ь(х), Лср(л:)) есть ограниченный функционал от у (х) на
L2(G), принадлежит к области определения оператора А и
удовлетворяет, в частности, граничным условиям, характери-
характеризующим область определения этого оператора.
Мы будем предполагать, что оператор А уже задан само-
самосопряженным. В соответствии с теоремой 1 он обладает
полной системой обобщенных собственных функций — функ-
функционалов на совершенном ядерном пространстве Ф, содер-
содержащем все финитные бесконечно дифференцируемые функ-
функции, и таком, что А переводит его в себя.
Возникает вопрос, в каком смысле эти обобщенные соб-
собственные функции удовлетворяют граничным условиям, уча-
участвующим в определении оператора А.
Так как обобщенные функции Х\(х) не принадлежат,
вообще говоря, пространству L2{G), то рассматривать выра-
выражение (хя(-*0> А<?(х)) и доказывать, что оно представляет
собой ограниченный функционал от <р (х), мы не можем. По-
Поэтому мы поступим иначе. Пусть вся граница области G нахо-
находится в конечной части пространства; тогда будет иметь место
Теорема 3. Если обобщенная собственная функция
Х\(х) оператора А порядка р в действительности есть
обычная функция, обладающая обычными производными
до порядка р, то произведение gx = хх(х) е(х), где е (х) —
финитная бесконечно дифференцируемая функция, рав-
равная 1 в окрестности границы области G, принадлежит
к области определения оператора А.
Доказательство. Мы покажем, что функционал от <р
ограничен в пространстве L2(G).

220
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
Если истолковать gx как обобщенную функцию, а ср —
как основную, то в силу симметрии оператора А имеет
место равенство
(g\. A<?) =
Но оператор А, понимаемый как оператор над обобщенной
функцией, вообще говоря, не сводится к обычному приме-
применению операции ^a&(x)Dk, если даже gx(x) и имеет все
требующиеся для этого производные. Рассмотрим этот во-
вопрос в общем виде, именно, выясним, что означает приме-
применение оператора А к данной обобщенной функции, которая
соответствует обычной функции f(x), обладающей производ-
производными до порядка р. Если ср — финитная основная функция,
то по формуле Грина
Лср) =
dx= JAJ-9-dx-\-
= (Af,
C)
где Atf есть результат обычного применения дифферен-
i иального оператора А к функции /, а L—-билинейная
форма, возникающая в результате интегрирования по частям.
Как мы видим, выражения Af и Axf, вообще говоря, раз-
различны, они отличаются на слагаемое, зависящее от гранич-
граничных значений /.
Покажем, однако, что для обобщенной собственной функ-
функции эти выражения совпадают.
Если /=? есть собственная функция оператора А, то
(/, Лср) = {Af, ср) = X (Хх, ср) = X f Xx (х) ср (х) их. D)
G
Сравнивая выражения C) и D), мы видим, что
f L [/, ср] da = J [XZx (x) — AJ\ <р dx. E)
Г G
Но функционал в левой части сингулярен, а функционал
в правой части регулярен; отсюда мы сейчас выведем, что
оба они равны нулю. Действительно, если ср выбрана так,
3] § 5. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОПЕРАТОРОВ 221
что она обращается в нуль вдоль границы, то мы получаем:
и так как в остальном ср произвольна, то всюду вне Г
Отсюда следует, что и для любой ср правая часть равен-
равенства E) равна нулю; поэтому для любой ср и левая часть
равна нулю. Итак, функция ут\(х) удовлетворяет уравнению
= x7.x О).
т. е. она является собственной функцией оператора А в обыч-
обычном смысле. Далее, для любой основной функции
откуда и
J" L[yxe, ср] dc =
так как ух и ухе в окрестности границы созпадают. Отсюда
О (х) Ух (х)> А(?) = f Aie О) 7.x О) • <? (*) dx'>
6
этот функционал от ср является, следовательно, ограничен-
ограниченным; он остается ограниченным и на всем пространстве Н,
так как функция А1е(х)у1(х) финитна вместе с ^(^ХхС-^)-
Поэтому е(х)ух(х) принадлежит к области определения опе-
оператора Л и, в частности, удовлетворяет граничным условиям.
Этим теорема доказана.
.Так как функция е (х) в окрестности границы есть еди-
единица, то мы заключаем, что при сделанных предположениях
сама ух(х) удовлетворяет граничным условиям.
Дадим теперь следующее общее определение.
Определен ие. Функционал / называется решением ура-
уравнения Bf=0, удовлетворяющим граничным условиям, если
для всех бесконечно дифференцируемых функций ср (х),

222
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[4
принадлежащих области определения самосопряженного опера-
оператора В, выполняется равенство
Покажем теперь, что обобщенные собственные функции у-^
самосопряженного оператора А удовлетворяют граничным
условиям в смысле этого определения (с В = А — ХЕ). Пусть
9 (х) принадлежит области определения оператора А. Мьв
имеем:
причем функция Е (Д) е удовлетворяет граничным условиям
Поэтому
(Е (Д) е, Лср) = f Xd (Ехе, ср) = J \ (Хх, ?) da (X),
следовательно,
отсюда
\ da '
= Х(ух> ср),
что и утверждалось.
4. Оператор Штурма—Лиувилля. Пример 3. Рас-
Рассмотрим оператор
@<л:<оо,
= 0) A)
с бесконечно дифференцируемым коэффициентом q(x). При
определенных условиях, налагаемых на область его опре-
определения (и на коэффициент q(x)), в частности при гранич-
граничном условии
v'(O) = 0_y(O) F вещественно), B)
он является самосопряженным *).
*) См. iM. A. H а й м а р к, Линейные дифференциальные опера-
операторы. Гостехиздат, м., 1954.
4]
§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОПЕРАТОРОВ
223
В силу теоремы 1 существует полная система обобщен-
обобщенных собственных функций у_\(х), каждая из которых есть
решение уравнения
/ Xy. C)
Заметим, что в рассматриваемом случае эти обобщенные функ-
функции являются обычными бесконечно дифференцируемыми
функциями, так как обыкновенное дифференциальное уравне-
уравнение без особенностей не имеет иных решений в обобщенных
функциях, кроме классических решений (вып. 1, гл. I).
Как мы видели в примере 2, такие собственные функции
в обычном смысле удовлетворяют граничным условиям, нала-
налагаемым на область определения оператора.
Теперь сформулируем для данного случая теорему о пол-
полноте системы собственных функций (теорема 2 § 4).
Теорема 4. Пусть еа — система порождающих векто-
векторов пространства Н, отвечающих оператору А=—у"-\-
-{-q{x)y, и аа (X)—соответствующие монотонные функ-
функции; агх (К) = (Ехеа, ej. Собственная функция уа (к), полу-
полученная дифференцированием Е}е„ по мере а„ есть решение
уравнения C) и поэтому лишь численным множителем Ьа (к)
может отличаться от того {единственного) классического
решения у (х, X), которое задается начальными условиями
v@, Х)= 1, у (О, Х) = 6:
Х« (Ь) =
(*.
Формула разложения для финитной функции <р(х) прини-
принимает теперь вид
Обозначим 2^W^aoW через da (к); а (к) называется спек-
спектральной функцией нашей задачи. Функция
а

224
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
называется преобразованием Фурье — Штурма — Лиувилля от
функции ср (дг); равенство D) показывает, что функция ср (х)
воспроизводится по своему преобразованию Фурье—Штурма—
Лиувилля по формуле обращения
F)
Равенство Парсеваля принимает вид
а оо
(X).
G)
Оно выведено нами для финитной функции ср (х).
Функция /'(Х) есть элемент гильбертова пространства L3
всех функций, интегрируемых в квадрате по мере а. Фор-
Формулы E) и F) показывают, что соответствие между функ-
функциями ср (х) и F(\) может быть распространено до соответ-
соответствия между всеми функциями ср (jc) пространства L2@, oo),
с одной стороны, и всеми функциями F(X) пространства Lz,
с другой стороны; это соответствие сохраняет линейные соот-
соотношения и норму и является, следовательно, изоморфизмом.
Замечание. Аналогичная теорема справедлива, разу-
разумеется, и дляслучаясамосопряженного оператора «-го порядка
Ау =у»> (х) + at (х) у»-1) (д) 4- ... -4- а„. (х) у (х)
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами а^{х).
5. Общая система собственных функционалов у пары
самосопряженных операторов. Следующее предложение
представляет собой аналог теоремы об общем каноническом
базисе двух квадратичных форм.
Пример 4. Пусть А и В — самосопряженные операторы,
определенные в совершенном ядерном пространстве Ф; пусть,
далее, оператор В язляется положительно определенным отно-
относительно скалярного произведения (ср, ф), т. е. (Вер, ср) >> О
при ср=^О, и обратим в пространстве Н.
Покажем, что существует полная система обобщенных
функций ух, удовлетворяющих условиям
(П
5] § 5. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОПЕРАТОРОВ
225
Оператор В ХА самосопряжен относительно скалярного произ-
произведения (Scp, ф), так как
ф (р ф) (Р, BAtj).
В силу классической спектральной теоремы он обладает
спектральной функцией Е\. Дифференцируя эту функцию по
мере <зх, где ах(Я)= j d(Exe, e), мы получаем согласно
р
теоремам § 4 полное семейство функционалов
dox
Покажем, что эти функционалы удовлетворяют уравнению A).
Действительно, из равенства
'АЕ (Д) = f A
(А = (X, ХО
мы получаем:
X X'
АЕ(А) = В f pdE^f pd (BEJ,
откуда
X
Переходя к пределу, получаем уравнение A), что и требо-
требовалось.
В качестве примера рассмотрим уравнение, которое изу-
изучали С. Л. Соболев и Р. А. Александрян:
Ставится задача о нахождении функции и (х, у, t), удо-
удовлетворяющей уравнению B) и принимающей на гладкой
границе Г конечной области G заданные значения; кроме
того, задается функция f(x, у), равная и(х, у, 0).
После разделения переменных искомая задача сводится
к разысканию решений уравнения
дх" к\дх*~г~ду*) — и' {)
[5 Зак. 2918. И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов

226
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
которые на Г принимают заданные значения. Оператор
з^?Ч~л^2' как известно, является положительно опре-
л
з-
деленным. Оба оператора -^—^ и Д, определенные на функ-'
циях <р(лг), равных нулю на Г, будут самосопряженными.
Применяя доказанную выше теорему, получаем, что спра-
справедлива
Теорема 5. Решения уравнения B), принимающие на
границе заданные значения, образуют полную систему
обобщенных собственных функций.
6. Переход к случаю коэффициентов конечного порядка
гладкости. Условие бесконечной дифференцируемости коэф-
коэффициентов (необходимое для того, чтобы дифференциальный
оператор А переводил в себя основное пространство Ф,
состоящее, как обычно, из бесконечно дифференцируемых
функций) представляется слишком стеснительным в пробле-
проблемах дифференциальных уравнений.
Следующее простое соображение позволит ослабить это
условие. Ясно, что спектральное семейство Ех и полная система
функционалов учХ существуют и для оператора А, не обяза-
обязательно переводящего Ф в себя; достаточно, чтобы оператор А
был определен на плотном множестве /.^сФ, отображал его
в гильбертово пространство Н и допускал бы при этом
самосопряженное расширение.
Но равенство Аух = \уЛ, вообще говоря, уже перестает
при этом иметь смысл, поскольку оператор А уже не опре-
определен на пространстве Ф'.
Есть важный случай, когда это равенство сохраняет смысл.
Предположим, что оператор А переводит пространство Ф не
просто в Н, но в некоторое из нормированных пространств
Ф„с://. Тогда сопряженный оператор А* переводит Фр
в Ф'. Как мы заметили выше, оператор А* является расши-
расширением А и поэтому знак * можно опустить; таким образом,
наше предположение приводит к выводу, что оператор А
определен на пространстве Фр. Предположим, далее, что
dE-,e =r
функционалы Хх = -^ также принадлежат к простра ствуФ^,.
Тогда выражение Аух имеет смысл и, как .было доказано,
имеет место разенство ^Хх = ^Хх> что и требуется. Сообра-
ij § 6. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 227
жения такого рода применяются для линейных дифферен-
дифференциальных операторов.
Именно, мы можем предположить, что индекс р, опре-
определяющий порядок функционала, есть максимальное число
непрерывных производных, имеющихся у функций, входящих
в пространство Фр. (Это, во всяком случае, имеет место в рас-
рассмотренных нами основных пространствах К, S, К{Мр).)
Если это предположение выполнено, то оператор умно-
умножения на функцию а (х), имеющую непрерывные производные
до порядка р, очевидно, переводит пространство Ф в Фр *),
поэтому и линейный дифференциальный оператор
А = 2 akDk
с коэффициентами ак(х), имеющими непрерывные производ-
производные до порядка р, переводит пространство Ф в Фр.
Это замечание позволяет заменить в предыдущих при-
примерах условие бесконечной дифференцируемости коэффициен-
коэффициентов уравнения условием достаточной гладкости, т. е. наличия
производных только до некоторого порядка. Но пока еще
остается неизвестным, каким должен быть этот порядок,
поскольку он зависит еще и от индекса р, при котором ||/||р
имеет ограниченную вариацию.
В дальнейшем мы увидим, что в случае обычного скаляр-
скалярного произведения (ср, ф) — I срфйд: достаточным условием
является наличие у коэффициентов лишь производных пер-
первого порядка; кроме того, мы во многих случаях сумеем
показать, что обобщенные собственные функции в действи-
действительности являются обычными функциями, и укажем границы
их роста на бесконечности.
§ 6. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1. Основная теорема. Мы изучим в этом параграфе
структуру обобщенных функций %х = ¦ '-g в предположении,
что операторы ?\ действуют в обычном гильбертовом
*) Предполагается, что поведение коэффициентов на бесконеч-
бесконечности не препятствует этому умножению.
15*

228
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
{1
пространстве Н функций ср(лг) (x?Rn) со скалярным произ-
произведением
<Ъ, ф) = J ср (х) ф (х) dx. A)
Основное пространство Ф будем предполагать, как всегда,
совершенным. Предположение о ядерности пространства Ф
здесь не будет использовано.
Некоторые предположения мы сделаем также относительно
конкретного вида первых двух норм ||ср||0 и [[ срЦх в про-
пространстве Ф. Именно, мы будем предполагать, что
1°- II<?\\l = f\?(x)\2M0(x)dx, где функция -щ^ инте-
интегрируема в квадрате;
2°. || <р ||! == max [ | Dcp (х) | . М, (*)], где функция
интегрируема в квадрате, a D —
Первое предположение приводит к выводу, что все основ-
основные функции ср (л:) интегрируемы в квадрате; второе, — что
функции Df (x) остаются интегрируемыми в квадрате, будучи
умножены на У\х1 ... хп\. Поскольку остальные нормы
остаются произвольными, в эту схему укладывается весьма
большое количество задач с операторами, симметричными
относительно обычного скалярного произведения A).
Обозначим через Фо и Фх пополнения пространства Ф по
нормам ||ср||0 и H^lli.
Справедлива следующая
Теорема 1. Если самосопряженный оператор А дей-
действует в гильбертовом пространстве Н со скалярным
произведением A), то функционалы %\ = , х определены
и непрерывны на пространстве Фх.
Для доказательства достаточно показать, в соответствии
с п. 2 § 2, что равномерно ограничены величины
Положим Е(АЛ = ЕХ —Ех ; операторы Е (АЛ взаимно
ортогональны при различных j и для любого вектора е,
= (e, e)=l.
1] § 6. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 229
Функционал E(Aj)e действует по формуле
(bj)e(x)fWdx. B)
Имея в виду дальнейшее интегрирование B) по частям, вве-
введем функцию
GAj (х) ~GAj(Xl, ..., хп) = J . . . j E (Aj) e (?) d\x . . . d%n.
о о
C)
Функция E(Aj)e(x) получается из функции Од (х) диф-
дифференцированием:
iv " ~ дх± ... дхп ' ^>
Применяя неравенство Буняковского, можно получить
оценку роста функции Ga . (х):
J ...
• ¦ ¦ xn
E)
в предположении, что вектор е (х) является нормированным.
Покажем, что имеет место равенство
f Е (Д,) е (х) ^Jx) dx = (—l)nJ GAje (jc) D<p (jc) dx.
F)
Справедливость этого равенства легко проверяется интегри-
интегрированием по частям в случае финитной функции ср (х) (нужно
только интегрирование по частям вести по области, вне и на
границе которой ср (х) обращается в нуль; тогда внеинте-
гральные члены исчезают). Если же ср (л:) — любая основная
функция, то всегда можно образовать последовательность
финитных основных функций cpv (x), сходящуюся к ср (х) по
топологии пространства Ф (вып. 2, гл. II, § 4). Последова-
Последовательность D<pv сходится к Dcp также по топологии простран-
пространства Ф, Как- и раньше, мы предполагаем, что сходимость

230
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[1
по топологии Ф влечет сходимость по метрике Н. Поэтому
в равенстве
f Е (Aj) е(х) ^) dx = (— If f GAje (jc) Щ{х) dx
можно перейти к пределу при v —> оо, что и приводит к ра-
равенству F).
Итак,
Отсюда
(E(Aj)e, ср) = (— If J G^e (x) D? (х) dx.
е, ср) | < J | Gb.e (x) Dcp (лг) | dx <
\Gi,e{x)M1(x)D<?(x)\
Мг{х)
Таким образом,
и следовательно,
1
1°а/(*)|
dx.
•dx.
Мы имеем при этом ( | е3(х) \ = 1):
О„е (х) | = f 2 Ч (У Е (^) « (?)
]/ f
* о
| Xl . . . xn I X
X
2] § 6. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 231
В j,k
= V\x1...xn\ i/"J]
так как вектор е предположен нормированным.
В результате мы получаем:
что и требуется.
Общий вид линейного непрерывного функционала на
пространстве Фх нам известен (вып. 2, гл. II, § 4); он дается
формулой
/ г (х) f(x)Dy{x)dx, (8)
где f(x) — ограниченная измеримая функция. Иными сло-
словами, / есть результат применения оператора D = ^ ч—
к функции g(x) = M1(x)f(x). Эта последняя функция в силу
ограниченности fix) возрастает не быстрее, чем CM^ix).
В качестве Мх(х) можно взять любую функцию, лишь бы
условие 2° выполнялось. Годится, например, функция
L
Мх (х) = A +1 -^1 J • Таким образом, мы пришли к сле-
следующей теореме.
Теорема 2. Обобщенные собственные функции ХхОО
любого самосопряженного оператора А, действующего
в пространстве L2, являются производными (вида
^ ^ ) от измеримых функций, возрастающих не
OXi . . . ОХп }
быстрее A -f-1 х \ ) 2
2. Случай дифференциального оператора. В предыду-
предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос о разложении по соб-
собственным функциям дифференциальных операторов. При этом

232
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[2
в пп. 2—5 мы предполагали коэффициенты оператора беско-
бесконечно дифференцируемыми функциями, с той целью, чтобы
оператор А переводил основное пространство Ф в себя, т. е.
чтобы из ср ? Ф следовало, что и Лср?Ф. Теорема 1 настоя-
настоящего параграфа позволяет освободиться от этого ограничения.
Действительно, пусть коэффициенты а^{х) дифферен-
дифференциального оператора А имеют непрерывные производные
п дП
и = ^— и удовлетворяют неравенству
\Daj(x)\^M(x), A)
где М(х) — монотонная функция.
Рассмотрим пространство функций Фх, в котором нормы
определены равенствами 1° и 2°. Будем считать функции
М0(х} и Мг{х) такими, что
М(х)
... хп\
М(х)
МЛх)
B)
Принимая во внимание сказанное в конце предыдущего
параграфа, мы заключаем, что * '—ii = (^ Лср) суще-
ствует и имеет место равенство
Таким образом, справедлива
Теорема 3. Всякий самосопряженный дифференциаль-
дифференциальный оператор, коэффициенты которого имеют непре-
непрерывную производную, имеет полную систему обобщенных
собственных функций, сосредоточенных на Фх.
Теорема 2 дает некоторую возможность судить о пове-
поведении собственных функционалов (следовательно, и собствен-
собственных функций), если оператор задан во всем пространстве.
Если же оператор А задается на функциях, определенных
в конечной области G, то, повторяя доказательство тео-
теоремы 1, убеждаемся, что собственные функционалы Х\(х)
являются производными от ограниченных непрерывных функ-
функций /х(х). Следует отметить, что оператор А может быть
и сингулярным, т. е. в случае дифференциального оператора
коэффициенты оператора А могут иметь особенности.
Всякое обобщенное решение ^х =—т-^-уравнения Штур-
а — Лиувилля является обычным решением (см. § 5),
§ 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
233
т. е. функцией у (х, X), имеющей две непрерывные производ-
производные, которая удовлетворяет уравнению
ство
Для любой финитной функции ср (х) имеет место равен-
равено Ь
(Хл> ?) = / А (*) <?' (х) dx=j у (х, X) <р (х) dx, C)
а а
где /х(х) — ограниченная функция. Из равенства C) заклю-
заключаем, что
X
~X)dl <C; D)
следовательно, справедлива
Теорема 4. Какова бы ни была особенность коэффи-
коэффициента д(х) уравнения Штурма — Лиувилля, заданного
на конечном интервале, собственные функции у{х, X)
удовлетворяют неравенству D), т. е. имеют сумми-
суммируемую особенность.
Замечание. Аналогичная теорема имеет место и для
любого уравнения 2л-го порядка
заданного в конечном интервале [а, Ь].
§ 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ*)
Рассмотрим систему уравнений
A)
аУп
*) См. В. В. Немыцкий и В. В. Степанов, Качественная
теория дифференциальных уравнений, 2-е изд., Гостехиздат, М-—Л.,
1949.

234 ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
или, короче,
(П
где точка у=.{у1, ..., уп) принадлежит бесконечно диффе-
дифференцируемому многообразию Ш, а функции Ylt . . ., Yn
таковы, что обеспечивается существование и единственность
решения системы A) при любых начальных значениях
у°=(у° . . ., _уО\ на многообразии 5Ш.
Систему A) можно интерпретировать физически, как закон
движения точек на многообразии 2)?. Для каждого у0 и
каждого t мы можем построить точку yt как решение
системы A) с начальным условием _у(О) = з;о> рассматривае-
рассматриваемое в момент t, или как результат движения точки у0 за
время от 0 до t.
Таким образом, определяется преобразование многообра-
многообразия Ш. в себя:
<3*.Уо = Л-
Эти преобразования образуют, очевидно, группу:
Qt+s = Qt • Qs-
Можно применять операцию Qf не только к отдельным
точкам, но и к целой области G, понимая под QtG геоме-
геометрическое место всех точек, в которое перейдет область G
за время от 0 до t.
Мы предположим, что система A) обладает «интеграль-
«интегральным инвариантом», т. е. что существует непрерывная функ-
функция F (л:) > 0 такая, что объем, задаваемый формой
F(x)dylt . . ., dyn,
. .. dvn>0, B)
V(G)= f
не меняется при движении системы:
V[Gt]=V[G]. C)
В динамических системах механики таким инвариантом
обычно бывает так называемый фазовый объем системы.
Интегральный инвариант F[G] можно принять за меру
области G. Формула B) показывает, что эта мера неотри-
неотрицательна и вполне аддитивна, равенство C) — что она инва-
инвариантна относительно движений системы.
§ 7. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
235
Очень часто динамическую систему изучают при помощи
тех или иных пространств функций, заданных на многооб-
многообразии Ш. Рассмотрим, например, пространство Z.2B)i) всех
функций ср (л:), интегрируемых в квадрате по мере и, опре-
определяемой интегральным инвариантом системы. Движения дина-
динамической системы, естественно, порождают преобразования Qt
функций пространства L2 (Tl) по формуле
Q*v (х) = ср (Qtx).
Тем самым в пространстве L2 (Ш) функций, интегрируемых
в квадрате по мере {i, определено семейство операторов Qf.
Всилутого, что bZ.2BK) f<?2(Qty)F(y)dy = Jq2(y)F(y)dy,
это семейство образует однопараметрическую группу уни-
унитарных операторов.
Как и всякая однопараметрическая группа унитарных опе-
операторов, согласно теореме Стона *), эта группа порождается
некоторым фиксированным эрмитовым оператором А, так что
t=eitA
Qt=e
= Г eit
или, что то же,
где Ех — спектральное семейство оператора А.
Оператор А называется оператором бесконечно малого
сдвига и вычисляется по общей формуле
= Нт
QH — v
В нашем случае, как легко проверить, оператор А будет
дифференциальным оператором первого порядка, а именно:
d
~dt
f=o
dt
,=„=2
Yi
*) См. Ф. Рисе и Б. Секефальв и-Н а д ь, Лекции по функ-
функциональному анализу. ИЛ, М., 1954, стр. 408.

236 ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
т. е. А есть дифференциальный оператор первого порядка
. д
Предположим далее, что существует совершенное ядерное
пространство Ф, образованное из функций ср (х) ? L2 (Tt) и
плотное в последнем пространстве. Тогда мы можем приме-
применить основную теорему § 4. В силу этой теоремы спек-
спектральному семейству Ех оператора А отвечает полная система
производных
которые представляют собой функционалы на пространстве Ф.
Для обобщенных функций на пространстве Ф, естественно,
определены операции «сдвига», именно
Когда операцию сдвига Q* применяют к функции Х\(х)>
эта функция воспроизводится с численным множителем егГк;
действительно, мы имеем:
что и утверждалось.
Таким образом, обобщенные функций %х(х) являются
собственными функциями операторов движения Q*. Для
почти всех точек спектра X существуют функционалы (ху ср),
заданные на DA) (пространство функций, имеющих произ-
дхп
ЧТ°
§ 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 237
При X = 0 это был бы так называемый инвариантный функ-
функционал, аналог инвариантной меры «инвариантное распределение».
Известен ряд динамических систем со счетно-кратным лебеговским
спектром *). Для таких систем мы можем утверждать, что для почти
каждого X существует счетное число инвариантных функционалов
(х\ » ?)• Отметим, что задача о существовании производной —
в точке X = 0 не решена. Если бы она была сделана, то мы бы
получили, например, что для динамической системы со счетно-
кратным лебеговским спектром, кроме инвариантной меры, суще-
существует счетное число инвариантных функционалов, определенных
на один раз дифференцируемых функциях.
И. М. Гельфанд и С. В. Фомин показали, что, в частности,
такими динамическими системами являются системы, естественным
образом построенные на пространствах постоянной отрицательной
кривизны.
§ 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущем изложении мы иногда встречались с тем
фактом, что для некоторых уравнений каждое решение
в обобщенных функциях есть обычное решение. Так обстояло
дело для обыкновенных линейных уравнений л-го порядка,
и систем таких уравнений (с бесконечно дифференцируемыми
коэффициентами) (вып. I, гл. VII), для уравнения Лапласа
(вып. 2, гл. III), для уравнения Штурма — Лиувилля с коэф-
коэффициентами, обладающими непрерывной производной (§ 6).
В этом параграфе будет показано, что всякое обобщенное
решение эллиптического уравнения с достаточно гладкими
коэффициентами является обычным решением.
Сначала уточним постановку задачи.
Пусть
(^ ^ *:O A)
есть линейное дифференциальное уравнение порядка г, коэф-
коэффициенты которого aq{x) обладают непрерывными производ-
производными до порядка k ^ г. Вообще говоря, мы не можем под-
подставлять в левую часть вместо и любую обобщенную функцию,
поскольку любые обобщенные функции мы можем умножать
лишь на бесконечно дифференцируемые функции.
*) Спектр называется лебеговским, если каждая спектральная
мера аа (X) абсолютно непрерывна и все они эквивалентны обычной
мере Лебега.

238
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
Но оказывается, что левая часть имеет смысл для тех
обобщенных функций, которые являются при некотором до-
достаточно малом т производными порядка т от непрерывных
функций
и = DmF B)
(обобщенная функция порядка т).
А именно, мы определяем в этом случае Р
формуле
(х, -^—) и
по
\Я\<г
\q\<r
S (-
C)
Последнее выражение имеет смысл при r-{-nt-^.k,' что мы
и будем предполагать в дальнейшем выполненным. Если по-
полученное выражение обращается в нуль при любой основной
функции, то мы говорим, что обобщенная функция u — DmF
есть решение уравнения A). Заметим, что в этом случае
выражение C) обращается в нуль не только для бесконечно
дифференцируемой, но и для любой функции <р(х), финитной
и обладающей непрерывными производными до порядка
г-\-чг.
Если обобщенная функция и = DmF есть решение урав-
уравнения A) и в окрестности некоторой точки л;0 совпадает
с обычной функцией /(х), имеющей производные до по-
порядка г, то в этой окрестности и = и(х)=/(х) является
решением уравнения A) в обычном смысле. Действительно,
.если функция ср (х) вне указанной окрестности равна нулю;
то интегрированием по частям в интеграле C) можно пере-
§ 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 239
вести все дифференциальные операции на первый множитель,
что дает
Liei <r
*»]
(х) Dqu (х) Dqu (х)] ср (х) dx = 0;
и так как <р (х) произвольна, то всюду в указанной окрест-
окрестности
Таким образом, если мы хотим доказать, что уравне-
уравнение A) не имеет иных решений (в классе обобщенных функ-
функций вида B)), кроме обычных функций, нам достаточно по-
показать, что решение B) в окрестности каждой точки л;0
совпадает с обычной функцией, имеющей производные до
порядка г.
Это и будет проделано для симметричных эллиптических
уравнений A). Приведем теперь определение симметричного
эллиптического уравнения. Пусть, во-первых, оператор
симметричен; это означает, что для любых основных функ-
функций ср и ф
/ [J) aq (х) D*cp] «j, • dx =
или, что то же, для любой
Тот факт, что u(x) = DmF(x) есть решение уравнения A),
записывается в этом случае равенством
f
D)

240
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
для любой основной функции ср (х); очевидно, что предель-
предельный переход обеспечивает выполнение D) и для любой
функции ср (х), имеющей непрерывные производные до по-
порядка г-\-т.
Пусть далее
"(*?)=*.(*•?)+*.(* I)
есть разложение оператора Р на главную часть Ро, содер-
содержащую лишь производные наивысшего порядка г и группу
членов Рх с производными меньшего порядка. Будем пред-
предполагать, что однородная форма, получающаяся заменой
в операторе Ро оператора ^— на аргумент aj при всех ве-
щественных
о оператора ^—
значениях alt а2,
lt
ап
и любом х
отлична от нуля (для операторов с вещественными коэффи-
коэффициентами — знакоопределена).
Тогда уравнение A) называется симметричным эллиптиче-
эллиптическим (или просто эллиптическим) уравнением.
Теорема. Если коэффициенты ад(х) эллиптического
уравнения A) порядка г имеют непрерывные производные
до порядка k~^- г, то всякое решение и (х) этого уравне-
уравнения, являющееся обобщенной функцией порядка т ^ k — г,
есть в действительности обычная функция, обладающая
производными до порядка k, которая является тем са-
самым обычным решением уравнения A).
Доказательство. Как мы уже говорили, достаточно
показать, что у каждой точки х0 имеется окрестность U (х0),
в которой обобщенная функция и (х) совпадает с некоторой
обычной функцией /(х), имеющей производные до порядка k.
В дальнейшем будут использованы существование и свой-
свойства фундаментального решения уравнения A).
Определение фундаментального решения.
Для дифференциального оператора ^(тг) с постоянными
коэффициентами мы ввели это понятие еще в вып. 1 гл. III
§ 2. Мы называли там фундаментальным решением обобщен-
обобщенную функцию Е(х), удовлетворяющую уравнению
§ 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 241
Если g{x) — любая обобщенная функция (для определен-
определенности— финитная), то решение уравнения с правой частью g(x)
записывалось в виде свертки
u(x) = E(x)*g(x). F)
Для уравнений с переменными коэффициентами уже нет
смысла определять фундаментальное решение формулой E),
поскольку нельзя больше пользоваться формулой свертки.
Поэтому определение фундаментального решения имеет более
сложный вид. Пусть коэффициенты aq{x) эллиптического
уравнения A) имеют по-прежнему производные до порядка г.
Как показал Я. Б. Лопатинский, всегда существует функция
е (х, у), определенная при | х — х0 | < 8, \у — х0 | < о, обла-
обладающая следующими свойствами:
1°. По каждому из переменных х и у функция е(х, у)
при х ф у имеет непрерывные производные до порядка k и
удовлетворяет уравнению Ре = 0.
2°. Если fly) непрерывно дифференцируема до порядка
q^-l и обращается в нуль при \у — х0 \ ^ Ь, то при
| х — х0 | ^ о функция
<?(х)= f e(x, y)f{y)dy
имеет непрерывные производные до порядка q-\-k n удовле-
удовлетворяет уравнению
Z.cp=/.
На основании свойства 2° можно было бы формально напи-
написать:
Поэтому функцию е(х, у), удовлетворяющую перечисленным
требованиям, мы также будем называть фундаментальным
решением эллиптического уравнения.
Возвращаясь к доказательству нашей теоремы, обозначим
через a{t) (—со < t < со) бесконечно дифференцируемую
функцию, равную нулю при \t\ >3 и единице в некоторой
окрестности нуля. Пусть g(x) — некоторая функция, равная
ну --¦: при \х — х0 | ;>- 8 и имеющая непрерывные производ-
производные до порядка т.
16 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

242
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
Рассмотрим функцию
*(*) =
= / е (х, у)[а(х—у)—1] g{y) dy + J е (х, у) g{y) dy.
Эта функция имеет непрерывные производные, во всяком
случае, до порядка k-\-tn. Действительно, первый из инте-
интегралов в правой части обладает этим свойством в силу свой-
свойства 1° фундаментального решения (особенность исключена!);
второй из интегралов — в силу свойства 2° фундаментального
решения. Применим к функции h (х) оператор DmP(x, -^Л .
Так как, по свойству 2°,
Р(х, jz
то
, fc)e(x, У)\а{х, у)— 1] g(y)dy + Dmg(x).
Так как функция /z(x) имеет производные до порядка
^ г -\~т, то имеет место равенство D)
f F{x)Dmp(x, ^h
Следовательно,
DmP (x, ,^) h (x) dx =
%p(x, jj)e{x, y)[a(x, y)— l\g{y) dy]dx-\-
Dmg(x) dx = f[fF (y) D™P (y, ?) e (y, x) X
X [a(y, x)—l\ dy] g(x)dx + jF(x) Dmg(x) dx.
Отсюда следует, что
F(x)Dmg(x)dx = Jf(x)g(x)dx,
G)
§ 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 243
где
= — / F(y)D™p(y, -§})e(y, x)[a(y, x)—l]dy
непрерывна и имеет вместе с ядром е (у, х) непрерывные
производные до порядка k.
Но равенство G) и означает, что решение u = DmF(x)
есть (в окрестности точки х0) обычная функция /(х), обла-
обладающая непрерывными производными до порядка k. Теорема
доказана.
Следствие. Если коэффициенты оператора Р (х, ^-)
бесконечно дифференцируемы, то каждое решение этого
уравнения, являющееся обобщенной функцией в простран-
пространстве К, есть обычная бесконечно дифференцируемая функция
и тем самым — обычное бесконечно дифференцируемое реше-
решение. Для доказательства достаточно вспомнить, что каждая
обобщенная функция в пространстве К локально имеет ко-
конечный порядок, и затем применить доказанную теорему.
Собственные функции оператора А = р(х, -г-j являются
решениями уравнения
В § 6 мы видели, что у каждого вещественного само-
самосопряженного оператора существует полная система обоб-
обобщенных собственных функций Хх(х)> которые являются пер-
первыми производными от непрерывных функций.
Применяя только что доказанную теорему, получаем:
Теорема 2. Всякий симметричный эллиптический
оператор порядка г в п-мерном пространстве Rn, коэф-
коэффициенты которого имеют непрерывные производные до
порядка г, имеет полную систему собственных функций.
Все рассуждения настоящего параграфа базировались на
существовании фундаментального решения с указанными свой-
свойствами. Существование таких решений доказано Я. Б. Лопа-
тинским также и для систем эллиптических уравнений
в смысле И. Г. Петровского. Поэтому теоремы 1 и 2 на-
настоящего параграфа справедливы и для симметричных эллип-
эллиптических систем в смысле И. Г. Петровского.
16*

244
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[1
§ 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе мы рассмотрим поведение собственных
функций Х\(х) ПРИ \х\—>оо.
Ранее мы уже получили некоторые результаты в этом
направлении.
Так, мы видели, что первые интегралы от собственных
функций уравнения Штурма — Лиувилля растут не быстрее
—+е
| х\2 и получили аналогичные результаты для любых эллип-
эллиптических операторов.
Во многих случаях можно дать более определенные харак-
характеристики поведения собственных функций на бесконечности,
именно, для класса операторов, которые мы будем назы-
называть операторами Карлемана, мы покажем, что почти все
собственные функции Хх(х) ограничены по х.
1. Операторы Карлемана. Приведем определение опера-
операторов Карлемана.
Самосопряженный оператор А, действующий в гильберто-
гильбертовом пространстве L2(Rn), как известно, для всех невещест-
невещественных X обладает резольвентой — оператором (А—ХЕ) ,
имеющим конечную норму. Оператор А называется карле-
мановским, если существует хотя бы одно значение X, при
котором оператор (А — ХЕ)~ представляется как интеграль-
интегральный оператор
1 = fK(x, 5)<р(У**5,
причем ядро К(х, ?) удовлетворяет условию
К(х, Z)\2d?< С
A)
с постоянной С, не зависящей от х.
Для собственных функций операторов Карлемана имеет
место следующая теорема.
Теорема 1. Если А есть оператор Карлемана, то
почти все по мере <зх = (Ехе, е) собственные функции one-
ратора А '
ограничены по х.
§ 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
245
Доказательство. Обозначим через Lt пространство
суммируемых функций, определенных во всем простран-
пространстве Rn. Известно *), что всякий линейный непрерывный функ-
функционал (/, ср), заданный в Lx, имеет вид
= fl(x)c?(x)dx,
B)
где I (х)—ограниченная измеримая функция. Норма функ-
функционала A) равна vraimax |/(х)|.
Если мы покажем, что множество функций Ехе{х) поро-
порождает семейство непрерывных линейных функционалов в Lu
имеющее сильно ограниченную вариацию, т. е. такое, что
max
X
xf (х) |
М
C)
(константа М не зависит от х и разбиения), то на основании
теоремы 1 § 2 для почти всех \ по мере q будет существо-
существовать производная ^ • являющаяся функционалом над Lx.
Отсюда и будет следовать утверждение теоремы.
Для доказательства неравенства C) обозначим (Л — Хо?) X
Е{) через ' Ох(х), и пусть |е^| = 1. Пусть, далее,
() у |^| у
E\i+1e(x) — EXje(x) = f(x, Xj+1)—/(х, Xj). Воспользовав-
Воспользовавшись тем, что оператор А карлемановского типа, т. е. вы-
выполнено условие A), мы можем при любых sj написать ра-
равенства
w—л*. xi)i=
= f К (х, у)
х,Ч1 (У) — G4 (у) | dy.
"*) Л. А. Л ю с т е р н и к и В. И. Соболев, Элементы функ-
функционального анализа. Грстехиздат, М. — Л., 1951, § 22.

246 ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ [1
В силу неравенства Коши — Буняковского
/¦
V
dy.
D)
Так как при i ф j векторы EXi+1e (х) — Ехе (х) и EXj+le (x) —
— Ех.е(х), а вместе с ними и векторы GXi+l(x)— Gx.(x) и
x.
(x) —
ортогональны, то неравенство D) дает:
-^f d* (X) < CC, *).
E)
Поскольку г^ могут быть выражены произвольно, неравен-
неравенство B) доказано. Попутно мы доказали, что производная
—\ есть обычная функция.
Замечание 1. Вместо требования существования резоль-
резольвенты с условием A) можно было бы потребовать, чтобы при не-
некотором т оператор (Л — Х0Е)~т был интегральным с ядром,
удовлетворяющим тому же условию. Такие операторы мы
будем называть обобщенными карлемановскими. Доказа-
Доказательство теоремы 1 для обобщенных карлемановских опера-
операторов проходит по той же схеме, с заменой
на
Замечание 2. Если известно, что ядро К(х, у) резольвенты
оператора А удовлетворяет неравенству
j* /С9 (х, y)dy<CM(\x
где | х | = \ х\ -\- ... + х\ и М (I х |) — монотонная функция от | х
то аналогично показывается, что собственные функции растут не
быстрее СМ (| х |) (С — некоторая константа).
'*) Интеграл в правой части неравенства E) существует, так как
е (х) принадлежит области определения оператора Л.
2]
§ 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
247
Замечание 3. Собственные функции —~--—-, вообще го-
воря, не будут равномерно ограничены по X. Однако можно пока-
показать, что для любого числа N найдется множество SN меры, мень-
меньшей —, и такое, что если из спектра оператора А выбросить
множество SN, то на оставшейся части собственные функции будут
ограничены равномерно и по X.
В качестве примера рассмотрим стационарное уравнение
Шрёдингера во всем пространстве
— Ди -f-<7(x) и = Хи, х = {хх, х2, х3), <7(х)>>С0>> — сю.
При —Хо-\-С0 = а >> 0 резольвента оператора —/\-\-qeci:b
интегральный оператор с ядром К(х, у, ).о), для которого
выполнено условие [ ] *)
п-Уа г
К{х, у,
х—у\.
Из этого неравенства следует, что оператор —
карлемановского типа. Отсюда вытекает
Теорема 2. Если ^(х)>>С0>> — оо, то по мере qx,
отвечающей функции а(к) = (Ехе, е), почти все собствен-
dExe
ные функции ух (х) = -г-^- уравнения Шрёдингера
~\-qu = )м ограничены, по х.
¦Аи ¦
2. Эллиптические операторы. В предыдущем пункте
было показано, что у карлемановских операторов собствен-
собственные функции ограничены по х.
Напомним, что оператор А мы назвали карлемановским,
если при некотором X существует резольвента (А — ХЕ)~ ,
которая является оператором интегрального типа:
(А
в
*) Отметим, что ядро резольвенты оператора La = — Ди -(- аи
равно точно
веркой.
.в чем легко убедиться непосредственной про-

248
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[2
причем ядро К(х, ?) таково, что
К(х,
С,
в
где С не зависит от х.
Если некоторая итерация резольвенты есть оператор
интегрального типа
(А — \Е)~т9 (х) = f K(x, Е) ср @ </*,
удовлетворяющий тому же условию A), то, как было ука-
указано в замечании 1 к п. 1, теорема об ограниченности соб-
собственных функций остается справедливой; оператор А мы
назвали в этом случае обобщенным карлемановским.
Возникает вопрос, какие из дифференциальных операто-
операторов обладают этими свойствами.
В этом параграфе мы укажем один важный широкий
класс операторов, именно эллиптических полуограниченных
дифференциальных операторов, которые заведомо будут обоб-
обобщенными карлемановскими.
Прежде чем давать точные формулировки и доказатель-
доказательства, скажем несколько слов о тех соображениях, которые
приводят к дальнейшим построениям.
Рассмотрим равенство
со
?-atdt==±.
а
имеющее место при а >> 0.
Если формально вместо числа а подставить в этом равен-
равенстве оператор В, то мы получим равенство
или, применяя операторы е и В к фиксированному эле-
элементу сро(х),
2]
§ 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
249
Вектор e~Bty0 (х) — ср {t, x) есть решение (опять-таки, фор.
мальное) задачи Коши
<р@, jc) = (po(jc).
Эти эвристические соображения приводят к мысли о воз-
возможности построения резольвенты (А — ХЕ) с помощью
решения задачи Коши для уравнения
*Р (*. -*) _ ,л
dt
t, x)
путем интегрирования этого решения по t от 0 до оо. Так
как решение задачи Коши во многих случаях записывается
в форме интеграла типа Пуассона
ср(х, 0= f K(x, S,
л
то в результате интегрирования по t мы получим некоторый
интегральный оператор; останется исследовать свойства ядра
этого оператора и выяснить, в частности, когда выполняется
карлемановское условие.
Теперь мы переходим к точным формулировкам.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор вида
+*"&• x)u- B)
Здесь Рг(-5—, х) означает однородный многочлен относи-
относительно -з— порядка г, с вещественными коэффициентами,
ограниченными во всем л-мерном пространстве вместе с произ-
произx\
означает многочлен
водными до порядка г; Rr_
относительно ^—- порядка не выше г—1, коэффициенты
которого ограничены во всем пространстве вместе с произ-
производными первого порядка.
Оператор А предполагается симметричным и эллиптиче-
эллиптическим в том смысле, который мы разъяснили в начале преды-
предыдущего параграфа,

250
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[2
Кроме того, мы будем предполагать, что оператор А
полуограничен снизу, т. е. для всех / из своей области
определения он удовлетворяет неравенству
(л/, f)>C(f, f)
с фиксированной постоянной С. Условие полуограниченности
снизу во многих случаях есть следствие условия эллиптич-
эллиптичности; но поскольку соответствующей общей теоремы нет,
мы вынуждены это условие налагать дополнительно.
Рассмотрим интересующую нас задачу Коши
да (х, t) , . , р \
dt — их,, (з)
и(х, О) = сро(х). J
Прежде всего мы произведем в этом уравнении замену
неизвестной функции по формуле
и (х, Я = extv(x, Я,
после чего уравнение преобразуется к более простому виду
dv (х, ?)
dt
= —Av(x, t)
D)
с новым начальным условием
v(x, О) = фо(х).
Уравнение D) есть параболическое уравнение в смысле Пет-
Петровского.
Мы указали в гл. III, § 2,4, что решение задачи Коши
для параболического уравнения D) с теми условиями на коэф-
коэффициенты, которые были сформулированы выше, записы-
записывается в форме интеграла Пуассона
v(x, t)= J О (х, 6, t) % (?) d\,
в
причем ядро G (х, ?, Я удовлетворяет условию
_ 6 |сс-?|г'
I G (х, ?, Я I < С "
E)
где М — некоторая постоянная.
?.] § 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 251
Для и (х, t) мы получаем выражение
и (х, t) = ext I G (х, ?, t)ty0Cz)dZ,= j G^jc, ?, t)^0{%)d%,
где G\(x, ?, Я = extG (x, |, Я удовлетворяет неравенству
F)
Если взять X <—M, то для функции Ох(х, \, t) интеграл
по t от 0 до оо будет заведомо сходиться. (Заметим, что
при ? — 0 правая часть F) обращается в нуль.)
Итак, мы можем построить выражение
ill
в
[о
Ox(x,
J
Покажем теперь, что этот интегральный оператор (над
функциями ф0 (?)) совпадает с оператором (А — ХЕ).
Мы воспользуемся при этом следующим результатом
спектральной теории эллиптических дифференциальных опе-
операторов, принадлежащим Ф. Броудеру и Л. Гордингу.
Оператор А, как симметричный и полуограниченный снизу,
может быть расширен до самосопряженного, который будет
также полуограничен снизу (см. введение к гл. IV), так что,
сохраняя прежнее обозначение А для расширенного опера-
оператора, мы имеем:
(A<f, cp)>C0(cp, <р)
для всех ср из области определения оператора А.
Как и всякий самосопряженный оператор, А обладает
спектральным разложением
A = J ridEri,
s
причем спектр 5 оператора А располагается на полупрямой
^о^С7!^00- Известно, что резольвента (А — \Е)~1 любого
самосопряженного оператора существует по крайней мере
для всех невещественных X. Оказывается, что для эллипти-
эллиптического дифференциального оператора А резольвента везде5

252
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
[2
где она существует, в частности, при всех "К < Со представ-
представляется в форме интегрального оператора
(А — IE)-х ср = Яхср = J k (х, у, I) ср (у) dy,
в
G)
где функция k(x, у, X) выражается через так называемое
спектральное ядро ty(x, у, X) и спектральную меру г(т]) по
формуле
(S — спектр оператора А).
Ядро ф(х, у, X) при каждом фиксированном т\ по х имеет
производные до порядка г и удовлетворяет (в обычном смысле)
уравнению
,y,ri) (8)
и для любой функции 9 (х) из области определения опера-
оператора А функция от у]
/ <г О> У' "П) ? (У) аУ
абсолютно интегрируема по мере з {г\) и имеет место равенство
/(*)= /{ f^(x,y,fl)f(y)dy}dx(ri). (9)
Можно сказать, что в ядре ф(х, у, ч\) собраны все собствен-
собственные функции, отвечающие одному и тому же т\.
Покажем теперь, что в рассматриваемом нами случае ядро
4 (х, %, X) связано с функцией Gx(x, ?, X) формулой
, %,t)dt.
ср
Для этого образуем функцию
v(x,t) =
J ф (jc,
где к < Со
2] § 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В силу (9)
Далее,
253
v (х, 0) = ср (х)*.
s
так как
t у, ¦n)<?(v)dy
= — (Л —
и оператор AXt действующий по координате х, может быть
вынесен за знаки обоих интегралов.
Следовательно, функция v(x, t) есть решение задачи Коши
для уравнения C) с начальным условием v (х, 0) = ср (х),
поэтому в силу единственности решения задачи Коши можно
написать:
B
= j*
Rn
Интегрируя по t в пределах от 0 до со и имея в виду, что
со
| Gx(x, %, t)dt абсолютно сходится, получаем:
R
СО
= f fGx(x,S,t)<p($)dtdS,
Rn

254 ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ [2
или, поскольку ср (?) произвольна,
оо
К(х, 5, Хо) = f ф ^'J-^ ds Gj) = f Ox (x, %, t) dt, A0)'
что мы и утверждали.
Заметим, что ядро интегрального оператора, которым
является резольвента (А — \Е)~г любого полуограниченного
самосопряженного расширения оператора А, определено фор-
формулой A0) однозначно. Из этого следует единственность
резольвенты и, следовательно, единственность самосопряжен-
самосопряженного расширения самого оператора А (поскольку резольвента
отображает все пространство на область определения опе-
оператора А). Если бы исходный оператор был не самосопря-
самосопряженным, то он обладал бы по крайней мере двумя различными
самосопряженными полуограниченными расширениями. Мы
получаем несколько неожиданный вывод: всякий симме-
симметричный эллиптический полуограниченный оператор
с теми условиями на коэффициенты, о которых было
сказано выше, является самосопряженным.
Теперь нам остается показать, что ядро
K(x, Z,X)= I Gx(x, %, t)dt
резольвенты оператора А (или некоторой ее итерации) удов-
удовлетворяет неравенству
где С не зависит от х.
При интегрировании функции | К(х, $, X) \2 по 5 мы рас-
рассмотрим вначале область, где |? — х\^1. Покажем, что
в этой области для К(х, ?, X) справедлива оценка
(П)
2] § 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 255
Воспользуемся оценкой F):
at 6|сс-?|г
\Gx(x,t,t)\^.Ce~e tWr-i) t
a = — M — X >0.
Обозначим x — 5 через у и разобьем интеграл A0) на
б
два слагаемых следующим образом:
При этом
l
1 со
О 1
Ь | у \г'
Мг-1)
dt =
Далее,
12/!
о
о
1 „ ? 1 v \г'.
*1
*1/ir-l)di
A2)
\у\

256 ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ , [2
заменяя в первом из интегралов t на большую величину \у\
и используя тот факт, что г' ^1== 1» получаем, наконец:
оо сю
' f e-atdt-\-C
о \у\
= ?e-b\y\r' _jr<le-a\y\_
Из A2) и A3) следует, что при | ? — х\:=\у\^> 1 оценка A1)
справедлива.
Из этой оценки следует, что
f
f
A4)
где С2 не зависит от х.
Теперь рассмотрим ядро К(х, !•, X) в области \х— %\^С 1.
Мы покажем, что в этой области оно удовлетворяет нера-
неравенству
$,Х)|< \х\\*' s<n-
Для доказательства снова воспользуемся оценкой F) и
положим х — ?=_у:
Ь\у\г'
Заменим здесь e~at на большую величину At~^ (p > 0);
тогда мы получим:
. 5, 01
Для обеспечения сходимости последующего интеграла по /
в пределах от 0 до оо будем предполагать, что C >> 1 .
2] § 9. асимптотика собственных функций
Дальнейшая подстановка
257
4
хг-1
приводит к неравенству
I K(x, S, X) |
Gx (j:, 5, t) | rf/ <
где через а обозначено выражение г — (—-j-
Выберем р так, чтобы удовлетворялось неравенство
1 < Р< 1. Мы видим, что оценка A5) справедлива,
что и утверждалось.
Итак, ядро К(х, -, X) удовлетворяет неравенствам
при |х—!
!, A6)
¦- A7)
Оценки A6) и A7) можно объединить в одну оценку,
справедливую при всех х и ?:
^ 7? i ^ . i i
\К(х, ?,/.)
Если 5 < -я- т. е. /• > -^-1 , то, очевидно, интеграл
A8)
ГЧ*. 5, Х)| fif;
существует и не превосходит постоянной, не зависящей от х,
Таким образом, оператор А в этом случае является карле-
мановеким.
1 7 Зак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

258 гл. iv. разложения по собственным функциям |2
Пусть s~^> —. 3 этом случае нам придется рассмотреть
итерации ядра К(х, с. X).
Положим К(х, Н, /.) = jKx {xt ?) и построим итерирован-
итерированное ядро
К¦, (х, t) — J Ki (х, т.) К] (q, ?) drh
Мы имеем при этом
! К-* (х, ?); -< Г j /Ct (х, г;) /С, (rj, ?) | rfi] ¦<;
Положим здесь -q
-~(х-—S) — - и х
= d-s x — ~i\ ~~
= z; тогда
Мы ислользуем далее неравенстве
A9)
ямеющее место при люоых t я z. Для доказательств"; его
справедливости заменим его эквивалентным неравенстном
где о =¦—— , и s = --- — еди.-:и-;!гы!-': зектор. Нгразеас-
йогло бы карушаться, лишь если бы оба слагаемые
част:.: былл бы игньта — ; но мы кнели бы тогда | v
B0)
B0)
девод
9
— а < -т . что очезидно. аевоэмиж ю.
Из неоавенства AЭ) следует cu.f-.'Hica
15_
CL~
2J
§ 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 25У
Последний интеграл ограничен ща \z\^2, так как при этом
в
J < J '
i x i > i • i: i < :
.Г"
При | z \ ^ 2 преобразуем интеграл в (,21) следующим образом:
_в_.
f ±J^_ ., /' d-.
B2)
tj знаменателе пео^ег j слагаемого заменим i г. | на мень-
шую велачкну т-;-г|; иыкеегм за знак интеграла :—- и затем;
после з?ие«~1 .г — -с = сз. ^ычксл:ли лояу-нзшкис? интеграл
¦" ;" ! - \:L~- da й'л
ч . i-J-?i
:л затем,
X 7*
уггле второго слагаемого .в {22) заменим ] 2 — tj
яеличину —)z\, зьнтесен за знак читеграла :
узе.;иь=из золасть интегрирования до полного шара

260
ГЛ. IV. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
|x|^2[z|, вычислим получившийся интеграл в сферических:
координатах:
dz „ 2'
\z—.\>\\~\
L Г
2|S|
_ 2J /" /* \z\n~x d
\z\* J J I т I
2 о
2*
о
|гГ " —* |г| —" [г Г" "
Наконец, в знаменателе третьего слагаемого в B2) заме-
II 1 i i
ним ]т — z\ на меньшую величину -^-|т| и вычислим инте-
интеграл также в сферических координатах:
/
.в
~~2
hl>2|z|
\Z —
2 2 |s J
со
1-1-2S
cflx
i-'d —
2|г| ¦' "•' 4
В результате для интеграла B1) мы получаем оценку вида
Н ^ !Т| , |2d-H '
а для всего ядра К->(х, ?) — неравенство вида
Таким образом, после итерации показатель i' заменился
на s1 = 2s — п. Очевидно, что п — st — 2 (я — s), так что
новый показатель sL удален от числа п вдвое далее, чем
прежний показатель s. Продолжая итерирование, мы придем
в конце концов к показателю, обеспечивающему интегрирую
мость квадрата соответствующего ядра (с оценкой, не завн-
1
2]
§ 9. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
261
сящей от д;). Можно получить, если угодно, после несколь-
нескольких итераций и ядро, ограниченное при х = %.
Мы видим, что во всех случаях рассматриваемый опера-
оператор представляет собой либо карлемановский, либо обобщен-
I' 'Ч карлемановский оператор. Таким образом, учитывая
,зультаты п. 1, мы приходим к теореме:
Теорема 3. Линейный дифференциальный оператор
с теми условиями на коэффициенты, о которых было
сказано выше (стр. 249), эллиптический и полуограничен-
полуограниченный снизу, всегда самосопряжен и допускает полную
систему собственных функций, из которых почти все
{по спектральной мере аа (X), § 4) ограничены по х.
Замечание. Приведенные выше рассуждения проходят
без изменения и для некоторых систем уравнений, называемых
сильно эллиптическими (по Вишику), поскольку для таких
систем остаются справедливыми все результаты теории
Ф. Броудера и Л. Гординга.
3ак. 2918. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов

ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
К гл. I
Пространства типа W были введены и исследованы Б. Л. Гу-
ревичем [41]. Они представляют собой обобщение (с заме-
заменой степенных функций на произвольные выпуклые) и усовершен-
усовершенствование (в определениях и доказательствах) основных пространств
Кру 1?, Z*, введенных авторами ранее в [38].
Несколько более общая схема пространств (с теорией двой-
двойственности) была предложена Л. Хормандером в [13].
Теорема Б. Я. Левина о существовании целой функции с задан-
заданной обобщенной индикатрисой роста: [52], гл. 2.
К гл. II
§§ 1—5. Метод Хольмгрена, см. [11]. Первые общие теоремы
о классах единственности решения задачи Коши для систем эволю-
эволюционного типа с постоянными или зависящими только от t коэф-
коэффициентами были установлены И. Г. Петровским [56]. Именно,
И. Г. Петровский показал, что класс всех ограниченных при
—: со <С Xj <1 со и непрерывных функций является классом един-
единственности для любой такой системы. Эта теорема была обобщена
на класс всех функций степенного роста В. Э. Лянце [55] и, с исполь-
использованием теории распределений (функционалов на пространстве S),
Л. Шварцем [21]. Построение классов единственности, состоящих из
экспоненциально растущих функций, для любых систем Петровского
было произведено авторами: в [38] — методом преобразований
Фурье экспоненциально растущих функций, и в [39]—операторным
tp(JL\
методом, с использованием операторов е \ах' в пространствах 5^;
отметим, что в статье [38] было впервые введено понятие приве-
приведенного порядка системы (как порядка роста разрешающей мат-
матрицы е*рЩ.
Характеристика классов единственности приводится здесь
в улучшенном виде по сравнению с [38] и [39] ('показатель р'й— е
заменен на р'^\ это улучшение было предложено независимо
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
263
К. И. Бабенко [26], Б. Л. Гуревичем [41] и С. Д. Эйдельманом [64].
Г. Н. Золотарев [43] показал, что для любой эволюционной системы
класс функций с экспоненциальным порядком роста ^р'й-\-г при
любом ? > 0 уже не является классом единственности.
Ранее классы единственности решения задачи Коши для частных
типов уравнений (уравнение теплопроводности и близкие к нему)
были указаны Е. Хольмгреном [12], и А. Н. Тихоновым [581, для
общего параболического уравнения—-О. А. Ладыженской [51], для
общей параболической системы — С. Д. Эйдельманом [62]. Для
уравнения теплопроводности С. Тэклинд [22] и для системы, пара-
параболической по Петровскому, Г. Н. Золотарев [42] получили необ-
необходимые и достаточные условия того, чтобы класс функций, опи-
описываемый неравенством \/{х)\^Сеф(-ав\ был классом единствен-
единственности решения задачи Коши.
Первоначальное определение гиперболической системы и дока-
доказательство разрешимости для таких систем задачи Коши при любых
достаточно гладких начальных данных принадлежит И. Г. Петров-
Петровскому [56]. Л. Гординг [6] предложил несколько более широкое
определение, дающее возможность доказать и обратную теорему
(всякая система, для которой задача Коши разрешима при любых
достаточно гладких начальных данных — гиперболическая). См. по
этому поводу гл. III, § 3. Аналогичные теоремы были доказаны затем
Шварцем [21] методом теории распределений. Иной подход к тео-
теоремам единственности, основанный на применении преобразования
Лапласа по t (и пригодный, по-видимому, только для случая одного
пространственного переменного) указан Э. Хилле (см. [10] и при-
приведенную там литературу).
К § 6. Сведение изучения роста функций е ^ в комплексной
плоскости к изучению роста вещественных частей характеристиче-
характеристических корней матрицы Р (s) с помощью неравенства F), было пред-
предложено Г. Е. Шиловым [59]. Оценка коэффициентов в интерполя-
интерполяционной форме Ньютона с помощью интегрирования в комплексной
плоскости взята из книги А. О. Гельфонда [40]. Формула для вычи-
вычисления приведенного порядка найдена В. М. Борок [31]. В этой же
работе В. М. Борок показала, что всякая система с целым приведенным
ди D (. д\
ди D (. д
порядком р0 приводится к системе т- = Я01г ^-
у которой
^ р
порядок дифференциального оператора р0 не превосходит р0 (в част-
частности, для гиперболических систем равен 1);система же с дробным
приведенным порядком
— -Р (t д\„
Ро = — приводится
к системе вида
где
J q, а порядок оператора Ро не прево-
превосходит р.
К § 7. Основной результат этого параграфа принад-
принадлежит Г. Е. Шилову [60]. Здесь он приведен в улучшенной
форме (А <С 1 заменено на h<^{2p0y\ найденной в дипломной ра-
работе И. И. Шулишовой.
Заключительное замечание высказано Ю. А. Дементьевым.
18*

264
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Результаты добавления 1 принадлежат Б. Л. Гуревичу [41].
Результаты добавления 2 принадлежат А. Г. Костюченко и
Г. Е. Шилову; публикуются здесь впервые.
Результаты добавления 3 принадлежат А. Г. Костюченко [45];
здесь они приведены в более полной формулировке. Теорема Эйдель-
мана о решении задачи Коши для систем с эллиптическими опера-
операторами: [63].
К гл. III
Первые общие теоремы о классах корректности задачи
Коши для систем эволюционного типа с постоянными или завися-
зависящими только от t коэффициентами были найдены И. Г. Петровским
[56]. Именно, он показал, что «условие А» (см. стр. 126 этого
выпуска) необходимо и достаточно, чтобы класс функций, ограни-
ограниченных при — оо < Xj < со вместе с некоторым числом производ-
производных, был классом корректности задачи Коши для системы вида
_ = Р (—•) и. Классы корректности, состоящие из функций экспо-
ненциального типа, в специальных случаях были указаны: Е. Хольм-
греном [12] и А. Н. Тихоновым [58]—для уравнения теплопровод-
теплопроводности, С. Тэклиндом [22] — для уравнения — = —— , О. А. Лады-
dt дх v
женской [51] — для общего параболического уравнения, С. Д. Эйдель-
маном [62] — для параболических (по Петровскому) систем. Общее
построение классов корректности для любых систем эволюционного
типа было произведено Г. Е. Шиловым [59]; подробное изложение
публикуется здесь впервые.
§ 2. Системы, параболические по Петровскому — см. "[56].
Общее определение параболических систем — см. Шилов [59].
Вычисление характеристик системы с одним пространственным
переменным — см. В. М. Борок [32]. Системы, параболические
по Петровскому, с коэффициентами, зависящими от пространствен-
пространственных переменных — см. Эйдельман [63].
Так как фундаментальное решение параболической системы —
бесконечно дифференцируемая функция (по х), то и каждое реше-
решение (в классе корректности) бесконечно дифференцируемо (по х),
хотя бы начальная функция была бы только локально суммируемой.
Как показала В. М. Борок [30], этим свойством обладают только
параболические системы.
§ 3. Системы, гиперболические по Петровскому — см. [56],
по Л. Гордингу—см. [6].
§ 4. Системы, корректные по Петровскому, у самого
И. Г. Петровского назывались системами «с условием А». В работе
С. А. Гальперна [34] был введен класс систем, занимающих в классе
систем, корректных по Петровскому, такое же положение, какое
образуют гиперболические по Петровскому системы в классе всех
гиперболических систем. Системы с положительным родом (равнымр0)
были введены авторами в [38] под названием «регулярных систем»;
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
265
затем А. Г. Костюченко и Г. Е. Шилов доказали для этих систем
теорему существования решения задачи Коши в классе функций
порядка роста ехр е | х \ро с любым е >0 [48]. Эточцоказательство
послужило основой доказательства общих теорем существования,
приведенных в этом параграфе. С. Д. Эйдельман указал в [64], что
к числу регулярных систем принадлежат некоторые системы физики
и механики (например, уравнение распространения звука в вязком
газе, приведенное у нас на стр. 155). Формулы для вычисления
характеристик систем с одним пространственным переменным
были найдены В. М. Борок [32]. Теорема 4 была получена
А. Г. Костюченко и Г. Е. Шиловым; публикуется впервые.
§ 5. Один из классов корректности для систем, названных
нами условно корректными, состоящий из бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций экспоненциального роста, был указан В. Э. Лян-
це [55].
Ф. Джон [14] подошел к условно корректным системам с другой
стороны: он дал описание систем, обладающих хотя бы одним реше-
решением с финитной (ненулевой) начальной функцией.
Результаты п. 3 (корректность в аналитической области) принад-
принадлежит А. Г. Костюченко (см. [59]); подробное изложение публи-
публикуется впервые. В дальнейшем вопросом о разрешимости систем
с целыми функциями в качестве начальных данных занимался
Л. Эреипрейс [5].
К гл. IV
История проблемы о разложениях по собственным функ-
функциям изложена во введении к этой главе. Приведение инте-
интегральных квадратичных форм к каноническому виду и одновре-
одновременно доказательство полноты системы функций Штурма — Лиу-
вилля в регулярном случае (теорема Стеклова) — Д. Гильберт [9].
Собственные функции произвольного вполне непрерывного опера-
оператора— Ф. Рисе [19]. Спектральное разложение (неограниченного)
самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве — фон
Нейман [17]. Расширения симметричных операторов, в частности,
полуограниченных (теория Неймана, Фридрихса, Крейна и др.) [49]
и «Лекции по функциональному анализу» Ф. Рисса и Б. Секефальви-
Надя. Разложение по собственным функциям обыкновенного диф-
дифференциального оператора 2-го порядка на полупрямой—Г. Вейль [24]
(новое изложение дано Е. Титчмаршем [23] и Б. М. Левитаном [53];
то же для дифференциального оператора /г-го порядка — М. Г. Крейн
[50] и К. Кодаира [15]. А. Я. Повзнер построил разложение по
собственным функциям для оператора в частных производных
— Ди -f- q (х), заданного во всем пространстве [57]. Ф. Маутнер [16]
доказал теорему о разложении для общих самосопряженных опера-
операторов, резольвента которых есть интегральный оператор с ядром
Т. Карлемана; Ф. Броудер [1] и Л- Гординг [7] — [8] показали, что
таковыми являются все эллиптические операторы, и тем самым
установили теорему о разложении для всех эллиптических опера-
операторов.

266
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
§ 2. Дифференцирование функционала сильно ограниченной
вариации в банаховом пространстве впервые рассматривал И. М. Гель-
фанд [35] и, независимо, Н. Дэнфорд [4] и Б. Петтис [18].
§§ 3—5. Результаты этих параграфов принадлежат И. М. Гель-
фанду и А. Г. Костюченко [36]. Ф. Броудер [2] перенес основную
теорему на случай симметричных максимальных операторов; см.
также А. Г. Костюченко [44], где распространены на этот случай
и теоремы о структуре обобщенных собственных функций. После
появления заметки [36] Ю. М. Березанский [27] предложил иной
подход для получения разложений по собственным функциям в про-
пространстве L^{Rn); как указал в своем сообщении на III Всесоюз-
Всесоюзном математическом съезде Л. Гординг (июнь 1956 г.), им были
также получены разложения по обобщенным собственным функциям
для дифференциальных самосопряженных операторов в L2 {Rn)-
Ю. М. Березанский показал далее, что первообразные от собствен-
рых функций растут (в л-мерном пространстве) не быстрее
| х |
А. Г. Костюченко затем улучшил этот результат до
оценки | х | 2 [44].
В другой работе [28] Ю. М. Березанский обобщил на разложе-
разложения по собственным функциям теорему Бохнера о представлении
положительно определенных функций.
Задача С. Л. Соболева, которой занимался Р. А. Александрян:
[25].
Результаты § 6 принадлежат А. Г. Костюченко [44], § 7 —
И. М. Гельфанду и А. Г. Костюченко [36]. Теорема И. М. Гель-
фанда и С. В. Фомина о динамических системах на пространствах
постоянной отрицательной кривизны — [37].
§ 8. Построение и исследование фундаментального решения
для общего эллиптического уравнения и эллиптической системы —
Я. Б. Лопатинский [54]. Первые теоремы о свойствах регулярности
решений эллиптических уравнений были даны С. Н. Бернщтейном
[29] и получили впоследствии многочисленные обобщения. Л. Шварц
[20] показал, что всякое решение эллиптического уравнения
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, предполагаемое
заранее только обобщенной функцией, является обычной бесконечно
дифференцируемой функцией.
Приведенная здесь теорема, принадлежащая А. Г. Костюченко
[44], является развитием метода Шварца на- случай уравнений
с коэффициентами только конечного порядка гладкости.
§ 9. Результаты этого параграфа принадлежат А. Г. Костюченко
[46] — [47]. Ранее, для уравнения — у" -|- q (¦*) У = А._у с q (x) ;> — С,
Э. Э. Шноль [61] показал, что почти все собственные функции
растут не быстрее С \ х |1//2+е. На возможность представления резоль-
резольвенты самосопряженного оператора в форме интегрального опера-
оператора указывали: Т. Карлеман [3], А. Я. Повзнер [57] (для эллиптиче-
эллиптических операторов второго порядка), Ф. Броудер [1], Л. Гординг [7]
(для общих эллиптических операторов). Сильно эллиптические
системы — М, И, Вишик [33]
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
267
БИБЛИОГРАФИЯ
[1] Browder F., The eigenfunction expansion theorem for the
general self-adjoint singular elliptic partial differential operator, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 40, № 6 A954), 454—467.
[2] Browder F., Eigenfunction expansions for formally self-
adjoint partial differential operators, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 42
A956), № 10, 769—773; № 11, 870—873.
[3] С a r 1 e m a n Т., Sur la theorie mathematique de Fequation
de Schroedinger, Arkiv for Math. Ast. och. Fysik, 24, № 11 A934), 1—7.
[4] Dunford N., Uniformity in linear spaces, Trans. Amer.
Math. Soc, 44 A938), 305—356.
[5] E h r e n p r e i s L., Cauchy's problem for linear differential
equations with constant coefficients, Proc. Nat. Acad. Sci USA, 42, № 9
A956), 642—646.
[6] Garding L., Linear hyperbolic partial differential equations
with constant coefficients, Acta Math., 85, № 1—2 A951), 1—62.
[7] Garding L., Eigenfunction expansions connected with
elliptic differential operators, 2 Skand. Mat. kongr. Lund. 1953 A954)
44—55.
[8] G a r d i n g L., Applications on the theory of direct integrals
of Hilbert space to some integral and differential operators. Public
lecture published by the Institute for Fluid Dynamics and Appl. Math,
of the University of Maryland A954).
[9] H i 1 b e r t D., Grundzuge einer allgemeinen Theorie der
linearen Integralgleichungen, Leipzig und Berlin, 1921.
[10] H i 11 e E., Some aspects of Cauchy's problem, Proc. Intern.
Congr. Math., 1954, Amsterdam 3 A956), 109—116.
[11] Holmgren E., Ober Systeme von linearen partiellen Diffe-
rentialgleichungen, Ofversigt Kongl. Vetens.-Akad. Forh., 58 A901),
91—103.
[12] Holmgren E., Sur les solutions quasianalytiques de
l'equation de la chaleur, Arkiv for math., 18 A924).
[13] H Or m an d er L., La transformation de Legendre et le theo-
reme de Paley —Wiener, С R. Acad. Sci., 240, № 4 A955), 392—395.
[14] John F., Non-admissible data for differential equations with
constant coefficients, Comm. pure and appl. Math., 10, № 3 A957),
391_398.
[15] Kodaira K-, On ordinary differential equations of any even
order and the corresponding eigenfunction expansions, Amer. J. Math.,
74 A950), 502—544.

268
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
[16] Mautner F., On eigenfunction expansions, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 39, № 1 A953) (русск. перевод в Успехах матем. наук 10,
№ 4 A955), 127—132).
[17] NeumannJ. von, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher
Funktionaloperatoren, Math. Ann., 102 A929), 49—131.
[18] Pettis B. J., A note on regular Banach spaces, Bull. Amer.
Math. Soc, 44 A938), 420—428.
[19] Riesz F., Uber lineare Funktionalgleichungen, Acta. Math.,
41 A917), 71—-98 (русск. перевод в Успехах матем. наук, № 1 A936),
175—199).
[20] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1 et 2, Paris,
1950, 1951.
[21] Schwartz L., Les equations devolution liees au produit
de composition, Ann. de l'lnst. Fourier, Grenoble, 2 A950), 19—49.
[22] T а с k 1 i n d S., Sur les classes quasianalytiques des solu-
solutions des equations aux derivees partielles du type parabolique, Nord
Acta Regial Sosietatis Scientiarum Upsaliensis D), № Ю A937).
[23] Titshmarch E., Eigenfunctions expansions associated with
second-order diferential equations. Oxford, 1946.
[24] Weil H., Ober gewuhnliche lineare Differentialgleichungen
mit singularen Stellen und ihre Eigenfunktionen, Gottingen Nachrich-
ten A909), 37—64,; 442—467; Math. Ann., 68 A910), 220—269.
[25] Александрии Р. А., О проблеме Дирихле для уравне-
уравнения струны, ДАН СССР, 73, № 5 A950), 869—872.
[26] Б а б е н к о К. И., Об одной новой проблеме квазианали-
квазианалитичности и о преобразовании Фурье целых функций, Труды Моск.
матем. об-ва, 5 A956), 523—542.
[27] Березанский Ю. М., О разложении по собственным
функциям общих самосопряженных дифференциальных операторов,
ДАН СССР, 103, № 3 A956), 379—382.
[28] Березанский Ю. М., Обобщение теоремы Бохнера
на разложения по собственным функциям уравнений в частных
производных, ДАН СССР, ПО, № 6 A956), 893—896.
[29] Бернштейн С. Н., Sur l'analycite des solutions des
equations aux derivees partielles elliptiques, Leupzig, Teubner, 1904;
см. также Успехи матем. наук, № 8 A941), 82—99.
[30] Б о р о к В. М., Об одном характеристическом свойстве
параболических систем, ДАН СССР, ПО, № 6 A956), 903—905.
[31] Б о рок В. М., Приведение системы линейных уравнений
в частных производных с постоянными коэффициентами к канони-
каноническому виду, ДАН СССР, 115, № 1 A957), 13—16.
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫе УКАЗАНИЯ
269
[32] Б о р о к В. М., О системах линейных уравнений в частных
производных с постоянными коэффициентами, Диссертация, Москва,
1957.
[33] Виши к М. И., О сильно эллиптических системах.диф-
френциальных уравнений, Матем. сб. 29 A951), 615—676.
[34] Гальперн С. А., О корректной постановке задачи Коши
для совместных систем линейных уравнений в частных производных,
Матем. сб., 7, № 1 A940), Ш—141.
[35] Гельфанд И. М., Abstrakte Funktionen und lineare Ope-
ratoren, Матем. сб., 4 A938), 235—286.
[36] Гельфанд И. М. и К о с т ю ч е н к о А. Г., О разложе-
разложении по собственным функциям дифференциальных и других опера"
торов, ДАН СССР, 103, № 3 A955), 349—352.
[37] Гельфанд И. М. и Ф о м и н С. В., Геодезические потоки
на многообразиях постоянной отрицательной кривизны, Успехи
матем. наук, 7, № 1 A952), 118—137.
[38] Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Преобразования
Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности реше-
решения задачи Коши, Успехи матем. наук, 8, № 6 A953), 3—54.
[39] Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., О новом методе
в теоремах единственности решения задачи Коши, ДАН СССР,
102, № 6 A955), 1065—1068.
[40] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, Гос-
техиздат, М.—Л., 1952.
[41] Гуревич Б. Л., Новые типы пространств основных и
обобщенных функций и проблема Коши для операторных уравне-
уравнений, Диссертация, Харьков, 1956.
[42] Золотарев Г. Н., Необходимые и достаточные условия
единственности решения задачи Коши для параболических систем,
Изв. Мин-ва высш. обр. СССР, сер. матем., 1, 1958.
[43] Золотарев Г. Н., О точных оценках для классов един-
единственности решения задачи Коши для систем линейных дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных. Диссертация. Москва,
1958.
[44] Костю ченко А. Г., О собственных функциях самосо-
самосопряженных операторов, Диссертация, МГУ, 1957.
[45] К о с т ю ч е н к о А. Г., О теореме единственности решения
задачи Ксши и смешанной задачи для некоторых типов систем,
линейных уравнений в частных производных, ДАН СССР, 103, № 1
A955), 13—16,

270
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
[46] Костюченко А. Г., О поведении собственных функций
самосопряженных операторов, ДАН СССР, 114, № 2 A957), 249—252.
[47] Костюченко А. Г., О некоторых спектральных свой-
свойствах эллиптических операторов, ДАН СССР, 115, № i A957),
34—37.
[48] Костюченко А. Г. и Шилов Г. Е., О решении задачи
Коши для регулярных систем линейных уравнений в частных произ-
производных, Успехи матем. наук, 9, № 3 A954), 141—148.
[49] Красносельский М. А. иКрейнМ. Г., Основные
теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые их
применения к теории ортогональных полиномов и проблеме момен-
моментов, Успехи матем. наук, 2, № 3 A947), 60—106.
[50] К р е й н М. Г., Об одном общем методе разложения поло-
положительно определенных ядер на элементарные произведения, ЬДАН
СССР, 53, № 1 A946), 3—6.
[51] Ладыженская О. А., О единственности решения задачи
Коши для линейного параболического уравнения, Матем. сб., 27,
№ 2 A950), 175—184.
[52] Левин Б. Я-, Распределение корней целых функций, Гос-
техиздат, М., 1956.
[53] Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям
дифференциальных уравнений второго порядка, Гостехизлат, М.—Л.
1950.
[54] ЛопатиискийЯ- Б., Фундаментальные решения системы
дифференциальных уравнений эллиптического типа, Укр. матем.
журнал, 3, № 3 A951), 290—316.
[55] Л я н ц е В. Э., О задаче Коши в области функций дей-
действительного переменного, Укр. матем. журнал, 1, № 4 A949),
42—63.
[56] Петровский И. Г., О проблеме Коши для систем линей-
линейных уравнений с частными производными в области неаналитических
функций, Бюлл. МГУ, секция А, I, вып. 7 A938).
[57] Повзнер А. Я., О разложении произвольных функций
по собственным функциям оператора —Дм -j- си, Матем. сб., 32,
№ 1 A953), 109—156.
[58] Тихо нов А. Н., Теоремы единственности для уравнения
теплопроводности, Матем. сб., 42, № 2 A935), 199—216.
[59] Шилов Г. Е., Об условиях корректности задачи Коши
для систем дифференциальных уравнений в частных производных
с постоянными коэффициентами, Успехи матем. иаук, 10, № 4
A955), 89—100.
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
271
[60] Шилов Г. Е., Об одной теореме типа Фрагмена—Линде-
лёфа для системы линейных уравнений с частными производными.
Труды Моск. матем. об-ва, 5 A956), 353—366.
[61] Шноль Э. Э., О поведении собственных функций, ДАН
СССР, 94, № 3 A954), 389—392.
[62] Э й д е л ь м а н С. Д., Оценки решений параболических
систем и некоторые их приложения, Матем. сб., 33, № 3 A953),
359—382.
[63] Эйдельман С. Д., О фундаментальных решениях пара-
параболических систем, Матем. сб., 33, № 1 A956), 51—92.
[64] Эйдельман С. Д., О регулярных и параболических
системах дифференциальных уравнений в частных производных,
Успехи матем. наук, 12, № 1 A957), 254—257.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гиперболические системы диф-
дифференциальных уравнений 69,
146, 149
Двойственная по Юнгу функ-
функция 26
Динамические системы 233
Задача Коши для системы диф-
дифференциальных уравнений 38
— — в линейном
топологическом пространстве
40
— — , метод пре-
преобразования Фурье 63
, операторный
метод 45
Каноническое представление
гильбертова пространства 212
Класс единственности 38
для системы дифферен-
дифференциальных уравнений 52
— гиперболиче-
гиперболической 69
— корректности 38
в аналитической области
185
для гиперболической си-
системы 149
— — — параболической систе-
. мы с неположительным родом
143
—¦ — положитель-
положительным родом 136
— системы, корректной по
Петровскому с положительным
родом 160
—¦ —• — — — — — — неполо-
неположительным родом 170
Класс корректности для условно
корректной системы с положи-
положительным методом 183
• положи-
положительным родом 180
Корректные по Петровскому
системы дифференциальных
уравнений 126, 155, 157
Медленная функция 18
Оператор вполне непрерывный
190
— дифференциальный во всем
пространстве и его собствен-
собственные фунционалы 217
— — в области с границей и
его собственные функционалы
218
— — Штурма—Лиувилля 222
Оператор интегральный симмет-
симметричный 189
— карлемановский 244
— обобщенный 246
— самосопряженный, его собст-
собственные функционалы 215
— — неограниченный 193
— — ограниченный 191
— — —, его спектральное раз-
разложение 193
— — — — — семейство 192
— симметричный 193
— — вещественный 194
— — полуограниченный 194
— сопряженный к данному 193
Параболические системы диф-
дифференциальных уравнений 130
Пара самосопряженных опера-
операторов 224
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
273
Приведенный порядок системы
дифференциальных уравне-
уравнений 51
— — —, его вычисление 83
— — — — —для систем с выс-
высшими производными по t 91
Пространство WM 7
— — в случае нескольких пере-
переменных 33
¦, дифференцирование в нем
20
, его преобразование Фурье
30
, ограниченное множество
в нем 10
, умножение на х в нем 20
— WMt a 9
, его преобразование Фурье
30
— W3 12
в случае нескольких пе-
переменных 33
Пространство W®, дифференци-
дифференцирование в нем 21
, его преобразование Фурье
30
, ограниченное множество
в нем 14
, умножение на г в нем 22
— W®'b 13
, его преобразование
Фурье 30
как совершенное про-
пространство 14
— W%15
-в случае нескольких пе-
переменных 33
, дифференцирование в нем
22
, его преобразование Фурье
32
, ограниченное множество
в нем 16
, умножение" на z в нем 23
— — функцию / (х) в нем
23
— W%ba 16
, его преобразование Фурье
31
Пространство W^f-Д, умножение
на функцию /(г) в нем 24
— W* 17
— К', I 17
— К{Мр} как пространство ти-
типа W 9
— — как ядерное пространство
203
— N 203
— типа W 7
— ядерное 203, 206
Ряд функционалов сходящийся
абсолютно 207
безусловно 206
Система дифференциальных
уравнений 37
, ее порядок 45
•, приведенный 51
характеристические
корни 77
Система дифференциальных
уравнений, задача Коши для
нее 38,45
— , класс единственности
для нее 52
Ковалевской 116
— с коэффициентами, за-
зависящими от t 69
jt 111
эллиптическими опе-
операторами 118
гиперболическая 69,
146, 149
— , ее показатель кор-
корректности 149
—¦ —, класс единствен-
единственности для нее 69
—, — корректности
для нее 149
. — по Гордингу 148
— — — —¦ — Петровскому 147
— — — корректная в аналити-
аналитической области 183
по Петровскрму 126,
155, 157
— — — —, ее класс кор-
корректности 160, 170

274
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Система дифференциальных урав-
уравнении корректная по Петров-
Петровскому, ее показатель коррект-
корректности 156
— род 158
¦ — некорректная 127, 178
параболическая 126,
130, 133
— , ее класс коррект-
корректности 136, 143
¦— — — показатель пара-
боличности 130
род 133
по Петровскому 131
— с коэффициен-
коэффициентами, зависящими от х 142
— — сильно эллиптическая
261
условно корректная 179
— —, ее класс коррект-
корректности 180, 183
• род 180
— дифференциально-разностная
— интегральных уравнений 107
Система уравнений в свертках
106
— —, ее класс единствен-
единственности 110
разностная. 107
Системы динамические 233
Степенной порядок роста функ-
функции 82
Уравнение симметричное эллип-
эллиптическое 239
— , его фундаментальное
решение 240
Фундаментальное решение
эллиптического уравнения 241
Функционал как решение уравне-
уравнения с граничными условиями
— собственный 216
, его структура 227
— со слабо ограниченной вариа-
вариацией 200
— с сильно ограниченной ва-
вариацией 196, 200
Функция, двойственная по
Юнгу 26
— множества абсолютно непре-
непрерывная 211
, ее производная
211
Характеристические корни си-
системы дифференциальных
уравнений 77
Эквивалентные функции 12
Ядерное пространство 203, 206
ОГЛАВЛЕНИЕ ВЫПУСКОВ 1, 2, 4
ВЫПУСК 1
Обобщенные функции и действия над ними
Глава I. Определение и простейшие свойства
обобщенных функций.
Глава II. Преобразования Фурье обобщенных
функций.
Глава III. Обобщенные функции, сосредоточенные
на поверхностях, и фундаментальные решения диф-
дифференциальных уравнений.
Глава IV. Однородные обобщенные функции.
ВЫПУСК 2
Пространства основных и обобщенных функций
Глава I. Линейные топологические пространства.
Глава II. Основные и обобщенные функции.
Глава III. Преобразования Фурье основных и
обобщенных функций.
Глава IV. Пространства типа S.
ВЫПУСК 4
Некоторые применения гармонического анализа
Глава I. Положительно определенные обобщен-
обобщенные функции.
Глава И. Обобщенные случайные процессы.
Глава III. Обобщенные функции и представления
вещественных- групп Ли.
Глава IV. Обобщенные функции и представления
комплексных групп Ли.