Математика. Сборник задач - Родионов Е.М., Ляпин А.А., Синякова С.Л.

Автор: Родионов Е.М. Ляпин А.А. Синякова С.Л.
Теги: математика задачи по математике сборник задач
Год: 2006
Похожие
Справочник по математике. Решение задач с параметрами
Сборник задач по математике
Сборник задач по высшей математике
Сборник конкурсных задач по математике
Текст
                    УЧЕБНЫЙ ЦЕНТР при
МОСКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ТЕХНИЧЕСКОМ
УНИВЕРСИТЕТЕ имени Н.Э. БАУМАНА
«ОРИЕНТИР»
А.А. ЛЯПИН, Е.М. РОДИОНОВ,
С.Л. СИНЯКОВА
МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
Издание 4-е, переработанное и дополненное
Москва
2006
ББК 22.1
Л 97 Ляпин А.А., Родионов Е.М., Синякова СЛ. Матема-
тика. Сборник задач. М.: Ориентир, 2006. - 392 с.
Содержание сборника соответствует современной программе
по математике для поступающих в вузы и охватывает все ее разде-
лы. Сборник может быть использован для подготовки к вступи-
тельным экзаменам на подготовительных отделениях или курсах, с
преподавателем, а также самостоятельно.
© Ляпин А.А., Родионов Е.М., Синякова С.Л. - составители. 2006
ОТ АВТОРОВ
Настоящий сборник содержит более 1500 задач по всем разделам на-
чального курса математики (за исключением планиметрии) - это задачи,
большая часть которых предлагалась в разные годы на вступительных эк-
заменах в технические вузы, и прежде всего в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Они
распределены по традиционным разделам школьного курса математики, а
внутри каждого раздела сгруппированы по степени сложности (обозначены
римскими цифрами I - IV), хотя это расположение носит условный харак-
тер. Порядок разделов соответствует используемому на Подготовительных
курсах при МГТУ пособию. Все задачи снабжены ответами.
Часть представленных в сборнике задач составлена Л.П. Паршевым,
в остальных случаях установить авторство не представляется возможным.
Книгу могут использовать учащиеся школ и в повседневных заня-
тиях, и при подготовке к экзамену как самостоятельно, так и под руково-
дством преподавателя.
3

1. ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Операции над множествами
Найти пересечение, объединение и разность следующих множеств:
1. (0;3) и [-1;2].	2. [1;3) и (2;5) .	3. [1;3] и (3;5).
4. [1;3] и [3;5).	5. [1;2) и (3;5).	6. [1;3] и (2;5).
Найти пересечение и объединение следующих множеств:
7.	A =[1;4]U[5;7], В=(2;5], С=(3;-ню).
8.	A =[-3;2]U[4;15], В=(0;4]. С’ = (1;-кю).
9.	Л=(2;б], В = [O;3]U[5;1O], С = (-оо;7).
Ответы:
1. (0;2],[-1;3),(2;3),[-1;0]. 2. (2;3),[1;5),[1;2],[3;5).
3. 0,[1;5),[1;3],(3;5) . 4. {3} ,[1;5),[1,3),(3;5) .
5. 0,[1;2)U(3;5),[1;2),(3;5). 6. (2;3],[1;5),[1;2],(3;5).
7.	АП5ПС = (3;4]U{5}, Л UВUС = [1,+юо) .
8.	АПЯПС = (1;2]U{4), AUВUС = [-3; +х).
9.	АПВПС = (2;3]U[5;6], /HjBUC = (-oo;10].
Уравнения и неравенства. Многочлены
Написать уравнения прямых, содержащих точки:
1.	(45;87) и( -19;-41).
2.	(1 ;3) и пересекающей ось OY в точке (0;3).
3.	Прямая £ содержит точки с координатами (2,3) и (18;27). Вычислить
угол между прямой £ и прямой, проходящей через начало координат
и точку (18;27).
4.	Точки л(- 2;2) и В(2;б) лежат на прямой у = 2х + 2. Вычислить углы
треугольника ИВСД если точка С(4;-б).
5.	Вычислить расстояние от точки С (4; - 6) до прямой у = 2х + 2.
6.	Написать уравнение прямой, проходящей через точ- У,,
куЛ/(2;3): а) параллельно прямой Зх + 5у = 1;	\	/'Д/
б)	перпендикулярно этой прямой. Вычислить рас-
стояние от точки А/ (2;3) до прямой Зх + 5г/ = 1._______\
5
7.	Написать уравнения прямых, проходящих через точку М (рД) прямой
у +1 = Зх и образующих с ней угол 45° .
8.	Найти угол а между прямыми: а) у = Зх +1 и у = 2-х ;
б) 5х - у = 1 и х + 5у = 2 .
Ответы:
1.	у = 2х-3.2. у = 3.3. 0. 4. 7t-arctg8 ; arctg(8/l 1); arctg(16/15). 5. 1б/л/5 .
6. а) Зх + 5у = 21 ;б) 5х-Зу = 1; 20/V34.7. у = 4 - 2х, х - 2у + 3 = 0.
8. а) а = arctg 2 ; б) 90°.
Арифметические вычисления
Вычислить без калькулятора:
1.
2.
4.
7 4 3 )
0,5 :1,25 + -: 1---3
5 7 Пу
| 1.5+- |: 18—
I 4J 3
7	5)1
140—-138— : 18—
30	12J 6
3	1	( 1	।
2-:1.1 + з1 ,	2—+4,5 -0,375
л 4 '	3.51 6
1 7
2,5-0,4-3- 1
3
2,75-1—
2
0,002
0,3(88) Д
5.-----------L
0,13(8)+ —
36
6.
Вычислить
7	111)5	3 (, 1 5)1 7
2	18	24) 31 52< 2 6)) 13
19 (13	13	5) , 2 Г~4
84 I 42	28 24 J	27 3 9
1.
2.
3.
Преобразование алгебраических выражений
Упростить, выполнив указанные действия:
(-2л)6 - (-8л1 )2 - (~(2л)2 )3 - (2(-л)3 )2.
(-2л)10 -(-13л5)2 -(-(2л)2)5 -(2(-л5))2.
Г а2Ь Y ( ле4
cd7) [iSd2
а2Ь2} ( с2
cd2 J I b2d
6
Найти значения выражений:
при а = 0,05.
7.	^xl/xljx при х = 5“30/19.
8.	\1х\]ху/х при х = 5
(7,.^у
(V7)‘ ' (<£/?)'
И (а + h)2 - 2ah а2 + b2
4я2 ah
Ю. 5с3-5.(С + 1)2-е
с + 2 13с+ 26
, „ х2 - 4х 24-6х
х2+1х 49-х1
13 У-16у	4-у
2^ + 18 ’ у2 +9у '
Упростить выражения и вычислить их значения:
3 L3
14.---------(я - А)2 при а = >[2 , Ь =
а+Ь
15.	(л0,3) :а 1,94 при а = 0,5.
„,. ( а 1 ah +1
16.		н----------:--------
\ л -1 ah -Ъ) Ь
а	К
—-— при а = уЗ .
а -1
при х = 3\/3 , у = 9 .
18. (а2 -Ь2 -с1 + 2Ьс):	—- при а = 8,6, h = л/з , с = -6—.
a+h+c	5
2	г 2	2
а	b	с
19. — --------1—;---------1— ---------.
a -ab-ac + bc Ь^-аЬ+ас-Ьс с -cb- ас + ab
^+?+Гх-1 (х*3 J ’
7
а‘-1	1	, а-ап-п+п 21. —			—1	-2	 п~ + ап । у.	1 \ п )
x	2	(, Зх + х2
.. ------------------------• 1 Н-------
ах-2а‘ (х + х-2ах-2а)	3+х
2а	1	( Зх-6
—  — _|  --------------- х н--
а" -4х' 2х'+6х-ах-3а I х-2
<2а + 10 130-л 30 J За3+8а2-За
24. ------+-----+-----3--------------
< За — 1	1-3 л a J 1 1 2
-- а2-Ь2 а2-Ь}	х у(х-у)2
а-Ь а2-Ъ2	'х2+у2	х4-у4
28.
(	а-1	2(а-1)	4(а + 1)	°	'1 36а3-144а-36а2+144
^л2-2а + 1 а2-4 а2+а-2 а2-За + 2)	а2 +27
29. [ —3(х + 2)	2х2 -х-10	5 +	3______О .
^2(х'+х2+х + 1) 2(х’-х2+x-l)J ^х2+1 2(х+1) 2(х-1)J
Г х-у х +у'+у-2^ 4х +4х2у+.V-4
2 у - х хх - ху - 2у J х +у + ху + х
а2 +а —2 Г(а + 2)" ~а 3 'j
’а^’-За"!	4а2-4 а2-а Г
a(a-b)(a-c) b(b~a)(b-c) c(c-a)(c-b)
1 + (а + х) (	1 — (а + х~) **1	1
33. —------<-• 1----2-------- при х =---.
1-(а + х)	2ах )	а-1
8
34. f - 6/>(462 - a2)41: f 2a"b + 3a"+1
a + 2b	J	2a-b)
а лГ- 777 2 Z 7Г I #2 + 3/7 + 2
37. —-^/(a + l)(a -l)(l + 2a + a ) - -=====—
2	I Va-1
38.
V3	3,2 t2x 2i>
9 + 18a + 9/7	( a + b J	a + b
7 2V2+27//5
j 72+3^7
47.
48	+ *)‘/2 + (w ~ *)'/2
(m + x)1/2 - (m - x)^2
fl 2 Ч1/2
.	.	[ пГ+п
, если a>0, n> от > 0,и x=a\-------
I 2mn j
где m >0. 0<и<1, x =
2mn
n2 +1 ’
/	r“\ 1/2	/	Г~“\
49. la + ylxj +la-Vx) . где х = 4(я-1) .а)1<я<2 и б)я>2.
9
2. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ
ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ И СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Уравнения
Группа I
Решить уравнения:
1. 0,2(х-1)+0,5(Зх-9) =у-2.
3(1,2-х) 5 + 7х	9х + 0,2 4(13х-0,6)
10	4 "Х+ 20	5
2 А с
5. ——— = х-5 .	6. (х-2)3 + (х + 2)3 = 2(х-3)(х2 +Зх + 9).
7.		+ —--------- = —.
2х-3 х(2х-3) х
л х-1 х-6 х-5 х-2
9.	---+-----=-----+-----.
х-2 х-7 х-6 х-3
о 2х + 19	7	3
8. ------+-;---=-----.•
5х2 -5 х -1 х-1
10.	(«2 + «)х = а2 -4а.
14.
3 + 2х
2-х
х-а
х + 3
-0.
17.
х + а
а(х-2)
16.	- 0 .
х-а
(х-4)(х + 1)
19. А---А---L = о.
х-а
= За.
2 ,	,2 »,	1	1	11,, 4х + /м2-;и-6
20. ах-а2 = bx-b1. 21.---+------ -+	22.------------
х-а х-b а b	х-1
23. При каких значениях параметра а уравнения
ах + х = д2 +2а + 1 и а2х + 2ах+х = 3а2 -3 равносильны?
При каких значениях параметров к и т не имеют решений уравнения:
24. (2к-7)у = 1 -Зт.	25. (Зк + 4)х = тг +1
26. (£2+5)х = ет-3.	27. (Zr-l)x = A:2-4.
10
т-г	а + х . . х+2
28. При каком значении параметра а уравнение------2 ------ имеет
а 2
положительный корень?
2
29. При каких значениях параметра а уравнение 4 - а =- имеет пр?
'	х—1
ложительные решения?
,	4х+3а 5х-1к
30. При каких значениях параметров а и к уравнение —-— = —-—
имеет отрицательные решения?
31. При каком значении параметра а корень уравнения
Зх - а 5ах - 7	11
----------------= 3 расположен между числами — и — ?
2а + 4х а + 2х--3	2
Ответы:
!• {^}  2- {°=2} • 3-	} • 4- {2} • 5. R \{-5}. 6. j . 7. {2} .
8. {51} . 9.	{4,5} .	10.	При	а = 0	хе®, при	а = -1 - решений	нет, при
п	4	2	„	2
а£Ю;-1}	х =----------.	11.	При	а = —	-	решении	нет,	при	а*—
а + 1	3	3
6а - 3 . „ _	~	,	2а -1 * ~ „
х =----. 12. При а = 3 - решении нет, при а Ф 3 х =-. 13. При
За + 2	5
а -2 - решений нет, при а -2 х = 2. 14. При а = -3 - решений нет,
при а -3 х = а . 15. При а Ф 2 х - а . 16. При а - 0 х е S \ {0} ; при
а - 2 решений нет, при а е Ж \ {0; 2} х = 2 . 17. При а = О х е Ж \ {2};
при а-2 решений нет, при aeR\{0;2} х = а,18. При ае{-1;4} -
решений нет, при а е Ж \{-1,4} х = а . 19. При а = -1 х=4 ; приа = 4
х = -1; при оей\{-1;4} хе{-1;4}. 20. При а~Ь хе К, при а&Ь
х = а + b . 21. При а = -Ь ^0 х = 0, при а * -Ь, а *0 , Ь ^0 х = а+Ь,
при a^-b,a^b,a^O,b^fi хе {а + />;	. 22. При т е {2;-2;-1}
I a+bj
2//7 з
х =----, при т - 2 х е 1R \ {1}, при т е {-2;-1} решений нет.
11
7	1	4
23. a = -1. 24. к = —, m ф — . 25. к = —; т е R . 26. Таких к и т не
2	3	3
существует. 27. к = 1.28. а е (0;2). 29. а е (-оо;4)U(6; +оо) ,30. а>-к)2.
к f61 37
31.	ле —— .
U1 4J
Группа II
3	1
1.	Определить значений к, при которых корни уравнения —— =-------
8 “ к кх 2
положительны.
„ Т1	5	1
2.	Решить уравнение-----=--------.
ах - 4 9х - а
Решить уравнения и определить знаки корней:
3.	ах+ 2х + 3 = 1 - х.	4. 40х + 13а = у/a + 15х .
5. 40х + 12а = л/а - 2 + у[а + 36х .	6. Зх + 9 = а(а - х).
7.	Найти все значения b . при каждом из которых решение уравнения
6 - ЗЬ + 46х = 46 + 12х меньше 1.
8.	Найти все значения т, при каждом из которых решение уравнения
5х - 18m = 21 = 5mx -т больше 3.
9.	Найти вес значения а, при каждом из которых решение уравнения
15х-7а = 2 + 6а-Зах меньше 2.
Решить уравнения:
10.	а'х - а(х + 2) — 2 .	11.	4 + тх - Зх + 1.	12. ах-7:
13.	ах - а - х -1.	14.	тх +1 = х + т .	15 тх~^ х-1
16.	2/пх + 5 _ х -10	17.	2е_ = 1. х-1	18. _*	 а-1
19.	тх „1 т - х	20.	ах За-х	21. ^2* а - х
22.	1 2	23.	а3 -1 _ а(х-1) +	а2 -х
	х - 2а ах -1		а3+1	а(х-1)~	а2 +х
24.	х - Зт 2т + 3 _ х2 - 9 х + 3	т - 5 х - 3		
= 0.
= 1.
-2х + 10.
х 4а2-1
а а(а-1)
12
Ответы:
1. — < к < 4; 4 < к < 6. 2. х = ——- при а Ф ±6 и а Ф 45.3. При а -3
3	45-а
“2	, п . „	-Ja-13а п
х ----- ,	при а < 3 х > 0 . 4. При а > 0 х =--—---; х > О при
О < а < ——. 5. Если а > 2, х - ——; х = О при а >~ 36.
169	4
6. Если а = -3, хе/?; если а з= -3 , х = а - 3 . 7. -2 < h < 3.8. т < -3 и
т > -1. 9. -5 < а < 4. 10. Если а з= 0, а з= 1, то х = 21а; если а = 0, то
3
нет решений; если а = 1, то х e R . 11. Единственный корень х =-
3-т
17
при т з= 3 ; нет корней при т-3. 12. Единственный корень х =----
а-2
при а ^2; нет корней при а = 2. 13. Единственный корень х = 1 при
а з= 1; х - любое число при а = 1. 14. Единственное решение х = 1 при
3
тз=\\ х - любое при т-1. 15. Единственное решение х-— при
т
т 0 и т з= 3 ; нет решений при т = 0 и т = 3. 16. Единственное реше-
5 1 . 1
ние х - ~~т НРИ m ~ ~~ и т з= 0; нет решении при т = -— и т = 0.
17.	Единственное решение х = 2а +1 при а 0, нет решении при а = 0.
18.	Единственное решение х = 2а +1 при а 0, а * у и a з-1; х - лю-
бое при а = у ; нет решений при а = 0 и а = 1. 19. Единственное реше-
ние х = при тз=-1 и т 0; нет решений при т = -1 и т = 0.
т +1
„	6а	~ Л
20. Единственное решение х =--- при а з= -2 и а з= 0; нет решения
а + 2
Q 4- 4
при а--2 и а = 0. 21. Единственное решение х =---- при а 3=-1 и
а + 1
а 3= ±2; нет решения при а = -1 и а - ±2. 22. Единственное решение
4а-1	1	„	1
х =------ при а з=2 и а 3= ±——; нет решения при а = 2 и а ~ ±—=.
2 - a	V2	V2
13
23. Вс.чн п 0 и « ±1.. то х = a1 -i-1: сели а   0, х с R \ {0} ; если
xeJ<\{l}; если а  1, хс0 . 24. При /л / 11/3. Ш7-- 5/3.
х = —~ • НрН т = j ;уз. т - -.^/2 . т = 1 х с 0.
т -1
а --1.
т / 1
Системы ура й itan ни
Решить системы уравнений:
3. ] 5.  7. • 9. И. 13.	т£	'О	оо	® <4	.	1 ~	1 II	СЧ	*	—'	1	оо 1	+	2.	II	II	— 1г- ОС	™ X > 'Т	+.	е	.	*• м + ~ + t S с''	2 I е I ts ст i	|| г?	*	* II	' Z " П О '* t	с* 1	~ Т1	>-.i	1 + <0 _ Г' v +	" 1 t • • Я *	t t * ОО I х г-ч 5 >; И |	Н PC- Timm	Я	тГ — 1	'		4х +532=12 + 5^7, 2х-л/7у = -1. (х-4)(з/-5) = О, 9х-7.у=2. '4(0,1х+1) + 5 = 1,]у, И+О.З-х 5_4П j
		г	V* У + У + 1 + Т-.У + 4 = 3 3	2 х+у+1 х-у+4_ J 3	2 1	+	1	-01
		х-у+2 \~x-y 1	.	1	-ПТ
		•s 1 Т“^ 1 + н	.... ,	in ос	о, сп' Тр xi II II II +	"	"	"	Й	Й X	N N	,	, 1	+	+	+	-X	к, .	4	•“ —  V  	—',— 		'
	2х-3у Зх-2у 12. 27	2	_ j	
	Зх-2у 2х-3у х-6 _ у + 4 _ z + 2 • 3 " -2 ~ -2 ’	14. 2x — 3y — z +16 = 0.	
14
.X + V - 7, - 2..
f 5< < 2.V- - у i 4/ - I,
-A'4	- 5.
2X+ 3 V - '7 - 6,
16.
A'- ,p-| 7г :-'8.
lx- у I-17 - 7.
При каких значениях параметра а система имеет единственное
решение? Найти это решение.
[16агт 1.	[(а ) 1)х -у = а,	+ 1)х- у = а + 1,
17. ?	18. Г ’	'	19. Г 1
\4х + ау-а.	Ца-З^х + ау = -9.	[х + (а-1)у = 2.
При каких значениях параметра а система не имеет решений:
22. 4
b
20. ?		’	21. Г 7
[2л'-у = 1.	рх-(я-2).у = 6.
При каких значениях параметров а и
много решений?
[х + 2р = 2а-3,	\(а-]}х + Ьу = 2,
23J	'	24. -Р ’
[2х + а у - Ь.	|9х + 2дг = -1.
26.	При всех значениях параметра а
fa2x + _y = а2,
• [х + ay = 1.
Исследовать число решений системы:
[Зх + 2&у = 1.	[2ах-(а-1)у = а,
27.	s	28. < v !
[3(Л-1}х-ку = 1.	[2х + (а-1)у = 3-2а.
29. При каких значениях параметра р система
[х + 8у = 4/>-/>х,
<	несовместна?
[рх + ру = Зр-Зу-1
ах+(2а-Г)у = а5 -2.
система имеет бесконечно
25
\bx-b2y = 2 + 4/;.
решить систему уравнений
[Зх-у = 2-й,
30. Пусть (х0:у0) -решение системы j	При каком значении
параметра b выражение (х02+у„) принимает наименьшее значение?
Ответы:
1. {(2;3)},2. {(з-V7)}. 3. {(6;8)) 4.
6. {(5;10)),7. {(-3;2)}.8. {(1;1)}.9. {(5;9)). 10. {(7;4)}. 11. {(5:3)}.
15
12. {(1;2;3)}_ 13. {(-3;2;4)} . 14. {(1;2;3)},	-3)}. 15. {(1;1;0)}.
16. {(2; 1; 1)J. 17. При	х = 0, у = 1. 18. При аеК\{-3;1)
д-1	-(а + 3)	д2+1	д + 1
х =----, у = —------ . 19. При а * 0 х = ——; у = —— .20. а = -2 .
а-3	а-1	а	а
21. де{0;1}. 22. а е 23. а = 2 = b . 24. а = -17, b = -4.25. а = 1,
Л = -1; а = 1, Ь = -2; а = -1, Ь = -1; д = -1; Ь = ~2. 26. При а^1
х = 1, у = 0; при <7 = 1 бесконечное множество решений:
{(/; 1-/), Z е . 27. При	- одно решение; при
решений нет; при К = 0 бесконечно много решений. 28. При а е R \ {±1)
- одно решение, при а = 1 - бесконечно много решений, при а = -1
- решений нет. 29. р = 3.30. b = 1/17 .
Линейные неравенства.
Совокупности и системы неравенств
Группа I
Решить неравенства:
л	- 5х-3 4х + 1 ,	2х-1
1.	-8х + 3(х-2) >-х + 2.	2.------1----<2хн-------.
V 7	3	4	3
2х-1 Зх-1<х + 5 4х-3'
4	3 - 2	6
(	4 - х
4.	2(3x-5)(x-l)-3^1-(2x+l)(3-x)+—J < 13 .
_ J , 4-Зх Г , х+2^ г
5.	3 х-1ч------1-2 х-1---------> 5-х.
I 4 I V 5 )))
6.	(5->/2б)(2х-7)<0.	7. (1-^)(4-5х)<—.
2 “Ь л/2
8. (з>/Го-6>/з)х<5^2>/з-л/io).
Найти область определения функций:
9. у = - ,	+------.	10. у = ./2->/з(х + л/з)-2х .
7з-2(7-5х)	-VI/
16
1
И- У.=
12.	у =
2
2 '
Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее условию.
3-2х , 3-2х
13.	1 >------------х .
3	6
14.	(Зх - 5) (2х - 5) - (2х - 3)(х - 3) + 6х > (2х - 5)2 + 6 .
15.
,, 3-7х х + 1 .. 7-8х
13------+----< 14------,
10	2	2
,	.	.	.	5(2х-б)
7(Зх-5)+4(17-х) > 18—
16.
2х + 3 > 4х-17,
 2х + 5^23-х,
4х-2<2х+10.
17. Найти натуральные х, удовлетворяющие системе неравенств
Jx+З < 4 + 2х,
|5х-3<4х-1.
Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:
19.
Зх-2 > 5х-16,
Зх-7<18-2х,
2 11 2х
х— >-------.
3	5	5
Решить системы (совокупности) неравенств:
[Зх + 5 10- Зх 2х + 7 о
7	5	3
7х Н(х + 3) Зх-1 13-х
. 3	6	> 5	2
2х + 1 4х-1
4 > 3
3 Зх-1 2-х
5+ 10 ~ 5
1>— + 0,5(х +
3 v
2х + 1 2-х
2	~~ > ''
-4х-1<0.
-7<5х + 3<11,
6-2х<5,
4 + Зх<1.
17
25.
fl < 2x-l < 5,
[2 <=3x-i <11,
J10<4x-2<26,
|3 <2x-l <11.
26.
-l<x<4,
Гх<2,
x > 3,
0<x<6,
x > 3,5,
x <-l.
Решить неравенства (системы неравенств) с параметром:
27. (За-7)х > 5а-3 .
29. ах-b > 3-2х.
28. (2 - За) х < За -1 .
„„	х-1 х + 1
30. х +---->--------рх.
/>+1 р + 1
31.
X 1-х > х + 1
2р 6  8р
32.
7х-5	Зх-2от
-----< 7 + х+—-----.
т-1--2(т-1)
33.
т (х -1) > х - 2,
(Зот+ 3)х > Зотх + 5,
а(х-2) > х-3,
(3 + 2а)(х-1) >(а-1)(х+2).
35.
от (х-2) > х-3,
9х(от + 1) > 8 + 9отх.
36. (от+1)х+ 4 < (3-2от)х-1.
2х-1	х + 1 > 2х-3
от+1 2(от-1) от+1
[х > 3,
38.	При каких значениях а система < несовместна?
х < а
39.	При каких значениях а система (	’ имеет единственное ре-
[х < 3 - а
шение?
40.	При каких значениях а система (	’ имеет ровно три целочис-
[х <а
ленных решения?
_ т-г	fx>3,
41.	При каких значениях а решением системы ( является проме-
|х > а
жуток: а) (5;+со); б) (3;+оо): в) [3;+оо); г) [2;+со)?
18
42.	При каких значениях а решением системы (	’ является проме-
[х < а
жуток: а) (~оо;7); б) (-оо;5); в)(-оо;5]; г)(-оо;2)?
43.	При каких значениях а неравенство 2х - а > 0 является следствием
неравенства х+2а-3>0?
t	[3-7x<3x-7,
44.	При каких значениях а система (	несовместна?
1 + 2х < а + х
45. При каких значениях а система
3(«-5х) <х + 1,
2-у > 3+5(х-д
совместна?
46. Найти все значения а, при которых неравенство
(х - За) (х - а - 3) < О выполняется для всех х е [Г, 3].
47. При каких значениях
а
а
х —
неравенство----— < 0 выполняется для всех
х-2а
хе [2; 4]?
а
48.
50.
При всех значениях
8(а + 1)х>8ах+9.
х + 2а-2
решить системы:
ах х-1 2х + 3
7^2 F< 4 ’
д-10 х + 2 ,
х------\-а> а----5х - 6.
2	2
7 -fl^-ЗоЪ > ю,
51. j 4	'
49.
х-1	< а
а-1	1-а
Ответы:
11.
—;+оо . 12.
3
•оо;
^.13. {1} .14. {2}. 15. {1}. 16. {6}. 17. {1}
19
. 23. f--;+oo
I 4
18.	{8}. 19, {4}. 20. (-оо;2). 21.	• 22-
24.	f-—;+oo\ 25.	(-2;-1]Uf—; —Y	26. (1;6),27.	При	a>-	x>^l-
< 4	)	V > J 5j \ ) E 3 3a —7
7	3-5a	7	„	2 3a-l
при a <— x <-----; при a = — решении нет. 28. При a <— x <------;
3	3a-7	3	3	2-3a
2 l-3a	2	, ч	6 + 3
при a > — x >----; при a = — x e (-co; +oo). 29. При a < -2 x <-;
32-3a	3	a+ 2
при a > -2 x > — 3-; при a = -2 и 6 <-3 x e (-oo;+oo), при a = -2 и
6 >-3 решений нет. 30. При р>-1 х>-----------------при р<-1
(р+1)
2	,	„	-г-, л - __	3 — 4р
х <--------, при р = -1 решении нет. 31. При 0 < р < 2,25 х >-----,
(р + 1)'	9-4/>
3-4р
при р<0 или р >2,25 х<~—при р = 2,25 х е (-со;+со) . 32. При
.	,	12от-4	г .	12т-4
1<т <6,5 х<-----------, при т < 1 или т > 6.5 х>-------------, при
1.3-2/w	13-2/и
т-6.5 х е (-оо;+оо) . 33. При /ие[1;+х) х> —; при /??е|—-;1|
5	т-2	1	„	2а -3
— <х<----. при т < - - решении нет. 34. При а < -4 х<-; при
3 т -1	2	а-1
z	4а + 1	2а-3	..	4а + 1 „ „ 1П
ае(-4;1) ----<х<-------. при а>1 х>——. 35. При т > 1,9
а + 4	а-1	а + 4
2/и-З	,	, „	8	,8 2т-3	_
х>------, при 1<т <1,9 х> —, при т<1 —<х<--------. 36. При
т-1	9	9	т-1
2	5	2	5	2
3	2-Зот	3	2-Зт н 3
— г-.	,	,	, Зт-5	, Зт -5
37. При /и<-1 или -1<т<1 х>--------, при т>1 х<-------, при
т +1	т +1
т е {-Г,1} решений нет. 38. а < 3.39. а = -2.40. а £ (4;5]. 41. а) а = 5;
б) а < 3 ; в) не существует; г) не существует. 42. а) Не существует; б) а > 5 ;
20
Л	91	( 1 \
в) а > 5 ; г) а = 2.43. а < —. 44. а < 2.45. а > —- .46. а е 0;- ;
5	127	I ЗГ
9	2а-3	15	9
47. ое(2;8). 48. При а <1 — <х<-----, при а& 1;— х> —, при
8	а-1	7	8
а>— х>--------. 49. При а <-10 или а >2 х<—т--------— , при
7	а-1	2(а + 10)
5(а-2)
а = -10 хе R, при -10 < а < 2 х	при а = 2 нет решений.
8
50. При а <-1 х>2-2а, при -1 < а < 1 х>-, при 1 < а < 3 нет ре-
1-а
шений. при 3 < а < 8 2-2а <х <--, при а > 8 2-2а <х<,	.
1-а	1-а
51. При 0<а<1 х>------; при а>8 х<--------; при а<0 или
40-5а	40-5а
1 < а < 8 решений нет.
Группа II
1.	Решить линейное неравенство ах + х - За +1 > 0. Подобрать значения а
так, чтобы решение удовлетворяло условию х < а.
2.	Решить линейное неравенство ах + х +1 < 0 . Подобрать значения а
так, чтобы решение удовлетворяло условию 1 < х < 2 .
Решить неравенства:
3.	ах - а2 > х -1.	4. ах +16 < 4х + а2.	5. тх > 1 + Зх .
6./их<4-2х.	7. х-5>пх-1.	8. 5 + кх < 5х + к .
а2х + 1 а2х + .3<а + 9х	ах + 1 х-4а>а2
’	2	3	6	3	2	~~б'
И Зх + 1 2х-1 < х-1
а2 -1	а-1 ~а + 1
Ответы:
1. При а < -1 х <--; при а = -1 хе/?; при а > -1 х >--.
а +1	а +1
2. Приа<-1 х >--; при а =-1 хе0;приа>-1 х<---.
а-1	а +1
21
3.	х > a +1 при a > 1; x<a + l при a < 1, x - любое при a = 1.
4.	x < a + 4 при а>4;х>1 + 4 при a < 4; x - любое при a = 4 .
5.	x > —— при m > 3 ; x < —-— при m < 3 ; при m = 3 решений нет.
m - 3	m - 3
4	4
6.	x <----при m > -2; x>-- при m < -2; при m = -2 решений нет.
m + 2	m + 2
4	4
7.	x >---- при n < 1; x <-при n > 1; при n = 1 решении нет.
1 - n	1 - n
8.	x < 1 при к > 5 ; x > 1 при к < 5 ; х-любое при к = 5 . 9. При |а| > 3
f	о “
х е -оо;-- ; при а < 3 хе ----; +°о ; при а = -3 решении нет;
V a-3j	<а-3'	)
„	„	™	3	(	а2-12а-2>|	3	,,
при а = 3 х е R . 10. При а <— хе -оо;--- ;приа=— хек;
2 I	2а - 3 )	2
3	Г а2-12а-2	]	(	2\	,..	.
при а>- хе -----------;+°о . 11. Vae -1;— U(l;+°°) хе
2	I 2а — 3	I	I	3)
Х/а е (-oo;-l)U
2а +1
За-2
2
; при а = — хек.
2а + 1 , >
-----;+°° '
За-2 )

3. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ
ВТОРОЙ СТЕПЕНИ И СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Квадратные уравнения и уравнения, к ним приводимые
Решить уравнения:
1. Зх2-5х-2 = 0. 3. х2 -2,4х-13=0. 5. 4х2 + 6х = 9х2 -15х . 7. 8,5х - Зх2 = 3,5х + 2х2. 9. х(х -15) = 3(108-5х).	2. 5х2 -8х + 3 = 0 . 4. х2 -5,6х + 6,4 = 0. 6. 12х2 - 5х = 9х2 + 7х. 8. х2 = 2 . 10. 47-х(Зх+4) = 2(17-2х)-62.
И. —+—= 2-. х + 1 х —1	3 .. х + 3 х-3 „ 1 13.	+	= 3-. х-3 х+3	3 Зх-7 _ х-3 х + 5 х + 2	12 5+2х_Зх+3 4х - 3	7-х „ л 5х + 7 2х + 21 „2 14.	= 8—. х-2	х+2	3 2х - 5 5х - 3 16. 	=	. х-1 Зх + 5
30	13	7 + 18х ’ х2 -1 х2 +х + 1	х3 -1	18.		 2х-л/5 Хл/5-3
19. 2х _ х>/з - 5 х - 2«Уз 20+ х 9х2+х + 2 5-Зх 21.	;	=	 2х-2	6х" — 6	х + 1	20. .^-1 14/+7^ 12/-3. 6/-3.у 10-4х Зх+З '
Уравнения высокой степени, приводимые к квадратным
х+1	х3+х-1 22. —	+	= 2. X +Х-1 х + 1 24. 16х4 +8х3-7х2+2х + 1 =0 .	Г х У (х + 1У _ 17 (.х + 1; ( х J 4 25. х4-х3-10х2+2х + 4 = 0.
26. х4 -4х3 -Зх2 +14х + 12 = 0.	„	4х	Зх	, 27.	,	+ «	1. 4х2-8х + 7 4х2-10х + 7
х2 48	(х 4^ 28. — + -^ = 10- --- . 3	х2	у 3 х) 30. (х2 + Зх + 1)(х2 - х +1) = 5х2.	29. 4Х х2 + х + 3 х2 - 5х + 3	2
23
Ответы:
1.	I 2-	3- {5;-2,6}. 4. {4;1,6|. 5. {0;4,2} . 6. {0,4}.
7. {0:1}. 8. х12 =±л/2 . 9. х1>2 =±18. 10. х12 =±5. 11. х1<2 = ±2 .
12.	13- *,,2= ±6- 14- *i.2 =±4- 15.	16. {-7,4}.
17. {-4;9} . 18. {O;Vs}. 19. {0;>/з}. 20. 0. 21. j-2;-yj. 22. [ifl],
23. |-2:11. 24.	25. х12=-^^. х34=-1±>/з.
[	3 3 J I 4]	1,2	2	'
26. х,=-1, х2 = 3, х34=1±>/5. 27.	. 28. х1=-2. х2 =6,
х34 =3±>/2Т. 29. х= ~5-±2^. 30. {1;-2±5/з}.
Квадратные уравнения. Теорема Виета
Группа I
Решить уравнения:
1. (А - 5)х2 + ЗАх - (А - 5) = 0 .
, х2 +1	1 х
3. -у-----4-------= — .
и х -- 2/7 //х -2 п
5. ах2 - (я + 1)х + а2 + а = 0 .
7. (а + 1)х2 - х + (.1 - а) = 0 .
9. (а - 1)х2 + 2(<? + 1)х + а - 2 = 0.
11. х2 + 2х-8-а(х-4) = 0.
2. JSSiL,-!.
х(х + а)
4. 2л'2 - (<7 - 1)х + а +1 = 0 .
6. х£ - ах + 2а + 4 = 0,
8. ах2 = 1.
10. х2 -2(а-1)х + 2о + 1 = 0.
12. (а + 1)х2 -(а-1)х-2а = 0
Ответы:
-ЗА +л/9А2 + 4(А-5)2 _ _	. .
1. При А = 5 х = 0: при А * 5 х =-————---• 2. При > 1
I т	II	л	± 1
х = -а ±\а" +1 ; при |а| < 1 х е 0. 3. При /7^1, п * 0 х -	; при
24
п = 1 х = -1; при и=0 уравнение не имеет смысла. 4. х=1+7? при
а = 5 + 47? ; х = 1 - 7? при а = 5 - 47? ;
а -1 + 7«2 -10/7-7	а +1 + у]а2 —10а — 7
х =--------------- и х =-------------------
два разных корня
при а < 5 - 47? .
_	-717+1	1-717 п	,	1 + 717
5. х =----- при а=—-—; х = 0 при а =-1; х = —-— при
1 + 717	/7+ 1 + 72/7 + 1-За2 -4/73
а ------• дВа разных корня х =----------------- и
а +1-72а + 1-За2 -4а3
2/7
, 1-V17
при а<~ 1, —-—
17 -1
8
6. х = 2(1+7?) при а = 4(1 + 7?); х = 2(1 -7?) при а = 4(1-7?); два
	а + у]а2 -8/7-16	а-уа2-8/7-16
разных	корня х =			 и х=	-	 при
а < 2(1 - 7?) и а > 4(1 + 7?) .7. х = 2 + 7? при а = -Т?/2 ; х = 2 - 7?
7з		1-74а2-3	1 + 74а2-3
при а = — : два различных корня х =	и х =	при		
2		2(а+1)	2(а + 1)
Va е (-oo;-l)U	[-1;-—'llj	^7з	„ о	1 — ;+оо : при а = -1 х = 2 . 8. х = —и
	1 2 )	< 2 J	Та
1		1	.3	1
х = -==. если	i7 >0.	9. х = — при /7 = 1: х = — при а - -;	
Va		4	2	5
-(а + 1)+75а-1		-(/7 + 1)-Т5а-1 	 1	..	,
		
а -1		а-1	5
10. х = -1 при а = 0;		х = 3 при а = 4 ; х = (а-1) + ^а(а - 4) ,
х = (а -1) - 7а(а -4) при а <0 и а > 4 . 11. х = 0 при /7 = 2; х = 8 при
1в (/7-2) + 7(/7-2)(/7-18)	(/7-2)-7(«-2)(/7-18)
2	2
а <2 или а >18.	12. При а = -1 х = -1; при а = --х = -1;
, ,	_ , Г , 1 I	-/7-1	2/7
Х/аеД\(-1;— > х =- и х =-. •-г.+«!..?,и
I 3]	/7+1	/7+1	'	
25
Группа II
Решить уравнения:
1. х- +2(1 + ^)х + 8л/2 =0.
3. х2 + 56х + 462 = 0.
5. х2 -АЬх + ЗЬ2-4Л-4 = О .
7. abx2 + (о2 -Ь2}х+(а-Ь)2 =0.
9.	1998х2 -385х-1613 = 0.
2. х2+4х-->/з+1 = 0 .
4. х2 + (3о-2)х-6а = 0 .
6. ах2-(а + 1)х +1 = 0 . .
8. 345.?+ 137х-208 = 0.
10.	4х2-9х-11=4(л/2+>/зУ-9(>/2+>/з)-11.
11.	Указать корни уравнения х2 + х + >/б-6 = 0, удовлетворяющие усло-
вию х <Л.
12.	Сравнить больший корень уравнения х2 - 2л- — 1 = 0 с меньшим кор-
нем уравнения х2 -14.x + 28 = 0 .
13.	Сравнить	меньший корень уравнения	х2 -З^-ТЙ+л/б^х+г^-Ты+л/з j =0
>/з	д/15-бл/б
с числом	а = —=====-=-.
>/5 + 2л/б	2V6-5
14.	Не вычисляя корней х, и х2 квадратного уравнения
3.x2+8.х-1 = 0 . найти: а) х2+х|; б) х,х’ + х,3х2; в) -^- + ~: г) х,4 + х2.
х- х-
15.	Нс вычисляя корней г, и .г. уравнения 2х2-5.x-4 = 0. найти:
a)-L.bJ ; б) х,х2+х2х,4; в)х,' + х2’; г)-—Ц— + -—Ц—.
xf х2	2х,+.3х2 2х2+3х!
16.	Пусть X! и х2 - корни уравнения 2.x2 - 7.x - 3 = 0. Не решая его, со-
ставить квадратное уравнение, корнями которого будут числа:
а) х, - 2 и х2 - 2 ;	б) 2xt +3 и 2х2 +3;
в) — и —:	г) X) ч— и х2 н—.
X] х2	х2 ‘ X,
17.	Пусть х, и х, - корни уравнения х2-7х + 3 = 0. Составить квадрат-
ное уравнение:
4~ х!
а)	единственным корнем которого является число —----- ;
XjX,
26
.Yj +X2
б)	корнями которого являются числа -1 и
х, + х2
Найти все значения параметра, при которых выполняются заданные
условия:
18.	Уравнение имеет единственный корень:
а)	ах2 -(2а +6).г + 3а + 3 = 0 ; в) (а-1)х2 + (а + 4)х + а + 7 = 0 ;
б)	ах2 + (4а + 2)х + За+-| = 0; г) (2а-5)х2 -2(а-1)х + 3 = О.
19.	Уравнение имеет не более одного корня: (2а -1)х2 +ах + 2а-3 = 0.
20.	Уравнение не имеет действительных корней: (2 - За) х2 - lax +1 - а - 0.
21.	Уравнение имеет корни:
а) (а- 1)х2 + 2(а + 3)х + 2а = 0 ; б) ах2-2(а-2)х + 2а-1 =0 ;
в) (а2-1)х2+2(а-1)х + 2 = 0.
22.	Уравнение имеет два различных корня. Определить знаки корней:
а) (а - 2)х2 -2ах + 2а -3 = 0: б) х2 + 2х-8 = а(х-4) ;
в) (а + 5)х2+(2а-3)х + а -10 = 0.
23.	Уравнение (а2-6а+8)х2 +(а2-4)х + (10-За-а2) = 0 имеет бол0
двух корней.
24.	Уравнение х2 +(4 + 2а)х + 5 + 4а = 0 имеет: а) единственный корень;
б)	корни, противоположные по знак)', но равные по абсолютной величине.
25.	Один корень уравнения х2 -t (2а - 1) х + а2 + 2 = 0 вдвое больше другого.
26.	Корни X] и х2 уравнения х2-(.За + 2)х + а2 =0 удовлетворяют соот-
ношению х, = 9х2 .
27.	Корни х1 и х2 уравнения 5х2 + Ьх - 28 = 0 удовлетворяют соотноше-
нию 5х, + 2х2 = 1 и Ь - целое число.
28.	Уравнение 0,5х2 +2х-5а + 1 = 0 имеет два различных корня, сумма
кубов которых меньше 40.
29.	Корни уравнения ах2 + 3х + 2а2 - 3 = 0 целые.
30.	Уравнение х(х + 1)(х + /;) (х +1 + /?) = h2 имеет четыре корня.
27
31.	Пусть х, и хг - действительные корни уравнения
ах2 +(2а-3)х + 2 = 0, причем а>0. Найти наименьшее значение
о 1	1
выражения Л = — 4—~ и указать, при каком а оно достигается.
X, х2
32.	Найти наибольшее значение суммы кубов действительных корней
уравнения 3(х2 -ax-lj + a2 -а = 0 и указать, при каких значениях а
оно достигается.
При каких значениях параметра р графики функций
у = f (х) и у - g (х) имеют только одну общую точку?
33.	f (х) = х2 + Ip +10 ,	34. / (х) = х2,
g(x) = -х2 + рх + р2.	g(x) ~ ~х2 + Рх + р2 ~ 4р — 2.
Ответы:
1.	{-2;-4>/2} . 2. [-2 ± л/з+Тз ]. 3. {-4b,-Ь} . 4. {-За; 2}. 5. {3/> + 2; b - 2} .
6. {1; 1/а} при а * 0 ; {1}, при а - 0. 7. 1R при а - b - 0 , {1} при а = 0,
/>^0,0 при а Ф 0 , b = 0,	\a-b a-b\	[ 208] [a b\	1 345]
9. (1;1. 10. К/2+/ 1	1998]	- 9 —>/2 —->/з 1	( г-\ 3,			>. 11. {*V6j. 12. Больший ко-
рснь первого j равнения меньше, чем меньший корень второго уравне-
ния. 13. Меньший корень больше а; указание: корни уравнения равны
/ /77 /«1 т/ /77	/7\	< и \ 70	70	584	4882
(V14 + V5) и 2{VI4 +V5 j, а = 6. 14. а) —; б) ; в) —— '> О -	
ч 41	165 ч ч 595
15. а) —; б) ——; в)	; указание:
xf+х2 = (х,+х2)^х2+х2)-х2х2-xtx2 (х2+х2)); г) 25/71.
16. а) 2х2+х-9 = 0; б) х2-13x4-24 = 0; в) Зх2+7х-2 = 0;
г) 6х2-7х-1 =0.17. а) 9х2 -258x4-1849 =0; б) 43х2 4-36х-7 =0.
f 31 Г 11 f 221 Г 5 1
18. а) ае {0:3;— >: б) а е 10;-2: — ] : в) а е 11:2;-1; г) а е <—;4 >.
Г 2]	[ ' ' 2J I 3 J 12 J
28
19. ае
1Ц д_.16-2л/19
2jU( ’	15
16 + 2V19
15
20. ае
3
'’2
22. а) а е (1;2)U(2;6); если а е 1;— , то jq < 0, х2 <0; если а = —, то
х, <0, х2 = 0, если а е (3/2;2), то х, <0, х2 > 0 ; если а е (2;6), то
Х( > 0, х2 > 0 ;б) а е (-оо; 2) U (18; +оо) ; если а < 2, то xt < 0, х2 > 0; ес-
ли а >18, то х, >0,
в) а е —
если
209. Л
8 ’ J
U (Ю; +оо), то х, < 0, х2 < 0 ; если а е
(-5; 10) , то X! < 0 ,
а е
х2 > 0, если а = 10, то х, < 0, х2 = 0.23. а = 2.24. а) а = ±1; б) а = -2 .
25. |V5;-2-V5|. 26. При а = 6 xt = 18, х2 = 2; при а = -— х, = —,
2	Г 1 >	f	1 3
х2 = — .27. b = -13.28. а е —;0 .29. ае <0; — ; —
2 19	V 5 )	V 2 2
30. h е (-оо; -2 - V5 U (^2 — л/5 ;0^ U (О; л/5-2jU^2 + x/5;+ooj; указание'.
группируя в левой части уравнения первый множитель с четвертым, а
второй с третьим, и вводя замену / = х2+х + Лх, получаем уравнение
/ (/ + Л) - А2.31. Smin - 1 при а - 1.32. 5тм - 54 при а - 6.
33. р е	;41.34. »е(4;- —
I 9 J [	9
Квадратные уравнения при особых условиях
Группа I
1.	Определить значение числа а так, чтобы один из корней уравнения
4х2 -15х + 4а3 = 0 был квадратом другого.
2.	При каких значениях а уравнение (5а - 1)х2-(5а+ 2)х+ 3а - 2 = 0
имеет равные корни?
29
3.	При каком значении т выражение х2 + т(т - 1)х + 36 есть полный
квадрат?
4.	В уравнении х2 - 2х + q = 0 квадрат разности корней равен 16. Опре-
делить свободный член уравнения.
5.	При каких значениях т уравнение Эх2 - 18wx -8/л + 16 = 0 имеет
корни, отношение которых равно 2?
6.	Какими должны быть значения р и q, чтобы уравнение х2 + px + q = О
имело корни р и q ?
7.	Показать, что уравнение (х - 1)(х - 3) + т(х - 2)(х - 4) = 0 имеет корни
при любом т eR .
8.	При каких целых значениях к корни уравнения кх2 - (1 - 2к')х +к = 2
рациональны?
9.	При каком значении к корни уравнения (к - 1)х2 - 2(к + 1)х + к + 4 = О
равны между собой?
10.	Определить значение к так, чтобы один из корней уравнения
х2 - (2к + 1)х + к2 + 2 = 0 был вдвое больше другого.
11.	Дано уравнение x2 + px + q = 0. Составить уравнение с корнями
х/ + х2 и х,3 + х23, где г-, и х2 - корни данного уравнения.
12.	При каком значении а один из корней уравнения 4х2 - 15х + 4а3 = 0
есть квадрат другого?
13.	При каком значении и сумма квадратов корней уравнения
х2-ах + <7-1 = 0 равна 17?
14.	При каком действительном значении а сумма квадратов корней
уравнения х2 + ах + а - 2 = 0 будет наименьшей?
15.	При каком целом значении к один из корней уравнения
4х2 - (Зк + 2)х + {к2 -1) = 0 втрое меньше другого?
16.	При каком целом значении р уравнения Зх2-4х + р = О и
х2 - 2рх + 5 = 0 имеют общий корень? Найти этот корень.
17.	Найти все значения а. при которых сумма корней уравнения
х2 - 2а(х -1) -1 =0 равна сумме квадратов корней.
30
18.	При каком значении а уравнения х2+ах + 8 = 0 и х2+х + а = 0
имеют общий корень?
19.	В уравнении х2 + 2х + с = 0 определить то значение с, при котором
его корни X] и х2 удовлетворяют условию 7х2 - 4х, = 47 .
20.	При каком значении р отношение корней уравнения х2 + рх -16 = 0
равно -4?
21.	При каком целом значении b уравнения 2х2 + (ЗЬ- 1)х- 3 = 0 и
6х2 - (2Ь - 3)х -1 = 0 имеют общий корень?
22.	При каком положительном значении с один корень уравнения
8х2 - 6х + 9с2 =0 равен квадрату другого?
23. При каком положительном значении р корни уравнения
5х2 - 4(р + 3)х + 4 = р2 противоположны по знаку’? Найти эти корни.
Решить уравнения:
24. ах2 = 1.	25. (а - 1)х2 + 2(а + 1)х + а - 2 = 0 .
26. х2 - 2(а - 1)х + 2а +1 = 0 .	27. х2 + 2х - 8 - а(х - 4) = 0.
28. (а +1)х2 - (а - 1)х - 2а = 0.	х2 +1	1	X 29. —	+	= —.
	и х-2п пх-2 п
30. 2х2 - (а - 1)х + а +1 = 0 .	31. ах2 - (а + 1)х + а2 + а = 0 .
32. х2 - ах + 2а + 4 - 0.	33. (а + 1)х2 - х + (1 - а) = 0 .
34. При каких значениях а	сумма корней квадратного уравнения
х2 + (2 - а - а2)х - а1 - 0 равна нулю?
Найти все значения параметра а, при которых уравнения имеют хотя
бы один корень:
35. х2 - 2(а - 1)х + 2а + 1 = 0 .	36. (а - 2)х2 - 2ах + 2а - 3 = 0 .
Найти все значения а, при которых квадратные уравнения имеют два
неравных корня:
37. ах2 + 2(а + 1)х + а + 3 = 0.	38. (а-2)х2 +ах +1 = 0 .
Известно, что квадратные уравнения имеют корни. Не решая уравне-
ний, определить знаки его корней:
39. ах2 + 2(а + 1)х +2а = 0 .	40. (а2 -5а + 3)х2+(За-1)х + 2 = 0 .
31
41.	Найти все значения а, при которых квадратное уравнение
(а + 2)х2 ~2ах~а = 0 имеет два корня, расположенные на числовой
прямой симметрично относительно точки х = 1.
42.	Найти все значения а, для которых один корень квадратного уравне-
ния (а2 - 5а + 3)х2 + (За - 1)х + 2 = 0 в два раза больше другого.
43.	Найти все значения а, при которых уравнение х2 + Зах + а2 = 0 име-
ет два корня Xj и х2, удовлетворяющие условию х2 +х2 =1,75.
44.	Найти все значения а, при которых один из корней уравнения
4х2 - 15х + 4а2 = 0 равен квадрату другого корня.
Найти все значения а, при которых квадратные уравнения имеют
корни, и определить знаки этих корней:
45.	х2-2(а-1)х + 2а + 1=0.	46. Зах2+(4-6а)х+3(а-1) = 0.
47. (а-З)х2-2(За-4)х + 7а-6 = 0.	48. (а-2)х2-2ах + 2а-3 = 0 .
49.	х2+(3-2а)х-За + 2 = О.
Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов кор-
ней уравнения х2-(а-2)х-(а+3)=0 равна:
50.	9.	51. к2.
Решить уравнения:
52.	х4+4а3х = а4.	53. ах2+2х+1 = 0.
54. При каком т имеют общий корень уравнения 2х~-(3/л + 2)х+12=0,
4х? ” (9ш - 2)х + 36=0 ?
55. Найти все значения параметра а. для которых квадратные уравнения
(1-2а)х2 -6ах-1=0 и ах2-х+1=0 имеют по крайней мерс один
общий корень.
Ответы:
1. а = 3/2, а = -5/2. 2. а = 2, а = 2/35. 3. /и = 4, ш = -3. 4. q = -3.
5. т = -2 , /и = 1. 6. /?, = 0 , q} = 0; р7 = 1, q2 = -2. 8. к = и(и +1), где
п = 0, ±1, ± 2,.... 9. к = 5 . 10. к = 4.11. х2 +(д3 - р2 -3pq + 2q)x +
+(р2 -3q)(3pq - /?’) = 0. 12. а = -2,5, а = 1,5. 13. а = -3, а = 5. 14. а = 1.
15. к = 2. 16. /з = 3. х = 1. 17. а = 1, а = 1/2. 18. а = ~6. 19. с = -15.
20. а = “6, А = 6.21. b = 2 . 22. с = 1/3 . 23. р > 2 , х, = р + 2 .
32
2-р -,л
х, =---. 24. X. =
5
= \/4а при а>0. 25. х, =~ при а^Г
3	1	-(а + 1)±75а-1	1
х, = х2 = — при а = —; х12  --------- при - < а < 1 и а > 1.
2	5	’	а-1	5
26. х, = х2 = -1 при а = 0; Xj - х2 = 3 при а = 4 ; х12 = (а -1) ± ^а(а - 4)
при а<0 и а >4. 27. Х!=х2=:0 при а = 2; х1=х2=8 при а =18;
(а-2)±7(а-2)(-18)
xt 2 =---------------- при а < 2 или а > 18 . 28. х = -1 при а = -1;
,	1	,	2а	1
X] = х2 = -1 при а = —; х, = -1 и х2 -- при а < -1, -1 < а < — и
3	а +1	3
1	И + 1	.	„	,	, т .
а > —. 29. х =---- при п *1, w О; х = -1 при п = 1. Уравнение не
3	и-1
имеет смысла при п = 0. 30. а = -2, а = 1. 31.	= х2 = 1 + 72 при
а - 5 + 4>/2 ; х, = х2 = 1 - у[2 при а = 5 - 4^2 ; два разных корня
32.
10а-7
4 ------ 14511
1-717
х, = х2 = —-— при
1-717
Г; = ---- ПРИ
1-V17
а =------; X) = х2 = 0 при
8
1-717
а =
два
разных
корня
33.
а +1 + 72а+1—За2 -4а3
2а
1-717
8
1-717
8
= 2(1-72) при
а
8
и 0 < а
а = -1;
a = 4(l-V2); два разных корня х =
-8а-16	гг
при а <4(1- >12)
2
и а >4(1+72). 34. Х)=х2=2 + 7з при а = -Тз/2; х,=х2=2-7з
7з	1 + 7 4а2 —3
при а = —; два разных корня х =-----------
2	2(а + 1)
при
1	, V3
а <-1 и -1 < а <-
2
или а > —.	35. а < 0 или а > 4 . 36. 1 < а <6. 37. а < 0 и 0 < а <1.
9
38. |а| > 2 . • 39. Оба корня положительны при 1 - 7з < а < 0 ; оба корня
33
отрицательны при 0 < а < 1 + V2 (так как при а О
D =-4(<г - 2а -1) =-4(а - (1->/2))(п - (1 + V2))). при этом, если х1 и
х2 - корни уравнения, то xt х2 = 2, а х, + х2 = -	+ . 40. Оба корня
а
-17-^/зй
положительны при а <---------- и оба корня отрицательны при
5 + л/Гз	„	-17-7312	5 + V13
а > —-—, имеют разный знак при ---------< а < —-—. 41. 0
(если х( и х2 - корни, симметричные относительно х = 1, то х, + х2 = 2,
1а	_ 1а	_
кроме того, X] + х2 =-, поэтому 2 =--, что ложно при любом а,
а + 2	а + 2
поэтому задача решений не имеет). 42. а = 2/3. 43. а = ±1/2.
44. а - +3->/б/4. 45. Корни разных знаков при а < -1/2 ; оба корня по-
ложительны при а > 4 ; оба корня отрицательны при -1/2 < а < 0 ; один
нуль, а другой отрицателен при а = -1/2 ; корней нет при 0 < а < 4.
46. Оба корня положительны при а < 0 и 1 < а < 4/3; корни разных зна-
ков при 0 < а < 1; один нуль, другой положителен при а = 1; корней нет
при а >4/3. 47. Оба корня положительны при а <2, 1/2 < а <6/7 и
а > 3 ; корни разных знаков при 6/7 < а < 3; один нуль, другой положи-
телен при а = 6/7 ; корней нет при -2 < а < 1/2. 48. Оба корня отрица-
тельны при 1 < а < 3/2 ; один нуль, другой отрицателен при а - 3/2 ; кор-
ни разных знаков при 3/2 < а < 2 ; оба корня положительны при
2 < а < 6; корней нет при а < 1 и а > 6. 49. Оба корня отрицательны
при а < 2/3 ; один корень отрицателен, а другой равен нулю при а = 2/3 ;
корни разных знаков при а > 2/3 . 50. а = 1. 51. а = 1, если к = 3 и
к = -3 ; а, = 1 - у]к2 - 9 и а2 = 1 + ^к2 - 9 при к > 3 и к < -3. 52. х, = 0
п (.-l±ylly/l-l)a	п п „	-1 + х/Ка
при а = 0; х=-----т=----при а < 0 и а > 0.53. х, =---,
V2	а
х, =——приа<1,а^0; х = -1/2 при а=0;
а
(а~1)х2 -2а.г + 2а-3=0 при а ~ 1. 54. т = 3 . 55. а = 2/9 . ‘
34
Группа II
Найти все значения параметра, удовлетворяющие заданным условиям
(№№1-21):
1.	Уравнение (2 - х) (х +1) = а имеет различные положительные корни.
2.	Уравнение (а-1)х2 -2«х + а+3 = 0 имеет различные положительные
корни.
3.	Уравнение х + 2 (а + 1)л/х + а2 - 1а - 8 = 0 имеет: а) решение;
б)	два различных решения; в) единственное решение.
4.	Уравнение имеет одно решение:
г-	г- а2 - 400
a) (p-2)x-2(p + 3)vx + p = 0; б) 16-jx----=--н6а = 0;
у/х
в) (р + 5) х + 6л/х + /7-3 = 0.
5.	Уравнение не имеет решений:
а) х2 + 2(а- 1)х + а + 5 = 0; б) х+2(2а + 1)>/х + 4я2-3 = 0 .
6.	Уравнения имеют решения:
а) (а-3)х-8>/х + а+3 =0 ; б)(я + 1)х+8>/х+а-5 = 0 .
7.	Число а расположено между корнями уравнения
2х2 - 2(2а + 1)х + а(а-1) = 0 .
8.	Корни уравнения (1 + а) х2 - Зах + 4а = 0 больше 1.
9.	Один корень уравнения 2ах2 - 2х - За - 2 = 0 больше 1, другой меньше 1.
10.	Единственный корень уравнения (а - 1)х2 - 2ах + 2 - За = 0 больше 1.
11.	Интервалу (1;3) принадлежит только один корень уравнения
х2 — ах + 2 = 0.
12.	Все корни уравнения (2-а)х2 -3<тх+2а = 0 больше 1/2 .
13.	Все корни уравнения х2 - 2ах + а2 - 2= 0 расположены на отрезке [2; 5].
14.	Все корни уравнения х2 - 2ах+ а2 - а= 0 расположены на отрезке [-2; 6].
15.	Один корень уравнения (а-2)х2 -2(а + 3)х + 4д = 0 меньше 2, второй
- больше 3.
16.	Уравнение (х-я)2 ^л(х-а)2 -а-1) = -1 имеет больше положитель-
ных корней, чем отрицательных.
35
17.	Уравнение х4 + (а-1)х3 + х2 +(а-1)х + 1 =0 имеет не более двух
отрицательных корней.
18.	Оба корня уравнения а2х2-2а(а + 1)х + 1-16а2 =0 лежат между 0 и 1.
X у[х
19.	Уравнение------ + 2а---+1 = 0 имеет решение.
(1 + х)'	1 + *
20.	Уравнение (р-1)х2 +2рх + Зр-2 = 0 имеет два различных решения
каждое из которых не больше 2.
21.	Все корни уравнения ах2-2(2а-1)х + 2-За = 0 больше 1.
22.	Сколько корней больше -1 имеет уравнение х2 + (2а + 6) х + 4я +12 = 0 ?
23.	Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1 + а)х2 - Зах + 4а = 0 ?
24.	Сколько корней уравнения 4х2 - 2х + а = 0 удовлетворяет условию
Hsi’
25.	При каких значениях параметра к корни х, и х2 уравнения
х2 - 4Ах + 1 = 0 удовлетворяют условиям х, > к, х2 > 0 ?
26.	Найти все значения параметра а, при которых больший корень урав-
нения (а-1)х2 +2х + 1 = 0 больше 100.
27.	Найти все значения параметра а, при которых только один корень
уравнения х2+2(а-3)х + 9-2а = 0 меньше 2.
28.	Найти все значения параметра Л . при которых только один корень
уравнения х2 2х(/> I 1) I 3=0 больше 2.
29.	При каких значениях параметра т один из корней уравнения
х’ -(2w+l)x+?«2 +от-2 = 0 расположен на интервале (0; 2), а второй
- на интервале (3; 5) ?
30.	При каких значениях параметра а все корни уравнения
х4 +(3а-2)х2 (х + 1) + (2а2 -а-3)(х+1) = 0 лежат на отрезке [—3;0] ?
Ответы:
36
в) ае{-9/4}U(-2;4]. 4. а) ре[0;2];б) ae(-oo;-20]U{-16}U(20;l];
(-Jl
в) р е {-6}U[-5;3]. 5. а) ае(-1;4) ; б) ae(-oo;-l)U —;+со .
2
6. а е [—3; 5]; б) а е [-1;7]. 7. а е (-со;
i;-3)U(0;+oo). 8. ае —у-;-1 .
9. а е (-oo;-4)U(0;+oo). 10. ае
12. ае —;2 . 13. аеГ2
L17 J L
16. а е [1; -ко) .17. а е	-Koj ; указание: уравнение является возвратным.
18. Таких значений а не существует. 19. а е (-ос; -5/4]; указание: сдела-
>[х	1
см замену у =----. Нетрудно видеть, что 0 < у < —. Необходимо опреде-
х + 1	2
лить, при каких а уравнение у2 + lay + 1 = 0 имеет хотя бы один корень
на отрезке 0;у .20. pefy;-^- U (1; 2). 21. Таких а не существует.
. 14. ае[0;9]. 15. ае(2;5).
L 2
7	7
22.	При а<~ — один корень больше -1 , при -—<а<-3 - 2 корня
больше -1 , при а > -3 таких корней нет. 23. При -I < а < - у один ко-
рень меньше 1, при —i < а < 0 оба корня меньше 1, при а < -1 и а > 0
таких корней нет. 24. При а е [-6;-2)U^|
- 2 корня, при a e(-oo;-6)Upj-
,	„ И
- 1 корень, при ае _2',—I
« , Г1
- таких корней нет. 25. k е — ;+°с I.
26. a e (0,9799;!). 27. ae
3
-ос: —
2
29. т е (1;3) . 30. а е
U3-.|
; указание: уравнение является одно-
1
родным.
37
Квадратные неравенства с параметром
Группа I
Решить неравенства:
1. х2 + —х- 2а < 0 . а	2. х2+ —х-а>0.	3. х2+2х + 1>—. а	а а2
4. х2 +2х + а>0. 7. -+—!— >0,5 . х х + а	5. ах2+х+1>0.	6. ах>1/х. 8. —	— >1.	9. ах2-2ах-1 <0 . х х-1
При каких значениях параметра а неравенства верны при всех х ?
2-ах-х2	х2+ах + 1	ах2+Зх + 4
1.V»	S: J .	1 JL* .	< О .	Лл/в _	< Э .
х2 4-4x4-8	х2 +2x4-2
.2
13.	При каких значениях параметра а квадратный трехчлен
у = (а2 + 6а - 4)х2 - 2(а — 1)х — 1 принимает отрицательные значения
при всех х е R ?
14.	Найти все а е R , при которых трехчлен у = (а2 - 1)х2 + 2(а - 1)х +1
принимает положительные значения Vx e R.
15.	При каких значениях параметра т трехчлен у = тх2 + 4x + 3w + l
принимает положительные значения при всех х > 0 ?
16.	При каких значениях параметра ni трехчлен
у = (6т - 5)х2 - 5(т - 1)х + 2т - 6 есть полный квадрат?
17.	Найти все значения параметра а, при которых неравенство
ах ‘ + (а -1 )х + а - 3 < 0 выполняется при всех хе/?.
Для каждого значения параметра а решить неравенства:
1	у _ 1	1
18.	ах < — .	'	19. х4 - ах2 +1 < 0 .	20.-----1- х <--
х	а -1	1 - а
2а+1	х + 2	2а+ 1 х
21. ------>-------.	22. -------------->------.
(а-З)х х	ах-3х-2а + 6 х-2
23. При каких значениях параметра а неравенство ах2 + 4х > 1 - За
справедливо при всех положительных значениях переменной?
Ответы:
'16 +2а’	-4 + 7ЙГ+2а3	,
	 и х2 =	 при а > -2
а-----------------а
(а + 0) ; При
38
Va -2
a
Va -2
a
-1-Vl-a ,
a e (-2; 0) X] > x2 тогда x e (x2; x,); при a > 0 x e (x,; x2) ; Va < -2 и
.. z-x ~	- 3 - 79 + a3	- 3 + 79 + a3	/,/т
(7 = 0 xe 0 . 2. Xj =--------- и x2 =-----------; при a e I V9;0}
a	a	'	'
xe(-®; x2)U(x1;-hx); Va > 0 xe(-a>; ^t)U(x2;+oo).
3. Va e (~co;0)U(0;2) xe/?;a = 2 x e\ {-1}; Va > 2
/
xe -oc;-l-
x > -1 + 7T-a ; при a = l x e R \ {-1}; при <7 > 1 x e R . 5. При a < 0
-1+71-4(7	-1-71-4(7	n 1 A 1
	< x <	; при <7 = 0 x > -1; при 0 < a < —
2a-----------------2a----4
-l-71-4a -l + 71-4a	1 D , _
x <----------- и x >----------; при a = — x e R . 6. При a < 0
2	2a H 4
x < 0 ; при a > 0 —< x < 0 x > ~^= . 7. При a < 0 0 < x < и
Va	Va	2
x>-a; при a=0 x>0; при a>0 -a<x<-a/2 x>0. 8. При a <0
a + 7a2 - 2a < x < 1; при 0 < a < 2 0 < x < 1; при a > 2
a - 7a2 - 2a < x < a + 7a2 - 2a . 9. При a < -1
1 +a
---- и
a
,	1 + a ,	.	_	,	1 + a ,	1 + a
x>l+.------;при-1< a<0 xe.R: приа>0 1-J-----------<x<l + J------.
V a '	V a	V a
10. -l<a<7 .11. -10 <a <74.12. a < — .13. -1 - Jll < a <-1 + J1.5~.
24	* * У
14. a > 1. 15. m > 0. 16. 5. 17. a < 5~	. 18. При a < 0 x > 0; при
a > 0 x < —= и 0 < x < —j=. 19. При a < -2 решений нет; при a > 2
Va Va
I a + Va2 -4 I a - Va2 -4 I a - Ja1 -4	I a + 7a2 -4
- if--------< x < -1--------- и i|---------< x < if--------.
V 2	v 2 V 2 V 2
20. При a <0 и a < 1 x < 0; при 0 < a < 1 x > 0; при a = 0, a = 1 решений
Г 7
нет. 21. a < 3 xe----;0 : при a = 3 решений нет; при a > 3
la ~ 3 J
39
(	1 \	i»’
хе 0;------- . 22. При а<3 хе
I а-з;
2а + 12^
. а-3’ )
; при а-3 решений нет;
- Г. 2а+ 1
при а > 3 хе 2;--
V а-3
23.
а
Группа II
Решить неравенства:
1. х2 - ах + 3 < 0.
3. х2 - 2ах + 2а2 - 2а +1 > 0 .
2. ах2 - х + 2 < 0 .
4. 16х2 +1 За2 + 4а > 24ах — 1 .
При каких значениях параметра выполняются условия (№№ 5-20):
5.	Неравенство верно для любого действительного значения х:
а) (а + 4) х2 - 2ах + 2а - 6 < 0 ; б) (а - 3) х2 - 2ах + За - 6 > 0 ;
в) (а2 -1)х2 -2(а-1)х + 2 > 0 ; г) 2х2 -10х + 5 > а[х2 +10j.
6.	Неравенство не имеет решений:
а) Ьх2 +4йх + 5 < 0 ;	б) Ьх2 + (2/> + 3)х + 6-1 >0 ;
в) (4-62)х2 + (2+6)х-1>0 .
7.	Все решения неравенства х2 -а(1 +а2)х+а4 <0 удовлетворяют нера-
венству х2 + 4х + 3 < 0.
8.	Все решения неравенства ах2 - 2(а2 -3)х-12а > 0 являются реше-
ниями неравенства х2 > 49 .
9.	Для любого хе (1:2) выполняется неравенство:
а)х2 +ах + а2 + 6а <0;	б) х2+ах-7а < 0 .
10.	Каждое число х е [1; 2] удовлетворяет неравенству х2 +(а - 2)х -а <0 .
11.	Неравенство (х-За)(х + 2а + 1)< 0 выполняется для всех хе[1;3].
12.	Все решения неравенства ах2 -2х-а(а2 +2) <0 удовлетворяют
условию х2 < 9.
13.	Решением неравенства (х- а)2 (х+4) > 0 является луч.
14.	Каждое решение неравенства 4х2+8х + 3<0 содержится среди ре-
шений неравенства 2ах2 -(7а-4)х-14 > 0.
40
15.	Все решения неравенства {к -1) х2 + {к2 - 2к + 2) х+к +1 > 0 положи-
тельны и меньше 2.
16.	Все решения неравенства -1<2х<0 заключены в решениях нера-
венства тх2-2(»г-3)х + ?и-1 >0.
17.	Неравенство ----->1 имеет своим следствием неравенства
х+1
(А- + 1)х2-(Зк + 4)х + 3 >0.
18.	Каждое решение неравенства х2 - х-2 <0 больше любого решения
неравенства ах2 - 4х -1 > 0.
19. Система неравенств имеет решение:
х2 -(а + 1)х + а <0,
х2 +(а+3)х + 3а <0.
6)
ах2 +(1-а2)х-а>0,
х2 -4<0.
20. Система имеет единственное решение:
[х2+2х + а^0,	[-Х2 +12х-о>0,
а) <	бк
[х2 -4х-6о<0.	|х<2.
Решить системы неравенств:
х2 -5х+4>0,
х2-а2 <0.
х2 +2х + а < О,
х2 -4х-6л <0.
22.
/х2 -6х—7 <О,
1 2	2
[х > а .
|х2+4х + 3 + а <0,
24. <
2х + я + 6 > 0.
25. На плоскости ху указать все точки, через которые не проходит ни
одна из кривых семейства:
а) у = х2 -4рх + 2р2 -3 ; б) у = р2 + (4-2р)х-х2;
в) у = р2 +(2р-1)х + 2х2.
Ответы.
1. При
ое(-2л/3; 2>/з)
решений нет, при а е
^±2-\/з >
а
х = — , при
яе(-оо;-2>/з)и(2^;+ooj
a-*Ja2 -12
<7 + л/д2-12
2
. 2. При а > -
х е
41
решений нет, при а < О
(	1 + >/1-8а\ .(l-Vl-8a
-со;-------- U ----------;+ос
к 2я J к 2а >
(1-л/1-8а
хе ---------
2а
2а
при а = 0 хе(2;+оо). 3.
при
При
Н)
а^1 хеК, при а = 1 хеЖ\{1}. 4. При а±—- хей, при а = -—
х е Ж \ {-0,375} . 5. а) а < -6; б) а > 6; в) а е (-оо;-3)U[1; +а>) ;
б) а е [4/5;-н») . 10. а е (—°о;0] .11. а е (-ao;-2)U(l;4oo) . 12. а е [1;2].
13. а е [—4;+оо). 14. а е[4;4оо) .15. к е (- 1;O)(J (0;i 1. 16. от е -н» J.
17. ке
-2;--
2
. 18. Таких значений а не существует. 19. а) а е (-оо;0) ;
б) а е R . 20. а) а е {0; 1} ; б) a = 20.21. а) Если а е {0;1; -1} , то решений
нет, если ае(-1;1), то хе (-|а|;|а|); если а е [—4;—1)U(U4], то
хе(-|а|;1], если а е (-oo;-4)U(4;4-oo), то х е (-|a|;l^U[4;|a|). 22. Если
а е (-1:1), то .г е [-l:-|a|)lj(|a|;7] , если ае{-1:1}. то хе(1;7]; если
а е(—7; —1)U(l;7), то хе(|а|;7] , если a e(-co;-7]U[7;4oo), то решений
нет. 23. Если а = 0, то х = 0, если а = 1, то х = -1, если ае(0;1]
хе^2->/4 4-6а;-14-л/1-а^ , если а <0 или а>1 решений нет. 24. При
ае[0;1) хе(-2--71-а;-2 4-->/1-а) , при -8<а<0
I -а — 6 „ г-----]
хе!—2—1-24--у!-а I, при а <-8 и а > 1 решении нет.
25. а) |(х;у)|.у <-х2-з} ; б) }(х;у)|у < 4х-2х2} ; в) {(х;у)|у5<,х2-х|.
42
4. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
Решить системы уравнений:
				х + у + — = 9,
* 1	у + ху = 231, х2 +ху = 210.		2.	У '(">)«=20
3. 5 |	[х-у)(х2-у2) = 45,		4.	У (х + ху-у = 13,
	х + у = 5. х2 + ху + 2у2 = 37,	А		[х2_у- ху2 = 30. (х2-_у2 =3,
	2х2 + 2ху + у2 = 26.			[х2 + ху+у2 = 7.
7. ।	Зх-у - 4,	8.		[х~У = 1,
9. ।	27?-у3 =28. 2х + у 4-х-~2у = 1,	10.		|х2— ху + у2 = 2. |3х2 + 2у2 + 12х-4у + 8 = 0,
11.	5х2 +2,5_у2 + 3х-4у = 4. х + у = 10,	12	•	[2х2-у2 +8х + 2у/ + 9 = 0. у2+ху+у = 20, х2 +ху + х = 10.
13.	fx2 = 13х + 4у,	14		ху = 12, y(x + z) = 32,
15.	[у2 = 13.у + 4х. XV = 6, 3^ = 2,	16.	<	х( y + z) = 27. ^х2 +ху + у2}у]х2 +у2 = 185,
17.	х2 + z2 =10. Найти все решения системы •		с	У-ху + у2)у1х2+у2 =65. с-2)2 +(у2 -1)2 =4, '	'	’	удовлетворяю-
щие условию х < 0.			X	2 +у2 =х-у .
	X	V 	+ 1 =
18. Решить систему 	0+30+2 , где о > 0. 2-=1 х .у - 2
43
19.	Найти все значения параметра а, при котором окружность
х2 + у2 = 1 касается: а) окружности (х- а)2 +у2 = 4 ;
б) окружности (х-3)2 +(у-4)2 = а2, а > 0.
20.	Прямая у~ 5х+ а проходит через центр окружности х2+у2-2х+4у=21.
Найти координаты точек пересечения прямой и окружности.
21.	Найти все значения а (а >0), при которых окружность х2 +у2 = а2
касается прямой Зх + 4у = 12 . Найти координаты точки касания.
22.	При каких значениях параметров а и b областью определения
функции f(х) = ^ах2 +(b2 +4Z>)x-a + 7Z>+10 является множество
М =(-oo;-2]U[l;+oo) ?
23.	При каких значениях параметров а и b области определения функций
,--------- ах2+(а2-2Ь
f(x) = ^(2-х)(х + 3) и g(х) = --------
При каких значениях параметра а имеют решения системы:
у = 2х - х2 + а,
совпадают?
24.	у = х2 - 2х + а, х2~2х + у2=0.	25. 
26. <	у = 1 - х2, у2 -х2 +(а~2)у-(а + 2)х-2а ~ 0.	27. 
28.	х2 4- 2у = 4х, х2 + у2 +а2 = 4х + 2оу.	29.
	у + х +2 = 0,	у = -
30.	XV	;31. х -у -ах-ау+—--1 = 0. а а	
х2 -6х+(у-п)2 =16,
32.
у - х2 + 2х + 2,
х2 +2х+у2 -2ау+аг<=0.
х--а~2у\
у4-х2 + 4x+Sy2 + 12=0..
2
х2 + ay + ах-------+ 1 = 0.
а а
-=+1 = 0.
33.
у = 2х-х2,
44
Найти все значения параметра, при которых системы имеют два
различных решения:
(х + а-2)2 +у2 =1,
у2 = 2ах.
у = у/3-2х-х2,
34.
35.
4а(у-2) = х-4.
36.
37- Ь-з
= а.
.х-2
38. При каких значениях параметра т системы
(х+тл + 2)2 +у2 = 1,
у '	имеют:
у2 = 2тх
(х-2/w+l)2 +у2 =т\
у2 = 2х;
а) два различных решения; б) четыре различных решения.
1)
39. При каких значениях параметра а система
у2 + 2х = 0
имеет не менее трех различных решений?
совместна?
>2 -5
!2х-3у = а
I-------
у + 2\9-2х-х2 - 3
При каких значениях параметра а системы имеют единственное
решение? Указать это решение при каждом значении а :
41.
у - л/16-6х-х2 ,
х=а(у-4).
42. -
43.
у = х-а.
+ 1 = 0,
44.
у ~ х — 2х+ +8 ^0.
Ответы.
1. !(-10;-11);(10;11)). 2. |(4;1);
4. {(5 + 2у/1; -5 + 2^7 ); (б - 2 V?; -5 - 2	.
5. {(1;4);(-5;4);(-1;-4);(5;-4)}.
45
6. klM-W-	.
v ’ v з з Д з з J
7. {(l;-l);(l/3;-3)}. 8. {(3;2);(-2;-3)}. 9. {(-1; 2); (7/9; 2/9)}.
13. {(0;0);(17;17);(12;-3);(-3;12)}. 14. {(3;4;5);(-3;-4;-5)} .
15. {(3;2;l);(-3;-2;-l)}. 16. {(3;4);(4;3);(-l;-6);(-6;-l)}. 17. {(0;-l)};
указание: докажите, что при х<0 первое уравнение не имеет решений.
18. {(-о;-3;0);(а2 + 3а;о2 +За + 2)|. 19. а)а е {1;-1;3;-3}; б) ае{4;6}.
20. (2;3);(0;-7). 21. а = 2,4;(1,44; 1,92). 22. а = -3;Ь = -1.
23. а = -4; b = 10.24. а е [-2; 1/4]. 25. а е [-2; 1/4]. 26. а е [-5/4;+оо).
27. а е [0;9/4]. 28. а е [-1/2; 4]. 29. а е [1;+со).ЗО. а е (0; 4/7] U [7/4; +оо).
31. ae(-oo;-3/2]U[-2/3;0). 32. ое[3-5л/2;4). 33. ае(-оо;9/4].
34. «е{1/3}и(1;3)и{0}. 35. ае [l/2;l)U(l;+°o).36. а е (-оо; ->/з) (J
и^--л/3;--~г U[>/3;+oo).37. а е p;-|jU. 38. 1) а) а е Q;ljU{3};
б) ае(3;-к»); 2) а) а е (-3;-1) U {-1/3 ;0} ; б) ае(-1/3;0).
39. а е (1/2;1)U(2;5]. 40. ае[-11-2>/10;9] . 41. а е {-4/3} U(-l/2; 2),
х = 0, у = 4.42. а е (-оо;-2](J{2}, х = 2а-1 + 2sja2 -а-2 ,
у = a + sja2 -а-2 . 43. При а = 7/К х = -1/2, у = -11/8; при а = 1
,	„	,	-l-V8a-7	-2а-1->/8а-7
х = -1, у = -2; при а > 1 х =--------, у =--------------.
44. При а = -4 х = -4, у = 0; при а = 1 х = 3, у = 1 ; при а < -4
х = а - 2 + 2-J-а - 3 , у = -2 - а - 2s]-а-3 ; при а>2 х= а+ 2 + 2s]a-l,
у = а + 2s]а- \ .
46
5. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решить уравнения:
f	1У	(	1 \
1. х н— -4,5 х+*— + 5 = 0.
I	х )	\	х)
_ х2 +1 х	5
3.----+—— = —.
х	х2+1	2
5. х4 — 2хэ - х2 - 2х +1 = 0 .
2	! х-4	1
х2 - 4 х2 + 2х х2 - 2х
4. (бх + 5)2 (Зх + 2)(х + 1) = 35.
6. х(х~1)(х-2)(х-3) -15.
7. (х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 18	8.	4х	5х	3
		х2 + х + 3 х2 - 5х + 3		2 ’
л 24	15	10.	х-1	Зх	5	
х + 2х-8 х + 2х —3		X	2х-2	2	
11. х3 - Зх2 -Зх+1 = 0.	12.	х+2 х-2	х(х-4) х-2 х2-4 х + 2	4(х + 1) 1-х2
х-1 х-2 _ х-4 х-5 х + 2 х + 3 х + 5 х + 6	14.	2х-1 х + 1	Зх-1 х-7 . +	=	+ 4 х+2	х-1	
15	1	+	2	-	6			
х2-3х + 3 х2-Зх + 4 х2 -	Зх + 5			
16. i_tl+^±2=-2. х+1	х-2	17.	х3 -х2	8 -2	
			X3 -х2	
Оу*	О у*	£	л
I8.-5-------+ —5-^----н— = 0. 19. (х2-2х) -Зх2+6х-4 = 0.
х" - 4х + 2 х + х + 2 4	'	'
20. Зх3-7х2-7х + 3 = 0.
X + 1 X + х -1
. -Т----+--------
X +Х-1	х+1
22. (х2+Зх-2)2+З(х2+Зх-2)-2 = х.
2х +х + 2 2х -Зх + 2	,, ( X ( х 40
23. —-------= —--------.	24. ---- + ------ = —.
Зх -х + 3	х2—х + 1	(x-lj <х + 1)	9
25. (х-2)(х + 1)(х + 4)(х + 7) = 63.
26. (x2-x-lj + Зх2=Зх + 7.
/о	\2
_о х'-2х+3	,	15
28. -------- -5х =----16.
х )	х
27. (х+1)4 =2(х4+1).
4х2 +4
х2 -2х + 3
+ 1 = 0
47
30.	5х4 - Збх3 + 62х2 - Збх + 5 = 0.
31.	х4 - 7х3 + 14х2 -7х + 1 - 0 .	32. 2г4 -15х3 + 40х2 -45x^18 = 0.
33.	5 (х2 + 2х)2 -11 (х2 + 2х) (х2 + х +1) + 6 (х2 + х +1)2 = 0 .
34. х3+3х2-6х-8 = 0 .
36. 8х3 -6х2 +Зх-1 =0.
38. 243х4 - 108х3 +1 = 0 .
35. х3+5х2+15х + 27 =0.
37. 27х3-15х2 + 5х-1 = О
39. 6х3 + 11х2 -х-6 = 0.
2х 12х2 Ь-х
40.------------ =-----.
х-b х~ — Ь Ь + х
42 °2 +2* _ х-а
х-а х+а
„ 2а1 +х2 2х 1
41. —-----------j-+--
а -х ах + а+х х-а
43. ——2а = а2 +1.
х-1
44. Х + Р^-Р= Р 45< 1	3	_ 5а
р-х х + р р2 — х2	х + а-1 (х + а-1)(х + 1)
(х-4)(х + а)	. / , ч ,
46.	----= 0 . 47. х4 -(а2 +з)х2 + 3а2 = 0.
х'-(2а-2)х-2а+1	'	’
48. х6+(8а3+27)х3+21ба3 =0.
Найти вес значения параметра, при которых уравнения имеют един-
ственное решение:
х2 +Cib~\}x + 2b2 ~2	х2+(3-2£)х + 4£-10
49. -----------------= 0 . 50.---У =	----= 0.
V2x2-2x-1
Ответы:
6.
10.
1. 1-;l;2l. 2. {3}. 3. {-1} . 4. К2-1	5 I. 5.
[2 J	' |	6	6 I I 2
0.-2;-.^
2
15. {1; 2}. 16. {!}. 17. {-1; 2}. 18.
21.	22. {-1±73: -2±>/2].23. {1} . 24.
20.
48
25.
. 26. {-1:2}. 27. |1+>/з± 7з + 2л/з| . 28. • 1; .3;
29. {0; ±1} . 30. |1; 5; |j . 31.	2±>/з1.32. 11; 2; |; 31.33. {1}.
34. {-4:-1}.35. {-3} . 36.	. 37. ||}.38. ||}.39.	-1}.
40. При Ъ 0 х = ±— ; при b = 0 решений нет. 41. При а * 0 х = —; при
а = 0 решений нет. 42. При аф-l и а 5*0 хе }-<?2;-<?}, при
а е {-2; 0} решений нет. 43. При <7 5*0 и а 5* 1 х е < <7+1; 1+—L при
I a J
а = 1 х = 2, при а = 0 решений нет. 44. При р ~ 0 х е Ж \ {0}, при
р е jy; - yj решений нет, при peR\jo;~;-^J х = -^.45.При <7 = -3
х = 2, при <7=0 х = 4, при а е R\ {0; -3} хе{4;-а-1}. 46. При
<7 = 2,5 х = -2,5, при ае х = 4, при а <£ {2,5; 1;
47. {±<7; ±л/з}. 48. {-2<?; -3}. 49. b е {-1; 3/2; -5; 0} .
50. к с
З-л/з 3 + л/з
~4	’	4
U{3.5}.
49
6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
Решить неравенства:
2	1
1. х + —>3.	2. 2х + 1> —.
х	х
s.	<о.
х-3	(2х + 3)2
Jt, + 2x-x2
7. 4х< х2 < 4х+5 .	8.—----------<0.
х-2
74-х2(х-1)(х+1)2
[)♦ r
х-3
9.	,	<0.
л/2 + х-х2
10.	(х+3)-\/4-Зх-х2 >0.
„ 4х-17 Юх-13 8х-30 5х-4
11.	+------------>-------+------.
х-4	2х-3	2х-7	х-1
12.
х-4
х+4
x-6fx + 9V „ х2+36
+--- ---- >2—----•
x+6^x-9J	х2-36
х2 + 2х + 2 х2+8х + 20 х2+4х + 6 х2+6х + 12
----------1--------->-----------1----------
х+1	х+4	х+2	х+3
14.
4х
х + 2):
—2------+-------<------.
2х + 1 2х + 3 3 + 4х 5х + 4
15. 2х2 + 2х +1 —т—-----< 0 .
х" +х + 1
17 (*+1)4 -128
 х(х2+1)	15
х + 6
х —6
2
(2х-1)Л(-2х2 +3х-2)(х2 -6х + 9)
(х3-1)(х-2)'’(х2 +Зх + 2)
19. (х2 + 7х - 8)2 + (х3 + 2х - З)2 < 0.
4
1	4	1
20. —----1--;-------< —--	।
х2-4 2х~4-7х + 6 2х + 3 2х3+Зх2-8х-12
21. (2х2-5х + з)(3-х3) <0 .
2г (zx-W-Sx+sXtota)* 1 о
(2х + 1)2(х2 -6х + 5)(3х-2)3
23.
х2 2х-8 ,
----+--— >1
4-х х
24 (х + 3)(2х + 1) Дг+ЗХ*-1)
х+4	х+4
25. (х2 4 Зх)(2х + 3)--^^^>0.
' л 1 х2 +3х
х2-х-1 X
26. —;---------------.
2х‘+х-2 Зх -х-3
50
_ 2 х1 -8х + 16 8х-2х2
х‘-2х + 1	х-1
28. Найти целые положительные значения х, удовлетворяющие нера-
5х + 1 „
венству ----> 2х + 2 .
х-1
Решить неравенства для каждого значения а :
29. ах>—.	30.—-----— >1.
X	X х-1
Найти область определения функций:
х2 -7х + 12
х2 -2х-3
х2 -2х + 3
\ Jх -6х-16	2
33. f (х) = 1—-------+ —----
' ’ Vx2-12x + 11 х -49
35. При каких значениях параметра р функция
у/ \ ух +х-6 , х-3
34. f\x) =------- +---
7х-12-х2 4-х2
(4 - р)х2 - 5х+—(1 - р) определена при всех xeR?
8
Найти все значения параметра р, при которых неравенство верно
для всех х е Ж :
36. 2х2-10х + 5 > р(х2 + 10) .	37. -9<3х-~рх~ <6.
v 7	х2 - х +1
38. Решить неравенство а3х4 +6д2х2 -х + 9а + 3>0 для каждого значе-
ния а > 0.
Решить системы неравенств:
39. i
3
4х2 -4х-3<0,
40.
х2-4 <0,
х + 1 > 0.
41.
12
0.
х + 1	3 j_
х-2 х-2 2
х
1
— х >
42.
х-1 2х + 3 х2	х + 5
~	3 +Т<	2 ’
х+5 4-х	2 * +1
I £ — ——   -ф- ———— X — ——',
х3 -5х2 +10х-12 < 0,
43. х2 -4х + 3>0.
|х2-6х + 8<0.
Si
44. Найти все значения параметра а. при которых решением
	x2+mr-2 л 	<2, x2 - x +1
системы	является вся числовая прямая. х 2+ах-2 —2	>-3 ,х -х+1
Ответы:
1. (0; 1)U(2;+oo),2. (-1; O)uf|;+°o 1.3. (-оо;-1)U (!; + <») . 4. (1;3).
U[4; +оо) . 6. (-2; -1)U(-l; 1) . 7. (-1; 0)U(4; 5) .
8. (-1; 2). 9. (1; 2). 10. {-4} IJ [-3; 1]. 11. (-oo;
(	6-6y[26}
12. —о,---------
5
U(0; 6)uf^^;9]u(9; + oo).
I 5	/
16.
18.
(-2;-1)иГ^;1'|и(3). 19. {1}. 20.
2 )
( -2;2)U[5;
21.
23.
25.
4] IJ [2; 4) . 24. (-oo; -4)U(-3: -2) .
1-V2;^
6
U{0).
. 26.
27.
X\{-2; 2; 1},28. {2} . 29. При a > 0 xe
, при
<7<0	re(-co;0); 30. a>2 xe(a-y/a2-2a; a+y/a2 -2a], при
ae[0;2] x e (0; 1) , при a < 0 x e (a + y[a2 -2a; 1
52
31. (-oo; -1)U [4; +оо). 32. (1; +ос) .
33. (-оо; -7)U(-7; -2](J(1; 7)U(7; 8]U(11; +oo).
34. (-oo; -3)U(2; 3)U(3; 4)U(4; +°o). 35. (-oo; -1]. 36. J-oo; -1
37. (-3; 6) . 38. При a = 0 x e [-2; -1), при a e fo;
xeR.
39.
-|;оЪ(О; 1]. 40. [-1; |). 41. [-3; -1]U(O; 2)U(2; +oo). 42. (1; 3).
43. {3}. 44. (-1; 2).
53
7.	ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Задачи на движение
1.	Поезд был задержан на переезде на 16 мин и ликвидировал опо-
здание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем
полагалось по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?
2.	Моторная лодка прошла 90 км по течению реки и 44 км против
течения, затратив на весь путь 10 ч. Найти скорость лодки в стоячей во-
де, зная, что скорость течения реки 2 км/ч.
3.	Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу из
пунктов Л и В, расстояние между которыми 1764 км. В пункт С, распо-
ложенный на расстоянии 900 км от Л, второй автобус прибыл на 1 ч
раньше первого. Найти скорости автобусов, если у второго она была
больше на 6 км/ч.
4.	Из города Л в город В, расстояние между которыми 150 км, одно-
временно отправляются два автомобиля. Первый проезжает в час на
10 км больше второго и приезжает в В на полчаса раньше него. Найти
скорость первого автомобиля.
5.	Две автомашины вышли одновременно из пунктов А и В, при
этом до пункта С первая машина должна пройти 216 км, а вторая -
252 км. В пункт С первая машина пришла на 1 ч позже второй; скорость
первой машины была на 9 км/ч меньше, чем скорость второй. С какими
скоростями двигались машины?
6.	Из пункта А в пункт В, расстояние между' которыми 40 км, выехал
велосипедист. Второй велосипедист выехал из пункта Л на 3 мин позже
первого, и. проехав 4 км. обогнал его. Доехав до пункта В. второй вело-
сипедист повернул обратно, и на расстоянии 4 км от пункта В велосипе-
дисты встретились. Определить скорости велосипедистов.
7.	Два лыжника стартовали друг за другом с интервалом в 15 мин. Вто-
рой лыжтшк догнал первого в 15 км от места старта. Пройдя 50 км, второй
лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 5 км от места
поворота. Найти скорости лыжников.
8.	Из города Л в город В, расстояние между которыми 20 км, была
отправлена грузовая машина. Через 8 мин вслед за ней выехал автобус,
который прибыл в город В одновременно с машиной. Скорость автобуса
на 5 км/ч больше скорости грузовой машины. Найти скорость автобуса.
9.	Два велосипедиста выезжают одновременно из городов А и В на-
встречу друг другу. Первый проезжает в час на 2 км больше второго и
прибывает в В на 1 ч раньше, чем второй в А. Расстояние между’ А и В
равно 24 км. Сколько километров проезжает каждый в час?
54
10.	Первый велосипедист выехал из пункта Л, второй одновременно
с ним - из пункта В. В пункт С, отстоящий от А на 90 км и от В на 84 км,
первый велосипедист приехал на 2 ч раньше, чем второй; при этом выяс-
нилось, что скорость первого велосипедиста была больше скорости вто-
рого на 6 км/ч. Найти скорости велосипедистов.
11.	Расстояние между А и В равно 650 км. Из А и В навстречу друг
другу’ отправляются два автобуса. Если они выйдут одновременно, то
встреча произойдет через 10 ч; если же первый выйдет на 4 ч 20 мин
раньше второго, то они встретятся через 8 ч после отправления второго.
Определить среднюю скорость каждого автобуса.
12.	Расстояние между' пунктами А и В равно 60 км, причем 2/3 -
шоссе, а остальная часть - грунтовая дорога. Найти скорость движения
автомобиля на грунтовой дороге и шоссе, если скорость его движения на
шоссе на 20 км/ч больше скорости на грунтовой дороге, а на весь путь он
затратил всего 2 ч.
13.	Два тела при движении по окружности в одном и том же направ-
лении сходятся через каждые 56 мин. Если бы они двигались с теми же
скоростями, но в противоположных направлениях, то встречались бы
через каждые 8 мин. Известно, что при движении по окружности в про-
тивоположных направлениях расстояние между сближающимися телами
уменьшилось на 14 м за 24 с. Какова скорость каждого тела?
14.	Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона.
Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки один тратит на
5 с меньше другого. Если они начнут бег с общего старта одновременно
и в одном направлении, то снова окажутся рядом через 30 с. Через какое
время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта
в противоположных направлениях?
15.	Поезд вышел из пункта А в пункт В в 13 ч. В 19 ч он остановился
на 2 ч. затем увеличил скорость на 20%, но в пункт В прибыл с опоздани-
ем на 1 ч. В другой раз поезд, шедший по тому же расписанию, остано-
вился на 150 км дальше, чем накануне, и простоял 2 ч. После, увеличив
скорость на 20%, пришел в В с опозданием на 1,5 ч. Найти расстояние
между А и В.
16.	Поезд прошел 60 км и был остановлен на 12 минут. Оставшиеся
60 км поезд проехал со скоростью, на 15 км/ч большей первоначальной,
и потому' прибыл в пункт назначения вовремя. Найти первоначальную
скорость поезда.
17.	Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав
на 3 мин позже назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью,
большей на 1 км/ч, и прибыл на место вовремя. Определить скорость, с
которой ехал велосипедист.
55
18.	По сигналу тренера два бегуна одновременно побежали по круго-
вой дорожке стадиона в противоположных направлениях. Первый бегун
пробежал к месту встречи на 500 м больше второго. Продолжая бег в том же
направлении, первый прибежал к месту' старта через 9 минут после встречи,
а второй - через 16 минут после встречи. Каков диаметр дорожки?
19.	Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в одном направле-
нии выехали автомобиль и мотоцикл. Автомобиль проехал дважды без
остановок по всему маршруту в одном направлении. В тот момент, когда
автомобиль догнал мотоциклиста, мотоциклист повернул обратно, уве-
личил скорость на 16 км/ч и через 22,5 мин после разворота одновремен-
но с автомобилем прибыл в пункт Л. Найти весь путь мотоциклиста, если
этот путь на 5,25 км короче всего шоссе.
20.	Катер обеспечивает регулярный перевоз пассажиров между
пунктами А и В, расположенными вдоль по течению реки. Если бы соб-
ственная скорость катера возросла в 2 раза, то путь от Л до В и обратно
потребовал бы в 5 раз меньше того времени, которое катер обычно за-
трачивает на этот путь. Во сколько раз собственная скорость катера
больше скорости течения реки?
Ответы:
1. 50 км/ч. 2. 13 км/ч. 3. 90 и 96 км/ч. 4. 60 км/ч. 5. 27 и 36 км/ч. 6. 16 и
20 км/ч. 7. 15 и 20 км/ч. 8. 30 км/ч. 9. 8 и 6 км/ч. 10. 18 и 2 км/ч. 11.35
и 30 км/ч. 12.20 и 40 км/ч. 13.20 и 15 м/мин. 14.6 с. 15.600 км. 16.60 км/ч.
17.	25 км/ч. 18. —222 м 19. 21 км. 20. В J.3/2 раз.
п
Задачи на совместную работу и планирование
1.	Бригада рабочих должна была погрузить 144 т зерна. Чтобы за-
кончить погрузку на 1 ч раньше, чем планировалось, в бригаду добавили
одного рабочего. Сколько рабочих было занято на погрузке, если каждый
из них грузил по 2 т в час?
2.	Два насоса, работая одновременно, могут выкачать воду из котлова-
на за 3 ч 36 мин. Один первый насос затратит на эту' работу на 3 ч больше,
чем один второй. За какое время может выкачать воду каждый насос?
3.	Два каменщика, из которых второй начинает работать на 3 дня
позже первого, могут выстроить стену в 14 дней. Если бы эта работа бы-
ла поручена каждому отдельно, то для ее выполнения первому потребо-
валось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней каждый из
них может выстроить такую стену ?
56
4.	Две бригады собрали вместе 1794 ц зерна. Первая бригада собра-
ла зерно с 46 га, а вторая бригада - с 35 га. Сколько центнеров собрала в
среднем с 1 га каждая бригада в отдельности, если первая собрала с каж-
дых 8 га на 57 ц больше, чем вторая бригада собрала с 5 га?
5.	Первый рабочий может окончить некоторую работу' на 5 дней
позже, чем второй рабочий, и на 9 дней позже, чем третий рабочий. Пер-
вый и второй рабочие, работая вместе, могут окончить эту работу во
столько дней, во сколько ее может закончить третий рабочий. За сколько
дней каждый рабочий в отдельности может закончить эту работу?
6.	Первая мастерская должна была сшить 180 костюмов, а вторая 161
костюм. Первая затратила на выполнение заказа на 3 дня меньше, чем вто-
рая. Сколько костюмов в день шила каждая мастерская, если первая шила в
день на 2 костюма больше, чем вторая?
7.	Трое рабочих могут выполнить работу за 4 ч. Первый может вы-
полнить эту работу вдвое быстрее второго и на 3 ч быстрее третьего. За
какое время каждый рабочий может выполнить эту работу?
8.	Бак емкостью 2400 м3 наполняется топливом. При опорожнении
этого же бака производительность насоса на 10 м3/мин выше, чем произ-
водительность насоса при наполнении. В результате время опорожнения
бака на 8 мин меньше времени наполнения. Определить производитель-
ность насоса при наполнении бака.
9.	Машинистка рассчитала, что если она будет печатать ежедневно на
2 листа больше установленной нормы, то окончит работу ранее намечен-
ного срока на 3 дня. если же она будет печатать на 4 листа сверх нормы, то
окончит работу на 5 дней раньше срока. Сколько листов она должна напе-
чатать и в какой срок?
10.	Некоторым числом насосов нужно перекачать 1440 м' жидкого
топлива. Увеличение числа насосов на 4 привело к тому, что количество
топлива, которое должен был перекачать каждый насос, уменьшилось на
18 м3. Определить первоначальное число насосов.
11.	Комбайн работал на уборке урожая в течение 26 ч. После этого
ему' стал помогать второй комбайн, и через 4 ч совместной работы был
убран весь урожай. За сколько часов мог бы убрать урожай каждый ком-
байн, работая отдельно, если известно, что второму' для этого понадоби-
лось бы на 12ч меньше, чем первому?
12.	Две бригады, работая совместно, могут закончить сенокос за 4
дня. За сколько дней могла бы выполнить эту работу одна первая брига-
да. если известно, что производительность второй бригады в 1,5 раза
больше производительности труда первой бригады?
57
13.	Два трактора могут вспахать поле за 60 ч. Однако после 12 ч со-
вместной работы первый трактор был переведен на другой участок, и
второй трактор, проработав еще 80 ч, закончил вспашку7 один. За сколько
часов мог бы вспахать поле каждый трактор в отдельности?
14.	Два крана различной мощности, работая вместе, разгружают ко-
рабль за 6 ч. Мощность первого крана в три раза больше мощности второ-
го. За какое время может разгрузить корабль каждый кран в отдельности?
15.	Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем она
была заменена второй, которая работала еще 6 дней. За сколько дней ка-
ждая бригада в отдельности выполнила бы задание, если известно, что
второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше, чем первой?
16.	Один из двух заводов может выполнить некоторый заказ на 4
дня скорее, чем другой. Во сколько времени может каждый из них вы-
полнить этот заказ, если известно, что при совместной работе они вы-
полнили за 24 дня заказ, в пять раз больший?
17.	Перейдя на более производительный станок, рабочий стал эконо-
мить 3 мин при обработке одной детали, а за 6-часовую смену обрабаты-
вать на 10 деталей больше, чем прежде. Сколько деталей делает теперь
рабочий за смену7?
18.	Если сначала половину заказа выполнит один рабочий, а потом
другую половину - второй, то весь заказ будет выполнен за 2 ч. Если же
первый рабочий выполнит одну треть заказа, а потом оставшуюся часть
выполнит второй, то весь заказ будет выполнен за 2 ч 10 мин. За сколько
времени каждый рабочий отдельно может выполнить весь заказ?
19.	Два автомобиля, работая вместе, должны были перевезти неко-
торый груз в течение 20 ч. Однако работе ('мог начать только один авто-
мобиль, до прибытия второго автомобиля он перевез 80% груза. Осталь-
ную часть груза перевез второй автомобиль, и весь груз был перевезен
таким образом за 36 ч. Сколько времени нужно было бы каждому7 авто-
мобилю в отдельности для перевозки всего груза?
20.	Бассейн наполняется через две трубы за 6 ч 40 мин. Через одну
первую трубу он наполняется на 3 ч скорее, чем через одну вторую. За
какое время через каждую трубу, действующую отдельно, может запол-
ниться бассейн?
21.	Два комбайна разной мощности, работая вместе, убирают на
участке хлеб за 12 ч. Если бы первый комбайн работал один в течение
8 ч, а затем второй - в течение 2 ч. то они убрали бы 50% всего хлеба. За
сколько часов каждый комбайн может убрать хлеб с этого участка?
58
22.	Несколько рабочих взялись выгрузить 160 т зерна. Так как на
работу явилось на 4 человека больше, то каждому пришлось выгрузить
на 2 т меньше. Сколько рабочих было занято на выгрузке?
23.	Один рабочий взялся выполнить заказ за 16 дней при условии, что в
течение 9 дней ему будет помогать второй рабочий. Если бы этот заказ был
поручен каждому рабочему отдельно, то для его выполнения первому по-
требовалось бы на 7 дней, больше чем второму. За сколько дней каждый из
них может выполнить заказ?
24.	Рабочий должен был по плану изготовить за несколько дней 72 де-
тали. Так как рабочий каждый день изготавливал на 2 детали меньше плана,
то закончил работу через 3 дня после срока. Сколько деталей в день должен
был изготавливать рабочий по плану?
25.	Первый насос перекачивает на 6 м3/мин воды больше, чем вто-
рой, поэтому для наполнения бассейна объемом 720 м3 ему требуется на
4 мин меньше, чем второму. Сколько кубометров воды перекачивает ка-
ждый насос в минуту?
26.	Двое рабочих, работая одновременно, выполнили всю работу за
5 дней. Если бы первый рабочий работал в два раза быстрее, а второй в
два раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. Во сколь-
ко дней выполнил бы всю работу первый рабочий?
27.	Рабочий должен изготовить 40 деталей. После того как была вы-
полнена четверть работы, он стал изготавливать на одну деталь в час
больше, чем планировал, а всю работу выполнил за 7 ч. За какое время он
должен был выполнить эту работу по плану?
28.	Двое рабочих должны были изготовить по 27 деталей. Второй
рабочий приступил к работе на 9 мин позднее первого. По трети задания
они выполнили к одному времени, а чтобы закончить работу одновре-
менно, второй рабочий сделал за первого 2 детали. Сколько деталей в час
изготавливал каждый рабочий?
29.	Два каменщика, работая вместе, сложили стену за 20 дней. За
сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них в отдельности, если
известно, что первый должен работать на 9 дней больше второго?
30.	Заводу было поручено изготовить 8000 деталей к определенному
сроку. Работая точно по графику, завод выполнил 25% заказа, а затем
стал изготавливать ежедневно по 100 деталей сверх дневного задания и
выполнил заказ за 2 дня до срока. Сколько дней понадобилось заводу для
выполнения заказа?
31.	Бассейн наполняется водой двумя трубами за 6 ч. Одна первая
труба наполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За какое время от-
дельно каждая труба может заполнить бассейн?
32.	Двум машинисткам было поручено выполнить некоторую рабо-
ту. Вторая из них приступила к работе на 1 ч позднее первой. Через 3 ч
после того, как первая начала работу, им оставалось выполнить еще 0,45
всей работы. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка
выполнила половину всей работы. За сколько часов каждая из них в от-
дельности могла бы выполнить всю работу?
33.	В бак проведены две трубы. Если сначала половину бака напол-
нить через одна' первую трубу, а потом другую половину через одну вто-
рую трубу, то весь бак наполнится через 2 ч. Если же через первую трубу
наполнить одну треть бака, а потом оставшуюся часть наполнить через
одну вторую трубу, то весь бак наполнится через 2 ч 10 мин. За какое
время каждая труба отдельно может наполнить весь бак?
34.	При выполнении всей работы двое рабочих работали по очере-
ди: сначала первый 2 ч, а затем второй 3 ч. Всю работу первый рабочий
может выполнить самостоятельно на 2 ч быстрее, чем второй. За сколько
времени всю работу может выполнить каждый рабочий?
35.	На прокладке двух параллельных трубопроводов работали два
экскаватора. Первый из них начал работу на 30 мин раньше второго. Ко-
гда второй экскаватор прокопал 27 м. оказалось, что он отстает от перво-
го на 1 м. С какой скоростью копали экскаваторы, если известно, что
второй выкапывает за ) ч на 4 м больше, чем первый?
36.	Для перевозки 17,5 т угля выделены автомашины. Так как две из
них были использованы на другой работе, то на каждую машину погру-
зили на 1 т больше, чем предполагалось. Сколько автомашин было заня-
то на перевозке угля?
37.	Трое рабочих могут выполнить работу за 2~ ч. Первый может
выполнить эту работу' вдвое быстрее второго и на 1 ч быстрее третьего.
За какое время каждый рабочий может выполнить эту работу?
Ответы:
1. 9 раб. 2.9 и 6 ч. 3. 28 и 22 дн. 4. 21.5 и 23 ц. 5. 15; 10 и 6 дн. 6. 9 и 7 кост.
7. 9; 18; 12 ч. 8. 50 м3/мин. 9. 120 л за 15 дн. 10. 16 нас. 11. 36 и 24 ч.
12. 10дн. 13.100и150ч 14.8и24ч. 15.7и12дн. 16.12и8дн. 17.40 дет.
18. 90 и 150 мин. 19. 30 и 60 ч. 20. 12 и 15 ч. 21. 18 и 36 ч. 22. 20 раб.
60
23. 21 и 28 да. 24. 8 дет. 25. 36 и 30 м’/мин. 26. 10 да. 27. 8 ч. 28. 12 и
15 дет/ч. 29. 45 и 36 дн. 30. 14 дн. 31. 10 и 15 ч. 32. 10 и 8 ч. 33. 1,5 и
2,5 ч. 34. 4 и 6 ч. 35. 14 и 18 м/ч. 36. 5 авт. 37. 5, 10, 6 ч.
Задачи на зависимость между компонентами
арифметических действий
1.	Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна
13. Если из этого числа отнять 9, то получится число, записанное этими
же цифрами в обратном порядке. Найти это число.
2.	Среднее геометрическое двух чисел на 12 больше меньшего из
них, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из
них. Найти эти числа.
3.	Найти два таких числа, чтобы их сумма, произведение и разность
квадратов были равны.
4.	Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель.
Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из
полученной дроби данную дробь, то получится 1/15. Найти данную
дробь.
5.	Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту' цифру пере-
нести влево, т.е. поместить вначале, то новое число будет на единицу
больше утроенного первоначального. Найти первоначальное число.
6.	Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого
числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, напи-
санное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
7.	Найти двузначное число, если известно, что оно в 5 раз больше
суммы его цифр и в 2,25 раза превышает произведение его цифр.
8.	При делении двузначного числа на произведение его цифр полу-
чается 1 и в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа
прибавить произведение его цифр, то получится заданное число. Найти
это число.
9.	Сумма двух чисел равна 20, их произведение равно 96. Найти эти
числа.
10.	Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа равна 65.
Если к этому числу прибавить 27. то получится число, которое записыва-
ется теми же цифрами, что и первоначальное, но в обратном порядке.
11эйти это число.
61
11.	На дороге на расстоянии 10 м один от другого лежало нечетное
число столбов, которые требовалось собрать в то место, где находится
средний по счету' столб. Начав с одного из крайних столбов, рабочий
перевез все столбы по одному, причем для этого в общей сложности ему
пришлось пройти 3 км. Сколько столбов перевез рабочий?
12.	От шнура отрезана 1/2 всего шнура и 1/2 см, потом отрезана
1/2 остатка и еще 1/2 см, наконец, 1/2 остатка и еще 1/2 см, после чего
осталось 12 см. Какой длины был шнур?
13.	Мальчик покупал игрушки: за первую он заплатил 1/5 своих де-
нег, за вторую - 3/7 оставшихся денег, за третью - 3/5 оставшихся де-
нег, после чего у мальчика осталось 1 руб. 92 коп. Сколько денег было у
мальчика?
Ответы:
. „ . ,	- З + х/5	1 + >/5	3-V5	1-V5	. .
1. 32. 2. 6 и 54. 3. - и-; или---- и-----; или 0 и 0.
2	2	2	2
3
4.—. 5.103. 6.24. 7.45. 8. 37 и 48. 9. 8 и 12. 10.47. 11.24. 12.103 см.
5
13.	10 руб. 50 коп.
Задачи на проценты
1.	В банк помещен вклад в размере 3900 тыс. руб. под 50% годовых.
В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления про-
центов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксиро-
ванную сумму. К концу пятого года после начала начисления процентов
оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначаль-
ным на 725%. Какую сумму- вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
2.	За год работы предприятия объем дневной выработки продукции
вырос на р%, а за следующий год еще на (р+50)%. Определить, на
сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно,
что за два года она возросла в общей сложности в 3 раза.
3.	Партию обуви, купленную за 180 млн. руб., в первую неделю
продавали по цене, больше закупочной на 25%, затем наценка была сни-
жена до 16% от закупочной цены, а вся партия обуви была продана по
цене на 20% дороже, чем куплена. На какую сумму продали обуви в пер-
вую неделю?
62
4.	Работай день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процентов нуж-
но повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках за-
работная плата возросла на 5%?
5.	Найти три числа, если первое составляет 80% второго, второе от-
носится к третьему как 1/2 к 9/20, а сумма первого и третьего на 70
больше второго числа.
6.	Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие - 12%.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
7.	На вступительных экзаменах по математике 15% поступающих не
решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а
число решивших все задачи верно относится к числу не решивших вовсе
как 5:3. Сколько человек экзаменовалось по математике?
8.	Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%,
за следующий год она увеличилась на 8%. Найти средний ежегодный
прирост продукции за этот период.
9.	Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов на-
до теперь се снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?
10.	Рабочий IV разряда зарабатывает на 25% больше, чем рабочий
III разряда. На сколько процентов меньше зарабатывает рабочий III раз-
ряда по сравнению с рабочим IV разряда?
И. На овощной базе имелся крыжовник, влажность которого со-
ставляла 99%. За время хранения влажность уменьшилась на 1%. На
сколько процентов уменьшилась масса крыжовника?
12.	На первом поле 65% площади засеяно овсом. На втором поле
под овсе занято 45% площади. Известно, что на первом и втором полях
вместе под овес занято 53% общей площади. Какую часть всей засеянной
площади составляет первое поле?
13.	Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процен-
тов, а потом трижды уменьшали на то же самое число процентов. В итоге
получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем
уменьшали это число?
14.	Кооператив назначил на свои изделия цену, на определенное чис-
ло процентов выше государственной, а потом уценил свои изделия на то
же самое число процентов, в результате его цена стала на 1% ниже госу-
дарственной. На какое число процентов кооперативная цена первоначаль-
но превышала государственную?
63
15.	Брат и сестра нашли вместе 36 белых грибов. Известно, что ко-
личество процентов, выражающее, на сколько брат собрал больше, чем
сестра, в 2 раза больше, чем количество процентов, выражающее, на
сколько сестра собрала меньше брата. Сколько грибов нашел брат и
сколько - сестра?
16.	В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков.
Сколько процентов числа всех участников составляют девочки?
17.	На некотором участке пути машинист увеличил скорость поезда
на 25%. На сколько процентов уменьшилось время прохождения этого
участка?
Ответы:
1.	210 тыс. руб. 2. 50%. 3. 100 млн. руб. 4. 20%. 5. 80; 100; 90. 6. 2,5 кг.
7. 240 чел. 8. 6,16%. 9. 20%. 10. На 20%. 11. На 50%. 12. 2/5 . 13. На
50%. 14. На 10%. 15. 24 и 12. 16.37,5%. 17. На 20%.
Задачи на сплавы и смеси
1.	Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на
3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в
первом слитке 10%, во втором - 40%. Когда их сплавили, получился сли-
ток, в котором содержится 30% меди. Найти массу полученного слитка.
2.	Один сплав содержит два металла в соотношении 1:2, а другой
сплав содержит те же металлы в соотношении 2:3. Из скольких частей
обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы
в соотношении 17:27?
3.	Кусок сплава весом 700 г. содержащий 80% олова, сплавили с
куском олова весом 300 г. Определить процентное содержание олова в
полученном сплаве.
4.	Имеется два слитка - сплавы цинка с медью. Масса первого слит-
ка-2 кг, второго - 3 кг. Эти два слитка сплавили с третьим - сплавом
цинка с медью весом 5 кг, в котором цинка было 45% и получили сплав,
в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в
первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором
слитке, а процентное содержание цинка во втором слитке такое же. как в
первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором 60% цинка,
мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найти про-
центное содержание цинка в первом и во втором слитках.
64
5.	Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке от-
ношение золота к меди равно 1:2, а во втором - 2:3. Если сплавить 1/3
первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется
столько золота, сколько было в первом меди, а если 2/3 первого слитка
сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди
на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в ка-
ждом слитке?
6.	Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия. 15%
меди и 25% магния, второй - 30% меди и 70% магния, третий - 45%
алюминия и 55% меди. Из них необходимо приготовить новый сплав,
содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее процент-
ное содержание алюминия может быть в новом сплаве?
7.	От двух сплавов массой 7 и 3 кг с разным процентным содержа-
нием магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезан-
ный от первого сплава, сплавили с остатком второго сплава, а кусок, от-
резанный от второго - с остатком первого. Определить массу каждого из
отрезанных кусков, если в новых сплавах одинаковое процентное содер-
жание магния.
8.	К раствору, который содержит 40 г соли, добавили 200 г воды,
после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содер-
жал раствор и какова была его концентрация?
9.	Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг
20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах
было использовано?
10.	Имеется два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты
рь,лилх коцдс111 рацки. Ec.iit их c.uiTb вместе, io полышзся раствор. СО'
держащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то
получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов
кислоты содержится в каждом сосуде?
11.	В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый содержит-
ся всего 30 л кислоты. Первый сосуд доливают доверху7 водой и полу-
ченной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отли-
вают в первый 12 л смеси. Сколько кислоты было первоначально в пер-
вом сосуде, если во втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л
кислоты меньше, чем в первом?
12.	В сосуде находится смесь воды с кислотой. Чтобы уменьшить
концентрацию кислоты на 34%. надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить
ее на 17%, надо долить I л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?
65
13.	Имеются два сосуда. В одном содержится 3 л 100%-ной серной
кислоты, а в другом - 2 л воды. Из первого сосуда во второй перелили
один стакан кислоты, а затем из второго в первый - один стакан смеси.
Эту операцию повторили еще 2 раза. В результате во втором сосуде об-
разовалась 42%-ная серная кислота. Каков процент кислоты в первом
сосуде?
14.	Из сосуда, доверху наполненного чистым глицерином, отлили
литр глицерина, а взамен долили литр воды. После перемешивания снова
отлили литр смеси и долили литр воды. Затем еще раз проделали то же
самое. В результате объем воды в сосуде оказался в 7 раз больше объема
оставшегося глицерина. Сколько литров глицерина и сколько воды оста-
лось в сосуде?
Ответы.
1,9 кг. 2.9:35. 3.86%. 4. 40% и 65%. 5. 1,2 кг и 2.4 кг. 6. От 15% до
40%. 7. 2,1 кг. 8. 160 г; 20%. 9. 1 кг и 2 кг. 10. 1,64 кг и 1,86 кг. 11. 20 л.
1	7
12. 68%. 13. 72%. 14. — л г лиц.; — л воды.
4	4
66
8.	ЗАДАЧИ НА ПРОГРЕССИИ
1.	Сколько членов арифметической прогрессии нужно взять, чтобы
их сумма равнялась 91, если ее третий член равен 9, а разность седьмого
и второго членов равна 20?
2.	Найти возрастающую арифметическую прогрессию, у которой
сумма первых трех членов равна 27, а сумма их квадратов равна 275.
3.	Все члены арифметической прогрессии - натуральные числа.
Сумма ее девяти последовательных членов, начиная с первого, больше
200, но меньше 220. Найти прогрессию, если ее второй член равен 12.
4.	В арифметической прогрессии четвертый член равен 4. При каком
значении разности этой прогрессии сумма попарных произведений первых
трех членов прогрессии будет наименьшей?
5.	Доказать, что числа —-—; —-—; —5— образуют арифмстичс-
log,2 log6 2 log12 2
скую прогрессию.
6.	Найти четыре целых числа, составляющих арифметическую прогрес-
сию, в которой наибольший член равен сумме квадратов остальных членов.
7.	Сумма трех чисел равна 11/18, а сумма обратных им чисел, со-
ставляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 18. Най-
ти эти числа.
8.	Четвертый член геометрической прогрессии больше второго члена
на 24, а сумма второго и третьего членов равна 6. Найти эту прогрессию.
9.	Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна
.30, а сумма следующих четырех членов равна 480. Найти сумму первых
двенадцати членов.
10.	Сумма первых трех чисел, образующих геометрическую про-
грессию, равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найти эти числа.
11.	Разность между первым и пятым членами геометрической про-
грессии, все члены которой - положительные числа, равна 15, а сумма
первого и третьего членов этой прогрессии равна 20. Вычислить сумму
первых пяти членов прогрессии.
12.	Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 31, а
сумма первого и третьего членов равна 26. Найти седьмой член прогрессии.
13.	Число членов геометрической прогрессии четное. Сумма всех
членов прогрессии в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных
местах. Найти знаменатель прогрессии.
67
14.	В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены со-
ответственно равны первому, четвертому и шестнадцатому членам неко-
торой арифметической прогрессии. Вычислить четвертый член арифме-
тической прогрессии, если ее первый член равен 5.
15.	Три числа, сумма которых равна 28, образуют геометрическую
прогрессию. Если к первому числу прибавить 3, ко второму 1, а от
третьего отнять 5, то полученные числа образуют арифметическую про-
грессию. Найти эти числа.
16.	Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к пер-
вому числу прибавить 8. получится геометрическая прогрессия с суммой
членов 26. Найти эти числа.
17.	Найти четыре числа, из которых первые три составляют геомет-
рическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию.
Сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12.
18.	Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще одно
число так. что все три числа образуют арифметическую прогрессию. Ес-
ли средний член уменьшить на 6. то получится геометрическая прогрес-
сия. Найти неизвестное число.
19.	Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа,
равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго
члена на третий и третьего на первый, образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
20.	Найти трсхзначнос число, если его цифры образуют геометриче-
скую прогрессию, а цифры числа, меньшего на 400, - арифметическую.
21.	Найти трехзначное число, цифры которого образуют геометриче-
скую прогрессию, ес.'ти известно, что после его уменьшения на 495 получа-
ется число, записанное такими же цифрами, какими записано искомое >шс-
ло, но расположенными в обратном порядке; если цифры числа, получивше-
гося после вычитания, уменьшить (слева направо) соответственно на 1, на 1
и на 2, то получится арифметическая прогрессия.
22.	Сумма трех последовательных членов геометрической прогрес-
сии равна 62. а сумма их десятичных логарифмов равна 3. Найти члены
прогрессии.
23.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии, второй член которой, удвоенное произведение первого члена на чет-
вертый и третий член образуют в указанном порядке арифметическую
прогрессию с разностью, равной 1/3.
24.	Две бесконечно убывающие геометрические прогрессии таковы,
что первый член и знаменатель перкой прогрессии являются соответственно
68
знаменателем и первым членом второй прогрессии. Отношение суммы пер-
вой прогресшш к сумме квадратов всех се членов равно 3/8 , а такое же от-
ношение для второй прогрессии равно 4,5. Найти сумму каждой прогрессии.
25.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма ко-
торой равна 13,5, содержит член, равный 1/3. Отношение суммы всех
членов прогрессии, стоящих до него, к сумме всех членов прогрессии,
стоящих после него, равно 78. Найти порядковый номер этого члена.
26.	Числа х/, х2; х3; х4 образуют в указанном порядке геометриче-
скую прогрессию. Найти а и b , если: a) xt;x2 - корни уравнения
х1 - Зх + а = 0 . х3; х4 - корни уравнения х2 -12х + Ь = 0 ; б) х,; х2 - кор-
ни уравнения х2+ах + 4 = 0, х3;х4 - корни уравнения х2+6х + 16 = 0.
Решить уравнения:
27. (х + 1) + (х + 4) + ... + (х + 28) = 155. 28. 1 + 7 + 13+... + х = 280 .
1	2	109 г\	-5Л % 1 X 2 X 3	1	_
29. 1 + х + х +... + Х = 0.	30. ---+-----+-----+ ... + — = 3.
ххх х
13	1
31. 2х +1 +х3 - х2 +х4 -х’ + ... = —, где |х| < 1. 32. —нх + х2 + ...х100 = 0.
6	х
33. 1 + 2х + 4х2 +... + (2х)” +... = 3,4-1,2х, где |х|< 0,5 .
34. При каких значениях х три числа в указанном порядке образу-
ют арифметическую прогрессию:
a)	1/х: l/x :	б) ТТЛ: V-5x -1; Vl 2х -1 9
Ответы:
1.7.	2. а, = 5; <7 = 4. 3. я1=8;<7 = 4. 4. .d = 24/11. 6.-1;0; 1; 2. 7. 1/9;
1/6; 1/3. 8. 1/5; I; 5; 25. 9.8190, 10. 1:3; 9. 11.31. 12. 1/625 или 15625. 13.
2. 14. 5 или 20. 15. 4; 8; 16. 16. 10: 6; 2 или -6; 6; 18. 17. 2; 4; 8; 12 или 12,5;
7,5; 4,5; 1,5. 18. 27 или 3. 19. -2. 20. 931. 21. 964. 22. 2; 10; 50 или 50; 10; 2.
23. 1,125. 24. 3/4; 2/3 . 25.4. 26. а) а = 2; b = 32 , или а = -18; b = -288 ;
б)	д = -5; b = -10, или а = 5; b = 10, или « = -5; 6=10 или а = 5;
b = -10.27. {1} .28. {55}. 29. {-1},30. {7}. 31. {1/2;-7/9} . 32. 0.
33. {1/3}. 34. а) {0; 1;
69
9. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
Уравнения с модулем
Грута I
Решить уравнения:
1. |5 - Зх| = 2х + 1.
3. |х2 - Зх| + х = 2 .
5. ||2х-3|-1| = х.
7. х|Зх + 5| = Зх2+4х + 3 .
9. 2|х2 + 2х-5| = х-1.
11. 1 + х + |х2 -х-3| = 0.
13. х2 +|б-х| = 4.
15. х2-7|х| + 6 = 0.
17. |3х2-6х-1| = 2|3-х|.
2. |2х-3| = 3-2х .
4. х2 + 7х = |3х + 2|-4.
6. 11х + |х2 -х + з| = 0.
8. х2-7 =|Зх-7|.
10. |бх +15| = 2х2 + 7х + 5 .
12. |3х2 -х| = 8 + х.
14. |х2— б|х| +4| = 1.
16. |3х2 -Зх + 5| = |2х2 +6х-3|
18.	х2 -5х + 6	х2 - 5х + 6 + —;	= 0 х2 +4х-12
	х2 +4х-12	
19.
2х2+3 4х2+6
-------+ —.
х' + х х'" + х
20. |х-1|+|х-3| = 2х-4.
21. |xj-x l 2 -|2х- 2|.	22. |7л-- 12| J7x - 11| - 1 .
23. (1 + х)|х+ 2| + х|х- 3| = бх + 2 .	24.	х2-Зх+]^-^ = 0. |х-3.5|
25. (х2-5х + б)2 + 3|х-3| =0 .	26.	||х + 3|-|х-1|| = 2-х2.
27. |х3+х + 1| = |х2 + Зх-1|.	28.	
29. ||Зх + 2|-х| = 4-х.	30.	1 - 2х 3-|х-1|" •
31. |б-?г| = |2х|-6.	32.	|2х + 1р|Зх-5| = 5х + 1
70
33.	|2х-3 -|х + 1| = |3-х|^	34. ||2х-1|-Зх| = 2.
35.	]P-l|-]2x + l|j = 4.	36. ||3х + 2| - х| = 4 - х.
37.	||||х-1| + 2|-1| +1| = 2 .	38. 2|х + б|-|х|-|х-б| = 18.
39.	|*2-’| =1“М 	40. ]х-1||х + 2| = 4 .
41.	|9 - х2| = 5.	42. |х-б| = |х2 -5х+9|.
43.	1—п—=|x+i|. |х + 1|-2 1	1	44. х2 +4х + (|х + 2| + 2)2 = 6
45.	|4х-5|-|2-х| = 0.	,	|х- 7t| 46. х -4х-	- + 2 = 0.
		X-7t
	, 5х2	
47.	х2 н—г-,— 6 = 0.	48. х-|х-|х-1|| =1.
	И	1	1 I Н| 2
49.	|(х + 1)|х| - х| = 1.	50. |xf +|1-х|3 = 9.
51.	Г Х-4 Y 2х-8_8 = 0.	12|х| — Зх2	. . 52. J 1 — = х2-4х .
	(Jx-3|-1 J х-2	х2-4|х| + 1	1 1
53.	||х3 - у/х +1| - з| = х3 + у/х + 1 -	-7 .
54.	(х-2)[|х| + ^-1-^ = 0.	
55с	|/?х -1| =• 1 • рх .	56. а |х + 3| t 2|х + 4| = 2 .
57.	|х - 2| + а|х + 3| = 5 .	58. |х + 3| - а|х -1| = 4 .
59.	|2х + «[ = 4<7-х .	60. |4х - 2с/| = |х + Зд|.
61.	^|х| + 1-7|х|=а.	62. (х + 1)|х-1|-fz = 0 .
63.	|х2 -5х + 4| + а = 0.	64. х|х +1| + а = 0 .
65.	>/|5х-7|-27 = х-7.	66. л/5х-34 =|х-3|-4.
Найти все значения параметра а. при которых выполняется спе1!-
дующие условия:
67.	Уравнение |х + 2а - 7| = а - х +1 имеет положительные решения. Най-
ти зтп решения.
71
68.	Уравнение 8+4й(х-2) = (х-|х|)х имеет ровно один корень. Найти
этот корень.
69.	Уравнение имеет два различных корня. Найти эти кор....
а) х2 +х|х| = 4(1 + 2ах-3а} ; б) х2+х|х| = 2(3 + 2ох-4а) ;
в) (х + 2)2 =2а(|х| + х-2); г) (х-2)2 = 2а(|х|-х-2).
70.	Уравнение х2 -1 = 2х- х2 + а имеет единственное решение.
71. Уравнение
(о-1) х — (2а-1)		х-|1-ф^	= 0 имеет лишь положи
х-1			
тельные решения.
72.	Уравнение |х + а' | + |х +1| = 1 - а3 имеет нс меньше четырех различных
целых решений.
73.	Уравнение имеет два различных корня. Найти эти корни.
а) |х2 -4х + з| = о(х-1);	б) х2 -х|х|+а(х + 1) = 2;
в) |х2 - х —2| = а(х + 1) ;	г) х2-х|х| + а(х + 2) = 8.
74.	Определить число решений уравнения ^2|х| -х2 = а в зависимости
от параметра а.
75.	Найти число решений уравнения |х2 - 6х+8| + |х2 - бх + 5| = а .
76.	При каких значениях параметра а уравнение |х-г?|-|2х + 2| - 3 имеет
единственное решение?
Ответы:
1. {|;б|.2. |-оо;-| .3. {1-73; 2-V2). 4. {-5-V19 }. 5. <р; |} .
6. [-5±х/22|. 7. {3}. 8. |з; —*^1.9. I-:	-1. 10. L—  —• 2!
(	’	[ '	2 j (2	4 J I 2 2 J
11. {-V2;x/5-l}. 12. |2;-у} . 13. {-1,-2}. 14. {±(.3+х/б); ±1; ±э|.
15. {±1; ±6}. 16. {1:8}. 17. |-1:. 18. (-6;2)U(2;3]. 19.	.
72
Г	2
20. -со; -
I	3
f 11
.21. {0; 2}. 22. -оо;у
. 23. [-2; .3]. 24.
25.й.
26. [О; 1-д/5|. 27. {0,1}. 28.
+	.Ж {-!}.
31. [3;+со),32. j|1.33. {0}и[3;+ос).34.	11.35. {-6; 2}.
36. {-2; 2/3} . 37. {1} . 38. [б. + оо) . 39. {-1; 0; 1}. 40. {2; -3} .
41. {±2; ±л/14}. 42. {1; 3}. 43. {л/5;-2->/5}. 44. (-3;-1} . 45. {1;7/5} .
46. {2 + V2;-2±л/2]. 47. {6;-1} . 48. {1/6; 1/2; 3/2}. 49. {±1;-I-V2] .
50. {-1,2}. 51. {0:12/5}. 52. {0; ±2; ±4}. 53. {3}. 54. {2}. 55. При
р = 0 х е R, при р > 0 х < 1/р, при р < 0 х > 1/р. 56. При а < -2 или
а>2 х = -3, при -2<д<2 хе |_Ю+Зд. ПрИ я = _2 х>-3.
[ д + 2 J
при а ~ 2 х е [-4; -3]. 57. При а <-1 или а > 1 х = -3 , при а е (-1; 1)
_з|, при а = -1 х е (-оо;-3], при д = 1 хе [-3; 2]. 58. При
д<—1 или д>1 х = 1. при де(-1;1) х е |--+ ?; 1 j, прид = -1
хе [-3; 1], при д = 1 хе 5.59. При д > 0 хе {Зд; -5д}, при д < 0 ре-
| 5^7	(7 I
шсний нет. 60.	-4 !. 61. При д е (0; 1] хе-±'
—. при а < О
4д2
при д е
или д>1 решений нет. 62. При д<0 х=->/1-п,при д = 0 хе{±1},
при а = 1 х е |0; т/21, при д > 1
1 + д. 63. При д>0 решений нет, при д = 0 хе{1;4}; при
9
, при д =
5±л/9--4д ]
. 64. При "а < О
9
хе <------; 
2	2
— . при ае
2
73
, при а = О хе {-1; 0} , при а е| 0; j
1. -1->/2
2’	2
„ . 19 + ^29
?. 66. $------>.
2 '
х =----------
2
f—1 ± ->/1 — 4а —1 — л/1 + 4а
х е <--------
2
1
, при а = — хе
2
1	-1-Vl + 4a „ 19 + >
при а > — х =------. 65. <--
4	2	[2
67. а е (2; 8) х = 4-(а/2) . 68. При а е [0; 1) х = 2(а-1),при
а е [1; + оо) х =	. 69. a) а е ^0; -^U(l;+a>), при а е ^0;
хе{~—2а + >/4а2 -6а+21, при ае U(1; +°°)
хе^2а±>/4а2 -6а + 2|; б) при ae(0;l)U(3;+sc) , при ае^О;^
х е | а ± Va2 -4а + 31; в) а е (-oo;0)U(3;+a>), при ае(-сс;-1]
хе|2(а-1) + 25Уа(а-3);-2-2л/^а|, при ае(-1;0) хе |-2
при ае(3;+оо] хе|2(а-1)±2^а(а-3)|; г) ае(-=с;О), при ае(-оо;-1)
хе^ 2(a+J)-2^/a(a+l); 2+2-/-<?|, при ае(-1;0] хе^2 + 2-/^а|.
f	9 + 4/41 1	/ p~“i
70 а = -1.71. «е -1;---—к 72. ае(-ос; -V2 |. 73. а) При а<-2
хе{1; а + 3}, при а = 0 х е (1; 3}, при а > 2 х е {1; а + 3}; б) при
ае(-оо;0) хе j-1;	, при а = 2 хе {-1; 0}; в) при а <-3
х е {-к а + 2}, при а = 0 х е {-1; 2}, при а > 3 хе{-1;а + 2};
.	.	f 2(4—а) 4-а]	[2(4-а) J
г) при а е (0; 4) хе< ——— г - при а = 4 хе<! —1---2 >. при
74
ae(4; 8)U(8; +оо) xej -2;
. 74. При ae(-oo;0)U(l;+oo) - решений
нет, при а = 0 - три решения, при а е (0; 1) - четыре решения, при а = 1
- два решения. 75. При а < 3 решений нет, при а = 3 х е[1; 2] U [4; 5] -
бесконечно много решений, при а е (3; 5) - четыре решения, при а = 5 -
три решения, при а > 5 - два решения. 76. а е {-4; 2}.
Группа II
ЗАДАНИЕ 1
Решить уравнения:
1. |х -1| = 3.	2. |х| = -Зх - 5.
4. |х -1|+|х-3| = 2 . 5. |х-1|+|х
ЗАДАНИЕ 2
Решить уравнения:
1. |х-7| = 2 .
3. |х2 -4х+з| =-(4 + 2>/з)х.
5. |х2 -4х + з|+|х2 -5х + б| = 1.
ЗАДАНИЕ 3
Решить уравнения:
1. |.3х - 5| = |5 - 2х|.
3. х2 +Зх+|х + 3| = 0.
-2|+|х-3| = 2.
2. (х2 -5х+6)2 -5|х2 -5х + б|+6 = 0.
4. |х-1| +|х-3| = 3 .
2. 2х2 -5|х| +3 = 0.
4. х2 -6х+|х-4|+8 = 0.
х2+х-1=2х-1, удовлетворяющие
|х2 -4x1 + 3
з. L—
х + |х-5|
5. Найти все корни уравнения
неравенству х < л/з/з .
6. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
[2х + 2(7? — 1) v = а -4.
<! .	,	'	имеет единственное решение. Найти это решение.
12 х +11 = аг+ 2
75
ЗАДАНИЕ 4
Решить уравнения:
1. |х-2| = 3|3-х|.	2. х2 -4|х| + 3 = 0 .
2 iiii, 2|х|-2 ,	4. (1 + |х|)4 =2(1 + х4).
3. (х2 - 2 х )(2 х-2) - 9—j—L-T—г = 0 .	1 17
1111 х2 - 2|х|
5. Найти наименьшее целое значение х, удовлетворяющее уравнению
|х — 3| + 2|х + 1| = 4 .
6. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
ах + (а-1)у = 2 + 4а,
. ।	имеет единственное решение. Найти это решение.
З х +2у = а-5
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1.1. {4;2}. 2. {-5/2}. 3. {-1;-3}. 4. 1<х<3.5. {2}
ЗАДАНИЕ2.1. {5;9},2. jl;4;|(s--Лз)-^ + л/Тз)} з. {-л/з}. 4. {3,5;Q,5}^
5. {2;5/2;(9 + Vn)/4}
ЗАДАНИЕ 3.1. {0;2}. 2.	|. 3.	. 4. {3;4}. 5. 
3+V17
2
4а-а а-4
-------;------ при а е
2я-4 <7-2.1
2
_,3
а‘ -12о + 8 а |
-----------:------ при
6 г/ - 4	Ла - 2 J
ЗАДАНИЕ4. 1. {11/4:7/2}. 2. {-3;-1;1;3}. 3. {-3;-1;1;3}.
4. |-1-7з-7з + 2>/3;-1-7з+7з + 2л/3;1+7з-7з + 2>/3;
1 + 7з+7з + 2>/з|. 5. {-1} 6. (о;1-2-/з) при а = 7-4л/3; (оД + З-Л:)
при 7 + 4>/3; (б;-11) при <7 = 1.
Группа III
Решить уравнения:
1. |х + 2| = 2(3 - х).
2. |Зх-2| + х = 11.
76
3. |х|-|х-2| = 2.
5. |2х — 3| = 3-2х.
7. |9 —х2| = 5 .
9.	|7х-12|-|7х-11| = 1.
, х	|4- х|
11. 12х-3х2 ——=.-1—1
Vx-1 Vx-1
12. |х2 -9|+|х-2|=5.
14. |х[ + х3 = 0.
16. |4х-1| = (Зх —I)-1.
18. (х + 2)2 =2|х + 2|+3.
20. х2 + 4|х-3|-7х + 11 = 0 .
22. х2-4х + |х-3| + 3 =0 .
24. .-----— |х + 1|
|х + 1|-2 1	1
4. 4-5х=|5х-4|
6. |5х2 -з| = 2 .
8. (х-1)2 + |х —1|-2 = 0.
10. 4Vx+T = |2х-1| + 3 .
|4жх| - Зх|4 - х| —----ь 4.
л/х-1
13. ||х-1| + 2| = 1.
15. |х|-2|х + 1| + 3|х + 2| = 0
17. (х + 1)2 +|х + 1|-2 = 0.
19. |5х-13|-|б-5х| = 7 .
21. х2 - 4[х + 1| + 5х + 3 = 0 .
23. |х-3|+|х + 2|-|х-4| = 3
25. ।3L
|х + 3|-1 1	1
Ответы:
6. |-1;--^;-^;1|. 7. {-2;-л/14;2;л/14}. 8. {0;2}. 9. |х:х<у}.
10. {0;3}. 11. {х:1<х<4}. 12. 4-3;2;
-1+V65
2
13.0. 14. {-1:0}. 15. {-2}.
77
16. J-Ц. 17. {0;-2.}. 18.	19. |x:x<|l.2oJ
11-V29 3+V13
2	’ 2
9	22. {2;3}. 23.
2	2 |	’
{2;-6). 24. ^2-^5;Vs).
25.
V13-5 -7-V13
2	’	2
Системы уравнений с модулем
Группа I
Решить системы уравнений:
4.
у + х-1 = О,
|у|-х-1 = 0.
|*+y|=i,
>1+М=1-
[у + х-1 = О,
2"w*h=°-
5. JW+J/2=5’
‘ [|х| +И = 3.
з J|x-l|+|y-5| = 1,
|у = 5+|х-1|.
6 х2-|ху| = 2,
(У = -1-
[Зх-.у = 1,
’ ||х-2у| = 2.
х|х + 5у|-16у2
[х2у-у> =15.
= 5ху,
3 у + х = 2,
10.
— -у = -------+4х,
У У
у2 >-2х= 2|х| - у-1-2.
х2 + 2[у|- 2.у-х + 6,
ху~ |у| = у 1-Зх. '
п /2|х-2| + 3^ + 1| = 4,	(|2х + .3у| = 5,
[2х-у = 3.	|2х-.3у| = 1.
5
2’
|х + _у| = 5.
а2|х| + у = а2,
|х| + оу = 1.
«|х| — у = 1, ох + у = |л|,
[х + <7|у| = 67. \ах + ау = а2.
18.	|<я| х + а2 у = а, ах-а2 у = а2.
78
Найти все значения параметра, при которых системы имеют един-
ственное решение:
19.
2х+у = |у-2|,
(ах + 4у + |х| =0,
20. <	11
21.
х + 1
------= а.
22.
25.
28.
= 1,
23.
------= о,
24.
х+|х + 2| + 2у — О,
----= а.
.х-1
У + 1
------= а,
х + 1
х + |х| + 2у = 0.
26.
27.
------= а.
—-— = а.
4ах + у-а = 2,
(х + |х|)(у+ а) = 2.
у _ Их
29.
2х
\2
= 1,
-2=0.
Найти все значения параметра, при которых системы имеют единст-
венное решение. Указать это решение:
30.
1
(х-а)2 + а2 -2а = 0.
х-20
гт---= 1,
34. Ш“20
(х-а)2 + а-20 = 0.
у = |х2 -6х + 8|,
36. (
= а.
31.	х+|х| +(1 - у)2 =0,		
	(х-а) + а = 2(х- а)2 + у		--у + 5. = 10-а?
33.	У +	' х-Ю''	2 — 1
		^1-10,	
35.	у- н-	— = 0, X	
	.(*-	°)2+(у	+ а-1)2 =
37.	\У =  ах~	|х-2|, - у + 1 = 0	
79
38. j И
[(х-2)2 + а = у.
хг + 2х + у2
39. И-
= 2.
у-а
40.
У =
(х-а)2 +а = у + 15.
41.
[(х+2)2 = у+а.
у =
= 0,
42.
Найти все значения параметра, при которых системы имеют два
различных решения:
(x = 4v-2a-2,
44. L, , '
I 2х2
•У = ГТ~
45. М-
46.
(х + а + 2)" + (у + 2а)2 ± 1,
хг +(у-а)2 = 8х + 9,
47.
48.  |л-| +
>Г
49.
= 4х,
50.
51.
52.
------ а.
1х-3
53.
х2 +10х = 4у + а.'
х2 -8х + у2 = 4,
у-a х+|х|
54.
у(х - |х|) = X'.
4у+а = 6х+х2.
2
1
80
56.
|х2 -7х + б| + х2 + 5х + 6-12|х| = 0,
х2 - 2(я-2) х + а (я - 4) = 0.
Найти все значения параметра, удовлетворяющие заданным условиям:
57. Система <
р 5х
2 |х| - х
2у+ 3 + (х+р)2 = 0
2 у = |х| - х
имеет решение. Найти эти
решения при каждом р.
58.	Система
имеет решение.
59.	Система 
2	имеет три решения.
(х-я)+у2=4
60.	Система
имеет восемь решений.
х2 +у2 =а
61.	Система
62.	Система
1	'	имеет четыре решения.
16я - 9 - бу = 25х2 + у2
[х2 + у2 = 2
1	имеет три решения.
Iу-х=я
63.	Система
имеет четыре решения.
2
Исследовать число решений системы:
64.
66.
68.
х2 +у2 = а2
х2 + у1 +10х = 0,
а.
65.
67.
.2
х2 +6х + (^-я)2 = 16,
2
81
Ответы:
1. ((0; 1)} .2. хе (-оо; 0], у = 1 -х . 3.
1.
2’ 2 J’U’ 2 Jj
4. {(г;1-фе[();1]}, {(/;-l-t)|rе[-1;О]} .5. {(1;2);(-1;-2);(-1; W"2)}-
6- {(2; 1); (2; -1); (-2; -1); (-2; 1)} . 7. (О; -1);
14. {(4; 1); (1; 4); (-4;-1); (-1; -4)}.
15.	При а& R\{-1; 1} {(1; 0); (-1; 0)}, при а е {-1; 1}
{(1-ау; у\, (-1 +ау, j^)|^e Rj . 16. При а = О {(0; -1)}, при
а = 1 {(х; х-1)|хе[0; 1]], при <з = -1 {(х; -х-1)[хй0|, при
\( 2а	а2 +1^ ( 2а	а2-1^
[(1 -а а -1) ^1 + д a + 1J]
а е(-да; — 1)U(—1; O)U(O; 1) решений нет. 17. При а <0
Я—+- при <7 = 0 1(х;0)|хеК}, при а е (0; 1)U(1; +°°)
((<7-1 а-1 Jj	1	7
|(0; <?)}, при а = 1 {(х; 1-х)|хе R| . 18. При а > О	»«Ри
<7 = 0 {(х; _у)|х,.у е RJ , при а = -1 {(х;-1-х)|х е Rj, при
<з е (-=о; - 1)U(-1; 0) решений нет. 19. ае(-оо; —1]U[O; +ос).
20. <зе(-со; 3]U[5;+oo).21. (-ос; O]U[1; +°о). 22. ае(-оо;-1)U(4;O].
23. ae(-oo;-l](J[0;+co).24. <7e(-oo;-l]U[0;+oo).
82
25. a 6 (-оо; -1]U[O; +<»). 26. a e(-oo; - l]U[l; +00) •
27. ae(-oo; O](J{1} • 28. a е{22+л/519,25}и(-1; 1]. 29. (0; 1]U{2).
30. a e(1; 2); {(Va -1;	.31. ae (-3; 2]; {(а-л/б-а; ijj.
32. a e (0; 1]U{2), {(a + V2a-a2 . 33. При a e
, при a =	{(9; 0)}. 34. При a e [-5; 4).
2a + V20-2a\
2	’
(a + V20-aj, при a = 19 {18}. 35. a e {—1}U	’
{(a - Vl-a2 j; 1} . 36. При a < -2 {(a + 4; a2 + 2a)j, при a = 0 {(4; 0)} .
37.При ae(-oo; -1)U[1', + °°)	«^[-4; -2]U{2},
2 + V2-a; 21 . 39. a 6 {-3}U[-1; 1),
a-l-V-a2 -2a + 3
. 40. a e (-5; 4], {(a- V20-a; 5j|. 41. a = -1,
{(-2;-1)}.42. ae[-2;l)U{2), {(a + >/2 - a; a + л/2 - a)|. 43. При a = -2
{(2; -1)}, при a e[—1; 0) |(-a+V-a2 -2a; -1У1.44. (-co; -1).
45. (7/5; 3). 46. (0; 4). 47. {-3}U[-1; 1)U(5; 7) . 48. (-6; -2).
49. {3}U(1-V2; l+VI). 50. (-00; -l]U{0). 51. [0; +00). 52. (-2; 0)
53. (—18; -2)U(-2; 2) . 54. {-1}U[0; +00). 55. (-2; -1) .
56. a e {1; 2} U [5; 6]. 57. При p e (-3; 1] U {3} V~P + 3;
прире(1;з)
83
58. a e -oo;
3_
4
. 59. a - —7.60. a e
/5. 1
5 ’ 2
J 1 1 I
. 61. a e ]—:------.
116' 128]
62. а 6 (1; 41) .63. а =
2.64. При a e 0;
- восемь решений.
2
V2 ,	V2 ,
при a e 1 ~ четыре решения, при a e —; 1
65. При a e ^-oo; - 3*^2 )U(3; +co) нет решений, при a = 3 - одно реше-
ние, при а е ^-Зл/21U (-3; 3) - два решения, при а = -3 - три решения,
при a e(-3v2; -3J	- четыре решения. 66. При
а е^-оо;-5-5>/2 ju(-5 + 5>/2; + ocj - нет решений, при ае{-5±5>/2| -
одно решение, при а е (-5-5>/2;-5 +5>/2 j - два решения. 67. При
аe[-6;-2]U(3; 6)U{-7} - одно решение, при ae(-7; -6)U(~2; 2] -
два решения, при а е (2; 3) - три решения, при а е (-оо; - 7)Ц1[б; +оо) -
решений нет. 68. При а е (-oc;l)U^V2;+ooj - решений нет, а е |1;	-
четыре решения, при а е (1; 41) - восемь решений.
Группа IT
Решить системы уравнений:
(2и + v = 7,
- v| = 2.
(у + х-1 =0,
[|у|-х-1 = 0.
Зи - v = I,
|и - 2v| = 2.
|х-1| + у = 0,
2х-у = 1.
5 Л*1+2М=3-
’ |5у + 7х = 2.
Пх -1| +|у - 2| =1,
' | v = 3 — |х —1|.
84
^-4| = 8-^;
ху = 2 + х2.
у2 - |ху| + 2 = 0,
8-х2 = (х + 2у)2.
10.
|х + 3| + |х - 2| = 5,
818-135х<£ 137х2.
11.	Найти все решения системы уравнений
+ х-у =—ьх+—,
6 X
13	1
удовлетворяющие условию х < 0,
у<0.
2	2	97
+ У = —
36
12.	Найти все решения системы уравнений
удовлетворяющие условию'	0
_У > 0 .
Для каждого значения параметра а найти все х, удовлетворйоп^иё
условию:
13.	|х + 3|-а|х-1| = 4 .	14. |х - 2| + а|х + 3| = 5 .
15.	д|х + 3| + 2|х + 4|=2 .	16. 3|х-2|-а|2х + 3| = 21/2 .
17.	Найти все решения уравнения 1 + х+|х2 - х~ з| = 0. удовлетворяюпйе
неравенству х + >/14/з > 0 .
Найти вес значения параметра а, при которых уравнение имеет
единственный корень:
18.	|1 - пх| = 1 + (1 - 2а)х + ах2.	19. |(а + 1)х - 2| = (1 + а)х2 - 2ах + 2 .
Найти все значения параметра а, при которых существует одно
значение х, удовлетворяющее системе уравнений:
20.
|х2 - 5х + 4| - 9х2 - 5х + 4 +10х|х| = 0,
х2 - 2{а - 1)х + а(а - 2) = 0.
85
21.
|х2 -7х + б| + х2 + 5х + 6- 12|х| = О,
х2 -2(«-2)х + а(«-4)=0.
Найти все значения параметра а, при которых следующие уравне-
ния имеют три различных корня. Найти эти корни:
22. х-а = 2|2jxj —а2|.	23. х-а!2 = 4|4|х| —с?2|.
24. х-а/3 = 9|9|х|-а2|.	25. х-а/2 = 2|2|х|-«2|.
Найти все значения параметра а, при которых уравнения имеют
два различных корня:
26. х|х + 2а| +1 - а = 0 .	27. х2 + 4х - 2|х - а| + 2 - а = 0 .
28. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
[у(ах + 1) + 13х-а(1+у) = О,
<	.	.	имеет решение.
^х-ух+ 2 + у = О
Ответы:

6. (с;4-с), где се[1;2|, (с;с + 2), где се [0;1]. 7. (2;1), (0;-3),(-6;9).
8. (2;2л/2Ц->/2;-2л/2).	9. (2л/2;->/2) (-2л/2;л/г).	10. , х-2,
?409	I, ( 3 2Н	2 31	it Г1 И	13 1
-3sx<-------.	11. —.	12. -~;-3 , 3:— . 13. 1.
137	2 .Ж	3'21	13	И 3 1
при |а|>1. 14. {х:х<3} при п = -1; {х:-3<х<2} при а=1,{-3} при
|а|>1; j-3;-—yJ пРи Н*"!- 15. {х :-4 < х<-.З} при а =2;{х:х>-3}
при а = -2; 3;--	1 при |л| < 2;{- 3} при |а| > 2 . 16. jx:x<—|j
при а=|;|х:-|<х<2| при а = -|; при |я|>|;
I	2^ I J	2
86
14)11 И<т17-	18-« 19- м
20. я = -1,1<а<3,4<а<6. 21. а = 1,а = 2,5 < а < 6. 22. j-При
„ [ 1 л 11	1 „„ [ , 15 171
а = -2; 4—;0;— > при а = —. 23. 4-1;—;—> при
1531	2 I 17 15I
„ ( 1 п 1 1	1	41 401
а = -2;4--;0;-при а = —. 24. 4-1;—;—при а = -3;
[ 136 120]	8 I 40 41]
( 1 n 1 1	1 Г 1 3 51
4----;0;--> при а =--. 25. 4—;——> при а = -1;
I 3321 3240J	27	2 10 6J
----;0;—1 при а = —. 26. а = 1, а=----. 27. а<---, a>-2i
20	12	4	2	13
28. а <-10,
2
Неравенства и системы неравенств с модулем
Группа I
Решить неравенства:
1. 4.	Зх-5|>9х+1. х2 - 5х| < 6 .		2. |2х-5| < х . 5. |х3 -1| > 1-х . .	3. 6.	2|х +1 Зх + 1		>1.	
					х-5			
7.	2х-1	> 3.	8 Х 1 > 0	9.		г2 +6х + 5| > 5 + х		
	х2 -3		О»  1	V . |х|-1					
10.	llx 1	-2| > 1.	х2 —|х| — 12 11.	L-I	>2х. х-3	12.		х2 -	Зх + 2	
	|| Л	1					х2 +Зх+2		
13.	х +5х + 6		|х + 2|-|х| 14. 1 , 1 1 1 >0. л/4-х2	15.	1	х2 -	Зх| + 2х>4.	
16. |2х-1|-|х-4|>4. 17. |х-1|+|х-2| > х + 3 .	18.
19. |Зх + 4| > |2х + 11|. :20. |х + 2|-|х-1| > х-|.
21. (х + 3| > |х|.
87
22.
J±>1
l + |x| 2
23. |3x+l|-|.r+2|<J.
24. |2x-l|-4>|x + l|.
25. |x-l| + 4 > |2x + l|. 26. |х-б| > |x2-5x + 9|.
28.-1^-4—<2.	29. (x-l)|12+x-x2| <0.
|x-3|-l	v 71	1
27.
M+i°>2
4|x-l| + 3
30. (x + 3)|14-2x|<x2-9.
31. >/з+х>|3-х|.
32. |x2-9| + |16-x2|<25.	33. >/x3+x2-4x + l |x-2|.
34. ||3x + l| + x + l| > 2. 35. |x2 -|x2 +x|| > 11.
36 5~lxl >lxl~5
x2 + |x|-2 " x2-Г
37.
39.
38. ||x3 +x-3|-5| < x3-x + 8 .
40. ||x3-x-l|-5| > x3 + x + 8 .
42. |2-Vx + 2| > x-2.
44. |||x +1| + 4| - 5| <, 4.
46. ||x2 - 6 |x|| - 4| > 4 .
(x2 -lUVx2 +3~ + 2xj	fVF+2x2'-l-x2k|2x + 3|-|3x + 2|)
-i—4  0 • 48. 4-——4=----r-,---г <5 0.
|x-2|-4x + 3	(x2-5x + 4)(^75+1-x)(x"-1) ,
49.	Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенст-
50.	Найти все целые числа, удовлетворяющие условию:
а2-7|а| + 10	«2+4а-5 п
а) —5—LJ-< 0; б)-г--г > 0.
а -6а + 9	4 —|дг — 5[
Решить неравенства с параметрами:
51.	|х-2а|<4х-2.
54. |<?х + Л| < а .
53. |х - а| > х .
56. |х- 1|>/х + я < 0 .
55. |х-а|
88
60. |x|(x-a)>0.
63. х2 -а|х + 1| > 0 .
58. |х2 +л|<0.
61. х2-2х + 2И >0.
64. ах2 + |х| + 1 >0.
59. |х|(х + а) < 0.
62. |1 — |х|| < а-х.
Найти все значения параметра, при котором выполняется заданное
условие:
65. Неравенство
х2 - рх + 1
х2 + X +1
< 3 верно для любого действительного зна-
чения х.
66.	Неравенство 3 - |х - а| > х2 имеет хотя бы одно отрицательное решение.
67.	Неравенство 2 > |х + + х2 имеет хотя бы одно положительное решение.
68.	Уравнение х2+1 = — имеет различные корни Xj и х2, удовлетво-
а
I 2	21	1
ряющие условию К - х2 > — .
(-оо; -1]U[0; 4-ос) . 6. (-оо; — 3]U[l; 5)U(5; +оо
1+7зТ /Д / р; 4],1Р-1+л/Й
3
7.
3	) ' J
9. (-ос; -5)U(-5; -2)U(0; +°о). 10. (-оо; -2)U(0; 2)U(4; +оо).
< з\
11. (-ос; 3). 12. [0; +оо). 13. 1-2; --I. 14. (-1; 2).
15. -оо;
1-V17
2
U[l; +®
-оо; — 7)U(3; +оо) . 7. (-оо; 0]U[6; +оо);
18. (0; 2). 19. (-ос; -3)11(7; +оо). 20.
22. (-1; 1) . 23. (-1; 1) .24. (-oo;-2)U(6;+оо) . 25. (-6; 2). 26. (1; 3).
89
U- [|;7J-28’ (-=°;2)U{3)U(4;+<«).29. (-00;-1)U{4}.
30. (-00;-3]и[17/3; 11]. 31. (1; 6). 32. [-5; 5]. 33. [^3;+оо).
34. (-oo;-l]U[0;+qo). 35. (-00;-11)U(11; +00) . 36. [-5; -1)U(1; 5].
37. (-00; 1/3). 38. [-</5; 8] . 39. [-4; +00). 40. (-00; -^/б].
41. -|;	• 42. [-2; 2) . 43. [-2; +00). 44. [-6; 4].
45. [-3; -2]U[2; 3],46. (-oo;-3-V17]U{-6}U
U[-4;-2] U {0} U[2; 4] U {6} U [З + VFZ; +00). 47. {-1} .
48. [-5; -1]U {0}U(l; 4)U(4; +00) . 49. {6} . 50. a) {-4; -3; 4) ;
6) {-2; 2}. 51. При а<1
2-2«	1
----; +оо , при а > —
3 J 4
(1 + 2а	)	_	6	(3 + а 3~а
хе ----; + оо . 52. При а<— хе -; —
I 5	)	5	(73
6
5
, при
(3-а 3+^1	6	„	_
xel—-—; - I. при а=~^ нет решении. 53. При а <0 xeR,
при а > 0 хе ^-ос;	. 54. При а < 0 решений нет, при а > О
xef_.A_-—55. При 2|д| < h < 3|а| х е [~h 4 ?.|«|; h - 2р|] , при
b > 31«| х е
ь. Ь'
3’ 3 ’
при Л<2|о'| решений нет. 56. При а<-1
хе(-«;+оо), при а>-1 х е (-a; l)U(k +°°). 57. При а < 2
х е [я; 2)U(2; + оо), при а = 2 хе (2; + оо) , при а > 2 хе [«; + <»).
58. При а < 0 хе , при а > 0 решений нет. 59. При а > О
х е {0} U (-оо; - а], при а<0	хе(-оо;-а].	60. При а<0
х е (я; 0)U(0; +оо) , при а 0 х е (а; +сс). 61. При а Ф 0 xe'R.
при а - 0 х е R \ {1}. 62. При а < -1 решений нет, при и е (-к 1]
90
; j ’ W11 а > 1 х е	• 63. При а = 0 х е R \ {0} , при
a < 0 x e R, при a e (0; 4) x e
а-л/а2 +4а
-оо;------------
2
а2 + 4а
2
u
при a = 4 x e (-00; - 2)U(-2; 2->/2)U U(2+V2 ; + 00), при a e (4; + 00)
—а - \ а2 - 4а
—оо;--------------
2
'а -4а а-^а +4а
2	’	2
и
u
а +4а
------; +оо .64.
2
При
a e 0;
решений нет, при a <0 хе
—ос;-------
2а
,f-l-Vl-4a
и
и
и
2а
2а
2а
x e R, при
1
а = —
4
u
( 13 3	( 9	3
66.	; 3 . 67.	2 . 68.
I	4	J	I 4	)
'5
4;0 и °' 5
5
Группа Н
ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенства:
2
. .	40-3|х|
4. 2|х|-4,5 >----
7. х2
з
9. х2 -8х--[———г + 18<0.
10. х2 +10х-г-^-г + 4 > 0 .
И.
х + 2
12.
х- 5
91
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенства:
1. |3— х| < 4.
3. 2|х +1| > х + 4 .
5. х2 - 7х + 12 <|х-4|.
7. |х2 — 4х| < 5.
9. |х2 + Зх| > 2 - х2.
2. |Зх-5|> 10.
4. 3|х-1|<х + 3 .
6. х2 -5х+ 9 > |х-б|.
8. |х2 - х- б| > 4 .
10. |х2-6х+8| <5х-х2.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенства:
1. |2х-7| < 5 .
3. |х-2|< 2х-10 .
5. х2 -х-2 <|5х-3|.
7. |х2 -х-3| < 9 .
9. |х2 - Зх + 2| > Зх - х2 - 2 .
2- 15~4>у
4. |2х-1| > х-1.
6. 2х2 -9х + 9>|х-2|.
8. |2х2 -9х + 15|>20.
10. |х2 —1| < Зх.
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенства:
х+3+х 1. -	1	> 1. х + 2	2. 1Г + 21~Х<2, X	3.	у |х-3|		>-1
4.Д^±£<0. |х| + 7	х2 -7|xh 10 5. 	— 1-1	<0. х2 - 6х + 9	6.	2х-1	7
			х-1	
7.
х2 -Зх-1	<3.	8.	х2 - Зх + 2
х2 + X + 1		х2 +Зх + 2
ЗАДАНИЕ 5
Решить неравенства:
х-3 4. -J	— >2	х2 —|х| — 12 5.	U	> 2.x.	6.	2	>1
х -5х + 6	х-.З		х-4	
92
7.
х2 -1
X 4- 2
<1.
8.
х2 — 5х + 4
х2 -4
<1.
ЗАДАНИЕ 6
Решить неравенства:
1. |13 - 2х|> |4х-9|.
3. |х - 2| > 2 + х - |з - х|.
|х2 -4x1 + 3
5. 1.2	, >1.
х2 +|х- 5|
Решить системы:
2. |х + 3|<3+|х|.
4. |х|>
2х
6. |7 -2х| <|Зх-7|+|х + 2|.
ЗАДАНИЕ?
Решить неравенства:
1. |х+ 1| > |х -1|.
3. |2х + 3| > |х|-4х-1,
2. 2|х| 4 + |х + 1|.
. 4х-1 ।	.1
4. -j---г> х + 1 .
|х-1| 1	1
6. |5-х|<[2-х| + |2х-7|;
Решить системы:
|х2 — 4х| <5;
|х + 1| < 3;
8.
|х2 + 5х| <6,
ЗАДАНИЕ 8
Решить неравенства:!
2. |х3-1| > 1-х .
: А1 4“
Для всех значений а решить неравенства:
4. [х - Зд| - |х + «| < 2а .
5. |х + 2а| <
8а2
|х - 2а\
93
ЗАДАНИЕ 9
Решить неравенства:
2. |х3 -1|<1 + х + х2
Для всех значений а решить неравенства:
4. |х-л|-2л >|х-3а|.	5. |х + 2д| + |х-а|<3х.
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1. 1. [-5,5]. 2.(-3;3). 3. f-7;-5]U[5;7]. 4. (-oo;-4]U[4;-Kx>).
5. (-oo;-17]U[17;+x). 6. (-oo;-8)U(-2;2)U(8;+a>). 7. [-1,5].
8. (-oo; -10) U (4; +x>). 9. [3; 4) U (4; 5]. 10. (-oo;-6) U (-4;-К») .
И. (—oo;—з]. 12. [4;5)U(5;+x).
ЗАДАНИЕ 2. 1. (-1;7). 2. (-oo;-5/3]U[5;+x>). 3. (-oo;-2)U(2;4oo).
4. [0;3]. 5. (2;4). 6. (-oo;l)U(3;-+oo). 7. (-1;5).
'11-V57,11 + V?7'
4	’	4
ЗАДАНИЕ 3. 1. [1;б]. 2.
5.
1. (-3;4).
(-5;+3 + 2V2). 6.
I |Г5 + ^ □
U --------.
2 J
8. (-oo;-1/2]U[5;+oo). 9. (~oo;l)U(2;+oo) . 10. [-1 +V2;1 +J1].
ЗАДАНИЕ4. 1. (-5;-2)U(-l;+x). 2. (-□o;0)U(l;+x>) . 3. (2;3)U(3;+oo).
4. (2;3). 5. (-5;-2)U(2;3)U(3;5).6. (3/4;1)U(!;+<»).
7. (-oo;-2)U(-!;+»). 8. (-oo;-2)U(-2;-l)U(-l,0].
94
ЗАДАНИЕ 5. 1. (-оо;-6) U (-7/2;-к»). 2. (2;+оо).
3. (-oo;-5)U(-3;3)U(5;+oo),4. [3/2;2]. 5. (-оо;3). 6. (2;4)U(4;6).
1-V13 1 + V13
2 ’ 2
О	с
. 8. 0;- U -;+о°
5	2
8
7.
5
-2-Л
3
.2. (-оо;0).3. (-oo;l)U(7;+a>).
,	2
4. (-со; 1]U[5;-к»), 5. -оо; —
7. (-2;-l]U[l;4). 8. (-2;1).
ЗАДАНИЕ 7. 1. (0;+х>). 2. [3;5]. 3. I —у;+х>
ЗАДАНИЕ 6.1.
- и -;2 . 6. (-оо;
г э ’ V ’
3j L2
1
5. -х>-—2— ,6. (-oo;2)U[j;+ooJ.7. (-1;2). 8. (~2;0j.
ЗАДАНИЕ8. 1. [-l-2>/2;-3)U(l;3]. 2. (-°o;-1)U(0;1)U(1;-hx>) .
3.	4. (—оо;2я), если а < 0 ; решения нет, если а = 0; (0;+х>),
\ 6 6/
если а > 0 . 5. ^2л/3а;2а)и(2сг.-2л/3а), если а <0 ; решений нет, если
о = 0; ^-2>/3o';2(?jU^2rt;2>/3aj ,если а > 0 .
ЗАДАНИЕ 9.1. [-5;-4)U (-2;-2+-^] . 2. [0;2].
3. ^-o°;--|^U^-^-;^U^-|;+»^ . 5. (-оо;а), если а <0 ; решения нет,
если а > 0 ; 2. (-а;+х>), если а < 0 ; (а;+оо), если а 0 .
Группа III
Решить неравенства:
1. |х —3| > -1.
3. |5-8.r| < 11 .
5. |2х - 3| < 4 .
2. |х2 +21x4-34] < -1.
4. |2х + 1| > 5.
6. |5х - 4| > 6 .
95
7. х2 - 5|х| + 6 < 0.
9. |х2 + х| < 5.
11. |х2 -5х| <6.
13. |х2 - 2х| < х .
15. Зх2 -|х-3|>9х-2.
17. х2 - |5х + 8| > О.
19. |х-б| > х2 -5х+9.
21. |х2 - 3| + 2х + 1 > О.
23. |х2 -2х~з|<3х-3.
25. |х2 - 6х + 8| < 4 - х.
29. |2х-1| < |х + 3|.
31. |х -1 - х21 < |х2 - Зх + 4|.
8. х2 -|х|-2 > О .
10. |х2 - 4х| > 1.
12. |-4х2 -6х-5|>9.
14. |х2 - Зх| + х- 2 < 0 .
16. х2 + 4 > |3х + 2|- 7х .
18. 3|х —1| + х2 -7 >0.
20. (х2 -х-8|<х.
22. (1 + х)2 <|1-х2|.
24. |х2 + 4х + з| > х + 3 .
26. |х2 -1| > х2 +1.
28. у2—2у.— >1.
х-3
30. (|х-1|-зХ|х + 2|-5)<0;.
1+- .
5
33. |х-1|-|х| + |2х + 3|> 2х + 4о .
34.
-5
х + 2
35. ||х-]|-5|<2.
37. |х + 2|+ |х +1| + |х - 4| > 9 .
39. |х-2| + |х-3| + |2х-8| < 9.
36. |х- 1| + |х + 2|-|х - 3| > 4 .
38. |х- 1|-2|х-2| + 3|х-3| < 4.
40.	|х-1|-|х + 2| + 3>|2х-5|-|3-л|.
41.	|х - 1|-|х - 2| + |х +1| > |х + 2] + [х] — 3 .
42.	|х-1|-|х -2| + |х-3| < 3 + |х-4| + |х-5|.
43.	|х + 2| - |х +1| + |х| < у + |х -1| +|х - 2|.
44.
1
х + 2
2
х-1
45. |x-l-x2|g|x2-Зх-н4|.
96
46. |х - 2х21 > 2х2 - х.
48. |х2 +х-20|<:х2 +х-20.
50. 12х2 - х -10| > |х3 - 8х - 22|.
(1 + х)(2 + х)
х2 - |х| - 2
> -Зх.
52.
47. |х2 + 6х + 8| < -х2 -6X^8
49. |х- 3| > |х2 -3|.
51. |х2 - 5|х| + 4| > |2х2 - 3|x|j+1|.
54.	|х2 -Зх + 2|-1|>х-2.
х2 — 2х-1-2х
55.	------------г> 0.
х2 -2+ х2 +3л1
I 2 I il 1
56.	х - х < —.
I I Ч 4
Решить системы:
58.
2х-1>3;
|2х + 5|>|7-4х|,
|х| <2|х-4| + х-2;
|2x-4|-|3x+9|-|x-l|S-6;
||х+1|-|х-1||<1
|2х-5|-|4х+7|>0,
|х2 -3| + 1 + 2х > 0;
63.
х2 -1 > 2|х-1|,
|1-Зх|-|х + 2|<2‘,
|2х + 7| - |3х + 5| > 0,
62.		х + 2	>
		х-1	
64.
х2 + 2|х + 3|-10<0,
|х2 -4x1 + 3
Ц—I 1 .1 S1;
х +|х - 5
65.
2	-3
|х-2|	2х-1
Для всех значений параметра..® решить неравенства;
66. |1 + х| < ах .	67. |х -1| > ах .
68. |х - а| > х .	69. |х + <?| < х .
97
70. |ах| > 1 + х
74. 2 |x - a| < lax
76. p -a2
73. p + a| > x .
75. |2x + a|>y-
4#2
77. Q + т---r >
|x - 2a|
Ответы:
1. (-oc;+oo). 2. Решенйй нет. 3. (- 3/4;2). 4. (
U[2;+oo). 7. (-3;-2)U(2;3). 8. (-oo;-2]U[2;+<=o).
-1-721.721-1^ 1ft
1 7
3)U(2;-K») ,5. -i;-
9.
I 2	2/1 /V	> 1	’ >
11. [-1;2]U[3;6]. 12. (-oo;-2]U(l/2;-kc). 13. (1;3). 14. (l-73;2-72).
5-757 /
u
2
15.
17.
• -hoc
2	"
-оо;-1-л/з'М
oc;-5-Vi9]u[V2-2;+oo).
. 18. (-axl)U(2;+oo). 19. [1:.з].
20.
24. (-oc;-3)U(-3;-2)U(0;+=o). 25. [1;3]U{4). 26. {o}.
27. (-oo;-9/2]U[-7/6;+oo). 28. (-oo;-l)U(2;3)U(3;+»). 29. (-2/3^4).
30. (-7;-2)U(3;4). 31. (~°o;3/2].
„ f -2-779
32. -oo;--------
5
5
33. (-so;-3/2). 34. (-»;-5)U(l;+x). 35. [-6;-2] U [4;8].
36. (-oc;-8)U(2;+oo). 37. (-so,-8/3]U[2;-H»). 38. [1:5]. 39. (1; 11/2).
40. (~4;0]U[2;8/3]. 41. (-3;-1)IJ(-1; 1)U(k3). 42. [0:б].
98
43. (-оо; - 5/2] U [- 3/2; -1/2] U [1/2; 3/2] U [5/2; +оо) .
44. (-co;-5)U(-l;l)U(l;+°o). 45. (-оо;3/2]. 46. (0;1/2). 47. [-4;-2].
48. (-оо;-5]U[4;-не). 49. (-3;O)U(1;2).
50. (-oo;-4)U -3;—
9 + V465
U 6
5.5
3’3
оо;
56. I->/2--
I 2
>;-4)U
-5 -VI09
;-2 U 1;
'61-1
6
2
3
6
2
3
2
1
П
’2?
58. (-oo;-3)U(-l;0]. 59. -;3 U(5;6]. 60. 0;-
3
64.
3J
-1.1'
а+1’ а-1
2’
. 62. -y;ljll(l;2). 63. 1;| .
•	65. (8,
V
если 0 < а < 1;
5
2_'
, 1
—;V2 . 66. -оо;----- . если
7	[	а-1
если -1<а <0; {-1}.
если а = 0 ; решений нет.
------+зо . если а > 1 . 67,
a-1 J'
----:+оо , если а
нН )
если - 1<а<();
-оо;—L U _!—;+оо|, если 0 < а < 1;
1 + а 1-а J
если а > 1. 68. (-оо;+оо), если а < 0 ; I -оо;у
если а > 0 .
1
1 + а
69. [-а/2; + со), если а < 0 ; решений нет, если а > 0 . 70. {1}, (-1) если
|а|>1.71.
а = 0;
если 0 < |а| < 1;
-1
; +оо , если
а - V#2 + 4
-а + у/а7 +4
J
если а < 0 ; {-1;1], если а = 0 ;
2
99
а-уа2 + 4,-а + у/а2 +4
2	2~
, если а > 0 . 72. (-оо;+оо), если а < О ;
(-oc;-V2]U{0}U[V2; +ocj, если а
, если
а > 1. 73. —со;----------
2
; +оо , если а
, если
, если О < а < 1;
и
2
1
а = —
4
4
а + 1 — ^а2 —
если
|а| < 2 . 75.
, если а > 0 .
если
а>0 . 78. Решений нет, если а < -1,
а>0 . 77. [ба;2а)U(2а;-2а], если а<0; (-oo;2a)U(2a;+oo), если
a-l'l
-оо;---- , если - 1<а <1;
2 )
а + 1
т~
Группа1Г
Решить системы неравенств:
х3 +5х < 6,	х2 - 4х| < 5,
1 Л I	I
|х + 1|<1:	[|х + 1|<3.
х ..... 2	> 1,
I *
, х2 -5х + 6
|х-1|<2,
<1 + х,
|х-9| + |х-10| >х-2.
х-1| <9-2х,
х-5| + |х-б| + |х-7| > 15.
7.
у - |х - 2у +1| = 3,
|у| + |у - 2| + (у - 4)2 й 5.
100
8.	Обозначим: max[/(x); g(x)[ - наибольшее из значений функций
/(х) и g(v) для данного х,а min{/(x); g(x)[ - наименьшее. Най-
ти все х, для которых выполняется соотношение:
a) min [|х|; х2 + 6х| > 7 ; б) max [|х|; х2 - 7х| < 8.
„ и -	12х~15^
9.	Наити все решения неравенства —:----< 1, не являющиеся одновре-
1х + х
менно решениями неравенства {х- |2х - 3|) (3 - х) < 0.
10.	Найти все х, при которых определены левые и правые части обоих
2	1 М А
неравенств: —----------> — и J~ > 0, но ни одно из двух иера-
рх: 9х I 15 х 9 х
венств не выполняется.
При каких значениях а системы не имеют решений:
[х2-9<0.	[16-х2 >0,
И. (	,	12.1	.
[|х- 4| <	1|х- 3|>д.
Найти все значения a, при которых системы имеют единственное
решение. Указать это решение:
	|х-.3|<«.	|х-1|><7,
13.	11	14.	1	1	’
	|х-2а|<5.	|2х +д| < 3.
	х2-7х-8<0,	|х + <?| <2,
15.	,	,	16.	
	^|х-«|<3.	х2 +8х-9 > 0.
17. Найти целочисленные решения системы
|х2 -2х| < у + —,
I I -у 2
у + [х-1| <2.
Ответы:
1. (-2; 0]. 2. (-1;2),3. [15/8; 2)U(3;+а>). 4. {-1}. 5. (17; +оо) .
6. (-со;1),7. {(5; 3)} . 8. а) (-оо; -7]U[7; +°о); б) хе[-1; 8].
9. (1; 3)0 [5/2; + <ю) . 10. {1}U(3: +оо). 11. ае (-со; 0) . 12. а е <7 [7; + <ю) .
13. <7 = 8, х = 11 . 14. а = 5, х =-4 . 15. а =-4, х =-1, д = 11, х = 8 .
16. <7 = 11. х=---9, <7 = -3; х = 1. 17. {(0; 0); (2; 0): (1; 1)} .
101
10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ
Иррациональные уравнения
Группа I
Решить уравнения:
1. Vl + 3x = 2x + l.	2. Зх-?18х + 1+1 = 0 .
3. у/з + 2х - х2 = х2 - 2х + 3 .	4. V4 + 3x-x2 = у/х + 5
5. Vx + 7 = >/Зх + 9 - -\/х + 2 .	6. д/х2 (х-1) = |х|.
7. л/х2 - 2х + 5 + у]х2 - 2х +1 = 2,j	8. х2 +Vx2-9 = 21.
9. л/Sx-x2-12 = х2-8х + 18 .	10. V8 + x+V8-x = 1.
11. xi+x + yjxi+x-2=12.	12. </х + 45-</х-16 =1.
13. у/х2 ~2 =у/2-х2 . 15. хл/^ + 2 = Зл/?.	14. у/х-2 + Vx + 1 = 3 .
16. >/х-2+-\/2х-5 +>/х + 2 + Зл/2	х-5 =1у[2 .
17. х2 у/х^ +8 = 6xVx.	. _ у1х2 + 8х 1		 18. ---===-+Ух+7 =-7 Ух + 1	У.
yfx +у[х 19.	= 3	20. л/3-х+>/5-л/2х-7 =
21. 18?-6х + 12 = 5л/27х’ +8 . 22. 3? + 15х + 2>/х2+5х + 1 = 2..
23.	/(х+1)'-/(х-йу = yV?-1 
24.	+ ^ + 2>/х + 7 + yjx+l--Jx + l = 4 .
25.	л/б.г2 +З.Г + 1 + л/2х2 + Зх + 1 = -2х.
26.	у/2-x + л/х-1 = 1.	27. (х - 2)yjx + yfx-^ = л/х2 -х + 4 .
28.	При всех значениях а > 3 решить уравнение л/2а-Зл/х = Vx-2 .
29.	Определить число корней уравнения л/2х+8 - а = л/2х + 3 в зависи-
мости от а.
Решить уравнения:
30.	ylx-ei - 2х-1.	31. у/х-1 + л/5-х = а.
102
32. 7х-4а + 16 = 2л/х-2а + 4 - у/х .
33. ^(а + х)2 + 4^(а-х)2 = 5-Va2 -х2 .
Ответы:
1.
9. {4} . 10. {±Зл/21). И. {2}. 12. {-109; 80}. 13. {±71}. 14. {3}.
15. {24/3; 1} . 16. {15} . 17. {2V2;	. 18. {1} . 19. {64}. 20. Нет реше-
.24. {2}. 25.
ний. 21. 
у—к 22. {-5; 0}. 23.
26. {1; 2; 10}. 27. {4}. 28.
32
корень; при а<0 и а >75
f 5 + 79- 16а ]	1	9
х е <--------->; при — < а < —
8	2	16
решений. 31. При 2 < а < 2>/2
корней нет. 30. При а <1/2
[5±>/9-16а]	9
г е <--------->; при а > — нет
[	8 I	16
а-78-л2
е 3±--------
2
>; при а < 2 или
2
а > 2>/2 решений нет. 32. При а < 0 или а > 8 хе }а2/4} ' ПРИ 0 < а <8
решений нет. 33. При а = 0 х е {0}; при а Ф 0 х е {0;^^
Группа II
ЗАДАНИЕ 1
Доказать, что не имеют действительных корней уравнения:
1. 74х + 7 + 7з-4х + х2 +2=0.	2.2-jx3 -4х2 +1 + 5/х2 (х +1)3 = -5 .
3. >/17+ 57^4+2 -16 + х277-х =3. 4- 7х-6+73-х = 4х-3х2 + 1-
5. -Ji- х2 у/х2 - 49 (х + 4) = 0 .	6. 7100 - л-2 + х' - 7х = Х,
7-V-10
103
Решить уравнения, вводя новое переменное t = 7»(х)
7. х - -J~x —6 = 0.	8. y/s — x = 2 — х.
9. х + 7х-1 -3=0.	10. х2 -х + 9 + 7х2 -х + 9
11. х2 -4х = з7х2 -4х + 20-10> 12. V*—т= = 1-
Jx
12.
ЗАДАНИЕ 2
Решить уравнения:
1. V?x + 1 - 2-Jx + 4 .
3. 712-х =х.
5. 7х + 5-7х-'з=2.
2. (х2 -1)72х-1 =0.
4. 7б-4х-х2 = х + 4.
6. 7* + 3+73х-2 =7.
8. 7х + 5 - 7х = 1.
9. 7х +10 - 7х + 3 = 74х —23 .
10. 711х + 3 -^2-х = 7?х + 7 - 7х-2
ЗАДАНИЕ 3
Решить уравнения:
i. 75х-1"- 7зх + 19 =0.
Ъ,
л У / - - л* = г - -1 .
5. 73х + 1 - 7x71=1.
7. 7х+ 2 + 73 - х = 3 .
9. 7х + 5 + 7х - 74х +9 .
ЗАДАНИЕ 4
Решить уравнения:
1. 75х + 1 = х -1.
3. 711х-2 +з7х =6.
5. л/з + 7-7'+ 5 = 2.
2. (х2 -4)77+1 =0.
4. 7-4 + 2Х-Х2 = х - 2.
6. 27х-1 +7х + 3 = 2.
8. 72х- 4 - 7х + 5 = 1.
10.7бх +1 + 74х + 2 = 77с
2 (*'-4k-4)
‘ 7х2-7х-8	’
4. 7х + 5 + 75 - х = 4.
+ 72х + 3.
104
/♦ ул~7 тул -	-- .	О,	, = -	.
Vx-9	Jx+2 V3x-2
9. VS-х - Jv + Sx - ^4-5х + -^5 + х = 0.
ЗАДАНИЕ 5
Решить уравнения:
1. V5x + 1 - 1 - х.	2. 2>/Зх + 2 - ->/бх = 2.
(х2 -49Ух + Ю) „	--- --------
3-' /	'	, = °-	4. 73х + 1+716-Зх =5.
V7x + 8-x2
5. ^25 + Т?Тз =3.	=
7.	-^1+7б^ = з7Р7.
4в- х
8.	1	.	6 I .
УЗх + 10 7(х + 2)(3л- + ю) Vx + 2
9.	>/5х+1 ->/бх- 2 - Vx +6 + V2x + 3 = 0.
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1. 7. {9}. 8. {-1}. 9. {2}. 10. {0;1}. 11. {-1;5$. 12. {4}. 13. {ю}.
ЗАДАНИЕ2. 1. {5}. 2. {1/2;1}. 3. {з} . 4. {-]}. 5. {4}. 6. {б}. 7. {-1;15>.
8. {4}. 9. {б}. 10. {2}.
ЗАДАНИЕЗ. 1. {10} 2. {-1:2}. 3.. {з}. 4. {з}. 5. {5}. 6. {1}. 7. {-];?.}.
8. {20},9. {4}. 10. {1/2}.
ЗАДАНИЕ4.1. {7}. 2. {-2}.3. {1}. 4. {-4;4}.5. {-2;2},6. {7}. 7. {25}.
8. {2}. 9. {-1/6 -1}.
ЗАДАНИЕ5.1. {О}. 2. {2/3}. 3. {7}. 4. {0;5}.5. {-1;1}.6. {5}. 7. {22/5;5f.
8. {б2},9. {5/4,3}.
Группа II
Решить уравнения:
1. (9-х2)^2-х =0.
7б-Х-Х2 ^V6-X-X2
2х - 5	х - 2

3. (х-1)д/х2-х-2 ===0
5. 2д/х + 5 = х + 2 .
7. д/х+ 2 = y/lx-5 .
9. д/х2 +8 = 2х + 1.
11. Jlx2 + 8х + 7 - 2 = х.
13. х + yjlx2 -7х + 5 = 1.
15. х2 +11 + д/х2 +11 =42.
17. х2 -2д/х2 -24 =39.
19. хл/Збх + 1261 = 18х2 -17х.
д/х2 + х —12	,,
4. ------------- О.
х-3
6. у/^-бх-х2 = х + 4.
8. д/х + 7 - х + 3 = О.
10. yll + 4x-х2 = х-1.
12. yjlx2 + 8х + 1-х = 3.
14. х + у/lx2 -14х + 13 = 5.
16. х1 +13 - 2д/х2 +13 = 35 .
18. х2 +2дА1-х2 =26.
20.	(х + 2)д/16х + 33 = (х + 2)(8х+5).
21.	3(4х + 3)д/16х + 17 = (4х + 3)(8х -15).
22.	(х + 1)д/16х + 17 = (х + 1Х8х - 23).
24. д/х + 1 - yJlx — 5 - д/х — 2 = 0.
26. д/х + 2-дГ^4-д/2х-3 = 0.
23. д/х + 3 -д/2х-1 -д/Зх-2 =0.
25. д/2х - 4 -д/х-3 -д/Зх-11 = 0.
29. д/б-х = х.
31. д / х - 1” = (7-1 .
,, X - 2
33. 7---
V2x-7
28. |х + д/1 -х2	= д/1(2х2 -1
зо» 1 + 5/2Х + 7	= х-3.
32. 2д/х - 2 + д/	= 1.
34. д/х -1 д/х + 4 = 6.
36. д/х-1д/2х + 6 = х + 3.
38. д/х-3 +6 = 5^х-3 .
40. (х-з)д/х2 +х-2 = 2х-6.
42. (х- 1)д/х2 -х-20 = 6х-6.
44. 2 д/х + д/5 - х = д/х + 21 .
46. Зд/2х+Т - 4д/7 - д/34х-135 = 0.
37. Зд/х + З -д/х-2’ = 7.
39. (х + 1)д/х2 +х-2 = 2х + 2.
41. (х + 2)д/х2 -5х + 4 = 6х +12.
43. д/х + д/х-5 = у/10-х .
45. 2д/х^Ч - д/х + 2 - д/5х-10 = 0
106
47. э/8х +1 + у/Зх-5 = V7x + 4 + V2x- 2 .
49. V?
48.
1= + —-===-2.
'1 , J .. Ji , ..2
51. V7 + V*2 +7 =3.
53. V76 + V* + ^7б"-
50. vx -2х-3 = х + 1.
52. V8x + 4 - V8x-4 = 2.
54 =
2-х
Найти все значения параметрам, при которых системы имеют двц
решения. Указать эти решения:
х =8.
55.
56.
у1 —х2 = я(я + 2х).	\x+y = ljx.
Найти все значения параметра а, при которых системы имеют едийг
ственное решение:
у = 2 + а(3-х),
57. Г
[у = ах + 1.
Найти все значения параметра а, при которых системы имеют одно
решение. Указать это решение при каждом а:
58.
59.
х2 -у2 = я(2х-д).
60.
+ 1=0,
Ответы:
8. 1
—j-. 9. {1}. 10. {3}. 11. {-1}. 12. {2}. 13. {1}. 14. {-2}. 15. {-5,5}.
16. {—6;б}. 17. {-7;7}. 18. {-4;4}. 19. {0;3}. 20. {- 2;3}. 21. {-3/4;2}.
22. {—1;4}. 23. {1}. 24. {з}. 25. {4}. 26. {2}. 27J—=
7 ’ 4
28. —29. {2}. 30. {9}. 31. {я2-2я + 2|«>1}. 32. {2}.
12	4
33. {8}. 34. {5}. 35. {0;1/2}. 36. {5}. 37. {б}. 38. {19;84}. 39. {-3;2).
107
40. {0;5},41. {-7;8},42. {-6;7}.43. {5}. 44. {д}. 5. {2}. 46. {д}. 47. {з}.
48. {1}. 49. {1;7}. 50. {-1},51. {-1;1}. 52. {-1/2;1/2}. 53. {2401}. 54. 0.
__	f23 Q
55. а е —;3
I 8
'l + V8a-23 -1 -2а->/8а-23'
2’2
{1 — л/8а — 23 -1-2а + л/8а-23 _ Гл.л
-----------;--------------- . 56. а е [ 0; 16),
(.32-а +8>/16-«; а - 4 - >/16-а), (32 - а-8>/16-а;а - Д + >/16-а) .
57.	-|;0 U-jjj. 58. [-1,0] U {1} • 59. ае[2;+а>),
Г-1 + >/8а-15 2а + 1->/8а-15 1	(71.	.
-----j-----•’-----~2------ • 60. а 6U (1; +оо),
'-1->/8а-7 -1-2а->/8а-7>1
2	. ’	2
Иррациональные неравенства
Группа I
Решить неравенства:
2х’-Зх-2	2.	_4±2£_>0. Зх’ -2х-1	2х2-Зх-2
. >/3-г-2х-х2 Л		у/б + х — хл	, х -1
4.			 <0.	3.		< 0 .	6,	< 0 .
х- 2		х-2	yjl + X-X1
х-1	Л		х2-13x4-40 п	„ х-л/х -2
7.	< 0 ..	8.	; 	 -	< 0 	9. 	~=	> 0.
>/3 + 2х-х2		V7x-x2-6	Х-у/х -6
10. х+2^-3>0.'	11.	х+>/х -12 р	12< >/2х-5^ + 2 <()
X — у X-6		х + у/х-6	X-yJX -6
13 Уз + 2^->>() 2х-5>/х-6	14.	У54-4>/х-х ; Зх - 10>/х 4-3	д/12х-20>/х 4-3 2х - 3>/х - 5
. _ х-бу/х+5 16. 		> х - 25		17. —	8>/^-9 т=	> X - 21 .
108
601
1-х£Л
’ £ + х<Д < =рг~ + 1~Х£Д ‘6t
г-xA	г-хд г-х
 о <---П-------------'LP
хи	Х11 /	Х9
• £-х-
£ + х
--------------- -уг
£l + xg+9-x+ гхД
’ 9- ?' < гх-01Дх
'9l<
• С >	-сь -Х^ - 1Д I к 1+А’г » + х£Д>	_х ЧГ	xZ~zx--L<	I+XQI+ X<^ чг X —>	*ot
t~xl	£ + х	L + Xl
		
I-1 + xfr/i 6£	tx- Zx + xz\^ "	tx-;x + xziyi °*
1-хД 1-^сЛ. — к +—=Г“ 'L£ I- _хЛ 1-xNx	хг+£	> 9- гх-х$д -9£
х+гтдр-х) те
‘l£
'61
’Ll
'41

'E-xfrc гх-х + 9Д£
тг
гх+Н г cx+t
- ' + ->1 
X | I xp
XI \
.X + I ‘6I
'и
г '
Xg
• о < г-х- гх£д^+x) м
• 6-гх<хг-мд(е+х) -и
х~9Д> 1-хД-I-хзД •()£
' L + X£ < 9 + Х£-!.хД+ zx -91
' *~1Д > I-хД 'tl
Х-1Д
'и
I
zx + tK,
' M9<7^| гог
SI 91-xA x A r
91 x /	91-х
1.
Ответы:
4. [-1; 2) U {3}. 5. (-2; 2). 6. (1; 2). 7. (-1; 1) . 8. [5; 6) . 9. [0; 4) U (9; + оо).
10. [0; 1)U(9; +оо). 11. [0; 2)U[9; +оо) . 12. 0; - |U(4; 9) . 13. [4; 9).
10. [0; 1)U(9; +оо). 11. [0; 2)U[9; +оо) . 12. 0; -0|J(4; 9) . 13. [4; 9).
14. (9; 25). 15. °;	у). 16. [O;1)U(1; 25) . 17. [O;1)U(1; 36).
18. (-oo; -9)U(16; +oo). 19. (0; 1)U(1; +°c). 20. (0; 2)U(2; +oo).
21. [0; 2)(J(2; +oo). 22. (-oo; 1). 23. {5}. 24. (-oo; 1). 25. [-2; 2).
26. (-oo; -1)U(4; +oo) . 27. [-2; 2) . 28. (-2; -|jlj(в;	. 29. ^1;	.
30. [1; 5]. 31. [0; 36). 32. [-3; 5]. 33. [-3; 1] U {4} .
34. (-2; -2/3)U(1; + °o) . 35. (-3; -1). 36. [2; 3]. 37. [32; +oo).
38. (-oo;-5)U^-|;-3 U{0;4},39. -|; |JlJ(2;+oo).
40. (0; 3]U[4; 5]. 41. (-1/2;+oo) . 42. (-oo;-3)U(1;+oo).
|;0]Uf0;I '44‘ (“^;3)-45- {2} 46> (-5;-3]U[2;+oo).
43.
47. (2; 8) . 48. -20;
-15 + Vb
. 49. I —; 1 . 50. При а < 0 и а > 4 реше-
ний нет; при а е (0; 2) хе [-а; а]; при а = 2 хе (-2; 2); при а е(2;4)
«1 ГТ !	( 2а —1Л
. 51. При а > 1 хе -оо;-------- ; при
V	2а - 2 J
<-1	хе(0;+оо); при ае(-1; -1/2]
2
2
х 6 R. 52. При
»; + оо); при а е
при а>0 х е (2а+ 1; + оо). 53. При а>0 хе^О:
а < 0 решений нет.
110
Группа II
ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенства:
/х + 5 л
1.	xJ----<0 .
V х + 6
3. (х + 1)7х + 4 7л: 4" 2 <0.
5. ^х2(х-3) < 0.
7х + 5
2. х—г 	< 0 .
7х+6
4. (х + 1)7(х + 4)(х + 7) < 0.
6. |х|7х — 3 < 0 .
Решить системы неравенств:
2	+	1	>
 2 + 74-х2 2-74-х2
7х-274-х2 <0;
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенства:
1. (х + 3)ДН*>0.
v 18-х
3. (2 + х)7(4 - х)(5 - х) > 0.
5. 5/(х-1)',(х + 2)2(х-7) > 0 .
Решить системы неравенств:
7х2 4 3х+2 - 7х2 - х + 1 > 1.
7. 1	_____
7(х-1Хх + 3)71-х2 >0.
7х4-2х2 +1 >1-х,
7х2-25725-х2 >0.
2. (x + 3)^Li>0.
78^7
4. (2 + х)74-х75-х >0.
6. (х + 2)2(х-1)27х-7 >0 .
7х2 - 4х > х - 3,
7-х-б7зб-х2 <0.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенства:
1. 7х + 7 <х.
3. 7х2 +4х + 4 < х + 6 .
5. 72х2 -Зх-5 <х-1.
7 /2х2+7х-4 1
*V Х+4	<2
2. 79х-20 <х.
4. 72х + 4 > х + 3 .
6. 7х2 -2х >4-х.
8. з7х - 7х + 3 > 1.
Ц1
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенства:
1.	(х -3)7х2 + х-2 >0.
3.
5.
7.
78-2х-х2	78-2х-х2
х + 1О
9(4х2 -9)
7зх2 -3
2х + 9
7х + 6 >7х + 1 + 72х-5 .
2.	(х-3)>/х2+4 <х2-9.
4.	у/х + 4 > ^2-л/з + х .
6 —1	-1< —
71 -х2 х 12
8. 715 + х-72-х >1.
< 2х + 3.
ЗАДАНИЕ 5
Решить неравенства:
1. (х - 1)7х2 -х-2 >О .
712-х-х2 < 712-х-х2
2х-7	х-5
2. (х + 1)7х2+1>х2-1.
4. 7^-71-х -72-х >О.
6. 72х-1 > 72х + 15 —4=—
Т2х-1
х-1 + 72х-1
6х
х-2
12
х-2
2^
V х-2
>0.
1.	ЗАДАНИЕ 6 Решить системы неравенств: ^2х-1	’ 4-зх "Л	2.	74х-х* <4-х. 7х + 2 > 78-х2
	740 -Зх		
При всех значениях а решить неравенства:
3. «7х + 1 < 1. ЗАДАНИЕ 7 Решить системы неравенств:		4.	с + 74-х2 < а ..
1.	7(х+2Хх-5) >8-х,	2. •	Т2х5 +5х-6 > 2-х 72х + 1 < 2(У + 21 2-х
	74-7-Х-4 >7-х-3;		

При всех значениях**», решить неравенство:
3. (а + 1)^2-х < 1.
5. x + -Jx7 — х < а.
4. з/1-х2 < х + а.
6. 2-Jx + a > х + 1.
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1. 1. (-«;-6)U(-5;0).2. (~5;0).3. [-4-1].
4. (-oo;-7]U[-4;-l]. 5. {0;3}. 6. {з}. 7. {2}. 8. {- 5;5}.
ЗАДАНИЕ2.1. [-3,6] U (8;-Ко). 2. [-3;б]. 3. [-2; 4] U [5;-ко). 4. [- 2,4].
5. {-2; 1}U[7;-ко). 6. [7;-ко). 7. {1}. 8. {-б}.
ЗАДАНИЕ 3. 1.
1+V29
------;-ко . 2,
2
лл \
—;4 lu(5;+oc) . 3. (-4;-ко). 4. [-7;1).
5. [5/2,3). 6. (8/3;-Ко) . 7. (-<®;-4)U[l/2;8/7). 8.(1;+оо).
ЗАДАНИЕ4.1. (3;+оо). 2. [1/2;1)U(1;-к®) . 3. [-14;2). 4. (-оо;74/13).
5. (-оо;-2]U(2;-ко). 6. (2/3;+ос).7. [-2-2>/б;-1)и[-2 + 2>/б;3].
8.	(4;+оо).
ЗАДАНИЕ5.1. {-l}U[2;+oo) . 2. [-1;-к»),3. {-4}о[2;3]. 4.
ЗАДАНИЕ 6. 1. (2/3;9/7). 2. (2;3]. 3. -1 < х < +<® при я < 0 ; -1 < х < -у
а
л , „	„ a-fy-a7
при <?>0. 4. Решении нет при а<-2; -2<х<----------------- при
-> о -I	а — уЯ — а7	а + у% + а7	_	_ гт
-2<а<2, -2<х<-------------- и ----------<х<2 при 2<а<2^2 ,
-2<х<2 при а > 2-/2 .
ЗАДАНИЕ7. 1. (74/13;б]. 2. (1;2). 3. -оо<х<2 при я<-1;
2-7—[—т-г<х<2 при а > -1.4. Решений ист при <?<-!;
(1+«* J
113
-a + jl-a2	-
----- -----< x < 1 при 1 < a < 1; -1 < x < ——-и
-a + V2-a2	,	, rr . ,	,	/г-
-----------< x < 1 при 1 < a < V2 ; -1 < x < 1 при a > yjl.
a2	1
5. Решений нет при a < 0 ; ——j < x < О при О < a < — -oo < x < О при
1	а2
— < а < 1; -со < х < О и 1 < х <-при а > 1.6. Решений нет при
2	2а-1
а < 0 ; -1 - 2 4а < х < 1 + 14а при 0 < а < 1; - а х < 1 + 2 4а при а > 1.
Группа III
Решить неравенства:		
О1 1 V 00 1 * .со	Vx + 2 <-5.	; 3. V2x + 1>-8.
4. 4х~5 < 3 .	5.	(x-12)Vx-3 <0.	6. (x+10)Vx-4 <0,	
7. 7(х-бХх-12)<х-1.	8. Vx-6>/x-12<x-l.	
9. х4 — х 4 + х < 0 .	10. x	Vl-x2 <0.
И. (х- 1)716-х2 <0.	12.	^(2x-5)2 >5.
13. ^9-24x + 16x2 <8.	14. x	< V2 - x .
15. х + 1 > ->/2 + х .	16. 2х-3<2л/х2-9.	
17. 7х2 <x l-l.	18. x	>724-5x .
19. 7х2 -Зх-18 <4-х.	20. ^/(x + 4)(x + 3)>6-x.	
21. у1х2 - 5х - 24 > х + 2.	22. x + 4<7-x2 -8x-12 .	
23. х-3 <7х2 -4х .	24. x	<Vx2-x-110.
25. х>7х2 -х-12 .	26.	U~4x3+x6 >x-41 .
27. Vx-9Vx+18>0.	28 J	x3 +8 _
		
29. |J-2L<3 .	30. .	^>1
V 2х - 5 31. 4x4 > 44'4.	V 2-x 32. 4^-x <^5 + x .	
114
34. ^(х-ЗХ2-х) < 3 + 2х.
35. (х-2)д/х2 + 1 >х2 +2.
_ л/12 + х-х2 л/12 + х-х2
36.------------>-------------
х-11	2х-9
38. ;3=-Х < 1.
л/15-х
д/б + Х-Х2 > >/б + Х-Х2
2х + 5 х + 4
1 1
л/з-х х-2
.. 1-V1-4X2
41. --------< 3 .
х
40. 2 ^х + 2<0. l-Vx + 2	
42.	Ф^<2х + 3
	Узх2-3
43.
45.
9х2-4
л/5х2 -1
<Зх + 2.
44. 5/4 — V1 —х -д/2-х >О.
5/2-л/з+х -л/х + 4 <0.
46. У1 - Зх - л/5 + х > 1.
47. 7х-6-710-х >1.
48. у/х-2 + -/х-5 < Ух —3
49. У7х-13 -УЗх-19 > У5х-27 .
50. у/5 + х - У—х — 3 < 1 + У(х + 5Х~х-3).
51. Ух+2Ух-1 + Ух-2Ух-1 >у
52. Ух2 +3x4-2 - Ух2 -х+1 < 1.
54. ^9^9/х <х-/х-9/х .
53. Узх2 +5х+7 -Узх2 +5х+2 > 1.
57. д/х+1/х2 +^/х-1/х2 >2/х.
56.
Ух2 - 16
V х-3
+ Ух-3
5
у/х-3
Ответы:
1. 0. 2. (-оо;-127]. 3. [-1/2;+оо). 4. [5;8б). 5. [3;12]. 6. 0.
7. (71/6;6]U[l2;+oo). 8. [12,-Ьоо). 9. (-1;0). 10. (-1;0). 11. [-4;1]U{4}.
12. (0;5). 13.
-5.11
4 ‘ 4
14. (-°о;1). 15.
115
16. (-оо;-3)и(— :+о°	17.	18- [ 3;—
V ' I 4	) I 2	1	< 5
. 17.
. 19. (-oo;-3]U 6;yj.
20. [24/19;+®). 21. (-оо-З]. 22. [-6;-4 + Тг). 23. (-оо;0)U(9/2,+<ю) .
24. (-оо;-Ю]. 25. [4;+оо). 26. (^o;V2)lj(^;+oo). 27. [0;81].
28. (-oo;-2]U(0;+<o). 29. [1;46/19). 30. (3/4;2). 31. [1;+оо). 32. [-1;1].
33. (2;4>/з/з]. 34. [2;3]. 35. 0 . 36. {-3}U[-2;4]. 37. [-2;-l]U{3}.
38. (-Ц5). 39. (-оо;2)и((3+л/5)/3;3). 40. (-1;2].41. [-0,5;0)U(0,0,5].
42. [-1,5;-1]U(1,2]. 43.
-9-J61
’	8
48. [5;+оо). 49. [19/3;9). 50.
45.
3’5
[(16 + ^U. 47.
2
-5; 25/5/5-2 -4
52. (-oo;-2]U -1;
31-1
6
44. —
2
л/7	л/7
6;8- — U 8+—— ;10 .
2	2
ит+

. 46.
7
2
54. 3:——
2
Ую
2
и
2
Иррациональные системы
Решить системы уравнений:
1.
5.
х + у = 13.
10-/xy + Зх - Зу = 58,
х - у = 6.
2.
X -у/у =1.
5х6 + 2у - 8х^/у = 2.
= 2,
4.	у + 2 1
х+у = 12.
I 6х 1х+ у 5
6х ~2’
6.
3. 4
116
х + у + у^х — у —12,
Уу]*2 ~У2 = 12-
10.
у]2х-у + 11 - фх + у-9 = 3,
фх-у+Н + фх+у-9 = 3.
х + у = 5,
х + 1 . х-2
I---+ 2J---
3~У уб-у
= з.
При каких значениях параметра р системы имеют решение:
12.	2у = р(х + 2) + 1, У = >/х.	13.	2рфх-х + 2у= р2, yfx + y = 4-p.
14.	j/-y = p(x+2), ..V = л/х.	15.	у = V1-X, у = 2 + р(3-х).
16.	х= р+фу, у2 -х2 -2х + 4у + 3 = 0.	17. •	(P + 1)>'2 -2ру + р-9 = 0, у - y/i-x + 2.
При каких значениях параметра а система имеет единственное ре-
шение? Указать это решение при каждом значении а :
18.
21.
у = 2 + я(3-х),
у - 4>/1 -х.
19. [v = 277^2,
j у = ах +1.
20.
х = ф’ + п-У
х2 - у1' - а(2х -а].
(я-1).у2-2(3o + l)j + 9« = 0,
у = -у/х-3 + 2.
22.
х - у + 2 = 0,
у = yfax-2.
\у = у/ах-2,
* [x-2j/ + l = 0.
24.
у=721х1-х’
х = а(у-2).
25. ^ = ^-х-2’
[j - х = а.
При каких значениях параметра к системы имеют два различных
решения:
26.
х-к = 2yjy.
у2 -х2 + 2x + 8v + 15 = 0.
27 I v = Vx2-l6,
[5х-3.у + к = 0.
117
28.
х2 -у2 -2х+4у-3 = О,
х + ^у=к.
29.
у = л/1-х.
у = 2 + &(3-х).
30. При каких значениях параметра т система
х - т + 2у[у.
у2 — х2 + 2х + 10у + 24 = 0
имеет:
а)	два различных решения;
б)	единственное решение?
При каких значениях параметра т системы имеют: а) решение;
б) единственное решение:
31.	у = Vx2 -8х, 5х-3у + т = 20.	32.	х + у[у =1, О Г~ 1 =—[т-х) .
33.	у = ^(х-да)2 -9, 4у = 5х.	34.	y = i+4x, y+^-Jx + m^ =5 + т.
35. При каких значениях параметра а кривые у = 1и у = 4>/х имеют
а
только одну общую точку?
Ответы:
1. {(9; 4); (4; 9)}. 2. {(V?; 9)} . 3. {(5; 7)}. 4. {(8; 2); (-2;-8)}.
-23-7зо];
4 I
6.
{(5; 3);(5; 4)} . 8. {(3; 1)}.
(У 17 5	1(5
9. Л—;-Н. 10. {(3; 2)}. 11. При а>0 Л-а2
; при а <0
9
8
1-1
4’ 4
5 .18. При
118
За2+2а-8 + 4\/4-2а-2а2	8-4>/4-2а-2а2
ae[-l;O)U{l} х =----------------------, у =--------------
а	а
при а = О
3	.	Г 1 Л,[11	1-2>/1 + а-2а2
х = —, у = 2 . 19. При ае	х~-----------j------
2-2>/1 + а-2а2
---------------; при а = О
а
х = — , у = 1.20. При «е[2; + оо)
-1 +V8«-15	2а + 1->/8а-15
------------. v =-----------------
„	1	9
21.	При а =-------х = 4—,
н	15	16
V-—; при я = 8 х = 3, у = 2; при а = 1 х = 3—,
4	64
9
У=~', при
4а2 +15а +13 - 2(а + 3) Vl 5а +1	За +1 — у/15а +1
22.	о e (-со;-1]U{1} х = 8а-2 + 4>/4а2 -2а-2 , у = Иа +^4а2 -2а-2 .
23.	а 6 (-со;-2]U{2} х = 2а-\+2у]а2 -а-2 , у= а + у]а2 -а-2 .
.. „ /л от ау/За2 + 24а - 2а2 - 4а ^За2 + 24а - За
24.	При а е (0; 8] х =-------------------, у =---------------; при
( 8 „ 'i а2 -4а + а-\/а2 -8а
ае—;0 х =-----------------------------------, у =
( 3 )	2
а2 -4а + а>]а2 -На „
----------Y---------• 25. При
, у =	. 26. (4; 5]. 27. [-20; -16).
б) (-oo;-4]U{5}U(6;+oo),31.a) (-^о; -16]U[20; + оо);
30. а) (5; 6];
5
б) (-оо;-20) U {-16} U [20; + со). 32. а) —;5 ; б)
4
33. а) -со;
9
.34. а) —;4 ;
4
. 35. а е
119
11. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Основные понятия
Выразить в радианах углы:
1.30°;	45°;	60°;	90°;	120°;	160°.
2.17°;	24°;	315°;	1000°;	15°15'.
3. 17°15';	10°5";	35'20".
Найта угловую величину дуги в градусах, если ее радианная мера равна:
4.35'20",	5.2.	6.125.	7. tg-. 8.-л.	9.—.	10.7л.
4	3	12
11. — .	12. соб0,5л .	13. -0,75л.	14. sin90° + cos0°-ctg—.
2	4
В какой четверти заканчиваются углы:
15. л/3.	16 2	17.125°.	18.216°.	19.7л.	20.0,80.
21л
21. —.	22.100.	23. -0,3.
4
24.	Зубчатое колесо, имеющее 56 зубьев, повернулось на 14 зубцов про-
тив часовой стрелки. Выразить в радианах угол поворота колеса.
25.	Определить радианную меру дуги, длина и радиус которой равны
соответственно 17 и 20 см.
26.	Определить длину дуги окружности радиусом 25 см, если: а) радиан-
ная мера дуги равна 1,25 рад; б) градусная мера дуги равна 144°.
27.	Найта радианную меру угла сектора, длина дуги которого: а) втрое
меньше периметра сектора; б) составляет половину периметра сектора.
28.	Радиус сектора равен 5 см. а его площадь 75 см'. Найти радианную
меру дуги сектора.
29.	Радианная мера дуги равна 2. а площадь сектора равна 256 см2. Най-
ти радиус сектора.
30.	Радиус окружности равен 36 см. Найти периметр и площадь сектора,
дуга которого содержит 7/9 радиана.
Ответы:
24. л/2. 25.0,85. 26. а) 31,25 см; б) 62,83 см. 27. а) 1; 6)2. 28.6,
29. 16 см. 30. 100 см.
Определить знак произведений:
1. sin500cos60°sin]88°cosl890 .	2. sin2100sin4650cos4650cos540°.
3.	sin365°cos725°sina. если cosa>0.
120
Сравнить значения выражений:
4.	sin30°:	cos30°;	cosl80°;	sin90°.
5.	sin(-30°);	cos60°;	cos(-180°);	sin270°;	cosl80°.
6.	sinO°;	cos90°;	cos270°;	sinl80°;	sin270°;	cos!80°.
Упростить выражения:
7.	l-sin1 2x.	8. l-cos2x. 9. sin2 3x+cos2 3x-l.
10. sin2x-l+cos2x + (l-sinx)(l+sinx). Ц. cos x
l-sin2x
12. 2-sin2 6x-cos2 6x.	13. 2sin2x+cos2x-l+(l-sinx)(l + sinx).
Вычислить значение since, если:
	1	1
14.	cosa=—, 0°<a<90°.	15. cosa=—, 90°<a<180°
	2	2
16.	cosa=—, 270°<a<360°.	17. cosa=—, -180°<a<0°.
	2	2
18.	cosa=—, sina<0.	19. cosa = -—, sina>0.
	2	3
Доказать тождества:
20. sin4a+sin2acos2a+cos2a=l
j sin3 a + cos3 a
sin a + cos a + sin a cos a
22. sin4 a + cos4 a-sin6 a-cos6 a = sin2 acos2 a..
Ответы:
6. sin270° = cost80° <sin0° = cos90° = cos270° = sin 180°.
Вычислить значения выражений:
1. 2sin300cos30°tg300ctg30°.	2. tg45°ctg45°-l.
3. sin(-30°)ctg30° + sin60° .	4. tg45°sin60°ctg30°-1.5 .
5.
6.
sin a + sin 2a + sin 3a -sin 4a + sin 5a + sin 6a , при a = 30° .
\2
tgy + tgyl , при a = 90°.
sin2 315°cos3000 + tg(-315°)
sin(-120°)cosl50°
Определить знак произведения:
8. Sinl000cosl00°tg2300ctg320°tg3 .
9. -sin50°tgl700[-cos(-1000)]ctg(-6400)sin530°.
Ответы:
1.	л/з/2. 2.0. 3.0. 4.0. 5.2. 7. 5/3. 8. Положительно. 9. Положительно.
121
Упростить выражения:
„ sin7 а , 2
1. ------г— ctg2 а.
1 — sin а
2.	(sina-cosa)2 +(cosa+sina)2-2.
Вычислить:
3.	cos60° + 2sin30° + ytg2 6O°-ctg45°.
4.	3 cos 180° + 5 ctg 270° - 2 tg 0° + 3 tg 180° - tg 60°.
Вычислить значения остальных тригонометрических функций, если:
5. sin a = 0,6, 0° < a < 90°.	6. sin a = -0,6, 270° < a < 360°.
7. tga = 2, 180°<a< 270°.	8. ctga = -3, 270° < a < 360° .
9. Дано: sina+cosa -к . Найти: a) sinacosa; 6) cos3a + sin3a;
в) sina-cosa. Определить к для каждого случая.
Ответы:
1. 1. 2. 0. 3. 2. 4. -л/3(1 + л/3). 5. cosa = 0,8. tga = 0,75 , ctga = у.
„ .	2	1	ч Аг2-1	£(3-/t2)
7. sina = —, cosa = —, ctga = 0,5.9. a)-----; 6)--------;
5/5	2	2
в) iyjl-k2 .
Вычислить значения синуса. косинуса, тангенса и котангенса угла а, если:
1. а = 750°.	2’. а =810°.	3. а = 1260°.
4. а = 390° .	5. а = 420° .	6. а = 540° .
Какой знак имеет:
7. sinl81°.	8. cos280°.	9. tgl75°.
10. ctg 358°.	11. cos(-116°).
Ответы:
1	5/3
1. sina = —; cosa = —. 2. sina = 1: cosa = 0,3. sina = 0; cosa = -1.
2	2
л .	1	у/з	s . у/з 1 . . n	....
4. sina = —; cosa = — 5. sina = —; cosa = —. 6. sina = 0: cosa'i= -Ч.
2	2	2	2	.
7,9,10,11. Отрицательный. 8. Положительный.
122
Основные тригонометрические формулы
Заменить тригонометрической функцией угла а:
1. sin2 (90° - а) - cos(180° - а) + tg2 (180° - а) - ctg(270° + а).
cos(a-90°) tg(a-180°)cos(180° + a)sin(270° + a)
sin(180°-a)	tg(270° + a)	'
3. sin2 (180° - а) + tg2 (180° + a) tg 2 (270° + а) + sin(90° + a) cos(a - 360°).
Ответы:
1.	2cosa . 2. cos2 а . 3.2.
Вычислить значения выражений:
1.	cos 24° cos 31 ° - sin 24° sin 31 ° - cos 55°.
2.	ч/з cos a - 2 cos(a - 30°) + sin a.
8	4
3.	sin(a + p), если sina= —, cosp = y, аир - углы первой четверти.
8	4
4.	cos(a + р), если sina =—, cosP = —, а и р - углы первой четверти.
Ответы:
1. 0. 2. 0. 3. 77/85 . 4. 36/85 .
Упростить выражения:
1. Пусть sin а = ~~ и — < а < я . Найти: а) sin 2a ; б) cos 2a ; в) ctg 2a .
3	Зтс
2.. Пусть tga--— л л <a < —. Найти: а) sin 2a; 6) cos 2a; в) ctg 2a.
3. Пусть cos a = -0,6 и it < a <	. Найти: a) sin 2a ; 6) cos 2a ; в) tg 2a .
Ответы:
1. а)-120/169; 6) 119/169 ; в) -119/120. 2. а) 0,96; б) 0,28; в) 7/24.
3. а) 0,96; б)-0,28; в) -24/7.
Вычислить, не пользуясь таблицами:
1. cos2 5°+cos2 1°-cos6°cos4° .	cos20°sin50°cos80°.
Преобразовать в сумму выражения:
3.	sinl0°cos8°cos6°	4. cos3.rcos5.rcos7.r.
123
Ответы:
1. 1.2.0,125,3. (sin 24° +sin 12° +sin 8°-sin 4°).
4.	y(cosl5x+cos5x+cos9x+cosx).
Представить в виде произведения:
1.	sin40° + sinl6°. 2. tg2x + tgx.	3	2 г - sin 2 v
4.	sinx+sin2x + sin3x+sin4x.
Ответы;
1.	2sin28°cosl2° . 2.—s'n-^r—. 3. sin(x + y)sin(x-y).
cosxcos2x
4.	4sin2,5xcosxcos0,5x.
Вычислить без помощи таблиц и калькуляторов:
1.	sinl5°. 2. tg22,5°.	3. cos4 —+ cos4 —+ cos4—+cos4—.
8	8	8	8
Преобразовать выражения в произведения:
4.	1 + sina + cosa.	5. 1 + sina-cosa .
Ответы:
1.	0,55/2-5/3 .2. -Л-1.3.1,5. 4. 2 Vicos-cos} 45°--|.
2 V 2)
5.	2>/2sin-cos| 45°-—).
2	<	2)
Вычислить:
1. sin 4a, если tg2a = 3.	2. cos4a , если tg2a = 8.
3. sina, cosa, tga, ctga,ec./ni tgy = 0,5.
.	01	„ .	a
4. cosa + sin a , если tg—= 3 .	5. sina-cosa, если tgy = 3.
6. Что больше: tg2a или 2tga, где 0°<a<90°, a *45°? При каких
значениях a имеет место равенство tg2a - 2 tga ?
Ответы;
1. 0,6. 2. -63/65. 3. 4/5; 3/5; 4/3; 3/4. 4. -0,2. 5.1,4,
6. tg 2a. > 2tga , если 0° <a <45° ; tg2a < 2tga. если 45° <a <90°.
124
Тригонометрические функции и их свойства
Построить графики функций:
1. y = sin2x.	2. y = -sin2x.	З.у = 1-O,5sin2x
4. у -1 - 2 sin lx.	5. у = 1 + 0,5 sin(2x+60°).
6. у = 1 - 0,5 cos(90° - (2х - 60°)).
7.у = tgxctgx .
8.у =|cosx|/cosx.	9.y-tgxcosx.	10. у = |sin х|.
_ 2tg(x/2)
l + tg2(x/2)	12. у = 2sinx|cosx|.	13.y = sinx +
14.,y = (sinx-cosx)2.
Ответы:
1 и 2. Рис. 1. 3 и 4. Рис. 2. 7. Рис. 3. 8. Рис. 4.
Рис. 3	Рис. 4
9. График данной функции - синусоида с исключенными точками
71
х = —+лА', /ceZ.ll. y = sinx х л + 2л/:. 12. Рис. 5. 13. Рис. 6.
2
14. После упрощения у = 1 - sin 2х .
125
Построить графики функций:
1. у = cos 2х.
3. у = 1 - 0,5cos(-2x).
5. у = 1+0,5 cos (-2x4-60°).
7. у =ctgx|sinx|.
9. у = cos2 х.
ll.y = cosx+sinx.
2. у = -cos2x.
4. у = l-2cos2x.
6. у = 1 -0,5cos(2x +60°) .
8. у = 4(cos2 х+sin2 х).
10. у = sin2 х.
7. Рис. 7.
8. После понижения
степеней и упрощения
у = 3 +cos4x .
Свойства обратных тригонометрических функций
Вычислить:
1. arcsinO.	2. arccosO.	3. arcsinl.	4. arccosl.
5. arcsin(-l).	6. arccos(-l).	7. arcsin—.	8. arccos—. 2	2
>/з	7з 9. arcsin—.	10. arccos—. 2	2 Доказать равенства:	11. arcsin 5/2/2 j +arccos (-->/2/2^
л	. / . ТС^	Л 12. arcsin sin— = — . 1 4 J	4 14. sin(arcsinx)= x.	,s ,	. ( я'1 Я 13.	arcsin cos— - — . V	4) 4 15. cos(arccosx) = x.
Найти область определения функций:			
16. у = arcsin х.	17. у = arcsin(x -1).	18.	у = arccos(2x -1
19. у = arcsin	. 2		™ 2 20. у = arcsin	. х-1	21.	( * у = arccos	 ух-1,
22. у = arcsin(x2 - 2х).	23. у = arccos(x -1).		
Вычислить:			
24. cos[ arcsinf- -- П. 1 3J	25. cos	arcsin -	12> .	. 4^| — + arcsin — . 13 J	5 1
126
26. sin) 2arcsin—j.
I 1
27. arcsii
28. arcco
29. arcsi:
Ответы:
1.0. 2. - . 3.	4.0, 5. --
2	2	2
16. [-1; 1]. 17. [0;2]. 18. [0;l]. 19. [-1;3]. 20. (-<
21. (- oo; 0,5]. 22. [1 - VI; 1 + Vi] • 23. [O; 2]. 24.
27. -21.28.^.29.^.
7	5	18
Вычислить:
VI"I	. ( vn / /т\
+arcsin —— + arctg)-V3).
1.
arcco s
2.
V3
tg arccos------+arcsm -
1	2
3.
4.
5.
7.
9.
6. tc.7. - . 8. - . 9. - . 10. - 11. -
6	3	3	6	2
•oo; - 1]U[3; co) .
63	8^3
. л/j» ~		""r,_
65	49
f ( 1 к	1
tg arctg —= + arctg 1 + arccos 0 + arctg-7= .
I I	V3J
tg arcsin-—+ arccos(v 0,5)+arctg 1 .
к 2
'	Г VI')	4
tg arcsin-----+arccos(-0,5)+arcctgl .
ч	\ 2 J
sin(arcctg(- 2)).
Г 1
tg arctgarctg VI .
к	V3	J
6. sin(2 arctg з).
8. tg(arctg 1 + arctg(-1)).
10. tg(arctg0 + arctg(- Vi)).
11. tg arctgO + arctg —.
к	I V3))
12. tgf 2arctgl-t 2 arctg
1ЯГ7?
13.
I
14. tg arctg— .
\	8 7
15. tg(arctglO).	16
20., cos(arctg x)..
18. ctgl arctg
19. tg( arctg | + arctg -4.
21.
23.
Сравнить числа:
1 1
arctg у и arctg—.

. I 1 11 I ♦ 2
arctgl — I и arctgу.
22. arctgi — — I и arct
24. arctg(- 3) и arctg(- 2).
Ответы:
1. -. 2. -L 3- -1 • 4/1. 5. -2-Тз. 6. -.7. 4- • 8-0.9. —L
6 V3	5	V5	V3
г-	1	1	3	3	7
10. -V3. 11. —7=. 12. -f=. 13.0. 14. -. 15. 10. 16. —. 17. —
V3	8	5	8
4	6	1
18. -. 19. —. 20. -=4=.
5	7	JwV
Тригонометрические уравнения и неравенства
Тригонометрические уравнения
Решить уравнения:
2. 2cos2 —4-sinx-0.
1. cos2 x + sin4 5 x = 1.
3. cos 9x4-cos 6x4-cos Зх = 0 .
5. cosxcos2x = sinxsin4x.
7. cosx4-sin4x = cos7x.
9. sin2x->/3 cosx = 0.
11. cosx+sin 9x4
2
4. sin.3x4-sin7x = 5/3cos2x.
6. sinx4-->/3(cosx4-l) = 0.
8. cos2 х4-л/з sinxeosx = 0 .
10. cos3x-cosx = V3 cos x —
128
12. sin6x-cos
4x+— 'j = Vi sinf 5x - —)
2 J ' I 2)
. x . ~
13. sin—= sin2x + 2sinx.
2
15. sinI 2 x-3cos2 x = 4sinx.
17. (sinx + cosx)2 =cos2x.
19. cos3 xsinx-sin3 xcosx = -.
8
21. (2cosx-l)cosx = 2cos2x-l
14. cos2 x + 3sin2 x + 5cosx - 0 .
16. cos9x + sin2 2x = cos2 2x-cosx .
18. V3cosx = 3cos2 x+— +cos2 x.
I 2/
20. (l-2sinx)sinx = 2cos2x-l.
22. sin5x-cos3x = 0.
. 4 x 4 x 1
23. sin — cos — = —.
2	2 2
25.	2cosx + sinx = l + sin2x.
24. l + cosx + 2cos—= 0.
2
26.	л/з sin 2x + cos 2x +1 = 0.
27.	V2 sin—+ 1 = cosx .
2
, 1
29. cos 3x—cos6x = sinx.
2
28. cos2x = 1 + sinx .
£	7
30. cosx = —cos6x + sin 3x .
2
31. sin2x + sinx = cosx+—.
2
„„	. 4 X 4 X 3	, X
33. sin —+ cos — = 1—cos —
2	2	2	2
35. sin4 3x 4 cos4 3x - 1 +sm2 3x .
32. sinx-cosx=-----.
sinx
34. sin4 — + cos4 — = 1 - 2 sin2 — .
3	3	3
.	( Я	,( Я
36.	э cos x-+2 = 2 cos x —
l л)	I 4
37.	COS--X +Sin X4— -1.
13 ) I 6 J
38.	4sin3 x + 4sin2 x - 3 sin x - 3 = 0 .
. x	( x ]	. ( x'i (n x) 1
39.	sin—cosacos a4— +sinasin осн— cos---------= —
2 I 2) I 2J U 2) 2
( Л	|	1
40.	sin2xsin5xsin7x + cos2xcos —5x cos7x = —
12	)	2
| Л ]	1
41.	sinxcos2xcos3x-cos x4— sin2xsin3x = —
I 2 J	4
I л	i	>/3
42. cos2 2xsin4x-sin —2x sin2xcos4x = —:-
l 2	J	4
129
. х . л . х л л/2
43. sinxcos—sin—cosxsin—cos—=—.
2	4	2	4	4
44. 1-cosx4-cos2x-cos3x = 0.
45. sin —x 4-cos x+—
I	x	X i
46. l + sin3x= cos—+ sin— .
I	2	2J
48. l-cos6x = tg3x.
50. tgx = 1-sinx + cosx.
52. 2sinx-tgx = 0.
54. 3ctgx-3tgx + 4sin2x = 0.
56. cos5x+sin3x-sin2x = 0.
58. 2 sin3 x = cosx .
X
60. ctg—-cosx = 1.
62. ctg2x-tg2x = 8ctg2x.
64. tg2 x- ctg2 x =	.
sin 2x
66. 8(sin2x-l) = 3(tgx 4-ctgx)..
68. sin4 x-i- cos4 x = — .
2
47. tgx-V3ctgx + l = >/3.
49. ctgr = 1 + sinx-cosx.
51. 2cosx-ctgx = 0 .
53. 3 + 2sin2x = tgx + ctgx.
л/з
55. —+ 2sin2x = tgx + ctgx .
57. cos x+cos 2x+cos 3x = 0 .
59. (1 + cos 4x) sin 2x = cos2 2x .
61. ctg2 x - tg2 x = ———.
cos2x
63. ctg2x-tg2x = 16cos2xctg22x.
65. ctg2 x - tg2 x = 8 ctg2 2x.
67.	tg4 x-f-tg2 x 4-ctg4 x —ctg2 x —	.
69.	sin2 2x - 3 cos4 x = —.
4
70.	sin2 x-3cos2 x + >/зsin2x-7cos2x = 5 .
71.	sin2 x4-sin2 2x4-sin2 3x4-sin2 4x = 2.
72.	cos X 4-cos 2x4-cos 3x4-COS 4x4-cos 5x = 0 .
73.	sin4 2x + cos4 2x = sin 2x-cos2x . 74. (cosx4-sinx)2 = l-sin4x.
75.	-Тб sin x 4- >/3sin2x = 0 .	76. 2cosx4->/6sinx = 0.
77.	Vsinx +V12cosx = 0.	78. >/2sinx4-^cos(x-n) =0;
79.	V2cos x —— 4-J3sin x4-— = 0.
2M I 2)
130
= 0.
2) N I 2
83.
82. V2sinx+>/l-cosx =0.
+ sin x = 0.
84. (2cos2 x-cosx-lj-^ctgx =0.
86. V4sinx + cos2x + 5 = 2>/2 cos x.
88.
85. V4 + 3cosx-cos2x = >/бsinx.
87. V4cos2x-2sin 2x - 2 cos x = 0.
V3 + 2sinx-2cosx = 41 (sinx + cosx).
89.
90.
91.
• 4	4	3
sm x + cos x----Fsinx-cosx = 0 .
8
3
sin4 x + cos4 x+—+ sin x +cosx = 0 .
2
I 9	~	17 9
L •	9	„	17 9 , .	1	2
12sinx—cos2x+—=—i-4sinx+—cos x.
'	~	2
2	2	8
• I I  II
92. sin x sin x-cos x cosx = —.
11	11	2
94. |3 + 4cosx-12sinx| = 4cosx-3 .
96. 2 cos2 x +1 = 5 sin |x|.
Я	Л	Л
98. cos— ~	•—x	+	—+ x	.
x	2	2
100. >/3cos2x + 7sin|x| = 3\/3 .
97. 2cos2 х + Зл/з sin|x| = 5 .
99. 4 cos2 j + 4sin^>/x j - 1.
Найти корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку
(101-116):
101.	2cosx+sinx + sin2x + l = 0; [л; 2л].
102.	cosx + cos9x + cos5x = 0;
0;-
2
103.	2cosx + 2sin x + sin 2x + 2 = 0; [л; 2л].
104.	tg x + ctg x = 2г/2; [-л; 0].
105.	>/3sin2x + cos2x+l = 0;
it
—; n
2
131
106.
sinx+cosx = cos2x;
3л
—; 2 л .
2
107. Vi +1 <cos
108.
109.
110.
cos3x-cosx = V3 cos x —
к 2.
sin 4x - cos 2x = 0; [0; л].
.	•	• ( 23лк
sin2x-tg3x = 2smx-sml x+-y-I;
--;0 .
2
л л
"PT.
111. Vl-cosx = sinx; [л; Зя].
112. sin3x + cos7x = cosx;
л
—: л
2'
113. ctg2 x - tg2 x = 8 ctg 2x;
л
—; -л .
2
114.	2cos2x-l =(2cos2x + l)tgx; [0; л].
3л
115.	3 + 2sin2x = tgx + ctgx; -3л;—— .
116.	8cos4 x = 2 + 3cos2x; [0;л].
Вычислить значения выражений:
• (  ИтсЛ
117. arcsin sin--- .
к 7 )
119. arctg^tg-^J .
.... ...  f..	16л''j
i i • alCSilll Sill 
I 7 J
iw I 22я|
118. arccos cos----- .
I 5 J
arcctg I ctg-y I.
( 19лк
arccos cos..... .
I 5 )
120.
123.
125.
127.
129.
fl • 1 ]
cos — arcsin- .
k2 3)
t Гт
ctgI 2arccos- I.
fl	( 1 Y
cos —arccos —
<2	I 4JJ
. ( .3	3k
sin arcsin—+ arctg— .
к 4	4J
124.
fl	f 2
tg -arccos —
U	I 3
126. tg(2arcctg(-2)).
(	. (3
128. sin 2arcsm -
I 15
132
130.	Найти наименьшее значение функции и точки, в которых оно дости-
гается:
а) у = 3 + 2>/3cosx + cos2x;	б) у = 2-cosx-sin2 х.
Указать все значения параметра, при которых выполняется заданное
условие:
131.	Уравнение sin2 x + 2asinx-a2 + 4а + 6 = 0 имеет решение.
132.	Уравнение sin2 х-(а2 + 2a)sinx+a3 + a2 = 0 имеет решение.
133.	Уравнение sin2 x + asinx-a2 +1 =0 имеет решение.
134.	Уравнения sin2x + a = sinх +2acosx и
2cos2x + a2 = 5acosx-2 равносильны.
135.	Уравнения sin2x = l и acosx = sin2x равносильны.
136.	Уравнение имеет единственное решение.
а) х2 +	+36 = 0; б) х2 +	+—-— + 2-72=0.
Vsina cosa	Vsina cosa
Найти все значения параметра, при которых уравнения имеют один
корень (на указанном множестве или, если оно не указано, то на всем
множестве Ж):
137.	(x-l)arcsin(x-a) = 0.	138. (х2 -4x)arcsin(x-a) = 0 .
139.	(a2 - 5a + 6)sinx = a - 3 на [0; 2л;Г HO. --—— = 0 .
v	sin x
141. cosx = x2 + a .	- 142. cosx4 cosax = 2 .
Сколько корней имеют ?равнения на указанном промежутке в зави-
симости от параметра a:
143. cos2x + cosx = a на [0; 2тг].
145. tg3 x-3tgx = a на
144. 2cos2 x-cosx = a на [0; л].
146. sin2 x - sin x = a на [0; 2k] .
cosx-1
147.--------= a
cos x +1
; 0 .
2
на
148.	При каких значениях a уравнение sin2 x-2(a-l)sinx + a + 1 = 0
имеет на отрезке [0; 2тг] ровно четыре различных решения?
133
При каких значениях а уравнение (I) следует из уравйейИЯ(И):
149.	sin2 х = 1 (I); asinx = 1 (II).
150.	sin3x + cos5x-cos3x = a (I); sin х = asinx2 (II).
151.	(sin x-a2 + a)(cos2 x-2a) = 0 (I);
sin2 x-(2a + l)sinx + a2 + a = 0 (II).
Ответы:
. . _ л . ли , 2л 2пк , л ли
12 6’9	3 ' " 4 ' 2~ ’
л ли л пк ,	„	2л „ , _ ли
— + —; — + —. 6. л + 2ли ;--------н 2лАг .7. — ;
6 3 4 2	3	4
(во всех ответах коэффициенты к, и, m, / е Z кроме оговоренных).
.ли л	л ли 2л 2пк , л ли
2	2	‘ ~
(-1? 2L + 2^,5.
v 7 15 5
z ,4t+i -и	itk	„ л	л	, „ л	/,\*л	, „„
(-1)-------ь— .8. —или ;----------\-Tik. 9. —+ ли; (-1) —нпк . 10. ли:
v 7 18	3	2	6	2	V 7 3
л	лА:	_ л	лк	,	,чП+1 л
6	2	10 5	V	7 4
k t । л	л	лА:
I —+ лА:.16. — +—
6	8	4
, ,чл+1 л пк „, л ли
(-1) — + —.11. —+—;
v 7 6 2	10	5
13. 2пк ; ±—+ 4ли . 14. +— + 2пк . 15. (-1Y
3	3	7
±—+ ^^-. 17. лА’; - —+ ли . 18. ±— +2ли . 19. (-1)” —+ —
15	5	4	6	' 7 24 4
20.	+2лА'; (-1)"~ + ли. 21. 2ли,22.	+	—+лА’.
2	7 7 6	16 4	4
23. ±—+ 2ли . 24. л+2лА ; 2л + 4ли . 25. —+ 2л& ; ±— +2ли .
3	2	3
26. — + -лк ; - —+ ли. 27. 2лк ; (-1)"’1—+ 2ли . 28. пк; (-1)"*1 — + ли.
2	6	v 7 2	V 7 6
29. (-1)” — + ли. 30. +—+ 2ли.31. (-1)*—+ л&; ±—+2ли,32. —+ лА: ;
v 7 6	3	v 7 6	3	2
+ ли, 33. л + 2лАг; ±—+ 2ли. 34. Зли. 35. —. 36. ^-^- + 2лА::
4	3	3	12
+ 2ли. 37. 2лАг; —+ 2ли . 38. ±— + пк 	+ 2ли. 39. —+ 2ли
12	3	3	2	2
134
71	71/7	z -.и 71	Tt/7	71 71/7	,	Л _
40. — + —.41.	(-1)	— + — .42.	(-1)	— + —.43.	(-1) — + 2ли.
20 5 v 7 12 2 v ' 7 12 4 v ’ 3
, л ,	2ли	, л	~	, л пп	JW	л
44. —+ л& ;-----. 45.	2пк	;-н2ли.	46. л&; —+—.	47.	— + пк ;
2	3	3	4	2	3
л	пк л ли л „ , л	, л
	I- ли. 48. —;-н— .49. — + 2л& ; —н ли. 50. л + 2пк; —н лЛ<
4------------------3	12 3	2	4	4
71	.	/	Л	__	,	Л	-z%	/ 1\п И Т№
51. — + пк	; (-1)	—+ли. 52.	пк;	±—+ 2ли	.	53.	(-1) —+—.
2	v 7	6	3	' 7 12 2
г. , л „	, ,чп п пп	л пк п пп п пк
3	v 7 6 2	63	42	42
3	4	' 7 12 2 4 2	2
л	ли	, ,чЛ л	пп	п	пк	„„ л пк	п пп
12	2	v 7 12	2	4	2	42	62
л ли . л пк п	л ли л .
64.------1---. 65. —I--; ±—I-ли. 66. (—1)-------1--. 67. ±—t-nk
12 2	4 2	6	v 7 12 2	3
,	>/157-6	„ л пп л пп , 1	( 6^1
+arccos---------или . 68. — + —. 69. —+—; ±—arcccs — + лк .
11	4	2	4	2	2	< 1)
„п п	5>/з	, п	пп	л	пк	п
70. —+ ли; -arcte------нпк . 71.---н —; — + —; —или?.
3	3	10	5	4	2	2
_«	I'-l + Vs'l „	| — 1 —л/5 ] _ л пк
72. larccos -------- 12ли ; ±arccos-------+2ли;: —н--------.
I 4 J I 4 J 6 3
л пп пп п ,	, 5л „ 5л „
73. —ч---. 74. —; — + пк . 75. пк;-----1- 2ли . 76.--1-2пп .
8 2	3	2	4	6
77. —+ 2ли.78.	+ 2ли,79. --+2ли,80. --+2ли,81. —+2ли.
3	4	3	6	3
82. 2пк ; -— + 2пп . 83.	+ 2пк ;	+ 2пп. 84.	+ 2ли ; — + пк .
3	2	6	3	2
85. п + 2пп: arccos — + 2пк . 86.---н2ли; arcsin- + 2пк . 87. 2ли;
4	2	3

+ 2пк . 88.	+ 2ли; —+2пк . 89.- — + 2ли ;	+ 2л& Г-90. —+&л$-?
4	6	3	12	.12	4 г‘
91. (-1)" — +ли. 92. — + ли; — + пк и, к е NU{0} . 93. ^—1)* — -nk f
6	1212	•	3
к 6 N ; (-1)”+1 j + лп, п 6 N. 94. ^ + 2л£ ; arctg-| +2 ли.
Г'1 —+ ли, neN.96. (-1)* —+л£ ; (—1)” ’ — -ли,
3	6	6
Arsw6NU{0}.97. (-1)*у+л£; (-1)”+'у-ли; к, п е NlJ{0} . 98. Нет
решений. 99. ~^-+2ли; -^- + 2пк . 100. (-1)” 'arcsin-y--ли ;
(-1)* агс5Ш^у-+л& , к, п е NU{0}. 101.
[л Зл л л л!	[ 3л1
(10 10 2 6 3]	[ 2 J
ZS 2л1. 107. (о;	. 108. <
[24 J (	2]
[л Зл л . 5л| f 5л л
’12’72] 	' ( 77’ Г2‘4]'
Г13л 2л 17л 1	f Ил 7л Зл]
( 24 3 24 ' J	( 2
( 23л	35л	19л	31л]
(12	12	12	12 ]
Зл 4л 1
T’Tj 
Г 5л 7л
' I 7’ Т
106.
109.
115.
II.
2	4 J [4 12 1:
[л Зл л 2л 1	Зл
[4 4 3 3 J	7
0;- —
6
118. —. 119. —. 120. —. 121. — .122. - .123.
5	7	5	7	5
7	4	V6	24
125. —126. —. 127. — .128. —. 129.
24	3	4	25
5л _	3	л _
при х = ±-к 2 ли; б) v  = — при х = ±—+ 2ли .
6	'4	3
+ V /	1
-----130. а) v . =1
20---2
136
131. ае[1-2л/2;-1]иГ1 + 2л/2;7],132. ае
2
'5
2	2
133. -2;--у= U -^;2 . 134. а = 2.135. «б(-оо;-2]U[2;+оо).
, „ 5л „ тс , 13л „ Зл , л „ ,
136. а)---1- 2лп; —ь 2тск ;--н 2лш; б) — + 2ли; — + 2тск .
6	18	18	4	12
137. (-oo;0)U{l)U(2;+oo).138. (-оо;-1)U{O}U(1; 3)U{4)U(5; +оо).
139. {1} . 140. {1}и{л£}. 141. (1). 142. а е В\ Q. 143. При
а 6
ния, при а = 0 - три решения, при а е (О j - четыре решения.
144. При а е
) - решений нет, при а е
одно решение, при а е |	; 1 -два решения. 145. При
а е (-оо; - 2) (J (2; + оо) - одно решение, при а е {-2; 2) - два решения,
при
а е (-2; 2) - три решения. 146. При а е
>) - реше-

нет, при </ - ? - отчо решение, при а е
при
а е (	0 четыре решения. 147. При а е (-oo;-l)U(0: +оо) -
решений нет; при а е [-1; 0] - одно решение. 148. Таких значений не
существует. 149. [-1; 1]. 150. а = 0, указание: заметьте, что х = 0 -
корень уравнения (II). 151. а е (-оо; -2)U{0; л/2-1}U(1; + оо).
137
Системы тригонометрических уравнений
Решить системы уравнений:
sin (х - у) = 2 sin х sin у,
2.
- 2	-2	1
sm x+sin y =—,
2
4л
x-y =—.
3
sin(x+y) = O,
sin(x-y) = 0.
jsinx+cosy = 1,
|cos2x-cos2y = l.
tgx+—^—= 2^/34,
COS J,
—tgx = V34-5.
COS^
]6cosx + 4cosy = 5,
|3sinx+2siny = 0.
9. • (cosx-l)(cosy + l)
sinxcosx = 0.
J t g лх +1 g лу --1 - tg лх tg яу,
[sin x cos у = sin у cos x.
cos (2x + 3y) + sin (x - y) = 2,
cos(x + y) + sin(x+3y) = -2.
J arcsin x+arccos у = л,
|x+y = l.
cosxcosy = —.
„ I71
cos2x = tg — + y
\4
n (n
cos2y = tgl —+ x
(sin 3x -- sin у + 2 sin x =0,
(y2 -6xv + 5x2 = 0.
12.
sinx + 2siny
3
2'
sin2 x + cos2y = 1.
f arcsin x + arcsin у = л,
14.	,	,
[x2-y2=o.
16.
. 3л
arcsin x + arctg у -—,
4
л
arccos x + arctg v = —.
4
1
sinxsinj/ = —,
3
17.	Найти все значения x, удовлетворяющие одновременно условиям:
cos!3x = cosx, cos2x + sin5x = 1, |х| < 3 .
138
Найти общие корни уравнений:
„	„ . 14л 1 л	. лх 14л	. 14л 1 „
18.	cosnx + 2sm--= 0, sin-------cos----sm--+—= 0.
x 2	2 x x 2
19.	sin—-cos—-2cos5kx = 0 , >/з sinl0nx-3cosl0nx-sin— = 0 .
xx	x
Найти все значения параметра, при которых выполняется заданное
условие (№№ 20-23):
„„ т.	.	,	\ 2	\ cosa-sina
20.	Квадратичная функция (cosa)-x +(2sina) x +--------является
квадратом линейной функции.
21.	Квадратный трехчлен (cosa)x2 +(2sin5 a-sin2acosa)x + —-—
'	’ sin2x
имеет два одинаковых по модулю корня различных знаков.
22.	Многочлен у (х) является квадратом квадратного трехчлена относи-
тельно х:
а)	у (х) = х4 + 2“’“х2 + (sma + tgа)х + 2“’“ -1;
6)	y(x) = x4 + 2<gax2 + (sina+cos2a)x + 2’g“"2.
23. Система -
24. Решить систему
имеет единственное решение.
(a2 -ajsiny+2cos.y = a + 5,
. . x
3sm— + cos у = 4.
Ответы:
(во всех ответах коэффициенты к, m, п е Z).
139
6.	К ±—+п(к+п)-, ±—+я(Л-и) И . 7. Л +arccos—+2л£; + arccos-+2ли k
[I 6	6 JJ (\	4	8	)\
указание: выразив 4 cos у =5-6 cos x, 4 sin у = -6 sin x, почленно возводим
o [/ ,	4 ( Я , Я "1
эти уравнения в квадрат и складываем. 8.	ли); I+як;	+яи I;
fn , л 'll „	И л ,	л , Wn	5л Н
—+ лЛ; —+ ли >. 9. х = Зл; у л + 2л& .10. < —к: — к ; — п: —п >.
12	2 JJ	к2	2 J < 2	2 J)
ч 11 1	к	л	1	к	Лц	I [ . 1 ч л л	. /	.я тс
11. < —+—+—и; —+---------п >. 12. s (-1) — + тск' (-1) — + тсп И.
|\8	2	2	8	2	2	К 6 v	7 6	JJ
13. Решений нет. 14. {(1; 1)}. 15. {(1; 0)} . 16. {(1; 1)}. 17. jo; -yj .
1С f 7 11	. ях
18. -ч —; - ); указание: выразим из второго уравнения sm— . Заменим в
, „ . 2 ях	. тех
первом уравнении costly = l-2sm — и подставим вместо sin— най-
денное значение. После преобразований получим
L	. 14л	V	14л	Л	..	|/	2	1	Н1
2sin----1 cos-------1 = 0. 19. < —------ — >; указание: на осно-
\ х	А	х	) |д	3	15	3 J J
„	, j.	( . Зл ЗлУ
вании первого уравнения найдем 4cosx элх= sin----cos— , откуда
V X	X )
 6п	. 6л
sin—--/.cos7f.x-j. Заменим во втором уравнении sin—. Получим
х	х
I	Л |	1 I л	1 I
уравнение cos^lOnx + yj = — .20.	+ 2л/<; arctg—+ 2яи f.
I1 л/5-2 л _ , л 1	>/5-2	.
21. arccos-----------i-2nk:----arccos------1-л(2k +1)>.
[2	2	2'2 2	2 v 7
22. a) {2ick} -,0) {ic + 2itk} .23. ae(-^; 1)U jy; ^jlJ[2;+oo) .
24. При a e {-1; 3} x = л + 4л£ ; у = 2тсп , при а {-1; 3} 0 .
140
Тригонометрические неравенства.
Системы неравенств
Решить неравенства:
i Si-X-l <()
2sinx-l
3. 6sin2 x-7sinx + 2 > 0.
5. sin2 x-2sin2x + 3cos2 x^O.
7. sinx-sin2x <0 .
9. sin3xcosx < sin4.r.
11. sinx-cosx>>/2 .
13. arcsin x < —.
6
15.log 2 cosx<—.
2
„ 5sinx
2.---------< 2.
2sinx + l
4. 2 cos2 x + cos x -1 < 0.
, l-4sin2x
6. -----------< 2 .
cos2x+cosx
8. sinx+sin5x > 2sin3x.
10. cosx+sinx^cos2x.
12. sinx + 4sin2x + 5sin4x <10.
14. sinxarcsinx> 0.
.. 3arccosx-2it
16.------------s U.
2arcsinx-7t
Найти все решения неравенств на отрезке:
х
17. sin----->0 на
х-1
1- i
2’ 5
19.
sin Зх
Зх- я
>0 на [-я: тг].
18. tg(x2-4x)<0 на [0;3].
2cosx + '/3 г 
21.-----——— > 0 на I -тс; тт. .
tgx-2
Решить системы:
|2cos 2x-4cosx = l,
[sinx > 0.
sin2 x + sin2 2x = sin2 3x,
-1
cosx <---
2
f (1 + tg2 x)sinx-tg2 x + l = 0.
24. •!v '
tgx<0.
23.
x-4sin2—.
2'
141
26.
27.
28.
29.
30.
1.
3.
4.
6.
7.
9.
и
( 3	Л j	(9	Л)	_ . f 3	Л) ':. ( 5л	3]
cos — Х+— +COS — х+— = 2.sin — X— sin-----------X L
<2	з;	<2	6J <2 U	2 /
. 3
sin—x < 0.
< 2
При каких значениях а неравенство sin2x-2asinx + 4a-3>0
ыполняется при всех значениях х 1
[ри каких значениях а неравенство sin2x-2(a-2)sinx + a<0
е имеет решений на отрезке [0: л] ?
1ри каких значениях а неравенство cos2 х-2(а-3)cosх + 2а+9 0
ыполняется на отрезке [0; л/3] ?
Существуют ли такие значения параметров а и b , что при всех зна-
ениях х выполняются следующие неравенства:
) asinx+icosx> 1;	б) acosx-Z?cos2x>l;
в) asin2 x + 6cos2 х > 1 ?
Ответы:
(все коэффициенты к, т, п е Z ).
+ 2л&; —+ 2л& |U| —+ 2л/г; —+ 2лЛ 2.	+ 2лЛ: — +2л£
2 М2 6	) I 6	6
• 2 „ ,	. 2 „ ,
ш—+ 2лл; л-arcsm—+ 2ллг
3	3
,. 5л ~ , 13л	,
U-----ь2л£;------ь2л£
6	6
+ 2л&; л + 2пк U л + 2л&;-----ь Ink . 5.
7С
arctg3 + 7t(/t -1); — + пк .
— + 2пк',—+2пк |U
3	3 J
2тг	। (	4 тс
----\-2nk’n + 2Tik U л + 2л&;-------ь2л£ .
3	) I 3
+ 2л&; л + 2л& (J л + 2л&;---ь2л& . 8.
л 2пк 2п(к +1)
3	3
л + 2л£;—^- + 2л& U -— + 2пк:- — + 2пк
6	2	6
U 2пк; — + 2пк U
6
+ 2пк;— +2пк .10.	+ 2лЛ; - — + 2пк U 2л^; — + 2пк
6	2	4	4
142
11. — + 2лВ. 12. R. 13.
I 4 J
-l;|j,14. [—1; 0)U(0; 1].
-7t + arctg2;
21.


22. < — + 2лМ. 23. <)л + 2л^; л± — + 2m>. 24.	+ 2nk
1 3 J I	6 J [ 6
25. <---1- 4nk'----1- 4m:----1- 4лm
115	3	15
[3л 4-nk л л	7 л 4лт1 „ r ч	4
26. -1--;--ь4ли;---1--к 27. aell; +oo). 28. ae(O; 5) .
[434	8	3 J 1	7 v 7
29. ae
-12-; +oc
4
. 30. а) Нет; б) нет; в) да: {(а; />)|а > 1; b > 1} .
143
12. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ
Классификация функций
1.	Построить, если это возможно, композиции fog и gof. (Укажите,
где это необходимо, область определения.)
а) Лх)=~у; б) Лх)=^; ^(х)=х2+3-
2.	Представить данную функцию как композицию нескольких функций:
6)У=
+ , А .
1+	.1—
и J1+-A-
I V cosx
3.	Какие из данных функций обратимы? Найти для них обратные, изобра-
зить в одной системе координат графики прямой и обратной функций.
а) р=х2+6х;
, 1
в) у=-;
б) у=х2+6х, х>-3;
г) j/=sinx;
„	. Гл Зл
д) y=sinx, хе —;—
2 2
е) y=f\-3x ;
ч х2+5
ж) v=—г;
' 2-хч * 6
О т в е т ы:
1. a) f	: g^/(x)-x-2: х*2 . б) .Ax(x)-Vr!+3 ;
g°/(x)=x+3, х>0. 2. а) /(х)-2х-1; #(x)=sinx; Л(х)=х’-4; />(х)=х7.
jk=p(*(^(Z(x)))). б)	; g(x)=cosx. >=/(/(/(«(«)))) 
,---	1	ь
3. б) y=Vx+9-3 ; в) у=—; д) у/=л-агс51пх; е) у/=-(1-х ), х>0. (а, г, ж, з
х	3V ’
- не являются обратимыми, а, г, з - построить график или привести при-
мер /(х,)=/(х2), X) ^х2; ж - четная функция).
144
Общие свойства функций
Найти для данных функций промежутки монотонности, исследовать
их на четность, нечетность, периодичность, ограниченность:
1. y=xi+x. 2. у=5-4х-х2. 3. у=соз(тгх)+3. 4. у=—- .
х+1
у*2 4-3	1
5. у=|х-2|-|х+2|. 6. у={2х+3}.	7. у=-т—.	8. у=-^-——.
9.	Определить характер монотонности следующей сложной функции:
а)	возрастающая от возрастающей от убывающей;
б)	возрастающая от убывающей от убывающей от возрастающей от
убывающей от убывающей;
10.	Верно ли, что если внутренняя функция четная, то вся композиция чет-
ная? Верно ли такое же утверждение для нечетной внутренней функции?
11.	Доказать, что функция у=х2 не является периодической.
Найти основной период функций:
I f А /-
/=;ltg----1 -V3 .	13. y=sin2xcos2x.
X X
14. y=siriy-2cos3—+tgx.
15. у={3х-я} .
Ответы:
1. Возрастает на R ; нечетная, непериодическая; не ограничена. 2. Воз-
растает на (-да; -2], убывает на [-2, +да); общего вида; непериодическая;
ограничена сверху (у<9). 3. Возрастает на [1+2/г; 2+2/г], убывает на
[2Z?;l+2ft],feeZ ; четная; Т~2 ; ограничена (уе[2;4]). 4. Возрастает на
(-да;-1) и на (-1;+да); общего вида; непериодическая; нс ограничена.
5. Постоянна на (-да;-2] (у=4) и на [2; +да) (у=-4), убывает на [-2; 2];
нечетная; непериодическая; ограничена (|у|<4). 6. Возрастает на
keZ ; общего вида; Т=1/2 ; ограничена (уе[0; 1)) . 7. Возрастает на (-да; 0],
убывает на [0;+да) ; четная; непериодическая; ограничена (уе(1;3/2]).
8. Возрастает на (~да;3) и на (3;4]. убывает на [4; 5) и на (5;+да); обще-
го вида; непериодическая; не ограничена. 9. а) убывающая; б) возрас-
тающая. 10. Да; не всегда. 12. 8л/3. 13. п/2. 14. 12 л. 15. 1/3.
k fe+B
i ’ 2 J ’
145
Метод математической индукции (от частного к общему)
Доказать, что:
1.	Сумма кубов п первых натуральных чисел равна —-—
4
=
т-1
4
п
2.	VneN 2-2 + 3-5 + ... + (л + 1)(Зл-1) = —
2
»	/7(2/7 +
У(/гг + 1)(3/л-1) =--------------
т^-Л
3.	V/7 e
4.	УнеЛг 1 + 6 + 20 + ... + (2л-1)-2”’' = 3 + 2" (2п-3).
| Z(2w-1)-2'”’1 = 3 + 2"-(2/7-3) |
\m-l	/
,	1	7	2/72 -1
5. V/7 е N--------1------1-...+
1-3 3-5
2/№ -1
_______________ л2
(2/7-1)(2/7+1) 2/7 + 1
я2
у
(2/7/ l)(2m +1)	2;? + 1 ,
, w ,.1 7	6/7-5	3/7 + 2	(Лб/я-5 „ 3/7 + 2
6.	V/7 е/V- + — + ... +-=2--------.	> -------= 2-------
3 9	3"	3" VS 3м 3й
7.	V«e?/ 9-3 + 17-27 +... + (8п + 1)-32" 1 =и-32"+‘.
fy(8/w + l)-32m~1 =/7-32и+1>|
8.	V«eW 1 -1 !+2 • 2!+3 • 3!+...-P-и-и! = (« +1)!—1. I = (и + 1)!-1
10. XfneN (72”-1):24.
12. VneA' (б”+20/7+ 24): 25 .
11. V/?eA’ (7" + 3/?-l):9
146
13. V/ze/V (75я-3"+2/?):4.	14.	X/n e N,	/7:2 (4”-3”-7):84.
15. Vn<=N, (7”‘2 +82яИ):19 .	16.	X/n e V,	(10яИ -10(/7 + 1)+л):81
17. V/7 6/V (62”+3”J2+3”);il.	18.	V/7 e /V,	(32п-1):2"‘2.
19. VneN, п>3 2я >2/7 + 7.	20.	V/7 e N,	n>3 3” ' >2n2-n.
21.	3"-2h2 >n .	22.	'Vn e У,	4” >/72+3”.
23. V»6N\{1} -^= + -|= + ...+-^=: Vl v2	> >/й		
.	— n(n-l)
24.	VneN,n>3 3””1 > 22	-n\.
Доказать формулу n-го члена, если последовательность задана ре-
куррентно:
25.	а, = 6 ; аи+1 = 2ап -Зп + 2; доказать: ап = 2" + Зп +1.
26.	А, = 3 ; йи+1 = 1Ьп +3 ; доказать: Ьп = 0,5(7” -1).
27.	ct = 29 ; с2 = 85 ; сп_2 = 5сп1] -6сп; доказать: сп = 2" + З”'2.
28.	d1 = 5; d2 = 7 ; с/„.(1 - 2dn + dn.i = 0; доказать: dn - 2п + 3 .
29.	Последовательность (и„) задана рекуррентно: и, =6; и2 =15;
«„-2 =5и„ь]-4и„; доказать, что: а) все члены последовательности
кратны 3; б) все члены последовательности с четными номерами
кратны 15.
30.	Известно, что х+— - целое число. Доказать, что при любом нату-
д
„ 1
ральном п число х +— -тоже целое.
31.	Банк имеет неограниченное количество трех- и пятирублевых купюр.
Доказать, что он может выдать без сдачи любое количество рублей,
начиная с восьми.
32.	Доказать, что при любом n&N число 24” 1 -1 оканчивается цифрой 7.
33.	Доказать, что п различных прямых, лежащих в одной плоскости и
имеющих общую точку, делят плоскость на 2п частей.
34.	Доказать, что ^ + -/^+^4 +...J4 < 3.
147
13. ПРОГРЕССИИ
1.	Сумма второго, четвертого и шестого членов арифметической про-
грессии равна 18, а их произведение равно -168. Найти первый член
и разность прогрессии.
2.	При каком значении разности арифметической прогрессии, седьмой
член которой равен 3, произведение четвертого и девятого членов бу-
дет наибольшим?
3.	13-й член арифметической прогрессии равен 5. Найти сумму первых
25 ее членов.
4.	Найти арифметическую прогрессию, в которой среднее арифметиче-
ское п первых членов равно 2п .
5.	Сумма первых 17 членов арифметической прогрессии равна 85, а сум-
ма первых ее 21 члена равна 189. Сколько положительных трехзнач-
ных чисел содержится в этой прогрессии?
6.	В арифметической прогрессии, разность которой отлична от 0, сумма
первых Зн членов равна сумме следующих п членов. Найти отно-
шение суммы первых 2п членов к сумме следующих 2п членов.
7.	Седьмой член геометрической прогрессии равен 2. Найти произведе-
ние первых 13 ее членов.
8.	Сумма третьего и пятого членов геометрической прогрессии равна 10.
а сумма сс второго и четвертого членов равна 10/3. Найти четвертый
член прогрессии.
9.	Найти сумму членов геометрической прогрессии с 15 по 21 включи-
тельно. если сумма первых семи членов профессии равна 14. а сумма
первых четырнадцати сс членов равна 18.
10.	В геометрической прогрессии первый член равен >/з , а пятый равен
V243 . Найти шестой член прогрессии.
11.	В геометрической профессии с четным числом членов сумма всех ее
членов в 3 раза больше суммы членов с нечетными номерами. Найти
знаменатель профессии.
12.	Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще одно число
так, что все 3 числа образуют возрастающую арифметическую про-
грессию. Если средний член этой профессии уменьшить на 6. то по-
лучится геометрическая прогрессия. Найти неизвестное число.
13.	Сумма первых I3 членов арифметической профессии равна 130. Из-
вестно, что четвертый, десятый и седьмой члены этой профессии.
148
взятые в указанном порядке, представляют собой три последователь^
ных члена геометрической прогрессии. Найти первый член арифме-
тической прогрессии.
14.	Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если из-
вестно, что сумма ее пяти первых членов с четными номерами равна
15, а сумма первых трех членов равна -3 .
15.	Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 5, но не деля-
щихся на 7.
16.	Доказать, что для любой арифметической прогрессии (а„) значение
данного выражения постоянно (если оно определено):
17.	В арифметической прогрессии, содержащей 9 членов, первый член
равен 1, а сумма всех членов равна 369. Геометрическая прогрессия
также имеет 9 членов, причем первый и последний ее члены совпа-
дают с соответствующими членами данной арифметической прогрес-
сии. Найти пятый член геометрической прогрессии.
18.	В арифметической прогрессии первый член равен 100; первый отри-
цательный член прогрессии имеет номер 22. Какие целые значения
может принимать разность прогрессии?
19.	Пять различных чисел составляют арифметическую прогрессию. Ес-
ли удализь сс второй и третий члены, то три оставшихся числа соста-
вят геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
20.	Есть четыре числа. Первые три (по порядку) составляют геометриче-
скую прогрессию, последние три (по порядку) - арифметическую
прогрессию. Сумма крайних чисел равна 14, сумма средних равна 12.
Найти эти 4 числа.
21.	Найти 1523-й член геометрической прогрессии, 1511-й член которой
равен -3, а 1571-й член равен -96.
22.	Сумма всех членов арифметической прогрессии с номерами от 1995
до 2009 включительно равна 30. Найти сумму членов этой прогрессии
с номерами 1987, 2000 и 2019.
23.	Сумма 182-го и 190-го членов геометрической прогрессии равна -6,
а сумма 194-го и 178-го членов равна -11,5 . Найти 186-й член этой
прогрессии и произведение 179-го и 193-го ее членов.
149
24.	Сложив члены арифметической прогрессии с 23-го по 27-й включи-
тельно, наблюдательный отличник заметил, что полученное число
совпадает со стоимостью трех порций мороженого, а если к 43-му
члену этой прогрессии добавить все члены с 34-го по 37-й. то полу-
чится число, соответствующее стоимости 7 порций такого морожено-
го. А на сколько порций хватит суммы всех членов с 29-го по 33-й
включительно?
25.	В лаборатории стояла 10-литровая бутыль со спиртом (для протирки
пробирок). 1 августа в лабораторию случайно заглянул дворник дядя
Петя и догадался, что находится в бутыли. Он взял стакан (емкостью
0,25 л), отлил стакан содержимого бутыли, а затем долил в бутыль
столько же воды из-под крана. Такую процедуру дядя Петя проводил
и 30 следующих дней, пока занятий не было. Во сколько раз измени-
лась концентрация спирта к началу учебного года?
26.	Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 7, а сумма квад-
ратов всех ее членов равна 14. Найти два первых члена прогрессии.
27.	Первый член бесконечной геометрической прогрессии на 8 больше
второго, а сумма ее членов равна 18. Найти третий член прогрессии.
28.	Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, про которую
известно, что ее второй член равен 4, а отношение суммы квадратов
ее членов к сумме членов равно 16/3 .
29.	Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадра-
тов ее членов равна 40,5. Найти сумму' кубов членов этой прогрессии.
30.	В квадрат со стороной 1 вписав круг, в пего вписан квадрат, в этот
квадрат опять круг и т.д. (до бесконечности). Найти сумму перимет-
ров всех квадратов и сумму площадей всех кругов.
31.	13 острый yi0j> величины л. вписана бесконечная последовательность
окружностей, касающихся друг друга внешним образом. Радиус наи-
большей из них равен R. Найти сумму длин всех окружностей.
32.	37-й, 4.3-й и 41-й члены арифметической прогрессии являются тремя
последовательными членами геометрической прогрессии. Найти от-
ношение 18-го члена геометрической прогрессии к сумме всех после-
дующих ее членов.
33.	В прямой круговой конус помещена бесконечная последовательность
шаров так, что первый шар касается основания конуса и всех его об-
разующих. а каждый последующий шар касается предыдущего шара
(внешним образом) и всех образующих конуса. Найти угол наклона
образующей конуса к плоскости его основания, если известно, что
объем конуса в 91/18 раз больше суммы объемов всех шаров.
150
Ответы:
1. ах - ~6, d = 4 или ах - 18, d = -4 . 2. d -	. 3. S25 - 125 4. ах = 2,
<7 = 4. 5. 450. 6. -. 7. FL, =8192. 8. />.=3. 9. 5.,,.=-.
IJ	*т	1
10.	Ь6 = ±27 . 11. q = 2 . 12. 27. 13. а, = 10 или щ = 70. 14. а, = -2, <7 = 1.
15.	5 = 84445. 17. Ь, = 9. 18. <7 =-5. 19. ое	--;-4;	3
5	4 13	4	3	4
20.	(2; 4; 8; 12) или Гу; уу; ]. 21. Z>1523 = -6.22. 5 = 6.23. Т>186 =	;
81
. .А	24 5 25
179 И93
16
28.	5 = 16. 29.	5,3=224—. 30.	5. =4(2 + V2);	5S =-<
Й	13	гкв \	/	2
. . а
sin sin—
2
3tSt
32. -4.33. arctg— (или 2arctg-).
151
14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Найти область определения функций:
У =
v =
5.
У =
Ю. у =
Исследовать на четность и нечетность функции:
2
14. у~
Найти интервалы, на которых функции принимают положительные
значения:
О
16. у -
17. у~
4
Нагни интервалы, на которых функции принимают отрицательные
значения:
18.
20.
Найти нули функций:
2 х .
22.
Найти промежутки монотонности функций:
2	ал	Н" 1	j
' = X - X .	23. у =----.	24. у =
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных
интервалах:
__	Т .	_	/	\	;
v -
15х .

26ty = —---------- а) на [- l;^op); б) на [2;л ML
x -6x + 6
Построить графики:
27. у = -x2 + 3x-2.
28.
30.
31.
34.
46.
49.
56.
58
54.
59. [y-l| + |x + 2| = 4.
61.
+ 2 — v
«г
63. 2 (x + у )
1 + x
65. у = 2sin2x + l.
153
66. у
й	1
6^ уь sin x
68. у = 3 - sin
sin х i------
69. у --------Vx + 1.
sinx
sinx
tg —+ X -sin(7C + x)
72. у -|tg2xctg2x
Ctg(?t ~ x)
74. у = x + cosx .
75. у = sin— .
79.
81.
83.
85.
91.
93.
96.
77.
78. y =
ctg2x*(l + tg2x)
у = tg(arctg(2x)).
y~ arccos x-1 —
sin(nx)
= arctg(2*-1).
0
(x2 -6 x + y1	<:0
100. log4 J,(Av) > 0.
98.
102. -
<0.
80. y = max
82.
84.
86.
«-
92.
94.
97.
99.
101.
ctgr = ctgy.
у = arctg (tg(2x)) .
sinx
87. v = arctg-----
sinx
90. у
v =
95. у = min
154
103. Графически решить уравнение icsin |х|	= 4л-4|х|.
Ч 4)
Решить при всех значениях параметра а\
_	-.2
104.
-------------------= 0.
(а - х - 2)(а - х -6)
105.
(х2 -2х + а2 -4а-11)(я- 2)
х-1
£0.
106. (ах ~ 4)(х + а)(а - х ) > 0 .
107. log^2(x2-2х + а)> 2 .
108.
х(х + 1-я)(я-2 + х + 1) > 0
109. Найти все значения а, при которых неравенство
х а
---4-<б’ выпол-
х-2а
нястся для всех х е [2; 4].
Ответы:
1. (-3;3). 2. х*2.3. (-oo;-2a/2)u(2a/2;+oo)U{1} .
4. (-oo;-3)U(-3;0)U(0;3)U(3;4<o) . 5. {1} . 6. (-оо;0). 7. 0.8. 0 .
9. (- l;l)U(2;10). 10. (-oo;--0,4]U{0}U[6;+oc). И. Общего вида.
12. Четная. 13. Нечетная. 14. Общего вида. 15. Нечетная.
16.
(-6;l)U(4;w). 17.
. 18. (-оо;-3) U (1,5). 19. (6J0].
20.
{±1;±5}. 21.
{-1;0}. 22.
- промежуток убывания;
- промежуток возрастания. 23. (-оо;1); (1;-нх>) - интервалы убывания.
24. [- 1;+оо) - промежуток возрастания. 25. Наименьшее значение функ-
ции равно 1, а наибольшего нет. 26. а) ни наименьшего, ни наиболь
его
и
значения функции нет. б) наибольшее значение равно -1/3 , наименьшее
значение равно -1/2. 27 - 109. См. рис.
155
156
157
41. |j| = |-Xх +4x-l|
Й8

55. у = |2 - х| + |х| - |х - 5|
60. |2х+1|-|у-1|-2х+);’
161
65. y = 2sin2x + l
162
f 71 I • z
tgl —+ X l’sm(ji + x)
y = >/l + ctg2x
ctg(n-x)
1. Полностью изобразить среднюю часть
графика невозможно; при х —> 0 коле-
бания учащаются.
2. График нечетной функции симметри-
чен относи 1сльпо начала координат.
163
__ i . Л ( n'j	__ sink!
77. y+3 =sin x +—	78. y = -—LI
V 3 J	|tgx|
Знак определяем с помощью графика
у = sin |х|.
79.
I л 1
! + tg| у-2х!
164
81. у = \/coss х-1 • (х3 - 2тос2)
82. ctgx = ctgy ;
84. у = arctg(tg(2x))
83. у = tg(arctg(2x))
165
991
91. y = logw
3 -------- - ''-1'
iog,(|x|^i)
92. |.v| = 2 v  log, y/x: + y: -6.V + 9
167
95. у = min
{lg|x|;2’H}
lg~-^ = -lg(10-x2).
10 -x
Попробуйте построить эскиз графика 2-м
способом. Сравните.
97- (Н-М-4)(М+МХ2) so
У
98. (х2-б|х|+/+8)х>'<0’
168
99. ly-x2 -4х-4 < 3
100. log^/xy) > 0
101. (х2 + 2х + у1 )(ху -1) < О
103. Графически решите уравне-
ние: irsin
= 4л-4|х|
Замечание.
Проверкой убеждаемся, что
, Зя
х = ±—— решение.
Других решений нет, так как Р > а
( ( касательная в точке 9л/4 ).
Ответ:
Зя
Т
169
104. Решите уравнение
а-х2
-------------------- 0 при всех
(а-х-2)(а-х-6)
значениях параметра а
Ответ:
при « е (-«>;()) U {4} решений нет;
при а = 1 х = 1;
при а = 9 х = -3 ;
при а = 0 х = 0;
при ае (0;l)U(l;4)U(4;9)U(9;+oo)
х = ±<Ja .
105. Решите неравенство
(х2-2х + а2 -4д-11)(а-2) <
х-1
при всех значениях параметра а
Ответ:
при а е (-оо; -2] х е (1; -Юс);
при а 6 (-2; 2)
х е ^1 - л/12 — +4«;ljlJ
1 l->/12 -a" + 4«;+ooj ;
при а = 2 хе К/{1);
при де (2;6)
х е ^-оо; 1 - >/l2-a2 +4а J U
и(1;1+л/12-а2 + 4д] ;
при а е [6; +оо) х е (-оо; 1) .
170
106. Решите при всех значениях
параметра а:
(ах - 4)(х + а)(а - |х|) > 0
Ответ:
при а <0 хе
U[-a;°o);
при« = О хе[0;+оо);
приае(0;2) xg{-o}U
4
а;-
а
при а = 2 хе {±2};
при а > 2
хе{-а}U
4
—;а
а
107.	Решите при всех значениях
параметра а:
log^2 (хг - 1х + а) > 2
Ответ:
при а е (-да;-8]U {-2} 0,;
при а е (-8;-3)
при a е[-3;-2)
при а е (-2; оо)
171
108.	Решите при всех значениях
параметра а:
х(х + 1-а)(а-2+|х + 1|) > О
х2 +1 = |а|.
Ответ:
при а е (-оо; -1) х = -yj-a -1;
при a g [—1;1]U{2} 0 ;
при a g (1;2) х = >/а-1;
при а е (2;+оо) х = -yja-i.
109.	Найдите все а, при которых
а
х —
неравенство---— < 0 выполняется
х~2а
для всех х е [2; 4]
Ответ: а е (2; 8).
172
15. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Понятие предела и непрерывности. Свойства
Группа I
1. Имеет ли предел в точке х = 1 функция у = [х] ? А функция у = {х} ?
2. Определить по графикам, имеет ли функция в точке а: (конечный)
предел слева; (конечный) предел справа; (конечный) предел.
. .	[ 1, если хе2;
3. Имеет ли предел функция Дирихле (О(х) = <	)
[О, если xeR\Q
а) в точке 1; б) в точке >/з ?
Ответы:
1. Нет; нет. 2. Да, да, нет. Да, да, да. Да, да, да, Нет, нет, нет. 3. а) Нет.
б) Нет.
Группа II
Решить неравенства методом интервалов:
(>/х + 3-2)(з + 2х-х2)	- х2+3х-13
(х2 -5х + 6)|х + 4|	“ °'	(х + 3)(х - 2)
, Vl2-.r-x2	V12-X-X2 3. —		<			. 2х-7	х-5 _ 3>/-2х-2+х-3 л V4x + 40-|х + 7| (х + 4)| 3^ +0,31 7. (е)		2<о. х-3 9. (2sinx-3)tgx >0. и. j.sinI~A>0. 1 i-2cosx	s/x + 5 -|x + 3l 4.	LI >0. х - 3 + 4ч/-х с (2--4)(х’-4»+3);: 4 + Зх-х2 log2 х (х + 0,5) „ 8. (а)	,—-~^<0 х(1-х) 10. (3 sin х - 2) tgx > 0. 12. Vft2 -х2 -cosx >0 .
173
13 2sin2x < 1	Mi sin Зх -tg2x(l + sinx) < 0 .
l + cos2x cosx
( A	t  < x
15.	(e)(tgr + l) l + 3?~21 >0.	tg-sm(%Z)
л/2я2 -Tit-t"
17.	Доказать, что на отрезке [0;1] уравнение -Зх3-2х2+2 = 0 имеет
корень. Найти его с точностью до 0,1.
18.	Имеет ли уравнение х3 - Зх -1 = 0 положительный корень? Почему?
Ответы:
3 '	’2
1. [-l;l]U(2;3)U(3;oo). 2. (-3; 2). 3. {-4}U[2;3], 4. [-4;-l)U(-l;0].
5. [-10;-9)U(-9;--3).6. (-l;l]U{3}U(4;oo). 7. [-4;-1)U(~1;3).
8. (-O,5;O)U{O,5}U(1;2)U(2;3). 9. ^ + яп;яп , neZ. . .
10.	|+ 2яп:2яи U arcsin—+ 2ял;— + 2ял |U
< 2 J L 3	2 J
Г 2	1
U -arcsin-j + 7i(l + 2fl);7i(l + 2n) , neZ.
л ~ 2я Y ,Г.Зя , 4я .	„
—+ 2я«:— + 2лл U — + 2ял;— +2яя , neZ .
4	3	1	-	1
_ Г, ill 7С 7t
12. {+я}и
Зя „ 4я
4	’ 3	/	'
+ 2я/?: —+ 2я/? U| —+ 2я«: —+ 2я/7 , «eZ.
2	'6	' ~
14. I -71 + 2тт,-~— + 2тт jU| -—+ 2яи;----+ 2пп |U
4	) I 3	2	)
11
п ~ 5я
2
, ,( Я л Я ~ I. if тс _ Я „	,
U — + 2яи; — +2яи U —+ 2я/?;—+2яи U
I 3	4	) <4	3	)
Ul — + 2яп:— + 2яи |и| —+ 2яи;я + 2яи |. п& Z.
U 3	) V 4	)'
15.	f-—;()lufo;—+ли;—+яи\ ;?eZ\{0k
v 4 ) V 2j V 4	2	)	* ’
16.	(-6;-5)U(-5;-4)U(-%;-3)U(-2;-1)U(1;2)U(3;tc). 17. х®0,7.
18.	Да. По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.
Например: f (0) < 0 ; f (2) > 0, где f (х) = х’ - Зх -1.
174
Группа III
Вычислить пределы:
1. lim
2.
x4-3x+2
4. lim—-----
x 5 -4x+3
5.
2x + 5
lim-----5=
Л‘+“Х + л/х
x'°-l
, (х + 2)3-8
3. lim-----------
x->0 Y
e	x 00-2x + l
6. hm—-------
x50-2x + 1
7. lim
x2 -4
8.
x2 -5x + 6 -x].
9. lim^x^Vx2 +1 -x
10.
V9 + 2x-5
lim--=----
Vx - 2
11. lim-7=--->==
Vl + X-vl-X
,, Г 4, 2+3
13. lim-------.
^»i 1 + 4х -3х
x2 -2x-x
14.
lim
4х +3
4 +3
15. lim———
~-«l+4x-3;
16. Определить по графику промежутки непрерывности функции и ха-
рактер точек разрыва.
Исследовать функции на непрерывность. Определить характер то-
чек разрыва:
	5 —. если х<-1; X	-3, если х > 2;
17.'/(х) =	6|х|, если -1 <х< 1;	18.д(х) = 6. если х>1.	2 - х2. если -1 < х < 2 2х + 1 	. если х<-1. х
175 ;
19. g(x) =
л/х4 + 5
x2 + 4x
21. (e) p(x) = lg(l + x).
23. (в) /(x) = Ig(tgr).
2О.,Ы = “Щ.
4 sin4x
22. (в) q(x) =-----
V 7 lg(l + x)
24. (в) C(x) = —Lr.
Можно ли доопределить функции в точке а до непрерывности:
3-4/х	\	л
25./(х) = ——=, а = 81.	26. р(х) = xtgr, а =—.
9-л/х	2
27. g(x) = xctgr. а=0.	28. ot(x)=C°S^X \ а = 0.
arcsin х
При каких значениях параметров функции являются непрерывными:
[х + 1, если х < 1;
29. у =
12-ах , если х> 1.
|х2 -5х + 6|, если х > 2;
ах-b, если х < 2.
30. у =
-3sinx, если х<—;
,	71 7С
asinx + o, если —< х<—; 32. у.^
2	2 г '
л
cosx, если х>—.
sin (х-2)
--iесли х>2;
х-2
ах - 5, если х < 2.
33. у =
Jalg(x I 3) -1, если х--
\bcosx— b. если х<2.
34. у
:..если х>0;
х
х-b, если х<0.
~	(2х-1)(3-х)(ох + 2)
35.	При каких a lim---------------- = 5 ?
5х3-8х2+4
ах2 ~(а2 +2}х + 2а
36.	При каких a lim—-—-------г---------г > 0?
ах + (а - 2 - а2) х - (а2 - 2а)
37.	Имеет ли предел на +°о следующая функция: f (х) =	S"~- ?
2х +х-1
Если да, то какой?
38.	Приведите пример функции, имеющей бесконечное число точек разрыва.
176
Ответы:
i	5	49 I	5
1. -.2.2.3.12.4. 1.5. -.6. —.7.------= .8. — (х-»-кю), +oc(x->-oo
3	6	24	8л/з	2	V ’ V
9. — (x —> -Too) , -oo
(x -> -co) . 13.
17	3	1
x-»-oo). 10. —. 11.-. 12.- (x-»+oo), -oo
7	5	2	2 v 7
14. —. 15. 3. 16. Промежутки непрерывности:
(-co;/>); (/>;c); (c;d); {d\e)\ (<?;/); (/;oo). Точки разрыва: b, c -2-tq
рода; d, f - 1-города; e - точка устранимого разрыва. 17. f непрерыв-
на на (-oo;-l)U(-l;«>); -1 - точка разрыва 1-го рода. 18. q непрерывна
на (-ос; 2) (J (2; оо); 2 - точка разрыва 1-го рода. 19. g непрерывна на
(-oo;-4)U(-4;0)U(0;oo); -4; 0 - точки разрыва 2-го рода. 20. t непре-
рывна на Я \ 1—\keZ>; к *4р-, к, ре Z - точки разрыва 2-го
[4 J 4
рода; up, peZ - точки устранимого разрыва. 21. р непрерывна на
(-1;оо); -1 - точка разрыва 2-го рода. 22. q непрерывна на
(-1;0)и(0;оо); -1; 0 - точки разрыва 2-го рода. 23. / непрерывна на
(	. 71 т I » г-г 7Т/7	ri	_	д
I + La: ez ; —- точки разрыва 2-го рода. 24. с непре-
рывна на /? \ {0} ; 0 - точка разрыва 7.-го рода. 25. f можно доопределить
точке 81 до непрерывности, числом 1/6. 26. р нельзя доопределить в
точке л/2 до непрерывности (разрыв 2-го рода). 27. g можно доопреде-
лить в точке 0 до непрерывности, числом 1. 28. т можно доопределить в
3
точке 0 до непрерывности, числом -8. 29. а = 0.30. b - 2а . 31. а = —,
3	1
/>=—. 32. а = 3. 33. Ь = -1пЗ. 34. о = 0, Ь=--- (функцию нельзя
2	l-cos2
доопределить до непрерывности при а * 0 . так как при любых таких о и
любых Ъ есть точки разрыва х = -3 +— + пп, и е N). 35. о = -12,5 .
36. а е R . 37. Нет. 38. Например, /(х) = tgx. f (х) = [х] (целая часть х j.
177
16.	АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Группа 1
1.	Может ли график функции пересекать свою асихгптоп • а) вертикальную;
б) горизонтальную: в) наклонную'’
2.	Может ли график функции иметь:
а)	2 вертикальные и .3 горизонтальные асимптоты1 * *’
б)	3 вертикальные и 2 горизонтальные асимптоты'.’
в)	1 наклонную и 5 вертикальных асимптот.’
г)	2 горизонтальные и 1 наклонную асимптоту9
д)	ровно .315 асимптот?
е)	бесконечно много асимптот?
3.	Верно ли. что рациональная функция имеет наклонную асимптоту то-
гда и только тогда, когда степень числителя на 1 больше степени зна-
менателя?
4.	Верно ли. что рациональная функция не может иметь более одной на-
клонной (горизонтальной) асимптоты'.’
5.	Приведите пример формулы, задающей функцию, график которой
имеет две различные горизонтальные или наклонные асимптоты.
6.	Приведите пример формулы, задающей функцию, график которой
имеет любую одностороннюю асимптоту.
7.	Приведите пример фу нкции. у которой есть асимптота: а) х = 6 ;
б) у = -3 ; в) у = 8 - х.
8. Приведите пример функции, полный набор прямолинейных асимптот
которой состоит из прямых:
а) х = 1, х = 2, х = 3, у = 5 ; б) х = 0, у = 2х - 7 ;
в) у - 10, у = -10, х = 4 ; г) у = 1+х, у = 1-х.
Ответы:
1. Нет; да; да. 2. а) Нет; б) да; в) да; г) нет; д) да; е) да. 3. Да. 4. Да.
5х уз-
s. Например, у =--, или у =	—у.... 6. Например, у = е*, или
,	_ „	.	1	-Зх + 1
у = log, х,... 7. Например: а) у =-.... о) у =-,...
х-6	х+9
в) у = 8-х + —,...8, Например: а) у = --—-——— ,...
х’	(х-1)(х-2)(х-3)
1	10|х —4|	. .
б) v = 2х-7+—.... в) v-—'----,... г) у = 1 + х ....
х '	х-4
178
Группа 11
Найти полный набор асимптот графика фу нкций:
1- . х - .кг - 4	-	, ,	X’	,	. 6х-1 2- g -'•)=	—.	3. </(х) =	х. Vx-+1	-v+2
э/ _ V’ -L ? 4. w(x) =	.	,	• х -Зх	_ ,, v	1	,	, х 1-C0S4.V , ?. к ( х) =	j- .	6. 5 (х) =	;	+-1 . x-sin-	л X
7- ('0 1пх	< 1 > 8. (<?) у(х) = 1п< е+— 1.
Найти область определения, промежутки знакопостоянства и пол-
ный набор асимптот, построить эскиз графика функции:
1	X*
10. g (х) = arctg—— .	11. b (х) = -т-----.
2
15. к (х) = x-arctgx .
18. (в) l’(v) = In3 х2.
20. (в) с(х) = 2“s" Х|
22. (в) и(х) = х“ ех.
( \ 2х + Зх
13. и(х) = —-------
v ’ х +Зх + 2
16. у (х) = arccos—.
19. (в) и’(х) = log, (х
21. (в) m(x) = ln|x--
х~ -16
17. (в) q(x) = —^~
1-е
2х).
Ответы:
2. у = х; у = -х. 3. х = -2; у = -х + 6 . 4. х = 0;
2х + 6.5. х = —, к е Z\{0}; у =1.6. у = 1.7. х = 1.8. х = О
пк
- правосторонняя вертикальная асимптота;
вертикальная асимптота; у - 1.
1. х = -1; х = 4; у = 0 .
х = - \/е - левосторонняя
9.
Асимптотьй х = -к у = х.
у-х
х = 3 ; у

10.
180
15. к (х) > 0 при х Ф 0; асимптоты:
лх ,
правосторонняя наклонная у = —- -1;
лх ,
левосторонняя наклонная у = —— -1.
16. у(х)е[0;л];
л	К
Асимптоты: у = —.
‘	2
181
19.
Асимптоты: х = —•Jl ;
х= 41 - правосторонние
вертикальные:
х = 0 - левосторонняя вертикальная.
пределов нет); у = 2 - горизонтальная асимптота.
Полностью изобразить график невозможно, так как кривая асциллирует,
т.е. график «гуляет в коридоре между у = 0,5 и у = 2 », все чаще меняя
направление при приближении к 0.
21. Ди=[1;со);	2
«<0прих>1; ?и(1) = 0.	0
Асимптот нет.
182
17. ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Понятие о производной,ее вычисление
Производные некоторых простейших функций.
/(.г) = x' /(X) = /(x) = ex f(x) = \og„x	/’(x)-a-x“ /'(x) = ax In<7; /'(*) = e'; /'(*) = —J—; x-lnn
/(x) = Inx	/'(*) = -; X
/(x) = sinx f(x) = COS X /(x) = tgx	/'(x) = cosx; ,/”(x) = - sinx; / (x) -	2 ; COS X
/(x) = etgx	./'(*) = -—!y-; sin X
/(x) = arcsin x	
/(x) = arccos x.	
/(x) = aretgx	l + xz
/(x) = arcctgx	l + x
Правила вычисления производных с использованием табличных
значений заключаются в следующем. Пусть с - постоянная; и = и(х);
v = v(x) и «„=«„(х) - дифференцируемые на некотором интервале
(а; Л) функции, на этом же интервале справедливы формулы:
c' = 0;	(cw)' = cu';
l«i+«2 + ... + «„)' = и{ +... + <;
(uv)' = u'v + uv';
u'-v-u-v’
-----, (v*0).
183
Пример 1. Найти производную функции f (х) = хА - 2х3 + 4х - 9.
Решение, /'(х) = 4х3-6х2+4.
Пример 2. Найти производную функции у = х2 sinx.
Решение, у' = (х2)' sin х + х2 (sin х)' = 2х sin х + х2 cos х.
2х2 -1
Пример 3. Найти производную функции у =-----.
х + 3
„	, (2х2 - 1)'(х + 3) - (2х2 - 1)(х + 3)'
Решение, у =---------------------------=
(х + 3)2
_ 4х(х + 3)-(2х2 -1)-1 _ 4х2 +12х-2х2 +1 _ 2х2 +12х + 1
(х + 3)2	"	(х + 3)2	“ (х + 3)2
Правило вычисления производной сложной функции заключается в
следующем. Пусть у = f(u), а и = и(х), т.е. у = f (и(х)) - сложная
функция. Если функция и = w(x) дифференцируема на некотором интер-
вале (а;Л), а функция y = f(u) - на соответствующем интервале
(и(я);н(Л)), то сложная функция на этом же интервале (сг,Ь) имеет про-
изводную
У\х) = f\x) = f^u) u's(x),
где индексы и и х у производных указывают, по какому аргументу вы-
числяются эти производные.
Пример 4. Найти производную функции i(x) - Vx2 - 2х .
Решение. Полагая w(x) = х2 - 2х, получим y(w) = Vw , так как
у'и(и)=(4?Ли =(u'l2)„ =|J2 ' =|«"1/2 =—U,to
, , , 1 1 ,
=	==-------------J===(x -2х)х =
2x/«	2Vx2-2x
_ 2х-2 _	х-1
2х/х2 -2х Vx2 - 2х
х - 1
Ответ: у'(х) -- дф(х) -- -======.
vу2  2 г
184
Пример 5. Найти производную функции f (х) = sin3 х5.
Решение.
/'(х) = 3 sin2 х5 (sin х5)' = 3 sin2 х5 cos х5 (х5)' = 3 sin2 х5 cos х5 5х4.
Ответ: /'(х) = 15 sin2 х5 cos х5 х4.
Пример 6. Решить неравенство /'(х)+g'(x) < 0, если
/(х) = 2х3 +12х2 и g(x) = 9х2 +72х.
Решение. f'(x) = 6х2 +24х ; g'(x) = 18х + 72. Следовательно:
6х2+24х + 18х + 72 < 0 => х2+7х + 12 < 0.
Корни уравнения х2+7х +12 = 0 xt=-4, х2=-3.
Методом интервалов получим:	+	+
Ответ: хе[-4;-3],	-4	~з
Задачи на вычисление производных
Найти по определению производные следующих функций:
7. /(х) = х3.	8. /(х) = ах2 + bx + c (a,b,c&R).
9. /(х)=^.	10. /(x) = Vx.
И. Вывести формулу дифференцирования тройного произведения:
(uvw) = u'vw + uv'w + uvw’
12. Доказать по индукции ту же формулу7 для п множителей:
(л -а )' - Аа..л	т.с.
[пл)=Ж-Па-П.о
\ £-1 J к-1	т-\	т=к+\
13. Вывести производную функций:
y = tgx. y = ctgx. y = arccosx. y = arctgx. «ysarcctgx.
(tgx)' =—(=l + tg2x)
COS X_________________
(ctgx)' = Д—	(= - 1 - Ctg2x)
sin X
(arccos x)' = . .
Vl-x2
185
(arctgx)'--—?
1 + x
, 1
(arcctgx) =--—j-
1 + x3
	Продифференцировать следующие функции (упрощать полученные
выражения не требуется):
14.	/(х)=х5 + 2х4 -Зх3 + 5х-8.	15. /(х) = х7-Зх5 +4Х3-2х.
16.	у = XCOS х.	17. у = х2 logj х.
18.	sinx	х4+3х2 У - з •	19. у - X	X ,	„ ( 1	, А	2х3 + х +1
20.	у = (2х + 3) —+ 1 + х2 .	21.у =	. \х	)	1-х
22.	у = sinx(l + 2sinx)(3 + 4sinx) . 23. у = -— 2	( 1У
24.	у =—		.	25. у= х— + 39. sinx+1	V х;
26.	у - sinycosy + sin28x+cos28x. 27. у = >/?+Vx3'(xs+Vxj.
28. 30,	Найти производную функций: у :±£±1	31. V =	32. V-(3.Y-5)V7. • Зх-2	•	х2+2	'	'	’
33.	2х + 1	г~2	7	(2х 1) у = —34. у = ух -х + 1.	35. у =	-		. ух	" (Зх + 1)"
36 у = Vx4 + Зх3 — х2 +4х .	37 у = Vx2 -sinx .
38	y = Vx3-lnx.	39. y = >/cosx3 .	40. у = log,(sinx4).
41.	y = sin-71nx.	42. у =	1.	43. у = (x + l)JV2x-i„
44.	+	(	'Г\(1 'И V '-J	.	45. v-Ix + Vx) —+-7= . V x - 2	v	' (x у x J
186
46.	у = yl+yjl + 'Jx .
49.	у = In (cos x) .
48. y = ln
2x-l
2x + 3
50.	у = .Jln(sin2x) .
51.	y = x^-x2 -ln(4-x2).
52.	y =
:+COS(ln(x2 +1
4хПл v v
53.	у = sin (cos2 x).
х + з/х2 -1
56. у = In---:
x-47^1
x
59. у = arcsin—.
2
54. у = sin (sin (sin x)).
57. у - cosx3.
1
60. у = arccos—.
x
tgx+ctgx
58. y = x}°tlX.
61. y- arcsin
62.
1 \
у = arctg x+—arctg x .
ln3-sinx+cosx
63. у ---------------
3*
64.	у = logx e .
Продифференцировать следующие функции (упрощать и находить
области определения функции и производной (если они не пусты) не об®’
зательно):
65.	у = (5х +1)8 • (3 - 2х)’.	66. у = sin7 Зх + cos9 2х.
/” О у* A	/l _1_ г3
67.	v — tg —.	68. у = 2---г. 69. у == arcsin6 х7 -sin7 х6.
( Xх J	' V1 - X'
70.	у = (arccos(х2+	.	71. у = Vx2 -6х + 7 - Vx2 +6х-7 .
х2—х	„„ sin(cosx) + cosx
72.	у =------z-.	73. у =-----i---f------
(2х + 3)	cos х
sin4x	__	(	1 'j
74. у =-------------.	75. у =	....- х
cos5x-cos7x	'	(4Vl-4x2	)
76. у = sinx-cos(x3 +3x-6) tg(Vx + 2).	77. y =
4x2 +4x-9
2x + 5
187
79 r-(*+5)70-w:
(6^i)38	'
78. у = arctg2 (5х - 6) +-——.
(5х-6)
(в) Продифференцировать следующие функции (упрощать и нахо-
дить области определения функции и производной (если они не пусты)
не обязательно):
81. у - 2>х -arcsinx2. 82. у = log3(x2 +4).	83. у = log.,. 5.
84. у = 5х‘ -е~х.	85. у = хе2х.	86. у = 5*2'**4-2*.
х2 -1 I-
87. v = log, log, log. х. 88. у = (arcsin5“* + 1)3. 89. y = ln—-ух .
x +1
90. y = (2x + 5)* .	97. y = 33>X .	92. у = ln(sin" x  cos(/?x)).
93. р=1082».|о8^4<,84«.108,»	=
X
95. у = ех sin х.	96. у = sine*.	97. у-- arctg (е* j	
98. у = sin5 8x-es'"is*.	е~Ъх 00 v -	100. у = х2' .	
	х2+4 '		
Найти производную функций в точке:
101. /'(х)-х-	fgx + cigx	7Г. > хо = - •	.....	, -cosx 10z. 7 (х)^-	:—	5 л ’ хо=' —
		4	1 + sin X	6
103. /(х) = 1п	11-sin х	Л	104. /(x) = In-'^-V	, х0 = 2а .
	V 1 + sinx	4	а + х	
105. /(х) = |	+ 1 -1 ’ Х° ~	-1.	106. /(х) = х3+3*,	х0 =1.
107. /(х) = х*	, х0=е.		108. /(х) = х18*, х0	”7'
111	1
109.	=	х0= —
U х £ &' ° 64
188
ПО. Дана функция /(х) = sin2 2х. Найти
Л*)
2 cos 2х
111.	Доказать тождество f (х)- 2х • /(х)+(0)	(0) = 1, если
/(х) = Зб<
112.	Решить уравнение /’ (х) = 0 , если:
a)	/(x) = l-sin(7i+x)+2cos^37i+-^
б)	/ (х) = 4х - sin 2х + 4>/2 cosx;
в)	/(х) = е2х 1+2е1’2х+7х-5; г) /(х) = (2-Jx+l'j .
Решить неравенства:
113.	/'(х) > g'(x), если /(х) = х3 + х-V2 , g(x) = Зх2 +х + >/2 .
э
114.	f (х) < g (х), если f (х) = —, g (х) - х - х3.
х3 +1	1
115.	/'(х) <<р'(х), если /(х) =----и<р(х) = 5хч—.
х	х
116.	/'(х) > g'(x), если /(х) - х3 + х - >/1 и g(x) = Зх2+х+->/2г
117.	/' (х) > 0, если j' (х) - л/х3 - Зх .
118.	f (х) < 0, если f (х) = V? • (х - 5) .
119.	Даны функции /(x) = yVx( + 1 и g (х) = х • е~х. Показать, что /'(2)
является корнем уравнения g'(x) = 0 .
120.	Дана функция f (х) -	. Найти а и h , если f (1) = /(0) = /'(0) .
, х
I — tg —
ТТ А.	Г/ \ 1 I + Sinx , ,	2тт
121.	Дана функция f (х) = In---------5-In-----—. Доказать, что
1-sinx	X
&2
18$
Ответы:
7. Зх2. 8. 2ax + b. 9. —4. 10.-4=. 14. /'(х) = 5х4+8х3-9х2+5 .
*	з#?
15. /'(х) = 7хб-15х4+12х2-2. 16. у' = cosx-xsinx.
, х , cosx-x-3-sinx	„
17. у = 2xlog3 х +—. 18. у =-----------. 19. у = Зх2 - 3 .
In 3	х
/ 1	Ч	/ э	Ч
20. 2 — + 1 + х2 + (2х + 3) --±+2х .
<х	J	Л х	J
2J (бх + 1)(1-х) + 2х3 +х + 1 _ 2х3 -6х2 + 6х + 2
	О7?	= (^У
22.	cosx(l + 2 sinx) (3 + 4 sinx)+ 2 cosx sin х(3+4 sinx)+
+4cosxsinx(l+2sinx) = cosx(24sin2 x + 20sinx+3).
„ -xcosx-2 + 2sinx	2cosx	(	1 A 1
23.		;-----------. 24.--------25. 2 x—r . 26. -cosx
x3	(sinx + 1)	I x3J 2
27.	—Цх8	gx7 ч—L1 = — tfx +$—x1tfx3+—tfx .
5 4V?1	1 I 2V?J 5	4	4
28.
(x + .3)^5x4 +6x2)(9-x)-(x5 +2x3 -l)j-2(x5 +2X3 -l)(9-x)
(x + 3)3
+p	4x> + -Ц. 30. —~2—. 31.
' П 4	4</?J	(34-2)’	(r+2)’
32. 2+2. 33.	.34.	. 35. -6<;+-2)I2i-2)’ .
2>/x 2xVx 2Vx2-x + 1	(3x + 1)
,	4x3+9x2-2x + 4	, 2sinx+x-cosx „ , 3x-lnx + x
36. у = —j==== . 37. у =---===---. 38. v = —г ' 
2>/x4+3x3-x2+4x	2Vsinx ‘ 2Vx-lnx
,n , 3x2-sinx3
39. у
2>/cosx
..	, 4x3cosx4	, COS-s/lnx
40. у =---------. 41. у ------j=-.
sinx -In5	2xVlnx
190
4^-
43.
Ji , .\2
<X + * 1^2~2) . 44.——=7
1_________1
3 \I X <1 Y
46.
41
1
. 47.
7
48.
8
49 -tax 50
(2x-l)(2x+3)	' g' • 1^2
51.
4-х2
i-гхл/х2
. 52. --------
53.
- sin 2х-cos (cos2 x). 54. cos (sin (sin x))-cos (sin x)-cos x. 55. 2 sin 2x.
56.
7	i
= . 57. -3x2 sin x3.58. x1082*"1 -2 log. x. 59.
2-i	777
1	_	-1	l + x4 l + ln23sinx
60.-==. 61.	. 62.------. 63.--------------
|x|7x2 -1	71 + 2x-x2	* + *	3х
64 -(log, e)2 42	2-X2	43 (x + 1)2(7x-2)
x Xs  3/(x3 -1У	V2x-1
46.
49.
52.
7	8
. 47. —- . 48. ------------.
8^7	(2x-l)(2x+3)
cta2x (4-2x2W4-x2 +2x
-tgx. 50. g . 51. 3— d--------------------
^ln (sin 2x)
l-2xVx2 +lsin(ln(x2 +1))
4-x2
. 53. - sin 2x-cos (cos2 x).
54. cos (sin (sin x))-cos (sin x)-cos x . 55. 2sin2x,56.
2
Jx^T'
191
1	1
57. -Зх2 sin x3.58. x,Of?''' 1 • 2 log, x. 59.	..= л. 60.--=
v4-x2	Ixjvx
-1	1 + x4 „ l + ln23sinx
61.	-====. 62.--------. 63.------------. 64.
Vl + 2x-x2 x + x	3х
65.	8 (5x +1)7  5 (3 - 2x)’ +3(3- 2x)2 (-2) (5x +1)8 =
66. 7sin6 3xcos3x -3 + 9cos82x(-sin2x)- 2 =
= 21 sin6 3xcos3x-18cos8 2xsin2x.
67	1	1 "l *~4
2 2 - x [ x3 + x2 J	з 2 - x ’
cos —— 4	X cos——
68.
2x2
2
69. 6arcsin5x7 —. -	-7x6 -sin7x6 +arcsin6 x7-7 sin6 x6 - cosx6 -6x5.*=
Ji„о
,,	• s • 6 6 si *sinx6 .	7	6
= 42arcsin x • sin x • x -=3=- + arcsinx • cosx
,14
70. /(arccos
2x -
2x-6	2x + 6
71. . ---------........ ..... .
3^(x2-6x + 7)	3^(x2+6x-7)
72 fo-QC2*4-3)* -3(2x + 3)2 -2(x2 -x) -2x2 +10x-3
(2x + 3)s	(2x + 3)4
cosx-coscosx-3sincosx-2cosx, . 4
73.--------------;------------(-smx).
COS' X
192
74.
4cos4x(cos5x-cos7x)-sin4x(-5sin5x+7siii7x):
(cos5x-cos7x)"
75.
чл/1-4х2
(l-4x2)Vl-4x2
76. cosx-cos(x3 +3x-6)-tg(>/x + 2)-sinx-sin(x3 + 3х-б)-(3х2 +з)х
xtg(Vx + 2)+ sinx-cos(x3 +3х-б)--——----r---— .
v	v 7 cos2 (Vx + 2)-2Vx
*.+ 2	(2x + 5)-2Vx2+4x-9
77 >/x2 +4x-9______________________ 2x +x + 28
(2x + 5)2	(2x + 5)2 >/x2 +4x-9
/ \
78.	2arctg (5x - 6) •	1	-	10	5.
l + (5x-6)	(5x-6) J
79.	(70(9-x)(6x + l)-15(x + 5)(6x + l)~
(6x + l)
2x
81. 3xln3—
82.		4---. 83. —Ц— . 84. 5х'' e x (2xIn 5 - 1). 85. <?2x (1 + 2.x).
(x-+4)ln3 xln2x	V 1	1	7
193
86. S*^4	fln5(2x-l)-^\ 87.-------------------------— .
<	х ) log, log4x-ln2 log4x-ln3 xin4
88.-3 (arcsin 5 x +1V • . 1	-5 xln5.89. 7-——r+—7=inA—" •
V	’ л/Г+Р7	(x2-l)(x2+l) 2>/x x2+l
if	J y.2	\
90. (2x+5) • 2xln(2x4-5)4-—— . 91. З3 -33‘-3х-In3 3.
И	/	.	\	ш xit-Hui
92.------------—-(sin” x-cosx-cos/?x-sin"x-sin/?x). 93. —---1--------—.
sin” x cos (их)'	' x 1п21п31п41п5
94. --------------т-4——. 95. ex (sin x 4-cosx) . 96. <?xcosex.
2arctgx(14-x2) 2x v	7
”	4<te!in'8j(l + sin'8x)sin88x-cos8x.
-e”5x (5x2 4-2()4-2x)	,	(	iA л	2
99.------i. 100. x2 -2х • In21nx4-- . 101. — 1.102. -
(x2+4)2	I xj 2	3
r—	2	— 2^?	it it
103. -V2.104. —. 105.------------------ . 106. 31n3e . 107. 2ee. 108. -ln-+l.
(«?-!)” 2 4
109. -4105--.
110. 2sin2x. 112. a)-J 7r i-4ron (-l)s"'4 2ttA'|/7,/< e Z
б) |( -1)” ~ + to? j/7 e Z j ; в) ------- ; r) 2. 113.
(-co; 0)U(2; 4-co).
114. (-1; 0)U(0; 1). 115. x e (-00;0)U (0;2,5). 116. x 6 (-oc;0)U(2;-boo).
117.	(3; +00). 118. (0; 2).
194!
Геометрический смысл производной.
Касательная. Нормаль
Вычисление угла наклона касательной
Поскольку значение производной функции /(х) в точке с абсцис-
сой х0 равно тангенсу угла а (между положительным направлением оси
Ох и касательной, проведенной к графику функции /(х) в точке с абс-
циссой х0), т.е. - tgoc, можно определить угол наклона касатель-
ной к оси Ох, вычислив значение производной в требуемой точке.
Пример 1. Какой угол образует с осью Ох касательная к параболе
/(х) = х2 - 5х + 7 в точке М(2,1) ?
Решение: Находим производную функции /'(х) = 2х-5. Вычисля-
ем значение производной в точке с абсциссой х0 - 2 : /'(х0) = /'(2) = -1.
3
Следовательно, tgoc = -1, а а = — л.
4
3
Ответ: ос=—л.
4
Задачи
1.	Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, приведенная к
кривой у = 2х3 - х в точке пересечения этой кривой с осью Оу?
3
Ответ: ос=—л.
1
2.	К ।рафику функции у ~ 2х2 -1, через ючку с абсциссой х0 = 0,25
проведена касательная. Какой угол образует эта касательная с осью Ох?
Ответ: ос~л/4.
3.	Найти угол между касательными к графику функции
f (х) = х3 - 4х2 + Зх +1, приведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
Ответ: <х = л/4.
Составление уравнения касательной к графику функции
при заданной абсциссе точки касания
Пример 2. Составить уравнение касательной к графику функции
/(х) = х3 - 7х: +11 в точке с абсциссой х0 = 1.
195
Решение. Находим производную функции /'(х) = Зх2 -14х. Вы-
числяем значение производной в точке с абсциссой хп = 1:
f'(x0) = /'(1) = 3-14 = -11, а также ординату точки касания
/(х0) = /(1) = 1 - 7+11 = 5. Составляем уравнение касательной по формуле:
у-5 = -11(х-1) => у = -11х + 16.
Ответ: у = -1 lx +16 .
Задачи
4.	Составить уравнение касательной к графику заданной функции в
1очкс с абсциссой х0:
а)у = х-х2+6: х0 = 1.	б)/(х) = Зх - 7х2 + х5; х0=-1.
в)/(х) = 4х2-х5+9 ; х0=3.	г) /(х) = х4-6х+7 ; х0 = 2 .
д) /(х) = 7х2-Зх6 +11; х0=-1.
Ответ: а) у = 7 - х; б)г/ = 22х + 11; в) г/ = -381х+945;
г) у = 26х-41; д) у = 4х + 19 .
5.	Найти координаты точки пересечения касательных, проведенных
к графику функции у ~ х(4-х) в точках с абсциссами х, = — 1 и х2 = 3 .
Сделать рисунок.
Ответ: (1;7).
Составление уравнения касательной к графику функции,
если абсцисса точки касания не шдана в явном виде
В этом, случае, на нервом этапе решения, необходимо найти абсцис-
су х0 точки касания, используя условия задачи. Дальнейшее решение
может быть полностью аналогичным предложенному выше.
Пример 3. Составить уравнение касательной к графику функции
/(х) = х2 - 7х + 3 , параллельной прямой 5х -I- у - 3 = 0.
Решение. Уравнение данной прямой может быть переписано в виде
у = -5х+3 , ее угловой коэффициент k = -5 . Касательная будет парал-
лельна данной прямой, если ее угловой коэффициент (определяемый как
f'(xa)) будет равен угловому1 коэффициенту прямой, т.е. /'(x0) = fe. Вы-
числяем производную f'(x) = 2х - 7 и /'(х0) = 2х0 - 7 . Касательная и пря-
мая будут параллельны, если 2х0 - 7 = -5. т.е. абсцисса точки касания
ха = 1. Ординату' точки касания можно вычислить только по уравнению
функции, как /’(.т0) — f(l) - 1 - 7 i 3 -• 3 .
196
Уравнение касательной получим, подставив известные теперь зна-
чения в формулу (1):
у - (-3) = -5(х -1) => у = -5х+2.
Ответ: у = -5х + 2.
Пример 4. Составить уравнения касательных, проведенных из точки
М(-1;-6) к графику функции у = х2 - х + 1.
Решение. Прежде всего необходимо выяснить принадлежит ли за-
данная точка М графику функции? Для этого следует подставить коор-
динаты точки М в уравнение функции: если точка принадлежит графику
- ее координаты превратят уравнение функции в тождество (и задача
сведется к примеру 9, где х0 равно абсциссе точки Л/), в противном слу-
чае точка графику функции не принадлежит.
Итак: х = -1, у = -6, получаем -6 ^(-1)2 -(-1)+1 => -6 * 3, сле-
довательно точка М не лежит на графике функции у = х2 - х+1. В пер-
вую очередь необходимо найти абсциссу точки касания.
Находим производную функции у' = 2х -1. Вычисляем производ-
ную и функцию в точке с абсциссой х0 (в настоящий момент численное
значение х0 нам неизвестно), поэтому получаем: t/'(x0) = 2х0-1 и
t/(x0) = x2-x0+l.
Составляем уравнение касательной:
у - (х2 - х0 +1) = (2х0 - 1)(х - х0) :=> (2х0 - 1)х - х2 +1.
Мы поучили уравнение касательной в общем виде (с неизвестной
абсциссой х0 точки касания). Так как входящее в это уравнение х0 про-
извольно, то, задав любое конкретное значение х0, получим уравнение
конкретной касательной.
Из всех касательных к графику функции у(х) нам следует выбрать
только те, которые проходят через заданную точку М(-1;-6). Следова-
тельно, координаты точки М, подставленные в обобщенное уравнение ка-
сательной вместо текущих координат х и у, преобразуют его в уравнение
для определения искомого х0:
-6 = (2х0 -1)(-1) -х„ +1 => х02 + 2х0 -8 = 0,
решив это уравнение получим х01 = 2 и хП2 = -4, т.е. данная функция
имеет две касательные, удовлетворяющие заданному7 условию. Найдем
их, подставив вычисленные х0 в уравнение касательной:
197
для х01 - 2 : у = (2*2-1)х-(2)2 +1 т=> у = Зх-З и
для х02=-4: у - (2*(-4)-1)х-(-4)2 + 1 => у = -9х-15.
Ответ: у = Зх - 3 и у = -9х -15.
Пример 5. Найти координаты точек пересечения с осью Ох тех каса-
л л.	ч Х+1	г	3
тельных к графику функции цх) =-----, которые образуют угол —л с
х-3	4
осью Ох.
3
Решение. Касательная образует с осью Ох заданный угол а = —л,
если се угловой коэффициент fe = /'(x0) будет равен tga. Вычисляем
производную f'{x) =
1-(х-3)-(х+1)-1
(х-3)2
4
(х-3)2
; затем приравниваем
Л(х0) = -
4
(х0-3)2
тангенсу заданного угла, с учетом tg—л = -1. полу-
4
4
чим:----------- = -1. Решая это уравнение, получим х0) =5 и х02 =1,
(х0 — 3)
т.е. данная функция имеет две касательные (в точках с абсциссами 5 и 1),
которые образуют угол —л с осью Ох. Для составления уравнений каса-
4
тельных нам недостает лишь ординат точек касания, вычислим их:
/(х0,) = f(5) =	- 3 ; /(xu,) = /(1) =	= -1. Подставив все значения
5-3	~	1 • 3
в уравнение касательной, с учетом /’,(х0|) - ;'(.г02) ~ -1, получим:
для х01 - 5 : у-3 = —1(х —5) => укж = -х + 8 и
для х02 = 1: у +1 = - 1(х -1) => у,х = -х.
Точки пересечения касательных с осью Ох имеют ординату у = 0,
для определения абсцисс подставим у = 0 в уравнение соответствующей
касательной: 0 =-х+8 => х = 8 и 0 = -х=> х = 0 .
Ответ: (8;0) и (0;0).
Пример 6. Доказать, что касательные, проведенные из точки С(1; -0,5)
к параболе у = О,5х2. перпендикулярны друг другу.
Решение. Поскольку точка С не принадлежит параболе (в чем лег-
ко убедиться, подставив координаты точки С в уравнение параболы).
198
в первую очередь необходимо определить абсциссу точки касания, для
чего используем способ, рассмотренный в примере 2:
Находим производную функции у' = х. Вычисляем производную и
функцию в точке с абсциссой х0 (в настоящий момент численное значе-
ние х0 нам неизвестно), поэтому получаем: у'(х0) = х0 и у(х0) = О,5х02.
Составляем уравнение касательной:
у-0,5х„ = х0(х - х0) => у = х0х-О,5х„.
Из всех касательных к параболе нас интересуют только тс, которые
проходят через заданную точку 0(1;—0,5), поэтому подставляем коорди-
наты точки С в уравнение касательной вместо текущих координат х и у и
получаем уравнение для определения х0:
-0,5 = х0 • 1 - О,5х2 =Д х2 - 2х0 -1 = 0.
Решив это уравнение, получим х01 = 1 + э/2 и х02 = 1 - V2 , т.е. из точ-
ки С, как и следует из условия задачи, можно провести к заданной параболе
две касательные. Собственно, сами уравнения касательных нас не интере-
суют, так как угол между' прямыми определяется только угловыми коэффи-
циентами этих прямых. Угловой коэффициент касательной - это значение
производной функции в точке касания, т.е. у'(х0). Вычислим их:
t/'(x01) = 1 + V2 и y’(*o2) = 1 ~ V2 . Условие перпендикулярности двух пря-
мых с угловыми коэффициентами /г, и k7: k, - k2 = -1, таким образом для
наших касаю.гьных должно выполняться условие у'(х01) • у'(х02 )---  • 1. Про-
верим это: у\хт)  у'(хй.,) --- (1 •+• э/2)  (1 - V2) -1 - 2 = -1, 'гго и требовалось
доказать.
Задачи
6.	Составить уравнения касательных к графику функции f(x), па-
раллельных данной прямой.
4
a)/(x) = —, у = -4х. б)/(х) = 2х3 - х, у = 5х + 6.
х
Ответ: а) у = 8 - 4х и у - -8 - 4х; б) у - 5х - 4 и у = 5х + 4 .
7.	Составить уравнение касательной к графику функции
у = -х2 - 2. параллельной прямой у - 4х 4-1.
Ответ: у-дх + '2..
199
8.	Составить уравнения касательных, проведенных из точки М(-4; “-3)
к графику функции ух + 4 = 0.
Ответ: у = 0,25х-2 и у = 2,25+6.
9.	Составить уравнения касательных, проведенных из точки
М(2;-2) к графику функции у = х2+х+1.
Ответ: у = 11х - 24 и у = -х .
10.	Составить уравнения касательных, проведенных из точки
М(2;-8) к графику функции у = 2/х .
Ответ: у = -2х - 4 и у = -8х +8 .
11.	Составить уравнение касательной к графику функции у = ех,
проходящей через начало координат.
Ответ: у = ех.
12.	Составить уравнение касательной к графику функции у = 1пх,
проходящей через начало координат.
Ответ: у = х/е.
13.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(0,5; 2),
касающейся графика функции у = -0,5х2+2 и пересекающей в двух
различных точках график функции у - -74-х2 .
Ответ: у =  х г 2,5 .
х + 2
14.	В каких точках касательная к графику функции у =- обра-
х-2
зует с осью абсцисс (Ох) угол 135° ?
Ответ: (0; —1) и (4;3).
15.	Написать координаты точек пересечения с осями координат тех
2х-2
касательных к графику функции f(x) =-----, у которых угловой коэф-
х+1
фициент равен 4.
Ответ: (0;-2), (0,5;0), (0;14). (-3.5;0).
200
16.	Определить координаты точек пересечения с осями координат
2х-3
тех касательных к графику функции у =-----, у которых угловой ко-
х+3
эффициент равен 9.
Ответ: (0; 11), (-11/9,0), (0;47), (-47/9,0).
17.	Определить координаты точек пересечения осью Оу тех каса-
.	. . Зх-1	_	л
тельных к графику функции у(х) =-----, которые образуют угол — с
х+8	4
осью Ох.
Ответ: (0;1) и (0;21).
18.	Доказать, что касательные, проведённые из точки С(1;0,5) к па?
х2
раболе у = ——, перпендикулярны друг другу.
19.	Доказать, что касательные, проведённые из точки С(1;0,25) к
параболе у = -х2, перпендикулярны друг другу.
20.	Доказать, что касательные, проведённые из точки 0(1; -0,25) к
параболе у = х2, перпендикулярны друг другу.
Вычисление площади треугольника,
образованного касательными
На первом этапе необходимо составить уравнения касательных. За-
тем находим координаты точек, которые будут являться вершинами ис-
комого треугольника - это могут быть точки пересечения касательных и
собственно точки касания. На следующем этапе следует построить тре-
угольник на координатной плоскости (если это не оговорено в условии
задачи, то рисунок может быть схематичным) и, используя его, вычис-
лить искомую площадь.
Пример 7. Вычислить площадь треугольника, ограниченного каса-
тельными к графику функции /(х) = 2 + 2х - х2 в точках с абсциссами 1
и 3 и прямой, соединяющей эти точки касания. Сделать чертеж.
Решение. Составим уравнения касательных, используя формулу (1),
для чего найдем производную функции /'(х) = 2-2х. Вычислим значе-
ния производной при х0) =1 и х02=3: /'(х0| ) =/'(1) = 2-2-1 = 0 и
Г(х02) = /'(3) = 2 - 2- 3 = -4. Затем составим уравнения двух касательных:
201
для первой, в точке (обозначим ее С) с абсциссой х0, = 1 и ордина-
той /(х01) = /(1) = 2 + 2-1-12 = 3, получим у-3 = 0(х-1) => у = 3 .
для второй, в точке (обозначим ее В) с абсциссой х02 = 3 и ордина-
той /(х02) =f(3) = 2 + 2-3-32 = -1, получим у-(-1) = -4(х-3) =>
=> у = -4х+11.
Найдем абсциссу точки (обозначим ее А) пересечения касательных,
для чего приравняем правые части их уравнений: -4х +11 = 3 => хА = 2,
ордината этой точки уА = 3, в чем легко убедиться, подставив найден-
ную абсциссу в любое из уравнений касательной.
Сделаем чертеж (в соответствии с требованием задачи). Параболу
изобразим схематично. Чертим касательные - первую как прямую АС,
вторую как прямую АВ. Проводим линию ВС, соединяющую точки каса-
ния. Полученный треугольник АВС - искомый. Учтем, что сторона АС
горизонтальна, и, следовательно, ее длина определяется разностью абс-
цисс точек А и С, т.е. АС = хА-хс =2-1 = 1. Тогда, приняв АС за осно-
вание треугольника, найдем высоту
BD, опущенную из вершины В на пря-
мую АС, как разность ординат точек D
и В, т.е. BD = yD -ув =3-(-1) = 4.
Площадь треугольника ЛВС найдем по
формуле
S = —AC-BZ) =—-1-4 = 2.
2	2
Ответ: 2 кв. ед.	' з
C(l; 3) \Л(2; 3)
/\\\ |о(3;3)
Л0=-х+2^+2
-3 -2
/2 I у
2'
3_
i х
у = 3
у
Пример 8. Вычислить площадь треугольника, образованного тремя
касательными, проведенными к графику функции г/ = 1+х-уХ2 в точ-
ках с абсциссами 2, -2 и 6.
Решение. Найдем производную функции у' = 1 = х. Составим урав-
нение касательной в точке с абсциссой х01 = 2 :
i/'(x01) = ^(2) = l-2 = -l;
y{xai)^y(2) = \+2-~2!- = 1 => у-1 =-1(х-2) => г/=-х + 3 .
Аналогично составим уравнение касательной в точке с абсциссой
х,.2	2:	^'(2) 1  ( 2? 3:
202
у(Хгр) = у(-2) = 1 + (-2) - 1 • (-2)2 = -3 => у - (-3) = 3(х + 2) => у = Зх + 3 .
и в точке с абсциссой х03 = 6 : у'(х03) = у'(6) = 1 - 6 = -5 ;
1 ,
у(х03) = у(6) = 1+6 - - • б2 = -11 => у - (-11) = -5(х - 6) => у = -5х+19 .
Найдем координаты точек пересечения касательных - вершин ис-
комого треугольника:
первой со второй (обозначим ее А):
-х+3 = 3х+3 =>хЛ =0, ул=3-О+3 = 3;
первой с третьей (обозначим ее В):
-х + 3 =-5х + 19=> хв =4, ув =-4 + 3 = -1;
второй с третьей (обозначим ее С):
Зх + З = -5х + 19 => хс = 2 , ус =3-2 + 3=9.
Так как в условии задачи не требу-
ется сделать чертеж, сделаем схематич-
ный рисунок, упрощающий дальней-
шие вычисления. Поскольку в тре-
угольнике АВС нет горизонтальных или
вертикальных сторон, воспользуемся
«универсальным» способом.
Опишем вокруг треугольника АВС
прямоугольник BEFD, стороны которо-
го FD и BE горизонтальны, а стороны
у = Зх + 3
ЕЕ и BD вертикальны. Тогда площадь треугольника АВС можно вычис-
лить как разность площадей прямоугольника BEFD и треугольников
AF(CDB и ВЕА, т.е. SAHC = SBEFD - SAFC - SBEA . Треугольники AFC,
< /J/З и В FA -- прямоугольные и их площадь вычисляется как полу произ-
ведение их катетов. Катеты, как и стороны прямоугольника, вычисляют-
ся как разности соответствующих координат:
FC = xc-xf = 2-0 = 2 ; CD = xD-Xc - 4-2 = 2 ',
BE =х„-хЕ= 4-0 = 4; BD = yB-yB = 9-(-1) = 10 ;
ЕА = уА — уЕ = 3-(-1) = 4; AF = yF-уА = 9-3 = 6.
Тогда SABC = S/!EFD — SAFC — SBEA =
= BE-BD-—AF-FC-—CD-DB- — BE-EA =
2	2	2
= 4• 10- —-6-2-—-2-10- —• 4-4 = 16 .
2	2	2
Oniaem: 16 кв. сд.
203
Пример 9. Составить уравнения касательных, проведенных из точки
М(1;-3) к параболе у - 0,25х2 + х-2 . Найти площадь треугольника
АМВ, если А и В - точки касания.
Решение. Найдем производную функции у' = 0,5х +1. Составим урав-
нение касательной к параболе в точке с абсциссой х0, используя формулу (1):
у'(х0) = 0,5х0 +1; у(х0) = 0,25х2 + х0 - 2 => у - (0,25х2 + х0 - 2) =
= (О,5хо+1)(х-хо).
Из всех касательных необходимо выбрать те, которые проходят че-
рез точку Л/. Для этого подставляем координаты точки Л/ в уравнение
касательной вместо х и у и получим уравнение для определения абсцис-
сы точки х0:
-3-0,25хй — х0 +2 — (О,5хо +1)(1-х0) => хй -2х0 -8 = 0=> х01 = 4 и
х02 — -2.
Подставив найденные значения х0 в обобщенное уравнение каса-
тельной, получим уравнения двух касательных, проведенных из точки М
к заданной параболе:
у = Зх - 6 и у ~ -3 .
Так как в условии задачи не требуется сделать чертеж, сделаем схе-
матичный рисунок, упрощающий дальнейшие вычисления, предвари-
тельно определив ординаты точек касания:
для первой (обозначим ее А) с абсциссой хй1 = 4, получим
У(х01) = t/(4) = 3-4-6 - 6 ;
для второй (обозначим ее В) с абсциссой х0?~-2. получим
Жй)'-=У(~-2)- -3.
В треугольнике АМВ сторона МВ горизонтальна и, следовательно,
ее длина определяется разностью абсцисс точек М и В. г.е.
МВ = хм ~хп = 1 - (-2) = 3. Тогда, приняв
МВ за основание треугольника, найдем вы-
соту AD, опущенную из вершины А на пря-
мую МВ, как разность ординат точек А и D,
т.е. AD -yA-yD = f>~ (-3) = 9 . Площадь
треугольника АМВ найдем по формуле
S^-MB-АВ---3-9 13,5 .
2	2
Ответ: 13,5 кв. ед.
204
Задачи
21.	Вычислить площадь треугольника, ограниченного касательны-
ми, проведенными к графику функции у = 5 + 2х - х2, в точках с абсцис-
сами 1 и 3 и прямой, соединяющей эти точки касания. Сделать чертеж.
Ответ: 2 кв. ед.
22.	Вычислить площадь треугольника, образованного касательными,
проведёнными к графику функции у = 10 + х-0,5х2, в точках с абсцис-
сами 1 и 3 и прямой, соединяющей эти точки касания. Сделать чертеж.
Ответ: 1 кв. ед.
23.	Вычислить площадь треугольника, образованного тремя каса-
1	2
тельными, проведенными к графику функции у-—х + 2х+3 в точках с
абсциссами 2, -2 и 6.
Ответ: 16 кв. ед.
24.	Вычислить площадь треугольника, образованного тремя каса-
тельными, проведенными к графику функции у - х2 + 2х -1 в точках с
абсциссами 4, -4 иО.
Ответ: 32 кв. ед.
4
25.	К гиперболе у = — проведены касательные: из точки М(2;2) и
х
параллельно прямой у = -4х . Вычислить площади всех треугольников,
образованных каждой из касательных с осями координат.
Ответ: 8, 8 и 8 кв. ед.
26.	Составить уравнения касательных, проведенных из точки М(3;5) к
параболе у = 4 + х - 0,25х2. Вычислить площадь треугольника АМВ,
если А и В - точки касания.
Ответ: у = -х + 8, у = 5 и S~0,5 кв. ед.
27.	Составить уравнения касательных, проведенных из точки М(5;-3)
к параболе г/ = 0,25х2 - х-2 . Вычислить площадь треугольника АМВ,
если А и В - точки касания.
Ответ: у = Зх-18, р = -3 и S-J3.5 кв. ед.
205
Уравнение общей касательной
Для графиков двух функций и, в частности, для двух парабол, мо-
жет существовать общая касательная, т.е. прямая, касающаяся графика
как одной, так и второй функции. Для получения уравнения такой общей
касательной следует записать уравнение касательной в общем виде для
каждой рассматриваемой функции, а затем выбрать из них совпадающие
прямые, которые и будут являться общими касательными.
Пример 10. Составить уравнение общей касательной к параболам
у = Зх-х2-1 и у = 0,5х2-х + 2 .
Решение. Для упрощения рассуждений схематично построим задан-
ные параболы, учитывая лишь то, что ветви одной их них направлены
вверх, а ветви другой - вниз. Там же покажем общую касательную, ка-
сающуюся первой параболы в точке с абсциссой х, и второй - в точке с
абсциссой х2. Составим уравнение касательной к первой параболе в точ-
ке с абсциссой xt:
у'(х) = 3-2х => г/'(Х]) = 3-2х,; у(х{) = 3х, -х2 -1;
у-Зх, + х2 +1 = (З-гхДх-х,) => угас = (3-2х,)х + х2 -1.
Аналогично составим уравнение касательной ко второй параболе в
точке с абсциссой х2:
у'(х) =х-1 => у'(х2) = х2 -1; у(х2) = 0,5х2 -х2 + 2;
у - 0, 5х2 + х2 - 2 = (х2 - 1)(х - х2)	угх - (х2 -- 1)х - 0,5х22 + 2.
Из множеств всех касательных к первой и второй параболе следует
выбрать совпадающие. Учитывая, что совпадают только тс прямые, у
которых одинаковы угловые коэффициенты и равны свободные члены,
получим систему двух уравнений:
3 - 2х, - х2 -1
х2 -1 = -0, 5х2 + 2,
решение которой позволит найти абсциссы точек касания общей каса-
тельной как с первой параболой: хп = 1; х12 = —, так и со второй пара-
_ 2
~ 3 '
болой: х21 - 2 ;
Чтобы найти уравнение общей касательной,
достаточно абсциссы точек касания с первой параболой подставить в
уравнение се касательной, получим
206
для xn = 1: у = (3 - 2 • l)x +12 -1 => у = x и
5	„ 5"|	<5? ,
для x,2 = — : у = 3-2— x + - -1 =>
3	< 3j Ы
Система имеет два решения, следова-
тельно, общих касательных у данных пара-
бол тоже две. На рисунке вторая общая ка-
сательная показана штриховой линией. Абс-
циссы касания со второй параболой можно
было вообще не вычислять в процессе ре-
шения системы, но еще лучше использовать
их для самопроверки, подставив эти значе-
ния в уравнение касательной для второй
параболы, так для х21 = 2 получим:
у = (2-1)х-0,5(2)2 +2=>i/ = x
2	(2	(2 V
идлях„= — х = \—1 х-0,5 — +2=>ц
3	<3 )	Ы
1	16
Ответ: у = х и и = —х + — .
3	9
1	16
16
9
3
Задачи
28. Составить уравнение общей касательной к параболам:
а) у = 1+х + х2 и г/ = 3х-х2; б) у = х2+4х + 8 и у = х2+8х + 4;
в) у = х2 - 2х+5 и у = х2 + 2х -11.
Ответ: а) у - Зх и у - х +1; б)г/ = 8х + 4; в)г/ = 8х-20.
Различные задачи
29. /(x)=-L, х0=2.
х-3
30. f (х) = >/2х , х0 = 2.
31. f (х) = sin ях, х0 = 2.
-х-1, х < —1
32. /(х) = <
з/1-х2, |х| < 1 ,
а)	х0 = 0,
б)	х0 = -~.
х-1,
Х>1
33. Написать уравнение касательных к графику функции у = х2 - 2х в
точках ее пересечения с осью абсцисс.
207
Написать уравнения касательной и нормали, проведенных к графи-
ку функции f в точке с абсциссой х0:
34. /(x) = sin2x, х0 = л. 35. /(x) = ctgx2. х0 = у/п/2 .
36.	(в) /(х) = 1п(2е-х), х0=е.
37.	(в) /(х) = (1/2)(е'/2+е'/2). х0 = 21п2.
38(e) f(х) = е~хcosx, хо=О.
Написать уравнения касательных к кривой у = f{x), проходящих
через точку:
39.	/(х) = >/4-2х-х2 , Л/ (3; 0) .	40. /(х) = х2 -4х, Л/ (-2; 11).
Составить уравнения касательных к графику функции у = /(х).
параллельных прямой у =/(х):
41.	f (х) = -х2 - 2х . I (х) = 4х +1 .	42. f (х) = х2 -х +1. I (х) = Зх -1.
43.	f (х) = х3 - 2х2. /(х) = -х +3 .
44.	На графике функции у = х(х-4)’ найти точки, в которых касатель-
ная параллельна оси ОХ.
45.	Написать уравнение касательной к графику функции у = —, пер-
х -1
пендикулярной прямой у = 4х i 3 .
46.	Сосщвить уравнения касак’льиых. проведенных из кгшнной точки к
заданной кривой: а) Л/ (2: - 2), у = х?+х + 1: б)3/(2:-8). у = —:
х
в) Л/ (-4; - 3), ул 4- 4 0 .
47.	Касательная к графику функции у = е' проходит через начало коор-
динат. Составить уравнение этой касательной.
48.	Касательная к график}' функции у = 1пх проходит через начало ко-
ординат. Составить уравнение этой касательной.
49.	Составить уравнения касательных, проверенных из точки Л/(-5:3) к
параболе у- 0.25х4 -i х i 4, Вычислить площадь »pe\iодышка ЛМВ.
если .1 и Г> - точки касания.
208
50.	Составить уравнение касательных, проведенных из тонки Л/ (5; 5) к
параболе у = 1 + 2х -0.25х2. Вычислить площадь треугольника АВМ.
если А и В - точки касания.
51.	Найти угол между двумя касательными, проведенными из точки
(0;-2) к параболе у = х2.
52.	Под какими углами парабола у = х2 + Зх + 2 пересекает ось абсцисс?
53.	В какой точке кривой у2 = 2х3 касательная перпендикулярна прямой
4х-Зу+2 = 0?
При каких значениях х касательные к графикам функций, прове-
денные в точках с абсциссой х. параллельны?
54.	у = х3 - х2 - х - 4 и у = (2/3)х3 + 2х.
55.	y = 3cos5x и у =5cos3x + 12 .
56.	(в) В каких точках касательная к графику' функции /(х) = In(sinx-cosx)
параллельна оси Ох?
3	3	1
57.	Прямая У =	является касательной к графику у = —х4-х.
Найти координаты точки касания.
58.	Доказать, что касательные, проведенные из точки С(1; -0,25) к пара-
боле у = х2. перпендикулярны друг другу7.
59.	Доказать что при .тюбом значении о существует касательная к гра-
фику v - г’ - <т2х, перпендикулярная к прямой у - “X .
60.	Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и
касательной к фафику функции у-хЛх - Д в точке с абсциссой
х = 2.
61.	Доказать, что площадь треугольника, офаниченного осями коорди-
нат и произвольной касательной к фафику функции у = 1/х, равна 2.
62.	При каких значениях а какие-либо из касательных, проведенных к
фафику функции у = х3 -а2х в точках пересечения этого фафика с
осью абсцисс, пересекаются под углом 45° ?
63.	Составить уравнение пярабты v = .r: +hx + c, касающейся прямой
г - г в точке (14).
209
64.	Вычислить площадь треугольника, образованного касательнымй',1
проведенными к графику функции в точках с абсциссами:
а)	у = 2 + 2х - х1;	х,	= -2,	х2 = 2,	х, = 6;
б)	у = х2 + 2х -1;	у	= -4,	х2 = 0,	х3 = 4;
в)	у = х2 - 2х + 2;	х,	= -2,	х2 =2,	х, = 6.
65.	Вычислить площадь треугольника, ограниченного касательными,
проведенными к графику функции у = f (х) в точках с заданными
абсциссами и прямой, соединяющей эти точки касания:
а) у = х2 -2х + 2; х, = 1, х2=3:
х2
б)у = 10 + х- —; х, = 1, х2 = 3;
в) у = 3 + 2х-х2; Х]=-1, х2=1.
66.	Составить уравнение касательной к графику функции
у = (2х-l)e2<1 в точке ее максимума.
67.	Вычислить площадь треугольника, ограниченного осью ОХ, прямой
х = 4 и касательной к графику функции у = х2 - 2х + 4 в точке с абс-
циссой х0 = 4.
68.	Вычислить площадь треугольника, ограниченного осью ОХ, прямой
х - 2 и касательной к график)' функции у - х1 + 2х - 2 в точке с абс-
циссой х0 = 2. Сделать чертеж.
69.	Вычислить площадь треугольника ЛМВ. если .4 и В точки пересечения
с осью ОХ касательных, проведенных к графику функции у - f (х) из
16 - х2	9 - х2
точки XI, если; a) j (х) =----; XI (3, 4); б) /(х) =-----; Xf (4; 3).
8	6
70.	Найти все действительные значения параметра а, при которых гра-
х2
фик функции у = а+9х~— касается оси абсцисс.
71.	При каких значениях параметра а график заданной функции касает-
ся заданной прямой?
а) у -• 1 - 2x4 ах2 и у 2х- 3 ; б) у = а(х - 2)2 и 2х+у = 0;
в) у-ах--г’ -2 и у--х-1: г) у =	х2 и х + у-1.
210
72.	При каких значениях параметра р прямая у является каса-
тельной к графику функции у = х2 + (р -1) х ?
73.	Из некоторой точки графика функции у = Jx касательная наклонена
к оси абсцисс под углом 45°. Вычислить площадь фигуры, ограни-
ченной этой касательной и прямыми у = 0, х = Щ.
74.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку (1;3), касаю-
щейся графика у - &Jx - 7 и пересекающей в двух различных точках
график у = х2 + 4х -1.
75.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку (1/2; 2), ка-
х2
сающсися графика у =—И пеРесекающеи в ДВУХ различных
точках график у = ^4-х2 .
76.	Вычислить площадь треугольника, отсекаемого от координатных
осей касательной к кривой у = 2>/х-4	, проведенной параллельно
прямой у = 5 + |-х •
77.	В точке Л/ (1; 8) к кривой у = ^5 - х2'!у) проведена касательная. Вы-
числить длину ее отрезка, заключенного между осями координат.
78.	Найти точку пересечения касательной к графику функции у - х2 -+ 3
в точке с абсциссой хо --1 и наклонной асимптоты графика функ-
79.	При каких значениях а и b парабола у -х2 +ах+Ь касается пря-
мых у - 5х +1 и у = -х - 2 ?
80.	При каких р из точки 5(р;-1) можно провести три различные каса-
тельные к графику функции у = х' - Зх2 + 3 ?
Составить уравнения всех общих касательных к параболам:
81.	у -- х2 + х - 2 и у = -х2 + 7х -11.
82.	у ~ Зх2 - 5х - 2 и у = 2х2 - х - 6 .
211
Написать уравнения общих касательных к графикам-лфункций
У = f (*) И у =- g (х):
f(x} = x2+2x.	f(x\ = х2-5х + 6,
g(x) = х2-4х.	g(x) = x2+x + l.
/(х) = 1 + х-х2.,	/(х) = х2+х-1,
#W = y(*2+3)-	^(х) = (х~1)(2-х)-
87.	При каких значениях параметра р две параболы у = х2 и
у = -х2 + рх + р2 - 2р-10 могут иметь только одну общую касатель-
ную?
88.	Составить уравнение касательной к графику у = х2 - 4х + 2 , парал-
лельной прямой у = 2х -11. Найти расстояние между касательной и
данной прямой.
89.	Найти такие точки А (на графике функции у = х2 + 2х) и В (на гра-
фике функции у = 2х-3 ), расстояние между’ которыми наименьшее.
90.	К графику' функции у = х’ -х2 -13х + 4 проведена касательная в той
точке 2-й четверти, где угловой коэффициент равен 3. Найти точки
пересечения этой касательной с координатными осями.
91.	На графике функции у = хЛ - Зх2 -7х + 6 найти все такие точки, что
касательная к этому графику в искомых, точках отсекает от положи-
ic.(ьной полуоси От н-'.вос мечыпий отрезок, чем от отрицательной
полуоси Оу . Определить длины отсекаемых отрезков.
(в) Написать уравнение касательной к графику данной функции, обра-
зующей с осями координат равнобедренньш прямоугольный треугольник:
92. у = е2*-х + 3 .	93. у = 21пх-х-1.
94.	При каком значении а касательная к графику функции у = а - х2
отсекает от первой четверти равнобедренный прямоугольный тре-
угольник с площадью, равной 9/32 ?
95.	Найти все такие значения а, при которых касательная к графику’
функции у - х4 - ах2 + Зх + 1, проведенная в его точке с абсциссой 1.
имеет с этим графиком ровно одну общую точку.
212
96.	В каких точках касательная к графику функции у =-- образует с
х-2
3__X
тельная к графику функции f(x) =---------+
5 + х
осью ОХ угол 135° ?
97.	Какой угол с положительным направлением оси ОХ составляет каса-
2_^
9	3
х+5 в точке с
абсциссой х0 = 1 ?
98.	При каком значении параметра а касательные к графику функции
f (х) = х3 - а~х , проведенные в точках с абсциссами х = 0 и х = а ,
перпендикулярны?
99.	При каком значении параметра а касательные, проведенные из точки
Л/ (2:3) к параболе у = ах2, перпендикулярны?
100.	На прямой Зх + 4у = 1 найти точку, через которую проходят две пер-
пендикулярные друг другу касательные к параболе у = х2.
101.	При каких значениях р прямая у = х + 1 является касательной к
графику функции у = х2 + рх + 2 ?
102.	Прямая у = 8х- 7 параллельна касательной к кривой
•}Г-1 у л
у = ——।--— + 3 . Найти координаты точки касания.
In 3 In 3
103.	Какой наименьший угол можем составлять касательная к графику
функции у = tgx-ctgx с положительным направлением оси абсцисс?
104.	Составить уравнения двух параллельных касательных соответственно к
х3
графикам функций у = sin 2х - Зх3 и у = — + 2х2 + 6х.
105.	Показать, что у астроиды у/х2 +у[у^ = у/а2 отрезок касательной,
содержащийся между координатными осями, имеет постоянную ве-
личину. равную а.
106.	Найти общие точки графика функции у - х4 + 4х3 - 2х2 -1 lx +11 и пря-
мой у = х + ? . В каких из них прямая является касательной к графику?
213
107.	Составить уравнения всех тех касательных к графику функции
у = х/1-2х2 , каждая из которых вместе с осями координат ограничи-
вает треугольник площадью 1/V2 .
108.	Определить, под какими углами пересекаются графики функций:
а) у = х3 -х и у = х + 4; б) у = х3 -х и у = х2 -10;
в) у = sin х и у = cos х .
109.	Составить уравнения двух параллельных друг другу касательных к
гиперболе у = 1/х, удаленных друг от друга на расстояние 1.
110.	На прямой у - 2х-1 найти все такие точки, что через каждую из
них проходят ровно две касательные к графику функции у = х2, а
угол между этими касательными равен п/4.
111.	Существует ли касательная к график}7 функции у = х2-х-|х|,
имеющая с ним ровно две общие точки? Если да, то напишите ее
уравнение.
112.	Написать уравнение прямой, касающейся графика функции
у = х2 - 2|х -1| в двух точках.
113.	Есть ли среди общих точек графиков функций у = х3-5х2 и
у = 3 - 7х точки касания? Если да. указать их.
(14. Является ли прямая у = Зх-2 касательной к кубической параболе
у -- г3 в какой-либо точке? Если да. то в какой?
3	3
115.	Известно, что прямая v = —х-—• является касательной к линии, за-
4	32
данной уравнением у = 0,5х4 - х . Найти координаты точки касания.
116.	Найти все отрицательные значения а. для каждого из которых каса-
тельные к параболе у = (х-1)2, проведенные через точку оси Оу с
ординатой а, высекают на оси Ох отрезок длиной 4.
117.	Указать координаты всех точек оси Оу , имеющих положительные
ординаты и обладающие тем свойством, что касательные, проведен-
ные через каждую из таких точек к график}’ функции у = - 1/(х И),
высекают на оси абсцисс отрезок длины 3/2.
214
118.	В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости зада-
ны две параболы: у = х2-2х; у = - 2х2 -1 18х- 41. Найти минималь-
ное значение расстояния между двумя точками, одна из которых при-
надлежит первой параболе, а другая - второй параболе.
119.	(в) При каких значениях к кривые /(х) = 2х2 и /2(х) = Нпх име-
ют одну общую точку?
120.	Найти все значения параметров а, Ь, с, таких, что существует пря-
мая, касающаяся графика непрерывной функции
х2 +10х + 8; х < -2,
у = ах2 +bx+c\ -2 < х < 0, ровно в трех точках.
Ответы:
29.	у = 1 -х. 30. у = — х + 1. 31. у = тг(х-2), 32. а) у = 1; б) у = л/2 -х .
33.	у = -2х ; у = 2х - 4.	34. Касательная у = 2х - 2л; нормаль
х л	—	х 1
у = — + — . 35. Касательная у = —V2rcx + л; нормаль у = .— —.
2	2	\/2л	2
36. Касательная у = -— + 2;
е
Зх 5-31п2
у = — ч-------: нормаль
у = 1 - х: нормаль у = х +1.
у - ЧОх 9. 41. у-4х 1-2.
нормаль у = хе +1 - ег. 37. Касательная
8х 5 16 In 2 т.
у =------1-1-----. 38. Касательная
3 4	3
39. у = -^5/Щх-3). 40. у = -6х-1;
4
42. v~3x- 2. +3. у---х , У--ХЧ-------.
27
44. .4(1; - 27); В (4; 0) . 45. у=-1х + |. .у-=- ^х + ~. 46. a) j = 11х - 24 ;
х	9
у = -х; б) у = -2х -4 ; у = -8х+8; в) у = — 2 ; у = — х + 6 . 47. у = ех.
4	4
48. у = -. 49. у=3; у = -Зх-12;	=13,5.50. у = -х + 10; у = 5;
е
ХАВЫ 0.5
(кв.ед.). 51. arctg—. 52. 45° : 135° . 53. f 1;
7	(8	16
м «	л лт
1.55. хе < л/?: - + — п. т & Z 1.
'84	'
215
56. -~ + nk, keZ. 57. P ; - —). 60. S' = 1.62. a =	.
4	U' 32 J	2
63. b = -1; c = 1.64. a) 32 кв.ед.; 6) 32 кв.ед.; в) 32 кв.ед. 65. а) 2 кв.ед.;
2
б) 1 кв.ед.; в) 2 кв.ед.. 67. 12 кв.ед.. 68. 3 кв.ед. 69. а) 31, 25; б) 41у.
70. я = ±18. 71. а) а = 1; б) а = 1/4; в) а е {3; -1}. 72. /?е{0;-4}.
73. S=—. 74. у=2х+1. 75. v = -x + 2,5. 76. S'= 1,5. 77. 5>/5 .
64
. 79. a = 3;Z> = 2 . 80. ре(
9 5-Зх
у = 7х-11.82. у = 7х —14. 83. у = -х— .84. у =-.
л	?	4	'	9
85. у = р* • у = х +1 86. у - х -1; у = Зх - 2.87. р е ||.
4	Л 6	3 Л
88. у = 2х-7; р = -^=.89. /f(0;0);73|j;. 90. (0;24);(-8;0).
91.	у =2х-21; /х =10,5; 1у =21.92. у = х + 4. 93. у = х-3. 94. <7 = 1/2.
. 99. а =	.
12
95. a <2. 96. /1(0;-1); й(4;3),97. 150'. 98. пе
WO. M\-
104. y = 2r
-—|. 101. р е {-1; 31. W2. М | 1; -—+ 3 |. 103. arctg4.
4/	*	’ С !п.З )
32
у = 2х---. 106. Общие точки (1;3),(-3.-1) являются точками
касания. 107. у = х>/2 + V2 ; у = -х-Л. +^2 . 108. a) arctg- ; б) arctg—;
6	43
в) arctg2>/2 . 109. у = >/бЗ - 8 ±2^--4бЗ или у = —>/бЗ -8±2^8 + >/б?.
.111. Да. у = -Х-—. 112. у = 2х-2 .
4
113. /1(1: -4). 114. Д(1; 1). 115. .4^: - ||
118. р -.- л/5. 119. к е (-ос:0)U{4e) . 120. (];6;0) .
110.
. 116. я = -15 . 117. (0;8).
216
18. ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ. МОНОТОННОСТЬ.
ЭКСТРЕМУМ. ВЫПУКЛОСТЬ. ПЕРЕГИБ
Теорема: Если функция f(x) во всех точках некоторого интервала
имеет неотрицательную производную (/'(х) > 0), то она
возрастает на этом интервале, а если производная непо-
ложительна, то функция убывает. Причем f'(x) обра-
щается в ноль лишь в конечном числе точек.
Пример 1. Доказать, что функция /(х) = ху -Зх2 + 3х возрастает
при всех х е R .
Решение. Данная функция определена и имеет производную при
всех действительных х (х е R). А именно
Л(х) = 3х2 -бх + 3 = 3(х2 -2х + 1) = (х-1)2.
Очевидно, что при любом значении х выполняется неравенство
f '(х) > 0, причем /'(х) = 0 лишь в одной точке (при х = 1). Следова-
тельно, данная функция f (х) возрастает при любых х е R, что и требо-
валось доказать.
Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, называ-
ются ее промежутками монотонности.
Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если суще-
ствует такая окрестность точки х0, что функция /(х) определена в этой
окрестности точки х0, и для всех х х0 из этой окрестности
f (х) > /(Хо). Проще говоря, если и слева и справа от точки х0 значения
функции больше, чем значение функции с самой точке. х0, то такая точ-
ка х0 будет точкой минимума. Если же /(х)</(х0) для всех х^х0 из
этой окрестности, то точка х0 называется точкой максимума функции
f (х). Следует отметить, что экстремум - понятие локальное (местное),
то есть в принципе достаточно, чтобы слева и справа от точки х0 было
по одной точке, в которых значения функции меньше (или больше), чем
значение функции в самой точке х0, чтобы такая точка х0 являлась точ-
кой максимума (или минимума).
Точки минимума и максимума функции называются ее точками
экстремума, а значение функции в этих точках - экстремумами данной
функции.
217
Для функции, график которой представлен на рисунке, точки х, и
х3 являются точками максимума, а точки х2 и х4 - точками минимума.
Точки а и b нс являются точками экстремума этой функции, так как у
них нет окрестностей, целиком входящих в область определения функ-
ции. Точка х5 также не является точкой экстремума, поскольку слева от
нее значения функции меньше f (х5), а справа - больше Дх5).
Промежуток [хдх2] является
промежутком монотонности функции,
а именно промежутком ее убывания,
так же, как и промежуток [х3;х4].
Промежутки [a;xj; [х2:х,]; [х4,&]
промежутки возрастания функции.
На промежутках возрастания функции ес производная больше нуля,
на промежутках убывания - меньше нуля, в точках экстремума и точке
х5 - равна нулю, т.е. в этих точках касательная к графику функции ста-
новится горизонтальной (угол наклона равен нулю). В точках экстремума
дифференцируемой функции производная обязательно равна нулю -
возникает необходимое условие существования экстремума.
Теорема Ферма: Если точка х0 является точкой экстремума
дифференцируемой функции f(x.),mo /(хо) = О.
Следует обратить особое внимание на то. что это условие необхо-
димое, но нс достаточное, что нс каждая точка, в которой производная
дифференцируемой функций равна нулю, будет являться точкой экстре-
мума. Например, для рассматриваемой функции (см. рис.) в точке х5
производная обращается в ноль, но в этой точке функция не имеет экс-
тремума: она возрастает на промежутке (х4;Ь). Аналогично, функция
f(x) = x:’ имеет производную /'(х) = 3х2, которая обращается в ноль
при х = 0, но в этой точке функция не имеет экстремума: она возрастает
на всей числовой оси, так как Зх2 > 0 при х е В .
Если расширить класс рассматриваемых функций f(x) и допустить,
что в отдельных точках производная нс существует, то, возможно, экстре-
мум придется па какую-либо из таких точек. Например, функция у - х2/'.
очевидно, имеет минимум при х - 0. в то время гене сс производная в
218
1
точке у =—yr- не существует. Однако одно лишь отсутствие производ-
Зхч
ной нс гарантирует наличия экстремума. Примером может служить
функция у = х1/3
. Ее производная у' =
1
Зх*
не существует в точке с
абсциссой х - 0, но х = 0 не является точкой экстремума этой функции.
Из сказанного следует, что точки экстремума функции следует ис-
кать среди точек, в которых ее производная равна нулю или не сущест-
вует. Такие точки называются критическими точками функции.
При исследовании функции на экстремум пользуются следующими
достаточными условиями для точек максимума и минимума:
1.	Точка х0 является точкой максимума функции f(x), если у точ-
ки х0 существует такая окрестность, что в ней функция f(x) непрерыв-
на, f'(x)>0 для х<х„ и f'(x)<0 для х>х0. Другими словами, если
слева от точки х0 функция возрастает, а справа от нее - убывает, то в
точке х0 функция имеет максимум.
2.	Если же f'(x)<0 для х<х0 и f'(x)>0 для х>х0, т.е., если
слева функция убывает, а справа от точки х0 возрастает, то х0 - точка
минимума.
Попробуйте по данному графику' производной восстановить (конеч-
но, с точностью до сдвига вверх-вниз) график функции:
3.	Доказать, что функция а) у = 2x + sinx; б) у = x + sinx возрастает на
всей числовой оси.
4.	Доказать, что функция у = О,2х5 +х4 + 2х3 + Зх1 +5х возрастает на R.
5. Доказать. что функция i  - -0.2 г’ + 0. З.у'1 - - х3 - х2 - Зх убывает на R.
219
6.	Найти пересечение промежутка возрастания функции
1 + х	1
fix} = —=- и области определения функции g(x) =------------.
fx	'	lgx-lg(4-x)
7.	Доказать, что функция у = х+-^— возрастает на всей числовой оси.
X +1
Найти промежутки убывания функций:
8.	/(х) = sin 2х-х+5.	9. /(х) =cos2x + x-2 .
32х	9-3*
10. /(х) = tgx-sinx + 2cosx.	11. f(x) =------------f-14x-5.
21пЗ 1пЗ
12. /(х) = logj2 x + 21og( х + 60.
2	2
Найти промежутки возрастания функций:
13. /(х) = sin3 х + 7 .	14. /(х) =-ycos2x-sinx + 3.
0 52х	4-0 5х	3
15. /(х) =—-------------нЗх-2. 16. f(x) = — lg2x + lg3х.
V 7 21n0,5 ln0,5	7 2
Найти промежутки монотонности, критические точки, точки экс-
тремума и экстремумы следующих функций:
17. у =	.	18. v = х/2х3 -15х2 +36х .
19.	------2-------- 20. у = 23?",0?+3.
(х~2)~ (х-3)"
21. у-sin—-— -------.	22. у =-V3cosx-sinx .
(х( -Зх2+5
23. у = lgx-sin2x.
24. v = log0 , х---—.
°’ In 0,7
х<2,
26. у = <	7
[xVl-x + 2, х > 2.
1
х-------- х < 1. х С
!8. у = <	2х'
г’ - 5 х.	х > I.
2:20
Найти вес значения параметра, при которых выполняются/заданные
условия:
29.	Функция у - х3 - ах+5 возрастает на IS.
—х’3 zwx2
30.	Функция у - —~+~2—х+^ Убывает на R.
*	а
31.	Функция у = х+— не имеет экстремумов,
х
32.	Функция у = х3 - ахг + (За - 3) х + 2 возрастает на [4; + <ю) .
33.	Функция у = х3 - ах1 + (ба -1) х + 3 убывает на [ 1; 2].
34.	Функция у = х3 - ах2 + (2а-3)х + 2 возрастает на [-2; -1].
37. Функция у = 
35.	Функция у = х+— возрастает на (2; +<ю) .
36.	Функция у = [х-а)2 (х- 2а+4)’ возрастает на (0; 1).
х3 +3х-3,
2х + —,
X
2х + а,
1 < х < 3, возрастает на R,
38.	Функция не имеет экстремумов:
а)	у - а  8х - -5-  4х + -~(а -1)  2х + 3;
2	8
6)	у = а-8х-(За-2)-4х-3(За-2)-2х-1;
в)	у - [a1 -3a+2)^cos2-^-sin2^j + (a-l)x + sinl.
Ответы:
221
6. [1; 2)U(2; 4). 8. — + пк: — + itk .к eft.9.
6	6
7л " , л
— + лк;-----h пк .
12	12
л	г
— + 2ли; 2 ли , п, к е Z .
2
11 [log, 2; log3 7]. 12. (0;2].13. -у + 2л£; + 2пк
5л „ Зл „ 1	|
6	’ 2	’	’
Л
fceZ.10. -л + 2л&;----ь2л& ,
2
л
14. —+ 2л£;—+ 2л& ,------н2ли;---ь2лп , п, к е Z. 15. -оо; log, 3 ,
|_6	2 J L 6	2 J	<	7
2
К. я
.6
[0; +ос) . 16. (0; 1/10]. [1; + оо). 17. Функция возрастает на [VI; +<x>j и
убывает на (-оо; 0]. 18. Функция возрастает на [0; 2] и [3; + ос), убывает
на [2; 3]. 19. На (-оо; 2) и [2,5; 3) возрастает, на (2; 2,5] и (3; +оо)
убывает. 20. На (-оо; - VI] и [VI; + со] возрастает, на [-VI; VI] убы-
вает. 21. На (-со; -2] и[0; 2] возрастает, на [-2; 0] и [2; + оо) убывает,
л _ . 7 л	, гп
— + 2 лк;---t- 2лк , к е Z ,
6	6
7л „	13л , 1	„
уоывает на каждом из промежутков--------ь2ли;----+ 2ли .лей.
6	6
22. Возрастает на каждом из промежутков
23. Возрастает на каждом из промежутков вида
л/<; у -I пк L к е Z ,
убывает на каждом из промежутков [--у + пк: пк . к ё Z . 24. Возраста -
ет на (0; 1], убывает на [1; -юо). 25. Возрастает на (-оо; -1] и (2; а со).
убывает на [-1; 0) и (0; 2]. 26. Возрастает на (-оо; 1], убывает на [1; +оо).
27. Возрастает на (-оо; 4] убывает на [4; + оо). 28. Возрастает на (-оо; -1],
(0; 1) и на (1; + оо) , убывает на [-1; 0). 29. а е (-оо; 0]. 30. т е [-2; 2].
31. а е (-оо; 0]. 32. (-оо; 9]. 33. ( -со; — 11/2]. 34. [0; +оо),35. (^о; 4].
36. (-oo;0]U 1у;
; б) 0; -
222
19.	ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА
Пример. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x-\—— и по-
х —1
строить ее график.
Решение. 1) Область определения функции D(x) е (-oo;l)U(l;+°°).
2)	Производная f\x) = 1---5—-.
(x-l/
3)	Производная определена на всей области определения функции^
т.е, при всех хе R . кроме х = 1.
При этом f\x) = 0 при х = 0 и х = 2; /'(х) не существует при х = 1.
4)	Рассмотрим точку х = 1. В этой точке не существует и сама
функция /(х), следовательно, точка х = 1 не является точкой экстрему-
ма, а является точкой разрыва. В этой точке функция имеет вертикаль-
ную асимптоту х = 1.
5)	Рассмотрим точки х = 0 и х=2. Выяснить знаки производной
/'(х) удобнее всего, решая неравенство /'(х) < 0 : 1--—< 0 <=>
л*( х — 2)	—"ч х*—ч
<=> -—< 0 . Решаем методом интервалов: t-Z. ~ Y ~	»
На интервале хе (0;l)U(l;2) функция убывает. Чтобы выяснить
интервалы возрастания функции, не обязательно решать неравенство
/'(х) > 0 . ведь решая предыдущее неравенство методом интервалов, мы
их уже определили на числовой оси: хе (-oo;0)U(2;+oc). Результаты
такого исследования знаков производной в области определения функ-
ции удобно представить в виде таблицы, добавив туда, для полноты кар-
тины. значения функции в точках экстремума и сделав выводы о поведе-
нии графика функции на обозначенных интервалах.
Таблица
X	(-оо; 0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	(2;+оо)
/'(X)	+	0	—	Не сущ.	—	0	+
/(х)	т	-1		Нс сущ.		3	т
/(X)	возрас- тает	max	убы- вает	Не суш.	убы- вает	min	возрас- тает
223
6)	Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:
/(х) = 0=>хн—— = О=?хе0,
х-1
7)	Полученной информации достаточно для построения графика
функции, но можно заметить, что при х -> ±оо дробь —--> 0, следова-
х —1
тельно, при очень больших положительных х —> +оо и очень больших
(по модулю) отрицательных х —> -оо значениях аргумента график дан-
ной функции стремится к прямой у = х, которая
I
называется в такой ситуации наклонной асим-	I
птотой.	\
8)	Построим график данной функции.	3-"7/^^
Ответ: /(x)mj„ = /(2) = 3,
/(*)гоах = /(°) = -1 •	, , О Z 1 >2
Заметим, что эти значения нс являются наи- У* ^-1 х
большими и наименьшими значениями функции.	Д
Провести полное исследование функции с по- " I
строением эскиза графика:
1. у = 3 + 2х + 4х4.	2. у =	х+2 х3 '	3. у = -^-г. (х-1)2
х3 4- У ~	, •	5. .у -	(х-4)2х2	,	16 / > \ 
X" +1			
х4		1-х'	X2 - -s
7. V - -	.. .	8. у-		9. .у- -		 .
1-х3		х4	х-3
„	X3 - 2		х2 +1	(х+2)3
10. у — —— X'	11. у-	4-х2 '	12. v--i— X
	14 v -		
	14. у		J	у--	 . у]х - 4
Х-2		х+2	у
	17 v - -		
а/х2 +1		/х2 -1	' Vx2-4
х2-4		а/х2 -1	ю
19. у	20. у - -		21. у-х-1	
/х2 +1		.Г	.Г 4- 2
224
28.
sinx
2+cosx
29« У =
31.(e) у = —	= shx.
33. (в) v = ^^-.	34.(e)y = xlnx.
x
36. (в) y-x2e~x.	37. (в)у = — .
Inx
23. у ~ x2 Vx + 1 .
25. у — л/1 -x + у/х + 2 .
27. у = cosx-—cos2x.
2
ЗО.(в) у=——=chx.
З2.(в) у = е е x =thx.
е +е
ех
З5.(в) у = — .
х
38. (в) j/ = x2lnx.
39. (в) у- xln2 х. (4-40. (в) у = (х + 1)е2л. 41. (в)	.
In х
_ , ч lnx + 1
42.(в)у =------.
43. (в)у = е^(х-1)2 .
Ответы:
225
у' = 4х(х-2)(х-4);
' у = 4(Зх2-12х + 8).

2®

,	х + 3
у = .
•ух2 + 6х + 8
-1
14.
^х' + 6х + 8) Vx 46х+8.
228
15.
-4
(х2 - 4)л/х2 -4
2х +1
(х2 +i)7x2+Г
-4х2 - Зх + 2
(х2 +1)2 л/х2 + 1
-2х-1
(х2 -1)л/х2 -1
4 л*2 + Зх + 2
(х2-])2>/7<ч’
229
22.
________4_______.
(x -1)‘ у/х2 -2х-3
-4(Зх2-6х-5)
У (х 1)3(хг-2х-3)л/х2 2г З'
230
26.	У
231
, l + 2cosx
’ =----------у',
(2+cos.г)
„ _ 2sinx(cosx-l)
(2 +cos .г)1
, cos2x
У =—
, COS X
„ -sin2x
У =—— •
COS X
,	, . e -e
у =,isfcc = —-—
30. (e)	2
PX _|_z> x
2
232
311 (в)	2
ех — ё
y = shx = l—L
2
4	1
(ех+е’х)2 ch'x'
' ~е*) _ -2shx
(ех +е~*) х
у' = 1пх + 1;
34. (в)	„ = _1
х
36. (в)
23.3
, Inx-1
у ~~т~г—;
37. (в) 1П Х
„ 2-1пх
У = " 7 ~~
ХШ X
38. («)
у' = х(21пх+1);
У = 21пх+3.
2.34
43.. (в)
е*^9х2-6х-5)
9(х-1)^х-1 ’
235
20.	НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Существует следующий алгоритм определения наибольшего й наи-
меньшего значений функции f(x) на отрезке [a;Z>]:
1.	Найти /'(х).
2.	Найти точки, в которых f'(x) = 0 или /'(х) нс существует, и вы-
брать те из них, которые принадлежат отрезку [а;Ь].
3.	Вычислить значения функции f (х) в точках, выбранных в пункте 2,
и на концах отрезка, т.е. в точках х = а и х = Ь.
4.	Выбрать из вычисленных значений наибольшее и наименьшее:
они и будут искомыми величинами - наибольшим и наименьшим значе-
ниями функции f (х) на отрезке [а; 6] •
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
/(х) = 4х3-9х2-12х на отрезке [—1;1].
Решение. 1. Найдем производную функции: /'(х) = 12х2-18х-12.
2.	Производная /'(х) существует при всех х. Найдем точки, в кото-
рых /’(х)=0. Получим 12х2-18х-12 = 0 => 2х2-Зх-2 = 0 => х, = 2 ;
х2 ~ -0,5 . Отрезку [-1; 1] принадлежит только точка х = -0,5.
3.	Вычислим значения функции в точках х = -1; х = -0.5 и х = 1 :
/(-1) = -4-9 + 12 = -12; /(-0,5) = 3,25; /(1) = -17 .
4.	Выбираем из вычисленных значений функции наибольшее и наи-
меньше. Наибольшим является число 3,25, наименьшим - число -17 .
Ответ: тах/(х) = /(-0,5) = 3,25 ; min/(x) = /(1) = -17
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
/(х) = х2-5|х| + 4 на отрезке [-1;4].
Решение. Сначала необходимо раскрыть модуль, в результате чего по-
лучаем две функции: при х>0	/(х) = х2-5х + 4 и при х<0
/2 (х) = х2 + 5х + 4. Таким образом, задача сводится к исследованию функ-
ции / (х) = х2 - 5х + 4 на отрезке [0; 4]. а функции /2 (х) = х2 + 5х + 4 - на
полз'интервале [-1,0), и последующему выбору наибольшего и наи-
меньшего значений из польщенных для каждой функции.
236
Исследуем на наибольшее и наименьшее значение функцию
J\ (х) = х1 - 5х+4 на отрезке [0; 4]:
1.	Найдем производную функции: f\x) = 2х - 5.
2.	Производная f (х) существует при всех х. Найдем точки, в кото-
рых f (х) = 0 . Получим 2х-5 = 0 => х = 2,5 . Эта точка принадлежит
отрезку [0; 4].
3.	Вычислим значения функции /(х) в точках х = 0; х = 2,5 и
х = 4:/(0) = 4; /(2,5) = -2,25; /(4) = 0.
Исследуем на наибольшее и наименьшее значение функцию
/2(х) = х2 + 5х + 4 на полуинтервале [-1,0):
1.	Найдем производную функции: /2' (х) = 2х + 5.
2.	Производная /2 (х) существует при всех х. Найдем точки, в кото-
рых /2 (х) = 0. Получим 2х + 5 = 0 => х = -2,5 . Эта точка не принадле-
жит полуинтервалу [—1;0).
3.	Вычислим значение функции /2 (х) в точке х = -1: /2(-1) = 0.
4.	Выбираем из вычисленных значений функций наибольшее и наи-
меньше. Наибольшим является число 4, наименьшим - число -2,25 .
Ответ: max f (х) = /(0) = 4: пйп/(х) = /(2,5) = -2,25.
Задачи
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(х) на за-
данном промежутке:
а)/(х) = 2х3-9х2+12х, [0:3]; б) ,/(х) = х’-12х+9 , [-3,3];
в)/(х)=х3+15х2+72х + 7, [-6;-1];
г) Дх) = 2х3 + 21х2 + 60х - 9 , [-5; 0]; д) /(х) = х5 - 20х2, [-1; 2];
е) /(х) = -х2 +3|х|-2 , [~2;1]; ж) /(х) = 6х2-13|х|+6, [—1;2]
з) /(х) = cos3x-15cosx + 8 ,	•
Ответ: a) max /(х) = /(3) = 9 ; miri/(x) = /(0) = 0 ;
6) тах/(х) = /(-2) = 25 ; min; (х) = ./(2) = -7 ;
237
B)	max /(*) = /(-1) = -51, min f(x) = f(-6) = -626 ;
г)	max f{x) = /(0) = -9 ; min f(x) = /(-2) = -61;
д)	max f(x) = /(0) = 0; min f(x) = /(2) = -48;
e)	max/(x) = /(-1,5) = 0,25 ; niin/(x) = /(0) = -2;
ж)	max /(x) = /(0) = 6; min/(x) = /(13/12) = -25/24 ;
з)	max/(x) = /(л) = 22; min /(x) = /(n/3) = -1/2.
i/т.'	[тт]
2.	Найти наибольшее значение функции /(х) на заданном промежутке:
а) /(х) = 18х2 + 8х3-Зх4, xeR; б) /(х) = - 21	, [-0,5;3];
в) f(x) = 7 + 2xln25-5x”‘ -52"х, xeR.
Ответ: a) max /(х) = /(3) = 135 ; б) тах /(х) = /(3) = -1/64 ;
в) тах/(х) = /(2) = 1+81п5.
4
3.	Найти наименьшее значение функции /(х) = х+-—— на от-
резке [0; 5].
Ответ: max /(х) - /(0) -1.
4,	Найти точки минимума функции у(х) -2х|х - 2|, задаийриПй
отрезке [0;3], и ее наибольшее значение на этом отрезке.
Ответ: х = 2/3 - точка минимума функции у(х), заданной Pt-
резке [0; 3], 1Ш у(х) = у(3) = 21.
5.	Найти точки максимума функции у(х) = -5х3 + х|х -1|, заданной
на отрезке [0; 2], и ее наименьшее значение на этом отрезке.
Ответ: х = 1/5 - точка максимума функции у(х), заданнойхй^ о^
резке [0:2], minXх) - v(2) = -38.
6.	Найти модуль разности экстремумов функции у(х)=х3 + Зх2 - Зх = 1.
Ответ: 8ч/2 .
238
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f на проме-
жутке X, если они существуют:
г3
7.	у = х3 -9х2 +\5x+l, X =[-2;б].	8. У = -^~Ц> х
х2
10.	У = -г$—, X, =[3,4]; Хг = [0;4]\{2|; X, =Я\(±2) .
ух -4
И.
У =
, X. =[-2;0]; Х2 = (-оо;0); Х3 = R\{1} . Х4 = [2;оо)
12.	у=х	у=(0;оо).	13. _у = (х-2)2>/х2-4х + 6, X = [1;4].
14. у = 24x-cosl2x-3sin8x, X =
15. (в) _у = 2х2-1пх, X =[е Ч]
Л Л
6’6
16. (в) у = ё
17. у = 2xsin2x + cos2x, X =
л
—
2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном
промежутке (если они существуют):
2
18. f (х) - х3 - 6х2 + 2 на [-3: 3].	19. /(х) = х+ ~- на [1. 3].
20. j (х) = Зх’  Хх3 т- Ьх~ + 2 на [ - Г, 2].
21.	/(x)=-cos2x-2cosx на
22.	f (х) = 5х - 4х на [1; 2].
л Зл
2’ 4
23.	/(х) =
х4 +4х3,
х3 -6х2,
х<-1
на-®.
х > -1
9х
24. /(х) = х4-8х2-9 на[-1; 1].	25. /(х)=	на[-1; 2].
26. j (х) = 2х2 - 7 |х| + 5 на [-1; 3]. 27. / (х) = х1 - х на [1; 3].
28. /(х) =- х2 4 |х - 2| на [-3; - 1].
2<л	=47771на ['2’2]-
239
30. /(х) = 0,7?+2х на R.
31. /(x) = e*sinx на 0; —
32.	/(х) = -|2х3 + 15х2 + 36х-30| на [-3; 2].
2
33.	Найти наименьшее значение функции z = х4 + у4 ч——г •
X у
34.	Найти экстремумы, наибольшее и наименьшее значения (если они
есть) функции у = |x + l|-Vl-6x + 9x2 .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
35.	g(x) = 2sin3x + 16sin2 х .	36. /г(х) = cos3x + 8cos2 х.
Найти множество значений функции:
37. у = 5sinx-12cosx .	38. у = 5sinx-12cos2x.
39. y = (sinx + cosx)2.	40. у = cos2—sinх.
41. у = 15-3cosx + cos3x.
sinx + 4 cosx-4
43.	у = 5 cosx-cos 5x .
44.	При каких значениях а функция у = -х3 + ах2 + а2х + 5 возрастает на
промежутке [-6:2]?
45.	Найти все значения параметра а. при каждом из которых функция
v = nsin7x+8<?x + sin4x-5x убывает и не имеет критических точек
на всей числовой прямой.
46.	Наши наибольшее и наименьшее значения функции
2	1
/(х) --х5+6ух3+4- на отрезке [-1:2] .
47.	Дтя каждого значения параметра а найти наибольшее значение
функции у- 1 + ах-х2 на отрезке [1;2].
48.	При каком значении параметра а наименьшее значение функции
у = х2 - Ьах - а4 будет наибольшим возможным?
49.	Найти все значения параметра р, при которых функция
х3
у = --рх' + (2-р)х + .3 имеет одну критическую точку, при этом
НС ИМССТ ЭКСТрСМУМа.
240
3х + 3 1
50.	(в) /(х) =—;----+8х. Найти max/(x).min Г(х).
V 7 1пЗ	I «Г ' 7 [-U2]J ' 7
51.	Найти при каждом действительном Ъ наибольшее значение функции
у = -(arcsinx)2 +(2Z> + l)-arcsinx+2-Z>-b2.
52.	Найти наименьшее значение функции
f (х) = arcctg (cos 4х)+arctg (sin 7х), а также все значения х, при ко-
торых оно достигается.
53.	Найти наибольшее значение функции
/(х) = arctg (sin 1 lx) 4- arcctg (>/з cos 2xj, а также все значения x, при
которых оно достигается.
54.	Найти наибольшее значение функции f (х) = х4 - 6Ьх2 + Ь2 на отрезке
[-2,1] в зависимости от параметра b .
55.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = J7(io -х) в
области ее определения.
56.	Функция f (х) = —— определена на отрезке [-1; 3]. При каких зна-
чениях с наименьшее значение /(х) на этом отрезке больше
-0,125 ?
Найти все значения параметра, удовлетворяющие следующим
условиям:
57.	Наибольшее и наименьшее значения функции
f (х) = 2х’ - Зях2 на отрезке [-1; 1] достигается внутри него.
58.	Наибольшее и наименьшее значения функции j (х) - х3 -Г2х на от-
резке [0; а] достигается в правом конце.
59.	Наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = х+— на отрезке
[1; 2] достигается в правом конце.
60.	Наибольшее и наименьшее значения функции
9
—; 2 достигается вну три нею.
(и + 1)х’ + бах на отрезке
241
61.	Наименьшее значение функции /(х)=х2+— на отрезке [1:2] больше 6.
62.	Наибольшее значение функции f (х) = (х-а)2 (х-3) на отрезке [0: 4]
нс превосходит 4/27.
63.	Наименьшее значение функции /(х) = 2х3 -Зах2 +3а на отрезке
[0; 2] будет наибольшим.
64.	Наибольшее значение функции /(х) = ах+— (а>0) на отрезке
[-2; -1] будет наименьшим по модулю.
65.	Найти наибольший член последовательности ап - 4п2 + ЗОл - 2л .
Найти наименьший член последовательности:
66.	а„ = (и2 -4и)(л +3)3.	67. а„ = и2 .
37
68.	ап = л н-.	69. а„ = л3 - 18л +3л + 2 .
л
Найти все значения параметра, при которых выполняются сле-
дующие условия:
70.	Критические точки функции у = х' - 6х2 -I- 9х чаи значение функции
в точке х = 2, взятые в некотором порядке, образуют геометрическую
прогрессию.
/». Нгпщ х —/> яю1яс’|0я ючкой минимума функции v — 2л 6а"х+3.
а > 0.
72.	На интервале (1; 3) лежит ровно одна критическая точка функции
/(х) = ^- + (а + 1)х2 -(2а + 3)х + 1.
73.	На интервале (-2; 3) есть не менее двух критических точек функции
X3
/(х) = —+ (2-а)х2 -2ах + 3 .
74.	Точки экстремумов функции /(х)- х’Зшх2 а З(ш2 1)х....! лежат
в промежутке (-.? 4).
242
75.	Все экстремумы функции /(х)	-— х3 + 1ах2 -9х+Ь положитель-
ны и максимум находится в точке х0 = - 5/9.
76.	Все экстремумы функции /(х) = ct'x'-0,5ах2-2х-Ь положитель^
ны и минимум находится в точке х0 = 1/3 .
77. Функция
f (х) = ух3 ±(а±2)х2 +(л-1)х + 2
имеет отрицательную
точку минимума.
ai>'i
78.	Функция f (х) = 2°2+3о"л , а > 0 монотонно возрастает на промежутке
[1; 4).
79.	Функция f (х) = (с-12)х3 + 3(с-12)х2 + 6х + 7 монотонно возраста-
ет на R.
80.	Функция /(х) = 2е*-те * + (l + 2w)x-3 монотонно возрастает на R.
81.	Функция /(х) = 6х’-20х3±5(6+9)х-7 монотонна на R.
82.	Наименьшее значение функции
/(х) = Зх4 ±4х3 (cosa-sina)-Зх2 sin2a . a e[0; тс/2] на отрезке
х е [ - sin a; cosa] принимает наименьшее значение.
83.	Наибольшее значение функции /(х) - х4 - 2х2 sin2 а-2(1 гcosa)3
при --sa< на отрезке хе['- (1-I cosa); l-i cosa] принимает наи-
меньшее значение.
Огне т ы;
7. miny = -73; шаху = 8. 8. шах у = 1/2 ; наименьшего значения нет.
г	3
9. пнпу = 0; наибольшего значения нет. 10. imny = V3; таху = -^=;на
Х2 и на Х2 нет ни наибольшего, ни наименьшего значений, так как
lim у = ±оо . 11. min у = 0. max у = 1 ; min у = 0; наибольшего значения
х->2г0	X. '	.Г, ’	X, ’
на .V, нет: min у = 0; наибольшего значения на Л\ нет; тахг-3;
А, '	X. '
наименьшею значения на V, шт. Задачу имеет смысл решать фафически.
243
12. nun у = 4; наибольшего значения на А'3 нет (неравенство Коши и
предел на -не). 13. ппп>, = 0; таху = 4л/б (замена i = (x-2)2 или
р = yjx2 -4х + 6 облегчает решение!) 14.	miny = -4л-1 —— ;
3^3	1
max у = 4л -1 +---. 15. min у = —t- In 2 ; max у = 2е2 -1.
X	2 х л 2 X 
. .	.1/3	11 2/3	• Зл	Д
16. шш у = 5е  max у = —е . 17. min у =-------; max у = —.
X	X •	3	Л- л 2 х •	2
18. min/(х) =-79, тах/(х) = 2. 19. min/(x) = 2V2 , тах/(х) = зЗ.
[-ЗД]-7	'	[-313] V 2	[1;3] j ’	[1; 3] J У '	3
3	t-
20. min/fx) = 2 , max f(x\ = 19.21. min f(x) = —, max /(x) = v2.
[-i;2] v ’ I in] ' '	Li if y 2 Li if v 7
L 2’ 4 ]	L 2’ 4 J
22. min /(x) = 1, max f (x) = 17 . 23. min f (x) = -32 , наибольшего зна-
2
чения нет. 24. min/'(х) = -16, max/7х) =-9. 25. min/'(x) =------------,
Hi] v 7	( и] 7 7	[-ini v 7 ln2
17	9
max f (x) --------. 26. min f (x) = —. max f (x) = 5 .
L,2]j v > 4in2 I i.J]7 v 7	8 ' ! >;>r v 7
. min fix) = 0.28. max f(x) = 14. min f (x) = 4.
 ii. 3] ' v 7	I .3, )]•' ' >	[ 3. -i/ ' 7
/(x), 3ft. max/(x) =--y наименьшее значение
.. <( \ 3
tic досгигасгся. 31. max j (x) = - -e
о'	2
, c> j
min/(x) = -118.33. 4. 34. maxy = 4/3; наименьшего значения нет.
14	7
35. ming(x) = -—; maxg(x) = 18. 36. min/i(x) =; max/?(x) = 9
Г 25
37. Г-13;131. 38. -12—;17
L J L 96
Г, г „ /Т ... , Г1 .. Г 2V2	2V2 1 Г , p , ГГЗ
41.	|1> -"л/. 1 j + 2v.2 I. 4z. 1—-2--.—==•— 1. 43.	1.
-	! 4-J2 -i J ' Jx/2 - .1 ! L	J
inin f (x) - 0.32. max./ (x) = 0,
] .39. [0.2]. 40. Г_ЗлА.з7з1
8	8
244
( I \	i	7
44. а е (-oo;-6]U[18:oo) .45. а е -оо;— . 46. min f = -1—; max f - 25— .
V J L 7 I 15 J l-wr 3 H;2|	3
47. При a<2 inax_y = a; при 2<a<4 maxy = l + —; при a>4
maxy = 2a-3. 48. 77 = 0. 49. pe(l;-21. 50. max/(x) = -^- + 16,
[1;2] ’	1	’	H;2) V 7 ln3
min/(x) = y^-. 51. При b <max.y = -^--^-(2b + i) + 2-b-b2;
Л + 1	,	71 — 1	- 1	,	71 — 1
при---— <b <—£~ maxy - 2— ; при b >——
maxy = -^-+^(2b + l) + 2-6-b2. 52. 0 при x = ~ + 2tm, seZ. 53. -Jjy-
2 i
21.60. 1—; 2 .
J 3 )
при x = ^- + 2itp, peZ .54. при b <-| пйх/(х) = 16-246 + b2, при b > |-
max f (x) = b2. 55. min/(x) = 0; max/(x) = 5.56. (-oo; — 1)U (11; +°°) .
57. Таких значений не существует. 58. (0; 2]. 59. (-оо;
61. (2>/2;+<»). 62. 4—^; 4 .63. а = 1.64. а = 0.65. а2 =4.
66. л, ——108.67. т75 = 75.68. л(,
- 12— . 69. 7712 ~ -826.70. ае
6
/_4. _81
I 3' 3]
71. 77 = 1. 72. (-3:-2). 73. I 2; — ]. 74. (-1;3). 75. « = --, Ь>— или
7	(	8 ) v 7	5	5
81 t 400 _	„ , li	n ,	1 „„
77 = —, b >----.76. а = -2 , b <---или а = 3 , b < — .77. а > 1.
25	243	27	2
78. ае 0;
— U[l; +оо). 79. [12; 14]. 80. [0; +оо).
81. (-оо; -9]U[3; + оо). 82. а е jarctg^^—у-arctg	—~~
.83. -.
3
ш
21. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Пример 1. Представить число 48 в виде суммы двух положительных
чисел так. чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наи-
меньшей.
Решение. Пусть х и у искомые числа. Тогда, по первому условию,
.г + у = 48 (1). Функция, по второму условию задачи, представляет собой
сумму куба одного из них и квадрата другого, т.е. f(x,y')-x’ л-у2 (2).
Чтобы получить функцию одного аргумента, выразим у через х в уравне-
нии (1): у = 48-х и подставим в функцию (2). Получим функцию
/(х) = х’ +(48-х)2. Из условия задачи очевидно ограничение для пере-
менной х е [0,48]. Таким образом, необходимо найти значение х е [0;48],
при котором функция /(х) будет иметь наименьшее значение. Вычислим
производную /'(х) = .Зх2 - 2(48 - х), приравняем ее нулю Зх2 + 2х - 96 = 0,
и получим критические точки х, =-6 и х2 =16/3. Значение х = -6 явно
нам нс подходит, но поскольку значение функции f (х) в искомой точке
нас в принципе не интересует, то можно, для начала, просто исследовать
функцию /(х) на экстремумы, определив интервалы возрастания и убы-
вания, для чего решим неравенство /'(х) > 0 => Зх2 + 2х - 96 > О методом
интервалов и там же (на числовой оси) покажем возрастание, убывание
функции и типы экстремумов.	—
Из рисунка следует, что функция имеет мини-	Т
мум именно при х = 16/3. а при х = 0 или х = 48	з'у*
функция имеет большие значения, которые нас нс тах т1И
интересую! и, слсдова1сльно, можно их нс вычислю ь. Искомое значение
... 16 128
первого слагаемого 16/3. второго 48—— = -у.
•	.о 16 128
Ответ: 48 = — +---.
3	3
Задачи
1. Число 180 разбить на три слагаемых так, чтобы два из них отно-
сились. как 1:2, а произведение трех слагаемых было бы наибольшим.
Ответ: 180 = 40 + 80 + 60 .
2. Число 18 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их квад-
ратов была наименьшей.
Ответ: 180 <) । Ч .
<246
Задачи на экстремальные расстояния.
Уравнение нормали к графику функции
Пример 2. На параболе 1у = хг -6х найти точку, расстояние от ко-
торой до точки Л/ (9; 3) будет наименьшим.
Решение. На рисунке схематично по-
казана парабола и точка М, не лежащая на
параболе, в чем легко убедиться, подставив
координаты точки М в уравнение параболы
- оно нс превратится в тождество. Возьмем
произвольную точку А(х:у), лежащую на параболе. Нам необходимо
найти такое положение точки А на параболе, чтобы длина отрезка AM
была наименьшей. Решить задачу можно двумя способами:
I способ.
Выразим длину отрезка ЛМ, используя координаты точек А и М\
AM = у](х, -хм)2 + (>;., -ум)2  Координаты точки М даны по условию,
абсциссу точки Л считаем текущей, произвольной, т.е. х. ордината точки
Л - у нам не известна, но поскольку' точка А лежит на параболе, то она
зависит от абсциссы х и определяется уравнением параболы, т.е.
№ — бх
у = —-— (1). С учетом этого можем записать длину отрезка AM как
функцию абсциссы х точки А:
(х — (5х I
(х-9)2+---------3	(2). Вычисляем производную
2(Л‘“’ 0) Г 2(0,5х2 - Зх 3)(х-3)
2^(х - 9)2 + ((х2 - 6х)/2 - 3)‘
приравняв ее нулю, найдем
критические точки.
Следует отметить, что знаменатель производной в ноль не обращается, а
числитель х3 - 9х2 + 14х = 0 при х1 = 0, х2 = 2 и х3 = 7 . Для всех трех зна-
чений следует вычислить расстояние AM по формуле (2) и из них выбрать
наименьшее. Итак, AM(0) = >/90 , ЛМ(2) = >/98 и ЛМ(7) = >/17/2 . Оче-
видно, что ИЛ/(7) является наименьшим, и искомая абсцисса точки
И х-7. Вычисляем ординату точки/! по формуле (1): _у = 3,5 .
Ответ: /1(7; 3,5).
247
II СП о с о б.
Из понятия нормали и рисунка очевидно, что наименьшее расстояние
от точки .1/до параболы будет по нормали ,-10.!/ . проведенной из точки.!/к
параболе. Обозначим за хс абсциссу точки .10 пересечения параболы и
нормали, проведенной из точки.!/. Уравнение нормали к параболе в точке с
-	1	X"
аосциссой хс имеет вид: v - v(x0) =----(х - х0). где г(х0) =-лх0 -
У(х0)	2
ордината точки .-Iq. а у'(х0) = х0 -.3 - значение производной от квадратной
функции в точке .-10. Подставим вычисленные значения у(х0) и у'(х0) в
V"	1
уравнение нормали: v - — + Зх0 =----(х - х0). Из всех нормалей к дан-
2	х0-3
ной параболе необходимо выбрать проходящие через точку Л/. Дтя этого в
качестве текущих х и у подставим в уравнение нормали координаты точки Л/
- получим уравнение для определения х0:
3-^- + Зх0 =---5— (9-х0)=>х’-9х2 +14х0 =0.
2	х0-3
Видно, что это уравнение аналогично полученному в первом спосо-
бе, и дальнейшее решение совпадает с показанным ранее.
Сравнение двух рассмотренных способов показывает, что по трудо-
емкости они очень близки. Следует отметить, что решение первым спосо-
бом можно несколько упростить, если в качестве исследуемой функции
использовать нс ЛЛ/(х). а ее квадрат, т.е. функцию <р(х) = AM1 (х), точки
экстремумов которой совпадают с искомыми.
Пример 3. Составить уравнение окружности наименьшего радиуса с
центром в точке Л(5;10), имеющей хотя бы одну общую точку с парабо-
лой у = 0,125(х2 -4х).
Решение. Уравнение окружности с центром в точке Л(5;10) имеет
вид: (х-хл)2 +(у-ул)2 = Л2, где хА и уА координаты точки A, R - ра-
диус окружности. Координаты точки А известны, следовательно, задача
заключается в определении радиуса R. Этот радиус будет наименьшим,
если окружность лишь касается параболы, т.е. радиус наименьшей ок-
ружности должен быть равен наименьшему расстоянию от точки А до
параболы и задача практически сводится в задаче в примере 2. Выбираем
248
на параболе произвольную точку В(х: ().125(х2 -4х)]. тогда расстояние
АВ можно записать как АВ(х) = ^(х-5)' + (о.125(х2 — 4х> —10) . Иссле-
дуем на экстремумы, как предлагалось в конце примера 2. функцию
<р(х) = . 1В2 (х) = (х - 5)х + (0,125(х2 - 4х) -10 j . Вычисляем производную
ф'(х) = 2(х-5)2+2(0.125х2-0.5х-10)(0.25х-0.5). приравниваем ее к
нулю и полз чаем критические точки: х, = 0 и х2 = -4 и х, = 10 . Теперь
можно вычислить АВ для найденных значений х и выбрать из них наи-
меньший. Но можно предварительно определить интервалы возрастания и
убывания функции <р(х) и. тем самым, выяснить вид экстремума. Решаем
неравенство ср'О) > 0 => х3 - 6х2 - 40 > 0 методом интервалов:
Точка максимума нас не интересует, определяем наименьшее:
АВ2 (-4) = 117 и АВ2 (10) = 125/4 . Наимень- _
шим является последнее значение и, с ледова-	-4 о ю х
тельно. искомое уравнение окружности:	'Х . S 'Х . S
'	1	min max min
125
(x-5)2+(v-10)2 =——.
4
125
Ответ: (x-5)2 +(v~10)2 =—-.
4
Пример 4. Точка А лежит на графике функции у = 0,25(х2-10х),
точка В - на кривой х2 +у2 -36х-12у + 356 = 0. Какое наименьшее зна-
чение может иметь длина отрезка Л В?
Решение. Для пояснения воспользуемся рисунком, на котором схема-
тично показаны парабола и окружность, поскольку уравнение данной кри-
вой можно преобразовать следующим образом: (х-18)2 + (у-6)2 =4, та-
ким образом - это окружность радиусом R = 2 с центром в точке (9(18; 6).
Если взять произвольную точку Л(х;у)
на параболе и произвольную точку' В на ок-
ружности, то можно записать длину отрезка
АВ, но она будет зависеть от двух переменных,
не связанных между собой - абсцисс точек А и
В. Поэтому произвольно можно выбрать лишь
одну точку; пусть это будет точка А. лежащая на параболе. Дтя опреде-
ления точки В воспользуемся следующими рассуждениями.
249
Наименьшее расстояние между кривыми - длина их общей норма-
ли. Уравнение нормали к параболе можно записать (см. пример 2). но это
достаточно трудоемко. Важнее в данной ситуации другое: нормаль к ок-
ружности является продолжением ее радиуса, так как из геометрии из-
вестно. что радиу с окружности перпендикулярен касательной к окруж-
ности. проведенной через точку пересечения радиуса и окружности.
Следовательно, можно найти наименьшее расстояние АО от центра ок-
ружности до параболы, поскольку искомое расстояние .1/3 должно быть
продолжением радиуса О В и меньше. 10 на радиус окружности R = ОВ.
Таким образом данная задача сводится к примеру 2 - нахождению
наименьшего расстояния между известной точкой /2(18:6) и данной па-
раболой.
Запишем функцию f(x) как квадрат расстояния АО:
f(x) = АО" (.г) = (х -18)? + (0.25.V2 - З.г -6)2. вычислим производил ю
f\x) = 2(х-18) + 2(0.25х: -Зх-6)(0.5х-3). приравняем ее к нулю и
определим критические точки: х, = 0, х2 = 4 и х, = 14. Вычислим рас-
стояние АО в этих точках: /162(0) = у/360 , .462(4) = >/392 и .462(14) = >/17.
Наибольшее расстояние /162 = >/17, а наименьшее АВ = >/17 - 2 .
Ответ: >/п - 2 .
Пример 5. На кривой у = х2 - х найти точку. расстояние от которой
до прямой у = х-2 будет наименьшим. Сделать чертеж.
Решение. На первый взгляд задача анало-
гична рассмотренным в примерах 2 и 4. но это
датеко не так. Если взять произвольную точку
.1 на параболе и произвольную точку В на пря-
мой, то возникнут трудности, рассмотренные в
примере 4. Поэтому строим параболу и пря-
мую (этот чертеж необходимо сделать по ус-
ловию) и проанализируем задачу. Наименьшее
расстояние от прямой до параболы будет равно длине их общей нормали
(точнее - прямой, которая будет нормалью к параболе, одновременно
являясь перпендикуляром к данной прямой). Как уже отмечалось, нор-
маль - это перпендику.ляр к касательной, проведенной в точке пересече-
ния нормали и кривой. Следовательно, искомый отрезок - это общий
перпендику.ляр к данной прямой и к касательной, проведенный к парабо-
ле в искомой точке. Таким образом, касательная к параболе в искомой
250
точке должна быть параллельна данной прямой. Дтя определения коор-
динат такой точки на параболе нет надобности писать уравнение норма-
ли или касательной, ведь угловой коэффициент касательной - это значе-
ние производной в искомой точке. Следовательно, значение производной
в искомой точке должно быть равно угловому коэффициенту данной
прямой, чтобы касательная была ей параллельна. Найдем производную
данной параболы: у' = 2х-1. Пусть абсцисса искомой точки - х0. Зна-
чение производной в этой точке у'(х0) = 2х0-1. Угловой коэффициент
данной прямой к = 1. Приравниваем их и полу чаем уравнение для опре-
деления абсциссы искомой точки: 2х0 -1 = 1 => х0 = 1. Ордината искомой
точки у(х0) = у(1) = 12 — 1 = 0 .
Ответ: (1.0).
Пример 6. Точки А и В расположены на координатных осях плоско-
сти хОу. Какую наименьшую длину может иметь отрезок АВ. если ему
принадлежит точка Л/(-8; 1) ?
Решение. На рисунке показана дан-
ная точка М. В принципе, возможно раз-
личное положение точек А и В на осях
координат. На рисунке они показаны как
точки А и В. или .4) и В,, или А2 и В2.
Но условию удовлетворяют только точки
А и В. так как точка М принадлежит только отрезку АВ и не принадлежит
ДВ, и Л2В2.
Пусть координаты точек А и В такие, как показано на рисунке. То-
гда длина отрезка определяется по теореме Пифагора: АВ = -jxB + уА .
Чтобы получить АВ как функцию одного аргумента, необходимо выразить
ординату точки А через абсциссу точки В (или наоборот). Для этого рассмот-
рим треугольники АВО и МВС. Они подобны, так как МС параллельна АО.
Следовательно,
МО _ВО ,, Ум _хв хм у 1 Хд + 8 ,,	_ хв
АО ВО уА хв ул хв л Хд+8
Теперь можно записать длину АВ как функцию одного аргумента хв,
при этом индекс (В) можно опустить (других аргументов у этой функции
теперь все равно нет) и исследовать ее на экстремумы:
АВ(х) = 'l +*2 •
У<х + 8J
251
Affix), ,	1	(+ 2 1
f x V Д U+8)	J
4 ----- + X‘
yyx + 8 J
ЛВ'(х) равна нулю при .у =0 и х2 =-10 и нс существует при
.г, = -8. Из рисунка видно, что абсцисса точки В должна быть меньше
-8. а ордината точки . 1 - больше 1. Так что единственным подходящим
решением является х = -10 . Тем нс менее, для проверки, можно иссле-
довать знаки производной ,1В'(х) и выяснить, действительно ли при
х = -10 функция .4В(х) имеет минимум. Решим неравенство
х((.г + 8)’ +8)
.4В'(х) > 0 <=>-------—- > 0 методом интервалов.
(х + 8)’
Теперь вычислим АВ(-\0) = 5-Js .	 /Тру - /<£"
Ответ: 5>/5 .	®
min max min
Задачи
1.	На параболе 4 у = х2 -4х найти точку, расстояние от которой до
точки Л/(14;14) будет наименьшим.
Ответ: (10; 15).
2.	На кривой у = х2 + 2х найти точку, расстояние от которой до точ-
ки Л/(-5; 2,5) будет наименьшим. Найти это расстояние. Сделать чертеж.
Ответ: (—3;3);
17
2
3.	На графике функции v = —т= указать точку, расстояние от ко-
4V2x
торой до начала координат будет наименьшим. Вычислить его.
4.	Составить уравнение окружности наименьшего радиуса с цен-
тром в точке .4(9;3). имеющей хотя бы одну общую точку с параболой
у = 0.5(х2 -6х).
Ответ: (х-9)2 + (у-3)2 = —.
252
5.	Точка А лежит на графике функции у = 0,5(х2 - 2х), точка В - на
кривой X- 4-у" -14х-14у + 97 = 0 . Какое наименьшее значение может
иметь длина отрезка. \В?
..	л/17-2
Ответ: ------.
2
6.	Точка .1 лежит на графике функции у = 0.125(№ - 12х), точка В -
на кривой х' + у2 -18х-12у+97 = 0. Какое наименьшее значение может
иметь длина отрезка АВ?
Ответ: Js/l.
7.	На кривой у = 2х - х2 найти точку расстояние от которой до пря-
мой у = л +1 будет наименьшим. Сделать чертеж.
Ответ: (0.5;0.75).
8.	На кривой у = х2 + х найти точку расстояние от которой до пря-
мой у = х -1 будет наименьшим. Сделать чертеж.
Ответ: (0;0).
9.	Точки А и В расположены на координатных осях плоскости хОу.
Какую наименьшую длину может иметь отрезок АВ. если ему принадле-
жит точка .1/(1; 8)?
Ответ: 5х/з .
10.	Точки А и В расположены на координатных осях плоскости хОу.
Какую наименьшую длину может иметь отрезок АВ. если он принадле-
жит касательной к графику функции f (х) = —2^ ?
>/2х
..	3>/з
Ответ: —=.
2V2
Примеры решения задач с экстремальным содержанием
В таких задачах исследуемую на экстремум функцию необходимо
записывать как площадь, периметр, длину диагонали или что-то иное,
соответствующее условию задачи, зависящее от какой-либо переменной,
чаще всего - координаты (абсциссы) искомой или характерной точки.
Затем исследование на экстремум ведется по обычному алгоритму'.
253
Пример 7. Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольно-
го треугольника, одна из вершин которого лежит в начале координат,
вершина с прямым углом - на оси х. а третья - на графике функции
у = V-8.r - х2 ?
Решение. Чтобы понять, о площади какого треугольника идет речь,
необходимо начертить его. а для этого, хотя бы схематично, изобразить
график заданной функции. Дтя начала необходимо выяснить область
определения функции, которая, очевидно, является ограниченной. Дтя
этого решим неравенство -8х - х2 > 0 <=> х(х + 8) < 0.
Методом интервалов получим х е [~8;0].	-8	0 х
Затем возведем левую и правую части функции в квадрат, оговорив
предварительно, что уе[0:-н») и получим у2 + х2 + 8х = 0 =>
=>у‘ + (х+4): = 16 . Таким образом, график данной функции представляет
собой полуокружность радиусом 4. с центром в точке	у
(—4;0). расположенную во второй четверти. На ри-
су нке показан график такой функции и искомый тре- /
угольник АОВ. Точка В лежит на оси Ох. ее коорди- J J—•-
наты (х;0), где х - переменная. Абсцисса точки А
та же, что и у точки В, так как отрезок АВ перпендикулярен О В по условию
задачи. Ордината точки А определяется тем, что она лежит на графике за-
данной кривой, следовательно, координаты точки А (х; д/-8х - х2 j.
Площадь прямоугольного треугольника АОВ равна полу произведе-
нию его катетов:
5(х) = у АВ  ВО = ±(уА - ys )(хо - xs) =y^V-8x-x2 -oj (0 - х) =
= --xV-8x-x2 .
2
Исследуем на экстремумы функцию .S'(x), для чего вычислим ее
производную S"(x) = I V-8x-x2 +—т—Т —(-8х - х2)
2 к	2х/-8х-х2
и найдем
критические точки.
Производная S'(x) определена для всех хе (-8:0). приравняв ее
нулю, найдем критические точки: 5'(х) = 0 => х, = 0 и х, = -6 . Очевид-
но, искомое значение х = -6, так как при х = 0 площадь ipey голышка
254
тоже равна нулю. Тем не менее, определим знаки производной на уста-
новленных интервалах и выясним тип экстремума для х = -6 :
Как и предполагалось, наибольшее значение площадь трехдольника
будет иметь при .г = -6 . Осталось только вычислить это значение
.у (-6) = - у (~6)-J-8(-6) - (-6)" = 6>/з.	Tg О Г
Ответ: 6>/з кв. ед.	тах
Пример 8. Какая наибольшая плошадь может быть у прямоугольни-
ка. две вершины которого лежат на оси .г. а две другие - на графике
функции V = (х-1)(7 - х), у > 0 ?
Решение. Как и в предыдущем примере, чтобы понять, о площади
какого прямоугольника идет речь, необходимо начертить его. а для этого
построить график заданной функции, причем сделать это надо более
тщательно, чем ранее, поскольку две вершины симметричного прямо-
угольника могут располагаться только на симметричной кривой. Область
определения функции, для заданной области значений у > 0 , вычисляет-
ся как решение неравенства (х -1)(7 - х) > 0 .
Методом интервалов получим х е [1; 7].
Вершина параболы имеет координаты
(4; 9). График заданной
функции показан на рисунке. Осью симметрии графика параболы явля-
ется вертикальная прямая, проходящая через
вершину параболы, т.е. в данном случае - пря-
мая х = 4. Вершины прямоугольника, по усло-
вию. принадлежат графику параболы, следова-
тельно, этот прямоугольник расположен симмет-
рично относительно той же прямой х = 4, что и
парабола. Таким образом, если обозначить осно-
вание искомого прямоугольника через 2а, то его площадь S = 2а-у , где
у - ордината вершины прямоугольника, лежащей на параболе, являю-
щаяся также высотой этого прямоугольника (см. рис.). Полуширина пря-
моугольника а является переменной, как и ордината у; чтобы исследо-
вать функцию S на экстремумы, необходимо записать ее как функцию
одного аргумента. Здесь возможны два варианта: 1) выразить ординату у
через полуширину а и тем самым представить площадь как функцию
переменной а. или 2) выразить полу ширину а через абсциссу х. и, так как
ордината у параболы задана как функция х. представить площадь прямо-
угольника как функцию переменной х.
255
Рассмотрим оба варианта.
1) Абсцисса х точки .1 связана с полушириной прямоугольника а
{^видным соотношением (см. рис.) х = 4 + п . следовательно, подставив
это соотношение в уравнение параболы, получим:
у = (х -1)(7 - х) = (4 + а -1)(7 - 4 - а) => у(«) =
= (3 + а)(3-а) =>у(а) = 9-а'.
Подставив это выражение в формулу площади прямоугольника, по-
лучим ее как функцию переменной а: .$’(«) = 2л(9-а2) = 18л-2<г . Вы-
числим ее производную по переменной a: S'n(a) = 18-6а' и найдем кри-
тические точки . i'a(а) = 0 => 18л - 2л3 = 0 => а: = >/з и а, = —7з . Опреде-
лим знаки производной на установленных -	+	-
интервалах и выясним типы экстремумов.	-л/з	а
Следовательно, наибольшее значение	mjn
площади прямоугольника будет при а = -Тз .
Осталось его вычислить: S (л/з) = 18-Тз - 2 (>/з) = 12>/з .
2) Второй вариант заключается в следующем: как уже отмечалось в
первом варианте. х = 4 + д=>л = х-4. Тогда площадь прямоугольника
можно записать как функцию абсциссы х: .S’(x) = 2(х-4)(х-1)(7-х) =
= 2(х-4)(8х-х2 -7). Производная от площади (в этом варианте - по х)
S'x (х) = 2((8х- х2 - 7) + (х- 4)(8 - 2х)) = 48х- 6х2 - 78 становится равной
нулю при Х| = 4 + у/з и х2 = 4 - у/з . Исследование знаков этой производ-
ной показывает (см. ниже), что площадь имеет максимум при х = 4 + >/з
и он равен б’(4 + у/з) = 1 2у/з .	~	,
Ответ: 12>/з кв. ед.	V3^X4+V3X^
min max
Пример 9. Какой наибольший
периметр может быть у прямоугольника, две вершины которого лежат на
оси х, а две другие - на графике функции у = 2>/2 sin х. О < х < л ?
Решение. Данная задача аналогична показан-
ной в предыдущем примере, что особенно заметно
на рисунке, где приведен график данной функции
и показан прямоугольник, периметр которого нас
интересует. Как и в предыдущем примере две
вершины симметричного прямоугольника могут
располагаться только на симметричной кривой.
Осью симметрии графика функции является верти-
256
кальная прямая т-л/2. Верш ины прямоугольника, по условию, принад-
лежат график) функции. следовательно, этот прямоугольник расположен
симметрично относительно той же прямой х = л/2 . что и график функ-
ции (см. рис.). Таким образом, если обозначить основание искомого пря-
моугольника через 2л, то его периметр Р = 2(2а + у). где у - ордината
вершины прямоугольника, лежащей на параболе, являющаяся также вы-
сотой этого прямоугольника. Полуширина прямоугольника а является
переменной, как и ордината у; чтобы исследовать периметр Р на экстре-
мумы. необходимо записать его как функцию одного аргумента. Здесь
возможны те же два варианта, что и в прсдыду шем примере. Ограничим-
ся одним из них. Выразим ординату у через полу ширину а и. тем самым,
представггм периметр как функцию переменной а. Абсцисса х точки .4 свя-
зана с полушириной прямоугольника а очевидным соотношением (см.
. Л
рис.) х=—+а, следовательно, подставив это соотношение в уравнение
функции, получим: у = 2^2 sin — + а = 2^2 cosa, с областью определе-
ния ле	Подставив полученное выражение в формулу перимет-
ра прямоугольника, получим его как функцию переменной л:
/’(л) = 4(л +\[2 cos л). Вычислим производную по переменной л:
/^'(л) = 4(1-5/2 sin л) и найдем критические точки
/’’(л) = 0 => 4(1 -5/2 sin а) = 0 => sin а = 1Д/2 => => а = (-1)" —+пп . Из
4
множества критических точек области определения функции Р(а) при-
надлежит лишь одна - а = л/4 , следовательно, это и есть искомое значе-
ние. и нет необходимости определять тип экстремума в этой точке. Оста-
лось вычислить наибольший периметр прямоугольника
n М л (/3" Л л
Р — = 4 —+ V2cos— = л + 4.
<4J	<4 4j
Ответ: (л+ 4).
Задачи
1.	Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника ОАВС.
если точка О - начало координат, точки .1 и С принадлежат различным
осям координат, а точка В - графику' функции у = 5х(г -4)2, 0 < х < 4 ?
Ответ: 80 кв. ед.
257
2.	На графике функции у = 16х - .г3. х > 0 ; у > О найти такую точку А,
чтобы площадь треугольника ОАВ быта наибольшей, если точка О - нача-
ло координат, а точка В - проекция точки .4 на ось Ох. Найти эту' площадь.
Ответ:	32 кв. ед.
1 , 2
3.	На графике функции у = —х'-—х+8 найти такую точку' .1. что-
бы площадь треугольника с вершинами А. 0(0,0) и 5(6:4) была наи-
меньшей. Сделать чертеж. Найти эту площадь.
Ответ: .4(6:8); 12 кв. ед.
4.	Какая наименьшая длина диагонали может быть у прямоугольни-
ка. две вершины которого лежат на оси х, а две другие - на графике
функции у - 0.5(9 - х"), у > 0.
Ответ: 2>/5.
5.	Какой наибольший периметр может иметь прямоугольник, две
вершины которого лежат на оси Ох в заданном промежутке, а две другие
- на графике функции, заданной уравнением /(х) = 4 sin х, [0: л] ?
( I— 2л
Ответ: I4V3+—
6.	Найти наибольший и наименьший периметры, которые могут
быть у прямоугольника, две вершины которого лежат на оси х, а две дру-
.	.	.	л 3
гие - на графике функции у = 4(1 + sinx), -у < х < у л.
„	J 2л Л 2л /-	. п( 4л А Юл _ . гх
Ответ: max Р— = — +8+4V3; min 5 — =--------------+8-4V3.
! v 3 ) 3	Lsif V 3 )	3
L 2’2 .	-L 2’ 2 j
Другие экстремальные задачи
7.	Найти число, которое превышало бы свой квадрат на максимальное
значение.
8.	Число 18 разбить на такие два слагаемые, чтобы сумма их квадратов
была наименьшей.
9.	Сумма квадратов двух положительных чисел равна 300. Подобрать эти
числа так, чтобы произведение одного из них на квадрат другого бы-
ло бы наибольшим.
258
10.	Разбить число 27 на три положительных слагаемых так. чтобы два из
них относились, как 1:2, а произведение трех слагаемых было бы наи-
большим.
11.	В арифметической прогрессии второй член равен 6. При каком значе-
нии разности прогрессии d <7. произведение первого, третьего и
шестого членов прогрессии будет наименьшим?
12.	На странице текст должен занимать 384 см2. Верхние и нижние поля
должны быть по .3 см, правое и левое - по 2 см. С точки зрения экономии
бумаги, каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
13.	На двух стройплощадках возводят два одноэтажных склада общей
площадью 600 м2. Стоимость постройки склада прямо пропорцио-
нальна квадрату его площади. Кроме того, известно, что строительство
второго склада обходится на 40% дороже первого. Какой должна быть
площадь каждого склада, чтобы стоимость строительства была наи-
меньшей?
14.	Из пункта А вышел пешеход. После того, как он прошел 6 км, из
пункта Л следом за ним выехал велосипедист со скоростью, на 9 км/ч
большей, чем скорость пешехода. Когда велосипедист догнал пеше-
хода, они повернули назад и вместе вернулись в пункт А со скоро-
стью 4 км/ч. Какой должна была быть первоначальная скорость пе-
шехода, чтобы время его прогулки было наименьшим?
Й. В два различных сосуда налиты растворы соли: в первый 5 кг, во вто-
рой - 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в пер-
вом сосуде увеличилось в р раз, во втором - в q раз, причем извест-
но, что pq=9. Какое наибольшее количество воды могло испариться
при этом из обоих сосудов вместе?
16.	В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° впи-
сали прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Како-
вы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь
была максимальной?
17.	Вычислить стороны прямоугольника с периметром 72 см, имеющего
наибольшую площадь.
18.	Вычислить наибольшую площадь равнобедренного треугольника
вписанного в окружность радиуса R .
19.	В равнобедренный треугольник вписан квадрат с диагональю ajl .
Найти угол при основании треугольника, если известно, что площадь
треугольника - наименьшая из возможных.
259
Составить уравнения окружности наименьшего радиуса с центром в
точке .4. имеющей хотя бы одну’ общую точку с параболой:
20.	у = —(х2 -4х). .4(5; 0).	21. у=Х ~6х, .4(9:3).
8	2
22.	у=1(2х-х2). .4(7;-7).
На графике функции у = / (х) найти точку, ближайшую к точке .4:
23.	/(х) = х2.	24. /(x) = VL .4(3; 6).
25.	/(х) = -^-2, х> 0. .4(0; 2) .
V3 -х
На линии, заданной в плоскости XOY у равнением, найти точку, рас-
стояние от которой до заданной прямой будет наименьшим:
26.	log, (у+ l) + log3 (3-х) = 1 и Зх-4у-12 = 0.
27.	log, (3 + x) + log, (1 — у) = 1 и у = 3(х + 2).
28.	log, (х-4) +log2 (2-у) = 2 и у=^-х + 2.
29.	На графике функций /(х) = 6-7х указать точку .4. расстояние от ко-
торой до точки Л/(25;0) будет наименьшим. Определить это рас-
стояние. выполнить чертеж.
30.	На графике функции у = 3-1,5х2 указать точки, расстояние от кото-
рых до начала координат будет наименьшим. Вычислить это расстоя-
ние.
31.	Найти такое значение х из отрезка [1; 3], что точка с абсциссой х и
I х2 х3
ординатой у = J12-2x+—-----— наиболее удалена от начала коор-
динат.
32.	Точки .4 и В расположены на осях координат. Какую наименьшую
длину может иметь отрезок АВ, если ему принадлежит точка
Л/(1; 8)?
260
33.	На параболе у = -—найти точку, ближайшую к точке Л/ (2: 0).
Определить расстояние между этими точками. Сделать чертеж
34. Точка А лежит на графике функции у =
^(х2 -12х), точка В -
на
графике кривой х2 +у2 -18x-12v+97 = 0. Какую наименьшую дли-
ну может иметь отрезок АВ?
Определить расстояние между параболой и прямой:
35. у - х2 + х. у = х-1.	36. у~х2, _у = 2х-2.
37. у =-х2+х-2. у’ = 2х + 1.	38. у = х2-8х + 16. у = -2х + 1.
39.	Определить расстояние между кривыми: а) у = х2 +1 и у = Vx-1 ;
б)	у = 2х и у = log2 х .
40.	В некоторой точке кривой у = —= к ней проведена касательная. При
у/х
каком значении абсциссы точки касания расстояние от начала коор-
динат до касательной будет наибольшим? Сделать чертеж и вычис-
лить это расстояние.
41.	Вычислить минимальную длину отрезка касательной к графику
функции у = /(х), заключенного между осями координат:
a)/M=-7=; 6>/(x)=-7==-
л/х	>/2х
Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольного тре-
угольника, одна из вершин которого лежит в начале координат, вершина
прямого угла - на оси ОХ, а третья - на графике функции, заданной
уравнением:
42.	у = 12х-Зх3, х>0, у>0.	43. у = 16х-2х3, х>0, _у>0.
44. у = 5х(4-х)2, 0<х<4.	45. у = (х-4)(15-2х), у>0 .
46.	Какой наибольший периметр может иметь прямоугольник, две вер-
шины которого лежат на оси ОХ в заданном промежутке, а две другие
- на графике функции, заданной уравнением:
a)	/(x) = 4cosx;
л л
2’2
б)	f (х) = 4 sin х; [0; л].
261
47.	На графике функции у =0.25х2 - х + 8 указать точку А такую, что
площадь треугольника АОВ. где (9(0: 0), В (5: 5) была бы наимень-
шей. Вычислить эту площадь.
48.	Какая наименьшая площадь может быть у треугольника ОАВ, если
его стороны 0.1 и ОВ лежат на графике функции, а прямая АВ прохо-
дит через точку М: а) у = —
Л/(0; -1) . б) у = |х|-х; Л/ (0; 1)?
49.	Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координа-
ты вершин которого удовлетворяют уравнению, а стороны парал-
лельны осям координат:
а) |у| = (х-1)(4-х); 1<х<4; б) |у| = (х-2)(8-х); 2<х<8?
50.	Из всех прямоугольников, у которых две вершины лежат на оси абс-
цисс. а две другие - на параболе у = 3 - х2. выбран прямоугольник с
наименьшей площадью. Вычислить эту площадь.
51.	Криволинейная трапеция ограничена графиком функции у = х2 и
прямыми у = 0 . х = 1 и х = 2 . В какой точке параболы надо провести
к ней касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции
обычную трапецию наибольшей площади?
52.	В параболический сегмент, ограниченный параболой у = 9-х2 и
осью ОХ вписать равнобедренную трапецию наибольшей площади,
если одно основание трапеции совпадает с основанием параболиче-
ского сегмента.
53.	Криволинейная трапеция ограничена кривой у = ех. прямыми у = 0,
х = 0. х = 1. В какой точке кривой у = ех (0 < х < 1) надо провести
касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обыч-
ную трапецию наибольшей площади?
Многие стереометрические задачи, приведенные в заданиях для са-
мостоятельного решения, формально относятся к задачам на экстремаль-
ные значения, но допускают красивое геометрическое решение без при-
менения производной!
54.	Число 180 разбить на три положительных слагаемых так, чтобы два
из них относились как 1:2. а произведение трех слагаемых было наи-
большим.
262
55.	Одно из оснований равнобокой трапеции равно 10 м. другое в 4 раза
больше боковой стороны. При какой длине боковой стороны площадь
трапеции будет наибольшей?
56.	Основание равнобедренного треугольника равно 4 см. Какой должна
быть длина боковой стороны, чтобы отрезок, параллельный основа-
нию и равный по длине боковой стороне треугольника, отсекал от не-
го трапецию наибольшей возможной площади?
57.	Найти расстояние от точки /1 (5; -1) до параболы у = х2 (наименьшее
расстояние между точкой.-1 и точкой параболы).
58.	На каком наименьшем расстоянии от начала координат может нахо-
.	.	5 х
диться точка графика функции v = —- — '
6х 3
59.	Найти расстояние точки Л/ (/>,/>) от параболы у2 = 2рх .
60.	Какой наименьший периметр может быть у прямоугольника, две сто-
роны которого лежат на координатных осях, а одна из вершин - на
.	.	8
графике функции у = х+—?
х
61.	Какая наименьшая сумма квадратов сторон может быть у прямо-
угольника. стороны которого параллельны осям координат, одна
вершина совпадает с точкой Л/ (12;3), а противолежащая вершина
находится на графике функции у = т2/б ?
62.	Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треуголь-
ник. у которого вершина острого угла лежит в начале координат,
л. л.	16
вершина другого - на графике функции у = х+— х>0, а вершина
х
прямого угла - на оси Ох ?
63.	Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, две сто-
роны которого лежат на координатных осях, а одна из вершин - на
графике у = (х-4)(15-2х), у>0?
64.	Какая наименьшая площадь может быть у треугольника, ограничен-
ного осями координат и касательной к графику у = 2х2 - 6 ?
65.	Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треуголь-
ник. гипотенуза которого лежит на касательной к графику функции
, х2	_
у = 3 + —. катет - на оси Ох. а одна из вершин совпадает с точкой
4
касания?
263
6б.	Рассматриваются все треугольники с вершиной (5.0). две другие
вершины каждого из них симметричны относительно начала коорди-
.	4 и -
нат и лежат на графике г = лч—. Найти наименьшую возможную
х
площадь такого треугольника.
67.	Вычислить площадь прямоугольника, две стороны которого лежат на
координатных осях, одна из вершин - на графике функции
5 4х
v = — + — .а диагональ имеет наименьшую длину.
х 3	’	’
68.	Доказать, что прямая, нс параллельная оси ординат, проходящая через на-
чало координат, пересекает график функции / (х) = 2х: + 2х-0,125 в
двух различных точках. Каким должен быть угловой коэффициент пря-
мой. чтобы расстояние между точками пересечения было наименьшим'.’
69.	Вездеход, находящийся на пересеченной местности в 27 км от прямо-
линейной шоссейной дороги, должен доставить больного в ближай-
шую больницу, расположенную в населенном пункте на расстоянии
45 км по шоссе от ближайшей к вездеходу точки шоссе. Какой мар-
шрут необходимо избрать водителю вездехода, чтобы время движе-
ния было наименьшим, если скорость, которую развивает вездеход на
шоссе, равна 55 км/ч, а на пересеченной местности - 44 км/ч?
70.	Какой наименьший и наибольший периметры могут быть у прямо-
угольника, две вершины которого лежат на оси Ох, а две - на графи-
ке функции у = 2-^2 (1+sin.у) ^Х6
71.	Какая наименьшая площадь может быть у треугольника ОАВ. если
1х| — х
его стороны ОА и ОВ лежат на графике функции у =—, а прямая
АВ проходит через точку Л/(0; 1)?
72.	На плоскости задана точка М( 1/2 ; 1). Проходящая через точку пря-
мая образует вместе с положительными полуосями координат неко-
торый треугольник. Какое наименьшее значение может принимать
площадь этого треугольника?
73.	Вычислить наименьшую площадь треугольника, ограниченного осью ОХ,
прямой, параллельной оси OY и касательной к графику функции
х2	„	„
у =----ь 2 в точке пересечения с этой прямой.
п Зп
2’Т
264
74.	Центр одного круга, радиус которого меньше а/2, совпадает с сере-
диной стороны квадрата (а х а); второй круг касается противолежа-
щей стороны квадрата и первого круга, а центры кругов лежат на
прямой, проходящей через центр квадрата. Какие значения может
принимать площадь части квадрата, находящейся вне кругов?
75.	В трапеции ABCD основания АВ и CD имеют соответственно длины
2 и 5, высота равна 4. Вычислить наименьшую возможную сумму
квадратов площадей частей, на которые трапеция разбивается пря-
мой. проходящей через вершину А и пересекающей сторону CD.
76.	При каких размерах коробка (с крышкой) с квадратным основанием и
полной поверхностью S имеет наибольший объем?
77.	(в) Вычислить наибольший объем цилиндра, полная поверхность
которого 2л.
78.	(в) Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом V.
Какими должны быть его размеры, чтобы на его изготовление ушло
наименьшее количество материала?
79.	В качестве домашнего задания по геометрии учащиеся 10-го класса
делали модели многогранников. Вася получил задание: сделать из
проволоки каркас правильной треугольной пирамиды, обозначив в
нем плоское сечение, проходящее через середины четырех ребер пи-
рамиды и имеющее площадь S . Вася решил сделать такую пирамиду,
чтобы на ее изготовление (не считая сечения) пошло наименьшее ко-
личество проволоки. Определить: а) прав ли был Вася, сделав пра-
вильный тетраэдр; б) будет ли в этом случае наименьшей сумма квад-
ратов длин всех ребер пирамиды?
80.	Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: по-
стоянной, равной а руб., и переменной, возрастающей пропорцио-
нально кубу скорости (kv3 руб.). При какой скорости v плавание
судна будет наиболее экономичным?
81.	На изготовление открытого контейнера объемом 10 м3 в форме пря-
моугольного параллелепипеда, одна из боковых граней которого -
квадрат, требуются у гожи по длине всех ребер (12 ребер) и фанера на
боковые стенки и пол. Цена уголков 1у.е. за погонный метр. Цена
фанеры - 4 у.е. за кв.м. Каковы должны быть размеры контейнера,
чтобы расходы на материал были наименьшими?
265
82.	Найти все значения парамешрагф(е R), при которых
min(px+|x2 -4x + 3|j > 1
83.	Касательная к графику функции у(х) = 1/х2 такова, что абсцисса b
точки касания принадлежит отрезку [5; 9]. При каком значении b
площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и
вертикальной прямой х = 4, будет наибольшей? Чему равна эта наи-
большая площадь?
84.	В основании треугольной пирамиды SABC с высотой -^э/зо лежит
правильный треугольник АВС со стороной 8. Вершина 5 проектируется
на основание пирамиды в точку, расположенную в середине ребра
АВ. Через вершин}- 5 проводятся сечения пирамиды плоскостями, па-
раллельными ребру АВ. Вычислить наибольшее возможное значение
площади сечения.
85.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBlC\Dl ребро AD = 2,
ребро DDt = 3 . диагональ грани BD = ^5 . Точка Л/ лежит в плоско-
сти B}AD}. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник
MBD‘l На каком расстоянии находится точка Л/от основания ABCD в
этом случае?
86.	Основанием пирамиды служит ромб со стороной 4 и утлом 60° , а все
боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60° . Ка-
кую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоско-
стью. проходящей через точку Л/, лежащую на одной из сторон ром-
ба. и меньшее боковое ребро, не пересекающее эту сторону? На какие
части делит сторону точкаЛ/. когда площадь сечения наименьшая?
87.	В кубе ABCDAlBlC\Dl через вершину А, середину ребра ДО, и центр
грани DXDC.C\ проведена плоскость. Из всех сечений куба, парал-
лельных этой плоскости, найдите сечение с наибольшей площадью и
определите его площадь, считая длину ребра равной а .
88.	Прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6 и AD = 12 служит осно-
ванием пирамиды SABCD, у которой грани SAB и SAD перпендику-
лярны плоскости основания и ребро SD = 13. Через самое длинное
боковое ребро пирамиды проведена плоскость так, что полученное
сечение пирамиды имеет наименьший периметр. Вычислить площадь
этого сечения.
266
89.	(я) В сферу радиуса Я вписана правильная треугольная пирамида, у
которой высота составляет 8/13 радиуса сферы. Какой наименьший
периметр может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей
через апофему? Вычислить отношение объемов частей, на которые
это сечение делит пирамиду.
90.	Какой сектор следует вырезать из круга, чтобы из оставшейся части
можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?
91.	(в) На графике функции у =-^=х\пх, где хб[е1?;эо). найти такую
точку Л/, что отрезок касательной к графику функции в этой точке,
заключенный между точкой М и осью Оу , имеет наименьшую длину.
92.	(в) В какой точке графика функции у = еследует провести каса-
тельную. чтобы площадь треугольника, ограниченного этой касатель-
ной и осями координат, была наибольшей?
93.	К реке шириной а м построен под прямым углом канал шириной
b м. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?
94.	(в) В сферу вписана правильная треугольная пирамида, у которой
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45° , а ра-
диус окружности, описанной около боковой грани, равен Я. Между'
боковой гранью пирамиды и сферой расположен цилиндр, одно из
оснований которого (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости бо-
ковой грани, а окружность другого основания принадлежит сфере.
При какой высоте цилиндра его объем будет наибольшим? Вычис-
лить этот объем.
95.	(в) В конус с высотой h и радиусом основания Я вписана первая пра-
вильная треугольная призма так, что ее нижнее основание лежит в
плоскости основания конуса, а вершины верхнего основания принад-
лежат боковой поверхности конуса. Вторая призма, подобная первой,
расположена так, что вершины ее верхнего основания принадлежат
боковой поверхности конуса, а ее нижнее основание лежит в плоско-
сти верхнего основания первой призмы. Вычислить отношение высо-
ты первой призмы к высоте конуса, при котором объем второй приз-
мы принимает наибольшее значение.
96.	(в) В правильную треугольную пирамиду вписаны два шара так что
первый касается основания пирамиды и ее боковых ребер, а второй
267
шар касается внешним образом первого шара и боковых граней пира-
миды. Радиус первого шара равен R. Вычислить радиус второго шара,
если объем пирамиды при этих условиях является минимально воз-
можным.
97.	(с) В основании треугольной пирамиды SABC лежит равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник АВС. Все боковые ребра пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом, тангенс которого равен
V2/5. Через вершину S параллельно гипотенузе треугольника АВС
проведена плоскость так. что площадь получившегося сечения имеет
максимально возможное значение. Вычислить отношение, в котором
эта плоскость делит объем пирамиды.
98.	(в) В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний тре-
угольник АВС, одно боковое ребро ТА перпендикулярно основанию.
Пирамида вписана в сферу радиуса R. Угол между7 'ГВ и медианой ос-
нования BF' равен 60° . Вычислить наименьшую площадь сечения пи-
рамиды плоскостью, проходящей через медиану основания AD.
99.	(б) Правильная треугольная пирамида со стороной основания b впи-
сана в сферу. Центр сферы делит высоту пирамиды в отношении Ji: 1,
считая от вершины пирамиды. Одно из оснований правильной четы-
рехугольной призмы лежит в плоскости основания пирамиды, а вер-
шины другого основания призмы лежат на сфере, причем призма рас-
положена вне пирамиды. Вычислить наибольшее значение объема
призмы.
100.	(в) В сферу радиуса R вписана правильная треугольная пирамида, у
которой площадь боковой поверхности в л/з раз больше площади ос-
нования. Какой наименьший периметр может иметь сечение пирами-
ды плоскостью, проходящей через высоту основания? На какие части
делит эта плоскость боковое ребро, которое она пересекает?
101.	(б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX
(AAt || ВВ, ||CCt || DD^ АВ = 2, BC = l, BBt=2 . Вычислить мини-
мально возможное значение площади сферы, касающейся ребер AD и
С, Dt, при условии, что центр сферы принадлежит сечению паралле-
лепипеда плоскостью, проходящей через ребро CD и составляющей с
плоскостью ABCD угол в 30°.
268
102.	(в) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D,
(/Ц || ВВ, || СС, || £)£>,) CD = 4, AD = 9/2. DD, = 9 . Вычислить ми-
нимально возможное значение объема шара, касающегося ребер CD и
ДД, при условии, что центр шара принадлежит сечению параллеле-
пипеда плоскостью, проходящей через ребро С, Д и составляющей с
плоскостью ДДДД угол, равный arclg^V^/zj.
103.	Дан куб ABCDA,B,C,D} || ВВ, || СС, || /ЭД) с ребром, равным
у/бТ. На продолжении ребер В,С, и DC расположены точки Р и Q
соответственно, причем РВ, : PC, = 1:3 и QD: DC = 1:4. Вычислить
наименьшее значение радиуса шара с центром на отрезке PQ, ка-
сающегося ребра /ЭД.
104.	(в) В правильной треугольной пирамиде SABC с высотой, не мень-
шей Л. расположена полусфера радиуса г = >/з так, что ее касаются
все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании
АВС пирамиды. Вычислить наименьшее возможное значение объема
пирамиды.
105.	(в) В правильной треугольной пирамиде SABC с высотой, не мень-
шей h, расположена полусфера радиуса г = 1 так, что ее касаются все
боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании
АВС пирамиды. Вычислить наименьшее возможное значение полной
поверхности пирамиды.
106.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, с ребрами
.4/3 = 6, AD = 2.AAj =1 через его диагональ АС, проведена плоскость
так, что полученное сечение имеет наименьшую сумму' квадратов
сторон. Вычислить площадь сечения и угол между секущей плоско-
стью и гранью ABCD.
Ответы:
7.	1/2 . 8.9; 9. 9. 10; 10^2 . 10.6; 12; 9. И. -4. 12. 30x20 см. 13 350 м2;
250 м2.14.6 км/ч. 15. 8у кг . 16. Зл/З см, 12 см . 17.18 см, 18 см.
18. 3R~^ . 19. arctg2. 20. (х-5)2+(у-10)2 = ^.
269
21. (x-9)2 +(v-3)2 = —. 22. (х-7)2+(у + 7)2 =—. 23. й(1;1).
4	4
(2	1	( М
24. 5(4; 2). 25. В 2; ^-2 .26. J 1; - . 27. .4 (-2; 2). 28. .4(8:1).
\ V 3	)	\ 2 /
29. А<7; бл/Л А.М = 24.30. .4. f--;	.4,f-;-l 0.1= — .
\	'	Ч з з) Чз з) з
31. х
37. -Ц=. 38. *39. а) — ;б) V21og2 —— ; указание: воспользуйтесь
4V5	<5	4	log, е
тем. что эти функции являются обратными друг другу, следовательно, их
графики симметричны относительно прямой у = х. причем не пересека-
ют ее. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию между каса-
тельными к кривым, параллельным прямой у = х. 40. х = -4= , расстоя-
41
нис равно
3>/3
; б) —j=. 42. 6 кв.ед. 43. 16 кв.ед. 44.40 кв.ед.
2V2
45. 18 кв.ед. 46. а) 2f2>/з	; б) 22>/з +-^J . 47. 10 кв.ед. 48. а) 2 кв.ед.;
б) 1 кв.ед. 49. а) Зл/з кв.ед.; б) 24л/з кв.ед. 50.4 кв.ед. 51. Л/| —; — ).
12 4 J
52.	Вершины трапеции имеют координаты: А (-3; 0); В (-1; 8); С (1; 8);
0(3; 0). 53. Лf—-	54.40; 80; 60. 55. 3- . 56. 2^2 . 57. 2^5.58. — .
V 1	<2	)	4	2
pp/2-lWl + ^/4
59. —i-----7=----. 60. 16. 61. 90. 62. 6. 63. 36. 64. 8. 65. 8. 66. 20.
V2
67.9,68. 1. 69. Водитель должен ехать в направлении такой точки шос-
се, которая расположена в 9 км от больницы со стороны приближения
вездехода. 70. пппР = Зл-4 + 4л/2 ; max О = п + 4 + 4-У2 . 71.2. 72. 1.
73. —. 74. (a2 fl--Ya2 fl--1
3 I I 4j 6)
. 75. 10з|. 76. Куб с ребром
270
77.	max Г =	. 78. R = Я—; h = Я— . 79. Да. Да. 80. v = Я— .
зЛ Ъп N л	V2A-
81. Высота 2м; дно 2м х 2.5м. 82. р 6 (1;4 +141). 83. b - 8; S = 1/8 .
84. max5 = 2^11. g*>. minS = ^; р(М,(ЛВСЬ)) = .
|8б|. minS = -—2-; отрезки стороны основания 1,5 и 2,5.
@	g S=l^’. @ min/> = A(10 + 2V97); «ото-
f [Л
шенис объемов 7:31. 90. Радианная мера вырезанного сектора 2 л II -	.
91. А/(е"4 3;-2>/2е 4 3). 92. (1;е ') или (-1;е ').
93. ajl +	+ Ь.11+з[^ = (а2'3 + Л2,3 )3 2. 94. h = —; maxi7 =	.
V Va V V* V ’	3	27
i	я(Лз-i)
95. - .96. r =—---- . 97.916. И minS = 1—=^ .
6	16	5^2
99. max I7 =	. |100|. P =^^-+r42\ части бок. ребра и
243 mi" Л	зЛ
101. rninS1 = 12л. 102. mini7 = 288л. И. mintf = l. 104. Если
зЛ
27>/3 „
------. Если
2
h > 3 . то mini7 =	- . 105. Если h < 1, то задача не имеет смысла Если
h2 -3
г	зЛ/г2
1 < h < 2 . то min S = 12 Л . Если h > 2, то min S ---
/г-1
V13
ср = arctg-—.
1 Обведены номера задач, которые хорошо решаются геометрически.
271
22. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
Алгебраические (степенные) уравнения
При решении уравнений достаточно часто возникает ситуация, ко-
гда обычное (аналитическое) решение невозможно, неочевидно или
очень громоздко. В этом случае можно применить графическое решение,
обозначив левую часть уравнения (правая часть - ноль) за некоторую
функцию, например /(х). и построив график этой функции. Тогда ре-
шениями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения гра-
фика функции с осью абсцисс (Ох) или касания с ней. Решить графиче-
ски можно любое уравнение, основным недостатком этого метода явля-
ется невозможность абсолютно точного построения графика и. как след-
ствие, - приближенное решение уравнения. Исключением является си-
туация, когда эти точки (пересечения или касания) являются характер-
ными для графика функции, например, точками экстремума. Кроме того
графическое решение, как правило, абсолютно точно позволяет выяснить
число корней уравнения и область, в которой их следует искать.
Пример 1. Найти корень уравнения Зх4 -4х3 -12х" +32 = 0. Дока-
зать. что он единственный.
Решение. В принципе, корень данного уравнения, если он целочис-
ленный. можно найти подбором, но доказать, что он единственный, под-
бором. естественно, невозможно, как и найти иррациональный корень
уравнения. Поэтому решим уравнение графически, обозначив его левую
часть через функцию /(х) = 3х4 -4х3 -12х2 +32 и построив ее график.
Для этого исследуем функцию с помощью производной. Вычислим произ-
водную f'(x) = 12х3 - 12х2 - 24х, найдем критические точки f(x) = 0 =>
=> 12х3-12х2-24х = 0 => х, = 0 , х2 = 2 и х3=-1. Определим знаки
производной на установленных интервалах, выясним интервалы моно-
тонности и типы экстремумов.
Найдем значения функции в точках экс-
тремумов /(-1)=27. /(2) = 0 и /(0) = 32.
Таким образом, найден корень уравнения - это
х = 2. Для доказательства, что этот корень единст-
венный, построим график функции f (х), тем более,
что исследование функции с помощью производной
обеспечивает нас достаточной информацией для
этого - см. рис. График зависимости левой части
данного ур;1внения от переменной х однозначно до-
казывает. что уравнение имеет единственный корень при х = 2. там. где
зависимость имеет минимум, равный нулю. т.е. касается оси абсцисс.
272
Задачи
1. Найти корень уравнения. Доказать, что он единственный.
а) Зх4 + 16х’ + 18х2 +27 =0; б) Зх4 -16.? + 18х2 +27 =0;
в) Зх4 + 4х3 -12х2 + 32 = 0 .
Ответ: а) {-3}; б) {3} ; в) {-2}.
Трансцендентные уравнения
с тригонометрическими функциями
Трансцендентным уравнением вообще называют уравнение не сво-
дящиеся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических пре-
образований, таких как: 1) прибавление к обеим частям уравнения одно-
го и того же алгебраического выражения; 2) умножение обеих частей
уравнения на одно и то же алгебраическое выражение; 3) возведение
обеих частей уравнения в рациональную степень.
Простейшими трансцендентными уравнениями являются показа-
тельные. логарифмические и тригонометрические уравнения. В данном
разделе мы рассмотрим трансцендентные уравнения, содержащие триго-
нометрические функции, которые, в принципе, нельзя решить аналити-
чески. В этом случае наиболее приемлемым способом, как было показано
в рассмотренном примере, является графическое решение, которое ино-
гда может быть упрощено вследствие специфики тригонометрических
функций, таких как периодичность и ограниченность.
В уравнениях, содержащих трансцендентные функции и алгебраи-
ческие выражения, как правило, целесообразно предварительно сделать
преобразования с целью уединения трансцендентного выражения в оной
из частей уравнения (в левой или правой). Затем каждую из частей пре-
образованного уравнения рассматривают как самостоятельную функцию
и строят их графики. Решениями исходного уравнения будут абсциссы
точек пересечения графиков функций.
Пример 2. Решить уравнение sin2 = х2 - 6х +10.
Решение. В данном уравнении трансцендентное выражение уединено в
левой части уравнения. Будем считать (обозначим) левую часть уравнения
,	„	.	. 2 ЛХ
функцией f (х) = sin —,
правую - функцией /(х) = х2-6х + 10. По-
строение графиков целесообразно начинать с более простой функции - в
данном примере с параболы <р(х). Абсциссу вершины параболы проще
всего вычислить, взяв производную и приравняв ее нулю, т е. как ючп
273
экстремума <р'(х) = 2х-6 = 0=>х-3. Ордината вершины параболы
<р(3) = 1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, вершина па-
раболы - минимум функции <р(х). Но в левой части уравнения стоит ог-
раниченная функция - ведь максимальное значение синуса равно единице,
следовательно, либо точка максимума функции f(x) совпадает с точкой
минимума функции <р(х) и уравнение имеет единственное решение х = 3 ,
либо решений нет. Таким образом, в данной задаче можно не чертить гра-
фики функций, а просто вычислить значение функции /(х) при х = 3 :
Зп 7
/(3) = sin2 — = (-1)2 = 1. Графики исследуе-
мых функций касаются друг дру га в единст-
венной общей точке (3;1) и данное уравнение
имеет единственное решение х = 3. Для само-
проверки можно нарисовать графики (см. рис.).
Ответ: {3}.
ПримерЗ. Решить уравнение 2|x-3| + x-l + 2sin—= 0.
Решение. Поскольку в данном уравнении присутствует модуль, не-
обходимо рассмотреть два варианта:
1)	х-3>0=> х>3. Исходное уравнение при этом ограничении
.	,	. их . к 7-З.г
имеет вид 2x-6 + x-l + 2sin— = 0 => sin— =----. Левую часть у рав-
2	2	2	'
нения, содержащую трансцендентное выражение, будем считать функци-
..	.	. лх	„ 7-Зх
си / (х) = sin —. правую - функцией <р(х) = —-—.
2)	х - 3 < 0 => х < 3 . Исходное уравнение при этом ограничении имеет
„	, „ . лх „	. лх х-5 „
вид: -2x + 6 + x-l + 2sin— = ()=>sm— =---. Левая часть этого урав-
2	2	2
ЛХ
нения такая же, как и для х > 3 , следовательно, функция /(х) = sin— оп-
ределена для всех х 6 R . Правую часть уравнения обозначим функцией
, . х-5
У(х) = -у- •
274
Построение графиков начинаем с более простых функций, в данном
примере - с прямых ср(х) для х > 3 и ц/(х) для х < 3 . Затем начертим
синусоиду, учитывая, что при х = -2;0:2;4;6... /(x) = sin— = 0. при
х = Г, 5;...
/(х) = sin— = 1. а при х = -1;3;...
Единственная общая точка синусоиды и
ломанной прямой - х = 3 (см. рис.). Эта
абсцисса и будет единственным решением
исходного уравнения.
Ответ: {.3}.
Задачи
/(х) = siny =-1.
Решить уравнения:
2. cos — = х - 4х + 5.
2
Ответ: {2}.
„ . тех '
3. sin— = 6х - х‘ -10.
2
Ответ: {3} .
4. 2(х + |2х- 5|) = 1 +4sinnx.
Ответ: {2,5}.
5. 2 |х - 3| + х -1 = 2 sin2 —.
1	1	2
Ответ: {3}.
Трансцендентные уравнения с логарифмической или
показательной функциями
В данном разделе мы рассмотрим только те трансцендентные урав-
нения. содержащие логарифмические или показательные функции, кото-
рые, в принципе, нельзя решить аналитически. В этом случае наиболее
приемлемым способом, как было показано в предыдущих примерах, яв-
ляется графическое решение.
В уравнениях, содержащих логарифмические или показательные
функции и алгебраические выражения, как правило, целесообразно пред-
варительно сделать преобразования с целью уединения трансцендентно-
го выражения в одной из частей уравнения (в левой или правой). Затем
каждую из частей преобразованного уравнения рассматривают как само-
стоятельную функцию и строят их графики. Решениями исходного урав-
нения будут абсциссы точек пересечения графиков функций.
275
Пример 4. Решить уравнение log, (6х - х2 - 5) = х2 - 6х +11.
Решение. Для начала заметим. что данное уравнение можно преобразо-
вать. используя определение логарифма, при этом получим уравнение также
трансцендентное, но с показательной функцией: 2'"”6л" = 6х-х2 -5 . По-
лученное уравнение равносильно исходному. Решать его придется также
графически, но в исходном уравнении функция, стоящая в левой части,
имеет ограниченную область определения в отличие от функции, стоя-
щей в левой части преобразованного уравнения. Таким образом, транс-
цендентное уравнение, содержащее логарифмическую функцию, в ряде
случаев, может быть преобразовано в уравнение с показательной функ-
цией. и обратно.
Считая такие преобразования, в общем, нецелесообразными, решим
исходное уравнение. В нем трансцендентное выражение уединено в ле-
вой части уравнения. Будем считать левую часть уравнения функцией
f(x) = log, (6х - х2 - 5), правую - функцией <р(х) = х2 - 6х +11. Построе-
ние графиков целесообразно начинать с более простой функции, в дан-
ном примере - с параболы <р(х). Абсциссу
вершины параболы проще всего вычислить,
взяв производил ю и приравняв ее нулю, т.е. как
точку экстремума ср'(х) = 2х-6 = 0=>х = 3.
Ордината вершины параболы <р(3) = 2. Ветви
параболы направлены вверх, следовательно,
вершина параболы - минимум функции <р(х)
(см. рис.).
Дтя построения графика функции f (х) = log2(6x- хг - 5) вычислим
область определения, решив неравенство 6х-х2 -5 > 0.
Методом интервалов получим:	- /+*\ - 
1	5 х
Следовательно, £>(/)е(1;5). Затем исследуем
,	~ п, ч 6-2х
функцию с помощью производной: / (х) =---------------. Критические
(бх-х -5) In 2
точки: х = 1, х = 3 и х = 5 . Определим интервалы знакопостоянства
производной и тип экстремума, решив методом интервалов неравенство
(6х - х2 - 5) In 2	1 .X 3 Х5 х
max
276
Таким образом, функция f (х) имеет один экстремум - это максимум в
точке х = 3 . Значение этого максимума /(3) = log, (18 - 9 - 5) = log, 4 = 2
совпадает с минимумом параболы ср(3) = 2. следовательно, решение
уравнения найдено, это х = 3 . Таким образом, в данной задаче можно не
чертить графики, но для иллюстрации решения задачи приведены графи-
ки обеих функций (см. рис.).
Ответ: {3}.
Задачи
Решить уравнения:
6. log2(4x-x2) = х2-4х + 6.	7. 2?’2х"3 =3 + 2х-х2.
Ответ: {2}.	Ответ: {1}.
8.	е2х -ех = х .
Ответ: {0}.
Задачи с параметром
Пример 5. Определить, при каких значениях параметра р прямая
у = х +1 является касательной к графику функции у = х2 + рх + 2 . Сде-
лать чертеж.
Решение. Поставленная задача может быть решена двумя, сугубо
различными, способами.
Рассмотрим первый из них. Обозначив абсциссу точки касания через
х0, запишем уравнение касательной к данному семейству парабол. Вы-
числим значения функции и производной в точке с абсциссой х0:
у = х2 + рх0 +2, у = 2х+ р => ,у'(х0) = 2х0 + р и составим уравнение:
у = (2х0 + р)(х - х0) + х2 + рх0 + 2 => у = (2х0 + р)х-х2 + 2 .
Из всех касательных к данному
семейству парабол следует выбрать
те, которые совпадают с данной пря-
мой, т.е. те касательные, у которых
угловой коэффициент и ордината
у(0) равны соответствующим пара-
метрам данной прямой. Приравняв
соответствующие параметры, запи-
шем систему двух уравнений с двумя
277
неизвестными, решение которой даст как искомые значения параметра р.
так и абсциссы точек касания данной прямой с параболами, которые бу-
дут получены из данного в задаче семейства парабол при найденных зна-
чениях параметра р:
|2х0+р = 1	[х0| =1Гх02 = -1
(2-х2 =1 [р = -1 1р = 3.
Требуемые значения параметра р найдены, осталось лишь сделать
чертеж.
Для этого запишем уравнения парабол, получаемых из данного се-
мейства при р - -1 и р = 3. а именно у = х2 - х + 2 и у = х2 + Зх + 2 . На
рисунке показаны соответствующие параболы и данная прямая.
Второй способ решения позволяет вообще обойтись без вычисления
производных и составления уравнения касательной. Проанализируем
ситуацию, предложенную в задаче. Нам даны прямая и семейство пара-
бол (каждое значение параметра р задает конкретную параболу и этого
семейства). Если прямая и отдельная парабола из семейства касаются
друг друга, то у них будет только одна общая точка, если общих точек
две. то парабола и прямая пересекаются. Исходя из этих рассуждений,
можно решить поставленную задачу. Найдем абсциссы точек пересече-
ния данной прямой с семейством парабол. Поскольку у точек пересече-
ния равны (совпадают) ординаты, т.е. равны левые части задающих вы-
ражений. то можно приравнять и правые части, в результате чего полу-
чим уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения, содержащее
параметр р: х + 1 = х2 + рх + 2 => х2 + (р-1)х + 1 = 0. В зависимости от
дискриминанта I) = (р -1)2 - 4 =+ D = р2 - 2р - 3 полученное квадратное
уравнение может иметь два различных корня (D > 0 ) или два одинаковых
корня (0 = 0). Два одинаковых корня дают абсциссу единственной общей
точки прямой и параболы, т.е. точки касания. Найдем значения параметра
р, при котором дискриминант равен нулю: D = 0 + р2 -2 р - 3 = 0 =>
=> Pj =-1 и р2 =3. Для выполнения чертежа для найденных значений
параметра р необходимо найти абсциссы точек касания, решив составлен-
ное ранее квадратное уравнение: для р = -1 получим .г2 -2х + 1 =0 =+
=> (х-1)2 = 0 => х, = х, = 1; для р = 3 получим х2+2х + 1 = 0=>
=> (х + 1)' = 0 => х, = х2 = -1. Дальнейшие действия для построения гра-
фиков функций аналогичны изложенным в первом способе.
Ответ: {-1:3} .
278
Пример 6. При каких значениях параметра р две параболы у = :с и
v = -.г2 + рх + р2 - 2р -10 могут иметь общую касательную.
Решение. Поставленная задача, как и в предыдущем примере, может
быть решена двумя различными способами. Но вариант решения, анало-
гичный первом}' способу, изложенному в предыдущем примере (состав-
ление двух уравнений обобщенной касательной - к каждой из данных
парабол, и определение значений параметра р. при которых эти каса-
тельные совпадают), будет очень громоздким и трудоемким. Рассмотрим
только один способ, аналогичный втором}' из предыдущего примера,
который в данном случае является более рациональным.
Проанализируем ситуацию, предложенную в задаче. Нам даны па-
рабола и семейство парабол (каждое значение параметра р задает кон-
кретную парабол} и этого семейства). Ветви парабол из семейства на-
правлены вниз, ветви отдельной параболы - вверх. Если параболы с разно
направленными ветвями пересекаются, то общей касательной у них не
будет, если они касаются друг друга, то у них будет только одна общая
касательная, и, если эти параболы не имеют общих точек, то к ним можно
провести две общие касательные. Если мы приравняем правые части дан-
ных функций, то получим уравнение для нахождения абсцисс точек пере-
сечения парабол, содержащее параметр р-. х2 = -х2 + рх + р2 — 2/?10=>
=> 2.г2 - рх - р2 + 2р + \G - 0 . В зависимости от дискриминанта
D = р2-8(-/Т +2р + 10) => D = 9р2-16/7-80 полученное квадратное
уравнение может иметь два различных корня (Z)>0), два одинаковых
корня (D = 0 ) или не иметь корней вообще (D < 0 ). Данные в задаче
параболы могут иметь общую касательную, если D < 0. Таким образом,
получаем неравенство, решение которого дает решение поставленной
задачи: 9/г - 16р-80< 0. Найдя корни левой части
неравенства и решая методом интервалов, получим:	+	+ -
Следовательно, - 20/9 < р < 4.	~2(И) 4 х
Ответ: р е [-20/9;4].
Задачи
Решить уравнения:
9.	При каких значениях параметра р прямая у = х +1 является каса-
тельной к графику' функции у = рх-х2? Сделать чертеж.
Ответ: {-1:3} .
279
10.	При каких значениях параметра р прямая л--у = 1 является ка-
сательной к график} функции у = х2 + р(х-1) ? Сделать чертеж.
Ответ: {-кЗ}.
И. При каких значениях параметра р прямая у-.г = р является ка-
сательной к график)’ функции у =	+ (р - 1)х ? Сделать чертеж.
Ответ: {-1,3}.
12.	При каких значениях параметра р две параболы: у = х2 и
у = -х2 + рх + р2 -4р - 2 могут иметь общую касательную?
Ответ: р е [-4/9;4].
13.	При каких значениях параметра р две параболы: у = х2 и
у = —х2 + рх + р2 - 5р + 2 могут иметь общую касательную?
Ответ: ре [4/9:4]
14.	При каких значениях параметра р две параболы: у = х2 и
у = -х2 + рх + р2-4р-2 могут иметь только одну’ общую касательную?
Ответ: р е {- 4/9; 4}.
15.	При каких значениях параметра р графики функции у = х2 + 2р +10
и у = -х2 + рх + р2 имеют только одну общую точку? Найти ее.
п л н юч 20 ( 5 4751
Ответ: р = 4 . (1:19): р =------. —;------ .
9 Ч 9 81 J
16.	При каких значениях параметрар графики функций у = х2+4р + 2
и у = —х2 + рх + р2 имеют только одну общую точку? Найти ее.
4 ( 1 19s)
Ответ: р = 4, (1:19); р = —, —;— .
9 4 9 81J
17.	Доказать неравенства:
fa+i') a	n п /2с + 1У 8с3+1
а) ------ <---------, а > О, b > 0 . б) ------- <--------, с > 0 .
I 2 )	2	Ч 4 )	16
18.	Сравнить числа ’-УП и , не используя технических средств.
19.	(в) Определить, в скольких точках функция у = х2е х принимает
значение, равное 0,64.
280
20.	(в) Определить, в скольких точках функция v = x-ln2x принимает
значение, равное 0,49.
21.	(в) Доказать, что уравнение Зх-Зг-4 = 0 не имеет корней на про-
межутке [1-2].
22.	Чем отличается решение уравнения —-— = V10x + 6 (1) с ответом 1
2 + х
от решения уравнения —— = Vx+15 (2) с тем же ответом?
2 + х
х 8
23.	(в) Доказать, что уравнение — н— = log2(8x-x2) имеет единствен-
2 х '	'
ное решение.
Найти корень уравнения. Доказать, что он единственный:
24.	Зх4+16х3+18х2+27 = 0.	25. 48х4+З2х3+1 =0 .
26. Доказать, что уравнение х6 - 6х5
Решить уравнения:
27. log2 (.3-4х-4х2) = 4х2 +4х+3 .
29. sin2 — = х2 + 2х + 2 .
2
31. cos2 — = х2-4х + 5 .
2
33. |х + 5|+|х-1| = 6sin-y-.
35. log2(4х-х2) = х2-4х + 6.
1 = 0 имеет два корня.
28. log2(x2-2х + 5) = 1 + 2х-х2.
30. sin—= 6х-х2-10.
2
32. cosтсх + х2-6х + 10 = 0.
34. log2 (З + 2х - х2) = х2 - 2х + 3 .
36. е2х — ех = х.
37. -2|x-3|-x+l = 2siny.
39. 6х-х2 -5 = 2х2"6х+“ .
41.	Сколько корней имеет уравнение f(x) = a в зависимости от а :
38. 2|х-4| + х = 4cos^.
40. log2 (х2 - 2х+5] = 2 sin .
а) /(х) = х5-12,5х3+32,5х ; б) /(х) = ^; в) /(х) = х3-6х2?
42.	Доказать, что при |х| < 2 справедливы неравенства:
а) Зх5 - 5х3 - ЗОх < 40 .
б) |.Зх-х3|< 2.
281
Доказать неравенства:
43.	|х3-Зх| < 2 при |х| < 2 .	44. 3-Ух?-1<2х.
х2	1
45.	cos х > 1-.	46. In х > 1 —. при х > 1.
2	х
47.	Найти все значения а. при которых неравенство
является верным при всех действительных х.
48.	Найти все значения параметра р. при которых неравенство
(4х-3)2 + р(4х-3)(х2 +1) + (2р + 1)(х2 +1) >0 верно для любого
xeR .
8х2 -4х+3
—i
4х2 -2х + 1
Решить уравнения:
J2(2x2 +2х + 1) + 2х +1
49.	(в) log, ----j==------------+ 5х + 4 = 0.
Vx2 +9 + х
Цх! +2 J yjx2 -4x + 8,5
51.	Найти количество решений уравнения Vx-2 -л/х-1 = Ах+1 в зави-
симости от значений параметра к .
52.	(в) Верно ли неравенство 1 -—< In х ?
х
53.	Верно ли неравенство 4х4 + 2х > -1 ? При каких значениях а уравне-
ние 4х4 + 2х = а имеет наибольшее количество решений?
54.	Доказать, что при х > 0 выполняется неравенство —+4х2 > 3. Суще-
х
ствуют ли такие значения а, что — + 4х2 > a Vx е R \ {0} 1
55.	Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенст-
во 2 > |х + а| + х2 имеет хотя бы одно положительное решение.
56.	Исследовать на количество решений в зависимости от значений
1
параметра а систему' уравнений
у- 2 = а(х-З)
282
57.	(в) Найти вес значения параметра а, при которых система
С 4'1
1g у = 1g 1--
х) имеет единственное решение. Найти это решение
я(у-х) = 1
при каждом а.
Найти все значения параметра р, при которых системы имеют
единственное решение. Найти это решение при каждом р:
58 fx + ^/p-y-6 =0,	59 (х-^/р-у-б =0.
(у + х + р = 0.	( у + х + р = 0.
60. Найти все значения параметров, при которых система уравнений
(,у-1)2 =х-|х|,
	имеет два различных решения.
(х- р)2 + 2р + у = 25
Найти количество решений систем уравнений в зависимости от па-
раметра а:
61.
у-2
х-4
= а.
62.
у + |у| = 2>Ух,
у = |х2 - 4х + з|,
У~2
,х + 4
= а.
х +
64.	При каких значениях параметра а уравнение
имеет хотя бы одно решение?
65.	При каких значениях параметра а уравнение
2|х + 2| + |х-4|	.	.
-J----—------'- = а(х + 2)
2|х - 2| + |х + 4|	,	.
— ----1—1----! = а (х + 4)
х
не имеет решений?
66.	(в) При каких значениях параметра а уравнение |1п х| - ах = 0 имеет
три корня?
67.	При каких значениях параметра а уравнение sinx-cos2x-sin3x = а
имеет два корня на отрезке [тс/4; тт/2 ] ?
Найти все значения параметра а, при которых системы имеют решение:
х = у2 - 2у,
у2 + х2 + а1 = 2у + 2ах.
69.
283
70. Доказать, что arctgO,O2 < 0,02 +0,000002(6).
71. (в) Решить неравенство 22’"1 -Iх '(2т1 2+х} + х-х‘ 2 >0.
Ответы:
17.	Работает свойство выпуклости. 18. Докажите, например, монотон-
ность функции у = при х > е . 19. В одной точке (нс забудьте вы-
числить предел на -ос). 20 В трех точках (нс забудьте вычислить преде-
лы в 0 справа и на +ос). 21. Рассмотрите функцию /(х) = 3*-Зх-4 ,
докажите ее возрастание на [1:2] и найдите значение в точке 2. 22. (1)
ОДЗ - один промежуток, на нем левая часть убывает, правая - возраста-
ет. х = 1 - единственное решение. (2)ОДЗ состоит из двух промежутков.
На [-15;-2) знаки частей уравнения различны, на (-2.ос) решение ана-
логично (1). 23. На ОДЗ левая часть не меньше 4 (неравенство Коши или
исследование на наименьшее значение с помощью производной), правая
часть нс больше 4 (выделяем полный квадрат в логарифмируемом выра-
жении или берем производную). Важно, что в обеих частях равенство
достигается в одной точке. Единственное решение - х = 4. 24. {-3].
25.	{-1/2} . 27. {-1/2}. 28. {1} . 29. {-1}. 30. {3} . 31. {2}. 32. {3}.
33.	{-3; 1} . 34. {1} . 35. {2} . 36. {0} . 37. {3} . 38. {4} . 39. {3}. 40. {1} .
41.	а) при а е (-оо, -21)U(21; +») - один корень, при ле{-21; 21} -
два корня, при ле(-21;-6,5^?)U(6,5^5;21) - три корня, при
ле(-6,6,5^67} - четыре корня, при а е (-6,5^67; 6,5^67) -
пять корней; б) при л е (-оо; 0)U (1/2; +ос) - корней нет, при а е {0; 1/2} -
один корень, при а е (0,1/2) - два корня; в) при а е (-ос; — 32)U (0; +ос) -
один корень, при а е {-32; 0} -два корня, при л е (-32, 0) -трикорня.
42.	а) Исследуем левую часть на монотонность и экстремумы, находим
се наибольшее значение. Можно еще использовать нечетность функции.
Аналогично п. а) доказываем ограниченность сверху числом 2 и снизу
числом -2. Можно возвести неравенство в квадрат, а затем доказывать
только ограниченность сверху. 47. а > 3— . Указания к решению см. в тексте
284
раздела. 48. ре (4-2у/5;8.5). Указание: делим неравенство на положи-
тельную величину (х2 +1) ; исследуем новую переменную / = ——-
'	’	'	’	’	х+1
(находим, например, с помощью производной, множество ее значений),
после чего решаем задачу. 49. -3/5 . Указание: приравниваем значения
монотонной функции в точках' х и g(x). Найдите функцию, докажите ее
монотонность, определите g(x). Образец решения подобной задачи см. в
тексте. 50. 4/5. Задача аналогична предыдущей. 51. При
к е (—оо; — 1) U[0;ос) решений нет; при Ае[-1;0) одно решение. Указа-
ние: исследуйте функцию из левой части уравнения и решайте задачу
графически (вращайте прямую у = Ах + 1 вокруг точки (0;1)). Задача
даже не требует нахождения касательной. Заметим, что сложность зада-
чи заметно возрастет, если в правой части вместо Ах +1 поставить выра-
жение kx + b . где b - любое (фиксированное) число из промежутка
[-1:0). 52. Неравенство верно при всех значенияхх, для которых: оно
имеет смысл, т.е. х > 0. Указание: выясните, ограничено ли сверху 0 мно-
жество значении разности левой и правой частей, исследовав функцию
/(х) = 1-—-1пх. 53. Неравенство верно при всех хе/?; наибольшее
количество решений (два) уравнение имеет при ау-З/Ь (нс забудьте
про пределы!). 54. Такого значения а не существует, так как предел
левой части неравенства в точке 0 слева равен -оо .
55. а е(-2,25;2). 56. При ае(0;8/9) решений нет; при ае {0;8/9;1}
одно решение; при ае(-oo;0)(J(8/9;l)U(l;<») два решения. Задача
очень хороша для решения различными способами с элементами графи-
ки и анализа, хотя может быть решена и другими способами. 57. При
а -1 - у/-15а2 -2л + 1
а-у/-15а2-2а + 1
---------------; при
ае —-;0
4 )	а	а
а = 1/5 х = -4, у = 1. Замечание: при решении задачи проще выразить
1/а, а не а, тем более, что по условию а * 0 . 58. При р > 3
l-J8p-23	J8p-23-l-2p
—---------; у = ------------. Указание: если решать задачу
2
2
285
графически, то лучше в одном из уравнений исключить параметр, на-
пример, введя новую переменную t - р - у - 6, а обозначением
, «	। х = -4t
а = ь-2р система сводится к совсем простому виду ]
[х = / + я
, l + J8p-23	-J8p-23-l-2p
59. При ре —fU(3;oc) х =—, у=— 
[ 8 J	2	2
60. р е [4; 12). Замечание: полная свобода творчества! От решения ир-
рационального неравенства (одного! какого?) до исследования функций
и построения эскизов графиков р(х). 61. При а e (-oo;0]U{1/4} реше-
ний нет: при ае ();— 1) —
I 4J U
одно решение. Замечание: условие
задачи «подсказывает» графическое решение с семейством прямых.
Но можно решать задачу и через а = я (у), и любым другим методом!
62. При а е
ч2 -1
решений нет; при ае(-ос;0]Ш—-—
одно
решение; при а е
два решения. 63. к е
-7-4л/з
•оо;--------
U(0;oc).
Указание: самое быстрое - нарисовать графики. Будьте осторожны с вы-
бором «граничных» значений параметра! Попробуйте решить и другим
способом. 64. к е
5 + 2л/б 0
4	’
(п 1 I	1°"7>/7 п
65. а е 0,— . 66. а е ----------;0 .
I е)	108
Указание: один из способов решения - удачно ввести новую переменную!
Если не догадались: r = cos2x. 67. ле [-2; 1/4]. Указание: здесь можно
покатать окружность вдоль оси параболы, или же применить теорему о
расположении корней квадратного трехчлена. 68. а <-1/4. Указание:
задача решается либо «почти в одну картинку» (с касательной), либо с
применением теорем о расположении корней квадратного трехчлена.
69. При яе(0;2] решений нет; при а е (-°c;-2]U{0}U(2;oo) одно ре-
шение; при а е (~2;0) два решения. 70. Указание: рассмотрите функцию
f(/) = arctg/-1 при />0. 71. [0;l/2]U[l;°o)• Указание: разложите ле-
вую часть на множители, докажите знакопостоянство одной из скобок, а
при работе с другой вам поможет выпуклость!
286
23. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ
Преобразование логарифмических выражений
Группа I
Вычислить:
1.JogJ2 _k>g,4	2 1 + 210g, 2 +	2 2	3 1О-о.51в2,25
log,6 3 log
108 3	(1 +logs 2)
3 - log4 19
1 A Slog. 27
6. log.
7 21g2 + lg3
* Ig48-lg4
8. -log2log2Vv2 .
9. log, 2 • log4 3 • log5 4 • log6 5 • log, 6  log8 7.
1Д. 0,8(1 + 91овз8)1О8“5.
log; 4	___1_
2 • —--------
11	.3 loe'’ -9.4log43 + 41*108*25
12.	(log, 2 + log2 5 + 2)(log5 2 - 1g 2)log2 5 - log5 2 .
13	3 log,2 45-2 (log, 45) • (log, 5) - log,2 5
3 log, 45 +log, 5
14.	—-— + —-------------------, если n = 1994!
log2 n log, n log
1994 П
15.	2х +2"x, если 4х + 4"x = 23 .
16.	A , если A - 2B и В = 31og8 9-41og t — .
17-	loga4 ~- + 1og^»b + 1°ga > если 10ёо b = c; (c * -1) •
18.	loga6f x, если loga x = 2, log4 x = 3, logc x = 6.
Упростить:
3-lg5	Iglgc
19.	518 25 .	20. a 180 .
21.	Доказать: log, 12 = log, 7  log, 5 • logs'4 -kl.
287
22.	Пусть а и b - катеты прямоугольного треугольника, с - его гипотенуза,
причем а * 1, с-Ь *1. с + Ь *1. Доказать, что-------------1-----— = 2.
togf_6 a logc_4 а
23.	Определить знаки чисел:
log, 5 - log, 3
log0 3 4 -log40,3 ’
Найти область определения функций:
p = log1;, (0,5(1-log-3)).
j/ = 2
24.
26.
у =0.5	'-1.
y=V1812x-1945x .
25.
27.
у = arccos
28.
togs2 (*-О
log± 6 -log, 5
2
29.
v = Vlog, sinx н----
л
х —
2
v =
Ответы.
1. 2. 2.1,3. 2/3.4. 6. 5. 3
2 -1954.6.0,9. 7. 1.8. 3.9. 1/3. 10.4. 11. 100.
3	c2+6c-2	r-
12. 1. 13.2.14. 1.15.5.16. -. 17. —7    . 18.1.19. 10л/2.20. Ige.
2	2(c + l)
23. a < 0; p < 0.24. [-2; 1)U(1; 2]. 25. (3; 4)U(4; +=»). 26. (-oc; 0].
27. [0; +oo). 28. {2} . 29. x = ^ + 2nk, к eZ\{0}.
1,
Группа II
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти логарифмы чисел по основанию 3:
3, 9, 81,	>/з, -Д=г, 27>/з, V9.
3	3V3
2. Найти логарифмы чисел по основанию 1/2 :
1/2, 1/8, 16, VI, l/VI, 2V2, 1/4V2.
1,
3.
6.
Найти все числа a, при которых справедливы равенства:
log3 а = 2 .
logu 1 = 0.
4. log1/3a=4.
7. loga(a + 2)=2.
5. log, з « = 0 .
288
Установить, является ли отрицательным число:
g^V3.	10. log, ,(1/>/45).
13. log, /7 7? .
11. log,1,2.
4.
25.
ЗАДАНИЕ 2
Упростить:
2ф 4>og47
7. (1/4)108’6
3. (l/2)loe
8. (1/9) 21'8i'
4 32 log,4
<j 8* (-log32)
1. 3,og32.
6. (1/3)'°в’?
Выразить Ig.-l через логарифмы простых чисел:
5. 3“10832.
10.
A = З3 .-^L-
V5-7
П..4=
13.
1 = 32-^314-52^
14. A =
12. А=Г-.^=.
V2178
15. A =
3

16.
17.
18.
19.
20.
21.
24.
Вычислить:
Г 3 1	(11
log62 + log63, log32+log3 — L log318-log32, log4 - .
V 2 J	V о J
(21
log2 5 ч-log2l — I. log, 9 + log5
log516 - logs 4 ,	( 1
—1------ 10gi'4 77
log5128	Ц6
lg4 21g 6
lg32’ Igl2 + lg3'
(л/з)”10832 lOIJg2 6lo863’log64 ^log23-log45
2 l°g2 5.”log4 6	---
2	2	. log,log,V27, log4log,log,J
L 10§3
/3
9
Перейти к основанию 2 и упростить полученное выражение:
log4 2л/2 .
22- l°g4^4-
2з- 1°8’мШ'
1	2	3
26.------1------- 1
log, 2 log9 4 log27 8
289
ЗАДАНИЕ 3 Известно, что 1g 2 = a. 1g 3 = b.	1g 5 = с . Выразить через a, b и с
логарифмы по основанию 10 следующих чисел: 1. —.	2.24.	3. -	4. —.	5.720. 30	6	216	
6.40,	7. V6.	8. —— 300	
Сравнить числа: 9. log2 7 и log2 8 .	10. log! 3 4 и log! з 5.
HI	4	1	5 И. log, 7 — и log,,7 — . 5	6	12. log4 5 и log6 5 .
13. log3 4 и log 2 5 .	14. log2 3 и log, 8 .
15. IgVlO и IgV?.	16. 1gV150 и lgV12 .
Доказать неравенства:	
17. log5 3 + log3 5 > 2.	18. log, 15• log1/6 2-log, у > 2. О
Найти все значения х. при которых справедливы равенства:	
19. log2 л-2 = 2.	20. log1/4 x2 — 1.
21. log,, 2 х = log, ,(3 - л-).	22. log2 (x +1) = log; (2x - З).
23. log,,3 Зх + logj 3 х = 3.	24. log4 x + log4(x + 2) = log4 3x.
25. lgx = 31g2+|lg4-lg8.	26. log2(x + l)2 = l-log23.
Найти все значения х, при которых справедливы неравенства: 27. log5x<l.	28. log1/5 х > 1.	
29. log3 х > 1.	30. log, з x < 1.
31. Iog2 x2 <2. 33. 1 < log, x2 < 2,„	32. log,.3 x2 >0.
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1. 1.0, 1. 2, 4, -1, 1/2, -3/2, 7/2, 2/7. 2.0, 1, 3, -4,
-1/2, 1/2, -3/2, 9/4. 3.9. 4. 1/81. 5.1. 6. а > 0, а * 1. 7.2. 8. - 41,
л/2 . В пп. 9,10,11,13,14 - положительные.
290
ЗАДАНИЕ 2. 1. 2. 2. 7. 3,5. 4.16. 5. 1/2. 6. 1/5. 7. 1/36. 8.2401,
9.-L. 10. 31g3 + lg2-|lg5-lg7. H.llg7 + llg2-llg3-llg5.
27	3	2	4	2	4
12. |2is2 + 21g7-±lg3-l|gll. 13. |Zlg3 + Alg5 14.±lg3.
-13	1	3	3	2	2
15. — lg2 + —lg3.16. 1. 1.2. --,17.1,0, -1. - — .18. —, 1, —. -4.
8	8	2	25	7
1	9	r- 1	3	4	5	1
19. —=.20.12, - ,20. 25V6,0. - .21. - .22. - .23. - .24.6,25. --,26.0:
^2	5	2	4	5	2	3
ЗАДАНИЕ 3. 1. -\~b . 2. ?>a+b. 3. l-/>-2a. 4. 2-3Z>-5«.
5. 3a+2/> + l. 6. 2« + l. 7.	. 8. -2-b. 9. log28. 10. log! 34.
11. log, 7 у. 12. log4 5. 13. log2 5 . 14. log2 3 . 15. IgV?. 16. 1g7150 .
19.2. -2.20.—,	21.-. 22.4. 23. -. 24. 1. 25. 22 3,26. -1+J-,
2	2	2	9	V 3
/Т	1	1
-1-, - . 27. 0<x<5. 28. 0<x< —.29. x > 3.30. x>-,31. -2 <x<0
V 3	5	3’
0 < x < 2 . 32. -1 < x < 0 , 0 < x < 1.33. -3 < x < -д/з, J} < x < 3 .
Группа III
1. Найти логарифмы чисел по основанию 5:
1, 5, 25. 625, 1/5, 1/25, 1Д/5, -/Л-512. 51/3,	.
Установить, между' какими последовательными целыми числами
находится число:
2. log23. 3. log3 5 .	4. log3ll. 5. log3 (1/10) .	6. Ig248.
Установить, является ли положительным число:
7. log^VI, log1/72. log1/3|, log3 4, log72,ll.
8. lg(0,02)\ 1g71,003,
9. log}(T7-2). log4U + -^-lj, log,
2ТП
3 J
lglg9.
291
Упростить:
ю. io o-51e2-25. io2 lg2-5. (Vio)1®27. г1082 31'”1.
12. 24log'. (l/3)ioe 2 ’. (l/5)log-4‘2 + 3.
3-log419 TSlogt 27)
15- ,Ogj5 10§2^ 8‘ “ 10§5 10g3	•
16	!g64	31g2 + lg3 lg!2 —lg3
’ Ig48-lg3'	lg576 ‘ lg8
17 21g2 + lg3 21g6-lg3 Ig2 + lg3
’ Ig48-lg4’	lg!44 ’ lg3.6 + l '
18. log 3-log, 36, log^j8-log481 .
19. log 2 Jl.log25V2. ilog^sin^.log^-^5.
20. Ig2 + lg3 + lg0.16 .	21. |log115 + ylog113-log114,5.
22. log, 3 + log, 1,4 - у log , 16 .	23. logb 5 7 - у log!. 51,2-3 log! ,5 2
Вычислить:
24 log,12 log , 4
log36 3 log108 3
26 1оёд250 lpgs]0
1°§50	1°S125O
(1 + log , 2)-
25. lg5-lg20 + (lg2)2.
27. 1Qg224 1рё2 192
log96 2 log12 2
292
-A । -A
35. lg^- и 1g\±-
Сравнить числа:
29. IgVlO и 1g 2.	30. IgA и ig 11.
31. lgl.05 и lg(1.05)~".	32- l-21g2 + lg3 и 21gl 1.
33. lg(2>/5) и 1g4.5.	34- !g|| и !g°-6 •
y5
36. 51g 5 и 71g 2 .
/
Найти все значения x, для которых справедливы равенства:
38. 2х -3“х = 4 .
40. 3-10’“х = 2.
42. 7х-5х-2 = 32х’’.
44. 5lgx -31вх ’' = 31вх+1 -51вх-1
46. lgsinl°-lgsin2°-...-lgsin90°
4g -ylog35 +^logs7 _^log37 _^log53
50. log13S675<log1575.
52.	log20 80 > log80 640.
54.	log49 3 2, если log214 = a .
55.	log35 28 , если log14 1 = a , log14 5 = b .
56.	log175 56 , если log14 7 = a , log514 = 6.
37. 3 = 2.
39. 2х*2 = 5 .
41. 2 х*3-10х = 7.
43. 7F-V5^=15.
Вычислить:
45. 1g tgl°  1g tg2°-... • lgtg89° .
47. lgtgl° + lgtg2° +... + lgtg89° .
Доказать неравенства:
49. log189 1323 > logбз 147.
51. logl35 675 > log15 60 > log60 480 s’
Выразить через аиЬ:
53. log, 20 . если 12 2 = a.
Решить уравнения:
57.	log2|x + 1| = -1.
59. logx 2 = 3.
61. log3 x + logx 3 = 2.
Решить неравенства:
63. log2(x + 3)<2.
65. logx 3 > 5 .
67. log2 x + log4 x + logs x < 2 .
58. log2 x = log2(6 - x2).
60. log2 x = -log4 x .
62. log2 log4 log5 x = 0.
64. log2(x2-5x + 5)>0.
66. log4 x + log? x < 0 .
68. —J— +------J—->1.
log2 x lOg2 x2
293
Решить системы уравнений:
log 2 ху = 3.
69.
lOg) 2 ~ = 1 •
71, f ’ = 40'
[Igx-lgy = lg4.
70.
x2 - 5x + 6 = 0.
log;(x + y) = log; 5.
Ответы:
1.0. 1. 2, 4. -1. -2. -1.	. 2. 1 и 2. 3. 1 и 2.
2	4	6	3
4. 2 и 3. 5. (-3) и (-2). 6. 2 и 3. 7. Да. нет. да. да. да. 8. Нет, да, нет. да.
9. Нет. да. нет. нет. 10. ~, 40. 3. 15. 11.6. —. 250. 12. 40-.	. 3.02.
3	3	2	2
13. 3 5 * * 219s 54. 14 *. 53 217~9'16, 172 3 + 71 2. 15. 16. 8. 1. 16.
2 2 3
17. 1, 1. 1. 18. д 12. 19. - —. 2. 20. Нет. 21. Нет. 22. Да. 23. Нет. 24. 2.
2 2	12
25. 1,26. 2. 27.3,28.1,29. lg V10 > 1g 2.30. |g-~-<lgll.
31. lg(l,05) < lg(l.O5)2.32. 21gll > 1-2lg2 + lg3.33. lg4,5>lg2V5 .
34.
31	л/3 V3
lg0.6 > lg—. 35. lgX_>lgpL_
. 36. 5 lg5 > 7 lg 2 . 37. x = log; 3 .
38. x = 2log;.; 2.39. x = -2 + log: 5.40. x = Igl5.41. x = log20 —.
42.
9 V
log75 —	. 43. x = 2.44. x = 100.45.0. 46. 0. 47. 0. 48. 0.
<1 0 + 1	5 cc 2-0	(3-2аЪ __	1
53.-----. 54. —г---r . 55.---. 56.	. 57. x, = —, x^ =
la 2(a -1) a + b 2 + ab	2
2
2 ’
58. x = 2 . 59. x = V? . 60. x = 1. 61. x = 3 . 62. x = 625 . 63. -3 < x < 1.
64. x< 1. x>4.65. 1 < x <	. 66. 0 < x < 1.67. 0<x<212 11.
68. 1 < x < 23 2.69. (4,2), (- 4;-2). 70. (2;3), (3;2>. 71. (10;4), (4;10).
294
Показательные уравнения
Группа I
Решить уравнения:
1. 2х’1 =3-4Х.	2. 4‘~2-9-2х 2	+8 = 0. з. 2-4Vx-5-2Vx+2 = о
+ 1	32х	2х	5х 4.2 ’=^-=.	5. —г + 3 = — 8^4	5х 1	2х'	6. 51<¥; ’ - 3x'°g'5 + 2 = 0
7. 25х?*°'? -5х = 5Х * ’ -25 .	8. 81х-16х = —-36 х. 6
9. 5  22х“' - 21 • 10х =2-52х‘‘.	10. 54Х-29'^ = 1.
П. 4'-' -6х = 2-32 2х.	12. 9 х + 27 = 12 -З'Х
2 л	2 х	2	Зх+З
13. 16 2х -5-2 х +1 = 0.	14. 8х -2 х +12 = 0.
15. 9c"!x+2-3cosx = 15.	16. 4‘®х +2ЧХ = 6.
	10g; X
17. 43m2 + 2 2 =8.	18. 4logjX =8 + 2-8 ’
19. 9log,x +311ок’х =18.	20. 1610g‘2x = 15х + 4.
21. 21*41og'x = 1 + x.	21(3/2-5/3) +(72+\/з) =4
23. p2->/3) +^2 + >/з) =2”.	24.	= (Vx)'.
25. |x-l|lg Л =|х-1|’.	26. л10вг4х = 23*'С8;3.
27. 101я|л! 4) =361“10вб3 +25“108’6.	28. Л'^=100^0.

31. >/cosx-(2x' -16) = 0.	32. |x-l|V =1.
33. -7—^	= 2“я2х. 21+с<м2л'	।	34. 6х-х2-5 = 2х2’бхх“.
35. з1ог’!х+х'°8’х =162.	36. 2х’‘5х‘6 =Зх’ 6х'8.
37. 64-9х-84-12х+ 27-16х = 0.	38. 9х +(.v-13)-3x-9.Г + 36 = 0 х2-8х+15
39. 7х 1 + 7х 2 + 7Х“3 = 5х’1 + 5х"2 + 5х”3.	40. |х-3| -2 =1.
295
41. 2M-|2X1 -1| = 2
4
42.
43.
45.
5^ VI5
25”+8 + 16-25' 1 + 4-25'	4
-•3х-2 = 9Х
.3
2х'2 +8' = 5-4х.
23
— + 0,01.
. . | istn'x 1.5sni.r-0.5	.
44. |cosx|	=1
Найти все значения параме+ра.
шение:
46. 4х - а  2х - а + 3 = 0 .
при которых уравнения имеют ре-
47. (а-1)-4х - 4 • 2х + а + 2 = 0.
49. (а-3) -9х-6х1+(а + 5)-4х
при которых уравнения не имеют
Найти все значения параметра,
решений:
50. р-3-4х -р-2х.
52. (10-p)-53x‘‘ -2-5х" +6-р =0.
54. Дана функция f (х) = 5х + -||-.
у — f(x+a) является четной?
27
55. Дана функция f (х) = 3х - — .
у = f (х + а) является нечетной?
56.	При каком значении параметра уравнение р • 2х + 2 х = 5 i
ственное решение?
57.	При каких значениях параметра уравнение
(а -1) • 32х - (2а -1) • 3х -1 = 0 имеет два различных корня?
58.	При каких значениях а и b уравнение
0,25х - 2а • 2”х - 4Л +1 = 0 имеет единственный корень?
59.	Найти все значения параметра а, при которых функция
у - а-8х -у(9а + 1)-4х +12а-2х +1 не имеет экстремумов.
60.	Найти все значения параметра, при которых функция
у = а • 8х + ~~~ • 4х + (6а + 7) • 2х + 2 не имеет экстремумов.
51. (р-1)-9х+2р-Зх+Зр-2=0.
53. р • 4х”1-(Зр +1)-2 х+р = 0.
При каком значении
При каком значении
а функция
а функция
имеет един-
296
Ответы:
1. {0}. 2. {±1} . 3. {1}. 4. {1; 4}. 5. {1}. 6. {1} . 7. {±5/2}. 8. {1/2}. 9. {-1} .
10. {0} . И. {-2} . 12. {1} . 13. {1} . 14. {3; 31og6 2} . 15. {2тот|л е Z}.
16.	j|п е zj . 17. {л + 4ли|ие2}. 18. {4} . 19. {3} . 20. {4} . 21. {1} .
fl 1	f 171
22.	{±2}. 23. {2}. 24. {8; 1} . 25.	2; 1000 J. 26. {6} . 27. j ±у к
28.	{10;	. 29. {±4} . 30. {0}. 31. {у + тгАг |* е z}. 32. {2}. 33. {лф е Z}.
34.	{3},35. J9;—к36. {2; 4 + log, 2 . 37. {1; 2}. 38. {1; 2}.
I	[	- j
39.	s3+————lg— 1. 40. {4; 5) . 41. {-2}. 42. Решений нет; указание:
I lgl,4 J * '	* '
1	л 2	>/15 V23 п
после замены у =--------- получаем 4у -у +--------------0,01 = 0.
'	5”х+4-5х	4	5
Корни этого уравнения разного знака, причем положительный корень
больше . а по замене 0 <у <. 43. {1} . 44. {(-1)* +л/с|& е zj-.
45. {0; 2}. 46. [2; + оо). 47. (-2; 2]. 48. [-2; 2). 49. (-5; 4]. 50. (-оо; 2).
51. (-oo;1/2)U[1;+oo).52. (-оо; 5)U[10; +оо) . 53. (-оо; 0]U(l;+=°).
54. а = 1.55. а = — .56. ре(-оо; 01Ш —1.57. а <-—.58. Либо Ь>-,
2 v J [ 4 J	2	4
а - любое число, либо b = —, а > 0, либо b = -——, а > 0.
4	4
25
"°0’ 21 U^0; +0°)’
Группа II
ЗАДАНИЕ 1
Решить уравнения:
I. 63 х = 216.
2.
297
3. 7	= 5^и’75
д jlog3(6.v ) _ 2^- logo 7
5 J jloSl|(70x) _ |Ql“21g7
, , ' л '
1 *lg cos—
7. 8 062 x= 10 ' ='.
9. 4'2 1 4 = ЮО1 4”lg^
8 13iog13(.^) = 47,O823-3l^s
10. А. 5*2’1 = |01-1в'й(л;4)+25Q,51og510
14. (15х х'2)	=1.
11. 2 х -5х = 0,l(10x"‘ У .
15. 2^ = 16-J(0.25)5 л
17. 182x2 2x3x-’ = 3X ’.
16. 2х"1 -5х1 =0.()01-102^5
Ш1о8^т SOS .<
=!
20. 10х + 10х"1 =0.11.
19. 5 х’4-5х 5 = 2 • 5х’6 + 2’'3х'4
ЗАДАНИЕ 2		
	Решить уравнения:	
1.	2^2 =3-4Х*'.	2. 4х'-2 -9-2х '2+8 = 0.
3.	4773 +16 = ю-.	4. -1т + з=_1^. 5х '	2х 1
5.		L = 2*4x^x-2’ 2 ~	6. 4 -22х - 6х = 18 32х.
7.	2-9х+4х"1'/2) = 5-6х.	8> 9хЧ1/-9 + 27 = 4.Зх+(1/х)+1
9.	43х2"х-8 = 2-8х!ях/3).	10. 1610в‘2х =15х + 4.
12. 8-4Vx +8-4"1/х-54-2Vx-54-2 |/х =-101.
13. Зх-8'/,х'" = 36.	14. Зх-! •4'г 1)/х = — .
3
15. 2x+2H=2V2.	16. |4х~°'5-6х|-9х =0.
298
Решить системы уравнений:
^х + у = 2.
(х+ у)'3х = 67.
19. Найти все значения параметра р. при которых уравнение
(р - 4) • 9'+ (р +1)  3х + 2р -1 - 0 не имеет решений.
20. Решить уравнение
(а-1)4* -4-2х+а + 2 = 0.
ЗАДАНИЕ 3
Решить уравнения:
1. 10 х -5х'12х 2 =950.
3. л/зх“54 -7>/зх 58 = 162:
5.	= 10.
7. 2х + 2 х 1 + 2х”2 = 7х + 7х 1 + 7Х“2. 8. (О,1)5х-8”х2 = 100 .
2. 3х 2 +(0.3)'"х-(O,l)<3-xy/2 =99.
22x4
Решить системы уравнений:
'103 -lg(x > ) =250,
64
2х+642>=12,
х~у = 4^2.
Найти все значения параметра а, при которых уравнения имеют од-
но решение:
11.	(а+1)-4х+8-6х+(а-5)-9х =0.
12.	(а-1) 16х -4-36х + (а + 23)-81х = 0.
Найти все значения параметра р, при которых уравнения имеют хо-
тя бы одно решение:
13.	(р+1)-4х + 4-2х+(р-2) = 0.	14. (р-3)-9Х-6-Зх +р + 5 = 0.
Найти все значения параметра а, при которых уравнения не имеют
решений:
15.	(4-а)-4х-5• 2х +-(1 -а) = 0 .	16. а 4х+' -(За+1)-2х+а = 0 .
8
299
Решить уравнения:
17. 4^+(а-1)-2^‘‘+5 + « = 0 .j-И
18. 9^
+ 4 = 0.
19.	При каких значениях параметра а система уравнений имеет решение;
У -у v
У + У
3' + у = а~ -4а + 1.
20.	Решить систему уравнений:
х + у = 1 - 4«,
 10" -10 у3
|10х-10| |у|’
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1.1. {О}.2. {1}. 3. {1.5}.4. jyj.5. {7}-6- fa}-
f vi.vr
2 ’ 2
8. {-V5; з/5}.9.
10. {-1;1}. 11. {1,5}. 12. {-1}. 13. {-1:4}.
14. {- 2;1;4}. 15. {24}. 16. {-З}. 17. {-0,5}. 18. {2rol|Z: е/}. 19. {6}.
20- {"О •
ЗАДАНИЕ 2. 1. {-1} . 2. {-1;1}. 3. {-1;7}. 4. {1} . 5. {1} . 6. {-2}.
7. {-log,>5 2; log, 5 2} . 8. {1}. 9. j-l;|j. 10. {4} . 11. {-2;2}.
12. {-1;-0,5;0,5;1}. 13. {-log,6;2}. 14. {0;2-log, 2}.
15.
19. р е f-oo;yjU[4;+oo). 20. При а е (—2;1)U(1;2]
х = log2
2 ± V-a2 - а+ 6
а-1
x = log2|.
; при
а = 1
300
ЗАДАНИЕ 3. 1. {з}. 2. {5}. 3. {бб},4. {з}. 5. {0.01;100}. 6. {1,5}.
7. |2 + -1^7~1^--П. 8. {2;3}. 9. {(20:1б)}. 10.
[ 1g7-lg2 J	15,4 6 Дб 4J]
11. «6 [-1-5) . 12. (-2,1]. 13. p e [-2,1) U (1:3). 14. pe(-3;2].
15. a e (-оо.-2]U(l;+oc) . 16. a e (-oo;0]U(l;+oc).
17. При a< —
x = log2 (1 - a + ^(a+ !)(«-4)]; при a e
3’
xt. = log, (1-а±лУ(а + 1)(а-4)]; приа>-1 xe0.
18.При«<-у x = log;2 (-a -1 + ^(a- l)(a + 3)j
при a e
7
2’
x,, = log,2 (-a -1 ±^(a-l)(a + 3)1; при a > -.3 x e 0 .>
19. a & (-cc;0)U(4;+a>) . 20. При a e | -oo;-— | x = -4a, у = 1;
\	4 J
нет решений; при aefl+oc'j x=2-4a, y = -l.
при a e
Гnynna III
Решить уравнения:
j ^logj^smx-'-cosx) _ ^log2(sinx-cosx) .
5. 3-4Х + 3-4хИ + 4X’2 =62.
7. 5х2 ’’5 = 25х .
9. 52+cos2x - 26 -5cos2x +5 = 0 .
11. (V7)(i2_x42=7V7.
13. 2х*2 -22 x -15=0,
15. ^272x ’ = t/92x-’ .
2. 4х'1,5 +9X =6хЧ.
4. 42x’3 - 3 -4х"2 -1 = 0 .
6. 3х -8-3х'2 +15 = 0.
8. 52x -4-5x -5 = 0.
10. 8х- 4х = 2х.
12. 62х -8-6х +12 = 0.
14. log7^81V3x2”8x^ = 0
16. 22хЧ +2Х*2 =16.
301
17.	З4^ -4-32^ +3 = 0.
18.	4х +2Х-1 =80.
19.	9 х + 4х = 2,5  6х .
20.	4х’1 + 4Х +4Хт1 =84
21.	4'/х~2 +16 = 10-2,/хЛ
22.	iog^4x2-’ ~1) + | = log8[2x2-: -7^.
23.	log3(4x-1 -9)-log3 5 = log3(2x-1 + з)+ log, 2.
24.	6• (O,75)2“2x~x2 - (O,75)x2‘r2x'2 = 25l081258 - 3.
25. 3x'2 ‘4x = —.
25__________
27 2^°^2 3 _	4x-0,75
31. 43х2+х-8 = 2-8х2'х/3.
33. 4‘хЧ/2 -7-2x =4 .
35. 16х4’2 =15 -4х + 4.
37 ^а/зх2-2х-1	2 _ д . 2 »Зх2 -2х
26. 5 х2 2х = 128 .
28. (V7)lOS1°(9ri ==(V^)110832
30	1 _^.logs7 _ Q
32. 24(x*1)2 =1 + 2-4x(x'2).'
2
34. 9хИ + 3xi2 -18 = 0.
36. 25“x + 5-хЧ =50.
38.
3?x2+6x-9 +-j. |^x2+3x-5 _ з ^2x2^6x 9
39 9  4lo81'2\sin2 2x+sln2 X439/16) _ |
..	1	/,	2 l-si”2 x/(smx+l).
41. ...	= 11 - X I
Vl-X2
43. 36x-3 = 2(27x"2/3)+1.
45. 101+x2 -101-x2 = 99 .
47. 641/x -23l3/x +12 = 0.
49. 4I~(-v+i)2 _3'22~(x+}? +7 = 0.
40. |x-l|’g2x ’8? =|x-l|3.
—cos^ x/(Ucosx)	1
42. (4-х2)
44. 26x +8X’2 3 - 5 = 0.
48. O1’^’1*2 -12-3-(x’l)2 +1=0.
50. 53x + 9-5x +27(5 3x +5“x)= 64
51. 24x -23x+1 -22x +2X+1 +1 = 0. 52. Xх +139x x -108x’2x = 32.
302
“Jr-C-(Jr Cl-
Решить системы уравнений:			
55. 	X + V = 6. / 7х’12=1.	56.	27х =9-'’, *11 = 243. З3'
57. •	Зг-^64 =36. 5’’ -V512 = 200.	58.	у1 х = 2. ух = 16.
59.	2х (х 4- у) = Ю. (х + у)‘ х =5.	60.	2X3V = 24. 2У3Х =54.
61.	'зх5у = 75, Р'5Х = 45.	62.	хг = ух, Xх =у\ х>0.
	ху = ух.		х2у-’ = 5,
63.	х3 =у5,	64.	ху'2 =3,
	х > 0.		х>0.
	^32lx^(l,5)2ly =0.25,	66.	'ху = 256.
65.	Л5_=1		2^12” = Зх.
	7(0,2)2'-’		
67.	1х + 1у = -1, -20x4-3,5-2^' —146.	68.	3х 4- Зу =28, Зх+У = 11.
69.	ху = у\ х3=у2, х > 0.	70.	^4х" = 32^8зГ ^З2 =3^9^
303
71.
3 х - 22y = 77,
7F-2-1' = 7.
fx2-v = 16 + 6xv.
72. • x2v + 5 = vxv +5y2,
x>Q.
r22x 2y + 2X’11 * * V - 2 = 0,
74. Найти все значения параметра р, при которых уравнение
(/? + 1)-4х+2(/>- 1)- 2х + 3(/> -1) = О не имеет решений.
Найти все значения параметра р. при которых уравнения имеют хотя
бы одно решение:
75. (/;-3)-4х-8-2* +/>+3=0.	76. (р + 5)-9х + 6-Зх +р-3 = 0 .
77.	(/?-3)-4х -8-6х + (р + 3)-9х =0.
78.	(р+5\9х + 6хЧ +(/>-3)-4х = 0.
Решить уравнения с параметром:
79.	144W-2-12H+« = 0.	80. ^а(2х-2) + 1 = 1-2*
Ответы:
1. {з}. 2. {log1>52;log1>54}.3. jy + 27tf|fceZW{2лн|п е /} . 4. {2}.
11. {-1;2}. 12. {l;log6 2}. 13. {2}. 14. {2;б}. 15. {0,5;3}. 16. {1}. 17. {0;0,25}.
18. {з}. 19. {-log,,5 2;log15 2). 20. {2}. 21. {3;11}. 22.	Vlog2 3;Vlog2 3}.
23. {1 + log213). 24. {-1 + ^3 + log0 75 2;-l -^3 + log0,75 2}.
25. |-2-^4-21og35;-2 + ^4-21og3 5}.
26.
{ + 71 + 71og5 2;1 - 71+ 7log, 2 ). 27.

30. {125;0,2}. 31. j-1;-} • 32-
{-1},33. {-2}. 34. {0}. 35. {1}. 36. {-1}.
304
37. j—1;1|,38.	39. |(-l)"arcsifi^+7OT|«ezJu
Ш(-1)" ' arcsin —+ л/|/e zL 40. {0.1;2:1000}. 41.
I	4	L 6 j
42.	V3;0;V3)43. Ш . 44. {o},45. {-1:1}.46.	1.47. {3:log68}.
48. {1 - ^/1 -log3(2 - VJ);! + д/l ~log3(2 -	.
49.	1 --71-log2(3 -V?);-! + Ti-log2f- Л)}. 50. {0;log5 3}.
51. jog,(1 + V5)-l}. 52. {1;2;3}. 53. {2}. 54. [ Д2-^-—L
(lg|y5+l)-lg2]
55. {(3;3>(4;2H5;1)}. 56. {(2;3)}. 57. {(3;2)}. 58. |(2;4>[- 2;|')l. 59. {(1;4)}.
к 4 J
60. {(3;1)}. 61. {(1;2)},62. e (0;+<ю)}. 63.
64.
68.
72.
'J? 21g5 + lg3'
Д 5’ 21g3 -lg5^
{(0;3).(3;0)}. 69.
65. {(-0,5;0,5)}. 66. {(2;8)}. 67. {(-4,5;3)}.
Ou).
'5 5V15
1.3—
•70. |(12:4)).71. {(4,1)}.
(2;3>, 8 23 ;-y >-73.
{(0,5;0,5), (-0,5;-0,5)}.
7
74. pe(-oo;-l)U[l;+oo). 75. p e (-5;-3)U(-3;3)U {5} .
76. pe[-5;3)U{-6}. 77. p e (-5;-3) U (-3; 3) U {-5} .
78. p e [—5;3)U{—6}. 79. При а<1 x = ± logl2 (1 + >/Г-7 j; при а>1
решений нет. 80. При е (-oc;0]U(l;+°o) решений нет; при а е (0;1]
х = log2 а.
305
Показательные неравенства
Группа I
ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенства:
9. (3,24)2,/х‘ 5
1. 5х >3125 .
5. 5^ > 625 .
8. (2,56)4,/х 1 < Х
10. Д4^” -V16x+100 <0.
13. 2^ > 0,015625-Д^'
> 590Д9.
12. Д7* < 16В84?
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенства:
1.	23х“2	>5Х~2,3.	2.	8Х“3 <32х 6.
4.	62хМ	-З3х2х"8 >0.	5.	5х8(л-1)/х _500<0
7.	З2хх3	+ 32х -30<0,	8.	7-5х-5х"2 >-450
3. -63х -22х33х <0.
8
6. 2х*3 -2х -112 >0.
9. 2 • 16х - 24х - Д2х~2 <; 15 .	10. Дх - 3х °’5 + 22х“‘ - 3х*0’5 > 0.
11. 5-2^-3-2^-] <:56.	12. 54х“3 -Д-54х-1 +854х!' -24505 <0,
13. 5х-3 -5х 4-16-5х"5 -2х’3 >0.
+ —9Х+1 <0 .
2
17. —!—<—j—
2х+3 2 -1
15. —— > 2х .
2х-1
18. -у---—т-----< -.
4Л-3-2Л+2 6
при которых неравенство
14. 3-4Х +~9Х*2 -6-4
16.Г±» ’
2х-1
19. Найти все значения параметра а,
а-9х +4(а-1)-3х +а > 1 справедливо для всех х е К .
для каких х выполняется неравенство
20. При каждом а указать,
a2-2-4x“-a-2Xil >0.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенства:
1. 52х-3 -2-5х"2 >3.
2. 9-52х“4 + 4-58-2х <325.
306
3. 2-ЗхЧ -5-9х~2 >81.
4. 5.3*
3 х
<7.
5. 24х -50-4х -896 >0.
7. 5х + —-30<0 .
5 х
9. 2^	< 24.
6. 49х-6-7х+5 <0.
8. З^л/г)* -7-2х'4 -20>0.
11.	(^з)1 +(ц/з)*’10 > 3(О,125)'°’(6>’°ЛЗ)1082 7.
12.	3 •	_ 7.2^7--^16 + 2 > 0
13.	4Х'^ _5.2Х-Ь^ <6.
14.	9х2-1 - 36• 3х2 3 + з2 -1о8927з 1°вз2 I°g2*3
is.	зх 1 —Ц-+зх 2 —— <о.
ЗхЧ 3х 2
16. 3•4'/2~х+3 < 10• 2'/2~"х.
17. 3-4Х+2-9х-5-6х <0.	18. 2• 25х-5-10х + 2 • 4х > 0 .
19. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
4х - а • 2х - а+3 < 0 имеет хотя бы одно решение.
При каждом а указать, для каких х выполняются неравенства:
20. 42х1 а2-65а-4х 1 +1 > 0 .	21. а2 • 4х*1 -33а • 2х +8 > 0 .
22. 16х+(1/2) <9а-4х+а2.
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенства:
1. (0,13)х“149 -0,002197 >0.
з0,01х2-0,6х— 2,5 < ^у^З
2. 27-(0,(3))6"й0.
4. 5Х~'^ -125 < 0 .
6. 115^(0,5)“х -2^ <0.
7. з.з20-х)(2’5^9’5) _9(6-2х)(х-1)

307
io. зх '+(о,(з))2' ~(о.(1))~ 2 -99 <0.
П.^(0.(1))20-0’5х + 2^3Х 35 -21 < 0. 12. 34х"’ + 34х~2 +34х~+?-9620<0.
5 ( 1
13.	81х-7-92х+5-34х’3-8— —	^0-
27<243J
14.	3х +3Л"' + 3Х*2 -7х -7х'1 -7х 2 >0.
15.	27х-12-3х+48-3"х-64-(0.(3))л--уу >0..	16. 9Х.+ 6Х -45^0.
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1. 1. (5:+х). 2. (-х;1). 3. (-ос;7/3]. 4. (-оо; 1/4) 5. (0:3].
6. [-20;-х). 7. (8;+х). 8. [0;1). 9. [1:+х). 10. (-х;И)]. 11. [1;-ню).
12. (-х;1). 13. [-4:32].
ЗАДАНИЕ 2. 1. [2/3 :+х) . 2. (3;-кю). 3. (- оо;3]. 4. (4;-юс).
5. (-x;-log5 2]и(0;3],6. (-20;+х),7. (-х;1/2).8. (~х;2],9. (-х;1].
10. (3/2:-ню). И. [0;1б]. 12. (-х;1). 13. (5;+х). 14. (-х;-1/2].
15. (0,log2 3). 16. (0:2) 17. I -2; log. у 1.18. (0;l)U(4;+x). 19. а > 1.
20. При «<0 х<log. (-a)-l; при а = 0 решений нет; при п>0
х <log, а-1.
ЗАДАНИЕ 3. 1. (2;+х),2. 2+^--^;3 .3. [4-log,5;4]. 4. (-х;3].
к 1g 5	/
5. (3;+х). 6. (0;log7 5). 7. [1;2]. 8. [8;+х). 9. [О;3б). 10. (-2;-ню).
11. (20;+х). 12. [-17 -16]. 13. (-x;-72]U^V2;3/2).
14. (-x;-V2]lj[-l;l]u[V2;+x). 15. (-х;2 + log, V?]. 16. (2-log]3;2j.
17. (0;l). 18. (-x;-log2S 2]U[log.5 2;+x). 19. a>2.20. При a<0
хеЛ;приа>0 xe [ -x;log4—|(J| log4— :+x |. 21. При a <0 хеЛ;
к 16л J \ a )
при n>0 x e (-x;-2-log2 a)U(3-log, a;+x) . 22. При a <0
308
i f a	„	3«
log41 I; при a = 0 решении нет; при a > 0 г < log4 —.
ЗАДАНИЕ 4. 1. (-х>;152),2. [9;+оо),3. [-1О;7О]. 4. [5/3;7).
5. (0;l)U[25;+oo). 6. (32;36)U(б8;+ос). 7. (-19/5; 1 )U(3;9]. 8. (2;+оо).
9 rioig3-7igz.a ш
(101g3-31g7 J
(- х,.б) .11. (- со;45].
_х.Ig2+ig37-is3'| 13 (_[2;;+се) н Г iosjj-iei.3
4!g3	)	Ig3-lg7
,	3
15. (1;+оо). 16.
U(0;+°o) •
Группа II
Решить неравенства:	
	
3. з13х~41 <92х 2	4. 5'4х-б1 > 253х-4
5. Зх*37х3 <32х72х.	6. З2х’352х^3 <35х55ж
а.
9. 5х -3х*1 > 2[5Х ! -3х 2).	10. 7х-2х’2 < 5 • 7х”1 - 2х-1.
И. 2х*3 -5х < 7•2х 2 -3-5Х	12. Зх+2 +7Х > 4-7хЧ +34-3х-1.
13. 3х -2х"4 <ЗхЧ -55-2 х’1 .	14. 6-5х±1 -5х'2 +6-5х >22 .
15. 3-2^' + 5-2х -2Х+2 521.	16	__дх+4
17. 4"х,’/2 -7-2‘х-4<0.	18. 16х 1/2 <15-4х +4.
19. 9Х+1 +3Х‘2 -18 >0.	20. 25-х -5 хИ >50.
21. 9х -2-Зх <3.	22. 4х -2xtl >3 .
23. 7 х -3-7Vx >4.	24. 5х - 53-х < 20.
25-[тТ г2"' + 9'	26.	< 4 х”4 - 7 . 23-х
309
27. (if >6’=’-12-
29. 2Хт3 +6-2х’1 -33>O .
31. 4(0,5)х(х'3) <(0.25)2х.
33. 4-4х > 7-2х +2 .
35. 52х1 +6хЧ >ЗО + 5ХЗОХ
37.	+ 3 <28-3^ 1
39. 2^х'2 3х"3 > 2^
41. 9-41 х +5-61 х < 4 - 91 х
11.3х-1 -31
43. --—--------—----> 5 .
4-9х -11-Зх“ -5
„	9	10 + 4х 2
45. ----<---------.
2х’2	4
47.
1 — 25-х	5“х-6
28. 52х“3 <-2- + 15.
5 “х
30. (2/9)х х > (20,25)2х 7 .
32. 22х-3 - 3-2х“2 +1>0.
34. 32хг5 <3Х*2 +2
36. 5Х‘,/2 -9х >32х-2 -5х-1/2
38. 2^ - 2Ьл/х < 1
40. з:д' ч'! : <(1/3) 40x2.
42. 5 • 251 х + 3  101/х >2-4|/х.
4-7-5х	2
44. —"—;------------.
52х+ -12-5х+4 3
32х
46.------> 2(0,3)х + 3.
100х
49. 7x-x2/S <71-х(^7')Х +6.
51. (2х - 4^х2 - 2х - з) > 0.
53. (ч/з+г)1’1 >(Л _2jx'1Mx"’\
so. з^^ +з<ю-г^.
52.(71+1У6х‘6)/М)<(71-1Ух.
54.^8 + 2^i! -4^х + 2^'1
55. 4х + 8л/2-х2 > 4+(х2 -2)-2* +2х-2* -л/З-х2 .
56. 4х2 + З^1 + хЗ^ < 2х2 3^ + 2х + 6 .
57.
59.
Решить системы уравнений и неравенств:
2хЧ =4у2+1,	58 (2Х+1 =у2+4,
2х<2у.	’[2х"’>у.
х + 2уЧ >12,
4x + 4-v <32.
310
Ответы:
1. (О;+ос). 2. (-ос;0). 3. (-оо;8/7]. 4. [7/5;-ню) . 5. [3;-ню). 6. (1;-кю).
7. (-ос;2). 8. (-эо;1]_ 9. [3;-кю). 10. (-эо;2]. 11. (3;+<ю). 12. (- оо;+ос).
13. (2;+оо). 14. (- оо;3]. 15. [log5 2;-Ню). 16. (-oo;log2 3]. 17. (-оо;-3/2].
18. (- 2;-оо). 19. (- оо;1]. 20. (0;-кю). 21. (- оо;-1]. 22. (- ос;1).
23. [log2 3;+ос). 24. (-оо;-1). 25. (-оо;2]. 26. (-oc;2-21og2 3].
27. [4 + log2 7;+ос). 28. (2 - log6 2;+ос). 29. (log2 3;+оо). 30. [- 7;2].
31. (-оо -1)и(2;+оо). 32. (-оо;-1)и(2;-юо). 33. (-<ю;1).34. (-оо;-2].
35. Г log, y;log6 5 j . 36.
|;-кю J. 37. (-л/7;-Тз]и[ТЗ;-//). 38. [0;1].
39. [0;l)U (3;+ос). 40.	• 4L (-°°;°)U^0;|
42. [-1;0) U (0;-кю). 43. f-oo;log3i
,	3 ,	5
log3-;log3-
3 э
и
44.
,	2 ,	4
log5-;log,-
U[log5 2;-ню) . 45. (3;-ню). 46. (-oo;log03 з).
47. (- oo;-log5 6)U [-1;0). 48. |tog5/3 — ;1J .
49. (-оо;4-2л/2)и(4 + 2л/2;+оо). 50. (2 - log3;2]. 51. (1;2)U (3;-ню).
52. (- oo;-l)U [2;3]. 53. (- 1;2]U [3;+<ю). 54. [-1;3). 55. (-1; Vi],
56. [О; log* 2) U (3/2 ;-кю). 57. {(0; 1/2)}. 58. {(2;2)}. 59. {(4;2)}.
Группа III
Решить неравенства:
1.	2~х-1 г-2	<0.	2.	3-2Х+1>22"Х.	3. г-БГ^-ЗЛб^ <36^
4.	6	> 2х	5.	2х +8	г 1	1
	2х-1			2х-Г	2х+3 "2хх2-1 '
7.	4^-3	1	 2 1^+2 6'		8. 0,54Л+5'бЛ"’ <0,59Л.
9.	4^18^ _	6lgx_2.32-lg?	>0.	10. 3х +3ХХ| +Зхх2 -Т -7х*1 -7хх2 >0
311
11. з1"77-г77 1 -З77-2' 77 <1.
13. 2:7х+21-1077”1 >5:7х.
12. 2-977 1 +677’1 <3-477 1
14. S-977 +677’1 <27-477.
17.
> 2^sin^
2|sm^
18. 4х2 +3 - 377 +Х-377 <2х2-З77 +2х + 6.
19. О.!!®7771 >1.	20. 3М + 3М >28.
21. ^3-9^ +2-^ + 2 з7777 > 4 .
22. |24д-5| < 3 .
23. 16х+(.г-6)-4х+5 > х.
15
25. ----+ 5 <0.
2-5'
24. (х2+х + 1)хт2 >(х2 + л- +1)'.
26.5'ЗД;3<3^
9-37х
27. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
4х-а-2х-а + 3<0 имеет хотя бы одно решение.
28. Найти все значения параметра а, при которых функция
у = а -4х + (а + 2) • 2х +2 на отрезке [0; 1] принимает только неполо-
жительные значения.
Ответы:
1. (-»; 0) и (2; +оо). 2. (0; + оо). 3. [0; 1/4). 4. (0; log, 3).
5. (0; 2).6. (-2; log2y). 7. (0; 1)U(4;+«=). 8. [0; 1). 9. (0; 0,0.1),.
10. (1/4; 3). 11. (1; + оо). 12. [0; 1). 13. [0; 1). 14. [0; 1).
15. 3\[2ли|п е Zj. 16.	6 z|. 17. Ж \ р~|и е	•
18. [О; logj2 +°°j • 19. I-оо; log, . 20. (^о; -2]U[11 +а>).
21. [1; 2). 22.
. 23. (-оо; O)U(1; +«=).
24. (-2; - 1]U[-1/2; 0]. 25. (^о; log5 2)U(1; +оо) . 26. (0; l)U('4y+oo)fc
27. [2;+оо) 28. (-оо;-2].
312
Логарифмические уравнения и системы
Группа 1
ЗАДАНИЕ 1
Доказать, что нс имеют решений уравнения:
1.	31og4(x2 + 2x + l)+71og4(x + 4) = 5-log4(4x-x2 -4).
2.	log, 9(5 + х2 + х) = log! 9 (1 - |х2 - 4х + з|).
3‘ 10gViT^_|x2“‘^+’l):=10gVn(8 + H+^)-
4.	log,/8\4х +	= log, 8 (2 - (х - З)2).
\ Vx J
5.	log6(13 + |x + l| + |x-l|) = log6(13+|x2 -1|).
6.	log, /5 (х - Vi4 - х) = log,;5 (х2 -7x + log2(x-20)).
7-	10М2-^"г -z)=10g^p-i|(5+х2 - ХУ
8-	1Og5/(6.?)(13 + 4X2 -4X)=1OW(~2X~X2) •
Решить уравнения:
,	2
9.	log г—7= х2 = — .
ь1.^б4б	з
11. log, logs log 2 (х - 5) = logз 2 -1.
13. log7(2x2 -5x + 31)= 2.
15. Igx2 +91g2x = 40.
17. log, (x + 20) • logx V5 = 1.
19. (l-log3(7-4x))logx3 = I.
ЗАДАНИЕ 2
Решить уравнения.
V9
1- logx у- = -0,6 .
10. log,z3log,/2x = -l.
12. x(l-lg5)= lg(2x+x + 4).
14. 41g^| = 2-5Vi^.
!6. 410gx(1/3)“1 =0,5.
10g,(?-12»+39)-l
log3(x-3)-l
20. 21glgx = lg(3-21gx).
2. logx(?- 2Л)= 2 .
313
3. Iogj	3 7 = 3.
,	X + l	X
5- log3----= log3  -----
x	2-x
7. log2	— = 1.
Lr - 1| - 1
9. logA+1(x2 -3x + l) = 1.
11. Vx'*^ =10.
13. x^ = Jx* .
15. IglO's^21^ -lgx = 0.
17. log2|x3 + 2x2 - 4x -4| = 2-.i
19. 6-2lgv-x!g2 =20.
4. lOg?_|92^ = |.
6. log1/3V^T-logl,3(x-2) = 0.
8. log3(x2 -б)= log3(3x-6).
10. -Д = = (2x -1)1081
V2x-1
12. x2lgJ.v-I.SIg.r
14. O,lxlgr-2 =102.
16. 1ё^75 + 5^ =1.
18- 1о<М+бх+81082?+2л+3(х2
20. 5l0g,/i®'V = 5+4-xlg5.
ЗАДАНИЕ 3
Решить уравнения:
! lg* _ 2	2. lgx + lg(x + l) = lg(5-6x)-lg2.
’ l-lg2
3. lg(3x2 -17x + 2)- lg(x2 - 6x +1) = lg 2.
4. lg5-l = lg(x-3)-ylg(3x + l).	5- 0,51g(2x-l)+lg7x-9 = 1.
1 ( ЗА
6.	Ig3x-—Igl 8x-15—i = lg3O-l.
7.	ylg(x + 30)+lgVx-30 =l + 21g2.
8.	log3 (x - 5) - log3 2 - log3 (3x - 20) = 0.
9.	lg V2 -lg V?-4x + 15 = 1 -0,3lg(3x2 + 4x + 5).
10.	lgV2x-4 -IgVx +1 -lgVx + 5 -lg2 = 0.
11.	lg(2x-3)2-lg(3x-2)2 =2.
314
12.	— lg(x2 -Юх + 25)+ lg(x2 -6x + 3)= 2 lg(x - 5) + 1g т/з .
13. lg2x-lgx4 = lg25-4.
2	9	13
15.-------+--------= — .
7-lgx 11 + lgx 12
17. 31gx2 -lg2(-x) = 9.
18. lg2(20x + 10) + lg>/8x + 4
l + lg(x-l) 1
' l-lg2(x-l) l-lg(x-l)
l-lg2X2 ,	4
14. ------—— = IgA- + 5 .
lgx-21g2 x
16. lg2(100x)+lg2(10x)-14 = lgp
lg2 = 0.
,	7
20. lg2 x + Igx +1 =----.
lgx-1
ЗАДАНИЕ 4
Решить уравнения:
j xiog3*-4 - _L
27 '
2. xlog2Jt =4x.
3. xloB4x = 230°84A+3)
4.x	3 =
V100
5. log2 x + log8 x = 8.
6. logjt2 16 log 2л 64 = 3.
7. logx 2 • log2r 2 = log4x 2.
9. log3x - + log2 x = 1.
8. log4 x + log16 x + log2 x = 7.
Ю. 1Og7(9~J) = 2~1Qg54 _
' log7(4 + x) log5(x + 4)
x = -1
12.	log1/2(x-l)-log2(x + l)-log1/V7(7-x) = l.
1	2 1	2	7
13.	log7 x + log1/x - = log1/7 - + logx 7
7 x	4
14.	51ogx/9 x + log9/x x3 +81og9? x2 = 2.
15.	log2 x  log3 x = log3 x3 + log2 x2 - 6 .
16-	1оёЗл+7 (5* + 3) + log5x+3 (3x + 7) = 2 .
17. log4 log2 x + log2 log4 x = 2.
log j- 2
18. -—+ log2x 2 • log]/2 2x = 0.
1оё2л 2
315
19, l0g2?-l *2
3J log3(2x2 -1)
20. (x-4)2 log4(x -1)-21og4(x -1)2 = (x-4)2 logv_, 4-21ogv_, 16.
ЗАДАНИЕ 5
Решить уравнения:
1. log^a-log . —-— = 1.
2a-x
-J2a-x
3. log^--------log1/u x = 0.
a	'
5- loga x + log - x + log^ x = 27 .
2. 1оёг.ш-1оёл-== = 1.
VZ/w-x
4. (3 logu x - 2) log? a = log^ x - 3 .
6.	logu >/4 + x +31ogu, (4-x)-loga< (16-x2) =2.
7.	1g2x+ lg(2-x) = Iglgp .
При каких значениях а уравнения имеют два решения:
8.	log2 (41 - a) = х.	9. х + log,/, (4' + а3) = 0.
10. x + logy3(9x -2я) = 0 .	11. log5(25' + 7a3) = x.
12. При каких значениях а уравнение logx.a (х-2) = 2 имеет единствен-
ное решение?
При каких значениях а уравнения: а) не имеют решений; б) имеют
одно решение; в) имеют два решения; г) не имеют больше двух решений:
13. log2(x2 + l) = log2(x + a).
15. lg-^- = lg(-x + tf).
17. ln(x|x-2|) - lnf|- + a j.
14. log2(x2 -l)log2 (x + a).
16. lg(x2 -|x|-2) = lg^-z7
18. lg|x2-x-2| = lg^ + a\
19. 1g
= lg(-x + a).
20. При каких значениях a-.уравнение logI_1(x + a) = 0,5 имеет единстг
венное решение?
316
ЗАДАНИЕ 6
Найти все значения параметра а, при которых системы уравнений
имеют единственное решение. Указать это решение при каждом значе-
нии а:
1.	log2 (x + l)-log2 (а-у) = 2, L-x_y + 4 = 0.	2. 	log, (2-x) + log2 (1-_v) = 2, 4y = a -x.
3.	log2(x-y) = l + log2(-x), (x + а)2 + (y-a-3x)2 = 1. J’ = 3x2,	4.	log2 (x + y) + 2 = log2 (5x + 3y)jM у + 4 = x + la + 2 (x - a)2. fi i f, igy = ig i— ,
5.	lg(l + x) = lgf|-^\ a j lg(x + _y + l)	6.	\ X ) (y-x)-a = l. 9y = (a-l)2 +9(x-a)2,
7.	Igx (х-а)" +(у + а-5)(у + а) = 0.	8.	f IxR у = log2 1+— . \ x)
Указать все значения параметра а, при которых системы уравнений
имеют два различных решения. Найти эти решения при каждом значении а:
log2 (1-x) + log2 у = 2,
у = а + 4х.
10 Pogi>’-io82(x^a) = 2’
[л^ + х + 4 = 0.
х2 -4х + (у-а)2 =21.
Найти все значения параметра
имеют решение:
а, при которых системы уравнений
]3 flog2(l-x) + log2(l-y) = 2,
[ у = а - х.
у = х2,
lg(3-x) = lgfl--
x + log2 (1-у) = 2,
у = д + 4-21.
16.
(.г - а)2 = х - у - 1а + 24,
I" 10g,2 У j
l-log,2x
317
17.
кН v
кН
У + у = а2 - 4а +1.
Указать все значения параметра а, при которых системы уравнений
не имеют решений:
y + log2(x-l) = 2,
2‘ =а-4х.
log2 (у + а-2) = log2 (а + х) -1,
у = 4>/1-х.
у - а = х2,
lg(3 + x) = lg^.
Ответы:
ЗАДАНИЕ 1.9. {-^6;^б}. 10. {о,125}. 11. {21}. 12. {-4}. 13. {-2;4,5}.
14. |1О4;1Оо,25|. 15. |100;10~|. 16.	. 17. {5}. 18. {9} .19.	.
20. {10}.
ЗАДАНИЕ 2. 1.
{З}. 2. {V2-1J.3. {з +V7}. 4. {з}.5.
-.6. {5}.
4
7. {-0,5;2,5}. 8. {з}.9. {4}.10. {1;0,25(л/41 + ?)}. 11. {0,01;100}.
12. {0,1;10}. 13. {1;4}. 14. {0,1;1000}. 15. {3;7}. 16. {9}.
17. {-1 -л/5;-2;0;—1 + V5;2}. 18. {-1}. 19. {100}.20. {10}.
ЗАДАНИЕ 3.1. {25}. 2. |),5л/26 -4}. 3. {о}. 4. {5}. 5. {13}. 6. {3,5;4,5}.
7. {50}. 8. {7;15}. 9. {5;7}. 10.0. 11.
12. {7}. 13. {20;500}..
28 32 J
14.
{э,1; Vio}. 15.
{10;1019/13}. 16.
П;10 .
ю5
17. {-1000}.
18. {-0,4995;0,5(Ло-1)). 19. 0. 20. {100}.
ЗАДАНИЕ 4.1. {3;27}.2. {0,5;4}.3. {1/8;64}.4. (э,1л/1О;1Оо}. 5. {б4}.
6. {),5^4;4}.7. {г-77^77 [.8. {1б}.9. {1/9;1;3}. 10. {- 1,43,4}• П. {1/9}.
318
12. {З}. 13. {7;49}. 14. {>/3;з}. 15. {8;9}. 16. {2}. 17. {1б}. 18. {4}.
19. |-О,5-73;О,5-7з|. 20. {1,25;5;б}.
ЗАДАНИЕ 5. 1. а при <7 > 0, <7*0.2. т при т > 0, т 1.3. а при а> 0,
а*1.4. 1/а, у/а , а2 при а > 0, а * 1.5. а6 при а > 0, а * 1.
6. х = 4 - а1 при 0 < а < 1 и 1 < а < 2^2.7. 1 - ^/1 — 0,51g р ,
1 + 71 -0,51g р , где 1 < р < 10.8. ~ < <7 < 0.9. О < а <	.
1	17	3
10. — < а < 0. 11. О < а <—==. 12. а = —, а < -2.13. а) При а < —;
8	728	4	4
3	3
б) при а = —; в) при а > —; г) нет таких а. 14. а) При а < -1;
4	4
б) при а е (—1; 1]; в) при а > 1; г) нет таких а. 15. а) При 0 < а < 4;
б) при а <0 и <7 = 4; в) при а > 4 ; г) нет таких <7. 16. а) При а < -1;
б) при -1 < а < 1; в) при а > 1; г) нет таких <7. 17. а) При а < -1;
21	21
б) при а > —; в) при -1 < а < 0; г) 0 < <7 < — - три решения.
1 33	1	33
18. а) При а < -1; б) <7 е 0; в) при -1 < <7 < — , — < а; г) — <а< —
2	16	2	16
четыре решения. 19. а) При <7 = 0; б) при <7 < 4, а * 0 ; в) при <7 = 4;
г) при <7 >4 - три решения. 20. ае

ЗАДАНИЕ 6. 1. де
5<Г - 8<7 - 63
2
2. <7 =-2 х = -2 , у = 0 . 3. а е —х =
-а2
8 <7 , у =
<7 е
2	3
—-15.7. ле —;2 U
2
1	1 1 2 1С 11112
--1 »/—5	15 , у — 1-1 . I—: 
2<7 2 V <72 О-2 2<7 2\а2 <7
319
х = a + yj-a2 +la-6 , у = -1.8.
U{4} x-a +
y/s + la-a2
-
441
I 5
| э	1_____________
у = 1.9. a 6 (4; +oo) x =----- +—y/a2 + 8a-48 ,
2 8 2
у = 2- —+ —>/a2+8a-48 ; x = -- —-~Va2+8a-48 ,
2 2	2 8 2
y = 2~ —— Va2 + 8a -48.10. a e |-4;-—] x =-,
2 2	<	4J y + 1
-l-4a±V16a2 -8a-63	, ,	/ 2 4	77
у =--------------------. 11. a 6 (0;5) x = 2-у-a2 + 2a+ 24 , у = 1,
x = 2 + \l~a2 + 6a +16 , у = 3. 12. a e (0; 5) x = 2 - \l-a2 + 2a + 24 , у = 1,
x = 2 + V-a2 +6a + 16 , у = 3. 13. a e (-®;-2] .14. a e (-oc;0)U(9;+«).
15. a e (-7;+®) . 16. a e (-6; 12). 17. a e (-°c;0)U(4;+<»). 18. a e (-oo; 12).
19. a <-13.20. ae[-9;0].
Гpynna П
Решить уравнения:
1. 3|08б(л’7)=^5125.
- ,	/e5/777) 13
3. logx|8\/0,25)= —.
5. 23/,°82V =-.
8
7. !g(V^+^ + 0 3
lgVx-40
9- log6(x + l)+log6(2x + l)=l.
11. logл 2 + log2 x = 2,5 .
13. log2 ^2x2 +3x + 2 = log4(2x).
14. log2(x2-3)-log2(6x-10)+l=0.
2. 2log6(’4l) =log7 2401.
4. к^(зб^3б)=|.
6. 41/|og2 v =2 .
8 lg(V3x + l + 4)-lgx =
2-21g2 + lg0,015
10. log3 x + log3(x + 2) = l.
12. Iog4 ^x2 + 3x — 4) — log4
x + 4
15. logI_v3-logI_Jt2=l.
320
16.
17.
19.
20.
21.
1	1 1 (	1 1 1 (	1 1 1 1 I И
Igx---1g X— =lg x + — —1g x + - .
2 Л 2) V 2) 2 <	8 J
lg(x + 2)-lg5 = |lg(x-4).	18.	lg(20x)-0,51g(220x-117)=lg2.
lg(x -150) + log^j 9 = 7 - lg(l 50 - x)2.
Igx-lg3 = lg(x +2)-lg(x2 -4).
lg/x-3 -0,51g(x-l)2 +71/(2log8,7) =52/log85 -lgVx + 2 ,f
23.	1ё(х + 75)+162',О^(2/Л) = 272~3 * *^2 -1ё(х-Д
24.	51gx-lg288-32-log927 = 3 log(x / 2) - 0,5 • 3log3 2+log27 3.
25.	lgVx-9 + log 25 ’$625 = 1 - logg	- 0,5 lg(2x -1).
26.	lg(3x2 +12x + 19)-lg(3x + 4)+log32 4 = 1 -log1/l6 ^256
27.
28. lg(3x -11)+ log^ 2048 = 25 - lg(x - 27).
29. tes-tefr-s) = j _ 1о *ёз12 , 1°ёз4
lgVx + 7 -lg2 log363
30. -^log3 x9 - 4 log9 V3x = 1.
32. log2(9-2^)= 3 -x.
34. log2(9^ +7)= 2 + log2(3x-'
36. 1ё(зл +x-l?)=xlg30-x.
37. lg(103/x -500)-3 = ^(з-1000(’’4'л)- 21g 2 .
10 IJ n T./i-t+2 _ сл I _ i„(-i-»/2 , -nJ 1 _ л
21g2 + lg(x-3)
c + l)+lg(x-6)+lg3	g1'16 4 ’
logics3
31. log6(5 + 6~л )= x +1.
33. log,^' -з)+х = 2.
1).	35. lg(2x+х-1з)= x-xlg5.
39. 21g2 x + (l-V2)lgx2 = 2^2 .
40. ylog3(5x-6)3 -log3(5x-6)3 • log, x6 * * =-61ogf
321
. f 4 ।	. Г 1 ।	1 i /	z-\	1 .
42.	Igl x + y l-lgl x-y l=-lg(x+6)--lgx.
43.	1 + lg(l + x2 - 2x)~ lg(l + x2 )= 2lg(l - x).
44.	lg(l + 4x2 -4x)--^-lg(19 + x2)= lg(l-2x).
4	?
45.	-log, 27 • log2 (3 - x)- log2 (4x + 9) =  -— - 2 .
3	log4916
46 1g(x~9)-	3
6	lg(x~9)2 ’
48. 2 logg x = log3 x  log3(\/2x +1 -1).
49- J082/*,-A - 2 !og2 V* + log2 x = 3.
log2(x/2)
47. logo5(4x)+log2^- = 8.
О
50. |1 - log, ,6 x| + 2 = |3 - log1/6 x|.
51.	|4 + log1/7x| = 2+j2 + log1/7x|. g2 21 x2 10g3 x _ 2
3 27 log5V7
53. log0 25 (x2 +2x-8)2 -log05(10 + 3x-x2) = 1.
54. log3 , 1	= log, log,-.	55. 9log|/3(r+2) = 7i°g1/7(2^+3x+2)_
>/log, X	3
gg 2-7log23 _ 2-71оё9 4J-0.75
57. log3(>/x +px-1|)= logg^Vx- 3 + 4|Vx-1|).
58. -^ = (2/3)log'12.
59. log2 (x2 + 7) = 5 + 16g2 x - -- 6	.
10g 2	4" / / X J
60. log(1^2)x = l
3
log2(l-2x2)4
Решить системы уравнений:
61.
log4 X - log 2 у = 0,
x2-5y2 +4 = 0.
62. J
1о§7з (x - у) = 2.
,	,	7
log4x-logv y = ~.
О
322
Hog,, х + log, = 2,5,
[ху = 27.
[jclogj 3 + log2 y = y + log2x,
05.
[xlog312 + log3 x = у + log3 y.
21og2x-3v =15,
3y log2 x - 2 log2 x = 3V+1.
>Jy + 21gx = 3,
y-31gx2 =1.
67.	log2(x2+y2) = 5, 21og4x + log2 у = 4.	68.	1—0,41ogx у _ 0,4 У	~ л > 1 + logJ 1- — | = log/4; \ х J
69.	у -x,og-’ л = х2’5, log4y logy(y-3x) = Jl.	70.	2log5|xy|-log|.l?|(x + y)-l
71. •	х-у = 2л/з, (1 + 21°8|а>|2)1о8л+хЫ = 1-		
2 log 1-с (- xy - 2x + у + 2) + log2+y (x2 - 2x +1)= 6,
logi-x (y + 5)- log2+2 (x + 4) = 1.
Ответы:
1. {12}. 2. {- 9}. 3. {2}. 4. {б}. 5. {0,5}. 6. {4}. 7. {48}. 8. {40}. 9. {1}. 10. {l} j
11. {Лл}. 12. {-5}. 13. {2}. 14. {2}. 15. {-1,25}. 16. {1}. 17. {8;13}.
18. {0,9;1,3}. 19. {160}. 20. {з}. 21. {?}. 22. {20}. 23. {Уб}. 24. {б}. 25. {13}.
26. {-1;7}. 27. {9}. 28. {37}.29. {29}. 30. {3;81}. 31. {о}.32. {0;3}.33. {2}.
34. {1;2}.35. {13}.36. {17}. 37. {1}.38. {10}.39. jo.ljlO72 [. 40. j|;l,44l.
41. {1,5}.42. {2}.43. {з}.44. {-9}.45. {-0,5}.46. {9,001;1009}.47.
53.
-;+оо|.51. (0;49]. 52. Ьл/з}.
6 J
. 54. {9}. 55. {-1;2}. 56. {зл/з}. 57. [0;l]U{4}.
48. {1;4},49. {0,5;4}. 50.
f313~ -1. л/73 - 7
6	’	2
58. {5/3;15}. 59. {1;7}. 60. {-0,5;0,5}. 61. {(1;1),(4;2)}. 62. {(5;2)}.
323
63. {(3;9),{9;3}} .64. {(512;1)}. 65. -
______1______________
21og2 3-1 ’ 21og2 3-1
2	''.66. (ТШ)}.
67. {(4;4)}. 68. {(16;4)}.69. {(4;1б)}. 70. {(0,5(5 +VsJo^S-Vs))}.
71. {(о,5(з + 2л/з)о,5(з- 2д/з))}. 72. {(-2;1)}.
Группа HI
Решить уравнения:
1. 21og4(2v-lj + x + logp + log^ 6 = 0.
2 T
3. lg2 (100x) + lg2 (10x) + lg2 x = 14 .
lg(3+-2)
lg(2x-l)
_ .	( 8 A .
7. logJ x+- I = -log2 x.
9. 2 log2 x = 2 - log2 3 + log2 (x +1).
l-log3(x2+3)
11.-------------L = 2.
1-log, (x + 3)
13. log,1 (i). log, [i.].
log3(x2 -12x + 39)-l
log3(x-3)-l
17. ^log3^5-j^-l^logx3 = l.
19. log2(2х-2) = 3-x.
21. log2(4J +l) = x + log2(2x+3-6).
23. logx(5x2)(log5x)2 =1.
2.	^21og8(-x) - log8 Vx7 = 0 .
(	(4 1Y|
4- ]+log3 ~— -log 3 = 1.
I	V3 x))
6 3 + log2(3x-l) = 2
l + log2(4x-l)
8. log3(x-2) = l-log3x.
10. log3(5-x) + 21og3(3-x) = l
12 log2(5x + 6)
’ l + log2(x-9)
14. log52 ^ + 5 = 31og5 x ..
16. (l-log3(7-4x))logx3 = l.
18. 21glgx = lg(3-21gx).
20. log31 ——7- I = 2x .
5 V82-3 J
22. Iglg(x-l) = lglg(2x + l)-lg2?
24. logx(3x2-3x + l) = 2.
324
25. log2 (VF+x -1) = |log2 (З-Vl + x). 26. 3 + log

X = log3 (6x +1) .
log2(4x + 36)
' l + log2(x-3)
29. 1 + Iog^ x = log2(3-x).
31. л/log, VIx • log5 x = 1.
33. 1 + logj (xx j = x2 + log3 x .
35. lg(2A +x-4) = x(l-lg5).
37. log„ x - logQ; x - loga, x = 1,
28. log, (2x2 +12x -11) = 2 + log, 3.
30. 2 log, 27-3loglxx= 1.
32. 7х'вЛ =10.
34. 25l8X =5 + 4xlgS.
36. 1 + 2 logx+2 5 = log5 (x + 2).
a > 0; a * 1.
38.	(31oga x-2)log/ a = log .- x-3, a > 0; а Ф1.
39.	log8 (2 log3 (1 + log2 (1 + 3 log2 x))) = j 
40.	log,., Vx2 +2x = log? ((5-2x).
41.	3-2log’(3x’2) +2.3to8’(3x’2) -5-б'°в'!(3х’2) = 0.
42.	logctg, (3 +2cos2x + 2cos4x) = 0 .	43. logtg, (cos2x-cos4x) = 0.
Найти все значения параметра, при которых выполняется указанное
условие:
44.	Уравнение lg(ar) = 2lg(x +1) имеет единственный корень.
45.	Уравнение log3^2+—j + (x-2)2 =а имеет два различных корня.
Найти эти корни при каждом а .
(	|x + 2h |х| .	.2
46.	Уравнение log4 2 - ---1 |+- = (/>-1 - х) имеет., дваразличных
х+2) х
решения.
( |х - 2| 1хП (х-3)2
47.	Уравнение log4 2+J----L-— +2-----i-.= р имеет; два.; различных
х-2 х J 2 .
решения.
X Х~2 1	.	.25
48.	Уравнение log, 2--L-L-J----L = (x-3) имеет :одно решение.
Д х х-2J
Найти это решение.
( 1*11 I \i
49.	Уравнение log2 3 + — +(х-2) = а имеет два различных корня.
Найти эти корни при каждом значении а.
50.	Корни уравнения
(a-l)log3‘ (х-2)-2(n + l)log3(x-2)ч-а-З^О.меньше 3., .
Ответы:
1.	{2}. 2. {-64; -1}. 3.	{10; 10 ’}. 4. {3}. 5.	{3}.	6. Щ . 7. ф. 8.	{3}.
9. {2} . 10. {2} . 11. {3}.	12. {13|} . 13. {2; 8}	. 14.	{25; 125} . 15. {9} .
16.	. 17.	. 18. {10}. 19. {2}. 20. {0; 2}. 21. {0} . 22. {4}.
23.	V5 j . 24. |||.	25. {3} 26. Щ. 27.	{7}.	28. {11}. 29. {1}.
30.	1-^==; 9} . 31. {5}.	32. {0,01; 100} . 33. {3; 1}. 34. {10} . 35. {4}.;
Г О I .	.	[1—1
36.	ПЗ; --S.37. {л6}-38.	4а\ а2 к 39. {2} .40. {1} .41. {2}.
—+ лл|л е Z }. 43. { — + тгл|« е Z L 44. (-оо; 0)U{4}.
3	J I 6	I
45.	а е (1; 4] U [5; + оо), при а е (1; 4] хе {2 ±	-1|, при а е [5; +аб)
х е {2 + л/«-1; 2-э/а|. 46. /?е(2; +оо). 47. pe[j;lJU(5 ; +ос).
48. а е {-10; -2; -1}, при а = -10 х = 6, при а = -2 х = 4, при а = -И
х = 3.49. а е (2; 5] U [б; + ос) , при а е (2; 5] хе {2±>/а-2|, при
ае[б;+ос) х е [2 + >/а-2; 2-V«-l|. 50. а е
1
3
326
Логарифмические неравенства
Группа I
ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенства:
1. log2(2x-l) >-2.
3. log, (бх + 5) < ^ .
5. logb2(x2-5x + 6)>-l.
7. logs^5x2 +6x + l)<0.
2. log1/3(5x-l)>0.
4. log,,1](2x + 21)<-2.
6. lg(x2 -5x + 7)<0.
o .	2x-8
9- loghs--7<0-
x-2
И. log0.5^<-2.
x + 3
,,	7x + l ,
13. log2---< 3 .
15- log05sinp,4(4x2-16x + 15)>-2.
17. log,,5(>/x2 -1 -x + l)<0.
Г x2 35^
8. logJ--x + ±M>0.
I "	24 )
.	2-3x	,
10. logl/3-->-l.
x
. 3x + l
12- bgl/2-r>-l-
x + 1
.	x2+4x ,
14- logl/3^—7<1-
2x-3
16. log2(x2 -4x-5)<4.
18. log2^2-x-Vx2 - lj>l.
19. lg	x-1	
	2x + l	<0
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенства:
j W±lQ>0
' x-1
3.	(x-3)log„7(x + 8)>0.
5.k±fe.(.:;)<0
V2 - 6x
7. ylx1 - 4(log,(l-x)-3)<0.
2. (x + l)log4(x + 4)<0.
4 logjx-l]s0
x-3
x y/x-5
6.		------—>0.
k’M*-4)-1
I7~i	\	2x+-
if 1	I /	\	1
8- JI 2~X KX-4l10g2~^H
<0.
327
9.
10.
х^ — 4
—-—<0.
logo s х -1
11.
13.
15.
1О8Г~2"Тб „
----Ц---------— > 0’
4х2 + 12х + 5
[ Зх-1 ,
Jlog2-----<1.
у 2-х
lg7-lg(-8x-x2)
------г----;--- > 0-.
lg(x + 3)
12.
14.
>0.
logj'x2-5.v-4.25) < 1
< 25 ’
16. |log3(x-4)| < 1.
18. При каких значениях p функция /(x)lg| (4-/>)x2M#;+^——
определена для всех действительных значений х?
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенства:
1. log3 (1 - 2х) > log3 (5х - 2).
3. log2 (Зх + 4) > log2 (5 - 2х).
5. log1/3 (х + 4) < logi/3 (х2 + 2х-2).
6. log, 5(х2 - х-2) >log, 5(3-х2 + 2х).
2. log5(1-х)<log,(х + 3).
4. log7 (2 - х) < log7 (Зх + 6) .
7. log3 (lx1 + 3) < log3 (х2 + б).
8. lg(x2 -3) > lg(x + 3) .	9. log0 J(x2+l)<log0 5(2x-5).
10. log1/3(8-x)>log1/3yi^.	И. log3 log4 ---• < log1/3 log1/4--
2x-3	x + 1	4x-l
12 log'/7(3x~8)~log'/4x2+4) > о
VlO-x
13.	logs V7T7>logs(x + 1).	14-;—7—77<:------7=7-
log2(x-l) log2Vx + l
log„.2x/773 logl/2(x + l)	’	Б\2' 1 J
17.	log1;3 (3 - x2) < log„3 (4|x| - 2).
328
18.	При каких значениях р функция /(х) = 1п(2дх+(^-1)х?+Зр-2)
определена для всех положительных значений х?
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенства:
1. log, ,(2,5х-1)>-2.	. , 4х + 5 2. log,	<-1. 6-5х
, .	2х-1 . 3. log,	> 1. х-1 . ,	х2-14х + 51 п 5- log2l.4,25	5()	^0. 7. 1о^2/—У >0. ,	2(х-2)(х-4) 9. logx , —		—		 > 1. х + 5 ( ЗА 1L ? х-7 >0- 2 J 13. logw(6x + 27)>2. , _ . 4х - 5 1 15. log,	г>-. 1 |х-2| 2 (	0.x А 17. log, 2	, log,— >0. ®(х2-12х~ЗО)/|О 1	62 5 j	4. log3,.2x<l. 6. log,_,(l + 2x4-х6)>0. 8. log02,(х2-8х + 16)>0. 10. log|;j! (х7 +х3-3) + 3,5 < 0. 12. log, 2	, |5х-— |<0. °(х2-10х^З 1J/30 1	20 ) 14. log, |х - 2| < 1. 16- 1О8-4х’+12х-8|4Х-5|>0- 18‘ 1Og|og2(0,5x)(x2-10X + 22)>0
19. log, log, (3х-9) <1	20. log. ,М1И>0. ®xS2x-3 х —1
Найти все значения параметра а, при которых неравенства выпол-
няются при любом значении х: 21. loga(a+I)(H + 4)>1-	22- loga/(o+l) (х2 + 2) > 1.
5. (1; 2)11(3; 4). 6. (2; 3). 7.
Ответы;
(5	(1 2^ f 5 д/З-
ЗАДАНИЕ 1. 1. -; +оо . 2.	. 3.	—-
U j 15 5)	6	6
—;-1 -1;о].8.
5
.4. (50; +оо).
329
1 2
9. (4; 6). 10. —
L3 3.
. 11
— ;-3 |. 12. [	;1 Y 13. (-oo;-151U|--
3 J I 3 J V J I 7
,4. (-34XIH-15- [НИИ-16- -,)U(5: ’J-
17. (-00; -1). 18. (-oo; -1). 19. (-00; -2)U(0; 1)U(1; +°o).
ЗАДАНИЕ 2. 1. (-1; O)U(1; +°o).2. (-3; -1).3. [-7; 3].4. [2; 3).
ЗАДАНИЕ 3.1.	. 2. (-1; 1). 3.	. 4. [-1; 2) . 5. (-3; -l-^jlj
U(-l + V3; 2)б.	(-73; Тз).8. (-3;-2]U[3;+oo). 9. [j;+ooj.
10. (1,5; 2)U(7; 8). 11.	•,2- ^;ioj. 13. (-1; 2).
14. (1; 2)U(3;+oo).15. (-1; O)U[1; +°o). 16. (-2; -T2)u(T2; 2).
17. (-73;-l)ll(l; 7з). 18. pe(5;+oo)
f "1 /с 1 A ( О | /r
ЗАДАНИЕ4.1. [0,5; 1)U[2;+oo) .2. (0,5; 1).3.	— U 1; ——
l 2 2J ( 2 ,
4. (2/3; l)U(l; + °°). 5. (o,58; 7 + 4^3]. 6. (1; 7г).
7.
(-j; -2]u(—|; ^u({;	. 8. [S; 4)U(4; 5)U(5: +»).
330
9. [8-V43; 2)U[8 + V43; +°о). 10. (^3 ;+«>). П. (1,5; 2).
12. [0,31; 5 + 2Тб). 13. (-3; -1)U(1; 9). 14. (0; 1)U(1; 2)U(2; +«).
15. [Тб-1; 2)U(2; 5]. 16. ^1; £|u[j;	. 17. (2,5; 6->/б)и(10;+=o).
18. (3; 5->/3)U(7; + oo).19. (log, 10; + oo),20. (-1-^; -3)lj(x/5-1; 5).
f-l-V17 -1-^Y/-1 + ^ -1 + V17^	<	-
21. a e -----;------ U ------;--------- . 22. a e -oo -2).
[	2	1	)[	2	2	)	V ’
Группа II
Решить неравенства:
2 4x-3	1 L 10g2 Л I > T • 4-3x	2	2. log|;4(2x + 3)>log927'.
3- logl/(l.I)0,4>0.	4- log^o.2 2 < log, 4.
5. 310g’77q < 3log,(l"6) + 3 .	6- logo.i (*2 + x + 2) > log0-1 (x + 3).
7. log3 (2 - x) < log, ., (x+ 1) <-	8. log1/5(x2 -6x + 18) + 21ogs(x-4)<0
2x + 4 9. log,	< 3. x- 2	2x + 0,2 10. log2	<0. x + 1
11. log3	<-2 . X	12. log1/5(\/l + x-x)<2.
1	3 - 2x 13. log2	< 1. V	1-x	14- log.g(./8) (2x +1) > logtg(lt.,8) (x2 +1).
1S- logSi„(^) (*2 -4x + 3) > -3 .	16. 21og3 (2x2 + x-l) > log3 4.
i 2x-l 1 17. log4	<	. x + 1	2	x2-l 18. log1/2log8 x-2
19- log3 log9/i6 (*2 - 4x + 3) 0	20. log4/3 px + 3 - Vx j + log4/91 > 0
z x)og0J 108,^3 21. -	<1.: (4 )	22. log1/3 (x2 - 6) + log, x2 > 0 .
23. |log2 x| > 2 .	24. log2 (9I-'+7)-2<log2(3t-,+l).
25. log0Jl + x-Vx2 -4l<0.	26. logl9g3 (x2 -1982x) < 1.
331
27. log2
>1.
28.	log2 log3-----< log, 2 log,,,----
X+1	x-1
29.	log„3log5^Vx-2 +l+xj<log3.log1/S^Vx-2 +l-xj.
30.	log3 |3-4x| > 2.	31. |log3 x|-log3 x-3 < 0.
|x2 — 4x1 + 3
32.	|1 - log,9g3 x| + |log,983 x-3| > 4.	33. log3 j-L-> 0.
34.	lglOg(v 2')>l + lgx.	35. log2 2 x-log, 2 x2 > log2 2 3-1 .
36.	lg(10x)-log2 x < 2 log210.
37.	log2 x7 > log22 x + 3^1og2 x + 7 logP2 y + 3 .
38.	1 -^l-81og, 4x <3 log, 4x.
39.	A/log2.2x + 41og27x <>/2(4-logl6x4).
40.	5 — > 0. logv5(x-4)-l	4x +12x + 5 41.	7		 > 0 . log6l x -2x + — 1
42.	-Д-Ц	< 0. log3(9-r)-3 44	1	1 ' log A±L 'log4(x + 3)‘ x + 2 1 1 46.				 <	 ... -. log3(x + l) 21og9Vx2 +6x + 9 lg(4x2 +x) 48. 	v ,  ' > 1. lg(2x) 50. 2 log5 Vx - 2 > logx у.	,, 1 1 43.	1 	<	— log3(x2-7x + 12) 10g32ti 4S 1 1 + log2 x 2 47.21^ + 110>l. lgx + 10 49. lpg°.25 ^x+1 < J ’ togo.^Ct-1) 51. logb3x>logx3—|.
52. 2 log5 x-logr 125 < 1.	53. logx,28 + log 48<	g22 log2 X2 -4
332
54. logsx+logx^<(2-log3x)]^^
3	log3 x
56. log, x - log,2 2	+ 9 log2 Ц < 4 log2/2 x.
8 x
57. log(x.3),(x_3) 4 < 2 (log,,2 (x-3) - log^;2 yj
59.
igx-2
I <100.
60. logxlog2(4х -б)<1.
62. logx_2|>log(x.3),(x_5)l.
JZz ,
64.log , Vr__J <-.
66. log 2 logx/162>---J—-
log, x - 6
logx 2x < 71ogx 2x3 .
log-unP ~4)>1.
61.
63.
logx| + log1/7x>10]log1/7x|.
log3x_, 2x > 1.
65. logx 2 • log2x 2 > log4x 2 .
68.
70.
69. log2x4(x2 -x)>l
2x + 0,4
71. log —>0.
73. log *
72.
74.
log3x. 5 (9x2 + 8x + 8 j >:
.	24-x2-2x
1О8(25-?),!6
При каких значениях параметра р функция /(х)\рпределена для
всех действительных значений х:
77. /(x) = lg((p + l)x2-(p-l)(2x-3)j.
333
Ответы:
1. (3/4; 4/3).2. (-3/2; -23/16).3. (2; + оо).4. (1; + оо),5. (6; +оо)(.
6. (-75; - 2)U(1; V5) • 7. [ч;	. 8. (4; + оо).
9. (-оо; -2)U(58/25; +ос). 10. (-0,1; 0,8). 11. [-9/8; -1). 12. [-1; 1,25)#
13. [2; +оо). 14. (-0,5; 0]U[2; +=»). 15. [-1; 1)U(3; 5]. 16. (-2;3).
17. (0,5;1). 18. (2;3)U(5;8). 19. (2-^2; 3/4)lj(13/14; 2 + 75).
20. [0; 27/16]. 21. [5; + =»). 22. [-3;- 7б)и(7б;3]. 23. (0; 0,25]U[4;+<ю).
24. (1; 2). 25. [2; + оо).26. (-1; 0)U(1982; 1983).27. (-1/3; 0)U(0; 1).
28. (-ос; -2). 29. (12/5; +оо),30. (-оо; -1,5)U(3; +оо),31. (Тз/9; + оо).
32. (0; 1)U (19834; +оо). 33. (-оо; - 2/3]Ц1 [0,5; 2]. 34. (0; 3)U(7; +оо).
35. (0; 1/6)U(1,5; +оо).36. (0,01; 10). 37. (2; 4]U[32; 64). 38. (0,75; 1).
39. (0; 0,25] U [1; 4]. 40. {5} U(4 + T2; + oo). 41. (-oo;-5/2)U(-9/4;-7/4)U
U|-; + ool42. log,—; 2^. 43. 4;. 44. (-1; +оо).
<4	) L Ю J 2 ) v ’
45. (0; 0,5) U [75; + ос). 46. (-1; 0). 47. (0; 10 loo]U(lO”'°; +оо).
48. [0; 0,25]U(0,5; +оо),49. (1; 2)Ц1[3; +оо).50. (1; + оо).
51. (0;1)и(х/3; 9). 52. (0;0,2)U(1;). 53. (0;2)U(4; + oo).
54. (О; V5/5)U(1; 3) . 55. (2; 4). 56. (1/8; 1/4)11(4; 8). 57. (3; 9).
(749
. 61. -—;1 .
I 7 J
62. (2; 3).63. (2/3; 1).64. 0.65. (0; 0,25)0(2"^; l/2)u(l; 2Л).
66. (0; 1)U(4; 8)U(t6; 64). 67. (-00; -7)U(-5; -2]U[4; +00).
68. (0; 1]U(2; +00). 69. (-1,5; -1)U(4; +00).70. (5; +00). 71. (0; 23/25).
72. (-4/3; -17/22). 73. (o; 72-75 )u(75; лД+Тз). 74. (-3; 1)U(3; 4).
75. ре (5;+00). 76. p e (-oo;-l). 77. pe(l;+cc).
58. (0; 0,25] U [4; +оо
334
Группа III
Решить неравенства: 1. log3 (х-2) > 1-log3 x.	.	.	1 - 2x 2. log, log2-	>0. 2	1 + x
з 3. log4(x-2) <- — log4x.	4. —1	< 1-lgx lgx-1 2-lgx
5. log3_A x < -1.	6 1оМх-3)>() x-3,5
7. (x + 2)lgx<0.	8. Ig(x-l) + lg(x-2)<lg6 .
9. (x-l)ln— >0. X	10. —-— + —<1. 1-lgx Igx
log2x + 2 11. 1 + —£2	>log3X. logj X	12. logV5(2x + 5)<logV5(16-x2) + tg^
. 3л sin		
13. log2(3 x) log2 5_* :	>| + log2 (x + 7).
14. log4 ^2->/x + 3 j < 2cos-^-.
15. yjl - log2 x < 2.
17.
lg(3-x)
19- logo,22 (* - 0 > 4 
21. log2^x + Vx-2j<2.
23.log ,(x2-3x + 2)&2.
sin— '	'
3
25. log2 x + logx 4 < 3 .
27. log*. (2 + x) < 1.
29. logAlog2(4I-12)<l.
16. log2 (2х-1) < 1-x .
lg(5-2’x)
18. —-------- > 0.
1 + x
20. log2 log2 — 1.
2-x
22. log3 (x2 - 2) < log3 [||x| -1
. f 2 10* Л
26. logA Vx + 2 > 1.
28. logH(>/9^7-x-l)>l.
30- 1о8-4?-12^|4*-51>0-
335
Г+1
33. logx 2 • log2x 2 • log2 (4x) > 1.
32. logx(7x2 -9х + 3)>2..
34. log3 _x у-т > 1.
35.
\lx-5
log^(x-4)-l
>0.
36. log3_2x x2 < 1.
Найти область определения функций:
[l l X+i	,o / X2-l	1
37.	log,— .	_+——
39. у = 18(4-х‘)	40. у-log,, I —— .
N !g x	U9-x2J
Ответы:
1. (3;+oo).2. (-l/4;0).3. (2; 4). 4. (0; 10)U(100; +oo).
5.
f
0;
(	7 \
.6. I 3;^jU(4;+oo).7. (0; 1). 8. (2; 4).
9. (-oo;-1)U(1; +°o).10. (0;l)U(10;+oo). 11. (0; 1/9)U(1; +®).
12. (-1; 4). 13. (-7; 1). 14. [-3; 1). 15. (1/8; 2]. 16. (0; 1).
17. (-oo; 0)U{2; 3). 18. (-log25; -2)U(-1; +<»). 19. (1; l,04)U(26; +<»).
20. (3-V2; 2). 21. (1; 4). 22. (-2;->/2)u(>/2; 2). 23. [0,5; 1)U(2; 2,5].
24. [0; 1/3)U(3; 10/3]. 25. (0; 1)U[2; 4]. 26. (1; 4). 27. (-2;-1)U(-1; 0)U
U(0; 1)U(2; +00). 28. [-2>/2; -1)U
-2 + 2>/n
30. fl; -W-; -1.31. fo;	^^1.32. f-; iWl; +°°) •
< ’ 4J <4 2J	]/ 2 J |_2	2 J U ) V ’
35. {5}U(4 + V2;+oo).36. [-3; 0)U(0; 1)U(1; 3/2). 37. [2;+00).
5
38. (4; 5) U (5;+00). 39. (1; 2). 40. (1; 2)U(2; 3).
336
Системы уравнений
Решить системы уравнений:
1. |	х + у = 6, /:'7"12 =1.	2. 	ху-х + у = 118.
3. -	log,. X-log, у = ~,	4. J	х'8> = 2,
5. •	ху =16. 1 ^Jx + y = 2х/з, (х + у)'2’“х =3. 2Х“> -2-6х~у -6~2у =0,	6.	ху = 20. log,x + \og*y = 2,5, ху = 27. х2/-'=5,
7.		8. ]	
9. <	2~х > -2-Зхху +3-9Х =0. log5(4' +3> )-log7(4t -З3'	~1, 10.	х>"+2 =125. 13>.4>- =48,
	16х-9‘ =175.		[4Л -Зу =36.
11.	8 х = 8j,	12.	log, j + logvx = 2,
13.	[2Х“ =у. ^(х+у)2 =U	14.	[x2+j = 12. log, (Зх + 2у) = 2,
	lgj-lg|x| = lg2.		\ogy(2x + 3y) = 2.
Найти все значения параметра, при которых системы имеют решение:
15.
,	1	1	4
lgx = lg 1-----
I У.
х = а + 4у.
16.
х + у = 3,
!gj = lg
у-а = х2,
lg(3 + x) = lg—.
а
j = 3x2,
lg(l + x) = lgf|--l
^3 а)
lg(l-^) = lg(l-x),
log2 (у +1) = log2 (а-4х),
20.
4
337
2 j f!og2 (х +1) - 10g2 (а -У)Г=Z ‘
[-лу + 4 = 0.
23	=
22.
log2 (у + а - 2) = log2 (а+х)-1,
y + log2(x + l) = 2,
21' = а - 4х.
x + log2(l-^) = 2,
у = а + 4-21.
26.
•З1,
3х + у = а1 -4а+1.
’ 24. 
25. (
При каких значениях а системы имеют единственное решение?
Найти эти решения для каждого значения а:
27.
9у = (а-1)2 + 9(х-а)2,
У = log 2 1+— .
28.
log2(x-y) = l + log2(-x),
З(х-а)2 =8(x-j + 2a-2),
29. < 1g = t
Igx
30.
log2 (Зх + j + a + l) = 2 + log2 xj,
31.
33.
35.
1	1 (1	4
lgj = lg 1---
У = log2j 1+— ,
j = logJ 5 + 4
32.
34.
36.
—-------^ = 1,
Igx
у+ 4 = х + 2а + 2(х-а)2.
j = log2 5 + 41--1
I х-5
x + 6 I
37. При каких значениях а система
имеет решений?
log2 (x + l)-log2(a-j) = 2,
-ху + 4 = 0
не

При каких значениях параметра системы имеют два< различных ре-
шения:
38 Р°82х + 1°82-); = 4’
' [у = 4 + р(х-3).
х2 + у2 = 2х,
[lg(x-^-l) = lg(x + y-p).
Jn [log2x + log2y = 2,
40. <	.	.
[д> = 1 + р(х-3).
I l°g. У = 1,
42. Л
[у = а + 5х-х2.
log2 _y-log2 (а-х) = 2,
При каких значениях параметра системы имеют два решения? Ука-
зать эти решения:
	у-а = х2,	( Iх - б|	|х + 1|
		У - 1О62 3 1 4	
44.	v	45.	\	х-6	х + 1
	lg(3 + x) = lg—.		
	а	х2 -4х + (у-а) =21	
При каких значениях параметра системы имеют единственное решение:
46.	Г 4^1 lgj = lg 1— , < х)	47. (у-х)а = 1.	у = х2 - 2х, log2 (4х + у + За) - log2 (х + у) = 2.
48.	x + iog2j = 4, 49.	(х2+у2 =2у,
50.	j + 21 = а+ 4. 1 + logj (2у - х) = log3 (5у - 4х), 2(х-а)2 +х + у = 2а+ 4. log2 (1 - 2х - j) = 1 + log2 (-х),	pg(x-> + !) = lg(x + >>-a). (х - а)2 = 24 (хУ-,|».У- -18),
51.	( 1 |\2 { Н +	,	52’ 12~l°g3 У , (х+а) + у- —	 =1.		= 1. V 1 17	2 )	[2-log3x	
53. Решить систему уравнений	х + у = 1 -4а, |10л-10|	при каждом значении 10х-10 - |у|
параметра а.
339
54.	При каких значениях а неравенство log а (х2 ^2}>1 вёрйопрй лю-
а + 1
бом действительном х ?
55.	Найти все значения параметра а, при которых каждое решение нера-
венства log4_x(2x2 -5х-3)<1 будет решением неравенства
х2 + а2х-2аА < 0 .
56.	Найти все действительные а, для которых при всех Ь < 0 в проме-
жутке (4; +оо) существует решение уравнения
(
tzlog, r4 = logJ 1— +Z>.
;1— i	I XJ
57.	При каких значениях параметра а среди решений неравенства
. ч |х —1011 |х —103|(105 — х)
log2 (х -100) - log,	---!• + log21'	---> а содержится
2 105-х	(х-100)
единственное целое число?
Ответы:
1. {(3; 3); (4; 2); (5; 1)} . 2. {(12; 10); (-10; -12)}. 3. |(8; 2);Q; 64
4. {(2; 10); (10; 2)}. 5. {(7; 5)}. 6. {(3; 9); (9; 3)}. 7. (f-i; Л.
8- {(5; 1); (5; -1)}. 9. {(2; 2)}. 10. {(1; 2)}. 11. {(2; 8)}. 12. {(3; 3)}.
13. j I у; yj; (-10; 20) к 14. {(5; 5)}. 15. (-оо;-16)U[9; + оо).
16. (-oo-9)U(0;+oo).17. (-oo;-9)U(0;+oo). 18. (-оо; 0)U(9;+oo).
19. -у 5^.20. (-oo;-16)U[9;+oo).21. (-oo;-4)U |;+00]'
22. (0; 5]. 23. (1; б]. 24. [4; + оо). 25. (-оо;-7].26. (-оо; 0)U(4;+oo).
27.	1 и{4}
Ь + 2а-а2	, „ f -
3 I
-ч/1-а2 , у = -За-3>/1-а2 .29. ае -; 4 Ш — к
4
3
г;т|и<‘>
191
3 J ’
340
За + 2>/12а -12	, „'..г ,	/—;—~
--------------.30. а е {—2}U[—1; 0), х = -а + у-а2 -2а ,
, Г 2 "( 1 Л.ГП а-1->/1-2а-15а2
у = -1 + У-а2-2а . 31. ае —;0 U<M х =----------------,
14 J UJ	2а
а +1 -\/1-2а-15а2	ГЗ /к .[7 .1	/—;—~-----7
у =----------------.32. ае —; 2 |Н — ;6> х= а + у-а‘+7а-6 ,
2а	|_2 J 12 J
у = -1.33. а е (0; 1]U{2) х = а + >/2а-а2 , у = 1.34. а е (-2; 1](J{2}
х = у = а + >/2- а .35. а е [-3; 0]U[5; 6), при а е [-3; 0]
х = -3 - V-а2 + 2а + 24 , у = 1; при ае[5;6) х = -3 + у/-а2 + 6а +16 ,
у = 1. 36. а е (—3; 0]U[5; 6); при ае(-3;0] х = 1 -л/-а2 +2а + 24 ,
у = 1, при а е[5; 6) х = 1 + у-а2 + 6а +16 , у = 3.37.
-4 Л
4
38.	(-оо; -4)и^~; 0^.39. (-1; 1 -V2).40. (-оо; -1)^-1; О
41.	(0; 5). 42. (-4;-3)U(-3; 0). 43. fZ;+ool44. аеГ-9^
3 + >/9 + 8а „	9 + 9л/9 + 8а
-------------; 3 а +	
2------------2
3-л/9 + 8а ,	9-9л/9 + 8а
---------; За +	
2--------2
45.	а е (0; 5) ^2 -л/-а2+2а + 24; 1 j; ^2 + >/-а2+6а + 16; з)|.
46.	• 47. (-1; 0]. 48. ае{4},49. {-1}U[1~V2; 1 + V2).
50.	{-2}U[-1; 2). 51. (-00; 0)U(0; 1]U{2} . 52. [12; 36]U{57}. 53. При
ае[-со;—1| х =-4а, у = 1; при аеJ —;+со | х = 2-4а,у = -1;
I 4J	14 J
при а е
1 1
4’ 4
- решений нет. 54. а е (-оо; - 2).
55. а е (-со;-2)U (2; + со) . 56.
0;£].57. [0; log23).
341
24.	СТЕРЕОМЕТРИЯ
Сечения многогранников
1.	В правильной четырехугольной призме сторона основания равна а.
Через диагональ нижнего основания и вершину верхнего основания про-
ведена плоскость, пересекающая две смежные боковые грани призмы по
прямым, угол между которыми равен а . Вычислить объем призмы.
2.	Через середину бокового ребра правильной треугольной пирами-
ды проведено сечение, параллельное двум скрещивающимся ребрам этой
пирамиды. Вычислить площадь этого сечения, если сторона основания
равна а, боковое ребро равно Ь.
3.	Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости,
перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части де-
лится диагональ этими плоскостями?
4.	Дан куб ABCDA,B,C,D, с ребром а. Построить сечение куба плоско-
стью и вычислить площадь сечения, если: а) плоскость проходит через вер-
шины А и D, и середину ребра ВВ,; б) плоскость проходит через вершину А
и параллельна плоскости DBC,; в) плоскость проходит через середины ребер
АВ, ВВ, и В,С,; г) плоскость проходит через точки К, L, М на ребрах AD,
СС, и А, В, соответственно, причем АК: KD = CL : LC, = В, М : МА, =2:1.
5.	Построить сечение куба плоскостью, проходящей через середины
двух смежных ребер куба и наиболее удаленной от соединяющей их
прямой вершину куба. Вычислить площадь сечения, если ребро куба
равно а.
6.	Куб ABCDA,B,C,D, рассечен на две части плоскостью, проходя-
щей через вершину В, середину ребра В,С, и точку М, лежащую на ребре
АА, так, что AM = 2А,М . Вычислить отношение объема части, содер-
жащей точку В,, к объему куба.
7.	Через вершину В, куба ABCDA,B,C,D, проведена плоскость, пере-
секающая ребра ВС и АВ и образующая с гранью ABCD угол а, причем в
сечении получен равнобедренный треугольник. Вычислить площадь сече-
ния, если ребро куба равно а.
8.	Дана правильная треугольная призма со стороной основания,
равной 6 и боковым ребром, равным 5. Через сторону основания прове-
дено сечение, образующее угол 45° с плоскостью основания. Вычислить
площадь сечения.
342
9.	Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD.
Точки М, N, К делят ребра AS, BS и CS соответственно в отношении
AM: MS = 1:2, BN : NS = 1:3, СК : KS = 1:1. В каком отношении плос-
кость MNK делит ребро SD?
10.	Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD,
диагональ АС которого образует со стороной ВС угол а, а с боковым
ребром SC - угол Р . Пирамида пересечена плоскостью, равноудаленной
от всех вершин пирамиды. Вычислить площадь образовавшегося сече-
ния, если известно, что все боковые ребра имеют длину (.
11.	Дана правильная треугольная призма ABCAiBlCl. Построить
сечение призмы плоскостью, проходящей через середины ребер АВ,
А. С, и BBt. В каком отношении плоскость сечения делит: а) ребро АС;
б) ребро В, С, ?
12.	Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. В каком
отношении делит ее объем плоскость, проходящая через середины ребер
AD, ВС и DS7
13.	Дана правильная треугольная пирамида DABC. Известно, что
АВ = а , AD = ау}1 . Пирамиду пересекает плоскость, параллельная реб-
рам AD и ВС и отстоящая на расстоянии d от ребра AD. Вычислить пло-
щадь сечения пирамиды этой плоскостью.
14.	Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость,
проходящая через вершину основания перпендикулярно противополож-
ному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в 2 раза меньше
площади основания пирамиды. Вычислить отношение длины высоты
пирамиды к длине бокового ребра.
15.	В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD
(ВС || AD; AD: ВС = 2 ). Через вершину Т пирамиды проведена плос-
кость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М
такой, что AM : МВ = 2 . Площадь полученного сечения равна S, а рас-
стояние от ребра ВС до плоскости сечения равно d. Вычислить объем
пирамиды.
16.	В треугольной пирамиде SA}A2A3 на сторонах основания А,А2 ,
А2А3, A,At выбраны соответственно точки КЛ, К2, К3 так, что
A,Kt : KtA2 = А2К2 : К2А3 = А3К3: К3А, = 2 . Через середину ребра SAt
параллельно плоскости основания пирамиды проведена плоскость л,
343
которая пересекает отрезки SKl, SK2, SKs в точках L , /.2, L} соответ-
ственно. Треугольник ЦЬ2Ь2 принят за верхнее основание прямой приз-
мы, а нижнее ее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Вы-
числить объем призмы, если объем пирамиды 6ДЯ2Д равен V.
17.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S
сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен V2/3 . Через сторону
CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образо-
ванный боковой гранью SCD и основанием. Вычислить площадь сечения.
18.	В прямоугольном параллелепипеде А В CDA, В, С, Dt ребра
АВ = а , AD = b, АА. = с. Пусть О - центр основания ABCD, О, - центр
основания ДS,С,D,, S - точка, делящая отрезок OOt в отношении 1:3.
Вычислить площадь сечения параллелепипеда плоскостью, параллельной
диагонали параллелепипеда АС}, диагонали основания BD и проходящей
через точку 5.
19.	В правильной треугольной пирамиде SABC, высота которой в 2
раза больше стороны основания, на боковых ребрах BS и CS взяты точки
.Ми Л' так, что MN параллельна ВС. Через прямую MN проходят плоско-
сти аир. Плоскость а перпендикулярна грани SBC и содержит точку
А, плоскость р проходит через середину бокового ребра SA. Вычислить
отношение площадей сечений пирамиды плоскостями р и а .
20.	В основании правильной треугольной призмы ABCAiBiCi лежит
равносторонний треугольник АВС со стороной 2, боковые ребра равны 1.
Точка К - середина ребра АВ, точка L - середина ребра BlCi, точка Л/-
середина ребра Дб,, точка N - середина ребра АС. Через прямые KL и
MN проведены параллельные плоскости. Вычислить объем части приз-
мы, содержащейся между этими плоскостями.
21.	В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторо-
нами АВ = 6, ВС = 9 . Высота пирамиды проходит через точку пересе-
3\/з
чения диагоналей АС и BD и равна ——. Точки Е и F лежат на ребрах
АВ и AD соответственно, АЕ = 4, AF = 6. Вычислить площадь пяти-
угольника, полученного при пересечении пирамиды плоскостью, прохо-
дящей через точки £иТи параллельной ребру AS.
344
22.	В правильной четырехугольной пирамиде TABCD проведены две
параллельные друг другу плоскости, одна из которых проходит через
вершину пирамиды Т и середину стороны основания АВ, а другая - через
вершину основания D и середину бокового ребра ТС. Расстояние между
плоскостями равно 28/31, а сторона основания равна 2. Вычислить объ-
ем пирамиды.
23.	Дан куб ABCDAXBXCXDX. На продолжениях ребер АВ и ВВ, за
точки А и S, соответственно взяты точки М и N так, что
AM = BXN =^АВ. Где на ребре СС\ должна находиться точка Р для
того, чтобы в сечении куба плоскостью, проходящей через точки М, N, и
Р, был пятиугольник?
24.	В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоуголь-
ный треугольник АВС. Середина D гипотенузы АВ является основанием
высоты пирамиды SD. Известно, что SD = h, АС = Ь, ВС = а. Через
середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, парал-
лельной ребрам АС и BS. Вычислить площадь сечения и угол между
плоскостями сечения и основания.
25.	Дан куб ABCDAiBlClDl. Плоскость, проходящая через точку Л и
касающаяся вписанного в куб шара, пересекает ребра А,ВХ и A,D, в точ-
ках К и N соответственно. Найти угол между плоскостями ACXN и
АСХК.
26.	Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды
TABCD плоскостью, проходящей через медиану BN боковой грани ТВС и
параллельной медиане AM боковой грани TAB, если высота пирамиды
равна >/5 , а диагональ основания ABCD равна 1.
27.	Основанием пирамиды ТАВС служит равносторонний треуголь-
ник со стороной, равной 4х/7 , а ее высота проходит через середину сто-
роны основания АВ. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, про-
ходящей через боковое ребро ТА, если известно, что прямая, проходящая
через середину высоты пирамиды и середину стороны основания ВС,
параллельна секущей плоскости и находится от нее на расстоянии, рав-
ном 1.
345
Ответы:
. a Vcosa _	_ ab , ..	„ s/3	,
1. -7=------- куб.ед. 2. — кв.ед. 3. На три равные части длиной — каж*
5/2sin(a/2)	4	3
. . 9a2	а2у/з . За2 Л .13 R 2
дая. 4. а)--- кв.ед.; б)---- кв.ед.; в)--- кв.ед.; г) —\15а кв.ед.
8	2	4	18
_ 7а2>/Г7	, 13 „ a2cosa	а2
5. ------- кв.ед. 6.----. 7.-----— или —,	кв.ед. в зависимости
24	108 sin a	2V-cos 2a
от того, является угол ZS, углом при вершине или при основании
равнобедренного треугольника. 8. ----(90 — 25^/3 ) кв.ед. 9. 6:7.
I	3	,
10.	— С2 cos2 р sin 2a , или — С2 cosPcosa-Jl^cos2 pcos2 a , или
^(2 cos2 Psina-^/l-cos2 Psin2 a кв.ед. Искомое сечение должно быть па-
раллельно или основанию пирамиды, или одной из боковых граней, и
делит пополам пересекаемые им ребра. 11. а) 1:5 ; б) 3:1.12. 1:1.
4aJV5-8>/2J2	,, 1 + л/зЗ 9	1 Г7 с
13. -------------- кв.ед. 14. -------. 15. — Sd куб.ед. 16. —V куб.ед.
5	8	4	8
17. 5 кв.ед. 18. —у]4агь2 +а2с2 +Ь2с2 кв.ед. 19.	. 20.
25	16	36	12
3 I----	14
куб.ед. 21. — VI83 кв.ед. 22. — куб.ед. 23. Должна совпадать с точкой С.
с 3b>l4h2+a2	2h л 5	„„ 28^3
24.	5 =----------кв.ед.; a = arctg— .25. —. 26. — кв.ед. 27.--кв.ед.
32	a 3	8	3
Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями
1.	На ребре CD куба ABCDAxBlClDt задана точка Р - середина этого
ребра. Найти углы между прямой AtP и плоскостью: а) CDD,; б) А,ВС;
в) BCXD.
2.	В плоскости а проведены перпендикулярные прямые. Прямая (
образует с ними углы 45° и 60° . Найти угол между прямой С и плоско-
стью a.
346
3.	В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с
прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено
к плоскости основания под углом 45° . На ребре МС взята точка F- середи-
на этого ребра. Найти углы, которые образует прямая AF с плоскостью:
а) МОС, точка О которой является серединой ребра АВ', б) МАВ-, в) МВС.
4.	Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы со-
ставляет угол 30° с плоскостью другой боковой грани и равна 6. Вычис-
лить объем призмы.
5.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B^ClDl АВ = 4; AD = 3 ;
АА, = 5 . Вычислить: а) угол между прямой BDt и плоскостью ВСС, : б) угол
между прямой BD и плоскостью АВС,; в) угол между прямой BD и плоско-
стью ADC}.
6.	Найти плоский угол при вершине правильной треугольной пира-
миды, если этот угол равен углу между боковым ребром и плоскостью
основания пирамиды.
7.	Основание прямого параллелепипеда ABCDA,B,C,Dt - ромб со
стороной а и острым углом а. Меньшая диагональ параллелепипеда об-
разует с основанием угол р . Определить площадь сечения параллелепи-
педа плоскостью АСВ,.
8.	Основанием пирамиды TABCD служит прямоугольник ABCD.
Высота пирамиды совпадает с боковым ребром ТА, а боковое ребро ТС
наклонено к плоскости основания под углом 45°. Плоскость, проходя-
щая через ребро ТС и параллельная диагонали BD, образует с высотой
пирамиды угол 30°, а расстояние между этой плоскостью и диагональю
BD равно а. Вычислить объем пирамиды.
9.	В сферу площадью S вписан прямоугольный параллелепипед.
Вычислить площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей
через его диагональ, если эта плоскость образует угол 30° с одной диа-
гональю основания, параллельна другой диагонали основания и накло-
нена к плоскости основания под углом 45° .
10.	В основании пирамиды лежит ромб. Высота пирамиды проходит
через центр ромба. Боковая грань пирамиды образует углы аире диаго-
налями ромба. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания.
11.	Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150°. Через
вершину конуса проведено сечение, являющееся прямоугольным тре-
угольником. Найдите угол между плоскостями сечения и основания.
347
12.	В правильной шестиугольной пирамиде заданы угол а между
соседними боковыми гранями и объем И шара, вписанного в пирамиду.
Вычислить высоту пирамиды.
13.	Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD с углом
А = 60° . Боковые грани наклонены к основанию пирамиды под углом а.
Найти угол наклона ребра SA к плоскости основания.
14.	В кубе ABCDA.B.QD, точки Р и Q-середины ребер DD, и A}D,
соответственно. Найти углы, которые образует плоскость А СР с плоско-
стью: а) АВС; б) ACDI; в) ACQ.
15.	Боковое ребро правильной призмы ABCAtBtCt в 2 раза больше сто-
роны ее основания. На ребрах АС и СС, призмы заданы соответственно
точки Р и Q - середины этих ребер. Найти угол между плоскостью BPQ и
плоскостью: а) ACCt; б) AtBP; в) АВВ..
16.	Все плоские углы при вершине D пирамиды ABCD - прямые,
AD = 1, BD = CD = V2 . Найти двугранные углы пирамиды.
17.	Найти двугранные углы правильной четырехугольной пирамиды
с плоским углом а при вершине.
18.	В правильной четырехугольной пирамиде TABCD со стороной
основания а и плоским углом а при вершине проведено сечение через
диагональ основания BD перпендикулярно боковому ребру SC. Найти
угол между плоскостями сечения и основания.
19.	В правильном тетраэдре ABCD на ребре DC взяты точки Л'и А /
такие, что DN = NM = МС . Найти угол между плоскостями BAN и ВАМ.
20.	Через сторону PQ нижнего основания правильной треугольной
призмы PQRP}Q\R\ проведена секущая плоскость, пересекающая ребро
RR} и разбивающая призму на два многогранника. Отношение объема
многогранника, одной из граней которого является нижнее основание
призмы PQR к объему другого многогранника, одной из граней которой
является грань PQQ^ , равно q. Найти угол наклона секущей плоскости
к плоскости нижнего основания, если известно, что угол между прямыми
PQ, и RRt равен <р.
21.	В сечении прямоугольного параллелепипеда с квадратным осно-
ванием плоскостью, не пересекающей оснований, получается ромб. Найти
внутренние углы ромба, если двугранный угол между плоскостью сечения
и плоскостью основания равен 30°.
348
22.	Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды, вы-
сота которой равна И, а двугранный угол при боковом ребре в 3 раза
больше двугранного угла при ребре основания.
23.	В основании пирамиды SABCD с вершиной 5 лежит равнобед-
ренная трапеция ABCD с меньшим основанием АВ = а и острым углом
а. Высота SO пирамиды равна h. Прямая АО пересекает сторону CD
основания в точке К, являющейся ее серединой. Найти угол, образован-
ный боковой гранью SBC с плоскостью основания, если АО: ОК = 8:1 и
ЛАОВ = 90°.
24.	Основанием пирамиды является правильный треугольник, одна из
боковых граней перпендикулярна основанию, две другие наклонены к не-
му под углом а . Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?
25.	В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямо-
угольник ABCD со сторонами АВ = 4 , ВС = 2 . Длины всех боковых ре-
бер равны 3, точка М- середина AS. Через прямую ВМ параллельно диа-
гонали основания АС проведена плоскость. Определить величину угла
между этой плоскостью и плоскостью SAC.
Ответы:
2>/5	V2	5л/з
1. a) arctg--; б) arcsin—; в) arcsin---. 2. 30°. 3. a) arctg д/2 ;
5	6	9
,, V5 .	. 2V2 ГТ _	. 2V2
б) arctg—;в) arcsin—^—.4. 18<2 куб.ед.5.a) arcsin—у-;
«ч • Зл/34	.	. 4>/4Т ,	V7-1 _ 1 2 .	/. At ia.
б) arcsin-----; в) arcsin--. 6. arccos-------. 7. —a sma-Jl + 4tg В
34	41	3	2 N
Ct I Ct	Ct
или a2 sin—Jcos2 —+ 4sin2 — tg2 В кв.ед. в зависимости оттого, является
2^2	2
32\/з	5*
ли угол В ромба тупым или острым. 8.------а3 куб.ед. 9. — кв.ед.
9	Зя
10. arcsin^sin2 a +sin2 р . 11. arcsin. 11-
1
L , Га
l + 3cos —
,,	, tga	x/б	2V2	. х/б . л
13. arctg—— . 14. a) arccos-у-; 6) arccos.. ; в) arccos-y. 15. а) у ;
349
7 л/85	Vi 5
6) arccos----; в) arccos---. 16. Двугранные углы с ребрами DA. DB.
85	5
DC - прямые, двугранные углы с ребрами АС и АВ равны л/3 , двугран-
ный угол с ребром ВС равен л/4. 17. Угол между боковыми гранями и
а
основанием равен arccos tgy, угол между соседними боковыми гранями
17
. 19. arccos— .
19
равен 2arcsin-----; угол между противолежащими боковыми гранями
2cos —
2
„	. а
равен 2arcsintgy. 18. arcsin
20.
1+9
x/3	.	x/3	12 j
. 21. 2arctg— и Tt-2arctg—. 22. ~H куб.ед.
9Л
; указание: положим ОК = х, тогда
23. arctg
a^5sina + 2л/5 cosa)
АО = 8x, BK = 9x. Выражая OB из треугольников ABO и КВО и прирав-
нивая эти выражения, найдем х = ~^- Если АОВА = <.р, то sin ср = у,
Z.OBC = 180°-(а + (р) и расстояние от точки О до прямой ВС равно
OBsin(a + cp)= ^^-(sinacoscp + cosasincp). 24. arctg
— tga ;
arctgf-^tga j. 25. arctg\[5 .
Расстояние от точки до плоскости
1.	Высота правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна Н,
а сторона основания равна а. Вычислить расстояние от центра основания
до плоскости SCD.
2.	В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС.
Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно Ь. Вы-
числить расстояние от вершины С до плоскости BAS, если угол между
этой плоскостью и плоскостью основания равен a .
350
3.	На ребрах АВ и AD куба ABCDAlB]C]Di взяты точки Р и Q - сере-
дины этих ребер. Считая ребро куба равным а, вычислить расстояния до
плоскости CXPQ отточек: а) С; б) Д .
4.	В кубе ABCDA]BiClDl с ребром а точки Р ,Q,R- середины ребер
АВ, AD и СС, соответственно. Вычислить расстояние до плоскости PQR
от точек: а) Д ; б) В,.
5.	Боковое ребро правильной призмы АВСА^В^С^ в 2 раза больше
стороны основания. Через точку Р - середину ребра СС,, проведено сече-
ние перпендикулярно прямой ВС,. Считая АВ = 2 , вычислить расстояние
до плоскости сечения от вершины: а) В; б) А; в) С.
6.	В прямой треугольной призме ЯВС4,В,С, через точки В, С, Д
проведено сечение, площадь которого равна S, а расстояние от плоскости
сечения до вершины В, равно И. Вычислить объем призмы.
7.	Точка М - середина ребра AD единичного куба ABCDA}BlClDl.
Через середину В,М перпендикулярно В,М проводится плоскость а.
Вычислить расстояние от центра куба до плоскости а .
8.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA]BiClDt ребра АВ = 1,
AD = 2 , DD, = 3. Точка М лежит в плоскости BDCX. а) Какую наимень-
шую площадь может иметь треугольник Л Л/D, ? На каком расстоянии от
грани ADD,, А, находится при этом точка Л/? б) Вычислить расстояние от
вершины Л, до плоскости BDC,.
9.	В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 1, AD = 2 и
ЛЛ, = 3 через его диагональ BD, проведена секущая плоскость. Опреде-
лить наибольшее расстояние от этой плоскости до вершины D и вычис-
лить для этого случая площадь сечения.
10.	В основании пирамиды PQRS лежит правильный треугольник
QRS. Высота пирамиды, опущенная из вершины Р, проходит через сере-
дину ребра RS. Известно, что PQ = m, QR = n. Пирамиду пересекает
плоскость, параллельная ребрам PQ и RS. На каком расстоянии от вер-
шины Q должна находиться эта плоскость, чтобы площадь сечения была
наибольшей?
351
11.	Основание пирамиды - равносторонний треугольник, а одно из
боковых ребер перпендикулярно основанию. Высота наклонной боковой
грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания, равна h.
Пирамида вписана в сферу единичного радиуса. Вычислить расстояние
от центра сферы до наклонной боковой грани пирамиды. При каком зна-
чении h это расстояние будет наибольшим? Определить это наибольшее
расстояние.
12.	В правильной четырехугольной пирамиде TABCD с высотой,
равной 4 и стороной основания, равной 1, проведена плоскость, прохо-
дящая через медиану СМ боковой грани TCD и параллельная апофеме ТК
боковой грани TAB. На каком расстоянии от этой плоскости находится
центр основания пирамиды?
Ответы:
1 На -> к» •	, \	~	л ч 7а^
1. ,	—. 2. ptgasin a . 3. а)-; б)--. 4. а)---
yja2+4Н2	17	17	22
. 6^5 _ г- 4>/5 .	_ 1
б)------. 5. а)-----; б) >/5 ; в)------. 6. Sh куб.ед.. 7. —.
22	5	5	12
о ч „ Зч/ЁЗ 36	12 „ „ ГТ „ /14
8- а) S* = — " М.; —. 6) у. 9. 3^-; кв.ед.
^(4-Л=)(4А’-9)	!
10.	. 11. р=-----------------;	=— при .
гэ	г	от т	’ । mux от г
8m	7/1	7
Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми
1.	Дан единичный куб ABCDAIBICIDI, точка М~ середина ребра ВВ,.
Вычислить расстояние и угол между прямыми: а) АВ} и DXB ; б) А,В и СМ.
2.	В правильном тетраэдре ABCD с ребром 1 точки М, N, К - сере-
дины ребер АВ, ВС и CD соответственно. Вычислить расстояние и угол
между прямыми: а) СМ и DN; б) СМ и ВК.
3.	На ребре СС, правильной призмы ABCDAXBXCJ\ взяты точки Е,,
Е2, Ei такие, что СЕ, = Е,Е, = Е2Е} = Е,С}. Известно также, что
АВ . ААХ =1:2. Найти углы, которые прямая BtD образует с прямыми:
а) А,Е,; б) А}Е2; в) ДЕ,.
352
4.	В основании пирамиды SABC лежит равносторонний треугольник
АВС со стороной 4д/2 . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости
основания и равно 2. Точки Е и D являются серединами ребер ВС и АВ
соответственно. Вычислить угол и расстояние между прямыми SE и CD.
5.	Точки Р и Q, - середины ребер АВ и А,С, правильной призмы
АВСА,В,С,. Считая АВ: АА, =1:2, найти углы, которые прямая PQ,
образует с прямыми АС и АВ, . Вычислить расстояние между прямыми
PQ, и АС, если АВ = а .
6.	Высота МО правильной пирамиды MABCD в 2 раза больше сто-
роны основания. Точки Р, Q, R середины отрезков МС, АВ и МО соот-
ветственно. Найти угол между прямой ОР и прямой: a) MD\ б) ВЛ; в) DQ.
7.	В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный
треугольник АВС со стороной, равной 2. Боковое ребро SA перпендику-
лярно плоскости основания. На ребре SC выбрана точка L так, что
SC = 3SL . Вычислить расстояние между прямой SA и прямой, проходя-
щей через точку L и середину ребра BS.
8.	В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник
АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Вычис-
лить объем пирамиды, если угол между прямой SA и прямой, проходя-
щей через точку С и середину ребра SB, равен 60° , а расстояние между
этими прямыми равно 2.
9.	В правильном тетраэдре ABCD отрезок NM соединяет середину
ребра АС с центром грани BDC, а точка Е - середина ребра АВ. Найти
угол между прямыми MN и DE.
10.	В правильной треугольной призме АВСА,В,С, со стороной осно-
вания АВ = а и боковым ребром В,В-Ь вычислить расстояние между
прямыми Л, В и В.С,.
11.	Сторона основания АВС правильной пирамиды ABCD равна 8>/3 ,
высота DO = 6. Точки А,, В,, С, - середины ребер AD, BD, CD соответ-
ственно. Найти угол и расстояние между прямыми ВА, и АС,.
12.	Основание пирамиды ABCD - треугольник АВС со сторонами
АВ = 26 , АС = 10, ВС = 24 . Все боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 45° . Вычислить расстояние между прямой, содержа-
щей высоту пирамиды, и прямой: а) АС; б) ВС.
353
13.	В треугольной пирамиде ABCD АВ = 8, CD = 12, расстояние
между прямыми АВ и CD равно 6. Найти угол между этими прямыми,
если объем пирамиды равен 48 куб.ед.
14.	Основанием пирамиды TABCD служит прямоугольник ABCD,
диагональ которого равна V13 . Высота пирамиды ТО = \ проходит че-
рез точку пересечения диагоналей основания, а расстояние между боко-
вым ребром ТВ и диагональю основания АС равно 6/7 . Вычислить пло-
щадь боковой поверхности пирамиды.
15.	В сферу вписана правильная треугольная пирамида, у которой
центр сферы делит высоту в отношении 3:1, а расстояние между апофе-
мой и высотой основания, не пересекающей эту апофему, равно 2. Вы-
числить площадь сферы.
16.	Основанием пирамиды TABCD служит прямоугольник ABCD со
сторонами АВ = 13 и АС = 39, высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей основания, а расстояние между боковым ребром
ТВ и диагональю основания АС равно 12. Вычислить радиус сферы, опи-
санной около пирамиды.
17.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с диаго-
налями его основания углы 30° и 60° , а расстояние между боковым
ребром и скрещивающейся с ним диагональю параллелепипеда равно С.
Вычислить площадь боковой поверхности параллелепипеда.
18.	Основанием пирамиды ТАВС служит прямоугольный треугольник
АВС, площадь которого равна 3 (кв.ед.). Все боковые ребра пирамиды рав-
ны между собой, высота пирамиды равна 4, а расстояние между боковым
ребром ТА и медианой основания CD, проведенной к гипотенузе АВ, равно
12/13 . Вычислить радиус сферы, описанной около пирамиды.
19.	Основанием пирамиды ТАВС является прямоугольный тре-
угольник АВС, а все боковые ребра образуют с плоскостью основания
углы 45° . Расстояние между боковым ребром ТВ и медианой CD, прове-
денной к гипотенузе АВ, равно >/3 , а угол между прямыми ТВ и CD ра-
вен 60° . Вычислить площадь сферы, описанной около пирамиды.
20.	В основании пирамиды ТАВС - прямоугольный треугольник АВС,
высота пирамиды совпадает с ребром ТА и равна И. Боковое ребро ТВ об-
разует с гипотенузой основания АВ угол 30°, а угол между ТВ и медианой
основания CD равен 45°. Какую наименьшую площадь может иметь се-
чение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану CD и пересе-
кающей ребро ТВЗ
354
Ответы:
1. а) —= и 90°; б) — и arcsin-7=. 2. а) ,— и arcsin---; б) -= и
ч/б	3	V10	V35	6 VTo
. 45	. л V102	41	ч 4б	. п	2х/з
arcsin— . 3. a) arccos--; б) arccos— ; в) arccos—. 4. — и-----.
3	17	3	9	4	3
.	ч/17	з485 ,, ГГ	8 4х/з
5. arccos----, arccos-----, 2а.I— .6. a) arccos—; б) arccos-----;
34	34 V 67	9	9
\	<10 „
в) arccos---. 7.
30
[3 о 16ч/з с „	5x/3 tn ab43
J— . 8.------куб.ед.. 9. arccos----. 10. : .-=
V7 3	18 4за2+4Ь2
11.	arccos-^- и -^=. 12. а) 1; б) 5.13. 30°. 14. Зч/2 + V13 кв.ед.
121	4259
15. 105л кв.ед. 16. R = 30—. 17. 4/’25/з + ч/б кв.ед. 18. R = —
16	4
е2
19.	.8’ = 36л кв.ед. 20.------
16
кв.ед.
Экстремальные задачи
1.	В основании прямой призмы лежит трапеция с основаниями 4 и 6.
Диагональ боковой грани, содержащей большую боковую сторону тра-
пеции, равна 4. Вычислить наибольший объем призмы.
2.	Каким должен быть угол наклона образующей конуса к его осно-
ванию, чтобы отношение объема конуса к объему описанной около него
шара было наибольшим?
3.	Внутри правильной четырехугольной пирамиды со стороной осно-
вания а и высотой h расположен прямоугольный параллелепипед наи-
большего объема так, что четыре его вершины находятся в плоскости ос-
нования пирамиды, а другие четыре лежат на ее боковых ребрах. Вычис-
лить боковое ребро параллелепипеда.
4.	Центр основания правильной четырехугольной пирамиды удален
от боковой грани на расстояние, равное т. При каком угле наклона боко-
вых граней к плоскости основания площадь поверхности пирамиды бу-
дет наименьшей?
5.	Из всех правильных треугольных призм, имеющих объем V, най-
ти призму с наименьшей суммой длин всех ее ребер. Чему равна сторона
основания этой призмы?
355
6.	Основаниями правильной призмы служат квадраты. Одно из ос-
нований призмы принадлежит большему кругу радиуса шара R, а верши-
ны другого лежат на поверхности этого шара. Какой должна быть высота
призмы, чтобы сумма длин всех ее ребер была наибольшей?
7.	В правильной треугольной призме расстояние от центра основания
до одной из вершин другого основания равно С. При какой длине высоты
призмы объем ее будет наибольшим? Вычислить это значение объема.
8.	В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная пирами-
да. Какой должна быть высота пирамиды, чтобы ее объем был наиболь-
шим? Вычислить это значение объема.
9.	В конус с высотой Н и радиусом основания R вписана правильная
шестиугольная призма так, что одно ее основание лежит в плоскости
основания конуса, а вершины другого принадлежат боковой поверхности
конуса. Чему может быть равен наибольший объем такой призмы?
10.	Правильная треугольная пирамида со стороной основания а вписа-
на в сферу, причем центр сферы делит высоту пирамиды в отношении
-/5:1, считая от вершины. Верхнее основание правильной четырехугольной
призмы лежит в плоскости основания пирамиды, а вершины ее нижнего
основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, что-
бы ее объем был наибольшим? Вычислить это значение объема.
11.	Высота Н правильной четырехугольной пирамиды равна стороне ос-
нования. Нижнее основание правильной четырехугольной призмы принадле-
жит основанию пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на медианах
боковых граней пирамиды, проведенных из вершин основания к боковым
ребрам пирамиды. Какой должна быть высота призмы, чтобы длина ее диаго-
нали была наименьшей? Вычислить это значение длины диагонали.
12.	Конус с углом а между образующей и высотой вписан в сферу
радиуса R так, что его вершина находится в центре сферы, а окружность
основания - на сфере. Все вершины нижнего основания правильной тре-
угольной призмы (параллельного основанию конуса) лежат на сфере, а
остальные ее вершины принадлежат боковой поверхности конуса. Какими
должны быть высота и сторона основания призмы, чтобы площадь ее бо-
ковой поверхности была наибольшей? Вычислить это значение площади.
13.	В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, в пира-
миду вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости
основания пирамиды, а окружность другого основания касается всех бо-
ковых граней. Высота цилиндра и радиус его основания равны а. При
какой высоте пирамиды объем шара будет наименьшим? Вычислить это
значение объема.
356
14.	В кубе ABCDA,B,C,D, через вершину А, середину ребра A,D, и
центр грани DD.C C проведена плоскость. Из всех сечений куба, парал-
лельных этой плоскости, найти сечение наибольшей площади. Чему равна
эта площадь, если ребро куба равно а?
15.	В сферу радиуса R вписана правильная треугольная пирамида, у
которой апофема равна диаметру окружности, описанной около основа-
ния. Между сферой и пирамидой расположена правильная четырех-
угольная призма, одно из оснований которой лежит в плоскости боковой
грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Ка-
кой наибольший объем может иметь призма?
16.	В прямоугольном параллелепипеде с ребрами а = 2, Ь = 3,
с = 6 через точку М, лежащую на одном из самых коротких ребер, и
скрещивающуюся с этим ребром диагональ параллелепипеда проведена
плоскость. Какую наименьшую площадь может иметь сечение паралле-
лепипеда этой плоскостью? Вычислить длины сторон этого сечения.
17.	Основанием пирамиды служит ромб со стороной с = 5 и ра-
диусом вписанной окружности г = 2,4; высота пирамиды проходит
через точку пересечения диагоналей ромба и равна его стороне. В пи-
рамиду вписан прямоугольный параллелепипед, одна грань которого
лежит в плоскости основания пирамиды, а вершины противолежащей
грани принадлежат боковым граням пирамиды. Какой наибольший
объем может иметь параллелепипед?
18.	Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник со сторо-
нами АВ = 4 и AD = 12 . Какую наименьшую площадь может иметь се-
чение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину .8’, центр сим-
метрии основания О и точку N, лежащую на ребре ВС, если SA = 3,
SB = 5 , SO = 7 ? На какие части делит точка N ребро ВС в этом случае?
19.	Правильная треугольная пирамида, вписанная в сферу радиуса
R, пересекается плоскостью, проходящей через медианы боковой грани и
основания, выходящие из одной вершины. При какой высоте пирамиды
площадь сечения пирамиды этой плоскостью будет наибольшей?
20.	Основанием прямой призмы АВСА.В.С служит равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник с катетами АВ = ВС = 3, боковое ребро
ВВ, = 4 . Какую наименьшую площадь может иметь треугольник СВМ,
если точка М лежит на диагонали боковой грани АС, ? На какие части
делит точка М диагональ АС, в этом случае?
357
21.	В сферу радиуса R вписана пирамида, основанием которой служит
прямоугольник с углом между диагонатями 45°. и с высотой, проходящей
через точку пересечения диагоналей. Какую наибольшую площадь может
иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через одну' из диагона-
лей основания и середину не пересекающего ее бокового ребра?
22.	Через диагональ прямоугольного параллелепипеда и точку', ле-
жащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ, проведена
плоскость так, чтобы площадь полученного сечения была наименьшей.
Найти стороны основания параллелепипеда, если известно, что диагона-
ли сечения равны 6 и 2>/з , а угол между ними 30°.
23.	В сферу радиуса R вписана пирамида TABCD, основанием кото-
рой служит прямоугольник ABCD. Высота пирамиды совпадает с боко-
вым ребром ТА. а боковое ребро ТС образует с диагоналями основания
углы 30° и 60° . Какую наименьшую площадь может иметь сечение пи-
рамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания АС?
24.	В правильной треугольной пирамиде с боковым ребром f, обра-
зующим с плоскостью основания угол 60°, проведено сечение, парал-
лельное одной из медиан боковой грани и боковому’ ребру, не пересе-
кающему эту’ медиану. Какое наибольшее значение может иметь пло-
щадь такого сечения?
25.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAlBlCiDl ADt = VlO ,
AtB = д/5 - диагонали граней с общим ребром AAt. Какой наименьший
радиус может иметь шар, касающийся обеих этих диагоналей?
26.	В основании пирамиды - прямоугольник со сторонами а и Ь. Вы-
сота пирамиды И проходит через центр основания. Какую наименьшую
площадь может иметь треугольник А СМ, где Л/-точка на ребре ТВ?
27.	В правильную треугольную пирамиду со стороной основания а и
высотой h вписан цилиндр так, что одно из его оснований принадлежит
основанию пирамиды, а окружность другого основания касается всех
боковых граней пирамиды. Вычислить максимально возможный объем
цилиндра.
28.	В сферу радиуса R вписана пирамида, основание которой - пря-
моугольник с углом, равным arccos ^7/12 , между' диагоналями, а все
боковые ребра равны между собой. Какую наибольшую площадь может
иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ осно-
вания и середину бокового ребра, не пересекающего эту7 диагональ?
358
29.	В сферу радиуса R вписана пирамида, основание которой - пра-
вильный треугольник. Одно из боковых ребер перпендикулярно основа-
нию и равно 2В/15. Между сферой и пирамидой расположена правиль-
ная треугольная призма, одно из оснований которой лежит в плоскости
основания пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере.
Какой наибольший объем может иметь призма?
30.	Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая
призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы при-
надлежит основанию пирамиды, другая - боковой грани пирамиды. Ка-
кой наибольший объем может иметь призма, если сторона основания
пирамиды равна 2, а ее высота равна 2>/2 ?
Ответы:
„ с	. /I	, й	к	(4r)V3	R	£5/3	е
1. 30 куб.ед. 2. arcsin. — . 3. — . 4. — . 5. -—tL—. 6. —. 7.-; —.
Ъ 3	3	^3	3	3	2
e 4R 64В3 R . IR'llji, . ау/з 10а3 5/3	_
8.	—; куб.ед. 9.--------------- куб.ед. 10. — ; куб.ед.
И. —; HJ-. 12.
11 VII
R
, ot
2cos —
2
; B>/3sin—;
2
375k1 tg|	9„
----------кв.ед. 13. За; —
4
a2V14
куб.ед. 14. —=-
25/241	64	с
-------.17. — куб.ед. 18.
5	5
кв.ед. 15.
25В
54
куб.ед. 16.
42л/5	>/229
—-— кв.ед.; —-—
>V13 RV 102 v_ 54
----- кв.ед.; ВЛ =	; ЛС = —
13---13-----------------13
2
к 18	9V34 16V34
2	5	25	25
п2	ft	✓
23. — кв.ед. 24. —------- (кв.ед.). 25. —. 26.
2	16	13
.21.
2
abh-Ja2 +b2
==^= кв.ед.
1 (а2+Ь2} + а2Ь2
„ ™2h	а 10В2
27.------ куб.ед. 28.-----
81	7
к „ 5л/б _
куб.ед. 30.----- кубед.
36
359
Разные задачи
1.	Сторона основания правильного тетраэдра равна а. Определить
1диус шара, касающегося боковых граней тетраэдра в точках, лежащих
а сторонах основания.
2.	В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основа-
шя а и высотой И вписан шар. Второй шар касается первого шара и бо-
говых граней пирамиды. Вычислить объем второго шара.
3,	Вычислить объем треугольной пирамиды, у которой два противо-
положных ребра равны 8 и 24, а два остальные ребра имеют длину 14.
4.	В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны b и
образуют друг с другом прямые углы. Вычислить радиусы вписанного и
описанного шаров.
5.	В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямо-
угольный треугольник. Боковая грань, проходящая через один из кате-
тов. образует с плоскостью основания угол а. Вычислить объем пира-
миды, если образующая конуса равна ( и наклонена к плоскости осно-
вания под утлом [3.
6.	В правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой
равны а, вписан куб так, что четыре его вершины находятся на апофемах
и четыре - в плоскости основания. Вычислить объем куба.
7.	Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6. Вы-
числить объем призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.
8.	Вычислить отношение объемов цилиндра и конуса, вписанного в
один и тот же шар, если высота и цилиндра и конуса равна радиусу шара.
9.	В полушар радиуса ^/з/2 вписан куб так, что четыре его вершины
лежат на основании полушара, а четыре другие вершины принадлежат
сферической поверхности. Вычислить объем куба.
10.	Центр сферы совпадает с центром основания конуса, а ее радиус
равен радиусу основания конуса. Вычислить радиус окружности, по кото-
рой сфера пересекает поверхность конуса, если известны высота конуса Н
и угол при вершине осевого сечения а .
11.	Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с
боковыми сторонами, равными Ь, и углом а при вершине. Две боковые
грани пирамиды, проходящие через равные стороны, перпендикулярны
основанию, а третья составляет с ним тот же угол а. Вычислить радиус
шара, вписанного в пирамиду.
ЗАП
12.	В Прямой круювин __
помещены три шара. Первый шар радиуса R лежит на нижнем w*.-
цилиндра. Два других шара радиуса R/2 каждый, касаются друг друга,
каждый из них касается первого шара и верхнего основания цилиндра.
Вычислить высоту’ цилиндра.
13.	В четырехугольную пирамиду PABCD, в основании которой ле-,
жит равнобедренная трапеция ABCD с боковой стороной АВ = £ и ост-
рым углом <р , вписан шар. Боковые грани APD и ВРС - равнобедренные
треугольники (АР = PD ; ВР - PC), образующие с основанием пирами-
ды один и тот же угол а . Вычислить радиус вписанного шара.
14.	Ребро куба равно а. Вычислить объем прямого кругового цилин-
дра, вписанного в куб так, что его осью является диагональ f. куба, а
окружности оснований касаются тех диагоналей граней куба, которые не
имеют общих точек с диагональю I.
15.	Дан куб ABCDAXBXCXDX с ребром а, точка Е - середина
точка F - середина ВХСХ. Вычислить радиус сферы, проходящей через
точки А, С, Е, F.
16.	На основании правильной четырехугольной пирамиды со сторо-
ной основания а и двугранным углом ос при основании лежит шар, ка-
сающийся основания в его центре. Плоскость, проходящая через верши-
ну’ пирамиды и середины двух смежных сторон основания, касается это-
го шара. Вычислить его радиус.
17.	Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а. Вычислить радиус
сферы, вписанной в трехгранный угол, образованный гранями тетраэдра
с вершиной в точке А, и касающейся плоскости, проведенной через сере-
дины ребер АВ, AD, ВС.
18.	Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ь. Вычислить радиус сферы, касающейся всех ребер
пирамиды.
19.	В правильную усеченную треугольную пирамиду с боковым
ребром b можно поместить сферу, касающуюся всех ее граней, и сферу,
касающуюся всех ребер. Вычислить стороны основания пирамиды.
20.	Центр сферы, описанной около правильной четырехугольной
пирамиды, находится на расстоянии а от боковой грани и на расстоянии
b от бокового ребра. Вычислить радиус сферы.
361
21.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
АВС равна Ь, а высота пирамиды равна Ь>/2 . Сфера, вписанная в пира-
миду, касается грани ACD в точке К. Вычислить площадь сечения пира-
миды плоскостью, проходящей через точку К и ребро АВ.
22.	Основанием наклонной призмы АВСА}В{С} является равносто-
ронний зреугольник АВС со стороной а. Вершина А1 проецируется в
точку пересечения медиан треугольника АВС, ребро А А, составляет с
плоскостью основания угол 45°. Вычислить площадь боковой поверхно-
сти призмы.
23.	В конус, боковая поверхность которого в к раз больше площади
основания, вписан шар радиуса R. Вычислить объем конуса.
24.	Все ребра пирамиды SABC равны 1. Вершины А и В и середины
ребер AS и CS лежат на поверхности шара. Вычислить его радиус.
25.	Все ребра пирамиды SABC равны 1. Первый шар с центром в
точке О, касается плоскостей SAB и SAC в точках В и С, а второй шар с
центром в точке Ог касается плоскостей SAC и SBC в точках А и В. Вы-
числить объем пирамиды SBOtO2.
26.	Шар радиуса 1 касается всех ребер треугольной пирамиды SABC.
Центр шара О лежит внутри пирамиды на ее высоте SH на расстоянии V3
от вершины S. Вычислить высоту пирамиды.
27.	Дан куб ABCDAIBICIDI с ребром а. Шар касается ребер А В, ВС,
CD и А А, в их серединах. Вычислить его радиус.
28.	Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен
45° . В этом конусе расположены два шара единичного радиуса, касающие-
ся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основа-
ния. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого ша-
ра. Вычислить объем конуса.
29.	В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся ребер
равны 12 и 4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана
сфера. Вычислить расстояние от центра сферы до ребра длины 12.
30.	Основанием пирамиды ABCD является прямоугольный тре-
угольник АВС с острым углом С = 30° и гипотенузой ВС = 2л/2 . Ребра
AD, BD и CD имеют равную длину. Сфера радиуса 1 касается ребер AD и
BD, продолжения ребра CD за точку D и плоскости АВС. Вычислить ве-
личину отрезка касательной, проведенной из точки А к сфере.
362
31.	В кубе с ребром 1 расположен конус так, что его вершина совпа-
дает с вершиной куба. Три грани куба касаются боковой поверхности
конуса, а вписанный в куб шар касается основания конуса. Вычислить
объем конуса.
32.	Три одинаковых конуса, радиусы основания которых равны г, а
4
высоты — г, расположены по одну сторону от плоскости а , а их основа-
ния лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих
конусов касаются. Вычислить радиус шара, лежащего между конусами и
касающегося как плоскости а , так и всех трех конусов.
33.	Три шара радиуса г лежат на нижнем основании правильной
треугольной призмы, причем каждый из них касается двух других шаров
и двух боковых граней призмы. На этих шарах лежит четвертый шар,
который касается всех боковых граней и верхнего основания призмы.
Вычислить высоту призмы.
34.	В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со сто-
роной а. Одно из боковых ребер тоже равно а, а два других равны Ь. Вычис-
лить радиус сферы, описанной около пирамиды.
35.	В правильный тетраэдр ABCD вписан шар объема 1. Точка Р явля-
ется серединой высоты DE тетраэдра. Через точку Р проведена плоскость
а перпендикулярно высоте DE. Из всех точек, полученных при пересече-
нии шара с плоскостью а, выбрана точка К, ближайшая к точке А. Вы-
числить расстояние от точки К до грани ABD.
36.	Правильный треугольник со стороной а лежит в плоскости а.
Средними линиями он разделен на четыре треугольника, и на трех из
них, примыкающих к вершинам, по одну сторону от плоскости а, по-
строены как на основаниях три правильные треугольные пирамиды вы-
сотой а. Найти радиус сферы, лежащей между пирамидами и касающей-
ся как плоскости а , так и всех трех пирамид.
37.	В правильный тетраэдр ABCD с ребром а вписана сфера. На реб-
ре АС взята точка М так, что МС = 2АМ , а на высоте SD - точка 2V так,
что ND = 2NS . Прямая MN пересекает сферу в точках Р и Q. Вычислить
длину отрезка PQ.
38.	Боковые ребра правильной треугольной пирамиды SABC накло-
нены к плоскости основания под углом 45°. Шар касается плоскости
АВС в точке А и, кроме того, касается вписанного в пирамиду шара. Че-
рез центр первого шара и высоту BD основания проведена плоскость.
Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.
363
39.	Основанием прямой призмы	является равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Сфера 5, радиуса
>/23-х/2-3 касается боковых граней ААХВХВ и ВВХСХС и нижнего ос-
нования АВС. Сфера S2 с центром в точке С, касается сферы 5, внеш-
ним образом. Известно, что АВ = ААХ и что радиус сферы S, в 2 раза
меньше радиуса сферы S2. Вычислить объем призмы.
40.	Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные
плоскости, разделившие шар на восемь частей. В каждую из этих частей
вписано по шару. Вычислить отношение объема одного из этих шаров к
объему исходного шара.
41.	Внутри куба с ребром а расположены два равных касающихся
друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имею-
щих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней. Вычис-
лить радиус этих шаров.
42.	Осевое сечение конуса является правильным треугольником.
Через ось конуса проведены две взаимно перпендикулярные плоскости.
Два шара касаются этих плоскостей, плоскости основания конуса и его
боковой поверхности, только один касается ее изнутри, а другой - сна-
ружи. Вычислить отношение радиусов этих шаров.
43.	Внутри треугольной пирамиды, все ребра которой равны а, рас-
положены четыре равных шара. Каждый шар касается трех других, а
также трех граней пирамиды. Вычислить радиусы этих шаров.
44.	В конус вписана правильная шестиугольная призма так, что нижнее
основание призмы лежит в плоскости основания конуса, а вершины верхне-
го основания принадлежат боковой поверхности конуса. Известно, что пло-
щадь полной поверхности призмы имеет наибольшее возможное значение.
Вычислить объем призмы, если известно, что длина образующей конуса
равна t, а угол при вершине осевого сечения конуса равен а.
45.	В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный
треугольник с катетами АВ = 2 , АС = 4. Боковые ребра пирамиды равны 4.
На луче СА выбраны точки М, /V так, что СМ - 1, CN = 6 а на луче BS точ-
ки Р, Q так, что ВР = 2 , BQ = 5 . Вычислить объем пирамиды MNPQ.
46.	Вершина конуса лежит в плоскости основания ABCD правиль-
ной четырехугольной пирамиды SABCD, а окружность основания конуса
вписана в четырехугольник, полученный в сечении пирамиды плоско-
стью, проходящей через середины сторон AD и ВС основания пирамиды
364
и делящей ребро SC в отношении 3:1, считая от вершины S. Вычислить
отношение объема конуса к объему пирамиды.
47.	Сфера радиуса 13 касается граней ABCD, A, ADD, и А, ABB, куба
ABCDA,B,C,D,. Вторая сфера радиуса 5 касается граней ABCD, AA,D,D
и CC,D,D куба и первой сферы. На ребре ВС взята точка F, а на продол-
жении ребра DC за точку С - точка Е так, что СЕ = CD. Плоскость
C,EF пересекает первую сферу по окружности, радиус которой в 2,6
раза больше радиуса окружности, по которой эта плоскость пересекает
вторую сферу. Найти отношение BF: FC.
48.	В основании правильной треугольной призмы ABCEFG лежит
правильный треугольник АВС со стороной 3, боковые ребра АЕ, BF и CG
имеют длину 4. Вычислить радиус сферы, касающейся основания АВС, а
также продолжений отрезков AF, BG и СЕ за точки А, В, С соответственно.
Ответы:
л*?3 (у/дН2 + 6f2 — гД	/к/з
1. -----.2. ---------------;---- куб.ед. 3. 192 куб.ед. 4. R =--------;
8	3072//’	7	2
b 2С3 sin2 Pctga г~гут _	а3 у/2
г =-----. 5.-----------Е—Asm a-sin р куб.ед. 6. ---------- куб.ед.
3 + V3 3sina	32
9	a	a a
7. 54 куб.ед. 8. —. 9. 1 куб.ед. 10. Нcosatg— . 11. 6cos—tg—.
4	2	2 4
,. 3 + 2л/2 n „ 1. . a , . ка3у/з . ,, a
12.--------R . 13. — £sin<ptg—. 14.----- куб.ед. 15. -
2	2	2	18
«(71 + 2tg2a-l) a(V3-l)	a(2b-a}
16.	. 17. v . 18.	)......’ . 19
4 tga	4J2 2у}зЬ2 -a1
fe(l-V2/3)-20.	. 2 . 21.	кв.ед. 22. — «2 (>/15 + л/б) кв.ед.
yJ2a2 -b2	3
TtR3(k + l)2	„ >/2	, Ду/3 ay/2
23.---------куб.ед. 24. . — . 25. — куб.ед. 26.------------. 27.-----.
3(11-1)	\32	24	3	2
28. у (2 + >/2)3 куб.ед. 29. —. 30. >/з -1. 31. -^(7з -1)* куб.ед.
365
32. |г(2>/3-3).33. |г(б + 7з + V27 + 12V3).
1 2 /77---Г/л 2,2	4 ,4\~'/2	а 2<7>/н
34.—<7 -у 46 —а [4а b —а —Ь )	.35.------. 36. — . 37.----.
2	'	'	3	6	33
/ГТ 4. /Т /	_.	1	^3“
38. arctg-—— .39. 8 10-7V2) куб.ед. 40.------г.41. ------<-
6	'	'	10 + бЛ 4
9 + 4л/б	<7(л/б-1)
42. v . 43. -4-------. 44. При а < 60°
5	10
3	, а ( а <тЛ
—v3f cos — ctg---<3
2	21	2 J
V =----------------5----- куб.ед.; при а > 60° решений нет.
45.^1^.ел.«. ^.47.
4	32	40	8
366
25. ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ
Вариант 1
1.	Двое рабочих одновременно приступили к выполнению одинакового
задания. Когда первый рабочий выполнил половину задания, второму
осталось изготовить 24 детали, а когда второй выполнил половину за-
дания, первому осталось изготовить 15 деталей. Сколько деталей долж-
ны изготовить рабочие?
2.	Решите уравнение 8(2-sin2x)=3(tgx + ctgx).
3.	Решите уравнение x + ^Jx-9 = 21.
4.	Решите неравенство 8-9^* +6^*+| <27-4^*.
5.	На кривой у = х1 + х найдите точку, расстояние от которой до точки
Л/(-1;1) будет наименьшим. Найдите это расстояние. Сделайте чертеж.
6.	Укажите все значения а, при которых система уравнений
Г 4
lgy = lg 1 —
(у-х)а = 1
имеет единственное решение. Найдите эти решения при каждом а.
7.	В сферу радиуса R вписана пирамида ТАВС, основанием которой слу-
жит равносторонний треугольник АВС. Боковые грани, пересекающиеся
по ребру ТА, перпендикулярны основанию пирамиды, а третья боковая
грань образует с основанием угол 60°. Какую наименьшую площадь мо-
жет иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через сторону АС
основания и пересекающей ребро ТВ?
367
Вариант 2
1.	Два автомобиля, выехавшие одновременно из пунктов А и В навстре-
чу друг другу, встретились через 20 мин, после чего второй автомобиль
прибыл в А на 0,5 часа позже, чем первый прибыл в В. Сколько времени
потребовалось первому автомобилю на путь из А в В?
2.	Решите уравнение 4cos2(x2) + 4sin(x2) = l.
3.	Решите уравнение log2(x + l) = l + log23-log2x.
4.	Решите неравенство ^Зх2 + 5х < V2 .
5.	Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, две сторо-
ны которого лежат на координатных осях, а одна из вершин - на графике
функции у = х(х - 8)2, (0 < х < 8) ?
6.	Укажите все значения а, при которых система уравнений
(х-а)2 + (у + о-1)2 =1
имеет единственное решение. Найдите эти решения при каждом а.
7.	В сферу радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед, диаго-
наль которого образует с диагоналями его основания углы 30° и 45°.
Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через его диагональ и точку, лежащую на бо-
ковом ребре, не пересекающем эту диагональ?
368
Вариант 3
1.	Двое рабочих, работая вместе, могут закончить работу за 2 дня. Если
сначала 2/3 работы выполнит один из них, а затем его сменит другой, то
вся работа будет выполнена за 4 дня. За сколько дней каждый рабочий
может выполнить всю эту работу?
г- ( ft А
2.	Решите уравнение cos3x-cosx =-уЗ cosl х-—I.
3.	Решите уравнение 3-9^-82-3^+27 = О.
4.	Решите неравенство logA 2 < 2 .
5.	На графике функции у = 0,25х2-х + 8 укажите такую точку А, чтобы
площадь треугольника с вершинами А, 0(0;0), В(5;5) была наимень-
шей. Найдите эту площадь.
6.	При каких значениях параметра а уравнение
1оёЪ-й+1Мк(Х_3)2+я
х х-2 )
имеет два различных корня? Найдите эти корни для каждого а.
7.	В сферу радиуса R вписана пирамида ТАВС, у которой основанием
служит равносторонний треугольник АВС. Высота пирамиды совпадает с
боковым ребром ТА, а угол между боковым ребром ТВ и медианой осно-
вания BF равен 45°. Какую минимальную площадь может иметь сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через медиану основания BF?
369
Вариант 4
1.	Двое рабочих должны были изготовить по 45 деталей. Второй рабо-
чий приступил к работе на 25 мин. позднее первого, по трети задания они
выполнили к одному времени, и чтобы закончить работу вместе с пер-
вым, второй сделал за него 6 деталей. Сколько деталей в час изготавли-
вал каждый рабочий?
2.	Решите уравнение cos2x + cos6x = cos4x.
। г
3.	Решите уравнение 3	+3	=28.
4.	Решите неравенство logA.(9x2-14x + 6)< 2.
5.	Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, две сторо-
ны которого лежат на координатных осях, а одна из вершин - на графике
функции у = (6 - х)2 (0 < х < 6) ?
6.	При каких значениях параметра а система уравнений
х + 1 + |х| — 1
(х-а)2 + а2 -2а = 0
имеет единственное решение? Найдите эти решения для каждого а.
7.	В сферу, площадь которой равна 24л (кв.ед.), вписан прямоугольный
параллелепипед, диагональ которого образует с диагональю его основа-
ния углы 45° и 60°. Какая наименьшая площадь может быть у треуголь-
ника, сторона которого является диагональю параллелепипеда, а верши-
на лежит на диагонали основания, не пересекающей эту диагональ па-
раллелепипеда?
370
Вариант 5
1.	Два автомобиля, выехав одновременно из А в В навстречу друг другу,
встретились через 15 мин, после чего второй автомобиль прибыл в А на
40 мин позже, чем первый прибыл в В. Сколько времени потребовалось
первому на путь из А в В?
2.	Решите уравнение 1 + 2cos2x = 2->/2 sin|x|.
3.	Решите уравнение log6(x + l)=l-2-log36x
4.	Решите неравенство 4$х-3х2 <42.
5.	Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольного треугольни-
ка, одна вершина которого совпадает с точкой Л/(8;0), другая лежит на
графике функции j> = 2x2(8-x), 0<х<8, а вершина прямого угла - на
оси ОХ?
6.	При каких значениях параметра а, система уравнений
flg(-x) = lg(j-x-l),
[(х - а)2 + (у + а -1)2 = 1
имеет единственное решение? Найдите эти решения при каждом а.
7.	В сферу, площадь которой равна 64л (кв.ед.), вписана пирамида
TABCD, у которой основанием служит прямоугольник ABCD. Высота
пирамиды совпадает с боковым ребром ТА, а боковое ребро ТС образует
с диагоналями основания углы 30° и 45°. Какую наименьшую площадь
может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диаго-
наль основания BD?
371
Вариант 6
1. Пешеход должен пройти 40 км. Пройдя четверть пути, он увеличил
скорость движения на 1 км/ч и прошел весь путь за 7 ч. С какой скоро-
стью пешеход начал движение?
2. Решите уравнение
*/3
-у- + 2sin2x = tgx + ctgx
- D	lg(7x -8x + 2)
3.	Решите уравнение —----;-------= 2.
Igx
4.	Найдите область определения функции у = ylx-Sjx + 2 .
5.	Укажите на графике функции у = 3-О,5х2 точки, расстояние от кото-
рых до начала координат будет наименьшим. Найдите это наименьшее
расстояние.
6.	При каких значениях параметра а система уравнений
(х-2у + 1 = 0,
[у = л/ох-2
имеет единственное решение? Найдите эти решения при каждом а.
7.	В сферу радиуса R вписана пирамида ТАВС, у которой основанием
служит равносторонний треугольник АВС, а высота совпадает с боковым
ребром ТА. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через боковое ребро ТВ и пересекающей ребро
АС, если высота пирамиды в полтора раза больше стороны основания?
372
Вариант 7
1.	Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 5 км, отправился
пешеход. Через 24 мин из пункта А выехал велосипедист и обогнал пе-
шехода в 3-х км от пункта А. Доехав до пункта В, велосипедист повернул
обратно и в 1 км от пункта В встретил пешехода. С какими скоростями
двигались пешеход и велосипедист?
2.	Решите уравнение 3cos2x + 7sin2x = 8sinx.
, n	lg(3x2+l) „
3.	Решите уравнение --------= 2.
lg(x + l)
4.	Решите неравенство 3-2^*+24-^*<26.
Isinxl	2
5.	Решите уравнение -Ц—L + l = 2(x + 3) .
sinx
6.	При каких значениях параметра а система уравнений
' х-20 . ,
• Н-20’’
(х - а)2 + а - 20 = 0
имеет единственное решение? Найдите эти решения при каждом а.
7.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с диагоналями
его основания углы 30° и 60°, а расстояние между боковым ребром и
диагональю параллелепипеда, не пересекающей это ребро, равно /. Какой
наименьший периметр может иметь сечение параллелепипеда плоско-
стью, проходящей через его диагональ и точку, лежащую на боковом
ребре, не пересекающем эту диагональ?
373
Вариант 8
1.	Из пункта А в пункт В одновременно выехали два велосипедиста. Ко-
гда второй проехал половину пути, первому осталось проехать 45 км, а
когда первый прибыл в пункт В, второму осталось проехать 24 км. Най-
дите расстояние между пунктами А и В.
2.	Укажите все значениях, при которых функция j^ = sin2x + sinx + l
принимает наименьшие и наибольшие значения. Найдите эти значения.
3.	Решите уравнение log2(3x + 5) = 3-log2(x + l).
4.	Решите неравенство 2(х-1)<3з/х.
5.	Какая наименьшая площадь может быть у треугольника ОАВ, если его
I Д* I --------------------------------------------
стороны О А и ОВ лежат на графике функции	—-—, а прямая АВ
проходит через точку Л/(0; 1)?
6.	При каких значениях параметра а система уравнений
lg(jc + _y + l)
Igx
(х - а)2 + (у + а -
имеет единственное решение?
7.	В сферу вписана пирамида ТА ВС, основанием которой служит прямо-
угольный треугольник АВС, а высота пирамиды совпадает с ребром ТА.
Боковое ребро ТВ образует с гипотенузой основания АВ угол 30°, угол
между ТВ и медианой основания CD равен 60°, а расстояние между пря-
мыми ТВ и CD равно /. Найдите площадь сферы.
374'
Вариант 9
1.	Один рабочий взялся выполнить заказ за 20 дней при условии, что в
течение 6 дней ему будет помогать второй рабочий. Если бы этот заказ
был поручен каждому рабочему отдельно, то для его выполнения перво-
му потребовалось бы на 7 дней больше, чем второму. За сколько дней
каждый из них может выполнить заказ?
2.	Найдите все корни уравнения sin4x-sin2x + V2cos3x = 0, принадле-
жащие промежутку -л
л
3.	Решите уравнение 22+^* + 23 ^* = 33.
4.	Решите неравенство k>g2 । + log2(x + l)<l.
5.	Какой наибольший периметр может быть у прямоугольника, две сто-
роны которого лежат на координатных осях, а одна из вершин - на гра-
фике функции у = -х2+9х-14, (у>0)?
6.	При каких значениях параметра а система уравнений
2(х-а)2+у = 10-а,
/+
( А2
х-10
[|x|-10j
имеет единственное решение? Найдите эти решения при каждом а.
7.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с диагоналями
его основания углы 30° и 60°, а расстояние между боковым ребром и
диагональю параллелепипеда, не пересекающей это ребро, равно I. Най-
дите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
375
Вариант 10
1.	Для выполнения некоторого заказа предполагалось использовать од-
новременно два станка разной производительности в течение трех дней.
Фактически заказ выполнял один рабочий, который 3/8 заказа сделал на
станке с большей производительностью, а затем оставшуюся часть - на
другом станке, затратив на выполнение всей работы 9 дней. За какое
время можно выполнить этот заказ, работая на каждом из станков в от-
дельности?
. г,	. ( ЗттЛ (,( Зтг^ Л
2.	Решите уравнение sinl х-—l + cosl 41 х + —I I = 0.
3.	Решите уравнение 6-2lgx + xlg2 = 28.
4.	Решите неравенство 2x + i<7 + 22*x.
5.	Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координаты
вершин которого удовлетворяют уравнению |у| = (х-1)(4-х)
(1 < х < 4), а стороны параллельны координатным осям?
6.	При каких значениях параметра а система уравнений
Г |х-3| |х + 4П
L.=iog2 s+4-Lzt-L^ .
к	У
х2 + 2х + (у - а)2 = 24
имеет единственное решение? Найдите эти решения при каждом а.
7.	Основанием пирамиды ТАВС служит прямоугольный треугольник
АВС, площадь которого равна 3. Все боковые ребра пирамиды равны
между собой, высота пирамиды равна 1, а расстояние между боковым
ребром ТА и медианой основания CD, проведенной к гипотенузе АВ,
равно 6/7. Найдите длины катетов треугольника АВС, считая, что
АС < ВС.
376
Вариант 11
1.	Из пункта А в пункт В одновременно выехали два велосипедиста. Ко-
гда второй проехал половину пути, первому оставалось проехать до
пункта В 14 км, а когда первый прибыл в пункт В, второй отставал от
него на 10,5 км. Найдите расстояние между пунктами А и В.
2.	Укажите все значения х, при которых функция j^ = cos2x+V3co&r+l
принимает наименьшие и наибольшие значения. Найдите эти значения.
3.	Решите уравнение log2(3x + 8) = 4-log2x.
4.	Решите неравенство х-4-Ух-12<0.
5.	Найдите площадь \АМВ, если А и В - точки пересечения с осью ОХ ка-
9-х2
сательных, проведенных к графику функции у =—-— из точки М(4; 3)..
6
6.	Найдите все значения а, при которых система уравнений
log2y-log2(a-x) = l,
x(j^ + l) = 8
имеет два различных решения.
7.	В сферу радиуса R вписана пирамида ТАВС, основанием которой слу-
жит прямоугольный треугольник АВС, а высота пирамиды совпадает с
ребром ТА. Боковое ребро ТВ образует с высотой пирамиды угол 60°, а
угол между ТВ и медианой основания CD, проведенной к гипотенузе АВ,
равен 45°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через медиану CD и пересекающей ребро ТВ?
377
Вариант 12
1.	Двое рабочих, работая вместе, выполнили заказ за 20 дней. За сколько
дней выполнил бы заказ каждый из них в отдельности, если известно, что
первый должен работать на 9 дней больше второго?
2.	Найдите все корни уравнения sin3x + cosx + sinх = 0, принадлежащие
л
промежутку —; л
(	(4111
3.	Решите уравнение l + log3l——I -logx3=f.
Л D	8-7-2^
4.	Решите неравенство ---==—<2 .
2_2Vx
5.	Какая наименьшая сумма квадратов сторон может быть у прямоуголь-
ника, стороны которого параллельны осям координат, одна вершина сов-
падает с точкой Л/(-8; 2), а противолежащая вершина находится на гра-
х2
фике функции у = — ?
6.	Укажите все значения а, при которых система уравнений
Гу =| х-2|,
|ax-j> + l = 0
имеет единственное решение. Найдите эти решения при каждом а.
7.	В сферу вписана правильная треугольная пирамида ТАВС, у которой
центр сферы делит высоту в отношении 3:1, а расстояние между медиа-
ной грани АТС и медианой СК основания АВС равно 2. Найдите пло-
щадь сферы.
378
Вариант 13
1.	Поезд вышел из пункта А в пункт В, расстояние между которыми
342 км. Через 1 ч навстречу ему из пункта В вышел второй поезд, прохо-
дивший в час на 9 км больше, чем первый. Определите скорость каждого
поезда, если они встретились на расстоянии 162 км от пункта В.
2.	Укажите все значения х, при которых функция у = 2 + sinx-cos2х
принимает наибольшее и наименьшее значения. Найдите эти значения
функции.
3.	Решите уравнение 3-3lgv -xlg3 =18 .
4. Решите неравенство log3
Зх
Зх + 2
<1.
5.	Трапеция ABCD с основанием АВ = 2 , CD = 5 и h = 4 разбивается на
две части прямой, проходящей через вершину А и пересекающей основа-
ние CD. Какое наименьшее значение может иметь сумма квадратов пло-
щадей этих частей?
6.	Укажите все значения а, при которых уравнение
21х—19|х|	,	,2
-----11 = а + (х + а) имеет единственное решение.
Найдите эти решения для каждого значения а .
7.	В правильной четырехугольной пирамиде TABCD с высотой, равной
2/9, и стороной основания, равной л/2 , проведена плоскость, проходя-
щая через медиану ВМ боковой грани ТВС и параллельная апофеме ТК
боковой грани TAB. На каком расстоянии от этой плоскости находится
апофема Т1С!
3#
Вариант 14
1.	Двумя насосами, работающими одновременно, можно выкачать воду
из бака за 45 мин. Если 90% воды выкачать одним насосом, а затем ос-
тавшуюся часть другим, то вся работа займет 1 ч 12 мин. За какое время
может выкачать воду каждый насос?
2.	Решите уравнение 2-41+sinv + 41~s,nA =33.
3.	Решите уравнение 31+^ +27 = 82з/з^ .
х3+27 2х-9
4.	Решите неравенство ——— > —-—.
8	2
5.	Дано уравнение у + —= log2(8x-x ).
Найдите экстремумы функции, стоящей в левой части уравнения. Дока-
жите, что уравнение имеет единственное решение. Найдите это решение.
6.	При каких значениях а, система уравнений
(	| х | |х-3й
j = log2 2+^—i+J---,
	у X х-5 )
(х-3)2 +(j’-a-l)2 = 25
имеет единственное решение? Найдите эти решения при каждоМзнйче-
нии а.
7.	В правильной четырехугольной пирамиде TABCD с высотой, равной 1,
и стороной основания, равной 7/з/б , проведена плоскость, проходящая
через апофему 77С боковой грани TAB и параллельная медиане ВМ боко-
вой грани ТВС. На каком расстоянии от этой плоскости находится апо-
фема ВМ1
380
Вариант 15
1.	В зубчатой передаче меньшая из шестеренок делает в минуту на 90
оборотов больше, чем другая, а время, за которое каждая из них делает 9
оборотов, отличается на 1 с. Сколько оборотов делает каждая шестеренка
в минуту?
2,	Решите уравнение V2sin2x + cosx = 0. Укажите его корни, лежащие в
промежутке
Зя _ л
~'2
3.	Решите неравенство logx(б4 — 112х+49х2)<Ь.
. п	х + бд/х-7
4.	Решите неравенство --?=----> х -13 .
л/х -1
5.	На плоскости XOY прямые у = 2х и х = -1 пересекаются в точке В, а
прямая, проходящая через точку М (0;4), пересекает заданные прямые в
точках А и С. При каком положительном значении абсциссы точки А
площадь треугольника ЛВС будет наименьшей? Найдите эту площадь.
6.	Определите все значения параметра а, при которых уравнение
(х -1)2 = а(|х|- х -1) имеет два различных корня. Укажите эти корни для
каждого найденного значения а.
7.	Основанием пирамиды ТАВС служит равносторонний треугольник со
стороной, равной 8, а ее высота проходит через середину стороны осно-
вания АВ. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через боковое ребро ТА, если известно, что прямая, проходящая через
середину высоты пирамиды и середину стороны основания ВС, парал-
лельна секущей плоскости и находится от нее на расстоянии, равном 1.
381
Ответы к вариантам
экзаменационных билетов
Вариант 1.
1. По 40 дет. 2. х = (-1)" -L + ±1, п 6 z  3. {18}
4. Хб(0;1]. 5. А --
6.Ц-1; »)u{|}
з\
4J’ 4
a-l--Jl-2a-15a2
х =--------------
2а
а + 1-У1-2 а-15а^ 7 18 R2 (	}
2а	43
Вариант 2.	1.0,5 ч. 2. xi2 =± /(-1)‘*|- + лЛ ; к eN. 3. {2}. V	6 4. хе -^2; U 0;	. 5. 256 (кв.ед.). 6. а е {1}	у-]> x = a-yll-a2 , у = 1. 7. R2 (кв.ед.).
Вариант 3.	1.4 и 4 или 3 и 6 дн. 2. Кп; (-1/’’- + —l,«,AeZ. 3. х = 9. 1	6	2 J 4. х е (0; I)U(V2; оо). 5. Л(4;8), 10(кв.ед.)! 6. ae(-oo;-10)U(-2;-l) х=3±7-«-1- 7. 2^1 (кв.ед.).
Вариант 4.	1. 12 и 18 дет/ч. 2. I—+—; ±—+лН,«,AeZ. 18 4	6 J 3. х = 4. 4. х е j 0; - ]. 5. 32 (кв.ед.). 1 4)
6. ae(0; 1]U{2} х = а + \)2а-а2 . 7. л/б (кв.ед.).
382
Варианте. 1.20 мин. 2. х = (-1)”^- + ля, ие[0; х),
х = (-1)*'1 — + и к , к е (-оо; 0] (п, к е Z).
4
3. х = 2 . 4. х е 0;
1; — . 5. 256 (кв.ед.).
3
6. ae{-BU -—; —
' ’	2	2
x = a--yl-a2, У~1 
Вариант6> 1.5 км/ч. 2. J(-1)"2I + .^L neZ. 3.
4. хе 0;	U[4; оо). 5. 4(-2;1), А2\
6. а е (-oo;-2]U{2 } х = (2а-1) + 27
у = а + ^а2-а-2 . 7.	/?2 (кв.ед.).
Вариант?. 1. ип = 5 км/ч, ив = 15 км/ч. 2. (—1)" — + л«, neZ.
6
3. {1} . 4. х е [0; 9). 5. хе{-4; -3} .
6. ае[-5; 4)U{19|; при ае[-5;4)
х = а + 720-а , при а = 19 х = 18.
7. 2/^8+ 2Т6- •
Вариантв. 1.120 км. 2. max_y(x)=j^+2nnj = 3,
iriny(-v)=^(~l)* + '^+n^=^- 3. jlj. 4
21U{3,5; 6} -
5. 2 (кв.ед.). 6. а е
7. 24я/' (кв.ед.).
383
Вариант 9. 1.28 и 21 дн. 2. L—•	1.3. (9}.
I 6	4	2]	’
ж
4. xe(-l; O)U(1; 2). 5. 22. 6. ае -
2а + л/2(10-а) у = О'
5 „
при ае —; 2
L 2 ) "	2
при a~~Y х = 9, у = 0. 7. 4(2д/з + Уб (кв.ед.).
Вариант 10. 1.4 и 12 дн. 2.	з. {100}.
[5	5 3	3 J 1 J
4.	хе(-эо; 2). 5. 3-Уз (кв.ед.). 6. а е (-3; 0]U[5;6);
при ае(-3;О] х = 1 -у/24+2а-а2 , у - 1,
при а е[5;б) х = -1 + У16 + 6а-а2 , у = 3 .
7.	АС = 2, ВС =3.
Вариант 11. 1.42 км. 2. тах^(х)=у(2л«)=2+\/з ;
( 5л _	1
rain v(x) = v ±—+2nk =-
А 6	) 4
( 7
5.	15 (кв.ед.). 6. ael—;
8 1.7.	(кв.ед.).
Вариант 12. 1.45 и 36 дн. 2. /£• 21- 1111.. з. ]з}.
(2 ’ 12’ 12 J
4.	х e(0;l)U(9;oo). 5. 40 (кв.ед.).
6.	а е (-оо;- 1)U	U [1;00);
при а е (-oo;-l)U[l;°°) х = ——, у = 22211;
а + 1 ’ а + 1
при а = -± х = 2, у = 0. 7. 60л (кв.ед.).
Вариант 13. 1.45 и 54 км/ч. 2. таху = у^1+2л^=-3,
miny=y| (-1)" !1+лл|=-. 3.100.
V 6)4
384
4. X6(-ao;-l)U(0;oo). 5.98. 6. fle(-5; 4]U{20}
x=-a-T20-a. 7. Д. (кв.ед.).
Вариант 14. 1. Первый - за 1 ч, второй - за 3 ч.
2.	(— + 2л А), к е Z . 3. 36.
1.2
указание'.
4.	xe(-6;-3)U(-3;0)U(3;oo).
5.	minf(x) = /(4) = -4, max/(х) = /(-4) = 4, х = 4;
л е (0; 8),
/(л)>/(4) = 4, => /(4) = g(4).
gU)Sg(4) = 4
6.	а е (-5;-4)U (-4; 4]U[5; 6);
при а е(-5; -4) х = 3-725-а2, у ~ 1,
при ае(—4; 4]U[5; 6) х = 3 + з/24 + 2а-я2 ,
э , 21
у-2. 7. — .
13
Вариант 15. 1. 180 об/мин и 270 об/мин.
2.	(±—+ 2лЛ, keZ,
I 4 J 144]
3.	(0;l)u[\~|. 4. [0;l)U(l;25).
5-	х = 1, Sm.,. = 1 (кв.ед.).
6.	а е (-«;!) , при ае(-оо;-1)
х, = 1 + \f-a , х2 = а+1-у[а1 + а ,
прийе[-1;1) х12=1±\ра.
- 32^5 .	.
7.	—-—(кв.ед.).
W5

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Васильев А.В., Заз А.И. Математика. Сборник задач для посту-
пающих в вузы с примерами решения экзаменационных билетов. - М.:
Учебный центр «Ориентир» при МГТУ, 2001. - 106 с.
2.	Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов:
учеб, пособие. - М.: Просвещение, 1992. - 271 с.
3.	Говоров В.М и др. Сборник конкурсных задач по математике
с методическими указаниями и решениями: учеб, пособие. - М.: Наука,
1986.-384 с.
4.	Горнштейн и др. Задачи с параметрами. - Киев: Евроиндекс,
1995.-336 с.
5.	Дорофеев Г.В. и др. Математика. Для поступающих в вузы.
Пособие. - М.: Дрофа, 2000. - 560 с.
6.	Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл.
Пособие для учителя./Л.И. Звавич и др. - М.: Просвещение, 1996. - 96 с.
7.	Зив Б.Г. Задачи по алгебре и началам анализа от простейших до
более сложных. Учеб, пособие. - C-Пб.: Мир и семья, 1997. - 320 с.
8.	Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа.
Учеб, пособие. - М.: Просвещение, 1995. - 176 с.
9.	Кущенко В.С. Сборник конкурсных задач по математике с реше-
ниями. -Л.: Судостроение, 1966. - 591 с.
10.	Литвиненко В.Н. Стереометрия в типовых задачах: книга для
учителя. - М.: Школа-пресс, 1995. - 320 с. (Библиотека журнала «Мате-
матика в школе»),
11.	Материалы вступительных экзаменов. Задачи по математике и
физике. - М.; Бюро Квантум, 1993. - 320 с. (Приложение к журналу
«Квант». Вып. 1).
12.	Назаренко А.М., Назаренко Л.Д. Тысяча и один пример: равен-
ства и неравенства. Пособие для абитуриентов. - Сумы: Слобожанщина,
1994.-272 с.
13.	Полонский Б.В. и др. Учимся решать задачи по геометрии.
Учеб.-метод. пособие. - Киев: Магистр-S, 1996. - 256 с.
14.	Потапов М.К. и др. Математика для абитуриентов. Учеб, пособие
для поступающих в вузы и старшеклассников. - М.: Русское слово, 2001.
-352 с.
387
15.	Родионов /НЛО Математика. Решение задач с параметрами.
Пособие для поступающих в вузы. - М.: Учебный центр «Ориентир» при
МГТУ, 2001.-272 с.
16.	Русанова О.В. Пособие по математике для поступающих в вузы.
- М.: Учебный центр «Ориентир» при МГТУ, «Светоч Л», 1998.-216 с.
17.	Шарыгин И.Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для
школьников и поступающих в вузы. - М: Дрофа, 1999. - 304 с.
18.	Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии; 5 000
тысяч задач с ответами. - М.: Астрель. ACT, 2001. - 400 с.
19.	Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение
задач. Учеб, пособие для 10 кл. средних школ. - М.: Просвещение, 1989.
-252 с.
20.	Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по матема-
тике: решение задач. Учеб, пособие для 11 кл. средних школ. - М.: Про-
свещение, 1991.-384 с.
388
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие..........................................3
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. МНОГОЧЛЕНЫ
1.	Простейшие операции и преобразования..............5
Операции над множествами..........................5
Арифметичесеские вычисления.....................  6
Преобразования алгебраических выражений...........6
2.	Уравнения, неравенства, системы первой
степени и сводящиеся к ним..........................10
Уравнения........................................10
Системы уравнений................................14
Линейные неравенства. Совокупности и
системы неравенств...............................16
3.	Уравнения, неравенства, системы второй
степени и сводящиеся к ним..........................23
Квадратные уравнения и уравнения, к ним приводимые.23
Уравнения высокой степени, приводимые к квадратным.23
Квадратные уравнения. Теорема Виета..............24
Квадратные уравнения при особых условиях.........29
Квадратные неравенства с параметром..............38
4.	Системы нелинейных уравнений.....................43
5.	Уравнения высших степеней........................47
6.	Рациональные неравенства и системы
неравенств..........................................50
7.	Текстовые задачи.................................54
Задачи на движение...............................54
Задачи на совместную работу и планирование.......56
Задачи на зависимость между компонентами
арифметических действий........................61
Задачи на проценты...............................62
Задачи на сплавы и смеси.........................64
8.	Задачи на прогрессии.............................67
9.	Уравнения и неравенства с модулем................70
Уравнения с модулем..............................70
Системы уравнений с модулем......................78
Неравенства и системы неравенств с модулем.......87
389
10.	Иррациональные уравнения, неравенства,
системы...............................................102
Иррациональные уравнения..........................102
Иррациональные неравенства........................108
Иррациональные системы............................116
11.	Тригонометрия....................................120
Основные понятия..................................120
Основные тригонометрические формулы...............123
Тригонометрические функции и свойства.............125
Свойства обратных тригонометрических функций.......127
Тригонометрические уравнения и неравенства........129
Тригонометрические уравнения.................. 129
Системы тригонометрических уравнений.......... 138
Тригонометрические неравенства. Системы
неравенств.................................. 141
12.	Первоначальные сведения о функциях...............144
Классификация функций.............................144
.Общие свойства функций.................................
Метод математической индукции.....................146
13.	Прогрессии.......................................148
14.	Преобразование графиков функций..................152
15.	Предел функций. Непрерывность....................173
Понятие предела и непрерывности. Свойства.........173
16.	Асимптоты графика функции........................178
17.	Производная. Приложения производной..............183
Понятие о производной, ее вычисление..............183
Задачи на вычисление производных........... 185
Геометрический смысл производной. Касательная.
Нормаль.........................................195
Вычисление угла наклона касательной........ 195
Составление уравнения касательной к графику функции
при заданной абсциссе точки касания...... 195
Составление уравнения касательной к графику функции,
если абсцисса точки касания не задана в явном виде... 196
Вычисление площади треугольника, образованного
касательными................................201
Уравнение общей касательной.................206
Различные задачи............................207
18.	Теоремы о производной. Монотонность.
Экстремум. Выпуклость. Перегиб........................217
390
19.	Исследование функции и построение графика.......223
20.	Наибольшее и наименьшее значения функции
па промежутке......................................236
21.	Экстремальные задачи............................246
Задачи на экстремальные расстояния. Уравнение
нормали к графику функции.....................247
Примеры решения задач с экстремальным
содержанием..............................253
Другие экстремальные задачи......................258
22.	Уравнения, неравенства, задачи с параметром.....272
Алгебраические (степенные) уравнения.............272
Трансцедентные уравнения с тригонометрическими
функциями.....................................273
Трансцедентные уравнения с логарифмической
или показательной функциями...................275
Задачи с параметром..............................277
23.	Логарифмические и показательные уравнения,
неравенства, системы...............................287
Преобразования логарифмических выражений.........287
Показательные уравнения..........................295
Показательные неравенства........................306
Логарифмические уравнения и системы..............313
Логарифмические неравенства......................327
Системы уравнений................................337
24.	Стереометрия....................................342
Сечения многогранников...........................342
Угол между прямой и плоскостью. Угол между
плоскостями...................................346
Расстояние от точки до плоскости.................350
Расстояние и угол между' скрещивающимися прямыми.352
Экстремальные задачи.............................354
Разные задачи....................................360
25.	Варианты экзаменационных билетов................367
Использованная литература...........................387
391
Учебное издание
Ляпин Александр Александрович
Родионов Евгений Михайлович
Синякова Стелла Леонидовна
МАТЕМАТИКА
Сборник задач
Редактор Бойцова Н.Г.
Корректор Максимова О.К.
Художник Черных П.И.
Компьютерная верстка Семенов И.А.
Подписано в печать 27.06.2006 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетйЙ®
Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 24,5.
Учебный центр «Ориентир» при МГТУ им. Н.Э. Баумана
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.
www.bmstu-orientir.ru
Учебный центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана
МАТЕМАТИКА
ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
СБОРНИК ЗАДАЧ
Учебный центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана
приглашает учащихся 9-х, 10-х и 11-х классов на
Подготовительные курсы. Занятия по подготовке к
поступлению в МГТУ им. Н.Э.Баумана проводятся
по физике, математике, русскому языку и
литературе.
Формы обучения: очная, заочная, очно-заочная.
Справки по телефонам: 263-64-22, 263-6164.
Адрес: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5, ауд.201-а
www.bmstu-orientir.ru