Автор: Доброва О.Н.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика математический анализ задачи по математике
ISBN: 5-09-007091-1
Год: 1996
Текст
О.Н. Доброва
Задания по алгебре
и математическому
анализу 1
О. Н. Доброва
—— —я;———вви—-в—два————е—g—-—И
Задания по алгебре
и математическому
анализу
Пособие для учащихся 9-11 классов
общеобразовательных учреждений
Рекомендовано Главным управлением развития
общего среднего образования Министерства
образования Российской Федерации
Москва “Просвещение” 1996
УДК 373.167.1
ББК 22.14я72
Д 56
Рецензенты:
заслуженный учитель России Л. И. Звавич,
заслуженный учитель России Е. С. Смирнова
Доброва О. Н.
Д 56 Задания по алгебре и математическому анализу: Пособие
для учащихся 9-11 кл. общеобразоват. учреждений.-М.:
Просвещение, 1996. - 352 с.: ил. - ISBN 5-09-007091-1.
Пособие содержит хорошо продуманную систему упражнений по каж-
дой теме алгебры и математического анализа. Большой объем различных
заданий поможет полнее изучить любую тему. Многовариантность каждо-
го задания позволит всем учащимся дать индивидуальное упражнение. В
конце книги автор предлагает тексты экзаменационных работ выпускных
экзаменов в 11 классах.
Пособие можно использовать как для совместной работы ученика и
учителя, так и для самостоятельного изучения.
4306020000 - 560 План выпуска 1996 г ( №188 ББК 22.14я72
103 (03) - 96 +22.161Я72
ISBN 5-09-007091-1 © Издательство “Просвещение”, 1996
Все права защищены.
ДОРОГИЕ РЕБЯТА!
Каждый из вас не может не согласиться с тем, что, не решая
самостоятельно задач, математику усвоить нельзя, что, только
“пропустив через себя” всю систему упражнений курса математи-
ки средней школы, а еще лучше курса ее углубленного изучения,
можно быть уверенным в своих знаниях и надеяться на успех в
дальнейшей деятельности, связанной с математикой.
Эта книга именно для того и предназначена, чтобы вырабо-
тать у вас умение и привычку самостоятельно решать задачи,
причем в большом объеме и в течение длительного времени.
Экспериментальные и опытные проверки данной книги, про-
ходившие, начиная с 1989 года, в классах ряда школ Российской
Федерации постоянно, из года в год, подтверждают то,что учащи-
еся, окончившие эти классы, не только уверенно сдают экзамены
в вузы, но и, очень легко адаптировавшись в новых условиях,
успешно продолжают там учиться.
Упражнения данного пособия охватывают полностью весь ма-
териал программ по алгебре и началам математического анализа
для средней школы, для классов с углубленным изучением мате-
матики, а также для классов физико-математического профиля.
Институтом общего образования Министерства образования
Российской Федерации с 1988 г. проводился эксперимент, а за-
тем и опытное внедрение профильно-ориентированного обучения
по физико-математическому направлению.
Лаборатория математического образования института разра-
ботала программу,опубликованную в еженедельном приложении
“Математика” (1994. - № 34-35) к газете “Первое сентября”. В
ней ставилась цель с помощью особого вида занятий-практику-
мов вовлечь учащихся в процесс приобретения ими математичес-
кого образования. На таких занятиях они в процессе решения
задач не только вырабатывают умение с ними справляться, но
также углубляют и систематизируют свои знания по предмету,
развивают математическое мышление и приучаются к длитель-
ной умственной самостоятельной работе и тем самым подготавли-
вают себя к учебе в вузе.
В соответствии с программой практикумы для учащихся IX-
XI классов проводятся один раз в неделю во второй половине дня
(вне основной сетки часов). Длительность занятия для каждого
ученика в среднем 1,5 - 2 ч.
На каждом занятии учащийся получает от учителя указание,
какой именно подпункт задания с определенным номером он дол-
жен выполнить. Все присутствующие на занятии учащиеся полу-
чают различные подпункты данного задания. После самостоятель-
ного выполнения полученного задания ученик вместе с учителем
проверяет правильность своего решения. Если ученик затрудня-
ется выполнить указанное задание, то учитель дает ему необхо-
димые пояснения сам или привлекает для этого другого ученика,
3
уже выполнившего аналогичное задание. В качестве контрольно-
го задания в этом случае первому ученику предлагается выпол-
нить еще один подпункт задания с прежним номером.
Задания даются постепенно (по одному) по мере их выполне-
ния учащимся и последующего контроля учителем правильности
выполнения. Записи решений при этом могут быть черновыми,
но правильными.
На каждом занятии учащийся самостоятельно выполняет не
менее 5-6 заданий. (В конце практикума 1 для X класса помещен
примерный набор таких заданий.) Оценки на занятиях не ставят-
ся, но каждый выполненный практикум в журнале отмечается
знаком “+” . Домашнее задание не дается. Если учащийся про-
пустил практикум, то он обязан его отработать во время последу-
ющих занятий. К концу каждого из полугодий у учащегося в
журнале должно накопиться столько плюсов, сколько в этом
полугодии проводилось практикумов, и только тогда ему выстав-
ляется “зачет”. В начале учебного года учащемуся необходимо
сообщить, что без этих зачетов к весеннему экзамену его не до-
пустят.
Данное пособие можно также использовать для самостоятель-
ных занятий. При этом следует выполнять задания в той после-
довательности, в какой они представлены в практикуме, рассмат-
ривая в каждом отдельном номерном задании по одному (любо-
му) подпункту. Последовательность выполнения заданий лучше
не нарушать, потому что так с ними легче справиться, поскольку
сложные задания, как правило, предваряются наводящими на их
решение простыми.
При выполнении практикумов второго полугодия X класса всем
учащимся рекомендуется использовать справочный теоретичес-
кий материал, имеющийся в разделе “Приложения”.
Тематическая последовательность представленных в пособии
практикумов соответствует планированию материала в указан-
ной выше программе. Первые шесть занятий-практикумов IX
класса относятся к первому разделу тематического планирования
этой программы: “Повторение и углубленное изучение”. На каж-
дом из последних двух практикумов XI класса учащемуся пред-
лагается выполнить по одному из вариантов экзаменационных
работ, которые проводились в 1988-1992 годах в школах Россий-
ской Федерации в классах с углубленным изучением математи-
ки.
В данном учебном пособии приводятся также тексты экзаме-
национных работ, по которым проводились выпускные и перево-
дные экзамены в школе N 367 Москвы (ныне гимназия “Школа
Ломоносова”) и в лицее N 11 Челябинска, в которых ведется
обучение по физико-математическому направлению.
Итак, дорогие ребята, начинайте решать задачи и не сворачи-
вайте с этого пути!
Желаю успеха!
4
IX класс
Квадратный трехчлен,
квадратные уравнения
1. Сделайте “разминку”, ответив на 19 вопросов теста, выби-
рая данные для вопросов постоянно из одного и того же столбца.
1) Какие из трех чисел являются корнями данного трехчлена?
а б в г
0; 1; 3 0; 1; 5 0; 1; 6 - 1; 0; 3
х2-4х + 3 х2-6х + 5 х2-7х + 6 х2-2х-3
2) Укажите множество решений уравнения,
а б в
х2-4х + 3 = 0 х2-6х + 5 = 0 х2-7х + 6 = 0
г
х2 - 2х-3 = 0
3) При каких значениях х будут равны нулю значения функции?
а б в г
у = х2-4х + 3 у = х2-6х + 5 i/ = x2-7x + 6 у = х2-2х-3
4) Назовите координаты точек пересечения графика данной фун
кции с осью абсцисс и осью ординат,
а б в
z/ = x2-4x + 3 z/ = x2-6x + 5 у = х2 -7х + 6
5) Найдите корни данного уравнения,
а б в
(х-1)(х-3) = 0 (х-1)(х-5) = 0 (х-1)(х-б) = 0
6) Разложите на множители данный трехчлен,
а б в
z/ = x2-4x + 3 у = х2 - 6х + 5 i/ = x2-7x + 6
7) Совпадают ли графики двух данных функций?
а
2 . о
у = х - 4х + 3
у = (х - 1)(х - 3)
2 ~ э
у = х -2х-3
г
(х + 1)(х - 3) = 0
г
2 ~ п
у = х - 2х - 3
г
у = X2 -2х-3
z/ = (х + 1)(х^3)
б
у = х2 -6х + 5
У =
у = х2 -1Х + 6
1/= (х-1)(х-б)
6
8) Какое название имеет график каждой из двух функций?
а
2 л п
у = х - 4х + 3
у = (х - 1)(х - 3)
б
у = х2 - 6х + 5
У = {х - l)(x - 5)
В
у = х2 -7х + 6
у = (х-1)(х-б)
г
у = х2 -2х-3
у = (х + 1) (х - 3)
9) Имеет ли парабола ось симметрии?
10) Симметричны ли точки А и В относительно оси симметрии
графика данной функции?
а б в г
А(1; 0) А(1; 0) А(1; 0) А(-1; 0)
В(3; 0) В(5; 0) В(б; 0) В(3; 0)
у = х2 -4х + 3 2 , _ у = х - 6х + 5 у = х2 - 7х + 6 у = х2 -2х-3
11) Каково уравнение оси симметрии графика каждой функции?
а б в Г
у = х2 -4х + 3 у = х -6х + 5 2 -7 . Г у = х - 7х + 6 у = х2 - 2х + 3
у = (х-1)(х-3) у = (х - 1)(х - 5) У = (х - 1)(х - 6) i/ = (x + l)(x-3)
12) Назовите абсциссу вершины параболы.
а б В г
У = (х-О(х-З) У = (х-\)(х-5) У = (х-\)(х-б) У = (х + 1)(х-3)
13) При каком значении х данная функция принимает свое на-
именьшее значение?
а б в г
у = х2-4х + 3 у = х2-6х + 5 у = х2-7х + 6 у = х2-2х + 3
14) При каких значениях х данная функция возрастает?
а б в г
z/ = x2-4x + 3 z/ = x2-6x + 5 у = х2-1х + 6 у = х2-2х + 3
15) При каких значениях х данная функция убывает?
а б в г
у = (х-1)(х-3) у = (х - 1)(х - 5) !/ = (х-1)(х-6) у = (х + 1)(х - 3)
16) Какое из двух значений предыдущей функции больше?
а б в г
у(-7,9), у(-9,7) </(4,3), у(3(4) у(2,з), у(з,2) </(-2.7), </(о,7)
17) Какое из двух значений прежней функции меньше?
y(-17); j/(19) у(-12); у(17) j/(-21); у(29) у(-Зб); у(37)
18) При каких значениях х данная функция принимает положи-
тельные значения?
а б в г
z/ = x2-4x + 3 i/ = x2-6x + 5 z/ = x2-7x + 6 у~х2-2х + 3
19) При каких значениях х данная функция принимает отрица-
тельные значения?
у = (х - 1) (х - 3) у = (х - 1) (х - 5) у = (х - 1) (х - 6) у = (х + 1)(х - 3)
7
2. Не находя значений функции у = f (х), расположите ее ука-
занные значения в порядке возрастания, если:
а) /(х) = (х + 2) (4 - х), у (-5,7), «/(0,3), у(1,3), у (7,2);
б) f (х) = (2х - 5) (х - 5), у (-1,2), у (3,7), у (3,9), у (8,8);
в) /(х) = (Зх + 7)(3 - 2х), у (-3,5), «/(-0,9), «/(-0,8), «/(2,7);
г) /(х) = (х + 5)2 -4, «/(-17,2), «/(-5,4), «/(-4,7), «/(11,1);
д) /(х) = (7-2х)2 +1, «/(-11,8), «/(2,8), «/(4,3), «/(18,5);
е) Г(х) = 3 - (2х + I)2, «/(-21), «/(-0,9), «/(-0,2), «/(19,8);
ж)/(х) =(8 - 5х)2 + а, «/(-16,5), «/(0,5), «/(2,71), у (19,6);
з) / (х) = х2 - 10х + а, «/(-21), у (4,8), у (5,3), у (30);
и) /(х) = а - Зх - 2х2, у (-9,3), «/(-0,91), г/(-0,б), «/(10,9);
к) /(х) = а - (3 - х)(б - х), «/(-17,7), «/(3,9), «/(5,2), «/(26,6).
3. Составьте приведенное квадратное уравнение с рациональ-
ными коэффициентами, один из корней которого равен:
а) 1-V2; г) 1 + 277; ж) 1 2 - 7з ’ к) (5-277)2;
б) л/з+2; д) -з77; 3) 3 2 + 77’ л) (2-Тз)3.
в) 7з -1; е) 2 т и) (з + 77)2;
4. Составьте простейшее квадратное уравнение вида х2 = а,
для которого хг является корнем, если:
а) хг = (77 - 77)д/5 + 276;
б) хг = (77 - 2 77)715 + 4714;
в) Xi = (З - 710)719 + б710;
г) xj = (277 - 3)717 + 1277;
д) Xi = (Тб - 7б)7и + 27зо;
е) хг = (2 - 77)79 + 475;
ж) Xj = (2 - Тб)710 + 47б;
з) xt = (З - 77)715+ б7б;
и) хг = (1 - 77)76 + 275;
к) Xi = (711 - 27з)723 + 4ТЗЗ.
Является ли хг рациональным числом? Если является, то най-
дите его.
8
5. а) Запишите какое-либо приведенное квадратное уравнение
с отрицательным свободным членом. Не вычисляя его корней хг
и х2, определите:
1) xf +х2; 2) х’1 2 +х22; 3) xf + xf;
4) х^3+х23; 5) х4 +х2; 6) Xj4+x24;
7) х25 • х2 + х* • х2; 8) х2 • Xi + х4 • х2.
б) Запишите какое-либо приведенное квадратное уравнение,
имеющее различные положительные корни хг и х2. Выразите
через коэффициенты этого уравнения:
1) + 7*7;
2) х2Т*Г +
3)
Х1 + х2
в) Пусть приведенное квадратное уравнение с заданными ко-
эффициентами имеет корни хг и х2. Составьте второе квадратное
уравнение и найдите зависимость его коэффициентов от коэффи-
циентов первого уравнения, если второе уравнение имеет корни:
1) 0,2хх и 0,2х2 ; 2) хг + Т3х2 и 43хх + х2;
3) — и —; 4) xf и х|;
х2 хг
1 1 Х2 *1
5) Xi + — и х2 + —; 6) хг + — и х2 + —;
Х1 х2 Х1 х2
7) х2 + х2 и х3 + х3.
6. В какой системе счисления:
а) число 51 запишется как 123;
б) число 121 запишется как 321;
в) число 157 запишется как 235;
г) число 353 запишется как 541;
д) число 182 запишется как 132;
е) число 350 запишется как 252;
ж) число 7 запишется как 111;
з) число 75 запишется как 135;
и) число 276 запишется как 543;
к) число 69 запишется как 234?
Практикум 2
Квадратные уравнения
с параметрами
1. Какая взаимозависимость существует между корнями двух
квадратных уравнений, где a, b, с, р, q не равны 0:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
3)
и)
к)
х1 2 + рх + q = 0
ах2 + Ъх + с = О
х2 + рх + q = О
ах2 + Ъх + с = О
ах2 + Ъх + с = О
ах2 + Ъх + с = О
ах2 + Ъх + с = О
ах2 + Ъх + с = О
ах2 + Ъх + с - О
ах2 + Ъх + с = О
и х2 - рх + q = 0;
и ах2 - Ъх + с = 0;
и qx2 + рх + 1 = 0;
и сх2 + Ъх + а = 0;
и х2 + Ъх + ас = 0;
и ах2 + 2Ъх + 4с = 0;
и 4ах2 + 2Ъх + с = 0;
и ах2 + Ъ2х + Ъ2с - 0;
и асх2 + Ъх + 1 = 0;
и ах2 + (Ь - 4а)х + 4а - 2Ъ + с = О?
2. а) Какая зависимость существует между коэффициентами
уравнения:!) х2 + рх + q = 0, 2) ах2 + Ъх + с = 0, если один из
его корней равен: 1; -1?
б) Найдите корни уравнения ах2 + Ъх + с = 0, если:
1) а + Ъ + с - 0, 2) а - Ъ + с = 0.
в) Найдите наиболее рациональный способ решения квадрат-
ного уравнения:
1) х2 + Ъх - Ъ - 1 = 0;
3) х2 - (с + 1)х + с = 0;
5) 17х2 - 19х + 2 = 0;
7) 125х2 + 127х - 252 = 0;
9) (а2 + b2\x2 + (а + &)2х +
2) х2 + Ъх + Ъ - 1 = 0;
4) х2 + Ь(х-1)-1 = 0;
6) 39х2 + 48х + 9 = 0;
8) 376х2 + 47х - 329 = 0;
= 0;
10) [а2 + Ъ2^х2 - 2аЪх - (а + b)2 = 0;
11) аЪх2 + {а2 + ЗаЪ + Ъ2^ х + (а + Ъ)2 = 0;
12) (а3 + &3)х2 - За&(а + &)х - (а + &)3 = 0;
13) (а - б)3х2 - а2 (а - 3b)x + Ъ2 (Ъ - За) = 0;
14) Ъ^Ъ2 + За2 jx2 - (Ъ - а)3х - а{а2 + ЗЪ2) = 0.
10
3. а) Найдите не равные 0 коэффициенты р и q данного квад-
ратного уравнения, если его корни равны этим коэффициентам:
1) х2 + рх + q = 0;
3) 7х2 - рх - q = 0;
5) 0,2х2 + рх + q = 0;
1 9
7) — х + рх + q = 0;
9) рх2 + 5х + q = 0;
2) 5х2 + рх + q = 0;
4) 0,5х2 + рх + q = 0;
6) 1,2х2 + рх + q = 0;
1 9
8) — х - рх + q = 0;
10) рх2 - 0,5х + q = 0.
б) Считая параметр а заданным числом в квадратном уравне-
нии ах2 + Ьх + с = 0, найдите Ь и с, если известно, что Ь и с -
корни этого уравнения.
в) Считая параметр Ь заданным числом в квадратном уравне-
нии ах2 + Ьх + с = 0, найдите а и с, если известно, что а и с -
корни этого уравнения.
4. а) Имеет ли квадратное уравнение относительно х действи-
тельные корни при любых значениях параметров а, 6, с, если:
1)х2 - 4ах + а2 - Ь2 = 0; 2) 2х2 + 2(а + &)х + &с + са- 0,5с2 = 0;
3) (х - а)(х - &) = с2 ; 4)(х-а)(х-д) = с2(2х-а);
5)(х-а)(х-&) + (х-&)(х-с) + (х-с)(х-а) = 0;
6) а(х-&)(х-с) + &(х-а)(х-с) + с(х-а)(х-&) = 0?
б) Имеет ли квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 действитель-
ные корни, если с(я + Ь + с)<0?
в) Имеет ли квадратное уравнение
(a2 +b2 + с2)х2 + 2(а + д + с)х + 3 = 0
действительные корни, если а Ф Ь Ф с?
г) Имеет ли квадратное уравнение а2х2 + (а2 + с2 - Ь2^х + с2 =
= 0 действительные корни, если а, Ь, с - стороны треугольника?
д) Имеет ли хотя бы одно из уравнений х2 + Ьх + с = 0 и
х2 + рх + q = 0 действительные корни, если Ьр = 2 (с + д)?
е) Докажите, что если уравнение х2 +2х + с + 1 = 0 имеет дей-
ствительные и различные корни, то уравнение
(2 - с)х2 + 2 (с + 2)х + с2 + с + 2 = 0
действительных корней не имеет, и обратно.
5. При каких значениях параметра а данное квадратное урав
нение:
а) имеет два различных действительных корня;
б) имеет один действительный корень;
в) не имеет действительных
1) Зх2 - ах + 6 = 0;
3) ах2 - 7х + а = 0;
5) ах2 + 16х - а2 =0;
7) х2 + а2х + а3 = 0;
9) — х2 + (а + 1) х + а = 0;
Z» '
корней,если:
2) ах2 + ах + 7 = 0;
4) 0,5х2 + ах + а = 0;
6) х2 - ах + а3 = 0;
8) х2 - а2х - 2а = 0;
10) -X2 +(а-2)х + а = 0?
6. Решите данное квадратное уравнение относительно х в за-
висимости от параметра а:
а) —-—х2 - х + —-— = 0; в) (а2 - 9)х2 - 2ах + 1 = 0;
а + 1 а + 1 ' '
б) ах2 - (а - 2)х - 2а + 2 = 0; г) (9 - а2)х2 - 6х + 1 = 0;
д) (ах + lj2 - (а - х)2 + а2х2 - 4ах - а2 =0;
е) (х + а) - (1 - ах) + х2 - 4ах -1 = 0;
ж) ах2 + (7а + 4)х - 4 = 0;
з) (а - 2)х2 - 2ах + 2а - 3 = 0;
и) х2 + хл!а2 - 1 + а - 1 = 0;
к) х2 + хл/а2 + 2а + а = 0.
7. Решите уравнение, содержащее параметр а:
(х-1)(х-2)-(а-1)(а-2)
(х-а)(х-3)
(х + 1)(х - 3) - (а + 1)(а - 3)
(х + 2)(х-а)
в)
г)
(х + 7)(х-1) + а(8-а)
(х + а - 1)(х - 3)
(х + 2)(х - 3) - (а + 3)(а - 2) р
(х + 5)(х - а - 1)
х2 - 6х - а2 - 8а - 7
(х - 1)(х - 7 - а)
х - а 3 6а + 9
х + а + 3 х + а (х + а)(х + а + 3)
12
. 4 — a a + 6a + 8
*) -----о + ~2----- = 15
x - a + 2 x - ax + 2x
x a2 - 14a + 45
з)------=----------------;
x - a + 5 x2 - 4x - (a - 5) (x - 4)
. x2 - a2 8 2
и) 7--г;-----7 +-----+----= 0;
(x + 2)(x + 4-a) х + 4-a x + 2
„x 2(x-a) 6a+ 2 1
K) “ 9 2 ~ *
x-a+l x+x-a+a x + a
Практикум 3 Линейная функция.
Линейные уравнения
с параметрами
1. Сделайте “разминку”, ответив на 17 вопросов теста, выби-
рая функцию и данные для вопросов постоянно из одного и того
же варианта. 5 6
Вариант I II ш IV V
Функция У = 2х - 6 у = - 2х + 5 у = -2х - 8 у = 0,5х + 3 у = - 0,5х - 5
1) Как называется данная функция?
2) Найдите значения этой функции при х = 0, х = 1, х = -1.
3) Является ли число а значением функции при х = 2, если:
Вариант I и ш IV V
Число а - 2 1 - 12 4 - 6
4) Принадлежит ли графику функции: точка А; точка В; точ-
ка С, если:
Вариант I II III IV V
Координаты точки А(1; 4) B(-l; -8) С (2; -2) А(1; -3) В(-1; 7) с(2; 1) А(1; 10) в(-1; -6) С (2; -12) А(1; 4) в(-1; 2,5) С(2; 4) А(1; - 4,5) В (-1; - 4,5) С(2; -б)
5) Совпадает ли график данной функции с прямой:
а) АВ; б) ВС; в) АС?
6) При каких значениях х значение данной функции равно 0?
13
7) Назовите координаты точки пересечения графика функции
с осью абсцисс.
8) Назовите координаты точки пересечения прямой ВС с осью
абсцисс.
9) Назовите координаты точки пересечения прямой ВС с осью
ординат.
10) При каких значениях х значения функции больше нуля?
11) При каких значениях х функция принимает отрицатель-
ные значения?
12) Что больше: £/(^) или </(2д/2^?
13) Каково наибольшее значение функции на отрезке [0; 2
14) Каково наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 2
15) Найдите множество значений функции на отрезке [ - 1; 2 ?
16) При каких значениях х значения функции:
а) больше 10; б) меньше 10?
17) При каких значениях х множеством значений функции
является отрезок [ -10; 10 ] ?
?
?
2. Задайте функцию формулой, прямой АВ, где: если ее график совпадает с
а) А(0;-3), В(7; 0); d А(-2; 5), В(3; 2);
б) А(-5;0), В(0;-7); ж) А(3; 5), В(-7; -2);
в) А(1;-б), В(-6; 0); з) А (-4; 10), В(3; 4);
г) А(0; 4), В(-3;-2); и) А(0,5;-3), В(-2; -5);
д) А(-5;2), В(3;-5); к) А--; 7 |, 1 3 I В(1,5; -6).
3. При каких значениях k и b график функции у = kx + b:
а) не пересечется с прямой АВ;
б) будет иметь одну общую точку с прямой АВ;
в) будет иметь более одной общей точки с прямой АВ, если:
1) А(0; 2), В(-3; -3); 2) Л(1;3), В(-1; 7);
3) А(1; -10), В(-10; 12); 4) В(-2; -16);
5) А(10; 0), В(-2; -7); 6) Л(2; 5), В (-6; 10);
7) Л(1;-1), В(-2; -2); 8) В(-11;-1);
9) А(-в; - 6), В (1,5; 0,25); Ю) Л(1; 1). В (-0,5; -0,05)?
4. Изобразите параболу у = ах2 , где:
1) а = 1; 2) а = -1; 3) а = -$;
4) а = 3; 5) а = 0,5; 6) а = -0,25;
7) а = 0,75; 8) а = -~; 9) а = -1,5.
14
Отметьте на параболе точку А, и пусть х0 - абсцисса точки А.
На оси абсцисс отметьте точку В —; 0 . Проведите прямую АВ.
V 2 J S
Будет ли парабола еще иметь общие точки с прямой АВ1
5. Решите уравнение относительно х:
6х - За - а2
-----------= 1 + а;
ах
ч 5 - х 2ах - 3
в)------------------= 1;
ах - х ах
(а-3)(7-х) х-7
6-х 5 + 2а - 2ах - 2х
ах - а (а + 1)(х-1)
ч 2ах + 2х-3 5-х -ах
е)----------=----------
х + ах ах
ж) (а+ 4) 1-------------- = 4;
I (a + 3)(x + 3)J
х(а2 + 5а - 14) (а - 1)2 - х - 8ах + 8ах2
з) 1 + ---7-------7 = 1 ---------------9---’
(1 - х)(1 - 8ах) 1 - х - 8ах + 8axz
ч 1 + а + 4х - 2ах „ 5-х 6
и) = 1 +------------------------
х + ах ах а + а
. 1 + 6х 5 3-2х + 2ах а - 4
________________|______________—_____________|_____
(а2 - 5а + б)(х - 1) (3-а)(х-1) (2-a)(i-x) а~3
6. Некто регулярно в одно и то же время дня выходил из сво-
его дачного дома и шел одной и той же дорогой на железнодорож-
ную станцию к определенному поезду, следующему точно по рас-
писанию. Однажды он проходил этот путь с постоянной скоростью
4 км/ч и опоздал к поезду на 1\ м!инут, в другой раз он шел со
скоростью 5 км/ч и пришел раньше отправления поезда на Т2 ми-
нут. На каком расстоянии от станцци находился дом, если:
а) Л =5, Т2 =4; б)'7’1=6, 72=6;
г) Ti =4, Т2 =8; д) 7\ =2, 7’2 =10
ж) Ti =1, Т2 =5; з)7’1=3, 7’2=3;
к) Т\ = 10, Т2 =8?
в) Тг = 7, Т2=5;
е)Т\=1, Т2=11;
и) Тг =8, Т2 =10;
15
Система уравнений
1. Решите систему линейных уравнений, используя определи-
тели и правило Крамера или метод сложения:
a) j7x + 8z/ = -17, е) fl,5x — 5 г/= 0,1, ж) Г2 3
|9x + 6i/ = -24; |7x-30i/ = 0; \зХ~7У~~Ь’
|7х - 1,75у =-14;
б) 1бх + 5у =-29, д) |0,5х+’9г/= 2, з) [и. _ 7
[-Эх-25г/= 10; |2x-6i/ = -13; 112 * 18 У~ 4’3 * 5,
I 5
0,9х + —у = -0,2.
в) f3x-8i/ = 33, е) |1,5х - 5г/= 0,1,
[7х + бу = 40; |7х - 30г/ = 0;
2. Решите систему линейных уравнений графически и алгеб-
раически:
а) |х - 4у = -1, |0,25х-1/ = 1; г) fl,5x - 0,5г/= 1, ж) |3x-i/ = 2; 2х _£ = i 5 4 4х - 2,5 г/ = 5;
б) 2х + Зу = 2, д) [Зх + 4у = -4, з) -Зх - 2у = 12,
* в) 1 i/ = |(1-x); [5х - 2у = 3, [у = 0,5(5х - 3); е) < [0,75х + у = 1; + £ = .4 6 - + ^ = 1, 3 7 3,5х + 1,5г/= 10;
3. а) При каких значениях параметра а система линейных
уравнений имеет: одно решение; пустое множество решений; бес-
конечно много решений, если:
и \ах + 2у = а2 ,
;2х + ay = 4;
(2х + ау = 3,
\ах + 2у = а - 1;
, 12х + ау = 5,
ах + 8у = За + 2;
8х + ау = 5, _Лах-1/ = 1 + а, „ [ах - (4 - За)г/= 2,
ах + 2у = 0,5(а - 1); ' 19х - ау = 3 - а-, х - ау = -0,5;
7)
ах - у = 1,
(4 - За)х - ау = а;
8)
ах + 2у = 2а, lax + 7у = а,
Зх + (а + 1) у = За; ' |ах + (а + 3) у = а 7
б) При каких значениях параметра а две данные прямые бу-
дут: пересекаться, совпадать, параллельны, если:
1) ах + у = 2, х + ау = 4;
2) ах + у = 1, х + ау = 2 - а;
3) ах - у = -2а, х - ау = 2;
4) ах - у + 5а = 0, 4х - ау - 20 = 0;
5) 2ах + у + 6а = 0, х + 2ау + 3 = 0;
6) Зах + 2г/ = 6, 2х + — у = 2;
7) (а - 1) х + у = 7, 6х + ау = 7а;
8) (а + 1) х + Зу + а = 0, х + (а - 1) у - а = 0;
9) -Эх + ау + За2 =0, у = ах - а3 ;
10> 4х + а2г/ = 2, ау = 1-2x7
4. При каких значениях параметра а три данные прямые бу-
дут пересекаться в одной точке:
1) 4х - ау = а, х + у = а + 3, ах + ау = 4;
2) х + у = а + 3, ах - у = а2 - 3, у - х = а;
3) ах + ау = 4, ах - 2у = 4, х - 2у = а - 6;
4) ах + у = а + 2, х + ау = 1 + 2а, х - ay = 1 - 2а;
5) ах + у = 3 - 2а, х + ау = За - 2, х + у = 1;
6) ах + 2у = -а - 6, 2х + ау = -2 - За, у = 2х - 1;
7) ах + 2у = а-10, 8х + ау = 8-5а, i/ + 4x + l = 0;
8) ах - у = 1 - а, 4х - ау = а - 4, х + у + 2 = 0;
9) х + у + а = О, Зх + у = а, у + ах - 3 = 0;
10) 2х + у + а = О, х - у + 2а = 0, 2х + ау - 8 = 0?
5. Решите систему нелинейных уравнений, используя теорему
Виета:
а) [х2-у3=-2, г) fx + i/2=2, ж) fx3+i/3=7,
\х2у3 = 3; [ху2 +8 = 0; \ху = -2;
б) fx2+3y = -2, Д) (2х-у2=2, 3) |х3-у3=7,
[х2у = -1; (ху2 =4; [ху = 2;
в) /х2+Зу3=-2, е> Ькх-у2=2, и) (х3 + у3 = -7,
|х2у3=-1; (ху2 = 2; \ху = -2.
6. Перед выполнением основного задания 6 в) сделайте трени-
ровочные упражнения из пунктов а) и б).
17
a) He решая данные четыре системы уравнений, определите,
решение какой из них будет обладать свойством симметрии отно-
сительно: оси абсцисс; оси ординат; прямой У = х; прямой у = -х:
1х2 + ху + у2 =3, 2) (х2 + Ту3 = -з,
[х3 + у3 = 7; [у - 5х4 = -у4 ;
3) х3 - у3 = х2 у - ху2 , |2х2 - 7у4 = 1,
< (х + у)2 = 1; U3 + / =9.
б) Считая, что (а; &), где а *Ъ, а * О, Ъ ф 0 - решение каж-
дой из систем уравнений предыдущего пункта, назовите еще дру-
гие решения.
в) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
данная система уравнений имеет единственное решение:
1) (х2 + аху + у2 = а2 + 2а,
14 4 j 2
+ ху -I- у = 4 - а ;
2) (ху + а2 =9,
|х2 + у2 - а2 + 2а - 3;
3) (х + у = 2а,
[х2 + у2 = 5 - 9а;
(х + у)2 = 4 - а2 ,
х3 - у3 = 2а2 + 4а - 16;
4)
6)
(х - у)2 = а2 + За + 2,
х3 + у3 = 4 + 2а - 4а2 ;
1х + ау2 = 2а,
|ах3 - у4 = 9 - а2 ;
Т) (х2 - ау = а2 - 5а, 8) (у + ах2=2 + а,
]х21/ = а2 - 5а - 14; |х4 + у2 = а2 - 0,6а - 2,8;
9) (ах-у2=а2, 7 * * 10) (х2 + a)(i/2 - а) = 1,5а - 1,
(ху4 = а3 + а2 - 2а; ^2у2 + + у2) = 025 _ fl2
7. Решите задачу:
а) В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А на
притоке, идет вниз по течению 8 км до реки, затем по реке вверх
против течения до пристани В, затратив на путь от А до В 1 ч 48 мин.
После этого катер возвращается обратно (в пункт А) по тому же
пути и затрачивает на него 1 ч 30 мин. Каково расстояние от
пристани А до пристани В и какова скорость притока, если ско-
рость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость катера,
т.е. скорость катера в стоячей воде, равна 18 км/ч?
б) В озеро впадают две реки. Моторная лодка отплывает от
пристани А на первой реке, плывет 36 км вниз по течению до
озера, далее за 2 ч проплывает 19 км по озеру и 24 км по второй
реке вверх по течению до пристани В. На весь путь от А до В
затрачивается 8 ч. Найдите скорость течения каждой реки, если
скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем скорость
течения второй реки, и собственная скорость лодки постоянна.
18
в) В озеро впадают две реки. Лодка отплывает от пристани А
на первой реке, плывет 24 км вниз до озера, далее 2 ч плывет по
озеру и затем 32 км по второй реке против течения до пристани
В, затратив 8 ч на весь путь от А до В. Если бы лодка проплыла
по озеру еще дополнительно 18 км, то на весь путь от А до В она
затратила бы 10 ч. Скорость течения первой реки на 2 км/ч боль-
ше, чем скорость течения второй реки. Найдите скорость течения
каждой реки. (Собственная скорость лодки, т.е. скорость лодки в
стоячей воде, постоянна.)
г) В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани А на
притоке, идет вниз по течению 60 км до реки, далее по реке вниз
по течению 65 км до пристани В. Затем по тому же пути пароход
возвращается обратно, затратив 10 ч на весь обратный путь от В
до А. На путь от пристани А до реки пароход тратит 3 ч 45 мин.
Скорость течения реки ниже впадения в нее притока на 1 км/ч
меньше скорости течения притока. Собственная скорость парохо-
да, т.е. скорость парохода в стоячей воде, постоянна. Найдите
собственную скорость парохода.
д) Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 2400 км,
навстречу друг другу выезжают одновременно пассажирский и
скорый поезда. Каждый из них идет с постоянной скоростью, и в
некоторый момент времени они встречаются. Если бы оба поезда
шли со скоростью скорого поезда, то их встреча произошла бы на
3 ч раньше фактического момента встречи. Если бы оба поезда
шли со скоростью пассажирского поезда, то их встреча произо-
шла бы на 5 ч позже фактического момента встречи. Найдите
скорости поездов.
е) Двое рабочих, работая с постоянной производительностью
одно и то же время и независимо один от другого, изготовили
вместе 150 деталей. Если бы оба рабочих работали с производи-
тельностью первого рабочего, то для изготовления 150 деталей
им потребовалось бы времени на полчаса меньше. Если бы оба
рабочих работали с производительностью второго рабочего, то для
изготовления 150 деталей им потребовалось бы времени на 0,75
часа больше. Сколько деталей изготовит второй рабочий за вось-
мичасовой рабочий день?
ж) Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямо-
угольным строем по 24 человека в ряд. По прибытии оказалось,
что не все солдаты могут участвовать в параде. Оставшийся для
парада состав роты перестроился так, что число рядов стало на
2 меньше прежнего, а число солдат в каждом ряду стало на 26 больше
19
числа новых рядов. Известно, что если бы все солдаты участвова-
ли в параде, то роту можно было бы выстроить так, чтобы число
солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько солдат
было в роте?
з) Бригады, состоящие из одинакового числа рабочих, получи-
ли на складе спецодежду. Каждый рабочий получил по два ком-
плекта спецодежды, а каждой бригаде выдали на 20 комплектов
больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и
каждой бригаде выдавали бы по 12 комплектов, то спецодежды
на складе не хватило бы. Сколько комплектов спецодежды было
на складе?
и) Для перевозки животных по железной дороге было выделе-
но несколько вагонов. В пункте А в каждый вагон поместили по
12 животных. В пункте В часть животных была сдана. Оставши-
еся животные были размещены поровну по вагонам, которых ста-
ло на 2 меньше. При этом оказалось, что число животных в каж-
дом вагоне стало простым и число вагонов стало на 14 меньше
числа животных в каждом из них. Сколько животных было от-
правлено из пункта А?
к) Два насоса различной мощности, работая вместе, наполня-
ют бассейн за 4 ч. Для наполнения бассейна наполовину первому
насосу требуется времени на 4 ч больше, чем второму насосу для
наполнения бассейна на три четверти. За какое время может на-
полнить бассейн каждый из насосов в отдельности?
Практикум 5 Способы построения
графиков функций
1. а) Изобразите на координатной плоскости произвольный
график функции у = /(х) и последовательно постройте графики
функций:
1) у = Д (х), где (х) = f(x + а) и а - любое не равное нулю
число, произвольно выбранное;
2) у = f2 (х), где f2 (х) = Д (х) + b иЬ - любое не равное нулю
число, произвольно выбранное;
3) у = /з (х), где (х) = cf2 (х) и с - произвольно выбранное
положительное число;
4) у = Л (х), где f4 (х) = -/з (х);
5) у = f5 (х), где f5 М = Д (-х);
6) у = f6 (х), где f6 (х) = | f5 (х) |.
20
б) Постройте на координатной плоскости график одной из эле-
ментарных функций:
2 1 Г 3
у = х, у = х , у = —, У = у1х, у = х
X
и выполните последовательно шесть преобразований, указанных
в пункте а).
2. Постройте график данной функции у = f (х) и затем график
функции у = F (х). После построения графика функции у = F (х)
задайте F(x) формулой (предположительной) и докажите пра-
вильность этой формулы алгебраически, если:
а) /(х) = 3-(х + 2)I) 2, F(x) = Hx-2)-3;
б) Их) = f3 - х)2 - 4, F (х) = f (х + З) + 4;
в) f ?х) = (х + 5)2 + 1, F (х} - f(x - 5) - 1;
г) f[x) = х2 + 2х + 4, F(x) = цх - 1) - 3;
д) /(х) =-х2 + 6х - 10, F(x) = /(х + 3) + 1;
е) /(х) = 5х-х2, F (х) = f (х + 2,5) - 6,25;
ж) /(х) = 2х2 + 6х, F(x) = /(х - 1,5) + 4,5;
з) /(х) =-Зх2 - 12х - 10,5, F (x) = f(x-2) + l,5;
и) /(х) = (х + 1)(2-х), F(x) =/(х - 0,5) - 2,25;
к) /(x) = (2x-3)(3x + 2), F(xW[x + ^j + 7^-
3. Является ли заданная запись правильной для записи функ-
ции:
- 3, если х < 1, (Зх - 2, если х < 1,
2) у = < I—
, если х > 1; [ух , если х > 1;
Jx2 , если х > -1,
|2х, если х < 1;
—, если х < 1,
х
1, если х = 0 ?
3) У = J1 + х, если х > 1, [х2 , если х < -1; 4) У =
5) У = \у[х, если [х2 , если х>-1, х < 0; 6) У =
4. Постройте график данной функции. Укажите область опре-
деления и множество значений этой функции:
I) 1ух,еслих<4,
[10 - 0,5х2 , если х > 4;
2) у =
-----, если х > 0,
х - 2
х2 - 1, если х < 0;
3) у =
—, если х > 0,
х_____
л/х + 4 , если х < 0;
4)
У =
-----, если х > 1,
3-х
2 - х2 , если х < 1;
21
4
5) У= ’ у t/L/Jlxl J. у х + 3 4х , если х > 1; 6)
7) У= < g 1 + , если х < 0, х + 2 4 - х2 , если х > 0; 8)
9) У= < Г 4- 7 , если х < -1, х + 4 у/х + 5, если х > -1; Ю)
У =
У =
У =
а)
б)
в)
г)
а)
б)
в)
г)
Д)
----, если х < -1,
х + 1
х - х2 , если х > -1;
—-----1, если х < О
х + 1
л/х - 4 , если х > О;
-----, если х > О,
< х - 3
4~х, если х < О.
5. Постройте график данной функции
у= -х\; д) у= 2х-3|; и)
у = 3 - х |; е) у - 0,5х - 11; к)
у = х + 2,51; ж) у = 3 + 0,5х|; л)
у = 2х + 51; з) у = 31 х - 21; м)
6. Постройте график функции:
У = Х х|;
У = X х -
г/ = (х-1) х|;
У = (х + 1) х- 1|;
у = (х + 2) х — 3|;
е)
ж)
3)
и)
У = (х - 3)
У - х2 - 2
У = х2 - 4
У = х2 -3
у = -О,б|х + 1|;
у = | х + 21 - 2;
у = 1 - х - 0,51
у = 3 - 1 - Зх |.
х + 2|;
х +1;
х + 4;
х ;
л)
м)
н)
о)
у = х2 - 2 х
у = х2 - 4 х
у - х2 - 4 х
-3;
+ 3;
+ 5;
к) у = 2| х | - 0,5х2 ;
у = х2 -|2х-1|.
7. а) Изобразите на одной координатной плоскости графики
двух произвольных функций у = f (х) и у = g (х). Постройте гра-
фик функции у = f (х) + g (х) и функции у = f (х) - #(х).
б) Постройте графики функций у = f (х) + #(х) и у = f{x) - #(х1,
выполняя сложение
и у = #(х), если:
1)
3)
5)
и y = f(x]-g(x\,
и вычитание графиков функций у = fix)
Лх
/<х'
х - 51,
= |х- 2|, g(x) =
х;
4) /(х) = 2х, g(x)= х|;
6) /(х) = 3-х, g(х) = |.
\ inc ii \ [0,5х, если х>0
7) /(х) = |0,5х-1|, g(x)= |ж есЛИХ<0;
g\ /2х - 5, если х > 0, / \ _ Гб - х, если х >-1,
' ' ' [х, если х < 0, ' ' |6, если х < -1;
9) f(x} = [3, еслих>3, , , |3 - х, если х >-3,
' ' ' ' || х|, если х < 3, ‘ |х, еслих<-3.
Запишите формулами без использования знака модуль функ-
ции у = /(х) + g(x) и у = f(x)- g(x).
22
Практикум 6 Решение неравенств
1. При каких значениях параметра а:
а) все решения данного неравенства принадлежат данному
промежутку;
б) данный промежуток принадлежит множеству решений дан-
ного неравенства, если: 9 9
1) 3« -а > 4х -2, (-»; 1]; 2) * ° - > 2, (16; «);
3)±1» 3,(14;-); (-1;-);
4 3 L 7 11 2 v 7
х + а х-За , ч Зх + а х + 5 / ч
о)------------> 0, (-°°; - 19); б)----------> а, а; оо);
5 4 v 7 8 3 v 7
_ч х - 7 х + 5 Л г .... \ Зх + а 9 + 5х z ч
7) 1- а < 0, —11; °°); 8)---------1-----< а, (—°0; а);
96 L 7 9 12 V 7
ах + 6 а - 2х г ч ах + 6 а - 2х ( ч'
9)—7-------— >1,5, 1;«); 0) — -------— <1, -«; а)?
О о О о
2. При каких значениях параметра а:
а) каждое решение первого из двух данных неравенств будет
являться решением второго;
б) каждое решение второго неравенства будет являться реше-
нием первого неравенства, если:
1) 2-а>х-2, 2х-а<х;
2) 4 - За < х - а, (х + 1)2 > а + х2 ;
3) (Зх + 1)2 - 3 > 9х(х + 2) - а, Зх + а < 2х + 1;
4) (3-0,5х)2 - а > 0,25х (х - б), а-х>1;
5) (1,5х - 7)2 + а < 4,5х (0,5х - б), 0,5 + 2а - Зх > 0;
6) 2(х-5)<-5а, а - 12,5х(1 - 0,5х) < (2,5х - З)2 ;
7) 4х2 (2х + 9) - а > (2х + З)3 , а - 2х > 8;
8) 27х2(х-5) + а<(Зх-5)3, 3(3х - 2) > 0,2а;
’) (х - 1)3 + Зх2 > (х - а)(х2 + ах + а2 j, Зх + 2а3 > 0;
’/)) (х + а)(х2 - ах + а2 j > (х + 2)3 - 6х2 , 6х - а3 < 0?
3. При каких значениях параметра а хотя бы одно решение:
а) первого из двух данных неравенств будет являться решени-
ем второго неравенства;
б) второго из двух данных неравенств будет являться решени-
ем первого неравенства, если:
23
.. х-3 х - 2 / к
1)-------------< а, 2 (х - а) < 5;
12 8
х - а х + а . _ „ „
2)-------------< 1, 3 - 0,5х > а;
12 8
х + 2 х + 3 л ~
3)-------------> а, 0,25х + а < -5;
12 18
х - а х + а л _
4)-------------'>-1, 0,25х + 7<а;
12 18
5) 11(а + 2)>-2х, * ~ °’3 _ * ~ °’5 < о,2а;
9 15
6) 1,5-0,5х<2а,
х + 2а х - а
--------------< а;
6 15
х + 7 5х - 1 4х + а _
7) > а,----------------> 0,5а;
3 12 9
г 2х + а 4х - 5 _ „
8) а>1 + 5х,----------------< 0,25а;
16 12
9) За<10(х-2), 2х~° <0,2;
v ’ 20 12
10) 2(3-х)<-3а, ——-Зх а>-0,1а?
v ' 15 25
4. При каких значениях параметра а данная система нера-
венств будет иметь пустое множество решений:
а) (х - а > 2х - 3;
[4х + 5а > х + 17;
б) |5х - а > 2х + 1;
[2х + а < 15 - Зх;
ж)
4 (2х + 1)2 - а > 4
Зх - 1 > 4х + а;
(х - 5)2 + а > х(х + 5) - 2х
х(х - 1) > х2 - 2х + 2а;
2(3х - а) < 3(4х - а) + 20,
4 (а + х) < Зх + 5;
и)
(х - 2)2 - а > х(х + 2) - 3,
Зх - 1 > х - (а - х);
х2 - а2 < 0,
" х + 7 а 1 - а
. 60 5 <—6^’
х - 5 а - 5 За + х а + 5
2 6 3 6 ’
ах - х2 >0?
24
5. а) Решите неравенство в зависимости от значения парамет-
ра а:
1) (а-7)х>а-8; 2) (а -7)х <8 - а;
3) 2 (х + 2) > а (а - х); 1) а (х + а) < 3 (3 + х);
5) а (х - а) < х + 2а - 3; б) а (х - 2) > а2 + х - 3;
7) а(х - а) > 2(х - 2(а - 1));
8) 2а (х + 2 (а + 1)) < х - 1;
9) (а - 7)(х - б) > (б - а)(х - 7);
10) а(х + а - 8) < 7(х - 1).
б) Решите систему неравенств в зависимости от значений па-
раметра а:
1) 1 X + 1 > ах,
3) । х > 2; [х + а < ах,
5) [ х>3; |(1 - а)х < -а,
7) [ ах < 4; (2а + 1)х < 1 - 4а2 .
9) 2ах > а2 - 7; а(х + а) < 1 - х,
4ах > а2 - 28;
2) Гх - 3 < ах,
[ х<0,5;
4) (2х-а>ах,
[ х > а;
Я) [(а + 3)х<6а,
1 ах > 3;
Ю)
а(х - 0,25а) >-7,
(а + 1)х > 1 - а2 ;
2а (х + 2а) > 1 - х,
а (а - 2х) < 7.
6. а) Какое из двух неравенств: | х - а | < b или | х - а | > b и при
каких значениях а и b имеет множество своих решений данное
множество:
1) [-1;3]; 2)
4) [-7;-1]; 5)
7) (-оо; 6,5]U[18,5; оо); 8)
10) [ -10,2;-3,4]?
б) Решите неравенство:
2; 7]; 3)
;-5]U[1; ~); 6)
[-1,5; 2,5]; 9)
3; 10];
-5; 2];
0,5; 0,9];
1)
3)
5)
7)
9)
0,5х + 7|<0,7;
1 - 1,2х| > 1,2;
5-х
5-х
5 + х
х + 5
5-х
/
>11;
> 5;
> х;
2)
4)
6)
8)
Ю)
5х - 0,351> 0,1;
х - 5 - х + 5 < 10;
х - 5 - х + 5 <-9;
5-х - х + 5 > -2х;
х + 5 + 5-х < 9 - х.
+ х + 5
25
в) Решите неравенство в зависимости от значений параметра
а:
1) х - а > 10а; 2) а - х | < 0,1а;
3) а 4- х <а-1; 4) 1 - ах | < а;
5) ах 4- 21 > 2а; 6) х 4-1 х| < 2а;
7) х-1! + | х + 1| < а; 8) х - 1| - | х 4-1| > а;
9) х 4- а | + |х + За|<а + 5; Ю) ах 4-11 - | ах - 1| < а
7. а) При каких значениях х данная функция будет прини-
мать: а) положительные значения; б) отрицательные значения,
если:
1) у = х2 - (а + 1)х + а, где а < 1;
2) у = х2 + (а - 2)х - 2а, где а > 2;
3) у = х2 + (з - а)х - За, где а > 0;
4) у = -х2 + (1 - 2а) х - 2а, где а > -0,5;
5) у = 2х2 + (2а - 1)х - а, где а > 0,5;
6) у = 2а + (1 - 2а) х - х2 , где а < 0,5;
7) у = 2х2 - (5 4- 2а) х 4- 5а, где а < 2,5;
8) у = а 4- (1 - За)х - Зх2 , где а > —;
9) у = 6а 4- (12 - 2а)х - 4х2 , где а < 6;
10) у = За 4- (1,5 - а)х - 0,5х2, где а > -6?
б) Йри каких значениях параметра а данная функция будет
принимать только: а) положительные значения; б) отрицатель-
ные значения, если:
1) у = ах2 4- 5х 4- 4а; 2) у = ах2 - 7х 4- а;
3) у = ах2 - ах - 7; 4) у = ах2 - 2ах 4- 7;
5) у = (а - 2)х2 - 2ах - 1; 6) у = (4 - а)х2 - 2ах 4- 2;
7) у = ах2 4- 4х 4- а - 3; 8) у = (а - 3) х2 4- 4х 4- а - 6;
9) у = (а - 3)х2 - х 4- а - 2,25; 10) у = ах2 - 6х - а - 10?
в) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
данное неравенство справедливо при любых значениях х:
1) ах2 4- (а 4- 2) х - 0,25 < 0;
3) ах2 4- 12х - 5 4- а < 0;
5) ах2 4- х 4- а - 0,75 < 0;
7) а 4- 6х 4- (а - 8)х2 < 0;
9) (а 4- 5)х2 4- 12х 4- а < 0;
2) 6 - а 4- 8х - ах2 > 0;
4) 6 - 2а - 8х - ах2 > 0;
6) 0,5 - 2 4- х - ах2 > 0;
8) (3 - а)х2 - 4х - а > 0;
10) (1 - 2а) х2 4- х - а 4- 0,25 > 0.
26
г) Решите неравенство в зависимости от значений параметра
1)
3)
5)
7)
9)
12а - (б - 2а)х - х2 > 0;
За + (9 - а)х - Зх2 > 0;
2а2 - 6а + (а + 3)х - х2 > 0;
2х2 + (За - 5)х - 10а - 2а2 > 0;
2) 2х2 + (а - б)х - За < 0;
4) х2 + 2х - а2 + 2а < 0;
6) х2-5х-5а-а2 <0;
8) -2х2 + (За + 8)х - 4а - а2 < 0;
ах2 + (а2 -1)х - а > 0; 10) а2х - бах + За -18 < 0.
8. Решите уравнение. Замените знак равенства в этом уравне
нии на знак неравенства: а) больше; б) меньше. Укажите множес-
тво решений каждого получившегося неравенства. Сделайте гра-
фическую иллюстрацию.
1) х2 - 7 х +10 = 0;
3) х2 - 2 х -3 = 0;
5) 6х2 - 7|х| + 2 = 0;
7) х2 - 6 х-1 -1 = 0;
9) х2 -7 х-1 -2х +11 = 0;
2) -х2 +5|х|-4 = 0;
4) 6 — | х | — х2 =0;
6) 2|х|-35-12х2 =0;
8) 1 + 4|х + 1|-х2 =0;
10) 5|х + 2|-4х-х2 - 8 = 0.
9. Решите неравенство, используя метод интервалов:
(х + 2)’(х-3)’ («’ +27)(2 - х - х2)
-------------< 0; в) ---------------------:
^4 - х2 )(4 - х)4 (х3 + 9х)(х2 + 14 + 49^
(х5)5 (х - 2)3 >о (х2-4х-12)(х3.1)
(х3 - в)(х2 + 7х) ’ (х2 - 8х - 12) (х2 - 2х)
тт\ 2 3
Д) х-1 X 2 -X 2 S U’ х2 - 1
6 1 1
е) х3 - 8 х3 - > 0; 4х х3 + 2х2 + 4х
8х + 4 _1 3 2 - Зх .
Jitj 8х + х4 X3 - 4х 8 - 2х2 2х3 - 4х2 + 8х ’
1-5х 7х + 2 > х + 1
х2 - х - 6 х2 - 2х - 8 х2 - 7х + 12 ’
1 1 15 < х + 4
х + 3 7х2 - 42х + 63 7х2 + 7х - 84 ” х2 + 7х + 12 ’
20 5 । 16
6х2 - 9х - 6 4х2 - 4х + 1 12х2 - 3
27
Степень с целым
показателем
1. Найдите последнюю цифру в записи числа, равного данной
а) 22 2 222; г) ЗЗЗ111; ж) Ш111; к) 19931"2;
б) 222555 ; д) 444 444 ; з) 888888 ; л) 19971"7 ;
в) ЗЗЗ333 ; е) 777ш; и) 19921"3; м) 19982001.
2. а) Запишите некоторое четное трехзначное число и пред-
ставьте его в виде суммы степеней с основанием 2.
б) Запишите данное число в двоичной, троичной, шестерич-
ной системе счисления:
1)1101; 2) 1089; 3) 1299; 4)721; 5) 555; 6)666
7) 777; 8) 888; 9) 999 10) 1001; 11)111; 12)1221.
3. Является ли данное число: 1) квадратом; 2) кубом каких-
либо рациональных чисел:
1т7 кб кб q9 Q— 5 К— 7
а) 67 ; в) 85 ; д) 0,4 ; ж) 7’8 ; и) З8 ; л) 0,255 ;
д7 д5 к— 6 кб гг—5
б) 56 ; г) З4 ; е) 0,76 ; з) 25 ; к) 0,5’5 ; м) 87 ?
4. Запишите данные числа в стандартном виде:
а) (2,510“5)’2 ; д) (l^-lO-18)’1; и) (б,4• 10’9)’1;
б) (1,25-Ю25)*1; е) (0,4-10’14)*2 ; к) (1,5625 -Ю15) *;
в) (0,510’5)’5; ж) (3,2-Ю17)’1; л) (1,28-10’и) 1;
г) (б,25-10“7) * ; з) (3,12510’8)*1; м) (б,12-Ю12)’1.
5. а) Упростите числовое выражение и представьте его в виде
степени:
z X 7 19
1) (1.25)12. (0,4)-’; 2) .(0,75)-5; 3) 42 *
4220 2112 • 3518 2424
2110 - 615 5 ' 105 24 ; 818 • 612 ;
28
7972 27 (г9 - б15)
7) ——--------; 8) ---------------—;
24 54 18 36 в(218 - 271212)
64 58 + 100 З8 730 518 - З12 518 + З12 730
64 + 1000000 ’ 35 24 • З12 - 7~6 1524 + 56 • 2124 ’
11) 64 + 30(225 + 221 + 217 + 213 + 29 + 25);
12) 32 + (б515 - 2) (б560 + 2-6545 + 4-6530 + 8-6515 + 1б).
б) Преобразуйте данное выражение в степень:
1) 2 + а2 + а’2 ; 2) 0,5а2 + 0,5а'2 - 1;
3) 64 + (а5 - 2)(а25 + 2 а20 + 4 а15 + 8 а10 + 16 а5 + 32);
4) 32 + (а7 - 2)(а28 + 2 а21 + 22 • а14 + 23 а7 + 24);
5) (аде)2 (д2с)2 . (ад)9 (де)6 .
(ас2)5 ’ (аде)12
Q
7) (afe2c) 8) (М~5 - (а&)20
(ад)2 (де)6 (ас)4 ’ (аде'1 )'15 - (ад2с4f ’
(аде)10 + а5 (д2с) - (аде)
(ас'1)’5 +(д2с3)5’ а3д'4с8(а2 -д2)’
>52 3 2 t 3,5 5 2 , 3 2, 5,3
be +ac+ab . i a c -be + a b
(a'^fd-1 + а'3д4 +д4с'2)’ (ад-1с)4(а-5 -d’3 +c’2)
6. Вычислите:
a) 75 75 -(75 60 + 2-75 45 + 4 - 7530 + 8-7515 + 1б)(7515 - 2);
б) 2125 -(224 - 1)(2101 + 277 + 253 + 229 + 25);
в) 645 -(28 - 39 - 1)(З36 - 237 + 327 - 229 + З18 -221 + З9 -213 + 25)
г) 2425 +(260 -320 + 246 -315 + 234 -310 + 218 -35 + 24)(2 - З5 -21
д) 230 - 30(225 + 221 + 217 + 213 + 29 + 25);
e) (1 + 77 + 712)’1 +(1 + 7'7 + 75)”1 +(1 + 7’12 + 7’5)’1;
ж) (1 + 193 + 196)*1 +(1 + 19’3 + 19"6) 1 +(1 + 193 + 19’3)’1;
6610 + 32 117~2 - 0,25 234~4 - 117~2
1,55 + 10895 ’ 58,5-2 - 1 ’ 234’2 (468’2 - 1)
29
7. Упростите выражение:
а) а55 -(а11 - 2)(а44 + 2 а33 + 4 а22 + 8 а11 + 1б);
б) а75 +(2 - а15)(а60 + 2-а45 + 22 а30 + 23 а15 + 24);
в) (1 + а5+а10) + (1 + а-5 + а-10) + (1 + а5 + а-5)” ;
г) (1 + 4а2+16а4) + (1 + 4а2 + 0,25а-2) +(1 + (2а) 2 +(2а) 4
е) Ца - 1) 1 + (а + 1) 1 j(l - 0,5а - 0,5а-1);
ж) (а - а-1)(1 -(1 + а)(2 - 2а) 1 - (1 - а)(2 + 2а) 1);
\ о/ о\“3 /о \“1 9fl + 1
з) 3(а + 3) -а(З-а) +-------------;
9а-2 - 1 _г
и) (а + 7) 1 -7(а2 -7а) +(а + 49а-1)(а2 -49) ;
к) (1 + Ьа-1)(а2Ь-2 + 1)(а25-2 - 1) - b(a - b) 1 + а(а + b) 1.
8. а) Решите уравнение:
1) х-1 =0,1(х-3);
3) х2 -3=(0,5х)-2;
5) 4х-17х'г + 4х-3 =0;
7) х3 - 8х-3 - 7 = 0;
9) х3 + 4х-1 - 5х-5 =0;
б) Решите неравенство:
1) х-15х-1>2;
3) х + 15х-1 + 8 > 0;
5) х2+9х-2>10;
7) х - 8х-1 - 9х-3 >0;
9) (2х)3 - х-3 + 7 > 0;
в) Решите уравнение:
2) 4х-1 =х-3;
4) 4х2 - 2х-2 +7 = 0;
6) х3-10х + 9х-1 =0;
8) х2 + 7х-1 + 8х-3 = 0;
10) х5 -(0,5х)-5 =31.
2) х-12х-1+1<0;
4) х-14х-1<9;
6) х - 10х-1 + 9х-3 < 0;
8) х2-9х-2<8;
10) 9х-1 - х2 - 8Х-4 < 0
1) 1 + ^2+(х + 3-1)
3) 1 +(з +(х + 2-1)
5) 1+|2+(з + х-1)'
2)
6х + 5
—; 4)
6х + 5
1^; 6)
7х + 2
1 + 12+(х + 3‘1)
Зх + 1
6х + 5 ’
-1А 1 _ 2х + 1
J 6х + 5
1+ 2+(3 + x-1)
Зх + 1.
7х + 2’
30
. i- \-1А И ЗОх+157
7) 2+ 3 + 4+(5 + x) =--------
к v ) J 13x + 68
8)
9)
10)
17x + 89
13x + 68 ’
43x + 10
30x + 7
13x + 3
30x + 7
’ Практикум 8 Корни натуральной степени
1. Выполните задания пунктов а) - д), выбирая каждый раз
данные для ник из одинаково означенных подпунктов.
а) Используя определение арифметического корня натураль-
ной степени из данного числа, дайте определение корню:
1)^2; 2) УЗ; 3) Уб; 4) Уб; 5) ^5; 6)^6.
б) В одной декартовой плоскости сделайте иллюстрацию гра-
фического решения каждого из четырех данных уравнений:
1) х4=2, х5=2, х4=-2, х5=-2;
2) х3=3, х4=3, х3=-3, х4=-3;
3) х6=б, х5=б, х6=-6, х5=-6;
4) х5=б, х4=5, х5=-б, х4=-5;
5) х4=0,б, х3=0,5, х4=-0,5, х3=-0,5;
6) х6=0,б, х5=0,6, х6=-0,б, х5=-0,6.
в) Используя предыдущий чертеж, укажите на нем число х:
1)х = У2; 2)х = УЗ; 3)х = Уб; 4)х = Уб; 5)х = Уоб; 6)х = Уо^6.
г) Запишите множество решений каждого из четырех уравне-
ний пункта б).
д) Определите, какое из двух данных чисел больше:
1)^2 или У2; 2)Уз или УЗ; 3) Уб или Уб:
4) Уб или Уб; 5) Уб,5 или Уо,5; 6) У 0,6 или Уоб.
2. При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) 2) ^/хУх + 1; 3) ^/хУ1-х;
4) д/х3У1 —х1 2 ; 5) ^хУ1-х2 ; 6) ^х5Ух2 - 1 ;
7) фх + 1)7 Ух^7; 8) ^(8 - х)Уб^7;
9) ; 10) х2)3Ув + х3 ?
31
3. Постройте графики двух данных функций. На каком мно-
жестве значений х они совпадают?
а) у=^/ (* + !)4 и у = 7 '(* + !)3 ?
б) у = 7 (х - I)6 и У = 7 1(х -1)5;
в) у = ^ (1 - х)6 и у — 7 «V;
г) у=7 (4-4х + х2) в [ II 1 н сл
д) У = / 9 \3 (х + 4х + 41 и у = (х + 2)7 ;
е) У = 7 (4х2 - 4х + 1) и y = tf(2x- 1)5
ж) у = \ / (х - 1)9 и у = V (1-х)6;
3) У = 7 (х2 - 4)4 и у = . 3 7 (4-х*)’;
и) у = 7 1 СО II
К) У = 7 (з - X2)6 и у = = 5 |(x2-3)5.
4. Является ли данное число а корнем данного уравнения?
Сделайте более простую запись числа а.
а) х4=4, а = 74 - 77 - 74 + 77;
б) х6 = 8, а = 7з-7б - 7з + Тб ;
в) х12 = 1, а = (7з - 2)Т7 + 4Тз ;
г) х6 = 1 000 000, а = ( 77 - 722 )7б + 711 ;
д) х4 = 0,0625, а = (о,б7з-1)7? + 4л/з ;
е) х6=36, а = 71 - 77 78 + 277;
ж) х6=49, д = 71-78 ^9 + 477;
з) х6 - 36, а = 777-714 74 + 77;
и) х4 + 4х2 — 8 = 0, а = Тб-2Тб - Тб + 2Тб ;
к) х4+4х2-12 = 0, а = 7?-47з -7? + 47з .
5. Упростите выражение:
а) (Va- б)6 - $(b- 2а)4 ; г) ((b - 4а)4 ;
б) (V&-2a)6 - у (а - b)4 ; д) (^5Ь - За)™ - (2а - 5б)4
в) (у/а - 2б)4 - 2(б - а)6 ; е) (5 - а)4 - (2а - 1)5 + (Ца - б)6 ;
32
ж)
3)
и)
к)
d(a- 2)6 + (2а - З)3 + (71-а)4 ;
/(а + 4) - (1 - 2а) + 7-6 - af ;
(а - З)4 - (а + 1) + (а2 - 1) + ( >12а - а2 )
tf(a-1)4 + (2 - а)6 + ^(4а-3)3 + (ТГ^)4 .
6. Преобразуйте данное выражение в выражение вида аф(х),
где а - число, равное 1 или -1, если:
а) (1 - х)л/х - 2 ; д) -2x7-х - х2 ; и) (х - 4) 7-х2 + 2х - 3;
б) (х - 2) 71-х ; е) —7х - х2 ; к) (2х - х2) >1х2 + 2х - 3 .
в) (4 - х2 Wx - 3; ж) —-—7зх - х2 ;
' ' х - 3
г) (з - х2)7х - 2 ; з) (1 - х2)7х2 - 2 ;
7. а) Вычислите:
Тз92 - 7F 7192 зТз - 2^72
71323 1 + 72 7з
б) Упростите выражение:
2 О. Н. Доброва
33
8. Решите уравнение:
а) Vx2 + 4-х = 6;
б) '' to + ^03 11 и I II а>
в) Vx4 + уГх = 10;
г) 1Vx2~ + V-x =2;
д) 4г2 -2^/-х =3;
е) + 4-х = 4;
ж) 47 - 3 4~х = -6;
з) 147-2>Гх = -2;
и) 1у[х* +2%Гх = 3;
к) 3'47 -47 = 4.
Степень с рациональным
показателем
1. Считая а положительным числом, запишите данное выра-
жение в виде степени с основанием а:
а) ^ayla 1 ; х 4/Лз з/_ -2 Г . Д) уД у] О, , и) yja3 yla 2 : ayjay/a 2 ;
б) х -3 5 з/ -2 е) уа \а\а ; к) а : 7^а3 у[а~3 у/а .
в) yjay/a~1 у/а ; ж) yjay/a у/а~3 у[а F;
г) ja2 tfa-147^; 2. Найдите х из \ З/ 2 б/ -5 / I з) у/а yja уау/ уравнения: а ;
а) х°’2=>/2; д) 2 х2 4х =32; и) X’3’2 =747; ГУ3 ( 1V2
б) в) х 3 = 9; е) х Vx = л/з ; ж) х“0’4 =43; к) х-1’5 =45; • \ х ) v 7
г) xVx=4; з) х2’4 = 50’2 ;
34
3. Выполните действия со степенями:
а)
б)
в)
„-4 ь-°-(6) „2
а b с
е) (а0’7 +а0,3):(а1’1 + а°-7):^Х;
ж) (а^Ь1-4 +а0’1Ь°’8):(а1’6 +а^Ь0'6
г)
Д)
а)
б)
в)
г)
Д)
4. Вычислите:
( ____ „ с \2>(6)
^(7б)0’5
^)1’П (49л/з)°'5
(30,5п 7-2,5) 0,25
Ц[Г^'2П (о,25^)
(б" 0,б-2’5
3Ч),25
.-0,25
/2
3
, где п g Z;
8
3
, где п 6 Z;
к у <“>
— , где п g Z;
)
^.(ЛКП
(О,20,2 + З°’3):[ 5-3-0’7 +- О,2-0’8
' 1 I 3 I
<7 “°’'
е) (7°’25 -0,25°’25): Ч—
0,251,25
7 >
35
(1 - 20’25) 3 + 2°’5 23
ж) ---------------; з)--------------------------;
1-5(V2 - 1)2 5 + 18°’5 - 80,5 13 + 21’5
и) (21-2 + l)3 - 21’2 (21-2 + l)2 + 22’2 (20’2 + 1);
к) (з0’3 + l)3 - З1’3 (1 + З0,3 + З’0,4);
л) (о,3°’3 + 1)3 - З1’3 IO-0'3 fl + О.З0’3 +(81000)-0’21
а)
б)
5. Сократите дробь:
(х°’2 + б)3 + (х°’2 - 5)3 + 4х°’6
(х0,2 + б)3 -(х°’2 - б)3 + 500
(о,2 + а0,2)3 +(0,2 - а0’2)3 + 0,032
(о,2 + а0’2)3 -(о,2 - а0,2)3 + 4а0,6
(х0’3 +а-°’3)3 +(х0’3 -а-°’3)3 +4х0’9
(х0’3 +а-°’3)3 -(х°’3 - а"0’3)3 +4а-°’9’
а0,9 + За0,3 х°’2
х2 + х - 6 + (х - 3)(х2 - 4) ’ а2 - 6а - 7 + (а - 1) 7а2 - 49
х2 - х - 6 + (х + 3)(х2 - 4)°’5 а2 + 6а - 7 + (а + 1) 7а2 - 49
6. Упростите выражение и найдите его значение:
а)
при а = 54 и b = 24;
36
4 1
д) —+ 8 —2(а&)з при а = 7о,125 и 6 = л/б;
а3 - 2y[ab + 4Ь3
и) 4b + a'+V fa1’5 (а1’5 - fe0’5)'1 - (1 + при а = W
ау/а + у1Ъ к V 7 V 7 J
и b = 0,1;
31
л)
0,5 „0,25 1
а —а +1J
при а = д/81.
0,25
а
37
Преобразование
выражений, содержащих
степени и корни
1. Вычислите:
а) 4 (1 + 50,5 )’Х + 31 (б + ТбJ’1;
б) б0’ч 5 (б - б0’8 J'1 - 5 (эТб + 15)'1;
в) 5:(4 - II0,8) - 4(Т1Т - ТУ)'1 - 2(3 + 70,8)’1;
г) 4(1 + б018)'1 + 3(77 - 2)’1 - 2:(70’8 - б0'8);
д) 6(3 + Лб)'1 - 2(150’8 + 130’5)'1 + 3:(4 + 130’8);
е) 2:(б0’8 - 2) - 9(Т10 - 1)’1 + 4 (1О0,5 + 60,8)’1;
ж) 11 :(140,8 + З0’8) + 2(7£ + 1) 1 - б(140’8 + З)*1;
з) 3(10 - 2 V?)’1 + 11(21 + 3-50’8)’1 - |:(70’5 + б0’8);
и) (4 - 150,8)-1 - 12:(150’8 - З0'8) 4- 2 (Тз - 1)'1;
к) (3 - Тб)'1 + 0,2-б0,8 (1 + 5°’б *)_1^(5 - б0’8).
2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) ----1= ; е)
1 - Т2 + Тз
б) “7=-7=-7=5 ж)
V2 + V5 - V7
в) -т=—7^-7=; 3)
V3 - V5 - 2V2
г) -т=—; и)
V7 - 3V2 - 5
ч 1
д) --7=-г=--г=; к)
2V3 + V6 - VIО
3. а) Представьте данное выражение в виде квадрата двучлена:
1) З-Тв; 2) 6 + Т20; 3) 7-4ТЗ; 4) 2,25 - Т5;
5) 51 - 7Т8; 6)1 - 2 Та - а2 ; 7) 2 + 2^1 - а2 ; 8) 3 - 2у/за - а2 ;
9) 9 + 2аТ9 - а2 ; 10) 6 - гТэ - а2 .
38
б) Справедливо ли данное равенство:
1) 4а = у[а + b + 2y[ab - 4b , если а > 0, b > 0;
2) 4b = + b - 2у[аЬ + д/а , если 0 < а < b;
3) 4b +у]а2 + & - 2a4b = а, если а > 0 и а2 >Ь > 0;
4) + b + 24ab - 4b = 4а , если а > 0, b > 0;
5) а + 24b — а + д/а2 - 4& 2 Ч 1 а - а2 - 4Ь , если а>0, а2 >4&>0;
2 1 1
6) yja - 24b = а + \а2 - 4& । 2 V / 2 Г fa - у а2 - 4Ь 2 , если а>0, а2 >4&>0;
7) а + 4b — а + ya - b с + А Г 2 V 1 । если а>0, а2 >Ь>0;
8) 4b = И S + 1 to о to 1 о- 1 2 - ya2 - b 2 если а > 0, а2 > b > 0;
9) у а + л/2а - 1 + - ^2а - : £ _ JVZ, если u,osasi, >/4а-2, если а>1;
10) у а + - Ь2 + уа - 2Ь^а - Ь2 =
2|&|, если Ь2 <а<2Ь2 ,
2у1а - Ь2 , если а > 2b2 1
в) Верно ли равенство:
1) 771 - ^22 - 2777 = 77 - 78-277;
2) (77 + 1)7» ~ 277 + 1 = (Те - 1)^9 + 477 ;
6) 3 - Тб + 7? + 27б = 717 - 7з + 74 -27з ;
7) (78 - 1)7э + 472 - 1 = (714 + 77)74 - 77;
8) 0,75 (7^5 - 7U) • 711 + 777 = 711 + 677 + 711 -б77;
39
г) Рациональным или иррациональным является число, рав-
ное данному числовому выражению? Найдите наиболее простую
запись этого числа.
1) (772-3)79 + V32 ;
3) 711 + 672 -711-672 ;
5) 715 - 5/19 + 45/1К ;
7) 5/288 - 25/З + 5/1З + 45/З ;
9) ^81 + 5/12 - 72 - 714 + фЖ;
2) (27з7-1)715 + 756 ;
4) 7з1 + юТб + 5/31 - юТб ;
6) 5/3 - Тб + 5/7 + 2Тб ;
8) ^626 + Тб - 7? + 2Тб ;
10) (7Й-2"°’5)(46 +4722)°’5
4. а) Проверьте, верна ли данная запись:
/2 2 Л0’25
1) На2+а-2) -4(а + а-1) + 12J -(а-1) =
_ 11 + а"1, если -1<а<0 или а>1,
1-1 - а-1, если 0<а<1 или а<-1;
/2 2 Л"0’25 -1
2) аНа2-а-2) -4(а + а-1) +121 - (а2 - 1) =
3)
1, если а > 1,
= ’ а2 + i ।
------, если а < 1 и а
I 1 - а 1
а3 - За - 2 + (а2 - 1)7а2 - 4
а3 - За + 2 + (а2 - 1)7а2 - 4
1, а * 0;
а + 1 а - 2 _
-----л---- , если а >2,
а - 1 V а + 2
а + 1 I 2 - а _
-----J------, если а<-2;
а - 1 V -а - 2
4)
- 4л1а - 4
71 - 8а-1 +16а-2
4а
-----, если 4 < а < 8
а - 4
2а
—==, если а > 8;
5)
2 - 8х - 8
3 - 2х - х2
~2 . . 1
если х < 0
если
если
40
6)
а
ах —........
71 - ах-1
1 1
га-1 - 4 + 4ах-1)
/ \0,5 / \-0,5
(ах) (х - а)
х, если х > 2а, где а > О,
х, если а < х < 2а, где а > О.
б) Упростите выражение:
1)
3)
4)
5)
1
а2 + а - 2>/а + 6 . |2 г~
---------—----------1 + Vа ; 2)
а + 2 д/ а + 3 J
1
f 2 _ 2 А 2
16а3 + а 3 - 8
_____<________________>_______
- V - -Y1
2а3 - 1 4а + а3 - 2а3
I А )
- Зх 3 + Зх3 -Тбх"0’5
| 5 2~ ’
5х + бТб х6 + 9х3 • 71 - 2х-1 + X-2
I------- 2 А (о,5х - 4 + 8х-1) °’5
у!х2-2х- , 2 -------------±—
71 - 2х 1 J (2х) (х - 2)
7х2 - 6х -
6)
7)
8)
9)
10) ^4х4 - х2
41
5. Найдите значение данного выражения:
71 + х - 41-х 2а _ 7б + х + л/б - х 10а
1) -==—== при х = —-; 2) -==—== при х = —-;
V1 + X + VI - X а2 +1 V5 + х - V5 - х а2 + 1
3)
4)
5)
6)
7)
8)
/— \0,5 \0,5
(7 + х) + (7 - х)
(7 + х) -(7-х)
/ \0,5 / \ 0,5
(з + х) + (3 - х)
(з + х) - (3 - х)
4а + 6 + 4а — 6
/ \0,5 / \0,5
(а + 6) - (а - 6)
/ \ 0,5 / \ 0,5
(а + 2) + (а - 2)
(а + 2)0’5 - (а - 2)0’5
д/а + 3 + (а - З)0’5
л/а + 3 - (а - З)0’5
при х = 14а(1 + а2)
Га
при х =-------;
а + 1
при а = з[ь + Ь~г);
при а = с0,5 + с-0,5 ;
>и а = 1,5 (с + с-1);
при х = 3
f 2 х J А0’5
а + о
2аЪ
9)
Ю)
2а7х2 - 1
х - 7х2 - 1
при X =
-----\0,5
- у2 1 при
< 2 2Л
а3 - Ь3 .
Прямые и обратные
функции
1. Функция у = f(x) задана графиком (см. рис. на с. 43).
Ответьте на следующие вопросы:
1) На какое множество, расположенное по оси ординат, ото-
бразится с помощью функции у = множество, лежащее на
оси абсцисс:
а) [0; 5]; б) [-10; -3); в) (-2; 2)?
42
43
2) Найдите множество значений функции у = f(x) на проме-
жутках:
а) (-3; 5); б) [0; 10); в) [-10; 10].
3) Найдите все значения х, при каждом из которых функция
у = f(x) принимает значение: а) 0; б) 4; в) -2.
4) При каких значениях а уравнение Дх) = а имеет единствен-
ное решение при xg[-10; 10 ]?
5) Разбейте отрезок [-10; 10], лежащий на оси абсцисс, на
наименьшее число промежутков, таких, что на каждом из них
уравнение /(х) = а будет иметь единственное решение, если а при-
надлежит множеству значений функции y = f(x) на [-10; 10 ].
6) Укажите интервалы возрастания и убывания функции
у = /(х) на отрезке [ — 10; 10].
7) Имеет ли функция у = f(x) обратную себе функцию, если х
принадлежит промежутку: а) [-10; 10]; б) [-10; -7); в) (-3; 0]?
8) Разбейте отрезок [-10; 10] по оси абсцисс на промежутки,
на каждом из которых функция у = f(x) будет иметь обратную
функцию. Для каждой из этих обратных функций укажите об-
ласть определения и множество значений.
2. Пусть точка А принадлежит графику монотонной функции
у = f(x), имеющей область определения D и множество значений
Е. Будет ли точка В принадлежать графику функции y = g(x), если
g(/(x)) = x?
а) А(-3; 0), В(0; -3), где -3g Л и OgB;
б) А(0; -5); В(-5; 0), где ОеЛ и -5gB;
в) А(1; -2), В(-2; 1), где IgD и -2gB;
г) А(-3; 7), В(7; -3), где -3g Л и 7gB;
д) А (а; 4), В(4; а), где aeD и 4 g Е;
е) А (а; -1), В(-1; а), где aeD и -1g В;
ж) А (-а; 3), В(3; - а), где -aeD и 3 g В;
з) А(1; &), В(Ь; 1), где 1gЛ и ЬеЕ;
и) А (а; &), В(&; а), где aeD и ЬеЕ.
Запишите уравнение серединного перпендикуляра к отрезку
АВ. Как называется пара таких функций y = f(x) и y = g(x)? На-
зовите множество значений и область определения функции
44
3. Дана линейная функция. Запишите формулой функцию,
обратную данной линейной функции. Постройте графики этих
двух функций, используя формулы. Проверьте, имеют ли графи-
ки этих функций ось симметрии друг относительно друга.
а) у = 2х - 3; е) у = 3 (х + 2);
б) у = 0,5х + 1,5; ж) у = ——
3
2 — х
в) г/= —5х; з) у = ——;
г) у = 0,5х + 4; и) у = -1 - 0,2х.
д) у = 2х-8;
4. Являются ли две данные функции взаимно обратными:
а) у = (х - 1) 1 + 2 и у = (х - 2) 1 + 1;
б) г/ = 2(х + 1) 1 и у - (2 - х) х-1;
в) у = 7(1-х)1 и у = (х - 7)х-1;
г) j/ = (x + 3)x-1 иу = 3(х-1)1;
е)
ж)
х - 3 5 + х
2(х-2) 4-х
У =------- и у ---------;
2х - 1 У 2(1 -х)
и) у = 2 (5х + 4) (2х + 3) 1 и у = 0,5 (Зх - 8) (5 - х) 1;
к) у = 0,5(2х - 3)(2х + 15) 1 и у = 1,5(1 + 10х)(1 - 2х)-1 ?
5. Задайте формулой функцию, обратную данной. Постройте
графики прямой и обратной функций. Выясните, являются ли
эти функции возрастающими или убывающими.
а) 1)
3)
5)
7)
9)
г/ = 2х-1-1; 2)
У = 3 - х-1; 4)
у = 5 (х + 1) 1; 6)
у = 6х 1 +2;
у = 4(2-х)~г;
г/ = б(х-3)-1 +2;
45
б) 1) II I? N) ч^ У = -Vx + 4 ;
3) У = 2у1-х; 4) У = -0,5 4-х ;
5) II N) 1 О ч^ У = -1 - 4х;
7) у = 1 4- Jx 4-1; 8) II to 1 1 to
9) У=у/х-3 -2; 10) у = -3 — у/х 4- 2 ;
И) у = 2-7х + 4; 12) у =->/4 - х - 2.
6. Имеет ли данная функция обратную функцию? Если имеет,
то постройте ее график и укажите ее область определения и мно-
жество значений.
а) у = J(x - 1)2 4- ^Jx - 3 j - х2 + 4х - 5;
б) у = х2 4- (Vx + 2j 4- (V3 - xj - 6x + 4;
в) у = x2 4- 2x 4- ^Vx2 4- 4x 4- 4^ - (Vx 4-1) ;
г) у = x2 - 2x - 1 + (V2 - x) + ^\lx2 - 6x + 9^ ;
д) у = 1 + x2 - ^l-x - 1) - ^x2 - 2x + 1) ;
e) у = 4 - x2 4- (V-x - 1) - Vx2 - 4x 4- 4 ;
/ 1------\2 I---------------
ж) у = 2 - x2 - ^(1 + x)3 - §Пх2 + 4x + 4) ;
з) у = x2 - 2 + - 3x + 3x2 - x3 ) + ^(4 - 4x + x2) ;
/ I----------------\ 2 Г з
и) у = x2 - 2x + f v8 - 12x + 6x2 - x3 j + §/(x2 - 6x + 9) ;
к) у = 2x - x2 -I v8-12x + 6x2 -x3 - й(х3 - 9x2 + 27x - 27) .
7. Приведите два-три примера функции, совпадающей со своей
обратной функцией.
8. Изобразите график произвольной немонотонной функции,
имеющей обратную функцию. Сделайте такое перемещение в про-
странстве листка с изображением этого графика, чтобы можно
было увидеть график обратной функции.
46
Степенная функция с
дробно-рациональным
показателем и функция
корня натуральной степени,
их свойства и графики
1. Выполните по одному заданию в каждом из пунктов а)-е):
а) Являются ли взаимно обратными функции:
1) i/ = x1 * * * 5hj/=Vx; 2) у = —х3 и у = -у[х;
3) у = -х5 и у = -%[х ; 4) у = х7 * и у = у[х;
5) у - -х9 иу=у[х; 6) у =у[х^ иу=х^;
7) у = х"3 и у = 8) у = х“5 и у =т[х~';
VX
9) у = х"9 и у =т[х~'; 10) у = -х-7 и у =
б) Верно ли утверждение, что две данные функции взаимно
обратны? Дайте обоснование ответу.
1
1) у = х5 и у = х0,2 ;
3) у = х4 и у = х0,25 ;
1
5) у = х12 и у = х12 ;
7) у = х1’5 и у = №;
9) у = х-2 и у = х-0’5 ;
2) у = х7 и у = х7 ;
1
4) у = х11 и у = х11 ;
1.
6) у = х6 и у = х6 ;
8) у = х2,5 и у =tfx2;
10) у = х-3 и у = у = х
в) Укажите область определения и множество значений каж-
дой из двух данных функций:
1) у = х0’2 и у = у[х; 2) у = х0’4 и у =у[х2 ;
3) у = х0,6 и у = Vx3"; 4) у = х1’2 и у = х Vx;
2
м- уЗ и „ —\1 г2 • 61 и — У 3,6 И и — Г3 л/у3 •
оj у — х и у — v х , У — ™ У — ™ v л >
3 ____ 1
7) у = х 7 и у = Vx"3 ; 8) у = х 3 и у = л/х-1 ;
5
9) у = х 9 и у = Vx-5 ; 10) у = х-0’2 и у = Vx-1 .
47
г) Являются ли две данные функции различными:
1) у = х^2 и у=^х; 2)
1
3) у = х7 и у = Vx; 4)
2
5) у = х9 и у =>/х; 6)
7) у = х1’75 hz/ = xVx8~; 8)
у = х0,8 и у = ух4
9) у = х ’ и у = хух ; 10)
У = х0’25
_1
у = X6 и
4
у = X3 И
2
у = X3 И
и у = у/х;
У=Чх
о/
У = Ху/х
з/ 2 О
z/=Vx ?
д) На каком множестве графики двух данных функций совпа-
дают:
1) у = х°'2 и У=у[х; 2)
2
3) у = х3 и у =tfx2 ; 4)
5
5) у = х7 тлу = tfx$; 6)
з ________
7) у = х 7 и у = Vx"3 ; 8)
4
9) у = х 3 и у = —10)
хух
1
у = х3 и у =л[х;
з
к б/ 3~
у = хь и у = ух ;
7
к б/ 2~
у = х& и у = хух ;
у = X5'6 И у =(xVx^ ;
8
“ 1 9
у = х 7 ny = —j=?
х\х
е) Задайте формулой функцию, обратную данной:
1)
5)
9)
1_
у = -х3; 2) у = -х°’5; 3) у = -х0,6 ; 4) у = -х0,75 ;
I/=-х0,6 ; 6) г/=-х1,5 ; 7) у = -х6’25 ; 8) у = -х1’6 ;
1.
у = -х~0,5 ; 10) у = —х 3 .
2. Найдите область определения функции:
1) у = х(1 - х *)3 ;
2) у = х 1 (1 - 0,4х)°’4 ;
7) у =(1 + 6х - х"1) ;
9) у =(1 - 4х~*Д ;
6) у = х(2 - х ;
8) г/=(-9 + х-2) 2 9 ;
/ 1 9 \ 10,2
10) 1/=(-2 + х-1+10х’2)
48
3. Изобразите схематически на одном чертеже графики трех
данных функций. Расположите данные первые три числа в по-
рядке возрастания, а последующие три числа в порядке убыва-
ния. Выполните по одному заданию в каждом из пунктов а) - г).
4
а) 1) у = х1’2 , у = х4х, у = х3 ;
4 4
0,21,2 , —0,23 ; 1,21,2, 1,21,5 , 1,23 ;
5V5
6
2) у = х1’3 , у = х>[х, у = х5 ;
6 6
0,51,3 , -Д=, 0,55 ; 51’3, 5^5, 55 ;
2-^2
5
3) у = х1’25 , у = xVx, у = х3 ;
5 5
2,51,25 , 2,5 ^2^, 2,53 ; 0,71,25 , 0,7-^OJ, 0,73 ;
8
4) у = х2’7, у = х2 4х, у = х3 ;
8 ___ 8
72’7, 49>/7, 73; 0,42’7 , 0,16^04, 0,43 ;
ю
5) у = х3,3 , у = х3 л/х , у = х 3 ;
ю ____ 10
З3’3, 27^3, З3 ; 0,33’3, 0,027 ^3, 0,3 3 ;
4
б) 1) у = х0,4 , у = у[х, у = х7 ;
____ 4 2
0,40,4 , 0,47 ; 40’4 , 2, 167 ;
2
2) у = х0’4 , у = у/х, у = х1 ;
2 2
0,3°’4, З^3, 0,37 ; 270’4 , 3, 277 ;
2
3) у = х°'3 , У = у[х, у = х7 ;
2 3
0,30,3 , ^3, 0,37 ; 270’3, 3, 97 ;
5
4) у = х0,7, у = №, у = х7 ;
• 5 5
0,70,7 , ^/0,49 , 0,77 ; 70’7 , ^49, 77 ;
49
5
5) у = х0,63 , у = №, у = х1 ;
5 5
О,60’63 , Vo,36, 0,67 ; 1250,63 , 25, 1257 ;
3 1
в) 1) у = х-0’5 , у = х8,у = х3;
з 1 з 1
О,5~0’5,0,5 8 , 0,5 3 ; 5’05 , 5 8 , 5 3 ;
2 5
2) у = х-°’6 , у = х 3 , у = х 7 ;
2 5 2 5
0,6"°’6, 0,6 3 , 0,6 7 ; б"0,6 , 6 3 , 6 7 ;
5 4
3) у = X'0,5 , у = х 9 , у = х 7 ;
5 4 5 4
0,7"°’5 , 0,7 9 , 0,7 7 ; 7"0’5 , 7 9 , 7 7 ;
5 2
4) у = х"0,7 , у = х 7 , у = х 3 ;
5 2 5 2
0,7"°’7 , 0,7 7 , 0,7 3 ; 7"0,7 , 7 7 , 7 3 ;
з 1
5)i/ = X"0’4 , у = х 7 , у = х 3 ;
з 1 з 1
О,3~0,4 , 0,3 7 , 0,3 3 ; З-0,4 , 3 7 , 3 3 ;
5 8
г) 1) у = х"1’7 , у = х 3 , у = х 5 ;
5 8 _5 8
1,7"1Д , 1,7 3 , 1,7 3 ; 0,7-1,7 , 0,7 3 , 0,7 3 ;
8 3
2) у = х"2’5 , у = х 3 , у = х 8 ;
8 3 8 3
2,5~2’5 , 2,5 3 , 2,5 8 ; 0,5’2’5 , 0,5 3 , 0,5 8 ;
2 5
3) у = х-1’5 , у = х 3 , у = х 3 ;
2 5 2 5
1,5- 1’5 , 1,5 3 , 1,5 3 ; 0,3-1’5 , 0,3 3 , 0,3 3 ;
100
4) у = х-5 , у = х 19 , у = х-°’19 ;
100 юо
0,03125, 2 19 , 2"°’19; 32, 0,5 , 0,5~°’19 ;
50
5) у = х 3,5 , у = х 7 , у = х 0,7 ;
10 10
Ю-3’5, 10 7 , 1О-0’7 ; ОД-3’5, ОД 7 , ОД-0,7.
4. Сравните числа а и Ь, если:
а) а0’6 > 5°’6 ; е) 2,3“ > 2,3й ;
б) а2’3 < 52’3 ; ж) (Тб - 2)“ > (Тб - 2}-,
в) а-1,2 < 6”1’2 ; з) (3 - Т2)“ > (з - ;
г) а-0,8 > &-0’8 ; и) (710 - 2)° < (Т10 - 2)* ;
д) 0,6“ < 0,6й ; к) (4 - Тз)“ > (4 - Тз)6 .
5. При каких значениях х справедливо неравенство:
а) х0>6<8; ж) хТх>-625;
б) х2,5<32; з) Тх>9х;
4
в) х3 <16; и) х0,4 > 32х2 ;
г) х-0,5<2; к) х0’3 < 0,25х-1’7;
д) х-1,6>32; л) х1’2 < ОД25х-0’3 ?
е) х-°’75 > 18;
6. Используя схематическое изображение графиков функций
найдите все решения уравнения:
2
a) xVx = 2-Vx4; ж) 4х = х 3 +1,75;
б) = 16 з) Тх =-2-4х^;
в) ^=VF-4; и) 0,5 Тх =(х-7)-0,7;
г) х24х = 1б4х^; к) 0,5 Тх =(х-31)-1’7;
«'ll- II 05 н| сл 1 + 05 | СП л) 2(х + 0,75)2’7 = х-°'5 ;
1 1 /— зГ х л 1 1 4/ 4 * % е) 4 vx =—; 16 2 х м) 0,5>/х + 3 = х-3’4 .
51
Орактикум 13 Решение некоторых
уравнений и неравенств,
содержащих степени с
дробно-рациональными
показателями и корни
1. Решите данное уравнение. Замените в этом уравнении знак
равенства на знак неравенства: а) больше, б) меньше - и решите
каждое из получившихся неравенств.
1) х + 9х°’5 -70 = 0; 2) х0’4 - х0’2 - 90 = 0;
2
3) Vx-5^/х-50 = 0; 4) х3+9^х-36 = 0;
5) х0’6 * + 17х°’3 - 18 = 0; 6) х0’2 + 15х0Д - 34 = 0;
7) х0’8 + Их0’4 - 60 = 0; 8) х1’6 - 13х°’8 - 48 = 0;
9) х1’5 + Зх0’75 - 88 = 0; 10) х0’6 - х0’3 - 56 = 0.
2. Введите новую переменную, относительно которой данное
уравнение будет квадратным, и решите его, если:
а) х + >/х - 2 - 88 = 0; и) х2 - 10х - 4д/10х - х2 -4-21 = 0;
б) х - л/х 4- 3 - 53 = 0; к) х2 4- 6х 4- 2 д/х2 4- 6х - 2 -37 = 0;
в) х + 9V8-X + 14 = 0; л) х2 - 2х + бУб4 + 2х- х2 =57;
г) х + 9л/91-х = 55; м) 49х2 + 56 + 37 = 5д/49х2 + 56х + 43 ;
д) х2 + 37х2 - 9 - 37 = 0;
е) х2 + 5д/х2 -16 - 40 = 0;
ж) 4 - х2 + 4 V25 - х2 = 0;
з) х2 + Зх + 7у/х2 + Зх + 18 = 0;
н) л/х + 9-^8 - Jx + 14 = 0;
о) Vx - вд/л/х-3 - 12 = 0;
п) (б - X0’2)0’5 = х0,2 ;
р) 7 - х0-25 =(9 - X0’25)0'5 .
3. Решите уравнение:
z \02 z \ О 2
. / о .\0’4 ( 2 Л-0’4 n er \ I 33 4- X ] (33 - Х^ ’ о „
а) |х - 4) 4- х - 4) =2,5; г) ----- +-------- =2,5;
\ 1 ' 1,33 -х) 1,33 + х)
б) (х2 + 7)0,4 -(х2 + 7) °’4 = 1,5; Д)?|^^ - = 1,5;
' ' ' ' V3-xV34-x
Г“-- Г.-------- Л\0,25 Л\0,25
в) + т/1±£ = 2; e)2f^^^ =3;
V 1 4- х \7-х к 3x4-2) \ 2x4-3)
52
ж) х0,4 - Зх0’2 (1 - х) ’ +2(1-х)’ =0;
з) 7х - 4Узх2 - Их - З73х - И = 0;
и) ^(х + з)2 - 2^(3 - х)2 = 7э - х2 ;
к) (х + 9)з + 2(9 - х)з = 3(81 - х2)з .
4. Решите неравенство:
а) д/1О-7з-^ <3; е)
б) VVx-12 -72 <72; ж)
в) ^7+738-х <2; з)
г) V17-Тз2-х >2; и)
д) ^3+^8-х <2; к)
7х + 27-1 >2ТЗ;
5-(х-3)°’25 -(х-3)0’5 <6;
х0’4 +х-0’4 >2,5;
х0’4 -х-0’4 <1,5;
д.0,25 + х-°.25 <^5
5. Найдите все корни уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
3)
и)
К)
67х2 - х +(х2 + х - 2) =0;
7х2 + х +(х2 - х - 2) ’ + (х2 - 5х - б) =0;
7х3 - х + х(х2 - 4х - 5)°’ + (3х2+3х)’ =0;
^4х - х3 + х(х2 - 5х - 14) 4 +(х2 + 2х) ’ = 0;
(х2-4)0’6 = 2 - х - х2 ;
(х2 + 2х - з) = -х2 - Зх;
(х2 - 4х) +(4х - х2) +7х2 + 9 = 5;
6. Найдите область определения и
множество значений функ-
ции:
а) у=74 + 7х;
б) у =73;
д) у = 1 +^9 - 7х ;
е) у = 2 - 716 - 7х ;
53
ж) у = yl - ух - Тб ; и) у =у9-yfx -у[х;
з) у = т]у/& - ^2 - 4х ; к) у = >[х - д/в -tfx .
7. а) При каких значениях параметра а данное уравнение не
имеет решений:
а) (х - а) = I (х - а) + (х - 1) I ;
,ч I о\0-3 (l о\0-2 I \0,7 \1,5
б) (х + 3) =1(х + 3) +(х-а) I ;
в) (х + а)0,7 =Нх + а)0,5+(х + 2)0’2 J 4 ;
г) (х - 2)0,21 =[(х - 2)0,3 +(х - а)1’2?’";
д) (х + а) = I (х + а) - (3 - х) I ;
е) (х - 0,б)5’5 =^(х - 0.5)1’1-(а - х)1,2^ ;
ж) (х - а)3,4 = f(x _ а)17 -(2 - а - х)2,4 ;
з) (х + а) = I (х 4- а) + (х + 6 - а) 1 ?
б) Имеет ли данное уравнение решение при каком-либо значе-
нии параметра а:
а) (х - б)0,6 =f(x - 5)°’5+(х + а)-0’3^12 ;
б) (х + 2Г= (х + 2)3-(х-аГ]Д:
в) (3 - х)°'6 =иЗ - х)1’2 + (а - х)-1’1?’5 ;
г) (7 + х)°’7 =((х + 7)0Д -(а - х)-2’3 J ;
д) (4 - х)4,2 =((4 - х)-°’7 +(а - x)’°’5J J
е) (х - б) 6,3 =Qx - б)7 +(х - а) 1,5 ) ?
8. Решите уравнение:
а) 5 (л/б + х - у/б - х) = х (7б + х + у/б - х);
б) х(V12 + х + V12 -х) = 12(V12 + x - V12 - х);
в) 6 (7б + х + >/б - х) = х + х - >/б - х);
г) х(V7 + X - V7-X) = 7(V7-x + V7 - х);
727 + х + V27 - х _ 27 ф л/в + х - л/в - х 8
727 + х - 727 - х х ’ 78 + х + 7в - х х ’
54
ж) + Х—Х = —-—; и) 3 (7х - 7б - х) =(х - 3) (7х + 7б - х);
7тТ7 + 7з^7 х + 2 / v а /
„ 7х + 7 + 717 - х 12 „ 1 73х -1
з) ,---—, =----; к) —, -- =-------;
7х + 7 - 717 - х х-5 72х- 1 чЛЭх2 - 6х + 1 Зх
л) V*3 - Зх2 + Зх - 1 + 5^71 = х
’ х ~ 1 \х2 - 2х + 1
3 1 3 4
м) (х + 1)7 -(5-х)7(х + 1) 7 =х(х + 1) 7 .
9. Используя схематическое изображение графиков функций,
решите неравенство:
а) х0,35 < 3 - 2х; д) х4’3 <7з + х - 1; и) (x-l)W <7х + 6 -1;
б) х-1,6 > Зх - 2; е) х-2,7 >7х + 82 к) (х + 1)3’1 <(х + 4)0,5 - 1.
в) х1,2 < 4 - Зх; ж) х-0,3 >у/х - 1 + 1;
г) х"°’5 >х-3,5; з) х"1’7 >Vx + 7 -1;
10. Решите неравенство:
а) 7х 4- 5 + 7б - х < 4;
б) 7x4-4 4- 74-х > 4;
в) 7x4-9 4- 79-х < 6;
г) 7x4-8 4- 78-х < 4;
д) 7х 4- 710 - х < 4;
е) 7x4-3 4- 7т - х > 4;
ж) 7х 4- 717 - х < 5;
з) 7х 4- 8 4- 79 -х > 5;
и) 7х 4- 713 - х > 5;
к) 7х 4- 5 4- 78 -х < 5.
Углы поворота и их
измерение
1. а) Впишите в единичную окружность с центром в начале
координат правильный n-угольник с одной из вершин в точке А,
если:
1) п = 3, А(-1; 0); 2) п-3, А(0; 1); ( г г\
3) п = 3, А(0; -1); / п: 4) п = 3, А^-Я-. 1 2 2 )
5) п = 4, А I2 21 ; 6) п = 5, Л(0; 1);
7) п - 6, А(-1; 0); 8) п-6, Л(0; -1);
9) п = 8, All-, О)-, 10) п = 8, А 1 2 2 J
55
б) Запишите в градусном измерении и в радианном измерении
в долях числа л углы поворота вокруг начала координат точки
Р (1; 0) до первичного ее совпадения с каждой из вершин п-уголь-
ника из пункта а) при вращении точки Р: против часовой стрел-
ки, по движению часовой стрелки.
в) Какие из вершин n-угольника из пункта а) могут соответ-
ствовать углам поворота вокруг начала координат точки Р(1; О),
принадлежащим промежутку:
1) [-90°; 90°]; 2) [2,5л:; Зя]; 3) [Зя; 4я];
4) [-Зя; -2я]; 5) [450°; 540°]; 6) -450°; 270°];
7) [3,5я; 4,5л]; 8) [-2,5л; -1,5л]; 9) -810°; -630°]?
Укажите эти углы поворота.
г) Запишите множество всевозможных углов поворота вокруг
начала координат точки Р (1; 0) до ее совпадения с любой верши-
ной n-угольника из пункта а).
2. Переведите в градусную меру углы, данные в радианах:
а) 1) 6) 0,2я; 1,6я; 2) 7) 0,6я; 3) 1,9я; 8) 0,9я; 2,1я; 4) 9) 1,1л; 3,1я; 5) Ю) 1,4я; 3,6я;
б) 1) 0,5; 2) 0,6; 3) 1,5; 4) 1,7; 5) 2,1;
6) 2,5; 7) 3,1; 8) 4,1; 9) 6,2; Ю) 6,3.
3. Переведите в радианную меру в долях числа л данный угол:
а) 1°48'; б) 10°48'; в) 31°12'; г) 227°18'; д) 41°24';
е) 36^6'; ж) 91°48'; з) 100^0'; и) 152?51'; к) 351°18'.
4. Переведите, используя таблицы и микрокалькулятор:
а) радианную меру угла в градусную:
1) 0,6; 2) - 0,25; 3) 1,2; 4) - 2,3; 5) 2,75;
6)-2,5; 7)3,1; 8)-3,5; 9) 4,273; 10)- 5,324;
б) градусную меру данного угла в радианную:
1)28°28'; 2)- 57°; 3)65°03'; 4)- 74°47'; 5)90°59';
6)-100°10'; 7)119°17'; 8)-121°21'; 9)201°21'; 1О)-ЗО1°ЗГ.
5. Каким четвертям координатной плоскости могут принадле-
жать углы а при условии, что k - целое число, если:
а) а = 0,6л + л&; б) а = - 1,2л + л&;
в) а = 1,6 + Зл/г; г) а = -1,7 + 7л&;
56
a
a = 3,4 - 34лй;
= 3,6л + 6л&;
= 2,7л - 27л&;
л + 1
е)
з) a = (-1)* • 0,4 + nk;
• | + лй; к) а = (-1)
6. Изобразите схематически на единичной окружности точку
А, соответствующую данному углу поворота a. Постройте точки
В, С и В, симметричные точкеА соответственно относительно оси
абсцисс, оси ординат, начала координат. Найдите углы поворота,
соответствующие точкам В, С и В, если:
а)
Д)
д)
ж)
и) а = (-1)
a
k 1 1,7л +лй?
и)
a = 75°;
a = - 0,3л
5
a = —л;
7
б)
е)
к)
а = -95°;
а = 0,6л;
7
—я;
6
a =
в)
ж)
л)
= 255°;
а
а = 1,7л;
27
a =------л.
11
г) a = -325°;
з) a = 3,3л;
Т ригонометрические
функции одного и того же
аргумента
1. Используя таблицы или микрокалькулятор, найдите коор-
динаты точки, полученной вращением вокруг начала координат
точки (1; 0) на угол a, если:
а)
б)
в)
а)
= 25°25';
= 31°47';
a = 0,3л;
2. Укажите
a
a
a
ж)
3)
и)
385°25';
б)
a
в)
a
3.
= 150°;
= 0,75л;
= 1,25л;
г) a = 0,4л
д) а = 1,3л;
е) а = 1,4л;
точные значения sin a, cos а,
г)
к) a = 0,5;
a = 2,35л; л) а = 1;
м) a = 1,2.
tga, ctga, если:
a = 3,3л;
д)
е)
а = 225°; ж) а =210°; к) а =330°;
а = 1,75л; з) а =120°; л) 5 а = —л; 6
а = 2,25л; и) а = 300°; м) 2 а = —л.
Какой четверти координатной плоскости
жать данная точка А:
будет принадле-
а)
1) A(cos317°; sin317°); 2) A (cos 219°; sin 219°);
3) A (cos 1,7л; sin 1,7л); 4) A (cos 0,7л; sin 0,7л);
5) A (cos 444°; sin 444° j; 6) A (cos 5,4л; sin 5,4л);
7) A (cos 6,6л; sin 6,6л); 8) A (cos 666°; sin 666° j;
9) A (cos 1,5; sin 1,5); 10) A (cos 3,1; sin 3,1)?
57
б) 1) A (sin 0,7л; cos 0,7л); 2) A(sin2,8K; cos 3,8л);
3) A(tg500°; sin 700°); 4) A(ctg3,3K; sin 0,8л);
5) А(соз7,7л; tg 2,9л); 6) A (sin 980°; ctg280°);
7) A(tg460°; ctg350°); 8) A (sin 2; cos3);
9) A (sin4; tg6); 10) A(ctg9,5; cos 5) ?
4. Изобразите дуги а единичной окружности, для которых
справедливо неравенство:
a) sin a < 0,6; e) tga < 2;
6) cosce > -0,7; ж) etga < 3;
в) cos a < 0,3; 3) etga > -1,5;
r) sin a > -0,4; и) sin a < 0,9;
Д) tgee > 0,5; к) cos a < -0,8.
5. По указанному значению данной тригонометрической функ-
ции угла а найдите точные значения трех других тригонометри-
ческих функций того же угла а :
a) since = 6-0’5, если а е [2,5л; Зя];
б) cosce = 5-0’5, если 270° < а < 360°;
в) since = -З-0’5, если л < а < 1,5л;
г) cosce = -2-1’5, если а е [-1,5л; - л];
д) tgee = 2-1’5, если 540° < а < 630°;
е) tgee = -21’5, если -2,5л < а < -2л;
ж) tgee = 70’5, если -2л < а < -1,5л;
з) etgee = 50’5, если 5л < а < 5,5л;
и) etgee = -20’5, если - 630° < а < -540°;
к) cosce = 1 - л/з, если etgee > 0;
л) since = 2л/б - 5, если tgee < 0;
м) cosce = 3 - 2V2, если tgee <0.
6. Найдите числовое значение выражения А, если известно,
что выполняется данное равенство:
a) tgee = 3
58
_ ч А 5 sin а - cos а
1) А =---------------;
7 sina + 3cosa
3 _ 2sin2 а + 3cos2 а
1 - sina cosa
5) A = l-cos-2a;
(sina - cosa)(sina 4- 5cosa)
2) A = ^--------------
cos a - 3sina cosa 4- 8sina
о
A 2 - sin a
4) A =----------—
3 4- cos a
6) A = sin-2 a - 1;
6) ctga = 0,5
2 2
A 2sin a - 3sina cosa - 5cos a
1) A =----2---------------------2~'
cos a 4- 0,5 sin a cosa - sin a
2 2
A sin a - 2 sin a cos a - 8 cos a
2) A =--------------------------;
14-3 cos a
. 5-3sinacosa
3) A Г,
(7cosa - 2sina)(2sina 4- cosa)
3 3
4 sin a 4- 8 cos a - sin a
(sina - cos a) I sin2 a 4- 3 j
5) A = cos 2 a - 22;
в) sina 4- cosa = 0,8
1) A = cosasina;
3) A = sin3 a 4- cos3 a;
6) A = 3 - sin 2 a;
2) A = tga 4- ctga;
4) A = | sina - cosa
2 2
A sin a cos a
5) A =-----------------------;
1 4-cosa 1-sina
A . 2 14- cosa 2 14- sina
6) A = sin a--------4- cos a-------;
1 - cosa 1-sina
_4 . 2 1 - cosa 2 1-sina
7) A = sin a---------4- cos a-------;
1 4- cosa 1 4- sina
r) sina - cosa = 0,5
1) A = sina cosa; 2) A = tga 4- ctga; 3) A = sin3 a - cos2 a
4) A = | sina 4-cosa |;
2 2
A sin a cos a
5) A =----------4----------;
1 - cos a 14- sin a
6) A = cosa
1 4- sin a . 1 - cos a
----------4- sin J--------;
1 - sin a V 1 4- cos a
59
д) tga 4- etga = 10
1) A = tg2a + ctg2a;
3) A = sin a cos a;
5) A = |sina - cosa |;
7) A = | sin3 a - cos3 a |
e) sin a cosa = -0,4
1) A - | sina + cosa |;
3) A = | sin3 a 4- cos3 a |
5) A - | sin4 a - cos4 a |
7) A = | tga - etga |;
9) A = | tg2a - ctg2a |;
2) A = tg3a 4- ctg3a;
4) A = | sina 4- cosa |;
6) A = sin3 a 4- cos3 a
8) A = sin4 a - cos4 a
2) A - | sina - cosa |;
4) A = | sin3 a - cos3 a |
6) A = tga 4- etga;
8) A = tg2a 4- ctg2a;
10) A = tg3a 4- ctg3a.
7. Справедливо ли равенство:
ч 1-3 cos2 a 1 2
а) + —б— = te
2-3 sin a cos a
1 2-5 sin2 a л 2
6) —+-----------— = ctg2a;
sin a 3-5 cos a
в)
о Л 9
3-7 sin a . _2 etg a 4-1
----------— 4- sin a = --------
4 - 7cos2 a tga + 1 )
2 / \2
4 10-9cos a ( 14-tga | 2
r) ---------— 4- ------- = cos a;
l + 9sin2a Ц + ctgaJ
д) tg2a 4- sin2 a cos2 a 4- sin4 a = cos 2 a - cos2 a;
e) ctg2a 4- sin2 a cos2 a 4- cos4 a = sin 2 a - sin2 a;
x sin60° -V3sin210° . — 2 1 f7° , 2iro
ж) --------—----------4- sin 2 17 = ctg2l7 ;
cos 30° - V3cos2 10°
x cos45° - V2 cos2 40° -2rno x 2^0
3) -------------4-cos 2 50 = tg250°;
sin 45° - V2 sin2 40°
60
2tg30o-V3sin2 70° 2 0 -2чо.
и) —=----------------1- tg о = cos 5 ;
л/3 cos2 70°-ctg 60°
\ x л tr о cos 65° - sin 56° . -2 e aq cos 56° 4-sin 65°
к) ctg45° + ctg2 54 +------------= sm 2 54° +--------------?
cos 56° - sin 65° sin 56° 4-cos 65°
8. Справедливо ли двойное неравенство:
а) 2 - а2 < 2 sin2 а 4- 3 cos2 а<|а|4-|а-3|;
б) -6 4- 4а - а2 < 3sin2 а - 2 cos2 а<|а4-1| + |а- 21;
в) - 7 - 4а - а2 < 2 sin2 а - 3 cos2 а<|а4-1| + |а-1|;
г) -|а4-1|-|а-1|< sin2 а 4- 3 sina 4- cos2 а < а2 - 2а 4- 5;
д) 2а - а2 - 8 < 5 cosa - 2 cos2 а - 2 sin2 а<|а4-2|4-|а - 11;
,__________ . 2
е) - Va - 2 < Sin а < а2 - 2а + 3;
1 - cos а
____ 2
ж) - ^4 4- d < C°S а < а2 4- 4а 4- 6;
14- sin а
2
з) 2а-а2 - 2< 2~tg а <|fe-l| + |fe + l|;
14- tg2a
и) 2а - а2 <---5 о + cos2 a<|d + 2| + |d - 31;
14- ctg2a 1 11 1
к) -2-a2<3sin2a------Ц- < IЬI + -66 + 9 ?
1 + tg2a 1 1
9. Постройте график данной функции:
а) у = tgxctgx; е) у =----------;
cosx
б) у = sinхcosх(tgх 4- ctgx); ж) у = cosx-Jl 4- tg2x ;
JI - cos2 x 4 . Г A 2
---------; з) у = sinxvl 4- ctg x;
sinx
г) у = C-°S - и) у = cos x -Jtg x (tg x + ctg x);
Vl - sin2 x
д) У = ; к) у = sinX JctgX (tgX + ctgx).
Vl - cos2 x
61
' л 1 ,t ’ •' \'МЛ. v
Соотношения между
значениями тригонометри-
ческих функций взаимно
противоположных по знаку
углов. Частный случай
формул приведения
1. Изобразите на единичной окружности тригонометрического
круга точку М, принадлежащую первой четверти координатной
плоскости и соответствующую повороту вокруг начала координат
точки (1; 0) на угол а, и точку К, являющуюся результатом по-
ворота вокруг начала координат точки М на угол р. Установите
соотношения между координатами точек М и К, запишите эти
соотношения в виде тождества с одной переменной а, если:
а) Р = 90°; г) Р = -2а; ж) Р = 1,5л - 2а;
б) р=л; д) р=|-2а; з) р = -0,5л;
в) р = 270°; е) р = 180°-2а; и) р = 2(л-а).
*
2. Найдите числовые (точные) значения синуса, косинуса, тан-
генса и котангенса данного угла а , если:
a) a = 2,75л; e) a = -600°;
6) a =675°; ж) 11 a = —л; 3
в) a = 510°; 3) a = -5,25л;
r) 5 a = —л; 6 и) 2 / ч a = — л (ЗА? - 1), где k g Z;
д) a =-480°; к) a = ^-(7 - 4A?), где k g Z.
3. Используя преобразования тригонометрических выражений,
найдите значение данного выражения:
_ . sin 0,9л ctg 0,4л cos 1,9л
a) sin 3,1л +--------------------г;
tgl,ln tg 0,6л sin (-0,1л)
б) cos343° + sinl63°ctg253° + cos-1197°;
в) sin2,2n + sin 3,3л tgl,7n + cos-1 0,7л;
г) 2tg202° - (1 + ctg 608° - cos 158°) fl + tg(-562°) - sin-1 68°);
62
д) 2sin(-160°) + (tg225° + tg200° + cos’1 340°) x
x(sin470° -cosll0° -1);
e) 2 cos 0,9л 4- (tg 1,25л 4- ctg (-3,7л) 4- sin"11,7лj x
x (sin 0,6л + cos 1,6л + sin"1 3,5л j;
ж) ctg204° cos"1 240° 4- (tg66° 4- sin"1156° - sin"1 270° jx
x(tg246° + ctg (-135°) - cos"1 294°);
4 2-3 cos 0,5л sin 0,35л , „ л л
з) -------------- 4- ctg 3,15л 4- 2 ctg 0,65л;
sin 0,85л cos (- 1,85л)
(tg 240° + 2 cos 174°) (2 sin 84° - ctg 330°)
и) ---------------------------------------- + tg 264° + 3 tg 354°;
sin96°cos276°
tg 1,25л - ctg2 (-1,2л) tg(-0,2;i)
к) .
ctg 0,8л 1 - ctg 1,7л tg 3,3л
4. Упростите данное выражение и найдите его значение:
XX х 2 Г0’5 17
a) tga (14-tga) при a =—л;
б)
/ 9 \-0»5
ctga(l + ctg a)
11
при a = —л;
6
/ _9 Э
в) sina (sin a - 1) при a =—л;
/ _2 \0,5 5
г) cosa (cos a - 1) при a = —л;
/ _9
д) sinaII + ctg al при a = 1,25л;
е)
cosa 14- tg а) при a = — л;
/ _2 \0,5
ж) etga (cos a - 1) при a = 1,7л;
( -lA0,5
з) etga 11 — (1 4-tg2a) при a = 1,75л;
63
И)
( _1\0,5
tga l-(l + tg~2a)
8
при a = — тс;
/ n \ 0,5 / n \_ 0,5 4
к) sina ^2 + 3tg a) ^2 + sin a) при a = —тс.
5. Что больше:
a) sin 500° или cos 40°;
б) cos5,15jc или sin5,5hc;
в) tg470° или ctg (-205°);
г) ctg5,65TC или tg(-3,14jc);
д) tg!992° или tg0,2;
е) cos 3 или cos 3,04тс;
ж) sin773° или tg307° );
з) cos(-2,3tc) или ctg3,3jc;
и) cos 530° или tg280°;
к) sinl,7TC или ctgO,8TC?
6. Обладает ли данная функция свойством: 1) четности, 2) не-
четности, если:
а) у = х cos х - 2 ctg х; е)
б) у = х sin х - 5 cos х-1; ж)
в) у = 2 sin х - х cos х; з)
д) у = sin3 х - xctg2x; к)
у = cos3 х - x3ctgx + 3;
у = [х2 4- l)tgx — xcosx;
у = (х3 - ljsinx 4- 2cosx;
у = cos х ctg х - х’1 cosx?
Формулы сложения
1. а) Дано: sin a = 0,28 и 0,5тс < a < тс. Вычислите:
1) cos^60°-a); 2) cos(120° 4-ос); 3) sin(150° - ос);
4) sin(l,25TC + ос); 5) tg(oc - 0,25тс); 6) tg(oc + 3OO°);
7) ctg(210° + ос); 8) ctgf^-тс - ос j.
б) Дано: cosoc = -
Найдите:
1
^4а2 + 1
, 0,5тс
< a < тс; tgР = а, 1,5тс < Р < 2тс.
1) sin (а 4- Р); 2) sin (а - Р);
5) tg(oc + P); 6) tg(oc-P);
3) cos (а 4- р); 4) cos (а - ₽);
7) ctg(а 4-р); 8) ctg(а - р).
64
в) Найдите:
1) sin(80° + а), если sin(50° 4- а) = —и 40° < а < 130°;
v 7 v 7 2V7
2) cos(81°-oc), если cos (а
- 21°) = 4- и -60° < а < 20°;
’ V7
3) sin (а - 0,45л), если cos (0,7л - а) = - 5 °’5 и -0,3л < а < 0,2л;
4) sinf— - а\ если 1^(0,6л 4- а) = — и 0,4л < а < 0,9л;
у 15 у 3
5) tg ^80° -- а), если ctg (а - 20°) = 8-5 7з;
6) ctg — - а , если tg (0,1л 4- а) = 8 - 5 л/З;
7) tg(a - 0,1л), если sin (а - 0,35л) = -~^= и 1,4л < а < 1,8л;
V26
8) ctg (100° - ос), если cos (а + 140°) = и ~ < а < ”50°.
2. Верно ли равенство:
а) sin75° = 0,5^2+л/3: е) ctg225° =^7-4^3;
б) cos75° = 0,5 ^2 ->/з ; ж) tg— = 2 4- tg —;
v 12 3
в) tg75° = 2 + 7з ; з) sin— = J 0,5sin— - sin— ;
12 V _______3______6______
г) ctg75° = 2 - л/з ; и) cos285° = 7cos60° -0,5sin60° ;
д) cos 105° = -0,572-73 ; к) ctg 105° = V15tg60° -26?
3. Найдите числовое значение тригонометрического выраже-
ния:
а) sin40° - 2sin5° cos35°; г) sin2 25° +sin2 35° - sin2 5°;
6) sin40° + 2sin 10° cos50°; д) cos2 25° + cos2 35° 4- sin2 5°;
в) cos70° 4- 2sin5° sin65°; e) cos2 65° + cos2 55° 4- cos2 5°;
3 О. H. Доброва
65
ч cos 10° - cos 55° ...о
ж)--------------—------+ ctg 100 ;
2 sin 55° -V2sinl0°
4 V2 cos 0,2л - 2 cos 0,05л
з)--------------1=-------;
2 sin 0,05л + V2 sin 0,2л
и)
К)
T3-tgl5°
1 +T3tgl5° ’
tg2 52°30' - tg2 7°30'
1-tg2 52°30'tg2 7°30'
4. Упростите тригонометрическое выражение и найдите его
значение:
cos (а - В)
а) + sin Р cosa при a = 80°, Р = 70°;
tg Р + ctga
б) sina sin р при a = 0,2л, р = —л;
tga 4- tg р 15
в) -----------4- cosa cos р при a = 0,45л, Р = 0,3л;
ctga - ctg р
cos (a 4- р)
г) - + sina cos Р при a = 23 , р = 83°;
tga - ctg р
cos (a 4- р)
д) -----------4- sina sin р при a = 170°, Р = 230°;
1 - tga tg р
sin (a 4- P)
e) sina cos P при a = 2,32л, P = 0,07л;
14- tga ctg p
4 cos 5a . _ 17
ж) ------------4- sin6a cosa при a = —л;
ctga 4-tg6a 21
3) 4- sina sin7a при a = -26°15';
tga 4-tg,7a
! И 1 * <
v Ы11 Ct rx л -1 л nr О
и) cos 0,4a cos 1,4a при a = 25 ;
ctg 0,4a - ctg 1,4a
X no 1 a cos 0,7a 25
к) sin2,3a cos 1,6a------------------при a = —л;
tg 1,6a 4-ctg 2,3a 21
sin(2a-3p)
л) ------------- 4- sin 2a sin3p при a = 6 , P = 36 ;
tg3p - tg2a
cos (0,2a 4- 0,3p)
м) -----------------4- sin 0,2a cosO,3P при a = -0,2л, p = 0,7л.
tg0,2a - ctg 0,3 P
66
5. Найдите tga, если выполняется равенство:
а) 5/2 sin(a + 0,25л) = л/з sinla
б) sin a - — = 72 cos(a + 0,25л);
г) (Тб - 72)cos^a + ^л j + л/з sin(O,75TC - a) = 0;
д) (2 + 73)sin(a - 1,25л) + 5/2 cos| —л - а | = 0;
' ' уб )
е) (2 - 7з) sin (0,75л + а) + 72 соэ^л - а) = 0;
ж) (7-Тз) COS (1,75л - а)+ 872 sin f а - 1 = 0;
з) (1 - 3 5/2)cos(0,75л - а) + (72 -2-\/3)sin^ - a j = 0;
и) (1 - 6л/з jsin(0,25л - а) + 5^2 = 0;
к) (1 - 10-\/3)cos(a - 1,75л) + 9л/2 sin^-л + aj = 0.
6. Найдите угол а, принадлежащий интервалу (-90°; 90°j, для
которого выполняется равенство:
а) sin (а + 30° j = 2 sin (а - 30° j;
б) sin (а + 20° j = cos (а - 20°);
в) cos (а - 30° j = 2cos^30° + а);
г) sin (а + 60° j = 2sin(60o - а);
д) cos^60° - a) = 2cos(120° - a);
e) cos (a + 0,1л) =sin(a - 0,1л);
ж) sin^a 4- = ^2 4- 5/3 j sin - a J;
3) cos (a + 30°) = (2 - 7з) cos (a - 30°);
67
и) (1 + л/з j cos (а - 45°) = 2 72 sin(a + 60°);
к) (>/з - 1) sin I - а I + 72 cos(0,75jc - а) = 0.
7. Известно, что а, Р и у - острые положительные углы. Най-
дите:
a) a 4- р, если tga = 0,2 и ctg р = 1,5;
б) a 4- р, если tga = 0,25 и tgР = 0,6;
в) a 4- р, если tga = 2 и tg Р = 3;
ч п . / 2 -Л-0,5 1 п а-1
г) a 4-р, если sina = a 4-1 ntgp=-----, где a > 1;
' 1 a 4-1
д) a 4- p, если sin a = a и cos P = a, где 0 < a < 1;
e) a - P, если sina = 0,4 4- 0,37з и tgP = 0,75;
д л/з^
ж) a - р, если ctga =-и tg Р =---, где 1 < a < 4;
a - 1 4 - a
з) a 4- р 4-у, если sina = —ctgР = 7>/2, siny = —;
л/11 3
и) a - Р - у, если tga = 4, tg Р = 3, ctgy = 13;
к) a - Р - у, если tga = a, tgР = а - ab1, ctgy = ab 4- а~гЬ - а,
где а > 0, b > 1.
AeOG - (я
flpaiCTtoc^M 18 Следствия из формул
сложения
1. Докажите справедливость данной формулы приведения при
любом значении a:
а) sin(90° 4-a) = cosa;
б) cos(90° 4-a) =-sina;
в) sin (180° -aj = sina;
r) cos(180° -aj = -cosa;
д) sin (тс 4- a) = - sina;
e) cos (тс 4- a) = - cosa;
ж) sin^270° -aj = -cosa;
3) cos(1,5jc 4- a) = sina;
и) sin(0,5jc - a) = cosa;
к) cos(0,5jc - a) = sina.
68
2. Докажите тождество:
a) sin а 4- sin В t а = tg cos а 4- cos p 4- 2 ₽. > B) sina cosa +^n-p- =ctg^-; - cos P 2
6) sin а 4- sin В „ = Ctg cosa - cos p a 2 ’ Г) sina cosa - sin P t a - P = tg 4- cos P 2
Д) sin a - sin В . a - = tg— sin a 4- sin p 2 ₽ a + p ctg & >
e) cosa - cos В , a „ = tg cosa 4- cos p 2 p tg a 4- p . 2 ’
ч sin а + sin 9а sin а - 7 sin 5а + sin 9а
ж) ---------------
cosa + cos 9а
ч cosa - cos7а
з) ~=
sina - sin7а
ч sin 5а - sin За
и) ---------------
cos За 4- cos 5а
ч 1 ч sina 4- sin0,8а - 0,1 cos0,1а
к) ctg 0,1а =-----------------------------.
cos0,8а - cosa - 0,1 sin 0,1а
cos а - ( cos эа 4- cos
cos а 4- 72 sin 4а - cos 7а
sina - 5/2 cos4a - sin7a
sin 5a - sin 3a 4- 7 sin a
7cosa 4- cos3a 4- cos5a
3. Вычислите:
a) sin35° 4-sin 25° - cos 5°; e)
6) cos 17° - cos77° - sin 47°; ж)
„0 sin 12° cos 54°
cos 6-----------------;
cos 18°
sin24° cos 18° .-o
---------------- cos12
cos 36°
4 sin 21° 4- sin 39° 4
B) -------------------7; 3)
cos 54° 4- sin 54°
4 cos32° - cos28° 4
r) --------------------; и)
sin 47° - cos 47°
x sin 80° - sin 70° cos 20° - cos 50° x
д)-----------------------------------------; к)
sin29° - cos71° sinll° + cos31°
sin 10° 4- cos40° - 1
cos 10° 4- cos 50° - 7з
cos 10° + sin 40° + 3V2
cos 40° 4- sin 10° 4- >/б
cos 6° 4- cos 54°
sin6° 4- cos36°
>/б .
V2 ’
x sin 24° + sin 28° + sin 32° + sin 36°
л) --------------------------------------.
cos 24° 4- cos 28° 4- cos 32° 4- cos 36°
69
a)
4. Найдите множество значений функции:
‘ ГЯ
б) у = cos х - sin--х ;
16 J
у = sin x - cos x;
B)
(Л 1 . I It ]
----x + sin — + x ;
3 J 16 J
r)
у = cos (0,2л + х) + cos (0,Зя - х);
Д)
i 2л ] ч . i л |
у = sin x - cos lx —— I; ж) у = sin I — 4- x I 4- cos x;
e)
у = cost x ~ ~ I “ sinx; з) у = cos(10° 4- x) - sin^40° 4- xj;
и)
(Л 1 Л ]
----х + sm х + cos х ;
3 J 1б J
к)
у = sin (5° - x) - cos (x + 25°) 4- sin ^35° - xj.
5. Упростите выражение и найдите его значение при указан-
ном значении а:
ч sin 1,1а 4-sin 0,1а
а) -----------------— при а = 7^30 ;
cos 1,1а 4- cos 0,1а
б)
2 sin За cos 7а - sin 10а _
----------------------при а = 0,0625л;
cos 10а - 2 cos За cos 7а
в)
2 sin 10а
г)
Д)
е)
, з 41
- tg а при а = —л;
cos 10а 4- cos 4а 43
2 sin 11а х „
----------------ctg 6а при а = 0,05л;
cos а - cos 1 la
, _ 2cos5a 1/гсО
ctg 7а--------------при а = -165 ;
sin 9а 4- sin 5а
sina 4- sin За 4- sin 5а 4- sin 7а
----------------------------при а = 300 ;
cosa - cos За 4- cos 5а - cos 7а
ч sin а - sin 2а - sin 4а 4- sin 5а 17
ж) -------------------------------при а = —л;
cosa - cos2а 4- cos4а - cos5а 18
ч 4 sin 5а cos 7а - 2 sin 12а л
з) ------------------------+ tg 7а при а = 102°;
cos 2а 4- cos 12а
70
cos 1,5а ПК x mo
и)--------------------------------cos 2,5а ctga при а = 12 ;
sinl ,2а - 2 sin 0,1а cos 1,1а
л/2 sin (а + 0,1л) - соз(0,15л - а) 17
к) ------------------------------- при а = —л.
cos (а + 0,35л) + sin (0,65л - а) 30
6. Докажите, что при любых допустимых значениях а данное
выражение принимает одно и то же значение:
ч sin a + cos a
а)
cos (a - 1,25л)
sin(3,25л - a)
6) —-------------
sin a - cos a
ч . 1 + tga
в) tg a + —-------------;
tg (a + 1,25л)
r) ctg(1,75л + a) +--------—
1 - tga
Vi - tga (n A
Д) ----;=---ctg - - a ;
1 + V3 tga \3 J
sin a + 2 sin (60° - a)
e) ----—---------------tga;
2cosl30° -a)-V3cosa
^2 cosa - 2 sin (45° - a)
>/з cosa - 2sin(60° +a
4 . (it a (it a
3) 2 sin — + — cos------------- sina;
I8 2 J I8 2 J
4 . fa it . (it
и) sin — + — sin —
I2 3J I3
a Л к
— - 0,5cosa;
2 J
к)
tg (a - 2,5л)cos(3,5л + a) - sin3 (1,5л + a)
cos3 (a - 0,5л )tg (5,5л + a)
7. Разложите данное выражение на возможно большее число
множителей, являющихся тригонометрическими функциями:
а) 1 + 2 sina; б) 1-72 cosa;
в) V3+2cosa; г) 1 +sina-cosa;
д) 1 - sina + л/з cosa;
е) V2 - л/з sin (а - 0,1л) - sin (0,6л - а);
ж) sina + cos 2а + sin 5а; з) sin 2а + cos За - cos 7а;
и) 2 cos а - cos За - cos 5а;
к) sina + sin За + sin 5а + sin 7а;
л) 2 sin2 а - cosa - 1;
м) 2 cos2 а - 3 sina - 3.
71
Формулы двойного
и половинного аргументов
1. Найдите значения /(2а) и J, если известно значение
/(а). Определите возможные значения угла а.
а) /(а) = 0,55/2 - 4з, где /(х) = cosx и - 90° < а < 0°;
б) /(а) = --г 1 -, где /(х) = cosx и — < а < л;
V4-2V2 2
в) /(а) = 0,5 д/2 - 7з, где /(х) = sinx и -л < а < -
г) /(а) = 0,55/2 - V2, где /(х) = sinx и 90° < а < 180°;
д) /(а) = 2 - >/з, где f(x) = tgx и л < а < —;
2
е) /(а) = 1 - 72, где /(х) = tgx и 90° < а < 180°;
ж) /(а) = 2 + 7з, где /(х) = ctgx и 180° < а < 270°;
з) /(а) = -1 - V2, где /(х) - ctgx и — < а < л.
2
2. Вычислите, не используя таблицы и микрокалькулятор:
a) sin2 10° ч- cos50° cos70°; б)
в) sin 40° (1 + 2 sin 10° j; '
sin8° X
д) e)
sin 19 - sin 11
4 sin 2° cos 39° .
ж) . ; з) ; и)
Vl-cosl4° Vl + sinl2°
\ 4. cos22°30' <
к) ctg 11 15 ------------; л) ctg3
1 + cos 22 ° 30'
sinl7 4-sin 77 sin 43 ;
sin40° - 2 sin 5° cos35°;
cos2 35° - cos2 25°
sin 10°
71 - sin 82°
• A °
sin 4
. cos7°30' cos 15°
45 ------------------------.
1 + cos7°30' l + cosl5°
72
3. Упростите выражение и найдите его значение при заданном
значении угла а:
a) cosaVl - cos2a, a = 555°;
6) sinaVl + cos2a, a = -202°30';
в) cos —Vl - cosa, a = -30°;
2
r) sin —Vl + cosa, a = 210°;
4 2 a 1 - cosa ч _o
д) cos —J----------, a = -15 ;
2 V1 + cos a
. 2 a 11 + cosa пооОЛ/
e) sin — J---------, a = -22 30 ;
2 V1 - cosa
ж) ,a=465°;
V2 + cos2 a - cos 2a
ч . n 3 + 5ctg2a
з) sin 2a J--------, a = 645 ;
V 4 + cos 2a
4 . 6-cos2a ^oir,
и) sina -----—, a = 466 j.5 ;
y5 + 7tg2a
. 9 + cos 2a nnnoonz
к) cosa ---------, a = -202 30 .
У llctg2a - 1
4. Докажите, что числовое значение данного выражения мож-
но найти без указания конкретного значения угла а. Определите
числовое значение данного выражения.
а) 2sin4 — + sin2 a + 2cos4 —; в) (ctga - ctg2a)sin2a;
2 2
_ . 6ar»-2 . . 6 a x n ct£a +
6) 4 cos — + 3 sin a + 4 sin —; r) cos 2a------;
2 2 ctga - tga
73
х - г» /. о х о \ х х I х л + 2а 2 2а - я
д) sin6а (tg3a + ctgЗа); ж) etga tg------------+ tg-------
v 4 4 ?
е) etga (etga - 2ctg2а); з) 8cos4 а - 4cos2а - cos4а;
и) 8 sin4 а + 4 cos 2а - cos 4а;
х п • а я + 2а
к) 2J2 sin —cos--------sina - cosa;
2 4
x n а я - 2a
л) 2J2 cos —cos--------sina - cosa.
2 4
5. Вычислите:
a) y/0,5 + 0,5 Vo,5 + 0,5 cos 400° + cos 170°;
б) V0’5 - °’570,5 + 0,5cos324o + sinl89°;
в) Vo,5 + 0,5 Vo,5 + 0,5cos200° + 2sinl00° cos!30°;
r) V°>5 + 0,5 Vo,5- 0,5 sin 190° - 2 sin 20°sin 40°;
Vi-----------\--- 29 11
0,5 + 0,5-JO,5 + 0,5 sin 1,9л - 2 cos-л cos—л;
120 20
e) Jo,5 - 0,5 70,5 + 0,5 Jo,5 - 0,5 cos 340° + 2 sin 5°cos 25°;
\ 4- H2 + Jl + cos256°
ж) tg26 -----------
V yl~2 - 71 + cos256°
и)
tg 0, Зя 71 + зт0,7я
7i #+ 71 + соз1,2я
- Jl - cos 0,2л
~r—/
>12 + Jl “ sin 0,Зя
к)
ctg 50° 71 - sin 290°
5/2 - Vi + cos 200°
6. Существует ли такой угол а, при котором было бы верно
данное равенство:
a) sina cosa = sin31°; г)
б) sin2a etga = 2ctg40°;
в) sina ctg — = tg46° + 2cos46°;
2
cos4 a - sin4 a = 0,5 4- cos 50°;
д) (1 + cos2a)tga = tg50°;
e) (1 - cos 2a) ctga = ctg 40°;
74
ж) -------= ctg 20°;
ctg a - ctg 2a
3) (1 - sin 2a) tg (a - 0,75л) = tg47°;
и) cos 2a ctg (0,75л - a) = 2tgO/fa;
к) 8 cos4 a - cos 4a = 10 cos 40°;
л) cos2a + 2(V3 - V2 jcosa = 2л/б - 1;
м) cos2a + 4cos — + a - 8sin —cos — + a = 1 - 4>/2 ?
U J 8 \8 )
7. Какие значения может принимать cos 2a, если выполняет-
ся равенство:
а) cos2a = sina;
б) cos2a = cosa;
в) cos2a = -cosa;
г) cos2a = -sina;
д) -Уз cos2a = sina;
е) 5/2 cos2a = - cosa
ж) 5/2 cos 2a =-3 sin a;
3) cos2a = 25/2 cosa;
и) Тб cos2a = 3cosa;
к) 710 cos 2a = sina ?
Различные
тригонометрические
преобразования
1. а) Докажите, что при любом натуральном значении п спра-
ведливо тождество
cos па = 2 cosa cos(n - 1)а - cos(n - 2)а.
Последовательно используя это тождество, представьте в виде
многочлена относительно cosa следующую тригонометрическую
функцию:
1) cos За; 2) cos 4а; 3) cos 5а; 4) cos 6а; 5) cos 7а; 6) cos 8а.
б) Докажите тождество
sin па = 2sin(n - 2)а • (1 - sin1 2 а) - sin(n - 4)а, где п е N.
Используя это тождество, представьте в виде многочлена относи-
тельно sina данную тригонометрическую функцию:
1) sin За; 2) sin 5а; 3) sin 7а; 4) sin 9а.
75
в) Представьте данную тригонометрическую функцию в виде
произведения cosa и многочлена относительно sina:
1) sin 4a; 2) sin 6a; 3) sin 8a; 4) sin 10a.
г) Выразите данную тригонометрическую функцию через tg a
или ctga:
1) tg2a; 2) tg3a; 3) tg4a; 4) tg5a;
5) ctg 2a; 6) ctg 3a; 7) ctg 4a; 8) ctg 5a.
2. а) Пусть sina задан рациональным числом. Будет ли выра-
жаться рациональным числом:
1) cos 2a; 2) cos 4a; 3) cos 6a; 4) sin 3a;
5) sin5a; 6) cos2na, где n e N; 7) sin(2n + 1)а,где n e N?
б) Пусть cosa задан рациональным числом. Будет ли выра-
жаться рациональным числом:
1) cos2a; 2) cos3a; 3) cos4a; 4)cosna, где n eN?
в) Пусть tga задан рациональным числом. Будет ли выра-
жаться рациональным числом:
1) tg2a; 2) ctg 2a;
5) cos 2a; 6) sin 2a;
9) tgna, где n g N;
11) sin2na, где heN;
3) tg3a; 4) ctg 4a;
7) cos 4a; 8) sin 4a;
10) ctgna, где heN;
12) cos2na, где n eN?
3. Найдите точное числовое значение:
а) sin 18°; б) cos 0,1л; в) cos 54°; г) sin 0,3л;
д) sin36°; е) cos0,2л; ж) cos72°; з) sin0,4л;
и) sin 12е; к) cos 9°; л) sin 6°; м) cos3°.
4. а) По заданному числовому значению тригонометрической
функции угла I четверти а выясните, что больше: 45° или а.
б) Найдите точное числовое значение той же самой функции
от аргумента 5a.
в) Определите величину угла a, если:
1) sina = 0,25(Тб-1); 2) cosa = 0,25-JlO + 2л/б;
3) sina = 0,25(Тб + 1); 4) cosa = 0,25710-275;
5) sina = 0,25710-275; 6) cosa = 0,25(1 + Тб);
76
7) sina = 0,25^10+ 2>/5; 8) cosa = 0,25(л/б - 1);
А 4 + 710 + 2V5 1n. , 4 - 710 + 2>/5
9) tga =-----f=------; 10) ctga =---.
V5-1 V5-1
5. Докажите, что числовое значение данного выражения не
зависит от значения угла а, при котором это выражение имеет
смысл:
а) cos2a tg — + a - sin2a; в) 2cos* 2 * * * 6a + cosa
\4 J
2 . f я i . i л | 4 sin 3a
6) cos a - sin — + a sin----------a ; r) ------------
^3 J ^3 J sina
з з
. sin a + sin 3a cos a - cos 3a
Д) --------;;
sin a cos a
a a a
cos — cos — cos —
3a a
2cos — cos — ;
2 2
cos 3a
cosa
cos — a + cos — a + cos — a + cos —
12 12 12 12
ж) ^3tga + (з - tg2ajctg3ajtga;
. 4cos a - 3 . . _
и) -----------+ tga tg 2a;
cos 2 a
з) (3ctga + (з - ctg2a)tg3a)ctga; к) tg 3a ctga---------.
' ' 7 7 4cos2a-3
Определите числовое значение выражения.
6. Докажите, что при каждом заданном допустимом значении
угла а данное квадратное уравнение относительно х имеет един-
ственный корень:
а)(-1 + 2cosa - cos2a)х2 - 2tg — • х + (1 + 2cosa + cos2a) 1 = 0;
6)(1 + 2cosa + cos2a)x2 + 2ctg— • x - (1 - 2cosa + cos2a) 1 = 0;
2
в) (cos 2a + 2sina - l)x2 + 2 tg^- - -|-jx + (1 + 2sina - cos2a) 1 = 0;
r)(l + 2 sina - cos 2a) x2 - 2xctgl “ “ I + (cos 2a + 2 sin a - 1) 1 = 0;
77
д) (1 ч- sin4 а - cos4 а)х2 4- 2xtga 4- —-----— = 0;
' 7 sin2 2a + 4 cos4 a
x2
e) —---------------2x ctg a - cos 2x = 1;
cos4 a - sin4 a - 1
ж) x2 cosa 4- 2xsin2a 4- cosa = cos3a;
з) (sina - sin3a)x2 - 2xsin2a 4- sina = 0;
и)
a
, tg a cos — 4
sina + tga ? 2 1
— X 4- — X 4--
8---------------------------------------------. a-a cosa + etga
sin — + cos —
2 2
ч / о . o \ 2 sina-cosa 0,125
к) (cos2a - ctg 2a) x 4-----------x 4-----------= 0.
sin a tg 2a sin 2a - tg 2a
7. Какие целые числа могут быть значениями данного триго-
нометрического выражения:
а) 4cosa 4-cos2a; е) 2sina - cosa;
б) cos2a - 4sina; ж) 0,9sina - l,2cosa;
в) 2cosa - cos2a; 3) sina 4->/3cosa;
r) cos2a 4-2sina; и) 2sina -V5cosa;
д) 3cosa 4- sina; к) 7з sina 4-5/2 cosa;
л) 1 4- 2 sina - 2cos2 —
2
m) 2cos2 a 4- 3sina;
h) 6 cos2 a 4- 2 sin 2 a;
o) 2 cos2 a 4- 5/3 sin 2a;
n)-----------?
tga +ctga
8. Верно ли данное неравенство:
a) cos(cos x) > 0;
6) cos (sin x) 7з > 0; /. \ 7з
в) < sin 2 v 7 2
г) - 5/3 < 2 sin (cos х) < 5/З;
д) - 5/3 < tg (sin х) < 5/3;
е) 5/3 ctg(sin2 х) > 1;
ж) cos (sin х) > sin (cos х);
з) cos (cos х) > sin (sin2 x);
и) cos (0,5 cos x) > sin (cos x);
к) cos (0,5 sin x) > sin (sin x) ?
78
Способы задания
,t?>< последовательностей
1. Запишите три первых последовательных члена последова-
тельности, заданной формулой n-го члена ап, и столько же чле-
нов, начиная с десятого. Является ли число А членом этой после-
довательности, если:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
= (Зп - 4)sin^-, А = 101;
= (2 - 7n)cosnn, А = -215;
= (5n - 7)соз0,5лп, А = 243;
= (бп - 5) ctg 0,25л (2п - 3), А = 601;
= (3 - 4n)tg 0,25л (2n + 1), А = -401;
= (-1)"(3 - 2п + п2), А = 578;
= ^7 + Зп - п2)sin(0,5 + п)л, А = -543;
= (и2 - 6п - 15)cosnn, А = 1000;
= п(3п + 5) tg 0,25л (2п - 1), А = 5000;
= n(6 - n)ctg(2n + 1) 0,25л, А = 1080?
2. Докажите, что среди чисел, являющихся членами последо-
вательности заданной формулой общего члена ап, есть число А.
Найдите номер члена последовательности, равного А, если:
ап
ап
ап
ап
ап
ап
ап
ап
ап
ап
а) 1) ап = п + ^2п + 1, А = 7; 2) ап = п - ^2п + 1, А = 7;
3) ап = п + у/2п + 1, А = 17; 4) ап = п - >/2п + 1, А = 17;
5) ап = п + V2n + 1, А = 31; 6) ап -п - V2n + 1, ~ 31;
7) ап = п + ^2п + 3, А = 16; 8) ап =п-у/2п + 3, А = 16;
9) ап = Зп + д/бп + 5 , А = 15; 10) ап - п - 2-Jn + 3, А = 32;
б) 1) ап = п2 - 21ncosnK + 110, А = 0;
2) ап = п2 + 21ncosnrc + 110, А = 0;
3) ап = п2 - 17 п cos пл + 100, А = 30;
79
4) =n2 + 17ncosnrc + 100, A = 30;
5) an = n2 - 25 n sin я (n + 0,5) + 150, A = 0;
6) = n2 + 25 n sin я (n + 0,5) + 50, A = -100;
7) an =n2 - 23nsin7t (n + 0,5) + 20, A = -100;
8) an =n2 + 23nsinn (n + 0,5), A = -120;
(2n + 1)л
9) an =«2 -21ntg- 4 A = -111;
я (2n + 1)
Ю) a„ = n2 + 21nctg— + 111, 4 A = 0.
3. Запишите в виде возрастающей последовательности все на-
туральные числа, дающие остаток С при делении их на В. Найди-
те формулу общего члена такой последовательности. Из получен-
ной последовательности составьте две новые возрастающие по-
следовательности, одна из которых будет образована из чисел,
стоящих в этой последовательности на нечетных местах, а другая
- на четных. Для каждой новой последовательности найдите фор-
мулу ее общего члена. Дайте самостоятельное словесное задание
каждой из этих последовательностей, если:
a) В = 7, С = 5; е) В = 12, С = 5;
6) В = 11, С = 3; ж) В = 15, С = 2;
в) В = 5, С = 4; 3) В = 16, С = 3;
r) В = 9, С = 7; и) В = 41, С = 9;
Д) В = 6, С = 4; к) В = 101, С = 1.
4. Запишите последовательность чисел где п = 1; 2; 3;...
Найдите ее закономерность. Составьте: а) последовательность сумм
Sn, где Sn = аг + а2 + а3 +...+ ап и Si = а±; б) последователь-
ность произведений Пп, где Пп = аг • а2 • а3 • ... • ап иПх
если:
_ .пп я п х ( я я п
1) ап - sin— + cosk п; 2) ап = cos— + tg — + —
2 2 1,4 2
.ял (Я я п । . /
3) ап - sin-^- + ctgl — + — ; 4) ап = (-1) cosk n;
80
. Tin
sin —, если п - нечетное число,
cos —, если п - четное число;
2
. ЯП ЯП
8) ап = sin-----cos —;
4 4
cos пл, если п - нечетное число,
9) ап = < . Tin
п sin —, если п - четное число;
I 4
10) а„
, \ Tin Я ]
ctg--------, если п - нечетное число,
I 2 3J
Л . (п
2 sin — + Tin , если п - четное число.
I 3 J
5. Для некоторой последовательности (ал) посчитаны суммы
ее первых п членов и из этих сумм составлена новая последова-
тельность (£л), где Sn = ах + а2 + а3 4- ...4- ап nS1 = аг. Восста-
новите первые пять членов последовательности (ал) и найдите ее
11-й член, если известна формула n-го члена последовательности
сумм:
a) S = и2 ; д) S =га2-2п; и) Sn =Ц-^2л;
2п-1
2Л +(-1)л+1
б) Sn = п(п - 1); е) S„ = 1,5и2 - п; к) S =------------.
2п-1
в) S„=2n2-n; ж) Sn = 2Л - 1;
г) S„ =3n-2n2; з). Sn =l+(-l)"J1;
6. Для некоторой последовательности (а„) известны произве-
дения ее первых п членов, из которых составлена последователь-
ность (Пл), где Пл = аг • а2 ... • ап и ГЦ = аг. Восстановите
первые четыре члена последовательности (ал) и найдите ее 10-й
член, если известна формула n-го члена последовательности про-
изведений:
а) П„=^-; в) ПП=^Ц—; д) Пп =
и! и! и!
б) Пп=—; г) Пп = —; е) Пп = —;
и! и! 5Д
81
_ n 0,5n(n+l)
ж) П„=—; и) П„=----------;
и! и!
ч тт (-3) ч тт |лк0,5п(п-1)
з) Пл =------; к) Пл=п!0,5 v \
и!
7. Начните запись последовательности, в которой первые два
члена - произвольно выбранные вами числа или числа одной из
последовательностей, данных в конце задания в пунктах а)-д).
Продолжите эту последовательность, если каждый следующий ее
член равен:
1) сумме всех предыдущих членов;
2) сумме двух предыдущих членов;
3) полусумме всех предыдущих членов;
4) полусумме двух предыдущих членов;
5) удвоенной сумме двух предыдущих членов;
6) среднему арифметическому всех предыдущих членов;
7) произведению всех предыдущих членов;
8) произведению двух предыдущих членов;
9) сумме квадратов двух предыдущих членов;
10) квадрату суммы двух предыдущих членов.
а) 1; -1; •••; в) -3; -2; •••; д) -0,3; -0,7; •••.
б) 2; -1; ...; г) 4; -3; • ••;
8. Выпишите несколько первых членов последовательности,
заданной рекуррентным способом, если:
(-1)" п
а) ап + 1 =----.01=2; д) а„ + 1 =—, ах = 1;
> - - ап
б) ап + 1 = 2а„-1, cti =3; е) ал + 2 = ап + a„ + 1,at = 1,а2 = 1
(последовательность Фибоначчи);
в) ап + 1 = 2лал, ах = 1; ж) ап + 2 = ап - + =1, а2
\ ап -I X Дп + 1 1 п
г) ап + 1=—,^4=1; з) ап + 2 =----------, ^=1, а2=2;
и ал
и) #л+з = ип + лл + 1 + <^л + 2> ^4 =1, а2 = — 2, =1;
К) ап + 3 = ап + 2 ~ ап + 1 + ап, а1 = 1, а2 = 2, а3 =1.
9. Докажите, что данная последовательность, заданная фор-
мулой общего члена, обладает свойством монотонности, и опреде-
82
лите характер этой монотонности. Постройте график данной по-
следовательности, если:
а) ап _ 6 ~ 5п п д) ап _ 5п - 1 п + 1 и) 5п + 2 ап = -> п + 2
б) 3(1-п) е) ап к) п - 5 а" ~ п + Я ’ П + О
1 + п п + 3 ’
в) _ 4 - п . 2 + п ж) ап _ п - 1. п + 1
г) ап _ 4п + 2 ' п + 2 з) ап _ 5 - Зп . п + 1
10. а) Запишите в виде последовательности множество целых
чисел.
б) Убедитесь, что совокупность,
приведенных справа последователь-
ностей, содержит все множество пол-
ожительных рациональных чисел.
Укажите в этой записи стрелочками
путь, двигаясь по которому можно
получить последовательность всех
положительных рациональных чи-
сел.
в) Можно ли записать в виде пос-
ледовательности множество любых
рациональных чисел?
1 1 1 1 1
*
* * * я • 1*9 Я 9 • 9 Я
1 2 3 4 п
2 2 2 2 2
*
* * * * * 9 * Я *****
1 2 3 4 п
3 3 3 3 3
— — —
* * • • • * *****
1 2 3 4 п
п п п п п
*
V * * * * *****
1 2 3 4 п
Применения метода
математической индукции
в некоторых частных
случаях
1. В последовательности известен ее первый член и задано
рекуррентное соотношение между ее следующими членами. Ис-
пользуя метод математической индукции, докажите, что общий
член этой последовательности ап может быть задан приведенной
формулой, если:
а) аг = 5,
б) ai=-7,
в) ах = 2,5,
^П+1 ~ ~ 2 >
ап+1 = ап + 3’
ап+1 = ап ~ 1’6,
ап = 7 - 2п;
ап = Зп - 10;
ап = 4 - 1,5 п;
83
1 2
г) а1 =“7’ ^п+1 —
3 о
4 3
д) а1 - у» ап+1 ~ ап 7 ’
е) ах = 6, ап+1 = ^ап »
ж) ах =20, ал+1 = -2<*л ,
3) = -1,5, - а" ^П + 1 g ’
7 3
и) а1 =-п’ ап+1 ~ 9
9
к) ах = ->/б, ал+1 =ап^
ап =-п- 1;
3
! 3
ап =!--«;
ап =2-3";
«„=5-(-2)n+1;
32“"
ап = (—1)” • 3л-3 • 72-л ;
п
an=-j3-2*.
2. Используя метод математической индукции, докажите, что
все члены последовательности, заданной формулой общего члена
ап, делятся на ее первый член, если:
а) а„ = 72”-1; е) ап = 6Л + 20п - 1;
б) а„ = 62л+1; ж) ап = 24л+2 + 32л+1 - 7;
в) а„=4л+6п-1; з) ап = 6Л+1 + 72"’1;
г) ап =7п +12п-1; и) ап = 5-32л’2 + 24"’3 ;
д) ал=7"+Зп-1; к) ап = 10л+1 - 9п - 10.
3. Используя метод математической индукции, докажите, что
при любом натуральном п числовое значение данного выражения
В будет кратно числу С, если:
а) В = 6Л-1, С = 5;
б) B = ln f 5, С = 6;
в) В = 12” +10, С = 11;
г) В = 23л -1, С = 7;
д) B = n3+17n, С = 6;
е) В = 2п3 + Зп2 +п, С = 6;
ж) В = 7Л - 6п - 1, С = 9;
з) В = 22л - Зп -1, С = 9;
и) В = 6Л -5n-l, С = 25;
к) В = 2Л+2 Зл -20n-4, С = 25.
4. Используя метод математической индукции, докажите, что
сумма п первых членов последовательности, заданной формулой
общего члена ап, равна Sn, если:
а) ап
П (n + 1) п + 1
84
e)
ж)
3)
1 =--------------- s = - •
" (n + 2)(n + 3)’ " 3(п + 3)’
' =--------------- S = •
" (n + 6)(n + 7)’ n 7(n + 7)’
1 S - n .
n (n + 7)(n + 8)’ " 8(n + 8)’
i 1 S - n •
n (7n-6)(7n + l)’ " 7n +1 ’
an = Sn
n (n + 1) (2n + 1)
6
2n2 -1 _ n2
' = ----------------- О = -----------
(2n - 1) (2n + 1) ’ " 2n + 1
и) a„ =(п + 2)2л’1, Sn =(n + l)2n -1;
к) an =(4n + l)5n’1, Sn=n5".
5. Докажите, что при любом натуральном п выполняется ра-
венство:
а)
б)
в)
г)
.л . 2л .ли _ . Tin . 71 (п +1)
sin — 4- sin — + ... 4- sin — = 2 sin — sin--;
3 3 3 6 6
л 2л Tin . 71 (2n 4-1)
cos— 4- cos— 4- ... 4- cos— = sin--------0,5;
3 3 3 6
. 2л . 4л . 2ли 2>/3 . Tin . я (и 4-1)
Sin--- 4- Sin- 4- • • • 4- Sin- = -Sin-Sin--------
3 3 3 3 3 3
2л 4л 2лп л/з . я (2n + 1) л
cos— 4- cos— 4- ... 4- cos-= —sin------------0,5;
3 3 3 3 3
sin 0,1л sin 0,1л (n 4- 1)
д) sin 0,2л 4- sin 0,4л 4- • • • 4- sin 0,2лп =-------------------
sin 0,1л
sin 0,1л (2n 4-1)
e) cos 0,2л 4- cos 0,4л + •• • + соз0,2лп =---------------0,5;
2 sin 0,1л
ч .7 .11 . Гл л
ж) Sin----Л 4- Sin-Л 4- ••• 4- Sin — 4- — П =
11 12 1,4 3 )
85
3)
л 2п пп
COS— 4- COS-4- ... 4- COS- =
7 7 7
. Tin
sin — cos
14
71 (n 4- 1)
14
. л
sin —
14
. Я . Г 71 71 I , Г 71 71 / \| . о ЯП
и) Sin— 4- Sin — 4- — 4- ••• 4- sin — 4- — п - 1 = 2sin —;
6 1^6 3 J 1.6 3V ’) 6
к) sin0,1л 4- sin0,3л 4- ... 4- sin0,1л \2n - 1) =-----:---.
v 7 sin 0,1л
6. Докажите, используя метод математической индукции, что
при любом натуральном п выполняется неравенство:
и 4-1
л п+2
в) >1;
2п + 5
г) 8-2” >(п + 3)2;
д) 9-3” >(п + 2)3;
е) 3” 0,5”-1 > п + 2;
ж) Зл+3 >5(п + 3)2;
з) 3”+7”>2-5”;
и) 4” +6” >2-5”;
к) 6Л + 10” > 23л+1;
л) 2”-1 +3”’1 > 5” ;
м) 2”-1 + 22”’1 > Зл ;
н) 0,3” + 0,7” <1;
о) 0,3”+0,7п>1;
п) 0,Зп + 0,7”>1;
р) 1,1” +0,9” >2.
7. Последовательность , а2, ... , , ... задана рекуррентным
соотношением и значениями двух первых членов. Применяя ме-
тод математической индукции, докажите, что общий член этой
последовательности ап можно найти по приведенной формуле,
если:
а) — ^2 ’^п+1 ^1 '^п ’ ^1 — ^2 — — Т1>
б) ап+2 = а2 ап+1 -ах ап, = 2, а2 = 3, ап = 2”"1 + 1;
в) «п+2 = 2ап+1 - «п » «1=2, а2 = 1, ап = 3 - п;
/ 1 (-1)П+5-2-
г) «л+2 =0.5(а„ +а„+1), аг =1, а2 =2, ап =-------—
86
„ «. » „ , „ , „ 2" +(-1) .
Д) ап+2 ~ ~ > ai - 2, а2 - 1’ ап ~ ’
2 3-2 2
е) аи+2 = 0,5(ал + ал+1), Л1 =0, а2 = 3, ап = 2 + (-lf •22-л ;
ж) ап+2 = ^(ап + ал+1), ах = 3, а2 = 0, ап1 + (-lf+1 -22-п ;
. „ _ап + ан+1 „ _ п _л „ _ 1 (-1Г .
з) ап+2 - 2 , ах - 1, а2 - 1, ап - _3 ,
а + ал+1 (-1) 2
и) ап+2= п д+1,а1=1, а2=-1, ап=У—^--->
2 3 2Д~3 3
а„ + ап+А (-1)Л
к) ап+2 = ~ у ^4 = ~2, а2 = 1, ап = ^_2 .
8. Рассмотрите одну из задач итальянского математика начала
XIII века Леонардо Фибоначчи. В этой задаче считается извест-
ным, что пара взрослых кроликов приносит приплод из двух кроль-
чат, самки и самца, раз в месяц, а новорожденные кролики ста-
новятся взрослыми через два месяца и уже могут приносить ана-
логичный приплод. Предполагается, что в первый месяц года
имелась одна пара новорожденных кроликов. Обозначьте через
Фл количество пар кроликов, которое получится в результате та-
кого размножения в конце n-го месяца от начала того же года, и
запишите рекуррентное соотношение между Фл + 2, Фл + 2 и Фл.
Получите последовательность: Ф2, Ф2, Ф3, ... , Фл, .... Исполь-
зуя метод математической индукции, докажите, что для чле-
нов этой последовательности будут выполняться следующие ра-
венства:
а) Фд+2 = 1 + Ф1 + Фг + Фз +•••+ Фл ;
6) Ф2п+1 = 1 + ф2 + Ф4 +••• + Фгп 5
в) Ф2п+2 = 1 + Ф3 + Ф5 +•••+ Ф2п+1 i
Г) Ф? +Ф1 +Ф2 +...+ Ф2 =ФпФп+1;
д) ф*+1 =фп фп+2
е) Фп+4 = ФП фз + Фп+1 Ф4 ;
Ж) Фп+5 =ФП Ф4+Фл+1 Ф5;
87
з) фл+7• = фл ф6 + фл+1 ф7 ;
и) фл+6 = фл ф5 + фл+1 ф6 ;
К) Фл+10 = ФЛ Ф9 + ФЛ+1 Ф10 •
9. Докажите, что каждое натуральное число либо является
членом последовательности Фибоначчи, либо может быть пред-
ставлено в виде суммы нескольких различных членов этой после-
довательности.
10. Продолжите изображенную на рисунке схему деления кле-
ток на несколько (не менее пяти) следующих этапов. Каждая клет-
ка, изображенная пустой, за некоторый постоянный временной
интервал созревает (изображена черной) и за следующий такой
же интервал делится на две: пустую и черную. Этот процесс про-
должается неограниченно. Составьте последовательность, каждый
член которой - сумма пустых и черных клеток на некотором эта-
пе, расположенных в одной горизонтали, и найдите рекуррентное
соотношение между ее членами. Какое название можно дать этой
последовательности?
Докажите, что в этой последовательности каждое:
а) третье число четное;
б) четвертое делится на 3;
в) пятое делится на 5;
г) шестое делится на 8;
д) седьмое делится на 13;
е) восьмое делится на 7 и 21;
ж) девятое делится на 34;
з) десятое делится на 55;
и) одиннадцатое делится на 89;
к) пятнадцатое делится на 10.
88
^Ш{йцсгик^й Ж Арифметическая
'.«‘с';'1 прогрессия
1. Данная последовательность является арифметической про-
грессией. Напишите формулу ее общего члена. Является ли за-
данное число А членом этой прогрессии? Из данной последова-
тельности образуйте две новые: одну из членов, стоящих на чет-
ных местах, другую - на нечетных. Будут ли эти последователь-
ности являться арифметическими прогрессиями? Для каждой из
этих последовательностей найдите формулу общего члена.
а) -1; 6; ..., А = 104; е) -0,6; 0,6; ..., А = 36,6;
б) 1; - 6; ..., А =-104; ж) 0,7; А = -0,3;
3
5
в) -2; - 7; ..., А =-103; з) у; 0,7; ..., А = 0;
г) -7;-2; ..., А = 103; и) -0,9;А = 0;
9
д) 0,3;-0,3; .... А = -59,7; к) - 1,7; ..., А = 0.
3
2. а) Последовательность задана формулой общего члена ап.
Докажите, что это арифметическая прогрессия, если:
5 - Зп '
7 ’
3)
5)
Л е 5
а_ = 0,5п----;
" 12
9 + 7п - 2п2
а =-------------:
2) ап
4)
6) ап
6п - 1
7
2п2 + 2п + 7 4п - 1
------------+-------;
7п + 7 5и + 5
Зп2 + 5п - 12 о
-------------+ Зп.
п + 3
1) ап
б) Сумма п первых членов некоторой последовательности мо-
жет быть найдена по заданной формуле. Докажите, что эта после-
довательность - арифметическая прогрессия, если:
1) Sn = Зп2 - 7п; 2) Sn = 0,5п2 + 9п;
3) Sn =3(п-2)2 -12; 4) Sn = 18 - 0,5(б - п)2 ;
5) Sn =(Зп-2)2 +5п-4; 6) Sn = 0,98 - 6п - 2(п - 0,7)2 .
3. Запишите два различных числа. Вставьте между ними
k чисел так, чтобы получившиеся k + 2 числа были последова-
тельными членами арифметической прогрессии, если:
а) А? = 2; б) k = 3; в) А? = 4; г) k = 5; д)А? = 6.
89
4. Для арифметической прогрессии ах, а2,..., ап,... найдите:
а) а3 + а17 , если а10 =-23;
б) #4 + а19 , если а9 4- а14 = 1,8;
в) а7 , если #5 4- #9 = -20;
7
г) #2 + ^5 + ^8 + ^#15 ’ ССЛИ #ю =--;
6
д) #3 4" л7 4" #ц 4" #29 > если #g 4" #19 — 2,5;
е) #1 - #4 , если #2 - #3 = 0,5;
ч 3
яс) #17 #2 у если #7 #3 — ;
ч 2 8
з) #2 4" #7 4" #9 у если #g — —;
3
и) #3 4- 7#7 4- #11, если Ю#10 - а37 =119;
к) #1 4- #5 - 4 (#2 4- #4), если #3 = —.
3
5. Докажите, что для членов арифметической прогрессии
#j, #2,..., ап ,... справедливо равенство:
а) а100 = 0,5 (#67 + а13з)’
б) ak 4- at = ат 4- ар , если k + I = т + р и k, I, т, р - нату-
ральные числа;
в) #4 4" #g 4" #6 — 3#5 ; е) #i 4" 3#з = 3#2 4" #4 ;
г)#1 4- #2 4- #3 4- #4 4- а5 = 6#з ; ж)#1 - 4#2 4- 6#з - 4#4 4- #5 =0;
(\ х ^41 — #95 #Qn — #14
#4 4- #5); з)——--— = ;
а23 “ а46 а34 “ а57
и) #27 ^7 = 20 (ai0 ^9 ) ’
к)#т - ап =-----\ak+p ~ ал)’гДе m,nykyp - натуральные числа.
6. По заданному значению суммы двух членов арифметичес-
кой прогрессии найдите сумму п первых членов этой прогрессии,
если:
а) #3 4- #8 = 21,8, п = 10;
б) #5 + #9 = 10, п = 13;
в) #ц 4- #i0 = -2,51, п = 20;
г) #i5 4- #1б = 4,2, п = 30;
д) #17 4- #24 = -5,3, п = 40;
е) #7 4- #15
ж) а9 + Лю
п = 21;
3
7
п = 18;
9
з) а21+а25=~, п = 45;
и) а46 4- #55 = -19,96, п = 100;
к) а123 + а234 — ТТ’ п ~ 356.
90
7. Существует ли такое и, при котором сумма п первых членов
арифметической прогрессии (ад) равна В, если:
а) д3 = 7, = 31, В — 376;
б) ап=3(п-3), В = 99;
в) а2 + а5 = 10, а5 - а2 = 1,2, В = 50;
г) а7 + а9 = 12, аг 4- а3 = -12, В = -26;
д) ага2 =10, а8 - а5 = 4,5, В = 1066;
е) а14 = 4а4 , а15 - а10 =7,5, В = 88;
ж) а5 = 7аг, а3 = 8, В = 77;
з) ага3а5 = 325, а4 4- а5 4- аб = 75, В = 280;
и) а2аб=160, а3а4=154, В = 215;
к) = 352, cl^ciq = —280, В = 253?
8. а) Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, ко-
торые при делении на С дают остаток В, если:
1) С = 3, В = 2; 2) С = 3, В = 1; 3) С = 5, В = 3;
4) С = 6, В = 5; 5) С = 7, В = 2; 6) С = 7, В = 5.
б) Найдите сумму всех натуральных трехзначных чисел, деля-
щихся на С, если:
1)С = 3; 2) С = 4; 3)С = 6; 4) С = 7; 5) С = 8; 6) С = 9.
в) Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем
С, заключенных между числами А и В, если:
1) с = 3, А = 20, В = 50; 2) С = 5, А = 7, В = 17;
3) С = 5, А = 3,5, В = 24,8; 4) С = 6, А = 5, В = 30;
5) С = 6, А = 1,7, В = 19,5; 6) С = 9, А = 1,1, В = 9,9.
9. Решите задачу:
а) При рытье колодца условились платить за каждый последую-
щий метр глубины на 50 000 р. дороже, чем за предыдущий.
Вследствие этого последний метр обошелся в два раза дороже,
чем первый. Средняя стоимость 1 м получилась равной 375 000 р.
Определите глубину колодца и стоимость работы.
б) Для поливки саженцев, расположенных по прямой линии
на расстоянии 3 м друг от друга, приходится приносить воду из
колодца, находящегося на той же прямой линии в 5 м от первого
саженца. Сколько метров пути надо преодолеть, чтобы полить все
Н саженцев и возвратиться к колодцу, если воду носить одним
ведром, а под каждый саженец выливать В ведер, если:
1) Я = 15, В = 1; 2) Я = 12, В = 2; 3) Я = 10, В = 3?
91
в) Рабочий обслуживает Н автоматических станков. На вклю-
чение станка требуется С минут, а на переход от станка к станку -
1 мин. Производительность каждого станка х деталей в час. Сколь-
ко деталей изготовит рабочий за первые В часов работы, если:
1) Я = 8, С = 6, В = 5; 2) Я = 10, С = 5, В = 4;
3) Я = 12, С = 5, В = 3,5; 4) Я = 16, С = 5, В = 2,5?
г) Величины внутренних углов некоторого многоугольника
образуют последовательные члены арифметической прогрессии с
разностью d. Наибольший внутренний угол в этом многоугольни-
ке равен В. Сколько сторон имеет этот многоугольник, если:
1) d = 10°, В = 105°; 2) d = 4°, В = 96°;
3) d = l°, В = 110°; 4) d = 15°, В = 138°;
5) d = 6°, В = 120°; 6) d = 10°, В = 145°;
7) d = 18°, В = 165°; 8) d = —, В = -п-,
21 7
9) d = 5°, В = 160°; 10) d = 2°, В = 153° ?
д) Можно ли вписать окружность в четырехугольник, если
длины его сторон можно записать как последовательные члены
арифметической прогрессии?
е) Определите длины сторон треугольника, которые выража-
ются целыми числами и являются последовательными членами
некоторой арифметической прогрессии, если периметр треуголь-
ника равен:
1)9; 2)12; 3)15; 4)18.
Г еометрическая
прогрессия
1. Приведенная последовательность является геометрической
прогрессией. Запишите числами первые пять ее членов. Найдите
рекуррентное соотношение между ее членами и формулу общего
члена.
а) дг; Ъ2; -48; 192; д5 ; ...;
б) -6; -2; д4; д5; ...;
в) Ьг; Ъ2 ; Ь3 ; 21; - 9; ...;
г) Ьг; 18; Ь3 ; 2; Ь5 ; ..., где д99<0;
2
д) Ьг; Ъ2 ;------; Ь4 ; - 1,5; ..., где Ь9 д100 < 0;
92
е) -Тб; b2; — 2 Тб; Ь4 ; Ь5 ; где д20 Ь35 > 0;
ж) Ьг; -20; Ь3 ; Ь4 ; 0,16;...;
з) 243; b2; Ь3\ -1; Ь5 ; ...;
и) 0,2 72; b3 ; b4 ; -710;...;
к) -4; b2; b3; b4; -1;..., где &2оо<0-
2. Является ли последовательность (ап), заданная формулой
общего члена, геометрической прогрессией, если:
ч 3 / \п—1 о0,5 (п+1)
а) а"=^г; е) а"=(-1) 12 ’
б) ап - З2"-1; ж) ап = -73’7л ;
в) ап = 53~5п ; з) ап =(7з)” б10’2" ;
п+1
г) ап =(-1) 0,72п-3; и) ап =(-0,9)Т;
д) ал =-50,2л+7; к)
3. Будет ли являться геометрической прогрессией последова-
тельность, для которой сумма Sn ее первых п членов выражается
заданной формулой и совпадает с первым ее членом? Если
будет, то запишите формулу ее общего члена и найдите числовые
значения первых трех членов этой последовательности двумя спо-
собами: 1) восстанавливая значения этих членов по заданной фор-
муле 5^; 2) используя выведенную формулу общего члена после-
довательности. Сравните результаты. Если произошло несовпаде-
ние, то выявите причину,
a) Sn =2 3” +5; е) Sn
б) S„=2(l + 3n); ж) S„
в) S„=2(l-32n) з) Sn
Зл - 1
г> и>
о — о
пП ___ пП
Д> Sn=~n-----ТТ’ К>
3 - 2 3
3" - 2"
3 2Л-1 - 2Л
Зл + 2п
Зл + 2-Зл-1
Зл + 2п
3.2я-1 + 2П
<з j
Зл + 22”
Зл+2
4. а) Сумма первых членов геометрической прогрессии, стоя-
щих на нечетных местах, равна А, а сумма такого же количества
первых членов, стоящих на четных местах той же прогрессии,
равна В. Чему равен знаменатель прогрессии?
93
б) Найдите отношение суммы 1996 первых членов геометри-
ческой прогрессии к сумме ее первых членов, стоящих среди этих
1996 членов на нечетных местах, если знаменатель прогрессии
равен q.
в) Найдите отношение суммы 19 первых членов геометричес-
кой прогрессии (Ьд), стоящих на четных местах, к сумме 38 ее
первых членов, если:
1) — = -8; 2) ^24 _ б
Ь27 27
3) -^- = -0,125; 4) ^ = 243;
^12
5) 32Ь7 + Ь12 =0; 6) 1024Ь24 4- Ь29 =0;
7) ^20 ~ 8^12 _ у. ь17 8) 27&22 + 28Ь25 4- Ь28 = 0;
9) 9Ь2о = Ь17 + 8Ь23 ; Ю)
8Ь8 4- Ь14
5. Для геометрической прогрессии (Ьп) найдите:
а) Ь7 Ь17 , если Ь5Ь19=421; е) &ц &21^31» если д18 д24=0,3;
2 2
б) Ь9 Ь359 если Ь22 =-17; ж) ^Лв^бо» если &40 = ~->
о
Ь2 * bi о ^7 7
в) ^14 *^21» если Ь17 Ь18 =-315; з) — -— 9 если ----= —;
b3*b17 Ь1о 9
big
г) ^12'^38’ если Ь25 =-0,25; и) ------------, если Ь19 =-1,2;
^9 ’^21 ^23
д) ^4 ^15 '^29» если Ь13 =-30; к) ----—----, если Ь55 =-0,2.
Ь33 ’ &37 Ь45
6. Найдите произведение первых п членов геометрической
прогрессии (bn), если:
а) Ьб = 8, Ь12 = п = 18; е) Ьг 4- Ь3 = 320, Ь2 + Ь4 = 160, п = 17;
б) Ь7 = 4, Ьп = —, п = 19; ж) Ьг - Ь3 = 192, Ь3 4- Ь4 = 96, п = 16;
4
в) ^6 = “16, Ьп = 0,5, п = 19; з) Ь6 - Ь4 = Ь7 - Ь6 = 2, п = 10;
г) Ь12 = 0,25, Ь15 = - —, п = 20; и) b6 = -1, Ь7 + Ь8 = -6, п = 12;
Д)
Ь9 = —1, Ь4 = 32, п = 15; к)
Ьб — Ь7 + Ь8 — 7,
Ь4 + Ь7 = 3 —.
7 9
94
7. Решите задачу:
а) Найдите три числа, образующие последовательные члены
некоторой геометрической прогрессии, если их сумма равна 21, а
7
сумма обратных им величин равна —.
б) Найдите три числа, образующие последовательные члены
некоторой геометрической прогрессии, если их сумма равна 26, а
13
сумма обратных им величин равна —.
в) Найдите три числа, образующие последовательные члены
некоторой геометрической прогрессии, если их сумма равна 14, а
сумма квадратов этих чисел равна 84.
г) Найдите четыре числа, образующие последовательные чле-
ны некоторой геометрической прогрессии, если их сумма равна
130, а сумма их квадратов равна 5044.
д) Найдите четыре числа, образующие последовательные чле-
ны некоторой геометрической прогрессии, если сумма крайних
членов равна 126, а сумма средних равна 18.
е) Найдите четыре числа, образующие последовательные чле-
ны некоторой геометрической прогрессии, если их сумма равна
30, а первый 4лен в 8 раз больше четвертого.
ж) Найдите четыре числа, образующие последовательные чле-
ны геометрической прогрессии, если сумма первого и третьего
членов равна 10, а сумма второго и четвертого равна 30.
з) Найдите четыре числа, образующие последовательные чле-
ны некоторой геометрической прогрессии, если сумма первого и
третьего членов равна 10, а сумма второго и четвертого равна 20.
и) Найдите шесть чисел, образующих последовательные чле-
ны некоторой геометрической прогрессии, если сумма трех пер-
вых членов равна 168, а сумма трех последних равна 21.
к) Найдите шесть чисел, образующих последовательные чле-
ны некоторой геометрической прогрессии, если сумма трех пер-
3
вых членов равна —, а сумма следующих трех членов равна -3.
8
8. Докажите, что для членов геометрической прогрессии (дп)
будет выполняться равенство:
а) (&!2 + bl + bl)(bl +bl + 64 ) = (i>i&2 + b2b3 + b3b4)2 ;
6) (&i - М2 +(*2 - *з)2 +(Ь2 - Ь4)2 =(Ь, - Ь4)2 ;
в) (b4 + b2 + b3)(b4 - b2 + b3) = bl +bl + bl;
г) (64 + b5 + b6)2 + b2 + 63)(b7 + Ь8 + Ь9);
\ i_ —10 г 20 г —10 _ ч ,
Д) ^10 ^20 ^30 -
/ \27-45 / \45-ll 7 \ll-27 1
е) (Ъп) (Ь27) (Ь45) =1;
95
ж)
3)
и)
bl bl bl
1 1 1
l3 .3 >3
V&i b2 b3 J
- A3
“ "1
+ bl + bl;
(bf + bl + bl + bl^bl + bl +bl+ bl) =(bib2 + b2b3 + b3b4 + b4b5)2 ;
(&i + bl +...+ b2_i)(bf + bl +...+ bl) =(ЬгЬ2 + b2b3 +...+ bn_! bn)2 .
Бесконечно убывающая
геометрическая
прогрессия и ее сумма
1. Является ли геометрическая прогрессия (Ьп) бесконечно убы-
вающей, если:
а) Ь2 — 2 V5*, bq = 3 ;
в) ^12 = 1 + , ^15 = д/2^ I
д) у ^16 = д/29;
1 - >12
ж) Ь^ —--------?=, Ь10 = ;
2 -75
и) b9 = =, Ь19 = — >/38^;
3 - 710
б) д7=7, д10=5л/2;
г) Ь10=Я, Ь14=1 + л/2;
е) Ь6=-7^—, Ь9=714;
7з - 2
з) bs = -= , =л/зЗ^;
2 72 -3
К) ^10 = /- 7=» ^20 = ~ ^42 ?
710 - 711
2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии:
а) 6; 3;...;
б) 6;-2;...;
в) -3; -2;...;
г) 2;ТЗ;...;
д) 7б;>/2;...;
е) 2>/2;-77;...;
3. Найдите данную сумму, в которой все слагаемые, начиная с
первого, являются последовательными членами одной и той же
геометрической прогрессии:
2 4
а) 1-- + --...; е)
3 9
3 9
б) -1 +-------+...; ж)
7 49
4
в) 12 + 4 + -+...; з)
3
г) -12 + 65/2-6+...; и) -1; 1
73 -1 73 + 1
96
4. Найдите сумму:
\ • Я . 2 Я . 3 Я 7 • п Я
a) sm----sm — 4- sm--------... +(-1) sm —+...;
6 6 6 v 7 6
Я q к „л
o) cos— + cos — + ... + cos — 4-...;
6 6 6
\ j Л . 2 Я i n Я
в) tg- + tg2-+...+ tg -+...;
6 6 6
ч . Я . 2 Я . „ Я
г) sin —I- sin —I- ... 4- sin-h ...;
3 3 3
\ Я 2 Я / ч \ n Я
д) -cos—4-cos------... 4- -1 cos —4-...;
3 3 V 7 3
к . Я < 2 Я / \n+1 . n Я
e) ctg—— ctg2 —+ ... +(-l) ctg"-+...;
3 3 ' 3
ж) sin2 0,1л + sin4 0,1л + ... + sin2n 0,1л + ...;
з) cos2 0,1л + cos4 0,1л + ... + cos2n 0,1л + ...;
и) tg20,2n - tg40,2n + ... + (-l)"+1tg2"0,2n +...;
к) ctg20,3л + ctg40,3л + ... + ctg2"0,3л + ... .
5. Найдите значение данного числового выражения, исполь-
зуя при обращении периодической дроби в обыкновенную про-
грессию:
а) Г(0,(в))3 - ^(4)) ';
б) Г 3^0, (296) - 0,6^0,0 (6);
в) ^0,(4) +0,08(3^ 0,1(3);
г) 5^0, (296) 0, (4) -0,1(6);
Д) д/0,1(б)-2,1(б) + 2,(3) 0,(428571) - 0,1 (б);
е) д/0 (63)-2, (63)+ 0,(27)-3,(6) -1,(63);
ж) ^0,(27)-2,(27) + 0, (63) 1,(571428) - 1, (27)}3’5 ;
з) ^0,(428571)-2, (428571) + 0,75 1,(3) + 0, (571428);
и) ^3,(б3)-5,(б3) + 0, (7)-1,(285714) - 3,(63)) ;__________
к) ^5, (142857)-3,(142857) +^0,(19) 5, (210526315789473684)^ -
-3,(142857).
6. Найдите два первых члена бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии, если известны значение ее суммы S и вели-
чина суммы ее п первых членов Sn, где:
4 О. Н. Доброва
97
а) я = -, 3 S5 LI - 16’ e) S = 0,9, ^8 _ 8. ” 9’
б) 8 = 9,72, S5 = 11; ж) S = 2 —, 3 s7 = 2 — ; 16
в) S = 2, Se = 1,75; з) S = 32, s7 = 32,25;
г) S = 0,8, S6 = 0,7; и) S = 162, = 130;
д) s = l 7 = 0,5; к) S = —, 13 ^8 _ 5 ” 27*
7. Решите задачу:
а) Первый член бесконечно убывающей геометрической про-
грессии равен 1. Найдите второй ее член, если известно, что каж-
дый член этой прогрессии в К раз больше суммы всех следующих
за ним членов, где:
1) К = 2; 2) К = 3; 3) К = 4; 4) К = 5; 5) К = 6;
6) К = 7; 7) К = 8; 8) К = 9; 9) # = 10; 10) К = 11.
б) Сумма членов бесконечно убывающей геометрической про-
грессии равна S, а ее первый член равен А. Из квадратов членов
этой прогрессии составлена новая прогрессия. Найдите ее сумму
в общем случае, если:
1) 8 = 6, А = 5; 2) 8 = 7, А = 6; 3) 8 = 8, А = 7;
4) 8 = 6, А = 7; 5) 8 = 5, А = 6.
в) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
147
равна 3,5, а сумма квадратов ее членов равна--. Найдите сумму
16
кубов членов этой прогрессии.
г) Сумма членов некоторой бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии равна сумме квадратов ее членов и равна 8.
Может ли в этом случае 8 равняться 1? Найдите знаменатель
первоначальной прогрессии, если 8 принимает значение:
1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 9; 5) 0,5; 6) 0,8.
д) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна А, а сумма квадратов членов этой прогрессии равна В. Най-
дите сумму четвертых степеней членов этой прогрессии, если:
4
1)А = 2, В = -; 2)А = 3, В = 1,8; 3)А = 3, В = 4,5;
3
4) А = 1 + 72, В = 1; 5) А = 3 + д/з , В = 6.
е) Сумма первого и третьего членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равна А, а сумма бесконечной про-
98
грессии, составленной из ее членов, имеющих только нечетные
номера, равна В. Найдите знаменатель и первый член прогрес-
сии, если:
1) А = 24, В = 24,3; 2) А = 39, В = 48,6;
3) А = 2, В = 2,025; 4) А = 1,3, В = 1,62;
5) А = 136, В = 131,25; 6) А = 0,36, В = 1.
ж) В бесконечно убывающей геометрической прогрессии пер-
вый член на 9*болыпе второго. Сумма прогрессии, составленной
из членов данной прогрессии с нечетными номерами, на 12 боль-
ше суммы прогрессии, составленной из членов данной прогрес-
сии с четными номерами. Найдите эту прогрессию.
з) Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрес-
сию, сумма которой равна 49, а сумма двух ее первых членов
равна 48.
и) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, если сумма всех ее членов, стоящих на нечетных местах,
в 4 раза больше суммы всех ее членов, стоящих на четных мес-
тах, а сумма первых трех членов прогрессии равна 63.
к) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, если известно, что она на 2 больше суммы первых четы-
рех ее членов, а сумма первых восьми членов равна 4.
Практикум 26 Решение задач с
использованием
прогрессий
1. Найдите возможные значения заданной суммы, слагаемые
которой являются последовательными членами некоторой про-
грессии, без указания какой именно:
а) 3 + 6 + ... + 6000; е) 0,5 + 0,25 + ... + 0,018125;
б) 3 + 6 + ... + 3072; ж) -2-7-... -502;
в) 1 + 3 + ... +243; з) -3 + 7 + ... + 273;
г) -1 + 3- ... + 243; и) -3 + 6-... + 384;
д) -3 + 2 + ... + 497; к) -5 + 10-.. . -1280.
2. Найдите сумму:
а) 502 - 492 +482 - 472 + ... . + 22 - 1;
б) 1-22 + З2 - 42 + ... + 692 - 702;
99
в) -752 + 742 - 733 + 722 - ... + 22 - 1;
г) 482 - 472 + 462 - 452 + ...+ 202 - 192;
д) 502 - 462 + 422 - 382 + ... + 102 - 62 ;
е) l-З2 + 52 - 72 + ... + 972 - 992 ;
ж) 702 - 652 + 602 - 652 + ... + 102 - 52 ;
з) 5552 - 5502 + 5452 - 5402 + ... + 1252 - 1202 ;
и) 1002 - 972 +942 -912 + ... +102 - 72 ;
к) З2-112 + 192 - 272 + ...+ 1632 - 1712 .
3. Найдите сумму из п слагаемых, где n-е слагаемое записано
числом из п одинаковых цифр:
а) 1 + 11 + 111+...+ 111...11; д) 5 + 55 + 555 +...+ 555...55;
п цифр
б) 2 + 22 + 222 +...+ 222...22; е) 6 + 66 + 666 +...+ 666...66;
в) 3 + 33 + 333 +...+ 333...33; ж) 7 + 77 + 777 +...+ 777...77;
г) 4 + 44 + 444 +...+ 444...44; з) 8 + 88 + 888 +...+ 888...88;
и) 9+ 99+ 999+...+999...99.
4. Решите задачу:
а) Три числа будут являться последовательными членами ариф-
метической прогрессии, если второе из них уменьшить на 3, и
последовательными членами возрастающей геометрической про-
грессии, если второе число уменьшить в 2 раза. Найдите эти три
числа, если их сумма равна 18.
б) Найдите четыре числа, являющиеся последовательными
членами геометрической прогрессии, если известно, что после того,
как к ним прибавить соответственно 1, 1, 4 и 13, они будут после-
довательными членами арифметической прогрессии.
в) Найдите трехзначное число по следующим условиям:
1) его цифры составляют последовательные члены геометри-
ческой прогрессии; 2) если из него вычесть 297, то получится
число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке;
3) если к цифрам данного числа прибавить соответственно 8, 5 и
1, то полученные суммы станут последовательными членами ариф-
метической прогрессии.
г) Найдите четырехзначное число по следующим условиям:
1) сумма квадратов его крайних цифр равна 13; 2) сумма квад-
ратов его средних цифр равна 85; 3) цифра тысяч на столько же
больше цифры единиц, на сколько цифра сотен больше цифры
десятков; 4) если из искомого числа вычесть 1089, то получится
число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
100
д) Найдите четыре числа, из которых первые три образуют
последовательные члены геометрической прогрессии, а послед-
ние три - арифметической прогрессии, если сумма крайних чи-
сел равна 14, а сумма средних равна 12.
е) Три числа являются последовательными членами геометри-
ческой прогрессии. Если первое число уменьшить на 64, то полу-
ченные числа станут последовательными членами арифметичес-
кой прогрессии. Если затем второй член уменьшить на 8, то снова
получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
ж) Если к четырем числам, являющимся последовательны-
ми членами арифметической прогрессии, прибавить соответ-
ственно 5, 6, 9, 15, то получатся четыре числа, образующие
последовательные члены геометрической прогрессии. Найдите
эти числа.
з) Три числа, произведение которых равно 125, являются по-
следовательными членами геометрической прогрессии и одновре-
менно первым, третьим и шестым членами арифметической про-
грессии. Найдите эти числа.
и) Три положительных числа, сумма которых равна 210, обра-
зуют последовательные члены арифметической прогрессии. Если
большее из них уменьшить на 10, а меньшее увеличить на 10, то
получатся числа, образующие последовательные члены геометри-
ческой прогрессии. Найдите эти числа.
к) Второй, первый и третий члены арифметической прогрес-
сии являются в указанном порядке последовательными членами
геометрической прогрессии. Найдите знаменатель этой прогрес-
сии.
л) Если от четырех чисел, являющихся последовательными
членами арифметической прогрессии, отнять соответственно 6,
18, 22 и 2, то получатся последовательные члены некоторой гео-
метрической прогрессии. Найдите эти числа.
5. Найдите все значения х, при каждом из которых данные
три числа будут являться последовательными членами арифме-
тической прогрессии, если:
а) х, у[х, - 8; е) -10, х, 12>/х;
б) -15, 7х, х; ж) -2х, 5, 12>/х;
в) 3, х, 5л/х; з) 3-Ух, х, - 1;
г) -5л/х, х, 3; и) —х, 7з, З1’25 х0’5 ;
д) х, Зл/х, 5; к) 6л/2х, х, - 5.
101
di dn do Cl _
6. а) Найдите сумму вида 8 = — + — + — + ...+ — + ..., где
bl b2 b3 bn
\an) - арифметическая прогрессия, a (bnj - геометрическая про-
грессия, в одном из данных конкретных случаев:
2 3 4 5 3 5 7
1) 8 = 1 + — + 2 5 22 + 23 9 13 V+-: 17 2) 8 = 1 + — + 3 4 —1 h...; 9 27 7 10
3) S = 1 + 1 — + 2 7 — + — + 4 8 13 — +...; 6 4) 8 = 1 + „ 2 — + 3 5 — ч f ...: 9 27 8
5) 8 = - + 2 „ з — + 6 10 • —и...: 18 17 6) 8 = - + 3 „ 2 — + 6 5 • —к...: 12 8
7) 8 = - + 7 „ 2 21 11 + — +... 63 20 > 8) 8 = - + 7 „ 7 49 27 ч h...: 343 47
9) 8 = - + 9 81 Ч h •. 729 ’ • > Ю) 8 = - + 3 15 + — +...; 65
б) Из двух целочисленных возрастающих с положительными
членами прогрессий: арифметической (ап) с разностью d и гео-
метрической (bn) со знаменателем q, образованы еще две после-
довательности: (хл), где хп = —, и (г/л), где уп = хл+1 - —. До-
ьп . . <1
кажите, что последовательность \уп) является бесконечной убы-
вающей геометрической прогрессией.
в) Пусть сумма п первых членов, указанных в пункте б) после-
довательностей {хп) и (г/л) соответственно равны Sn и Сп , а сум-
мы всех их членов равны S и С. Докажите, что справедливы ра-
венства:
S„ a* S cii
Sn+1- — = ?- +C„; S-- = -5- + C.
q b1 q bl
Выразите Sn и S через ar, br, q, d. С помощью выведенной
формулы найдите числовое значение S для выполнения примера
из пункта а) и сравните полученные результаты.
72^5 •
Практикум 1 Измерение углов
1. Найдите точную (в долях числа я) и приближенную ради-
анную меру угла:
а) 1°; 3°; 5°; 9°; 10°; 15°; 18°; 20°; 30°; 75°;
б) 11°15'; 22?30'; 37?30'; 42°48';
в) 100°; 120°; 135°; 200°; 300°; 540°; 1080°;
г) -225°; -162°; -315°; -900°; -4200°; ... .
2. Найдите градусную меру углов, радианная мера которых
равна:
2 5 11 2
а) - 0,5л; 0,6л; - 0,75л; —л; 0,1л; 0,8л; —л;-л;-л; ...;
3 6 12 15
б) -1; 2; -3; 2,5; -0,1; 0,02; -0,5; 0,55; 5; ... .
3. Переведите градусную меру некоторого угла в радианную и
наоборот, используя: а) таблицы; б) микрокалькулятор.
4. Изобразите на координатной плоскости окружность радиу-
са Я с центром в начале координат О и впишите в нее прямоу-
гольник ABCD, стороны которого параллельны осям координат.
Найдите углы: ZBOP0, ZCOP0, ZDOP0, где точка Ро имеет коор-
динаты (В; 0), если ZAOP0 равен: 30°, 40°, 70^0', 135°, 200°,
-10°, -60°, -140°,—, , 0,3л, 0,6л, -л, —л, ——л, -0,4л, -1,2л
9 12 3 16 4
5. Изобразите на координатной плоскости окружность радиу-
са Я с центром в начале координат.
а) Впишите в окружность правильный n-угольник Ро Рг • • • Рд_1,
где Ро (В; 0). Около вершин РА(0 < k < п -1) запишите точную (в
104
долях числа я) радианную меру углов PkOPo. (Рассмотрите один
из случаев п = 3; 4; 5; 6; 8.)
б) Впишите в окружность прямоугольный треугольник АВР0.
Найдите длины дуг Р0А и Р0В, если:
1) ZAP0B равен: 30°, 40°, 50°;
2) ZABP0 равен: 60°, 43°, 50°, 20°.
6. Изобразите единичную окружность с центром в начале ко-
ординат и постройте множество углов, выраженных формулой:
\ тс _ . it2л г» » \ z тс т
а) а =---4-л/г; в) ос =-----4-2л/г; д) а = (-1) — 4-л/г;
4 3 3
_тс л 7 \ \ k тс 7 v 2л/г
б) ос = — + — k; г) ос = (-1)—4-л/г; е) ос =--.
4 2 6 3
Здесь везде ke Z.
7. Постройте и запишите единой формулой объединение двух
множеств углов, выраженных формулами:
а) а = л/г, В = ± — + 2лп, k g Z, п g Z;
2
б) а = 0,4л + 2л/г, Р = 1,4л + 2л/г, k g Z;
в) а = ±0,Зл + 2л/г, Р = ±0,7л 4- 2л/г, k g Z;
г) а = (-l)fc0,2n +Ttk, ₽ = (-1)*+10,2л +л/г, k e Z;
Ttk
д) а = 2л/г, P = ± 2 — 4- 2л/г, k g Z;
3
e) а = (-1)^ 4- л/г, ₽ = ~ (4n - 1), k g Z, n g Z.
8. С помощью циркуля постройте точки на единичной окруж-
ности с центром в начале координат, соответствующие дугам
а = — /г, где /г =0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Отметьте на этой окружности
3
точки, соответствующие дугам в 1 рад, 2 рад, 3 рад, 4 рад, 5 рад,
6 рад.
9. Расположите числа в порядке возрастания: 2; 1,7л; 0,75л;
1; 0,5л; 3.
3
10. а) Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов, повернулось по
часовой стрелке на 21 зубец. Выразите в радианах угол поворота.
105
б) Два зубчатых колеса, образующих пару, имеют соответствен-
но 24 и 30 зубцов. На какой угол повернется большее колесо при
повороте меньшего на 10 зубцов? На какой угол должно повер-
нуться меньшее колесо, чтобы большее повернулось на 540°?
11. Две точки, находящиеся на противоположных концах диа-
метра окружности, начинают двигаться по окружности в одном
направлении. Угловая скорость первой точки - 50° в секунду, а
второй - 32° в секунду. Через сколько секунд от начала движе-
ния произойдет первое, второе, &-е совпадение точек? Угловые
скорости: 10° и 22° в секунду, 20° и 11° в секунду.
12. Две точки, находящиеся на противоположных концах диа-
метра окружности, начинают двигаться по окружности во взаим-
но противоположных направлениях с угловыми скоростями со j и
со2 .Через сколько секунд произойдет первое, второе и k-e совпа-
дение точек, если:
а)
л
(0!=-
ТГ
С02 = —
2 3
б)
л рад л I рад j
— ----- , со ? = — ------ ;
6 I с J 121 с J
в)
С01
= 0,Зл — , (о2=О,2л —
I с J 1с
г)
“1
= 0,1л 1 со2=О,15 ^ ?
( с J I с J
рад
13. а) Колесо вращается с угловой скоростью со = 0,2л-. За
с
сколько секунд оно сделает полный оборот?
рад
б) Угловая скорость якоря генератора 100л----. Сколько обо-
с
ротов в минуту делает якорь генератора?
в) Определите число оборотов вала в минуту, если угловая ско-
рад
рость вала 62,8 ----. Какова угловая скорость диска, если он
с
делает 480 оборотов в минуту?
“1
106
14. Определите линейную скорость точки вращающегося дис-
ка, удаленной на 10 см от оси вращения, если угловая скорость
рад
диска Зтс--.
с
Карточка к практикуму 1. (Вариант задания для одного уче-
ника.)
1. Задания типа упражнений № 1, 2 и 3. Эти упражнения по-
лезно соединить следующим заданием. Данный угол (например,
в 242°) выразите в радианах: а) точно; б) приближенно; в) при
помощи таблиц; г) при помощи микрокалькулятора. Аналогично
выполните обратный перевод радианной меры угла (близкого по
значению к полученному, например 4,4 рад) в градусную (в гра-
дусах и минутах).
Все полученные значения сравните.
2. Задание типа упражнения № 4, дополнительно - № 5.
3. Задание типа № 6, дополнительно - № 7.
4. Задание типа № 9. Дополнительно можно предложить уча-
щемуся изобразить данные числа на единичной окружности и
числовой оси, используя задание № 8.
5. Задание типа № 13 и № 14.
6. Одно из заданий типа № 10 - 12.
Практикум 2 Полярные координаты
Замечание: данный материал может использоваться на
занятии-практикуме без предварительного рассмотрения данной
темы на уроке; достаточно ознакомить учащихся с приведенным
ниже пояснением основных понятий и предложить им выпол-
нить 1-3 задания из каждого упражнения.
Чтобы задать на плоскости полярную систему координат, вы-
бирают точку О - полюс и луч I с началом в этой точке - поляр-
ную ось. Положение точки М на плоскости в полярной системе
координат задается двумя числами (г; ф), где г - длина вектора
ОМ, а Ф - угол между полярной осью I и вектором ОМ . При
этом угол Ф измеряется в радианной мере и >еМ
считается положительным при отсчете его от
полярной оси I в направлении против часо-
вой стрелки, а отрицательным - по часовой У , х
стрелке. 1 х
107
1. Постройте точки по их полярным координатам: А (5; 0),
В^2; -1 с(з; -1, В(4; л), в(з; —1 ТгГб; —1, Н(4; -0,5л),
f 3
Р(1; -3,5л),Т16; - —л I. Найдите для этих точек координаты в
прямоугольной системе координат, у которой начало О совпадает
с полюсом, а положительное направление оси Ох - с полярной
осью.
2. Найдите полярные координаты точек, заданных в прямо-
угольной системе координат (начало координат - полюс, Ох -
полярная ось): А(0; -2),В(-2; 0),С(-2; -2),В(1; -1), в(73;-1),
в(-1; л/з), Л"(-3; 7з), Н 1; ; М(3; 4), Р(-8; б). Установите
связь между прямоугольными координатами (х, у) и поляр-
ными координатами (г; ф).
3. а) Постройте множество точек на плоскости, полярные ко-
ординаты которых удовлетворяют уравнению: 1) г = 1; 2) г = 3;
3) г = 5; 4) г = 0,6; 5)г = а, где а > 0; 6)ф = —; 7)ф = - —; 8) ф = —;
6 4 3
9) ф = - —; 10) ф = фо* Каким уравнениям будут удовлетворять ко-
2
ординаты точек, принадлежащих этим множествам, в прямоуголь-
ной системе координат?
б) Постройте в прямоугольной системе координат множест-
во точек плоскости, удовлетворяющих уравнению: 1) х2 4- у2 = 9;
2) х2 + у2 = 3; 3) у = х при х < 0; 4) у = -х, х > 0; 5) у = -73х;
6) у = л/Зх; 7) х = 1; 8) у = 1; 9) х = -2; 10) у = -2.
Запишите эти уравнения для полярной системы координат.
4. Постройте множество точек плоскости, полярные коорди-
наты которых удовлетворяют уравнению:
а) г = ф; б) г = 2ф; в) г = -ф; г) г = созф; д) г = 2зшф;
х х -1 х 2
е) г = -созф; ж) г =---; з) г =----.
sin(p СОБф
108
5. Найдите расстояние между двумя данными точками в полярной
системе координат: ^(2; 0,2л) и В(1; 0,7л); С14; — I и d\ 6; — |;
Е 3; — и F 4; - ; К 6; - и Р 6; — ; Af(rx; (pj и Я(г2; <р2).
\ / V 0) 13/ I 3 J
6. Вершины треугольника АВС указаны в полярных коорди-
натах: А 5; — I, В\ 8; — I, С| 3; — I. Докажите, что треугольник
I 6) 6 J
АВС правильный.
7. Материальная точка М движется по окружности радиуса г
с постоянной угловой скоростью со. Найдите, по какому закону
происходит изменение проекции точки М на: 1) ось Ох; 2) ось Оу
в зависимости от времени t, если при t = 0 радиус-вектор ОМо
образовывал с осью Ох угол ср0. По каким законам происходит
изменение полярных координат точки М, если:
а) г = 10 см, со = 2^—^, ср0 = 0; б) г = 3 см, со = 0,5^—^, ср0 = —?
с с 2
Практикум 3 Периодические функции
Вначале рассмотрим функции у = f (х), определенные при лю-
бых значениях х, т.е. х е R, где R - множество действительных
чисел, и R - область определения этих функций. Функция
у = f (х) называется периодической на R, если существует такое
число Т, причем Т Ф 0, что для каждого х е R имеет место равен-
ство
f(x + T) = /(х).
Такое число Т называют периодом функции.
1. Докажите, что число Т является периодом для функций:
а) у = 2 sin х, у - cos х, у = sin ^х + у J у = cos (х - 0,2л),
у = -0,5 sin х (1 - х), у = 1 + cos (2 - х), если: 1) Т = 2л;
2) Т = -2л; 3) Т = 6л; 4) Т = Юл;
б) у = sin 2х, у = 3 cos 2х, у = sin 2х - — , у = cos (0,2 - 2х),
\ 3 у
у = 1 - sin(2x + 1), у = 2 sin2 х, у = 1 + cos2 х, если: 1) Т = л;
2) Г =-л; 3) Г = Зл; 4) Т = 5л;
109
в) у = {х}, где {х} - дробная часть числа х, у = {х} -
J.
2 ’
у~
У = Н’ если: 1) Г = 1; 2) Г = 5; 3)Т = -10;
г) у = 3, у = -1, у = 2,7, если: 1) Т = 0,3; 2) Т = -1,5; 3)Т - любое
число (Т * 0);
д) у = £>(х) - функция Дирихле:
0, если х-рациональное,
1, если х-иррациональное,
если: 1) Т = 5; 2) Т = 0,5; 3) Т = -1,3; 4) Т - любое рациональ-
ное число (Т Ф 0)-
2. Докажите, что функция не является периодической:
а) у = х; б) у = 1; в)у = х2; г)у = х3.
3. Может ли периодическая функция на множестве R:
а) быть: 1) монотонной; 2) неограниченной;
б) принимать некоторое значение один или конечное число
раз?
4. Пусть у = f (х) - периодическая функция на R с периодом
Т = 5. Какое наименьшее число корней будет иметь уравнение:
а) /(х) = /(-1); б) /(х) = /(0)
на промежутке: [ — 5; 10 ], [ — 2,5; 7,5 ], [ - 10; 50 ]?
5. Докажите, что если Т\ и Т2 (Т\ ^Т2) являются периодами
функции у = /(х), то ее периодами являются также:
а)Т1+Т2; б)Тг-Т2;
в) k • Тх и и • Т2, где п 6 Z, k е Z, кроме k = 0, п = 0;
г) kT\ - пТ2, где k е Z, п е Z, кроме k = 0, п = 0.
6. Докажите, что если Т - период функции у = /(х), то:
а) Т - период функции у = А • f{x 4- а) + С, где А, а, С - числа;
Т
б) — - период функций у = /(сох), у = А • / (сох + а), где А, а,
со - числа, причем со Ф 0.
110
7. Пусть 7] - период функции у = f (х) и Т2 - период функции
у = ^(х), Т\ > О, Т2 > 0. Покажите, что функция у = f (х) 4- #(х)
будет иметь период Т = и, Тг = тиТ2, если — = —9meN9neN.
Т2 п
Рассмотрите конкретные значения или Т, и Т9, например:
12
a) — = —, тогда T = 37\ или Т = 2Т2;
Т2 3
б) Тг = 0,5Т2, тогда Т = Т2;
в) 7\ = ЗТ2, тогда Т = Т2;
г) Т\ =2, Т2 = 3, тогда Т = 6;
д) Тх = л, Т2 = —, тогда Т = л;
3
е) Тг = —, Т2 = —, тогда Т = л;
2 3
ж) Тг - 0,5л, Т2 = 1,2л, тогда Т = 6л.
Ti
Будет ли функция у = f(x) 4- g(x) периодической, если „ - ирра-
7 2
циональное число?
Определение. Главным (или основным) периодом дан-
ной периодической функции называется наименьший из ее поло-
жительных периодов (если он существует).
8. Какие из функций, рассмотренных в задании 1, не имеют
главного периода? Найдите главный период для остальных функ-
ций из этого задания.
9. Найдите главный период функции:
а) у = 3 cos х 4- sin Зх; е) у = cos4 х - sin4 х;
б) у = 2sinl5x 4- 5cosl0x; ж) у = sin6 х 4- cos6 х;
в) у = sin - х j - 2 cos 2х; з) у = sin2 х 4- cos2 5х;
г) у = 0,5 sin(0,5x 4-1) - 0,2 cos 0,2х; и) у = sin 2лх 4- cos Злх;
ч 4-4 ч . ЛХ ЛХ
д) у = cos х 4-sin х; к) у = sin--cos —.
10. Является ли периодической функция:
а) у = sinx 4- cosa/Зх; б) у = cosx 4- sinrcx?
Теперь рассмотрим функции у = f (х), область определения D
которых не совпадает с R.
Функция у = f (х) называется периодической на множестве
D, если существует такое число Т > 0, называемое периодом функ-
ции, что для всех х из области определения функции:
а)х4-Тих-Т также принадлежат области определения функции;
б) выполняется равенство f (х 4- Т) = f (х).
11. а) Пусть х0 g D, где D - область определения периодичес-
кой функции у = f(x) с периодом Т. Принадлежат ли области
определения D точки х0 4- пТ9 где п е Z ?
б) Может ли вся область определения периодической функции
представлять собой: отрезок? луч?
в) Может ли периодическая функция иметь конечное число
точек разрыва на области определения D?
12. Докажите, что функция является периодической. Найди-
те область определения и главный период функции:
а) у = tgx 4-1; д) у = sin х 4- tg х; и) у = sec х;
б) у = 2ctgx; е) у = cos 2х 4- ctg х; к) у = cosecx.
в) у = tg —; ж) у = tg3x 4- cos2x;
2
г) у = ctg2x; з) у = л/з ctg —;
3
13. Объясните, почему функция не является периодической:
a) y = cosy[x; е) (х-1)(х-3)(х-5), (х-2)(х-4)(х-б)’
б) у = sin| х |; ж) у = х 4- sin х;
в) j/ = tg|x|; з) COSX у= л ; 1-х
г) у = sin х2; и) X у= - . ; 1 - sin х
д) j/ = xctgx; к) i/ = l + tgx3.
112
Практикум 4
Графики
тригонометрических
функций
I вариант
Постройте графики функций и ответьте на вопросы к задани-
ям:
а)
1. у = sinx
УЛ
о-i т
2. у = sin х 4- 2
и у = sin х - 1
3. у = 3 sin х
и у = 0,5sinx
4. у = - sinx
и у - - 2 sin х
5. у = 1 - 2sinx
6. у = —-—(у = cosec х)
sin х
7. у = |sinx|
б)
у = ctg X
Vh
~О | х
у = ctg х + 2
и у = ctg х - 1
у = 3 ctg х
и у = 0,5 ctg х
у = - ctg х
и у = -2 ctg х
У = 1 - 2 ctg х
1
У = ——
ctgx
у = | Ctg X |
в)
и y = f(x)-l
У = 3/(х)
и у = 0,5/(х)
У = -/(х)
И у = -2/(х)
y = l-2f(x)
у = |/(х)|
Укажите области определения и множество значений каждой
из функций в заданиях 1 (а, б) - 7 (а, б).
Укажите оси симметрии функций, запишите уравнения для
осей симметрии. Укажите главные периоды функций.
8. Постройте график функции:
ч sin2 х ч cosx
а) у = tgx cosx; б) у = --------; в) у = f
l-cosx 71-sin2 х
113
II вариант
Постройте графики функций и ответьте на вопросы к задани-
ям:
а)
1. у = cosx
в)
У = f(x)
2. у = cosx + 1 и
у = cos х - 2
3. у = 2 cos х и
1
у = — COS X
2
4. у = - cosx и
у = -3 cos х
5. у = 3 - 3cosx
6. у = ——(у = secx)
cosx
7. у = I cosx I
у = tgx + 1 и
у = tgx - 2
у = 2tgx и
У = |tgx
Л
у = -tgx И
у = -3tgx
У = з - 3tgx
1
У = ~—
tgx
У = I tgxI
У = f(x) + 1 и
y = f(x)-2
у = 2/(х) и
У = ^f(x)
y = -f(x) и
у = -3f(х)
y = 3-3f(x)
у~7м
Укажите область определения и множество значений каждой
из функций в заданиях 1 (а, б) - 7 (а, б).
Укажите оси симметрии функций, запишите уравнения для
осей симметрии. Укажите главные периоды функций.
8. Постройте график функции:
X • X Г* х 2 Ч COS2 X cos2 X
а) у = sin х • ctgx; б) у = д/1 + tgzx; в) у = -;---;—.
1 - sin X 1 + sin X
114
Практикум 5
Построение графиков слож-
ных тригонометрических
ФУНКЦИЙ ВИДа у = f(ax + b).
Если аргумент z функции у = f (z) сам является функцией дру-
гого аргумента х, то функция у = /(ю(х)) называется сложной
функцией. Так, если: 1) у = z5, a z = х - 2, то у = (х - 2)5 - слож-
ная функция (степенная относительно линейной); 2) у = sin ю, а
о Л . _ Л
2 = 2x4—, то у = sin 2x4- —
3(3
- сложная тригонометрическая фун-
кция (функция синус относительно линейной функции). Иначе,
например, функция у = sin3 х является сложной (степенной от-
носительно sinx), так как, если ввести обозначение z = sinx, то
з - , х - л
у = z . Функция у - tg-----сложная тригонометрическая, так
5
х - л
как если z -----, то у = tgz.
5
В следующих упражнениях для функции у = f (х) введите ар-
гумент z (найдите зависимостью от х) так, чтобы функция у = f(z)
стала одной из известных элементарных функций:
а) у = cos (1 - х); г) у = sin3 х; ж) у = | х - 81;
б) у = ctg(x2 +2); д) у = Vcosx; з) у = 1 ;
' 7 2х 4- 5
В) y = tg2x; е) i/ = (3x-l)3; и)' у = (1 - х)“2 .
I вариант
Изобразите графики функций:
а) б) в)
115
Используя эти графики, постройте графики функций, указан-
ных в заданиях 2-5. Какое преобразование позволяет получить
из графиков исходных функций первой строки (задание 1) графи-
ки функций второй строки? третьей? четвертой? пятой строки?
(См. соответственно задания 2-5.) Для функций каждой строки
введите аргумент z и выразите аргумент х через аргумент г. Сопо-
ставьте арифметическое действие в этом выражении с произве-
денным при построении графика преобразованием.
а) б) в)
2. у = sin(x - 2) II । ьэ II ।
3. у = sin(x 4- л) у = (х + л)2 y = f(x + n
4. у = sin Зх У = (Зх)2 У = f(?x)
5. у = sin~ Z х2 1 х 1 II 1
Введите аргумент z так, чтобы в каждом столбце / (г) совпала
с соответствующей функцией из задания 1. Выразите х через z и
определите порядок арифметических действий в этом выражении
(двумя способами). Какими преобразованиями и в какой последо-
вательности можно из графиков функций задания 1 получить гра-
фики функций, данных в задании 6. Укажите два способа.
6. Постройте двумя способами графики функций:
а) у = sin (Зх - 2); б) у = (Зх - 2)2; в) у = f (Зх - 2).
7. Постройте график функции у = 2tg-----1.
4
Укажите главные периоды тригонометрических функций в
заданиях 1-7.
В других вариантах задания 2 — 6 аналогичны соответствую-
щим заданиям I варианта. В качестве исходных функций можно
рассмотреть:
II вариант
а) у = cos х; б) у = | х |;
В) y = f(x) (СМ. рис.).
116
Ill вариант
a) j/ = sinx; б) у = | x |; в) y = f(x)
(см. рис. сверху).
IV вариант
а) у = cosx; б) у = х2-, в) y = f(x)
(см. рис. снизу).
Для задания 7 можно предложить по-
строить график функции:
II вариант у = 2ctg ——— 4-1.
Ill вариант у = 3tg-—--2.
4
IV вариант
Л , х + л
у = 2ctg —----3.
Практикум 6
Четные и нечетные функции
1. Постройте в одной декартовой системе координат графики
функций у = f(x) и у = f(-x), если:
I вариант
a) f (х) = 1 4- cos х; б) f(x) = | х - 2 |; в) f(x) - произвольная
функция, заданная графиком.
II вариант
a) f (х) = | х | -1; б) f (х) = 1 + sin х; в) f (х) - произвольная
функция, заданная графиком.
III вариант
a) f (х) = 1 - cos х; б) f (х) = | х 4- 2 |; в) f (х) - произвольная
функция, заданная графиком.
IV вариант
а) f(x) = 4 - х2; б) f(x) = sinx - 1; в) f(x) - произвольная
функция, заданная графиком.
117
V вариант
а) f (х) = —2 ; 6) f (х) = tgx + 1; в) f (х) - произвольная функ-
X
ция, заданная графиком.
В каких случаях графики функций у = f(x) и у = совпа-
ли? Как называются такие функции?
2. Постройте в одной декартовой системе координат графики
функций у = f(x) и у = -f(-x), если:
I вариант
a) f (х) = - 2 sin х; б) f (х) = 2 - 2 sin х; в) f (х) - произвольная
функция, заданная графиком.
II вариант
a) f(x) = sin(0,5x); б) f(x) = х3 + 1; в) f(x) - произвольная
функция, заданная графиком.
III вариант
a) f(x) = -sin(2x); б) fix) = sin^x в) f(x) - произволь-
ная функция, заданная графиком.
IV вариант
а) f(x) = б) fix) = tg^x + — j; в) f(x) _ произвольная
функция, заданная графиком.
V вариант
а) f{x) = х3; б) f(x) = cos^x - — j; в) f(x) _ произвольная
функция, заданная графиком.
В каких случаях графики функций у - f(x) и у = -f (-х) со-
впали? Как называются такие функции?
3. Пусть у = f(x) - функция, заданная на всей числовой оси.
Докажите, что у = O,5(f(x) 4- f(-x)j - четная функция, а
118
у = 0,5 (f(x) - f (-x)j ~ нечетная функция. Чему равна сумма этих
функций?
4. Представьте функцию в виде суммы двух функций, одна из
которых четная, а другая - нечетная. Проиллюстрируйте это пост-
роением графиков: данной функции, четной и нечетной функций
и их суммы:
а) г/ = х(х-2); в) у = (3 - х) • (х - 1); д) i/ = |x + 3|;
б) У = (3 - х) • (1 - х); г) у = (х + 1) • (3 - х); е) у = | х + 21-1.
5. Какие из функций являются четными, какие нечетными, а
какие не обладают этими свойствами:
а) у = х2 4- |х |, у = sin х - 2 sin Зх, у - sin | х |;
б) у = х | х |, у = tg2x - cos х, у - cos (х - 1);
в) I/ = |sinx|, у = хъ -5х, у = tg|х|;
г) у = tgx , у = sin3x - cosx, у - х(х2 + 1);
fl)i/ = ctg|x, у =--1—г, у = xsinx?
Сохранится ли имеющееся свойство четности (или нечетнос-
ти) на промежутке: (-5; 5), (-5; 2), (-©о; 7), (-8; ©о)?
6. Объясните, почему следующие функции не могут обладать
свойством четности или нечетности:
a) y = Jx-l; в) у - >/2х + 5; д) у = tg х + — ;
\ 3 J
б) i/ = V2-x; г) у =----е) i/ = ctg(x + l).
7. Используя свойство четности или нечетности, постройте
график функции:
а) у = sin | 2х |; е)
б) у = х | х |; ж)
в) у = X2 | х |; з)
г) у=-ху[х2; и)
д) у = X2 +|х|-2; к)
i/ = x(l-|x|);
i/ = |x + l| + |x-l|;
i/ = |x + l|-|x-l|;
У=ИЛ;
у =
л) у = COS + | X |
м) у = cos -1 X |
н) y = ctg^;
А
Iх I
О) t/ = ctgJ—!•;
Л
119
Основные тригонометричес-
кие тождества и их исполь-
зование при решении задач
Формулы сложения
1. Изобразите тригонометрический круг и отметьте на еди-
ничной окружности точку А, соответствующую углу а, и точку
В, соответствующую углу р, если:
а) а = 145°, Р = 30°;
б) а = 210°, р = 45°;
в) а = 120°, р = -45°;
\ Л q Л
г>а = -.
Ла=-т- р=4:
4 6
е) а = 0,8л, р = 0,2л;
х 2 о
ж) а = — л, р- произвольный угол;
3
з) а и р - произвольные углы.
Укажите координаты точек А и В, определите угол АОВ. Со-
ставьте двумя способами выражения для определения скалярно-
го произведения векторов ОМ и ОВ. Найдите cos Z АОВ. Исполь-
зуя полученные в задании 1(з) равенства, выведите остальные
три формулы сложения.
2. Упростите выражение:
ч sin 4х cos Зх - cos 4х sin Зх а) ; sin 4х cos 5х + cos 4х cos 5х sin Зх + sin х б) ; 1 + cos 2х ч sin За в) / \ \ ’ . I Л 1 . I Л 1 sm а • sm — + а к3 7 I3 7 ч cos За г) з ; cos а д) sin За + 4 sin3 а; ч sin 4а о Л е) + cos 2а; ctga - tga ч 2 Л 2 sin 2а ж) cos 2а ; tga + ctga 2 1 з) ctg а + ; cos 2а - cos а ч sina - 7 sin 2а + sin За и) ; cosa - 7 cos 2а + cos За cos2 а - cos2 Р К/ 2 2 2 2 sin a cos Р - cos а • sin Р
120
3. Вычислите:
ч sin 10° • cos 40°+ cos 10° • sin 40°
a) ------------------------------;
sin 70° • cos 20° - cos 70° • sin 20°
\ 1 + cos 10°+cos 20°
e) tglO--------------------;
sin 10° + sin 20°
Л It . It . It
cos — • cos-----sm — • sm —
7 42 7 42 .
. it it , Tt it
sm — • cos — + sm — • cos —
8 24 24 8
ж)
sin 10°-cos 5° . rO
---------------------ctg5 °.
1 - sin 5° - cos 10°-’
r)
Д)
.8л it . it 8л
sm —— cos — - sm — cos ——
____15 5_____5 15 .
Tt 10л . Tt . 10л ’
cos — cos--+ sm — sm-----
7 21 7 21
1 +cos 14 tg7O.
sin 14°
sin 18°
1-cos 18°
- ctg9°;
з) sin2 10° + sin 50° • sin 70°;
и) tg5O°-tg5°-l;
tg5°tg50°
к) л/з coses 20° - sec 20°.
4. Докажите тождество:
1Л I , |Л I
—a sin — + a ;
3 J 12 J
Г* A I 7t ] | Л |
o) cos3a = 4cosa • cos —a cos — + a ;
1з I 13 J
в)
ctga + ctgP =
sin (a + P )
sina • sin 0 ’
ж) tg a + ctg a =---------;
sin 2a
(n А (и A 2 cos (a - 0)
r) 4cos —x cos — + x = 4cos x - 3; з) tga + ctgp =--------------------;
3 J 3 ) cos a • sin 0
д) 4 sin — - x • sin — + x = 3 - 4 sin2 x; и) coseclO0 = 4 + д/з sec 10°;
13 J 13 J
e) ctga - tga = 2ctg2a;
к) cosecl5° - sec 15° = 2^2.
121
Практикум 8
Основные тригонометричес-
кие тождества и их исполь-
зование при решении задач
Формулы приведения
1. Изобразите тригонометрический круг и отметьте на еди-
ничной окружности точку А, соответствующую углу а, и точку
В, соответствующую углу р, где:
7Г 3
а) Р=а+—; в) Р=л-а; д) р=—л-а; ж) Р = 2л-а.
2 2
б) Р=— -а; г) р=л+а; е) Р=— л+а;
2 2
Установите связь между координатами точекА и В: 1) геомет-
рически; 2) аналитически, используя формулы сложения.
2. Вычислите значения тригонометрических функций угла а ,
если угол а равен:
а) 210°, - 300°, 480°, - 570°,^660°, - 750°, 840°, - 930°, 1020°,
-1110°, 1200°, - 1290°, 1380°, - 1460°, 1560°, -л, --л, -л,
3 6 8
13 8 19 11л 25л 14 31 17л 37л 20л
л, —л, л, , , л, л, , , ,
6-------------------------------------------------3 6-3-6-3-6-3-6-3
43 23л 49л
---л,---,-----;
6 3 6
б) -135°, 225°, - 315°, - 495°, 585°, - 675°, 765°, - 855°, 945°,
-1035°, 1125°, - 1215°, 1305°, -1395° , —, - —, -п, ,
4 4 4 4 4
13л 15л 17л 19л 21л 23л 25л
4 4* 4 ’ 4 4 ’ 4 4
3. Задайте углу а произвольное значение, большее 2л (или
360°), и выразите значения тригонометрических функций угла
а через значения тригонометрических функций угла, принадле-
жащего отрезку
0; -
4
(или 0°; 45° ).
122
4. Определите, что больше:
a) sin 40° или sin 160°;
б) cos 70° или cos 280°;
в) cos 6,4л или 0,5;
г) cos 400° или cos 100°;
д) sin 500° или sin (-50°);
е) cos 0,9л или sin 252°;
ж) cos6,4л или sin (-252°);
з) sin 3,1л или - 0,5;
и) 1£3,7л или ctg 3,8л;
к) tg765° или cos 348°.
5. Упростите выражение:
sin (180° + а)
а) ------------; + tg225;
cos (270° + л)
sin (л + а) ,
в) —-------- + sin (3,5л + а
tg^-a)
cos (л-а) 7л
б) ----т------v+ctg —;
. ( 3 ] 4
sin — л - а
12 J
cos (270° +а)
г) ----------^ +cos(540°-а
ctg (90°-а)
tg (л - х) • sin — + х
—77;-----ч--------+ tg (х - Зл);
tg I — + х I • sm (л + X)
tgf 180° + а 1 • cos(180° - л)
е) —{----------------------+ tg(900°-a);
tg(270° + aj • cos (270 + a)
tg — + x • sin (л + x) z
I 2 J (11л
Ж) ------------------r------+ Ctg -----
. I л ] I 4
sin — + x
I2 )
cos 270° + a
cos (180 - a) • ctg ^90° + a j
+ tg315°;
sin 1,2л 4 cos 288°
-----------------; к) ---------------------.
sin 1,3л tg 1,8л tg 558° • cos 162°
123
6. Постройте график функции у = sin (я + х) двумя способами:
1) преобразованием графика функции у = sinx;
2) с предварительным использованием формул приведения.
Выполните аналогичные задания для функций:
а) у = sin + х j; в) у = cos (л - х);
б) у = cos — + х ; г) у = sin (1,5я - х).
\. 2 j
Практикум д Основные тригонометричес-
кие тождества и их исполь-
зование при решении задач
ч . 24 3
a) sina =-----, я < а < —я;
25 2
б) cosa = -т=^, —я < а < 2я;
7з 2
в) tga = -72, — < а < я;
Определение значений одних тригонометрических функций
по значениям других
1. Найдите значения остальных тригонометрических функций
угла а, если:
7
г) etga = 2,4, Зя < а < —я;
х Л 4 я
д) seca = -3 —, — < а < я;
7 2
е) cosec а = 7з, 6я < а < 6,5я.
2. Вычислите:
a) sin(a + р), cos(a - Р), если sina = cosP = 0,6, 2,5я < а < Зя,
1,5я < Р < 2я;
б) sin(a - Р), tg(a + Р), если cosa = 0,6, sinP = 0,5я < а < я,
-1,5я < Р < я;
в) tg(a + р), ctg(а - Р), если tga = 0,8, cosP = —, я < а < 1,5я,
-0,5я < р < 0;
г) tg(a - Р ), ctg(a + Р ), если sina = 0,6, ctg Р = 2, 0,5я < а < я,
я < Р < 1,5я;
124
д) sin2а, tg 2а, если tg а = V2, л < а < 1,5л;
е) cos2а, ctg2а, если ctga = 0,75, л < а < 1,5л;
ж) sin4а, если tga = -3, - 0,5л < а < 0;
з) cos 4а, если ctga = -0,75, 0,5л < а < 0;
и) sin За, если sina =
V2
л) tga, если tg— = -0,75,------< — < 0;
2 4 2
а а
м) sina, если ctg — = 0,75, л < — < 1,25л.
2 2
3. Вычислите:
5
а)-----------, если ctga = 10;
2 + 3 sin 2а
3
б)-----------, если tg а = 0,1;
5 + 4 cos 2а
в) tg2a + ctg2a, если tga + ctga = 3;
г) tg2d + ctg2a, если tga - ctga = 2;
д) tg3a + ctg3a, если tga + ctga = 2;
e) tg3a - ctg3a, если tga - ctga = 1;
ж) sin3 a + cos3 а, если sina + cosa = 1,2;
з) sin3 a - cos3 а, если sina - cosa = -0,8;
4 6 sin a + cos a
и) , если tga = a;
3 cos a - 4 sin a
4 3 sin a + 7 cos a
к)---------------, если ctga = a;
4 cos a - 3sina
л) sin4 a + cos4 а, если sina + cosa = a;
м) I sina - cosa |, если sina + cosa = a.
125
4. Найдите:
а) tg —, если sina + cosa = 1,4, 0 < a < 2 ; 0,25;
б) ctg — , если sina + cosa = 0,2, — < a < л ;
2 2
a
в) tg —, если sina + cosa = -0,2, л < a < 2л ;
ч . a . .. А -л г) ctg — , если sina + cosa = -1,4, — < 2 4 ; a < 0;
д) tg —, если sina - cosa = 0,2, л < a 2 < 2л ;
e) ctg — , если sina - cosa = -0,2, л < a < 2л ;
ч . a . , . з ж) tg —, если sina - cosa = 1,4, —л < 2 8 a л 2 2 ’
з) ctg — , если sina - cosa = -1,4, 2 4 < a < 0;
a и) sin — , если sina + cosa = 0,2, 0 < a 2 < л ;
к) cos — , если sina - cosa = 0,2, л < a < 2л;
2
4 . a . . A it a л) sm —, если sina + cosa = 1,4, — < — 2 8 2 л 2 ’
ч a • 1 A K m) cos — , если sina - cosa = -1,4, 2 4 < a < 0.
5. Найдите расстояние между прямыми:
а) у = 0,7x и у = 5 + 0,75x; ж) 4 4 б) y = — x и г/= 2 ч—х; з) 3 3 3 3 в) у- хиу = 3 х; и) 4 4 у = >/Зх и у = 2 + а/Зх; Зг/ - 4х = 3 и 4х - Зг/ = 12; Зх = 4у и 2у - 1,5х - 20 = 0
г) у = -Зх и у = 10 - Зх; к) 4х + Зг/ = 0 и — + — = 1; У 3 4
д) у - Зх - 1 и у = Зх + 2; л) - - = 1 и х - 0,5 г/ + 2 = 0; 2 4
е) у = 1 - 0,75х и у = -4 - 0,75х; м) у = 2д/2х и ^2у - 4х = V2.
126
Преобразования тригоно-
метрических выражений
и свойства тригонометри-
ческих функций
1. Существует ли такой угол a, для которого выполняется
равенство:
a)
sin = tgO,3n;
л)
“2" tgS0;
1 - tg2a
6)
cosa = ctg0,2n;
m)
cos 2a . o
---------= ctg40 °;
ctg2a -1
в)
sina • cosa = 1;
h)
r)
sina • cosa = sin35
o)
________^— = 11;
1 + tg2a 1 + ctg2a
sin 2a - 6 sin2 a 4 o
= sec 1°;
1 - 3tga
Д)
e)
ж)
3)
sina • cosa = cos50°;
(sina + cosa)(sina - cosa) = ctgl40°;
cos2 a - cos2a = tg47°;
cos 2a + sin2 a - 0,5 = cos 40°;
n)
P)
c)
T)
и)
к)
2
7
а)
б)
в)
г)
Д)
е)
3 sin2 a _
1 + tg2a
cos2 a
1 + ctg2a
2. Найдите
у = 3sin2 x + cos2x;
у = cos 2x + 3 cos2 x;
у = sin 3x + 4 sin3 x;
у = cos 2x - 4 cos2 x;
• 2
у = sin x + cos x;
у = sin x - cos2 x;
У)
Ф)
(sina + cosa)2 = 3;
sina + cosa = 7з";
(sina - cosa)2 = 2,5
6cosa = 7 - sina;
tga + ctga = 1;
tga + ctga = 1,5 ?
множество значений функции:
у = 3 sin2 х + 4 cos x;
у = 6 sin x - 8 cos2 x;
у = sin3x + 4 sin3 x;
ж)
з)
И)
к)
л)
м)
у = cos Зх + 3 cos х;
у = tgx + ctgx;
у = tgx - ctgx.
127
3. Докажите верность соотношения:
a) (sina + cosa)2 < 2;
б) (sina - cosa)2 < 2;
в) sina + cosa > -^2;
г) |sina-oosa|<72;
д) sin (a + P) < sina + sinP, где 0 < a < —, 0 < P < —;
2 2
. , . (it A 1 - tga
e) tga • tg —a =--------;
^4 ) 1 + tga
xx x (n tga+1
ж) tga-tg —+ a =-----------;
^4 ) ctga - 1
\ j ft j. тс
з) ctg —-tg—= 2;
8 о
и) ctgl5° - tgl5° = 2 л/з;
к) ctgl5° +tgl5° =4;
л) tga + 2tg2a + 4tg4a + 8tg8a + 16tgl6a + 32tg 32a +
+ 64 ctg 64a = ctga;
. , , , n . _ 8 cos3 2a
m) tga + ctga + tg3a + ctg3a =------;
sin 6a
\ .2 . 9 I ft I . 21 ft I ~
h) sm a + sm—a+sm —+a =1,5;
13 J 13 J
o) 1 + cos2a + cos4a + cos6a = 4cosa cos2a • cos3a.
4. Упростите выражение и найдите его значение:
а)
ctgx + tgx
1 + tgx tg2x
11
при x = —л;
12
б) sin3x • cos3x(tg3x + ctg3x) при x = 1,1л;
о
4 cos х + 3 sin x 1-4 sin x 3
в)------------------------------при x = — л;
cos (—x) - sin (—x) cos 2x 8
2
x 4 cos x - sin 2x cos x - 3 sin x 3
r)-------------------------------при x =------л;
cos (л - 2x) cos x + sin (-x) 8
128
ч 1 - cos х + cos 2x 5
д)-----------------при x = —л;
sin 2x - sin x 6
4 cos x - 2 sin 3x - cos 5x 11
e) при x = —it;
sin 5x - 2 cos 3x - sin x 12
4 cos 2x + 5 cos 3x + cos 4x л
ж) при x =------------;
sin 2x + 5 sin 3x + sin 4x 9
x 1 ~ tg x . Tt
з)---------cos4x • ctg2x при x =---;
2tgx 24
4 5 cos x - 3 sin x
И) ---z------x--------
. f Tt 1
sin-------x -sinx
I 2 J
о
sin 2x - 8 sin x л
----------при x = —;
cos2x-----12
, v 2sin(-2x)
K) COs(-2x)---------------;--r-
, ( Tt ]
2 sin (я - x)
it
при X =----
12
л) 2 ctg I — - 2x I +-7—
V2 / • I K 1 4. • /
sin — + x + tg x • sin (
I2 )
Л . (л
sin x + 2 sin x
X I3 J Л
m) -------------r-------- при X =----
2>/з • cos---x - 3 cos x
k4 * 6 J
5. Постройте график функции у = /(х), если:
. - / \ 9 9 I Tt I (л
a) f\x]= cos х + cos — + х -cos — + x
V 7 13 J I 3
6)/(x) = cos x + cos — + x + cos-----X
v 7 13 J I 3
v . / \ .2 1 Л I [ Л
в) / X) = sin X + cos--X cos — + X
v 7 1з J 1з
4 - / \ .2 . I Л \ . I Л
r) f(x) = sin x + sin----x sm — + x
v 7 I 3 J I 3
5 О. H. Доброва
129
д) f (х) = cos х - sin x;
e) f (x) = sin x + cos x;
ж) /(*) = sinx + л/з cosx;
4 - / \ . I 7C | ( Л | /Т"
3) f(x) = sin — + x -cos — + x -л/3;
13 j 13 j
и) /(x) = ctgx - tgx;
к) f (x) = tg x + ctg x.
6. Пусть a, P и у - углы треугольника. Докажите тождество:
ч • . D л « Р У
а) smn + smp + siny = 4cos—cos—cos—;
2 2 2
Q 1 A • a • P • Y
o) cos a + cos p + cosy =1 + 4 sm — sm — sin —;
в) sin2a + sin2P + sin2y = 4sinasinPsiny;
r) tga + tgp + tgy = tga tgp tgy;
Д) tg^-tg-| + tg^-tg^ + tg|-tg^ = l;
2 2 2 2 2 2
e) sin3 a • cos(P -y) + sin3 P • cos(y - a) + sin3 у • cos(a - P) =
= 3sina sin P siny;
ж) sin3 a • sin(p -y) + sin3 p • sin(y - a) + sin3 у • sin (a - p) = 0;
3) sin3a • sin3(p -y) + sin3P • sin3(y - a) + sin3y • sin3(a - p) = 0;
и) sin3a • cos3(P -y) + sin3P • cos3(y - a) + sin3y • cos3(a - P) =
= sin 3a sin 3P sin 3y.
Практикум 11 Обратные тригонометри-
ческие функции
1. В одной прямоугольной системе координат постройте гра-
фики двух функций на указанных промежутках изменения их
аргумента. Будет ли каждая из этих функций иметь обратную?
В той же системе координат постройте график обратной функ-
ции для каждой из этих двух функций (если обратная существу-
ет). Запишите формулой каждую из построенных обратных функ-
ций:
130
а) у = sin x, x g
б) у = sin х, х G
и у = sinx, x g [1,5л; 2,5л];
и у = sinx, х g [-2,5л; - 1,5л];
в) у = cosx, х g [0; л] и у = cosx, х g [2л; Зл];
г) у = cosx, х g [0; л] и у = cosx, х g [-Зл; - 2л];
д) у = tgx, х g I-~; ~ I и У ~ tgx, * g (0,5л; 1,5л);
е) у = ctgx, х g (0; л) и у = ctgx, х g (л; 2л);
л
2
ж) у = - sin х, х G
л . л 3
— и г/= sinx, xg —; —л
2_| |_2 2
з) у = cosx, х g [О; л] и у = cosx, х g [л; 2л].
2. На единичной окружности постройте дуги:
a) arcsin 0,75, arcsin (-0,75), - arcsin —, arcsin I - — I;
v 7 3 < 3j
2
б) л - arcsin—, л + arcsin 0,5, л + arcsin (-0,5);
в) (-1)A arcsin 0,25 + nk, k g Z; (-1)A+1 arcsin 0,25 + nk, где k g Z;
x 2 Г 2^ 1
r) arccos —, arccos — , - arccos —;
3 3j 3
ч 1 ( C
д) л — arccos — , л + arccos — ;
3 k 37
e) ± arccos 0,25 + 2л&, k g Z\ ± arccos(-0,25) + 2л&, k g Z;
ж) arctgO,5, arctg2, arctg5, - arctgl,5;
з) л + arctg2; - arctg2 + л/г, k g Z; arctg(-2) + л/г, k g Z;
и)
3
arcctg — , arcctg
- arcctg3, л - arcctgl;
к) л + arcctg (-1); nk + arcctg5, где k g Z; arcctg (-0,5) + л/z, k g Z.
131
3. Вычислите:
a) arcsin 2 cos —
д) arctg 2 cos —
и)
y2
tg 3 arccos —
2
1 x 71
o) arccos — tg —
e) arcctg I Victg — j; к)
. V2
ctg 7 arcsin —
в) arctg 2 sin — ; ж) cos (5 arcsin 1); л)
г) arctg I cos —
з) sin (3 arccos (-1)); m)
4. Упростите выражение:
a) arcsin (sm 1,2л); д) arccos cos------- ; и) arctg ctg —
6) arccos (cos 1,3л);
e) arcsin cos-----
к) arcctg ctg —
в) arcsin (cos 0,4л); ж) arctg ^3,3л);
л) arcctg tg—л
г) arccos (sin 0,8л); з) arctg ctg —
m)
arcctg tg—л
5. Найдите область определения и множество значений функ
ции:
а) у = 3 arcsin (х + 1);
б) у = - arccos (х + 2);
в) у = 0,5 arctg (2х - 5);
г) у = 3 arcctg (Зх + 1);
д) у = 3 arcsin {х2 - 3j;
е) у = 5 arccos (б - х2 j;
ж) у = -2 arcsin (4 - х2
з) у = 2 arccos (х2 - 1 j.
132
6. Докажите тождество:
а) Л arcsin х + arccos х = —; 2 и) sin (arctg х) = 7i+x2
б) , л arctgx + arcctgx = —; 2 к) sin (arcctgx) = i Vi+ x2
в) х 1 arctgx + arctg— = — при x > 0; x 2 л) cos (arctgx) = i 7i+x2
г) arctgx + arctg — = - — при x < 0; x 2 м) cos (arcctgx) = X 7i+x2
д) sin (arccos x) = 71 - x2; н) tg (arcsin x) = X
7i - x2
е) cos (arcsin x) = 71 - x2; о) tg (arccos x) = 7i - x2
9 X
ж) tg (arcctgx) = п) ctg (arcsin x) = 7i - x2. 9 X
з) ctg (arctgx) = —; п) ctg (arccos x) = X
7i - x2
с) sin (2 arcsin x) = 2x • 71 - x2;
т) sin (2 arccos x) = 2x • 71 - x2;
у) cos (2 arcsin x) = 1 - 2x2; ч) tg (2 arctgx) = 2x 1-x2’
Ф) cos (2 arccos x) = 2x2 - 1; ш) fl cos — arccos x I2 ) - I1 + x V 2 ’
х) у sin (2 arctgx) = 2 ; щ) . fl sin — arccos x I2 J II I-* to I
, , ч 1-Х2 ц) cos (2 arctgx) - 2 ; Укажите, какие значения может принимать х в тождествах.
133
7. Верно ли равенство:
ч .5 . 12 л
a) arcsm— + arcsin— = —;
13 13 2
.4 .5л .16
б) arcsin — + arcsin— =-arcsin —;
5 13 2 25
в) cos 2 arctg- |=sin 4arctg- I;
V 7J V 3j
\ Io . 1 24
r) cos 2 arctg — = —;
I 7 J 25
I 1 1 л
д) arctg 2 + arctg — = —
I 3) 4
e) arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 = л;
Зтс
ж) arctg (- 2) + arctg (- 3) = - —
x . 1 x 4
з) arctg — + arctg — = arctg —;
3 5 7
x . 1 . 1 . 1 л o
и) arctg — + arctg — + arctg у + arctg — = — ?
8. Вычислите:
a) sin arctg 2;
б) cos arctg 2;
\ | I 3
в) sin arccos —
I I 5
\ • ( 4
r) cos arcsin —
I I 5
д) sin (2 arcsin 0,6);
e) sin(2arcctg0,5);
з) cos (2 arcsin 0,4);
к) cos (2 arctg 2);
ж) cos (2 arccos 0,6);
и) sin (2 arctg 3);
. . fl 1^1
л) sin —arccos— ;
I 2 9 J
A I 1 1 I
m) cos —arccos— ;
I 2 8
ч . Г 3л . 4 )
H) tg — + arcsin — ;
12 5 )
o) sin 2 arcsin —
I 3
134
9. Постройте графики функций:
а) у = 3 arcsin (х + 1), у = 3 sin (arcsin (х + 1)), у = arcsin (sin х);
б) у = 5arccos(2 + х), у = 5cos(arccos(2 + х)), у = arccos(cosx);
в) у = 3arcsin(х - я), у = 3sin(arcsin(х - я)), у = - arcsin(sinх);
г) у = 2 arccos(х - я), у = 2cos(arccos(х - я)), у = arccos(cosx);
д) У = arctg(х +1), у = tg (arctg (х + 1)), у = arctg (tgx);
е) у = arcctg (х - 1), у = ctg (arcctg (х - 1)), у = arcctg (ctgx).
Практикум 12 Простейшие тригонометри-
ческие уравнения и
неравенства
1. Постройте на единичной окружности множество точек, со-
ответствующих указанным углам х. Какое из простейших триго-
нометрических уравнений вида sinx = a, cosx = a, tgx = а,
ctgx = а и при каком значении а имеет такое же множество реше-
ний?
а) х = ± arccos — + 2itk, k е Z;
3
б) x = (-1) arcsin 0,7 + itk, k e Z;
в) x = ± — + 2я&, k g Z;
4
. Я , , „
r) x = — + nk, k g Z;
4
д) x = (-1)*+1 + itk, k g Z;
2. Решите уравнение:
a) 6sm —a +4sm a---------=1;
I7 J I 7J
_ (я i ~ I 6Я]Ч
6) 7 cos —a +5 cos a-------=1;
15 ) I 5 J
4 Я , , „
e) x = — + я«, k g Z;
4
ж) x = ±—— + 2я&, k g Z;
3
з) x = (-1) — + я/?, k g Z;
и) x = - arctg 2 + nk, k g Z;
к) x = я - arcctg 2 + Ttk, k g Z.
135
\ • I n i In Я ]
в) sin-----2a + cos 2a----= - 1;
I 5 ) l ю)
r) 2tg I 0,4л +—- | + tgl 0,6л -—1=1;
к 2 J I 2)
д) 3tg (0,3л + a) + 2ctg (a - 0,2л) = 1;
e) 3sin(0,ln - 3a) + sin (3a -2,1л) = 72;
i a i । a । I—
ж) 4 cos 0,4я--+2cos-----1,4я =- V2;
V 27 I2 7
з) 2ctg-——+3tgfл-— |=73;
2 I 27
6л - a . 3л+a гт
и) 3 cos----- - 5sin-----= v3;
2 2
i a i (a ] r~
k) sin 0,6л--+cos-----0,1л = -уЗ;
I I3 J
л) 51^(0,Зл +a)+2tg(0/fa-a)=-T3;
м) 4с1^(0,Зл + a) + 3tg(a -0,2л) = Тз.
3. Решите уравнение:
a) sin 8х • cos 5х - cos 8х • sin 5х = -1;
б) sin3x cosx + sinx cos3x = 0;
х х л . х . л
в) cos— cos3x-sin — sm3x = 0;
3 3
\ Х о Х • О 1
г) cos— cos3x + sin— sm3x = -l;
2 2
д) sin х • cos 4x - cos x sin 4x = 1;
e) sin x (cos 4x - sin x) - cos x (sin 4x + cos x) = 0;
ч X ( л X ] . X ( . л . X ] л
ж) cos— cos3x-cos— -sm— sm3x + sm— =0;
2l 2J 2l 2J
з) cos 3x (cos 3x + 2 cos x) + sin 3x (sin 3x + 2 sin x) = 0;
и) sin x [y[2 cos 5x + sin xj + cos x (y[2 sin 5x + cos xj = 0;
k) sin 8x (3 cos 5x + sin 8x) - cos 8x (3 sin 5x - cos 8x) = 0.
136
4. Решите уравнение:
а) 8 sin х • cos х • cos 2х = -1;
б) sin— cos— cosx + 0,2 = 0;
2 2
в) 16sinxcosxcos2xcos4x + 72 =0;
о о *Уз
г) sin x cosx + cos x sinx = —;
4
ч о . 3 X X п Зх.х __
д) 2sin — cos — + 2cos — sin —= -0,7;
2 2 2 2
о , з *Уз
е) cos х sin х - sin x cos x = —;
8
\ 4 -4
ж) cos x-sin x =----;
2
3) cos4 — - sin4 — = - 0,5;
4 4
и) ctga-tga-2tg2a-4tg4a = 8;
к) 1 + tga + 2tg 2a + 4tg 4a + 8tg 8a +16ctg 16a = 0.
5. Изобразите тригонометрический круг и отметьте на еди-
ничной окружности дуги, точки которых соответствуют указан-
ным ниже углам х. Какое из простейших тригонометрических
неравенств вида sin х > a, sin х < a, cos х > a, cos х < a, tgx > a,
tgx<a, ctgx > a, ctgx < а и при каком значении а имеет такое же
множество решений?
а) — + 2nk<x< — + 2nk, k g Z;
4 4
б) ^-+л/г<х<л (fc + l), k g Z;
. Tt . it , , „
в) — + nk<x< — + itk, k g Z;
4 2
3 3
r) —Tt + 2Ttk<x< —it + 2л&, k g Z;
4 4
3 5л
д) —it +2itk<x< — + 2itk, k g Z;
4 4
3 Tt
e) —Tt +2itk < x <---+ 2itk, k g Z;
4 4
ж) ^- + 2itk < x < + 2л (k +1), k g Z;
137
з) - —+ 2л& < х < — + 2л&, k g Z;
4 4
и) — + 2nk < х < — + 2л (k +1), k g Z;
3 3
к) - — + itk <x< ~ — + nk, k g Z;
2 4
л) itk < x < —+л£, k g Z;
6
m) — + 2nk <x< — + 2itk, k g Z; o) ~ — + 2nk < x < —+ 2л&, k g Z;
6 6 3 3
h) - — + 2nk < x < —+ 2л/г, k g Z; n) — + 2nk < x < —л +2л&, k g Z.
6 6 3 3
6. Решите неравенство:
a) 1-2 sin 2x < 0; д) 2 + 5 sin 5x > 0;
и) 3-tg ——— <0;
3
6) l-2cos3x>0;
в) 73-tg3x>0;
e) 3 + 4cos— < 0; к) 7-ctg-—— > 0.
4 2
ж) 4-5 sin — - — < 0;
I 2 3 J
/— x + It
r) V3-3ctg2x<0; з) 7-8cos-----> 0;
7. Найдите область определения функции:
а) sinx Д) tgx и) 8
у - 1 + 2 cos х у - 1 X Х l + ctg- у — — • 7 + tg(2x-5)
б) cos х + 1 е e) 7/ — cosx К) _ sin 2x
У = sin х -1 у - 2tg — + 5 3 У ~ 1 * x - 1
ctg +1 4
в) tgx ж) tg (2x + 3)
У = 2 - 3 sin x у - 1 + sin(3x - 1) ’
г) ctgx , 3) ctg(l-1)
У = 1 + cos X У = cos(2 - x)-2 ’
138
8. Найдите область определения функции:
а) у = arcsin (2 cos х);
б) у = arccos (2 sin х);
в) у = arcsin (72 sin х)
г) у = arccos (72 cos х
Д) у = arcsin (tgx);
е) у = arccos (ctg х);
ж) у = arcsin (V3ct$
з) у = arccos (Titg.
и) у = 72sinx - 1;
к) у = 71 - 2cosx;
л) у = 73sinx + 1;
м) у = aMcosx + 1;
\ L • х
н) у = J5sin—;
ч 1
о) У = г---
V2cos2x
У ~ I----’
VI - sinx
ctgx
р) */ = -,-----
VI + cosx
tg2x
С) У= I
V2sinx + 3
v ctg Зх
Т) у= I =.
V3cosx - 4
Практикум 13-14
Т ригонометрические
уравнения и неравенства
и) 1-9 sin2 х = 0;
к) 3 cos2 х = 1;
л) 9 sin4 х + 9 cos4 х = 1;
м) 8 sin4 х + 8 cos4 х = 5.
з) sin2 2x - cos2 x + 0,75 = 0;
и) tg x - 5ctg x = 4;
к) 7itg2x----— = 7з;
ctgx
Л) —2------3tgx - 5 = 0;
COS^ X
m> —— = 4ctgx - 2;
sin2 x
h) 72 sin x + ctgx = 0;
o) cos x —1= tgx = 0.
72
tg x = ctg x;
tg x = 3ctg x;
3tg x = ctg x;
5tg x = 0,2ctg x;
1. Решите уравнение:
а) 3-4 sin2 х = 0; д)
б) 1-2 cos2 х = 0; е)
в) 1 - 3tg2x = 0; ж)
г) 3ctg2x = 1; з)
2. Решите уравнение:
а) 2 sin2 х = 3 cos х;
б) 2 cos2 х + 3 sin х = 0;
в) 5 cos 2х = 23 sin х;
г) 3 cos 2х = 7 cos х;
д) cos 2х + cos2 х + 2 cos х = 0;
е) 2 cos 2х + 2 cos х + sin2 х = 0;
ж) sin4 х + 5 cos 2х + 4 = 0;
139
3. Решите уравнение:
a) cos2x + sin2x + 2cos2 х = 0; е) 7з sin3x - cos3x = >/2;
б) 2 cos 2х - 0,5 sin 2х + sin2 х = 0 ж) 4 sin Зх + 3 cos Зх - 5 = 0;
в) 3 sin2 х - sin 2х - cos2 х = 2; з) 4 sin х + cos х = 4;
г) 2 sin 4х - 2 sin2 2х = 1; и) (sin х - 3 cos х) (cos х + sin х) = 1;
д) 3 sin х - 4 cos х = 5; к) (sin х - cos х) (cos х + 3 sin х) = -1.
4. Решите уравнение: 4ctg2x • cos x • sin x = —Уз;
а) х 1 tgx = ; COSX И)
б) х 1 ctgx = ; sinx K) 1 + tgx + sin x = 0; 1 + ctgx
в) sin2 x = tgx • ctgx; л) sin 2x 2 = 2 cos x; sinx
г) cos2 x = tgx • ctgx; м) 1 - tgx = 2 sin x; 1 - ctgx
д) tgx I tgx + —-— । = 1; cos x J H) 1 - cos2 X sin x + tgx = ; sin2x
е) (1 - sin x) tgx = 0; o) 2 sin x ctgx + 1 = cos x;
ж) sin x • ctg2x = 0; П) 2 cos x • tgx + sin (-x) = 1;
3) । x , x л ctg cosxctg— = 0; 2 2 p) ( л | sinx + sin2x + tg3xsin — + 3x = 3. I3 J
5. Решите уравнение:
а) 2tff x + 1 = • e) g tg 2x + sin 2x = — ctg x; 3
sin x sin 2x ’
б) л 5 5tg x + 4 cos x = ; COSX ж) 7 sin x - 4 cos x + tg x = 4;
в) г) 2 3sinx = 2ctgx + ; sinx n x 1 2 3) и) 9 3 2tg2x + 3 = ; COSX sin 2x + 2ctg x = 3;
X — , cos x sin 2x
д) 5 = 5tg x + 4 cos x; COSX К) 1 16 llctgx - 5tgx = . sinx
140
6. Найдите координаты точек пересечения графиков данных
функций, если абсциссы этих точек принадлежат указанному от-
резку:
а) у = 2 cos2 х и у = 5 sin х - 1, х е
Л . л
2’ 2
б) у = 2cos2x и у = 1 + 4cosx, х е [0; л];
в) у = 2sin2 х и у = 4 - 5cosx, х е [2л; Зл];
г) у = 2cos2x и у = 8sinx + 5, х е[1,5л; 2,5л];
д) у = sin2x - 1 и у = cos2x + V2 cosx, х е[-л; О];
е) у = sin2x + cos2x и у = 1 + д/б sinx, х е[0; л];
ж) у = cos2x - sin2x и у = 1 4- 7з sin2x, х е[0; л];
з) у = cos 2х + 2 sin х и у = 1 - sin х - cos х, х е
о ;
2
и) у = sin2 2х и у = 5 sin4 х - cos4 х, х G
х Зх . 2 х п п
к) у = cos — cos— и и = 3sin —, х е-; —
2 2 2 2 2
л) у = 2sin2 2х и у = 9cos4 х - sin4 х, хе - —; 0 ;
2
м) у = 4 sin I — - х
и у = 2cosx 4- 4>/з sinх 4- 9, х е -л; —
2
7. Найдите сумму корней уравнения на указанном отрезке:
a) sin2 х 4- cos2 5х = 1, х е[0; 2л];
б) cos2 2х 4- cos2 Зх = 1, х е[0; 2л];
в) cos2 2х 4- sin2 Зх = 1, х е[0; 2л];
г) sin2 2х 4- sin2 Зх = 1, х е[0; 2л];
д) sin2 5х 4- cos2 Зх = 1, х е[0; 4л];
е) cos2 5х 4- sin2 Зх = 1, х е[ 0; 4л];
141
ж) sin2 7х 4- cos2 Зх = 1, х е[0;2л];
з) 2 sin4 2х - sin2 2х• sin 4х = 2 sin2 2х - sin 4х, х g[0; тс];
и) sin х • tg2x + >/з (sin х - T3tg2x) = зТз, X е[0;4];
к) 7 cos 2х = 6 4- cos 4х, х е [0; 314];
л) 1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x = 0, х е[0; 2тг].
8. При каких значениях параметра а уравнение имеет непус-
тое множество решений:
а) 7з cosx 4- sinx = а; в) cos2х 4- a sinx = 2а - 7;
б) cosx - 7з sinx = а; г) a sin— = sinx 4- sin — ?
2 2
9. Решите уравнение:
a) sin Зх 4- 3 sin 4х 4- sin 5х = 0;
б) cos2x 4- cos4x 4- cos6x = 0;
в) sin4х - sinЗх - 2sin2х 4- 3sinх = 0;
г) sin2 х 4- sin2 2х 4- sin2 Зх = 1,5;
д) cos2 х 4- cos2 2х 4- cos2 Зх = 1,5;
е) sin2 х 4- sin2 2х 4- sin2 Зх 4- sin2 4х = 2;
ж) cos2 х 4- cos2 2х 4- cos2 Зх 4- cos2 4х = 2;
з) sin2 х 4- sin2 2х - sin2 Зх - sin2 4х = 0;
и) cos3xtg5x = sin7x;
к) tg х 4- tg 4x = tg 2x 4- tg 3x;
л) (1 - tg x) (1 4- sin 2x) = 1 4- tg x;
m) tg2x • tg2 3x • tg 4x = tg2x - tg2 3x 4- tg 4x;
h) tg 3x - tg 2x - tg x = 0;
->) tgx = 9tg3
ч Зл/з cos 2x + 3 sin 2x . 1
n)----t=------------= 4 cos x-------.
V3 cosx 4- sinx cosx
142
tg x < -ctg x; n)
sin x > cos x; p)
sinx <-cosx; c)
sin 2x > sin x; t)
sin2x<-cosx; y)
cos x • ctg x < 0; ф)
sin x tg x > 0;
10. Решите неравенство:
а) 4 cos2 х < 3; з)
б) 4 sin2 х > 1; и)
в) 1 - 3tg2х > 0; к)
г) 3ctg2x - 1 < 0; л)
д) tg22x > 1; м)
е) ctg22x<l; н)
ж) tgx>ctgx; о)
11. Решите неравенство:
a) cosx - 7з sinx > д/2;
б) cos х + л/з sin х < 1;
в) cos2 х - 0,5 sin х > 1;
г) sin2 х - 0,5 cos х - 0,5 > 0;
д) cos 2х - 2,5 < 2л/з sin х;
cos 2х + cos х > 0;
cos 2х - cos х > 0;
cos2x - sinx < 0;
os2x - cosx < 0;
sin2 x 4- cosx -1 < 0;
cos2 x 4- sin x - 1 > 0<
e) cos 2x 4- 2,5 > 2л/з cos x;
ж) cos 2x - 5 cos x 4- 3 < 0;
з) cos x - 5 sin — - 3 < 0;
2
и) tg x 4- ctg x > 2;
к) tg2x - (1 4- л/з j tg X 4- 7з < 0.
12. Найдите область определения функции:
а) у = д/1-tg2x; е)
б) у = ^ctg2x - 3; ж)
в) у = 73sin2 х - cos2 х; з)
г) у = 7sin2 х - 3cos2 х; и)
д) у = Vcos2x - sinx; к)
у = л/зcos2x 4- 7cosx;
у = 71 - 4sinx - 4cos2 х;
у = 7з sin2x - 2 sin2 х - 1;
у = V3sin3x 4- 4cos3x;
у = 7tgx + ctgx.
13. При каких значениях параметра а, где ае[0; л], уравне
ние не имеет решений:
a) cos(x - а) 4- cos(x 4- а) = 1;
б) cos(x 4- а) - cos(x - а) = -1;
в) sin (х 4- а) - sin (х - а) = 1;
г) sin (х 4- о) 4- sin (х - а) = -1;
д) sin (х + а) + sin (х - а) = д/з;
е) sin(х - а) - sin(х 4- а) = ^2;
ж) sin(х 4- а) 4- sin(х - а) = -72;
з) cos(x - а) - cos(x 4- а) = -д/2;
и) cos(x 4- а) 4- cos(x - а) = —л/З;
к) cos (х 4- а) - cos (х - а) = 7з ?
143
Практикум 15 Предел функции в беско-
нечно удаленной точке
возрастающая на (-©о; 0);
убывающая на [0;
1. Используя определение возрастающей (или убывающей)
функции, докажите, что функция:
ч 1
а) У =---г
1 + х2
б) У = ~~2
1 + х2
ч -8
в) У =---2
1 + х2
. -2
возрастающая на
убывающая на о];
ч 4
д) У = —.-------
х2 +2
ч 6
е) у = —
х2 +3
возрастающая на (-©о; о);
убывающая на [0; ©о);
ч -5
ж) у = —^—
возрастающая на
убывающая на (-©©; 0);
возрастающая на (-©©; 0);
ч -3
з) У = —2--
х2 +3
ч 2
и) У = -о---
2х2 +1
к) у = —--- убывающая на (0; ©о).
Зх2 + 1
Укажите для каждой функции множество ее значений: 1) на
указанном (выше) промежутке; 2) на области определения функ-
ции; 3) на промежутке [100; °°); 4) на промежутке ( — OOJ — ю).
Укажите (какой-либо) луч [М; + ©©), на котором будет выпол-
няться неравенство | у | < 0,01. Будет ли данная функция являться
бесконечно малой при х—> + ©©? Ответ обоснуйте.
2. Будут ли данные функции бесконечно малыми при х —> + ©© :
ч -1000 ч 8 ч х +1 ч sin2 х
а) у =------; Г) у = —;
X х3
Ж) у = ——; к) у = —----,
х2 2х2 + 3
144
Z x2 2
_ ( 9 ] ч 2x . sin x 4 3x + 4 _
6) y= - ; д) y = —9--; з) у =—^--; л) y = —-----3;
x2+i x2+i x2+i
B) y = e) y = -^—; и) у = °OSX ; м) у = 1-
Vx x4 + 1 2 + x2 1 + x2
3. 1) Существует ли луч (M; +©о), на котором выполняется
неравенство:
а) |х2-7х + 10 >105; в) х2 +1 > 1011;
X + 1
б) 110 + 9х - х2 | > 104; г) х2 -1 >109?
х -10
2) Является ли функция бесконечно большой при х —> + °°:
1 X
а) у = —т=; в) у =-------; д) i/ = xsinx?
Vx + 1-Vx х +10
_ х +1 , „
б) у = —х--; г) j/ = 2x + sinx;
х2 -1
3) Является ли функция бесконечно большой при х -> - °°:
I---- X2
a) j/ = Vl-x; в) у =----; д) y = x + cosx?
х +1
х4
б) J/ = -5-; г) j/ = xcosx;
х2 +1
4. Докажите, используя определение, что:
Зх2 + 4 2 + 5х
а) lim —--------= 3; д) пт --------------= 5;
х—» + °° х2 + 1 х-> + °° X
б) lim —- = 1; е) lim ——- = -2;
х-* + о° х2 + 1 х-> + ~ 1 - X
5
и) lim —j= = 0;
к)
Я — 1 — г
в) lim -------- = -1; ж) lim ---------= -0,5;
х-^-о°з + х2 х-*-°о2х-1
— 2х^
г) lim--------- = -2;
х-^°° 2 + х
3)
lim
4х + 3
х->~ 2 + 2х
= 2;
145
5. Существует ли предел:
a) lim sin х;
Х-^ + оо
б) lim cos х;
ч . sin X
д) hm----------;
Х->~ X
ч .. COS X
е) lim---------;
Х~*°° X
и) lim arctgx;
Х-^~
к) lim arcctgx?
Х-^~
sinx
в) lim ----; ж) hm arctgx;
х-> + <*> х х-* + °о
. sinx .. .
г) lim ---; з) lim arctgx;
X-^-oo X X-^-oo
6. Покажите, что функция:
а) у = ——- возрастающая и ограниченная сверху на (10; + <*>);
1 + х2
1 — хл
б) у =----- убывающая и ограниченная снизу на (100; + <*>);
1 + х2
в) у =--- возрастающая и ограниченная сверху на (99; +«>);
х +1 ' 7
2х + 5 , ч
г) у =----- убывающая и ограниченная снизу на 8; +°о .
х + 2 v 7
Имеет ли каждая из этих функций предел при х —> + «>? Огра-
ничена ли каждая из этих функций сверху или снизу величиной
этого предела?
7. Используя теоремы о пределах, найдите:
х .. 5х2 - х + 1
a) hm -------------
+ х + 8
f 2х-1^
б) hm 1 +-------- ;
x-^ool х + 4 J
и)
lim Ых +
х-> + °° '
1-Vxj;
к) lim [ух2 + 4 -х
X—> + °° \
Ч 1- Х
в) hm —------------------х
х-> оо^х2 - X + 1
л)
г) lim —-------
lim | 7х^
146
д)
е) lim --------;
х-> + <*= х + 4
н) lim I ух2 + 1 + х
X — оо у
о) lim [хух2 + 6-х2
Х~> +оо \
ж)
.. 7эх2 +1
11Ш ---------
х-^ + оо х - 1
х L 1
з) lim J9 + —;
х-> + ооу х
п) lim (х2 + хх/х2 + 2
Практикум 16
Предел числовой
последовательности
1. Постройте графики функций для каждого случая на одном
чертеже:
а) у = 1 + -иуп =1 + -, neN; г) г/ = - 1 и j/„ = - 1, neN;
X п X п
„ 1 - 1 ч 2 2
б) у = 1---и г/п = 1-, neN; я) у = -^ и уп = п eN;
х п -Ух yjn
в)у = 2--иуп=2--,п eN; е) у = —и уп = —, n eN.
х п х + 2 п + 2
Являются ли данные функция и последовательность возраста-
ющими или убывающими? Ограничены ли данная функция и
последовательность сверху или снизу при п —> «> ?
Имеют ли предел данные функция при х —»+ °о и последова-
тельность При П —> оо ? Является ли данная последовательность
бесконечно малой?
2. Для данной последовательности найдите значения и,
при которых \уп -b\ меньше: 0,1; 0,01; е.
Найдите lim уп, если:
П оо
V Зп Зп +1 4п + 3
а) г/п = ---, & = 0,6; В)уп=--& = 1; д) уп = ——, b = 1.
5п + 1 Зп - 1 4п + 1
4п + 5 Зп
б)Уп=------~,Ь = 2; г)уп=------,& = 3;
2п + 1 п + 2
147
3. Имеет ли последовательность, заданная формулой n-го члена
предел:
5
е) ап
4. Иррациональное или рациональное число а, если:
а) а = ^11(1-0, (63)); г) а = J
11-о,(бз) [ГЛ '< 7
6) a = J---д) a = J—(2 - 0,(23));
е) a = ^(4-1,(17));
з) a = ^1 - 0,(901)111 ?
5. Найдите предел последовательности:
а) ап =-^-(2 + 5+...+(Зп-1)); д) ап
71
б) ап =
в) Ьп =
2П - 3
1 + 2 + 4 + ... + 2п .
2" - 5
е) ап
ж) а„
=—^7Г(1 + з+...+зп-1); з *>ап
1 + 3 х 1
2 + 4 + 6 + ...+ 2л
1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1) ’
1 + 2 + 3 +... + п
5п2
3 + 7 + 11+... + (Зп - 1)
2п2 + 3
п2 + Зп - 2 .
1 + 2 +... + п
и) Ьп
3 + 6 + 12+...+3-2П 1
5-2"+3
\ о 1 2 4 Я 2(п-1) 7С
к) Sn = 1 + cos — + COS — + ...+ cos v 7 —.
n 12 12 12
148
а)
б)
в)
г)
д)
6. Вычислите:
lim
lim
lim
lim
lim
П —> ос
4-п2 п2+1
-----1----
п + 1 п - 1
2 - п2 п2+2
-----1----
2 4- п п - 2
З-n2 п2 +3
-----1-----
3 + п п - 3
Р+4
----п I;
п - 2 J
Гп2 +9
----------п
п 4- 3
п2 + Зп -п ;
7. Вычислите lim хп
лой:
ж) lim [ п - у2п + п2
и)
к)
л)
м)
:П2 4-1 -2п I;
lim [ Зп - 7эп2 + 2
lim
П ~> ос
lim [ уп2
И > оо I
если хп задается рекуррентной форму-
2
п
а) хп = д/2 + x^i, хх
б) Хп + 1 = у]б + хп, хг
72; в) хх+1 - ^12 + хп, хг = 2>/3;
Тб; г) xn+i = 720 + хп ’ xi = 2^б;
д) хп+1 = у/ЗО + хп, Xi = 73О;
. /з 7з
е) хп + 1 =J- + xn, х^ = —;
1 I---------
Ж) Xn + 1 =-75 + 16хп, Xi = —;
з) хп + 1 = ^у1з + 4хп, Xi =
и) *n+i =|V1 + 8xn’ xi =|;
о о
к) ХП +1 ~ Js + Qx,,, Xi = 2V2.
149
. J, Асимптоты графиков
'I,;: ,.f -j , функций при хч+^ихн-«>
1. При каких значениях d, а также kx и k2 будут выполняться
равенства:
a) lim ух2 + d - krx I = 0 и lim [ ух2 + d - k2x I = 0;
X~*+°o\ J X—>-oo\ J
в) lim [ylx2 +d-|x| I = 0; r) lim | 7x2 + d - ylx2] = 0?
Как будут вести себя графики функций у = ylx2 + d при раз-
личных значениях d? Будут ли они бесконечно близки друг к
другу и будут ли они иметь общую асимптоту:
1) при х —> + 2) при х—> — ОО У
2. Запишите уравнение асимптот графиков функций
у = у/х2 + d при X —> 4- °° и X —> — .
3. Постройте на одном чертеже графики функций:
а) у = ylx2 4-1 и у = ylx2 - 1; г) у = д/х2 4-16 и у = -\/х2 - 16;
б) у = yjx2 4- 4 и у = 7х2 - 4; д) у = 7х2 4- 2 и у = 7х2 - 2;
в) у = у/х2 4- 9 и у = у/х2 - 9; е) у = д/х2 4- 3 и у = у1х2 - 3.
4. Постройте график функции:
а) у = 71-х2; в) у = 7s-х2; д) у = 72-х2;
б) у - 74-х2; г) у = 716 - х2; е) у = 7з-х2.
5. Постройте график функции:
а) у = 1 - х2 |; г) у = х2 - 1б|; ж) у = х2 - 3 |;
б) у = | X2 — 41; д) у = 4 - х2 |; з) у = ^|х2 - 251.
в) у = | 9 — х2 |; е) у = 2 - х2 |;
150
6. Напишите уравнение асимптоты графика функции:
а) У =-----— при X—> —
3 4-х3
(1 - 2х)2
б) у =------Z— при х—
2 + х2
(х + 1)3
в) у =------X- при х
1 + 2х3
(1 + Зх)2
г) У -----X- при х-> + оо;
2-х2
ч 2х2 - 5х + 7
Д) У = —;--------при х—
X + X + 1
(х + 1) (х - 3)
е) у =---z------при х-»-«>;
х2 +4
(2-х)(2 + х2)
ж) у =-----т------ при х->-~;
х3 + 4
Зх — х2
з) у =------г при х—> + °°;
(х-1)2
X Х + У
и) у =------х при х - оо;
х - 2
X 4- 9
к) у =-------X при X —> + оо;
X + 3
ч 5х3 1 - Зх2
Л) у =----------х + —------ при х-> + <*>;
1 + 5х2 Зх + 1
( (х + 1)(х + 2)>
м) у = X 1 - -----—-----г при Х-> 4-
t U + 3)(« + 4)J
7. Напишите уравнение наклонных асимптот при х—»4-©о и
х^__оо к графику функции:
б)
151
Предел функции в точке
1. Можно ли указать проколотую 8-окрестность точки х = О,
для всех точек которой будет выполняться неравенство:
1) | f (х) | < 0,01; 2) | f (х) | < е, где е - сколь угодно малое положи-
тельное число, если:
х2
а)/(х) = 3х; д)/(х) = —; и)/(х) = sinx; н)/(х) = 1 - cosx;
б)/(х) = х2; е)/(х) = —; к)/(х) = sin2 х; o)/(x) = tgx;
в) /(*) = Юх3; ж) /(х) = >/х; л) /(х) = 1 - cos2x; п) /(х) = ctgx;
г)/(х) = |х|; з)/(х) = л/х; м) /(х) = cosx; р) /(х) = —1 ?
Будет ли функция /(х) бесконечно малой при х->0? Будет ли
функция f (х - а) бесконечно малой при х -»а, где а - число?
2. Задайте некоторую убывающую последовательность чисел
8р 32,..., 8Л,..., стремящуюся к 0. Постройте на оси х 8k-ок-
рестность некоторой точки х0 и отметьте последовательность
точек х19 х2, хл,..., принадлежащих соответственно
51> 52-,...,8л-,... окрестностям точки х0. Будет ли иметь предел
последовательность хг, х2, ..., хп,... и чему он будет равен?
Что собой будет представлять пересечение всех (непроколо-
тых) 5k-окрестностей (k eN] точки х0? Если некоторая функция
/(х) имеет предел при х—>х0 и он равен Ь, то будет ли иметь
предел последовательность f (хх), f (х2f (хп. и чему он мо-
жет быть равен?
3. Можно ли представить функцию /(х) в виде Ъ + а (х), где
Ъ - число, а а (х) - бесконечно малая функция при х —> 0, если:
а)
б) f (х) = (1 - х)3; д) f (х) = cos х;
в) f (х) = (х + 3) (х - 2); е) f (х) = cos2 х;
Чему будет равен lim f (х) ?
х—> 0 ' '
152
4. Представьте функцию у = f (х) как функцию от Дх, где Дх -
приращение аргумента в точке х = а. Опеределите предел этой
функции при Дх—> О, если:
а) /(х) = х2, а = 3;
б) f (х) = 2х - 5, а = 2;
в) /(х) = 3 - 4х, а = -1;
г) /(х) = 2х - х2, а = 1;
Чему будет равен lim /(х)?
д) = -—^,а = 2;
v ' х-2
е) f(x\ = —-а =-2;
v ' X + 2
ж) /(*) = | х - 2|, а = 2;
з) / (х) = 21 х + 11, а = -1.
5. Постройте график функции у = /(х) и, используя этот гра-
фик, покажите, что функция /(х) имеет предел при х-^а. Для
этого, задавая значение е > 0, постройте соответствующую этому
е 5 -окрестность точки а.
а) у =
х2 -9
х-3 ’
а = 3;
е) У =
- х2 при X > -1,
1
— при х < -1, а = -1;
х
9-х2
б) у =-----, а = -3;
3 + X
ж) у = | х - 31, а = 3;
в) У = <
2 1
х-1
----при X Ф 1,
х-1
з) у =| х 4-114- 2, а = -1;
10 при х = 1, а = 1;
[х-3 при х > 3,
г) у = 4
[6 - 2х при х < 2, а = 3;
ч х2 - Зх + 2
и) у =------------, а = 1;
2х при х > 1,
3 при х = 1,
2 при х < 1, а = 1;
к)
л)
а = 2,5,
У =
где
У = _ _
у = /(х) и покажите, что при
- целая часть числа х;
а = -1,5.
6. Постройте график функции [
х-^а функция /(х) предела не имеет:
х2 при х > 1,
1-х при х < 1, а = 1;
а) у = -—-, а = 0;
в) У =
Д) */ = <
х
X
б) У =
X 4- 2
2
, а = -2; г) у =------, а = 2;
х 2
153
Д) У = -у, а = 0; е) у = Vx-1, а = 1;
ж) у = [х], а = 3, где [х] - целая часть числа х;
з) у = [х], а = -2;
и) у = {х}, а = 3, где {х} -дробная часть числа х.
7. Используя определение предела функции, докажите, что:
ч г 1 1
a) hm — = —;
х—>5 X 5
б) lim ух = 3;
х—>9
г) lim (1 - 2х) = - 3; ж) lim I х - 21 = 0;
x-»2V 7 х—>2 1
д) lim (5 - х) = 6; з) lim Тх2" = 0.
х —> - 1 7 х—>0
х 2
в) lim (Зх +1) = 4; е) lim — = —;
х^р 7 х->2 3 3
8. Используя теоремы о пределах суммы, произведения и част-
ного функций, найдите:
ч 1. / 2 ч 1. X - ОХ - 10
a) lim х -7х-8; е) hm ------------------;
х -»-1 V ' х—>-2 х2 _ 4
б) lim (х3 - Зх2 - 1 j; ж) lim (х - З)2 • (2х +
х 2 х —2,5
в) lim-------;
х-> 1 1 + Х
з) lim —-—
X2 -
г) lim —-------;
X2 + 4
и)
lim
X —> 1
3
X - 1
д)
х2 - 6х + 5
hm--------—
х^1 1-х2
Практикум 19
ч r f 3 2 1^2
к) hm--------------1-I1 - х
х->-1|^х-1 х + 1 х-5у'
Непрерывность функции
в точке.
Односторонние пределы
1. Для каждой функции из задания 5 практикума 4 ответьте
на вопросы:
а) Будет ли функция у = f (х) непрерывна в точке а?
б) Чему будет равен предел справа и предел слева в точке а?
154
2. Для каждой функции из задания 4 практикума 4 ответьте
на вопросы:
а) Будет ли функция у = /(х) непрерывна в точке а?
б) Можно ли определить приращение функции Ау в зависимости
от приращения аргумента Дх? В тех случаях, когда это возмож-
но, найдите lim Ау и установите связь между значением этого
Лх—>0
предела и непрерывностью функции в точке а.
3. Является ли функция у = f(x) непрерывной в точке х0, если:
х2 +1
а) у = 3-х2, х0 = -2; е) у = —-----, х0 = 0;
х2 -1
„2
б) у =| 4 - х |, х0 = 4; ж) у = —--, х0 = 1;
х2 -1
в) у = х+|х|, х0 =0; з) У = ~--, х0=-1;
( 2 п х - 9
О II ~й~ н II и) у = - , х =£ — 3, х + 3 — 6, х — — 3, х0 — — 3;
х2 -1
Д) У = ~ъ----, х0 = 1;
х2 +1
X
к) у = - » X * 1, х-1 1, х = 1, х0 = 1?
lim -Дг; ж) lim Гх
х->2-0|х| x->3+0L '
4. Найдите:
a) lim х • х — 1 ; г)
х —>1-0 1 1
б) lim j--- п ; д)
х—>1 + 0 I х - 1 I
в) lim е)
х—>-0 х-1
lim з) lim {х
х->2 + о|х| х—>5-0L -
lim Гх1; и) lim lx
х—>3-0L J x-> 5 + 0 L -
5. Постройте график функции у = /(х) и исследуйте эту функ-
цию на непрерывность в точке х0 = 1:
а)
/(х) =
3-х2 при х < 1,
х + 1 при х > 1;
е)
3-х2 при х < 1,
f (х) = < 2 при х = 1,
х + 1 при х > 1;
155
б) Г(х) =
3-х2 при х < 1,
х-1 при х > 1;
_ 3 - х2 при X < 1,
2 при х > 1;
3-х2 при х < 1,
в) /(х) = 1 1 ,
х ' _____ тттлтл -V» 'ч. 1 •
х-1
при х > 1;
з) f(x) =
3-х2 при х < 1,
1 при х > 1;
г) /(х) =
3-х2 при х < 1,
х 4-1 при х > 1;
и) /(х) =
3-х2 при х < 1,
2 при х > 1;
3-х2 при х < 1,
д) f (х) - < 3 при х = 1,
к) f(x) =
х + 1 при х > 1;
3-х2 при х < 1,
1 при X > 1.
6. При каком значении а функция у = f (х) будет непрерывна
в точке х0, если:
а) /(х) = <
а при х > 5, х0 = -5;
б) /(х) =
1 - 2х при х < 1,
а
— при х > 1, х0 = 1;
<х
ах2 при х < 2,
g
— при х > 2, х0 = 2;
х
0,5х 4- а при х < -2,
(х 4- 2) при х > -2, х0
х - 5 „
----при х < О,
х + а
5-х при х > 0, х0 = 0;
(х + а) при х < 1,
х + а
при х > 1, х0 = 1;
156
ж) /(х) =
Л- при X < -1,
ах + 4 при х > -1, х0 = -1;
з) /(х) =
и) f(x)
| х + а | при х < 0,5,
— при х > 0,5, х0 = 0,5;
ах
а
— при х < -1,
X
| х | + а при х > -1, х0 = -1 ?
Постройте график функции у = f(x) при найденном значении а.
Существуют ли точки, в окрестности которых функция беско-
нечно мала? Как ведет себя функция при х—>-«> и при х—> + «>?
Практикум id Непрерывность функции
на промежутке.
Непрерывность некоторых
элементарных функций.
Вычисление пределов
1. Докажите, что функция у = f (х) непрерывна на указанном
промежутке:
а) у = 4~х на [0; «>); б) у = — на (0; + °°) и на 0);
1 на (2; +оо) и на (-«>; 2);
— на (~оо; 0), на (0; 2) и на (2; +©о);
в) У= о
х - 2
г) У = —
д) у = х3 + х1 2 + х + 1 на + °°);
-.2 -f
е) у = -------на (—°°; 1), (-1; 1) и (1; +°°);
х - 1
ж) у = sinx на +°°);
з) у = cosx на +°°);
и) у = tgx на I ~ + I» гДе k е Z.
157
2. Найдите область определения и промежутки непрерывнос-
ти функции:
ч 2x 4 а) У = „ ; Д) 2x + 3 X2 + 1 6) 1/= ; e) x2 -1 (x - 1) (x - 2) в) */ = 7^—77 *<) (x-3) (x-4) , x2 + 4x + 4 r) y= „ ; 3) x2 -4 У- 2 ; и) i/-V4 x2; x - 4x + 3 x2 - 5x + 6 4 1.2. У — 2 ; к) у = у14х2 1; x2 - x - 6 / 0 Г X 1 4x2 +1 У = у/Х-3 +Vx; л) y = J— ; 1 4x2 + 4x + 1 /0 / \ 2>/х-хл/3-х z/ = v8-x+yx; м) у = . x -1
3. Найдите область определения и промежутки непрерывнос-
ти функции:
а) У = tg(0,25rc + х); д) у = -т=-------; и) у = -———;
V 2 - 2 cos 2х 1 + 2 sin х
\ ч sinx-cosx ч 1 + ctgx
б) у = ctg (х - 0,2л); е) у =-----------; к) у =----------;
sin х + cos х 1 - tg х
ч sinx ч cosx . г~.--
в) у =---------; ж) у =--------------; л) у = Vsmx + tgx;
1 - sin х 1 + ctg x
4 cos x 8 I---- x
r) y = --------; 3) y =------—; м) у = Vcosx - ctgx.
3 + 2sinx 3 - tg x
4. Найдите:
a) limjx3 + x2)-11 -
e) lim ------
x->2( 1 4- x
1
3; x2 - 4’
6) lim (x2 - x - 21 • I —+ —-— |;
->2' ' ^x - 2 x + 2)
ж) lim — +
x->ol x
5
x2 - 5x
158
5. Вычислите пределы:
^4 + х- 2
a) lim------------
х->0 х
Д)
lim
х->0
^8 + х - 2.
2
и) lim ----.. ;
х-^-22-72-х
2
л/9 + х - 3 ч ^1О + х -2 „ ylx + 2-x
lim------------; е) lim -----------------; к) пт .---------=-----.
х—>0 X х—»-2 X 4-2 х“>1 2 * * у4х 4-1 - 3
. >/5 + х - 2 ч >/10 + х - 3
в) пт ----------; ж) пт - ----;
х-+-1 х + 1 х —> — 1 V5 + х - 2
_. л/ 8 4- х — 3 -. 3 — л/ 8 4- х
г) пт-----------; з) пт .--------=-------;
х^1 х-1 х->17Х4_з-2
6. Найдите значение предела:
a) lim sin ; е) lim (x ctg3x);
x->0 x x—>0x 7
(л л/з
COS — 4-X-------
1- 4 V 16 ) 2
o) lim------; ж) lim----------------
x —> 0 sin X x —> 0 x
B)
lim
sin3x
x—>o sinx
r)
lim
sin2 x
x->0
. fn A
tg — +x -1
k 4 j
и) lim — --------—
x-^0 x
x tg7x
д) lim------;
x—>0 x
ctg — 4- X - 1
к) lim-----—-------—
x->0 X
Свойства непрерывных
функций.
Метод интервалов
1. Постройте график функции = на отрезке [-л; л].
Определите точки разрыва функции на этом отрезке. Ограничена
ли функция в окрестности точки разрыва? Напишите уравнение
вертикальной асимптоты, если она существует:
159
a) f(x) = . f Я sin х + — V 4J tgx при X при x g [-я; 0), g [0; я];
cos2x, х g| -я; 01,
б) f(x) = - ctg-^, x e(0; л];
tgx, x е[-л; 0), sin2x, x e -л; — ,
в) /(х) = < . ( я sm x L г , Ж / Х = zL J x g 0; я ; v . (я
v 6J L J tgx, x g —; я ; I2
г) /(*) = • ctgfx + —\ x g [-л; 0), ,, , fcosx, x е[-л; 0], I 4 J 1 7 з)/(х)= л cosx, xe [0; я]; x ’ x G( ’ 711’
Д) /(х) = < [ig«.xe[-,;0) и) 2sin(x + ^.xe[- [cos2x, x e[0; g]; |1 + tgx, x e (0; л];
tg X, X G -1 t; - — , I tgxl, x g -я; — ,
е) /(х) = - L г 4 K)f(x)J L 4J
2 COS X, X G 71 • I 71 I 1 71 —; я ; sin x — , x g —;
2 J [ 4j ^4
я
2. Найдите точки разрыва функции у = f(x). Напишите урав-
пение вертикальных асимптот, если они существуют:
а) у = х2 - X ' _ sinx и) у = 1 5 1
X2 -1 ’ Д) У ~ о > х3 + 8 X X2 - 5х
б) у = х2 -4 ч Х - 1 е) у = । , I; x-|x-i| К) У = 1-Н.
х2 - х - 2 х2 - 1
в) у = х + 3 _ cos2x
х2 + 5х + 6 ’ Ж) У — 4 > х4 -16
г) у = х2 + 5х + 6 _ 1 1
х2 - х - 6 3) У ~ 9 > X X2 + X
160
3. Изобразите какую-либо функцию у = f(x), непрерывную на
отрезке [1; 10] и принимающую на концах этого отрезка значе-
ния: -5 и 8. Будет ли иметь корни уравнение:
a) f(x) = 0; б) f(x) = -1; в) f(x) = 5; г) /(х) = 7;
Д) /(х) - 2,8; е) /(х) = -4,1; ж) f(x) = 710; з) f (х) = -720 ?
Можно ли указать такие числа т и М, чтобы для всех точек
х е [1; 10] выполнялось неравенство ти < f(x) < М и уравнения
f(x) = т и f(x) = М имели корни?
4. Докажите, что уравнение имеет хотя бы один корень на
отрезке [0; 1]:
а) х5 + 2х4 - х - 1 = 0; д) х4 - 2х3 + Зх2 - 4х + 1 = 0;
б) х6 + Зх - 2 = 0; е) х7 - х6 + х5 - х4 + 2х - 1 = 0;
в) х3 + 5х - 5 = 0; ж) — х4 + — х3 + — х2 - 1 = 0;
6 3 2
г) х4 - 2х2 - Зх + 1 = 0; з) 0,2х4 - 0,7х3 - 0,8х2 - 0,4х + 1,69 = 0.
5. Решите неравенства, используя метод интервалов:
а) (х - 2) • (х - З)3 • (х - 4) < 0 и (х - 2) • (х - З)2 • (х - 4) > 0;
2 — 2
х(х-2)“ х(х-2)
г)
х2 + 7х + 6 _
~2--------<0
х2 - 14х - 15
х2+7х + 6
и —--------> 0;
х2 -14х-15
д)
х2-5|х|+6 х2-5|х|+6
---J—I <0 и------J—1
е) | х2 + Зх | < х и | х2 + Зх | > х;
ж) I х2 - Зх I + х < 2 и I х2 - Зх I + х > 2;
з)
х2 - 5х + 4
х2 - 4
<1 и
х2 - 5х + 4
х2 - 4
>1;
6 О. Н. Доброва
161
ч 112 112
и)-------<----и-------->---;
х-5 х-3 х-1 х-5 х-3 х-1
(х - 1)(х - 2)(х - 3) - (х - 1)(х - 2)(х - 3) >
(х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 1) (х + 2) (х + 3)
6. Найдите промежутки непрерывности функции:
а) У = J , 5х-; Д) У = —---V2-X2; и) у = л/бх-х2 • tg х;
V х2 + 4х - 5 Х-1
/зх2 + 4х + 2 ч 7х2 - х - 20 ч Г~ 2 .
6)y = J—^--------; е) у = -7=----------; K)y = V10-x ctgx.
V х2 - 5х - 14 д/х2 - 5х - 14
„ 5 + 9х - 2х2
в) У = 1---------------о'’
V 27 - 18х + Зх2
ж) у = Vsinx + 716 - х2;
. I 4х2 + 4х + 1
г) У = А----2---------
V -4х2 - 16х - 15
з) У =
7б + 4х - х2 _
COSX
Практикум 22
Производная,
ее геометрический
и механический смысл
1. Представьте приращение Ау функции у = f(x) в точке х0
как функцию от приращения аргумента (Дх) в этой точке.
Найдите lim — и f'(x0), если:
хнО Ах
а) /(х) = 3 - 4х, х0 = -1, 2, 0, - 10; е) /(х) = -, х0 = 1, - 1, 10, - 10;
б) /(х) = Зх2, х0 = 1, - 1, 4, 0; ж) /(х) = -1-, х0 = 1, - 1, 3, - 3;
х2
в) f(x) = ““Х2, х0 = 1, -1, 2, 0; з) f(x) = Vx, х0 = 1, 4, 9;
г) f(x) = 5 - х2, х0 = 1, - 1, 5, 0; и) f(x) = х0 = 1, 4, —, 9;\
ух 4
д) /(х) = 5х + х2, х0 = 1, - 3, 2, 0; к)/(х) = л/х, х0 = 1, - 1, 8, - 8.
162
2. Используя определение, вычислите производную функции
в точке х0:
а) у = sin х, х0 = 0; е) у = 2 cos х, х0 ” 4
б) у = cos х, х0 = 0; ж) у = sin 2х, х0 _ 71 ” 4
в) у = sinx, х0 = —; 3 з) у = cos 2х, х0 _ 71 ” 4
ч л Я .
г) у = cosx, х0 = —; 6 и) у = tg х, х0 = 7’
чо- 71 д) у = 2sinx, х0 = —; 4 к) у = ctg х, х0 = _71 ’ 4 ‘
3. Докажите, что значение производной в точке х0 не зависит
от выбора этой точки для функции:
а) у = 2х; д) у = 2х - 1; и) у = С, где С - число;
б) у = -2х; е) у = 1 - х; к) у = kx + Ь, где k и Ъ - числа.
ч 2
в) У = - - - х; ж) у = -7;
г) у = - 0,5х; з) у = 0,5;
Дайте в каждом случае геометрическую интерпретацию.
4. 1) Прямая, проходящая через начало координат, касается
графика функции у = f(x) в точке А. Найдите:
а) (2), если А (2; 5); г) /'(4), если А (4; - б);
б) Л (-2), если А (-2; б); д) f'(2,3), если А (2,3; - 4,б).
в) Л (-7), если А (-7; 1);
2) Прямая касается графика функции у = f (х) в точке А и
пересекает ось абсцисс в точке В. Найдите:
а) Г (-2), если А (-2; 5), В (3, 0);
б) Л (Ю), если А (10; - 7), В (3; 0);
в) /'(5), если А (5; - б), В (8; 0);
г) /'(-5), если А (-5; - б), В (1; 0);
д) Г (1,7), если А (1,7; -1), В (-1,3; 0).
163
3) Прямая касается графика функции у = f (х) в точке А и
пересекает ось ординат в точке С. Найдите:
а) /'(3), если А(3; 10), С(0; 1);
б) /'(5), если А (5; - 2), С(0; - 1);
в) /'(-2), если А (-2; 3), С(0; - 3);
г) /'(-3), если А(-3; -2), С(0; 4);
д) /'(2,5), если А (2,5; -1), С(0; 1,5).
4) Прямая, проходящая через точку М, касается графика функ-
ции у = f(x) в точке А. Найдите:
а) /'(0), если А(0; 2), М (1; 1);
б) /'(1), если А(1; 3), М (-1; -1);
в) /'(-2), если А (-2; 1), М (1; 1);
г) /'(З), если А(3; -2), М(-2; -7);
д) /'(3,4), если А (3,4; 0), М(3; 2).
5. Найдите угловой коэффициент и угол наклона касательной,
проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0,
если:
а) у = 0,5х2, х0 - -1; е) у = Зх - х2, х0 = 1;
б) у = х2, х0 = 0,5; ж) у = х2 - Зх, х0 = 2;
в) у = х + х2, х0 = 0; з) у = 5х + х2, х0 = -2;
г) у = х - х2, х0 = 1; и) у = х2 - 5х, х0 = 2;
д) у = 2х + х2, х0 = -1; к) у = х2 + Зх + 7, хх = -2.
6. Постройте график функции и, используя его, объясните,
почему функция не имеет производной в точке х0:
а) у = | х - 11, х0 = 1; ж) у = >/х-1, х0 = 1;
б) у - | х + 21, х0 - -2; з) у = д/х + 2, х0 = -2;
в) у = 2| х |, х0; и) у = Vx, х0 = 0;
г) у- 1 -| х |, х0 = 0; к) у = д/х +1, х0 = -1;
д) у = | 2х - 51, х0 = 2,5; л) у = Vl-x, х0 = 1;
е) у = у[х, х0 = 0; м) у = V1 - х2, х0 = 1.
164
7. Докажите, что функция у = f(x) имеет производную в точ-
ке х0 = 0 если:
a) f(x) = < х, если х < 0, _ ч [sinx, если х < 0, б) / (х) = < sin х, если х > 0; 1 х, если х > 0;
в) f(x) = 1, если х < 0, а/ х [cosx, если х < 0, г) Дх) = cos х, если х > 0; [1, если х > 0;
Д) /(х) = 2, если х < 0, , ч [-2, если х < 0, е) fix) = 1 + cos х, если х > 0; [-2 cos х, если х > 0;
ж) /(х) = sin2x, если х < 0, , ч [-2х, если х < 0, з)Лх = 2х, если х > 0; [-2 sin х, если х > 0;
и) /(х) = 1, если х < 0, л/ х [1 + sinx, если х < 0, к) fix) = cos2x, если х > 0; 1 х + 1, если х > 0.
Покажите это графически.
8. Найдите скорость и ускорение материальной точки в мо-
мент времени t = Ь, движущейся прямолинейно по закону s(t),
где t измеряется в секундах, а з - в метрах, если:
a) s(t) = 5t2, 6 = 1;
б) s(t) = 5t2, 6 = 10;
в) s(t) = 5t2 -100, 6 = 2;
г) s(t) = 2t + 5t2, b = 7;
д) s (t) = 5t2 -2t, b = 5;
e) s(t) = -5t2 + 24t, 6 = 2.
Практикум 23 Основные правила
нахождения производной
1. Найдите производную функции:
9 2 ГТ
а) у = 5х2 - — + V3;
б) у = х5 + — -5д/х;
х
в) у = х3 - + Vx;
х3
\ 9 6 з/
е) у = х2 + + vx;
ж) у = х 4 + 6ху/х - ;
165
\ 4 1 4/
г )У = х + — -Vx;
f г- 3
д) У = xd + Ху/Х--;
и) у = - X 3 + xVx^;
о
к)
2. Найдите производную функции:
а) у = х5(1 + х)2;
б) у = х2 (1 - х2 );
е) у = х2 cosx;
ж) у = л/х sin х;
в) у = xsinx; з) у = (5 - x)cosx;
г) у = х cos х; и) у = (cos х + 2 sin х) • (2 cos х - sin х);
д) у = х2 sinx; к) у = (5sinx - 3 cos х) • (5 cos х - 3sinx).
3. Найдите производную функции:
х 2х + 3 а) у = ; Зх + 2 д) У = sinx X2 +1’ и) y = ctgx sin X + COS X
Зх + 7 б) у= ; 7х + 3 е) у = 2 cos х ' к) у = 1 + sin x - cos x
х2 + 4* 1 + sin x + cos x
. х2 -3 в) У = 2 : х2 +3 ж) у = sinx
1 + COS X
_ х2 - 2х - 3 з) У = tgx
Г) У - о > х - 2х + 3 1 + X ’
в) У =
4. Найдите производную функции:
а) у = (5 - Зх) 3; ж) у = tg2x + (cosx) 2;
б) у = л/бх - 2 + л/бх2 - 2 ; з) ctg 2х • (1 - cos 4х);
х ч sin Зх - 3 sin х
-----; и) у =-------------;
х + 1 cos Зх + 3 cos х
ч х
г)у = ^—-,
у!х2 + 1
д) у = sin3 х + sin Зх;
е) у = cos4 х + cos4x;
к) у =-----------;
tg2х - tgx
л) у = sin х - — sin х;
м) у = cos Зх - 4 cos3 х + 3 cos х.
166
5. Найдите угловой коэффициент и угол наклона касательной,
проведенной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0,
если:
a) f(x) = “tgx, х0 = в) f(x) = cos2x, хо =
1 7С X
б) f(x) = —ctgx, х0 = —; г) f(x) = 5 - 6sin —, х0 = тс;
Д) f(x) - Юsinx + 3ctgx, х0 = —;
3
е) f(x) = 10sinx + 3tgx, x0 = —;
6
_ / \ n . X TC
Ж) / (#) = COS X + 6 sin —, x0 = —
. a X K
sin X + 6 COS —, Xn = —
2 U 2
и) f(x) = 2cosx - sin3x, xo = ~
к) f (x) = cos 2x4-4 sin x, x0 = ^-
6. В каких точках и под какими углами график функции
у = f(x) пересекает ось абсцисс, если:
х3 ( тс
= — + 1; ж) f (х) = cos х + — ;
27 v 7 5
a) f{x)
• 2 • 3
sin x + sin x-------;
4
в) /(x)
2 , 3
cos x + cosx----;
4
2 2
= x-----X
3
1 3
— x ;
9
2
к) f(x) = — (cos2x + sinx);
3
д) /(x) = 4x3 - 4x2
2
л) f(x) = — (cosx - cos2x);
TC
x-------;
3 J
• о Л
sin2x + cos —+ x
I 4
?
167
7. Материальная точка массой 2 кг движется прямолинейно
по закону з (О, где t измеряется в секундах, as - в метрах. Най-
дите скорость и силу, действующую на эту точку в момент време-
ни t, если:
a) s(t) = t3 - — + 2t - 1, t = 3; в) а(г) = t3 + — - 4г + 3, t = 2;
2 2
6) s(f) = 2f3 - 2,5f2 + 3t + 1, f = 1; r) s(f) = 2? + — - 7t + 3, t = 1;
2
1 t2 t
д) s(t) = -i3---+ - + 0,5, t = 3;
v ' 6 4 2
e) а(г) = 6t3 + 2t - 7, t = 3;
ж) s (t) = (5 - t) (2t - 6) + 50, t = 4;
з) s(f) = (6-f)(2f+ 3)-18, г = 2.
8. 1) Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости
от времени по закону (p(f), где (р измеряется в радианах, a t - в
секундах. Найдите угловую скорость вращения тела в указанный
момент времени t, если:
а) Ф (г) = 0,3£2 - о,5г + 0,2, г = 10; в) ф (г) = 4г - 0,3г2, г = 2;
б) ф (г) = о,5г2, г = 5; г) ф (г) = 1,5г2 - 0,1г, г = 10.
2) Сила тока / изменяется в зависимости от времени t по зако-
ну /(f), где / измеряется в амперах, t - в секундах. Найдите
скорость изменения силы тока в конце указанной секунды, если:
а) I = 0,4г2, г = 8; в) I = г(3г -1), г = 3.
б) I = 2г2 - 5г, г = 10;
3) Температура тела изменяется в зависимости от времени по
закону T(t), где t измеряется в секундах, Т - в градусах. Какова
скорость изменения температуры в указанный момент времени,
если:
а) Т = 0,2г2, г = 10;
б) т = о,5г2 - 2г, г = 5;
в) Т = 100--^-, г-4?
г + 1
168
9. 1) Из одного и того же порта одновременно вышли два паро-
хода: один с направлением на север, другой с направлением на
запад. С какой скоростью возрастает расстояние между ними, если
скорости этих пароходов в километрах в час равны:
а) 30 и 40; б) 22,5 и 30; в) 24 и 32; г) 27 и 36?
2) Решите задачу 9 1) для случая, когда пароходы перемеща-
ются по прямым, образующим между собой угол 60е.
10. Лестницу длины I (м) вертикально прислонили к стене. В
момент времени t = 0 ее нижний конец начинает скользить по
полу и равномерно отодвигается от стены со скоростью v м/с.
Найдите:
1) высоту верхнего конца лестницы в момент времени t;
2) скорость и ускорение, с которыми этот конец лестницы опус-
кается в момент времени t, если:
а) I = 5, v = 2; б) I = 4, v = 1; в) I = 4,5, v = 0,5; г) I = 3,5, v = 0,7.
Уравнение касательной.
Дифференциал функции
1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А и
образующей с осью абсцисс угол ф (положительное значение угла
Ф отсчитывается при повороте против часовой стрелки, начиная
от положительно направленного луча оси абсцисс), если:
а) А(1; 0), (р = е) А(-2; - 1), <р = ;
б) А (0; 1), ф = —; ж) А (2; 3), ф = arctg 2;
3
в) А(1; 1), ф = —; з) А(-3; 2), ф = я - arctg 3;
3
г) А(1; - 1), ф = и) А(3; - 5), ф = arctg 0,5;
д) А(-1; 2), ф = ^-; к) А(-3; 7), ф = arccos (-0,6).
2. Для функции у = f (х) найдите значение производной в точ-
ке х0 и значение самой функции г/0 в этой точке. Напишите урав-
169
нение прямой, касающейся графика этой функции в точке (х0; i/0),
если:
а) у = - — + 2, х0 = 0,5;
ч х -1
о) и =----, х0 = 0;
х + 1
б) у - л/в - х2, х0 = 2; ж) у = —, х0 = 0;
VX + 1
в) у = (х - 1)ч/х, х0 = 1;
г) у = ч/2х + 3, х0 - -1;
д) у - х3 - х2 + 5х - 2, х0 =
3) У = ХО = 2;
VX - 1
х2 + 1
И) у =-----ХО = -2;
х - 3
-1; к) у - ^2х - 3, х0 = -2,5.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х0, если:
а) у = 1 - sin 2х - — , х0 = 0; е) у = cosrcx, х0 = 2,5;
\ 3 у
( л А з
б) у = 1 + 2cos х + — , х0 = 0; ж) у = ctgrcx, х0 = —;
I 4) 4
в) у = х + sin х, х0 = 0;
г) у = 1 - tg х, х0 = 0;
д) у = 2 sin Зх + 3 cos 2х, х0 = —;
ч . пх
з) у = sin —
3
и) у = sin3 х,
к) у = COS3 X,
2.
з’
л
хо
о
*0
я
*0 =-
о
4. Найдите точку касания графика функции у = f (х) и данной
прямой, если:
а) у = Зх2 + 2х - 5, у = 2х - 5; в) у - х3 - 5х + 8, у = 7х + 24;
б) у = Зх2 - 2х + 5, у = 10х - 7; ।) и х3 + Зх2 - Зх + 1, у = 4х - 3;
д) у = х5 - 2х3 + 2, у = 2 - х;
е) у = х4 - 4х3 + 5х + 11, у = 5х - 16;
ж) у = х4 - 2х2 - 7х - 5, у = -7х - 6;
з) у = х4 - 4х + 32, у = 4 (7х - 4); и) у = х5 - Зх + 1, у = 2х + 5.
170
5. На данной параболе возьмите две точки с различными орди-
натами и соедините их отрезком (хордой параболы). Напишите
уравнение касательной к этой параболе, параллельной к этому
отрезку (хорде), если уравнение параболы:
а) у = х2 - 6х + 9; д) у = (х + 1)2 +2; и) у = 2х2 - 5х + 3;
б) у = х(3 - х); е) у = 4 - (х - 1)2; к) у = 7 - Их - 2х2.
в) у = х2 + 4х + 4; ж) у = х2 - 6х + 11;
г) у = (х + 2)х; з) у = 6 - х - х2;
Каково будет уравнение касательной в случае, если ординаты
концов отрезка будут равны?
6. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = /(х), параллельной оси Ох, если:
а) /(х) = х2 - 6х; е) , х) = х4 + 32х - 3;
б) (х) = (х - 1)(х - 3); ж) /(х) = х6 + 6х - 2;
в) /(х) = х3 - Зх3 - Зх2 + Зх + 1; з) /(х) = ——
1 + х2
г) f(x) = х3 + Зх2 + Зх + 4; и) ;х) = ——----------;
х2 - 2х + 2
д)/(х) = х4 - 4х +1; к)/(х) = ——-------.
х + 4х + 5
7. 1) При каком значении а график функции у = х2 + а будет
касаться прямой:
а) у = -4х + 5; б) у = 2х - 7; в) у = -2х; 6х - 11 ?
2) При каком значении а график функции j = а - 0,5х2 будет
касаться прямой:
а) у = -Зх; б) у = 2х + 3; в) у = 1 - 7х?
8. 1) Докажите, что любая касательная к графику функции
/*(х) образует с осью Ох острый угол, если:
;х) = х3 + х - 2; в) /(х) = х5 + 2х - 8; . /(х) = 5 ;
б) /(х) = 0,2х3 + 0,5х; i * ' х) = V3x + 2; e)f(x) = y—L
171
2) Докажите, что любая касательная к графику функции
у = f(x) образует с осью Ох тупой угол, если:
а)/(х) = 5 - х - х3; в)/(х) = -^; д)7(х) =
б)/(х) = 7 - х - х5; г)/(х) = —-— + 1; е) /(х) = V4 - 5х.
х 2
9. Постройте график функции у = 7х и касательную к этому
графику в точке с абсциссой х0. Дайте геометрическую интерпре-
тацию дифференциала этой функции dy в точке х0 и прираще-
ния функции \у в точке х0.
Пользуясь понятием дифференциала, найдите приближенное
значение данного выражения:
а) 71,02, если х0 = 1; б) 74,15, если х0 = 4;.
в) 7о,98, если х0 = 1; г) 7з,92, если х0 = 4;.
д) д/9,28, если х0 = 9; е) у/8,88, если х0 = 9;.
ж) 70,29, если х0 = 0,25; з) 70,23, если х0 = 0,25;
и) 716,05, если х0 = 16; к) д/15,91, если х0 =16.
Ответы проверьте на микрокалькуляторе.
10. Найдите d/(x) и дифференциал функции /(х) в точке х0,
если:
а) /(х) = (3-2х)5, х0 = 2; е) /(х) = х0 = -1;
“Г о
б) /(х) = sin2x - cos — , х0
= 0; ж) f (х) = 7х3 + 2х2 + 9, х0 = 2;
в) f (х) = 717 - 8х, х0 = 1;
г) /(х) = tg| Зх-^-L х0 = 0;
V 4/
д) /(х) = 2ctgx - х, х0 =
з) /(х) = 71 - х2, х0 = 3;
и) f (х) = х7х + 1, х0 = 3;
к) /(х) = (х + 5)Тх - —, х0 = 4.
л/х - 3
172
Практикум 25 Первообразная или неопре-
деленный интеграл.
Понятие дифференциаль-
ного уравнения и его
решения
1. Запишите такие три различных выражения для функции
f (х), чтобы выполнялись равенства:
а) /'(х) = - х3 + д/х; е) /'(х) = 3 - cos3x;
х6
б) /'(х) = -у - х2 - 6л/х; ж) /'(х) = х + cos —;
х2 2
в) ^(х) = *Т + 4~ “ 3)/'(x) = 3x2-sin|;
х 5 3
_z / \ X 5 5/ .z/ \ 10 . 2
Г) / (х) = ------ + Vx; и) f (х) = —-------sin2 х;
5 х sin х
д) /'(х) = 1 + sin2x; к) /'(х) = —— + cos2 х.
cos2 х
2. Является ли функция F (х) первообразной для функции f (х)
на указанном промежутке:
a) F (х) = 2л/х + 4х4, f (х) = х 2 + х 3, х g (0; оо);
1 _ 2 _ _1
б) F(x) = Зх3 - 4л/х, /(х) = х 3 + 2х 2, х е(0; оо);
в) F(x) Л V?- Л - 3. f (х) = -А, - X 6(0;
г) f(x) = ^-A+3 Z(x)= 1
Vx 4 зУх2
+ ^Г- , х G (О; оо);
хух
д) F(x) = COS2 - 3xj, /(х) = 3cos6x, X G (-оо; оо);
е) F (х) = sin2 Зх, f (х) = cos2 (- Зх L х g (-оо; оо);
173
ж) F(x) = — + —cos
2 8
4х, f(x) = sin2 —-4х , х е(-оо; ©о);
з) F (х) = sin2 — - 4х , f (х) = -4 cos 8х, х е (-©о; ©о);
/ \ 9 / ч / \ 2sm(x-1) z ч
и) F(x) = tg (1 - х), 7(х) = —-х е(0; 2);
COS (х - 1)
/ Ч 9 / Ч Z \ 4 cos (2х -1) fl А
к) F(x) = ctg2 (1 - 2х), f(x) = —А------2, х е 2 ?
sin (2х -1) J
3. Найдите выражение для /(х), если:
a) df =
о/
И) df =
sin x
д) df = (sinx + cosxjdx;
б) df = yjx dx;
e) df = (x + sin 2x) dx;
dx
К) df = -^
cos2
ж) df = sin (5x - 1) dx;
з) df = cos -—— dx;
4
4. Найдите:
dx;
dx
. 2 X
sm —
2
dx;
sin2 х dx.
dx
л/б - Зх ’
dx;
. x 2 ]
sin-------------- dx;
3 cos2 4x J
5. Найдите для функции /(x) первообразную, график которой
проходит через точку М:
(3x + 4)
174
б) /(х) = —М(-1; 2);
(2х +1)
.М(-2;5);
г) f (х) = 3 sin 2х, М (0; - 5);
д) /(х) = —cos8x, М | —; - 1
2 \ 4
е) f (х) = 2 sin 5х + 3 cos —, М —; 0 ];
2 I 3 )
ж) /(х) =
3 cos 4х + 2 sin —, М —; О
2 I 3
9 ль.
3> -7sinp м(°;6);
cos 4х <>
и) f (х) = 4 cos 4х------——, М | ; 2
2 * I 2 J
cos — v 7
2
6. Найдите решение дифференциального уравнения, удовлет-
воряющее данному начальному условию:
а) у' = Зх2 - ~х - 5, 1/(4) = 5; е) dy = (1 + х + cos2x)dx, у (0) = 1;
«> »'=4-4>»(1)= XX о ж) — = Vx + 3, у(1) = 3; dx
ч , 1 1 / з В>У =~з+— ’ = XX 4 з)^ = (2-х)’,9(3)>0,16;
г) dy = -^=, у(9) = 10; X / fо и) у = sinx + cosx, у — = 2; \ 2 /
д) dy = ^=' И8) = ?; Чх2 z ( 71 к) у = sin х - COS х, у 1 — 1 = 0.
175
7. Является ли функция у = f (х) решением данного диффе-
ренциального уравнения, если:
. , 200х2 . /3 ^юо
а)у =^-5-^ -1/,/(х) = (2х -!) ;
б) у у' = -х ^Зх2 +8, /(х) = ^Зх2 + 8;
5
в) 2у • у' = cosx, /(х) = 7sinx;
г) 2у • у' + sinx = 0, /(х) = a/cosx;
д) у" 4-91/ = 0, /(х) = 2sin| Зх-—
е) 4у" + у = 0, f (х) = 5 cos [ — — 1 j;
I 2 J
ж) у" + у = 0, f (х) = sin х + 2 cos х - — ;
\ 3 J
з) у" + 4у = 3sin2 2х, /(х) = sin4 х;
и) У" + У = -2cos3x, /(х) = cos3 х;
к) У" + У ~ 2 sin Зх, f (х) = sin3 х ?
а
8. На одном чертеже постройте график функции у - — при
х
указанном значении а и график решения данного дифференци-
ального уравнения при заданных начальных условиях или про-
ходящего через точку М. Каково взаимное расположение этих
двух графиков? Дайте пояснение.
а) а = 2, dy = -2dx, i/(-l) = -2; е) а = 6, у' = -1,5, у (2) = 3;
б) а = 2, dy = - — dx, М(2; 1); ж) а = 6, — = - М(3; 2);
2 dx 3
в) а = 3, у- = -3, у(1) = 3; з) а = -6, Sdy = 2dx, у(3) = -2;
г) а = 4, у’ = -1, М (-2; - 2); и) а = -8, у' = 2, М (-2; 4);
д) а = 4, dy = -4dx, i/(-l) = -4; к) а = -8, dy + 2dx = 0, у (2) = 4.
176
Определенный интеграл,
- (\ i «4.-.И его геометрический
и физический смысл
а
1.1) Постройте график функции у = sin х. Вычислите J s^n Х(^Х
о Л Зл _ _ 0
для следующих значении а: —; я; —; 2л; Зл. С помощью графи-
ка объясните результаты вычислений. Найдите числа т и М та-
кие, чтобы при всех значениях а выполнялось неравенство:
а
а) т < J sin х dx < М, где а > 0;
о
а
Г Л
б) т < I sin xdx < М, где а > —;
J 2
тг
2
а
в) т < J sin xdx < М, где а > -л;
—тг
а
г л
г) т < sin xdx < М, где а >-----;
~2
а
д) т < I sin xdx < М, где а > —.
J 3
Tt
3
а
2) Постройте график функции у = cosx. Вычислите Jcosxdx
о
** Л Зл ос гу
для следующих значении а: —; л; —, 2л; 2,5л. С помощью гра-
2 2
фика объясните результаты вычислений. Найдите т и М такие,
чтобы при всех значениях а выполнялось неравенство:
а
а) т < J cos xdx < М, где а > 0;
о
177
a
б) m < Г cos xdx < M, где a > —;
J 2
к
2
a
в) m < cos xdx < M, где a >-----------;
J 2
~2
a
r) m < |cosxdx < M, где a > -я;
-Tt
a
д) m < J cos xdx < M, где a > - —.
Tt
" 6
2. Вычислите:
2 71
T / \
a) 2 sin x + — dx;
J I 3 J
о v 7
2sin2x +
« 2 X
3 cos2 —
3 7
2л
T / 4
6) 3 cos x-----dx;
J I 6 J
о v 7
r
it
ж) J 3cos3x-
it
2 V
2 sin2 —
2 7
dx;
л
6
в) J (sin 3x + cos 2x) dx;
о
dx
~ T~2
1 - sin X
л
r) —cos------3sin3x dx;
Л 2 2 J
it z
it
2
л
6
it
2
д) (cos x - sin X) dx;
о
it
к) J sin2 xdx.
-it
178
3. Вычислите:
4. 1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс
и графиками функций:
а) у = (х - 4)2 и у = х2 + 4х + 4; г) у = (х + 2)2 и у = х2 - 8х + 16;
б) у =(х + б)2 и у = х2 - 2х + 1; д) у = (2х - З)2 и у = 4х2 + 4х + 1.
в) у = (х - З)2 и у = х2 + 2х + 1;
2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций:
а) у = 4х2 + 1 и у = х2 + 6х + 10;
б) у = 9(х + 2)2 и у = х2 - 4х + 4;
в) у = 4 (х2 - 1) и у = х2 + 6х + 5;
г) у = 9(х - 1)2 и у = х2 - 10х + 25;
д) у = 9х2 - 4 и у = х2 + 8х + 12;
е) у = 9^х2 - 1) и у = х2 + 8х + 7;
ж) у = 4 + х2 и у = 2х2 - х + 2;
з) у = 4 - х2 и у = 6- х - 2х2;
и) I/ = х4 и у = 4 - Зх2;
к) у = (х + 2)3 - 4 и у = 4 cos —.
179
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
ч 8 2 х
а) У = У = -х, х = -4; з) у = —, у = - -, х = -1;
х2 х2 4
х2 4 4 2
б) у = —, у = -Х-, х = -4; и) у = —, у = х2 + 3, х = -3;
4 х2 х2
2 1 2
в) у = —X, у = -2х, х = -3; к) у = у = х , х = -3;
X X
ч х 4 ч ч 2 Л о
г) у = -, у = —, х = 1; л) у = —, у = 2х , х = -2;
2 х2 х2
х^ 9 3
д) У = —’ У = х = -1; м) У = т. У = -Зх, х = -3;
9 х2 х2
е) у = у =- х = -1; н) у = у = Зх2, х = -2;
х2 3 х2
х2 2 2
ж) у = —, у = —, х = 1; о) у = —, у = -2х, х = -4.
8 х х
6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = Vx, х = 4, у = 3; е) у = 2>/х, х = 9, у = 3;
б) у = х = 9, у = 2; ж) у = 2у[х, х = —, у = 6;
4
в) у = Зл/х, х = 4, у = 9; з) у = 9 л/х, х = 4, у = 6;
г) у = 1,5л/х, х = 9, у = 3; и) у = 4>/х, х = 4, у = 2;
д) у = 3 л/х, х = 9, у = 6; к) у = 2л/х, у = у/х + 6, у = 1.
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = f (х), касательной к этому графику в точке с абсциссой х0
и прямой х = а, если:
а) /(х) = Зл/х, х0 = 1, а = 9; г) /(х) = 3>/х, х0 = 16, а = 4;
б) f (х) = 6д/х, х0 = 4, а = 9; д) f (х) = 4л/х, х0 = 9, а = 1;
в) f (х) = 6л/х, х0 = 4, а = 1; е) f (х) = 4л/х + 2, х0 = 7, а = -1;
ж) f (х) = 6 д 2 + —, х0 =4, а = -2;
V 2
з) f (х) = Зд/б + 0,5х, х0 = -2, а = 8;
180
и) f(x) = Зл/б - 4х, х0 = 1, а = -1;
к) f(x) = 3^3 + 0,5х, х0 = -4, а = 2;
л) f (х) = Зд/8 + 2х, х0 = 4, а = -2;
м) /(х) = Зд/в + х, х0 = 8, а = -4.
8. Вычислите определенный интеграл, используя его геомет-
рический смысл:
6 3 2
а) | л/бх - x2dx; д) J* л/э — х2 dx; и) JVe - 2х - х2 dx;
0 -3 -4
2 0 -з
б) J* л/4х — x2dx; е) |л/в - х2 dx; к) Ja/t - 6х - х2 dx.
0 -2V2 -7
8 5
в) J78x - х2 dx; 4 0 ж) | д/бх - х2 - 5 dx; 1 1
г) 1х<2 ~ -3 3) |д/б - 4х - х2 dx; -5
9. Скорость движения материальной точки изменяется по за-
кону v = метров в секунду. Найдите путь, пройденный точ-
кой от начала движения (t = 0) до:
a) t = 10 с, если f(t) = Зг2 + 2г +1;
б) t = 5 с, если f{t) = 6г2 + 5;
в) остановки, если f(t] = 6t -t2;
г) остановки, если f(t) = -t2;
д) остановки, если = 12г - Зг2;
е) остановки, если /(г) = 12г - 2г2;
ж) г = 3 с, если /(г) = 18г - Зг2;
з) г = 4 с, если /(г) = 9t2 + 2г;
и) г = 2 с, если /(г) = г2 - 4г + 10;
к) остановки, если /(г) = (г - 5)(г + 1).
181
Исследование функций
и построение их графиков
1. Отметьте на координатной плоскости произвольную точку
(х0; У о) и постройте в окрестности точки х0 фрагменты графиков
различных функций у = f (х), для которых У о = f(*o) и выполня-
ется равенство:
а)/'(х0) = 2; д)/'(х0) = 72; и) f(x0) = -0,5;
б)/'(х0) = 3; е)Г(х0) = Т2-1; к)Г(х0) = -|;
о
в) Г(*о) = 0,5; ж)/'(х0) = -1; л) f (х0) = -42;
г)/'(хо) = |; з)Г(х0) = -2; м) f'(x0) = l-V2.
О
Будет ли непрерывна функция у = /(х) в окрестности точки х0?
Каким общим свойством (кроме непрерывности) будут обладать
изображенные вами функции в окрестности точки х0?
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) у = х6 - 12х + 6;
б) z/ = -x3 + Зх2 -12;
в) У - - 12х2 - 9х + 1;
г) у = - х3 + Зх2 4- 9х — 2;
д) у = 4х(2х2 - з) - 7(3х2
е) у = 11(х2 - б)-2х(х2 +
ж) у = (2х + 1)(х2 - 2);
з) у = (7 - 2х)(х2 + 2);
и) у = х - 2-Ух;
к) у = 2>/х - —;
2
л) у = 4х-2
-2); м)г/ = ^ + |;
6); к) у =
' х 9
о) у = X 4- 9х-1 - 1.
3. 1) Найдите промежутки возрастания функции:
ч 2 X 5 - 2х
а) у = V5 + 4х - х ; в) у = —--------;
х2 -4
б) у = ->/Зх2 + 8х - 3; г) у - —------;
Зх 4- 5
д) у = х + cos 2х;
е) у = tg х - 4х.
182
2) Найдите промежутки убывания функции:
Г~2------- X + 2
a)z/ = yx -2х-3; в) у =--------; д) у - х + sin2x;
2х + 1
/Z 7 л 2 х 5 4- 2х ч 4
б) z/= \7х - 5 - 2х ; г) у =---е) у = — х + ctgx.
4-х2 3
4. Найдите критические точки функции (в которых у' = 0) и
определите для каждой из этих точек, является ли она точкой:
минимума, максимума, перегиба возрастающей функции, пере-
гиба убывающей функции в некоторой своей окрестности, если
данная функция: а) у = 0,25х4 - 4,5х2 +11,5; б) у = 0,25 + 0,5х2 -0,25х4; ж) у = (1 - х)3 • (х + 3); з) у = (х + 3)3-(х-9);
в) у = ~х 3 - х 1 -1; и) у = х (х - 2) 2;
г) у = 2 - х'1 - —х-2 + —х-3; ч X2 к) у = „;
2 3 X 4- 2
д) z/ = x3(x-5)2; . х2 -2 Л = 2х - 3 ’
е) у = х2(х + 5)3; X2 4- 4 м) У = „ о • 2х + 3
5. Исследуйте функцию и
фик:
постройте (схематически) ее гра-
\ 3 2 ч л 5 2 1 5 ч *2 /к \3
*>У = -х ; д)у = 6--х --Х ; h)i/ = —(5-х);
Z Z о 1Z
б) у = Зх2 - |х4; е) - 6 + -^х2 - ~х5; У = ~^~(х + б)3;
в) у = Зх -
ж) ^ = 7?(х + 5 б))2;
1о
\* (л \3| Х ч I
Л) i/ = (l-x) - + 1 ;
\ 3 J
4 Л,3
г) у = — - 4х ; з) у = — (х - 5) ;
/ \3 / \
ч* ( х . 1 I ( х 1 I
м) у= 7 + 1 ’ о"1,
\ о J К У у
6. 1) Постройте график первообразной функции f(x), проходя-
щей через начало координат, если:
a) f(x) = (х + 1)(х - 3); б) f(x) = (1 - х)(3 + х);
183
в) f (х) = (х - 1) (х - 5); г) f (х) = х (4 - х).
2) Постройте график первообразной функции /(х), проходя-
щей через точку М, если:
а) / (х) = 2 - 0,5х2, М (3; 1,5); в) /(х) = з(х2 - 1), М (1; 0);
2 / _ \
б) f(x) = l,5-^-, М 2; 2^ ; г) f (х) = 2х(б - 4х2), М (-1; 0).
3) Постройте график первообразной функции f (х), касающийся
данной прямой:
а) f(x) = 4х3 - 4, у = -8х - 3;
б) f(x) = 8 - х3, у = 7х 4-
в) f(x) = х3 - 2, у = 6х - 12;
г) f(x) = х(х + З)2, у = 16х - 16;
Д) f (х) = -х(х - З)2, у = 16х + 16;
е) /(х) = (х + 1)2 (х - 2), у = 1б(х - 3);
ж) f(x) = -(х-2)2-(х + 1), у = 1б(х + 2).
Исследование дробно-
. ?5 рациональных функций
и построение их графиков
1. Найдите область определения
и промежутки непрерывнос-
ти функции:
е) у =
„ 1 + х°
^)у = —,—5; ж)г/ =
х4 - х2 - 2
2х - 1
2х2 - х - 1
ч 1
з) у = -
1
2-х2 ’
X
184
2. Найдите все точки разрыва функции у = f (х). Определите
характер поведения функции в окрестности каждой точки разры-
ва х0: 1) неограниченно возрастает (или убывает) справа или сле-
ва от точки х0; 2) ограничена, но не имеет предела при х—»х0;
3) ограничена и имеет предел при х-»х0, если:
а)/(х)- , ; v х" - 3 з 1 х-1 Ж)у= ; х2 -1
б) f (х) = 2х - 5+ —--у; Хх2 ч X2 4- х - 2 э) г/= ; х - Зх + 2
/ Л\4 ч f х + 2 ] в) у = L ; \1 “ ху ч х2 + Зх и) у = 2; 6 - х - х2
1 (х~1У- r)!,=Uir X2 4- X к> У = 2 3 ; X 4-х
, X2 Л) У = о ; х2 -1 2 f ч 1 л) у = х 1 + — ; V х3 7
X2 -1 е) У = з ; х3 +1 м) у = х2 (2 - х’1 + х-2 j.
3. Является ли прямая у = kx + b асимптотой к графику функ-
ции у = /(х), если:
a) k = lim f (х), a b = lim (/ (х) - Лх);
б) k = lim a b = lim (f (х)- kx};
х —> °° х х
в) с помощью тождественных преобразований функцию мож-
но записать в виде f (х) = kx 4- b 4- (р (х), где lim (р (х) = 0 ?
4. Напишите уравнение асимптоты:
а> =1 - ж) =(гч);
(х-1) Vх
Z хЗ
б) f (х) = Зх - 2 + -£—; з) f(x) = 2х 5 ;
х2 + 2 I х - 1 J
в) f(x) =
2х-1
и) f (х) =
185
дп(х) = пг~; л)/(х) = 3~2х72;
х- 4 X + 4
ч ./ X х3+1 . .7 X 2х3 + 5х2 + 10х - 10
е) f (х) = Г~’ м) f \х) =--5------------
х2 4х2 +18х - 10
5. Постройте график функции у = /(х). Укажите: 1) область
определения и промежутки непрерывности функции; 2) проме-
жутки возрастания и убывания функции; 3) экстремумы функ-
ции; 4). асимптоты, если они имеются; 5) точки, в окрестности
которых функция бесконечно велика (если такие имеются); 6)
точки, в окрестности которых функция бесконечно мала (если
такие имеются); 7) множество значений функции:
п) у = 2 + 4х 1 + 2х 2;
к) у =
8 - 4х
р)у=[1--1 ;
\ х)
(3-х)2’
6х + 18 ’
м) у =
3 л 2
х - 4х
х2 - 6х + 8 ’
f 1 у
Н) У = 1 + - ;
Ф) У =
2х3 - 2х2
4х - х2 - 3 ’
х 4 4
ж)у = —;---; о)у =--------1;
х2 +1 х х2
186
6. Постройте график первообразной функции f(x), если из-
вестно уравнение ее асимптоты:
а) у = -1, а /(*) = 4г--Т; г) у = 0, а f(x) =—----------------—-
х3 х2 (3-х)2 (з - х)3
б) у = 1, a f (х) = 2х~2 - 2х~3; д) у = х, a f (х) = 1 -
х
( 2 f 1
в) у = х + 2, a f(x) = 1 - - ; е) у = 2 - х, а f (х) =------ - 1;
(х + 2)2
ж) у = х - 1, a f (х) = 1-—
(х + 1)2
3)j/ = O,af(x) = —
(i - х) х
. 1 5 ,, ч 1 7 3
и) У = -х - a f (х) = --------- + —;
2 4 v ' 2 2х2 х3
Решение задач на
нахождение наибольших
и наименьших значений
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
указанном отрезке:
1) a) i/(x) = х3 + Зх2 - 72х + 90 на [ - 5; 5];
б) г/(х) = 9х + Зх2 - х3 на [ - 2; 2 ];
в) z/(x) = х3 - 9х2 + 24х - 10 на [ 0; 3];
г) у (х) = Зх4 + 4х3 + 1 на [ - 2; 1 ];
д) z/(x) = х4 - 8х2 - 9 на [ - 1; 3 ];
е) i/(x) = 2х3 - 9х2 + 12х + 1 на [ 0; 2 ];
ж) i/(x) = х3 - Зх2 - 105х + 25 на [ - 6; б];
187
3) у(х) = 2х3 + Зх2 - 120х + 100 на [ - 4; 5];
и) у (х) = 2х3 - Зх2 - 36х + 6 на [ - 3; 2 ];
к) у (х) = — х3 + — х2 - — х на [ - 2; 11.
v ’ 15 20 2 L J
2) а) у (х) = х + — на [ 1; 10 ]; г) у (х) = — — на [ - 4; - 1 ];
б) j/(x) = — + — на [-5; -1]; д) у(х) = 16* Х на [-6; -2];
3 х 2х
в) i/(x) = - + y на [2; 6]; е) у(х) = х +--------------на [0; 5];
х 2 (х - 2)
ж) У(х) = 2х3 - х| х - 21 на [0; 3 ];
з) у (х) = х3 - 2х | х - 21 на [ 0; 3 ];
И) z/(x) =
X + 1
1-х
на [- 2; 0];
к) у(х} = 2 на [ - 1; 10 ];
л) у(х) = —-— на [-4; 01;
х + 4
м) у (х) = х - 4л/х на [0;18];
н) у(х) = Зх - 5V4 + х2 на [0; 2];
о) у (х) = л/х3 - Зх на [ - 3; 0 ];
п) у (х) = (х - 1)2 д/х2 - 2х + 3 на [ 0; 3 ].
3) а) у = 2sin2x + cos4x на
0;-
3
б) у = х - sin2x на
л я
2 ’ 2 J’
в) у = 2х + cos4x на [ - л ; л ];
188
г) у = 4х + 3 ctg х на
л . л
б’ 2
д) У = х - tg^- на
Л
Л . л
2 ’ 4
е) У = tg х + ctg 2х на
ж) у = 2 tg х - tg2x на
о X г 1
з) у = sin х • cos — на [ 0; л ];
v х л Гл Зл
и) у = cos х • cos — + — на —; —
<24; [22
к) у = sin3 х + cos 2х на [ - л ; л ].
2. Изобразите график непрерывной и дифференцируемой на
[ а; Ъ ] функции, такой, что = 0 и f'(d} = 0, где а < с < d < Ь,
а наибольшее значение функции М и наименьшее ее значение т
на [ а; Ъ ] равны:
а) т = / (а), М = f(b); ж) т = f (d), М = f (d);
б) m = / (а), М = / (с); з) т = f(b}, М = /(а);
в) т = М = f(d); и) m = /(b), М = /(с);
г) т = f(c), М = /(d); к) т = f(d}, М = /(а);
д) т = /(с), М = f(b); л) т = f(d), М = f(b);
е) т = f(c), М = f(a); м) т = f(d), М = / (с).
3. 1) Найдите наибольшее значение функции на ее области
определения:
а) у = 4х2 - 4х; в) у = ^2х - х2 ; д) у = (1 - х)-(х + 3);
2 / о" х х + X + 1
6)z/ =------г) у = VlOx-x2 ; е) у =---------------.
1 + х2 х2 + 3
189
2) Найдите наименьшее значение функции на ее области опре-
деления:
а) у = х4 - 6х2 + 5; в) у = у/2х2‘ - х + 2 ; д) у = л/2х2 - Зх + 3 ;
б) у = 5 - >/бх - х2 ; г) у = >/1 - 2х + Зх2 ; е) у = —.
X2 + X + 1
3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции. Ука-
жите множество значений функции:
2 х
а) у = sin х + cos х - 0,5; д) у = —-------;
х2 +4
х — 1
б) у = 2 sin 2х + cos 4х; е) у = — -------;
х2 - Зх + 3
х . о ч sin 4х
в) у = cosxsin2х; ж) у =---------------;
1 + sin 2х + cos 2х
ч 2х ч sin 6х
г) у =----; з) у = -——-------—.
1 + х < 1 + sin Зх - cos Зх
4) Докажите, что наибольшее значение первой функции равно
наименьшему значению второй. Существует ли такое значение х,
при котором эти значения функций равны, если:
а) у = 3 - 4 cos 2х и у = х2 - 4х + 11; г) у = ——- и у = 2 - cos 2х;
1 + х2
/ \ х8 +1 /------7 1
б) у = 1 + cosll - х) и у = ——; д) у = V2x - х и у =--;
X4 cosx
в) у = 15 - sin2x и у = х4 + 4х2 +20; е) у = у/1 - х2 и у = —-—?
sinx
4. 1) Представьте конкретное положительное число а в виде
суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квад-
ратов была наибольшей.
2) Представьте конкретное положительное число а в виде сум-
мы двух положительных слагаемых, произведение которых было
бы наибольшим.
3) Представьте конкретное положительное число а в виде сум-
мы двух положительных слагаемых, сумма кубов которых была
бы наименьшей.
4) Произведение двух положительных чисел равно а. Чему
равны эти числа, если их сумма наименьшая?
190
5) Каковы размеры прямоугольника наибольшей площади, ко-
торый можно согнуть из куска проволоки длиной а см, если: а = 50,
120, 225, ...?
6) Из квадратного листа картона со стороной а требуется сде-
лать коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадра-
ты со стороной b и загнув выступы получившейся фигуры. Задай-
те численные значения а и найдите значение Ь.
7) Определите размеры открытого бассейна объема V м3, име-
ющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным
дном, на облицовку стен и дна которого уйдет наименьшее коли-
чество материала, если:
а)У = 4; в) V = 108; д)У = 100;
6)V = 32; г) V = 500; e)V = V.
5. 1) Из всех прямоугольников периметра Р найдите тот, у
которого диагональ наименьшая, если:
а)Р = 10см; б)Р = 12см; в) Р = 200см.
2) Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R,
найдите тот, который имеет наибольшую площадь, если:
а)Р = 10см; б) R = 12см; в) R = 20>/2 см.
3) В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей
площади. Найдите его размеры, если:
a) R = 5см; б) R = 12см; в) R = 20см.
4) В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшего
периметра. Найдите его размеры, если:
a) R = 6 см; б) R = 10 см; в) R = 15см.
5) В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник
наибольшей площади. Найдите его стороны, если:
a) R = 5см; б) Р = 8см; в) R = 2^3 см.
6) В прямоугольный треугольник вписан прямоугольник на-
ибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипоте-
нузе. Найдите длины сторон прямоугольника, если:
а) катеты треугольника равны: 5 и 8 см; 3 и 4 см; 10 и 10 см;
б) катет и прилегающий к нему угол равны: 10 см и 30е; 5 см
и 45°; 20 см и 20е.
7) В равнобедренный треугольник с периметром Р см и высо-
той h см, проведенной к основанию, вписан прямоугольник
наибольшей площади. Найдите его размеры, если:
а) Р = 16, h = 4; б)Р = 18,Л = 3; в) Р = 18, h = 37з .
191
8) В полукруг радиусаR вписана трапеция, основание которой
совпадает с диаметром: а) наибольшей площади; б) наибольшего
периметра. Найдите стороны трапеции.
9) Около полукруга радиуса R описана трапеция, основание
которой проходит через центр круга: а) наибольшей площади;
б) наибольшего периметра. Найдите угол между боковой сторо-
ной трапеции и большим основанием.
10) Каким должен быть угол при вершине равнобедренного
треугольника заданной площади S, чтобы радиус вписанного в
этот треугольник круга был наибольшим?
6. 1) Закон движения тела, брошенного вертикально вверх,
задан уравнением:
a) s = 19,б£ - 4,9£2 ; б) s = vot - 0,5gt2 .
Найдите наибольшую высоту подъема тела, где s измеряется в
метрах, a t - в секундах.
2) Закон прямолинейного движения тела задан уравнением
s = f (t). Найдите максимальную скорость движения тела, где s
измеряется в метрах, a t a) f(t) = 3 + 9t + 3t2 -t3; - в секундах, если: е) f(t) = 15t2 -2t3;
t3 б)/(<) = #2 О ж) f(t) = 8t3 - t4 ;
t3 в) f(t) = 3t2 - у+ 10; з) f(t) = 4t3 - y;
г)Г(0 = 5<2-^; »)/(<) = 2?-^-;
д) f(t) = 9t2 -2t3 +5; к) О
7. 1) Найдите кратчайшее расстояние от точки М до точек,
заданных функцией у = f(x), если:
a) f(x} = 2x + 3, М(3; 2); д) f(x) = x2, М(-2; - б);
б) /(х) = 5 - х, М(-1; - 5); е) /(х) = Vx, М(3; 7);
-.2 -J —
в) f(x) =----, М(2; 0); ж) f(х) = Vx, М(4; -3);
2
г) / (х) = х2 , М(1; 3); з) /(х) = у/х2 +6х + 10, М(1; 0).
192
2) Найдите наименьшее расстояние между точками, принад-
лежащими двум различным функциям:
а) у = х2 и у = х-1;
1
б) у = - и у = —х.
X
3) С помощью графика функции у = f(x) найдите координаты
точки М, принадлежащей ему и находящейся на ближайшем рас-
стоянии от данной прямой, если:
a) f (х) = 2 + cos х при 0 < х < л и у = -0,5х - 1,5;
б) f (х) = cos2 х, где х е [ 0; 1], и у = — х - 3,5.
2
8. 1) Через точку А проведена прямая, пересекающая оси ко-
ординат. Найдите катеты треугольника, отсекаемого этой прямой,
от осей координат, имеющего наименьшую площадь. Задайте точку
А произвольными числовыми координатами.
2) Найдите уравнение прямой, проходящей через данную точ-
ку А, отсекающую от осей координат треугольник наименьшей
площади.
3) Из всех прямоугольников, вписанных в фигуру, ограничен-
ную параболой и прямой так, что две его вершины лежат на пря-
мой, а две другие - на параболе, найдите тот, который имеет
наибольшую площадь, и вычислите эту площадь, если парабола и
прямая заданы уравнениями:
а) у = х2 и у = 4; г) у = 4х - х2 и у = 0; ж) у = х2 и у = -Зх;
б) у — х2 и у = 9; д) у = х2 и у = Зх; 3>у = Зх-4*И
в) у = 0,5х2 и у = 8; е) г/ = х2 и г/ = 2х;
4) Фигура ограничена линиями: у = /(х), у = О,х = а,х = Ь. В
какой точке (х0 ; z/0) графика функции у = /(х) надо провести ка-
сательную к нему так, чтобы эта прямая отсекала от фигуры тра-
пецию наибольшей площади, если:
а) /(х) = х2 + 1, а = 0, b = 1; г) /(х) = —а = 0, b = 1;
б) Нх) = х2 -2х + 2, а = 1, Ъ = 2; д) /(х) = —а = 2, 6 = 3?
х-1
в) fix} = —, а = 1, Ъ = 2;
х
7 О. Н. Доброва 193
Практикум 30 Приложения математичес-
кого анализа в задачах
физического содержания
1. Докажите, что величина ускорения точки, совершающей
гармоническое колебание по закону x(f), пропорциональна ее от-
клонению х от положения равновесия (х = 0), и найдите коэффи-
циент пропорциональности, если:
а) х = 0,5 sin (2^ + 0,3л); е) х = l,5cos(0,U + 0,5);
б) х = 5cos(2£ + 0,2л); ж) х = 3 sin * * * ;
£ + 2
в) х = 5 sin (0,5t + 1); з) х = 10 cos-;
г) х = — cos(0,5£ + 0,1л); и) х = — зп1(2л£ + 1);
3 л
д) х = 2 sin — + 2
ч nt
К) X = 71 COS--
2
Запишите дифференциальное уравнение этого гармоническо-
го колебания.
2. Чему равны период, амплитуда, начальная фаза и частота
колебаний движения точки, заданной уравнением:
а) у = cos х + sin х;
б) у = sin2x - cos2x;
д) у = sin Зх + д/з cos Зх;
ч лх п: . лх
е) у = cos--<3 sin —;
3 3
ж) у = sin2x - cos2x + >/б cos 2х - —
I Л 1 г
з) у = 2cos х + — + уЗ cosx + sinx;
194
ч . х X гт , х — Tt
и) у = sin— + cos---vo sin----;
4 4 4
к) у = л/з cos — - 3 sin — + 2л/з sin х + 11. ?
3 3 3
3. Постройте график функции, являющейся решением диффе-
ренциального уравнения при заданных начальных условиях:
a) i/" + 4i/ = 0, i/(0) = 0, /(0) = -6;
б) у" + 9у = 0, i/(0) = 0, /(0) = 6;
в)х" + 4х = 0, х(0) = 3, х'(0) = 0;
г) х" =-9х, х(0) = -2, х'(0) = 0;
Д) х" = -р х(0) = -3, х'(0) = 0;
А
е) 4/' + у = 0, г/ (О) = 1, /(О) = ——;
ж) 9/' + у = 0, 1/(0) = 1, /(0) = —;
О
з) у" + 0,25г/ = о, г/(0) = -2, /(о) = -7з;
и) 0,25г/" + у = 0, у(0) = -2, у'(0) = >/3;
к) 4г/" + 9г/ = о, 1/(0) = 2J2, /(о) = Зд/2.
Покажите по графику амплитуду, период и начальную фазу
гармонического колебания.
4. Тело массой т закреплено на пружине (рессоре). Считая,
что на него действует только сила упругости F = -ky, где k > 0 -
коэффициент пропорциональности, у - положение тела на оси,
найдите закон движения тела, если в начальный момент t = О
тело находилось в положении у = у0 и имело скорость и0, если:
a) k = 1000н / м, г/0=2м, р0=0,1м/с;
б)Л = 500н/м, г/о=Ом, ио=О,5м/с.
5. Груз массой т кг растягивает пружину на I м. Какую рабо-
ту он при этом совершает, если:
а) т = 3, I = 0,04; в) т = 2, I = 0,02; д) т = 5, I = 0,15;
б) т = 10, I = 0,1; г) т = 20, I = 0,2; е) т = 15, I = 0,25?
195
6. 1) Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины
на 0,05 м, если для ее сжатия на 0,02 м нужна сила в 10 Н.
2) Сила в А Н растягивает пружину на I м. Первоначальная
длина пружины Ъ см. Какую работу надо совершить, чтобы рас-
тянуть ее до с см, если:
а) А = 180, 1 = 2, Ь = 20, с = 25;
б) А = 60, 1 = 2, Ь = 20, с = 30;
в) А = 2, 1 = 4, Ь = 30, с = 31;
г) А = 6, 1 = 2, b = 12, с = 16;
Д) А = 4, 1 = 8, Ь = 10, с = 15;
е) А = 50, Z = l, 6 = 22, с = 32? 3) При сжатии пружины на а м затрачивается работа в В Дж. Какую работу надо совершить, чтобы сжать ее на 6 м, если:
а) а = 0,05, Ь = 0,1, В = 25;
б) а = 0,04, Ь = 0,08, В = 20;
в) а = 0,1, Ь = 0,05, В = 100;
г) а = 0,05, b = 0,1, В = 30;
д) а = 0,02, 6 = 0,01, В = 16?
4) При сжатии пружины на а м совершается работа в А Дж.
На какую длину сжата пружина, если совершена работа в
В Дж:
а) а = 0,02, б) а = 0,05, А = 16, В = 100; А = 25, В = 100;
в) а = 0,04, А = 20, В = 80;
г) а = 0,04, А = 0,8, В = 1;
д) а = 0,03, А = 16, В = 144?
7. В системе координат точка движется по линии у = f (х) так,
что ее проекция на ось абсцисс имеет при этом постоянную ско-
рость v. Найдите скорость и ускорение проекции этой точки на
ось ординат в зависимости от х, если:
а) /(х) = х2 - 2х + 4, v = 0,5; г) f(x) = х + 2у[х, v = 1;
б)/(х) = Зх - х2 , и = 1; д) /(х) = д/х2 + 1, и = 10.
в) f(x) = х3 - 2х2 , v = 5;
196
8. Материальная точка замедляет свое движение под действи-
ем силы, пропорциональной квадрату скорости v(t). Найдите за-
висимость скорости от времени, где скорость измеряется в метрах
в секунду, если:
a) v (0) = 0,5, v (1) = 0,25; г) v (О) = 0,2, v (1) = 0,1;
б)и(0) = 0,5, р(3) = 0,125; д)р(0) = 0,8, v (1) = 0,5.
b)v(0) = 0,5, р(4) = 0,1;
9. 1) Вычислите силу давления воды на дно и стенки аквариу-
ма, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, где а и
Ъ см - стороны прямоугольника, являющегося основанием (дном)
аквариума, если аквариум заполнен водой до высоты h см:
а) а = 20, 6 = 40, h = 30; г)а = 6 = 80, h = 40;
б) а = 30, 6 = 60, h = 40; д)а = 6 = 6 = 100.
в) а = 40, 6 = 100, 6 = 50;
2) Треугольная пластина АВС с боковыми сторонами 10 см и
основанием, равным 12 см, погружена вертикально в воду так,
что основание АС параллельно поверхности воды. Найдите силу
давления воды на эту пластину, если вершина В находится:
а) на поверхности воды;
б) на 1 см выше поверхности воды;
в) на 1 см ниже поверхности воды;
г) в воде, а основание АС - на поверхности воды.
3) Вычислите силу давления воды на вертикальную плотину,
имеющую форму равнобедренной трапеции с основаниями а и b м
и высотой h м, если:
а) а = 4, 6 = 3, 6 = 3;
б)а = 15, 6 = 10, 6 = 6;
в) а = 5, 6 = 3,5, 6 = 2.
4) Вычислите силу давления воды на прямоугольные ворота
шлюза, ширина которых 24 м, а высота 6 м, если шлюз заполнен
водой: а) наполовину; б) на две трети; в) полностью.
10. С какой силой давит вода на плоское стекло иллюминато-
ра, имеющего форму круга радиуса 0,6 м и расположенного на
вертикальном борту судна, если это стекло погружено в воду:
1 12 3
а) наполовину; б) на —, считая снизу; в) на —; г) на —; д) на —;
е) целиком, когда уровень воды совпадает с верхней точкой ил-
люминатора.
197
11. Цилиндрический стакан заполнен маслом. Вычислите силу
давления масла на боковую поверхность стакана, если радиус
основания стакана 0,04 м, а высота 0,1 м. Плотность масла
900 кг / м3.
12. Вычислите работу, произведенную при выкачивании воды
из резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипе-
да со сторонами 3 и 4 м и высотой 2,5 м, если он заполнен:
4 2
а) наполовину; б) на —; в) полностью; г) на —.
5 5
Вес воды в объеме 1м3 приблизительно равен 9807 Н.
13. Две материальные точки массой 100 и 10 кг находятся на
расстоянии 1м друг от друга. Материальная точка с меньшей мас-
сой удаляется от точки с большей массой на расстояние а м. Вы-
числите работу силы притяжения, если:
а) а = 1; б) а = 2; в) а = 5; г) а = 10.
14. Два заряда одинакового знака qx = ЗЮ-8 Кл и q2 = 4 10“ 8 Кл
находятся на расстоянии/? м друг от друга. Заряд Qi приближают
к <?2 на расстояние г м. Найдите работу кулоновской силы взаи-
модействия, если:
а) Я = 0,6, г = 0,5; б) Я = 0,5, г = 0,4;
в) Я = 0,6, г = 0,3; г) R = 0,5, г = 0,1.
15. Однородный стержень массой М кг и длиной I м и матери-
альная точка массой т кг расположены на одной прямой. Рассто-
яние от точки до ближайшего конца стержня равно а м. Найдите
силу притяжения точки и стержня, если:
а)М = 10, т = 1, 1 = 0,5, а = 2;
б) М = 20, т = 5, 1 = 2, а = 3;
в)М = 25, 771 = 4, 1 = 1, а = 1;
г)М = 6, 771 = 0,5, 1 = 1,5, а = 0,5
Метод математической
индукции
1. а) Все члены последовательности чисел
а2, ^з, ап, ...
отличны от нуля, и для них выполняется соотношение
2 _ Л „
ап+1 - ап ап + 2*
тт п — 1 ^2
Докажите, что ап = аг д , где q = —, используя метод ма-
а1
тематической индукции.
б) Для всех членов последовательности чисел
а1> а2, а3, ..., ап, ...
выполняется соотношение 2ап + 1 = ап + ап + 2.
Используя метод математической индукции, докажите, что
ап = а1 + ^(п “ 1)’ гДе d = а2 - а1-
в) Докажите неравенство
|аг +а2+ ... + ап |<| aj | +1а21 + ••• +|а„ |-
г) Докажите, что квадрат суммы п чисел равен сумме квадра-
тов этих чисел, сложенной со всевозможными их удвоенными
произведениями.
д) Докажите, что производная суммы п дифференцируемых
функций равна сумме производных этих функций.
е) Докажите, что при любом натуральном и
(хл) = пхл-1.
ж) Докажите, что если Т - период функции /(х), то пТ, где
п - любое натуральное число, также период этой функции.
200
з) Докажите, что с помощью циркуля и линейки с заданной
единицей длины можно построить отрезок длиной >/п, где n eN.
и) Докажите, используя метод математической индукции, что
при любом натуральном п
(fn(x)) =п • /л-1(х) • f(x).
2. Докажите, что любую сумму денег, содержащую целое чис-
ло рублей, большее 7, можно уплатить без сдачи денежными зна-
ками достоинством в 5 и 3 рубля.
3. Докажите, что для любого натурального п выполняется ра-
венство:
9 9 9 9 л(п + 1)(2п + 1)
а) I2 + 22 + З2 + ... + п2 =
6
,/9„ й2 п(2п-1)(2п + 1)
о)1 + о + о +... + \Лп - 1) =------------------;
г) 1 + З3 + 53 + ... + (2n - I)3 = п2 (2п2 - 1);
, . , . п(п + 1)-(п + 2) (га + 3)
д) 1-2-3 + 2 3 4 +... + п(п + 1)-(п + 2) =-*--7 7 v
е) 1 - 22 + З2 - 42 + ;..+(-1)"'1 -га2 = (-if1 - ;
2
ж) 1-4 + 2-7 + ... + га(3п + 1) = n(n + 1)2;
з) 1 • 2 • ... • р + 2 • 3 • ... р (р + 1) + ...+ п • (га + 1)- ...-(п + р - 1) =
п (п + 1) (п + 2)... (п + р)
= —------А----—к------где peN.
Р + 1
и) 2 • I2 + 3 • 22 + 4 • З2 +...+ п{п - I)2 + (га + 1)п2 =
п(п + 1)(га + 2)(3га + 1)
13 4
о ... 1 - (га + 1)хл + пхп + 1
к) 1 + 2х + Зх2 +... + пх 1 =--------------------, где х * 1.
(1-х)2
201
4. Докажите, что при натуральном п справедливо тождество:
ч 1 1 1 1 п
а) 1------1------1-...+ ----—------ =-----;
1 3 3 5 5-7 (2п-1)(2л + 1) 2п 4-1
1 1 1 1 п
б) 1------1------ь-... + --—------- —----;
1 4 4-7 7 10 (Зп - 2) (Зп 4-1) Зп 4-1
ч 1 1 1 1 п
в) 1------1------1-... 4- --—------- —----;
1 5 5 9 9 13 (4n-3)(4n + l) 4п 4-1
ч 11 1 п
г) —----г + т---г;---7 +...+ т------77---7 = -7---7, a G N;
а (а + 1) (а + 1) [а + 2) [а + п - 1) [а + п) а [а + п)
а) 2п > п + 1;
5. Докажите, что для натуральных п верно неравенство:
е) (72)" > п, если п > 4;
ж) 2" > п2, если п > 4;
з) 2" > 2п 4-1, если п > 3;
б) 1,5" > 1 + 0,5п;
в) 2,5" >14- 1,5п;
Г) (7з)" > »;
д) (^3)” > п;
и) (1 + ар > 1 4- п • а, если а > -1;
к) 2п > п3, если п > 10;
202
л) 3" > n2 + 2n;
i \n n(n-l) 2
m) (1 + a) > 1 + na +-----a , если n > 3 и a > 0.
6. Докажите, что для натуральных п верно неравенство:
а) “уЗ 4- ^3 + • • • 4- у[з < 3;
п
.) ^5 + ^5+ ... +^5 < 2;
п
X 1 1 1 Г
в) —7= 4- —j= + ... + —f= > у/п, если п > 2;
л/1 V2 у/п
г) 4- + 4- + ••• + -U<2>/n-1;
71 л/2 yin
. 11 1 13
д) +-------4- ... 4------> —, если п > 1;
п 4-1 п + 2 п 4- п 24
ч 1 3 5 2п -1 1
е) ...----------------<
2 4 6 2п у/зп +1
ж) П-(х1 + Х2 +...+*")>(*! +х2 +...+ xn) (x"-1 +Х2-1 +...+ Х™’1)
если xt > 0 при i = 1, 2, ..., п;
3) (Xi +х2 +...+ х„)-
i = 1, 2, ..., п;
> п2, если xt > 0 при
И) (х1У1 + х2у2 + ... + Хпуп)2 < (х2 + xf + ... + х2) • (yl + у% +...+ у1
I 2 2 2~
ч I--------------- Xi 4- Х9 4- ... 4- Хп ХА 4- Х9 4- ... 4- Х_
к) ^Jxr х2 • ... • хп < -1--------- < J—-------------если
п V п
xt > 0 при 1 = 1, 2, ..., п.
7. Докажите, что при любом натуральном п:
а) п5 - п делится на 5, на 10 и на 30;
б) п1 - п делится на 7 и на 42;
203
в) п11 - п делится на 11 и на 66;
г) пр - п делится на р, где р - простое натуральное число;
д) п3 + 5п делится на 6;
е) и3 + 11п делится на 6;
ж) 7Л + Зп - 1 делится на 9;
з) 2Л + 2 • Зл + 5п - 4 делится на 25;
и) 62л + Зл + 2 4- Зл делится на 11;
к) 7 + 72 + 73 + 74 + ... + 7Л делится на 100, если п кратно 4.
8. Докажите, что если последовательность (ал) задана рекур-
рентно:
а) ап + 2 = ~ai ап +а2 • ап + 1> а1 =2, а2 = 3, то ап = 2"-1 +1;
ч +1 q » . / ^\п — 2 к.п — 2
б) ап + 2 =-------» а1 = 2, а2 = б, то =4 4- (-1) 0,5 ;
2
в) ал + 1 = 2ал - 3, аг = 4, то ап = 2Л-1 + 3;
п(п -1)
г) ап +1 = ап 4- n, ar = 1, то ап = 1 4----;
д) ал + 1 = 2(п 4-1) 4- ап, аг =2, то ап = п + п2;
Зл — 1
е) an + i = ап + 3% ar = 1, то ап = ——;
ж) an + i = ап + 2Л, ах =1, то ап = 2Л - 1;
з) ал + 1 = (п 4- 1) ал, аг =1, то ап = п!, где п \ = 1 - 2 - 3 ...• п;
ч 1 1 1
и) ап + 1 ~ ап “ = 1, то ап = -;
п \п 4- 1) п
ч 1 2 п+1
к) ал + 1 = а + ---------, аг = -, то а =---.
(п + 2)(п + 3) 3 п + 2
9. Методом математической индукции докажите, что:
а) | sin пх | < п | sin х |, п g
sin(2n + 1a)
б) cosa • cos2a cos4a ... соэ(2л • al = —----------;
2Л+ • sin a
204
( Tl + 1 ] . nx
cos -----• x • sin —
I 2 J 2
в) COS X 4- COS 2x+.. .4- COS ПХ = --------------------------
X
sin —
2
( n 4- 1 ] nx
sin ------ • x sin —
I 2 J x
r) sin x 4- sin 2x +... + sin nx =----------------------------------
. x
sin —
2
(n 4-1) sin nx - n sin (n 4- 1) X
д) sin x 4- 2 sin 2x4- ... 4- n sin nx =------------------;
4 sin2 —
2
e) выражение Tn (x) = cos (n arccos x) представляет собой много-
член n-й степени относительно х;
ж) sin2n а 4- cos2n а < 1;
2 4- ... 4- ^2 + у[2 = 2 • cos -71--
______*__________, 2n +1
п корней
10. а) Докажите, что п прямых, расположенных в одной плос-
кости, из которых никакие две не параллельны и никакие три не
проходят через одну точку, рассекают плоскость на
п(п 4- 1р
2
1 +
частей.
б) Докажите, что п окружностей, расположенных в одной плос-
кости, делят эту плоскость не более чем на [п2 - п 4- 2) частей.
в)* Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет
место соотношение Е - К 4- F = 2, где Е - число его вершин, К -
число ребер, F - число граней.
11. Вычислите:
a) lim • (1 4- 23 4- З3 4- ... 4- п3);
б) lim • (12 + 22 4- З2 4- ... + п2);
П^°°п '
\ v ( 1 1 1 1
в) lim -----4------4------4- ... + —--------- ;
n->oo^i . 2 2-3 3-4 п (п 4-1) J
205
...Ill 1
n-^1-3 3-5 5-7 (2n-l)(2n + l)J
4 f 1 1 1 1 1 1
д) lim--------+-----------+ ... + —-- - ---—---
-2 1 3 2-3 3-5 n (n +1) (2n-l)(2n +
/ \
4 1. 1 1 1 1
e) lim --+----+----4- ... 4-------- ;
n->oo^2 • 4 4-6 6-8 4n (n 4-1)^
]. f 1 1 1 1 '
ж) lim --4----4-------4- ... 4- --—----- ;
• 7 7-9 9-11 (2n + 3)(2n + 5)J
A V 1 1 1
з) lim ----4-----4-----
34 45 5-6
(2 4- n)(3 4-
111 1 "I
1 1 F ... 4- --—-- ;
5-6------------6-7-7-8-(4 4-n) (5 4-n) J
к)
lim
11 12
10 11
1
(9 4- n)(10 4- n)
Л)
(
ч v 12
м) lim--F — 4-
3 5
V
Преобразования степеней
1. Вычислите:
90,2 , r->
6) 42 - 2-0’5 * * - 2°’8 : 21,3;
3 „1,8 „-2,3
в) 92 3 4 : -—-----------
V2
г) (З0’5 +2’1)2 +(2 + 7з)’’;
д) (1-42)"2 -(г1,5 + з)-1;
е) (3-21’5)’2 -3 • 22,5;
206
ж) (л/з +1)
З1’8 1 + З0,5
2 З1’3
з) в 10,2'0,3
-
0,24 • [2~2
718 *
2. Решите уравнение:
a) sinO,5x = О,50’5; е) ctgO,5x = 3~0’5; л) 8cos5 х = 0,5'°’5;
б) cos0,75x = 0,75°’5; ж) tg3x = З1’5;
в) sin3 х = -0,51,5;
•, з л/з
г) cos х = —;
4
д) tg2x = 3'0,5;
з) ctg5x = З2’5;
и) cos2 х = 0,75;
, . 5 V2
к) sm х = —;
8
м) 80,2 cosx = 0,5 0,1;
н) 20’6 sinx = -0,5"0,1;
о) sin3 2х = З1’5 sin3 х;
п) sin3 х = - З1’5 cos3
ьэ | н
3. Упростите выражение:
ч V» u v I* I*
а) ---------+ ---------- • -------
(а + За0,5 9- а 3 - а0,5 J
а0’75 +2^ + 4-а ' 2 _ а0,5
/' 5 Vs
3 а8 . у[а
9 - а ’ а0’5 + 3
к3а8 - а8 у
207
г)-------:-----------------------------;
а - 4 а + 4а0,5 +4 а - 2а0’5
з (а2 - 1) 1-если
V 7 V а
х = 2а0’5 • (1 + а) 1 и а > 1;
если
1 1 _А_
ж) (х’1 + а-1 )(х + d)n - Ь~ххп, если х = abn + 1
( п п 1
а"71 _b7^i
V 7
з) (а 4- х0’ч 5 *) 4-(а - х0’5) , если х = 4(а - 1) и 1 < а < 2;
/ _1\_2 / _i\~2 / ,\0,5 /
и) (14-х I 4-(1-х ) , еслих = (1-а 1 (14- а 1 и а > 1;
ч 1 - ах 1 4- Ъх
к)--------1---------
1 4- ах V 1 - Ьх
1 2а -Ъ
если х = — J-----
а V Ь
иО<а<Ь< 2а.
4. Докажите, что:
а) ^5 72 +7 - ^5 72-7 = 2;
б) ^20 + 14 72 + 5/20-14 72 = 4;
|^1 + 7б-75^ + | (1-75-75^ =
(I г\ Г v GM2
= (5-^) Л-1 + ;2;
2(5-75)
2Ьу1х2 - 1
X - 7х2 - 1
и а > b > 0;
208
= >~4
если х =
д)
2b 7х2 -1
х - 7х2 - 1
и b > а > 0;
5. Является ли число а корнем данного уравнения:
а) х6 + 6х-3 = 7, а = - 73;
б) 8х’9 + х6 = 3, а = - V2;
в) (1 - х) 2 + 5 —х = 1, а = Тб;
г) (3 - х)’1 - + = - 0,5, а = 77;
Z \2
д)(3-х-1)+ 1--Н =6, а = 21,5;
е) (1 + х)2 + 3 • (5 - 2х)-1 = 3, а = 7°’5;
ж) (1 + х)2 + (3 + 2х) 1 = 6, а = 72;
з) (2 - х)-1 + (0,5 - х)2 = 5,25, а= 73;
и) х2 + —-— = 12, а = 1-75;
х + 2
к) (х + З)2 - 24 (х + I)-1 = 20, а = 5°’5;
209
м) (1 + х) 2 + (1,5 - х-1)’1 = 12, а = 2-0’5 ?
6. Сравните два числа:
Практикум 4
е) 710 и ^2^3;
ж) 77 и 50,2;
з) Тб и З0,3;
и) 1,5“1,5 и 7<7з;
к) Тб и З0’75.
Свойства и графики
степенных функций
1. 1) Верно ли равенство:
а) 799-7072 = 7 - бл/2;
б) 7б2-307з = 5 - ЗТЗ;
в) 717-1272 = 2>/2 - 3;
г) ^94-4275 = Зд/б - 7;
д) 716-677 = 77-3;
2) Вычислите:
а) ^99 - 70 72 - 5 77;
б) 752-3073 -зТЗ;
в) 717-1272 + 277;
г) 794-4275 +З7б;
д) 716-677 +77;
е) 719- 6 710 = 3 -710;
ж) 749-2076 = 2 Тб - 5;
з) 720-бТЙ = 3 -711;
и) 7з1-8Т15 = 715 - 4;
к) 753 - 2077 = 5 - 277?
е) 719-6710 -710;
ж) 749-2о7б + 2Тб;
з) 720-бТН - 711;
и) 7з1-8Т15 + 715;
к) 75з-2о77 -277.
210
2. Упростите выражение:
а) 71 + 2х + х2 + (у/-х - 1) ;
б) 71 - 2х + х2 - (71 - х) ;
в) 7х2 + 4х + 4 - (7-х - 2) ;
г) ylx2 - 4х + 4 + (>/2 - х) ;
д) ^Jx2 - 6х + 9 -(73 - х) ;
е) 7х2 - 6х + 9 +(7х - з) ;
ж) 7х2 + 6х + 9 - (7х + 3) ;
з) 7х2 + 6х + 9 +(7-х - з) ;
и) 74х2 + 4х + 1 - (7~х - 0,5)
к) 74х2 - 4х + 1 + (7о,5 - х) .
3. 1) Упростите данное выражение f (х).
2) Постройте график функции у = f (х), укажите множество
значений и область определения функции.
3) Определите с помощью графика, при каких значениях х
f (х) = а, где а - заданное число.
4) Определите число корней уравнения f (х) = а в зависимости
от параметра а, если:
a) f (х) = 7х2 +2х + 1 + 7х2 - 2х + 1, а = 6;
б) f (х) = 7х2 + 2х + 1 - 7х2 - 2х + 1, а = - 2;
в) f (х) = 7х2 + 4х + 4 + 7х2 - 4х + 4, а = 4;
г) f (х) = 7х2 + 4х + 4 - 7х2 - 4х + 4, а = - 4;
д) f (х) = >1х2 - 6х + 9 + 7х2 + 6х + 9, а = 8;
е) f (х) = 7х2 - 6х + 9 - 7х2 + 6х + 9, а = 6;
ж) f (х) = 7х2 + 6х + 9 - 7х2 - 6х + 9, а = 4;
з) f (х) = 74х2 + 4х + 1 + 74х2 - 4х + 1, а = 6;
и) f (х) = 74х2 + 4х + 1 - yl^x2 - 4х + 1, а = - 2;
к) f (х) = 74х2 - 4х + 1 - 74х2 + 4х + 1, а = - 2.
211
4. Решите уравнение:
а) ylx2 + 10х + 25 + yjx2 - 10х + 25 = - 2х;
б) л/х2 +10х + 25 - 7х2 -Юх + 15 = 2х;
в) д/эх2 - 12х + 4 + у1$х2 + 12х + 4 = 6х;
г) уКх2 + 12х + 9 - yl^x2 - 12х + 9 = 4х;
д) yl^x2 + 12х + 9 + yl^x2 - 4х + 1 = 4;
е) д/4х2 + 4х + 1 - л/4х2 - 12х + 9 = 4х - 2;
ж) л/х2 +12х + 36 + у]х2 -14Х + 49 = 13;
з) л/х2 +12х + 36 - л/х2 -14х + 49 = 2х - 1;
I Г 2
ч 2 Х 1 ч Х Х л \
и) Jx + — + — +ч1+ — + — = 0,5(1 - х);
N 2 4 V 2 4 V 7
к) лМх2 - 6х + 4 - yj^x2 - 6х + 9 = 5 (х - 1).
5. Будет ли пустым множество корней уравнения:
а) д/з - х2 - у/х -2 = х; в) д/5 - х2 + л/х2 + Зх = х;
б) д/з - х2 + >/х + 2 = х - 2; г) у/х2 - 5 - yjx2 - 2х = х;
д) л/х2 + 2х + 1 + у1х2 - 2х + 1 = х;
е) л/х2 + 2ах + а2 + у]х2 - 2ах + а2 = 2а- 0,1, где а - число;
ж) л/х2 + 2ах + а2 - у1х2 - 2ах + а2 = 2,1а, где а - число;
з) Vx + Vx + 5 = 2;
и) Vx + 7 + Vl - х = 3;
к) у/~х + л/х - 3 = у/х -2 ?
6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = ^27х и У =
б) у = V16x и у =
\ з/7ГГ“ х^х
в) у = ylolx и у =---;
3
г) у = ^9х и у = х
212
Иррациональные уравнения
Практикум 5
1. Решите уравнение:
а) х + 710 - Зх = 0;
б) х + ^4- Зх = - 2;
в) Зх + 77 - 9х = -1;
г) 1 + у/7 - 6х = - 2х;
д) 2 - х - д/х + 10 = 0;
2. Решите уравнение:
а) х + 71 - Зх2 = 0;
б) Зх 4-710-х2 = 0;
в) 7х2 — 3 + 0,5х = 0;
г) х 4- 74х2 - 3 = 0;
д) х 4- лМх2 - 6 = 0;
3. Решите уравнение:
а) 1 4- х 4- 710 - х - х2 = 0;
б) 1 4- х - 710 - х - х2 = 0;
в) 710 - Зх - 9х2 - Зх = 1;
г) 710-Зх-9х2 + Зх = -1;
д) 7в - Зх - х2 - х = 2;
е) 1 + х + 72х + 5 = 0;
ж) 2 + х + 2 7x4-5 = 0;
з) 5 - х - 7х + 7 = 0;
и) 5 - х + 2 7в - х = 0;
к) х - 2 + 2 7б - х = 0.
е) х + 2-Ух2 - 6=0;
ж) х + 0,5 - х2 = 0;
з) 3x + 2Vl-4x2 =0;
и) 8х + з7з-4х2 =0;
к) 5 дЦх2 - 3 + 6х = 0.
е) 2 4- х 4- 7в - Зх - х2 = 0;
ж) 2х 4- 3 4- 7вх2 4- 20х 4- 9 = 0;
з) Jo,5x2 4-2х -1,5 = 1,5 + 0,5х;
и) 71 - х2 - 4х 4- х 4-1 = 0;
к) 7-х2 - 6х - 4 = х 4- 2.
213
4. Решите уравнение:
. <) 2 л/х -1 - 7x4-4 = 1;
б) 2 7х — 3 - 7x4-2 = 1;
в) 2 72-х -77-х =1;
) л/з - х - 7x4-7 = 2;
д) 7х — 3 = л/2х + 1 ->/х + 4;
е) 7х — 4 = 7х — 3 - л/2х - 1;
ж) д/2х - 0,6 - 7х — 1 = д/х + 0,4
з) д/-х 4- 7 = л/2х 4- 3 -7x4-2;
и) 27x4-3 -л/2х 4- 7 =л/х;
к) л/© - 2х = 2 74-х -71 - х.
5. Решите уравнение:
a) 7x4-4 - 3 Vx + 4 4-2 = 0;
б) З+л/х-З =4^х-3;
в) Vx2 -2x4-1 - Зл/х-1 -2 = 0;
$9- 6х + х2 - ^3~-~х -2 = 0;
д) х2 - х 4- д/х2 - х 4- 4 = 2;
е) х2 - х 4- ylx2 - х - 2 = 8;
ж) х2 — 5х 4-16 — 3 д/х2 - 5х + 20 = 0;
з) л/2х2 -5x4-12 = 5х - 2х2;
и) л/Зх2 - 6х + 7 = 7 4- 2х - х2;
к) (х + 2)(х - 5) + 3 £с(х - 3) = 0.
6. Решите уравнение:
а) л/зх2 4- 5х 4-1 4-д/Зх2 4- 5x4-8=' е) я-—- 4- = 2;
V Ь 4- х У а - х
б) у1зх2 4- 5х 4- 8 - л/зх2 4- 5х 4- 1 = : ж) = —-—;
5 - 2х
. 7х 4- 3 - 7х - 3 X г
^~Т=—г= = 7;
7х-34~7х4-3 3
ч 3 г
и) —7=—7=-----== = Vx;
6 л/х 4- у 4х - 2
ч J2 - х Jx + 4 _
Д) А-----7 + А 7----- = 2
V х 4- 4 V 2 - х
к) - 9л/х =7бх - 2.
214
7. Решите уравнение:
a) sinx = д/sin 2х; e) 20’5 • cosx = 30’25^/-sin2x;
б) cosx = ^/-sin2x; ж) -cosx = д/cos2x;
в) - cosx = V5sin2x; 3) J cos2x =д/2 sinx;
г) - 2sinx =Vsin2x; гт) V6sinx = -2cosx;
д) 20,5 • sinx = 3” 0,25 ^/-sin 2x; 8. Решите уравнение: ) yl~ 6 cos x = 2 sin x.
а) л/2 cosx =д/5sinx - 1; e) cosx +д/0,25 - sinx = 0;
o) J4 - 5 cos x + д/2 sin x = 0; к) 2sinx = 714 - 26cos2x;
3) д/sin x 4-sin 2x = д/Зсозх; 3) cos x = ^/1,5 cos 2x - 0,5;
г) д/cosx - cos3x +д/з sinx = 0; и) д/2 sinx = 71 - 7cos2x;
д) 2sinx = д/4созх + 1; к) 2cosx = 722cos2x - 2.
9. Решите уравнение:
a) ^5 - 4tg x = 2 - tg x; 6) 7^ctg x + 7 =2 4- ctgx; в) ^4 - 2ctgx = 1 - ctgx; r) J 4 4- 2ctg x = tg x 4-1; д) 74 - 6tg x = 1 - 3tg x; 10. Решите уравнение: a) 2 д/2 cosx 4-^3tg2x 4-1 = 6) 2 д/2 cosx =^3tg2x 4-1; в) 73tgx = Vecos2 x - 1; r) 2cosx =^7 - 2tg2x; д) tgx 4-7з,5 - 2cos2 x = 0; e) д/7 - 12ctgx = 2 - 3ctgx; ж) 7^ ” ctgx = 3ctgx - 1; з) д/10 - 9tg x = 3tg x - 2; и) д/13 - 6tgx = 2tgx - 3; к) -/37 - 12ctg x = 2ctg x - 5. 0; e) ctgx =71 + 8sin2 x; ж) 2 д/2 sinx 4-7ctg2x -1=0; 3) 3ctgx =7б - 4 sin2 x; и) 2sinx =д/б - 9ctg2x; 3 2 ; к) Jl — • ctg2x 4- J— • sinx = 0.
215
Практикум 6 Иррациональные
неравенства
1. Решите неравенство:
а) (х2 - 9) • д/х + 5 > 0; yl^x2 - 1 е) Х + Х2 ’0;
б) (4-х2) 7з-х <0; ж) , Х 1 = > 0; у — х2 + X + 6
в) (Зх + 4) • -А - х2 >0; 3-х
г) (х2 - 10) Vx2 - 9 < 0; х2 - 9 Д) . V10-X2 2. Решите неравенство: и) л/х2 — х — 2 к) >/2х + 5 < - х2.
а) ^(х + 3)(х — 1) < 1; е) л/2х - х2 < 5 - х;
_ /11 —19х о б) л < 3, V 38х - 79 в) у/2х + 49 < 7 - х; г) л/2х + 1 < х - 1; ж) ^(х - 3)(2 - х) < 3 + 2х; з) л/х2 + Зх - 10 < х + 1; и) 7х2 + Зх - 10 + х + 2 < 0;
д) л/х + 70 < х - 2; 3. Решите неравенство: к) 2-А - х2 < х + 4.
х | х + 3 а) J 1 V 1 - Зх | 2х -1 е> а Н— Vx -1 X2 + 1
б) ; V 3 - 7х 7 ж) л/х2 - 9 +л/4 - х >-1;
V 9 - х2 з) 7х(1+л/3-х)> -1;
г) ^х(х -2) > -2 - х2; и) т/х - 2х2 > - >/х - 2;
£4 СО Н 1 to. Н 1 м IV 1 н* 1 Н I to | к) 1 +>/х - 8 + 2^81 - х2 > 0.
216
4. Решите неравенство:
a) Vx + 1 > х - 1;
б) у/1- х > х + 1;
в) х < Vx + 30;
г) х < Vx 4- 12;
д) л/х2 -1 > х;
е) 1 - х < Vx2 - 2х;
ж) ^{х + 4)(х - 7) > х + 3;
з) >1х2 + 2х - 8 > х - 4;
и) д/в 4- 2х - х2 > 6 - Зх;
к) д/-х2 4- 6х - 5 > 8 - 2х.
5. Данное уравнение приведите к виду f (х) = 0 и найдите об-
ласть определения выражения f (х) и интервалы непрерывности
функции f (х).
Найдите:
множество корней данного уравнения;
множество решений неравенства f (х) > 0;
множество решений неравенства f (х) < 0.
Проверьте, совпадает ли объединение этих трех множеств с
областью определения f(x), если данное уравнение:
а) 7зх - х2 = 4 - х; б) д/х2 - 2х = 4 - х; з) 7зх2 4-х-З = 1 - х; и) 7х2 + Зх + 3 = 2х + 1;
в) >1х2 4- х - 2 = х; к) л/х 4-V3 4- х = ------; у12 + х
г) л/10 - х - х2 = х 4-1; л) 1 1 = Уз . 1-71-х2 1 + 71-х2 х2
д) д/б - х2 = х - 1; х 2 1 м) 1 = „ ; 7х + 1 2-х
е) уЗх2 - Зх - 5 = х - 1; 7х 7х /т- и) , г + , г =№; Vx + 2+VX VX4-2-VX
ж) д/зх2 4-5x4-! = х 4-1; Vx Vx °) , г , г=2. ylx + 2-iJX VX4-24-VX
6. Решите неравенство двумя способами (один из способов -
метод интервалов):
а) х - 2 л/х + 3 < 5; в) ^2х2 - Зх - 2 < 2 - х;
б) х - 2 >/х 4-1 > 2; г) л/зх2 4- 9х 4- 8 > х 4- 2;
217
д) 7х -1 + 7x4-2 < 3;
е) 7х — 2 + д/Зх - 2 > 6;
ж) 3 7х - 7x4-3 < 1;
7. Решите неравенство:
а) 2 7х - 2 - 7x4-3 < 1;
б) 2л/х-3 -7x4-2 >1;
в) х2 -2у1х2 - 7 <10;
г) х2 4- 7х2 - 5 >11;
з) 3 7х - 7бх 4- 5 > 1;
ч л/2х - i i
и)-------< 1;
х - 2
ч ^24 + 2х — х2 ч
к)-------------< 1.
X
е) 7x4-3 -7х -1 >л/2х - 1;
ж) V1 - х 4-77 — х < ;
V7 - х
з) 74-х - . 12 > - 7“ х - 2;
V 4 - х
ч Г л 2
и) л/х - 3 < —;=-;
у/х -2
д) >/2х 4-13 - 7x4-3 < 7х — 2;
8. Решите неравенство:
a) cosx ^/tgx > 0,5;
б) 1 4- cos х • ^2ctgx > 0;
в) 1 4- 2 cos х • ^tg (я - х) < 0;
г) 2sinх • у]ctgx < 1;
ч х - 4
к) . ---< 8.
Vx-3 -
и) cosx > 7o,5sin2x;
к) 2cosx > ^7 - 2tg2x;
л) 2sinx > ^6 - 9ctg2x;
м) 2sinx < yjl 4- 4cosx;
д) 1 - 20’75 • sinx • д/ctgx > 0; h) ctgx < 71 + 8sin2 x;
o) 7б - 2sinx < 6sinx - 1;
n) 3ctgx < 7б - 4 sin2 x;
p) 710 - 18cosx > 6cosx - 2.
ж) sinx < 7o,5sin2x;
з) cos x > V2t&2 x - cos2x;
9. Решите неравенство относительно переменной х в зависи-
мости от значений параметра а:
а) а 71 - х < : 5; г) 7$х2 4- а2 >-Зх; ж) а у/х 4-1 < 1;
б) ау/х 4- а < с 1; д) а^2х 4-1 < 1; з) л72 - х > 1;
в) a yjx - а < < 5; е) у/а2 - х2 >-2х; и) 721 х 1- х2 < а;
218
к) — < у/х - 2;
7х + 2
л) у/а2 - х2 + ^2ах - х2 > а;
н) 7а + х + у/a - х < 2 Та;
1 1 1
л/х-a Jx + а yl х2 -
м) у/a - х + *Ja + х >у[2а;
Иррациональные уравнения
и неравенства в задачах
математического анализа
1. 1) Найдите интервалы возрастания функции:
а) у = Зх2 - 4х71-х + 4 71 - х;
б) у = 2х3 - 1,5х + хТЗх -(х + 1)7х + 1;
в) у =— + — • 724 - 5х - —х724 - 5х;
2 5 3
г) у = (31 - х)72х + 1 - 2хТх;
д) у =(10 + х)1’5 -(10 - х)1’5 - зТбх;
е) у = 6х + (4 - х)1’5 - (4 + х)1’5.
2) Найдите интервалы убывания функции:
2 / х I----- 2 I— 4 q
а) У = ~(х + 1)Vx + 1 - — хуЗх ~~х +
б) у =(8х - 20)72х-5 - 9х2 - 6 + 1;
в) у = 9х - 2х(7х + 7х - з) + 6х7х - 3;
г) у = х2 + 6х - 472х 4- 3 - — х72х 4- 3;
3
д) у =(9 + х)1’5 -(9 - х)1,5 - 9х;
е) у = 6х -(8 + х)1’5 +(8 - х)1’5.
2. Найдите точки экстремума функции:
а) у = (х - 3)7х? в) у = (2х - 3) 7х 4-1;
б) у = х 7х 4- 6; г) у = (2 - 3x)Jx- —;
V 3
219
и) у = (8х + 40)л/х + 5 - Зх2 - 12х;
к) у = (10 + х) V10 + х +(х - 8) >/8 - х - 6х.
3. Найдите множество значений функции:
a) г/ = V8 4- х + >/8-х; х)(х + 2); и)у- ; ух - 9
б) у - х + л/б + х; e)t/=y5-4x-x ; к)у=-==. у/х + 2
в) у =>/10 - х +>/х + 6; Ж)у= ; у/хл + 2х + 2
г) у =у[~х +>/х + 8; ч 6 3)У~ Г~2 5 Ух2 - 2х + 5
4. Определите число корней уравнения в зависимости от пара-
метра а:
а) >/8 4- х 4-^8 - х = а; е) ху1 2 - х2 = а;
б) л/18 - х + л/18 + х = а; ж) (х - 1) 71 + 2х - х2 = а;
в) V10 4- х 4- л/б - х = а; \ з/ 2 з) ух - х = а;
г) хл/х 4- 3 = а; ч Х И) . = а; у2х - 5
д) (1 - х)л/4 - х = а; 2х 4- 3 к) f = а. V4X4-2
5. Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = хл/х 4- 3; \ з/~ 2 \ X 4- 4 д)г/=л/х+ _; и)у= ; ух2 д/2х 4- 4
б) у = (1 - х)>/4 - х; е) у = х(х 2) з; к) у = V4X 4- 2
в) у = х^2 - х2; X Х Ж) у = . ; V2x-5
\ з/ 2 г) у = ух - х; ч х - 2 з) у = ; У2х- 5
220
6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А и
являющейся касательной к графику функции у - /(*), если:
а) f (х) = 2>/х-2, А(0; 1); е) f(х) = 6>/х-2, А (0; 3);
б) f(х) = Зл/х-1, А (0; 4); ж) / (х) = 6>/х-2, А(0; 7);
в) f (х) = Зл/х + 1, А(-10; 0); з) /(х) = 2>/х + 2, А (-6; 0);
г) / (х) = 4>/х-1, А (0; 3); и) f(x) = 6Vx-4, А (О; -7з);
д) f(х) = 4-Vx-l, А(-3; 0); к) f(х) = бл/х+7, А (-7; 0).
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной тремя линиями:
графиком функции у - f (х), касательной к этому графику, про-
ходящей через точку А, и осью абсцисс, если:
а) / (х) = 4х, А (0; 2); е) f (х) = л/х + 3, А (-7; 0);
б) f (х) = 4х, А (-3; 0); ж) f (х) = Vx - 2, А(-1; -1);
в) f(х) = Vx-l, А (-5; 0); з) f(x) = Vx-2, А (7; 3);
г) f (х) = Vx + 1, А (0; 1,25); и) f(x) = V2 - х, А(4; 1);
д) /(х) = Vx + З, А (о; к) /(х) - >12-х, А (12; - 1).
8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = 4х, у = >/& - х, у = 4; в) у = 2 -7х + 1, у = 7~х + 3;
б) у = 2 - >/х, у =л/4 - х; г) у = 1 - Vx - 1, у = >/5 - х - 1;
д) у =72 - х, у = 1 -Vx - 1;
е) у = >/2х + 2, у = 4 -V14 - 2х;
/--- 11 — X
ж) z/ = ух + 3, z/ = 2 - J-;
V 3
з) у = - >/х + 2, у - д/з,5 - 0,5х - 3;
и) у = л/х + 1, у = л/2х - 2, у = -71 - х2;
к) у = д/э - х2, у = л!х + 3, у = 7б - 2х.
221
Показательная функция, ее
график и свойства
1. 1) Некоторая функция /(х), определенная на множестве це-
лых чисел, обладает следующим свойством:
f(n + т) = /(л) • f(m),
где пит- любые целые числа. Задайте эту функцию формулой
(где х е Z), если известно, что:
a)f(l) = 2; дн(1)4 о и)/(-1) = 2; н)/(1) = Т2;
б) /(1) = 3; А к)/(-!) = 0,5; о)/(3) = 3;
в) f (1) = 0,5; ж)/(1) = 10; л) /(2) = 4; п)/(-2) = 3.
r)f(l)=|; з) f(l) = 0,1; м)/(2) = 2;
Постройте график найденной функции.
2) Какой вид может иметь функция f (х), определенная на мно-
жестве действительных чисел, если для нее выполняется равенст-
во
/(xi +x2) = /(xj) • f(x2),
где xt и х2 “ любые действительные числа, и одно из условий,
указанных в пункте а)?
Постройте ее предполагаемый график.
2. 1) Найдите предел последовательности, заданной формулой
и-го члена:
а)ап = 5-21 + ”; 2п2 -1 Д)ап=5п2+Л;
2п-3 б) ап =0,5 п+3 ; п-п2 п2 +п е) ап =0,22”2+1;
в) ап =31+"2; ж) ап = 2~п cosnn;
п2 + 1 г) ап =0,3n + 1; . пп sin — 3) °* = оП3 • 3 222
2) Вычислите (где n g^):
2-п
a) lim0,2n+5;
П —> оо
2п
г) Ит7^2+''2;
зл +1
ж) lim .
n^°°J4n +9"
б)
и2 -п-5
lim 5 2п2 + п ;
П —> оо
ч 5 + 3 • 4П
д) lim-------—
5П+3
2Л+ 5
; з) lim .
,2
в)
lim 5n • 0,2
3) Вычислите:
a) lim 2
г)
б) lim 99+х;
д)
1-<
е) lim 7П + 3 ;
lim 0,3
.2
4
х2-2x4-3
lim 3 х2
4-2x4-5 .
ж) lim
3)
lim
X—>-оо
5х + 2х
5х -х
1-х
в) lim 71 + х;
е) lim 8(3х~1)(х43);
Х-->оо
4) Вычислите:
Зх-2
a) lim 10 х + 2 ;
х->2
2 4-ЗХ4-Х2
б) lim 1,2 х-2
х —> — 1
х2 -2х
в) lim 9 х2-4;
х->2
х2 - х-2
г) lim 0,1х2+3х + 2
X —> — 1
Д)
е)
X 3
lim-----
3X+1
х-»3 X - 3
lim
Х-->-2
ч 6х -3х
ж) lim-------------;
х —> о 2х — 1
0,5х - 4
lim
х-^-2 1-2
223
5) Вычислите односторонние пределы:
1 a) lim 0,2х-1; х—>1 + 0 1 2 г) lim 0,32-х; ж) lim 5 + ; х->2-0 Х-+-1 + 0 0,1х + 1 -1 1 1
1 б) lim 2х"1; х—>1-0 44.9х К 4. Л 1 Х + 1 д) lim з) lim . 1 + 2* 0,1х + 1-1
1 в) lim 32-х; Х-+2 + 0 1 . .. 3 + 2х е) lim —; х—>0-0 1 1 + 2х
3. Найдите возможную закономерность последовательности и
ее предел:
а) 1, 72, 71, 7в, ч 1 1 1 е) 1, г, &!—, 4/ V5 725 7125
б) 7з, 7э, 727, V81, ч,1 1 1 ж) 1, ~~г~~ , , —7= ,...; V2 74 78
в) 1, Тб, 725, 7125, г) 1, Тб, 725, 7125, з) 2, V6J, 0,5, 0,5ToJ, и) 1, Тз, Тэ, 7з,
д) 0,2, 1, Тб, 725, к) 1, 72, 72, ^2^2, ... .
4. 1) Решите графически уравнение:
а) 2х = 1+—х; 3 V 2 ж) 3х-1=—; х2
б) 0,5х = 1- —х; 3 в) 3 2х = 7х + 3; з) 2-х = 1 + х-2; и) 4х-1 = х3;
г) 3 0,5х = 5 - 3,5х; к) 0,25х+2 =--у;
д) 3х = 4 - X2; л) 3х =710 -х2;
е) 0,1х + 1 =2-х2; м) 0,5х =7б-х2.
224
б) 23-2л/2, 1, 122л/2-3; д) (л/з) ’ , 3
2) Решите графически неравенство:
а) 3х > 4х + 1; д) 2х > —; и) 2х сл/б-х2;
х
б) 3 0,5х < 3 - 7х; е) 0,5х < 1 +4s к) 0,5х >7б-х2.
х2
в) З0’5 < 2х + 1; ж) 2х >л/1 + Зх;
г) 3 0,25х > 5 - 7х; з) 0,5х >>/х + 5;
5. 1) Сравните числа а и Ь9 если:
а) а = 0,2“6д, b = 55’6; г) а =71Д, Ъ = 1,1^;
б) a =(V3-1) , 6=(V3-1) ; д) а = 1, 5=(3-2V2) ;
в)а=Т02, 5 = 0,2^; е)а=—, b = (0,25л)с°86’4’1;
2
о / \cos 280°
ж) a = 0,5cos70 , b = (sin 150°) ;
z , sin 50° , , sin 220°
з) а = (tg 50°) , b = (ctg 50°) ;
/ ч cos 200° , ч sin 100°
H)a=(tg40°j , d=(ctg40°) ;
к) а = (cos 0,3л )tg 0,871, Ъ = (sin 0,2л )ctg 1,7л.
2) Сравните числа а и Ь9 если:
а) (0,1)а < (0,1)&; г) (sin 0,4л> (cos 0,1л )Ь;
б) 1,2а > 1,2Ь; д) (tg0,4n)“ < (ctg 0,1л)6;
в) 1 — 1 < — ; е) (tg 0,2л )а < (ctg 0,2л) Ь.
I 7 J I 3 J
3) Расположите числа в порядке возрастания:
7 8
а) 0,Г0’2, 1, Ю01; г) (0,7)б, 1, (0,7)7;
- i,6 1 .
’ зТз’ ! !
г— I— о 2 — 2 + л/з
в) З2’5, З^6, 31+л/2; е) (sin0,2л) , (ctg0,2л) , (tg0,2n)
8 О. Н. Доброва
225
4) Какие значения может принимать число а, чтобы выполня-
лось неравенство:
5 6 3 4 5 6
а) а6 > а7; в) а4 < а5; д) а 6 > а 7;
2
б) а < а3; г) а0,3 > 1; е) а~0,7 < а~0,8 ?
6. Найдите область определения и множество значений функ-
ции:
а) у = 1,2^; д) у = 0,1^2-5х; и) у = 0,5arcsinx;
б) у = 0,7^; е) у = . 1 : к) у = 2™х.
3V2x-x2
в) у = 0,5^"5; ж) у = 0,2sinx;
Гл 2
г) у = 3^~х ; з) y = 3C0SX;
7. Решите неравенство. Если возможно, то укажите какое-либо
отрицательное число, являющееся решением этого неравенства:
а) х2 • 4х - 41 + х > 0; е) 7Х + 2 -7х -х2 <0;
б) Зх+2 -х2 3х <0; ж) Зх+4 - 3х • х2 >0;
в) х2 • 2х - х • 2Х+1 > 0; з) Зх+6 -3х • х2 <0;
г) х2 0,5х -0,5х-2 <0; и) Зх+4 -3х х4 >0;
д) 0,7х+2 -0,7х х2 >0; к) 2х+6 - 2х • х2 <0.
8. Известно, что хг является корнем уравнения. Найдите ос-
тальные корни уравнения:
а) 5х = 4х 4- a, xr = 1; е) 0,2х = а - 4х, хх = -1;
7
б) 0,5х = а —х, хх = 1; ж) 3х = 4х 4- а, хх = 2;
5
7
в) 2х = — х + а, хх = -1; з) 3 х = а - 4х, хх = -2;
5 5
г) 0,5х =— + ах, Xi = 1; и) 3х = ах4- — , х, = - 1;
3 1 3 1
4 4
д) 3х = —х 4- а, Xi = 1; к) 3 х = а-----х, х, = 1.
3 3
226
Показательные уравнения
и неравенства
1. Решите уравнение. Замените в этом уравнении знак равен-
ства на любой знак неравенства и решите неравенство:
2
а) 9х
л/З;
е) у/0,5х2 • 4х =
б) 2х2 0,25х = 8; ж) 0,5х • %4х =
2.
з’
2х-5
з) 0,7 Х-1 0,7х’1 =1;
5х-0,5
г) 1,5
2х + 5
гт X — 1
и) —-г = 1;
уХ + 1
Д) 5
х + 7
ОдЗх + 4
к) ------— = 1
0,1х + 7
2. Решите уравнение:
a) 2sinx =VoJ; Д) 8 • 2si
б) 5COSX =Vo^2; е)Тз2-
B)3sin(,I + x) =tg —; ж) 4sinx
г) зСО8(л + ж) = ctg—; з) 0,5COS
3
3. Решите неравенство:
а) 2х-1 - 2х + 2Х + 1 > 12;
б) 10х’1 +10х+1 <1,01;
пх=л/32; и) 2tgx = sin—-;
6
2C0SX = 4; к) 0,5ctgx = cos——;
3
5л v e sin x £* 2
= cos —; л) 5 = 6 - cos —;
3 5
r etcos6x _ q _• „
— sin — , m) 0,5 — о — sinx.
4
e) 9х + 32x’3 * * - — < 0;
81
ж) 0,6 2x1 - 0,36х - 0,4 > 0;
в) 2,2х + 2 • 2,2х’1 >4,2;
г) 0,2х +2 2,2х’1 >2,2;
д) 0,5х -0,5х+1 >512
з) 81-3х • 52х -0,5 100х <0;
и) 0,6х -4 0,3х + 0,5х’2 >1;
к) 0,5х - 2 • 5Х + 1 + 8 • 10х+1 < 8.
227
4. Решите уравнение. Замените знак равенства в этом уравне
нии на любой знак неравенства и решите получившееся неравен-
ство:
а) 53-х =20 +5х;
б) 42-х -22х’3 -1 = 0;
в) 6Х+2 -6-х-35 = 0;
г) 7х + 71-х =8;
д) б5-2х - 20 • 0,23 2х -5 = 0;
5. Решите уравнение:
а) 20х - 2Х+2 - 51-х =0;
б) 2 9х -6х = 4х;
в) 9х + 6х = 4Х+0,5;
г) 9х + 4х = 2 6х;
и) (25/2-5/7)* +(25/2 +5/7)
е) 41-х -0,51-2х =1;
z \ х z \ х + 0,5
ж) — - 5 • - +1 = 0;
l16J
3) 9х +3Х+0’5 =6;
и) 3х’1 -4 З0’^-1 +1 = 0;
к) 4х’1’5 - 3 • 2Х+1 +1 = 0.
* + 0-5 +9 4Х+0’5 =35 • 6х;
д) 4 • 9
е) (2-5/3)* +(2+5/3)* =4;
ж) (5/5 - 2)* +(5/5 + 2)* = 18;
з) (25/2-5/7)* + (25/2 +5/7)* = 45/2;
= 30;
к) (25/2 +5/7)* + (15 - 45/li) • (25/2 - 5/7) = 16 - 45/14.
6. Решите уравнение:
a) 3sin2 х + 3cos2 х = 4;
б) 16sin2x +16cos2x =10;
в) 4cos2x +4cos2x =3;
г) (0,5)cos2x - (0,25)sin2 х = 0,5;
/ \ cos2 X
д) 9sin2x-3 111 =6;
e) 51 + tgx + 0,2tgx'1 =26;
1
ж) 4tg2x +2cos2* -80 = 0;
1
3) 4ctg2x +2sin2jc = 8;
. (71
sin----X
U )
и) 1 + 2tgx =3-4 '/2cosx ;
. (n
sin---X
\ 4
к) 1 + 2ctg2x =5-4 ^ainx
228
7. Найдите область определения функции:
а) у = 2^ - 2 д/1 - 2х;
б) у = 4 4? - 6х - 7х4 - х6;
в) у = (о,25х - 5 • 0,5х+1+1)°’5;
г) у = х • 71-2х -22х + 1;
Д) У = ^х(1-2х - 22х + 1);
8. 1) Решите уравнение:
а) 8^2 = 0,25х;
б) 0,25х = 0,53^2-2;
в) 16х • 64^х+0,5 = 4;
г) 4Х+^2-2 _ 5.2*-1 + 1Р^2 = 6;
е) У =л 12х -1. 1 х -1
ж) у = . /бх -0,04. / 5-х2
з) у = |бх -0,04 V 5-х
и) у = 1ох + 8 3х-1 +1 .
V х2 - Зх
к) у =. 1 х2 - 4
V 4х + 7 • 2х-1 -2 '
е) >/2х -1 +72х +2 = 3;
ж) 72х -3 = 3 - 20,5х;
з) ^4Х - 3 • 2х + 2 = 2 - 2х;
и) 7о,25х - 3 0,5х + 2 = 2 - 0,5х;
д) 7эх -3X+1 +16 - 32х-1 = 4 - 3х; к) ^3 • 2х - 4х - 2 = 1 - 2х.
2) Решите неравенство:
а) 8^ > 0,25х; ж) 2^ -21-,/х <1;
б) 0,25х > 0,125^х + 1; з) 72х -3 > 3 - 20>5х;
в) 0,125^ < 4х; и) ^4Х -3 • 2х +2 >2-2х;
г) 4х < 8^; к) -Jo,25х - 3 0,5х + 2 > 2 - 0,5х;
д) 27^ >9Х; л) 7эх -Зх+1 +2 <2-3х.
е) 9х • 27^х+0'5 < 3;
229
9. Является ли данная функция у = f (х) периодической? Су-
ществуют ли также числа а и д, для которых неравенство
а < f (х) < Ъ выполняется для всех действительных значений х?
Найдите множество значений функции у = / (х).
При каких значениях параметра с уравнение f (х) = с имеет
решение?
Постройте схематически график функции у = f (х).
a) z/ = 2sinx;
б) z/ = 3cosx;
в) у = 0,5sinx;
г) у = —-—;
gCOSX
д) J/= 4sinx;
е) у = 0,2COSX;
. _ sin (л + ж)
ж) у = 5 ' ';
ч .соя (л -х)
3) у = 4 ' >;
и) у = 2х sin х;
к) у = 3х • cosx.
Логарифмическая функция.
Свойства логарифмов
1. Дайте определение числу х, если:
а) х = log2 7; г) х = log0д 5; ж) х = log3 4;
б) х = log2 3; д) х = 1g 5; з) х = log2 5;
5
в) х = log5 0,00032; е) х = 1g 0,5; и) х = logx 5 8.
2. Напишите любое число и представьте его в виде логарифма
по основанию, равному 2; 3; 0,4; ...; а, где а > 0 и а * 1.
3. 1) Вычислите:
a) log i log2 512;
з
д) log2 log3 д/З;
и) 1g /8-log2 2,25;
к V з
6) log0,5 log3 81; e) log0 5 (- log0>1 V10); к) log0>5 V10 + lg0,01.
в) log i log3 27;
3z
ж) log0>5 1g V10;
r) log3 -log 127
l з
з) log2 (5 - log0>2 125);
230
2) Вычислите:
a) log8 sin—; з) log9 ctg—; 4 6 п) log7 tg225°;
6) logo 25 COS — ; и) log8 sin 135°; ’ 4 Р) log0,3 ctg—; 4
в) log4 sin—; к) logo 5 sin—; 6 ’ 6 с) log3 ctg (-150°);
XI 71 \ i . Зтс r) logi cos — ; л) log4 sin —; T)logltg(-120°);
- 3 4
8 3
ч . ± 71 4 . 771 Д) log9 tg -; m) log4 cos—; y) log2 cos— - 0,51og2 3; 6
e) log3 ctg ; h) log0i5 cos ; О о ф) log3 sin^-+log3 2. О
ж) logx tg—; о) log2 sin (-225°); о 6
4. 1) Вычислите:
a) logs 0.5 . e) 100*6^3 , iog3 4 + iog3 0,5
log5 24 - log5 3 ’ log3 7 - log3 14
log2 0,2 ж) log4 27- 2 log4 3
log8 50 + log8 0,5 ’ log2 45 + log2 0,2
log4 27 - log2 3 log4 (lpg4 81)
log4 45 + log4 0,2 ’ 1 + log4 (log4 3) ’
r) 10~lg0,5 log5 4 + log5 0,5 и) log3 10g3 125
log5 6 - log5 12 1 + log3 log3 5 ’
log0,3 45 log3 0,3 - 100lgl/2 к) log5 (log5 7)5
log3 0,3 log0,3 75 -1 logs log5 7
2) Вычислите:
log2 4 lg5-log0J 2 lg5-log01 2 log2 (log2 7)4
a) 8log29; в) 3 log<9 ; д)5 log’25 ; ж) 5 10g210g27 ;
logs 4 1g 2 - log04 5 lg2-log01 5 1g (1g 3)2
6)0,2log55; r) 8 1’lg5 ; е) 0,2 1-lg2 ; з) 0,7 lglg3 ;
2_ 1g 7(1 + log2 log2 7)
и) 10,llg10,1; к) 0,1 10g210g2128 .
231
5.1) Найдите х, если логарифм данного буквенного выражения
существует:
a) Igx = 1 +- lg32 -1 • log0j 64; в) Igx = 0,5(9 • lg2 - 3 • lg4);
5 3
1 3 4
6) log5 x = - log5 9 + log5 2-1; r) log3 x =-log3 5 + -log3 0,2;
2 4 5
д) log2 x = 2 log2 a + 0,5 log2 b - log2 (a + ft) - log2 (a - b);
e) log3 x = 1,5 (log3 a + log3 b) - 2 log3 (a + b).
2) Найдите x, если:
a) log, 9 = 1g 7 - 1g 0,07; r) log, — = log x 27;
8 ~
6) log,. 4 = log0>2 25;
в) log* 0,25 = log! 49;
7
. . 1 log2 4
д) log, - = —
9 log2 9
1 1
e) lo&x— = log27~-
lo У
6. 1) Найдите 1g x двумя способами:
1. Сначала логарифмируя, затем упрощая.
2. Сначала упрощая, затем логарифмируя.
Сравните результаты, если:
2) Верно ли равенство:
а) 0,51g(3 + V5) = lg(l + Тб)
1 >g2;
б) log^ (7з -1) = 1 + 0,5 • log^ (2-Тз);
232
в) log0>5 (1 +77) =-0,5 + 0,5 • logo>5 (4 + 77);
г) log2 (1 + Тб) = 0,5 + 0,5 • log2 (З +7б);
д) lg(T2 -1) =| • lg(5 • 72 -7)?
3) Прологарифмируйте выражение по выбранному вами
основанию:
г) Q = cm(t2 -tj;
Д)$=^Р (p-а) • (p-b) (p-c).
7. Что больше (а или ft), если:
a) a = log3 4, b = log4 3;
6) a = log6 7, b = log7 6;
в) a = log2 5, b = log3 6;
e) a = log0 2 0’3, b = logn sin 0,5л;
ж) a = log2 2, b = log2 sin — ;
з) a = log4 21og2 —, b = log2 cos — ;
Д) a = log1>8 0,9, b = log8 tg —; к) log2 a =-0,2, b = log0 5 cos—?
4 3
8. Найдите область определения функции:
а) у = log2 (о,25х2 + х + 1) + 2 • log2 (х2 - х);
б) у = lg(o,25x2 - х + 1)-2 • lg(3x - х2);
в) у = log0,5 | х |-log0>5 (4 - х2); е) y = lg(3-x) + lg(x2 -9);
г) у = 1g|х| + lg(х + 1) • (х + 2); ж) p = lg|3-x| - lg(x3 -8);
д) у = lg (х2 + 5х + 4) - lg х2; з) у = log01 7х + 1 + log0>2 (1 - 8х3);
и) у = log3 7х2 - 4 + log2 | х + 31;
к) у = log5 (х2 + 2Тбх + 5)-log0>5 (б - х2) + log0i2 (х2 + б).
233
9. Постройте график функции:
а) у _ 2loe2(^-l) + log2(x + 2). е) у = 0(з1оео.з(^-2) + 1оео.з(^ + 2).
6)y = 31Og3(2 Х Х ); ж) i/ = 2log2(x+3)-31овз(х’2);
B)y = 2°^X+X з) i/ = 0,5log0-5(3’x)+2*°g2(x+1);
г) i/ = 0,51Og0’5f9 и) г/ = 31оез(3-х)-21ов2(1-х);
'ogo.2 f*2 ~4^ lg(x2-4] , (1 — 2x1
д) у = 0,2 1 к) у = 10 1 J + 5 вз(
10. Решите графически уравнение:
a) log2 * = л/х; е) log0 2 | х | = х2 - 24;
б) log^ х = х2 - 5х + 4; ж) | log2 х | = 3 - х;
в) Igx2 = 1 - х2;
х2;
и) logo,5 |х + 11 = “ Vx;
к) log3 | х + 1 | = Vx - 2.
г) log2 (4 - х) = х - 3;
д) log2 | х|= 1 - х2;
11. 1) Решите уравнение:
а) Зх+1 +18 • 3-х =29;
б) 55-х - 2 • 0,23-х - 5 = 0;
4 - 7 5х _ 2
52х-1 -12 5х +4 3’
г) х + 2 = log6 (35 + 6-х);
д) 3 + х + log0>25 15 = logo,25 (45+Х
е) 4-х = log3 (35 • 3х’2 -б);
ж) log3 (3х - б) = х - 1;
з) log3 (4 • 3х - 1) = 2х + 1;
и) 3log3X + x10g3X = 162;
к) 10lg2x + xlgx =50.
234
2) Решите неравенство:
а) 2х + 0,5х+3 + 1 > 0; е) — > 5;
4 9х -11 3х’1 - 5
1 к _ 9 . + 1
б) 2х -21 0,5х+4 +2>0; ж)--------------->2;
6 132х - 13х+1 +6
в)3--35 [|Г+вг°: 3,1+©’S8£f=
г) 45+х - 15 0,253+х + 8 > 0; и) 3 - х < log5 (20 + 5х);
Д) 2х+1 х----3; к) 5 - х > log5 (б + 2 • 0,23-х).
22х + 1+2 -15 ' '
Логарифмические
уравнения и неравенства
1. 1) Решите уравнение:
a) log2 (2 + 1°6з(3 + *)) = О? е) log5_x (х2 - 2х + 6б) = 2;
б) 1g (3 + 2 log2 (1 + х)) =0; ж) 2 log0>25 (х + 4) = log0 25 (х + 7) -1;
в) log х (1 + log3 (2х - 7)) = -1; з) log2 (х2 + з) = 1 + log2 (х + 3);
з
х2 + 4
г) 1g-----— = 1g х;
х - 3
и) lg(x + л/з) =-lg(x-л/з);
д) logo,1-----т = 1о£о,1 х; к) 1о8з (х2 + 4х + 12) = 2.
х + 3 v 7
2) Решите неравенство: ( 1А
. , 2х + 3 . х a) log0д о > 0; в) logx 5 <0; 2х + 3 х - 3 log0,2 2*2 Д) / 2 /-0; log7 (2х2 + 2) Igfsx2
_ . 2х - 5 л ч , Зх + 5 б) 1g 2 < 0; г) logo,7 _ „ > °: -2х-5 5х - 7 е) ( 2} ~ °’’ 1о£о,111 + х )
235
log Л12х2
ж)------1-----ГГ“
log2(l + 2x2)
log01 (1,1+ x2)
3)------------г £ 0;
log3 I 3x2 - — I
л) 2 log2 (2x + 7) > 5 + log2 (x + 2);
m) 2 log2 (x + 5) < 3 + log2 (11 + x);
и) log0>5 log4 9x + 9 > 0; h) log0>5 (4 - x) -1 < log0,5 (x + 5);
2 + 3x
к) log0>5 \2x2 - 13x + 29j > -3; o) logx (3x2 - llx + 6j <-l.
6
n)l°So,2 (5 - x)- log0 2 (3x + 2) > 1 + logo,2 15;
2. 1) Решите уравнение:
a) log2 (2x - 1) + log3(x - 4) = 2;
6) log2 (x - 3) + log2 (3x - 2) = 1 + log2 3;
в) logg (x - 3) - log6 (x - !) = 1 - log6 (x + 4);
r) = 2;
lg(4x - 15)
д) —------7 = 1;
lg (5x - 4)
e) log3 (2x - 7) + log3 (x - 1) = 2 + log3 2;
ж) logo,5 (4x + 1) + logo,5 (x + i) = logo,5 3,5 - I?
3) log3 (5 - x) + 21og3 л/З-х = 1;
и) lg(35 - x3) = 31g(5 - x);
к) lglg(x-l) = lglg(2x + l)-lg2;
2) Решите неравенство:
a) log2 (x2 - 7x + б) < 1 + log2 7;
6) logo,5 (-x2 + 9x - 14) > log0,5 3-1;
в) logo,5 (x + 2) + logo,5 (x + 3) > logo,5 3-1;
236
г) log6 (5х + 8) + log6 (х + 1) < 1 - log6 3;
д) log2 (1 - х) - 2 > log2 3 - log2 (- 5x - 2);
e) 2 + log3 (x + 2) < log3 (x2 + 8);
ж) -1 + log0>5 (4 - x) > log0>5 (x2 + 5);
3) log0 3 (x - 3) + log0 3 (x + 4) > log0>3 (6x - 6);
и) lg(169 + x3) < 31g(x + l);
к) lg(3x - 1) + lg(x - 2) > lg(2x2 - x + 18).
3. 1) Решите уравнение:
a) log| x - 3 log3 x2 + 9 = 0; e) 3 log7 x - 2 logx 7 = 1;
6) 21og2 Vx = log2 x - 2; ж) lg(10x2 j • Igx = 1;
в) 31gx 7 = Igx 3 . 3) lg+ lg*3 _ 2) = 0;
Г) teg* ++33 = 2; и) log5 (igx) + log5 (igx2 - 2) = 0;
Д) 3 log3 x + 3 logx 3 = 10; к) (1g 7x) = lg x.
2) Решите неравенство:
9 2
a) 1g x + 1g x - 2 < 0; e) log2 x <---------;
log 2 x - 1
6) log| (x - 2)3 + 2 log3 (x - 2)2 > 5;
в) logo 2 x + 6 < 5 log0 2
r) 21og5x-logx5>l;
д) log0>5x + 21ogx2 < 1;
ж) —11— > 2:
1 4- 1g X 1 - 1g X
3) l-log4x 1 .
1 4- log2 X 2
и) log| (x - l)2 <16;
K) logo,5 (x + !)2 4-
237
4. Решите уравнение:
а) logo,5 (5х + 8) - 3 log8 (х + 1) = -1;
б) log3 (2х - 7) +-log^ (х - 1) = 2 - log j 2;
2 з
в) log* 3 + log3 х
г) logx (125х) • log|5 х = 1;
д) log* (бх2) • lg^-x = l;
v ' 5
е) 3 log 16 + log г 5 = 3;
х2 Vx
ж) log*2 81 + log^ 4 = 2;
3) 1Og2-2x* (2-*2-*4)=2-
1
log 4 (2-2x2)’
3
(9-!<«')=2 +
1
log2 (з-4х2)’
к) log3;c+7 (9 + 12x + 4x2) + log2x+3 (бх2 + 23x + 21j = 4.
. 4х + 6
ж) У = -Jlogo.2 ---------
togo.s —
5. Найдите область определения функции:
а) у = ^lg(x2 - 6х + б); е) у = ^1 - log8 (х2 - 4х + з);
б) у =
в) у = .Jig х + 1g (х + 1,5); з) у =
г) У = Jlg(x-2) + lg(x + 2); и) у = I-—* 5 .
У log0t5 (х - 2)
Д) У = Jlog0,5 (*2 “ 5х + б) + 1; к) у = Jl-log2x+3x2 .
238
6. Решите уравнение:
a) xlog3* =81; д) x21g25X-3 = 25; и) xlglOx = 100;
б) xlgx = 100х; в) xlog3*’2 = 27; к) x21gx = 10х2;
в) x10g2 х = 16; ж) x1’lgx - 0,01; / 1—\1°£5 л) \yjxj = 5;
г) xlog°'5X = 0,0625; з) 0,01x1 + lgx =1; м) fVx)lgX =106+lgx
7. Решите неравенство:
а) 1оёж2 + 2(3х + б) < 1;
б) log 2 (э - х2) < 1;
в) log „ (х2 - 2х) < 1;
х2 +1 \ '
г) log Дх2 + х-2) < 1;
д) 1о£ з „(2-х2) > 1;
8. Решите уравнение (или
значений параметра а:
a) loga (х - 3) - loga (х - 1) > 1;
б) loga (1 - х) + 1 < loga (7 - х);
е) log 1 (9-х2)>-1;
х2 +1
ж) log j (4х - 2) > - 1;
1 + х2
з) log х (х2 - х) > - 1;
1 + х2
и) log i (х2 + х) > - 1;
2 + х2
к) log i (2х2 - 1) > - 1.
х2 +3
неравенство) в зависимости от
в) log2 X4 + loga х2 = 1;
г) loga (х - 2) - loga х < 1;
д) loga х - logo (6 - х) > 1;
е) log a (х2 + 3) > 1;
а-1
ж) log3_a (х2 + 0,2б) < 2;
з
3) loga_3 (| х| + 4) >2;
и) 22х+1 • (а - 2) + 4х • (1 - а) = а - 2;
к) (а -1) • 4х + 22ж+1 • (3 - а) > 1 - а.
239
Практикум 12 Решение различных
уравнений и неравенств
? Решите данную тройку неравенств:
1) : |х-2| + |х + 3| <9; в) | Igx - 2| + | Igx + 31 < 9;
б) | 0,5х - 21 + |о,5х + 31 < 9;
2) . ) с-2| + |х + 3| >11; в) |log2x-2| + |lgx + 3| >11;
б) j 5х - 2| + |бх +з| > 11;
3) ; :- 21 - | х + 31 < - 5; в) |lgx-2| - |lgx + 3 | <-5;
. . 0,2х - 21 - 10,2х + 31 < - 5;
4) .'Х-2|-|х + 3|>-1; в)| log7 х - 21 - | log7 х + 31 > - 1;
б) | 0,7х - 21 - | 0,7х + 31 > - 1;
5) a) Va2 +4х + 4 + | х - 3| < 7;
б) V4X + 41+0>5х + 4 + | 2х - 31 < 7;
в) д/loglx + 41og3 х + 4 + |log3 х - 31 < 7;
6) a) 7x2 - 6x + 9 - | x + 2 | > - 1;
6) ^9X - 2 • 3X+1 +9 - | 3х + 21 > - 1;
в) Jlog§>5x - log05 (512x6) - | log0 5 x + 21 > - 1;
7) a) 12x - 11 + | x - 31 < 4;
6) >/42x+1 -4x+1 +1 + | 4х - 31 < 4;
240
9) а)
х + 5
2х - 1
< 3; б)
0,5х + 5
0,5х’1 - 1
< 3; ‘ в)
log2 Х + 5
log2 (о,5х* 2)
< 3;
10) а) 11 - 2х | < 2 - Зх;
б) 11 -2 • 0,6х | <2-3 0,6х;
2. Решите неравенство:
а) 4х +23-21х1 <6;
в) 11 — 2Igx| < lg^.
б) 4|х| + 23”2х >6;
в) 4х +22’12х + 11 >
г) 2l2x-1l + 42’х >
д) 4Vx2+4x+4 +23’12х + 41 <6;
е) 0,25|ж| -2 52х -10х > 0;
з) 2х +(л/2)|2Ж+11'1
и) —-----> 1 +(-1
2х-3х Ш
8 • з'х-1' (3
3х-2х 12
ж) 4|ж| - 2 52х - 10х <0;
. 4>/10 • 3х-2
л)-------------
3х - 2х
3. Решите уравнение. Замените в этом уравнении знак равенства
на любой знак неравенства и решите получившееся неравенство:
а) 16 - 2х | - 7б + 2х = - 8;
б) 112 • 5х -29| - 712 5х + 29 = 1;
в) 713х -5 = ^2(12 +13х) - 7б + 13х;
г) ^2 (5х +24) - 7бх -7 = 7бх +7;
д) 717х -8 = 730 + 2 • 17х - 7в + 17х;
е) 715х +9 = 724 + 2 • 15х - 715х -9;
ж) 79х + 3х - 2 = 4 - 3х;
з) 72 +3х -9х = 1 + 3х;
241
и) 3х - 2х = ^9 • 2Х+0’5 -32х-1 -2Х+1 3х + 4х;
к) 4х - 722х+1 -2Х+3 +12 = 6 + 2Х+2.
4. Решите уравнение:
a) log2 х д/2 + log* 2 = -1; ж) log2 х ^\ogx ^2х = -1;
б) log2 х д/log х 8 + 3 = >/б; з) ^\ogx 4Тх log7 х = 1;
в) log^ х д/2 + logx 3 = - 2; и) log2 х ^logx = 1;
г) log2 х • д/log 32 + 5 = -710; к) ^logx (Зх2) • log3 х = 1;
д) log3 х • -Jlogx (Зх) = -72; л) log7 х • ^logx(7x2) = -1;
е) <Jlogx73x • log3 х = -1; м) ^logx (5х) • log5 х = - 72;
н) log^ х • ^logx зТз + log^ (зТз) = - Тб;
о) -Jig (1 Ох) + logx(10x) + ^lg^ + log х —— = 20;
5. Решите уравнение:
а) 1 + 2 log2 cos х = log2 (- 3 sin x);
6) 1 + log2 cosx = 0,5 log2 (1-4 sin x);
в) log6 (2 - 5cosx) = 1 + 21og6 sinx;
r) log3 (- tg x) = 1 + log3 (- ctg x);
д) 1 + log3 sin3x = log3 (-4cos3x);
e) 1 + log3 sinx = log3 (5 + 4cosx);
ж) log2 (2 sin 2x - 1) = 1 + 2 log2 sin x;
з) 1g (sin x - 3 cos x) + 1g (sin x + cos x) = 0;
242
и) lg (cos x + 3 sin x) + 1g (cos x - sin x) = 0;
к) 0,51og5 (3cos2 2x) = 1 + log5 (-cosx);
л) 1 + 2 log3 cos 2x = 2 log3 5 + 2 log3 (- cos x);
м) 1 + log^ sin x = log2 (cos 4x - cos 6x);
h) 1 + log0 5 (sinx + sin3x) = 21og0 5 cosx;
o) lgsin5x + lg(-sin7x) = 0.
6. Решите неравенство:
a) 2 + logj (x + 7) <log3|x-l|; в) log21x| < 1 -21og4(x-1);
з
6) log3 (x - 2) - 2 > logi | x + 61; r) 2 log4 | x | > 1 - log2 (x + 1);
з
д) log4 (x2 - 4x + 4) < 1 - log2 (x -1);
e) log2 (4x2 + 28x + 49) - 3 > 2 + log2 (x + 2);
ж) log2 I x I - log0>5 (x - 4) > log^ Vx + 14;
3) lg
x -1
2x +1
<0;
к) log0>5 logi
I 3
>0.
7. Решите уравнение:
a)4loe3(1 х)=3-2х;
6)0,5'°'Л(2'-2|=-^
17-
1
в) 251Ogx + 15 =2x2 +1;
1
—; ж) 2'°'—2
12х
2
1"—*—
_g 1о<х-з27ф
logx + 2 0,5
= 4
r) 0,1 8 v
_______1___ , 1
д)9,0‘”13 =0,1
з) 21овх7 =7
logx (х2 - 4
и) 2
_ 310Кх2.
, _ logx х‘
к) 10 °8*7 =7
. - 3 - 2х
243
8. Решите неравенство:
a) log2 (2х - 7) < 3 - х; е) log х (2Х+2 - 4х) > - 2;
7з
б) log5 (5х - 4) < 1 - х; ж) lg(6 5х -25 20х) <x + 21g5;
в) log j (бх+1-36х) >-2; з) lg(2x+х-3) <x(l-lg5);
J5
г) log х (бх+1 - 25х) > - 2; и) 1g-—-----< x(lg5 - 1);
> 2х + х - 1
д) log J (зх+2 - 9х) > - 6; к) log0 5 (о,5х - х - з) > х.
75
9. Решите неравенство:
а) 1°£4- х(*2 -8) <2; и) logx+1 (х3 * * + Зх2 - 10х) < 3;
б) logx <1; х - 2 к) logx+11 [х2 + х - б)6 > 12;
ч . 4х + 5 . в) logr < 1; 6 - 5х л) logx-з Чу — 7 4-logx_3- 0; 4-х
г) log*- > 0; м) logx —2 - 2 logx 5 > 0; 1-х
д) log* (4х + 5) > 2; н) logx_i 4х - 3 -^l-log^e^O; х - 2
е) log*(6 - х) > 2; 0) log 2 9х (б + 2х-х2) <0,5;
ж) logx (2х2 - Зх) < 1; п) log( 2 (х2 + Зх + 25) > 0,5.
з) logx+2 (Зх2 + 4х - 14) > 2;
10. 1) Найдите все значения а, при которых уравнение имеет
единственное решение:
а) х • | х - а | - 0,5а = 1; г) loga (1 +1 х |) = 2;
б) х • | х + 2а | - а + 1 = 0; д) loga (х2 4-1) = 1;
в) | log2 (х - 2)| = 2ах - х2 - а2; е) а • 32х + 1 - (а 4-1) • 9х = а3.
244
2) Найдите все значения а, при которых неравенство
выполняется для любых значений х:
а) 4Х + 1 • а2 - 33а 2х + 8 > 0; г) loga l (х2 + а) > 1;
б) 42х + 1 • а2 - 65а • 4х'1 + 1 > 0; д) log а (х2 + 2) > 1;
а +1
в) loga+3 (1+| х|) > 2; е) log а (Зх2 + Зх +1) < 2.
1-з
3) Найдите все значения а, при которых неравенство не имеет
решений:
а) а2 - 22х+3 - а • 2Х + 1 > 0; г) loga (х + 1) + loga х > 2;
б) 9X+1 + 8a • 3х - а2 < 0; д) loga (х - 2) + 1 < loga (х + 5);
в) 2>1зах + а2 < х + 2а; е) log2 (х - a + 4) + log0 5 (х - 2a) > 2.
4) При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя
бы одно решение:
а) 4х2 - 47a • 2ах + а + 4(4“ -1) < 0;
б) 2 у]а2 + Зах - х < 2а;
в) loga (- х) + 1 < loga (7 - х);
г) loga (1 - х) < loga (8 - х) - 1;
д) 2 log4 (х - а) + log0>5 (х - 2а - 4) > 2 ?
; Производная
4 и первообразная
показательной функции
1. Задайте формулой показательную функцию, график которой
касается прямой в точке с абсциссой х0 = 0, если уравнение
прямой:
а) у = 1 - х;
б) у = 1 + 2х;
в) у = 1 - 2х;
г) у = 1 + 1,5х;
Д) У = 1 - 0,5х;
е) у = 1 + 0,5х;
ж) у = 1 - 1,2х; к) у = 1 - х In 3.
з) у = 1 + 0,2х;
и) у = 1 + х In 2;
245
2.1) Напишите уравнение касательной, проведенной к графику
данной функции в точке с абсциссой х0:
х-1
а) у = х • 2х, х0 = 1; е) у = ех + 2, х0 = - 3;
2х
б) у = 2х - 4х, х0 = -2; ж) у =----, х0 = 0;
х +1
,, лх . q-х „ 1, „sinx . cosx
в) у = 9 + о , х0 = - 1; з) у = е + е , х0 = - п;
г) у = ех + е"х, х0 = In2; и) у = sinrcx • ех, х0 = -0,5;
тт\ _х2-Зх + 2 _ 1. \ ,, cosx гт sinx Л
Д) У = е , х0 = 1; К) у = е -7е , х0 = —.
2) Напишите уравнение касательной к графику данной
функции, параллельной оси абсцисс:
а)у = хех; е) у = (зх - 2) • (3х - 1б);
б) у = (2х + 1) • е-2х; ж) у = 9х - 16 • 3х - 9х1п9;
в) у = х • е1-0,5х2; з) у = 3х + 2 • З3-х - xln27;
г) у = 4х - 2Х+3 +7; и) у = 2х1п81 - 3х"1 - З3-х;
д) у =(2Х -1) • (2х - 3); к) у = 2х' +-.
1+2х -1
3. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:
а) у = 2х-4х; и) у = 0,2х3-Зх-2; б) у = 27х-3х; к) у = 5х3-3х-2;
в) у = 9х -2 • 3х; л) у = 2х +xln0,25;
г)у = 8х-3-2х; м) у = 0,5х -хIn0,25;
д) у = 4х'2 - 3 • 2х-2 + xln2; н) у = ех - х • -/ё;
е) у = 9х-1 + 2 • 3х-1 - xln81; о) у =— - ех;
ж) у = xln0,5 - 3 • 0,5х-1 + 0,25х-1; п) у = 5 • ех - —; 2
з) у = 0,25х - 10 • 0,5x+1 - xln2; р) у = 5х - 0,5ех.
246
4. Постройте график функции:
а) у = 2 8 ;
б) у = 0,2х4'2x2;
г) у = 0,53х-х3~2;
/я г-х х2 [ 12 + 4х - Зх21
Д) У=№) >;
> 5х2-0,25х5-12
e)i/=(4V0j)
ж)г/=(472)
и) у = [2х2 + Зх) • ех+3;
к) у = (2х2 + Зх) • е~х;
л) у = [2х2 - 9х + 9) • ех;
м) у = (2х2 - х - 1) • е1-х
н) г/=(1-х) • е~х;
о) у=(х + 2) • е~х;
п) у =(2х + 3) • е3-2х;
з) у=(2х2 -Зх) • ех; р) У =—.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
указанном промежутке:
а) у =(х - 1) • е~х, х е [1; 100];
б) у = 0,5х - 0,25х+3, X е [-6; б];
в) у = 2х + 0,5х, хе[-1; 2];
г) г/ = 23х+1-9 • 4х+3 • 2Х+2, хе[-1; 1];
д) у = 22х+3 - 2Х+2 + 1, х е [-3; 0];
е) у = Зх+2 + 5 • 3-х - 5, х е [-1; 0];
ж) у = х2 • е~х, х е [-0,25; 25];
з) у =(х2 + Зх - з) • е~х, х е [-4; 3];
и) у = З3х2 ~х3, х g [-1; 4];
к) у = х • 0,54х-2х21п2, х е [0; 2].
247
6. Вычислите:
1) a) limfl-— | ; д) lim | П +-2
п -> °° П ) П оо п + 1
>*\ !• (i f 71 + 1
б) lim 1 + — ; е) lim ---------
п) ^->oo\<n + 2j
/ _ \ и / '
f и + 2 ] f х - 1
в) lim ---- ; ж) lim ----------
П->оо^ п J Х->оо^ Х
/ \П / \
г) lim I П - ; з) lim Х
n-»ooln + lJ x->°°lx + lj
и) lim (1 + 2х)х;
к) lim (1 - 2х)х.
ех -1 2) a) lim ; х—>о 2х 2х - 1 б) lim- х->о Зх ЙЛ-2Х Р2х~1-рх д) lim ; и) lim : х->0 х х->1 X - 1 пХ п-Х п2х-1 _ пХ е) lim ; к) lim x^O X х->1 х-1
в) lim —-—; х-> 0 3х — J . .. 0,5х-1 г) lim ; х->о 2х qX qX ж) lim ; х-*0 X ^х _ 2х з) lim ; х->о 2х
7. При каком значении параметра а будут равновеликими
фигуры, ограниченные линиями:
а) у = ех, у = е2х, х = -2 и у = ех, у = е2х, х = а(а > 0);
б) у = ех, у = е°’5х, х = 1п2,25 и у = ех, у = е°’5х, х = а(а < 0);
в) у = 2х, у = 4х, х = -3 и у = 2х, у = 4х, х = а (а > 0);
г) у = 2х, у = 4х, х = а (а > 0) и у = 2х, у = 0, х = 0, х = а;
д) у = 3х, у = 9х, х = а(а>О)иг/ = 3х, у = 0, х = 0, х = а;
е) у = 3°’5х, у = 3х, х = а (а > 0) и у = 3°’5х, у = 0, х = 0, х = а;
ж) у - 0,5х, у - 0,25х, х = а(а < 0) и у = 0,5х, у = 0, х = 0, х = а;
з) у = 2"х, у = 4"х, х = 2 и у = 2"х, у = 4-х, х = а(а < 0);
и) у = 2х, у = 2"х, х = 1 и у = 2х, у = 2"х, х = 1, х = а;
к) у = 2х, у = 4х, х = 3, х = а(0 < а < 3) и у = 2х,у = 4х, х = а?
248
Производная
логарифмической функции
1. Используя данную функцию f(x), составьте тождество
g(/(xj) -хи, применяя дифференцирование, выведите формулы
для нахождения производной функции f (х) и ее дифференциала,
если:
a) f (х) = In х;
б) /(х) = Igx;
в) / (х) = log2 х;
г) f (х) = log0>5 х;
д) /(х) = log3 х;
е) /(х) = logj х;
ж) f (х) = log3 х;
з) /(х) = log0 2 х;
и) / (х) = log0>1 х.
2. Найдите производную функции и ее область определения:
а) у = xln(-x); ж) у = | х - 11 • In х; ч 1пх н) у = „; х-2
б) у = л/х In (х +1); 3) у = log2 (х2 -2х + 1); о) у = In (sin 2х);
в) у = 1п(х2 — 1); и) j/ = lg(x2 -х-2); п) у = lg(cosтех);
г) у = 1п| х|; к) i/ = ^ln(2x-3); р) у = In sin2 х;
д) у =| 1пх|; л) i/ = -^l-lgx; с) у = lg cos2 х;
е) у = 1пх2; м) у = ln(Vx - 3 - 2); т) г/ = log2 tgA
3. Найдите i/'(x), применяя предварительно логарифмирование:
а) у = хх;
6)i/ = xVx;
ох
в) у = X2 ;
„X
Г) у = 2х ;
ч 3
и) у = xi------;
Vx + 3
, (1 1
Д) У= 1+-
\ х
/ . \COSX
3)i/=(sinx) ;
249
4. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = параллельной данной прямой, заданной уравнением, если:
a) f (х) = In (1 - х), х + у = 1;
б) f (х) = In (Зх - 2), Зх - у = 1;
в)/(х) = 1пх2, x + i/ = l;
г) f (х) = 1п(1 - х2), Зх 4- 4г/ = 1;
д) f(x) = ln(4-x2), 3i/-2x = l;
в) f (х) = 1п^9 - х2 j, х - 4у = 1;
ж) f(x) = 1п(х2 - 4), 2х + Зу = 1;
з) f (х) = 1п(х2 - 9), х + 4у = 1;
и) f (х) - 1п(х2 - 2х - з), 2х 4- Зу = 1;
к) f (х) = 1п(з - 2х - х2 j, 2х - Зу = 1.
5. 1) Найдите интервалы возрастания функции:
а) у = ->/б 4-х + 1п(2 - х); е) у = V8 + х 4- In (7 - х);
б) у = 7б + х + 1п(3 - х); ж) у = >/б + Зх + 1п(3 - х);
в) у = л/з 4- х + In (5 - х); з) у = д/б - 5х + 1п(5х + 2);
г) у = ^7 + х + 1п(1 - х); и) у = л/7 4- 2х 4- In (4 - х);
Д) У = д/б - х + 1п(х + 10); к) у = у/х + 1 - 1п(2х + 3).
2) Найдите интервалы убывания функции:
а) у = V2 + х 4- In (б - х); е) у = >/б + х + In (9 - х);
б) у = >/5 4- х + In (10 - х); ж) у = л/б - х + 1п(1 4- 0,1х);
в) у = V3 - х + In(5 + х); з) у = л/б - 4х + 1п(2х + б);
г) у = >/б 4- х + In (1 - х); и) у = д/9 + 2х + In (3 - х);
д) у = V1 + х + 1п(7-х); к) 17 = 5/2x4-6 -1п(х4-2).
250
6. Постройте график функции у = f (х). Сколько корней будет
иметь уравнение f (х) = а в зависимости от значений параметра а?
а) /(х) = 7х • (1пх - 2); е) /(х) = х(1пх2 - 2);
б) /(х) = >/х • (3 - 1пх); / х 1пхе ж)Лх)= ; X
/ V In х в) f(x) =-^; ух з)/(х) = х2 (1пх2-1);
/X 1 + In X г)/(х)= ; Л и) /(х) = 0,6х + 1п(1 + х2);
. х 2 + Inх д) цх) = г ; Ух к) /(х) =~~~ + 1п(9 + *2) “ 1п10.
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1 5 А а) У=~, у = -х-6; X ж) у = - у- х = 9; X
6 б) у = -5 - х, у =-; X з) ху + 8 = 0, у = 0,5х + 5;
в) ху = 3, х + у = - 4; и) ху = 9, у = х, х + 6 = 0;
г) ху = 6, х + у = -7; к) ху = - 9, х + у = 0, х = — 1;
ч 4 д) У = , У = X + 5; X л) у =——, у = 2х, х = -3; х-1
е) ху = - 8, у = х + 6; х м) у = , x + i/ = 0, х = -3. X + 1
8. При каком значении параметра а будут равновеликими
фигуры, ограниченные линиями:
О\ рэ " II II II X J Ын 1 Ы я | to н 1 ьэ 'С чг Ч; II II II II р р р о * и н X II II II II х = а [а > 1) и х = 9; х = — (а > 1) и а х = 8;
251
§
в) у = —, у = 0, х = 1, х = а (а > 1) и
х
5
у= — , у = О, х = а, х = а + 2;
х
г) у- —, г/= О, х = а(а>0), х = а + 2и
6 _ _
у = —, у = О, х = а + 2, х = а + 5;
х
д) У =—, У=~, Х = 1, х = а (а>1) И
2х х
1 2
у = —, у= —, х = а, х = а + 2;
2х х
е) у= —, у =-------, х = 1, х-а (а > 1) и
X X + 3 '
2
у =----, у = О, х = 1, х = а;
х + 3
ж) у = —, у —------, х = 1, х-а (а > 1) и
х х + 2
3
У =---, У = О, х = 1, х = а;
х + 2
з) у =—-—, у =—-—, х = 2, х = а (а > 2) и
X - 1 X + 1
у =—-—, у = О, х = 2, х = а;
X + 1
2 2
и) у= —, у =--------- (а>0), х = 1, х = 5 и
х х + а
2 л
У =-----, У = О, х = 1, х = 5;
х + а
к) у = —, у =---- (а<0), х = 1 - а, х = 3 - а и
х х + а
1
у - —, у = О, х = 1-а, х = 3-а;
х
1 2 / ч
л) у = —, у =------- (а < 0), х = 1 - 0,4а, х = 3 - 0,5а и
х 2х + а
у = —, у = 0, х = 1 - 0,5а, х = 3 - 0,5а ?
х
252
9. Вычислите:
In (1 4- х)
a) lim----------;
х—>0 х
( 1
б) lim х • In 1 + —
Х^оо X
в) lim п • In I 1 + —
I п
lg(l + x)
д) hm-----------;
х-->0 х
log2(l + x)
е) lim------------;
х—>0 х
1п(е 4- х) - 1
ж) lim —-------------;
х->0 х
10. Вычислите:
ч Inn2
a) lim-------;
П^оо П
lg(10 + x)-l
з) hm----------------
х->0 х
. 1оёо,5 (2 + х)
и) hm-------1------—
х->0 х
v 1ПХ - 1
к) hm----------;
х-*е х - е
л) lim ;
х—>10 X - 10
ч .. logo х - 2
м) hm——-----------;
х->9 х - 9
ж)
_ .. 2n - In п
б) hm--------------
Л->~ и 4- 2
1п(х5 - х3 4- 1)
з) lim —
х^ + оо In (14-х)
11 9 ’
х-woo х + х*
г)
lim
Х~> +~
7х-1пх
1 4- 2х 4- In2 X
е)
.. 1П3Х4-1ПХ3
hm ---------—
ж^ + ~ (1-1пх)
1п(1 + е2х)
к) lim —------------;
+ 1п(14-ех)
In (2х 4-1)
л) lim —------------;
x~» + ~ln(4x 4-1)
lg(3x 4-2)
м) lim —------------.
х-* + ~ lg(9x 4-1)
253
Практикум 15 Решение задач
с дифференциальными
уравнениями
1. 1) Является ли данная функция решением данного
дифференциального уравнения:
а) у = е~х + х-1, у'+ у = х;
б) у = е~*2, у’ + 2ху = 0;
. __ V- dy __Y
в) у = х е х, — + у = е ;
dx
г)У~, у' + yln2 = 2~x;
2
__ 5-х
Д) У = X5 • 5”*, у’ = у In 0,2 + а-/у* • 5 5 ;
qX 1 3-Х
е)г/ = -т» у' + у\п- = -у3у[у 3 3 ;
х3 3
ж) у = Jln(x2 + 2х +1), у у' = —-—;
V ' 7 х +1
ч In х dy у 1
3)z/=—, / + - = —;
х dx х х
и) у = ех sin х, у" - 2у' + 2у = 0;
к) у = ех cos х, z/" - 2у' + 2у = 0 ?
2) При каком значении параметра/? данная функция является
решением дифференциального уравнения:
а) у = х2 • 2х, у' + ky = х • 2X + 1;
б) у = х + е“2х, у' + k • у = 1 + 2х;
в) у = 3х • х~3, у' + k у = - ;
X
5
\ % f , 4 f 1 ~ х
г) У= —, у + k у = х -5 ;
5
254
д) i/ = 4xx4, у' = у k+-];
9
X J
e) у - xlgx, xy' = kx + y,
ж) у = e3x sin x, y’ - ky = у ctg x;
з) у = ex cos kx, у' - у + 2ytg2x = 0;
и) у = ek xtg x, (y' + y)sin2x - 2y?
2. Найдите общее решение дифференциального уравнения и
его частное решение, удовлетворяющие начальному условию:
а) у' = 2ху, i/(—l) = 1; е) (х + 1)сй/ = 2ydx, у(1) = 4;
б) ху' = 1 - у, г/(1) = 0; ж) х2 dy = ±-y3dx, у(-1) = 1;
Л
в) — = , у (5) = 0; з) 4х dy - dy dx = 0, у (9) = 4;
Г) xy-y- = l, 1/(1) = 6;
и) у' = х + ху, у(0) = 2;
д) х dy = [у - 1)</х, i/(l) = 5; к) (у + xy)dx = xdy, у(1) = 1.
3. Постройте график функции, являющейся решением
дифференциального уравнения и удовлетворяющей начальному
условию:
а) у' = З(х2 - 1)у, у(0) = 1; е) у' = - 1J, у(-1) = е;
б) у’ = 4х(1- х2\у, i/(0) = 2; ж) у’ = 2i/l--1 j/РЙ = 4;
В) у’ = (о,5х2 - 2x)i/, i/(o) = 1; з) = г/f—Ц- - 11 у(0) = 2;
' ' dx lx + 2 )
г) = (*3 - х) У’ у{°) = 1; и) = - - У1п2» У (!) = 0,5;
dx v 7 dx х
д) 4/ = | - 1L, у(1) = е; к) ху’ = г/(1 — х2), у(0) = 0.
V Vx )
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции,
являющейся частным решением данного дифференциального
255
уравнения, касательной к этому графику с точкой касания А и
прямой х = b:
a) ydx + xdy = О, А(3; 2), х = 6;
б) ^ = _ £, А(1; 6), х = 3;
dx х
в) ху' = -у, А(1; 2), х = 4;
г) ху' + у = О, А (2; 1), х = 6;
д) х — + z/= О, А(-1; 4), х = 4;
dx
= A(-l; 2), х = -4;
dx х ' ’
^dy_=V_ A/j 2\ х = 4
dx 2х v ’
3)^-=—, А(2;3), х = 5;
dx 1-х [ !
и) у’(1 + х) = у, А(0; 5), х = 2;
к) (х + 1) dy + ydx = 0, А (7; 1), х = - 0,5.
5. Напишите уравнение кривой, проходящей через точку А,
если угловой коэффициент касания в каждой точке этой кривой
равен:
а) ординате этой точки, если: А (0; 3), А (0; е), А (-1; 1);
б) ординате этой точки, уменьшенной на 1, если: А (0; 0),
А (0; 2), А (1; 2);
в) отношению ординаты этой точки к ее абсциссе, если: А (1; 2),
А (2; 3), А (2; 1);
г) отношению удвоенной ординаты этой точки к ее абсциссе,
если: А(-1; 1), А (2; 2), А (42; 2);
д) отношению ординаты, взятой с обратным знаком, к абсциссе
этой точки, если: А (1; 2), А (2; 3), А (3; 1);
е) произведению координат точки касания, если: А (0; 2),
а(42; е), А(2; 1).
6. а) Найдите период полураспада радиоактивного вещества,
если за: 1) 1 ч, 2) 1 день, 3) 1 год, 4) 2 года, 5) 10 лет масса
256
радиоактивного вещества уменьшается соответственно на: 1)1%,
2) 2%, 3) 10%, 4) 20%, 5) 25%.
б) Период полураспада радиоактивного газа радона Т « 3,825 су-
ток. Определите, какое количество радона останется в запаянной
ампуле через: 1) 38 суток, 2) 10 дней, 3) 20 дней, 4) 1 день,
5) 2 дня, 6) 7 дней.
в) Период полураспада радия ~ 1590 лет. Через сколько лет от
начального количества радия останется: 1) 10%, 2) 20%, 3) 25%,
4) 5%, 5) 15%, 6) 75% ?
7. Вещество М вступило в реакцию с другим веществом.
Скорость течения реакции пропорциональна имеющемуся
количеству вещества М. Сколько вещества М было в начале
реакции, если:
а) через 1 ч после начала реакции его осталось 100 г, а через
2 ч - 25 г;
б) через 20 мин после начала реакции его осталось 60 г, а
через 40 мин - 16 г;
в) через 30 мин после начала реакции его осталось 120 г, а
через 1 ч - 64 г;
г) через 1 ч после начала реакции его осталось 100 г, а через
3 ч - 25 г;
д) через 20 мин после начала реакции его осталось 60 г, а
через 1 ч - 15 г?
8. Вскипевший чайник тотчас выносится из помещения на
улицу, где температура воздуха А градусов, и за тп минут остывает
до температуры Тг
а) Через сколько времени чайник остынет до температуры Т2 *1
б) На сколько градусов чайник остынет через следующие п
минут, если:
1) А = 20°, тп = 10, = 90°, Т2 = 40°, п = 30;
2) А = 18°, тп = 25, Т\ = 70°, Т2 = 30°, п = 25;
3) А = 16°, тп = 10, Т\ = 85°, Т2 = 25°, п = 20;
4) А = 10°, тп = 5, 7\ = 85°, Т2 = 30°, п = 25;
5) А = 8°, m = 15, Т\ = 70°, Т2 = 20° п = 45;
6) А = 5°, тп = 8, Т\ = 80°, Т2 = 30°, п = 30;
7) А = 2°, тп = 5, 7\ = 75°, Т2 = 25°, п = 15;
9 О. Н. Доброва
257
8) A = 0°, m = 5, T\ = 72°, T2 = 36°, n = 40;
9) A = -5°, zn = 5, ^=70°, T2 = 40°, n = 20;
10) A = -10°, m = 10, 7^=65°, T2 = 15°, n = 30?
9. Криминалисты, прибыв на место преступления, обнаружили
труп человека, температура тела которого былаА градусов. Через
1 ч температура трупа стала В градусов. Температура окружающего
воздуха С градусов. Считая, что в момент убийства человек имел
температуру тела 37°, определите промежуток времени между
моментом убийства человека и моментом обнаружения его тела,
если:
1) А = 27°, В = 25°, С = 16°; 5) А = 28°, В = 25°, С = 6°;
2) А = 24°, В = 23°, С = 20°; 6) А = 29°, В = 27°, С = 4°;
3) А = 30°, В = 28°, С = 18°; 7) А = 25°, В = 21°, С = 0°.
4) А = 32°, В = 30°, С = 14°;
10. Парашютист летит вниз с ускорением а = g - kv, где g -
ускорение свободного падения, v - скорость парашютиста, k -
коэффициент. Найдите законы изменения скорости и перемещения
парашютиста, если в начальный момент его скорость и пере-
мещение равны нулю.
Практикум 16
Производные обратных
тригонометрических
функций
1. Составьте тождество gyfyxjj = х, где# - тригонометрическая
функция, a f - обратная ей тригонометрическая функция, и,
применив дифференцирование, получите формулу для нахождения
произвольной обратной тригонометрической функции:
а) /(х) = arcsin х; б) /(х) = arccos х;
В) /( х) = arctg х; г) f (х) = arcctg х.
2. Найдите производную функции и ее область определения.
Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет эта функ-
ция? Найдите множество ее значений, если:
а) у = arcsin—+ arcctgx, где I х|< 1;
1 + х2 11
258
ZX I I
б) у = arcsin----- + 2arctgx, где x > 1;
1+ x2 11
в) у = arccos—+ 2arctg x, где | x | < 1;
1 2
1 — x
г) у = arccos----- + 2arcctgx, где x > 0;
1 + x2
д) у = arccos (2x2 - lj- 2 arcsin x, где x < 0;
e) у = arcsin 71 - x - arccos Vx;
ж) у = arccos 71 - x - arcsin 7x;
x . x + 1
з) у = arctg--+ arcctg x;
1 - x
X 4* 2
и) у = arcctg----4- arctg x;
1 - 2x
4 t x + 7з k x + 1
к) у = arctg-----1= + arcctg---.
1 - x73 1 - x
3. Постройте график функции с помощью ее производной:
а) у = arctg х 4- arctg — ;
х
б) у = arctg х - arcctg — ;
х
е) у = 2х - arcsin х;
v х
ж) у = х 4- arccos —;
з) у = arcsin 7х - arccos 71 - х;
и) у = х arcsin х 4- х arccos х;
X 4 73
к) у = arctg х---4- arcctg х.
д) у = 2 arccosх 4- Inх2;
е) у = arcsin - In х;
ч х ,
ж) у = arccos— 4- 1пх;
з) у = 2arctg х - In7х;
259
в) у = arcctg х + arcctg —;
х
г) у = х arctg х + х arcctg х;
Д) У = х ~ 4arctg х;
l-xV3
4. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:
а) у = 2arcsinх 4- 1пх2;
б) у = arcsin х - In х;
в) у = 2 arcsinх - Inх2;
г) у = arccos х + In х;
и) у
= arcsin х +
2д/1 -х2;
л) у = arcsin 71 - х + 3 д/х - х2 .
к) у = arccos Vx + 2 vx - х2
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
ч 1 1 а) у = , у =—; 1 + х2 2 ч 4 з л) у = 2, у = л; 4 + х2 4
б) У = 2 ’ У = Л ; 1 + х2 4 4 М) у = 2 , у = 3; 1 + 4х2
ч 6
н) у =—-9-----, у = 1,5;
9х2 +1
г) У = 2 ЛЧ.,_ 9 3
1 + х2 ’ у - 9 > < 9 + х2 V~V
Д) У = 1 у - 1- п) у = 1 и — 2*
1 + х2’У ’ 71 - х2
е) у = ? у - о 5. Р) У = 3 11 — 2*
9 , У v,O, 1 + х2 7э-х2
ж) у = 4 у - 3’ с) у = 1 и - 9-
1 + х2 71 - 4х2
з) У = 2 ’ У = 4; 1 + х2 т) у = 3 > У = 6;
71 - 4х2
и) у = 4 у - о 5* У) У = 3 - и - 2
п > У — 4 + х2 7э - 4х2 -» У
к) У = 4 у - 1-
9 > У ~ 1 + 4х2
3
1
0,75
6. Вычислите:
2
а)
dx
" 2
г)
dx
dx
,2
-2
3
б)
dx
2
3
-2
2
-1,5
dx
у/в - 4х2
2
д)
dx
1
-3
1
в)
dx
1 + Зх2
2
3
0,5
4 + 9х2 ’
dx
-1
,2
-1
о
dx
Ji - Зх2
dx
71-9х2
1
3
260
7. При каких значениях параметра а, где а>0, будет
выполняться неравенство:
б) [ —< 0,5л;
_1 1 + х
а
в) f 0,75л;
-1 1 + х
и)
к)
dx < п .
Деление многочленов
1. а) Запишите некоторый многочлен Р (х) степени п, где п > 3,
с числовыми коэффициентами, найдите частное и остаток от
деления этого многочлена Р(х) на х2+1, производя деление:
уголком и методом неопределенных коэффициентов.
б) Для многочлена Р (х) из пункта а) найдите неопределенный
Г ^(х)
интеграл -----dx и один из определенных интегралов:
J х + 1
г Р(х) г Р(х) Р(х)
1) Г ~т~^х; 2)1—^dx; 3) ^^dx;
х +1 0 х +1 0 х +1
f P (x) P (x) P (x)
4) [ dx; 5) [ —dx; 6) [ —dx.
' x2 + 1 f x2 + 1 4 X2 + 1
-1 -1 -V3
2. Найдите неопределенный интеграл:
Г x2 + 2x г (х +1) г 5 - х - х3
а) dx; д) ------------dx; и) -------------
J х + 1 J х-2 J Зх -2
f (х + 1)(х - 2) Г (3 + х)3
б) А----<1-L dx; е) [--------— dx;
J х-1 J 3-х
Г (3 + х)2 г х - 6х3
в) -----— dx; ж) Г dx;
J 1-х J 2х + 1
261
3. а) Найдите остаток от деления многочлена Р (х) на двучлен
Q(x), если известно, что график функции у = Р(х) проходит че-
рез точку А, где:
l)Q(x) = x-2, А(2;-1); 2)Q(x) = 2-x, А(2; 10);
3) Q(х) = х + 1, A(-l;3); 4)Q(x) = -x-1, А(-1; 0);
5)Q(x) = 2x-1, А(0,5;7); 6)Q(x) = 3-2x, А(1,5;-5);
7) Q (х) = 5 + 2х, А(-2,5; 1); 8)Q(x) = 6-3x, А(2;-8);
9) Q (х) = 4х + 8, А (2;-8); 10) Q(x) = 10х + 1, А (-0,7; 0,1).
б) Назовите координаты точки, принадлежащей графику фун-
кции i/ = P(x), где Р(х) ~ многочлен, который при делении на
двучлен Q (х) дает в остатке R, если:
l)Q(x) = x-l, Я = 7; 2) Q(x) = x + 2, Я = -3;
3)Q(x) = 3-x, Я = 1; 4) Q(x) = 7 + x, Я = -5;
5) Q(x) = 0,5-х, R = 2; 6) Q(x) 1 = 4x, Я=-8;
7) Q(x) = 2x + 1, R = 0,8; 8) Q(x) I = 2x - 3, Я = -0,5;
9) Q(x) = 6-2x, R = 1,7; 10) Q(x) | = 1- 0,5x, R = 3,5.
4. Запишите какой-либо многочлен степени п, график которо-
го проходит через точку А, если:
а) п = 5, Л(1; 3); б) п = 6, А(-1; 5);
в) п = 4, Л(2; -1); г) п = 5, А(-3; 10);
Д) п = 7, Л(3; 8); е) п = 6, А(-4; -2);
ж)п = 8, Л(5; 1); з) п = 7, А(-5; 3);
и) п = 9, А (0,5; -3); к) п = 10, А (-0,7; 2,3)
5. Многочлен Р (х) делится без остатка на двучлен х - а, а при
делении на двучлен х-b дает в остатке с. Найдите остаток от
деления многочлена Р (х) на произведение двучленов (х - а) (х - д),
если:
262
a) a = 2, b = 3, c = 4;
в) a = -1, b = 2, c = 3;
д) a = 1, b = 4, c = 3;
ж) a = 6, b = - 2, c = 4;
6) a = 2, d = -3, c = 4;
r) a = -2, b = 1, c = 3;
e) a = 7, b = 4, c = 3;
з)а = -3, b = 2, c = -10;
и) a = - 4, b = - 7, c = 9; к) a = 5, b = - 4, c = 3.
6. Назовите остаток от деления многочлена Р (х) на двучлен
х «- а, если при делении многочлена Р (х) на Q (х) получается ос-
таток Я(х), где:
а) Q(x) = (x-1)(x-f 5), R (x) = 3x + 2, a = 1;
б) Q (х) = х2 - 2х, B(x) = 5- - x, a = 2;
в) Q(x) = 4 - х2, #(x) = x + l, a = -2;
г) Q(x) = x3 -1, .R(x) = x2 - x + 4, a = 1;
д) Q(x) = х3 + х2, #(x) = 5 + x2, a = -l;
е) Q(x) = x4 -1, fl(x) = x3 - x + 7, a = -1;
ж) Q(x) = х4 + х, .R(x) = x2 + 4, a = -1;
з) Q(x) = x4 + 2x3, fl(x) = x3 -8, a =-2;
и) Q(x) = x4 - 4x2, R (x) = x3 + 8, a = -2;
к) Q(x) = x6 -1, Я(х) = x5 + x3 + 2, a = -l.
7. Многочлен Р (х) при делении на двучлен х - а имеет оста-
ток Ь, а при делении на многочлен Q(x) - остаток В(х). Найдите
остаток от деления Р (х) на произведение многочленов (х - a) Q (х),
если:
a) a = -3, 6 = 1, Q (x) = x2 - 1, B(x) = 2x + 1;
6) a = 2, 6 = 5, Q(x) = x2 -1, R (x) = x;
в) a = 5, 6 = 120, Q(x) = 1 - x2, R (x) = x - 5;
r) a = 5, 6 = -120, Q(x) = 1 - x2, Я(х) = x - 5;
Д) a = 2, 6 = 19, Q(x) = x2 + x, 2?(x) = 3x + l;
e) a = 2, 6 = -18, Q(x) = x - x2, fl(x) = 2-3x;
ж) a = -1, 6 = 2, Q(x) = x2 - 2x, B(x) = 4x;
з) a = 6, 6 = 17, Q (x) = x2 - 4, R (x) = 4x + 3;
263
и) а = -3, b = -1, Q(x) = х2 + х - 2, Я(х) = 3х;
к) а = -2, 5 = -19, Q(x) = x2 - 2х - 3, й(х) = 1-5х.
8. Многочлен Р (х) делится без остатка на двучлен х - с, а при
делении на х2 - 1 дает в остатке kx + b. Найдите остаток от деле-
ния многочлена Р (х) на произведение многочленов (х - с)(х2 - 1),
если:
а) С = -2, k = 3, b = 6;
б) с = 3, ft = 5, 5 = 1;
в) с = 2, k = 1, 5 = 1;
г) с = -3, ft = -l, 5 = 7;
д) с = 4, ft = 2, 5 = 7;
е) с = - 4, ft = 2, 5 = 3;
ж) с = 0,5, ft = 4, 5 = 1;
3) с = -0,5, ft = -2, 5 = 4;
и) с = 5, ft = 5, 5 = -1;
к) с = -5, ft = 0,2, 5 = 8.
9. Не производя деления многочленов, найдите, какой остаток
получится от деления многочлена Р(х) на многочлен Q(x), если:
а) Р(х) = х5 - Зх3 + х - 5, Q(x) = (х - 1)(х + 2);
б) Р(х) = х6 - 4х4 + х2 + 2, Q(x) = (х + 1)(х - 2);
в) Р (х) = х7 + х6 + х5 + х4 + х3 + х2 + х + 2, Q (х) = х2 -1;
г) Р(х) = х17 + х15 - х14 + 2хп - Зх8 + х5 - 6х4 + х + 3, <?(х) = х2 - х;
д) Р(х) = х12 + х9 - Зх7 + 5х4 - 8х2 + 7х - 3, Q(x) = х2 + х;
е) Р(х) = х7 + 2х6 - х5 + 4х3 + х2 - Зх - 5, <?(х) = х2 + 2х;
ж)Р(х) = х8 - 2х7 + Зх5 - 6х4 - х3 + 2х2 + 5х - 7, <?(х) = х2 - 2х;
з) Р(х) = х7 - Зх6 + х5 - 9х3 + 2х2 - Зх + 8, Q(x) = х3 - Зх;
и) Р(х) = х9 + 5х6 - 7х5 + 2х4 - Зх3 + 8х2 - 6х + 2, Q(x) = х3 - х;
к) Р(х) = х11 + 4х10 - 5х7 + 6х4 - х3 + х2 - 5х +1, Q(x) = х - х3.
10. Найдите многочлен третьей степени, который нацело де-
лится на многочлен Р (х), а при делении на многочлен Q (х) дает
в остатке Я(х). Постройте график найденного многочлена, если:
264
a) Pl (x) = x2 - 3, Q(x) = x2 -1, *( = -2x;
6) p\ (x) = x2 - 12, Q (x) = x2 + x, P( *) = - 5,5x;
в) Pl » = 3-x2, Q(x) - x2 -x, Pl = -2x;
r) Pl x) = x2 - 3x, Q (x) = x2 - 4, R w | = 4x - 12;
Д) p\ (x) = 2x2 +3x-12, Q(x) = x2 -1, R( *) = 3 - lOx;
e) Pl 'x) = x2 - 2x - 2, Q(x) = x2 - 4, R\ = 4x -12;
ж) P (x) = x2 + 2x - 2, Q(x) = x2 - x, R\ = 4x - 2;
3) Pl 'x) = 3x - x2, Q(x) = 1 - x2, Pl = x - 3;
И) p (x) = x2 + 3x, Q(x) = x + x2, P(x) = 4x;
к) p (x) = x2 + 6x + 9, Q(x) = 9-x2, P W I = 18x + 54.
11. а) Является ли кольцом множество многочленов, обладаю-
щее тем свойством, что при делении любого многочлена из этого
множества на:
1) х - 2 в остатке получаются целые числа, кратные 7;
2) х + 3 в остатке получаются целые числа, кратные 4;
3) х - 1 в остатке получаются целые числа, кратные 5;
4) х + 1 в остатке получаются целые числа, кратные 10;
5) х - 7 в остатке получаются целые числа, кратные 6;
6) х2 +1 в остатке получается выражение вида kx, где k -целое
число;
7) х2 + 8 в остатке получается выражение вида k(2x + 1), где k -
некоторое постоянное число;
8) х3 + 3 в остатке получается выражение вида kx2, где k - не-
которое постоянное число?
Является ли такое множество многочленов полем?
б) Является ли кольцом множество многочленов, обладающее
тем свойством, что график любого многочлена из этого множест-
ва проходит через точку с координатами:
1) (2; 5ft), k е Z; 2) (-1; k), k е Z; 3) (7; 2ft), ft e Z;
4) (5; 3ft), ft eZ; 5) (-6; 10ft), ft e Z; 6) (0,5; 7ft), ft e Z?
265
Практикум 18 Уравнения высших
степеней
1. Найдите корни многочлена:
а) хл + 6х2 + Зх - 10; е) х3 - Зх2 - 6х + 8;
б) х3 - 6х2 + Зх + 10; ж) х4 + 5х3 + 5х2 - 5х - 6;
в) х3 + 4х2 - 7х - 10; з) х4 + х3 - х2 - 7х + 6;
г) х3 - 4х2 - 13х - 10; и) х5 + х4 - 6х3 - х2 - х - 6;
д) х3 + 7х2 + 14х + 8; к) х5 - х4 - 6х3 + х2 - х - 6.
2. Решите уравнение:
а) х3 - Зх2 +2 = 0; е) х4 + х3 - 4х2 - х + 3 = 0;
б) х3 + Зх2 - 2 = 0; ж) х4 - 2х3 - 5х2 + 8х + 4.= 0;
в) х3 + Зх2 — 2х — 4 = 0; з) х4 + х3 - 5х2 - Зх + 6 = 0;
г) х3 + х2 - 7х + 5 = 0; и) х4 - 8х3 - Зх2 + 32х -4 = 0;
д) х4 + 4х3 - 4х - 1 = 0; к) х5 - 6х4 - 16х3 + 8х2 + 15х -2 = 0.
3. Решите уравнение, если известно, что произведение двух
его корней равно 1:
а) х3 + 3 л/2х2 - Зх + л/2 = 0;
б) х3 -(4 + 7з)х2 + (1 + 4л/з)х - 7з = 0;
в) х3 -19х + 2>/5 = 0;
г) х3 -11х + 2л/з =0;
д) Зх3 + (972 - 10)х2 + 3(1 - loTiJx + эТз = 0;
е) 2х2 - (б + 2у[з)х2 + (2 + б7з)х - 7з = 0;
ж) 4х3 + (17-4>/2)х2 +(4 - 1772)х - 472 = 0;
з) х3 (72 - 2>/б)х2 + (1 - 4>/з)х +72 = 0;
и) х3 + (72-2>/б)х2 + (1-47з)х+72 =0.
266
4. Не производя тождественных преобразований, докажите
верность равенства:
а) (х -1) (х - 2) (х - 3) - (х - 2) (х - 3) (х - 4) + 3 (х - 3) (х - 4) (х - 1) -
- 3(х - 4)(х - 1)(х - 2) = 6;
б) |(х - !)(х - 2)(х - 3)“(х - 2)(х - 3)(х - 4) + (х - 3)(х - 4)(х - г)-
О о
-|(х-4)(х-1)(х"2) = х;
в) (х ~ 2Хх ~ 3) - 2 (х - з) (х - 1) + 3 ~ 1}2(х ~2)=х;
г) 4,5(х - 1)(х - 2) + 0,5(х - 2)(х - 3) - 4(х - 1)(х - 3) = х2;
8(х - 1)(х - 2)(х - 3) (х - 2)(х - 3)(х - 4) . .. .. .
д) “—~ '+2(х 3)(х 4)(х "
_ 9(х-4)(х-1)(х-2) = *2
2
е) 10(х - 1)(х - 2)(х - 3) + 0,5(х - 2)(х - 3)(х - 4) +
+ 2(х - 3)(х - 4)(х -1) - 11,5(х - 4)(х - 1)(х- 2) = х3 - 4;
ж) 85 (х - 1) (х - 2) (х - 3) - 4 (х - 2) (х - 3) (х - 4) +
+ 45(х - 3)(х - 4)(х - 1) = 120(х - 4)(х - 1)(х - 2) + б(х + 1)(х2 + 1);
з) (х2 - 1)(х + 3) - — (х - 1)(х + 3) - — (х + 1)(х + 3) -
(4-х2)(1-х2) fi25 z .
и) J—А—L|i(x + 1F_4)(I + 3) +
+ —(х - 1)(х2 - 4)(х + 3) - 12(х2 - 1)(х - 2)(х + 3) -
12
267
к) |(х - 3)(х -1)(4 - х2) + у (х + 1)(х2
-4)(х-3)-
- yf1 - *2)(*2 -4)+ у (*2 - i)(* - 2Х* -3)+
+ lyf1" х2)(х + 2Хх " 3)= (х + З>3-
5. а) Данный многочлен представьте в виде произведения воз-
можно большего числа многочленов не выше 2-й степени:
1) х3 - 2х2 + Зх - 6; 4) х5 - х4 - х3 + х2 - 2х - 2;
2) х5 - х4 + х3 - х2 - 6х + 6; 5) х5 - х4 + 4х3 - 4х2 + Зх - 3;
3) х5 - 2х4 - х3 + 2х2 - 6х + 12; 6) х6 + Зх4 - х2 - 3.
б) Сократите дробь:
х5 + х4 - 2х3 - 2х2 - Зх - 3
х5 + х4 + 4х3 + 4х2 + Зх + 3 ’
х4 - 2х3 + х2 + 2х - 2
о о ’
х3 - Зх2 + 4х - 2
6. Решите неравенство:
_ х2 Зх 18
б)--- +-----< -5----;
х-1 Х+1 Х-1
в) -г-------у - у * 1-5;
х2 + 2х х - 2 2х
г)-^— +-^->2-1;
х2 - 2х х — 3 х
ч 12 - 2 1
д) ---------+ 12 —- —;
х2 + 2х - 8 х - 2 х
7. Решите уравнение:
а) 2х4 + х3 - Их2 + х + 2 = 0;
х4 + Зх3 - 13х2 + 4х - 30
х4 +8х3 + 17х2 + 16х + 30 ’
х4 - 2х2 - Зх - 2
4) -7---5---5-------•
х4 + х3 - х2 - 7х - 6
ч 2 Зх - 6 3
е)------------>-----------;
х - 5 6 - 2х X2 - 4х + 3
ж) < 2 -
х+6х + 8 х + 1 х + 4
х - 2 х х2 + 2х - 8
„ 2х 36 3
и)------+------z- >----;
Зх - 9 36-х2 X + 6
„ 3 4х 3
к)----- <--------------.
1-х2 2х + 1 2х - 2
в) 2х4 - 9х3 + 14х2 - 9х + 2 = 0;
б) 8х4 + 14х3 - 69х2 + 14х + 8 = 0; г) 2х4 - Зх3 - 6х2 - Зх + 2 = 0;
268
д) Зх4 - 4х3 - 14х2 - 4х + 3 = 0;
е) х4 - 16х3 - 34х2 - 16х + 1 = 0;
ж) 12х4 - Их3 - 146х2 - Их + 12 = 0;
з) 2х4 - 5х3 - 20х2 - 5х + 2 = 0;
и) 2х6 - 5х5 - 14х4 + 10х3 - 14х2 - 5х + 2 = 0;
к) 2х6 + 5х5 - х4 - 10х3 - х2 + 5х + 2 = 0.
8. Решите уравнение:
а) 2х4 + х3 - 10х2 - х + 2 = 0; в) 2х4 - 7х3 + 2х2 + 7х + 2 = 0;
б) 2х4 - 5х3 - 16х2 + 5х + 2 = 0; г) 2х4 - 9х3 - Их2 + 9х + 2 = 0;
д) 2х4 -(4>/з-З)х3 - (4 + 6л/з)х2 + (4>/з-3)х + 2 = 0;
е) 2х4 - Зх3 - 4х2 + Зх + 2 = 0;
ж) 2х4 + Зх3 - 4х2 - Зх + 2 = 0;
з) х4 - 2>/Зх3 - 2х3 + 2>/Зх + 1 = 0;
и) 4х6 - 21х4 + 21х2 -1 = 0;
к) 4х6 + 8х5 - 21х4 - З4х3 + 21х2 + 8х - 4 = 0.
9. а) При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно
три корня:
1) (а3 + 8)х4 + (а2 - 1)х2 + а + у[а? = 0;
2) (4- а2)х4 + (а2 + За + 2)х2 - а-4а2 = 0;
3) (а2 - 9)х4 + (а3 - 8)х2 + а + yla2 + 2а +1 +1 = 0;
4) f а - — 1 х4 + ° + 1 х2 + а + yla2 - 4а + 4 -2 = 0;
I а) а - 3
5) [ а2 + — |х4 + ——- х2 - а - 2 + ^а2 + 4а + 4 = 0;
I a J а + 5 7
7) (а + >/а + 2)х4 + 1 - - х2 + 2а - 1 + лМа2 - 4а +1 = 0?
' ' I а)
269
б) При каких значениях параметра а уравнение имеет един-
ственный корень:
1) (1 - а1 2) х4 + (а - 3) х + а + 2 - ^а2 + 4а + 4 = 0;
2) (ва3 + 1) х + (а2 - а - 2) х2 + а - 3 + у/а2 - 6а + 9 = 0;
3) ——— х4 + (а2 - 2а - з) х2 + 2 - а - ^4 - 4а + а2 = 0;
а + 2 ' 7
4) (а2 - 2а)х4 + | а - — | х2 + а + 1- ^а2 + 2а +1 = 0;
' 7 V а)
5) | а2 + — |х4 + (а - у) а + б)х2 + а - 5 + yla2 - 10а + 25 = 0;
\ а) х 7
6) + 6 + а) х4 + ^а3 - —х2 + а - 2 + у/а2 - 4а + 4 = 0;
7) (а - V2a + 3)x4 + 1 - - |х2 + 5 - а - у/а2 -10а+ 25 = 0?
' 7 I а)
Решение задач
с уравнениями высших
степеней
1. а) Решите тригонометрическое уравнение:
1) 4sin3 х + 12cos2 х + 11 sinx -15 = 0;
2) 4 cos3 x - 12 sin2 x + llcosx + 15 = 0;
3) 4 sin3 x - 4 cos2 x - 3 sin x + 1 = 0;
4) 4 cos3 x + 2 cos 2x - cos x + 1 = 0;
5) 8 sin3 x + 2 cos 2x - 6 sin x + 1 = 0;
6) 4 sin5 * * x + 20 sin4 x - 7 sin3 x - 35 sin2 x + 3 sin x + 15 = 0;
7) 4 cos5 x + 20 cos4 x - 7 cos3 x - 35 cos2 x + 3cosx + 15 = 0;
8) tg3x + 3tg2x - tg x - 3 = 0;
9) ctg3x + 2ctg2x - 3ctgx -6 = 0;
10) tg4x - tg3x - 5tg2x + 3tg x + 6 = 0.
270
б) В каких точках и под какими углами пересекает ось абс-
цисс график функции, заданной формулой:
1) у = 4cos3 х + 12cos2 х + 11 cosx + 3;
2) у = 4sin3 х - 12sin2 x + 11 sinx - 3;
3) у = 3 sin3 x + sin2 x - 3 sin x - 1;
4) у = 25cos3 x + 30cos2 x - 7cosx - 12;
5) у = 5 sin3 x - 3 sin2 x - 5 sin x + 3;
6) у = 5 cos3 x + 4 cos2 x - 5 cos x - 4;
7) у = tg3x - 3 tg2x - 3 tg x + 9;
8) у = ctg3x + 5ctg2x - 3ctgx - 15;
9) у = 3 tg3x + 3 tg2x - tg x - 1;
10) у = 3 ctg3x - 3 ctg2x - ctg x + 1 ?
в) Найдите интервалы возрастания и убывания функции:
1) у = 3sin4 х + 2sin3 х - 12sin2 х - 12sinx + 5;
2) у = 1,5 cos4 х + cos3 х - 6 cos2 x - 6 cos x - 1;
3) у = 3sin4 x + 8sin3 x - 3sin2 x - 12sinx + 1;
4) у = 3cos4 x - 8cos3 x - 3cos2 x + 12cosx - 3;
5) у = tg4x + 4 tg3x - 2 tg2x - 12 tg x + 5;
6) у = ctg4x + 4ctg3x - 2ctg2x - 12ctgx - 7;
7) у = 3tg4x - 4tg3x + 6tg2x - 12 tgx + 1;
8) у = 3ctg4x + 4ctg3x + 6ctg2x + 12ctgx - 1.
2. Решите показательное уравнение:
a) 23x + 2 - 5X + 1 • 22x + 1 - 52x + 1 • 2X + 1 + 53x + 2 = 0;
6) 6 8х + 5 12х - 33 18х + 18 27х = 0;
в) 6 27х + 5 18х - 33 12х + 18 8х = 0;
г) 27х + 1 - 27 18х - 12х + 1 + 12 8х = 0;
д) 27х - 2х"2 9X + 1 - 4Х + 1 3х"2 + 8х = 0;
е) 15 27х - 25 45х-9 75х + 15 125х = 0;
271
ж) 25 125х - 15 • 75х - 15 45х + 9 27х = 0;
з) 21 27х - 49 63х - 9 147х + 21 343х = 0;
и) 23х+1 - 5 20х - 8 50х + 20 125х = 0;
к) 2 16х + 2 40х - 9 100х - 5 250х +10 625х = 0;
л) 5 • 625х + 5 • 250х -12 • 100х - 2 40х + 4 • 16х = 0;
м) 10 ~х - 28 • 10х + 20 100х + 7 = 0.
3. Решите неравенство:
a) 3V4x - 3 < х - 1; д) 3V13x + 6 < х + 2; и) ^7х-12 < х - 2;
б) 3>/4х + 3 > х +1; е) ^/бх + 9 > х - 1; к) *V12x + 1 > Зх +1.
в) ^5х - 6 < х - 1; ж) >/12х + 27 < х +1;
г) Зу/5х + 6 < х +1; з) >/9х - 8 > х -1;
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х2 - 4, У~ 12
х-З’
б) у = 4 - х2, 12
У = 3 - х’
в) у = х2 - 2х - 3, 12
У = х - 4 ’
г) у = (х + 3)(х-1), у =
д) у = 3-2х-х2, 12 У=2-х'
х 12 е) У = х-3 у = х2 - Зх - 4;
ж) у = х2 - 6х + 5, 12 У=х-б;
ч 12 3) У = 6-х у = (х-1)(5-х);
и) у = х2 - 7х + 6, 12 у = с; х + 5
_ 1 о
к) у= -----у= (х + 1)(х + б).
X + 5
272
5. Для данной функции f (х) найдите первообразную, график
которой касается данной прямой. Постройте график найденной
первообразной.
а) Г(х) = х3 1 + 6х2 + 9, у = 16х - 16;
б) /(х) = - х(х - З)2, у = 16х + 16;
в) /(х) = х2(х-3), у = 16х - 64;
г) Г(х) = -х2 (х + 3), у = 16х + 64;
д) /(х) = (х-1) (х + 2)2, г/ = 16х-32;
е) /(х) = (х-2)(х + 1)2, г/ = 16х-48;
ж) Г(х) = -(х + 1) (х-2)2, у = 16х + 32;
3) f(x) = -(x + 2) (х-1)2, у = 16х + 48;
и) Г(х) = (3-х) (х-6)2, г/ = 16х-32;
к) Г(х)=(х-4)(х-1)2, у = 16х - 80;
л) /(х) = (2-х)(х-5)2, у = 16х - 16;
\ ^( \ 5 2/21О 80 128
м) 4х) = 77х и +8Х + 15), у = -—х-—.
6. а) Запишите многочлен третьего порядка с целыми коэф-
фициентами, корень которого равен данному числовому выраже-
нию. Докажите, что это выражение является целым числом, и
найдите это число, если числовое выражение:
2) 379 + 4л/5 + 379-475;
4) 5/7 + 65/2 - 5/55/2-7;
5) 5/9 + З45/2 - 5/345/2-9.
3) 5/48 + 35/253" + 5/48-З 5/253;
б) Найдите рациональное число, если такое существует, рав-
ное данному числовому выражению:
1) 5/Ю + 65/З - 5/65/З - 10;
2) 8 2 + -^= + з2--^;
V З5/З V З5/З
3)
4)
о 11 2 о о 11 2
3 + — + д 3----.
3 УЗ V 3 УЗ
4.1- + 6 - 3J< J— - 6;
уз у уз
273
5)
8) ^б + Юл/б н- 3Т25^10?5;
6) ^/в + Зл/зТ - 37з>/21 - 8; 9) д/эТб-19 - 3719 + б7б;
7) ^2+75 + ^2-Тб;
loAi + ^-h^-n.
\ зТз у 3V3
7. Вычислите:
a) lim
х —> 1
2х3 + х2 - 8х + 5
х4 - х3 - х + 1
б)
5 3 2
.. X - X + X - 1
11П1 ---5-----2-----------5
х_>-12х3 + 9х2 +12х + 5
х3 - V2x2-2х + 2л/2
lim —---т=—----т=-;
*->72 х4 - л/2х3 - 2V2X + 4
х3+зТзх2+9х + зТз
lim —----т=—-------
х^-4з х3 + уЗх2 -3X-3V3
в)
lim
х-> 2
х3 - 2х2 - 4х + 8
х4 - 2х3 - 8х + 16 ’
ж)
8х3 - 4х2 - 2х + 1
11т -----1-----5--------5
х->0,5 16х4 - 8х3 - 2х + 1
_ Зх2 + 14х2 + 20х + 8
г) 11т —т—;
X4 +2х3 + 8х + 16
_ 16х4 + 16х3 - 4х - 1
3) 11П1 -------7---------
х^-о,5 З2х58х3+4х2-1
Практикум 20 Системы линейных
уравнений
1. Решите систему уравнений методом Гаусса и по формулам
Крамера. Дайте геометрическую интерпретацию:
а) х + у + z = 3, * х + 2у + Зг = 6, х + Зг/ + 6г = 10; г) < х + у + г = 4, х + 2г/ + Зг = 11, х + Зг/ + 6г = 18;
б) х + у + z = 3, д) х + г/ + г = 1,
< х + 2у + 3z = 8, < х + 2г/ + Зг = 1,
1 х + Зг/ + 6z = 13; х + Зг/ + 6г = 0;
в) х+ у + z = 2, е) х + г/ + г = 5,
< х + 2у + Зг = 10, < х + 6г/ + х = 10,
х + Зг/ + 6г = 23; х + г/ + 6г = 0;
274
ж)
X 4- у + Z = 1, и)
* 2х 4- Зу 4- 5г = 4,
4х + Оу + 25г = 20;
2х 4- Зу + 5г = -6,
Зх + 5 г/ + 2z = -3,
5х + 2у + 3z = -11;
2х 4- Зу 4- 5^ = -8,
< Зх 4- 5 г/ 4- 2z = -1,
5х 4- 2у 4- 3z = -1;
к)
2х - z = 7,
< 2х 4- 4у - z = -5,
-X 4- Sy 4- 3z = -20.
2. а) Решите систему уравнений. Сделайте геометрическую
иллюстрацию. Запишите координаты точки, принадлежащей
множеству решений этой системы уравнений:
1) ] 2х - Sy 4- Зг = 0, — х 4- 4у 4- 2г = 5; 2) 1 [Зх 4- 5г/ - 2г = 1, [9х 4- 4г/ — 6г = 25;
3) х 4- Оу 4- г = 1, [х 4- Оу - г = 1; 4) 1 Зх 4- 5г/ - 5г = 2, х - 6г/ 4- 6г = -7;
5) ч 2х - Зу 4- г = 10, Зх 4- у - г = 2, 13х 4- Sy - 6г = 0; 6) Зх - у - г = 5, 6х - 2г/ 4- г = 6, 6х - 2г/ - 2г = 11;
7) ч 5х 4- у - г = 2, 2х - Зу 4- 7г = 5, х - Юг/ 4- 22г = 13, 7х - 2г/ 4- 6г = 7; 8) ч 5х - у 4- 2г = 4, 2х 4- Зг/ - г = 12, 13х - 6г/ 4- 7г = 0, 22х - у 4- 7г = 28, 40х - 23г/4-21г =-28;
9) Зх - у 4- 0,5г = 3, -Зх4-г/4-г = -5, 6х - 2г/ 4- г = 6; 10) 2х - Зг/ 4- 4г = 12, < - х 4- 1,5г/ 4- 2г = - 6, 0,5х - 0,75г/ + г = 3.
б) Решите систему уравнений и сделайте геометрическую ил-
люстрацию:
1)
х - 4 г/ 4- 5г = 5,
2х - Sy 4- 3z = 0,
х - 4г/ 4- 1,5г = 1;
х - 4 г/ 4- 5г = 5
< 2х - Sy 4- Зг = 5,
-х 4- 4 г/ 4- 2г - 7;
275
3) х - 4у + 5з = 5, 4) х - 4 г/ + 5г = 5,
2х - 8у + 3z = 2, 2х - 8у + Зг = 2,
0,2х - 0,8г/ + z = 3; Зх - 12г/ + 82 = 6;
S) 1 2х - Зу + lz = 5, 6) 2х + бу - 8г = 3,
1 lx - 2у + 6з = 7, < х + Зу - 4г = 0,
5х + у - г = -2; - 0,5х - 1,5г/ + 2г = 0;
7) Г 2х + 6 г/ - 82 = 3, 8) х - 2у - 5г = 1
х + Зу - 4з = 0, х + 2у - 5г = 3,
- 0,5х - 1,5г/ + 2г = -1; Зх - бу - 15г = 4,
2х + 4у - Юг = 5.
3. Решите систему уравнений:
а) Jx-l| - г/ = -4, е) х + 1 + | у + 31 = 5,
х + | у - 61 = 3; х + 3 - у = 6;
б) | х + 21 - у = 1, ж) ' х + 2| + |у-3| = 7,
н 1 1 to II со х + 5| - у = -7;
в) I х - 31 + 7 = 2, 3) |х-3| + |у + 2| = 4,
х + | у + 11 = 6; Lx + | у + 41 = 5;
г) |х-1| + !/ = -1, и) х + 3 + у - 41 - 4,
х + | у - 31 = 5; х + 1 + у - 21 = 4;
д) х - 1 + | у + 4 | = 5, к) ся II 1 см 1 Н
х + 1 - у = 7; х - | у + 11 = 5.
4. а) При каких значениях параметра а система уравнений
будет иметь единственное решение:
1)
а2х + 4у = а,
4
— х + ay = 1;
л
(а - 1)х + 12 г/ = 5а,
Х А
----ау = а - 4;
а
3)
а2х + (а + 1)у = —
(2 - а)х + (а + 1)г/ = -4,
4)
(а-1)х + (2а + 3)г/ = 2 + -,
(а - 1)х + а2у = —-—?
V 7 а + 2
276
б) При каких значениях параметра а система уравнений не
имеет рашений:
1) < {а3 4- 1)х - (а - 5 (а4-1)*4-у = 1- £ 9 а 2) [(а2 з)х + 1/ = х 7 а -1 2х 4- ау = 5;
3) 2x4- (з - a2)z/ = а2х -2у = За; а 4-1 а - 1 ’ 4) < а2х 4- (а 4-1) у = —, 9« + (« + l)i,= o + 2?
в) При каких значениях параметра а система уравнений име-
ет бесконечно много решений:
а2х - (а + 1)у =2) ((а3 - 4)х - ау = а2 - 4,
(2а -3)х+(а + 1)у = а - 4; 1(а - 4)х + у = 16 - а4;
{а2 - 9) х + 4бп/ = —,
^9 - a2 j х + {а2 + 4} у = а;
4)
„ + (! _ 4а)у =
а2х + (4а3 - 1) у = —-—?
' 7 2а+ 1
5. Решите систему уравнений в зависимости от значений пара-
метра а:
а) Гх + Sy = 5а - 1,
-----+ (а - 3) у = а + 1;
.а - 1
ах + 2у = 4,
2
— х + 7 = а;
а
|1+ — |x + i/ = 3,
\ а)
(5 - а)х 4- 2у = 7 - а;
е)
(а3 - б)х + ay = 1,
(1 - 6а) х + у = а;
в)
а+ 2 6 к
-----х---------= 5,
4 6 - 2 а - 6
6х + (7 + а) у = 30;
ж)
(а3 - б)х 4- ау = 7 - а3,
(ба - 1)х - у = 1 - 7а;
г)
2а-1
а 4-1
X + у = 2,
з)
ах 4- 2у = 2 4- а;
(а - 2) х 4- ау = а 4- 8,
(Г- 8а) х 4- (х2 4- 2а 4- 4j у = - 24 - За.
277
6. При каком значении параметра а данные прямые будут пе-
ресекаться в одной точке:
а) ах - у = 2, х 4- ау = 4, х - 4у 4- а = 0;
б) х 4- у = - а, -4х 4- ау = 1, ах - 4у = 2;
в) ах - у = 1, х 4- ау = 2 - а, 2х - у = а 4-1;
г) ах - у = - 2, х - ау = 2, 2х 4- у = - 4а;
д) 2х + у = - а, х 4- ау = 2, 4ах - 2у 4- 2 = 0;
е) ах -Зу = 5, 4х 4- ау = 2, Зх 4- 5 г/ 4- а = 0;
ж) Зх - 4у 4- а = 0, 5х 4- ау = 3, ах - 2у = 5;
з) ах - у 4- 5 = 0, х 4- ау 4- а = 0, Зх 4- Юг/ = 11а?
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой, про-
ходящей через точки А, В и С, и прямой АВ, если:
а) А (2; 2), в(5; 5), С(3; 1);
б) А(1; -3), В(-3; 5), С(-4; 12);
в) А(-1; 3), В(4; 12), С(-2; 0);
г) А(-1; 4), В(-6; -6), С(-3; 6);
д) А(—1; 3), В(-5; -5), С(2; -12);
е) А(1;-2) В(3; 4), С(-2; 4);
ж) А(-2; -3), В(2; 5), С(-1;-4);
3) А (-4; 5), В(-1; 2), С(-2; 1);
и) Л(2;-4), В(5; -7), С(3; -3);
к) В(-4;-3), С(-3; -2).
8. Докажите, что:
а) удвоенная площадь треугольника ОАВ, где О (0; 0),
А(хх; г/х), В(х2; у2), равна абсолютной величине определителя
Х1 У1 .
х2 У2
б) удвоенная площадь треугольника АВС, где А(хх; уг),
В(х2'> У2)’ С(х3; у3), равна абсолютной величине определителя:
278
1)
xi - хз У1- Уз
х2 - Х3 у2 - Уз
2)
111
Xj х2 х2
У1 У2 Уз
в) три точки A(xj; у^, В(х2; у2) и С(х3; у3) лежат на одной
прямой, если:
1)
Х1 -х3
*2 ~*3
Уг - Уз
У2 ~Уз
= 0;
1 1
Xi х2
У1 У2
г) две прямые, заданные уравнениями Агх + Вху + Сг = 0 и
А2х + В2у + С2 = 0, параллельны или совпадают, если
*1 =0;
^2
д) прямая, проходящая через две точки A (jq; уг) и В (х2; у2)>
может быть записана уравнением
* - *1 У ~У1
х2 - *1 У2~ У1
е) три прямые Агх + Вгу + = О, А2х + В2у + С2 = 0 и
А3х + В3у + С3 = 0 пересекаются в одной точке, если
А В1 С1
^2 В2 ^2 = 0.
А3 В3
Системы нелинейных
" уравнении
1. Решите систему уравнений:
(х + 3)(х + I/) = -4;
(5-х)(у-1) = -12;
б)
(3 - 2х)(у + 1) = 28,
(x + 4)(7-i/) = 8;
(x + y)(i/-2) = 0,
(х- у)(у + 2) = -20;
279
ж) х3у4 - ху2 - 8х - 24г/ = 0, ху3 + х + 2у = 0;
2 а) < Решите систему уравнений: 2х2 + Зху - 2у2 =0, е> 2у2 + ху + х + Зу = 5; х2 -10xi/ + 12i/2 =17, х2 - 7ху + 8у2 = 13;
б) < 2х2 + 5х2!/ + ху2 - 2у3 = 0, 5(xi/ + i) = 2(x2 +/); (3x + 2i/)(9x2 -4i/2) = 128, (3x-2i/)(9x2 +4i/2) = 320;
в) 2х2 + 5x1/ = 3, 3) у2 + 2x1/ = 1; к + + «г со со II II СО | СО |
г) < s4 00 6Г II II н н 00 + 4- СМ см 0,5х3 -2у3 =-3, х2у - 4ху2 = 6;
д) < х2 - 5x1/ = 6, к) Зг/2 - 2ху = 3; 5х4 - 35х2у2 + 5х4 = 1, х2у-6у4 =0,2.
3. Решите систему симметрических алгебраических уравне-
ний:
а) (х2 + ху + у2 = 2 г) |3х + ху + Зу = 9,
Зх + 2ху + Зу = 9; |3х2 + ху + Зу2 = 27;
б) |4х - 5ху + Ду = 3, д)
]х2у + ху2 = 2;
в) (х + ху + у = 11, е) [х3 +х2у2 + у3 =71,
|x2i/ + ху2 = 30; |х2 +ху + у2 =7;
1х3 + у3 = 19,
[х - 2ху 4- у = 11;
280
ж) fx3+j/3 =61,
(xi/ + 9)(x + z/) = 11;
и) fx4+i/4=65,
x + ху + у = 3;
3) fx3 + i/3=37,
х2 + у2 = 25;
к) fx4 + у4 = 97,
х2 + у2 = 13.
4. Решите данное иррациональное уравнение, сведя его к сис-
теме уравнений:
а) V* + >/35 - х = 5;
б) 37х+V97-X =5;
в) >/х - V8 - х = 2;
г) >/х + >/80 - х = 8;
л) ^2х + 2>/5 - х = 4;
м) 2 Зу[х + л/б - 4х = 1;
д) 37х + 736О - х = 18;
е) Зу[х + >/х + 3 = -1;
н) 3>/4х - 20 + 2 V25-X = 8;
о) д/Эх - 1 + 3 Vl-x = 2;
п) 3Vx - 1,5 + 5/х + 1,5 = -1;
р) ^2х2 + 2 д/б - х2 = 4;
ж) 3>1х + 14 + >/б6 - х = 8; с) Зу[х2 - у/д- х2 = 2;
з) =Vx - 20 + 7100 - х = 8; т) ^Зх2 + л/90 - 6х2 = 9;
и) 34х + >/90 - 2х = 9; у) V9x2 - 1 + 3 V1 - х2 = 2;
к) Vx + 740 - Зх = 6; ф) л/х2 - 3 + 711 - х2 = 2.
5. Решите задачу:
а) Сумма кубов цифр двузначного числа в 9 раз больше произ-
ведения его цифр, а произведение суммы цифр на произведение
цифр этого числа равно 48. Найдите это двузначное число.
б) Двузначное число, деленное на сумму его цифр, дает в част-
ном 7 и в остатке 3, а сумма кубов цифр этого числа в 10 раз
больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном по-
рядке. Найдите это двузначное число.
в) Двузначное число, деленное на произведение его цифр, дает
в частном бив остатке 2, а куб суммы цифр этого числа в 27 раз
больше произведения цифр двузначного числа. Найдите это чис-
ло.
г) Двузначное число, деленное на произведение его цифр, дает
в частном 3, а в остатке 9, а само число равно разности между
квадратом суммы его цифр и произведением цифр этого числа.
Найдите это двузначное число.
281
д) Двузначное число больше числа, написанного теми же циф-
рами, но в обратном порядке, на 27. Произведение же цифр этого
двузначного числа в 2 раза больше суммы его цифр. Найдите это
двузначное число.
е) При перемножении двух чисел, одно из которых на 10 боль-
ше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков
в произведении на 4. Для проверки ответа он разделил получен-
ное произведение на меньший из множителей и получил в част-
ном 39, а в остатке 22. Найдите числа, которые требовалось пере-
множить.
ж) Найдите четырехзначное число, у которого две первые циф-
ры одинаковы и две последние цифры одинаковы, а само число
является квадратом некоторого натурального числа.
з) Трехзначное число больше числа, записанного теми же циф-
рами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзнач-
ного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Най-
дите такое трехзначное число.
6. Решите задачу:
а) Три числа, записанные друг за другом в порядке убывания,
будут являться последовательными членами арифметической про-
грессии, если второе из них удвоить, и будут являться последова-
тельными членами геометрической прогрессии, если второе чис-
ло увеличить на 1. Найдите эти числа, если их сумма равна 25.
б) Три числа, записанные друг за другом в порядке возраста-
ния, будут являться последовательными членами арифметичес-
кой прогрессии, если второе из них уменьшить на 2, и будут яв-
ляться последовательными членами геометрической прогрессии,
если второе число уменьшить в 2 раза. Найдите эти числа, если
их сумма равна 32.
в) Три числа, записанные друг за другом в порядке убывания,
будут являться последовательными членами арифметической про-
грессии, если второе из них увеличить в 1,5 раза, и будут являть-
ся последовательными членами геометрической прогрессии, если
второе число уменьшить на 1. Найдите эти числа, если их сумма
равна 40.
г) Три числа, записанные друг за другом в порядке возраста-
ния, будут являться последовательными членами арифметичес-
кой прогрессии, если второе из них уменьшить на 3, и будут яв-
ляться последовательными членами геометрической прогрессии,
если второе число уменьшить в 2 раза. Найдите эти числа, если
их сумма равна 48.
282
д) Сумма трех чисел, являющихся последовательными члена-
ми арифметической прогрессии, равна 2, а сумма квадратов этих
. 5
чисел равна 1 — . Найдите эти числа.
е) Сумма первых трех членов геометрической прогрессии рав-
на 3,5. Сумма квадратов этих трех членов равна 5,25. Найдите
знаменатель и первый член этой прогрессии.
ж) В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сум-
ма ее трех первых членов равна 10,5, а сумма прогрессии равна
12. Найдите первые три члена прогрессии.
з) Сумма членов бесконечно убывающей геометрической про-
грессии равна 64, а сумма первых шести ее членов равна 63. Най-
дите знаменатель и первый член этой прогрессии.
и) Определите три числа, являющиеся последовательными
членами геометрической прогрессии, если их сумма равна 21, а
сумма обратных их чисел равна —.
12
к) Найдите четыре числа, из которых первые три составляют
геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую,
если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12.
7. Решите задачу:
а) Двое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. За
один час, работая вместе, они делают 20 деталей. Сначала первый
рабочий работал один и сделал 20 деталей менее чем за 3 ч. Затем
оставшуюся часть работы оба рабочих выполняли вместе. На всю
работу первым рабочим было затрачено 8 ч. Сколько часов при-
шлось бы потратить первому рабочему на всю работу, если бы
ему пришлось выполнять ее одному?
б) Двое рабочих взялись выполнить некоторую работу за
16 дней. По прошествии 4 дней совместной работы второй рабо-
чий заболел и первый рабочий, проработав 36 дней один, закон-
чил работу. За сколько дней каждый рабочий порознь мог бы
выполнить эту работу?
в) Две бригады, из которых вторая начинает работать на
5 дней позже первой, закончили работу за 15 дней, считая от
момента начала работы второй бригады. Если бы эта работа была
поручена каждой бригаде отдельно, то для ее выполнения первой
бригаде понадобилось бы на 10 дней больше, чем второй. За сколь-
ко дней может выполнить эту работу каждая бригада, работая
отдельно?
г) За сколько дней каждый из трех рабочих отдельно может
выполнить некоторую работу, если первый и второй выполняют
283
ее за а дней, второй и третий - за с дней, а третий и первый - за
b дней?
д) Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Первая труба
может заполнить его на 5 ч скорее, чем вторая. Сколько времени
нужно каждой трубе в отдельности для наполнения бассейна?
Решение различных систем
уравнений
1. Решите систему уравнений:
а) ух = 10, yz = 14, xz = 35; e) < x2 + ху + xz + yz = 10, у2 + ху + xz + yz = 14, z2 + xy + xz + yz = 35;
б) (х + i/)(x + z) = 10, Ж) (x+z/ + z)(7x + i/ + z) = l,
< (х + у)(у + z) = 14, < (x + у + z) (x + 7у + z) = 3,
(х + z)(y + z) = 35; (x + у + z) (x + у + 7z) = 5;
в) ху + xz = 24, 3) x2 + (z/— z)2 = 17,
< yz + ху = 80, <• y2 + (x - z)2 = 29,
xz + yz = 84; Z2 + (x - yf = 37;
Г) x(l/ + z) = 16, И) x2 + xy + y2 = 28,
* y(z + x) = 25, x2 + xz + z2 = 37,
z(x + y) = 21; y2 + yz + z2 = 19;
д) x + у = xy, к) x + xy + у = 1,
<< у+ z = 3yz, у + yz + z = - 2,
z + z = 6xz; z + zx + x = 3.
2. а) Пусть система трех уравнений с неизвестными х, z/J z не
меняется при замене между собой любой пары из трех чисел х, у,
z. Известно, что точка А принадлежит множеству решений этой
системы уравнений. Найдите как можно больше других ее реше-
ний, если:
1) А(1; 2; 3); 2) А(0;-1; 1); 3) А(1; 2; 1); 4) А(5; 5; 3).
284
б) Найдите все решения системы уравнений:
X + у + Z = 1,
* ху + XZ + yz = -1,
xyz = -1;
2) (х + у + z = 5,
< ху + XZ + yz = -1,
xyz = - 5;
3) |x + z/ + z = -l,
* ху + xz + yz = - 4,
xyz = 4;
х + у + z = 2,
< ху + xz + yz = - 9,
xyz = -18;
5)
х + х + z = -3,
< ху + xz + yz = - 4,
xyz = 12;
x + у + z = 12,
* xy + xz + yx = - 0,25,
xyz = - 3.
в) Решите систему уравнений:
1) < х + у + 2z = 6, ху + 2xz + 2yz = - 4, xyz = -12; 2) < 2x + у + 2z = -6, xy + 2xz + yz = - 2, xyz = 6;
3) х - Зу + 2z = 6, - Зху + 2xz - Gyz = - 4, xyz = 4; 4) * x + 2y + 3z ='18, 2xy + 3xz + Gyz = - 4, xyz = -12;
5) 2x - 3y + 3z = - 2, 2xy - 2xz + 3yz = 3, xyz = -1; 6) x + у + 2z = 5, xy + 2xz + 2yz = 5, 2xyz = - 3;
7) x + 2y + x = 1, 2xy + xz + 2yz = -11, 2xyz = - 3; 8) Зх + у + z = -1, 3xy + 3xz + yz = -11, xyz = 1.
г) Решите систему уравнений:
1) < x + у + z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, xyz = -2; 2) < xy + yz + xz = -1, x2 + y2 + z2 = 6, xyz = - 2;
285
3) x + у + z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, x3 + y3 + z3 = 8; 4) < x2 + y2 4- z2 = 6, xy + yz + xz = -1; x3 + y3 + z3 = 8;
5) < x + у + z = 2, 1 1 1 „ e -+—+-= 0,5, x у z xyz = -2; 6) « xy + yz + xz = - 5, 18 18 18 л xy yz xz xyz = - 6;
7) < 0 0 o' 11 11 11 1 1 1 co co co + + 4- CM CM co CO CO CO 1 1 1 co co co 8) y3 + 3x2 + 3x + 1 = 0, Z3 4- 3l/2 4- 3l/ 4-1 = 0, X3 4- 3z2 4- 3z 4-1 = 0.
3. Решите систему уравнений:
1) [2logyx-logxy = 1,
[Эху = 1;
2) flogx у - 21ogy х = 1,
[i/2 - х2 = 2;
3)
Xlog5j/+J/Iog5x =50>
logy 5 • (l + 21og25 x) = 1;
4) |l-logy7 = log7x -logy7,
[x2 + log7 у = 49x2;
0,5 log3 X - log J <jy3 +1 = 1 + —,
^y2 - у+ 2 3 log23
6)
0,5 log2 . У...... - log0>5 7x3 - 1 = 2 +
Vx2 + X + 1
y1 Vx -1 = log6 л/216;
1
log6 2 ’
7) hey = 9,
[lg2 x + lg2 у = 2,5 lg2 9;
8)
x2 = /,
l У Igl/
log8(xy) ' 1о&8 [jj = -1»
log2x3+log2i/3 =11;
lg(xi/) • lg- = 11,
У
lg2 x4 + lg2 y3 = 1.
286
4. Решите систему уравнений:
1) ч л/х - 1 + + 1 = 3, ху = 5 - х + у; 2) ^7x + г/+д/х + г/ + 6=6, д/х + у + 6 - у + х = 10;
3) (х - Зу)х = 4) < 1Ш-2 М- = 1, у у у х + у i/lg(x+7y) =100;
5) < Jx + y +у/х-у =6, уХ2 -23 + 130 _ р 6) y/x + у + Jx-y =2, 15 + 17х-4х2 _ ч.
7) < у/х + 2у - у/2х -у - 1, х2х = ху-, 8) « л/х + tfy = 5, х + у = 97;
9) Hl н| to 4: 1 1 1 н| II w to 1 ~ II H 1 42 10) < x-Jx2 + у2 = 4х, у^х2 +у2 = 4у + 3.
5. Решите систему уравнений:
1) < sin х - sin у = 1,5, 2л х-у = ’Т; 2) 4 cosx + cosy = -0,5, 2tc x-y=T;
3) ч д/ctgx • sin 2у = 0, sin2x + cosy = 0,5; 4) Vcosx • tg2y = 0, sin2 у - cos2x = 1,5;
5) [cosx • cosy = 0,25, [tgx • tgy = 3; 6) J [sinx • sin у = 0,5, ctg x + ctg у = 2;
7) ч д/sin x + cos у = - sin x, cos2 x + cos у = cos 2x; 8) < д/cosx - siny = - cosx, sin2 x - siny = cos2x;
9) ч sin x + cos у = 0,5, tg(* + y) = i; 10) sin x + 5 cos у = 3>/2, cos x + 5 sin у = 3^2.
6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
данная система имеет единственное решение:
287
5)
х + у + az = 1,
< ху + y2z + x2z = За,
xyz3 = a;
x + у = 5z + a,
< x2 + y2 = (a + l)z,
x3 + y3 = 10a2z;
a(x + y) = xy,
4) (a(y + z) = yz,
<xy + yz + xz = 14а,
<xy + yz + xz = 12а,
xyz = 18;
xyz = 16;
x + у + z = a,
< x2 + y2 + z2 = 9,
y2 = xz - 3;
6)
x + у + a cos z = 1,
* z cos (x - i/) + (a + xz/) • tg (x + z/) = z,
z2 + - xy = a;
7)
9)
10)
a sin2 (x - z/) = sin (x + i/), 8)
z2 + alog2 (2 - xz/) = cosx + cosz/,
cos z - sin x - sin у = 3 - a;
sin2 x + у + cosz = a,
< x2 + az2 = 2 - ay,
у2 + у = 2 cosx;
-a / I—\a-y
+ (2-V3) =2,
Jy + a = x + у - 3;
(Vi-1)4(72+if = x2-2x + a,
y2y]2x - x2 = (a2 - 2a - з) • x2;
y2 + 6y + 5 + За = (7з + + (7з - Vif,
(a2 - 5a + б) • у2 = x2 J-у2 - бу.
7. Решите задачу:
а) Из двух пунктов, расстояние между которыми 240 км, вы-
езжают одновременно навстречу друг другу пассажирский и ско-
рый поезда. Каждый из них идет с постоянной скоростью без
остановок, и в некоторый момент времени они встречаются. Если
бы оба поезда шли со скоростью скорого поезда, то их встреча
произошла бы на 18 мин раньше фактического момента встречи.
Если бы оба поезда шли со скоростью пассажирского поезда, то
их встреча произошла бы на 30 мин позже фактического момента
встречи. Найдите скорости этих поездов.
288
б) Два велосипедиста одновременно выезжают из пунктов А и
В навстречу друг другу и, двигаясь каждый с постоянной ско-
ростью, встречаются через 2 ч 24 мин. Если бы первый велосипе-
дист увеличил свою скорость на 50%, а второй увеличил свою
скорость на 20%, то на преодоление расстояния между пунктами
А и В первому велосипедисту понадобилось бы времени на 40 мин
больше, чем второму велосипедисту. За какое время преодолева-
ет расстояние между пунктами А и В каждый велосипедист, дви-
гаясь с первоначальной скоростью?
в) По круговой ледяной дорожке стадиона длиной 400 м стар-
товали из одной точки, но в противоположных направлениях два
конькобежца: разрядник и начинающий. Когда они встретились,
начинающий мгновенно повернул и побежал вслед за разрядни-
ком. Обогнав начинающего на круг, разрядник догнал его через
2 мин 5 с после старта. Если бы скорость разрядника была на
2 м/с меньше, то вторая встреча произошла бы через 1 мин 15 с
после старта. Найдите скорости конькобежцев, считая их посто-
янными.
г) Два лыжника стартовали на дистации 10 км друг за другом
с интервалом 6 мин. Второй лыжник догнал первого в двух кило-
метрах от точки старта. Дойдя до поворота на отметке 5 км, вто-
рой лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии
1 км от точки поворота. Найдите скорости лыжников, считая их
постоянными.
д) Два пловца стартовали один за другим в пятидесятиметро-
вом бассейне на дистанции 100 м. Второй пловец плыл со ско-
ростью 1,5 м/с и догнал первого на отметке 21 м, а затем, доплыв
до противоположной стенки бассейна, повернул обратно и встре-
2
тил первого пловца через — с после момента поворота. Найдите
3
интервал времени между моментами стартов пловцов.
е) Пройдя некоторое расстояние, поезд уменьшил свою ско-
рость на а км/ч и поэтому пришел к месту назначения на 26 мин
позже назначенного времени. Если бы уменьшение скорости про-
изошло позднее, через с км, то поезд опоздал бы только на b мин.
Найдите скорость поезда до ее уменьшения.
ж) Две материальные точки движутся равномерно по разным
сторонам прямого угла по направлению к его вершине. В некото-
рый момент эти материальные точки отстоят от вершины соот-
ветственно на 60 см и 80 см. Через 3 с после этого взаимное рас-
стояние между точками становится 70 см, а еще через 2 с - 50 см.
Определите скорости материальных точек.
10 О. Н. Доброва
289
з) Ученик выходит из автобуса на остановке А и идет до шко-
лы пешком, затратив на это на 1 мин больше, чем если бы он
проехал дальше до остановки В и прошел от нее до школы пеш-
ком. Если бы ученик шел от А до школы с удвоенной скоростью,
то он пришел бы в школу за время, необходимое автобусу на путь
от А до В. Определите скорость ученика, идущего пешком, если
расстояние от А до школы 300 м, а от В до школы 100 м.
и) Города А, В, СиВ расположены так, что образуют выпук-
лый четырехугольник ABCD. Они соединены прямолинейными
дорогами АВ, ВС, СВ, АВ и АС; их длины соответственно равны:
6 км, 14,5 км, 15 км, 15 км. Из одного из этих городов одновре-
менно вышли три туриста, идущие без остановок с постоянными
скоростями. Маршруты всех туристов различны, причем каждый
из них проходит через все города и состоит из трех прямолиней-
ных дорог. Первый и второй туристы встретились в одном городе.
Каждому из них осталось пройти третью дорогу своего маршрута.
Третий турист закончил свой маршрут на 1 ч раньше туриста,
закончившего маршрут последним. Найдите скорости всех турис-
тов, если они заключены в интервале от 5 км/ч до 8 км/ч, а
скорость третьего туриста больше скорости второго, но меньше
скорости первого на 0,5 км/ч.
к) Пункты А, В, С, В расположены так, что пункт В находит-
ся внутри треугольника АВС. Эти пункты соединены прямоли-
нейными дорогами: АВ =130 км, ВС = 140 км, СА =110 км, ВА =
= 90 км, ВВ = 80 км. Из одного из пунктов одновременно выеха-
ли без остановок с постоянными скоростями три автомобиля.
Маршруты всех автомобилей различны, но каждый из них прохо-
дит через все пункты и состоит из трех дорог. Первый автомобиль
начал движение по одной дороге со вторым и, проехав не более
четверти второй дороги своего маршрута, встретился с третьим
автомобилем, для которого эта дорога тоже была второй в его
маршруте. Второй автомобиль закончил свой маршрут предпо-
следним за 3 ч до автомобиля, прибывшего последним. Скорости
всех автомобилей заключены в интервале от 35 км/ч до 65 км/ч.
Скорость первого автомобиля в 1,5 раза меньше скорости треть-
его и на 10 км/ч меньше скорости второго. Найдите скорости
автомобилей.
8. Решите задачу:
а) Имеется три слитка. Первый слиток весит 5 кг и содержит
30% меди, второй весит 3 кг и тоже содержит 30% меди. Если
первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содер-
290
жащий 56% меди, а если второй сплавить с третьим, то получит-
ся слиток, содержащий 60% меди. Найдите вес третьего слитка и
процент содержания в нем меди.
б) В двух сосудах содержится 4 кг и 6 кг раствора кислоты
разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раст-
вор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде?
в) Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, от-
лили 1 л глицерина и взамен долили 1 л воды. После перемеши-
вания отлили 1 л смеси и долили 1 л воды. Снова перемешали и
опять отлили 1 л смеси и долили 1 л воды. В результате этих
операций объем воды в сосуде в 7 раз превысил объем оставшего-
ся в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось
в сосуде в результате проделанных операций?
г) Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, от-
лили 2 л, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После
перемешивания снова отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. Опять
перемешали и отлили 2 л смеси, затем долили 2 л воды. В резуль-
тате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 л больше объ-
ема оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина
и литров воды оказалось в сосуде в результате проделанных
операций?
д) Один вид железной руды содержит 72% железа, другой -
58%. Некоторое количество руды первого вида смешали с неко-
торым количеством руды второго вида и получили руду, содержа-
щую 62% железа. Если бы для смеси взяли каждого вида на 15 кг
больше, чем было взято, то получилась бы руда, содержащая р%
железа. Сколько килограммов руды первого и второго вида было
взято для составления первой смеси? Укажите интервал возмож-
ных значений р.
е) Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и
70% меди, второй - 10% меди и 90% марганца, третий - 15%
никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них требуется пригото-
вить новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наиболь-
шее и какое наименьшее процентное содержание меди может быть
в этом новом сплаве?
ж) Имеется три сплава. Первый содержит 45% олова и
55% свинца, второй - 10% висмута, 40% олова и 50% свинца,
третий - 30% висмута и 70% свинца. Из них требуется составить
291
новый сплав, содержащий 15% висмута. Какое наибольшее и какое
наименьшее процентное содержание свинца может быть в этом
новом сплаве?
з) Имеется три сплава. Первый содержит 70% олова и
30% свинца, второй - 80% олова и 20% цинка, третий -
50% олова, 10% свинца и 40% цинка. Из них требуется пригото-
вить новый сплав, содержащий 15% свинца. Какое наибольшее и
какое наименьшее процентное содержание олова может быть в
этом новом сплаве?
и) Два вкладчика положили в Сбербанк одинаковые суммы
денег. Первый из них взял вклад по истечении а месяцев и полу-
чил b рублей, второй взял вклад по истечении с месяцев и полу-
чил d рублей. Сколько денег каждый из них положил в Сбербанк
и сколько процентов выплачивает этот Сбербанк?
к) У клиента было Ъ рублей. В первый банк он положил
а рублей, а оставшуюся часть денег положил во второй банк. Че-
рез год сумма этих вкладов стала равной А рублям, а еще через
год - В рублям. Если бы первоначальной рублей клиент положил
во второй банк, а оставшуюся часть - в первый, то через год
сумма вкладов стала бы равной С рублям. На какой процент воз-
растает вклад за 1 год в каждом из этих банков, если:
1) а = 5, 6 = 6, А = 670, В = 749, С = 710;
2) а = 3, 6 = 5, А = 590, В = 701, С = 610;
3) а = 1, 6 = 3, А = 380, В = 482, С = 370;
4) а = 1, 6 = 4, А = 470, В = 553, С = 450?
234 Уравнения и неравенства
с двумя переменными.
Простейшие задачи
линейного
программирования
1. На координатной плоскости изобразите множество точек,
координаты которых удовлетворяют:
а) уравнению:
1) х2 + у2 - 2х + 4z/ + 4 = 0; 2) х2 + у2 + 2х + 4z/ + 1 = 0;
3) х2 + у2 = 6х - 4z/;
4) (4 - 2) (у - 3) = 6;
5) ху = у- 2х;
6) ху + 2у + х = 1;
292
7) х2 + у2 - 2х + 41 у + 11 = 0;
8) х2 - 81 х - 11 + у2 + 8у = 1;
9) х2 * * * * * * +у2 - 8| х - 11+8| у + 11= 9; 10) | х + у | + х| х + 11 = 0;
б) неравенству:
1)|ху|<1; 2) | х - 1| у > 1; 3) х | у - 21 <-1;
4) у2 > 2х + 1; 5) | х | - | у | > 3; 6) | х - 21 + | у + 31 < 3;
7) х2 + у2 + бу > 4 | х - 11;
9) х2 + у2 - 6 | х + у - 31 < 9;
8) х2 + у2 - 6 | х + у | + 9 < 0;
10) х2 +у2 < 2(|у\- |х|);
в) системе неравенств:
1)
3)
х < у]у + 3,
у < 7з-х2;
2)
у < у]х + 3,
х < ^3-у2;
7у + 2х >х,
х < ^2-у2;
4)
у > л/з-2х-х2,
•Ах2 + 8х + 4 < у - 7;
5)
log2 У х,
4(у-1)> х(х + б);
х2 + у2 + 2 (х - у) < 7,
|1пу|<х;
9) |(2х + у)2 - 2(2х + у) < 3,
(у - Зх)(у - Зх - 3) < 0;
6) jlogo,5 У х,
[х2 + у2 <2у + 7;
8) . (у-х)2 - 6(i/- х)+8 < 0,
ху > Зх;
10) кх + у)2 - 3(х + у) + 2 > О,
(х + у)2 - 2(х + у) < 1 + 2ху.
2. Вычислите площадь фигуры, точки которой имеют коорди-
наты (х; г/) и удовлетворяют условию:
а) 1) х2 +у2 -2х + 4| у + 1| <3;
2) х2 +у2 +4x + 4|i/ + l| <0;
3) х2 + у2 + 4у + 41 х + 11 < 0;
4) х2 + у2 + 21 2 - х | + 4у < 3;
5) х2 +у2 <2(|х| + |у|);
293
6) 8) х2 + у2 < 9, 7) х2 + у2 > 2, | У | х + 3; (7-х-1) I х + у | - | х - у | > 6, 9) х2 + у2 <4, х2 +у2 <-б(х + у + 1); ' (у - х)(у - (l + 42\х - 2} < 0;
Ю) (з + (1 + 7з)х - - х + (1 + 7г) у) > о,
х2 +у2 <9;
б) 1) л 3) < 5) ч 7) < 9) ч 11) ч в) 1) ч 3) 5) 7) : Н v Н Н н 00 со <4 to to to . + 1Л 1 1 iv + ьэ |Л 45 OS 4S ** OS «С н £ Т’ <= 1Л ,л 1 " IV |Л н Ч ь* л м 1 £? Ь- 1Л "77" |Л |Л СО 5? + to Ч 1 н 2; 2) j 4) Ч 6) •< 8) ч 10) с2 - Зх < у < 7зх - х2; х2 + у2 < 3 + 2х, у2 + 3 < Зх; х2 - 5х + 5 < х + у < 19, ху > бу + 12; ху2 < 4, 12х - 51 < 3; 3 + х |у| > 0,
Ух2 - 10х + 25 < 4; ^2у + 6 > х - 2, 2i/+ 3| х - 51< 13; 2х-1 < у < (х-1)2, 2> : 1п х + In у > 0; 0,52 < у < (Т7^)4; 4) 2 -4х < у < 9 • 2х - 4; 6) < tfx<y< 2-78-х; 8) 12) с log2 2Х < 2у\ Ув-х < х<1 + У + л/э - ^4х2 + 12х + 9 < 1; 1 - х < 716 - 2у, 2у + 3 > 3| х + 21; у <2 log2 х; у < 2 - 7х; у3, -х < 2;
294
9) у + ^7 - х < О,
у + 2 > %]х + 1;
Ю)
— х < 2 - z/3,
л/б-х >2-1/,
1п(х + у + 14) > 1.
3. Постройте на координатной плоскости множество точек
М (х; z/), при подстановке координат которых в данные уравне-
ния относительно а это уравнение будет иметь:
а) один действительный корень:
1) (2х + у)а4 + (4-ху)а2 + у + | у |= 0;
2) (1 - In z/) а4 + (1 - x2z/) а2 - х - | х | = 0;
3) (у - х2)а4 + (х2 - z/2)a2 + | х + 11 - х-1 = 0;
4) (х2 + у2 - 1)а4 + (х2 + у2 - 4^а2 + л1х2 + 2х +1 + х - 1 = 0;
5) (8 - х2 - z/2)a4 + (2 - х2 - yja2 + у]х2 - 2ху + у2 + х - у = 0;
б) три действительных корня:
1) (4 - х2)а4 + (х2у2 - 1)а2 + | z/ - 21 4-1/ — 2 = 0;
2) (z/-x)a4 + (z/-2)a2 + |x + z/|+x + z/ = O;
3) (х2 + у2 - 4у - 5) а4 + (б + 4х - х2 - у2) а2 + | у - х | + х - у = 0;
4) (х2 + у2 - 20z/j а4 + (1g у - 1) а2 + ^х2 + 4х + 4 - х - 2 = 0;
5) (х2 - 2х + у2 )а4 + (х2 - 2х + у2 - 4^ а2 + ^4у2 + 4z/ +1 - 2у - 1 = 0;
в) два действительных корня:
1) (х + у) а4 + хуа2 + х - у = 0;
2) (z/ - 2х)а4 + 5а2 + у - х2 =0;
3) (х2 + у2 - 4^ а4 - а2 + х2 + у2 - 1 = 0;
4) (х + у - 1) а4 + Jxya2 + x + z/-3 = 0;
5) (х - у + 2) а4 + (in xz/) a2 + x- z/-2 = 0.
4. Деталь имеет форму фигуры вращения. Вычислите ее объ-
ем, если осевое сечение этой детали, изображенное на координат-
295
ной плоскости, представляет собой множество точек, для коорди-
нат которых выполняется условие:
а) < |y|<Vx-1, Д) 1g х < 1; 2у > х2, и) У X2, у > | х | + 2;
б) « 4|у|<3х, е) х2 + у2 < 25; х2 - 8у + у2 < 0, к) |у-3|<2; У 2х2, X2 > у - 4.
в) : к2 < у < 3; ж) < | х | у < 2, 0 < Igy < 1;
г) 0<у<4-х2; з) . х2у < 6, 0 < In у < 1;
5. а) При каких значениях с пересечение прямой х + у = с с
фигурой ф будет не пустым множеством, если фигура ф - это
множество точек (х; у) координатной плоскости, для которых вы-
полняется условие:
1) (х > О,
у > о,
У - X < 1,
у - 2х + 3 > 0;
3)
0 < х < 10,
< 0 < у < 7,
у + 0,5х < 8;
х > 0,
у + 1,5х > 2,
* у - 0,5х < 2,
у + 0,5х < 8,
4у - Зх + 2 > 0.
Какое наибольшее значение может принимать с? Каково на-
именьшее значение с? Каково множество значений с в каждом из
данных случаев?
б) Найдите наименьшее значение функции F (х; z/), если для
х и у выполняется условие:
296
1) [о < у < 6,
2) [О < у < 6,
х > О,
х + Зу < 20,
5х + у < 30;
х > О,
х + Зу < 20,
5х + у < 30;
F (х; у) = 20 - х - у; F (х; у) = 30 - х - 4у;
2х - у < 7,
х - 2у < 2,
у - Зх < 3,
х > О,
4) Гх > О,
у>0;
у>о,
• 2х - у <7,
х -2у <2,
у - Зх < 3;
F(x; у) = у - х;
F(x; у) = 10-х-у;
х > О,
У SO,
х + 2у < 10,
х + у < 6,
Зх + у < 12;
F (х; у) = 10 - х - у.
в) Найдите наибольшее значение функции F (х; у), если для х
и у выполняется условие:
1) х > 0, 2) 0 < х < 3,
У s 0, 0 < у < 3,
х + 4у < 16, х + у < 5,
Зх + у < 15; F (х; у) = х + у; х - 2у < 1; F (х; у) = 4х + Зу;
3) 0 < х < 3, 4) х > 0,
0 < у < 3, !/S0,
х + у < 5, X - у < 2,
х - 2у < 1; F (х; у) = Зх + 4у; х - 2у < 1, У ~ х < 2, у - 2х < 1; F (х; у) = 2х + у;
297
5) Гх>0,
z/>0,
X + у > 2,
z/<7,
х < 5,
х + у < 8;
F (х; z/) = 100 + 5х + Зу.
6. Решите задачу линейного программирования:
а) Некоторая продукция производится в двух пунктах: А и В.
Потребляется эта продукция в трех пунктах: К, М и N. В пункте
А производится 250 единиц продукции, а в пункте В - 350 еди-
ниц. Пункту К требуется 150 единиц, пункту М - 240 единиц, а
пункту N - 210 единиц этой продукции. Стоимость перевозки (в
тыс. рублей) одной единицы продукции из пункта производства в
пункт потребления дается следующей таблицей:
1) Пункты К М N
А 4 3 5
В 5 6 4
2) Пункты К М N
А 8 6 3
В 5 4 7
3) Пункты К М N
А 2 5 4
В 4 3 7
Составьте план перевозки продукции, при котором сумма рас-
ходов на перевозку будет наименьшей.
б) Бетон, производимый на заводах А и В, надо развезти по
строительным площадкам 2, 2 и 3. Завод А производит 640 т
бетона в сутки, завод В - 760 т. Потребность в бетоне за сутки на
стройплощадке 1 - 400 т, на стройплощадке 2 - 560 т и на строй-
площадке 3 - 440 т. Стоимость перевозки (в тыс. рублей) одной
298
тонны бетона с завода на стройплощадку дается следующей таб-
лицей:
^\Площадка Завод 1 2 3
А 30 60 90
В 60 75 45
^^Площадка Завод 1 2 3
А 20 40 60
В 40 50 30
Составьте план перевозок бетона, при котором их стоимость
будет наименьшей.
в) Предприятие может выпускать изделия двух видов. На каж-
дое из этих изделий уходит по 100 кг основного материала. Отде-
лочного материала на изделие I вида уходит 30 кг, а на изделие
II вида - 10 кг. Прибыль от реализации единицы изделия I вида -
3 тыс. р., а II вида - 2 тыс. р. На производство изделия I вида
требуется 400 чел.-ч, а II - 300 чел.-ч. На предприятии имеется
350 кг отделочного материала. Каким должен быть план выпуска
этих изделий за цикл работы в 6000 чел.-ч, обеспечивающий мак-
симальную прибыль, если основного материала на предприятии:
1) 1,5 т; 2) 1,6 т; 3) 1,7 т; 4) 1,8 т; 5) 2 т?
Сколько предприятию необходимо иметь основного материа- ф
ла, чтобы обеспечить максимально возможную прибыль (при дан-
ных затратах труда и количестве отделочных материалов), и ка-
ков при этом будет план выпуска изделий?
г) На фабрике для производства двух видов продукции исполь-
зуется три вида сырья: А, В и С. Оно имеется на фабрике в следу-
ющих количествах: 13 ед. вида А, 9 ед. вида В и 8 ед. вида С.
Потребности в этих видах сырья при производстве продукции 1 и
2 даны в таблице в тех же условных единицах:
Сырье Продукция А В С
1 2 0 2
2 2 3 0
Прибыль, получаемая фабрикой от реализации условных еди-
ниц продукции вида 1, равна 3 тыс. р., а вида 2-4 тыс. р.
Спланируйте работу фабрики так, чтобы обеспечить ей наиболь-
шую прибыль.
299
д) На животноводческой ферме производится откорм скота.
Известно, что каждому животному надо ежедневно давать не ме-
нее 6 ед. белка, 8 ед. жиров и 12 ед. углеводов. Для откорма
животных можно закупить жмых и комбикорм, единица веса
которых содержит этих веществ соответственно 21, 2, ЗиЗ, 2, 2
единиц, а стоимость: 15 р. за жмых и 10 р. за комбикорм. Со-
ставьте рацион, при котором была бы обеспечена суточная по-
требность в этих веществах и стоимость его была бы наименьшей.
е) Цех выпускает сплавы из меди и алюминия двух видов: в
сплаве I вида содержание меди в 5 раз больше, чем алюминия, а
в сплаве II вида процентное содержание меди 37,5% и алюминия
62,5%. Сплав I вида формуется слитком массой 4 кг, а сплав
II вида - слитком массой 6 кг.
Сколько слитков каждого вида должен выпустить цех, чтобы
получить остатки металлов наименьшей (общей) массы, если в
цехе имеется: 1) 70 кг меди и 28 кг алюминия; 2) 45 кг меди и
16 кг алюминия?
ж) Из пунктов А и В нужно развезти собранный картофель на
склады 1, 2 и 3. В пункте А весь картофель можно погрузить на 8
машин, а в пункте В - на 10 машин. Склады должны принять:
первый - 5 машин, второй - 7 машин, третий - 6 машин. Коли-
чество бензина в литрах, которое расходует одна машина за про-
бег от пункта А (или В) до склада, дается, следующей таблицей:
Пункт Склад 1 2 3
А 2 4 5
В 4 5 3
Требуется составить план перевозок, при котором общий рас-
ход бензина будет наименьшим.
з) В хозяйстве предполагается засеять 90 га пшеницей и 60 га
рожью I и II участки площадью 57 га и 93 га соответственно.
Урожайность пшеницы: на I участке - 19 ц/га, на II - 22 ц/га.
Урожайность ржи: на I участке - 15 ц/га, на II - 17 ц/га.
Составьте план размещения зерновых культур по этим участ-
кам, при котором общий валовой сбор зерна будет наибольшим.
зоо
1. Вычислите:
1 + 3/ / ,\2
о — I
в) 3-2/ _ 2 + 3/ (М2;
5-7/ 2 ч- 3/
г) +
7 + 5/ 3-2/’
Комплексные числа
и комплексная плоскость
. 2-Уз + S'fzi / \2
Д) —т=--------j= + (1 - 0,5i) ;
Зу2 - 2уЗ/
(зУб+бУ&У .
^бУз-зУб?) ’
2. Пусть z =---+
2
a) (1 + г)(1 + г2);
б) (2-z)(2-z2);
в) (2 + 3z)(2 + 3z2);
г) (3 - 2z)(3 - 2z2);
д) (2z2 - z)(2z - z2);
— i. Вычислите:
2
e) (Зг2 + zj(z2 + Зг);
ж) (4z - Зг2)(4г2 - Зг)
з) (бг2 + 2г) (2г2 + 5г)
и) г2 (Зг + 1)(г + 3);
к) г2 (Зг - 1)(3 - г).
3. Изобразите прямоугольную систему координат и в ней про-
извольную точку А. Запишите ее координаты. Запишите поляр-
ные координаты точки А, если полярная ось совпадает с положи-
тельным лучом оси абсцисс, а полюс - О (0; 0). Запишите соответ-
ствующее точке А комплексное число в алгебраической и триго-
нометрической формах, если действительная ось совпадает с осью
абсцисс, а мнимая ось - с осью ординат. Изобразите и запишите
сопряженное число в тригонометрической форме.
301
4. На комплексной плоскости изобразите множество комплек-
сных чисел г, для которых выполняется условие:
a) |z| = |z + 2i|; и) | г + 7- 2i | >|iz|;
6) |z + l| = |z-i|; к) | 2-11 = :2|г|;
в) | z - 1- 3i | = | z + 1 + i |; л) | г-б| = = 3| г + 2|;
r) | z + 2i - 31 < 13 — 2i|; м) I 2 + 3/ lOz
3 + 4/ ’
Д) | z + 4i | + (1 + i)4 >0; ») 1 2 - J2i | = z 1 + i ’
e) z • 2 < i(l - i)1 2; о) Уз-/ 1
2 1 2 - 6/ | ’
ж) M M| IV + to + -JO п) 2 = 2 i.
2 + 6i i9
3) 13 + iz | < | z |; р) 2-71 2 - i = 3.
5. а) Найдите число с
наименьшим модулем среди комплекс-
ных чисел г, удовлетворяющих условию:
1) |z| = |z + 5-5i|; 2) | iz | = | z + 3 + 211;
3) |z —1 —i| = |z + 3 + 3i|; 4) | г + 4i | = 18 + 4i - z |;
5) | z + 3 + 2i | = | г + 5i |; 6) | z - 1 + бл/з/1 = | z + 5 - л/Зг |;
7) |г + 4>/з +6i| = |z-6i|; 8) |z + 41 = |z + 4^311;
9) | г - 5i | = | г 4-2,4 - 1,8г |; 10) | z + 3| = | г + 6,84 - 5,12i|.
б) Найдите число с наибольшим модулем и число с наимень-
шим модулем среди комплексных чисел г, удовлетворяющих ус-
ловию:
1) I z - 3 + 4i | = 5;
3) | z + 3 - i | = V10;
5) | z + 4 + 3i | = 3;
7) | z + 3 + 4i | = 7;
2) | z + л/б + 2i | = 3;
4) |z + 3-3i| = 3;
6) |z + 3-4i| = 3;
8) |z + 5 + 2i| = l;
10) 2>/з | zi -1| = | 3z + 4|.
302
в) Найдите число с наименьшим аргументом и число с на-
ибольшим аргументом среди чисел г, удовлетворяющих условию:
1) | г -1 - Таг | = 1; 2) | 2 - 2i | = 1;
3) |г + б| = 3; 4) | 2 - T2i | = 1;
5) | г + 3 - зТз/1 = 3; 6) | 2 + 51 = 4;
7) | г + 5i | = 3; 8) •| 2 + 2i | = V2;
9) 12 - 101 = 6; Ю) 12 - 2 + 2i | =
6. Найдите модуль и аргумент комплексного числа г, если:
(cos 0,7л + i sin 1,3л )3
(sin 0,3л + i cos 0,7л)
е) z = ((i - 1) (sin 0,2л - i sin 0,3л ))3;
ч sin 0,7 - i sin 0,2л
ж) г =--------------—;
(1 + i 1£0,6л)
з) 2 = (1 - i ctg 1,1л )3 (1 - cos 0,2л + i sin 0,2л )3;
/ \5
(1 + cos 0,6л + i sin 0,6л)
и) 2 = -----------------------
cos 0,3л
303
7. а) Отметьте на комплексной плоскости два различных чис-
ла zr и г2, где | zr | = 1, | z2 | = 2, и изобразите числа:
1) zx+z2; 2) zx-z2; 3) гх • z2; 4)
г2
5) гх2; 6) zf; 7) г22 8) z32.
б) Отметьте на комплексной плоскости число г, где | z | = 1, и
изобразите число:
1) tz\ 2) z + i; 3) (1 + i)z; 4) 1 - iz-,
5) —; 6) (3-4i)z-5; 7) 8)
z 3 + 4i z
в) Пусть точки z комплексной плоскости принадлежат отрез-
ку АВ. Изобразите множество точек w, если:
1) w = iz, A = 1 + i, В = 1 - i;
2) w = iz, A = -1 + i, В = i;
3) w = iz, A = -l-3i, В = 2 + 6i;
4) w = -iz, A = 2, В = 2i;
5) w = (1 + i)z, A = 3i, B = -3;
6) w = (1 - i)z, A = 5, В = 5i;
7) w = (1 + 2i)z, A = 2, В = 2 + i;
8) w = (2 - i)z + 1 + 2i, A = 2i, В = 2 + 2i.
г) Изобразите на комплексной плоскости множество точек 2iz,
если выполняется условие:
1) I z - 3i | < 2; 2) |z-3 + 2i|<2;
3) | z + 1 - 2i | < 1; 4) |z-3|>2;
5) l<|z-2|<2; 6) l<|z + i|<3;
7) |z + l|<|z-i|; 8) | z | > | z + 2 - 2i |.
8. а) Используя формулу Муавра, выразите через cosx и sinx:
1) cos2x; 2) sin2x; 3) cos3x; 4) sin3x; 5) cos4x; 6) sin4x.
б) Выразите через tg x:
1) tg2x; 2) tg3x; 3) tg4x; 4) ctg2x.
304
в) Докажите, что последовательность чисел
zr = cos х + i sin х,
z2 = cos 2x + i sin 2x,
zn = cos nx + i sin nx, где n g N,
является геометрической прогрессией. Найдите знаменатель этой
прогрессии и сумму т первых членов.
г) Найдите сумму:
1) sin х + sin 2х + ... + sin nx;
2) cosx + cos2x + ... + cosnx (ncAT).
Решение уравнений на
множестве комплексных
чисел
1. Решите уравнение:
а) | z | + 2iz = 9; е) | z | + (1 - 7i) z = 5>/2 - 50i;
б) | z | + Зг = 5 + 15i; ж) г2 = | z | - б);
в) i| г | + 4г = 12 + 21i; з) г2 = i(48 - | z |);
г) 21 z | + iz = 7 + и) z | z | = 3 - 4i;
д) 2| г | + (2 - 4f)z = VK - 5i; к) z | z | = 4 - 3i.
2. Изобразите на комплексной плоскости множество корней
данного уравнения, не решая его. Решите уравнение и запишите
все его корни в алгебраической и тригонометрической формах,
если:
a) z2 = 2i; Д) г3 = i; и) г4 + 1 = 0;
2 1 VS . б) z = + —i; 2 2 е) г3 =-1; к) г4 = -16i;
в) 4z2 + 9i - 0; ж) z3 + 8i = 0; л) г6 =-1;
г) г2 = 7-24i; з) 8г3 + i = 0; м) 1 - iz6 = 0.
305
3. Одна из вершин правильного n-угольника с центром в нача-
ле координат комплексной плоскости находится в точке, соответ-
ствующей числу zx. Напишите уравнение, множество корней ко-
торого, изображенное на комплексной плоскости, совпадает с вер-
шинами этого многоугольника, если:
а) п = 3, =-i; e) n = 4, zx = 2-i;
б) п = 3, = 1 + i; ж) n = 4, zx = -i;
в) п = 3, 2г = 1 + 21; з) n = 5, Zj = i;
г) п = 4, 2i = 1 - i; И) n = 6, zx = -i;
д) п = 4, zx = 1 - i; к) n = 6, Zi = -1 + i.
4. Решите уравнение на множестве комплексных чисел:
е) z4 + (2i-3)z2 + 6i + 8 = 0:
ж) z6 * + (8 - i) г3 - 8i = 0;
а) з4 - 6z2 +25 = 0;
б) z4 - 16z2 + 100 = 0;
в) г4 + 10z2 + 144 = 0;
г) г4 + (1 - i) z2 - i = 0;
д) z4 -(2 + 4i)z2 - 3 - 4i = 0;
з) z6 + | — - 8i | г3 - i = 0;
I8 )
и) z8 +(l-16i)z4 - 16i = 0;
к) 16z8 + (i - 16) z4 - i = 0.
5. а) Запишите многочлен наименьшей степени относительно
z с действительными коэффициентами, имеющий корни:
1) 2i = -2, z2 — 3 i:
2) Zj = 5 - i, z2 = 1 + 5i;
3) Z1 = 0, z2 = -i, Zg — 2 — 3i \
4) Z1 = -3, z2 = 4 + i;
5) 21 = i, z2 = 3/, 23 =1-1;
6) 21 = 72, z2 = 1 -1^2;
7) 21 = i-Тз, z2 = i 9
8) 21 = 2i, z2 — 1 — 7з/;
2 3
9) 21 = 0, Z2 = "Г» 23 =- + »;
3 4
10) 21 = -1 + 75, z2 =1^2, z3 = l-i.
б) Составьте биквадратное уравнение с действительными ко-
эффициентами, которое имеет два данных корня:
306
i) г1 = 7з,
2) гу = 1 - ^2?
3) Zy — 2 + л/з,
4) Zj = л/5 - 2,
5) zt = Зд/2,
6) г1=-2^з,
z2 = -i;
z2 =i;
г2 = - i л/з;
z2 = i л/б;
z2 = -1л/б;
. 4/т
z2 = 1 tJG.
в) Один из корней биквадратного уравнения с действительны-
ми коэффициентами - zr. Найдите остальные корни, если:
1) zr = 1 - 2i; 2) zx = 2 + i;
4) zx = 5 + 2i; 5) zr = 0,5 - 2i;
7)
9)
10)
л . . я
Za = cos— + ism-;
8 8
zx = 2(cos0,2n -isin0,2rc);
z2 = — (- cos 0,Зя - i sin 0,Зя).
3
3) z^ — i — 3;
6) zr = 1 - i л/з;
8) zr = cos0,1k - isin0,lrc;
г) Составьте биквадратное уравнение с действительными ко-
эффициентами, один из корней которого равен:
1) 2-i;
4) 2-г>/3;
2)
5)
2i -1;
л/б+2i;
7) cos— + isin
8 8
V— I я , . я
3 -cos— + г sin —
l 12 12
3)
6)
8)
Ю)
i + л/3;
я . . я
cos---ism — ;
8 8
of я . . Я
2 cos — + 1 sm — ;
V 12 12 J
4 It* I 5я . . 5я |
- V3 cos----ism— .
12 12 J
6. Решите уравнение на множестве комплексных чисел:
а) х4 - 4х3 + 5х2 - 4х + 1 = 0; в) 5х4 - Зх3 + 2х2 - Зх + 5 = 0;
б) х4 + 1,Зх3 + 5х2 + 1,3х + 1 = 0; г) х4 - х3 + 2х2 - х +1 = 0;
д) х4 - л/Зх3 + 2х2 - л/Зх + 1 = 0;
е) Зх4 + 2 л/бх3 + 6х2 + 2 Тбх + 3 = 0;
ж) х4 - 3ix3 - 2х2 + 3ix + 1 = 0;
з) 2х4 + 5ix3 - 4х2 - 5ix + 2 = 0;
и) 2ix4 + 5х3 - 4ix2 - 5х + 2i = 0;
к) л/бх4 - 7ix3 - 2л/бх2 + 7ix + >/б = 0.
307
7. Разложите многочлен Р (г):
а) на множители, представляющие собой многочлены первой
степени относительно г;
б) на максимально возможное число множителей, каждый из
которых представляет собой многочлен относительно z с действи-
тельными коэффициентами, если:
1) P(z) = z4+1;
3) P(z) = z6-1;
5) P(z) = z8-1;
7) P(z) = z4+3z1 2+1;
9) P(z) = z8+17z4+16;
11) P(z) = z3+z-2;
13) P(z) = z(z + l)(z + 2)(.
2) P(z) = z6+1;
4) P(z) = z5-1;
6) P(z) = z4 + z2 + 1;
8) P(z) = z6-7z3-8;
10) P(z) = z8-15z4-16;
12) P(z) = z3+ 4z2+6z + 4;
+ 3) - 24;
14) P(z) = 6z4-13z3+12z2-13z + 6;
15) P(z) = z4+5z3+2z2+5z + l;
16) P(z) = 3z4+7z3+7z + 3;
17) P(z) = z6 + 3z5 + 6z4 + 7z3 + 6z2 + 3z + 1;
18) P(z) = 27z6 +27z5 -117z4 + 195z2 - 75z - 125;
19) P(z) = 12z5 - 56z4 + 107z3 - 107z2 + 56z - 12;
20) P (z) = z7 + 2z6 - 5z5 - 13z4 - 13z3 - 5z2 + 2z + 1.
, Решение задач
‘ co стереометрическим
и физическим содержанием
1. Решите задачу:
а) ТочкаМ является серединой высоты, опущенной из верши-
ны правильной треугольной пирамиды на ее основание, и нахо-
дится на расстоянии b от бокового ребра. Найдите наименьший
объем такой пирамиды.
308
б) ТочкаМ является серединой высоты, опущенной из верши-
ны правильной треугольной пирамиды на ее основание, и нахо-
дится на расстоянии с от боковой грани. Найдите наименьший
объем такой пирамиды.
в) В правильную четырехугольную пирамиду с высотой Н и
стороной основания а вписана прямая четырехугольная призма,
нижнее основание которой лежит в плоскости основания пирами-
ды, а вершины верхнего основания лежат на боковых ребрах.
Определите высоту призмы, при которой ее объем будет наиболь-
шим.
г) В правильную четырехугольную пирамиду с высотой Н и
стороной основания а вписана прямая четырехугольная призма,
нижнее основание которой лежит в плоскости основания пирами-
ды, а вершины верхнего основания лежат на боковых ребрах.
Определите высоту призмы, при которой площадь ее боковой по-
верхности будет наибольшей.
д) В правильную четырехугольную пирамиду с высотой Н и
стороной основания а вписан цилиндр, так что окружность его
верхнего основания касается всех боковых граней пирамиды, а
нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Ка-
кой должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наиболь-
шим?
е) Сторона основания правильной треугольной пирамиды рав-
на а. Найдите наибольший радиус шара, касающегося всех ребер
пирамиды.
ж) Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а. Каким должно быть боковое ребро пирамиды, чтобы сфера,
касающаяся всех ребер пирамиды, имела наибольший радиус?
з) Боковые грани правильного тетраэдра касаются сферы с
центром О, а три вершины основания этого тетраэдра лежат на
сфере радиуса R с тем же центром О. Какой может быть наиболь-
шая длина ребра такого тетраэдра? Каково при этом отношение
радиусов концентрических сфер?
и) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно Z.
При каком угле между ее ребром и плоскостью основания объем
пирамиды будет наибольшим?
к) Высота, опущенная из вершины основания правильной тре-
угольной пирамиды на противоположную ей боковую грань, рав-
на Ь. Чему должна равняться сторона основания пирамиды, что-
бы ее объем был наименьшим?
309
л) В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пи-
рамида. Каким должен быть радиус окружности, описанной око-
ло ее основания, чтобы объем пирамиды был наибольшим?
м) Основанием пирамиды служит ромб, меньшая диагональ
которого равна d. Какой должна быть длина большей диагонали
этого ромба, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если пло-
щадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диа-
гональ, равна Q и высота пирамиды проходит через вершину ост-
рого угла ромба?
н) Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипе-
да равна а. Диагональ параллелепипеда наклонена к боковой гра-
ни, проходящей через другую сторону основания, под углом 30°.
Чему должна быть равна вторая сторона основания, чтобы объем
параллелепипеда был наибольшим?
о) Диагональ прямоугольного параллелепипеда наклонена к
боковой грани, содержащей сторону основания, равную Ь, под
углом 30°. Чему должна быть равна другая сторона основания,
чтобы объем параллелепипеда был наименьшим?
п) В правильной двенадцатиугольной пирамиде, боковые реб-
ра которой пронумерованы подряд, проведено сечение через пер-
вое и пятое ребра, имеющее данную площадь S. Каким должен
быть острый угол между плоскостью этого сечения и плоскостью
основания пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим?
2. Решите задачу:
а) Какой угол должна образовывать диагональ прямоугольни-
ка d с его стороной, чтобы этот прямоугольник являлся разверт-
кой боковой поверхности цилиндра наибольшего объема?
б) Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного
около шара радиуса R. Основание конуса касается шара.
в) Из всех конусов, вписанных в шар радиуса R, найдите тот,
у которого площадь боковой поверхности наибольшая.
г) Из всех конусов с данной площадью боковой поверхности S
найдите тот, у которого объем наибольший.
д) В шар наибольшего объема вписан конус с заданной пло-
щадью осевого сечения. Чему равен угол между высотой и обра-
зующей этого конуса?
е) Каким должен быть радиус шара, чтобы описанный около
шара усеченный конус с образующей I имел наибольший объем?
310
ж) Найдите радиус основания конуса наименьшего объема,
описанного около полушара радиуса R, если центр шара и центр
основания конуса совпадают.
з) Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найдите
тот, который имеет наибольший объем.
и) Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найдите тот,
который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.
к) Из всех цилиндров данного объема V найдите тот, у которо-
го площадь полной поверхности наименьшая.
л) Из всех цилиндров с данной площадью полной поверхности
найдите тот, у которого объем наибольший.
м) Ромб со стороной а вращается вокруг оси, проходящей че-
рез вершину его тупого угла и параллельной большей диагонали
ромба. Каким должен быть острый угол при вершине ромба, что-
бы объем полученной фигуры вращения был наибольшим?
3. Деталь имеет форму фигуры вращения. Вычислите ее объ-
ем, если осевое сечение детали представляет собой фигуру, огра-
ниченную линиями:
а) У = х2 - 4, у = 4 - х2 (рассмотрите два случая);
б) У = х2 - 3, у = 3 - х2 (рассмотрите два случая);
в) У = х2, у = 8 - х2 (рассмотрите два случая);
г) 1О 1 сч к и у = 7б - х2;
д) и сГ| н 1 н to у = х2 - 6х;
е) у = - л/бх - х2, у = 5х - х2;
ж) у = у]-х2 + 6х - 5, у = х2 - 6х + 5;
з) у = 4 + yj-x2 + 6х - 5, у= (х-3)2;
и) у = 3 - л1-х2 - 6х - 5, у = 0,5 - Зх - 0,5х2;
к) ух2 = 5, I г/— 51 = 3; м) х|//| = 7, | х - 41 = 3;
л) г/|х| = 5, |у -31 = 2; н) ух2 = 1, у = х2, у = е;
о) х2у = 5, у = Зх2 +2, у = 1;
п) (5 - у) х2 = 16, у = 3 - л/4 -х2, | у - 2 | = 2.
311
4. а) Имеются два резервуара одинаковой высоты Н. Внутрен-
няя поверхность каждого из них представляет собой фигуру, по-
лученную вращением квадратичной параболы вокруг ее оси сим-
метрии, т.е. параболоид. Диаметр окружности, соответствующей
краю первого резервуара, - d19 а второго - d2. В первый резерву-
ар до половины его высоты налита вода. Такая же масса воды
налита во второй резервуар. На каком уровне находится вода во
втором резервуаре? Найдите работу, которую надо произвести,
чтобы выкачать воду из каждого резервуара. Сравните получен-
ные величины работ, если:
1) Н = 1м, dx = 1 м, d2 = 2м;
2) Я = 2м, dx = 2 м, d2 = Зм;
3) Н = 1,2м, dx = 1,5 м, d2 = 2м;
4) Я = 1,5м, dx = 3 м, d2 = 2м;
5) Я = 2,5м, dx — 3,2 м, d2 = 2,5 м
б) Внутренняя боковая поверхность котла с плоским дном пред-
ставляет собой фигуру, полученную вращением параболы вокруг
ее оси симметрии. В котел до краев налита вода. Найдите ее объ-
ем и работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать
воду из котла, если диаметр дна котла - диаметр поверхности
налитой жидкости - d2, а высота налитого слоя воды - Н, где:
1) di = 1м, d2 — 3 м, Я = 1,6м;
2) di = 1м, d2 = 3 м, Я = 2м;
3) di = 2м, d2 = 5 м, Я = 3м;
4) di = 1,5 м, d2 = 3 м, Я = 2м;
5) di = 0,8 м, d2 = 1,6 м, Я = 1м.
в) Вычислите работу, которую надо произвести, чтобы выка-
чать воду из резервуара, имеющего форму усеченного конуса, если
радиус нижнего основания конуса - гм, радиус верхнего основа-
ния -Ям, высота усеченного конуса - Нм, высота налитой воды -
h м, где:
1) г = 0,5, Я = 1, Я = 2, h = 2;
2) г = 0,5, Я = 1, Я = 2, й = 1;
3) г = 1, Я = 2, Я = 2, h = 1;
4) г = 2, Я = 1, Я = 2, h = 1;
5) г = 2, Я = 1, Я = 2,5, h = 2;
6) г = 2, R = 1,2, Я = 2, й = 0,5.
312
г) В цистерну цилиндрической формы, образующая которой
расположена горизонтально, налита вода до уровня Н м, считая
снизу. Выходное отверстие находится наверху цистерны. Какую
работу необходимо произвести, чтобы выкачать эту воду, если
радиус основания цилиндра - гм, образующая - I м, где:
1) г = 1, Z = 3, Н = 2; 2) г = 1, Z = 3, Н = 1;
3) г = 1,5, Z = 4, Н = 2; 4) г = 2, Z = 5, Н = 3;
5) г = 1,6, г = 8, Н = 3?
5. а) Цилиндрический стакан наполнен маслом. Вычислите
силу давления масла на боковую поверхность стакана, если плот-
ность масла - 900 кг/м3, высота стакана - h м, радиус основа-
ния -гм, где:
1) h = 0,06, г = 0,03;
3) h = 0,15, г = 0,05;
5) h = 0,1, г = 0,05.
2) h = 0,08, г = 0,04;
4) h = 0,12, г = 0,06;
б) Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Найдите силу
давления ртути на боковую поверхность стакана, имеющего ра-
диус основания г и высоту Л, если плотность ртути - 13 600 кг/м3,
где:
1) г = 0,02 м, h = 0,1 м;
3) г = 0,04 м, h = 0,1м;
5) г = 0,05 м , h = 0,2 м
2) г = 0;03м, h = 0,1м;
4) г = 0,03 м, h = 0,09 м;
Решение вариантов
экзаменационных работ
Вариант I 1988 г.
1. Решите уравнение z6 + (8 - f)z3 + (1 + f)6 = 0.
2. Найдите область определения и область значений функции
sin3x
У =------7-----
1-2 sin | — - 2х
1б
3. Многочлен Р (х) делится без остатка на х + 1, а при делении
на х2 - Зх дает в остатке 7х - 1. Найдите остаток от деления мно-
гочлена Р (х) на х3 - 2х2 - Зх.
313
4. Через точку А(-3; 1) проведена прямая, которая является
касательной к графику функции у = ^8- х2. Определите угол
наклона этой прямой к оси абсцисс. Сделайте рисунок с изобра-
жением графика данной функции и данной касательной.
5. Скорость локомотива, движущегося под уклон, задана урав-
нением = 15 + 0,2£. Вычислите длину уклона в метрах, если
локомотив прошел его за 20 с.
Вариант II 1988 г.
1. Решите уравнение z4 + (2 - 4i)z2 - (1 - i)6 = 0.
2. Найдите область определения и область значений функции
cos3x
У =--7-----v
। л ]
cos--X
<3 )
3. Многочлен Q (х) делится без остатка на х - 2, а при делении
на х2 + х дает в остатке 2 - 4х. Найдите остаток от деления мно-
гочлена Q (х) на х3 - х2 - 2х.
4. Через точку А (9; -3) проведена прямая, которая является
касательной к графику функции у = 718 - х2 . Определите угол
наклона этой прямой к оси абсцисс. Сделайте рисунок с изобра-
жением графика данной функции и данной касательной.
5. Скорость автомобиля при торможении выражается форму-
лой v(t) = 18 - l,2t. Вычислите в метрах путь, пройденный авто-
мобилем, если он остановился через 15 с после начала торможе-
ния.
Вариант III 1989 г.
1. Изобразите на чертеже множество точек комплексной плос-
кости, для которых выполняется условие
ltel =
Среди чисел, удовлетворяющих этому равенству, найдите число
с наименьшим модулем. Запишите найденное число в тригоно-
метрической форме.
2. Имеет ли неравенство loga (х - 3) - loga (х - 1) > 1 непустое
множество решений при а > 1 ?
314
3. Является ли функция у = cos3 х решением дифференциаль-
ного уравнения у" + у = - 2 cos Зх ?
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ху2 = 4
и | х - 2,51 = 1,5.
5. Найдите для функции /(х) = (1 - х)(х - 4)2 первообразную,
график которой касается прямой у = 16х. Постройте график най-
денной первообразной.
Вариант IV 1989 г.
1. Изобразите на чертеже множество точек комплексной плос-
кости, для которых выполняется условие
z 4
— = 2 +---- .
i 1 - i
Среди чисел, удовлетворяющих этому равенству, найдите число с
наименьшим модулем. Запишите найденное число в тригономет-
рической форме.
2. Имеет ли неравенство loga (1 - х) + 1 < loga (7 - х) непустое
множество решений при 0 < а < 11
3. Является ли функция у = sin3 х решением дифференциаль-
ного уравнения у" + у = 2 sin Зх ?
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х3у2 = 9
и | х - 51 = 4.
5. Найдите для функции /(х) = (х + 1)(х + 4)2 первообразную,
график которой касается прямой у = 16х. Постройте график най-
денной первообразной.
Вариант V 1989 г.
1. Изобразите на чертеже множество всех тех точек комплекс-
ной плоскости, для которых выполняется условие
Найдите все комплексные числа с аргументом —, удовлетворяю-
4
щие заданному равенству.
2. Решите неравенство 3 - 4 cos2 х < 1 + tg2x.
315
3. Решите систему уравнений
-1°£1 Vj/3 +1 =1 + т-Ц-’
3 log 2 3
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = —
4
и х = 9.
/ \3 / х
I X X ]
5. Постройте график функции у = I — + 11 I — - II. Укажите
множество значений этой функции. Определите число корней
Z X 3 Z X
уравнения — + 1--------1 = а в зависимости от значений пара-
\ 3 ) \ 9 )
метра а.
5
1 - 2i
Вариант VI 1989 г.
1. Изобразите на чертеже множество всех тех точек комплек-
сной плоскости, для которых выполняется условие
4i
z - 4i
Найдите все комплексные числа с аргументом —, удовлетворяю-
4
щие заданному равенству.
2. Решите неравенство | 3 - 4 sinl 2 х | < 1 + ctg2x.
3. Решите систему уравнений
ilog^Tr=
- log0>5 Vx3 -1 = 2 + —J—,
log6 2
l У
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = х3
и х = 4.
5. Постройте график функции у = (1 - х)3 — + 1 . Укажите
множество значений этой функции. Определите число корней
/. \3 (X
уравнения (1-х) — + 1 = о в зависимости от значении парамет-
\ 3 )
ра а.
316
Вариант VII 1989 г.
1. Изобразите на чертеже множество точек комплексной плос-
кости, удовлетворяющих условию
Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется ра-
венство | 2 | = | z - 2i |, и запишите числа, соответствующие этим
точкам, в тригонометрической форме.
2. При каких значениях параметра а, где а е [ 0; л ], уравне-
ние cos(x - а) + cos(x + а) = 1 не имеет решений?
3. Решите систему уравнений
\ogx у - 3\ogy х = 2,
х-3у = 16.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
графиком функции у = >/2х 4- 3 и касательной, проведенной к гра-
фику этой функции, если известно, что ордината точки касания
равна 3.
X3 Х2
5. Постройте график функции у = — (х + 5) .
Вариант VIII 1989 г.
1. Изобразите на чертеже множество точек комплексной плос-
кости, удовлетворяющих условию
/ .\2 65
2 • 2 = (4 - l) 4--.
k 7 1 - Si
Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется ра-
венство | 2 | = | 2 4- 4|, и запишите числа, соответствующие этим
точкам, в тригонометрической форме.
2. При каких значениях параметра а, где а е
урав-
нение sin (а - х) 4- sin (о + х) = 1 не имеет решений?
317
3. Решите систему уравнений
21ogJ/x-logxi/ = l,
‘ -1 1
X у = ~.
о
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
графиком функции у = ^5 - 2х и касательной к этому графику,
если известно, что ордината точки касания равна 3.
5. Постройте график функции у = — (х - 5)2.
12
Вариант IX
1990 г.
1. Решите неравенство
*2-4*+А. >0.
4х -2 • 2Х + 2 +16
1
2. Вычислите интеграл J(|x + 4| + 2|x-l|)dx.
-5
3. Найдите все комплексные числа г, удовлетворяющие одно-
временно двум условиям:
|z-l-f|<|z + l + i|, | z + 2i | < V2.
4. Решите уравнение
log4 (cosxcos2х) = log4 (>/з - sin2xj - log0 25 sinx.
5. Найдите все числа а, для которых функция
/(х) = -х3 + 4х2 - ах - 8
возрастает в интервале (1; 2).
6. Вездеход, находящийся на пересеченной местности в 27 км
от прямолинейной шоссейной дороги, должен доставить геологов
в населенный пункт, расположенный на шоссе. Расстояние от
точки шоссе, ближайшей к вездеходу, до населенного пункта равно
45 км. По пересеченной местности вездеход идет со скоростью
44 км/ч, а по шоссе - со скоростью 55 км/ч. На каком расстоя-
нии от населенного пункта вездеход должен выехать на шоссе,
чтобы время движения было наименьшим?
318
Вариант X
1990 г.
“Ь 1
1. Решите неравенство-------------;---> 0.
9х -2 Зх + 1 +8
6
2. Вычислите интеграл J (21 х - 31 + | х - 51) dx.
4
3. Найдите все комплексные числа г, удовлетворяющие одно-
временно двум условиям:
| г - 2 + i | < | z - i |, | z - 1 - 2f | < 72.
4. Решите уравнение
log2 cosx sin2x---^=r
= log2 sinx - log0 5 cos2x.
5. Найдите все числа а, для которых функция
/(х) = -2х3 - ах - 7х - 21
убывает на интервале (-1; 1).
6. Расстояние от песчаного карьера до кирпичного завода, рас-
положенного на прямолинейной автомагистрали, равно 30 км.
Песчаный карьер удален от автомагистрали на 24 км. Строитель-
ный кооператив взял подряд на строительство подъездной дороги
от карьера к автомагистрали. На каком расстоянии от кирпично-
го завода должна находиться развилка дорог, чтобы время до-
ставки грузов от карьера до завода было наименьшим, если из-
вестно, что автомашины могут развивать на автомагистрали ско-
рость 52 км/ч, а на подъездной дороге 20 км/ч?
Вариант XI 1990 г.
„ _ 2х -15 2х -15
1. Решите неравенство ----->-------.
х - 4 х + 1
2
2. Вычислите интеграл J (| Зх - 11 - 2 ) dx.
-1
3. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие одно-
временно двум условиям: Im(z + 1) < Re(z - 20, | i - 1 - z | < л/2.
4. Решите уравнение
logcosx (sin2x) = 21ogcosx (cosx - sinx).
319
5. Найдите все числа а, для которых функция
у = (а - 2) х3 + 6х2 + (а - 3) х - 1
убывает на множестве R и не имеет критических точек.
6. Три конденсатора, соединенные параллельно, образуют ба-
тарею емкостью С. При каких значениях емкостей конденсаторов
емкость батареи, полученной при их последовательном соедине-
нии, будет наибольшей, если известно, что : С2 = 4 : 1?
Вариант XII 1990 г.
* 3х -8 3х -8
1. Решите неравенство----->------.
х - 2 х + 3
1
2. Вычислите интеграл J (3 - | 2х - 11) dx.
-2
3. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие одно-
временно двум условиям: Im(z - 2) > Re(z + i), | z - 2 + 2i | < 2л/2.
4. Решите уравнение
logsinx (sin2x) = 21ogsinx (sinx - cosx).
5. Найдите все числа а, для которых
II " функция
у = (а - 3) х3 - Зх2 4- (а - 5) х + 2
Исг убывает на множестве R и не имеет кри-
тических точек.
6. Три конденсатора, соединенные параллельно, образуют ба-
тарею емкостью С. Какова наибольшая возможная емкость бата-
реи, составленной из тех же конденсаторов, соединение которых
показано на рисунке, если известно, что :С2 = 5 : 3?
Вариант XIII
1. Найдите критические точки функции
у = 0,25 sin 4х - 1,5 sin 2х 4- 2х.
1990 г.
2. Вычислите произведение корней уравнения
>/х3 + 4х = Зх - 2.
320
3. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z,
Re z _ _
удовлетворяющих условию —- = 0,5.
2 2 (1}2х~4 * * * * * * 11
4. Докажите неравенство 92 + х +1 — I
>162.
5. При каких положительных значениях а площадь фигуры,
3
ограниченной линиями у =-------, у = 0, х = 4 и х = а, равна
27 2х +1
1п^=?
л/125
6. Для изготовления консервной банки цилиндрической фор-
мы заданной вместимости V требуется металл двух сортов: на бо-
ковую поверхность - I сорта, на основание - II сорта, стоимость
которого в 2 раза меньше, чем стоимость металла I сорта. При
каком отношении высоты банки к радиусу ее основания затраты
на материал будут наименьшими?
Вариант XIV 1990 г.
1. Найдите критические точки функции
у = 2х - 0,25 sin 4х - 1,5 cos 2х.
2. Вычислите сумму корней уравнения у/х3 - 6х = х + 4.
3. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z,
Im z
удовлетворяющих условию----— = 0,25.
4. Докажите неравенство 251+х + (0,2) > 0,4.
5. При каких отрицательных значениях а площадь фигуры,
2
ограниченной линиями у =--------, г/ = 0, х = -3 п х = а, равна
ч/- Зх - 2
4
6. Для изготовления бака заданного объема V требуется желе-
зо двух сортов: на боковые стенки и крышку - железо II сорта, на
дно - I сорта, стоимость которого в 3 раза больше, чем стоимость
железа II сорта. Бак имеет форму прямоугольного параллелепи-
педа с квадратным основанием. При каком отношении высоты
бака к стороне его основания затраты на материал будут наимень-
шими?
Вариант XV 1990 г.
1. Известно, что 2<|z + l- i|<3. Изобразите множество то-
чек комплексной плоскости, соответствующих числам г.
11 О. Н. Доброва 321
2. Решите неравенство----------------< 0.
9X + 1 - 3 3X + 1 - 18
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
, ПХ _ ~ о л л
ции у = sin— и у = - 0,5х + Зх - 4.
2
4. Решите систему уравнений
R1
Зу + 2у]~ху'+ 8 = 0,
х - Зу[ху +7 = 0.
5. При каких действительных
значениях а функция
О • А \ 71 Я 1
у = 3 sin х cos х - 4 cos \ х + — cos \ х----------------- ах
I 6 J I 6 J
возрастает на всей области определения?
6» Из трех резисторов составлена цепь, как показано на рисун-
ке. Найдите сопротивления резисторов, при которых сопротивле-
ние цепи будет наибольшим, если известно, что В2:В3 =3:5 и
при последовательном соединении этих резисторов сопротивле-
ние цепи равно R.
Вариант XVI 1990 г.
1. Известно, что |z + i|<|z + 3i|. Изобразите на комплексной
плоскости множество точек, соответствующих числам 2.
о гэ 2х2 + х - 6 _
2. Решите неравенство---------< 0.
4х -2Х + 1 -15
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций у = cos~" и У ~ -0,25х2 - х - 0,75 (абсциссы точек пересече-
ния графиков функций - целые числа).
4. Решите систему уравнений
х2 + Ху/ху +2 = 0,
у2 + Ул/ху - 54 = 0.
5. При каких действительных значениях Ь функция
у = Ьх - 5sinxcosx + 12sin х-sin х + —
I 8J I 8.
убывает на всей области определения?
322
6. Три резистора соединены параллельно. Найдите сопротив-
ления резисторов, при которых сопротивление цепи будет наиболь-
шим, если известно, что Rr:R2 = 4 : 9 и при последовательном
соединении этих резисторов сопротивление цепи равно R.
Вариант XVII 1991 г.
1. Решите уравнение 4cos3x + 3cosx = 0.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
у = е2х~г (~2х2 + 6х - з) в точке ее максимума.
3. Решите уравнение (з - 2х j log х ~ = | 2х - 31.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
1 1
У = ~2------и У =
X2 + 2х + 1 4х + 7
5. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удов-
т Г1
летворяющих условию Im — + — > 1.
2 )
6. Докажите, что график функции у = log9 (6х - х2)-лежит
' 7 X
в нижней координатной полуплоскости.
Вариант XVIII 1991 г.
1. Решите уравнение 5sin3x - 6sinx = 0.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
у = е1-3х (Зх2 + Зх + 1) в точке ее минимума.
3. Решите уравнение 4 - 3х = | 3х - 4 | log* х + .
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
1
х2 - 2х + 1
1
Зх - 5 *
и
5. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удов-
т Г1 Xki
летворяющих условию Im----— > 1.
2)
6. Докажите, что график функции у =---log16(8x-x2) ле-
X v 7
жит в верхней координатной полуплоскости.
323
Вариант XIX
1991 г.
1. Решите уравнение 27х - 3 • 18х - 12х + 3 • 23х = 0.
о ~ cos х + sin х
2. Решите уравнение --------;— = ctgx. Укажите решения
cos х - sin х
уравнения, для которых выполняется неравенство sinxcosx > 0.
3. Решите систему неравенств <
1°£зх-2 28 > 2.
4. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интег-
о
рала, вычислите J л/з - 2х - х2 dx.
-1
5. М - множество точек zx комплексной плоскости, таких, что
pi +72 | = —. К - множество чисел z2 комплексной плоскости
вида z2 = iz19 где zr g М. Найдите расстояния между фигурами
Ми К.
6. При каких значениях параметра а прямая у - 4ах касается
графика функции у = 1пх - ах2 ?
Вариант XX 1991 г.
1. Решите уравнение 8х - 2 20х + 3 • 50х = 6 • 125х.
о cosx-sinx . X
2. Решите уравнение--------= tg —. Укажите решения урав-
cos х + sin х 2
нения, для которых выполняется неравенство cosxsinx < 0.
3. Решите систему неравенств
^(2х-3)(х + 2) > х,
lo&3x-i 27 < 2.
4. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интег-
рала, вычислите J у-х2 - 6х - 5 dx.
-2
5. М - множество точек zx комплексной плоскости, таких, что
| - zri - 2^21 J = 1. К - множество чисел z2 комплексной плоскости
вида z2 = -iz19 где zr g М. Найдите расстояния между фигурами
М и К.
6. При каких значениях параметра а прямая у = ах + —=г ка-
сается графика функции у = 4х ?
324
Вариант XXI 1991 г.
1. Найдите экстремумы функции у = In (4 - х) + х.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой у = - — ,
х
касательной к этой кривой, проведенной в точке с абсциссой х = 1,
и прямой х = 2.
3. Решите уравнение 1 + log6
4. Найдите область определения функции у = - sin х cos х + — .
\ 2 J
5. Изобразите на комплексной плоскости множество точек 2,
удовлетворяющих двойному неравенству у[2 < | (1 - i) z - i | < 2 л/2.
6. Найдите все действительные решения системы уравнений
х3 - у3 = 26,
х2у - ху2 = 6.
Вариант ХХП
1991 г.
1. Найдите экстремумы функции у = In------.
1 + х 8х
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = —-—, касательной к этой кривой, проведенной в точке с
2-х
абсциссой х = 1, и прямой х = -1.
3. Решите уравнение 1 - log9(x + 1)2
4. Найдите область определения функции у =
1
5. Изобразите на комплексной плоскости множество точек 2,
удовлетворяющих двойному неравенству 2 < | 2z + 1 - i | < 6.
325
6. Найдите все действительные решения системы уравнений
2.2 5
X +1/ =-----,
< х-у
(х + yf (х-у) = 9.
Вариант XXIII
1. Решите уравнение 3cosx - 4sinx = 5.
1991 г.
2. Решите неравенство logx (х3 - х2 - 5х) < -1.
з
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х | у | = 1,
у = е, у = - е, х = 0, х = 1.
4. Найдите все действительные значения параметра а, при
х3
которых график функции у = а + 9х---касается оси абсцисс.
3
5. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удов-
2
летворяющих условию Im —---> 1.
2-1
6. Исследуйте функцию / и постройте ее график при условии,
что
Зх2 - 4х + 1, если х < 1,
и НО) = 4.
если х > 1
1--
Вариант XXIV
1. Решите уравнение 5sinx + 12cosx = 13.
1991 г.
2. Решите неравенство logx (х3 - 4х2 + 5х) < -1.
2
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ху2 = 1,
у = -1, у = 1, х = 0, х = 2.
4. Найдите все действительные значения параметра а, при
которых график функции у = х3 - 12х + а касается оси абсцисс.
5. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удов-
2
летворяющих условию Re ——- > 1.
6. Исследуйте функцию f и постройте ее график при условии,
что
- Зх2 +2х + 1, если х < 1, - Л
и цО) = 0.
1-е х, если х > 1
326
Вариант XXV 1991 г.
1. Среди комплексных чисел z, удовлетворяющих условию
| г | = | х - 21|, найдите число с наименьшим модулем.
2. Найдите расстояние между касательными к графику функ-
ции у = — х3 - 2х2 +Зх + 5, параллельными оси абсцисс.
3. Решите систему
COS X
------- = cos 2х - 1,
cosx
х2 - Злх + 2л 2 < 0.
4. Решите неравенство log3 (712 + х - 2) > — log3 (х + 2).
2
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 - 2х, у = - 4х - 1, у = 4х - 9.
6. Для каждого а > -1 найдите наибольшее значение функции
i/ = x3-12x на отрезке [-1; а].
Вариант XXVI 1991 г.
1. Среди комплексных чисел z, удовлетворяющих условию
| г | = | z + 6/1, найдите число с наименьшим модулем..
2. Найдите расстояние между касательными к графику функ-
ции у = — х3 - х2 - Зх + 1, параллельными оси абсцисс.
3. Решите систему
л2 - 4х2 > 0.
4. Решите неравенство log0 5 (79 - х - 1) > — log0 5 (5-х).
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = - х2 + 6х - 9, у = 2х - 5, у = - 2х + 7.
6. Для каждого а > - 2 найдите наименьшее значение функ-
ции у = 27х - х3 на отрезке [ -2; а].
327
Вариант XXVH 1992 г.
1. При каких значениях k функция у = ekx удовлетворяет ус-
ловию 2z/"' - 11/' + 19/ - 10у = О?
2. Решите неравенство log2 (#2 _ 2х) + log0 5 (х2 - 2х) + 2 < 0.
_ _ tgX + ctgX X ± X
3. Решите уравнение J------= - ctg tg—.
V 2 V 2 2
4. Найдите наибольший модуль комплексного числа z, удов-
летворяющего условию | zi - 3i + 4 | < | i |.
5. Найдите все такие точки М графика функции у = х2 - 4х,
что площадь фигуры, ограниченной этим графиком, касательной
к графику, проходящей через точку М, и осью ординат, равна 72.
6. Для каждого а укажите количество корней уравнения
а -г2
-----= е .
2х + 1
Вариант XXVIII 1992 г.
1. При каких значениях а функция у = еах удовлетворяет ус-
ловию 2г/'" + 3/' - Sy' + Зу = 0 ?
2. Решите неравенство log2 (х2 - 4х) - 81og4 (х2 - 4х) + 3 < 0.
3. Решите уравнение 7cos3x - sinx = >/sin3x - cosx.
4. Найдите наименьший модуль комплексного числа z, удов-
летворяющего условию | z - i | = | z + 7з |.
5. Найдите все такие точки W графика функции у = 6х - х2,
что площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, ка-
сательной к графику, проходящей через точку N, и осью орди-
2
нат, равна 41 — .
6. Для каждого а укажите количество корней уравнения
1 2 а
In х = —.
X
328
Вариант XXIX
1. Решите систему неравенств
log2 (21 - х) + log05 (х -1) > log^ 3,
0,5^ < 2~х.
1992 г.
2. Найдите все решения уравнения Vl + cosx - л/2 = л/б sin —,
х 2
удовлетворяющие условию cos — < 0.
2
3. Решите систему уравнений
z + 2i
z + 4/
z + 21 1
|2~1| V2*
4. Пользуясь геометрической интерпретацией определенного
2
интеграла, вычислите J ^%х ~ х
0,5
5. Найдите множество значений функции <р(х) = f(x\ - f\ —-— I,
^х + 1J
где f(x) = х +--
х + 1
6. При каких значениях р из точки В(р; -1) можно провести
три различные касательные к графику функции у = х3 - Зх2 + 3 ?
Вариант XXX
1. Решите систему неравенств
1992 г.
logi (12 - х) + log3 (х + 3) < log9 1
3 ____ 4
0,2х < 092^~^.
2. Найдите все решения уравнения 71 - cos2x + 72 cosx = 1,
удовлетворяющие условию sin х < 0.
3. Решите систему уравнений
z - 4
z-2
z -2
72 ’
329
4. Пользуясь геометрической интерпретацией определенного
4
интеграла, вычислите J ^4х - х2 dx.
з
5. Найдите множество значений функции #(х) = /(х) + f — ,
х 1 1
где fix) = - +-
X х-1
6. При каких значениях t из точки М (t; - 3) можно провести
только одну касательную к графику функции у = х3 - Зх - 1 ?
Вариант XXXI 1992 г.
1. Изобразите комплексные числа 2, удовлетворяющие усло-
вию 23 = -—
1 + Z /------------------
2. Решите неравенство Зуб + х - х2 > 4х - 2.
3. Решите систему уравнений <
sin х + sin у = 1,
I I 2я
о
4. Сравните с нулем число cos^^x^j, где х0 - корень уравне-
не пользуясь калькулятором.
5. Докажите, что при всех k > 0 площадь фигуры, ограничен-
ной графиком функции у = &2х5 - kx2 и осью абсцисс, не зависит
от k.
6. Найдите все общие точки графика функции у = Зх - х2 и
касательной, проведенной к этому графику через точку N (0; 16).
1992 г.
Вариант XXXII
1. Изобразите все комплексные числа 2, удовлетворяющие
2 AM - I
условию 2 = —7=--•
7з +i _____________
2. Решите неравенство у2х2 - 7х > х - 2.
3. Решите систему уравнений
cosx + cosy = -уЗ
1х+И = р
330
log6^
4. Решите уравнение х 6 = 36. Не пользуясь микрокальку-
з/~
лятором, сравните с нулем число cosya, где а - произведение
корней данного уравнения.
5. Докажите, что при k > 0 площадь фигуры, ограниченной
_ , 1 4 1 о •
графиком функции у = —х--------х и осью абсцисс, не зависит
, Ь k2
от К.
1 3
6. Найдите все общие точки графика функции у = — х - 4х и
касательной, проведенной к этому графику через точку М (0; 18).
Вариант XXXIII 1992 г.
1. Пусть zx = 3 + 4г, z2 = -4 4- Зг. При каких действительных
значениях а и Ъ выполняется условие — = azr 4- bz2 ?
z2
2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
sin Зх 4- cos х = 0.
3. В геометрической прогрессии (&п) с положительными чле-
нами выполняется условие Ьг = (Ьг 4- Ъ2) (3^ 4- 4д2). При каком
значении знаменателя прогрессии сумма ее четырех первых чле-
нов принимает наименьшее значение? Найдите эту сумму.
4. Решите неравенство log* (Зх2 - 6х 4- 2) < log* —4- 3.
5. Докажите, что площади фигур, каждая из которых ограни-
чена графиком функции у = х3 - 6х 4-1 и одной из касательных к
этому графику, параллельных оси абсцисс, равны.
6. Найдите множество значений функции у = sinxecos2x.
Вариант XXXIV 1992 г.
1. Пусть zr = 2 - г, z2 = -0,2 - 0,4г. При каких действительных
значениях а и Ъ выполняется условие zr • z2 = azx 4- bz2 ?
2. Найдите наименьший положительный корень уравнения
sin х - cos Зх = 0.
3. Для геометрической прогрессии (bn) с положительными чле-
нами выполняется условие Ьх - Ь3 = Ь2 4- Ь%. При каком значении
знаменателя этой прогрессии сумма четырех ее первых членов
принимает наибольшее значение? Найдите эту сумму.
4. Решите неравенство log*+1 (х2 - 2х - 2) - log х (7 - х) < 1.
х + 1
331
5. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной осью орди-
нат, графиком функции у = 4х - х2 и касательной к этому графи-
ку в точке с абсциссой х0 0, равна площади фигуры, ограничен-
ной графиком той же функции, касательной к графику в точке с
абсциссой (-хо) и осью ординат.
6. Определите множество значений функции у = cosxe1-cos2x.
Вариант XXXV 1992 г.
1. Изобразите множество точек z комплексной плоскости, удов-
летворяющих условию
z - 2
10g2+2,5 (1,5 - х)
2. Решите неравенство + о 5)(х—1)” ~
3. Решите уравнение ctg2xcos5x + sinx = 0.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций у = 0,5х2 - 2х - 1, у = 6,5 - 1,51 х - 51.
5. Сколько корней имеет уравнение 4е“х (х2 + х - б) = 1?
6. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
>/б9 - ЗОх = 9 - Зх и неравенство logi,5ax + 3 (Зх2 - 6,5х + 2 + а) < х
имеют только одно решение.
Вариант XXXVI 1992 г.
1. Изобразите множество точек z комплексной плоскости, удов-
\z + 2i I
летворяющих условию q------р > 2.
|г-/|
logg_x(x + 0,5)
2. Решите неравенство
3. Решите уравнение sin7xctg2x = cos3x.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций у = - 0,5х2 + х + 7,5, у = 1,5 (| х + 21 - 1).
5. Сколько корней имеет уравнение ех~г (х2 -Зх~з) + 12 = 0?
6. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
1 ( logo 2 I 2x2 + 3x + 2 I
4°g0’5(x+ )=5 v ) и неравенство 2ах+ - 4х + а + 7-2х < 0
имеют только одно решение.
332
Приложение
Справочный материал
к практикумам 15-30
Практикум 15
1. а) Функция y=f(х) называется возрастающей на промежут-
ке Х,если промежуток X принадлежит области определения этой
функции и для любых хг и х2 из X связанных неравенством
xi<x2 ,будет выполняться неравенство /(xj < f(x2).
б) Функция y=f(х) называется убывающей на промежутке X,
если промежуток X принадлежит области определения этой фун-
кции и для любых Xj и х2 из X , связанных неравенством хг < х2,
будет выполняться неравенство /(xj) > f(x2).
2. Функцию z/ = a(x) называют бесконечно малой при х—
если для любого положительного (сколь угодно малого) числа е
найдется такое число М, что при всех значениях х, больших М
( т.е. на промежутке (М; +оо )),будет выполняться неравенство
|а(х)|<е .(Иначе значения функции по абсолютной величине мо-
гут становиться сколь угодно малыми при всех достаточно боль-
ших значениях х.)
3. Функцию y=f(х ) называют бесконечно большой при х —> ,
если для любого сколь угодно большого положительного числа А
найдется такое число М,что при х>М будет выполняться неравен-
ство |/(х)| > А . Функция y=f(x) называется бесконечно большой при
х—>-оо,если для любого числа А>0 найдется такое М<0,что при
х<М будет выполняться неравенство |f(x)| > А.
ззз
4. Число В называют пределом функции y=f(x) при неограни-
ченном увеличении аргумента (при х -к»), если разность В - Дх)
является бесконечно малой функцией при х —» -к». Следователь-
но, Дх) = В+ос(х), где а(х) -бесконечно мала при х—>-н»и
В = lim f(x)
Х->+*> ' *
5.Число В называют пределом функции f(x) при х —> и пи-
шут: lim Дх) = В , если lim Д-х) = В .
6. Если lim Дх) = lim Дх) = В , то пишут: limДх) = В.
7. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху на проме-
жутке X, который принадлежит области определения этой функ-
ции, если существует числом такое, что f(x) < М для любых х е X .
8. Функция y=f(х) называется ограниченной снизу на проме-
жутке X, который принадлежит области определения этой фун-
кции,если существует число т такое,что Дх)>тп для любых
хеХ.
9. Теорема. Всякая возрастающая и ограниченная сверху
величина (или последовательность) имеет предел. Всякая убыва-
ющая и ограниченная снизу величина (или последовательность)
имеет предел.
Практикум 16
10. Последовательность {ал} называется бесконечно малой,
если для любого е > 0 найдется такое число Н9 что при всех п >Н
выполняется неравенство |а п | < е .
11. Число Ъ называется пределом последовательности {ал} ,
т.е. Ишал = Ъ , если разность Ъ-ап = ап, где {ал} - бесконечно ма-
п—
лая последовательность, что означает, что для любого е > 0 на-
йдется такое число Н, что при всех n>N выполняется неравенство
1«п|<е •
12. Теорема. Если ИшДх) = д, то 1нпал=&, где
X—>°° п—>°°
ап = Ди), neN.
334
Практикум 18
13. Разность х-а обозначают через ьх и называют прираще-
нием аргумента (или независимой переменной) в точке а, откуда
следует, что сам аргумент х можно выразить через его значение в
точке а и значение его приращения относительно этой точ-
ки: х=а+Дх.
14. Окрестностью точки а называют интервал с центром в этой
точке. Интервал (а-8;а + 8), где 8 >0 , называют 8 -окрестностью
точки а. Все точки х, принадлежащие 8 - окрестности точки а,
удовлетворяют неравенству |х - а| < 8 . Иначе 8 - окрестность точ-
ки а состоит из точек х = а + Лх , где |Дх| <8.
15. Проколотой 8 - окрестностью точки а называется множест-
во, состоящее из всех точек 8 - окрестности точки а за исключени-
ем самой точки а. Для всех точек х проколотой 8 - окрестности
точки а выполняется неравенство 0 <|х-а| <8 , сами точки х при-
надлежат множеству (а-8;а)и(а;а + 8).
16. Запись х —> tz означает, что х принадлежит 8 - окрестнос-
ти точки а при сколь угодно малом положительном значении 8 за
исключением самой точки а, т.е. х принадлежит проколотой
8 -окрестности точки а при неограниченно малом 8 .
17. Функция y=f(х) называется бесконечно малой при х —> а ,
если для любого (сколь угодно малого) е > 0 можно указать такое
8 > 0 , что для всех точек проколотой 8 -окрестности точки а бу-
дет выполняться неравенство |/(х)|<е . При этом пишут:
f(x) —> 0 при X —> а (или /(а + Дх)—>0 при Дх—>0), если Дх) бес-
конечно мала в окрестности точки а.
18. Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при х —> а , рав-
ный Ь9 если разность f(x)-b бесконечно мала при х —> а , и пишут:
lim/?(x) = fe. Это означает,что для любого е>0 можно указать та-
кое 8 > 0 , что для всех точек проколотой 8 - окрестности точки а
(или для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-а|<8 ), бу-
дет выполняться неравенство /*(х) - b < е.
335
19. Функция Дх) бесконечно мала при х —> а тогда и только тог-
да, когда limf(x) = 0 .
х^а
Практикум 19
20. Говорят, что функция y=f{x) имеет при х^а односторон-
ний предел:
справа и при этом пишут:
lim f(x) , если lim f(x)= 1йп/?(а + |Дх|) = &, т.е. для любого
х—>а+0 ' 7 х—>а+0 V 7 4х->0 V 1 ''
Е > 0 найдется такое 8 > 0 ,что при всех х е (а; а + 8) будет выпол-
няться неравенство |& - f(x)| < е;
слева и при этом пишут:
lim f(x}, если lim f(x} = lim f(a -1 Дх|) = с, т.е. для любого e > 0
x->a-0 V 7 x—>a-0 V 7 Ax->0 ' 1 17
найдется такое 8 > 0 , что при всех х е (а-8; а) будет выполняться
неравенство |с - f(x)| < £.
21. Приращением функции y=f(x) в точке х0 называется раз-
ность /?(х)-/?(х0) или f(xQ + Дх) - Дх0), где Дх - приращение ар-
гумента в точке х0(Дх = х-х0). Обозначается: Дг/ или Д/(х0).
22. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если
функция определена в точке х0 и некоторой окрестности точки
х0 и выполняется одно из условий: 1) lim f(x) = f(x0); 2) lim Дг/ = 0 ,
где Дх - приращение аргумента, а Дг/ - приращение функции в
точке х0; 3) lim f(x) = lim Дх) = Дх0). Если выполняется одно из
X—>Xq+0 X—>Xq—0
этих условий, то будут выполняться и два остальных.
23. Точка х0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если
в этой точке не выполняются условия непрерывности фун-
кции. Точки разрыва могут принадлежать области определения и
могут не принадлежать области определения функции.
336
Практикум 20
24. Говорят, что функция y=f(x) непрерывна на(а;Ь), если она
непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y=f(x) непрерывна на [а;Ь], если она непрерывна на
(а;Ь) и lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b).
x->a+0 ' 7 x—>&-0
Практикум 21
25. Функцию y=f(x) называют ограниченной на множестве X,
если множество X входит в область определения функции и сущес-
твует такое число С, что для любого х из множествах справедливо
неравенство |/(х)|<С.
Практикум 22
26. Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел
отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргу-
мента в этой точке при условии,что приращение аргумента стре-
мится к нулю (если предел существует).
Обозначается: f'(x0) или i/'(x0). Итак, по определению:
ч Мхо) Л*О+Д*)-Лхо) /(х)-/(хо)
f (х0) = hm —-—- - hm — ---—-—- = hm ———-—-
Ах^О Дх А*”*0 Дх х^х0 Х-Хо
27. Функция, имеющая производную в точке х0 называется
дифференцируемой в точке х0.
28. Если функция y=f(x) дифференцируема в каждой точке ин-
тервала (а;&), то говорят, что она дифференцируема на этом интер-
вале. Обозначается: у', у'(х)9 f '(х), у'х , при этом:
y' = f\x), у' = у’(х) = у'х.
29. Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой
точке, то в этой точке функция непрерывна.
Обратное утверждение неверно, так как непрерывная функция
может не иметь производной.
Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она
не имеет производной в этой точке.
30. Угол наклона прямой к оси абсцисс, если прямая ее пересе-
кает, есть угол, вершина которого находится в точке пересечения,
337
одна из сторон этого угла совпадает с положительным направле-
нием оси абсцисс, а другая сторона угла совпадает с частью пря-
мой, лежащей в верхней полуплоскости относительно оси абсцисс.
В этом случае для угла наклона а справедливо неравенство:
0° < а < 180° или 0 < а < л .
Считают, что угол наклона прямой к оси абсцисс равен 0, если
прямая параллельна оси абсцисс или с ней совпадает.
31. Число k называют угловым коэффициентом прямой y=kx+b.
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой
прямой к оси абсцисс.
32. Геометрический смысл производной: для данной функции
y=f(x) ее производная Л(^о) равна угловому коэффициенту каса-
тельной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке с абсцис-
сой xQ, т.е. равна тангенсу угла наклона этой касательной.
33. Говорят, что график функции y=f(x) пересекает ось абсцисс
в точке х0 под углом а , если угол а является углом наклона ка-
сательной к графику этой функции в точке (хо;О). f'(x0) = tga.
34. Механический смысл производной: для функции y=f(x)>
меняющейся со временем х, производная /'(*) есть скорость изме-
нения функции у в данный момент х.
Практикум 23
35. Основные правила нахождения производных:
(f+g),=f' + g'; (c-f) -cf',где с е Z;
(f-g) =f'-g'; (fg) =f'g+fg',
если f и g - дифференцируемые функции одного и того же аргу-
мента. Последнее равенство имеет место при всех тех значениях
аргумента, когда g ф 0 .
Если у =f(x) - сложная функция, т.е. f(x)=f(z(x)), и f' и z'x су-
ществуют, то у = • z'x.
36. Производные некоторых простейших функций:
(с) = 0 , где с - число;
(х) =1; (kx + b) =k > W kn b -числа
338
(х2) = 2х; (х3) =3 х2; (хп) =п х" ‘.гдепеЛГ;
/
т \ т 1
х п = — • х п , где п g N, т g Z, х > 0;
I Л п
(sinx) =cosx; (cosx) =-sinx;
(tgx) =—^; (ctgx) =-—
cos x sm x
Практикум 24
37. Если функция у =f(x) имеет производную в точке х0, при-
чем Л(х0) = А , то приращение функции Дг/ при переходе от х0 к
х0 + Дх , где Дх - приращение аргумента, можно записать в виде
&У = Лхо + Ах) - Лхо) = (-А+а{ Ах)) Ах ,
где А - число, не зависящее от Дх, а а(Дх) - бесконечно малая
функция относительно Дх (при Дх—>0 ).
Если Дх достаточно мало, то на отрезке [х0 ;х0 + Дх] будет иметь
место приближенное равенство Дг/~ АДх, где А - коэффициент
прямой пропорциональной зависимости приращения функции Ау
от приращения аргумента Дх.
Величину А-Дх обозначают через dy, где буква d - знак диф-
ференциала ( от латинского слова differentia - разность), и назы-
вают дифференциалом функции у в точке х0.
Так как Ау = (А + а(Дх)) • Дх, то
Ау = А • Дх + а( Дх) • Дх = dy + а( Дх) • Дх.
38. Определение. Дифференциалом функции называется
величина, пропорциональная приращению независимой перемен-
ной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно ма-
лую функцию более высокого порядка малости по сравнению с при-
ращением независимой переменной. В равенстве
Дг/ = А • Дх + а( Дх) • Дх
слагаемое А Дх называют главной линейной частью приращения
339
функции или главным линейным членом приращения функции.
Поэтому говорят: дифференциал функции представляет собой
главную линейную часть бесконечно малого приращения этой
функции.
39. Теорема единственности дифференциала: функция может
иметь только один дифференциал. (Доказательство. Пусть
функцияy=f(x) имеет два дифференциала:б/1/= А-Дх и dly = A1Ax.
Тогда
А у = А • Дх + а • Дх
&у = А-Дх + oCj Дх ,
где а и otj - бесконечно малые функции относительно Дх.
Имеем: А-Дх + а • Дх = Аг • Дх + оц • Дх, или
(A- Aj- Ax = (aj - а)-Дх.
При х^О получается: А-А1=а1-а, где A-Aj- число, а
а! - а - бесконечно малая функция при Дх—>0 . Равенство будет
возможно, только если А = Аг, а значит, и dy = dry).
40. Те орема. Функция имеет дифференциал тогда и только
тогда, когда она имеет производную. Именно поэтому функцию,
имеющую производную, называют дифференцируемой:
dy = y'- Дх.
41. О пред е лени е. Под дифференциалом независимой пере-
менной понимают дифференциал функции, тождественной с неза-
висимой переменной, т.е. дифференциал функции i/=x:
dy = dx = Дх, если у = х.
, dy
Итак, Ax = dx, a dy = у' \х = y' dxn у =—. Отсюда следуют
dx
утверждения 42 и 43.
42. Дифференциал функции равен произведению производной
этой функции на дифференциал независимой переменной:
dy = y' • dx.
43. Производная функции равна отношению дифференциала
этой функции к дифференциалу независимой переменной:
340
44. Геометрический смысл дифференциала: дифференциал
функции y=f(x) в данной точке х0 равен приращению ординаты
касательной, проведенной к графику этой функции в точке с аб-
сциссой х0, когда х0 получает приращение Дх.
45. Основные правила дифференцирования функций:
dc=0, если с - постоянная величина,
d(f + g-(p) = df + dg-d(p , где f,gn(p- дифференцируемые
функ- ции от х;
d(cf) = cdf, где с - число;
d(f g) = df g + fdg-,
/ f ] gdf-fdg
“ — =----2---
\g) g
df(z(x)) _ df dz
dx dz dx
Практикум 25
46. Определение. Первообразной функцией для данной фун-
кции Дх) на некотором промежутке называется такая функция
F(x), производная которой равна Дх) или дифференциал которой
равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке. Таким образом,
функция F(x) является первообразной для функции Дх), если на
данном промежутке выполняется одно из равенств:
F'(x) = f(x), или dF(x) = f(x)dx.
Разумеется,что функции Дх) и F(x) существуют в каждой точ-
ке рассматриваемого промежутка и непрерывны.
47. Теорема. Две различные первообразные одной и той же
функции, определенные на некотором промежутке, отличаются
друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое.
48. Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная
(СеЛ), a F(x),- одна из первообразных функций Дх), представ-
ляет собой запись всей совокупности ( или всего множества) пер-
вообразных для данной функции Дх).
49. Интегрирование (от латинского integrare - восстанавливать
в целое) - операция, обратная операции дифференцирования, т.е.
операции dF(x). Она обозначается символом
341
JdF(x) - неопределенный интеграл, который представляет со-
бой выражение всего множества функций F(x), т.е.
JdF(x) = F(x) + C
где С - произвольная постоянная, аЕ(х) - одна из функций, имею-
щая данный дифференциал dF(x). Если dF(x)=f(x)dx, то
JdF(x) = ff(x)dx и j f(x)dx = F(x)+C.
Выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением,
а Дх) - подынтегральной функцией неопределенного интеграла
Jf(x)dx. Так как F'(x) = f(x), то Е(х) - одна из первообразных не-
прерывной функции Дх), а С - произвольная постоянная.
50. Уравнение называют дифференциальным, если оно содер-
жит дифференциалы ( или производные ) искомой функции.
Простейшие дифференциальные уравнения имеют вид:
у' = f(x), или dy = f(x)dx.
Общее решение каждого из этих уравнений есть
у=р(4
т.е. i/=F(x)+C, где Е(х) - одна из первообразных функции Дх), а
С - произвольная постоянная. При каждом конкретном значении
постоянной С получают частное решение дифференциального
уравнения.Частное решение дифференциального уравнения может
быть получено из дополнительных условий задачи.Обычно такое
условие называют начальным (для дифференциального уравнения
1-го порядка): при х = х0 функция принимает значение у = у0 , т.е.
У о = !/(хо) • Поскольку общее решение имеет вид z/=F(x)+C, то ра-
венство yQ = Е(х0) + С позволяет определить значение постоянной
С. Если дифференциальное уравнение содержит производную 2-го
порядка,то для нахождения конкретного частного решения необ-
ходимо иметь два (начальных) значения: y(xQ) и z/'(x0).
51. Простейшие правила интегрирования:
j (А (х) + A = j A (x)dx + j f2 (x)dx,
Jkf(x}dx = kj f(x)dx , где k - число;
342
j f(kx + b)dx = jf(kx + ti)d(kx + b) ,где knb - числа.
52. Таблица простейших неопределенных интегралов:
Г хл+1
xndx =----+ С, где п * -1;
J п + 1
sinxdx = - cosx + С;
cosxdx = sinx + С;
Г dx
J cos2x
= tgx 4- C;
Г dx
J sin2x
= -ctgx 4- C.
Практикум 26
53. Разность значений функции F(x) при x=b и х=а, т.е.
F(b)-F(a), называют ее приращением на отрезке [а;£] и обознача-
ют символом: F(x)г , где вертикальная черта носит название
“вставки”. Таким образом, F(x)|*= F(b)-F(a).
54. Определение 1 .Приращение функции на отрезке [а;Ь]
называют определенным интегралом от дифференциала этой фун-
кции от а до b и обозначают
ь
Числа а и b называют пределами интегрирования, причем b -
верхним пределом интегрирования, а - нижним. Отрезок [а;£] на-
зывают промежутком интегрирования.
Пусть dF(x)=f(x)dx, где Дх) - непрерывная функция на [а;£]
(F(x) - первообразная функции Дх) при х g [a;b]). Тогда из опреде-
ления 1 следует формула Ньютона-Лейбница:
ь
J f(x)dx = F(x)
а
= F(b)-F(a).
Ь
а
ь
Определение 2. Определенным интегралом f(x}dx от
данной непрерывной на отрезке [а;£] функции Дх) называют при-
343
ращение ее первообразной на этом отрезке. Функцию Дх) называ-
ют в этом случае подынтегральной.
Определение 2 определяет правило:
Определенный интеграл равен разности значений первообраз-
ной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.
55. Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функ-
ции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной
функции. Следствие.
J f(x)dx = J f(x)dx ,
а
где под J f(x)dx понимается одна из первообразных (любая) фун-
кции Дх).
56. Теорем а. Для всякой функции, непрерывной на отрезке
[а;£], существует соответствующий определенный интеграл.
57. Фигура, ограниченная осью абсцисс, прямыми х=а и х=Ь и
графиком непрерывной и знакопостоянной на отрезке [а;£] функ-
ции y=f(x), называется криволинейной трапецией.
58. Геометрический смысл определенного интеграла. Опреде-
ь
ленный интеграл J f(x) dx от непрерывной неотрицательной функ-
а
ции Дх) при а< Ъ равен площади криволинейной трапеции, огра-
ниченной графиком подынтегральной функции y=f(x), прямыми
х=а и х=Ъ и осью абсцисс.
ь
S = Jf(x)dx,
а
где S - площадь соответствующей криволинейной трапеции.
59. Свойство аддитивности определенного интеграла. Если про-
межуток интегрирования [а;£] разбит на конечное число частич-
ных промежутков, то определенный интеграл,взятый по проме-
жутку [а;£], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем
его частичным промежуткам, т.е.
Ь с Ь
J f(x)dx = J f(x}dx + J f(x)dx,
а а с
где се[а;&].
344
60. Геометрический смысл определенного интеграла в общем
ь
случае. Определенный интеграл jf(x)dx при а<Ъ представляет
а
собой алгебраическую сумму площадей соответствующих криво-
линейных трапеций, где площади трапеций, расположенных выше
оси абсцисс, берутся со знаком плюс,а площади трапеций, распо-
ложенных ниже оси абсцисс, - со знаком минус.
61. Пусть: a = xQ <хх <х2 <...<xi <xi+1 <...<хп =b, &xt =xi+1-xt,
где i=0,l,2,...,n-l; xi<xi <хн1, тогда
sn = f(x0) Ах0 + f (х,) • Дх, +... + f (xn_!) • Дх,.,
- интегральная сумма для функции /(х). Другая краткая запись:
Sn
1=0
( Z - греческая буква “сигма“, здесь употребляется как знак сум-
мирования).
62. Теорема (определение 3). Если функция f(x) непрерывна
на отрезке [а;£], то предел ее интегральной суммы Sn прияч^ и
условии,что длина наибольшего из отрезков Axf стремится к нулю,
существует и равен определенному интегралу от этой функции, т.е.
ь
limSn = S = [ f(x)dx.
П—^оо J
а
63. Пусть известен закон изменения во времени скорости пря-
молинейно движущейся точки - v(t). Поскольку S'(t) = v(t), гдев(0
- закон перемещения точки в данном прямолинейном движении,то
имеем: — = v(t), или dS = v(t)dt.
dt
Возьмем определенный интеграл от выражений,стоящих в обе-
их частях равенства:
ь ь
jdS = fv(t)dt.
345
b b
Отсюда S(b)-S(a) = Jv(t)dt или S = Jv(t)dt, где S - перемеще-
a a
ние точки за промежуток времени от t=a до t=b. В этом проявляет-
ся физический смысл определенного интеграла.
Практикум 27
64. Тео рем а.Если производная функции на некотором про-
межутке положительна, то функция возрастает на этом промежут-
ке, а если производная отрицательна ,то функция на этом проме-
жутке убывает.
65. Точка х0 называется точкой максимума (max) функции
y=f(x), если функция непрерывна в этой точке и можно указать
такую 8 - окрестность точки х0, что для всех xtxQ из этой окрест-
ности выполняется неравенство f(x)<f(x0).
66. Точка х0 называется точкой минимума (min) функции
y=f(x), если функция непрерывна в этой точке и можно указать
такую 8 - окрестность точки х0, что для всех xtxQ из этой окрест-
ности выполняется неравенство f(x)>f(x0).
67. Точки максимума и минимума называются точками экстре-
мума.
68. Необходимое условие существования точек экстремума
функции - равенство нулю первой производной функции в этих
точках или несуществование первой производной в этих точках.
69. Точки, в которых первая производная функции равна нулю
или не существует, называются критическими. Такие точки явля-
ются подозрительными на экстремум.
70. Достаточные условия экстремума. Пусть функция f(x) не-
прерывна в точке х0 и х0 - критическая точка функции f(x). Если
при этом слева от точки х0 f'(x)>0, а справа от точки х0 f'(x)<0,
то х0 - точка максимума: если же слева от точки f'(x) < 0, а спра-
ва от точки х0 f '(х) > 0 , то х0 - точка минимума.
71. Если функция y=f(x) непрерывна в точке х0 и
f'(xo) = O, то при Г(х0)>0 - точка минимума, а при f"(xo)<O -
точка максимума.
346
72. а) Функция y=f(x) называется выпуклой (выпуклой вверх)
на интервале (а;£), если f(x) дифференцируема на этом интервале
и график z/=f(x) расположен ниже касательной, проведенной в лю-
бой точке интервала (а;Ь).
б) Функция y=f(x) называется вогнутой (выпуклой вниз) на ин-
тервале (а;£), если существует f'(x) на этом интервале и график
y=f(x) расположен выше касательной, проведенной в любой точке
интервала (а;Ь).
73. Точка х0 называется точкой перегиба функции, если слева
и справа от х0 эта функция имеет разные направления выпук-
лости.
74. Достаточным условием выпуклости функции на интервале
(а;Ь) является отрицательность второй производной этой функции
в каждой точке интервала (а;Ь).
75. Достаточным условием вогнутости функции f(x) на (а;Ь) яв-
ляется положительность второй производной на (а;&), т.е. если
Л(х) > 0 при х е (а;Ь), то f(x) - вогнута на (а;Ь).
Практикум 29
76. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке (а;£), то она
достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений
( теорема Вейерштрасса).
77. Если функция задана и непрерывна на некотором незамкну-
том промежутке, то среди значений функции на этом промежутке
может не быть наибольшего или наименьшего.
78. Если у функции на некотором промежутке (конечном или
бесконечном) существует только одна критическая точка и если в
ней максимум,то в этой точке функция принимает наибольшее
значение для этого промежутка, а если в ней минимум - то на-
именьшее значение.
Практикум 30
79. Говорят,что физическая величина f(t), изменяющаяся во
времени согласно уравнению f"(t) = -w2f(t), где w - положительная
величина, совершает гармоническое колебание, само уравнение
называют дифференциальным уравнением гармонических колеба-
ний.
347
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид;
f(t) = Acos(wt + cp),
где число (константу)А называют амплитудой колебания, констан-
ту w - частотой колебаний или угловой скоростью и константу (р
- начальной фазой колебаний. Причем А>0, <ре[0;2л], w>0. Пе-
ги 2/г
риод колебаний 7 =—.
w
80. Работа, произведенная переменной силой f(x) при переме-
щении по оси Ох материальной точки от х=а до х=Ь находится по
ь
формуле А = Jf(x)dx.
а
81. Закон Гука: F=kx, где F- сила в Н (Ньютонах), х - абсо-
лютное удлинение пружины в м (метрах), вызванное силой F, k -
коэффициент пропорциональности в Н/м.
82. Сила давления жидкости Р,выраженная в Н (Ньютонах), на
горизонтальную площадку площадью S в м2 вычисляется по фор-
муле P = 980<5Sx, где 8 - плотность жидкости в кг/м3, ах-глу-
бина погружения площадки в м.
Если площадка, испытывающая давление жидкости,не гори-
зонтальна, то давление жидкости различно для разных глубин. По-
этому сила давления на площадку есть функция глубины ее пог-
ружения.
83. Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой
воды весом Р на высоту х, равна А=Рх, где х измеряется в метрах,
А - в джоулях(Дж). Вес воды в объеме 1 м3 составляет 9807 Н.
Содержание
Предисловие........................................................................... 3
9 класс
Практикум 1. Квадратный трехчлен, квадратные уравнения........ 6
Практикум 2. Квадратные уравнения с параметрами...................................... 10
Практикум 3. Линейная функция. Линейные уравнения с парамет-
рами ........................................................... 13
Пр актикум 4. Система уравнений ................:.................................... 16
Пр актикум 5. Способы построения графиков функций. 20
Пр актикум 6. Решение неравенств.................. 23
Пр актикум 7. Степень с целым показателем......... 28
Пр актикум 8. Корни натуральной степени........... 31
Пр актикум 9. Степень с рациональным показателем..................................... 34
Пр актикум 10. Преобразование выражений, содержащих степени и
корни........................................................... 38
Практикум 11. Прямые и обратные функции.............................................. 42
Практикум 12. Степенная функция с дробно-рациональным показате-
лем и функция корня натуральной степени, их
свойства и графики.............................................. 47
Пр актикум 13. Решение некоторых уравнений и неравенств, содер-
жащих степени с дробно-рациональными показате-
лями и корни.................................................... 52
Практикум 14. Углы поворота и их измерение........ 55
Пр актикум 15. Тригонометрические функции одного и того же аргу-
мента........................................................... 57
Практикум 16. Соотношения между значениями тригонометричес-
ких функций взаимно противоположных по знаку
углов. Частный случай формул приведения............................. 62
Пр актикум 17. Формулы сложения................................................... 64
Пр актикум 18. Следствия из формул сложения....................................... 68
Пр актикум 19. Формулы двойного и половинного аргументов... 72
Пр актикум 20. Различные тригонометрические преобразования. 75
Практикум 21. Способы задания последовательностей................................ 78
Практикум 22. Применения метода математической индукции в не-
которых частных случаях......................................... 83
Практикум 23. Арифметическая прогрессия.......................................... 89
Практикум 24. Геометрическая прогрессия.......................................... 92
349
Практикум 25. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
и ее сумма....................................................... 96
Практикум 26. Решение задач с использованием прогрессий....... 99
10 класс
Практикум 1. Измерение углов............................... 104
Практикум 2. Полярные координаты........................... 107
Практикум 3. Периодические функции......................... 109
Практикум 4. Графики тригонометрических функций............ 113
Пр актикум 5. Построение графиков сложных тригонометрических
функций вида y=f(ax+b).......................................... 115
Пр актикум 6. Четные и нечетные функции..................... 117
Пр актикум 7. Основные тригонометрические тождества и их ис-
пользование при решении задач................................... 120
Пр актикум 8. Основные тригонометрические тождества и их ис-
пользование при решении задач................................... 122
Практикум 9. Основные тригонометрические тождества и их ис-
пользование при решении задач................................... 124
Практикум 10. Преобразования тригонометрических выражений и
свойства тригонометрических функций............................. 127
Практикум 11. Обратные тригонометрические функции........... 130
Пр актикум 12. Простейшие тригонометрические уравнения и
неравенства...........................,......................... 135
Практикум 13-14. Тригонометрические уравнения и неравенства.... 139
Пр актикум 15. Предел функции в бесконечно удаленной точке.... 144
Практикум 16. Предел числовой последовательности................ 147
Практикум 17. Асимптоты графиков функций при
X -» оо И X -» -оо ............................................. 150
Практикум 18. Предел функции в точке............................ 152
Практикум 19. Непрерывность функции в точке. Односторонние
пределы......................................................... 154
Пр актикум 20. Непрерывность функции на промежутке. Непре-
рывность некоторых элементарных функций. Вы-
числение пределов............................................... 157
Пр актикум 21. Свойства непрерывных функций. Метод интервалов 159
Практикум 22. Производная, ее геометрический и механический
смысл........................................................... 162
Практикум 23. Основные правила нахождения производной......... 165
Пр актикум 24. Уравнение касательной. Дифференциал функции ... 169
Пр актикум 25. Первообразная или неопределенный интеграл. Поня-
тие дифференциального уравнения и его решения ... 173
Практикум 26. Определенный интеграл, его геометрический и физи-
ческий смысл.................................................... 177
Практикум 27. Исследование функций и построение их графиков . 182
Практикум 28. Исследование дробно-рациональных функций и по-
строение их графиков............................................ 184
Практикум 29. Решение задач на нахождение наибольших и наи-
меньших значений................................................ 187
Пр актикум 30. Приложения математического анализа в задачах фи-
зического содержания............................................ 194
350
11 класс
ft ft ft ft ft ft ft ft A ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft
ИВВЙЙИ ЙИВВЙИ ИВЙ ИСЙЙИСИ
актикум 1-2. Метод математической индукции ................... 200
актикум 3. Преобразования степеней........................ 206
актикум 4. Свойства и графики степенных функций .......... 210
актикум 5. Иррациональные уравнения ...................... 213
актикум 6. Иррациональные неравенства..................... 216
актикум 7. Иррациональные уравнения и неравенства в задачах
математического анализа...................................... 219
актикум 8. Показательная функция, ее график и свойства.. 222
актикум 9. Показательные уравнения и неравенства ......... 227
актикум 10. Логарифмическая функция. Свойства логарифмов.. 230
актикум 11. Логарифмические уравнения и неравенства..... 235
актикум 12. Решение различных уравнений и неравенств ..... 240
актикум 13. Производная и первообразная показательной функ-
ции ......................................................... 245
актикум 14. Производная логарифмической функции........... 249
актикум 15. Решение задач с дифференциальными уравнениями 254
актикум 16. Производные обратных тригонометрических функ-
ции.......................................................... 258
актикум 17. Деление многочленов .......................... 261
актикум 18. Уравнения высших степеней..................... 266
актикум 19. Решение задач с уравнениями высших степеней. 270
актикум 20. Системы линейных уравнений.................... 274
актикум 21. Системы нелинейных уравнений ................. 279
актикум 22. Решение различных систем уравнений............ 284
актикум 23. Уравнения и неравенства с двумя переменными.
Простейшие задачи линейного программирования.. 292
Практикум 24. Комплексные числа и комплексная плоскость....... 301
Практикум 25. Решение уравнений на множестве комплексных чи-
сел ............................................................ 305
Пр актикум 26. Решение задач со стереометрическим и физическим
содержанием..................................................... 308
Учебное издание
Доброва Ольга Николаевна
Задания по алгебре
и математическому анализу
Зав.редакцией Г. А. Бурмистрова
Редактор Т. Ю, Акимова
Младший редактор Н. В. Сидельковская
Художник О. П. Богомолова
Художественный редактор Е. Р. Дашу к
Технический редактор С. С. Якушкина
Корректор Н. И. Новикова
ИБ №16558
Сдано в набор 15.02.96. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.91. Подписано к печа-
ти 09.07.96. Формат бОХЭО1/^. Бумага кн.-журн. Гарнитура школьная. Пе-
чать офсет. Усл. печ. л. 22,0+0,31 форз. Усл. кр.-отт. 23,06. Уч.-изд.
л. 17,67+0,47 форз. Тираж 30 000 экз. Заказ № 122.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета
Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Набор, верстка и изготовление диапозитивов произведено фирмой „КОНТУР”.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышев-
ского, 59.
Издательство "Просвещение"
предлагает учебно-методическую
и научно-познавательную литературу
Мы работаем на основе
прямых договоров
Приглашаем к сотрудничеству республиканские, краевые
и областные органы образования, книготоргующие организации
и оптовых покупателей на взаимовыгодных условиях
& МЫ ПРЕДЛАГАЕМ
Д книги со складов издательства,
□ контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ,
Д розничным покупателям - книги из нашего книжного киоска,
Д "Книгу - почтой".
По всем вопросам обращайтесь по адресу:
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Телефоны: отдел реализации 289 44 44
289 60 26
отдел рекламы 289 52 84
книжный киоск 289 13 36
факс 200 42 66
"Книга-почтой": 117571, Москва, пр.Вернадского, 88
АО "Учебная литература". Телефон: 437 46 97
Книги ’’Просвещения” всегда нужны,
интересны, познавательны, доступны.